Calculo 2A - Cristiane R R Argento

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  • Clculo 2A

    Departamento de Matemtica Aplicada

    Instituto de Matemtica e Estatstica

    Universidade Federal Fluminense

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

  • ii

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Contedo

    Prefcio ix

    1 Integral denida 1

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    2 Denio formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2 O Teorema Fundamental do Clculo 9

    1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3 Aplicaes do Teorema Fundamental do Clculo 17

    1 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    4 Integrao por substituio 27

    1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2 Integrao por substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3 O Mtodo de Substituio para a Integral Denida . . . . . . 32

    4 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5 Integrao por partes 39

    iii

  • iv CONTEDO

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    6 Integrais de Funes Trigonomtricas 47

    1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    7 Substituio trigonomtrica 53

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    8 Integrao por fraes parciais 61

    1 Integrao de funes racionais prprias . . . . . . . . . . . . 61

    2 Integrao de funes racionais imprprias . . . . . . . . . . . 67

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    9 Substituies diversas 71

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    2 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    10 Volumes de slidos de revoluo usando o mtodo dos discos 79

    1 Rotao de regio entre o grco de uma funo e o eixo de

    revoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    2 Rotao de regio entre dois grcos . . . . . . 86

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    11 Volumes de slidos de revoluo por cascas cilndricas 91

    1 Rotao de regio entre dois grco em torno de um eixo ver-

    tical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • CONTEDO v

    2 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    12 Comprimento de arco 99

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    13 Integral imprpria em intervalos no limitados 105

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    14 Integral imprpria de funes no limitadas 111

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    15 Critrio de comparao para integrais imprprias 119

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    16 Introduo s equaes diferenciais ordinrias 127

    1 Equaes Diferenciais Ordinrias . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    2 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    17 EDO de primeira ordem 135

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • vi CONTEDO

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    18 Teorema de Existncia e Unicidade 143

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    19 Equaes Diferenciais Homogneas 151

    1 Equaes Homogneas na forma normal . . . . . . . . . . . . . 151

    2 Equaes Homogneas na forma diferencial . . . . . . . . . . . 155

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    20 Equaes lineares de primeira ordem 159

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    2 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    21 Equaes exatas e equaes redutveis s exatas 167

    1 Equaes exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

    2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

    3 Equaes redutveis s exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    4 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

    22 Equaes de Bernoulli, Ricatti e Clairaut 179

    1 Equao de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

    2 Equao de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

    3 Equao de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    4 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    23 Aplicaes das EDOs de 1 ordem 191

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • CONTEDO vii

    1 Trajetrias ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    2 Modelagem Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

    24 EDOs homogneas lineares de ordem n 2 2031 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

    25 Mtodo da reduo de ordem 213

    1 Descrio do mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

    2 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

    26 EDO lineares homogneas de grau n com coecientes con-

    stantes 219

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    2 Grau n=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    3 Grau n 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2234 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

    5 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

    27 Mtodo dos coecientes a determinar 229

    1 Descrio do mtodo dos coecientes a determinar . . . . . . . 229

    2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

    3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

    28 Mtodo da variao dos parmetros 237

    1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

    2 Grau n=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • viii CONTEDO

    3 Grau n 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

    5 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

    29 Equaes de Euler-Cauchy 249

    1 Equaes de Euler-Cauchy de segunda ordem . . . . . . . . . 249

    2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

    3 Equaes de Euler-Cauchy de ordem n 3 . . . . . . . . . . . 2544 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

    30 Aplicaes das Equaes de Segunda Ordem 259

    1 Sistema Massa-Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

    2 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

    Bibliograa 277

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Prefcio

    O presente texto foi elaborado para os alunos da disciplina Clculo

    IIA, oferecida pelo Departamento de Matemtica Aplicada da UFF, na mo-

    dalidade distncia ou semipresencial. Como pr-requisito, o aluno precisa

    dominar o contedo da disciplina Clculo IA: Clculo Diferencial de uma

    Varivel Real.

    Niteri - RJ, outubro de 2011.

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    Departamento de Matemtica Aplicada

    IME-UFF

    ix

  • xCristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Aula 1

    Integral denida

    H dois problemas fundamentais em clculo: o primeiro encontrar

    a inclinao de uma curva qualquer em um ponto dado e o segundo

    determinar a rea de uma regio plana qualquer. Estes dois problemas, sem

    nenhuma relao aparente entre eles, correspondem aos conceitos de derivada

    e integral, respectivamente. Alguns matemticos, como Barrow, Newton,

    Leibniz, observaram que estes dois conceitos matemticos, e, portanto, os

    problemas da inclinao e da rea, esto intimamente relacionados entre si.

    Esta clebre observao, conhecida como Teorema Fundamental do Clculo,

    ser objeto de estudo da prxima aula.

    Nesta aula apresentaremos o conceito de integral denida como soluo

    ao problema da rea sob uma curva.

    1 Conceitos bsicos

    Consideremos o problema de calcular a rea entre o eixo x e o grco

    de uma funo positiva e limitada f , denida no intervalo [a, b] (Figura 1).

    Uma ideia natural para calcular a rea de uma regio aproxim-la

    por uma nova regio cuja rea possa ser facilmente calculada (por exemplo,

    uma unio de retngulos). Fazendo isso, no obtemos a rea desejada, mas

    sim uma aproximao dela. No entanto, esperamos que quanto melhor a

    1

  • 2 1. CONCEITOS BSICOS

    Figura 1: Regio sob a funo f

    aproximao da regio, melhor a aproximao da rea.

    As Figuras de 2 a 5 mostram aproximaes por regies maiores e

    menores que a regio da Figura 1, compostas de 3, 7, 15 e 30 retngulos.

    As reas destas regies so chamadas de Soma de Riemann Superior (SS) e

    Soma de Riemann Inferior (SI), respectivamente.

    Figura 2: SS =2.45, SI =1.55

    Figura 3: SS =2.21, SI =1.79

    Figura 4: SS =2.1, SI =1.9

    Figura 5: SS =2.05, SI =1.95Dados os valores de SS e SI obtidos nestas aproximaces, no difcilintuir que o valor da rea que procuramos exatamente 2.Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez CLCULO 2A

  • AULA 1. INTEGRAL DEFINIDA 3

    2 Denio formal

    Vamos formalizar as ideias expostas na seo anterior para que pos-

    samos calcular a rea entre o grco de uma funo positiva f , denida no

    intervalo [a, b], e o eixo x.

    Comeamos aproximando a regio desejada por uma unio nita de

    retngulos e depois calculamos a rea desta unio. Para isso, preciso co-

    nhecer a base e a altura de cada um desses retngulos.

    Consideremos a unio de n retngulos cujas bases e alturas so dadas

    pelos intervalos [t0, t1], [t1, t2], , [tn1, b] e pelos valores {f(t1), f(t2), , tn},respectivamente, onde {a = t0 < t1 < t1 < < tn1 < tn < tn = b}.

    Figura 6: Exemplo com n = 6

    Finalmente, associamos a partio pontilhada

    P = ({t0, t1, , tn1, tn}, {t1, , tn1, tn})

    a essa unio de retngulos e denimos ||P|| como sendo o maior dos compri-mentos dos intervalos [ti, ti+1].

    Agora estamos prontos para dar uma denio formal de rea.

    Denio 1

    A rea entre o grco de uma funo positiva e limitada f : [a, b] R e o

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 4 2. DEFINIO FORMAL

    eixo x denida como ba

    f(x)dx = lim||P||0

    ni=1

    f(ti )(ti ti1), (1)

    quando o limite acima, que calculado sobre todas as possveis parties

    pontilhadas, existir. Nesse caso, diremos que f Riemman integrvel no

    intervalo [a, b].

    Observao 1

    Note que a soma que aparece no limite (1) faz sentido mesmo que a funof no seja positiva. Caso o limite exista, seguiremos chamando este limite de

    integral de Riemann, embora a interpretao agora seja a de rea com sinal.

    Isto , a rea acima do eixo x conta como positiva, e aquela que ca embaixo

    do eixo x conta como negativa.

    O conceito de integral ser estendido para funes denidas em intervalosno limitados e para funes no limitadas (integrais imprprias) nas Aulas

    13 e 14, respectivamente.

    Uma vez dada a denio de funo integrvel, surge uma pergunta

    natural. Quais funes limitadas so integrveis? Lamentavelmente, nem

    todas elas so (ver exerccio 2). No entanto, o seguinte teorema fornece um

    critrio para determinar quando uma funo limitada integrvel.

    Teorema 1

    Uma funo limitada f : [a, b] R com uma quantidade nita de descon-tinuidades Riemann integrvel. Em particular, toda funo contnua

    integrvel.

    Vamos agora calcular uma integral explicitamente.

    Exemplo 1

    Calcule

    10

    x2 dx.

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 1. INTEGRAL DEFINIDA 5

    Soluo

    Pelo Teorema 1, sabemos que a funo f(x) = x2 integrvel no inter-

    valo [0, 1]. Logo, para calcular o valor da integral, suciente considerar

    uma sequncia de parties {Pn}n1, tal que ||Pn|| 0 quando n. Porexemplo,

    Pn = ({0, 1n,2

    n, , n 1

    n, 1}, { 1

    n,2

    n, , n 1

    n, 1}).

    Neste caso ||Pn|| = 1n . A soma que apararece na expresso (1) (soma deRiemann) associada a Pn :

    ni=1(

    in)2( 1

    n). Finalmente, usando a frmula da

    soma dos primeiros n quadrados,

    ni=1

    i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

    6,

    obtemos 10

    f(x)dx = limn0

    1

    n3

    ni=1

    i2 =1

    3.

    Como voc deve ter percebido, mesmo para o caso de funes muito

    simples, bastante dispendioso o clculo da integral usando a mera denio.

    O teorema fundamental do clculo, que estudaremos na prxima aula, fornece

    outra maneira de calcular uma intregral.

    Para concluir esta aula, vamos enunciar algumas propriedades da inte-

    gral denida.

    Sejam f : [a, b] R e g : [a, b] R funes limitadas e integrveis.Ento,

    1.

    ba

    f(x) + g(x) dx =

    ba

    f(x) dx+

    ba

    g(x) dx .

    2.

    ba

    kf(x) dx = k

    ba

    f(x) dx para todo k R.

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 6 3. EXERCCIOS DE REVISO

    3. Se f(x) g(x) para todo x [a, b], ento ba

    f(x) dx ba

    g(x) dx .

    4.

    ba

    f(x) dx =

    ca

    f(x) dx+

    bc

    f(x) dx para toda constante c tal que

    a < c < b.

    5. Dados m,M R, tais que m f(x) M para todo x [a, b], temos

    m(b a) ba

    f(x) dx M(b a) . Em particular, aa

    f(x) dx = 0.

    3 Exerccios de reviso

    1. Calcule

    11

    1 x2dx.

    Dica: Lembre que a integral a rea sob a curva.

    2. Prove que a funo f , denida no intervalo [0, 1] como

    f(x) =

    0 x racional,1 x irracional,NO Riemann integrvel.

    Dica: Considere parties pontilhadas tais que {ti }ni=1 sejam todosracionais ou todos irracionais.

    3. Verique que

    10

    x3 dx =1

    4, usando os mesmos argumentos do Exemplo1.

    Dica: Use a seguinte identidade:

    nk=1

    k3 =[n(n+ 1)

    2

    ]2.

    4. Ache o valor

    30

    [5f(x) + 4g(x)] dx supondo que

    32f(x) dx = 7, 0

    2f(x) dx = 15 e

    30

    g(x) dx = 10.

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 1. INTEGRAL DEFINIDA 7

    5. Verique as seguintes desigualdades sem calcular as integrais.

    (a) 23

    11

    3 + x2 dx 4 ;

    (b)

    pi24 pi

    4

    pi6

    sen(x) dx 2pi

    24.

