Appunti ed esercizi su: Elettromagnetismo · 8.Dei principali fenomeni dell’elettromagnetismo pu...

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Appunti ed esercizi su: Elettromagnetismo 19 gennaio 2012 1 Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/ Indirizzo email: [email protected]

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi 1

Appunti ed esercizi su:

Elettromagnetismo

19 gennaio 2012

1 Per altri materiali didattici o per informazioni:

Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/Indirizzo email: [email protected]

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Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti

Questi appunti sono in fase di bozza

Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, percio puo capitare che: un paragrafo sia lasciato ameta, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; inumeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano esseredi una qualche utilita: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il piu che puoi da questimateriali!

Come usare questi appunti

L’approccio seguito in queste “dispense” e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui dovresti cercare di rispondereprima di proseguire nella lettura (anche in modo “personale”: non sempre c’e una sola risposta giusta!).Per quanto riguarda gli esercizi, a volte, ti verra richiesto uno sforzo supplementare: spesso dovrai“costruirti gli esercizi”, dal momento che molti esercizi rimandano ad un archivio finale, dove sonopresenti una serie di equazioni, grafici . . . Ad esempio, in una sezione dell’archivio, sono presenti deigrafici di curve sotto i quali sono indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio diabbinamento grafico-equazione, puoi annotare su un foglio a parte le equazioni, in ordine sparso, e poi,guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”,si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettaglinumerici specifici di ogni esercizio.

Nota dell’autore

Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnantenella scuola secondaria. Laddove si e tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fontioriginali.Puoi riutilizzare gli appunti e gli esercizi proposti di seguito, citando questo file e/o il mio blog M@T&FiS(francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che difisica.Per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti equant’altro, scrivimi a [email protected].

Ringraziamenti

Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per glistimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (a volte direttamente, altre indirettamente) alla creazionedi appunti sempre piu completi.

Versione finale

19 gennaio 2012.

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Capitolo 1

Fatti sperimentali e loro descrizionefenomenologica

1.1 Vero o falso

1.2 Quesiti a risposta multipla

1. Si considerino due cariche elettriche, q1 = +2 · 10−4C e q2 = −3 · 10−5C, poste alla distanzad = 1, 2m. La forza F tra di esse e:

(a) attrattiva e vale F = 37, 5N .

(b) repulsiva e vale F = 37, 5N .

(c) attrattiva e vale F = 45N .

(d) repulsiva e vale F = 37, 5 · 10−8N .

2. L’unita di misura della costante k che compare nella legge di Coulomb e:

(a) N ·m2 · C−2.

(b) N .

(c) N ·m2 · C2.

(d) N ·m2 · C−1.

3. Due cariche, q1 = 4, 5 ·10−6C e q2 = 3, 2 ·10−5C si respingono, nel vuoto, con una forza F = 10−3N.

(a) Non e possibile determinare la distanza fra le due cariche.

(b) Le due cariche in realta non possono respingersi, in quanto nel vuoto non vale la legge diCoulomb.

(c) La distanza tra le due cariche vale circa 3, 8 · 10−4m.

(d) La distanza tra le due cariche vale circa 14, 4 · 10−8m.

4. Due cariche elettriche, q1 e q2, poste ad una distanza d l’una dall’altra, si attraggono con una forzaF . Se si raddoppia l’intensita di entrambe le cariche, mantenendole sempre alla stessa distanza:

(a) La forza tra di esse quadruplica.

(b) La forza tra di esse raddoppia.

(c) La forza tra di esse rimane invariata.

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(d) Nessuna delle precedenti risposte e corretta.

5. Due cariche elettriche, q1 e q2, poste ad una distanza d l’una dall’altra, si attraggono con una forzaF . Se si dimezza la distanza fra le due cariche:

(a) La forza tra di esse raddoppia.

(b) La forza tra di esse diventa un quarto.

(c) La forza tra di esse dimezza.

(d) La forza tra di esse quadruplica.

6. Quale delle seguenti affermazioni e corretta?

(a) L’ago di una bussola, posto in prossimita di un filo percorso da corrente elettrica, si muoveper l’effetto che le cariche del filo hanno sulle cariche dell’ago.

