Appunti di geometria del pianoGianpaolo Prina

Istituto Prof. “G. Sismondi” – PesciaAnno scolastico 2010-2011

La geometria e gli enti primitivi

La geometria e la disciplina che descrive e studia le proprieta di figure individuate come rappre-sentazioni ideali degli oggetti reali. Essa e stata esposta in forma razionale e sistematica negliElementi , opera del matematico greco Euclide (III secolo a.C.). Da piu di duemila anni questotesto e considerato fondamentale nella formazione matematica di base, e la geometria elementareviene per questa ragione denominata “geometria euclidea”.

I primi oggetti (o meglio “enti”) considerati dalla geometria sono i cosiddetti enti primitivi : ilpunto; la retta; il piano. Di essi non e possibile dare una definizione formale, ma ci si deve affidareall’intuizione per avere una rappresentazione esatta del concetto: il punto non ha dimensioni ede quindi un’entita assolutamente immateriale; la retta ha la sola dimensione della lunghezza ed eillimitata, ossia non ha inizio ne fine; il piano e “infinitamente sottile”, ossia non ha spessore, ma siestende illimitatamente in tutte le direzioni. Per gli scopi pratici, si puo dare una rappresentazioneapprossimata degli enti primitivi, ed e cio che si fa abitualmente quando ad esempio si traccia sucarta o su lavagna, mediante un opportuno strumento di scrittura, un punto (che in realta e qualcosadi simile a un cerchietto), oppure una retta (che in realta e qualcosa di simile a un rettangolo “moltostretto” e comunque di lunghezza finita, date le dimensioni finite del supporto su cui si scrive).

Tutti gli altri enti di cui la geometria si occupa necessitano invece di una definizione, ossia diuna frase in cui a ciascun ente viene associato un nome e vengono presentate le sue caratteristiche.Naturalmente, nel “corpo” della definizione potranno essere presenti soltanto enti primitivi, entigia definiti in precedenza, o termini del linguaggio comune.

Esempio: la frase: “Un parallelogramma e un quadrilatero con i lati opposti paralleli” definiscecorrettamente l’ente geometrico “parallelogramma”, a condizione di aver gia fornito definizionicorrette per i termini “quadrilatero”, “lati”, “opposti”, “paralleli”.

Alcune definizioni fondamentali

Def.: Una semiretta e ciascuna delle due parti in cui una retta viene divisa da un suo punto. Talepunto e detto origine delle due semirette. Le due semirette che appartengono alla stessa rettaed hanno la stessa origine si dicono opposte.

Def.: Un semipiano e ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso da una sua retta.

Def.: Un segmento e la parte di retta delimitata da due suoi punti. Tali punti si dicono estremi delsegmento.

Def.: Un angolo e la parte di piano compresa fra due semirette aventi la stessa origine. L’originecomune e detta vertice dell’angolo; le due semirette sono i lati dell’angolo stesso.

Def.: Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno un estremo in comune.

Def.: Due segmenti si dicono adiacenti quando sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta.

Def.: Due rette appartenenti allo stesso piano si dicono parallele se non hanno punti in comune.

Def.: Due angoli si dicono consecutivi quando hanno in comune il vertice ed un lato, e giacciononei due semipiani opposti ripetto al lato in comune.

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Def.: Due angoli si dicono adiacenti quando sono consecutivi e i due lati non comuni sono duesemirette opposte.

Def.: Un angolo si dice piatto quando i suoi lati sono due semirette opposte (l’angolo piatto coincidecon un semipiano).

Def.: L’angolo giro e l’angolo i cui lati sono semirette coincidenti (l’angolo giro coincide con l’interopiano).

Def.: L’angolo retto e la meta di un angolo piatto.

Def.: Due rette si dicono perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli retti.

Convenzioni di rappresentazione

• I punti sono indicati con le lettere maiuscole dell’alfabeto: A, B, C,D, . . .

• Le rette sono indicate con le lettere minuscole dell’alfabeto: a, b, c, d, . . .

• I piani sono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto greco: α (alfa), β (beta), γ (gamma),δ (delta), . . .

