BREMSSTRAHLUNG INVERSO

Assorbimento collisionale nei plasmi, in regime lineare e non lineare.

Ciro D’Amico, seminario di Ottica Quantistica

A.A. 2001-2002

Docente del corso: Prof. Danilo Giulietti

Sommario

Introduzione La legge di Kirchhoff L’emissione di Bremsstrahlung (cenni) L’assorbimento lineare L’assorbimento non lineare Processi multifotonici nel Bremsstrahlung

non lineare Un elegante esperimento Conclusioni

Introduzione (1)

Con i laser di potenza oggi si possono raggiungere intensità dell’ordine di

La relazione che lega l’intensità di un onda all’ampiezza del campo elettrico che trasporta è

Questo significa che si possono raggiungere campi el. Dell’ordine di

21716 1010 cmW

22100 5,27 cmWIcmVE

cmV9109

Introduzione (2) Campi di simile ampiezza riescono a ionizzare gli atomi; se un

impulso laser di grande potenza è focalizzato su un bersaglio solido, in breve tempo, si formerà un plasma di elevata densità iniziale.

Necessità di studiare l’interazione laser-plasma. Quando si ha a che fare con radiazione di elevata intensità, grande importanza vengono ad assumere, soprattutto, i fenomeni non lineari.

Parleremo di un particolare processo di assorbimento, causato dalle collisioni nei plasmi (soprattutto quelle elettrone-ione). Lo esamineremo sia in regime lineare che in regime non lineare.

Tale processo di assorbimento prende il nome di “Bremsstrahlung inverso”

Introduzione (3) In un plasma valgono le equazioni

di Maxwell.

è legato ad :

e si riferiscono a tutte le cariche e le correnti presenti nel plasma:

è anche legata al campo elettrico da una relazione non locale temporalmente:

è il “Tensore conducibilità elettrica, che è legato al “tensore dielettrico dalla relazione

0 E

tBE

0 B

tEJH

0

HB

0B

H

J

0

Jt

J

EJ

0

1 j

Introduzione (4) Combinando opportunamente le equazioni di maxwell, per plasmi

isotropi, si trova la relazione di dispersione delle onde e.m trasversali:

L’indice di rifrazione di un plasma è, di solito, una grandezza complessa

tr

cK

2

22

22ˆ jnn tr

Kc

n Re

Kc

Im

trn Re22

trn Im2

Introduzione (5) Onda di intensità che attraversa un plasma ( intensità iniziale)

Il coefficiente di assorbimento è legato a e a e dalle relazioni:

Approssimazione di plasma freddo: . Il plasma può essere pensato come l’insieme di un fluido di elettroni, immerso in un background di carica positiva stazionaria, rappresentata dagli ioni.

I 0I

zAII exp0

cKA 2Im2

0

ReIm

cncnA tr

tr A

KVth

Introduzione (6) Il modello fluido collisionale descritto dalle equazioni:

predice

eeiee

e uvmEet

um

~~

22

2

ei

ei

e

e

v

jv

m

en

22

2

22

2

1

ei

pe

ei

pe

vj

v

212221 1 pen

2122

2

zc

zzvzA

pe

peei

eipe v

; ee uenJ

La legge di Kirchhoff. Plasmi isolati in equilibrio termodinamico con le pareti, a temperatura

T , irraggiano di corpo nero secondo la “legge di planck”:

La stessa radiazione attraverserà il plasma venendo assorbita secondo la legge esponenziale

All’equilibrio l’emissione deve bilanciare l’assorbimento; si trova, quindi, un “rate” di emissione (Legge di Kirchhoff) :

2

1

23

32

1exp4

Tkc

nII

B

bb

AI

dz

dI

smorz

.

bbAIS

Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (1). Le particelle cariche che attraversano la materia vengono diffuse per

collisione. Durante una collisione tali particelle vengono accelerate e irraggiano radiazione elettromagnetica secondo la formula classica di Larmor

La radiazione emessa da particelle cariche durante gli urti viene chiamata “Bremsstrahlung” (radiazione di frenamento).

Se l’urto avviene contro una seconda particella carica, anche quest’ultima essendo accelerata irraggierà e bisognerà costruire una sovrapposizione coerente delle due radiazioni, ma noi supponiamo che una delle due particelle abbia massa “infinita”.

