Canada Soma Telescopica
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Questão da Olimṕıada Canadense de Matemática Solução
Introdução
Objetivo desta apresentação é desenvolver a solução de uma
questão da Olimṕıada Canadense de Matemática, envolvendoSoma Telescópica.
Prof. Fabiano Ferreira Canadian Mathematical Olympiad
-
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Questão da Olimṕıada Canadense de Matemática Solução
Olimṕıada Canadense de Matemática
Enunciado
(Olimṕıada Canadense de Matemática)
Simplifique:
P = 1
2√
1 +√
2+
1
3√
2 + 2√
3+ · · · +
1
100√
99 + 99√
100.
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Q ˜ d Oli ´ d C d d M ´ i S l ˜
-
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Questão da Olimṕıada Canadense de Matemática Solução
Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
Desenvolvamos a proposição mediante um tratamentogenérico.
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Q t˜ d Oli ´ d C d d M t ´ti S l ˜
-
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Questão da Olimṕıada Canadense de Matemática Solução
Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
Desenvolvamos a proposição mediante um tratamentogenérico.
Seja P = 1
2
√
1 +
√
2
+ 1
3
√
2 + 2
√
3
+ · · ·+ 1
100
√
99 + 99
√
100
Prof. Fabiano Ferreira Canadian Mathematical Olympiad
Questão da Olimṕıada Canadense de Matemática Solucão
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Questao da Olimpıada Canadense de Matematica Soluçao
Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
Desenvolvamos a proposição mediante um tratamentogenérico.
Seja P = 1
2
√
1 +
√
2
+ 1
3
√
2 + 2
√
3
+ · · ·+ 1
100
√
99 + 99
√
100Representando a soma de modo genérico teremos:
99
k =11
(k
+ 1)
√ k
+ k √
k + 1
=
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Questão da Olimṕıada Canadense de Matemática Solucão
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Questao da Olimpıada Canadense de Matematica Soluçao
Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
Desenvolvamos a proposição mediante um tratamentogenérico.
Seja P = 1
2√
1 +√
2+
1
3√
2 + 2√
3+ · · ·+
1
100√
99 + 99√
100
Representando a soma de modo genérico teremos:
99
k =11
(k
+ 1)
√ k
+ k √
k + 1
=
=99
k =1
1√
k + 1√
k + 1√
k +√
k √
k √
k + 1=
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Questão da Olimṕıada Canadense de Matemática Solucão
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Questao da Olimpıada Canadense de Matematica Soluçao
Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
=99
k =1
1
(√
k √
k + 1)(√
k + 1 +√
k )=
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Questão da Olimṕıada Canadense de Matemática Solucão
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Questao da Olimpıada Canadense de Matematica Soluçao
Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
=99
k =1
1
(√
k √
k + 1)(√
k + 1 +√
k )=
=
99k =1
1(√
k √
k + 1)(√
k + 1 +√
k )(√ k + 1 −√ k )(√
k + 1 −√
k )=
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Questão da Olimṕıada Canadense de Matemática Solucão
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Questao da Olimpıada Canadense de Matematica Soluçao
Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
=99
k =1
1
(√
k √
k + 1)(√
k + 1 +√
k )=
=
99k =1
1(√
k √
k + 1)(√
k + 1 +√
k )(√ k + 1 −√ k )(√
k + 1 −√
k )=
=99
k =1(√
k + 1 −√
k )
(√
k √
k + 1)(k + 1−
k )=
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Questão da Olimṕıada Canadense de Matemática Solução
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p ¸
Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
=99
k =1
1
(√
k √
k + 1)(√
k + 1 +√
k )=
=
99k =1
1(√
k √
k + 1)(√
k + 1 +√
k )(√ k + 1 −√ k )(√
k + 1 −√
k )=
=99
k =1(√
k + 1 −√
k )
(√
k √
k + 1)(k + 1−
k )=
=
99k =1
(√
k + 1 −√
k )
(√
k √
k + 1)=
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Solução
=99
k =1
1
(√
k √
k + 1)(√
k + 1 +√
k )=
=
99k =1
1(√
k √
k + 1)(√