(b) L’esperienza di Oersted consiste nello studio dell’effetto di un magnete su di un conduttorepercorso da corrente.

(c) Due fili percorsi da correnti di verso opposto si respingono.

(d) L’esperienza di Ampere consiste nello studio dell’interazione fra correnti elettriche.

7. Un filo conduttore e piegato su stesso in modo da formare un circuito a forma di spira. In qualedei seguenti modi non e possibile generare una corrente cosiddetta indotta nel filo?

(a) Ponendo un generatore lungo il percorso del circuito.

(b) Avvicinando un magnete al circuito.

(c) Facendo ruotare la spira all’interno di un campo magnetico.

(d) Deformando la spira.

8. Dei principali fenomeni dell’elettromagnetismo puo essere data una descrizione “a diversi livelli”;in quale dei seguenti elenchi essi sono messi in ordine, dal piu “intuitivo” al piu “astratto”?

(a) Forza, equazioni di Maxwell, campo.

(b) Equazioni di Maxwell, campo, forza.

(c) Forza, campo, equazioni di Maxwell.

(d) Equazioni di Maxwell, forza, campo.

9. Si pone una carica elettrica in prossimita di un filo percorso da corrente; cosa accadra?

(a) La carica rimane ferma, visto che non sussistono interazioni tra cariche elettriche e correntielettriche.

(b) Se la carica e dello stesso segno della corrente, essa viene respinta, se di segno opposto ne vieneattratta.

(c) La carica viene attratta dalla corrente, in base alla legge di Ampere.

(d) La carica viene attratta dalla corrente, in base alla legge di Coulomb.

10. Si considerino due fili, entrambi lunghi 4 metri, percorsi da correnti di 2A e da 0,035A. Se essi sonoposti a 10cm di distanza fra loro, la forza che tra essi sussiste vale circa:

(a) 5, 6 · 10−7N.

(b) 56 · 10−8N.

(c) 3, 2 · 10−8N.

(d) 32 · 10−8N.

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11. Si considerino due fili, entrambi lunghi 6 metri, posti ad una distanza di 30cm fra loro. Sapendoche tra di essi sussiste una forza repulsiva pari a 2, 3 · 10−4N e che uno di essi e percorso da unacorrente di 3,4A:

(a) Possiamo dedurre che il secondo e percorso da una corrente di qualche Ampere di intensita.

(b) Non e possibile calcolare l’intensita di corrente che percorre il secondo filo.

(c) Possiamo dedurre che il secondo e percorso da una corrente che procede nello stesso verso.

(d) Possiamo calcolare che la corrente che passa nel secondo filo e pari a 0,023A.

12. Una calamita e in grado di attirare oggetti metallici perche:

(a) Essa e percorsa da correnti elettriche che attirano i metalli.

(b) Essa ha un polo positivo ed uno negativo, ed uno di essi e in grado di elettrizzare il metallo equindi attrarlo.

(c) Ha proprieta elettriche, essendo essa stessa carica elettricamente.

(d) Nessuna delle motivazioni precedenti e corretta.

13. Quale delle seguenti formule esprime la legge di Farady-Neumann-Lenz?

(a)∮C E · dl = −dφS(B)

dt .

(b)∮C E · dl = −dφS(E)

dt .

(c)∮C B · dl = −dφS(B)

dt .

(d)∮C B · dl = −dφS(E)

dt .

14. Due fili, percorsi da correnti elettriche equiverse, sono posti ad una distanza d tra loro. Se siraddoppia l’intensita di corrente che scorre in uno solo dei due fili e allo stesso tempo si raddoppiala distanza tra di essi, la forza che sussiste tra i fili sara:

(a) Raddoppiata.

(b) Dimezzata.

(c) Attrattiva.

(d) Quadruplicata.

15. Supponiamo di esser riusciti a caricare elettricamente due corpi di dimensioni ragguardevoli, del-l’ordine dei metri. Si puo utilizzare la legge di Coulomb (ldc in breve) per descrivere la lorointerazione?

(a) No, perche la ldc vale solo per corpi microscopici.

(b) No, perche non e possibile caricare elettricamente corpi macroscopici.

