ANALISI DELLE CARATTERISTICHE DINAMICHE DI STRUMENTI ELEMENTARI (parte 2)
Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.
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Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura
Caratteristiche dinamiche 2
Modello matematico di un sistema di misura
SITEMA DI MISURA
IN OUT
qi(t) qo(t)
• qi(t) e qo(t) sono rispettivamente segnale di ingresso e di uscita per lo strumento (sistema di misura) in esame: si tratta di grandezze tempovarianti (ovvero funzioni del tempo).
• Se il sistema considerato è lineare e stazionario allora esso è descrivibile da un sistema di equazioni differenziali lineari ordinarie a coefficienti costanti non omogenee; la soluzione di tale sistema è ottenibile come soluzione di un’unica equazione differenziale ordinaria a coefficienti costanti in una sola funzione incognita di ordine n (=somma di tutti gli ordini delle equazioni componenti il sistema).
Caratteristiche dinamiche 3
• Tale equazione differenziale lineare ordinaria a coefficienti costanti non omogenea di ordine n è un modello matematico del sistema di misura e descrive la relazione esistente tra ingressi e uscite (qi e qo).
imi
m
mi
m
mmi
m
mmi
m
mono
n
no
n
nno
n
nno
n
n qbdt
qdb
dt
qdb
dt
qdb
dt
qdbqa
dt
qda
dt
qda
dt
qda
dt
qda 012
2
21
1
1012
2
21
1
1 ......
• Nota la funzione qi(t), è possibile, risolvendo l’equazione, ricavare la funzione del tempo che descrive il segnale in uscita qo(t). Devono essere noti i parametri caratteristici del sistema, ovvero i coefficienti ai.
• La soluzione è del tipo opogo qqq
- qog integrale generale: descrive l’evoluzione libera del sistema
- qop integrale particolare: descrive l’evoluzione del sistema dovuta alla presenza di un dato ingresso (evoluzione forzata)
Caratteristiche dinamiche 4
• Integrale generale:
Si ottiene dalla soluzione dell’equazione algebrica omogenea associata…
Si possono presentare 4 differenti casi, in base alla tipologia delle radici i dell’equazione.
1 - Radici reali distinte
Per ogni radice i che assume valore i si considera un termine
2 - Radici reali con molteplicità r
Per ogni radice reale i che assume valore i con molteplicità r si considera una serie di termini del tipo:
0... 012
21
1
aDaDaDaDa n
nn
nn
n
ti
ieC
trr
rro
ietCtCtCtCC
)...( 1
12
22
21
Caratteristiche dinamiche 5
3 - Radici complesse coniugate
Per ogni radice i che assume valore i ± ji si considera un termine del tipo:
che equivale a:
4 - Radici complesse coniugate con molteplicità r
Per ogni radice i che assume valore i ± ji con molteplicità r si considera un termine del tipo:
tii
ietCtC )cos()sin( 21
tiii
ietC )sin(
tri
rrii
iettCttCtC
)sin(...)sin()sin( 11
12110
Caratteristiche dinamiche 6
• Integrale particolare:
Si può ottenere mediante il metodo dei coefficienti indeterminati. Si ipotizza una funzione in cui compaiono un numero adeguato di coefficienti incogniti. Sostituendo tale funzione in qo nell’equazione differenziale di partenza si ricavano i valori da attribuire a tali coefficienti.
In particolare, se al secondo membro dell’equazione differenziale di partenza, vi è una funzione F(t),
- se F(t) è una funzione polinomiale di grado n di t, qp(t) è un polinomio di grado n+r, dove r è la molteplicità della soluzione =0 nell’omogenea associata.
- se F(t) è una funzione armonica del tipo :
qp(t) è del tipo se ±ik non è soluz. dell’omogenea associata
qp(t) è del tipo se ±ik è soluz. di molteplicità r dell’omogenea associata
)sin(' kxA
)()cos( ktBsenktA
rtktBsenktA )()cos(
Caratteristiche dinamiche 7
Nota: il metodo dei coefficienti indeterminati si può impiegare per la soluzione dell’integrale particolare se sono rispettate due condizioni:
- F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, tutte le derivate successive sono nulle; (es. polinomi)
- F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, le derivate successive producono sempre le stesse forme funzionali; (es. seno e coseno)
• I coefficienti Ci che compaiono nell’espressione di qo(t) ricavata come somma di integrale generale ed integrale particolare (che provengono dall’individuazione dell’integrale generale) vengono determinati imponendo le condizioni iniziali.