• Gli angoli sono anch’essi indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto greco, oppure con lelettere corrispondenti agli estremi dei segmenti che delimitano l’angolo (es.: ABC)

Postulato - teorema - dimostrazione

Le proposizioni che descrivono le relazioni tra enti geometrici si distinguono in due categorie:

• postulati o assiomi: sono proposizioni fondamentali, che devono essere accettate come veresenza dimostrazione per poterne ricavare altre proprieta o relazioni;

• teoremi: sono proposizioni che necessitano di una dimostrazione, ossia di una sequenza dideduzioni logiche mediante le quali, partendo da affermazioni considerate vere (ipotesi), siarriva ad accettare come vera una nuova affermazione (tesi).

Alcune osservazioni riguardo a cio che e ammesso o non ammesso in una dimostrazione:

• E sempre ammesso il ricorso ai postulati e ai teoremi gia dimostrati in precedenza; non eammesso l’uso di semplici considerazioni del tipo “e evidente che...”, “si vede che...”, ecc.

• E sempre ammesso integrare la figura iniziale mediante la costruzione di elementi (pun-ti, rette, segmenti, ecc.) che possano risultare utili ai fini della dimostrazione, purche lecostruzioni stesse siano realizzabili con riga e compasso (ad esempio, non sarebbe ammessauna costruzione che prevedesse di dividere un angolo in tre parti uguali, dal momento chetale costruzione non e realizzabile con riga e compasso).

• In molti casi (ma non sempre!) e possibile scambiare l’ipotesi con la tesi, ottenendo cosı unnuovo teorema che prende il nome di teorema inverso di quello originario.

Alcuni postulati:

Post.: Per un punto di un piano passano infinite rette.

Post.: Per due punti distinti di un piano passa una ed una sola retta.

Post.: Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano.

Post.: Dati, su un piano, una retta ed un punto esterno alla retta, esiste una ed una sola retta chepassa per quel punto ed e parallela alla retta data.

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La congruenza delle figure

Si dovrebbe correttamente usare il termine “uguaglianza” soltanto per indicare la coincidenza puntoper punto di due figure. Per indicare, invece, la sovrapponibilita punto per punto di due figuredistinte si usa il termine piu specifico “congruenza”. Dato il carattere fortemente semplificativodella presente trattazione, sara in generale consentito usare il termine “uguaglianza” (e suoi derivati)anche nel significato di “congruenza”.

Def.: Due figure si dicono congruenti se risultano sovrapponibili punto per punto l’una sull’altramediante un movimento rigido, ossia un movimento che consente di trasportare le figure senzadeformarle.

Confronto, somma e differenza di segmenti ed angoli

Confrontare due segmenti significa stabilire se sono o meno congruenti e, in caso negativo, qualedei due e il maggiore. Per effettuare il confronto bastera trasportare mediante un movimento rigidouno dei due segmenti sull’altro in modo che due loro estremi coincidano. Se anche i secondi estremicoincidono, i due segmenti risultano congruenti, in caso contrario non sono congruenti.

Per ottenere la somma di due segmenti occorre innanzitutto trasportare il secondo in posizioneadiacente al primo; il segmento somma e quello che ha per estremi i loro estremi non comuni.

[Si lascia come esercizio la descrizione del procedimento per ottenere la differenza di due segmenti(di cui il primo evidentemente maggiore del secondo), come pure le operazioni di confronto, sommae differenza di angoli.]

Dal confronto e dalla somma di angoli discendono le seguenti definizioni:

Def.: Due angoli si dicono supplementari se la loro somma e un angolo piatto (due angoli adiacenti ,per quanto osservato in precedenza, sono quindi supplementari).

Def.: Due angoli si dicono complementari se la loro somma e un angolo retto.

Def.: Un angolo si dice acuto se e minore di un angolo retto.

Def.: Un angolo si dice ottuso se e maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto.

Def.: Si definisce bisettrice di un angolo la semiretta, uscente dal vertice, che divide l’angolo in dueangoli congruenti.

e i seguenti teoremi (di cui si tralascia la dimostrazione):

Teor.: Due angoli complementari di uno stesso angolo sono congruenti.

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Teor.: Due angoli supplementari di uno stesso angolo sono congruenti.