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  • 8 3. EXERCCIOS DE REVISO

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Aula 2

    O Teorema Fundamental do

    Clculo

    1 Introduo

    O Teorema Fundamental do Clculo (TFC) estabelece uma conexo

    entre os conceitos de derivada e integral. Essa ntima relao entre o Clculo

    Diferencial e o Clculo Integral simplica muito a soluo de problemas em

    que o conceito de integral denida usado. Esse teorema o grande re-

    sultado do Clculo e foi descoberto por Isaac Barrow (1630-1677), que foi o

    mentor de Newton, na Universidade de Cambridge. Barrow percebeu que a

    derivada e a integral so problemas inversos, porm, foram Newton e Leibniz

    que aplicaram as ideias e desenvolveram o Clculo, utilizando-o na resoluo

    de diferentes problemas.

    Antes de abordarmos o Teorema, precisamos desenvolver algumas ideias

    preliminares. Comecemos denindo novas funes a partir de antigas.

    Seja f : [a, b] R contnua em [a, b], denimos uma nova funo g : [a, b] R,

    como a funo que a cada x em [a, b] associa o nmero real g(x) =

    xa

    f(t) dt.

    Quando f 0 interpretamos g(x) como a funo rea, j que, nesse caso,

    9

  • 10 1. INTRODUO

    g(x) representa a rea da regio entre o grco da f(t) e o eixo t, para

    t [a, x], conforme a Figura 1 a seguir. Observe que g(a) = aa

    f(t) dt = 0.

    Figura 1: rea da regio sob a funo f(t), t [a, x]

    Exemplo 1

    Calcule g(0), g(1), g(3/2), g(2) e g(3), em que g(x) =

    x0

    f(t) dt e

    f(t) =

    t2, se 0 t 1;1, se 1 < t < 2;

    3 t, se 2 t 3.

    Soluo

    Temos g(0) =

    00

    f(t) dt = 0; g(1) =

    10

    f(t) dt =

    10

    t2 dt = 1/3, pelo

    exemplo 1 visto na Aula 1. Observando o grco da Figura 2 a seguir, temos

    que

    g(3/2) =

    3/20

    f(t) dt =

    10

    f(t) dt+

    3/21

    f(t) dt

    =

    10

    t2 dt+

    3/21

    1 dt = 1/3 + 1/2 = 5/6 ,

    onde a ltima integral denida representa a rea do retngulo de altura 1 e

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez CLCULO 2A

  • AULA 2. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CLCULO 11

    base 1/2;

    g(2) =

    20

    f(t) dt =

    10

    f(t) dt+

    21

    f(t) dt =

    10

    t2 dt+

    21

    1 dt = 1/3+1 = 4/3 ,

    em que a ltima integral denida representa a rea do quadrado de lado 1;

    g(3) =

    20

    f(t) dt+

    32

    f(t) dt = 4/3 +

    32

    3 t dt = 4/3 + 1/2 = 11/6 ,

    onde a ltima integral denida representa a rea do tringulo retngulo de

    altura 1 e base 1.

    Figura 2: Grco da funo f(t) do exemplo1.

    Exemplo 2

    Mostre que

    d

    dx

    x0

    t dt = x, x 0

    Soluo

    Interpretando como a rea do tringulo entre o grco de y = t e o eixo

    t, para t [0, x], temos que x0

    t dt =x.x

    2=x2

    2, j que a base e a altura so

    iguais a x. Logo,d

    dx

    x0

    t dt =d

    dx

    (x2

    2

    )= x.

    Lembremos que uma primitiva ou antiderivada de uma funo f , num

    intervalo I, qualquer funo F denida em I, cuja derivada coincide com a

    f , isto , F (x) = f(x), x I. Alm disso, como consequncia do Teorema

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 12 1. INTRODUO

    do Valor Mdio, segue que duas primitivas quaisquer, digamos F e G de uma

    f , num intervalo I, diferem por uma constante, isto , F (x) = G(x) + C,

    x I, onde C uma constante real. Portanto, o Exemplo 2 revela quenesse caso

    x0

    t dt uma primitiva para o integrando f(x) = x. O TFC nos

    mostrar que esse resultado geral, ele valer sempre que o integrando for

    uma funo contnua. Antes, porm, vejamos um argumento intuitivo que

    aponta para a veracidade desse resultado, ao menos para f 0.

    Nesse caso, g(x) a rea pintada da Figura 1 e sabemos que

    g(x) = limh0

    g(x+ h) g(x)h

    .

    Assim, supondo inicialmente h > 0, temos

    g(x+ h) g(x) = x+ha

    f(t) dt xa

    f(t) dt

    =

    xa

    f(t) dt+

    x+hx

    f(t) dt xa

    f(t) dt

    =

    x+hx

    f(t) dt .

    Nesse caso, a ltima integral representa a rea da faixa entre o grco da

    f e o eixo t, para t [x, x + h]. Note que, na ltima igualdade, usamos apropriedade 4 das integrais denidas, vista na Aula 1.

    Como estamos interessados no limite para h 0, supomos a faixa bemninha, isto , h 0, portanto, a rea da faixa aproximadamente a reado retngulo de base h e altura f(x), conforme a Figura 3. Logo,

    g(x) = limh0

    g(x+ h) g(x)h

    limh0

    f(x).h

    h= lim

    h0f(x) = f(x) .

    Analogamente temos o mesmo resultado para h < 0.

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 2. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CLCULO 13

    Figura 3: A rea do retngulo aproxima a rea da faixa.

    Agora, podemos perceber que o resultado razovel, o que torna natural

    o contedo do TFC, que se divide em duas partes, sendo que a segunda

    consequncia da primeira.

    Teorema Fundamental do Clculo

    Se a funo f for contnua em [a,b], ento

    i) a funo g(x) =

    xa

    f(t) dt contnua em [a, b], derivvel em (a, b) e

    g(x) = f(x), x (a, b).

    ii)

    ba

    f(x) dx = F (b) F (a), onde F qualquer primitiva da funo f .

    Observao 1

    A primeira parte do TFC nos diz que podemos construir primitivas parauma funo contnua usando integrao. Alm disso, a demonstrao feita

    vale em a e b como derivadas laterais e podemos escrever g(x) = f(x),

    x [a, b], entendendo que g(a) a derivada direita da g em x = a e g(b) a derivada esquerda.

    A segunda parte do TFC facilita muito o clculo de integrais denidas, seconhecermos uma primitiva F para o integrando. Nesse caso, calculamos a

    variao total dessa funo, isto , F (b) F (a). Essa variao total recebe

    uma notao bastante til, a saber F (b) F (a) = F (x)ba.

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 14 2. EXERCCIOS DE REVISO

    A partir da Aula 4 at a Aula 9 vamos desenvolver tcnicas que nospermitem calcular primitivas de algumas funes. Porm, essas tcnicas tm

    alcance limitado, na verdade, para a maioria das funes integrveis, no

    podemos determinar uma primitiva. Nesse caso, o uso das somas de Riemann

    necessrio e as mesmas podem ser utilizadas com algum mtodo numrico

    para aproximar o valor da integral denida.

    A primeira parte do TFC nos diz que ddx

    xa

    f(t) dt = f(x), ou seja

    que a derivada desfaz o que realizado pela integral e obtemos de volta a

    funo f original. Aplicando a segunda parte do TFC derivada de f temos xa

    d

    dtf(t) dt = f(x) f(a). Assim, a integral desfaz o que realizado pela

    derivada e obtemos de volta a funo f , a menos da constante f(a). Neste

    sentido, entendemos que a derivao e a integrao so processos inversos.

    Nesse ponto, justicamos o uso da nomenclatura integral indenida parao conjunto das primitivas de uma funo. primeira vista esse uso parece

    inadequado, por se tratar de uma ideia que no envolve o mesmo princpio

    da integral denida. A estreita ligao que envolve os dois conceitos s ca

    evidente com o TFC.

    2 Exerccios de reviso

    1. Calcule as integrais indenidas:

    a.

    41

    1

    xdx; b.

    10

    1

    x2 + 1dx; c.

    21

    3x4 + 1 dx;

    d.

    pi0

    sen x dx; e.

    41

    1tdt; f.

    10

    es ds.

    2. Esboce a regio R compreendida entre os grcos dados e calcule sua

    rea.

    a. y = x4 e o eixo Ox para x [0, 2];b. y = cos x e o eixo Ox para x [0, pi/2];c. Reta y = 1 e y = cos x para x [0, pi/2] .

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    CLCULO 2A

  • AULA 2. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CLCULO 15

    3. Derive as funes abaixo em relao a x.

    a.

    x1

    2

    tdt; b.

    x0

    es2

    ds; c.

    1x

    u2

    u4 + 2u2 + 3du.

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  • 16 2. EXERCCIOS DE REVISO

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Aula 3

    Aplicaes do Teorema

    Fundamental do Clculo

    Iniciamos a aula relembrando algumas das primitivas imediatas que

    foram vistas no curso de Clculo Diferencial.xa dx =

    xa+1

    a+ 1+ C a R, a 6= 1 ,

    ex dx = ex + C ,

    cosx dx = senx+ C ,

    sen x dx = cosx+ C ,

    sec2 x dx = tg x+ C ,

    1

    xdx = ln |x|+ C ,

    1

    1 + x2dx = arctg x+ C ,

    1

    1 x2 dx = arcsen x+ C .

    Revisemos ainda, duas propriedades da integral indenida, a saber:

    cf(x) dx = c

    f(x) dx, para c constante real ;

    [f(x) + g(x)] dx =

    f(x) dx+

    g(x) dx.

    Combinando as primitivas acima e as propriedades formamos novas integrais

    indenidas. Observe, por exemplo:sec2 x+ 3x4 dx = tg x+

    3

    5x5 + C .

    17

  • 18

    Observe, atravs dos exerccios a seguir como o clculo de reas cou bem

    menos trabalhoso com a aplicao do Teorema Fundamental do Clculo, es-

    tudado na Aula 2.

    Exemplo 1

    Calcule a rea da regio R entre o grco de f(x) =x e o eixo x para

    x [1, 2]. Esboce a regio.

    Soluo

    Observe o esboo da regio R na Figura 1. Pelo item ii) do TFC segue

    que a rea da regio R dada por 21

    x dx =

    21

    x12 dx =

    x3/2

    3/2

    21=

    2

    3[23/2 13/2] = 2

    3[22 1] unidades de rea.

    Figura 1: Esboo da regio R do exemplo 1

    Observao 1

    Se f(x) 0, x [a, b], ento a rea da regio R entre o grco da funo f

    e o eixo x em [a, b] dada porA(R) = A(R) = ba

    f(x) dx = ba

    f(x) dx,

    veja a Figura 2 a seguir.

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  • AULA 3. APLICAES DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CLCULO 19

    Se a funo f trocar de sinal em [a, b] usamos suas razes e dividimos [a, b]em subintervalos nos quais a funo f no troca de sinal. Assim, escrevemos

    a rea da regio R entre o grco de f e o intervalo [a, b], como uma soma de

    integrais nesses subintervalos, onde o integrando ser f ou f , dependendose no subintervalo correspondente funo f for no negativa ou no positiva,

    respectivamente. Observe a Figura 3 a seguir.

    Figura 2: A(R)=A(R*)=

    b

    a

    f(x) dx

    Figura 3: A(R) = x1a f(x) dx x2x1 f(x) dx+ x3x2 f(x) dx bx3 f(x) dxExemplo 2A Figura 4 mostra o grco de y = senx entre x = 0 e x = 2pi.a) Calcule 2pi0 senx dx;b) Calcule a rea entre o grco de y = senx e o eixo x em [0, 2pi].c) Compare os dois itens anteriores.Soluoa) Pelo TFC, 2pi0 senx dx = cosx2pi0 = cos 2pi + cos 0 = 1 + 1 = 0.CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 20

    Figura 4: Esboo da regio R do exemplo 2

    b) Primeiro, note que sen x negativo em [pi, 2pi], ento para calcularmos

    a rea da regio correspondente a esse intervalo, vamos considerar

    y = sen x em [pi, 2pi], que no negativa e cuja rea entre o gr-co e o eixo x coincide com a rea que queremos determinar. Assim, a

    rea da regio dada igual a pi0

    sen x dx+

    2pipi

    sen x dx = cosxpi0 ( cosx)

    2pipi

    =

    cos pi + cos 0 + cos 2pi cos pi = (1) + 1 + 1 (1) = 4 unidadesde rea.

    c) No item a), temos um cancelamento das reas, pois

    2pipi

    sen x dx menos

    a rea da regio que est abaixo do eixo x e

    2pi0

    sen x dx =

    pi0

    sen x dx

    +

    2pipi

    sen x dx. Assim, devido simetria, o resultado foi zero.

