Bologna Facciorusso Motifiltrazione

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica

“L’ACQUA NEL TERRENO ”

Dott. Ing. Johann [email protected]

Corso di aggiornamento in “Geotecnica”28 aprile 2006 (Bologna)

DIREZIONE GENERALE AMBIENTE E DIFESA DEL SUOLO E DELLA COSTAServizio Gelogico, Sismico e dei Suoli

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica Indice

INDICE

INTRODUZIONE (superficie piezometrica, tipi di falda e regimi di flusso, ..)

PRINCIPI GENERALI (teorema di Bernoulli, legge di Darcy, gradiente idraulico,..)

MISURA DELLA PERMEABILITÀ (formule empiriche, misure in sito e in laboratorio)

EQUAZIONE GENERALE DEL FLUSSO (equazione di Laplace, soluzioni grafichee numeriche, software,..)

ESEMPI (applicazioni)

Direzione Generale Ambiente e Difesa del SuoloDirezione Generale Ambiente e Difesa del Suolo--Servizio Geologico, Sismico e dei SuoliServizio Geologico, Sismico e dei SuoliCorso di aggiornamento Corso di aggiornamento –– GeotecnicaGeotecnicaL’acqua nel terrenoL’acqua nel terreno 22/146/146

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica 1.Introduzione

Nell’affrontare la maggior parte dei problemi dell’Ingegneria Geotecnica non si può prescindere dalla presenza dell’acqua nel terreno.

La presenza dell’acqua

modifica le proprietà fisiche (peso di volume) e le caratteristichemeccaniche (principio delle tensioni efficaci) del terreno, sopra e sotto falda (in condizioni di quiete)

incrementa le condizioni di instabilità in presenza di pendii ed opere disostegno (in condizioni di moto, filtrazione)

Direzione Generale Ambiente e Difesa del SuoloDirezione Generale Ambiente e Difesa del Suolo--Servizio Geologico, Sismico e dei SuoliServizio Geologico, Sismico e dei SuoliCorso di aggiornamento Corso di aggiornamento –– GeotecnicaGeotecnicaL’acqua nel terrenoL’acqua nel terreno 3/1463/146


4/1464/146

1.Introduzione

Def. Si ha filtrazione quando l’acqua si muove all’interno del terreno da punti a cui compete energia maggiore verso punti a cui corrisponde energia inferiore.

La filtrazione dell’acqua nei terreni pone vari problemi di ordine ingegneristico, che possono causare il collasso o compromettere la funzionalità di manufatti per effetto di :

Direzione Generale Ambiente e Difesa del SuoloDirezione Generale Ambiente e Difesa del Suolo--Servizio Geologico, Sismico e dei SuoliServizio Geologico, Sismico e dei SuoliCorso di aggiornamento Corso di aggiornamento –– GeotecnicaGeotecnicaL’acqua nel terrenoL’acqua nel terreno

fenomeni di erosione d’alveo in prossimità delle spalle dei ponti

fenomeni di sifonamento in prossimità di diaframmi e palancole

fenomeni di sollevamento del fondo scavo in corrispondenza di scavi

fenomeni di instabilità ed erosione in corrispondenza di dighe in terra

fenomeni di instabilità in corrispondenza di argini fluviali

fenomeni di ribaltamento o sollevamento di opere di sostegno per effetto della spinta e della sottospinta idraulica


5/1465/146

1.Introduzione

Filtrazione attraverso una diga in terra


Erosione alle spalle di un ponte

Spinta idraulica agente su un muro a gravitàSifonamento

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica 2.Principi generali

6/1466/146

In un deposito di terreno, si possono distinguere, al variare della profondità, zone a differente grado di saturazione e in cui l’acqua presente nei vuoti si trova in condizioni diverse.


Zona parzialmente satura(Sr decrescente )

Zona di evapotraspirazione

Zona di ritenzione

Acq

ua so

spes

a

Zona

vad

osa

Zona

di f

alda

Frangia capillare

Falda

Acq

ua d

i fal

daZona completamente satura(Sr = 100 % )

u >

0u

< 0


7/1467/146Direzione Generale Ambiente e Difesa del SuoloDirezione Generale Ambiente e Difesa del Suolo--Servizio Geologico, Sismico e dei SuoliServizio Geologico, Sismico e dei SuoliCorso di aggiornamento Corso di aggiornamento –– GeotecnicaGeotecnicaL’acqua nel terrenoL’acqua nel terreno

TIPI DI FALDA

Acquifero confinato(falda artesiana)

Falda freatica

Falda sospesa

Infiltrazione

Terreno con permeabilitàmolto bassa

Livello piezometrico

Roccia

2.Principi generali


8/1468/146

2.Principi generali


L

A1

z1

Piano di riferimento (z = 0)

carico totale perfluido ideale

u1γw

A’