Teor.: Due angoli opposti al vertice (ossia aventi il vertice in comune e i lati appartenenti alle stesserette) sono congruenti.

Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale

Consideriamo nel piano due rette parallele r e s, intersecate da una terza retta (“trasversale”) t; siindividuano otto angoli che sono denominati come segue:

Corrispondenti: α, α′ ; β, β′ ; γ, γ′ ; δ, δ′

Alterni interni: δ, β′ ; γ, α′

Alterni esterni: α, γ′ ; β, δ′

Coniugati interni: δ, α′ ; γ, β′

Coniugati esterni: α, δ′ ; β, γ′

Con riferimento alla nomenclatura appena introdotta, si ha il seguente importante teorema (di cuisi tralascia la dimostrazione):

Teor.: Due rette parallele tagliate da una trasversale formano:

– angoli corrispondenti congruenti

– angoli alterni (interni ed esterni) congruenti

– angoli coniugati (interni ed esterni) supplementari

In questo caso e anche possibile scambiare l’ipotesi con la tesi, e risulta quindi anche vero il teoremainverso:

Teor.: Se due rette tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti congruenti, oppureangoli alterni (interni o esterni) congruenti, oppure angoli coniugati (interni o esterni) sup-plementari, allora le due rette sono parallele.

Poligoni - triangoli

Alcune definizioni preliminari:

Def.: Una figura costituita da segmenti a due a due consecutivi e detta poligonale; i segmenti stessisi dicono lati della poligonale.

Def.: Una poligonale e chiusa se l’ultimo estremo coincide con il primo; in caso contrario lapoligonale si dice aperta.

Def.: Una poligonale si dice intrecciata se due suoi lati non consecutivi si intersecano.

Def.: Si definisce poligono la parte di piano delimitata da una poligonale chiusa non intrecciata.

Def.: Un triangolo e un poligono delimitato da tre lati; i punti estremi dei tre lati si dicono verticidel triangolo; il vertice non appartenente a un lato si dice opposto al lato stesso.

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Somma degli angoli di un triangolo

Teor.: La somma degli angoli di un triangolo e congruente a un angolo piatto.

Dimostrazione.Ipotesi: ABC e un triangolo Tesi: A + B + C = angolo piatto

Costruiamo la retta passante per C e parallela al lato AB (il postulato visto in precedenzaassicura l’esistenza e l’unicita di tale retta; se ne vedra in seguito una costruzione elementare conriga e compasso). Per il teorema delle rette parallele tagliate da una trasversale risulta:

• BAC = ACH = α perche angoli alterni interni di rette parallele tagliate da una trasversale

• ABC = BCK = β perche angoli alterni interni di rette parallele tagliate da una trasversale

Si ha quindi A + B + C = α + β + γ = ACH + ACB + BCK = angolo piatto.

Somma degli angoli di un poligono qualsiasi

Def.: Si definisce diagonale di un poligono un segmento che unisce un vertice con un altro verticenon consecutivo.

Teor.: La somma degli angoli di un poligono di n lati e congruente a (n− 2) angoli piatti.

Dimostrazione.Tracciando tutte le diagonali uscenti da un vertice (ad esempio da A), il poligono di n lati risulta

suddiviso in (n−2) triangoli, e la somma degli angoli del poligono e uguale alla somma degli angolidi questi (n− 2) triangoli, ossia (n− 2) angoli piatti, per il teorema appena dimostrato.

Classificazione dei triangoli

Un criterio per classificare i triangoli e quello basato sulla congruenza dei lati:

Def.: Un triangolo e equilatero quando ha i tre lati congruenti.

Def.: Un triangolo e isoscele quando ha due lati congruenti. Nel triangolo isoscele, il lato noncongruente agli altri viene solitamente detto base e i due angoli ad esso adiacenti vengonodetti angoli alla base; gli altri due lati vengono solitamente detti lati obliqui .

Def.: Un triangolo e scaleno quando ha i tre lati tra loro non congruenti.

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Un altro criterio e quello basato sugli angoli:

Def.: Un triangolo e rettangolo quando ha un angolo retto. I due lati che formano l’angolo rettosono detti cateti ; il lato opposto all’angolo retto e detto ipotenusa.

