ANATOMIA DELLE ONDE SONORE - Mario Sandri · Anatomia delle onde sonore Mario Sandri ... velocità...

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE ALL’INSEGNAMENTO SECONDARIO

INDIRIZZO SCIENTIFICO MATEMATICO FISICO INFORMATICO

classe A049 matematica e fisica

Unità didattica

ANATOMIA

DELLE

ONDE SONORE

Dott. Mario Sandri

Matricola 117039

Anno Accademico 2004/2005

Anatomia delle onde sonore Mario Sandri

INDICE DEI CONTENUTI

Pagina 3 Destinatari

Pagina 3 Prerequisiti

Pagina 3 Accertamento dei prerequisiti

Pagina 4 Obiettivi

Pagina 4 Obiettivi generali

Pagina 4 Obiettivi trasversali

Pagina 5 Obiettivi specifici

Pagina 5 Conoscenze (obiettivi cognitivi)

Pagina 5 Competenze (obiettivi operativi)

Pagina 5 Capacità (obiettivi metacognitivi)

Pagina 6 Sviluppo dei contenuti

Pagina 6 Moto armonico semplice

Pagina 10 Esempio 1

Pagina 11 Esempio 2

Pagina 12 Smorzamento

Pagina 17 Esempio

Pagina 18 Modi normali di oscillazione trasversale delle corde a estremi fissi Pagina 23 Esempio 1

Pagina 24 Esempio 2

Pagina 25 Metodologie didattiche

Pagina 25 Materiali e strumenti utilizzati

Pagina 26 Controllo dell’apprendimento

Pagina 26 Valutazione

Pagina 26 Recupero e approfondimento

Pagina 26 Tempi dell’intervento didattico

Pagina 27 Bibliografia

Pagina 2


DESTINATARI

Questa unità didattica è rivolta a studenti del 5° anno del Liceo Scientifico, del Liceo scientifico

P.N.I. e degli istituti tecnici.

PREREQUISITI

• Conoscere il concetto di derivata totale e parziale

• Conoscenza delle funzioni trigonometriche

• Saper calcolare le derivate

• Conoscere i tre principi della dinamica

• Conoscere le funzioni esponenziali

• Saper fare calcoli letterari

• Conoscere le relazioni tra spostamento, velocità e accelerazione

• Conoscere un’equazione differenziale

• Conoscere i fondamenti della fisica

• Conoscere le funzioni in due variabili

ACCERTAMENTO DEI PREREQUISITI

Questa unità didattica prevede che l’alunno abbia completamente acquisito nelle unità didattiche

precedenti le conoscenze e le competenze sui concetti fondamentali della fisica e sulla relazione che

intercorrono tra le grandezze spostamento, velocità e accelerazione, nonché su concetti

fondamentali della matematica quali le funzione in più variabili, la trigonometria e le derivate.

Come accertamento dei prerequisiti si accettano i risultati delle verifiche sommative delle unità

didattiche precedenti, pur ritenendo necessario condurre una lezione dialogata, durante la quale

l’insegnante verifica ulteriormente le conoscenze ponendo alcune domande opportune.

Alcuni punti essenziali e di strategica importanza sono da rivedere, integrare e rinforzare in

classe, durante la prima ora dell’unità didattica, con modalità dialogica-interattiva. Gli studenti

carenti in determinati argomenti, saranno invitati, entro la successiva lezione, a rivedere le

tematiche in questione.

Pagina 3


OBIETTIVI

Obiettivi generali

• Acquisire le conoscenze, competenze e capacità previste dall’unità didattica per l’argomento

anatomia delle onde sonore

• Contribuire a sviluppare e soddisfare l’interesse degli studenti per la fisica, in generale, e per

l’acustica, in particolare

• Saper utilizzare consapevolmente procedure matematiche nell’ambito fisico

• Riconoscere il contributo dato dalla fisica allo sviluppo delle scienze musicali

• Migliorare l’abilità di lettura di grafici evidenziando in tal senso anche capacità critiche

