Calcolo combinatorio

E’ una branca della matematica che si occupa di contare gli oggetti di un insieme finito.

Tipica domanda: Quanti sono…? Per rispondere a domanda di questo tipo,

utilizziamo vari modelli. Una volta scelto il modello giusto, i metodi di

base sono basati su due principi: il principio additivo e il principio moltiplicativo.

Principi fondamentali

Principio additivo: se A e B sono due insiemi finiti disgiunti, allora la cardinalità della loro unione è la somma delle loro cardinalità: in altri termini:

).()()( BCardACardBACard

Principio additivo - Seconda versione

Se però A e B non sono disgiunti, il principio non vale più nella stessa forma, in quanto nel computo di Card(A)+Card(B) gli elementi dell’intersezione sono contati due volte.

Il principio diviene allora il seguente: Se A e B sono insieme finiti, allora:

)()()()( BACardBCardACardBACard

Principio additivo, seconda versione: un esempio

In figura, A (rettangolo in basso a sinistra) ha 10 elementi, B (rettangolo in alto a destra) ne ha 9.

A e B hanno 4 elementi in comune (rettangolo verde), per cui l’unione di A e di B ha 10+9-4=15 elementi

Principio additivo: un esempio

• In una classe di 30 studenti vengono fatti due test per l’ammissione all’anno successivo.

• E’ ammesso chi supera almeno un test.• Il primo test è superato da 16 studenti• Il secondo test è superato da 14 studenti. • Solo 8 superano entrambi i test.• Quanti studenti sono ammessi all’anno successivo?

Risposta: 16+14-8=22.

Il Principio moltiplicativo

Principio moltiplicativo. Il numero delle sequenze a1,…,an dove:

a1 varia in un insieme di k1 elementi;

a2 varia in un insieme di k2 elementi,…,

an varia in un insieme di kn elementi è

k1 . k2 …. . kn

.

Principio moltiplicativo: illustrazione grafica

a1a2

b1 b2b3

b1 b3b2

c1c2 c1 c2 c1 c2

c1c2 c1

c2 c1 c2

Il primo elemento varia in due modi (a1 e a2),

il secondo in tre modi (b1, b2 e b3).

Il terzo in due modi (c1 e c2). Le sequenze che si leggono scendendo lungo i rami sono 2.3.2=12

Il principio moltiplicativo: esempi

• Quante targhe si possono fare con 2 lettere dell’alfabeto inglese seguite da 3 cifre e poi ancora 2 lettere dell’alfabeto inglese?

• R. 26 . 26 . 10 . 10 . 26 . 26=45697600• E se si usassero invece 7 lettere dell’alfabeto

italiano il numero di targhe aumenterebbe?• Risposta. Si, si otterrebbero 217 =1801088541

targhe.

Problemi

Quante sono le terne di lettere (anche prive di senso) che precedono la parola LIO nell’ordine lessicografico?

Risposta: Le possibilità sono: la prima lettera precede L (9 casi) e le altre sono arbitrarie (21 .21 casi)

oppure la prima è L (1 caso), la seconda precede I (8 casi) e la terza è arbitraria (21 casi)

o infine le prime due sono LI e la terza precede O (12 casi).

Totale: 9 .21 .21+8 .21+12=4149 possibilità.

Problemi

Viene lanciato per tre volte un dado. Quanti sono gli esiti dei tre lanci che hanno come somma 13?

Risposta: ripartiamo gli esiti a seconda dell’esito del primo dado.

Se il primo uscito è 1, vi è una sola possibilità per gli altri 2, cioè 6 e 6.

Se il primo è 2 vi sono 2 possibilità per gli atri 2, cioè 5 e 6 oppure 6 e 5.

Se il primo è 3 le possibilità sono 3, ossia: 6 e 4, 4 e 6 o 5 e 5. Etc. etc.

In totale le possibilità sono 1+2+3+4+5+6=21.

Problemi

Da un’urna contenente i numeri da 1 a 90 si estraggono 3 numeri senza reimbussolamento. Quante sono le estrazioni in cui i primi due estratti sono numeri pari?

Risposta: il primo varia in 45 modi (tutti i pari). Il secondo varia in 44 modi (i pari meno il primo). Il terzo in 88 modi (tutti salvo i primi due). Totale: 45.44.88=174240.

