Universita degli studi di SalernoFacolta di Scienze Matemat. Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Fisica

Canio Noce

EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICAALLE DERIVATE TOTALI

Indice

Prefazione 3

I TEORIA 6

1 Introduzione 8

2 Soluzione dell’equazione ipergeometrica generalizzata 10

3 Proprieta dei polinomi ipergeometrici 203.1 Ortogonalita dei Polinomi Ipergeometrici. . . . . . . . . . . . . 203.2 Derivate di Polinomi Ipergeometrici . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Sviluppo di un Polinomio Qn (x) qualsiasi in termini di Poli-

nomi Ortogonali {Pn}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Proprieta delle Radici di {Pn}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Relazioni di Ricorrenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Polinomi Ortogonali e

Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

II APPLICAZIONI 36

4 Oscillatore Armonico 38

5 Potenziale di Poschl-Teller 41

6 Spettro dell’Operatore L2 46

7 Particella in un Campo Magnetico 51

3

III APPENDICE 55

Bibliografia 58

4

Prefazione

La teoria delle funzioni speciali trattata da Gauss, Eulero,Laplace, Jacobi, Riemann, Tchebychev e da lungo tempo unodegli argomenti profondamente radicato nell’analisi matematica,nella teoria delle funzioni di una variabile complessa, nella teoriadella rappresentazione dei gruppi.

Nonostante i metodi numerici siano sempre piu presenti nellapratica, grazie anche allo sviluppo tecnologico dei computer, as-sistiamo ad un rinnovato interesse per le funzioni speciali dovutoall’esigenza di avere soluzioni analitiche per problemi complessi.

Le piu note funzioni speciali sono classificate come Funzionispeciali della Fisica Matematicae tra queste citiamo i poli-nomi ortogonali classici (polinomi di Jacobi, Laguerre, Hermite. . . ), le funzioni ipergeometriche, cilindriche e sferiche

La conoscenza di tali funzioni e indispensabile per uno studioappropriato di numerosi problemi della fisica teorica e matemati-ca. In particolare in meccanica quantistica il problema dell’oscil-latore armonico, del moto di una particella in un campo cen-trale e piu in generale la soluzione delle equazioni di Scrodinger,Dirac, Klein-Gordon per una particella in un potenziale coulom-biano conducono ad equazioni differenziali ipergeometriche le cuisoluzioni sono per lo piu date da funzioni speciali.

Questa classe di funzioni ha un complesso ed articolato appa-rato matematico. Scopo della trattazione qui presentata e pro-porre al lettore un nuovo metodo di costruzione delle funzionispeciali. L’idea generale e basata su un uno strumento matem-atico elementare fondato sulla generalizzazione della nota formuladi Rodriguez per i polinomi ortogonali classici. Un tale approc-cio permette di ottenere sotto forma esplicita le rappresentazioniintegrali di tutte le funzioni speciali della fisica matematica e dicaratterizzarne le proprieta principali.

5

Vorrei infine ringraziare Adolfo Avella, Mario Cuoco, GerardoIovane, e Danilo Zola che mi hanno aiutato nella redazione diquesti appunti e tutti quegli studenti che hanno contribuito amigliorarli segnalandomi gli errori tipografici.

6

Parte I

TEORIA

7

Capitolo 1

Introduzione

Dalla meccanica quantistica, e ben noto che per ricavare lo spettro energeticoe gli autostati di un problema fisico si deve risolvere l’equazione agli autoval-ori di Schrodinger . L’equazione di Schrodinger e un’equazione differenzialealle derivate parziali che in alcuni casi puo essere risolta utilizzando il meto-do della separazione delle variabili. Nei casi piu fortunati si separa in treequazioni differenziali alle derivate totali ciascuna delle quali puo a volte es-sere ricondotta alle seguenti classi di equazioni differenziali.

Equazione di Bessel:

x2y′′ + xy′ +(x2 − n2

)y = 0 n ≥ 0

Equazione di Bessel modificata:

x2y′′ + xy′ − (x2 − n2

)y = 0 n ≥ 0

Equazione per le funzioni Ber, Bei, Ker, Kei:

x2y′′ + xy′ − (ix2 + n2

)y = 0

Equazione di Legendre:(1− x2

)y′′ − 2xy′ + n (n + 1) y = 0

Equazione di Legendre associata:

(1− x2

)y′′ − 2xy′ +

{n (n + 1)− m2

1− x2

}y = 0

Equazione di Hermite:

y′′ − 2xy′ + 2ny = 0

9

Equazione di Laguerre:

xy′′ + (1− x) y′ + ny = 0

Equazione di Laguerre associata:

xy′′ + (m + 1− x) y′ + (n−m) y = 0

Equazione di Cebisev:

(1− x2

)y′′ − xy′ + n2y = 0

Equazione ipergeometrica:

x (1− x) y′′ + [c− (a + b− 1) x] y′ − aby = 0

Tutte le equazioni precedenti si possono scrivere nella forma:

y′′ +τ (x)

σ (x)y′ +

σ (x)

σ2 (x)y = 0 (1.1)

avendo definito:

τ (x) = ax + b

σ (x) = αx2 + βx + γ

σ (x) = αx2 + βx + γ

L’equazione (1.1) detta equazione generalizzata di tipo ipergeometri-co.Ad esempio se:

τ = 1− x (a = −1 b = 1 )σ = x (α = 0 β = 1 γ = 0)

σ = nx (α = 0 β = n γ = 0)

Allora la (1.1) diventa l’equazione di Laguerre.

10

Capitolo 2

Soluzione dell’equazioneipergeometrica generalizzata

Per la risoluzione della (1.1) introdurremo una classe di trasformazioni deltipo y = ϕ(x)u(x) che ci permettera di passare dalla (1.1) ad un’altra equazionedello stesso tipo, ma piu semplice.Lo studio di queste equazioni sara sviluppato nel seguente ordine:

1. cercheremo una soluzione di tipo polinomiale;

2. verificheremo le proprieta di chiusura e ortogonalita di questafamiglia di polinomi, rispetto ad un’opportuna funzione peso.

Cosı come precedentemente detto effettuiamo la trasformazione:

y = ϕ (x) u(x)

y′ = ϕ′u + u′ϕ

y′′ = ϕ′′u + 2ϕ′u′ + ϕu′′

per cui dopo facili manipolazioni algebriche la (1.1) diventa:

u′′ +(

2ϕ′

ϕ+

τ

σ

)u′+

(ϕ′′

ϕ+

ϕ′τϕσ

+σ

σ2

)u = 0 (2.1)

Quindi, imponiamo che il coefficiente della derivata prima di u sia espressonella forma di rapporto fra due polinomi di cui quello al numeratore non siadi grado superiore al primo e quello al denominatore al secondo:

2ϕ′

ϕ+

τ

σ=

τ

σ

11

conτ = ax + b

allora:ϕ′

ϕ=

π

σ(2.2)

dove abbiamo definito:

π =1

2

(∼τ −τ

)(2.3)

π = Ax + B

I polinomi∼τ e π sono ovviamente di grado non superiore al primo.