• Motivare gli alunni ad attività di studio teorico degli aspetti quotidiani della fisica

• Contribuire a rendere gli studenti in grado di affrontare situazioni problematiche di natura

acustica avvalendosi nei modelli fisico-matematici più adatti alla loro rappresentazione

• Condurre ad un appropriato utilizzo del lessico specifico della fisica e della musica e a saper

argomentare con proprietà di espressione e rigore logico

• Sviluppare il senso critico e la capacità di correggere errori

• Acquisire un’adeguata conoscenza e comprensione dei contenuti proposti insieme alla

consapevolezza del proprio stile di apprendimento

• Possedere e migliorare il metodo di studio

• Abituare ad un metodo autonomo di lavoro, consolidando la capacità progettuale ed

organizzativa

Obiettivi trasversali

• Educare gli alunni ad un comportamento corretto e responsabile verso compagni ed

insegnanti e al rispetto reciproco nei rapporti interpersonali

• Sviluppare attitudine alla comunicazione favorendo lo scambio di opinioni tra docente e

allievo e tra allievi

• Proseguire ed ampliare il processo di preparazione scientifica e culturale degli studenti

• Contribuire a sviluppare lo spirito critico e l’attitudine a riesaminare criticamente ed a

sistemare logicamente le conoscenze acquisite

Pagina 4


Obiettivi specifici

Conoscenze (obiettivi cognitivi)

• Conoscere la relazione tra le diverse forze applicate ad un sistema

• Conoscere le leggi che governano il moto ondoso

• Conoscere i parametri fondamentali che caratterizzano le onde

• Conoscere l’equazione di un’onda

• Conoscere il significato fisico di grandezze comunemente adottate nel gergo

musicale

Competenze (obiettivi operativi)

• Saper determinare la frequenza di oscillazione di oscillatore armonico

• Saper determinare le caratteristiche principali di un’onda

• Saper determinare il tipo di smorzamento subito da un’onda

• Saper determinare la frequenza di oscillazione di una corda vibrante

• Saper determinare il tipo di armonica di una corda vibrante

Capacità (obiettivi metacognitivi)

• Riconoscere la stretta analogia tra fisica e musica

• Acquisire la capacità di leggere ed interpretare fenomeni del mondo reale e fisico,

applicando le competenze fisico-matematiche acquisite

• Saper utilizzare le conoscenze e le competenze acquisite per risolvere problemi

• Essere in grado di riconoscere in contesti diversi la presenza di propagazione di tipo

ondoso ed essere in grado di trarre informazioni sul fenomeno che rappresentano,

utilizzando le conoscenze e competenze acquisite.

Pagina 5


SVILUPPO DEI CONTENUTI

MOTO ARMONICO SEMPLICE

Un moto oscillatorio o vibrazionale è un moto a carattere ripetitivo, di cui si può definire un

periodo. Esiste la possibilità di tale moto ogni qualvolta esiste una forza di richiamo che tende a

riportare il sistema perturbato verso la sua posizione di equilibrio. Tra i casi più importanti

ricordiamo quelli in cui agisce una forza gravitazionale, come nel pendolo, o elastica, come nelle

molle, o elettrica, come negli orologi, o magnetica, come nelle bussole.

Consideriamo ora un corpo di massa m [kg] collegato ad una parete da una molla di costante

elastica k [N/m] e lunghezza a riposo l [m]. Facciamo in modo di prendere un corpo di massa molto

maggiore rispetto a quella della molla così da poter escludere ques’ultima. Per semplicità

supponiamo che non vi sia la presenza di attrito e che il moto avvenga in una direzione. La

posizione di equilibrio si ha quando il corpo si trova a distanza l dalla parete, cioè la molla non è né

in trazione né in compressione. Se ora spostiamo il corpo dalla posizione di equilibrio il corpo

subisce una forza che lo tende a riportare nella posizione di equilibrio come da figura. A seguito di

questa perturbazione l’effetto che si osserva è una oscillazione attorno alla posizione di equilibrio.

