Analisi Matematica II - mat.uniroma2.ittauraso/Online2/IC-Tx.pdf · Analisi Matematica II per...

Analisi Matematica II

per Ingegneria Informatica

”E’ molto semplice essere felici, ma èmolto difficile essere semplici."

Rabindranath Tagore (1861-1941)

di Roberto Taurasoa cura di Massimiliano Pompegnani

Indice

1 Integrali multipli 51.1 Integrali doppi su rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Integrali doppi su insiemi generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Domini semplici e formule di riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Cambiamento di variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Cambiamenti di variabile negli integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7 Applicazioni in geometria e in fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.8 Esercizi e prove d’esame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2 Integrali curvilinei 1392.1 Curve nel piano e rappresentazioni parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.2 Integrali curvilinei del primo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.3 Curve equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452.4 Forme differenziali lineari in R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.5 Insiemi connessi. Forme differenziali esatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.6 Forme differenziali chiuse. Il teorema di Gauss-Green. . . . . . . . . . . . . . 1522.7 Forme differenziali in insiemi non semplicemente connessi . . . . . . . . . . . 1582.8 Costruzione della funzione potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.9 Esercizi e prove d’esame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

A Simmetrie e quadriche 215A.1 Rappresentazione e proprietà degli insiemi nel piano . . . . . . . . . . . . . . 215A.2 Quadriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

3

Capitolo 2

Integrali curvilinei

2.1 Curve nel piano e rappresentazioni parametriche

Una curva piana è una funzione γ : I → R2

dove I = [a, b] è un intervallo di R :

t ∈ [a, b] 7→ (x(t), y(t)) ∈ R2.

Una curva si dice chiusa se I = [a, b] e si haγ(a) = γ(b), mentre si dice semplice se γ èiniettiva. Il sostegno della curva γ è l’insieme

(x(t), y(t)) : t ∈ I .

Figura 2.1: Esempi di curve.

Le frecce sui sostegni delle curve indicano il verso di percorrenza della curva al varia-re del parametro t ∈ I. E’ naturale quindi considerare per le curve delle rappresentazioniparametriche, ossia delle equazioni della forma

γ(t) =

x(t) = f(t)

y(t) = g(t), t ∈ [a, b] (2.1)

le equazioni (2.1) sono chiamate equazioni parametriche della curva (o curva in forma para-metrica). La figura che si ottiene nel piano xy dal punto iniziale γ(a) al punto finale γ(b) èchiamata sostegno della curva parametrica (ma a volte lo si chiama, con abuso di linguaggio,curva). La variabile t è infine chiamata il parametro. Le funzioni f e g sono le funzionicoordinate e si dice che f e g parametrizzano la curva γ. Vediamo alcuni esempi

139

Integrali curvilinei 140

Esempio 2.1. Consideriamo la curva definita dalle equazioni parametriche seguenti:

γ(t) =

x(t) = 2 + t

y(t) = 1− 2t, t ∈ R

essa rappresenta una retta in forma parametrica. Eliminando ilparametro t si trova l’equazione cartesiana canonica:

t = x+ 2 ⇒ y = 1− 2(x− 2) = 5− 2x.

Se si fa variare il parametro t ∈ [0, 1/2] il sostegno corrispondenteè dato dal segmento che unisce i punti (2, 1) e (5/2, 0).

Esempio 2.2. Consideriamo la curva definita dalle equazioni parametriche seguenti:

γ(t) =

x(t) = a cos t

y(t) = b sin t, t ∈ [0, 2π)

per a, b > 0, essa rappresenta un’ellisse in forma parametrica diequazione cartesiana canonica:

x2

a2+y2

b2= 1.

In particolare, se a = b si ottiene evidentemente l’equazioneparametrica della circonferenza.

