CAP06-Iproblemiinversinelmotopiano

I PROBLEMI INVERSI NEL MOTO PIANO

203

Capitolo 6


§ 1. - Impostazione del problema.

Si è già detto in precedenza che, in cinematica, quelli che vanno sotto il nome di "problemi inversi" (o problemi di sintesi) si prefiggono di trovare la risposta ad un quesito di carattere gene-rale, quello di individuare, "assegnata la legge del moto relativo fra i due membri mobili, quale può essere una coppia di profili coniugati atta a realizzare la legge voluta". Il primo passo da compiere per giungere alla soluzione di questo problema è quello della determinazione delle polari di quel moto relativo; esse in tal caso prenderanno il nome di primitive del moto. Il metodo per ottenere le due primitive è identico a quello descritto nel Cap. II, purché, ovviamente, si consideri come riferimento il piano (mobile) di uno dei due membri. Le primitive così trovate, poiché, di fatto, realizzano proprio la legge del moto cercata, costituiscono una particolare coppia di profili coniugati e potrebbero pure essere utilizzate come profili effettivi delle superfici di contatto fra i due membri (meccanismi a frizione); tuttavia, poiché le due linee presentano un contatto di puro rotolamento, ne conseguono condizioni dinamiche assai più restrittive: la trasmissione di potenza, infatti, risulta in pratica le-gata alle condizioni d’attrito esistenti fra punti di contatto, condi-zioni che devono garantire per un verso il rotolamento puro, e, per altro verso, l'indeformabilità locale delle superfici a contatto. Sod-disfare contemporaneamente ad entrambe le condizioni non è sempre possibile: in generale il risultato complessivo peggiora

CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

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man mano che cresce la potenza da trasmettere e quindi l’entità delle azioni che i due membri si scambiano. S’impone allora la necessità di determinare una coppia di ef-fettivi profili coniugati, legati alle primitive già trovate; e si pos-sono trovare infinite coppie di profili coniugati atti a realizzare la legge del moto relativo definita da quelle primitive: sotto oppor-tune limitazioni, si può, quindi, scegliere arbitrariamente uno dei due profili e determinare poi, in modo univoco, l'altro sulla base di quello prefissato e delle primitive precedentemente ricavate.

§ 2. - Tracciamento dei profili coniugati - Rolletta di un punto.

Partendo da una coppia di primitive pf e pm (polari fissa e mobile nel moto relativo), il caso più semplice da risolvere è quello di de-terminare la traiettoria di un prefissato punto P solidale al piano della pm (fig.1), e quindi alla pm stessa, nel rotolamento senza stri-sciamento di quest'ultima sulla pf. Tale traiettoria prende il nome di rolletta del punto P. La costruzione grafica, per punti, si basa su due considerazioni: la prima, che, durante il rotolamento, le due li-nee primitive presen-teranno la medesima normale nel punto di contatto corrente Ci; la seconda, che, qualun-que sia la posizione re-lativa della pm rispetto alla pf, ossia qualunque sia il punto di contatto Ci, la distanza del punto P da un generico punto C'i sulla pm non può variare in quan-to P è per ipotesi un punto solidale a questa linea e per il me-desimo motivo non può variare l'angolo, α'i, formato con la nor-male in C'i dalla congiungente PC'i. Ne segue che per ottenere la rolletta di P occorre anzitutto trovare sulla pf e sulla pm i successivi punti Ci e C'i che si corrispondono nel rotolamento senza strisciamento delle due primitive (archi u-

