Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

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Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura

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Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura

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Caratteristiche dinamiche 2

Modello matematico di un sistema di misura

SITEMA DI MISURA

IN OUT

qi(t) qo(t)

• qi(t) e qo(t) sono rispettivamente segnale di ingresso e di uscita per lo strumento (sistema di misura) in esame: si tratta di grandezze tempovarianti (ovvero funzioni del tempo).

• Se il sistema considerato è lineare e stazionario allora esso è descrivibile da un sistema di equazioni differenziali lineari ordinarie a coefficienti costanti non omogenee; la soluzione di tale sistema è ottenibile come soluzione di un’unica equazione differenziale ordinaria a coefficienti costanti in una sola funzione incognita di ordine n (=somma di tutti gli ordini delle equazioni componenti il sistema).

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Caratteristiche dinamiche 3

• Tale equazione differenziale lineare ordinaria a coefficienti costanti non omogenea di ordine n è un modello matematico del sistema di misura e descrive la relazione esistente tra ingressi e uscite (qi e qo).

imi

m

mi

m

mmi

m

mmi

m

mono

n

no

n

nno

n

nno

n

n qbdt

qdb

dt

qdb

dt

qdb

dt

qdbqa

dt

qda

dt

qda

dt

qda

dt

qda 012

2

21

1

1012

2

21

1

1 ......

• Nota la funzione qi(t), è possibile, risolvendo l’equazione, ricavare la funzione del tempo che descrive il segnale in uscita qo(t). Devono essere noti i parametri caratteristici del sistema, ovvero i coefficienti ai.

• La soluzione è del tipo opogo qqq

- qog integrale generale: descrive l’evoluzione libera del sistema

- qop integrale particolare: descrive l’evoluzione del sistema dovuta alla presenza di un dato ingresso (evoluzione forzata)

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Caratteristiche dinamiche 4

• Integrale generale:

Si ottiene dalla soluzione dell’equazione algebrica omogenea associata…

Si possono presentare 4 differenti casi, in base alla tipologia delle radici i dell’equazione.

1 - Radici reali distinte

Per ogni radice i che assume valore i si considera un termine

2 - Radici reali con molteplicità r

Per ogni radice reale i che assume valore i con molteplicità r si considera una serie di termini del tipo:

0... 012

21

1

aDaDaDaDa n

nn

nn

n

ti

ieC

trr

rro

ietCtCtCtCC

)...( 1

12

22

21

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Caratteristiche dinamiche 5

3 - Radici complesse coniugate

Per ogni radice i che assume valore i ± ji si considera un termine del tipo:

che equivale a:

4 - Radici complesse coniugate con molteplicità r

Per ogni radice i che assume valore i ± ji con molteplicità r si considera un termine del tipo:

tii

ietCtC )cos()sin( 21

tiii

ietC )sin(

tri

rrii

iettCttCtC

)sin(...)sin()sin( 11

12110

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Caratteristiche dinamiche 6

• Integrale particolare:

Si può ottenere mediante il metodo dei coefficienti indeterminati. Si ipotizza una funzione in cui compaiono un numero adeguato di coefficienti incogniti. Sostituendo tale funzione in qo nell’equazione differenziale di partenza si ricavano i valori da attribuire a tali coefficienti.

In particolare, se al secondo membro dell’equazione differenziale di partenza, vi è una funzione F(t),

- se F(t) è una funzione polinomiale di grado n di t, qp(t) è un polinomio di grado n+r, dove r è la molteplicità della soluzione =0 nell’omogenea associata.

- se F(t) è una funzione armonica del tipo :

qp(t) è del tipo se ±ik non è soluz. dell’omogenea associata

qp(t) è del tipo se ±ik è soluz. di molteplicità r dell’omogenea associata

)sin(' kxA

)()cos( ktBsenktA

rtktBsenktA )()cos(

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Caratteristiche dinamiche 7

Nota: il metodo dei coefficienti indeterminati si può impiegare per la soluzione dell’integrale particolare se sono rispettate due condizioni:

- F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, tutte le derivate successive sono nulle; (es. polinomi)

- F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, le derivate successive producono sempre le stesse forme funzionali; (es. seno e coseno)

• I coefficienti Ci che compaiono nell’espressione di qo(t) ricavata come somma di integrale generale ed integrale particolare (che provengono dall’individuazione dell’integrale generale) vengono determinati imponendo le condizioni iniziali.

