Calculo Numerico e Grafico

8/18/2019 Calculo Numerico e Grafico

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CALCULO NUMERICO E GRAFICO.doc;1/125

CÁLCULO NUMÉRICO E GRÁFICO

POR

LUIZ ALBERTO DE ALMEIDA VIEIRA


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SUMÁRIO

PRIMEIRA AULA DE CÁLCULO NUMÉRICO .............................................................................................. 5

CAPITULO 1 .......................................................................................................................................................... 8

SÉRIES DE POTÊNCIAS ..................................................................................................................................... 9

DESENVOLVIMENTO EM SÉRIE DE TAYLOR.............................................................................................................. 10Série Infinita de Potências.................................................................................................................................. 10Série de Maclaurin. ............................................................................................................................................ 12 Zeros de Função Usando a Série de Taylor com Apenas Dois Termos. ............. ........... ........... .......... ........... .... 17Exercícios para Casa ......................................................................................................................................... 19

Exercício para o Laboratório/Casa ................................................................................................................... 20CAPÍTULO 2 ........................................................................................................................................................ 23

ZEROS DE FUNÇÃO.......................................................................................................................................... 24

MÉTODO DA BISSEÇÃO ............................................................................................................................................ 24MÉTODO DE ITERAÇÃO LINEAR - MIL .................................................................................................................... 26

Roteiro Prático Para o Cálculo de Raízes de Funções .......... .......... ........... .......... ........... .......... ........... .......... ... 28 Aula de Laboratório - Zeros de Função.......... .......... ........... .......... ........... .......... ........... ........... .......... ........... .... 29

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON ............................................................................................................................. 30Exercício Resolvidos - Zeros de Função. ........................................................................................................... 32Exercício para Resolver em Casa ou no Laboratório........................................................................................ 34

AULA DE LABORATÓRIO - MÉTODO DE ITERAÇÃO LINEAR - ROTEIRO ...................................... 35

Resolvendo na Planilha do Excel ......... ........... .......... ........... .......... ........... .......... ........... ........... .......... ........... .... 35

AULA DE LABORATÓRIO............................................................................................................................... 36

Uma Função de Iteração com o Método de Newton-Raphson - Roteiro................... .......... ........... .......... .......... 36 Resolvendo na Planilha do Excel ......... ........... .......... ........... .......... ........... .......... ........... ........... .......... ........... .... 37

CAPITULO 3 ........................................................................................................................................................ 38

RAÍZES REAIS DE POLINÔMIOS .................................................................................................................. 39

EXERCÍCIOS....................................................................................................................................................... 43

Exercício da Viga de Aço ................................................................................................................................... 43

Resolva usando o Método de Birge-Vieta. ......... ........... .......... ........... .......... ........... ........... .......... ........... .......... . 43MÉTODO DA BISSEÇÃO.................................................................................................................................... 44

EXERCÍCIOS DE ZEROS DE FUNÇÕES........................................................................................................ 45

CAPÍTULO 4 ........................................................................................................................................................ 47

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ............................................................................................................................. 48

1. REGRA DOS TRAPÉZIOS ....................................................................................................................................... 482. REGRA DE SIMPSON............................................................................................................................................. 48


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Regra dos trapézios - o erro cometido ............... ........... .......... ........... .......... ........... ........... .......... ........... .......... . 51 Regra de Simpson - o erro cometido .......... .......... ........... .......... ........... .......... ........... .......... ........... .......... .......... 52Exercício Prático - Centro de Gravidade........................................................................................................... 53Exercício Prático - Quantidade de Calor........................................................................................................... 55Exercício Prático - Cota - Área - Volume (Açude)........... ........... .......... ........... ........... .......... ........... .......... ........ 56

CAPÍTULO 5 ........................................................................................................................................................ 58

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEAR................................................................................................................ 59

RESOLUÇÃO PELO MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS. ......................................................................................... 60RESOLUÇÃO PELO MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN. ........................................................................... 63MÉTODO DA MATRIZ INVERSA: ............................................................................................................................... 66

EXERCÍCIOS....................................................................................................................................................... 70

CAPÍTULO 6 ........................................................................................................................................................ 71

INTERPOLAÇÃO ................................................................................................................................................. 72

FORMULA DE LAGRANGE PARA O POLINÔMIO INTERPOLANTE. ................................................................................ 73

EXERCÍCIOS ..................................................................................................................................................... 74APÊNDICE ........................................................................................................................................................... 75

APÊNDICE 1 ........................................................................................................................................................ 76

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES E AULAS DE LABORATÓRIOS. ................................................................................ 76REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................................... 76

AULA DE LABORATÓRIO - INTRODUÇÃO AO USO DE PLANILHA ELETRÔNICA........................ 77

COMO SELECIONAR CÉLULAS E MOVIMENTAR-SE EM UMA PLANILHA ...................................................................... 78COMO DIGITAR NÚMEROS E FORMULAS. .................................................................................................................. 78INSERINDO UMA FUNÇÃO DE PLANILHA EM UMA FÓRMULA COM O ASSISTENTE DE FUNÇÃO................................... 82

APÊNDICE 2 ........................................................................................................................................................ 86

VAMOS APRENDER PLANILHA ELETRÔNICA - UM FÁCIL SOFTWARE.......................................... 87

1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................................................. 872. OBJETIVO......................................................................................................................................................... 883. O QUE FAZER EM PLANILHAS..................................................................................................................... 884. O AMBIENTE DA PLANILHA (AS PLANILHAS) E SEUS RECURSOS.......... .......... ........... ........... .......... . 895. EXEMPLOS - APLICAÇÃO DE CALCULO NUMÉRICO ............................................................................. 92

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON .......... ........... .......... ........... .......... ........... ........... .......... ........... .......... ........ 92UMA APLICAÇAO EM UM PROBLEMA DE HIDRÁULICA........................................................................... 95 INTEGRAÇAO NUMÉRICA......... .......... ........... .......... ........... .......... ........... .......... ........... .......... ........... .......... ... 97

6. CONCLUSÃO.................................................................................................................................................... 99REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................................... 99

PRÁTICAS E APLICAÇÕES - EXERCÍCIOS DIVERSOS...................................................................... 101Exercício - Série de Potências.......................................................................................................................... 102 Aula Prática - Método de Birge-Vieta........... ........... .......... ........... .......... ........... .......... ........... .......... ........... .... 103 Aula Prática - Método de Newton-Raphson........... .......... ........... .......... ........... ........... .......... ........... .......... ...... 105 Interpolação Polinomial de Lagrange .......... ........... .......... ........... .......... ........... .......... ........... .......... ........... .... 108Uma Aplicação com o Método de Newton- Raphson ....................................................................................... 111Prova 1 ............................................................................................................................................................. 113Prova 2 ............................................................................................................................................................. 116Prova 3 ............................................................................................................................................................. 118


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Prova 4 ............................................................................................................................................................. 120Prova 5 ............................................................................................................................................................. 123Prova 6 ............................................................................................................................................................. 124


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PRIMEIRA AULA DE CÁLCULO NUMÉRICO

Seja g(x) = sen(x). Vamos calcular os valores dessa função para os ângulos x (em radianos) de

15, 30, 45, 60 e 90 graus,.

Por outro lado, considere f(x) = x -x3 /6 + x5 /120.Preencha o quadro 1 abaixo e obtenha os valores de f(x) e g(x) nas colunas E e F

respectivamente. Na coluna G represente o modulo da diferença obtida entre a f(x) e a g(x).

Observe que tal diferença é bem pequena.

Quadro 1. Cálculo comparativo das funções f(x) e g(x).

A B C D E F G1 angulo x (angulo) -x3 /6 x5 /120 soma (B+C+D) sen(x) | f(x) - g(x) |2 graus radianos f(x) g(x)

3 15 0,261799 -0,00299 1,02E-05* 0,258819062 0,25882 1,6708E-08

4 30

5 45

6 60

7 75

8 90

Assim vemos que é possível obter, de forma bastante satisfatória, os valores da g(x) a partir de

uma série de potências dada por f(x).

* 1,02E-05 representação científica de 0,0000102.


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Resposta:

Quadro 1. Cálculo comparativo das funções f(x) e g(x).

A B C D E F G1 angulo x (angulo) -x3 /6 x5 /120 soma (B+C+D) sen(x) | f(x) - g(x) |

2 graus radianos f(x) g(x)3 15 0,261799 -0,00299 1,02E-05 0,258819062 0,25882 1,6708E-084 30 0,523599 -0,02392 0,000328 0,500002133 0,5 2,1326E-065 45 0,785398 -0,08075 0,00249 0,707143046 0,70711 3,6265E-056 60 1,047198 -0,1914 0,010495 0,866295284 0,86603 0,000269887 75 1,308997 -0,37382 0,032027 0,967201802 0,96593 0,001275988 90 1,570796 -0,64596 0,079693 1,004524856 1 0,00452486

Seja escrever uma função sob a forma de soma de uma série de potências, de modo que dadauma função f(x) possamos calculá-las em qualquer ponto de sua definição, numa proximidade

de x0 , do seguinte modo:f(x) =

f(x0

)

0!(x-x

0+

f x0 (x-x

01 +

f (x0

)

2!(x-x

02 +

f 3(x0

)

3!(x-x

03 + . .. +

f n x0

n!x x

0n)

( )

!) ) )

( )( )0

1

′ ′ ′

−

Seja f(x) = sen(x) a função da qual desejamos calcular alguns valores aproximados em tornode x0 = 0. Desenvolva a série de f(x) até o sétimo têrmo (x0=0). Preencha o quadro abaixocom os valores de f(x) e suas derivadas, bem como os resultados dos termos usando a série deMaclaurin (x0=0) para x = π /4 radianos (0,78539816).

Quadro 2: Valores de f(0), suas derivadas e o resultadoda série truncada no 7o termo.

função e suasderivadas

valor parax = x0 = 0

resultado do termousando a série deMaclaurin para x = π /4radianos (0,78539816)

f(x) sen(x) 0 0f ´(x) cos(x) 1 0,78539816

f ´´(x)f ´´´(x) -1 -0,08074551

f 4(x) sen(x)f 5(x)f 6(x)

soma xxxxx xxxxx f (0,78539816)

Então, o valor calculado usando série acima é f(0,78539816) = , o que, pode sercomparado com o resultado que normalmente usamos da máquina de calcular (0,70710678),vendo-se, dessa forma, que obtivemos um valor bastante aproximado.À série acima chamamos de série de Taylor e, em particular para x0 = 0, chamamos de série deMaclaurin. Este é um processo pelo qual algumas funções mais complexas podem sercalculadas.