Pagina 6


Tale forza di richiamo è espressa dalla legge di Hooke:

eF k x= −

dove ( )x t è il vettore spostamento e dipende dal tempo. Il segno meno deriva dal fatto che la forza

elastica è, appunto, una forza di richiamo e dunque è diretta in senso contrario rispetto alla

deformazione ( )x t . Per il secondo principio della dinamica (o legge di Newton) il moto corpo è

descritto anche dalla seguente equazione:

2

2

d xF ma mdt

= =

dove 2

2

d xadt

= è il vettore accelerazione. Non essendoci altre forze in gioco, si deriva

immediatamente che eF F= e dunque risulta:

2

2

d xm kdt

x= −

che riscritto in una dimensione diventa:

2

2

d xm kdt

x= −

Senza perdere in generalità possiamo scrivere l’equazione in questa maniera:

2

202 0d x x

dtω+ =

dove 0km

ω = [rad/s] è la pulsazione del moto e dipende unicamente da proprietà intrinseche della

molla e dell’oggetto. L’equazione precedente è quella generale per un oscillatore armonico

unidimensionale con pulsazione assegnata. La soluzione di questa equazione, in regime di piccole

oscillazioni come nel caso in esame, è un’onda la cui espressione è la seguente:

Pagina 7


( ) ( )0cosx t A tω ϕ= +

dove A [m] rappresenta l’ampiezza dell’onda e φ [rad] la fase iniziale. Questi due parametri devono

essere determinati dalle condizioni iniziali. Da tale soluzione possiamo ricavarci l’espressione per la

velocità e per l’accelerazione ricordando come queste due quantità sono legate alla posizione:

( ) ( )0 0sindxv t A tdt

ω ω ϕ= = − +

( ) ( )2

2 20 0 02 cosd xa t A t x t

dtω ω ϕ ω= = − + = − ( )

I parametri A e φ ora possono essere facilmente trovati imponendo le condizioni iniziali sulla

posizione e sulla velocità:

( )( ) 0

0

0

x t l

v t v

= =

= =

La figura mostra l’andamento, in funzione del tempo, della posizione, velocità e accelerazione del

corpo.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Tempo (s)

x(t) v(t) a(t)

Pagina 8


Analizziamo ora alcune caratteristiche riguardanti le proprietà dell’onda trovata.

Precedentemente è stata vista la relazione tra la pulsazione dell’onda e le proprietà intrinseche e

misurabili del sistema. Ora osserviamo alcune qualità specifiche tipiche di ogni onda quali il

periodo T [s] e la frequenza f [Hz]:

0

2 2 mTk

π πω

= =

1 12

kfT mπ

= =

L’espressione trovata mostra che la frequenza cresce quanto più la molla è rigida, cioè quanto è più

grande è k, e diminuisce quanto è più grande la massa m (effetto di inerzia). Va sottolineato che il

sistema ha una sola frequenza di oscillazione spontanea, ossia non forzata da stimoli periodici

interni, la frequenza propria o di risonanza.

Facendo alcune considerazioni energetiche, l’energia totale H [J] associata all’oscillazione è la

somma dell’energia cinetica EC [J], dovuta al movimento dell’oggetto, e di quella potenziale

elastica EP [J], associata alla deformazione della molla rispetto alla posizione di equilibrio. In

formule possiamo esprimere questa relazione nel seguente modo CH E EP= + e dunque la sua

espressione risulta essere pari a:

( ) ( )2 2 2 2 2 2 20 0 0

1 1 1 1sin cos2 2 2 2

H mv kx mA t kA tω ω ϕ ω ϕ= + = + + +

L’energia totale risulta essere costante in quanto non subentrano fenomeni di dissipazione e dunque,

nel caso perfettamente ideale, l’energia, durante ogni oscillazione, si converte tutta da potenziale a

cinetica e viceversa, senza decadere.

Pagina 9


ESEMPIO 1

Dato un oggetto di massa pari a 3 kg e costante elastica pari a 2 N/m, calcolare la posizione, la

velocità e l’accelerazione dell’oggetto dopo un periodo di 10 s, sapendo che la lunghezza a riposo

della molla è pari a 4 cm e la velocità iniziale del corpo è di 0,2 m/s.