Le 4 figure fondamentali della combinatoria

Disposizioni semplici:Ordine SI Ripetizioni NO

(L’ordine conta; non sono ammesse ripetizioni)

Combinazioni semplici:Ordine NO Ripetizioni NO

(L’ordine non conta e non sono ammesse ripetizioni)

Disposizioni con ripetizioni:

Ordine SI Ripetizioni SI

(L’ordine conta e sono ammesse ripetizioni)

Combinazioni con ripetizioni:Ordine NO Ripetizioni SI

(L’ordine non conta e sono ammesse ripetizioni)

Disposizioni semplici

• Sono raggruppamenti di k oggetti presi da un insieme di n oggetti senza ripetizioni ma tenendo conto dell’ordine.

• Il numero delle disposizioni di k oggetti di un insieme di n oggetti si indica con D(n,k).

• Per il Principio Moltiplicativo ha: • D(n,k)=n(n-1)…(n-k+1).• Posto n!=1.2.3.…. (n-1).n, si ha anche: D(n,k)=n! : (n-k)!

Esempi

Ad una gara partecipano 10 atleti. Quante sono le possibili salite sul podio (primo, secondo e terzo?)

Risposta: D(10,3)=10 . 9 . 8=720 Quanti sono i possibili allineamenti alla

partenza delle 10 contrade su 17 che parteciperanno al Palio del 2020?

Risposta: D(17,10)=70572902400.

Problema

Quante sono le funzioni iniettive da un insieme A di m elementi ad un insieme B di n elementi, con mn?

Risposta: D(n,m). Siano a1,…,am gli elementi di A. Per scegliere una funzione iniettiva f da A a B devo determinare f(a1),…,f(am).

f(a1) lo posso scegliere in n modi diversi (tanti quanti gli elementi di B). f(a2) deve essere diverso da f(a1), quindi lo posso scegliere in n-1 modi. f(a3) lo posso scegliere in n-2 modi,…,f(am) lo posso scegliere in n-m+1 modi.

Per il principio moltiplicativo, ho

D(n,m)=n . (n-1) . … . (n-m+1) scelte possibili.

Permutazioni

Sono disposizioni di n oggetti a n a n. Dato che la scelta degli elementi da ordinare è

obbligata (devo sceglierli tutti), le permutazioni di n oggetti sono i loro possibili ordinamenti.

Il numero delle permutazioni di n oggetti è quindi

D(n,n)=n! : 1!=n!

Esempi

Quanti sono gli anagrammi della parola ASTRO? Risposta: 5!=120. Il 30 maggio sono noti i nomi delle 10 contrade che

parteciperanno al Palio del 2 Luglio. Quanti sono i possibili allineamenti alla partenza? E quanti gli ordini di arrivo?

Risposta in entrambi i casi: 10!=362880. Quante sono le biiezioni da un insieme A di n

elementi ad un insieme B di n elementi? Risposta: n!

Altri problemi

Ad una gara partecipano 10 atleti, di cui 5 italiani e 5 svizzeri. Quanti sono gli ordini di partenza in cui gli italiani precedono gli svizzeri?

Risposta: basta fissare l’ordine degli italiani (5! possibilità) e quello degli svizzeri (5! possibilità).

Mettendo gli italiani davanti agli svizzeri otteniamo l’ordine d’arrivo completo.

Gli ordini degli italiani e degli svizzeri possono essere scelti indipendentemente. Totale: 5!.5!=14400.

Altri problemi

Ad una tavola rotonda (in senso letterale) si devono sedere 8 commensali fra cui il Signor Pedro Gonzales. Se consideriamo le loro posizioni a meno di rotazioni, in quanti modi si possono disporre?

Risposta: poiché l’ordine è a meno di rotazioni, si può assumere che il primo sia Gonzales. Gli altri 7 commensali possono essere disposti in 7! modi. Quindi le possibilità sono 7!.

Altri problemi

Ad un’altra gara partecipano 8 atleti, fra cui Gennaro Esposito (GE) e Ambrogio Brambilla (AB). Quanti sono gli ordini d’arrivo in cui GE precede AB?

