MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ E DELLARICERCA

Direzione Generale per il Coordinamento e lo Sviluppo della ricerca PROGETTO DI RICERCA - MODELLO A

BANDO FIRB - PROGRAMMA "FUTURO IN RICERCA"

Anno 2012 - Protocollo: RBFR12W1AQ

LINEA D'INTERVENTO 1

1 - Titolo del Progetto di Ricerca

Italiano

Geometria Differenziale e Teoria Geometrica delle Funzioni

IngleseDifferential Geometry and Geometric Function Theory

2 - Durata del Progetto di Ricerca

48 mesi

3 - Coordinatore scientifico della ricerca (Principal Investigator)

STOPPATO Caterina STPCRN82S54D612Y (cognome) (nome) (codice fiscale) Dottore di ricerca 14/11/1982 (qualifica) (data di nascita) Istituto Nazionale di Alta Matematica "Francesco Severi"

Istituzione dove sarà svolta l'attività di ricerca 3334896986 stoppato@math.unifi.it (telefono) (fax) (e-mail)

4 - Abstract del Progetto di Ricerca

Italiano

Negli ultimi due secoli, la nozione di olomorfia ha dato origine a un’area di ricerca estremamentericca e ha lasciato il segno in numerosi campi della matematica. Tra questi i sistemi dinamici e lageometria differenziale occupano un posto di rilievo.Questo indescrivibile successo ha incoraggiato la ricerca di costruzioni ipercomplesse cherispecchiassero alcune delle preziose proprietà garantite dall’olomorfia. Ciò è avvenuto tanto inteoria geometrica delle funzioni, con l’introduzione dell’analisi ipercomplessa, quanto ingeometria differenziale, con lo studio delle varietà hyperkähler e quaternion-Kähler.Si è iniziato a individuare punti di contatto tra la teoria delle funzioni ipercomplesse e lageometria differenziale complessa, e questo incoraggia esperti di ambo i settori a unire i proprisforzi. Sono possibili ricadute anche nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria dellerappresentazioni. Proprio per questo il progetto coinvolge esperti in analisi ipercomplessa,dinamica olomorfa e teoria delle rappresentazioni in ambito complesso e reale, nonché studiosidi varietà complesse e di varietà con strutture speciali.

Le ricerche proposte si concentreranno su:

1) TEORIA DELLE FUNZIONI S-REGOLARI (SLICE REGULAR)2) DINAMICA OLOMORFA LOCALE DISCRETA3) INTERAZIONE TRA GEOMETRIA E TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI4) ANALISI SU VARIETÀ COMPLESSE E SU VARIETÀ CON STRUTTURE SPECIALI

Questi quattro rami corrispondono all’incirca alle quattro unità di cui il progetto si compone.

In breve, la teoria delle funzioni s-regolari è stata introdotta di recente nell’ambito dell’analisiipercomplessa e ha già dimostrato le sue buone proprietà soprattutto in una variabilequaternionica. Ricorda infatti da vicino l’olomorfia, ma dimostra tutte le peculiarità dell’ambitonon commutativo. Oltre ad acquisire una piena padronanza della teoria anche in ambito Clifforde su altre algebre alternative reali, ci si propone di applicarla alla costruzione di nuove versionidel calcolo funzionale e alla risoluzione stimolanti problemi geometrici in dimensione quattro. Traquesti vi sono la comprensione della geometria intrinseca della palla unitaria quaternionica, lostudio della dinamica in dimensione quattro, nonché la costruzione e la classificazione distrutture ortogonali complesse su una classe di domini nel 4-spazio euclideo. Quest’ultimo è unproblema aperto studiato da esperti in geometria differenziale complessa già dall’inizio degli anni’90.

Negli ultimi cinquant'anni i Sistemi Dinamici sono diventati una delle aree di ricerca più attive inmatematica, con innumerevoli applicazioni anche al di fuori di essa; e al suo interno la DinamicaOlomorfa in una e più variabili occupa una posizione rilevante. Dei due principali aspetti delladinamica, quello locale e quello globale, strettamente legati fra loro, lo studio locale in piùvariabili complesse è ben lungi dall'essere completamente sviluppato: a differenza di quantoaccade nel caso unidimensionale, varie questioni naturali rimangono aperte. Ci si propone distudiare la dinamica locale discreta in un intorno di un punto fisso in più variabili complesse, e inparticolare la caratterizzazione dell'insieme stabile e la classificazione a meno di un'opportunarelazione di coniugio. Un'ulteriore prova della rilevanza delle problematiche che si intendeaffrontare sarà l'applicazione dei risultati ottenuti e delle tecniche introdotte anche a problemi ditipo globale, relativi alla dinamica, alla teoria geometrica delle funzioni e alla geometriadifferenziale complessa.

La teoria delle rappresentazioni e la geometria hanno produttive interazioni con molte

applicazioni alla Fisica. Gli spazi omogenei e i loro gruppi di simmetria sono temi di notevoleinteresse scientifico. Le proprietà analitiche e geometriche degli spazi omogenei sono inrelazione con la teoria delle rappresentazioni dei corrispondenti gruppi di simmetria. In particolare l'attività di ricerca del progetto tratterà il metodo delle orbite. Le orbite coaggiunte diun gruppo compatto semisemplice K sono le orbite della rappresentazione di isotropia di G/K,dove G è il complessificato di K. Tale rappresentazione è polare. In generale, le rappresentazionipolari sono, a meno di equivalenza, tutte e sole le rappresentazioni di isotropia di uno spaziosimmetrico di tipo non compatto. Questi spazi possono essere ottenuti come G/K, dove G è ungruppo semisemplice reale non compatto e K un compatto massimale di G. Nostro obiettivo èquello di estendere i risultati dimostrati sugli orbitopi coaggiunti agli orbitopi polari. I primi sonoinviluppi convessi di orbite coaggiunte mentre gli orbitopi polari sono inviluppi convessi di orbitedi rappresentazioni polari.

Un altro tema che sarà affrontato nell’ambito del progetto è lo studio dell’equazione di Calabi-Yau nelle 4-varietà simplettiche. Tale equazione è legata a una generalizzazione dellacongettura di Calabi la cui conferma implicherebbe nuovi importanti sviluppi in geometriasimplettica. Ci si propone di ottenere nuovi risultati in alcuni casi particolari e di generalizzarel’equazione ad altre G-strutture con o senza torsione. In particolare si studierà il problema dicostruire nuovi esempi di varietà G2 e Spin(7) tramite lo studio di opportuni sistemi ellittici diequazioni alle derivate parziali. Si studieranno inoltre flussi parabolici in varietà complesse e in spazi con strutture speciali. Siaffronterà il problema dell’esistenza di strutture Hermitian-symplectic in varietà non kählerianetramite il flusso della forma di Bismut e si utilizzerà il flusso del Laplaciano per far evolverestrutture SU(n). Infine, alcuni partecipanti al progetto si dedicheranno a varietà simplettiche, Kähler e quaternion-Kähler, studiando l’esistenza di metriche di Kähler estremali e di solitoni di Ricci su particolariclassi di varietà di Kähler dotate di molte simmetrie.

IngleseDuring the last two centuries, the notion of holomorphy has given rise to an incredibly richresearch area, and it has played a vital role in many fields of mathematics. Among these fieldsdynamical systems and differential geometry occupy a notable position.This indescribable success has encouraged the search for hypercomplex setups enjoying someof the valuable properties granted by holomorphy. This search has been performed both ingeometric function theory, with the introduction of hypercomplex analysis, and in differentialgeometry, with the study of hyperkähler and quaternion-Kähler manifolds.Contacts between the hypercomplex function theory and complex differential geometry arebeginning to appear, and they encourage experts in these areas to join their efforts. Spin-offs indynamical systems and representation theory are also possible. To this end, the present projectinvolves scholars devoted to hypercomplex analysis, holomorphic dynamics, complex and realrepresentation theory, as well as to complex manifolds and manifolds with special structures.

Specifically, the research activities planned are concerned with:

1) THEORY OF SLICE REGULAR FUNCTIONS2) DISCRETE LOCAL HOLOMORPHIC DYNAMICS3) INTERACTIONS BETWEEN GEOMETRY AND REPRESENTATION THEORY4) ANALYSIS ON COMPLEX MANIFOLDS AND ON MANIFOLDS WITH SPECIALSTRUCTURES

These branches approximately correspond to the four units comprised in the project.

In short, the theory of slice regular functions has been recently introduced in hypercomplexanalysis, but it has already shown interesting features especially in the case of one quaternionic

variable. It significantly resembles the theory of holomorphic functions, but its peculiarities revealthe richness of the non-commutative context. The aim is not only to master slice regularity evenon Clifford algebras and on other real alternative algebras; but also to apply it to the constructionof new versions of functional calculus and to challenging geometric problems in dimension four.These include understanding the intrinsic geometry of the quaternionic unit ball, the study ofdynamics in dimension four and the construction and classification of orthogonal complexstructures on certain domains in the Euclidean 4-space. Experts in complex differential geometrystudy this last problem since the early 90’s.

In the last fifty years Dynamical Systems have become one of the more active research areas inMathematics, with numberless applications even in other fields. Within this area, HolomorphicDynamics in one and several variables occupies a notable position. Among the two strictly linkedaspects of dynamics, local and global, the study of the local holomorphic dynamics in severalcomplex variables is not yet as fully developed as the global theory, and several naturalquestions are still open. We will study discrete local dynamics in a neighborhood of a fixed pointin several complex variables, and in particular the characterization of the stable set and theclassification under a suitable conjugation relation. As a further indication of the importance ofthe issues we intend to face, we point out that the results and the techniques introduced will alsobe applied to global problems, regarding dynamics, geometric function theory, and complexdifferential geometry.

Representation theory and geometry have a fruitful interaction, with many applications toPhysics. Homogeneous spaces and their symmetry groups are central objects of interest. Thegeometric and analytic properties of homogeneous spaces relate the structure to therepresentation theory of the corresponding groups. Specifically, the research projected concerns the orbit method. Coadjoint orbits of a compactsemisimple Lie group K are orbits of the isotropy representation of G/K, where G is thecomplexification of K. This representation is polar. The polar representations are orbit equivalentto the isotropy representations of non-compact type symmetric spaces. These spaces can beobtained as G/K, where G is a real semisimple non-compact Lie group and K is a maximalcompact connected subgroup of G. Hence, we intend to generalize the results proved forcoadjoint orbitopes to polar orbitopes. The former are the convex hulls of their coadjoint orbits,the latter are convex hulls of orbits of polar representations.

Another topic that is part of the project is the study of the Calabi-Yau equation on 4-dimensionalsymplectic manifolds. Such an equation is linked to a generalization of the Calabi conjecture tothe symplectic framework. A confirmation of this conjecture would allow new importantdevelopments in symplectic geometry. The intent here is to study the Calabi-Yau equation insome special cases, and to generalize the equation to other G-structures. In particular, we willstudy the problem of determining new examples of compact manifolds with a metric with specialholonomy by means of elliptic partial differential equations. We will further the study of parabolicflows on complex manifolds and on manifolds with special structures. We will address theproblem of the existence of a Hermitian-symplectic structure on complex manifolds withoutKähler structures, using the flow of the Bismut Ricci form. We will use the Laplacian flow todeform SU(n)-structures.Finally, several participants will study manifolds endowed with symplectic, Kähler, andquaternion-Kähler structures. They will address the problem of the existence of extremal Kählermetrics and of Ricci solitons on certain classes of Kähler manifolds with large symmetry groups.

5 - Parole chiave

Italiano

1.Funzioni di variabile quaternionica 2.Analisi ipercomplessa 3.Dinamica olomorfa 4.Strutture speciali su varietà

Inglese1.Functions of one quaternionic variable 2.Hypercomplex analysis 3.Holomorphic dynamics 4.Special structures on manifolds

6 - Settori di ricerca ERC (European Research Council) interessati dal Progettodi Ricerca

PE Physical Sciences and Engineering

PE1 Mathematics: all areas of mathematics, pure and applied, plus mathematicalfoundations of computer science, mathematical physics and statistics

PE1_5 GeometryPE1_8 Analysis

6.1 - Settori scientifico-disciplinari interessati dal Progetto di Ricerca

MAT/03 MAT/05

7 - Curriculum scientifico del Coordinatore della Ricerca

Italiano

CURRICULUM DEGLI STUDI UNIVERSITARI

Dottorato di Ricerca in Matematica presso l’Università di Firenze il 25 febbraio 2010. Laurea Specialistica in Matematica presso l’Università di Firenze il 12 ottobre 2006, votazione110 centodecimi e lode. Laurea in Matematica presso l’Università di Firenze il 28 settembre 2004, votazione 110centodecimi e lode.

BORSE DI STUDIO E ASSEGNI DI RICERCA

Settembre 2011 - adesso: assegno di ricerca di tipo A dell'Università di Milano.Gennaio - agosto 2011: assegno di ricerca dell'Università Politecnica delle Marche.2011: premio “Cuozzo” dell'Università di Roma “Tor Vergata”.Luglio - dicembre 2010: borsa “Mino Bontempelli” dell’Accademia Nazionale dei Lincei.

Marzo - giugno 2010: assegno di ricerca dell’Università di Firenze. Gennaio 2007 - dicembre 2009: borsa di dottorato dell’Università di Firenze. Gennaio 2005 - dicembre 2006: borsa dell’Istituto Nazionale di Alta Matematica per la LaureaSpecialistica, con premio di Laurea. Gennaio 2002 - dicembre 2004: borsa INdAM per la Laurea Triennale.

RELAZIONI A CONFERENZE E SEMINARI

20119th International Conference on Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics- Weimar (Germania)Seminario su invito presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Roma “Tor Vergata”Workshop di Analisi Ipercomplessa - TrentoXIX Congresso dell’UMI - Bologna

201030th Winter School “Geometry and Physics” - Srnì (Repubblica Ceca)Workshop INdAM “Different notions of regularity for functions of quaternionic variable” - RomaWorkshop “New entries at Tor Vergata” - RomaConvegno CIRM “Progressi Recenti in Geometria Reale e Complessa” - Levico Terme (TN)

2009AMS 2009 Fall Southeastern Meeting - Florida Atlantic University (USA)7th ISAAC Congress - Imperial College London (UK)Seminario su invito presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano

2008Convegno CIRM “Progressi Recenti in Geometria Reale e Complessa” - Levico Terme (TN)Seminario su invito presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Firenze

PERIODI DI RICERCA E VISITE ALL'ESTERO

Universidad de Sevilla (Siviglia, Spagna), 14 - 19 giugno 2010.Chapman University (Orange, CA, USA), gennaio 2009. Massachusetts Institute of Technology (Cambridge, MA, USA), semestre autunnale 2007.

SCUOLE ESTIVE

Corso Estivo di Matematica della SMI su “Loewner’s theory from the deterministic and stochasticpoint of view”, Cortona (AR), 15 - 27 agosto 2010.Corso CIME Holomorphic Dynamical Systems, Cetraro (CS), 7 - 12 luglio 2008.Corso Estivo di Matematica della SMI a Perugia, 1 agosto - 2 settembre 2005.

ALTRE ATTIVITÀ SCIENTIFICHE

Recensore per l'AMS dal 2009.Referee per una rivista internazionale.

LINGUE

Italiano Inglese Francese - DELF 1er degré. Spagnolo - certificato B1 del CLA Università di Firenze. Portoghese - certificato B1 del CLA Università di Firenze.

IngleseEDUCATION

Ph.D. in Mathematics at the University of Florence, granted on February 25, 2010. Master’s degree in Mathematics at the University of Florence, granted on October 12, 2006. Bachelor’s degree in Mathematics at the University of Florence, granted on September 28, 2004.

FELLOWSHIPS

September 2011 - Present: postdoctoral fellowship at the University of Milan.January - August 2011: postdoctoral fellowship at the University of Ancona (UniversitàPolitecnica delle Marche)2011: “Cuozzo” prize awarded by the University of Rome “Tor Vergata”.July - December 2010: “Mino Bontempelli” fellowship of the Accademia Nazionale dei Lincei.March - June 2010: fellowship granted by the University of Florence. January 2007 - December 2009: Ph.D. fellowship granted by the University of Florence. January 2005 - December 2006: fellowship of the INdAM (National Institute for HighMathematics) for master’s students, with graduation prize. January 2002 - December 2004: fellowship of the INdAM for bachelor’s students.

TALKS

20119th International Conference on Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics- Weimar (Germany)Invited seminar at the Department of Mathematics of the University of Rome “Tor Vergata”.Workshop “Analisi Ipercomplessa” - TrentoXIX UMI Congress - Bologna

201030th Winter School “Geometry and Physics” - Srnì (Czech Republic)Workshop INdAM “Different notions of regularity for functions of quaternionic variable” - RomeWorkshop “New entries at Tor Vergata” - RomeCIRM Congress “Progressi Recenti in Geometria Reale e Complessa” - Levico Terme (Trento)

2009AMS 2009 Fall Southeastern Meeting - Florida Atlantic University (USA)7th ISAAC Congress - Imperial College London (UK)Invited seminar at the Department of Mathematics of the Polytechnic of Milan

2008CIRM Congress “Progressi Recenti in Geometria Reale e Complessa” - Levico Terme (Trento)Invited seminar at the Department of Mathematics of the University of Florence

RESEARCH PERIODS AND VISITS ABROAD

University of Seville (Spain). June 14 - 19, 2010.Chapman University (Orange, CA, USA). January, 2009. Massachusetts Institute of Technology (Cambridge, MA, USA). Fall semester, 2007.

FURTHER SCIENTIFIC ACTIVITIES

AMS reviewer since 2009.Referee for an international journal.

LANGUAGE SKILLS

Italian English French - DELF 1er degré. Spanish - certificate of level B1 awarded by the University of Florence. Portuguese - certificate of level B1 awarded by the University of Florence.

8 - Pubblicazioni scientifiche più significative del Coordinatore della Ricerca

nº Pubblicazione ISSN ISBN 1. G. GENTILI, C. STOPPATO (2012). Power series and

analyticity over the quaternions. MATHEMATISCHE ANNALEN,vol. 352(1), p. 113-131, ISSN: 0025-5831, doi: 10.1007/s00208-010-0631-2

0025-5831

2. G. GENTILI, C. STOPPATO, D. STRUPPA (2011). A Phragmén-Lindelöf principle for slice regular functions. BULLETIN OF THEBELGIAN MATHEMATICAL SOCIETY SIMON STEVIN, vol.18(4), p. 749-759, ISSN: 1370-1444

1370-1444

3. STOPPATO C (2010). Regular Moebius transformations of thespace of quaternions. ANNALS OF GLOBAL ANALYSIS ANDGEOMETRY, vol. 39, p. 387-401, ISSN: 0232-704X, doi:10.1007/s10455-010-9238-9

0232-704X

4. G. GENTILI, STOPPATO C (2009). The open mapping theoremfor regular quaternionic functions. ANNALI DELLA SCUOLA NORMALE SUPERIOREDI PISA. CLASSE DI SCIENZE, vol. VIII(4), p. 805-815, ISSN:0391-173X, doi: 10.2422/2036-2145.2009.4.07

0391-173X

5. STOPPATO C (2009). Poles of regular quaternionic functions.COMPLEX VARIABLES AND ELLIPTIC EQUATIONS, vol. 54,p. 1001-1018, ISSN: 1747-6933, doi:10.1080/17476930903275938

1747-6933

6. G. GENTILI, STOPPATO C (2008). Zeros of regular functionsand polynomials of a quaternionic variable. MICHIGANMATHEMATICAL JOURNAL, vol. 56, p. 655-667, ISSN: 0026-2285, doi: 10.1307/mmj/1231770366

0026-2285

7. GENTILI G, C. STOPPATO (2011). The zero sets of sliceregular functions and the open mapping theorem. In: I.Sabadini, F. Sommen (Eds.). Hypercomplex Analysis and

9783034602457

Applications (Series: Trends in Mathematics). p. 95-107,BASEL:Birkhauser, ISBN: 9783034602457, doi: 10.1007/978-3-0346-0246-4_7

8. GENTILI G, C. STOPPATO, D. STRUPPA, F. VLACCI (2009).Recent developments for regular functions of a hypercomplexvariable. In: I. Sabadini, M. Shapiro, F. Sommen (Eds.).Hypercomplex analysis (Series: Trends in Mathematics). p. 165-186, BASEL:Birkhauser, ISBN: 9783764398927, doi:10.1007/978-3-7643-9893-4_11

9783764398927

9. G. GENTILI, STOPPATO C (2009). The zero sets of sliceregular functions and the open mapping theorem. In: AbstractsAmer. Math. Soc. vol. 30(4), p. 758

0192-5857

9 - Elenco delle Unità di Ricerca (UR)

nº Responsabilescientifico

Qualifica Istituzione Dip/Ist/Div/Sez Mesi/Persona

1. STOPPATOCaterina

Dottore di ricerca Istituto Nazionale di AltaMatematica "FrancescoSeveri"

59,21

2. RAISSYJasmin

Dottore di ricerca Università di PISA 68,42

3. BILIOTTILeonardo

Ricercatoreconfermato tempopieno

Università degli Studi diPARMA

MATEMATICA 33,2

4. VEZZONILuigi

Ricercatore nonconfermato

Università degli Studi diTORINO

MATEMATICA 45,5

10 - Breve descrizione della Ricerca

Italiano

Negli ultimi due secoli, la nozione di olomorfia ha dato origine a un’area di ricerca estremamentericca e ha lasciato il segno in numerosi campi della matematica. Tra questi i sistemi dinamici e lageometria differenziale occupano un posto di rilievo.Questo indescrivibile successo ha incoraggiato la ricerca di costruzioni ipercomplesse cherispecchiassero alcune delle preziose proprietà garantite dall’olomorfia. Ciò è avvenuto tanto inteoria geometrica delle funzioni, con l’introduzione dell’analisi ipercomplessa, quanto ingeometria differenziale, con lo studio delle varietà hyperkähler e quaternion-Kähler.Si è iniziato a individuare punti di contatto tra la teoria delle funzioni ipercomplesse e lageometria differenziale complessa, e questo incoraggia esperti di ambo i settori a unire i proprisforzi. Sono possibili ricadute anche nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria dellerappresentazioni. Proprio per questo il progetto coinvolge esperti in analisi ipercomplessa,dinamica olomorfa e teoria delle rappresentazioni in ambito complesso e reale, nonché studiosidi varietà complesse e di varietà con strutture speciali.Il progetto si compone di quattro unità, secondo una suddivisione che segueapprossimativamente le quattro aree di specializzazione già elencate. Di seguito si descrivebrevemente ciascuna di esse.

