Lezione n.

Parole chiave:

Corso di Laurea:

Massimo Brescia

Ottica dei telescopiParte I

3

Sistemi ottici, fronte d’onda, limite di diffrazione, aberrazioni, montature e configurazioni ottiche

Corso di Laurea:

Insegnamento:

Email Docente:

A.A. 2009-2010

Laurea magistrale in Astrofisica e Scienze dello Spazio

Tecnologie Astronomiche

brescia@na.astro.it

Onda elettromagnetica = luceTecnologie Astronomiche

Rappresentazioneonda elettromagnetica(o.e.) (campo elettromagnetico nelvuoto). I vettori del campo elettrico (E)e magnetico (H) sono mutuamenteperpendicolari (medesima dipendenzadal tempo e quindi sempre in fase fraloro in tutti i punti del campo).

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le componenti scalari del campoelettromagnetico (Ex, Ey, Ez, Bx, By,Bz) obbediscono alla equazionedifferenziale scalare dell’onda

Le costanti (permeabilità µ e dielettricaɛ), ottenute sperimentalmente, furono la chiave perverificare che la velocità V di propagazione dell’o.e. corrispondeva a quella della luce

la velocità di propagazione dell’onda elettromagnetica è così simile a quella della luce chepossiamo ragionevolmente pensare che la luce stessa è una alterazione elettromagnetica che sipropaga in modo ondulatorio attraverso il campo elettromagnetico [Maxwell]

la luce in un mezzo diverso dal vuotoTecnologie Astronomiche

Il comportamento del campo elettromagnetico in un mezzo diverso dal vuoto è ovviamente digrande interesse per l’ottica. La presenza del mezzo si inserisce nelle equazioni di Maxwelltramite i coefficientiɛ≠ɛ0 e µ≠µ0. La velocità di fase diventa quindiV = 1/ ɛµ

Il rapporto fra la velocità della luce nel vuoto e quella in un mezzo è detta indice di rifrazionedel mezzo:

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Tutte le sostanze sono debolmente magnetiche,eccetto le ferromagnetiche che lo sono in modoelevato: Il rapporto µ/µ0 si può allora porre, aparte condizioni molto particolari, pari circa ad1. Il rapporto ɛ/ɛ0 è la costante dielettrica delmezzo. A complicare il tutto si deve tenerpresente cheɛ, e quindi n, è dipendente dallafrequenza dell’onda; questo effetto è meglio notocomedispersione(quando un mezzo dielettrico èsottoposto ad un campo elettrico esterno le suecariche subiscono una distorsione).

l’energia dei fotoniTecnologie Astronomiche

Le grandezze radiometriche possono essere espresse in termini di numero di fotoni al secondo.Infatti ogni fotone possiede una certa quantità di energia, che si può esprimere utilizzando iconcetti derivati dalla teoria quantistica della radiazione elettromagnetica (teoria dei quanti).La quantità di energia associata ad un fotone di lunghezza d’ondaλ è:

λ in µm, l’energia di un fotone vale 1.9863*10-19/λ J. Per esempio, l’energia di un fotone IRdi λ=5 µmè3.97*10-20 J.

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di λ=5 µmè3.97*10-20 J.

A volte si può trovare una descrizione del fotone basata sulla sua frequenza (ν), la cui unità dimisura è l’Hertz (Hz) anziché inλ. La relazione fra lunghezza d’onda e frequenza èν=c/λcosicché, ad esempio, la frequenza di un fotone diλ=10 µm vale 3*1013 Hz. La costante h è lacostante di Planck, il cui valore misurato è dato da:

la diffrazioneTecnologie Astronomiche

La luce che attraversa unafenditura non si propaga solo "inavanti", come farebbe uncorpuscolo materiale, ma tende aespandersi nello spazio,coprendo una regione ben piùgrande della fenditura attraversola quale è passata. Questofenomeno prende il nome didiffrazione, e si manifesta