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CAPITULO 1


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CÁLCULO NUMÉRICO E GRÁFICO

SÉRIES DE POTÊNCIAS

Nas mais diversas áreas de Ciências exatas nos deparamos com problemas cujos resultados

finais ou parciais dependem de outros a serem obtidos no cálculo de uma integral definida, ou

de um sistema de equação linear, ou das raízes de uma equação, ou de uma interpolação, etc.,

que por vezes, resolvê-los, torna-se bastante complexo e demandaria muito tempo. Ademais

geralmente necessitamos apenas de uma aproximação desses valores e seria desperdício de

tempo procurar soluções exatas dos mesmos quando, em tese, sempre tomaremos valores com

aproximação de duas, três ou quatro casas decimais, o que finda por não ser exato.

Encontramos na Análise Numérica vários procedimentos simples que podem nos dar taisrespostas mais rapidamente do que pelo processo de cálculo como os que aprendemos em

disciplinas de Cálculo Integral e Diferencial, por exemplo. Trataremos aqui de técnicas de

resolução de problemas que nos dêem resultados razoavelmente aproximados de modo que

possamos aplicá-los nas resoluções de problemas aplicados à nossa área.

As soluções dos problemas, muitas vezes, tanto podem ser reais como complexas, nessa

disciplina limitaremos nossos estudos as soluções reais, deixando para outro curso as soluções

complexas.Em muitos problemas transformaremos a solução de funções de cálculos complexos em

operações de simples aritmética (soma, subtração, multiplicação e divisão). Por exemplo,

vejamos como poderíamos obter valores de sen(x) em procedimentos como esse.

Seja g(x) = sen(x). Vamos calcular os valores dessa função para os ângulos x (em radianos) de

15, 30, 45, 60 e 90 graus,. Por outro lado, considere f(x) = x -x3 /6 + x5 /120. Os valores de f(x)

e g(x) encontram-se no quadro 1 abaixo na coluna E e F respectivamente. Na coluna G

apresentamos o modulo da diferença obtida entre a f(x) e a g(x). Observe que tal diferença é

bem pequena. Assim vemos que é possível obter, de forma bastante satisfatória, os valores da

g(x) a partir de uma série de potências dada por f(x).


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Quadrro 1. Cálculo comparativo das funções f(x) e g(x).

A B C D E F G1 angulo x (angulo) -x3 /6 x5 /120 soma (B+C+D) sen(x) | f(x) - g(x) |2 graus radianos f(x) g(x)3 15 0,261799 -0,00299 1,02E-05 0,258819062 0,25882 1,6708E-084 30 0,523599 -0,02392 0,000328 0,500002133 0,5 2,1326E-065 45 0,785398 -0,08075 0,00249 0,707143046 0,70711 3,6265E-056 60 1,047198 -0,1914 0,010495 0,866295284 0,86603 0,000269887 75 1,308997 -0,37382 0,032027 0,967201802 0,96593 0,001275988 90 1,570796 -0,64596 0,079693 1,004524856 1 0,00452486

SÉRIE DE POTÊNCIAS PARA FUNÇÕES

Calculamos qualquer função racional de x usando operações racionais da aritmética (adição,

subtração, multiplicação e divisão), porém o cálculo de funções como cos(x), ln(x), sen(x),

etc., não podem ser efetuados tão simplesmente. Tais funções, entretanto, já aparecem

normalmente impressas em livros ou têm seus valores disponíveis em calculadoras e

computadores, determinados a partir de séries de potências, obtidas quando tentamos

aproximar uma função.

Uma série de potências é uma série da forma:

n

n

na x

=

∞

0

= a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ....

Desenvolvimento em série de Taylor

Série Infinita de Potências

Considere f(x) uma função diferenciável, com todas as derivadas no ponto x= x 0 . Supondo

que f(x), numa vizinhança de x0 , possa ser representada por uma série de potências em x-x 0,

teremos:

f(x) = c0 + c1 (x-x0) + c2(x-x0)2 + c3(x-x0)

3 + ........ + cn(x-x0)n + .....


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ou

f(x) =n=

∞

0

cn(x-x0)n

da qual precisamos apenas determinar os valores dos coeficientes c0, c1, c2, ..... cn.

As derivadas de f(x), na mesma vizinhança, podem ser obtidas, em condições bastante

satisfatórias, diferenciando a série (1) termo a termo. Assim:

f’(x) =n=

∞

1

ncn(x-x0)n-1 = c1 +

n=

∞

2

ncn(x-x0)n-1

(2)

f’’(x) =n=

∞

2

n(n-1)cn(x-x0)n-2 = 2c2 +

n=

∞

3

n(n-1)cn(x-x0)n-2 (3)

.

.

.

f m(x) =n!

( )!n mn m −=

∞

cn(x-x0)n-m = m!cm +

n!

(n m)!−= +

∞

n m 1cn(x-x0)

n-m (m+1)

tomando x = x0 em ambos os membros das equações 1, 2, 3, ..., (m+1), teremos:

f(x0) = c0 ; c0 = f(x0)

f’(x0) = 1.c1 c1 = f’(x0)

f’’(x0) = 2.1.c2 2,,

0c

f (x )

2!=

f’’’(x0) = 3.2.1c3 3,,,

0c f (x )3!=

.

.

f m(x0) = m!cm mm

0c

f (x )

m!=


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Assim:

f(x) =n

0f (x )

n!n=

∞

0

(x-x0)n

onde:

f n(x) é a derivada de ordem n, de f(x) no ponto x=x0; 0! = 1 e (x-x0)0 = 1.

Desse modo conhecendo-se o valor de f n(x0), poderemos determinar uma aproximação

razoável de f(x) com x nas proximidades de x0.

Evidentemente ao fazê-lo teremos que calcular a série para um número limitado de termos,

truncando-a, o que nos dará apenas uma aproximação do valor de f(x), cujo erro chamaremos

de erro de truncamento, dado por: em(x) = |m 1f

(m 1)

+

+

( )

!

α(x-x0)

m+1 |, com α ε (x,x0) ou α ε (x0,x),

para uma série com desenvolvimento de m+1 termos, e que pode ser demonstrado através do

teorema do valor médio, ver por exemplo Cálculo Volume 1, Serge Lang.

Como α não é um valor conhecido, usa-se, para o cálculo do erro de truncamento, uma cota

superior, Mm+1, da derivada de ordem m+1 de f(x), dando:

em(x) ≤ |

M

(m 1)!

m+

+

1

(x-x0)

m+1

|

Em séries com sinais alternados e termos decrescentes têm-se α = x0.

Série de Maclaurin.

Exemplo:

1. Desenvolver a série de Taylor para f(x) = sen(x), com x0 = 0 (também conhecida como série

de Maclaurin).

De:

f(x) =n

n nf (x )0

!=

∞

0

(x-x0)n , tomando-se x0 = 0, obtemos:


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f(x) =n

n

f (0)

n!=

∞

0

(x)n , que é também conhecido como série de Maclaurin.

Assim, temos:

(-1)n/2 sen(x) se n é parf n (x) =

(-1)(n-1) / 2 cos(x) se n é impar

que para x0 = 0 dá:

(-1)n/2 sen(0) = 0 ,se n é parf n(x0) =

(-1)(n-1) / 2 cos(0) = (-1)(n-1) / 2 se n é imparlogo, de:

f(x) =n

n nf (0)

!=

∞

0

(x)n

obtemos:

f(x) = 0 + x +0 -3x

3!0

5x5!

07x

7!0

9x9!

....+ + + − + + +

observe que todos os termos de ordem par são iguais a zero pois sen(0) = 0.

2. Calcular o sen(0,5) de modo que o erro de truncamento seja inferior a 0,00005.

Resolução:

Para x0 = 0 temos a série já desenvolvida no exemplo 1:

f(x) = 0 + x +0 -3x

3!0

5x5!

07x

7!0

9x9!

....+ + + − + + +

Sabemos que o erro de truncamento é dado por:

em(x) = |

m 1f +

+

( )

( )!

α

m 1(x-x0)

m+1 | , com α ε (x,x0) ou α ε (x0,x), da qual teremos que avaliar uma

cota superior do |f m+1(x)|, isto é, avaliar uma cota superior para sen(x) ou cos(x), conforme seja

a ordem da derivada procurada, o que pode ser avaliada de modo simples pois |sen(x)| ≤1 e

|cos(x)| ≤1, qualquer que seja x.

Assim em:

em(x) ≤ |Mm

m

+

+

1

1( )!(x-x0)

m+1 |


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tomamos a cota Mm+1 = 1 ∀ x e como x0 = 0 temos:

em(x) ≤ |xm

m

+

+

1

1( )!| ; logo se olharmos para todos os valores de | x |≤1, vemos que em(x) tende a

zero quando n cresce arbitrariamente. Desse modo:

em(x) ≤ |x

(m 1)!

m+

+

1

| ≤ 0,00005 = z

Hipóteses:

se m=1 e1(0,5) =

20,52! = 0,125 > z, não satisfaz.

........................................................................................

se m = 4 e4(0,5) =50,5

5! = 0,00026 > z, não satisfaz.

se m = 5 e5(0,5) =60,5

6!= 0,0000217 < z, satisfaz.

Assim, com m = 5 temos um erro que se coloca dentro da aproximação desejada, então

truncaremos a série na posição correspondente a derivada de ordem 5, ou seja, no sexto termo

da série.

f(x) = 0 + x + 0- x3!

0 x5!

0 x7!

0 x9!

....3 5

TRUNCAR A SERIE AQUI.

7 9

+ + ↓ + − + + +

f(0,5) = 0 + 0,5 + 0 -0,53!

00,55!

3 5

+ + = 0,4794271.

Por outro lado observe que a série desenvolvida f(x) = x - x

3!

x

5!

x

7!

x

9!

....3 5 7 9

+ − + + , sem os

termos nulos, é decrescente e de sinal alternado. Desse modo α = x0 = 0 e teríamos sen(0) = 0

e cos(0) = 1, como resultado de f m+1(α), conforme seja m, de modo que o erro seria calculado

com base no valor de f m+1(0) = 1, conforme já foi feito.


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3. Seja f(x) = x2 - sen(x) do qual desejamos encontrar uma raiz maior que zero, com um erro

não maior que 0,005.

Resolução:

Antes de desenvolver a série de potências para f(x) = x2 - sen(x) vamos fazer o gráfico, figura

1, de y = f(x) para termos uma idéia inicial do valor desta raiz. Pelo gráfico vemos que a raiz

está proxima de 0,9. E assim podemos estimar o erro em(x) para x=0,9, e desse modo, saber

onde truncar a série garantindo um erro de estimativa não maior que 0,005.

-1

0

1

2

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5

x

y

Figura 1. Gráfico de f(x) = x2 - sen(x)

Como vemos a raiz de f(x) encontra-se no intervalo (0;1) e assim poderemos escrever a sériede Maclaurin (x0 = 0), pois o valor que procuramos encontra-se nas proximidades de zero.

