APPENDICE A1

Le unità di misura del Sistema Internazionale (1)

Quantità fisica Simbolo della quantità

fisica Nome dell'unità

SI Simbolo dell'unità

SI

lunghezza l metro m

massa m chilogrammo kg

tempo t secondo s

corrente elettrica I, i ampere A

temperatura termodinamica

T kelvin K

quantità di sostanza n mole mol

intensità luminosa IV candela cd

- Il metro è definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299 792 458 di secondo (1983).

- Il chilogrammo è la massa di un particolare cilindro di altezza e diametro pari a 0,039 m di una lega di platino-iridio depositato presso l'Ufficio internazionale dei pesi e delle misure a Sèvres, in Francia. (1875)

- Il secondo è definito come la durata di 9 192 631 770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini, da (F=4, MF=0) a (F=3, MF=0), dello stato fondamentale dell'atomo di cesio-133 (1967).

- L’ ampere è l'intensità di corrente elettrica che, se mantenuta in due conduttori lineari paralleli, di lunghezza infinita e sezione trasversale trascurabile, posti a un metro di distanza l'uno dall'altro nel vuoto, produce tra questi una forza pari a 2 • 10-7 newton per metro di lunghezza. (1946)

- Il kelvin è definito come 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'acqua. (1862)

1 E’ opportuno ricordare che in seguito a determinazione del 1960 della Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure di Parigi (Conférence Générale des Poids et Mesures, CGPM, periodica, l’ultima del 2014) dal 1971 in Italia e negli altri 50 stati membri e 22 associati (al momento gli USA istituzionalmente non partecipano, anche se di fatto usano sempre piùnSI), vige, con piccole modifiche [ intervenute in accordo con il Bureau International des Poids et Mesures, (BIPM) e il Comité International des Poids et Mesures, (CIPM)], il Sistema Internazionale (SI). Si invitano gli studiosi ed i professionisti a prestare metodica attenzione alle varianti in itinere pubblicate in rete (ad es. http://www.bipm.org/fr/worldwide-metrology/cgpm/ ; per il programma di lavoro BIPM 2016-19 vedasi http://www.bipm.org/fr/cgpm-2014/work-programme.html )

- La mole viene definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di entità elementari pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio-12 (numero di Avogadro: 6,022 • 1023) . (1971)

- Una candela è pari all'intensità luminosa, in una data direzione, di una sorgente emettente una radiazione monocromatica di frequenza pari a 540 • 1012 hertz e di intensità radiante in quella direzione di 1/683 di watt per steradiante (1982).

Unità derivate

La maggior parte delle grandezze derivate sono ottenute attraverso moltiplicazioni o divisioni tra grandezze di base. Alcune di esse hanno nomi particolari. In questo modo, non solo si vede immediatamente la relazione che intercorre tra due grandezze, ma, con un controllo dimensionale, è facile verificare la possibile correttezza del proprio lavoro.

Quantità fisica Simbolo

Nome dell'unità SI Simbolo dell'unità SI

frequenza f, ν hertz Hz s−1

forza F newton N kg · m · s−2

pressione, sollecitazione p pascal Pa N · m−2

energia, lavoro E joule J N · m

potenza, flusso radiante P, W watt W J · s−1

carica elettrica q coulomb C A · s

tensione elettrica, potenziale v Volt V J · C−1

resistenza elettrica R Ohm Ω V · A−1

conduttanza elettrica G Siemens S A · V−1

capacità elettrica C Farad F C · V−1

induzione magnetica B Tesla T V · s · m−2

flusso magnetico Φ(B) weber Wb V · s

induttanza L henry H V · s · A−1

temperatura T kelvin °C K

angolo piano φ, θ radiante rad 1

angolo solido Ω steradiante sr 1

flusso luminoso lumen lm cd · sr

illuminamento lux lx cd · sr · m−2

rifrazione D diottria D m−1

attività di un radionuclide becquerel Bq s−1

dose assorbita gray Gy J · kg−1

dose equivalente sievert Sv J · kg−1

Prefissi

Le unità SI possono avere prefissi per rendere più comodamente utilizzabili grandi e piccole misurazioni. Si noti l'importanza di utilizzare correttamente i simboli maiuscoli e minuscoli per evitare ambiguità..

Prefisso Simbolo Nome Equivalente decimale 1024 yotta Y Quadrilione 1 000 000 000 000 000 000 000 000

1021 zetta Z Triliardo 1 000 000 000 000 000 000 000

1018 exa E Trilione 1 000 000 000 000 000 000

1015 peta P Biliardo 1 000 000 000 000 000

1012 tera T Bilione 1 000 000 000 000

109 giga G Miliardo 1 000 000 000

106 mega M Milione 1 000 000

103 kilo o chilo k Mille 1 000

102 etto h Cento 100

10 deca da Dieci 10

10−1 deci d Decimo 0,1

10−2 centi c Centesimo 0,01

10−3 milli m Millesimo 0,001

10−6 micro µ Milionesimo 0,000 001

10−9 nano n Miliardesimo 0,000 000 001

10−12 pico p Bilionesimo 0,000 000 000 001

10−15 femto f Biliardesimo 0,000 000 000 000 001

10−18 atto a Trilionesimo 0,000 000 000 000 000 001

10−21 zepto z Triliardesimo 0,000 000 000 000 000 000 001

10−24 yocto y Quadrilionesimo 0,000 000 000 000 000 000 000 001

Unità di misura usate con il SI

Le seguenti unità di misura non fanno parte del Sistema Internazionale, ma il loro uso viene tollerato, anche in ambienti ufficiali.

Nome Simbolo Equivalenza in termini di unità fondamentali SI

minuto min 1 min = 60 s

ora h 1 h = 60 min = 3 600 s

giorno d 1 d = 24 h = 86 400 s

grado ° 1° = (π/180) rad

minuto primo ′ 1′ = (1/60)° = (π/10 800) rad

secondo ″ 1″ = (1/60)′ = (π/648 000) rad

litro l, L 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3

tonnellata t 1 t = 103 kg

neper Np 1 Np = 1

bel B 1 B = (1/2) ln 10 (Np)

Il neper e il bel esprimono il logaritmo in base e o in base 10 di una grandezza presa rispetto ad un riferimento. Il logaritmo in base 10 dà l’ordine di grandezza in più o in meno rispetto al riferimento ed è quindi usato in Ingegneria molto più spesso di quanto si pensi, spesso involontariamente: se ad esempio pensiamo ad un oggetto un milione di volte più grande di un altro, diciamo che tra i due ci sono 6 ordini di grandezza, cioè 6 bel. La misura logaritmica serve anche a meglio leggere fenomeni a scala fortemente non lineare ed il decibel (dB) serve appunto in molte discipline quali acustica, elettronica, chimica a valutare la crescita (guadagno) o l’attenuazione di una grandezza.

Unità non SI accettate perché più precise.

Nome Simbolo Equivalenza in termini di unità fondamentali SI

elettronvolt eV 1 eV = 1,602 177 33(49) · 10–19 J

unità di massa atomica u 1 u = 1,660 540 2(10) · 10–27 kg

unità astronomica ua 1 ua = 1,495 978 70(30) · 1011 m

Un elettronvolt (simbolo eV) è l'energia acquistata da un elettrone libero nel suo spostamento tra due punto a potenziale differente per un volt.Un elettronvolt è un quantitativo molto piccolo di energia: 1 eV = 1,602 176 46 × 10-19 J.

L’Unità Astronomica (U.A., o semplicemente UA) è un'unità di misura circa pari alla distanza media tra il pianeta Terra e il Sole

L'unità di massa atomica unificata (u) detta anche dalton (Da) è una unità di misura utilizzata solitamente per esprimere la massa di atomi (massa atomica) e molecole (massa molecolare). Essa è definita come la dodicesima parte della massa di un atomo di carbonio-12 (12C).

Altre unità non SI attualmente accettate in ambiti commerciali, legali, e nella navigazione.

Queste unità dovrebbero essere definite in relazione al SI in ogni documento in cui vengono usate. Il loro uso è scoraggiato.

Nome Simbolo Equivalenza in termini di unità fondamentali SI

miglio nautico nm 1 miglio nautico =1 852 m

nodo kn 1 nodo = 1 miglio nautico all'ora = (1 852/3 600) m/s

ara a 1 a = 1 dam2 = 102 m2

ettaro ha 1 ha = 1 hm2 = 104 m2

bar bar 1 bar = 0,1 MPa = 100 kPa = 1 000 hPa = 105 Pa

angstrom Å 1 Å = 0,1 nm = 10-10 m

barn b 1 b = 100 fm2 = 10-28 m2

1

Appendice A2

RICHIAMI SUGLI OPERATORI VETTORIALI La divergenza di un campo vettoriale A in un punto P è una quantità scalare e può essere definita (cfr. il teorema della divergenza) con un processo al limite a partire dal flusso ∆Φ del vettore attraverso una superficie chiusa racchiudente P, rapportato al volume ∆τ definito dalla superficie stessa e facendo implodere la superficie chiusa intorno al punto P. L’operatore di divergenza si indica con ( )⋅∇ o con div. Un campo a divergenza nulla è indivergente o solenoidale. Considerando il vettore r (raggio vettore in geometria sferica) si avrà

3

344limlim

3

2

00==

∆∆Φ

=⋅∇→∆→∆

r

rrrπ

πτ ττ

Il rotore di un campo vettoriale A in un punto P è un vettore che può essere definito (cfr. il teorema di Stokes) considerando una superficie elementare orientata ∆S (es. un cerchio) contenente il punto P ; il modulo del rotore è pari al massimo valore – al variare della giacitura della superficie – della circuitazione ∆C lungo l’orlo della superficie stessa, rapportata alla suddetta superficie; la direzione ed il verso del rotore sono definiti dalla normale alla superficie nella posizione in cui la circuitazione è massima. L’operatore di rotore si indica con ( )×∇ o con rot o curl. Un campo a rotore nullo è irrotazionale. Considerando il vettore r (raggio vettore in geometria sferica) si avrà

0lim0

=∆∆

=∇→∆ S

CxS

r

Un ulteriore operatore differenziale (spaziale) è il gradiente ( )∇ . Esso opera su un campo scalare f(P): il suo modulo è individuato dalla massima derivata direzionale condotta su ogni retta orientata passante per il punto P, la direzione ed il verso sono dettati dalla retta orientata per cui si ha la massima derivata. Le componenti (ad es. cartesiane) possono generare una forma differenziale esatta (la circuitazione del gradiente lungo una qualsiasi linea chiusa. Nel caso elettrostatico la funzione f(P) è il potenziale (elettrostatico) ed il suo gradiente è (a parte il segno) pari al campo (elettrostatico). Considerando il vettore r (raggio vettore in geometria sferica) si avrà

3

1rr

rr

r

r

−=∇

=∇

Considerato due campi scalari f(P) e ψ(P) valgono le relazioni ( )( )( ) ψψψ

ψψψψψψ

∇×−×∇=×∇∇⋅+⋅∇=⋅∇

∇+∇=∇

AAAAAAfff

Si riconosce che la divergenza del rotore è nulla e quindi anche il flusso del rotore attraverso una superficie chiusa è nullo. Il gradiente della divergenza è detto laplaciano (scalare) ( )2∇≡∇∇⋅ .

2

Si definisce anche il laplaciano di un campo vettoriale come

)(2 AAA ×∇×∇−⋅∇∇=∇ Un campo ovunque solenoidale è conservativo per il flusso e può essere descritto come il rotore di un altro campo vettoriale detto potenziale vettore (esempio il potenziale vettore magnetico) La circuitazione di un campo ovunque irrotazionale è sempre nulla; il campo si dice conservativo per il lavoro (es. campo elettrostatico). Ne consegue che il rotore di un gradiente è sempre nullo. Tali proprietà possono essere opportunamente valutate anche in domini limitati. Sono notevoli anche le seguenti relazioni:

( )( )( )( )( ) 0A

0AAA

BAABBAAAA

=×∇⋅∇=∇×∇

∇×−×∇=×∇×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇

∇+⋅∇=⋅∇

ffff

fff

1

Appendice A3

LE EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA LOCALE – EQUAZIONE DI LAPLACE-POISSON

A3.1 CONSIDERAZIONI GENERALI Laddove le grandezze (scalari e vettoriali) presenti nelle equazioni di Maxwell in forma integrale siano continue e derivabili, il campo elettromagnetico può essere descritto in tutti i punti dello spazio attraverso gli operatori differenziali spaziali e temporali divergenza e rotore (vedasi Appendice A2)

tBE∂∂

−=×∇ (A3.1)

0ερ

=⋅∇ E (A3.2)

0=⋅∇ B (A3.3)

∂∂

+=×∇tEJB 00 εµ (A3.4)

Per integrare queste equazioni nello spazio occorre conoscere le “condizioni al contorno” (nello spazio, all’infinito o al finito) e le “condizioni iniziali” (nel tempo).

Le equazioni di Maxwell in forma locale ci evidenziano le sorgenti del campo elettromagnetico, in termini di divergenza (“fontane o pozzi”) o in termine di rotore (“vortici”). Le sorgenti possono dipendere direttamente dai campi (“sorgenti interne”, in rosso) o meno (“sorgenti esterne”, in blu; in realtà, anche le sorgenti “esterne” possono essere “prodotte” dai campi.

t∂∂

−=×∇BE (A3.1’)

(2”) 0ερ

=⋅∇ E (A3.2’)

(3”) 0=⋅∇ B (A3.3’)

(4”)

∂∂

+=×∇tEJB 00 εµ (A3.4’)

Come si nota, le uniche sorgenti esterne previste nelle equazioni locali di Maxwell

sono le densità volumetriche di carica e le densità di corrente. Altri tipi di sorgenti (cariche puntiformi, lineari o superficiali, ovvero correnti laminari ecc.) determinano singolarità nelle relazioni differenziali; se ne può tener conto nelle relazioni integrali, che danno luogo a

2

condizioni di raccordo alla frontiera dei sottodomini all’interno dei quali i campi sono continui e derivabili (vedi oltre). Nel caso di moto stazionario di cariche in migrazione ( ad es. in un conduttore filiforme), non vi è variazione media della carica in moto in ogni volume; in ogni punto è costante la velocità v di migrazione (non considerando il moto di agitazione termica e il moto vario nell’intervallo tra due interazioni1. Si può quindi ritenere che sia nulla, in media, la risultante delle forze che agiscono sulla carica q in movimento, nel nostro caso la forza qE nel senso del moto ed una “forza d’attrito equivalente” –kv diretta in senso opposto alla prima. In un circuito semplice (ad esempio una regione di spazio di forma anulare), il campo velocità di migrazione delle cariche ha linee di flusso anulari e tutte orientate in senso orario o antiorario. Quindi la circuitazione del campo di velocità v e del campo di corrente J=ρv non può essere nulla, ossia il campo di corrente stazionaria non può essere conservativo. Poiché il moto di migrazione è non è vario e il campo equivalente d'attrito è sempre opposto al senso del moto, il campo di forze sulle cariche ed il relativo campo elettrico complessivo (che, si ricorda, è la forza applicata alla particella riferita alla carica della particella) non possono essere conservativi2. Il sistema di equazioni differenziali di Maxwell si presta a soluzioni analitiche dirette solo in alcuni casi (ad es. propagazione di onde piane). Dal punto di vista generale occorrerà considerare che le equazioni di Maxwell sono differenziali nello spazio e nel tempo e quindi occorrerà conoscere (vedi oltre) le condizioni al contorno del dominio di indagine (o le condizioni all’infinito, nel caso di domini illimitati) e le condizioni iniziali.

1 per il rame tale tempo è dell’ordine di 10-14 s 2 Poiché il campo elettrico derivante da una distribuzione di cariche elettriche è conservativo, ne discende che un moto stazionario di cariche non può essere generato da una distribuzione (fissa) di cariche. Occorrerà quindi considerare una sorgente di campo elettrico non di tipo elettrostatico, chiamato campo elettromotore. Il campo elettromotore è quindi un campo di forza specifica, di natura meccanica, chimica, elettrica …. ma non elettrostatica (trattandosi di campo non conservativo), che agisce sulle cariche tenendole separate in un mezzo conduttore e consentendo per esse un moto stazionario (o anche non stazionario). In un circuito semplice interessato da corrente stazionaria, ci deve essere almeno una parte (tratto generatore) in cui il campo elettromotore è diverso da zero; l'eventuale parte complementare, in cui il campo elettromotore è nullo, prende il nome di tratto utilizzatore. Nel tratto utilizzatore la forza specifica sulle cariche è quella derivante dalla distribuzione di cariche (causata a sua volta dal campo elettromotore) ed è quindi un campo a potenziale: nel tratto utilizzatore la tensione elettrica (integrale del campo elettrico) valutata tra due punti non dipende dalla curva di integrazione ma solo dagli estremi di integrazione (all'interno del tratto generatore, viceversa, la tensione dipende dalla curva scelta). Se quindi il campo elettromotore è diverso da zero solo in una parte del circuito semplice, di sezioni estreme A e B, la tensione VAB sarà indipendente dalla curva scelta solo a patto di non "entrare" nel tratto generatore. Le sezione A e B individuano quindi i confini tra un "bipolo generatore" - identificabile attraverso una caratteristica V-I valutata all'esterno del tratto generatore - ed un "bipolo utilizzatore" in cui non vi sono vincoli per la valutazione della tensione.

3

A3.2 POTENZIALI ELETTROMAGNETICI

Le equazioni di Maxwell permettono di identificare rapidamente potenziale vettore e potenziale scalare. Infatti abbiamo (A3.5) )(0 vettorepotenzialeilèAABB ×∇=⇒=⋅∇ 3 Quindi

(A3.6) Φ∇−∂∂

−=⇒Φ−∇=∂∂

+⇒=

∂∂

+×∇⇒∂×∇∂

−=∂∂

−=×∇tttttAEAEAEABE 0)(

dove Φ è il potenziale scalare elettromagnetico, riconducibile, in caso stazionario, al potenziale elettrostatico.

(A3.7) ∫ ⋅+Φ=Φ⇔Φ−∇=B

Aes dlBA tEE )()(

Il campo elettrico ammette un potenziale scalare solo nel caso stazionario (o quasi-stazionario), mentre il campo magnetico ammette sempre potenziale vettore. Sostituendo la (A3.6) nella (A3.2) si ha

(A3.8) 0

2

0 ερ

ερ

−=∂∂⋅∇+Φ∇⇒=

Φ∇−

∂∂

−⋅∇ttAA

Sostituendo nella (A3.4) dalla (A3.5) e dalla (A3.8)

(A3.9) JAA 02

2

00)( µµε =

∂∂

∇−∂∂

−−×∇×∇tV

t

Nelle (A3.8)-(A3.9) non compaiono più i campi E e B, ma i potenziali vettore e scalare, in funzione delle distribuzioni di carica e di densità di corrente. Per avere una espressione più “leggibile” della (A3.9), ricordiamo che il potenziale vettore A(P,t) è 4definito a meno del gradiente di una funzione scalare Ψo(P,t) e la sua divergenza è arbitraria. Indichiamo con A0(P,t) un potenziale vettore indivergente. Ne deduciamo che qualsiasi altro potenziale vettore A dovrà rispettare la condizione:

(A3.10) AAA ⋅−∇=Ψ∇⇒Ψ∇⋅∇+⋅∇==⋅∇ 02

00 0 (gauge di Coulomb)

3 Il potenziale vettore è un campo vettoriale di cui è non è in partenza assegnata la divergenza (si vedrà in seguito che potrà essere assegnata con opportune condizioni o gauges). Il potenziale vettore è sempre definito a meno del gradiente di una funzione scalare, in quanto il rotore di un gradiente è nullo. 4 Si ricorda che la proiezione sui tre assi cartesiani del laplaciano di un vettore dà luogo a tre laplaciani scalari nelle componenti cartesiane del vettore.

4

Nella (A3.9) avremo

(A3.11) ( )

JA

A 020

2

000 )( µµε =

∂Φ∂

∇−∂

Ψ∇−∂−−×∇×∇

tt

Ricordando la definizione di Laplaciano vettore

)(2 AAA ×∇×∇−⋅∇∇=∇

abbiamo dalla (A3.11)

(A3.12) JA

A 020

2

0020

2

0002 µµεµε =

∂Φ∂

−∂Ψ∂

∇−∂∂

+∇ttt

Ponendo

(A3.13) t∂Ψ∂

−Φ=Φ 00

si ottiene

(A3.14) JA

A 00

0020

2

0002 µµεµε =

∂Φ∂

∇−∂∂

+∇−tt

ed inoltre

(A3.15) 0

02

00

ερ

=Φ−∇=

Φ∇−

∂∂

−⋅∇=⋅∇t

AE

Con le posizioni (A3.10)-( A3.15) si è pervenuti ad una equazione di Poisson il cui termine noto è legato dalla sola distribuzione volumetrica delle cariche. In altri termini, la soluzione Φ0 corrisponde ad un caso “elettrostatico” noto costituito dalla soluzione “coulombiana” relative ad una distribuzione di carica racchiusa in un volume Δτ:

(A3.16) ∫∫∫∆

=Φτ

τρπε

dr

tQtPPQ

),(4

1),(0

0

Questo risultato ha una importanza solo simbolica, poiché il campo elettrico non discende da questo potenziale scalare, ma occorre anche affrontare la difficile soluzione della (A3.14).5 Nel caso stazionario le (A3.14)-( A3.15) diventano (A3.17) JA 00

2 µ=∇−

5 In luogo della gauge di Coulomb, potrebbe essere usata un’altra condizione (gauge di Lorentz) tra la divergenza del potenziale vettore ed la derivata locale potenziale scalare per ottenere, sia per il potenziale scalare che per il potenziale vettore, una struttura tipica della equazione delle onde.

5

(A3.18) 0

02

ερ

=Φ∇−

note come equazioni di Poisson. Nel prossimo paragrafo esamineremo alcuni casi fondamentali. Notiamo che, nel caso stazionario, le equazioni di Maxwell si disaccoppiano e spariscono le sorgenti “interne”.

In assenza di mezzi materiali, si introducono due campi vettoriali ausiliari:

- il vettore spostamento elettrico, formalmente legato al campo elettrico dalla relazione D=ε0 E; si riconosce immediatamente che il vettore spostamento è omogeneo con una densità superficiale di carica e corrisponde, nel caso del condensatore ordinario nel vuoto, alla densità di carica superficiale sull’elettrodo; il flusso dei tubi di D è pari alla carica intercettata sull’elettrodo;

- il vettore campo magnetico H=B/μ0; si riconosce immediatamente che tale vettore è omogeneo con una densità lineare di corrente e quindi la sua circuitazione definisce una intensità di corrente “concatenata libera” (di conduzione e/o di spostamento).

Consideriamo ora la presenza di mezzi materiali. Distinguiamo le sorgenti vincolate da quelli libere. I fenomeni di polarizzazione elettrica possono essere descritti attraverso il vettore polarizzazione P, inteso come momento risultante per unità di volume dei momenti dei dipoli elettrici intorno al punto in esame. Il vettore polarizzazione, anch’esso omogeneo con una densità superficiale di carica, è quindi legato alla deformazione della materia per effetto delle sorgenti libere. Il campo all’interno della materia risulterà pertanto pari a

(A3.19) 0ε

PDE −=

Nel caso dei mezzi lineari ( ) EEEDEP r 00 εεεχεχ ==+=⇒= dove si introduce la permettività del mezzo εr. Il contributo ai fenomeni di magnetizzazione della materia può essere considerato un contributo al campo d’induzione magnetico aggiuntivo a quello delle correnti libere e può essere descritto attraverso il momento magnetico per unità di volume dei dipoli magnetici intorno al punto in esame (vettore magnetizzazione M) (A3.20) )(0 MHB += µ

Nel caso dei mezzi lineari HHHB rr µµζµ 00 )( =+= dove si introduce la permeabilità relativa μr. Le equazioni ausiliarie di Maxwell diventano

6

(A3.21) ∫∫∫ ⋅

∂∂

+=⋅γ

γγ

εS

o dSt

dl nEJtH

(A3.22) Qd =Σ⋅∫∫Σ

nD

(A3.23) JH =×∇

(A3.24) ρ=⋅∇ D

Dalle equazioni di Maxwell integrali possono essere derivate le seguenti condizioni di raccordo alla frontiera di due domini di diverse caratteristiche elettriche o magnetiche

- le componenti tangenziali del campo elettrico E sono continue (salvo singolarità temporali di B);

- - le componenti normali del campo B sono continue; di conseguenza, le componenti

normali di H sono inversamente proporzionali alle permeabilità; - - le componenti normali di D differiscono per la densità superficiale di carica libera

eventualmente presente sulla superficie di discontinuità; di conseguenza, le componenti normali di E non sono continue e sono, in assenza di carica superficiale, inversamente proporzionali alla permettività.

7

§A3.3 PROBLEMA DI LAPLACE – POISSON

Se il campo elettrico E è irrotazionale in tutto lo spazio escluse le zone in cui sia presente un campo impresso di natura non elettrostatica, esso viene collegato ad un campo scalare detto potenziale elettrico V(P) [Φ(P)], dando origine al cosiddetto problema di Poisson, ovvero al problema di Laplace, se la sua divergenza è

identicamente nulla. Le equazioni corrispondenti prendono il nome rispettivamente di equazione di Poisson ed equazione di Laplace6.

Un problema di Poisson (o di Laplace) si dirà ben posto se sono verificate le condizioni perché la soluzione sia unica.

Si considerino due possibili soluzioni V’(P) e V”(P) due soluzioni all’equazione di Poisson e la funzione W(P)=V’(P)-V”(P), continua e derivabile; il laplaciano di W è nullo. Se si considera il dominio di indagine τΣ di contorno Σ ed campo vettoriale che si ottiene moltiplicando W(P) per il gradiente di W(P), il flusso attraverso Σ di tale campo, per il teorema della divergenza, sarà

ΣΣ

∇∫∫∫ ⋅∇=Σ∫∫ ⋅∇Σ

ττ d)WW(dnWW

da cui

ττττ Σ∫∫∫ ∇=Σ∫∫∫

∇+∇=Σ∫∫

Σ ΣΣdWdWWWd

dndWW 222

Risulta quindi evidente che se si vuole che i gradienti di V’ e V” siano gli stessi in tutto

il dominio , è sufficiente che sul contorno abbiano la stessa derivata normale (dW/dn=0) o lo stesso valore (W=0); in quest’ultimo caso, ovviamente avremo lo stesso valore del potenziale in tutto il dominio. L’assegnazione del valore sul contorno prende il nome di condizione di Dirichlet, l’assegnazione della derivata normale –lato interno per il problema interno, lato esterno per il problema esterno – prende il nome di condizione di Neumann.

6 Espressione del laplaciano in alcuni sistemi di coordinate

2

2

2

2

2

22

zyx ∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

=Φ∇ (coordinate cartesiane)

2

2

2

2

22

22 11

zrrrr ∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

=Φ∇ϕ

(coordinate cilindriche)

∂Φ∂

+

∂Φ∂

⋅∂∂

+

∂Φ∂

∂∂

=Φ∇ 2

2

22

22 111

ϕθθθ

θθ sensen

senrrr

rr(coordinate sferiche)

)()(2 PfPV =∇ 0)(2 =∇ PV

8

Nel primo caso, è univocamente individuato il potenziale scalare, nel secondo caso è univocamente definito il campo elettrico, grandezza significativa dal punto di vista ingegneristico in quanto rappresenta la sollecitazione specifica sulle cariche e quindi definisce il moto delle particelle o il comportamento del mezzo materiale. La ricerca della soluzione prende il nome di problema di Dirichlet o problema di Neumann. Possono presentarsi anche problemi misti o raccordati, nel senso che le condizioni al contorno non sono tutte dello stesso tipo e/o sono collegabili ad analoghe condizioni in domini contigui.

Nei due casi, il problema è, per gli Ingegneri, ben posto, avendo interesse alla sollecitazione elettrica, cioè al gradiente.

Altri casi, in cui le condizioni al contorno sono di tipo diverso, andranno esaminati a parte. Se il dominio è illimitato, occorrerà introdurre le opportune condizioni all'infinito, anche in relazione alla presenza di cariche all’infinito (es. caso piano e cilindrico) .

Si può dimostrare che un problema di Poisson con condizioni alla Dirichlet può

essere ricondotto ad un problema di Laplace.

In via del tutto generale, le soluzioni si presentano ardue, perché il valore del laplaciano dipende dal campo incognito. Il problema si semplifica notevolmente nel caso di domini omogenei.

Infatti, se il materiale non è omogeneo [e/o se è presente una carica spaziale] occorre risolvere un problema di Poisson, con le stesse equazioni al contorno (quindi il problema continua ad essere ben posto).

Nel caso ad esempio del campo di corrente in mezzo disomogeneo avremo

η

ηηηη

11100 2 ∇⋅=∇⇒∇⋅−=⋅∇⇒=⋅∇⇒=⋅∇ EEEEJ V

L'equazione da risolvere corrisponde ad un problema di Poisson, analogamente al caso elettrostatico con una "carica libera equivalente" di densità volumetrica pari a

∇⋅⋅⋅−=

ηεηρ 1Eeql

In tal caso il valore del Laplaciano dipende dal campo (che è ovviamente non noto). Occorrerà procedere in genere per via numerica. A3.3.1 Soluzioni analitiche dell’equazione di Laplace

Si è osservato che la soluzione di una equazione di Poisson in dominio limitato con assegnate condizioni al contorno può essere ricondotta ad una equazione di Laplace con condizioni al contorno opportunamente modificate. In questo modo si può utilizzare il notevole studio analitico condotto sull’equazione di Laplace.

9

Una funzione V(P) che soddisfa l’equazione di Laplace viene detta armonica. Ad esempio la funzione V(x,y,z)=ax+by+cz è armonica. Le principali proprietà delle funzioni armoniche sono le seguenti

- il valore che una funzione armonica assume in un punto è pari alla media dei valori assunti su una sfera di raggio qualsiasi centrata nel punto (teorema della media) - una funzione armonica in un dominio non presenta massimi e minimi all’interno del dominio; essi quindi vanno cercati sulla frontiera;

- una funzione armonica definita all’interno [esterno] di una frontiera su cui sono assegnati i valori, è univocamente determinata al suo interno [esterno, se regolare all’infinito] (Dirichlet); è determinata univocamente a meno di una costante se si assegna sulla frontiera la derivata normale (Neumann).