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, e si manifestaquando le dimensioni degliostacoli che l'onda incontrarisultano paragonabili alla sualunghezza d'onda

fronte d’ondaTecnologie Astronomiche

Identificando un fronte d’onda di un gruppo di onde come un fascio di particelle la cuifasecambia con il tempo ma rimane costante su tutto il fronte, si può dunque definire fronted’onda il luogo deipunti in cui le onde elettromagnetiche hanno fase costante. Il raggio èdefinito come la normale al fronte d’onda (analogamente alle linee di forza inun campo lequali sono ortogonali al campo)

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Il fronte d’onda unisce i due punti a uguale fase d’onda (φ1 = φ2). I raggi 1 e 2 sonoortogonali localmente al fronte d’onda definito. Se le onde partono nel medesimo istante ditempo, allora il fronte d’onda sarà rappresentato da una superficie sferica con centro nelpunto sorgente

il cammino ottico e rifrazioneTecnologie Astronomiche

Siccome la velocità di un’onda elettromagnetica varia a seconda del mezzo in cui si propaga, èutile definire il cosiddettocammino ottico (OPL: optical path length), definito come ilprodotto della lunghezza fisica del sistema di ottiche per l’indice di rifrazione del mezzo in cuil’onda si propaga: OPL=L x n

nel vuoton =1 per definizione. La velocità di propagazione nell’aria si pone uguale a quellanel vuoto, con una certa approssimazione. In riferimento ad applicazioni usuali(vedi ADC),gli indici di rifrazioni dei comuni vetri ottici è maggiore di 1. Significa che la velocità dell’o.e. all’interno del vetro è minore di quella nel vuoto

=> Il fronte d’onda ha un ritardo passando attraverso un mezzo

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Quando un fronte d’onda viaggiaattraverso un mezzo ad indice dirifrazione n’ maggiore di quello delmezzo dove è stato generato n (n’>n),esso subisce un ritardo di fase. Ilcammino ottico nel fronte d’onda simantiene però costante: OP1 = OP2. Sinoti che nella realtà l’onda è soggetta adiffrazione e quella in figura è solo unarappresentazione geometrica schematica

=> Il fronte d’onda ha un ritardo passando attraverso un mezzo

sistema otticoTecnologie Astronomiche M. Brescia

Partiamo da un postulato: “nessun sistema ottico è perfetto”. Ma cos’è unsistema ottico?Esso si compone di:1. oggetto (sorgente)2. immagine dell’oggetto formata sul detector (rivelatore) 3. di un elemento reale (diaframma) il quale:

a) definisce la frazione di flusso e.m. (e quindi dell’energia) che raggiunge il ricevitore (stop di apertura) oppure, in alternativa,

b) definisce l’area della sorgente che il rivelatore riesce a misurare (stop di campo).

Consideriamo il sistema ottico generico. Esso è costituito da una lente semplice la quale creal’immagine L’ dell’oggetto esteso L. Il rapporto fra le dimensioni fisiche L e L’ è l’ingrandimento del sistema ottico.

Sistemi diffraction limited - 1Tecnologie Astronomiche

Nel caso reale, l’immagine è sempre affetta da degrado.

Il segno + non è da intendersi in senso algebrico, mapiuttosto come un operatore convoluzione frai singoli contributi.

Nel caso in cuiΘimage=ΘAiry (diffraction limited)avolte si preferisce mettere quattro pixel sul disco diAiry in modo da campionaresecondoil criterio di

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Airy in modo da campionaresecondoil criterio diRayleigh.

due sorgenti puntiformi sonodistinguibili se la loro separazioneangolare è maggiore o uguale a:

risoluzione angolare

dove λ è la lunghezza d'onda dellaluce osservata e d è il diametro delforo di osservazione (in mm)

1.22 206265R d

λθ = ×

Sistemi diffraction limited - 2Tecnologie Astronomiche

Escludiamo per ora l’effetto delle aberrazioni. L’immagine di un punto oggetto,anche per unostrumento ideale, ha una dimensione fisica finita, determinata dal diametro del disco didiffrazione (disco di Airy), di dimensione angolareΘAiry = 2.44 λ/D, conλ la lunghezza d’ondaa cui si osserva e D il diametro della pupilla d’ingresso. La dimensione fisica (ad es. in micron) sitrova moltiplicando la dimensione angolare per la focale dello strumento:ΦAiry = foc × ΘAiry.

