capitolo6

Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 6 30 Sett 08_____________________________________________________________________________

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FLUIDI NON PERFETTI

6.1 Regimi di moto nei fluidi reali

L acqua un fluido viscoso, ovvero in presenza di gradiente di velocit si originano degli sforzitangenziali dovuto all attrito che si sviluppa tra particelle contigue di fluido con diversa velocit. Linfluenza della viscosit sul moto di un fluido rappresentata tramite il numero di Reynolds. Ilnumero di Reynolds uguale al rapporto tra le forze inerziali e le forze viscose agenti su di una

massa fluida. Le forze inerziali hanno dimensioni L2 V2 come spiegato nel capitolo precedente e

le forze viscose pari al prodotto dello sforzo tangenziale (espresso mediante la legge di Newton)per una superficie hanno dimensioni V/L L2 = V L. Il numero di Reynolds quindi:

Re =

LV

Definita la viscosit cinematica = / l espressione del numero di Reynolds diventa:

Re =

LV

La viscosit cinematica dell acqua = 10-6 m2/s. Se le forze viscose predominano rispetto a

quelle inerziali il numero di Reynolds diminuisce, viceversa questi aumenta. In dipendenza delnumero di Reynolds ovvero del rapporto tra le forze inerziali e viscose si hanno due tipi di regimedi moto. : regime di moto laminare e regime di moto turbolento. Per bassi numeri di Reynolds leforze viscose predominano su quelle inerziali ed il regime di moto denominato laminare. Perelevati numeri di Reynolds le forze inerziali predominano su quelle viscose ed il regime di moto denominato turbolento.

V p

pVV p

V p

e diminuzione della pressionezona di aumento della velocit

ed aumento della pressionezona di diminuzione della velocit


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Nel caso di una distribuzione di velocit uniforme le linee di corrente sono rettilinee e parallele(figura 6.1), la portata costante e gli sforzi tangenziali sono nulli (poich non vi gradiente divelocit): il moto pu essere trattato come se il fluido fosse perfetto e si pu quindi utilizzare ilprincipio di conservazione dell energia. Se lungo una linea di corrente si origina per una qualsiasicausa un aumento di velocit, la pressione diminuisce in base alla conservazione dell energia e lalinea di corrente non si mantiene pi rettilinea. Infatti essendo la portata costante il corrispondentetubo di flusso deve diminuire la sua sezione e quello adiacente aumentarla. Conseguentemente, neltubo di flusso adiacente si ha una diminuzione di velocit ed un aumento di pressione. La differenzadi velocit che cos si crea comporta un gradiente di velocit e conseguentemente sforzi tangenzialiviscosi che tendono ad eliminare la differenza di velocit ed a riportare il campo di moto nellaconfigurazione iniziale indisturbata. La differenza di pressione, invece, tende a distorcere di pi lelinee di corrente perch masse fluide a maggior pressione e minor velocit si muovono conmovimento trasversale alla direzione del moto verso le zone in cui il fluido ha minor pressione edmaggior velocit. La differenza di velocit contribuisce ancora di pi al mescolamento perch lemasse fluide a minor velocit che arrivano nella zona di maggior velocit vengono acceleratecontribuendo a creare dei vortici. Se le forze viscose prevalgono su quelle inerziali legate allavelocit e quindi alla pressione si ristabilisce la configurazione del moto originario altrimenti si haun completo mescolamento dei filetti fluidi. All aumentare della velocit e, quindi, delle forzeinerziali e del numero di Reynolds gli squilibri di pressione diventano cos elevati che le forzeviscose non riescono ad impedire il completo mescolamento delle masse fluide ed il moto divieneturbolento.

6.2 Moto Turbolento

Non esiste una definizione completa per il moto turbolento. Una semplice che il moto turbolento un moto irregolare in cui le varie quantit variano casualmente in modo che si possano distinguernei valori medi. In figura 6.2 riportata la misura nel tempo della componente della velocit Vx nelladirezione x del moto, a regime uniforme, di un fluido in una condotta. Tale componente della

velocit Vx pu essere vista come somma di un valore medio xV e di uno fluttuante Vx tale che:

Vx = xV + Vx


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=T

0dtVx

T1

xV

_

v = 0y

_

vx

vxv y

t

yv'

v'x

t

essendo T un tempo caratteristico del moto che maggiore od uguale al tempo necessario affinchla media della fluttuazione Vx sia nulla. La formazione di vortici comporta scambi di quantit dimoto tra le masse fluide che si mescolano e, quindi, sforzi aggiuntivi che determinano un maggiorattrito rispetto ad un moto puramente viscoso in cui non si ha il mescolamento degli elementi fluidie quindi una maggior dissipazione di energia. L energia del fluido viene spesa per mantenere sia ilmoto nella direzione principale sia il moto dei vortici. Lo sforzo tangenziale agente su di unelemento fluido somma di quello dovuto agli scambi di quantit di moto con quello viscosoespresso con la relazione di Newton.

y

xV_

Si consideri il caso di un moto bidimensionale ed unidirezionale in cui si ha il profilo di velocit infigura 6.3 essendo x la direzione del moto, y la direzione in cui si ha un gradiente trasversale divelocit e z la direzione normale a quello del moto (piano del disegno) in cui il profilo di velocitrimane invariato. In questo caso si hanno xV 0, Vx 0, yV = 0 e Vy 0. La componente della

0dtVx'T1 T

0=


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velocit nella direzione y ha infatti solo il termine fluttuante poich il moto avviene nella direzionex.

Attraverso la superficie ideale elementare dA normale all asse y una massa del fluido della zonasottostante passa nella zona sovrastante grazie alla componente fluttuante di velocit Vy (figura6.4). Questa massa di fluido entra in contatto con le masse di fluido della zona sovrastante amaggior velocit venendone accelerata. Al tempo stesso le masse fluide della zona sovrastante concui si venuta in contatto vengono decelerate. La massa che attraversa dA nel tempo infinitesimo dt:

Vy dA dt

dA

V'y dAdt

Questa massa fluida dotata di una sua velocit nella direzione x e quindi di una componente dellaquantit di moto nella medesima direzione che viene accelerata dopo il contatto con le masse fluidesovrastanti, il che comporta un aumento della velocit e, conseguentemente, della quantit di motonella direzione x. L incremento di velocit pu essere inteso come una fluttuazione della stessa ed quindi pari al termine fluttuante Vx positivo. Ne consegue che l incremento di quantit di motonella direzione x uguale al prodotto tra la massa e la fluttuazione della velocit:

Vy dA dt Vx

L incremento di quantit di moto della massa fluida che ha attraversato dA nella direzione x lavariazione della stessa nel tempo dt. Sulla massa fluida che ha attraversato dA agisce, nelladirezione x, secondo la 4.20 una forza dF pari alla variazione di quantit di moto nell unit ditempo:

dF = Vy dA Vx


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Nel caso in cui la fluttuazione di velocit Vy fosse negativa (i.e. la massa fluida attraversa l areadA dall alto verso il basso) si avrebbe un decremento della componente nella direzione del motodella velocit (Vx negativo) e della quantit di moto. La forza dF agente sulla massa fluida dinatura tangenziale perch agisce nella direzione x ovvero parallelamente alla superficie elementaredA. Lo sforzo tangenziale per unit di superficie o tensione tangenziale che agisce sulla massafluida che ha attraversato dA, pertanto, :

= dF/dA = Vy Vx

Per il terzo principio della dinamica lo sforzo tangenziale per unit di superficie che viene esercitatosulle masse fluide dello strato sovrastante dA uguale ed opposto, ovvero:

= - Vy Vx (6.1)

Come precedentemente spiegato, nel moto turbolento la tensione tangenziale la risultante dellasomma degli sforzi viscosi e di quelli che si originano in seguito gli scambi di quantit di moto trale masse fluide che vengono a contatto:

= dy

xVd- Vy Vx (6.2)

Se si esegue la media nel tempo T di si ottiene lo sforzo tangenziale medio per unit di superficie:

Vx'Vy'dyVxd = (6.3)

Il primo termine a secondo membro della (6.3) legato tramite la viscosit alle propriet fisichedell acqua mentre il secondo dovuto alle propriet del campo di moto ed denominato sforzo diReynolds. Il termine viscoso trascurabile rispetto a quello dovuto al campo di moto turbolento ingran parte del campo di moto eccettuati gli strati fluidi prossimi ad una parete dove gli sforzi viscosi(vedi paragrafo seguente) tendono invece a prevalere.La conoscenza della relazione che esprime lo sforzo tangenziale in funzione della velocit media

xV consente di ottenere il profilo di velocit e quindi tramite integrazione dello stesso la velocit

media relativa allintera la verticale al moto. A tale scopo si introduce il modello di Prandtl per gli