2

∆h

z2

u2γw

I moti di filtrazione di un fluido avvengono sempre tra un punto a cui compete energia maggiore ad un punto ad energia minore.In ciascun punto, l’energia, espressa in termini di carico, o altezza(energia per unità di peso del liquido) è data dalla somma di tre termini:

altezza geometrica, zaltezza di pressione, u/γwaltezza di velocità, v2/2g

CARICO EFFETTIVO o TOTALE

g2vuzH

2

w

++=γ

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica 2.Principi generali


CARICOPIEZOMETRICOw

uzhγ

+=

Lhi ∆

= GRADIENTEIDRAULICO

Nei terreni, v è bassa (al massimo 1-2 cm/s) zhH p +=

gvh

gvuzH

w 22

22

+=++=γ

9/1469/146


zzzz

yyyy

xxxx

ikzhkv

ikyhkv

ikxhkv

⋅−=⋅−=

⋅−=⋅−=

⋅−=⋅−=

∂∂∂∂∂∂

2.Principi generali


v = velocità apparente di filtrazioneik

Lhkv

AQ

⋅=⋅==∆

k = coefficiente di permeabilità

hkvrr

∇⋅−= Caso bi-tridimensionale

Anisotropia

LEGGE DI DARCY

N.B. La legge di Darcy vale solo per moto laminare (non si può applicare a terreni con grandissima permeabilità (ghiaie e ciottoli) nei quali si può avere moto turbolento



LEGGE DI DARCY

vr AvAvQ ⋅=⋅=

nAA

vv v

r

==

v = n⋅vr < vr*

A

Av

vr = velocità reale di filtrazione

L

Lr

L < Lr

2.Principi generali

* Specie per terreni a grana grossa (n = 20 ÷ 40%)



COEFFICIENTE DI PERMEABILITÀIl coefficiente di permeabilità, k, ha le dimensioni di una velocità.

pkgk ⋅⋅

=µ

ρ

2.Principi generali

Tale coefficiente dipende:dalle proprietà del fluido (densità, ρ e viscosità, µ)dalle caratteristiche del mezzo poroso (permeabilità intrinseca, kp).

Esso rappresenta la resistenza viscosa e frizionale alla filtrazione di un fluido in un mezzo poroso.

TIPO DI TERRENO k (m/s) Ghiaia pulita 10

-2 - 1

Sabbia pulita, sabbia e ghiaia 10-5

- 10-2

Sabbia molto fine 10

-6 - 10

-4

Limo e sabbia argillosa 10-9

- 10-5

Limo 10

-8 - 10

-6

Argilla omogenea sotto falda < 10-9

Argilla sovraconsolidata fessurata 10

-8 - 10

-4

Roccia non fessurata 10-12

- 10-10



2.Principi generali

Per i terreni a grana grossa la permeabilità dipende dalla:granulometria (contenuto di fine)indice dei vuotistato di addensamento (densità relativa)

Per i terreni a grana fine la permeabilitàdipende dalla:

composizione mineralogicastruttura

La permeabilità cresce al crescere del grado di saturazione(sebbene non si possa stabilire una relazione univoca tra le due grandezze)

A grande scala la permeabilità di un terreno dipende anche dalle caratteristiche macrostrutturali di un terreno (discontinuità, fessurazioni)



2.Principi generali

PERMEABILITÀ DI TERRENI STRATIFICATI

q H

kh1, H1 q1 q2 kh2, H2

qn kn, Hn

a)

q

FILTRAZIONE IN PARALLELO

H

Il gradiente idraulico i è lo stesso per tutti gli strati. Applicando la legge di Darcy:

vi = kHi i ∀iqi = vi ⋅ Hi ∀iLa portata di filtrazione totale è:Q = Σqi = v ⋅ Hdove la velocità media è v = kH ie kH è il coefficiente di permeabilità medio orizzontale

HHk

iHHv

iHq

ivk ihiiii

H∑∑∑ ⋅

=⋅⋅

=⋅

==

Per terreni stratificati, il valore medio del coefficiente di permeabilità è fortemente condizionato dalla direzione del moto di filtrazione

(kH influenzato dallo strato più permeabile)



2.Principi generali

q

H

kv1, H1 kv2, H2

kv, Hn

q

kv1, H1

kv2, H2

kvn, Hn

H

FILTRAZIONE IN SERIE

v = kv1 i1 = kv2 i2 = . . . . . = kvn in

La portata ( e quindi la velocità) di filtrazione è la stessa per tutti gli strati. Applicando la legge di Darcy:

dove kV è il coefficiente di permeabilità medio verticale, im il gradiente idraulico medio e h la perdita di carico totale, che è pari a:.

v = kV im = kV · (h/H)

vi

i

viiiii k

Hv

kvHiHhh ∑∑ ∑ ∑ ⋅=⋅=⋅==

∑=

vi

iV

kH

Hk (kv influenzato dallo strato meno permeabile)

OSS. A causa dell’orientamento dei grani nella fase di deposizione, kH, risulta generalmente maggiore, anche di un ordine di grandezza, di kV.



3.Misura della permeabilità

Determinazione mediante correlazioni empiriche

k = C⋅ (D10)2

con k [cm/s], D10 [cm],C = 100 ÷ 150(sabbie sciolte uniformi)

Valgono per terrenia grana grossa.

