CALCOLO FRAZIONARIO VISCOELASTICITA - unipa.it Paola e...Dipartimento di Ingegneria Civile...

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CALCOLO FRAZIONARIO & VISCOELASTICIT ` A Mario Di Paola, Francesco Paolo Pinnola Dipartimento di Ingegneria Civile Ambientale e Aerospaziale Universit` a degli Studi di Palermo Viale delle Scienze - 90128 Palermo

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CALCOLO FRAZIONARIO

&

VISCOELASTICITA

Mario Di Paola, Francesco Paolo Pinnola

Dipartimento di Ingegneria Civile Ambientale e AerospazialeUniversita degli Studi di Palermo

Viale delle Scienze - 90128 Palermo

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Dipartimento di Ingegneria Civile Ambientale e AerospazialeUniversita degli Studi di PalermoViale delle Scienze - 90128 Palermo, ITALIAProf. Mario Di Paolae-mail:[email protected]

Francesco Paolo Pinnolae-mail:[email protected]

Composto in LATEX

Esempi e grafici eseguiti in Wolfram Mathematica©

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“Thus it follows that d1/2x will be equal to x√dx : x,

an apparent paradox, from which one dayuseful consequences will be drawn.”1

1G. W. Leibniz, lettera da Hannover, Germania, 30 Settembre 1695, inviata a G.A.l’Hopital.

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Indice

Prefazione xi

Simboli Adottati xv

1 Funzioni Speciali e Trasformate 11.1 Funzioni Speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 La Funzione Gamma di Eulero . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 La Beta di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 La Funzione di Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 La Funzione di Wright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Le Funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 La Funzioni di Prima e Seconda Specie . . . . . . . . . 81.2.2 Le Funzioni di Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Le Funzioni di Bessel Modificate . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 La Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Proprieta della Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . 131.3.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali . . . . . . . . . 15

1.4 La Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.1 Proprieta della Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . 231.4.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali . . . . . . . . . 24

1.5 La Trasformata di Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.1 La Striscia Fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.2 Proprieta della Trasformata di Mellin . . . . . . . . . . 27

2 Il Calcolo Frazionario 312.1 Cenni Storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Derivate e Integrali Frazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Il Differintegrale di Grunwald-Letnikov . . . . . . . . . . 34

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vi INDICE

2.2.2 La Formulazione di Riemann-Liouville . . . . . . . . . . 372.2.3 Gli Integrali Frazionari di Riesz . . . . . . . . . . . . . . 382.2.4 L’Approccio di Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Proprieta degli Operatori Frazionari . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.1 La Linerarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.2 La Regola di Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.3 La Regola dei Semigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Trasformata di Laplace degli Operatori Frazionari . . . . . . . 432.4.1 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Rie-

mann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.2 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Ca-

puto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.3 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Grun-

wald-Letnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Trasformata di Fourier degli Operatori Frazionari . . . . . . . . 44

2.5.1 Trasformata di Fourier dell’Integrale Frazionario . . . . 442.5.2 Trasformata di Fourier della Derivata Frazionaria . . . . 45

2.6 Trasformata di Mellin degli Operatori Frazionari . . . . . . . . 462.6.1 Trasformata di Mellin dell’Integrale Frazionario di Rie-

mann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6.2 Trasformata di Mellin della Derivata Frazionaria di Rie-

mann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.3 Trasformata di Mellin della Derivata Frazionaria di Caputo 48

2.7 Alcuni Esempi di Derivate Frazionarie . . . . . . . . . . . . . . 482.7.1 Gradino di Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.7.2 Funzione Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 La Viscoelasticita Lineare 513.1 Il Modello Elastico (Hooke) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Il Modello Viscoso (Newton-Petroff ) . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 I Modelli Viscoelastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1 Il Modello di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.2 Il Modello di Kelvin-Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.3 Gli Altri Modelli Classici . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 La Funzione di Creep e di Rilassamento . . . . . . . . . . . . . 593.4.1 Il Principio di Sovrapposizione di Boltzmann . . . . . . 603.4.2 La Funzione di Creep e di Rilassamento per il Modello

di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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INDICE vii

3.4.3 La Funzione di Creep e di Rilassamento per il Modellodi Kelvin-Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5 I Modelli di Ordine Frazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.1 L’esperienza di Nutting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.2 Lo Spring-pot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.3 La Formulazione Integrale del Modello Frazionario . . . 693.5.4 I Modelli Generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

A Tabelle sulle Trasformate 73A.1 Trasformate di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.2 Trasformate di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.3 Trasformate di Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

B Tabelle sulle Derivate Frazionarie 77B.1 Derivate di Riemann-Liouville con a = −∞ . . . . . . . . . . . 77B.2 Derivate di Riemann-Liouville con a = 0 . . . . . . . . . . . . . 78

C Comandi in Mathematica© 79C.1 Funzioni Speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79C.2 Funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79C.3 Trasformate Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80C.4 Differintegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Bibliografia 83

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viii INDICE

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Elenco delle figure

1.1 Funzione Gamma Abs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Funzione Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Funzione di Bessel di prima specie . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Funzione di Bessel di seconda specie . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Funzioni di Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Funzioni di Bessel modificate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Funzione Rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Funzione Dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 Funzione f(t) = sin(t)e−tH(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10 Trasformata di Fourier di f(t) = sin(t)e−tH(t) . . . . . . . . . 22

2.1 Derivata frazionaria della funzione gradino di Heaviside . . . . 49

3.1 Modello di Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Modello di Newton-Petroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Modello di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Modello di Kelvin Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5 Modelli SLS o di Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6 Modelli classici discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7 Funzione di Creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.8 Funzione di Rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.9 Programma di Carico e Risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.10 Programma di Carico Generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.11 Funzione di Rilassamento e Creep Maxwell . . . . . . . . . . . 643.12 Funzione di Rilassamento e Creep Kelvin Voigt . . . . . . . . . 653.13 Spring-Pot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

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Prefazione

La teoria sulla derivazione di ordine non intero risale al 1695, quando nellenote che Leibniz scrisse a l’Hopital, si discuteva del significato della derivatadi ordine 1

2 . Questo evento diede il via allo studio delle derivate e degli inte-grali di ordine arbitrario, continuato verso la fine del XIX secolo da Liouville,Grunwald, Letnikov e Riemann.

Nasce cosı il Calcolo Frazionario che, per circa 200 anni trova sviluppo solodal punto di vista teorico rimanendo di uso prettamente matematico.

Intorno agli anni ’50 del secolo scorso alcuni studiosi cominciano ad usaregli integrali e le derivate di ordine non intero per descrivere le proprieta di varimateriali, come ad esempio le proprieta viscoelastiche dei polimeri.Iniziano cosı a manifestarsi le potenzialita del calcolo frazionario che oggi trovaapplicazione in diverse branche della Fisica e della Chimica, in quanto permetteuna raffinata modellazione delle proprieta meccaniche ed elettriche dei mate-riali reali. Nell’ingegneria, recenti applicazioni delle derivate frazionarie per lamodellazione geotecnica, hanno permesso una accurata descrizione delle pro-prieta reologiche di alcune famiglie di rocce. Il testo di M. Caputo [10], pubbli-cato nel 1969, fornisce una particolare definizione di differenziazione frazionariaper la formulazione e la risoluzione di problemi di viscoelasticita.

Un altro campo dove trova impiego la derivata di ordine non intero e larecente Teoria dei Frattali, infatti lo sviluppo di tale teoria ha fornito ulterioriprospettive per l’applicazione della derivazione frazionaria, specialmente perla modellazione dei processi dinamici di autosimilarita e per lo studio dellestrutture porose.

Gli integrali e le derivate frazionarie sono anche utilizzate nella teoria dicontrollo dei sistemi dinamici, governati da equazioni differenziali frazionarie.

Il calcolo frazionario rappresenta l’argomento base del presente testo, essoinfatti verra applicato alla viscoelasticita, proprieta che caratterizza il legamecostitutivo della maggior parte dei materiali impiegati nell’ingegneria civile. Il

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xii Prefazione

comportamento viscoelastico, intermedio tra il perfettamente elastico (con lega-me costitutivo governato dalla Legge di Hooke) e il perfettamente viscoso (conlegame costitutivo governato dalla Legge di Newton), e stato oggetto di diver-si studi fin dal XIX secolo, pionieri della viscoelasticita furono i fisici JamesClerk Maxwell, Ludwig Eduard Boltzmann e William Thomson Kelvin, i qualistudiarono il fenomeno su diversi materiali, tra cui vetro, metalli e gomme.Sia il comportamento perfettamente elastico che il perfettamente viscoso rap-presentano una comoda idealizzazione che permette di risolvere con buonaapprossimazione diversi problemi rilevanti nell’ambito ingegneristico. In natu-ra pero non esistono degli elementi il cui comportamento appartiene all’uno oall’altro campo. Si e osservato sperimentalmente che diversi materiali se sot-toposti ad un carico costante che permane nel tempo fluiscono plasticamente,distinguendosi dai solidi perfettamente elastici; inoltre, una volta rimosso ilcarico, essi recuperano una parte della deformazione, distinguendosi anche dailiquidi perfettamente viscosi. Per tale motivo, in certi casi, nasce la necessitadi caratterizzare determinati materiali con un comportamento che manifesti alcontempo proprieta elastiche e proprieta viscose.In definitiva il perfettamente elastico e il perfettamente viscoso devono esserevisti come fenomeni limite, che circoscrivono un ampio campo di comporta-mento che e appunto quello viscoelastico.Per simulare il comportamento viscoelastico si e spesso fatto ricorso a dei mo-delli discreti composti da elementi elastici perfetti (molle caratterizzate dalmodulo elastico E) e da elementi perfettamente viscosi (pistoncini in bagnod’olio caratterizzati dalla viscosita µ) opportunamente accoppiati, ma tali mo-delli riescono a simulare il reale comportamento dei materiali reali solo diven-tando delle complicate successioni di numerosi elementi. George William ScottBlair, intorno agli anni ’50 del secolo scorso, introdusse un modello basato sulladerivate frazionarie che si dimostro piu efficace nell’interpretazione dei risulta-ti sperimentali rispetto ai modelli discreti. Quest’ultima tipologia di modello,chiamato modello viscoelastico di ordine frazionario, rappresenta l’argomentocentrale del presente testo, il quale e organizzato in sei capitoli.

Nel Capitolo 1 verranno introdotte alcune funzioni speciali, la cui cono-scenza e necessaria per una piena comprensione del calcolo frazionario. Inoltresaranno richiamate le definizioni delle trasformate integrali di Laplace, di Fou-rier e di Mellin e verranno mostrate alcune delle loro proprieta fondamentali, lacui comprensione servira a estenderne l’applicabilita alle derivate e agli integralidi ordine frazionario.

Nel Capitolo 2 si affrontera lo studio dei concetti base del Calcolo Fraziona-

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rio, infatti in esso verranno introdotti gli Operatori Frazionari, in particolaresaranno mostrate le principali definizioni, fornite nel tempo da diversi ma-tematici, di derivata e integrale frazionario e le relative proprieta. Inoltre, letrasformate integrali e le loro particolari proprieta verranno applicate al calcolodifferenziale frazionario.

Nel Capitolo 3 si introdurranno alcuni concetti relativi alla viscoelasticitalineare. In particolare nella prima parte si mostrera l’approccio classico allostudio del fenomeno viscoelastico, basato sulla combinazione di elementi sem-plici (molle e pistoncini) per la modellazione del materiale e sulla formulazioneintegrale fornita da Boltzmann. Mentre nella seconda parte del capitolo siintrodurra il modello frazionario (Spring-Pot) che risultera piu accurato ri-spetto ai modelli classici costituiti da elementi puramente elastici ed elementipuramente viscosi.

Ulteriori approfondimenti in merito agli argomenti trattati possono esseretrovati nelle Appendici.

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xiv Prefazione

Si fornisce adesso una chiave di lettura della bibliografia inerente gli argo-menti trattati nei primi due Capitoli:

• le funzioni speciali, che verranno introdotte nel Capitolo 1, in particolarela gamma e la beta di Eulero e le relative proprieta possono essere appro-fondite nei testi [33], [12], [25], [27] e [29], mentre ulteriori informazionisulle funzioni di Mittag-Leffler e di Wright sono contenute rispettivamentein [22] e in [20];

• per l’approfondimento delle trasformate integrali di Fourier e di Laplacee delle loro proprieta si rimanda ai testi [1], [7] e [12], invece per la tra-sformata integrale di Mellin oltre al [12] si consigliano il [31] e il Capitolo9 del [45];

• il calcolo frazionario, il cui studio verra affrontato nel Capitolo 2, eampiamente trattato nei testi [9], [24], [25], [27], [29], [33] e [36];

• alcune dimostrazioni sull’applicazione delle trasformate integrali agli ope-ratori frazionari omesse nel presente lavoro sono contenute nei testi [25]e [33];

• diverse informazioni in merito agli argomenti trattati sono contenute neilink del portale Wolfram MathWorld richiamati in [46], [47], [48], [49],[50], [51] e [52].

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Simboli Adottati

In matematica spesso vi sono diverse notazioni per indicare lo stesso elemento,sia esso un operatore differenziale, una variabile reale, una trasformata inte-grale, ecc.; anche gli operatori di derivazione e di integrazione frazionaria nonsempre si trovano indicati allo stesso modo. Nel seguito verra utilizzata laseguente notazione.

Notazione Descrizione

f(t) Funzione di variabile reale t

aDαt Simbolo di operatore differintegrale frazionario

aIαt Simbolo di operatore integrale frazionario

Ca Dα

t Simbolo di operatore differintegrale di Caputo

α o β Ordine di differintegrazione

a Estremo inferiore

t Variabile temporale e/o estremo superiore

z o s Variabile complessa

j o i Unita immaginaria j = i =√−1

N Insieme dei numeri Naturali

R Insieme dei numeri Reali

C Insieme dei numeri Complessi

∗ Prodotto di convoluzione

xv

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xvi Simboli Adottati

Notazione Descrizione

L L−1 Operatore trasformata e antitrasformata di Laplace

F F−1 Operatore trasformata e antitrasformata di Fourier

M M−1 Operatore trasformata e antitrasformata di Mellin

FL(s) Funzione trasformata di Laplace

FF (ω) Funzione trasformata di Fourier

FM(s) Funzione trasformata di Mellin

<() Parte reale di un numero complesso

=() Parte immaginaria di un numero complesso

Γ(z) Funzione gamma di Eulero

β(z, ω) Funzione beta di Eulero

Eα, β(z) Funzione di Mittag-Leffler

W (z, α, β) Funzione di Wright

Jν(z) e Yν(z) Funzioni di Bessel di prima e seconda specie

H(1)ν (z) e H(2)

ν (z) Funzioni di Hankel

Iν(z) e Kν(z) Funzioni di Bessel modificate

δ(t) Funzione generalizzata delta di Dirac

H(t) Funzione gradino di Heaviside

Rect(t) Funzione rettangolo

Si osservi che in genere un Operatore Frazionario e definito dall’ordine didifferintegrazione, dall’estremo inferiore e dall’estremo superiore. L’ordinedi differintegrazione (positivo nel caso di derivazione e negativo nel caso diintegrazione) e indicato con n se intero, con α se reale o complesso.

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Capitolo 1

Funzioni Speciali eTrasformate

In questo capitolo vengono introdotte alcune funzioni speciali, la cui conoscenzae necessaria per comprendere appieno il calcolo frazionario e gli argomentitrattati nei successivi capitoli.

Inoltre verranno richiamati alcuni concetti generali inerenti le trasformateintegrali di Laplace, di Fourier e di Mellin. Si porra attenzione su alcune pro-prieta delle trasformate usate nel calcolo differenziale ordinario. La conoscenzadi tali proprieta rendera piu agevole l’applicazione delle trasformate al calcolofrazionario, trattata nel capitolo successivo.

1.1 Funzioni Speciali

Si riportano di seguito alcune funzioni che stanno alla base del calcolo fraziona-rio e ne vengono descritte sinteticamente le principali proprieta, rimandando,per l’eventuale approfondimento, ad altri testi specifici citati in Bibliografia.

In particolare verranno trattate la Funzione Gamma e Beta di Eulero, laFunzione di Mittag-Leffler e la Funzione di Wright.

1.1.1 La Funzione Gamma di Eulero

Una delle funzioni fondamentali del calcolo frazionario e la Funzione Gammadi Eulero Γ(z), che generalizza il concetto di fattoriale n! estendendo il cal-colo a valori non interi e/o complessi di n. Infatti tale funzione nasce da un

1

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2 1. Funzioni Speciali e Trasformate

problema di interpolazione posto in una lettera da Christian Goldbach (1690-1764) all’allora ventiduenne Leonardo Eulero (1707-1783): trovare una formula“semplice” per il calcolo dei fattoriali che sia estendibile anche a numeri noninteri.

La funzione Gamma e definita nel semipiano delle z positive dal seguenteintegrale:

Γ(z) =∫ ∞

0e−ttz−1 dt (1.1)

che converge nella meta destra del piano complesso (ovvero con <(z) > 0);infatti se z = x+ jy si ottiene:

Γ(x+ jy) =∫ ∞

0e−ttx−1+jy dt =

∫ ∞0

e−ttx−1ejy log (t) dt

=∫ ∞

0e−ttx−1[cos (y log (t)) + j sin (y log (t))] dt

(1.2)

l’espressione contenuta nelle parentesi quadre della (1.2) e limitata ∀t, la con-vergenza a infinito e data da e−t, e per la convergenza a t = 0 si deve averex = <(z) > 1. La gamma di Eulero e una funzione meromorfa, ha dei poli

-4

-2

0

2

Re

-1

0

1Im

0

1

2

3

ÈGHzLÈ

Figura 1.1: Valore Assoluto della Funzione Gamma di Eulero sul Piano di Gauss(|Γ(z)| per valori di z ∈ C).

semplici per x = −n (con n = 1, 2, 3 · · · ) ed e continua e positiva sui reali

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1.1 Funzioni Speciali 3

positivi di z (ovvero per <(z) > 0). La Figura 1.1 mostra il grafico del valoreassoluto della funzione gamma di Eulero sul piano di Gauss (|Γ(z)| per z ∈ C),in esso e possibile osservare la presenza di singlarita isolate per x = −n.

