Equazioni n. Incognite n.

a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali σij 6

b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci σ’ij 6

c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6

d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1

e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1

f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3

g) accoppiamento fasi 6

Totale 23 Totale 23

[ ] [ ] [ ]( )' u Iσ σ= − ⋅

Approccio rigoroso nell’analisi meccanica dei terreni

Nel trattare il mezzo multifase, occorrerebbe a rigore tener contodi caratteri individuali ed accoppiamento di scheletro solido e fluidi.

Bilancio di equazioni e incognite (mezzo bifase):

+ condizioni al contorno (frontiera del dominio di analisi)+ condizioni iniziali (t = 0) e/o finali (t∞)(entrambe espresse in termini di tensioni/pressioni/deformazioni/moto fluido)

↓Approccio rigoroso ⇒ soluzione sistema differenziale troppo complesso!

Statolimite

1

Equazioni n. Incognite n.

a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali σij 6

b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci σ’ij 6

c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6

d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1

e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1

f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3

g) accoppiamento fasi 6

Totale 23 Totale 23

[ ] [ ] [ ]( )' u Iσ σ= − ⋅

Sfrutta livelli di semplificazione differenziati, in relazione agli aspetti da trattare caso per caso

Ipotesi generalmente introdotte:

⇒ eliminazione equazioni/incognite e)• Acqua incomprimibile

• Scheletro solido con legge costitutiva semplificata (p.es. elastico lineare, rigido-plastico)

Approccio ingegneristico nell’analisi meccanica dei terreni

• Disaccoppiamento della soluzione del problema idraulico da quello meccanico(p.es.: si determinano le [σ] dalle (a), si risolvono le (d)-(f), si applicano le (g), si ricavano le [ε] dalle (c))

• Aria infinitamente comprimibile

Statolimite

2

Metodi di analisi: Semplificazioni ‘operative’

Condizione: Legame costitutivo:

2) Problema di STABILITÀ(il terreno si rompe?)

1) Problema di DEFORMAZIONE(quanto si deforma il terreno?)

di equilibrio limite(SLU = Stato Limite Ultimo)

di esercizio(SLE = Stato Limite di Esercizio)

Mezzo rigido perfettamente plastico

Mezzo elastico, lineare e isotropo

Metodi risolutivi per i problemi di STABILITÀ:

a)Metodo dell’Analisi Limite

1) Si individua la superficie di scorrimento critica (per tentativo).2) Si assume una distribuzione di tensioni lungo tale superficie3) Si risolve l’equazione di equilibrio globale del terreno considerato

come corpo rigido all’interno della superficie di scorrimento.

Ricerca del valore limite superiore e limite inferiore del carico di collasso reale. Si basa sui teoremi di plasticità:• Teorema del limite superiore• Teorema del limite inferiore

b)Metodo dell’Equilibrio Limite Globale

c) Metodo delle caratteristiche Si basa sull’ipotesi che una massa di terreno in incipiente statodi collasso devono essere soddisfatti sia il criterio di rottura che le condizioni di equilibrio (equazioni di Kotter, 1903)

Statolimite

3

Teoremi dell’Analisi Limite

a)Teorema del Limite Superiore (applicazione del teorema Metodo Cinematico)

“Se è possibile individuare un meccanismo di collasso tale che il lavoro svolto dalle forze esterne èpari all’energia dissipata dalle tensioni interne, si verifica la rottura. Il sistema di forze esterneapplicato, quindi, costituisce un valore il limite superiore, o al più coincidente, con il carico dicollasso”

Enunciati:

b)Teorema del Limite Inferiore (applicazione del teorema Metodo Statico)

