Aula 3 Matematica II 2015

8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015

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Matemática

Matemática II

Ano acadêmico 2015


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Matemática

Aula 3Integral Indefinida

Ano acadêmico 2015


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Integral Indefnida

Antiderivação e Integração Antiderivação é uma operação que consiste em encontraruma função F(x), cuja derivada F’(x) é uma função

conhecida f(x). Se a função F(x) existir, ea é chamada

antiderivada de f(x).

!xempo

Seja . "ma antiderivada de f(x) é#

, pois

$ostuma%se chamar a operação de antiderivação tam&ém

por inte'ração e a antiderivada de integral.

2)( x x f =

C x x F += 3

3

1)( 2)(' x x F =


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Integral Indefnida

Antiderivação e Integraçãoodas as inte'rais indefinidas devem ter o

compemento “ +C ” em sua soução pois muitas

funçes t*m a mesma derivada+

A inte'ra indefinida é aquea para a qua não foidefinida um intervao de vaores, portanto, ea é

uma função ou famia de funçes+

A inte'ra definida é aquea definida dentro de um

certo intervao e cacuada neste intervao, portanto,ea é um n-mero.


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Integral Indefnida

Integral Indefinida A operação que envove uma inte'ra indefinida consiste em

achar sua primitiva, ou seja, é a mesma operação que

consiste em achar uma antiderivada. que muda então/

A notação0

1ara denotar a inte'ra de uma função passaremos a

utii2ar a se'uinte notação#

Seja . "ma primitiva de f é#

1ois . Assim, a nova notação esta&eece que#

2)( x x f = C x x F += 3

31)(

)()(' x f x F =

c x F dx x f +=

∫ )()(


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Integral Indefnida

2)( x x f =

!xempo

A inte'ra de é# C x

dx x +=∫ 33

2

A inte'ra de é# senx x f =)( C x xdx +−=∫ cossen

A inte'ra de é# C edxe x x +=∫ xe x f =)(

A inte'ra de é# x x f cos)( = C x xdx +=∫ sencos


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Integral Indefnida

Definição simbólica

Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressãoF(x) + C é chamada integral indefinida da

função f(x) e é representada pea expressão#

sm&oo 3dx4 que aparece na f5rmua servepara identificar a vari6ve so&re a qua se

processa a inte'ração.

∫ += C x F dx x f )()(


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Integral Indefnida


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7nte'ra 7ndefinida.

Técnicas de Integração (rimitivação)!b"etivo# Apresentar técnicas para determinar a função F(x) 8

conhecida como primitiva 8 ta que F’(x) 9 f(x) ou#

∫ =F(x)dxf(x)

As principais técnicas de primitivação são#

8 7nte'ração por su&stituição de vari6ve

8 7nte'ração por partes

8 7nte'ração por decomposição em fraçes parciais

8 7nte'ração utii2ando su&stituiçes (por meio de 7dentidades)tri'onométricas


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7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição

asso #$ $onsidere u 9 '(x), onde '(x) é parte do

inte'rando, em 'era 3a função interna4 da função

composta f('(x))

asso %$ $acue du 9 '’(x).dx

asso &$ "se a su&stituição u 9 '(x) e du 9 '’(x).dx para

converter a inte'ra em uma outra envovendo apenas u.asso '$ $acue a inte'ra resutante.

asso $ Su&stitua u por '(x) para o&ter a soução fina

como função de x.

7nte'ração por su&stituição


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xem*lo #

$acuar ∫ + dx2x1)(x 502

ol,ção$ Integração *or s,bstit,ição

Seja , - x% + #

:o'o# %x dx - d,

Assim, a inte'ra dada pode ser escrita como#

2xdx

du=

∫ du(u)50

C51

1)(xC

51

udu(u)

5125150 +

+=+=

∫


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xem*lo %

∫ + dx9)sen(x$acuar ol,ção$ Integração *or s,bstit,ição

Seja , - x + . 1dxdu =

:o'o# dx - d,


∫ dusen(u)

C9)cos(xCcos(u)dusen(u) ++−=+−=

∫


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xem*lo &$acuar


Seja , - sen(x)

:o'o# cos(x) dx - d,


∫ dxcos(x)(x)sen2

cos(x)dxdu =

∫ duu2

C3

(x)sen

C3

u

duu

332

+=+=∫


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xem*lo '$acuar


Seja , -

∫ dxx

e x

x

!ntãox2

1

x

1

2

1x

2

1x

dx

d

dx

du

2

12

1

2

1

===

=

−

:o'o# dxx2

19 d,

Antes da su&stituição, a função dada ser6 escrita de

outra forma.