    No item b), dividimos o clculo da rea em duas partes, onde a funo

    positiva e onde negativa. Para termos a rea, reetimos o grco da

    parte com imagem negativa em torno do eixo x e assim a rea desejada

    foi calculada pela

    pi0

    sen x dx 2pipi

    sen x dx 6= 2pi0

    sen x dx.

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez CLCULO 2A

  • AULA 3. APLICAES DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CLCULO 21

    Exemplo 3

    Determine a rea da regio fechada da Figura 5 entre o grco de f(x) = x3x26xe o eixo x.

    Figura 5: Regio fechada entre o grco de f(x) = x3 x2 6x e o eixo x.

    Soluo

    Para comear, precisamos determinar os zeros da funo polinomial dada,

    ento vamos resolver a equao f(x) = x3 x2 6x = 0. Assim,

    f(x) = x3x26x = 0 x(x3)(x+2) = 0 x = 0 ou x = 3 ou x = 2 .

    Observando o sinal de f pela Figura 5, temos

    A(R) =

    02x3 x2 6x dx

    30

    x3 x2 6x dx

    =

    [x4

    4 x

    3

    3 6x

    2

    2

    ] 02[x4

    4 x

    3

    3 6x

    2

    2

    ] 30

    = 4 8/3 + 12 81/4 + 27/3 + 27 = 167/12.

    Exemplo 4

    Calcule a rea da regio R entre os grcos de y = x2 e y = x. Esboce a

    regio.

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 22

    Soluo

    Observe que x2 = x x = 0 ou x = 1. A rea de R a diferenaentre a rea (do tringulo)entre y = x e do eixo x e a rea entre y = x2 e o

    eixo x, para x [0, 1]. Portanto,

    A(R) =

    10

    x dx 10

    x2 dx =x2

    2

    10 x

    3

    3

    10= 1/2 1/3 = 1/6.

    Figura 6: Esboo da regio R do exemplo 4

    No caso geral em que temos que calcular a rea entre dois grcos de

    funes f e g em [a, b], procedemos da seguinte forma:

    Determinamos as intersees entre os dois grcos, isto resolvemos a

    equao f(x) = g(x) em [a, b].

    Esboamos os grcos, sempre que possvel, para conhecermos a regio,

    cuja rea estamos calculando.

    Calculamos separadamente as integrais denidas de f(x) g(x) nossubintervalos determinados pelas intersees e por a e b. Tomamos

    o mdulo de cada integral denida e somamos os resultados. O que

    equivale ao clculo da

    ba

    |f(x) g(x)| dx, ou seja, em cada intervalo

    o integrando a diferena entre a "funo maior"e a "funo menor".

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez CLCULO 2A

  • AULA 3. APLICAES DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CLCULO 23

    Exemplo 5

    Calcule a rea da regio R entre os grcos de y = senx e y = sen 2x, para

    x [0, pi]. Esboce.

    Soluo

    Primeiro calculamos as intersees entre os dois grcos, observadas na Figura

    7 a seguir. Ento, em [0, pi], temos sen x = sen 2x sen x = 2 senx cosx

    Figura 7: Usamos duas integrais denidas para o clculo da rea da regio hachurada.

    sen x = 0 ou cosx = 1/2 x = 0 ou x = pi ou x = pi/3. Portanto,

    A(R) =

    pi/30

    sen 2x sen x dx+ pipi/3

    sen x sen 2x dx

    = [cos 2x2

    + cosx]pi/30

    + [ cosx+ cos 2x2

    ]pipi/3

    = 1/4 + 1/2 + 1/2 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/4 = 5/2.

    Agora, vamos derivar funes dadas usando integrais denidas. Como

    a derivada desfaz o que a integral produziu, no precisaremos realizar a

    integrao.

    Exemplo 6

    Derive as funes : a)

    x1

    sen t2 dt , b)

    2x

    et2

    dt .

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 24

    Soluo

    a) Pelo TFC-i),

    d

    dx

    x1

    sen t2 dt = senx2.

    b)Pelo TFC-i),

    d

    dx

    2x

    et2

    dt =d

    dx

    [ x2

    et2

    dt

    ]= ex2 .

    Exemplo 7

    Suponha

    x1

    f(t) dt = x2 + 3x 4. Determine f(x).

    Soluo

    Pelo TFC-i), temos

    f(x) =d

    dx

    [ x1

    f(t) dt

    ]=

    d

    dx[x2 + 3x 4] = 2x+ 3.

    Note que se F (x) =

    xa

    f(t) dt, ento,

    u(x)a

    f(t) dt = F (u(x)), isto ,

    temos uma funo composta. Portanto, pela Regra da Cadeia e pelo TFC,

    obtemos

    d

    dx

    u(x)a

    f(t) dt =d

    dxF (u(x)) = F (u(x))u(x) = f(u(x))u(x),

    em que supomos que a funo f seja contnua e a u derivvel. Analogamente,

    se v for derivvel,

    d

    dx

    av(x)

    f(t) dt = ddx

    v(x)a

    f(t) dt = f(v(x))v(x).

    Mas, u(x)v(x)

    f(t) dt =

    av(x)

    f(t) dt+

    u(x)a

    f(t) dt ,

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 3. APLICAES DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CLCULO 25

    onde a qualquer nmero real no domnio da funo f . Portanto, obtivemos

    a conhecida Frmula de Leibniz:

    d

    dx

    u(x)v(x)

    f(t) dt = f(u(x))u(x) f(v(x))v(x) (1)

    Exemplo 8

    Calcule

    d

    dx

    x2x

    et3

    dt

    Soluo

    Aplicando a frmula de Leibniz (1), temos que

    d

    dx

    x2x

    et3

    dt = e(x2)32x e(x)3(1) = 2xex6 + ex3 .

    Exemplo 9

    Calcule limx0

    xx

    cos t5 dt

    x.

    Soluo

    Temos uma indeterminao do tipo [0/0], portanto, aplicando a Regra de

    LHpital e a Frmula de Leibniz (1) para derivar o numerador, obtemos

    limx0

    xx

    cos t5 dt

    x= lim

    x0cosx5 cos(x)5(1)

    1= lim

    x0cosx5 + cosx5 = 2 .

    Neste caso, usamos acima o fato de que o cosseno uma funo par.

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 26 1. EXERCCIOS DE REVISO

    1 Exerccios de reviso

    1. Calcule as integrais indenidas e d uma interpretao geomtrica.

    a.

    40

    ex dx; b.

    20

    1

    x2 + 1dx; c.

    21

    4x2 + 1 dx;

    d.

    pipi/2

    sen x dx; e.

    40

    t dt; f.

    51

    1

    sds.

    2. Esboce a regio R compreendida entre os grcos dados e calcule sua

    rea.

    a. y = x3 + 2x2 3x e o eixo x ;b. y = x4 e a reta y = x para x [0, 2] ;c. y = x 2 e x = y2 ;d y = sen x e y = cos x para x [0, 2pi].

    3. Derive as funes abaixo em relao a x.

    a. f(x) =

    x1

    cos t2 dt; b. f(x) =

    x20

    es2

    ds;

    c. x

    2xx3

    cos3t dt.

    4. Calcule os limites.

    a. limx0

    xx

    sen t2 dt

    x3; b. lim

    x1

    x2x

    et2

    dt

    x 1 .

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Aula 4

    Integrao por substituio

    1 Introduo

    A partir desta Aula at a Aula 9 vamos desenvolver as principais tcni-

    cas de integrao. A ideia simplicar o clculo das integrais, reduzindo-as

    a integrais mais simples, como, por exemplo, as que foram vistas nas Aulas

    2 e 3. Voc j deve ter percebido que o problema de determinar primitivas

    de uma funo mais complexo do que o clculo de derivadas. No Clculo

    Integral precisamos reconstruir a funo a partir do conhecimento de sua

    derivada e, para tal, no dispomos de frmulas to gerais quanto quelas

    vistas no Clculo Diferencial.

    2 Integrao por substituio

    O mtodo de integrao que veremos nesta aula chamado de Mtodo

    de Substituio ou Mudana de Varivel. Esse mtodo baseado em uma

    regra de derivao bem conhecida, a chamada Regra da Cadeia. Suponha

    que temos uma integral do tipo

    f(g(x))g(x) dx, (1)

    27

  • 28 2. INTEGRAO POR SUBSTITUIO

    em que a funo g possui derivada contnua em algum intervalo e a funo

    f contnua num intervalo contendo a imagem de g . Suponha ainda, que

    conhecemos uma primitiva F para a funo f , ento pela Regra da Cadeia,

    usada inversamente, e pela denio de integral indenida, obtemosf(g(x))g(x) dx =

    F (g(x))g(x) dx

    =

    d

    dxF (g(x)) dx = F (g(x)) + C.

    Assim, acabamos de calcular a integral indenida (1).

    Na prtica, fazemos essas contas usando um mtodo mecnico que de-

    screveremos a seguir. Trocamos a varivel x por u, fazendo u = g(x). Ento,

    usando a notao de diferencial, du = g(x)dx, obtemosf(g(x))g(x) dx =

    f(u)du = F (u) + C.

    Por m, retornamos varivel x, substituindo u = g(x) na igualdade descrita

    e obtemos:f(g(x))g(x) dx =

    f(u)du = F (u) + C = F (g(x)) + C,

    tal como queramos.

    Precisamos enfatizar que para aplicar este mtodo, precisamos identi-

    car a mudana de varivel que vai nos levar a uma integral mais simples

    na nova varivel. Como veremos nos exemplos, se a varivel original for x,

    frequentemente teremos que ajeitar o dx em funo do du e, aps as contas,

    sempre retornaremos varivel original. O retorno varivel x fundamen-

    tal no clculo da integral indenida, j que, nesse caso, o objetivo encontrar

    todas as funes primitivas do integrando original, em funo de x.

    Mais adiante, com a introduo de outras tcnicas de integrao, ser

    muito comum aplicarmos mais de uma tcnica no mesmo problema e o

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 4. INTEGRAO POR SUBSTITUIO 29

    Mtodo de Substituio vai ser bastante utilizado.

    Calcule as integrais indenidas nos exemplos a seguir.

    Exemplo 141 + 4x dx .

    Soluo

    Seja u = 1 + 4x. Ento, du = 4dx e o Mtodo de Substituio nos d41 + 4x dx =

    u du =

    u3/2

    3/2+ C =

    2

    3(1 + 4x)3/2 + C .

    Exemplo 2u2eu

    3

    du .

    Soluo

    Seja v = u3, ento, dv = 3u2du e a integral dada se escreve comou2eu

    3

    du =

    1

    3ev dv =

    1

    3ev + C =

    eu3

    3+ C .

    Exemplo 3t(1 + t2)100 dt .

    Soluo

    Seja u = 1 + t2. Ento, du = 2tdt tdt = du2. Portanto,

    t(1+ t2)100 dt =

    u100

    du

    2=

    1

    2

    u100 du =

    1

    2

    u101

    101+C =

    (1 + t2)101

    202+C .

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 30 2. INTEGRAO POR SUBSTITUIO

    Exemplo 4cos

    x

    xdx .

    Soluo

    Seja u =x. Ento, du =

    dx

    2x 2du = dx

    x. Logo,

    cos

    x

    xdx =

    cosu 2du = 2

    cosu du = 2 senu+ C = 2 sen

    x+ C .

    Exemplo 5tg x dx .