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sforzi di Reynolds che consente di esprimere la quantit 'xV'yV in funzione delle caratteristiche di

velocit del moto medio.Si consideri la sovrapposizione di un vortice caratterizzato da una velocit u costante in modulocon un moto rettilineo uniforme di velocit u (figure 6.5a/b). Il primo pu essere inteso come unafluttuazione di velocit ed il secondo come il moto medio.

u'

dA

u'

dA

u u'

u'

y

+

y

u

u -du

Le superfici elementari di area dA vengono attraversate da masse fluide caratterizzate da velocit udando cos origine ad uno scambio di quantit di moto. Si prenda in considerazione il fluidocontenuto nella met superiore del campo di moto considerato (Fig. 6.6). Come spiegatoprecedentemente, a causa dello scambio di quantit di moto esso soggetto ad uno sforzotangenziale sulla sua superficie inferiore. La massa fluida scambiata in un tempo elementare dt

quella trasportata dal vortice attraverso ciascuna delle due superfici pari a: u dt dA. La massa

scambiata nell unit di tempo attraverso ognuna superficie dA quindi u dA.

u' dA u' dA


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Lo sforzo tangenziale S che si realizza in seguito allo scambio di quantit di moto dovuto al vortice facilmente determinabile isolando il volume di controllo illustrato in figura 6.6 solidale al motorettilineo uniforme di velocit u. Lo sforzo tangenziale S sulle superfici dA pari alla variazione diquantit di moto dovuta alle masse entranti ed uscenti.Le masse entranti ed uscenti, come spiegato prima, sono rispettivamente accelerate o decelerate di

u nella direzione del moto medio. Quella entrante comporta una variazione di quantit di moto - u dA u del fluido presente nel volume di controllo perch deve essere accelerata di u mentre la

massa uscente che deve essere decelerata comporta una variazione di quantit di moto - u dA u

perch essendo decelerata cede u dA u al volume sottostante e che quindi sottratto a quello

sovrastante:

S = u dA u u dA u

Lo sforzo tangenziale per unit di superficie quindi:

= S/ (2 dA) = 2 u dA u/ 2 dA = u2

Il termine u nel moto combinato rappresenta la variazione di u lungo la distanza y (met dellestensione del vortice), ovvero assumendo che il gradiente di velocit si mantenga costante lungoy si pu scrivere u = y (du/dy) e conseguentemente lo sforzo tangenziale per unit di superficiediviene:

2

dyduy

= (6.4)

Nel caso si fosse assunto come volume di controllo la met inferiore del campo di moto si sarebbe

ottenuto un valore della tensione tangenziale uguale ed opposto a quello dato dalla relazione 6.4.

Ne consegue che possibile legare il segno dello sforzo tangenziale a quello del gradiente divelocit e scrivere:

dydu

dyduy 2= (6.5)

La distanza y rappresenta il percorso verticale che deve fare una particella fluida affinch la sua

velocit vari di u nella direzione del moto medio. Assumendo come moto medio il moto rettilineo


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uniforme (i.e. xVu = ) e che le fluttuazioni di velocit siano esemplificate dal vortice (i.e. u =Vx) dal confronto dei secondi membri delle 6.3 e 6.5, trascurando il contributo viscoso, si ha:

'xV'yV = l2dy

xVddy

xVd (6.6)

essendo l (y) la lunghezza di libero mescolamento ovvero il percorso che un elemento fluido devecompiere perch la differenza tra le velocit medie dei livelli di destinazione ed arrivo sia pari allafluttuazione di velocit Vx.Trascurando il termine viscoso la tensione tangenziale media quindi secondo Prandtl:

= l2dy

xVddy

xVd (6.7)

La turbolenza pu essere distinta in turbolenza di parete e turbolenza libera. La prima laturbolenza che si realizza in presenza di una parete che rallenta il moto dello strato fluido a contattoe che spiegata in maggior dettaglio nel paragrafo seguente. La seconda quella originata da duecorrenti di velocit diversa che vengono in contatto tra loro come illustrato in figura 6.7.

