Scripting - Esecuzione condizionale - Costrutti iterativi - Variabili (quoting, espansione)
ANALISI NUMERICA. Introduzione Importanza Avvento dei calcolatori Tecniche: metodi iterativi...
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ANALISI NUMERICA
IntroduzioneImportanza
Avvento dei calcolatori
Tecniche:
metodi iterativi (sperimentali)
differenze finite
elementi finiti
gusci finiti (shell)
Numerosi campi di applicazione
Le differenze finite
FORMULAZIONE
Rappresentazione di una derivata come una serie di Taylor troncata
Definita una funzione T(x) (temperatura in funzione dello spazio), si può scrivere il
suo sviluppo nell’intorno di xi
....!
.......62
33
2
22
i
nn
iiiii dx
Td
n
h
dx
Tdh
dx
Tdh
dx
dThxThxT
)h(o
h
xThxT
dx
dT ii
i
Troncando (commettendo un errore) lo sviluppo al 2° termine si ha:
Introducendo la simbologia comune nell’analisi numerica si ha:
.......
iii dx
dThxThxT
xox
TT
dx
dT i1i
i
A
x
° ° ° °i= 1 2 3 4
T1 T2 T3 T4
° ° °
Ti-1 Ti Ti+1
Dx
Dallo sviluppo in serie di Taylor:
x
TT
h
hxTxT
dx
dT 1iiii
i
B
Sia la relazione A che la relazione B rappresentano la derivata su xi:
A Forward Difference Form
B Backward Difference Form
......
iii dx
dThxThxT
......
iii dx
dThxThxT
2ii
i
hoh2
hxThxT
dx
dT
Sottraendo le espressioni
e trascurando i termini di grado superiore si ha:
21i1i
i
hox2
TT
dx
dT
C
Ti-1 Ti Ti+1Differenza finita centrale
In tutte le forme A B C è presente un errore di troncamento:
o(h) o(h) o(h2)
proporzionale a x x (x)2
.....2 2
22
iiii dx
Tdh
dx
dThxThxT
.....2 2
22
iiii dx
Tdh
dx
dThxThxT
22
i
2
2
hoh
xT2hxThxT
dx
xTd
Sommando le espressioni:
si ottiene:derivata seconda
In notazione di analisi numerica:
22
i1i1i
i
2
2
xox
T2TT
dx
dT
Ti-1 Ti T i+1
x
Si riesce quindi ad esprimere la derivata prima e seconda della temperatura in un
punto del dominio in funzione dei valori di temperatura nel punto e nel suo intorno.
L’analisi alle differenze finite consiste nel sostituire le equazioni differenziali con le
espressioni approssimate appena introdotte, complete delle condizioni al contorno.
x=y
j
ix
y
Ti
Scriviamo le equazioni in base alla forma A (forward):
xTT
dxdT
x
TT
xT iijiji
1,,1
2
ijj,1ij,1i
2
2
x
T2TT
x
T
y
TT
yT jiji
,1,
21,1,
2
2 2
y
TTT
yT ijjiji
2i1i1i
2
2
x
T2TT
dx
dT
Si possono sostituire le equazioni differenziali con le forme approssimate o si
può analizzare il bilancio termico; ciò consente un migliore controllo sul
fenomeno fisico (si applica alle condizioni al contorno).
L’equazione che regola la distribuzione di temperatura (nel caso stazionario) è:
0k
q
y
T
x
T.
2
2
2
2
0k
q
y
ijT21j,iT1j,iT
x
ijT2j;1iTj,1iT.
22
Ti,j
Bilancio termico rispetto all’area tratteggiata
sostituendo, si ottiene:
Risolvendo rispetto a T(j,i) e ponendo2
y
x
Applicando l’ultima equazione a tutti i nodi (N) si ottengono N equazioni in N incognite.
12
xk/qTTTTT
xk
qTTTTT12
2.
1ij1ijj1ij1i
ij
2
.
1ij1j,ij;1ij1iijsi ottiene:
In forma classica si può scrivere, supponendo che = 1 (x = y) e che non vi sia
generazione di calore:
jijiijijij TTTTT 11114
1
Ti,j
Ti,j+1
Ti,-1j
Ti,j-1
Ti,-1j
ovvero, la temperatura nel nodo i,j rappresenta la
media aritmetica dei nodi più vicini.
0k
q
Z
T
r
T
2
1
r
T.
2
2
2
2
REGIME STAZIONARIO
SIMMETRIA CILINDRICA
r z
j = 0
i = 0
j
i
0k
q
z
T2TT
z2
TT
r
1
r
T2TT.