    Soluo

    Primeiro vamos reescrever a tangente como tg x =sen x

    cosx. Substituindo

    u = cos x temos du = sen xdx du = senxdx. Logo,sen x

    cosxdx =

    du

    u= ln |u|+ C = ln | cosx|+ C = ln | sec x|+ C .

    Exemplo 6x

    x2 + 6dx .

    Soluo

    Seja u = x2 + 6, ento, du = 2xdx e a integral dada se escreve comox

    x2 + 6dx =

    1

    2udu =

    1

    2ln |u|+ C = 1

    2ln(x2 + 6) + C .

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

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  • AULA 4. INTEGRAO POR SUBSTITUIO 31

    Exemplo 71

    3x2 + 1dx .

    Soluo

    A ideia reescrever a integral para chegarmos funo arcotangente. Assim,

    considere u =3x, ento, du =

    3dx e a integral dada se escreve como

    1

    (3x)2 + 1

    dx =13

    1

    u2 + 1du =

    13arctg u+C =

    13arctg(

    3x)+C .

    Exemplo 81

    x2 + 2x+ 5dx .

    Soluo

    A ideia a mesma do exemplo anterior, vamos reescrever a integral para

    chegarmos funo arcotangente. Assim, primeiro vamos completar o quadrado

    do denominador e depois mudar a varivel. Como

    x2 + 2x+ 5 = (x+ 1)2 + 4 = 4

    [(x+ 1

    2

    )2+ 1

    ],

    fazendo u =x+ 1

    2, temos du =

    1

    2dx e, portanto,

    1

    x2 + 2x+ 5dx =

    1

    4

    1(

    x+ 1

    2

    )2+ 1

    dx =1

    2

    1

    u2 + 1du =

    =1

    2arctg u+ C =

    1

    2arctg

    (x+ 1

    2

    )+ C.

    Exemplo 9sec x dx .

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  • 32 3. O MTODO DE SUBSTITUIO PARA A INTEGRAL DEFINIDA

    Soluo

    Vamos calcular essa integral multiplicando e dividindo o integrando por

    u = secx+ tg x, ento, du = [secxtgx+ sec2 x]dx esec x dx =

    sec2 x+ sec x tg x

    sec x+ tg xdx =

    du

    u= ln | sec x+ tg x|+ C .

    3 O Mtodo de Substituio para a Integral

    Denida

    Existem duas formas para o clculo de uma integral denida usando

    substituio. Podemos calcular a integral indenida e, depois, usando o

    Teorema Fundamental do Clculo, computamos a variao total da primitiva

    escolhida. Observe o clculo a seguir, em que usamos o resultado do Exemplo

    1, a saber: 41 + 4x dx =

    2

    3(1 + 4x)3/2 + C ,

    ento, 21

    41 + 4x dx =

    2

    3(1+ 4x)3/2

    21=

    2

    3(1+ 8)3/2 2

    3(1+ 4)3/2 = 18 10

    5

    3.

    A segunda forma de resoluo da integral denida consiste em aplicar o

    teorema a seguir, em que mudamos os limites de integrao ao mudarmos

    a varivel e fazemos as contas at o nal na nova varivel, no tendo que

    retornar varivel original.

    Teorema 1 (Substituio em integrais denidas)

    Se g uma funo contnua em [a,b] e a funo f contnua na imagem de

    g, ento, ba

    f(g(x))g(x)dx = g(b)g(a)

    f(u)du. (2)

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 4. INTEGRAO POR SUBSTITUIO 33

    Prova

    Observe que de (2) e do Teorema Fundamental do Clculo (TFC)) da Aula

    2 obtemos ba

    f(g(x))g(x)dx = F (g(x))ba= F (g(b)) F (g(a)) ,

    onde F uma primitiva de f . Por outro lado, tambm pelo TFC, temos que g(b)g(a)

    f(u)du = F (g(b)) F (g(a)). Logo,

    ba

    f(g(x))g(x)dx = g(b)g(a)

    f(u)du ,

    tal como queramos demonstrar.

    Exemplo 10

    Calcule

    21

    41 + 4x dx, usando (2) .

    Soluo

    Tomando u = 4x temos du = 4dx. Agora, devemos calcular os novos limites

    de integrao, observe que

    x = 1 u = 1 + 4(1) = 5 e x = 2 u = 1 + 4(2) = 9 .

    Portanto, 21

    41 + 4x dx =

    95

    u du =

    2u3/2

    3

    95=

    2

    3(93/2 53/2) = 18 10

    5

    3.

    Observao 1

    Voc deve ter notado que a vantagem de usar (2) a de que no precisamos

    retornar varivel x aps a integrao. A variao total calculada na

    varivel u, com os novos limites de integrao.

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  • 34 3. O MTODO DE SUBSTITUIO PARA A INTEGRAL DEFINIDA

    Exemplo 11

    Calcule

    01

    x

    3x2 + 2dx, usando (2) .

    Soluo

    Tomando u = 3x2 + 2 temos du = 6xdx. Agora, devemos calcular os novos

    limites de integrao, observe

    x = 1 u = 3(1)2 + 2 = 5 e x = 0 u = 3(0) + 2 = 2

    Portanto,

    01

    x

    3x2 + 2dx =

    25

    1

    6

    1

    udu =

    1

    6lnu25=

    1

    6(ln 2 ln 5).

    Observao 2

    Ressaltamos que em (2) a ordem em que aparecem g(a), como limite inferior,

    e g(b), como limite superior, deve ser respeitada, mesmo que g(b) g(a).

    Exemplo 12

    Calcule a rea da regio limitada pelo grco de y =1

    1 2x , pelo eixo x epelas retas x = 2 e x = 1

    Soluo

    Pelo vista na Aula 1, a rea da regio descrita dada por A =

    12

    1

    1 2x dx,

    usando a mudana de varivel u = 12x, obtemos du = 2dx dx = du2.

    Mudando os limites de integrao, de acordo com (2), segue que

    A =

    12

    1

    1 2x dx = 1

    2

    35

    1

    udu = 1

    2lnu35= 1

    2[ln 3ln 5] = 1

    2ln

    (5

    3

    ).

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 4. INTEGRAO POR SUBSTITUIO 35

    Figura 1: Regio do exemplo 12.

    Exemplo 13

    Seja f uma funo contnua em [a, a]. Mostre que

    1. se f for par , isto , f(x) = f(x), ento aaf(x) dx = 2

    a0

    f(x) dx.

    2. Se f for mpar, isto , f(x) = f(x) ento aaf(x) dx = 0.

    Soluo

    1. Vamos escrever a integral dada como a soma entre a integral de a a0 e a integral de 0 a a, ento temos

    aaf(x) dx =

    0af(x) dx+

    a0

    f(x) dx . (3)

    Na primeira integral vamos mudar a varivel para u = x, entodu = dx e trocando os limites de integrao, de acordo com (2),segue que 0

    af(x) dx =

    0a

    f(u) du .

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  • 36 3. O MTODO DE SUBSTITUIO PARA A INTEGRAL DEFINIDA

    Como a funo f par, temos

    0af(x) dx =

    0a

    f(u) du = 0a

    f(u) du =

    a0

    f(u) du, (4)

    onde na ltima igualdade invertemos os limites de integrao, o que

    acarreta uma mudana de sinal da integral, conforme foi visto na Aula

    1. Portanto, de (3) e (4), temos que aaf(x) dx =

    a0

    f(u) du+

    a0

    f(x) dx = 2

    a0

    f(x) dx ,

    pois na integral denida podemos usar qualquer varivel para escrever

    o integrando.

    2. A vericao segue os mesmos passos do item anterior, onde usamos

    em (4) que a funo f mpar e, portanto, obtemos

    0af(x) dx =

    0a

    f(u) du = 0a

    f(u) du = a0

    f(u) du,

    donde aaf(x) dx =

    0af(x) dx+

    a0

    f(x) dx = a0

    f(u) du+

    a0

    f(x) dx = 0 .

    Exemplo 14

    Calcule

    pipi

    sen3 x

    cos8 x+ 3x2 + 1dx.

    Soluo

    O integrando f(x) =sen3 x

    cos8 x+ 3x2 + 1 uma funo mpar, pois

    f(x) = sen3(x)

    cos8(x) + 3(x)2 + 1 = sen3 x

    cos8 x+ 3x2 + 1= f(x) ,

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 4. INTEGRAO POR SUBSTITUIO 37

    para todo x [pi, pi]. Logo, pelo exemplo anterior, pipi

    sen3 x

    cos8 x+ 3x2 + 1dx = 0 .

    4 Exerccios de reviso

    Calcule as seguintes integrais.

    1.

    ln2 x

    xdx; 2.

    t

    t4 + 1dt;

    3.

    x

    x4 + 2x2 + 3dx; 4.

    pi0

    sen

    2 cos2 + 1d;

    5.

    sen 2x

    3 cos2 x+ 1dx; 6.

    1 + 2x

    1 + 3x2dx;

    7.

    xx+ 3 dx; 8.

    11

    s3 + 2s

    ds;

    9.

    11

    |x|3 + 2x

    dx; 10.

    3pi3pi

    x4 sen5 x dx.

    11.Mostre que as reas das regies dadas a seguir so iguais.

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  • 38 4. EXERCCIOS DE REVISO

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Aula 5

    Integrao por partes

    O mtodo de Integrao por partes permite expressar a integral de um

    produto de funes em termos de outra integral. O mtodo til quando

    esta ltima integral mais simples que a integral original.

    1 Conceitos bsicos

    Dadas duas funes u e v contnuas no intervalo [a, b] e diferenciveis

    no intervalo (a, b), pela regra de derivao do produto, temos

    (uv)(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x),

    Supondo que os trs termos da igualdade acima sejam integrveis no intervalo

    [a, b], integrando e usando a denio de integral indenida, obtemosu(x)v(x)dx = u(x)v(x)

    v(x)u(x)dx. (1)

    A maneira mais simples de lembrar da frmula (1) usando a notao dife-

    rencial, isto du = u(x)dx e dv = v(x)dx. Isso nos permite reescrever (1)

    como udv = uv

    vdu. (2)

    39

  • 40 1. CONCEITOS BSICOS

    No caso da integral denida temos ba

    udv = uvba ba

    vdu. (3)

    O mtodo de Integrao por partes se aplica da seguinte maneira: para inte-

    grar uma funo h, comeamos escrevendo-a como o produto de duas funes,

    digamos h(x) = f(x)g(x). Denimos u = f(x) e dv = g(x)dx, obtendo

    u = f(x) ; du = f (x)dx, (4)

    v =? ; dv = g(x)dx.

    A funo v simplesmente

    g(x)dx. Por isso, na prtica, procuramos uma

    decomposio h = fg, de modo que g tenha uma integral imediata. Uma vez

    determinada v, usamos a frmula (2) e obtemosh(x)dx = uv

    vdu

    Assim, o problema de calcular

    h(x)dx trocado pelo problema de calcular

    vdu.

    Observao 1

    Na maioria dos casos, a ideia fazer com quevdu seja mais simples de

    calcular do que

    h(x)dx.

    Algumas vezes, mesmo que o grau de diculdade para calcularvdu ou

    h(x)dx seja o mesmo (ver o Exemplo 2), aplicando novamente o mtodo,

    conseguimos calcular a integral desejada.

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 5. INTEGRAO POR PARTES 41

    Nos exerccios a seguir, usaremos o padro (4) para descrever a decom-posio considerada.

    2 Exemplos

    Exemplo 1

    Calcule

    10

    xexdx.

    Soluo

    Consideremos a decomposio

    u = x ; du = dx,

    v = ex ; dv = exdx.

    Usando a expresso (3) obtemos 10

    xexdx = xex10 10

    exdx.

    Agora, o problema se reduz a calcular a integral da funo ex, que, como

    sabido, a prpria funo ex. Logo, 10

    xexdx = xex10 ex

    10= e (e 1) = 1 .

    Exemplo 2

    Calcule

    ex sen x dx.

    Soluo

    Consideremos a decomposio

    u = senx ; du = cos xdx,

    v = ex ; dv = exdx.