FORMULA DI HAZEN(sabbie sciolte uniformi)

DETERMINAZIONE DELLA PERMEABILITÀ




1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 k (m/s)

GRADO DI PERMEABILITÀ alto medio basso molto

basso impermeabile

DRENAGGIO buono povero praticamente impermeabile

sabbia pulita e miscele di

sabbia e ghiaia pulita

sabbia fine, limi organici e

inorganici, miscele

di sabbia, limo e argilla,

depositi di argilla

stratificati

TIPO DI TERRENO

ghiaia pulita

terreni impermeabili modificati dagli

effetti della vegetazione e del

tempo

terreni impermeabili argille omogenee

sotto la zona alterata dagli agenti atmosferici

Prova in foro di sondaggio (misura locale; delicata esecuzione)

Prova di pompaggio (delicata esecuzione; significativa)

MISURA DIRETTA DI K

Permeametro a carico costante (facile esecuzione)

Permeametro a carico variabile Facile

esecuzione significativa

delicata esecuzione:

non significativa

delicata esecuzione: molto poco significativa

Piezometro Pressiometro

Piezocono (misura locale; delicata esecuzione)

STIMA INDIRETTA DI K

Determinazione dalla curva granulometrica

(solo per sabbie e ghiaie pulite)

Determinazione dai risultati

della prova edometrica

La misura sperimentale della permeabilità di un terreno può essere invece effettuata sia in laboratorio che in sito.

per i terreni naturali le misure in sito risultano generalmente più significative e quindi preferibili (essendo la permeabilità fortemente influenzata anche dai caratteri macrostrutturali);

mentre per i terreni utilizzati come materiale da costruzionesono significative anche le prove di laboratorio

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica 3.Misura della permeabilità


Determinazione sperimentale in laboratorio

Per la misura del coefficiente di permeabilità in laboratorio vengono generalmente usati tre metodi:

il permeametro a carico costante, per k > 10-5 m/sil permeametro a carico variabile, per 10-8< k < 10-5 m/si risultati della prova edometrica, per k < 10-8 m/s




L Ah

C

Permeametro a carico costante

tALhktAikC ∆⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅=

tAhLCk∆⋅⋅

⋅=

(Legge di Darcy)




Permeametro a carico variabile

L Aa

h0

h1dhadtA

Lhk ⋅−=⋅⋅⋅

∫∫ ⋅⋅=⋅1

1

1t

t

h

h o

o

dtLAkdh

ha

)(ln 11

oo tt

LAk

hh

a −⋅=⋅

( ) ( ) 110

111log3.2ln

hh

ttALa

hh

ttALak o

o

o

o −⋅⋅

=−⋅

⋅=

(Legge di Darcy)

(Integrando)



Determinazione sperimentale in sito

Per la misura del coefficiente di permeabilità in sito si può ricorrere ai seguenti tipi di prova:

prove in pozzetto superficialeprove in foro di sondaggioprove di emungimento



Prove in pozzetto superficiale

Pozzetto a base quadrata (d) o circolare (b)

La prova si esegue in modalità:− a carico costante (viene immessa una certa portata, q, per mantenere costante il livello dell’acqua nel pozzetto)− a carico variabile (viene registrato l’abbassamento (h1–h2) del livello dell’acqua nel pozzetto in un certo intervallo di tempo (t2-t1) )

π1

⋅⋅

=mhd

qkmhtt

hhdk 132 12

21 ⋅−−

⋅=

327

12

+⋅⋅=

bhb

qkm

327

21

12

21

+⋅

⋅+⋅

−−

=

bh

bh

tthhk

m

m

Pozz

etto

cir

cola

rePo

zzet

to q

uadr

ato

Carico costante Carico variabile

d > 10-15 diametro massimo dei granuli

h > d/4m

H > 7 hm



Vantaggi e svantaggi

prove speditive e di facile esecuzione forniscono misure del coefficiente di permeabilità limitate agli strati piùsuperficiali si eseguono in genere su terreni che costituiscono opere di terra

durante la loro costruzione sono preferibili per terreni aventi permeabilità maggiori di 10-6 m/s, e posti sopra falda



Prove in foro di sondaggio

- Prove a carico costante

- Prove a carico variabile

Prove di immissione(sopra o sotto falda)

Prove di emungimento(solo sotto falda)

Prove di abbassamento(sopra o sotto falda)

Prove di risalita(solo sotto falda)




h

L

Filtro

D

h1h

2

Q

h

a) b)

L

Tubo di rivestimento

D

h1h

2

QRivestimento esterno

Tampone impermeabile

Tubazione internaa) b)

a) SENZA FILTROb) CON FILTRO

F60/F10 ≤ 2

4D15 ≤ F15 ≤ 4D85

Caratteristiche del filtro:

TerrenoFiltro



Prova a carico costante

Viene misurata, a regime, la portata, emunta o immessa, Q [m3/s],necessaria a mantenere costante il livello dell’acqua nel foro, h [m], misurato rispetto alla base del foro se la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita sotto falda .

hFQk⋅

= [m/s]

dove F [m] un fattore di forma, dipendente dalla forma e dalla geometria della sezione filtrante



Prova a carico variabile

Vengono effettuate prelevando acqua dal foro in modo da abbassarne il livello di una quantità nota e misurando la velocità di risalita (prove di risalita) oppure immettendo acqua nel foro in modo da alzarne il livello di una quantità nota e misurando la velocità di abbassamento (prove di abbassamento). Il coefficiente di permeabilità viene ricavato mediante la seguente relazione:

( ) 2

1

12 hhln

ttFAk ⋅

−⋅= [m/s]

dove F [m] un fattore di forma, dipendente dalla forma e dalla geometria della sezione filtrante, A [m2], h1 e h2 [m], rappresentano il livello dell’acqua nel foro agli istanti t1 e t2, misurati rispetto alla base del foro se la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita sotto falda .