TEORIA DELLE FUNZIONI IPERCOMPLESSE

Dal principio del Novecento si sono susseguiti vari tentativi di sviluppare una teoria delle funzionidi variabile quaternionica ispirata alla teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa.Tra le varie definizioni così scaturite, la più celebre si deve a Fueter. In [Fue35] egli definìregolari le funzioni di variabile quaternionica (a valori quaternioni) che appartengono al nucleo diun operatore, oggi noto sotto il nome di Cauchy-Riemann-Fueter. Le principali proprietà diqueste funzioni, come gli analoghi del teorema e della formula integrale di Cauchy, sono bendescritte da Sudbery in [Sud79]. Negli anni la teoria si è sviluppata ed è stata generalizzata allealgebre di Clifford e al caso di più variabili: si veda a tale proposito la monografia di Brackx,Delanghe e Sommen [BDS82]. Alcune limitazioni intrinseche della Fueter-regolarità hannotuttavia mantenuto vivo l'interesse verso possibili definizioni alternative.

In effetti, Cullen propose in [Cul65] un'altra definizione, ripresa da Gentili e Struppa in [GStr07]chiamando (Cullen-regolare o) s-regolare una funzione la cui restrizione a qualsiasi pianopassante per l’asse reale risulti una coppia di funzioni olomorfe. Sono esempi di funzioni s-regolari i polinomi e le serie di potenze. Un successivo articolo di Colombo, Gentili, Sabadini andStruppa [CGSS09], ha dotato la teoria di una classe di domini molto più ampia su cui lavorare: icosiddetti s-domini. Nello stesso lavoro, gli autori hanno provato un’utile formula dirappresentazione, formula che ha permesso di studiare in dettaglio la s-regolarità su s-dominisimmetrici. Si sono ottenute, ad esempio, versioni del principio d’identità, della formula integraledi Cauchy [CGS10], del principio del massimo e del teorema dell’applicazione aperta. Gli insiemidegli zeri sono costituiti da punti isolati o 2-sfere isolate di un tipo particolare; le singolaritàisolate sono possibili e si classificano come removibili, essenziali o come poli.

Oltre al suo valore intrinseco, una delle motivazioni per lo studio della teoria delle funzioniquaternioniche s-regolari è ottenere nuovi strumenti per risolvere problemi geometrici indimensione quattro.Più membri dell’unità INdAM studiano la palla unitaria quaternionica: tentano di costruire unadistanza alla Poincaré preservata dalle versioni regolari delle trasformazioni di Möbius; sioccupano di proprietà di rigidità quali le versioni “al bordo” del lemma di Schwarz; esplorano lepossibili basi per lo studio della dinamica in questo contesto.Una collaborazione con il King’s College London si propone di applicare la teoria delle funzioni s-regolari alla costruzione e alla classificazione di strutture ortogonali complesse su una classe didomini nel 4-spazio euclideo. Questo è un problema aperto, studiato da esperti di geometriadifferenziale fin dai primi anni ’90 (si vedano in proposito [SV09,Woo92]).È interessante anche lo studio dei tori quaternionici e di altre varietà ottenute come quozienti,studio che coinvolge anche la Universidad Nacional Autónoma de México.Tali ricerche sono importanti punti di contatto tra l’analisi quaternionica e la geometriadifferenziale complessa.Parte dell’unità INdAM è inoltre interessata allo studio degli spazi di Bergman quaternionici.

La s-regolarità è stata introdotta anche su un’ampia classe di algebre alternative reali didimensione finita da Ghiloni e Perotti [GP11], generalizzando [GS08,GS10]. L’unità INdAM ècoinvolta in questa estensione della teoria, anche in più variabili. L’insieme degli zeri hacaratteristiche ancora più curiose in quest'ambito, e meritano attenzione lo studio dellerappresentazioni integrali e in serie, così come quello delle singolarità.

Accenniamo infine all’applicazione della teoria delle funzioni s-regolari alla costruzione diversioni non commutative del calcolo funzionale. A cominciare da [CGSS07], fino allamonografia [CSS11], questo problema aperto è stato affrontato con successo grazie alla s-regolarità. Questa è una prova del valore della teoria, e uno stimolo a continuarne lo studio.

DINAMICA OLOMORFA

Negli ultimi cinquant'anni i Sistemi Dinamici sono diventati una delle aree di ricerca più attive inmatematica, con innumerevoli applicazioni anche al di fuori di essa; e al suo interno la DinamicaOlomorfa in una e più variabili occupa una posizione rilevante.I due principali aspetti della dinamica, quello locale e quello globale, sono molto legati fra loro: èsovente necessario studiare la dinamica locale per capire il comportamento globale; e spesso,nello studio locale, sono necessari strumenti di tipo globale. Grazie ai risultati di Fornaess,Sibony, Bedford, Smillie, e altri, lo studio della dinamica globale di applicazioni olomorfe in piùvariabili complesse ha già prodotto molti risultati profondi. Dall'altro lato, lo studio della dinamicaolomorfa locale di più variabili complesse, contrariamente al caso unidimensionale, è benlontano dall'essere completamente sviluppato, e varie delle questioni naturali rimangono aperte,nonostante gli importanti risultati di Brjuno, Écalle, Hakim, Jonsson, Favre, Abate, Bracci, e altri.Lo studio della dinamica locale discreta in un intorno di un punto fisso in una o più variabilicomplesse ha da sempre due obiettivi principali: la caratterizzazione dell'insieme stabile, ossial'insieme dei punti la cui orbita rimane in un intorno del punto fisso, e la classificazione a meno diun'opportuna relazione di coniugio. Tali problemi sono fortemente collegati come si può notareanche nel caso unidimensionale, ormai completamente compreso, grazie anche ai profondirisultati di Yoccoz, e ai risultati degli ultimi anni di Abate, Tovena, Bracci, Zaitsev, e Raissy chehanno apportato un primo importante avanzamento su questi temi in più variabili complesse. Un'ulteriore prova della rilevanza delle problematiche che si intendono affrontare saràl'applicazione dei risultati ottenuti e delle tecniche introdotte anche a problemi di tipo globale,relativi sia alla dinamica, che alla teoria geometrica delle funzioni, che alla geometriadifferenziale complessa. Vari membri dell'unità di Pisa studiano la dinamica di germi di biolomorfismi in più variabilicomplesse con punto fisso isolato non olomorficamente linearizzabili, per ottenere unadescrizione della dinamica in un intorno completo del punto fisso, in dimensione due e tre, e conla previsione di applicare i risultati ottenuti alla costruzione di nuovi esempi di domini di Fatou-Bieberbach con proprietà particolari. Si occupano inoltre di fornire una descrizione topologica ilpiù possibile completa della dinamica locale nell'intorno di un punto fisso parabolico,caratterizzazione estremamente utile per comprendere la dinamica locale olomorfa. Fra le applicazioni alla dinamica globale, si studia ad esempio il comportamento asintotico dirandom iteration systems per applicazioni olomorfe della palla in più variabili in sé, con le sueapplicazioni alla congettura di Bedford sulla struttura complessa delle varietà stabili di insiemiiperbolici per biolomorfismi, e allo studio delle catene di Loewner. Si trattano ancheproblematiche di dinamica continua, come lo studio del comportamento asintotico e delcomportamento al bordo per semigruppi.I risultati ottenuti per la dinamica locale trovano applicazione anche in geometria complessa,nello studio di varietà complesse compatte ottenute come compattificazione di spazi di orbite,con particolare attenzione alle loro proprietà dinamiche e geometriche.Inoltre l'utilizzo di tecniche di geometria degli spazi metrici, applicate alle distanze invarianti diKobayashi e Carathéodory, su domini limitati in più variabili complesse, risulta molto utile anchenello studio degli operatori di Toeplitz e delle misure di Carleson su domini strettamentepseudoconvessi.

INTERAZIONI TRA GEOMETRIA E TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI

Gli spazi (localmente) simmetrici di tipo non compatto appaiono naturalmente come spazio deimoduli in varie branche della matematica; per esempio lo spazio dei moduli delle varietàabeliane polarizzate. Ci sono molte compattificazioni degli spazi simmetrici che sono utili indifferenti applicazioni, quali la compattificazione di Satake per applicazioni all'analisi armonica, ola compattificazione di Furstenberg per applicazioni alla teoria del potenziale e alla teoriaergodica.

L'inviluppo convesso di un’orbita intera coaggiunta di un gruppo compatto e semisemplice K hauna ricca struttura di bordo nel senso della geometria convessa. Infatti, Biliotti e Ghigi [in stampasu Amer. Math J.] hanno dimostrato che tale inviluppo è omeomorfo alla compattificazione diSatake-Furstenberg dello spazio simmetrico G/K, dove G è il complessificato di K.Successivamente, Biliotti, Ghigi e Heinzner [arxiv:1110.6039] hanno studiato l'inviluppo convessodi un’orbita coaggiunta di un gruppo compatto K, non necessariamente intera, chiamato orbitopocoaggiunto. Hanno descritto completamente le facce usando il formalismo sviluppato da Satakeed hanno dimostrato che le facce dell'orbitopo coaggiunto corrispondono alle orbite chiuse deiParabolici di G.

Nostro obiettivo è studiare gli inviluppi convessi di orbite di rappresentazioni polari. Dadok ha dimostrato che le rappresentazioni di isotropia di spazi simmetrici sono, a meno diequivalenze, tutte e sole quelle polari. Ci aspettiamo di descrivere completamente le facceusando il formalismo introdotto da Satake nonché di dimostrare, usando dei metodi introdotti daHeinzner, Schwartz e Stötzel, che l'orbitopo polare è omeomorfo alla compattificazione diSatake-Furstenberg di un opportuno spazio simmetrico di tipo non compatto.

Un passo ulteriore sarà lo studio dell'inviluppo convesso delle orbite ellittiche, le quali sono moltoimportanti nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi semisemplici non compatti.

VARIETÀ COMPLESSE O CON STRUTTURE SPECIALI

Tra le tematiche affrontate nell’ambito del progetto vi sono: equazione di Calabi-Yau in varietàsimplettiche, flussi parabolici e metriche speciali in geometria complessa, varietà quaternion-Kähler e varietà di Stein.

L’equazione di Calabi-Yau è un’equazione ellittica il cui collegamento con la geometriadifferenziale ha origine dalla congettura di Calabi (dimostrata da S.-T. Yau). Recentemente S. K.Donaldson ha dimostrato che tale equazione è strettamente collegata a una sua recentecongettura, la cui prova implicherebbe una serie di nuovi importanti risultati in GeometriaSimplettica. In particolare si riuscirebbe a dimostrare che in una varietà simplettica compatta 4-dimensionale con b+=1 ogni struttura quasi complessa dominata da una forma simplettica èanche calibrata. In collaborazione con S. Salamon (King’s College di Londra) e Y.Y. Li(Università di Rutgers, Stati Uniti) la congettura di Donaldson è stata confermata da Fino eVezzoni per fibrazioni lagrangiane di 2-tori su 2-tori. La tecnica utilizzata per ottenere questorisultato consiste nel trasformare l’equazione di Calabi-Yau in un’equazione di Monge-Ampèresul toro.

Lo studio di flussi parabolici in Geometria Differenziale ha origine con il flusso di Ricci introdottoda Hamilton e successivamente utilizzato da Perelman per dimostrare la congettura di Poincaré.Recentemente flussi parabolici sono stati utilizzati da Streets e Tian per studiare metrichehermitiane. L’idea di Streets e Tian è di costruire un flusso di “tipo Ricci” utilizzando laconnessione di Chern invece che la connessione di Levi-Civita. Uno dei flussi introdotto daStreets e Tian conserva la condizione SKT (strong Kähler with torsion) e può essere utilizzatoper deformare strutture con torsione su varietà complesse. Le soluzioni costanti di questo flussosono chiamate in letteratura “statiche” e costituiscono l’analogo in geometria complessa deisolitoni in geometria Riemanniana. È un problema aperto quello di esibire esempi di metrichestatiche in varietà non kähleriane. Quello che è noto è che l’esistenza di una metrica staticaimplica l’esistenza di una struttura Hermitian-symplectic, cioè di una coppia formata da unaforma simplettica e di una struttura complessa dominata. Enrietti, Fino e Vezzoni hannodimostrato che varietà compatte ottenute come quozienti di gruppi di Lie nilpotenti nonammettono strutture Hermitian-symplectic, a meno che non siano kähleriane (cioè tori).

Una congettura di Tian afferma che su ogni varietà kähleriana esiste essenzialmente unametrica estremale. Questa congettura è stata recentemente confermata in un lavoro di Chen eSun sulle metriche a curvatura scalare costante. Si intende estendere alcuni dei risultati di Chen,Sun alle metriche estremali.

Nell'ambito della quantizzazione geometrica, data una varietà complessa compatta M con unfibrato hermitiano L, è possibile introdurre un operatore lineare che approssimi, in un sensoopportuno, il laplaciano di Hodge. Si intende studiarne le proprietà spettrali e il legame conun’opportuna stabilità algebrico-geometrica della coppia (M,L); nonché estendere una stimadimostrata da Biliotti e Ghigi [in stampa su Amer. Math. J.] sul primo autovalore del laplaciano diuno spazio hermitiano simmetrico compatto alle varietà compatte di Fano.

Dopo il fondamentale risultato di Tian e Zhu, i solitoni di Ricci sono diventati i nuovi candidati aessere “la” metrica privilegiata su una varietà kähleriana compatta con campi olomorfi nonbanali. Si intende studiare i solitoni di Ricci kähleriani e, ispirati da un lavoro di Futaki, Ono,Wang, i solitoni di Ricci sasakiani in coomogeneità 1.

E' interessante studiare strutture speciali su varietà con molte simmetrie; in questo contesto siprogetta di costruire esempi espliciti di strutture geometriche definite da forme differenziali, comele quaternion-Kähler, nel contesto delle varietà di coomogeneità uno.

Si intende infine studiare proprietà analitiche e geometriche dei domini di C^n e di varietà diStein sotto varie ipotesi di convessità. In particolare si mira a estendere i risultati di Abate,Saracco [J. Lond. Math. Soc. 11] e di Bracci, Patrizio, Trapani [Trans. AMS 09] a dominipseudoncovessi.

IngleseDuring the last two centuries, the notion of holomorphy has given rise to an incredibly richresearch area, and it has played a vital role in many fields of mathematics. Among these fieldsdynamical systems and differential geometry occupy a notable position.This indescribable success has encouraged the search for hypercomplex setups enjoying someof the valuable properties granted by holomorphy. This search has been performed both ingeometric function theory, with the introduction of hypercomplex analysis, and in differentialgeometry, with the study of hyperkähler and quaternion-Kähler manifolds.Contacts between the hypercomplex function theory and complex differential geometry arebeginning to appear, and they encourage experts in these areas to join their efforts. Spin-offs indynamical systems and representation theory are also possible. To this end, the present projectinvolves scholars devoted to hypercomplex analysis, holomorphic dynamics, complex and realrepresentation theory, as well as to complex manifolds and manifolds with special structures.The project consists of four units, roughly corresponding to the aforementioned areas ofexpertise. A brief description of each of these areas follows.

HYPERCOMPLEX FUNCTION THEORY

Since the beginning of the twentieth century, there have been many attempts to determine aclass of functions of one quaternionic variable playing the same role as the holomorphicfunctions of one complex variable. The most successful of such analogs is due to Fueter: in[Fue35], he defined a quaternionic function regular if it belongs to the kernel of an operator, nowknown as the Cauchy-Riemann-Fueter operator. The article [Sud79] by Sudbery surveys quiteaccurately the main properties of these functions. Over the years, the theory of Fueter-regularityhas been developed and generalized to Clifford algebras and to the case of several complexvariables. At this regard, we refer to the monograph by Brackx, Delanghe and Sommen [BDS82].Despite its richness, this theory suffers some intrinsic limitations that motivated the search for

alternative definitions of regularity.

In fact, Cullen proposed in [Cul65] a different approach, which inspired Gentili and Struppa in[GS07]. A function of one quaternionic variable is called (Cullen regular or) slice regular if itreduces to a couple of holomorphic functions when restricted to any 2-plane through the realaxis. Polynomials and power series are examples of slice regular functions. A subsequent paperpublished by Colombo, Gentili, Sabadini and Struppa, [CGSS09], endowed the theory with alarge class of domains to work on: the so-called symmetric slice domains. At the same time, theauthors proved a remarkable representation formula, a tool that allowed a detailed study of sliceregularity on these domains. To mention some of the results proven, versions of the identityprinciple, of the Cauchy integral formula [CGS10], of the maximum modulus principle and of theopen mapping theorem hold. The zero sets comprise isolated points or isolated 2-spheres of aspecial type; isolated singularities exist and they can be classified as removable, essential or aspoles.

In addition to its intrinsic interest, one of the motivations for developing the theory of quaternionicslice regular functions is to obtain new tools to solve geometrical problems in dimension four. Several members of the INdAM unit study the quaternionic unit ball: they attempt theconstruction of a Poincaré-type distance preserved by the regular version of Möbius’transformations; they concern themselves with rigidity properties such as boundary versions ofthe Schwarz lemma; they explore the possible setups to study dynamics in this context. A collaboration with King’s College London aims at applying the theory of slice regular functionsto the construction and classification of orthogonal complex structures on a class of domains inthe Euclidean 4-space. This is an open problem studied by experts in differential geometry sincethe early 90’s (at this regard, see [SV09,Woo92]). The study of quaternionic tori and of other manifolds obtained as quotients is also of interest, andit involves collaboration with the Universidad Nacional Autónoma de México.These researches represent important links between quaternionic analysis and complexdifferential geometry.Additionally, part of the INdAM unit is interested in the study of quaternionic Bergman spaces.

Slice regularity has been introduced not only in the quaternionic case, but also on a large classof (finite dimensional) alternative real algebras by Ghiloni and Perotti [GP11], generalizing[GS08,GS10]. The INdAM unit is interested in this extended theory, even in the case of severalvariables. The zero sets are even more peculiar in this generalized context. Integral and seriesrepresentations deserve attention, and so does the study of singularities.

One final comment concerns the application of the theory of slice regular functions to theconstruction of non-commutative versions of the functional calculus. Starting with [CGSS07], upto the monograph [CSS11], this outstanding problem has been successfully addressed with theaid of slice regularity. This is an indication of the value of the theory, and an encouragement tofurther its study.