Oltre alla rappresentazione integrale data in (1.1) vi e un’espressione alter-nativa della funzione gamma di Eulero, fornita da Gauss:

Γ(z) = limn→∞

n!nz

z(z + 1) . . . (z + n)(1.3)

Dalla rappresentazione integrale si deducono immediatamente alcune for-mule notevoli di calcolo di integrali. La piu nota e la seguente:

√π = Γ

(12

)=∫ ∞

0t−

12 e−t dt (1.4)

La tabella seguente mostra alcuni valori notevoli della funzione gamma.

Γ(− 3

2

)= 4

3

√π Γ(1) = 1

Γ(−1) = ±∞ Γ(

32

)= 1

2

√π

Γ(− 1

2

)= −2

√π Γ(2) = 1

Γ(0) = ±∞ Γ(

52

)= 3

4

√π

Γ(

12

)=√π Γ(3) = 2

Tabella 1.1: Γ(x) per − 32 ≤ x ≤ 2

Proprieta della Funzione Gamma

Una proprieta fondamentale della funzione gamma e la seguente:

Γ(z + 1) = zΓ(z) (1.5)

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4 1. Funzioni Speciali e Trasformate

che puo essere dimostrata integrando per parti:

Γ(z + 1) =∫ ∞

0e−ttz dt =

[− e−ttz

]t=∞t=0

+ z

∫ ∞0

e−ttz−1 dt = zΓ(z) (1.6)

tenendo conto della (1.5) e sapendo che Γ(1) = 1 si ottiene che:

Γ(2) = 1Γ(1) = 1 = 1!Γ(3) = 2Γ(2) = 2 · 1! = 2!Γ(4) = 3Γ(3) = 3 · 2! = 3!· · · · · · · · · · · · · · ·

Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n · (n− 1)! = n!

(1.7)

tale proprieta e evidente in Figura 1.2(a); infatti essa mostra il grafico della

-4 -2 2 4x

-5

5

10

GHxL

(a) Γ(x)

-4 -2 2 4x

-2

-1

1

2

3

4

1

G HxL

(b) Γ(x)−1

Figura 1.2: Funzione Gamma di Eulero e sua reciproca per valori di x ∈ R.

funzione Γ(x) per x ∈ R e vi sono indicati in rosso i punti aventi ascissa x = n(con n ∈ N) e ordinata pari a Γ(n) = (n− 1)!.

Nelle espressioni di operatore frazionario, che verranno introdotte nel ca-pitolo successivo, comparira la funzione reciproca di gamma, ovvero Γ(x)−1,il cui grafico per x ∈ R e riportato in Figura 1.2(b), in esso si osserva che lafunzione e oscillante per valori negativi dell’argomento x e tende a zero per

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1.1 Funzioni Speciali 5

x→∞. Inoltre, dai grafici si puo osservare che la funzione Γ(z) e una funzionesenza zeri al finito, per cui la sua reciproca e una funzione intera.

Una particolare proprieta della funzione gamma e data dalla seguente re-lazione:

Γ(z)Γ(1− z) =π

sinπz(1.8)

l’espressione (1.8) e detta Formula di Riflessione di Eulero.Vale inoltre la seguente relazione:

Γ(z)Γ(z +

12

)= 21−2z√π · Γ(2z); (2z 6= 0,−1,−2, . . .) (1.9)

nota come Formula di Duplicazione. Tale espressione e un caso particolaredella Formula di Moltiplicazione:

Γ(z)Γ(z+

1m

)Γ(z+

2m

). . .Γ

(z+

m− 1m

)= (2π)

m−12 m( 1

2−mz)Γ(mz) (1.10)

La derivata della funzione gamma puo essere espressa in funzione di sestessa e di altre funzioni, per esempio:

Γ′(z) = Γ(z) · ψ0(z)

in cui ψ0 e la Funzione Poligramma di Ordine 0 ; in particolare:

Γ′(1) = −γ

dove γ e la Costante di Eulero-Mascheroni (γ = 0, 57721566).

1.1.2 La Beta di Eulero

Spesso nel calcolo frazionario si preferisce usare la funzione Beta di Eulero,invece di ricorrere ad una determinata combinazione di funzioni gamma. Talefunzione, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, solitamente e espressadalla seguente equazione:

β(z, ω) =∫ 1

0τ z−1(1− τ)ω−1 dτ ;

(<(z) > 0, <(ω) > 0

)(1.11)

La relazione tra la funzione gamma (1.1) e la funzione beta (1.11) si ottie-ne ricorrendo alla trasfomata di Laplace. Si definisce il seguente integrale diconvoluzione delle funzioni tz−1 e tω−1:

hz,ω(t) =∫ t

0τ z−1(1− τ)ω−1 dτ (1.12)

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6 1. Funzioni Speciali e Trasformate

inoltre risulta che hz,ω(1) = β(z, ω). Operando la trasformata di Laplacedella funzione hz,ω(t), denotata con HLz,ω(s), e tenendo conto del fatto chela trasformata della convoluzione di due funzioni e pari al prodotto delle lorotrasformate, si ottiene:

HLz,ω(s) =Γ(z)sz· Γ(ω)sω

=Γ(z)Γ(ω)sz+ω

. (1.13)

Essendo il prodotto Γ(z)Γ(ω) una costante, si puo riottenere la funzione datahz,ω(t) a partire dalla sua trasformata HLz,ω(s) facendo l’antitrasformata (otrasformata inversa), ovvero:

hz,ω(t) =Γ(z)Γ(ω)Γ(z + ω)

tz+ω−1 (1.14)

l’espressione (1.14) particolarizzata per t = 1 restituisce la funzione beta:

β(z, ω) =Γ(z)Γ(ω)Γ(z + ω)

(1.15)

quest’ultima espressione, a differenza della (1.11) definita solo per <(z) > 0 e<(ω) > 0, definisce la funzione beta sull’intero piano complesso. Inoltre dalla(1.15) si evince che:

β(z, ω) = β(ω, z) (1.16)

1.1.3 La Funzione di Mittag-Leffler

Il matematico svedese Magnus Gustaf (Gotta) Mittag-Leffler ha introdotto nel1903 la funzione speciale Eα(z); tale funzione e definita dalla seguente serie dipotenze:

Eα(z) =∞∑k=0

zk

Γ(αk + 1)(1.17)

la (1.17) rappresenta la funzione di Mittag-Leffler (M-L) nella forma ad unparametro α, ne esiste anche una forma alternativa a due parametri α e βspesso usata nel calcolo frazionario ed espressa dalla seguente equazione:

Eα,β(z) =∞∑k=0

zk

Γ(αk + β); (α > 0, β > 0) (1.18)

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1.1 Funzioni Speciali 7

Si riportano di seguito alcuni casi notevoli:

E1,1(z) =∞∑k=0

zk

Γ(k + 1)=∞∑k=0

zk

k!= ez (1.19)

E1,2(z) =∞∑k=0

zk

Γ(k + 2)=∞∑k=0

zk

(k + 1)!=

1z

∞∑k=0

zk+1

(k + 1)!=ez − 1z

(1.20)

E1,3(z) =∞∑k=0

zk

Γ(k + 3)=∞∑k=0

zk

(k + 2)!=

1z2

∞∑k=0

zk+2

(k + 2)!=ez − 1− z

z2(1.21)

e in generale per α = 1 e β qualsiasi si ha:

E1,m(z) =1

zm−1

ez

m−2∑k=0

zk

k!

(1.22)

Per β = 1 e α generico si ottiene la funzione ad un parametro espressa dalla(1.17):

Eα,1(z) =∞∑k=0

zk

Γ(αk + 1)≡ Eα(z) (1.23)

La funzione, al variare dei parametri α e β, risulta legata a diverse funzionielementari. Il seno e il coseno iperbolico possono essere considerati come casiparticolari della funzione M-L, infatti:

E2,1(z2) =∞∑k=0

z2k

Γ(2k + 1)=∞∑k=0

z2k

(2k)!= cosh(z) (1.24)

E2,2(z2) =∞∑k=0

z2k

Γ(2k + 2)=

1z

∞∑k=0

z2k+1

(2k + 1)!=

sinh(z)z

(1.25)

Un altro caso particolare si ottiene per α = 12 e β = 1:

E 12,1(z) =

∞∑k=0

zk

Γ(k2 + 1)= ez

2erfc(−z) (1.26)

dove erfc(−z) indica la funzione degli errori complementare (o funzione deglierrori di Gauss), definita come:

erfc(z) =2√π

∫ ∞z

e−t2dt (1.27)

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8 1. Funzioni Speciali e Trasformate

1.1.4 La Funzione di Wright

La Funzione di Wright e utile per la soluzione delle equazioni differenzialifrazionarie. E strettamente correlata alla funzione M-L a due parametri ed hala seguente espressione:

W (z;α, β) =∞∑k=0

zk

k!Γ(αk + β)(1.28)

particolarizzata per α = 0 e β = 1 diventa:

W (z; 0, 1) =∞∑k=0

zk

k!Γ(1)=∞∑k=0

zk

k!= ez (1.29)

per β = 1− α si ottiene la Funzione di Mainardi M(z;α):

W (−z;−α, 1− α) = M(z;α) =∞∑k=0

(−1)kzk

k!Γ[−α(k + 1) + 1](1.30)

1.2 Le Funzioni di Bessel

Le funzioni di Bessel sono una vasta famiglia di funzioni speciali, nel presenteparagrafo ci si limitera ad introdurre solo quelle necessarie per la compren-sione di alcuni passaggi che seguiranno nei capitoli successivi, per l’eventualeapprofondimento dell’argomento si rimanda al testo [35] dove sono ampiamentetrattate.

1.2.1 La Funzioni di Prima e Seconda Specie

Le prime due funzioni di Bessel rappresentano le soluzioni canoniche dell’equa-zione di Bessel definita di seguito

z2d2yν(z)dz2

+ zdyν(z)dz

+ (z2 − ν2)yν(z) = 0, (1.31)

si osserva che tale equazione rappresenta un’equazione differenziale ordinariadel secondo ordine, per cui devono esistere almeno due soluzioni linearmente in-dipendenti. Le altre soluzioni su un determinato intervallo si possono ottenere

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1.2 Le Funzioni di Bessel 9

come combinazione lineare delle due linearmente indipendenti. Una possibilesoluzione all’equazione di Bessel avra la seguente forma

Jν(z) = zν∞∑k=0

ckzk (1.32)

sostituendo la (1.32) nella (1.31) e ponendo ν non negativo si ottiene

Jν(z) =(z

2

)ν ∞∑n=0

(−1)n(z2

)2nn!Γ(n+ ν + 1)

(1.33)

l’espressione (1.33), prima soluzione della (1.31), e nota in letteratura comefunzione di Bessel di prima specie. In Figura 1.3 e riportato il grafico dellaJν(z) per alcuni valori di ν.

2 4 6 8 10 12 14z

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

JΝHzL

Figura 1.3: Funzione di Bessel di prima specie per ν = 0, 1, 2, 3.

Se ν assume valori non interi la J−ν(z) rappresenta la seconda soluzionedella (1.31) linearmente indipendente da Jν(z), ma solitamente si introduceun’altra funzione, denotata con Yν(z) e ottenuta come combinazione lineare diJν(z) e J−ν(z), quindi

Yν(z) =Jν(z) cos(πν)− J−ν(z)

sin(πν)(1.34)

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10 1. Funzioni Speciali e Trasformate

tale espressione prende il nome di funzione di Bessel di seconda specie o fun-zione di Neumann.

2 4 6 8 10 12 14z

-1.0

-0.5

0.5

YΝHzL

Figura 1.4: Funzione di Bessel di seconda specie per ν = 0, 1, 2, 3.

La Figura 1.4 mostra la seconda soluzione all’equazione di Bessel per diversivalori di ν. Confrontando i due grafici si osserva che le Jν(z) hanno valore finitoin z = 0 mentre le Yν(z) hanno dei punti di singolarita per z = 0.

Si osservi che per il caso particolare in cui ν = 1/2 le soluzioni linearmenteindipendenti dell’equazione di Bessel (1.31) diventano

J 12(z) =

cos(z)√z,

Y 12(z) =

sin(z)√z.

(1.35)

Questo fatto lascia intuire che almeno alcune soluzioni dell’equazione di Besselavranno andamento oscillante mostrando una certa “parentela” con le funzionitrigonometriche.

1.2.2 Le Funzioni di Hankel

Un’altra formulazione canonica della coppia soluzioni linearmente indipendentidell’equazione di Bessel sono le seguenti

H(1)ν (z) = Jν(z) + jYν(z)

H(2)ν (z) = Jν(z)− jYν(z)

(1.36)

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1.2 Le Funzioni di Bessel 11

tali espressioni sono note come funzioni di Bessel di terza specie o funzionidi Hankel (di prima e seconda specie). Volendo fare un parallelismo con lefunzioni trigonometriche e le funzioni di Bessel si puo asserire che le funzioniJν(z) e Yν(z) stanno a cos(z) e sin(z) come le funzioni H(1)

ν (z) e H(2)ν (z) stanno

agli esponenziali ejz ed e−jz.Si osserva che per ν reale e z reale positivo, si ha

H(1)ν (z)

∗= H(2)

ν (z) (1.37)

mentre se z e ν sono complessi ed arbitrari valgono le seguenti relazioni

Jν(z)∗ = Jν∗ (z∗)Yν(z)∗ = Yν∗ (z∗)

H(1)ν (z)∗ = H

(2)ν∗ (z∗).

(1.38)

2 4 6 8 10 12 14z

0.4

0.6

0.8

1.0

ÈHΝ

I1MHzLȺÈHΝ

I2MHzLÈ

Figura 1.5: Valore Assoluto delle Funzioni di Hankel per z > 0 e ν = 0, 1, 2, 3.

La Figura 1.5 mostra l’andamento delle due funzioni valore assoluto diHankel per vari valori di ν, la |H(1)

ν (z)| e la |H(2)ν (z)| coincidono nel semipiano

delle z > 0.

1.2.3 Le Funzioni di Bessel Modificate

Solitamente si indicano con tale nome le funzioni di Bessel di argomento imma-ginario. La loro equazione si ottiene cambiando z con jz nell’espressione (1.31),

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12 1. Funzioni Speciali e Trasformate

ottenendo

z2d2wν(z)dz2

+ zdwν(z)dz

+ (z2 − ν2)wν(z) = 0. (1.39)

Come prima soluzione alla (1.39) si ha

Iν(z) = e−jπ2νJν(z ej

π2 ) =

∞∑k=0

(z2

)ν+2k

k!Γ(k + ν + 1)(1.40)

tale espressione prende il nome di funzione di Bessel modificata di prima specie.Analogamente a quanto accadeva per le funzione di Bessel di prima specie seν non e un numero intero allora I−ν e una soluzione della (1.39) linearmenteindipendente da Iν , ma si suole introdurre una seconda soluzione fondamentaledenotata con Kν(z) e definita come segue

Kν(z) =π [I−ν(z)− Iν(z)]

2 sin(πν), (1.41)

l’espressione (1.41) e nota come funzione di Bessel modificata di seconda specieo funzione di Basset. Continuando l’analogia tra funzioni di Bessel e funzionitrigonometriche, si puo affermare che le funzioni di Bessel modificate risultanoil corrispondente delle funzioni iperboliche cosh(z) e sinh(z).

1 2 3 4 5z

5

10

15

20

25

HzL

(a) Iν(z)1 2 3 4 5

z

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

HzL

(b) Kν(z)

Figura 1.6: Funzioni di Bessel modificate per ν = 0, 1, 2, 3.

La Figura 1.6 mostra gli andamenti delle funzioni di Bessel modificate perν = 0, 1, 2, 3. Si osservi che per ν reale e z reale positivo sia la funzione Iν

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1.3 La Trasformata di Laplace 13

che Kν sono funzioni reali, ma a differenza delle funzioni Jν e Yν non sarannodelle funzioni oscillanti in quanto Iν sara una funzione monotona crescente, cheper ν > 0 si annulla per z = 0, mentre Kν per ν > 0 avra una singolarita incorrispondenza dell’origine e tendera a zero quando z →∞.

1.3 La Trasformata di Laplace

La funzione FL(s) nella variabile complessa s = γ + jη definita come:

FL(s) = Lf(t); s =∫ ∞

0e−stf(t) dt (1.42)

e chiamata Trasformata di Laplace della funzione f(t) e permette di passaredallo studio di una variabile reale (temporale nei casi considerati) allo studiodi una variabile complessa.Affinche l’integrale introdotto in (1.42) esista, la funzione f(t) deve essere diordine esponenziale α, il che equivale ad ammettere l’esistenza di due costantipositive M e T tali che:

e−αt|f(t)| ≤M ∀ t > T (1.43)

cio significa che la funzione f(t) non deve crescere piu velocemente di una certafunzione esponenziale quando t→∞.

Dalla funzione trasformata FL(s) e possibile ottenere la funzione originalef(t) tramite l’Antitrasformata di Laplace o Trasformata Inversa:

f(t) = L−1FL(s); t =1

2πj

∫ c+j∞

c−j∞estFL(s) ds con c ∈ <(s) > c0 (1.44)

con c0 che si trova nella parte destra della convergenza assoluta dell’inte-grale di Laplace. Si osservi che f(t), ottenuta come trasformata inversa, edata dall’integrale effettuato lungo l’asse immaginario (la parte reale rimanecostante).

1.3.1 Proprieta della Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace gode della proprieta di additivita, secondo la qualela trasformata della somma di due funzioni f(t) e g(t) e pari alla somma delletrasformate delle singole funzioni FL(s) e GL(s):

Lf(t) + g(t); s = FL(s) + GL(s) (1.45)

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14 1. Funzioni Speciali e Trasformate

l’espressione (1.45) e ottenuta assumendo che f(t) e g(t) siano Laplace-trasfor-mabili.