Osservazioni

1. Il valore del coefficiente di permeabilità misurato durante le prove di abbassamento è in genere inferiore al valore misurato, per lo stesso terreno, durante le prove di risalita.

2. Una stima più attendibile del valore del coefficiente di permeabilità può essere eseguita determinando la media geometrica dei valori ricavati con prove di risalita (kr) e di abbassamento (ka), ovvero:

3. In un deposito stratificato il coefficiente di permeabilità verticale, kV, risulta in genere differente dal coefficiente di permeabilità orizzontale, kH. Per il valore misurato durante una prova in foro di sondaggio,k, con una sezione filtrante di lunghezza L e diametro D, si assume:k = kV (per L/D tendente a 0, caso limite sezione piana L = 0)k = kH (per L/D ≥ 1.2)

k = (per 0 ≤ L/D ≤ 1.2)

ar kkk ⋅=

VHmedio kkk ⋅=




Possono essere eseguite a varie profondità durante la perforazione Forniscono generalmente un valore puntuale della permeabilitàLe pareti del foro devono essere rivestite con una tubazione fino allaprofondità a cui si vuole effettuare la misura di permeabilità Nei terreni che tendono a franare il tratto di prova viene riempito dimateriale filtrante e isolato mediante un tampone impermeabile



Prove di pompaggio

Le prove di pompaggio vengono eseguite in terreni con permeabilità medio-alta, al di sotto del livello di falda.Consistono nell’abbassare il livello della falda all’interno di un pozzo, opportunamente realizzato, e nell’osservare in corrispondenza di un certo numero di verticali, strumentate con piezometri, l’abbassamento una volta raggiunto un regime di flusso stazionario.

Le prove di emungimento vengono interpretate attraverso modelli matematici come problemi di flusso transitorio, tenendo presente che:

nel caso di acquifero confinato (falda artesiana) le linee di flusso sono orizzontali e le superfici equipotenziali sono cilindri concentrici rispetto al pozzo;

nel caso di acquifero non confinato (falda freatica) le linee di flusso (e le superfici equipotenziali) sono curve.




Prove di pompaggio in acquiferi confinati

QPozzo Piezometri di controllo

Livello piezometrico iniziale

Acquifero confinato

Pompa sommersa Superfici equipotenzialiLinee di flusso

h

b

h1r

1 r2

s1

s2

h2

D = 200 ÷ 400 mm

Cono di depressione

Tubo finestrato

)hh(

)rrln(

b2Qk

12

1

2

−⋅

⋅=

π



Prove di pompaggio in acquiferi non confinati

Q

h

h1r

1

r2

s1

s2

h2

Pompa sommersa Superfici equipotenzialiLinee di flusso

Pozzo

Acquifero non confinato

Piezometri di controllo

Livello piezometrico iniziale

)hh(

)rrln(

Qk 21

22

1

2

−⋅=

π




Sono prove in genere lunghe e costose La prova fornisce un valore medio del coefficiente di permeabilità

dell’acquiferoPer una corretta interpretazione della prova è necessario conoscere la stratigrafia, l’estensione dell’acquifero e le condizioni iniziali della falda

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica 4.Equazione generale del flusso


In generale l’acqua nel terreno può trovarsi in condizioni di quiete (regime idrostatico) o di moto (regime idrodinamico), sia allo stato naturale sia in seguito a perturbazioni del suo stato di equilibrio.

In regime idrodinamico il flusso può essere stazionario (moto permanente) o non stazionario (moto vario), a seconda che i parametri del moto siano costanti o variabili nel tempo.

Nel moto stazionario la quantità di acqua che entra in un elemento di terreno è pari alla quantità di acqua che esce dallo stesso elemento (filtrazione in regime permanente). Nel moto vario la quantità di acqua entrante in un elemento di terreno è diversa da quella uscente (filtrazione in regime vario).

Il vettore che caratterizza il moto dell’acqua può essere scomposto in una o più direzioni nello spazio, definendo condizioni di flusso mono-, bi-, o tri-dimensionali



4.Equazione generale del flusso

EQUAZIONE GENERALE DEL FLUSSOIN UN MEZZO POROSO

Si consideri un elemento infinitesimo di terreno di dimensioni dx dy dzattraversato da un flusso d’acqua.

i. Fluido e grani incomprimibili (γw=cost. nel tempo; γs=cost. nel tempo)

Ipotesi:

ii. Validità della legge di Darcy

iv. Terreno omogeneo (peso di volume,permeabilità costante nello spazio)

iii. Validità della equazione di continuità

x

z

y

dx dy

dz




vr = velocità apparente di filtrazione

Vx, Vy, Vz = componenti della velocità nella direzione degli assi x, y e z

qex, qey, qez = portata in peso d’acqua entrante nell’elemento nelladirezione degli assi x, y e z

qux, quy, quz = portata in peso d’acqua uscente dall’elemento nelladirezione degli assi x, y e z

dzdydxxvvq

dzdyvq

xxwux

xwex

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+⋅γ=

⋅⋅⋅γ=

x

z

y

dx dy

dz

qex qux

qe = qex+ qey+ qez = portata in peso d’acqua entrante nell’elementoqu = qux+ quy+ quz = portata in peso d’acqua uscente dall’elemento




vr

Equazione di continuitàla differenza tra la portata in peso d’acqua entrante, qe, e quella uscente, qu, nell’elemento di terreno sarà pari alla variazione del peso di acqua, Pw, nell’unità di tempo