Risposta: il numero degli ordini d’arrivo con GE davanti a AB è uguale al numero di ordini d’arrivo con AB davanti a BE (si passa da uno all’altro scambiando i due).

Il numero richiesto è la metà degli 8! possibili ordini di arrivo, ossia 8! : 2=20160.

Combinazioni semplici

Le combinazioni semplici di k oggetti presi da un insieme di n oggetti sono i sottoinsiemi di k elementi dell’insieme dato.

Quando parliamo di insiemi o di sottoinsiemi intendiamo che sono escluse ripetizioni e che si prescinde dall’ordine.

Il numero delle combinazioni di k oggetti presi da un insieme di n oggetti si indica con C(n,k).

Calcolo di C(n,k)

Una combinazione semplice genera una disposizione semplice per ogni ordinamento della combinazione stessa.

Gli ordinamenti di un insieme di k elementi sono k! Quindi D(n,k)=C(n,k).k! Ne segue che C(n,k)=D(n,k)/k!=n!/((n-k)! . k!) Notazione: nei testi, invece di C(n,k) si usa di solito la

notazione

k

n

Esempi

C(5,3)=(5 . 4 . 3):(3 . 2)=10 C(7,4)=(7 . 6 . 5 . 4) : (4 . 3 . 2)=35 C(20,2)=(20 . 19) : 2=190 C(9,3)=(9 . 8 . 7):(3 . 2)=84

Esempi

Nel gioco del Poker vengono distribuite a ciascun giocatore 5 carte su 32. Quante sono le possibilità per ciascun giocatore?

Risposta: l’ordine in cui il giocatore riceve le carte non importa, e non sono possibili ripetizioni.

Quindi le possibilità sono date dalle combinazioni di 5 oggetti presi da un insieme di 32, ossia C(32,5)=201356.

Esempi

Quante sono le cinquine nel gioco del lotto? Risposta: Sono gli insiemi di cinque numeri presi

dall’insieme dei primi 90 numeri. Quindi le cinquine sono C(90,5)=43949268.

Quante partite si giocano in tutto in un torneo a 18 squadre?

Risposta: le partite di andata sono tante quanti gli insiemi di 2 squadre prese dalle 18 partecipanti.

Quindi nell’andata si giocano C(18,2)=146 partite. In totale le partite sono 292.

Esempi

In occasione di un Palio straordinario, a Siena vengono sorteggiate 10 contrade partecipanti su 17. Quante sono le possibili scelte?

Risposta: C(17,10)=19448. Quante sono le sequenze crescenti di 3 numeri

presi da 1 a 20? Risposta: basta prendere i sottoinsiemi di 3 numeri

da 1 a 20 e ordinarli in ordine crescente. Quindi il numero richiesto è C(20,3)=1140.

Un altro esempio

Ad una corsa partecipano 8 concorrenti fra cui Ambrogio Brambilla, (AB), Gennaro Esposito (GE) e Duccio Peccianti (DP). Quanti sono gli ordini di arrivo in cui DP precede GE e GE precede AB?

Soluzione. Una volta fissati i 3 posti in cui si piazzano DP, GE e AB, vi è un solo ordine possibile dei 3 concorrenti.

Quindi l’ordine d’arrivo è determinato dall’ordine degli altri 5 concorrenti.

Altro esempio

La scelta dei 3 posti in cui si piazzano GE, AB e DP varia in C(8,3) modi, mentre la scelta degli ordini dei rimanenti 5 concorrenti varia in 5! modi.

Per il principio moltiplicativo (le due scelte sono indipendenti), abbiamo C(8,3).5!=6720 possibili ordini d’arrivo.

Proprietà dei coefficienti binomiali

I numeri C(n,k) si chiamano coefficienti binomiali. Si ha:

C(n,k)=0 se k>n. Infatti non ci sono sottoinsiemi con più elementi dell’insieme.

C(n,0)=C(n,n)=1. Infatti l’unico sottoinsieme privo di elementi è l’insieme vuoto, e l’unico sottoinsieme con lo stesso numero di elementi è l’insieme stesso.

C(n,1)=n. I sottoinsiemi di un elemento sono tanti quanti gli elementi stessi.