Per ogni λ, µ ∈ C, considerate due funzioni f(t) e g(t) Laplace-trasformabili,si ha:

Lλf(t) + µg(t); s = λLf(t); s+ µLg(t); s = λFL(s) + µGL(s) (1.46)

dalla quale si evince che l’operatore L. . . e lineare.Si consideri la trasformata di Laplace della convoluzione:

f(t) ∗ g(t) =∫ t

0f(t− τ)g(τ) dτ =

∫ t

0f(τ)g(t− τ) dτ, (1.47)

per due funzioni f(t) e g(t), che sono uguali a zero per t < 0, la trasformatadel prodotto e uguale al prodotto delle trasformate:

Lf(t) ∗ g(t); s = FL(s)GL(s) (1.48)

purche esistano le trasformate FL(s) e GL(s).Consideriamo la trasformata di Laplace di una derivata di ordine intero n

della funzione f(t):

Lf (n)(t); s = snFL(s)−n−1∑r=0

sn−r−1f (r)(0) = snFL(s)−n−1∑r=0

srf (n−r−1)(0)

(1.49)ottenuta assumendo che f (n)(t) sia L-trasformabile e integrando per parti la(1.42). La verifica della (1.49) e immediata per n = 1:

Lf ′(t); s = sFL(s)− f(0) (1.50)

Un’altra proprieta fondamentale della trasformata di Laplace e data dalfatto che la FL(s) e derivabile:

d

dsLf(t); s =

d

dsFL(s) =

d

ds

∫ ∞0

e−stf(t) dt =∫ ∞

0

d

dse−stf(t) dt

= −∫ ∞

0e−st(tf(t)) dt = −Ltf(t); s

(1.51)

condizione che permette, nelle applicazioni della trasformata a problemi espres-si in termini di equazioni differenziali, di tener conto delle condizioni iniziali.

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1.3 La Trasformata di Laplace 15

Fissato un s0 ∈ C, risulta:

Les0tf(t); s = Lf(t); s− s0 = FL(s− s0) (1.52)

l’espressione (1.52), nota come prima formula del ritardo, si puo facilmentedimostrare a partire dalla definizione della trasformata di Laplace:

Les0tf(t); s =∫ ∞

0e−stes0tf(t) dt = Lf(t); s− s0. (1.53)

Inoltre per ogni t0 > 0 fissato, se f(t) = 0 per t < 0, risulta:

Lf(t− t0); s = e−s t0Lf(t); s = e−s t0FL(s) (1.54)

la (1.54) e nota come seconda formula del ritardo.Per ogni a > 0, risulta:

Lf(at); s =1aLf(t);

s

a

=

1a

FL(sa

)(1.55)

1.3.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali

L’applicazione della trasformata di Laplace permette la soluzione di equazionidifferenziali a coefficienti costanti con condizioni iniziali assegnate.Un’equazione differenziale di ordine n, a coefficienti Ck costanti, non omogenea,puo essere espressa genericamente dalla seguente relazione:

n∑k=0

Ckdkx(t)dtk

= f(t) (1.56)

della quale si conoscono le seguenti condizioni iniziali:

x(0) = x0; x′(0) = x′0; . . . x(n−1)(0) = x(n−1)0 ; (1.57)

che devono essere almeno n per risolvere completamente la (1.56).Applicando la trasformata di Laplace alla (1.56) si ha:

Lx(t); s = XL(s) (1.58)

Lx′(t); s = sXL(s)− x(0) = sXL(s)− x0 (1.59)

Lx′′(t); s = s2XL(s)− sx(0)− x′(0) = s2XL(s)− sx0 − x′0 (1.60)

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16 1. Funzioni Speciali e Trasformate

e ponendo:Lf(t); s = FL(s) (1.61)

dalla (1.56) si ottiene:

XL(s)(C0 + C1s+ C2s2 + · · ·+ Cns

n)− Pn−1(s) = FL(s) (1.62)

dove Pn−1(s) e un polinomio in s di grado n−1 composto dalla somma di tuttii contributi delle condizioni iniziali.

Dalla (1.62) si ottiene:

XL(s) =FL(s) + Pn−1(s)

(C0 + C1s+ C2s2 + · · ·+ Cnsn)(1.63)

antitrasformando la (1.63) si ottiene la x(t) soluzione della (1.56):

x(t) = L−1XL(s); t =1

2πj

∫ c+j∞

c−j∞estXL(s) ds (1.64)

Esempio Si consideri la seguente equazione differenziale omogenea:

x′′(t) + 7x′(t) + 8x(t) = 0

soggetta alle seguenti condizioni iniziali:

C.I.

x(0) = 2x′(0) = 5.

Operando la trasformata di Laplace si ottiene:

s2XL(s)− 2s− 5 + 7sXL(s)− 14 + 8XL(s) = 0

XL(s)(s2 + 7s+ 8)− (2s+ 19) = 0

XL(s) =2s+ 19

(s2 + 7s+ 8)

la funzione x(t), soluzione dell’equazione differenziale di partenza, e data dal-l’antitrasformata di Laplace della XL(s).

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1.4 La Trasformata di Fourier 17

1.4 La Trasformata di Fourier

La Trasformata di Fourier di una funzione f(t) continua e completamenteintegrabile nel dominio (−∞, ∞) e definita come:

FF (ω) = Ff(t); ω =∫ ∞−∞

ejωtf(t) dt (1.65)

e permette di passare dal dominio temporale al dominio delle frequenze.L’operatore che consente invece di ottenere la funzione originale f(t) a par-

tire dalla sua trasformata FF (ω) e detta Antitrasformata di Fourier e permettedi riottenere f(t) sotto la forma:

f(t) = F−1FF (ω); t =1

∫ ∞−∞

e−jωtFF (ω) dω. (1.66)

E utile osservare come questa trasformata sia un caso particolare della tra-sformata di Laplace (estendendo il limite inferiore di integrazione a −∞) se siassume come variabile immaginaria s = −jω.

Alcuni testi riportano altre definizioni della trasformata e dell’antitrasfor-mata di seguito riportate:

FF (ω) = Ff(t); ω =1

∫ ∞−∞

e−jωtf(t) dt.

F−1FF (ω); t =∫ ∞−∞

ejωtFF (ω) dω.

oppure ancora:

FF (ω) = Ff(t); ω =1√2π

∫ ∞−∞

ejωtf(t) dt.

F−1FF (ω); t =1√2π

∫ ∞−∞

e−jωtFF (ω) dω.

queste ultime sono quelle usate dal software Mathematica©.Nel prosieguo si utilizzeranno: l’espressione (1.65) per la trasformata e l’e-

spressione (1.66) per l’antitrasformata.

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18 1. Funzioni Speciali e Trasformate

Si osserva che l’espressione (1.65) rappresenta una funzione complessa divariabile complessa, quindi, ricorrendo alla formula di Eulero, e possibile di-stinguere la parte reale dalla parte immaginaria di FF (ω):

Ff(t); ω =∫ ∞−∞

ejωtf(t) dt

=∫ ∞−∞

cosωtf(t) dt+ j

∫ ∞−∞

sinωtf(t) dt(1.67)

il primo termine della (1.67) definisce la trasformata-coseno Fcf(t); ω erappresenta la parte reale della trasformata <(F); mentre il secondo termineindica la trasformata-seno Fsf(t); ω e rappresenta la parte immaginariadella trasformata =(F).

L’espressione (1.67) permette di fare delle osservazioni a seconda se lafunzione f(t) sia pari o dispari, in quanto:

• se f(t) e pari ⇒ Fs = 0 ⇒ FF (ω) = Fcf(t); ω, la trasformata e realie pari ;

• se f(t) e dispari ⇒ Fc = 0 ⇒ FF (ω) = Fsf(t); ω, la trasformata eimmaginaria e dispari.

Esempio: Si consideri la funzione generalizzata delta di Dirac δ(t), effettuan-do la trasformata di Fourier si ottiene:

Fδ(t); ω = 1

per dimostrare tale espressione si applica la formula di Eulero, ottenendo:∫ ∞−∞

δ(t) cos(ωt) dt+ j

∫ ∞−∞

δ(t) sin(ωt) dt

il secondo termine e nullo, in quanto la f(t) e pari, per cui si ottiene:

[cos(ωt)

]t=0

= 1.

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1.4 La Trasformata di Fourier 19

Esempio in Mathematica - funzione pari: Calcolare la trasformata diFourier della funzione rettangolo:

f(t) = Rect(t) =

0 t < 12

12 t = −1

2

1 −12 < t < 1

212 t = 1

2

0 t > 12 .

Tale funzione e ottenibile in Mathematica col comando:

In[1]:=HeavisidePi[t]

il grafico della Rect(t), mostrato in Figura 1.7(a), si ottiene ricorrendo alseguente comando:

In[2]:=Plot[HeavisidePi[t], t, -2, 2, PlotStyle->Thick]

-1.0 -0.5 0.5 1.0t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

RectHtL

(a) Rect(t)

-15 -10 -5 5 10 15Ω

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

RHΩL

(b) FRect(t); ω = sin(ω/2)(ω/2)

Figura 1.7: Funzione rettangolo e sua trasformata.

la trasformata di Fourier si ottiene col comando:

In[3]:=Sqrt[2*Pi]FourierTransform[HeavisidePi[t], t, om]Out[3]:=Sinc(om/2)

come trasformata compare quindi la funzione pari e reale seno cardinale di(ω2

).

Il grafico della trasformata della funzione rettangolo e mostrato in Figura 1.7(b).

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20 1. Funzioni Speciali e Trasformate

Esempio in Mathematica - funzione dispari: Considerando la seguentefunzione dispari:

f(t) = e−t2

sin(t)

si effettua la trasformata ricorrendo ai comandi introdotti nell’esempio prece-dente:

Sqrt[2*Pi]FourierTransform[e^(-t^(2))Sin[t], t, om]

ottenendo:

Fe−t2 sin(t); ω =j√π

2[cosh(ω) + sinh(ω)− 1]×

×

cosh[1

4(1 + ω)2

]− sinh

[14

(1 + ω)2].

(1.68)

Si osserva che la trasformata ottenuta e dispari e immaginaria pura.

-3 -2 -1 1 2 3t

-0.4

-0.2

0.2

0.4

fHtL

(a) e−t2

sin(t)

-4 -2 2 4Ω

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

FeHΩL

(b) Fe−t2 sin(t); ω

Figura 1.8: Funzione dispari e sua trasformata.

I grafici della funzione considerata e della relativa trasformata sono riportatiin Figura 1.8.

Esempio in Mathematica - funzione generica: Negli esempi precedentisi sono considerate funzioni le cui trasformate erano o puramente reali (tra-sformata funzione simmetrica) o puramente immaginarie (trasformata funzione

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1.4 La Trasformata di Fourier 21

antisimmetrica), adesso si considera il caso in cui la funzione da trasformarenon e ne pari ne dispari:

f(t) = sin(t)e−tH(t)

essendo H(t), la funzione gradino unitario.La funzione da trasformare si puo esprimere e rappresentare in Mathematica

con i seguenti comandi:

In[1]:=f[t_]=Sin[t]E^(-t)HeavisideTheta[t]In[2]:=Plot[f[t], t, -1, 5]

il grafico della funzione f(t) e mostrato in Figura 1.9.

-1 1 2 3 4 5t

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

fHtL

Figura 1.9: Grafico della funzione f(t) = sin(t)e−tH(t) per −1 ≤ t ≤ 5.

Per effettuare la trasformata si inserisce la seguente riga di comando:

In[3]:=Sqrt[2*Pi]FourierTransform[f[t], t, om]

ottenendo il seguente risultato:

FF (ω) =1

2− 2jω − ω2. (1.69)

Si vuole distinguere la parte reale da quella immaginaria; a tal fine si calcolala trasformata coseno, ricorrendo al seguente comando:

In[4]:=Integrate[f[t]Cos[t], t, -Infinity, Infinity]

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22 1. Funzioni Speciali e Trasformate

ottenendo:

Fcf(t); ω = <FF (ω) =2− ω2

4 + ω4, (1.70)

per calcolare la trasformata seno, si ricorre al seguente comando:

In[5]:=I*Integrate[f[t]Sin[t], t, -Infinity, Infinity]

ottenendo:

Fsf(t); ω = =FF (ω) =2jω2

4 + ω4. (1.71)

Le espressioni (1.70) e (1.71) permettono di rappresentare distintamente laparte reale e la parte immaginaria della FF (ω), ed e facile dimostrare come laloro somma sia equivalente all’espressione (1.69):

Fsf(t); ω+ Fcf(t); ω = Ff(t); ω<FF (ω)+ =FF (ω) = FF (ω)

2− ω2

4 + ω4+

2jω2

4 + ω4=

12− 2jω − ω2

(1.72)

per dimostrare la validita dell’uguaglianza (1.72) basta moltiplicare ambo itermini per 2− 2jω − ω2.

-4 -2 2 4Ω

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

R8FeHΩL<

(a) Fcf(t); ω = <FF (ω)

-4 -2 2 4jΩ

-0.4

-0.2

0.2

0.4

J8FeHΩL<

(b) Fsf(t); ω = =FF (ω)

Figura 1.10: Parte reale e parte immaginaria della FF (ω)

La Figura 1.10(a) rappresenta la trasformata coseno, funzione reale e sim-metrica, mentre la Figura 1.10(b) rappresenta la trasformata seno, funzioneimmaginaria e antisimmetrica.

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1.4 La Trasformata di Fourier 23

1.4.1 Proprieta della Trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier gode della proprieta di additivita:

Ff(t) + g(t); ω = FF (ω) + GF (ω) (1.73)

assunto che f(t) e g(t) siano Fourier-trasformabili.Gli operatori F. . . e F−1. . . sono lineari :

Fλf(t) + ηg(t); ω = λFF (ω) + ηGF (ω) ∀ λ, η ∈ C (1.74)

Si consideri la trasformata di Fourier della convoluzione:

f(t) ∗ g(t) =∫ ∞−∞

f(t− τ)g(τ) dτ =∫ ∞−∞

f(τ)g(t− τ) dτ, (1.75)

per due funzioni f(t) e g(t), che sono definite in (−∞, ∞), la trasformata delprodotto e uguale al prodotto delle trasformate:

Ff(t) ∗ g(t); ω = FF (ω)GF (ω) (1.76)

purche esistano le trasformate FF (ω) e GF (ω). La proprieta (1.76) e utileper effettuare la trasformata di Fourier alla derivata frazionaria e dell’integralefrazionario di Riemann-Liouville, che verranno trattati nel capitolo successivo.

Un’altra proprieta utile per la soluzione di problemi applicativi si ottienetrasformando la derivata della funzione f(t); considerando una funzione conti-nua ed n volte derivabile si ottiene che la trasformata di Fourier e data dallaseguente espressione:

Ff (n)(t); ω = (−jω)nFF (ω) (1.77)

dove n rappresenta l’ordine di derivazione considerato.Un’altra proprieta e data dalla seguente espressione:

Ftnf(t); ω = (−j)n dn

dωnFF (ω) (1.78)

e necessario precisare che non tutte le trasformate di Fourier FF (ω) di unafunzione f(t) ammettono necessariamente derivata n-esima.

Considerato un t0 ∈ R si ottiene:

Ff(t+ t0); ω = e−jωt0FF (ω) (1.79)

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24 1. Funzioni Speciali e Trasformate

Inoltre, considerato un ω0 ∈ C, si ottiene:

Fejω0tf(t); ω = Ff(t); ω + ω0 = FF (ω + ω0) (1.80)

tale espressione si puo facilmente dimostrare:

Fejω0tf(t); ω =∫

Rejω0tf(t)ejωt dt =

∫Rf(t)ej(ω+ω0)t dt = FF (ω + ω0).

(1.81)Considerando un ∀ a ∈ R0 si ha:

Ff(at); ω =1|a|Ff(t);

ω

a =

1|a|

FF(ωa

). (1.82)

1.4.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali

La trasformata di Fourier, analogamente alla trasformata di Laplace, permettedi trasformare una equazione differenziale in un equazione polinomiale, la cuisoluzione e facilmente ottenibile.

Si consideri la generica equazione differenziale non omogenea a coefficienticostanti, riportata di seguito:

C0x(t) + C1d

dtx(t) + · · ·+ Cn

dn

dtnx(t) = f(t), (1.83)

si assuma che l’inomogeneita f(t), la funzione x(t) e le sue derivate sianoFourier-trasformabili, e si effettui la trasformata di Fourier, ottenendo:

C0XF (ω)+C1(−jω)XF (ω)+C2(−jω)2XF (ω)+· · ·+Cn(−jω)nXF (ω) = FF (ω)(1.84)

dalla quale si ricava che:

XF (ω) =FF (ω)∑n

k=0Ck(−jω)k, (1.85)

il rapporto:

H(ω) =1∑n

k=0Ck(−jω)k

prende il nome di funzione di trasferimento.Se esiste soluzione all’equazione differenziale introdotta, questa si puo ot-

tenere facendo l’antitrasformata di XF (ω):

x(t) = F−1XF (ω); t =1

∫ ∞−∞

FF (ω)H(ω)e−jωt dω. (1.86)

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1.5 La Trasformata di Mellin 25

E utile osservare che nella trasformata di Fourier non compaiono esplicitamentele condizioni iniziali.

1.5 La Trasformata di Mellin

La Trasformata Integrale di Mellin di una funzione f(t) definita nell’intervallo(0,∞) e data dalla seguente espressione:

FM(s) =Mf(t); s =∫ ∞

0f(t)ts−1 dt (1.87)

con s ∈ C tale che −γ1 < γ < −γ2. A differenza delle trasformate di Laplacee di Fourier, aventi come nucleo una funzione esponenziale, la trasformata diMellin ha una legge di potenza come nucleo.

