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CAP. 6 - CONDUZIONE ELETTRONICA NEI SOLIDI. Teoria di Drude per la conduzione nei metalli. Tre anni dopo la scoperta dell'elettrone, Drude costruì la sua teoria della conduzione elettrica e termica dei metalli, considerando l'insieme degli elettroni come un gas al quale applicò le leggi della teoria cinetica dei gas perfetti. Un metallo deve essere considerato come costituito da un gas di particelle cariche negativamente e uno di particelle cariche positivamente; Drude assunse che queste ultime particelle fossero praticamente ferme e che il gas di particelle negative fosse costituito dai soli elettroni di conduzione e non da quelli di core. Tipicamente la densità di elettroni è 1022 cm-3, una densità molto maggiore di quella dei gas ai quali si applica la teoria cinetica. Inoltre, vi sono le seguenti assunzioni fondamentali: 1) tra un urto e il successivo, l'interazione e-e ed e-ione è trascurabile, per cui senza campi esterni gli elettroni si muovono in linea retta tra un urto e il successivo e se vi sono campi esterni il loro moto è governato dalla II legge della dinamica. L'ipotesi di interazione trascurabile e-e è nota come 'approssimazione di elettrone indipendente' e quella riguardante l'elettrone - ione di 'approssimazione di elettrone libero'. 2) Gli urti che cambiano le velocità degli elettroni sono quelli con gli ioni (quelli tra elettroni non sono importanti). 3) La probabilità che un elettrone subisca un urto nell'intervallo di tempo dt è dt/τ, τ essendo il tempo di rilassamento ovvero il tempo medio che intercorre tra un urto e il successivo. 4) La velocità con cui un elettrone emerge da una collisione dipende dalla temperatura locale e non dipende dalla velocità prima dell'urto. r La densità di corrente j = −en

r v dove

r v è la velocità elettronica media che è

nulla in assenza di campi esterni. In presenza di un campo elettrico r E , sia

r v o la

velocità di un elettrone subito dopo un urto: all'istante t,

r v =

r v o +

r a t =

r v o +

−er E

m⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ t . Essendo la direzione di emergenza, casuale

, r v o = 0 per cui

r v = −

er E

mt = −

er E τm

e quindi

r j =

e 2 nτm

r E = σ

r E

V.AUGELLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 – Conduzione elettronica nei solidi 1

essendo σ la conducibilità elettrica. Tipicamente, a R.T., τ ≈10−14 ÷ 10 −15 s.

Assumendo 12

mv o2 =

32

kT si trova v o ≈ 10 7 cm/s, e quindi il libero cammino

medio l = v oτ = 1 ÷10 Å. Vogliamo ora calcolare l'impulso medio per elettrone all'istante t+dt, noto quello all'istante t. La probabilità che un elettrone non collida dopo un tempo dt è 1- dt/ τ e se vi sono forze esterne l'impulso aumenterà di

r f (t )dt ; il contributo di

tutti gli elettroni che non urtano nell'intervallo dt all'impulso per elettrone sarà il prodotto della frazione (1 - dt / τ ) per il loro impulso medio per elettrone:

r p ( t + dt ) = (1 - dt / τ)

r p ( t ) +

r f ( t ) dt[ ]=

=

r p (t ) −

dtτ

r p (t ) +

r f ( t)dt + O(dt)2

Il contributo all'impulso per elettrone degli elettroni che urtano (con probabilità dt/) è del II ordine (dt/τ ) e quindi possiamo scrivere considerando il contributo di tutti gli elettroni:

r f (t )dt

r p (t + dt) -

r p (t ) = −

dtτ

r p (t ) +

r f ( t)dt + O(dt)2

e passando al limite:

dr p (t )dt

= −r p ( t)

τ+

r f (t )

L'effetto degli urti è , pertanto, quello di introdurre un termine di smorzamento nell'equazione del moto dell'elettrone. Il modello di Drude può rendere conto, anche se solo in parte, del valore del coefficiente Hall e della magnetoresistenza. Applichiamolo al calcolo del coefficiente Hall.