Caratteristiche dinamiche 8
Funzione di trasferimento• L’equazione differenziale di partenza (descrittiva delle proprietà dinamiche del sistema di misura) può essere trasformata in un’equazione algebrica, se ogni termine di derivazione viene sostituito con l’operatore D.
nn
n
Ddt
d
im
mm
mm
mon
nn
nn
n qbDbDbDbDbqaDaDaDaDa
01
22
1101
22
11 ......
012
21
1
012
21
1
...
...)()(
aDaDaDaDa
bDbDbDbDbD
q
qDH
nn
nn
nn
mm
mm
mm
i
o
Caratteristiche dinamiche 9
• H() è la funzione di trasferimento del sistema di misura e dipende dall’operatore D!!! Può essere ottenuta analogamente applicando la trasformata di Laplace all’equazione differenziale di partenza: in tal caso l’operatore D è sostituito dalla variabile s. I due modi di operare sono del tutto equivalenti.
• Dalla definizione di H(D) consegue
)()()( DqDHDq io
Se un sistema di misura è costituito da un insieme di elementi interconnessi a formare uno schema a blocchi; la funzione di trasferimento complessiva può essere ottenuta come prodotto delle singole funzioni di trasferimento (se l’effetto di carico dei blocchi successivi sui precedenti può essere trascurato).
H1(D) H2(D) H3(D)qi(D) qo(D)
H(D)= H1(D) ·H2(D) ·H3(D)qi(D) qo(D)
Caratteristiche dinamiche 10
Funzione di trasferimento armonica: risposta in frequenza
• In molte applicazioni è importante conoscere la risposta a regime di un sistema (di misura) ad un ingresso di tipo sinusoidale.
• Se il sistema è lineare e stazionario, a regime, l’uscita qo(t) del sistema è ancora un segnale sinusoidale avente la stessa frequenza del segnale in ingresso qi(t). In generale l’ampiezza dell’output differisce da quella dell’input; inoltre i due segnali hanno fasi differenti. Il rapporto in termini di ampiezze fra i segnali (amplificazione dinamica) e lo sfasamento variano al variare della frequenza del segnale di ingresso.
• La risposta in frequenza di un sistema (di misura) consiste nell’indicazione di come l’amplificazione e lo sfasamento variano al variare di .
Caratteristiche dinamiche 11
• Esempio qualitativo
Amplificazione in ampiezza
Frequenza
Amplificazione in ampiezza
Frequenza
Ao /
Ai
Segnali nel tempo
Tempo [s]Se
gn
ali
[u.m
.]
qi qo
Frequenza:
)()(
)()(
tsenAKtq
tsenAtq
io
ii
K: amplificazione in ampiezza
: sfasamento
K
Caratteristiche dinamiche 12
• La risposta in frequenza può essere ottenuta, ad ogni frequenza considerata , attraverso l’applicazione del metodo dei coefficienti indeterminati per il calcolo dell’integrale particolare dell’equazione differenziale caratteristica del sistema.
• Tuttavia si può più rapidamente procedere attraverso la determinazione della funzione di trasferimento armonica (o sinusoidale), che coincide con la risposta in frequenza. Si ottiene dalla funzione di trasferimento sostituendo a D il termine complesso i.
012
21
1
012
21
1
)(...)()()(
)(...)()()()()(
aiaiaiaia
bibibibibi
q
qiH
nn
nn
nn
mm
mm
mm
i
o
• i è l’unità immaginaria
• è la frequenza espressa in rad/s
Caratteristiche dinamiche 13
• La funzione di trasferimento armonica in corrispondenza di ogni frequenza è data da un numero complesso il cui modulo coincide con il rapporto di amplificazione in ampiezza e la cui fase coincide con lo sfasamento con cui il segnale qo è in anticipo sul segnale qi.
