Calculo Numerico 1

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    Clculo Numrico

    PROF: MANUEL ROJAS LEN

    EMAIL: [email protected]

    TELFONO: 0416 7092242

  • 2

    Introduccin

    Cuando se trata de aplicar la matemtica a situaciones reales se encuentra que en muchos casos los problemas no pueden ser resueltos analticamente o de forma exacta, por lo cual se debe recurrir a la aplicacin de algn procedimiento numrico.

    Seguidamente se citan algunos ejemplos que requieren de tcnicas numricas para su solucin.

    Ejemplo. Encontrar las races de la funcin polinmicas:

    Este problema puede resolverse usando el mtodo de biseccin.

    Ejemplo. La siguiente tabla corresponde a datos bivariados recogidos experimentalmente

    X -2 -1 0 1 2 2

    y -5 1 2 3 7 16

    Se puede establecer una relacin matemtica entre X e Y construyendo el polinomio de menor grado que pase por los puntos de la tabla o tambin el polinomio que mejor ajuste a los datos. Un polinomio nos permitira predecir un valor de Y dado algn valor de X.

    Ejemplo. Encontrar el rea de la regin del plano comprendida entre las funciones: y cuando .

    Ejemplo. Determinar el valor de la siguiente integral

    Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineal

    Ejemplo. Resolver el sistema de ecuaciones lineal: .

    Mtodo Numrico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, una solucin de ciertos problemas realizando clculos puramente aritmticos y lgicos.

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    Un algoritmo consiste en una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lgicas que producen: una aproximacin de la solucin del problema o un mensaje.

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    1. Solucin a Ecuaciones de una Variable

    Un problema bsico en anlisis numrico es la bsqueda de las races de una funcin dada, esto es, encontrar los valores de x para los cuales f(x)=0. Una solucin de este problema se llama un cero de f o una raz de f.

    Los mtodos numricos para encontrar las races de una funcin se clasifican en:

    Cerrados

    Abiertos

    Mtodos Cerrados

    En este tipo de mtodos, en cada paso, se genera un intervalo cerrado en donde se encuentra la raz buscada. Entre estos mtodos tenemos: el mtodo de biseccin y el mtodo de la posicin falsa.

    Definicin de raz. Sea y , una funcin dada. Un nmero , se dice una raz o un cero (en D) de la funcin f si x=p entonces tenemos que f(p)=0.

    Los mtodos numricos que estudiaremos para encontrar una raz p de una funcin f, generan una sucesin n = 0, 1, 2, 3,, tal que . Dichos mtodos nos permitirn calcular los trminos de la sucesin , por lo que debemos disponer de algn criterio para escoger un trmino de la sucesin como aproximacin de la raz buscada.

    Al aplicar un mtodo numrico necesitamos de una aproximacin inicial de la raz buscada o bien de un intervalo que contenga a dicha raz.

    Esta informacin puede obtenerse graficando la funcin.

    Ejercicio. Elabore la grafica de las funciones

  • 5

    Mtodo Biseccin

    El mtodo de biseccin consiste en subdividir a la mitad un conjunto de subintervalos y determinar la media aritmtica de los extremos de dichos subintervalos, de tal manera de ir acotando la raz buscada.

    Esta tcnica est basada en el teorema del valor intermedio.

    Teorema del valor intermedio. Supongamos que tenemos una funcin continua f, definida en el intervalo [a,b], con los valores de la funcin f(a) y

    f(b) de signo distinto, esto es f(a)f(b) 0, entonces existe un numero p contenido en el intervalo [a,b], tal que f(p) = 0.

    Algoritmo. Se divide un intervalo inicial [a,b] en dos subintervalos determinando la media aritmtica entre los extremos inferior y superior de dicho intervalo, tambin conocido como punto medio

    Si tenemos que , entonces es la raz buscada , en caso contrario hay dos opciones a considerar:

    La raz si en cuyo caso dicho intervalo se selecciona como el nuevo intervalo inicial.

    La raz si en cuyo caso dicho intervalo se selecciona como el nuevo intervalo inicial.

    Criterio para detener el algoritmo. Para ellos debe seleccionarse un

    cierto nivel de tolerancia y en cada paso del ciclo se verifica si se cumple alguna de las condiciones siguientes:

    Error Absoluto

    Error Relativo

    Donde , , , ,, es la sucesin de puntos medios de los intervalos seleccionados en cada paso del ciclo. Usualmente se escoge el criterio b) que nos da el error relativo.

    El mtodo de biseccin siempre converge ya que

  • 6

    Como

    , entonces . Es decir la sucesin de

    puntos medios converge a la raz p.

    Ejemplo. Aproxime la raz de la siguiente funcin mediante el mtodo de biseccin, con una precisin de . Inicie el algoritmo en el intervalo [1,4]

    K

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    Ejercicio. Aproxime la raz de la siguiente funcin mediante el mtodo de biseccin, con una precisin de .

    Prctica.

    1. Use el algoritmo de biseccin para encontrar soluciones con

    exactitud de para la ecuacin siguiente en los intervalos: a)

    [-2,0] y b) [0,2]

    2. Encontrar una aproximacin decimal de , mediante el algoritmo de

    biseccin, con exactitud de .

    3. Encontrar una aproximacin decimal de

    , mediante el algoritmo

    de biseccin, con exactitud de

    4. Sea . Muestre que f(x) es cero

    cuando menos una vez en [0,1]. Determine mediante el algoritmo de

    biseccin un punto donde se anule f(x) = 0 con exactitud de .

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    5. Muestre que debe tener por lo menos una solucin en

    [1,4]. Determine mediante el algoritmo de biseccin una solucin a

    dicha ecuacin con exactitud de

    Mtodo de La Secante

    Dada una funcin f continua en el intervalo [a,b] y tal que f(a)f(b) 0. Para encontrar una aproximacin a una raz . Con este mtodo se generan una sucesin de puntos que se obtienen mediante la interseccin entre el eje X y la recta que pasa por los puntos y .

    La ecuacin de la recta secante que pasa por los puntos y , se obtiene mediante

    De donde obtenemos

    Si tenemos que , entonces es la raz buscada , en caso contrario hay dos opciones a considerar:

    La raz siempre que en cuyo caso dicho intervalo se selecciona como el nuevo intervalo inicial.

    La raz siempre que en cuyo caso dicho intervalo se selecciona como el nuevo intervalo inicial.

    Ejercicio. Aproxime la raz de la siguiente funcin mediante el mtodo de

    biseccin, con una precisin de .

    K

    0

    1

    2

    3

  • 8

    Prctica.

    1. Use el algoritmo de la secante para encontrar una raz aproximada

    de en [1/2,/4]

    2. Use el algoritmo de la secante para encontrar una raz aproximada

    de en [4, 4.5]

    3. Use el mtodo de la secante para determinar las races de la funcin

    siguiente

    4. Encontrar una aproximacin decimal de , mediante el algoritmo de

    la secante, con exactitud de .

    Mtodos Abiertos

    Estos mtodos no requieren de un intervalo que contenga a la raz, lo que ocasiona que en algunos casos las sucesiones generadas sean divergentes o se alejen de la raz buscada. Sin embargo, tienen la ventaja de que cuando convergen lo hacen ms rpidamente que los mtodos cerrados.

