Beatrice Casati & Anna Carcano

presentano:

Il teorema del viriale è una proposizione che legala media temporale dell'energia cinetica edell'energia potenziale di un sistema stabiledi N particelle e che ha importanti risvolti in diversebranche della fisica.

La prima formulazione del teorema è dovuta

a Rudolf Clausius, nel 1870. Il nome viriale deriva dal latino vis che 

significa forza o energia.

Si basa sull’uguaglianza tra la tendenza di contrazione e la tendenza all’espansione di 

una stella.

                 Ricaveremo: 

 = -

U = - 

Il segno negativo è spiegato dalla legge di Coulomb, secondo cui due cariche opposte si attraggono.

COME VOLEVASI DIMOSTRARE!

       

Dal punto di vista matematico si esprime tramite il teorema del Viriale questa condizione: una nube interstellare rimane in uno stato di equilibrio dinamico finché l'energia cinetica del gas, che genera una pressione verso l'esterno, e l’energia potenziale della gravità, con verso centripeto, si equivalgono. 

Il teorema stabilisce che, per mantenere l'equilibrio, l'energia potenziale gravitazionale deve essere uguale al doppio dell'energia termica interna. La rottura di questo equilibrio a favore della gravità determina il manifestarsi di instabilità che innescano il collasso gravitazionale della nube.

    La massa limite oltre la quale la nube andrà certamente incontro al collasso è detta massa di Jeans, che è direttamente proporzionale alla temperatura ed inversamente proporzionale alla densità della nube: quanto più bassa è la temperatura e quanto più alta la densità, tanto minore è la massa necessaria perché possa avvenire tale processo. 

    Per una densità di 100 000 particelle al cm³ e una temperatura di 10 K il limite di Jeans è pari a una massa solare.

Il Teorema del Viriale formalizza, quindi, la condizione di stabilità di un sistema autogravitante, che implica un preciso 

bilanciamento fra energia cinetica (agitazione termica) ed energia potenziale gravitazionale. 

Infatti:

• Se prevale l’energia termica Ec, il sistema si espande  non è più stabile • Se prevale l’energia potenziale gravitazionale U, il sistema si comprime  non è più stabile

Essendo  l’energia  potenziale  negativa,  se  il  sistema  si  contrae, l’energia potenziale diventa sempre più negativa.

In  base  alla  formula,  quindi,  se  il  sistema  si  contrae,  l’energia termica aumenta.

Ma,  in  base  al  teorema  del  Viriale,  solo  ½  dell’energia gravitazionale rilasciata rimane nel sistema sottoforma di energia termica, l’altro ½ viene rilasciato sotto forma di radiazione.

Applicazione del Teorema del Viriale: stima della velocità di fuga dall’ammasso

Consideriamo un ammasso stellare sferico, autogravitante,  composto da N stelle di massa m aventi velocità quadratica media V e aventi distanza media R fra ogni coppia di stelle. 

Per calcolare la velocità di fuga ve dall’ammasso di una delle N stelle eguagliamo l’energia cinetica, corrispondente alla velocità di fuga, all’energia potenziale “sentita” dalla stessa stella (dovuta cioè alle N-1 stelle rimanenti): 

½ m ve2 = G [(N1)m] m / R

(essendo R la distanza media fra le stelle, che adottiamo come il raggio caratteristico dell’ammasso)

D’altra parte, il teorema del Viriale afferma che l’energia cinetica di agitazione termica  delle N stelle è uguale al ½ dell’energia potenziale gravitazionale U cambiata di segno:  = ½ U

La quantità totale di energia cinetica disponibile       è data da:

= N ½ mV2

Ricordiamo che abbiamo assunto una distanza media fra coppie di stelle pari a R.

L’energia potenziale gravitazionale associata a ogni coppia è Gm2/R.

Essendoci  N(N1)/2 possibili coppie di stelle nell’ammasso, si ha U = G N(N1) m2 /2R .

Dal teorema del Viriale si ha quindi la relazione:

N ½ mV2 = ½ G N(N1) m2 /2R

che paragonata alla relazione per la velocità di fuga: 

½ mve 2 = G [(N1)m] m / R

implica:

ve = 2V

Il TEOREMA DEL VIRIALE consente di misurare la massa di un ammasso galattico       in stato di equilibrio dinamico. All'interno di un ammasso, ogni galassia è accelerata dalla gravità totale subita da parte di ogni atomo facente parte dell'ammasso stesso. Maggiore è la massa dell'ammasso, maggiore è la gravità e maggiore è la velocità con la quale le galassie si muovono nelle loro orbite. Il TEOREMA DEL VIRIALE regola, quindi, anche i moti delle singole galassie degli ammassi.

Gli Ammassi di Galassie sono insiemi di galassie che vengono tenute insieme dalle rispettive forze di gravità. Poco meno di metà delle galassie si trova questi ammassi, strutture con un numero di membri che va da poche unità a diverse migliaia. Gli ammassi più grandi possono essere due o tre volte l’ Ammasso della Coma; solo l'1% delle galassie si trova in questi grandi ammassi.