Azionamenti Elettrici

Azionamenti Elettrici

Appunti a cura di

Damiano Zito

http://www.damianozito.org

http://www.damianozito.org/

Appunti di Azionamenti Elettrici a cura di Damiano Zito

IndiceIndice............................................................................................................................2

Note Importanti............................................................................................................4

Azionamenti in Corrente Continua.............................................................................5

1.Principio di funzionamento della macchina in c.c........................................................................5

2.Caratteristiche meccaniche ed elettriche.......................................................................................6

2.1.Circuito equivalente della macchina in c.c. per funzionamento da motore..........................7

2.2.Eccitazione indipendente e funzionamento da motore..........................................................7

2.2.1.Regolazione sulla tensione di armatura.........................................................................9

2.2.2.Regolazione sul flusso di eccitazione..........................................................................10

2.2.3.Regolazione sulla tensione di armatura e flusso di eccitazione..................................10

2.3.Eccitazione serie e funzionamento da motore.....................................................................11

2.4.Eccitazione indipendente e funzionamento da generatore..................................................12

2.5.Eccitazione derivata e funzionamento da generatore..........................................................12

3.Modello della Macchina in c.c. in Regime Variabile .................................................................14

3.1.Cenni sui sistemi in controreazione....................................................................................18

3.2.Analisi del transitorio di velocità........................................................................................18

3.2.1.Transitorio di velocità: Gradino di velocità.................................................................19

3.2.2.Transitorio di velocità: Gradino di coppia di carico....................................................20

3.3.Analisi del transitorio di corrente........................................................................................21

3.4.Risultati dell'analisi dei transitori........................................................................................24

4.Gruppi Ward-Leonard.................................................................................................................24

5.Convertitori a commutazione: Ponte trifase a tiristori................................................................26

6.Convertitori Switching: Full-bridge............................................................................................28

7.Modello matematico del convertitore.........................................................................................31

8.Azionamenti in c.c. con convertitori di potenza.........................................................................31

8.1.Condizioni per eliminare il filtro di corrente......................................................................35

8.2.Struttura del regolatore di corrente.....................................................................................38

8.3.Regolatore proporzionale....................................................................................................38

8.4.Regolatore proporzionale e integrale..................................................................................38

8.5.Windup dell'integratore.......................................................................................................39

8.6.Anti-Windup........................................................................................................................40

9.Richiami di controlli automatici: Luogo delle radici..................................................................42

9.1.Regole per il tracciamento del Luogo delle Radici (LdR)..................................................43

10.Regolazione della corrente di armatura di un motore a c.c......................................................44

http://www.damianozito.org 2



10.1.Compensazione del disturbo (Feed-Forward)...................................................................45

10.2.Regolatore di corrente ad isteresi......................................................................................48

11.Schemi di controllo per azionamenti in c.c...............................................................................50

11.1.Generazione dei riferimenti e chattering del sistema........................................................52

11.2.Schemi di controllo per la regolazione della velocità tramite circuito di eccitazione.......53

12.Frenatura rigenerativa...............................................................................................................59

Azionamenti Brushless...............................................................................................62

1.Classificazione............................................................................................................................62

1.1.Macchina SPM....................................................................................................................63

1.2.Macchina IPM.....................................................................................................................64

1.3.Macchina IM.......................................................................................................................64

2.DC Brushless..............................................................................................................................65

3.Azionamenti DC Brushless: modello matematico......................................................................68

4.Azionamenti DC Brushless: Schemi di controllo.......................................................................72

4.1.Limiti degli azionamenti DC Brushless..............................................................................73

5.Trasformazioni di coordinate: il sistema di riferimento arbitrario..............................................75

6.Trasformazioni di coordinate: il vettore rotante.........................................................................75

7.Macchina Sincrona a Poli Salienti..............................................................................................75

8.Macchina Sincrona a Magneti Permanenti IPM.........................................................................77

9.Azionamenti AC Brushless: modello matematico......................................................................78

10.Azionamenti AC Brushless: Schemi di controllo.....................................................................83

11.Azionamenti AC Brushless: estensione del campo di velocità (deflussaggio).........................90

Azionamenti con Motori Asincroni............................................................................94

1.Principio di funzionamento della macchina asincrona...............................................................94

2.Controllo scalare: Controllo V/f costante ad anello aperto e chiuso..........................................99

3.Controllo scalare: Controllo di Scorrimento.............................................................................103

4.Modello in regime transitorio della macchina asincrona..........................................................106

5.Controllo vettoriale diretto e indiretto: analisi a regime permanente.......................................117

5.1.Schemi controllo vettoriale indiretto.................................................................................121

5.2.Schemi di controllo vettoriale diretto................................................................................124

6.Controllo vettoriale: analisi a regime transitorio......................................................................125

7.Controllo vettoriale: schemi di controllo indiretti....................................................................129

8.Controllo vettoriale: schemi di controllo diretti.......................................................................133

8.1.Misura del flusso al traferro..............................................................................................133

8.2.Modello in tensione...........................................................................................................134

8.3.Modello in corrente...........................................................................................................135

8.4.Modello ibrido...................................................................................................................136




Note ImportantiQuesto documento in alcun modo pretende di sostituire libri di testo, può contenere errori, imprecisioni e trattare non molto approfonditamente determinati argomenti.

Gli appunti sono frutto delle lezioni, né più né meno, che ho seguito durante il corso di Azionamenti Elettrici tenuto dal Prof. Fabio Giulii Capponi presso il Dipartimento di Ingegneria Elettrica (ora DIAEE) dell'Università Sapienza di Roma. Non vanno oltre lasciando gli approfondimenti come scelta personale.

A tal proposito esiste un'ottima bibliografia consigliata dallo stesso Prof. Capponi. Io inoltre ho consultato la tesi di Gabriele Borocci dalla quale ho implementato qualche appunto sul controllo vettoriale della macchina asincrona.

Nel file (almeno in questa prima versione) non sono presenti le esercitazioni di laboratorio svolte sempre durante il corso. Chi ha dimestichezza può provare ad implementare quanto viene studiato con Matlab e Simulink. Manca poi la parte sui trasduttori che rappresenta la prima parte del corso tenuto dal prof.

Ritengo in ogni caso siano un ottimo supporto per affrontare l'esame. Consiglio ai miei colleghi di frequentare il corso specie se interessati perché durante le lezioni si riescono a captare molte informazioni utili. Inoltre il prof è molto preparato e bravo nelle spiegazioni.

Ultime note sulle figure. Molte sono prese dalle slide utilizzate dal professore durante le lezioni. Altre le ho direttamente create io con Draw di LibreOffice1 o con FidoCadJ2 o scannerizzate dai libri. Molti schemi a blocchi li ho costruiti su Simulink e altri li ho presi dagli appunti di Emanuele “Laeman” Freddi3. Alcune figure verso la fine del documento sono quelle originali “a mano”. In una prossima versione del documento saranno sicuramente sostituite.

Per eventuali errori, correzioni o altro contattatemi pure.

Roma, 23 luglio 2012

Damiano Zito

[email protected]

http://www.damianozito.org

1 Libre Office è una suite d'ufficio Open Source deriva da OpenOffice, se non sai cos'è fai un salto sul sito. 2 Qui la pagina di Wikipedia.3 Qui il suo sito e gli appunti degli altri corsi.


mailto:[email protected]

http://laeman.altervista.org/Blog/lecture-notes/

http://it.wikipedia.org/wiki/Fidocadj

http://www.libreoffice.org/


Azionamenti in Corrente Continua

1. Principio di funzionamento della macchina in c.c.

Lo studio degli argomenti contenuti in questo capitolo permetterà una più facile comprensione degli azionamenti brushless e per macchine asincrone che completano il corso.

Strutturalmente la macchina in cc è la più complessa da realizzare, è composta da una parte fissa (statore) ad espansioni polari, ed il rotore che rappresenta la parte mobile.

Il sistema di collettore-spazzole, collegato appositamente al rotore (detto anche armatura), permette di prelevare la tensione continua. Gli avvolgimenti della macchina sono disposti su due strati nelle cave rotoriche indipendentemente dal tipo di collegamento. Uno strato superiore è collegato ad uno strato inferiore distante il passo polare τ .

Le lamelle che scorrono fra gli avvolgimenti e che consentono di prelevare la tensione continua, creano un corto-circuito. In questo preciso istante la fem indotta è nulla perché i conduttori sull'armatura sono soggetti ad induzione nulla. Questa considerazione vale però finché la macchina è a vuoto.

Nel funzionamento a carico per effetto delle spazzole e delle lamelle, la corrente di una spira si divide equamente (per simmetria) in due direzioni. In questo modo sotto un polo la corrente circola in un verso, sotto l'altro polo circola nel verso opposto.

La mappa di campo è sempre diretta lungo l'asse interpolare. Quando la corrente attraversa l'asse interpolare la corrente commuta e il campo rimane fisso nello spazio.

I campi di reazione e di eccitazione sono fra loro sempre ortogonali, pertanto massimizzano la conversione di coppia. Il prodotto I r x Be è sempre massimo, e a livello locale questo prodotto

rappresenta delle forze tangenziali mentre a livello globale è la coppa.

L'andamento della coppia e dell'induzione va tenuto sotto controllo perché bisogna ricordarsi della saturazione cui può incorrere la macchina.

È chiaro che maggiore è la correte I r maggiore sarà la coppia resistente T r , questa condizione

vuol dire che si sposta l'asse interpolare. Ciò è un problema per la commutazione della corrente nel conduttore. Inoltre analizzando il campo sotto al polo questo non è più costante per effetto della saturazione.

Per risolvere questi problemi si adottano alcuni accorgimenti costruttivi. Fra questi:

– l'installazione di poli di commutazione attorno ai quali si avvolgono degli avvolgimenti attraversati dalla corrente di reazione;

– cave di espansione che servono per realizzare un avvolgimento compensatore in serie


all'armatura il quale produce un campo sotto l'espansione polare opponendosi a quello di reazione.

2. Caratteristiche meccaniche ed elettricheQuando la macchina in cc funziona da generatore è accoppiata ad un motore primo il quale fornisce l'energia meccanica che viene opportunamente convertita in energia elettrica.

La Figura 1 mostra il bilancio energetico e mette in evidenza le perdite nel ferro e nel rame che avvengono durante la conversione.

Di seguito viene invece mostra il bilancio energetico quando la macchina funziona da motore.

Si definiscono:

Potenza meccanica: Pmecc=T ω r=K TΦe I aωr

Figura 1: Bilancio energetico della macchina in cc in funzionamento da generatore

Figura 2: Bilancio energetico della macchina in cc con funzionamento da motore


Potenza elettromagnetica: P em=E I a=K EωrΦe I a .

In particolare quando si trascurano le perdite nel ferro e nel rame si ha che KT=K E .

2.1. Circuito equivalente della macchina in c.c. per funzionamento da motore

Si possono scrivere le equazioni in regime permanente che governano il circuito.

Forza elettromotrice indotta: E=K EωRΦe

Coppia: T=KTΦe I a

Tensione di eccitazione: V ecc=Recc I ecc

Flusso di eccitazione: Φe= f (I ecc)

Circuito di armatura: V a=Ra I a+E .

Il circuito di eccitazione può essere del tipo:

– serie;

– parallelo;

– derivato (Shunt);

– compound.

A seconda dell'eccitazione che viene fornita alla macchina cambiano i vincoli per le equazioni.

2.2. Eccitazione indipendente e funzionamento da motore

Questa configurazione è quella che permette una migliore regolazione della macchina e che verrà analizzata nel dettaglio più avanti.

Figura 3: Circuito equivalente della macchina in cc (funzionamento da motore)


Si cerca di esprimere la coppia in funzione delle grandezze della macchina.

Essendo V a=Ra I a+E si ricava I a=V a−E

Ra

=V a−K EωrΦ

Ra

.

Per cui T=KTΦ I a=K TΦV a−K EωrΦ

Ra

, che può essere meglio nella forma:

T=K TΦV a

Ra

−KT K EωrΦ

2

Ra

, che è pari a y=mx+q , dove q è il valore della coppia di avviamento.

La velocità a vuoto vale ω0=V a

K EΦ.

La corrente di avviamento: I avv (ωr=0)=V a

Ra

.

E quindi la coppia di avviamento: T avv=KT ΦV a

Ra

=KT Φ I avv .

Si vuole ora confrontare la corrente di avviamento con quella nominale.

Si parte dall'equazione V an=Ran I an+E0 , facendo il bilancio delle potenze si può scrivere:

V an I an⏟1

−Ran I an2

⏟0,1

+E 0 I an⏟0,9

.

Ricavando Ian e facendo il rapporto: I avv

I an

=V a

Ra

Ra

V an−E0

=10 , cioè la corrente di avviamento è pari a

10 volte quella nominale.

Questa corrente può determinare problematiche di natura termica, ma sopratutto sforzi

Figura 4: Caratteristica coppi-velocità di un motore in continua con eccitazione indipendente

Tavv

ω0

Ta

Porzione utilizzabile


elettrodinamici nel motore (vanno col quadrato della corrente) che quindi saranno 100 volte maggiori rispetto al funzionamento nominale.

Di questa macchina l'interesse è poter variare la velocità per adattarla al carico di coppia TL. Analizzando l'espressione trovata per la coppia, si nota che è possibile intervenire su tre grandezze:

– resistenza di armatura (tecnica in disuso perché troppo dissipativa);

– tensione di armatura;

– flusso di eccitazione;

2.2.1. Regolazione sulla tensione di armatura

Se la macchina si trova alimentata a tensione Va pari alla tensione nominale si parte dalla caratteristica turchese più spessa. L'obiettivo è portare la macchina alla velocità di rotazione desiderata. Per fare ciò la tensione viene diminuita. Si nota dall'espressione della coppia che le caratteristiche sono tutte parallele al variare della tensione.

Se poi da una condizione per cui è applicato un carico TL la macchina ruota a velocità ωr e per

qualsiasi ragione questo aumenta fino a TL' allora per garantire la stessa velocità di rotazione si vede

che la tensione deve aumentare (caratteristica verde). Si può arrivare allo stesso risultato analiticamente.

Si è nella condizione di flusso di eccitazione costante. L'obiettivo è mantenere ωr=cost , per cui

E=K EΦω r=cost .

Essendo la coppia T L'=KT Φ I a , si ricava la corrente. E poiché la tensione V a=Ra I a+E è chiaro

che questa debba aumentare per soddisfare la richiesta.

Figura 5: Regolazione sulla tensione di armatura di una macchina in cc

VaT

n

TL

TL

'

ωr

DCV

a

Ra

Vb


2.2.2. Regolazione sul flusso di eccitazione

Si pensi trovarsi nel punto di funzionamento nominale. Anche il flusso sarà quello nomianale. Una volta raggiunto il punto a velocità nominale che corrisponde alla potenza nominale è possibile regolare il flusso di eccitazione facendolo diminuire.

Se il flusso si dimezza anche la Tavv si dimezza, ma raddoppia la velocità a vuoto. In generale le caratteristiche hanno un andamento iperbolico e sono tutte tangenti al tratto a potenza costante, pari a quella nominale.

Analiticamente:

T=KT Φ I a , quindi se la corrente è costante la coppia è direttamente proporzionale al flusso.

Trovandosi a tensione nominale anche V a=cost , per cui E=cost=K EωrΦ . Quindi la velocità di

rotazione è inversamente proporzionale al flusso.

Ne segue che T ωr=cost . Questa in altre parole dice che al diminuire del flusso diminuisce in pari

quantità la coppia e aumenta in pari quantità la velocità. La potenza in effetti non può andare oltre quella nominale.

2.2.3. Regolazione sulla tensione di armatura e flusso di eccitazione

Effettuando una combinazione delle due regolazioni appena viste si ottiene:

Figura 6: Regolazione sul flusso di eccitazione per una macchina in cc con eccitazione indipendente

Tn

P = cost

Pn

ωn ω


2.3. Eccitazione serie e funzionamento da motore4

Rispetto al caso precedente bisogna aggiungere il vincolo I ecc=I a . Si aggiunge poi l'ipotesi di

considerare lineare la caratteristica di saturazione.

V=E+Ra I ;

E=K Eωϕ ;

C=K Cϕ I ;

Per cui: V=(K E Kϕωr+Ra) I . La coppia ha così l'espressione:

4 Fino a prima dell'avvento dell'elettronica di potenza, la macchina in continua con eccitazione serie veniva utilizzata nel campo della trazione. Oggi si preferiscono macchine in alternata perché dispongono di una densità di potenza maggiore.

Figura 7: Regolazione di velocità e del flusso di una macchina in cc con eccitazione indipendente

Zona di regolazione a T costante

Va

Φecc =

Φn = cost

Zona di regolazione a P costante

ωmax

ωn

Φecc

Va = V

an = cost

T

ωr

Figura 8: Regolazione di velocità e del flusso di una macchina in cc con eccitazione indipendente con potenze

ωmax

ωn

T

ωr

P ≡ Va

Van

≡ P

E ≡ Pmecc

Ra Ia =

P

J = cost

E0 ≡ P

mecc


C=K C K ϕ I 2=K C K ϕ

V 2

(K E K ϕωr+Ra), il cui andamento è quello di un'iperbole quadratica che

varia con la velocità.

2.4. Eccitazione indipendente e funzionamento da generatore

Si analizza la caratteristica esterna tensione-corrente, la quale indica quanto il generatore reale si avvicina a quello ideale.

L'andamento ideale è naturalmente quello orizzontale, ma man mano che aumenta la corrente è chiaro che aumenta la caduta di tensione sulla resistenza di armatura e di conseguenza la retta (magenta) si inclina di un certo angolo. Se poi non sono stati presi provvedimenti per contrastare la reazione di armatura allora l'andamento è quello rappresentato dalla curva rossa, la quale appunto identifica la caduta di reazione.

L'obiettivo in questa configurazione è mantenere costante la tensione erogata. Per fare ciò per una certa corrente di armatura, il modo migliore è traslare verso l'alto la caratteristica, ovvero aumentare la fem indotta aumentando la velocità di rotazione. La regolazione di tensione quindi funziona variando la velocità di rotazione all'aumentare della corrente compensando la velocità resisitva.

Un altro modo, se la velocità è costante, è quello di aumentare il flusso di eccitazione. Bisogna però considerare la non linearità del flusso.

2.5. Eccitazione derivata e funzionamento da generatore

Il caso di eccitazione derivata è quello più comune per un generatore, perché si cerca di autoeccitare la macchina. Sul circuito di eccitazione si introduce il reostato per raggiungere questo scopo.

L'avviamento normalmente si effettua a vuoto.

Figura 9: Caratteristica esterna di un generatore in cc con eccitazione indipendente

V

I

Pn


La tensione eventualmente presente sull'armatura viene utilizzata per alimentare il circuito di eccitazione. La caratteristica infatti, poiché la macchina “memorizza” la magnetizzazione precedente, è in grado di fornire tensione diversa da zero anche a corrente nulla. Si noti però che tale tensione non è in grado di alimentare il carico e per questo motivo l'avviamento viene effettuato a vuoto. Questo campo, una volta che viene messo in rotazione il rotore, determina una fem indotta, quindi una corrente di eccitazione che porta la tensione ad un valore maggiore. Il circuito di eccitazione viene così alimentato sempre a tensione maggiore con un conseguente aumento di corrente di eccitazione. Il processo di auto-eccitazione si arresta nel punto di funzionamento stabile all'intersezione fra le due caratteristiche.

È evidente che la rotazione per queste macchine ha un verso predefinito.

Si noti ancora che la caratteristica a vuoto in turchese, può essere variata variando il reostato nel circuito di eccitazione. Ciò permette di trovare l'equilibrio tra fem indotta e corrente di eccitazione.

Una volta raggiunta la posizione di equilibrio è possibile analizzare la situazione a carico.

La corrente I a=I + I ecc≃I .

La caratteristica diventa non lineare.

Figura 10: Caratteristica di un generatore in cc con eccitazione derivata

ER

V

Iecc

E0


All'aumentare della Ia diminuisce la tensione, quindi la corrente di eccitazione e la fem indotta. Si tratta di una parabola ad asse orizzontale. Il tratto stabile è quello superiore all'intersezione (punto di funzionamento) con la caratteristica esterna.

La corrente di corto-circuito in questa macchina non è vista come sovraccarico, ne determina quindi una robustezza della macchina stessa.

3. Modello della Macchina in c.c. in Regime Variabile

Equazione di campo (field): v f=R f i f +L f

di f

dt

Equazione di armatura: va=Ra ia+ La

dia

dt+ea

F.e.m. Indotta: ea=K EωrΦ f

Equazione di coppia (torque): T em=KT Φ f i a

Equazione meccanica: T em−T L=Jdωr

dt+Bωr .

Il modello viene analizzato dal punto di vista della teoria dei controlli automatici. In generale si ha:

{x= f (x ,u ,t )y=g ( x ,u , t)

,

dove

x = stati;

Figura 11: Caratteristica a carico di un generatore in cc con eccitazione derivata

Tratto approssimato come lineare

In

V = Ra Ia

V

Ia

E

Icc


y = variabili di uscita;

u = variabili di ingresso.

