Aspettative razionali e modelli dicrescitaDispense per il corso di Macroeconomia M (A.A. 2014/2015)

Vittoria Cerasi�

Contents

1 Introduzione ai modelli con aspettative razionali 21.1 Aspettative razionali ed equilibri stazionari . . . . . . . . 2

2 La dinamica della curva dei rendimenti 32.1 Relazione tra tassi di interesse a lunga e a breve . . . . . 32.2 Il modello IS-LM dinamico (di economia chiusa) . . . . . 42.3 Analisi gra�ca della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 E¤etto di politiche economiche anticipate e non anticipate 7

3 Modello di crescita (Solow) 133.1 Modello di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Modello con progresso tecnico . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Modello con sentiero di consumo ottimale (Ramsey) 174.1 Golden rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Golden rule modi�cata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Modello a generazioni sovrapposte 225.1 Il modello di Diamond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 Modello con eredità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Sistemi di previdenza sociale . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Debito pubblico e equivalenza ricardiana . . . . . . . . . 31

A Introduzione ai diagrammi di fase 35�Sono particolarmente grata ad Alberto Peretti per aver contribuito coi suoi com-

menti puntuali a migliorare il contenuto della parte relativa ai digrammi di fase.

1

1 Introduzione ai modelli con aspettative razionali

Per analizzare l�impatto delle politiche economiche sui principali aggre-gati economici è conveniente utilizzare un modello IS-LM dinamico incui si introducono esplicitamente le aspettative. Le aspettative costitu-iscono infatti uno degli elementi dinamici che spiegano l�aggiustamentodelle variabili macreconomiche da un equilibrio all�altro. Per fare questoutilizzeremo l�apparato dei diagrammi di fase, metodo che ci consentedi analizzare le proprietà dinamiche dei sistemi di equazioni di¤erenzialisenza dover ricorrere alla soluzione analitica.

1.1 Aspettative razionali ed equilibri stazionariNella letteratura economica due sono le ipotesi che si fanno sul meccan-ismo di formazione delle aspettative degli agenti: 1) aspettative adattive,2) aspettative razionali. Le aspettative adattive si formano guardandoalla storia passata dell�economia (in realtà l�ipotesi più comune è chele aspettative si formano prendendo in considerazione un solo periodoprecedente tra tutti quelli del passato dell�economia) e sono perciò dette�backward looking�(che guardano all�indietro). Le aspettative razionaliinvece presuppongono che i) gli individui sappiano anticipare l�equilibriodel sistema economico e ii) non commettano errori sistematici nelle previ-sioni. Questo implica che siano in grado di formulare aspettative tenendoconto di tutti gli elementi del sistema economico, comprese le regole dipolitica economica1 e sappiano risolvere le equazioni che descrivono il sis-tema economico trovando la soluzione di equilibrio. Queste aspettativesono dette �forward looking�(che guardano in avanti). Le aspettativerazionali, insieme all�ipotesi che il sistema economico sia descritto da unSED, implicano che la soluzione di equilibrio sia un punto di sella. Ilpunto di sella ha infatti la caratteristica di essere stabile rispetto ad unadelle variabili e instabile rispetto all�altra. La variabile, la cui soluzionepresenta instabilità, è quella su cui gli individui formano aspettativerazionali. L�aggiustamento del sistema prevede che la variabile stabile simuova con gradualità verso l�equilibrio, mentre la variabile instabile siaggiusti istantaneamente in modo da convergere univocamente e senzaerrori al nuovo equilibrio.Per questo si de�niscono variabili ��essibili�quelle su cui si formano

1A questo proposito è utile menzionare l�argomento della critica di Lucas cheriguarda la valutazione dell�impatto delle politiche economiche. In un modello conaspettative razionali i parametri strutturali del modello dipendono dalle regole dipolitica economica. E quindi, se per fare previsioni sull�impatto di una nuova regoladi politica economica si utilizzasse una stima dei coe¢ cienti di un modello, stimatisulla base delle vecchie regole di politica economica, si otterrebbero risultati nonattendibili.

2

le aspettative, mentre variabili �predeterminate�quelle che dipendonodal loro valore passato.

2 La dinamica della curva dei rendimenti

Per iniziare introduciamo la dinamica nella curva dei rendimenti conlo scopo di studiare l�impatto delle politiche economiche sulla strutturadei tassi di interesse. Come si vedrà la curva dei rendimenti si sposta inogni istante successivo all�annuncio o all�implementazione di una politicaeconomica.

2.1 Relazione tra tassi di interesse a lunga e a breveSupponiamo che vi siano due soli titoli: un titolo a breve con rendimentoistantaneo r(t) e un titolo a lunga (irredimibile) che paga una cedola ccostante in ogni istante. Per confrontare i due titoli dobbiamo calcolareil rendimento del titolo a lunga. Il prezzo di un titolo pB(t) con cedolairredimibile c è dato dal suo valore attuale, ovvero

pB =c

1 +R

�1 +

1

1 +R+

1

(1 +R)2+ :::

�Dentro parentesi si ha una serie geometrica di ragione < 1 che con-verge a 1+R

R; mentre il prezzo pB converge a c

R: Da questo ricaviamo che

il rendimento istantaneo di un titolo irredimibile è R(t) = cpB(t)

. Inve-stire in un titolo a lunga garantisce oltre al rendimento istantaneo R,omettendo l�indice temporale, un pro�tto (o una perdita in conto cap-itale) per il fatto che, in caso il titolo venisse venduto, il suo prezzo èsalito rispetto al periodo precedente, p0B > 0 (o viceversa p0B < 0 se ilsuo prezzo è sceso). Per brevità d�ora in poi indicheremo con un pallinosopra la variabile, cioè

�x; la variazione nel tempo della variabile x, ovvero

x0(t): Il rendimento totale del titolo a lunga è allora dato dalla somma delsuo rendimento istantaneo e dai guadagni (o perdite) in conto capitale:

c

pB+

:pBpB

(1)

Dalla relazione tra prezzo del titolo a lunga e suo rendimento istan-taneo possiamo ricavare il termine relativo ai guadagni in conto capitale.La derivata rispetto al tempo di pB è data da

�pB =

d

dt

� cR

�=

�cR�

�Rc

R2

poichè la cedola non varia nel tempo�c = 0; sostituendo la de�nizione di

prezzo del titolo pB si ottiene che:pBpB: = �

:RR: Tenendo conto del risultato

3

appena trovato e sostituendo al posto del primo termine la de�nizionedi rendimento istantaneo, il rendimento di un titolo a lunga è dato da:

R�:

R

R(2)

L�equilibrio sul mercato dei titoli, in assenza di costi di transazionee con operatori neutrali al rischio, richiede che ogni opportunità di ar-bitraggio venga sfruttata. In equilibrio dunque i rendimenti dei titoli abreve e di quelli a lunga dovranno essere uguali. Si ricava dunque laseguente condizione di arbitraggio:

:

R

R= R� r (3)

La condizione di arbitraggio è in realtà un�equazione di¤erenziale chespiega la relazione tra i tassi di interesse a breve e i tassi di interesse alunga. Riscriviamo la relazione tra i tassi di interesse come:

R = r +

:

R

R

Questa condizione ci dice che il rendimento dei titoli a lunga deveuguagliare quello dei titoli a breve ogni qualvolta il rendimento dei titolia lunga, o il prezzo dei titoli a lunga, non varia. L�ultimo termine vain realtà interpretato come variazione attesa del rendimento dei titoli alunga. La relazione perciò può essere così interpretata: se non vi fosseroguadagni attesi (o perdite attese) in conto capitale, allora il rendimentodei titoli a lunga deve coincidere con quello dei titoli a breve. Se invececi si attende che il prezzo dei titoli a lunga salirà (diminuzione dei rendi-menti in futuro) allora il rendimento istantaneo dei titoli a lunga saràinferiore a quello dei titoli a breve.

2.2 Il modello IS-LM dinamico (di economia chiusa)Il modello IS-LM descrive il comportamento degli operatori sul mercatodei beni e della moneta. In particolare sul mercato dei beni la domandaaggregata yD è data dalla seguente funzione:

yD = cy � �R + g (4)

dove y indica il reddito aggregato, R il tasso di interesse a lungae g un indicatore della politica �scale. Il primo termine rappresentail consumo aggregato, mentre il secondo termine cattura l�impatto deltasso di interesse sugli investimenti. Il tasso di interesse è quello di lungoperiodo, perchè l�orizzonte temporale delle decisioni di investimento è il

4

lungo periodo. In�ne g è un indicatore dell�impatto del disavanzo dibilancio pubblico sulla domanda aggregata.Sul mercato della moneta l�equilibrio tra o¤erta e domanda di mon-

eta, rappresentato dalla LM, è dato da:

m� p = ky � hr (5)

dovem rappresenta l�o¤erta nominale di moneta, p il livello dei prezzie r il tasso di interesse a breve. Il lato destro della LM si basa sull�ipotesiche la domanda di moneta dipenda direttamente dal livello del redditoe inversamente dal tasso di interesse. Il tasso di interesse rilevante inquesto caso è il tasso a breve, in quanto rappresenta il costo opportunitàdi tenere la propria ricchezza in forma liquida, per esempio su un contocorrente la cui remunerazione è legata ai tassi di interesse a breve. Perquanto riguarda il lato sinistro della LM invece di avere il rapportotra o¤erta nominale di moneta e livello dei prezzi, abbiamo la formalogaritmica di tale rapporto. Questa variante sempli�ca l�analisi senzamodi�care i risultati.Dobbiamo ora introdurre la dinamica nel modello. Supponiamo che

la produzione si aggiusti gradualmente agli eccessi di domanda aggre-gata, ovvero che y vari secondo la seguente equazione di¤erenziale:

:y = �(yD � y) (6)

Per quanto riguarda i tassi di interesse la loro dinamica è data dallacurva dei rendimenti (3) introdotta nel paragrafo precedente. A questopunto il modello IS-LM dinamico è composto dalle equazioni (3) - (6)che de�niscono la dinamica dell�economia nelle due variabili (y;R): Sinoti che in questo modello y è la variabile �predeterminata�il cui com-portamento futuro dipende unicamente dal comportamento passato delsistema economico, mentre R è la variabile ��essibile�il cui comporta-mento dipende dalle aspettative sul futuro equilibrio del sistema.