Esempio 2.3. Consideriamo la funzione f(x) = 1− x2, allora la curva

γ(t) =

x(t) = t

y(t) = 1− t2, t ∈ [−1, 3/2]

ha come sostegno l’arco di parabola rappresentato in figura. Inquesto caso la funzione g(t) nella (2.1) è uguale a t. Così le equazio-ni parametriche del grafico di una funzione f : [a, b]→ R possonoessere espresse nella forma

γ(t) =

x(t) = t

y(t) = f(t), t ∈ [a, b].

Evidentemente una curva espressa dal grafico di una funzione non è mai chiusa ed è sempre semplice.

Una curva γ si dice regolare se le componenti x(t) e y(t) sono derivabili con derivate con-tinue in [a, b] e si ha

γ′(t) =(x′(t), y′(t)

)6= (0, 0), ∀ t ∈ [a, b]. (2.2)

Il vettore definito da (2.2) si chiama vettore tangente.Inoltre se γ′(t0) 6= (0, 0) allora la retta tangente allacurva nel punto γ(t0) è data da

x = x(t0) + x′(t0)(t− t0)

y = y(t0) + y′(t0)(t− t0), t ∈ R.

141 R. Tauraso - Analisi Matematica II

2.2 Integrali curvilinei del primo tipo

Sia f : Ω ⊆ R2 → R una funzione continua nell’aperto Ω di R2 e sia inoltre γ : [a, b]→ Ω unacurva regolare e semplice

γ(t) = (x(t), y(t)) , t ∈ [a, b].

Allora l’integrale curvilineo di f lungo γ è definito come∫γ

f ds =

∫ b

af (x(t), y(t)) · ‖γ′(t)‖ dt, (2.3)

dove ‖γ′(t)‖ è la norma del vettore tangente, ossia

‖γ′(t)‖ =

√(x′(t))2 + (y′(t))2.

La funzione f si dice integrabile lungo γ se l’integrale corrispondente è finito. Se f(x, y) ≥ 0lungo γ si può interpretare l’integrale di f lungo γ come l’area della superficie

(x, y, z) ∈ R3 : x = x(t), y = y(t), z ∈ [0, f (x(t), y(t))] , t ∈ [a, b].

Figura 2.2: Interpretazione geometrica di∫γ

f ds.

Inoltre se la funzione f ≡ 1, la (2.3) rappresenta la lunghezza della curva γ :

|γ| =∫γ

ds =

∫ b

a‖γ′(t)‖ dt =

∫ b

a

√(x′(t))2 + (y′(t))2 dt. (2.4)


Dalla definizione di integrale curvilineo segue facilmente che se γ è una curva regolaredefinita da γ : [a, b]→ Ω ⊆ R2 e f, g : Ω→ R sono funzioni continue risulta∫

γ

(αf + βg) ds = α

∫γ

f ds+ β

∫γ

g ds, ∀ α, β ∈ R, (2.5)

∫γ

f ds ≤∫γ

g ds, se f ≤ g ∈ Ω, (2.6)

∣∣∣∣∣∣∫γ

f ds

∣∣∣∣∣∣ ≤∫γ

|f | ds ≤ |γ|maxΩ|f |. (2.7)

Inoltre se γ : [a, b]→ R2 si spezza nell’unione delle due curve regolari

γ1 : [a, c]→ R2, γ2 : [c, b]→ R2,

con a < c < b, si ha ∫γ

f ds =

∫γ1

f ds+

∫γ2

f ds. (2.8)

Esempio 2.4. Calcoliamo la lunghezza della circonferenza di raggio R ≥ 0. Le coordinate parametriche sono

γ(t) =

x(t) = R cos t

y(t) = R sin t, t ∈ [0, 2π)

e il vettore tangente ha componenti

γ′(t) =

x′(t) = −R sin t

y′(t) = R cos t.

Allora applicando la (2.4) si ottiene:

|γ| =∫ b

a

‖γ′(t)‖ dt =

∫ 2π

0

√(−R sin t)2 + (R cos t)2 dt =

∫ 2π

0

√R2(sin2 t+ cos2 t) dt = R

∫ 2π

0

dt = 2πR.