Nel caso di turbolenza di parete Prandtl e Von Karman ipotizzano:

l = k y (6.8)

con k costante universale (valida per qualsiasi moto turbolento originato dalla presenza di unaparete) il cui valore determinato sperimentalmente 0.41.Sostituendo la (6.8) nella (6.5) ed eliminando il valore assoluto si ha:

= k2y22

dyxVd

(6.9)


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da cui segue:

/ = k2y22

dyxVd

(6.10)

Definita la velocit di attrito:

u* =

la 6.10, estraendo la radice quadrata da entrambi i membri, diventa:

u* = ky dyxVd

che esplicitando dVx a primo membro permette:

ydy

ku

xVd *= (6.11)

La quantit ( /)1/2 dimensionalmente una velocit ed chiamata velocit di attrito per l utilizzodella tensione tangenziale nell ipotesi che si mantenga costante e pari al valore alla parete O .

Integrando ambo i membri della 6.11 si ottiene:

che dividendo ambo i membri per u* diviene:

*u

xV= yln

k1

+ costante (6.12)

La legge logaritmica espressa dalla 6.12 denominata legge universale di distribuzione dellavelocit. In un moto la cui turbolenza originata dalla parete il profilo di velocit segue la 6.12. Inrealt tale profilo valido solo in una determinata zona denominata sottostrato inerziale che siestende per circa 20% della profondit a partire dal fondo. Negli strati fluidi a contatto con la parete(ed immediatamente inferiori allo sottostrato inerziale) prevalgono gli sforzi viscosi e ladistribuzione di velocit tende ad essere lineare, mentre al di sopra del sottostrato inerziale segue

costanteylnku

xV * +=


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un'altra legge perch lo sforzo tangenziale medio non rimane costante ed uguale a quello alla parete

O . Al di fuori di tale zona il modello di Prandtl-Von Karman diventa approssimato ed il profilo di

velocit pur non seguendo una legge logaritmica le si avvicina molto, rimanendo ancora valido perle applicazioni ingegneristiche.

6.3 Strato limite

Si consideri un moto confinato da una parete: una corrente in regime turbolento con velocituniforme VO che investe una piastra (figura 6.8). Lo strato di fluido ad immediato contatto con lapiastra deve essere anch esso in quiete e quindi tende a rallentare gli strati fluidi sovrastanti.Questo rallentamento si propaga sia nella direzione del moto che in quella trasversale allo stessofinch in condizioni di regime si crea uno strato di fluido a contatto con la piastra di spessore

caratterizzato da valori di velocit V inferiori a VO mentre esternamente a tale strato il restantefluido si muove in condizioni indisturbate, ovvero con moto rettilineo uniforme di velocit VO. Lazona di fluido in cui si ha il rallentamento denominata strato limite. Nello strato adiacente allapiastra il regime di moto laminare se le forze viscose predominano su quelle inerziali, turbolentose predominano le forze inerziali su quelle viscose. Il passaggio del moto da laminare e turbolentodipende dal numero di Reynolds Re rapporto tra le forze inerziali e quelle viscose. Per il caso della

piastra piana il moto diviene turbolento per Re = VO LX/ = 3.5 105 essendo LX la distanza dal

bordo di attacco della piastra (figura 6.8). A parit di altre condizioni, pi elevato il valore dellavelocit VO della corrente indisturbata pi elevato il numero di Reynolds e pi diventa piccola ladistanza LX per cui il regime di moto diviene turbolento.

zona di transizione

v

v0v

turbolento

v

x

laminaresottostrato

bordo dellostrato limite

l

v0

Lxbordo d'attacco

della piastra

laminare

v0

y

0v

In regime di moto turbolento, immediatamente a contatto con la piastra, si pu avere la presenza diun sottile strato in cui il moto dominato dalle forze viscose denominato sottostrato limite laminare