    Entre estos mtodos estn:

    Mtodo de Newton-Raphson

    Mtodo de Punto Fijo

    Mtodo Newton-Raphson

    Este mtodo consiste en generar una sucesin n = 0, 1, 2, 3,, definida mediante una frmula de iteracin y escogiendo el punto de partida en las cercanas de la raz buscada.

    Sea un punto en las cercanas de la raz buscada o una primera aproximacin a la misma. Sea L la recta tangente a la funcin f en el punto . En el punto la pendiente de la recta L coincide con la primera de derivada de f en ese punto. Si L pasa por los puntos y , entonces tenemos que:

  • 9

    De donde se deduce

    Con lo cual podemos obtener un punto ms cercano a la raz buscada. Si repetimos el proceso, en general para cada n 1 tenemos:

    Ejemplo. Aproxime la raz de la siguiente funcin mediante el mtodo de

    Newton-Raphson, con una precisin de .

    Para la anterior funcin tenemos:

    Iteracin

    1

    2

    3

    4

    Practica 3. Mtodo Newton-Raphson

    1. Use el mtodo de Newton-Raphson para determinar las races de la

    funcin siguiente

  • 10

    2. Use el mtodo de Newton-Raphson para aproximar las races de la

    ecuacin siguiente, con precisin de de (inicie el algoritmo

    tomando un punto en [0,/2])

    3. Resuelva la ecuacin , con exactitud de , usando

    el mtodo de Newton-Raphson. Tomo el punto 1 para iniciar el

    algoritmo.

    4. Encontrar una aproximacin decimal de , mediante el algoritmo de

    Newton-Raphson, con exactitud de .

  • 11

    2. Aproximacin de Funciones Mediante Polinomios

    Los polinomios son las funciones ms sencillas que se estudian en anlisis. Son adecuadas para trabajar en clculos numricos porque sus valores se pueden obtener efectuando un nmero finito de multiplicaciones y sumas algebraicas.

    Los polinomios algebraicos son funciones de la forma:

    Donde n es un entero no negativo y son constantes reales.

    Una razn primordial de su importancia es que aproximan uniformemente funciones continuas, esto es, dada una funcin definida y continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio que esta tan cerca de la funcin dada como se desee.

    Polinomio de Taylor

    En esta seccin consideraremos el problema de encontrar un polinomio de grado especfico que coincida con el valor de la funcin f en un punto dado , y que este cerca de la funcin alrededor de dicho punto.

    Para llevar a cabo lo anterior en el punto , se impone la condicin:

    El polinomio tendr la misma direccin que f en el punto , si se cumple la igualdad entre las primeras derivadas:

    De igual manera, el polinomio que mejor aproxima a f en las cercanas de tendr tantas derivadas en dicho punto coincidentes con las correspondientes de f como se desee, esto es, para k = 0, 1, 2, , n, se impone la condicin:

    El polinomio que se desea encontrar, de grado igual o menor que n, viene dado por:

    Debemos determinar los coeficientes: , de tal manera que satisfagan las condiciones antes mencionadas.

  • 12

    Supongamos que se utiliza el polinomio de primer grado para aproximar a f en . Este polinomio es:

    Entonces este polinomio debe satisfacer las condiciones:

    Por lo cual tenemos:

    Por lo que se deduce que en el punto tenemos:

    Por lo que

    Sustituyendo esta ltima expresin en la frmula del polinomio tenemos

    Ejemplo. Obtenga el polinomio de Taylor de primer grado o menos de la

    funcin cos(x), expandido en .

    Ejemplo. Obtenga el polinomio de Taylor de primer grado o menos de la funcin cos(x), expandido en .

    Supongamos ahora que se desea emplear un polinomio de segundo grado

    para aproximar la funcin f en las cercanas de .

    En este caso se imponen las condiciones (el polinomio tendr la misma direccin que f en el punto , si se cumple que las primeras derivadas del polinomio sean iguales a las de la funcin):

  • 13

    De tal manera que

    Ejemplo. Obtenga el polinomio de Taylor de segundo grado o menos de la

    funcin cos(x), expandido en .

    Ejemplo. Obtenga el polinomio de Taylor de segundo grado o menos de la funcin cos(x), expandido en .

    Teorema. Sea f una funcin con derivadas de orden n en el punto x = 0. Existe un polinomio P y solo uno de grado n que satisface la n + 1 condiciones:

    Dicho polinomio viene dado por

    En cualquier otro punto distinto de 0, tenemos que

    El anterior polinomio se llama polinomio de Taylor de grado n generado por f en el punto .

    Ejemplo. Construir el polinomio de Taylor de grado 2n+1, de la funcin .

    Derivadas Valor de la Derivada en x = 0

  • 14

    Ejemplo. Construir el polinomio de Taylor de grado 2n, de la funcin .

    Derivadas Valor de la Derivada e x = 0

    .. ..

    Determinar el polinomio de Taylor para ciertas funciones puede resultar

    muy laborioso dado que esto involucra el clculo de . El siguiente teorema nos da la base para usar las propiedades del polinomio de Taylor para obtener nuevos polinomios de Taylor a partir de otros dados.

    Teorema.

    a) Linealidad. Sean y el polinomio de Taylor de la funcin f y g respectivamente. El polinomio de Taylor de la funcin f + g viene dado por:

    b) Derivacin.

    c) Integracin. Si

    , se tiene entonces

    Ejemplo. Obtenga el Polinomio de Taylor de:

  • 15

    Ejemplo. Verifique que

    El siguiente teorema es til a fin de obtener el polinomio de Taylor de ciertas funciones.

    Teorema. Sea un polinomio de grado n 1. Sean f y g dos funciones con derivadas de orden n en 0 y supongamos que

    En donde g(x)0 cuando x0. El polinomio es el polinomio de

    Taylor generado por f en .

    La siguiente identidad algebraica puede ser empleada junto con el teorema

    anterior, para determinar el polinomio de Taylor de ciertas funciones

    Vlida para todo x 1. Si tenemos que f se define

    Entonces podramos definir

    Y tambin:

    Como para la ltima funcin tenemos que g(x)0 cuando x0, entonces

    es el polinomio de Taylor de la funcin f.

    Ejemplo. Obtener el polinomio de Taylor

    Se sustituimos x por x obtenemos la identidad

  • 16

    Vlida para todo x -1. Aplicando el teorema antes sealado, tenemos

    que el polinomio de Taylor de

    Practica. Polinomio de Taylor

    1. Obtener el polinomio de Taylor de las siguientes funciones

    expandidas en :

    Funcin Grado

    n

    n

    2n+1

    n

    n

    2. Use el polinomio de Taylor de grado 5, expandido en , para

    aproximar el valor de Ln(1.1).

    3. Sea

    . Use el polinomio de Taylor de cuarto

    grado de , expandido en , para aproximar el

    valor de F(0.1).

    4. Obtenga el polinomio de Taylor de cuarto grado para la funcin

    , expandido en , y obtenga y una

    aproximacin a valor de F(0.4), donde

    .