)(
)(
iHA
AiH
i
o
Avendo considerato le seguenti espressioni per i segnali:
)()(
)()(
tsenAtq
tsenAtq
oo
ii
Quanto sopra è facilmente dimostrabile mediante l’uso dei fasori, ovvero di una tecnica rappresentativa dei segnali armonici basata sull’impiego dei numeri complessi.
Caratteristiche dinamiche 14
• Fasori:
Si tratta di vettori rotanti nel piano complesso.
Data una funzione sinusoidale del tipo:
questa è rappresentata dal fasore:
Nel piano complesso i fasori sono vettori aventi modulo pari all’ampiezza della sinusoide di riferimento A, punto di applicazione nell’origine degli assi, e rotanti con velocità angolare a partire da un angolo iniziale formato con l’asse dei reali Re pari a .
)()( tsenAtq
)()cos(~ )( tsenitAeAQ t
Re
Im
A t
Caratteristiche dinamiche 15
• Dimostrazione:
Si considerino i seguenti segnali rispettivamente di ingresso ed uscita per lo strumento (o sistema) di misura considerato:
)()(
)()(
tsenAtq
tsenAtq
oo
ii
essi sono rappresentabili da due fasori:
)(~)(
~)(
tiooo
tiiii
eAQtq
eAQtq
Si può procedere alla sostituzione di qi(t) e qo(t) nell’equazione caratteristica del sistema di misura rispettivamente con Qi e Qo. L’operazione di derivazione rispetto al tempo comporta una moltiplicazione del fasore per (i).
)()(1
)(11
)(
)()(1
)(11
)(
)(...)()(
)(...)()(ti
ioti
iti
im
mti
im
m
tioo
tio
tio
nn
tio
nn
eAbeAibeAibeAib
eAaeAiaeAiaeAia
Caratteristiche dinamiche 16
Raccogliendo...
)(
11
1
)(1
11
)(...)()(
)(...)()(ti
iom
mm
m
tioo
nn
nn
eAbibibib
eAaiaiaia
iti ee )(
da cui si ottiene:
)()(...)()()(
)(...)()()(
012
21
1
012
21
1 Dq
q
aiaiaiaia
bibibibibe
A
A
i
on
nn
nn
n
mm
mm
mmi
i
o
espressione che coincide con la definizione data di funzione di trasferimento armonica. Tale espressione coincide con il rapporto qo/qi(i), che si può calcolare dall’equazione differenziale caratteristica. Si tratta di un numero complesso H(i) tale che:
)(
)(
iHA
AiH
i
o
C.v.d.
i
Caratteristiche dinamiche 17
Prontezza• Scopo di uno strumento di misura è consentire di effettuare una misurazione; nel caso di segnali tempovarianti, ciò equivale a dire che lo strumento deve fornire in uscita una ricostruzione fedele del segnale misurato. Infatti se il segnale in uscita è distorto è possibile che non si riesca a risalire al misurando e quindi non si possa assegnare una misura.
• La caratteristica degli strumenti che sono in grado di fornire un’indicazione fedele relativa a segnali tempovarianti oggetto della misurazione è detta prontezza (banda passante).
• Di seguito verranno mostrati alcuni casi particolari di strumenti e di segnali possibili di input e si discuterà relativamente a quali valori devono assumere i parametri descrittivi del comportamento dinamico degli strumenti affinché essi siano pronti.
Caratteristiche dinamiche 18
Strumento di ordine zero
Per strumento di ordine zero si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione (algebrica!).
io qbqa 00
iio Kqqa
bq
0
0
Dove K è un parametro caratteristico del sistema, detto sensibilità statica (si determina dalla prova di taratura statica!).
Lo strumento di ordine zero è teoricamente perfetto, in quanto il segnale di uscita, a meno di una costante moltiplicativa riproduce fedelmente il segnale in ingresso.
(es. potenziometro resistivo)
Caratteristiche dinamiche 19
Strumento del primo ordine
Per strumento del primo ordine si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo ordine.
ioo qbqa
dt
dqa 001
Dividendo entrambi i membri per a0...
ioo q
a
bq
dt
dq
a
a
0
0
0
1
io KqqD )1(Dove:
0
0
a
bK
0
1
a
a
sensibilità statica
costante di tempo
Caratteristiche dinamiche 20
• La costante di tempo ha la dimensione di un tempo, mentre la sensibilità statica ha la dimensione data dal rapporto delle dimensioni di output e input.