(c) Sı, purche i due corpi abbiano carica opposta.

(d) Sı.

16. La legge di Coulomb e stata proposta intorno al:

(a) 1940.

(b) 1000.

(c) 1780.

(d) 1500.

17. Una delle prime nazioni “all’avanguardia” nello studio dei fenomeni elettrici e magnetici fu:

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(a) La Francia.

(b) L’Italia.

(c) La Germania.

(d) Gli Stati Uniti d’America.

18. La legge di Farady-Neumann-Lenz dice che e possibile indurre correnti elettriche grazie a variazionicampi magnetici. Quale dei seguenti termini e piu vicino al significato del termine indurre (inquesto caso e in generale)?

(a) Generare.

(b) Causare.

(c) Ricavare un principio generale attraverso un procedimento logico che parte da fatti particolari.

(d) Creare.

1.3 Domande a risposta aperta

1. E’ noto che una bacchetta di vetro ed una di ebanite, strofinate con un panno di lana, si elettrizzanoe si attraggono. Generalmente si assume che il vetro si sia caricato positivamente in seguito allostrofinıo e l’ebanite si sia caricata negativamente. E’ possibile assumere che il vetro si carichinegativamente e l’ebanite positivamente?

2. Descrivere in sintesi il processo logico con cui si e giunti, a partire da fatti sperimentali, all’intro-duzione del concetto di carica elettrica e delle leggi relative all’interazione tra cariche elettriche.

3. Illustra le principali analogie tra la legge di Coulomb e quella di Ampere per l’interazione di filipercorsi da corrente.

4. Descrivi in modo sintetico le esperienze di Oersted, Faraday, Ampere, illustrando, per ciascuna diesse, in cosa consiste (ovvero qual e l’apparato sperimentale) e qual’e la conseguenza fisica che sene deduce.

1.4 Problemi

1.4.1 Esercizio 1

Si considerino i grafici rappresentati in figura 1.1. Le cariche presenti sono tutte fisse, eccetto quellaindicata con Q, che e libera di muoversi. Indicare con una freccia, in modo qualitativo, la direzione versocui si muovera la carica Q.

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(a)

(b)

(c)

Figura 1.1: Grafici relativi all’esercizio 1.

1.4.2 Forza di Coulomb: formule inverse

Si risponda ai seguenti quesiti:

• Una carica elettrica q1 = −4, 7 ·105C risente di una forza attrattiva F = 15N , dovuta ad una caricaq2 posta ad una distanza di 3m da essa. Quanto vale l’intensita della carica q2?

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• Due cariche, q1 = 4, 5 ·10−6C e q2 = 3, 2 ·10−5C si respingono, nel vuoto, con una forza F = 10−2N.Determinare la distanza fra le due cariche.

1.4.3 Esercizio 2

Si consideri il sistema di cariche rappresentato in figura 1.2, in cui l’unica carica libera di muoversi equella posta al centro del quadrato e vale qE = +6, 4 · 10−6C. Per le altre cariche risulta:

qA = +3 · 10−6C; qB = −4, 3 · 10−6C;

qC = +7, 8 · 10−6C; qD = +2, 5 · 10−6C;

Calcolare le seguenti forze:

1. FA, FB , FC , FD, ovvero le forze esercitate su E da ciascuna singola carica fra quelle ferme;

2. FAC , risultante delle forze esercitate dalla carica A e dalla carica C;

3. FBD, risultante delle forze esercitate dalla carica B e dalla carica D;

4. FTOT , risultante delle forze esercitate da tutte le cariche, e calcolabile a partire dalle forze calcolatenei due punti precedenti.

Figura 1.2: Configurazione di cariche relativa all’esercizio 2.

1.5 Quesiti a risposta chiusa

1. Si consideri una carica elettrica q = 7, 2 · 10−3C. Si dica quale fra i seguenti valori numericirappresenta il campo elettrico ad una distanza r = 4m da q (misurata nel SI).