    5. Obtenga el polinomio de Taylor de cuarto grado para la funcin

    , expandido en , y obtenga y una

    aproximacin a valor de F(0.5), donde

  • 17

    Interpolacin Polinomial y Ajuste Polinomial

    En lugar de hallar un polinomio que coincida en un punto dado con la funcin f y con algunas de sus derivadas como en el caso del polinomio de Taylor, podemos construir un polinomio que tome los mismos valores que f en un cierto nmero de puntos: . Esto es, dados n + 1 puntos de :

    Donde ; siendo nmeros distintos entre si.

    Lo que se desea es encontrar un polinomio de grado menor o igual a n, tal que:

    Puesto que hay n + 1 condiciones a satisfacer, se intenta resolver el problema determinando un polinomio de grado n

    Con n + 1 coeficientes: , a determinar. A tal polinomio se le denomina polinomio de interpolacin, polinomio interpolante o polinomio de colocacin para los puntos dados. Los nmeros: , se denominan nodos.

    Los valores , corresponden a los de una funcin de la que no se conoce: una formula explicita, o es muy complicada para evaluarla, derivarla, integrarla o hallarle las races, etc.

    El polinomio de interpolacin puede usarse para aproximar el valor de la funcin y en particular, para aproximarla en los puntos intermedios a .

    Teorema. Existencia y Unicidad del Polinomio Interpolante. Dados n + 1

    puntos de , con

    nmeros distintos entre s. Existe un nico polinomio

    De grado menor o igual que n que interpola los puntos dichos anteriormente, lo cual se expresa mediante:

  • 18

    Mtodo de Lagrange

    El polinomio de Lagrange se construye del modo siguiente.

    Sea A(x) el polinomio dado por:

    Y tenemos que A(x) = 0 cuando para k = 1, 2, 3,, n.

    Sea , el polinomio de grado n obtenido por la supresin del factor en A(x), esto es

    El anterior polinomio tiene un cero cuando , para todo , o sea

    que

    En el punto tenemos que:

    La expresin anterior nos indica que cuando es evaluado en el punto es un nmero fijo.

    Si dividimos el polinomio entre el nmero obtenemos un polinomio que adquiere los valores:

    Sea ahora el polinomio definido por

    El polinomio se conoce como frmula de interpolacin de Lagrange.

  • 19

    El polinomio cumple las condiciones exigidas. Dado un numero entero s tal que , cuando , todos los trminos del polinomio se anulan excepto el trmino s el cual toma el valor

    La expresin siguiente se conoce como coeficientes de interpolacin de Lagrange

    El polinomio de interpolacin de Lagrange puede escribirse

    Ejemplo. Determine el polinomio de grado 3, que toma los valores:

    Coeficientes de interpolacin de Lagrange

    Por tanto el polinomio buscado es:

  • 20

    Practica. Polinomio Interpolante de Lagrange.

    1. En los casos siguientes encontrar los polinomios de Lagrange.

    a) f(1) = 1, f(2) = 0, f(3) = 0, f(4) = 1.

    b) f(0) = -2, f(1) = 0, f(-1) = -2, f(2) = 6.

    2. Sea

    . Hallar el polinomio de Lagrange que tome

    los mismos valores que f en los puntos: -2, -4/3, 0, 4/3, 2.

    3. Sea para x 0. Hallar el polinomio de Lagrange y

    determine P(32) para los casos en que x tome los valores:

    a) 1, 64; b) 1, 16, 256; c) 4, 16, 64; d) 1, 4, 16, 64, 256

    Calcular en cada caso el error . La

    precisin en la interpolacin se mejora aumentando el nmero de

    puntos de interpolacin?

    4. Empricamente se han determinado las magnitudes de la

    contraccin de un resorte x (en mm) en dependencia de las

    cargas P (en Kg) que acta sobre el mismo como se indica en la

    tabla siguiente. Hallar la carga que produce una contraccin de

    14mm del resorte mediante el polinomio de interpolacin de

    Lagrange

    X(mm) 5 10 15 20 25 30 35 40

    P(Kg) 49 105 172 253 352 473 619 793

    5. Hallar mediante el polinomio de interpolacin de Lagrange el

    valindose de los datos tabulados. (Recuerda que

    )

    x Sen(x) 0.43837 0.45399 0.46947

  • 21

    Polinomio Interpolante de Newton

    Dados n + 1 puntos de , con

    nmeros distintos entre s. Y dada una cierta funcin definida en algn intervalo [a,b] que contiene a los nodos, para la cual se tiene que .

    Un polinomio de grado menor o igual a n que interpola a f en los puntos dados, puede expresarse en la forma:

    Donde los coeficientes , deben determinarse, para lo cual se impone la condicin:

    Teorema. Los coeficientes de la formula de interpolacin de Newton vienen dados por:

    Donde

    En el caso particular en que los puntos de interpolacin estn igualmente separados o que exista una distancia igual entre dos nodos consecutivos: , para k = 0,1, 2,, n, tenemos que:

    Obtendremos una expresin para calcular los coeficientes:

    Para cuando , tenemos

    Ya que todos los trminos de se anulan, excepto el termino independiente.

    Para cuando , tenemos

  • 22

    Ya que todos los trminos de se anulan, excepto el trmino independiente y el segundo trmino. Despejando , tenemos que:

    Para cuando , tenemos

    Ya que todos los trminos de se anulan, excepto el primer, segundo y el tercer trmino. Despejando , tenemos que:

    Mtodo de la Diferencia Dividida.

    A fin de facilitar el clculo de los coeficientes del polinomio de interpolacin de Newton, utilizaremos el mtodo de las diferencias divididas y la correspondiente notacin conocida como diferencia dividida progresiva de Newton.

    Definicin. Dados n + 1 puntos de

    , con nmeros distintos entre s.

    La diferencia dividida de orden cero de f con respecto a es

    Para todo k = 0, 1, 2,, n. As tenemos que .

    La diferencia dividida de orden uno de f respecto a y es

    La diferencia dividida de orden dos de f respecto a , , es:

  • 23

    En general tenemos

    Con esta notacin de las diferencias divididas se tiene que los coeficientes del polinomio interpolante de Newton vienen dados por:

    Para todo i = 0, 1, 2, 3,, n. El polinomio interpolante de Newton toma la forma

    Esta forma del polinomio interpolante se conoce como frmula de diferencia progresiva interpolante de Newton, y se usa en clculos numricos cuando se interpola un cierto punto x que est ms cerca de que de .

    Si el punto x, sobre el cual vamos a hacer una interpolacin, est ms cerca de que de , se usa la formula de diferencias divididas regresiva interpolante de Newton. Segn esta formula el polinomio interpolante de Newton viene dado por:

  • 24

    Diferencias Divididas de Orden

    Nodos Cero Uno Dos Tres

    Ejemplo. Determine el polinomio interpolante de Newton que ajusta a los datos

  • 25

    I

    0 1.0

    1 1.3

    2 1.6

    3 1.9

    4 2.2

    Practica. Polinomios Interpolante de Newton.

    1. En los casos siguientes encontrar los polinomios de Newton.

    c) f(1) = 1, f(2) = 0, f(3) = 0, f(4) = 1.

    d) f(0) = -2, f(1) = 0, f(-1) = -2, f(2) = 6.

    2. Sea

    . Hallar el polinomio de Newton que tome los

    mismos valores que f en los puntos: -2, -4/3, 0, 4/3, 2.