• Per quanto visto la funzione di trasferimento del sistema è data da:
1
1)(
DD
q
q
i
o
(es. termometro ad espansione di liquido)
Caratteristiche dinamiche 21
Strumento del primo ordine: risposta al gradino
Il gradino è una particolare funzione del tempo, data dalla seguente espressione in termini di segnale d’ingresso in un sistema di misura qi(t):
0
00)(
ttq
tttq
isi
t
qi
qis
t0
Consideriamo gradini per cui t0= 0. Per calcolare la risposta di un sistema del primo ordine si deve risolvere la seguente equazione differenziale (qi= qis).
iso KqqD )1(
Caratteristiche dinamiche 22
A tale equazione differenziale è associata la condizione iniziale qo(0) = 0, dovuta al particolare ingresso.
• L’integrale generale è dato dall’espressione:
• L’integrale particolare è dato da:
• Quindi:
• C va determinata imponendo la condizione iniziale in t = 0:
• quindi
• dunque la risposta risulta:
• e può essere scritta in maniera adimensionalizzata come:
t
og eCtq
)(
isop qKtq )(
is
t
o qKeCtq )(
iso qKCq 0)0(
isqKC
)1()( t
iso eKqtq
)1( t
is
o eKq
q Risposta al gradino di uno strumento
del 1° ordine
Caratteristiche dinamiche 23
Strumento del 1° ordine: Risposta al gradino
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7
t/
qo
/(K
qis
) t/ qo/(Kqis)
0 0.00001 0.63212 0.86473 0.95024 0.9817
inf. 1.0000
Si può definire l’errore di misura (scostamento tra la quantità in uscita e quella effettiva all’ingresso nell’istante t):
t
is
t
isiso
im eqeqqK
qqe
)1(
Caratteristiche dinamiche 24
Si definisce settling time il tempo necessario al sistema di misura affinché il segnale qo raggiunga, entro una certa banda di tolleranza il valore di regime (qis). Assunta una tolleranza del 5% tale valore di tempo è pari a 3 volte la costante di tempo .
Per quanto visto è chiaro che quanto più la costante di tempo è piccola, tanto più la risposta dello strumento sarà rapida, ovvero l’errore di misura tenderà a zero tanto più rapidamente. Affinché lo strumento sia pronto dunque deve essere piccolo.
(es. termometro ad espansione di liquido)
Strumento del 1° ordine: errore di misura
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7
t/
em
/qis
Caratteristiche dinamiche 25
Strumento del primo ordine: risposta in frequenza
L’espressione della funzione di trasferimento per lo strumento del primo ordine può essere impiegata per ricavare l’espressione della risposta in frequenza dello stesso.
1)()()()(
i
Ki
q
qiHD
q
qDH
i
o
i
o
Si tratta di un numero complesso funzione della frequenza , dipendente dai parametri del sistema di misura: K e . Modulo e fase sono dati dalle seguenti espressioni.
)tan()()(1
)(2
arciH
KiH
Caratteristiche dinamiche 26
La risposta in frequenza può essere diagrammata in forma adimensionalizzata (per quanto concerne il modulo).
Strumento del 1° ordine: Risposta in frequenza (modulo)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|qo
/(K
qi)
|
Caratteristiche dinamiche 27
Strumento del 1° ordine: Risposta in frequenza (fase)
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
La fase ha il seguente andamento...
Caratteristiche dinamiche 28
Considerando le espressioni dei segnali rispettivamente di ingresso ed uscita qi(t) e qo(t), come
)()(
)()(
tsinAtq
tsinAtq
oo
ii
si ha:
)tan()(
)(1)(
2
arciH
KiH
A
A
i
o
Affinché lo strumento sia pronto, il suo comportamento deve essere il più possibile prossimo a quello di uno strumento di ordine zero e dunque si dovrebbe avere:
0)(
1)(
iH
iHKA
A
i
o
Caratteristiche dinamiche 29
Si osserva che tali condizioni si verificano per
Infatti in tale condizione per qualunque valore di frequenza le condizioni considerate tenderebbero ad essere verificate!