Risoluzione

Il problema così espresso si presenta ad una facile risoluzione. Applicando le regole viste

precedentemente, ricaviamo inizialmente la pulsazione del moto:

02 0,82 /3

k rad sm

ω = = =

e poi i parametri A e φ dalle condizioni iniziali. Nell’istante iniziale abbiamo le seguenti relazioni:

( )( )

0 cos 0,04

0 0,82 sin 0, 2 /

x t A m

v t A m s

ϕ

ϕ

= = =

= = =

Facendo il rapporto tra le due equazioni si ricava:

sin 0, 2tan 6,09cos 0,04 0,82

ϕϕϕ

= = =⋅

da cui φ risulta essere pari a 1,41 rad. Inserendo poi tale risultato nella prima delle due equazioni

precedenti si ottiene che A vale 0,25 m. Ricavati i parametri incogniti possiamo inserirli nelle

formule generali e otteniamo:

( ) ( )10 0,25 cos 0,82 10 1,41 0,24 24x t s m c= = ⋅ ⋅ + = − = − m

( ) ( )10 0,82 0,25 sin 0,82 10 1,41 0,03 / 3 /v t s m s cm s= = − ⋅ ⋅ ⋅ + = =

( ) ( )2 210 0,82 0,25 cos 0,82 10 1,41 0,16 / 16 /a t s m s cm s= = − ⋅ ⋅ ⋅ + = = 2

Pagina 10


ESEMPIO 2

Determinare che caratteristiche deve avere un sistema massa-molla per avere la frequenza di

risonanza pari ad un La a 440 Hz.

Risoluzione

Dalla definizione di frequenza: 12

kfmπ

= è possibile ricavare la relazione che intercorre tra la

costante elastica della molla e la massa dell’oggetto ancorato. In formule si ottiene:

( )22k fπ= m

Ponendo ad esempio una costante elastica pari a 10 N/m si ricava una massa di 1,3 mg.

Tali valori ci indicano come sia difficile, ma non impossibile, ricavare una frequenza di oscillazione

così elevata con un sistema massa-molla. Le formule suggeriscono invece come sia molto più

facilmente ottenibile un sistema che oscilla alla frequenza dell’ordine dell’Hertz. Infatti per ottenere

una frequenza di 1 Hz basta utilizzare una massa di 0,1 kg e una costante elastica di 3,95 N/m.

Pagina 11


SMORZAMENTO

Il caso precedente è un caso ideale in cui l’energia si conserva. Nella pratica questo però non

avviene in quanto ci sono forze dissipative che tendono a far smorzare il moto. Nel caso che si

andrà ad esaminare, per semplicità, si considererà come punto di partenza il caso visto in

precedenza con l’aggiunta dell’attrito dovuto al mezzo in cui l’oggetto si trova ad oscillare.

La forza di attrito viscoso che si genera a causa del moto del corpo è data da:

aF vγ= −

dove γ [kg/s] è il coefficiente di attrito viscoso. Continua a sussistere la forza di Hooke e anche in

questo caso deve valere la legge di Newton che si può esprimere in questa maniera:

e aF F F+ =

Passando direttamente al caso unidimensionale e con piccoli passaggi matematici si ottiene la

seguente espressione:

2

2 0d x dxm kdt dt

γ x+ + =

che viene comunemente scritta in questo modo:

Pagina 12


2202

1 0d x dx xdt dt

ωτ

+ + =

dove 0km

ω = rappresenta la pulsazione caratteristica del sistema e mτγ

= [s] è il tempo di

smorzamento del sistema. La precedente equazione ammette una soluzione generale del tipo:

( ) 1 2t tx t Ae Beα α= +

dove A e B sono due costanti determinate dalle condizioni iniziali, mentre α1 e α2 sono le soluzioni

dell’equazione algebrica associata:

2 20

1 0α α ωτ

+ + =

che presenta due radici di espressione pari a:

202

1 12 4

α ωτ τ

= − ± −

Se si chiama 202

14

ωτ

∆ = − [rad2/s2] si possono ottenere tre casi distinti.