“Se il sistema di forze esterne è in equilibrio con lo stato tensionale interno, e non viola il criterio di rottura, il collasso non può avvenire. Il sistema di forze esterne, quindi definisce un valore limite inferiore, o al più coincidente, del carico di collasso”

forze esterne; incremento di spostamento

tensioni interne incremento di deformazione

Fwδ

σδε

==

′ ==

Principio dei Lavori Virtuali ( ): F w dVδ σ δε′⋅ = ⋅ ⋅∑ ∫PLV

Statolimite

4

Metodo statico: Teoria di Rankine (1857)

Ipotesi:

1) terreno omogeneo (γ = cost.)2) superficie del piano campagna piana,

orizzontale ed infinitamente estesa3) terreno incoerente (c’ = 0; ϕ’ ≠ 0)4) falda assente5) parete verticale liscia6) validità del criterio di rottura di Mohr-Coulomb

1) – 4): ipotesi rimovibili

Condizioni iniziali tensioni orizzontali Coefficiente di spinta a riposo K0

00

0

0,

0, 0,

formule empiriche:1 sin

con:0.5 (Meyerhof, 1976)

h

v

nc

aoc nc

K

K

K K OCR

a

σσ

ϕ

′=

′

′= −

= ⋅

=

Applicazione del teorema del limite inferiore

Statolimite

5

Teoria di Rankine: Spinta Attiva

0 0(raggio del cerchio di Mohr); (coordinata del centro del cerchio)2 2

v ha v hat sσ σ σ σ′ ′ ′ ′− +

= =

0 00

0

0

21 sin

sin (1 sin ) (1 sin

tan (coefficiente di spinta attiva)1 si

)2 2

1 sin1 sin

n 4 2

v ha v haha v

ha

ha a v

av

K

K

σ σ σ σ ϕ σ ϕ σ ϕ

ϕσϕ

ϕ

σ σϕ πσ ϕ

′

′ ′ ′ ′− + ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ ⇒ + = −

′′= ⋅

′ ′− = = −

−′ ′= ⋅ ⇒ ′+ + ′

ϕ ϕ′ ′= = ⋅ = ⋅PC OC sin sint sCon riferimento al triangolo rettangolo OCP:

Al raggiungimento della tensionale orizzontale σ’ha il terreno si trova nello stato tensionale attivo di Rankine, a cui corrispondono due famiglie di piani di rottura inclinati di α = (45°+ϕ’/2) rispetto all’orizzontale.

Statolimite

6

Teoria di Rankine: Spinta Passiva

σ σ σ σ′ ′ ′ ′− += =0 0(raggio del cerchio di Mohr); (coordinata del centro del cerchio)

2 2hp v hp vt s

ϕ ϕ′ ′= = ⋅ = ⋅PC OC sin sint s

σ σ σ σϕ σ ϕ σ ϕ

ϕσ σϕ

σ σϕ π ϕϕ

′ ′= ⋅ ′ ′+ = = = + ′−

′ ′ ′ ′− +′ ′ ′ ′ ′= ⋅ ⇒ − = +

′ +′ ′= ⋅ ⇒ ′−

00

0

0

21 1 sin tan (coefficiente di spinta passiva)1 si

sin (1 sin ) (1 sin )2 2

1 sin1 sin

n 4 2

hp p v

hp v hp vohp v

hp vp

a

K

KK

Con riferimento al triangolo rettangolo OCP:

Al raggiungimento della tensionale orizzontale σ’hp il terreno si trova nello stato tensionale passivo di Rankine, a cui corrispondono due famiglie di piani di rottura inclinati di β = (45°-ϕ’/2) rispetto all’orizzontale.