Temos:

f(x) = x2 - sen(x) f(0) = 0

f’(x) = 2x - cos(x) f’(0) = -1

f’’(x) = 2 + sen(x) f’’(0) = 2

f 3(x) = cos(x) f 3(0) = 1

f 4

(x) = - sen(x) f 4

(0) = 0f 5(x) = - cos(x) f 5(0) = -1

f 6(x) = sen(x) f 6(0) = 0

f 7(x) = cos(x) f 7(0) = 1

Desse modo,


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f(x) = 0 - x + 2x2!

+ x3!

0 x5!

0 x7!

0 x9!

....2 3 5 7 9

+ − + + + − +

O erro pode ser calculado por: em(x) ≤ |xm

m

+

+

1

1( )!| ≤ 0,005 = z, considerando que a partir de

f 3(x)= cos(x) teremos cota superior não maior que 1 e que portanto poderemos considerar

Mm+1= 1.

Hipóteses:

se m=3 e3(0,9) =40,9

4!= 0,0273375 > z, não satisfaz.

se m = 4 e4(0,9) =50,9

5! = 0,004921< z, satisfaz.

Assim, com m = 4 temos um erro estimado dentro da aproximação desejada, então

truncaremos a série na posição correspondente a derivada de ordem 4, ou seja, no seu quinto

termo.

f(x) = 0 - x + 2x2!

+ x3!

0 x5!

0 x7!

0 x9!

....2 3

TRUNCAR AQUI

5 7 9

+ ↓ − + + + − +

e assim procuraremos a raiz de f(x) = 0 - x + 2x2!

+ x3!

2 3

+ 0 , que nos dará um valor da raiz

de x2 - sen(x), com um erro não maior que 0,005. Desse modo temos

f(x) = 0 - x + 2x2!

+ x3!

02 3

+ = 0, que nos dá -6x + 6x2 + x3 = 0. Com x em evidência vem:

x(-6 + 6x + x2) = 0, ou seja, teremos x = 0 (raiz trivial), ou -6 + 6x + x2 = 0. Essa equação do

segundo grau resolvida nos dá a raiz positiva x1 = 0,872983, que calculada em f(x) = x2 -

sen(x) dá -0,00415, valor próximo de zero. Portanto, x1 pode ser tomado como o valor da raiz

procurada

Mais tarde aprenderemos a determinar zeros de função por outros métodos e veremos que um

valor mais aproximado da raiz de f(x), nesse exemplo, seria 0,876702, de onde teriamos


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f(0,876702) = -2,7E-05 (valor bem mais próximo de zero). O modulo da diferença entre essa

raiz e a encontrado na série de Maclaurin é | 0,876702 - 0,872983 | = 0,003719 < z (0,005).

Por outro lado, se substituirmos x = 0,872983 em em(x) teremos e4(0,872983) = 0,004225 e

portanto menor que 0,005. Assim a raiz, 0,872983, encontrada com o desenvolvimento em

série de Maclaurin para a função f(x) = x2 - sen(x), atende a aproximação desejjada e pode, ser

utilizada como raiz de f(x).

Zeros de Função Usando a Série de Taylor com Apenas Dois Termos.

Seja a série de Taylor:

f(x) = f(x0) + f’(x0)(x-x0) + ....

Consideremos apenas os dois primeiros termos da Série acima.f(x) = f(x0) + f’(x0)(x-x0)da qual queremos uma raiz nas proximidades de x0.

Assim, f(x0) + f’(x0)(x-x0) = 0. De onde:

x = x0 - f(x0) / f’(x0)

O erro de truncamento seria dado por:erro = | f’’(z)(x-x0)

2 /2|onde o valor de f’’(z) pode ser substituido por M2 (máximo relativo) de f’’(x) nointervalo em estudo.Para cada valor calculado xi, teremos uma nova aproximação da raiz e o erro detruncamento será:erro = | M2 (x-xi)

2 /2|Como exemplo tomemos o seguinte exercício:f(x) = xln(x) -1 = 0, com uma raiz próxima a 1,6.

f’(x) = ln(x) +1f’’(x) = 1/x, que no intervalo [1,2] tem um máximo relativo para x = 1.Para cada novo valor de xi calculado teremos uma nova posição do erro detruncamento. Os valores calculados são os demonstrados na tabela abaixo.

f(x) f'(x) 1,6 erro absoluto erro t = (G2-D2)^2/21,6 -0,24799 1,470004 1,768703 0,168703 0,01423


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1,768703 0,008597 1,570247 1,763228 0,005475 1,5E-051,763228 8,48E-06 1,567146 1,763223 5,41E-06 1,46E-111,763223 8,31E-12 1,567143 1,763223 5,3E-12 1,4E-23


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Exercícios para Casa

1. Achar os 4 primeiros termos não nulos da série de Maclaurin das seguintes funções:

a) 11+ senx

b) sen(x) . cos(x)

c)1

2cos x

d) sen(x) - cos(x)

e) sen(x) + cos(x)

f) tg(x)

g) ex cos(x)

h) ex sen(x)

i) ex + e-x

j) 1 + 3x +3x2 + 2x3

2. Usando um desenvolvimento em série de Taylor para x0 = 1 , calcular, usando 4 casas

decimais, o inverso de 0,5:

a) truncando a série no quinto termo;

b) qual o erro cometido em a;

c) qual o valor obtido para um erro de truncamento menor que 0,0005.

3. Seja f(x) = x2 - sen(x). Encontre, usando uma série de Maclaurin, uma raiz maior que zero,

com um erro de truncamento não maior que 0,005.


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Exercício para o Laboratório/Casa

I) Dadas as funções abaixo, pede-se:a) traçar o gráfico no intervalo indicado, usando pelo menos 21 pontos de plotagem;

b) uma aproximação inicial x0 da raiz, se houver;c) escolha um dos gráficos e imprima.

1) f(x) = -x3 + 3x -5 [-3;3]2) p(x) = x5 -(10/9)x3 +(5/21)x [-1;1]3) f(x) = x3 - 9x + 3 [-4;4]4) p(x) = x4 - 16x3 + 500x2 - 8000x + 32000 [0;20]

5) f(x) = x - 5e-x [0;4]6) f(x) = xln(x) -1 [0,2;4,2]7) g(x) = x - 2cos(x) [0;π]8) g(x) = x2 - cos(x) [0;π]

II) Seja f(x) uma função da qual queremos uma raiz nas proximidades de x0. Considere o quese segue:

Seja a série de Taylor: f(x) = f(x0) + f’(x0)(x-x0) + ....Consideremos apenas os dois primeiros termos da Série acima.f(x) = f(x0) + f’(x0)(x-x0)Assim, f(x0) + f’(x0)(x-x0) = 0. De onde: x = x0 - f(x0) / f’(x0)O erro de truncamento seria dado por: erro = | f’’(z)(x-x0)

2 /2| onde o valor de f’’(z) pode ser

substituido por M

2

(máximo relativo) de f’’(x) no intervalo em estudo.Para cada valor calculado xi, teremos uma nova aproximação da raiz e o erro de truncamentoserá: erro t ≤ | M2 (x-xi)

2 /2|.

Como exemplo tomemos o seguinte exercício:f(x) = xln(x) -1 = 0, com uma raiz próxima a 1,6.f ’(x) = ln(x) +1f ’’(x) = 1/x, que no intervalo [1,2] tem um máximo relativo para x = 1, de onde M2 = 1.Para cada novo valor de xi calculado teremos uma nova posição do erro de truncamento.Os valores calculados são os demonstrados na tabela abaixo.

f(x) f '(x) 1,6 erro absoluto erro t = |(G2-D2)^2/2|1,6 -0,24799 1,470004 1,768703 0,168703 0,01423

1,768703 0,008597 1,570247 1,763228 0,005475 1,5E-051,763228 8,48E-06 1,567146 1,763223 5,41E-06 1,46E-111,763223 8,31E-12 1,567143 1,763223 5,3E-12 1,4E-23


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Assim, usando os resultados já encontrados em I, determine pelo menos uma raiz de cadafunção, de modo que, o erro absoluto seja menor que 0,0005, calculando do modo acima ondecada valor de x é determinado pela expressão: x = x0 - f(x0) / f’(x0), como acima.


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Exemplo 2.

f(x) = x - 5e-x [0;4], = 0, com uma raiz próxima a 1,5.

-6

-4

-2

0

2

0 1 2 3 4

Temos:f ’(x) =0,5 x -0,5 + 5e-x f ’’(x) = -0,25 x-1,5 - 5 e-x , que no intervalo [1,2] (x0 está entre 1 e 2) tem um máximo relativopara x = 1, de onde M2 = -2,0893972 e erro t ≤ | M2 (xi+1 -xi)

2 /2|.

x f ''(x)

1 -2,08939721,5 -1,2517336

2 -0,7650648

Para cada novo valor de xi calculado teremos uma nova posição do erro de truncamento.Os valores calculados são os demonstrados na tabela abaixo.

x f(x) f '(x) xn erro absoluto erro t

1,5 0,1090941 1,5238991 1,4284112 0,0715888 0,005354

1,4284112 -0,0032856 1,6168006 1,4304434 0,0020321 4,314E-061,4304434 -2,775E-06 1,6140704 1,4304451 1,719E-06 3,088E-121,4304451 -1,984E-12 1,6140681 1,4304451 1,229E-12 1,577E-241,4304451 0 1,6140681 1,4304451 0 0

Assim, uma raiz desta função, com erro absoluto menor que 0,005, calculado do modo quecada valor de x foi determinado pela expressão: x = x0 - f(x0) / f’(x0), é 1,4304434, ou comovemos o valor obtido na segunda iteração. Os demais valores estão sendo apresentados apenaspara o aluno observar a evolução do resultado com os erros diminuindo e tendendo a zero.


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CAPÍTULO 2


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ZEROS DE FUNÇÃO

É comum encontrarmos problemas do qual precisamos resolver equações do tipo f(x) = 0.Trataremos aqui da determinação dos zeros de uma função, considerando apenas funções deuma variável.

A determinação dos zeros de f(x) equivale a calcular as raízes de f(x) = 0.Encontrar, por exemplo, as raízes de uma equação do segundo grau, f(x) = ax2 + bx +c = 0,

não é muito complicado, basta usarmos a expressão algébrica xi =− ± −b b ac

a

2 4

2. Porém,

nem sempre dispomos de métodos algébricos de resolução e iremos encontrar solução para adeterminação dessas raízes na Análise Numérica, onde obteremos resultados aproximados,mas satisfatórios.Como sabemos, os zeros de uma função f(x) são os valores de x (reais ou complexos) para oqual f(x) é zero. No nosso estudo consideraremos apenas os zeros reais, de modo que, nográfico de f(x) serão representados pelas abcissas dos pontos onde a curva corta o eixo dos x.