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 42 2. EXEMPLOS

    Usando a expresso (2) obtemosex sen x dx = ex sen x

    ex cosx dx. (5)

    O problema se reduz a calcular

    ex cosx, que NO mais simples de

    calcular do que a integral original. Dado que a derivada da funo cosseno

    a funo seno, se usarmos novamente o mtodo de integrao por partes

    para calcular

    ex cosx dx, veramos aparecer novamente a integral, o que

    pareceria ser um crculo vicioso. No entanto, vejamos que no : decompondo

    a funo ex cosx da seguinte maneira

    u = cos x ; du = senxdx,

    v = ex ; dv = exdx.

    temos ex cosx dx = ex cosx

    ex( sen x) dx. (6)

    Aplicando a expresso (6) em (5), obtemosex sen x dx = ex sen x ex cosx

    ex(sen x) dx.

    Logo, passando a integral do lado direito para o lado esquerdo e, posterior-

    mente, dividindo por 2, temosex sen x dx =

    1

    2[ex sen x ex cosx] + C.

    Exemplo 3

    Calcule

    lnx dx .

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 5. INTEGRAO POR PARTES 43

    Soluo

    Em geral, se estamos querendo calcular a integral de uma funo f cuja

    derivada parece ser mais simples de integrar do que a prpia funo, pode-

    mos considerar a decomposio

    u = f(x) ; du = f (x)dx,

    v = x ; dv = dx.

    No nosso caso particular, esta decomposio caria

    u = ln x ; du =1

    xdx,

    v = x ; dv = dx.

    Usando a expresso (2), obtemoslnx dx = x lnx

    x1

    xdx.

    Logo, lnx dx = x lnx x+ C.

    Exemplo 4

    Calcule

    sec3 x dx.

    Soluo

    Consideremos a decomposio

    u = secx ; du = secx tg xdx,

    v = tg x ; dv = sec2 dx.

    Usando a expresso (2), obtemossec3 x dx = secx tg x

    tg2 x sec x dx.

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 44 3. EXERCCIOS DE REVISO

    Usando a identidade tg2 x = sec2 x 1, temos

    sec3 x dx = secx tg x

    sec3 x dx+

    sec x dx.

    Passando a integral de sec3 x do lado direito para o lado esquerdo da igual-

    dade acima, e dado que

    sec x dx = ln | sec x+ tg x|, obtemos

    sec3 x dx =

    1

    2[sec x tg x+ ln | sec x+ tg x|] + C.

    Observao 2

    No exemplo anterior, poderamos ter considerado a seguinte decomposio:

    u = sec2 x ; du = 2 sec2 x tg xdx,

    v = ln | sec x+ tg x| ; dv = sec dx.

    Esta escolha nos leva a calcular

    ln | sec x+ tg x| sec2 x tg x dx,

    que mas difcil de ser feito do que com a integral original. Logo, fazer uma

    escolha adequada da decomposio indispensvel para que o mtodo seja

    til.

    3 Exerccios de reviso

    Calcule as seguintes integrais.

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 5. INTEGRAO POR PARTES 45

    1.

    arctg x dx; 2.

    (lnx)3 dx ;

    3.

    cossec3 x dx; 4.

    sen(ln x) dx ;

    5.

    x sec2 x dx; 6.

    x3x dx;

    7.

    tg2 x sec3 x dx; 8.

    pi2

    0

    cosx sen3 x dx.

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  • 46 3. EXERCCIOS DE REVISO

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Aula 6

    Integrais de Funes

    Trigonomtricas

    1 Introduo

    Nesta aula vamos calcular integrais envolvendo produtos de potncias

    de funes trigonomtricas. Integrais desse tipo aparecem, com frequn-

    cia, em aplicaes fsicas ou dentro de outra tcnica chamada substitui-

    o trigonomtrica, portanto, vamos abord-las nesse captulo. Para tal,

    na maioria dos casos, o uso de identidades trigonomtricas ser fundamen-

    tal, portanto, listaremos a seguir as principais identidades trigonomtricas

    necessrias.

    cos2 x+ sen2 x = 1 (1)

    tg2 x+ 1 = sec2 x (2)

    cos2 x =1 + cos 2x

    2(3)

    sen2 x =1 cos 2x

    2(4)

    senmx cosnx =sen(m n)x+ sen(n+m)x

    2(5)

    47

  • 48 1. INTRODUO

    Nos exemplos a seguir, calcule as integrais dadas.

    Exemplo 1cos3 x dx

    Soluo

    Usando a identidade (1) anterior, escrevemos cos3 x = cos2 x cosx = (1sen2 x) cos xe mudamos a varivel u = senx, donde du = cos xdx. Ento,

    cos3 x dx =

    cos2 x cosx dx =

    (1 sen2 x) cos x dx

    =

    (1 u2) du = u u

    3

    3+ C = senx sen

    3 x

    3+ C .

    Exemplo 2cos3 x sen2 x dx

    Soluo

    Vamos separar uma potncia do cosseno para formarmos o du, como no

    exemplo anterior. A ideia usar a identidade (1) para escrever o integrando

    como cos3 x sen2 x = cos2 x sen2 x cosx = (1 sen2 x) sen2 x cosx e usar amudana u = senx. Assim, obtemos

    cos3 x sen2 x dx =

    (1 sen2 x) sen2 x cosx dx =

    (1 u2)u2 du

    =

    u2 u4 du = u

    3

    3 u

    5

    5+ C =

    sen3 x

    3 sen

    5 x

    5+ C .

    Exemplo 3 pi0

    sen2 x dx

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 6. INTEGRAIS DE FUNES TRIGONOMTRICAS 49

    Soluo

    Pela identidade (4) temos pi0

    sen2 x dx =

    pi0

    1 cos 2x2

    dx =1

    2

    pi0

    1 cos 2x dx .

    Usando o Teorema 1 da Aula 4, para u = 2x, obtemos

    1

    2

    pi0

    1 cos 2x dx = 12

    2pi0

    1 cosu du2

    =1

    4(u senu)

    2pi0

    =pi

    2.

    Exemplo 4cos4 x dx

    Soluo

    Usando a identidade (3) anteriormente descrita, temos

    cos4 x dx =

    (1 + cos 2x

    2

    )2dx =

    1

    4

    1 + 2 cos 2x+ cos2 2x dx

    =x

    4+

    1

    2

    cos 2x dx+

    1

    4

    cos2 2x dx .

    Mudando a varivel u = 2x, de forma anloga ao que foi feito no exemplo

    anterior, obtemos

    1

    2

    cos 2x dx =

    1

    4

    cosu du =

    1

    4senu+ C =

    1

    4sen 2x+ C .

    A terceira integral ser calculada, utilizando a identidade (3) para 2x, no

    lugar do x. Assim, obtemos

    1

    4

    cos2 2x dx =

    1

    4

    1 + cos 4x

    2dx =

    x

    8+

    1

    8

    cos 4x dx

    =x

    8+

    1

    32

    cosu du =

    x

    8+

    1

    32senu+ C =

    x

    8+

    1

    32sen 4x+ C .

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 50 1. INTRODUO

    Observe que nos clculos anteriores usamos a substituio u = 4x com

    du = 4dx. Logo,cos4 x dx =

    3x

    8+

    1

    4sen 2x+

    1

    32sen 4x+ C .

    Exemplo 5sen6 x dx

    Soluo

    Reescrevemos o integrando e usamos (4) para reduzir potncias da seguinte

    forma sen6 x dx =

    (sen2 x)3 dx =

    (1 cos 2x

    2

    )3dx

    =1

    8

    1 3 cos 2x+ 3 cos2 2x cos3 2x dx .

    Fazendo a mudana u = 2x com du = 2dx, obtemos integrais que j foram

    calculadas nos exemplos 1 e 4 anteriores. Assim,sen6 x dx =

    1

    16

    1 3 cosu+ 3 cos2 u cos3 u du

    =u

    16+

    3u

    32+

    3 senu

    64 1

    16senu+

    1

    48sen3 u+ C

    =5x

    16 1

    64sen 2x+

    1

    48sen3 2x+ C .

    Exemplo 6cos2 x sen4 x dx .

    Soluo

    Usando a identidade (1) reduzimos a integral dada a duas, que j sabemos

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 6. INTEGRAIS DE FUNES TRIGONOMTRICAS 51

    calcular, cos2 x sen4 x dx =

    sen4 x sen6 x dx .

    A segunda integral a do exemplo 5 e a primeira feita de forma anloga

    do exemplo 4. Assim, obtemoscos2 x sen4 x dx =

    3x

    8 1

    4sen 2x+

    1

    32sen 4x 5x

    16+

    1

    64sen 2x 1

    48sen3 2x+ C

    =x

    16 15

    64sen 2x+

    1

    32sen 4x 1

    48sen3 2x+ C .

    Exemplo 7sen 3x cos 7x dx .

    Soluo

    Basta usar a identidade (5) para m = 3 e n = 7. Ento,sen 3x cos 7x dx =

    1

    2

    sen4x+ sen 10x dx = cos 4x

    8 cos 10x

    20+ C .

    Exemplo 8 pi/4pi/4

    sec4 x dx

    Soluo

    Agora, a estratgia usar (2) para depois fazer a substituio na integral

    denida u = tg x, onde du = sec2 xdx. Ento, pi/4pi/4

    sec4 x dx =

    pi/4pi/4

    sec2 x sec2 x dx =

    pi/4pi/4

    (1 + tg2 x) sec2 x dx

    =

    11

    (1 + u2) du = (u+u3

    3)11

    =8

    3.

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 52 2. EXERCCIOS DE REVISO

    Exemplo 9tg3 x dx .

    Soluo

    Vamos usar a identidade (2) e na primeira integral a ser obtida, a substi-

    tuio u = tg x , em que du = sec2 x. Ento,tg3 x dx =

    tg x(sec2 x 1) dx =

    u du

    tg x dx

    =u2

    2+ ln | cosx|+ C = tg

    2 x

    2+ ln | cosx|+ ,

    onde utilizamos o clculo da integral da tangente, tal como vimos no exemplo

    5, da Aula 4.

    2 Exerccios de reviso

    Calcule as integrais.

    1.

    tg4 x dx; 2.

    cos5 x dx;

    3.

    cos6 x dx; 4.

    sen x tg2 x dx;

    5.

    cos pix sen x dx; 6.

    sec2n x dx, n = 3, 4;

    7.

    tg x sec3 x dx; 8.

    cos2 x sen2 x dx;

    9.

    sen x cos3 x dx.

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Aula 7

    Substituio trigonomtrica

    A substituio trigonomtrica uma tcnica utilizada para integrar

    funes algbricas transformando-as em funes trigonomtricas, mediante

    o uso de identidades trigonomtricas.

    1 Conceitos bsicos

    Nesta aula, vamos usar um novo tipo de substituio, chamado substi-

    tuio inversa, que difere do procedimento adotado na Aula 4 em que NO

    a nova varivel que ser colocada em funo da varivel original (u = g(x)),

    mas sim o contrrio. Dada h : I J uma funo C1(I) (contnua e comderivada contnua), invertvel com inversa C1(J), denimos a mudana de

    varivel x = h(), o que nos leva a

    f(x)dx =

    f(h())h()d. (1)

    Para justicar a linha anterior, basta tomar uma antiderivada G da funo

    f(h())h(), e provar que G(h1(x)) uma antiderivada da funo f . Isso

    vericado da seguinte maneira:

    G(h1(x))[h1](x) = f(h(h1(x)))h(h1(x))[h1](x) = f(x).

    53

  • 54 1. CONCEITOS BSICOS

    Nesta aula, estudaremos trs tipos diferentes de substituies inversas,

    que vo permitir transformar a integral de uma funo envolvendo alguma

    expresso do tipo

    a2 x2, x2 a2 ou a2 + x2, em uma integral de umafuno envolvendo funes trigonomtricas. A ideia usar as identidades

    trigonomtricas cos2 = 1 sen2 , tg2 = sec2 1 ou sec2 = 1 + tg2 ,respectivamente. Daqui em diante vamos supor a > 0.