Viceversa la funzione originale f(t) si puo ottenere a partire dalla trasfor-mata FM(s) effettuando l’Antitrasformata di Mellin:

f(t) =M−1FM(s); t =1

2πj

∫ γ+j∞

γ−j∞FM(s)t−s ds; (0 < t <∞), (1.88)

con −γ1 < γ < −γ2, essendo l’intervallo (−γ1, −γ2) la striscia fondamentaledi Mellin che verra meglio precisata piu avanti.Si osservi che l’antitrasformata di Mellin e ottenuta integrando la FM(s)t−s

lungo l’asse immaginario e dunque si puo scrivere anche nella forma:

f(t) =1

∫ +∞

−∞FM(s)t−s dη; (−γ1 < γ < −γ2), (1.89)

e tale integrale non dipende da γ purche appartenga alla striscia fondamentale.Osservando l’espressione (1.87), si nota che la funzione gamma di Eulero

Γ(s), per <(s) ≥ 0, puo essere vista come un caso particolare della trasfor-mata di Mellin, infatti considerando la funzione esponenziale e−t e Mellin-trasformando si ottiene:

Me−t; s =∫ ∞

0e−tts−1 dt = Γ(s). (1.90)

Esempio: Si consideri la seguente funzione rettangolo:

Rect(t) =

1 → 0 < t < 112 → t = 10 → t > 1

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26 1. Funzioni Speciali e Trasformate

e si calcoli la trasformata di Mellin.Applicando la (1.87) si ottiene il seguente integrale:

RM(s) =∫ ∞

0ts−1r(t) dt

che converge assolutamente per γ > 0, sviluppandolo si ottiene:

RM(s) =[ts

s

]1

0

=1s

applicando l’antitrasformata (1.88) si ha:

Rect(t) =1

2πj

∫ γ+j∞

γ−j∞

1st−s ds; (γ > 0).

1.5.1 La Striscia Fondamentale

L’integrale espresso in (1.87) converge se <(s) = γ appartiene alla StrisciaFondamentale, ovvero se −γ1 < γ < −γ2. I valori γ1 e γ2, che delimitanola striscia fondamentale, dipendono dalla f(t), in particolare γ1 rappresental’ordine della funzione per x→ 0, mentre γ2 rappresenta l’ordine della funzioneper x→∞.

In altre parole se la f(t) e una funzione continua nell’intervallo (−∞, ∞)tale che:

f(t)

Otγ1 t→ 0Otγ2 t→∞

(1.91)

allora la funzione f(t) e Mellin-trasformabile ed esiste una FM(s) per alcuninumeri complessi s = γ + jη appartenenti alla striscia fondamentale.

Inoltre se esiste una costante C > 0 tale che:∫ ∞−∞|FM(γ + jη)| dη < C per ogni− γ1 < γ < −γ2 (1.92)

allora esiste l’antitrasformata di FM(s) e l’espressione (1.88) restituisce lafunzione originale f(t).

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1.5 La Trasformata di Mellin 27

Esempio - striscia fondamentale: Si consideri la seguente funzione:

f(t) =1

1 + t,

e se ne calcoli la striscia fondamentale.Dai limiti della funzione per t → 0 e t → ∞ si calcolano i valori estremi

della striscia:

limt→0

11 + t

= 1⇒ tγ1 = 1⇒ γ1 = 0 (1.93)

limt→∞

11 + t

=1∞⇒ tγ2 =∞−1 ⇒ γ2 = −1. (1.94)

Quindi per la f(t) considerata la striscia fondamentale e compresa tra 0 e 1:

0 < γ < 1.

In appendice sono riportati alcuni esempi di trasformata di Mellin di diversefunzioni con indicata la relativa striscia fondamentale.

1.5.2 Proprieta della Trasformata di Mellin

Una proprieta fondamentale della trasformata di Mellin e data dalla seguenteespressione:

Mtαf(t); s =Mf(t); s+ α = FM(s+ α). (1.95)

Si consideri la convoluzione di Mellin:

f(t) ∗ g(t) =∫ ∞

0f(tτ)g(τ) dτ, (1.96)

applicando la trasformata alla (1.96) si ottiene:

M∫ ∞

0f(tτ)g(τ) dτ ; s = FM(s)GM(1− s), (1.97)

inoltre, tenendo conto della proprieta espressa dalla (1.95) si ottiene:

Mtλ∫ ∞

0τµf(tτ)g(τ) dτ ; s = FM(s+ λ)GM(1− s− λ+ µ). (1.98)

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28 1. Funzioni Speciali e Trasformate

Inoltre se f(t) e <(s) = γ sono tali che sostituiti ai limiti t = 0 e t = ∞rendono nullo il primo termine della (1.101) si ottiene:

Mf (n)(t); s =Γ(1− s+ n)

Γ(1− s)FM(s− n). (1.99)

Una proprieta particolare e ottenuta trasformando la derivata premoltipli-cata dalla variabile, ovvero:

Mt ddtf(t); s = −sFM(s). (1.100)

Integrando ripetutamente per parti, si dimostra che la trasformata di Mel-lin della derivata di ordine intero della funzione “f(t)” e data dalla seguenteespressione:

Mf (n)(t); s =∫ ∞

0f (n)(t)ts−1 dt =

=[f (n−1)(t)ts−1

]∞0− (s− 1)

∫ ∞0

f (n−1)(t)ts−2dt =

=[f (n−1)(t)ts−1

]∞0− (s− 1)Mf (n−1)(t); s− 1 =

= · · ·

=n−1∑r=0

(−1)rΓ(s)

Γ(s− r)[f (n−r−1)(t)ts−r−1

]∞0

+

+ (−1)nΓ(s)

Γ(s− n)FM(s− n) =

=n−1∑r=0

Γ(1− s+ r)Γ(1− s)

[f (n−r−1)(t)ts−r−1

]∞0

+

+Γ(1− s+ n)

Γ(1− s)FM(s− n)

(1.101)

Scelto un a > 0 valgono le seguenti relazioni:

Mf(at); s = a−sFM(s), (1.102)

Mf(ta); s =1a

FM(sa

), (1.103)

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1.5 La Trasformata di Mellin 29

Mf(ta); s =1a

FM(− s

a

), (1.104)

Mtαf(ta); s =1a

FM(s+ α

a

), (1.105)

Mtαf(t−a); s =1a

FM(− s+ α

a

), (1.106)

Un’altra proprieta notevole e data dall’espressione:

Mlog(t)nf(t); s = FM(n)(s) con n = 1, 2, 3, . . . (1.107)

Un’interessante proprieta lega la trasformata di Mellin con quella di Fourier,in particolare si ha il seguente legame

MF f(t); ω ; s = Γ(s) cos(πs

2

)Mf(t); 1− s . (1.108)

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Capitolo 2

Il Calcolo Frazionario

Questo capitolo e dedicato al Calcolo Frazionario, naturale estensione del cal-colo differenziale e integrale classico. Gli operatori frazionari, rappresentanol’argomento centrale del presente capitolo; infatti verranno definiti gli opera-tori derivata e integrale frazionario, mostrate alcune proprieta fondamentali,derivanti dal calcolo differenziale ordinario ed estese al calcolo frazionario, eforniti alcuni esempi di derivata frazionaria di funzioni comuni. Inoltre, le tra-sformate integrali, introdotte nel capitolo precedente, saranno applicate alladerivata e all’integrale frazionario.

E opportuno precisare che oltre alle formulazioni di operatore frazionariotrattate, vi sono altre definizioni fornite da E.L. Post, A. Marchaud, ecc..

2.1 Cenni Storici

L’idea di derivata frazionaria nasce con la derivata stessa, quando nel 1695 ilmatematico e filosofo tedesco Gottfried Wihelm Leibniz introduceva il concettodi semiderivata in una lettera al suo collega francese Guillaume de l’Hopital.Si e dovuto attendere quasi mezzo secolo per passare dall’idea base ai primistudi sistematici, che interessarono diversi matematici quali: Fourier, Laplace,Lacroix ed Eulero.

Probabilmente il primo ad utilizzare il calcolo frazionario in un problemamatematico fu N. H. Abel, che nel 1823 affronto lo studio della curva tautocronaricorrendo al seguente integrale:∫ t

a(t− τ)−

12 f(τ) dτ

31

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32 2. Il Calcolo Frazionario

simile all’integrale frazionario che introdurra in seguito Riemann.Ma l’iniziatore della teoria sul calcolo frazionario fu il matematico francese

Joseph Liouville, il quale nel 1832 diede l’impulso alla ricerca formulando unaprima definizione di derivata frazionaria: egli considero uno sviluppo in serie diesponenziali di una funzione e definı la derivata di ordine non intero operandotermine per termine riportandosi al caso intero.In particolare Liouville considero la derivata di una funzione esponenziale:

Dneat = aneat n ∈ N

ed estese l’operazione di derivazione considerando un n = α con α non intero,ottenendo:

Dαeat = aαeat α ∈ R+

Successivamente, intorno al 1835, espresse la funzione f(t) come somma infinitadi esponenziali e definı la derivata di ordine frazionario nel seguente modo:

Dαf(t) =∞∑j=0

cjaαj eajt

con f(t) =∑∞

j=0 aαj eajt.

Un importante contributo fu dato nel 1847 dall’allora ventunenne GeorgeFriedrich Bernhard Riemann, il quale generalizzando lo sviluppo in serie diTaylor ottenenne la seguente definizione di integrazione frazionaria:

aIαt f(t) =d−α

dt−αf(t) =

1Γ(α)

∫ t

a(t− τ)α−1f(τ) dτ.

Il primo lavoro dove vengono unificate le trattazioni di Liouville e Riemann,a partire dalla formula di integrazione multipla di Cauchy, e probabilmentel’articolo di N. Ya. Sonin del 1869 intitolato “On Differentiation with ArbitraryIndex”. Oltre a Sonin hanno contribuito a tale unificazione A. Krug e AlekseyVasilievic Letnikov, in particolare quest’ultimo nel 1872 pubblico un articolosull’argomento dal titolo “An Explanation of the Theory of Differentiation ofArbitrary Index”, ad estensione del lavoro di Sonin.

Successivamente Anton Karl Grunwald, grazie alla collaborazione di Let-nikov, supero, nel 1867, le limitazioni imposte dalla definizione di Liouville,ottenendo una definizione piu complessa ma al tempo stesso piu naturale, inquanto definirono un operatore frazionario a partire dalla definizione di rappor-to incrementale; nel 1930 il matematico Emil Leon Post estese la definizionefornita da Grunwald e Letnikov.

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2.2 Derivate e Integrali Frazionari 33

Relativamente piu recente, in quanto risalente al 1967, e la formulazionefornita da Michele Caputo, che si presta bene per la risoluzione di diversiproblemi fisici.

2.2 Derivate e Integrali Frazionari

Considerando gli operatori di derivazione e integrazione classici si ha:

dnf(t)dtn

; . . .d2f(t)dt2

;df(t)dt

; f(t);∫ t

af(τ) dτ ;

∫ t

a

∫ τ1

af(τ) dτ dτ1; . . . aInt f(t)

(2.1)si osserva che gli ordini di derivazione, ovvero gli indici n degli operatori, sononumeri naturali (n ∈ N). Il calcolo frazionario permette di estendere il concettoper ogni n ∈ R, infatti gli operatori di ordine arbitrario reale α possono essereottenuti con una sorta di interpolazione della suddetta sequenza di operatori.

La Derivata Frazionaria puo essere espressa:

aDαt f(t) (2.2)

secondo la notazione suggerita da Davis; dove a e t sono i limiti dell’operazionedi derivazione frazionaria, questi evitano possibili ambiguita nelle applicazioniai problemi reali delle derivate frazionarie.

L’Integrale Frazionario, o integrale di ordine arbitrario, corrisponde ad as-sumere nel precedente operatore un valore negativo di α, e possibile indicaretale operatore nel seguente modo:

aIβt f(t), (2.3)

oppure, considerando la stessa simbologia usata per l’operatore derivata, datoun β > 0 si puo esprimere l’integrale di ordine β nella seguente forma:

aD−βt f(t). (2.4)

Un’Equazione Differenziale Frazionaria e un’equazione che contiene deriva-te frazionarie al suo interno; analogamente un’Equazione Integrale Frazionariacontiene al suo interno degli integrali di ordine arbitrario.

Un Sistema di Ordine Frazionario e composto da equazioni differenziali e/ointegrali frazionarie.

Di seguito si introducono le principali definizioni di Operatore Frazionario.

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34 2. Il Calcolo Frazionario

2.2.1 Il Differintegrale di Grunwald-Letnikov

La derivata frazionaria di Grunwald-Letnikov viene definita a partire dalla de-rivata di ordine n di una funzione.Si ricerca un’espressione che racchiuda in se le definizioni di derivata e di in-tegrale (definizioni solitamente distinte nell’analisi classica), a tal proposito siconsidera la tipica definizione di derivata espressa come limite del rapportoincrementale di una funzione continua f(t):

df(t)dt

= f ′(t) = limh→0

f(t)− f(t− h)h

(2.5)

Applicando due volte questa definizione si ottiene la derivata del secondoordine:

d2f(t)dt2

= f ′′(t) = limh→0

f ′(t)− f ′(t− h)h

=

= limh→0

1h

[f(t)− f(t− h)

h− f(t− h)− f(t− 2h)

h

]

f ′′(t) = limh→0

f(t)− 2f(t− h) + f(t− 2h)h2

(2.6)

analogamente per una derivata del terzo odine si ha:

d3f(t)dt3

= f ′′′(t) = limh→0

f(t)− 3f(t− h) + 3f(t− 2h)− f(t− 3h)h3

(2.7)

si osservi che aumentando l’ordine di derivazione compaiono nel calcolo puntidella funzione a distanza sempre maggiore dalla variabile t considerata. Te-nendo conto del fatto che gli elementi che premoltiplicano la funzione seguonola regola dei coefficienti binomiali a segni alterni, la formula di derivazione diordine n puo essere espressa come:

f (n)(t) =dnf(t)dtn

= limh→0

1hn

n∑r=0

(−1)r(n

r

)f(t− rh) (2.8)

dove il termine(nr

)rappresenta il coefficiente binomiale:(n

r

)=n(n− 1)(n− 2) . . . (n− r + 1)

r!(2.9)

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2.2 Derivate e Integrali Frazionari 35

E stata cosı ottenuta la derivata generalizzata; per unificare il concetto diderivata con quello di integrale occorre ricercare la forma dell’integrale gene-ralizzato, a tal fine si consideri l’usuale definizione di integrale come somma diRiemann:

d−1f(t)[d(t− a)]−1

≡ f (−1)(t) ≡∫ t

af(t) dt ≡ lim

h→0

[h

N−1∑r=0

f(t− rh)]

(2.10)

la funzione integrata si ottiene dall’area sottesa dalla funzione integranda, cal-colata come somma di N rettangoli di base infinitesima h ed area h · f(t).L’aver fissato l’estremo inferiore di integrazione permette di eliminare l’inde-terminatezza dell’integrale.Analogamente a quanto fatto per le derivate si estende il calcolo agli integralidel secondo ordine:

d−2f(t)[d(t− a)]−2

≡ f (−2)(t) = limh→0

[h2

N−1∑r=0

(r + 1)f(t− rh)]

(2.11)

poi a quelli del terzo ordine:

d−3f(t)[d(t− a)]−3

≡ f (−3)(t) = limh→0

[h3

N−1∑r=0

(r + 1)(r + 2)2

f(t− rh)]

(2.12)

e infine a quelli di ordine ennesimo:

d−nf(t)[d(t− a)]−n

≡ f (−n)(t) = limh→0

[hn

N−1∑r=0

(r + n− 1

r

)f(t− rh)

](2.13)

Adesso occorre unificare le definizioni, l’equazione dell’integrale cosı ottenutanon e uniforme con l’equazione della derivata generalizzata (2.8). Nel casodegli integrali si ha che:

dati t, a e N ⇒ h = t−aN

si puo utilizzare quest’espressione per indicare l’incremento h nell’equazionedelle derivate (2.8), questo equivale ad aver campionato i punti in cui derivaread intervalli h e ristretto nel contempo il dominio di derivazione avendo postoa come limite inferiore, ovvero:

dnf(t)dtn

= limN→∞

(t− aN

)−n N−1∑r=0

(−1)r(n

r

)f

[t− r

(t− aN

)](2.14)

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36 2. Il Calcolo Frazionario

per la derivata di ordine n;

d−nf(t)d(t− a)−n

= limN→∞

(t− aN

)n N∑r=0

(r + n− 1

r

)f

[t− r

(t− aN

)](2.15)

per l’integrale di ordine n.Le due espressioni non appaiono ancora del tutto analoghe, per uniformare

le due definizioni occorre tener conto di alcune peculiarita dei coefficienti bi-nomiali.Il coefficiente binomiale C(n, k) e in genere definito dalla seguente espressione:

C(n, k) =(n

r

)=

n!(n− r)!r!

(2.16)

e possiede la seguente proprieta:(n

r

)=(

n

n− r

)= (−1)r

(r − n− 1

r

)(2.17)

grazie alla quale e possibile dimostrare come le due espressioni, (2.14) e (2.15),sono in realta equivalenti, in quanto:

(−1)r(n

r

)=(r − n− 1

r

)(2.18)

valido per n ∈ N.Per estendere la definizione ai numeri Reali e ai numeri Complessi, bisognageneralizzare i coefficienti binomiali ricorrendo alla funzione gamma di Eulero,la quale possiede la proprieta espressa dalla (1.7).Ricorrendo alle suddette proprieta, si esprime l’equazione (2.18) in funzionedella funzione gamma, in modo da utilizzare invece di n ∈ N dei valori diα ∈ R, ovvero: (

r − α− 1r

)=

(r − α− 1)!(−α− 1)!r!

=Γ(r − α)

Γ(−α)Γ(r + 1)(2.19)

Nelle espressioni di derivazione (2.14) e integrazione (2.15) erano stati con-siderati valori interi di n, la naturale estensione per ordine non intero si ottienesostituendo ai coefficienti binomiali l’espressione (2.19) dove compare la gammadi Eulero, ottenendo infine il Differintegrale di Grunwald-Letnikov applicabileper α ∈ R:

aDαt f(t) = lim

N→∞

(t− aN

)−α 1Γ(−α)

N−1∑r=0

Γ(r − α)Γ(r + 1)

f

[t− r

(t− aN

)](2.20)

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2.2 Derivate e Integrali Frazionari 37

Tale espressione ha dei vantaggi rispetto alle definizioni che seguiranno, inquanto:

• non compaiono esplicitamente la derivata o l’integrale della funzione f(t);

• consente di ricavare la soluzione numerica approssimata della derivatao dell’integrale frazionario di alcune funzioni (un’applicazione pratica efornita in [15]);

• si applica agevolmente a diverse funzioni.

2.2.2 La Formulazione di Riemann-Liouville

La definizione di integrazione di Cauchy (Augustin-Louis, matematico e inge-gnere francese, 1789-1857) e la seguente:

aInt f(t) =d−nf(t)d(t− a)−n

=∫ t

a

∫ τn−1

a. . .