A figura representa o gráfico de uma função f(x)com três raízes, r1, r2 e r3, no intervalo [0;1,5].

Todos os métodos que estudaremos para determinação das raízes de uma dessas funções f(x)são iterativos e portanto, precisaremos dispor inicialmente de uma primeira aproximação x0 daraiz r a determinar, o que faremos aproximadamente.Esta primeira aproximação x0 da raiz pode ser obtido, por exemplo, traçando-se o gráfico dafunção como na figura 1. Observando esse gráfico vemos, por exemplo, que r1 está próximo de0,2; r2 está próximo de 0,7 e r3 próximo de 1,25. É claro que estes valores não foramdeterminados e sim obtidos através da observação do gráfico. Desse modo, poderíamos dizertambém que r1, r2 e r3 estão também próximos de 0,1, 0,8 e 1,3, o que daria no mesmo poisestaríamos apenas indicando uma primeira aproximação x0 das raízes. Na realidade os valoresdessas raízes naquela função são, 0,12, 0,78 e 1,25 respectivamente.

Método da bisseção

Figura 1. Gráfico de f(x)

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 0,5 1 1,5

Eixo x

Eixo y

r1 r2 r3

y=f(x)


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As vezes o equacionamento do problema permite de imediato uma previsão do resultado. Eoutras vezes preferimos fazê-lo analiticamente como veremos adiante ao usarmos o método dabisseção. Este método consiste em obter duas abcissas a e b razoavelmente próximas tais quef(a).f(b) < 0. Dessa forma espera-se que uma raiz se encontre no intervalo (a,b) e toma-se x 0 =a b+

2. No exemplo em estudo teriamos: f(0).f(0,5) < 0 e x0 = 0,25; f(0,5).f(1) < 0 e x0 = 0,75;

f(1).f(1,5) < 0 e x0 = 1,25, uma outra aproximação inicial x0, das raízes de f(x).

Exemplo.

Uma tubulação de aço rebitado, com 0,35m de diâmetro e 350m de comprimento, conduz150l/s de água a 15,5o C. A rugosidade do tubo é k = 0,003m. A viscosidade cinemática daágua a essa temperatura é ν = 1,127 . 10-6 m2 /s. Determinar a velocidade média e a perda decarga.

Solução:

a) v = velocidade média; v = Q / S ; S = π D2 / 4 = 0,0962 m2; v = 0.150 / 0,0962 =1,56m/s.

b) perda de carga: hf = f L

D

V2

2g ; (onde: L, D, g, v, já são conhecidos).

o valor desconhecido f pode ser calculado através da expressão:

1

f = - 0,87 ln (

k

3,7D +

2,51

R f ) ;

onde R = vD/ ν R = 1,56 x 0,30 / (1,127.10-6) = 415262

k/D = 0,003/0,3 = 0,01.

Assim teremos:

1

f = - 0,87 ln (

0,01

3,7 +

2,51

415262 f ) , da qual desejamos o valor de f. Podemos

assim, escrever uma função g(f) =1

f + 0,87 ln (

k

3,7D +

2,51

R f ) = 0 , onde k/D =

0,01 e R = 415262, da qual desejamos determinar f r (raiz de g(f)), de modo que g(f r)=0.


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Como vemos, precisamos então resolver a equação g(f) = 0 obtendo suas raízes1, e obter umaequação que nos dê direto o valor de f, de modo que g(f) = 0, não será fácil, talvez até nem sejapossível. Entretanto se recorrermos ao Cálculo Numérico, poderemos encontrar sem grandestrabalhos uma boa aproximação deste valor.Nosso objetivo é agora estudar alguns métodos numéricos para a resolução de problemas dessa

natureza, e que frequentemente ocorrem nas mais diversas áreas da ciências exatas comoengenharia, por exemplo.

Método de Iteração Linear - MIL

Este método, apesar de não ser o mais eficiente, constitui-se em um algoritmo bastantesimples, no qual, dada uma função f(x) com uma raiz real r, devemos transforma-la, por umartifício algébrico qualquer, em uma expressão do tipo x = F(x) onde F(x) poderá ser a funçãode iteração que procuramos.Por exemplo, só para rápido entendimento, se em f(x) = 0 somarmos x a ambos os membros,

teremos x+ f(x) = x. Considerando F(x) = x + f(x) a expressão procurada, isto é, x = F(x). Estefoi um artificio algébrico utilizado só como exemplo, porém as vezes nos valemos dele paraencontrar a função de iteração procurada.Assim, uma vez encontrada a função de iteração F(x), se r é a raiz de f(x) então r = F(r) eportanto, se a primeira aproximação x0 fosse a raiz r, teríamos x0 = F(x0). Como em geral x0 édiferente de r, teremos x0 ≠ F(x0). Seja então, x1 = F(x0). O valor de x1 é uma aproximação der obtido numa primeira iteração e que se espera esteja mais próximo de r do que x 0.

A interpretação gráfica do método éfornecida na figura 2, acima. A raiz é aabcissa do ponto de interseção da reta y

= x com o gráfico de F(x). A sequênciade valores obtidos é indicado pelas setasonde OB = BM = AP, e como OB = x1 eAP = F(x0), obtemos x1 = F(x0), maispróximo de r como se espera. Adotandoreiteradamente este procedimentoteremos a sequência de aproximações x1 = F(x0), x2 = F(x1), x3 = F(x2), .... , xn+1 =F(xn).Em alguns casos, um número infinito deiterações levará ao valor exato de r.O problema resume-se então em

encontrar uma função de iteração F(x) que, partindo de um valor x0 pertencente a umavizinhança I de r, venha a convergir para uma raiz real r ε I, na sequencia obtida em x = F(x).Esta convergência2 estará garantida sempre que a função de iteração F(x) for diferenciável e setivermos | F’(x) | < 1 para todo x ε I. Senão a sequência não convergirá.

1Este problema encontra-se resolvido na página 63#.2O estudo da Convergência poderá ser encontrado nos livros de Cálculo Numérico.

Figura 2. Interpretaçao gráfica do MIL

0

0,25

0,5

0 0,3 0,6X

Y

y = x

y = F(x)

rAx0

Bx1

F(x0)

P

Q

M

O


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Assim, para asseguramos o processo devemos:1. Escolher x0 na vizinhança da raiz procurada condição não necessária);2. Escolher F(x) tal que | F’(x) | < 1 para todo x na dita vizinhança (condição necessária).Exercício de aplicação:Seja f(x) = x3 - ln(x15) = 0.

Para determinar x0 tracemos o gráfico de f(x).

A observação da figura nos mostra que existe uma raiz r ε [1;1,5] próxima de 1 por exemplo.Tomemos x0 = 1.De f(x) = x3 - ln(x15) = 0, obtemos x3 - ln(x15) + x = x, ou x3 - 15ln(x) + x = x. E portanto,temos F(x) = x3 - 15ln(x) + x.

A condição de convergência é | F’(x) | < 1. Temos que F’(x) = 3x2 -15

x

+ 1.

A rigor deveríamos obter | F’(x) | < 1 para todo x ε [1;1,5]3 ou então calcular | F’(r) | para testara condição necessária de convergência, | F’(r) | < 1. Como r não é conhecido, e nem sempre sepode facilmente provar que | F’(x) | < 1 para todo x ε I, substituímos esse teste por | F’(x0) | <1, que no entanto não será tida como condição necessária para convergência, mas sim umprocesso aproximado de testar a priori, a função de iteração escolhida, que tanto melhorfuncionará quanto mais próximo de r estiver x0. De resto, só os cálculos comprovarão ou não

a convergência do processo. Desse modo, | F’(1) | = | 3 -15

1 + 1 | > 1. Podemos pois, esperar

que a condição necessária de convergência | F’(r) | < 1, não seja satisfeita.

Mudemos agora F(x). De f(x) = x3

- ln(x15

) = 0, obtemos x = ex 315

. Teremos F(x) = ex 315

, eF’(x) = e

x 315 3

15

2.x, onde |F’(1)| = | e

1315 31

15

2. |. E portanto, | F’(1) | = | 0,213787821 | 1 e |F’(1,5)| = 2,25 > 1, sendo F’(x) contínua, podemos concluir que|F’(x) | > 1 para qualquer x do intervalo em estudo.

Figura 3. Exercício de aplicação - Gráfico def(x).

-50

5

10

15

20

25

30

35

0 0,5 1 1,5 2

X

Y

f(x) = x3 - ln(x15)


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Adotando uma tolerância de 0,005 para o erro absoluto, Ea = | xk+1 - xk |, temos (ver resultadosnas linhas 2, 3 e 4 da planilha 1):x1 = F(x0) = F(1) = 1,0689, Ea = | x1 - x0 | = | 1,0689 -1 | = 0,0689 > tolerância (tol) - linha 2;x2 = F(x1) = F(1,0689) = 1,0848, Ea = | x2 - x1 | = | 1,0848 - 1,0689 | = 0,0159 > tol - linha 3;x3 = F(x2) = F(1,0848) = 1,0888, Ea = | x3 - x2 | = | 1,0888 - 1,0848 | = 0,0040 < tol - linha 4;

logo x3 = 1,0888 é o valor da raiz, com a aproximação desejada, isto é, com um erro absolutoentre duas iterações subsequentes menor que 0,005. Abaixo apresentamos a planilha 1, ondetemos os valores de F(x), do erro absoluto e de f(x).

Planilha 1. Valores da função de iteração F(x).A B C

1 F(x) ERRO f(x)2 13 1,068939106 0,068939106 0,2214027584 1,08483386 0,015894754 0,0552997035 1,08884064 0,004006781 0,014198627

Roteiro Prático Para o Cálculo de Raízes de Funções

1. Determine uma primeira aproximação x0 do zero de f(x) (através do gráfico ou do métododa bisseção);

2. Determine, por um procedimento algébrico qualquer, partindo de f(x) = 0, uma função deiteração F(x), de modo a ter, a fórmula de recorrênncia x= F(x);

3. Teste a condição não necessária | F’(x0) | < 1 para convergência, um processo aproximadode testar a priori, a função de iteração escolhida, que tanto melhor funcionará quanto maispróximo de r estiver x0. De resto, só os cálculos comprovarão ou não a convergência do

processo;4. Calcular uma nova aproximação (iteração). A sequência de aproximações de x pode serobtida pela formula de recorrência xk+1 = F(xk), onde F(xk) é chamada de função deiteração. Assim, x1 = F(x0), x2 = F(x1), x3 = F(x2), etc.;

5. Após cada iteração calcular o valor do erro absoluto entre duas iterações Ea = | xk+1 - xk | ou

do erro relativo Er =x x

xk k

k

+

+

−1

1

;

6. Comparar o erro com um valor arbitrariamente pequeno denominado tolerância (tol);a) se E < tol, tomar xk+1 como valor da raiz;b) se E > tol fazer nova iteração (item 4).