Il sistema appena descritto può essere messo sotto la forma di sistema proprio:

{x=A x+B uy=C x+D u

,

se poi D = 0 il sistema si dice strettamente proprio.

Nel modello della macchina si vogliono determinare le variabili di stato, gli ingressi, gli eventuali disturbi e le uscite. Risulta così:

x=(iecc

iaωr) ; u=

va

vecc

; d=T L .

Scritte le equazioni che descrivono la macchina in corrente continua, si mettono in evidenza le variabili di stato, o meglio le derivate delle variabili di stato che rappresentano l'energia immagazzinata5 nel sistema.

di f

dt=

v f

L f

−R f

L f

i f ;

dia

dt=−

Ra

La

i a−K E

La

ωrΦ f +ILa

va

dωr

d t=−

BJωr+

KT

JΦ f ia−

1J

T L

dove: KT Φ f i a−T L=Jd ωr

dt+Bωr

Φ f=K Φ i f .

Ovvero:

di f

dt=

v f

L f

−R f

L f

i f

dia

dt=−

Ra

La

i a−1La

e+1La

va

dωr

d t=−

BJωr+

1J

T L+1J

T em .

Avendo sostituito:

e=K EωrΦ f

T em=KT Φ f i a .

5 Energia cinetica: ζk=12

J ω¿2+ζ0 ; energia magnetica: ζm=12

L i2+ζmo . Si trascura l'energia termica.


Scritte le equazioni e ricordando che in fisica vale il principio di causa-effetto si utilizza la schematizzazione a blocchi per studiare la macchina mantenuto tale principio. Per cui ciò che sta a sinistra dell'equazione è la causa, mentre la parte a destra ne è l'effetto.

Ad ogni integrale corrisponde una variabile di stato. Questo perché ad ogni operazione viene immagazzinata dell'energia e l'integrale non è altro che un accumulo.

Il modello presenta delle non linearità per via delle moltiplicazioni del flusso con la corrente e la velocità angolare. Per linearizzare il modello si considera costante il flusso di eccitazione.

Quando il flusso è costante si semplifica il circuito di eccitazione. Le equazioni che descrivono il sistema diventano perciò:

ea=K E ' ωr

T em=KT ' i a

dia

dt=−

Ra

La

i a−1La

e+1La

va

dωr

d t=−

BJωr+

1J

T L+1J

T em .

Poiché il sistema è ora lineare può essere studiato analiticamente nel dominio di Laplace. Per semplificare la trattazione le equazioni che seguono vengono scritte ponendo condizioni iniziali nulle.

E (s)=K E 'Ω(s)

T em(s )=K T ' I a(s)

Figura 12: Schema a blocchi non lineare della macchina in cc

1/Lf Integrale

Rf / Lf

vf

1/La Integrale

Ra/La

va

X Kt/J

1/J

B/J

Integrale

Ke X

Integrale

1/La

-+

-

-

-

-TL

Thetaw

dw/dt

dia/dt

dif/dt if Phi_f

ia


V a(s )=Ra I a(s)+s La I a(s)+E (s)

da cui si ricava la corrente: I a(s)=V a(s)−E (s )

Ra+ sLa

esprimibile nella forma: I a(s)=1

Ra+sLa[V a(s)−K E ' (s)Ω(s) ]

T em(s )−T L (s)=sJ Ω(s)+B( s)

da cui si ricava la velocità: Ω(s)=1

B+sJ[KT ' I a(s )−T L(s )] .

A questo punto è possibile cambiare il diagramma a blocchi, equivalente al precedente ma nella variabile s di Laplace, che descrive la macchina in continua. Si trova un modello costituito da due equazioni differenziali lineari del primo ordine. Si noti che le due equazioni sono indipendenti tra loro e sono funzioni delle due costanti.

Le soluzioni delle equazioni lineari sono legate alla costante di tempo e sono di tipo esponenziale

e−tτ . In questo caso sono due, una legata alla costante di tempo elettrica del circuito di armatura e

l'altra alla costante di tempo meccanica.

L'obiettivo per lo studio in regime variabile è capire come varia la velocità di rotazione al variare della tensione di armatura e della coppia di carico. Poiché il modello è lineare si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Per fare ciò bisogna creare due funzioni di trasferimento ad anello chiuso ed in particolare una prima fdt che fornisce la ωr rispetto alla V a quando T L è

nulla ed una seconda fdt che fornisce la ωr rispetto la T L quando V a=0 .

Figura 13: Schema a blocchi della macchina in corrente nella variabile s


3.1. Cenni sui sistemi in controreazione

Nei sistemi in controreazione, la regola per determinare la funzione di trasferimento è: “blocchi della catena diretta diviso tutti i blocchi nell'anello di controreazione”.

La funzione di trasferimento ingresso-uscita indicata generalmente con lettera W vale

W (s)=Y (s )Y *(s )

=G P1 P2

1+G P1 P2 H.

Si fa notare che al denominatore il segno positivo va invertito con quello negativo qualora la controreazione sia positiva.

La fdt disturbo-uscita vale invece:

W d (s)=Y (s)D( s)

=P

1−G P1 P2 H.

Si noti che in questo caso la controreazione è positiva quindi al denominatore vi è il segno negativo.

3.2. Analisi del transitorio di velocità

A questo punto è possibile ricavare le due funzioni ad anello chiuso cercate per la macchina in continua6.

Svolgendo tutti i passaggi in base alle definizioni appena date si ottengono:

G1(s)=W ( s)=KT

(Ra+sLa)(B+sJ )+KT K E

,

G2(s )=W D (s)=Ra+s La

(Ra+sLa)(B+sJ )+K T K E

.

Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti si ricava la velocità di rotazione:

Ωr (s)=KT


V a (s)−Ra+s La


T L(s ) ovvero,

6 Da qui in avanti le costanti saranno indicate per semplicità di notazione come KT'=KT e K E

'=K E . Si ricordi però la

semplificazione sulla linearità del flusso.

Figura 14: Sistema in controreazione

G(s) P1(s) P

2(s)

H(s)

Y*

YR

ε ud

-

+ +

+

Y


Ωr (s)=G 1(s )V a(s)+G2(s)T L (s) .

Per semplificare la trattazione vengono fatte alcune ipotesi:

• B = 0

• J = Jm .

Si considera solo l'inerzia del motore e non quella del carico. Si noti però che questa è la semplificazione che può cadere perché può capitare che il carico abbia un'inerzia maggiore.

Per cui:

G1(s)=K T

sJ m(Ra+sLa)+K T K E

=1

K E(s2 La J m

K T K E

+sRa J m

K T K E

+1).

Il denominatore si trova nella forma di un sistema del II ordine, generalmente scritto come

ω(s)=k

1+2ζsω0

ès2

ω0

. Dove ω0 è la pulsazione di oscillazione naturale attorno alla quale il

sistema inizia ad oscillare. Tali oscillazioni sono smorzate da ζ (coefficiente di smorzamento), per cui quando ζ=0 si hanno oscillazioni infinite.

Definendo:

τe=La

Ra

costante di tempo elettrica,

τm=Ra J m

KT K E

costante di tempo meccanica.

Grazie a queste due definizioni si può ancora scrivere:

G1(s)=1

K E (s2τm τe+s τm+1)

.

Si può procedere con ulteriore semplificazione, ovvero τm≫τe . In generale la costante di tempo

meccanica è 2 ordini di grandezza più grande della costante di tempo elettrica. Quindi:

G1(s)≃1

K E (1+s τm)(1+s τe)≃

1K E (1+s τm)

.

La costante di tempo elettrica è molto più veloce di quella meccanica (è quasi istantanea e arriva molto presto a regime) quindi può essere trascurata (teorema del valore finale).

3.2.1. Transitorio di velocità: Gradino di velocità

Si pensi di applicare un gradino di tensione V a (s)=ΔV

s. La velocità vale:

Ωr (s)=ΔVK E

1s (1+s τm)

. Dopo aver ricavato la forma in poli e residui Ωr (s)=As+

B1+s τm

si può


eseguire l'antitrasformata e ritornare nel dominio del tempo:

ω(t )=ΔVK E

(1−e−

tτm)+ω(0) .

3.2.2. Transitorio di velocità: Gradino di coppia di carico

La fdt da analizzare è G2(s )=−Ra+sLa

(Ra+ sLa)(B+sJ )+KT K E

. Raccogliendo sempre i fattori KT e K E

a fattore comune al denominatore e la resistenza di armatura al numeratore, e introducendo nuovamente le costanti elettrica e meccanica, si ottiene:

G2(s )=−Ra

KT K E

(1+s τe)

(1+s τm)(1+s τe)=−

Ra

K T K E

1(1+s τm)

.

Il gradino di coppia di carico applicato alla macchina è T L(s )=ΔT

s, per cui la velocità di

rotazione della macchina in continua vale:

Ωr (s)=−ΔT Ra

K T K E

1s (1+ s τm)

.

Come per il caso precedente, antitrasformando si ottiene la velocità nel dominio del tempo:

ωr (t)−ΔT Ra

K T K E

(1−e−

tτm )+ωr (0) .

Figura 15: Velocità del motore nel tempo (con ia = 0 per cui Va = ΔV). Ke= Ke'


A questo punto è utile andare a verificare il comportamento a regime della macchina e studiare la risposta della corrente per un gradino di coppia di carico.

A regime permanente la coppia motrice è pari a quella di carico che vale T L=ΔT=KT I a per cui

I a=ΔTK T

.

La tensione di armatura come si può vedere in figura è costante (gradino).

La condizione di equilibrio cercata vale: V a=Ra I a+E

Mentre la condizione a vuoto (prima del gradino di coppia): V a=E0=K eω0 .

Per ottenere la condizione di equilibrio e quindi una corrente di armatura diversa da zero in grado di erogare la coppia necessaria, dovrà necessariamente diminuire E e dunque la velocità (essendo Va = cost.):

K Eω0=RaΔTKT

+K Eω → K E(ω0−ω)=RaΔTKT

.

La variazione di velocità vale così:

Δω=RaΔT

K E K T

, cioè il valore a regime.

3.3. Analisi del transitorio di corrente

La trattazione di questo transitorio è semplificata.

I a(s)=1/Ra

1+τa s[Va(s )−K EΩ(s)] .

Figura 16: Transitorio di velocità per un gradino di tensione e un gradino di coppia di carico


Questa equazione in sostanza dice che il comportamento della corrente è quello che avrebbe in un circuito RL dove la tensione, istante per istante, è quella di armatura sottratta della fem indotta.

Poiché la fem indotta dipende dalla velocità, anch'essa avrà dei transitori legati alla costante di tempo meccanica.

Il comportamento di ωr moltiplicato per K E è quello della fem indotta. La porzione di area

tratteggiata in rosso (Figura 17) rappresenta la differenza V a−E .

In Figura 18 è riportato uno zoom del transitorio della fem indotta e della corrente di armatura. Inizialmente la differenza fra le tensioni può essere trascurata e può essere considerata pari proprio a V a perché la velocità iniziale è pari a zero.

Quindi il transitorio di corrente iniziale è i(t)=ΔVRa

(1−e−t / τa) , per poi attestarsi sul valore di

regime pari a i(t)=ΔVRa

(vedi Figura 18). Se poi il gradino di tensione è pari alla tensione

nominale della macchina ( V an ), allora il valore a regime di corrente è pari a quello di corto-circuito

– e quindi di avviamento - della macchina visto nello studio in regime permanente.

Il valore di picco della corrente si avvicina a quello di corto-circuito quanto più è grande la differenza τm−τa , cioè quanto più è lenta la costante di tempo elettrica rispetto quella meccanica.

Mentre la corrente sale rapidamente sale anche la velocità e di conseguenza diminuisce la tensione

Figura 17: Analisi del transitorio di corrente


che viene fornita al circuito RL ( V a−E ). La variazione di tensione è lenta, per cui le variazioni di

corrente non sono percepibili.

In un secondo momento la corrente scende con un andamento legato alla costante di tempo meccanica fino al valore zero, perché la coppia è nulla.

Quando viene applicato il gradino di coppia, la corrente parte dal valore iniziale nullo e arriva al

valore finale ΔTK T

.

Si noti che il rapporto fra i picchi di corrente nel grafico in Figura 17 è circa 10.

Figura 18: Dettaglio del transitorio della fem indotta e della corrente di armatura

Va

E

ΔV / Ra

t

t

Figura 19: Picco di corrente in funzione delle costanti meccanica ed elettrica

Van

/ Ra

t

τm – τ

a maggiore

τm – τ

a minore


3.4. Risultati dell'analisi dei transitori

Dall'analisi svolta si possono trarre delle conclusioni importanti, già note in parte dallo studio in regime permanente.

In particolare si evince che:

1. Variando la tensione varia la velocità. Ciò era già noto ma ora è possibile sapere anche come avviene tale variazione (costante di tempo meccanica).

2. A pari tensione, se viene applicato un carico, la velocità diminuisce. Quindi per mantenere costante la velocità deve aumentare la tensione ma questa va variata al variare del carico. Sarà quindi necessario un sistema di controreazione che sente la variazione di tensione e agisce per compensare il transitorio e mantenere così la velocità costante.

3. Per un gradino di tensione si è visto che la corrente arriva fino a valori molto elevati. Questi sono inaccettabili non solo per la macchina, ma soprattutto per il convertitore elettronico di potenza che svolge il compito di regolare la tensione di armatura. Il convertitore va perciò dimensionato per non superare la temperatura massima di giunzione degli switch. Quindi va controllata anche la corrente.

4. Gruppi Ward-LeonardIl gruppo Ward-Leonard è il primo sistema per la regolazione della velocità della macchina in corrente continua. Oggi è possibile trovarlo ancora in funzione.

La regolazione di armatura viene effettuata con un convertitore elettromeccanico.

È costituito da:

– un motore primo, asincrono, alimentato dalla tensione di rete quindi lavora nel tratto stabile della caratteristica con velocità costante;

– macchina in cc con eccitazione indipendente collegata all'asincrono e che lavora da

Figura 20: Schema di gruppo Ward-Leonard


generatore;

– macchina in cc con eccitazione indipendente alimentata dalla precedente.

Di quest'ultima si vuole regolare la velocità dell'albero e può essere effettuata in due modi diversi.

1. Un primo modo è variare la corrente Ifm del circuito di eccitazione del motore, variando il flusso di eccitazione nel tratto a potenza costante.

2. Variando la tensione di armatura. Siano quindi:

E g=K egωrgΦeg la fem del generatore;

Em=K emωrmΦem la fem del motore;

Variando la resistenza del generatore attraverso un reostato, cambia il valore della corrente di armatura perché varia il flusso di eccitazione e dunque anche la tensione V a ai morsetti. Infatti per

portare la macchina alla velocità desiderata, bisogna erogare una certa coppia e se il flusso di eccitazione del motore è costante significa imprimere una determinata corrente di armatura. Vi è quindi una sola tensione di armatura che fa funzionare il circuito in quel punto, così come esiste una sola fem indotta del generatore che consente di raggiungere la velocità voluta.

Scrivendo l'equazione per il circuito di Figura 21 si trova (E g−Em)=(R eg+Ram) I am , da cui si

ricava:

E g=Em(ωrm)+(Ram+Reg)⋅I am(T L)=K egΦegωrg7.

Da quest'ultima relazione si trova il flusso di eccitazione che garantisce così la condizione di funzionalità voluta.

È chiaro che il rendimento di questi gruppi è basso e ciò si spiega dal fatto che si eseguono diverse conversioni elettromeccaniche.

Il generatore infatti preleva potenza elettrica dall'asincrono per trasformarla in energia meccanica, questa viene nuovamente convertita e fornita sotto forma di energia elettrica al motore che a sua volta fornisce in uscita energia meccanica.

7 Si noti che Em(ωrg) non è un prodotto, ma indica la dipendenza della fem dalla velocità, così come I am(T L ) indica

la dipendenza della corrente dalla coppia.

Figura 21: Circuito del gruppo Ward - Leonard


Si noti che se bisogna frenare a carico, il motore deve funzionare da generatore e convertire l'energia cinetica dell'albero in energia elettrica. Il generatore inizia così a funzionare da motore e l'asincrono diventa un generatore asincrono. La conversione elettromeccanica pertanto si inverte.

5. Convertitori a commutazione: Ponte trifase a tiristori

Il primo modo più diffuso per ottenere una tensione regolabile in continua è il ponte a tiristori. Se il valore efficace della tensione in ingresso è V FF . In uscita si ottiene:

V d=V do cosα ,

dove

V do≃1,35⋅V FF è il valore della tensione in uscita per ponte trifase a diodi;

α è l'angolo di innesco dei tiristori.

Per effettuare la regolazione della velocità della macchina in continua, si varia l'angolo di innesco (tra 0° e 90°) dei tiristori, per avere una tensione che varia tra 0 e il valore massimo V d0 .

Il massimo teorico dell'angolo di innesco è 180°. Per angoli di innesco maggiori di 90° infatti si inverte il segno della tensione di uscita. Si noti ora che il ponte a tiristori è unidirezionale e non permette l'inversione della corrente.

Per poter effettuare la frenatura, quindi creare una coppia opposta a quella positiva, vi è bisogno di lavorare con corrente negativa, quindi nel quarto quadrante. Nel secondo quadrante (tensione negativa), come si può osservare in Figura 22, si sta effettuando una frenatura ma rispetto al verso di rotazione negativo, cioè opposto rispetto a quello convenzionalmente positivo.

La configurazione che permette la frenatura nel verso convenzionale positivo è quella con due ponti a tiristori collegati in antiparallelo così come mostrato in Figura 24.


Figura 23: Meccanica del moto

Figura 22: Quadranti di funzionamento con 2 ponti a tiristori

V

I

MM ωT

em

ωT

em

Frenatura rispetto al verso convenzionale invertito.

M ωT

em

M ωT

em

M

ω Tem

TL

L


6. Convertitori Switching: Full-bridgeCome alternativa al ponte a tiristori, è possibile utilizzare un ponte detto ad “H”, accoppiato ad un convertitore dc/dc col vantaggio di ottenere una frequenza di variazione maggiore per la tensione fornita alla macchina. La struttura tipica, come quella in figura è quella di due rami in parallelo con

due switch per ognuno di essi controllati per ottenere la tensione desiderata in uscita. Quest'ultima è

Figura 24: Configurazione back-to-back di 2 ponti a tirisitori

Figura 25: Ponte ad "H" per la macchina in cc


una tensione continua, regolabile, che può variare tra +Vs e -Vs. Le configurazioni possono essere:

Q1, Q4 = ON → Vout = Vab = +Vs;

Q3, Q2 = ON → Vout = Vab = -Vs.

Si usano quindi le tecniche di modulazione PWM che consistono nell'accendere/spegnere con una certa frequenza gli switch, variando la tensione di uscita all'interno di un ciclo di modulazione .

All'interno di questo ciclo si determina il duty-cycle pari a: d=t ON (Qi)

T PWM

.

A causa della frequenza di modulazione (e dei multipli di essa) la tensione disponibile ai morsetti presenta un certo contenuto armonico. Di questa tensione però si può calcolare il valor medio:

vab=1

T PWM∫0

t ON

V s dt+1

T PWM∫tON

T

−V s dt=1

T PWM[V s tON−V s(T PWM−tON )]=

1T PWM

[V s(2 tON−T PWM)] ,

e cioè:e di che ;)

vab=V s(2d−1) . Quindi il valor medio della tensione in uscita dipende dal duty-cycle:

{vab=0 per d=0,5vab=+V s per d=1vab=−V s per d=0

.

Per generare la PWM si utilizza un circuito che confronta una tensione modulante, generalmente chiamata vcontrol , con frequenza pari a quella di uscita, con una portante.

Un requisito fondamentale per questa tecnica è che la tensione modulante vari molto lentamente rispetto alla portante in modo da poterla considerare costante all'interno di un periodo di modulazione. Quando infatti la modulante varia troppo velocemente la tensione in uscita non è più

Figura 26: Esempio di tecnica PWM


esprimibile con l'espressione trovata sopra. È interessante osservare che se la modulante è sempre ben definita e varia lentamente rispetto alla portante triangolare risulta:

{vcontrol=0 per d=0,5vcontrol=+V tri per d=1vcontrol=−V tri per d=0

, si ricava che d=0,5+0,5v control

V tri

. Allora, andando a sostituire questo

valore nell'espressione della tensione in uscita e svolgendo i calcoli si ottiene vab=V s

vcontrol

V tri

. Si

realizza cioè una diretta dipendenza fra vcontrol e la tensione di uscita. È importante però che la PWM, cioè la portante sia sempre triangolare per mantenere questa linearità. Numericamente se la portante è a 10 kHz, l'azione di controllo deve variare con frequenza massima di 1 kHz (cioè banda passante almeno una decade inferiore).