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In un sistema di ottica geometrica, qualunque dimensione lineare siottiene dal prodotto diquella angolare per la focale del sistema.

Disco di diffrazione

Vediamo un esempio di disco di diffrazione

Sistemi diffraction limited - 3Tecnologie Astronomiche M. Brescia

per la luce visibile (0.55µm), il diametro del disco di Airy (espresso inm) risultaapprossimativamente pari all’effettivo rapporto tra la focale e la pupilladi uscita (f# = f/D). Ilraggio del primo anello è dunque ottenibile dalla relazione = 1.22λ/D che definisce il potererisolutivo angolare del telescopio. Ciò è dovuto al fatto che la frazione di energia totalecontenuta in un cerchio di raggio r attorno al centro della figura di diffrazione risulta essere:

2 20 11 ( ) ( )E

rf rfF J J

D D

π πλ λ

= − −

Dove con J si è indicata la funzione di Bessel di ordine specificato dal pedice. In questo casoil rapporto relativo al primo anello risulta essere:

1.22rf

Dλ=

Le funzioni di Bessel sono le soluzioni canoniche y(z) delle equazioni differenziali seguenti(conα generico che ne identifica l’ordine):

Sistemi ottici reali - 1Tecnologie Astronomiche M. Brescia

La configurazione ottica prevalente nelle nostre considerazioni prevede un sistema basato sudue ottiche, dette primario (pupilla) e secondario. Questi sono anche detti specchiprincipali.I due specchi principali devono mantenere un elevato grado di allineamento rispetto all’asseottico comune, in modo da garantire una corretta qualità ottica. Il disallineamento dellospecchio secondario rispetto al primario introduce alcuni effetti indesiderati, principalmenteaberrazioni legate a sfocamento (defocus), tilt e coma da decentramento (decentering coma)

con l’aumentare dell’ingrandimento, il problema delle aberrazioni deve essere affrontatocontemporaneamente su due fronti: da un lato un più preciso controllo del disallineamentodel secondario(controlli attivi) e dall’altro, una correzionemodale delle distorsioni deldel secondario(controlli attivi) e dall’altro, una correzionemodale delle distorsioni delfronte d’onda indotte sul primario

Le principali sorgenti di degrado della qualità ottica dell’immagine di un telescopio, sonorappresentate dalla turbolenza atmosferica, che si manifesta medianteil fenomenoosservativo delseeing, e dai gradienti gravitazionali e termici(ipotizzando un perfettosistema di controllo delle parti attive e un adeguato accoppiamento opto-meccanico deltelescopio)

Questi fenomeni, agendo sulla struttura del telescopio, lo allontanano dalla configurazioneottica ideale (sistema stigmatico: sistema ottico in cui tutti i raggi convergono in un solopunto), generando disallineamenti delle ottiche

Sistemi ottici reali - 2Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Dunque l’immagine di un punto non è un punto, ma un disco luminoso più o meno grande e/odeformato a seconda delle aberrazioni presenti (sicuramente maggiore del discodi diffrazione).In tal caso possono presentarsi le seguenti aberrazioni:

ABERRAZIONI GEOMETRICHE (sistemi ottici centrati)1. sferica;2. astigmatismo;3. coma;3. coma;4. curvatura di campo;5. distorsione di campo.

ABERRAZIONI DA DISALLINEAMENTO (sistemi ottici decentrati)1. decentering;2. defocus;3. tilt;

Aberrazioni otticheTecnologie Astronomiche M. Brescia

L’aberrazione di un sistema ottico si descrive comparando un fronte d’onda sferico di riferimentoRS con quello aberrato AWF. RS è centrato sul punto immagine e tangente alla pupilla di uscita.In generale dunque, il fronte d’onda non è una sfera perfetta, bensì aberrata, cioè parti differentidel fronte convergono al fuoco in zone differenti.

