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M.Usai Elettromagnetismo 1 Campi magnetici La presenza di una corrente elettrica provoca nello spazio circostante fenomeni caratteristici, detti fenomeni elettromagnetici, di natura elettrica e di natura meccanica. Il fenomeno di natura elettrica si manifesta nella regione interessata dal campo, con la comparsa di f.e.m. indotte nei corpi conduttori o nei circuiti presenti nello spazio circostante, al variare della intensità di corrente, o al variare della reciproca posizione fra la corrente inducente e corpo conduttore o nei circuiti indotti. Il fenomeno di natura meccanica si manifesta con forze meccaniche che in presenza di una corrente che circola in un corpo conduttore si manifestano sui conduttori percorsi da corrente, o su qualsiasi flusso di cariche o anche su magneti permanenti posti in prossimità del corpo conduttore.

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Campi magneticiLa presenza di una corrente elettrica provoca nello spazio circostante fenomeni caratteristici, detti fenomeni elettromagnetici, di natura elettrica e di natura meccanica.

Il fenomeno di natura elettrica si manifesta nella regione interessata dal campo, con la comparsa di f.e.m. indotte nei corpi conduttori o nei circuiti presenti nello spazio circostante, al variare della intensità di corrente, o al variare della reciproca posizione fra la corrente inducente e corpo conduttore o nei circuiti indotti.

Il fenomeno di natura meccanica si manifesta con forze meccaniche che in presenza di una corrente che circola in un corpo conduttore si manifestano sui conduttori percorsi da corrente, o su qualsiasi flusso di cariche o anche su magneti permanenti posti in prossimità del corpo conduttore.

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Effetto elettro-generatore

Variando• l’intensità della corrente I o• la posizione reciproca fra la corrente I e la bobina , si genera in questa una f.e.m. (rilevabile con un voltmetro) chedura finché è in atto la variazione.

V

I

Bobina esploratrice di n spire

Voltmetro

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Effetto elettro-motore

La corrente I provoca nella sbarra scorrevole una forza F che tende a spostarla lungo le guide gg’.

I

+

I’F

Sbarra scorrevole sulle guide g e g’

g

g’

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Sulla base di dati empirici si può affermare che ogni moto di cariche elettriche da luogo ad azioni magnetiche.

Tali fenomeni si verificano anche in assenza di materia nel vuoto.La causa può essere:-una corrente che circola in un conduttore, ma anche -un insieme di elettroni che si muovono nel vuoto,-una corrente ionica che attraversa un elettrolita o un gas ionizzato o comunque-correnti di qualsiasi natura

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Si può affermare che la presenza della corrente modifica lo stato fisico dello spazio circostante. Ciò induce a definire una grandezza di campo per ciascun punto della regione d’azione di esso, in grado di quantificare l’entità delle azioni magnetiche: Campo Magnetico H

I

P HR

P punto in cui si valuta il campo

R distanza del punto dal conduttore nel quale circola la corrente I

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Si definisce Campo magnetico un vettore la cui intensità in un punto del campo P, è-proporzionale alla intensità di corrente I, -inversamente proporzionale alla distanza r del punto P dal conduttore -direzione tangente alla circonferenza di raggio r in P-verso legato alla direzione della corrente definito dalla regola della vite destrogira (il verso è quello con cui deve ruotare una vite destrorsa per farla avanzare nel senso della corrente).

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Legge di Biot SavartSulla base delle prove sperimentali si può descrivere l’esistenza di un Campo Magnetico attraverso la la legge di Biot-Savart.L’intensità degli effetti elettromagnetici è uguale in tutti i punti equidistanti dal conduttore (linee di forza); essa è proporzionale al rapporto fra la corrente I e la distanza r dal conduttore e indipendente dalla natura del mezzo:

H varia con legge iperbolica al variare di R.

I AH= 2πR m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

H

R

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Legge di Biot Savart

Se il campo è prodotto da un fascio di conduttori rettilinei molto vicini tra di loro e attraversati ciascuno dalla corrente I, il suo valore a distanza x dai conduttori é:

La direzione e il verso del campo coincidono con quelli del campo che si avrebbe nel caso di un solo conduttore rettilineo indefinito di lunghezza l.

NI AH= 2πR m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

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Conduttore rettilineo indefinitoSi vuole ora determinare il campo magnetico all’interno del

conduttore, quando la sezione non è trascurabile. Si consideri un conduttore omogeneo cilindrico rettilineo di grande lunghezza, percorso dalla corrente I. Con un flussometro é possibile calcolare in ogni punto della regione circostante il vettore .