0i

i

i

i

i

i

i

f

m

f

Figura 1


205

guali) e le rispettive normali ni ed n'i; tracciare, poi, per ciascun punto C'i i segmenti PC'i (raggi vettori della rotolante) indivi-duando gli angoli α ' PC' n'i i i= ; riportare in Ci i segmenti PiCi ciascuno inclinato rispetto alla ni di un angolo α αi i i i iP C n '= = e in modo che le due figure risultino uguali e sovrapponibili senza uscire dal piano. La linea σf costituita dall'insieme dei punti Pi costituisce quindi la rolletta del punto P, ossia la traiettoria descritta da P nel rotola-mento della pm sulla pf , e le rette che congiungono ciascun punto della rolletta con il corrispondente punto Ci della pf sono ovvia-mente le normali alla traiettoria di P. Un caso particolare, ma di fondamentale importanza per quanto si vedrà in seguito, è quello in cui (fig.2) la primitiva fissa è costituita da una circonferenza e la primitiva mobile da una retta: il profilo coniugato σf da determinare è la traiet-toria descritta da un qual-siasi punto P appartenente alla retta, nel rotolamento senza strisciamento di que-st'ultima sulla circonferen-za. In questo caso, pren-dendo come riferimento la configurazione in cui il punto P si trovi sulla circonferenza (P0 ≡ C0), si può osservare che, per una qualsiasi configurazione succes-siva in cui per es. il punto C'i vada a coincidere con Ci, si ha che l'angolo P0∠CiC'i e l'angolo Ci∠P0Pi sono uguali essendo isoscele il triangolo OP0Ci; inoltre, poiché il punto P è solidale alla retta, è anche P0C'i = PiCi: si ha di conseguenza che è anche P0Pi = CiC'i. Per ottenere, quindi, il punto Pi basterà trovare l'intersezione fra due archi di circonferenza: uno di centro Ci e raggio pari alla distanza P0C'i, l'altro di centro P0 e raggio pari alla distanza CiC'i. La curva σf che si ottiene prende il nome di evolvente della circonferenza. Vale la pena di sottolineare che la tangente all'e-volvente in corrispondenza del punto P0 non può che risultare se-condo la radiale nello stesso punto; si comprende che, in quell'i-stante, il punto P coincide con il centro della rotazione istantanea

f

m

i

i

i

i

i

00

f

f

Figura 2


206

del moto relativo della retta rispetto alla circonferenza, C0, e la di-rezione della velocità di P, che deve sempre essere quella della normale alla direzione della retta, coincide con la normale alla primitiva fissa. In fig.3 sono mo-strate, per confronto, le rollette di due punti P1 e P2, ancora solidali alla retta ma non apparte-nenti ad essa: P1 è situato interna-mente alla circonferenza e dà luogo al profilo σ1; P2 è situato esterna-mente alla circonferenza e dà luogo al profilo σ2. Interessante è pure il problema opposto di quello ora considerato, ossia quello di de-terminare, assegnata una linea primitiva fissa, pf, ed la rolletta σf di un punto P, quale sia la primitiva mobile, pm, che la possa gene-rare nel rotolamento sulla pf. Ciò vuol di-re, determinare i punti C'i corrispondenti ai punti Ci della pf. In questo caso il trac-ciamento può essere fatto soltanto per pun-ti successivi, stabilen-do anzitutto la posi-zione di P sulla sua traiettoria nell'istante che si vuole rappre-sentare. Occorre poi ottenere che, da un canto, a ciascun arco Ci-Ci+1, sulla pf, corrisponda, sulla pm, un uguale arco C'iC'i+1; dall'al-tro che la distanza del punto P dal punto C'i+1 sia uguale ( P è so-lidale al piano mobile) alla distanza di Pi+1 di σf dal punto Ci+1. Risulta allora evidente che, condotte per due punti successivi di σf, Pi e Pi+1 le normali alla curva stessa fino ad incontrare la pf in Ci e in Ci+1, ciascun punto C'i+1 della pm sarà determinato dall’intersezione di un arco di cerchio di centro C'i, e raggio pari a

1

2

f

m

21

2i

1i

i

i

f

Figura 3

f

m

0

i

i

i

i+1

i+1

i+1

i

i+1

Figura 4


207

CiCi+1, con un arco di cerchio di centro P e raggio pari a Pi+1Ci+1. Si comprende da quanto visto che la soluzione di questo problema non è sempre possibile: è indispensabile che le normali alla rolletta data siano effettivamente tagliate dalla linea primitiva fissa.

§ 3. - Tracciamento dei profili coniugati per inviluppo.

Si definisce inviluppo di una linea mobile σm, o più in gene-rale di una sagoma, una linea fissa σf che, per ogni configurazione che viene assunta da σm durante il moto, risulti ad essa tangente in un suo punto. Le due linee σf e σm costituiscono quindi una coppia di profili coniugati (Cap.II - § 3), e per esse valgono le condizioni cinematiche già viste: in particolare, che la normale comune ai profili stessi nel punto di contatto passa per il centro della rota-zione istantanea di σm. Su queste condizioni si fonda il metodo di costru-zione di una coppia di profili coniugati quando, date le pri-mitive del moto, e assegnato un profilo coniugato mobile σm, che sia solidale alla polare mobile, questo generi per inviluppo il suo coniugato σf. Per il tracciamento, con il metodo dell'inviluppo, di un pro-filo σf coniugato ad un assegnato profilo mobile, σm, solidale alla pm (fig. 5) sarà necessario trovare le successive posizioni assunte dalla linea σm nel moto relativo di rotolamento delle due primiti-ve; per fare ciò basterà costruirsi le rollette di due punti qualsiasi, P1 e P2, e riportare quindi σm in una successiva posizione, P'1 e P'2; un qualsiasi P3 del contorno della sagoma mobile costituisce con i primi due un triangolo rigido ed è quindi possibile ricostrui-re i punti della sagoma stessa nella nuova posizione.

