ANALISI NUMERICA. Introduzione Importanza Avvento dei calcolatori Tecniche: metodi iterativi...

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ANALISI NUMERICA

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ANALISI NUMERICA

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IntroduzioneImportanza

Avvento dei calcolatori

Tecniche:

metodi iterativi (sperimentali)

differenze finite

elementi finiti

gusci finiti (shell)

Numerosi campi di applicazione

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Le differenze finite

FORMULAZIONE

Rappresentazione di una derivata come una serie di Taylor troncata

Definita una funzione T(x) (temperatura in funzione dello spazio), si può scrivere il

suo sviluppo nell’intorno di xi

....!

.......62

33

2

22

i

nn

iiiii dx

Td

n

h

dx

Tdh

dx

Tdh

dx

dThxThxT

)h(o

h

xThxT

dx

dT ii

i

Troncando (commettendo un errore) lo sviluppo al 2° termine si ha:

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Introducendo la simbologia comune nell’analisi numerica si ha:

.......

iii dx

dThxThxT

xox

TT

dx

dT i1i

i

A

x

° ° ° °i= 1 2 3 4

T1 T2 T3 T4

° ° °

Ti-1 Ti Ti+1

Dx

Dallo sviluppo in serie di Taylor:

x

TT

h

hxTxT

dx

dT 1iiii

i

B

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Sia la relazione A che la relazione B rappresentano la derivata su xi:

A Forward Difference Form

B Backward Difference Form

......

iii dx

dThxThxT

......

iii dx

dThxThxT

2ii

i

hoh2

hxThxT

dx

dT

Sottraendo le espressioni

e trascurando i termini di grado superiore si ha:

21i1i

i

hox2

TT

dx

dT

C

Ti-1 Ti Ti+1Differenza finita centrale

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In tutte le forme A B C è presente un errore di troncamento:

o(h) o(h) o(h2)

proporzionale a x x (x)2

.....2 2

22

iiii dx

Tdh

dx

dThxThxT

.....2 2

22

iiii dx

Tdh

dx

dThxThxT

22

i

2

2

hoh

xT2hxThxT

dx

xTd

Sommando le espressioni:

si ottiene:derivata seconda

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In notazione di analisi numerica:

22

i1i1i

i

2

2

xox

T2TT

dx

dT

Ti-1 Ti T i+1

x

Si riesce quindi ad esprimere la derivata prima e seconda della temperatura in un

punto del dominio in funzione dei valori di temperatura nel punto e nel suo intorno.

L’analisi alle differenze finite consiste nel sostituire le equazioni differenziali con le

espressioni approssimate appena introdotte, complete delle condizioni al contorno.

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x=y

j

ix

y

Ti

Scriviamo le equazioni in base alla forma A (forward):

xTT

dxdT

x

TT

xT iijiji

1,,1

2

ijj,1ij,1i

2

2

x

T2TT

x

T

y

TT

yT jiji

,1,

21,1,

2

2 2

y

TTT

yT ijjiji

2i1i1i

2

2

x

T2TT

dx

dT

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Si possono sostituire le equazioni differenziali con le forme approssimate o si

può analizzare il bilancio termico; ciò consente un migliore controllo sul

fenomeno fisico (si applica alle condizioni al contorno).

L’equazione che regola la distribuzione di temperatura (nel caso stazionario) è:

0k

q

y

T

x

T.

2

2

2

2

0k

q

y

ijT21j,iT1j,iT

x

ijT2j;1iTj,1iT.

22

Ti,j

Bilancio termico rispetto all’area tratteggiata

sostituendo, si ottiene:

Risolvendo rispetto a T(j,i) e ponendo2

y

x

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Applicando l’ultima equazione a tutti i nodi (N) si ottengono N equazioni in N incognite.

12

xk/qTTTTT

xk

qTTTTT12

2.

1ij1ijj1ij1i

ij

2

.

1ij1j,ij;1ij1iijsi ottiene:

In forma classica si può scrivere, supponendo che = 1 (x = y) e che non vi sia

generazione di calore:

jijiijijij TTTTT 11114

1

Ti,j

Ti,j+1

Ti,-1j

Ti,j-1

Ti,-1j

ovvero, la temperatura nel nodo i,j rappresenta la

media aritmetica dei nodi più vicini.

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0k

q

Z

T

r

T

2

1

r

T.

2

2

2

2

REGIME STAZIONARIO

SIMMETRIA CILINDRICA

r z

j = 0

i = 0

j

i

0k

q

z

T2TT

z2

TT

r

1

r

T2TT.