23

0

2

||6

uc

ne

dt

dW

Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (2). Si può dimostrare che vale la relazione

dove abbiamo indicato con la trasformata di fourier di .

Per calcolare consideriamo un semplice modello di scattering di un’elettrone su uno ione di carica Ze:

23

02

2

||6

uc

ne

d

dW

u tu

tu

u

u

Ze

,fotone

b0t

Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (3). Grandi parametri d’impatto piccole deflessioni

Per cui si ricava:

Dove e sono delle funzioni di Bessel modificate, rispettivamente, del primo e dello zeresimo ordine.

23222

0

2

4 tub

b

m

Zetu

e

23222

0

2

|| 4 tub

ut

m

Zetu

e

u

bK

u

bK

um

nZ

c

e

d

ubdW

e

2

02

142

223

0

2 4

43

2,,

1K 0K

Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (4). Per (basse frequenze) e hanno i seguenti valori

asintotici (Abramowitz e Stegun )

possiamo inoltre pensare che se ( t è il tempo di durata di una collisione ) il contributo maggiore venga da , quindi possiamo approssimare a

che è l’energia emessa per elettrone e per unita di intervallo spettrale

1ub1K 0K

5772.0

2ln0 u

bK

b

u

b

uK

2

2

11

ubt 11K

222

23

0

2 4

43

2,

bum

nZ

c

e

d

ubdW

e

Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (5). Il numero di ioni con parametro d’impatto compreso tra e ,

che un elettrone incontra, per unità di volume, muovendosi nel plasma è dato da

è la potenza emessa da un elettrone, per unità di volume e di intervallo di frequenza.

e sono il massimo e il minimo dei parametri d’impatto, rispettivamente.

bdbundn ii 2

b dbb

min

max

3

0

22

ln43

162

,, max

min b

b

c

e

um

nZnbdb

d

ubdWun

d

ubdP

e

ib

bi

B

minbmaxb

Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (6). Il numero di elettroni, per unità di volume, aventi velocità compresa

tra

e è dato da:

= funzione di distribuzione delle velocità degli elettroni

,4 2duuufnudn ee

u duu

0min

max

3

0

2

2

2

4ln3

433

16duuuf

b

b

c

e

m

nnnZ

d

dP

e

ieB

Tot

uf

Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (7). “THERMAL BREMSSTRAHLUNG”: distribuzione di Maxwell-

Boltzann.

è la potenza totale emessa, per unità di volume e di intervallo di frequenza.

eB

e

eB

e

TK

um

TK

muf

2exp

2

223

min

max

21

2330

3

62

ln3

32323

16

b

b

TK

m

mc

ennnZ

d

dP

eB

e

e

ieB

Tot

Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (8). La potenza totale emessa per

unita di intervallo spettrale non dipende dalla frequenza.

Effetti quantistici possono essere trascurati se

2

2

1umhv e

eB

offcut

TK

eBeB

e

e

ieB

Tot

TKb

b

TK

m

mc

ennnZ

d

dP

expln

3

32323

16

min

max

21

2330

3

62

I

offcutLog

taglio

di

frequenza

e

lungBremsstrah

di

emissione

di

Spettrofig .2.

Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (9). Calcolo di e :

con riferimento a fig.1:

“FATTORE DI GAUNT”: termine correttivo. I parametri e sono funzioni di per cui deve essere mediato sulle velocità. Per thermal Bremsstrahlung è:

1ub ub max

bum

Ze

tub

bdt

m

Zeu

ee

2

23222

2 2

uu 22min 2 umZeb e

2

3

2ln

3

Ze

Vmg the

ff

minbmaxb

maxb minbu

L’assorbimento lineare (1). Quando un elettrone viene accelerato nel campo columbiano di uno

ione emette un fotone. Sovente può succedere che l’elettrone accelerato assorba un fotone; tale processo di assorbimento viene chiamato “Bremsstrahlung inverso”.

L’emissione o l’assorbimento di radiazione da parte di una particella carica, a bassi campi, è un processo a singolo fotone; cioè l’elettrone può emettere o assorbire un solo fotone alla volta. Come vedremo, invece, per intensi campi laser (regime non lineare) l’emissione e l’assorbimento di radiazione sono processi a molti fotoni.

Abbiamo gia calcolato tutto ciò che ci serve per ricavare il “coefficiente di assorbimento di Bremsstrahlung inverso” in regime lineare.

