0.1 CAMBI DI SISTEMI DI RIFERIMENTO

Consideriamo un sistema di riferimento formato da tre assi ortogonali tra loro x, y, z. Unpunto in questo riferimento pu essere rappresentato da un vettore xy

z

Consideriamo ora una sfera i cui punti sono espressi in coordinate polari , . Suppo-

niamo che z sia ortogonale al piano di latitudine zero e x intersechi la sfera con il puntoa latitudine zero e longitudine zero. Allora un punto sulla sfera di coordinate polari , rispettivamente longitudine e latitudine avr coordinate cartesiane: xy

z

= coscoscossin

sin

Ora consideriamo ancora il nostro sistema di riferimento x,y,z e supponiamo di vo-

lerlo ruotare di un angolo tenendo fissa lasse delle x. La matrice di rotazione che ciconverte le coordinate x,y,z nelle nuove coordinate x=x,y,z

Rx () =

1 0 00 cos sin0 sin cos

Se vogliamo ruotare rispetto allasse delle y abbiamo

Ry () =

cos 0 sin0 1 0sin 0 cos

Invece rispetto allasse z

Rz () =

cos sin 0sin cos 00 0 1

Ora consideriamo i nostri tre sistemi di riferimento:

Locale - Altoazimutale di coordinate polari Az, a

Equatoriale di coordinate polari ar,

Eclittico di coordinate polari,

E sapendo TS= tempo Siderale, =latitudine del luogo e = 2327, linclinazione delle-clittica, calcoliamo i passaggi da un sistema di riferimento cartesiano allaltro:

Da Riferimento Equatoriale (ar, ) a Eclittico (,) xyz

,

= Rx ()

xyz

ar,

=

1 0 00 cos sin0 sin cos

xyz

ar,

I

Da Riferimento Equatoriale (ar, ) a Locale (Az, z)

xyz

Az,a

= Rz (180) Rx(90 ) 1 0 00 1 0

0 0 1

Rz(TS) xy

z

ar,

Da Riferimento Eclittico (,) a Equatoriale (ar, )

xyz

ar,

= Rx() xy

z

,

Tutte le altre relazioni possono essere facilmente ricavate mischiando queste tre. Dal-le coordinate cartesiane relative si possono risalire alle coordinate polari relative facendosemplicemente: xy

z

ar,

= arctan(y/x) = arcsin(z)Dunque abbiamo un modo semplicissimo (finch lo esegue il calcolatore) per trasfor-

mare qualsiasi coordinata celeste in qualsiasi altra. Il vantaggio non formale nel sensoche da un punto di vista di conti se dovessimo eseguirli a mano non avremmo alcunvantaggio rispetto alla conversione con la trigonometria sferica, ma intellettivo ovve-ro non dobbiamo risolvere caso per caso il problema ma semplicemente applicare deicalcoli che vanno sempre bene e che ci danno sempre il risultato esatto. Ovvero questosarebbe un sistema ottimo da implementare su un calcolatore. Vediamo come questopu aiutarci nei problemi a noi noti, ad esempio nella domificazione:

0.2 DOMIFICAZIONE

Per domificare noi intersechiamo leclittica con delle sbarre curvilinee di equazioni (espres-se in coordinate azimuthali o locali)(

Az, sinAz tan )dove = 30, 60, 90...un punto espresso in coordinate polari locali ha componenti x, y, z xy

z

Az,a

=

cosacosAzcosasinAzsina

Ovvero le sbarre hanno componenti cartesiane xy

z

Az,a

=

cos (sinAz tan) cosAzcos (sinAz tan) sinAzsin (sinAz tan)

Ora convertiamo le coordinate delle sbarre in coordinate eclittiche (,),

II

xyz

,

= Rx () Rz(TS)