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Caratteristiche dinamiche 8

Funzione di trasferimento• L’equazione differenziale di partenza (descrittiva delle proprietà dinamiche del sistema di misura) può essere trasformata in un’equazione algebrica, se ogni termine di derivazione viene sostituito con l’operatore D.

nn

n

Ddt

d

im

mm

mm

mon

nn

nn

n qbDbDbDbDbqaDaDaDaDa

01

22

1101

22

11 ......

012

21

1

012

21

1

...

...)()(

aDaDaDaDa

bDbDbDbDbD

q

qDH

nn

nn

nn

mm

mm

mm

i

o

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Caratteristiche dinamiche 9

• H() è la funzione di trasferimento del sistema di misura e dipende dall’operatore D!!! Può essere ottenuta analogamente applicando la trasformata di Laplace all’equazione differenziale di partenza: in tal caso l’operatore D è sostituito dalla variabile s. I due modi di operare sono del tutto equivalenti.

• Dalla definizione di H(D) consegue

)()()( DqDHDq io

Se un sistema di misura è costituito da un insieme di elementi interconnessi a formare uno schema a blocchi; la funzione di trasferimento complessiva può essere ottenuta come prodotto delle singole funzioni di trasferimento (se l’effetto di carico dei blocchi successivi sui precedenti può essere trascurato).

H1(D) H2(D) H3(D)qi(D) qo(D)

H(D)= H1(D) ·H2(D) ·H3(D)qi(D) qo(D)

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Caratteristiche dinamiche 10

Funzione di trasferimento armonica: risposta in frequenza

• In molte applicazioni è importante conoscere la risposta a regime di un sistema (di misura) ad un ingresso di tipo sinusoidale.

• Se il sistema è lineare e stazionario, a regime, l’uscita qo(t) del sistema è ancora un segnale sinusoidale avente la stessa frequenza del segnale in ingresso qi(t). In generale l’ampiezza dell’output differisce da quella dell’input; inoltre i due segnali hanno fasi differenti. Il rapporto in termini di ampiezze fra i segnali (amplificazione dinamica) e lo sfasamento variano al variare della frequenza del segnale di ingresso.

• La risposta in frequenza di un sistema (di misura) consiste nell’indicazione di come l’amplificazione e lo sfasamento variano al variare di .

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Caratteristiche dinamiche 11

• Esempio qualitativo

Amplificazione in ampiezza

Frequenza

Amplificazione in ampiezza

Frequenza

Ao /

Ai

Segnali nel tempo

Tempo [s]Se

gn

ali

[u.m

.]

qi qo

Frequenza:

)()(

)()(

tsenAKtq

tsenAtq

io

ii

K: amplificazione in ampiezza

: sfasamento

K

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Caratteristiche dinamiche 12

• La risposta in frequenza può essere ottenuta, ad ogni frequenza considerata , attraverso l’applicazione del metodo dei coefficienti indeterminati per il calcolo dell’integrale particolare dell’equazione differenziale caratteristica del sistema.

• Tuttavia si può più rapidamente procedere attraverso la determinazione della funzione di trasferimento armonica (o sinusoidale), che coincide con la risposta in frequenza. Si ottiene dalla funzione di trasferimento sostituendo a D il termine complesso i.

012

21

1

012

21

1

)(...)()()(

)(...)()()()()(

aiaiaiaia

bibibibibi

q

qiH

nn

nn

nn

mm

mm

mm

i

o

• i è l’unità immaginaria

• è la frequenza espressa in rad/s

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Caratteristiche dinamiche 13

• La funzione di trasferimento armonica in corrispondenza di ogni frequenza è data da un numero complesso il cui modulo coincide con il rapporto di amplificazione in ampiezza e la cui fase coincide con lo sfasamento con cui il segnale qo è in anticipo sul segnale qi.