L’assorbimento lineare (2). Il coefficiente di assorbimento per radiazione poco intenza, in plasmi

all’ equilibrio termico, viene calcolato mediante la legge di Kirchhoff

= Intensità spettrale di corpo nero

= Intensità spettrale per emissione di Bremssteahlung

e

bbe

B

e TI

TITA

bbI

BI

effeBe

eie

B TGTKmn

ennZTA ,

3

1

2

1

6

2321

230

62

L’assorbimento lineare (3).

Caratteristiche importanti dell’assorbimento in regime lineare:

1) è meno efficace ad alte temperature

2) è meno efficace ad alte frequenze

3) è più efficace per alte densità del plasma

inoltre

4) a basse temperature, contributi dalla radiazione di ricombinazione

5) effetti quantistici di sovrapposizione si trascurano per

eBe TKmb

min

L’assorbimento lineare (4). Massimo assorbimento in quegli strati del plasma a densità più elevata in

cui il laser può penetrare, cioè vicini alla densità critica:

(coefficiente di assorbimento massimo)

nella nostra trattazione classica ( e temperature al di sotto dei

eV) il fattore di Gaunt si può scrivere come:

ffeB

eLe

B GTK

m

nc

ZeTA

L 3

1

26

~2321

0

22

4

20

242

e

mnnZn eL

cie

20

23254

781,1

2ln

3,

Ze

m

m

TKTG e

e

eBeff

eBTK250Z

L’assorbimento lineare (5). La teoria di Vlasov e la teoria fluida, al primo ordine, ricavano il

coefficiente di assorbimento lineare come una funzione della frequenza di collisione elettrone-ione:

ora, eguagliando tale coefficiente a quello calcolato per l’assorbimento di Bremsstrahlung inverso possiamo calcolare una frequenza efficace di collisione elettrone-ione:

2

peei

cn

vA

ffeBe

eeffei G

TKm

eZnv

3

1

2

1

6

2321

20

4

,

eVT

Zcmnv

e

eeffei 23

15

, 102

L’assorbimento lineare (6). UN SEMPLICE ESERCIZIO!

Si consideri della radiazione monocro

matica ( ) poco intensa ( ) che

incide normalmente su un plasma

isotermo con un gradiente lineare di

densità ,e spesso .

fig.3.

Sia per e per

. Vogliamo sapere la

percentuale di radiazione che esce dal

plasma in .

l

0z lz

0I lIAplasma,

z

0en 0z ce nn lz

lz

!Soluzione

ce

e

nn

nl dzzAII00 2exp

2122

2

zc

zzvzA

pe

peei

lvl

zzv

l

zz

eiei

pe22

c

llvdzzA ei

nn

n

ce

e 15

322

0

c

llvII ei

l 15

32exp0

2232

05102 Le

eei Te

Zmlv

L’assorbimento lineare (7). ESEMPIO 1: laser a Nd ( , )

ESEMPIO 2: laser a ( , )

m 1 11510 sradL

ml 10

Hzlvei12108

56.00 II l

ml 3 84.0ol II

2CO m 10 11410 sradL

Hzvei1110

ml 100 94.00 lII

L’assorbimento non lineare (1). Elettrone libero in un campo elettrico oscillante di ampiezza massima

velocità di quiver

velocità termica

Quando >> il moto dell’elettrone sarà determinato in primo luogo da campo di radiazione, e tutte le formule ricavate fino ad ora non sono più valide! (regime non lineare).

Un parametro che misura il grado di non linearità del problema è

12210 25 scmcmWImm

eEu

eE

0E

e

eBth m

TKV

thE Vu

1 linearenontoassorbimen

Eu thV

L’assorbimento non lineare (2). Radiazione di lunghezza d’onda in un plasma a temperatura ; si può

mostrare che

E’ facile mostrare anche che quando e allora

Come tutti i fenomeni non lineari anche l’assorbimento multifotonico è assai ostico per una accurata trattazione analitica. Daremo qualche accenno di calcolo, ma soprattutto delle referenze riguardo al problema, in seguito. Adesso ci limitiamo a fare dei discorsi qualitativi.

eT

1 m

eVTI e

212103

1 ce nn

2oeBe cETKn

L’assorbimento non lineare (3) Per campi laser intensi il coefficiente di assorbimento diventa una funzione

dell’ intensità del laser. Qualitativamente possiamo trovare una espressione approssimata del coefficiente di assorbimento, con la sostituzione

tenendo conto del fatto che è diverso anche il fattore di Gaunt.