HOLOMORPHIC DYNAMICS

In the last fifty years Dynamical Systems have become one of the more active research areas inMathematics, with numberless applications even in other fields. Within this field, HolomorphicDynamics in one and several variables occupy a notable position.The two main aspects of dynamics, local and global, are often strictly linked: many times localdynamics are needed to understand the global behavior; and one often needs global tools toinvestigate the local case. The study of the global dynamics of holomorphic maps in severalcomplex variables, due to Fornaess, Sibony, Bedford, Smillie, and others, has already producedseveral deep results. On the other hand, the study of the local holomorphic dynamics in severalcomplex variables is not yet as fully developed as the global theory. Several natural questions

are still open, the important results by Brjuno, Écalle, Hakim, Jonsson, Favre, Abate, Bracci andothers notwithstanding.The study of discrete local dynamics in a neighborhood of a fixed point, in one and severalcomplex variables, has two main goals: the characterization of the stable set, that is, the set ofpoints whose orbit stays in a neighborhood of the fixed point; and the classification under asuitable conjugation relation. These problems are strongly related, as one can observe even inthe one-dimensional case. This case is now completely understood, thanks to the deep resultsobtained by Yoccoz, and to the result obtained during the last few years by Abate, Tovena,Bracci, Zaitsev, and Raissy that provided a first important step on these issues in severalcomplex variables.As a further indication of the importance of the issues we intend to face, we point out that theresults and the techniques introduced can also be applied to global problems, regardingdynamics, geometric function theory, and complex differential geometry.Several members of the unit in Pisa study the dynamics of germs of biholomorphisms in severalcomplex variables having an isolated fixed point, and non holomorphically linearizable. The aimis to obtain a description of the dynamics in a full neighborhood of the fixed point, in dimensiontwo and three. Expected applications of the results obtained concern the construction of newexamples of Fatou-Bieberbach domains with special properties. We also expect to describe, ascompletely as possible, the topology of the local dynamics in a neighborhood of a parabolic fixedpoint for a germ of biholomorphism in several complex variables. This characterization would beextremely useful to understand the local holomorphic dynamics.Among the applications to global dynamics, there is the study of the asymptotic behavior ofrandom iteration systems of holomorphic self-maps of the ball in several complex variables. Thisstudy has applications to the Bedford conjecture on the complex structure of the stable manifoldsof hyperbolic sets for biholomorphisms, and to the study of Loewner chains. Problems incontinuous dynamics are also studied, for instance the asymptotical behavior and the boundarybehavior of semigroups.The results obtained for the local dynamics find an application in complex geometry as well: anexample is the study of compact complex manifolds obtained as compactification of orbit spaces,with a special attention to their dynamical and geometrical properties. Moreover, the use of techniques typical of the geometry of metric spaces, applied to theKobayashi and Carathéodory invariant distances on bounded domains in several complexvariables, is also very useful in the study of Toeplitz operators and Carleson measures onstrongly pseudoconvex domains.

INTERACTIONS BETWEEN GEOMETRY AND REPRESENTATION THEORY

Symmetric spaces and locally symmetric spaces of non-compact type appear naturally as modulispaces in many branches of mathematics. There are many compactifications of symmetricspaces, all having applications: the Satake compactifications, in harmonic analysis; theFurstenberg compactifications, in potential theory and ergodic theory.

The convex hull of an integral coadjoint orbit of a compact semisimple Lie group K has a richboundary structure in the sense of convex geometry. Biliotti, Ghigi [to appear in Amer. Math. J.]proved that this convex hull is homeomorphic to a Satake compactification of G/K, where G isthe complexification of K. Moreover, this homemorphism sends each open face onto a boundarycomponent. We project to generalize this result to the Satake-Furstenberg compactifications ofarbitrary symmetric spaces. To this end, we will make use of the gradient momentum mapintroduced by Heinzner, Schwartz and Stötzel rather than the usual momentum map. Biliotti, Ghigi and Heinzner [arXiv:1110.6039] have also studied the coadjoint orbitopes of acompact semisimple Lie group K, i.e., the convex hulls of their coadjoint orbits. They describedthe faces in terms of the combinatorial formalism developed by Satake and they proved that thefaces of a coadjoint orbitope correspond to the closed orbits of the parabolic subgroups of thecomplexified group of K.

We intend to generalize this result to the polar representations. According to a theorem ofDadok, the polar representations coincide, up to orbit equivalence, with the isotropyrepresentations of symmetric spaces. We expect a description of the faces of a polar orbitope interms of the formalism developed by Satake.

Proceeding further, we will study the convex hull of the elliptic orbits, which are important in therepresentation theory of semisimple non-compact Lie groups. Furthermore, we will interestourselves in the volume of coadjoint orbitopes of a compact group, allowing for a representation-theoretic interpretation.

MANIFOLDS WITH COMPLEX OR SPECIAL STRUCTURES

The topics studied in the ambit of the project include: the Calabi-Yau equation on symplecticmanifolds; parabolic flows and special metrics on complex manifolds; quaternion-Kählermanifolds and Stein manifolds.

The Calabi-Yau equation is a second order elliptic equation that is the analytic core of Yau’sproof of the Calabi conjecture. As recently pointed out by S. K. Donaldson, this equation isdeeply related to an important conjecture in symplectic geometry whose confirmation wouldimply new important developments in symplectic geometry. An important consequence of thisconjecture is, that on a compact symplectic manifold with b+=1 every tamed almost complexstructure is actually a calibrated almost complex structure. In collaboration with S. Salamon(King’s College, London) and Y.Y. Li (Rutgers University, USA), Vezzoni and Fino haveconfirmed Donaldson’s conjecture for fibrations of 2-tori over 2-tori. The introduction of parabolic flows in Differential Geometry goes back to the Ricci flowintroduced by Hamilton and used by Perelman to prove the Poincaré conjecture. Parabolic flowshave recently been considered by Streets and Tian in the study of Hermitian metrics. The centralidea in the work of Streets and Tian is to consider a Ricci-type flow defined by means of theChern connection instead of the Levi-Civita connection. Thus, one obtains a parabolic flow ratherthan the weak parabolic flow resulting in the case of the Ricci flow. The standard theory of partialdifferential equations then implies the existence of short-time solutions. One of the flowsintroduced by Streets and Tian preserves the so-called SKT condition (standing for strong Kählerwith torsion) and it can be used to deform structures with torsions. Constants solutions to thisflow are called “static” in literature and they are the complex analog of solitons in Riemanniangeometry. It is a still an open problem to find an example of a static metric on a complex manifoldthat does not admit a Kähler structure. It is known in literature that every static metric determinesa Hermitian-symplectic structure, i.e. it determines a symplectic form with a tamed complexstructure. In a recent paper Enrietti, Fino and Vezzoni have proved that invariant complexstructures on nilmanifolds do not admit Hermitian-symplectic structures, if the case of the tori isexcluded.

A conjecture of Tian states that any Kähler manifold admits an essentially unique extremalmetric. Evidence of the uniqueness in the constant scalar curvature case is given by a recentresult of X. Chen and S. Sun. We plan to study the uniqueness part of the conjecture in thegeneral case.

If M is a compact complex manifold and L is a Hermitian line bundle, one can define a linearoperator that approximates in a suitable sense the Hodge Laplacian for higher tensor powers ofL. We project to study spectral properties of that operator and their possible relation with thealgebraic-geometric stability of the pair (M,L). Biliotti and Ghigi [to appear in Amer. Math. Soc.]obtained sharp upper bounds for the first eigenvalue of the Laplacian on any Hermitiansymmetric space. We intend to generalize this result on the compact Fano manifolds.

A fundamental paper of Tian and Zhu proves the uniqueness of Ricci solitons in the Kähler

setting. It has suggested the Kähler Ricci solitons as candidates for “the” favorite metric on aKähler compact manifold with non-trivial holomorphic vector fields. In this context we will bemainly interested in Kähler Ricci solitons and, thanks to a result of Futaki, Ono and Wang, in theexistence of Sasaki Ricci solitons in cohomogeneity one.

Moreover, we shall give explicit examples of geometric structures defined by differential forms,such as the quaternion-Kähler structures, in cohomogeneity one.

Finally, we shall focus on analytic and geometrical properties of domains of the n-dimensionalcomplex space or of Stein manifolds, under different convexity hypotheses: convexity,pseudoconvexity, strong pseudoconvexity, and strict pseudoconvexity. Specific goals are theextension of the results of Abate and Saracco [J. Lond. Math. Soc. 11] and of Bracci, Patrizio,Trapani [Trans. AMS 09] to the strongly pseudoconvex setting.

11 - Stato dell'arte e riferimenti bibliografici

Italiano

TEORIA DELLE FUNZIONI S-REGOLARI (SLICE REGULAR)

Nell’ambito dell’analisi ipercomplessa, cui abbiamo accennato alla voce precedente riferendoci a[BDS82,Fue35,Sud79], la teoria al centro del lavoro dell’unità INdAM è quella introdotta in[GS07] riprendendo in ambito geometrico un’idea di [Cul65]. Questa innovativa teoria si basasulla definizione di funzione s-regolare come funzione di variabile quaternionica la cui restrizionea qualsiasi piano passante per l’asse reale risulti una coppia di funzioni olomorfe. La classe difunzioni così definita include polinomi e serie di potenze, diversamente da quanto avviene conaltre nozioni di regolarità quaternionica. Il successivo articolo di Colombo, Gentili, Sabadini eStruppa [CGSS09] ha rappresentato un punto di svolta per la teoria, individuando una classe didomini piuttosto ampia cu cui lo studio delle funzioni s-regolari è interessante e non si limita alleserie di potenze. Questi insiemi, detti s-domini simmetrici, svolgono un ruolo fondamentale ericordano i domini d'olomorfia complessi.La teoria continua a svilupparsi velocemente per opera degli autori citati e di alcuni collaboratori,inclusa la coordinatrice del presente progetto. I risultati dimostrati ricordano in molti aspetti lefunzioni olomorfe di una variabile complessa. Particolarmente interessanti sono le proprietà deglizeri e le particolari forme assunte, in questo contesto, dalle rappresentazioni integrali [CGS10] edal teorema dell’applicazione aperta.Oltre che in ambito quaternionico, la s-regolarità è stata introdotta in modo pionieristico suinumeri di Cayley [GS10] e sull'algebra di Clifford Cl(0,3) [GS08]. Un contributo fondamentale inquesta direzione, [GP11], è dovuto a Ghiloni e Perotti e ha dato il via allo studio della s-regolaritàsu algebre alternative reali di dimensione finita.Un segno concreto della rilevanza di questi studi è la loro applicazione alla costruzione diversioni non commutative del calcolo funzionali, a partire da [CGSS07]. A questo proposito è giàapparsa una monografia [CSS11], che raccoglie anche altri utili riferimenti bibliografici.Un’altra interessante applicazione prevista concerne la costruzione e la classificazione distrutture ortogonali complesse su aperti densi del 4-spazio euclideo. Questo è un problemaaperto in geometria differenziale complessa, su cui hanno lavorato Salamon e Viaclovsky [SV09]estendendo risultati di Wood [Woo92].

DINAMICA OLOMORFA LOCALE DISCRETA

L'aspetto di cui si occuperà principalmente l'unità di Pisa è la dinamica olomorfa locale discreta

in un intorno di un punto fisso in più variabili complesse. In dimensione uno, la caratterizzazione dell'insieme stabile e la classificazione a meno diconiugio olomorfo, topologico e formale sono ben comprese grazie ai risultati di Yoccoz [Y95] ePérez-Marco, e la dinamica dipende da quella della parte lineare del germe vicino al punto fisso,eccetto che nel caso parabolico, ossia con parte lineare identica, in cui la dinamica localeolomorfa è però descritta dal teorema del fiore di Leau-Fatou, la classificazione completaformale è dovuta a Écalle [E81], e Camacho [C78] ne ha dato una classificazione topologicacompleta. La situazione in più variabili complesse è molto più ricca e meno compresa. Écalle [E81], Hakim[H98] e Abate [A01] hanno ottenuto risultati di tipo Leau-Fatou per germi tangenti all'identità. Intale studio le tecniche di scoppiamento hanno portato a importanti teoremi dell'indice [ABT04]che hanno conseguenze dinamiche e sono l'analogo discreto del teorema dell'indice diCamacho-Sad [CS82]. Nel problema della linearizzazione risultano importanti le relazioniaritmetiche di risonanza degli autovalori del differenziale, che sono le ostruzioni allalinearizzazione formale; e anche in assenza di risonanze, la linearizzazione olomorfa non ègarantita a causa di problemi di piccoli divisori. I risultati migliori in questo ambito si devono a[Br72], [Pö86], [PM01], e più recentemente alla coordinatrice dell’unità di Pisa. Il problema dellanormalizzazione olomorfa è molto più aperto e una caratterizzazione geometrica è arrivata solograzie al recente contributo della coordinatrice locale di Pisa. Lo studio della dinamica di germinon olomorficamente linearizzabili, come i germi 1-risonanti studiati in [BZ11], ha evidenziato ladifferenza con il caso unidimensionale, introducendo tecniche innovative, sicuramente dinotevole rilevanza per gli sviluppi futuri.

INTERAZIONE TRA GEOMETRIA E TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI

Il metodo delle orbite fu proposto da Kirillov [K99] per studiare le rappresentazioni irriducibiliunitarie dei gruppi Nilpotenti; l'idea è di unire l'analisi armonica con la geometria simplettica.Molti matematici hanno lavorato su questo fronte; fra questi citiamo Kostant e Duflo. Purtroppo ilmetodo delle orbite non funziona per i gruppi compatti. In questo contesto, un risultato nellospirito del metodo delle orbite è il Teorema di Bott-Borel-Weyl il quale dà una costruzionegeometrica delle rappresentazioni irriducibili di un gruppo compatto. Una possibile alternativa èquella di studiare gli inviluppi convessi delle orbite coaggiunte compatte. Biliotti e Ghigi hannodimostrato che l'inviluppo convesso di un’orbita intera è omeomorfo alla compattificazione diSatake di G/K, dove G è il complessificato di K. Ricordiamo che ci sono molte compattificazionedegli spazi simmetrici che sono utili in differenti applicazioni; la compattificazione di Satake perapplicazioni all'analisi armonica; la compattificazione di Furstenberg per applicazioni alla teoriadel potenziale e alla teoria ergodica [BJ06]. Inoltre, usando il formalismo sviluppato da Satake[S60], si vede che le facce corrispondono a rappresentazioni irriducibili di sottogruppi parabolicidi G.

ANALISI SU VARIETÀ COMPLESSE E SU VARIETÀ CON STRUTTURE SPECIALI

Nel 1978 S.-T. Yau dimostrò la congettura di Calabi in [Yau78]. Tale congettura afferma che inuna varietà kähleriana compatta ogni rappresentante della prima classe di Chern è la forma diRicci di qualche forma kähleriana coomologa a una forma fissata. È possibile rileggerel’enunciato della congettura di Calabi in termini di forme simplettiche. Ciò permette digeneralizzare la congettura al contesto delle varietà almost–Kähler. In questo contesto il sistemadi equazioni alle derivate parziali associato alla congettura è chiamato in letteratura l’equazionedi Calabi-Yau. In contrasto al caso classico, l’equazione di Calabi-Yau nelle varietà almost-Kähler induce un sistema sovradeterminato in dimensione strettamente maggiore di quattro. Perquesta ragione la generalizzazione al contesto almost-Kähler della congettura di Calabi èprevalentemente studiata in dimensione quattro. S.K. Donaldson ha dimostrato in [Don06] chel’equazione di Calabi-Yau in varietà quattro dimensionali è un’equazione ellittica a soluzione

unica e che l’equazione è strettamente collegata a una serie di problematiche simplettiche la cuidimostrazione porterebbe notevoli sviluppi alla teoria. In [TWY08] si esibisce una condizionenecessaria affinché l’equazione abbia soluzione e in [TW11] si studia l’equazione nel casospecifico della varietà di Kodaira-Thurston. Questa varietà è un fibrato principale avente comebase e fibra generica un toro bidimensionale. In [TW11] è dimostrata l’esistenza delle soluzionidell’equazione di Calabi-Yau nella varietà di Kodaira-Thurston per dati iniziali definiti sulla base.Questo articolo costituisce il punto di partenza delle ricerche esposte in [FLSV12], dovel’equazione di Calabi-Yau è studiata per tutte le fibrazioni di tori su tori. H.-D. Cao ha scritto in[Cao85] una dimostrazione della congettura di Calabi alternativa a quella di Yau utilizzando ilKähler Ricci flow. Ciò suggerisce di studiare l’equazione di Calabi-Yau utilizzando flussiparabolici. Recentemente alcuni flussi strettamente parabolici di metriche Hermitiane sono stratiintrodotti da Streets e Tian in [ST10], [ST11]. L’idea di Streets e Tian è di costruire un flusso di“tipo Ricci” utilizzando la connessione di Chern invece che la connessione di Levi-Civita. Lesoluzioni costanti di questo flusso sono chiamate in letteratura “statiche”. E’ un problema apertoquello di esibire esempi di metriche statiche in varietà non kähleriane. In [EFV12] si dimostra chele nilmanifold non ammettono metriche statiche, a meno che non siano dei tori.

Sempre dalla congettura di Calabi proviene lo studio di alcune classi di metriche speciali invarietà complesse: metriche di Kähler-Einstein, metriche a curvatura scalare costante (KSCS),metriche estremali e solitoni. I solitoni sono una naturale generalizzazione delle metriche diKähler-Einstein e a seguito del fondamentale risultato di Tian e Zhu [TZ00] sull’unicità dei solitonidi Kähler Ricci, sono diventati i nuovi candidati a essere “la” metrica privilegiata su una varietàKähleriana compatta con campi olomorfi non banali. Una congettura di Yau, Tian e Donaldson[Don01] lega l'esistenza di una metrica KSCS a un certo tipo di stabilità della varietà polarizzataconsiderata. Le KSCS sono inoltre punti critici del funzionale di Mabuchi definito sullo spaziodelle metriche che rappresentano la prima classe di Chern. E' noto che l'energia di Mabuchi diuna metrica può esprimersi in termini della torsione analitica della metrica stessa e pertantodipende dalle proprietà spettrali dell'operatore laplaciano di Hodge. Tra i vari matematici chehanno studiato il problema dell'esistenza di KCSC vi sono Tian, Donaldson e Mabuchi.Recentemente in [AP06] è stato dimostrato un risultato di esistenza di KCSC su scoppiamenti diun ''opportuno'' insieme finito di punti di una varietà KSCS. Un risultato simile è stato dimostratoper le metriche estremali di Calabi [AP09].

Altri temi importanti per il progetto sono: alcune strutture speciali su varietà definite da spinori[Hi00]; varietà quaternion-Kähler [SS82]; varietà di Stein (in quest’ultimo punto ci riferiamo ailavori di Bracci, Patrizio e Harvey e Lawson [HL77]).

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IngleseTHEORY OF SLICE REGULAR FUNCTIONS

The field of hypercomplex analysis has been briefly introduced in the previous section, referringto [BDS82,Fue35,Sud79]. Within this field, the INdAM unit will focus on the theory introduced in[GS07] and inspired by [Cul65]. This groundbreaking theory is based on the definition of sliceregular function as a function of one quaternionic variable that reduces to a couple ofholomorphic functions when restricted to any 2-plane through the real axis. The class offunctions thus defined includes polynomials and power series, which was not the case with othernotions of quaternionic regularity. A turning point for this theory, [CGSS09], is due to Colombo,Gentili, Sabadini and Struppa. They determined a large class of domains on which the study ofslice regular functions is interesting and not limited to power series. These sets are calledsymmetric slice domains and they play a crucial role, recalling the complex domains ofholomorphy.The authors mentioned and some collaborators, including the principal investigator of thepresent project, are building on the theory. The results proven recall the properties ofholomorphic functions of a complex variable. The zeros are very peculiar, and so are the s-regular versions of the integral representation formulas [CGS10] and of the open mappingtheorem.In addition to the quaternionic theory, [GS08,GS10] pioneered the study of s-regularity on theClifford algebra Cl(0,3) and on Cayley numbers. At this regard, a fundamental contribution is thepaper [GP11] by Ghiloni and Perotti, who disclosed the possibility of studying regular functionson a larger class of (finite dimensional) alternative real algebras.As an indication of the significance of these studies, let us mention that they have been appliedto the construction of non-commutative versions of functional calculus, starting with [CGSS07]. Amonograph [CSS11] has already appeared on this subject, and it gathers further usefulreferences.Another interesting application envisioned regards the construction and classification oforthogonal complex structures on open dense subsets of the Euclidean 4-space. This is an openproblem in complex differential geometry, on which Salamon and Viaclovsky [SV09] have workedextending results by Wood [Woo92].