2.3 Analisi gra�ca della dinamicaPassiamo ora all�analisi del diagramma di fase de�nito dalle due equazionidi¤erenziali ottenute risolvendo il sistema (3)-(6), ovvero:

�y= � [g � �R� (1� c)y] (7)�R

R=R� k

hy +

(m� p)h

(8)

5

L�equilibrio stazionario si trova imponendo:y =

:

R = 0: Dalla (7), quando:y = 0 si ottiene:

y = � �

1� cR +1

1� cg (9)

Questa retta rappresenta la relazione tra reddito e tasso di interessedi lungo periodo per cui si ha equilibrio nel mercato dei beni, altri-menti nota come IS. La relazione tra reddito e tasso di interesse di lungoperiodo è negativa e rispecchia l�usuale relazione inversa tra tasso di in-teresse e domanda aggregata sul mercato dei beni, generata attraverso lacomponente degli investimenti. Un tasso di interesse minore comportainvestimenti più elevati e dunque una domanda aggregata, a cui segueun livello di produzione, maggiore.Possiamo rappresentare questa relazione in un gra�co tra R e y nella

�gura 1.

Fig.1

Alla destra della retta stazionaria:y = 0 (che indichiamo d�ora in

avanti con IS), a parità di R; un reddito più elevato, corrisponde ad uneccesso di o¤erta, e quindi la produzione si riduce nel tempo,

:y < 0:

Viceversa alla sinistra della retta stazionaria:y > 0:

Passiamo ora all�equilibrio stazionario per il tasso di interesse. Quando:

R = 0 (che indichiamo d�ora in avanti con LM) dalla (3) ne consegue cheR = r: Sostituendo nella (5) otteniamo una relazione diretta tra tassodi interesse a lunga e reddito, che rappresenta l�usuale relazione positiva

6

sul mercato della moneta tra tasso di interesse e reddito, altrimenti notacome LM:

R =k

hy � 1

h(m� p) (10)

Ad un tasso di interesse maggiore, che implica un costo opportunitàmaggiore di detenere moneta, deve corrispondere un reddito più elevato,capace cioè di generare una maggiore domanda di moneta.Possiamo quindi rappresentare sempre nella �gura 1 la relazione

stazionaria tra reddito e tasso di interesse sul mercato della moneta conuna retta inclinata positivamente. Alla destra della LM, a parità ditasso di interesse un reddito più elevato genera una domanda di monetapiù elevata e questo richiede un aumento del tasso di interesse a breve.Dalla (3) però questo comporta che

:

R < 0. La ragione è che un tassodi interesse a breve più elevato rende i titoli a lunga meno appetibili.A parità di R occorre che si generino aspettative di guadagni in contocapitale,

:

R < 0, a¢ nchè i rendimenti dei due titoli siano uguali e nonvi siano opportunità di arbitraggio non sfruttate. Viceversa alla sinistradella retta stazionaria

:

R > 0.Possiamo dunque sistemare le frecce nel diagramma di fase nella

�gura 1. Le traiettorie attraversano la retta stazionaria IS vertical-mente, mentre attraversano la retta stazionaria LM orizzontalmente.Dallo studio delle frecce e delle traiettorie, si ricava che l�equilibriostazionario è un punto di sella attraversato da un unico sentiero sta-bile, che indichiamo con SS, la cui pendenza è positiva.

2.4 E¤etto di politiche economiche anticipate e nonanticipate

A questo punto è possibile studiare l�impatto delle politiche economichesulla produzione e sulla struttura dei tassi di interesse. Le politicheeconomiche entrano nel modello attraverso l�o¤erta nominale di mon-eta m per quanto concerne la politica monetaria e attraverso l�indice gper quanto riguarda la politica �scale. Come già visto, le politiche eco-nomiche hanno un impatto distinto a seconda che la politica economicasia temporanea o permanente. Inoltre le politiche economiche possonoessere previste dagli operatori, perchè anticipate mediante annunci di po-litica economica dalle autorità competenti, oppure non anticipate, per-chè attuate senza preavviso. Vedremo esempi dei diversi tipi di politicheeconomiche iniziando dalla politica monetaria.

Caso 1: Vediamo innanzitutto il caso di una politica monetariarestrittiva inattesa e permanente: supponiamo che al tempo t0 laBanca Centrale riduca, senza preavviso, la base monetaria, provocando

7

una restrizione nell�o¤erta di moneta nominale �m < 0: Nella �gura2 l�equilibrio iniziale è indicato con la lettera A.

Fig.2

In seguito alla stretta monetaria, la curva LM si sposta in alto, di-ventando la curva LM�. L�equilibrio �nale, che indichiamo con B, com-porterà una riduzione di reddito e un rialzo dei tassi di interesse a breve,così come in un modello statico IS-LM. L�elemento nuovo nell�analisi èil processo di aggiustamento da un equilibrio all�altro. Al tempo t0, mo-mento in cui la stretta monetaria si veri�ca, il reddito non varia poichèabbiamo ipotizzato che si aggiusti lentamente nel tempo. La variabileche reagisce immediatamente è il tasso di interesse sui titoli a lunga.Poichè il tasso di interesse a breve è aumentato (lo si legge sulla LM�a parità di reddito yo) e inoltre in futuro sarà pari a r1, ci si aspettache anche il tasso di interesse sui titoli a lunga cresca. Di quanto au-menta al momento della stretta monetaria però dipende dalla dinamicadell�aggiustamento. Il tasso di interesse a lunga salta verticalmente sulnuovo sentiero di sella SS�, incontrandolo nel punto C, in modo da con-vergere in un tempo futuro t0 al nuovo equilibrio B. Come si vede daldiagramma di fase, il rialzo del tasso di interesse a lunga al momentodella stretta monetaria è superiore alla variazione attesa del tasso a brevenel lungo periodo, �r = r1 � r0; ma inferiore alla variazione del tasso abreve nel momento in cui viene attuata la stretta monetaria.Poichè al tempo t0 ; r(t0) > R(t0); occorre infatti che si determinino

aspettative di guadagni in conto capitale a¢ nchè i rendimenti dei titoli

8

a breve e a lunga si equivalgano, ovvero che:

R < 0. Ma un�aspettativadi discesa dei tassi a lunga è giusti�cabile solo se oggi R aumenta più chenell�equilibrio di lungo periodo. Alternativamente, in seguito al rialzodel tasso a breve, poichè ci si attende che i tassi a breve diminuiscanonel lungo periodo, il tasso a lunga aumenta internalizzando questa as-pettativa e dunque l�aumento sarà inferiore a quello del tasso a breve.

Esercizio 1 Si disegni la curva dei rendimenti in ogni istante succes-sivo alla stretta monetaria, mostrando che la curva dei rendimenti haun�inclinazione negativa. Si abbia cura di indicare in un gra�co a parteil livello dei tassi a breve e di quelli a lunga per ogni istante di tempo.

Caso 2: Analizziamo ora una politica monetaria restrittiva per-manente e anticipata. Supponiamo che la Banca Centrale annunciche al tempo t1 intende ridurre la quantità o¤erta di moneta nominaledi �m < 0. Come cambia in questo caso la reazione dei tassi di interessea lunga rispetto al caso precedente? L�e¤etto di lungo periodo è identico,tuttavia il fatto che la stretta sia anticipata comporta un diverso impattosulla struttura dei rendimenti, in particolare la curva dei rendimenti saràinclinata positivamente anzichè negativamente per il periodo successivoall�annuncio. Nella �gura 3 rappresentiamo l�equilibrio iniziale con lalettera A e quello �nale con la lettera B.

Fig.3

9

Al tempo t0 in seguito all�annuncio della Banca Centrale i tassi diinteresse di lungo periodo aumentano, in previsione del rialzo dei tassidi interesse a breve al tempo t1. Di quanto aumentano i tassi a lungadipende dal processo di aggiustamento. Nel lungo periodo il tasso alunga sarà r1: Nel breve il tasso a lunga, a parità di reddito y0, balzaal punto C per andare sulla traiettoria che porta al nuovo sentiero disella SS�, intersecandolo nel punto D al tempo t1. Il tasso di interessea lunga sconta in anticipo il rialzo dei tassi futuri aumentando, anchese meno che proporzionalmente, rispetto al tasso di interesse a breve.L�e¤etto recessivo della stretta monetaria è dunque anticipato proprioper via del rialzo del tasso a lunga. Nonostante la stretta monetaria nonsia ancora e¤ettiva in t 2 [t0; t1) il livello di produzione si riduce, comeappare lungo il sentiero di aggiustamento da C a D.