(a) 16, 2 · 106

(b) 16, 2 · 10−12

(c) 4, 05 · 106

(d) 4, 05 · 10−12

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2. Si consideri un filo conduttore percorso da una corrente i = 5A. Dire quale, fra i seguenti, rappre-senta il valore numerico (approssimato) del campo magnetico generato dal filo ad una distanza di2m. (µ0 ' 12 · 10−7H/m):

(a) 8 · 107T

(b) 5 · 10−7T

(c) 5 · 10−7H/m

(d) 3 · 10−7H/m

3. Si consideri un circuito avente forma di spira circolare di raggio r = 2m e costituito da un generatoredi tensione da 6, 7V e da due resistenze in serie di 4, 5Ω e 27, 2Ω.

(a) Al centro della spira e presente un campo elettrico dovuto alle cariche che circolano nel circuito.

(b) In ogni punto interno alla spira e presente un campo magnetico di 6, 7 · 10−8T .

(c) Al centro della spira e presente un campo magnetico di 6, 7 · 10−8T

(d) Al centro della spira e presente sia un campo magnetico che un campo elettrico.

4. Si consideri un circuito avente forma di spira circolare e costituito da un generatore di tensione da6, 7V e da due resistenze in serie, R1 e R2.

(a) Se aumentiamo sia R1 che R2 il campo magnetico al centro della spira diminuisce.

(b) Se aumentiamo sia R1 che R2 il campo magnetico al centro della spira aumenta.

(c) Se poniamo una carica elettrica al centro della spira essa risentira di una forza elettrica.

(d) E’ presente un campo magnetico all’interno della spira ma non all’esterno di essa.

5. Un solenoide e costituito da 23 spire ed e lungo 45cm. Esso e posto in un circuito, ma la pila chealimenta il circuito e scarica.

(a) All’interno del solenoide e comunque presente un campo magnetico, dato dalla formula B =µ0ni.

(b) E’ presente un campo magnetico all’interno del solenoide, ma non al suo esterno.

(c) All’interno del solenoide non e presente alcun campo magnetico.

(d) Nessuna delle precedenti risposte e corretta.

6. Un solenoide e costituito da 29 spire ed e lungo 87cm. Esso e posto in un circuito in cui passa unacorrente di 3 · 10−4A.

(a) All’interno del solenoide e presente un campo magnetico.

(b) All’interno del solenoide e presente un campo magnetico di 82T .

(c) All’interno del solenoide non e presente alcun campo magnetico.

(d) All’interno del solenoide e presente sia un campo magnetico che un campo elettrico.

7. Si consideri un solenoide costituito da N spire e di lunghezza L. Si raddoppia sia il numero di spire,che la lunghezza del solenoide. Allora:

(a) Il campo magnetico presente al suo interno raddoppia.

(b) Il campo magnetico presente al suo interno quadruplica.

(c) Il campo magnetico presente al suo interno si riduce di un quarto.

(d) Il campo magnetico presente al suo interno rimane invariato.

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8. All’interno di un solenoide, percorso da una corrente iS = 7A, viene posto, parallelamente all’assedel solenoide, un filo rettilineo in cui passa una corrente iF = 0, 2A.Sapendo che il numero di spire del solenoide e N=85 e che la sua lunghezza e l =1,4m, la forza cheagisce sul filo vale circa:

(a) 5, 34 · 10−4N.

(b) 9 · 10−7N.

(c) 1, 5 · 10−5N.

(d) Nessuna delle precedenti.

9. Un solenoide e costituito da 29 spire ed e lungo 87cm. Esso e posto in un circuito in cui passa unacorrente di 3 · 10−4A. Il campo magnetico all’interno del solenoide varra:

(a) 1, 26 · 10−8T .

(b) 12, 6 · 10−11T .

(c) 1, 26 · 10−8A.

(d) 1, 26 · 10−4T .

10. Si pongono, all’esterno di un solenoide, una carica elettrica ed un filo percorso da corrente. Qualedelle seguenti affermazioni e corretta?

(a) Il filo risente del campo magnetico del solenoide, ma non la carica.

(b) La carica elettrica risente di una forza, diversamente dal filo.

(c) Ne la carica, ne il filo risentono di alcuna forza.

(d) Il filo risente di una forza espressa dalla formula F = ilB sinα, con α angolo tra il campomagnetico del solenoide e direzione del filo.