+++++++++++++++++++++++++++++

-----------------------------

B

jEEx

xy

x

z y

vx

-e v B

Bx

La forza agente su ciascun elettrone è:

r f = -e(

r E +

r v ×

r B ); essendo la velocità

degli elettroni diversa, tale forza deve essere intesa come forza media. L'equazione del moto è:


dr p (t )dt

= −er E +

r p m

×r B

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ −

r p τ

In condizioni stazionarie, posto ω c =eBm

ed essendo

r j = −en

r p m

, si ottiene:

σ o E x = ω c τ jy + jx σ oE y = −ω c τ jx + jy

con σ o =ne2 τ

m. Posto =0, la tensione Hall è: Ejy y = −

ω cτσo

jx = −Bne

jx ;

il coefficiente Hall è: R =E y

Bjx

= −1ne

e permette di calcolare n in un metallo.

In realtà R dipende da B, T e da come è preparato il campione. La teoria di Drude non riesce a spiegare valori positivi di R, corrispondenti a cariche elettriche positive. Essendo ω c la frequenza di rivoluzione di un elettrone libero in un campo magnetico, ω c τ piccolo significa che gli elettroni descrivono un piccolo arco di

circonferenza prima di urtare nuovamente, mentre ω c τ grande significa che gli elettroni descrivono più rivoluzioni prima di urtare nuovamente. Calcolo della conducibilità a.c. col modello di Drude. Calcoliamo la corrente indotta in un metallo da un campo elettrico variabile

r E (t ) = Re(

r E (ω )e −iωt ) . L'equazione del moto è:

dr p (t )dt

= −r p ( t)

τ −er E (1)

Cerchiamo soluzioni stazionarie della forma: r p (t ) = Re

r p (ω )e − iωt[ ].

Sostituendo nella (1) si ha:

r p (ω ) =

er E (ω )

iω −1τ

e quindi:

r j (ω ) = −

nem

r p (ω ) = σ (ω )

r E (ω )

dove σ (ω ) è la conducibilità elettrica a.c., dipendente dalla frequenza:

σ (ω ) =ne2 / m1τ

− iω=

σdc

1 − iωτ.

Applichiamo questo risultato alla propagazione della radiazione e.m. in un metallo. Il risultato che abbiamo ottenuto non tiene conto del fatto che

r E ha associato


un campo per cui nell'equazione (1) dovremmo considerare un termine r B

−er v ×

r B , ma essendo B=E/c, tale termine è v/c più piccolo di quello dovuto ad E

e quindi è trascurabile (v=j/ne≈ 10-1 cm/s, v/c≈ 10-9). Inoltre r E è funzione

anche di r

per cui la forza, in realtà dipende dal punto; per lunghezze d'onda della radiazione molto maggiore del libero cammino medio, E si può assumere costante. Pertanto, usando le equazioni di Maxwell e ricercando soluzioni dipendenti dal tempo del tipo

r

r

E =r E oe−iωt , si ha:

r ∇ ×

r E = −

∂r Β

∂ t ⇒

(µ o

r j + ε o µ o

∂r E

∂t) =

r ∇ × (

r ∇ ×

r E ) = −∇ 2

r E = −

∂∂t

r ∇ ×

r B = −

∂∂t

= −

∂∂t

(µ o σr E +

1c 2

∂r E

∂t) =

iωc

σε oc

r E −

iωc

r E

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

ω 2

c2 1+iσ

ε oω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

r E (2)

Definiamo la costante dielettrica complessa:

ε (ω ) = 1 +iσ (ω )ε oω

Ad alte frequenze ωτ >> 1 e quindi:

σ (ω ) =σ o

1 − iωτ≅

σ o iωτ

ε(ω ) = 1 +

i2 σ o

ω 2 τε o

= 1−ω p

2

ω 2 , ω p2 =

σ o

τε o

=ne2

ε o m;