Esercizio 2 Si ricavi la dinamica della curva dei rendimenti per lastretta di politica monetaria annunciata qua sopra. In particolare simostri come la curva dei rendimenti risulti inclinata positivamente.

Caso 3: Vediamo ora l�e¤etto di una politica monetaria restrit-tiva temporanea e inattesa. Al tempo t0 la Banca Centrale restringel�o¤erta nominale di moneta di �m < 0, ma annuncia anche che altempo t1 l�o¤erta di moneta ritornerà al livello precedente. Il tasso diinteresse di breve periodo dunque subisce un rialzo. Il tasso di inter-esse di lungo periodo però sconterà la temporaneità di questo rialzo. Ciattendiamo dunque che il tasso a lunga aumenti meno che proporzional-mente rispetto ai tassi a breve. Nella �gura 4 mostriamo l�e¤etto dellastretta monetaria temporanea sul tasso a lunga.

10

Fig.4

Al tempo t0 partendo dall�equilibrio iniziale A, la LM si sposta in altodeterminando una nuova intersezione �virtuale�(nel senso che quell�equilibrionon viene mai raggiunto) nel punto B. La dinamica dell�aggiustamentoperò dipende dal sistema IS-LM�. Il tasso a lunga in particolare, datoche il livello di produzione è y0; balza al punto C dove incontra unatraiettoria che interseca il sentiero di sella SS nel punto D al tempo t1,quando cioè la stretta monetaria non sarà più e¤ettiva. Come apparedal diagramma, il tasso di interesse a lunga aumenta al tempo t0; di unamisura inferiore rispetto al tasso a breve (il tasso a breve si legge sullaLM�a parità di y0) scontando cioè il futuro ribasso dei tassi di interessea breve.

Esercizio 3 Si determini la curva dei rendimenti nel caso sopra illus-trato, mostrando come la curva risulti inclinata negativamente tra t0 et1.

Così come nel caso della politica monetaria è possibile applicare glistessi strumenti di analisi per valutare l�impatto dell�altro strumento dipolitica economica, la politica �scale.

Caso 4: Possiamo per esempio analizzare l�impatto di una politica�scale restrittiva attesa e permanente: al tempo t0 il Governoannuncia che in t1 ridurrà il disavanzo �scale di �g < 0. Nella �gura 5indichiamo con A l�equilibrio iniziale, mentre con B l�equilibrio �nale.

11

Fig. 5

Nel lungo periodo i tassi di interesse scenderanno così come il liv-ello della produzione. Il tasso di interesse di lungo periodo diminuiràin anticipo, in previsione del ribasso dei tassi a breve. L�ammontaredella riduzione del tasso di interesse di lungo periodo però dipende dalprocesso di aggiustamento. In particolare il tasso a lunga si ridurrà �noal punto C, a parità di reddito y0, dell�ammontare necessario a raggiun-gere la traiettoria che incrocia il sentiero di sella SS�al tempo t1 per poiconvergere nel lungo periodo al tasso di interesse a breve r1.E�interessante osservare come l�annuncio di una politica �scale re-

strittiva produca un e¤etto espansivo nel breve periodo, ovvero come yaumenti tra C e D a causa di un ribasso del tasso di interesse a lunga.

Esercizio 4 Dimostrate, nel caso sopra esposto, che la curva dei rendi-menti è inclinata negativamente tra t0 e t1 poichè gli operatori si atten-dono un ribasso dei tassi di interesse a breve.

Esercizio 5 Supponete che il Governo senza preavviso riduca il disa-vanzo di bilancio per un periodo limitato, annunciando che la manovraterminerà in t1: Discutete l�impatto di tale politica �scale restrittiva nonanticipata e temporanea sulla curva dei rendimenti e sulla produzione.

Esercizio 6 Supponete che il Governo annunci una politica �scale re-strittiva in futuro, accompagnata però da una politica monetaria espan-siva al �ne di neutralizzare l�e¤etto recessivo della prima. Si mostri come

12

l�impatto di tali politiche economiche possa creare un e¤etto espansivonel breve periodo.

3 Modello di crescita (Solow)

Ci occupiamo ora del modello di crescita di Solow: questo modello èun caso particolare di equazione di¤erenziale a cui possiamo applicarela tecnica dei diagrammi di fase per trovare la soluzione e e¤ettuare lastatica comparata.

3.1 Modello di baseLa produzione totale di un paese può essere rappresentata mediante unafunzione a due fattori (per produrre il bene �nale Y occorre capitale Ke lavoro L):

Y = F (K;L) (11)

La funzione F (:) ha rendimenti di scala costanti (moltiplicando tutti ifattori la produzione varia della stessa proporzione, ovvero F (�K; �L) =�Y ) e rendimenti marginali decrescenti (ovvero variando uno solo deifattori - qua pensando al lungo periodo variamo il capitale - si hanno delleine¢ cienze, ovvero FK(:; 1) > 0; ma ad un tasso decrescente FKK(:; 1) <0). Assumiamo inoltre:

limK!0

FK(K; 1) =1; limK!1

FK(K; 1) = 0

che sono dette le condizioni di Inada.Dalla contabilità nazionale

Y = C + I (12)

con C = cY (funzione di consumo con propensione marginale esogena c)e

I =�K + �K (13)

(dove l�investimento consente di aumentare lo stock di capitale dopo averrimpiazzato lo stock di capitale che si deprezza al tasso �). Si noti che

Y � C = S = sY (14)

Sostituendo la (13), la (14) e la (11) nella (4) si ottiene

�K = sF (K;L)� �K (15)

che è l�equazione dinamica della crescita.

13

Possiamo riscrivere tutto il modello in termini pro-capite. Supponi-amo che la popolazione cresca al tasso n.2 Possiamo riscrivere la funzionedi produzione in (11) in termini di capitale pro-capite k � K

Lcome

y = F (k; 1) � f(k)dove y rappresenta la produzione pro-capite y � Y

Lusando la proprietà

dei rendimenti di scala costanti della funzione di produzione. L�unicopunto su cui fare attenzione è quando calcoliamo il tasso di accumu-lazione del capitale in termini pro-capite, ovvero

�k �

��K

L

�=

0@ �K

L�

�L

L

K

L

1A =

�K

L� nk

da cui sostituendo nella (15) dopo aver diviso tutto per L si ottiene laseguente equazione dinamica

�k = sf(k)� (� + n)k (16)

Possiamo rappresentare l�equazione di¤erenziale (16) con un diagrammadi fase.

Fig. 6

2Se l�intera popolazione N costituisce tutta la forza lavoro e solo la forza lavoro(non ci sono disoccupati, altrimenti N = L + U) allora possiamo dire che anche laforza lavoro cresce al tasso n:

14

Alla sinistra di k� il capitale aumenta nel tempo (poichè sf(k)� (�+n)k =

�k > 0), mentre alla destra si riduce nel tempo. Questo implica che

E è uno stato stazionario stabile: il valore di k� è dato implicitamentedalla seguente espressione

f(k�)

k�=� + n

s

Partendo da un livello di capitale iniziale k0 in un intorno di k� il cap-itale nel tempo converge a k�: Si noti come anche k = 0 sia uno statostazionario, ma instabile.Il tasso di crescita del PIL pro-capite è dato dalla seguente condizione

�y = f 0(k�)

�k (17)

Per de�nizione di stato stazionario�k = 0 e dunque

�y = 0: Ma questo

comporta che il PIL pro-capite cresca allo stesso tasso dello stock di cap-itale pro-capite, e dunque che numeratore e denominatore di K

Lcrescano

nel tempo allo stesso tasso n: Quindi il PIL aggregato cresce al tasso n ,ma il PIL pro-capite non cambia nel tempo. Conclusione, non si spiegala crescita del PIL pro-capite.

Esercizio 7 Supponete che per un cambiamento nelle preferenze deiconsumatori la propensione marginale al risparmio s aumenti. Ditequale impatto ha questa variazione sul tasso di crescita del PIL pro-capite sia transitorio (sul sentiero di aggiustamento) sia permanente(sull�equilibrio stazionario).

Esercizio 8 Considerate la funzione di produzione Cobb-Douglas F (K;L)= K�L1��: Dopo aver ricavato l�equazione dinamica del capitale, calco-late il valore di equilibrio del capitale pro-capite nello stato stazionario.