1. Caso: moto armonico sottosmorzato

Questo è il caso in cui e la soluzione assume la seguente espressione: 0∆ <

( ) ( )2 cost

sx t Ae tτ ω ϕ−

= +

dove A e φ sono da determinare con le condizioni iniziali e 20 2

14sω ωτ

= − [rad/s]

Pagina 13


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tempo (s)

Posi

zion

e (m

)

2. Caso: smorzamento critico

Si ottiene questo moto quando e il moto presenta la seguente espressione: 0∆ =

( ) ( )2t

x t e B Dtτ−

= +

Dove B e D sono due costanti che si ricavano dalle condizioni iniziali.

Pagina 14


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 5 10 15 20 25

Tempo (s)

Posi

zion

e (m

)

3. Caso: moto armonico sovrasmorzato

Tale situazione si verifica quando 0∆ > e la soluzione assume la seguente forma:

( ) 1 2t tx t C e C e∆ − ∆= +

dove anche in questo caso C1 e C2 sono due costanti da determinare con le condizioni

iniziali.

Pagina 15


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 5 10 15 20 25

Tempo (s)

Posi

zion

e (m

)

Ovviamente il caso che maggiormente interessa è quello sottosmorzato in cui oltre al normale moto

armonico vi è un fattore esponenziale che fa decrescere il segnale. Questo è il caso che ci

aspettiamo che si verifichi quando si ha a che fare con onde sonore che decadono inevitabilmente.

Facendo alcune considerazione sull’energia in gioco, essendoci una forza dissipativa, l’energia

totale non si conserva e dunque si ottiene una variazione di energia meccanica pari a:

2dH vdt

γ= −

Questo avviene perché l’energia, originariamente propria del sistema oscillante, si trasferisce

all’ambiente generando onde meccaniche che possono propagarsi a distanza anche sotto forma di

suono. Tale accoppiamento tra sistema oscillante e mezzo ambiente è pertanto essenziale per la

trasmissione a distanza dell’energia meccanica e dunque, in particolare, di quella acustica.

Pagina 16


ESEMPIO

Dato un sistema di un oggetto di massa 5 kg incernierato ad una parete con una molla di

costante elastica pari a 3 N/m, soggetto ad un attrito viscoso dell’aria pari a 1,5 kg/s e spostato dalla

posizione di equilibrio per una lunghezza pari a 0,3 m, determinare il tipo di moto e i suoi parametri

caratteristici.

Risoluzione

Innanzitutto vediamo il valore di τ e ω0 utilizzando le formule precedentemente viste:

5 3.31,5

m sτγ

= = =

03 0.77 /5

k rad sm

ω = = =

Ora è possibile calcolare il ∆ e da esso determinare il tipo di moto:

2 202 2

1 1 0,77 0,49 /4 4 3,3

rad sωτ

∆ = − = − = −⋅

2 2

dato che tale parametro assume un valore negativo, allora se ne può dedurre che il moto è

sottosmorzato e dunque vi è la propagazione di un’onda. L’altro parametro importante del sistema

è:

( )20 2

1 0,49 0,7 /4s rad sω ωτ

= − = −∆ = − − =

Pagina 17


MODI NORMALI DI OSCILLAZIONE TRASVERSALE DELLE CORDE A ESTREMI

FISSI

Un’onda si dice trasversale se il moto delle particelle del mezzo si sviluppa in direzione

perpendicolare alla direzione di propagazione. Il mezzo di sostegno di un’onda trasversale può

essere schematizzato come una sequenza di oscillatori armonici vincolati a muoversi ad esempio

lungo l’asse y, e collegati tra loro da molle. Lo spostamento verticale di uno degli oscillatori e il

successivo rilascio provoca la trasmissione del suo stato di moto oscillatorio agli oscillatori

accoppiati adiacenti. La propagazione avviene nella direzione dell’asse x, mentre il moto delle

particelle avviene lungo l’asse y.