    Caso (a2 x2): A funo h() = a sen , denida no intervalo [pi/2, pi/2], invertvel, com funo inversa h1(x) = arcsen(x/a), denida para x [a, a].Podemos, ento, introduzir a mudana de varivel vista em (1), que pode ser

    melhor lembrada usando a notao diferencial:

    x = a sen ; dx = a cos d.

    Observe que usando a identidade cos2 = 1 sen2 , e dado que no domniode denio a funo cosseno positiva, obtemos cos =

    a2x2a.

    De fato, todas as funes trigonomtricas em (tg , cotg , ...) podem

    ser expressas em termos da varivel x, com ajuda da Figura 1.

    Figura 1:

    sen = xa.

    x = Cateto Oposto (CO).

    a = Hipotenusa (H).

    a2 x2 = Cateto Adjacente (CA).

    Por exemplo, dado que cos = CAHe tg = CO

    CA, temos cos =

    a2x2a

    e tg = xa2x2 . Para obter as outras funes trigonomtricas, basta lembrar

    que cotg = 1tg , sec = 1

    cos e cossec = 1

    sen .

    Exemplo 1

    Calcule

    dx

    x5 x2 .

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez CLCULO 2A

  • AULA 7. SUBSTITUIO TRIGONOMTRICA 55

    Soluo

    Considerando a mudana de variveis

    x =5 sen ; dx =

    5 cos d,

    temos dx

    x5 x2 =

    (5 cos )d

    5 sen (5 cos )

    =

    5

    5

    cossec d,

    logo, dx

    x5 x2 =

    5

    5ln | cossec cotg |+ C.

    Para retornar varivel x, usamos (ver a Figura anterior)

    sen =x5

    , cossec =

    5

    x, cotg =

    5 x2x

    .

    Assim,

    dx

    x5 x2 =

    5

    5ln55 x2 5

    5ln |x|+ C.

    Exemplo 2

    Calcule

    x2 dx25 x2 .

    Soluo

    Considerando a mudana de variveis

    x = 5 sen ; dx = 5 cos d,

    temos x2 dx25 x2 =

    (5 sen )2(5 cos ) d

    (5 cos )= 25

    sen2 d.

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 56 1. CONCEITOS BSICOS

    A ltima integral foi estudada na Aula 6. Assim,

    x2 dx25 x2 = 25{/2 sen(2)/4}+ C.

    Para retornar varivel x, usamos

    = arcsen(x/5)

    e

    sen(2) = 2 sen cos = 2(x/5)(

    1 (x/5)2).Assim,

    x2 dx25 x2 =

    25

    2arcsen(x/5) x

    2

    25 x2 + C.

    Caso (a2 + x2) : A funo h() = a tg , denida no intervalo (pi/2, pi/2), invertvel, com funo inversa h1(x) = arctg(x/a) denida para x R.Podemos ento introduzir a mudana de varivel

    x = a tg ; dx = a sec2 d.

    Observe que usando a identidade tg2 = sec2 1, e dado que no domniode denio a funo secante positiva, obtemos sec =

    a2+x2

    a. Analisando

    de forma semelhante ao procedimento adotado no primeiro caso, obtemos a

    Figura 2.

    Figura 2:

    tg = xa.

    x = Cateto Oposto (CO).

    a = Cateto Adjacente (CA).

    a2 x2 = Hipotenusa (H).

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez CLCULO 2A

  • AULA 7. SUBSTITUIO TRIGONOMTRICA 57

    Lembrando que sen = COHe cos = CA

    H, temos sen = x

    a2+x2e

    cos = aa2+x2

    .

    Exemplo 3

    Calcule

    dx

    x2 + 16.

    Soluo

    Considerando a mudana de variveis

    x = 4 tg ; dx = 4 sec2 d,

    temos dx

    x2 + 16=

    4 sec2 d

    4 sec d =

    sec d.

    A ltima integral foi estudada na Aula 6. Assim,dx

    x2 + 16= ln | sec + tg |+ C.

    Para retornar varivel x, usamos

    tg = x/4 , sec =

    16 + x2

    4

    Assim, dx

    x2 + 16= ln

    16 + x2 + x+ C.

    Exemplo 4

    Calcule

    1

    (x2 + 3)2dx

    Soluo

    Considerando a mudana de variveis

    x =3 tg ; dx =

    3 sec2 d,

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 58 1. CONCEITOS BSICOS

    temos 1

    (x2 + 3)2dx =

    3 sec2

    (3 tg2 + 3)2d =

    3

    9

    cos2 d

    A ltima integral pode ser feita usando a identidade (4) da Aula 6. Assim,

    1

    (x2 + 3)2dx =

    3

    9

    [

    2+

    sen(2)

    4

    ]+ C.

    Para retornar varivel x, usamos

    = arctgx3, sen =

    xx2 + 3e cos =

    3

    x2 + 3.

    Assim, 1

    (x2 + 3)2dx =

    3

    18

    [arctg

    x3+

    3x

    x2 + 3

    ]+ C.

    Caso (x2 a2) : A funo h() = a sec , denida no intervalo

    [0, pi/2) ( ou (pi/2, pi]), invertvel, com funo inversa h1(x) = arcsec(x/a)

    denida para x [a,+) ( ou x (, a]). Podemos, ento, introduzir amudana de varivel

    x = a sec ; dx = a sec tg d,

    onde 0 < pi/2 (ou pi/2 < pi). Observe que usando a identidadetg2 = sec2 1, e dado que no domnio de denio a funo tangente positiva (ou negativa), temos tg =

    x2a2a(ou tg =

    x2a2a). Procedendo

    do mesmo modo que no primeiro caso, obtemos a Figura 3.

    Logo, sen =x2a2xe cos = a

    x.

    Exemplo 5

    Calcule

    x2 dxx2 9 supondo x (3,+) .

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 7. SUBSTITUIO TRIGONOMTRICA 59

    Figura 3:

    sec = xa.

    x = Hipotenusa (H).

    a = Cateto Adjacente (CA).

    x2 a2 = Cateto Oposto (CO).

    Soluo

    Considerando a mudana de variveis

    x = 3 sec ; dx = 3 sec tg d,

    temos x2 dxx2 9 =

    (3 sec )2(3 sec tg ) d

    (3 tg )= 9

    sec3 d.

    A ltima integral foi feita no Exemplo 4 da Aula 5. Assim,sec3 d =

    1

    2sec tg +

    1

    2ln | sec + tg |+ C.

    Logo, x2 dxx2 9 =

    9

    2sec tg +

    9

    2ln | sec + tg |+ C.

    Para retornar varivel x, usamos

    sec =x

    3, tg =

    x2 93

    .

    Assim, x2 dxx2 9 =

    xx2 92

    +9

    2lnx+x2 9+ C.

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 60 2. EXERCCIOS DE REVISO

    Exemplo 6

    Calcule

    84

    x2 16x2

    dx.

    Soluo

    Primeiro calculamos a integral indenida. Considerando a mudana de va-

    riveis

    x = 4 sec ; dx = 4 sec tg d,

    temos 84

    x2 16x2

    dx =

    pi3

    0

    (4 tg )(4 sec tg ) d

    (4 sec )2=

    pi3

    0

    [sec cos ] d,

    logo, 84

    x2 16x2

    dx = [ln | sec + tg | sen ]pi30.

    Assim, 84

    x2 16x2

    dx = [ln(2 +3)

    3

    2] [ln 1 0] = ln(2 +

    3)

    3

    2.

    2 Exerccios de reviso

    Calcule as seguintes integrais.

    1.

    x31 x2 dx; 2.

    22

    1

    4x2 + 9dx ;

    3.

    8 2x x2 dx; 4.

    1

    x21 + x2

    dx;

    5.

    x2 + 2x dx; 6.

    a0

    x2a2 x2 dx.

    Calcule as reas das seguintes regies.

    7. Regio delimitada pela elipse

    x2

    a2+ y

    2

    b2= 1.

    8. Regio delimitada pela hiprbole 9x2 4y2 = 36 e a reta x = 3.

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Aula 8

    Integrao por fraes parciais

    O mtodo de Integrao por Fraes Parciais aplicado para integrar

    funes racionais, isto , funes que so quocientes de polinmios. A ideia

    usar as razes do polinmio do denominador para escrever a funo como

    uma soma de funes racionais mais simples, as chamadas fraes parciais.

    1 Integrao de funes racionais prprias

    Sabemos que

    1

    x2 + 1dx = arctg x + C , porm, trocando um sinal,

    a integral indenida

    1

    x2 1 dx j no to imediata. Observe que rees-crevendo o integrando, como uma soma de fraes mais simples, efetuamos

    o clculo da integral sem complicao:

    1

    x2 1 =1/2

    x 1 1/2

    x+ 1,

    ento,1

    x2 1 dx =

    1/2

    x 1 dx

    1/2

    x+ 1dx =

    1

    2ln |x 1| 1

    2ln |x+ 1|+ C .

    Para o caso geral, considere a funo racional prpria

    61

  • 62 1. INTEGRAO DE FUNES RACIONAIS PRPRIAS

    f(x) = p(x)/q(x) , ou seja, tal que o grau de q(x) maior do que o grau

    do numerador p(x). Para decompor a funo f em fraes parciais, primeiro,

    fatoramos q(x) como produto de potncias de fatores distintos, que podem

    ser de dois tipos:

    i) potncia de termo linear do tipo (ax+ b)m , em que m a multiplicidade

    da raiz b/a, ouii) potncia de termo quadrtico irredutvel do tipo (ax2 + bx+ c)k, em queo termo quadrtico no possui razes reais e k a multiplicidade das razes

    complexas conjugadas.

    Em seguida, a cada fator do tipo (ax + b)m, associamos uma decomposio

    em fraes parciais da forma

    A1ax+ b

    +A2

    (ax+ b)2+ ...+

    Am(ax+ b)m

    ,

    em que A1, A2, , Am so constantes a serem determinadas.E a cada fator do tipo (ax2 + bx+ c)k associamos

    B1x+ C1ax2 + bx+ c

    +B2x+ C2

    (ax2 + bx+ c)2+ ...+

    Bkx+ Ck(ax2 + bx+ c)k

    .

    Somamos as decomposies e calculamos as constantes introduzidas. Assim,

    teremos a funo p(x)/q(x), escrita como uma soma de fraes mais simples,

    de modo que poderemos integrar. Para compreender melhor, acompanhe os

    exemplos a seguir. Por simplicidade, no lugar da notaoA1, A2, ..., B1, .., C1, ...,

    vamos usar A,B,C,D...

    Exemplo 1

    Caso em que o denominador fatorado como um produto de fatores lineares

    distintos.

    Calcule x+ 2

    x(x 1)(2x+ 1) dx .

    Soluo

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 8. INTEGRAO POR FRAES PARCIAIS 63

    Observe que q(x) j est fatorado e s possui razes reais com multiplici-

    dade 1, portanto, buscamos uma decomposio para o integrando da forma

    x+ 2

    x(x 1)(2x+ 1) =A

    x+

    B

    x 1 +C

    2x+ 1,x 6= 0, 1,1/2 .

    A m de calcularmos os coecientes, extramos o mmc e cancelamos o de-

    nominador, portanto, temos

    x+ 2 = A(x 1)(2x+ 1) +Bx(2x+ 1) + Cx(x 1),x 6= 0, 1,1/2 .

    Como a identidade anterior entre polinmios, que so funes contnuas em

    R, ela vale inclusive para os valores x = 0, 1,1/2. Substituir x por essesvalores facilita o clculo dos coecientes, j que se x = 0, ento 2 = A, sex = 1, segue que 3 = 3B e se x = 1/2, acarreta 3/2 = 3C

    4. Assim, A = 2,

    B = 1 e C = 2, donde

    x+ 2

    x(x 1)(2x+ 1) =2x

    +1

    x 1 +2

    2x+ 1

    Logo,x+ 2

    x(x 1)(2x+ 1) dx = 2

    xdx+

    1

    x 1 dx+

    2

    2x+ 1dx

    = 2 ln |x|+ ln |x 1|+ ln |2x+ 1|+ C .