( ) ( )t

Pqqqqqq wuzuyuxezeyex ∂

∂=++−++

tPdzdydx

zv

yv

xv wzyx

w ∂∂

=⋅⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

⋅−γ

Legge di Darcyzhkv

yhkv

xhkv zzyyxx ∂

∂∂∂

∂∂

⋅−=⋅−=⋅−= ;;

Terreno omogeneo 0;0;0 ===xk

xk

xk zyx

∂∂

∂∂

∂∂

tPdzdydx

zhk

yhk

xhk w

2

2

z2

2

y2

2

xw ∂∂

=⋅⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅+∂∂

⋅+∂∂

⋅⋅γ

Peso specificodell’acqua




Fluidi e grani incomprimibili

rswrss

vwrvwv

v

wwwww

w

ww SeVSV

VVSVV

VVVV

VPP ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅= γγγγγ

( )t

SeVt

P rsww

∂⋅⋅⋅∂

=∂

∂ γ

0=∂

∂=

∂∂

tV

tswγ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅+∂

∂⋅⋅⋅γ=

∂∂

teS

tSeV

tP

rr

sww

Grado disaturazione Indice dei

vuoti

1−=−

==ss

s

s

v

VV

VVV

VVe

edzdydx

eVVs +

⋅⋅=

+=

11

dzdydxteS

tSe

)e1(tP

rrww ⋅⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅+∂

∂⋅⋅

+γ

=∂

∂




Combinando le due equazioni ottenute precedentemente si ottiene l’equazione generale del flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅+∂

∂⋅⋅

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅+∂∂

⋅+∂∂

⋅teS

tS

ee1

1zhk

yhk

xhk r

r2

2

z2

2

y2

2

x

Tale equazione si semplifica ulteriormente nei seguenti casi:

Filtrazione permanente e = costante Sr = costante

Consolidazione o rigonfiamento e = variabile Sr = costante

Drenaggio o imbibizione e = costante Sr = variabile

Deformabilità per non saturazione e = variabile Sr = variabile

e nei casi di:

isotropia (kx=ky=kz=k)

Flusso monodirezionale ( ) o bidirezionale ( )0=∂∂

=∂∂

zh

yh 0=

∂∂yh




In particolare nel caso di filtrazione permanente, isotropia del terreno e moto bidirezionale (piano), l’equazione si può scrivere, rappresentando l’energia potenziale con Φ(x,z):

Per risolvere tale equazione differenziale e quindi trovare come varia l’energia potenziale o di corrente nello spazio, si può ricorrere a:

soluzioni grafiche

( ) ( ) 0,,2

2

2

2

=∂Φ∂

+∂Φ∂

zzx

xzx

soluzioni numeriche con metodi degli elementi finiti

La stessa equazione può essere scritta oltre che in termini di funzione potenziale Φ = Φ(x,z), anche per la funzione di corrente, Ψ = Ψ(x,z) , che ècostante lungo le linee di flusso:

rappresentando l’energia potenziale con Φ(x,z).

( ) ( ) 0,,2

2

2

2

=∂

Ψ∂+

∂Ψ∂

zzx

xzx




In tal caso si determina graficamente come varia il carico piezometrico sul piano (x,z) per un limitato e finito numero di punti, una volta assegnate le condizioni al contorno, disegnando il reticolo di filtrazione, costituito da due famiglie di curve che si intersecano ad angolo retto:

- le linee di flusso, cioè i percorsi dei filetti fluidi nella sezione trasversaleconsiderata, tangenti in ogni punto alla velocità del fluido Ψ(x,z) = cost.

SOLUZIONE GRAFICA

- le linee equipotenziali, cioè le linee di uguale energia potenziale e quindi di uguale carico idraulico Φ(x,z) = cost.

La soluzione grafica è approssimataOSS.

La costruzione grafica non è univocamente determinata, ma si effettua soggettivamente, in accordo con alcuni principi fondamentali, per tentativiL’imprecisione nel calcolo della portata di filtrazione derivante dall’approssimazione è comunque minore dell’incertezza sul valore del coefficiente di permeabilità.




Reticolo di filtrazione

∆a

∆q

∆b

∆h

Cana

le di

flus

so

Campo

Linee di flusso

Linee equipotenziali

h

h-h∆

Le linee di flusso ed equipotenziali sono infinite e nella soluzione grafica se ne scelgono un numero limitato.Lo spazio tra due linee di flusso consecutive si chiama canale di flusso, attraverso cui scorre una portata costante ∆q

La distanza tra due linee di equipotenziali consecutive misura la perdita di energia ∆hdel fluido nell’attraversare lo spazio tra esse compreso

L’area delimitata da due linee di flusso successive e da due linee equipotenziali successive si chiama campo.