Si noti infine che il circuito della macchina in cc alimentato dalla tensione che esce fuori dalla PWM è di tipo RL. L'andamento della corrente per questo circuito dipende dalla costante elettrica

τa=Ra

La

, ed inoltre presenterà un ripple attorno ad un valor medio che dipende (oltre all'induttanza)

dal tON e cioè dal periodo di modulazione PWM.

Durante il tON: V s=Rai a+ La

d ia

dt+E → V s−E=Ra ia+La

d ia

dt.

Durante il tOFF: −V s=Ra ia+La

d ia

dt+E → −V s−E=Rai a+ La

d i a

dt.

Questo ripple8 di corrente provoca oscillazioni di coppia pregiudicando la qualità della macchina, si desidera quindi eliminarlo. Più avanti viene svolta l'analisi per sfruttare il solo valor medio della corrente che fornisce il contributo di coppia desiderato.

8 Si noti che il ripple disegnato in Figura 29 è valido nel funzionamento da generatore. In quello da motore il segno della corrente va invertito.

Figura 27: Ripple di corrente dovuto alla modulazione di tensione


7. Modello matematico del convertitoreFatte le dovute considerazioni sulla PWM e la corrente nel motore in cc, si introduce il modello generico di un azionamento che presenta un anello più interno di corrente ed uno più esterno di velocità.

Nello schema appare il PWM Generator, il cui modello matematico si è ricavato da quello del convertitore, ma invertendolo. Il modello non è dinamico perché si sta trascurando l'energia immagazzinata che è poca.

Stando quindi a quanto visto nel precedente paragrafo, la tensione media vale v=V s

V tri

⋅vcontrol , per

cui vcontrol=V tri

V s

⋅va * . In questo modo si ottiene quindi la tensione di controllo in uscita dal blocco

PWM Generator che comanderà gli switch.

Per annullare l'errore di velocità viene comandata una coppia desiderata T*. Come è noto questa dipende dalla corrente che nello schema è indicata come ia* ovvero la corrente desiderata di armatura. Essa è controllata dalla tensione Va* , cioè la tensione da imporre sull'armatura che serve appunto per annullare l'errore di corrente.

Eventualmente per ottenere un controllo di posizione bisogna imporre un terzo anello esterno, usando un trasduttore di posizione si ricava la velocità da imporre per annullare l'errore di posizione.

Più avanti si analizzeranno le controreazioni dei due anelli.

8. Azionamenti in c.c. con convertitori di potenzaNella trattazione precedente si è introdotto il modello matematico del convertitore. Se si riesce ad effettuare una stima esatta dei parametri, si può effettuare l'approssimazione va=va

* . Questa

condizione ha dei limiti che la rendono valida.

Nel modello infatti sono state introdotte, anche se indirettamente, delle ipotesi:

Figura 28: Azionamento generale per il controllo di una macchina in cc


1. Viene trascurato il contenuto alle frequenze di modulazione della va che esce dal

convertitore.

2. La tensione in uscita dal convertitore non è maggiore della tensione V s del link in continua.

Bisogna quindi ricordarsi della saturazione va=±V s .

3. Viene trascurato il dead-time degli interruttori. Questo perché il valor medio della tensione è tempo di commutazione degli switch. Se la modulazione avviene a 10 kHz (TPWM = 100 μs) il dead-time vale 1÷2 μs.

Il sistema di controllo, nella maggior parte dei casi, negli azionamenti elettrici è tutto digitale. Quindi se fPWM = 10 kHz, ci sarà un processore che ogni 100 μs produce un duty-cycle. All'interno del periodo di calcolo il processore determina il duty-cycle che dovrà quindi applicare nel periodo successivo.

La frequenza di campionamento per la corrente e la velocità è pressoché simile a quella di modulazione. Dal teorema del campionamento si ha quindi che la banda passante dell'anello di corrente non può essere superiore alla metà (5 kHz in questo caso). In realtà però è 10 volte (1 decade) inferiore alla fPWM.

Bisogna inoltre attenzione a non generare aliasing, ovvero creare frequenze che dipendono dalla differenza tra la f di campionamento e quella del segnale campionato.

Esempio: Se si campiona a 10 kHz un segnale con contenuto a 9 kHz, per effetto del campionato nel segnale campionato risulterà un segnale a frequenza di 1 kHz. Oppure se si campiona un segnale con contenuto a 9900 Hz, dentro al segnale campionato sarà presente un segnale a 100 Hz.

Figura 30: Calcolo del duty-cycle

t

TPWM

t di calcolo

Figura 29: Schema di controllo con approssimazione del convertitore unitario


Per eliminare questi contenuti in frequenza indesiderati (vicini a quelli di modulazione) bisogna eliminarli dalla controreazione filtrando la corrente con un filtro che può essere contenuto in H1(s) cercando di ricavare il valor medio che è quello di interesse.

Idealmente si vuole I a(s )

I a* =1 , ma questa condizione è irrealizzabile. Il filtro però può essere una

funzione di trasferimento del I ordine del tipo:

I a(s )

I a* ≃

11+τ* s

.

Una volta che si inserisce il filtro, la banda passante del regolatore di corrente trasla ancora più in basso. Questo perché alla banda passante del filtro corrisponde uno sfasamento di 45° gradi e quindi già prima della banda passante si ha un certo errore di fase. Ciò è inaccettabile e dunque il regolatore di corrente viene posizionato una decade prima rispetto alla banda passante del filtro.

La Figura 31 riporta il diagramma di bode del filtro in questione utilizzano un semplice script in Matlab:

%Funzione di Trasferimento del Filtro di CorrenteNUM = [0 1];DEN = [0 0.001 1];SYS = tf(NUM, DEN);bode(SYS)

In pratica – si è detto - la fdt non è unitaria, ma si riesce a realizzarne una del I ordine come sopra.

Figura 31: Diagramma di Bode del filtro di corrente


La banda passante è 1τ filter

9 e se ci si mantiene abbastanza a sinistra di tale valore, allora è possibile

approssimare la fdt effettiva con quella ideale (quindi unitaria).

Ciò vuol dire che il diagramma a blocchi in Figura 32 può essere approssimato semplicemente con quello in Figura 34.

Lo schema dell'azionamento si semplifica. L'anello di corrente è più veloce rispetto a quello più esterno di velocità, si riesce ad “eliminarlo”, o meglio ad approssimarlo con la fdt ad anello chiuso come mostrato in Figura 33.

Analizzando anche l'anello più esterno si ricava una funzione ad anello chiuso del tipo:

Anche questa funzione di trasferimento avrà una sua banda passante (B3n).

Si noti ora che tra la coppia desiderata e quella realmente impressa, la banda passante è sempre quella della corrente, quindi le proprietà dinamiche imposte alla regolazione della corrente si trasformano in regolazione della coppia. Questa considerazione vale sempre a flusso costante.

9 τPWM=1/10000 ; τ filter=1/1000 .

Figura 32: Schema semplificato per la regolazione di corrente

Figura 34: Sepmplificazione del diagramma a blocchi precedente

Figura 33: Semplificazione dell'anello di corrente, rimane solo quello esterno di velocità

Figura 35: Funzione ad anello di chiuso Wn(s)


Si osservi quindi la Figura 36. La fdt tra le coppie può essere approssimata ad uno se le variazioni di velocità richieste hanno una frequenza almeno una decade inferiore alla banda passante della corrente.

Riassumendo:

Grazie a questo grafico è possibile fare un'altra considerazione in merito alla controreazione della corrente. Nella realtà infatti nella controreazione è presente il trasduttore e il filtro che serve ad eliminare il contenuto non desiderato. Se si rimane a sinistra di B3i questa controreazione è unitaria. È altrettanto chiaro che all'interno dell'anello di velocità la dinamica del regolatore di corrente è possibile considerarla unitaria. Nel prossimo paragrafo si illustra la condizione per cui è possibile eliminare il filtro di corrente e migliorare la dinamica (e le prestazioni) del sistema.

8.1. Condizioni per eliminare il filtro di corrente

Figura 36: Schema semplificato, anello di velocità

Figura 37: Frequenze richieste nell'azionamento

Figura 38: Controreazione nell'anello di corrente


Nella realtà, nella controreazione dell'anello di corrente sono presenti un trasduttore e il filtro che come detto ha il compito di eliminare le frequenze di modulazione contenute nel ripple. Se però il filtro è almeno una decade sopra la banda passante dell'anello di corrente, la controreazione è unitaria.

Quindi utilizzando adeguati trasduttori e separando adeguatamente le bande passanti è possibile trascurare completamente il comportamento dinamico del trasduttore e del filtro. Questa considerazione vale fino al momento in cui non si cerca di spingere l'anello di corrente a frequenze prossime a quelle del filtro. Così come nella regolazione di velocità, se si pensa di portare più in alto la banda passante del regolatore di velocità non si può più trascurare la dinamica del regolatore di corrente.

In ogni caso, se viene eliminato il filtro si può spingere più in alto la banda dell'anello di corrente entro i limiti esposti.

Ora si osservi la Figura 3910 e si noti che la corrente in determinati istanti di tempo passa per il valor medio (che è quello di interesse). Pertanto se si campiona negli istanti in cui la corrente vale proprio la corrente media, e cioè nei picchi della triangolare, non c'è bisogno di filtrare le frequenze PWM perché il segnale è privo del ripple a tali frequenze.

Di questa considerazione si deve tenere conto sopratutto in fase di programmazione e quindi di scrittura del codice di calcolo per trascurare via hardware il filtro.

Di conseguenza cambia il diagramma delle frequenze (Figura 40). Ma l'anello di corrente non potrà essere 1/10 rispetto alla PWM, bensì 1/20, arrivando così a 500 Hz.

La modulazione PWM dipende dai dispositivi utilizzati11:

– i Mosfet consentono di arrivare a decine di kHz;

– con gli IGBT la massima frequenza è di 20 kHz.

Vanno considerate però le perdite dell'inverter che sono proporzionali alla frequenza di modulazione. Man mano che aumenta la taglia (cioè la potenza) dell'inverter diminuisce perciò la fPWM al fine di mantenere alto il rendimento.

10 Si ricordi che la PWM con portante triangolare si dice del tipo center-aligned. Con portante a dente di segna edge-aligned. Nel primo caso la PWM è sempre simmetrica rispetto al periodo di modulazione, nel secondo iniziano tutte nello stesso istante.

11 Un ponte a tiristori visto in precedenza arriva a frequenze di modulazione di circa 300 Hz.


Figura 39: Modulazione PWM nella macchina in cc

modulante

Va

t

t

v

Ia

t

+Vs

-Vs

Valore medio

Figura 40: Banda delle frequenze col filtro trascurato


8.2. Struttura del regolatore di corrente

Per il regolatore di corrente si ricorre ai PID.

L'errore in questi dispositivi viene trattato in 3 modi in base ai regolatori che si inseriscono:

– proporzionale

– integrale

– derivativo

Questi termini contribuiscono all'azione di comando u. Il regolatore non sempre presenta tutti e 3 i termini.

8.3. Regolatore proporzionale

Per il funzionamento di questo tipo di regolatore è necessaria la presenza di un errore.

Esso effettua la misura dell'errore e attraverso una costante di proporzionalità comanda una tensione che tende ad annullarlo. A regime permanente se l'errore è nullo la va

* è zero. Se si comanda tensione

nulla la corrente è zero e non è la situazione desiderata.

Si noti che alzando molto il guadagno del regolatore è sufficiente un errore molto piccolo per generare la tensione che serve a far circolare la corrente necessaria.

Il caso limite è naturalmente K p=∞ cui corrisponde (anche per piccolo errore) una tensione

comandata anch'essa infinita ma ciò non è possibile per ovvi limiti, e cioè non è possibile alimentare la macchina in queste condizioni. Bisogna ricordare il limite in tensione ( ±V s ) e cioè la

saturazione nel convertitore introdotta a pagina 31.

8.4. Regolatore proporzionale e integrale

Quando l'errore è zero il contributo solo proporzionale è nullo, mentre l'integrale di zero è una costante. Pertanto sarà costante la va . L'azione integrale annulla l'errore a regime permanente.

Infatti dalla teoria dei sistemi, per avere un sistema di tipo 0 (sistema che annulla l'errore a regime permanente per un ingresso a gradino) bisogna avere un integrale in catena diretta.

Per avere un sistema di tipo 1, cioè errore nullo a regime permanente per ingresso a rampa, bisogna avere due integratori in catena diretta. Il servoazionamento è un sistema di tipo 1, cioè un sistema a prestazioni elevate, che riesce ad deve inseguire riferimenti costanti o variabili nel tempo.

Pertanto se si sottopone un ingresso a rampa al sistema di tipo 0, questo a regime permanente dà un errore costante.

Con un proporzionale integrale si riesce ad ottenere la fdt con forma desiderata.

Ciò comporta dei vantaggi tecnici ed economici perché si evita di ricorrere al contributo derivativo. La derivata infatti va effettuata da un filtro nel caso analogico, mentre la derivata numerica è molto rumorosa. La derivata del gradino è un impulso, quindi per un riferimento di corrente a gradino, il contributo del termine derivativo andrebbe subito all'infinito. Una qualsiasi variazione brusca del riferimento si traduce in una tensione di armatura desiderata che porterebbe il sistema in


saturazione.

8.5. Windup dell'integratore

Si studia il fenomeno del windup dell'integratore considerando il solo termine integrale, trascurando il termine proporzionale solo ai fini di una trattazione più semplice.

Si parte dalla condizione per cui l'integrale è nullo e si richiede un gradino di corrente ia* . Istante per istante il regolatore svolge l'integrale dell'errore e comanda una tensione va* che inizia quindi a crescere. All'instante t1 l'integrale avrà così accumulato un determinato valore. Nell'instante successivo la tensione raggiunge il valore Vs . Si noti però che la corrente non ha ancora raggiunto il valore desiderato e che nonostante diminuisca l'errore, l'integrale continua a crescere perché aumentano i contributi positivi (l'integrale è un accumulo). Il che significa che nonostante il valore comandato dal regolatore sia più alto, questo vale in realtà Vs e l'ingresso fornito alla macchina si trova in saturazione.

La corrente desiderata continua a crescere perché si tratta di un transitorio in un circuito RL e la condizione è quella per cui si comanda la tensione massima del sistema e la corrente tende raggiungere il valore Icc . Quando ia supera ia*, all'integrale si sommano dei contributi negativi,

Figura 41: Windup dell'integratore

va*

va

ia*

ia

t

t

t1

t2

t3

t5

t1

t2 t

3t

4

Vs

t5

t4


ciononostante la corrente continua a crescere almeno fino a che la tensione va* non scende fino al valore Vs .

Solo dall'istante t5 la corrente inizia a diminuire e con diverse oscillazioni e con tempi lunghi raggiunge il valore di regime.

8.6. Anti-Windup

Il comportamento dovuto alla saturazione (di cui bisogna tenere conto) peggiora la dinamica del sistema allungando i tempi di risposta. L'altro fenomeno indesiderato su cui è possibile intervenire è quello dei picchi di corrente che sollecitano la macchina e il convertitore creando su quest'ultimo notevoli problemi termici alla giunzione degli switch. Si interviene quindi “prevedendo” la saturazione nel convertitore già nel sistema di controllo in modo che questo possa accorgersene prima.

Il sistema di anti-windup ha un funzionamento molto semplice. In uscita il PI fornisce una tensione vapresat la quale entra in uno schema a blocchi che è la riproduzione del convertitore (tiene conto della saturazione). Il regolatore controlla la differenza tra vapresat e va*. Se la differenza fra queste due grandezze è maggiore di zero allora tale quantità viene moltiplicata per un guadagno KAW per poi

Figura 42: Transitorio di corrente - circuito RL

Van

/ R = Icc

ia*

t

Figura 43: Schema di controllo con Anti-Windup


andare a sottrarsi all'errore riducendolo. Il caso limite sarebbe errore nullo ma la presenza dell'integrale garantirebbe un'uscita costante.

Quando la vapresat si trova in zona lineare la differenza tra le due tensioni è nulla quindi il feedback di anti-windup non funziona tenendo la vapresat sempre al margine della zona lineare.

Facendo in questo modo si garantisce che l'integrale (visto dal regolatore) non entri nella zona di lavoro in saturazione e si mantiene costante. Quando l'errore di corrente diventa nullo la vapresat può iniziare a diminuire come mostrato in Figura 45. Come si può vedere - a parte una leggerissima oscillazione - la corrente va subito a regime. L'integrale che vede il regolatore rimane costante tra t2 e t3.

Figura 45: Azione dell'anti-windup

ia*

ia

Integrale ∫

Vapresat

Vapresat =

Va *

t

t

t

Figura 44: Tensione al limite della saturazione grazie all'azione dell'integrale

vapresat

t


L'azione dell'anti-windup consente quindi di eliminare i picchi di corrente introdotti precedentemente dalla saturazione.

9. Richiami di controlli automatici: Luogo delle radici12

Per la trattazione di questo argomento il dominio di lavoro è quello della variabile s, quindi ci si trova nel dominio di Laplace.

La struttura di una funzione di trasferimento più comune è la seguente:

F (s )=

k '∏i=1

m

(s−zi)

∏i=1

n

(s−p i)

, m<n .

Se si pone tale funzione in controreazione unitaria:

si può ricavare la fdt W (s)=

k '∏i=1

m

(s− zi)

∏i=1

n

(s−p i)+∏i=1

m

(s−z i)

chiamata appunto fdt in controreazione

unitaria.

Si noti che il numero di poli della fdt ad anello chiuso e ad anello aperto coincidono perché hanno il grado massimo uguale al denominatore. Gli zeri poi sono identici.

Si definiscono:

12 Questo argomento viene introdotto per poter affrontare le esercitazioni numeriche e quindi la sintesi dei regolatori.

Figura 46: Controreazione unitaria della F(s)

F(s)x*

y

yΔe

Figura 47: Fdt in controreazione unitaria, detta fdt ad anello chiuso

W(s)x* y


• Poli di W(s):∏i=1

n

(s−p i)+k '∏i=1

m

(s−z i)=0 ;

• Punti singolari di W(s): ∂∂ s∏i=1

n

(s−p i)+k ' ∂∂ s∏i=1

m

(s− zi) .

Questi si calcolano isolando k': k '=−∏i=1

n

(s− pi)

∏i=1

m

(s− zi)

sostituendo questa espressione della

definizione si ottiene:∏i=1

m

(s−z i)∂∂ s∏i=1

n

(s− pi)−∏i=1

n

(s− pi)∂∂ s∏i=1

n

(s− pi) . Le soluzioni di

questa equazione vanno poi inserire nell'espressione di k' e solo i poli che forniscono una soluzione reale sono punti singolari.

Si può dimostrare inoltre che il numero di punti singolari è sempre P.S.⩽(n+m−1) .

9.1. Regole per il tracciamento del Luogo delle Radici (LdR)

1. Se le soluzioni dell'equazione del LdR è reale allora esiste un valore kì reale in grado di soddisfare l'equazione, ne segue che l'asse reale del piano complesso appartiene al LdR.

2. Appartiene al luogo positivo ( k '⩾0 ) tutti i punti dell'asse reale tali da lasciare alla loro destra una somma dispari di zeri e di poli di F(s), contati con la loro molteplicità. Appartengono al luogo negativo tutti i punti rimanente.

3. Per il luogo negativo ( −∞<k '<0 ), con k' proveniente da −∞ :

a) un numero di rami pari ad m (quanti gli zeri) convergono dagli m zeri di F(s);

b) n – m rami vengono dall'infinito secondo asintoti opportuni;

c) per k' = 0 , n rami convergono verso gli n poli di F(s).

Per il luogo positivo ( o⩽k '<+∞ ), per k' che va da 0 verso +∞ :

d) n rami partono dagli n poli di F(s), ci cui m convergono verso gli m zeri di F(s);

e) n – m rami tendono ad ∞ secondo opportuni asintoti.

4. Si avrà sempre 1 asintoto, sia per il L.P che per il L.N. Gli asintoti hanno un centro comune

per il L.P e il L.N. s0=

∑i=0

n

pi−∑i=0

m

z i

n−mContando i contributi con la loro molteplicità.

a) Nel luogo positivo tali semirette formano angoli pari a

ϕ+=π+2πh(n+m)

(h=1, 2,... , n−m) ;


b) nel luogo negativo formano angoli pari a ϕ-=2πh(n−m)

(h=1,2, ... , n−m) .

Non è detto che il centro coincida con un punto appartiene al LdR.

5. Se s* è un punto singolare del LdR con molteplicità pari a μ ( μ⩾2 )in tale punto confluiscono 2μ rami del luogo, alternativamente convergenti e divergenti. Questi rami tagliano il piano in 2μ “fette” uguali. Si il punto singolare coincide con un polo o uno zero di F(s) con molteplicità >1, allora l'alternanza dei 2μ rami è un'alternanza di L.P e di L.N.

L'utilità del luogo delle radici è quella di far capire come varia la dinamica della funzione di

trasferimento ad anello chiuso W (s)=F (s)

1+F (s)al variare di k'. La dinamica di W(s) dipende dai

suoi poli, infatti la funzione del LdR è proprio l'equazione al denominatore.