Se lo spazio circostante é omogeneo e isotropo il vettore , per r > ro(ro raggio del conduttore) ossia all’esterno del conduttore, risulta:

• il modulo direttamente proporzionale ad I ed inversamente proporzionale alla distanza r del punto considerato dall’asse del conduttore e dipendente dalla natura del mezzo;

• la direzione normale al piano determinato dal conduttore e dal punto considerato;

• il senso definito dal verso di rotazione della vite destrogira, avanzante nel senso positivo della corrente.

BB

πr2IµB =

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Convenzioni di segno: regola di MaxwellIl verso positivo del campo nell’asse dell’induttore é quello in cui avanza una vite destrogira, che ruota nel verso positivo di percorrenza della corrente nella spira:

• B I + IB

+•

B

I +

B

I•

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Tali risultati sperimentali possono essere espressi analiticamente dalla seguente relazione:

Nella formula l’influenza della natura del mezzo é indicata dalla grandezza µ, ossia dalla permeabilità magnetica del mezzo.Il fattore 1/2π é utilizzato per ottenere formule semplificate dette “razionalizzate”. Il campo magnetico in ogni punto sarà:

in modulo ⇒

πr2IµB =

µBH =

Pr B

I

r2IBHπµ

==

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La relazione trovata: che esprime la legge di Biot eSavart, mostra che il campo magnetico non dipende dalla natura

del mezzo quando questo é omogeneo ed isotropo in tutto lo spazio. Quindi nella regione dello spazio esterna al conduttore, per r > ro, H(r) ha l’andamento di una iperbole equilatera.All’interno del conduttore, nella ipotesi di densità di corrente uniforme, in ogni sezione generica di raggio r < ro sarà:

e il campo in un punto distante r sarà:

r2IHπ

=

rro

2

2 2 2 r

ro o

II rI Ir r rπ π= ⇒ =

rr2

Ir2

IH 2o

rr ππ

==

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Quindi nella regione dello spazio interna al conduttore, per r < ro ,H(r) ha l’andamento di una retta.Nella regione interna al conduttore, per r < ro:

nella regione esterna al conduttore, per r > ro: r2IHπ

=

rr2

IH 2o

r π=

ro r

H

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Si può verificare sperimentalmente come le azioni magnetiche varino con la natura del mezzo della regione in cui è stato generato un campo. Per tenerne conto della natura del mezzo si introduce una grandezza specifica: Induzione magnetica

Essa è una grandezza vettoriale di campo che in ogni punto dello spazio ha la stessa direzione e lo stesso verso del campo magnetico, Il suo modulo ne differisce per il coefficiente di proporzionalitൠ= µo µr (che dipende dalla natura del mezzo), chiamata

premeabilità magnetica assoluta in [H/m]definita in funzione della permeabilità nel vuoto µo = 4π 10-7 [H/m] =1.256 10-6 [H/m] essendo µr permeabilitàrelativa.

2B = µH Wb/m⎡ ⎤⎣ ⎦

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Dall’esame delle configurazione geometriche dei vari campi magnetici, si rileva che:

- le linee di forza di un campo magnetico non hanno ne principio ne fine, esse si richiudono su se stesse,

- il percorso chiuso di una linea di forza e quello della correnteche la produce penetrano sempre l’uno nell’altro come due anelli successivi di una catena, ossia

ogni linea di forza del campo magnetico è sempre concatenata con la corrente elettrica che la produce.

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Non esistono sorgenti di flusso magnetico, e le linee di flusso magnetico si richiudono sempre su se stesse.

Ciò si esprime introducendo una nuova grandezza il flusso essendo:

questa equazione é anche una espressione della legge della conservazione del flusso magnetico, perché essa afferma che

il flusso totale uscente attraverso una superficie chiusa è nullo.

Φ

Weber Wb[Wb] 0 ==⋅=Φ ∫S sdB

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Legge della circuitazione

L’integrale del campo magnetico lungo una qualunque linea chiusa, concatenata con il conduttore che ha generato il campo èuguale a :

Ossia la circuitazione del vettore campo magnetico coincide con la corrente concatenata con la linea considerata. Se iconduttori attraversati dalla corrente I sono N:

H

IldHS

=⋅∫

NIldHS

=⋅∫

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Nei sistemi fisicamente simmetrici, come il campo di una corrente rettilinea o quello di un solenoide toroidale, nei quali il campo magnetico ha la stessa intensità in tutti i punti di una stessa linea di forza, vale la relazione:

N ·I rappresenta la corrente complessiva che attraversa una qualunque superficie delimitata dalla linea di forza considerata, cioèla corrente complessivamente concatenata con detta linea di forza.