Exercício. Seja f(x) = 4sen(x) - ex.a) quantas raízes existem em I [0;2];b) que valores de x0 você indicaria para cada uma dessas raízes pelo gráfico;c) idem pelo método da bisseção;d) verifique se F(x) = ln[4sen(x)] pode ser uma função de iteração de f(x) = 0;e) usando o MIL determine uma raiz de f(x).


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Aula de Laboratório - Zeros de Função

Resolução.1) Inicialmente vamos plotar o gráfico de f(x). Para isso vamos, por exemplo usar o EXCEL.

Tomemos as células A1 até A16 para definir os valores do eixo dos X e B1 até B16 para os

valores do eixo dos Y .a) Em A1 digitamos 0 e em A16 digitamos 2. Marcamos com o mouse de A1 atéA16 e pedimos: Editar, Preencher, Sequência, e aceitando o valor doincremento, Ok.

b) Em B1 digitamos a função f(x), ou seja, =4*SEN(A1)-EXP(A1). Resta copiar oconteúdo de B1 para as células B2 até B16 (Editar, Copiar, - marcar as célulasB2:B16, Editar, Colar) .

2) Marca-se os eixos X e Y, marcando respectivamente o intervalo de A1 até B16 e emseguida pede-se: Inserir, Gráfico, Nesta planilha, (arrastando-se o mouse define-se aárea de plotagem do gráfico), Intervalo - próxima, Dispersão - próxima, Formato

(curvas) - próxima, verifica-se o exemplo e finaliza-se o gráfico . Do que obtemos:

a) Do gráfico obtido, figura 4, vemos que no intervalo dado existem duas raízes;


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b) uma delas próximo de x0 = 0,5 e outra próximo de x0 = 1,4 por exemplo;c) pelo método da bisseção temos que f(0).f(0,5) < 0, logo existe raiz em [0;0,5] e x0 = 0,25;temos ainda que f(1). f(1,5) < 0 logo existe raiz em [1;1,5] e x0 = 1,25;

d) F’(x) =4

4

cos( )

sen( )

x

x = cotg(x); | F’(0,5) | = | 1,83 | > 1, não converge; | F’(1,4) | = | 0,17 | < 1,

provavelmente converge, isto é, a função de iteração F(x) dada não converge para a raizpróxima a 0,5 mas, provavelmente converge para a raiz próxima a 1,4;e) Usando o MIL, com uma tolerância de 0,005, vamos encontrar a raiz 1,365 (célula B4),partindo de x0 = 1,4 (célula A2):

A B C

1 x F(x) Erro absoluto2 1,4 1,3716372 0,02836283 1,3716372 1,3663297 0,00530754 1,3663297 1,3652438 0,0010859

onde em B2 temos o conteúdo =LN(4*SEN(A2)) e em C2 temos =ABS(B2-A2). Em seguidadeve-se copiar o conteúdo da linha 2 para a linha 3; alterar a célula A3 para que tenha omesmo valor de B2 (A3:=B2) e finalmente copiar a linha 3 para linha 4 e seguintes senecessário.

Figura 4. Gráfico de f(x)

-4

-3

-2

-1

0

1

0 0,5 1 1,5 2 X

Y

Método de Newton-Raphson

É um dos processos mais eficientes para o cálculo de raízes de equações. Neste método a

função de iteração é dada por xk+1 = xk -f x

f xk

k

( )

( ),, onde f’(xk) ≠ 0 e ainda que f’(xk) seja igual

a zero o processo pode continuar, bastando para isso que se tome para f’(x k), um valorarbitrariamente pequeno (próximo de zero).A expressão de Newton-Raphson pode ser obtida facilmente a partir das considerações abaixo.Seja o gráfico de f(x) , figura 5. Tomemos um ponto qualquer P em f(x) de modo que xk sejaum valor próximo de r.


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A tg(α) =AP

x xk k− +1 = f’(xk). Por sua vez, o

segmento AP = f(xk), o que nos dá f’(xk) =f x

x x

k

k k

( )

− +1, e portanto, para f’(xk) ≠ 0 temos:

xk+1 = xk -f x

f xk

k

( )

( ),.

O mais curioso neste método é que, em geral,afirma-se que ele converge, desde que x0 sejaescolhido suficientemente próximo da raiz r.Aqui nos omitiremos de demonstrar tal fato,

que foge ao nosso objetivo e que pode ser encontrado na maioria dos livros de CálculoNumérico.

Podemos observar, finalmente, que a expressão de Newton-Raphson acima já era nossaconhecida quando dos exercícios resolvidos em desenvolvimento em série de Taylorapresentados no Capítulo I deste trabalho.

Exercício. Seja f(x) = 4sen(x) - ex . A derivada de f(x) é f’(x) = 4cos(x) - ex. Assim, para umatolerância de 0,005, temos os resultados da planilha 3 e 4, que nos dão a aproximação das duasraízes, tendo em vista a tolerância, no intervalo em estudo. A primeira, partindo de x0 = 0,5nos dá r1 = 0,37055 (célula D4) e a segunda, de x0 = 1,4 obtem-se r2 = 1,364911 (célula D3).

planilha 3A B C D E

1 x f(x) f'(x) x-f(x)/f'(x) Erro absoluto2 0,5 0,2689809 1,861609 0,3555116 0,14448843 0,3555116 -0,03463 2,3229637 0,3704195 0,01490784 0,3704195 -0,000316 2,2803603 0,3705581 0,0001386

planilha 4.A B C D E

1 x f(x) f'(x) x-f(x)/f'(x) Erro absoluto2 1,4 -0,113401 -3,375331 1,366403 0,0335973 1,366403 -0,004483 -3,109328 1,3649611 0,0014419

A planilha 3 foi assim preparada:Célula Conteúdo

A2 =0,5B2 =4*COS(A2)-EXP(A2)C2 =-4*SEN(A2)-EXP(A2)D2 =A2-B2/C2E2 =ABS(D2-A2)

Figura 5. Método de Newton-Raphson

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3X

Y

y = f(x)

α

r

P

B A

xx+1 xk


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Copiar a linha 2 - posicionando na linha 2 Editar CopiarColar a cópia da linha 2 na linha 3 - posicionando na linha 3 Editar ColarA3 =D2Copiar a linha 3 - posicionando na linha 3 Editar CopiarColar a cópia da linha 3 na linha 4 e segs. - posicionando na

linha 4 e segs.

Editar Colar

Para se obter o resultado da planilha 4 basta mudar o valor da célula A2 para 1,4.

Exercício Resolvidos - Zeros de Função.

1) Ache pelo menos uma raiz positiva da funções abaixo:a)Usando o método de Newton-Raphson: f(x) = ecos(x) - x3 + 4 = 0 ; tol = 0,005.

Calculemos inicialmente alguns valores de f(x) com x > 0, até que tenhamos f(a).f(b) < 0.

x f(x)

0 6,7182821 4,7165262 -3,340417

Como f(1).f(2) < 0 temos que existe pelo menos uma raiz neste intervalo, isto é, ∃ r ∈ [1;2], de modo quepodemos tomar x0 , razoavelmente, dentro deste intervalo, por exemplo tomemos x0 = 1,5 (bisseção).

A derivada de f(x) é: f’(x) = ecos(x) [-sen(x)] - 3 x2. Usando o Método de Newton-Raphson, teremos:

x0 = 1,5xk f(xk) f’(xk) xk+1 erro absoluto

1,5 1,698299 -7,82061 1,717157 0,217157 > tol1,717157 -0,198959 -9,700939 1,696648 0,020509 > tol1,696648 -0,001953 -9,510902

1,696440,000205

< tolAssim, a raiz pode ser 1,69644 ou aproximadamente 1,696.

b) Usando o método de iteração linear: g(x) = x + 4ln(x) = 0 ; tol = 0,005.Calculemos inicialmente alguns valores de g(x) com x > 0, até que tenhamos g(a).g(b) < 0.

x g(x)0,1 -9,110340,5 -2,272589

1 1

Como g(0.5).g(1) < 0 temos que existe pelo menos uma raiz neste intervalo, isto é, ∃ r ∈ [ 0.5;1 ], de modo que

podemos tomar x0 , razoavelmente, dentro deste intervalo, por exemplo tomemos x0 = 0,75 (bisseção).

Primeira tentativa:

Temos: g(x) = x + 4 ln(x) = 0 ==> x = 4 ln(x). A função de iteração seria F(x) = 4 ln(x), cuja derivada é: F’(x) =4 / x. Com x0 = 0,75 temos | F’(0,75) | > 1, logo a função de iteração F(x) não converge.

Segunda tentativa:


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Temos: g(x) = x + 4 ln(x) = 0 ==> ln(x) = - x / 4 ==> x = e - x / 4.

De modo que a função de iteração pode ser: F(x) = e- x/4, cuja derivada é F’(x) = - e- x/4. (-1/4).Verificação da convergência:| F’(0,75) | = 0,21 < 1, portanto, a função de iteração F(x) provavelmente converge.

Cálculo das iterações:iterações xk+1 = F(xk) erro absoluto x0 = 0,75

x1 0,829029118 0,079029 > tolx2 0,812810504 0,016219 > tolx3 0,816112859 0,003302 < tol

Logo x3 satisfaz para a tolerância admitida e a raiz pode ser 0,816.

2. A viga de aço da figura , com seção retangular de base b = 0,06m por h = 0,10m de altura, tem a equação linha

elástica do trecho entre os apoios (vão de 4,0m), dada pela equação:

y =q

EJ24( -x4 +12,5x3 - 37,5x2 - 6,5x + 32,5 ). A flecha máxima (ymax), nessa figa, ou será na extremidade

livre do balanço ou no trecho entre os dois apoios. Se ela se der entre os apoios, será para a secção onde dy/dx=0. Ache então o valor de x para esta secção considerando a equação da linha elástica dada e determine o valorde ymax.

Dados: E = 2,1X1010 kg/m2; J =bh 3

12; e

q=1840kg/m.

A derivada de y é:

dy/dx =q

EJ24(-4x3 + 37,5x2 - 75x - 6,5) = 0

portanto precisamos encontrar uma raiz no intervalo [1;5] de f(x) = (-4x3 + 37,5x2 - 75x - 6,5) = 0.