Valutiamo ora(

ϕ′′ϕ

):

(ϕ′

ϕ

)′=

ϕ′′

ϕ−

(ϕ′

ϕ

)2

quindi:ϕ′′

ϕ=

(ϕ′

ϕ

)′+

(ϕ′

ϕ

)2

=(π

σ

)′+

(π

σ

)2

L’equazione (2.1) diventa:

u′′ +τ

σu′ +

σ

σ2u = 0 (2.4)

in cui:σ = σ + π2 + π [τ − σ′] + π′σ

≡ αx2 + βx + γ

Pertanto la (2.4) e dello stesso tipo della (1.1). Cosı abbiamo trovato la classedi trasformazioni che lascia invariato il tipo di equazione ipergeometrica ge-neralizzata. Queste sono le trasformazioni del tipo y = ϕ (x) u (x) dove la ϕe definita dalla relazione (2.2) qualunque sia il polinomio π. L’arbitrarieta suπ ci permette di rendere piu semplice la forma dell’equazione (2.4). Infattipossiamo determinare i coefficienti di π in modo tale che valga la relazioneseguente:

σ = λσ (2.5)

con λ = cost.Tutto cio e possibile perche utilizzando il principio d’identita dei polinomiotteniamo tre equazioni in tre incognite: la costante λ ed i due coefficientidel polinomio π. Pertanto l’equazione (2.4) diventa:

σ (x) u′′ + τ (x) u′ + λu = 0 (2.6)

12

Questa equazione e detta equazione ipergeometrica. Per determinare il poli-nomio π e la costante λ utilizziamo la relazione (2.5) ottenendo con facilimanipolazioni algebriche:

π2 + (τ − σ′) π + σ − kσ = 0 (2.7)

dove abbiamo definito:k = λ− π′

con k = cost.Risolvendo l’equazione (2.7), rispetto a π abbiamo:

π =σ′ − τ

2±

√(σ′ − τ

2

)2

− σ + kσ (2.8)

Poiche π e un polinomio di primo grado, il discriminante del polinomio disecondo grado sotto radice deve essere nullo. Questa condizione ci portaad un’equazione, in generale, di secondo grado in k. Trovato k e possibiledeterminare π dalla (2.8) e utilizzando rispettivamente le relazioni (2.2) e(2.3) ricavare i polinomi ϕ e τ . Infine dalla relazione k = λ − π

′possiamo

ottenere la costante λ. Va osservato che l’annullarsi del discriminante delradicando nella (2.8) non determina univocamente la costante k trattandosi,in generale, di un’equazione di secondo grado. In particolare vedremo chein alcuni problemi di interesse fisico come la determinazione della soluzionedi un’equazione agli autovalori in meccanica quantistica, (vedi risoluzionedell’atomo di idrogeno e/o dell’oscillatore armonico), e possibile eliminarel’ambiguita su k imponendo che le soluzioni dell’equazione ipergeometricageneralizzata appartengano allo spazio L2, cioe siano a quadrato sommabile.

Casi particolari:

- Se σ ammette radici multiple, σ = (x− x)2 , allora, posto s = 1x−x

ci si riconduce all’equazione ipergeometrica generalizzata per la qualeσ (s) > s

- Se σ = 1 e(

τ2

)2 − σ e un polinomio di I◦ grado allora occorre porreπ = − τ

2e l’equazione (2.4) diventa:

u′′ + (ax + b) u = 0

A questo punto occorre trattare il problema della risoluzione dell’equazioneipergeometrica (2.6). Innanzitutto dimostriamo che le derivate di ordine

13

qualsiasi della u sono ancora soluzioni di un’equazione del tipo (2.6).Posto v1 = u′, si ha derivando la (2.6):

σ′u′′ + σu′′′ + τ ′u′ + τu′′ + λu′ = 0 (2.9)

σ′v′1 + σv′′1 + τ ′v1 + τ v′1 + λv1 = 0 (2.10)

σv′′1 + τ1v′1 + µ1v1 = 0 (2.11)

c.v.d.

Ricordando la definizione di σ e di τ si puo facilmente verificare che

τ1 = σ′ + τ

e un polinomio al piu di primo grado e

µ1 = λ + τ ′

e una costante.Derivando ancora la (2.11) si ha:

σ′v′′1 + σv′′′1 + τ ′1v′1 + τ1v

′′1 + µ1v

′1 = 0

σv′′2 + τ2v′2 + µ2v2 = 0 v2 = v′1 ≡ u′′

in cui:τ2 = σ′ + τ1 = σ′ + σ′ + τ = τ + 2σ′

µ2 = µ1 + τ ′1 = λ + τ ′ + σ′′ + τ ′ = λ + σ′′ + 2τ ′

Analogamente si puo iterare il procedimento e vedere che la derivata ennesimadella u e una funzione ipergeometrica:

σv′′n+

∼τn v

′n + µnvn = 0 (2.12)

In particolare per induzione si puo dimostrare che, all’ordine n:

τn = τ + nσ′

µn = λ + nτ ′ +n (n− 1)

2σ′′

dove∼τn e al piu un polinomio di primo grado e µn e una costante.

Cerchiamo ora le soluzioni della (2.6) nel caso in cui µn = 0.Si ha:

λ ≡ λn = −nτ ′ − n (n− 1)

2σ′′

14

In tal caso la soluzione della (2.6) e:

vn = cost

u = un

dove un e un polinomio di grado n.Per determinare il polinomio un introduciamo la funzione integranda ρ.Moltiplicando la (2.6) per ρ e l’equazione (2.12) per ρn si ha:

(σρu′)′ + λρu = 0 (2.13)

(σρnv′n)′+ µnρnvn = 0 (2.14)

se(σρ)′ = τ ρ (2.15)

e(σρn)′ = τnρn

L’equazione (2.15) determina ρ.Ricordando l’espressione di τn si ha:

(σρn)′ = τ ρn + nσ′ρn

Dividendo per ρn e ricavando τ dalla (2.15)si ha:

(σρn)′

ρn

= τ + nσ′ =(σρ)′

ρ+ nσ′

ρ′nρn

=ρ′

ρ+ n

σ′

σ(2.16)

Integrando membro a membro la (2.16) si puo facilmente vedere che unasoluzione particolare e del tipo:

ρn = σnρ n = 0, 1, 2, . . .

inoltre:ρn+1 = σn+1ρ = σσnρ = σρn

da cui sostituendo nella (2.14) la relazione precedente abbiamo:

ρnvn = − 1

µn

(σρnv′n)′= − 1

µn

(ρn+1v′n)′= − 1

µn

(ρn+1vn+1)′ (2.17)

15

Ricordiamo che per definizione e:

vn+1 ≡ v′n

Partendo dalla relazione (2.17) per un generico m < n possiamo iterare ilprocedimento (n-m) volte ottenendo:

ρmvm = − 1

µm

(ρm+1vm+1)′ = − 1

µm

[(− 1

µm+1

)(ρm+2vm+2)

′]′

=

=

(− 1

µm

)(− 1

µm+1

)(ρm+2vm+2)

′′ =Am

An

d(n−m)

dx(n−m)(ρnvn)

dove:

An = (−)nn−1∏

k=0

µk (A0 = 1)

Nell’ipotesi fatta u = un polinomio:

dn

dxnu= vn = cost

Per verificarlo basta porre m=n nella precedente equazione.In definitiva:

vm =dm

dxmun =

AmnBn

ρm

[d(n−m)

dx(n−m)ρn

](2.18)

Amn = Am (λ) |λ=λn

Bn =1

Ann

dn

dxnun

In particolare per m=0, ricordando che v0 ≡ u , sostituendo nella (2.18) siha:

u = un =Bn

ρ

[dn

dxn(σnρ)

]n = 0, 1, . . . (2.19)

λn = −nτ ′ − n (n− 1)

2σ′′ n = 0, 1, . . . (2.20)

La (2.19) e detta formula di Rodriguez.Con la formula di Rodriguez abbiamo determinato una famiglia di soluzioniparticolari dell’equazione ipergeometrica in forma polinomiale; resta, ora, dadeterminare la funzione integranda ρ che abbiamo introdotto per ricavare le(2.14) e (2.15). Ricordando che:

(σρ)′ = τ ρ

16

si ha:σ′ρ + σρ′ = τ ρ

σρ′

ρ= τ − σ′

(ρ′

ρ

)=

τ − σ′

σ=

ax + b− (αx2 + βx + γ)′

αx2 + βx + γ

ρ′

ρ=

(a− 2α) x +(b− β

)

αx2 + βx + γ

avendo sfruttato il fatto che τ e un polinomio di primo grado e σ di secondo.