Si può osservare che per il calcolo della lunghezza dell’ellisse di semiassi a e b, si ottiene∫ 2π

0

√(−a sin t)2 + (b cos t)2 dt =

∫ 2π

0

√a2 sin2 t+ b2 cos2 t dt,

che è un integrale ellittico non calcolabile con tecniche elementari.

Esempio 2.5. Calcoliamo la lunghezza della curva γ data dal grafico della funzione

f(x) =

√x

3(1− x), x ∈ [0, 1].

Le equazioni parametriche sono

γ(t) =

x(t) = t

y(t) =√t/3(1− t)

, t ∈ [0, 1]

e quindi il vettore tangente ha componenti

γ′(t) =

x′(t) = 1

y′(t) =1− 3t

2√

3√t

.

Applicando allora la (2.4) si ottiene:

|γ| =∫ b

a

‖γ′(t)‖ dt =

∫ 1

0

√12t+ (1− 6t+ t2)

2√

3√t

dt =

∫ 1

0

1 + 3t

2√

3√tdt =

1

2√

3

(∫ 1

0

1√tdt+ 3

∫ 1

0

√t dt

)=

1

2√

3

([2√t]1

0+ 3

[t3/2

3/2

]1

0

)=

2√3.


Esempio 2.6. Calcolare l’integrale ∫γ

f ds, dove f(x, y) =xy sin y√

1 + x2,

e γ è il ramo di parabola

γ(t) =

x(t) = t

y(t) = t2/2, t ∈ [0,

√2π].

Il vettore tangente ha componenti

γ′(t) =

x′(t) = 1

y′(t) = tda cui ‖γ′(t)‖ =

√1 + t2.

Applicando allora la (2.3) si ottiene:

∫γ

f ds =

∫ √2π

0

f (x(t), y(t)) ·√

(x′(t))2 + (y′(t))2 dt =

∫ √2π

0

t · t2

2· sin(t2/2)√

1 + t2t·√

1 + t2 dt

u= t2

2=

∫ π

0

u sinu du(P)= [sinu− u cosu]π0 = π.

Una forma particolare che possono avere le equazioni parametriche di una curva piana èquella polare

γ(t) =

x(t) = ρ(t) cosϑ(t)

y(t) = ρ(t) sinϑ(t), t ∈ [a, b]. (2.9)

Osserviamo inoltre che il vettore tangente, derivando rispetto a t, diviene

γ′(t) =

x′(t) = ρ′(t) · cos (ϑ(t))− ρ(t) · sin (ϑ(t)) · ϑ′(t)y′(t) = ρ′(t) · sin (ϑ(t)) + ρ(t) · cos (ϑ(t)) · ϑ′(t)

, t ∈ [a, b],

da cui, sostituendo, si ottiene

‖γ′(t)‖ =

√(x′(t))2 + (y′(t))2 =

√(ρ′(t))2 + (ρ(t)ϑ′(t))2.

Esempio 2.7. La spirale logaritmica. Calcolare l’integrale della funzione

f(x, y) = (x2 + y2)2

lungo la spirale logaritmica γ data dalle equazioni polari

γ(t) =

ρ(t) = ae−t

ϑ(t) = t, t ∈ [0,+∞), a > 0.

Il vettore tangente ha componenti

γ′(t) =

ρ′(t) = −ae−t

ϑ′(t) = 1.

Allora avremo

∫γ

(x2 + y2)2 ds =

∫ +∞

0

ρ4√

(ρ′(t))2 + (ρ(t)ϑ′(t))2 dt =

∫ +∞

0

a4e−4t√

(−ae−t)2 + (ae−t)2 dt

=

∫ +∞

0

a5e−5t√

2 dt = a5√

2

[e−5t

−5

]+∞

0

=a5√

2

5.


Esempio 2.8. Calcoliamo la lunghezza della cardioide data dalle equazioni parametriche polari

γ(t) =

ρ(t) = 1 + cos t

ϑ(t) = t, t ∈ [0, 2π).