    Exemplo 2

    Caso em que o denominador fatorado como um produto de fatores lineares

    repetidos.

    Calcule

    5x2 + 20x+ 6

    x3 + 4x2 + 4xdx.

    Soluo

    Inicialmente, vamos fatorar q(x) = x3+4x2+4x = x(x2+4x+4) = x(x+2)2,

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 64 1. INTEGRAO DE FUNES RACIONAIS PRPRIAS

    como em i) . O integrando deve ter uma decomposio da forma

    5x2 + 20x+ 6

    x3 + 4x2 + 4x=A

    x+

    B

    x+ 2+

    C

    (x+ 2)2,x 6= 0,2 .

    A m de calcularmos os coecientes, extramos o mmc e cancelamos o de-

    nominador, portanto, temos 5x2 + 20x + 6 = A(x + 2)2 + Bx(x + 2) + Cx.

    Ao substituirmos as razes x = 0 e x = 2, encontramos os coecientesA = 3/2 e C = 7. Porm, ca faltando o valor de B, o que pode ser obtido

    usando qualquer outro valor para x na identidade anterior, tendo substitudo

    os valores de A e C j calculados. Assim, fazendo x = 1, temos B = 7/2, e

    assim,

    5x2 + 20x+ 6

    x3 + 4x2 + 4x=

    3/2

    x+

    7/2

    x+ 2+

    7

    (x+ 2)2;

    logo,5x2 + 20x+ 6

    x3 + 4x2 + 4xdx =

    3

    2

    1

    xdx+

    7

    2

    1

    x+ 2dx+ 7

    1

    (x+ 2)2dx

    =3

    2ln |x|+ 7

    2ln |x+ 2| 7

    x+ 2+ C .

    Exemplo 3

    Caso em que o denominador fatorado como um produto de fatores onde

    aparece algum termo quadrtico irredutvel.

    Calcule

    1

    x(x2 + 4)dx.

    Soluo

    Observe que q(x) j est fatorado, de acordo com i) e ii) anteriores, possuindo

    uma raiz real, x = 0, com multiplicidade 1 e duas complexas conjugadas,

    tambm, com multiplicidade 1. Portanto, buscamos uma decomposio para

    o integrando da forma

    1

    x(x2 + 4)=A

    x+Bx+ C

    x2 + 4,x 6= 0.

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 8. INTEGRAO POR FRAES PARCIAIS 65

    A m de calcularmos os coecientes, extramos o mmc e cancelamos o denom-

    inador, portanto, temos 1 = A(x2 +4)+ (Bx+C)x = (A+B)x2 +Cx+4A.

    Nesse caso, a forma mais simples de calcularmos as constantes igualando

    os coecientes dos termos de mesmo grau, pois obtemos um sistema simples.

    Ento, A + B = 0, C = 0 e 4A = 1, donde A = 1/4, B = 1/4 e C = 0.Portanto,

    1

    x(x2 + 4)=

    1

    4

    1

    xdx 1

    4

    x

    x2 + 4dx =

    1

    4ln |x| 1

    8ln(x2 + 4) + C ,

    tal que na segunda integral usamos a substituio u = x2+4, com du = 2xdx.

    Exemplo 4

    Calcule

    x 2

    x(x4 8x2 9) .

    Soluo

    Primeiro devemos decompor q(x), de acordo com i) e ii) anteriores, para

    aplicarmos a decomposio em fraes parciais. Assim, vamos calcular as

    razes da equao biquadrada x4 8x2 9 = 0, fazendo t = x2, as razesda equao do 2 grau em t, t2 8t 9 = 0, so t = 9 e t = 1. Por-tanto, t2 8t 9 = (t 9)(t + 1), em que temos a fatorao esperadax4 8x2 9 = (x2 9)(x2 + 1) = (x 3)(x+ 3)(x2 + 1). Logo,

    x 2x(x4 8x2 9) =

    x 2x(x 3)(x+ 3)(x2 + 1) =

    A

    x+

    B

    x 3 +C

    x+ 3+Dx+ E

    x2 + 1.

    Tirando o mmc e cancelando o denominador temos:

    x 2 = A(x 3)(x+ 3)(x2 + 1) +Bx(x+ 3)(x2 + 1) + Cx(x 3)(x2 + 1)

    + (Dx+ E)x(x 3)(x+ 3) .

    Para facilitar o clculo dos coecientes vamos usar as razes reais e depois

    escolher dois outros valores para x. Assim, se x = 3, ou x = 0, ou x = 3,obtemos, respectivamente, C = 1/36, A = 2/9 e B = 1/180. Utilizando

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 66 1. INTEGRAO DE FUNES RACIONAIS PRPRIAS

    x = 1, temos D + E = 3/10; e para x = 1, temos E D = 13/30.Resolvendo o sistema obtido, encontramos E = 1/15 e D = 11/30. Logo,

    x 2x(x 3)(x+ 3)(x2 + 1) dx =

    2

    9

    1

    xdx+

    1

    180

    1

    x 3 dx1

    36

    1

    x+ 3dx

    1130

    x

    x2 + 1dx+

    1

    15

    1

    x2 + 1dx

    =2

    9ln |x|+ 1

    180ln |x 3| 1

    36ln |x+ 3|

    1160

    ln(x2 + 1) +1

    15arctg x+ C .

    Exemplo 5

    Calcule

    e3x + 1

    (e2x + 4)2dx .

    Soluo

    Primeiro fazemos a substituio u = ex, onde du = exdx. Nesse caso, obtere-

    mos

    e3x + 1

    (e2x + 4)2dx =

    u3 + 1

    u(u2 + 4)2du. Observe que q(u) j est fatorado

    de acordo com i) e ii) descrito anteriormente, possuindo uma raiz real u = 0,

    com multiplicidade 1, e duas complexas conjugadas com multiplicidade 2.

    Portanto, buscamos uma decomposio para o integrando da forma

    u3 + 1

    u(u2 + 4)2=A

    u+Bu+ C

    u2 + 4+

    Du+ E

    (u2 + 4)2,u 6= 0.

    Calculando o mmc e cancelando o denominador temos

    1 + u3 = A(u2 + 4)2 + (Bu+ C)(u2 + 4)u+ (Du+ E)u

    = A(u4 + 8u2 + 16) +Bu4 + 4Bu2 + Cu3 + 4Cu+Du2 + Eu.

    Igualando os coecientes dos termos de mesmo grau obtemos

    A+B = 0, C = 1, 8A+ 4B +D = 0, 4C + E = 0, 16A = 1 .

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 8. INTEGRAO POR FRAES PARCIAIS 67

    Assim, A = 1/16, B = 1/16, C = 1, D = 1/4, E = 4. Portanto,

    1 + u3

    u(u2 + 4)2=

    1

    16u 1

    16

    u

    u2 + 4+

    1

    u2 + 4 1

    4

    u

    (u2 + 4)2 4

    (u2 + 4)2.

    Integrando separadamente, de modo que na 2 e na 4 integrais usamos

    a substi-tuio v = u2 + 4, com dv = 2udu, na 3 e na ltima usamos

    substituio trigonomtrica u = 2 tg , com du = 2 sec2 d, obtemosu3 + 1

    u(u2 + 4)2du =

    1

    16ln |u| 1

    32ln(u2 + 4) +

    1

    2arctg(u/2) +

    1

    8(u2 + 4)

    1

    4arctg(u/2) u

    2(u2 + 4)+ C.

    Voltando varivel x, segue o resultado:

    e3x + 1

    (e2x + 4)2dx =

    x

    16 132

    ln(e2x+4)+1

    4arctg(ex/2)+

    1

    8(e2x + 4) e

    x

    2(e2x + 4)+C.

    2 Integrao de funes racionais imprprias

    Quando f(x) = p(x)/q(x) uma funo racional imprpria, ou seja,

    tal que o grau de q(x) menor do que ou igual ao grau do numerador p(x),

    primeiro efetuamos a diviso dos polinmios. Assim, obtemos

    f(x) = g(x) + r(x)/q(x),

    onde g(x) um polinmio e r(x)/q(x) uma funo racional prpria, pois

    r(x) o resto da diviso e tem grau menor do que o de q(x). Em seguida,

    aplicamos o que foi feito na seo anterior a r(x)/q(x) e integramos.

    Exemplo 6

    Calcule

    x3 2x2 + 1x2 5x+ 6 dx.

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  • 68 2. INTEGRAO DE FUNES RACIONAIS IMPRPRIAS

    Soluo

    Dividindo o polinmio do numerador pelo denominador obtemos

    x3 2x2 + 1x2 5x+ 6 = x+ 3 +

    9x 17x2 5x+ 6Agora, vamos decompor a funo racional prpria, obtida nesta diviso, em

    fraes parciais, ento:

    9x 17x2 5x+ 6 =

    9x 17(x 2)(x 3) =

    A

    x 2 +B

    x 3;

    tal que 9x 17 = A(x 3) + B(x 2). Substituindo pelas razes x = 2 ex = 3, encontraremos A = 1 e B = 10. Logo,

    9x 17x2 5x+ 6 =

    1x 2 +

    10

    x 3 .

    Portanto,x3 2x2 + 1x2 5x+ 6 =

    x+ 3 dx+

    1x 2 dx+

    10

    x 3 dx

    =x2

    2+ 3x ln |x 2|+ 10 ln |x 3|+ C .

    Exemplo 7

    Calcule

    x2

    x2 + 1dx .

    Soluo

    Dividindo x2 por x2+1 obtemosx2

    x2 + 1= 1 1

    x2 + 1. Observe que a funo

    racional prpria obtida j uma frao parcial. Assim,x2

    x2 + 1dx =

    1 dx

    1

    x2 + 1dx = x arctg x+ C.

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

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  • AULA 8. INTEGRAO POR FRAES PARCIAIS 69

    Observao 1

    Observe que podemos combinar diversas formas de clculo dos coecientesdas fraes parciais. Para tanto, usamos as razes reais (se existirem) e

    atribumos valores varivel. Ou, atribumos valores varivel e igualamos

    os coecientes dos termos de mesmo grau.

    Voc vai notar que a decomposio de q(x) nem sempre fcil, pois envolveo conhecimento de suas razes, o que pode ser um problema difcil.

    Veremos nos exerccios propostos e nas aulas seguintes que h integraisque no so de funes racionais, porm, fazendo uma substituio, somos

    levados a uma integral de uma funo racional na nova varivel.

    3 Exerccios de reviso

    Calcule as integrais.

    1.

    dx

    x2 5x+ 4 ; 2.

    x+ 3

    2x3 8x dx;

    3.

    x3

    x2 2x+ 1 dx; 4.

    dx

    (x2 1)2 ;

    5.

    s4 + 81

    s(s2 + 9)2ds; 6.

    y4 + y2 1y3 + y

    dy;

    7.

    sen x

    cos2 x+ cosx 2 dx; 8.x4 arctg x dx;

    9.

    x3 + 1

    (x+ 1)3dx; 10.

    dx

    x3 + 1.

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  • 70 3. EXERCCIOS DE REVISO

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Aula 9

    Substituies diversas

    Nesta aula, conclumos o nosso estudo de tcnicas de integrao com

    trs casos particulares de substituio, teis na integrao de: funes ra-

    cionais de potncias racionais de x, funes racionais de senos e cossenos e

    binmios da forma xm(a bxn)p, respectivamente.

    1 Conceitos bsicos

    Funo racional de potncias racionais de x: A seguir veremos

    como transformar a integral de uma funo racional de potncias racionais

    de x (por exemplo

    x

    12

    1 + x32

    dx) em uma integral de uma funo racional.

    Suponhamos que estejamos interessados em calcular a integral de uma

    funo envolvendo as funes xp1q1 , , x

    pjqj. Nesse caso, consideramos a subs-

    tituio

    x = tk ; dx = ktk1dt,

    onde k o mnimo comum mltiplo de q1, , qj. De maneira que cadapotncia racional se transforme em uma potncia inteira.