Sono possibili 3 casi:

1) α 6= 0 β 6= 0 γ 6= 0

2) α = 0 β 6= 0 γ 6= 0 (β = 1)

3) α = 0 β = 0 γ 6= 0 (γ = 1)

Nel primo caso:

ρ′

ρ=

(a− 2α) x +(b− β

)

αx2 + βx + γ

Il denominatore si puo riscrivere come:

−α · (B − x) (−A + x)

ρ′

ρ=

Cx + D

(B − x) (x− A)

⇒ ρ = (B − x)p (x− A)q (p, q cost)(

p + q = −C

pA + qB = D

)

Nel secondo caso:

ρ′

ρ=

ax +(b− β

)

βx + γ

ρ′

ρ=

Cx + D

x− A

⇒ ρ = (x− A)p eqx (p, q cost)

17

(p− Aq = D

q = C

)

Nel terzo caso:ρ′

ρ=

ax + b

γ= Cx + D

⇒ ρ = epx2+qx (p, q cost)(

p = C2

q = D

)

Per un cambiamento lineare della variabile indipendente, σ e ρ possono esseremesse nelle forme canoniche seguenti:

σ = 1− x2 ρ (x) = (1− x)p (1 + x)q (2.21)

σ = x ρ (x) = xpe−x (2.22)

σ = 1 ρ (x) = e−x2(2.23)

Inoltre:

τ = − (p + q + 2) x + q − p (2.24)

τ = −x + p + 1 (2.25)

τ = −2x (2.26)

Questo cambiamento lascia invariata la forma delle espressioni (1.1) e (2.6)e conseguentemente anche la soluzione data dalla relazione di Rodriguez.Quindi poiche e sempre possibile trovare una trasformazione che ci permettedi passare alle forme canoniche (2.21),(2.22),(2.23) dedicheremo la nostraattenzione ai suddetti tre casi.Nel primo caso si ha:

σ = 1− x2

τ = − (p + q + r) x + q − p

L’equazione differenziale per n e:

(1− x2

)u′′n − [(p + q + 2) x + p− q] u′n + λn = 0

Questa equazione e nota con il nome di equazione di Jacobi.Le soluzioni sono i polinomi di Jacobi e sono dati da:

u(p,q)n =

(−)n

2nn!(1− x)−p (1 + x)−q dn

dxn

[(1− x)n+p (1 + x)n+q]

18

dove

Bn =(−)n

2nn!Se p = q = 0 l’equazione di Jacobi diventa l’equazione di Legendre:

(1− x2

)u′′n − 2xu′n + λnun = 0

Ricordando la definizione di λn data precedentemente, e possibile far vedereche il coefficiente del termine di grado zero nell’equazione di Legendre euguale ad n (n + 1), infatti:

λn = −nτ ′ − n (n− 1)

2σ′′

= −n (−2)− n (n− 1)

2(−2)

= 2n + n2 − n

= n2 + n = n (n + 1)

c.v.d.

Se p = q = −12

l’equazione di Jacobi diventa l’equazione di Cebisev:(1− x2

)u′′n − xu′n + λnun = 0

con λn che assume il valore:

λn = −n (−1)− n (n− 1)

2(−2)

= n + n2 − n

λn = n2

c.v.d.

Nel secondo caso l’equazione differenziale e:

xu′′n + (p + 1− x) u′n + λnun = 0

ed e denominata equazione di Laguerre.Per p = 0λn assume il valore.

λn = −nτ ′ − n (n− 1)

2σ′′

= −n (−1) = n

Tenuto conto dei coefficienti:

Bn =1

n!

19

Le soluzioni dell’equazione di Laguerre sono:

Lαn =

1

n!ex dn

dxn

(xne−x

)

e sono denominate Polinomi di Laguerre.Nell’ultimo caso si ha:

u′′n − 2xu′n + λnun = 0

Tale relazione rappresenta l’equazione di Hermite; in essa:

λn = −n (−2) = 2n

e tenuto conto dei coefficienti:

Bn = (−)n

si ottengono i noti Polinomi di Hermite.

Hn = (−)n ex2 dn

dxne−x2

20

Capitolo 3

Proprieta dei polinomiipergeometrici

3.1 Ortogonalita dei Polinomi Ipergeometri-

ci.

Il sistema delle potenze {xn} costituisce un sistema completo in L2(A) conA ⊂ R. Pertanto ogni funzione f(x) puo essere rappresentata mediante unaserie di potenze. Il sistema delle potenze non costituisce una base ortogonalein L2(A), ma a partire da esso e possibile costruire un sistema completo difunzioni ortogonali rispetto a qualsiasi funzione peso p(x). Si otterranno cosıdelle famiglie di polinomi ortogonali. Nel nostro caso i polinomi sono quelliclassici e utilizzeremo come funzione peso la ρ (x).

Teorema 1 Se la funzione ρ (x) verifica la condizione:

[σ (x) ρ (x) xk

]b

a= 0 k ∈ N

allora i polinomi ipergeometrici un corrispondenti a diversi valori λn sarannoortogonali sull’intervallo ]a, b[ rispetto al peso ρ (x) , cioe:

∫ b

a

un um ρ dx = 0 λn 6= λm

Dimostrazione.I polinomi un e um verificano le equazioni:

(σρu′n)′+ λnρun = 0

(σρu′m)′+ λmρum = 0

21

Moltiplicando la prima equazione per um, seconda per un e facendo ladifferenza tra la prima equazione e la seconda si ha:

um (σρu′n)′+ λnumρun − un (σρu′n)

′ − λmunρum = 0

Considerato che i termini derivati corrispondono a:

d

dx{σ ρ w}

in cui:

w =

∣∣∣∣u vu′ v′

∣∣∣∣il wronskiano, si ha

(λm − λn)

∫ b

a

unumρdx = σρw |ba

Poiche w e un polinomio in x per l’ipotesi si ha:

(λm − λn)

∫ b

a

unumρdx = 0

Pertanto, essendo λm 6= λn, si ha:

∫ b

a

unumρdx = 0

Nello studiare questi polinomi si da generalmente una condizione supple-mentare, in particolare chiediamo che questi polinomi verifichino le seguenticondizioni:

ρ (x) > 0 σ (x) > 0 su ]a, b[

Applicando tale condizione ai polinomi canonici, si ha:

- Polinomi di Jacobiσ > 0

⇒ 1− x2 > 0 − 1 < x < 1

ρ > 0 ⇒ ovvio

Inoltre affiche [σρ xt

]+1

−1= 0 ⇒

{α > −1β > −1

22

- Polinomi di Laguerre:

σ > 0 ⇒ x > 0

ρ > 0 ⇒ ovvio[σρ xt

]∞0

= 0 ⇒ α > −1

- Polinomi di Hermiteσ > 0 x ∈ R

Riassumendo:

un ]a, b[ ρ σ τ λn Bn

P(α,β)n ]− 1, 1[ (1− z)α(1 + z)β 1− z2 −(α + β + 2)x + β − αβ n(n + α + β + 1)

(−n)n

2nn!

Lαn R+ zαe−t z −z + α + 1 n 1

n!

Hn R e−z21 −2z −2n (−)n

23

3.2 Derivate di Polinomi Ipergeometrici

I risultati ottenuti permettono di ricavare certe proprieta sulle derivate deipolinomi di tipo ipergeometrico. Le derivate dm

dxm yn (x) sono dei polinomi ditipo ipergeometrico di grado (n-m) e verificano, quindi un’equazione di tipoipergeometrico. Partendo dalla relazione (2.17) che definisce ρmvm possiamoesprimere vm. Ricordando la definizione dei coefficienti Amn si ha:

ρmvm = AmnBn [ρn](n−m)

⇒ vm =dm

dxnu ρm = σmρ

dm

dxmu =

AmnBn

σmρ

dn−m

dxn−m[σnρ]

Amn = (−)mm−1∏

k=0

µk (λn)

µk (λn) = λn + kτ ′ +k (k − 1)

2σ′′

= − (n− k)

(τ ′ +

n + k − s

2σ′′

)

Amn = (−)m (−)mm−1∏

k=0

(n− k)

(τ ′ +

n + k − 1

2σ′′

)

=n!

(n−m)!

m−1∏

k=0

(τ ′ +

n + k − 1

2σ′′

)

24

3.3 Sviluppo di un Polinomio Qn (x) qualsiasi

in termini di Polinomi Ortogonali {Pn}.Mostriamo che:Ogni polinomio Qn di grado n si puo scrivere come combinazione lineare dipolinomi ortogonali Pk, con k=0,1, . . .