Def.: Un triangolo e ottusangolo quando ha un angolo ottuso.

Def.: Un triangolo e acutangolo quando ha i tre angoli acuti.

Osservazione: se un triangolo ha un angolo retto oppure un angolo ottuso, gli altri due angoli sononecessariamente acuti, in quanto la somma degli angoli di un triangolo – come e stato dimostratoin precedenza – e congruente a un angolo piatto.

Altezze - mediane - bisettrici

Def.: Si definisce altezza relativa a un lato di un triangolo il segmento di perpendicolare condottoda un vertice al lato opposto. In un triangolo vi sono tre altezze, che si incontrano in unpunto (non necessariamente interno al triangolo) detto ortocentro.

Def.: Si definisce mediana relativa a un lato di un triangolo il segmento che unisce un vertice conil punto medio del lato opposto. In un triangolo vi sono tre mediane che si incontrano in unpunto (interno al triangolo) detto baricentro.

Def.: Si definisce bisettrice relativa a un vertice di un triangolo il segmento appartenente alla biset-trice dell’angolo e interno al triangolo. Le bisettrici dei tre angoli di un triangolo si incontranoin un punto (interno al triangolo) detto incentro.

Congruenza dei triangoli

Come gia detto in precedenza, per affermare che due triangoli sono congruenti e necessario di-mostrare che essi sono sovrapponibili punto per punto. I criteri di congruenza dei triangoli sono,per cosı dire, delle “scorciatoie” che consentono di dimostrare la congruenza di due triangoli apartire da un numero ridotto di elementi (tre del primo triangolo e tre del secondo). Sono tra glienunciati piu importanti di tutta la geometria, in quanto proprio sulla congruenza dei triangoli ebasata la dimostrazione di moltissimi teoremi.

Primo criterio di congruenza dei triangoli. Due triangoli sono congruenti se hannorispettivamente congruenti due lati e l’angolo compreso.

Secondo criterio di congruenza dei triangoli. Due triangoli sono congruenti se hannorispettivamente congruenti due angoli e il lato compreso [oppure: un lato e i due angoli ad essoadiacenti].

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Terzo criterio di congruenza dei triangoli. Due triangoli sono congruenti se hanno i trelati rispettivamente congruenti.

Proprieta del triangolo isoscele

Teor.: In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti.

Teor.: In un triangolo isoscele, la bisettrice dell’angolo opposto alla base e anche mediana e altezzarelativa alla base.

Dimostrazione.Ipotesi: AC = BC ; ACH = BCHTesi: BAC = ABC ; AH = BH ; CHA = CHB = angolo retto.

Confrontiamo i triangoli ACH e BCH. Essi hanno:

• AC = BC per ipotesi

• il lato CH in comune

• ACH = BCH per ipotesi

Essi risultano dunque congruenti per il primo criterio di congruenza. Hanno pertanto tutti gli ele-menti corrispondenti congruenti, e in particolare BAC = ABC, AH = BH e CHA = CHB. Questiultimi, in particolare, risultano angoli retti in quanto, essendo congruenti e adiacenti, ciascuno diessi e la meta di un angolo piatto.

Per i due teoremi appena descritti valgono anche le relazioni inverse:

Teor.: Se in un triangolo due angoli sono congruenti, il triangolo e isoscele.

Teor.: Se in un triangolo la bisettrice di un angolo e anche mediana (oppure altezza) relativa al latoopposto, il triangolo e isoscele.

[Le dimostrazioni di questi teoremi si lasciano per esercizio: si tratta come al solito di verificare la con-

gruenza di due triangoli in base a uno dei criteri visti in precedenza, e di dedurre quindi la congruenza

degli elementi corrispondenti nei due triangoli in questione].

Congruenza dei triangoli rettangoli

Dai criteri di congruenza dei triangoli e dalle proprieta del triangolo rettangolo derivano i seguentiteoremi (talora chiamati “criteri di congruenza dei triangoli rettangoli”):

Teor.: Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno i due cateti rispettivamente congruen-ti. [Dim.: direttamente dal primo criterio di congruenza dei triangoli, in quanto l’angolo“compreso” e l’angolo retto.]