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di spessore . Questo sottile strato laminare si mantiene fin quando le forze viscose al suo internopredominano su quelle inerziali. A parit di altre condizioni pi elevata la velocit VO e quindi ilnumero di Reynolds, pi elevato il gradiente di velocit vicino alla piastra per cui si hanno valoridi velocit nella zona a stretto contatto con la piastra maggiori e tali che le forze inerzialipredominano su quelle viscose con conseguente soppressione del sottostrato limite laminare epresenza di un moto turbolento in tutto lo strato limite. L aumento del numero di Reynoldsdiminuisce lo spessore dello strato limite perch la zona caratterizzata da elevati gradiente divelocit (in prossimit del fondo) si estende diminuendo la sua distanza dalla parete. A parit dinumero di Reynolds la presenza o meno del sottostrato limite laminare influenzato dalla naturadella superficie della piastra. Se la superficie rugosa in corrispondenza dei picchi la velocitaumenta e si possono inoltre creare dei disturbi per la presenza di correnti di ricircolo perch lostrato fluido potrebbe non rimanere aderente alla superficie causa la maggior velocit e si ha quindiun maggior valore delle forze inerziali rispetto al caso di superficie meno rugosa per stesso numerodi Reynolds della corrente di velocit VO che investe la piastra.A basse velocit medie caratterizzate da bassi gradienti di velocit la scabrezza della parete haminore influenza sul regime di moto perch la variazione di velocit tra il colmo ed il cavo delleasperit non comporta un elevato aumento delle forze inerziali e nel sottostrato il regime rimanelaminare e non si hanno inoltre fenomeni di separazione dello strato limite a valle del colmo dellasperit perch essendo le velocit ed il gradiente di velocit non elevato si ha una minordissipazione di energia per cui lo strato riesce a rimanere aderente alla asperit della parete. Laumento della velocit media comporta un aumento della variazione di velocit tra colmo e cavodelle asperit tale che le forze inerziali sono in grado di innescare un moto turbolento nel sottostratolimite laminare oltre a innescare fenomeni di separazione dello strato limite a valle delle asperitdella parete che contribuiscono appunto a distruggere il sottostrato limite laminare.La propriet della parete con cui se ne qualifica la rugosit la scabrezza, ovvero una dimensionerappresentativa della rugosit. La presenza del sottostrato limite laminare dipende dal valore delnumero di Reynolds e dalla scabrezza della superficie.Nel moto turbolento, possibile distinguere in funzione della presenza del sottostrato laminare, tretipi di regime:

regime di parete liscia esistenza di un sottostrato laminare stabile

regime di parete scabra il sottostrato limite laminare non presente


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regime di transizione il sottostrato limite laminare instabile

6.4 Separazione dello strato limite

Si consideri una corrente di velocit uniforme VO che investe una sfera. Nel caso di fluido idealepresa la linea di corrente a contatto con la sfera o con il profilo alare (figure 6.9a/b/c) la velocit minima in A (punto di ristagno anteriore), massima in B causa l addensamento delle linee dicorrente e di nuovo minima in C (punto di ristagno posteriore). La distribuzione di pressione ha unandamento opposto a quello delle velocit valendo il teorema di Bernoulli (il moto in regimepermanente).

AB

C

V0

decelerazione

corrente liberavelocit della

corrente liberavelocit della

accelerazionedecelerazione

nullavelocit

velocit massima

nullavelocit

accelerazioneB

CA

Data la simmetria delle linee di corrente la risultante delle forze di pressione agenti sul corpo nulla. D altra parte, dato il carattere ideale del fluido le forze tangenziali sono nulle. Ne consegueche la forza che la corrente esercita sulla sfera nulla (paradosso di DAlambert). Nella realt acontatto con la sfera si forma uno strato limite all interno del quale si ha una dissipazione dienergia (figura 6.10).


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V0

B

A C

D

Rispetto al caso di fluido ideale la particella fluida arriva in B con la stessa velocit ma con unapressione minore a causa della dissipazione di energia. La dissipazione di energia inoltre fa si chenella trasformazione di energia cinetica in energia di pressione che avviene tra B e C, esista undeficit per cui non solo la particella fluida non riesce ad arrivare in C con la stessa pressione cheaveva in A ma la velocit diventa nulla nel punto D antecedente al punto di ristagno posteriore C.L energia cinetica in parte si trasforma in energia di pressione ed in parte compensa la dissipazionedi energia.Nel caso di fluido ideale si ha l uguaglianza delle energie (EA ed EB) nei punti A ed B:

EA = EB (6.13)

Indicato con pA ed pBi il valore della pressione nei punti A ed B, ed VB il valore della velocit in Bed assumendo orizzontale la sezione della sfera di figura 6.10 (i punti A, B e C hanno uguale quotageodetica), l eq. 6.13 diventa:

pp

-V2g1

pV

2g1

p

p iBA2

BA2

B

iBA +=+= (6.14)