Dimostrazione : Per n=0 la proposizione e immediata. Infatti si ha:

Q0 = αP0

Pertanto, applicando il principio di induzione, dimostreremo che:

Qn =n∑

k=0

CknPk

Supponiamo che:

Qn−1 =n−1∑

k=0

Ck,n−1 Pk

. Scegliamo la costante C nn nella definizione di Qn in modo che il polinomio:Qn − CnnPn sia di grado (n− 1) cioe:

Qn − CnnPn = Qn−1

Poiche per ipotesi Qn−1 e sviluppabile in termini di polinomi classici, si hala tesi:

Qn = CnnPn + Qn−1 = CnnPn +n−1∑

k=0

Ck,n−1Pk

Qn ≡n∑

k=0

Ck,n Pk

E’ possibile determinare i coefficienti Ck,n dalla relazione precedente utiliz-zando la proprieta di ortogonalita:

∫ b

a

Pn Pm ρ dx = 0 n 6= m

si ha: ∫ b

a

Qn Pm ρ dx

25

=n∑

k=0

Ckn

∫ b

a

Pk Pm ρ dx

=n∑

k=0

Ckn δkm

∫ b

a

P 2k ρ dx = Cmnd

2m

Cmn =1

d2m

∫ b

a

Qn Pm ρ dx

in cui:

d2m =

∫ b

a

P 2m ρ dx

Si ha inoltre che

∫ b

a

Pn xmρ dx = 0 se m < n

Infatti xm e un polinomio di grado m

xm =m∑

k=0

Ckm Pk

Quindi: ∫ b

a

Pn xm ρ dx =

m∑

k=0

Ckm

∫ b

a

PnPk ρ dx ma k ≤ m < n

e per l’ortogonalita dei polinomi classici, rispetto al peso ρ , sull’intervallo(a, b) si ha la tesi.

26

3.4 Proprieta delle Radici di {Pn}.Tutti gli xj: Pn(xj) = 0 sono semplici, sono n e sono contenuti in ]a, b[.

Dimostrazione Supponiamo che in ]a, b[ , Pn cambi k volte segno. E’evidente che 0 ≤ k ≤ n Definiamo qk nel seguente modo:

qk =

{1 se k = 0∏k

j=1{(x− xj)}

con xj : Pn (xj) = 0

E’ chiaro che Pn (x) = qk Qn−k in cui Qn−k polinomio di grado n-k che nonha zero su ]a, b[. Si ha:

∫ b

a

Pn qk ρ dx =

∫ b

a

q2k Qn−k ρ dx 6= 0

Essendo q 2k Qn−k ρ una funzione a segno definito. Inoltre se k < n :

∫ b

a

Pn qk ρ dx = 0

essendo qk polinomio di grado k, per cui deve essere k=n.

27

3.5 Relazioni di Ricorrenza

Spesso nei problemi di interesse fisico e necessario calcolare delle quantitadefinite da relazioni tra i polinomi classici, in special modo nel calcolo deivalori di aspettazione di osservabili in meccanica quantistica. A tal finerisulta utile, nello sviluppo del calcolo, utilizzare la seguente relazione diricorrenza.

xPn = αn Pn+1 + βn Pn + γn Pn−1

E’ evidente che xPn = Qn+1, per cui:

xPn =n+1∑

k=0

Ck,n Pk

con

Ck,n =1

d2k

∫ b

a

Pk xPn ρ dx

In quest’ultima formula Pkx e un polinomio di grado k+1; cio implica che:

Ck,n = 0 ∀ k : k + 1 < n

(per il teorema precedente su xm )Quindi saranno diversi da zero i coefficienti:

Cn−1, n; Cn, n; Cn+1, n

cioe:xPn = Cn+1, n Pn+1 + Cn, nPn + Cn−1, n Pn−1

Indichiamo, in particolare

Cn+1,n = αn Cn,n = βn Cn−1,n = γn

Per determinare i coefficienti {C} , scriviamo:

Pn = anxn + bnxn−1 + . . . . . . (an 6= 0)

Ora e evidente cheCk, n d2

k = Cn, k d2n

quindi:

28

Cn, n−1 d2n = Cn−1, n d2

n−1

αn−1 d2n = γn d2

n−1

γn = αn−1d2

n

d2n−1

Si ottiene da Pn = anxn + bnxn−1 + . . .

an = αn an+1

bn = αn bn+1 + βn an

avendo uguagliato i coefficienti di ugual grado nell’espressione di xPn.In definitiva:

αn =an

an+1

βn =

(bn − bn+1 − an

an+1

)1

an

γn =an−1

an

· d2n

d2n−1

Nelle applicazioni e spesso importante conoscere le costanti an tali che siabbia il piu piccolo scarto quadratico medio da una funzione arbitraria f(x).Sia data la quantita:

mN =

∫ b

a

[f (x)−

N∑n=0

an Pn

]2

ρ dx

dove Pn sono dei polinomi ortogonali nell’intervallo ]a, b[ rispetto al pesoρ (x) ≥ 0 ela funzione f(x) verifica la condizione:

∫ b

a

f 2 (x) ρ dx < +∞

Per le proprieta di ortogonalita degli Pn, si ha:

mN =

∫ b

a

f 2ρ dx +N∑

n=0

(an − Cn)2 d2n −

N∑n=0

C2n d2

n

29

in cui:

d2n =

∫ b

a

P 2n ρ dx

Cn =1

d2n

∫ b

a

f Pn ρ dx

Si noti che mN ha un minimo per an = Cn, cioe

∆N = min mN =

∫ b

a

f 2ρ dx−N∑

n=0

C2n d2

n

La successione:{∆N}N∈N

e monotona, non crescente e limitata inferiormente (∆N ≥ 0). Esiste dunqueil limite seguente:

limN

∆N = A

Se A 6= 0 allora: ∫ b

a

f 2ρ dx ≥∞∑

n=0

C2n d2

n

rappresenta la disuguaglianza di Bessel.Se A=0 allora: ∫ b

a

f 2ρdx =∞∑

n=0

C2nd2

n

nota come eguaglianza di Parseval.Sotto le seguenti condizioni:

1) f continua in ]a, b[

2) f derivabile, con derivata continua in ]a, b[

3) ∫ b

a

f 2ρ dx < +∞

4) ∫ b

a

(df

dx

)2

σρdx < +∞.

30

Allora una funzione arbitraria f(x) e sviluppabile in serie nella forma:

f (x) =∞∑

n=0

Cn Pn

e la serie {Pn} e uniformemente convergente ∀x ∈ [x1, x2] ⊂ ]a, b[. Pertantoil sistema di polinomi classici {Pn}n∈N e completo e chiuso su ]a, b[.

31

3.6 Polinomi Ortogonali e

Meccanica Quantistica

In Meccanica Quantistica l’uso di questo formalismo rende agevole la risoluzionedi problemi di notevole interesse fisico.Risolvendo le equazioni ipergeometriche:

σu′′ + τu′ + λu = 0

si ottengono i polinomi classici di grado n per:

λ = λn = −nτ ′ − n (n− 1)

2σ′′

Le soluzioni trovate moltiplicate per√

ρ sono le uniche che su ]a, b[ sonoquadrato sommabili, cioe:

∫ b

a

P 2n ρ dx ≡ d2

n < +∞

Dimostriamo ora che affinche cio valga si deve avere

τ ′ < 0

A tale scopo consideriamo la formula di Rodriguez e calcoliamo il polinomiodi grado 1, P1 :

P1 =B1

ρ

d (σρ)

dx= B1τ

L’ultima uguaglianza segue dalle (2.17. Calcoliamo la norma quadra di P1:

d21 =

∫ b

a

P 21 ρ dx =

∫ b

a

ρ P1B1

ρ

d (σρ)

dxdx

= B1

{[P1ρ σ]ba −

∫ b

a

(d

dxP1

)σ ρ dx

}

= −B1

∫ b

a

(B1τ′) σ ρ dx

= −B21 τ′∫ b

a

σ ρ dx

Poiche su ]a, b[ σ, e ρ sono maggiori di zero si ha:

∫ b

a

ρ σdx > 0

32

e quindi affinche d21 > 0 si deve avere

τ ′ < 0

Poiche:τ = τ + 2π

π deve essere tale da produrre un τ a derivata negativa su ]a, b[. Inoltre,poiche τ = P1

B1, deve aversi che

∃x ∈ ]a, b[ : τ (x) = 0

essendo P1 polinomio di primo grado. In definitiva k e π devono essere taliche:

τ (x∗) = 0 ∃x∗ su ]a, b[

τ ′ (x) < 0 su ]a, b[

Teorema 1 Supponiamo che u sia soluzione dell’equazione ipergeometrica

σu′′ + τu′ + λu = 0 (3.1)

e che la funzione ρ, soluzione dell’equazione ddx

(σρ) = τ ρ, sia limitata e nonnegativa su ]a, b[.Sotto tali ipotesi, l’equazione (3.1) ammette soluzioni non banali (u = 0),tali che u

√ρ siano limitate e quadrato sommabili su ]a, b[, se non per

λ = λn =−n(n− 1)

2σ′′ − nτ ′

e tali soluzioni sono i polinomi ortogonali classici.