Dal caso di molte masse discrete alla distribuzione continua di masse, che ad esempio forma una

corda musicale il passo è breve. La corda è costituita da molecole tenute assieme da forze

intermolecolari di varia natura, ad esempio dall’attrazione di origine elettrostatica. Il loro

comportamento, almeno per piccole deformazioni, può essere molto ben assimilato a quello di forze

elastiche. Si consideri allora una corda sottile e omogenea di lunghezza L [m] ancorata ai suoi due

estremi, e si scelga l’asse z parallelo alla configurazione rettilinea che la corda assume a riposo in

virtù della tensione T [N] ad essa applicata. Si trascurino per semplicità gli attriti. Sia inoltre

dmdz

ρ = [kg/m] la densità lineare della corda. Prendiamo in esame la dinamica del tratto di corda

compreso tra z e z dz+ la cui massa è dm dzρ= [kg] e che, all’istante t [s], è spostata

trasversalmente di una quantità [m] perpendicolarmente all’asse z. Per la definizione di

tensione del filo, gli effetti dinamici esercitati sul tratto dz dalla parte rimanente della corda possono

essere schematizzati tramite le due forze

( ),S z t

( )T z e ( )T z dz+ applicate ai due estremi A e B del tratto

considerato. A causa della curvatura del tratto AB le due tensioni, pur uguali in modulo, non si

equilibrano perché non hanno stessa direzione.

Pagina 18


Applichiamo ora la legge di Newton alla coordinata perpendicolare all’asse z, cioè lungo lo

spostamento , e otteniamo: ( ,S z t )

( ) (2

2 sin sinSdm a dz T d Tt

)ρ θ θ θ∂⋅ = = + −

∂

In pratica, l’angolo θ è sempre molto piccolo per cui si potrà scrivere:

( )2

2

S dz T d T Tdt

ρ θ θ θ∂= + − =

∂θ

D’altra parte l’angolo θ non è altro che la pendenza della curva ( ),S z t a t costante riportata in un

diagramma cartesiano di ascissa z e cioè:

tan Sz

θ θ ∂=∂

e differenziato rispetto a z risulta:

2

2

Sd dzz xθθ ∂ ∂

= =∂ ∂

dx

Pagina 19


Utilizzando questa espressione e inserendola nella formula di partenza si trova:

2 2

2 2

S T St zρ

∂ ∂=

∂ ∂

L’equazione precedente è chiamata equazione d’onda la cui soluzione generale è del tipo:

( ) ( ) ( ), cosS z t A z tω ϕ= +

Tale espressione è formalmente simile a quella dell’oscillatore armonico, tuttavia in tale caso

l’ampiezza non risulta essere più costante, ma dipendente dalla posizione. Con pochi passaggi

matematici è possibile ottenere la seguente equazione che descrive il comportamento del fattore

( )A z in funzione di z:

( ) ( )2

22

d A zA z

dz Tρ ω= −

che è a tutti gli effetti l’equazione di un oscillatore armonico nella posizione, la cui soluzione è del

tipo:

( ) ( )cosA z A k z α= +

dove A e α sono costanti da determinare con le condizioni iniziali, mentre k è il vettore d’onda e

vale 2k πλ

= [m-1] dove λ [m] rappresenta la lunghezza d’onda. Con facili passaggi matematici si

giunge alla seguente espressione che lega la pulsazione al vettore d’onda:

Tkωρ

=

Da considerazioni del tutto indipendenti al contesto in cui si sta lavorando è possibile trovare la

relazione generale tra questi due parametri che viene detta relazione di dispersione:

Pagina 20


22 /

f fkω π λ

π λ= =

Ora è possibile trovare il valore di alcuni parametri. Si ha che ( ) ( )0, , 0S t S L t= = e da ciò si

ottiene:

sin 0sin 0kL

α ==

La prima equazione ammette soluzione per 0α = , mentre la seconda per kL nπ= con

. Da quest’ultima si ottiene che il vettore d’onda può assumere solo valori discreti

pari a:

0, 1, 2,...n = ± ±

nnkLπ

=

Da tale parametro possiamo ricavarci tutti gli altri:

nn TLπω

ρ=

2nn TfL ρ

=

2n

Ln

λ =

La legge e le relazioni trovate tuttavia non sono applicabili per n troppo grandi.