∫ τ1

af(τ) dτ dτ1 . . . dτn−1

=1

(n− 1)!

∫ t

a(t− τ)n−1f(τ) dτ

(2.21)

ed esprime un’integrale multiplo come un integrale di convoluzione il cui nucleoe (t− τ)n−1.La formula di integrazione multipla di Cauchy si puo facilmente generalizzareal caso non intero, ottenendo la definizione di Riemann-Liouville. A tal fine sisostituisca il fattoriale con la funzione gamma, in modo da generalizzare l’or-dine di integrazione passando da n, definito solo nei naturali, ad α qualunque(anche complesso):

aIαt f(t) =d−αf(t)d(t− a)−α

=1

Γ(α)

∫ t

a(t− τ)α−1f(τ) dτ (2.22)

l’espressione(2.22) e nota in letteratura come Integrale Frazionario di Riemann-Liouville in quanto <(α) > 0, ed e valido per α ∈ C. In particolare taleespressione rappresenta l’integrale sinistro in quanto si sta assumendo a comelimite inferiore di integrazione e t come limite superiore, quindi t > a; l’integraledestro si ottiene scegliendo un limite superiore b > t e t come limite inferiore:

tIαb f(t) =1

Γ(α)

∫ b

t(τ − t)α−1f(τ) dτ. (2.23)

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38 2. Il Calcolo Frazionario

Per ottenere la Derivata Frazionaria di Riemann-Liouville (R-L) basta pen-sare che la derivata di ordine n puo essere considerata come la derivata di ordinen+m della primitiva m-esima della funzione, quindi generalizzando si ha:

aDαt f(t) =

1Γ(n− α)

(d

dt

)n ∫ t

a

f(τ)(t− τ)α−n+1

dτ (2.24)

valida per (n − 1) < <(α) < n. L’espressione (2.24) e detta anche derivatasinistra in quanto t > a, analogamente al caso precedente, posto un limitesuperiore b > t si ottiene la derivata destra:

tDαb f(t) =

1Γ(n− α)

(− d

dt

)n ∫ b

t

f(τ)(τ − t)α−n+1

dτ. (2.25)

Si osservi che la derivata di R-L di una costante non e zero, infatti:

0Dαt C =

Ct−α

Γ(1− α). (2.26)

Se si utilizza, invece delle differenze all’indietro (t−τ), le differenze in avanti(t + τ), si ottiene un’analoga definizione che prende il nome di Differintegraledi Weil.

Il Differintegrale di Courant e Hilbert

Un’altra definizione e stata proposta nel 1962 dai matematici Courant e Hilbert,ed e la seguente:

d12 f(t)

d(t− a)12

=1√π

d

dt

∫ t

a

f(τ)√t− τ

dτ (2.27)

che prende il nome di Differintegrale di Courant-Hilbert e risulta essere un casoparticolare della (2.24) per α = 1

2 .

2.2.3 Gli Integrali Frazionari di Riesz

Unificando la definizione di integrale frazionario di R-L sinistro (2.22) conquella di integrale destro (2.23) si puo scrivere la seguente equazione

Iα±f(t) =1

Γ(α)

∫ ∞0

(τ)α−1f(t± τ) dτ <(α) > 0 (2.28)

in cui Iα+f(t) e Iα−f(t) sono rispettivamente l’integrale sinistro e destro di R-L.

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2.2 Derivate e Integrali Frazionari 39

L’integrale frazionario di Riesz, denotato con Iαf (t), e di seguito definito

Iγf (t) =1

2νc (α)

∫ ∞−∞

f (τ)|t− τ |1−α

dτ ; <(α) > 0, <(α) 6= 1, 3, . . . (2.29)

e l’integrale complementare di Riesz, denotato con Hαf (t), e definito come

Hγf (t) =1

2νs (α)

∫ ∞−∞

f (τ) sgn (t− τ)|t− τ |1−α

dτ ; <(α) > 0, <(α) 6= 1, 3, . . . (2.30)

in cuiνc (α) = Γ (α) cos (απ/2)

eνs (α) = Γ (α) sin (απ/2) .

Da considerazioni elementari si ottengono le seguenti relazioni

Iαf (t) =Γ (α)

2νc (α)[Iα+f (t) + Iα−f (t)

](2.31)

Hαf (t) =Γ (α)

2νs (α)[Iα+f (t)− Iα−f (t)

]. (2.32)

2.2.4 L’Approccio di Caputo

Un’altra definizione e stata fornita da Michele Caputo e si presta ad essereapplicata a problemi concreti.

La definizione di Riemann-Liouville rappresenta un raffinato stumento ma-tematico, ma spesso risulta inadatta per la modellazione di fenomeni fisici.Per la risoluzione di equazioni differenziali in cui compare la derivata di R-L enecessario conoscere delle condizioni iniziali in termini di derivate frazionarie;tali derivate, non avendo alcun significato fisico, non sono note nella maggiorparte dei problemi fisici.

L’approccio sviluppato da Caputo, supera le limitazioni della definizione diR-L, in quanto permette di definire la derivata e/o l’integrale frazionario di unafunzione f(t) utilizzando delle condizioni iniziali espresse da derivate di ordineintero. Nella reologia moderna, campo dove la derivazione frazionaria riesce amodellare molto bene il comportamento meccanico di diversi materiali, e spes-so necessario risolvere problemi di viscoelasticita partendo dalla conoscenza dicondizioni iniziali espresse in termini di derivate di ordine intero (si pensi, per

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40 2. Il Calcolo Frazionario

esempio, alla velocita di deformazione che rappresenta la derivata prima dellafunzione deformazione nel tempo); grazie alla formulazione di Caputo e possi-bile risolvere diverse equazioni differenziali alle derivate frazionarie conoscendole condizioni iniziali in termini di derivate di ordine intero.

M. Caputo intorno al 1967 ha fornito la seguente definizione di operatorefrazionario:

CaDα

t f(t) =1

Γ(n− α)

∫ t

a

f (n)(τ)(t− τ)α+1−n dτ (2.33)

che prende il nome di Differintegrale di Caputo, valido per n− 1 < α < n.L’espressione ottenuta e frutto di un interpolazione tra derivate di ordine intero,infatti per α→ n l’espressione diventa una n-esima derivata della funzione f(t).

Al contrario di quanto accadeva per la derivata di R-L, la derivata di Caputodi una costante e nulla.

In alcuni casi, in cui la funzione da derivare ha determinate caratteristicheper t→ −∞ e per particolari condizioni iniziali, la derivata di R-L e di Caputocoincidono.

2.3 Proprieta degli Operatori Frazionari

Le proprieta che riguardano le derivate e gli integrali di ordine intero si possonoestendere anche agli operatori frazionari; questo conferma il fatto che il calcolodifferenziale e integrale ordinario e un sottoinsieme del calcolo frazionario.

In questo paragrafo si introducono tre proprieta fondamentali degli ope-ratori frazionari, ovvero la Linearita, che riguarda la derivata della somma didue funzioni, la Regola di Leibniz, che riguarda la derivata del prodotto di duefunzioni e la Regola dei Semigruppi, che riguarda la derivazione e l’integrazionemultipla.

2.3.1 La Linerarita

Analogamente alla derivazione di ordine intero anche la derivazione frazionariae un’operazione lineare:

Dα[λf(t) + µg(t)] = λDαf(t) + µDαg(t) (2.34)

la linearita e una conseguenza della stessa definizione di derivazione frazionaria.

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2.3 Proprieta degli Operatori Frazionari 41

Considerando, per esempio, la definizione di Grunwald-Letnikov, secondola quale:

aDαt [λf(t) + µg(t)] = lim

h→0nh=t−a

h−αn∑r=0

(−1)r(α

r

)[λf(t− rh) + µg(t− rh)]

= λ limh→0nh=t−a

h−αn∑r=0

(−1)r(α

r

)f(t− rh) + µ lim

h→0nh=t−a

h−αn∑r=0

(−1)r(α

r

)g(t− rh)

(2.35)

si ottiene:aDα

t [λf(t) + µg(t)] = λ · aDαt f(t) + µ · aDα

t g(t). (2.36)

La proprieta e dimostrabile anche a partire dalla definizione di R-L o apartire da quella di Caputo.

2.3.2 La Regola di Leibniz

Date due funzioni f(t) e ϕ(t) la regola di Leibniz consente di valutare la derivatan-esima del loro prodotto:

dn

dtn[ϕ(t)f(t)] =

n∑r=0

(n

r

)ϕ(r)(t)f (n−r)(t) (2.37)

dove(nr

)rappresenta il coefficiente binomiale e ϕ(r)(t) e la derivata intera di

ordine r.Considerando la derivata di Grunwald-Letnikov di ordine α ∈ R si puo

dimostrare la validita della regola di Leibniz anche nel campo della derivazionefrazionaria, ottenendo che:

aDαt [ϕ(t)f(t)] =

n∑r=0

r

)ϕ(r)(t)aD

(α−r)t f(t)− Rα

n(t) (2.38)

avendo assunto che n ≥ α + 1, che f(τ) sia continua in [a, t] e che ϕ(τ) abbian+ 1 derivate continue in [a, t].Il secondo termine della (2.38) ha la seguente espressione:

Rαn(t) =

1n!Γ(−α)

∫ t

a(t− τ)−α−1f(τ) dτ

∫ t

τϕ(n+1)(ξ)(τ − ξ)n dξ (2.39)

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42 2. Il Calcolo Frazionario

e rappresenta una sorta di resto, generato dal fatto che la sommatoria (2.38)e troncata ad un valore finito di n e non e estesa ad infinito come a rigoredovrebbe essere, infatti la formulazione corretta e la seguente:

aDαt [ϕ(t)f(t)] =

∞∑r=0

r

)ϕ(r)(t)aD

(α−r)t f(t). (2.40)

Naturalmente l’applicazione della regola di Leibniz puo essere dimostrataanche a partire dalle altre definizioni di derivata frazionaria introdotte.

2.3.3 La Regola dei Semigruppi

Considerando una funzione f(t), integrabile sia per ordine α1 che per α2, con<(α1) > 0 e <(α2) > 0, allora si puo asserire che:

aIα1t [aIα2

t f(t)] = aIα2t [aIα1

t f(t)] = aIα1+α2t f(t)

aD−α1t [aD−α2

t f(t)] = aD−α2t [aD−α1

t f(t)] = aD−(α1+α2)t f(t)

(2.41)

la proprieta vale anche per l’integrazione a destra, infatti:

tIα1b [tIα2

b f(t)] = tIα2b [tIα1

b f(t)] = tIα1+α2b f(t)

tD−α1b [tD−α2

b f(t)] = tD−α2b [tD−α1

b f(t)] = tD−(α1+α2)b f(t)

(2.42)

l’espressione (2.41) e nota in letteratura come Regola dei Semigruppi. Siosserva che l’operazione di integrazione multipla gode anche della proprietacommutativa.

Scelto un <(α) > 0 si ha inoltre:

aDαt [aIαt f(t)] = f(t)

tDαb [tIαb f(t)] = f(t)

(2.43)

le espressioni in (2.43) si possono dimostrare a partire dalla definizione di deri-vata di Riemann-Liouville, infatti applicando la (2.24) alla prima delle (2.43),si ottiene:

aDαt [aIαt f(t)] =

dn

dtnaD−(n−α)

t [aIαt f(t)] = f(t) con n = <(α) + 1 (2.44)

l’operazione tra derivata e integrale non e commutativa, per cui invertendo leoperazioni (2.43) si ha:

aIαt [aDαt f(t)] 6= f(t)

tIαb [tDαb f(t)] 6= f(t).

(2.45)

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2.4 Trasformata di Laplace degli Operatori Frazionari 43

Un altro caso particolare si ottiene considerando <(α) > <(γ) > 0:

aDγt [aIαt f(t)] = aI

α−γt f(t)

tDγb [tIαb f(t)] = tI

α−γb f(t).

(2.46)

Inoltre considerando un α tale che <(α) > 0 e un n ∈ N, si ottiene:

dn

dtn[aDα

t f(t)] = aIα+nt f(t)

dn

dtn[tIαb f(t)] = (−1)ntIα+n

b f(t).(2.47)

2.4 Trasformata di Laplace degli Operatori Frazio-nari

2.4.1 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Rie-mann-Liouville

Tenendo conto delle proprieta della Trasformata di Laplace “L”, ponendo illimite inferiore della derivata frazionaria a = 0 e l’ordine di derivazione <(α) >0, si puo dimostrare che la trasformata della derivata frazionaria di Riemann-Liouville e:

L0Dαt f(t); s = sαFL(s)−

n−1∑r=0

sr[0Dα−r−1t f(t)]t=0 (n− 1 ≤ α < n) (2.48)

tale formulazione ha una limitata applicabilita a causa della mancanza diinterpretazione fisica della derivata frazionaria per t = 0.

2.4.2 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Ca-puto

Al contrario della precedente, la derivata frazionaria nella formulazione di Ca-puto ha un significato interpretabile fisicamente anche per al limite t = 0 (inquanto, per esempio: f(0) e lo spostamento iniziale, f ′(0) e la velocita ini-ziale, f ′′(0) e l’accelerazione iniziale) e questo ne permette l’applicazione perla soluzione di problemi pratici alle equazioni differenziali frazionarie lineari acoefficienti costanti con condizioni iniziali espresse nella forma tradizionale.

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44 2. Il Calcolo Frazionario

La trasformata di Laplace della derivata frazionaria di Caputo e di seguitoriportata:

LC0 Dαt f(t); s = sαFL(s)−

n−1∑r=0

sα−r−1f (r)(0) (n− 1 < α ≤ n) (2.49)

si osserva come in questo caso compaiano le derivate intere della funzioneper t = 0, mentre la trasformata di Laplace della derivata di R-L richie-de la conoscenza delle derivate frazionarie in zero che non sono fisicamenteinterpretabili.

2.4.3 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Grun-wald-Letnikov

Applicando la trasformata di Laplace alla derivata frazionaria di Grunwald-Letnikov si ottiene:

L0Dαt f(t); s =

f(0)s1−α +

1s1−α [sFL(s)− f(0)] = sαFL(s) (0 ≤ α < 1) (2.50)

si e assunto il limite inferiore nullo (a = 0) e considerato l’ordine di derivazionecompreso tra 0 e 1 (0 ≤ α < 1 in quanto non esiste in senso classico unatrasformata per valori di α > 1).

2.5 Trasformata di Fourier degli Operatori Frazio-nari

2.5.1 Trasformata di Fourier dell’Integrale Frazionario

Considerando l’integrale frazionario di R-L con limite inferiore a −∞ si puoosservare che:

−∞Iαt f(t) = −∞D−αt f(t)

−∞D−αt f(t) =1

Γ(α)

∫ t

−∞(t− τ)α−1f(τ) dτ (0 < α < 1) (2.51)

facendo la trasformata della (2.51) si ottiene che:

F−∞D−αt f(t); ω = (jω)−αFF (ω) (2.52)

con α ∈ R.

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2.5 Trasformata di Fourier degli Operatori Frazionari 45

Generalizzando l’espressione (2.52) alla definizione di integrale desto e si-nistro (2.28) denotato con Iα±f(t), si ottiene

FIα±f (t) ; ω

= (∓iω)−α FF (ω) (2.53)

e poiche(∓iω)−α =

[cos(απ

2

)± i sgn (ω) sin

(απ2

)]|ω|−α (2.54)

effettuando la trasformata di Fourier delle equazioni (2.31) e (2.32) e usandol’equazione (2.54) si ottiene

F Iαf (t) ; ω = |ω|−α FF (ω) (2.55)

F Hαf (t) ; ω = i sgn (ω) |ω|−α FF (ω) . (2.56)

L’espressione (2.52) oltre a definire la tasformata di Fourier dell’integra-le frazionario di Riemann-Liouville, coincide con la trasformata dell’integralefrazionario di Grunwald-Letnikov −∞D−αt e con la trasformata dell’integralefrazionario di Caputo C

−∞D−αt .

2.5.2 Trasformata di Fourier della Derivata Frazionaria

Per l’applicazione della trasformata di Fourier alla derivata di ordine fraziona-rio si procede analogamente al caso precedente imponendo il limite inferioredi derivazione a = −∞ (la funzione deve essere derivabile per t → −∞) econsiderando l’espressione seguente di derivata frazionaria:

−∞Dαt f(t) =

1Γ(n− α)

∫ t

−∞

f (n)(τ)(t− τ)α+1−n dτ =−∞ Dα−n

t f (n)(t) (2.57)

per (n− 1 < α < n).La trasformata di Fourier della (2.57), ottenuta tenendo conto delle espres-

sioni (2.52) e (1.77), e di seguito riportata:

F−∞Dαt f(t); ω = (−jω)αFF (ω) (2.58)

tale espressione e utile per la soluzione di molti problemi pratici. Per esempio,l’equazione dell’oscillatore con smorzamento di ordine frazionario, di seguitoriportata:

x′′(t) + a−∞Dαt x(t) + bx(t) = f(t) (2.59)

e stata studiata da H. Beyer e S. Kempfle [6] ricorrendo alla trasformata diFourier.

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46 2. Il Calcolo Frazionario

2.6 Trasformata di Mellin degli Operatori Fraziona-ri

2.6.1 Trasformata di Mellin dell’Integrale Frazionario di Rie-mann-Liouville

Per applicare la trasformata di Mellin all’integrale frazionario di Riemann-Liouville si considera il caso in cui il limite inferiore di integrazione e nulloa = 0, e si pone τ = tξ:

0D−αt f(t) =1

Γ(α)

∫ t

0(t− τ)α−1f(τ) dτ

=tα

Γ(α)

∫ 1

0(1− ξ)α−1f(tξ) dξ

=tα

Γ(α)

∫ ∞0

f(tξ)g(ξ) dξ

(2.60)

con

g(t) =

(1− t)α−1, (0 ≤ t < 1)0, (t ≥ 1)

La trasformata di Mellin della funzione g(t) si puo semplificare ricorrendoalla funzione beta di Eulero (1.11):

Mg(t); s = β(α, s) =Γ(α)Γ(s)Γ(α+ s)

(2.61)

Tenendo conto delle equazioni (1.98), (2.60) e (2.61) si ottiene:

M0D−αt f(t); s =1

Γ(α)FM(s+ α)β(α, 1− s− α),

oppure:

M0D−αt f(t); s =Γ(1− s− α)

Γ(1− s)FM(s+ α) (2.62)

dove FM(s) e la trasformata di Mellin della funzione f(t). Si osservi chel’espressione (2.62) poteva essere ottenuta sostituendo n = −α all’espressione(1.99) ottenuta precedentemente.