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Teor.: Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un lato (catetoo ipotenusa) e uno degli angoli acuti. [Dim.: per il teorema della somma degli angoli di untriangolo, anche i rimanenti angoli (acuti) risultano congruenti, e i due triangoli sono quindicongruenti per il secondo criterio.]

Teor.: Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un cateto el’ipotenusa. [Dim.: Non e possibile in questo caso applicare direttamente uno dei criteriesaminati in precedenza, in quanto le ipotesi non sono verificate (non si considera infatti trale ipotesi la congruenza di “due lati e l’angolo compreso” ne di “due angoli e il lato compreso”).Si immagini allora di spostare mediante un movimento rigido uno dei due triangoli fino a farcombaciare tra loro i due cateti congruenti: si ottiene in questo modo un triangolo isoscelein cui il cateto comune e altezza relativa alla base. Per quanto osservato in precedenza,l’altezza relativa alla base di un triangolo isoscele e anche mediana, quindi anche i secondicateti risultano congruenti e risulta provata la congruenza dei triangoli per il terzo criterio.]

Parallelogrammi

Def.: Un quadrilatero e un poligono delimitato da quattro lati; i lati non consecutivi si diconoopposti .

Def.: Un parallelogramma e un quadrilatero con i lati opposti paralleli.

Teor.: In un parallelogramma valgono le seguenti proprieta:(a) ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti;(b) i lati opposti sono congruenti;(c) gli angoli opposti sono congruenti;(d) gli angoli adiacenti a ogni lato sono supplementari;(e) le diagonali si incontrano nel loro punto medio.

Dimostrazione.Confrontiamo i due triangoli ABD e BCD. Essi hanno:

• il lato BD in comune;

• ABD = CDB perche angoli alterni interni formati dalle parallele AB e CD tagliate dallatrasversale BD;

• ADB = CBD perche angoli alterni interni formati dalle parallele AD e BC tagliate dallatrasversale BD.

I due triangoli sono quindi congruenti per il secondo criterio di congruenza (tesi a); hanno pertantotutti gli elementi corrispondenti congruenti, ed in particolare:

- AB = DC e AD = BC (tesi b)- DAB = BCD (tesi c) [in maniera analoga, tracciando l’altra diagonale e considerando i

triangoli ABC e ACD, si dimostra la congruenza degli angoli ABC e ADC]

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Gli angoli A e B del parallelogramma sono angoli coniugati interni formati dalle parallele ADe BC tagliate dalla trasversale BD: essi risultano quindi supplementari; analoga conclusione pergli angoli B e C (tesi d).

Per dimostrare la tesi e occorre tracciare anche la seconda diagonale AC e, indicato con O ilpunto d’intersezione delle due diagonali, confrontiamo i due triangoli AOB e COD. Essi hanno:

• AB = DC appena dimostrato (tesi b del teorema precedente);

• ABO = ODC perche angoli alterni interni formati dalle parallele AB e CD tagliate dallatrasversale BD;

• BAO = OCD perche angoli alterni interni formati dalle parallele AB e CD tagliate dallatrasversale AC.

I due triangoli sono quindi congruenti per il secondo criterio di congruenza ed hanno pertanto tuttigli elementi corrispondenti congruenti, in particolare AO = OC e OB = OD, (tesi e).

Nel teorema precedente l’ipotesi puo essere scambiata con ciascuna delle tesi b - c - d - e,ottenendo i seguenti teoremi (inversi del precedente):

Teor.: Se un quadrilatero ha i lati opposti congruenti, esso e un parallelogramma.

Teor.: Se un quadrilatero ha gli angoli opposti congruenti, esso e un parallelogramma.

Teor.: Se un quadrilatero ha gli angoli adiacenti a ciascun lato supplementari, esso e un parallelo-gramma.

Teor.: Se in un quadrilatero le diagonali si incontrano nel loro punto medio, esso e un parallelogramma.

Riportiamo la dimostrazione del primo di questi teoremi, lasciando le rimanenti come esercizio.