Costruzione del reticolo di filtrazione

Per costruire la rete di filtrazione, e quindi scegliere quali e quante linee di flusso ed equipotenziali rappresentare, occorre:

i canali di flusso abbiano eguale portata ∆q

la perdita di carico fra due linee equipotenziali successive ∆h sia costante

i campi siano approssimativamente quadrati, ovvero che abbiano egualidimensioni medie (∆a ≅ ∆b)

Il procedimento consiste nei seguenti passi:

I. individuazione delle condizioni al contorno

II. tracciamento delle linee equipotenziali

III. tracciamento delle linee di flusso, individuazione dei campi




Individuazione delle condizioni al contorno

Per definire le condizioni al contorno, cioè le linee di flusso ed equipotenziali che delimitano il campo di moto del fluido, si osserva che:

le superfici impermeabili sono linee di flusso (ad esempio la superficie diuno strato di argilla, o la superficie verticale di un diaframma impermeabile, etc..),

le superfici a contatto con l’acqua libera sono linee equipotenziali, poichéin tutti i loro punti vale la relazione: h = z + u/γw = cost




A

F

D

EG

B

C

SUPERFICI EQUIPOTENZIALI

SUPERFICIE DI FLUSSO

MOTO CONFINATO: quando le condizioni al contorno sono tutte note (es. diaframma infisso in un deposito di terreno permeabile saturo, delimitato inferiormente da uno strato impermeabile, per sostenere uno scavo o garantire assenza di acqua)

MOTO NON CONFINATO: Se tutte le condizioni al contorno non sono note a priori (es. moti di filtrazione all’interno di argini fluviali o dei corpi di dighe in terra, ove la superficie che delimita superiormente l’acqua in moto di filtrazione, a pressione atmosferica, non è nota




Costruzione delle linee equipotenziali

1. Noto il carico idraulico totale dissipato, h, tra le due linee equipotenziali che delimitano il moto del fluido, si sceglie il numero N dei dislivelli di carico ∆h che si vogliono tra due linee equipotenziali consecutive:

.cos tNhh ==∆

2. Si traccia una serie di N+1 linee equipotenziali di tentativo in modo che siano perpendicolari alle linee di flusso al contorno

F G




Costruzione delle linee di flusso3. Si tracciano le linee di flusso in modo che siano ortogonali alle linee

equipotenziali e in modo che delimitino dei campi quadrati (cioè con lati curvilinei dentro il quale si possa iscrivere un cerchio tangente ai lati). Detto N1 il numero dei canali di flusso che così si ottiene e ∆a la distanza media tra due linee di flusso consecutive e ∆b la distanza media tra due linee equipotenziali successive, risulta che:

il gradiente idraulico per un singolo campo:

bNh

bhi

∆⋅=

∆∆

=

la velocità di filtrazione in un singolo campo:

bNhkikv∆⋅⋅

=⋅=

la portata di filtrazione per ogni canale di flusso:

Nhk

bNahkavq ⋅

≅∆⋅∆⋅⋅

=∆⋅=∆




Naturalmente la procedura è iterativa, in quanto una volta disegnate le linee equipotenziali di tentativo, nel disegnare le linee di flusso in modo che siano rispettate le condizioni precedenti, occorrerà modificare più volte la disposizione delle linee equipotenziali.

Una volta costruito il reticolo, si può determinare:

OSS.

Altri risultati ottenibili

la portata totale (per unità di larghezza) :

NNhkqNQ 1

1 ⋅≅∆⋅=

la pressione interstiziale ad ogni nodo del reticolo




Esistono casi più complessi di quello appena analizzato dove una o più delle ipotesi precedentemente specificate vengono rimosse e che si possono risolvere, con opportuni accorgimenti, sempre per via grafica:

Casi più complessi

terreno non omogeneo (filtrazione attraverso terreni a differente permeabilità)

terreno anisotropo (permeabilità dipendente dalla direzione)

moto non confinato

- la larghezza dei tubi di flusso e la distanza fra le linee equipotenziali variano




bNahkq

∆⋅∆⋅⋅

=∆

Quando il flusso d’acqua attraversa la superficie di separazione tra terreni a differente permeabilità (ad es. nelle dighe in terra) :

Terreno non omogeneo

- le linee di flusso deflettono

- i campi, inizialmente quadrati, divengono rettangolari

Infatti la portata di ogni tubo di flusso

deve restare costante.

β

α

∆a

∆b

∆d∆c

k1

k2<k1

βα

∆a

∆b

∆d

∆c

k1

k2>k1

∆a/∆b = 1∆c/∆d = tanα/tanβ = k2/k1




Spesso i terreni naturali ed anche i terreni messi in opera con costipamento sono anisotropi, ovvero hanno coefficiente di permeabilità diverso in direzione orizzontale, kh, e in direzione verticale, kv.

Terreno anisotropo

Una volta disegnata la rete idrodinamica, per calcolare la distribuzione delle pressioni interstiziali occorre riportare il disegno in scala naturale, ottenendo dei campi non più quadrati.

In tal caso occorre disegnare la sezione della struttura interessata dal moto di filtrazione in una scala orizzontale alterata, moltiplicando le distanze orizzontali per la quantità:

h

v

kk (in genere è kh > kv per cui tale trasformazione produce

una riduzione delle dimensioni orizzontali)




In tal caso le condizioni al contorno in cui avviene il moto di filtrazione non sono note a priori (ad es. all’interno di argini fluviali o dei corpi di dighe in terra).