1 0 00 1 00 0 1

Rx( 90)Rz(180) xy

z

Az,a

Bisogna ora ricordarci che tutte queste matrici sono perfettamente determinate per-ch dipendono da parametri che gi abbiamo, lunico parametro che ci manca Az. Allafine avremo le coordinate eclittiche delle sbarre per sempre in funzione di ovvero infunzione dellazimuth. Se noi avessimo il punto azimuthale in cui le sbarre intersecanoleclittica avremmo finito, perch basterebbe sostituire alle x e y dipendenti dallazimuth,il valore dellazimuth che ci interessa e facendo larcotangente avremmo la longitudineche cerchiamo. Tuttavia il nostro azimuth ha una particolarit: esso lunico ad averelatitudine zero, dunque z=0. Quando noi avremo sostituito i parametri sopra con nume-ri arriveremo ad avere per la coordinata zeta unequazione di questo tipo: chiamiamow=sinAz

Acos(a w)w = Bsin(a w)wda cuitan(a w) = A/B, facendo larcotangente ricaviamo a w, dividendo per a ricaviamo

sinAz e facendo larcoseno ricaviamo Az. A questo punto sostituiamo Az nelle formu-le di x e di y oppure ancora pi semplicemente riconvertiamo le coordinate azimuthalitrovate in coordinate eclittiche ed otteniamo la longitudine cercata. Per il momento nonci spingiamo oltre perch come vedremo questo non risulta essere altro che un caso par-ticolare di un caso pi generale che risolveremo esplicitamente pi avanti nel calcolodelle direzioni primarie canoniche. Ora, alla luce di questi calcoli ci si potrebbe do-mandare quale sia lutilit di domificare utilizzando le matrici di rotazione. Lutilit molto semplice: partendo dallidea che i calcoli non li compie luomo ma il computer,il programma risultante molto pi elegante in struttura in quanto utilizza le stesseprocedure per convertire qualsiasi tipo di coordinate in qualsiasi altre (anche per altrisistemi di riferimento non inclusi tra i presenti) e le stesse equazioni formali permettonodi domificare secondo un qualsiasi piano o orbita. Il potere di queste formule in effetti quello di sintetizzare e generalizzare le formule che caso per caso avevamo trovato conla trigonometria sferica.

0.3 DIREZIONI PRIMARIE

Vediamo un attimo un metodo non semplice ma molto significativo per calcolare le Di-rezioni Primarie, questo metodo infatti ci permette anche di domificare secondo unaqualsiasi orbita planetaria o stellare. Avevamo detto che secondo il metodo standerdper il calcolo delle direzioni primarie si faceva una proporzione, si considerava il tempoche ci metteva una stella a culminare al MC o al FC si faceva una proporzione temporalecon il percorso dellaltra stella e si aspettava che il significatore arrivasse nella posizio-ne omologa e proporzionale del promettitore. Questo modo di ragionare necessitava diconoscere il tempo che ci metteva una stella a culminare nel cielo, inoltre causava alcuniproblemi teorici (per lo pi ignorati) nel caso in cui una stella si trovava sopra lorizzon-te e unaltra sotto. Il nostro metodo invece si basa su unosservazione (che la stessaformulata per la domificazione di Placido): I cerchi massimi che vanno da Nord a Sud

III

stabiliscono i punti omologhi e proporzionali del corso degli astri. Mi spiego meglio:se una stela si trova a un terzo del suo cammino per la culminazione, allora tracciandoun cerchio massimo che va da Nord a Sud troviamo tutte le stelle che sono a un ter-zo del proprio tragitto. Il nostro problema dunque si risolve nel sapere quale di questicerchi massimi interseca il nostro promettitore e quanto tempo ci mette il significatoread intersecare lo stesso cerchio massimo. Per trovare langolo che rapprsenta lango-lo del cerchio massimo intersecato dal promettitore basta considerare un passaggio dicoordinate ottenuto facendo ruotare 90- il sistema equatoriale celeste. La matrice dirotazione che segna questo cambiamento : x1y1

z1

1,1

= Rx(90 ) xpyp

zp

ar1,1

sviluppando le equazioni risulta che1 = arctan(y1/x1)Ora abbiamo langolo che rappresenta il cerchio massimo da Nord a Sud che inter-

seca il promettitore. Ora noi vogliamo trovare lAscensione Retta del significatore taleche pur mantenendo fissa la sua declinazione incontra lo stesso cerchio meridiano NordSud ovvero ha uguale x2y2

z2

2,2

= Rx(90 ) xsys

zs

ar2,2

2 = arctan(y2/x2)Noi vogliamo che 1 = 2ovveroarctan(y1/x1) = arctan(y2/x2)In particolare questo vero quando (y1/x1) = (y2/x2)Sviluppando le equazioni risulta che questa condizione significa (indicando 90

