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Geometria e misura Anna Montemurro

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2Geometriae misura2

Anna Montemurro

Anna

Montem

urro

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GEOMETRIA E MISURA UNITÀ 11 Le aree dei poligoni

2

FIGURE PIANE EQUIVALENTIConsideriamo la figura A.

Essa, come tutte le figure piane, occupa una cer-ta parte di piano: in pratica ha una certa esten-sione o superficie.Osserviamo ora le figure B e C.

È facile verificare con il metodo della sovrapposizione che B e C sono tra lorocongruenti e che, quindi, hanno la stessa estensione. Per questo motivo sono chiamate equivalenti o equiestese.

Due figure piane congruenti sono equivalenti o equiestese.

Se osserviamo le figure D ed E, ci accorgiamo subito che non sono congruentiperché non sono sovrapponibili. Però, se le osserviamo attentamente, notiamoche hanno la stessa estensione perché entrambe occupano una stessa superficiedi 12 quadretti. Deduciamo, quindi, che sebbene esse abbiano forma diversa, so-no equivalenti.

In simboli si scrive: D � E e si legge: “D è equivalente a E”.

Due figure piane di forma diversa si dicono equivalenti (o equieste-se) se occupano la stessa superficie.

Ora ci chiediamo:a. due figure equivalenti sono necessariamente isoperimetriche, cioè hanno lo

stesso perimetro?b. due figure isoperimetriche sono anche equivalenti?Per rispondere, osserviamo le figure L ed M: sono equivalenti perché occupanoentrambe una superficie di 6 quadretti, ma non sono isoperimetriche.

Invece, le figure R ed S sono isoperimetriche ma non equivalenti. Infatti, comepuoi osservare, entrambe hanno il perimetro di 20 unità, ma la prima figura è for-mata da 16 quadretti, mentre la seconda da 9 quadretti.

11.1

Sul terrazzo di casa Zufoli cisono due tovaglie ad asciugare. Le due tovaglie sonoequivalenti?

•Sì, perché occupano la stessasuperficie di 16 riquadri, cioèhanno la stessa estensione.

A

B C

D

E

Le figure B e Csono congruentie, quindi,equivalenti.

Le figure D ed E sonoequivalenti ma non congruenti.

L M

3 u

2 u 6 u1 u u

R S

8 u

9 u2 u

1 u u

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AREA DEL RETTANGOLODisegniamo un rettangolo con la base di 3 cme l’altezza di 2 cm.

Per calcolare l’area del rettangolo procediamocosì:

suddividiamo la base e l’altezza, rispettiva-mente, in 3 e 2 parti congruenti, ciascuna di1 cm;conduciamo dai punti di divisione le paral-lele ai lati del rettangolo;contiamo i quadrati congruenti in cui rima-ne diviso il rettangolo: 6.

L’esperimento ci consente di affermare che l’a-rea del rettangolo è 6 rispetto all’unità di misu-ra di 1 cm2, ovvero è di 6 cm2. Osserviamo che 6 cm2 è il prodotto della misura della base(3 cm) per la misura dell’altezza (2 cm).

Indicando con A l’area, con b la misura dellabase e con h la misura dell’altezza, la formulaper il calcolo dell’area del rettangolo è:

A = b ⋅ h formula diretta

L’area del rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della baseper la misura dell’altezza.

Dato che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, dalla formuladiretta possiamo ricavare le formule inverse, che consentono di calcolare la misu-ra della base essendo note l’area e la misura dell’altezza, oppure la misura dell’al-tezza essendo note l’area e la misura della base:

formule inverse

ESEMPI 1. Calcola l’area del rettangolo ABCD

a fianco, sapendo che ha la base di 9 cme l’altezza di 7 cm.A = b · h = 9 · 7 = 63 (cm2)

2. Determina la misura della base di unrettangolo avente l’area di 84 cm2

e l’altezza di 6 cm.

bAh

= = =846

14 (cm)

hAb

=bAh

=

11.4

Luca afferma che l’area del tappeto è 6 ⋅ 4 = 24 (dm

2)

perché è lavorato in modo da avere 6 righe e 4 colonne con riquadri uguali, di 1 dm

2

ciascuno. È corretto il suoragionamento?