Quindi il vettore tangente sarà

‖γ′(t)‖ =

√(ρ′(t))2 + (ρ(t)ϑ′(t))2

=

√(− sin t)2 + ((1 + cos t) · 1)2

=√

sin2 t+ 1 + 2 cos t+ cos2 t

=√

2√

1 + cos t = 2

∣∣∣∣cos

(t

2

)∣∣∣∣ .Pertanto si ha

|γ| =∫ 2π

0

2

∣∣∣∣cos

(t

2

)∣∣∣∣ dt = 4

∫ π

0

cos

(t

2

)dt = 8

[sin

(t

2

)]π0

= 8.

Esempio 2.9. Epicicloidi e ipocicloidi. Consideriamo la famiglia di curve dette epicicloidi definite da

γ(t) =

x(t) = α cos t− cos (αt)

y(t) = α sin t− sin (αt),

dove α > 1 è un parametro reale. Se α è un numero intero allora per t ∈ [0, 2π] la curva risulta semplice echiusa. Calcoliamo la sua lunghezza. Il vettore tangente sarà

γ′(t) =

x′(t) = −α sin t+ α sin (αt)

y′(t) = α cos t− α cos (αt),

e quindi, applicando la (2.4), si ottiene:

|γ| =∫ b

a

‖γ′(t)‖ dt =

∫ 2π

0

√(−α sin t+ α sin (αt))2 + (α cos t− α cos (αt))2 dt

=

∫ 2π

0

√2α2 − 2α2 sin t sin (αt)− 2α2 cos t cos (αt) dt =

√2α

∫ 2π

0

√1− cos ((α− 1)t) dt

posto (α− 1)t = s, dt =ds

(α− 1)⇒

√2α

(α− 1)

∫ 2π(α−1)

0

√1− cos s ds =

√2α

∫ 2π

0

√1− cos s ds

= 2α

∫ 2π

0

∣∣∣sin( s2

)∣∣∣ ds = 4α

∫ π

0

sin( s

2

)ds = 8α

[− cos

( s2

)]π0

= 8α.

Figura 2.3: Epicicloidi rispettivamente per α = 2, α = 4 e α = 12 (i lobi sono α− 1).

La famiglia di curve dette ipocicloidi sono definite con delle equazioni simili

γ(t) =

x(t) = α cos t− cos (αt)

y(t) = α sin t+ sin (αt).


Se α è un numero intero allora per t ∈ [0, 2π] la curva risulta semplice e chiusa. Il calcolo della sua lunghezzaè molto simile al precedente e il risultato finale è lo stesso.

|γ| =∫ b

a

‖γ′(t)‖ dt =

∫ 2π

0

√(−α sin t+ α sin (αt))2 + (α cos t+ α cos (αt))2 dt

=

∫ 2π

0

√2α2 − 2α2 sin t sin (αt) + 2α2 cos t cos (αt) dt =

√2α

∫ 2π

0

√1 + cos ((α+ 1)t) dt

posto (α+ 1)t = s, dt =ds

(α+ 1)⇒

√2α

(α+ 1)

∫ 2π(α+1)

0

√1 + cos s ds =

√2α

∫ 2π

0

√1 + cos s ds

= 2α

∫ 2π

0

∣∣∣cos( s

2

)∣∣∣ ds = 4α

∫ π

0

cos( s

2

)ds = 8α

[sin( s

2

)]π0

= 8α.

Figura 2.4: Ipocicloidi rispettivamente per α = 2, α = 5 e α = 12 (i lobi sono α+ 1).

2.3 Curve equivalenti

Due curve γ1 : I1 → R2 e γ2 : I2 → R2 si dicono equivalenti se la funzione ϕ : I1 → I2,biunivoca, derivabile con derivata continua in I2 e tale che ϕ′(t) 6= 0 in I2 per cui

γ1 (ϕ(t)) = γ2(t), ∀t ∈ I2.