Proprietà dei coefficienti binomiali

• C(n,k)=C(n,n-k). Infatti i sottoinsiemi con k elementi sono tanti quanti i loro complementi, cioè i sottoinsiemi di n-k elementi.

• C(n+1,k+1)=C(n,k+1)+C(n,k). Infatti sia A un insieme di n+1 elementi, e sia b un suo elemento.

• I sottoinsiemi di A di k+1 elementi (C(n+1,k+1) in totale) sono i C(n+1,k) insiemi che contengono b più i C(n,k) sottoinsiemi che non contengono b.

• Quindi C(n+1,k+1)=C(n,k+1)+C(n,k).

Esercizio

Calcolare C(100,98). Invece di calcolare D(100,98)/98!, una frazione

in cui sia il numeratore che il denominatore sono numeri grandissimi, osserviamo che

C(100,98)=C(100,100-98)=C(100,2) Quindi C(100,98)=C(100,2)=100.99/2=4950.

Il binomio di Newton

Le formule di elevamento al quadrato e al cubo di un binomio sono ben note:

(a+b)2 =a2+2ab+b2. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+bn. Vogliamo generalizzare la formula trovando

un’espressione per (a+b)n.

Binomio di Newton

Per calcolare (a+b)2=(a+b)(a+b) dobbiamo sommare tutti i prodotti di due lettere in cui ogni fattore è una a o una b. tali fattori sono 4: aa, ab, ba, bb.

Più in generale, per calcolare (a+b)n=(a+b)(a+b) .…. (a+b)(a+b) dobbiamo sommare tutti i 2n prodotti di n lettere di cui alcune sono a e le altre sono b.

Binomio di Newton

Per k=0,1,…,n, raccogliamo tutti gli addendi del tipo akbn-k.

Tali addendi sono tanti quanti i prodotti con k fattori uguali ad a e quindi con n-k fattori uguali a b.

Di tali fattori ve ne è uno per ogni scelta dei k posti (fra gli n posti totali) in cui si trova la a.

Tali scelte sono tante quanti i sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi, ossia C(n,k), o equivalentemente

k

n

Binomio di Newton

Pertanto (a+b)n è la somma di: C(n,0) volte a 0b n più C(n,1) volte a 1bn-1 più C(n,2) volte a2bn-2 più … …più C(n,n) volte an b0. In formula: knk

n

k

n bak

nba

0

)(

Esempi

(a+b)4=C(4,0)a4+C(4,1)a3b+C(4,2)a2b2 +C(4,3)ab3 +C(4,4)b 4= a4+4a3b+6a2b2 +6ab3 +b4.

(a+b)5=C(5,0)a5+C(5,1)a4b+C(5,2)a3b2 +C(5,3)a2b3 +C(5,4)ab4+C(5,5)b5 =a5+5a4b+10a3b2 +10a2b3 +5ab4 +b5.

Disposizioni con ripetizione

Le disposizioni con ripetizione sono raggruppamenti di oggetti in cui sono possibili ripetizioni e in cui si tiene conto dell’ordine.

Le disposizioni con ripetizione si chiamano anche sequenze o stringhe.

Il numero delle disposizioni con ripetizione di k oggetti presi da un insieme di n oggetti si indica con D’(n,k).

Calcolo di D’(n,k)

Ciascuno dei k oggetti può essere scelto indipendentemente in n modi. Quindi per il principio moltiplicativo:

D’(n,k)=n . n . …. n (k volte). Quindi:

D’(n,k)=nk.

Esempi

Quante stringhe di lunghezza 100 si possono formare con le lettere A, C, G, T?

Risposta: 4100=1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301376

Quante sono le possibili colonne nel totocalcio?

Risposta: 313=1594323

Disposizioni con ripetizioni: applicazioni

Quante sono le funzioni da un insieme A di n elementi ad un insieme B di m elementi?

Siano a1,…,an gli elementi di A. Per ottenere una funzione f da A a B basta scegliere fra gli m elementi di B gli n valori f(a1),…,f(an).

Ciascun f(ai) può essere scelto in m modi. Per il principio moltiplicativo, una funzione f da A a B

può essere scelta in m . … . m = mn modi. Quindi le funzioni da A a B sono mn =D’(m,n).

