ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 8 Enumerazione di funzioniEnumerazione di funzioni...
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ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI
LEZIONE N° 8• Enumerazione di funzioni• Reti logiche• Reti logiche combinatorie• Reti logiche sequenziali• Simboli• Concetto di ciclo• Realizzazioni diverse della stessa
funzione• Teorema di Shannon
A.S.E. 8.1
Richiami
• Algebra delle commutazioni• Funzione AND, OR, NOT• Tabella di Verità• Forme canoche “SP” e “PS”• Passaggi da forma SP a PS e viceversa• insieme funzionalmente completo• Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR
A.S.E. 8.2
Enumerazione di funzioni 1
• Quesito:• Quante funzioni di due variabili si posso realizzare?
• Risposta:• quante sono le possibili configurazioni diverse di
quattro elementi binari (cioè 16). In generale: n22x y f0 f
1
f2 f3 f4 f5
f6 f7 f8 f9 fA fB fC fD
fE fF
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1A.S.E. 8.3
Enumerazione di funzioni 2
• Ruotando di 90˚ la tabella
1111101111011001111010101100100011110011010100010110001001000
0000011001010
yxyxyyxxyxyxyxyx
xyxyyxyx
yx
A.S.E. 8.4
Reti Logiche
• Sistema elettronico che ha in ingresso segnali digitali e fornisce in uscita segnali digitali secondo leggi descrivibili con l’algebra Booleana
• R.L. è unidirezionale
R. L.R. L.···
···
a
b
n w
y
x
A.S.E. 8.5
Tipi di reti
• Reti COMBINATORIE• In qualunque istante le uscite sono
funzione del valore che gli ingressi hanno in quell’istante
• Il comportamento (uscite in funzione degli ingressi) è descritto da una tabella
• Reti SEQUENZIALI• In un determinato istante le uscite sono
funzione del valore che gli ingressi hanno in quell’istante e i valori che hanno assunto precedentemente
• La descrizione è più complessa• Stati Interni• Reti dotate di MEMORIAA.S.E. 8.6
Simboli
• Rete Logica =>scomponibile in blocchi• Blocchi base = simboli degli operatori
elementari• Rappresentazione delle funzioni logiche
mediante schemi• RAPPRESENTAZIONE SCHEMATICA
A.S.E. 8.7
Porte logiche
• Rappresentazione circuitale delle funzioni logiche– AND
– OR
– NOT
321 XXXY
X1X2X3
Y
21 XXY X1
X2Y
Y X X Y
A.S.E. 8.8
Esempio• Schema simbolico della funzione
– RETE LOGICA
RETELOGICARETE
LOGICA
X1
Xn
X2 U = f(X1, X2,…., Xn)
U f X X X X X X Xn 1 2 1 2 1 3, , ,
X2
X1
X3
U
21 xx
31 xx 3x
A.S.E. 8.9
Altre porte logiche• NAND
• NOR
ZXY
ZXY
XZ
Y
XZ
Y
X Z Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X Z Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
A.S.E. 8.10
Proprietà della porta NAND (NOR)
• Utilizzando solamente porte NAND (NOR) è possibile realizzare qualunque rete logica
• NOT
• AND
• OR
X Y = X
XZ Y = XZ
X
ZY = X+Z
A.S.E. 8.11
OR Esclusivo• Realizzazione dell’OR Esclusivo
YXYXYXU
X
Y
X
YU
X Y U
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
U
A.S.E. 8.12
Ciclo
• Definizione• Ciclo: Percorso chiuso che attraversa k blocchi (k ≥
1) tutti nella loro direzione di funzionamento
• Osservazioni• Tutte le reti viste sono prive di cicli• I blocchi base combinatori sono privi di cicli• Le funzioni descrivibili dalle tabelle di verità sono
tutte prive di cicli (le uscite sono funzione dei solo ingressi)
• Conclusione• Tutte le reti logiche composte di blocchi
combinatori e prive di cicli sono rei combinatorie
A.S.E. 8.13
Sintesi di reti combinatorie
• Sintesi • data la descrizione ai terminali di una rete combinatoria• ottenere la struttura in blocchi logici e le relative
interconnessioni
• Osservazioni• il funzionamento della rete deve essere possibile
descriverlo mediante una tabella di verità• non esiste una sola realizzazione• per poter scegliere fra le varie soluzioni è necessario
definire il parametro da ottimizzare • Funzione COSTO• (numero di blocchi base, ritardo ingresso uscita, uso di
particolari blocchi, ……..)