W differenza di cammino ottico tra i due frontidW variazione di fase fra punti vicini nellapupillaT aberrazione trasversale o differenza di quota frail centro di curvatura di RS ed il punto del raggioche interseca il piano del fuoco parassialeR raggio di curvatura

d WT R

d y

= −

Aberrazioni otticheTecnologie Astronomiche M. Brescia

La figura mostra un fronte d’onda aberrato che può non avere un unico fuoco, ma che ha iraggiin un’area racchiusa nel cerchio che interseca il piano immagine parassiale nel punto y0=-T.∆W è allora la distanza tra RS e AWF e l’angoloAA tra i raggi e l’asse ottico è chiamatoaberrazione angolare. (l’aberrazione trasversa si ottiene da quella angolare moltiplicata per lafocale R).

( , )T dW W x yAA

R dy n y

∂∆= − = = −∂

AAAA AAAA

Classificazione analitica di un fronte d’ondaTecnologie Astronomiche M. Brescia

Un fronte d’onda nella sua forma più generale, può essere espresso analiticamente come sommadi monomi:

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2( , ) 3W x y A x y By x y C x y D x y Ey Fy= + + + + + + + + +

Ove i coefficienti rappresentano i contributi di:A = aberrazionesferica

0 0

( , )k n

m n mn m

n m

W x y c x y −

= =

= ∑ ∑

Ove k è il grado del polinomio. Nel caso di aberrazioni primarie si ottiene:

A = aberrazionesfericaB = comaC = astigmatismoD = defocusingE = inclinazione rispetto all’asse xF = inclinazione rispetto all’asse y

Aberrazione sferica - 1Tecnologie Astronomiche M. Brescia

L'aberrazione sferica è un difetto che in un sistema ottico porta alla formazione di unaimmagine distorta.Essa è anche nota come aberrazione in asse, invariante cioè rispetto adunoshift angolare rispetto a direzioni ortogonali all’asse ottico. Ciò perché si manifesta per un effettodi “sfocamento” lungo l’asse ottico,proporzionale a y4.

È provocato dal fatto che, in generale, la sfera non è la superficie idealeper realizzare unalente/specchio, ma è comunemente usata per semplicità costruttiva.I raggi distanti dall'asse vengono focalizzati ad una distanza differentedalla lente rispetto a quellipiù centrali. Per evitare il fenomenosi utilizzano particolari lenti non sferiche, chiamatepiù centrali. Per evitare il fenomenosi utilizzano particolari lenti non sferiche, chiamateasferiche, più complesse da realizzare e molto costose. Il difetto può anche essere minimizzatoscegliendo opportunamente il tipo di lente adatto all'impiego specifico.

Aberrazione sferica - 2Tecnologie Astronomiche M. Brescia

Consideriamo una superficie riflettente curva, come nella seguente figura. Consideriamo unaparticolare famiglie di curve composta dalle curve coniche del tipo:

2 22 (1 ) 0R z e zρ − + + =

Ove R è il raggio di curvatura della sfera osculatrice della conica,e è l’eccentricità della conica.Risolvendo l’equazione di secondo grado:

( )2 2

2

1

1

R R Kz

K

K e

ρ− − +=

+= −K e= −

dove K è la costante conica. Sviluppando in serie di Taylor si ottiene:

( ) ( )2 4 6

3 51 1 . . .