    3. Sea para x 0. Hallar el polinomio de Lagrange y

    determine P(32) para los casos en que x tome los valores:

    b) 1, 64; b) 1, 16, 256; c) 4, 16, 64; d) 1, 4, 16, 64, 256

    Calcular en cada caso . La precisin en la

    interpolacin se mejora aumentando el nmero de puntos de

    interpolacin?

    4. Empricamente se han determinado las magnitudes de la

    contraccin de un resorte x (en mm) en dependencia de las

    cargas P (en Kg) que acta sobre el mismo como se indica en la

    tabla siguiente. Hallar la carga que produce una contraccin de

    14mm del resorte mediante el polinomio de interpolacin de

    Newton

    X(mm) 5 10 15 20 25 30 35 40

    P(Kg) 49 105 172 253 352 473 619 793

  • 26

    5. Hallar mediante el polinomio de interpolacin de Newton el

    valindose de los datos tabulados. (Recuerda que

    )

    x Sen(x) 0.43837 0.45399 0.46947

  • 27

    3. Aproximacin Discreta de Mnimos Cuadrados

    Introduccin.

    Uno de los problemas que surge en la teora de aproximacin consiste en

    ajustar funciones a conjuntos de datos y encontrar la mejor funcin

    dentro de cierta clase que pueda usarse para representar a los datos.

    Ejemplo. Dado el siguiente conjunto de datos

    X 2 4 6 8

    Y 2 11 28 40

    Considere el problema de estimar los valores de la funcin en puntos no

    tabulados. La construccin de un polinomio de interpolacin introducira

    oscilaciones que no parece ser lo ms deseable para estimar valores de la

    funcin.

    El ejemplo parece sugerir que la relacin entre Y X es lineal y que los

    puntos no estn exactamente sobre una lnea recta debido a errores

    inherentes a la medicin.

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    45

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    Eje

    Y

    Eje X

    Diagrama de Dispersion

  • 28

    Diagramas de Dispersin.

    En este diagrama se representan grficamente los pares ordenados de los

    datos Bivariados en un sistema de coordenadas.

    Ejemplo. En un centro de educacin fsica se seleccionaron al azar a diez

    participantes y se recogi la siguiente data del nmero de flexiones y

    abdominales hecho por cada uno. Elabore el diagrama de dispersin

    Participante Flexiones Abdominales Participante Flexiones Abdominales

    1 27 30 6 52 40

    2 22 26 7 35 32

    3 15 25 8 55 54

    4 35 42 9 40 50

    5 30 38 10 40 43

    Diagrama de Dispersin

    Anlisis de Correlacin Lineal

    Datos Bivariados. Este trmino se refiere a dos diferentes variables que

    son obtenidas de un solo elemento de una poblacin. Cada una de dichas

    variables pueden ser del tipo cualitativa (atributo) o cuantitativa. Es

    costumbre expresar los datos en forma de un par ordenado (x,y), donde x

    y = 0.6579x + 14.908 R = 0.7047

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    0 10 20 30 40 50 60

    Ab

    do

    min

    ales

    Flexiones

    Flexiones vs Abdominales

  • 29

    es la variable de entrada (o independiente), y es la variable de salida (o

    dependiente)

    Ejemplo. Si una variable es la altura y otra es el peso de una persona,

    ambos datos son registrados para una persona. En este caso cualquiera

    de las dos variables puede tomarse como la de entrada y la otra como la

    de salida, dependiendo del inters del problema.

    El anlisis de correlacin lineal tiene por objetivo medir hasta que punto

    hay algn tipo de asociacin lineal entre dos variables.

    Caso I. Si al variar la variable independiente hay un cambio definido en la

    variable independiente, decimos que hay una correlacin entre dichas

    variables. Lo anterior se ilustra en los diagramas

    Caso II. Si al variar la variable independiente no hay un cambio definido en

    la variable independiente, decimos que no hay una correlacin entre

    dichas variables. Lo cual se ilustra en el ejemplo siguiente.

    Ejemplo. Se efectu una encuesta para determinar si hay una asociacin

    entre el nmero de horas de ejercicio en promedio por semana que

    realizaban un grupo de diez estudiantes seleccionados al azar y el

    promedio de notas final del periodo. Se recogi la siguiente data. Elabore

    el diagrama de dispersin

    Estudiante Horas de Ejercicio

    Nota Final Promedio

    Estudiante Horas de Ejercicio

    Nota Final Promedio

    1 12 3.6 6 2 2.2

    2 3 4.0 7 20 3.7

    3 0 3.9 8 14 3.0

    4 6 2.5 9 15 1.8

    5 10 2.4 10 5 3.1

  • 30

    Diagrama de Dispersin

    Coeficiente de Correlacin Lineal.

    Este da una medida de hasta qu punto hay una relacin lineal entre dos

    variables. Este coeficiente refleja la consistencia del efecto de un cambio

    en una variable produce en otra variable. El coeficiente de correlacin se

    denota r, y adquiere valores tales que:

    Valor de r igual a -1, indica una correlacin lineal perfecta negativa (esto se

    refiere a que todos los datos Bivariados caen exactamente sobre una lnea

    recta de pendiente negativa)

    Valor de r igual a 1, indica una correlacin lineal perfecta positiva (esto se

    refiere a que todos los datos Bivariados caen exactamente sobre una lnea

    recta de pendiente positiva).

    El coeficiente de correlacin, tambin llamado de Pearson, se define

    mediante

    y = -0.0148x + 3.1484 R = 0.0155

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    0 5 10 15 20 25

    No

    ta

    Horas Ejercicio

    Horas Ejercicio vs Nota

  • 31

    Donde SS significa suma de cuadrados. El numerador y denominador de la

    expresin anterior lo calcularemos mediante:

    Donde n es el nmero de pares de datos.

    Ejemplo. Calcule el coeficiente de correlacin para los datos

    Estudiante Horas de Ejercicio

    (x)

    Nota Final Promedio

    (y)

    xy

    1 12 3.6 2 3 4.0 3 0 3.9 4 6 2.5 5 10 2.4 6 2 2.2 7 20 3.7 8 14 3.0 9 15 1.8

    10 5 3.1

    = = = = =

    Mtodo de Mnimos Cuadrados

    Este es un mtodo que permite determinar la mejor ecuacin lineal que

    mejor ajusta los datos Bivariados. En el caso de ser el modelo lineal el

    escogido, se trata de escoger la ecuacin de la lnea recta que mejor

    ajusta los datos est determinada por el intercepto u ordenada al origen

    y por la pendiente .

    Dado un conjunto de puntos este consiste

    primeramente en definir una funcin error mediante

  • 32

    Inicialmente consideraremos que la relacin entre la variable de entrada y

    la de salida es un polinomio de primer grado o una ecuacin lineal para el

    cual se desea determinar los coeficientes y :

    A modo de simplificacin sustituiremos por . La expresin anterior

    la podemos escribir

    El error lo podemos escribir

    Para que la funcin error E alcance un mnimo se requiere que:

    O de modo equivalente

    Las ecuaciones anteriores se simplifican a lo que se denominan

    ecuaciones normales

  • 33

    Las anteriores constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos

    variables. Resolviendo el sistema anterior obtenemos las ecuaciones

    siguientes:

    El intercepto de la recta de mnimos cuadrados lo calcularemos

    mediante

    La pendiente de la recta de mnimos cuadrados la calcularemos

    mediante

    Ejemplo. Determine la ecuacin lineal que mejor ajusta los datos del

    problema del nmero de horas de ejercicio en promedio por semana que

    realizaban un grupo de diez estudiantes seleccionados al azar y el

    promedio de notas final del periodo

    Anlisis de Regresin Lineal

    El objetivo de este anlisis es encontrar una ecuacin que mejor describa

    la relacin entre dos variables. La ecuacin encontrada nos permitir hacer

    predicciones acerca del comportamiento de la variable de salida con la

    variacin de la variable de entrada.