10.Regolazione della corrente di armatura di un motore a c.c.

In questo paragrafo la trattazione viene svolta per il caso di regolazione analogica.

FARE ESEMPIO CON MATAB

Figura 48: Asintoti del Luogo delle Radici

n - m = 1 n - m = 2 n - m = 3 n - m = 4

LP

LN


10.1. Compensazione del disturbo (Feed-Forward)

La Figura 49 riassume il controllo di corrente dopo aver inserito il sistema di Anti-Windup discusso in precedenza .

Fino ad ora le considerazioni sono state svolte in condizioni di rotore bloccato. In questo paragrafo si analizza la macchina in rotazione per capire se si riesce ad ottenere la dinamica desiderata. Per fare ciò si potrebbe studiare la funzione di trasferimento disturbo-uscita (definizione a pagina 18) o affrontare il problema con una trattazione qualitativa, che è quella che segue.

Quando la macchina viene posta in rotazione, essa agisce fornendo una tensione che fa circolare corrente.

Per via della rotazione si crea un errore e di conseguenza il regolatore di corrente agisce aumentando la tensione di armatura. Il regolatore però non tiene conto del disturbo prodotto dalla fem indotta, e comanda una tensione che in realtà poi diventa inferiore. L'errore che si viene a creare dura quindi di più, con la conseguenza che si ha una rallentamento nella velocità di risposta, fino a compensare il disturbo prodotto dalla fem indotta. A regime permanente l'errore nullo è garantito dalla presenza dell'integrale.

Per aumentare la velocità di risposta si cerca di conoscere una stima della fem indotta nel regolatore.

Il risultato è riportato in Figura 50. Si inserisce una stima della fem indotta tale per cui se estimata=e

allora la tensione v1*=v1 .

Per stimare e, se il flusso è costante, basta misurare la velocità e stimare il giusto guadagno Ke:

estimata=K eωrmis.

È chiaro che questa sarà una stima affetta da errore. Se si suppone che la stima è del 90% (che è un valore che si riesce a raggiungere), allora si scrive che:

estimata=0,9⋅e , per cui la tensione v1*=v1+0,1⋅e . Quindi il regolatore deve accumulare un errore

aggiuntivo (0,1 e) sempre per annullare l'errore a regime permanente. Ma in questo caso il valore da accumulare è 10 volte più piccolo rispetto al caso senza compensazione.

Figura 49: Controllo di armatura con anti-windup


Si ricordi che tra le ipotesi che erano state fatte a pagina 31 si diceva di tenere conto del dead-time degli interruttori che riduce il valore medio di tensione in uscita. Questo è un disturbo nella linearità del comando di tensione, trascurabile per tensioni elevate, ma non per piccole tensioni. Vale tra 1% ± 2%.

Come per il caso della fem indotta si può compensare questo disturbo inserendo una v DT al

convertitore e una stima di essa da sommare a v1* .

Figura 50: Compensazione della fem indotta e



Figura 51: Schema di controllo di una macchina in cc con anello di corrente e di velocità



10.2. Regolatore di corrente ad isteresi

Il regolatore di corrente ideale è sicuramente quello con un proporzionale a guadagno infinito, come quello riportato in Figura 52.

Con questo guadagno il convertitore comanda la tensione in saturazione. Si può quindi pensare di utilizzare un regolatore di corrente che ha lo stesso comportamento ed è mostrato in Figura 53.

In pratica questo regolatore individua il segno dell'errore e quando questo è positivo comanda la massima tensione possibile. Quando invece è negativo comanda la massima tensione negativa. Il problema è il funzionamento per errore prossimo allo zero.

Il vantaggio presentato da questo convertitore è che rispetto a quello col PI presenta un transitorio velocissimo e non vi è bisogno di generare la PWM proprio perché la tensione comandata è sempre la massima positiva e/o negativa ed è la tensione con cui possono essere comandati gli switch.

Questi però hanno una frequenza di modulazione limitata.

Pertanto per evitare anche il problema dell'errore vicino allo zero, si utilizza il regolatore ad isteresi di Figura 54.


Figura 52: Regolatore di corrente con guadagno infinito

Kp = ∞

ia-

ia* va*

Figura 53: Regolatore ideale di corrente

va*∆ia

Figura 54: Regolatore di corrente ad isteresi

va*∆ia



La frequenza di modulazione in questo regolatore dipende dalla scelta di un parametro δ che rappresenta una banda attorno alla corrente desiderata, come si osserva nella Figura 55 . Si nota poi che in base al segno dell'errore la tensione comandata cambia il proprio segno.

Naturalmente tanto più è alto è il coefficiente δ tanto meno frequenti sono le commutazioni. Con un'opportuna scelta di questo parametro la frequenza può essere uguale a quella che si avrebbe nel caso di regolatore col PI. A regime permanente i due convertitori hanno lo stesso comportamento dal punto di vista delle perdite.

Lo stesso non si può dire per il transitorio (Figura 56) durante il quale sono frequenti le commutazioni.

In conclusione si può dire che il regolatore ad isteresi è:

– il regolatore più veloce e permette alte prestazioni e a regime permanente ha le stesse perdite di un regolatore PI;

– durante il transitorio (la f non è costante) non garantisce il pieno controllo delle perdite sul convertitore che quindi va sovradimensionato.


Figura 55: Funzionamento del regolatore ad isteresi

δ

va*

ia

ia*

t

t



11. Schemi di controllo per azionamenti in c.c.

In questo schema di controllo13 si individua facilmente il circuito di armatura, alimentato dalla

13 Il contenuto di questo paragrafo fa riferimento al testo “Control of Electric Drives – W. Leonard (Springer) [3rd Edition]”. Le convenzioni circuitali (e simboli) sono quelle tedesche.


Figura 57: Schema di controllo generico per una macchina in cc

Figura 56: Transitorio di corrente nel regolatore ad isteresi

i

t



tensione ua, con resistenza e induttanza e quindi il sistema collettore-spazzole che fornisce la fem e. Si individua anche il circuito di eccitazione, alimentato da ue ,nel quale scorre la corrente ie che produce il flusso di eccitazione φe . Nel circuito sono presenti due convertitori, uno per il circuito di eccitazione e uno per quello di armatura, dotati di un sistema di controllo che misura la velocità angolare, la corrente e la posizione angolare. Questo sistema di controllo può effettuare una regolazione o sul circuito di armatura o su quello di eccitazione.

Lo schema seguente, in Figura 58, invece agisce solo circuito di armatura variando la tensione di quest'ultimo. Il circuito di eccitazione rimane perciò costante.

Si analizza lo schema facendo riferimento anche a quanto già studiato.

Si parte dal blocco convertitore indicato con il termine “Actuators”. L'alimentazione di quest'ultimo è di tipo continua se si tratta di un ponte ad “H” o alternata nel caso di un ponte raddrizzatore.

Nel convertitore entra naturalmente la tensione di riferimento ua*. Per la misura della posizione angolare si utilizza un encoder. Si può notare come lo schema sia analogo a quello in Figura 51. I due schemi differiscono solo per il blocco Reference Generator di cui si discute nelle prossime pagine e che consente un azionamento con prestazioni migliori.


Figura 58: Schema di controllo del circuito di armatura



11.1. Generazione dei riferimenti e chattering del sistema

Il blocco di generazione dei riferimenti ha una funzionalità molto importante. L'obiettivo nel controllo è quello di ottenere il cosiddetto “profilo ad esse” per la posizione angolare, che tradotto vuol dire far partire la macchina a velocità nulla e arrivare alla posizione desiderata sempre a velocità nulla. Che significa ancora accelerazione costante positiva per il primo tratto e accelerazione costante negativa nel secondo.

Per fare ciò è necessario che l'errore di posizione cresca linearmente e decresca linearmente, come mostrato in Figura 59.

La precisione di regolazione viene stabilita dal guadagno che viene dato nel regolatore di posizione. Aumentandolo si riesce a soddisfare le specifiche richieste dal controllo.


Figura 59: Profilo ad esse

t

t

ε*

ε

ω

t

dω/dt

Figura 60: Profilo ad esse al variare del guadagno

ε* ε

ε* ε

Guadagno più basso Guadagno più alto



Il guadagno alto però può comportare due svantaggi. Il primo è la saturazione sulla velocità e l'altro è dovuto al fatto che basta un piccolo errore per avere una variazione di velocità diversa da zero. Ciò comporta delle oscillazioni ad alta frequenza in condizioni di regime permanente per cui il sistema vibrerà attorno a quella posizione.

Questo fenomeno va sotto il nome di chattering.

Per ovviare a questo problema, poiché si conosce il profilo di velocità che si vuole ottenere per inseguire ε* allora si può pensare di effettuare il feed-forward al regolatore di velocità.

Il vantaggio principale dello schema in Figura 58 è rappresentato dal fatto che poiché al regolatore viene dato un profilo di velocità desiderato, è possibile portare la macchina in una determinata posizione seguendo il profilo ad esse, anche se l'errore è nullo. Naturalmente il regolatore di velocità deve avere banda passante maggiore del regolatore di posizione in accordo con quanto già studiato. La controreazione serve comunque per compensare le piccole variazioni che possono derivare da effetti del secondo ordine trascurato, o dall'inerzia del sistema.

Si noti infine che nel blocco di generazione dei riferimenti viene anche creato il profilo accelerazione che è un profilo di coppia accelerante il quale viene utilizzato per effettuare il feed-forward di corrente, senza aspettare che l'accelerazione venga calcolata.

11.2. Schemi di controllo per la regolazione della velocità tramite circuito di eccitazione

Gli schemi di controllo visti nel paragrafo precedente prevedono la regolazione della velocità solo variando la tensione del circuito di armatura della macchina in cc. Si vedranno in questo capitolo schemi di controllo che prevedono la regolazione della velocità variando l'eccitazione della macchina.


Figura 61: Chattering della macchina in cc

ε* ε



In questo schema l'eccitazione è costante ma le grandezze sono espresse in per unità (PU), si nota principalmente che la coppia e la corrente hanno stesso valore, dividendo quindi per l'inerzia della macchina si ottiene facilmente la velocità di rotazione.

Risolvendo l'anello di corrente (Current Control Loop), creando così una funzione ad anello chiuso (chiamata Wi(s) in precedenza), si arriva allo schema:


Figura 62: Schema di controllo della macchina a cc con eccitazione costante espressa in PU

Figura 63: Anello di velocità in PU



In questo schema si nota la funzione di anti-windup svolta dalla corrente di riferimento attraverso il blocco Limiter.

Per la sintesi del regolatore di velocità si utilizza il metodo dell'ottimo simmetrico rappresentato in Figura 64. Non viene qui approfondito.


Figura 64: Metodo dell'ottimo simmetrico



La regolazione sul circuito di eccitazione è introdotta dallo schema in Figura 65, sempre in PU:

Nella parte superiore dello schema si trova la tensione del circuito di armatura, cui viene sottratta la e , si passa per la fdt dell'armatura per ottenere la corrente che moltiplicata per il flusso determina la coppia, cui va sottratta quella di carico ed infine si ottiene la velocità di rotazione.

Il flusso di eccitazione viene determinato dalle equazioni del circuito di eccitazione.

I convertitori in questo caso sono due, rappresentati con un guadagno ed una costante di tempo (Gas, tas) e (Ges, tes).

È assodato quindi che per la regolazione della velocità della macchina in cc il controllo avviene sia regolando la tensione di armatura, sia agendo sul flusso di eccitazione (regolazione di campo) come visto a pagina 11. Il problema che si pone è quello di far interagire entrambe le strategie.

In un primo momento si effettua la regolazione aumentando la tensione del circuito di armatura e poi questa deve essere mantenuta costante, il che significa mantenere la fem indotta anch'essa costante: e=ω⋅ϕ . Questa relazione dice che il flusso è inversamente proporzionale alla velocità. All'aumentare di quest'ultima diminuisce il flusso.


Figura 65: Controllo della macchina in cc con variazione dell'eccitazione



Per capire quindi quando utilizzare la prima o la seconda strategia bisogna controllare la fem indotta. Ai fini del controllo è utile conoscere esclusivamente il modulo.

Si osservi la Figura 66 e si supponga di trovarsi alla velocità nominale. Il valore di E0max è il valore di riferimento che viene utilizzato nell'anello di regolazione del circuito di eccitazione. Se da questa posizione la velocità aumenta, l'anello superiore tenderebbe a far aumentare la tensione e quindi la fem indotta. Il regolatore di eccitazione se ne accorge (errore negativo), mantiene il valore di riferimento e per fare ciò diminuisce il valore di ee , di conseguenza anche la corrente ed il flusso. Si raggiunge così l'obiettivo di mantenere e costante per aumenti di velocità maggiori a quella nominale. Si parla di deflussaggio.

Se a partire da ωn la velocità decresce la fem indotta diminuisce, si crea un errore positivo e il regolatore aumenta la tensione di riferimento perché cerca di far aumentare la fem nel circuito di eccitazione. Ma il circuito di eccitazione è già alimentato a tensione di eccitazione nominale, la quale fornisce la corrente di eccitazione nominale (non si vuole far variare la corrente quando cambia la velocità) e a sua volta il flusso di eccitazione nominale. Si è già al limite massimo, quindi il circuito di eccitazione lavora in questo campo in saturazione, per cui l'uscita del regolatore non sale. E questo è l'obiettivo cercato nel progetto del regolatore di eccitazione.

Si riassume il funzionamento:

– ω < ωn il regolatore di eccitazione lavora in saturazione;

– ω > ωn il regolatore di armatura andrebbe in saturazione. In realtà si controlla il flusso in modo da avere fem costante e quindi tensione di armatura richiesta costante (zona di funzionamento con limite di tensione).

Come si stima la fem indotta14?

✗ Se il flusso di eccitazione è costante, si ricaverà dalla velocità;

✗ attraverso la corrente di eccitazione, con la condizione di conoscere il legame flusso-corrente (curva di saturazione);

14 Non si misura sotto carico.


Figura 66: Profilo di tensione della macchina in cc

VE

0max

ωn

E



✗ dalla relazione va=Ra i a+e+ La

d ia

dt

In quest'ultima equazione la complicazione numerica risiede nella derivata della correte che ha anche un certo ripple.

La regolazione della fem indotta è legata all'anello di regolazione della velocità e in particolare i due anelli hanno una banda passante molto vicina che – come è noto – è anche molto lenta rispetto a quella della corrente. L'anello di regolazione della fem vede la corrente a regime.

È possibile approssimare la fem con la relazione:

e≃va−Rai a .

Dove:

• la corrente è nota perché viene misurata;

• la resistenza di armatura si riesce a stimarla molto bene;

• per la tensione di armatura vige il problema che non vengono usati trasduttori di tensione negli azionamenti, perché è difficile ricavare l'informazione utile essendo una tensione PWM.

Per la tensione però è noto il duty-cycle, quindi la va*.

Fino al limite per cui è possibile continuare ad approssimare il funzionamento del convertitore con fdt unitaria, si ha un'informazione sulla tensione che è proprio la va* all'uscita del PI.

Il dead-time – si è già detto – non permette di considerare unitaria la fdt del convertitore.

Tuttavia si può notare che la regolazione accurata della fem indotta la si vuole per velocità elevate, o comunque maggiori di ωn . Sotto la velocità nominale il regolatore di eccitazione è in saturazione. Inoltre il dead-time è rilevante per basse velocità e per piccole tensioni di alimentazione è trascurabile.

Trascurando la dinamica del regolatore di eccitazione, il risultato è quello di Figura 68. Questo schema è valido nella sola zona di deflussaggio (flux weakining region). Sotto questa ipotesi la fem indotta si può ritenere costante perché la mantiene tale il convertitore di armatura.


Figura 67: Schema a blocchi PI e convertitore

PI

-

ia* va*

1v

a

convertitore



Il flusso di eccitazione è legato direttamente alla velocità di rotazione. Quando questa – in modulo – è inferiore alla ωn allora il flusso di eccitazione è quello nominale. Quando la velocità – sempre in modulo – supera il valore di ωn allora il flusso decresce con l'inverso della velocità.

La non-linearità tra corrente e flusso non crea grossi problemi proprio perché il flusso è stato ridotto (deflussaggio), quindi non si manifestano fenomeni di saturazione magnetica.

In queste condizioni l'azione dell'anello di eccitazione si riduce quindi al blocco del flusso legato alla velocità di rotazione e a un disturbo nell'anello di corrente.

12. Frenatura rigenerativaLa frenatura rigenerativa si presenta utile nel caso di veicoli elettrici o nel recupero di energia in un sistema che prevede un ciclo di lavoro con molte accelerazioni e decelerazioni.

Si suppone di avere un sistema che sta lavorando alla velocità ωiniz , a partire da questo valore la

velocità decresce linearmente. La coppia che bisogna fornire è costante, quindi lo è anche la corrente ed è negativa perché la coppia è frenante. In figura viene rappresentato l'andamento delle grandezze di interesse.

Si nota che in un certo istante la tensione di armatura è zero, questa condizione si verifica quando:

K Eω=Ra I R .

Per continuare a frenare da questo punto in poi bisogna imporre una tensione di alimentazione negativa. Ciò è possibile utilizzando un convertitore che consente il funzionamento per corrente negativa come il full-bridge. Per annullare la velocità si dovrà verificare:

V (t z)=Ra I R .


Figura 68: Schema di controllo in zona di deflussaggio (semplificazione dell'anello di eccitazione)



Il che significa che l'azionamento deve fornire l'energia necessaria per vincere la resistenza interna del motore.

L'energia disponibile per la frenatura rigenerativa fornita dal motore all'azionamento, e si calcola


Figura 69: Frenatura rigenerativa, profili delle grandezze



come E R=∫0

t0

va (t) ia(t )dt .

Dall'istante iniziale fino a t0 la potenza meccanica viene convertita in potenza elettrica.

Se ωiniz è la velocità iniziale, l'energia rigenerativa – svolgendo l'integrale - ha l'espressione:

E R=−J ωiniz

K t(ωiniz K e

2⋅

I a2 Ra

2

2ωiniz K e

+Ra I a) .

Se si dispone di un pacco batterie è possibile accumulare l'energia. Allo stato dell'arte però l'energia recuperabile è al massimo il 20% per via del fatto che la reazione delle celle è molto lenta rispetto alla frenatura (non riuscendo a convertire elettrica in chimica) con l'implicazione che la maggior parte dell'energia viene dissipata in calore nelle batterie.

Inoltre se si ha un full-bridge alimentato da un ponte a diodi che crea il link in continua. L'energia che viene recuperata, dal motore passa attraverso il convertitore tendendo a tornare indietro ma questa viene bloccata dal ponte a diodi. Viene quindi immagazzinata nella capacità C. Bisogna perciò dimensionare correttamente il condensatore per evitare la massima tensione distrugga il dielettrico:

C⩾∣ −2 ER

V max2−V link

2 ∣

Per questo motivo ci sono schemi che prevedono una resistenza di frenatura in parallelo rispetto al link in continua messa in funzione da uno switch. Quando la tensione è troppo alta viene chiuso l'interruttore per far scaricare il condensatore sulla resistenza. Si dissipa così una parte di potenza per mantenere la tensione entro limiti accettabili.


Figura 70: Schema di principio della macchina in cc con recupero di energia

DCMotor

ER



Azionamenti Brushless1. Classificazione

Le macchine brushless fanno riferimento alle macchine sincrone. Lo studio delle macchine elettriche vede l'utilizzo di queste macchine solo come generatori (line start). Grazie però all'introduzione dell'elettronica di potenza è possibile con un convertitore alimentare a frequenza variabile la macchine e farla funzionare da motore (inverter fed).

Il primo vantaggio che deriva da una macchina brushless è nell'ingombro. Infatti il rotore non va alimentato (quindi è esente da perdite) poiché su di esso vengono posizionati dei magneti. In questo modo si elimina del tutto il sistema collettore-spazzole. La macchina brushless è quindi più compatta e permette un'elevata induzione al traferro.

Per poter azionare la macchina a frequenza variabile bisogna poter conoscere la posizione angolare piuttosto che la velocità. Il feedback di θ iene utilizzato per l'alimentazione e appunto per la regolazione di ω .

Il rotore di una macchina sincrona può presentare una gabbia che viene sfruttata per l'avviamento cosiddetto “da asincrono”. Infatti quando la macchina viene avviata il campo statorico si concatena col rotore inducendo delle tensioni e quindi delle correnti. Il risultato è quello di un coppia di avviamento come nelle macchine a induzione. Quando la velocità di rotazione uguaglia quella del campo (sincronismo) non si presentano fem indotte ed è come se la gabbia non ci fosse. È chiaro


Figura 71: Classificazione delle macchine a magneti permanenti PM e rispettivi azionamenti



quindi che questo tipo di macchine lavorano sempre alla stessa velocità. Questo tipo di funzionamento nello studio degli azionamenti è di scarso interesse perché non è possibile effettuare una regolazione della velocità di rotazione.

Esistono quindi le macchine senza gabbia (cageless) che si differenziano in DC brushless e AC brushless per via del tipo di alimentazione in corrente, il quale può essere nel primo caso di tipo rettangolare e sinusoidale nel secondo.