Due curve equivalenti hanno lo stesso sostegno e lo stesso verso di percorrenza se ϕ′ > 0oppure verso opposto se ϕ′ < 0. Ad esempio

γ1(t) = (cos t, sin t) , t ∈ [0, 2π], γ2(t) = (cos 2t, sin 2t) , t ∈ [0, π]

sono equivalenti e sono due parametrizzazioni diverse della circonferenza di centro l’origine eraggio unitario percorse nello stesso verso, mentre

γ3(t) = (cos(−t), sin(−t)) , t ∈ [0, 2π]

è equivalente alle due parametrizzazioni precedenti, ma percorsa nel verso opposto. Per l’in-tegrale di linea di prima specie vale un risultato di invarianza per cambi di parametrizzazioniespresso dal seguente risultato.

Teorema 2.1. (Invarianza per parametrizzazioni)

L’integrale curvilineo di prima specie lungo γ è invariante per parametrizzazioni equiva-lenti ed anche per cambiamento di orientazione su γ, ossia∫

γ1

f ds =

∫γ2

f ds.


Come applicazione del teorema precedente proviamo a calcolare il centro di massa di unacurva. Sia γ : [a, b] → R2 una curva lungo la quale sia distribuita della massa con densitàlineare δ(x, y) allora il centro di massa (x, y) è dato da

x =

∫γ

x · δ(x, y) ds

∫γ

δ(x, y) ds

, y =

∫γ

y · δ(x, y) ds

∫γ

δ(x, y) ds

.

Calcoliamo il centro di massa di una semicirconferenza omogenea, con densità δ(x, y) = 1 ,e di raggio R. Svolgiamo il calcolo usando dueparametrizzazioni diverse

γ1(t) =

x(t) = R cos t

y(t) = R sin t, t ∈ [0, π],

γ2(t) =

x(t) = Rt

y(t) = R√

1− t2, t ∈ [−1, 1].

Le norme dei vettori tangenti saranno

‖γ′1(t)‖ =

√(−R sin t)2 + (−R cos t)2 = R, ‖γ′2(t)‖ = R

√(1)2 +

(t√

1− t2

)2

=R√

1− t2.

Allora dopo aver osservato che per simmetria avremo x = 0, calcoliamo la coordinata y usandole due parametrizzazioni:

y =

∫γ1

y ds

∫γ1

ds

=1

|γ1|

∫ π

0R sin t · ‖γ′1(t)‖ dt =

1

πR

∫ π

0R2 sin t dt =

R2

πR[− cos t]π0 =

2R

π,

y =

∫γ2

y ds

∫γ2

ds

=1

|γ2|

∫ 1

−1R√

1− t2 · ‖γ′2(t)‖ dt =1

πR

∫ 1

−1R√

1− t2 · R√1− t2

dt =2R

π.

2.4 Forme differenziali lineari in R2

Sia F : Ω→ R2 un campo vettoriale in Ω aperto di R2

F (x, y) = (A(x, y), B(x, y))

con componenti A(x, y), B(x, y) continue. Ad ~F associamo l’espressione formale

ω(x, y) = A(x, y)dx+B(x, y)dy

detta forma differenziale di coefficienti A(x, y) e B(x, y). Notiamo subito che l’insieme delleforme differenziali costituisce uno spazio vettoriale sul campo R rispetto alla somma e allamoltiplicazione per un numero reale così definite:

ω1 + ω2 = (A1 +A2) dx+ (B1 +B2) dy, λω = λA(x, y)dx+ λB(x, y)dy,


dove

ω1(x, y) = A1(x, y)dx+B1(x, y)dy, ω2(x, y) = A2(x, y)dx+B2(x, y)dy.