    La relacin entre dos variables podra ser una expresin como las

    siguientes:

    Exponencial Potencial Logartmica Polinmicas

  • 34

    Relacin Exponencial. Ocasionalmente encontraremos que la relacin

    que mejor ajusta los datos Bivariados puede ser una de tipo exponencial

    como:

    En este caso la ecuacin anterior puede transformarse en otra equivalente,

    tomando logaritmo en ambos miembros de aquella para obtener:

    En cuyo caso podemos aplicar las siguientes transformaciones para poder

    usar la ecuacin lineal de mnimos cuadrados y el coeficiente de

    correlacin lineal.

    La pendiente la calcularemos mediante

    El intercepto lo calcularemos mediante

    El coeficiente de correlacin lineal lo calcularemos mediante

    Ejemplo. Un ingeniero recopil los datos que se dan en la tabla presentada a

    continuacin. Determine la ecuacin lineal de mnimos cuadrados que mejor ajustan los

    datos y el coeficiente de correlacin lineal

  • 35

    (x) (y) Ln(y) xln(y) 1 0.2 2 0.3 3 0.5 4 0.5 5 1.3 6 2.3 7 2.9 8 4.5 9 8.7

    10 12.0 = = = = =

    Relacin Potencial. Tambin podemos encontraremos que la relacin que

    mejor ajusta los datos Bivariados puede ser una de tipo exponencial como:

    La ecuacin anterior puede transformarse en otra equivalente, tomando

    logaritmo en ambos miembros de la igualdad para obtener:

    Aqu podemos aplicar las siguientes transformaciones para poder usar la

    ecuacin lineal de mnimos cuadrados y el coeficiente de correlacin lineal.

    La pendiente la calcularemos mediante

    El intercepto lo calcularemos mediante

  • 36

    El coeficiente de correlacin lineal lo calcularemos mediante

    Relacin Polinmica. El problema general de aproximar un conjunto de

    datos Bivariados , mediante un polinomio

    de grado n M usando el mtodo de mnimos

    cuadrados requiere determinar los coeficientes , para minimizar

    el error de mnimos cuadrados.

    La suma de los cuadrados del error cometido en el ajuste de los datos con

    un polinomio de mnimos cuadrados se determina mediante:

    La minimizacin de la expresin anterior conduce a un sistema de

    ecuaciones conocido como ecuaciones normales:

    .

  • 37

    Ejemplo. Ajuste los datos que se muestran en la tabla siguiente con un

    polinomio de mnimos cuadrados de grado dos.

    K 0 1 2 3 4

    0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183

    Para este problema tenemos que n = 2, M = 4.

    Efectuando las sumas correspondientes en las formulas anteriores

    obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    La solucin del anterior sistema de ecuaciones es

    . Por tanto el polinomio de mnimos cuadrados

    buscado es

    Error en el Modelo de Regresin Lineal.

    El polinomio de primer grado o ecuacin lineal de mnimos cuadrados con

    el error viene dado por:

  • 38

    El trmino de error es una variable aleatoria normalmente distribuida con

    media 0 y desviacin estndar . En el modelo lineal los parmetros: el

    intercepto y la pendiente no se conocen y deben ser estimadas a

    partir de los datos.

    La varianza del trmino de error en el ajuste de los datos con un

    polinomio lineal de mnimos cuadrados se puede estimar mediante:

    La desviacin estndar del intercepto lo podemos calcular:

    Y la desviacin estndar de la pendiente , lo podemos calcular

    mediante:

    Nota. Pronsticos Estadsticos.

    En las organizaciones empresariales o gubernamentales surge la

    necesidad de establecer pronsticos acerca del futuro. El xito de un

    negocio depende mucho de la sabidura de su administracin para detectar

    tendencias y desarrollar estrategias adecuadas. En el mbito

    gubernamental planificar polticas requiere anticiparse a futuras

    necesidades y exigencias de la poblacin. Cuando se dispone de datos

    histricos se cuenta con algunos mtodos estadsticos de pronsticos, los

    cuales nos permiten anticiparnos a demandas futuras. Las series de

    tiempo son datos histricos que se usan en pronsticos. Un mtodo

    estadstico de pronstico es el anlisis de regresin, donde la variable a

  • 39

    pronosticar se expresa como una funcin matemtica de una o ms

    variables cuyos valores se conocern en el momento del pronstico.

    Casos.

    Pronostico de Ventas

    Los fabricantes deben saber cunto producir. Los distribuidores y

    comerciantes deben tener idea de cunto almacenar. Subestimar la

    demanda puede implicar perdida de ventas y competitividad. Sobrestimar

    la demanda podra ocasionar incremento en los costos de almacenamiento

    y saturacin del mercado.

    Pronostico en la Reposicin de Repuestos

    Muchas compaas y entes gubernamentales requieren un inventario de

    repuestos para efectuar el mantenimiento de sus unidades: lneas areas,

    flotas de autobuses, flotas de gandolas, flotas de trenes, flotas de barcos.

    Pronsticos del Rendimiento de Produccin.

    Este pronstico se hace sobre la base del porcentaje de artculos

    terminados que cumplen con los estndares de calidad. Si el rendimiento

    es menor al 100% se debe planificar la produccin de modo que pueda

    reemplazarse los productos fuera del estndar de calidad. Un pronstico

    adecuado o confiable del rendimiento de la produccin es esencial para

    elegir un valor adecuado de la holgura de rechazo.

    Pronostico de la Necesidad de Personal.

    Esto es esencial para cualquier organizacin en vista de la complejidad de

    las actividades y de su diversidad. Empresas que contratan a cientos o

    miles de personas, requieren pronosticar, dado el

    crecimiento/decrecimiento de la empresa, a cuantos empleados debe

    contratar y sus correspondientes especialidades.

    Series de tiempo. La mayora de los mtodos estadsticos de pronstico se

    basan en el uso de datos histricos. Una serie de tiempo es una serie de

    observaciones en el tiempo de alguna variable de inters.

  • 40

    Pronsticos Causales.

    En algunos casos, la variable que se va a pronosticar tiene una relacin

    bastante directa con una o ms variables cuyos valores se conocen en el

    momento del pronstico. Un pronstico causal proporciona un pronstico

    de la cantidad de inters (variable dependiente) relacionndola en forma

    directa con una o ms cantidades (variables independientes) que impulsan

    a la cantidad de inters.

    Tipos de Pronsticos Posible Variable Dependiente

    Posible Variable Independiente

    Ventas Volumen de venta de un producto

    Cantidad invertida en publicidad

    Reparaciones Demanda de repuestos Tiempo de uso del equipo

    Tendencias Econmicas

    Producto Interno Bruto Factores econmicos

  • 41

    Practica.