•Sì.

D

base = 3 cmA

C

B

altezza = 2 cm

D

A

C

B

D

b = 9 cmA

C

B

h = 7 cm

I quadrati congruenticontenuti nelrettangolo sono3 ⋅ 2 = 6.

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18

AREA DEL ROMBOSappiamo che il rombo è un parallelogrammo particolareavente i lati congruenti. Quindi, per calcolare la sua areabasta moltiplicare la misura della base per la misura dell’altezza:A = b ⋅ h.

Se sono note le misure delle diagonali di un rombo, l’area può essere calcolata me-diante un altro metodo, che ora descriviamo.

Disegniamo un rombo ABCD e le sue diagonali. Conduciamo poi leparallele alle diagonali passanti per i vertici, ottenendo il rettangoloEFGI con i lati congruenti alle diagonali del rombo. Notiamo che ta-le rettangolo è scomposto in otto triangoli congruenti e che quattro diessi formano il rombo. Ne segue che il rombo è equivalente alla metàdel rettangolo.Indicando con d1 e d2 le misure delle diagonali, l’area del rombo è datadalla formula:

formula diretta

Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo la cui base e lacui altezza sono congruenti alle diagonali del rombo.L’area del rombo è data dal prodotto delle misure delle sue diago-nali diviso per 2.

Le formule inverse si ottengono raddoppiando l’area del rombo in modo da rico-struire il rettangolo e dividendo la doppia area così ottenuta per la misura di unadelle due diagonali:

formule inverse

ESEMPIO Quanto misura la diagonale maggiore di un rombo se l’area è 52 cm2 e la

diagonale minore misura 8 cm?

Ricordando che il quadrato è un particolarerombo che ha le diagonali congruenti, ricaviamocosì un’altra regola per determinare la sua area.

L’area di un quadrato è data dalla mi-sura della diagonale elevata al qua-drato e divisa per 2.

La relativa formula e la sua inversa, indicando con d la misura delladiagonale, sono:

d A= 2Ad d d= ⋅ =2 2

2

dA

d12

2 2 528

13= = ⋅ = ( )cm

dA

d21

2=dA

d12

2=

Ad d

=⋅1 2

2

11.9

Le mattonelle della miacucina hanno la forma di rombi. Quali elementidevo misurare per calcolarel’area di ognuna?

•La base e l’altezza oppurele due diagonali.

A B

CD

h

b

A F

B

GCI

E

D

A B

D C

d

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1 Se consideriamo il rombo come un parallelogrammo di base b e altezza h, qual è la formula che esprime la sua area?

2 Disegna un rombo con la base di 9 cm e l’altezza relativa di 2 cm e calcolane l’area.

3 Illustra con un disegno che il rombo è equivalente alla metà di un rettangolo con le dimensionicongruenti alle diagonali del rombo. Da quanti triangoli congruenti è formato il rombo? E il rettangolo?

4 Disegna i rombi equivalenti alla metà dei seguenti rettangoli.

5 Disegna i rettangoli equivalenti al doppio dei seguenti rombi.

6 Calcola l’area dei seguenti rombi, esprimendola in centimetri quadrati.

7 Scrivi le formule che consentono di calcolare la misura di una delle diagonali di un rombo,essendo note l’area e la misura dell’altra diagonale.

8 L’area di un rombo è 1040 dm2

e una diagonale misura 32 dm. Verifica che la misura dell’altradiagonale è 65 dm.

9 Completa la seguente tabella, relativa a un insieme di rombi.

d1(cm) d

2(cm) A (cm2)

16 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 210

RISOLVI I SEGUENTI PROBLEMI

10 Qual è l’area di un quadrato, sapendo che lasua diagonale misura 6 cm? [18 cm

2]

11 Qual è la misura della diagonale di un qua-drato di area 32 cm

2? [8 cm]

19

...verifico

ESERCIZI p. 54

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AREA DI UN QUADRILATERO CON LE DIAGONALI PERPENDICOLARIDisegniamo una coppia di segmenti perpendicolari e costruiamo il quadrilateroABCD avente tali segmenti come diagonali.