DISCRETE LOCAL HOLOMORPHIC DYNAMICS

The research unit in Pisa will mainly deal with discrete local holomorphic dynamics in aneighborhood of a fixed point in several complex variables.In dimension one, the characterization of the stable set and the classification up to holomorphic,topological and formal conjugation are well understood thanks to the results of Yoccoz [Y95] andPérez-Marco. Indeed, the dynamics of the germ depend on those of its linear part near the fixedpoint, except for the parabolic case, that is, with identical linear part: in this case, the localholomorphic dynamics is described by the Leau-Fatou flower theorem, the complete formalclassification is due to Écalle [E81], and Camacho [C78] gave a complete topologicalclassification.The situation in several complex variables is richer and less understood. Écalle [E81], Hakim[H98] and Abate [A01] proved a version of the Leau-Fatou theorem for tangent to the identitygerms. In such a study, the blow-up techniques brought to important index theorems [ABT04]which have dynamical consequences and are the discrete analogs of the well-known Camacho-Sad index theorem [CS82]. In the linearization problem, the arithmetical resonance relations

among the eigenvalues of the differential are very important, and represent the formalobstruction to linearization; and even without resonances, the holomorphic linearization can beprevented by small divisors problems. The best results in this setting are due to [Br72], [Pö86],[PM01], and more recently to the principal investigator of the unit based in Pisa. The holomorphicnormalization problem is less understood and only recently the principal investigator in Pisaobtained a geometrical characterization of such problem. The study of dynamics of non-holomorphically linearizable germs, such as the 1-resonant germs studied in [BZ11], is anindication of the difference with the one-dimensional case. This paper introduces newtechniques, which will surely be of great relevance in the future developments of the field.

INTERACTIONS BETWEEN GEOMETRY AND REPRESENTATION THEORY

The idea behind the orbit method is the unification of harmonic analysis with symplecticgeometry. The orbit method was proposed in [K99] for the description of unitary irreduciblerepresentations of a Nilpotent Lie group. Coadjoint orbits are mentioned in many papers but theoutstanding role of Kostant and Duflo certainly must be mentioned. Unfortunately the idyllicharmony between unitary irreducible representations and orbits fails for compact groups. The so-called Borel-Bott-Weyl theorem agrees with the ideology of the orbit method and gives ageometric construction of unitary irreducible representations of compact Lie groups. One canconsider studying the coadjoint orbitopes; the convex hulls of their coadjoint orbits. Biliotti andGhigi proved that the coadjoint orbitopes of an integral orbit is homeomorphic to the Satake-Furstenberg of G/K, where G is the complexification of K. There are many compactifications ofsymmetric spaces and they have different applications; the Satake compactifications forapplication in harmonic analysis; the Furstenberg compactifications for applications in potentialtheory and ergodic theory [BJ06]. Moreover, using the formalism developed by Satake [S60],each face corresponds to an irreducible representation of a Parabolic subgroup of G.

ANALYSIS ON COMPLEX MANIFOLDS AND ON MANIFOLDS WITH SPECIAL STRUCTURES

In 1978 Yau proved the Calabi conjecture in [Yau78]. Calabi conjecture says that on a compactmanifold every representative of the first Chern class is the Ricci form of a Kähler form that liesin a fixed cohomology class. The statement of the conjecture can be reformulated in terms ofsymplectc forms. In particular the conjecture still makes sense in the almost-Kähler case. In thiscontext the system of PDE associated to the conjecture is usually called the Calabi-Yau equationand it is overdetermined in dimension greater then four. For this reason the Calabi-Yau equationis prevalently studied in four-dimensional spaces. S.K. Donaldson proved in [Don06] that theCalabi-Yau equation on four-dimensional manifolds is elliptic and has at most one solution.Moreover, Donaldson also showed in [Don06] that the Calabi-Yau equation is strictly related to alist of important problems in symplectic geometry. In [TWY08] there is showed that under someconditions, the Calabi-Yau equation has solution. In [TW11] Tosatti and Weinkove studied theCalabi-Yau equation on the Kodaira-Thurston manifold, that is the total space of a principal torusbundle over a torus. Tosatti and Weinkove proved that the Calabi-Yau equation in this space hasalways solution for every initial data defined on the basis. From this paper it follows the researchof [FLSV12]. H.-D. Cao gave in [Cao85] a new proof of the Calabi conjecture using the KählerRicci flow. That suggests studying the Calabi-Yau equation using parabolic flows. RecentlyStreets and Tian have introduced in [ST11], [ST10] a new parabolic flow on complex manifolds.The key idea of Streets and Tian consists on considering a Ricci-type flow defined by using theChern connection instead of the Levi-Civita connection. Constant solutions to this flow are calledin literature “static”. It is still an open problem to find an example of a static metric on a complexmanifold non-admitting Kähler structures. In [EFV12] Enrietti, Fino and Vezzoni proved that,except for the case of tori, invariant complex structures on nilmanifolds do not admit staticmetrics.

Given a compact complex manifold M with a positive Hermitian bundle L, a classical problem incomplex geometry, linked to the Calabi conjecture, is the study of Kähler-Einstein metrics, Kählerscalar constant curvature (KSCS) metrics, and extremal metrics. A generalization of Kähler-Einstein metrics is the notion of soliton. The fundamental result of Tian Zhu in [TZ00], where theuniqueness of Ricci soliton in the Kähler setting is obtained, suggested the Kähler Ricci solitonsas candidates for “the” favorite metric on a Kähler compact manifold with non trivial holomorphicvector fields.

A conjecture of Yau, Tian and Donaldson [Don01] states the existence of a KSCS is associatedto L is equivalent to the algebraic-geometric stability of the pair (M,L). These metrics turn out tobe the critical points of the Mabuchi energy defined on the space of Kähler metrics representingthe first Chern class of L. The Mabuchi energy of a given metric is known to be essentially theanalytic torsion of the metric, so it depends on the spectral properties of the Hodge Laplacianassociated to the metric. The existence problem of KCSC was studied, among others, byDonaldson, Mabuchi, and Tian. Recently, Arezzo and Pacard [AP06] [AP09] proved theexistence of a KCSC, respectively Calabi's extremal metrics, on blow up at finite ''special'' set ofpoints of a KCSC manifold, respectively a Calabi's extremal manifold.

Motivated by physics, special structures defined by differential forms are intensively studied[Hi00] and new examples of Quaternion-Kähler manifolds [SS82] have been investigate. Analyticand geometrical properties of domains of the n-dimensional complex space or Stein manifoldsunder the assumption of some convexity have been intensively studied by Bracci, Patrizio,Harvey and Lawson.

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12 - Ruolo di ciascuna unità operativa in funzione degli obiettivi previsti erelative modalità di integrazione e collaborazione

Italiano

UNITÀ INDAM

Le ricerche dell’unità si focalizzeranno sulla teoria delle funzioni s-regolari. Si studieranno gli sviluppi in serie e le rappresentazioni integrali, le singolarità, gli spazi diBergman. Si proseguirà lo studio della geometria della palla unitaria quaternionica mediante glistrumenti forniti dalla teoria delle funzioni regolari. Si studierà il legame tra funzioni s-regolari efunzioni Fueter-regolari.Si affronterà la questione dell’iterazione di funzioni quaternioniche regolari, collaborando conl’unità di Pisa e avvalendosi dell'esperienza di alcuni suoi membri in dinamica olomorfa.Si studieranno alcune varietà quoziente, in particolare i tori quaternionici, cooperando conl’Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México.Ulteriori attività di ricerca dell’unità concernono due applicazioni della teoria delle funzioniregolari. Una di queste riguarda la costruzione e la classificazione di strutture ortogonali complesse suuna classe di domini nello spazio dei quaternioni. La collaborazione con il King’s College Londone con le unità di Torino e Parma sarà particolarmente utile a tale scopo.Un secondo problema cui la teoria delle funzioni regolari si applica con successo è lacostruzione di nuovi tipi di calcolo funzionale.L’unità progetta di organizzare, all’interno del triennio, due incontri scientifici e un periodointensivo di ricerca.

UNITÀ DI PISA

L’unità di Pisa incentrerà le sue ricerche nell'ambito della dinamica olomorfa discreta locale. Inparticolare si affronteranno alcuni dei principali problemi aperti in dinamica olomorfa locale di piùvariabili complesse, come la caratterizzazione dell'insieme stabile e la classificazione a meno diun'opportuna relazione di coniugio, mescolando idee che vengono dall'analisi complessa, dalladinamica continua (reale e complessa), e dalla geometria complessa (differenziale e algebrica),con uno sguardo alle applicazioni al caso globale. Nello specifico si studierà la dinamica di germi di biolomorfismi in più variabili complesse conpunto fisso isolato non olomorficamente linearizzabili per ottenere una descrizione delladinamica in un intorno completo del punto fisso, in dimensione due e tre. Si prevede inoltre dipoter applicare i risultati ottenuti per costruire nuovi esempi di domini di Fatou-Bieberbach conproprietà particolari. Si fornirà quindi una descrizione topologica il più possibile completa delladinamica locale nell'intorno di un punto fisso parabolico, caratterizzazione estremamente utileper comprendere la dinamica locale olomorfa.Inoltre si sfrutteranno le tecniche sviluppate per studiare problematiche naturalmente collegatenella geometria complessa e nella teoria geometrica delle funzioni.Una di queste, riguarda l'utilizzo delle tecniche di geometria degli spazi metrici, applicate alledistanze invarianti di Kobayashi e Carathéodory, su domini limitati in più variabili complesse. Lacollaborazione con l'unità di Parma sarà molto utile per approfondire le applicazioni di talitecniche nello studio degli operatori di Toeplitz e delle misure di Carleson su domini strettamentepseudoconvessi. Una seconda applicazione alla geometria complessa delle tecniche e della classificazioneottenuta per i germi di biolormorfismi con punto fisso isolato consisterà nello studio di varietàcomplesse compatte ottenute come compattificazione di spazi di orbite, con particolareattenzione alle loro proprietà dinamiche e geometriche. In questo studio risulteranno importantianche le collaborazioni con le unità di Torino e Parma. Durante tutta la durata del progetto si prevedono vari scambi e collaborazioni con i vari enti edipartimenti che collaborano con il Dipartimento di Pisa, e le altre unità del progetto allo scopo difavorire lo scambio dei risultati ottenuti e iniziare nuove collaborazioni, come ad esempio conalcuni membri dell'unità INdAM.

UNITÀ DI PARMA

Biliotti e Ghigi studieranno le interazioni fra geometria e teoria delle rappresentazioni incollaborazione con Heinzner.

Recentemente hanno generalizzato una costruzione dovuta a Bourguignon, Li e Yau, perstudiare il primo autovalore di uno spazio Hermitiano simmetrico di tipo compatto. Questopermette di dare una descrizione geometrica della compattificazione di Satake-Furstenberg diuno spazio simmetrico G/K quando G è la complessificazione di K. Biliotti e Ghigi intendonogeneralizzare il risultato precedente alla compattificazione di Satake di uno spazio simmetricoarbitrario, utilizzando la mappa momento gradiente introdotta da Heinzner, Schwartz e Stötzel.Questo sarà poi utilizzato, per studiare il primo autovalore di una ''flag'' reale.

Tutte le tecniche sviluppate sopra saranno utilizzate da Biliotti e Ghigi per studiare l'inviluppoconvesso di orbite di rappresentazioni polari, chiamati orbitopi polari, utilizzando il formalismosviluppato da Satake. Ci si aspetta che le facce siano a sua volta orbitopi e che esista unacorrispondenza fra le facce e le orbite chiuse dei parabolici.

Appare inoltre interessante studiare il volume di un orbitopo coaggiunto. Per trovare formulegenerali che esprimano il volume di un orbitopo, sembra necessario sfruttare risultati profondisulle rappresentazioni e sulla struttura dei gruppi compatti. Viceversa si pensa che una formuladi questo tipo possa gettare una nuova luce su invarianti classici in teoria delle rappresentazioni.

Utilizzando le tecniche di Heinzner, Neeb, Schwartz e Stötzel, Biliotti e Ghigi studieranno inoltrel'inviluppo convesso delle orbite ellittiche di un gruppo semisemplice non compatto; tali orbitesono importanti nella teoria delle rappresentazioni irriducibili dei gruppi semisemplici reali noncompatti. Ci si aspetta che le facce di un orbitopo ellittico ammettano un’interpretazione intermini di teoria delle rappresentazioni.

Se M è una varietà complessa e L un fibrato hermitiano ampio, nell'ambito della quantizzazionegeometrica, è possibile introdurre un operatore lineare che approssimi in un senso opportuno illaplaciano di Hodge quando la potenza di L cresce. Delle Vedova intende studiare le proprietàspettrali di tale operatore. Queste tecniche saranno poi utilizzate da Biliotti, Delle Vedova e Ghigiper determinare delle stime sul primo autovalore del Laplaciano di una varietà compatta di Fano.

Si studieranno le proprietà delle metriche Kähler-Einstein kähleriane estremali e Kähler curvaturacostante; temi centrali nel campo della geometria complessa. Una generalizzazione dellemetriche di Einstein sono i Solitoni. Gori intende studiare il problema dell'esistenza di Solitoni diRicci, utilizzando le tecniche di Tian e Zhu e Podestà e Spiro, al caso di varietà kähleriane concampi olomorfi non banali in coomogeneità 1. In questo contesto possono essere utilizzate letecniche dei gruppi di Lie sviluppate da Conti per studiare strutture speciali su varietà definite daforme differenziale. Tali tecniche saranno anche utilizzate per trovare esempi espliciti di varietàQuaternion-Kähler complete a partire da strutture Quaternionic-contact che ne costituiscanol'infinito conforme.

Utilizzando le tecniche sviluppate da Donaldson, Tian e Yau, Della Vedova, in collaborazionecon Tian, si intende estendere alcuni risultati dimostrati recentemente da Chen e Sun per lemetriche a curvatura scalare costante, nel contesto delle metriche estremali.

Saracco si concentrerà sulle proprietà analitiche e geometriche dei domini dello spaziocomplesso n-dimensionale o delle varietà di Stein. L'obiettivo è studiare il nucleo di Poissonpluricomplesso, introdotto da Bracci e Patrizio, e le sue relazioni con il nucleo di GreenPluricomplesso al caso fortemente pseudoconvesso. Questo tema di ricerca sarà sviluppato incollaborazione con i membri dall'unità di Pisa.

UNITÀ DI TORINO

I ricercatori dell’Unità di Torino si occuperanno della parte di progetto relativa alla Geometriadelle G-strutture e delle metriche a olonomia speciale.Gli strumenti che saranno utilizzati in questa parte del progetto saranno principalmente leequazioni alle derivate parziali su varietà, flussi geometrici e azioni di gruppi di Lie. Per otteneredei risultati in queste tematiche risulta essenziale l’interazione con le altre tre unità. All’Unità diPisa ci sono ricercatori (come Daniele Angella) che si occupano di strutture quasi complesse inrelazione alla geometria simplettica e ricercatori (come Lorenzo Mazzieri) che si occupano diequazioni di evoluzione su varietà. L’interazione con l’Unità di Parma è dovuta allo studio dispazi omogenei. Vi sono infatti nell’Unità di Parma ricercatori che si occupano di azioni di Gruppidi Lie e quozienti di gruppi (come Leonardo Biliotti e Anna Gori). Per quanto riguarda l’Unitàdell’INdAM, vi sarà interazione in merito allo studio di G-strutture compatibili con una metricafissata. Ciò è dovuto al fatto che mappe quaternioniche regolari portano strutture complesseortogonali in strutture complesse ortogonali. Si approfondirà questo aspetto della teoria evarranno applicate tecniche analoghe per studiare altre strutture geometriche.

L’interazione tra unità sarà favorita permettendo la visita di singoli partecipanti ad altre sedi, maanche con la possibile organizzazione di incontri scientifici.

IngleseINDAM UNIT

The unit having its base at INdAM will focus on the theory of slice regular hypercomplexfunctions. It shall study power series expansions, integral representations, singularities and Bergmanspaces. The unit will make use of the instruments provided by this theory to understand thegeometry of the quaternionic unit ball. It shall compare slice regularity to Fueter-regularity.It shall investigate possible setups for slice regular dynamics, cooperating with the unit in Pisa tofully benefit of their expertise in holomorphic dynamics.The unit will study quotient manifolds such as the quaternionic tori, collaborating with the Institutode Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México.Finally, the unit will investigate two applications of the theory of slice regular functions. One of them is concerned with the construction and classification of orthogonal complexstructures on certain domains in the space of quaternions. The collaboration with King’s CollegeLondon and with the units in Turin and Parma will be particularly useful to this end.A different problem, which can be successfully addressed with the aid of the theory of regularfunctions, is the construction of new types of functional calculus.In order to disseminate the results obtained and to favor the collaboration within members of theunit and with other scholars, the unit projects to organize two scientific meetings and an intensiveresearch period.

PISA UNIT

The unit based in Pisa will focus its research on discrete local holormorphic dynamics. In particular, we will deal with some of the main open problems in local holomorphic dynamics inseveral complex variables, such as the characterization of the stable set and the classificationunder a suitable conjugation relation, mixing ideas coming from complex analysis, continuous(real and complex) dynamics, complex (differential and algebraic) geometry, with an eye towardglobal applications. We will study the dynamics of germs of biholomorphisms in several complexvariables having an isolated fixed point and non holomorphically linearizable, to obtain adescription of the dynamics in a full neighborhood of the fixed point, in dimension two and three.We also expect to be able to apply the obtained results to construct, in collaboration with Bracci,

new examples of Fatou-Bieberbach domains with special properties. We will thus give, ascompletely as possible, a topological description of the local dynamics in a neighborhood of aparabolic fixed point for a germ of biholomorphism in several complex variables, acharacterization that is extremely useful to understand the local holomorphic dynamics.We intend to apply the results and techniques introduced also to global problems, regardingdynamics, geometric function theory, and complex differential geometry.Another problem is concerned with the use of the techniques of geometry of metric spaces,applied to the invariant distances of Kobayashi and Carathéodory, on bounded domains inseveral complex variables. The collaboration with the unit in Parma will be very useful to analyzein detail the application of such techniques to the study of Toeplitz operators and Carlesonmeasures on strongly pseudoconvex domains. A further application, within complex geometry, of the techniques and the classification obtainedfor germs of biholomorphisms with an isolated fixed point will be the study of compact complexmanifolds obtained as compactification of orbits spaces, with a particular attention to theirdynamical and geometrical properties. In such a study, the collaborations with the units of Turinand Parma will be particularly useful.

Within the period of the project, there will be many interactions and collaborations with thevarious institutes and departments working with the Department of Pisa, and with the other unitsof the project, to favor the exchange of the obtained results, and to start new collaborations, forexample with some of the members of the unit based at INdAM.

PARMA UNIT

Biliotti and Ghigi study interactions between geometry and representation theory in collaborationwith Heinzner.

Biliotti e Ghigi generalized a construction due to Bourguignon, Li and Yau, to study the firsteigenvalue of any Hermitian symmetric space of compact type. A by-product of this generalizedconstruction is a geometric description of the Satake-Furstenberg compactification of a non-compact symmetric space G/K, where G is the complexification of K. Biliotti and Ghigi intend togeneralize this result to the Satake-Furstenberg compactifications of arbitrary symmetric spaces.To this end they will use, instead of the usual moment map, the gradient moment map introducedby Heinzner, Schwartz and Stötzel. As an application, Biliotti and Ghigi will investigate the firsteigenvalue of any real flag manifold.

Biliotti and Ghigi will study the convex hull orbits of polar representations, which are called polarorbitopes, using the formalism developed by Satake. They expect that the faces of a polarorbitope are themselves polar orbitopes of some special subgroups of K. Moreover they expectthat there exists a connection between the boundary of this convex body and the closed orbits ofthe real parabolic subgroups. Biliotti and Ghigi will study the volume of coadjoint orbitopes of a compact group. This convexbody has a lot of symmetry, but these are not enough to easily compute its volume, as it alreasyappears in the simplest examples. In order to calculate the volume of an orbitope they intend touse some result in representation theory and on the structure of a compact Lie group.Conversely, they expect that an explicit formula for the volume could be of some interest forclassical representation theory.

Using techniques introduced by Heinzner, Neeb, Schwartz and Stötzel, Biliotti and Ghigi willstudy convex hull of coadjoint elliptic orbits of a non-compact real semisimple group. Theyexpect that the faces of an elliptic orbitope allow for a representation-theoretic interpretation.

Let M be a compact complex manifold and let L be a positive Hermitian line bundle on M. DellaVedova will study a linear operator which approximate in a suitable sense the Hodge Laplacianfor higher tensor powers of L. He will investigate spectral properties of that operator and the

relations with the algebraic-geometric stability of the pair (M,L). Then, in collaboration with Biliottiand Ghigi, he will study the first eigenvalue of the Laplacian on compact Fano manifolds.

We shall study Kähler constant curvature, Kähler extremal metrics and Ricci solitons. Gori willaddress the existence problem for a Ricci Solitons, in the spirit of the results obtained by Wangand Zhu, where the existence of Kähler Ricci solitons on toric manifold has been proved, and byPodestà and Spiro, in cohomogeneity one. In this setting the Lie groups techniques developedby Conti could have been used. These ideas will also be used to get new examples of completequaternion-Kähler manifolds starting from quaternionic-contact structures that are their conformalinfinities.