È dunque verificato, anche per la risposta in frequenza, quanto osservato nel caso della risposta al gradino (si può verificare anche per la risposta alla rampa): strumenti del primo ordine sono pronti per piccoli.
Quanto detto non ha valore se si considera un input costituito da una sinusoide semplice, in quanto in tal caso è sufficiente ricavare mediante calcolo lo sfasamento e l’amplificazione per correggere il segnale in uscita ottenendo una misura adeguata. Il problema nasce se il segnale contiene più armoniche. Si veda il seguente esempio…
0
Caratteristiche dinamiche 30
Si consideri il caso
)200sen(1)20sen(1)( tttqi
Il segnale è formato da due armoniche, una a 20 rad/s ed una a 200 rad/s. Supponendo il sistema lineare e stazionario, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti: la risposta al segnale completo è la somma delle risposte alle singole armoniche. Si consideri un sistema di misura avente K = 1 e si valuti il segnale in uscita per due differenti valori di : = 0.02 e = 0.002. Eseguendo dei calcoli relativi alla risposta in frequenza nei due casi si ottiene quanto esposto nella tabella sotto riportata.
1 20 rad/s amp1 12 200 rad/s amp2 1
0.02m1 0.928477 1 -0.380506 radm2 0.242536 2 -1.325818 rad
0.002m1 0.999201 1 -0.039979 radm2 0.928477 2 -0.380506 rad
Caratteristiche dinamiche 31
Distorsione del segnale: risposta in frequenza (primo ordine)
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
[s]
Se
gn
ale
[u
.m.]
qi
qo (tau=0.02)
qo (tau=0.002)
Si osserva che il segnale ottenuto in uscita nel caso di = 0.02 non è riconducibile al segnale di ingresso; il segnale ottenuto nel caso nel caso = 0.002 è molto prossimo al segnale di ingresso misurato. Riducendo ulteriormente il il segnale in uscita tende ad approssimare ancor meglio quello misurato.
Caratteristiche dinamiche 32
Strumento del primo ordine: risposta all’impulso
Si definisce funzione impulso di durata finita di ampiezza A la seguente funzione del tempo:
Tt
TtT
At
tp
0
0
00
)(
t
p
A/T
0 T
Si definisce funzione impulso di ampiezza A:)(lim)(
0tptA
T
Nel caso di A = 1, con il passaggio al limite, si ricava l’impulso unitario (t).
Caratteristiche dinamiche 33
La funzione impulso unitario ha durata infinitesima e ampiezza infinita.
Per ricavare la risposta dello strumento ad una funzione impulso di ampiezza A del tipo A (t), si procede ricavando la risposta per una funzione impulso di durata T e poi si attua il passaggio al limite per T0.
Tra 0 e T il sistema di misura è sottoposto ad un ingresso a gradino; da T in poi sarà soggetto ad evoluzione libera (la funzione di ingresso va a zero) a partire dalle condizioni raggiunte in T. Dunque la soluzione è ottenuta in due passaggi.
1 - Si deve valutare la risposta al gradino secondo l’equazione differenziale:
T
AKKqqD iso )1(
Caratteristiche dinamiche 34
si ricava la seguente risposta:
tale risposta è da considerarsi tra t = 0 e t = T, istante in cui l’ingresso va a zero. Da t = T in poi il sistema subirà un’evoluzione libera a partire dalla condizione raggiunta in T, che è determinabile attraverso l’espressione di qo ora ricavata, dunque:
)1()( t
o eT
KAtq
)1()( T
o eT
KATq
Tt 0
2 - L’evoluzione libera del sistema a partire da t = T si determina calcolando l’integrale generale con la condizione iniziale appena determinata. L’integrale generale assume la seguente espressione:
dunque:
t
o eCtq
)( Tt
)1()( TT
o eT
KAeCTq
Caratteristiche dinamiche 35
si ricava:
dunque:
T
T
Te
eKAC
)1(
t
T
T
o e
Te
eKAtq
)1(
)(
Che, unitamente all’espressione ricavata per l’intervallo [0,T], costituisce l’espressione della risposta all’impulso finito di ampiezza A.