2

ij1ij1ijj1ij,1i

i2

ijj1ij,1i

L’equazione si può riscrivere, ponendo i = r e j = z

ri = i r e zi = j z

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1,1,,1,1, 2

12

141

jijii

jii

jiji TTrr

Trr

TT

0q

zr1.

'

Nei casi più comuni: quindi:

2

.

1ij'

1j,i'

ij1i

ij1j

'ij r

k

qTT

r2

r1T

r2

r1T1T2

con

2'

zr

e risolvendo rispetto a Tij si ottiene:

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Bilancio sull’area tratteggiata in regime stazionario

CONDIZIONI AL CONTORNO

Esempio

Schematizzazione:

Th

Ax

Tk

x/2

BILANCIO 1 + 2 + 3 = 4

1

2

3

4

T1

T3

T2

To

TThq

TTxhx

TT

2

xK

x

TTxK

x

TT

2

Xk0

03O1O2

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TBTT

2

1T

B2

1T i321

i0

Risolvendo rispetto a T0

k

xhBi

Numero di Biot

discretizzato

N = E + I E = n° nodi esterni I = n° nodi interni

E Equazioni contorno I Equazioni interne

ESEMPIO BIDIMENSIONALE (ALETTA)

TC

7

6

1

8 9

5

2 3

4

Fluido T

DOMINIO DI N NODI

T1 = T6 = T7 = TC

T4

T9

T3

T8

T2

6485 4

1TTTTT C

condizioni al

contorno

(unico interno)

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211

1 2

x

TTTa

TT jm

jm

jm

jm

jm

Temperatura nodo m al tempo j

Schema esplicito (monodimensionale)

Reticolo monodimensionale

La derivata temporale rispetto al tempo si scrive in forma approssimata:

Per lo spazio:

2

2

x

Ta

T

jmT

j

mjm

m

TTT 1

211

2

2 2

x

TTT

x

T jm

jm

jm

ca

CONDUZIONE REGIME VARIABILE

ca

La si scrive:

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Risolvendo rispetto alla (temperatura dell’istante successivo) si ottiene:

dove: è il numero di Fourier discreto

j1m

j1m

jm

1jm TTFoTFo21T

2xaFo

1jmT

Con questo metodo il valore della temperatura degli istanti successivi si trova senza

metodi iterativi ma direttamente dai valori precedenti (esplicito)

m = 1 2 3 4 5 6 …cond. iniz. j = 0

m = 1 2 3 …… m

j = 1

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CONDIZIONE STABILITA’ NODI INTERNI

5,02

x

aFo

0Fo 0Fo21 sempre

Tale condizione produce limitazioni sulla scelta di

Esempio

1j1m

1j1m

1jm T e TT

ottengo

jm

jm

jm TTT 11Istante j se introduco

0)21(

5,0

Fo

Fo

termodinamicamente impossibile

T

m-1 m m+1

m-1 m m+1

j

j+1T

Fo21 e ΔFo

Si dimostra che per evitare oscillazioni divergenti di temperatura i coefficienti

devono essere positivi

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2

imn

j1mn

j1mn

jn,1m

jn,1m

jmn

1jmn

x

T4TTTTa

TT

CASO BIDIMENSIONALE

1jmnTrisolvendo rispetto a

x = y m, n TaT 2

j1n,m

j1n.m

jn,1m

jn,1m

jmn

1jn,m TTTTFoFo41TT

2x

aFo

con

Condizione di stabilità

0

041

Fo

Fo4

10 Fo

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CONDIZIONI AL CONTORNO (CASO MONODIMENSIONALE)

Fluido

h,T

2 31

T1 T2

x

2

xTTcTTh

x

TTk

j1

1j1j

1

j1

j2

Bilancio energetico

1 - 2 = 3

FoBiFoTBiTTFoT jjjj 2212 12

11

da cui:

Bi12

1Fo

(ulteriore limitazione sui nodi interni)

Condizione di stabilità 0FoBi2Fo21

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Limitazioni per la stabilità talvolta impongono l’uso schema implicito (stabilità illimitata)

x

T1 T2

T, h

SCHEMA IMPLICITO

Sistema di equazioni algebriche simultanee con tre incognite (metodi iterativi)

Fo21

TTTFoT

jm

1j1m

1j1m1j

m

2

2

x

Ta

T

Viene fatta all’istante j+i2

1jm

1j1m

1j1m

jm

1jm

x

T2TTa

TT

Condizioni al contorno

x

TT

2

xcTT

x

KTTh

j1

1j1j

1j

21j

11j

Fo2FoBi21

TBiTTFo2T

j1

1j1j21j

1