Sia γ : [a, b] → Ω ⊆ R2 una curva regolare e semplice definita da γ(t) = (x(t), y(t)) cont ∈ [a, b]. Allora l’integrale curvilineo di ~F lungo γ è definito come∫ b

a

[A (x(t), y(t)) · x′(t) +B (x(t), y(t)) · y′(t)

]dt. (2.10)

I simboli usati per indicarlo sono∫γ

ω(x, y),

∫γ

⟨~F , d~γ

⟩,

∮γ

ω(x, y),

dove l’ultimo simbolo è utilizzato in particolare quando la curva γ è chiusa. Se ~F rappresentaun campo di forze piano allora il suo integrale curvilineo lungo γ rappresenta il lavoro compiutoda ~F per muoversi da γ(a) a γ(b) lungo γ.Esempio 2.10. Sia F (x, y) = (−y, x) un campo vettoriale e consideriamo le due curve γ1 e γ2 che partono da

(0, 1) e arrivano a (0,−1) parametrizzate come segue:

γ1(t) =

x(t) = 1− ty(t) = −t

, γ2(t) =

x(t) = cos t

y(t) = sin t.

t ∈ [0, 1] t ∈ [0, 3π/2]

Utilizzando la (2.10) si ottiene∫γ1

⟨~F , d~γ

⟩=

∫ 1

0

[(t)(1− t)′ + (1− t)(−t)′

]dt = −

∫ 1

0

dt = −1,

∫γ2

⟨~F , d~γ

⟩=

∫ 3π/2

0

[(− sin t)(cos t)′ + (cos t)(sin t)′

]dt

=

∫ 3π/2

0

[sin2 t) + cos2 t

]dt =

3π

2.

In questo caso, vista la semplicità del campo vettoriale, possiamoanche rappresentarlo graficamente: per ogni punto (x, y), il vettoreapplicato (−y, x) è ortogonale alla retta passante per i punti (0, 0)e (x, y) e di lunghezza uguale alla distanza di (x, y) da (0, 0). Conqueste osservazioni è immediato concludere che∫

γ

⟨~F , d~γ

⟩= 0,

se γ è un segmento lungo una retta passante per (0, 0). In que-sto caso infatti i vettori sono ortogonali e quindi il loro prodottoscalare è nullo.

Esempio 2.11. Rappresentare graficamente il campo vettoriale

F (x, y) =

(− x

(x2 + y2)3/2,− y

(x2 + y2)3/2

), ∀ (x, y) ∈ R2\(0, 0),

e calcolare l’integrale curvilineo di ~F lungo γ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 da(2, 0) a (0, 1). Per disegnare il campo vettoriale si può osservareche la norma ‖~F‖ è pari a

‖F (x, y)‖ =

√√√√(− x

(x2 + y2)3/2

)2

+

(− y

(x2 + y2)3/2

)2

=1

x2 + y2,


ossia la distanza dall’origine del campo vettoriale diminuisce con il reciproco della distanza. Infatti ~F giacelungo la retta passante per (0, 0) e (x, y) e punta verso l’origine. Per calcolare ora l’integrale lungo γ di ~F

parametrizziamo i rami che compongono la curva come segue:

γ1(t) =

x(t) = t

y(t) = 0, t ∈ [2, 3],

γ2(t) =

x(t) = 3 cos t

y(t) = 3 sin t, t ∈ [0, π/2],

γ3(t) =

x(t) = 0

y(t) = t, t ∈ [3, 1].

Utilizzando la (2.10) si ottiene∫γ1

⟨~F , d~γ1

⟩=

∫ 3

2

− 1

t2dt =

[1

t

]3

2

dt =1

3− 1

2= −1

6,

∫γ2

⟨~F , d~γ2

⟩= 0, poichè ~F è ortogonale a ~γ′2,

∫γ3

⟨~F , d~γ3

⟩=

∫ 1

3

− 1

t2dt =

[1

t

]1

3

dt = 1− 1

3=

2

3. Quindi

∫γ

⟨~F , d~γ

⟩= −1

6+ 0 +

2

3=

1

2.

A differenza dell’integrale curvilineo del primo tipo, l’integrale curvilineo del secondo tipodipende dal verso in cui viene percorso il sostegno della curva γ. Se indichiamo con γ− lacurva equivalente a γ, ma orientata nel verso opposto, dalla definizione (2.10) risulta∫

γ−

ω(x, y) = −∫γ

ω(x, y).