Questa alimentazione dipende dagli aspetti costruttivi della macchina e dal tipo di fem indotta (trapezoidale o sinusoidale).

In entrambi i casi bisogna sempre poter conoscere la posizione angolare. I metodi utilizzati sono quelli con dei sensori opportunamente posizionati o l'utilizzo di algoritmi cosiddetti “sensorless” ancora oggetto di studio nella ricerca.

1.1. Macchina SPM

La macchina SPM (Surface Permanent Magnet) si presenta come quella in Figura 72. La prima caratteristica di questa macchina che si riesce ad apprezzare è l'isotropia. Infatti qualunque sia la linea di flusso presa in considerazione l'induttanza è sempre la stessa. Si noti ancora che la presenza dei magneti permanenti (PM) implica che la linea di flusso incontra un'elevata riluttanza. Quella dei PM è infatti confrontabile con quella dell'aria.

Il traferro che incontra la linea di flusso è elevato. Tutto ciò sta a significare che qualora si voglia eguagliare il flusso di eccitazione dovuto ai magneti, la corrente richiesta sarà elevata, è richiesta – cioè – una elevata forza magneto-motrice.

Uno svantaggio di questa macchina è dovuto al fatto che, mentre si trova in rotazione, se il circuito di statore va in corto-circuito, allora il flusso dei PM induce delle fem nello statore producendo la


Figura 72: Struttura di una macchina SPM



corrente di corto-circuito e quindi un flusso che si oppone alla causa ( λPM ) col pericolo di

smagnetizzare i magneti.

1.2. Macchina IPM

La macchina IPM (Interior Mounted Magnet) si presenta come in Figura 73. Sicuramente è anisotropa quindi presenta zone a bassa e ad alta riluttanza. Esistono quindi delle linee preferenziali per il flusso. L'anisotropia della macchina viene sfruttata per aumentare la coppia disponibile, con lo svantaggio di aumentare il ripple di coppia. Rispetto alla macchina SPM presenta un traferro minore (minore induttanza) e quindi a parità di caratteristiche richiede meno magneti per ottenere la stessa induzione al traferro. Presenta come la SPM lo svantaggio di poter smagnetizzare i magneti ma è più robusta, complice parte del giogo rotorico che li mantiene. Nel caso della SPM infatti questi vengono “incollati” con conseguente possibilità che questo ancoraggio si deteriori per via dell'aumento di temperatura. In sede di scelta vanno tenute presenti queste considerazioni.

1.3. Macchina IM

La macchina IM (Inset Mounted) presenta dei magneti innestati in apposite cave sul rotore. Si presenta come in Figura 74.


Figura 73: Struttura di una macchina IPM



2. DC BrushlessUna macchina SPM è alimentata con correnti di tipo rettangolare. Si dimostra tale asserzione. È facile infatti vedere come il campo rimanga “piatto” per un certo intervallo al passaggio di esso sotto una bobina. Si analizza la macchina già descritta considerando il solo avvolgimento della fase A con 3 bobine a1, a2, a3.

Immaginando di porre in rotazione il rotore si vede l'andamento del campo magnetico in funzione della posizione angolare15. Noto l'andamento del campo è possibile individuare il flusso che si concatena con le bobine.

L'andamento di quest'ultimo è lineare da un massimo positivo verso un massimo negativo.

È possibile così determinare l'andamento della fem indotta: e=d Ψdt

, ricordando però in seguito

che questa formula in realtà presenta un segno negativo. Il flusso concatenato e quindi la fem su

15 L'istante iniziale di riferimento è per θ=90° .


Figura 74: Struttura di una macchina IM

Figura 75: Macchina DC Brushless



ogni bobina è sfasato di 30° gradi. In particolare la bobina 3 rispetto alla 1 si trova in anticipo di 30° mentre la 2 in ritardo sempre di 30°. Le bobine di un avvolgimento – infatti – essendo la macchina

trifase non possono occupare più 60°.

L'andamento che si ottiene per la fem non è proprio trapezoidale perché si sta considerando un numero esiguo di bobine. Nella realtà si tratta di un andamento trapezoidale così come si vede in Figura 77.

Il valore massimo della tensione si ricava facilmente dal flusso: ΨMAX=N Bg π r l :

Ψ(θ)=(1− θπ/ 2)ΨMAX . Per cui la fem indotta vale:


Figura 76: Analisi delle grandezze della macchina DC Brushless



E ph=2 N ph Bg l rω .

Dove l è la lunghezza assiale, r il raggio al traferro.


Figura 77: Profilo di tensioni e di correnti per le 3 fasi della macchina dc brushless

2ππθ

e

θe

θe

ea , e

b , e

cia , i

b , i

c

Eph

Iph



3. Azionamenti DC Brushless: modello matematicoEquazioni del circuito di statore:

3 equazioni di statore in forma vettoriale

In linea generale si può scrivere che per una fase vale la relazione:

V a=R i+d λ tot , a

dt;

λ tot , a indica tutti i flussi concatenati con lo statore. L'equazione può essere anche formulata:

V a=R ia+d λ s , a

dt+

d λ r , a

dt⏟ea , fem indotta

.

Scrivendo l'equazione di cui sopra si sta facendo l'ipotesi di linearità per cui è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.

Se si suppone che la macchina sia anche simmetrica allora le induttanze saranno:

La=Lb=Lc=L ; Lab=Lac=Lbc=M .

Poiché la macchina è isotropa la matrice delle induttanze si può ritenere costante al variare della posizione angolare.

Facendo le opportune considerazioni si arriva a .

Il modello si completa con l'equazione meccanica. L'equilibrio meccanico è sempre espresso da:

Jd ωr

dt=T em−T L−Bωr .




La coppia elettromagnetica può essere espressa come T em=Pemωr

, dove la potenza. elettromagnetica

è a sua volta data dal prodotto P em=E I a . La tensione E in questo caso è trifase:

T em=(ea ia+ebib+ec ic)

ωr.

Si dimostrerà adesso che tale coppia vale:

T em=2 E ph

I phωr

.

Si guardi a tal proposito la Figura 77, dove il profilo di correnti è tale da essere nullo per variazioni di tensione. Analizzando per qualsiasi angolo θ i profili tensione-corrente di tutte e 3 le fasi, la potenza elettromagnetica vale sempre:

P em=2 E p I ph .

Quindi la coppia si può esprimere come:

T em=2 E ph I phωr

, e più in generale T em=p2 E ph I phωr

per tenere conto delle p coppie polari.

Il rapporto E phωR=λ ph è il flusso generato dai magneti permanenti, quindi costante, concatenato con

lo statore.

Infine si può scrivere l'espressione

T em=KT I ph ,

analoga a quella vista per la macchina in corrente continua.

Dalla figura appena analizzata si nota che istantaneamente sono in conduzione solo 2 fasi e tale situazione permane per 60°elettrici. È chiaro quindi che per realizzare il profilo di corrente desiderato bisogna conoscere la posizione angolare. Questa informazione viene ricavata tramite sensori ad effetto-hall che rilevano la polarità del campo (Nord-Sud).

In Figura 78 si riporta un disegno qualitativo della macchina con 3 trasduttori appositamente collocati per rilevare il campo. Sono distanziati tra loro a 120°.

Il segnale fornito da un trasduttore è alto quanto si trova sotto l'influenza del campo prodotto dal polo Nord, basso quando è sotto l'influenza del campo dovuto al polo Sud.

Come si può vedere dall'output dei trasduttori in Figura 79, ogni 60° c'è una variazione.





Figura 79: Segnale in uscita dal trasduttore di campo

2π

θe

H1, H

2, H

3

Figura 78: DC Brushless, Posizionamento sensori di campo

N

S

H1

H3

H2



Questa analisi serve a poter individuare almeno il settore in cui si trova la macchina, per questo motivo si realizza una tabella di stati associati allo stato dei trasduttori. Per cui:

Nella tabella si nota che vengono così utilizzati 6 gruppi di stati logici coi quali si vanno a comandare gli switch del circuito di potenza della macchina. Gli ultimi due stati servono per segnalare stati di malfunzionamento del trasduttore.

In prima approssimazione si può considerare l'inverter a corrente impressa. Sotto questa ipotesi si nota che per ogni coppia di interruttori in ON la somma delle correnti vale sempre Iph. L'inverter però è a tensione impressa non in corrente, quindi non si riesce a controllare quest'ultima solo chiudendo la coppia di interruttori.


Tabella 1: Segnali logici dei trasduttori associati. Correnti associate. Sequenza interruttori

Figura 80: Inverter e circuito equivalente della macchina DC Brushless

Switch ON

1 1 0 0 1,6

0 1 0 0 1,2

0 1 1 0 3,2

0 0 1 0 3,4

1 0 1 0 5,4

1 0 0 0 5,6

0 0 0 - - - -

1 1 1 - - - -

H1

H2

H3

Ia

Ib

Ic

Iph

- Iph

Iph

- Iph

Iph

- Iph

- Iph

Iph

- Iph

Iph

- Iph

Iph



Si analizzi il caso per cui la coppia di switch accesa è 1,6.

vab=Vdc=R ia+(L−M )d i a

dt+ea−(R ib+(L−M )

d ib

dt+eb)=2 R ia+2(L−M )

d ia

dt+2 E ph , per cui

trascurando il transitorio, si ricava la corrente a regime permanente:

I a=V dc−2 E ph

2 R= I ph .

Essendo E ph costante, R anch'essa costante, è chiaro che l'unico modo per poter controllare la

corrente ed ottenere l'andamento desiderato è quello di controllare la tensione vab . A questo punto

vab≠V dc perché viene modulata. Per effetto della modulazione la corrente presenterà quindi un

ripple e se la f PWM è molto elevata l'inerzia del sistema filtra tale contenuto.

4. Azionamenti DC Brushless: Schemi di controllo

Quando una coppia di interruttori è in conduzione le due fasi rispettive sono praticamente collegate in serie. Si sceglie quindi di modulare solo uno dei due interruttori in ON risparmiando in termini economici e di perdite energetiche. Normalmente si modulano gli interruttori 4, 6, 2 che si trovano nel lato inferiore.

Lo schema di controllo quindi si presenta come quello in figura.

Si può però effettuare un accorgimento e pensare di misurare direttamente la I dc e confrontarla con

il valore desiderato I ph nel controllo per effettuare il duty-cycle. Si realizza di fatto un inverter a

corrente impressa e si risparmino due sensori di corrente utilizzati nello schema precedente.


Figura 81: Schema di controllo per la macchina DC Brushless



Lo schema è quello in Figura 82. In questo caso attraverso un'operazione di AND si definiscono dei segnali S2, S4, S6, dei rispettivi switch dopo aver generato un duty-cycle che esce dal blocco PWM. Tali segnali contengono il comando di commutazione degli interruttori. I tre switch superiori T1,T3,T5, vengono invece comandati dalle tre sonde ad effetto-hall.

4.1. Limiti degli azionamenti DC Brushless

Per via della modulazione l'andamento reale della corrente cambia presentando un transitorio e un certo ripple. Tutto ciò comporta delle perdite di potenza.

Tali diminuzioni di potenza provocano una diminuzione di coppia. In sostanza durante i tempi di apertura e chiusura degli switch vi è una coppia minore, si creano perciò degli impulsi

Per questo motivo negli azionamenti DC Brushless non ci si aspetta una regolazione fine della velocità. Inoltre poiché negli schemi appena visti non è previsto un trasduttore di velocità è chiaro che l'azionamento non è praticabile per basse velocità.


Figura 82: Schema di controllo per la macchina DC Brushless semplificato



Si è visto inizialmente che la potenza elettromagnetica vale sempre Pem=2 E ph I ph .

Per la sola fase a ci si aspetta P em , a=E ph I ph . In realtà poiché la corrente presenta un certo

transitorio prima di andare a zero si ha:

ea=(E ph−Δ E ) .

Dal dettaglio mostrato in figura si ricava:

ea ia+eb ib=(E ph−Δ E )ia+E phi b=E ph(i a+ib)−Δ E ia , ovvero:

Pem=E ph I ph−Δ E ia⏟perdita

.

La coppia si presenterà come in Figura 84.


Figura 83: Transitorio in presenza di modulazione nella macchina DC Brushless

Figura 84: Profilo di coppia della macchina DC Brushless

Tem

Tem

*

2π

ea , e

b

ia , i

b

Eph

Iph



5. Trasformazioni di coordinate: il sistema di riferimento arbitrario

Qui ci va il sistema di riferimenti arbitrario.16

6. Trasformazioni di coordinate: il vettore rotanteE qui la teoria del vettore rotante.

7. Macchina Sincrona a Poli SalientiOggetto di questa sezione è lo studio della matrice delle induttanze della macchina sincrona a poli salienti. In particolare si mette in evidenza la dipendenza della posizione angolare da parte dell'induttanza (2 periodi in un periodo elettrico, perché è sensibile alla dimensione del traferro e non alla polarità del campo).

I flussi della macchina si esprimono come:

[λa

λb

λc]=[

Laa Lab Lac

Lba Lbb Lbc

Lca Lcb Lcc][

ia

iab

i c] .

L'induttanza legata alle linee di flusso che si concatenano tra statore e rotore vale:

Laa=Lls+[LA−LB cos2θr ] ;

Lbb=Lls+[L A−LB cos 2(θr−23π)] ;

Lbb=Lls+[L A−LB cos 2(θr−23π)] 17.

Questo perché per la fase B la riluttanza è massima quando il rotore ruota di23π , e per la fase C

quando ruota di 43π .

Si cerca l'espressione delle altre induttanze secondarie. È chiaro che queste non avranno un termine di dispersione ma di solo accoppiamento.

Si pensi di avere inizialmente una macchina a rotore liscio: in questa situazione l'induttanza M non avrà un valore massimo o uno medio perché il traferro è costante. Quindi la mutua induzione dovuta alla corrente che circola nella fase A e che si concatena con la fase B vale:

16 Appendice17 Per approfondire la determinazione di tali induttanze consultare il libro “Krause - Analysis of Electric Machinery and Drive

System (IEEE)”




M=−LA cos23π=−

12

LA .

Allo stesso modo l'induttanza dovuta alla corrente che circola nella fase B e che si concatena con la

fase A vale sempre M=−12

L A .

Se il rotore è a poli salienti il flusso varia da un valore minimo ad uno massimo perché varia la riluttanza con l'angolo θr . Si può verificare che:

Lba=−12

LA−LB cos 2(θr−π3) ; Lab=Lba ;

Lac=−12

LA−LB cos 2(θr+π3) ; Lca=Lac ;

Lbc=−12

LA−LB cos 2(θr+π) ; Lcb=Lbc .

Si può a questo punto andare a capire cosa succede alla matrice delle induttanze (fortemente dipendente dall'angolo di rotazione) quando viene effettuata una trasformazione di coordinate.

λ abc=Labc⋅i abc , quindi si ha che λqdo=K Labc K−1 i qdo , dove Lqd0=K Labc K−1 è la matrice

diagonalizzata per via della trasformazione delle coordinate.

Si sceglie un sistema di riferimento per cui questo ruoti alla stessa velocità rotorica ωr per p coppie

di poli , per cui l'asse d è allineato con l'asse di rotore e q è ortogonale ad esso. L'allineamento si mantiene per tutte le posizioni angolari. Quindi un flusso lungo l'asse d o q troverà sempre la stessa riluttanza e di conseguenza la matrice delle induttanze non sarà più funzione della posizione angolare. La condizione iniziale impone poi che lungo l'asse d ci sia l'induttanza massima. La matrice ha la seguente forma:


Figura 85: Macchina Trifase a Poli salienti



Lqdo=[(Lls+Lmq) 0 0

0 (L ls+Lmd) 00 0 (Lls)

] .

Dove si può ricavare:

Lmq=32(LA−LB) ; Lmd=

32(LA+LB) e cioè Lmd> Lmq .

Si noti che la matrice, in questo caso, presenta degli elementi che non dipendono dalla posizione angolare per via della scelta effettuata, per cui d ruota con la velocità del rotore.

In linea del tutto generale quindi sulla diagonale si hanno elementi che dipendono da θ

8. Macchina Sincrona a Magneti Permanenti IPMLa macchina IPM è anisotropa al contrario di una SPM che invece rimane isotropa.

La forma della matrice delle induttanze rimane uguale, cambia però la formulazione delle induttanze.

Se si analizza l'andamento dell'induttanza (riluttanza) rispetto al caso precedente si nota come nella macchina IPM l'induttanza nel periodo elettrico segua lo stesso andamento ma invertito. Per cui si ha che:

Laa=Lls+[LA+LB cos 2θr ] ;

Lbb=Lls+[LA+LB cos 2(θr−23π)] ;

Lbb=Lls+[LA+LB cos 2(θr−23π)] .

Per quanto riguarda invece le induttanze secondarie si ottiene invece:

Lba=−12

LA+LB cos 2(θr−π3) .

Si effettua adesso la trasformazione di coordinate imponendo la stessa condizione iniziale.

la situazione si inverte rispetto al caso di una macchina sincrona a poli salienti e si ottiene:

Lmq=32(LA+LB) ; Lmd=

32(LA−LB) e cioè Lmq> Lmd .

La matrice Lqdo=[Lq 0 00 Ld 00 0 L0

] . Dove:




Lq=Lls+Lmq ;

Ld=Lls+Lmd ;

L0=Lls .

9. Azionamenti AC Brushless: modello matematico

Per esaminare questo modello si fanno le seguenti ipotesi:

– Flusso sinusoidale prodotto dal rotore e concatenato con la statore che produce una fem indotta cosinusoidale;

– linearità, si trascura la saturazione per applicare il principio di sovrapposizione degli effetti;

– si trascurano le perdite per isteresi e correnti parassite;

– non si considerano eventuali gabbie rotoriche.

Si scrive quindi il modello matematico:

vabc=Rabc i abc+d λabc

dt, dove

λabc=λabc , s+λabc , r=Labc I abc+λabc , PM , dove ancora si ha:

λabc , s è il flusso generato dallo statore e concatenato con lo statore;

λabc , r è il flusso generato dal rotore e concatenato con lo statore.

Si applica quindi il principio di sovrapposizione degli effetti.

Il flusso λabc , PM è dovuto appunto ai magneti permanenti e vale.

λabc , PM=λPM [sinθr

sin (θr−23π)

sin (θr−43π)] .

Questa espressione significa che il flusso λa concatenato con la fase A di statore e prodotto dai

magneti permanenti è nullo per θr=0 . E via dicendo per gli altri due flussi.

In particolare:

λa=0 per θr=0 ;




λa=λPM per θr=90 ° ;

λa=0 per θr=π ;

λa=−λ PM per θr=270° ;

λa=0 per θr=2π .

Il modello si completa con l'equazione meccanica:

T−T L=Jdωr

dt ; θr=∫ω r dt+θ0 . Si noti che si stanno scrivendo le equazioni per p = 1.

A questo punto a partire dalla prima equazione del modello si può scrivere la potenza istantanea in uscita dalla macchina:

i abcT vabc= iabc

T Rabc i abc+ i abcT d λabc

dt. Dove il flusso λabc è λabc= f (θr , i abc) . Per cui:

d λabc=∂λabc

∂θrd θr+

∂λabc

∂ i abc

d i abc ,

d λabc

dt=∂λabc

∂θr

d θr

dt+∂λabc

∂ iabc

d i abc

dt . Sostituendo quanto ricavato nell'equazione delle potenze:

i abcT vabc= iabc

T Rabc i abc⏟p joule

+ i abcT ∂λabc

∂ i abc

d i abc

dt⏟Δ E magneticaal traferro

+i abcT ∂λabc

∂θr

d θr

dt⏟p em

.

A meno delle perdite meccaniche, si può scrivere che:

T ωr=pem=i abcT ∂λabc

∂ θr

d θr

dt. Essendo

d θr

dt=ωr .

In definitiva vale: T=i abcT ∂λabc

∂θr.

Volendo riassumere e generalizzare il modello per una macchina a p coppie di poli:

vabc=Rabc iabc+d λabc

dt ;

λabc=Labc(θe) iabc+λPM [sinθe

sin (θe−23π)

sin (θe−43π)] ;




T−T L=Jd ωr

dt ; T= p i abc

T ∂λabc

∂ θe ; θr=∫ωr dt+θ0 ; θe= pθr ; ωe= pωr .

Dalle equazioni appena scritte è possibile ricavare le correnti, i flussi, la coppia e la velocità (o posizione angolare). Il sistema descritto è perciò ad 8 incognite e le equazioni sono mutuamente accoppiate.

Si può pensare di effettuare una trasformazione di coordinate nel riferimento sincrono (velocità del sistema pari a ωe ):

La prima equazione si scrive vqdo=Rqdo iqdo+d λqdo

dt+ωeλdq ;

Per i flussi λqdo=Lqdo i abc+λPM , qdo , con la matrice Lqdo=[Lq 0 00 Ld 00 0 L0

] . Bisogna considerare

analizzare la forma dell'ultimo contributo di λ qpo .