Dimostrazione:E’ ovvio che per λ = λn i polinomi ortogonali classici sono soluzioni nonbanali.Supponiamo invece che per certi valori di λ ∃ r(x, λ) che non e un polinomioclassico non banale.Si deve avere per la (2.15):

d

dx(σρr′) + λρr = 0

e inoltre poiche un e soluzione:

d

dx(σρu′n) + λnρun = 0

33

Moltiplicando la prima per un e la seconda per r e integrando su x1 e x2 con(a < x1 < x2 < b), si ha

(λ− λn)

∫ b

a

r(x, λ)un(x)ρ(x)dx + [σρW (un, r)]x2x1

= 0

se λ 6= λn 0

limx→a

[σρW ] = c1

limx→b

[σρW ] = c2

Vogliamo dimostrare che il termine integrato e nullo e quindi dalla completez-za del sistema di polinomi ortogonali, dedurre che r(x, λ) = 0 per λ 6= λn.Prima di tutto e immediato verificare che

∫ b

a

r(x, λ)un(x)ρ(x) dx < +∞ .

Infatti per la diseguaglianza di Cauchy:

∣∣∣∣∫ x2

x1

r(x, λ)un(x)ρ(x) dx

∣∣∣∣ ≤[∫ x2

x1

r2(x, λ)ρ(x) dx ·∫ x2

x1

u2n(x)ρ(x) dx

] 12

e poiche gli integrali al secondo membro convergono si ha la tesi.Se λ = λn c1 = c2 = c, poiche in tal caso

σρW = cost.

Dimostriamo che se λ 6= λn, c2 = 0

d

dx

[r(x, λ)

un

]=

W [un, r]

u2n

Integrando si ha:

r(x, λ) = un

[r(x0, λ)

un(x0)+

∫ x

x0

W [un, r]

u2n

ds

].

Sia x0 < b. Valutiamo r(x, λ) quando x → b.Si possono avere tre casi:

1) σ ∼ (b− x)(x− a) b finito

34

2) σ ∼ x b = +∞

3) σ = 1 b = +∞

Primo caso ρ(x) ∼ (b− x)α α ≥ 0.Il termine da integrare e

W [un, r]

u2n

∼ c2

σρu2n

∼ 1

(b− s)α/2

Quindi

√ρ r(x, λ) ∼

1

(b−s)α2

α > 0

ln(b− s) α = 0

che implica la non limitatezza di√

ρ r(x, λ) ⇒

ρ ∼ xαeβx (α ≥ 0 β < 0)

Per x → +∞ un ∼ xn

∫ x

x0

ds

sα+2n+1eβs∼ 1

xα+2n+1eβx(β < 0)

Allora √ρ r(x, λ) ∼ x−(α

2+2n+1)e−

β2x

il che implica che√

ρ r non e di quadrato sommabile.

Secondo caso ρ ∼ eαx2+βx α > 0Per x → +∞ un ∼ xn e quindi

∫ x

x0

ds

s2neαx2+βs∼ 1

x2n+1eαx2+βx.

Quindi√

ρ r ∼ 1

x+2n+1eαx2+βx(α < 0)

che non e sommabile.Allo stesso modo si puo dimostrare che c1 = 0 e quindi

∫ b

a

r(x, λ)Wn ρ dx = 0 ∀n

35

Poiche {un} formano un sistema completo segue che:

r(x, λ) = 0

Se λ = λn, W = 0 e quindi r e un sono linearmente indipendenti e cio e incontraddizione con l’ipotesi.

ConclusioneL’equazione agli autovalori

−~2m

∇2Ψ + UΨ = EΨ (3.2)

conduce ad una equazione del tipo

y′′ +τ

σy′ +

σ

σ2y = 0 (3.3)

Introdotta ρ tale ched

dx(σρy′) +

σ

σρy = 0

con ddx

(σρ) = (τ ρ)l’equazione (3.2) pone il problema: cercare i valori di E per i quali l’e-quazione (3.3) ammette soluzioni non banali, ovvero

√ρy limitata a quadrato

sommabile su ]a, b[ .

36

Parte II

APPLICAZIONI

37

Capitolo 4

Oscillatore Armonico

Ci proponiamo di trovare gli autovalori dell’operatore hamiltoniano e le au-tofunzioni per l’oscillatore armonico lineare in meccanica quantistica, o equi-valentemente per una particella in un campo di potenziale unidimensionaledella forma:

U =1

2mω2x2

Il problema dell’oscillatore armonico ha un ruolo fondamentale per moltissimiproblemi che vanno dallo stato solido alla teoria quantistica dei campi inparticolare nell’elettrodinamica quantistica. L’equazione di Schrodinger perla funzione Ψ (x) dell’oscillatore armonico si scrive nel seguente modo:

− ~2

2m

d2

dx2Ψ +

(mω2

2x2 − E

)Ψ = 0

d2

dx2Ψ +

(2mE

~2− m2ω2

~2x2

)Ψ = 0

se

A =2mE

~2B2 =

m2ω2

~2

l’equazione diventa:d2

dx2Ψ +

(A−B2x2

)Ψ = 0

Allora in base alle definizioni date per i coefficienti in forma generale nellaequazione ipergeometrica generalizzata possiamo fare le seguenti associazioni:

σ = A−B2x2

σ = 1

τ = 0

39

π =σ′ − τ

2±

√(σ′ − τ

2

)− σ + kσ

π = ±√−A + B2x2 + k = ±

√B2x2 + k − A

Affinche π sia un polinomio di I◦ grado imponiamo che il discriminante delradicando sia nullo, cioe:

∆(B2x2 + k − A) = −4(k − A)B2x2 = 0

e quindi si deve averek = A

Per questa scelta si ha che:π = ±Bx

Cosı come chiarito nel paragrafo 3.6, l’ambiguita sulla scelta delle soluzioniper π sara risolta imponendo che τ = τ + 2π abbia derivata negativa. Nelnostro caso:

τ = 2π

Quindi affinche sia verificata la condizione suddetta dobbiamo scegliereπ = −Bx. Per questa soluzione ricaviamo che

τ = −2Bx

e ricaviamo ϕϕ′

ϕ=

π

σ= −Bx ⇒ ϕ = e−

Bx2

2

Dalla relazioneρ′

ρ=

τ − σ′

σ= −2Bx

ricaviamo ρ:ρ = e−Bx2

Determiniamo λ e poi gli autovalori En del nostro problema; dalla relazione:

k = λ− π′ = λ + B = A

ricaviamo quindi:λ = A−B

40

Imponendo la condizione che le soluzioni siano polinomiali troviamo lo spet-tro dell’energia dell’oscillatore armonico:

λ = λn = −nτ ′ − n(n− 1)

2σ′′ = +2nB

⇒ A−B = 2nB

A = 2B

(n +

1

2

).

Ricordando l’espressione di A e B segue:

2mE

~2= 2

mω

~

(n− 1

2

)⇒

E = En = ~ω(

n +1

2

)

A questo punto possiamo scrivere la soluzione:

Ψn (x) = Cnρ (x) yn (4.1)

dove yn (x) sono ricavati dalla formula di Rodriguez che in questo caso siscrive

yn = BneBx2 dn

dx2

(e−Bxn)

= Hn

Questi sono i polinomi di Hermite e le soluzioni dell’equazione dell’oscillatorearmonico si scrivono:

Ψn = ϕn (x) Cne−B

2x2

Hn

41

Capitolo 5

Potenziale di Poschl-Teller

Cerchiamo gli autovalori e le autofunzioni per l’equazione di Schrodingerunidimensionale.