Inoltre se spezziamo γ nelle curve regolari

γk : [tk−1, tk]→ Ω ⊂ R2,

con a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b e γk(t) = γ(t) in [tk−1, tk] per ogni k = 1, 2, . . . , n,applicando la (2.8) otteniamo∫

γ

ω(x, y) =

∫γ1

ω(x, y) +

∫γ2

ω(x, y) + · · ·+∫γn

ω(x, y).

Analogamente, dalla (2.5) si deduce che se ω1(x, y) e ω2(x, y) sono due forme differenzialicontinue nell’aperto Ω ⊂ R2 e α, β ∈ R allora∫

γ

αω1(x, y) + βω2(x, y) = α

∫γ

ω1(x, y) + β

∫γ

ω2(x, y).

Infine dalla (2.5) segue che∣∣∣∣∣∣∫γ

ω(x, y)

∣∣∣∣∣∣ ≤ |γ|maxγ

√A2(x, y) +B2(x, y),

dove |γ| al solito indica la lunghezza della curva.Esempio 2.12. Sia F (x, y) = (y2, 2xy) e calcoliamo ∫

γ

⟨~F , d~γ

⟩,

lungo tre curve che vanno da (0, 0) a (1, 1) parametrizzate nelseguente modo

γ1(t) =

x(t) = t

y(t) = t2t ∈ [0, 1], γ2(t) =

x(t) = t

y(t) = tt ∈ [0, 1],

γ3(t) =

x(t) = 0

y(t) = tt ∈ [0, 1] ∪

x(t) = t

y(t) = 1t ∈ [0, 1].


Applicando la (2.10) si ottiene:∫γ1

⟨~F , d~γ1

⟩=

∫ 1

0

(t4 · 1 + 2t3 · 2t

)dt =

[t5]10

= 1,

∫γ2

⟨~F , d~γ2

⟩=

∫ 1

0

(t2 · 1 + 2t2 · 1

)dt =

[t3]10

= 1,

∫γ3

⟨~F , d~γ3

⟩=

∫ 1

0

(t2 · 0 + 0 · 0

)dt+

∫ 1

0

(1 · 1 + 2t · 0) dt = 1.

In questo caso i tre calcoli hanno dato lo stesso risultato. Se definiamo la curva chiusa γ = γ1 ∪ γ−2 , dove γ−2

è la curva γ2 con orientazione opposta, possiamo dire che∫γ

⟨~F , d~γ

⟩=

∫γ1

⟨~F , d~γ1

⟩+

∫γ−2

⟨~F , d~γ−2

⟩=

∫γ1

⟨~F , d~γ1

⟩−∫γ2

⟨~F , d~γ2

⟩= 1− 1 = 0.

2.5 Insiemi connessi. Forme differenziali esatte

Presentiamo alcune definizioni preliminari.

Definizione 2.1. (Insieme connesso per archi)

Un insieme S ⊂ R2 aperto si dice connesso (per archi) se per ogni unto P e Q di Sesiste una curva γ : [a, b]→ S tale che γ(a) = P e γ(b) = Q.

Due esempi sono riportati in figura.

Figura 2.5: x2 + y2 ≥ 1 è connesso. Figura 2.6: |x| ≥ 1 non è connesso.

Sia Ω un insieme aperto connesso di R2 e ω(x, y) una forma differenziale con le componentiA(x, y) e B(x, y) continue in Ω.

Definizione 2.2. (Forma esatta)

Diremo che ω(x, y) è esatta in Ω se esiste una funzione U : Ω→ R differenziabile, dettafunzione potenziale o primitiva, con le derivate continue tale che

∂U

∂x(x, y) = A(x, y),

∂U

∂y(x, y) = B(x, y), ∀ (x, y) ∈ Ω. (2.11)

Si intuisce che il problema posto non ammetterà sempre soluzione, cioè non sempre laforma differenziale ω(x, y) sarà esatta, perciò di seguito daremo delle condizioni sufficientiaffinché tale forma sia esatta.