3.2 Modello con progresso tecnicoIntroduciamo ora il progresso tecnico come un miglioramento costanteche sposta la frontiera produttiva continuamente verso l�alto a parità difattori produttivi. L�ipotesi che viene fatta nel modello di Solow è che ilprogresso tecnico consenta di risparmiare il fattore lavoro mano a manoche il tempo passa. Formalmente si tratta di sostituire nella funzionedi produzione al posto del fattore lavoro L una nuova variabile de�nitacome produttoria di L e del progresso tecnico A (che si suppone crescerenel tempo al tasso g); questa nuova variabile è detta "unità di lavoroe¤ettivo" AL: In altre parole la funzione di produzione è

Y = F (K;AL)

15

Dividendo la (15) non più per L ma per AL, cioè per "unità di lavoroe¤ettive" si ottiene la seguente equazione dinamica

�K

AL= s

Y

AL� � K

AL(18)

Usando la proprietà di rendimenti di scala costanti della funzione diproduzione, otteniamo

Y

AL= F

�K

AL; 1

�che possiamo sostituire nella equazione dinamica. Inoltre è facile ricavareche

��K

AL

�=

�K

AL� (g + n)

�K

AL

�Se ride�niamo tutte le variabili minuscole come rapporto tra la variabilee le unità di lavoro e¤ettivo, si ottiene la seguente equazione dinamicadel processo del capitale per unità di lavoro e¤ettivo

�k = sf(k)� (� + n+ g)k (19)

La rappresentazione gra�ca della dinamica mediante il diagramma difase non cambia se non per la retta che ha ora una pendenza pari a(�+n+ g): Lo stock di capitale pro-capite nello stato stazionario stabileè dato implicitamente dall�espressione

f(k�)

k�=� + n+ g

s

La dinamica del PIL per unità di lavoro e¤ettivo è dato da (17) come

prima. Nello stato stazionario�y = 0 poichè

�k = 0: Questo comporta che

il PIL per unità di lavoro e¤ettivo cresca allo stesso tasso dello stock dicapitale per unità di lavoro e¤ettivo, e dunque che numeratore e denom-inatore di K

ALcrescano nel tempo allo stesso tasso n + g: Quindi anche

se il PIL aggregato cresce al tasso n+ g , il PIL per unità di lavoro e¤et-tivo è stazionario. Il tasso di crescita del PIL pro-capite Y

Lè dato dalla

di¤erenza tra il tasso di crescita del numeratore e quello del denomina-tore, ovvero (n + g) � n: il PIL pro-capite cresce al tasso g: Dunque ilprogresso tecnico esogeno spiega un tasso di crescita del PIL pro-capitediverso da zero in equilibrio (nello stato stazionario). Il modello di Solowprevede dunque che il motore della crescita sia il progresso tecnico, manon spiega perchè in alcuni paesi il progresso tecnico è maggiore rispetto

16

ad altri proprio perchè lo assume esogeno rispetto al sistema economico.In realtà il livello del progresso tecnico dipende dai comportamenti degliattori economici coinvolti, ad esempio dalle scelte delle imprese in mate-ria di Ricerca e Sviluppo (R&S), dal sistema legislativo che protegge leinnovazioni, dal sistema educativo che forma i ricercatori e dalla disponi-bilità di fondi per la ricerca. Studiare gli incentivi di questi attori rende ilprogresso tecnico una variabile endogena del modello economico e aiutaa spiegare perchè il progresso tecnico è diverso da paese a paese. Peresempio il modello di Aghion-Howitt spiega perchè i diversi attori delsistema economico scelgano di avviare il processo di innovazione da cuiscaturisce il progresso tecnico. Il progresso tecnico non viene trattatocome una "manna dal cielo", ma come il risultato delle scelte compiuteda parte di imprese che, bilanciando costi e guadagni attesi, decidonodi investire in R&S. Il comportamento degli attori implicati (imprese,ricercatori e istituzioni) è dettato quindi da motivi di opportunismo eco-nomico. L�obiettivo del modello è di spiegare da cosa dipende il tasso dicrescita del progresso tecnico e perchè di¤erisce tra paesi.

4 Modello con sentiero di consumo ottimale (Ram-sey)

Nel modello di Solow la funzione del consumo è estremamente sem-plice: gli individui consumano una porzione �ssa del proprio redditocorrente che non varia a seconda della fase della vita (ipotesi implicitanella propensione marginale a consumare costante c 2 (0; 1) e di con-seguenza nella propensione al risparmio costante s � 1 � c). In questasezione discutiamo innanzitutto le implicazioni del modello di Solow perla scelta del livello di consumo massimo nello stato stazionario, per poiconfrontarlo con il risultato del modello di Ramsey dove il consumo èscelto in maniera ottimale come sentiero dinamico.

4.1 Golden ruleCalcoliamo ora quale è il livello di consumo massimo nel modello diSolow, ovvero quale valore della propensione al risparmio massimizza ilconsumo nello stato stazionario. Il problema non è triviale perchè con-sumare di più oggi comporta una sottrazione di risorse all�accumulazionedi capitale (si risparmia e si investe di meno in beni produttivi e quindilo stock di capitale domani risulta inferiore) che si ripercuote su un mi-nor livello di PIL domani: il risultato è che domani si consuma di meno.Scegliere un maggior consumo oggi, signi�ca sacri�care il consumo didomani.Per arrivare a determinare il livello di consumo massimo, compat-

17

ibile con l�equilibrio stazionario, si parte dalla de�nizione di consumo

implicito nella curva stazionaria�k = 0, ovvero:

c = f(k)� (n+ � + g)k

Il livello di consumo massimo deve soddisfare la seguente condizione delprimo ordine

f 0(kGR) = n+ � + g

Questa condizione è detta "Golden rule". Dice che il livello di capitalein equilibrio deve essere tale per cui la remunerazione del capitale (che inmercati competitivi corrisponde alla produttività marginale del capitale)sia pari al tasso di crescita della popolazione più il tasso di deprezzamenoe il tasso di progresso tecnico. Se rappresentiamo questa condizioneabbiamo che il consumo è massimo nel punto in cui la pendenza dellafunzione di produzione è uguale a quella della retta che rappresentail tasso di crescita del capitale necessario per mantenere inalterato ilrapporto tra capitale e unità di lavoro e¤ettivo.

Fig. 7

4.2 Golden rule modi�cataLa funzione del consumo del modello di Solow implica che il consumo (edi conseguenza il risparmio) è funzione del solo reddito corrente e quindisoggetto a shock del reddito: se vinco una lotteria consumo di più in quel

18

periodo e non successivamente, così come se rimango disoccupato rinun-cio a consumare �no a quando non percepirò un reddito! Chiaramentequesta ipotesi non cattura il comportamento dei consumatori (e dunquedei risparmiatori) che cercano invece di mantenere un tenore di vita ilpiù uniforme possibile, accantonando in alcuni periodi e decumulando ipropri risparmi in altri.Questo ci porta al modello di Ramsey dove il pro�lo di consumo

è de�nito ottimale da un punto di vista intertemporale, cioè si scegliequanto consumare in ogni periodo compresi i periodi futuri, tenendoconto del reddito complessivo nell�arco di una vita e rendendo così iltenore dei consumi il meno variabile possibile. La funzione di risparmioha l�obiettivo di trasferire reddito da un periodo all�altro proprio perquesto scopo.La parte del modello relativa alla produzione e all�accumulazione

del capitale è quella del modello di Solow con crescita demogra�ca n eassenza di deprezzamento del capitale � = 0, per cui la dinamica delcapitale pro-capite è data da

�kt = f(kt)� ct � nkt (20)

Per quanto riguarda il consumo invece si suppone che il comporta-mento dei consumatori possa essere riassunto dalle scelte di un individuorappresentativo che vive all�in�nito3. L�utilità di questo individuo è fun-zione del suo consumo in ogni periodo u(ct): Inoltre assumiamo che lafunzione sia di¤erenziabile, che u0(ct) > 0 e u00(ct) < 0 e che valgano lecondizioni di Inada

limct!0

u0(ct) =1 , limct!1

u0(ct) = 0;

L�utilità complessiva nel periodo iniziale t = 0 è data dalla sommadell�utilità in tutti i periodi futuri, scontati per il tasso di sconto in-tertemporale � 2 [0; 1] : Questo parametro cattura la preferenza per ilconsumo presente a discapito di quello futuro: se � = 0 non c�è alcunapreferenza per il consumo presente, mentre se � > 0 il consumo futuroha un peso decrescente nella funzione di utilità.

U0 =

Z 1

0

u(ct)e��tdt (21)

Il problema viene risolto secondo il punto di vista del consumatore rap-presentativo. Si tratta di un problema di controllo ottimo, dove occorre

3In questo modello non c�è alcuna fonte di incertezza, nè sul reddito futuro nètantomeno sul momento �nale della vita che renderebbe l�orizzonte temporale delproblema �nito (si veda in Blanchard-Fischer (1996) per una trattazione dello stessoproblema con orizzonte �nito).