Ipotesi: AB = DC e AD = BC Tesi: ABCD e un parallelogrammaDimostrazione.Confrontiamo i due triangoli ABD e BCD. Essi hanno:

• il lato BD in comune;

• AB = DC e AD = BC per ipotesi

I due triangoli sono quindi congruenti per il terzo criterio di congruenza; hanno pertanto tutti glielementi corrispondenti congruenti, ed in particolare:

- ABD = BDC;- ADB = DBC.Poiche questi angoli sono alterni interni di due rette tagliate da una trasversale, le rette stesse

risultano parallele, da cui segue la tesi.

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Osservazione: non e invece possibile scambiare la tesi a con l’ipotesi originaria, ossia none vero che “se un quadrilatero e diviso da una diagonale in due triangoli congruenti, esso e unparallelogramma”, come e evidenziato dalla figura seguente, in cui i due triangoli ABD e BCDsono effettivamente congruenti, mentre il quadrilatero ABCD non e un parallelogramma.

Rettangolo

Def.: Un rettangolo e un parallelogramma con i quattro angoli congruenti [ovvero: con i quattroangoli retti].

Teor.: In un rettangolo le diagonali sono congruenti.

Dimostrazione.Confrontiamo i due triangoli ABD e ABC. Essi hanno:

• il lato AB in comune;

• AD = BC perche lati opposti di un parallelogramma;

• A = B perche entrambi retti.

I due triangoli sono quindi congruenti per il primo criterio di congruenza; hanno pertanto tutti glielementi corrispondenti congruenti, ed in particolare AC = BD (tesi).

E possibile scambiare l’ipotesi con la tesi, ottenendo il teorema inverso:

Teor.: Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti, esso e un rettangolo.

Dimostrazione.Confrontiamo i due triangoli ABD e ABC. Essi hanno:

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• il lato AB in comune;

• AD = BC perche lati opposti di un parallelogramma;

• AC = BD per ipotesi.

I due triangoli sono quindi congruenti per il terzo criterio di congruenza; hanno pertanto tutti glielementi corrispondenti congruenti, ed in particolare A = B. Questi due angoli, essendo anche sup-plementari in quanto angoli adiacenti ad un lato di un parallelogramma, risultano quindi entrambiretti (tesi).

Rombo

Def.: Un rombo e un parallelogramma con i quattro lati congruenti.

Teor.: In un rombo le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli.

Dimostrazione.Il triangolo ADC e isoscele perche AD = DC per ipotesi. Il segmento DO e mediana relativa

alla base, in quanto O e punto medio di AC (in un parallelogramma le diagonali si incontrano nelloro punto medio). Quindi DO, essendo mediana relativa alla base di un triangolo isoscele, e anchealtezza e bisettrice (tesi).

Anche in questo caso e possibile scambiare l’ipotesi con la tesi, ottenendo i due teoremi inversi:

Teor.: Se un parallelogramma ha le diagonali perpendicolari, esso e un rombo.

Teor.: Se un parallelogramma ha le diagonali che sono bisettrici degli angoli, esso e un rombo.

[Le dimostrazioni di questi due teoremi sono lasciate per esercizio.]

Osservazione (sui teoremi inversi del rettangolo e del rombo): e necessario precisare nell’ipotesiche si tratta di un “parallelogramma” e non di un “quadrilatero” qualsiasi: non e infatti vero, ingenerale, che “se un quadrilatero ha le diagonali congruenti, esso e un rettangolo” oppure che “seun quadrilatero ha le diagonali perpendicolari, esso e un rombo”, come evidenziano le due figureseguenti:

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Quadrato

Def.: Un quadrato e un parallelogramma con i lati e gli angoli congruenti.

Teor.: Un quadrato ha le diagonali congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli.

Dimostrazione.Poiche, in base alla definizione, il quadrato e sia un rettangolo, sia un rombo, esso presenta le

medesime proprieta del rettangolo (diagonali congruenti) e del rombo (diagonali perpendicolari ebisettrici degli angoli).

Valgono anche i teoremi inversi, per la cui dimostrazione basta riferirsi direttamente ai corrispon-denti teoremi relativi al rettangolo e al rombo:

Teor.: Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti e perpendicolari, esso e un quadrato.

Teor.: Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti e bisettrici degli angoli, esso e un quadrato.