A3.3.2 Rappresentazione dei campi armonici I campi vettoriali vengono normalmente rappresentati dalle “linee di forza” tanto più ravvicinate quanto più intenso è il campo (convenzione di Faraday). Una linea di forza è una linea orientata ed ha la proprietà che per ogni punto in cui il campo non sia nullo o infinito passa una linea la cui tangente ha la stessa direzione e verso del campo e quindi del gradiente di potenziale. In un campo armonico, le superfici equipotenziali sono caratterizzate dal valore del potenziale e dal fatto che il campo (il gradiente) è ad esso ortogonale. I tubi di flusso sono porzioni di spazio caratterizzati dal fatto che in ogni punto della parete del tubo il campo è tangente e per ogni punto della parete passa una linea di flusso; se si considerano due sezioni trasversali del tubo di flusso con due riferimenti congruenti, il tubo può essere caratterizzato dal valore del flusso del campo attraverso una delle sezioni e si può costruire una funzione di flusso; le superfici equiflusso saranno caratterizzate dallo stesso valore della funzione di flusso. Superfici equipotenziali e superfici equiflusso sono in ogni punto ortogonali e quindi danno luogo ad un reticolo ortogonale. Date le proprietà di ortogonalità, le superfici dei due tipi possono essere scambiate. La rappresentazione grafica di un campo avviene mediante il disegno di superfici equidistanziate per intervallo di potenziale e di funzione di flusso.

10

A3.3.3 Metodi di risoluzione analitica dell’equazione di Laplace Con metodi analitici possiamo pervenire ad una grande varietà di soluzioni e dare lo spunto nella progettazione di componenti ed impianti; queste soluzioni possono però essere generalmente utilizzate per la verifica del campo in domini irregolari di interesse applicativo.

Tra i metodi analitici si rimarcano i seguenti:

1) risoluzione diretta (casi di simmetrie semplici) 2) metodo di separazione delle variabili 3) metodo della funzione di Green 4) metodo delle funzioni analitiche e trasformazioni conformi 5) metodo di composizione

A seguire la soluzione diretta dell’equazione di Laplace nei casi fondamentali (geometrie semplici) con un collegamento con applicazioni tecniche significative

Una significativa presentazione degli altri metodi analitici indicati, nonché dei metodi analogici, numerici e sperimentali è riportata nel cap. I degli Appunti del Corso di Modellistica Elettromagnetica dei Materiali sul sito www.elettrotecnica.unina.it .

A3.3.4 Geometria piana (mezzo omogeneo)

V1V2

h1

dVdn = 0

dVdn = 0

x0 d

h2

Fig.A3.3.4.1

Consideriamo due elettrodi piani paralleli indefiniti a distanza d (fig. A3.3.4.1) tra cui è interposto un mezzo omogeneo ed isotropo, privo di carica libera, caratterizzato dalla conducibilità 1/η [e/o dalla costante dielettrica ε].

11

In condizioni stazionarie sia V1 il potenziale dell'elettrodo 1 e V2 il potenziale dell'elettrodo 2. Potremmo pensare di collegare i due elettrodi ad un generatore di tensione ΔV=V1-V2 .

I campi non possono che dipendere da una sola coordinata (x) ed avere una componente non nulla solo lungo tale asse. Infatti, se il campo elettrico avesse una componente lungo un altro asse ortogonale, non potrebbe essere rispettata l'irrotazionalità del campo (basti pensare al calcolo della circuitazione lungo un rettangolo su un piano ortogonale all'elettrodo, con un lato appoggiato ad esso).

Se si limita lo studio dei campi ad un dominio "tagliato" da due coppie di piani paralleli ortogonali agli elettrodi ed ortogonali tra di loro a distanza h1 e h2 tra di loro, individuiamo che tale dominio è una porzione di tubo di flusso del campo elettrico e del campo di corrente [del campo di spostamento]. Da notare che il problema è ben posto, in quanto sugli elettrodi conosciamo il potenziale, sulle pareti laterali è nulla la componente normale del campo e quindi è nulla la derivata normale del potenziale (condizione di Neumann) dV

dn= 0.

In questo caso è immediato valutare la conduttanza [la capacità] equivalente tra

le sezioni degli elettrodi in tal modo individuate:

2112

22 )(00 kxkxVkE

dxdV

dxVdV x +=→=−=→=→=∇

∆

=∆

=⋅

⋅=

−==

−=−

=

==

∫

∫∫∆

dSC

dS

dx

dS

VVI

RG

Ed

)(V)d(Vk

V)(Vk

dS

x

εγ

0

21

1

12

1

00

x1E

nJ

con ∆S= h1 h2 . Tale espressione ricorda quella introdotta per il conduttore filiforme. Nel caso sia presente una distribuzione volumetrica di carica assegnata fra gli elettrodi (fig. A3.3.4.2), il Laplaciano è noto e l'equazione di Poisson può essere integrata direttamente. Nel caso ad esempio di alcuni tubi a scarica, possiamo immaginare una distribuzione uniforme di carica spaziale ρ in un gas a bassa pressione.

12

V V1 2

h1

dVdn = 0

dVdn = 0

x0 d

fig. A3.3.4.2

In tal caso, con le stesse condizioni al contorno prima assunte, abbiamo

∇ = − → = − → = − = − + → = − + +22

2 12

1 22V d V

dxdVdx

E x k V x x k x kxρε

ρε

ρε

ρε

( )

dove

( )

( )dxd

VVdxdVE

Vxd

VVxdxxV

dd

VVdxdVk

VdkdVdV

VVk

x

x

−+−

−=−=

+−

+−−=

+−

==

++−==

==

=

22

2)(

2

2)(

)0(

12

112

12

01

112

2

12

ερ

ερ

ερ

ερ

La distribuzione di potenziale nel caso di presenza di carica si modifica rispetto al caso geometrico (nel nostro caso lineare) per un termine parabolico che si annulla agli estremi dell'intervallo. Il massimo scostamento dalla soluzione "geometrica" (cioè dipendente dalla configurazione elettrodica in assenza di carica spaziale) si avrà quindi

al centro dove vale 8

2dVo

max ερ

=∆ . In presenza di carica spaziale, si potrà avere un

massimo o un minimo del potenziale all'interno dello spazio interelettrodico (V non è

armonica) 2

12dd

VV

xM +

−

=

ερ

se la densità di carica è sufficientemente elevata da determinare un campo di carica spaziale competitivo con quello geometrico , ossia se è verificata la condizione

13

212

12

22 d

VVddVV

−⋅⟩⇒⟨

−

ερ

ερ

In corrispondenza di xv il campo cambia senso. In relazione al segno dei potenziali e della densità di carica, in xM si avrà un anodo o un catodo virtuale; in tale zona il campo cambia verso determinando da un lato un “serbatoio di contenimento” della carica spaziale, dall’altro una zona di forte sollecitazione (N.B. nell’analisi che abbiamo fin qui condotto si è fatta l’ipotesi di carica spaziale “bloccata”; essa si può riferire sia al caso dei gas – considerando una distribuzione “stazionaria”- oppure alla carica “intrappolata” nei solidi). A3.3.5 Geometria sferica (mezzi omogenei)

Se consideriamo due elettrodi sferici concentrici (fig. A.3.3.5.1), a potenziali fissati (ad es. collegati ad un generatore ditensione ideale), con interposto un mezzo a resistività η, il campo elettrico (e quello di corrente ) non potrà che essere dipendente solo dalla coordinata radiale e a componente solo radiale (ogni altra componente determinerebbe una circuitazione non nulla del campo elettrico in una regione priva di campo impresso). Le linee di campo sono radiali, le superfici equipotenziali sfere concentriche.

r1

r2+

V2

V1

η

fig. A3.3.5.1

Si potrà definire una resistenza equivalente tra i due elettrodi

−==

Σ⋅

⋅

=−

=∫

∫∫

∫

Σ

2112

212

)(12

2112

114

4

)(

)(2

1

2

1

rrI

drr

I

dr

drr

IVVR

r

r

r

r

r

πηπ

ηη

nJ

tJ

14

per r2>>r1 , si ha

11 4 r

Rπη

=∞

In generale, per r generico

−==

Σ⋅

⋅

=−

=∫

∫∫

∫

Σ

rrI

drr

I

dr

drr

IrVVrR

r

r

r

r

rr

114

4

)(

)()()(

112

212

)(12

11

11

πηπ

ηη

nJ

tJ

Il potenziale all'aumentare di r varia quindi con legge iperbolica:

121

121111

4)( I

rrIRrVV r

−==−

πη

Il campo massimo si trova in prossimità dell'elettrodo interno

−

−==−==

21

21

212

1

121max 114)(

1

rrr

VVrI

drdVrEE

r πη

Il campo tende ad infinito (a tensione fissata) sia quando il raggio interno tende a zero, sia quando tende a zero la differenza δ=r2-r1 . In quest’ultimo caso la distribuzione di campo tende ad essere uniforme e pari a

δ21

21

21

21max 1112

VV

rrr

VVErr

−≅

−

−=

→

Il valore minimo del campo massimo (al variare del rapporto tra i raggi) come si può facilmente controllare, si ha per r2=2r1 . Il campo massimo vale in tal caso

1

21

1

212max 2

211

12 rVV

r

VVErr

−=

−

−=

=

Nelle migliori condizioni quindi, il campo elettrico sferico ha un valore massimo che è il doppio del campo uniforme a parità di distanza elettrodica (che, in questo caso, è pari a r1). In altri termini, le sollecitazioni sul materiale (anche dal punto di vista termico) sono sensibilmente non uniformi anche nel caso di configurazione elettrodica ottimale. A.3.3.6 Applicazioni: il dispersore di terra emisferico

I resistori sferici non sono in pratica utilizzati. Il campo emisferico si ottiene considerando un taglio equatoriale. Le condizioni al contorno del dominio emisferico sono le stesse del campo sferico (potenziali assegnati

15

agli elettrodi e derivata normale nulla sulla superficie del taglio; la distribuzione di campo e potenziale rimane inalterata). A parità di tensione applicata, la intensità di corrente I'12 è dimezzata rispetto alla corrente I12 del caso sferico:

−=

21

'12

112 rr

Rπη

TRr

R ==∞1

1 2πη

121

111

2)( I

rrrVV

−=−

πη

r1

r2

+

V2 η

V1I'

12

+

fig. A3.3.6.1 Per r2 tendente a valori infinitamente grandi (generatore "lontano"), si ha la configurazione del dispersore di terra emisferico (fig. A.3.3.6.1), in intimo contatto con il terreno, che può essere inserito in un Impianto di terra. In condizioni di perdita accidentale dell'isolamento tra un conduttore della linea di alimentazione di una apparecchiatura e la carcassa metallica dell'involucro della stessa, il collegamento linea - involucro - persona - terreno, richiudendosi sul generatore, può essere interessato da corrente. La tensione VAB applicata al corpo umano7 (fig. A.3.3.6.2) viene chiamata in questo caso tensione di contatto.

7La resistenza equivalente del corpo umano dipende dai punti di contatto, dallo stato del contatto - es. mani e piedi bagnati o isolati - e da condizioni soggettive (0,5- 3kΩ )

16

+ Linea di alimentazione

Utenza in contenitore metallico

cedimento dell'isolamento

A

BI'12

fig. A3.3.6.2

Per limitare drasticamente i valori della tensione di contatto (in modo che sia < 50V, tensione di sicurezza), si costruiscono gli impianti di terra collegando al dispersore tutte le masse metalliche esistenti nell'area interessata ed affidando ad interruttori automatici differenziali l’intervento in caso di guasto verso massa o di contatto accidentale (vedi Cap.VIII). Il collegamento ad un dispersore di terra viene indicato con il simbolo

In presenza dell’impianto di terra, la tensione di contatto è estremamente ridotta, in quanto il corpo umano si trova, in prima approssimazione, in "parallelo", rispetto al generatore, al "ramo" contenente il dispersore, che deve quindi costituire un ramo di resistenza equivalente molto minore della resistenza equivalente del corpo umano nelle peggiori condizioni; la intensità di corrente I", a patto di una buona progettazione e manutenzione dell'impianto di terra, può diventare trascurabile rispetto alla corrente di I' di guasto (per il cui valore deve essere opportunamente progettato l'intervento degli interruttori di protezione) (fig. A.3.3.6.3).

+ Linea di alimentazione

Utenza in contenitore metallico

cedimento dell'isolamento

A

B

I'12

T

I"

fig. A3.3.6.3

17

Per il dimensionamento del dispersore, occorre conoscere la massima corrente di guasto verso terra (dipendente dall'impianto e dagli organi di interruzione) I'12M; la resistenza di terra del dispersore deve essere quindi, cautelativamente,

'121

'1

502 M

T IrRR <== ∞ π

η

Il valore richiesto sarà tanto più facilmente realizzabile quanto più conduttivo è il terreno (η varia da 30-200 Ωm per i terreni argillosi ad oltre 1000 Ωm per i terreni rocciosi) e quanto minore è la corrente massima di guasto che determina l'intervento della protezione. Tuttavia, la presenza dei dispersori comporta una insidia: in prossimità degli stessi occorre controllare la tensione di passo, ossia la massima tensione che può stabilirsi tra due punti del corpo umano poggiati al suolo (tipicamente tra i due piedi di una persona che cammina nei dintorni del dispersore) (fig. A.3.3.6.4). Anche la tensione di passo deve essere inferiore a 50 V.

+V1

I'terra

+

r1 A B

fig. A3.3.6.4

La tensione di passo (indicando con p la distanza di un passo, tipicamente pari a 1m) vale

+

=

+

−=

+

−=+−pr

pIRpr

rIRIprr

prVV TT1

121

11212

1111 111

2)(

πη

ed è quindi opportuno, per sicurezza, spesso ritenerla pari alla tensione

'121 IRV T=∞

18

considerando che vi sono casi di "passi" più lunghi quali quelli dei grossi quadrupedi o comunque di appoggi a distanza maggiore del passo ordinario.(8) Se consideriamo r2>>r1, il primo elettrodo (sferico o emisferico) potrà essere visto come un dispersore puntiforme . Ovviamente il valore massimo del campo elettrico sarà determinato dalla dimensione reale dell’elettrodo più piccolo. A partire dal dispersore emisferico (o sferico) singolo, potranno essere considerati più dispersori “omonimi” (ossia con intensità di corrente dello stesso segno, considerando il riferimento di fig. A.3.3.6.4) o “eteronimi” (con intensità di corrente di segno opposto). Nel primo caso rientrano la maggior parte degli impianti di terra e di protezione dai fulmini per edifici civili ed industriali. Considerando in prima approssimazione il terreno come un mezzo “lineare” (ossia di conducibilità nota e costante), si potranno valutare nei diversi casi gli effetti di “prossimità” di più elettrodi di terra, applicando ai potenziali il principio di composizione. In fig. A.3.3.6.5 è riportato l’andamento qualitativo del potenziale nel caso di dispersori omonimi e in quello di dispersori eteronimi. Nel primo caso potrà essere meglio valutata la “resistenza equivalente di terra” ai fini del calcolo delle correnti di guasto “iniettate” nei dispersori a pettine (in parallelo), nel secondo caso si dovranno valutare gli incrementi sulle tensioni di passo – rispetto a quelle prima calcolate – determinate dagli elettrodi “in serie”.

fig. A3.3.6.5 Quanto finora presentato può essere applicato al dispersore emisferico collocato a sfioro nel terreno, oppure al dispersore sferico interrato a grandissima profondità, tale da dover ritenere impercettibile la deformazione del campo al suolo.

8 A titolo di esempio se la corrente di guasto ha una intensità I=100 A e la resistività del terreno è 100 Ωm (terreno roccioso), la resistenza di terra corrispondente ad un dispersore emisferico di 1 m di raggio vale 16 Ω, la tensione “totale” di terra V=RI vale 1600V e la tensione di passo nelle immediate vicinanze dell’elettrodo vale 711 V; in tal caso sarà necessario interdire l’accesso al dispersore, predisponendo intorno al dispersore una

recinzione a distanza minima d tale che sia V.d

.pd

pIRIprr

)pd(V)d(V T 5080

801600112 1212

11

≤

+=

+

=

+

−=+−πη

!m,d.d. 6248050160080

≥→+≤

⋅

→

I1

I2= -I1

x

V

I1 I2=I1 x

V

19

Nel caso di dispersore puntiforme interrato ad una profondità h, al fine di valutare il campo tangenziale al suolo e quindi le tensioni di passo, si può ricorrere al metodo delle immagini considerando che la condizione di Neumann è nulla al suolo (lato del terreno) per la presenza dell’aria (isolante) sovrastante. Basterà quindi considerare, per la simmetria, un dispersore omonimo virtuale ad altezza h. La distribuzione di potenziale al suolo potrà essere semplicemente valutata come

2202

4)(

xh

IxVV+

=−π

η

Potrà essere così valutata la “zona pericolosa” e la massima tensione di passo

( )( )

( )2

084022344

02234404

4

2222

2223

222

2

2222

hxxhxxxh

xhxxxhxV

xhxhxI

xV

±=⇒=−⇒=⋅⋅−+⇒

⇒=+⋅⋅−+⇒=∂∂

⇒++

=∂∂

πη

A partire dal dispersore sferico puntiforme, potranno essere individuati modelli di funzionamento di dispersori puntuali o lineari. Si può quindi rapidamente pervenire al modello di funzionamento del paletto di terra o "puntazza", il più diffuso tipo di dispersore [5, Cap.I,§7 ]. Un paletto di diametro d infisso per una profondità h può essere assimilato ad un semiellissoide di rotazione (fig. A3.3.6.6);

d

h

fig. A3.3.6.6

Infatti il campo dovuto ad una successione di dispersori puntiformi “elementari” (di “lunghezza” 2h, compresa la sorgente immagine) cui può essere (a meno di infinitesimi

di ordine superiore) essere attribuita una intensità di corrente h

dI2ξ .

20

Il contributo al potenziale in un punto generico P(x,y) dovuto al singolo elemento a distanza r dal punto vale (fig. A.3.3.6.7)

fig. A3.3.6.7

( )22842 ξ

ξπη

πηξ

−+⋅=⋅=

xy

dhI

rhdIdVP

per cui

( )

( )( )22

22

222

ln8

81

88

hxyhx

hxyhxhIV

yxsettsenh

hI

yx

yxd

hI

xy

dhIV

P

h

h

h

h

h

hP

−++−

++++=

−=

−+

−

=−+

==

−=

=

−=−∫∫

πη

ξπη

ξ

ξ

πη

ξ

ξπη

ξ

ξ

ξ

ξ

Le superfici equipotenziali (considerata la geometria assisimmetrica) sono ellissoidi di rotazione. Le superfici coniugate (ortogonali) rappresentano le superfici di flusso e sono iperboloidi di rotazione. I fuochi degli ellissoidi corrispondono agli estremi della sorgente lineare. Considerato un paletto metallico di diametro d, opportunamente sagomato all’estremità (fig. A.3.3.6.6) potremo considerarlo in prima approssimazione un ellissoide di rotazione, il cui potenziale (rispetto all’infinito) vale

hd

hIV

hdh

hdh

hIV hd

4ln4

2

2ln

8 0

22

22

0 πη

πη

≅→→

+

+−

+

+

= ∞<<∞

Considerando che il paletto reale (di lunghezza h) corrisponde alla metà della sorgente lineare, la resistenza di terra corrispondente all’uso del paletto si può calcolare come

x

x

y r

2h dξ

P

21

dh

hIV

RTpaletto4ln

22

0

πη

== ∞

Ad esempio per un terreno di resistività 100 Ωm, un paletto di 2m e di diametro 5 cm determinerà una resistenza di terra di circa 40 Ω. Altri tipi di dispersori usati nelle cabine elettriche o nei laboratori di prove elettriche sono a rete o a lastra interrata. Caso per caso si dovrà opportunamente progettare il dispersore o la rete di dispersori, considerando anche la natura del terreno e le condizioni di umidità prevedibili. Le norme indicano una verifica biennale dell’impianto di terra. A3.3.7 Geometria cilindrica (mezzi omogenei) – Cavo coassiale

Nel caso di simmetria cilindrica, potremo sviluppare considerazioni analoghe al

caso sferico. Se consideriamo due cilindri coassiali, a potenziali fissati (ad es. collegati ad un generatore di tensione ideale), con interposto un mezzo a resistività η, il campo elettrico (e quello di corrente ) non potrà che essere dipendente solo dalla coordinata assiale e a componente solo radiale (ogni altra componente determinerebbe una circuitazione non nulla del campo elettrico in una regione priva di campo impresso).

Si potrà definire una resistenza equivalente

1

2

12

12

)(12

2112 ln

22

)(

)(2

1

2

1

rr

lI

drrl

I

dr

drr

IVVR

r

r

r

r

r

πηπ

ηη==

Σ⋅

⋅

=−

=∫

∫∫

∫

Σ

nJ

tJ

Il potenziale all'aumentare di r varia con legge logaritmica, il campo con legge iperbolica:

1

2

2112

1121

ln2)(;ln

2)(

rrr

VVr

Ildr

dVrErrI

lrVV −

==−==−πη

πη

Il campo elettrico massimo si trova in prossimità dell'elettrodo interno

1

21

21

1

121max

ln2)(

1

rrr

VVrI

ldrdVrEE

r

−==−==

πη

Il valore minimo del campo massimo, come si può facilmente controllare, si ha per r1=r2/e. Il campo massimo vale

22

( )112

21

1

2

12

21

1

21max

12−

−−

=−

−−

=−

==

errVV

rrr

rrVV

rVVE

err

Nelle migliori condizioni quindi, il campo ha un valore massimo che è circa il 70% in più del campo uniforme a parità di distanza elettrodica. In altri termini, le sollecitazioni sul materiale (anche dal punto di vista termico), sono sensibilmente non uniformi anche nel caso di configurazione elettrodica ottimale. La resistenza di isolamento di un cavo coassiale per unità di lunghezza, per η=1013 Ωm, presenta i seguenti valori per unità di lunghezza al variare del rapporto dei raggi:

rr2

1 2 5 10 20 50 100

Rl [MΩ] 1100 2600 3700 4800 6200 7300

La misura di questi valori così elevati di resistenza richiede metodi di misura particolari, con megaohmmetri (alimentazione a 500-1000 V) o di metodi balistici (cioè determinando la costante di tempo di carica del cavo in esame). Per l'analogia che si è detta in precedenza potrà essere valutata la capacità del cavo

1

2

2

rrln

lClπε=

A3.3.8 Monospira Si consideri ad esempio una struttura tubolare tagliata lateralmente ed alimentata lato taglio (fig. A3.3.8.1). Si suppone che la struttura abbia resistività uniforme η, sia immersa in un mezzo isolante perfetto, e sia alimentata tramite due elettrodi conduttori perfetti ad assetto radiale, separati di un piccolo angolo Δα; il problema risulta ben posto.

23

r1

r2+ V2

V1

η

∆α

dV/dn=0

dV/dn=0

fig. A3.3.6.7

In questo caso le linee di campo saranno circolari. La resistenza equivalente agli elettrodi vale

( )

( )

( ) ( )

( )

1

221

21

2

0

12

2112

ln

2

2)(

2)(2

1

2

1

2

1

rrl

rdrlVV

VV

drlrE

rrE

drl

rd

IVVR r

r

r

r

r

r

απη

απηη

απϕ

ϕ

ϕ

ϕ

απ

ϕ ∆−=

∆−

−

−=

∆−=

⋅

⋅=

−=

∫∫∫

∫∆−

1J

1E

f

A3.3.9 Conduttore massiccio La conduttanza Γ di un conduttore massiccio omogeneo tra due basi equipotenziali A e B, può essere valutata considerando noto il campo di corrente in questo conduttore e suddividendo il conduttore stesso in “filetti” elementari di corrente di conduttanza (elementare) ed integrando lungo la linea media del campo di corrente

∫∫∫∫=

⋅=

⋅=

⋅==Γ B

A

A

AB

A A

AB

A

AAB

A

AB dldS

dSdS

dltJJ

dS

dltJ

dSJ

dltE

dIVdId

ηηη

La conduttanza di un conduttore massiccio sarà quindi

AS

B

A

A

dSdl

dSdS

A

∫∫

=Γ11

η

Appendice A4

APPROSSIMAZIONE QUASI STAZIONARIA In generale, la tensione fra due punti A e B è definita in funzione della linea prescelta per l’integrazione del campo. La differenza tra due tensioni valutate tra A e B lungo due linee diverse γ’ e γ” è pari alla circuitazione del campo elettrico lungo la linea chiusa γ unione di γ’ e di (-γ”), quindi all’opposto della variazione del flusso del campo magnetico concatenato con la linea γ, orientata congruentemente a γ’.

(A4.1) ∫∫∫ ⋅−=⋅=−γ

γγ

γγ

SABAB dSnB

dtddltEVV "'

Abbiamo definito il campo quasi-stazionario nel caso che tale differenza sia trascurabile per le applicazioni che interessano , es. sia inferiore al 5% rispetto al valore della tensione(1). Se ad esempio, spostando la linea di integrazione nello spazio di nostro interesse , si ha come casi estremi, VVVV ABAB 96100 "' == γγ ,possiamo dire che, per le tolleranze adottate, le due tensioni hanno differenza trascurabile e quindi si può considerare un solo valore della tensione (con l’approssimazione del 5%). Dalla (A4.1) ricaviamo anche le condizioni in cui la differenza tra le tensioni è trascurabile; facendo riferimento al regime sinusoidale; infatti, posto e considerato che

(A4.2)

( )

γγ

γγγ π

απ

SfBV

SfBtVtV

ftBtB

MAB

MABAB

BM

>>

≅−

+=

max

*

max

"' 2)()(

2sin)(

[dove γ* è una qualsiasi linea tra A e B “compresa” tra γ’ e γ” e Sγ è una superficie “ragionevole” definita da γ* e γ’ (o γ”)], la condizione di quasi stazionarietà si raggiunge sicuramente se è verificata almeno una di queste condizioni:

a) la variazione del campo magnetico (la frequenza, ovvero la massima frequenza ipotizzabile in una scomposizione temporale) è sufficientemente bassa;

b) il campo magnetico è sufficientemente modesto; c) la regione di interesse è sufficientemente ristretta.

Analogamente , se consideriamo le sezioni terminali SA ed SB di un tratto di materiale conduttore immerso in un isolante, in condizioni di corrente quasi-stazionaria avremo per ogni intervallo temporale una variazione “trascurabile” di carica nel volume di conduttore considerato, ossia una intensità di corrente di uguale valore (assoluto) attraverso le due sezioni terminali. Facendo ancora riferimento ad un caso di regime sinusoidale, si potrà dire dalla (A4.2)

1 Questa approssimazione viene denominata quasi-stazionaria elettrica.

(A3.3)

( )

( )

( )

Σ>>

Σ≅Σ⋅

++−×∇=

=Σ⋅=−

+=

∫∫

∫∫

Σ

Σ

M

MEM

BA

EM

fEI

fEdnftEfB

dnJtItI

ftEtE

max

00

max

00

maxmax

22

2sin2

)(

2sin)(

πεµπαππεµ

απ

La condizione di quasi stazionarietà si raggiunge sicuramente se è verificata almeno una di queste condizioni2:

d) la variazione del campo elettrico (la frequenza f, ovvero la massima frequenza ipotizzabile in una scomposizione temporale) è sufficientemente bassa;

e) il campo elettrico è sufficientemente modesto; f) la regione di interesse, di superficie laterale Σ, è sufficientemente piccola, ovvero le

due sezioni sono abbastanza ravvicinate. Le condizioni (A4.2) ed (A4.3) possono essere riscritte come:

Σ>>≅⋅=

>>≅⋅=

Σ∫

∫

Σ

M

M

B

AAB

fErBdltBI

SfBdEdltEVAB

*

0

*

0max

**

*

maxmax

*

2πµµγ

γ

γ

γ

da cui, introducendo la lunghezza d’onda λ associata al campo variabile, la “dimensione” Δ della regione per cui si possono ritenere valide le condizioni di quasi-stazionarietà risulta

λπλ

πµ

ππµµ

λλλ

γ

γγ

"2

;2

'1,;

*2*

0

*

2*

0

*

0max

**

**

krrEcrB

rfErBdltBI

kE

cBcfdSE

SfBd

M

M

MMABAB

<<⇒>>⇒

⇒≅ΣΣ>>≅⋅=

<<∆⇒∆

>>⇒=∆≅>>

ΣΣΣ

ΣΣ∫Σ

Si nota una condizione comune ai due casi: la regione di interesse deve essere piccola rispetto alla minima lunghezza d’onda associabile con i campi variabili. Ad esempio, alla frequenza f=50 Hz, la lunghezza d’onda è di (3 108/50) metri, ossia 6000 km: è ragionevole pensare che la condizione di quasi stazionarietà è rispettata se consideriamo l’intera rete di distribuzione dell’energia elettrica in Italia. Tuttavia le quantità k’ e k” sembrano giocare ruoli contrapposti.

2 In questo caso l’approssimazione viene denominata quasi-stazionaria magnetica.

Per un approccio più ingegneristico, inquadrabile nella Teoria Generale dei Modelli, al modello quasi-stazionario elettrico (QSE), quasi stazionario magnetico (QSM), quasi stazionario di corrente (QSC) – laddove le due relazioni siano contemporaneamente verificate in modo “abbastanza” soddisfacente, vedasi

L. DE MENNA: Elettrotecnica - ed. Pironti, Napoli 1998 dove si perviene in ultima analisi alla definizione “quasi-stazionaria” del condensatore (QSE), dell’induttore (QSM), del resistore (QSC).