Conduciamo ora le parallele alle diagonali passanti per i vertici del quadrilateroe otteniamo il rettangolo EFGI, i cui lati sono congruenti alle diagonali.

Osserviamo che il rettangolo è formato da otto triangoli congruenti a due a due(congruenza evidenziata dalla colorazione). Il quadrilatero ABCD è composto daquattro di tali triangoli, uno per ogni coppia di triangoli congruenti. Il quadrilate-ro è perciò equivalente alla metà del rettangolo e la sua area si calcola moltipli-cando le misure delle diagonali e dividendo il prodotto per 2.

Indicando con d1 e d2 le misure delle diagonali del quadrilatero, l’a-rea si ottiene con la seguente formula (analoga a quella del rombo):

formula diretta

L’area di un quadrilatero con le diagonali perpendico-lari si ottiene moltiplicando le misure delle diagonali edividendo il prodotto per 2.

Dalla formula diretta si ricavano quelle inverse:

formule inverse

ESEMPIO Un aquilone ha le diagonali perpendicolari e una di esse misura

12 dm. Se la sua area è 48 dm2, quanto misura l’altradiagonale?

dA

d12

2 2 4812

9612

8= = ⋅ = = ( )dm

dA

d21

2=dA

d12

2=

Ad d

=⋅1 2

2

11.10

A

D

C

B

A

D

C

B

E

I G

F

L’aquilone che ha costruitoMarianna ha le diagonali lunghe 70 cm e 90 cm. Qual è la sua area?

= =3150 (cm ) 31,5 (dm )2 2

A =⋅

= ⋅ =d d

1 2

2

70 90

2

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1 Traccia l’apotema di ciascuno dei seguenti poligoni regolari e individua il numero di triangoli che si otterrebbero se si tracciassero i raggi del poligono. Come sono tali triangoli? Tenendo conto del loro numero, in che modo puoi ottenere l’area di ciascun poligono?

2 Osserva le figure e rispondi alle domande.a. Da quanti triangoli congruenti è formata la figura A?b. Le figure A e B sono equivalenti? Motiva la risposta.c. Come puoi ottenere l’area della figura A? E l’area della figura B?

3 Calcola l’area del seguente ottagono regolare, sapendo che l’area del triangolo colorato è 12 cm

2.

4 Scrivi la formula dell’area di un poligono regolare e ricavane le formule inverse.

5 Determina l’area dei seguenti poligoni regolari.

6 Vero o falso?

a. Per calcolare il perimetro di un poligono regolare, di cui si conoscono l’area e la misura

dell’apotema, si moltiplica l’area per 2 e si divide il prodotto per l’apotema.

b. Non è possibile calcolare la misura dell’apotema di un poligono regolare conoscendone

il perimetro e l’area.

c. Per calcolare la misura dell’apotema di un poligono regolare si divide il doppio prodotto

dell’area per il perimetro.

7 Calcola l’area di un pentagono regolare, sapendo che il lato è di 6 cm e l’apotema misura 4,12 cm. Verifica che il risultato è 61,80 cm

2.

RISOLVI I SEGUENTI PROBLEMI

FV

FV

FV

8 Quanto misura l’apotema di un poligonoregolare di otto lati che ha il perimetro di32 cm e l’area di 76,80 cm

2? [4,8 cm]

9 Qual è il perimetro di un esagono regolarela cui area è 1623,75 m

2e il cui apotema

misura 21,65 m? [150 m]

25

...verifico

ESERCIZI p. 62

O. O.O.

O.A

l = 6 cma = 5,2 cm

l = 10,5 cma = 7,224 cm

l = 12 dma = 10,39 dm

l = 32 ma = 38,6 m

B

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