N ·I è chiamata forza magnetomotrice (f.m.m.) del sistema delle correnti e si indica con:

H l N I⋅ = ⋅

H

[ ] A s con [A s]= [Ampere spira]N I⋅ ⋅ ⋅ ⋅

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Induzione elettromagnetica

Su un qualunque circuito interessato dal campo magnetico, prodotto dalla variazione della intensità di una corrente , o per una variazione della posizione reciproca fra la corrente inducente e il circuito indotto, o per una variazione delle dimensioni della bobina del circuito indotto, si genera una f.e.m:

L’espressione di e rappresenta la legge della induzione di Lenz

( ) ( )d SB d S H de N N Ndt dt dt

µ Φ= − = − = −

Bobina esploratrice di N spire

S superficie della spira

V Voltmetro

B+ +

+

+ +

+

+

+

+

+

S

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Nella espressione della legge della induzione di Lenz compare il segno -.

Esso ha un significato fisico importante, infatti si può verificare sperimentalmente che

• all’aumentare del flusso il senso della f.e.m. indotta è tale da generare una corrente il cui campo magnetico è di senso contrario al flusso, viceversa

• quando il flusso diminuisce, il senso della f.e.m. indotta e ètale da generare una corrente il cui campo magnetico è di senso concorde con il flusso.

de NdtΦ

= −

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Se un conduttore rettilineo si muove con velocità v all’interno di un campo di induzione B, in ogni elemento dl del conduttore èindotta la f.e.m. e:

Per cui sul conduttore di lunghezza l sarà indotta una fem:( )de= v×B ×dl con de = B v dl senα

E = B v l senα

Bαv

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Regola della mano destra

Per determinare il verso secondo il quale agisce questa f.e.m. indotta, si può applicare la regola della mano destra.

Si dispongono il pollice, l’indice e il medio della mano destra ad angolo retto tra di loro.

• Se il pollice indica la direzione dello spostamento ( ),

• l’indice la direzione del campo ( ) ,

• il medio avrà la direzione della f.e.m. ( )

v

B

E

B

E

v

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Forze magnetoelettricheSe la carica elettrica q è in movimento in presenza di un campo

magnetico, essa è sottoposta ad un’altra forza magneticacosì caratterizzata:

• ampiezza proporzionale a q;• direzione a 90° rispetto alla direzione della velocità della carica

test così come alla direzione del campo fissata in quel punto:• ampiezza proporzionale alla componente della velocità nella

direzione del campo fissata in quel punto.

Tale forza non è legata ai vettori ed che caratterizzano il campo elettrostatico ed elettrico.

mF

D E

m

m

F q v B

F =qvBsin(α)

= ×

v

v

BmF

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Forze magnetoelettriche

La direzione della forza può essere stabilita mediante la regola della mano sinistra, disponendo le prime tre dita della mano sinistra a 90° l’una rispetto all’altra, ponendo

• l’indice nella direzione del vettore induzione ,

• il medio nella direzione della corrente (cariche di elettroni in movimento),

• la forza avrà la direzione del pollice.

B

I

FB

I

F FB

I

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Forze magnetoelettriche

L’effetto elettromotore di una corrente su una carica elementare q,

è estensibile all’effetto che una corrente di cariche può esercitare su altre correnti, (essendo un insieme di cariche elettriche in movimento) e su magneti permanenti, quando sono presenti nel campo magnetico da essa creato.

La conseguente sollecitazione meccanica può manifestarsi sotto l’aspetto di:

• forza motrice, se il corpo è libero di muoversi o

• di coppia rotante se il corso è vincolato a ruotare intorno ad un asse.

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La limatura di ferro o piccoli pezzi di ferro sparsi su un foglio di carta possono essere usati per rilevare la presenza di effetti magnetici in prossimità

• di un magnete permanente (la limatura si distribuisce in modo secondo linee che vanno da un polo all’altro del magnete) o

• di un filo percorso da corrente elettrica ( la limatura si dispone secondo linee concentriche circolari).

In entrambi i casi la distribuzione della limatura suggerisce la forma delle linee del campo magnetico.

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La forza elettromagnetica totale dovuta alla presenza di un campo campo elettrico e di un campo magnetico, che agiscono contemporaneamente su una carica q, è quindi:

essendo:

che è l’equazione della forza di Lorentz e la sua validità è stata inequivocabilmente stabilita empiricamente.

m eF =q v×B e F =qE

( )m e mF =F +F =q E+v×B [N]

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Poiché• il campo elettrico è stato anche definito con la relazione:

• Analogamente è definita la densità di flusso magnetico èespressa dalla seguente relazione :

Inoltre sperimentalmente si può facilmente verificare che la forza magnetica Fm= q v B sinα, risulta:

• opposta a quella del campo elettrico E se la carica q è positiva• concorde a quella del campo elettrico E se la carica q è

negativa.