ω p è detta frequenza di plasma. Le soluzioni dell’equazione

Ec

Err

)(2

22 ωεω

=∇−

hanno, per ε reale e negativo (ω p > ω ), un decadimento esponenziale per cui la radiazione non si propaga; per ε positivo, la soluzione ha andamento oscillatorio e si propaga nel metallo (naturalmente per alte frequenze). La frequenza di

soglia alla quale il metallo diventa trasparente è νp =ω p

2π. L'accordo con i dati

sperimentali è molto buono per i metalli alcalini. Se si assume che la densità di carica possa avere un comportamento oscillatorio ρ( t ) = ρ(ω )e − iωt

, l'equazione di continuità è:

r ∇ ⋅

r j (ω ) = iωρ(ω );


per la legge di Gauss:

r ∇ ⋅

r E (ω ) =

ρ(ω )ε o

e quindi

iωρ (ω ) = σρ (ω )

ε o

⇒ ρ(ω )σ (ω )

ε o

− iω⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0 ⇒ 1 +

iσ (ω )ε oω

= 0 .

Ma abbiamo trovato che condizione affinchè l'onda si propaghi è: ω = ω p ; infatti, se a σ (ω ) sostituiamo σ o i / ωτ otteniamo ω 2 = σo / ε oτ = ω p

2 . Abbiamo trovato, quindi, che l'onda di densità di carica si propaga se ω ≥ ω p ; tale onda si chiama oscillazione di plasma ed è una oscillazione collettiva longitudinale di un gas elettronico. Il quanto di tale oscillazione è il plasmone. Conducibilità termica di un metallo. La legge sperimentale di Wiedemann- Franz stabilisce che il rapporto tra conducibilità termica ed elettrica k/σ è proporzionale alla temperatura T e il numero di Lorentz k/σ T è circa lo stesso per un gran numero di metalli. Drude assunse che la corrente termica fosse portata dagli elettroni di conduzione nei metalli. Stabilite le condizioni stazionarie in una barra metallica in cui esiste un gradiente di temperatura e un flusso di calore, definiamo la densità di corrente termica come un vettore parallelo al flusso di calore di modulo pari all'energia termica per unità di tempo e di area normale al flusso. Per la legge di

Fourier, r

è proporzionale al

r j q

j q r ∇ T :

r j q =-k

r ∇ T . Sebbene la velocità media degli

elettroni che arrivano in un punto può essere nulla, per l'assunzione 4 fatta all'inizio di questo capitolo, gli elettroni provenienti da una regione a temperatura più alta avranno una energia media maggiore di quelli provenienti da regioni a più bassa temperatura, per cui ci sarà un flusso netto verso la regione a temperatura più bassa. Supponiamo che il moto degli elettroni sia lungo l'asse x e che in un punto x metà elettroni provengono da regioni a più alta T e metà da regioni a più bassa T. Sia E (T) l'energia media per elettrone in un metallo in equilibrio alla temperatura T. Gli elettroni che giungono in x dalle regioni a più alta T hanno subìto l'ultimo urto, in media, in x-vτ, per cui avranno energia media E (T(x-vτ)) e la densità di corrente termica a loro dovuta sarà : E (T(x-vτ)) n/2 v , dove n è il numero di elettroni per unità di volume; gli elettroni provenienti da regioni a più basse T porteranno una densità di corrente termica pari a E (T(x+vτ)) n/2 (-v); pertanto:

r j q =n/2 v[E (T(x-vτ)) - E (T(x+vτ))]


T1>T2 T2

Sviluppando in serie di Taylor per vτ piccolo:

jq =n2

v E(T ( x)) − vτ∂E∂T

∂T∂x

− E(T (x )) − vτ∂E∂T

∂T∂x

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ = nv 2 τ −

∂E∂T

∂T∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

Nel caso tridimensionale: vx2 = vy

2 = vz2 =

v2

3

per cui:

r j q =

13

nv2τdEdT

( −r ∇ T ) .