    1. La oficina del Nio del departamento de salud de EE.UU.,

    contabilizo 510000 nios en centros de cuidado y crianza. La

    siguiente tabla de la edad de los nios que entraron a dichos centros

    en 2006 y el nmero de aquellos por cada edad.

    a) Construya el diagrama de dispersin de la edad vs el nmero de

    nios.

    b) Determine el ndice de correlacin lineal.

    c) Si se justifica aplique el anlisis de regresin, o sea determine la

    ecuacin lineal que mejor ajusta a los datos.

    2. Los productores de caa de azcar estn interesados en la relacin

    entre las hectreas totales destinadas a la siembra de caa o azcar

    y la produccin total de caa de azcar de dichas hectreas. En la

    siguiente tabla se dan los datos de catorce haciendas productoras

    de caa de azcar:

    REA (HECTREAS)

    PRODUCCIN (TON)

    REA (HECTREAS)

    PRODUCCIN (TON)

    2600 70000 10100 300000

    28900 825000 12300 375000

    13600 470000 25100 730000

    9600 295000 51000 1530000

    26400 800000 11100 335000

    39400 1220000 26500 770000

    30000 910000 1700 55000

    EDAD NUMERO EDAD NUMERO EDAD NUMERO

    0 47536 7 12380 14 18981

    1 20646 8 11312 15 22729

    2 18234 9 10649 16 21062

    3 16145 10 10136 17 12829

    4 14919 11 10316 18 702

    5 14159 12 11910 19 154

    6 13196 13 14944 20 62

  • 42

    a) Construya el diagrama de dispersin.

    b) Determine el ndice de correlacin lineal.

    c) Determine la ecuacin lineal que mejor ajusta a los datos.

    d) Si se dispone de 45000 hectreas. Cunto estima podra ser la produccin de

    caa de azcar?

    3. Determina el polinomio de mnimos cuadrados que mejor ajusta los

    datos. Determina el valor de y para x = 0.6 y para x = 1.24.

    Determina el error mediante .

    X 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

    y 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183

    4. En la siguiente tabla se da una serie de tiempo correspondiente a la

    poblacin de cierto pas censada en los aos que se indican.

    Construya el polinomio de mnimos cuadrados. Estime la poblacin

    para el ao 1920

    Ao 1930 1940 1950 1960 1970 1980

    Poblacin

    x 123203 131669 150697 179323 203212 226505

    5. La tabla siguiente presenta los valores experimentales de presin P

    y los correspondientes valores de volumen V, medidos para una

    cierta cantidad de gas y a cierta temperatura. Si suponemos que la

    presin y el volumen estn relacionados mediante , donde

    y C son constantes. A) Hallar y C con el mtodo de mnimos

    cuadrados. B) Estimar el valor de P cuando V = 100 . C)

    Determine el error.

    Volumen

    54.3 61.8 72.4 88.7 118.6 194.0

    Presin

    61.2 49.5 37.6 28.4 19.2 10.1

  • 43

    4. Integracin Numrica

    En muchos problemas de matemticas surge la necesidad de obtener el valor de integrales definidas

    En las que el integrando f viene dada por una formula analtica o es conocido en parte por datos tabulados.

    Supongamos que el intervalo de integracin [a,b] es finito y que f es continua en [a,b]. Segn el teorema fundamental del clculo, existe una anti derivada F de f en [a,b], tal que F(x) = f(x) para todo x en [a,b].

    El problema de usar los mtodos analticos de integracin es que posiblemente F no se pueda expresar en trminos de funciones elementales, y aunque F se conozca explcitamente, podra ser que no sea fcil evaluarla.

    Los mtodos que estudiaremos se basan en aproximar la funcin f mediante algn polinomio de interpolacin o de mnimos cuadrados. Las integrales de dichos polinomios son de fcil clculo y permite obtener una aproximacin de la integral de f.

    Supongamos que se desea estimar el valor de de la integral

    Lo primero que se hace es obtener una particin del intervalo de

    integracin [a,b], o sea determinar un conjunto de puntos: en [a,b], tales que , donde , y

    donde h se conoce como tamao o ancho de paso. El conjunto

    de puntos se denominan nodos equiespaciados.

    La estimacin de la integral anterior puede hacerse construyendo un polinomio que aproxime a la funcin f. Supongamos que sea P el polinomio de Lagrange que aproxime a la funcin f evaluada en los nodos dados. Entonces tenemos que

  • 44

    Con lo cual se obtiene una formula del tipo:

    Donde

    Para k = 0, 1, 2,, n. Las formulas anteriores se conocen como formulas de cuadratura de Newton-Cotes.

    Regla del Trapecio

    Supongamos que tenemos una funcin f definida en dos nodos. Podemos aproximar la funcin mediante el polinomio de interpolacin de Lagrange para dos nodos: .

    Integrando la expresin anterior en el intervalo [ ], tenemos que:

    Donde .

    La formula anterior es la que se denomina Regla del Trapecios.

    Cuando f es positiva la formula anterior nos da el rea del trapecio

    determinado por P sobre el intervalo [ ].

    Regla de Simpson

    Este mtodo de integracin resulta de aproximar el integrando mediante el polinomio de Lagrange de segundo grado.

    Sea , y , una particin del intervalo [a,b] donde

    . Sea el polinomio de Lagrange de segundo grado que

  • 45

    aproxima a f en los puntos , y . La integral I la podemos aproximar mediante:

    Integrando la expresin anterior obtenemos:

    Esta frmula se conoce como regla de Simpson 1/3.

    Frmulas Cerradas de Newton-Cotes.

    La Regla del Trapecio y el mtodo de Simpson 1/3 son casos de un conjunto de formulas conocidas como formulas cerradas de Newton-Cotes de n+1 puntos, con nodos igualmente espaciados con k = 0,

    1, 2,, n, y donde

    . Estas formulas tienen la forma:

    Donde

    Frmulas cerradas de Newton-Cotes ms comunes.

    Para n = 1. Regla del Trapecio

    Para n = 2. Regla de Simpson 1/3

    Para n = 3. Regla de Simpson 3/8

  • 46

    Para n = 4. Regla de Simpson 2/45

    Ejemplo. Use la Regla del Trapecio, la Regla de Simpson 1/3 y la Regla de

    Simpson 3/8 para estimar el valor de la integral siguiente. Compare con la solucin exacta.

    Integracin Numrica Compuesta

    Las formulas de Newton-Cotes no son generalmente apropiadas para usarse sobre intervalos de integracin grandes. Las formulas siguientes utilizan un enfoque segmentario de la integracin numrica empleando las formulas de Newton-Cotes. Esto significa subdividir el intervalo de integracin [a, b] en n subintervalos y aplicar las formulas de Newton-Cotes en cada uno de los subintervalos.

    Regla Compuesta del Trapecio

    En lugar de usar n nodos para obtener un polinomio de interpolacin, podemos aproximar la funcin por tramos, esto es, obtenemos el polinomio de interpolacin de Lagrange para dos nodos consecutivos: .

    Integrando la expresin anterior en el intervalo [ ], tenemos que:

    Donde .

