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CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI MATERIA

La velocità di trasferimento di massa attraverso l’interfaccia ha, per i processi di separazione, un ruolo altrettanto importante delle condizioni di equilibrio termodinamico tra le fasi perchè determina le dimensioni dell’apparecchiatura.

feed



Esistono approcci differenti per tener conto delle condizioni di equilibrio e della velocità di trasferimento nei diversi processi (vedi assorbimento e strippaggio vs distillazione ed estrazione liquido-liquido, in rapporto all’uso di efficienze di stadi).

Tipi di estrattori (a) Perforated-tray extractor, (b) rotating-disk extractor,

(c) mixer-settler extractor, (d) spray extractor, (e) packed-tower extractor)



PkRΤ

Pkckk mp

mcmcmx

Esistono approcci differenti per tener conto delle condizioni di equilibrio e della velocità di trasferimento nei diversi processi (vedi assorbimento e strippaggio vs distillazione ed estrazione liquido-liquido, in rapporto all’uso di efficienze di stadi).

Coefficienti di trasferimento interfacciale di materia in sistemi gas-liquido

La velocità di trasferimento tra le due fasi dipende dal grado di miscelazione e dall’estensione dell’area interfacciale (legati tra loro e dipendenti dall’energia spesa per la miscelazione o per il passaggio attraverso letti a riempimento).

La complessa distribuzione spaziale delle due fasi comporta la rinuncia all’approccio fondamentale (coefficienti di diffusione, profili di concentrazione) e il ricorso a quello ingegneristico, all’uso di coefficienti di trasferimento:

coefficienti di trasferimento individuali (tra bulk e interfaccia)

AOGA xKN

coefficienti di trasferimento di materia globali (tra bulk e bulk) utili al calcolo del flusso molare di una specie (A) tra le due fasi

La definizione di KOG (overall mass transfer coefficient) è legata a quella della differenza tra le ‘bulk average mole fractions’


Il coefficiente globale Kog può essere correlato ai coefficienti individuali, relativi ai due film contigui all’interfaccia liquido-gas, come somma di due ‘resistenze in serie’, legate ai coefficienti individuali, partendo da

O GO GA xKNx

Le concentrazioni all’interfaccia non sono note e torna utile introdurre un’altra concentrazione calcolabile dall’equilibrio e dalla concentrazione della fase liquida (bulk)

two film theory

liquido

gas

interfaccia

L

Ax

G

Ax

i

G

Ax

i

L

Ax G

A

G

A

G

mx ixxk

L

A

L

A

L

mx xxki

L

AA xm

L

Axf

i

G

Ax

G

Ax

i

L

AxL

Ax

G

Ax

L

Ax

OGOG

L

A

A

A

A

G

AL

mx

G

A

G

A

G

mxA xKxm

m

m

xkxxkN

x

i

i

L

AA

G

A xmx

All’interfaccia vale la relazione di equilibrio

che è lineare per bassi valori di concentrazione

L

AA

G

A iixmx

L

AA

L

A

G

A xmxfx


Il coefficiente globale Kog può essere correlato ai coefficienti individuali, relativi ai due film contigui all’interfaccia liquido-gas, come somma di due ‘resistenze in serie’, legate ai coefficienti individuali, partendo da

O GO GA xKNx

Le concentrazioni all’interfaccia non sono note e torna utile introdurre un’altra concentrazione calcolabile dall’equilibrio e dalla concentrazione della fase liquida (bulk)

liquido

gas

interfaccia

G

Ax

L

Ax

G

Ax

i

G

Ax

i

L

Ax G

A

G

A

G

mx ixxk

L

A

L

A

L

mx xxki

L

AA xm

L

Axf

i

G

Ax

G

Ax

i

L

AxL

Ax

G

Ax

L

Ax

OGOG

L

A

A

A

A

G

AL

mx

G

A

G

A

G

mxA xKxm

m

m

xkxxkN

x

i

i

L

AA

G

A xmx

OGOG

G

A

G

A

A

L

mx

G

A

G

A

G

mxA xKxxm

1kxxkN

xii

All’interfaccia vale la relazione di equilibrio

che è lineare per bassi valori di concentrazione

L

AA

G

A iixmx

L

AA

L

A

G

A xmxfx

two film theory


Sperimentalmente, è misurabile soltanto e non i valori dei coefficienti individuali che si possono ricavare da esso, nel caso in cui la resistenza al trasferimento di materia sia controllata da uno dei due film (gassoso o liquido).