1

Appendice A5 MODELLI DI CONDUZIONE NEI SOLIDI E NEI LIQUIDI

La conduzione elettrica nella materia (ossia il moto medio di portatori di carica, rispetto ad un riferimento di laboratorio, esprimibile in termini di densità di corrente o di intensità di corrente) è descrivibile in termini di: a) tipi di portatori di carica: b) proprietà chimico-fisiche del “materiale” (o dei materiali) sede del fenomeno di conduzione; c) caratteristiche spazio-temporali della sollecitazione “macroscopica” sui portatori di carica (consideriamo in questa sede principalmente la sollecitazione di tipo “elettrica”1). Per quanto riguarda i portatori, è tradizionale il riferimento agli elettroni, agli ioni, alle “lacune”. Occorre tuttavia associare a tale riferimento qualche riflessione di base. Ad esempio, per l’elettrone potremmo assumere uno dei seguenti modelli: 1) l’elettrone è considerabile come una sfera carica2 obbedente alle leggi della meccanica classica (modello di Drude o modello a “palla di biliardo”); 2) l’elettrone è un oggetto quantico libero, senza interazione con il mezzo in cui si muove, salvo alla sua frontiera (modello di Sommerfeld o modello dell’elettrone libero in un pozzo di potenziale); 3) l’elettrone è un oggetto quantico sottoposto all’azione del mezzo in cui si muove, che però ha solo un ruolo passivo (modello energetico a bande); 4) l’elettrone è un oggetto quantico sottoposto all’azione del mezzo in cui si muove con cui interagisce (modello di Bardeen, Cooper e Schrieffer). E’ palese che non esiste una separazione netta tra i diversi modelli; di essi si dà un breve cenno nel seguito, rinviando per un’approfondita analisi dei suddetti modelli alla amplia bibliografia in merito. Considerando per semplicità lo spazio (occupato da un mezzo qualsiasi omogeneo) tra due elettrodi piani e paralleli A e B a distanza L, sottoposti alla tensione VAB. Tale spazio è interessato da un campo elettrico di intensità E= VAB /L. Un elettrone viene quindi sottoposto all’accelerazione nella direzione del campo

)1(Emea ⋅=

1 Non trascurabili, tra gli altri, i casi di moto medio di portatori soggetti principalmente a fenomeni di trasporto meccanico (le correnti di convezione, legate ad esempio alle cariche statiche accumulate in dispositivi rotanti oppure ai moti vorticosi di aggregati carichi durante i temporali ). 2 massa a riposo me=9,109 10-31 kg; carica e=-1,602 10-19C

2

L’interazione con il mezzo materiale viene schematizzata con il termine “urto” (elastico o anelastico). Se consideriamo il tempo medio τ tra due urti successivi (tempo di volo), potremo valutare la velocità media di migrazione (velocità di drift) degli elettroni con una espressione del tipo3

)2(22

1 EEmeavD µττ =⋅==

ove µ rappresenta la mobilità degli elettroni. Per ottenere la velocità effettiva dell’elettrone occorrerebbe considerare la velocità u legata all’agitazione termica, di valore estremamente più elevato rispetto alla velocità di drift4; il libero cammino medio λ tra due urti successivi dipenderà praticamente solo dalla velocità di agitazione termica

ττλ ⋅≅⋅+≅ uD uv (3) Considerando un fascio collimato (equivalente) di elettroni di densità Ne caratterizzato da una velocità di drift vD, potremo considerare il rapporto la carica elettrica (riferita al tempo ∆t di osservazione) attraversante una sezione elementare ortogonale al fascio e l’area della sezione stessa; otteniamo in tal modo la densità di corrente elettrica e la cosiddetta “legge di Ohm alla grandezze specifiche”:

)4(22

22

EEum

eNE

meN

veNJe

e

e

eDe σ

λτ=

⋅===

dove σ è la conducibilità del mezzo in esame:

)5()( eNeeµσ = La conducibilità risulta quindi legata al prodotto di due fattori (mobilità e densità). Nel caso dei conduttori metallici prevale la densità, nel caso dei semiconduttori prevale la mobilità. Considerando la classica espressione dell’energia cinetica per l’elettrone

TkumW Bee 23

21 2 == (6)

(dove T è la temperatura assoluta e kB=1.28 10-23 J/K la costante di Boltzmann), si ricava il valore della velocità u e della conducibilità

e

B

mTku 3

= (7)

3 si considera la media tra la velocità finale (prima del nuovo “urto”) e la velocità iniziale subito dopo l’urto precedente (velocità che si suppone trascurabile rispetto a quella finale) 4in un conduttore di rame di un ordinario impianto elettrico industriale, la velocità di drift dell’elettrone è tipicamente di 5 10-3 m/s per un campo di 1 V/m, mentre la velocità di agitazione termina è dell’ordine dei chilometri al secondo.

3

mTkeN

B

e

32

2λσ = (8)5

In generale il moto degli elettroni in un mezzo può essere valutato considerando quest’ultimo come un fluido “viscoso”

)9(Eevdtdvm =

+ζ

Nel caso di “viscosità dominante” il termine dv/dt è trascurabile e ritroviamo la (2) con il parametro di viscosità ζ pari ad 1/τ. §A5.1 Conduttori metallici Il modello a palla di biliardo fu introdotto per i metalli da Drude (1902)6. Esso è un modello rozzo ma efficace per ritrovare alcune leggi fondamentali quali la legge di Ohm e la legge di Joule. In esso, si considerano due tipi di interazione: a) l’interazione elettrone-materia descritta da una “sezione d’urto” equivalente all’interazione di palle di biliardo di diversa dimensione; b) l’interazione elettrone- campo elettrico7 che determina il libero cammino medio, il tempo di volo dell’elettrone e gli scambi energetici. Nel modello dell’elettrone libero in una buca di potenziale, introdotto da Sommerfeld nel 1928, l’elettrone si muove in una regione a potenziale costante delimitata da frontiere che non permettono all’elettrone di allontanarsi (barriere di potenziale, dello spessore di qualche Å). Non è prevista l’interazione tra elettroni. Notevolmente complessa è d’altra parte l’analisi su base quantistica delle interazioni tra elettroni liberi e nuclei di un reticolo cristallino (es nel rame e nell’alluminio). Constatata la dipendenza della resistività dalla temperatura (vedi oltre) e considerata la scarsa incidenza sulla temperatura dello stato energetico degli elettroni, si ritiene determinante lo stato energetico (vibrazionale) dei nuclei del reticolo, cioè la loro “temperatura”; la probabilità di interazione con gli elettroni (e quindi il “tempo di volo” di un elettrone tra due successive interazioni) cresce con l’ampiezza delle vibrazioni e quindi con la temperatura del reticolo. Tale tesi può non trovare più riscontro a temperature molto basse, laddove impurità e imperfezioni del reticolo potranno giocare un ruolo importante ai fini della conduzione elettronica.

5 Se invece della velocità di migrazione media aritmetica avessimo considerato la velocità media statistica, il fattore ½ nella (8) sarebbe diventato 8/(3π). La (8) fornisce valori della resistività a temperatura ambiente ragionevolmente confrontabili con i dati sperimentali. 6 Si formulò l’ipotesi di un “gas perfetto” di elettroni (H.A. Lorentz,1909), con distribuzione di velocità di Maxwell-Boltzmann, che non trova che pochi riscontri nel modello classico: non si ritrova né nella ripartizione di energia né nella valutazione del tempo di volo. Occorre un approccio quantistico (Fermi,1926). 7 in realtà occorre considerare anche l’azione del campo magnetico B sulla “corrente” elettronica di densità J. Gli elettroni saranno deviati e si potrà rilevare un accumulo sulla frontiera; sui due lembi di una striscia interessata dal campo di corrente si viene a determinare un campo elettrico trasversale EH=RH(JxB) (effetto HALL, con RH costante di Hall, dipendente dal materiale)

4

In realtà la dislocazione dei nuclei del reticolo determina una distribuzione periodica del potenziale (che non potrà quindi avere un’unica “buca”); possono essere considerate, nel rispetto del principio di esclusione di Pauli, “bande” di energia degli elettroni utili per la conduzione (bande di conduzione), in cui la densità degli stati ammissibile è diversa da zero, intervallate da bande “proibite” (bande di valenza), in cui la densità degli stati ammissibili è zero. La posizione della energia di Fermi determina la proprietà di conduzione. A temperatura diversa dallo zero assoluto, l’ampiezza 4kT determina la probabilità di avere elettroni disponibili per la conduzione, anche se l’energia di Fermi ricade in una banda proibita. Quando alcuni elettroni delle bande di valenze “migrano” nella banda di conduzione, possono lasciare l’atomo creando una “lacuna”, cioè l’equivalente di una carica positiva pare a quella dell’elettrone. La lacuna può essere colmata da un elettrone di un atomo vicino; si ha quindi uno spostamento di lacuna e cioè un’equivalente moto di carica positiva.

§A5.2 SOLUZIONI ELETTROLITICHE Mentre nei metalli i fenomeni di conduzione non comportano modificazioni dello stato chimico, ciò avviene per le soluzioni elettrolitiche. Nel caso di presenza in un circuito di tratti costituiti soluzioni elettrolitiche siamo di fronte a meccanismi di conduzioni differenti: prevalentemente ionica nella soluzione, elettronica negli altri tratti. Le differenti mobilità delle specie influenzano il comportamento delle soluzioni in regime dinamico. I consistenti fenomeni di polarizzazione e le reazioni chimiche agli elettrodi influenzano anche il comportamento in regime stazionario. La conducibilità di un elettrolita è legata alla concentrazione ed alla mobilità degli ioni positivi e negativi:

−−++ += µµσ enen La conducibilità di un elettrolita va misurata a frequenza abbastanza elevata (1000 Hz) per poter trascurare l’influenza delle reazioni chimiche agli elettrodi (un resistore elettrolitico è generalmente rappresentabile con una resistenza in serie a due capacità di valore elevato, ad es 100 µF. All’interfaccia elettrodo-soluzione si ha quindi un trasferimento di carica, ossia una trasformazione chimico-fisica nel corso della quale le specie presenti nell’elettrolita accettano o cedono elettroni scambiati con il metallo. Per la conservazione della carica, sarà dunque da considerare il processo anodico ed il processo catodico. Ad esempio, in un processo di trasporto che veda impegnati ioni positivi sia di idrogeno che di rame, al catodo è più agevole la cattura degli ioni rame rispetto agli ioni idrogeno Gli elettroliti si distinguono in:

5

a) elettroliti forti (acidi forti e basi forti, sali in generale) (conducibilità dell’ordine di 10 S/m, sensibilmente proporzionale alla concentrazione di soluto). La deviazione dalla legge lineare è generalmente ascrivibile alle interazioni ioniche;

b) elettroliti deboli (acidi deboli e basi deboli), con conducibilità dell’ordine di 0,01 S/m, poco variabile con la concentrazione in quanto le molecole in soluzione sono dissociato solo in una frazione α del numero totale.

Spesso viene introdotta la conducibilità equivalente Λ, riferendo la conducibilità σ alla concentrazione c. Negli elettroliti forti, per concentrazioni non basse, Λ assume il valore limite Λo, corrispondenti alla mobilità limite delle specie ioniche, mentre per concentrazioni basse, il valore della conducibilità equivalente diminuisce per l’interazione (di attrazione) tra le specie di segno opposto. Per elettroliti deboli, le mobilità delle specie ioniche variano molto poco con la concentrazione, per il basso grado di dissociazione. Anzi la misura dell conducibilità permette di valutare anche il grado di dissociazione α=Λ/Λo (essendo Λo la conducibilità equivalente a diluizione infinita)

6

§A5.3 La conduzione elettrica nei semiconduttori I materiali semiconduttori (solfuro di piombo, silicio, selenio, germanio,…) hanno conducibilità notevolmente più bassa dei metalli. Trattasi in genere di materiali tetravalenti con legami di valenza stabili che diventano labili all’aumentare della temperatura, rendendo disponibili elettroni alla migrazione (conduzione tipo n). La lacuna lasciata dall’elettrone può quindi spostarsi ed è equivalente al moto di cariche positive (conduzione tipo p). La conducibilità intrinseca vale

nnpp enen µµσ += Aggiungendo ad un semiconduttore base (es. germanio) un elemento pentavalente (es. arsenico, fosforo, antimonio), si ha un eccesso di elettroni disponibili per la conduzione (portatori maggioritari), con un aumento di diversi ordini di grandezza della conducibilità (drogaggio e conduzione tipo n); le lacune (portatori minoritari ) hanno concentrazione molto più bassa. L’opposto accade in caso di drogaggio con atomi trivalenti (es. boro); in questo caso la conduzione di tipo p è prevalente (le lacune sono i portatori maggioritari). Le giunzioni di materiali con drogaggio p ed n presentano caratteristiche di conduzione fortemente asimmetriche e possono essere usate per la realizzazione di componenti raddrizzatori con eventuale possibilità di controllo.

7

§A5.4 Conduzione nei materiali per isolamenti Nelle strutture di isolamento (isolamenti solidi) si riscontrano i seguenti materiali: - isolanti “reali”, con caratteristiche di conduzione non desiderata, legata in genere ad

effetti termici, di campo o ad impurità; - conduttori deboli o semiconduttori, volutamente adoperati per modificare o controllare

la distribuzione della sollecitazione elettrica (esempio negli isolatori passanti o sulle terminazioni di cavo).

Gli isolanti presentano bande di valenze piene, separate marcatamente (∆W>>kT) da bande di conduzione.

I legami fondamentali sono i seguenti: - legame ionico, dovuto alla forte attrazione di ioni di segno opposto (es Na+ Cl- nel

cloruro di sodio; - legame covalente, quando gli atomi hanno gli orbitali interni completi e quattro o più

elettroni sull’orbitale esterno e possono condividere questi elettroni in coppia con altri atomi

La conduzione elettrica nei cristalli ionici può derivare dal movimento degli ioni nel reticolo (conduzione intrinseca, che diviene importante ad alta temperatura), o anche dalla presenza di impurità (conduzione estrinseca, che può essere significativa anche a bassa temperatura). In un cristallo ionico “perfetto” occorrerebbero campi dell’ordine di 1-100 MV/cm per avere spostamenti degli ioni. Negli isolanti reali, movimenti ionici possono avvenire anche con campi elettrici di intensità notevolmente inferiore: la presenza di imperfezioni nel reticolo può agevolare il movimento degli ioni.

8

§A5.5 Conduzione intrinseca negli isolanti cristallini e polimerici

Si interpreta quindi la conduzione ionica intrinseca come dovuta a difetti di reticolazione. I più noti difetti sono quelli di Frenkel (fig.7.1a) e di Schottky (fig.7.1b): nel primo caso si crea una occupazione interstiziale ed una lacuna, nel secondo caso- molto più frequente- si ha una migrazione ionica verso la superficie (simmetrica). Anche in questi casi il movimento degli ioni è interpretabile come movimento di lacune (di senso opposto alla migrazione degli ioni). Per ricavare un’espressione per la conducibilità intrinseca, consideriamo che la probabilità che uno ione o una lacuna migri è legata ad una “energia di attivazione” Wa sia del tipo

−⋅=

kTW

Ap aexp*

In presenza di un debole campo E la probabilità di uno scorrimento a (passo del reticolo) dello ione nella direzione del campo vale, in prima approssimazione

)/(** kTEeappt = la densità di corrente, la conducibilità e la mobilità possono essere ricavate di conseguenza

−⋅

⋅==

−⋅

⋅==

−⋅

⋅==

kTW

kTaeA

ne

kTW

kTaenA

EJ

kTW

kTaEenAeanpJ

a

a

at

exp

exp

exp

2

22

22*

σµ

σ

Se la migrazione di cariche è dovuta differenti meccanismi (anche diversi da quelli descritti), l’espressione della conducibilità tiene conto dei diversi contributi.

∑

−=

kTW

C ii expσ

9

La conducibilità può avere diversi andamenti in funzione della temperatura. Ad esempio, all’aumentare della temperatura, gli ioni d’impurità possono migrare più facilmente negli interstizi e quindi aumenta in misura più marcata la conducibilita. Viceversa può accadere che le impurità vadano a bloccare ad alta temperatura le lacune e quindi la conducibità aumenta di meno al crescere della temperatura.

§A5.6 Conduzione estrinseca (negli isolanti cristallini e polimerici) Tale tipo di conduzione può aver luogo per la presenza di ioni di impurità o di molecole facilmente ionizzabili. Si può valutare che il contributo di conducibilità “estrinseca” appare come

∆−⋅

≈

kTF

kTeandd exp

22

σ

dove nd è il numero di vacanze indotte dalla presenza di impurità. Alcuni tipi di cristalli presentano conducibilità molto maggiore di quella prevista, a causa della loro struttura complessa (es. strutture planari a diversa densità). Ad esempio nella β-allumina 322 11 OAlONa ⋅ v’è un eccesso di NaO; gli ioni sodio occupano i piani meno densamente disposti, mentre gli ioni O in quelli più addensati. Questa disposizione porta ad una conducibilità molto maggiore della soluzione di NaCl. Altri cristalli che mostrano queste proprietà sono compositi tipo RbAg4I5 e LixTiS2, utilizzati negli accumulatori (gli ioni Litio presentano una notevole mobilità). In molti di questi casi si manifestano evidentemente marcate anisotropie (la conducibilità non può essere rappresentata da uno scalare). Per esaltare la conduzione estrinseca sono da ricordare: a) l’impiego di sistemi multifase (vengono inclusi polveri conduttivi, grani, fibre,..); b) l’uso di droganti come per i semiconduttori (ad esempio il poliacetilene drogato con ioni clorato e iodo).

1

Appendice A6

Resistività dei materiali – Prove sui materiali §A.6.1 Resistività volumetrica Nel caso di un tratto A-B di conduttore filiforme omogeneo a sezione costante S di lunghezza lAB e a temperatura costante ed uniforme, si valuta che la resistenza R del tratto, è proporzionale alla lunghezza lAB ed inversamente proporzionale alla sezione S. Il coefficiente di proporzionalità costituisce la resistività (volumetrica) (si indica con la lettera greca η-eta- oppure ρ-rho- e si misura in ohm per metro [Ωm]); il suo inverso viene chiamato conducibilità (volumetrica) (si indica con la lettera greca γ-gamma- oppure σ-sigma- e si misura in siemens/metro[S/m]).La resistenza di un resistore può essere in generale vista come il prodotto di un termine “geometrico” e di un termine “fisico” ossia legato alle proprietà fisico-chimiche del materiale ed alle sue condizioni di impiego La resistività dei materiali può variare di numerosi ordini di grandezza, portando alla distinzione “convenzionale” (spesso impropria) tra materiali conduttori, semiconduttori ed isolanti.

Le caratteristiche di conduzione di un materiale omogeneo ed isotropo sono in genere sintetizzate nella relazione costitutiva tra campo elettrico E e densità di corrente J:

E = η J Il coefficiente η prende il nome di resistività elettrica, il suo inverso σ prende il nome di conducibilità elettrica.1 Tali coefficienti possono essere costanti al variare delle grandezze di campo: in tale caso si parlerà di materiali conduttori lineari. Ovviamente possono esserci, oltre al caso di comportamento non lineare, anche il caso di caratteristiche isteretiche in cui la conduzione dipende anche dalla storia subita dallo stesso materiale. Le dimensioni di tali coefficienti sono

η

γη

= = = ⋅ ⇒ ⋅

= = = ⇒−

EJ

V mA m

m ohm metro

m S m siemens metro

//

( )

/ / ( / )

2

11

Ω

Ω

Per i materiali metallici, la resistività è valutata in base a parametri congrui con applicazioni ordinarie, come le linee di alimentazione. Va fissata ad esempio una temperatura di riferimento θo (in genere 293 K ossia 20°C), in quanto la resistività varia con la temperatura θ del conduttore, il cui valore a regime è dipendente a sua volta sia dalla temperatura ambiente che dalla intensità di corrente che interessa il conduttore

1 Spesso vengono usati i simboli ρ e σ rispettivamente per la resistività e la conducibilità. E’ opportuno ricordare (ed evitare confusioni) che tali simboli vengono anche utilizzati per una distribuzione volumetrica e superficiale di carica.

2

(effetto Joule). Per i conduttori metallici la resistività aumenta linearmente con la temperatura in un ampio intervallo di valori della stessa (fig.1)

( ) ( ) ( )[ ]η θ η θ α θ θθ= + ⋅ −o oo1

η

θ

η(θ )ο

θ οθ 1

fig.1 Il coefficiente di temperatura α rappresenta quindi la variazione relativa di resistività per salto unitario di temperatura. Anche α dipende da θo. In tab.I vengono riportati i valori della resistività e del coefficiente di temperatura alla temperatura di 293 K per i materiali di più comune impiego. I valori sono riportati in modo da indicare anche la resistenza per unità di lunghezza di un conduttore rettilineo della sezione di 1 mm2: Il valore θ1 cui corrisponderebbe un valore nullo di resistività vale

θ θαθ

1 01

= −o

Per il rame θ1 assume il valore di circa 43K. A tale temperatura, in realtà, il rame presenta una resistività significativa: siamo oltre l'intervallo di linearità. A temperature molto basse, inferiori in genere a 10 K, possono manifestarsi, per alcuni metalli in particolari condizioni di funzionamento, fenomeni di superconduttività, in cui la resistività scende al valore "nullo", al disotto dei valori correntemente misurabili. Per alcuni materiali si manifesta anche un crollo dei valori resistività anche a temperature prossime alla liquefazione dell'azoto (77K). Tale fenomeno (superconduttività ad alta temperatura) è attualmente oggetto di intensi studi, in vista di interessanti applicazioni nel settore elettrotecnico. MATERIALI Resistività η-θo=293 K

[Ω mm2 /m ]≡[µΩ m]

coefficiente temperatura

α(θo)[ K-1]

Conducibilità σ -θo=293 K [MS/m]

Conduttori metallici

argento 0.016 3.8 10-3 ≈ 62 rame puro 0.017241 3.9 10-3 ≈ 58 rame industriale 0.0178 3.9 10-3 oro 0.024 3.4 10-3 piombo 0.022 3.9 10-3

3

alluminio puro 0.028264 3.7 10-3 ≈ 36 alluminio commerciale 0.03 3.7 10-3 tungsteno 0.055 4.5 10-3 Zinco 0.063 3.7 10-3 ≈ 16 ferro 0.1 4.5 10-3 ≈ 8 Leghe Ottone 0.07 1.5 10-3 ≈ 12 Manganina 0.45 1.5 10-5 Costantana 0.5 2 10-5 Nichel-Cromo 1.1 1 10-4 ≈ 0.9 Ferro-silicio per lamierini

0.3 4 10-3

Conduttori non metallici Elettrografite 10 -0.5 10-3 ≈ 0.1 Carbone (lampade ad arco)

70 -0.5 10-3 ≈ 0.02

Elettroliti Acqua di mare 3 105 Terreni umidi ≈106-107 (≡1-10Ωm) sabbiosi ≈108 (≡100Ωm) rocciosi >109 (≡1 kΩm) Semiconduttori germanio ≈107 (≡10Ωm) silicio ≈108 (≡100Ωm) Isolanti Acqua distillata ≈1010 (≡10 kΩm) Porcellana ≈1010 (≡10 kΩm) Vetro ≈1016 (≡10 GΩm)

§ A6.2 Resistività superficiale

La resistività superficiale viene definita per elementi di copertura di piccolo spessore (es. vernici) considerando il rapporto tra la resistività (ordinaria, di volume) e lo

spessore del provino; dalla relazione bl

blR sρ

δρ =

⋅= si ricava che la resistività

superficiale può essere letta come la resistenza di un resistore “a piastrella quadrata” di spessore δ. La resistività superficiale si misura quindi in [Ω] o meglio in [Ω]/ (ohm su quadratino). La misura di resistività superficiale può dare ad esempio direttamente la misura dello spessore del rivestimento (coating), conoscendo le

4

caratteristiche di volume del rivestimento. Ad esempio un “velo” di alluminio di 0.1 mm di spessore determina una resistività superficiale di circa 2,5 μΩ, un velo di grafite dello stesso spessore presenta una resistività superficiale di 1 mΩ. La conducibilità superficiale è il suo inverso [S]. Per componenti in materiale omogeneo di notevole spessore, ma con “velo” superficiale naturale ovvero formatosi per idrolisi od altro processo dovuto al contatto con altro materiale, si può procedere alla misura di resistenza tra due elettrodi a coltello di larghezza 1 cm, posti sulla superficie alla distanza di un centimetro. Dal confronto tra il valore di resistenza così trovato ed il valore calcolabile con la resistività di volume del materiale, si può avere una stima del crollo di resistività (media di volume) del “velo” superficiale. Si riporta il confronto, per materiali tipicamente considerati isolanti, tra la resistività di volume e la resistività superficiale (detta anche resistenza specifica di isolamento superficiale) Materiale Resistività di volume

[Ωm] Resistività superficiale [Ω/ ]

Vetro 1011-1014 106-1012 Porcellana 1012-1013 109-1012 Ebanite 1013-1016 109-1015 Mica 1011-1013 109-1012 Quarzo 1017 108-1012

5

§A6.3 Prove meccaniche e tecnologiche Prova a trazione In tali prove vengono determinati i limiti di elasticità, snervamento e rottura, in particolare il modulo di elasticità, l’allungamento a rottura e lo strozzamento. Il provino ha la forma standard indicata in fig.1

Si equiparano le prove a sezione diversa con quelle del provino di diametro

00 13.1 Ad = Il provino si classifica corto se 00 5dl = oppure lungo se 00 10dl = In fig.2 si riporta il risultato di una tipica prova di trazione. Sull’ascissa è riportato

l’allungamento percentuale 1000

% ll∆

=ε , sulle ordinate la tensione media di trazione

= 2

0 mmkp

AFσ

Ao

Ao

Ao

do

Lo

6

Il tratto A costituisce la zona di elasticità, il punto P il limite di proporzionalità; in tale regione la deformazione è proporzionale allo sforzo

σσαεY1

==

Y rappresenta il modulo di elasticità e corrisponderebbe alla tensione necessaria (in regime elastico) ad avere un raddoppio della lunghezza (ε=1). Il punto S rappresenta il limite di snervamento,oltre il quale si verifica un marcato allungamento del provino, anche con (piccola) riduzione della tensione. La zona tra P ed S è ancora di elasticità, ma non di proporzionalità, per cui si definiscono anche dei punti caratteristici; ad esempio σ0.2 rappresenta la tensione per cui si ha un allungamento “extra” del 2%, in assenza di snervamento Il punto B definisce il limite di stabilità; non può essere applicata al provino una tensione maggiore di σB; un qualsiasi allungamento porta inevitabilmente al collasso, che si verifica ad un allungamento δ (lunghezza relativa di rottura), con una corrispondente valore residuo della tensione; alla rottura si indica la sezione attraverso il coefficiente di strozzamento. I valori massimi della tensione in zona elastica vanno da 100 kp/mm2 per l’acciaio indurito in olio, a 20 kp/mm2 per la ghisa, a 15 kp/mm2 per il rame tenero, a 12 kp/mm2 per l’alluminio laminato a caldo. Gli allungament a raootura vanno da circa il 10% per l’acciaio al 50% per il rame tenero.

A

δ

P

E

1000

% ll∆

=ε

S B

= 2

0 mmkp

AFσ

7

La validità dei valori riportati dpendono dalla ripetività delle prove, dal controllo della temperatura (all’aumentare della temperatura mediamente diminuisce la tensione a rottura ed aumenta l’allungamento a rottura) e dal tempo di esecuzione della prova. Le prove di durezza consistono nel valutare la deformazione ottenute premendo con una forza F il provino con un altro corpo (sfera d’acciaio, metodo Brinnel; punta di diamante a cono, metodo Rockwell; punta di diamante sfacciata con angolo diedro, metodo Vickers). La prova del colpo di taglio consiste nell’applicare una forza in corrispondenza della sezione ridotta opportunamente ricavata in un provino. Le prove metallografiche consistono nell’esame macroscopiche e microscopiche di materiali soggetti ad attacchi corrosivi. Alcune prove non distruttive consentono l’esame di proprietà e difetti di materiali senza comprometterne l’integrità:

- esperienze ed osservazioni con raggi X ed raggi γ; - prove con ultrasuoni; - prove elettriche e magnetiche ( correnti parassite indotte e scariche parziali).

§A6.4 Classificazione dei materiali per siderurgia Materiali ferrosi : - ferro

- acciai legati (speciali proprietà, magneti permanenti, ferro dolce) -acciai non legati (per costruzioni, acciai compensati)

- ghise Materiali non ferrosi: - materiali d’uso: - materiali pesanti (rame, piombo, nichelio, zinco, stagno) - materiali leggeri (Alluminio, magnesio, titanio) - materiali nobili (mercurio, oro, argento, platino)

- arricchitori d’acciaio (manganese, wolframio, molibdeno, cobalto, cromo, vanadio);

-materiali per leghe (cadmio, antimonio, arsenico, berillio) Caratteristiche dei non metalli: buona conducibilità termica ed elettrica; buona resistenza alla corrosione, buona lavorabiltà; prezzo elevato (per estrazione e trasporto).

8

§A6.5Materiali per linee di alimentazione Requisiti elettrici: bassa resistività η, basso coefficiente di temperatura α, possibilità di isolamento del conduttore. Requisiti meccanici: elevata resistenza alla trazione, comportamento "elastico", resistenza alla torsione ed al piegamento, durezza (per i contatti), resilienza. Requisiti termici: conducibilità termica elevata, coefficiente di dilatazione termica bassa; alta temperatura di fusione, saldabilità Requisiti tecnologici: malleabilità, duttilità Requisiti chimici: assenza di reazioni con altri metalli, non corrodibilità I materiali più comunemente impiegati per linee aeree sono il rame e l'alluminio (e sue leghe). Il rapporto di impiego rame/alluminio si va attualmente abbassando. La produzione dell'alluminio si aggira intorno a 3 106 t/anno.

9

§A6.5.1 L'ALLUMINIO Grado di purezza Alluminio puro 99.99% da fonderia 99.95 % elettrolitico 99.5% Resistività η -θo=293 K

[Ω mm2 /m ]≡[µΩ m]

Conducibilità γ -θo=293 K [MS/m]

Alluminio ricotto 0.0278 36.0 Alluminio puro 0.028264 35.4 Le prestazioni meccaniche sono piuttosto modeste, inferiori anche a quelle del rame. Le caratteristiche chimiche sono abbastanza buone: si forma uno strato superficiale di ossido autoprotettivo isolante. In presenza di metalli nobili e di umidità si decompone. Caratteristiche tecnologiche dell’alluminio cristallo cubico a facce centrate densità 2700 kg/m3 punto di fusione 660 °C conducibilità termica 0.5 Cal/cm s K conducibilità elettrica 36 MS/m coeff di temperatura della resistività 0.0041

K -1

resistenza a trazione 2-4 kg/mm2 max allungamento % 30-35 % modulo di elasticità 7250 kg/mm2 L’alluminio - non si presta ad essere formato per fusione a causa della facilità ad assorbire ossigeno; - si presta ad essere lavorato in diversi modi sia a freddo che a caldo; si può ridurre a fili sottili o a fogli fino a 0.004 mm di spessore (armature per condensatori) La temperatura di riformazione è circa 500°C, quella di ricristallizazione circa 300°C. - La saldatura è notevolmente difficile a causa della presenza dell’ossido superficiale che fonde a temperature elevate.