Essendo E l'energia termica per elettrone, dEdT

è la capacità termica per

elettrone e se N è il numero di elettroni , NE=E è l'energia termica totale per

cui: n dEdT

= NV

dEdT

= 1V

dEdT

. Posto cv la capacità termica specifica, possiamo

scrivere:

r j q =

13

v2τcv (−r ∇ T ) = k (−

r ∇ T )

dove k =13

v2τcv =13

vlcv è la conducibilità termica.

Il rapporto kσ

=

13

v2τcv

ne2τm

=

23

12

mv2cv

ne 2 ,

assumendo 12

mv2 = 32

k B T e cv =32

nk B si ha:

kσ

= 32

k B

e⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

T

che è la legge di Wiedemann - Franz.

Il valore sperimentale di k

σT è circa il doppio del numero di Lorentz

32

k B

e⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

.

Nel modello che abbiamo sviluppato vi sono due errori che implicano un fattore 100 ciascuno, ma che si elidono: il primo è che il calore specifico elettronico è

circa 100 volte più piccolo di 32

nk B , il secondo è che v2 degli elettroni è

jt=E(T(x+vτ))(n/2)(-v) jt=E(T(x-vτ))(n/2)v

x+vτ x-vτ xX


circa 100 volte più grande. Infine, avendo assunto l'energia termica dipendente dal punto dell'urto in relazione alla temperatura del posto, ciò implicherebbe velocità maggiori dove la T è più alta, cioè avremmo dovuto assumere la velocità dipendente dalla posizione, ma ciò introduce un fattore dell'ordine dell'unità.

La teoria di Sommerfeld per la conduzione nei metalli. Sebbene il modello di Drude spieghi molti fatti sperimentali, esso fa predizioni errate, per esempio, circa il calore specifico elettronico. La teoria di Sommerfeld considera ancora un gas di elettroni liberi e indipendenti, ma ad esso applica la statistica di Fermi-Dirac

121exp

141)(

2

3

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kTmv

mvfµ

πh

r

invece di quella di Maxwell

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

kTmv

kTmnvf B 2

exp2

)(22/3

πr

;

inoltre, l'equazione del moto è quella di Schroedinger. Determiniamo le proprietà fondamentali di un gas di elettroni nello stato fondamentale, confinati in un volume cubico V. Supponiamo che il potenziale all'interno del cubo sia nullo e infinito all'esterno. Questa è la situazione assunta da Sommerfeld per gli elettroni liberi in un metallo.

x

y

z

L

L

L

Vin =0

O

Vout

I→


Nell'approssimazione di elettroni indipendenti, determiniamo i livelli energetici di un singolo elettrone e poi riempiamo questi livelli tenendo conto del principio di Pauli. L'equazione di Schroedinger per un elettrone libero è:

−

h2

2m∂ 2

∂x 2 +∂ 2

∂y 2 +∂ 2

∂z 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ψ (

r r ) = Eψ (

r r ) (3)

Se poniamo Ψ (x, y, z ) = X( x)Y (y )Z (z ) la (3) può essere separata in tre

equazioni; per la X(x) si avrà, per esempio:

d 2Xdx 2 +

2mh 2 Ex X = 0 .

La soluzione è: X (x ) =2L

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

1/2

sinnx πx

L⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ (4)

con autovalore E x =

h 2π 2

2mL2 n x2 , con n x intero.

