Appunti Acustica

download Appunti Acustica

of 31

description

Appunti di Acustica Universitari

Transcript of Appunti Acustica

  • GIOVANNI CONSOLATI

    APPUNTI DI ACUSTICA A tuttoggi manca un testo italiano introduttivo allAcustica che sia comprensivo sia dei fondamenti fisici, sia di alcune applicazioni. Infatti, nei testi di Fisica Generale si trovano ottime discussioni sulle onde elastiche, ma mancano argomenti quali lacustica architettonica o il disturbo da rumore, che viceversa sono dinteresse per gli studenti dingegneria civile. Daltro canto, i testi di Acustica applicata spesso danno per scontati i fenomeni fisici e sono quindi di difficile comprensione per coloro i quali affrontano largomento per la prima volta. Questo il motivo per cui ho scritto queste note, che non hanno alcuna pretesa di originalit; mi sono infatti largamente servito dei testi che ho citato nella bibliografia, e ai quali rimando per approfondimenti. Ho suddiviso il materiale in due capitoli, il primo dei quali riassume i fenomeni fisici che sono alla base delle nostre percezioni sonore; il secondo prende in esame alcuni aspetti dellAcustica (ludito e la fonometria, i materiali fonoassorbenti, lacustica degli ambienti e il disturbo da rumore) che si prestano a una discussione elementare. Sono stati esclusi argomenti importanti (quali la strumentazione per misure acustiche e la trasmissione del suono attraverso le strutture) ma pi specifici e che possono trovare posto in un corso pi avanzato. Ringrazio in anticipo quanti vorranno segnalarmi refusi, errori o carenze, dei quali mi assumo in pieno la responsabilit. Milano, 16 Novembre 2003 Giovanni Consolati

    1

  • Indice

    Cap. 1 Elementi di acustica fisica

    1.1 Generalit sulle onde p. 3 1.2 Lequazione delle onde p. 4 1.3 Onde su una corda tesa p. 4 1.4 Onde sonore in un gas p. 6 1.5 La velocit di propagazione del suono p. 9 1.6 Onde piane armoniche p. 11 1.7 Teorema di Fourier sulle funzioni periodiche p. 12 1.8 Impedenza acustica p. 16 1.9 Intensit delle onde sonore p. 17 1.10 Onde sferiche p. 18 1.11 Assorbimento di onde sonore p. 19 1.12 Interferenza p. 20 1.13 Battimenti p. 21 1.14 Riflessione di onde sonore p. 23 1.15 Onde stazionarie p. 25 1.16 Diffrazione di onde sonore p. 28 1.17 Leffetto Doppler p. 30

    Cap. 2 Elementi di acustica applicata 2.1 Lorecchio umano p. 32 2.2 La scala dei decibel p. 34 2.3 Fonometria 2.3.1 Le curve isofoniche e la scala dei phon p. 36 2.3.2 Fonometri p. 38 2.3.3 Effetti sul sistema uditivo di alte sonorit p. 39 2.4 Acustica dei materiali 2.4.1 Generalit p. 39 2.4.2 Materiali fonoassorbenti p. 40

    2.5 Acustica degli ambienti 2.5.1 Generalit p. 44 2.5.2 Criteri di progettazione di una sala p. 48 2.5.3 Acustica di piccoli ambienti p. 53 2.5.4 Camere acustiche speciali p. 54 2.6 Barriere acustiche p. 55 2.7 Il disturbo da rumore 2.7.1 Generalit p. 56 2.7.2 Il livello sonoro ponderato A p. 57 2.7.3 Il livello equivalente continuo p. 57 2.7.4 Limiti di tollerabilit p. 58 Bibliografia p. 59

    2

  • Capitolo 1 Elementi di acustica fisica 1.1 Generalit sulle onde Un onda una perturbazione, periodica o impulsiva, che si propaga con una definita velocit. Le onde originano da una sorgente che produce la perturbazione. Esistono molti tipi di onde: onde di origine meccanica, come le onde elastiche (ad es. onde sonore in un gas), o come le onde sismiche generate nei terremoti, o le onde sulla superficie di un liquido. Tutti questi tipi di onde si possono propagare solo in presenza di un mezzo e sono generate dalla vibrazione di una sorgente che mette in moto le particelle del mezzo circostante. Ci sono poi le onde elettromagnetiche, generate da un moto di cariche elettriche; esse non hanno bisogno, per la loro propagazione, del supporto di un mezzo, ma possono propagarsi anche nel vuoto. Sebbene londa si propaghi in un mezzo non si ha trasporto netto di materia: gli atomi o le molecole del mezzo vengono posti in movimento ed oscillano attorno a delle posizioni di equilibrio. Londa trasporta invece quantit di moto ed energia. Londa viene descritta come la perturbazione, rispetto alla configurazione di equilibrio, di un campo opportuno; il campo pu avere carattere scalare (ad es. campo di pressione per le onde sonore), o vettoriale (p.es. campo elettromagnetico per le onde elettromagnetiche). Descriviamo la perturbazione del campo con una funzione delle coordinate spaziali x, y, z, e del tempo t : ( tzyx ,,, ) . Tale funzione pu essere periodica, oppure impulsiva. Se comunque deve rendere conto di un fenomeno che si sposta con velocit v, occorre che le coordinate spaziali e temporali soddisfino a una condizione opportuna. Consideriamo per semplicit unonda che si propaghi solo in una direzione (x): dunque ),( tx descrive il profilo dellonda e ad un istante fissato e nel punto di ascissa il campo ha il valore

    1t

    1x ( )111 , tx = . Se londa si propaga nel verso positivo dellasse delle x (onda progressiva), ad un istante successivo (figura 1) ritroveremo il valore 12 tt >

    1 in una posizione tale per cui: 2x )( 1212 ttvxx += . Se dunque devessere ( )221 , tx = occorre che largomento della funzione sia del tipo: vtx . Infatti in questo caso: ( ) ( )[ ] ( ) 111212122, ==+= vtxvtttvxtx e ritroviamo il valore 1 allistante in corrispondenza ad un valore dellascissa spostato verso destra, come ci si aspetta in un fenomeno di propagazione.