1

2

3

m

f

1

2

1

2

3

m

f

Figura 5


208

La linea σf cercata sarà quella tangente a σm nelle sue posizioni successive. Si comprende come il procedimento risulti estremamente com-plesso dal punto di vista dell’esecuzione. Molto più semplice risulta, tuttavia, se la linea σm è una li-nea di facile tracciamento come per es. una circonferenza (fig. 6). In tal caso è sufficiente tracciare la rolletta del centro della circon-ferenza stessa e ridisegnare quest'ultima nelle posizioni successi-ve. La genesi di profili coniugati con il metodo dell'inviluppo, pur non essendo, spesso, tra i metodi più convenienti allo scopo, riveste particolare importanza in quanto corrisponde, in campo tecnologico, all'effettivo procedimento di sagomatura di un pezzo secondo un profilo de-siderato. Se si pensa di far muovere, con una pre-fissata legge di moto relativo , lo sagoma di un corpo metallico (σm) entro una sostan-za di materiale tenero (la lama di un coltello che intaglia un foglio di carta), si comprende come questo, nel suo moto (di avanzamento), scaverà un secondo profilo (σf) che risul-terà come inviluppo delle successive posizioni assunte via via dal primo. Quando si ha a che fare con materiali resistenti lo spigolo di taglio dell'utensile (σm) dovrà essere provvisto anche di un moto di lavoro in direzione perpendicolare al piano di σf (seghetto al-ternativo che taglia una piastra).

§ 4. - Tracciamento dei profili con il metodo delle normali.

Il tracciamento di una coppia di profili coniugati con il me-todo delle normali è un procedimento più comodo del precedente metodo dell'inviluppo; è ancora un tracciamento per punti e si ba-sa ancora sulla proprietà che, nel punto di contatto fra i due profili σf e σm, la normale comune deve passare per il centro della rota-

f

0

m

0

0

m f

Figura 6


209

zione istantanea, ossia per il punto di contatto fra polare fissa e polare mobile. L'impostazione del problema (fig. 7) prevede, come nei casi precedenti, che siano note le due linee polari, pf e pm, in contatto nel punto C0, all'istante prescelto come quello corrispondente alla configurazione di riferimento, e che sia assegnato arbitrariamente il profilo mobile, σm, solidale alla pm; lo scopo, ancora quello di determinare il profilo fisso, σf, tale che risulti coniugato a σm. Per tale configurazione sulla normale ν'0, condotta da C0 alla σm, dovrà trovarsi il punto di contatto fra i due profili σf e σm: coinci-dono quindi il punto P'0 di σm ed il punto P0 di σf; contempora-neamente, ν'0 risulta sovrapposta alla normale ν0 condotta da C0 alla σf, così come risultano sovrapposte le normali n0 ed n'0 condotte per C0 rispettivamente alla pf e alla pm; d'altra parte, la distanza C0P'0 è un quantità che dipende solo dalla posizione relativa fra il profilo σm e la pm, posizione invariabile in quanto queste due linee sono solidali. Sulla base di queste considerazio-ni, la costruzione del generico punto Pi di σf coniugato del punto P'i di σm è immediata. Si individuano dapprima, sulle primitive i punti corrispondenti Ci e C'i tenendo conto che, in virtù del puro rotolamento deve essere:

( ) ( )arco C C arco C Cip

i pm f

0 0' =

Si tracciano poi le normali alle primitive ni ed n'i rispettivamente in Ci ed in C'i; da C'i si conduce la normale ν'i alla σm, indivi-duando nella loro intersezione il punto P'i. Indicando con αi l'angolo fra la n'i e la ν'i, si comprende che nel rotolamento della pm sulla pf, quando C'i≡Ci, anche n'i≡ni; e deve pure essere νi≡ν'i: pertanto l'angolo αi è lo stesso angolo che deve formare la νi con la ni. Può essere quindi costruita la νi,e su di essa può essere individuato il punto Pi cercato, tenendo conto che deve ancora essere C P C Pi i i i= ' ' . Ripetendo la costruzione per configurazioni successive e