)(

)(

iHA

AiH

i

o

Avendo considerato le seguenti espressioni per i segnali:

)()(

)()(

tsenAtq

tsenAtq

oo

ii

Quanto sopra è facilmente dimostrabile mediante l’uso dei fasori, ovvero di una tecnica rappresentativa dei segnali armonici basata sull’impiego dei numeri complessi.

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Caratteristiche dinamiche 14

• Fasori:

Si tratta di vettori rotanti nel piano complesso.

Data una funzione sinusoidale del tipo:

questa è rappresentata dal fasore:

Nel piano complesso i fasori sono vettori aventi modulo pari all’ampiezza della sinusoide di riferimento A, punto di applicazione nell’origine degli assi, e rotanti con velocità angolare a partire da un angolo iniziale formato con l’asse dei reali Re pari a .

)()( tsenAtq

)()cos(~ )( tsenitAeAQ t

Re

Im

A t

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Caratteristiche dinamiche 15

• Dimostrazione:

Si considerino i seguenti segnali rispettivamente di ingresso ed uscita per lo strumento (o sistema) di misura considerato:

)()(

)()(

tsenAtq

tsenAtq

oo

ii

essi sono rappresentabili da due fasori:

)(~)(

~)(

tiooo

tiiii

eAQtq

eAQtq

Si può procedere alla sostituzione di qi(t) e qo(t) nell’equazione caratteristica del sistema di misura rispettivamente con Qi e Qo. L’operazione di derivazione rispetto al tempo comporta una moltiplicazione del fasore per (i).

)()(1

)(11

)(

)()(1

)(11

)(

)(...)()(

)(...)()(ti

ioti

iti

im

mti

im

m

tioo

tio

tio

nn

tio

nn

eAbeAibeAibeAib

eAaeAiaeAiaeAia

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Caratteristiche dinamiche 16

Raccogliendo...

)(

11

1

)(1

11

)(...)()(

)(...)()(ti

iom

mm

m

tioo

nn

nn

eAbibibib

eAaiaiaia

iti ee )(

da cui si ottiene:

)()(...)()()(

)(...)()()(

012

21

1

012

21

1 Dq

q

aiaiaiaia

bibibibibe

A

A

i

on

nn

nn

n

mm

mm

mmi

i

o

espressione che coincide con la definizione data di funzione di trasferimento armonica. Tale espressione coincide con il rapporto qo/qi(i), che si può calcolare dall’equazione differenziale caratteristica. Si tratta di un numero complesso H(i) tale che:

)(

)(

iHA

AiH

i

o

C.v.d.

i

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Caratteristiche dinamiche 17

Prontezza• Scopo di uno strumento di misura è consentire di effettuare una misurazione; nel caso di segnali tempovarianti, ciò equivale a dire che lo strumento deve fornire in uscita una ricostruzione fedele del segnale misurato. Infatti se il segnale in uscita è distorto è possibile che non si riesca a risalire al misurando e quindi non si possa assegnare una misura.

• La caratteristica degli strumenti che sono in grado di fornire un’indicazione fedele relativa a segnali tempovarianti oggetto della misurazione è detta prontezza (banda passante).

• Di seguito verranno mostrati alcuni casi particolari di strumenti e di segnali possibili di input e si discuterà relativamente a quali valori devono assumere i parametri descrittivi del comportamento dinamico degli strumenti affinché essi siano pronti.

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Caratteristiche dinamiche 18

Strumento di ordine zero

Per strumento di ordine zero si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione (algebrica!).

io qbqa 00

iio Kqqa

bq

0

0

Dove K è un parametro caratteristico del sistema, detto sensibilità statica (si determina dalla prova di taratura statica!).

Lo strumento di ordine zero è teoricamente perfetto, in quanto il segnale di uscita, a meno di una costante moltiplicativa riproduce fedelmente il segnale in ingresso.

(es. potenziometro resistivo)

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Caratteristiche dinamiche 19

Strumento del primo ordine

Per strumento del primo ordine si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo ordine.

ioo qbqa

dt

dqa 001

Dividendo entrambi i membri per a0...

ioo q

a

bq

dt

dq

a

a

0

0

0

1

io KqqD )1(Dove:

0

0

a

bK

0

1

a

a

sensibilità statica

costante di tempo

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Caratteristiche dinamiche 20

• La costante di tempo ha la dimensione di un tempo, mentre la sensibilità statica ha la dimensione data dal rapporto delle dimensioni di output e input.