Risposta all'impulso di durata finita
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0 1 2 3 4 5 6
tempo [s]
se
gn
ale
[u
.m.] qin
qout
K 1.2tau 0.7 [s]
A 3 [u.m.]T 2 [s]
C 29.54107 [u.m.]
Caratteristiche dinamiche 36
La risposta all’impulso A(t) si ottiene dal passaggio al limite dell’espressione ricavata per T 0.
T
eeKA
Te
eeKAe
Te
eKAtq
T
T
t
T
T
T
tt
T
T
To
)1(lim
)1(lim
)1(lim)(
000
ma
1
1
)/1(lim
)1(lim
00
T
T
T
T
e
T
e
Teorema di L’Hopital
Dunque si ricava:
t
o eKA
tq
)(
Risposta all'impulso
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t/
(q
o/K
A)
Caratteristiche dinamiche 37
La funzione impulso considerata è tale per cui, in corrispondenza di t = 0, si verifica un trasferimento di energia infinito: infatti, il segnale passa da valore nullo ad un valore infinito per poi ritornare a valore nullo; ciò accade in un intervallo di tempo infinitesimo. È chiaro che tale segnale non può esistere in natura e, dunque, che la risposta trovata è relativa ad un impulso ideale.
Tuttavia se T è sensibilmente inferiore a (di solito si considera almeno un ordine di grandezza) quella trovata è una buona approssimazione della risposta al segnale reale di durata piccola ma finita.
La risposta all’impulso non dipende dalla particolare “forma” dell’impulso considerato, ma solo dalla sua ampiezza A (sempre nell’ipotesi che la durata T sia breve).
La risposta all’impulso coincide con l’evoluzione libera del sistema a partire da una condizione perturbata per cui qo= KA/ in t= 0+.
Caratteristiche dinamiche 38
Strumento del secondo ordine
Per strumento di secondo ordine si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del secondo ordine.
iooo qbqa
dt
dqa
dt
qda 0012
2
2
Dividendo entrambi i membri per a0...
iooo q
a
bq
dt
dq
a
a
dt
qd
a
a
0
0
0
12
2
0
2
Si definiscono termini:
2
0
a
an
20
1
2 aa
a
Frequenza naturale (propria)
Fattore di smorzamento
0
0
a
bK Sensibilità statica
Caratteristiche dinamiche 39
In base alle definizioni date si ricava:
ionn
KqqDD
1
22
2
12
)(
2
2
nn
i
o
DD
KD
q
q
(es. dinamometro a molla)
Caratteristiche dinamiche 40
Strumento del secondo ordine: risposta al gradino
Dato un gradino di ampiezza qis, al fine di ricavare la risposta dello strumento del secondo ordine a tale input, si procede alla risoluzione della seguente equazione:
isonn
KqqDD
1
22
2
con le seguenti condizioni iniziali
00
00
tdt
dqtq
o
o
L’integrale particolare è qop=Kqis. L’integrale generale dipende dal valore assunto da : si hanno tre diverse soluzioni: sistema sovrasmorzato (>1), sistema con smorzamento critico (=1), sistema sottosmorzato (<1).
Caratteristiche dinamiche 41
Osservazioni:
• All’aumentare di n la risposta dello strumento risulta essere più rapida.
• All’aumentare di si riduce il comportamento oscillante ma viene ritardato l’istante di tempo nel quale la risposta interseca la retta orizzontale indicativa del valore finale che essa raggiungerà.
Risposta ad un gradino unitario; qo tende a 1 all’aumentare di t.
Strumento del 2° ordine: Risposta al gradino
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
nt
qo
/(K
qis
)
= 0.1
= 0.2
= 0.4
= 0.6
= 0.8 = 1
= 1.5
Caratteristiche dinamiche 42
• Per valutare il settling time, scegliendo una tolleranza del 10% si osserva che il valore di ottimo relativamente alla rapidità di risposta dello strumento si ha per = 0.6. Scegliendo il 5% si ottiene che il valore ottimale è = 0.7.
• Tuttavia nella trattazione è stato considerato un gradino ideale (in zero c’è un trasferimento infinito di energia discontinuità) e dunque la risposta prevista per via teorica non è esattamente quella ottenibile nella realtà. Tenendo conto di questo aspetto si osserva che buoni valori di compresso per sono 0.60.7.