I modi normali di oscillazione di una corda vibrante sono detti parziali o armoniche della corda:

quello di minima frequenza è l’armonica fondamentale, o tono, i successivi le armoniche superiori,

o iperoni. Come si vede dalle relazioni precedenti, in linea di principio una corda vibrante a estremi

fissi possiede infiniti modi normali.

La figura indica che l’oscillazione massima avviene ai ventri: al trascorrere del tempo, questi

passano da un estremo positivo ad uno negativo, come suggerito nel disegno dalle curve continua e

Pagina 21


tratteggiata. Vi sono punti che non si muovono e vengono detti nodi. Due nodi sono inevitabilmente

presenti agli estremi fissati della corda.

Da relazioni generali riguardanti le onde si conosce la relazione che intercorre tra la lunghezza

d’onda e la frequenza f vλ = in cui v [m/s] è la velocità dell’onda nel mezzo. Da tali relazioni si

ottiene che la velocità dell’onda nel caso considerato è:

Tvρ

=

Pagina 22


ESEMPIO 1

Dato uno strumento a corda, vogliamo che una sua corda di lunghezza pari ad 1 m abbia una

frequenza fondamentale di un La e cioè 440 Hz. Determinare la densità lineare e la tensione della

corda. Calcolare inoltre il vettore d’onda, la pulsazione,la lunghezza d’onda e la velocità dell’onda.

Risoluzione

Dalla definizione di frequenza 2nn TfL ρ

= è possibile ricavare la relazione che intercorre tra la

tensione e la densità lineare. Si ricordi che per l’armonica fondamentale si ha n = 1. Da ciò si

ricava:

( )212T Lf ρ=

Ponendo ad esempio una densità lineare pari a 0,001 kg/m si ottiene una tensione pari a 774,4 N.

Valutiamo ora gli altri parametri in gioco:

11 3,14

1k m

Lπ π −= = =

1774, 4 2764,6 /

1 0,001T rad s

Lπ πω

ρ= = =

1 2 2 1 2L mλ = = ⋅ =

774, 4 880 /0,001

Tv mρ

= = = s

Pagina 23


ESEMPIO 2

Utilizzando come punto di partenza l’esempio precedente, calcolare i parametri fondamentali

per la quinta armonica.

Procedimento

La quinta armonica è caratterizzata dall’avere n = 5 e dunque basterà sostituire nelle formule

generali i parametri già trovati precedentemente. Fatto ciò si ottiene:

15

5 15,71

nk mLπ π −= = =

55 774, 4 13823,0 /1 0,001

n T rad sLπ πω

ρ= = =

55 774, 4 2000

2 2 1 0,001n Tf HzL ρ

= = =⋅

52 2 1 0, 4

5L mn

λ ⋅= = =

Pagina 24


METODOLOGIE DIDATTICHE

Le strategie didattiche che si intendono adottare sono prevalentemente la lezione frontale,

limitata ad una breve parte dell’ora di lezione per sfruttare al meglio i tempi di attenzione, la lezione

interattiva che stimoli gli allievi a porre e a porsi domande, a collegare situazioni e a ricercare

soluzioni.

Per la presentazione dei nuovi contenuti e per lo svolgimento di esercizi significativi si farà uso

di lezioni frontali; per la risoluzione di ulteriori esercizi in collaborazione insegnate-allievi si farà

uso invece di lezioni dialogiche, con lo scopo di coinvolgere gli studenti nella realizzazione delle

lezioni, sollecitandoli con opportune domande. I momenti di lezione frontale e dialogica non

saranno rigidamente distinti, ma si potranno alternare nell’ambito della stessa ora di lezione. Alla

presentazione di ogni nuovo concetto o metodo di risoluzione di problemi, seguirà lo svolgimento

di esempi numerici. Talvolta sarà più opportuno partire da esempi significativi per giungere alla

formulazione di proprietà generali. Inoltre la correzione in classe degli esercizi farà da spunto per

nuove riflessioni e argomentazioni.