19

scegliere il pro�lo di consumo fctg per ogni periodo (variabile di stato)allo scopo di massimizzare l�utilità totale (21), data la variabile di co-stato kt la cui dinamica è determinata in (20) e dato il livello di capitaleiniziale k0:Dal punto di vista matematico, scriviamo la funzione obiettivo per

ogni periodo t

Ht = u(ct)e��t + �t [f(kt)� ct � nkt] (22)

dove �t rappresenta il moltiplicatore della variabile di co-stato.4 La

soluzione richiede di imporre le seguenti condizioni del primo ordine

@Ht@ct

=0 () u0(ct)e��t � �t = 0; (23)

@�t@t=�@Ht

@kt() �

�t = � [f 0(kt)� n]�t (24)

e la seguente condizionelimt!1

kt�t = 0

detta "condizione di trasversalità", che impone uno stock di capitalenell�ultimo periodo nullo a¢ nchè tutto il reddito dell�ultimo periodo siaconsumato.E�comodo ride�nire il moltiplicatore come �t � �te��t: Sostituendo

in (23) si ottieneu0(ct) = �t (25)

Si noti che derivando rispetto al tempo la nuova de�nizione di molti-

plicatore si ottiene che��t =

��te

��t � ��te��t: Sostituendo la derivataprecedente e la nuova de�nizione di moltiplicatore in (24) si ottiene:

��t = � [f 0(kt)� (n+ �)]�t

Usando la (25) si giunge �nalmente ad un�equazione dinamica nel con-sumo

�ctct=

1

�(ct)[f 0(kt)� (n+ �)] (26)

dove �(ct) � �u00(c)cu0(c) è una misura della curvatura della funzione di

utilità (elasticità dell�utilità marginale del consumo). In�ne sostituendola nuova de�nizione del moltiplicatore nella condizione di trasversalitàotteniamo

limt!1

ktu0(ct)e

��t = 0 (27)

4Si rimanda ai testi come Intriligator M. "Mathematical Optimization and Eco-nomic Theory", Prentice Hall, 1991 per i riferimenti matematici.

20

che, date le condizioni di Inada, impone che ct > 0:Il sistema di equazioni di¤erenziali che de�nisce la dinamica eco-

nomica è dato dalle due equazioni (20) e (26). Possiamo rappresentaregra�camente il sistema mediante un diagramma di fase. Le due curvestazionarie sono così de�nite:

�c=0 :

c

�(c)[f 0(k)� (n+ �)] = 0 (28)

�k=0 : f(k)� nk � c = 0 (29)

Nel diagramma qua sotto si mostra che la curva�c = 0 è una retta

verticale che non dipende dal consumo, mentre la curva�k = 0 è una

curva concava con due intersezioni con l�asse orizzontale.

Fig. 8

L�equilibrio stazionario è dato dall�intersezione delle due curve stazionarie.In quel punto la condizione che si veri�ca è

f 0(k�) = n+ �

con k� < kGR poichè il tasso di preferenza intertemporale, qualora � > 0;fa preferire il consumo presente al consumo futuro, questo comporta un

21

minor accumulo di capitale rispetto a quello richiesto dalla Golden Rule.Come conseguenza in equilibrio il livello di consumo è

c� = f (k�)� nk� < cGR

cioè minore di quello che massimizza i consumi. Studiamo ora la di-namica dell�aggiustamento. Prendiamo la curva stazionaria

�c = 0 :

essendo il lato sinistro dell�equazione (28) decrescente nel capitale, allasinistra della retta verticale, cioè per k < k�; il consumo cresce neltempo e viceversa alla destra della retta. Per quanto riguarda la curva

stazionaria�k = 0 : essendo il lato sinistro dell�equazione (29) decres-

cente nel consumo, sotto la curva il capitale cresce e viceversa sopra lacurva. Il sentiero stazionario che attraversa il punto in cui le due curvestazionarie si intersecano è inclinato positivamente. Si tratta di un puntodi sella dove partendo da un livello di capitale iniziale k0 si raggiungel�equilibrio stazionario dove il PIL cresce allo stesso tasso di crescitadel modello di Solow (in questo caso ad un tasso nullo, non essendociprogresso tecnico).

5 Modello a generazioni sovrapposte

Unmodo alternativo per spiegare come gli individui risparmino (e dunqueconsumino) durante la loro vita è quello di immaginare che non ci sia unconsumatore rappresentativo che vive all�in�nito, ma che ogni individuoviva un numero �nito di periodi attraversando diverse fasi nella sua vita(la fase lavorativa e quella da pensionato) e che in queste fasi il compor-tamento in termini di risparmio cambia. L�idea è di derivare la funzionedi risparmio ottimale in un modello dove convivono generazioni diverse:questo tipo di modello si chiama "overlapping generations" (OLG), cioèa generazioni sovrapposte.

5.1 Il modello di DiamondIn questa sezione presentiamo un modello in cui gli individui vivono perdue periodi e in ogni periodo convivono due età i "giovani" e i "vec-chi": mentre i giovani lavorano e guadagnano, i vecchi vivono dei lororisparmi. Possiamo rappresentare la sovrapposizione delle generazioninel diagramma qua sotto. Indichiamo con "1" la variabile riferita ai gio-vani e con "2" la variabile se riferita ai vecchi. Il consumo dei giovanial tempo t è dunque c1t, mentre quello dei vecchi è c2t. Per il restol�economia è esattamente quella del modello di Solow senza progressotecnico e con crescita demogra�ca. Supponiamo infatti che i giovani altempo t siano n in più rispetto ai vecchi al tempo t-1, ovvero che i gio-vani siano Lt = (1 + n)Lt�1 dove Lt�1 è la numerosità dei vecchi nati altempo t-1.

22

Scriviamo ora l�utilità del consumo della generazione nata nel periodot, nell�ipotesi sempli�catrice che sia separabile nei due periodi

u(c1t) +1

1 + �u(c2;t+1) (30)

dove � 2 [0;1) misura il saggio di preferenza intertemporale (soggettivoma uguale per tutti gli individui5) tra consumo al tempo t e consumoal tempo t+1: se � = 0 l�individuo è indi¤erente tra consumare in to in t+1, mentre quanto maggiore è � tanto maggiore è la preferenzadell�individuo a consumare nel presente a discapito del consumo futuro.Il vincolo di bilancio è dato dal consumo massimo raggiungibile nel pe-riodo t date le risorse disponibili:

c1t = wt � st (31)

dove wt rappresenta il reddito da lavoro quando l�individuo è giovane,mentre st è il risparmio che può essere investito per generare un redditonel periodo successivo quando l�individuo è in pensione e non ha unreddito da lavoro; nel periodo successivo dunque il vincolo di bilancio èdato da

c2;t+1 = st(1 + rt+1) (32)

Il tasso di interesse generato dal risparmio è rt+1: si suppone infatti cheil risparmio venga usato per costituire lo stock di capitale del periodosuccessivo e contribuire quindi alla produzione del periodo t+1. Comevedremo in seguito, la produttività marginale del capitale è posta ugualeal tasso di interesse, quando i mercati dei fattori sono concorrenziali.Il sentiero del consumo ottimo, ovvero la scelta di c1;t e c2;t+1 che

massimizzano l�utilità in (30) sotto i vincoli (31) e (32) può essere sem-plicemente ricondotta alla scelta del livello di risparmio dopo aver sos-tituito i due vincoli nella funzione di utilità. Si ottiene pertanto una

5Potrebbe tuttavia essere diverso dal tasso di preferenza intertemporale di unsocial planner, ovvero il � del modello di Ramsey. Infatti il social planner non viveper due soli periodi, ma ha a cuore tutte le generazioni future essendo il suo orizzontein�nito. Discutiamo in seguito le di¤erenze tra il modello OLG con orizzonte �nitoe la soluzione del modello di Ramsey.

23

funzione da massimizzare rispetto a st

u(wt � st) +1

1 + �u [st(1 + rt+1)]

da cui discende la condizione del primo ordine

u0(c1t) =1 + rt+11 + �

u0(c2;t+1) (33)

Questa condizione ci dice quante unità di consumo futuro aggiuntiveoccorrono perchè si rinunci ad un�unità di consumo oggi: rinunciare alconsumo oggi signi�ca una riduzione di utilità misurata dalla derivatau0; a fronte di questa rinuncia l�aumentata utilità di un consumo futuropotrebbe controbilanciare questo costo, ma occorre tener conto del rendi-mento del risparmio al netto del tasso di sconto sul futuro dato da �: Solose � = rt+1 si ha un perfetto bilanciamento tra rinuncia oggi e consumofuturo, altrimenti se � > rt+1 il sacri�cio richiede un incremento più cheproporzionale del consumo futuro.Scegliamo una forma funzionale speci�ca per la funzione di utilità,

ovvero u(c) = log c per poter ottenere una soluzione analitica del mod-ello. In questo caso la condizione del primo ordine diventa

c1t =1 + �

1 + rt+1c2;t+1 (34)

Sostituendo il livello di consumo nei due periodi dai vincoli stringenti(31) e (32), si ricava la funzione di risparmio ottimale

s�t =wt2 + �

(35)

dove la propensione marginale a risparmiare varia tra zero e 0.5. Sos-tituendo la funzione di risparmio ottimale nei due vincoli stringenti dicui sopra, ricaviamo il sentiero di consumo ottimale

c�1t =1 + �

2 + �wt; c

�2;t+1 =

1 + rt+12 + �

wt

da cui si ricava che il sentiero del consumo individuale è uniforme solose � = rt+1:Aggregando su tutti gli individui dell�economia, poichè il risparmio

viene investito nell�acquisto di capitale necessario per la produzione altempo t+1, lo stock di capitale di cui l�economia dispone è dato da