= )

cos1cosar1coscos1sinar1 + sinsin1

=cos2cosar2

coscos2sinar2 + sinsin2

Tramite passaggi standard e chiamandot = cos2cosar2 e = coscos1sinar1 + sinsin1otteniamo unequazione di secondo grado:

0 = (2cos2 + 1)t2 + 2sinsin2t+ 2(sin2sin22 cos2cos22)Questa equazione ha due soluzioni t1 e t2. Per trovare lascensione retta delle due

soluzioni corrispondenti si fa

art1 = arcos(t1/cos2)

art2 = arcos(t2/cos2)

IV

In generale solo una di queste due soluzioni quella giusta (per vedere quale bastacontrollare se il punto di ascensione retta art1 e declinazione quella del significatoreha uguale a quella del promettitore dopo il cambio di coordinate precedentementespecificato)

Una volta determinata quale delle due soluzioni quella giusta, la direzione datada

dir = art1Ar(S)(supponendo che quella giusta sia art1)Consideriamo ora di voler trovare le intersezioni di un pianeta P con le cuspidi del-

le case. Seguendo lo stesso procedimento di prima troveremo lascensione retta dellacuspide della casa ponendo

= (Ar(MC) + 90 + arcsin(tan()tan(declP)) + 30, 60etc. . .

0.4 STELLE UNA SOTTO LALTRA LOCALMENTE

Vediamo un attimo le direzioni primarie secondo la metodologia alternativa: supponia-mo di voler dirigere un punto S su un punto P e supponiamo di avere le coordinateeclittiche di esse. Per prima cosa troviamo le coordinate equatoriali e le coordinate azi-muthali dei due. Noi siamo interessati a trovare il punto S che ha azimuth= allazimuthdi P e declinazione uguale alla declinazione di S. xy

z

ar,

= Rz(TS)

1 0 00 1 00 0 1

Rx( 90)Rz(180) xy

z

Az,a

Supponiamo ora che lAzimuth sia zero, in questo caso svolgendo i calcoli otterrem-mo un equazione per la coordinata z che ci dice:

sin = coscosa+ sinsinaSupponiamo ora che sin sia zero. Allora

tan a = cot

ovvero a= arctan(cot). Una volta trovata laltezza del punto S abbiamo azimuthe altezza e possiamo convertire in declinazione ed ascensione retta, lascensione rettarisultante la direzione che ci interessa. Si pu obiettare che per n lazimuth n ladeclinazione devono essere nulli, ma questo un problema da poco in quanto perchla declinazione fosse nulla abbiamo semplicemente ruotato i vettori con Rx() abbiamoottenuto laltezza per questo sitema ruotato, basta ruotarlo di Rx(-) ed otteniamo lal-tezza per il sistema di declinazione non nulla. Per avere lazimuth zero avevamo ruotatolungo lasse z di Rz(Az), basta ruotare nuovamente per Rz(-Az) ed otteniamo lazimuthe laltezza del punto S. Quindi le coordinate locali del punto S sono date da: xy

z

Az,a

= Rz(Az(p))Rx() cosacosAzcosasinAz

sina

dove a = arctan(cot()). Una volta trovate le coordinate locale basta convertirle in

equatoriali con la formula

V

xyz

ar,

= Rz(TS) 1 0 00 1 0

0 0 1

Rx( 90)Rz(180) xy

z

Az,a

e lascensione retta data daarctan(y/x).

VI