Sostituendo si ottiene:

E’ solo una espressione approssimata, ma l’andamento con è in accordo con le espressioni che si ottengono con calcoli più accurati.

2theeB VmTK 22

022 eEe mEeum

Eie

eB G

ncE

ennZTA

32

1

6

21

30

30

32

30E

L’assorbimento non lineare (4). proprietà importante:

proprietà importante:

potenza assorbita =

Intensità più grandi vengono assorbite meno efficacemente. Un assorbimento ottimale si ha dunque quando

BA

aI

LaII

BA 30E BA 23I

IAB

21I

1

L’assorbimento non lineare (5). Come abbiamo fatto in precedenza possiamo calcolare l’assorbimento

massimo, che si presenterà, ancora una volta, in quelle zone del plasma vicine alla densità critica:

EeLB G

ncEe

ZmEA

32

1

6

~21

300

5

0

laserdelfrequenzadalladipendenzaforte

L’assorbimento non lineare (6).

yxFAA BL

BMF ,,,

01

1

210 2!!!2122

!221sinh

sinh

3,

kkn

knk

n

nyKy

nx

kknknkn

knnyn

yKyyxF

eBq TKWx 2 eBTKy 22eeq meEmW

Metodo quantistico di Osborn: hamiltoniano di un elettrone nel campo columbiano di uno ione, in presenza di radiazione elettromagnetica intensa + teoria delle perturbazioni al primo ordine, per il potenziale columbiano. (Osborn R.K. 1972 Phys. Rev. A.5 1660-2).

RISULTATI:

; ;

jK jordinediificataBesseldifunzione mod

L’assorbimento non lineare (7). Brysck 1975 usa alcune proprietà matematiche delle funzioni di Bessel e

delle funzioni ipergeometriche confluenti (Abramowitz, Stegun) e calcola (Brysck H., 1975, J. Phys. 1260):

xFF ,2,

2

5,

2

3,

2

322

1

12321

!

2321222ln4ln

2

3

jjxjj

jjyxxF

!211

11

!11,,,,

2

22

xxxF

grandix

ermediepiccolix int

L’assorbimento non lineare (8) F è un fattore correttivo del coefficiente di assorbimento multifotonico

rispetto a quello lineare, per campi deboli. Resta confermato allora che l’assorbimento ottimale si ha quando

Ecco ciò che ha ottenuto Brysck

1 1x

x

F

Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (1)

Argomento: scattering di elettroni da un potenziale V debole, in presenza di un campo elettromagnetico intenso. (N.M.Kroll, K.M.Watson, Phys. Rev. A8, 804, 1973). Utilizzo dell’equazione di Schrödinger per calcolare gli stati dell’elettrone prima e dopo l’urto.

L’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, per il nostro problema è

Potenziale vettore forte: processi indotti dominano i processi spontanei. Inoltre supponiamo il campo spazialmente uniforme. Come risultato possiamo trascurare nell’equazione l’effetto di . Possiamo scrivere:

tjVA

c

ej

m

2

2

1

2A

ttdAmc

ejt

t

2

2

2

2exp

tjVA

mc

je

m

2

2

2

Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (2)

Per V=0 la soluzione è un’onda piana, corrispondente ad un impulso mediato nel tempo

Per risolvere l’equazione completa usiamo il metodo della funzione di Green ritardata, , definita da:

kq

t

ktdAk

c

ek

m

jrkj

2

2expexp 2

ttrrGt

jAmc

je

m

22

2

00,, ttperttrrG

causalitàdiprincipio

ttrrG ,,

Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (3)

Specializzandoci al caso , la funzione di Green si può scrivere come

SOLUZIONE:

onda piana corrispondente ad un impulso iniziale dell’elettronevogliamo la soluzione essere un’onda piana nel remoto passato ( )

taA cos

takc

etk

m

j

takc

etk

m

jrrkjkd

jG

sin2

2exp

sin2

2expexp

2

2

23

trrGVtdrdk

t

kk ,

000

00 kq

t

Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (4)

trtrtakc

etk

m

jkkk

,,sin

2

2exp

,

20

00

2periodo

diperiodicafunzione

Fourierdiserie

inespanderepossiamo

tjnrtrn

nkkkk

exp,,,, 00

Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (5)

Il secondo termine nella soluzione generale si potrà allora scrivere come una somma infinita

dove, per il solito modello di scattering, per grandi r

trSn nk

,,0

rrVrnkjrd

tankm

etnk

m

jrnjk

r

mtrS

nnkk

nk

,,

22,

0

0

exp

sin2

2expexp

1

2,

nkm

nkm

20

2

2

1

2

1 scattering

didiffsezionedella

calcolonellefondamentaruolo

ungiocafattoreultimoques

.