m

f

m

0

0

0

0

ii

i

i

i

i

i i i

if

Figura 7


210

sufficientemente vicine fra loro, e tracciando la linea che congiun-ge i diversi punti Pi trovati, si ottiene il profilo σf coniugato di σm. Come si vede la costruzione è dello stesso tipo di quella uti-lizzata per la costruzione della rolletta di un punto: la differenza sta nel fatto che il punto di cui si opera il trasporto (P'i) varia di volta in volta così come impone il variare delle ν'i. Emerge anche che c'è una limitazione nella scelta iniziale del profilo σm: è necessario, infatti, che esso sia tale che le normali ν'i condotte dai suoi punti intersechino la pm; diversamente il pro-blema non ammette soluzione. Dall'esame della fig. 7 si può pure rilevare la differente lun-ghezza fra due archi corrispondenti dei profili coniugati σf e σm:

( ) ( )arco P P arco P Pi i i if m

+ +≠1 1σ σ

' '

Ciò mette in evidenza che il moto relativo fra le due linee è un moto di strisciamento e che quindi deve essere dσf≠dσm. Si definisce entità di strisciamento la differenza dσf-dσm, il cui valore dipenderà dalla for-ma dei profili e dalla loro posizione rispetto alle linee primitive. Se indichiamo (fig.8) con Ωf ed Ωm rispettiva-mente i centri di curvatura di σf e di σm all'istante in cui il contatto fra le primi-tive è in C, e con ω la ve-locità angolare nel moto relativo fra queste ultime, e se si considera che la nor-male comune ai profili co-niugati ν, che contiene P, deve sempre passare per il punto C, si potrà scrivere per la velocità con cui il generico punto di contatto P si sposta sulla σf:

( )ff P

dtd

Ω−∧= ωσ

(1)

avendo indicato con ω ' la velocità angolare della retta ν nel suo moto di centro Ωf.

m

f

m

f

f

m

f

m

f

m

Figura 8


211

Analogamente per la velocità con cui lo stesso punto P si sposta sulla σm dovrà essere:

( )mm P

dtd

Ω−∧= "ωσ (2)

avendo indicato con ω" la velocità angolare della retta ν nel suo moto di centro Ωm. D'altra parte, considerando che il punto Ωm appartiene contempo-raneamente sia alla retta ν sia al piano mobile di cui C è il centro delle velocità dovrà pure essere:

( ) ( )Cv mfmm−Ω∧=Ω−Ω∧=Ω ωω ' (3)

mentre per il punto Ωf, nel moto inverso:

( ) ( )Cv fmff−Ω∧−=Ω−Ω∧=Ω ωω '' (4)

Dalle (3) e (4) si può ricavare:

ω ω ω ω' ; ' ' ;=−

−=

−−

ΩΩ Ω

ΩΩ Ω

m

m f

f

m f

C C

che, sostituite nelle (1) e (2), danno:

( ) ( )( )d P dt

C Pdtf f

m f

m fσ ω ω= − =

− −

−' Ω

Ω Ω

Ω Ω (5)

e:

( ) ( )( )d P dt

C Pdtm m

f m

m fσ ω ω= − =

− −

−" Ω

Ω Ω

Ω Ω (6)

L'entità di strisciamento sarà allora:

( )( ) ( )( )d d

C P C Pdtf m

m f

m f

f m

m fσ σ ω− =

− −−

−− −

−

Ω ΩΩ Ω

Ω ΩΩ Ω

ovvero:

d dC P C P

dtf mm f f m

f mσ σ ω−

⋅ − ⋅

=

Ω Ω Ω ΩΩ Ω

(7)

Si può ora osservare che nella differenza a numeratore che com-pare nella (7) si può porre:


212

Ω Ω Ω Ωf f m mP CP C P CP C= − = −; ; e

per cui il numeratore stesso si può scrivere:

( ) ( )( )

C CP C C CP C

C CP C CP CP C C

CP

m f f m

m f m f

f m

Ω Ω Ω Ω

Ω Ω Ω Ω

Ω Ω

− − − =

= ⋅ − ⋅ = − =

= ⋅

La (7) allora equivale a: d d

dtCPf mσ σ

ω−

⋅=

che è, proprio come deve risultare, la velocità di strisciamento fra i due profili:

( )CPv rP −∧= ω)(

Poiché i segmenti che compaiono nelle precedenti espressioni so-no da prendersi ciascuno con il proprio segno può accadere, a se-conda delle circostanze, che i segni di dσf e di dσm siano discordi e pertanto il valore della entità di strisciamento risulta dalla som-ma dei due archi.

§ 5. - Tracciamento dei profili con il metodo dell’epiciclo.