Della Vedova, collaborating with Tian and using techniques developed by Donaldson, Tian andYau, plans to study uniqueness part of the conjecture of Tian. This conjecture states that anyKähler manifold admits, up to degeneration of the complex structure, an essentially uniqueextremal metric, following the ideas of X. Chen and S. Sun, in the scalar constant curvaturecase.

Saracco will study, in collaboration with the unit based in Pisa, analytic and geometricalproperties of domains of the n-dimensional complex space or Stein manifolds under differentconvexity hypotheses. He intends to study the pluricomplex Poisson kernel introduced by Bracciand Patrizio and its relationship with the pluricomplex Green kernel to the case of stronglypseuodoconvex domains.

TURIN UNIT

The team members of the unit in Torino will deal with the part of the project concerning theGeometry of G-structures and metrics with special holonomy. Topics in this area will be studiedusing techniques of geometric analysis, such as partial differential equations on manifolds, flowson manifolds and actions of Lie groups. In order to obtain results in these topics, an interactionwith the other three units will be necessary. At the unit based in Pisa there are researchers (asDaniele Angella) who work on almost complex structures in symplectic geometry andresearchers (as Lorenzo Mazzieri) who work on evolutions equations on manifolds. Theinteraction with the unit based in Parma comes form the study of homogenous spaces. Indeed,in Parma there are some researchers who work on actions and quotients of Lie groups (asLeonardo Biliotti and Anna Gori). The interaction with the INdAM unit is motivated by the study ofG-structures that are compatible with a fixed metric. Indeed, the INdAM unit contains experts (asCaterina Stoppato) who deal with quaternionic analysis and regular quaternionic maps can beused in order to study orthogonal complex structures. One of our aims will be to use quaternionicanalysis in order to study G-structures on manifolds.

The interaction between units will be supported, allowing visits of single unit members to otherbases and possibly organizing scientific meetings.

13 - Obiettivi finali che il progetto si propone di raggiungere

Italiano

ASPETTI TEORICI

1) TEORIA DELLE FUNZIONI REGOLARI (SLICE REGULAR) - INDAM

Uno degli obiettivi finali delle ricerche è raggiungere una piena padronanza della teoria dellefunzioni regolari, non solo sui quaternioni ma su una classe di algebre reali alternative.Nello specifico, si mira a ottenere sviluppi in serie e rappresentazioni integrali per funzioniregolari, anche in più variabili. Questi strumenti, così efficaci in ambito complesso, sono già statiintrodotti nel caso di una variabile quaternionica, dove rivelano tutte le peculiarità del contestonon commutativo.Si progetta di classificare le singolarità delle funzioni regolari su algebre reali alternative didimensione finita. Si ricercheranno teoremi analoghi al teorema dei residui. Nel caso di piùvariabili si indagheranno fenomeni di tipo Hartogs.Si studieranno spazi di funzioni regolari L^2 sommabili, analizzando il nucleo di Bergman e ilproiettore da esso definito. Si intende inoltre studiare la risolubilità e la regolarità di soluzioni diequazioni di Cauchy-Riemann quaternioniche non omogenee.Si studierà inoltre il teorema di Fueter inverso, che fornisce un legame tra funzioni s-regolari efunzioni Fueter-regolari, nonché tra le slice monogeniche e il nucleo dell'operatore di Dirac.

Tra gli obiettivi a lungo termine, e tra le motivazioni per lo studio delle funzioni quaternionicheregolari, vi sono alcuni stimolanti problemi geometrici in dimensione quattro.Il primo di tali obiettivi è raggiungere una profonda conoscenza della geometria della pallaunitaria quaternionica. A questo scopo sono già state recentemente introdotte versioni regolaridelle trasformazioni di Möbius, e si indagherà l’esistenza di una metrica di tipo Poincaréconservata da tali trasformazioni.Si affronterà la questione dell’iterazione di funzioni quaternioniche regolari, proseguendo il lavorogià iniziato. Si mira ad approntare gli strumenti per lo studio della dinamica quaternionica. Nelcaso della palla unitaria quaternionica, si ricercheranno inoltre analoghi del lemma di Wolff, oltreche teoremi di tipo Julia-Wolff-Carathéodory.Si studieranno alcune varietà regolari, in particolare i tori quaternionici, determinando la regionefondamentale per l'azione del gruppo GL(4,Z) e classificando il gruppo degli automorfismiregolari dei tori al bordo della regione fondamentale. Si mira a costruire e classificare strutture ortogonali complesse su una classe di domini nellospazio dei quaternioni. Si tratta di un problema aperto e studiato da vari specialisti in geometriadifferenziale complessa già dai primi anni ‘90.

Un secondo problema cui la teoria delle funzioni regolari si applica con successo è lacostruzione di nuovi tipi di calcolo funzionale. Si continuerà lo studio del cosiddetto S-calcolofunzionale, che vale per n-uple di operatori non commutanti ed è basato sulla nozione di S-spettro. Si studierà in particolare il problema di perturbazione del generatore di un gruppo o di unsemigruppo quaternionico. Si approfondirà la versione commutativa, il cosiddetto SC-calcolofunzionale, nonché l’F-calcolo funzionale, entrambi fondati sul concetto di F-spettro. Ci si propone lo studio di un calcolo funzionale per operatori su spazi di Hilbert quaternionici. Inquesto senso ci si propone di fare uso anche della classe delle funzioni slice che è stataintrodotta da Ghiloni e Perotti e che include strettamente le funzioni regolari.

2) DINAMICA OLOMORFA DISCRETA - PISA

Gli obiettivi finali delle ricerche sono la caratterizzazione dell'insieme stabile per germi dibiolomorfismi in più variabili complesse con punto fisso isolato, ossia l'insieme dei punti la cuiorbita rimane in un intorno del punto fisso, e la classificazione di tali germi a meno diun'opportuna relazione di coniugio. Nello specifico si studierà la dinamica di germi di biolomorfismi in più variabili complesse conpunto fisso isolato non olomorficamente linearizzabili per ottenere una descrizione delladinamica in un intorno completo del punto fisso, in dimensione due e tre.Si prevede inoltre di poter applicare i risultati ottenuti per costruire nuovi esempi di domini diFatou-Bieberbach con proprietà particolari, partendo da automorfismi in più variabili complesse

con un punto fisso isolato di tipo ellittico, cosa che finora è stata fatta solo per il caso attrattivo eper il caso parabolico, ossia con differenziale identico.Si fornirà quindi una descrizione topologica il più possibile completa della dinamica localenell'intorno di un punto fisso parabolico, caratterizzazione estremamente utile per comprenderela dinamica locale olomorfa. In tale studio si utilizzeranno gli strumenti introdotti da Abate-Bracci-Tovena e Abate-Tovena per ottenere una lista di modelli per i possibili comportamenti, e unadescrizione della dinamica topologica dei modelli in un intorno completo del punto parabolico,cosa che finora è stata fatta solo in casi particolari. Si utilizzeranno tecniche di tiposcoppiamento e risoluzione di singolarità, e in particolare, si studierà la dinamica dellegeodetiche per connessioni meromorfe su superfici di Riemann e le sue applicazioni nello studiodella dinamica locale vicino a un punto parabolico e della dinamica globale di campi vettorialiolomorfi omogenei.Ulteriore prova della rilevanza delle problematiche che si intendono affrontare sarà l'applicazionedei risultati ottenuti e delle tecniche introdotte anche a problemi di tipo globale, relativi sia alladinamica, che alla teoria geometrica delle funzioni, che alla geometria differenziale complessa. Si studierà ad esempio il comportamento asintotico di random iteration systems per applicazioniolomorfe della palla in più variabili in sé, per le sue applicazioni alla congettura di Bedford sullastruttura complessa delle varietà stabili di insiemi iperbolici per biolomorfismi, e allo studio dellecatene di Loewner. Si tratteranno anche problematiche di dinamica continua, come lo studio delcomportamento asintotico e del comportamento al bordo per semigruppi.Si studieranno inoltre le tecniche di geometria degli spazi metrici, applicate alle distanzeinvarianti di Kobayashi e Carathéodory, già utilizzate nello studio della dinamica, discreta econtinua, su domini limitati in più variabili complesse e nello studio della teoria geometrica dellefunzioni olomorfe. Se ne approfondiranno quindi le possibili applicazioni anche al di fuori delladinamica, come ad esempio nello studio degli operatori di Toeplitz e delle misure di Carleson sudomini strettamente pseudoconvessi. Si indagherà anche sulla possibilità di estendere a stacksanalitici il concetto classico di iperbolicità di Kobayashi per spazi complessi compatti. Un'altra applicazione alla geometria complessa delle tecniche e della classificazione ottenuta peri germi di biolormorfismi con punto fisso isolato consisterà nello studio delle proprietà dellevarietà CR e delle loro forme normali, e delle varietà complesse compatte ottenute comecompattificazione di spazi di orbite, con particolare attenzione alle loro proprietà dinamiche egeometriche.

3) INTERAZIONE FRA GEOMETRIA E TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI - PARMA

Si studiano le compattificazioni di Satake-Furstenberg di spazi simmetrici arbitrari assieme alProf. Peter Heinzner dell'università di Bochum. Vogliamo proseguire la ricerca di Biliotti, Ghigi,Heinzner, Moore e Satake, sulle descrizioni geometriche e le applicazioni di talicompattificazioni; per esempio intendiamo studiare il primo autovalore di una ''flag'' reale. Perottenere questo risultato dobbiamo utilizzare la mappa momento gradiente introdotta daHeinzner, Schwartz e Stötzel.

Tutte le tecniche sviluppate saranno utilizzate per studiare l'inviluppo convesso di orbite dirappresentazioni polari, chiamati orbitopi polari, utilizzando il formalismo sviluppato da Satake. Sistudierà la possibilità di caratterizzare le facce in termini di orbite chiuse di Parabolici e in terminidi ''speciali'' sotto-moduli polari. Questo fatto dovrebbe avere un certo interesse sia per la teoriadelle rappresentazioni sia per la geometria delle orbite.

Appare inoltre interessante studiare il volume di un orbitopo coaggiunto compatto. Per trovareformule generali che esprimano il volume di un orbitopo sembra necessario sfruttare risultatiprofondi sulle rappresentazioni e sulla struttura dei gruppi compatti. Viceversa si spera che unaformula di questo tipo possa gettare una nuova luce su invarianti classici in teoria dellerappresentazioni.

Utilizzando le tecniche di Heinzner, Neeb, Schwartz e Stötzel, si studierà inoltre l'inviluppoconvesso delle orbite ellittiche di un gruppo semisemplice non compatto, le quali sono moltoimportanti nella teoria delle rappresentazioni irriducibili.

4) ANALISI SU VARIETÀ COMPLESSE E SU VARIETÀ CON STRUTTURE SPECIALI –PARMA, TORINO

Se M è una varietà complessa e L un fibrato hermitiano ampio, nell'ambito della quantizzazionegeometrica si intenderà studiare un operatore che approssimi in un senso opportuno il laplacianodi Hodge quando la potenza di L cresce. Ci aspettiamo di essere in grado di usare gli strumentiintrodotti da Tian-Zelditch e Donaldson per investigare le proprietà spettrali del laplaciano''quantizzato''.

Queste tecniche saranno poi utilizzate per studiare il primo autovalore del Laplaciano di unavarietà compatta di Fano; vogliamo generalizzare una stima, dimostrata da Biliotti e Ghigi, sulprimo autovalore di uno spazio simmetrico Hermitiano compatto alle varietà compatte di Fano.

Utilizzando le tecniche sviluppate da Donaldson, Tian e Yau, intendiamo estendere incollaborazione con Tian, alcuni risultati dimostrati recentemente da Chen e Sun per le metrichedi Kähler a curvatura costante, sull'esistenza di metriche estremali su una varietà kählerianacompatta.

Si intende inoltre studiare una classe di metriche che generalizzano le metriche di Kähler-Einstein; i solitoni. Nel contesto delle varietà kähleriane compatte con campi olomorfi non banali,utilizzando le tecniche sviluppate da Tian e Zhu, e Podestà e Spiro, si vuole studiare l'esistenzadi solitoni di Ricci kähleriani su varietà con molte simmetrie; in particolare in coomogeneità 1.

Sempre in coomogenità 1, vogliamo studiare le strutture speciali su varietà definite da formedifferenziali. Si intende trovare esempi espliciti di varietà Quaternion-Kähler complete a partireda strutture Quaternionic-contact che ne costituiscano l'infinito conforme.

Infine ci concentreremo sullo studio delle proprietà analitiche e geometriche dei domini dellospazio complesso n-dimensionale e delle varietà di Stein. L'obiettivo sarà studiare il nucleo diPoisson pluricomplesso, introdotto da Bracci e Patrizio, e le sue relazioni con il nucleo di GreenPluricomplesso al caso fortemente pseudoconvesso.

Nell’ambito della Geometria delle G-strutture e delle varietà a olonomia speciali, ci si propone diottenere risultati inerenti all’esistenza delle soluzioni di equazioni di tipo Calabi-Yau e di flussiiperbolici e di ottenere nuovi risultati in Geometria Hermitiana.

In merito all’equazione di Calabi-Yau, si intende proseguire la ricerca di Fino, Li, Salamon eVezzoni sull’analisi dell’equazione di Calabi-Yau in fibrazioni di 2-tori su 2-tori. Uno dei nostriintenti in questa direzione sarà studiare l’esistenza di soluzioni per dati iniziali che non sianoinvarianti per l’azione della fibra. Intendiamo inoltre studiare questa equazione per fibrazioni intori su superfici di Riemann e per fibrati di tori tridimensionali su varietà tridimensionali (come peresempio la varietà di Iwasawa). Si intende inoltre generalizzazione l’equazione di Calabi-Yau per altre G-strutture (strutture diSpin, G2-strutture, ecc.). L'obiettivo è produrre nuovi esempi di varietà compatte a olonomia G2e collegare l’esistenza di strutture speciali con proprietà topologiche e algebriche. Esistono infattipochissimi esempi espliciti di varietà G2 compatte e recenti teorie Fisiche (in particolare l’M-theory) impongono la ricerca di nuovi esempi.

Ci si propone di studiare flussi parabolici su varietà complesse. Si studierà il comportamento delflusso della curvatura Hermitiana, introdotto da Streets e Tian, in quozienti compatti di gruppi di

Lie. Si studierà inoltre in modo approfondito la questione dell’esistenza di strutture Hermitan-Symplectic in varietà non Kähleriane. Tali metriche sono state introdotte da Street e Tian comesoluzioni statiche del flusso della curvatura Hermitiana ed è ancora un problema aperto quello ditrovare esempi di strutture Hermitian-symplectic in varietà non Kähleriane. È noto che taliesempi non esistano in dimensione quattro; Enrietti, Fino e Vezzoni hanno dimostrato che talistrutture non possono esistere in nilmanifold che non siano tori. Ci si prefigge di estenderequesta ricerca per quozienti di gruppi non nilpotenti. Qui l’idea è quella di introdurre un nuovoflusso parabolico in Geometria complessa utilizzando la connessione Bismut invece che laconnessione di Chern. Nel caso di quozienti di gruppi l’equazione alle derivate parziali legata aquesto flusso si riduce a un’equazione differenziale ordinaria il cui studio sarà oggetto deicomponenti dell’Unità.Saranno introdotti inoltre nuovi flussi geometrici per studiare G-strutture con torsione. Quil’intento è quello di introdurre flussi parabolici di G-strutture le cui soluzioni tendano a una G-struttura senza torsione. La strada in questa direzione è stata aperta da R. Bryant conl’introduzione del flusso del Laplaciano per deformare G2-strutture chiuse in varietà compatte.

Sarà inoltre studiata la congettura di Goldberg che ci si propone di dimostrare in alcuni casi. Lacongettura di Goldberg è una congettura che lega forme simplettiche a metriche Einstein eafferma che ogni struttura almost Kähler compatta che induce una metrica di Einstein èautomaticamente una struttura Kähleriana. La congettura è stata confermata per metriche acurvatura non negativa da Sekigawa. La dimostrazione di Sekigawa si basa su una formulaintegrale che coinvolge la curvatura della connessione di Chern, la curvatura della connessionedi Levi-Civita e la prima classe di Pontryagin. Sostituendo la connessione di Chern con altreconnessioni si ottengono nuove formule integrali. Ci si propone quindi di studiare la congetturaanalizzando le varie formule integrali ottenute considerando altre connessioni.

DIFFUSIONE DEI RISULTATI E COOPERAZIONE

Si dedicherà particolare attenzione a diffondere le conoscenze acquisite e a favorire lacollaborazione tra scienziati e tra gruppi di ricerca, per mezzo di: inviti nel seminario periodico disistemi dinamici olomorfi di Pisa; incontri scientifici e periodi intensivi di ricerca. Tali mezzifavoriranno inoltre la diffusione dei temi di ricerca di questo progetto alla nuova generazione digiovani dottorandi e ricercatori.

IngleseTHEORETICAL ASPECTS

1) THEORY OF (SLICE) REGULAR FUNCTIONS – INDAM

We aim at mastering the theory of regular functions, not only over the quaternions but also on aclass of real alternative algebras.Specifically, we shall obtain power series expansions and integral representations for regularfunctions, even in the case of several variables. These tools are extremely useful in the complexcase; they have already been introduced in the case of one quaternionic variable, revealing thepeculiarities of the non-commutative context.We project to classify the singularities of regular functions on (finite dimensional) real alternativealgebras. We shall pursue an analog of the residue theorem. In the case of several variables, weshall investigate Hartogs-type phenomena.We shall study spaces of L^2 regular functions, analyzing the Bergman kernel and thecorresponding projector. We intend to study the existence and regularity of solutions ofinhomogeneous quaternionic Cauchy-Riemann equations.We shall study the inverse Fueter theorem, which links the slice regular functions with the Fueterregular ones (and the slice monogenic functions with the kernel of the Dirac operator).

Among our long-term objectives are some challenging geometrical problems in dimension four.These are also a motivation for studying regular quaternionic functions.The first of them is reaching a deep understanding of the geometry of the quaternionic unit ball.A regular version of Möbius transformations has already been constructed, and we shallinvestigate the existence of a Poincaré-type metric.We shall address the problem of iterating regular quaternionic functions, continuing the workpreviously done. We aim at providing the setup for studying quaternionic dynamics. In the caseof the quaternionic unit ball, we shall obtain analogs of Wolff’s lemma and of the Julia-Wolff-Carathéodory theorem. We shall determine the properties of some regular manifolds, in particular the quaternionic tori:we shall determine the fundamental region for the action of the group GL(4,Z) and classify thegroup of the automorphisms of the tori at the boundary of the fundamental region. We aim at constructing and classifying orthogonal complex structures on a class of domains inthe space of quaternions. This is an open problem studied by experts in complex differentialgeometry since the early 90’s.

A different problem, which can be successfully addressed with the aid of the theory of regularfunctions, is the construction of new versions of functional calculus. We shall further the study of the so-called S-functional calculus for n-tuples of non-commutingoperators (based on the notion of S-spectrum). In particular, we shall understand theconsequences of perturbing the generator of a quaternionic group or semigroup. We shalldeepen our knowledge of the commutative variant, called SC-functional calculus, and of the F-calculus (both relying on the concept of F-spectrum).We aim at a functional calculus for operators on quaternionic Hilbert spaces. This investigationcould involve the class of slice functions, which was introduced by Ghiloni and Perotti and strictlyincludes regular functions.