E’ conveniente usare , concentrazione di pseudoequilibrio per definire xOG

G

Ax

G

A

G

AOG xxx

G

A

G

AOG

G

A

G

A

A

L

mx

G

A

G

A

G

mxA xxKxxm

1kxxkN

xii

x

ii

OG

AL

mx

A

G

mx

A

G

A

G

A

G

A

G

A

G

A

G

AK

1N

k

m

k

1Nxxxxxx

L

mx

A

G

mx

OG

k

m

k

1

1K

x

E’ così possibile sommare le resistenze in serie riguardanti i due film adiacenti all’interfaccia, lato gas e lato liquido, usando termini di concentrazione tra loro omogenei G

Ax

L

mx

A

G

mxOG k

m

k

1

K

1

x

xOGK

G

mx

L

mx

A

k

1

k

m G

mxOG k

1

K

1

x

G

mxOG kKx

mA piccolo (alta solubilità di A in fase liquida)

mA grande (bassa solubilità di A in fase liquida)

trasferimento di materia controllato dal film gassoso

G

mx

L

mx

A

k

1

k

m L

mx

A

OG k

m

K

1

x

A

L

mxOG

m

kK

x

trasferimento di materia controllato dal film liquido


Correlazioni dei coefficienti di trasferimento con i relativi numeri caratteristici sono desumibili dai dati sperimentali a condizione che l’area interfacciale sia nota. Altrimenti, le correlazioni sono disponibili per i coefficienti volumetrici kmxai (ai: area interfacciale per unità di volume)

Un esempio di correlazioni per aree interfacciali note riguarda i flussi interni in tubi

1/3

mG z1.86S h

)GG

mc o( Dk

Sh DDD

L

mScRe

4L

DGzm D

moto laminare

0.2-

HM Re0.0232

fjj

1/30.8 S cR e0 .023S h

moto turbolento

mass transfer Graetz number

eguale all’equazione di Dittus-Boelter con Sc al posto di Pr

2 .5S c0 .6

51 0S c4 3 0 0.350.91 S cR e0 .0 0 9 6S h

Per alti Sc ( )

(DL o DG)


sistema reale

modello semplificato

2

G

zN

1

G

zN

2

L

zN

1

L

zN

zz

z

trasferimento di massa in colonne di assorbimento (o strippaggio) (colonne a riempimento)

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/05/Packed_bed_column.svg


modello semplificato

2

G

zN

1

G

zN

2

L

zN

1

L

zN

zz

z

trasferimento di massa in colonne di assorbimento (o strippaggio) (colonne a riempimento)

modello semplificato della sezione a riempimento

profili continui delle concentrazioni nella direzione del moto

scambio di massa attraverso l’area interfacciale ai (riferita all’unità di volume) di valore eguale nell’intero riempimento

correnti (liquida e gassosa) uniformi e parallele

composizione e velocità uniformi nella sezione

assenza di trasporto diffusivo nella direzione assiale (di moto delle correnti)

► ► ►

► ►


Bilancio relativo alla specie A (specie assorbita), alla fase gas e all’elemento di volume Szz

0zSaN-SNSN ziAzdzz

G

Azz

G

A izz

0aN-z

NNiA

dzz

G

Az

G

A

i

zz

0aN-dz

dNiA

G

A

i

z

0aN-

dz

xNdiA

G

A

G

z

i

G

A

G

AOGA xxKNxi

dove il flusso molare interfacciale della specie A è dato da

2

G

zN

1

G

zN

2

L

zN

1

L

zN

zz

z

OGOG xKx


0aN

dz

xNdiA

L

A

L

z

i

è determinata da , attraverso l’equazione di equilibrio, G

AxL

Ax

L

AA

G

A xmx

Dal bilancio relativo alla specie A relativo alla corrente liquida per lo stesso elemento di volume Szz:

Assumendo, per convenzione, entrambi i flussi orientati nella direzione positiva z, ne discende che è intrinsecamente negativo.