qFE e=

Bvq

F m ×=

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Analogamente un conduttore rettilineo lungo l, attraversato dalla corrente I, immerso in un capo elettrico, sarà sollecitato fa una forza magnetica:

Fm = qtot B v sinα

dove qtot è la quantità di cariche presenti che si muovono con velocità v lungo tutta la lunghezza l del conduttore. Sul generico elementino dl del conduttore agirà una forza elementare dF

dFm =qtot B v sinα= (I dt) B v sinα= (I dl/v) B v sinα=I dl B sinα

e sul conduttore lungo l agirà complessivamente una forza Fm :

Fm =qtot B v sinα= (I ∆t) B v sinα= (I l/v) B v sinα=I l B sinα

IBα

dF

dl

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Forza tra due conduttori paralleli

Si considerino due conduttori paralleli attraversati rispettivamente dalle correnti I1 e I2. L’induzione B dovuta al primo conduttore diretta normalmente al piano dei conduttori sarà:

Per cui la forza dF agente sull’elementino dl del conduttore 2 sarà:

e per un tratto di lunghezza l:

F è attrattiva se le correnti sono equiverse

F è repulsiva se le correnti sono controverse.

1

2IBa

µπ

=

122

IdF I dla

µπ

=

1 2

2I IF l

aµπ

=

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Momento Magnetico di una spira

Si consideri una spira piana rettangolare:

Di lati a e b e superficie S = a*b posta in un campo magnetico uniforme, capace di ruotare intorno al suo asse, con lato parallelo alla linea di campo. La coppia agente sulla spira, quando essa èpercorsa dalla corrente I sarà:

C=BI ab=BSI= HSI con M= SI momento magnetico della spira

µµ

a

b

F

F

H

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Momento Magnetico di una spira

Se la spira ruota di un angolo α rispetto alla direzione del campo:

Se la spira ruota in modo che α=90° la coppia si annulla.

C=BI ab sen =BSIsen = HSIsenα α µ α

a

b

F

F

H

α

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Coppia tra due bobine

Se si considerano due bobine aventi lo stesso asse, una fissa e una libera di ruotare intorno al suo asse. La bobina mobile percorsa dalla corrente Im è sottoposta al campo magnetico generato dalla corrente If, saràsollecitata da una coppia che risulta proporzionale al prodotto delle due correnti :

K dipende dalle dimensioni geometriche delle bobine, dal numero di spire e dall’orientamento reciproco delle due bobine ( angolo α).

m f C = k I I

α

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Coppia tra due bobine

In generale una solenoide o una spira percorsi da corrente e immersi in un campo magnetico si orientano con il proprio asse nel verso del campo entro cui sono immersi, sottoposti a una coppia proporzionale alla intensità del campo alla corrente che attraversa il filo.

Su questo principio sono basati gli strumenti elettrodinamici, con i quali è possibile realizzare voltmetri, amperometri e wattmetri per la misurare rispettivamente tensioni, correnti e potenze.

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Si è detto che non esistono sorgenti di flusso magnetico, e le linee di flusso magnetico si richiudono sempre su se stesse.Inoltre l’equazione :

é anche una espressione della legge della conservazione del flusso magnetico, perché essa afferma che il flusso totale uscente attraverso una superficie chiusa è nullo.

Materiali magneticiLa tradizionale definizione dei poli nord e sud in una barretta di materiale magnetico permanente non implica che esista una carica magnetica positiva isolata nel polo nord e una carica negativa isolata nel polo sud.

[Wb] 0=⋅=Φ ∫S sdB

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Infatti se un magnete viene tagliato in due parti compaiono in ciascun elemento un polo nord e un polo sud, ottenendo così due nuovi magneti più piccoli.Questo processo si potrebbe ripetere sino a che i magneti assumono dimensioni atomiche, per cui si può concludere che i poli magnetici non possono essere isolati, ma ciascun magnete infinitamente piccolo ha ancora un polo nord e uno sud.

N

N

S

SN

N

N

NS

S

S

S

N

S

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Le linee di flusso magnetico seguono percorsi chiusi da una estremità del magnete all’altra all’esterno del magnete e quindi proseguono all’interno del magnete richiudendosi verso l’estremitàdi partenza.

N

S

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La definizione di polo nord e sud é coerente con il fenomeno fisico, verificabile empiricamente, per il quale una barretta magnetica liberamente sospesa sotto l’effetto del campo magnetico terrestre, tende a disporsi secondo la direzione nord sud.

Precisamente il polo magnetico nord punta nella direzione del nord geografico.

Il polo magnetico terrestre nella regione artica (polo nord) deve essere un polo magnetico sud.

Il polo magnetico terrestre nella zona antartica (polo sud) deveessere un polo magnetico nord.