Tomando o valor x0 = 2,5, e calculando as iterações pelo Método de Newton-Raphson, obteremos os seguintesresultados:

xk f(xk) f’(xk) xk+1 | xk+1 - xk |2,5 -22,125 37,5 3,09 0,59

3,09 1,789234 42,1728 3,047574 0,0424263,047574 0,001061 42,11556 3,047549 2,52E-05

que para uma tolerância de 0,005 no erro absoluto, nos dá a raiz 3,047549.De onde teremos y(3,047549) = - 0,05 m (flecha máxima).

q (t/m)

1,0m 4,0m


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Exercício para Resolver em Casa ou no Laboratório

I) Dadas as funções abaixo, pede-se:a) traçar o gráfico no intervalo indicado, usando pelo menos 21 pontos de plotagem;b) uma aproximação inicial x0 da raiz, se houver;

c) escolha um dos gráficos e imprima.d) determine, se houver, uma raiz em cada caso, utilizando os métodos aprendidos.

1) f(x) = -x3 + 3x -5 [-3;3]2) p(x) = x5 -(10/9)x3 +(5/21)x [-1;1]3) f(x) = x3 - 9x + 3 [-4;4]4) p(x) = x4 - 16x3 + 500x2 - 8000x + 32000 [0;20]

5) f(x) = x - 5e-x [0;4]6) f(x) = xln(x) -1 [0,2;4,2]7) g(x) = x - 2cos(x) [0;π]8) g(x) = x2 - cos(x) [0;π]

II. Seja f(x) = x2 - sen(x) e o intervalo [0;2]. Então ache um ponto de máximo ou mínimo def(x). Use, o Método de Newton-Raphson.

III. Seja f(x) = ex sen(x) - ln(b), onde b = 15a) verifique se há raiz(es) no intervalo [0;3]b) calcule, usando o Método de Newton-Raphson e tolerância de 0,005, uma raiz positiva de

f(x) = 0.xk f(xk) f ‘(xk) xk+1 erro absoluto

IV. Para um fluido em escoamento turbulento a relação entre o fator de atrito de Fanning C e onúmero de Reynolds R é dada por:

( )1

0 4 1 74 0C

R C+ − =, , ln . Sabendo que C é um número próximo de 0,01. Determine C

para R = 2500.

Sugestão: faça x =1

C , substitua na expressão acima e ai você terá sua função f(x) = 0. Use

um dos métodos iterativos estudado e, ache x com erro inferior a 0,005 (tolerância em x), emseguida C.xk xk+1 = F(xk) erro


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V. Seja f(x) = ex + cosx - (n+2) = 0 , então:a) usando o método da bisseção mostre que existe pelo menos uma raiz entre (0;4)b) adote um sub-interrvalo (a;b), de modo que f(a).f(b) < 0, e calcule, pelo Método da

Bisseção, três iterações.a f(a) x0 = (a+b)/2 f(x0) b f(b)

Verifique agora o novo intervalo de existência de raiz:• será (a;x0) se f(a).f(x0) < 0 então x1 = (a+x0)/2• será (x0;b) se f(x0).f(b) < 0 então x1 = (b+x0)/2• etc.... e continue até calcular o valor de x3 como pede o problema.

Cálculo de x1

Cálculo de x2

Cálculo de x3

Aula de Laboratório - Método de Iteração Linear - Roteiro

1. Ache uma raiz de f(x) = 2x3

-5x +2 = 0, usando o MIL.

Desenvolvendo 2x3 -5x +2 = 0, obtemos x =2 2

5

3x +, de onde temos como hipótese inicial a

função de iteração F(x) =2 2

5

3x +. Agora complete o exercício preenchendo as lacunas.

Resolvendo na Planilha do Excel

1. nas células B1..B16 escrever a função f(x) = 2x3

-5x +2;2. nas células A1..A16 definir os valores de 0 até 1,5;

3. prepare o gráfico desta função e responda:

a) quantas reízes foram encontradas neste intervalo? _______.

b) que valores de x0 você escolheria para cada uma delas? _________.


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4. derive a expressão F(x) =2 2

5

3x + e calcule, em G1, o valor de F’(x0) para cada x0 .

5. Se | F’(x0) | < 1, usando a expressão F(x) =2 2

5

3x +, calcule, em C1, o valor de F(x0) e

chame de iteração x1; em seguida calcule em D1 o valor absoluto da diferença x1 - x0 ;

6. usando a expressão definida em 4 calcule F(x1) em C2 e chame de x2, e assim por diante

calcule x3, x4, x5, ....., respectivamente em C3, C4, ..., até que o resultado do valor absoluto

da diferença x2 - x1, x3 - x2 , ....., calculado nas células D2, D3, ...., de duas últimas iterações

seja inferior a 0,0005.

7. chame de r o resultado da última iteração e

Responda:

a) quantas iterações foram feitas? a) ________________

b) qual o valor r, com 4 casas decimais? b) _______________

c) qual o valor de f(r) com 3 casas decimais? c) ________________

d) que você entende que seja o valor de r? d) ________________

e) considerando 3 casas decimais, r = F(r)? e) ________________

Aula de Laboratório

Uma Função de Iteração com o Método de Newton-Raphson - Roteiro

Seja F(x) = x -f x

f x

( )

( ),, uma função de iteração obtida de f(x) = 0, de modo a se obter as

iterações xk+1 = xk -f x

f x

k

k

( )

( ),

, Método de Newton-Raphson. Então, encontre, para cada um

dos casos abaixo, pelo menos uma raiz, tol = 10-5, usando F(x) como acabamos de definir.

a) p(x) = x3 - 2x2 - 20x + 30 = 0

b) f(x) = ex - sen(x) - 2 = 0

c) f(x) = x + log(x) = 0


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d) f(x) = 3x - cos(x) = 0

e) f(x) = x + 2cos(x) = 0

f) f(x) = ecos(x) + x3 - 3 = 0

g) f(x) = 2ln(3 - cos(x)) - 3xx + 5sen(x) = 0

h) p(x) = x3 - 5x2 + x + 3 = 0

i) f(x) = (x-3)2 - e-x - 55 = 0

Resolvendo na Planilha do Excel

1. nas células B1..B16 escrever a função f(x);

2. nas células A1..A16 definir os valores do intervalo de existência da raiz (pesquise);

3. prepare o gráfico de cada função e responda:

a) quantas reízes foram encontradas no intervalo em estudo? _______.

b) que valores de x0 você escolheria para cada uma delas? _________.

4. usando a expressão F(x), calcule, em C1, o valor de F(x0) e chame de iteração x1; em

seguida calcule em D1 o valor absoluto da diferença x1 - x0 ;

5. calcule F(x1) em C2 e chame de x2, e assim por diante calcule x3, x4, x5, .....,

respectivamente em C3, C4, ..., até que o resultado do valor absoluto da diferença x2 - x1,

x3 - x2 , ....., calculado nas células D2, D3, ...., de duas últimas iterações seja inferior a

tolerância dada;

6. chame de r o valor obtido na última iteração e;

Responda:

a) quantas iterações foram feitas? a) ________________

b) qual o valor r, com 4 casas decimais? b) _______________

c) qual o valor de f(r) com 3 casas decimais? c) ________________

d) que você entende que seja o valor de r? d) ________________

e) usando 4 casas decimais, r = F(r)? e) ________________


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CAPITULO 3


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Raízes Reais de Polinômios

Seja p(x) = 0, onde p(x) é um polinômio de coeficientes reais. Então, é possível aplicar o

Método de Newton-Raphson x x

p x

p xk kk

k+ = −1

( )

( )| , sendo p(x) = a0xn

+ a1xn-1

+ .... + an-1x +

an.

Exemplo: Seja p x x x x( ) ,= − − + =4 2 3 1 6875 0 , do qual querremos uma raiz positiva r ∈ [0;4].Usando incremento de 0,8 e pesquisando em p(x) encontramos:

p(0)=1,6875 p(0,8)=-0,9429 p(1,6)=0,8811 p(3,2)=86,7051 p(4)=229,6575

de onde concluímos que existe pelo menos uma raiz real r no intervalo (0;0,8) e em (0,8;1,6).

Escolhamos por exemplo calcular a raiz r ∈ (0;0,8). Consideremos para tanto x0 = 0,4 etolerância 0,001.

A derivada de p(x) é: p’(x) = 4x3 - 2x -3.

Assim, com o valor de x0 calculamos p(x0) = 0,3531 e p’(x0) = -3,544 de onde obtemos

x1=0,499633, da expressão do Método de Newton-Raphson, x xp x

p x1 00

0

= −( )

( )|.

Como o | x1 - x0 | é maior que a tolerância, com p(x1) = 0,001283 e p’(x1) = -3,50036

calculamos o valor de x2 = 0,499999, que nos dá um erro absoluto menor que a tolerância , de

onde concluímos que, nas condições impostas para o problema, r = 0,499999 ou r = 0,500.

Como vimos, dado um certo x=x0=c , para calcular a raiz de p(x), o que precisamos é do valor

de p(c) e p’(c) obtendo a nova iteração e assim proceder até que o processo nos leve à

aproximação desejada da raiz.

Desse modo, estudemos alguns procedimentos que nos facilitarão os calculos dos valores dep(c) e p’(c).


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Teorema 1.

O valor numérico p(c) de um polinômio p(x) para x=c é igual ao resto da divisão de p(x) por

x-c.

Demonstração:

Da divisão de p(x) por x-c sabemos que:

p(x) = q(x)(x-c) + resto

onde c é uma constante. Então,

p(c) = q(c)(c-c) + resto

logo, p(c) = resto.

Teorema 2.

Os coeficientes bi do polinômio q(x) e o resto bn, da divisão de p(x) por x-c, podem ser obtidos

recursivamente por:

b0 = a0

e bi = ai + cbi-1 , onde i = {1,2,3, ... , n}

Demonstração:

Temos aqui o resto = bn, logo p(c) = bn. Assim temos:

(*) p(x) = q(x)(x-c) + bn

onde q(x) é um polinômio obtido da divisão de p(x) por x-c e portanto de grau n-1, queescrevemos:

q(x) = b0xn-1 + b1x

n-2 + .... + bn-2x + bn-1, com coeficientes bi, i={0,1,2,3,...,n-1}.

substituindo q(x) em (*) temos:

p(x) = [b0xn-1 + b1x

n-2 + .... + bn-2x + bn-1 ] (x-c) + bn.

A condição de identidade de polinômio dá:

a0 = b0

a1 = b1 - cb0 b1 = a1 + cb0

an-1 = bn-1 - cbn-2 bn-1 = an-1 + cbn-2

an = bn - cbn-1 bn = an + cbn-1


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ou genericamente:

b0 = a0

e bi = ai + cbi-1 , onde i = {1,2,3, ... , n}

Esses coeficientes podem ser calculados através do seguinte esquema, conhecido como

esquema de Briot-Ruffini.