    71

  • 72 1. CONCEITOS BSICOS

    Exemplo 1

    Calcule

    x1/2 dx

    x3/4 + 1.

    Soluo

    Dado que 4 o m.c.m de {2, 4}, podemos considerar a substituio

    x = t4 ; dx = 4t3dt .

    Ento, x1/2 dx

    x3/4 + 1=

    t2(4t3) dt

    t3 + 1= 4

    [t2 t

    2

    t3 + 1

    ]dt,

    logo, x1/2 dx

    x3/4 + 1=

    4

    3t3 4

    3ln |t3 + 1|+ C.

    Para retornar varivel x, usamos t = x1/4, assim

    x1/2 dx

    x3/4 + 1=

    4

    3x3/4 4

    3ln(x3/4 + 1) + C.

    Exemplo 2

    Calcular

    x+ 4

    xdx.

    Soluo

    Comeamos fazendo a substituio u = x + 4; du = dx, o que nos leva

    a x+ 4

    xdx =

    u

    u 4 du.

    Considerando a substituio,

    u = t2 ; du = 2tdt

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

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  • AULA 9. SUBSTITUIES DIVERSAS 73

    temos, u

    u 4 du =

    t(2t) dt

    t2 4 = 2[

    dt+

    1

    t 2 dt

    1

    t+ 2dt],

    logo, x+ 4

    xdx = 2t+ ln |t 2

    t+ 2|+ C.

    Para retornar varivel x, usamos t =x+ 4, assim

    x+ 4

    xdx = 2

    x+ 4 + 2 ln

    x+ 4 2x+ 4 + 2

    + C.

    Funo racional de senos e cossenos: A seguir, veremos que a

    substituio

    z = tg(x/2) ; dz =1

    2sec2(x/2)dx (1)

    transforma a integral de uma funo racional de sen x e cosx (por exemplosen x

    1 + cos xdx) em uma integral de uma funo racional em z, que podemos

    tentar resolver usando fraes parciais.

    Observe que com a substituio (1) temos

    dx =2 dz

    1 + z2, sen x =

    2z

    1 + z2e cosx =

    1 z21 + z2

    . (2)

    A primeira igualdade decorre diretamente de (1), e para vericar as outras

    duas usamos as identidades trigonomtricas, dadas no incio da Aula 6, da

    seguinte maneira:

    sen x = 2 sen(x/2) cos(x/2) =2 tg(x/2)

    sec2(x/2)=

    2 tg(x/2)

    1 + tg2(x/2),

    e

    cosx = 2 cos2(x/2) 1 = 2sec2(x/2)

    1 = 1 tg2(x/2)

    1 + tg2(x/2).

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  • 74 1. CONCEITOS BSICOS

    Exemplo 3

    Calcule

    sen x

    1 + cos xdx.

    Soluo

    Considerando a substituio (1) e usando (2) temos

    sen x

    1 + cos xdx =

    2z1+z2

    1 + 1z2

    1+z2

    2

    1 + z2dz =

    2z

    1 + z2dz,

    logo, sen x

    1 + cos xdx = ln(1 + z2) + C.

    Assim, retornando varivel x, obtemos

    sen x

    1 + cos xdx = ln(sec2(x/2)) + C.

    Observao 1

    Para vericar o resultado anterior, basta derivar e usar as seguintes identi-

    dades:

    sen(x/2) =

    2 senx

    21 + cos x, cos(x/2) =

    1 + cosx

    2.

    Exemplo 4

    Calcule

    dx

    4 5 senx .

    Soluo

    Considerando a substituio (1) e usando (2), temos

    dx

    4 5 senx =

    1

    [4 5( 2z1+z2

    )]

    2 dz

    1 + z2=

    dz

    2z2 5z + 2

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 9. SUBSTITUIES DIVERSAS 75

    Usando fraes parciais, temosdz

    2z2 5z + 2 = 1/3

    dz

    z 2 1/3

    dz

    z 1/2

    logo, dx

    4 5 senx = 1/3 ln |z 2| 1/3 ln |z 1/2|+ C.

    Assim, retornando varivel x, obtemosdx

    4 5 senx =1

    3ln tg(x/2) 2tg(x/2) 1/2

    + C.

    Binmio xm(a bxn)p: A seguir, estudaremos, mediante 3 exemplos,a integral indenida do binmio xm(a bxn)p, onde a e b so nmeros reaise m,n e p so nmeros racionais.

    Exemplo 5 (p = 1)x2/3(1 + x2/3)1 dx.

    Soluo

    Comeamos considerando a substituio z = x23, obtendo

    3

    2

    z

    12 (1 + z)1dz.

    Assim, fazendo a substituio z = t2, obtemos

    3

    2

    t1(1 + t2)1(2t)dt = 3

    (1 + t2)1dt = 3arctg t+ C.

    Ento, x2/3(1 + x2/3)1 dx = 3arctg(

    z) + C = 3arctg(x

    13 ) + C.

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  • 76 1. CONCEITOS BSICOS

    Exemplo 6 (p+ m+1n

    = 2)1

    x2(1 + x2)3/2dx.

    Soluo

    Comeamos considerando a substituio z = x2, obtendo

    1

    2

    z

    32 (1 + z)

    32dz =

    1

    2

    z3(

    1 + z

    z)

    32dz .

    Assim, fazendo a substituio t = (1+zz)12, obtemos

    t2 1t2

    = t 1t+ C.

    Ento, x1/3(2 + x2/3)1/4 dx =

    1 + x2

    x x

    1 + x2+ C

    Exemplo 7 (

    m+1n

    = 2)(1 + x1/2)3/4 dx

    Soluo

    Fazendo a substituio t = 1 + x12, obtemos

    (1 + x1/2)3/4 dx = 2

    t3/4(t 1) dt.

    Ento, (1 + x1/2)3/4 dx =

    8

    11(1 + x

    12 )11/4 8

    7(1 + x

    12 )7/4 + C .

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

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  • AULA 9. SUBSTITUIES DIVERSAS 77

    Terminamos nosso percurso pelas tcnicas de integrao enunciando

    o Teorema 1, que nos lembra de que nem sempre uma integral indenida

    pode ser expressa em termos de funes elementares. Isto , aquelas funes

    que podem ser escritas envolvendo apenas operaes elementares (soma, sub-

    trao, multiplicao, diviso e raiz), entre as funes polinomiais, exponen-

    ciais, trigonomtricas e suas respectivas funes inversas.

    Teorema 1 (P.L Chebyshev, 1853)

    A integral indenida do binmio xm(a bxn)p, onde a e b so nmeros reaise m,n e p so nmeros racionais, somente pode ser escrita em termos de

    funes elementares, no caso em que pelo menos um dos seguintes nmeros

    for inteiro: p, m+1ne p+ (m+1)

    n.

    2 Exerccios de reviso

    Calcule as seguintes integrais.

    1.

    1

    1 + senxdx; 2.

    1

    1 + cos xdx;

    3.

    1

    cosx+ sen xdx; 4.

    x

    4x3 + 1

    dx;

    5.

    x3 3x

    4x

    dx; 6.

    1

    4x+

    xdx;

    7.

    (1 + x2)

    32 dx; 8.

    x5(1 + x3)

    23 dx;

    9.

    x2/3(1 + x1/3)

    12 dx.

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  • 78 2. EXERCCIOS DE REVISO

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • Aula 10

    Volumes de slidos de revoluo

    usando o mtodo dos discos

    Nesta aula e na prxima, vamos aplicar o conceito de integral denida

    para calcular volumes de alguns slidos especiais, chamados de slidos de

    revoluo. Esses slidos so obtidos quando giramos regies do plano em

    torno de retas.

    1 Rotao de regio entre o grco de uma

    funo e o eixo de revoluo

    Consideremos o problema de calcular o volume do slido S gerado ao

    girarmos, em torno do eixo x, a regio R entre o eixo x e o grco de uma

    funo positiva e limitada f , no intervalo [a, b], veja as Figuras abaixo .

    Figura 1: Regio R.

    79

  • 80 1. ROTAO DE REGIO ENTRE O GRFICO DE UMA FUNO E O EIXO DE REVOLUO

    zx

    y

    Figura 2: Slido de revoluo S obtido ao girar R em torno do eixo x.

    Uma ideia natural para calcular o volume do slido S aplicar o mesmo

    mtodo da Aula 1, aproxim-lo por uma novo slido cujo volume possa ser

    facilmente calculado, como, por exemplo, uma unio de cilindros. Assim, va-

    mos tomar a partio pontilhada P = ({t0, t1, , tn1, tn}, {t1, , tn1, tn})e a unio de n retngulos associada, cujas bases e alturas so dadas pelos in-

    tervalos [t0, t1], [t1, t2], , [tn1, b] e os valores {f(t1), f(t2), , tn}, respec-tivamente, onde {a = t0 < t1 < t1 < < tn1 < tn < tn = b}. A uniode retngulos, obtida dessa forma, aproxima a rea da regio R e portanto,

    quando essa unio girada em torno do eixo x nos d uma aproximao do

    volume do slido S desejado, veja as Figuras 3 e 4.

    Figura 3: Regio R aproximada por retngulo de altura f(ti), i = 0, .., n 1. Por simplicidade, ti = (ti).

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez CLCULO 2A

  • AULA 10. VOLUMES DE SLIDOS DE REVOLUO USANDO O MTODO DOS DISCOS 81

    yx

    z

    Figura 4: Slido de revoluo, cujo volume aproxima o volume de S.

    No limite, quando a norma da partio tende a zero teremos exatamente

    o volume do slido S obtido ao girarmos R em torno do eixo x.

    Observe que quando giramos os retngulos, cada um formar um cilin-

    dro (slido) de raio r = f(ti ) e altura ti = ti ti1, cujo volume dado porVi = pi(f(t

    i ))

    2ti. Juntando os retngulos, estaremos aproximando o slido

    por cilindros (ou "discos ninhos") postos um ao lado do outro, como nos

    mostra a Figura 4. Logo, o volume do slido de revoluo dado por

    V (S) = lim||P||0

    ni=1

    pi[f(ti )]2ti,

    desde que esse limite exista. Observe que o limite obtido de somas de

    Riemann da funo pif 2.

    Desta forma, chegamos denio a seguir.

    Denio 1

    O Volume do slido de revoluo S obtido girando a regio R, entre o grco

    CLCULO 2A GMA-IME-UFF

  • 82 1. ROTAO DE REGIO ENTRE O GRFICO DE UMA FUNO E O EIXO DE REVOLUO

    de uma funo integrvel f : [a, b] R, e o eixo x, denido como

    V (S) = pi

    ba

    [f(x)]2dx, (1)

    Observao 1

    A denio (1) anterior vale para funes f no positivas (Ver Exemplo 2abaixo.), sem modicaes.

    Tomando uma seo transversal do slido na abscissa x, obtemos um discode raio r(x) = |f(x)|, ento na frmula do volume podemos escrever

    V (S) = pi

    ba

    [r(x)]2dx.

    Exemplo 1

    Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando a regio R entre o

    grco de y =x e o eixo x para x [0, 2].

    Soluo

    Vamos girar a regio R esboada abaixo na Figura 5.

    Figura 5: Regio R de Exemplo 1.

    Ento, nesse caso r(x) =x e

    V = pi

    20

    (x)2 dx = pi

    20

    x dx = pix2

    2

    20= 2pi u.v ,

    Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernndez

    CLCULO 2A

  • AULA 10. VOLUMES DE SLIDOS DE REVOLUO USANDO O MTODO DOS DISCOS 83

    onde u.v signica unidades de volume.

    Exemplo 2

    Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando a regio R entre o

    grco de y = sen 2x e o eixo x para x [0, pi].

    Soluo

    Vamos girar a regioR esboada abaixo na Figura 6. Ento, temos r(x) = | sen 2x|

    Figura 6: Regio R de Exemplo 2.

    e

    V = pi

    pi0

    sen2(2x) dx = pi

    pi0

    1 cos 4x2

    dx =pi

    2[x sen 4x

    4]pi0=pi2

    2u.v .

    Podemos usar o raciocnio anterior para o clculo