2 8 1 6z K K

R R R

ρ ρ ρ= + + + + +

1 i p e r b o l o i d e

1 p a r a b o l o i d e

1 0 e l l i s s o i d e

0 s f e r a

0 e l l i s s o i d e o b l u n g a

K

K

K

K

K

< −= −

− < <=>

2

s e e s o l o s e 12

z KR

ρ= = −

Ottica asfericaTecnologie Astronomiche M. Brescia

La superficie che produce un’immagine priva di aberrazione sferica è la parabola (supponendo lasorgente posta all’infinito, caso astronomico). Le altre sono asferiche solo se sorgente edimmaginesonoall’interno dei fuochi (p e q) dellecurve(cioèa distanzafinita, checi interessanoimmaginesonoall’interno dei fuochi (p e q) dellecurve(cioèa distanzafinita, checi interessanocomunque per ottiche a due specchi, tipiche dei telescopi!)

Le coniche non sferiche producono immagini affette da aberrazioni fuori-asse. Ricordiamoci che,rispetto ai due fuochi, vale l’utile relazione (m è l’ingrandimento):

2q p

Kq p

qm

p

+= − −

=

la parabola fu (e rimane) la soluzione naturale per lo specchio primario di molti telescopi

Aberrazioni fuori asse di sistemi centratiTecnologie Astronomiche M. Brescia

Quando l’oggetto non giace sull’asse ottico si presentano aberrazioni definite fuori asse. Siconsideri un fascio collimato che incide con un angoloθ su una superficie conica. Si ha dunque:

T dWAA

R dy

= − =

Sostituendo nell’equazione

θ3 2 23

1 2 32...

y yW a a a y

R R

θ θ θ= + + +

Si ottiene:

2 23

1 2 323 2 ...

dW y yAA a a a

dy R R

θ θ θ= = + + +

I cui termini sono rispettivamente il coma, l’astigmatismo ela distorsione. Il loro carattere dipende dalle rispettivepotenze con cui y eθ sono rappresentati.

( )2

1 22/2 e 2 3

16 /coma

yy D R f dW a

R f D

θ θ≅ = → = ≅esempio:

y

ComaTecnologie Astronomiche M. Brescia

L’immagine in presenza di coma appare asimmetrica ed ha la forma di una cometa di cui il fuocoparassiale costituisce la testa. La coda dell’immagine, ovvero la parte meno luminosa, è direttaradialmente rispetto all’asse ottico. Il coma è positivo quando la coda è diretta dalla parte oppostarispetto all’asse ottico ed aumenta in proporzione all’angolo di inclinazione del fascio incidente;quindi risulta maggiore per oggetti più distanti dall’asse ottico.Il coma è proporzionale a y2θ equindi cambia segno con l’angolo d’inclinazione, ma è invariante per cambi di segno di y. Puòmanifestarsi sia fuori asse o anche al centro del FOV (cioè in asse).

I raggi che passano per il centro di una lentecon distanza focale f, sono focalizzati allacon distanza focale f, sono focalizzati alladistanzaf tanθ. I raggi che passano in periferiasono focalizzati invece in un punto diversosull'asse, più lontano nel caso della comapositiva e più vicino nella coma negativa

AstigmatismoTecnologie Astronomiche M. Brescia

è proporzionale a yθ2 e quindi non cambia segno al variare di quello diθ, ma di y, per cui raggiprovenienti dalla parte opposta allo specchio giacciono da parti opposte rispettoal raggio centralevicino al fuoco parassiale. L’immagine in presenza di astigmatismo è pertanto traversa rispetto alraggio centrale.

All’origine dell’astigmatismo vi può essere un errato montaggio degli elementi ottici o, peggioancora, una serie di errori più o meno grossolani di lavorazione degli stessi. Entrambi i motivisopraelencati portano alla presenza di più assi ottici nell’ambito dello schema del telescopio

Distorsione di campoTecnologie Astronomiche M. Brescia

è proporzionale a θ3 e non dipende da y. Per un insieme di punti oggetto equispaziatiperpendicolarmente all’asse ottico, l’insieme di immagini risulterà non equispaziata. Questo vuoldire che la lunghezza focale cambia con l’angolo di campo. La distorsione è detta“a barilotto” o“a menisco” in base alla forma caratteristica che assume rispettivamente quando è positiva enegativa

Curvatura di campoTecnologie Astronomiche M. Brescia

I fuochi corrispondenti a diversi angoli d’incidenza dei raggi, in assenza di altre aberrazioni,giacciono su una superficie curva. E’proporzionale a yθ2

Riassunto aberrazioni per sistemi centratiTecnologie Astronomiche M. Brescia

Delle cinque aberrazioni descritte, solo quella sferica non dipende dall’angolo di incidenza delraggio sulla superficie, mentre le altre dipendono dalle potenze diθ. La distorsione e la curvaturadi campo hanno effetto sulla posizione dell’immagine.