• Per quanto visto la funzione di trasferimento del sistema è data da:

1

1)(

DD

q

q

i

o

(es. termometro ad espansione di liquido)

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Caratteristiche dinamiche 21

Strumento del primo ordine: risposta al gradino

Il gradino è una particolare funzione del tempo, data dalla seguente espressione in termini di segnale d’ingresso in un sistema di misura qi(t):

0

00)(

ttq

tttq

isi

t

qi

qis

t0

Consideriamo gradini per cui t0= 0. Per calcolare la risposta di un sistema del primo ordine si deve risolvere la seguente equazione differenziale (qi= qis).

iso KqqD )1(

Page 22: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 22

A tale equazione differenziale è associata la condizione iniziale qo(0) = 0, dovuta al particolare ingresso.

• L’integrale generale è dato dall’espressione:

• L’integrale particolare è dato da:

• Quindi:

• C va determinata imponendo la condizione iniziale in t = 0:

• quindi

• dunque la risposta risulta:

• e può essere scritta in maniera adimensionalizzata come:

t

og eCtq

)(

isop qKtq )(

is

t

o qKeCtq )(

iso qKCq 0)0(

isqKC

)1()( t

iso eKqtq

)1( t

is

o eKq

q Risposta al gradino di uno strumento

del 1° ordine

Page 23: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 23

Strumento del 1° ordine: Risposta al gradino

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

t/

qo

/(K

qis

) t/ qo/(Kqis)

0 0.00001 0.63212 0.86473 0.95024 0.9817

inf. 1.0000

Si può definire l’errore di misura (scostamento tra la quantità in uscita e quella effettiva all’ingresso nell’istante t):

t

is

t

isiso

im eqeqqK

qqe

)1(

Page 24: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 24

Si definisce settling time il tempo necessario al sistema di misura affinché il segnale qo raggiunga, entro una certa banda di tolleranza il valore di regime (qis). Assunta una tolleranza del 5% tale valore di tempo è pari a 3 volte la costante di tempo .

Per quanto visto è chiaro che quanto più la costante di tempo è piccola, tanto più la risposta dello strumento sarà rapida, ovvero l’errore di misura tenderà a zero tanto più rapidamente. Affinché lo strumento sia pronto dunque deve essere piccolo.

(es. termometro ad espansione di liquido)

Strumento del 1° ordine: errore di misura

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

t/

em

/qis

Page 25: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 25

Strumento del primo ordine: risposta in frequenza

L’espressione della funzione di trasferimento per lo strumento del primo ordine può essere impiegata per ricavare l’espressione della risposta in frequenza dello stesso.

1)()()()(

i

Ki

q

qiHD

q

qDH

i

o

i

o

Si tratta di un numero complesso funzione della frequenza , dipendente dai parametri del sistema di misura: K e . Modulo e fase sono dati dalle seguenti espressioni.

)tan()()(1

)(2

arciH

KiH

Page 26: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 26

La risposta in frequenza può essere diagrammata in forma adimensionalizzata (per quanto concerne il modulo).

Strumento del 1° ordine: Risposta in frequenza (modulo)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

|qo

/(K

qi)

|

Page 27: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 27

Strumento del 1° ordine: Risposta in frequenza (fase)

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

La fase ha il seguente andamento...

Page 28: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 28

Considerando le espressioni dei segnali rispettivamente di ingresso ed uscita qi(t) e qo(t), come

)()(

)()(

tsinAtq

tsinAtq

oo

ii

si ha:

)tan()(

)(1)(

2

arciH

KiH

A

A

i

o

Affinché lo strumento sia pronto, il suo comportamento deve essere il più possibile prossimo a quello di uno strumento di ordine zero e dunque si dovrebbe avere:

0)(

1)(

iH

iHKA

A

i

o

Page 29: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 29

Si osserva che tali condizioni si verificano per

Infatti in tale condizione per qualunque valore di frequenza le condizioni considerate tenderebbero ad essere verificate!