Combinazioni con ripetizioni

Con il simbolo C’(n,k) indichiamo il numero di modi di formare raggruppamenti di k elementi presi da un insieme di n elementi, prescindendo dall’ordine e con la possibilità di ripetere più volte lo stesso oggetto.

Siano a1,…,an gli oggetti. Una combinazione è ottenuta dicendo quante volte ciascun oggetto è ripetuto.

Se a1,…,an sono ripetuti rispettivamente k1,…,kn volte, la combinazione è rappresentabile con la seguente tabella:

Rappresentazione di una combinazione con ripetizioni tramite una tabella

a1 a2 … … an-1 an

k1 k2 … … kn-1 kn

Combinazioni con ripetizioni

Se a1 è ripetuto k1 volte, a2 è ripetuto k2 volte,…, an è ripetuto kn volte, essendo il numero totale di oggetti uguale a k, sarà: k1+k2+…+kn=k.

Quindi per calcolare C’(n,k) basta contare il numero di sequenze k1, k2,…,kn di numeri naturali tali che

k1+k2+…+kn=k

Esempi

Un padre decide di ripartire 50 monete d’oro fra i suoi 3 figli. In quanti modi può farlo?

Risposta: devo calcolare il numero di terne di numeri naturali la cui somma sia 50. Tale numero è C’(3,50).

Ad una votazione partecipano 200 persone, che possono scegliere fra 3 candidati o votare scheda bianca. Quanti sono gli esisti possibili?

Risposta: C’(4,200).

Vedremo poi come calcolare C’(n,k).

Il modello dei contenitori

Le combinazioni con ripetizioni C’(n,k) possono essere modellate come segue:

Consideriamo n contenitori distinguibili, numerati da 1 a n e k biglie indistinguibili.

La combinazione data dalla stringa di numeri naturali k1, k2,…,kn con k1+k2+…+kn=k può essere rappresentata come l’atto di inserire

k1, biglie nel contenitore 1, k2 biglie nel contenitore 2,…, kn biglie nel contenitore n.

Il modello dei contenitori: un esempio

Consideriamo l’esempio della votazione a cui partecipano 200 persone che possono scegliere fra 3 candidati o votare scheda bianca.

Dopo lo scrutinio delle schede, mettiamo nell’urna 1 le schede a favore del candidato 1, nell’urna 2 quelle a favore di 2, nell’urna 3 quelle a favore di 3 e nell’urna 4 le schede bianche.

In totale le schede sono 200, e si tratta di distribuirle fra 4 contenitori distinguibili.

Calcolo di C’(n,k)

Si tratta di contare i modi di distribuire k biglie indistinguibili fra n contenitori distinguibili. Ad ogni distribuzione associamo una stringa di k uni e di n-1 zeri come segue:

Iniziamo dal contenitore 1. Un 1 nella stringa significa: aggiungi una biglia. Uno 0 nella stringa significa: passa al contenitore

successivo. Dopo n-1 zeri arrivo all’ultimo contenitore. Dopo k uni ho finito di distribuire le biglie.

Esempio

Supponiamo che i contenitori siano 3 e che le biglie siano 5. La stringa 1100111 si interpreta così:

I primi due uni significano: metti due biglie nel contenitore 1.

Lo zero successivo significa: passa al contenitore 2. Lo zero successivo significa: passa al contenitore 3 (il

contenitore 2 resta vuoto). I 3 uni finali significano: metti 3 biglie nel contenitore 3. Alla fine nel primo contenitore vengono messe 2 biglie,

nel secondo 0 e nel terzo 3.

Calcolo di C’(n,k)

Una sequenza di k uni e di n-1 zeri è determinata dalla scelta degli n-1 posti fra gli n+k-1 possibili in cui la sequenza vale 0 (ovviamente negli altri posti la sequenza vale automaticamente 1).

Tali scelte sono tante quanti i sottoinsiemi di n-1 elementi di un insieme di n-k-1 elementi, ossia:

C’(n,k)=C(n+k-1,n-1).

Esempi

Ad una votazione partecipano 200 persone, che possono scegliere fra 3 candidati o votare scheda bianca. Quanti sono gli esisti possibili?