Posto k x =

πnx

L, k y =

πny

L, k z =

πnz

L l'energia è quindi data da:

E n xny nz

=h 2π 2

2mL 2 nx2 + ny

2 + nz2( )=

h 2

2mr k

2; (4a)

l'energia dello stato fondamentale è E111 =

3h 2π 2

2mL 2 . Gli stati 111 o 222 sono non

degeneri, ma, per esempio, E n xny nz

= 41h2 π 2

2mL2 è 9 volte degenere poichè

corrisponde alle seguenti terne: 126, 162, 216, 261, 621,612, 434, 443, 344. Ciascuna terna corrisponde ad uno stato diverso, cioè, ad una diversa configurazione nello spazio della densità di probabilità, ma tutti hanno la stessa energia e corrispondono ad un unico livello. Una quantità di grande importanza nello studio delle proprietà elettroniche dei solidi è la densità degli stati N(E). Definiamo

N(E)= N (E)dE0

E∫

il numero di stati con energia minore di E, per cui N(E)=d

dEN(E); N(E)dE è il

numero di stati con energia fra E e E+dE.


Per valutare N(E), teniamo presente che:

n x

2 + ny2 + nz

2 =2mL2

h 2π 2 E n xny nz= R 2 (5)

Tale equazione rappresenta una sfera di raggio R, nello spazio n. Il numero di stati N(E) con energia minore di E è dato dal numero di punti rappresentativi che si trovano nel primo ottante per cui solo valori positivi di n hanno senso; poichè ogni punto si trova ad un vertice delle celle unitarie in figura, N(E) è il volume dell'ottante:

N(E) =

18

4π3

2mL 2

h 2 π 2 E⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3/ 2

=L 3

6π 2

2mh 2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

3/ 2

E 3/ 2

La densità di stati sarà:

N(E)=d

dEN(E)=

L3

4π 2

2mh 2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

3/2

E1/2 (6)

e tenendo conto dello spin , la densità di stati totale sarà

2N(E)=Nt= 2/1

2/3

22

3 22

EmL⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

hπ .


E

N(E)

EF

Densità totale degli stati in funzione dell'energia per il modello dell'elettrone libero. A T=0 K tutti gli stati sono occupati fino alla energia di Fermi.

La soluzione della (3) è un'onda stazionaria soggetta alle condizioni al contorno

a x=0 e x=L. Il valore di aspettazione dell'impulso dell'elettrone che oscilla tra le pareti della scatola di potenziale è zero e quindi l'onda stazionaria non è idonea a descrivere una corrente in un metallo. A tale scopo è conveniente usare come soluzione della (3) un'onda piana, del tipo

ψ = 0

eir k ⋅r r , che però non soddisfa

le precedenti condizioni al contorno. Se avessimo una regione unidimensionale piuttosto che una scatola, potremmo immaginare di chiudere su sé stesso il filo per permettere la circolazione di una corrente (l'analogo tridimensionale è difficile da immaginare). Con una tale operazione x=0 viene a coincidere con x=L

e la condizione al contorno diventa ψ (0 ) = ψ(L) e dψdx x=0

=dψdx x=L

. In

generale, nel caso tridimensionale tali condizioni sono note come condizioni al contorno di Born-von Karman e si scrivono come:

ψ (x ,y ,z + L ) = ψ (x , y , z) ψ (x ,y + L , z ) = ψ (x , y , z) ψ (x + L , y , z ) = ψ (x , y , z)

Considerando quindi che deve essere ψ (0 ) = ψ (L) , si ha 1 e quindi con n=0,

= eikL

kL = 2πn ± 1, ± 2, ........ (onde che si muovono in verso opposto hanno lo

stesso autovalore dell'energia). Se ( ) rkieV

rrrr ⋅=Ψ

1 , gli autovalori dell'energia

saranno: Ek =

h2

2mk2 =

π2

L2h2

2 m(2n )2 e, in generale,

Ek =

h2π2

2mL2 (2 nx )2 + (2ny )2 + (2 nz )2[ ]


Sebbene questa espressione sia diversa dalla (4a), la densità degli stati che si

ottiene è la stessa. Possiamo verificare che ( )rk

rrΨ

è un autostato dell’impulso,

∇=∂∂ rhr

h

iri con autovalore kr

h :

rkirki ekeri

rrrr rhr

h ⋅⋅ =∂∂

per cui un elettrone nel livello ( )rk

rrΨ ha un impulso k

rh e quindi una velocità

kr

h /m.