11. In una certa regione di spazio sono presenti due cariche elettriche, dello stesso segno, ed un filopercorso da corrente.In prossimita di tale regione:

(a) Saranno presenti sia un campo magnetico che un campo elettrico.

(b) Sara presente un campo magnetico, ma non un campo elettrico, visto che le cariche nonrisentono di campi magnetici.

(c) Sara presente un campo magnetico, ma non uno elettrico, poiche le cariche sono dello stessosegno.

(d) Sara presente un campo elettrico, ma non uno magnetico.

12. Si consideri un circuito alimentato da un generatore di tensione V=4,5V e in cui e presente unaresistenza R=6,2Ω. Il campo magnetico presente ad una distanza di 5cm dal filo del circuito (chepuo essere considerato, per questo calcolo, come un filo infinito), vale circa:

(a) 9 · 10−6 T

(b) 0 T

(c) 9 · 10−6 H/m

(d) 3 · 10−6 T

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1.6 Domande a risposta aperta

1. Illustrare sinteticamente gli aspetti fondamentali relativi al concetto di campo magnetico.

2. Illustrare il concetto di campo (vettoriale). Se ritenuto opportuno, fare riferimento al campoelettrico, o a quello magnetico, anche mettendo in evidenza la relazione tra il campo e la forza.

3. Si consideri la seguente affermazione:“In un dato punto dello spazio, mettendo una carica da +4C si rileva un campo di 5N; mettendouna carica da +400C si rileva un campo di 500N.”Spiegare, nel modo piu puntuale ed esauriente possibile perche tale affermazione e formulata inmaniera scorretta.

4. Descrivi qualitativamente l’origine del magnetismo terrestre.

5. Si vuole stabilire se in un certo punto dello spazio, P, e presente un campo elettrico. Come si puoprocedere? E se si vuole determinare l’eventuale presenza di un campo magnetico?

6. Si considerino due fili percorsi da corrente che formano un angolo α = 11. Si vuole determinare laforza che sussiste tra di essi; e corretto usare a tale scopo le due formule F = ilB sinα e B = µ0

2πid?

Argomentare sinteticamente, ma in modo esauriente, la risposta.

7. Al centro di una spira circolare di raggio r = 120cm e posto un tratto di filo rettilineo, percorso dacorrente, che giace sul piano della spira. (Si tratta, chiaramente, di una situazione ideale).E’ possibile utilizzare la formula F = ilB sinα per calcolare la forza che agisce sul filo nel caso incui esso misuri 0,2cm? E nel caso in cui misuri 50cm?Argomentare sinteticamente, ma in modo esauriente, la risposta. (max. 8 righe)

1.7 Problemi

1.7.1 Esercizio 1

Si consideri una carica q1 = +3 · 10−6C.

1. Scrivere l’espressione E(r) del campo elettrico da essa generato.

2. Calcolare l’intensita del campo ad una distanza d = 1, 3m.

3. Si pone una carica q2 = −2 · 10−6C ad una distanza d = 1, 3m da q1. Sia F la forza esercitata daq1 su q2. Quale delle seguenti affermazioni e vera?

• q2 e respinta con una forza F ' 3, 2 · 10−2N

• q2 e attratta con una forza F ' 3, 2 · 10−2N

• q2 e attratta con una forza F ' 3, 55 · 10−12N

• q2 e respinta con una forza F ' 4, 15 · 10−2N

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Capitolo 2

Campi e forze; flusso e circuitazionedi un campo

2.1 Quesiti a risposta multipla

1. Due fili conduttori, percorsi da correnti elettriche equiverse e di diversa intensita:

(a) Si attraggono.

(b) Si respingono.

(c) Non risentono di alcuna forza.

(d) Si attraggono secondo la legge di Coulomb.

2. In un dato punto nello spazio e presente un campo elettrico E di intensita pari a 6, 3N/C. Si ponein quel punto una carica q = 2 · 10−3C. Quanto vale la forza elettrica che agisce sulla carica?