2) DISCRETE HOLOMORPHIC DYNAMICS – PISA

We aim at characterizing the stable set for germs of biholomorphisms in several complexvariables with an isolated fixed point, that is the set of points whose orbit stays in a neighborhoodof the fixed point, and classifying such germs under a suitable conjugation relation.Specifically, we shall study the dynamics of germs of biholomorphisms in several complexvariables having an isolated fixed point and not holomorphically linearizable to obtain adescription of the dynamics in a full neighborhood of the fixed point, in dimension two and three.Moreover, we expect to be able to apply the obtained results to construct new examples ofFatou-Bieberbach domains with special properties, starting from automorphisms in severalcomplex variables with an isolated elliptic fixed point, something that up to now has been doneonly for the attractive case and the parabolic case. We will thus give as complete as possible topological description of the local dynamics in aneighborhood of a parabolic fixed point for a germ of biholomorphism in several complexvariables, a characterization extremely useful to understand the local holomorphic dynamics. Insuch a study we will use the tools introduced by Abate-Bracci-Tovena and Abate-Tovena toobtain a list of models for the possible behaviors, and a description of the topological dynamicsof the models in a full neighborhood of the parabolic fixed point, something that has never beendone up to now except in particular cases. This will be done with blow-up techniques andresolution of singularities, and in particular, we will study the dynamics of geodesics formeromorphic connections over Riemann surfaces and its unexpected applications in the study oflocal dynamics around a parabolic fixed point, and of global dynamics of holomorphichomogeneous vector fields.As a further evidence of the importance of the issues we intend to face, we will apply the resultsand techniques introduced also to global problems, regarding both dynamics, geometric function

theory, and complex differential geometry.For example, we will study the asymptotical behavior of random iteration systems forholomorphic self-maps of the ball in several complex variables, for its applications to Bedfordconjecture on the complex structure of the stable manifolds of hyperbolic sets forbiholomorphisms, and to the study of Loewner chains. We will also deal with problems incontinuous dynamics, as the study of the asymptotical behavior and the boundary behavior forsemigroups. Moreover, we will study the techniques of geometry of metric spaces, applied to the invariantdistances of Kobayashi and Carathéodory, already used in the study of dynamics, both discreteand continuous, on bounded domains in several complex variables, and in the study ofgeometric function theory of holomorphic functions. We plan to analyze in detail their applicationto the study of Toeplitz operators and Carleson measures on strongly pseudoconvex domains.We will also investigate the possibility of extending to analytic stacks the classical concept ofhyperbolicity of compact complex spaces.Another application to complex geometry of the techniques and the classification obtained forgerms of biholomorphisms with an isolated fixed point will be the study of the properties of CRmanifolds and their normal forms, and of compact complex manifolds obtained ascompactification of orbits spaces, with a particular attention to their dynamical and geometricalproperties.

3) INTERACTIONS BETWEEN GEOMETRY AND REPRESENTATION THEORY - PARMA

We study the compactifications of Satake-Furstenberg in collaboration with Prof. Peter Heinznerof the university of Bochum. These compactifications have been studied by Biliotti, Ghigi,Heinzner, Moore and Satake. We wish to use the gradient moment map, introduced by Heinzner,Schwartz e Stötzel, to reproduce the geometrical construction of the Satake compactifications ofG/K, where G is the complexification of K, given by Biliotti and Ghigi, to the Satake-Furstenbergcompactifications of arbitrary symmetric spaces. As an application, we study the first eigenvalueof any real flag manifold. All the techniques described above will be used to study convex hulls ofpolar orbits, which are called polar orbitopes, using the formalism developed to Satake. Weexpect that the faces of a polar orbitope are themselves polar orbitopes. This should have acertain interest in representation theory. Moreover we expect that there exists a connectionbetween the boundary of this convex body and the closed orbits of the real parabolic. Anotherinteresting problem is the study of the volume of coadjoint orbitopes of a compact group. Thisconvex body has a lot of symmetry but these are not enough to compute easily its volume, as italready appears in the simplest examples. We think that in order to calculate the volume of anorbitope we should use some result in representation theory and on the structure of a compactLie group. Conversely, we expect that an explicit formula for the volume could bear some interestfor classical representation theory. Proceeding further, we would like to study the convex hull ofelliptic orbits using techniques developed by Heinzner, Neeb, Schwartz and Stötzel. We actuallyhope that the faces of an elliptic orbitope allow for a representation-theoretic interpretation.

4) ANALYSIS ON COMPLEX MANIFOLDS AND ON MANIFOLDS WITH SPECIALSTRUCTURES – PARMA, TURIN

Let M be a compact complex manifold and let L be a positive Hermitian line bundle on M., Wewish to study a linear operator which approximate in a suitable sense the Hodge Laplacian forhigher tensor powers of L. We expect to use results and techniques of quantization geometrygiven by Tian-Zeldich and Donaldson to investigate spectral properties of that operator and therelationship with the algebraic-geometric stability of the pair (M,L). We also expect to get anupper bound for the first eigenvalue of the Laplacian on a compact Fano manifold.

A conjecture of Tian states that any Kähler manifold admits essentially a unique extremal metric.

Evidence to uniqueness in the constant scalar curvature case is given by a recent result of X.Chen and S. Sun. In a joint work with G. Tian, we plan to study the uniqueness part of theconjecture in the general case.

We shall study Ricci Solitons in the Kähler setting with large symmetric group .In this settingrelevant results have been obtained by Wang and Zhu, where the existence of Kähler Riccisolitons on toric manifold has been proved, and by Podestà and Spiro, where it is proved that anhomogeneous toric bundle over a flag manifold admits a Kähler-Ricci soliton if and only if it isFano. In this context we will be mainly interested in studying Kähler Ricci soliton in lowcohomogeneity, with particular attention to cohomogeneity one.

We also study geometric structures defined by differential forms. A specific goal is theconstruction of complete Quaternion-Kähler manifolds starting from Quaternionic-contactstructures that are their conformal infinities, in the context of cohomogeneity one manifolds.

Finally, we study analytic and geometrical properties of domains of the n-dimensional complexspace or Stein manifolds under different convexity hypothesis. We wish to study the pluricomplexPoisson kernel introduce by Bracci and Patrizio and its relationship with the pluricomplex Greenkernel to the case of strong pseuodoconvex domains.

In the ambit of G-structures and manifolds with special holonomy, we intent to get new results onthe existence of solutions to the Calabi-Yau equation and to parabolic flows and obtain newresults in Hermitian Geometry.

We intend to go on with the research started by Fino, Li, Salamon and Vezzoni on the Calabi-Yau equation in fibrations of tori over tori. We will study the Calabi-Yau equation for symplecticfibrations over Riemannian surfaces and for fibrations of 3-tori over 3-dimensional manifolds (asin the case of the Iwasawa manifold). We propose to introduce a Calabi-Yau equation for otherG-structures (Spin structures, G2-structures…). The goal of this research is producing newexamples of compact manifolds with special holonomy and to find new topological obstructionsto the existence of special metrics. There are, indeed, a few explicit examples of compactmanifolds with an integrable G2-structure and recent physical theories (in particular the M-theory) impose the research of new examples. We propose to extend this research to quotientsof non-nilpotent groups. Our idea is to deform symplectic structures by using the Bismutconnection instead of the Chern connection. We will study the behavior of these deformations. We will further introduce new geometric flows to deform G-structures with torsion. Here the mainidea consists in introducing evolution equations whose limits are integrable G-structures. A flowof this type has been recently introduced by R. Bryant to deform closed G2-structures oncompact 7-manifolds. Bryant’s flow is defined by using the Laplacian operator induced by a G2-structure.

We intend to study parabolic flows on complex manifolds. We will study the behavior of theHermitian curvature flow, introduce by Streets and Tian, in compact quotients of Lie groups. Wewill also study the problem of determining the existence of Hermitian-symplectic structures oncompact manifold without Kähler structures. Hermitian-symplectic structures were introduced byStreets and Tian as induced by static solutions to Hermitian curvature flow and it is still an openproblem to find an example of a Hermitian-Symplectic structure on a non-Kähler manifold. It iswell known that such examples do not exist in dimension four Enrietti, Fino e Vezzoni haveproved that Hermitian-symplectic structure do not exist on non- Kähler nilmanifolds. We proposeto extend this research to quotients of non-nilpotent groups. Our idea is to deform symplecticstructures by using the Bismut connection instead of the Chern connection. We will study thebehavior of these deformations. We will further introduce new geometric flows to deform G-structures with torsion. Here the ideaconsists in introducing evolution equations whose limits are integrable G-structures. A flow of this

type has been recently introduced by R. Bryant to deform closed G2-structures on compact 7-manifolds. Bryant’s flow is defined by using the Laplacian operator induced by a G2-structure.We will study a similar flow for SU(n)-structures.

We will further study the Goldberg conjecture. The Goldberg conjecture is a celebratedconjecture that links almost Kähler structures with Einstein metrics. The conjecture says thatevery almost Kähler structure inducing an Einstein metric on a compact manifold is a genuineKähler structure. Sekigawa has confirmed this conjecture for structures with positive scalarcurvature. The proof of Sekigawa’s theorem derives from an integral formula involving thecurvature of the Levi-Civita connection, the curvature of the Chern connection and the firstPontryagin class. Using other connections instead of the Chern connection one obtains newintegral formulas. We intend to study the conjecture using these integral formulas.

DISSEMINATION OF KNOWLEDGE AND COOPERATION

Special attention will be dedicated to diffuse the results of the researches and to favor thecollaboration between scholars and research groups, by means of: invited talks in the periodicholomorphic dynamical systems seminar in Pisa; scientific meetings and intensive researchperiods. These resources will also encourage the dissemination of the research topics of thisproject to the new generation of young researchers and PhD students.

14 - Risultati attesi dalla ricerca, e loro interesse per l'avanzamento dellaconoscenza e per le eventuali potenzialità applicative

Italiano

PUBBLICAZIONI

Tra i risultati delle nostre ricerche ci aspettiamo articoli su rivista, contributi a volumi o aproceedings, possibili monografie di ricerca; tesi di dottorato, tesi di laurea di ricerca osperimentali contenenti contributi originali; prodotti software.

COOPERAZIONE INTERNAZIONALE

Miriamo a creare sinergie e a incrementare le collaborazioni internazionali allo scopo di acquisireesperienze, conoscenze, informazione e dati. Parte del budget del progetto sarà dedicata apermettere a ricercatori stranieri di contribuire al nostro progetto, che potrà così beneficiare dellaloro esperienza.Per dettagli sulle collaborazioni in corso, si veda la voce 17.

DIVULGAZIONE DEI RISULTATI

Prevediamo di favorire l’organizzazione di eventi quali convegni, seminari, workshops, oltre adattività telematiche. Specificamente, l’unità INdAM intende organizzare due incontri scientifici e un periodo intensivodi ricerca all’interno del quadriennio del progetto. Ciò darebbe una veste formale a un’iniziativanata spontaneamente tra gli studiosi italiani di analisi ipercomplessa.L’unità con sede a Pisa intende diffondere i risultati delle ricerche e favorire le collaborazioni tra

studiosi e gruppi di ricerca per messo di inviti al seminario periodico di sistemi dinamici olomorfi.

FORMAZIONE DEI RICERCATORI

Come espressamente menzionato nella European Charter for Researchers: “The identifiedpotential shortage of researchers, particularly in certain key disciplines, will pose a serious threatto EU's innovative strength, knowledge capacity and productivity growth in the near future andmay hamper the attainment of the Lisbon and Barcelona objectives. Consequently, Europe mustdramatically improve its attractiveness to researchers offering support especially in the crucialpart of their development which is between the end of doctoral studies and the stage of scientificindependence, when becomes realistic a stable professional collocation.” La Matematica è unadi queste “discipline chiave”, perciò è indispensabile migliorare il numero e la qualità deiricercatori in quest’area.In particolare, il progetto aprirà posizioni post-doc per la coordinatrice del progetto e per unaresponsabile di unità. Prevede inoltre assegni che incoraggeranno alcuni brillanti dottori diricerca nelle loro carriere di matematici.

APPLICAZIONI

Alcuni temi studiati nell’ambito del progetto hanno suggestive connessioni con la FisicaMatematica. Ad esempio, le varietà di Calabi-Yau e le loro generalizzazioni permettono didescrivere la struttura microlocale dell’universo nella teoria delle stringhe; le G2-varietà svolgonoun ruolo simile nella M-teoria.La teoria delle funzioni quaternioniche regolari ammette applicazioni in ambito twistor e i flussiparabolici in geometria differenziale sono legati alla formula dell’entropia.Inoltre le sottovarietà lagrangiane speciali delle varietà di Calabi-Yau generalizzate svolgono unruolo importante nelle simmetrie “mirror”, e l’idea soggiacente al metodo delle orbite si puòconsiderare parte del concetto generale di unificazione di matematica e fisica. Il metodo delleorbite si può infatti vedere come un’espressione del profondo legame tra la meccanicaquantistica e la teoria delle rappresentazioni.Nel formalismo hamiltoniano, un sistema meccanico classico con gruppo di simmetria Kcorrisponde a una varietà simplettica con un’azione del gruppo K che ne preservi la strutturasimplettica. La teoria della quantizzazione geometrica permette di associare in modo naturale auna varietà simplettica con una azione di K un sistema quantistico K-simmetrico, ossia unarappresentazione unitaria di K su uno spazio di Hilbert. Ci si aspetta che tale rappresentazionesia irriducibile solo quando l'azione di K sulla varietà simplettica è transitiva.

Un’altra possibile applicazione prevista è la rappresentazione grafica computazionale di alcuniaspetti della teoria geometrica delle funzioni olomorfe, in particolare della teoria dell’iterazione edella dinamica complessa.

InglesePUBLICATIONS

As a result of our researches, we expect journal articles, contributions to volumes andproceedings, possible research monographs; Ph.D. dissertations and research or experimentalMaster’s Theses; software products.

INTERNATIONAL COOPERATION

We aim at creating synergies and increasing international collaborations. This will improve and

make available experience, knowledge, information and data. We will dedicate part of the budgetto allow foreign researchers to contribute to our activities and to benefit of their expertise.For an overview of the existing collaborations, see point 17.

DISSEMINATION OF KNOWLEDGE

We intend to favor events such as conferences, seminars, workshops; web activities are alsopossible.Specifically, the INdAM unit intends to organize two scientific meetings and an intensive researchperiod within the four-year period of the project. This would empower a spontaneous meetinginitiative, which the Italian researchers in hypercomplex analysis have recently undertaken.The unit based in Pisa intends to diffuse the results of the researches and to favor thecollaboration between scholars and research groups by means of invited talks in the periodicholomorphic dynamical systems seminar.

TRAINING OF RESEARCHERS

The European Charter for Researchers has pointed put a possible shortage of researchers,particularly in certain key disciplines. This would be a serious threat to EU's innovative strength,knowledge capacity and productivity growth in the near future and it may prevent theachievement of the Lisbon and Barcelona objectives. As a consequence, Europe mustdramatically improve its attractiveness to researchers. It must offer them special support in thecrucial phase between the end of their doctoral studies and the stage of scientific independence,when a stable professional collocation becomes realistic. Mathematics is one of theaforementioned key disciplines, so that it is crucial to increase the number and the quality ofexperienced researchers in this area. In particular the project is expected to provide postdoctoral research positions for the principalinvestigator and for one of the unit coordinators, and to grant fellowships that will encouragegifted Ph.D. graduates to pursue mathematical careers.

APPLICATIONS

Some of the topics studied in the project have significant connections with Mathematical Physics.For instance, Calabi-Yau manifolds (and their generalizations) allow describing the microlocalstructure of the universe in string theory; G2 manifolds play a similar role in M-theory. The theory of regular quaternionic functions can be applied in the twistor setting and parabolicflows in differential geometry are linked to the entropy formula. Moreover, special Lagrangian submanifolds of (generalized) Calabi-Yau manifolds have animportant role in mirror symmetry and the idea behind the orbit method can be considered aspart of the general idea to the unification of mathematics and physics. Indeed, the orbit method iswell understood as an expression of the deep relationship between quantum mechanics andrepresentation theory. In the Hamiltonian formalism, a classical mechanical system with symmetry group K correspondsto a symplectic manifold with an action of the group K preserving the symplectic structure.Geometric quantization is supposed to associate in some natural way, to each symplecticmanifold having a K-action, a quantum mechanical system having symmetry group K, that is, aunitary representation of K on a Hilbert space. This representation is expected to be irreducibleonly when the group K acts transitively on the symplectic manifold.

As a further possible application, we envision the computational graphical representation ofsome aspects of the geometric theory of holomorphic functions, in particular iteration theory andcomplex dynamics.

15 - Articolazione del progetto e tempi di realizzazione

Italiano

UNITÀ INDAM

Le ricerche dell’unità riguarderanno fin dall’inizio alcuni argomenti della teoria delle funzioni s-regolari: gli sviluppi in serie e le rappresentazioni integrali, le singolarità, gli spazi di Bergman.Queste tematiche coinvolgeranno i ricercatori del Politecnico di Milano e dell’Università di Trentooltre che la coordinatrice del progetto.Allo stesso tempo, l’unità si interesserà ad alcune applicazioni della teoria delle funzioni s-regolari. Una di queste riguarda la costruzione e la classificazione di strutture ortogonali complesse suuna classe di domini nello spazio dei quaternioni. Oltre al lavoro della coordinatrice del progetto,la collaborazione con il King’s College London e con le unità di Torino e Parma saràparticolarmente utile a tale scopo.Un secondo problema cui la teoria delle funzioni s-regolari si applica con successo è lacostruzione di nuovi tipi di calcolo funzionale. Costruzioni di questo tipo coinvolgeranno iricercatori del Politecnico di Milano e dell’Università di Trento.La ricercatrice dell’Università di Ferrara studierà i tori quaternionici e collaborerà con lacoordinatrice ad approntare gli strumenti per lo studio della geometria della palla quaternionicaunitaria.L’unità progetta di organizzare un incontro scientifico entro il primo anno del progetto.Successivamente, lo studio della geometria della palla unitaria quaternionica si concentrerà sullapossibilità di costruire una metrica alla Poincaré.Si coinvolgerà l’Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México nellostudio di alcune varietà quoziente.Il ricercatore dell’Università di Firenze investigherà i prerequisiti allo studio della dinamica s-regolare, cooperando con altri partecipanti all’unità e beneficiando dell’esperienza dell’unità diPisa.La partecipante che afferisce al Politecnico di Milano studierà il legame tra funzioni s-regolari efunzioni Fueter-regolari.Una volta compresa a fondo la geometria della palla quaternionica e approntati gli strumenti perla dinamica, sarà possibile un lavoro congiunto tra membri dell’unità. Questo richiederàprobabilmente l’organizzazione di un periodo intensivo di ricerca e il coinvolgimento di ricercatoridell’unità di Pisa.All’interno del periodo del progetto, si prevede un secondo incontro scientifico per favorire ilconfronto e la diffusione dei risultati ottenuti.

UNITÀ DI PISA

La ricerca dell'unità di Pisa sarà rivolta fin dall'inizio ad alcuni dei principali problemi aperti indinamica olomorfa locale di più variabili complesse, come la caratterizzazione dell'insiemestabile e la classificazione a meno di un'opportuna relazione di coniugio, mescolando idee chevengono dall'analisi complessa, dalla dinamica continua (reale e complessa), e dalla geometriacomplessa (differenziale e algebrica), con uno sguardo alle applicazioni al caso globale. Questetematiche coinvolgeranno, oltre alla coordinatrice del progetto, il ricercatore all'estero e ilricercatore dell'università di Pisa. In questa ricerca risulteranno estremamente utili lecollaborazioni istituite con l'Institut de Mathématiques de Toulouse, la School of Mathematics del

Trinity College Dublin, il Departament de Matemàtica Aplicada i Anàlisis dell'Universitat deBarcelona, e il Chern Institute.S'intendono inoltre sfruttare le tecniche sviluppate per studiare problematiche naturalmentecollegate nella geometria complessa e nella teoria geometrica delle funzioni.Una di queste, riguarda l'utilizzo delle tecniche di geometria degli spazi metrici, applicate alledistanze invarianti di Kobayashi e Carathéodory, su domini limitati in più variabili complesse.Oltre al lavoro della coordinatrice, la collaborazione con l'unità di Parma sarà molto utile perapprofondire le applicazioni di tali tecniche nello studio degli operatori di Toeplitz e delle misuredi Carleson su domini strettamente pseudoconvessi. Il ricercatore dell'Università degli Studi diMilano Bicocca si concentrerà inoltre sulla possibilità di estendere a stacks analitici il concettoclassico di iperbolicità di Kobayashi per spazi complessi compatti. Una seconda applicazione alla geometria complessa delle tecniche e della classificazioneottenuta per i germi di biolormorfismi con punto fisso isolato consisterà nello studio di varietàcomplesse compatte ottenute come compattificazione di spazi di orbite, con particolareattenzione alle loro proprietà dinamiche e geometriche. In questo studio risulteranno importantianche le collaborazioni con le unità di Torino e Parma. Il ricercatore della Scuola Normale Superiore si occuperà principalmente dello studio di flussigeometrici e delle loro proprietà dinamiche anche in relazione alla metrica scelta.

Durante tutta la durata del progetto si prevedono vari scambi e collaborazioni con i vari enti edipartimenti che collaborano con il Dipartimento di Pisa, e le altre unità del progetto allo scopo difavorire lo scambio dei risultati ottenuti e iniziare nuove collaborazioni, come ad esempio conalcuni membri dell'unità INdAM.

UNITÀ DI PARMA

Le ricerche dell’unità di Parma si concentreranno principalmente su due argomenti: l’interazionetra geometria e teoria delle rappresentazioni, e lo studio di strutture speciali su varietà.