    2t

    Figura 1 0

    x

    (x,t1) (x,t2>t1)

    Anche un argomento del tipo vtx + nellespressione della funzione ),( tx descrive unonda, che tuttavia si propaga nel verso negativo dellasse delle ascisse, come si riconosce immediatamente (onda regressiva). In conclusione, qualunque funzione del tipo ( )vtx descrive unonda che si propaga con velocit v lungo lasse delle x, in un verso o in quello opposto, senza deformarsi. Tali onde sono dette piane (vedremo pi avanti il perch di tale denominazione).

    3

  • Esercizio 1. Esprimere la forma donda di un impulso che si propaga con velocit v nella direzione x sapendo che allistante iniziale 1)0,( =xf per Lx 0 e 0 altrove. 1.2 Lequazione delle onde Vediamo a quale equazione soddisfa una funzione del tipo ( )vtx . Deriviamo due volte rispetto alla variabile x:

    ' =

    x; ''2

    2 =

    x

    Deriviamo due volte rispetto al tempo:

    ' vt

    = ; 2

    222

    2

    2''

    xvv

    t ==

    Dunque, vale lequazione:

    01 22

    22

    2=

    tvx (1)

    detta appunto equazione delle onde o di DAlembert. In tre dimensioni si ottiene:

    01 22

    22

    2

    2

    2

    2

    2=

    +

    +

    tvzyx (2)

    Lequazione omogenea (manca il termine noto) e lineare (la funzione compare, attraverso le sue derivate, solo alla prima potenza). Questo implica che, se 1 e 2 sono due possibili soluzioni dellequazione, lo anche una loro combinazione lineare: 21 + , con , coefficienti (principio di sovrapposizione). Fisicamente significa che due o pi onde possono attraversare lo stesso spazio contemporaneamente senza influenzarsi reciprocamente. P. es. voci di persone diverse che parlano contemporaneamente nello stesso luogo continuano ad essere riconoscibili come se ciascuna di esse fosse presente da sola. In presenza di onde di grande ampiezza il principio di sovrapposizione non vale pi ed altre equazioni sostituiscono la (1) o la (2). Casi del genere si presentano in onde impulsive prodotte da esplosioni, oppure onde sulla superficie dellacqua generate da terremoti (tsunami). 1.3 Onde su una corda tesa Consideriamo una corda tesa lungo lasse delle x e spostiamola di poco dalla sua posizione di equilibrio. Sia ),( tx la funzione che descrive lo spostamento; mostriamo che soddisfa alla (1). Sia dl un elementino di corda sottoposto ai suoi estremi alla tensione T, la quale forma con lasse x gli angoli e ' (figura 2).

    4

  • Figura 2 [1] Le componenti della forza sono:

    )cos'(cos = TFx ; )sen'(sen = TFy .

    e ' sono piccoli, per lipotesi di piccole perturbazioni, per cui: 1'coscos ,

    dxx

    tantan'tansen'sen . Infatti, lo sviluppo al primo ordine implica che dx

    x+= tantan'tan . Quindi , mentre: 0=xF

    dxx

    TFy = tan .

    Ma x

    = tan , per cui

    dxx

    TFy 22

    = .

    Uguagliamo la forza cos ottenuta al prodotto della massa del tratto di corda dl per laccelerazione; la massa SdxSdldm = , essendo S la sezione della corda e la sua densit di volume, mentre laccelerazione: 2

    2

    ta

    = . In conclusione si ottiene:

    dxx

    T 22

    = Sdx 2

    2

    t

    ovvero:

    2

    2

    2

    2

    tTS

    x =

    2

    2

    tT = (3)

    5

  • essendo la densit lineare di massa (massa per unit di lunghezza della corda; si misura in kg/m). Troviamo che la legge di Newton si trasforma nellequazione delle onde (3), e la velocit con cui

    si propaga londa sulla corda data da: Tv = , come si ottiene confrontando la (1) con la (3). Lo

    spostamento dalla posizione di equilibrio ( ) perpendicolare alla direzione di propagazione (x): si parla di onde trasversali. Si noti che tale condizione discende dal fatto che la componente della forza in direzione del moto, , nulla, una conseguenza dellipotesi di piccole perturbazioni. Se si d uno spostamento grande si generano anche onde parallele alla direzione di propagazione (onde longitudinali). Un esempio di questultimo tipo si ha per le onde sonore in un gas.

    xF

    Esercizio 2. Si ricavi con considerazioni dimensionali la velocit di unonda su una corda tesa. 1.4 Onde sonore in un gas Consideriamo del gas contenuto in un lungo tubo, di sezione unitaria, disposto nella direzione x, e siano 0 e la densit e la pressione del gas allequilibrio. Allestremit del tubo variamo la pressione del gas tramite una sorgente (ad es. un pistone) che oscilli periodicamente; si otterr una variazione locale di pressione e di densit, che verranno successivamente trasmesse al resto del gas. Nellipotesi di piccole variazioni:

    0p

    d+= 0 , dppp += 0 . Indichiamo come al solito con ),( tx il generico spostamento dalla posizione di equilibrio. Sia dxdm 0= la massa di gas

    compresa tra due sezioni passanti per i punti di coordinate x e dxx + (figura 3).