(a) Non si puo determinare in quanto non sappiamo quanto vale la carica che ha originato il campoelettrico

(b) F = 3, 15N

(c) F = 12, 6 · 10−6N

(d) F = 12, 6 · 10−3N

3. In un dato punto nello spazio e presente un campo magnetico B di intensita pari a 10−4T. Si ponein quel punto, in direzione perpendicolare al campo magnetico, un filo lungo un metro percorso dauna corrente di intensita i = 5, 34 · 10−3A. Quanto vale la forza che agisce sul filo?

(a) Non si puo determinare in quanto non sappiamo quanto vale la corrente che ha originato ilcampo magnetico.

(b) Zero, poiche il filo e perpendicolare al campo magnetico.

(c) F = 5, 34 · 10−7N .

(d) Nessuna delle precedenti risposte e corretta.

4. La forza che un campo magnetico esercita su di un filo percorso da una corrente elettrica e dovuta,in ultima analisi:

(a) All’attrazione elettrostatica.

(b) Alla forza di Coulomb.

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(c) Alla forza di Lorentz.

(d) All’attrazione gravitazionale.

5. Dire quale delle seguenti affermazioni e falsa:

(a) Una carica elettrica che attraversa perpendicolarmente un campo magnetico si muove sutraiettorie circolari.

(b) Una carica elettrica presente in un campo magnetico non risente di alcuna forza se non e inmovimento.

(c) Una carica elettrica che si muove parallelamente ad un campo magnetico non risente di alcunaforza.

(d) Una carica elettrica che attraversa perpendicolarmente un campo magnetico si muove sutraiettorie di forma parabolica.

6. Si vuole calcolare la forza magnetica esercitata da un filo rettilineo di lunghezza infinita (filo 1) suun tratto di filo (filo 2), di lunghezza l, ad esso parallelo, percorso da una corrente i e posto ad unadistanza d da esso:

(a) La forza puo essere determinata tramite la formula F = ilB sinα.

(b) La forza non puo essere determinata tramite la formula riportata al punto precedente percheil campo magnetico non ha valore uniforme lungo il tratto di filo 2.

(c) Nella formula F = ilB sinα, i si riferisce alla corrente che percorre il filo 1.

(d) Sul filo 2 non agira nessuna forza perche i due fili sono paralleli fra loro.

7. Si vuole calcolare la forza magnetica esercitata da una spira circolare percorsa da corrente su untratto di filo rettilineo, posto al suo centro e di lunghezza pari alla meta del raggio della spira.

(a) Per calcolare tale forza si puo utilizzare il fatto che il campo magnetico all’interno della spiravale B = µ0i/2r.

(b) Nella formula F = ilB sinα, B indica il campo al centro della spira, che coincide con il puntocentrale del tratto di filo.

(c) Il campo magnetico all’interno della spira non e uniforme e percio non si puo utilizzare laformula F = ilB sinα.

(d) Sul filo non agisce nessuna forza poiche il filo giace nello stesso piano della spira.

8. Quale delle seguenti affermazioni e corretta?

(a) Il flusso del campo magnetico B di una superficie S e dato dalla formula φB(S) = BS cosα.

(b) Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie e nullo se il campo e parallelo allasuperficie.

(c) Nella formula per il calcolo del flusso del campo magnetico, α rappresenta l’angolo tra lasuperficie ed il campo.

(d) All’aumentare della superficie, il flusso del campo magnetico attraverso di essa diminuisce.

9. Una carica q = 5 · 10−12C si muove ad una velocita di 103m/s all’interno di un campo magneticouniforme di intensita B = 2, 345 · 10−4T.

(a) Si puo calcolare la forza che agisce sulla carica tramite la formula F = ilB sinα.

(b) Si puo utilizzare la formula di Lorentz per calcolare la forza subıta dalla carica, a patto diconoscere l’angolo tra la direzione del moto e la direzione del campo magnetico.

(c) I dati sono sufficienti per calcolare la forza che agisce sulla carica.

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(d) La carica non risente di alcuna forza.

10. Una carica q si muove ad una certa velocita all’interno di un campo magnetico uniforme. Se laparticella raddoppia la sua carica, la forza che esse risente da parte del campo magnetico:

(a) Dimezzera.

(b) Raddoppiera.

(c) Non si puo dire niente riguardo a tale forza con i dati forniti.

(d) Nessuna delle precedenti risposte e corretta.