Esquema 1.

a0 a1 a2 .... an-1 an

c b0

(b0=a0)

b1

(b1=a1 + cb0)

b2

(b2=a2 + cb1)

.... bn-1

(bn-1=an-1 + cbn-2)

bn

(bn=an + cbn-1)

onde, a0,, a1, a2, ... , an, são os coeficientes de p(x) e bn = p(c) = resto da divisão de p(x) por (x-

c).

No exemplo dado no início temos o polinômio p x x x x( ) ,= − − + =4 2 3 1 6875 0 , do qual

determinamos x0 = 0,4 = c. O esquema de Briot-Ruffini, desenvolvido em planilha, ficará

(obserrve que o valor do coeficiente a1, de x3 é zero):

A B C D E F

1 a0

1

a1

0

a2

-1

a3

-3

a4

1,6875

2 c b0

(b0=a0)

=B1

b1

(b1=a1 + cb0)

=C1+$A2*

b2

(b2=a2 + cb1)

b3

(b3=a3+ cb2)

bn

(bn=an + cbn-1)

Teorema 3.

O valor de p’(c) da derivada do polinômio p(x) para x=c é o resto da divisão de q(x) por x-c.

Demonstração. Temos:

p(x) = q(x)(x-c) + bn p’(x) = q’(x)(x-c) + q(x)

p’(c) = q’(c)(c-c) + q(c)

p’(c) = q(c)


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Desse modo, vemos que se aplicarmos o Teorema 1 ao polinômio q(x) teremos que q(c) é

igual ao resto da divisão de q(x) por x-c. Como os coeficientes do polinômio q(x) são b 0, b1, ...

, bn-1 , repetindo-se o esquema de Briot-Ruffini teremos q(c) e portanto, p’(c) (vide Teorema

3).

Esquema 2.a0 a1 a2 .... an-1 an

c b0 b1 b2 .... bn-1 bn c d0 d1 d2 .... dn-1

onde, bn = p(c) e dn-1 é o valor de p’(c).

Este resultado associado ao Método de Newton-Raphson , é conhecido como Método de

Birge-Vieta. Portanto, no calculo de x1, teriamos: x xp x

p x1 0

0

0

= −( )

( )|, que tomando x0 = c nos

dá: x cp c

p c1= −

( )

( )|, ou, como p(c) = bn e p’(c) = dn-1 vem: x c

b

dn

n

1

1

= −−

Exemplo:

Seja calcular uma raiz positiva de p(x) = 3x3 - 76x2 + 163x - 46 = 0.

Adotemos uma tolerância de 0,0001 e tomemos alguns valores de p(x) de 5 em 5 a partir de

zero.

p(0)=-46 p(5)=-756 p(10)=-3016 p(15)=-4576 p(20)=-3186 p(25)=3404

portanto, existe pelo menos uma raiz no intervalo [20;25] pois, p(20).p(25) tol vem, c = x1 e:


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segunda iteração:

3 -76 163 -4623,02 3 -6,94 3,24 28,58 (valor de p(23,02))

23,02 3 62,12 1433 (valor de p’(23,02))

x2 = 23,02 -2858

1433

, = 23,00. Como |x2 - x1 | = | 23 - 23,02 | > tol, vem c = x2 e:

terceira iteração:

3 -76 163 -4623 3 -7 2 0 (valor de p(23))

de modo que torna-se desnecessário encontrar a terceira linha da tabela e a raiz será 23,00 pois já encontramos p(23) = 0.

EXERCÍCIOS

Exercício da Viga de Aço

1. A viga de aço da figura , com seção retangular de base b = 0,06m por h = 0,10m de altura,tem a equação linha elástica do trechoentre os apoios (vão de 4,0m), dada

pela equação:

y =q

EJ24( -x4 +12,5x3 - 37,5x2 - 6,5x + 32,5

). A flecha máxima (ymax), nessa viga,ou será na extremidade livre dobalanço ou no trecho entre os doisapoios. Se ela se der entre os apoios,será para a secção onde dy/dx =0.

Ache então o valor de x para esta secção considerando a equação da linha elástica dada e

determine o valor de ymax. Dados: E = 2,1X10

10

kg/m

2

; J =

bh 3

12 ; e q=2000kg/m.

Resolva usando o Método de Birge-Vieta.

2. Resolva usando o Método de Birge-Vieta.a) p(x) = x5 - (10/9)x3 + (5/21)x = 0. Todas as raízes do intervalo [-1;1].b) p(x) = 3x5 - x4 - x3 + x + 1 = 0. Todas as raízes do intervalo [-1;1].

q (t/m)

1,0m 4,0m


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c) p(x) = x4 - 6x3 + 10x2 -6x +9 = 0. Ache, se houverem, a(s) raíz(es) reais de p(x).d) p(x) = 2x5 - 5x3 +x2 - 0,5625 = 0. Ache uma de suas raízes positiva.e) p(x) = x4 - 2x3 + 4x2 + 2x -8 = 0. Ache a(s) raízes reais do intervalo [-20;20].f) p(x) = -x3 + 3x - 5 = 0. Ache, se houverem, a(s) raíz(es) reais de p(x).g) p(x) = x3 - 9x + 3 = 0. Ache, se houverem, a(s) raíz(es) reais de p(x).

3. Duas escadas uma de 20m e outra de 30m apoiam-se em edifícios fronteiros em umaavenida. Se o ponto onde as escadas se cruzam está a 8m do solo, qual é a largura da avenida.

MÉTODO DA BISSEÇÃO

Um dos procedimentos mais simples para determinação das raizes de uma função f(x),continua em um certo intervalo I, é o Método da Bisseção que consiste em:• procurar um intervalo [a,b] de modo que f(a).f(b) < 0 e que f(x) contínua em [a,b]

(isso garante a existência de pelo menos uma raiz nesse intervalo);

• calcular x0 no meio do intervalo [a,b], x0 = a b+2

;

• é claro que se f(x0) = 0, x0 será a raiz procurada, caso contrário a raiz se encontraráno subintervalo onde f(x) tenha sinais trocados nos pontos extremos, isto é, sef(a).f(x0) < 0, a raiz estará em [a,x0]; senão f(b).f(x0) < 0 e a raiz estará em [x0,b] , demodo que se obtém um novo intervalo [ai,bi];

• tomar para cada iteração o meio do novo intervalo [ai,bi], no qual se sabe existir umaraiz.

• repete-se este procedimento enquanto não se obtém uma aproximação para a raiz

com a tolerância desejada.

Seja, por exemplo, determinar uma raiz, com tolerância igual a 0,005, de f(x) =r

x x A2

2[ sen( )]− − , no intervalo [0; π], para r = 0,07m e A= 0,0036m2.

O gráfico de f(x) no intervalo dado, mostra que a raiz se encontra, por exemplo, entre2,2 e 2,4, pois: f(2,2) = - 0,00019 e f(2,4) = 0,00063.


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Temos assim o intervalo o qual se encontrauma raiz de f(x). Pelo Método em estudoentendemos que se f(x) é continua em [a,b] ef(a).f(b) < 0, então podemos garantir queexiste ao menos uma raiz entre a e b, no caso

2,2 e 2,4 respectivamente. O valor de x0 serádado pela bisseção deste intervalo, isto é:

x0 =2 2 2 4

2

, ,+ = 2,3.

Temos agora duas novas possibilidades. Araiz estará em [2,2;2,3] ou em [2,3;2,4]. Para decidir em qual desses intervalos seencontra a raiz teremos que calcular o valor de f(2,3). Assim, f(2,3)=0,00021, maiorque zero e, desse modo, f(2,2) . f(2,3) < 0, portanto a raiz encontra-se em [2,2 ; 2,3] e,

x1 =2 2 2 3

2

, ,+ = 2,25.

Agora, como | 2,25 - 2,3 | > tolerância (0,005), calcula-se f(2,25) e segue-se todo oprocedimento até que se tenha uma aproximação da raiz que satisfaça a tolerância, o que sedará na quinta iteração, obtendo-se x5 = 2,246875 como resultado da raiz desejada,aproximadamente 2,247, com f(2,247) = - 5,7378. 10- 6, ou aproximadamente zero.

Exercícios de Zeros de Funções.

1) Seja f(x) = ex + cosx - (n+2) = 0 , então:a) usando o método da bisseção mostre que existe pelo menos uma raiz entre (0;4)

b) adote um sub-interrvalo (a;b), de modo que f(a).f(b) < 0, e calcule, pelo Método daBisseção, três iterações.a f(a) x0 = (a+b)/2 f(x0) b f(b)

Verifique agora o novo intervalo de existência de raiz:• será (a;x0) se f(a).f(x0) < 0 então x1 = (a+x0)/2• será (x0;b) se f(x0).f(b) < 0 então x1 = (b+x0)/2• etc.... e continue até calcular o valor de x3 como pede o problema.Cálculo de x1

Cálculo de x2

Cálculo de x3

f(x) = (r^2/2) [x-sen(x)] - 1

-0,004

-0,0020

0,002

0,004

0,006

0 1 2 3 4

x

y


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2. Seja f(x) = x2 - sen(x) e o intervalo [0;2]. Então ache um ponto de máximo ou mínimo def(x). Use, o Método de Newton-Raphson.3) Seja f(x) = ex sen(x) - ln(b), onde b = 15a) verifique se há raiz(es) no intervalo [0;3]b) calcule, usando o Método de Newton-Raphson e tolerância de 0,005, uma raiz positiva de

f(x) = 0.

4) Para um fluido em escoamento turbulento a relação entre o fator de atrito de Fanning C e onúmero de Reynolds R é dada por:

( )1

0 4 1 74 0C

R C+ − =, , ln

Sabendo que C é um número próximo de 0,01. Determine C para R = 2500,

Sugestão: faça x =1

C e ai você terá sua função f(x) = 0. Use um dos métodos iterativos

estudado e, ache x com erro inferior a 0,005 (tolerância em x), em seguida C.


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Aprende-se nas disciplinas de cálculo que para calcular uma integral definida, basta

determinar uma primitiva F(x) de f(x), de modo que F’(x) = f(x) e assim: f x dxa

b( ) = F(b) -

F(a). Por exemplo, se f(x) = x2, a = 0 e b = 3, então, f x dxab ( ) = 9 . De fato: F(x) =

xCons te

3

3+ tan é tal que F’(x) = f(x). Assim, f x dx

a

b( ) = F(b) - F(a) = F(3) - F(0) =

[ tan ] [ tan ]3

3

0

3

3 3

+ − +Cons te Cons te = 9.