Per quel che riguarda il primo punto, s’intendono trattare dapprima le compattificazioni diSatake-Furstenberg di spazi simmetrici arbitrari assieme al Prof. Peter Heinzner dell'università diBochum, per poi proseguire la ricerca di Biliotti, Ghigi, Heinzner, Moore e Satake, sulladescrizione geometrica e le applicazioni di tali compattificazioni. Questo studio sarà quindiutilizzato per studiare il primo autovalore di una ''flag'' reale e per investigare l'inviluppo convessodi orbite di rappresentazioni polari, chiamati orbitopi polari, utilizzando il formalismo sviluppatoda Satake. Si studierà anche la possibilità di caratterizzare le facce in termini di orbite chiuse di sottogruppiparabolici e in termini di sotto-moduli polari di ''speciali'' sottogruppi. Successivamente, studieremo il volume di un orbitopo coaggiunto e, usando le tecniche diHeinzner, Neeb, Schwartz e Stoetzel, l'inviluppo convesso delle orbite ellittiche di gruppisemisemplici reali non compatti.

Nell’ambito delle strutture speciali su una varietà complessa M, con un fibrato hermitiano ampioL, il primo passo sarà lo studio, nell'ambito della quantizzazione geometrica, di un operatore cheapprossimi in un senso opportuno il laplaciano di Hodge quando la potenza di L cresce. Ci siaspetta di essere in grado di usare gli strumenti introdotti da Tian-Zelditch e Donaldson perinvestigare le proprietà spettrali del laplaciano ''quantizzato''. Queste tecniche saranno poiutilizzate per studiare il primo autovalore del laplaciano di una varietà compatta di Fano;vogliamo generalizzare una stima dimostrata da Biliotti e Ghigi sul primo autovalore di unospazio simmetrico Hermitiano compatto, alle varietà compatte di Fano. Quindi, utilizzando le tecniche sviluppate da Donaldson, Tian e Yau, intendiamo estendere, incollaborazione con Tian, alcuni risultati dimostrati recentemente da Chen e Sun per le metrichekähleriane a curvatura costante, al caso delle metriche estremali.

Allo steso tempo, vogliamo studiare strutture geometriche definite da forme differenziabili. Unobiettivo specifico è la costruzione di varietà Quaternion-Kähler complete a partire da struttureQuaternionic-contact che ne costituiscano l'infinito conforme, nel contesto delle varietà dicoomogeneità uno. Tali tecniche saranno successivamente utilizzate per studiare l'esistenza disolitoni di Ricci kähleriani su varietà compatte kähleriane con campi olomorfi non banali, incoomogeneità 1. Inoltre, ci si concentrerà sullo studio delle proprietà analitiche e geometriche dei domini dellospazio complesso n-dimensionale e delle varietà di Stein. L'obiettivo sarà di studiare il nucleo diPoisson pluricomplesso, introdotto da Bracci e Patrizio, e le sue relazioni con il nucleo di Greenpluricomplesso nel caso fortemente pseudoconvesso.

UNITÀ DI TORINO

Le ricerche che saranno svolte dai componenti dell’Unità riguarderanno la geometria delle G-strutture e delle metriche a olonomia speciale. Il primo argomento di ricerca che sarà trattatosarà lo studio delle soluzioni di equazioni di tipo Calabi-Yau su varietà con strutture speciali. Talestudio avverrà mediante tecniche di analisi geometrica; in particolare dovrà essere utilizzata lateoria delle equazioni alle derivate parziali su varietà. In questa prima fase del progetto saràmolto utile l’interazione con i componenti dell’Unità di Parma e dell’Unità di Pisa. Si prevede inquesta fase di organizzare un incontro preliminare tra le varie unità per decidere come distribuireil lavoro. In una seconda fase del progetto si studieranno flussi parabolici su varietà compatte. In questocaso gli strumenti analitici impiegati saranno equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico.Anche in questa fase sarà necessaria l’interazione con le altre tre unità e si prevede diorganizzare un secondo incontro interunità con la funzione di confrontarsi sugli sviluppi ottenutiin merito alle problematiche affrontate durante la prima fase del progetto e per distribuire il lavorosugli argomenti inerenti alla seconda fase. Questo secondo incontro avrà anche la funzione dianalizzare le possibili nuove problematiche affiorate durante lo studio degli argomenti affrontatinel primo periodo. Al termine della seconda fase si prevede un terzo incontro in cui saranno analizzati i risultatiraggiunti. Durante tutta la durata del progetto vi saranno frequenti interazioni con alcuneuniversità all’estero. In particolare con le università di Cordoba, Valencia e Colonia (con cui èstata stipulata una lettera di intenti) e con il King’s College di Londra e l’Università di Saragozza.L’interazione con queste ultime due strutture deriva dalla collaborazione di alcuni componentidell’Unità con S. M. Salamon (King’s College) e L. Ugarte (Saragozza). Parte dei fondi delprogetto saranno utilizzati per finanziare l’interazione dei componenti dell’Unità di Torino conqueste istituzioni estere. Altre risorse saranno impiegate per continuare a organizzare i periodiciseminari in Geometria differenziale che si svolgono tra l’Università di Torino e il Politecnico diTorino.

IngleseINDAM UNIT

The unit having its base at INdAM will immediately start working on some topics in the theory ofslice regular functions: power series expansions, integral representations, singularities andBergman spaces. These topics will involve the researchers of the Polytechnic of Milan and of theUniversity of Trento, as well as the principal investigator.At the same time, the unit will investigate some applications of the theory of slice regularfunctions. One of them is concerned with the construction and classification of orthogonal complexstructures on certain domains in the space of quaternions. In addition to the work of the principalinvestigator, the collaboration with King’s College London and with the units in Turin and Parma

will be particularly useful to this end.A different problem, which can be successfully addressed with the aid of the theory of sliceregular functions, is the construction of new types of functional calculus. Constructions of thistype will involve the researchers of the Polytechnic of Milan and of the University of Trento.The researcher at the University of Ferrara will study quaternionic tori. She will collaborate withthe principal investigator to prepare the tools to investigate the geometry of the quaternionic unitball.The unit projects to organize a scientific meeting within the first year of the project.At a later stage, the work on the geometry of the quaternionic unit ball will focus on the possibleconstruction of a Poincaré-type metric.The study of quotient manifolds will involve the Instituto de Matemáticas de la UniversidadNacional Autónoma de México.The researcher of the University of Florence will investigate possible setups for slice regulardynamics, cooperating with other unit members and taking advantage of the expertise of the unitin Pisa.The researcher at the Polytechnic of Milan will work on a comparison between slice regularityand Fueter-regularity.Once a better understanding of the unit ball is achieved, and the tools for the study of thedynamics are ready, a joint work on this subject between unit members will be possible. Possibly,it will require an intensive research period and involve some researchers of the Pisa unit.Within the period of the project, a second scientific meeting is envisioned, in order to allow theinteraction between scholars and the dissemination of the knowledge acquired.

PISA UNIT

The research of the unit based in Pisa will immediately attack some of the main open problemsin local holomorphic dynamics in several complex variables, such as the characterization of thestable set and the classification under a suitable conjugation relation, mixing ideas coming fromcomplex analysis, continuous (real and complex) dynamics, complex (differential and algebraic)geometry, with an eye toward global applications. These topics will involve the principalinvestigator, the researcher in Paris and the researcher of the University of Pisa. In addition tothe work of the principal investigator, the collaboration with the Institut de Mathématiques deToulouse, the School of Mathematics of the Trinity College Dublin, the Departament deMatemàtica Aplicada i Anàlisi of the Universitat de Barcelona, and the Chern Institute, will beparticularly useful to this end.We intend to apply the results and techniques introduced also to global problems, regardingdynamics, geometric function theory, and complex differential geometry.One of them is concerned with the use of the techniques of geometry of metric spaces, appliedto the invariant distances of Kobayashi and Carathéodory, on bounded domains in severalcomplex variables. In addition to the work of the principal investigator, the collaboration with theunit in Parma will be very useful to analyze in detail the application of such techniques to thestudy of Toeplitz operators and Carleson measures on strongly pseudoconvex domains.Moreover, the researcher of the University of Milano Bicocca will investigate the possibility ofextending to analytic stacks the classical concept of hyperbolicity of compact complex spaces.Another application to complex geometry of the techniques and the classification obtained forgerms of biholomorphisms with an isolated fixed point will be the study of compact complexmanifolds obtained as compactification of orbits spaces, with a particular attention to theirdynamical and geometrical properties. In such a study, the collaborations with the units of Turinand Parma will be particularly useful.The researcher at the Scuola Normale Superiore will mainly study geometric flows and theirdynamical properties, also with respect to the chosen metric.

Within the period of the project, there will be many interactions and collaborations with the

various institutes and departments working with the Department of Pisa, and with the other unitsof the project, to favor the exchange of the obtained results, and to start new collaborations, forexample with some of the members of the unit based at INdAM.

PARMA UNIT

The research of the unit in Parma will be focused on two main topics: the interactions betweengeometry and representation theory, and the study of special structures on manifolds.

Concerning the first point, we will first study, in collaboration with Heinzner the compactificationsof Satake-Furstenberg, that have been studied by Biliotti, Ghigi, Heinzner, Moore and Satake.We intend to use the gradient moment map, introduced by Heinzner, Schwartz e Stoetzel, toreproduce the geometric description of the Satake-Furstenberg compatification of G/K, where Gis the complexification of the compact group K, given by Biliotti and Ghigi, to the Satake-Furstenberg compactifications of arbitrary symmetric spaces. All the techniques described above will be then used to study the first eigenvalue of a real flagmanifold and the convex hulls of polar orbits, which are called polar orbitopes, using theformalism developed to Satake. We expect that the faces of a polar orbitope are themselvespolar orbitopes of some special subgroups of K. This will be of a certain interest in representationtheory. Moreover we expect to be able to find a connection between the boundary of this convexbody and the closed orbits of the real parabolic.We will also study the volume of coadjoint orbitopes of a compact group and the convex hull ofelliptic orbits using techniques developed by Heinzner, Neeb, Schwartz and Stoetzel. We actuallyexpect that the faces of an elliptic orbitope allow for a representation-theoretic interpretation.

In the setting of special structures on a compact complex manifold M, with a positive Hermitianline bundle L, we will start with the study of a linear operator approximating, in a suitable sense,the Hodge Laplacian for higher tensor powers of L. We expect to use the results and techniquesof quantization geometry introduced by Tian-Zeldich and Donaldson to investigate spectralproperties of that operator and the relationship with the algebraic-geometric stability of the pair(M,L). Next we will use such spectral properties to investigate the first eigenvalue of theLaplacian on compact Fano manifolds.Then we will study, in collaboration with G. Tian, the existence problem of an extremal metric ona compact Kähler manifold. Evidence to uniqueness in the constant scalar curvature case isgiven by a recent result of X. Chen and S. Sun. At the same time, we shall study geometric structures defined by differential forms. A specificgoal is the construction of complete Quaternion-Kähler manifolds starting from Quaternionic-contact structures that are their conformal infinities, in the context of cohomogeneity onemanifolds. These techniques will be also used to study the existence problem of a Ricci Solitonin the Kähler setting with nontrivial holomorphic fields in cohomogeneity one.Moreover, we will focus on the study of analytic and geometrical properties of domains of the n-dimensional complex space, and Stein manifolds under different convexity hypothesis. We intendto study the pluricomplex Poisson kernel introduce by Bracci and Patrizio and its relations withthe pluricomplex Green kernel in the case of strongly pseuodoconvex domains.

TURIN UNIT

The team members of the Unity of Torino will work mainly on topics of G-structures and metricswith special holonomy. The unity will start by investigating solutions to Calabi-Yau equations formanifolds with special structures. This research will be performed using techniques ofgeometrical analysis, as partial differential equations on manifolds. In this first part of the projectit will be important the interaction with the unity of Pisa and with the unity of Parma.

We intend to organize a preliminary meeting during this part of the project in order to divide thework among the researchers of the four unities. In the second part of the project we will studyparabolic flows on compact manifolds. Also in this part it will be important the interaction with theother four unities. We intend to organize a second meeting at the beginning of the second part ofthe project in order to talk about the results obtained on the first part and to analyze newproblems arose during the first researches. At the end of the project we intend to organize a finalmeeting. Within the period of the project, the unity of Torino will collaborate with some abroaduniversities. Among these institutions there are the university of Cordoba, the university ofValencia and the university of Colonia (with these institutions there is an intent letter) and theKing’s College of London and the University of Zaragoza. The interaction with the last twouniversities is motivated by the collaboration with S. Salamon (King’s College, London) and L.Ugarte (University of Zaragoza). Some of the funds of the present project will be used to supportthe collaboration with these institutions. Some more funds will be used to organize periodseminaries in differential geometry at the University of Torino and at the Polytechnic of Turin.

16 - Elementi e criteri proposti per la verifica dei risultati raggiunti

Italiano

La valutazione della qualità di una ricerca scientifica dovrebbe essere sempre demandata algiudizio di ricercatori riconosciuti esperti nei settori scientifico-disciplinari interessati.Vi sono tuttavia alcuni risultati della ricerca che possono costituire una base certa per il giudiziodegli esperti, essendo indice di produttività e di efficacia. Vale naturalmente l’avvertenza che unconfronto statistico-quantitativo è privo di significato se non è effettuato fra ricerche dello stessosettore.Nello specifico della ricerca proposta nel presente progetto, ci si propone di verificare alla fine diciascuna fase della ricerca stessa i seguenti risultati quantitativi ottenuti dai partecipanti.

1) Pubblicazioni su riviste nazionali e internazionali, in particolare con referee.2) Conferenze e comunicazioni tenute a convegni e congressi.3) Conferenze tenute presso università ed enti di ricerca italiani e stranieri.4) Convegni, incontri scientifici, workshops organizzati da partecipanti al progetto.5) Collaborazioni con altri ricercatori italiani e stranieri e visite presso altre università, speciestraniere.6) Visite di ricercatori stranieri presso le unità di ricerca del progetto.7) Preprints, rapporti interni, articoli di rassegna.8) Produzione di programmi software. 9) Tesi di dottorato di partecipanti al progetto, o seguite dai docenti del progetto.10) Tesi di laurea di ricerca e/o sperimentali con contenuti di ricerca originali.11) Seminari orientati ai borsisti, dottorandi e laureati.12) Corsi di Dottorato e simili.13) Partecipazione di borsisti o dottorandi ad attività in altre università italiane e straniere.

I dati dall' 1) al 6) possono costituire un indice sicuro della validità della ricerca eseguita, inquanto provano che la ricerca è saldamente inserita in ambito internazionale.Il dato 7) segnala un'attività in corso di svolgimento e le capacità di sviluppi ulteriori.Il dato 8) dimostra l'interesse della ricerca per le applicazioni.I dati dal 9) al 13) sono indice dell'attività di formazione attraverso la ricerca.

IngleseOnly top-level scholars that are recognized experts in the scientific discipline considered may

evaluate the quality of a scientific research.Nonetheless, some research products may provide a solid basis for the judgment of the expertsbecause they are an indication of productivity and effectiveness. It should be kept in mind that astatistic or quantitative comparison is meaningless when performed on researches that do notfall within the same field.Specifically, we propose to check the following quantitative results obtained by the participants atthe end of each phase of the project.

1) Publications in national and international journals, in particular peer-reviewed ones.2) Talks and communications at conferences and congresses.3) Talks given at Italian or foreign universities and research institutions.4) Conferences, scientific meetings, workshops organized by the project participants.5) Collaborations with other researchers in Italy and abroad; visits in other Universities,especially abroad.6) Visits of foreign researchers at the research units of the project.7) Preprints, preliminary reports, surveys.8) Software production.9) Ph.D. theses of project members, or completed under the supervision of scholars taking partin the project.10) Research and/or experimental Master’s theses, with original research contributions.11) Lectures intended for doctoral and post-doctoral young scholars. 12) Ph.D. courses or similar.13) Participation of Ph.D. students in the activities of other universities, in Italy and abroad.

Items 1) to 6) constitute a reliable index of the value of the research accomplished; they provethat the research is solidly embedded in the international arena.Item 7) indicates the activities in progress and possible developments.Item 8) proves the worth of the research accomplished for applications.Items 9) to 13) reveal training and educational activity through research.

17 - Sintesi delle collaborazioni con altri organismi di ricerca pubblici e privati,nazionali e internazionali, e indicazione degli eventuali collegamenti con gliobiettivi di "Horizon 2020"

Italiano

COLLEGAMENTI CON GLI OBIETTIVI DI HORIZON 2020

Il progetto è del tutto coerente con la prima delle tre priorità di Horizon 2020, Excellent Science:“innalzare il livello dell’eccellenza nella base scientifica europea ad assicurare un flusso continuodi ricerca di rilevanza mondiale, allo scopo di assicurare la competitività a lungo terminedell’Europa”. In effetti, uno degli obiettivi di Horizon 2020 è accrescere il successo delloEuropean Research Council, e i temi di ricerca proposti rientrano pienamente nelle aree PE1_5(Geometria) e PE1_8 (Analisi) dell’ERC.

COLLABORAZIONI CON ISTITUZIONI NON EUROPEE

Beijing International Center for Mathematical Research

Il centro di ricerca è uno dei principali e più famosi centri di ricerca in matematica in Cina, e nelmondo, e si trova nel campus di Pechino. Ogni anno il centro ospita più di 200 matematici di tutto il mondo comprese medaglie Field.Organizza numerose conferenze, workshop in molte arie della matematica fra le quali, geometriasimplettica e fisica e analisi geometrica, che sono pienamente riconducibile alle nostretematiche. La collaborazione del Dipartimento di Matematica di Parma con tale centro,collaborazione che coinvolge Gang Tian, in particolare per quel che riguarda lo studio dimetriche di Kähler a curvatura costante e l'esistenza di metriche estremali su una varietàkähleriana compatta, darà quindi un grande contributo al progetto dell'unità di Parma.

Chern Institute - Tianjin

L'istituto è uno dei principali e più famosi centri di ricerca matematica in Cina. Fondato da S. S.Chern, oltre ad avere personale di eccellente qualità, organizza numerosi congressi, scuole eincontri di alto livello internazionale. La recente convenzione con il Dipartimento di Matematicadell’Università di Pisa nasce dai contatti consolidatisi negli ultimi anni fra membri delle dueistituzioni, con collaborazioni soprattutto nei campi della geometria differenziale e dei sistemidinamici, due delle principali aree trattate dal progetto.

Universidade de São Paulo - Instituto de Matemática e Estatística

La convenzione fra il Dipartimento di matematica di Parma e il Dipartimento di matematicadell'università di Sao Paulo nasce dai contatti consolidatisi negli ultimi anni fra membri delle dueistituzioni, con collaborazioni soprattutto nei campi della geometria differenziale e strutturespeciali su varietà; essendo, queste, due delle principali aree trattate da questo progetto, laconvenzione è pienamente riconducibile alle sue tematiche. Ricercatori coinvolti: Paolo Piccione,Claudio Gorodski, Marcos Martins Alexadrino da Silva.

Universidad Nacional de Córdoba - Facultad de Matemáticas

Nell'Università di Cordoba, Argentina, vi sono alcuni esperti internazionali di gruppi di Lie,metriche di Einstein, azioni di gruppi di Lie su varietà e geometria delle sottovarietà. Tra questiesperti vi sono: Carlos Olmos, Jorge Lauret, Isabel Dotti, Laura Barberis e Adrian Andrada.In letteratura vi sono vari articoli che attestano la collaborazione tra l'Università di Cordoba e icomponenti dell'Unità di Torino.

Universidad Nacional Autónoma de México - Instituto de Matemáticas

L’istituto è stato fondato nel 1942 e si è avvalso fin dalla fondazione dell’esperienza di scienziatidi grande prestigio, quali Solomon Lefschetz, che l'ha visitato ripetutamente. Tra le aree diricerca qui coltivate vi sono la dinamica e la topologia. L’Istituto intende collaborare con l’unitàINdAM mediante l’importante contributo di Alberto Verjovsky. Questo ricercatore si interessa anuovi aspetti della dinamica sul corpo dei quaternioni, e di alcune varietà ottenute comequozienti del piano iperbolico quaternionico per l’azione di gruppi kleiniani.

Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) - Berkeley, California

L’istituto, fondato nel 1981, è rinomato in campo internazionale come centro per la ricercamatematica e la formazione post doc. Ospita circa 85 ricercatori per volta, offrendo workshop e

programmi mirati sui problemi scientifici più stimolanti a livello mondiale. L’Istituto èun’organizzazione non-profit indipendente che riceve importanti contributi da individui,fondazioni, corporation, agenzie governative e da oltre 85 università e istituzioni.Tra queste vi è anche l’INdAM, che garantisce l’accesso alle attività MSRI a dottorandi italiani eprevede attività comuni con questa prestigiosa istituzione.