− ~2

2mΨ + U (x) Ψ = EΨ

che descrive il moto di una particella in un potenziale del tipo:

U (x) = − U0

cosh2 axdove U0 > 0

Cerchiamo delle soluzioni che corrispondono a stati legati, quindi, a valoridi E< 0. Riscriviamo l’equazione nel seguente modo:

− ~2

2m

d2

dx2Ψ−

[U0

cosh2(ax)+ E

]Ψ = 0

cioe:

Ψ′′ +[2m

~2

U0

cosh2(ax)+

2mE

~2

]Ψ = 0 (5.1)

Poniamo:

B20 = −2mE

~2

che e maggiore di zero visto che cerchiamo soluzioni per E < 0

A20 =

2mU0

~2

Possiamo scrivere la (5.1) come:

Ψ′′ +[A2

0

1

cosh ax−B2

0

]Ψ = 0

42

Introduciamo la seguente trasformazione s = tanh(ax) per poter ridurrel’equazione (5.1) ad un’equazione del tipo studiato, cioe:

σs′′ + τs′ +σ

σs = 0 (5.2)

Innanzitutto ricaviamo cosh ax in termini di s

cosh ax =1

(1− tanh2x

) 12

=1

(1− s2)12

Mentre ddx

e d2

dx2 in termini della nuova variabile possono essere scritte utiliz-zando il seguente artificio:

d

dx=

ds

dx

d

ds=

a

cosh2 ax

d

ds= a

(1− s2

) d

ds

d2

dx2=

d

dx· d

dx=

ds

dx

d

ds

[a

(1− s2

) d

ds

]=

= a2(1− s2

) d

ds

[(1− s2

) d

ds

]=

= −2a2s(1− s2

) d

ds+

(1− s2

)2a2 d2

ds2

Sostituendo nell’equazione (5.1) con facili manipolazioni si puo ottenere laseguente espressione:

a2(1− s2

) d2

ds2Ψ− 2sa2

(1− s2

) dΨ

ds+

[A2

0

(1− s2

)−B20

]Ψ = 0

Dividendo per a2 (1− s2) , si ha:

d2Ψ

ds2− 2s

(1− s2)

dΨ

ds+

[−B20 − A2

0 (1− s2)

(1− s2)2 a2

]Ψ = 0

Introduciamo A e B definite tramite A 0 e B 0 nel seguente modo:

A2 =A2

0

a2=

2mU0

~2a2

B2 =B2

0

a2= −2mE

~2a2

Allora abbiamo la seguente equazione:

d2Ψ

ds2− 2s

(1− s2)

dΨ

ds+

[−B2 + A2 (1− s2)

(1− s2)2

]Ψ = 0

43

ricordando il tipo generale dell’equazione (5.1) scritta sotto forma (5.2) fac-ciamo le seguenti associazioni:

σ = 1− s2

σ = A2(1− s2

)−B2

τ = −2s

cerchiamo una soluzione del tipo indicato dalla tecnica illustrata preceden-temente:

Ψ = ϕ (s) u (s) . (5.3)

Ricordiamo che per definire ϕ e necessario determinare:

π =σ′ − τ

2±

√(σ′ − τ

2

)2

− σ + kσ

σ′ − τ

2=−2s + 2s

2= 0

Quindi:

π = ±√

B2 − A2 (1− s2) + K (1− s2) =√

(A2 − k) s2 + (K + B2 − A2)

dove k = λ−π′, con λ il coefficiente del termine di grado zero dell’equazioneipergeometrica ottenuta dalla trasformazione (5.3). La condizione illustratanella trattazione generale impone che il Discriminante del radicando sianullo e quindi

(K + B2 − A2

) (A2 −K

)= −K2 +

(2A2 −B2

)K − A4 + A2B2 = 0

questo da una condizione su K:

K =−2A2 + B2 ±√4A4 + B4 − 4A2B2 − 4A4 + 4A2B2

−2

che porta a:

K =−2A2 + B2 ±B2

−2

quindi:K1 = +A2

K2 = A2 −B2

la scelta dei valori di K1,2 va fatta in modo che verifichi la condizione τ ′ < 0e τ abbia almeno una radice nell’intervallo ]−1, 1[ dove σ (s) > 0. Si puo

44

facilmente dimostrare che la seguente scelta di K e quindi di π verifica lecondizioni suddette. Allora ricordando che τ = τ + 2π, tra

{π1 = ±Bπ2 = ±Bs

e

{τ1 = −2s + 2π1

τ2 = −2s + π2

Sceglieremo:τ = −2 (1−B) s

che corrisponde a π = −Bs e a K = A2 − B2 Ricordando che k= λ − π′

abbiamo:λ = A2 −B2 −B (5.4)

Ora ci resta da determinare la funzione ϕ da sostituire nella Ψ = ϕ (s) u (s)e determinare u (s) tramite la formula di Rodriguez dopo aver calcolato lafunzione integranda ρ; ϕ (s) e definita dalla relazione:

ϕ′ (s)ϕ (s)

=π

σ= − Bs

1− s2

quindi integrando a destra e a sinistra si ha che

ϕ (s) =(1− s2

)B

Mentre la funzione integranda introdotta per esprimere l’equazione iper-geometrica generalizzata in forma autoaggiunta, e definita dalla seguenterelazione:

ρ′ (s)ρ (s)

=τ ′ − σ

σ=−2 (1 + B) s + 2s

1− s2=−2B

1− s2

Quindi come fatto in precedenza integrando ambo i membri otteniamo l’es-pressione per ρ a meno di un fattore moltiplicativo che puo sempre essereinglobato nella costante che compare nella formula di Rodriguez:

ρ =(1− s2

)B

A questo punto per calcolare gli autovalori dell’equazione di Schrodinger, perla relazione di ricorrenza per λn e imponendo la condizione che la soluzionesia sotto forma polinomiale, abbiamo che

λ = λn = −nτ ′ − n (n− 1)

2σ′′ = 2n (1 + B) +

n (n− 1) 2

2

= n + 2nB + n2

45

per la (5.4) abbiamo:

λ = −B2 + A2 −B = n + 2nB + n

questo implica:

B2 + (2n + 1) B − (A2 − n− n2

)= 0

da questa si ottiene:

B = Bn = −n− 1

2±

√n2 +

1

4+ n + A2 − n− n2 =

−n− 1

2±

√A2 +

1

4

La scelta Bn = −n− 12−

√A2 − 1

4e esclusa dalla condizione Bn > 0 poiche

siamo interessati a stati legati. Inoltre la suddetta limitazione pone un limitesuperiore ai valori di n, infatti:

Bn > 0 ⇒ n <1

2+

√A2 − 1

4

A questo punto ricordando che

B2 = −2mE

~2a2⇒ En = −~

2a2

2mB2

n

Esplicitiamo la parte u (s) della soluzione generale tramite la formula diRodriguez:

u = un = Cn1

ρ.dn

dsn(σnρ) = P (B,B)

n (5.5)

= Cn

(1− s2

)−B.dn

dsn

[(1− s2

)n+B]

dove P(B,B)n sono i polinomi di Jacobi. La soluzione generale e

Ψ (s) = Cn

(1− s2

)−B2

dn

dsn

[(1− s2

)n+B]

Notiamo che i polinomi (5.5) sono i polinomi di Jacobi che nella tabella

sono generalmente indicati con Cn = (−1)n . 12nn!

e nella forma P(α,β)n (s), nel

nostro caso α = β = B e Cn la sceglieremo in modo tale che la Ψ (s) risultinormalizzata.