È dunque verificato, anche per la risposta in frequenza, quanto osservato nel caso della risposta al gradino (si può verificare anche per la risposta alla rampa): strumenti del primo ordine sono pronti per piccoli.

Quanto detto non ha valore se si considera un input costituito da una sinusoide semplice, in quanto in tal caso è sufficiente ricavare mediante calcolo lo sfasamento e l’amplificazione per correggere il segnale in uscita ottenendo una misura adeguata. Il problema nasce se il segnale contiene più armoniche. Si veda il seguente esempio…

0

Page 30: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 30

Si consideri il caso

)200sen(1)20sen(1)( tttqi

Il segnale è formato da due armoniche, una a 20 rad/s ed una a 200 rad/s. Supponendo il sistema lineare e stazionario, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti: la risposta al segnale completo è la somma delle risposte alle singole armoniche. Si consideri un sistema di misura avente K = 1 e si valuti il segnale in uscita per due differenti valori di : = 0.02 e = 0.002. Eseguendo dei calcoli relativi alla risposta in frequenza nei due casi si ottiene quanto esposto nella tabella sotto riportata.

1 20 rad/s amp1 12 200 rad/s amp2 1

0.02m1 0.928477 1 -0.380506 radm2 0.242536 2 -1.325818 rad

0.002m1 0.999201 1 -0.039979 radm2 0.928477 2 -0.380506 rad

Page 31: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 31

Distorsione del segnale: risposta in frequenza (primo ordine)

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

[s]

Se

gn

ale

[u

.m.]

qi

qo (tau=0.02)

qo (tau=0.002)

Si osserva che il segnale ottenuto in uscita nel caso di = 0.02 non è riconducibile al segnale di ingresso; il segnale ottenuto nel caso nel caso = 0.002 è molto prossimo al segnale di ingresso misurato. Riducendo ulteriormente il il segnale in uscita tende ad approssimare ancor meglio quello misurato.

Page 32: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 32

Strumento del primo ordine: risposta all’impulso

Si definisce funzione impulso di durata finita di ampiezza A la seguente funzione del tempo:

Tt

TtT

At

tp

0

0

00

)(

t

p

A/T

0 T

Si definisce funzione impulso di ampiezza A:)(lim)(

0tptA

T

Nel caso di A = 1, con il passaggio al limite, si ricava l’impulso unitario (t).

Page 33: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 33

La funzione impulso unitario ha durata infinitesima e ampiezza infinita.

Per ricavare la risposta dello strumento ad una funzione impulso di ampiezza A del tipo A (t), si procede ricavando la risposta per una funzione impulso di durata T e poi si attua il passaggio al limite per T0.

Tra 0 e T il sistema di misura è sottoposto ad un ingresso a gradino; da T in poi sarà soggetto ad evoluzione libera (la funzione di ingresso va a zero) a partire dalle condizioni raggiunte in T. Dunque la soluzione è ottenuta in due passaggi.

1 - Si deve valutare la risposta al gradino secondo l’equazione differenziale:

T

AKKqqD iso )1(

Page 34: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 34

si ricava la seguente risposta:

tale risposta è da considerarsi tra t = 0 e t = T, istante in cui l’ingresso va a zero. Da t = T in poi il sistema subirà un’evoluzione libera a partire dalla condizione raggiunta in T, che è determinabile attraverso l’espressione di qo ora ricavata, dunque:

)1()( t

o eT

KAtq

)1()( T

o eT

KATq

Tt 0

2 - L’evoluzione libera del sistema a partire da t = T si determina calcolando l’integrale generale con la condizione iniziale appena determinata. L’integrale generale assume la seguente espressione:

dunque:

t

o eCtq

)( Tt

)1()( TT

o eT

KAeCTq

Page 35: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 35

si ricava:

dunque:

T

T

Te

eKAC

)1(

t

T

T

o e

Te

eKAtq

)1(

)(

Che, unitamente all’espressione ricavata per l’intervallo [0,T], costituisce l’espressione della risposta all’impulso finito di ampiezza A.