• VEDERE ESEMPI SUCCESSIVI
A.S.E. 8.14
Esempio di funzione
• Data la funzione definita dalla Tabella di Verità:
a b c z
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Si ha:
cbacbacbaz
bcca
bcacbacbacbac
cbacbacbacbacbacba
cbacbacbacbacbaz
A.S.E. 8.15
Schemi relativi 1cbacbacbacbacbaz
a
b
c
z
a a b b c c
A.S.E. 8.16
Schemi relativi 2
a
b
cz
cbacbacbaz
A.S.E. 8.17
Schemi relativi 3
a
b
cz
bacz
A.S.E. 8.18
Schemi relativi 4
a
b
c
z
bacz
bccaz a
b
c
z
A.S.E. 8.19
Teorema di espansione di Shannon
• Data la funzione
• Vale la seguente uguaglianza
• Ovvero
ni xxxxf ,....,,.....,, 21
ninini xxxfxxxxfxxxxxf ,..,1,..,,,..,0,..,,,..,,..,, 212121
ninini xxxfxxxxfxxxxxf ,..,0,..,,,..,1,..,,,..,,..,, 212121
A.S.E. 8.20
Esempio
• Data la funzione
• Risulta zywxxwzyxwf )(,,,
)()(
)0(1)1(0
)0(0)1(1
,,0,,,1,,,,
yzwxzywx
zywwxzywwx
zywwxzywwx
zywfxzywfxzyxwf
A.S.E. 8.21
Osservazione
• Applicando in modo iterativo il teorema di Shannon
• Quindi il teorema di Shennon consente di ricavare sempre la forma SP
1,....,1,1,1....1,....,1,1,0....
1,1,...,0,0,0...0,1,....,0,0,0...1,....,0,0,0....0,....,0,0,0....
,....,,1,1,....,,0,1,....,,1,0,....,,0,0
,....,,1,....,,0,....,,
321321
13211321
321321
321321
321321
212121
fxxxxfxxxx
fxxxxxfxxxxxfxxxxfxxxx
xxfxxxxfxxxxfxxxxfxx
xxfxxxfxxxxf
nn
nnnn
nn
nn
nn
nnn
A.S.E. .22
Esempio
• Data la funzione
• Risulta zyxyxzyxf )(,,
xyzzyxyzxzyxzyx
xyzzxyzyxzyxyzxzyxzyxzyx
xyzzxyzyxzyxyzxzyxzyxzyxzyxwf
)1)11(00()0)11(00()1)01(01()0)01(01()1)10(10()0)10(10()1)00(11()0)00(11(
)1)11(11()0)11(11()1)01(01()0)01(01()1)10(10()0)10(10()1)00(00()0)00(00(,,,
A.S.E. 8.23
Conclusioni
• Enumerazione di funzioni• Reti logiche• Reti logiche combinatorie• Reti logiche sequenziali• Simboli• Esempi• Concetto di ciclo• Realizzazioni diverse della stessa
funzione• Teorema di Shannon
A.S.E. 8.24
Quesiti
• Ricavare le funzioni logiche di Z1 e Z2
X2
X1
X3
Z1
Z2
A.S.E. 8.25
Suggerimenti
• Scrivere la tabella di verità comprensiva delle funzioni intermedie “a”, “b” e “c”
X2
X1
X3
Z1
Z2
a
c
b
A.S.E. 8.26