46

Capitolo 6

Spettro dell’Operatore L2

Cerchiamo gli autovalori e gli autovettori dell’operatore L2, che rappresentail quadrato del momento angolare, utilizzando le tecniche acquisite fino adora. Consideriamo l’operatore scritto in coordinate polari:

L2 = −~2

[1

sin ϑ.∂

∂ϑ

(sin

∂

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2

](6.1)

Le funzioni Ψ = Ψ (ϑ, ϕ) , autofunzioni di L2 per rappresentare stati fisici,devono rispettare le seguenti condizioni:

Ψ (ϑ, ϕ + 2π) = Ψ (ϑ, ϕ) (6.2)

|Ψ (ϑ, ϕ)| < M ∀ 0 ≤ ϑ ≤ π0 ≤ ϕ ≤ 2π

(6.3)

Quindi una generica autofunzione di L2 dovra essere periodica e limitata inϕ e limitata in ϑ.L’equazione agli autovalori per L2 si scrive:

L2Ψ = υΨ

e l’espressione differenziale:

−~2

{1

sin ϑ· ∂

∂ϑ

(sin ϑ

∂

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ· ∂2

∂ϕ2

}Ψ = υΨ (6.4)

Cerchiamo una soluzione siffatta:

Ψ (ϑ, ϕ) = Θ (ϑ) · Φ (ϕ) (6.5)

e in questo modo separiamo le variabili nell’equazione differenziale (6.4).Sostituendo (6.5) nella (6.4) otteniamo:

sin ϑ ddϑ

(sin ϑdΘ(ϑ)

dϑ

)

Θ (ϑ)+

υ

~2sin2 ϑ =

d2Φ (ϕ)

dϕ2· 1

Φ(6.6)

47

Poiche i due membri dipendono entrambi rispettivamente solo da ϑ e daϕ affinche la (6.6) sia verificata il primo e il secondo membro devono esserecontemporaneamente uguali ad una costante che indichiamo con m2.Dobbiamo quindi risolvere il sistema:

sin ϑd

dϑ

(sin

dΘ (ϑ)

dϑ

)+ υ sin2 ϑΘ (ϑ) = m2 (6.7)

d2Φ (ϕ)

dϕ2+ m2Φ = 0 (6.8)

La (6.8) e immediatamente integrabile e le sue soluzioni elementari sono:

Φ = e±imϕ (6.9)

La condizione di periodicita impone che

e±2πim = 1

e quindi deve essere m = 0,±1,±2, . . ..La parte dipendente da ϕ coincide con un’autofunzione dell’operatore lz chee la componente z dell’operatore momento angolare. Si puo vedere che ”m”assume il significato di valore associato alla misura della componente z delmomento angolare.Ora interessiamoci alle soluzioni dell’equazione (6.7); vedremo che tramiteuna trasformazione del tipo x = cosϑ possiamo passare dall’equazione (6.7)ad un’equazione di tipo ipergeometrico generalizzato.Poniamo x = cos ϑ che da la limitazione −1 ≤ x ≤ 1; allora:

d

dϑ=

dx

dϑ· d

dx= − sin ϑ

d

dx

mentre:d2

dϑ2= sin2 ϑ

d2

dx2− cos ϑ

d

dx

sostituendo nella (6.7), che abbiamo riscritto sviluppando la derivata nelseguente modo:

{d

dϑ2+ cotgϑ

d

dϑ+

[υ

~2− m2

sin2 ϑ

]}Θ = 0

abbiamo che{(

1− x2) d2

dx2− x

d

dx− x

d

dx+

[υ

~2− m2

1− x2

]}Θ = 0

48

cioe: {(1− x2

) d2

dx2− 2x

d

dx+

[υ

~2− m2

1− x2

]}Θ = 0 (6.10)

questa e un’equazione di tipo ipergeometrico generalizzato dove ricordandole definizioni standard date su una generica equazione differenziale del tipo:

u′′ +τ

σu′ +

σ

σ2u = 0

vediamo che

σ = 1− x2, τ = −2x σ = µ(1− x2

)−m2

dove µ = υ~2 .

A questo punto procediamo nel modo che abbiamo descritto nel caso generale:sia

Θ = u (x) y (x)

ricordiamo che

π =

(σ′ − τ

2

)±

√(σ′ − τ

2

)2

− σ + kσ

utilizzando le posizioni fatte precedentemente si ha, che

π =−2x + 2x

2±

√m2 − µ (1− x2) + k (1− x2)

π = ±√

m2 − µ (1− x2) + k (1− x2)

affinche il radicando abbia radici multiple e facile verificare che

(k − µ + m2

)(µ− k) = 0 ⇒

{k1 = +µk2 = + (µ−m2)

In corrispondenza di k1 abbiamo

π1,2 = ±m

mentre per k2 = (µ−m2) , si ha:

π3,4 = ±mx

49

Partendo dalla definizione di τ = τ + 2π, si puo ricavare facilmente

τ1 = 2 (m− x)

τ2 = −2 (m + x)

τ3 = −2x (1−m)

τ4 = −2x (m + 1)

La scelta di τ e legata alle condizioni:

{τ ′ < 0τ = 0 Nell′intervallo ]−1, 1[

In realta ne τ3 ne τ4 singolarmente rispondono alle condizioni suddette tut-tavia possiamo scrivere il polinomio τ3,4 nella seguente forma compatta

τ = −2x (1 + |m|)

abbracciando ogni valore di m ∈ Z.Ora calcoliamo gli autovalori υ ricordando la posizione µ = υ

~2 .Innanzitutto

λ = k − π′ = µ− |m|2 + |m| = µ− |m| (|m|+ 1) (6.11)

La condizione di soluzione polinomiale e:

λ + nτ ′ +n (n− 1) σ′′

2= 0 ⇒

λ = −nτ ′ − n (n− 1) σ′′

2= 2n (1 + |m|) + n (n− 1)

ma ricordando la (6.11) si ha:

µ− |m| (|m|+ 1) = 2n (1 + |m|) + n (n− 1)

µ = |m| (|m|+ 1) + 2n (1 + |m|) + n (n− 1)

= |m| (|m|+ 1) + 2n (1 + |m|) + n2 − n = (|m|+ n) (|m|+ n + 1)

Ponendol = n + |m| (6.12)

µ =υ

~2= l (l + 1) ⇒ υ = ~2l (l + 1)

Dalla (6.10) discende che l e definito posivito e |m| ≤ l.Si noti che fissato l l’autovalore m puo assumere tutti i valori interi compresi

50

tra −m e +m.A questo punto utilizzando la relazione di Rodriguez, i polinomi soluzionedell’equazione ipergeometrica associata sono quelli di Legendre.

yn (x) =Bnm

(1− x2)m · dn

dxn

[(1− x2

)n+m]

Θlm = Clm

(1− x2

)m2 P

(m,m)l−m (x)

dove:

P(m,m)l−m (x) =

Bnm

(1− x2)m .d2

dx2

(1− x2

)n+m

51

Capitolo 7

Particella in un CampoMagnetico

Utilizziamo la tecnica, mostrata precedentemente, nella risoluzione del prob-lema di una particella in un campo magnetico omogeneo costante. Nellateoria classica la funzione di Hamilton di una particella carica in un campomagnetico ha la forma:

H =1

2m

(~p− e

c~A)2

dove ~A e il potenziale vettore del campo, ~p e la quantita di moto generalizzatadella particella. Se la particella non ha spin, il passaggio alla meccanica quan-tistica avviene sostituendo la quantita di moto generalizzata con l’operatore~p = −i~~5 e si ottiene l’hamiltoniano:

H =1

2m

(~p− e

c~A)2

Se invece la particella e dotata di spin, tale operazione e insufficiente. Laespressione esatta dell’hamiltoniano si ottiene introducendo il termine sup-plementare ~µ · ~H0 corrispondente all’energia del momento magnetico ~µ nelcampo ~H0. In tal modo l’hamiltoniano della particella con spin ha la forma:

H =1

2m

(~p− e

c~A)2

− ~µ · ~H0

Dopo questa breve introduzione al problema generale analizziamo il caso diun campo magnetico costante diretto lungo la direzione z, ~H0 = zH0, inquesto caso l’hamiltoniana assume la forma:

H =1

2m

(~p− e

c~A)2

− µzH0

52

E’ opportuno a questo punto scegliere la forma del potenziale vettore cheessendo definito a meno del gradiente di una funzione arbitraria puo esserepreso nel seguente modo:

~A ≡ (−H0y, 0, 0) taleche ~5∧ ~A = ~H0

allora l’hamiltoniana diviene:

H =1

2m

(p2

x + p2y + p2

z

)+

eH0

mcpxy +

e2

2mc2H0y

2 − µzH0

Sostituendo alle variabili classiche i corrispondenti operatori quantistici si ha:

H = − ~2

2m52 −i ~ eH0

mcy

∂

∂x+

e2H20

2mc2y2 − µzH0.

