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CINEMATICA

La cinematica riguarda lo studio delle grandezze fisiche che rappresentano il moto di un corpo.Il moto di un fluido pu essere studiato con due metodi.Il primo il metodo Lagrangiano in cui si studia il movimento delle singole particelle fluidedeterminando le coordinate dei punti che occupano nello spazio. Indicate con xo, yo, zo le coordinatecartesiane del punto P di inizio del moto della singola particella fluida, con riferimento alla figura3.1 si ha:

y

x

zP

x

z

y

x

y

z 00

0

x = f(xo,yo,zo,t)y = g(xo,yo,zo,t)z = h(xo,yo,zo,t)

Noti x, y ed z si determinano Vx = dx/dt, Vy = dy/dt, Vz = dx/dt, essendo t il tempo ed Vx, Vy e Vzle componenti del vettore velocit che quel vettore che ha come modulo il valore della velocit,punto di applicazione il punto dello spazio per cui passa la particella fluida ad un determinatoistante e direzione e verso quello della velocit della particella fluida.Il secondo il metodo Euleriano con cui si determinano le caratteristiche del moto (velocit,accelerazione etc etc) nei punti dello spazio che vengono attraversati dalle particelle fluide ad undato istante di tempo t:

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Vx = f(x,y,z,t)Vy = g(x,y,z,t)Vz = h(x,y,z,t)

3.1 Regimi di moto

Adottando l impostazione euleriana si ha tre condizioni possibili di moto:

1) moto vario in cui il vettore velocit, il cui modulo V, varia sia nello spazio che nel tempo:

0tV

e V = f(x,y,z,t)

2) moto permamente in cui il vettore velocit varia solo nello spazio:

0tV

=

e V = f(x,y,z)

3) moto uniforme in cui il vettore velocit costante nello spazio e nel tempo.

3.2 Campo di moto

Un efficace rappresentazione grafica del campo di moto di un fluido costituita dalle linee dicorrente (figura 3.2) definite come le linee tangenti al vettore velocit.

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Nel caso di moto vario queste linee cambiano istante per istante. Nel caso di moto permanente lelinee di corrente sono fisse nel tempo e costituiscono le traiettorie definite a loro volta come le lineeche uniscono i diversi punti occupati da una particella fluida che si muove nello spazio (la linea dicorrente fissa e tangente al vettore velocit in regime di moto permanente).Si consideri, ad un dato istante, all interno della massa fluida una curva chiusa e si traccino le lineedi corrente che passano per i punti di questa (figura 3.3). Lo spazio delimitato dal fascio delle lineedi corrente si chiama filamento fluido mentre la superficie laterale, ovvero l insieme di tutte lelinee di corrente, si chiama tubo di flusso. Il tubo di flusso ha la propriet che, nell istante in cuiviene considerato, la sua parete non viene attraversata dal fluido essendo per definizione costituitoda linee di corrente che sono tangenti al vettore velocit. Nel caso di moto vario il filamento fluidoed il tubo di flusso cambiano istante per istante mentre nel caso di moto permamente sono fissi.

3.3 Portata

Si definisce portata il volume di fluido che attraversa una superficie nell unit di tempo. Data larea elementare dA, della superficie di area A in figura 3.4, sufficientemente piccola per cui ilvalore della velocit sia ritenuto ivi costante, il volume elementare dVL che la attraversa nel tempoinfinitesimo dt per cui la superficie si possa ritenere invariata e la velocit costante :

dVL = Vn dA dt

con Vn componente normale della velocit alla superficie elementare dA.

AA

dA

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La componente tangenziale della velocit non contribuisce al volume entrante dovuto unicamente aquella normale (figura 3.5). Il volume VL che transita attraversa la superficie di area A la sommadi tutti i volumi che attraversano le aree elementari che costituiscono la superficie stessa:

VL = ( )dtdAVnA

VNV

dA

La portata Q , volume che transita attraverso A nell unit di tempo, quindi VL/dt:

Q = dAVndt

VLA= (3.1)

Si definisce velocit media:

Vm =AQ (3.2)

La velocit media Vm un vettore matematico che rappresenta il valore uniforme che deve avere lacomponente normale della velocit in corrispondenza della superficie A affinch si abbia lo stessovalore di portata Q corrispondente alla distribuzione reale di velocit.

3.4 Equazione di conservazione della massa o di continuit

Si consideri un tubo di flusso delimitato da due sezioni piane, trasversali al moto per cui Vn = V edistanti una quantit infinitesima ds per cui abbiano area uguale (figura 3.6). Nel tempo infinitesimodt, per cui si ritengano le masse entranti ed uscenti dal tubo di flusso costanti, la massa entrante :

Q dt

e la massa uscente :

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( Q + dss

Q)(

) dt

Qd t

ds

s( )dtdsQQ+

La differenza tra la massa entrante ed uscente dal tubo di flusso :

- dss

Q)(

dt (3.3)

ed uguale alla variazione della massa contenuta nel tubo di flusso nel tempo dt. All istanteiniziale t la massa presente nel tubo di flusso :

A ds

Al tempo t + dt il tubo di flusso cambiato e la massa in esso presente :

( A + dttA)(

) ds

La variazione di massa all interno del tubo di flusso nel tempo dt quindi :

dttA)(

ds (3.4)

La differenza tra la massa uscente e quella entrante dal tubo di flusso nel tempo dt uguale allavariazione della stessa contenuta nel tubo di flusso nel medesimo intervallo di tempo dt.Uguagliando la 3.3 e la 3.4 si ottiene:

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- dss

Q)(

dt = dttA)(

ds (3.5)

che semplificando diventa:

s

Q)(

+

tA)(

= 0 (3.6)

equazione di conservazione della massa o di continuit. Nel caso di fluido incomprimibile la densit

costante e la (3.6) diventa:

s

Q

+tA

= 0 (3.7)

Nel caso di moto permanente il termine dipendente dal tempo nullo ( tA/ = 0) e la (3.7) diventa:

s

Q

= 0 (3.8)

La (3.8) comporta la costanza della portata nella direzione del moto. Ad esempio la portata in unmoto di un fluido a regime permanente od uniforme in una tubazione costante.