10

§A6.5.2 LEGHE DI ALLUMINIO L'alluminio viene anche formato con i seguenti elementi (si riduce sempre la conducibilità γ ai valori appresso indicati in percentuale rispetta alla conducibilità del rame campione) Aldrey Al+(Si,Mg) γ=87%; σ=30-35 kg/ mm2 Anticorodal (anticorrosiva)

Al+Si(1%)+Mg(0.6%)+Mn(0.3%)

Svantaggi dell'alluminio: 1) solidità meccanica più bassa 2) collegamenti più difficili 3) più alta propensione alla corrosione 4) a parità di resistenza, diametro maggiore In tab 2 è riportato il confronto tra le caratteristiche di conduttori di pari resistenza e diversa natura

Tab.2 Rame Alluminio Aldrey Zinco Ferro Sezione 100 160 180 340 800 diametro 100 127 135 184 284 peso 100 50 55 265 700

11

§A6.5.3 IL RAME Il reticolo del rame è cubico a facce centrate. Dimensione del nucleo 0,01 pm, distanza tra i nuclei 300 pm Le prestazioni meccaniche sono piuttosto modeste rispetto a quelle dell’acciaio; il limite di

snervamento si attesta intorno ai valori di σ= 22÷24 kg/mm2; il carico di rottura non

supera comunque i 38 kg/ mm2. Tali valori decrescono con la temperatura. Le caratteristiche chimiche sono abbastanza buone: si forma uno strato superficiale di ossido autoprotettivo o di carbonato Cu2(OH) 2C03 autoprotettivo. Caratteristiche tecnologiche del rame. Le caratteristiche meccaniche dipendono dal tipo di lavorazione subito dal materiale. cristallo cubico a facce centrate densità 8890 kg/m3 punto di fusione 1083 °C conducibilità termica 0.0934 Cal/cm s K conducibilità elettrica 58 MS/m coeff di temperatura della resistività 0.00428

K -1

resistenza a trazione 6 kg/mm2 max allungamento % 45 % modulo di elasticità 12750 kg/mm2 Il rame - non si presta ad essere formato per fusione, in quanto ad alta viscosità; - è altamente duttile e quindi si presta ad essere lavorato per stampaggio sia a freddo che a caldo; per lavorazioni a freddo si possono avere variazioni della sezione del 90%. - la saldatura con piombo e stagno è ottima; non è saldabile con l’alluminio. Va ricordato l’impiego del rame, oltre che nelle condutture elettriche (in ragione dell’alto valore della conducibilità, della resistenza alle intemperie ed alla corrosione), nelle apparecchiature chimiche (per le caratteristiche di stabilità chimica e di formabilità) e nella galvanotecnica (in ragione della posizione nella scala di elettronegatività) . Il rame ad alta purezza può essere ottenuto in presenza di ossigeno (rame elettrolitico 99.9% - rame raffinato 99.5%) o in assenza di ossigeno (elettrolitico 99.92%, raffinato 99.75%). La presenza di ossigeno permette maggiore lavorabilità a caldo; dalle impurezze si formano ossidi insolubili e non viene pregiudicata la conducibilità e la plasticità. La presenza di ossigeno, tuttavia, durante la lavorazione a caldo in presenza di idrogeno, può portare a formazione di vapor d’acqua ad elevata pressione con conseguente infragilimento del metallo.

12

Le norme CEI riportano i valori della resistività del rame a seconda del grado di purezza Grado di purezza (grado% :IACS) (int.anneal. cupper sample)

Resistività η - θo=293 K

[Ω mm2 /m ]≡[µΩ m]

Conducibilità γ - θo=293 K [MS/m]

103.5 (valore limite teorico) 0.0166 60.0 100 (rame tecnico, ricotto, campione internazionale)

0.017241 58.0

98 0.01759 56.8 97 (rame crudo) 0.01787 56.0 “tipo 50” 0.0195 51.3 “tipo 60” 0.0210 47.6 Per le condutture ordinarie si adopera il rame crudo; il rame ricotto si impiega solo per accessori (es. giunzioni). §A6.5.4 LEGHE DI RAME Il rame viene anche formato con i seguenti elementi (si riduce sempre la conducibilità γ ai valori appresso indicati in percentuale rispetto alla conducibilità del rame campione) Zinco (Zn) (ottoni) Stagno (Sn) (bronzo fosforoso) Zn + Sn Al/P/Mn/Be (bronzi speciali) Ni/Zn Sn/Mg/Zn/Cd/Te/Zr A seconda del contenuto dei suddetti elementi distinguiamo: - rame bassolegato (elementi presenti in misura inferiore all’1%): a) rame all’argento: può lavorare a temperature elevate; impieghi: lamelle per collettori. b) rame al cadmio-stagno: elevata resistenza all’usura ad arco; impieghi: lamelle per collettori. - rame a titolo elevato (elementi presenti nella misura tra l’1% e il 5%): a) Cu+Si(3%)+Mn(0.7-1.5%) : elevata resistenza meccanica, elevata resistenza alla corrosione, elevata resistività.

b) Cu+Be(1.6-2.1%) : elevato carico di rottura (140 kg/ mm2); γ=24%;

c) Cu+Ni(1-4.5%)+Si : elevato carico di rottura (65 kg/ mm2) - leghe di rame (elementi presenti in misura superiore al 5%):

13

- Ottone [Cu+Zn(10-35%)]: σ= 37÷67 kg/mm2 ; γ=44-27%;

- Bronzi fosforosi [Cu+Sn(2-10%)] σ= 39÷90 kg/mm2 ; γ=48-11%; una certa quantità viene aggiunta per eliminare l’ossigeno presente. - Cupronichel (Cu+Ni+Zn)+Mn(10-25%)

- Cu+Mn(12%)+Ni(4%) per resistori di precisione. §A6.5.5 IL PIOMBO Grado di purezza Piombo puro 99.985% da fonderia 99.9 % da rifusione 99.85% Caratteristiche tecnologiche cristallo cubico a facce centrate densità 11330 kg/m3 punto di fusione 327 °C conducibilità termica 0.084 Cal/cm s K conducibilità elettrica 48 MS/m coeff di temperatura della resistività 0.0042

K -1

resistenza a trazione 1÷2 kg/mm2 max allungamento % 30 % modulo di elasticità 1750 kg/mm2 Impieghi: placche accumulatori mantello per cavi (per le proprietà di resistenza alla corrosione)

14

§A6.5.6 IL MERCURIO Mercurio puro (si ottiene per distillazione sotto vuoto) amalgama Metallo nobile (resistente alla corrosione) Elevata tensione superficiale Proprietà catalitiche Caratteristiche tecnologiche densità 13550 kg/m3 punto di fusione -38.9 °C punto di ebollizione 357 °C conducibilità termica 0.025 Cal/cm s K conducibilità elettrica 10 MS/m coeff di temperatura della resistività 0.009

K -1

Impieghi: contatti

15

§A6.5.7 MATERIALI PER RESISTORI Per ottenere valori di resistività relativamente elevati con materiali metallici o comunque ad elevate prestazioni, si devono considerare significative impurità e/o deformazioni del reticolo cristallino. Possiamo distinguere due casi: a) mescola di più cristalli di atomi diversi; b) cristalli formati con atomi diversi (leghe). Nel caso a), detta η1 la resistività del metallo base e η2 la resistività del metallo “intruso” di concentrazione cz, la resistività “equivalente” può essere scritta come:

( ) ( )η η η η η ηeq z z zc c c= − + = + −1 2 1 2 11 Come si nota, la resistività è proporzionale alla concentrazione di impurità. Nel caso b), si hanno notevoli variazioni dei valori di resistività. Nel caso di leghe a due componenti, i più alti valori di resistività si hanno per proporzioni quasi uguali delle due componenti. Tuttavia occorre tener conto dei legami intermetallici che modificano la struttura del reticolo. Per le leghe risulta verificata la seguente regola di MATTHIESEN: η α η αmetallo metallo lega lega= ossia risulta costante, al variare della concentrazione, il prodotto della resistività per il coefficiente di temperatura, per cui le leghe presentano resistività assai meno sensibile alla temperatura rispetto al metallo puro.

16

§A6.5.8 Conduttori non metallici: il carbonio

Il Carbonio si trova in due forme. La forma cristallina include il diamante e la grafite, la forma amorfa include il carbon-black e il coke.

La maggior parte del carbonio per applicazioni elettriche è ottenuto da una miscela di carbone in polvere o grafite e leganti (pece o resine) che vengono mescolati, estrusi e quindi cotti a 900°C rimuovendo l’aria e i residui volatili. Il prodotto può essere convertito in elettrografite in forni in assenza di ossigeno, a temperature superiori a 2200°C.

La resistività del carbonio ha un coefficiente di temperatura negativo (la grafite ha un comportamento più complesso).

Il Carbonio ha molte applicazioni nei contatti striscianti: a) deve consentire una connessione strisciante valida (dal punto di vista elettrico e

della durata); b) deve consentire gli opportuni fenomeni di conduzione tra le superfici in contatto; c) per impedire formazione di scariche, il contatto deve presentare una significativa

resistenza.2 Il carbonio è anche usato nelle lampade ad arco. Gli elettrodi di carbonio contengono diversi sali metallici (calcio, cobalto,…) per variare il colore della luce dell’arco (dall’ultravioletto all’infrarosso). Per le più recenti applicazioni del carbonio in nanotubi, si rinvia agli appunti del Corso di Modellistica Elettromagnetica dei materiali.

2 Si ricorda che la resistenza di contatto varia notevolmente con la pressione fra le parti

17

1

Appendice A7

CENNI SULLE SORGENTI DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO DI NATURA NON ELETTROMAGNETICA: I GENERATORI DI TENSIONE STAZIONARIA A7.1 Generalità

I generatori di tensione stazionaria si possono suddividere in: a) generatori primari b) generatori secondari. c) sistemi con raddrizzatori (convertitori a.c./d.c. )

I generatori primari e secondari vengono detti rispettivamente pile ed accumulatori (o pile reversibili). Il principio di funzionamento si basa sulla creazione di un campo elettromotore in catene di conduttori di prima classe (elettrodi di materiali solidi diversi) e conduttori di seconda classe (elettroliti). I simboli corrispondenti sono riportati in fig.1 a), b).

I sistemi di raddrizzamento prevedono l'uso di elementi non lineari (diodi, diodi controllati o tiristori), per ottenere una tensione praticamente costante a partire da una tensione sinusoidale (fig.1,c). Essi sono largamente impiegati in ambito industriale (Elettronica di potenza ) e in buona parte delle utilizzazioni domestiche per cui sia prevista la regolazione delle prestazioni. Non saranno trattati in questa nota.

+

E

a) b) c)

a.c. d.c.

fig.1

I generatori primari principali sono: - la pila Leclanchè, comunemente impiegate in commercio, f.e.m. di circa 1,5 V, elettrodi di zinco e grafite, impiegante una gelatina di cloruro d'ammonio (NH4CL) come elettrolita e il biossido di manganese (MnO2) come depolarizzante; - la pila Daniell (1836), elettrodi in rame e zinco, soluzioni di solfato di rame e solfatp di zinco separate da setto poroso, f.e.m. pari a circa 1,09 V - la pila Weston (1893, pila campione 1.0186 V, elettrolita CdSO4). I generatori secondari più diffusi in commercio sono: - accumulatori al piombo-acido

2

- accumulatori al ferro-nichel - accumulatori al nichel-cadmio Altri tipi di accumulatori a prestazioni molto più elevate sono stati sviluppati per usi spaziali, ma il loro costo resta proibitivo- In fig.1.2 è rappresentata la cella elementare con gli elettrodi, l'elettrolita, i morsetti

+ -

PbO2

Pb

soluz. acquosa di acido solforico fig.1.2

La f.e.m. E (uguale alla tensione a vuoto teorica ai morsetti) varia con la temperatura e la densità dell'elettrolita (per le celle al piombo-acido di circa 100μV/K e di 100 mV per ogni 10% di variazione della densità relativa). Ai morsetti la tensione a vuoto sarà in genere pari a E-Ep, dove la forza controelettromotrice Ep è originata in fase di scarica da rivestimenti isolanti (PbSO4) formati sugli elettrodi, dalla diminuzione di concentrazioni ioniche, dalla formazione di gas liberi (H2). La f.c.e.m. dipende anche dalla intensità di corrente erogata e può essere limitata (nei generatori primari) con particolari pre-trattamenti superficiali degli elettrodi. Negli accumulatori i fenomeni di polarizzazione e depolarizzazione sono connessi in modo essenziale alle fasi di scarica e ricarica. Gli accumulatori sono oggetto di normativa del CEI 21-3 fasc 1258 (1989)

§A7.2 Accumulatori al piombo-acido Gli elementi dell'accumulatore al piombo acido sono: a) piastre, di spessore variabile da 1.25 mm a 20 mm circa, di piombo spugnoso (elettrodo negativo) o di ossido di piombo (elettrodo positivo); esse sono del tipo: - formate (Plantè) : la piastra originaria è di piombo puro, che poi viene attaccata chimicamente per formare uno strato superficiale sottile di biossido di piombo - impastate (Faure): su una griglia di sostegno (lega di piombo con il 4-12% di antimonio) viene assestata una pasta di polvere di piombo con acido solforico diluito (piastra positiva); un altro tipo di pasta viene usata per la piastra negativa; per il funzionamento effettivo, le due piastre vengono immerse in una soluzione di acido solforico e sottoposte a passaggio di corrente: in tal modo si avrà la piastra all'ossido di piombo (+) e piombo spugnoso(-). Ogni elemento (coppia di piastre) genera una f.e.m. di circa 2 V.

3

b) sbarre di connessione e morsetti (fig.3), realizzate in genere in lega di piombo ed antimonio

+-

fig.3

c) separatori, inseriti tra le piastre positive e negative adiacenti per evitare cortocircuiti d) elettrolita: soluzione acquosa di acido solforico, densità 1.2-1.3 e) contenitori in vetro, in plastica, in ebanite Il modello di funzionamento elettro-chimico di accumulatori al piombo non è definitivamente assestato; le diverse interpretazioni risalgono al secolo scorso e non si sono avute negli ultimi decenni significativi progressi in materia. Si può tuttavia ritenere che agli elettrodi avvengano globalmente le seguenti reazioni:

−−−

−−−+

+ ← →

+

+ ← →

+++

ePbSOSOPb

OHPbSOeSOHPbO

carica

scaricacarica

scarica

2

224

44

2442

catodo

anodo

Caratterizzazione elettrica di un accumulatore Fase di carica:

+

r

accumulatorecaricabatteria

V

I

fig.4

La tensione ai morsetti vale V= E + r I e varia tra 2.1 V (accumulatore scarico) e 2.8 V (accumulatore carico), come si ricava dalla caratteristica di carica a corrente costante (fig.5)

4

fig.5 Carica di un accumulatore

Fase di scarica:

+

r

accumulatore

V

I

ER

fig.4

Con i riferimenti di fig.4, la tensione ai morsetti vale V= E - r I e varia tra 1.7 V (accumulatore scarico) e 2.0 V (accumulatore carico), come si ricava dalla caratteristica di scarica a corrente costante (fig.5)

fig.6 Scarica di un accumulatore

Occorre precisare che l'accumulatore può danneggiarsi irreparabilmente se la tensione scende al disotto di circa 1.7 V per elemento- Per correnti più elevate, la scarica avviene in tempi decisamente più brevi. Si definisce capacità di un accumulatore la quantità di carica elettrica (normalmente espressa in Ah) che un accumulatore è in grado di erogare prima di portarsi al livello minimo di tensione; la capacità nominale viene riferita ad una scarica ad un determinato valore di corrente di scarica costante (es. 1 A). La capacità diminuisce sensibilmente con il valore della corrente di scarica (fig.7)

5

fig.7 Capacità di un accumulatore in funzione della corrente di scarica

La tensione nominale di batteria dipende dal numero di elementi collegati in

serie. Così per 3,6,12,24 elementi avremo le comuni batterie da 6,12,24,48 V. Date le vicende singole subite dai diversi componenti, che determinano valori di f.e.m. leggermente diverse tra i vari elementi, non è opportuno collegare in parallelo gli accumulatori.

La resistenza interna di un accumulatore va definita con una certa cautela. Per una prima valutazione, si possono indicare valori di 0,1 μΩ per accumulatori nuovi di piccole dimensioni e valori di 0,0001 μΩ per accumulatori di grandi dimensioni. Il rendimento di un accumulatore viene definito: in quantità di elettricità:

ηes

c

s

t

c

tqq

i dt

i dt

s

c= = = −

∫

∫0

0

0 90 0 95, ,

in energia:

ηws

c

s s

t

c c

t

ww

v i dt

v i dt

s

c= = = −

∫

∫0

0

0 75 0 80, ,

Classificazione degli accumulatori: a) Stazionari : 900-9000 Ah b) Trazione pesante : 100 - 500 Ah c) trazione leggera : 50-800 Ah d) sommergibili: fino a 12000 Ah Manutenzione degli accumulatori al piombo: a) la vita dell'accumulatore dipende dalla purezza dell'elettrolita; occorre quindi evitare che venga a contatto con impurità: b) la densità dell'elettrolita deve essere mantenuta tra 1.2 e 1.3

6

c) occorre evitare temperature troppo elevate (>45°C) o troppo basse (anche se possono essere adoperati additivi per abbassare la temperatura di solidificazione) d) evitare, durante la carica, che l'accumulatore "bolla" a lungo (ossia liberi idrogeno, tra l'altro pericoloso) e) evitare intense correnti di carica e scarica f) mantenere puliti morsetti e contenitore.

1

APPENDICE A8 - MAGNETISMO

Richiami di magnetostatica

§A8.1 - Azione tra conduttori interessati da corrente. Introduzione “sperimentale” di B

Consideriamo, nel vuoto, due conduttori rettilinei indefiniti (fig.A8.1.1) o di grande lunghezza L, tra di loro paralleli ed a distanza d ed ambedue interessati da corrente elettrica della stessa intensità I; tra di essi si esercita una forza (detta ponderomotrice) che, per unità di lunghezza, vale in modulo

⋅== −

mN

dI

Lf

27102F (A.8.1.1)

se lo stesso valore di I è valutato in due riferimenti antiparalleli o “discordi”, come in fig.A8.1.1, la forza è di repulsione, se “concordi”, di attrazione.

La (A.8.1-1) viene utilizzata per la definizione dell’unità di misura dell’intensità della corrente elettrica [A].

In generale, la forza ponderomotrice dF agente su elemento tds di un conduttore interessato da corrente di intensità I nello stesso riferimento t, può essere letta come

BtF ×= dsId (A.8.1.2)

dove B è il campo (di induzione) magnetico, che quindi viene ricondotto all’azione (elementare) di una corrente “elementare” (anche su scala microscopica fisica), ortogonale sia al conduttore che alla forza; se consideriamo ancora la configurazione fig.A8.1.1, vista su un piano ortogonale al foglio, lungo una circonferenza centrata sul primo conduttore, sulla quale si immagina disposto il secondo conduttore parallelo, B sarà sempre tangente e di pari modulo (fig.A8.1.2). Poiché un conduttore rettilineo interessato da corrente non è soggetto, per simmetria, a forze a causa del campo proprio, si deduce, integrando la (A.8.1.2) su un tratto unitario del secondo conduttore e confrontando la forza risultante con la (A.8.1.1),

[ ]TmA

NdI

≡

⋅= −7102B (A8.1.3)

dove si è evidenziata l’unità tecnica tesla [T] a partire dalle unità fondamentali.

2

d

I I

F F

I

B(P)

B(Q)

P

Q

Fig. A8.1.1 Fig.A8.1.2

Con riferimento alla circonferenza di fig. A8.1.2, di raggio r=d, si otterrà che

Savart)Biotdi(legger

IBIIr

IrrBds −⋅=→⋅=⋅⋅==⋅ −−−∫ πππππ

2104104110222 77

27tB

Ids 0µ=⋅∫ tB

Si definisce quindi la costante

=

=

≡

⋅= −

mH

mAWb

mATm

ATm //104

27

0 πµ ;

si può introdurre l’ intensità di campo magnetico H

JHtBtH =×∇⇒=⋅=⋅ ∫∫ Idsds0µ

(1)

Per definire univocamente i campi occorre fissare la divergenza. La posizione 0=⋅∇ B consente di introdurre un potenziale vettore A tale che BA =×∇ .

Dalla (A8.1-2) si può ricavare la forza specifica (per unità di volume)

BJF×=

τdd

(A.8.1.4)

1 Nel caso non stazionario i campi magnetici dipenderanno anche dalle densità di corrente di spostamento.

3

Conoscendo la distribuzione delle correnti nello spazio, si può risolvere l’equazione di Poisson al potenziale vettore nello spazio vuoto (o omogeneo) ed ottenere

QPQ

Q

QPQ

QQPQ

QQPPQ

QPQ

QPQ

PQ

Q

dr

P

dr

drr

P

dr

Pdr

P

τπ

τπ

τπ

τπµ

τπµ

τ

ττ

ττ

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

×=

∇×−=

∇×−

×∇=

×∇=×∇=⇒=

3

0

0

41)(

14111

41)(

411)(

4)(

PQrJH

JJJH

JAH

JA

Nel caso di circuito filiforme, interessato da corrente di intensità I, si ricava

QPQ

Q dsr

IP ∫

×= 34

)( PQrtH

π (A.8.1.5)

4

Q’

I

Q

P(x,0)

dH’

dsQ

a

rPQ

α

dH

O

§A8.2 LA SPIRA CIRCOLARE

Dalla (A.8.1.5) si può calcolare ad esempio il campo sull’asse di una spira in aria.

Fig.3

Fig. A8.2.1

( )322

2

20

20

3 22

4sin2

44)(

ax

aIdra

raId

raIds

rIP

PQPQ

ππ

QPQ

Q+

==⋅=

×= ∫∫∫ α

παα

ππPQr

tH

avendo considerato coppie di elementi circuitali diametralmente opposti, il campo risultante è diretto lungo l’asse della spira (fig.A8.2.1)

Al centro della spira si ha aIH

2)0( = . Per una spira di raggio 1 cm, interessata da intensità

di corrente di 1 A, l’intensità di campo magnetico al centro della spira vale 50 A/m e l’induzione magnetica circa 60 µT.

5

§A8.3 SOLENOIDE CORTO E LUNGO

Con le stesse considerazioni può essere calcolato il campo sull’asse di un solenoide “corto” di raggio a (fig.A8.3.1)

22 22 rsenaNIdx

rsenaNIdxdH αα

=

=

Considerato che r=a/senα, che x=a/tgα, dx=-(a/sen2α) dα, si ha

∫

−=⇒

−=

⋅−=

2

1222 2

3

2

ε

ε

ααααααα dsenNIHdsenNI

asena

senNIaddH

( )21 coscos22

)(2

1

εεααεπ

ε

+=

−= ∫

−

NIdsenNIPH

Se il solenoide è lungo il campo diventa uniforme e si ha

nINIPH ==

)(

dove n è il numero di spire per unità di lunghezza.

Indicando con S la sezione del solenoide, il flusso concatenato con una spira vale

( ) nIaNI µπµ ==Φ 21 4

S

Il flusso concatenato con l’intero solenoide vale

( ) ( )InaINNN µπµ

222

1 4 ==Φ=Φ

ed il coefficiente di autoinduzione del solenoide lungo vale (2)

2 Cfr al cap III le limitazioni di tale definizione e calcolo del coefficiente di autoinduzione

dx

l

a

P(x,0)

dα

ε1 ε2

r

α

0 x

6

SnSNI

L N µµ

22

1==

Φ=

Se ad esempio la lunghezza del solenoide in aria con N=300 spire è 30 cm, il diametro 5 cm, si ha L=738 μH.

Dalla (A8.1.2) è possibile ricavare la sollecitazione meccanica su un solenoide lungo. Considerando che il campo all’interno è uniforme e all’esterno è nullo, si può considerare che nella zona del conduttore vi sia un campo intermedio. Quindi

aNI

F

dsNI

d

dsId

spira πµ

µ

02

02

2

=

=

×=

F

BtF

La forza su ogni elemento della spira è diretta verso l’esterno; le spire per unità di lunghezza sono N/L; quindi la forza esercitata sugli avvolgimenti del solenoide, per unità di lunghezza vale

aNIF

πµ

2

20

2

=

con una pressione

20

22

02

20

2

2

20

2

21

22121 HIn

NIaaNI

SF

p µµµ

ππµ

===⋅

==

pari cioè all’energia magnetica per unità di volume (interno).

7

δ

l

a

0 x

§A8.4 SOLENOIDE LUNGO NON FILIFORME

Si consideri un solenoide di lunghezza l costituito da N spire massicce di spessore δ (oppure un gruppo equivalente di avvolgimenti stratificati in parallelo) (fig.A8.4.1)

Fig.A8.4.1

Il campo magnetico è costante all’interno del solenoide eè linearmente decrescente dal bordo interno al bordo esterno dell’avvolgimento. Pertanto,

δδ

+≤≤−

=

≤≤=

araral

NIH

arl

NIH

"

0'

Il coefficiente di autoinduzione può essere calcolato valutando l’energia magnetica associata al sistema (3)

3 Tale definizione e calcolo è da ritenersi valido ed accurato

8

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ][ ]

( )[ ]δδπµ

δδδδδδδδδπµ

δδ

δδδδ

δδπµ

δδδ

δδπµ

πδδπµππµ

δδδ

ττ

++=

=+++++++++−+++=

=

−++−+

+−−+

++=

=

+

+−

++=

=

−+

+=

+=+=

∫∫∫

∫∫+++

aal

N

aaaaaaaaaaal

N

aaaaaaaaal

N

drrdrrardraal

N

rdrral

Nl

aNrdrHIl

aNLLL

a

a

a

a

a

a

466

2382666

21

34

242

22"1"'

22

0

2222222

0

442

332

222

22

2

0

32

222

22

2

0

"

2222

0"

222

22

0

9

§A8.5 COEFFICIENTE DI MUTUA TRA SOLENOIDI SPESSI

Fig.A8.5.1

In fig.A8.5.1 sono rappresentati due solenoidi corti coassiali di spessore non trascurabile.

Poiché risulta M12=M21, conviene valutare il flusso prodotto dal solenoide esterno (2), concatenato con il solenoide interno (1). Esso viene valutato considerando pesando i flussi concatenati con gusci elementari di spessore dr.

( ) ( ) ( )

( ) 33

)(1

112

12

121031

31

11

210

2

11

210222

112

1021

1122

211

1

1

1

1

1

eeeqeq

e

e

R

Re

R

Re

R

Re

RRRRRR

lNN

MRR

RRlNN

drrRRl

NNdrr

lIN

RRIN

drrRRII

Meee

++==→→

−−

=

=−

=−

=Φ−

=Φ

= ∫∫∫

πµπµ

πµπ

µ

Ai fini del calcolo del coefficiente di mutua induzione, il solenoide “spesso” si comporta quindi come un solenoide sottile di opportuno raggio. Ad esempio se il raggio minimo dell’avvolgimento interno è 4 cm e quello massimo è 10 cm, il “raggio equivalente” dell’avvolgimento interno è di 7,2 cm.

x

R1e

l

dr

R1

0

10

§A8.6 SPIRE DI HELMHOLTZ

Si considerino due spire piane parallele in asse, a distanza 2b, interessate da intensità di corrente I1= I2 (riferimenti congrui). Il campo magnetico risultante sull’asse z è dato dalla somma vettoriale dei campi prodotti dalle singole spire: Il modulo del campo vale:

( )( ) ( )( )322

22

322

21

22)(

abx

aI

abx

aIzH+−

+++

=

Al centro tra le due spire (z=0) il campo vale

( ) ( )( ) ( )322

2

1322

22

322

21

22)0(

ab

aIab

aI

ab

aIH+

=+−

++

=

Come si può notare nella fig.A8.6.1, per bassi valori del rapporto raggio/distanza delle spire, ossia spire piccole e distanti, il campo è fortemente disuniforme; avvicinandosi le spire, il campo sull’interasse tende a diventare sempre più uniforme.

Fig.A8.6.1

Dalla fig.A8.6.2 si può notare che per a/2b=1 (raggio delle spire pari alla loro distanza) il campo non varia più del 5% nello spazio tra i due centri spira.

11

Fig.A8.6.2

si può verificare agevolmente che il campo, per z=0, ha derivata prima e seconda verso z pari a zero, quindi nell’intorno del punto z=0 lo sviluppo in serie (per la simmetria mancano i termini dispari) vale

( )( )( ) ....

424

562525344

2.....

!41)0()( 4

23

22

5322

24

04

4

+

+−

+=++=

=

zbaaI

ab

aIzdz

HdHzHz

Ponendo a=b/2=1, si ottiene

( )44

23

255625

2534445

0)0()( zz

HHzH

≅

≅

−

a distanza di 10 cm l’errore su un campo uniforme è dello 0,25%

12

§A8.7 LINEA BIFILARE

Fig.A8.7.1

Si consideri un tratto di lunghezza unitaria di una linea costituita da due conduttori paralleli a distanza d, a sezione circolare di raggio R, interessati da una intensità di corrente I e quindi da una densità di corrente

2RI

π=J

diretta come in fig.

Il potenziale vettore A può essere valutato come

QPQ

Q dr

P τπµ

τ∫∫∫=

JA

4)( 0

dy’

J’

R

dy”

J”

R

d

r’

r”

P(x1) 0 x

13

Poiché tutti gli elementi di corrente sono diretti secondo un solo asse (y), anche il potenziale vettore sarà diretto lungo l’asse y

∫∞+

∞−∫∞+

∞−

+−+

+−−

++

+=

=

∫∞+

∞−∫∞+

∞−

+−+

−

++

=

=

∫∞+

∞−∫∞+

∞−−=

∫∞+

∞−∫∞+

∞−−=

=

∫∫∫+∫∫∫=+=

2

1

1

2

1

10

2

12

2

12

0

0

2

1

2

2

1

24

2

"

2

'4

""

''

4'"

''

40

"""'

'40

)(")(')(

dx

y

dx

yd

dx

y

dx

ydI

dxy

dy

dxy

dyI

rdy

rdyI

rdy

rdyI

dr

dr

PAPAPy

π

µ

π

µ

π

µ

π

µ

ττ

ττπ

µJJ'A

Ponendo 11 2

',

2xd

ydx

y

−=

+= ττ , si ha

14

+

−⋅==

++

++⋅

=

++

++⋅=

++

++⋅=

=

++−

++=

∫∞+

∞−∫∞+

∞− +−

+=

∞+

∞+

∞+

∞+∞+

1

10

02

20

0

2

20

0

2

2

0

0

2

0

2022

0

2

224111

1112

4

111

1112

41

12

4

12124114

xd

xd

lnI'

lnI

'lnI

''lnI

''lnlnI'

'ddI)P(

'

'

y

πµ

τ

τττ

πµ

τ

τττ

πµ

ττ

ττ

πµ

ττττπ

µττ

ττ

πµA

In definitiva

1

10

22ln

2)(

xdxdI

Py +

−=

π

µA

sull’asse centrale è x1=0, quindi il potenziale vettore si annulla.