Fascio di rette parallele

Teor.: Dato un fascio (ovvero un insieme) di rette parallele tagliato da due trasversali, a seg-menti congruenti su una delle due trasversali corrispondono segmenti congruenti sull’altratrasversale.

Dimostrazione.Ipotesi: r, s, t, u parallele ; AB = CD Tesi: A′B′ = C ′D′

Costruiamo le rette parallele a q e passanti rispettivamente per A e per C (il postulato delleparallele assicura l’esistenza ed unicita di ciascuna delle due rette). Mediante questa costruzione siindividuano i triangoli AMB e CND che hanno:

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• AB = CD per ipotesi

• MBA = NDC e MAB = NCD perche angoli corrispondenti di rette parallele tagliate dauna trasversale

I due triangoli sono dunque congruenti per il secondo criterio di congruenza; hanno pertanto tuttigli elementi corrispondenti congruenti, ed in particolare AM = CN .

I quadrilateri AMB′A′ e CND′C ′ sono parallelogrammi per costruzione, quindi hanno i latiopposti congruenti ed in particolare AM = A′B′ e CN = C ′D′.

Dalle congruenze AM = A′B′, CN = C ′D′ e AM = CN si ricava infine (proprieta transitivadella congruenza) la relazione A′B′ = C ′D′ (tesi).

Il trapezio

Def.: Un trapezio e un quadrilatero con due soli lati paralleli. I due lati paralleli si chiamano basidel trapezio (base maggiore il piu lungo, base minore il piu corto); gli altri due lati, nonparalleli, si chiamano lati obliqui ; la distanza tra le due basi e l’altezza del trapezio.

Def.: Un trapezio e isoscele se ha i due lati obliqui congruenti.

Def.: Un trapezio e rettangolo se ha uno dei lati obliqui perpendicolare alle basi.

Def.: Un trapezio che non sia ne isoscele ne rettangolo e detto scaleno.

Teor.: In un trapezio isoscele, gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti.

Dimostrazione.Tracciamo le altezze DH e CK e confrontiamo i triangoli rettangoli ADH e BCK. Essi hanno:

• AD = BC per ipotesi

• DH = CK per costruzione (lati opposti del rettangolo CDHK)

Essi risultano quindi congruenti, in quanto triangoli rettangoli con l’ipotenusa e un cateto rispetti-vamente congruenti; hanno pertanto gli elementi corrispondenti congruenti, ed in particolare A = B(tesi). Infine, anche gli angoli C e D del trapezio risultano congruenti, in quanto supplementari diangoli congruenti.

Scambiando l’ipotesi con la tesi, abbiamo il teorema inverso:

Teor.: Se in un trapezio gli angoli adiacenti a una delle basi sono congruenti, il trapezio e isoscele.

Dimostrazione.Nella figura precedente, basta osservare che i due triangoli ADH e BCK hanno ora A = B

(per ipotesi) e DH = CK (per costruzione); sono quindi congruenti perche triangoli rettangolicon un cateto ed un angolo acuto rispettivamente congruenti, ed hanno pertanto tutti gli elementicorrispondenti congruenti, in particolare AD = BC (tesi).

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Alcune costruzioni elementari con riga e compasso

1. Costruzione della retta parallela a una retta data e passante per un punto esterno

Si voglia costruire la retta passante per P e parallela alla retta r. Scelti due punti qualsiasi A e Bsu r, si traccia un arco di circonferenza con centro P e raggio AB e successivamente un secondoarco con centro B e raggio AP . Il punto Q d’intersezione dei due archi determina con A, B e Pun quadrilatero che risulta essere un parallelogramma in quanto i lati opposti AB, PQ e AP, BQsono congruenti per costruzione. Quindi la retta s individuata da P e Q risulta parallela a r comesi voleva.

2. Divisione di un segmento in un numero qualsiasi di parti congruenti

Il teorema del fascio di rette parallele consente di ricavare un metodo pratico per suddividere unsegmento dato in un numero qualsiasi di parti tra loro congruenti.