St = Kt+1

24

dove le variabili maiuscole si riferiscono alle variabili aggregate, ottenutecioè facendo la somma per tutti gli individui. Dividendo entrambi i latiper il numero di giovani al tempo t, Lt, e dopo aver moltiplicato nu-meratore e denominatore del lato destro per Lt+1; otteniamo l�equazionedinamica

st = (1 + n)kt+1 (36)

dove le lettere piccole rappresentano le variabili in termini pro-capite.Ora consideriamo il lato produttivo del sistema economico rappre-

sentato da una generica funzione di produzione F (Kt; Lt) dove Kt è lostock di capitale generato dal risparmio della generazione di giovani altempo t-1 e Lt è la forza lavoro che corrisponde al numero di individui inetà di lavoro al tempo t (anche qui come nel modello di Solow si supponeche tutti i giovani siano occupati).Trattiamo il sistema economico come un�unica impresa che mas-

simizza i pro�tti�t = F (Kt; Lt)� wtLt � rtKt

Usando la proprietà di rendimenti di scala costanti nella produzionepossiamo riscrivere la funzione di pro�tto come

�t = Ltf(kt)� wtLt � rtKt

La condizione per l�impiego ottimale dei fattori produttivi in mercaticoncorrenziali, richiede che l�impresa massimizzi i pro�tti prendendocome dati i prezzi dei fattori produttivi, ovvero che le seguenti condizionidi primo ordine siano soddisfatte

@�

@Lt= f (kt)� f 0(kt)kt � wt = 0 (37)

@�

@Kt

= f 0(kt)� rt = 0 (38)

L�equilibrio del sistema economico è caratterizzato dalla soluzione alsistema di equazioni (35), (36),(37) e (38). Anche qui per ottenereuna soluzione analitica dell�equilibrio dinamico, scegliamo una formafunzionale speci�ca per la funzione di produzione, ovvero la funzioneCobb-Douglas f(kt) = Ak�t con � 2 (0; 1):In questo caso speci�co sostituendo nelle due condizioni del primo

ordine otteniamo

�Ak��1t = rt (39)

(1� �)Ak�t =wt (40)

25

Figure 1: Fig. 9

Sostituiamo la (40) nella funzione di risparmio (35) e otteniamo

s�t =A(1� �)2 + �

k�t

A questo punto basta sostituire l�espressione ottenuta nella (36) e siottiene un�equazione alle di¤erenze del capitale che esprime la dinamicadel sistema economico

kt+1 =(1� �)

(2 + �)(1 + n)Ak�t

Possiamo rappresentare gra�camente l�equazione alle di¤erenze nel dia-gramma sottostante.

L�equilibrio stazionario per cui kt+1 = kt, la cui esistenza è garantitadalla condizione dkt+1

dkt< 1; che nel nostro caso risulta essere sempre

soddisfatta6, implica un livello di capitale pari a

k� =

�(2 + �)(1 + n)

(1� �)A

� 1��1

6Occorre dimostare che dkt+1dkt

= (1��)(2+�)(1+n)f

0(kt) < 1: Se entrambi sono minori di1, il risultato consegue. Per quanto riguarda il primo multiplo, basta mostrare che(1 � �) < (2 + �)(1 + n): Questo è senz�altro vero per � = 0 e dunque a maggiorragione per un � > 0: Per il secondo termine, poichè il prodotto marginale del capitaleè uguale al tasso di interesse, esso è per de�nizione minore di uno.

26

Se sostituiamo questo livello di capitale nella condizione (39) si ottieneil tasso di interesse nell�equilibrio stazionario

r� =�

(1� �)(2 + �)(1 + n)

E�facile vedere che questo tasso di interesse non soddisfa la Golden Ruleperchè r� 6= n: Ricordiamo che il livello di capitale della Golden rulesoddisfa la condizione f 0(kGR) = n ed è dato dal livello che garantisce ilmassimo livello di consumo a tutte le generazioni nello stato stazionario.In generale possono veri�carsi due casi:

� r� > n : si tende a consumare troppo e ad accumulare poco capitaleper cui il livello di capitale in equilibrio è minore di quello dellaGolden rule;

� r� < n : si tende a risparmiare troppo e ad accumulare troppocapitale per cui il livello di capitale di equilibrio è maggiore diquello della Golden rule.

Le soluzioni sono diverse nei due casi. Nel primo caso, poichè k� <kGR la prima generazione dovrebbe incominciare a risparmiare di piùper consentire alle generazioni future di raggiungere un livello di con-sumo maggiore. La rinuncia della prima consente alle altre generazionidi aumentare il loro benessere: tuttavia non essendo una redistribuzionePareto e¢ ciente (ovvero che bene�cia tutte le generazioni) non sarà ilmercato ad arrivarci da solo. Occorre una politica economica che ind-uca (forzatamente) la generazione presente a risparmiare di più a favoredelle generazioni future (ad esempio l�introduzione di un sistema di con-tribuzione "a capitalizzazione").Nel secondo caso, siccome k� > kGR (si dice che l�equilibrio sia conno-

tato da "ine¢ cienza dinamica") basta che la prima generazione comincia consumare di più, rinunciando a risparmiare, che favorisce un aumentodel consumo anche delle generazioni future. In questo caso la soluzioneè una redistribuzione Pareto e¢ ciente (che avvantaggia tutte le gener-azioni senza esclusioni) che può essere indotta da una politica economicache obblighi la prima generazione a ridurre i propri risparmi (ad esempioattraverso l�emissione di debito pubblico o l�introduzione di un sistemadi previdenza sociale "a ripartizione").

5.2 Modello con ereditàVediamo ora cosa succede nel modello OLG quando i genitori si pre-occupano del benessere dei propri �gli lasciando loro un�eredità. An-ticipiamo il risultato che, essendo l�eredità un trasferimento intergener-azionale, questo comporta il raggiungimento senza l�intervento pubblico

27

dell�equilibrio e¢ ciente (in questo caso della Golden rule modi�cata).La funzione di utlità della generazione nata al tempo t è data da

Vt = u(c1t) +1

1 + �u(c2;t+1) +

1

1 + �Vt+1 (41)

La di¤erenza rispetto alla utilità originaria in (30) è l�ultimo termineche rappresenta l�utilità della generazione immediatamente futura, pon-derata per il tasso di preferenza � : se � = 0 i genitori attribuisconolo stesso peso all�utilità dei �gli rispetto alla loro utilità; viceversa se� !1 ai genitori non importa del benessere dei �gli e torniamo al casooriginario.Ritardando di un periodo l�espressione in (41) abbiamo

Vt+1 = u(c1t+1) +1

1 + �u(c2;t+2) +

1

1 + �Vt+2

e sostituendola nella (41) si ottiene

Vt = u(c1t)+1

1 + �u(c2;t+1)+

1

1 + �

�u(c1t+1) +

1

1 + �u(c2;t+2)

�+

�1

1 + �

�2Vt+2

(42)Il massimo consumo raggiungibile dai giovani nati in t nel primo periodo

èc1t = wt � st + bt

dove bt è l�eredità dei genitori ai �gli: i genitori lasciano bt(1 + n) intotale, eredità che viene divisa equamente tra i �gli; mentre nel secondoperiodo

c2;t+1 + (1 + n)bt+1 = (1 + rt+1)st

dove (1 + n)bt+1 è l�eredità destinata ai �gli. Il problema ora si com-plica perchè oltre a scegliere il livello di risparmio, gli individui devonodecidere quanto lasciare in eredità. Le scelte sono di due tipi quindi:un problema di allocazione intertemporale dei consumi per la stessagenerazione (scelta del livello di risparmio), e un problema di sceltadi redistribuzione dei consumi tra generazioni (scelta dell�ammontaredell�eredità).Mentre la soluzione al primo problema è dato dalla condizione del

primo ordine (33), ovvero

u0(c1t) =1 + rt+11 + �

u0(c2;t+1)

28

la soluzione al secondo problema richiede di scegliere bt+1 che massimizza(42) dato il vincolo sui consumi dei giovani nati al tempo t+1

c1t+1 = wt+1 � st+1 + bt+1

La condizione del primo ordine per la scelta dell�ammontare dell�ereditàè

1 + n

1 + �u0(c2;t+1) =

1

1 + �u0(c1;t+1)

qualora bt+1 > 0. Nello stato stazionario i giovani consumano tuttilo stesso ammontare, ovvero c1;t = c1;t+1. Combinando allora le duecondizioni del primo ordine si ottiene

1 + n

1 + �u0(c2;t+1) =

1

1 + �

�1 + r�

1 + �u0(c2;t+1)

�da cui discende che

(1 + n)(1 + �) = 1 + r�

Eseguendo la moltiplicazione dei due fattori nel lato sinistro si ottiene1 + n + � + �n: Quando � e n sono numeri piccoli minori di 1, pos-siamo trascurare il termine di secondo ordine. Si ottiene pertanto lacondizione della Golden rule modi�cata per cui r� = n + �. La conclu-sione è che se nel modello OLG a orizzonte �nito si include l�opzione dilasciare un�eredità ai propri �gli, l�equilibrio è quello della Golden Rulemodi�cata del modello di Ramsey; in altre parole se individui che hannoun orizzonte �nito possono internalizzare l�utilità dei loro discendenti, ilsentiero di consumo ottimale è equivalente a quello che sceglierebbe unindividuo con orizzonte in�nito.