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2.6 Trasformata di Mellin degli Operatori Frazionari 47

2.6.2 Trasformata di Mellin della Derivata Frazionaria di Rie-mann-Liouville

Considerando 0 ≤ n− 1 < α < n e a = 0, per la definizione (2.24) si ha:

0Dαt f(t) =

dn

dtn0D−(n−α)

t f(t)

Procedendo analogamente a quanto fatto in precedenza per il calcolo dellatrasformata di Mellin della derivata di ordine intero (1.101) si definisce unafunzione g(t) = 0D(n−α)

t f(t) e tenendo conto della (2.62) si dimostra che latrasformata di Mellin della derivata di Riemann-Liouville e espressa nella formaseguente:

M

0Dαt f(t); s

=M

dndtn

0Dα−nt f(t); s

=Mg(n)(t); s =

=n−1∑r=0

Γ(1− s− r)Γ(1− s)

[g(n−r−1)(t)ts−r−1

]∞0

+

+Γ(1− s+ n)

Γ(1− s)GM(s− n) =

=n−1∑r=0

Γ(1− s− r)Γ(1− s)

[ dn−r−1

dtn−r−1 0Dα−nt f(t)ts−r−1

]∞0

+

+Γ(1− s+ n)

Γ(1− s)Γ(1− (s− n)− (n− α))

Γ(1− (s− n))FM[(s− n)+

+ (n− α)],(2.63)

oppure:

M

0Dαt f(t); s

=n−1∑r=0

Γ(1− s+ r)Γ(1− s)

[0Dα−r−1

t f(t)ts−r−1]∞

0+

+Γ(1− s+ α)

Γ(1− s)FM(s− α)

(2.64)

Se 0 < α < 1 l’espressione (2.64) diventa:

M

0Dαt f(t); s

=[

0Dα−1t f(t)ts−1

]∞0

+Γ(1− s+ α)

Γ(1− s)FM(s− α) (2.65)

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48 2. Il Calcolo Frazionario

Inoltre se f(t) e <(s) sono tali che sostituiti ai limiti t = 0 e t =∞ rendononullo il primo termine della (2.64) si ottiene:

M

0Dαt f(t); s

=

Γ(1− s+ α)Γ(1− s)

FM(s− α) (2.66)

2.6.3 Trasformata di Mellin della Derivata Frazionaria di Ca-puto

La trasformata di Mellin della derivata frazionaria di Caputo, e data dallaseguente espressione:

MC0 Dαt f(t); s =M0D−(n−α)

t f (n)(t); s =

=n−1∑r=0

Γ(1− s− n+ α+ r)Γ(1− s)

[f (n−r−1)(t)ts+n−α−r−1

]∞0

+

+Γ(1− s+ α)

Γ(1− s)FM(s− α)

(2.67)

l’espressione introdotta si puo dimostrare procedendo analogamente al casoprecedente.

Se 0 < α < 1 l’espressione (2.67) diventa:

MC0 Dα

t f(t); s

=Γ(α− s)Γ(1− s)

[f(t)ts−α

]∞0

+Γ(1− s+ α)

Γ(1− s)FM(s− α)

Inoltre se f(t) e <(s) sono tali che sostituiti ai limiti t = 0 e t =∞ rendononullo il primo termine della (2.67) si ottiene:

MC0 Dα

t f(t); s

=Γ(1− s+ α)

Γ(1− s)FM(s− α) (2.68)

2.7 Alcuni Esempi di Derivate Frazionarie

Di seguito sono riportati alcuni esempi di derivata frazionaria di alcuni funzionisemplici, usate comunemente in diversi problemi fisici.

Si e pensato di restringere il campo della differintegrazione fissando l’estre-mo inferiore a = 0 e considerando ordini di differintegrazione reali.

Altri esempi con limite inferiore a = −∞ e con limite inferiore in zero sonoriportati in appendice.

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2.7 Alcuni Esempi di Derivate Frazionarie 49

2.7.1 Gradino di Heaviside

Per comprendere il significato della derivazione di ordine frazionario vieneconsiderata la funzione Gradino di Heaviside f(t) = H(t):

H(t) =

0, (t < 0)1, (t > 0)

(2.69)

Applicando la formula di Riemann-Liouville (2.24) alla H(t) si ottiene:

0Dαt H(t) =

t−α

Γ(1− α)(2.70)

0.0

0.5

1.0

t

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Α

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

DΑHHtL

Figura 2.1: Derivata Frazionaria di H(t) per t ≥ 0, a = 0 e ordine −1 < α < 1.

Il grafico della (2.70), riportato in Figura 2.1, e stato ottenuto grazie alsoftware Mathematica, inserendo la seguente riga di comando:

Plot3D[t^alpha/(Gamma[1-alpha]), t, 0, 1, alpha, -1, 1]

La Figura 2.1 mostra l’andamento della derivata frazionaria nell’intervallo0 < t < 1, al variare dell’ordine di differintegrazione α tra [−1, 1]. Si osservache per α = 0 si ha la funzione gradino, per α = 1 si ottiene la derivata prima

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50 2. Il Calcolo Frazionario

(Delta di Dirac) e per α = −1 si ottiene la primitiva di primo ordine (FunzioneRampa). Tutti i valori intermedi non interi forniscono la derivata (0 < α ≤ 1)o l’integrale (−1 ≤ α < 0) frazionario.

2.7.2 Funzione Potenza

Considerando l’espressione (2.24) si calcola la derivata frazionaria di Riemann-Liouville della seguente funzione di potenza:

f(t) = (t− a)ν (ν ∈ R). (2.71)

Scegliendo un n tale che n− 1 ≤ α ≤ n e seguendo la definizione di R-L siottiene:

aDαt f(t) =

dn

dtn[aD−(n−α)t f(t)

], (2.72)

ponendo γ = n− α si ha:

aD−γt [(t− a)ν ] =

Γ(1 + ν)Γ(1 + ν + γ)

(t− a)ν+γ , (2.73)

e infine si ottiene:

aDαt [(t− a)ν ] =

Γ(1 + ν)Γ(1 + ν − α)

(t− a)ν−α, (2.74)

la cui unica condizione e che ν > −1.

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Capitolo 3

La Viscoelasticita Lineare

I solidi hanno la caratteristica di avere forma propria, in particolare i solidi ela-stici si deformano se sottoposti a carichi esterni, ma non appena cessa l’azionedelle forze esterne ritornano alla forma iniziale. I liquidi al contrario non hannouna forma propria, quindi gli sforzi interni non dipendono dalla deformazio-ne (che tra l’altro risulta non definibile). In particolare se sono newtonianigli sforzi dipendono linearmente dalla velocita con cui viene impressa questadeformazione.

Col termine viscoelasticita si indica il comportamento di un materiale in-termedio tra solido elastico e liquido viscoso, tale comportamento e tipico deipolimeri [43], delle ossa umane, di diverse malte e resine usate nell’edilizia, dialcune famiglie di rocce [53] e degli altri materiali. Il materiale viscoelasticoquindi si caratterizza per l’avere due comportamenti asintotici, quello del solidoelastico e quello del liquido viscoso.

Nel campo dell’ingegneria civile le proprieta viscoelastiche dei materiali ri-vestono un ruolo importante, specie per la loro influenza sul comportamentoa lungo termine degli elementi strutturali. Dunque, per la caratterizzazioneviscoelastica dei materiali, e necessario introdurre la variabile temporale, pertale motivo si parlera di storia di tensione e di storia di deformazione, inol-tre, in ambito di viscoelaticita lineare, la risposta (in termini di tensione odi deformazione) al tempo generico considerato sara conseguenza di tutti glieventi precedenti che hanno interessato il materiale, in quanto rimane valido ilprincipio di sovrapposizione degli effetti.

Si puo asserire che qualsiasi materiale e oggetto di fenomeni differiti neltempo, siano essi di rilassamento (se la deformazione imposta permane neltempo) o di scorrimento viscoso (se la tensione indotta permane nel tempo),

51

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52 3. La Viscoelasticita Lineare

la differenza sta nel tempo necessario affinche si manifestino tali fenomeni chee caratteristico del singolo materiale. Naturalmente i tempi di Rilassamento edi Creep non sono influenzati solo da caratteristiche intrinseche del materiale(come il modulo elastico e la viscosita) ma anche da fattori ambientali, qua-li la temperatura e l’umidita, nonche dall’entita delle tensioni effettivamentemobilitate in condizioni di esercizio.

Il presente capitolo descrive alcuni concetti base inerenti la viscoelasticitacon particolare riferimento alla trattazione classica, basata sulla modellazionein elementi discreti (molle e pistoncini) e sulla formulazione integrale (principiodi sovrapposizione di Boltzmann), e alla viscoelasticita frazionaria, basata su unmodello matematico, detto Spring-Pot, che riesce a fornire ottime simulazioninumeriche riscontrabili dai dati sperimentali.

3.1 Il Modello Elastico (Hooke)

Il modello elastico usato per descrivere il comportamento dei solidi per asse-gnata tensione (o assegnata deformazione) si scrive nella forma:

σ = Eε (3.1)

la (3.1), nota come legge di Hooke, e il legame costitutivo dei materiali pu-ramente solidi. Tale modello e usualmente schematizzato come una molla dirigidezza E, come mostrato in Figura 3.1(a).

E(t)

(t)

(a) Molla ideale di rigidezza E

Σ

E

1 2 3 4t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0ΣHtL, ΕHtL

(b) Carico costante e risposta

Figura 3.1: Modello di Hooke.

Nella (3.1) σ e la tensione (Pascal), ε e la deformazione corrispondentementre E e il modulo elastico (Pascal), tale modulo e caratteristico del singolomateriale ma varia anche in funzione della temperatura.

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3.2 Il Modello Viscoso (Newton-Petroff ) 53

La (3.1) esprime la circostanza che per assegnato valore di tensione l’e-lemento di volume si deforma ma la deformata rimane costante nel tempo.Inoltre se dopo un incremento di carico, che porta ad un assegnato livello ditensione, si procede allo scarico, riportando l’elemento di volume allo statodi tensione iniziale, l’elemento di volume ritorna alla configurazione iniziale.Questo implica che il lavoro speso durante la fase di carico viene integralmenterecuperato durante la fase di scarico a spese dell’energia potenziale accumulatadall’elemento di volume durante la fase di carico.

3.2 Il Modello Viscoso (Newton-Petroff )

Il modello viscoso, atto a descrivere il comportamento dei fluidi, viene descrittoda una legge del tipo:

σ(t) = µε(t) (3.2)

in cui σ(t) e la storia della tensione, ε(t) e la velocita di deformazione (sec−1) eµ e una costante che dipende dalla vicosita del fluido (Pascal sec = 10 Poise).La viscosita dipende dal materiale e in genere diminuisce all’aumentare dellatemperatura.

Tale modello e usualmente schematizzato come un pistoncino in bagnod’olio come mostrato in Figura 3.2(a).

(t)

(t)

(a) Pistone ideale con coefficien-te di viscosita µ

Σ

Μ

It - t0M

1 2 3 4t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0ΣHtL, ΕHtL

(b) Carico costante e risposta

Figura 3.2: Modello di Newton-Petroff.

La (3.2), nota come legge di Newton-Petroff, mostra che σ(t) non dipende daε(t) ma dalla sua variazione temporale. L’energia spesa non viene accumulatadal fluido (che infatti non ritorna alla configurazione iniziale) e dunque vienetrasformata integralmente in calore. In altre parole un fluido viscoso fluisce inmaniera irreversibile sotto l’effetto di una sollecitazione esterna.

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54 3. La Viscoelasticita Lineare

E opportuno precisare che esistono altre famiglie di fluidi, detti non new-toniani, nei quali non viene mantenuta la linearita tra la tensione indotta σ(t)e la velocita di deformazione ε(t).

3.3 I Modelli Viscoelastici

I materiali viscoelastici hanno un comportamento intermedio fra quello del purosolido e quello del puro fluido. Tutti i materiali sono in realta viscoelastici,cioe se in un solido si applica un carico costante si osserva che nel tempo ladeformazione cresce cioe scorre (Creep) o se ai capi di un provino si imprimeuna deformazione costante la tensione decade (Rilassamento). Naturalmentetali fenomeni sono piu pronunciati per taluni materiali quali le gomme naturalio i polimeri e meno pronunciati per gli acciai.

Storicamente tale comportamento intermedio e stato schematizzato conmolle e pistoncini combinati in vario modo.

3.3.1 Il Modello di Maxwell

Il modello di Maxwell e descritto in Figura 3.3(a) ed e costituito da una molladi rigidezza E ed un pistoncino, caratterizzato da un coefficiente di viscositaµ, disposti in serie.

E(t)

e(t) (t)

(a) Molla in serie con pistoncino inbagno d’olio

ΕHtL - ΕeΕe

1 2 3 4t

0.5

1.0

1.5

2.0ΣHtL, ΕHtL

(b) Carico costante e risposta

Figura 3.3: Modello di Maxwell.

Si indichi con εe(t) l’allungamento della molla ed ε(t) sia invece l’allungamentototale. Il comportamento reologico e ottenuto dalla coppia di equazioni:

σ(t) = Eεe(t); σ(t) = µ[ε(t)− εe(t)] (3.3)

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3.3 I Modelli Viscoelastici 55

combinando le due equazioni si ha l’equazione di legame:

µσ(t) + Eσ(t) = Eµε(t) (3.4)

che riscritta in forma canonica fornisce:

σ(t) + νσ(t) = Eε(t) (3.5)

essendo:ν =

E

µ(sec−1).

A tale equazione va aggiunta la condizione della tensione all’istante t = 0(σ(0) = σ0). L’insieme della condizione iniziale e della (3.5) consente di trovarela storia di tensione a seguito della storia di deformazione impressa ε(t). Lasoluzione della (3.5) e somma della soluzione dell’omogenea associata σom(t) edell’integrale particolare σp(t) che dipende dalla storia ε(t). Ne consegue:

σ(t) = Be−νt + σp(t) (3.6)

dove B e una costante di integrazione che dipende dalla condizione iniziale σ0

e da σp(t)|t=0. Nel caso in cui si assegna ε(t) = 0, ∀t > 0, cioe si assegna unavelocita di deformazione nulla dalla condizione iniziale σ(0) = σ0, si ha:

σ(t) = σ0e−µt (3.7)

che mostra come al variare del tempo la tensione diminuisce che e cio chesi osserva sperimentalmente. La fisica di questo modello e la seguente: sesi applica una deformazione costante al provino, all’istante t = 0 la mollasi deforma con εe(0) = σ(0)

E , cioe il pistoncino si comporta come un elementorigido in quanto il fluido (incomprimibile) non ha il tempo di scorrere all’internodella camera del pistone. Al trascorrere del tempo il fluido all’interno delpistone fluisce da una camera all’altra quindi, dovendo la deformazione totalemantenersi costante, la deformazione elastica εe(t) tende a diminuire, cioe lamolla si scarica fino ad annullare il proprio stato di tensione a t = ∞. Intale fase εe(t) = 0 e il pistoncino si trovera ad avere subito uno scorrimentoall’interno della ghiera pari a ε(t).

3.3.2 Il Modello di Kelvin-Voigt

Un’altro modello usato per descrivere il comportamento viscoelastico e quellodi Kelvin-Voigt ottenuto ponendo in parallelo una molla di rigidezza E ed unpistoncino di viscosita µ come rappresentato in Figura 3.4(a).

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56 3. La Viscoelasticita Lineare

E

(t)

(t)

(a) Molla in parallelo con piston-cino

1 2 3 4t

0.050.100.150.200.250.30ΣHtL, ΕHtL

(b) Carico costante e risposta

Figura 3.4: Modello di Kelvin Voigt.

Questa volta la tensione nella molla e quella nel pistoncino sono diverse fradi loro ma la deformazione dei due elementi e identica. La tensione sulla mollaσe(t) e quella sul pistoncino σµ(t) sono date da:

σe(t) = Eε(t); σµ(t) = µε(t) (3.8)

D’altra parte per l’equilibrio deve essere

σ(t) = σe(t) + σµ(t)

se ne traeµε(t) + Eε(t) = σ(t) (3.9)

che riscritta in forma canonica fornisce:

ε(t) + νε(t) =σ(t)µ

(3.10)

La condizione iniziale e ε(0) = ε0. Se si assume σ(t) = 0 la risposta ad un’asse-gnata deformazione imposta a t = 0 fornisce ε(t) = ε0e

−νt cioe la deformazionenon piu sostenuta da incrementi di carico decade fino ad annullarsi a t =∞.

Si tornera su tali concetti piu avanti.

3.3.3 Gli Altri Modelli Classici

Aumentando il numero di elementi semplici al modello di Kelvin-Voigt si ot-tengono altri modelli piu accurati nelle simulazione del comportamento viscoe-lastico. Tali modelli vengono chiamati SLS (Standard Linear Solid) o di Zener

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3.3 I Modelli Viscoelastici 57

E1

(t)

E2

(t)

(a)

E2

(t)

E1(t)

(b)

Figura 3.5: Modelli Sandard Linear Solid o di Zener.

e sono mostrati in Figura 3.5.Il modello mostrato in Figura 3.5(a), costituito da un modello di Hooke in

parallelo con un modello di Maxwell, e caratterizzato dalla seguente equazionedifferenziale:

σ(t) + βσ(t) = αµε(t) + βE1ε(t) (3.11)

in cui

α =E1 + E2

µ, β =

E2

µ,

mentre il modello mostrato in Figura 3.5(b), ottenuto dal collegamento in seriedi un modello di Hooke con uno di Kelvin-Voigt, e caratterizzato dalla seguenteequazione differenziale:

σ(t) + ασ(t) = E1[ε(t) + βε(t)] (3.12)

in cui α e β sono uguali al modello precedente.Questi ultimi due modelli introdotti risultano qualitativamente soddisfacen-

ti ma, avendo piu parametri da calibrare con procedura di ottimizzazione perapprossimare al meglio i dati sperimentali (best-fitting), richiedono un maggioronere computazionale.