Si supponga ad esempio di dover dividere il segmento dato AB in 5 parti congruenti.Si traccia una semiretta uscente da A con direzione qualsiasi, sulla quale si riportano, a partire

da A, 5 segmenti adiacenti e congruenti (basta puntare il compasso in A con apertura qualsiasi etracciare un arco che interseca la semiretta in un punto N ′, e poi ripetere quattro volte la stessaoperazione con la medesima apertura). Si unisce con B l’estremo E dell’ultimo segmento cosıcostruito e si tracciano le rette N ′N, O′O,P ′P, Q′Q parallele a BE e passanti rispettivamente peri punti N ′, O′, P ′, Q′.

Si e in questo modo costruito un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, su una dellequali (la semiretta costruita inizialmente) vi sono 5 segmenti tra loro congruenti per costruzione.Per il teorema sopra dimostrato, anche i segmenti sulla seconda trasversale (il segmento AB dato)risulteranno congruenti, e si e in tal modo ottenuta la suddivisione del segmento stesso in 5 particongruenti.

E evidente che la costruzione proposta resta valida qualunque sia il numero di parti in cui sivuole suddividere un segmento assegnato.

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3. Costruzione del punto medio di un segmento

Si supponga di voler trovare il punto medio del segmento AB. Puntando il compasso in A conapertura qualsiasi (purche “ad occhio” maggiore della meta del segmento stesso) si traccia un arcodi circonferenza che attraversa il segmento AB; successivamente, si punta il compasso in B e conla stessa apertura si traccia un secondo arco, che interseca il precedente nei punti C e D. Ilquadrilatero ACBD cosı costruito e un rombo, e quindi un parallelogramma; le sue diagonali siintersecano nel loro punto medio, e quindi M (intersezione del segmento AB con il segmento CDche e l’altra diagonale del rombo, risulta il punto medio di AB cercato.

4. Costruzione della retta perpendicolare a una retta data e passante per un suo punto

Si voglia determinare la retta perpendicolare alla retta r e passante per il punto P appartenente a rstessa. Con centro in P e apertura qualsiasi si tracciano due archi di circonferenza che intersecanor nei punti A e B. Successivamente, con centro dapprima in A e poi in B si tracciano due archi dicirconferenza aventi lo stesso raggio (qualsiasi, purche “ad occhio” maggiore della meta di AB). Ilpunto M di intersezione dei due archi determina con A e B un triangolo isoscele per costruzione,in cui il segmento MP e la mediana relativa alla base (in quanto AP = PB per costruzione) ed equindi anche altezza, ossia cade perpendicolarmente rispetto alla base AB stessa, come si voleva.

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5. Costruzione della retta perpendicolare a una retta data e passante per un puntoesterno

Si voglia costruire la retta passante per P e perpendicolare alla retta r. Con centro in P e raggioqualsiasi (purche “ ad occhio” maggiore della distanza di P da r), si traccia un arco di circonferenzache interseca r nei punti A e B. Successivamente, con centro dapprima in A e poi in B si traccianodue archi di circonferenza aventi lo stesso raggio (qualsiasi, purche “ad occhio” maggiore dellameta di AB). Sia D il punto d’intersezione dei due archi. I due triangoli APD e BPD risultanocongruenti per il terzo criterio, avendo il lato PD in comune e le altre coppie di lati rispettivamentecongruenti per costruzione. Pertanto anche gli angoli APD e BPD risultano congruenti, ovvero neidue triangoli ABP e ABD (isosceli per costruzione) il segmento PD risulta bisettrice dell’angoloopposto alla base, e quindi anche altezza relativa alla base stessa, come si voleva.

6. Costruzione della bisettrice di un angolo

Con centro nel vertice A dell’angolo e raggio qualsiasi si traccia un arco di circonferenza che intersecai due lati dell’angolo nei punti E e F . Successivamente, con centro dapprima in E e poi in F sitracciano due archi di circonferenza aventi lo stesso raggio (qualsiasi, purche “ad occhio” maggioredella meta di EF ). Sia L il punto d’intersezione dei due archi. I due triangoli AEL e AFL risultanocongruenti per il terzo criterio, avendo il lato AL in comune e le altre coppie di lati rispettivamentecongruenti per costruzione. Pertanto anche gli angoli FAL e EAL risultano congruenti, ovvero ALrisulta bisettrice dell’angolo ABC, come si voleva.

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