Risposta: C’(4,200)=C(203,3)=1373701. Un padre decide di ripartire 50 monete d’oro

fra i suoi 3 figli. In quanti modi può farlo? Risposta: C’(3,50)=C(52,2)=1326.

Permutazioni con ripetizioni

Abbiamo visto che ci sono 5! anagrammi (anche privi di significato) della parola ASTRO.

Quanti sono gli anagrammi della parola CARTA? Attenzione: permutando fra loro le due A ottengo la

stessa parola. Quindi 5! rappresenta gli anagrammi della parola CARTA contati due volte.

Pertanto il numero di anagrammi della parola CARTA è 5!:2=60.

Permutazioni con ripetizioni

Consideriamo ora gli anagrammi della parola MAMMA. Stavolta otteniamo lo stesso anagramma in

corrispondenza di ognuna delle 3! permutazioni delle 3 M e per ognuna delle 2!=2 permutazioni delle 2 A.

Tali scelte sono indipendenti, e per il Principio Moltiplicativo sono 3!.2!=12.

Quindi 5! è il numero degli anagrammi di MAMMA, ciascuno ripetuto 3!2!=12 volte.

Il numero degli anagrammi della parola MAMMA è quindi 5!:(3!2!)=120:12=10.

Esempio

Quante sono le permutazioni della parola MISSISSIPPI?

Risposta: MISSISSIPPI ha 11 lettere, fra cui la M compare una sola volta, la I compare 4 volte, la S compare 4 volte, e la P compare 2 volte.

Per calcolare il numero degli anagrammi, dobbiamo dividere 11! per 4! . 4! . 2!, ottenendo 34650.

Permutazioni con ripetizioni

In generale: supponiamo di avere una sequenza lunga k di oggetti a1,…,ar, in cui a1 è ripetuto k1 volte, a2 ripetuto k2 volte,…, ar ripetuto kr volte (quindi k1+k2+…+kr=k).

Il numero delle permutazioni della sequenza è dato da k! : (k1!

. k2! . …. kr!).

Esempi

Una stringa è formata da 40 caratteri, di cui 10 sono A, 10 sono C, 10 sono G e 10 sono T. In quanti modi può essere composta la stringa?

Risposta. 40! : (10! 4)= 4705360871073570227520 Anche se il numero è grandissimo, esso è molto più

piccolo di 440=1208925819614629174706176, il numero di possibilità che avremmo in assenza di informazioni sulla distribuzione delle lettere.

Esempi

Quante stringhe di 8 lettere possiamo ottenere usando per 3 volte la A, due volte la T, due volte la O e una volta la S?

Risposta: 8! : (3! . 2! . 2!) =1680 Quante sono le stringhe binarie di lunghezza

20 con lo stesso numero di zeri e di uni? Risposta: 20! : (10! . 10!) =184756.

Generalizzazioni del binomio di Newton

Vogliamo trovare una formula simile a quella del binomio di Newton per la potenza di un trinomio (a+b+c)n.

Il ragionamento che seguiamo è simile a quello adottato per il binomio di Newton, vale a dire:

Applicando la proprietà distributiva, (a+b+c)n risulta uguale alla somma di tutti i prodotti di n lettere di cui alcune sono a, altre sono b e le rimanenti sono c.

Potenza di un trinomio

Fissiamo 3 numeri h,k,m la cui somma è n. Ci chiediamo quante sono le sequenze di lettere a,b,c con h volte la a, k volte la b e m volte la c, cioè quanti sono gli addendi del tipo ahbkcm.

Le sequenze di questo tipo sono tante quante le permutazioni con ripetizioni di una qualunque sequenza di n lettere con h volte la a, k volte la b e m volte la c vale a dire n!/(h!.k! .m!). Pertanto:

mkh

nmkhmkh

n cbamkh

ncba

:,, !!!

!)(

Esempio

Sviluppare (a+b+c)3. Soluzione. Elenchiamo tutte le terne (h,k,m)

con h+k+m=3. A fianco di ciascuna terna scriviamo il corrispondente termine, ossia (3!/(h! . k! . m!)) . ah . bk . cm.

Fatto questo, basterà sommare tutti i termini così ottenuti.