Ciascuna aberrazione è proporzionale a ynθm, ove n + m = 3.Quindi ciascuna di esse è chiamata del terzo ordine.

Oltre alle aberrazioni primarie o “acromatiche”, vi sono le aberrazioni “cromatiche”, legateall’indice di rifrazionen del mezzoe dalla lunghezzad’ondaλ della radiazionein esame. Poichéall’indice di rifrazionen del mezzoe dalla lunghezzad’ondaλ della radiazionein esame. Poichél’indice di rifrazione del raggio, incidente e riflesso da uno specchio, è il medesimo, gli specchinon sono affetti da questo tipo di aberrazione.

Delle cinque aberrazioni del terzo ordine, quellasferica non dipende dal campo; ilcoma vidipende linearmente;l’astigmatismo e la curvaturaquadraticamente; ladistorsioneha invece unadipendenza cubica

2 23

1 2 323 2 ...

dW y yA A a a a

dy R R

θ θ θ= = + + +

Sistemi ottici a 2 specchi: telescopiTecnologie Astronomiche M. Brescia

Ponendo uno specchioiperbolico con uno dei fuochi sul piano focale del primario M1(parabolico) otteniamo un teleobiettivo con focale equivalente maggiore delle dimensioni fisichedello strumento con aberrazione sferica corretta. Un caso particolare di teleobiettivo è iltelescopio classico a due specchi. Un telescopio costruito in questo modo si chiamaCassegrain.Sebbene l’aberrazione sferica per oggetti in asse è annullata, permangono tuttele altreaberrazioni fuori asse

Configurazioni standard di telescopiTecnologie Astronomiche M. Brescia

cassegrain

nasmyth

gregoriano

coudè

Ritchey -Chrétien

coudè

Fuoco primario

Schmidt-cassegrain

Alcune definizioni importantiTecnologie Astronomiche M. Brescia

L’ F-number (detto anche apertura numerica o F/#) esprime il diametro dell’apertura deldiaframma in termini dell’effettiva lunghezza focale e della lente.Ad esempio, F/16 rappresentaun diametro di apertura del diaframma pari ad un sedicesimo delle lunghezza focale.

/ /F n u m b e r f D=

Il parametros = 206264.8/f è lascala angolaredel telescopio (arcsec/mm)(Non si confonda l'ingrandimento con la scala; l'ingrandimento è il rapporto tra la focale deltelescopio e quella dell’obiettivo, serve dunque per osservazioni visuali. E'facile avereingrandimentidi 1000o oltre, ma in praticala turbolenzaatmosfericae la qualitàdelle otticheingrandimentidi 1000o oltre, ma in praticala turbolenzaatmosfericae la qualitàdelle ottichelimitano i valori utili a 200, o 300)

Il parametros va confrontato con le dimensioni dell’elemento di immagine (ad es. le dimensionidel pixel del CCD in micron) sul piano focale del telescopio, per ottenere lascala spazialedellostrumento. Ad es, se la focalef fornisces= 10”/mm e il CCD ha pixel di lato 10µm, avremo scalaspaziale di 0”.1/px

[ ]

[ ]