Statolimite

7

Percorsi della sollecitazioniStatolimite

8

Effetto della coesione

Spinta Attiva Spinta Passiva

ϕ ϕ ϕ′ ′ ′= = ⋅ = + ⋅PC DC sin ( '/ tan ) sint s cCon riferimento al triangolo rettangolo DCP:

σ σ

σ σ σ σ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

π

′ ′= ⋅ −

′ ′ ′ ′ ′− + ′

′ ′ − = = −

= +

′+

⋅ ′ ⇓

0

0

2

0

2 '1 sin tan

sin2 2 t

1 sin

an

4 2

v ha v h

ha

a

a v a

a

K c K

K

c

σ σ

σ σ σ σ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

π

′ ′= ⋅ +

′ ′ ′ ′− + ′ ′

′ ′+ = =

=

+ ′

+

−

⋅ ′

⇓

0

2

0 0

2 '

1 sin tan

sin2 2 t

n 4

an

1 si 2

hp p v p

p

hp v hp v

K c K

K

c

NOTA: Se si valuta σ’ha(z) = f(σ’v0(z)) < 0 Se : z < zc zc= 2 c’/(γ √Ka) (profondità critica)

Statolimite

9

Mobilitazione della resistenza

Stato limite attivo piccoli spostamenti/rotazioni (resistenza di picco)Stato limite passivo grandi spostamenti/rotazioni (resistenza di stato critico/residua)

Statolimite

10

Metodo dell’Equilibrio Limite Globale: esempioIpotesi:

1) terreno omogeneo (γ = cost.)2) superficie del piano campagna piana,

orizzontale ed infinitamente estesa3) terreno incoerente (c’ = 0; ϕ’ ≠ 0)4) falda assente5) parete verticale liscia6) validità del criterio di rottura di Mohr-Coulomb

dalla (1) alla (5) ipotesi rimovibili

Equilibrio delle forze agenti sul cuneo di terreno ABC:

γα

=21

peso del cuneo di terreno2 tan

hW

(1) sen cos 0 (eq. componenti orizzontali)(2) cos sen 0 (eq. componenti verticali)(3) tan (criterio di rottura)

P N TW N TT N

α αα αϕ

− + = − − = ′=

0 (3 icognite: , e )W P N T P N T+ + + =

Introducendo la (3) nelle eqq. (1) e (2);ricavando N dalla (2) e sostituendo nella (1) si ottiene:

α ϕ α ϕγα ϕ α

′ ′− −= =

′+2tan tan 1 tan( )(4)

1 tan tan 2 tanP W h

Metodo di Coulomb (1776):

Soluzione per problemi di stabilita dei muri di sostegno, basata sull’equilibrio limite globale del sistema, formato dal muro e dal prisma di terreno omogeneo retrostante il muro coinvolto nella rottura.

La rottura si manifesta con il distacco del cuneo di terreno che scorre verso l’esterno e verso il basso su una superficie di rottura piana ed inclinata.

Per trovare il valore massimo della forza P al variare di α:

04 2

dPd

π ϕαα

′= ⇒ = + sostituendo nelle (4)

π ϕγ′ = − =

2 21 tan

2 4 2 aP h P

Caso “attivo”:

Ka = coefficiente di spinta attiva(coincidente con la soluzione

di Rankine)

Statolimite

11

Metodo dell’Equilibrio Limite Globale: esempio classico

Equilibrio delle forze agenti sul cuneo di terreno ABC:

γβ

=21

peso del cuneo di terreno2 tan

hW

(1) sen cos 0 (eq. comp. orizzontali)(2) cos sen 0 (eq. comp. verticali)(3) tan (criterio di rottura)

P N TW N TT N

β ββ βϕ

− − = − + = ′=

0 (3 icognite: , e )W P N T P N T+ + + =

Introducendo la (3) nelle eqq. (1) e (2);ricavando N dalla (2) e sostituendo nella (1) si ottiene:

β ϕ β ϕγβ ϕ β

′ ′+ += =

′−2tan tan 1 tan( )(4)

1 tan tan 2 tanP W h

Per trovare il valore massimo della forza P al variare di β:

π ϕββ

′= ⇒ = −0

4 2dPd

sostituendo nelle (4) π ϕγ

′ = + =

2 21 tan2 4 2 pP h P

Caso “passivo”:

Kp = coefficiente di spinta passiva(coincidente con la soluzione di Rankine)

Statolimite

12