Risposta all'impulso di durata finita

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 1 2 3 4 5 6

tempo [s]

se

gn

ale

[u

.m.] qin

qout

K 1.2tau 0.7 [s]

A 3 [u.m.]T 2 [s]

C 29.54107 [u.m.]

Page 36: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 36

La risposta all’impulso A(t) si ottiene dal passaggio al limite dell’espressione ricavata per T 0.

T

eeKA

Te

eeKAe

Te

eKAtq

T

T

t

T

T

T

tt

T

T

To

)1(lim

)1(lim

)1(lim)(

000

ma

1

1

)/1(lim

)1(lim

00

T

T

T

T

e

T

e

Teorema di L’Hopital

Dunque si ricava:

t

o eKA

tq

)(

Risposta all'impulso

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t/

(q

o/K

A)

Page 37: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 37

La funzione impulso considerata è tale per cui, in corrispondenza di t = 0, si verifica un trasferimento di energia infinito: infatti, il segnale passa da valore nullo ad un valore infinito per poi ritornare a valore nullo; ciò accade in un intervallo di tempo infinitesimo. È chiaro che tale segnale non può esistere in natura e, dunque, che la risposta trovata è relativa ad un impulso ideale.

Tuttavia se T è sensibilmente inferiore a (di solito si considera almeno un ordine di grandezza) quella trovata è una buona approssimazione della risposta al segnale reale di durata piccola ma finita.

La risposta all’impulso non dipende dalla particolare “forma” dell’impulso considerato, ma solo dalla sua ampiezza A (sempre nell’ipotesi che la durata T sia breve).

La risposta all’impulso coincide con l’evoluzione libera del sistema a partire da una condizione perturbata per cui qo= KA/ in t= 0+.

Page 38: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 38

Strumento del secondo ordine

Per strumento di secondo ordine si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del secondo ordine.

iooo qbqa

dt

dqa

dt

qda 0012

2

2

Dividendo entrambi i membri per a0...

iooo q

a

bq

dt

dq

a

a

dt

qd

a

a

0

0

0

12

2

0

2

Si definiscono termini:

2

0

a

an

20

1

2 aa

a

Frequenza naturale (propria)

Fattore di smorzamento

0

0

a

bK Sensibilità statica

Page 39: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 39

In base alle definizioni date si ricava:

ionn

KqqDD

1

22

2

12

)(

2

2

nn

i

o

DD

KD

q

q

(es. dinamometro a molla)

Page 40: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 40

Strumento del secondo ordine: risposta al gradino

Dato un gradino di ampiezza qis, al fine di ricavare la risposta dello strumento del secondo ordine a tale input, si procede alla risoluzione della seguente equazione:

isonn

KqqDD

1

22

2

con le seguenti condizioni iniziali

00

00

tdt

dqtq

o

o

L’integrale particolare è qop=Kqis. L’integrale generale dipende dal valore assunto da : si hanno tre diverse soluzioni: sistema sovrasmorzato (>1), sistema con smorzamento critico (=1), sistema sottosmorzato (<1).

Page 41: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 41

Osservazioni:

• All’aumentare di n la risposta dello strumento risulta essere più rapida.

• All’aumentare di si riduce il comportamento oscillante ma viene ritardato l’istante di tempo nel quale la risposta interseca la retta orizzontale indicativa del valore finale che essa raggiungerà.

Risposta ad un gradino unitario; qo tende a 1 all’aumentare di t.

Strumento del 2° ordine: Risposta al gradino

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

nt

qo

/(K

qis

)

= 0.1

= 0.2

= 0.4

= 0.6

= 0.8 = 1

= 1.5

Page 42: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 42

• Per valutare il settling time, scegliendo una tolleranza del 10% si osserva che il valore di ottimo relativamente alla rapidità di risposta dello strumento si ha per = 0.6. Scegliendo il 5% si ottiene che il valore ottimale è = 0.7.

• Tuttavia nella trattazione è stato considerato un gradino ideale (in zero c’è un trasferimento infinito di energia discontinuità) e dunque la risposta prevista per via teorica non è esattamente quella ottenibile nella realtà. Tenendo conto di questo aspetto si osserva che buoni valori di compresso per sono 0.60.7.