Moto non confinato

Il problema è molto più complesso in quanto è necessario procedere contemporaneamente alla determinazione delle condizioni al contorno mancanti e alla risoluzione dell’equazione di Laplace; in questi casi la superficie che delimita superiormente l’acqua in moto di filtrazione è a pressione atmosferica (coincide con la superficie freatica), la sua localizzazione non è nota e può essere determinata con costruzioni grafiche.




Il problema della filtrazione nel terreno può essere affrontato oltre che per via grafica per via numerica, specie per studiare situazioni complesse(moti non confinati, attraverso terreni anisotropi o eterogenei)

Il primo passo per l’applicazione dei metodi numerici consiste nella discretizzazione del continuo mediante una griglia a maglia quadrilatera o triangolare.

SOLUZIONE NUMERICA

A seconda del procedimento risolutivo adottato per le equazioni differenziali che governano il problema e del dominio di esistenza delle variabili di campo (definite sui nodi della maglia o all’interno di ciascun elemento) si possono adottare due differenti metodi:

- metodi agli elementi finiti

- metodi alle differenze finite




Esistono in commercio numerosi software che implementano tali metodi

FLOWNET/TRANS (2-D, elementi finiti, trasporto di inquinanti)MODFLOW 2000 (3-D, ad elementi finiti)

specifici per lo studio del moto di filtrazione di acqua o sostanze inquinanti nel terreno:

etc.

SEEP-W (3-D, 2-D, ad elementi finiti, terreni non saturi e saturi)

generali per l’analisi di stabilità di pendii o opere di sostegno che consentono di modellare anche la filtrazione:

FLAC

DEEP EXCAVATION LLC

etc.




Il codice di calcolo MODFLOW 2000* (ora disponibile anche nella versione 2005) è parte di un pacchetto software più ampio, noto come GMS 4.0 (Groundwater Modelling System), utilizzato per lo studio e la modellazione dei processi che avvengono nei sistemi sotterranei (compreso il fenomeno della diffusione degli inquinanti).

MODFLOW (Modular 3-D Finite-difference Ground-water Model) è un codice alle differente finite, che consente di simulare il flusso dell’acqua nel terreno (o il trasporto di una sostanza contaminante solubile nell’acqua se accoppiato al modulo MT3DMS):

in condizioni stazionarie e non stazionarie

MODFLOW

(*USGS, United States Geological survey: http://water.usgs.gov/nrp/gwsoftware/modflow.html)

in acquiferi confinati e non confinatiin presenza di sorgenti esterne (pozzi, evapotraspirazioni, corsi d’acquaper terreni anisotropi

per terreni anisotropi




geometria dell’acquifero (numero degli strati, spessore,inclinazione)per costruire la griglia 3-D (modulo 3D GRID, modulo SOLID)

Dati di input

proprietà idrauliche (kx, ky e kz) e carico piezometrico iniziale per ogni cellaposizione e caratteristiche idrauliche degli elementi fisici che possonoinfluenzare il flusso (sorgenti, pozzi, dreni, fiumi, leghi, etc.)

posizione e caratteristiche idrauliche di eventuali elementi di ricaricosuperficiale dovuti a evapotraspirazione, precipitazioni)

nel caso di analisi non stazionarie si definiscono gli istanti in cui calcolare il carico ai nodi della griglia, che delimitano intervalli ditempo in cui le condizioni al contorno si considerano costanti




valori del carico piezometrico in ciascun punto della griglia per ciascun istante

Dati di output

valori dell’abbassamento piezometrico in ciascun punto della griglia per ciascun istantela somma delle masse entranti ed uscenti dall’acquifero per ciascunistantela somma delle portete entranti ed uscenti dall’acquifero per ciascunistantele componenti del vettore velocità in corrispondenza di ciascun nododella griglia per ciascun istante




Il codice di calcolo FLAC (Fast Lagrangian Analysis of Continua) è un programma per la soluzione di problemi di ingegneria geotecnica, che consenti di modellare e risolvere, contemporaneamente o indipendentemente:

problemi meccanici

FLAC

problemi idraulici

Consente di costruire modelli bidimensionali (mediante una griglia a maglie di dimensione variabile e di forma triangolare o quadrilatera) che risolve con il metodo alle differenze finite.




simulare il comportamento di strutture in terra, roccia e altri materiali che manifestano deformazioni plastiche, implementando modelli costitutivi per i materiali sia di tipo elastico (modello elastico lineare isotropo e trasversalmente anisotropo) che di tipo elasto-plastico(modello di Mohr-Coulomb, modello Cam-Clay, modelli con curve incrudenti o rammollenti, ecc.).

Il codice di calcolo FLAC Il programma consente di:

di modellare anche l’interazione fra strutture in materiali diversi

di determinare il reticolo di flusso per moti confinati e non confinati, in terreni omogenei o non omogenei

avere informazioni locali sullo stato tensionale e sugli spostamenti dei nodi

effettuare verifiche di stabilità su pendii, argini, etc.