k + 1 +√
k )(√ k + 1 −√ k )(√
k + 1 −√
k )=
=99
k =1(√
k + 1 −√
k )
(√
k √
k + 1)(k + 1−
k )=
=
99k =1
(√
k + 1 −√
k )
(√
k √
k + 1)=
99k =1
√ k + 1
√ k √
k + 1−
√ k
√ k √
k + 1)
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Solução
Portanto,
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Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
Portanto,
P =
99
k =1
1√
k −
1√
k + 1
=
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Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
Portanto,
P =
99
k =1
1√
k −
1√
k + 1
= −
99
k =1
1√
k + 1−
1√
k
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Questão da Olimṕıada Canadense de Matemática Solução
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Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
Portanto,
P =
99
k =1
1√
k −
1√
k + 1
= −
99
k =1
1√
k + 1−
1√
k
Aplicando o conceito de Soma Telescópica:
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Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
Portanto,
P =
99k =1
1√
k −
1√
k + 1
= −
99k =1
1√
k + 1−
1√
k
Aplicando o conceito de Soma Telescópica: O operador ∆aplicado a f (k ) nos fornece
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Olimṕıada Canadense de Matemática
Solução
Portanto,
P =
99k =1
1√
k −
1√
k + 1
= −
99k =1
1√
k + 1−
1√
k
Aplicando o conceito de Soma Telescópica: O operador ∆aplicado a f (k ) nos fornece
∆f (k ) = f (k + 1) − f (k )
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Solução
Portanto,
P =
99k =1
1√
k −
1√
k + 1
= −
99k =1
1√
k + 1−
1√
k
Aplicando o conceito de Soma Telescópica: O operador ∆aplicado a f (k ) nos fornece
∆f (k ) = f (k + 1) − f (k )
Vale que
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Solução
Portanto,
P =
99k =1
1√
k −
1√
k + 1
= −
99k =1
1√
k + 1−
1√
k
Aplicando o conceito de Soma Telescópica: O operador ∆aplicado a f (k ) nos fornece
∆f (k ) = f (k + 1) − f (k )
Vale queb
k =a
∆f (k ) = f (b + 1) − f (a)
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Solução
Assim, teremos:
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O
-
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Solução
Assim, teremos: Com f (k ) = 1√ k
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Oli ´ d C d d M ´ i
-
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Solução
Assim, teremos: Com f (k ) = 1√ k
P =−
99
k =1
∆f (k ) = −
(f (100)−
f (1)) =
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Oli ´ d C d d M t ´ti
-
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Solução
Assim, teremos: Com f (k ) = 1√ k
P =−
99
k =1
∆f (k ) = −
(f (100)−
f (1)) = f (1)−
f (100)
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Solução
Assim, teremos: Com f (k ) = 1√ k
P =−
99
k =1
∆f (k ) = −
(f (100)−
f (1)) = f (1)−
f (100)
P =−
99
k =1∆f (k )
1
√ k + 1 −
1
√ k =
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Olimṕıada Canadense de Matemática
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Solução
Assim, teremos: Com f (k ) = 1√ k
P =−
99
k =1
∆f (k ) = −
(f (100)−
f (1)) = f (1)−
f (100)
P =−
99
k =1∆f (k )
1
√ k + 1 −
1
√ k ==
1√
1−
1√
100
= 1 −
1
10 =
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Olimṕıada Canadense de Matemática
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Solução
Assim, teremos: Com f (k ) = 1√ k
P =−
99
k =1
∆f (k ) = −
(f (100)−
f (1)) = f (1)−
f (100)
P =−
99
k =1∆f (k )
1
√ k + 1 −
1
√ k ==
1√
1−
1√
100
= 1 −
1
10 =
9
10
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Resposta
Simplificando
P =
1
2√
1 +√
2 +
1
3√
2 + 2√
3 +· · · +
1
100√
99 + 99√
100.
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Resposta
Simplificando
P =
1
2√
1 +√
2 +
1
3√
2 + 2√
3 +· · · +
1
100√
99 + 99√
100.
Teremos:
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Resposta
Simplificando
P =
1
2√
1 +√
2 +
1
3√
2 + 2√
3 +· · · +
1
100√
99 + 99√
100.
Teremos:
P = 910
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