Caratteristiche dinamiche 43
Strumento del secondo ordine: risposta in frequenza
L’espressione della funzione di trasferimento per lo strumento del secondo ordine può essere impiegata per ricavare l’espressione della risposta in frequenza dello stesso.
nn
i
o
i
Ki
q
qiH
2
1
)()(
2
2
Si tratta di un numero complesso avente i seguenti modulo e fase:
n
n
nn
arciH
KiH
2tan)(
21
)(22
2
2
Caratteristiche dinamiche 44
La risposta in frequenza può essere diagrammata in forma adimensionalizzata (per quanto concerne il modulo).
Strumento del 2° ordine: Risposta in frequenza (modulo)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5
n
qo
/(K
qi)
= 0.1
= 0.2
= 0.4
= 0.6
= 1.5
= 0
Caratteristiche dinamiche 45
Strumento del 2° ordine: Risposta in frequenza (fase)
-180-170-160-150-140-130-120-110-100
-90
-80-70-60-50-40-30-20-10
0
0 1 2 3 4 5n
= 1.5
= 0
= 0.1
La fase ha il seguente andamento...
Caratteristiche dinamiche 46
• Affinché lo strumento del secondo ordine sia pronto è necessario che le frequenze del segnale d’ingresso cadano nella zona /n <<1. In tale zona infatti il fattore di amplificazione è costante e pari ad 1 e la fase tende ad essere nulla. Di conseguenza è necessario che n sia elevata in modo tale che questa zona sia la più dilatata possibile. Anche in queste condizioni tuttavia permangono problemi connessi ai valori assunti dalla fase.
• In generale è consuetudine scegliere = 0.60.7, in modo tale che la fase vari quasi linearmente con la frequenza. In queste condizioni non si ha una distorsione del segnale in uscita rispetto a quello in ingresso, ma semplicemente un ritardo temporale, che, generalmente, può essere tollerato.
Caratteristiche dinamiche 47
• Esempio:
Si consideri un segnale d’ingresso costituito da due armoniche, avente la seguente espressione:
Si consideri uno strumento del secondo ordine con sensibilità statica K=1, e frequenza propria n= 65 Hz = 408.407 rad/s.
Vengono considerati due casi (a e b) per il fattore di smorzamento : a= 2 e b= 0.65. Attraverso l’espressione della risposta in frequenza si possono ricavare i valori di amplificazione e sfasamento introdotti dal sistema nei due casi (a e b) sulle due armoniche del segnale (1 e 2).
)()()( 2211 tsenAtsenAtq iii 1 31.41593 [rad/s] 3 [Hz]2 188.4956 [rad/s] 30 [Hz]A1 5 [u.m.]A2 3 [u.m.]
Ma1 0.96097 fasea1 -0.3001712 [rad] -17.1985 [°]Ma2 0.49828 fasea2 -1.1678403 [rad] -66.9123 [°]Mb1 1.00164 faseb1 -0.0925916 [rad] -5.30511 [°]Mb2 1.03914 faseb2 -0.6132446 [rad] -35.1363 [°]
Caratteristiche dinamiche 48
Si osserva che il segnale qo ottenuto come output nel caso a è distorto rispetto al segnale di ingresso. Nel caso b, invece tale segnale sembra essere solo ritardato temporalmente rispetto al segnale in ingresso; ciò è dovuto al fatto che nel caso b è stato scelto b= 0.65, ciò che conduce ad ottenere uno sfasamento proporzionale alla frequenza del segnale in ingresso (proporzionale all’ordine dell’armonica considerata in ingresso). Tale situazione conduce sempre ad un ritardo temporale di qo rispetto a qi e non alla distorsione del segnale...
Distorsioni del segnale: risposta in frequenza (2° ordine)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
tempo [s]
se
gn
ale
[u
.m.]
qi
qo_a
qo_b
Caratteristiche dinamiche 49
Si può dimostrare che se lo sfasamento introdotto dal sistema è proporzionale all’ordine dell’armonica del segnale in ingresso, allora l’uscita qo risulta semplicemente ritardata rispetto all’ingresso qi…
• Si consideri un segnale armonico in ingresso; sviluppato in serie di Fourier esso assume l’espressione seguente.
