Cap. 25 Potencial Eléctrico

d

E

dUdEqdFdW −=⋅=⋅= 0

dEqdU ⋅−= 0

Energía potencial y potencial eléctrico

d

E

Nota: La variación de energía es proporcional a la carga testigo.

La variación de energía potencial por unidad de carga se denominadiferencia de potencial dV:

dEqdUdV ⋅−==

0

Ejemplo:

Un campo eléctrico apunta en la dirección x positiva siendo su magnitud constante de E0=10 N/C = 10 V/m. Calcula el potencial en función de x, suponiendo que V = 0 en el origen.

0ˆE E i=

ˆˆ ˆd dx i dy j dz k= + +( ), ,x y z

( )0,0,0

( )ˆˆ ˆ ˆ10

10

10

VdV E d i dx i dy j dz km

VdV dxm

VV x Cm

⎛ ⎞= − ⋅ = − ⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Si V = 0 cuando x = 0, entonces C = 0 y

10 VV xm

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

0ˆE E i=

El potencial disminuye si nos movemos en dirección del campo.

Potencial de una carga puntual

d

2ˆ

qE k r

r=

( )

2

2

ˆ

ˆ 1 cos

dV E d

qE d k r d

r

r d d dr

qdV k dr

r

= − ⋅

⋅ = ⋅

⋅ = θ =

= −

2

2

qdV k dr

rq

dV k drr

qV k C

r

= −

= −

= +

∫ ∫

Si V = 0 cuando r es infinito, tenemos

qV k

r=

Comentarios adicionales sobre potencial eléctrico

El potencial (o diferencia en potencial) es una propiedad de todo campo eléctrico. Es un escalar:

0 0

campoWUV

q q

−∆∆ = =

De aquí vemos que la diferencia en potencial es el negativo del trabajo que hace el campo por unidad de carga movida de un lugar a otro. Si tomamos el punto inicial en el infinito y decimos que V es cero en ese lugar, tenemos:

0

WV

q∞−

=

La ecuación nos dice que el potencial en un punto es el negativo del trabajo que hace el campo por cada carga movida desde el infinito hasta el punto en cuestión.

Otra interpretación de potencial

En general, cuando el campo mueve una carga de un lugar a otro, hay un cambio en la energía potencial de la carga movida. Ese cambio en energía potencial es igual al cambio en energía cinética. Si queremos mover la carga de forma tal que su energíacinética no cambie (o sea, sin aceleración) debemos aplicar una fuerza opuesta a la del campo. En ese caso tenemos:

0 0

0campo ext

ext campo

campo ext

K W W

W W

W WV

q q

∆ = + =

= −

−∆ = =

El potencial eléctrico es el trabajo que hace un agente externo por cada carga que mueve de un lugar a otro sin producir una aceleración (o cambio en energía cinética).

Ejemplo: Calcula el potencial en los puntos P1y P2.

Potencial en el punto P1:

1 2

1 2

99

2

5 102 9 10

4 10

2,250

q qV k k

r r

V

V v

−

−

= +

⎡ ⎤×⎢ ⎥= ×⎢ ⎥×⎣ ⎦

=

Determinación del campo eléctrico a partir del potencial

dEdV ⋅−=)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kdzjdyidxkEjEiEdV zyx ++⋅++−=

,,

x xy zy z

dV VdV E dx Edx x

∂= − ∴ = − = −

∂

En general,

ˆˆ ˆV V VE i j k

x y z∂ ∂ ∂

= − − −∂ ∂ ∂

Cálculo de V para distribuciones continuas de carga

Potencial eléctrico V sobre el eje de una varilla recta de largo L y carga lineal uniforme Q

x 0r x x= −

Potencial de una corteza esférica de carga

Superficies equipotenciales

dEqdUdV ⋅−==

0

La superficie de un conductor en equilibrio electrostático es una superficie equipotencial

Ejemplo:

Dos esferas conductoras, de radios R1=6 cm y R2=2 cm, están separadas por una distancia mucho mayor que 6 cm y conectadas por un alambre conductor. Una carga total Q=+80 nC se sitúa sobre una de las esferas. Calcula (a) la carga final y el campo eléctrico E de cada esfera en la superficie y (b) el potencial común de éstas.

2

929

1 21

1 2

0

80 109 10 12,000

0.06

12,000

InicialmenteV y

CQ N mV k v

r C m

V V V v

−

=

×⎛ ⎞⋅ ⎟⎜= = × =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ = − =

1 2

1 2 1 11 2

1 2 2 2

80

6, 3

2

q q nC

cmq q q rV V k k

r r q r cm

+ =

= = ∴ = = =

1 2 2 2 2 13 3 80 20 , 60q q q q nC q nC q nC= + = ∴ = =

Calcular campo E y densidad de carga σ

( )

9

911 22 2

1

60 101.326 10

4 4 0.06

Cq Cr mm

−

−×

σ = = = ×π π

( )

9

922 22 2

2

2 1

20 103.979 10

4 4 0.02

: 3

Cq Cr mm

NOTA

−

−×

σ = = = ×π π

σ = σ

62

11 2

1202

62

22 2

1202

2 1

1.326 10149,863

8.85 10

3.979 10449,590

8.85 10

: 3

CNmE

C CN mC

NmEC CN m

NOTA E E

−

−

−

−

×σ= = =

ε ×⋅

×σ= = =

ε ×⋅

=

Voltaje común:

9291

1 2 21

60 109 10 9,000

0.06

Cq N mV V k v

r C m

−×⎛ ⎞⋅ ⎟⎜= = = × =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Energía potencial de un sistema de cargas puntuales

2 1campoW F d q E d U= ⋅ = ⋅ = −∆∫ ∫El trabajo que hacemos nosotros para mover la carga sin aceleración es el opuesto del que hace el campo: Wext = -Wcampo. Por lo tanto,

El trabajo que hace el campo de q1 (esto es, E1) para mover la carga q2 es:

1 1 22 1 2ext

q q qU W q V q k k

r r⎛ ⎞⎟⎜∆ = = = =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 2 1ext campoW W U U qV= − = − −∆ = +∆ =La energía almacenada en el sistema cuando movemos la carga q2desde el infinito hasta un punto frente a q1 es

Ejemplo 24-6 (25-6 en 6ta Ed.):

La figura muestra tres cargas donde q1 = + q, q2 = -4q y q3 = + 2q donde q = 150 nC. Asumiendo que d = 12 cm calcula la energía potencial del sistema.

El hombre adentro del carro no sufre daño alguno. Explica.