Altri modelli, relativamente piu recenti sono ottenuti combinando diversimodelli di Maxwell e di Kelvin-Voigt con modelli di Hooke, ottenendo equazionicostitutive nelle quali compaiono diversi parametri da definire. Il numero di taliparametri aumenta all’aumentare della complessita del modello. In generale la

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58 3. La Viscoelasticita Lineare

(t)

(t)

E(t)

e(t) (t)

E

(t)

(t)

E2

(t)

E1(t)

E1

(t)

E2

(t)

MODELLO DI HOOKE

E(t)

(t)

Difetta se (t)=cost

MODELLO DI

NEWTON-PETROFF

Difetta se (t)=cost

MODELLO DI MAXWELL

Difetta se (t)=cost

Adeguato se (t)=cost

MODELLO DI KELVIN-VOIGT

Difetta se (t)=cost

Adeguato se (t)=cost

MODELLO DI ZENER o SLS MODELLO DI ZENER o SLS

Adeguate simulazioni

Onere computazionale notevole

Adeguate simulazioni

Onere computazionale notevole

Figura 3.6: I modelli discreti.

relazione costitutiva di questi modelli multi-elemento e la seguente:n∑k=0

akdk

dtkσ(t) =

m∑k=0

bkdk

dtkε(t) (3.13)

nell’espressione (3.13) il numero dei parametri m e n dipende dalla complessitadel modello. Si puo osservare come le equazioni (3.5), (3.10), (3.11) e (3.12)siano casi particolari di questa equazione generale (3.13).

E opportuno precisare che l’aumentare del numero di elementi semplici nelmodello, anche se in genere ne migliora l’accuratezza, ne complica la risoluzionee spesso porta ad avere una violazione del significato fisico. Infatti puo capitare

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3.4 La Funzione di Creep e di Rilassamento 59

che si ottengano in alcuni elementi delle rigidezze o delle viscosita negative, talicondizioni sono fisicamente inaccettabili.

Inoltre le equazioni di risposta che si ottengono, essendo soluzioni di equa-zioni differenziali ordinarie, avranno certamente la forma di equazioni integralicon nuclei esponenziali. Tale forma non e riscontrabile con i dati sperimentaliche invece mostrano equazioni di legame tra la deformazione e il tempo o trala tensione e il tempo con un’andamento a legge di potenza.

In Figura 3.6 sono riportati i modelli classici introdotti. Lo schema adalbero rappresenta schematicamente l’unione degli elementi semplici che per-mette la costituzione dei modelli piu complessi. Per ogni modello viene inoltreindicata la prova per la quale si presta bene e quella per cui difetta. I modellipiu affidabili sono quelli SLS o di Zener. I modelli multi-elemento non sonoqui riportati ma sono reperibili in letteratura [14], [43].

3.4 La Funzione di Creep e di Rilassamento

La funzione di creep e la risposta in termini di deformazione ad una tensioneunitaria. Tale funzione, che nel segutio verra denotata con Ψ(t) e una funzionemonotona crescente e, in ambito di viscoelasticita lineare, poiche al cresceredella tensione la corrispondente deformazione cresce proporzionalmente, potrascriversi:

ε(t) = Ψ(t)σ0 (3.14)

essendo σ0 il livello di tensione applicato. La funzione Ψ(t) e dunque la rispostaad una storia di tensione σ(t) = H(t) e puo quindi definirsi come la funzionedi risposta ad un gradino unitario. In Figura 3.7 e riportata la storia di caricoe la corrispondente funzione Ψ(t). L’andamento di Ψ(t) dipende dal materialein esame.

La funzione di rilassamento, nel seguito denotata con Φ(t), e la contropartedella funzione di Creep ed e la storia di tensione σ(t) a seguito di una defor-mazione imposta ε0 = 1 che permane nel tempo. In ambito di viscoelasticitalineare si potra scrivere:

σ(t) = Φ(t)ε0 (3.15)

essendo ε0 il livello di deformazione applicato. Φ(t) e dunque la risposta ad ungradino unitario di deformazione ε(t) = H(t).

In Figura 3.8 e riportata la storia di deformazione e il corrispondente graficodella funzione di Rilassamento Φ(t). Tale funzione e monotona decrescente.

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60 3. La Viscoelasticita Lineare

1 2 3 4t

0.5

1.0

1.5

2.0ΣHtL

(a) Programma di Carico Imposto1 2 3 4

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

YHtL

(b) Funzione di Creep

Figura 3.7: La Funzione di Creep

1 2 3 4t

0.5

1.0

1.5

2.0ΕHtL

(a) Programma di Deformazione Imposta1 2 3 4

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4FHtL

(b) Funzione di Rilassamento

Figura 3.8: La Funzione di Rilassamento

Le due funzioni Φ(t) e Ψ(t) contengono tutte le informazioni sul compor-tamento viscoelastico di un qualunque materiale. E utile osservare che Φ(t) eΨ(t) sono funzioni positive ∀t ≥ 0, mentre sono nulle per t < 0.

3.4.1 Il Principio di Sovrapposizione di Boltzmann

Si consideri l’esperimento di Creep, imponendo adesso un programma di caricocome quello descritto in Figura 3.9(a).All’istante t = t1 si ha σ(t) = σ1H(t − t1), mentre per ogni t > t2 la tensionetotale sia σ1 + σ2 e, dunque, la storia di carico complessiva e:

σ(t) = σ1H(t− t1) + σ2H(t− t2) (3.16)

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3.4 La Funzione di Creep e di Rilassamento 61

t1 t1+t2t

Σ1

Σ1+Σ2

ΣHtL

(a) σ(t)t1 t1+t2

t

ΕHtL

(b) ε(t)

Figura 3.9: Programma di Carico e Risposta

poiche Ψ(t) e definita solo per t ≥ 0, allora la risposta della (3.16) al programmadi carico descritto in Figura 3.9(a) per ogni t : t1 < t < t2 e dato da:

ε(t) = σ1Ψ(t− t1) (3.17)

mentre per ogni t > t2 si ha la sovrapposizione di due contributi:

ε(t) = σ1Ψ(t− t1) + σ2Ψ(t− t2) (3.18)

La (3.18) e valida per l’ipotesi di linearita del sistema, e poiche Ψ(t) 6= 0 soloper t ≥ 0 e dunque Ψ(t− ti) con ti = t1, t2 e diversa da zero solo per t ≥ t1.

Infine il programma di carico prevede n gradini agli istanti t1, t2, . . . , tn−1

di ampiezza σ1, σ2, . . . , σn la (3.18) potra scriversi nella forma:

ε(t) =n∑j=1

σjΨ(t− tj) (3.19)

Se il programma di carico e una funzione continua, si avra che discretiz-zando il programma di carico ad intervalli di ampiezza ∆t gli incrementi ditensione σj saranno pari a ∆σ. Tale situazione e mostrata in Figura 3.10, neconsegue dunque che al limite per ∆t → 0, ∆σ → dσ(t) e, dunque, la (3.19)diventa l’integrale di Boltzmann:

ε(t) =∫ t

0dσ(τ)Ψ(t− τ) =

∫ t

0σ(τ)Ψ(t− τ) dτ. (3.20)

Se all’istante t = 0 si ha un valore di tensione applicata diversa da zero,pari a σ(0) = σ0, la risposta complessiva sara data dalla seguente espressione:

ε(t) =∫ t

0σ(τ)Ψ(t− τ) dτ + σ0Ψ(t). (3.21)

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62 3. La Viscoelasticita Lineare

DtDΣHtL

t + Dtt

1 2 3 4t

1

2

3

4

5

6

7ΣHtL

(a) Funzione di Carico Generica1 2 3 4

t

2

4

6

8

10

12

ΕHtL

(b) Risposta Corrispondente

Figura 3.10: Programma di Carico Generico

La (3.20) e un integrale di convoluzione (o faltung) ed esprime la circostanzache la deformazione attuale dipende da tutta la storia di carico a partire daun materiale vergine. In pratica l’idea di Boltzmann e quella di assumere cheil materiale ha memoria degli eventi che lo hanno interessato, quindi la rispo-sta meccanica ad un tempo generico considerato e funzione di tutta la storiaprecedente. Tale teoria, nota come formulazione integrale della viscoelasticitalineare fu ripresa all’inizio del ventesimo secolo da V. Volterra e approfonditaintorno al 1965 da Benvenuti.

Analogo ragionamento puo essere fatto a partire dalla funzione di rilassa-mento ottenendo la storia di tensione in funzione della storia di deformazione:

σ(t) =∫ t

0ε(τ)Φ(t− τ) dτ + ε0Φ(t) (3.22)

essendo ε(0) = ε0 il valore della deformazione imposta a t = 0.D’altra parte Φ(t) e Ψ(t) devono essere legate fra loro, per metter in luce tale

legame si pensi ad una storia di carico con condizioni iniziali nulle di tensionee di deformazione. E possibile ipotizzare di effettuare una storia di carico σ(t)qualunque (con σ0 = 0), a tale storia di carico si avra una corrispondente storiadi deformazione definita da (3.20). Si pensi adesso di effettuare la derivata diε(t) corrispondente a σ(t) e introdurla nella (3.22), si otterra cosı la σ(t) chesara naturalmente proprio la storia di tensione che aveva determinato ε(t). Neconsegue che effettuando la trasformata di Laplace della (3.21) e (3.22), conσ0 = 0 e ε0 = 0, si ottiene:

ΨL(s)ΦL(s) =1s2

(3.23)

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3.4 La Funzione di Creep e di Rilassamento 63

essendo ΨL(s) e ΦL(s) le trasformate di Laplace delle funzioni di Creep e diRilassamento, rispettivamente. Tale fondamentale relazione esprime la cir-costanza che Ψ(t) e Φ(t) sono funzioni legate l’una all’altra nel dominio diLaplace. Ne consegue che se attraverso prove sperimentali viene determinataΨ(t), la funzione Φ(t) e determinata di conseguenza e viceversa.

3.4.2 La Funzione di Creep e di Rilassamento per il Modellodi Maxwell

Assumendo una deformazione ε(t) = H(t) e quindi ε(t) = δ(t), nell’equazionedi Maxwell (3.5) si ottiene che la storia di tensione per tale programma dideformazione e σ(t) = Φ(t) e dunque la funzione di Rilassamento si ottienedall’equazione differenziale:

Φ(t) + νΦ(t) = Eδ(t) (3.24)

cui va associata la condizione iniziale

Φ(0) = σ0 = E

e quindiΦ(t) = Ee−νt.

La legge di Creep si puo ottenere dalla (3.23) e fornisce:

Ψ(t) =ν

Et+

1E,

pertanto gli integrali di Boltzmann per il modello di Maxwell si scrivono nellaforma:

σ(t) = E

∫ t

0e−ν(t−τ)ε(τ) dτ (3.25)

ε(t) =ν

E

∫ t

0

[(t− τ) +

]σ(τ) dτ (3.26)

In Figura 3.11 e riportata la legge di Φ(t) e Ψ(t) per il modello di Maxwell.Da tale figura si puo osservare che la funzione di Rilassamento decade con leggeesponenziale, che qualitativamente descrive il comportamento osservato speri-mentalmente, ma la fase di Creep e totalmente discosta dal comportamentodel materiale sotto carico costante. Se ne trae che il modello di Maxwell einconsistente.

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64 3. La Viscoelasticita Lineare

0 1 2 3 4t

E

FHtL

(a) Funzione di Rilassamento0 1 2 3 4

t

1

E

YHtL

(b) Funzione di Creep

Figura 3.11: Funzione di Rilassamento e di Creep per il modello di Maxwell

Si osservi inoltre che la (3.28) e un integrale di convoluzione con nucleoesponenziale. Tale forma di nucleo e comune a tutte le equazioni differenzia-li ordinarie. Cioe ad equazioni differenziali ordinarie corrispondono semprelegami σ − ε con nuclei esponenziali.

3.4.3 La Funzione di Creep e di Rilassamento per il Modellodi Kelvin-Voigt

Procedendo analogamente al caso precedente, si assuma una tensione σ(t) =H(t) effettuando stavolta una prova di Creep. Ricorrendo all’equazione diKelvin-Voigt (3.10) e tenendo conto che in questo caso la storia di deformazionerappresenta la funzione di Creep ε(t) = Ψ(t), si ottiene la seguente equazionedifferenziale:

Ψ(t) + νΨ(t) =H(t)µ

(3.27)

imponendo la condizione iniziale seguente:

Ψ(0) = ε0 = 0

si ottiene:Ψ(t) =

1E

(1− e−νt); ∀t ≥ 0.

Ricordando l’equazione di legame tra le trasformate delle due funzioni neldominio di Laplace (3.23) si ricava la funzione di Rilassamento:

Φ(t) = E

[1 +

δ(t)ν

],

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3.5 I Modelli di Ordine Frazionario 65

gli integrali di Boltzmann per il modello di Kelvin-Voigt assumono la seguenteforma:

σ(t) = E

∫ t

0

[1 +

1νδ(t− τ)

]ε(τ) dτ (3.28)

ε(t) =1E

∫ t

0

[1− e−ν(t−τ)

]σ(τ) dτ (3.29)

In Figura 3.12 e riportata la legge di Φ(t) e Ψ(t) per il modello di Kelvin-Voigt.

0 1 2 3 4t

E

FHtL

(a) Funzione di Rilassamento0 1 2 3 4

t

5

10

15

20YHtL

(b) Funzione di Creep

Figura 3.12: Funzione di Rilassamento e di Creep per il modello di Kelvin-Voigt

In questo caso la funzione di Creep cresce con legge esponenziale, mostrandoun andamento qualitativamente accettabile, ma la funzione di Rilassamentomantenendosi costante, non trova riscontro con l’evidenza sperimentale. Neconsegue che anche il modello di Kelvin-Voigt e inconsistente.

3.5 I Modelli di Ordine Frazionario

Nei paragrafi precedenti si e osservato come i modelli classici non riescanoad esprimere con completezza il comportamento viscoelastico dei materiali.Infatti la prova a tensione costante, che permette di studiare il fenomeno delCreep, e ben interpretata dal modello di Kelvin-Voigt che risulta inefficace nellasimulazione del fenomeno del Rilassamento. Viceversa il modello di Maxwellinterpreta bene il Rilassamento ma fallisce per la simulazione del Creep. Questocomporta, a meno di ricorrere a complicati modelli multi-elemento, una doppiamodellazione per la descrizione piena del comportamento dello stesso materiale(sottoposto pero a prove differenti). Tale fatto risulta inaccettabile, in quantonon si puo pensare che lo stesso materiale si comporti in maniera differente nelle

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66 3. La Viscoelasticita Lineare

due prove. Tra l’altro se si utilizza come legge di Creep quella del modello diMaxwell e come legge di Rilassamento quella ottenuta con la modellazione diKelvin-Voigt si viola il legame nel dominio di Laplace.

3.5.1 L’esperienza di Nutting

Il processo che ha portato alla modellazione del fenomeno viscoelastico conl’ausilio del calcolo frazionario e stato lungo. Esso ha riguardato alcune decinedi anni di studio e coinvolto diversi scienziati. Probabilmente lo spunto atale approccio innovativo al problema e stato dato da P. G. Nutting, la cuiesperienza [28], certamente degna di nota, viene di seguito riportata.

Intorno al 1921, Nutting incentro la sua attenzione sullo studio del compor-tamento viscoelastico dei materiali. Egli condusse diversi esperimenti che loportarono ad asserire che le due equazioni utilizzate per descrivere i solidi per-fettamente elastici e i fluidi perfettamente viscosi, all’apparenza completamentedifferenti, fossero in realta casi particolari di un’unica legge generale. Inoltre dalbest-fitting dei dati sperimentali si accorse che il legame deformazione-tempo,non era descritto bene da leggi in cui la dipendenza dalla variabile temporaleera data da una funzione di tipo esponenziale (cosı come ottenuto dai modelliclassici), bensı la curva che interpolava bene i punti doveva necessariamenteessere una legge di potenza.

La sperimentazione fornı due tipologie di curve, una dello spostamento u infunzione del tempo t e una dello spostamento in funzione della forza applicataF (a tempo costante).Le curve spostamento-tempo u− t mostrarono un legame di proporzionalita tralo spostamento e l’ennesima potenza della variabile temporale tn; cio implicavauna relazione di linearita tra il logaritmo dello spostamento e il logaritmo deltempo, ovvero:

log u ∝ log t

inoltre n risulto indipendente dal valore della forza.Dalle curve spostamento-forza u − F e stata tratta una relazione simile allaprecedente:

log u ∝ logF

quindi lo spostamento risulto proporzionale all’emmesima potenza della forzaapplicata Fm.

In virtu delle suddette osservazioni Nutting propose una legge di potenzain grado di esprimere il legame tra le tre grandezze in gioco u, F e t. Tale

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3.5 I Modelli di Ordine Frazionario 67

legge, di natura prettamente empirica, con struttura matematica semplice e divalidita generale, e di seguito riportata:

u = atnFm (3.30)

essa esprime la legge di variazione dello spostamento in funzione del tempo alvariare della forza applicata. I termini n e m, caratteristici del singolo mate-riale, sono indipendenti da u, t, F e dalla geometria del provino ma risultanovariabili al variare della temperatura. La costante a risulta invece indipendenteda u, t e F , ma dipendente dalla tipologia di prova.

E utile osservare come la legge di Hooke, espressa in (3.1), sia un casoparticolare della (3.30) con n = 0 e m = 1, mentre l’equazione di governo deifluidi viscosi secondo Newton-Petroff (3.2) e esprimibile a partire dalla (3.30)imponendo n = m = 1. Nutting dalle prove sperimentali osservo inoltre che ivalori di n oscillavano tra 0, 2÷0, 91, mentre quelli di m tra 0, 75÷3, 5. Valori din prossimi allo zero erano caratteristici di materiali con comportamento solido,mentre valori prossimi all’unita denotavano un comportamento piu simile allostato liquido.