L

A

L

z xN

Se la miscela è binaria e la specie B rappresenta il solvente in fase liquida

1x L

B G

mxOG kKx

G

B

G

B

G

mxB xxkN

i

L

BB

G

B xmx

dove

P

pm

0

BB

la concentrazione di B in fase gassosa è dettata dalla tensione di vapore

Il bilancio relativo a B in fase gassosa è:

0aN

dz

xNdiB

G

B

G

z

i

Il bilancio relativo al flusso di gas è:

0aNaNdz

dNiBiA

G

z

ii


La condizione di equilibrio gas-liquido è espressa nel modo più semplice dalla legge di Henry

valori della costante di Henry per sistemi gas-acqua

(HA x 104 atm)

L

AA

G

AA xHxPp

P

Hm A

A da cui


2

G

z2

L

z

G

z

L

z NNNN

Il flusso di liquido può essere ricavato dal bilancio globale tra una generica sezione e la sezione di fondo (2)

Vale sempre la convenzione che entrambi i flussi sono orientati nella direzione positiva z.

La risoluzione del problema è basata sull’uso combinato delle equazioni scritte alle quali va aggiunta l’equazione di bilancio di energia termica.

L

zN

2

G

A

G

z2

L

A

L

z

G

A

G

z

L

A

L

z xNxNxNxN

Gli stessi bilanci possono essere fatti tra sezione di testa (1) e sezione di fondo (2) per fissare I vincoli tra flussi molari delle due fasi e frazioni molari di A nelle correnti entranti e uscenti.

La risoluzione è più semplice se si può assumere che i flussi di liquido e di gas ( e ) siano costanti (ciò vale nel caso di limitato assorbimento e trasferimento, il che comporta che si può anche assumere che il processo sia isotermo) e soltanto la specie A sia oggetto del processo di trasferimento di massa.

L

zNG

zN

0aN

dz

xdNaN

dz

xNdiA

G

AG

ziA

G

A

G

z

ii

0xxKadz

xdN G

A

G

AOGi

G

AG

z x

Per calcolare l’altezza del riempimento ZT si può separare le variabili e integrare

Tx

G

1A

G

2A

Z

0G

z

OGix

x G

A

G

A

G

A dzN

Ka

xx

xd


dove HOG è l’’altezza di un’unità di trasferimento’, che è basata sul coefficiente globale di scambio riferito alla fase gassosa (v. indice OG)

e misura il grado di separazione, legato ai valori di e

G

2A

G

1Ax

x

x G

A

G

A

G

A

OGi

G

zT

xx

xd

Ka

NZ

G

O GT N T UHZ

xOGi

G

zOG

Ka

NH

N T UH T UZ T

G

2A

G

1A

x

x G

A

G

A

G

AG

xx

xdNTU

e può essere quindi considerata somma di due contributi dovuti ai film gassoso e liquido

L

L

z

G

zAG

OG HN

NmHH

G

mi

G

zG

xka

NH

L

mi

L

zL

xka

NH con

NTUG è il ‘numero di unità di trasferimento’

HOG è una misura della difficoltà di separazione, legata ai valori dei coefficienti individuali, oltre che all’area interfacciale

1

G

Ax2

G

Ax

Fissato il grado di separazione (e quindi NTUG) un alto valore di HOG significa un’altezza maggiore della torre a riempimento.