Dalla circuitazione del potenziale vettore magnetico lungo una linea γ è possibile valutare il flusso concatenato con tale linea, ossia il flusso attraverso una qualsiasi superficie orlata da tale linea. Si consideri ad esempio (Fig.A8.7.2) una linea rettangolare che si appoggia alle due linee

(

−±= Rdx

21 ) per un tratto di lunghezza l. Si ottiene

Fig.A8.7.2

d

x

γ

I

I

15

RRdl

IRd

RR

RdlI

dsP −=

−−

−

=⋅=Φ ∫ ln22

2ln2

22ln2

)( 00

πµ

πµ

γγ tA

Se ne ricava il valore dell’induttanza “interna” della linea bifilare per unità di lunghezza

RRd

lIL −

=Φ

= ln' 0

πµγ

Nel caso di linea sottile (R<<d) si ha

rdL ln' 0

πµ

≅ [H/m]

ad es. per R=2mm, d=30 cm l’induttanza per kilometro di linea (induttanza di servizio) vale L’=2.0 mH/km.

Per composizione si può calcolare la distribuzione del campo risultante, in particolare lungo x (Fig.A8.7.3)

Fig.A8.7.3

Il campo lungo x mantiene lo stesso senso nell’intervallo (-d/2+R,d/2-R) e vale

−=

++

−=

22

42

2

1

2

12

)(xd

dI

xdxdIxH

ππ

Il campo ha un minimo al centro ed è massimo in prossimità della linea (dove è leggermente aumentato rispetto al caso del conduttore singolo)

d

x

I

I

H

Hmin

16

dRRI

dRR

IRdR

dIRdHH

dIHH

<<

→−

=−

=

−=

==

πππ

π

2)1(

12)(22

2)0(

max

min

All’interno del conduttore occorre considerare la somma del contributo dello stesso (lineare con la distanza dal proprio asse) e dell’altro conduttore (iperbolico)

+

+−=

++

−=

+−∈

Rxd

RxdI

xdR

xdIxH

RdRdx

2

42

2

122

)(2

2

2,

2 ππ

che si annulla per 2

412 d

Rdx += ossia poco oltre l’asse del conduttore (assi magnetici della

linea bifilare). Volendo calcolare l’induttanza della linea bifilare, considerando anche la distribuzione di campo magnetico anche all’interno dei conduttori, occorrerebbe suddividere il conduttore in tanti “filetti” elementari di corrente dI e valutare il flusso del campo magnetico concatenato il singolo filetto elementare identificato con il loro asse; si considera quindi la media pesata (sulle correnti elementari) dei flussi così ottenuti

∫∑∑

Φ→∆

∆Φ=

Φ=

Ii

i

iii

dIII

I

IIL 2

11

Risulta in genere più agevole, conoscendo la distribuzione del campo magnetico (nel caso del vuoto o di mezzo lineare), valutare il coefficiente di autoinduzione L attraverso l’energia magnetica

∫∫ ==→==ττ

τµτµ dHII

WLdHLIW m

m2

2222 12

21

21

Nel nostro caso, in prima approssimazione, per linee bifilari non sottili,

+=+=

=+=

+=

=+≅

+=

∫∫

∫∫∫∫∫

41ln

4ln

ln22

2ln

2ln1

000

34

002

2200

22

00222

rdll

rdl

dR

lrdl

dlR

IIr

dl

dHIr

dldHdH

IL

R

o

R

o

conduttoreconduttoriaria

πµ

πµ

πµ

ρρπµ

πµ

ρπρπρµ

πµ

τµ

πµ

τµτµ

Se ne deduce una espressione (di largo impiego tecnico) per l’induttanza per unità di lunghezza di una linea bifilare (es. per un cavo costituito da due conduttori paralleli nella

stessa guaina) :

+=

41ln' 0

rdL

πµ

17

A

r0 r2

r1

B

§A8.8 AVVOLGIMENTO TOROIDALE

Consideriamo un avvolgimento di N spire “compatte e serrate” distribuite uniformemente su un supporto (anche ideale) a forma di anello (toro).

Applicando il teorema della circuitazione si verifica subito che il campo ha struttura circolare ed è nullo all’esterno dell’avvolgimento, mentre all’interno vale

rNIrH

rrr π2)(

21=

<<

se il toro è sottile, possiamo considerare il campo praticamente uniforme all’interno e pari al campo sull’asse

002)(

21

NIr

NIrHrrr

=≅<< π

Il flusso concatenato con le N spire vale

0

2

00

2

0 22 rSNL

rSIN

N πµ

πµ ∆

≅→∆⋅

≅Φ

18

r0 r2

r1

B A

Volendo valutare il flusso concatenato con l’intero avvolgimento e l’induttanza vista dai morsetti A-B (comunque molto vicini tra di loro ed al toro), occorre tener conto anche della spira “grande” costituita dall’elica toroidale

( )12

00

0

2

0 2ln

2''

rrr

rSNLLLABNtoro −+

∆=+=→Φ+Φ=Φ µ

πµ =

per evitare questa correzione, non sempre trascurabile, occorrerebbe “compensare” la spira “grande” con una “controspira” come in figura. In tal caso la configurazione di campo risulta molto più complessa.

Se in un avvolgimento toroidale si volesse tener conto della variazione del campo con il raggio, il coefficiente di autoinduzione potrebbe essere calcolato nel modo seguente:

1

22

0001 ln22

2

1rrbNdr

rbNI

INHdS

IN

INL

r

rS πµ

πµµ

===Φ

= ∫∫∆

b

19

§A8.9 ALCUNE CONSIDERAZIONI ENERGETICHE IN ACCOPPIAMENTO MAGNETICO Si consideri una spira interessata da corrente di intensità i1(t) erogata da un generatore di tensione indipendente e1(t), supposto puntiforme o comunque “localizzato”. In generale nella spira nasce una forza elettromotrice indotta; considerata la “resistenza” equivalente della spira, si potrà scrivere

1111111

11

111

iRdsS

idsSS

dtdeds ∫∫∫ =

∆=⋅

∆∆

=−=⋅γγγ

ηηϕ tJtE

Moltiplicando per i1(t) per un intervallo elementare di osservazione dt si potrà mettere in evidenza l’energia erogata dal generatore “concentrato” nell’intervallo di tempo elementare

112111 ϕdidtiRdte +=

Anche se si considerano altre spire similari si potranno considerare bilanci analoghi e pervenire ad una formulazione del tipo

*

2

dWdWdW

didtiRdte

Jg

kkk

kkk

kk

+=

+= ∑∑∑ ϕ

dove l’energia dei generatori è bilanciata dalla dissipazione per effetto Joule nei conduttori e dalla variazione di “energia magnetica”. Il campo B è solenoidale, ed anche la sua variazione temporale dB* è solenoidale, per cui si potrebbero individuare linee chiuse γ* di dB (la circuitazione di H lungo queste linee deve dar luogo alla corrente concatenata) e suddividere lo spazio in tubi di flusso di dB. Ad ognuno di questi tubi di flusso elementare di sezione ΔS* si potrebbe associare un valore

∫∆

⋅=*

***S

dSdd nBϕ

e costruire l’integrale

**

ττ

ddBH ⋅∫∆

esteso al volume definito dal tubo di flusso elementare dφ* di dB. Procedendo lungo γ* il flusso si mantiene costante e si avrà

( ) ∑∫∫∫ =⋅=⋅=⋅∆∆ k

kkinddltHddldSddd *****

ϕϕτττ

BHBH

dove si sono messi in evidenza gli eventuali concatenamenti multipli nk.

20

Per un processo finito che porta alla formazione di un campo B in tutto lo spazio, potremo valutare l’energia magnetica per unità di volume

BH dwB

m ⋅= ∫0

Nel caso di mezzi lineari (identificati da una permeabilità magnetica μ costante, l’energia magnetica specifica è pari a

22

0 21

21

21 BHdw

B

m µµ ==⋅=⋅= ∫ BHBH

Nel caso di due spire, l’energia magnetica associata (in tutto lo spazio) vale

( ) 2211 21

21

21 ϕϕτ

τ

iidWm +=⋅= ∫ HB

Nel caso di mezzi lineari

( ) ( )

21222

211

12222112211

21

21

21

21

21

21

iMiiLiL

MiiLiMiiLiiiW im

++=

=+++=+= ϕϕ

Per il suo significato energetico, tale forma quadratica deve essere non negativa; ciò implica che il coefficiente di accoppiamento

21LLMk =

deve essere in valore assoluto non maggiore di 1. La condizione k2=1 (k=1 se M>0, k=-1 se M<0) vien detta di accoppiamento magnetico perfetto: in queste condizioni l’energia magnetica è un quadrato perfetto

2

22

11

21222

211 222

121

+=++= iLkiLiMiiLiLWm

in tal caso, per infinite coppie di valori delle intensità di corrente non nulle

21

−= 2

1

21 i

LLki

l’energia magnetica totale risulta nulla, ossia il campo magnetico è nullo in tutto lo spazio; tale condizione può essere praticamente realizzati con due solenoidi lunghi e sottili, separati da un sottile strato di isolante.

22

§A8.10 – Dimensionamento di magneti permanenti Si consideri un anello di materiale duro magnetizzato tramite un avvolgimento esterno interessato da una intensità I sufficientemente elevata. Spegnendo il generatore(I=0 e H=0), il materiale presenta una induzione residua Br (fig.A8.10.1)

Fig.A8.10.1 – Nucleo magnetizzato Pur con valori non elevati, il valore corrente della permeabilità differenziale del ferro è ancora di molto superiore a quella dell’aria, quindi il nucleo può essere ragionevolmente considerato un tubo di flusso. Si rimuova una piccola “fetta” di ferro, creando in tal modo un traferro (fig.A8.10.2) ed ancora si consideri sostanzialmente identificato dal nucleo il tubo di flusso. Fig. A8.10.2

r0 r2

r1

I=0 H

ferro

Br

B

H

ferro

Br

B

r0 r2

r1

B

23

Valgono le relazioni L’intersezione della caratteristica del ferro con la caratteristica del traferro sopra indicata in funzione dell’induzione e del campo magnetico nel ferro determina il punto di lavoro (fig.A8.10.2) In realtà, per la loro durezza e fragilità, i materiali per magneti permanenti vengono prodotti in geometrie più semplici, ad esempio barrette, integrando il tubo di flusso con sagome opportune di ferro dolce (che presentano valori di H molto minori a parità di B). Si può far riferimento tipicamente alla fig.A8.10.3. Per tale configurazione valgono ancora le relazioni

)(

0

00

00 traferrodelticacaratterisl

lHHB

BBacciaall'interfl

lHHlHlH

dldldldldldl

traferro

fefetraferrofe

traferrofe

fe

traferrotraferromfemtraferrotraferromfefem

traferroduroferrotraferrodolceferroduroferro

µµ

γ

=≅→

≅

−=→=+

=⋅+⋅≅⋅+⋅+⋅→=⋅ ∫∫∫∫∫∫ tHtHtHtHtHtH

)traferrodelticacaratteris(l

lHHB

BBacciaall'interfl

lHHlHlH

dldldl

traferro

fefetraferrofe

traferrofe

fe

traferrotraferromfemtraferrotraferromfefem

traferroduroferro

00

0

00

µµ

γ

=≅→

≅

−=→=+

=⋅+⋅→=⋅ ∫∫∫ tHtHtH

24

Quindi si può identificare il punto di lavoro come precedentemente descritto.

Fig. A8.10.3

Si possono ottimizzare prestazioni e costi di un magnete permanente con le considerazioni che seguono. In generale occorrerà avere in uno spazio d’aria una determinata induzione ( od anche densità di energia magnetica). Per minimizzare il volume del magnete basterà considerare il valore per cui il prodotto BH è massimo nel ferro (fig. A8.10.4).

Occorrerà quindi considerare materiali ad alto valore di BH (vedi tab.A8.10.I). La sezione del traferro determinerà sostanzialmente la sezione del ferro e quindi il valore della lunghezza del magnete duro e del suo punto di lavoro.

N S

Magnete duro

Magnete dolce

Traferro

B

H

max

2

→⋅

⋅⋅=⇒≅⋅⋅

≅

=

fefe

traferro

fefefeotraferrotraferro

o

traferrofefefe

traferrotraferrofefe

traferrotraferrofefe

HB

HBBB

HB

SBSB

lHlH

ττ

µτµ

τ

25

Fig.A8.10.4

TAB. A8.10.I

Materiali BHmax [kJ/m3] Br [ T] Hc [A/m] •Acciai martensitici (1880)

3.2

•Acciai al tungsteno (1890)

•Acciai al Cr – Co •Polveri con Mn –Bi •Con titanio (TICONAL per altoparlanti)

•Magneti ceramici (ossidi di ferro + carbonato di bario,…)

•Leghe con Al-Ni-Co (1950) (Br=1.3 T; Hc=5,6 A/m; BHmax >80kJ/m3)

80 1,3 5,6

•Leghe con terre rare (samario-cobalto, neodimio-ferro-boro) (Br>1.4 T; Hc>100 kA/m; BHmax >400 kJ/m3)

400 1,4 1.0 105

H

ferro

traferro BHmax

B

BH

Appendice A9

Condensatori

A9.1 – Rendimento di carica di un condensatore

Consideriamo l’elementare processo di carica di un condensatore inizialmente scarico collegato all’istante t=0 ad un generatore di tensione stazionario tramite un resistore di resistenza R (fig. A9.1).

fig.A9.1 La tensione sul condensatore vAB(t) è legata alla carica QA [=-QB] presente sull’armatura A del condensatore dalla relazione QA(t)=C vAB (t). Il processo di accumulo della carica sulle armature del condensatore si arresta a regime, nella condizione vAB(t)=E; esso è rappresentato nella fig.A9.2. La carica a regime vale Q∞=CE.

fig.A9.2 Nell’intero processo di carica il generatore eroga l’energia W=E Q∞ ; il processo in un intervallo elementare di tempo dt implica l’accumulo di carica dQA=i dt, l’energia associata vABdQ e l’energia dissipata vrdQA=Ri2dt. Dalla fig.A9.2 si vede chiaramente che nel processo di carica a tensione costante l’energia dissipata nel resistore è la metà di quella erogata dal generatore; il processo di carica in questo caso ha un rendimento del 50%.

vAB +

R

C

i

e(t)=E vR A

B

t=0

vAB

QA

E

Q∞ 0

dQ

vAB

vc

Tale rendimento potrebbe essere migliorato con una alimentazione “crescente” (fig.A9.3) ossia aumentando progressivamente (ad esempio a scatti) il valore della tensione del generatore da 0 ad E. I tempi di carica si allungano notevolmente.

fig.A9.3 A.10.2 Risposta di un circuito RC Se un circuito RC è sollecitato da una tensione di durata Δτ (fig.A9.4) molto piccola rispetto alla costante di tempo RC, la tensione sul condensatore, nulla fino all’istante τ, all’istante t1= τ+Δτ varrà

( ) ( ) ( ) ττττ τττ

τ

∆≅∆≅=−

−∆+

∫ RCee

RCedti

Ctv RC

t

c

111

fig.A17.4 Se la e(t) ha un andamento generico, può essere scomposta in infiniti elementi come quelli della fig.A9.4, di durata infinitesima dτ; sommando tutti i contributi alla tensione sul condensatore fino ad un istante generico t si avrà, al limite,

( ) ( )∫−

−≅

tRCt

c deeRC

tv0

1 τττ

Tale espressione si presta ad una interpretazione grafica (fig.A17.5)

vAB

QA

E

Q∞ 0

dQ

vAB

vc

energia dissipata in R

energia accumulata in C

vC +

R

C

i

e vR

vg

t t1 τ

∆τ

e(τ)

e

e(τ)

τ

1 b c

t

fig.A17.5 La funzione e(τ) va moltiplicato per l’esponenziale b (funzione di τ a partire da t verso sinistra cioè per τ<t). Si ottiene la curva c. A parte il fattore di scala RC, l’area sottesa a questa curva è pari alla tensione sul condensatore. Per t<<RC, la curva c coincide praticamente con la e(τ); la tensione sul condensatore risulta quindi l’integrale della tensione di ingresso, purchè la si moltiplichi (ad esempio mediante un amplificatore) per RC. In sostanza la rete RC è una rete integratice tanto più “valida” quanto più grande è la costante di tempo rispetto all’intervallo di integrazione.

APPENDICE X Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

ELETTROTECNICA (prof. Lupò) (1)

Il LABORATORIO ALTE TENSIONI (o Sala Alte Tensioni) del Dipartimento di Ingegneria Elettrica (dal 2014 confluito nel DIETI) dell’Università di Napoli Federico II è una struttura speciale di grandi dimensioni (base 32 m x 16 m, altezza 18 m) esistente nel plesso di via Claudio. Esso è paragonabile ad un palazzo di quattro piani,vuoto all’interno e senza aperture. Le pareti interne ed il soffitto sono completamente rivestite di schermo elettromagnetico ed acustico. Il pavimento è costituito da una rete a maglie e strisce di rame rivestite di conglomerato cementizio conduttivo, in modo da potersi considerare equipotenziale in ogni condizione di funzionamento; tale piano equipotenziale, di riferimento per prove e misure, è collegato a dispersori di terra di grande profondità (la resistenza di terra equivalente (2) è inferiore al decimo di ohm). La schermatura è necessaria non solo per motivi di sicurezza ma anche per evitare di trasmettere o ricevere disturbi elettromagnetici. Tale laboratorio dispone principalmente

a) di un gruppo autonomo SIEMENS (generatore sincrono rotante alloggiato in cunicolo sottostante - trasformatore bistadio visibile in fig.1, schema semplificato in fig. 1b ) ossia un generatore di tensione sinusoidale costituito da un alternatore (autonomo) sincrono monofase a frequenza variabile tra 16 e 150 Hz e da un trasformatore speciale (a due stadi in cascata) in grado di erogare tensioni sinusoidali fino a 1,35 MV (valori efficaci, un morsetto collegato al piano equipotenziale del pavimento) e intensità di corrente fino a 1 A (valore efficace, per un’ora) e quindi potenza nominale 1350 kVA; tale apparecchiatura, costruita dalla Siemens negli anni ’60 (3), è unica in Italia ed in Germania ha un fratello maggiore (a tre stadi, circa 2 MV) all’Università di Monaco di Baviera (4); per la misura della

1 Gli esperimenti qui descritti sono state realizzati nella visita guidata (in più gruppi) del 5 e 12 novembre 2009 2 È la resistenza equivalente vista da un bipolo (generatore) di cui un morsetto è collegato al piano equipotenziale ed un altro ad un punto indefinitamente lontano. Il suo valore deve essere sufficientemente basso in modo che l’eventuale tensione che si ritrova accidentalmente applicata al corpo umano o meglio, nel nostro caso, ad uno strumento di misura, sia inferiore ad un valore di sicurezza (per il corpo umano, si considera una soglia di 50V). Essa dipende dalla configurazione del dispersore e dalla natura del terreno. Essa può essere di massima calcolata con modelli di sorgente concentrata o distribuita Nel caso specifico, trattandosi di intensità di corrente rapidamente variabili, occorrerebbe parlare di impedenza di terra. 3 Va ricordato che in tale periodo si prevedevano e furono realizzate nel mondo stazioni sperimentali a tensioni ultra-alte (UHV) con valori nominali fino a 1200 kVrms. A Suvereto (GR) fu sviluppato il Progetto pilota 1050 kV dell’ENEL. Tali programmi furono poi tutti sospesi negli anni ’80 per motivi economici e politici. Tuttavia nel 2010 è iniziato uno sforzo congiunto Cina-India per la realizzazione di linee (17.000 km!) a 1200 kVrms in regime sinusoidale a 50 Hz ed a 800 kV in regime stazionario 4 Le apparecchiature più importanti per la generazione di elevate tensioni sinusoidali in Italia sono presenti presso il CESI (Centro Elettrotecnico Sperimentale Italiano) a Milano, ma in questo caso i trasformatori sono direttamente collegati ad un “nodo di potenza” della rete ENEL a 380kV- 50 Hz.

tensione in uscita viene usato l’apposito divisore capacitivo, con tensione di uscita fino a 100 V, leggibili all’interno della cabina di controllo;

b) un generatore di tensione aperiodico (“impulsivo”) della PASSONI&VILLA anch’esso risalente agli anni ’60 (fig.2), costituito da 12 stadi capacitivi (resistenza di carico 20kΩ, schema moltiplicatore RC di Marx (1923)) caricabili in parallelo fino ad una tensione di ±200 kV (regime stazionario); con cambio improvviso di configurazione (ottenuto tramite l’innesco di opportuni scaricatori) tali stadi si dispongono “in serie” consentendo l’erogazione di una tensione aperiodica teoricamente pari a 12 volte la tensione di carica del singolo stadio (quindi fino a ±2400 kV); in realtà la forma d’onda sarà dipendente dal carico e di valore massimo inferiore del 10-20% rispetto al suddetto valore; per molti casi è possibile fissare la forma d’onda collegando il generatore ad un carico capacitivo noto e di valore relativamente elevato (condensatore zavorra, capacità 500-1000-1500 pF, visibile in fig.2) rispetto alle capacità degli oggetti in prova; la misura della tensione si attua attraverso un partitore di tensione resistivo, compensato con condensatori per tenere conto dei parametri parassiti, inevitabili date le dimensioni del partitore (circa 6 m di altezza); l’ energia massima di carica è di 35 kJ: tale generatore è in grado di erogare, tra l’altro, “impulsi atmosferici” (standard lightning pulses, con tempi di salita di 1,2 μs e tempi all’emivalore di 50 μs) e “impulsi di manovra” (standard switching surges, 250 μs -2500 μs) corrispondenti a bruschi transitori legati a manovre negli impianti (5). Il generatore ad impulso dispone di un alimentatore di tensione stazionaria (c.d. “continua”) fino a ±200 kV, 50 mA.

c) banco di scarica di condensatori da 4 nF, 10 kV, in grado di erogare correnti di intensità fino a 300 kA per 5-6 ms; si possono in tal modo ad esempio creare campi magnetici transitori in aria di elevato valore (ad esempio per studio su “lenti magnetiche”).

Il Laboratorio è dotato di una cabina a gabbia di Faraday interna(cabina di controllo) in cui sono alloggiati, per la sicurezza degli operatori e degli strumenti di misura e registrazione, i pulpiti di comando dei due generatori maggiori, che non possono essere messi in funzione se non sono verificate le condizioni di sicurezza previste. Un digitalizzatore Tektronik fino a quattro canali a 2 GSa/s permette l’acquisizione digitale e la successiva elaborazione in ambiente Windows o dedicato (in fig.3 è rappresentato lo standard lightning pulse in assenza di scarica).

5 Il livello di tensione da applicare agli oggetti in prova viene fissato da Norme specifiche o, in mancanza, definito dal Committente. Il livello di tensione di prova a impulsi atmosferici è stato determinato caso per caso su base statistica a valle di sperimentazioni sul campo; il livello di tensione di prova a impulsi di manovra è ricavato anche sulla base di simulazione numerica ed è orientativamente pari al triplo della tensione di esercizio: ad esempio, per un componente interfasico della linea dorsale di trasmissione dell’energia elettrica italiana a 380 kV(tensione concatenata), occorre prevedere una sollecitazione impulsiva di manovra con valore di picco di circa 1200 kV.

I generatori sono equipaggiati con spinterometri a sfere per la misura diretta del valore di picco della tensione generata e di opportuni divisori di tensione per il rilievo delle forme d’onda(fig.1-2).

fig.1 - Trasformatore bistadio SIEMENS e divisore di tensione capacitivo e spinterometro a sfere

Fig.1b – Schema semplificato del Gruppo Siemens

Vu

M G

T2

T1

Vi

Vi

V2

VC

fig.2 – Generatore ad impulso, spinterometro a sfere e divisore di tensione ohmico-capacitivo (sullo sfondo); in alto: schema

semplificato (R: raddrizzatore;M: circuito moltiplicatore ad innesco comandato; S: spinterometro a sfere; OP: oggetto in prova; PR: partitore resistivo compensato; DT: digitalizzatore Tektronix)

Nel Laboratorio vengono provati anche dispositivi di notevole dimensione e peso (la fig.4 è stata presa in corso di prova su trasformatore trifase per alta tensione da 55 t). Il laboratorio Alte Tensioni dispone anche di un trasformatore monofase da 100kVA per prove a 50 Hz fino a 100 kV (tensione regolabile tramite autotrasformatore compagno collegato alla rete ENEL), nonché di un sistema di misura integrato HAEFELY per il rilievo di scariche parziali (diagnostica non distruttiva su materiali e componenti con

Vac=220 V

R GM

S

DT

OP PR

Vdc= 0-200 kV

software di analisi e classificazione difetti) e la misura con ponte di Schering del fattore di perdita di componenti per Alta Tensione.

fig.3 Forma d’onda dell’impulso standard fig. 4 – Prova su trasformatore AT

BREVE DESCRIZIONE DELL’ESPERIMENTO DIDATTICO ( 5 e 12 novembre 2009)

Gli Allievi presenti hanno assistito ad una prova in alta tensione con uso del generatore ad impulso. In tal caso è stato configurato il circuito di fig.2 in cui l’oggetto in prova è costituito dal “parallelo” di una ordinaria catena di isolatori in vetro del tipo componibile “cappa e perno”, equipaggiata alle estremità con un elettrodo ad anello (lato inferiore, in esercizio collegata alla linea di alimentazione) ed un elettrodo a punta rivolta verso il pavimento, con interposta una canalina in plastica completamente isolata contenente acqua in modica quantità. 1°) -Fissata una congrua distanza (circa 15 cm) tra le sfere dello spinterometro, i condensatori sono stati caricati a 30 kV; innescando il collegamento serie dei condensatori è stata quindi applicata una tensione di circa 300 kV sullo spinterometro (6). Tale tensione è insufficiente per provocare una scarica tra le sfere dello spinterometro oppure tra gli elettrodi della catena. E’ quindi rilevabile una forma d’onda “piena” della tensione applicata, ossia una forma a doppio esponenziale con tempi di salita di circa un microsecondo e tempo all’emivalore di circa cinquanta microsecondi (come in fig.3). 2°)- La tensione di carica dei condensatori è stata poi elevata a circa 42 kV, corrispondente ad una tensione “impulsiva” di circa 420 kV. E’ stata osservata una scarica tra le due sfere dello spinterometro, in linea con la considerazione che la tensione di scarica prevista dagli abachi delle Norme tra le sfere alla distanza di 15 cm è 390 kV (±3%). Si rileva la forma 6 Tale determinazione presuppone una complessa “taratura” del generatore, che, dato il tempo limitato della visita degli Allievi, è stata effettuata precedentemente.

d’onda di fig. 5,“troncata” in corrispondenza dell’istante del collasso; la successiva evoluzione pseudo-sinusoidale è caratteristica del circuito di “scarica disruptiva”, schematizzabile, in prima approssimazione con un circuito RLC , con basso valore del parametro resistivo associabile al canale di scarica.

fig.5 – Registrazione di una scarica sullo spinterometro a sfere

3°) – La distanza tra le sfere dello spinterometro è stata portata a oltre 30 cm e la tensione di carica dei condensatori è stata elevata a circa 70 kV; è stata quindi provocata per innesco comandato l’applicazione di una tensione “impulsiva” di circa 700 kV, che ha determinato una scarica in aria tra l’elettrodo a punta ed il pavimento, “guidata” in maniera più o meno vistosa dalla canalina orizzontale (fig.6). Per ragioni di tempo non è stato possibile far avvenire la scarica sulla catena (rimuovendo l’elettrodo a punta); tuttavia sembra utile riportare delle foto – ottenute in un esperimento effettuata in data precedente – di scarica tra gli elettrodi di una catena di isolatori più corta (fig.7) o, in un successivo esperimento, sulla superficie della catena stessa (fig.8). Le registrazioni effettuati in tutti questi casi (esempio in fig.9) mostrano una variazione temporale della tensione solo a prima vista ripetitiva; in realtà essa è differente caso per caso e comunque diversa da quella presentata in fig. 5; è cioè possibile associare ad ogni fenomeno di scarica (completamente in aria, in parte superficiale, all’interno del materiale,…) un diverso andamento della tensione misurato, creando quindi anche un “pacchetto ricognitivo” del fenomeno di “breakdown” avvenuto.

fig.6 – scarica punta-canalina- terra – tensione applicata 680 kV di picco.

fig.7 – Scarica in aria tra gli elettrodi della catena fig. 8 – Scarica superficiale (flashover)

fig. 9 – Tipico andamento temporale della tensione misurata in caso di scarica sulla catena

APPENDICE XI – ESERCIZI - PROVE D’ESAME 1

XI.1 Prova infracorso del 7/1/2003 (corso di Introduzione ai Circuiti) Fig.1 ESERCIZIO N.1

Si consideri la rete di fig.1, in regime sinusoidale, alimentata dal generatore ideale di tensione e(t) = EM sin ωt . (EM=100 V; ω=100 rad/s ; R=3Ω; L=0,1 H ; C=1 mF)

1a) Si valuti la potenza complessa erogata dal generatore.

( )

( )

−=⇒−=

−−

+

−−

=

−

−

+

−+

−

=

−

−=⇒−

=

−−

+=

−

−

+

==

+=+

==

2sin30)(

230

10310310

103103

2100

310sin109)(

2103

103)10(310

2100

;5001502103

2100*

πω

ω

ωω

ω

ω

ω

ω

ωω

ttvj

jjj

jj

CjR

CjR

Lj

CjR

CjR

E

V

arctgttij

jjj

CjR

CjR

Lj

EZEI

jjIEP

cc

Le

L

VArWLe

1 Con (*) si indicano esercizi assegnati ad allievi del CdL in Ingegneria Informatica o Elettrica, non rientranti nel programma ufficiale del Corso di Elettrotecnica per Meccanici

+ e(t)

+ e(t)

+ + R v

L v 2

2’ 1’

1 R L

C

R L

C

L L i

L C i L R i C v

+

-

-

-

1b) Si verifichi la conservazione della potenza complessa nella rete (facoltativo)

( ) ( ) 50015032

303210

302

10910)0(0022

222 jjjjRICVjLIjPPPP RcLRcLe +=⋅

⋅+⋅

−⋅=++−++=++= ωω

1c)Si valuti il rifasamento a cos ϕ =1 del carico visto dal generatore di tensione (facoltativo) Per rifasare a cosϕ=1 occorre inserire in parallelo al generatore un condensatore di

capacità C* cha assorba una potenza reattiva pari a –500 Var e quindi di valore ( )

FE

QQC CL 3

22 10

2100100

500* −=

⋅−

−=

−−−

=ω

ESERCIZIO N.2 Si consideri la rete di fig.1, alimentata dal generatore ideale di tensione e(t)=EMsinωt, in

regime sinusoidale fino all’istante t=0; a partire da tale istante, la tensione del generatore segue la legge

e(t) = EM cos ωt. (EM=100 V; ω=100 rad/s ; R=3Ω; L=0,1 H ; C=1 mF) Si determinino 2a) i valori iL(0+),vc(0+),ic(0+),vL(0+);

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) VvEvev

AiAR

vi

Vvv

AIarctgii

cMcL

cc

R

cc

LLL

130)30(10000)0()0(

0)0(100

)0(

302

sin3000

102Im310sin10900

=−−=+−=+−+=+

=+⇒−=+

=+

−=

−=−=+

−==

−=−=+

π

2b) l’intensità della corrente iR(t) per t>0.