2.2 Quesiti a risposta aperta

1. All’interno di un solenoide e presente, oltre ad un campo magnetico, un campo elettrico (generatotramite un condensatore). Si pone una carica elettrica all’interno del solenoide.Descrivere il comportamento della carica (se rimane ferma, se si muove), spiegandone le ragioni.

2. Illustrare la relazione sussistente fra la formula in che senso la formula “macroscopica” F = ilB sinαe la sua “controparte microscopica” F = qvB sinα.

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Appendice A

Richiami di teoria

A.1 Introduzione

La descrizione dei fenomeni dell’elettromagnetismo puo essere fatta a diversi livelli, dal piu “vicino alsenso comune” (ma poco generale) al piu astratto (ma piu generale). In particolare, sono possibili leseguenti descrizioni:

1. Descrizione qualitativa dei fatti sperimentali e leggi empiriche: si tratta di formule che si basanosul concetto di forza e sono pertanto deducibili da semplici esperimenti (Coulomb, Oersted etc.).

2. Descrizione tramite il concetto di campo.

3. Descrizione tramite le equazioni di Maxwell, in cui si utilizzano i concetti di flusso e circuitazionedi un campo vettoriale.

Di seguito sono presentati i principali fatti relativi all’elettromagnetismo in ciascuna delle descrizioniappena elencate; piu avanti mostreremo nel dettaglio come si passa da una descrizione all’altra. Perpassare da una descrizione all’altra e fondamentale la legge di forza (forza di Lorentz), che, affiancataalle equazioni di Maxwell, ha proprio la funzione di “ponte” fra le varie descrizioni.

A.2 Principali fatti sperimentali e leggi empiriche

A.2.1 Fenomeni elettrici

Attraverso un elettroscopio e possibile studiare in modo sistematico i principali fenomeni elettrostatici;in particolare si osserva che:

• Corpi elettricamente carichi si attraggono o si respingono a seconda che le loro cariche sianorispettivamente uguali o opposte.

I vari fenomeni sono sintetizzabili nella legge di Coulomb:

F = kq1q2r2

; k ' 9 · 109Nm2

C2(costante di Coulomb) (A.1)

Al posto della costante di Coulomb si puo considerare la seguente:

ε0 ≡1

4πk' 8, 85 · 10−12

F

m(costante dielettrica del vuoto)

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A.2.2 Interazioni magnete-magnete, magnete-corrente, corrente-corrente

• Materiali magnetici, quali l’ago di una bussola, risentono dell’effetto di particolari materiali in cuie presente magnetite;

• L’ago di una bussola posto in prossimita di un filo percorso da corrente subisce uno spostamento(esperienza di Oersted);

• Un magnete esercita una forza su un conduttore percorso da corrente (esperienza di Faraday);

• Due fili percorsi da corrente si attraggono o si respingono a seconda che le correnti siano rispetti-vamente equiverse o opposte (esperienza di Ampere).

L’interazione tra fili percorsi da corrente e sintetizzabile nella legge di Ampere:

F =µ0

li1i2r

; µ0 ' 12, 56 · 10−7H

m(permeabilita magnetica del vuoto) (A.2)

A.2.3 Correnti indotte

Si puo notare che in una spira viene generata una corrente indotta in uno dei seguenti casi:

• La spira viene trascinata fuori dalla regione occupata dal campo magnetico;

• La spira viene fatta ruotare all’interno del campo magnetico;

• Un magnete viene avvicinato alla spira.

Tutti questi fenomeni sono sintetizzabili nella legge di Faraday-Neumann-Lenz:∮CE · dl = −dφS(B)

dt(A.3)

A.3 La descrizione tramite il concetto di campo

A.3.1 Il concetto di campo

I fatti sperimentali descritti nel paragrafo precedente si basano sostanzialmente su concetti abbastanzavicini all’intuizione comune, come la carica elettrica, la corrente elettrica e la forza. Quegli stessifatti possono essere descritti, oltre che dalle formule A.1 e A.2, introducendo il concetto di campo.Anziche mettere in relazione diretta le due cariche o le due correnti, si introduce un mediatore della lorointerazione, che e appunto il campo. Cosı, in questo quadro concettuale, invece che dire che le due caricheo le due correnti si attraggono o respingono tra loro, diremo che:

• Le cariche e le correnti generano rispettivamente campi elettrici e campi magnetici.