Si effettua per λ PM una trasformazione a partire da grandezze di tipo sinusoidale:

{f a=F sinω t

f b=F sin (ω t−23π)

f c=F sin (ω t−43π)

, per cui ci si aspetta { f q=0f d=F

.

Ora si noti che la convenzione utilizzata per il vettore rotante di λPM è la stessa che è stata

utilizzata per Lqdo . E cioè stessi riferimenti, stessa velocità di rotazione e stesse condizioni iniziali,

quindi l'equazione dei flussi si può riscrivere come:


Figura 86: Vettore rotante di λPM

d

q

λd = λ

PM

λq = 0



λqdo=Lqdo i qdo+λPM ,qdo=Lqdo i qdo+[ 0λ PM

0 ] .

Si cerca ora la forma della coppia nel riferimento qdo.

La potenza istantanea vale:

32

i qdoT vqdo=

32

iqdoT Rqdo iqdo⏟

p joule

+32

iqdoT ∂λqdo

∂ i qdo

d i qdo

dt⏟Δ E magnetica al traferro

+32

i qdoTωe λdq⏟

pem

.

Quindi pem=T ωr=32

i qdoTωe λ dq , dove λdq=[

λd

−λq

0 ] .La coppia pertanto diventa T=

32

p i qdoTλdq .

Riassumendo, il modello matematico nel riferimento qdo si completa con le equazioni:

{vqdo=Rqdo i qdo+

d λ qdo

dt+ωe λdq

λqdo=Lqdo iqdo+[0λPM

0 ]T=

32

p i qdoTλdq

.

Tali equazioni sono tutte equazioni costanti a regime permanenti e la matrice delle induttanze non dipende da θ .

In forma scalare valgono:

{vq=R i q+

ddtλq+ωe λd

vd=R i d+ddtλd−ωeλq

v0=R i 0+ddtλ0

;

{λq=Lq iq

λd=Ld id+λ PM

λ0=L0 i0

;

T=32

p [ iq id io ]⋅[λd

−λq

0 ]= 32

p [λd iq−λq id ] .




Come atteso la trasformazione ha disaccoppiato le equazioni (a parte il contributo ωe λd e ωe λq ) e

non c'è contributo omopolare nella coppia. In particolare si può fare ancora un'ulteriore considerazione:

T=32

p [(Ld id+λ PM )i q−(Lq iq) id ]=[λPM i q+ Ld iq−Lq id iq ]=32

p[ λ PM iq⏟T Sincrona

+(Ld−Lq)i d i q⏟T di Riluttanza ]

.

La forma della coppia è analoga a quella della macchina sincrona.

Si ricordi poi che:

Lq=Lls+32(LA+LB)

Ld=Lls+32(LA−LB)

; Lq> Ld . E quindi {Lq≠Ld per macchinaanisotropa ( IPM )Lq=Ld per macchina isotropa (SPM )

.

Si evince che nel caso di macchina SPM il contributo di coppia di riluttanza è nullo.

La coppia, come per la macchina in cc viene così controllata in corrente. Analizzando il caso di macchina IPM per il quale vale l'espressione di cui sopra è chiaro che per avere coppia positiva, poiché quella sincrona per essere >0 deve risultare iq>0 , appare evidente che la id deve essere <0.

Nel controllo della macchina perciò l'obiettivo è individuare il vettore spaziale di corrente serve per comandare la coppia desiderata.

Infine, un'ultima considerazione sulla fem indotta dovuta ai PM riscrivendo le prime due equazioni in forma scalare:

{vq=R iq+ddtλq+ωe Ld id+ωe λPM

vd=R id+ddtλd−ωe Lqi q

.

Il modulo della fem indotta dai magneti permanenti ( ωe λPM ) è allineato all'asse q. Per via della

trasformazione inoltre appare un mutuo accoppiamento tra le fasi ed è rappresentato dai termini ωe Ld id e −ωe Lqi q .




La fem come detto si trova sull'asse q e il flusso sull'asse diretto. Ciò è corretto se si pensa al fatto che la fem è sempre in anticipo di 90° rispetto al flusso. Inoltre la fem è di tipo sinusoidale mentre il flusso cosinusoidale perciò è altrettanto corretto trovare il vettore e sull'asse q quando si passa da abc a qdo.

10.Azionamenti AC Brushless: Schemi di controlloLa strategia che viene applicata per il controllo degli azionamenti AC Brushless è sempre la MTPA (Maximum Torque per Ampere), secondo la quale si riesce a fornire la coppia massima possibile con le perdite minime.

Analizzando la coppia per una macchina SPM si è trovato che è proporzionale alla corrente:

T=32

p λPM iq=KT i q . L'espressione è analoga a quella vista per la macchina in cc.

Se quindi si vuole comandare una coppia desiderata T* verranno imposte le correnti:

{iq* T *

KT

id*=0

.

La componente lungo l'asse diretto poiché non contribuisce, nel caso di macchina SPM, a generare


Figura 87: Flusso-corrente negli assi qdo

d

q

λ PM

a

e



coppia, viene imposta a zero. Così facendo si ottiene il minor modulo possibile di corrente, minimizzando appunto le perdite.

Questa condizione equivale ad imporre inoltre un vettore di corrente parallelo al vettore di fem indotta dai PM, anch'esso diretto sull'asse q.

Sia la terna {ea=E cos (ωe t)

eb=E cos (ωe t−23π)

ec=E cos(ωe t−43π)

, per un controllore ideale si ha i*=i : {ia=I cos (ωe t)

ib= I cos(ωe t−23π)

ic=I cos (ωe t−43π)

.

La potenza P em=eai a+eb ib+ec i c=32

EI cosϕ=T ωr .

Dove E , I sono i valori di picco e non efficaci.

Dall'equazione della coppia si ricava perciò che per ϕ=0 la coppia è quella massima.

Si analizza il caso di una macchina IPM che generalizza la trattazione.

La coppia in questo caso si è visto valere: T=32

p [λPM iq+(Ld−Lq)i d i q ] .

Per comandare la coppia desiderata bisogna imporre: {iq *>0id *<0

.

In questo caso la condizione che massimizza la coppia è: ∣MTPA∣=∂T∂∣i∣=0 .

Si noti che il vettore delle correnti non sarà allineato con l'asse q ma sfasato rispetto ad esso di un angolo ϕ .

Tale angolo sarà quello da imporre nello schema di controllo. Si svolgono quindi i passaggi per


Figura 88: MTPA per macchina IPM

i*

i d*

i q*

q

d

φ

a

θe



determinarlo:

iq *=I *cosϕ* ;

id *=I *sin ϕ* (< 0).

T=32

p [λ PM I * cosϕ*+(Ld−Lq)( I* cosϕ *)(−I * sinϕ*)]

T=32

p [λ PM I *cosϕ*+(Lq−Ld )( I*2 cosϕ*sinϕ *)]

.

∂T∂ I=[λPM +(Lq−Ld )sin ϕ*2 I * ]=0 18. Da cui si ricava:

ϕ*=arcsin

λPM

2(Ld−Lq I *) e ancora sinϕ*=

λPM

2 (Ld−Lq I *).

Nel riferimento abc quindi la corrente che si andrà a comandare sarà del tipo:

{ia*=I *cos (θe+ϕ

*)

ib*= I * cos(θe+ϕ

*−

23π)

ic*=I *cos (θe+ϕ

*−

43π)

.

Si noti che per ia*=I *cos (ωe t) significa che si sta comandando una corrente allineata con l'asse q e

che la velocità è costante come già visto per il controllo di coppia della SPM a regime permanente.

Nel regime variabile, sempre per SPM, si comanda ia*=I *cos (θe ) (perché ϕ=0 ) poiché non è

nota la velocità. Le due espressioni coincidono quando naturalmente ωe t=cost .

Questo tipo di controllo viene denominato controllo vettoriale. Il motivo risiede nel fatto che della corrente si comandano:

– la frequenza, attraverso l'angolo θe ;

– la fase, attraverso l'angolo ϕ* ;

– il modulo, attraverso I * .

Di seguito si riporta un primo schema di controllo per una macchina IPM.

18 |i| = I




Il controllo appena visto può essere sviluppato nel sistema di riferimento qdo.

Lo schema di controllo in Figura 90 è quello commercialmente più utilizzato perché presenta dei vantaggi rispetto a quello nel riferimento abc. Questo nonostante la struttura hardware richiesta sia più complessa (bisogna che il sistema di controllo calcoli istante per istante le matrici K).

Se ci si trova nella situazione di regime permanente, quando si utilizza l'azionamento con riferimento abc, ia

*( t)=I * cos(ω t+ϕ

*) (e le altre due correnti) subisce l'influenza del regolatore di

corrente che avrà quindi una certa banda passante.


Figura 89: Schema di controllo per una IPM nel riferimento abc

Figura 90: Schema di controllo per una IPM nel riferimento qdo



Sia infatti ωe la frequenza di lavoro, segnata in rosso nella Figura 91, allora si ha che

i(t)=I *⋅∣W ( jωe)∣⋅cos (ωe t+ϕ*)+⟨W i(iωe)⟩ .

E cioè la corrente subisce un'attenuazione in fase e in modulo per effetto del regolatore di corrente a meno che non si lavori per banda passante di una decade inferiore a quella del regolatore.

Se quindi si modula a 10 kHz, per quanto detto nella trattazione della macchina in cc, la banda passante dell'anello di corrente è al limite 500 Hz. Quindi ωe=50 Hz , ma anche questo è un valore

al limite.

La differenza con lo schema nel riferimento qdo sta proprio nel fatto che le grandezze id e iq sono continue, cioè costanti a regime permanente. La presenza dell'integrale garantisce errore nullo (a r.p.) e le due correnti risultano essere quelle desiderate. Nel caso di Figura 90 l'integrale non può garantire errore nullo perché in ingresso riceve una grandezza sinusoidale.

Si noti poi che se la frequenza di lavoro nel caso abc, è tale da comportare una certa attenuazione di fase (mentre si può trascurare quella di modulo), allora la situazione è chiaro che le correnti id e iq

non sono quelle desiderate.


Figura 91: Diagrammi di bode del regolatore di corrente



La situazione è stata rappresentata in Figura 92 dove vengono messe in arancione le grandezze dovute al sistema di controllo con riferimenti abc.

Si nota come è la fase del vettore ad essere il problema principale (e non tanto il modulo) perché porta a non raggiungere lo scopo della strategia MTPA.

Si può migliorare lo schema in qdo pensando di compensare gli effetti della tensione indotta come per la macchina in cc e quindi creare un anti-windup nell'anello di corrente.

Per quanto riguarda la saturazione bisogna fare attenzione al fatto che il limite imposto non è sulle


Figura 92: Effetto dell'attenuazione di fase sul vettore delle correnti

i*

i d*

i q*

q

d

φ

a

θe

i dabc* i qabc

*

δ

Figura 93: Compensazione della fem indotta e anti-windup nell'anello di corrente della macchina AC Brushless



componenti vq e vd, ma sul modulo v*.

Per questo motivo nel controllo mostrato in Figura 93 viene effettuata una trasformazione da coordinate rettangolari in polari. In questo modo viene saturato ∣v *∣ a Vmax per poi riconvertire le coordinate polari in rettangolari e ritrovare vq e vd.

Algebricamente si può scrivere:

∣v * presat∣=√vq *2+vd *

2⩽V max , mentre la fase vale

⟨v * presat⟩=arctan( vd * presat

vq * presat) .

Calcolare numericamente la fase è un'operazione difficile. Si procede allora con strategie diverse.

Una tra queste è quella di calcolare K=V max

∣v * presat∣19, se K < 1 allora si comandano direttamente

{vq *=K vq * presat

vd *=K vd * presat

senza effettuare trasformazioni. Questa tecnica permette quindi di evitare il

calcolo di una funzione come l'arctan.

19 Se K>1 naturalmente non si è in saturazione.


Figura 94: Saturazione sul modulo v*

v*

v d*

v q*

q

d

a

presat

Vmax



11.Azionamenti AC Brushless: estensione del campo di velocità (deflussaggio)

Anche nella macchia AC Brushless, nonostante i magneti permanenti, è possibile effettuare il deflussaggio per velocità maggiori di quella nominale.

A differenza della macchina in corrente continua la corrente in questo è costante, mentre nel primo caso bastava ridurre la I di eccitazione per ridurre il flusso.

L'obiettivo in questo caso è mantenere costante per velocità maggiori a ωn la grandezza ωλPM20.

Il primo tratto della caratteristica tensione-velocità corrisponde, come è noto, al tratto coppia costante. Mentre il tratto per velocità maggiori a quella nominale è quello a potenza costante.

L'analisi svolta in questa sezione viene svolta prendendo in considerazione una SPM, anche se queste macchine (si vedrà avanti) sono poco adatte al deflussaggio. La trattazione diventa più semplice e può nel caso essere generalizzata in un secondo momento.

In generale si ha comunque che:

{vq=Ri q+

ddtλq+ωeλd

vd=R i d+ddtλd−ωeλq

λq=Lq iq

λd=Ld id+λ PM

per cui si andando a sostituire le equazioni diventano

20 Lo si evince più avanti.


Figura 95: Caratteristica tensione-velocità della macchina AC Brushless

VE

Vn

Eo

ωωn



{vq=Ri q+Lqddt

i q+ωe Ld id+ωe λPM

vd=R i d+Ldddt

i d−ωe Lq iq

.

Se l'analisi viene svolta in regime permanente si può trascurare il termine transitorio. L'altra ipotesi è quella di trascurare il contributo (più piccolo) ωe Lq iq . Questo perché il termine preponderante è

ωEλ PM e dunque si considera solo l'asse q:

{vq=Ri q+ωe Ld id+ωeλPM⏟

eq

vd=R i d−ωe Lq iq⏟ed

.

L'obiettivo a questo punto è mantenere costante ωe Ld id+ωe λPM . Si ricava facilmente il vettore

della fem indotta E=ωe√λd2+λq

2 .

Sotto l'ipotesi di trattare una macchina a rotore liscio (SPM) si ha che Ld=Lq da cui segue id=0

(condizione di MTPA). Ciò significa che per ogni velocità fino a quella nominale si ha:

E0=ωeλ PM ∀ωe⩽ωen .

Per velocità superiori:

ωe λPM+ωe Ld id=E0=ωen λPM ∀ωe⩾ωen .

Sostituendo il valore della velocità in PU: ω pu=ωeωen

,

ω pu(λPM +Ld i d)=λPM .

Si ricava quindi la corrente id *=λPM (1−ω pu)

ωpu Ld

che riesce a mantenere la fem al valore costante

desiderato. Moltiplicando e dividendo questa espressione per la velocità nominale si ottiene:

id *=E0(1−ω pu)

ωe Ld

.

In altre parole si sta generando attraverso tale corrente un campo che si oppone a quello dovuto ai magneti permanenti (Figura 96). Più aumenta la velocità più deve diminuire il flusso dei PM lungo l'asse d. L'operazione di deflussaggio può richiedere così molta corrente per abbatterlo.

Questo è il motivo per cui una macchina SPM che per via dell'elevato traferro ha una bassa induttanza è poco indicata per questa tecnica. In particolare si nota dall'espressione della corrente che piccola induttanza significa in questo caso elevata corrente.

Si trattano adesso i limiti generali del deflussaggio.

Si indica con Imax la corrente massima ammissibile dalla macchina. La corrente residua sull'asse q utile a generare coppia vale:




iqmax *=√I max2−idmax *

2 .

Si indica poi la corrente richiesta sull'asse q dalla coppia:

iq *=T *KT

.

Nel sistema di controllo vanno quindi implementate le espressioni:

Formula 1: iq da implementare nel controllo

;

id *={0 ∀ω⩽ωn

E0(1−ω pu)

ωe Ld

∀ω>ωn

.

Per concludere sui limiti del controllo bisogna osservare la Figura 97 che rappresenta la caratteristica coppia-velocità.

In particolare si nota che fino alla velocità nominale la coppia rimane costante e successivamente si


Figura 96: Diagramma vettoriale del deflussaggio in una macchina AC Brushless

d

q

λ PM

a

L d i d

iq *={iq * ∀ ω⩽ωn

min ( iq * , iqmax) ∀ω>ωn



lavora a potenza costante. In questa zona la id aumenta e si riduce la coppia (quindi iq). Se viene raggiunto il limite in corrente ci si trova nella zona colorata in magenta per cui la corrente iq non decresce più con la velocità ma si annulla fino a raggiungere il valore di velocità massima teorico.

Questa velocità però non è detto sia a potenza costante.

Lo schema di controllo con l'implementazione del deflussaggio è riportato di seguito.

Nello schema il secondo blocco id, iq Calculator decide a seconda della velocità quale corrente desiderata deve imprimere come descritto a pagina 92. Il primo invece calcola i valori in base al MTPA.


Figura 97: Limite in corrente del deflussaggio della macchina AC Brushless

Tn

ωωn

ωn teorica

|I| = |Imax

|

id

iq

Iq = 0

Figura 98: Schema di controllo di una macchina AC Brushless con deflussaggio



Azionamenti con Motori Asincroni

1. Principio di funzionamento della macchina asincrona

La macchina asincrona è una macchina molto robusta ed economica, molto diffusa e studiata. È usata nel 70-80 % delle applicazioni industriali e spesso lavora a velocità costante.

Negli azionamenti elettrici si tende a convertire il funzionamento in “Variable Speed Drives”. Gli approcci utilizzati sono:

– controllo scalare;

– controllo vettoriale.

Requisiti e prestazioni del controllo vettoriale sono:

• conoscenza approfondita della macchina;

• trasduttore di posizione;

• funzionamento nei 4 quadranti;

• controllo della corrente in modulo e fase anche nei transitori;

• dinamiche eccellenti e permette di realizzare servo-azionamenti.

Di seguito vengono mostrate una sezione di una macchina asincrona trifase e il circuito equivalente.




Nella macchina asincrona, detta anche a induzione, gli avvolgimenti statorici vengono alimentati da


Figura 99: Sezione di una macchina asincrona trifase

Figura 100: Circuito equivalente monofase della macchina asincrona



tre tensioni sinusoidali trifase di pulsazione ω che generano un campo, approssimativamente sinusoidale il quale ruota con la pulsazione:

ωs=ωe

p=

2π fp

→ ne=60 f

p.

Dove p rappresenta il numero di coppie polari di statore.

Sul rotore – che funziona in corto-circuito – si creano delle fem indotte le quali producono la circolazione di una corrente rotorica e pertanto si viene a creare una coppia motrice che porta in rotazione il rotore nella stesso verso del campo rotante. Il rotore vede ruotare il campo di statore ad una velocità relativa ns−nr .

Il rotore ruota quindi ad una velocità inferiore rispetto a Bs e pertanto si definisce scorrimento la grandezza:

s=ns – nr

ns

=ωs−ωrωs

.

Il moto relativo tra rotore e campo statorico genera delle correnti di rotore alla frequenza di scorrimento:

f r=(ns – nr) p

60=[ns – (ns(1−s))] p

60=s f 21.

Quindi la frequenza rotorica è massima per s=1 (50 Hz) mentre a regime vale qualche decina di Hertz.

Lo scorrimento è fondamentale per il funzionamento della macchina. Il campo rotante trascina con sé il il rotore e se si verificasse che il numero di giri si uguaglia i conduttori rotorici risulterebbero fermi rispetto a Bs e dunque quest'ultimo non potrebbe indurvi fem e quindi correnti. Di conseguenza non eserciterebbe alcuna coppia sul rotore.

Il campo generato dalle correnti di rotore ha una pulsazione pari a fr e ruota rispetto al rotore con

velocità pari a s ωp

. Rispetto allo statore risulta che la velocità del campo di rotore vale:

ωcr=sωe

p+ω r=(

ωs−ωrωs )

ωp+ωr=ωs .

Ciò vuol dire che il campo di rotore ruota alla stessa velocità del campo statorico, e ciò rende possibili lo sviluppo di una coppia diversa da zero per regimi di funzionamento con s variabile.

Nel circuito equivalente spesso viene riportata la resistenza elettrica fittizia che come è noto è solo una rappresentazione del carico meccanico. Si definisce potenza sincrona (o trasmessa):

P sinc=P J+Pmecc .

Dove:

21 Avendo sostituito n = ns (1-s).




P sinc=Tωe

p=3

R r '

sI r ' 2 ;

P J=3 R r ' I r ' 2 ;

Pmecc=T ωr=3R r '(1 – s )

sI r ' 2 .

Essendo ωr=ωe

p(1– s) si ricava la coppia elettromagnetica:

T=3pωe

Rr '

sI r ' 2 .

Sostituendo il valore di I ' r nell'espressione della coppia e approssimando V s≃V m si ottiene:

T=3pωe

R' r

s [V m

2

(R ' r

s )2

+X dr2 ] .

Inoltre se si verifica la condizione di adattamento, per cui:

R ' r

smax

=X ' dr ,

allora si arriva all'espressione della coppia massima:

T max=3pωe

V m2

2 X ' dr

.