    Cuando f es positiva la formula anterior nos da el rea del trapecio determinado por P sobre el intervalo [ ].

    Sumando las integrales correspondientes a todos los subintervalos

    [ ] obtenemos:

  • 47

    La formula anterior es la que se denomina Regla Compuesta de los Trapecios.

    Regla Compuesta de Simpson sobre n = 2m subintervalos.

    Como cada aplicacin de la Regla de Simpson 1/3 requiere de dos intervalos, por lo que la aplicacin de la Regla Compuesta de Simpson requiere que el numero de intervalos n, debe ser un nmero entero par, esto es n = 2m para algn entero m; en consecuencia se debe tener un

    nmero impar de n+1 nodos. Sea

    , y si tenemos un conjunto de

    nodos igualmente espaciados entonces: con k = 0, 1, 2,, n, y tenemos

    La primera sumatoria en el segundo miembro se efecta sobre los nodos de numeracin par, mientras que la segunda sumatoria se efecta sobre los nodos de numeracin impar ubicados entre y .

    Ejemplo. Use la Regla Compuesta del Trapecio y de Simpson 1/3 con cinco nodos, para estimar el valor de la integral siguiente. Compare con la solucin exacta.

    Ejemplo. Use la Regla Compuesta del Trapecio, y de Simpson 1/3 con cinco nodos para estimar el valor de la integral siguiente. Compare con la solucin exacta.

  • 48

    Frmulas Abiertas de Newton-Cotes

    Con estas formulas se obtiene una aproximacin a la integral mediante la integral del polinomio de Lagrange

    En estas formulas tenemos que los nodos vienen dados por: , para k = 0, 1, 2,,n; donde h viene dado por

    Se define y por tanto . Si se nombran los extremos de integracin y , tenemos

    Donde

    Las siguientes son algunas de las Frmulas Abiertas de Newton-Cotes:

    Para n = 0. Regla del Punto Medio

    Para n = 1.

    Para n = 2.

    Para n = 3.

  • 49

    Practica

    1. Use las reglas del trapecio y de Simpson para aproximar las integrales siguientes. Determine el error cometido.

    2. Use los datos de la tabla siguiente para encontrar una aproximacin

    a la integral de la funcin x 1.1 1.3 1.5

    3.0042 3.6693 4.4817

    3. Dada la funcin f, cuyos valores se dan en la tabla siguiente,

    seleccione dos formulas para aproximar la integral de la misma.

    x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6

    F(x) 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675

    4. Aproxime las integrales siguientes mediantes las reglas compuestas

    del trapecio. Determine el error cometido con la aproximacin.

    5. Use la regla de Simpson compuesta para obtener una aproximacin

    de las integrales siguientes, con error menor a .

  • 50

    6. Derive la formula de la regla del trapecio. 7. Bajo la accin de una fuerza F, dirigida a lo largo del eje OX, un

    punto material se traslada por este eje desde la posicin x = 0, hasta la posicin x = 4. En la tabla siguiente se da el valor de modulo de la fuerza para cada desplazamiento del punto material. Calcular aproximadamente el trabajo W realizado por la fuerza F. ( Recuerde

    que para este caso el trabajo viene dado por

    )

    x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

    F 1.50 0.75 0.50 0.75 1.50 2.75 4.50 6.75 10.00

  • 51

    5 Mtodos Numricos para la Solucin de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.

    Introduccin.

    El trmino Ecuacin Diferencial (ED) sugiere resolver algn tipo de ecuacin que contiene derivadas y, y, y,. El conocimiento que poseemos sobre un sistema, un fenmeno, un experimento, o teoras los podemos expresar mediante una ecuacin diferencial. Una Ecuacin Diferencial es aquella que contiene las derivadas de una o ms funciones con respecto a una o ms variables. Notacin. Con la notacin de Leibniz las derivadas se escriben

    Donde el superndice entre parntesis indica la derivada ensima de la funcin y respecto a x, para n = 1, 2, 3,. Con la notacin prima las derivadas las podemos escribir de forma equivalente

    O tambin

    La anterior se lee tambin la derivada ensima de la funcin y respecto a x, para n = 1, 2, 3,. El orden de una ED es el de la derivada de mayor orden. Ejemplo. La siguiente es una ED de orden 2, aunque aparece la potencia 5 de la primera derivada de y respecto a x

    Una ED ordinaria de orden n se puede expresar en la forma general

    La derivada de mayor orden se puede expresar en funcin de las otras n+1 variables

    Ejemplo. Una ED de primer orden la podemos expresar

    La anterior ecuacin se puede escribir de manera equivalente mediante la notacin

  • 52

    Una ED ordinaria de orden n se dice lineal si se puede expresar en la forma

    Una solucin de una ED de orden n es una funcin diferenciable definida en un intervalo I de x, tal que cuando la misma se sustituye en la ED en la misma se mantiene una identidad. Encontrar una solucin a una ED como y+2y+y=0, significa encontrar una funcin y tal que al sustituir su primera y segunda derivada en la ecuacin anterior la suma se hace igual a cero. La solucin general a una ED de orden n es una solucin que contiene todas las soluciones posibles. Ejemplo. Demuestre que la funcin

    Es una solucin a la ED de primer orden

    Tomando la primera derivada de y tenemos:

    Ahora sustituyendo a la funcin y en el segundo miembro de la ED de primer orden tenemos

    De tal manera que y es una solucin de la ED de primer orden. Ejercicio. Demuestre que la funcin

    Es una solucin a la ED de primer orden

    Una solucin particular que satisface la condicin inicial es la funcin para la cual su valor es cuando . Un Problema de Valor Inicial (PVI) de Primer Orden es una ecuacin diferencial , cuya solucin satisface las condiciones iniciales . Ejercicio. Verifique que la funcin indicada es solucin de la correspondiente ED.

  • 53

    Mtodo de Euler. Este mtodo nos permite obtener una solucin aproximada a un PVIPO , . Esta solucin se obtiene en una tabla que nos da valores aproximados de la funcin y, para ciertos valores de x en un intervalo I. La condicin inicial del problema establece que la funcin y(x), pasa por el punto . Por dicho punto podemos trazar una recta tangente de pendiente , cuya ecuacin la podemos formular:

    O de manera equivalente:

    Esta ecuacin nos da una buena aproximacin a la funcin solucin y, en un pequeo entorno del punto . El mtodo de Euler se basa en utilizar de manera recursiva la ecuacin anterior para aproximar la funcin solucin y.

    Sean un conjunto de puntos: una particin del intervalo I, tales que , donde . Sea h suficientemente pequeo, entonces una aproximacin a la podemos obtener

    El punto , y la primera derivada de la funcin y en dicho punto, la cual nos da la pendiente de la tangente en el mismo, los podemos usar para generar la ecuacin

    El proceso anterior lo podemos repetir sobre todos los puntos de la particin del intervalo I. En general tenemos

    O de manera simplificada podemos escribir

    Ejemplo. Determine una aproximacin a la funcin y en para h = 0.1, la cual es solucin del PVI:

    Con y(0) = 1. Compare la aproximacin con los valores de la solucin

    exacta y determine el correspondiente error relativo.

  • 54

    Apndice. Sistemas de Ecuaciones Lineales

    Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto conformado por m ecuaciones y n incgnitas de la forma:

    ..