• A loro volta, le cariche e le correnti risentono di forze generate da campi elettrici e magnetici.

Questo quadro concettuale e sintetizzato in figura A.1 e nelle tabelle A.1 e A.2, che proponiamo qui diseguito.

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Figura A.1: Schema delle relazioni tra sorgenti, campi, forze.

Tabella A.1: Sintesi concettuale delle relazioni tra sorgenti e campi.

campo elettrico campo magnetico

sorgenti statichelegge di Gauss legge di Ampere

q → E i→ B

campi variabililegge di Faraday legge di Ampere

dBdt → E dE

dt → B

Tabella A.2: Forze esercitate dai campi su cariche e correnti elettriche.

campi elettrici campi magnetici

su cariche elettriche F = qE

su correnti elettriche F = ilB sinα

A.3.2 Campi generati da particolari configurazioni

Nella tabella A.3, invece, sono riportate le formule per i campi generati da alcuni particolari configurazionidi cariche e di correnti elettriche.

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Tabella A.3: Campi generati da particolari configurazioni di cariche e correnti.

Campi elettrici E = k qr2 campo elettrico di una carica puntiforme

Campi magnetici

B = µ0i2r campo al centro di una spira circolare

B = µ0i2πr campo di un filo rettilineo di lunghezza infinita

B = µ0ni = µ0Nl i campo all’interno di un solenoide

A.4 Le equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell sintetizzano tutti i fenomeni dell’elettromagnetismo e li descrivono in un modoconcettualmente unitario.

Tabella A.4: Equazioni di Maxwell.

campo elettrico campo magnetico

campi statici φS(E) = Qε0

φS(B) = 0

campi variabili∮C E · dl = −dφS(B)

dt

∮C B · dl = µ0i+ µ0ε0

dφS(E)dt

A.5 Strumenti matematici e concettuali

Per formalizzare e tradurre in formule i fatti sperimentali illustrati sopra, risulta utile l’introduzione deiseguenti concetti:

• Campo vettoriale (vedi tabella A.5).

– Campo uniforme: un campo si dice uniforme se e uguale in ogni punto dello spazio.

– Campo statico: un campo si dice statico se e uguale in ogni istante di tempo; in altre parolese e costante nel tempo.

• Flusso di un campo attraverso una superficie;

• Circuitazione di un vettore lungo un percorso chiuso.

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Tabella A.5: Campi statici e non; uniformi e non uniformi.

statico uniforme

(non dipende da t) (non dipende da r)

E(r) = k X X

E(r) = kqr2 X

E(t) = ktq X

E(r, t) = kqr2 sin(ωt)

A.6 Collegare le varie descrizioni

Prendiamo l’esempio di due cariche elettriche che interagiscono fra loro:

• Descrizione classica: la forza fra le due cariche e data dalla legge di Coulomb e vale F = k q1q2r2 .

• Descrizione tramite il concetto di campo:

– La carica q1 genera un campo elettrico E(r) = k q1r2 ;

– La carica q2 risente di una forza che e data dalla formula F = q2 · E;

– Avremo percio che la forza risentita dalla carica q2 e F = q2 · k q1r2 = k q1q2r2 , in accordo con ilrisultato trovato precedentemente tramite la legge di Coulomb.

• Descrizione tramite le equazioni di Maxwell

– Consideriamo una superficie sferica attorno alla carica q, di raggio r: tale superficie valeS = 4πr2;

– Il campo elettrico, su tale superficie, e costante, essendo tutti i suoi punti equidistanti dallacarica posta al centro; pertanto, il flusso del campo sara φS(E) = 4πr2E;

– La prima equazione di Maxwell diventa allora: 4πr2E = qε0

; da cui si ricava facilmente il valoredel campo gia trovato al punto precedente;

– Per trovare la forza, si procede come nell’ultimo punto dell’elenco precedente.

Questo modo di procedere puo essere seguito anche negli altri casi, come ad esempio nell’interazionefra fili percorsi da corrente.

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