'

Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (6)

La sezione differenziale di scattering è definita da

Inoltre si dimostra che

Correnti di probabilità associate, rispettivamente, all’onda piana incidente, e all’onda sferica presente in , per grandi r:

.

2

...

..

incid

diffuse

J

Jr

tempodieareadiunitàperincidpartdin

dintempodiunitàperdiffusepartdind

d

d

t

knkknknnkkVVdtrrVrnkjrd

2

0,, 000,,

2exp

nkS

,0

mcAemq

0

2rmcAemnq

temponel

mediatevannoaledifferenzi

sezionedellacalcolonel

Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (7)

Formula finale per la sezione differenziale di scattering di scattering

Approssimazione di potenziale debole: possiamo pensare che, quando il potenziale V è debole, non si commetta un grosso errore operando la sostituzione

2

0

2

20

0,

2

,knk

Vq

nqm

d

qnqd

0k

0k

),(0knk

V ),(0knk

V

Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (8)

deboleV

rkjVrnkjJ

rkjVrnkj

tjntjV

n

tknk

0

0

2

0

exp,exp

exp,exp

sinexp2

,0

d

qnqdJ

q

nq

d

qnqd Bn

)(, 02

0

0

mcqnqacmMWIm )(352.0 02212

..mecampo

delionepolarizzaz

..mecamposenzaelastico

scatteringdisezione

Borndi

zioneApprossima

Un esperimento elegante (1) Weingartshofer et al. (A. Weingarsthofer, J.K.Holmes, G.Caudle, E.M.Clarke,

1977, Phys. Rev. Lett. 39, 269) Fascio monoenergetico ( ) di elettroni su Ar ; rivelati elettroni

scatterati a Sui centri di scattering era presente un laser a ,impulsato e focalizzato:

50 MW ( e ). Studiati i due processi multifotonici

(emissione di n fotoni)

(assorbimento di n fotoni)

eV11iE 0153

2CO2910 cmWI

laserArnhvEelaserArEe ii

laserArnhvEelaserArEe ii

Un esperimento elegante (2)• Per campi deboli: assorbimento o emissione di un singolo fotone alla volta

(H.Kruger, M.Schulz, 1976, J. Phys. B 9, 1899)

d

d

p

p

d

del

i

fff 2

1

2

24132

21086.4

i

fii p

ppeVEcmWIm

Un esperimento elegante (3). Per campi intensi erano attesi processi multifotonici. Un calcolo semiclassico

da (N.M.Kroll, K.M.Watson, Phys. Rev. A8, 804, 1973)

d

dJ

p

p

d

del

ni

fn

ff 2

121

220

nnJJ

d

d

d

del

n

nff

0n

0n

emessifotonin

assorbitifotonin

Un esperimento elegante (4)• Risultati sperimentali:

eVhv 117.0

scatterati

elettronili

impulsoall

opolarizzat

mecampo

deg

'||

..

Conclusioni.Il Bremsstrahlung inverso, sia in regime

lineare sia in regime non lineare, è stato un fenomeno molto studiato; il fenomeno ha destato interesse soprattutto presso i fisici teorici, ma oggi non sono poche le sue applicazioni in svariati campi della fisica che vanno dalla spettroscopia all’astronomia, a qualsiasi disciplina scientifica in cui l’interazione laser-plasmi occupa un ruolo di primissimo piano.

“Lo scienziato non sfida l’universo; lo accetta. E’ un piatto da assaporare, un regno da esplorare; è un’avventura e una gioia senza fine. Esso è

compiacente ed elusivo, ma mai monotono. E’ meraviglioso sia nel piccolo sia nel grande. In breve, la sua esplorazione è la più elevata occupazione per

un gentiluomo”

I. I. RABY