206264.9805"/

"/

Tel

PF Tel pixel

S mmf

S S L pixel

=

=

Caratterizzazione telescopiTecnologie Astronomiche M. Brescia

Il più banale telescopio è costituito da una lente convergente di focale f ed un rivelatore posto alfuoco (punto di convergenza o “concentrazione” dei raggi della sorgente). Qualunque telescopiopermette quindi di misurare la brillanza del cielo B(α,δ), convogliando sul rivelatore la massimapotenza (flusso di energia) possibile.Ciascun pixel di area AP del rivelatore riceve dunque radiazione e.m. da un angolo solido in cieloquantificabile in:

2P

s

A

fΩ =

La potenza luminosa totale raccolta dal rivelatore saràallora: ( ),l sP A B α δ= Ω dove Al è l’area della

lente

Risulta evidentedunqueche un’alta risoluzioneangolare(inversamenteproporzionalea Ω ) edSENSIBILITA’

Risulta evidentedunqueche un’alta risoluzioneangolare(inversamenteproporzionalea Ωs) edun’alta sensibilità P sono esigenze incompatibili e si deve trovare il giusto compromesso. Infatti:

2

4

/

lA D

fF

D

π=

# =( ) ( )2

2, ,

4 4 /P PA A

P D B Bf F

ππ α δ α δ= =#

A parità di risoluzione angolare e brillanza, la potenza raccolta è proporzionale adAp

A parità di risoluzione angolare, telescopi con f più corta concentrano la stessa potenza surivelatori di area minore. La limitazione però è costruttiva (pixel molto piccoli).Telescopi con grande F/# sono poco luminosi ma con alta risoluzione angolare. Piccola F/#invece implica telescopi molto luminosi, ma con bassa risoluzione angolare.

Parametri ottici di progettazioneTecnologie Astronomiche M. Brescia

Relazioni ottiche costruttiveTecnologie Astronomiche M. Brescia

1

2

1

2

2 1

2

f

D

D

q fm

p f

Rf

B F Df

ε

ββ

=

= =

=

= =

Rapporto di ostruzione (sempre < 1, altrimenti tutto M1 ostruito!)

Ingrandimento (m di M1 = 1, quindi si considera quello di M2)

Relazione tra focale e raggio di curvatura

Back Focal Distance: distanza tra vertice di M1 e piano focale deltelescopio1

1fB F D

fβ= =

( )

( )

2 1

2

1

2

2

1

1

1 1

1

1

q m f

Rm

m R

mk

mm

mK

m

εερ

ρ

β ε

=

= =−

−=

+ = +

+ = − −

telescopio

Relazioni utili

È importante sottolineare che le relazioni diottica geometrica usate per disegnare i telescopi(al primo ordine) valgono in tutte le bande dellospettro elettromagnetico, ovvero i telescopi peronde radio o raggi X (ad esempio) devonoobbedire sempre a queste relazioni

Progettazione ottica di un telescopio - 1Tecnologie Astronomiche M. Brescia

ESEMPIO 1:Si disegni un telescopio Cassegrain di apertura numerica F/#=5.5 con specchio primario didiametro D1=2.65m e rapporto focale F1/# = 1.79 (specchi di questo diametro sono difficili dafabbricare e da controllare in fase di utilizzo). Per motivi di posizionamento degli strumenti dipiano focale il piano focale del telescopio deve essere a 1.1914 metri dal vertice del primario esotto di esso.

SOLUZIONE 1:Lo scopoèquellodi trovarei parametricostruttividel telescopio,ovveroi raggidi curvatura(R1Lo scopoèquellodi trovarei parametricostruttividel telescopio,ovveroi raggidi curvatura(R1e R2), le dimensioni degli specchi (D2), le costanti coniche (K1 e K2) e la distanza fra glispecchi.