Page 43: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 43

Strumento del secondo ordine: risposta in frequenza

L’espressione della funzione di trasferimento per lo strumento del secondo ordine può essere impiegata per ricavare l’espressione della risposta in frequenza dello stesso.

nn

i

o

i

Ki

q

qiH

2

1

)()(

2

2

Si tratta di un numero complesso avente i seguenti modulo e fase:

n

n

nn

arciH

KiH

2tan)(

21

)(22

2

2

Page 44: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 44

La risposta in frequenza può essere diagrammata in forma adimensionalizzata (per quanto concerne il modulo).

Strumento del 2° ordine: Risposta in frequenza (modulo)

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

n

qo

/(K

qi)

= 0.1

= 0.2

= 0.4

= 0.6

= 1.5

= 0

Page 45: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 45

Strumento del 2° ordine: Risposta in frequenza (fase)

-180-170-160-150-140-130-120-110-100

-90

-80-70-60-50-40-30-20-10

0

0 1 2 3 4 5n

= 1.5

= 0

= 0.1

La fase ha il seguente andamento...

Page 46: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 46

• Affinché lo strumento del secondo ordine sia pronto è necessario che le frequenze del segnale d’ingresso cadano nella zona /n <<1. In tale zona infatti il fattore di amplificazione è costante e pari ad 1 e la fase tende ad essere nulla. Di conseguenza è necessario che n sia elevata in modo tale che questa zona sia la più dilatata possibile. Anche in queste condizioni tuttavia permangono problemi connessi ai valori assunti dalla fase.

• In generale è consuetudine scegliere = 0.60.7, in modo tale che la fase vari quasi linearmente con la frequenza. In queste condizioni non si ha una distorsione del segnale in uscita rispetto a quello in ingresso, ma semplicemente un ritardo temporale, che, generalmente, può essere tollerato.

Page 47: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 47

• Esempio:

Si consideri un segnale d’ingresso costituito da due armoniche, avente la seguente espressione:

Si consideri uno strumento del secondo ordine con sensibilità statica K=1, e frequenza propria n= 65 Hz = 408.407 rad/s.

Vengono considerati due casi (a e b) per il fattore di smorzamento : a= 2 e b= 0.65. Attraverso l’espressione della risposta in frequenza si possono ricavare i valori di amplificazione e sfasamento introdotti dal sistema nei due casi (a e b) sulle due armoniche del segnale (1 e 2).

)()()( 2211 tsenAtsenAtq iii 1 31.41593 [rad/s] 3 [Hz]2 188.4956 [rad/s] 30 [Hz]A1 5 [u.m.]A2 3 [u.m.]

Ma1 0.96097 fasea1 -0.3001712 [rad] -17.1985 [°]Ma2 0.49828 fasea2 -1.1678403 [rad] -66.9123 [°]Mb1 1.00164 faseb1 -0.0925916 [rad] -5.30511 [°]Mb2 1.03914 faseb2 -0.6132446 [rad] -35.1363 [°]

Page 48: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 48

Si osserva che il segnale qo ottenuto come output nel caso a è distorto rispetto al segnale di ingresso. Nel caso b, invece tale segnale sembra essere solo ritardato temporalmente rispetto al segnale in ingresso; ciò è dovuto al fatto che nel caso b è stato scelto b= 0.65, ciò che conduce ad ottenere uno sfasamento proporzionale alla frequenza del segnale in ingresso (proporzionale all’ordine dell’armonica considerata in ingresso). Tale situazione conduce sempre ad un ritardo temporale di qo rispetto a qi e non alla distorsione del segnale...

Distorsioni del segnale: risposta in frequenza (2° ordine)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

tempo [s]

se

gn

ale

[u

.m.]

qi

qo_a

qo_b

Page 49: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 49

Si può dimostrare che se lo sfasamento introdotto dal sistema è proporzionale all’ordine dell’armonica del segnale in ingresso, allora l’uscita qo risulta semplicemente ritardata rispetto all’ingresso qi…

• Si consideri un segnale armonico in ingresso; sviluppato in serie di Fourier esso assume l’espressione seguente.