L'andamento della coppia al variare dello scorrimento e della velocità è riportato in Figura 102:


Figura 101: Potenze nella macchina asincrona



Nelle macchine asincrone a rotore avvolto il controllo di coppa può essere effettuato variando la resistenza di rotore. Ciò è permesso dal fatto che gli estremi dell'avvolgimento rotorico sono connessi ad anelli collettori cui si collega l'avviatore a resistenza variabile. La coppia massima rimane costante e il risultato (per frequenza costante) è quello nella figura seguente.


Figura 102: Caratteristica coppia-velocità della macchina asincrona

Figura 103: Controllo della coppia mediante resistenza variabile



Questo tipo di regolazione però è molto dissipativa e dunque di scarso interesse.

Grazie all'utilizzo di un'alimentazione con inverter è possibile variare tensione e frequenza della macchina.

Dalle espressioni precedenti risulta che la coppia massima aumenta proporzionalmente col quadrato

della tensione mentre diminuisce secondo la relazione 1/ f 2 .

2. Controllo scalare: Controllo V/f costante ad anello aperto e chiuso

Il controllo scalare può essere effettuato variando tensione e frequenza nello stesso rapporto. All'aumentare della frequenza aumenta la velocità di rotazione e così all'aumentare della tensione aumenta la coppia. Il tutto secondo le relazioni fondamentali richiamate in precedenza.

Per compensare la caduta resistiva alle basse frequenze bisogna effettuare un Voltage Boost22. Cioè aumentare la tensione rispetto alla f per poi mantenere costante il rapporto.

22 Per frequenze più alte si può approssimare Vs = Vm.


Figura 105: Caratteristica coppia-velocità per rapporto V/f = costante (non è mostrato il Boost di tensione)

Figura 104: Boost di tensione

V

f

T

ω



Infatti per frequenze alte vale la condizione V s≃V m , che significa V m

f=Lm I m=cost e cioè flusso

totale al traferro costante. Alle basse frequenze però non si può trascurare l'effetto resistivo di R s .

Si ha infatti: V s=R s I s+ jX ds I s+V m .

Il risultato è mostrato in Figura 106.

Il metodo più comune per il controllo V/f costante della macchina asincrona è quello ad anello aperto e riportato di seguito.

Si tratta comunque di un azionamento economico, privo di sensori, ed è utilizzato generalmente per applicazioni a velocità costante.


Figura 106: Caratteristica della macchina al variare di V/f costante (con Voltage Boost)



Si ricava quindi una frequenza a partire dalla velocità desiderata. La frequenza viene limitata dal blocco Profiler che sostanzialmente è un limitatore di derivata e quindi evita brusche variazioni di frequenza con la conseguente instabilità della macchina (perché la velocità non riesce ad inseguire la variazione di f) come si vede in Figura 108.

Lo stesso vale in caso di decelerazione a partire dalla frequenza f2.


Figura 107: Schema a blocchi V/f ad anello aperto

Figura 108: Variazione improvvisa di frequenza

TL

f1

f2

ωr



In questa situazione la macchina lavora nel quadrante a coppia negativa, quindi restituisce energia alla rete. Il punto è che il convertitore spesso non lo consente e l'energia si immagazzina in un condensatore sul quale aumenta la tensione. Se questa aumenta troppo c'è il rischio di danneggiare l'isolamento e si incorre nella distruzione del dispositivo. Per ovviare a ciò si può inserire una resistenza di frenatura o si effettua una frenatura lenta con l'utilizzo, appunto, del Profiler.

Lo svantaggio di questo tipo di azionamento risiede nel fatto che non vi è alcun controllo su possibili aumenti di corrente (se si blocca il rotore per esempio).

Se si desidera migliorare le prestazioni si può inserire una misura di velocità o di corrente. In genere si effettua la misura della corrente di link.

Lo schema viene riportato in Figura 107.

Si inserisce quindi il blocco Slip Limit. Se la corrente rimane entro un certo valore il limitatore non interviene, mentre se supera un valore superiore viene incrementata una certa Δf positiva da detrarre alla f calcolata dal Profiler. Nel caso in cui il valore della I link sia sotto ad un valore di soglia

minore di zero allora l'incremento di frequenza sarà negativo.


Figura 109: Decelerazione brusca

TL

f1

f2

ωr

T

ω



3. Controllo scalare: Controllo di ScorrimentoSe si suppone di avere una coppia di carico costante, la caratteristica per un controllo V/f costante è quella in Figura 111.

In altre parole questo tipo di controllo (per coppia di carico costante) significa mantenere costante la frequenza di scorrimento. Si sceglie di controllare tale grandezza.

Infatti risulta:ω1

p−ωr1=

ω2

p−ωr2 ;


Figura 110: Schema a blocchi V/f ad anello aperto con misura della corrente di link

Figura 111: Caratteristica con TL costante

TL

ω1/p ω

2/pω

r1 ωr2

s1

s2

0

0



s1ω1

p=

s2ω2

p.

Questa scelta permette di tenere sotto controllo la coppia e quindi la corrente. Si può pensare inoltre di ottimizzare, al variare dello scorrimento s, grandezze come il cosφ, il rendimento e la stessa coppia (Figura 112).

Lo schema di controllo associato è il seguente:


Figura 112: Coppia, Fattore di potenza e rendimento in funzione di s

Figura 113: Controllo di scorrimento



Per questo schema vi è il bisogno di un trasduttore di velocità per annullare l'errore grazie al regolatore PI.

Si noti bene che in uscita al PI non vi è la coppia come nel caso visto per la macchina in cc, bensì la tensione. D'altronde in questo preciso caso variando la tensione, varia la caratteristica della coppia (verso l'alto o verso il basso).

La frequenza che viene comandata è la somma della frequenza di scorrimento e quella meccanica.

Si ottiene quindi il campo di funzionamento della macchina asincrona riportato di seguito in Figura 114.

Si può analizzare infatti l'espressione della coppia massima (si ottiene nella condizione di adattamento dell'impedenza). Per cui si può scrivere che vale:

T max=K T(V s

f )2

23.

• Primo tratto: si effettua un controllo V/f costante. La coppia è pari a quella massima e la potenza cresce linearmente con la velocità, fino al valore nominale.

• Secondo tratto (deflussaggio): si effettua un controllo di scorrimento. La tensione si mantiene costante al valore nominale, la coppia diminuirebbe col quadrato della frequenza. Siccome però la potenza non può andare oltre il valore nominale e deve rimanere costante a tale valore, bisogna controllare la coppia perché diminuisca come 1/f (Motor Torque). La corrente di statore quindi rimane pressoché costante (in realtà all'aumentare della frequenza

23 In KT si raggruppano i valori costanti. Per l'espressione della coppia si rimanda alla teoria delle macchine elettriche.


Figura 114: Campo di funzionamento della macchina asincrona



cambia il comportamento dei parametri della macchina, e bisogna tenerne conto.).

• Terzo tratto: si raggiunge un limite per la coppia. Da questo punto in poi diminuisce con la

legge 1/ f 2 , la frequenza di scorrimento si mantiene costante e la potenza diminuisce.

4. Modello in regime transitorio della macchina asincrona

Si modellizza la macchina per il regime variabile al fine di poter affrontare lo studio del controllo vettoriale, il quale prevede una prima analisi nel regime permanente e successivamente nel regime transitorio.

Nella schematizzazione degli avvolgimenti rotorici si utilizza uno schema trifase. Questa però è una rappresentazione equivalente dal punto di vista elettromagnetico di quello che può essere l'avvolgimento reale di rotore. Il quale si ricorda può essere o avvolto o a gabbia.

Le equazioni della macchina asincrona in regime variabile sono:

v abc , s=Rs iabc , s+d λabc , s

dt

vabc , r=Rr iabc , r+d λabc , r

dt

;

λ abc , s=λabc , ss+λabc , sr=Labc , s i abc ,s+Labc , sr i abc ,r

λabc , r=λabc , rs+λ abc ,rr=Labc , rs i abc , s+Labc , r iabc , r

.


Figura 115: Sezione della macchina asincrona



Si individuano le matrici, semplificando ancora la notazione.

Ls=[(Lls+Lms) −

12

Lms −12

Lms

−12

Lms (L ls+Lms) −12

Lms

−12

Lms −12

Lms (Lls+ Lms)] , Lr=[

(Llr+ Lmr) −12

Lmr −12

Lmr

−12

Lmr (L lr+ Lmr) −12

Lmr

−12

Lmr −12

Lmr (L ls+ Lmr)] .

Dove:

Lls è l'induttanza di dispersione dovuta al flusso che non si concatena con le altre fasi;

Lms è l'induttanza di magnetizzazione legata al flusso di una fase concatenato con le altre fasi di

statore. Il valore -1/2 è dovuto allo sfasamento di avvolgimento tra le fasi che sono a 120°.

Lsr=Lsr[cosθr cos(θr+

23π) cos(θr+

43π)

cos(θr+43π) cosθr cos(θr+

23π)

cos(θr+23π) cos(θr+

43π) cosθr

] , LsrT=Lrs

24.

Si vogliono ora riportare le grandezze rotoriche (circuito secondario) al circuito di statore (primario). Con questa operazione si ipotizza un circuito fittizio lato statore, composto dallo stesso numero Ns di spire e attraversato da una corrente Ir' che produce gli stessi effetti elettromagnetici dovuti alla circolazione della corrente rotorica Ir .Quindi

stessa forza magneto-motrice: N s⋅i abc , r '=N r⋅i abc , r → i abc , r=N s

N r

i ' abc ,r ;

stesso flusso: Ψabc , r=λ abc ,r

N r

=λ ' abc , r

N s

→ λ abc ,r=N s

N r

λ ' abc , r .

Le tensioni sono proporzionali ai flussi: vabc , r=N r

N s

v ' abc ,r .

Si ricavano le equazioni con le grandezze di rotore riportate al primario, ricordando che i termini sono matrici e indicando p = d /dt :

N r

N s

v ' abc , r=Rr

N s

N r

i ' abc ,r+ pN r

N s

λ ' abc , r → v ' abc ,r=(N s

N r)

2

R r i ' abc , r+ pλ ' abc , r ;

λabc ,s=Ls iabc ,s+N s

N r

Lsr i ' abc ,r ;

24 Per simmetria le due matrici sono l'una la trasposta dell'altra.




N r

N s

λ ' abc ,r=Lrs i abc , s+N s

N r

Lr i ' abc , r → λ ' abc , r=N s

N r

Lrs i abc , s+(N s

N r)

2

Lr i ' abc ,r .

Si può a questo punto riscrivere il modello della macchina asincrona in regime variabile con le grandezze di rotore riportate allo statore:

{vabc , s=R si abc , s+ pλabc ,s

v ' abc , r=R' r i ' abc ,r+ pλ ' abc, r

,

{λabc , s=Ls i abc , s+

N s

N r

Lsr i ' abc , r

λ ' abc ,r=N s

N r

Lrs iabc , s+(N s

N r)

2

Lr i ' abc ,r

.

Bisogna però analizzare le matrici e vedere l'impatto che ha su di esse l'aver riportato le grandezze di rotore al circuito di statore. In particolare risulta che

L ' sr=N s

N r

L sr=Lms , questo perché il circuito fittizio si trova allineato con lo statore.

Si definiscono ora:

L ' lr=(N s

N r)

2

Llr ; L 'mr=(N s

N r)

2

Lmr=Lms .

Dove L ' mr è l'induttanza legata al flusso generato dall'avvolgimento fittizio concatenato con se

stesso e quindi con lo statore.

Si riscrivono le equazioni dei flussi:

{λabc , s=Ls i abc , s+Lsr ' i ' abc , r

λ ' abc ,r=L' rs iabc , s+L r ' i ' abc , r

.

Dalle considerazioni svolte si ricavano le nuove matrici.

L ' sr=Lms(cosθr cos(θr+

23π) cos(θr+

43π)

cos(θr+43π) cosθr cos(θr+

23π)

cos(θr+23π) cos(θr+

43π) cosθr

) ;




Lr '=((L lr '+ Lms) −

12

Lms −12

Lms

−12

Lms (Llr '+ Lms) −12

Lms

−12

Lms −12

Lms (Llr '+Lms)) .

Si riporta il modello nel sistema di riferimento qdo:

f qdo , s=K s⋅f abc ,s

f qdo , r=K r⋅f abc ,r

.

{vqdo , s=R s iqdo , s+ pλqdo , s+ωλdq , s

v ' qdo ,r=R ' r i ' qdo , r+ pλ ' qdo ,r+(ω−ωr)λ ' dq , r

,

dove

λdq , s=(λds

−λqs

0 ) e λ ' dq , r=(λdr

−λqr

0 ) .I flussi diventano:

{λqdo , s=K sλabc=(K s Ls K s−1) iqdo , s+(K s Lsr ' K s

−1)i ' qdo ,r

λ ' qdo , r=(K r L ' rs K r−1)i qdo , s+(K r Lr ' K r

−1)i ' qdo , r

.

Svolgendo i calcoli le matrici valgono:


Figura 116: Assi per la trasformazione qdo



K s Ls K s−1=((L ls+

32

Lms) 0 0

0 (Lls+32

Lms) 0

0 0 L ls

) , K r Lr K r−1=((L ' lr+

32

Lms) 0 0

0 (L' lr+32

Lms) 0

0 0 L' lr

) ,K s Ls K r

−1=(

32

Lms 0 0

032

Lms 0

0 0 0) ,

dove M=32

Lms .

Grazie alla trasformazione qdo poiché gli assi sono tra loro ortogonali sparisce il termine di mutuo accoppiamento nelle matrici.

Riepilogando:

{vqdo , s=R s iqdo , s+ pλqdo , s+ωλdq , s

v ' qdo ,r=R ' r i ' qdo , r+ pλ ' qdo ,r+(ω−ωr)λ ' dq , r

,

{λqdo , s=Lqdo ,s i qdo , s+M qdo i ' qdo , r

λ ' qdo , r=M qdo i qdo ,s+Lqdo , r i ' qdo ,r

.

Le equazioni possono essere scritte in forma scalare:

{vqs=R s iqs+ p λqs+ωλds

vds=R s ids+ p λds−ωλqs

vos=Rs i o s+ p λo s

;

{v ' qr=R ' r i ' qr+ p λ ' qr+(ω−ωr)λ ' dr

v ' dr=R r ' i ' dr+ p λ ' dr−(ω−ωr)λ ' qr

v ' or=R' r i ' o r+ pλ ' o r

;

{λqs=(Lls+M ) iqs+M i' qr

λds=(Lls+M ) ids+M i' dr

λds=Lls ios

→ {λqs=Lsi qs+M i ' qr

λds=Lsi ds+M i ' dr

, dove Ls=L ls+M ;

{λ ' qr=M iqs+(L ' lr+M ) i ' qr

λ ' dr=M ids+(L ' lr+M ) i ' dr

λ ' or=L ' lr i ' or

→ {λ ' qr=M iqs L' r i ' qr

λ ' dr=M ids L' r i ' dr

, dove L ' r=L ' lr+M .

Le equazioni dei flussi si possono ancora scrivere secondo la forma che segue:

{λqs=Lls iqs+M (i qs+i ' qr)

λds=Lls ids+M (i ds+i ' dr), {λ ' qr=L ' lr i ' qr+M (i qs+i ' qr)

λ ' dr=L ' lr i ' qr+M (i ds+i ' dr).




Dove:

M (iqs+i ' qr) è il termine legato al traferro totale sull'asse q ;

M (ids+i ' dr) è il termine legato al flusso totale lungo l'asse d ;

Si individua quindi il vettore spaziale delle correnti:

{i qds=iqs− jids

i ' qdr=i ' qr− ji ' dr

.

Pertanto il flusso al traferro si può formulare nel seguente modo:

λ ag=M ( i qds+ i ' qdr )=λagq− jλagd .


Figura 117: Flusso al traferro

q

d

a

Iqr'

Idr'

λag

Itot

Iqs

Ids

Iqds

I'qdr



In base alle equazioni scritte nel sistema di riferimento arbitrario è possibile definire un circuito equivalente per l'asse q, per l'asse d e per l'asse o (Figura 118). Per quanto riguarda il circuito di rotore si impone:

{v ' dr=0v ' qr=0v ' or=0

.

Questo perché normalmente si trova in corto-circuito.

Tale modellizzazione grafica però non esprime la conversione elettromeccanica dell'energia.

Per esprimere la coppia quindi si passa attraverso l'espressione della coenergia, ovvero (nel caso di linearità) l'energia magnetica immagazzinata nella macchina, che è esprimibile come:

dW mecc=−T d θrm=dW m .

Dove θr= pθr m .

Per cui la coppia vale:

T e= p∂W∂θr

.

L'energia magnetica immagazzinata nella macchina nella macchina dipende da tutti i flussi di


Figura 118: Circuito equivalente nel riferimento arbitrario



statore e di rotore. Ai fini della valutazione, non si considerano i flussi dispersi. I termini saranno

tutti del tipo 12

L i 2 . Si ricavano l'energia dovuta al:

Flusso di statore per correnti di statore: 12[iabc ,s

T(L s−Lls I ) iabc ,s ] ;

Flusso di statore per correnti di rotore: 12

i abc , sT L sr iabc ,r ;

Flusso di rotore per correnti di rotore: 12[iabc ,r

T(Lr−Lrl I )i abc ,r ] ;

Flusso di rotore e correnti di statore: 12

i abc , rT Lrs i abc , s .

La somma di questi contributi fornisce l'energia immagazzinata al traferro.

Analizzando le matrici e ricordando quanto già è stato scritto per esse, si ha che Ls e Lr non

dipendono dall'angolo θr così come non dipendono da esso iabc , s e i ' abc ,r .

Per ricavare la coppia è utile solo il contributo dovuto alla matrice Lsr=Lrs :

T= p iabc , sT ∂∂ θr

L ' sr i ' abc , r .

Lo svolgimento dell'equazione è molto complesso. Quindi si scrivono le espressioni delle correnti nel riferimento qdo:

T= p(K s−1 iqdo , s)

T ∂∂θr

L ' sr(K r−1i ' qdo , r) .

Il risultato è:

T=32

p M (i qs⋅i ' dr – i ds⋅i ' qr) ;

T=32

p (λ ' qr⋅i ' dr – λ ' dr⋅i ' qr) .

Esistono però altre espressioni per la coppia e vengono riportate in Figura 119.




Con l'equazione di coppia si completa quindi il modello della macchina asincrona nel regime variabile.

Si noti che quando si esegue una trasformazione di coordinate il nuovo sistema può ruotare a velocità:

• ω=0 ;

• ω=ωe ;

• ω=ωr .

Di seguito alcune caratteristiche che evidenziano le differenze in base alla scelta di ω .


Figura 119: Espressioni di coppia per la macchina asincrona




Figura 120: Variabili in un sistema di riferimento stazionario




Figura 121: Variabili in un sistema di riferimento sincrono



5. Controllo vettoriale diretto e indiretto: analisi a regime permanente

Il circuito equivalente monofase con la quale si è studiata la macchina nella teoria delle macchine elettriche ed utilizzato all'inizio del capitolo è “arbitrario”. Si può però dimostrare che questo circuito si ricava dal circuito equivalente generalizzato per una particolare scelta del parametro a così come dimostrato in Figura 123.


Figura 122: Variabili nel sistema di riferimento rotorico



Scegliendo a=Lm

Lr

25 si arriva ad un circuito privo della reattanza di dispersione rotorica così come

mostrato in Figura 124.

Da tale circuito risulta quindi che:

I s= I s Φ+ I sT ;

I sT=−Lr

Lm

I sr ;

E r= j ωλ r .

Si ricava la corrente:

I sΦ=(Lm/Lr)E r

jωe(Lm

Lr)Lm

=jωe λ r

jωe Lm

=λ r

Lm

.

25 Lm = M.


Figura 123: Circuito equivalente generalizzato

Figura 124: Circuito equivalente della macchina asincrona per a = Lm/Lr



E quindi il flusso vale λ r=Lm I sΦ ed è perciò proporzionale alla corrente che circola nel ramo

induttivo.

Per definizione si può scrivere che:

T=3pωe

R' r

sI ' r

2 .

Tale espressione può essere ancora riscritta nella forma:

T=3pωe

E r I r=3pωe(ωe Lm I sΦ)⏟

Er

(I sT

Lm

Lr)⏟

I r

=3 pLm

2

Lr

I sΦ I sT .

Si giunge così al risultato:

T=3 pLm

Lr

λr I sT .

Dall'analisi appena svolta si giunge a due importanti conclusioni. La prima è che la corrente che genera il flusso λ r è la I sΦ . Quindi una volta determinata tale corrente per instaurare il flusso

rotorico si determina la coppia che è proporzionale alla corrente I sT .

In prima analisi le due correnti sembrano tra loro disaccoppiate, ma mettendo a sistema le due espressioni:

{I sT=

(Lm/Lr)E r

(Lm

Lr)

2 Rr

s

I sΦ=(Lm/Lr)E r

j ωe Lm2/Lr

→ I sT=Lr

Lm

sR r

jωe Lm I sΦ .