• Si avrà un’uscita corrispondente
• La serie potrebbe essere scritta in termini complessi, in tal caso possiamo calcolare, per il principio di sovrapposizione degli effetti, per ogni armonica
• Nell’ipotesi che lo sfasamento dia proporzionale all’ordine dell’armonica si ha:
1
0 )(2
)(i
iiii tsenAA
tq
1
0 )(2
)(i
iiiio tsenBB
tq
iiiii
oii Mi
q
qiH )()(
Di i
Caratteristiche dinamiche 50
• Si può scrivere:
• Il segnale di uscita può essere scritto come segue:
• Ovvero, il segnale in uscita è ritardato di un tempo D rispetto all’ingresso, in quanto su ogni armonica si ottiene tale ritardo.
• Nota:
Esistono alcune eccezioni a quanto detto relativamente ai sistemi del secondo ordine… ad esempio gli accelerometri piezoelettrici. Questi elementi presentano ampie bande passanti pur avendo bassissimi valori per . Ciò dipende dal fatto che in compenso n è molto elevata (risposta alla rampa terminata e risposta in frequenza: anche con = 0 si ricava un errore di misura nullo).
DiDi
ii
DiDi
iii
TTi
AMB
2
2
1
0
1
0 ])([2
)(2
)(i
iDiii
Diiiio tsenBB
tsenBB
tq
Ritardo!
Caratteristiche dinamiche 51
• In conclusione, uno strumento del secondo ordine è pronto quando:
- la sua frequenza naturale è elevata (n)
- lo sfasamento introdotto è nullo (n) o proporzionale all’ordine delle armoniche del segnale ricevuto in ingresso ( = 0.60.7).
Prontezza
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
[s]
qi
qo
qo ritardato
In tali condizioni il sistema di misura riproduce fedelmente il segnale in ingresso a meno di un fattore di amplificazione prossimo alla sensibilità statica K ed eventualmente con un ritardo temporale.
Caratteristiche dinamiche 52
Elementi di tempo morto
È un elemento che introduce un ritardo temporale. A meno di un fattore moltiplicativo pari alla sensibilità statica l’uscita qo riproduce fedelmente l’ingresso qi con un ritardo temporale D.
Strumento di tempo morto
Frequenza
H
Di
i
o eKiq
q )(
Caratteristiche dinamiche 53
Strumento generico
Uno strumento generico può essere considerato come dato dalla successione di tanti sistemi di misura semplici quali quelli fino ad ora considerati (ordine zero, primo ordine, secondo ordine, tempo morto). La funzione di trasferimento armonica può essere dunque scritta come segue.
)12
()12
()1()1(
)12
()12
()1()1()(
)()(
2
2
121
2
1
2
2
121
2
11
nMnMnnN
ii
nmnmnnn
n
i
o
DD
eeDDiK
iq
qiH
DrD
Tale funzione di trasferimento può essere facilmente tracciata su opportuni diagrammi logaritmici (Diagrammi di Bode).
Caratteristiche dinamiche 54
Strumento generico: risposta ad un ingresso periodico
qi(t)Segnale d’ingresso
Funzione di trasferimento armonica H(i)
Segnale d’uscita qo(t)
Qi(i)
Qo(i)
Trasformata Fourier
Antitrasformata Fourier
Caratteristiche dinamiche 55
In corrispondenza di ogni armonica, la singola componente spettrale del segnale in uscita è numero complesso tale che:
• il proprio modulo è dato dal prodotto fra il modulo della corrispondente linea spettrale nel segnale d’ingresso e il modulo della funzione di trasferimento armonica in corrispondenza della singola frequenza considerata;
• la propria fase è la somma della fase della corrispondente linea spettrale nel segnale d’ingresso e la fase della funzione di trasferimento armonica in corrispondenza della singola frequenza considerata.
Immagina tratta da: Doebelin, Measurement Systems - application and design, Mc-Graw Hill
Caratteristiche dinamiche 56
Bibliografia
• E.O. Doebelin, Measurement Systems - application and design (p. 94-194)
Consultazione:
• F. Angrilli, Corso di misure meccaniche, termiche e collaudi (p. 179-245)