3.5 Analisi cinematica in coordinate intrinseche

Lo studio del moto di un fluido pu essere affrontato come nel caso dell equazione di continuitcon un sistema di coordinate intrinseche solidale ai punti occupati dalle particelle fluide. Data lalinea di corrente in figura 3.7 si ha la seguente terna di riferimento:

O s

v correntelinea di

n

m

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asse s passante per il punto considerato e tangente alla linea di corrente ovvero alla velocit;asse n passante per il punto considerato, normale all asse s e passante per il centro di curvatura;asse m passante per il punto considerato e normale al piano individuato dagli assi precedenti s ed ncon verso tale da formare con gli assi precedenti una terna levogira;

Il centro di curvatura O di un tratto di linea di corrente il centro del cerchio di cui il tratto di lineadi corrente costituisce un arco (figura 3.8) e viene determinato dall intersezione delleperpendicolari alle tangenti degli estremi dell arco.

O

R

Il raggio di curvatura R il raggio del cerchio sopracitato. Il raggio di curvatura diminuisce allaumentare della curvatura della linea di corrente e viceversa aumenta al diminuire della curvaturatendendo ad un valore infinito per una curvatura nulla ovvero per una linea di corrente rettilinea(figura 3.9).

1RR2

R3

R < R < R1 2 3

Il vantaggio delle coordinate intrinseche che il vettore velocit ha sempre e solo componentelungo s. L accelerazione invece ha componenti aS lungo s , aN lungo n ed aM lungo m. Lacomponente dell accelerazione aN chiamata accelerazione centripeta. Nel presente studio sono diinteresse le componenti aS ed aN. La prima esprime la variazione del modulo del vettore velocitperch la coordinata s sempre parallela al vettore velocit e qualsiasi cambiamento riguarda solo ilmodulo di questi. La seconda esprime di conseguenza la variazione della direzione del vettore

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velocit nel piano (s,n). Il modulo V del vettore velocit funzione di s e del tempo t (poich lavelocit ha componente sempre e solo lungo s) ed il suo differenziale :

dV = dss

VdttV

+ (3.9)

Dividendo ambo i membri della (3.9) per dt e tenendo conto che V = ds/dt si ottiene:

aS = dtdV

=

s

VVtV

+ (3.10)

tenendo conto che:

s

V2Vs

VVs

VVs

VVs

V2

=

+

=

=

si ha:

s

V21

s

VV2

=

che sostituito nella (3.10) permette di esprimere aS nel seguente modo:

aS =s

V21

tV 2

+ (3.11)

12

d

r

dsV

V+dV

linea di

corren

te

V+dVV

V 12

dVn

d

s

sd

Per determinare aN si prenda in considerazione l arco di cerchio infinitesimo ds figura 3.10. Ilvettore velocit passando dalla posizione 1 alla posizione 2 cambia sia in modulo che in direzione.

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50

La variazione in modulo e direzione rappresentata dal vettore di modulo V12: la componentenormale di questi al vettore di modulo V+dV rappresenta la variazione di direzione del vettore dimodulo V mentre la componente tangenziale rappresenta la variazione in modulo del vettorevelocit. Indicata con dVn la componente normale per la geometria delle figure curve vale:

ds = r d

dVn = V d

esplicitando a primo membro d in entrambe le equazioni ed uguagliando i secondi membri si

ottiene:

dVn = V ds/r (3.12)

dividendo entrambi i membri per dt e ricordando che V = ds/dt la 3.11 diventa:

aN =r

Vdt

dVn 2= (3.13)

Dato il tratto di condotta in figura 3.11, nella sezione 1 si immette una portata Q in condizioni dimoto permanente.

1 1

22

3

3

4

4

La portata per l equazione di continuit (3.8) costante in tutta la tubazione. Le velocit medienelle sezioni 1 e 2 rimangono costanti in direzione perch il tratto di condotta rettilinea edintensit perch la portata e l area del tubo sono costanti (eq. 3.2). Ne consegue che aS = aN = 0.

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Tra la sezioni 2 e 3 la velocit media cambia direzione ma non intensit perch la portata e la

sezione della tubazione non cambiano. Ne consegue aS = 0 ed aN 0. tra le sezioni 3 ed 4 la velocit

media cambia in modulo ma non in direzione: aS 0 ed aN = 0. A rigore aS ed aN per come sono

state appena spiegate valgono per una velocit puntuale, cio relativa ad una linea di corrente, e nonper le velocit medie. Si introdotto l esempio anche se non del tutto rigoroso per migliorare lacomprensione dell utilizzo delle coordinate intrinseche nello studio del moto di una corrente fluida.Tra le sezioni 3 e 4 il tubo di flusso si restringe per cui le linee di corrente si avvicinano. Consegueche ad un aumento della velocit corrisponde un avvicinamento delle linee di corrente e per unadiminuzione di velocit il viceversa. Questo si pu meglio osservare in figura 3.12.