5.EsempiCalcolo del reticolo di filtrazione per una traversa

in c.a. con diaframma a monte

Diaframma

Traversa in c.a.A F

Sebbene la filtrazione sia un fenomeno spiccatamente tridimensionale, in presenza di stratigrafie ed opere prismatiche, si può fare riferimento ad una sezione trasversale rappresentativa (problema 2-D)



5.Esempi

Si instaurano condizioni di moto permanente

∆H=cost.

La quantità di acqua che entra in un volume di terreno è uguale a quella che ne esceX

Z vvZ

vX



5.Esempi

Si instaurano condizioni di moto confinatoIndividuazione delle condizioni limite

Le superfici del terreno a monte ed a valle sono linee equipotenziali

Le superfici impermeabili sono linee di flusso



5.Esempi

Tracciamento delle linee equipotenziali

Si traccia una serie ipotetica di linee equipotenziali, ricercando la seguente condizione tra due linee successive:

cost.==∆DN

HH

In questo caso, ND=14 (numero di dislivelli piezometrici)

0

12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14



5.Esempi

Tracciamento delle linee di flusso e dei campi

Si tracciano NF linee di flusso, ricercando le seguenti condizioni:

Le linee di flusso e le linee equipotenziali sono tra loro ortogonali

I campi generati sono dei quadrati curvilinei (in essi sono inscrivibili cerchi)



5.Esempi

Φ(x,z)=cost.

Ψ(x,z)=cost.Linee di flusso

Linee equipotenziali

∆q

∆Η

a

b

Portata nel campobvq ⋅=∆

DNaHk

aHkikv

⋅=

∆=⋅=

ab

NkHq

D=∆

Calcolo della portata di filtrazione



5.Esempi

Calcolo della portata di filtrazione

ab

NkHq

D=∆

Nel caso in esame:

k=2x10-6 m/s (coefficiente di permeabilità medio)H=10 mb/a=1 (campi assimilabili a quadrati curvilinei) ND=14 (14 dislivelli piezometrici ipotizzati)NF=4 (4 canali di flusso risultanti dal tracciamento della rete)

Portata (per unità di larghezza) di ogni canale di flusso (si suppone ∆q uguale per tutti i canali di flusso)

DF N

kHNqQ =∆= ∑ Portata (per unità di larghezza) complessiva=0.057 cm3/s



5.Esempi

Calcolo della distribuzione delle pressioni interstiziali alla base della traversa

A F

6 7 98 1012

13

5 11

DNHH =∆

•Si sceglie EF come quota di riferimento (arbitraria)

•Si suddivide la base in 10 intervalli uguali, di dimensione ∆x=3.06 m

x=21.42 m ND=9.40 hz=-2.40 m

Per ogni nodo di misurano:

e si calcolano:

distanza dall’origine cadute di potenziale quota geodetica

zDp hHNHh −∆−=

Wphu γ⋅=

altezza rappr. della pressione (m)

pressione neutra (kPa)



5.Esempi

A F

x (m) 0.00 3.06 6.12 9.18 12.24 15.30 18.36 21.42 24.48 27.54 30.60

ND 5.60 5.80 6.20 6.90 7.40 8.00 8.80 9.40 10.30 11.10 12.50

ND∆H 4.00 4.14 4.43 4.93 5.28 5.71 6.28 6.71 7.35 7.93 8.93

hz (m) -2.40 -2.40 -2.40 -2.40 -2.40 -2.40 -2.40 -2.40 -2.40 -2.40 -2.40

hp (m) 8.40 8.26 7.97 7.47 7.12 6.69 6.12 5.69 5.05 4.47 3.48

u(kPa) 82.3 80.9 78.1 73.2 69.7 65.5 59.9 55.7 49.4 43.9 34.1

Si ottiene la seguente tabella:



5.Esempi

Calcolo del reticolo di filtrazione per un argine fluviale

mmmm

rr



Crespellani, T., Facciorusso, J. 2000. “Elementi di dinamica dei terreni e ingegneria geotecnica delle aree sismiche”. Voll. 1 e 2. Centro 2P. Firenze

. Kramer, S.L. 1996. “Geotechnical Earthquake engineering”. New Jersey, PrenticeHall, 654 p.Richart, F.E., Jr., Hall, J.R., Woods, R.D. 1970. Vibration of soils and foundation.Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice Hall, 414 p.

Pubblicazioni:

Siti internet:http://earthquake.usgs.gov/

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI




geometria dell’acquifero (numero degli strati, spessore,inclinazione)per costruire la griglia 2-D

Dati di input

caratteristiche fisiche del fluido (densità, modulo di deformazionecubica)

condizioni al contorno: pressione intersiziale (all’interno delle maglie ed ai nodi), la portata e il grado di saturazione ai nodi

caratteristiche fisiche del terreno (porosità, permeabilità, peso di volume)




valori del carico piezometrico in ciascun punto della griglia per ciascun istante

Dati di output

valori dell’abbassamento piezometrico in ciascun punto della griglia per ciascun istantela somma delle masse entranti ed uscenti dall’acquifero per ciascunistantela somma delle portete entranti ed uscenti dall’acquifero per ciascunistantele componenti del vettore velocità in corrispondenza di ciascun nododella griglia per ciascun istante

Bologna Facciorusso Motifiltrazione

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