Facendo il modulo dell'espressione ricavata si trova l'espressione dello scorrimento:

sωe=R r

Lr

I sT

I sΦ

.




In altre parole questo risultato dice che controllando flusso e coppia si impone lo scorrimento della macchina.

Studiando i vettori26, a partire dal flusso λ r , si scopre ancora che passando dai fasori del regime

permanente ai vettori spaziali in rotazione con riferimento sincrono ( ω=ωe ), le due correnti sono:

I sΦ=I ds ; I sT=I qs .

E queste correnti sono le due grandezze cui si basa il controllo vettoriale della macchina che assicurano rispettivamente flusso e coppia.

A questo punto si ricordi che negli azionamenti brushless con un trasduttore di posizione era possibile determinare la posizione del flusso rotorico. Nel caso della macchina asincrona ciò è reso impossibile dallo scorrimento, nei brushless il rotore ruota alla stessa velocità del campo di statore.

È chiaro che per risolvere il diagramma vettoriale appena visto vi è bisogno di conoscere la posizione iniziale di λ r per poter posizionare il sistema qdo. Infatti si impone che l'asse d sia

orientato lungo l'asse del flusso di rotore.

Questo è il problema del controllo, ovvero l'orientamento di campo.

Per questo motivo il controllo vettoriale si suddivide in controllo vettoriale diretto e indiretto.

In particolare:

• nel controllo vettoriale indiretto si misura la posizione meccanica del rotore e sfruttando la relazione dello scorrimento si ricava θr e quindi θe , cioè la fase del flusso;

• nel controllo vettoriale diretto si risale a θr sfruttando le relazioni matematiche che

governano la macchina, si eseguono quindi le misure di tensione e corrente.

26 La X's è la reattanza transitoria di statore X's = ωe(Ls – Lm2 Lr).


Figura 125: Analisi del controllo vettoriale in regime permanente



5.1. Schemi controllo vettoriale indiretto

Per analizzare lo schema di Figura 126 si scrive:

ωe=ωr+sωr , integrando si ottiene: θe=θr+∫ sωe dt .

Tramite un encoder si misura θr e si cerca di stimare sωe .

Dalla trattazione svolta in precedenza si ricorda che sωe=1τr

i sT

i sΦ

, dove τr=Lr

R r

. Si ricorda ancora

che le due correnti corrispondono rispettivamente a quella lungo l'asse diretto e quella lungo l'asse in quadratura.

Il valore τ r è stimato. C'è quindi il rischio che l'azionamento sia male implementato. La verifica va

effettuata comandando una determinata coppia. Se dopo un periodo (lungo) questa rimane tale allora l'azionamento è ben realizzato.

Se viene effettuata una stima errata viene sommato di continuo un errore che continua a crescere fino a determinare un errore sull'angolo e di conseguenza nell'orientamento di campo.

Vanno presi degli accorgimenti per rilevare ed eliminare questo tipo di errore.


Figura 126: Schema di controllo vettoriale indiretto con CRPWM



Gli schemi a corrente impressa sono ormai fuori mercato ma è ancora possibile trovarli installati. Si tratta di convertitori a corrente impressa, di solito ponti a tiristori, di cui si comanda l'angolo di innesco.

La frequenza delle correnti di fase per la macchina viene determinata sulla base di calcolo di ωe

implementando un blocco Slip Calculator analogo a quello di schemi con CRPWM.

Viene poi calcolato il modulo desiderato per il vettore spaziale di corrente ∣i qds∣ . La corrente di link

viene retroazionata e l'errore tra le due entra in un regolatore di corrente la cui uscita comanda l'angolo di innesco dei tiristori (per annullare l'errore).

Per migliorare le prestazioni durante i transitori viene implementata poi una rete anticipatrice.


Figura 127: Schema di controllo vettoriale indiretto con CSI



In ingresso a tale rete vi è l'angolo del vettore spaziale di corrente e in uscita vi è la derivata nel tempo di tale angolo. Il risultato è una velocità che si somma a ωr+sωe . Quando il sistema è a

regime permanente la derivata è nulla quindi non si somma.

In altre parole la rete funziona per aumenti di coppia o diminuzioni di essa. Si guardi la Figura 128 e si pensi di comandare una coppia rispetto alla posizione 1 semplicemente aumentando I qs e

lasciando immutata la corrente lungo d. La rete anticipatrice sente la variazione dell'angolo e quindi comanda l'incremento di velocità. Se la rete fosse assente lo schema di controllo comanderebbe un nuovo vettore di corrente col modulo I qs2 ma di fase ϕ1 .


Figura 128: Rete anticipatrice per schema di controllo vettoriale indiretto con CSI



5.2. Schemi di controllo vettoriale diretto

Lo schema che viene mostrato in questo paragrafo è solo di principio perché non è sufficiente l'analisi in regime permanente. Viene svolta un'analisi sommaria.

Il valore dell'angolo θrf (che è sempre l'angolo del campo calcolato dal CFO), viene ricavato

mediante la misura di alcune grandezze del rotore. Viene quindi calcolato anche il modulo del flusso e si realizzano due anelli in controreazione (di coppia e di flusso).

Dai due anelli si ricavano le due correnti su q e d desiderate. In particolare si ha la certezza di determinare il flusso di magnetizzazione voluto attraverso la id *, cosa che a catena aperta potrebbe

non verificarsi. Si riesce infatti a compensare l'errore sull'induttanza che non era possibile col controllo indiretto. La id è quella esatta, come lo è la corrente iq per la coppia.

Così come il controllo vettoriale indiretto, quello diretto può essere implementato con un CSI così come mostrato in Figura 130.


Figura 129: Schema di controllo vettoriale diretto con CRPWM



6. Controllo vettoriale: analisi a regime transitorioPer effettuare lo studio di questa sezione si riscrivono le equazioni del modello in regime transitorio per la macchina asincrona nel riferimento sincrono ( ω=ωe ). Si omette il simbolo di apice per la

notazione delle grandezze rotoriche e l'induttanza M ora è Lm.

{vqs=R s iqs+ p λqs+ωe λds

vds=R s ids+ p λds−ωe λqs

;

{0=R r iqr+ pλqr+(ωe−ωr)λdr

0=R r idr+ pλdr−(ωe−ω r)λqr

;

{λqs=Lls iqs+Lm(iqs+i qr)=L s i qs+Lmi qr

λds=Lls ids+Lm(ids+i dr)=L s i ds+Lmi dr

;

{λqr=L lr i qr+Lm(i qr+iqs)=L r iqr+ Lm iqs

λdr=L lr i dr+Lm(i dr i ds)=Lm i ds+ Lr i dr

;

T e=32

pLm

Lr

(λdr i qs−λqr ids) .


Figura 130: Schema di controllo vettoriale diretto con CSI



Si impone adesso la condizione di orientamento del flusso di rotore lungo l'asse diretto:

λdr=∣λ r∣ ; λqr=0 .

Questa scelta modifica le equazioni:

{0=R r iqr+(ωe−ωr)λdr

0=R r idr+ pλdr

;

λqr=Lr i qr+Lmi qs=0 ;

T e=32

pLm

Lr

(λdr i qs) .

L'espressione della coppia ricorda quella di una macchina DC Brushless.

Si ricava dalle espressioni appena scritte:

iqr=−Lm

Lr

i qs ;

sωe=(ωe−ωr)=−Rr iqr

λdr=

Rr

Lr

Lm iqs

λdr.

Si ricorda ora che nel regime permanente valeva:

sωe=R r

Lr

I qs

I ds

.

Osservando la seconda equazione che si è modificata, si nota che vale ancora il risultato trovato nel regime permanente. Ovvero:

p λdr=0 → idr=0 .

Dall'espressione di λdr trovata per il regime variabile, sostituendo idr=0 , continua a valere il

valore di regime permanente λdr=Lm I ds .

Si evince quindi che la corrente di rotore lungo d è nulla. In effetti, sempre nello studio a regime

permanente, si era giunti allo stesso risultato. Nella Figura 125 si può notare come I qr=−I qs

Lm

Lr

sia allineata lungo q ed è l'unica componente rotorica.

Tuttavia nel regime variabile I dr≠0 e dall'equazione di λdr vale:

idr=λdr−Lm ids

Lr

.

Si mettono a sistema:

{idr=λdr−Lm ids

Lr

0=R r idr+ pλdr

,




da cui si ricava

(Rr+ pLr)λdr=R r Lm ids .

Per capire il significato di questa espressione lavora nel dominio di Laplace. E quindi:

λdr(s)ids(s )

=Rr Lm

Rr+sLr

=Lm

(1+s τr).

dove τ=Lr

Rr

.

Ciò vuol dire che nonostante il regolatore segua velocemente la corrente ids il flusso di rotore varia

secondo la costante rotorica τr .

Si riscrive l'equazione sostituendo l'espressione di λdr :

(Rr+ pLr)i dr=−Lm p i ds .

Per un gradino di ids risulta anche una variazione di idr :

In ultima analisi, essendo λdr=Lm ids+Lr i dr ci si aspetta un andamento come in Figura 133:


Figura 131: Andamento del flusso di rotore per un gradino di ids

Figura 132: Andamento di idr per un gradino di ids

idr

ids



Ciò significa che il flusso tenderebbe ad inseguire la ids ma a causa della idr che circola nel rotore

per effetto dello stesso gradino questo varierà lentamente con la costante di tempo rotorica.

La Figura 134 riassume il concetto appena espresso dal punto di vista vettoriale.


Figura 133: Legame ids, idr e flusso

idr

λdr

ids

Figura 134: Diagramma del transitorio ids e flusso di rotore



Dall'analisi appena svolta e con l'aiuto dei due diagrammi vettoriali si evince quindi che se viene variata la coppia T attraverso iqs anche iqr varierà istantaneamente e il flusso rimane costante. Se

invece si cerca di aumentare la coppia attraverso il flusso λdr , anche la coppia avrà un andamento

che dipende dalla costante rotorica.

Nello schema di controllo l'anello di coppia varia quindi velocemente rispetto a quello del flusso. Si riporta invece lo schema del modello (con orientamento di campo) che è stato analizzano in questa ultima parte.

7. Controllo vettoriale: schemi di controllo indiretti

Il controllo vettoriale indiretto per quanto già visto ricava la posizione del flusso di rotore legando


Figura 135: Diagramma vettoriale dei transitori di corrente iqs e iqr

Figura 136: Schema di controllo di macchina asincrona con current fed e orientamento di campo (la variabile p=s è quella di Laplace)



la posizione meccanica alla relazione dello scorrimento. Si “aggiorna” il modello con le equazioni viste per il regime transitorio.

Si è già trovata l'espressione sωe=R r

Lr

Lmi qs

λdr.

Si sostituisce l'espressione λdr=Lm i ds

1+τr p e quindi:

sωe=(1/ τr)i qs

11+τ r p

ids

,

si cerca cioè lo scorrimento desiderato stimando i valori iqs e ids . Si parte sempre da un flusso ed

una coppia desiderati:

ids=λdr

Lm

;

iqs=T

32

pLm

Lr

λdr

.

Supponendo un regolatore di corrente approssimabile con fdt ad anello chiuso unitaria lo schema per ottenere flusso e coppia reali è il seguente.

Questo schema però prevede che per ogni variazione di flusso ci sia una variazione di coppia e ciò per quanto studiato si vuole evitare perché altrimenti la risposta di coppia dipenderebbe dalla costante rotorica (Figura 131).

L'analisi svolta in precedenza per il flusso viene “ribaltata” applicando il principio fisico di causa-effetto:

(Rr+ pLr)λdr=R r Lm ids ,

risolvendo quindi questa equazione rispetto a ids (causa) si ha

ids=1

Lm

(1+ p τr)λdr .

Matematicamente non cambia nulla ma dal punto di vista fisico questa relazione dice che se λdr è

il flusso desiderato, τr una buona stima, allora è possibile trovare la corrente ids che assicura quel


Figura 137: Stima di iqs e ids

Lm / (1+tau_r p)

3/2 p Lm/Lr

Wi(s)

ids*

iqs*T*

lambda*lambda

T

Ids = ids*

Iqs = iqs*



flusso. L'andamento è quello nella figura seguente.

È chiaro che nella realtà bisogna tenere conto del limite di massima corrente comandabile e il limite in banda passante.

Il flusso quindi si avvicina al gradino ma sarà sempre soggetto alla costante di tempo rotorica.

Questo approccio consente una modifica allo schema precedente. Per cui al posto della corrente ids ,

nel controllore l'ingresso sarà il flusso. Si semplifica anche la relazione sullo scorrimento:

sωe=R r

Lr

Lmi qs

λdr,

quindi il controllo si ottiene implementando lo schema in Figura 139.


Figura 138: Corrente ids per un gradino di flusso

ids

* = ids

λdr* = λ

dr



Lo schema completo è in Figura 140:


Figura 139: Schema a blocchi con scorrimento e flusso desiderati

Figura 140: Controllo vettoriale indiretto, schema di controllo



8. Controllo vettoriale: schemi di controllo direttiNella Figura 129 è stato introdotto uno schema di principio per il controllo diretto. L'attenzione adesso si focalizza sul blocco CFO (Computer Field Orienter) e sui modelli che vengono in esso implementati per raggiungere lo scopo.

L'obiettivo naturalmente è quello di determinare il flusso e la sua fase per poter orientare il sistema qdo e dunque l'asse d con il flusso rotorico.

Poiché non si dispongono informazioni sul flusso, la condizione λqr=0 non è più valida. Si

effettuano quindi le misure e si ricava, nel riferimento di statore, il modulo

λ r=√(λdrs)

2+(λqr

s)

2 ,

da cui si può ricavare la fase, cioè l'angolo,

θr=arctanλdr

s

λqrs .

La funzione arctan però non è facile da implementare, quindi si utilizza un PLL.

8.1. Misura del flusso al traferro

Per questo tipo di controllo esistono vari metodi utili a determinare il flusso. Uno tra questi consiste proprio nella misura stessa del flusso al traferro mediante sensori ad effetto-hall o mediante bobine di pick-up27. Per cui si ricava il flusso dalla tensione indotta e dalla frequenza. Queste ultime presentano uno svantaggio a frequenze quasi nulle per cui risulta fem indotta pari a zero.

Questi trasduttori misurano quindi il flusso al traferro che può essere chiamato λm .

Si può scrivere nel riferimento statorico il vettore spaziale:

λ qdms=λqm

s− j λdm

s=Lm( i qds

s+ i qdr

s) .

Infatti per un riferimento arbitrario valgono le equazioni scalari:

λqm=Lm(i qs+i qr) ; λdm=Lm(i ds+i dr) .

Siccome la pulsazione ω non compare in queste equazioni, valgono anche nel sistema di riferimento con lo statore.

Per cui:

{λqms=Lm(iqs

s+i qr

s)

λdms=Lm(ids

s+i dr

s)

,

a conferma di quanto scritto sopra.

Si mettono a sistema i vettori spaziali del flusso magnetico e del flusso di rotore cercato (riferito allo statore):

27 Si tratta di bobine a vuoto, sulle quali non circola corrente.




{λqdms=Lm(i qds

s+i qdr

s)

λqdrs=Lr i qdr

s+Lm iqds

s → {iqdr=

λqdms−Lm iqds

s

Lm

λqdrs=(Lr

Lm)λqdm

s−( Lr− Lm) iqds

s

.

Per ricavare il valore la stima di λqdr nelle coordinate statoriche:

• si misura la corrente di statore ( iqdss );

• si misura il flusso al traferro ( λqdms );

• si stimano i valori di L r , Lm .

Quindi si ricava il modulo a partire da λq e λd e la fase attraverso l'arcotangente.

L'osservatore del flusso è quindi a catena aperta. Questo tipo di controllo va verificato per diverse correnti infatti c'è il rischio che l'induttanza di dispersione Llr diminuisca troppo nel caso di cave

rotoriche chiuse, mentre se non c'è molta saturazione può essere considerata costante. Stimare poi L r e Lm non è facile in quanto trattasi di valori molto piccoli.

8.2. Modello in tensione

Un altro metodo consiste nel ricavare il flusso di rotore mediante la misura delle tensioni di statore. Dalle equazioni:

{vqs=R s iqs+d λq

dt+ωλds

vds=R s ids+d λd

dt−ωλqs

,

si ricava il vettore equivalente in forma complessa ( vqds=vqs− j vds )28:

vqds=R s i qds+d λ qds

dt+ jωλqds .

Si faccia caso al fatto che per una corretta rappresentazione si moltiplica il termine ωλ qds per

l'unità immaginaria in modo tale da avere

jω(λqs – j λds)= jωλqs+ωλds .

Per capire il motivo basta guardare l'equazione di vqs che rappresenta la parte reale (Re) in cui

appare il flusso λds , mentre λqs si trova nell'equazione (-Im).

Nel riferimento stazionario si impone ω=0 . Per cui:

vqds=R s i qds+d λqds .

Si ricava il flusso rispettivo per definizione:

28 Si considera vqs = (Re), mentre vds = (- Im)




λ qdss=∫

o

t

(vqdss−R i qds

s)dt .

In un riferimento generico vale λ qds=Ls i qds+ Lm i qdr .

Si ricava quindi la corrente:

iqdrs=λqds

s−Ls i qds

s

Lm

.

Quindi nella relazione λdqr=Lm idqs+Lr iqdr si sostituisce il valore appena ricavato:

λdqr=Lm idqs+Lr

λqdss−L s iqds

s

Lm

,

λdqr=Lm

Lr [λqdss−(Ls−

Lm2

Lr)i qds

s ] .Anche in questo caso si incontrano delle difficoltà relative soprattutto al contributo in parentesi tonda che costituisce la reattanza transitoria del circuito di statore.

Questo modello, detto “in tensione”, non lavora bene per frequenze basse. Ovvero per quelle frequenze per cui la tensione diventa confrontabile con la caduta resistiva, caso per cui è facile commettere un grande errore che viene poi integrato.

8.3. Modello in corrente

Si utilizza altrimenti il modello “in corrente”. Analogamente al caso precedente si parte dalle equazioni di rotore:

{0=R r iqr+d λqr

dt+(ω−ωr)λdr

0=R r idr+d λdr

dt−(ω−ωr)λqr

,

per ricavare il vettore:

vqdr=0=Rr i qdr+d λqdr

dt+ j (ω−ωr)λ qdr .

Si sceglie un sistema di riferimento per cui ω=ωr . Ne segue che:

{vqdrR =0=R r i qdr+

d λqrR

dtλqdr

R=Lm iqds

R+Lr iqdr

R

.

L'incognita è la iqdrR :




{i qdr=−1Rr

+d λqr

R

dt

λqdrR=Lm iqds

R−

Lr

Rr

+d λqr

R

dt

.

Infine:

λ qdrR(1+τr s)=Lm i qds

R ,

λ qdrR =

Lm

(1+τr s)i qds

R .

Bisogna quindi riferire la corrente di statore al rotore attraverso una matrice KR per cui è richiesta la misura della posizione angolare meccanica del rotore per conoscere l'angolo θr . Ciò non è un

problema perché il trasduttore di posizione (o di velocità) è sempre presente nell'azionamento e viene infatti utilizzato per chiudere l'anello di velocità esterno a quello di coppia.

8.4. Modello ibrido

I due modelli appena descritti si implementano in un modello ibrido come in figura.

Come si è visto in precedenza il modello in tensione lavora male alle basse frequenze mentre è più preciso alle alte velocità. Al contrario,il modello in corrente è molto preciso allo spunto e quindi a basse velocità.

Queste caratteristiche vengono sfruttate per stabilire la transizione per il funzionamento dell'uno o dell'altro osservatore.

Per fare ciò si deve scegliere una banda passante per il regolare PI (di transizione) il quale analizza l'errore proveniente da entrambe le tipologie di osservatori.


Figura 141: Modello Ibrido per il controllo vettoriale diretto



La Figura 142 mostra il diagramma di Bode per il regolatore PI i cui coefficienti proporzionali sono unitari. Nel caso pratico si deve scegliere la frequenza di taglio

f t=1τ PI=

K p

K i

,

oltre la quale il regolatore attenua il segnale in ingresso.

All'interno della banda passante le grandezze in gioco variano con frequenza molto bassa e quindi l'errore ε sarà nullo. Ne segue che la stima del flusso di rotore è pari a quella eseguita dal modello in corrente.

Quando aumenta la frequenza, perché aumenta la velocità, si esce fuori dalla banda passante del regolatore, la cui uscita subirà quindi un'attenuazione. Pertanto il termine di correzione in uscita al PI tende a zero.

Si conclude che indipendentemente dall'errore ε, i risultati del modello in corrente non sono più presi in considerazione: la stima del flusso è stabilita solamente dalle operazioni del modello in tensione.

In generale il valore della frequenza di taglio dipende dalla bontà della stima dei parametri induttivi e resistivi, e dalle loro variazioni nel funzionamento della macchina.


Figura 142: Diagramma di Bode di un regolatore PI con Kp = Ki = 1


Azionamenti Elettrici

Documents

Transcript of Azionamenti Elettrici