I due ultimi termini che compaiono a terzo membro della 6.14 sono uguali ed opposti: nel passareda B a C, dove pC = pA, l energia cinetica VB2/2g si trasforma in energia di pressione, essendo l

entit della trasformazione pari a (pA- pBi)/. Nel punto D, intermedio tra B e C, l energia simantiene sempre costante per cui:

D

iDA2

DAA

iB2

BA

B Ep-p

-V2g1

p

ppV

2g1

pE =+=++= (6.15)

Nel passare da B a D, essendo VB > VD, parte dell energia cinetica VB2/2g si trasformata in

energia di pressione (pDi- pBi)/.Nel caso di fluido reale, nel passaggio da A a B, si ha una dissipazione di energia EAB = (pBi pB)/, essendo pB la pressione nel caso di fluido reale. Per la conservazione dell energia si ha:


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EA = EB + EAB (6.16)

Consegue che l energia in B :

pp

-V2g1

p

pp

pp

-V2g1

pE

pp

-V2g1

pE BA2BAB

iB

iBA2

BA

AB

iBA2

BA

B

+=

+=

+=

(6.17)L energia nel punto D, nel caso di fluido reale risulta:

p

pp

p

pp

pp

-V2g1

p

EEE DDAADiDBA2

BA

BDBD =

=

+== (6.18)

Rispetto alla 6.15, nel passare da B a D, l energia cinetica VB2/2g non solo si trasforma in energiadi pressione pDi, ma deve anche compensare le perdite di energia pDi pD (rispetto al caso di fluidoideale si ha una velocit di trasformazione superiore per cui il termine cinetico si esaurisceprima). Ci fa si che il trasformarsi di energia cinetica in energia di pressione si esaurisca nel puntoD antecedente il punto di ristagno posteriore per l annullarsi della velocit. Il punto D tende tantopi ad allontanarsi da C e, quindi, ad avvicinarsi a B quanto maggiori sono le perdite di energia,ovvero quanto maggiore il gradiente di pressione nella direzione del moto.

C

0V

B DB D

C

V0

Inoltre, la dissipazione di energia nel tratto BD amplificata dall aumento della pressione che si hanella corrente esterna allo strato limite che non bilanciata a causa del deficit di pressione schiacciaquesti contro la superficie della sfera aumentando il gradiente di velocit in prossimit della parete(si restringe lo spessore dello strato limite) e quindi l attrito. Non potendosi avere velocit negativalo strato limite si distacca dalla superficie. A causa della bassa pressione che caratterizza lo stratolimite in tale zona si ha un richiamo di fluido che crea una corrente di ricircolo tra la sfera e lo stratolimite distaccatosi. Il punto di distacco dello strato limite, a parit del numero di Reynolds dellacorrente e della scabrezza della superficie del corpo, dipende dalla forma di questi. Pi allungata(figura 6.11a) pi il punto di distacco si avvicina al punto di ristagno posteriore C, pi il profilo tozzo (figura 6.11b) pi il punto di distacco si avvicina al punto di massima velocit B. Questoperch le variazioni di pressione e di velocit per il moto esterno allo strato limite a valle del punto


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B sono modeste per un corpo allungato ed elevate per un corpo di forma tozza. Un forte aumentodella pressione del moto esterno tipico di un corpo di profilo tozzo come nel secondo caso,comporta lo schiacciamento dello strato limite con conseguente incremento del gradiente di velocitin prossimit della parete e quindi un aumento della dissipazione di energia. Ne consegue unmaggior deficit nella trasformazione da energia cinetica in energia di pressione (l energia dipressione deve essere continuamente rifornita a spese di quella cinetica) che, quindi, si esaurisce inun tratto molto breve a valle del punto di massima velocit B.Nella zona a contatto con il corpo, a valle del punto di distacco dello strato limite, si crea un moto diricircolo caratterizzato dalla possibile presenza di vortici con una pressione minore rispetto a quellache si avrebbe nel caso di fluido ideale.Il corpo quindi soggetto oltre che all attrito dovuto al contatto con lo strato limite anche ad unosquilibrio di pressioni.Nel caso di fluido ideale non essendoci distacco dello strato limite la risultante delle forze dipressione sul corpo nulla.La forza che una corrente esercita sul corpo che investe viene scomposta in due componenti: unalongitudinale al moto, denominata forza di resistenza, ed una trasversale alla direzione del motodenominata forza di portanza.Entrambe sono dovute alle componenti longitudinale e perpendicolari al moto dell attrito e dellosquilibrio delle pressioni per distacco dello strato limite. La forza di resistenza, a parit di altrecondizioni, aumenta per corpi di forma tozza per cui lo strato limite si distacca nei pressi del puntoB con formazione di una corrente di ricircolo che occupa una parte non trascurabile del campo dimoto ed , al contrario, diminuisce per corpi di forma affusolata per cui lo strato limite si distacca neipressi del punto di ristagno posteriore C con formazione di una corrente di ricircolo che occupainvece una zona relativamente piccola del campo di moto. Lo squilibrio delle pressioni , quindi,maggiore nel primo caso.