Il tracciamento di profili coniugati con il metodo dell’epiciclo è quello che consente il tracciamento di σf e di σm in modo simulta-neo e indipendente, ossia senza che sia necessario prefissare uno dei due profili coniugati. Il metodo risulta così estremamente conveniente in quanto, per una coppia qualsiasi di primitive rispondenti ad una stessa legge di trasmissione del moto, i due profili che si ottengono, adottando il medesimo epiciclo, sono si-curamente coniugati fra loro quando queste si accoppiano; con il vantaggio quindi di poter avere una serie di profili tutti accoppia-bili fra loro.


213

L'epiciclo è una linea, ε, che si fa rotolare senza strisciare una volta sulla pf ed una volta sulla pm, ricavando, con uno dei metodi precedentemente descritti, (rolletta di un punto di ε o invi-luppo delle sue suc-cessive posizioni) rispettivamente una σf ed una σm, linee che risultano essere una coppia di profili coniugati nel rotolamento della pm sulla pf. Con queste premesse, appare chiaro che risultano immedia-tamente applicabili allo scopo gli stessi metodi precedentemente descritti: si potranno ottenere cioè σf e σm, o come rollette di un punto solidale ad ε (fig. 9) nel rotolamento sulla pf e sulla pm ri-spettivamente, oppure come linee inviluppo delle successive posi-zioni di una linea l solidale ad ε nei medesimi moti di rotolamen-to, utilizzando anche, eventualmente, il metodo delle normali (fig. 10). Ai fini della validità di tale metodo di tracciamento si può osservare, facendo riferimento alla fig. 9, che per il rotolamento della ε sulla pf e sulla pm, deve essere:

( ) ( ) ( )arco C E arco C C arco C Ci i i0 0 0= = '

e quindi, nel rotolamento della pf sulla pm, se Ci≡C'i → Ci+1≡C'i+1. Inoltre, per costruzione, è:

E P C P C Pi i i i i0 = = ' '

ed anche:

P E PC n P C ni i i i i i i i i0 ' ' 'η ϕ= = =

che vuol dire che ∠ = ∠ν νi i i in n' ' . Si può allora concludere che quando C'i andrà a coincidere con Ci, n'i andrà a sovrapporsi ad ni, P'i andrà a coincidere con Pi, e ν'i andrà a sovrapporsi ad νi: i due profili σf e σm avendo quindi in comune un punto, e la normale (o la tangente) in quel punto sono

f

m

0i

i

i+1

i+1i

i+1

0

ii

i

i

i

i

m

f

mi

i

ii

Figura 9


214

sicuramente coniugati. Le medesime considerazioni possono essere ripetute sulla base della fig. 10, sostituendo al punto tracciatore P, il punto della l da cui è stata condotta la normale all'epiciclo. Si può dedurre, inol-tre, una interessante proprietà: poiché, nel rotolamento del-la ε sulla pf, la linea l e la σf sono fra lo-ro coniugate così come sono pure co-niugate la l e la σm nel rotolamento del-la ε sulla pm, ne de-riva che se due pro-fili (come σf e σm) solidali alle rispetti-ve primitive sono coniugati ad un terzo (come la linea l) allora sono pure coniugati fra loro.

§ 6. - Interferenza.

I metodi esposti nei paragrafi precedenti consentono certa-mente la costruzione di una coppia di linee che rispondono alle condizioni geometrico-cinematiche necessarie per essere una cop-pia di profili coniugati; ciò tuttavia non garantisce ancora che essa possa essere automaticamente adottata per costituire i profili effet-tivi di una coppia cinematica. Perché essi possano essere veramente tali occorre ancora che sia evitato il fenomeno della interferenza, ossia quella situazione per cui i membri a contatto presentano il pieno dalla stessa parte: si avrebbe compenetrazione di materia e ciò è impossibile. Ciò accade se, nella loro estensione, i due profili si interse-cano: ossia se, pur avendo nel punto di contatto una tangente co-mune (contatto del 1° ordine), le parti dei profili più lontane da questo vengono ad intersecarsi; oppure ancora se, nel punto di tangenza, i due profili hanno contemporaneamente la stessa tan-

f

m

i+1

i

0

0

i

i

i+1

i+1

ii

i+1i+1

i

i+1

00

m

f

Figura 10


215

gente e la stessa curvatura (contatto del 2° ordine). Nel primo ca-so, circostanza abbastanza frequente, si potrà evitare l’interferenza limitando l’estensione dei profili effettivamente utilizzati per co-stituire la sagoma della coppia cinematica.


216

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