Bertrand Russell

(Trellech, 1872 – Penrhyndeudraeth, 1970)

« Il problema dell'umanità è che gli sciocchi e i fanatici sono estremamente sicuri di loro stessi, mentre le persone più sagge sono piene di dubbi. »

Uno dei tratti caratterizzanti la

seconda rivoluzione scientifica è

l’indagine sui fondamenti della

matematica, indagine che ha nel

tedesco Frege e nel britannico

Russell i massimi esponenti.

Russell

Frege

Per Frege tutti i concetti aritmetici

sono definibili da un punto di vista

logico, in termini di classi o insiemi.

La logica viene quindi vista come la

base della matematica.

Il logicismo viene però messo

in crisi da Bertrand Russell che

determina la cosiddetta crisi dei

fondamenti della matematica.

Nello sviluppo del pensiero di

Russell fondamentale è l’incontro

con Peano, autore di un sistema di

notazione simbolica ancor oggi in

uso, che ha mostrato la possibilità di

ridurre algebra e aritmetica classiche

a pochi fondamentali principi.

Peano

Secondo Peano aritmetica e algebra

possono essere derivate da cinque

enunciati fondamentali e da tre idee

primitive.

Idee primitive Enunciati fondamentali

Zero è un numero

Il successore di ogni

numero è un numero

Zero

Non esistono due

numeri con lo stesso

successore

Numero

Zero non è il successore

di alcun numero

Successore

Ogni proprietà di cui

gode lo zero e il

successore di ciascun

numero che gode di

queste proprietà,

appartiene a tutti i

numeri

Alla luce delle ricerche di Peano,

Russell tenta di dimostrare che

qualsiasi asserzione sui numeri

naturali è sostituibile da un’altra

asserzione che non nomina numeri

naturali ma classi.

In questo suo tentativo Russell

finisce per incontrare la

riflessione di Frege che aveva

definito i numeri naturali come

classe di classi, per cui il numero

2 altro non sarebbe che la classe

di tutte le coppie.

Proprio sull’ipotesi fregeana

di classe Russell, che pure

concorda con molte delle tesi

del logico tedesco, si imbatte

in un’antinomia.

Esistono classi,

osserva Russell, che

non contengono se

stesse come elemento

e classi invece che

contengono se stesse.

Le prime possono

definirsi irregolari, le

seconde regolari.

Siamo di fronte al

famoso paradosso del

barbiere o, è la stessa

cosa, al più antico

paradosso del mentitore.

“ In un villaggio c’è un solo barbiere che rade tutti, e soltanto, gli uomini che non si radono da soli. Chi rade il barbiere?”

Il barbiere rade se stesso, ma ciò

non è possibile poiché il barbiere

rade solo quelli che non si radono da

soli.

Il barbiere non rade se stesso, ma

ciò non è possibile poiché il barbiere

rade tutti quelli che non si radono da

sé e quindi dovrebbe radere anche

se stesso.

Comunque si affronti la questione ci si

trova di fronte ad una contraddizione.

Il problema è identico nel paradosso

del mentitore: “Epimenide cretese dice che tutti i cretesi mentono”.Non è difficile realizzare che se

Epimenide dice il vero mente, e

viceversa se mente dice la verità.

Detto in altri termini:

la classe A di tutte e solo quelle classi che non sono elemento di se stesse(ovvero la classe di tutte le

classi regolari) è una classe regolare o irregolare? Ovvero appartiene o meno a

se stessa?

Se la classe A non appartiene a se

stessa deve necessariamente

appartenervi in quanto è la classe di

tutte le classi che non contengono se

stesse.

Se A appartiene invece a se tessa,

allora non può assolutamente

appartenervi, in quanto è la classe

che comprende solo le classi che

non hanno se stesse come

elemento. Quindi appartiene a se

stessa solo se non appartiene a se

stessa.

Comunque si voglia girare la

questione ci troviamo di fronte ad

un’evidente contraddizione (come

comprese subito Frege che cambiò la

direzione dei suoi studi).

Tuttavia Russell ritiene sia possibile

trovare una soluzione logicamente

valida.

Insieme a Whitehead,

Russell propone la

cosiddetta teoria dei tipi,

partendo dal presupposto

che si possa costruire un

sistema esente da

contraddizioni eliminando

le classi che comprendono

se stesse come elementi.

Whitehead

Questa teoria prevede che vi siano vari tipi di oggetti

Individui Oggetti di tipo 0

Classi di oggetti di tipo 0 Oggetti di tipo 1

Classi di oggetti di tipo 1 Oggetti di tipo 2

Classi di oggetti di tipo n-1 Oggetti di tipo n

Gli studenti, per esempio, essendo

individui sono elementi di tipo 0.

La classe scolastica è un oggetto di

tipo 1, in quanto costituita di

elementi di tipo 0.

La scuola è un oggetto di tipo 2, in

quanto comprende elementi di tipo

1.

Infatti, per continuare con l’esempio, un insieme

di studenti non è uno studente; un insieme di

classi non è una classe; un insieme di scuole

non è una scuola.

La regola può anche essere espressa così:

un oggetto di tipo n è composto

esclusivamente di elementi di tipo n-1 e

quindi non può contenere se stesso.

In tal modo l’antinomia sarebbe eliminata.

Russell

Sulla base della teoria dei tipi, Russell e

Whitehead ritengono di poter riprendere il

progetto logicista.

In realtà il problema resta aperto, perché

se da un lato vengono introdotti nuovi

principi logici, come l’assioma dell’infinito

che tuttavia rinvia a elementi extralogici,

dall’altro non si può escludere la comparsa

di nuove antinomie.

Spetterà a Kurt Godel suggerire nuove

soluzioni, che tuttavia sembrano

ridimensionare in via definitiva le

pretese di autoconsistenza dei

sistemi formalizzati.

Pietro Volpones - 2011