Poiche l’operatore H commuta con px, pz e µz cioe:

[H, px] = [H, pz] = [H, µz] = 0

possiamo scrivere l’equazione di Schrodinger nella seguente forma:

1

2m

[(px +

e H0

cy

)2

+ p2y + p2

z

]Ψ− µ

sηH0Ψ = EΨ (7.1)

dove µs

e il rapporto tra il momento magnetico intrinseco e lo spin dellaparticella e η e l’autovalore dell’operatore µ. Poiche px e pz commutano conl’operatore hamiltoniano, cioe le componenti px e pz della quantita di motosi conservano, si puo scegliere come soluzione della (7.1)

Ψ = ei~ (pxx+pzz)χ (y)

Si puo vedere che dopo facili manipolazioni si passa dalla (7.1) alla seguenteespressione χ (y) :

χ′′ (y) +2m

~2

[(E +

µη

sH0 − p2

z

2m

)− m

2ω2

H (y − y0)2

]χ = 0

in cui:

ωH ≡ e H0

mcy0 = − cpx

e H0

l’equazione per χ e del tipo:

u′′ +τ

σu′ +

σ

σ2u = 0

53

dove:u = χπ = 0σ = 1

σ =2m

~2

[(E +

µη

sH0 − p2

z

2m

)− m

2ω2

H

(y − y2

0

)] ≡

≡ A−B (y − y0)2

dove A = 2m~2

(E + µη

sH0 − p2

z

2m

)e B = m2

~2 ω2H .

Operando la trasformazione per passare ad una equazione ipergeometricaχ = ϕp abbiamo l’equazione per p del tipo:

p′′ + λp = 0

calcoliamo λ :

π =σ′ − τ

2±

√(σ′ − τ

2

)− σ + kσ

facendo le associazioni su definite abbiamo:

π = ±√−A + B (y − y0)

2 + k

L’unico valore di k per cui π e polinomio di primo grado e:

k = A

e quindiπ = ± (y − y0)

√B

Ricordando le condizioni affinche le soluzioni siano a quadrato sommabili,nel nostro caso:

τ = 2π = ±2 (y0 − y)√

B

dobbiamo scegliere π tale che τ ′ < 0 e si annulli nell’intervallo ]−∞, +∞[ .Si vede che scelta π = − (y − y0)

√B risponde alle nostre richieste, quindi

τ = 2 (y0 − y)√

B A questo punto determiniamo ρ dalla relazione:

ρ′

ρ=

τ − σ′

σ

che nel nostro caso diventa:

ρ′

ρ= τ = 2 (y0 − y)

√B ⇒ ρ = e−(y−y0)2

√B

54

mentre la funzione ϕ e definita dalla relazione:

ϕ′

ϕ=

π

σ⇒ ϕ′

ϕ= − (y − y0)

√B ⇒

⇒ ϕ = e−(y−y0)2

2

√B

la soluzione e quindi:

χ = Bne−(y−y0)2

2

√B ·Hn

dove

Hn = Cne(y−y0)2√

B· dn

dxn e−(y−y0)2√

B

Calcoliamo gli autovalori. Ricordiamo innanzitutto che la condizione ditrovare soluzioni sotto forma di polinomi impone che

λ = λn = −nτ ′ − n (n− 1)

2σ′′ (7.2)

Nel nostro caso:τ = 2π = −2 (y − y0)

√B

quindiτ ′ = −2

√B

sostituendo nella (7.2)

λ = λn = +2n√

B

essendoλ = k + π′ = A−

√B

abbiamo:

A−√

B =2n√

B ⇒ A = (2n + 1)√

B = 2√

B

(n +

1

2

)

Sostituendo l’espressione per A abbiamo:

2m

~2

(E +

µη

sH0 − p2

z

2m

)= 2

mωH

~

(n +

1

2

)⇒

⇒ E =

(n +

1

2

)~ωH +

p2z

2m− µη

sH0 (7.3)

Il primo termine di questa espressione da valori discreti dell’energia cor-rispondenti al moto nel piano perpendicolare al campo, questi valori sonodetti livelli di Landau. Per l’elettrone si ha µ

ρ= − e~

mce quindi la formula

(7.3) ricordando che ωH = eH0

mcdiventa:

E =

(n +

1

2+ η

)~ωH +

p2z

2m

55

Parte III

APPENDICE

56

I Punti Fuchsiani

Finora nel trattare equazioni differenziali lineari ed omogenee del tipo

u′′ + p(x)u′ + q(x)u = 0 (4)

abbiamo studiato le soluzioni nei punti regolari dell’equazione in cui era-no contemporaneamente regolari i coefficienti p(x) e q(x). Precisamente unpunto x = x0 e regolare se esistono il lim

x→x0

p(x) e il limx→xo

q(x). Tuttavia i

coefficienti q(x) e p(x) possono presentare delle singolarita che sono classifi-cate in punti fuchsiani o regolari e punti non fuchsiani o irregolari. Un puntosingolare x = x0 e di tipo fuchsiano se esistono le due quantita

a0 = limx→x0

(x− x0) · p(x)

b0 = limx→x0

(x− x0)2 · q(x)

In questo caso la soluzione puo essere cercata nella forma

u = (x− x0)α ·

∞∑n=0

cn (x− x0)n

{α = parametroc 6= 0

Se p(x) e q(x) sono della forma

p(x) =

∑an (x− x0)

n

(x− x0), q (x) =

∑bn (x− x0)

n

(x− x0)2

Sostituendo nella (4) possiamo determinare una relazione di ricorrenza perl’espressione esplicita dei coefficienti cn:

[α (α− 1) + αa0 + b0] c0 = 0

[(α + n) (α + n− 1) + (α + n) a0 + b0] cn+

+n−1∑m=0

[(α + m) an−m + bn−m] cm = 0 ∀n > 0 (5)

La condizione c0 6= 0 da:

α (α− 1) + αa0 + b0 = 0 (6)

Precisamente da α1 e α2 soluzioni dell’equazione (6), dette equazione deter-minante o indiciale relativa al punto fuchsiano x = x0 si possono determinaretutti i coefficienti cn dalla (5) in funzione di c0 e ottenere cosı due soluzioniindipendenti della (4)

ui = (x− x0)αi

∞∑n=0

c(i)n · (x− x0)

n (7)

Nel caso in cui risulti α1 − α2 ∈ Z detto α1 = max {α1, α2} esiste unasoluzione del tipo (7) e precisamente

u1 = (x− x0)α1

∞∑n=0

cn (x− x0)n

Mentre l’altra soluzione ha la forma

u2 = pu1 ln (x− x0) + (x− x0)α2

∞∑n=0

dn (x− x0)n

Il comportamento delle soluzioni nell’intorno di x = ∞ puo essere studiatoeffettuando la sostituzione x = 1

ze verificando il comportamento per z = 0.

In questa situazione si puo trovare una soluzione generale nella forma

u =∞∑

n=0

cnx−n

Il punto x = ∞ e fuchsiano se sono definite

p0 = limx→∞

xp(x) , q0 = limx→∞

x2q(x)

Risolvendo l’equazione determinante per α, abbiamo due soluzioni indipen-denti del tipo

ui = x−αi

∞∑n=0

c(i)n x−n

Se α1 − α2 ∈ Z allora le soluzioni sono

u1 = x−α1

∞∑n=0

cnx−n

u2 = au1 ln x + x−α2

∞∑n=0

dnx−n

Per quanto riguarda i punti singolari di tipo non fuchsiano non esiste unmetodo per studiare il comportamento nel loro intorno.

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Bibliografia

1 Smirnov, Corso di Matematica Superiore, vol. 3 Parte II, Ed. Riuniti

2 Nikiforv, Funzioni speciali della fisica matematica, Ed. MIR

3 Whittaker Watson, A course a modern analysis, Cambridge Uni Press,1952.

4 Landau Lifsits, Meccanica quantistica non relativistica, Ed. Riuniti.

5 Abramowitz Stegun, Handbook of mathematic functions, Dover Paris,inc. 1965.

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