NOTA: si consiglia di utilizzare idoneamente i risultati dell’esercizio n.1 Il circuito è del 2°ordine; le radici dell’equazione caratteristica sono quelle del circuito RLC parallelo (vedasi la fig.1 con e(t)=0, in evoluzione libera)

( ) sss

LCCRRC

03,0;300

13/100

3008,01

61000

1068

1061

103636

1036100

1061

101

10361

10611

41

21

211

23

443463222,1

==⇒−−

=±−=⋅

±⋅

−=

=⋅

−⋅

±⋅

−=−⋅

±⋅

−=−±−=

−−−

−−−−−−

ττ

λ

Si avrà pertanto

−++=++=++=

2cos10

)()()( 212121

212121πωλλλλλλ tekek

Rtv

ekektiekekti ttcpttrp

ttR

essendo il termine particolare sinusoidale e ricavabile dal precedente regime considerando che la funzione che esprime la tensione del generatore è di tipo coseno. Le costanti si precisano dalle condizioni iniziali:

AkAk

senkkiRCdt

dvRdt

di

kki

ccR

R

155

02

10)0(11

102

cos10)0(

21

221100

21

−==

=

−⋅⋅−+=+==

−=

−++=+

++

πωλλ

π

------------------------------------------------------------------------------------------ ESERCIZIO N.3 (*) Si consideri la rete di fig.1, a riposo, alimentata dal generatore ideale di tensione impulsivo e(t)=δ(t).

3a) Si valuti la risposta impulsiva iR(t)= h(t).

La tensione del generatore nell’istante di applicazione dell’impulso è bilanciata dalla tensione sull’induttore, in quanto la tensione sul condensatore può avere al più un salto limitato. Ne consegue che il condensatore non si carica e che l’induttore si carichi al valore

( ) ( ) ( ) AL

dttL

dtvL

ii LLL 10111000

0

0

0===+−=+ ∫∫

+

−

+

−δ

L’intensità della corrente nel resistore ha la stessa “forma” trovata precedentemente, ma tende a zero per t→∞. Il suo valore allo 0+ è nullo perché la tensione (sul condensatore) è nulla; la sua derivata allo zero più, per quanto visto prima, è collegata al valore della corrente nel condensatore allo 0+, che coincide con l’intensità di corrente nell’induttore:

( )( )

sAkk

sAkkLRC

iRC

iRCdt

dvRdt

dikki

ekektith

LccR

R

ttR

/225

/3

1000011)0(1)0(1100)(

21

221100

21

2121

=−=

=+=⋅=+=+==

+==++==

++

δδ

δδ

δδ

λδ

λδ

λλ

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

tempo [s]

inte

nsità

di c

orre

nte

iR[A

]

3b) Si valuti l’energia complessivamente dissipata dal resistore R (facoltativo)

Considerato che la corrente nel resistore non è impulsiva, l’energia dissipata dal resistore è uguale all’energia inizialmente immagazinata nell’induttore, essendo nulla quella immagazinata nel condensatore allo 0+ :

( ) JLL

LLidtRidtRiw LRRR 52

1121)0(

21, 2

2

0

22 =⋅

=⋅=+===+∞∞− ∫ ∫+∞

∞−

+∞

+

NOTA: si consiglia di utilizzare idoneamente i risultati dell’esercizio n.2

XI.2 Prova scritta del 14/1/2003 (corso di Introduzione ai Circuiti) Fig.1 ESERCIZIO N.1

Si consideri la rete di fig.1, in regime sinusoidale, alimentata dal generatore di tensione e(t) = EM sin ωt . (EM=340 V; ω=1000 rad/s ; R1=R2=400Ω; R3=200Ω; L=0,1H ; C=5 µF)

1) Si valuti la potenza complessa assorbita dal bipolo a destra dei morsetti A-B.

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) VVvarctgtsenVtsenVtv

AIiarctgtsenItsenIti

VArIX

QVArIXQWIR

P

jjjjjIVP

jj

jjIXXjRV

jIjXV

jjjj

jXXjRR

RII

jj

jj

ZEI

jj

jj

XXjRRXXjRR

RZ

CXLXjeEE

CCCCc

LLLLL

LCC

LLL

LR

VArWLAB

AB

LCLAB

LcC

CLL

e

CL

CLe

CLj

M

80Im0;41720arg

1,0Im)0(;41

1017arg

172

10017200

2;5,8

210017100

2;17

210017200

2

5,81721085

104

4285

2

ˆ

;42170

41

1017100200

;4120)(

;10

44

11017

100600400

46

4017

;46

4017

46

800340

64800

100600)100200(400400

2001051000

11;1001,01000;0340

2223

3

32

21

1

32

321

60

3

==−−−+⋅=+=

==−

+=+=

−=⋅−

=−

==⋅

===⋅

==

−=−⋅=−

⋅−−

==

−−

=−

−=−+=

−⋅−=−−=

+=

−=

−⋅

−−

⋅=−++

=

−−

⋅=−−

⋅==

−−

=−−

+=−++−+⋅

+=

Ω=⋅⋅

==Ω=⋅==+== −

πωω

ωω

ωω

+ e(t)

+ e(t)

L 1 i L L i

L R

1

R

2

L R

3

C

A

B

L

+ v -

c

ESERCIZIO N.2 Si consideri la rete di fig.1, alimentata dal generatore ideale di tensione e(t)=EMsinωt, in

regime sinusoidale fino all’istante t=0; a partire da tale istante, la tensione del generatore segue la legge e(t) = EM (costante).

(EM=340 V; ω=1000 rad/s ; R1=R2=400Ω; R3=200Ω; L=0,1H ; C=5 µF) Si determinino 2a) i valori iL(0+),vc(0+),i1(0+ ); 2b) l’intensità della corrente i1(t) per t>0.

NOTA: si consiglia di utilizzare idoneamente i risultati dell’esercizio n.2 “Foto” allo 0+ ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) sA

vRRR

RRiRRRe

LRRR

RRR

Lv

RRRi

RRei

A

RRRi

RRei

VvvAii

cLL

L

L

cc

LL

/10502105804001,02

3401,02

1

0001)0(

)0()0(0

4019

800380

211,0

800340

)0()0(0

8000;1,000

321

21

21

2

21

2

21

2

21

2'

21

''1

21

2

211

=⋅=

+⋅−+

⋅=

=

++

+

++−

+⋅+

⋅⋅+

=+

⋅+=

=+

⋅++++

=+

==⋅+=

=+

⋅++++

=+

=−=+=−=+

Il circuito è riconducibile ad un RLC serie con

.40021

213 Ω=

++=

RRRRRR

Le radici dell’equazione caratteristica sono

( )2210002100020001051,0

140000002000142 62

2

2,1 ±=±−=⋅⋅

−±−=−±−= −LCLR

LRλ

La soluzione è del tipo ( ) )(1211

21 tiekekti ptt ++= λλ

Essendo stazionario il regime finale, anche l’integrale particolare è una costante

( )21

21121

RREekekti Mtt

+++= λλ

Ne segue

L i (0+) + e(t) + e(t)

1 i (0+)

L R

1

R

2

L R

3

C

A

B L

+ v

c

+ V -

L

( )

AiAkAk

sAkkdtdi

ARR

Ekki

t

o

MA

425,0298,0;325.0

/1150

1,00

1

21

22111

21211

=

−=−=

=+=

=+

++=+

∞→

+

λλ

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

tempo [s]

inte

nsità

di c

orre

nte

i1[A

]

ESERCIZIO N.3 (*)

Si consideri la rete di fig.1, a riposo, alimentata dal generatore ideale di tensione impulsivo e(t)=δ(t).

3a) Si valuti la risposta impulsiva i1(t)= h(t). NOTA: si consiglia di utilizzare idoneamente i risultati dell’esercizio n.2

L’impulso “vede” la serie R1-R2 (la corrente in R3 non può essere impulsiva perché in serie ad un induttore). Quindi all’induttore è “applicata” una parte dell’impulso del generatore; l’induttore si carica istantaneamente, mentre il condensatore rimane inizialmente scarico

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )[ ] ( ) ( )

( )

AkAk

sA

vRiRR

RRiLRR

R

RRR

Lv

RRR

ikkdtdi

ARR

Rikki

ekekthti

Vvv

AL

dttRR

RL

dtvL

i

cLL

LL

o

L

ttcc

LL

25,1;25,1

/1000040051,02

1

0001

)0()0(

5,2)0(0

)(

000

;5211110

21

321

21

21

2

21

2

21

2'2211

1

21

2211

211

0

0 21

20

0

21

==

−=⋅−⋅

=

=

+−+−

++−

⋅⋅+

=

=+

⋅+

=+

⋅+=+=

=+

⋅+=+=+

+==

=−=+

==+

⋅≅=+

+

+

−

+

−∫∫

λλ

δ

λλ

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010

0.5

1

1.5

2

2.5

tempo [s]

inte

nsità

di c

orre

nte

i1[A

]

XI.3 Prova scritta del 4/2/2003 (corso di Introduzione ai Circuiti)

Fig.1 ESERCIZIO N.1

Si consideri la rete di fig.1, in regime sinusoidale, alimentata dai generatori di tensione e1(t) = E √2 sin ωt, e2(t) = E √2 cos ωt . (E=1 V; ω=100 rad/s ; R=2Ω; L=20 mH ; C=10 mF)

1) Si valuti la potenza complessa erogata da ciascuno dei generatori. La potenza erogata dai due generatori vale

222111ˆ;ˆ IEPIEP ==

Le intensità di corrente possono essere valutate applicando il teorema di scomposizione; introducendo le impedenze viste dai due generatori agenti singolarmente, avremo:

( ) Aijj

jjjjIII

jjjIEP

jj

jj

jjXR

jXZE

ZEI

jjjIEP

jj

jj

jj

jj

XXjjX

ZE

ZEI

jjXXj

CLRZ

jj

jjjXRjXRjXZ

CXLX

LL

L

L

ee

cL

L

ee

cLe

L

Lce

cL

243)0(

43

43

123

43

121 4

341

43ˆ

43

222

11

22

21

23

1211ˆ

121

11

)12(2

2211

)(

2222)(

/01

224

11;2

21

222

1

1

2

22

111

2

2

1

11

2

1

−=−⇒−=−

−=−−

+−−

=+=

−−=+−

==

−−=

+−

−=

+−=

+=++

==−−

=−

−=−−

−=−

−=

−=+=−

+=

+=+

+−=+⋅

+−=

Ω==Ω==

ω

ω

+

L 1 i

+ e(t)

c

L

R

C

+ v -

e (t) 1

+

e (t)

2

L i

+

_

v L

L 2 i

WRIPVAIXQVAIXQ

jIRVj

IjXV

VvjIjXV

RCCLLL

RR

LLL

ccC

25.145;5.2

25;25.2

49231

32

23)0(

231

22

21

2

1

===−=−=−====

−−==

−==

−=−⇒−−

=−=

ESERCIZIO N.2

Si consideri la rete di fig.1, per t<0 in regime sinusoidale [alimentata dai generatori di

tensione e1(t) = E √2 sin ωt, e2(t) = E √2 cos ωt ; (E=1 V; ω=100 rad/s ; R=2Ω; L=20 mH ; C=10 mF)]. Per t>0, sia e1(t) =E ed e2(t) =0.

2) Valutare la tensione vL(t) per t>0 NOTA: si consiglia di utilizzare idoneamente i risultati dell’esercizio n.1

Dai risultati dell’esercizio precedente abbiamo

( ) ( ))()()(

243)0()0(;

2300tvtvtv

AiiVvv

LpLomL

LLcc

+=

−=−=+−=−=+

L’integrale particolare è nullo (trattandosi di regime finale di tipo stazionario); le radici della equazione algebrica caratteristica (trattandosi di circuito RLC parallelo) sono

7252550006252514

12

1222,1 j

LCCRRC±−=−±−=−±−=λ

e quindi l’espressione della tensione sull’induttore vale

( )

[ ]

Vk

sVC

Rvee

iC

iiC

idt

dvdtdekk

dtdv

Vvekvtsenektektv

cL

LcL

cL

ttL

+=

=

+−+−+−+

−

=+−+

−=+

−=−=+−=

=+=+−+==++=

+++

−−

721

23

/25

)0()0()0()0(

)0()0()0(072525

225

231)0()0()0(

)725(725cos)(

2

12

21

00

121

0

11

252

251

ESERCIZIO N.3 (*)

Si consideri la rete di fig.1, a riposo per t<0, alimentata dal generatore ideale di tensione impulsivo e1(t) =δ(t); [e2(t) =0].

3a) si valuti la tensione sul condensatore e l’intensità della corrente dell’induttore allo 0+ . 3b) (facoltativo) Si valuti la risposta impulsiva i1(t)= h(t). La tensione sul condensatore e la intensità di corrente per l’induttore sono grandezze limitate (salvo

i due casi patologici che qui non ricorrono). Si ha quindi che la tensione del generatore risulta “applicata” al

resistore ed all’induttore. La corrente del resistore è impulsiva (e quindi anche la corrente nel condensatore è impulsiva, deteminandone l’immediata carica); l’impulso di tensione carica istantaneamente l’induttore

AL

dttL

dtvL

i

VRC

dtRt

Cdti

Cv

LL

c

501)(11)0(

501)(11)0(

0

0

0

0

0

0

0

01

====+

====+

∫∫

∫∫+

−

+

−

+

−

+

−

δ

δ

Per quanto detto la corrente erogata dal generatore è impulsiva; per t>0 avremo l’evoluzione libera della rete a partire dallo stato di carica appena calcolato. Le frequenze naturali (radici dell’equazione caratteristica) sono le stesse dell’esercizio precedente, per cui avremo

( ) ( ) )725(725cos1)( 252

2511 tsenectect

Rti tt −− ++= δ ;

ad impulso “esaurito” avremo quindi

725

7252525

0100255050)0()0(

)0()0(172525

25)0(

)0()0()0()0(

2

1

1

0021

0

1

211

=⋅

=

=⋅+⋅−=+

++−

=

=+

++

=+=+−=

=+

++=+−+==+

+++

c

RCi

Lv

RCi

Lv

dtdv

Rdtdicc

dtdi

AR

viiici

c

LcL

cLL

XI.4 Prova scritta del 18/2/2003 Fig.1 ESERCIZIO N.1

Si consideri la rete di fig.1, in regime sinusoidale, alimentata dai generatori di tensione e(t) =

EM sin ωt e di corrente i(t) = IM cos ωt . (EM =20 V; IM =2 A; ω=100 rad/s ; R=20Ω; L=100 mH ; C=1/3 mF)

1) Si valuti la potenza complessa erogata da ciascuno dei generatori. La potenza erogata dai due generatori vale

2

ˆ;

21 IVP

IEP L

ie ==

Le intensità di corrente possono essere valutate applicando il teorema di scomposizione; introducendo le impedenze viste dai due generatori agenti singolarmente, avremo:

( )

( )( )

( )

WRIP

VArIXQ

VArIX

Q

VvjjjIjXV

jjjIVP

jjIEP

jIIjXV

AijIII

jjj

jjjjXR

jXIZEI

jj

jjj

jXjXRjXRjX

ZjjXjXRZ

CXLX

R

LLL

cc

ccc

VArWL

VArWe

LL

LL

c

L

e

cL

cLi

cLe

cL

2022021

2

50101021

2

302

30)0(3030130

30102103021

2

ˆ

1010)1(102

ˆ1030)(

3)0(31)(

12020

402020102

202020

2223

2020)3020(10

2020

301;10

21

2

21

1

2

1

1

1

1

=⋅==

=⋅==

−=−=

−=−−=+⋅−=−=

+=−+−==

−=−==

+−=+=

=−+=+=

+=−

=−⋅

−−

=−⋅

−=

−−

=−−

=−+−

=−=−+=

Ω==Ω==

ωω

+ + e(t)

c

L R

C

+ v -

e (t) i (t)

L i

+

_

v L

ESERCIZIO N.2 Si consideri la rete di fig.1, per t<0 in regime sinusoidale [alimentata dai generatori di

tensione e(t) = EM sin ωt e di corrente i(t) = IM cos ωt ;EM =20 V; ω=100 rad/s ; R=20Ω; L=100 mH ; C=1/3 mF].

Per t>0, sia e(t) = EM ; i(t) = IM.

2) Valutare la tensione vL(t) per t>0. NOTA: si consiglia di utilizzare idoneamente i risultati dell’esercizio n.1

Dai risultati dell’esercizio precedente abbiamo ( ) ( )

)()()(3)0()0(;3000

tvtvtvAiiVvv

LpLomL

LLcc

+==−=+−=−=+

L’integrale particolare è nullo (trattandosi di regime finale di tipo stazionario); le radici della equazione algebrica caratteristica (trattandosi di circuito RLC parallelo) sono

( )21100122

2

2,1 jLCL

RL

R±−=−

±−=λ

e quindi l’espressione della tensione sull’induttore vale

( )( ) ( )( )

( )( )

Vk

sVvLR

Cii

vLR

Ci

dtdi

dtdiR

dtdv

dtdekk

dtdv

V

iiRveRivekv

tsenektektv

LL

LLcL

LccL

ttL

26021001500030100

/900030200103

123)0()0(0

)0()0(02100100

30)23(2003020

)0(0)0()0(0)0()0()0(

)11100(11100cos)(

2

3

1

0000

121

0

1111

1002

1001

−=−⋅

=

−=⋅−−

−=+−+−+

−=

=+−+

−=

−−−=+−=

=−−+=

=+−+−+−+=+−+−+==+

+=

+++++

−−

ESERCIZIO N.3 (*)

Si consideri la rete di fig.1, a riposo per t<0, alimentata dal generatore ideale di tensione impulsivo e(t) =Φ δ(t); [i(t) =0]. ([Φ=5 Vs ; R=20Ω; L=100 mH ; C=1/3 mF)

3a) si valuti la tensione sul condensatore e l’intensità della corrente dell’induttore allo 0+ . 3b) (facoltativo) Si valuti la risposta impulsiva i1(t)= h(t). La tensione sul condensatore e la corrente dell’induttore (e quindi le tensione sul resistore) sono

grandezze limitate. Si ha quindi che l’impulso di tensione del generatore risulta “applicato” all’induttore. L’impulso di tensione carica istantaneamente l’induttore

AL

dttL

dtvL

tii

VdtiC

v

LL

c

50)(11)()0(

01)0(

0

0

0

01

0

01

=Φ

=Φ===+

==+

∫∫

∫+

−

+

−

+

−

δ

Per t>0 avremo l’evoluzione libera della rete a partire dallo stato di carica appena calcolato. Le frequenze naturali (radici dell’equazione caratteristica) sono le stesse dell’esercizio precedente, per cui avremo

( ) )2100(2100cos)( 1002

10011 tsenectecti tt −− += ;

Ac

sALRi

Lvve

Lvcc

dtdi

Aici

LRc

L

L

22521001000050100

/10000)0(00)0()0()0(

)0(2100100

50)0()0(

2

210

1

11

−=−⋅

=

−=+−−

=+−+−+

=

=+

=+−=

=+==+

+

XI.5 Prova scritta del 16/6/2003 (corso di Fondamenti di circuiti) Fig.1 ESERCIZIO N.1

Si consideri la rete di fig.1, in regime sinusoidale, alimentata dai generatori ideali e(t) = E √2 sin ωt, i(t) = I√2 cos ωt . (E=20 V;I=2 A; ω=100 rad/s ; R=2Ω; L=20 mH; C=10 mF)

1) Si valuti la tensione vL(t) col metodo del generatore equivalente di tensione 2) Si valuti la potenza complessa erogata dal generatore ideale di corrente 3) Si proceda alla verifica della conservazione della potenza complessa 4) È possibile sostituire all’induttore un generatore di tensione ideale? SOLUZIONE

C

c

L

R

+ v - +

e (t)

L i

+

_

v L i(t)

+

Ē

v L

+

_ Vo

+ Zeq

XL

c R

+ v -

+

_

V

o Ī

X

XI j E j

I VZ jX

Z R jXR jX

jj

V I Z E jXR jX

j jj

jj

jj

I jj j j

jj

V jX I jj

v t t

I V

C

L

Lo

eq L

eqc

c

eqc

c

L

L L L

L

= =

= =

= = +

=+

=−−

=−−

= ⋅ +−−

=−−

+−−

=−−

=−

− + −=

−+

= =++

= + −

− =

−

−

1100 10

1

20 100 10 22 10 0

22

2 22

102

4 102

4 102 2 2

2 51

10 41

2 29 25 4

2

3

0

1

** *;

;

( )

( )

( )

( ) sen( arctg( ) )

Ω

Ω

ω π

L

c

R L

jXj

j

I I I I jj

−=− +

+

= − + − =+

4 101

311

Applicando il teorema di Norton

I IZ

Z jXI E

RZ

Z jXj

jj

jj

j

jj

P V I jj

j j

P EI jP RI WQ X I VArQ X I VArP P j P j Q Q

L cceq

eq L

eq

eq L

I L

E R

R R

L L L

C c

I E R L c

=+

= ++

= +

−−

−−

+=

−+

= =++

− = − −

= = −

= =

= =

= − = −

+ = − = + +

( )( ) ( )( )

( )

( )

2 5

222

22

2 51

10 41

2 6 14

15 159

2958

9 29

2

2

12

E’ sempre possibile (non ricadendo casi patologici) sostituire all’induttore un generatore di valore E VL* =

Per sostituire ad un generatore un’impedenza occorre che il rapporto

ZVIsost

g

g

= −

(se sul generatore si è assunta la convenzione del generatore) sia a parte reale positiva. (N.B. : ciò implica la presenza di almeno un altro generatore nella rete).

XI.6 Seconda prova infracorso 13/01/2004 (corso di Introduzione ai Circuiti)

Fig.1 ESERCIZIO N.1

Si consideri la rete di Fig.1, in regime sinusoidale per t<0 , alimentata dal generatore ideale di tensione e(t) = EM sin ωt ; il generatore di corrente è spento.

(EM=10 V; ω=100 rad/s ; R1=R2=10Ω; L=50 mH ; C=2/3 mF) Per t>0, il generatore di tensione è spento [e(t)=0] ed il generatore di corrente si attiva ad un

valore costante [i(t)=Io; Io=1A] Si valuti l’intensità di corrente i1(t) nell’intervallo (-∞,+∞). Per t<0 :

( )

( )

+=

−=−⇒−=−+=−=

=−⇒+=−+

=−++

=

Ω=⋅⋅

==Ω== −

21sin

55)(

6)0(63)15)(2(51

51)0()2(

51

1020010

15100102

31;5

1

1

121

1

3

arctgtti

VvjjjjXIV

Aijjj

XXjRREI

CXLX

ccc

CL

CL

ω

ωω

ESERCIZIO N.2 A

Si consideri la rete di fig.1, a riposo per t<0, alimentata dal generatore ideale di tensione impulsivo e(t)=Φδ(t); Φ=1 Vs [i(t)=0]. Si valuti la risposta impulsiva i1(t)= h(t) ------------------------------------------------------------------------------------------ ESERCIZIO N.3 A (integrazione alla prima prova intracorso)

Si consideri la rete di fig.1, in regime sinusoidale, alimentata dal generatore ideale di

tensione e(t) = EM sin ωt e dal generatore di corrente sinusoidale i(t) = IM cos ωt (EM=10 V; IM=1 A; ω=100 rad/s ; R1=R2=10Ω; L=50 mH ; C=2/3 mF);

L

R1

L

R2 L C L 1 i

L i

e +

a) Si valuti la potenza complessa erogata dal generatore di corrente. b) Si verifichi la conservazione della potenza complessa nella rete

XI.7 Prova scritta del 10/01/2006 ESERCIZIO N.1 A Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime sinusoidale per t<0; sia R=10 Ω, L=200 mH, C=1 mF, ω=100 rad/s, e(t)=EM sen ωt [EM=10 V], i(t)=IM cos ωt [IM=2 A]. Per t>0 sia e(t)= EM [costante] ed i(t)=0. Determinare la tensione sull’induttore vL(t) per t∈(-∞,+∞). Per t<0 possiamo applicare il metodo simbolico. Risulta più opportuno applicare il teorema di Norton per il calcolo della corrente nel condensatore. Avremo

+ R e i C

L vL

iR iL

ic

[ ] [ ] [ ]

AIiarctgtsentijj

jjXVI

VVvVV

arctgtsentv

jj

jj

j

jj

jj

jj

jj

j

jjXZjXZ

IV

jj

jXRjXR

Z

CXLX

jIREIjIE

LLLL

LL

LcLC

L

Leq

LeqccL

c

ceq

cL

cc

54)Im()0()

34()(

54

53

201216

12)Im()0(;

)43(20)(

;121621

20212

111

20

2120

110

201

10

21

;1

10)(

;1010

11;20

;21;2;10

1

−==−⇒−

+=⇒−=+

==

==−⇒=

+=

+=+−

+=−

−

−+=

+−

−

⋅−

−

+=+

⋅=

−−

=−−

=

Ω===Ω==

+=+===

−

ω

ω

ωω

Per t>0 la soluzione può essere valutata come

)()( 2121 tvekektv Lp

ttL ++= λλ (*)

Poiché la sollecitazione è costante, l’integrale particolare è nullo

0)( ==dtdiLtv L

Lp

Inoltre, trattandosi di un circuito RLC “parallelo”, avremo

( ) βαλ jjLCRCRC

±=±−=−

±−= 1501

21

21 2

2,1

La (*) potrà essere riscritta come

( )

( )

( )

°≡≅=≅⇒=

==+=+

=+−=⋅

+−

=

=−

−−−

=−

−+−+

=+−+

=+

==+=

=−==++=

−−

++

234,083;2,3412

32cos600cos20cos

/6008002001054

101210

)0()0()0()0()0()0()0()0(cos

12)0()0()(

32

00

arctgVAAsen

AAsenA

sV

Ci

RCvE

Ci

RCve

Cii

Ci

dtdv

senAdt

dvVvAsenv

tsenAetv

LcMLcLRccL

cL

tL

γγ

γγβαγβγα

γβγα

γγβα

ccI vL eqZ L

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

tempo [s]

tens

ione

indu

ttore

[V]

ESERCIZIO N.2 A (*)

Si consideri la rete di fig.2, a riposo per t<0. Valutare la risposta iL(t) all’impulso di tensione e(t)=Φ δ(t) [Φ=2 Vs; R=10 Ω, L=200 mH, C=1 mF]

Fig.2

Non rilevandosi casi patologici, le grandezze di stato possono al più subire una discontinuità limitata a causa dell’impulso. Nello zero – istante di applicazione dell’impulso – il condensatore può essere quindi considerato un “quasi-cortocircuito” e l’induttore un “quasi-aperto”. Saranno impulsive le correnti nel resistore e nel condensatore.

L’impulso della corrente ic vale

∫+

−

Φ==+⇒

Φ=

0

0

1)0()()(RC

dtiC

vtR

ti ccoc δ

L’induttore rimane scarico, in quanto la tensione sullo stesso è pari a quella sul condensatore e quindi limitata.