    Los nmeros se denominan coeficientes y los nmeros se

    denominan trminos independientes. Una solucin del sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de las variables: , tales que todas las ecuaciones se satisfacen. Los sistemas de ecuaciones los podemos clasificar segn:

    Sistema sin solucin.

    En este caso no existe un conjunto de valores de las variables: , tales que todas las ecuaciones se satisfagan.

    Ejemplo. El sistema x + y = 1 y x + y = 2 no tiene solucin.

    Sistema con solucin nica.

    En este caso existe un nico conjunto de valores de las variables: , tales que todas las ecuaciones se satisfacen.

    Ejemplo. El sistema x + y = 1 y x - y = 0 tiene exactamente una solucin: x = , y = 1/2.

    Sistema con ms de una solucin.

    En este caso existe ms de un conjunto de valores de las variables: , tales que todas las ecuaciones se satisfacen.

    Ejemplo. El sistema x + y = 1 tiene ms de una solucin.

    Mtodo de Eliminacin de Gauss-Jordan.

    Este es un mtodo muy utilizado para resolver un sistema lineal de ecuaciones y est basado en tres operaciones bsicas:

    Intercambio de dos ecuaciones

    Multiplicacin de todos los trminos de una ecuacin por un escalar no nulo

    Suma de una ecuacin a otra multiplicada por un escalar.

  • 55

    Cada vez que efectuamos una de estas operaciones obtenemos un nuevo sistema con las mismas soluciones. Dos sistemas con las mismas soluciones se llaman equivalentes. Efectuando estas operaciones de manera sucesiva podemos llegar a un sistema equivalente que puede resolverse por inspeccin.

    A fin de facilitar el trabajo de clculo, se trabaja con la matriz ampliada la cual est conformada por los coeficientes y los trminos independientes.

    El objetivo de las operaciones fila es obtener una matriz ampliada de la forma

    De tal manera que

    .

    Sistema con infinitas soluciones. Si en el proceso de obtener la matriz ampliada anterior encontramos una fila con todos sus elementos iguales a cero decimos entonces que el sistema tiene infinitas soluciones.

    Sistema sin solucin. Si en el proceso de obtener la matriz ampliada anterior encontramos una fila en la que todos los elementos de la matriz de los coeficientes son iguales a cero y el trmino independiente distinto de cero, decimos entonces que el sistema no tiene solucin.

    Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

    La siguiente es la matriz ampliada del anterior sistema es

    Las siguientes son las matrices ampliadas que se obtuvieron para llegar a la solucin del sistema

  • 56

    De tal manera que y .

    Ejemplo. Sistema con solucin nica. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

    La siguiente es la matriz ampliada del anterior sistema es

    Las operaciones bsicas antes mencionadas se efectan con las filas de la matriz ampliada y se llaman operaciones fila. El objetivo es llegar a la matriz

    La solucin del sistema lineal de ecuaciones es: x= 124, y = 75, z = 31.

    Ejemplo. Sistema sin solucin. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

    La siguiente es la matriz ampliada del anterior sistema es

  • 57

    Aplicando las operaciones fila se llega a la matriz ampliada

    Al ser todos los elementos de la ltima fila en la matriz de los coeficientes iguales a 0, el sistema original no tiene solucin.

    Ejemplo. Sistema con ms de una solucin. Esto ocurre cuando el sistema tiene un nmero mayor de variables que de ecuaciones.

    Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

    La matriz ampliada del anterior sistema es

    Si se aplican las correspondientes operaciones fila, se obtiene la matriz ampliada

    El sistema de ecuaciones puede resolverse respecto en funcin de .

    Practica.

    1. Aplique el mtodo de Gauss-Jordan para determinar la solucin de los siguientes sistemas lineales

  • 58

    2. Determine para el siguiente sistema de ecuaciones: para cuales

    valores del parmetro a, el sistema tiene solucin nica; para cuales el sistema tiene infinitas soluciones.

    Eliminacin Gaussiana.

    El concepto de matriz se introduce como un mtodo conveniente para expresar y manipular un sistema de ecuaciones lineales.

    Dado un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

    ..

    El anterior sistema de ecuaciones lo podemos representar matricialmente si definimos:

    La anterior se denomina matriz de los coeficientes.

  • 59

    La anterior se denomina matriz de los variables.

    La anterior se denomina matriz de los trminos independientes.

    De tal manera que el sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en la forma

    Esto es

    Ejercicio. Escribir el siguiente sistema de ecuaciones en forma matricial

    Inversa de una matriz. Este concepto nos permite determinar la solucin de un sistema de ecuaciones lineales, en caso de que esta exista.

    Definicin. Se dice que una matriz cuadrada A es no singular si existe otra

    matriz cuadrada denotada , tal que . La matriz se denomina la inversa de la matriz . Una matriz que no tiene inversa se denomina singular.

    Ejercicio. Dadas las siguientes matrices:

    Demuestre que A es la inversa de B (o que B es la inversa de A).

    Ejercicio. Dadas las siguientes matrices:

  • 60

    Demuestre que A es la inversa de B (o que B es la inversa de A).

    La eliminacin Gaussiana es un mtodo que podemos aplicar para obtener la inversa de una cierta matriz cuadrada. Este consiste en aplicar las operaciones con las filas, vista anteriormente, sobre la matriz ampliada: , para obtener la matriz ampliada: .

    Tambin

    Ejercicio. Dadas la matriz obtenga la matriz inversa:

    Ejercicio. Obtenga la matriz inversa de la matriz

    La solucin de un sistema de ecuaciones lineales la podemos escribir

    Ejercicio. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones

  • 61

    Como

    Entonces tenemos que

    Prctica.

    1. Este ejercicio nos indica como determinar todas las matrices no

    singulares 2x2. Demuestre la siguiente igualdad.

    Si tenemos que

    Entonces

    2. Utilice el resultado del ejercicio para determinar la solucin de los

    sistemas de ecuacin siguientes

    3. Utilice el mtodo de eliminacin Gaussiana para determinar la

    solucin de los sistemas de ecuacin siguientes.

  • 62

    4. Determine para el siguiente sistema de ecuaciones: para cuales valores del parmetro a, el sistema tiene solucin nica; para cuales el sistema tiene infinitas soluciones. Seleccione un valor para el parmetro a y determine la solucin del sistema de ecuaciones.

  • 63

    Plan de Evaluacin

    En la tabla siguiente est el plan de evaluacin que se seguir en la

    materia Calculo Numrico.

    Objetivo Examen Contenido

    I 20% Solucin a funciones reales de una variable real.

    Mtodo de biseccin, Mtodo de la secante y

    mtodo de Newton-Raphson

    II 20% Solucin numrica a ecuaciones diferenciales

    lineales de primer orden. Mtodo de Euler.

    Mtodo Runge-Kutta

    III 20% Interpolacin polinmica. Polinomio de Taylor,

    Polinomio de Lagrange, Polinomio de Newton

    IV 20% Polinomios de Mnimos Cuadrados

    V 20% Integracin numrica

    En la tabla anterior est indicado como se distribuye la ponderacin de

    la evaluacin de la materia, la cual est basada en cinco exmenes

    parciales. Tambin se indica un resumen del contenido de la materia.