Nel caso di corpo con forma simmetrica rispetto alla direzione indisturbata del moto la forza diportanza nulla in quanto le componenti normali al moto dell attrito e dello squilibrio di pressionesono uguali ed opposte. In realt, nella zona di distacco dello strato limite ci possono essereasimmetrie delle correnti di ricircolo a causa di un distacco alternato nel tempo dei vortici checomportano uno squilibrio di pressione asimmetrico nella direzione del moto per cui la forza agentein direzione normale al moto non nulla. Ad esempio, nel lato sottovento di una ciminiera si pucreare una zona di distacco alternato dei vortici per cui la ciminiera soggetta ad uno squilibrio dipressione che origina un agente in direzione normale alla direzione del vento e con verso variabileperiodicamente nel tempo. Tale forza pu avere gravi conseguenze sulla struttura qualora la sua


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frequenza uguagli la frequenza di oscillazione propria della struttura stessa per cui l oscillazionedella struttura si amplifica (fenomeno della risonanza) fino alla possibile rottura (figure 6.12 a,b).

0V V0

La forza di portanza aumenta quindi con i corpi asimmetrici rispetto alla direzione del moto. Sulla

zona sovrastante di un profilo alare simmetrico incidente con un angolo una corrente fluida (fig.6.13) le linee di corrente sono pi fitte che nella zona sottostante e di conseguenza la pressioneassume valori maggiori nella zona sottostante che in quella sovrastante per cui il profilo alare

soggetto ad una forza dovuta allo squilibrio di pressione la cui componente normale alla direzionedel moto diretta verso l alto. Inoltre in corrispondenza della superficie superiore si pu avere ildistacco dello strato limite incrementando lo squilibrio di pressione gi esistente.

FL F

FD

Lo squilibrio di pressione si accentua ancora di pi con un profilo alare asimmetrico (fig. 6.14).


130

FL

FD

F

La forza di resistenza viene in genere calcolata mediante la relazione seguente:

FD = 0.5 CD VO2 A (6.19)

con A proiezione su un piano normale alla direzione del moto della superficie investita ed CDcoefficiente di resistenza. Il coefficiente di resistenza, da determinare sperimentalmente, dipendedal numero di Reynolds della corrente che investe il corpo, dalla forma del corpo e dalla scabrezzadella superficie del corpo investita. Il valore assunto dal coefficiente di resistenza in funzione delnumero di Reynolds illustrato nella figura 6.15.Analogamente la forza di portanza viene stimata mediante la seguente relazione:

FL = 0.5 CL VO2 A (6.20)

con CL il coefficiente di portanza. Il coefficiente di portanza CL dipende anch esso dal numero diReynolds della corrente che investe il corpo, dalla forma del corpo e dalla scabrezza della superficiedel corpo investita.


131

10310102 8107106105104

disco

elissoidesfera

-1-21010

10-1

1

10

210

Cd

1 10 210 310 10Re

4 510 10 6

ogiva

elissoide

10 111010109

Le forze di resistenza idrodinamiche sono proporzionali tramite i coefficienti CD e CL dellenergia

cinetica 0.5 VO2 posseduta dalla corrente prima di investire il corpo perch le variazioni di

pressione attorno al corpo sono infatti dovute a variazioni di velocit che al massimo pari a VOoltre che allattrito.

capitolo6

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