Esempio

(0,0,3) (3!/(0!.0!.3!) c3= c3. (0,1,2) (3!/(0!.1!.2!) b c2= 3bc2. (0,2,1) (3!/(0!.2!.1!)) b2c= 3b2c (0,3,0) (3!/(0!.3!.0!) b3= b3. (1,0,2) (3!/(1!.0!.2!) .ac2= 3ac2. (1,1,1) (3!/(1!.1!.1!) abc= 6abc. (1,2,0) (3!/(1!.2!.0!)ab2= 3ab2. (2,0,1) (3!/(2!.0!.1!) .a2c=3a2c.

Potenza di un trinomio

(2,1,0) (3!/(2!.1!.0!)a2b= 3a2b. (3,0,0) (3!/(3!.0!.0!)a3=a3. Pertanto si ha: (a+b+c)3= c3 +3bc2+ 3b2c+ b3+ 3ac2+ 6abc+

3a2c+ 3a2b+ a3.

Esercizi di riepilogo

Una classe di 28 studenti, di cui 13 maschi e 15 femmine deve eleggere 3 rappresentanti.

Quante sono le scelte possibili? Risposta: C(28,3)= 3276. Quante sono le scelte che prevedono almeno un

maschio e almeno una femmina? Risposta: ci sono C(13,3)= 286 scelte che prevedono

solo maschi e C(15,3)=455 che prevedono solo femmine. Il numero richiesto è quindi C(28,3)-C(13,3)-C(15,3)=3276-455-286= 2535.

Esercizi di riepilogo

Un’auto con la targa italiana (2 lettere fra le 26 dell’alfabeto inglese, 3 cifre e poi ancora 2 lettere) viene usata per una rapina. Un testimone ricorda che la prima lettera era una T, che la prima cifra era 3, che non vi erano zeri, e che le altre lettere erano una A, una F e una K. Quante sono le targhe possibili?

Risposta: le tre lettere rimanenti (A, F e K) possono variare in 3!=6 modi

Le due cifre variano in 9 . 9 = 81 modi. In totale, 6 . 81 = 486 modi.

Esercizi di riepilogo

Un’urna contiene 40 palline numerate, e quindi distinguibili. Fra queste, 18 sono colorate di rosso e 22 di nero. Quante sono le cinquine prese fra le 40 palline che contengono 2 palline rosse e 3 nere?

Risposta: dobbiamo calcolare il numero di terne di palline prese fra le 22 nere (ossia C(22,3)), e il numero delle coppie di palline prese fra le 18 rosse, (ossia C(18,2)).

Le scelte delle 3 palline nere e delle 2 rosse sono indipendenti. Il numero richiesto è C(22,3).C(18,2)=235620.

Esercizi di riepilogo

Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di n elementi?

Risposta: vi sono C(n,0)=1 sottoinsiemi di 0 elementi, C(n,1) sottoinsiemi di 1 elemento, C(n,2) di 2 elementi,…,C(n,n)=1 di n elementi.

In totale, il numero dei sottoinsiemi è

.2)11(11),(000

nninin

i

n

i

n

i i

n

i

ninC

Esercizi di riepilogo

10

0

20

i i

10

0

20

i ix

ii

20

20

20

10

20202020)11(2

20

10

10

0

20

0

2020

iii iii

10

202

10

20220 xxx

956198.2

10

20

220

x

Calcolare

Poniamo

Essendo

Si deduce

Pertanto

ed infine

Esercizi di riepilogo

Ho smarrito il numero segreto della mia tessera Bancomat. Mi ricordo che due cifre erano 0, che la prima cifra era 5 e le altre due erano un 3 e un 9. Qual è il massimo numero di tentativi che devo fare per ricostruire il numero segreto?

Risposta: devo determinare le altre 4 cifre. Queste sono permutazioni della stringa 0039. Tali permutazioni sono 4! : 2! = 12.

Esercizi di riepilogo

In pizzeria, quattro amici fanno le ordinazioni, scegliendo fra 12 tipi di pizza. Quante sono le possibili ordinazioni per il pizzaiolo se ciascuno ordina una pizza ed una sola? E se ciascuno ne ordina 2?

Risposta: al pizzaiolo non importa l’ordine delle pizze ma solo quante pizze deve fare per ciascun tipo.

Nel primo caso il numero richiesto è C’(12,4), nel secondo C’(12,8).