5.3 Sistemi di previdenza socialeVediamo ora quali conseguenze hanno i sistemi di previdenza sociale acapitalizzazione e a ripartizione sull�equilibrio stazionario nel modelloOLG a due periodi in cui ogni generazione si preoccupa solo del suobenessere e non di quello dei �gli. Un sistema di previdenza socialeimplica che vi sia una redistribuzione tra giovani e vecchi. In particolarei giovani vengono obbligati a versare dt nella loro fase lavorativa, a ben-e�cio di quando saranno vecchi e percepiranno bt+1 in aggiunta al fruttodei propri risparmi. Il modo in cui viene fatta questa redistribuzionetuttavia ha un impatto diverso sui risparmi e sul livello di capitale ac-cumulato in equilibrio. I vincoli di bilancio della generazione nata in tcambiano entrambi. La disponibilità di reddito dei giovani sarà ridottadell�ammontare del contributo dt; ovvero

c1t = wt � st � dt (43)

29

mentre il consumo dei vecchi risulta incrementato per l�ammontare delbene�cio bt+1

c2;t+1 = st(1 + rt+1) + bt+1 (44)

La di¤erenza tra i due sistemi previdenziali, a capitalizzazione o a ripar-tizione, consiste in un diverso modo di calcolare il bene�cio.

sistema a capitalizzazioneNel sistema a capitalizzazione, il giovane viene forzato ad accantonare

l�ammontare dt che viene dunque investito, come il risparmio, in stockdi capitale la cui remunerazione è il tasso di interesse rt+1 per poi venirerestituito allo stesso individuo quando sarà vecchio sotto forma di cap-itale e interessi bt+1 = (1 + rt+1)dt: Si tratta dunque di una forma dirisparmio forzoso indotto dal sistema previdenziale con la stessa reddi-tività del risparmio privato. Se sostituiamo la de�nizione di contributoe di bene�cio nei vincoli di bilancio precedenti otteniamo

c1t=wt � (st + dt) (45)

c2;t+1=(st + dt)(1 + rt+1) (46)

Il livello del capitale di equilibrio è determinato dall�equazione dinamicadel capitale che risulta ora

st + dt = (1 + n)kt+1 (47)

E� immediato notare come non cambi nulla nel sistema di equazioniche de�niscono la dinamica del sistema economico, una volta che siride�nisca il risparmio come est = st + dt , ovvero come somma di duecomponenti una privata e una previdenziale. [Calcolare k� dell�equilibrio

stazionario]sistema a ripartizione ("pay as you go")Questo è per esempio il sistema italiano dove i bene�ci dei vecchi

vengono pagati coi contributi prelevati ai giovani, che a loro volta bene�-ceranno dei contributi dei giovani della generazione successiva. In altreparole i giovani al tempo t pagano un contributo dt che viene versato di-rettamente ai vecchi al tempo t. I giovani nati in t invece otterranno unbene�cio bt+1 = (1+n)dt+1 che sarà versato dalla generazione di giovaninati in t+1. La di¤erenza rispetto al sistema precedente è che adessoil tasso di capitalizzazione è n e non più il tasso di interesse di riferi-mento del sistema economico. Sostituiamo la de�nizione di contributo ebene�cio in questo caso nei due vincoli di bilancio e otteniamo

c1t=wt � (st + dt) (48)

c2;t+1= st(1 + rt+1) + (1 + n)dt+1 (49)

30

Supponiamo che il contributo sia uguale per tutte le generazioni, ovveroche dt = dt+1 e sostituiamo i vincoli nella condizione (33) per derivare illivello di risparmio ottimale,

u0(wt � st � dt) =1 + rt+11 + �

u0 [st(1 + rt+1) + (1 + n)dt]

Confrontandola alla stessa condizione ma nel caso senza il sistema previ-denziale si osserva come il sistema previdenziale operi una redistribuzionedai giovani ai vecchi. Ricaviamo la funzione di risparmio nel caso di util-ità logaritmica

s�t =wt2 + �

� dt2 + �

�1 +

(1 + n)(1 + �)

(1 + rt+1)

�<

wt2 + �

In�ne l�equazione dinamica del capitale è data da

s�t = (1 + n)kt+1

in quanto i contributi non vengono investiti ma vengono versati diretta-mente ai vecchi nello stesso periodo: si tratta dunque di un risparmio for-zoso che non bene�cia però lo stock di capitale. Pochè @s�t

@dt< 0 l�e¤etto

dell�introduzione di un sistema a ripartizione è quello di ridurre lo stockdi capitale in equilibrio. Se il sistema economico si trova in un equi-librio in cui lo stock di capitale è superiore a quello della Golden rule,l�introduzione di un sistema previdenziale a ripartizione aiuta a con-seguire un livello di consumo maggiore obbligando i giovani a risparmi-are di meno; questo pero�non accade se il sistema economico si trova inun equilibrio dove lo stock di capitale è inferiore a quello della GoldenRule, quando cioè r� > n:

5.4 Debito pubblico e equivalenza ricardianaAnalizziamo ora la funzione del debito pubblico. La spesa pubblica puòessere �nanziata in tre modi diversi: 1) attraverso un�imposizione �scaleimmediata (tasse) di modo che il disavanzo pubblico sia zero; 2) attra-verso un�incremento della base monetaria, che richiede però il consensodella Banca Centrale e che ha come e¤etto quello di aumentare il livellodei prezzi; 3) attraverso l�emissione di obbligazioni pubbliche da partedel Tesoro (aumento del debito pubblico). Noi qua discutiamo l�opzione3). Se il Tesoro emette titoli pubblici oggi, domani dovrà ripagare anchela spesa per interessi sul debito emesso, cioè il Tesoro dovrà emetterenuovi titoli pubblici per �nanziare la restituzione del capitale più gli in-teressi. E�chiaro che questo tipo di opzione non può essere utilizzataall�in�nito, pena la crescita continua del debito pubblico, ma che prima

31

o poi l�emittente debba ripianare il suo debito. Emettere debito pubblicooggi implica imporre delle tasse in futuro per ripagare il debito e i suoiinteressi.L�idea quindi è che emettendo titoli pubblici si rimanda il pagamento

delle tasse dall�oggi al domani. La domanda è se questo posporre letasse sia neutrale dal punto di vista della accumulazione del capitale.Secondo la teoria ricardiana �nanziare la spesa pubblica con tasse oggi ocon debito pubblico e quindi tasse future è la stessa cosa, in altre paroleil debito pubblico è neutrale per lo stock di capitale di equilibrio e lacrescita. Vediamo sotto quali condizioni vale questo risultato.Si consideri una spesa pubblica pro-capite di gt che vada a bene�cio

della generazione giovane al tempo t (per esempio un sussidio). Questaspesa pubblica viene �nanziata attraverso l�emissione di titoli pubblicibt pro-capite: Nel periodo successivo t+ 1 i titoli pubblici restituisconoa chi li sottoscrive il capitale più gli interessi (1 + rt+1)bt: Tuttavia int+ 1 il governo introduce una tassa pro-capite � t+1(1 + n) allo scopo diripianare il disavanzo di bilancio.Il problema della generazione t è quello di scegliere il proprio risparmio

st in modo da massimizzare la funzione di utilità intertemporale (30)sotto i vincoli

c1;t=wt + gt � st � bt (50)

c2;t+1= st(1 + rt+1) + bt(1 + rt+1)� � t+1(1 + n) (51)

Sostituiamo i due vincoli nella funzione di utilità e calcoliamo la con-dizione del primo ordine rispetto al livello di risparmio. Si ottiene comeprima:

�u0(c1;t) +1 + rt+11 + �

u0(c2;t+1) = 0

Sostituendo come argomenti dai vincoli (50) e (51) si ottiene

�u0(wt+gt�st�bt)+1 + rt+11 + �

u0(st(1+rt+1)+bt(1+rt+1)�� t+1(1+n)) = 0(52)

Dobbiamo ora prendere in considerazione il vincolo di bilancio intertem-porale del settore pubblico per capire come cambia il livello di risparmioottimale nella (52).In termini aggregati il vincolo di bilancio del settore pubblico nel

periodo t e nel periodo t+ 1 sono

Bt=Gt

Bt+1=Bt(1 + rt+1)� Tt+1

32

assumendo che la spesa pubblica in t sia �nanziata solo con l�emissionedi titoli pubblici. Dividiamo entrambi i vincoli per la popolazione ag-gregata, ricordando che Lt+1 = (1 + n)Lt:Si ottiene

bt= gt (53)

bt+1(1 + n)= (1 + rt+1)bt � � t+1(1 + n)

Sostituendo il vincolo del periodo t nel vincolo del periodo t+1 si ottiene

bt+1(1 + n) = (1 + rt+1)gt � � t+1(1 + n) (54)

Se il vincolo è che il disavanzo deve essere ripianato in t+1 ovvero che ilsettore pubblico non possa emettere nuovo debito pubblico in t + 1 perripagare il suo debito in t; ovvero che bt+1 = 0; ne deriva che il livello ditassazione deve essere

� t+1 =(1 + rt+1)