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∫ ∫ ∫ == dxx2

12edx

x2

2

1

edx

x

e xxx


∫ ∫ = du2edxx2

12e

ux

du2dxx

1dudx

x2

1=⇒=

outra maneira de che'araqui sem manipuar a

função dada é fa2endo

Ce2Ce2due2du2e xuuu +=+== ∫ ∫

u seja Ce2dx

x

e xx

+=∫


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xem*lo $"se o método de su&stituição para encontrar a inte'ra#

ol,ção

8 ;evemos escoher parte da função cuja derivada esteja na função,

como a derivada de sen x - cos x e a derivada do cos x - / sen x,e, am&as estão na função, na d-vida... seecionamos a parte que

est6 no denominador, isto é, cos x.

8 $hamamos , - cos x+

8 A'ora derivamos u com reação a 3x4, portanto# du = -sen x.dx +

8 $omo na função ori'ina a função seno é positiva, &asta mutipicar

am&os os ados por 0# para que ea fique positiva+

dx x

x∫ cossen


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-

xem*lo 1"se o método de su&stituição para encontrar a inte'ra#

ol,ção

$hamamos , - &x+

A'ora derivamos u com reação a 3x4, portanto# du = 3.dx +


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$acuando , temos#

Su&stituindo u peo seu vaor ori'ina, teremos#

∫ duu.cos31

C uduu +=∫ sen.31

.cos3

1

C xduu +=

∫ 3sen.

3

1.cos

3

1


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xem*lo 3

;eterminar ∫ −++ dx6)4xsen(x2)(x 2


Seja u 9 x? @ x 8 B

!ntão#

42xdxdu +=

dx2)(x2dx4)(2xdu +=+=


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Cas#

∫ −++ dx6)4xsen(x2)(x 2

:o'o, seja# dx2)(x2

du

+=

Assim,

∫ ∫ ∫ ==−++ dusen(u)21

2

dusen(u)dx6)4xsen(x2)(x

2

Sa&e%se que#

Ccos(u)dusen(u) +−=∫ A


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!ntão#

C)cos(u)(2

1dx6)4xsen(x2)(x

2 +−=−++∫

C6)4xcos(x2

1dx6)4xsen(x2)(x 22 +−+−=−++∫

1ortanto#


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45C6CI!$

dx x

x∫ +1

22

( )dx x∫ 2cos ydy y 21 2

∫ +

( )dx

x

x∫

2ln ( ) dx x x

102

32∫ + ( ) dx

x

x∫

+ 325

( )dx x x 32 sen∫


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7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por partes.

A inte'ração por partes ir6 se apicar a esses casos em

que a função é constituda por um produto e tam&ém

nos casos em que uma das funçes pode ser derivada

repetidamente e a outra pode ser inte'rada

repetidamente.


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dx x g x f x g x f dx x g x f ∫ ∫ −= )().(')().()(').(

∫ ∫ −= vduuvudv


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xem*lo #$"sando o método da inte'ração por partes, determine#

ol,ção 8 "samos a f5rmua simpificada da inte'ração por partes, fa2endo#

D u = x, du = dx;D v = senx, dv = cosx dx.

8 !ntão#

∫ ∫ −= vduuvudv

∫ ∫ −= dx senx senx xdx x x .cos.

c x senx xdx x x ++=∫ cos.cos.

∫ xdx x cos.


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xem*lo %$acuar ∫ dxex

x ol,çãoIntegração *or *artes

A inte'ra dada deve ser escrita na forma

.Seja, portanto#

dxex x∫

xu = dxedv x=dxdu =

xxx edxevdxedv ==→= ∫ ∫ ∫

!ntão#

;este modo#

Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx +−=−=−== ∫ ∫ ∫ ∫ a constante $ pode ser

incuda apenas no fina.


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xem*lo &$acuar ∫

− dxex x2

Seja#

2xu = dxedv x−= Assim#

dx2xdu =

xxx edxevdxedv −−− −==→=

∫ ∫ ∫ 1ortanto#

2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2

∫ ∫ ∫ ∫ −−− −−−=−==


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ou#

dxex2exdxex xx2x2

∫ ∫ −−− +−=

(E)

A -tima inte'ra é semehante ori'ina, com a exceção deque x? foi su&stitudo por x.

!,tra integração *or *artes apicada a

competar6 o pro&ema.

dxex x

∫

−

Seja#

xu = dxedv x−=


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Assim#dxdu =

xxx edxevdxedv −−− −==→= ∫ ∫ ∫

1ortanto#

dx)e(exduvuvdvudxex xxx

∫ ∫ ∫ ∫ −−− −−−=−==

ou#

1xxxxx

Ceexdxeexdxex +−−=+−= −−−−− ∫ ∫ (?)

Su&stituindo (?) em (E) resuta#


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[ ]

1

xxx2

1xxx2

xx2x2

C2e2ex2ex

Ceex2ex

dxex2exdxex

+−−−=

+−−+−=

+−=

−−−

−−−

−−− ∫ ∫

1ortanto#

Ce)2x2x(dxex

x2x2 +++−= −−

∫


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Integral Indefnida


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