Passiamo a calcolare il numero totale di elettroni liberi in un metallo. Ogni stato è occupato da due elettroni con spin opposto (principio di Pauli). Gli elettroni liberi nel metallo, N e , occuperanno i livelli fino ad una certa energia E F , per cui risulterà:

N e = N t0

EF∫ (E)dE =V

3π 2

2mh2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

3/2

E F3/2

Posto n=N e / V, si ha E F =

h 2

2m(3π 2n)2/ 3 . Possiamo esprimere l'energia

cinetica degli elettroni in termini di E F :

E c = N t0

EF∫ (E)EdE =V

5π 2

2mh 2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

3/2

E F5/2 =

35

N e EF

L'energia cinetica media per elettrone è quindi 35

E F .

La correlazione che esiste tra spazio n e spazio k si ottiene dalle relazioni che legano k ad n. Il numero di stati possibili nello spazio k, ovvero il numero di punti in una regione molto grande, è praticamente il volume contenuto in quella regione diviso il volume per punto che nel caso 3d è 2π / L( )3 , cioè: Ω / 2π / L( )3.

ky

2π/L

kx


Pertanto il numero di valori permessi di k per unità di volume nello spazio k è: V / 8π 3. Possiamo sistemare un elettrone in ciascuno stato e associare due elettroni con spin opposti alla stessa onda piana. Il raggio della sfera dello spazio k in cui sistemiamo tutti gli elettroni si indica con kF e il numero di k permessi è:

2V

8π3

43

πk F3 ; il numero di elettroni per unità di volume sarà:

n =NV

=1V

2k F

3 V6π 2 =

k F3

3π 2

La sfera di Fermi è la sfera che contiene i livelli occupati e la superficie della sfera separa i livelli occupati da quelli vuoti. L'impulso, la velocità e l'energia di Fermi sono definiti come:

pF = hk F , v F = pF / m , E( k F ) =

h2 k F2

2m=

h 2

2m(3π 2n)2/ 3 = E F

Possiamo ricavare una espressione generale della densità degli stati, nel caso in cui l'energia dipende solo dal modulo di k (superficie sferica di energia):

N(E)= V / 8π 3 ⋅43

πk 3 =k 3V6π 2

e quindi

N(E)=d

dEN(E)=

ddk

N(E)dkdE

=Vk 2

2π 2

dEdk

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

−1

Calcoliamo la densità degli stati nel caso di un metallo bidimensionale.

L'espressione (5) diventa: n x

2 + ny2 =

2mL2

h2 π 2 E = R 2 , che è l'equazione di una

circonferenza. N(E) sarà l'area del I quadrante:

N(E)=π4

2mL 2

h 2π 2 E

e la densità degli stati sarà indipendente dall'energia:

N(E)=d

dEN(E)=

12

mL2

h 2π

Nel caso unidimensionale, si ha: n 2 =

2mL 2

h 2π 2 E = l 2 , essendo l la lunghezza;

N(E)= l = (2m )1/ 2 L

hπE1/ 2 e

N(E)=d

dEN(E)=

(m / 2)1/ 2 L

hπE −1/ 2


In tutto quanto detto si è assunto lo stato fondamentale alla temperatura T=0 K; se T è diverso da zero, dobbiamo considerare gli stati eccitati. Abbiamo visto che a T=0 K solo gli stati con E<EF sono occupati, ciò significa che la funzione distribuzione di Fermi è

f r k s

= 1, Er k ( )< E F

f r k s

= 0, Er k ( )> E F

Essendo f =1

e E−µ( )/kT + 1

limT→0

f r k s = 1 per E

r k ( )< µ ⇒ lim

T→ 0µ = E F.