La soluzione potrà essere valutata come tt

L ekekti 2121)( λλ +=

Inoltre, trattandosi di un circuito RLC “parallelo”, avremo

( ) βαλ jjLCRCRC

±=±−=−

±−= 1501

21

21 2

2,1

La (*) potrà essere riscritta come

+ R e C

L

iL

+ R e C

vC

iC

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-20

0

20

40

60

80

100

tempo [s]

tens

ione

con

dens

ator

e [A

]

( )

( )( )

( )

°≡≅=≅⇒=

=−=+=+

−=⋅

−=Φ

−=−==+=

=⋅

=Φ

==+

+=

−++

−

5903.135;116100

60cos20000cos100cos

/20000101002cos

10010202)0(

)(

6200

3

arctgVAAsen

AAsenA

sVRCRC

vCi

senAdt

dv

VRC

Asenv

tsenAetv

ccc

c

tc

γγ

γγβαγβγα

γβγα

γ

γβα

ESERCIZIO N.1 B

Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime sinusoidale per t<0; sia R=1 Ω, L=4 mH, C=2 mF, ω=500 rad/s, e(t)=EM sen ωt [EM=10 V], i(t)=IM cos ωt [IM=20 A]2. Per t>0 sia e(t)= 0 ed i(t)= IM [costante]. Determinare l’intensità della corrente ic(t) nel condensatore per t∈(-∞,+∞). Per t<0 possiamo applicare il metodo simbolico. Risulta più opportuno applicare il teorema di Norton per il calcolo della corrente nel condensatore. Avremo

2 In realtà sul testo distribuito in aula era indicato IM=2A . Ciò comporta

[ ] [ ]

AIijjjXV

I

VVvarctgtsentvjIjXV

arctgtsenti

jj

jjj

jj

jj

jI

jIREIjI

LLL

CL

CccccC

c

c

cc

4,4)Im()0(4,42,14,28,8

4,2)Im()0()1,13,0(1.9)(;4,28,8

)3,01,1(1.9)(

8,84,22

2210

212

212

210

210;2

−==−⇒−−=−==

−==−⇒−

+=⇒−=−=

+=

+=+

+=−

+

++=

+=+==

ω

ω

+ R e i L

ic

[ ] [ ]

AIiarctgtsentijj

jjXV

I

VVvarctgtsentvjIjXV

arctgtsenti

jjjj

jjj

jj

jj

jI

jXZZ

II

jj

jXRjXRZ

CXLXjI

REIjIE

LLLL

CL

CccccC

c

c

ceq

eqccc

L

Leq

cLcc

8)Im()0()34(10)(86

21216

12)Im()0()43(20)(;1216

)3

4(20)(

1612)43(4)21(520

222010

212

212

2010

;)(

;21

2)(

1105002

11;2;2010;20;10

2

3

−==−⇒−

+=⇒−=+

==

==−⇒+=⇒+=−=

−+=

+−=+−=+=+

+=−

+

++=

−+=

+=

+=

Ω=⋅⋅

==Ω==+=+=== −

ω

ω

ω

ωω

Per t>0 la soluzione potrà essere valutata come

)()( 2121 tiekekti cp

ttc ++= λλ (*)

Poiché la sollecitazione è costante, l’integrale particolare è nullo

0)( ==dt

dvCti c

cp

Inoltre, trattandosi di un circuito RLC “parallelo”, avremo

βαλ jjjLCRCRC

±=±−=

±−=−

±−= )1(250

44110001

21

21 2

2,1

La (*) potrà essere riscritta come

ccI eqZ

( )

( )

( )

°≡≅−

=≅⇒=

−=−=+=+

−=⋅

−⋅

−=

+−+−=+−−=−+=+=

=−−−=−−−

−=−−+

−+=+−+++==+

+=

−−+

+++++++

1503,228

16;2.3216

28cos11000cos16cos

/11000)12(104116

10210

)0(1)0(1)0(11cos

16)8(1220)0()0(

)0()0(

)0()0()0()0()0(

)(

330

0000000

arctgAAAsen

AAsenA

sAdtdi

vL

iRCdt

divLdt

dvRdt

didtdi

dtdi

dtdisenA

dtdi

AiR

vIi

Rv

iiiiAseni

tsenAeti

c

ccLcLRc

Lc

MLc

LRc

tc

γγ

γγβαγβγα

γβγα

γ

γβα

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

tempo [s]

corre

nte

cond

ensa

tore

[A]

ESERCIZIO N.2 B (*)

Si consideri la rete di fig.2, a riposo per t<0. Valutare la risposta vc(t) all’impulso di tensione e(t)=Φ δ(t) [Φ=2 Vs; R=1 Ω, L=4 mH, C=2 mF]

Fig.2

Non rilevandosi casi patologici, le grandezze di stato possono al più subire una discontinuità limitata a causa dell’impulso. Nello zero – istante di applicazione dell’impulso – il condensatore può essere quindi considerato un “quasi-cortocircuito” e l’induttore un “quasi-aperto”. Saranno impulsive le correnti nel resistore e nel condensatore.

L’impulso della corrente ic vale

∫+

−

Φ==+⇒

Φ=

0

0

1)0()()(RC

dtiC

vtR

ti ccoc δ

L’induttore rimane scarico, in quanto la tensione sullo stesso è pari a quella sul condensatore e quindi limitata.

La soluzione potrà essere valutata come tt

c ekektv 2121)( λλ +=

Inoltre, trattandosi di un circuito RLC “parallelo”, avremo

+ R e C

L vC

+ R e C

vC

iC

βαλ jjjLCRCRC

±=±−=

±−=−

±−= )1(250

44110001

21

21 2

2,1

La (*) potrà essere riscritta come

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-500

0

500

1000

tempo [s]

tens

ione

con

dens

ator

e [V

]

( )

( )( )

( )

°≡≅−

=≅⇒=

−=−=+=+

−=⋅

−=Φ

−=−==+=

=⋅

=Φ

==+

+=

−++

−

15265,219

10;21471000

1900cos500000cos100cos

/5000001042cos

01001022)0(

)(

6200

3

arctgAAsen

AAsenA

sVRCRC

vCi

senAdt

dv

VRC

Asenv

tsenAetv

ccc

c

tc

γγ

γγβαγβγα

γβγα

γ

γβα

XI.8 Prova scritta del 23/01/2006 (corso di Introduzione ai Circuiti) Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime sinusoidale per t<0; sia R1= R2=40 Ω, L=200 mH, ω=100 rad/s, e(t)=EM sen ωt [EM=40 V], i(t)=IM cos ωt [IM=2 A]. Per t>0 sia e(t)= EM [costante] ed i(t)=- IM [costante]. Determinare la tensione sull’induttore vL(t) per t∈(-∞,+∞). Per t<0 possiamo applicare il metodo simbolico. Risulta più opportuno applicare il teorema di Norton per il calcolo della corrente nel condensatore. Avremo

[ ] [ ]

AIiarctgtsentijj

jjXV

I

arctgtsentv

ejj

jjjjj

jXZjXZ

IV

RRRR

ZLX

jIREIjIE

LLLL

LL

L

arctgj

Leq

LeqccL

eqL

cc

21)Im()0()

31(

210)(

21

23

203010

)24

(1010)(

;101030101

20212020202021

;20;20

;21;2;40

)24

(

21

21

1

==−⇒+=⇒+=+−

==

++=

=+−=+

+=+⋅

+=+

⋅=

Ω=+

=Ω==

+=+===

+

ω

πω

ω

π

Per t>0 la soluzione può essere valutata come

)()( 1 tvketv Lpt

L += λ (*)

Poiché la sollecitazione è costante, l’integrale particolare è nullo

0)( ==dtdiLtv L

Lp

Inoltre, trattandosi di un circuito RL, avremo

msHzL

Req 1011002,0

202

=−=−=−=−=λ

τλ

Il valore allo 0+ della tensione può essere calcolato facendo ricorso alla fotografia allo 0+

ccI vL eqZ L

+ R1

e i L vL

i1 iL

i2

R2

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

tempo [s]

tens

ione

indu

ttore

[V]

( ) V

RRR

iiRR

eRiRk

ketv

L

tL

30221

21

2140)0()0()0()0(

)(

21

1

21222 −=

−−+=

+

+−++++

=+=

= λ

+ R e i

i1 i2

R

i

ESERCIZIO N.2 A (*)

Si consideri la rete di fig.2, a riposo per t<0. Valutare la risposta iL(t) all’impulso di tensione e(t)=Φ δ(t) [Φ=5 Vs; R1=5 Ω, R2=5 Ω, L=100 mH, C=8 mF]

Fig.2

Non rilevandosi casi patologici, le grandezze di stato possono al più subire una discontinuità limitata a causa dell’impulso. Nello zero – istante di applicazione dell’impulso – il condensatore può essere quindi considerato un “quasi-cortocircuito” e l’induttore un “quasi-aperto”. Saranno impulsive le correnti nel resistore e nel condensatore.

L’impulso della corrente ic vale

∫+

−

Φ==+⇒

Φ=

0

0 11

1)0()()(CR

dtiC

vtR

ti ccoc δ

L’induttore rimane scarico, in quanto la tensione sullo stesso è pari a quella sul condensatore e quindi limitata.

La soluzione potrà essere valutata come tt

L ekekti 2121)( λλ +=

Inoltre, trattandosi di un circuito RLC “parallelo”, avremo

( ) βαλ jjLCCRCRRR

RRRpp

p ±=±−=−

±−=Ω=

+= 1251

21

21;4,2

2

2,121

21

La (*) potrà essere riscritta come

iC

+ R1 e C vC

+ R1

e C L

iL

R2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-100

-50

0

50

100

150

200

250

tempo [s]

tens

ione

con

dens

ator

e [V

]

( )

( ) ( )( )

°≡=−

=≅⇒=

−=−=+=+

−=⋅

−=Φ

−=−==+=

=⋅⋅

=Φ

==+

+=

−++

−

1354

31

1;2250250

250cos12500cos250cos

/1250010400

5cos

2501085,2

5)0(

)(

6200

3

πγγ

γγβαγβγα

γβγα

γ

γβα

arctgVAAsen

AAsenA

sVCRCR

vCi

senAdt

dv

VCR

Asenv

tsenAetv

pp

ccc

pc

tc

ESERCIZIO N.1 B

Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime sinusoidale per t<0; sia R1=1 Ω, R2=2 Ω, C=2 mF, ω=500 rad/s, e(t)=EM sen ωt [EM=10 V], i(t)=IM cos ωt [IM=10 A]. Per t>0 sia e(t)= EM ed i(t)= -IM [costante]. Determinare l’intensità della corrente ic(t) nel condensatore per t∈(-∞,+∞). Per t<0 possiamo applicare il metodo simbolico. Risulta più opportuno applicare il teorema di Norton per il calcolo della corrente nel condensatore. Avremo

[ ] [ ]

VVvarctgtsentv

jeIjXV

arctgtsenti

ejj

jj

jI

jXZZ

II

RRRRRZ

CXjI

REIjIE

Ccc

arctgj

ccC

c

arctgj

c

ceq

eqccc

peq

ccc

1320)Im()0()

23

4(

13220)(

;13

2010013

220

)23

4(

13220)(

13220

1310020

3221010

32

32

1010

;)(

;32

1105002

11;1010;10;10

23

4

23

4

21

21

31

==−⇒+−=

⇒=+

==−=

++=

=+−

=−

+=−

+=

−+=

Ω=+

==

Ω=⋅⋅

==+=+===

+−

+

−

πω

πω

ω

π

π

ccI

eqZ

+ R1

e i

ic

R2

Per t>0 la soluzione potrà essere valutata come

)()( 11 tiekti cp

tc += λ (*)

Poiché la sollecitazione è costante, l’integrale particolare è nullo

0)( ==dt

dvCti c

cp

Inoltre, trattandosi di un circuito RLC “parallelo”, avremo

( )

A

Rv

RvE

Iiiiik

HzCR

ccMMc

p

1330

131020

13220

1132010

10)0()0(

)0()0(0()0(

750102

32

11

21211

3

−=−−

=

=⋅

−−

+−=+

−+−

+−=+−+++=+=

−=⋅

−=−=−

λ

-10 -5 0 5

x 10-3

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

tempo [s]

corre

nte

cond

ensa

tore

[A]

ESERCIZIO N.2 B (*)

Si consideri la rete di fig.2, a riposo per t<0. Valutare la risposta vc(t) all’impulso di corrente i(t)=Q δ(t) [Q=2 C; R1=0,4 Ω, R2=0,6 Ω, L=4 mH, C=2 mF]

Fig.2

Non rilevandosi casi patologici, le grandezze di stato possono al più subire una discontinuità limitata a causa dell’impulso. Nello zero – istante di applicazione dell’impulso – il condensatore può essere quindi considerato un “quasi-cortocircuito” e l’induttore un “quasi-aperto”. Saranno impulsive le correnti nei resistori e nel condensatore (NB: rispetto all’impulso, i due resistori sono da considerarsi in parallelo).

L’impulso della corrente ic vale

( ) VCRR

QRdtiC

vtRR

QRti ccoc 8001)0()()(0

0 21

2

21

2 =+

==+⇒+

= ∫+

−

δ

L’induttore rimane scarico, in quanto la tensione sullo stesso è pari a quella sul condensatore e quindi limitata.

La soluzione potrà essere valutata come tt

c ekektv 2121)( λλ +=

Inoltre, trattandosi di un circuito RLC “parallelo” (nell’evoluzione libera, i due resistori sono in serie R=R1+R2=1Ω), avremo

βαλ jjjLCRCRC

±=±−=

±−=−

±−= )1(250

44110001

21

21 2

2,1

La (*) potrà essere riscritta come

+ R1 i C

vC

iC

R2

+ R1

i C L

R2

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-200

0

200

400

600

800

1000

tempo [s]

tens

ione

con

dens

ator

e [V

]

( )

( )( )

( )

°≡=−

==⇒=

−=−=+=+

−=+

−=+

−==+=

==++=

++

13543

11;2800800

800cos400000cos800cos

/400000)0(

cos

080)0()(

2221

2

00

πγγ

γγβαγβγα

γβγα

γγβα

arctgAAsen

AAsenA

sVCRR

QRRC

vCi

senAdt

dvVAsenv

tsenAetv

ccc

c

tc

XI.9 Prova scritta del 6/02/2006 (corso di Elettrotecnica Sc Ing. Dei Materiali) ESERCIZIO N.1 A (bozza) Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime sinusoidale; sia R1= R2=50 Ω, L=100 mH, ω=500 rad/s, C=80μF; e(t)=EM sen ωt [EM=40 V]. Determinare

a) la tensione sull’induttore vL(t) per t∈(-∞,+∞) b) la potenza reattiva Qe erogata dal generatore c) a parità di potenza media erogata dal generatore, come si potrebbe procedere perché risulti Qe=0

(rifasamento)? Possiamo applicare il metodo simbolico. Avremo

+ R1

e C L

R2

vL

ie

( )

( ) ( )

( ) ( ) WPPVAjjj

jj

jjE

RZEEIEPIEQ

jRZ

EI

arctgtsentv

jej

j

jRZ

ZEV

jjjR

CjLj

ZC

XLXE

e

M

LCReeeeMMe

LCRe

L

arctgj

LCR

LCRL

LCRcL

6,9548)Re(;2,3

5163Im

516

5)2(1Im16

21Im

50800

501001

2ImImImImsin

21

3254

;)21(58)(

;816582

14050

1501

50

40

150

501

2550

11

1;251;50;40

*

**2*

1

*

1

)21(

1

2

2

2

2

2

2

===−=−=−=

−+

⋅=

=

++

⋅=

++

=

+====

+=+

=

−=

−==+

=+

+

+=

+=

+=

++−=

++−=Ω==Ω===

−

ϕ

ω

ωω

ωω

Poiché risulta Qe<0, possiamo inserire un induttore (rifasamento generale). Se lo si inserisce in parallelo al generatore, il valore dell’induttanza dovrà essere tale che

HQ

ELQL

EQe

Me

ML 5,0

5165002

160022

22

=⋅⋅

=⋅

=⇒−=⋅

=ωω

Osservazione: Potremmo in alternativa operare sul parallelo LC (rifasamento locale); ricordiamo che la condizione Qe=0 corrisponde alla “risonanza” alla pulsazione assegnata. Dev’essere quindi

FCsaràmHLfissatoL

mHLsaràFCCfissato

sCL

µ

µ

ω

4010100

104,100

501080104,80

][104250000

11

3

6**

6

6**

262

**

=⋅⋅

===−

=⋅⋅

===−

⋅===

−

−

−

−

−

La condizione suddetta potrà essere ottenuta o disponendo un altro induttore da 100mH in parallelo ad L oppure disponendo un condensatore da 80 μF in serie a C. L’induttore di rifasamento è di induttanza molto inferiore al caso precedente. (N.B. Vi sono infinite altre possibilità inserendo contemporaneamente un induttore in parallelo ad L ed un condensatore in serie a C). Inoltre, con la soluzione “locale” avremmo una potenza media erogata dal generatore pari a

WRR

EP M 81002

402/ 2

21

2

=⋅

=+

=

inferiore al caso precedente. Di qui la convenienza (a maggior ragione se la “resistenza equivalente R1” del generatore non è trascurabile rispetto ad R2) di operare un rifasamento locale. Questo accade ad esempio nel caso di utenze, nell’ambito di uno stesso impianto, molto lontane dal punto di fornitura.

XI.10 Prova scritta del 20/02/2006 (corso di Introduzione ai Circuiti) ESERCIZIO N.1 A * Fig.1 La rete di fig. 1 è in regime sinusoidale per t<0; sia R1=20 Ω, R2=30 Ω, ω=500 rad/s, C=(1/6) mF; e(t)=EM sen ωt [EM=100 V], io(t)=IM cos ωt [IM=5 A]. Determinare (sempre per t<0)

a) l’intensità di corrente ic(t), b) la potenza complessa erogata dal generatore ideale di corrente.

Per t<0 possiamo applicare il metodo simbolico. Avremo

( )

( ) ( )

VArjIV

PvalecorrentedigeneratoredalerogataPcomplessapotenzaLa

vtsentvjIjXV

ttijjj

jj

jXZZ

II

jIREI

RRRRRZ

Nortonditeoremailapplicando

jj

jj

jXRjXR

ZC

XE

t

ccccc

cceq

eqccc

ccpeq

c

cRCc

1502

~:

0)0(60)(060

cos551

55

125

605

60

55

;55;5

60

2560

1230)12(30;12

1061500

11;100

0

0

0121

21

3

−==

=⇒=⇒+=−=

=⇒=−+

=−

+=−

=

+=+=Ω=+

==

−−

=−−

=−−

=Ω=⋅⋅

===

<

−

ω

ω

ω

R1

e C R2 io

ic

+

ESERCIZIO N.2 A

Partendo dai dati e dai risultati dell’esercizio precedente, si consideri che, per t>0, i generatori hanno le seguenti caratteristiche:

e(t)=EM sen (ωt-π/2) [EM=100 V], io(t)=IM sen ωt [IM=5 A]. Determinare: a) l’intensità di corrente ic(t) per t>0, b) considerate raggiunte le nuove condizioni di regime, la potenza complessa erogata dal

generatore ideale di corrente Per t->∞ possiamo applicare il metodo simbolico. Avremo

( ) ( )

VAr150j2I~V

P:valecorrentedigeneratoredalerogataPcomplessapotenzaLa

)2

(60)(60

551

55

12560

560

55

;55;560

;1210

61500

11;5;100

0

0121

21

30

−==

−=⇒−=−=

=⇒=−−

=−

−=−

=

−=+=Ω=+

=

Ω=⋅⋅

===−=

∞→

−

πω

ω

ω

tsentvjIjXV

tsentijj

jj

jXZZ

II

jIREI

RRRRZ

Nortonditeoremailapplicando

CXIjE

t

cccc

cceq

eqccc

cceq

c

(La potenza complessa non poteva cambiare, dato che i generatori sono variati in fase nello stesso modo) Per t>0 la soluzione può essere valutata come

AR

vi

Rve

iik

HzCR

tiketi

cccpc

pcp

tc

520100)0(

)0()0()0(

)0()0(

50010

6112

11;)()(

20

1

3

1

−=−

=+

−+++−+

=+−+=

−=⋅⋅

−=−=+=−

λλ

ESERCIZIO N.3 A

Si consideri la rete di fig. 1, a riposo per t<0; i generatori abbiano le seguenti caratteristiche:

e(t)=φ δ(t) [φ = 0,02 Vs], io(t)=Q δ(t) [Q=0,5 mC]. Determinare l’intensità di corrente ic(t) per ogni t. L’intensità di corrente nel condensatore è impulsiva nell’origine

AR

vtik

ekti

VC

QRv

ttQR

tAti

p

cc

CRt

tc

c

c

p

43

129)0(

)(

)(

910

61

105,1)0(

)(105,1)()()(

0

0

3

31

3

10

−=−=+

−==

=

=⋅

⋅=

+Φ

=+

⋅=

+

Φ==

+

−

>

−

−

− δδδ

ESERCIZIO N.1 B * Fig.1 La rete di fig. 1 è in regime sinusoidale per t<0; sia R1=20 Ω, R2=30 Ω, L=0.1 H, ω=300 rad/s; e(t)=EM sen ωt [EM=100 V], io(t)=IM cos ωt [IM=5 A]. Determinare (sempre per t<0)

c) la tensione vL(t), d) la potenza complessa assorbita dal generatore ideale di corrente.

ESERCIZIO N.2 B

Partendo dai dati e dai risultati dell’esercizio precedente, si consideri che, per t>0, i generatori hanno le seguenti caratteristiche:

e(t)=EM sen ( ωt-π/2) [EM=100 V], io(t)=IM sen ωt [IM=5 A]. Determinare:

a) la tensione vL(t), per t>0, b) considerate raggiunte le nuove condizioni di regime, la potenza complessa assorbita dal generatore ideale di

corrente

ESERCIZIO N.3 B (*)

Si consideri la rete di fig. 1, a riposo per t<0; i generatori abbiano le seguenti caratteristiche:

e(t)=φ δ(t) [φ = 20 mVs], io(t)=Q δ(t) [Q=0,5 mC]. Determinare la tensione vL(t) per ogni t.

R1

e L R2 io

VL

+

XI.11 Prova scritta del 9/01/2007 (corso di Introduzione ai Circuiti) ESERCIZIO N.1 A Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=60 V; Ig=3 A; R=4 Ω). Si determini la potenza erogata dal generatore di corrente utilizzando il teorema del generatore equivalente. Considerando ad esempio il bipolo equivalente di Norton della rete a monte del generatore di corrente, si nota che l’intensità di corrente di cc vale E/R e la resistenza equivalente vale Req=R/2, per cui la tensione in uscita (conv del generatore) vale

WIVP

VIRERIIRV

ggI

ggcceqg

g90

30)34

60(2)(2

)(

==

=+⋅=+=+=

Ig

R

R

R

R

R

E

+ E +

ESERCIZIO N.2 A

Si consideri la rete di di fig.2 in regime sinusoidale

[e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); i(t)=IM cos ωt (IM=1 A); R=100 Ω; XC=1/ωC=100 Ω; XL=ωL=100 Ω ]

Fig.2 Si valuti la potenza complessa erogata singolarmente dai due generatori.

Il parallelo LC è in risonanza, quindi equivalente ad un circuito aperto. Il generatore di tensione quindi “assorbe” una corrente di intensità i(t). Avremo quindi

[ ]

505022

~

2

~)(2

~50

2)(100

2)~(

2

+−=+=+

==

=−−

=−

=

jRIIEIIREIVP

jjIEP

MMMMMMMiMi

MMe

ESERCIZIO N.3 A (*)

La tensione del generatore nella rete di fig.3, a riposo per t<0, è impulsivo e vale e(t)=Φδ(t). [ Φ=5 Vs ; R1=R2=2 Ω ; C=1 mF ; ; L1=L2=2 mH]

Determinare: a) l’intensità di corrente iL(0+); b) la risposta iL(t)=h(t) (facoltativo).

Fig.3

+

R

C e i

R2

+ C e

L2

iL

L

L1

R1

a) La tensione sul condensatore rimane limitata, quindi l’intensità di corrente nell’induttore (sottoposto alla stessa tensione) resta nulla. (N.B. L’altro induttore si carica) b) per t>0, risulta evidente trattarsi di un circuito RLC parallelo, con R corrispondente al parallelo di R1 ed R2 ed L corrispondente al parallelo dei due induttori . Avremo quindi

( ) ( )

22116

1

0

0 1

0

0000

21

21

33323322,1

105)(11

0)0()(

23

21

101

10101

210

110211

21

21

21

λλδ

λ

λλ

kkLCR

dttRLC

dtiLCL

vLv

dtdi

kkiekekti

jLCRCRC

ccL

tt

+=⋅=Φ

=Φ

====

+==++=

±−=−±

⋅−=−±−=

∫∫+

−

+

−+++

−−−−−

ESERCIZIO N.1 B Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=30 V; Ig=4 A; I0=10 A; R=10 Ω). Si determini la potenza assorbita dal generatore di corrente Io utilizzando il teorema del generatore equivalente. Considerando ad esempio il bipolo equivalente di Norton della rete a monte del generatore di corrente, si calcolano i contributi dei generatori all’intensità di correntedi cortocircuito Icc e la resistenza equivalente Req:

WIVP

VIIRV

RR

RR

RR

R

AI

RR

E

I

I

cceqo

eq

gcc

600

60)103(760)(

760

76

27

3

22

3

22

3

322

1530

222

00

0

0−==

−=−=−=

Ω===+

⋅=

=+=++

=

Ig

R R

R

R

R

E

+

Io

ESERCIZIO N.2 B

Si consideri la rete di di fig.2 in regime sinusoidale

[e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); i(t)=IM cos ωt (IM=1 A); R=100 Ω; XC=1/ωC=100 Ω; XL=ωL=100 Ω ]

Fig.2

Si valutino le potenze reattive assorbite dai singoli bipoli e si verifichi la conservazione. Il parallelo LC è in risonanza, quindi equivalente ad un circuito aperto. Il generatore di tensione quindi “assorbe” una corrente di intensità i(t). Avremo quindi

[ ]

VArX

VQ

VArX

VQ

VArjjIIREIVQ

VArjIEQ

L

iML

c

iMc

MMMMiMi

MMe

100100

100002

100100

100002

502

))(100100(Im2

)~)((Im2

)~(Im

502

)(100Im2

~Im

2

2

===

−=−=−=

=

−+

=

−+=

−=

−=

−

=

=

+

R

C e i L

ESERCIZIO N.3 B (*)

La rete di fig.3 è a riposo per t<0 ed alimentata da un generatore impulsivo i(t)=Qδ(t).

[ Q=2 mC ; R1=1 Ω; R2=2 Ω ; C=1 mF ; L=2 mH ].

Determinare: a) il valore dell’impulso nello zero dell’intensità di corrente ic(t); b) (facoltativo) la risposta ic(t)=h(t) all’impulso

Fig.3

a) L’impulso di corrente si ripartisce nel “parallelo” tra le due resistenze (dovendosi considerare

limitate e quindi trascurabili sia l’intensità di corrente nell’induttore che la tensione sul

condensatore). Abbiamo quindi, in un intorno infinitesimo dello zero, )(21

2 tQRR

Rioc δ

+= .

b) il condensatore si carica perché interessato dalla suddetta corrente impulsiva alla tensione

CQ

RRRvc

21

2)0(+

=+ , l’induttore si carica perché sottoposto ad una tensione impulsiva

LQ

RRRRdtt

RRQRR

LiL

21

210

0 21

21 )(1)0(+

=+

=+ ∫+

−

δ .

Quindi, a partire da questa condizione, si deve valutare l’evoluzione libera

22110

21

21

)0()( 21

kkdtdi

kkiekekti

c

c

ttc

λλ

λλ

+=

+=++=

per valutare i valori iniziali della ic e della sua derivata si possono considerare due schemi resistivi “associati”: il primo è corrispondente alla foto allo 0+ dello schema di fig.3 (istante in cui il genereratore impulsivo eroga intensità di corrente nulla, al condensatore possiamo sostituire un generatore di tensione col valore noto sopra calcolato, all’induttore un generatore di corrente di intensità pari a quella sopra calcolata); il secondo riflette al sistema fondamentale derivato e quindi corrisponde a quello che si ottiene considerando ancora allo 0+ lo schema precedente, in cui tutte le grandezze sono sostituite dalle loro derivate. Per valutare le frequenze naturali λ1 e λ2 si potrà far riferimento al circuito resistivo associato ottenuto sostituendo (per ogni istante) al condensatore un generatore di tensione ed all’induttore un generatore di corrente. La corrente nel condensatore e la tensione sull’induttore (proporzionali, rispettivamente, alla derivata della tensione sul condensatore e della corrente nell’induttore) potranno quindi essere calcolati in funzione di questi generatori fittizi e condurre alla formulazione di un problema algebrico ad autovalori.

C

i R2 L

ic

R1

vc

XI.12 Prova scritta del 23/01/2007 (corso di Introduzione ai Circuiti) ESERCIZIO N.1 A Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=60 V; Ig=4 A; R=6 Ω). Si determini la potenza erogata dal generatore di corrente utilizzando il teorema del generatore equivalente. Considerando ad esempio il bipolo equivalente di Norton della rete a monte del generatore di corrente, si nota che l’intensità di corrente di cc vale

Ig

R

R

R

R

R

E

+ E

+

R

Req

R R

R

R

R

R

Icc

R R

R

R

R

E

+ E

+

R

WIVP

VIRERIIRV

RRR

RR

RR

RR

RRR

RRRRR

ARE

RE

RE

RR

RRR

ERE

RR

REI

ggI

ggcceqg

eq

ecc

g16

4)45

12(25)

56(

125)(

5,2125

75

75

*25

)25(

**

12561

31

53

33

23 2

==

=+−⋅=+−=+−=

Ω==+

=+

+=

+=

=−=

−⋅−=−

−

+=−

−=

Ig Req

Icc Vg

ESERCIZIO N.2 A

Si consideri la rete di di fig.2 in regime sinusoidale

[e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); i(t)=IM cos ωt (IM=1 A); R=100 Ω; XC=1/ωC=100 Ω; XL=ωL=100 Ω ]

Fig.2 Si valuti la potenza complessa erogata singolarmente dai due generatori.

[ ]

( )

VArIX

Q

VArX

VQ

WRIP

jjjIVP

jIE

P

jjjjjjXXjR

jXRjXI

XXjRjXEV

jjjXXjR

jXIXXjR

EI

ecc

L

iL

eR

iMi

eMe

CL

cL

cL

Li

CL

L

cLe

2002

250200

500002

2002/

100502

)(2001002

~0100

22100

2)~(

100100100100100

)100100(100100100100

)()(

)(

02100100

100100

)()(

2

2

2

−=−

=

===

==

+=−+−

==

+===

+−=−+=−

+

=

−+

−+

−+=

+=−=

−+

−+−+

=

+

R C

e i L

ie

vi

ESERCIZIO N.3 A

La tensione del generatore nella rete di fig.3, a riposo per t<0, è impulsivo e vale e(t)=Φδ(t). [ Φ=5 Vs ; R1=R2=2 Ω ; C=1 mF ; ; L1=L2=2 mH]

Determinare: c) l’intensità di corrente iL(0+); d) la risposta iL(t)=h(t) (facoltativo).

Fig.3

a) La tensione sul condensatore rimane limitata, quindi l’intensità di corrente nell’induttore (sottoposto alla stessa tensione) resta nulla. (N.B. L’altro induttore si carica) b) per t>0, risulta evidente trattarsi di un circuito RLC parallelo, con R corrispondente al parallelo di R1 ed R2 ed L corrispondente al parallelo dei due induttori . Avremo quindi

( ) ( )

22116

1

0

0 1

0

0000

21

21

33323322,1

105)(11

0)0()(

23

21

101

10101

2101

10211

21

21

21

λλδ

λ

λλ

kkLCR

dttRLC

dtiLCL

vLv

dtdi

kkiekekti

jLCRCRC

ccL

tt

+=⋅=Φ

=Φ

====

+==++=

±−=−±

⋅−=−±−=

∫∫+

−

+

−+++

−−−−−

R2

+

C e L2

iL

L1

R1

ESERCIZIO N.1 B Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=30 V; Ig=4 A; I0=10 A; R=10 Ω). Si determini la potenza assorbita dal generatore di corrente Io utilizzando il teorema del generatore equivalente. Considerando ad esempio il bipolo equivalente di Norton della rete a monte del generatore di corrente, si calcolano i contributi dei generatori all’intensità di correntedi cortocircuito Icc e la resistenza equivalente Req:

WIVP

VIIRV

RR

RR

RR

R

AI

RR

E

I

I

cceqo

eq

gcc

600

60)103(760)(

760

76

27

3

22

3

22

3

322

1530

222

00

0

0−==

−=−=−=

Ω===+

⋅=

=+=++

=

Ig

R R

R

R

R

E

+

Io

ESERCIZIO N.2 B

Si consideri la rete di di fig.2 in regime sinusoidale

[e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); i(t)=IM cos ωt (IM=1 A); R=100 Ω; XC=1/ωC=100 Ω; XL=ωL=100 Ω ]

Fig.2

Si valutino le potenze reattive assorbite dai singoli bipoli e si verifichi la conservazione. Il parallelo LC è in risonanza, quindi equivalente ad un circuito aperto. Il generatore di tensione quindi “assorbe” una corrente di intensità i(t). Avremo quindi

[ ]

VArX

VQ

VArX

VQ

VArjjIIREIVQ

VArjIEQ

L

iML

c

iMc

MMMMiMi

MMe

100100

100002

100100

100002

502

))(100100(Im2

)~)((Im2

)~(Im

502

)(100Im2

~Im

2

2

===

−=−=−=

=

−+

=

−+=

−=

−=

−

=

=

+

R

C e i L

XI.11 Prova scritta del 23/01/2007 (corso di Introduzione ai Circuiti) ESERCIZIO N.3 B

La rete di fig.3 è a riposo per t<0 ed alimentata da un generatore impulsivo i(t)=Qδ(t).