L’esperimento di Nutting e la sua osservazione mostrarono come i modelliclassici, anche i piu complessi ed elaborati, ottenuti come successioni di modellisemplici di Maxwell e di Kelvin-Voigt, nei quali la risposta era sempre legatada una relazione di tipo esponenziale con la variabile temporale, non eranoadeguati a simulare il reale comportamento dei materiali. Nacque dunque lanecessita di ricercare delle funzioni di Creep e di Rilassamento che avesserouna struttura matematica diversa e che fossero in grado di fornire al contemposia la risposta a tensione imposta sia quella a deformazione impressa, senzaviolare il legame nel dominio di Laplace introdotto in (3.23).

A. N. Gemant tra il 1936-1938, sulla base di ulteriori dati sperimentali,suggerı di ricorrere alle derivate frazionarie per la descrizione accurata delcomportamento di alcuni materiali [16], [17].

3.5.2 Lo Spring-pot

Intorno agli anni ’50 del secolo scorso Scott Blair G. W. e Caffyn J. E. [40],nel voler ricercare una legge matematica che giustificasse i risultati di Nutting,introdussero un legame tensione-deformazione basato sulla derivata frazionaria.

Il problema dei modelli discreti, introdotti nei paragrafi precedenti, e dovutoal fatto che per ottenere un livello di approssimazione accettabile essi devonodiventare strutture molto complicate di difficile trattazione, inoltre la soluzione

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68 3. La Viscoelasticita Lineare

porta sempre ad una forma esponenziale della funzione di risposta, in antitesicon l’esperienza di Nutting che invece propone un modello con legge di potenza.

Il modello alle derivate frazionarie (FDM fractional differential model) con-sente una maggiore flessibilita con un minor numero di parametri concentratida calibrare, il che si traduce in una semplificazione notevole. La flessibilita ditale modello e data dal fatto che l’ordine di derivazione puo variare al fine diottenere una legge costitutiva adatta al materiale in questione.

Nei solidi elastici lo sforzo e proporzionale alla derivata di ordine zero delladeformazione, mentre per i liquidi lo sforzo e proporzionale alla derivata primadella deformazione, quindi risulta naturale supporre che per i materiali viscoe-lastici lo sforzo sia proporzionale alla derivata di ordine reale, intermedio tra 0e 1, della deformazione nel tempo. Tale ipotesi porto a concepire un modellomatematico detto Spring-Pot la cui rappresentazione schematica e mostrata inFigura 3.13.

C ,

(t)

(t)

Figura 3.13: Lo Spring-Pot.

L’equazione di governo dello Spring-Pot proposta da Scott Blair [40], [41],[42], e la seguente:

σ(t) = E 0Dαt ε(t), (0 ≤ α ≤ 1) (3.31)

in cui α e E sono costanti dipendenti dal materiale.Successivamente A. N. Gerasimov suggerı un’analoga espressione per gene-

ralizzare la legge base della deformazione, ricorrendo alla derivata frazionariadi Caputo:

σ(t) = k C−∞Dα

t ε(t), (0 ≤ α ≤ 1) (3.32)

in cui k e una costante del materiale che puo essere vista come una viscositageneralizzata. E utile precisare che l’espressione di Scott-Blair (3.31) e quella

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3.5 I Modelli di Ordine Frazionario 69

di Gerasimov (3.32) sono coincidenti se si parte da condizioni iniziali nulle,ovvero se si impone che ε(t) = 0 per ∀ t ≤ 0.

Un’altra formulazione della legge di deformazione e stata proposta da G.L. Slonimsky [44]:

ε(t) =1k

0D−αt σ(t), (0 ≤ α ≤ 1) (3.33)

in cui compare l’integrale frazionario di Riemann-Liouville 0D−αt , partendo dacondizioni iniziali nulle anche quest’espressione e equivalente a quella prece-dentemente introdotta da Scott Blair.

Quindi generalizzando si puo scrivere che:

σ(t) = CαC0 Dα

t ε(t), (0 ≤ α ≤ 1) (3.34)

e viceversa che:

ε(t) =1Cα

0Iαt σ(t), (0 ≤ α ≤ 1) (3.35)

in cui Cα e α possono essere ottenuti da un best-fitting dei dati sperimentali.Anche se lo Spring-Pot risulta essere un modello analitico per simulare

il comportamento viscoelastico manca di una completa interpretazione fisica.Mentre nei modelli classici era possibile distinguere il contributo della fasesolida da quello della fase fluida, nello Spring-Pot tale distinzione non risultasemplice. Infatti il termine Cα, coefficiente di proporzionalita tra la tensione ela derivata frazionaria della deformazione, manca di una definizione fisica, nonrappresentando ne un modulo elastico ne una viscosita, l’unica cosa che si puoaffermare e che tale coefficiente deve rispettare la seguente uguaglianza:

Cα = Eηα (3.36)

in cui E e il modulo elastico (Pascal) e η e un tempo caratteristico del mate-riale (sec).Alcuni studi per ricercare il significato fisico del modello frazionario sono staticondotti da R. L. Bagley e P. J. Torvik [2], [3], [5].

3.5.3 La Formulazione Integrale del Modello Frazionario

In questa sezione verra mostrato come a partire dal principio di sovrapposi-zione di Boltzmann sia possibile pervenire al modello spring-pot descritto inprecedenza. A tal fine si assuma che la funzione di rilassamento, che costituisce

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70 3. La Viscoelasticita Lineare

il nucleo dell’integrale di Boltzmann, segua una legge di potenza in grado diapprossimare bene i dati sperimentali, per cui:

Φ(t) ∝ t−α, (0 ≤ α ≤ 1) (3.37)

ovveroΦ(t) = ναt

−α, (0 ≤ α ≤ 1) (3.38)

il termine να va scelto opportunamente in modo da ottenere con la formulazioneintegrale un risultato uguale alla (3.34); per cui ricordando la definizione diderivata frazionaria di Caputo, introdotta in (2.33), si deve avere che per laprova di rilassamento:

να =Cα

Γ(1− α)(3.39)

per cui

Φ(t) =Cα

Γ(1− α)t−α =

E

Γ(1− α)

(t

η

)−α(3.40)

l’espressione (3.40) sostituita al nucleo dell’integrale di Boltzmann (3.22) for-nisce:

σ(t) =Cα

Γ(1− α)

∫ t

0ε(τ)(t− τ)−α dτ = Cα

C0 Dα

t ε(t) (3.41)

che restituisce appunto l’espressione (3.34). Cioe se si assume nell’integrale diBoltzmann il nucleo con legge di potenza si perviene direttamente al legame co-stitutivo che coinvolge la derivata frazionaria di Caputo predetto da Gerasimove non la derivata di Riemann-Liouville come suggerito da Scott Blair.

D’altra parte una volta assegnata la funzione di rilassamento si puo de-terminare la funzione di creep attraverso la (3.23). A tal fine effettuando latrasformata di Laplace di Φ(t) data dalla (3.40) si ottiene:

ΦL(s) = Cαsα−1 (3.42)

ricordando la (3.23) si ottiene la funzione di Creep nel dominio di LaplaceΨL(s):

ΨL(s) =1

Cαsα+1(3.43)

effettuando l’antitrasformata si ottiene:

Ψ(t) = L−1ΨL(s); t =1

CαΓ(1 + α)tα =

1E Γ(1 + α)

(t

η

)α(3.44)

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3.5 I Modelli di Ordine Frazionario 71

l’espressione (3.44) sostituita al nucleo dell’integrale di Boltzmann (3.20) for-nisce:

ε(t) =1

CαΓ(1 + α)

∫ t

0σ(τ)(t− τ)α dτ (3.45)

integrando per parti e ricorrendo alla proprieta della gamma di Eulero intro-dotta in (1.5) si ottiene:

ε(t) =1

Cα α Γ(1 + α)

∫ t

0σ(τ)(t− τ)α−1 dτ

=1

CαΓ(α)

∫ t

0σ(τ)(t− τ)α−1 dτ =

1Cα

0Iαt σ(t)(3.46)

che coincide con il modello proposto da Slominsky [44].E opportuno osservare che la scelta di una legge di potenza per la descri-

zione della funzione di Rilassamento ha permesso di simulare, con l’ausilio diun unico modello caratterizzato dai soli parametri Cα e α, anche la prova diCreep. Questo rappresenta il notevole vantaggio che si ha utilizzando il modellofrazionario rispetto ai modelli classici in cui compaiono le derivate intere.

3.5.4 I Modelli Generalizzati

Una volta introdotto lo Spring-Pot si dispone di un elemento in piu per simulareil comportamento reologico dei materiali viscoelastici. Per esempio il modellogeneralizzato di Maxwell si ottiene sostituendo al pistoncino lo Spring-Pot,ottenendo la seguente equazione differenziale a 3 parametri (α, a1 e b0):

σ(t) + a1Dασ(t) = b0ε(t). (3.47)

Il modello di Kelvin-Voigt generalizzato, anch’esso a 3 parametri (α, b0 e b1),e governato dalla seguente equazione differenziale:

σ(t) = b0ε(t) + b1Dαε(t). (3.48)

Analogamente ai casi precedenti si possono generalizzare anche gli altrimodelli classici, per esempio il modello generalizzato di Zener e detto a 5parametri (α, β, a1, b0 e b1) e l’equazione base ha la seguente forma:

σ(t) + a1Dασ(t) = b0ε(t) + b1Dβε(t), (3.49)

l’evidenza sperimentale suggerisce che in genere α = β. Oltre all’evidenzasperimentale R. L. Bagley e P. J. Torvik dimostrarono con considerazioni

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72 3. La Viscoelasticita Lineare

inerenti la termodinamica che il modello a 5 parametri doveva avere α = β,tale osservazione permise di semplificare il modello rendendolo a 4 parametri:

σ(t) + a1Dασ(t) = b0ε(t) + b1Dαε(t), (α, a1, b0 e b1) (3.50)

tale modello fornisce una descrizione soddisfacente della maggior parte deimateriali.

Sostituendo nell’equazione (3.13) alle derivate di ordine intero le derivatefrazionarie si ottiene l’equazione differenziale frazionaria di governo dei modellimulti-elemento generalizzati :

n∑k=0

akDαkσ(t) =m∑k=0

bkDβkε(t), (3.51)

in cui spesso puo risultare che n = m e αk = βk.

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Appendice A

Tabelle sulle Trasformate

A.1 Trasformate di Laplace

f(t) Lf(t); s Validita

δ(t) 1 s ∈ C

δ(t− a) e−as s ∈ C

H(t) 1s <(s) > 0

e−at 1s+a <(s) > −<(a)

t 1s2

<(s) > 0

tn n!sn+1 <(s) > 0, n ∈ N

sin(ωt) ωs2+ω2 s > |=(ω)|

cos(ωt) ss2+ω2 ω ∈ R

73

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74 A. Tabelle sulle Trasformate

sinh(ωt) ωs2−ω2 s > |=(ω)|

cosh(ωt) ss2−ω2 s > |<(ω)|

eat sin(bt) b(s−a)2+b2

s > a+ |=(b)|

eat cos(bt) s−a(s−a)2+b2

b ∈ R

A.2 Trasformate di Fourier

Le trasformate riportate di seguito sono ottenute ricorrendo alla definizione(1.65).

f(t) Ff(t); s

1 2πδ(ω)

H(t) jω + πδ(ω)

δ(t) 1

δ(t− t0) ejωt0 = cos(ωt0) + j sin(ωt0)

sin(t) jπ[δ(ω − 1)− δ(ω + 1)]

cos(t) π[δ(ω − 1) + δ(ω + 1)]

sin(at) jπ[δ(ω − a)− δ(ω + a)]

cos(at) π[δ(ω − a) + δ(ω + a)]

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A.3 Trasformate di Mellin 75

e−at 2πδ(ω + ja)

eat 2πδ(ω − ja)

e−a|t| 2aa2+ω2

e−t2

e−ω2

4√π

e−at2

e−ω2

4a√

πa

11+t je−jωπ Sign(ω)

1(1+t)α

e−j2απ+j|ω|π|ω|(α−2)(|ω|−ω)

Γ(α)

e−t2

sin(t) j√π

2 [sinh(ω) + cosh(ω)− 1]

cosh[

(1+ω)2

4

]− sinh

[(1+ω)2

4

]e−t

2cos(t) π

√2

e14

cosh(ω2

)[cosh

(ω2

4

)− sinh

(ω2

4

)]

A.3 Trasformate di Mellin

f(t) Mf(t); s Striscia Fondamentale

δ(t− a) as−1 (−∞, ∞), a ∈ R

H(t− a) −as

s (−∞, 0), a > 0

H(a− t) as

s (0, ∞), a > 0

tαH(t− a) −aα+s

α+s <(α+ s) < 0, a > 0

tαH(a− t) aα+s

α+s <(α+ s) > 0, a > 0

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76 A. Tabelle sulle Trasformate

e−t Γ(s) (0, ∞)

e−t − 1 Γ(s) (−1, 0)

e−t − 1 + t Γ(s) (−2, −1)

e−t2 1

2Γ(s2

)(0, ∞)

e−at a−sΓ(s) (0, ∞), <(a) > 0

11+t

πsin(πs) (0, 1)

11+t2

π

2 sin(πs2

) (0, 2)

log(1 + t) 12Γ(s2

)(−1, 0)

1(1+t)α

Γ(s)Γ(α−s)Γ(s) = β(s, α− s) (0, α), α > 0

sin(t) Γ(s) sin(πs2

)(−1, 1)

cos(t) Γ(s) cos(πs2

)(0, 1)

log(1 + t) πs sin(πs) (−1, 0)

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Appendice B

Tabelle sulle DerivateFrazionarie

L’operazione di differintegrazione non sempre risulta di semplice risoluzione espesso si ricorre a software specifici. Di seguito sono riportate le derivate frazio-narie di Riemann-Liouville di alcune funzioni semplici usate frequentemente.

L’ordine di derivazione scelto e appartenente ai reali (α ∈ R), per cui sosti-tuendolo con −α si ottiene di conseguenza l’integrale frazionario di Riemann-Liouville. Si sono considerati due casi, il primo con limite inferiore di deriva-zione a −∞ e il secondo con limite inferiore in zero.

B.1 Derivate di Riemann-Liouville con a = −∞

f(t) −∞Dαt f(t), (t > 0, α ∈ R)

H(t− b)

(t−b)−αΓ(1−α) , (t > b)

0, (0 ≤ t ≤ b)

H(t− b)f(t)

bDα

t f(t), (t > b)0, (t ≤ b)

eλt λαeαt (λ > 0)

77

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78 B. Tabelle sulle Derivate Frazionarie

eλt+µ λαeαt+µ (λ > 0)

sin(λt) λα sin(λt+ πα

2

)(λ > 0, α > −1)

cos(λt) λα cos(λt+ πα

2

)(λ > 0, α > −1)

B.2 Derivate di Riemann-Liouville con a = 0

f(t) 0Dαt f(t), (t > 0, α ∈ R)

H(t) (t)−α

Γ(1−α)

H(t− b)

(t−b)−αΓ(1−α) , (t > b)

0, (0 ≤ t ≤ b)

H(t− b)f(t)

bDα

t f(t), (t > b)0, (0 ≤ t ≤ b)

δ(t) t−α−1

Γ(−α)

tη Γ(η+1)Γ(η+1−α) t

η+α (η > −1)

eλt t−αE1,1−α(λt)

cosh (√λt) t−αE2,1−α(λt2)

sinh (√λt)√

λtt1−αE2,2−α(λt2)

ln (t) t−α

Γ(1−α)

(ln(t) + ψ(1)− ψ(1− α)

)tγ−1 ln (t) tγ−α−1Γ(γ)

Γ(γ−α)

(ln(t) + ψ(γ)− ψ(γ − α)

)(<(γ) > 0)

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Appendice C

Comandi in Mathematica©

C.1 Funzioni Speciali

Funzione Gamma di Eulero

Gamma[x]Gamma[x+I*y]Plot[Gamma[x],x,...,...]Plot3D[Abs[Gamma[x+I*y]],x,...,...,y,...,...]

Funzione Beta di Eulero

Beta[z, om]

Funzione di Mittag-Leffler

ML[z_]=Sum[(z^k)/(Gamma[a*k+1]),k,0,Infinity]ML[z_]=Sum[(z^k)/(Gamma[a*k+b]),k,0,Infinity]

Funzione di Wright

W[z_]=Sum[(z^k)/(k!Gamma[a*k+b]),k,0,Infinity]

C.2 Funzioni di Bessel

Funzioni di Prima e Seconda Specie

I[z_]=BesselJ[n, z]

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80 C. Comandi in Mathematica©

Y[z_]=BesselY[n, z]

Funzioni di Hankel

H1[z_]=HankelH1[n, z]H2[z_]=HankelH2[n, z]

Funzioni Modificate

I[z_]=BesselI[n, z]K[z_]=BesselK[n, z]

C.3 Trasformate Integrali

Trasformata e Antitrasformata di Laplace

F[s_]=LaplaceTransform[f(t),t,s]f[t_]=InverseLaplaceTransform[F[s],s,t]

Trasformata e Antitrasformata di Fourier

Fe[om_]=Sqrt[2*Pi]FourierTransform[f(t),t,om]f[t_]=Sqrt[(2*Pi)^(-1)]InverseFourierTransform[Fe[om],om,t]

Trasformata e Antitrasformata di Mellin

Fm[s_]=Integrate[f(t)t^(s-1),t,0,Infinity,Assumptions->-a<Re[s]<-b]

f[t_]=1/(2*Pi*I)*Integrate[Fm[s]t^(-s),s,Re[s]-I*Infinity,Re[s]+I*Infinity]

C.4 Differintegrali

Grunwald-Letnikov

Limit[(((t-a)/N)^alfa)/(Gamma[-alfa])*Sum[(Gamma[r-alfa])/(Gamma[r+1])*f[t-(r(t-a)/N)],r,0,N-1],N->Infinity]

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C.4 Differintegrali 81

Riemann-Liouville

1/(Gamma[-alfa])Integrate[(t-tau)^(-alfa-1)f[tau],tau,a,t]

Caputo

1/(Gamma[alfa-n])Integrate[(t-tau)^(-alfa+n-1)Dt[f[tau],tau,n],tau,a,t]

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83

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