COLLABORAZIONI CON ISTITUZIONI EUROPEE

Trinity College Dublin - School of Mathematics

È uno dei principali centri europei di ricerca e insegnamento. I suoi membri lavorano sutematiche di ricerca a livello internazionale in differenti aree della Matematica e della FisicaTeorica. Ha inoltre fondato nel 2000 l'Hamilton Mathematics Institute TCD, allo scopo dipromuovere l'alta ricerca matematica. La collaborazione con la School of Mathematics, ed inparticolare con Dmitri Zaitsev, darà quindi un grande apporto al progetto dell'unità di Pisa.

King's College London - Department of Mathematics

L’accordo con l’INdAM prevede la formalizzazione di una collaborazione già in corso. Questacollaborazione coinvolge Simon Salamon, che afferisce allo stesso dipartimento, e riguardal’applicazione della teoria delle funzioni s-regolari alla costruzione e alla classificazione distrutture ortogonali complesse su una classe di domini nello spazio dei quaternioni. Si prevede ilcoinvolgimento di un altro membro del gruppo di ricerca in geometria differenziale dello stessodipartimento: Dmitri Panov, le cui competenze in geometria simplettica e sugli spazi twistorsaranno preziose per il progetto.

Université Paul Sabatier - Institut de Mathématiques de Toulouse

Creato nel 2007 a partire da una federazione di tre unità miste di ricerca del CNRS, i temi diricerca che vi sono rappresentati, fra cui spiccano la dinamica olomorfa, studiata fra gli altrimembri dell'istituto da François Berteloot e Arnaud Cheritat, e la geometria complessa,argomento principale della ricerca ad esempio di Vincent Guedj, coprono tutti i settorimatematici. L'Istituto accoglie ospiti stranieri di tutti gli orizzonti geografici e matematici, nelquadro di progetti nazionali e internazionali, e accordi di cooperazione internazionale comequello istituito con il Dipartimento di Matematica di Pisa.

Universität zu Köln - Mathematisches Institut

Tra il Dipartimento di Matematica dell'Università di Colonia (Germania) e il corrispondenteDipartimento dell’Università di Torino è già attiva una collaborazione nell'ambito del programmaVigoni dell'Università Italo-Tedesca. La collaborazione riguarda lo studio della mappa momentodi varietà di bandiera Il progetto ha anche lo scopo di formazione di giovani ricercatori.Attualmente gli studenti di Dottorato in Matematica dell'Università di Torino Maura Macri eAndrea Villa e S. Wiesendorf dell'Università di Colonia risultano coinvolti nel progetto. Si prevededi organizzare nel futuro mini-corsi e workshop attinenti alla Geometria differenziale e alla teoriageometrica delle funzioni. Il responsabile italiano del progetto è Sergio Console (Università diTorino). Da parte straniera è coinvolto G. Thorbergsson.

Universidad de Murcia - Departamento de Matemáticas

L'Università di Murcia è un importante centro europeo di ricerca e insegnamento. I suoi membrilavorano su tematiche di ricerca a livello internazionale in differenti aree della Matematica e dellaFisica. Quindi la convenzione esistente fra il Dipartimento di matematica di Parma e ilDipartimento di Matematica di Murcia è pienamente riconducibile alle tematiche del nostroprogetto. Ricercatore coinvolto: Miguel Angel Javaloyes Victoria.

Universitat de Barcelona - Departament de Matemàtica Aplicada i Anàlisi

Fra i suoi gruppi di ricerca più attivi annovera il gruppo di ricerca di Dinamica Olomorfa, cuiafferisce Núria Fagella, esperta di dinamica olomorfa di una variabile e chirurgia quasi-conforme,ed il gruppo di Analisi Complessa, formati dai migliori ricercatori spagnoli in questi ambiti,entrambi parte dell'Institut de Matemàtica di Barcellona, istituto di ricerca avanzata in ognicampo della Matematica. La collaborazione istituita con l’unità di Pisa è pienamente riconducibilealle tematiche del progetto.

Universitat de Valencia - Departament de Geometria i Topologia

Nell'Università di Valencia presenziano alcuni esperti in Geometria Differenziale. Attualmentealcuni membri dell'Unità di Torino stanno collaborando con Oscar Macia. Questa collaborazionenasce dal fatto che Oscar Macia è stato due anni a Torino grazie ad una borsa post-doc presso ilDipartimento di Matematica del Politecnico di Torino. Il progetto scientifico con Macia consistenello studiare lo spazio dei twistor su una varietà quaternion Kähler con torsione. Lo scopo diquesta ricerca è di applicare le proprietà dei twistor per introdurre nuovi esempi di struttureHermitane e quasi Hermitiane speciali.

COLLABORAZIONI CON ISTITUZIONI ITALIANE

Scuola Normale Superiore - Pisa

Nata nel 1810 per decreto napoleonico, sul modello dell'École Normale Supérieure di Parigi, sipropone di formare studiosi, professionisti e cittadini dalla formazione culturale ampia e dal fortespirito critico. Negli anni, la Scuola ha saputo stabilire relazioni e collaborazioni importanti con leprincipali istituzioni universitarie e di ricerca nazionali e internazionali, favorendo la mobilità distudenti e docenti e la partecipazione a corsi integrati e programmi di ricerca.La lunga e consolidata collaborazione fra la Classe di Scienze della Scuola Normale Superiore eil Dipartimento di Matematica dell'Università di Pisa sarà confermata in particolare dalleinterazioni dell'unità di Pisa con il gruppo di ricerca di Calcolo delle Variazioni e TeoriaGeometrica della Misura e il gruppo di ricerca di Sistemi Dinamici, i cui temi di ricerca sono moltovicini a quelle del progetto di questa unità.Inoltre, l’INdAM e la Normale hanno stabilito un accordo per l’organizzazione di incontri scientificipresso il Palazzone di Cortona. Si intende avvalersi di questa convenzione per favorire ilconfronto tra partecipanti al progetto e altri studiosi dediti agli stessi ambiti di ricerca a livellonazionale e internazionale.

Centro di Ricerca Matematica “Ennio De Giorgi” – Pisa

Fondato nel 2001, il centro ha lo scopo di ospitare ricercatori italiani e stranieri con l'idea di

stimolare la collaborazione e lo scambio di idee, producendo ricercatori altamente specializzati.In particolare, la collaborazione tra il Centro “De Giorgi” e l’INdAM è mirata all’organizzazione diperiodi intensivi di ricerca. Si intende realizzarne uno nel corso del periodo quadriennale disvolgimento del progetto.Inoltre, il centro è il luogo di collaborazione istituzionale fra membri del dipartimento e dellaScuola Normale Superiore. Dal 2001 il Centro “E. De Giorgi” ospita il seminario di SistemiDinamici Olomorfi ed è stato più volte sede di conferenze e workshop di geometria differenzialee di dinamica olomorfa. La recente nascita del “Laboratorio Fibonacci”, fra i cui interessispiccano i sistemi dinamici, favorirà ulteriormente lo sviluppo del progetto di ricerca dell'unità diPisa.

Centro Internazionale per la Ricerca Matematica (CIRM) – Trento

Fondato nel 1978, mira ad attrarre come visitatori i ricercatori più qualificati con: l’organizzazionedi seminari e convegni settimanali; l’assegnazione di borse post doc; i programmi “professorivisitatori”, “scienziati visitatori” e “research in pairs”.L’INdAM collabora con il CIRM per rendere possibili queste opportunità di ricerca, di cui siintende avvalersi.

Infine, per motivi del tutto naturali le unità di ricerca presso l’INdAM e presso l’unità di Pisaincludono ricercatori afferenti a sedi diverse da queste due. Per quanto riguarda l’INdAM, sitratta di:Università degli Studi di Ferrara;Università degli Studi di Trento;Politecnico di Milano;Università degli Studi di Firenze.Ciascuno degli atenei elencati collabora con l’INdAM per promuovere la ricerca scientifica e l’altaformazione in campo matematico, ospitandone un’unità di ricerca e ricevendo contributi perl’assegnazione di borse di dottorato. Queste collaborazioni costituiscono un solido fondamentoper del progetto “Geometria Differenziale e Teoria Geometrica delle Funzioni”.

IngleseCOHERENCE WITH THE OBJECTIVES OF HORIZON 2020

The project falls within the first priority of Horizon 2020, Excellent Science: to “raise the level ofexcellence in Europe's science base and ensure a steady stream of world-class research tosecure Europe's long-term competitiveness”. In fact, one of the aims of Horizon 2020 is buildingon the success of the European Research Council, and the research themes proposed perfectlyfit into the areas PE1_5 (Geometry) and PE1_8 (Analysis) of the ERC.

COLLABORATIONS WITH NON-EUROPEAN INSTITUTIONS

Beijing International Center for Mathematical Research

BICMR is a mathematical research institute sponsored by the national government of China. It islocated on the campus of Peking University. The center was created in 2005 by decree of thenational government. Each year, BICMR hosts more than 200 mathematicians from all over theworld, including the Fields medal winners, academicians from the National Academy of America

and the French Academy of Sciences. The collaboration between the center and the Parma unitwill be a significant contribution to the project, in particular in the study of Kähler metrics withconstant curvature and the existence of extremal metrics on compact Kähler manifolds.Researcher involved: Gang Tian.

Chern Institute – Tianjin

The institute is one of the most important and well-known mathematical research centers inChina. Founded by S. S. Chern, in addition to having excellent staff, it organizes severalcongresses, schools and meetings of high international level. The recent agreement with theDepartment of Mathematics of Pisa stems from the contacts between members of the twoinstitutions consolidated during the last few years, with collaborations in particular in the fields ofdifferential geometry and dynamical systems, two of the main areas touched by this project.

Universidade de São Paulo - Instituto de Matemática e Estatística

The long-standing collaboration between the Department of Mathematics of Sao Paulo and theDepartment of Mathematics of the University of Parma will provide the interaction of the unit ofParma with the research group on Differential Geometry and special structure on manifolds,whose research areas are very close to those in the project of this unit. Researchers of theinstitution involved will be the following: Paolo Piccione, Claudio Gorodski, and Marcos MartinsAlexadrino da Silva.

Facultad de Matemáticas - Universidad Nacional de Córdoba

At the University of Cordoba, Argentina, there are some international experts in Lie groups,Einstein metrics, Lie group actions on manifolds and in geometry of submanifolds. Among theseexperts are Carlos Olmos, Jorge Lauret, Isabel Dotti, Laura Barberis and Adrian Andrada. Thecollaboration between the members of unit of Torino and the researchers of the University ofCordoba is testified by several papers that have already appeared.

Universidad Nacional Autónoma de México - Instituto de Matemáticas

The institute was founded in 1942. Since its first years, it has been visited by renowned scientistswho significantly contributed to its development, such as Solomon Lefschetz. Dynamics andtopology are among the research areas comprised. The Institute projects to collaborate with theINdAM unit allowing the important contribution of Alberto Verjovsky. This researcher is interestedin new aspects of the dynamics over the skew field of quaternions, and in manifolds obtained asquotients of the quaternionic hyperbolic plane under the action of Kleinian groups.

Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) - Berkeley, California

The Institute is internationally renowned as a center for mathematics research and postdoctoraleducation. It was founded in 1981 and it hosts about 85 researchers in residence at any giventime. They participate in scientific workshops and programs that target the world’s mostchallenging scientific problems. The Institute is an independent non-profit organization thatenjoys extensive support from individuals, foundations, corporations, government agencies, andmore than 85 universities and institutions.INdAM belongs among these. Its contribution allows the participation of Italian Ph.D. students tothe MSRI activities and the joint organization of scientific activities.

COLLABORATIONS WITH EUROPEAN INSTITUTIONS

Trinity College Dublin - School of Mathematics

It is a leading European center for research and teaching. Members of the School carry onresearch at an international level in different areas of Mathematics and Theoretical Physics. In2000 the School founded the Hamilton Mathematics Institute TCD, to foster high research inmathematics. The collaboration with the School of Mathematics, and in particular with DmitriZaitsev, will thus give a big contribution to the project unit of Pisa.

King's College London - Department of Mathematics

The agreement with INdAM shall make a pre-existing collaboration official. This collaboration involves Simon Salamon, who works at the same Department, and it regardsthe construction and classification of orthogonal complex structures on certain domains in thespace of quaternions. We envision the contribution of another member of the research group indifferential geometry of the same Department: Dmitri Panov, whose expertise in symplecticgeometry and twistor spaces will be useful for the unit.

Université Paul Sabatier - Institut de Mathématiques de Toulouse

The institute was created in 2007 by a federation of three research units of CNRS. The researchthemes comprised, among which holomorphic dynamics, studied by François Berteloot andArnaud Cheritat, and complex geometry, main research topic for example of Vincent Guedj,cover a very broad spectrum of mathematics. The Institute welcomes foreign guests of allgeographical and mathematical origins, in the framework of national and international projects,and of international cooperation agreements such as the one established with the Department ofMathematics of Pisa.

Universität zu Köln - Mathematisches Institut

The Mathematics Department of the University of Köln (Germany) and the correspondingDepartment of the University of Turin already collaborate within the Vigoni program. The collaboration supported by the Vigoni program is about the study of the moment map of aflag symplectic manifold.One of the aims of the project is the training of young researchers. This part of the projectcurrently involves Maura Macrì and Andrea Villa, two Ph.D. students in Mathematic at theUniversity of Torino, as well as S. Wiesendorf in Köln.We propose to organize workshops and mini-courses. Sergio Console (University of Torino) andG. Thorbergsson are currently involved in this aspect of the project.

Universidad de Murcia - Departamento de Matemáticas

The Department of mathematics of Murcia has many tenured researchers and lecturer-researchers as well Ph.D. students and post-docs. The Institute welcomes foreign guests of allorigins, in the framework of national and international projects such as the one established withthe Department of Mathematics of Parma; it hosts international conferences and invited talks.

Researcher involved: Miguel Angel Javaloyes Victoria.

Universitat de Barcelona - Departament de Matemàtica Aplicada i Anàlisi

The Department is devoted to advanced research and training in all fields of Mathematics, and itcomprises various research groups. The one in holomorphic dynamics, with team members asNúria Fagella, an expert in holomorphic dynamics in one variable and quasi-conformal surgery,and the one in Complex Analysis are among the most active, and they include the best Spanishresearchers in these areas. The collaboration with the Pisa unit is fully consistent with theresearch themes of the project.

Universitat de Valencia - Departament de Geometria i Topologia

At the University of Valencia there are some international experts in Differential Geometry.Currently some members of the Turin unit are collaborating with Oscar Macia. This collaborationstarted at the Mathematics Department of the Polytechnic of Turin, where Macia had a post-docfellowship. The subject of the research with Macia is the study of the twistor space of quaternionKähler manifolds with torsion.

COLLABORATIONS WITH ITALIAN INSTITUTIONS

Scuola Normale Superiore – Pisa

It was officially founded in 1810 by decree of Napoleon, and it was modeled on the ÉcoleNormale Supérieure in Paris. The aim of the Scuola is to train scholars, professionals andcitizens, and to provide them with a wide cultural background and with a strong critical attitude.Over the years, it has established significant connections and collaborations with the mostimportant universities and research institutions both at a national and international level. This hasencouraged the mobility of both students and faculty and their involvement in study and researchprograms.The long-standing collaboration between the Faculty of Sciences of the Scuola NormaleSuperiore and the Department of Mathematics of the University of Pisa will provide theinteraction of the unit of Pisa with the research group on Calculus of Variations and GeometricMeasure Theory and the Dynamical Systems research group, whose research areas are veryclose to those in the project of this unit.Furthermore, INdAM and the Scuola have agreed on the joint organization of scientific meetingsat the Palazzone in Cortona (Arezzo). We intend to take advantage of this possibility toencourage the gathering of the participants with other national and international scholarsdevoted to the same fields of research.

Centro di Ricerca Matematica “Ennio De Giorgi” – Pisa

The center was established in 2001 and it is meant to gather Italian and foreign scholars,fostering collaboration, allowing the exchange of ideas, and producing highly specializedresearchers.The agreement between the Center and INdAM aims at setting up intensive research periods.We intend to organize one within the four-year period of the project.Moreover, the center is the institutional base for the collaboration between members of theDepartment and of the Scuola Normale Superiore. Since 2001 the Centro "E. De Giorgi" hosts

the Holomorphic Dynamical Systems seminar, and it has also hosted many conferences andworkshops on differential geometry and holomorphic dynamical systems. Moreover, the recentbirth of the "Laboratorio Fibonacci", among whose interests stand dynamical systems, willcontribute to the development of the research unit in Pisa.

CIRM (International Center for Mathematical Research) – Trento

It was founded in 1978 to attract the most qualified researchers as visitors. Its activities include:the organization of one-week seminars and conventions; postdoctoral fellowships; theappointment of visiting professors and visiting scholars; the “research in pairs” program.The project shall take advantage of these research opportunities, granted by CIRM incollaboration with INdAM.

Finally, the research units hosted at INdAM and in Pisa include scholars belonging to otherinstitutions. This is quite natural, because no scholar is officially appointed at INdAM andbecausethe University of Ferrara;the University of Trento;the Polytechnic of Milan;and the University of Florenceall cooperate with INdAM to promote scientific research and graduate education in mathematics.Indeed, each of them hosts an INdAM research unit, and it benefits of INdAM contributions forPh.D. fellowships. This type of cooperation is a solid base for the success of the present unitwithin the research project “Differential Geometry and Geometric Function Theory”.

18 - Riassunto Spese delle Unità di Ricerca

nº Responsabilescientifico

SpesaA.1.1

SpesaA.1.2

SpesaA.2

Spesa B Spesa C SpesaD

SpesaE

SpesaF

SpesaG

TOTALE

1. STOPPATOCaterina

56.000 0 0 153.600 200.000 1.400 7.000 2.000 0 420.000

2. RAISSYJasmin

56.000 0 0 153.600 200.000 1.500 6.900 2.000 0 420.000

3. BILIOTTILeonardo

51.160 2.840 40.000 56.400 0 1.600 20.000 8.000 0 180.000

4. VEZZONILuigi

54.000 0 40.000 56.400 0 1.600 20.000 8.000 0 180.000

TOTALE 217.160 2.840 80.000 420.000 400.000 6.100 53.900 20.000 0 1.200.000

Legenda voce di spesa:

Spesa A: Spese di personale (A.1.1. dipendente a tempo indeterminato; A.1.2. dipendente a tempo determinato; A.2 personale non dipendente, esclusi i contrattiper giovani ricercatori di cui alla voce C)Spesa B: Spese generali direttamente imputabili all'attività di ricerca (obbligatoriamente nella misura forfettizzata del 60% del costo del personale di cui alle voci Ae C)Spesa C: Spese per contratti almeno triennali per giovani ricercatoriSpesa D: Spese per l'acquisizione di strumentazioni, attrezzature e prodotti softwareSpesa E: Spese per stages e missioni all'estero di docenti/ricercatori coinvolti nel progettoSpesa F: Costo dei servizi di consulenza e simili utilizzati per l'attività di ricercaSpesa G: Altri costi di esercizio direttamente imputabili all'attività di ricerca

19 - Informazioni generali e durata del progetto

Durata del Progetto di Ricerca 48 Mesi Mesi/persona complessivi dedicati al Progetto di Ricerca 206,33

Costo totale del Progetto 1.200.000 Finanziamento richiesto 560.000

Numero di contratti per giovani ricercatori 2 Costo totale 400.000

20 - Costo complessivo del Progetto di Ricerca risorse disponibili

nº Responsabile scientifico Risorsefinanziarierichieste al

MIUR

Giovaniricercatori

Costo totaledella

propostaprogettuale

1. STOPPATO Caterina 154.000 200.000 420.000 2. RAISSY Jasmin 154.000 200.000 420.000 3. BILIOTTI Leonardo 126.000 0 180.000 4. VEZZONI Luigi 126.000 0 180.000 TOTALE 560.000 400.000 1.200.000

A carico del MIUR A carico del Proponente TOTALECosto delle attività di ricerca 560.000 240.000 800.000Costo dei contratti dei giovani ricercatori 400.000 400.000Costo complessivo dell'Unità di Ricerca 960.000 240.000 1.200.000

Si ricorda che il cofinanziamento a carico del proponente deve essere pari al 30% del costocomplessivo del progetto di Ricerca, detratti i costi dei contratti triennali per giovani ricercatori,che sono finanziati al 100%.

I dati contenuti nella domanda di finanziamento sono trattati esclusivamente per lo svolgimentodelle funzioni istituzionali del MIUR. Incaricato del trattamento è il CINECA- Dipartimento Serviziper il MIUR. La consultazione è altresì riservata agli atenei (ciascuno per le parti di propriacompetenza), al MIUR - D.G. per il Coordinamento e lo Sviluppo della Ricerca - Ufficio V, alCNGR e ai CdS. Il MIUR potrà anche procedere alla diffusione dei principali dati economici escientifici relativi ai progetti finanziati.

Firma del Coordinatore ............................. DATA 29/02/2012 16:04