[ Q=2 mC ; R1=1 Ω; R2=2 Ω ; C=1 mF ; L=2 mH ].

Determinare: a) il valore dell’impulso nello zero dell’intensità di corrente ic(t); c) (facoltativo) la risposta ic(t)=h(t) all’impulso

Fig.3

c) L’impulso di corrente si ripartisce nel “parallelo” tra le due resistenze (dovendosi considerare limitate e quindi trascurabili sia l’intensità di corrente nell’induttore che la tensione sul condensatore). Abbiamo quindi, in un intorno infinitesimo dello

zero, )(21

2 tQRR

Rioc δ

+= .

d) il condensatore si carica perché interessato dalla suddetta corrente impulsiva alla tensione CQ

RRRvc

21

2)0(+

=+ ,

l’induttore si carica perché sottoposto ad una tensione impulsiva LQ

RRRRdtt

RRQRR

LiL

21

210

0 21

21 )(1)0(+

=+

=+ ∫+

−

δ .

Quindi, a partire da questa condizione, si deve valutare l’evoluzione libera

22110

21

21

)0()( 21

kkdtdi

kkiekekti

c

c

ttc

λλ

λλ

+=

+=++=

per valutare i valori iniziali della ic e della sua derivata si possono considerare due schemi resistivi “associati”: il primo è corrispondente alla foto allo 0+ dello schema di fig.3 (istante in cui il genereratore impulsivo eroga intensità di corrente nulla, al condensatore possiamo sostituire un generatore di tensione col valore noto sopra calcolato, all’induttore un generatore di corrente di intensità pari a quella sopra calcolata); il secondo riflette al sistema fondamentale derivato e quindi corrisponde a quello che si ottiene considerando ancora allo 0+ lo schema precedente, in cui tutte le grandezze sono sostituite dalle loro derivate.

C

i R2 L

ic

R1

vc

Per valutare le frequenze naturali λ1 e λ2 si potrà far riferimento al circuito resistivo associato ottenuto sostituendo (per ogni istante) al condensatore un generatore di tensione ed all’induttore un generatore di corrente. La corrente nel condensatore e la tensione sull’induttore (proporzionali, rispettivamente, alla derivata della tensione sul condensatore e della corrente nell’induttore) potranno quindi essere calcolati in funzione di questi generatori fittizi e condurre alla formulazione di un problema algebrico ad autovalori.

XI.13 Prova scritta del 6/02/2007 (corso di Introduzione ai Circuiti) ESERCIZIO N.1 A Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=50 V; Ig=8 A; R=5 Ω). Si determini l’intensità di corrente IAB utilizzando il teorema del generatore equivalente. Considerando il bipolo equivalente di Thévénin della rete a monte dei morsetti AB, si nota che l’intensità di corrente IAB vale VABo/Req. Essendo

AR

VI

VERIERR

RERIERR

RVVVV

RRRRR

eq

ABoAB

ggDACDACABo

eq

2

20)22

(22

0

10222

−==

−=−−+=

+−−++

+=++=

Ω==++=

ESERCIZIO N.2 A

Si consideri la rete di di fig.2 in regime sinusoidale

[e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); i(t)=IM sen (ωt+π/4) (IM=1,41 A); R=100 Ω; XC=1/ωC=100 Ω; XL=ωL=200 Ω ]

Fig.2

+ R C

e i L

ie

B

Re

VABo

+

A

IA

Ig R R

R

R

E

+

R

E

+

IA

B

A

C D

Si valuti la potenza complessa erogata dal generatore ideale di tensione e la potenza

istantanea assorbita dal resistore.

[ ]

+−=

+=−

==

+=

+=

+=

+++

+=

−+

−+

−+=

22cos

22)(

252541100

2)~(

21

1100100100

100100100)1(

100100100

)()(

)(

22 πωtRIRItp

jjIEP

jj

jj

jj

jjjXXjR

XXjIXXjR

EI

MeMeR

eMe

CL

CL

cLe

ESERCIZIO N.3 A

La tensione del generatore nella rete di fig.3, a riposo per t<0, è impulsivo e vale e(t)=Φδ(t). [ Φ=5 Vs ; R1=R2=2 Ω ; C=1 mF ; ; L1= 1 mH]

Determinare la risposta iL(t)=h(t) nell’intervallo di tempo (-∞,+∞).

Fig.3

La tensione sul condensatore subisce, nell’intorno dello zero, un salto limitato dovuto alla corrente

impulsiva nel condensatore VCR

dttRC

vdttiC

v ccc 25001025)(1)0()(1)0( 3

1

0

0 1

0

0

=⋅

=Φ

=Φ

=−+=+ −

+

−

+

−∫∫ δ ,

quindi l’intensità di corrente nell’induttore (sottoposto alla stessa tensione) resta nulla. Per t>0, risulta evidente trattarsi di un circuito RLC parallelo, con R corrispondente al parallelo di R1 ed R2 . Avremo quindi

R2

+

C e L1

iL

R1

iC

vC

( ) ( )

22116

1

0

0 1

0

0000

21

21

33323322,1

105,2)(11

0)0()(

23

21

101

10101

1021

10211

21

21

21

λλδ

λ

λλ

kkLCR

dttRLC

dtiLCL

vLv

dtdi

kkiekekti

jLCRCRC

ccLL

L

ttL

+=⋅=Φ

=Φ

====

+==++=

±−=−

⋅±

⋅−=−±−=

∫∫+

−

+

−+++

−−−−−

ESERCIZIO N.1 B Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=60 V; I0=5 A; R=1 Ω). Si determini la tensione VAB utilizzando il teorema del generatore equivalente. Consideriamo il bipolo equivalente di Thévénin della rete a monte dei morsetti AB Essendo

VRIVV

VERRER

RR

ERRR

R

RR

RRR

ERRR

R

RR

RRR

EV

RRRRRR

eqABoAB

ABo

eq

5

1067

31272

73

75

22

3

25

25252

3

25

2525

3322

0 −=−=

==

⋅=

⋅+

=+

⋅

+

⋅+

++

⋅

+

⋅+

=

Ω==+++=

ESERCIZIO N.2 B

R

+ E

R R

R

R

E

+

Io

R

B

A

B

Re

VAB

A

Io

Si consideri la rete di di fig.2 in regime sinusoidale

[e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); e*(t)=EM sen (ωt-π/2); R=200 Ω; XC=1/ωC=200 Ω; XL=ωL=100 Ω ]

Fig.2

Si valuti la potenza complessa erogata dal generatore di tensione e*; si valuti la potenza istantanea assorbita dall’induttore L. L’intensità di corrente erogata dal generatore e* vale

( )( )

( )( )

( )

−=

−=

+−=−−⋅−

==

+==⇒+−

=+

−=+

−=

=−+

+−+

−=

−

−−

−+

+

−−

+=

−=

=

22cos25

22cos

2)(

25254

)1(1002

)~(

)43sin(

22

21

11

200200200

)(

100100

2*

**

*

***

*

*

πωπω

πω

ttIXtp

jjjIEP

ttijjj

XXjRXXjXE

XXjRXXjXRE

jXjXjX

jXjXXXR

E

jXRjXRjX

EI

jEE

MeLL

eMe

e

cLLc

c

cLLc

c

cL

c

cL

Lc

c

cL

e

ESERCIZIO N.3 B

La rete di fig.3 è a riposo per t<0 ed alimentata da un generatore impulsivo i(t)=Qδ(t).

[ Q=2 mC ; R1=2 Ω; C=1 mF ; L=2 mH ].

Determinare la risposta ic(t)=h(t) all’impulso nell’intervallo di tempo (-∞,+∞).

Fig.3

C i

L

ic

R1

vc

+ R

C e e*

L

+

La risposta richiesta vale, in generale, ( )

>+⋅

<=

0)(

00

2121 tperekek

zerodelloattornotAtper

titt

cλλ

δ

Non potendo essere l’induttore interessato da correnti impulsive (non sarebbe bilanciabile la tensione impulsiva del secondo ordine ai suoi capi), si riconosce immediatamente che A=Q. La tensione sul condensatore subisce, nell’intorno dello zero, un salto limitato dovuto alla corrente impulsiva nel condensatore VdttQ

Cvdtti

Cv ccc 2

10102)(1)0()(1)0( 3

30

0

0

0

=⋅

==−+=+ −

−+

−

+

−∫∫ δ , quindi l’intensità di

corrente nell’induttore [sottoposto nell’intorno dello zero alla tensione impulsiva )(1 tQRvL δ≅ ]

subisce un salto pari a ALQRdttQR

Lidttv

Li LLL 2

1021022)(1)0()(1)0( 3

31

0

01

0

0

=⋅⋅⋅

===−+=+ −

−+

−

+

−∫∫ δ .

Per t>0, risulta evidente trattarsi di un circuito RLC serie . Avremo quindi

( )

2121

12

2211][1000

21

210

333233

2

2,1

2;22

242)0()0(

2)0()0(

21

21

101

101021

1021

102221

2221

kkk

kkiRvLv

dtdi

dtdi

kkii

ekeki

jLCL

RL

R

sAcc

LLc

Lc

tttc

−−=−−

=

+=−=−=+++==−=

+=−=+−=+

+=

±−=

⋅−

⋅±

⋅⋅−=−

±−=

+++

>

−−−−−

λλλ

λλ

λ

λλ

XI.14 Prova scritta del 4/07/2007 (corso di Introduzione ai Circuiti) ESERCIZIO N.1 A Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1, in regime stazionario (E=E*=50 V; Ig=8 A;R=5 Ω). Si determini

a) la potenza assorbita dal generatore E* utilizzando il teorema del generatore equivalente; b) per quali valori di E* (lasciando immutati i valori di E, R, Ig) tale potenza risulta nulla.

Considerando il bipolo equivalente di Thévénin della rete a monte dei morsetti AB, si nota che l’intensità di corrente IAB vale (VABo-E*)/Req. Essendo

Ig

R R

R

R

E

+

R

E*

+

B

A

Req

VABo

+

A

IAB

E* +

B

+

B

A

Ig

R R

R

R

E

R

+ VABo -

C

D

AR

EVI

VRIERIERR

RVVVV

RRRRR

eq

ABoAB

ggDBCDACABo

eq

5,4*

52025)2

(22

0

10222

−=−

=

=−=−+=

−++

+=++=

Ω==++=

la potenza assorbita da E* vale WIEP ABE 5,22** −==

Al variare di E*, tale potenza risulta nulla se E*=0 oppure se E*=VABo=5V, essendo in tal caso IAB=0. ESERCIZIO N.2 A

Si consideri la rete di di fig.2, in regime sinusoidale per t<0 [e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); i(t)=IM sen (ωt+π/2) (IM=1 A); R=100 Ω; XC=1/ωC=100 Ω; XL=ωL=200 Ω ; ω=100 rad/s ].

Fig.2

Per t>0 il generatore di tensione è spento, l’intensità di corrente erogata dal generatore di corrente è costante: i(t)=IM .

Determinare ie(t) nell’intervallo di tempo (-∞,+∞).

L’intensità di corrente i(t) per t<0 si può determinare con il metodo simbolico

+ R

C

e

i L

ie

- vc

+

iL

- vc

+

( ) )4

3sin(223

)1(23

100100200100

)()(

)(

100)(

2

πω

π

+=⇒

+−=+−−

=

−+

+−+

−=

==→

=→

tti

jjXXjR

jXIXXjR

EI

jeIti

Ete

e

cL

L

cLe

j

Da tali espressioni si ottiene anche che

( ) ( )

2)0(21)1(

150)4

sin(21500)4

sin(2150

=−→+−=−−=−=

==−⇒+=⇒−=

LeL

cccc

ijjjIII

VvttvIjXV ππω

Per t>0, la grandezza in esame evolve secondo una legge del tipo

( ) )(2121 tiekekti p

tte ++= λλ

Essendo il forzamento stazionario, il termine particolare è costante; tale costante è nulla, trattandosi di intensità di corrente interessante un condensatore. Le radici della omogenea caratteristica sono quelle di un circuito RLC serie (come si può notare spegnendo i generatori). Quindi

( )t

LCLR

LRt

LCLR

LR

e ekekti

−+−

−−−

+=1

422

142

1

2

2

2

2

Dall'equazione al nodo, scritta allo 0+, si ottengono le condizioni iniziali ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )L

RivL

viikki

iikki

ecLLe

Le

)0(00000'0

000

'2211

'

21

+++−=

+−=+−+=+=+

+−+=+=+

λλ

Nel nostro caso

12

12

2

2

2

42

2

1

72525

7252541008

410025

1021

4100

4100

−

−−

+−=

−−=⋅

−−−=⋅

−−−=

sj

sj

λ

λ

In questo caso la soluzione si presenta oscillatoria smorzata; possono essere trovate due

costanti A e Φ nella forma

( )

Φ+=

−t

LCAeti

tL

R

e1sin2

(cognome)....................... (nome)..................... …./………………………. ( ultima matricola posseduta)

ESERCIZIO N.1 B Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=70 V; I0=5 A; R=7 Ω).

a) Si determini l’intensità di corrente IAB utilizzando il teorema del generatore equivalente. b) Si valuti se, fissati come sopra E ed R, esistono valori di I0 per cui IAB risulta nulla.

Considerando il bipolo equivalente di Thévénin della rete a monte dei morsetti AB, si nota che l’intensità di corrente IAB vale VABo/Req. Essendo

R R

R

R

R

E

+ Io

R B

A

IAB

IAB

Re

VABo

+

A

B

R R

R

R

R

E

+ Io

R B

A

- VABo +

C

E

D

AR

VI

VEIRR

RR

RRR

RR

ERIRRVRIVVV

RRR

RRRRRRRR

eq

ABoAB

ooDEoCBACABo

eqeq

25,31245

45103573

37

34

34

3

3

127

12

27

25

//)22

(

===

=+=

+=

+⋅

⋅

+=+=+=

Ω==+

=⇒⊕

⊕⇒

Al variare di E*, tale intensità di corrente risulta nulla se VABo=0, quindi Io=-E/49=-10/7 A.

ESERCIZIO N.2 B

Si consideri la rete di di fig.2, in regime sinusoidale per t<0.

[e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); e*(t)=E*M sen (ωt-π/2) ; (E*M=50V) ; R=200 Ω; XC=1/ωC=200 Ω; XL=ωL=100 Ω ; ω=100 rad/s]

Per t>0 il generatore e* si spegne ed e(t) diventa costante e pari a EM(=100 V)

Fig.2

Determinare i*(t) nell’intervallo di tempo (-∞,+∞).

L’intensità di corrente i*(t) per t<0 si può determinare con il metodo simbolico

+

R

C e e*

L

+ i*(t)

( ) ( )

( )

( ) Aitti

ejj

jjjj

jjj

XXjRXXjXjXEjXRE

jXjXXX

R

E

jXRRjX

jX

EI

jeEte

Ete

j

cLcL

cLc

cL

Lc

c

cL

j

41)0(*)

43sin(

42*

221

221

22)1(

)100(200100200)100(10020020050

)(

5050)(*

100)(

43

***

2*

−=−⇒−=⇒

=−−

=−

+−−=

−⋅+⋅−⋅−−⋅−

=

=−+

−−−=

−+

−

−−

+=

−==→

=→

−

−

πω

π

Da tali espressioni si ottiene anche che

( ) ( ) Vvttvjjjjj

jjIjXEV ccLc 250)4

3sin(2252525)1(25501

5050* * −=−⇒−=⇒−−=++−=−

+−=−=πω

Per t>0, la grandezza in esame evolve secondo una legge del tipo

( ) )(* 2121 tiekekti p

tt ++= λλ

Essendo il forzamento stazionario, il termine particolare è costante; tale costante è pari a EM/R. Le radici della omogenea caratteristica sono quelle di un circuito RLC parallelo (come si può notare spegnendo i generatori). Quindi

( )R

Eekekti Mt

LCCRRCt

LCCRRC ++=

−+−

−−−

14

12

1

2

14

12

1

1

2222

*

Dalla continuità di i*(t) e dall'equazione alla maglia di destra, scritta allo 0+, si ottengono le due condizioni iniziali

( ) ( )

( ) ( ) ( ) sAL

veL

vkki

AiR

Ekki

cL

M

/250)0(*00

410*0*

2211*'

21

=+−+

=+

=+=+

−=−=++=+

λλ

XI.15 Prova scritta del 12/09/2007 (corso di Introduzione ai Circuiti) ESERCIZIO N.1 A Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=E*=50 V; Ig=8 A;R=RAB=5 Ω). Si determini la potenza assorbita dal resistore RAB utilizzando il teorema del generatore equivalente. Considerando il bipolo equivalente di Thévénin della rete a monte dei morsetti AB, si nota che l’intensità di corrente IAB vale VABo/(Req+RAB). Essendo

WIRP

ARV

I

VIR

RI

ERR

RERR

RVVVV

RRRRR

ABAB

eqeq

ABoAB

gABAB

gIgEEABo

eq

40

2

20)2

(2

*

10222

2

*

==

==

==⋅

+

+−+

+=++=

Ω==++=

ESERCIZIO N.2 A

Ig R R

R

R

E

+

RAB

E*

+

B

A

R

B

Req

VABo

+

A IAB

RAB

Si consideri la rete di di fig.2, in regime sinusoidale.

[e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); i(t)=IM sen (ωt+π/4) (IM=2 A); R=100 Ω; XC=1/ωC=200 Ω; XL=ωL=100 Ω ; ω=100 rad/s ]

Fig.2

Determinare vc(t) nell’intervallo di tempo (-∞,+∞).

( ) ( )πω −=−=−=

+=−−

=−

−+

−=

−+

−+

−+=

tsentvjIjXV

jjj

jj

jXXjRjXI

XXjREI

c

cc

CL

L

cLe

200200

01100100100100

100100100

100100100

)()(

)(

+

R

C

e

i L vc

ic

ESERCIZIO N.1 B Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=50 V; I0=5 A; R=2 Ω). Si determini la tensione VAB utilizzando il teorema del generatore equivalente. Considerando il bipolo equivalente di Norton della rete a monte dei morsetti AB, si nota chela tensione tra A e B vale VAB=Icc Req. Essendo

VRIV

AIEIRRR

EI

R

RRR

R

eqccAb

ggcc

eq

135

1553

32

929

5211

1

==

=+=+

+=

Ω==++

=

R

R

R

R

R

E

+ Io

R

B

A

B

Req

Icc

A

ESERCIZIO N.2 B

Si consideri la rete di di fig.2 in regime sinusoidale.

[e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); e*(t)=EM sen (ωt-π/2); R=200 Ω; XC=1/ωC=200 Ω; XL=ωL=100 Ω ; ω=100 rad/s]. Fig.2

Determinare i*(t) nell’intervallo di tempo (-∞,+∞).

( ) )812sin(

13200

8200100

3426200400200300

23200

2100

23

1002100

21

*

2

112*

11121

121

*111

1

1111

100100

*

arctgarctgttvj

j

jjjj

jj

jj

jj

RXj

XX

E

XXXXjR

E

Xj

RjX

E

XXXXj

RR

E

jXRjXR

jX

E

jXjXRjXjXR

R

EV

jEE

c

L

c

L

cL

Lc

cL

cL

Lc

cc

cc

L

ccL

ccL

c

−−=⇒+−

=

=−++

−−+=

+−

+−

=+

−+

−=

+++

−−

=

=+

+

++

−−

=

−

−

++

−+

−+

+=

−=

=

ω

+

R

C e e*

L

+ i*(t)

R

XI.16 Prova scritta del 9/01/2008 (corso di Introduzione ai Circuiti) ESERCIZIO N.1 A Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=10 V; I1=2 A; I2=4 A; R=2 Ω).

a) Si determini la potenza erogata dal generatore ideale E (si consiglia l’impiego del generatore equivalente). b) (facoltativo) Si verifichi la conservazione delle potenze

La potenza erogata dal generatore E vale EE EIP = . Per ricavare quest’ultima intensità di corrente si può far riferimento al teorema di Norton

eq

eqcc

eqE RR

RI

RREI

++

+=

ove ( )( ) Ω==

+++

=34

32 R

RRRRRRReq

AIIRR

RIIIcc 521

212 −=−−=+

−−=

Quindi

( )A

RRIRE

RRR

IRR

EIeq

cceq

eq

eqcc

eqE 1

102030

342

53410

=−

=+

−+=

+

+=

++

+=

WEIP EE 10== Si ricava inoltre

( ) WIVPWIVPVRIV

AIIIIIAIIIIAR

VI

VRIEV

ABIACIRaAC

RcbERaRcERbAB

Rc

EAB

32;12632

31214414

8210

21

212

21====⇒=−−=−=

−=−−=+−−−=⇒=−+=−+=⇒==

=−=−=

La potenza erogata dai generatori complessivamente vale 54W

Req

Icc R

IE

R

R

I2 R

I1 R

E

+

A

B

IE

IRa

IRb

IRc C

La potenza dissipata nei resistori vale

( ) ( ) ( ) ( )[ ] WIIIIRP RcRbRaER 5441312 22222222 =+−+−+=+++= ESERCIZIO 2A

Si consideri la rete di di fig.2, in regime sinusoidale per t<0:

[e(t)=EM cos ωt (EM=10 V); i(t)=IM sen ωt (IM=1 A); R=10 Ω; XC=1/ωC=10 Ω; XL=ωL=20 Ω; ω=100 rad/s]. Per t>0 il generatore di corrente eroga una intensità di corrente pari a i(t)=IM, il generatore di tensione eroga una tensione pari a e(t)=-EM. Calcolare la tensione vc(t) sul condensatore nell’intervallo (-∞,+∞)

Fig.2 Per t<0 adoperiamo il metodo simbolico

[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] [ ]

( )

( )( )[ ] ( )[ ]

Aii

jjj

jjXXjR

jXRIEXXjR

jXRI

XXjREI

Vvvarctgttv

jjejj

jjj

jjjj

XXjRjXRIEjX

jXXXjR

jXRIXXjR

jXEV

jjIIVjjEE

LL

cL

c

cL

c

cLL

ccc

arctgj

cL

Lcc

cL

L

cL

cc

MM

51)0()0(

52

21

1020101010

)(22)(2

6)0()0()21

43(sin40

625

30105210

21010

21010

102020101010

)(22)(2

010;10

)21

43(

−=+=−⇒

−=

+=

+−+

=−+

−+=

−+−

+−+

=

=+=−⇒

−+=⇒

+−=+−

==++−

=++

=+

+−−=

=−++−−

=−−−+

++

−+−

=

+=+===

−

πω

π

per t>0 si avrà ( ) )(21

21 tvekektv cptt

c ++= λλ

dove

( ) ( )

( )

( ) ( ) sVC

iiC

ikkv

VkkvVERItv

jLCL

RLR

Lcc

c

MMcp

/1200001,0

151

)0()0(00

6)20(0

201010)()(

155055122

2211'

21

22

2,1

−=−−

=+−+

=+

=+=+

=−++=+

−=−−=−+−=

−=−±−=−

±−=

λλ

λ

+

R

L

e i R

+ vc -

XI.17 Prova scritta del 20/02/2008 (corso di Introduzione ai Circuiti) ESERCIZIO N.1 A Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=20 V; I1=1 A; RE=R2=R4=6Ω; R1=R3=2Ω).

c) Si determini la potenza erogatata dal generatore di corrente I1 (si consiglia l’impiego del generatore equivalente o il metodo dei potenziali nodali).

d) (facoltativo) verificare che la potenza erogata dai generatori sia complessivamente pari alla potenza dissipata nei resistori.

a) La potenza erogata dal generatore di corrente vale P=VAB I1 – -impiego del teorema di Norton:

( )

( )( )( )

WPVVAI

RRRRR

RRRREI

R

RRRRRRRRRR

R

RRRRRRIIRV

ABcc

Ecc

eq

E

Eeq

Eeq

cceqAB

932

9321

35

34

35

3660

323

566

2032

3

21

61

61

16

20//

//////

34

222)22(2

)]////([)]////([

)]////(//[

423

42

432

4231

4231

4231

1

=−=

+===

++=

+

+++

=

++=

Ω=+++

=

=+++⋅

=

+=

+=

b) le grandezze nei vari rami valgono

( )

=⇒−=⇒−=−=−=+=

=⇒−=

−=−=

=⇒==

2233

31133

111

243248

81496

813922

932

81392

914

91612

81/10249/16/

RABBDABAD

RR

RABR

PIIRVVVV

WPIIRI

WPRVI

A

R3

RE

E

+

I1 R4 R2

B

R1

Req

Icc

A

B

I1

C

D

ESERCIZIO N.2 A

Si consideri la rete di di fig.2, in regime sinusoidale per t<0:

[e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); i(t)=IM sen (ωt+π/4) (IM=2 A); R=100 Ω; XC=1/ωC=100 Ω; XL1=ωL1=200 Ω; ω=100 rad/s]. Per t>0 il generatore di tensione diventa costante e pari a e(t)=EM , il generatore di corrente eroga invece una intensità di corrente sinusoidale pari a i(t)=IM cos (ωt+π/4) . Calcolare la tensione vL(t) sull’induttore nell’intervallo (-∞,+∞)

Fig.2

+

R

L

e i

C

+ vL -

(cognome)....................... (nome)..................... …../………………………. (.matricola)

ESERCIZIO N.1 B Fig.1 Si consideri la rete di fig. 1 in regime stazionario (E=10 V; I1=5 A; R=1 Ω).

e) Si determini la potenza erogata dal generatore di corrente I1 (si consiglia l’impiego del generatore equivalente o il metodo delle correnti di maglia).

f) (facoltativo) verificare il principio di conservazione delle potenze erogate. ESERCIZIO N.2 B

Si consideri la rete di di fig.2, in regime sinusoidale per t<0.

[e(t)=EM sen ωt (EM=100 V); i(t)=IM cos ωt ;( IM =1 A); R=100 Ω; XC=1/ωC=200 Ω; XL=ωL=100 Ω ; ω=100 rad/s ]. Fig.2

Per t>0 il generatore di tensione è costante e pari a e(t)=EM , il generatore di corrente eroga una corrente di intensità pari a i(t)=IM sen ωt . Calcolare l’intensità di corrente iC(t) nel condensatore nell’intervallo (-∞,+∞)

R

+ R

C

e

i

L

iC

E

R1

R2

RE

+

I1

R3

XVI.1 – Autotest del 15/10/2009 Copia personale dell’ALLIEVO…………………………………...……………matricola……………. ESERCIZIO N.1 Considerati i riferimenti per tensioni e correnti in fig.1, si completi il sistema fondamentale sottostante, inserendo nelle parentesi il coefficiente opportuno (+1,-1,0). 1) ( )Ie+ ( )Ic+ ( )Id =0 2) ( )Ib+ ( )If+ ( )Id=0 3) ( )If+( )Ic+ ( )Ia=0 1231) ( )Vd+( )Vf+( )Vc=0 1341) ( )Vc+( )Va+( )Ve=0 2342) ( )Vf+( )Va+( )Vb=0 d) Vd=( )RdId f) Vf=( )RfIf a) Ia=( )Ja c) Vc=( )Ec+( )RcIc e) Ve=( )ReIe b) Ib=( )Jb ESERCIZIO N.2 Costrure la caratteristica grafica V-I del bipolo disegnato in fig.2 a) a partire dalle caratteristiche dei singoli bipoli b) applicando il teorema di Thévénin c) applicando il teorema di Norton ESERCIZIO N.3 Considerato lo schema di fig.3 valutare quanto segue: - la potenza assobita da Ru =4Ω ponendo J1 =1 A ed E3=2V. - se sie possibile individuare un insieme di valori di J1 ed E3 in modo che la potenza assorbita da Ru sia nulla.

XVI.19 – Autotest del 30 ottobre 2009

ESERCIZIO N.1 – Metodo simbolico

Impostata la corrispondenza

( ) yxMMj

MM jAAsenAjAeAAtsenAta +=+==⇔+= αααω α cos)(

determinare i valori complessi (in forma polare ed in forma cartesiana) corrispondenti alle grandezze sinusoidali appresso indicate:

.....................................................2

350)(

.....................................................2

cos50)(

.....................................................23

50)(

.....................................................2

2100)(

.....................................................2

50)(

=⇔

+=

=⇔

+=

=⇔

++=

=⇔

−=

=⇔

+=

Atsenta

Atta

Atsenta

Atsenta

Atsenta

πω

πω

ππω

πω

πω

e le grandezze sinusoidali corrispondenti ai valori complessi (fasori)

....................................................)(22

3

....................................................)(22

3

....................................................)(3

....................................................)(2....................................................)(22

....................................................)(22....................................................)(22

=⇔+−−

=

=⇔−−

=

=⇔−=

=⇔−=

=⇔+−=

=⇔−−=

=⇔−=

taj

jA

tajjA

tajA

tajAtajA

tajAtajA

ESERCIZIO n.2 –Teorema del generatore equivalente (metodo simbolico)

Data la rete

mFCHLR

sradAItsenIti

sradAItsenIti

sradVEtsenEte

MM

MM

MM

10;01,0;2

/100;4

3;1)()(

/100;4

;1)()(

/100;4

;10)()(

1

22222

11111

==Ω=

===+=

===+=

=−==+=

ωπααω

ωπααω

ωπααω

-) determinare il bipolo di Thévénin e quello di Norton equivalente ai morsetti A-B; -) determinare la potenza istantanea e media assorbita dal resistore Ru=5Ω dopo averlo inserito a valle dei morsetti A-B

j2

R1

e1

+

j1

A

B

C

L

Ru