• Si avrà un’uscita corrispondente

• La serie potrebbe essere scritta in termini complessi, in tal caso possiamo calcolare, per il principio di sovrapposizione degli effetti, per ogni armonica

• Nell’ipotesi che lo sfasamento dia proporzionale all’ordine dell’armonica si ha:

1

0 )(2

)(i

iiii tsenAA

tq

1

0 )(2

)(i

iiiio tsenBB

tq

iiiii

oii Mi

q

qiH )()(

Di i

Page 50: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 50

• Si può scrivere:

• Il segnale di uscita può essere scritto come segue:

• Ovvero, il segnale in uscita è ritardato di un tempo D rispetto all’ingresso, in quanto su ogni armonica si ottiene tale ritardo.

• Nota:

Esistono alcune eccezioni a quanto detto relativamente ai sistemi del secondo ordine… ad esempio gli accelerometri piezoelettrici. Questi elementi presentano ampie bande passanti pur avendo bassissimi valori per . Ciò dipende dal fatto che in compenso n è molto elevata (risposta alla rampa terminata e risposta in frequenza: anche con = 0 si ricava un errore di misura nullo).

DiDi

ii

DiDi

iii

TTi

AMB

2

2

1

0

1

0 ])([2

)(2

)(i

iDiii

Diiiio tsenBB

tsenBB

tq

Ritardo!

Page 51: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 51

• In conclusione, uno strumento del secondo ordine è pronto quando:

- la sua frequenza naturale è elevata (n)

- lo sfasamento introdotto è nullo (n) o proporzionale all’ordine delle armoniche del segnale ricevuto in ingresso ( = 0.60.7).

Prontezza

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

[s]

qi

qo

qo ritardato

In tali condizioni il sistema di misura riproduce fedelmente il segnale in ingresso a meno di un fattore di amplificazione prossimo alla sensibilità statica K ed eventualmente con un ritardo temporale.

Page 52: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 52

Elementi di tempo morto

È un elemento che introduce un ritardo temporale. A meno di un fattore moltiplicativo pari alla sensibilità statica l’uscita qo riproduce fedelmente l’ingresso qi con un ritardo temporale D.

Strumento di tempo morto

Frequenza

H

Di

i

o eKiq

q )(

Page 53: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 53

Strumento generico

Uno strumento generico può essere considerato come dato dalla successione di tanti sistemi di misura semplici quali quelli fino ad ora considerati (ordine zero, primo ordine, secondo ordine, tempo morto). La funzione di trasferimento armonica può essere dunque scritta come segue.

)12

()12

()1()1(

)12

()12

()1()1()(

)()(

2

2

121

2

1

2

2

121

2

11

nMnMnnN

ii

nmnmnnn

n

i

o

DD

eeDDiK

iq

qiH

DrD

Tale funzione di trasferimento può essere facilmente tracciata su opportuni diagrammi logaritmici (Diagrammi di Bode).

Page 54: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 54

Strumento generico: risposta ad un ingresso periodico

qi(t)Segnale d’ingresso

Funzione di trasferimento armonica H(i)

Segnale d’uscita qo(t)

Qi(i)

Qo(i)

Trasformata Fourier

Antitrasformata Fourier

Page 55: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 55

In corrispondenza di ogni armonica, la singola componente spettrale del segnale in uscita è numero complesso tale che:

• il proprio modulo è dato dal prodotto fra il modulo della corrispondente linea spettrale nel segnale d’ingresso e il modulo della funzione di trasferimento armonica in corrispondenza della singola frequenza considerata;

• la propria fase è la somma della fase della corrispondente linea spettrale nel segnale d’ingresso e la fase della funzione di trasferimento armonica in corrispondenza della singola frequenza considerata.

Immagina tratta da: Doebelin, Measurement Systems - application and design, Mc-Graw Hill

Page 56: Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

Caratteristiche dinamiche 56

Bibliografia

• E.O. Doebelin, Measurement Systems - application and design (p. 94-194)

Consultazione:

• F. Angrilli, Corso di misure meccaniche, termiche e collaudi (p. 179-245)