Progettazione ottica di un telescopio - 2Tecnologie Astronomiche M. Brescia

La focale del telescopio f è, dalla definizione di rapporto focale,f = F/# D1 = 9 1.8 = 14575mmLa focale del riflettore principale è:f1=F1/# D1 = 4743.5mmtroviamo quindi il primo parametro utile:R1 = 2 f1 = 9487mmLa back focal distanceβ (parametro adimensionale), essendo il fuoco 1.1914 metri sotto ilvertice del primario, vale :β = 1191.4/f1 = 1191.4/4743.5 = 0.2512L’ingrandimento del telescopio è:m = f/f1 = 14575 /4743.5 = 3.0726L’ostruzioneε vale:ε = (1+β)/(m+1) = (1+0.2512)/(3.0726+1) = 0.3072La dimensione dello specchio secondario risultaD2 = e D1 = 814.14mmRicaviamo il parametroρ = mε/(m-1) = 0.4554si ricavadunqueil secondoparametroutile: R2 = ρ R1 = 4320.57mmsi ricavadunqueil secondoparametroutile: R2 = ρ R1 = 4320.57mmq2 = mεf1 = 4477.40mmDall’ultima riga della tabella ricaviamo la distanza fra i riflettori D12 = q2 - βf1 = 3285.83 mm

Gli ultimi due parametri costruttivi sono le costanti coniche degli specchi.Siccome vogliamo fare un Cassegrain il riflettore primario è parabolico: K1 = -1Mentre la costante conica del secondario è:K2 = -[(m+1)/(m-1)]2 = -4Con i parametri trovati si iniziano le ottimizzazioni del disegno utilizzando il codice disimulazione (ray tracing).

Progettazione ottica di un telescopio - 3Tecnologie Astronomiche M. Brescia

ESEMPIO 2:Nella stazione spaziale orbitante uno spazio volumetrico a forma di parallelepipedo di dimensioni500 x 500 x 700 mm può ospitare un telescopio per osservazioni UV a 0.4µm di lunghezzad’onda. Il pixel di campionamento è equivalente ad un quadrato di 1.6µm di lato.Per permettere l’alloggiamento della strumentazione è necessario lasciare 200 mm sul retro delprimario ed il rivelatore ha un ingombro di 8 mm.Calcolare i parametri di disegno delle ottiche per un telescopio Cassegrain classico ed unoaplanatico. Si considerino M1 e M2 di spessore trascurabile.

Progettazione ottica di un telescopio - 4Tecnologie Astronomiche M. Brescia

SOLUZIONE 2:La distanza fra M1 e M2 può essere al massimo 500 mm (D12=500mm). Il piano focale deltelescopio è a 192 mm (200-8) dal vertice del primario (estrazione focale β=192mm). Il diametrodel telescopio sarà di 500 mm (D1=500mm). Il campionamento ideale corrisponde a quello deldisco di Airy su due pixel (per restare compatibile con il criterio di Rayleigh e con il vincolo diNyquist).

22 ( 0 .0 0 1 6 5 0 0 ) [ ]1 6 3 9

2 (1 .2 2 0 .0 0 0 4 ) [ ]A IR Y S IZ E S IZ E

A IR Y A IR Y A IR Y

p ix p ix m mf m m

f m mθ θΦ = ⋅

⇒ = = = Φ = ⋅ ⋅

Dalle relazioni noteq2 = mεf1= (f/f1)εf1 = fε = D12+β si ha:fε = 500+192 = 692 mm,da cuiε = 0.4222ε = D2/D1 da cuiD2 = εD1 = 211.1 mmPer calcolare f1, occorrerebbe normalizzareβ in unità di misura di f1, per cui:Da: [1+β=ε(m+1)] e [m=f/f1] e [βf1=β/f1] si ottiene:1+β=1+(β/f1)=ε(m+1)=ε((f/f1)+1) 1+(β/f1)= εf/f1)+ε) f1=(β-εf)/(ε-1)=865mm e m = 1.89R1 = 2 f1 R1 = 1730 mmρ = R2/R1 = mε / (m-1) = 0.899, da cui R2 =ρR1 R2 = 1555.27mmPer il telescopio classico:K1 = -1 e K2 = -[(m+1)/(m-1)]2 -> K2 = -10.38La distinzione fra classico e aplanatico sta solamente nelle coniche degli specchi. Per untelescopio aplanatico si applicano le equazioni viste:K1 = -1.40 e K2= -19.38