2
ij1ij1ijj1ij,1i
i2
ijj1ij,1i
L’equazione si può riscrivere, ponendo i = r e j = z
ri = i r e zi = j z
1,1,,1,1, 2
12
141
jijii
jii
jiji TTrr
Trr
TT
0q
zr1.
'
Nei casi più comuni: quindi:
2
.
1ij'
1j,i'
ij1i
ij1j
'ij r
k
qTT
r2
r1T
r2
r1T1T2
con
2'
zr
e risolvendo rispetto a Tij si ottiene:
Bilancio sull’area tratteggiata in regime stazionario
CONDIZIONI AL CONTORNO
Esempio
Schematizzazione:
Th
Ax
Tk
x/2
BILANCIO 1 + 2 + 3 = 4
1
2
3
4
T1
T3
T2
To
TThq
TTxhx
TT
2
xK
x
TTxK
x
TT
2
Xk0
03O1O2
TBTT
2
1T
B2
1T i321
i0
Risolvendo rispetto a T0
k
xhBi
Numero di Biot
discretizzato
N = E + I E = n° nodi esterni I = n° nodi interni
E Equazioni contorno I Equazioni interne
ESEMPIO BIDIMENSIONALE (ALETTA)
TC
7
6
1
8 9
5
2 3
4
Fluido T
DOMINIO DI N NODI
T1 = T6 = T7 = TC
T4
T9
T3
T8
T2
6485 4
1TTTTT C
condizioni al
contorno
(unico interno)
211
1 2
x
TTTa
TT jm
jm
jm
jm
jm
Temperatura nodo m al tempo j
Schema esplicito (monodimensionale)
Reticolo monodimensionale
La derivata temporale rispetto al tempo si scrive in forma approssimata:
Per lo spazio:
2
2
x
Ta
T
jmT
j
mjm
m
TTT 1
211
2
2 2
x
TTT
x
T jm
jm
jm
ca
CONDUZIONE REGIME VARIABILE
ca
La si scrive:
Risolvendo rispetto alla (temperatura dell’istante successivo) si ottiene:
dove: è il numero di Fourier discreto
j1m
j1m
jm
1jm TTFoTFo21T
2xaFo
1jmT
Con questo metodo il valore della temperatura degli istanti successivi si trova senza
metodi iterativi ma direttamente dai valori precedenti (esplicito)
m = 1 2 3 4 5 6 …cond. iniz. j = 0
m = 1 2 3 …… m
j = 1
CONDIZIONE STABILITA’ NODI INTERNI
5,02
x
aFo
0Fo 0Fo21 sempre
Tale condizione produce limitazioni sulla scelta di
Esempio
1j1m
1j1m
1jm T e TT
ottengo
jm
jm
jm TTT 11Istante j se introduco
0)21(
5,0
Fo
Fo
termodinamicamente impossibile
T
m-1 m m+1
m-1 m m+1
j
j+1T
Fo21 e ΔFo
Si dimostra che per evitare oscillazioni divergenti di temperatura i coefficienti
devono essere positivi
2
imn
j1mn
j1mn
jn,1m
jn,1m
jmn
1jmn
x
T4TTTTa
TT
CASO BIDIMENSIONALE
1jmnTrisolvendo rispetto a
x = y m, n TaT 2
j1n,m
j1n.m
jn,1m
jn,1m
jmn
1jn,m TTTTFoFo41TT
2x
aFo
con
Condizione di stabilità
0
041
Fo
Fo4
10 Fo
CONDIZIONI AL CONTORNO (CASO MONODIMENSIONALE)
Fluido
h,T
2 31
T1 T2
x
2
xTTcTTh
x
TTk
j1
1j1j
1
j1
j2
Bilancio energetico
1 - 2 = 3
FoBiFoTBiTTFoT jjjj 2212 12
11
da cui:
Bi12
1Fo
(ulteriore limitazione sui nodi interni)
Condizione di stabilità 0FoBi2Fo21
Limitazioni per la stabilità talvolta impongono l’uso schema implicito (stabilità illimitata)
x
T1 T2
T, h
SCHEMA IMPLICITO
Sistema di equazioni algebriche simultanee con tre incognite (metodi iterativi)
Fo21
TTTFoT
jm
1j1m
1j1m1j
m
2
2
x
Ta
T
Viene fatta all’istante j+i2
1jm
1j1m
1j1m
jm
1jm
x
T2TTa
TT
Condizioni al contorno
x
TT
2
xcTT
x
KTTh
j1
1j1j
1j
21j
11j
Fo2FoBi21
TBiTTFo2T
j1
1j1j21j
1