    Figura 3 [1]

    In conseguenza della perturbazione la massa dm subisce uno spostamento e allistante t la si ritrova tra i piani passanti per i punti: x + ),( tx ed dxx + + ( )tdxx ,+ , per cui la sua dimensione lineare sar:

    dxx + + ( )tdxx ,+ - x - ),( tx = dxx

    dx + .

    (Lo sviluppo al primo ordine di dxx

    txtdxx +=+ ),(),( ). La densit cambia, in quanto la

    stessa massa occupa un volume diverso:

    ( ) dxx

    ddx

    dxx

    dxddm

    ++

    +=

    ++= 000

    6

  • Ricordando che dxdm 0= si ottiene: ( ) dx

    xd

    x

    ++

    = 000 Ossia:

    xxd

    = 0 (4)

    in quanto le variazioni di densit sono piccole. Per quanto riguarda la pressione, possiamo trovarne la variazione a partire dalla definizione del modulo di compressibilit:

    dVdpV= (5)

    Siccome la massa == Vm costante, differenziando risulta: 0=+ dVVd , ossia: d

    VdV = .

    Sostituendo, otteniamo:

    ddp=

    Allora: x

    dppdp ===

    0

    0 ,

    dove abbiamo utilizzato la (4), per cui

    xpp

    = 0 (6) La variazione di pressione provoca un moto del gas, in quanto numericamente uguale alla forza agente sulla massa dm (ricordiamo che la sezione unitaria); quindi la forza complessivamente agente sulle due sezioni pu scriversi come:

    dxx

    dxxptdxxptxp 2

    2),(),(

    ==+

    Uguagliando la forza al prodotto della massa contenuta tra le sezioni unitarie per laccelerazione

    2

    2

    t si trova:

    2

    202

    2

    2

    2

    tdx

    tdmdx

    x =

    =

    ossia:

    7

  • 022

    02

    2=

    tx

    (7)

    Pertanto lo spostamento della massa dalla posizione di equilibrio soddisfa allequazione (1).

    Deduciamo che lungo il gas si propaga unonda di spostamento con velocit 0=v .

    Se le compressioni ed espansioni sono rapide il gas, schematizzato come ideale, non ha tempo per scambiare calore con lambiente circostante; per cui londa si propagher in condizioni adiabatiche. Se inoltre consideriamo il gas prossimo allequilibrio, potremo utilizzare lequazione:

    =pV costante; se la riscriviamo equivalentemente: 01 =+ dVpVdpV otteniamo:

    == pdVdpV (8)

    Dunque, il modulo di compressibilit adiabatico pari al prodotto della pressione per la costante e la velocit dellonda prevista risulta:

    0pv = . (9)

    In condizioni standard per laria, considerata come un gas perfetto biatomico, 29.10 = kg/m3,

    Pa, 101325=p 4.1= ; sostituendo si trova v= 331.61 m/s, da confrontarsi con il valore sperimentale 331.45 m/s. Esercizio 3. Si ricavi con considerazioni dimensionali la velocit di unonda sonora in un gas. Londa di spostamento longitudinale: infatti, lo spostamento dellelementino di massa avviene lungo lasse delle x. Si noti comunque che ogni elementino di massa compie delle oscillazioni costituite da compressioni ed espansioni, ma non ce trasporto netto di massa lungo il tubo. Lungo la colonna di gas si propagano anche unonda di pressione e unonda di densit: infatti, derivando la (6) rispetto al tempo e rispetto alla coordinata x:

    2

    202

    2

    2

    2

    txxxxp

    =

    =

    dove nellultimo passaggio si usata la (7);

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    txxttp

    =

    =

    (essendo le derivazioni rispetto ad x e rispetto a t indipendenti, se ne pu scambiare lordine), da cui:

    022

    02

    2=

    tp

    xp

    (10)

    8

  • La (10) mostra che lungo il tubo si propaga unonda di pressione, con velocit data dalla (9). Analogamente, dalla (4) si ottiene:

    22

    02

    202

    2

    xxxxx

    =

    =

    (11)

    2

    202

    202

    2

    txxtt

    =

    =

    Sostituendo nellultima equazione la (7) troviamo:

    2

    2

    2

    2

    002

    2

    xxxxt

    =

    =

    (12)

    e dal confronto di (11) e (12) segue:

    022

    02

    2=

    tx

    (13)

    Anche londa di densit si propaga con la stessa velocit dellonda di spostamento. 1.5 La velocit di propagazione del suono La velocit con cui un dato suono si propaga in un fluido una propriet caratteristica del fluido stesso. Nel caso di propagazione in un gas assunto perfetto per semplicit la velocit del suono

    non dipende dalla pressione, in quanto il rapporto 0

    p - vedasi la (9) - costante a temperatura

    costante, in base alla legge di Boyle. Quindi la velocit di propagazione del suono in aria

    sostanzialmente indipendente dalla pressione barometrica. Inoltre, siccome ..0 mp

    RTp = (p.m. il peso molecolare), risulta che il rapporto tra le velocit v e v0, rispettivamente alle temperature T e T0, pari alla radice quadrata delle temperature, per cui:

    00 T

    Tvv = (14) Come riferimento T0 si pu prendere la temperatura di 20 C (si tenga per presente che nella (14) le temperature sono espresse in gradi Kelvin). Nel caso di propagazione in un liquido al posto della (9) si deve usare la seguente:

    0Bv = (15)

    9

  • ove B il modulo di elasticit adiabatico e 0 la densit. Per quanto riguarda la dipendenza da pressione e temperatura, si preferisce ricorrere ad espressioni empiriche invece che a formule derivate da modelli, molto complicate. Nei solidi si presentano diversi tipi di onde. Le pi semplici sono quelle longitudinali, la cui velocit data da:

    )21)(1()1(

    += EvL (16)

    essendo E il modulo di Young e il modulo di Poisson. Si possono per presentare anche onde trasversali, come quelle che si instaurano in una corda. In tal caso la velocit di propagazione assume l espressione seguente:

    GvT = (17)

    ove G il modulo di taglio, esprimibile in termini di modulo di Young e di Poisson: )1(2 +=

    EG .

    Il rapporto tra le due velocit:

    21)1(2

    =

    T

    L

    vv (18)

    che mostra che la velocit longitudinale sempre maggiore di quella trasversale. Le (16) e (17) sono valide supponendo che la propagazione avvenga in un mezzo infinito. Se il solido ha estensione finita, come una piastra o una barra, si presentano anche altri tipi di onde, che non possono essere classificate n come longitudinali n come trasversali: onde quasi-longitudinali, onde torsionali, onde superficiali; le pi importanti per le applicazioni tuttavia sono le onde flessionali, che giocano un ruolo significativo nei processi di emissione di energia sonora da parte di strutture solide rigide e vanno considerate nei problemi di isolamento acustico tramite pannelli. A differenza degli altri tipi di onde, la loro velocit di propagazione dipende, oltre che dalle caratteristiche del mezzo, dalla frequenza del moto oscillatorio che le induce: sono cio dispersive. Esercizio 4. Si picchia un colpo di martello su una rotaia di treno (generando nella rotaia unonda trasversale) a 1 km di distanza da una persona in ascolto con un orecchio appoggiato sulla rotaia; laltro ovviamente in aria. Determinare lintervallo di tempo che intercorre tra larrivo dei due segnali (E = 2.11 1011 Pa, = 0.30, = 7500 kg m-3). Esercizio 5. Determinare la velocit del suono: in acqua (B = 2.1 Gpa), nellacciaio (E= 2.11 1011 Pa, = 0.30, = 7500 kg m-3) e nel mercurio (B = 28 Gpa, = 13600 kg m-3) . Esercizio 6. Un volume pari a 1 cm3 di alcool a 14C e 1 atmosfera diminuisce di 0,000101 cm3 per ogni atmosfera di aumento della pressione. Determinare la velocit del suono nellalcool sapendo che la sua densit a 14C 795 kg/m3. Esercizio 7. Se la velocit di unonda di compressione in un gas a 20C e 1 atm 320 m/s qual la velocit della stessa onda a 50 C e 2 atm?

    10

  • 1.6 Onde piane armoniche Studiamo un tipo particolare di onda piana, londa armonica:

    )(sin),( 0 vtxktx = ovvero

    )(cos),( 0 vtxktx = Le due rappresentazioni sono ovviamente equivalenti, in quanto seno e coseno sono la stessa funzione sfasata di 2/ . 0 detta ampiezza dellonda; la costante k necessaria per ragioni dimensionali (largomento di una funzione trigonometrica non pu avere dimensioni), linverso di una lunghezza ed detta numero donda. Solitamente si scrive, inserendo il numero donda allinterno della parentesi:

    )sin(),( 0 tkxtx = (19a) ovvero

    )cos(),( 0 tkxtx = (19b)

    e la grandezza

    kv= (20) detta pulsazione dellonda armonica. Ragioniamo in termini della funzione seno (19a). Se fissiamo un istante di tempo e facciamo una fotografia della funzione, vediamo che essa una sinusoide lungo lasse delle x. Il suo periodo spaziale

    1t dato dalla minima distanza tra due

    coordinate e in corrispondenza delle quali la funzione assume lo stesso valore: 1x 2x

    )sin()sin( 110120 tkxtkx = e ci possibile se gli argomenti delle due funzioni seno differiscono per 2 :

    21112 += tkxtkx che fornisce:

    k

    xx 212 == (21) Se ora fissiamo un punto di coordinata la funzione 1x )sin( 10 tkx mostra le variazioni temporali che si hanno in corrispondenza di , variazioni sempre sinusoidali. Il periodo temporale della funzione T la minima differenza tra due istanti di tempo e in corrispondenza dei quali la funzione assume lo stesso valore. Ragionando come in precedenza troviamo:

    1x

    1t 2t

    11

  • 1121 2 tkxtkx =+ da cui:

    2

    12 == ttT (22)

    Ricordando la definizione di frequenza T

    f 1= troviamo che 2

    =f e utilizzando le (20) e (21) otteniamo:

    vf = (23) Questa unimportante relazione che lega tra loro frequenza, lunghezza donda e velocit dellonda. Largomento della funzione seno, tkx , detto fase dellonda; in termini pi generali pu scriversi come:

    + tkx essendo un angolo qualunque, detto fase iniziale. Il suo significato lo si desume per 0== tx ; in tal caso la funzione donda assume il valore sen0 , diverso in generale da zero. Esercizio 8. Lequazione di unonda trasversale armonica che si propaga lungo una corda avente densit lineare 0.25 g/cm pu scriversi in unit cgs come segue:

    )167.08.376sin(35.0 xt += Determinare la velocit di propagazione dellonda, la sua frequenza, la sua lunghezza donda e la tensione nella corda. Esercizio 9. Un pezzo di sughero fluttua nellacqua con velocit verticale massima pari a 3 cm/s e accelerazione massima di 2 cm/s2 . Determinare: la frequenza angolare del moto, lampiezza massima, la velocit di propagazione delle onde trasversali assumendo una lunghezza donda di 3 m. Esercizio 10. Tre persone in mare si divertono ad andare su e gi sulle onde. Quando tutte e tre sono allineate nella direzione di propagazione delle onde, la persona che sta in mezzo, che si trova a 3 m dietro la prima e 3.6 m davanti alla terza, vede la prima persona muoversi sempre in direzione opposta e la terza rimanere costantemente alla sua stessa altezza. Determinare: la lunghezza donda massima possibile per tali onde; quella immediatamente inferiore alla massima. Esercizio 11. Facendo vibrare un diapason in aria a 0C si ottengono onde di compressione con una lunghezza donda di 1.3 m . Determinare il periodo di vibrazione del diapason.

    12

  • 1.7 Teorema di Fourier sulle funzioni periodiche Sia data una funzione continua e ad un solo valore x = x(t), periodica di periodo T; il teorema di Fourier assicura che essa pu sempre essere rappresentata da una somma di infiniti termini

    sinusoidali (armonici) aventi frequenze multiple di quella T

    f 1= della funzione data. Si ha dunque:

    ...sin...sin...cos...2coscos)( 1210 +++++++++= tkbtbtkatataatx kk (24) I vari coefficienti e si calcolano come segue. Integriamo entrambi i membri della precedente (24) fra 0 e T; tutti gli integrali delle funzioni seno e coseno sono nulli e risulta:

    ia ib

    =T

    Tadttx0

    0)(

    che fornisce il valore di : 0a

    =T

    dttxT

    a0

    0 )(1 (25)

    Pertanto, il primo coefficiente dello sviluppo in serie di Fourier di x(t) pari al valore medio della funzione x(t) in un intervallo pari al periodo. Se poi moltiplichiamo entrambi i membri della (24) per tpcos , con p intero qualunque, ed integriamo fra 0 e T, tutti gli integrali a destra sono nulli tranne . Si ottiene: dttpa

    T

    p0

    2cos

    =+=T

    pp

    T Tadttpadttptx00

    222cos1cos)(

    da cui:

    dttptxT

    aT

    p =0

    cos)(2 (26) In maniera analoga, moltiplicando ambo i membri della (24) per tpsin e integrando fra 0 e T otteniamo:

    dttptxT

    bT

    p =0

    sin)(2 (27) Esempio. Consideriamo la funzione periodica (figura 4) definita da:

    x = a per 0 < t < T/2 x = - a per T/2 < t < T

    13

  • Figura 4 [3]

    Siccome la funzione ha media nulla, ci aspettiamo che 00 =a . Infatti, con un calcolo esplicito:

    ===T T

    T

    Tadt

    Tadt

    Txdt

    Ta

    0 2/

    2/

    00 0

    111

    I coefficienti sono tutti nulli: pa

    ( ) +==2/

    0 2/0cos2cos2cos2

    T T

    T

    T

    p dttpaTtdtpa

    Tdttpx

    Ta

    Sostituendo ztp = e integrando si trova:

    ( )pppaa p 2sinsin2 =

    che nullo qualunque sia p. Per quanto riguarda i coefficienti abbiamo: pb

    ( ) +==T

    T

    TT

    p dttpaTdttpa

    Tdttpx

    Tb

    2/

    2/

    00

    sin2sin2sin2 che diviene, operando la stessa sostituzione di prima:

    ( )pppabp cos22cos1 +=

    Per p intero risulta:

    ( )ppabp cos22 =

    e in particolare, per p pari:

    14

  • 0=pb mentre per p dispari:

    pabp

    4= Quindi la funzione x(t) ha la seguente rappresentazione:

    +++= ...5sin513sin

    31sin4)( tttatx

    Figura 5 [3] In figura 5 sono rappresentate le prime 3 armoniche insieme con la loro somma. La figura 6 mostra la somma dei primi 15 termini della serie. Si pu notare che, al crescere del numero di termini, la figura 6 assume un aspetto sempre pi simile a quello di figura 4.

    Figura 6 [3] Osserviamo inoltre che anche le funzioni non periodiche (quali quelle che rappresentano un fenomeno impulsivo) possono essere adeguatamente rappresentate da una somma di infiniti termini armonici. Infatti, per un processo non periodico che si esaurisce in un intervallo di tempo limitato

    t possiamo sempre immaginare di sostituire alla funzione impulsiva x(t), che rappresenta analiticamente il processo, una funzione periodica ottenuta ripetendo la x(t) ad intevalli opportuni T, se T un intervallo di tempo contenente lintero processo. Abbiamo cos costruito una funzione periodica di periodo T, che pu risolversi in una serie di Fourier. Osserviamo anche che al crescere

    15

  • dellintervallo T il periodo della funzione cresce e la frequenza corrispondentemente decresce, cos come decresce la differenza in frequenza tra i successivi termini della serie. Al limite, facendo tendere T allinfinito, si intuisce che la rappresentazione corretta della funzione impulsiva sar data da un integrale, al posto della serie, con la frequenza come variabile continua:

    (28) [

    +=0

    sin)(cos)()( dtbtatx ] Si parla in tal caso di integrale di Fourier. Le funzioni )(a e )(b si calcolano con le seguenti formule:

    +

    = dtttxa )cos()(1)( ;

    +

    = dtttxb )sin()(1)(

    Le considerazioni svolte a proposito della serie (o dellintegrale) di Fourier dovrebbero chiarire limportanza assunta nella trattazione dalle onde armoniche: tramite esse, infatti, qualunque fenomeno ondulatorio, periodico o impulsivo, pu essere scomposto in componenti elementari, le onde armoniche per lappunto. Per questo motivo dora in poi ci riferiremo quasi esclusivamente ad onde armoniche. 1.8 Impedenza acustica Per unonda piana armonica la pressione sonora in fase con la velocit u con cui si muove una particella del mezzo investita dalla perturbazione. Infatti ricordiamo che, se )cos(0 tkx = (eq. 19b) abbiamo:

    )sin(0 tkxtu =

    =

    )sin(0 tkxkxp =

    = (qui indichiamo con p la pressione sonora, ossia la variazione di pressione rispetto a quella ambiente ) e dunque: 0p

    Zvkup === 0

    (29)

    ricordando che k

    v = (eq. 20) e che 0

    2

    =v (eq. 9). La grandezza Z definita dalla (29) prende il

    nome di impedenza acustica caratteristica e si misura in Pa s m-1. Rappresenta una grandezza intrinseca del mezzo in cui si propaga londa ed nota una volta note velocit dellonda e densit del mezzo. I solidi mostrano i valori pi elevati di impedenza acustica. In aria (20C) risulta Z = 415 Pa s m-1; in acqua (sempre a 20C) si trova 1.48 106 Pa s m-1. Z mostra notevoli analogie con altre grandezze definite in campi differenti della fisica e della tecnica: p.es. limpedenza caratteristica di una linea di trasmissione elettrica (da cui il nome), ovvero lindice di rifrazione per la luce che si propaga in un mezzo. Occorre aggiungere che in generale, p.es. per onde sferiche, velocit della particella in oscillazione e pressione sonora non sono in fase, il che implica che limpedenza acustica una grandezza complessa, definita cio in termini di un modulo ed una fase:

    16

  • Z = R + iX, ove R la resistenza acustica specifica e X la reattanza acustica specifica (i lunit immaginaria). 1.9 Intensit delle onde sonore. Riprendiamo lespressione della pressione in un gas contenuto in un tubo e percorso da unonda (6):

    xpp

    = 0 (6) Se S la sezione del tubo, la forza F su un elemento della colonna vale:

    xSSpp = )( 0

    dove )sen(0 tkx = rappresenta londa di spostamento che si propaga con velocit 0=v .

    La potenza istantanea risulta: tx

    St

    FP

    =

    = ed effettuando le derivate:

    )(cos220 tkxkSP = (30) Per la potenza media occorre mediare la precedente espressione su un periodo; siccome il valore medio del quadrato del coseno pari ad , si ha:

    kSPm 2021= (31)

    Se ricordiamo che [per la (9)] e che 20v = vk= [dalla (20)] possiamo anche scrivere:

    202

    021 SvPm = (32)

    Se dividiamo per la sezione S otteniamo lintensit I, che rappresenta lenergia media che attraversa nellunit di tempo una sezione unitaria ortogonale alla direzione di propagazione (si ricordi che la potenza lenergia per unit di tempo):

    20

    202

    1 vI = (33) Allonda di spostamento si accompagna unonda di pressione:

    )2

    sen()cos( 0000 +==

    == tkxvtkxkx

    ppp

    Londa di pressione sfasata di 2 ( in quadratura) rispetto allonda di spostamento ed ha

    ampiezza:

    17

  • ( ) 0000max 2 vfvp == avendola espressa in funzione della frequenza f. Lintensit pu quindi anche scriversi:

    ( ) ( )

    vp

    Zp

    I0

    2max

    2max

    221

    == (34)

    Le onde sonore si estendono per convenzione su un intervallo di frequenze compreso tra 20 e 20000 Hz; in tale intervallo, infatti, rientrano tutti i suoni udibili dallorecchio umano. Le onde le cui frequenze si estendono oltre il limite di udibilit (> 20000 Hz) sono dette ultrasuoni. Alle frequenze degli ultrasuoni corrispondono lunghezze donda piuttosto piccole, infatti fv /= ; per es. in aria 7.1

  • )(21 22

    0 rvI = dove ora ammetteremo che lampiezza possa essere funzione della distanza r dalla sorgente. La potenza media trasmessa attraverso una superficie sferica di raggio r vale dunque:

    2220

    2 4)(214 rrvrIISPm === (35)

    Tale potenza deve rimanere costante, qualunque sia la superficie sferica, perch corrisponde alla potenza media emessa dalla sorgente. Questo implica che per unonda sferica lampiezza diminuisca con la distanza:

    rr 0)( = (36)

    Se londa sferica armonica scriveremo:

    )sen(),( 0 tkrr

    tr = (37) Ovviamente, lintensit dellonda varia in modo inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente. Abbiamo tratto queste conclusioni utilizzando il principio di conservazione dellenergia: data la potenza emessa dalla sorgente a un dato istante, la dobbiamo ritrovare a un istante successivo su una superficie sferica di raggio opportuno. Osserviamo che allaumentare della distanza dalla sorgente i fronti donda (sferici) hanno raggio sempre maggiore, per cui una porzione limitata del fronte donda sferico pu essere approssimata da una superficie piana. Londa piana dunque unapprossimazione dellonda sferica, quando ci si ponga a sufficiente distanza dalla sorgente. In questo caso lampiezza dellonda sferica non varier di molto su distanze limitate e potr essere considerata costante, come richiesto per unonda piana. Esercizio 16. Unonda sferica divergente in aria alla distanza di 1 m dalla sorgente e in condizioni standard di temperatura e pressione presenta una pressione massima di 2 Pa. Determinare lintensit dellonda a 10 m dalla sorgente. Esercizio 17. Una sorgente sonora irradia nello spazio onde sferiche armoniche con una potenza acustica di 10 W. Determinare lintensit e la pressione acustica a 1 m di distanza. 1.11 Assorbimento Le conclusioni cui siamo pervenuti nel caso dellonda sferica presuppongono che non ci sia assorbimento da parte del mezzo in cui si propaga londa; in pratica, fenomeni di attrito interno comportano sempre un certo assorbimento. Questo fa s che la dipendenza dellintensit di unonda

    da 21r

    non sia verificata, ma risulti un decremento pi rapido. Sperimentalmente si trova un

    decremento esponenziale dellintensit: )exp()( 0 xIxI = (38)

    19

  • essendo un coefficiente (coefficiente di assorbimento) che dipende dal mezzo, avente come dimensione linverso di una lunghezza. Per lampiezza dellonda possiamo dunque scrivere (ricordiamo che lintensit proporzionale al quadrato dellampiezza):

    )sen()2/exp(0 tkxx = per onde piane

    )sen()2/exp(0 tkrrr

    = per onde sferiche In aria, per es., per una frequenza di 400 Hz il coefficiente di assorbimento vale 4106.4 = m-1; dunque lintensit di unonda sonora verrebbe ridotta alla met su una distanza pari a circa 1500 m. In realt occorre considerare anche altri fenomeni quali ad es. la diffusione del suono da parte del terreno e di eventuali ostacoli, i gradienti di temperatura, etc. 1.12 Interferenza Consideriamo due onde armoniche piane emesse da due sorgenti poste in punti differenti e supponiamo che abbiano la stessa frequenza f e la stessa ampiezza, potendo differire quindi al pi per la fase iniziale . Trattiamo comunque per semplicit solo il caso in cui 0= : questo significa che le due sorgenti emettono con la stessa fase iniziale (sono sincrone). Scriviamo lespressione dellonda risultante dalla sovrapposizione delle due onde in un punto dello spazio: )exp()exp()( 10101 ikrtitkrsen == )exp()exp()( 20202 ikrtitkrsen == dove si usata la notazione esponenziale. La perturbazione risultante : ]1))[exp(exp()exp()]exp())[exp(exp( 2012021 +=+=+= ikikrtiikrikrti dove si posto += 21 rr . Lintensit, proporzionale al quadrato dellampiezza, risulta quindi proporzionale al modulo quadrato dellampiezza complessa:

    )](2

    [cos4]1)][exp(1)[exp( 2122

    020

    2 rrkikik =++= Essa dunque massima quando:

    nrr = )( 21 cio per nrr = )( 21 (interferenza costruttiva) (39)

    Risulta invece minima per:

    2)12()( 21 +=

    nrr cio per 2

    )12()( 21+= nrr (interferenza distruttiva) (40)

    20

  • Le condizioni per avere interferenza costruttiva o distruttiva implicano dunque che la differenza di cammino delle onde prodotte dalle due sorgenti sia pari a un multiplo della lunghezza donda ovvero sia pari a un numero dispari di mezze lunghezza donda. Geometricamente, le (39) e (40) corrispondono a iperboloidi: queste sono le superfici in corrispondenza delle quali si trovano massimi e minimi dinterferenza. Se consideriamo, come caso particolare, onde che si propaghino in una sola dimensione, diciamo lungo lasse x, detta d la distanza tra le due sorgenti (poste sullasse di propagazione), r1 r2 = d e le condizioni precedenti per i massimi e i minimi dinterferenza divengono: nd = e

    2)12( += nd , rispettivamente.

    Siccome, come ricordato, lintensit proporzionale al quadrato dellampiezza dellonda abbiamo che nei punti di massima interferenza lintensit complessiva risulta 4 volte maggiore dellintensit di una singola sorgente. Ovviamente, mediando su tutte le posizioni troviamo che lintensit totale il doppio di quella di una sorgente singola, come ci si aspetta dalla conservazione dellenergia. Sotto questo aspetto possiamo dire che linterferenza consiste in una distribuzione non uniforme dellenergia sonora nei vari punti dello spazio. Quanto detto si estende al caso in cui le due onde abbiano ampiezze differenti, 01 e 02 . Esercizio 18. Due sorgenti sonore sincrone che emettono onde piane della stessa frequenza si trovano a distanza 2=d luna dallaltra. Si trovino le posizioni nello spazio corrispondenti a minimi ovvero massimi dintensit, ponendosi per semplicit a distanze grandi rispetto a d. Esercizio 19. 3 sorgenti sincrone emettono onde piane della stessa lunghezza donda . Le sorgenti si trovano ai vertici di un triangolo equilatero di lato d . Quanto deve valere d affinch la perturbazione risultante presenti un massimo dintensit nella direzione delle altezze del triangolo? Si ripeta lesercizio nel caso sia richiesto un minimo. Esercizio 20. Due sorgenti acustiche uguali, poste rispettivamente in (0,0) e (D,0), emettono due suoni in fase con lunghezza donda . Determinare in quali punti dellasse delle y cadono i minimi dintensit. 1.13 Battimenti Un effetto molto noto legato alla sovrapposizione di suoni aventi frequenze poco diverse tra loro quello dei battimenti, consistente in un alternarsi nel tempo di interferenza costruttiva e distruttiva percepita come un aumento e una successiva diminuzione dellintensit del suono con una frequenza di ripetizione pari alla differenza tra le due frequenze dei suoni componenti. Consideriamo, nel punto x e allistante t, due onde armoniche aventi frequenze 1 e 2 poco diverse fra loro, cos come le corrispondenti lunghezze donda, e supponiamo per semplicit che le ampiezze siano uguali:

    )sen( 1101 txk =

    )sen( 2202 txk = E chiaro che in certi istanti le due onde saranno in fase, in altri saranno in opposizione di fase (figura 7a).

    21

  • Figura 7 [4] Londa risultante :

    ++

    =+= txkktxkk22

    sen22

    cos2 21212121021

    dove si fatto uso dellidentit trigonometrica:

    2cos

    2sen2sensen +=+

    Se usiamo i valori medi: 2

    21 kkk += , 2

    21 += possiamo riscrivere londa risultante come segue:

    [ ]tkxtxkk

    =+= sen22

    cos2 2121021

    che unonda armonica (fattore seno) con frequenza e lunghezza donda pari alla media aritmetica delle grandezze corrispondenti delle onde componenti; tale onda detta portante. La sua ampiezza tuttavia non costante ma varia nel tempo (onda modulante) con frequenza pari alla semidifferenza delle frequenze delle componenti. In un dato punto (fissato cio x) il suono risultante periodicamente si rinforza e si affievolisce (figura 7b). P.es. se le due frequenze componenti hanno frequenze a 440 Hz e 435 Hz la frequenza del battimento pari a 2.5 Hz: quindi ogni 1/5 di secondo il suono passer da unampiezza massima a unampiezza minima. Il fenomeno dei battimenti utile per determinare una frequenza incognita tramite confronto con una sorgente in grado di emettere a frequenze note: si varia la frequenza fino a ottenere i battimenti e dalla misura della frequenza della modulante si risale alla frequenza incognita. Laccordatura assoluta degli strumenti, ad es., si produce eliminando i battimenti generati dal suono suonato contemporaneamente dallo strumento e da un oscillatore elettronico (accordatore).

    22

  • 1.14 Riflessione di onde Supponiamo che unonda piana progressiva che si propaga in un mezzo incontri un ostacolo (ad es. una parete) che costituisca una discontinuit di grandi dimensioni rispetto alla lunghezza donda. Se indichiamo con i ed r gli angoli che un raggio (ossia la normale al fronte donda) forma con la normale alla parete nel punto di incidenza dellonda, valgono le seguenti due leggi: 1) il raggio incidente, quello riflesso e la normale alla superficie riflettente nel punto dincidenza giacciono tutti nello stesso piano; 2) langolo dincidenza pari a quello di riflessione (i = r) Queste leggi, stabilite sperimentalmente da Snell, possono dedursi da principi generali (principio di Huygens). Esse valgono anche quando la superficie riflettente non piana, e per onde anche di natura diversa da quelle qui considerate (ad es. per le onde luminose). Vogliamo ora determinare la relazione tra la pressione dellonda incidente e di quella riflessa. Consideriamo unonda piana armonica che si propaga da un mezzo ad un altro, caratterizzati rispettivamente da impedenze acustiche caratteristiche Z1 e Z2. Ci si aspetta che londa incidente in parte si rifletta nel primo mezzo ed in parte si trasmetta nel secondo. Sia p la pressione sonora associata allonda. Definiamo i coefficienti di riflessione r e di trasmissione t della pressione sonora:

    i

    r

    ppr = ;

    i

    t

    ppt =

    ove i pedici indicano londa incidente (i), riflessa (r) e trasmessa (t). Siccome la pressione sonora devessere la stessa su entrambe le facce della superficie di separazione (x = 0) avremo:

    tri ppp =+ (41) e analoga condizione deve valere per la velocit u delle particelle poste in x = 0:

    tri uuu =+ (42)

    Se utilizziamo la definizione di impedenza acustica Zup = (rispetto alla (29) il doppio segno tiene

    conto dei due possibili versi di propagazione), la (42) diviene:

    21 Zp

    Zpp tri = (43)

    e facendo uso di questultima relazione e della (41) abbiamo:

    12

    12

    ZZZZr +

    = ; 12

    22ZZ

    Zt += I coefficienti di riflessione e di trasmissione sono quindi espressi unicamente in funzione delle impedenze acustiche caratteristiche dei due mezzi. Se 21 ZZ = londa totalmente trasmessa, r = 0. Quando la pressione sonora dellonda riflessa in fase con quella dellonda incidente, in 12 ZZ >

    23

  • quanto r > 0; viceversa, se risulta r < 0 : significa che la pressione sonora dellonda riflessa sfasata di 180 (in controfase) rispetto a quella dellonda incidente. Come esempio si pu considerare il caso di unonda sonora che si propaghi nellaria contenuta in un tubo a pareti rigide e terminato da una parete anchessa rigida (p. es. una canna dorgano). Il caso di unonda su una corda avente un estremo fissato a una parete rigida analogo, anche se londa in questo caso trasversale.

    12 ZZ