La densità di distribuzione degli stati di energia permessa è data dalla densità per unità di volume, mentre quella degli stati occupati è data da:

n(E)dE =

Nt ( E)V

f ( E)dE =1

2π2

2mh 2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

3/ 2 E1/2

e E−EF( )/ kT +1dE

Calore specifico elettronico. L'energia interna U e sarà l'energia E (

r k ) dell'elettrone nel livello per il

numero medio di elettroni nel livello: U e = E

0

∞∫ n(E)dE = E

0

∞∫ N t (E)f (E)dE


e ce =

∂Ue

∂T ; si può dimostrare che, con qualche approssimazione,

ce =π 2

3k B

2 Tg( E F ) =π 2

3k B

2 T32

nE F

dove è la densità degli stati al livello di Fermi; tale risultato è da

confrontare con

g( E F )32

nk B della statistica classica che è circa 100 volte più grande.

Effetto termoionico . Affinchè un elettrone in un metallo possa passare dalla superficie al livello di vuoto, esso deve possedere una energia almeno pari alla funzione lavoro, , più l'energia di Fermi, E F . Con riferimento alla figura poniamo: Φ = E o − E F

xVuoto

SuperficieMetallo

E

E

F

O

Φ

livello di vuoto

livello di Fermi

fondo della B.C.

Nell'approssimazione di elettrone libero, l'energia è tutta cinetica, per cui la densità di stati occupati nel metallo, è data da:

n(E)dE = Nt ( E)f ( E)dE =8πm3

h3

v2dve E−E F( )/kT +1

Per calcolare la densità di corrente termoionica consideriamo il prodotto della densità di stati occupati per la carica per la componente x della velocità degli elettroni. Consideriamo la componente v della velocità essendo questa perpendicolare alla superficie del metallo. Per integrare su tutte le velocità degli elettroni, sostituiamo l'integrazione su 4

x

πv2dv con una integrazione su tenendo conto che solo gli elettroni con energia maggiore di dv xdv ydvz

Φ + E F possono sfuggire dalla superficie:


j =2em3

h3 dvydvz−∞

+∞

∫∫vxdvx

e E −E F( )/kT +12(Φ+EF )m

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1/ 2

∞

∫

essendo E − E F >> kT possiamo trascurare l'unità al denominatore e riscrivere come:

j =2em3

h3 eE F / kT dv ydv z−∞

+∞

∫∫ vx2(Φ+EF )

m⎡ ⎣

⎤ ⎦

1/2

∞

∫ exp −m(vx

2 + vy2 + vz

2 )2 kT

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ dvx

da cui si ottiene la formula di Richardson:

j =4πem

h3 (kT)2 e−Φ /kT = AT2e −Φ / kT

(Si tenga conto che e−βx2

−∞

+∞

∫ dx =πβ

). La costante A vale 120 A/cm2K2.

Il grafico del logj/T2 in funzione di 1/kT permette di ricavare la funzione lavoro del metallo (dell'ordine di qualche eV). La costante A non risulta la stessa per tutti i metalli e ciò può essere dovuto al diverso stato della superficie, alla dipendenza da T della funzione lavoro, alla riflessione degli elettroni alla superficie del metallo. La teoria di Sommerfeld trova anche il giusto valore del numero di Lorentz. Tuttavia, nonostante i successi , la teoria dell'elettrone libero non spiega la dipendenza della costante Hall dal campo magnetico e da T, il segno di RH, la dipendenza della conducibilità dalla temperatura, ecc., per cui sarà necessario abbandonare questo modello. Effetto termoionico in un metallo 1D

2/12/)( −= EmENπh xvm

E2/

12/1 =−

xxdvmvdE =

( )

kTf

kTE

xxx

mE x

xkTE

x

kTehekTE

mkTeem

dvmvvvm

kTmvemej

f

f

f

//

2

2/2/1

2)/)(exp(

)(2/

)2/exp()2/(

Φ−

∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +Φ

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +Φ−=

=−

= ∫

π

π

h

h

come si può osservare la dipendenza complessiva dalla temperatura cambia rispetto al caso 3D.


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