(1 + n)gt

Si noti che se rt+1 > n (Golden rule violata perchè lo stock di capitaleè inferiore a quello ottimale) la tassazione è maggiore del bene�cio dellaspesa pubblica, cioè le nuove generazioni pagano delle tasse superiorial bene�cio �scale della generazione vecchia. Sostituendo (53) e (54)nella condizione del primo ordine (52) si ottiene la stessa condizionedel modello senza debito pubblico. Il risultato dipende dunque dal fattoche pur ottenendo un bene�cio dall�avere una dilazione nelle tasse, non sipaga la relativa imposta � t = gt in t;ma si ha la possibilità di ritardare latassa a t+1 e di sottoscrivere dei titoli pubblici che danno degli interessi.Tuttavia poichè gli individui sono razionali sanno che in t+ 1 dovrannopagare delle tasse che compensano anche la spesa per interessi. A questopunto pagare la tassa oggi o domani è perfettamente equivalente e lascelta di emettere debito pubblico non ha alcun e¤etto sulle scelte dirisparmio che rimangono le stesse di un�economia senza debito pubblico.L�equivalenza ricardiana dipende da una serie di ipotesi senza le quali

il debito pubblico avrebbe un e¤etto reale sulle scelte di risparmio equindi sull�accumulazione del capitale. Ne citiamo alcune: i) innanzi-tutto il tasso di interesse sul risparmio deve coincidere con quello suldebito pubblico (ovvero il tasso di interesse al quale il settore pubblicosi indebita deve coincidere con quello del settore privato) altrimenti siavrebbe un e¤etto redistributivo che qua non è considerato; ii) l�orizzontetemporale entro il quale vengono approvate le tasse per ripianare il deb-ito deve essere più breve dell�orizzonte temporale del singolo individuo,altrimenti individui egoisti incassano il bene�cio e non ne pagano il costo

33

(a meno che non siano genitori che si preoccupano dei loro �gli come nellasezione sull�eredità); iii) in�ne, per un motivo simile a quello del puntoprecedente se la data di morte è incerta la probabilità di scantonare latassa genera un bene�cio dovuto alla dilazione delle tasse.

References

[1] Aghion P., Howitt P., The Economics of Growth, MIT Press, 2009,Cap.1,4.

[2] Blanchard O., Fischer S., Lezioni di macroeconomia, Il Mulino, 1996,Cap 2,3,10.

[3] Chang A.C., Fundamental Methods of Mathematical Economics,McGraw-Hill, 1984, Cap.14, 18.

[4] Romer D., Advanced Macroeconomics, McGraw-Hill, 1996,Cap.1,2,3.

34

A Introduzione ai diagrammi di faseQuesta appendice introduce un metodo qualitativo di analisi delle equazionidi¤erenziali del primo ordine. Questo metodo, senza ricorrere alla soluzioneanalitica, consente di analizzare le proprietà dinamiche di equazioni dif-ferenziali autonome.Per iniziare consideriamo una equazione di¤erenziale. Un�equazione

di¤erenziale del primo ordine è un�espressione del tipo:

x0(t) = f(x(t); t)

dove x è una funzione della variabile reale t a valori reali e f unafunzione di due variabili reali. In particolare si dice autonoma se è deltipo:

x0(t) = f(x)

ovvero quando t non compare esplicitamente quale variabile in f .Supponiamo inoltre che f sia di¤erenziabile. Possiamo facilmente anal-izzare la dinamica di quest�equazione in un gra�co tra x0(t) e x chiamato�diagramma di fase�(per brevità d�ora in poi

�x � x0(t)). A questo scopo

occorre introdurre due osservazioni:i) un equilibrio stazionario è de�nito come quel valore di x in cor-

rispondenza di cui�x = 0;

ii) consideriamo un intorno di t per cui�x si trovi al di sopra (o al di

sotto) dell�asse delle ascisse, possiamo dire che in quell�intorno la vari-abile x cresce (o si riduce) nel tempo.7 Nella �gura A1 rappresentiamoun esempio di diagramma di fase.

7In realtà è possibile dire anche quale è la velocità alla quale x si muove versoun equilibrio, guardando al valore assoluto della derivata della variabile rispetto altempo. In particolare mano a mano che la variabile si avvicina ad un equilibrio, incui per de�nizione

:x = 0; la variabile rallenta.

35

Fig.A1

Utilizzando l�osservazione i) possiamo individuare gli equilibri stazionaridella equazione di¤erenziale nei punti A;B;C. Inoltre sulla base dellaosservazione ii) possiamo indicare con delle frecce sull�asse delle ascissel�andamento della soluzione di x al crescere di t: Dal diagramma di faseconcludiamo che, data una condizione iniziale x = x0 che de�nisce ilpunto di partenza, la variabile x potrà convergere ad un particolareequilibrio oppure non convergere verso nessun equilibrio. Per esem-pio se x0 � A la variabile non convergerà ad alcun equilibrio, cosìcome se x0 � C. Viceversa per ogni x0 2 (A;C) la variabile convergeall�equilibrio B. Quindi possiamo dire che vi sono tre equilibri di cuiuno solo stabile, il B.

Esercizio 9 Considerate la funzione:x = (x� 1)(x� 2)(x� 3): Trovate

gli equilibri stazionari e disegnate il diagramma di fase indicando le pro-prietà dinamiche dei punti stazionari.

Consideriamo ora un sistema di equazioni di¤erenziali (SED) in cui levariabili compaiono insieme alla loro variazione nel tempo. In particolarepossiamo rappresentare un generico SED come:

:x = f(x; y):y = g(x; y)

(55)

dove x; y > 0 e f; g siano di¤erenziabili. Anche per un SED è pos-sibile utilizzare la metodologia dei diagrammi di fase per analizzare la

36

dinamica del sistema. Dovendo rappresentare in R2 un sistema di dueequazioni e la relativa dinamica, la rappresentazione gra�ca dovrà modi-�carsi rispetto al caso precedente in quanto abbiamo ora quattro variabili(x; y e la loro derivata nel tempo), mentre solo due assi cartesiani a di-posizione. Rinunceremo pertanto ad avere la derivata rispetto al tempodelle variabili sugli assi. Indicheremo la variazione nel tempo delle duevariabili invece con delle frecce all�interno dell�ortante positivo.Tre sono le osservazioni necessarie per disegnare il diagramma di fase:i) ponendo in ciascuna equazione la derivata di una delle variabili

rispetto al tempo uguale a zero, per esempio:x = 0; si de�nisce il lu-

ogo dei punti in cui la variabile è costante nel tempo, ovvero la �curvastazionaria�. In questo modo si divide in due sottoinsiemi di puntil�ortante positivo, quello in cui

:x > 0 e quello in cui

:x < 0. La stessa

cosa per l�altra variabile:ii) La seconda osservazione è che, data la ripartizione dell�ortante

positivo in un numero �nito di sottoinsiemi a seconda del segno dellederivate delle variabili x e y rispetto al tempo, è possibile collocareall�interno di ciascuno dei sottoinsiemi le frecce che caratterizzano ladinamica dei punti in quel sottoinsieme.iii) De�niamo �traiettoria� la funzione che associa un punto dello

spazio in R2 a ciascun istante t; ovvero la curva che rappresenta lasoluzione analitica fx(t); y(t)g al variare del tempo. Le traiettorie che in-tersecano le curve stazionarie, attraversano la curva

:x = 0 con pendenza

verticale, mentre attraversano la curva:y = 0 con pendenza orizzontale.

Sulla base delle osservazioni i)-iii) è possibile indicare, per ogni puntodell�ortante positivo, la direzione in cui si muove il sistema. In partico-lare possiamo trovare l�equilibrio stazionario e la convergenza o menoda un punto qualunque dell�ortante positivo verso l�equilibrio. Per com-prendere meglio il metodo, vediamo un esempio di diagramma di faseper un SED.Innanzitutto troviamo l�equilibrio stazionario del SED, imponendo

che:x =

:y = 0: In questo modo si de�nisce, in un intorno del punto

stazionario, per ciascuna equazione in (55) una funzione implicita di yin x: Dal di¤erenziale totale di ciascuna equazione in un intorno dellostato stazionario

fxdx+ fydy=0 (�x = 0)

gxdx+ gydy=0 (�y = 0)

ricaviamo che la pendenza della due curve è data da:����dydx���� :x=0

= �fxfy;

����dydx���� :y=0

= �gxgy

(56)

37

Per costruire il diagramma di fase, consideriamo un caso particolare,ovvero fx; fy; gx > 0 e gy < 0: La curva stazionaria

:x = 0 ha pen-

denza negativa, mentre la curva stazionaria:y = 0 ha pendenza positiva.

Nella �gura A2 rappresentiamo le due curve stazionarie e la ripartizionedell�ortante positivo in quattro sottoinsiemi. Inoltre in ciascun sottoin-sieme indichiamo con delle frecce la direzione di movimento delle duevariabili x e y nel tempo e le traiettorie di cui all�osservazione iii).

Fig.A2

Sulla base delle frecce osserviamo che vi è un solo sentiero stabile cheindichiamo con SS (non necessariamente lineare), che porta all�equilibrioE. Ogni altra traiettoria comporta una dinamica divergente rispettoall�equilibrio. Si noti come le traiettorie seguono la direzione delle frecce,ma con la particolarità che quelle che attraversano la curva stazionaria:y = 0 hanno una pendenza orizzontale, mentre quelle che attraversanola curva

:x = 0 hanno una pendenza verticale:

In queste Dispense ci riferiamo ad una particolare tipologia di equi-librio stazionario, il cosiddetto �punto di sella�. In realtà vi sono diversitipi di equilibri stazionari. La ragione per cui ci concentriamo sui puntidi sella è che i modelli economici con aspettative razionali restringono ladinamica delle variabili a questo tipo di equilibrio.

38