Una parte del monte ore dedicato alla seguente unità didattica verrà affrontata nel laboratorio di

informatica, dove gli studenti creeranno e poi utilizzeranno un programma compilato con Microsoft

Excel che illustrerà loro il comportamento di un moto armonico in funzione dei parametri

caratteristici e quello di un moto sforzato.

MATERIALI E STRUMENTI UTILIZZATI

• Lavagna, gessi colorati

• Libro di testo. Questo strumento dovrà presentare un linguaggio adeguato all’età,

evidenziare i nodi concettuali evitando nel contempo pericolose banalizzazioni, sostenere

uno studio individuale e le attività in classe. Il testo andrà usato in modo critico, adattandolo

ed eventualmente semplificandolo, cercando un punto di contatto tra gli obiettivi della

programmazione in classe e le abilità possedute dagli alunni. La difficoltà di un testo può

essere legata ai contenuti, alle operazioni cognitive, agli aspetti linguistici o agli aspetti

grafici. Per questo motivo, spesso emerge la necessità di completare, ridurre, schematizzare

ed evidenziare quanto contenuto nel testo.

• Personal computer. Sarà indispensabile che ogni alunno abbia la possibilità di lavorare su un

singolo PC per evitare che alcuni ragazzi non lavorino affatto. Sarà importante verificare la

loro conoscenza del programma Microsoft Excel. A seguito di possibili carenze verrà inoltre

aggiunto un piccolo intervento di recupero.

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CONTROLLO DELL’APPRENDIMENTO

L’insegnante potrà valutare l’andamento dell’attività didattica e controllare la comprensione

dell’argomento da parte degli alunni attraverso verifiche formative costituite da esercizi mirati, di

difficoltà crescente, da svolgere a casa. Tali esercizi saranno successivamente discussi in classe,

puntando principalmente su quelli in cui gli studenti hanno riscontrato maggiori difficoltà.

VALUTAZIONE

La valutazione dell’apprendimento si attua attraverso prove orali.

RECUPERO E APPROFONDIMENTO

Si prevedono attività di recupero per integrare e completare l’attività didattica. L’insegnamento

è in ogni caso orientato alla continua ripresa degli argomenti su cui gli studenti incontrano maggiori

difficoltà. Gli argomenti da recuperare sono individuati attraverso le prove orali. Le forme di

recupero previste sono:

• Recupero svolto in classe attraverso la ripresa di concetti non ben assimilati e lo

svolgimento di esercizi chiarificatori;

• Attività pomeridiane con gli studenti interessati (“sportello” e ”ascolto didattico”);

• Assegnazione allo studente di esercizi mirati alla difficoltà da recuperare e guidati nella

risoluzione.

TEMPI DELL’INTERVENTO DIDATTICO

Viene proposta una descrizione del susseguirsi delle attività didattiche con i tempi necessari a

ciascuna attività. Questa proposta va comunque considerata in maniera elastica, in quanto l’attività

dipende molto dalle esigenze degli studenti.

Accertamento dei prerequisiti 1 h

Moto armonico semplice 1 h

Esempi ed esercizi 1 h

Smorzamento 1 h


Modi normali di oscillazione trasversale delle corde ad estremi fissi 1 h


Attività di laboratorio informatico 2 h

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Prove orali

BIBLIOGRAFIA

A. Frova, FISICA E MUSICA, Zanichelli

A. Caforio, A. Ferilli, PHYSICA vol.1, Le Monnier

A. Caforio, A. Ferilli, PHYSICA vol.2, Le Monnier

C. Mencuccini, V. Silvestrini, FISICA I, Liquori Editore

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ANATOMIA DELLE ONDE SONORE - Mario Sandri · Anatomia delle onde sonore Mario Sandri ... velocità...

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