L

mx

A

G

mxOG k

m

k

1

K

1

x


Il calcolo di NTUG, essenziale per il calcolo di ZT, dipende dalla

integrazione della funzione e quindi dalla relazione

tra e G

A

G

A xx1/G

Ax *G

Ax

L

AA

G

A xmx

deve essere correlato al valore di della corrente gassosa che attraversa la colonna alla stessa coordinata z

L

Ax G

Ax

L

2

L

z

L

z NNN

G

A2

G

AL

G

2

L

A

L

A xxN

Nxx

Se i flussi molari sono costanti in colonna:

G

2

G

z

G

z NNN

dal bilancio tra la generica sezione e il fondo colonna

Essendo stata ipotizzata una relazione lineare di equilibrio, il numero di unità di trasferimento NTUG può essere determinato analiticamente

G

A2

G

AL

G

2

L

A

G

A

L

A

G

A

G

A

G

A xxN

Nmxmxxmxxx *

2

L

A2

G

AL

G

L

GG

A xxN

Nm

N

Nm1x

2

G

A1

G

A

G

A xxx *

L

G

1N

Nm1

2

L

A2

G

AL

G

2 xxN

Nm

2

G

A

G

2

L

A

LG

A

GL

A

L xNxNxNxN

si ricava


21

G

A1

22

G

A1

1

OGT

x

xln

HZ

L

AA xm

G

Ax

G

Ax

G

Ax

L

Ax

retta di lavoro

retta di equilibrio

L

Ax

*G

A

G

A xx

21

G

A1

22

G

A1

1

x

x2

G

A1

G

AG

x

xln

1

x

xdNTU

G

2A

G

1A

G

Ax

*G

A

G

A xx

1

GN T U

2

G

Ax1

G

Ax


Calcolo dell’altezza di una torre di assorbimento

Una corrente d’aria contenente 5% (in volume) di SO2 e avente una pressione di 1 atm. è inviata a una torre di assorbimento contenente un riempimento costituito da anelli Raschig (1”) con l’obiettivo di rimuovere il 90% del contenuto di SO2 usando come solvente in controcorrente acqua a 20°C. La velocità di massa dell’aria in ingresso è 250 lb/(ft2 hr), quella dell’acqua è 5000 lb/(ft2 hr).

Calcolare l’altezza della colonna (della sezione di riempimento).

I flussi molari entranti e uscenti d’aria sono:

8.1929

2500.95 lbmol/(ft2 hr)

Il flusso molare entrante di SO2 è:

0.430.95

0.058.19 lbmol/(ft2 hr)

La frazione molare di SO2 nella corrente gassosa uscente è:

005200.0438.19

0.043x

1

G

A

in quella entrante è:

049900.438.19

0.43x

2

G

A .

Assumendo che le portate di gas e di liquido siano costanti in colonna, la frazione molare di SO2 nel liquido uscente si ricava dal bilancio totale intorno all’intera sezione di riempimento:

11

G

A2

G

AL

G

2

L

A

L

A xxN

Nxx

1

G

A2

G

AL

G

2

L

A xxN

Nx


La costante di Henry relativa all’assorbimento di SO2 in acqua a 20°C è pari a 33 atm e quindi, operando alla pressione di 1 atm, si ha:

33P

Hm Α

A

valori della costante di Henry per sistemi gas-acqua

(HA x 104 atm)

001390

18

5000

0.0052-0.049929

250

x2

L

A

1

G

A2

G

AL

G

2

L

A xxN

Nx


Da relazioni che legano il coefficiente di trasferimento sul lato liquido al numero di Reynolds e al numero di Schmidt e quello sul lato gas alle portate delle due correnti si ricava:

201aK i

L

mx lbmol/(ft3 hr) 21.8aK i

G

mx lbmol/(ft3 hr)

764

21.8

1

201

33

1aK ixOG

lbmol/(ft3 hr)

Essendo la relazione di equilibrio lineare, si può usare:

21

G

A1

22

G

A1

1

OGT

x

xln

HZ

02410

18

500029

250

331N

Nm1

L

G

1

0013900.0499

18

500029

250

33xxN

Nm

2

L

A2

G

AL

G

2

005102

Se il liquido uscente fosse all’equilibrio con il gas entrante, si avrebbe:

00152033

04990

m

xx

A

2

G

A

2

L

A

Il liquido uscente è molto vicino alla condizione di equilibrio.


10.130.00510.00520.0241-

0.00510.04990.0241-ln

0.0241-

1NTU G

ft 1.814.76

29

250

Ka

NH

xOGi

G

zOG

ft1 8 .3 1 .8 11 0 .1 3Z T

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