Entretanto , nem sempre esse problema é de fácil aplicação, pode ser, por vezes, até mesmoimpossível de se expressar analiticamente a primitiva de f(x) (funções intrgrais elipticas). Deoutras vezes a primitiva pode ser de difícil avaliação numérica. E, ainda, há casos em que afunção é conhecida somente em um numero finito de pontos (obviamente é impossível

encontrar a primitiva).Assim, quando conhecemos uma integral indefinida do integrando, sabemos como calcular

uma integral definida. Existem porém funções simples, como f(x) =sen( )x

x, para as quais

nenhuma integral indefinida simples é conhecida. Nestes casos, sendo o integrando umafunção continua, a integral definida existirá, podendo ser calculada numericamente. Quandoentretanto estas integrais não podem ser calculadas exatamente elas podem ser obtidos comboa aproximação através de métodos numéricos, também utilizados nas calculadoras. O fatode se poder calcular essas integrais permite-nos resolver muitos problemas físicos ougeométricos, como a determinação de áreas, volume, comprimentos de arcos, momentos de

inércia, etc. Aprenderemos dois dos métodos mais simples de aproximação do resultado deuma integral definida e que são o método dos Trapézios e o método de Simpson.Ambos os métodos baseiam-se na subdivisão do intervalo [a,b] em n partes iguais (em geral, a

aproximação melhora com o crescer de n), de comprimento ∆x =b a

n

−.

1. Regra dos Trapézios

f x dxa

b( ) ≅

∆x

2(f 0 + 2f 1 + 2f 2 + ... + 2f n-1 + f n)

onde, f k = f(xk) = f(x+k∆x), k=0,1,2,...,n. O simbolo ≅ significa “aproximadamente igual”. Ométodo equivale geometicamente a substituir a curva f(x) por um certo número de segmentosretilineos e calcular as areas dos trapézios formados entre [a,b].

2. Regra de Simpson.


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f x dxa

b( ) ≅

∆x

3(f 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f 3 + 2f 4 + ... + 2f n-2 + 4f n-1 + f n)

O que se obtém, dividindo o intervalo [a,b] em um número par de intervalos iguais eaproximando f(x) por uma curva do 2o grau que passa por 3 pontos sucessivos,

correspondentes a x0, x1, x2, ... , xn-2, xn-1, xn. O método equivale geometicamente a substituir acurva f(x) por um certo número de arcos parabólicos e calcular a soma de suas areas nointervalo [a,b].3. Algumas vêzes usa-se também o teorema de Taylor para o calcula de integrais.

Exemplo.

1. Calcule, a) pelo método dos trapézios e b) pelo método de Simpson,dx

x1 201

+,

aproximadamente, dividindo o intervalo [0,1] em 4 sub-intervalos.Solução:

Temos, f(x) = 11 2+ x

, ∆x = b an− , logo ∆x = 1 0

4− = 0,25. Usando 4 casas decimais, temos:

f(x0) = f(0) = f 0 = 1,0000f(x1) = f(0,25) = f 1 = 0,9412f(x2) = f(0,50) = f 2 = 0,8000f(x3) = f(0,75) = f 3 = 0,6400f(x4) = f(1,00) = f 4 = 0,5000

a) pelo método dos trapézios

f x dxa

b( ) ≅

∆x2

(f 0 + 2f 1 + 2f 2 + ... + 2f n-1 + f n) =0 25

2,

(1,0000 + 2. 0,9412 + 2.0,8000 +

2.0,6400 + 0,5000) = 0,7828

b) pelo método de Simpson

f x dxa

b( ) ≅

0 25

3

,(1,0000 + 4. 0,9412+ 2. 0,8000 + 4. 0,6400 + 0,5) = 0,7854

Usando planilha o calculo dos itens a e b poderia ser assim representados:

Planilha 5. Cálculo da integral de1

1 2+ x de 0 a 1 pelo método dos trapézios e de Simpson

Metodo dos trapézios Método de Simpsonx f(x) Peso Peso*f(x) Peso Peso*f(x)

0,00 1,0000 1 1,0000 1 1,00000,25 0,9412 2 1,8824 4 3,7647


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0,50 0,8000 2 1,6000 2 1,60000,75 0,6400 2 1,2800 4 2,56001,00 0,5000 1 0,5000 1 0,5000

Soma 6,2624 9,4247Integral ∆x/2*Soma 0,7828 ∆x/3*Soma 0,7854

Por outro lado, a primitiva da f x dx( ) , neste exemplo, é igual a arctg(x) + Constante, que

calculada no intervalo [0,1], dá igual aπ

4 ≅ 0,7854

2. Para rolar um bloco de pedra, utiliza-se uma força de 120 + 1 2+ x Newtons sobre ela,quando esta rola x metros. Quanto trabalho é realizado para se rolar a pedra em 2 metros.

Solução:

W = ( )120 1 20

2+ + x dx .

onde, f(x) = 120 + 1 2+ x . O cálculo feito para 8 sub-intervalos, ∆x = 0,25, encontra-seapresentado na planilha abaixo.

Metodo dos trapézios Método de Simpsonx f(x) Peso Peso*f(x) Peso Peso*f(x)

0,00 121,0000 1 121,0000 1 121,0000

0,25 121,0308 2 242,0616 4 484,12310,50 121,1180 2 242,2361 2 242,23610,75 121,2500 2 242,5000 4 485,00001,00 121,4142 2 242,8284 2 242,82841,25 121,6008 2 243,2016 4 486,40311,50 121,8028 2 243,6056 2 243,60561,75 122,0156 2 244,0311 4 488,06232,00 122,2361 1 122,2361 1 122,2361

Soma 1943,7004 2915,4946Integral ∆x/2*Soma 242,9625 ∆x/3*Soma 242,9579

Obtendo-se:

a) pelo método dos trapézios

W ≅ 242,9625 joules

b) pelo método de Simpson


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W ≅ 242,9579 joules

A ( )120 1 2+ + x dx =x

x x x2

1 0 5 12 2+ + + +, log( ) + Constante. Desse modo, o

trabalho no intervalo [0,2], usando a primitiva de f(x), seria igual a 2,9579 joules.

3. Certo veiculo locomovendo-se da cidade A à cidade B, encontrava-se no instante t=0minutos distante 300km da cidade B, quando seu motorista resolveu marcar a velocidadeinstantânea a cada 15 minutos, obtendo o seguinte quadro:

Quadro de velocidades V(t) medidos em km/htempo (t)(minutos)

0 15 30 45 60

velocidadev(t) (km/h) 72 60 70 80 65

Passada esta hora, sabendo-se que a distância percorrida (s) pode ser calculada por:

s = v(t)dt0t

1t

, faça uma estimativa da distância que o veiculo está da cidade B,

a) usando o método dos trapézios a distância é =b) usando o método de Simpson a distância é =

Regra dos trapézios - o erro cometido

4. Ao calcular o valor da integral definida, f(x)dxa

b

, usando-se a regra dos Trapézios, o erro

cometido pode ser determinado pela expressão E =− −( )

( )b a

nf

3

2

2

12δ , δ ∈ [a;b], no qual usa-

se em f 2(δ) o valor máximo que a função f 2(x) assume no intervalo [a;b]. Desse modo pede-se:


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a) calcular a integral, I =dx

x3

3 6,

, com n=6 subintervalos, usando esse método e; b) o erro,

sabendo que o valor máximo de | f 2(δ) | = 2/27.

Valor da IntegralErro estimado

Regra de Simpson - o erro cometido

5. Ao calcular o valor da integral definida, f(x)dxa

b

,

usando-se a regra de Simpson o erro cometido pode

ser determindao pela expressão E =− −( )

( )b a

nf

5

4

4

180δ

, δ ∈ [a;b], no qual usa-se em f 4(δ) o valor máximoque a função f 4(x) assume no intervalo [a;b]. Desse

modo pede-se para calcular a integral, I = 4dx

1+ x 20

1

,

com n subintervalos, usando o método de Simpson,de modo que | − −( ) ( )b a

nf

5

4

4

180δ | ≤ 0,0001, sabendo-

se que o valor máximo de | f 4(δ) | = 24.

Questão 4. Gráfico de f 4(x) em[0;1]

-20

-10

0

10

20

30

0 0,5 1

x

f(x)


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Valor da IntegralErro estimado

Exercício Prático - Centro de Gravidade

6. Exercício Prático - A teoria dos centros de gravidade é indispensável nos cursos de Estáticae de Dinâmica.Na prática, encontram-se, com frequência, superfícies sem forma geométrica definida, em quenão é possível, nem efetuar a divvisão em partes finitas, nem em partes infinitesimais, por nãose poder caracterizar, algebricamente, as linhas limitrófesdas superfícies. Procede-se, entrão, àintegração numérica, utilizando, por exemplo, a regra de Simpson, entre outras.A determinação do centro de gravidade se fará utilizando duas vêzes a regra de Simpson, pois

a expressão geral da abscissa (idêntico raciocínio podendo ser repetido para a ordenada) do

centro de gravidade é [y=f(x)]: xf x xdx

f x dx

S

S

=

( )

( ).

Seja, por exemplo, deterrminar o centro de gravidade do perfil de trilho, representado nnafigura abaixo.


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x y0 11,01 7,22 2,03 1,94 1,8

5 1,86 1,87 1,88 1,89 2,4

10 6,411 5,512 5,0

Vamos determinar o centro de gravidade, fazendo a integação numérrica pela regra deSimpson. A figura tem um eixo de simetria, que tomaremos para eixo dos x, basando entãocalcular o x’. Suponhamos a figura dividida em 12 partes, distantes cada uma de 1,0 cm (∆x =

1cm). As ordenadas correspondentes, obtidas por leitura gráfica, estão escritas na tabela aolado da figura abaixo.

x linhasuperior

linhainferior

largura

0 5,50 -5,50 11,001 3,60 -3,60 7,202 1,00 -1,00 2,003 0,94 -0,94 1,884 0,88 -0,88 1,765 0,88 -0,88 1,766 0,88 -0,88 1,767 0,88 -0,88 1,76

8 0,92 -0,92 1,849 1,20 -1,20 2,40

10 3,20 -3,20 6,4011 2,75 -2,75 5,5012 2,50 -2,50 5,00

Solução:Conforme já expusemos acima, a determinação do centro de gravidade se fará utilizando duasvêzes a regra de Simpson, uma para o calculo do numerador e outra para o cálculo do

denominador, na expressão que cálcula o valor de xf x xdx

f x dx

S

S

=

( )

( ).

Podemos calcular considerando apenas a área da seção superior e em seguida obter a áreatotal multiplicando por 2, conforme o fazemos a seguir:

Cálculo do denominador, f x dxS

( ) :A B C D=C*D

x f(x) = linhasuperior

Peso(Simpson)

(linha superior)*peso(B*C)

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12cm

11cm5cm


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0,00 5,50 1,00 5,501,00 3,60 4,00 14,402,00 1,00 2,00 2,003,00

Calculo Numerico e Grafico

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