Teorema 2.2.

Sia Ω ⊂ R2 un aperto connesso. Se la forma differenziale ω(x, y) è esatta in Ω alloraammette infinite funzioni potenziali, ossia U(x, y) = G(x, y) + k, k ∈ R.


Dimostrazione. Infatti se U(x, y) è una funzione potenziale (primitiva) di ω(x, y) allora ovviamente ancheU(x, y) + k lo è. Viceversa, se G(x, y) è un’altra funzione potenziale (primitiva) di ω(x, y) in Ω diversa daU(x, y), essendo ω(x, y) esatta per ogni punto di Ω si ha

∂U

∂x(x, y) = A(x, y),

∂U

∂y(x, y) = B(x, y) e

∂G

∂x(x, y) = A(x, y),

∂G

∂y(x, y) = B(x, y),

da cui sottraendo membro a membro e usando la linearità dell’operazione di derivazione si ha

∂U

∂x(x, y)−

∂G

∂x(x, y) =

∂(U −G)

∂x(x, y) = 0, e

∂U

∂y(x, y)−

∂G

∂y(x, y) =

∂(U −G)

∂y(x, y) = 0.

La funzione (U − G)(x, y) è continua e avendo le derivate parziali prime nulle in ogni punto di Ω è

necessariamente costante, cioè risulta U(x, y)−G(x, y) = k, k ∈ R, che è quanto volevamo.

Riassumendo, quando la forma differenziale è esatta, la sua funzione potenziale (o primi-tiva) è determinata a meno di una costante additiva arbitraria. Il seguente teorema riportauna caratterizzazione delle forme differenziali esatte

Teorema 2.3. (Caratterizzazione delle forme esatte)

Sia Ω ⊂ R2 un aperto connesso. Allora

i) se ω(x, y) è esatta, per ogni curva γ regolare contenuta in Ω, vale la formula∫γ

ω(x, y) = U(γ(b))− U(γ(b)), (2.12)

ovvero l’integrale di ω(x, y) lungo γ dipende solo dal punto iniziale e dal puntofinale della curva γ;

ii) ω(x, y) è esatta se e solo se per ogni curva chiusa γ regolare contenuta in Ω, si ha∮γ

ω(x, y) = 0, ∀ γ ∈ Ω. (2.13)

Dimostrazione. i). Assumiamo per ipotesi che ω(x, y) sia esatta; allora in tale ipotesi per ogni curva γ de-finita da [a, b]→ Ω si ha

∫γ

ω(x, y) =

∫ b

a

(∂U

∂x(x, y) · x′(t) +

∂U

∂y(x, y) · y′(t)

)dt

=

∫ b

a

d [U (x(t), y(t))]

dtdt = [U (x(t), y(t))]ba

= U (γ(b))− U (γ(a)) .

Questo significa che l’integrale di ω(x, y) lungo γ dipende solo dal pun-to iniziale e finale e non dalla particolare curva in Ω che li congiunge,pertanto la i) è dimostrata. ii) Dimostriamo la prima implicazione, ossiasupponiamo che la forma ω(x, y) sia esatta. Allora fissata ad arbitrio unacurva chiusa regolare γ e si scelgano su di essa due punti distinti P e Q.Diciamo γ1 e γ2 i due archi determinati su γ da detti punti e orientati daP a Q. Allora∫

γ1

ω(x, y) =

∫γ2

ω(x, y) ossia∫γ1

ω(x, y) +

∫γ−2

ω(x, y) = 0,

che è quanto volevamo.


Dimostriamo l’implicazione inversa, supponiamo cioè che per ipotesi si abbia∫γ1

ω(x, y) =

∫γ2

ω(x, y), ∀ γ1, γ2 ∈ Ω,

con gli stessi punti iniziali e finali e dimostriamo che ω(x, y) è esatta. Fissiamo un punto (x0, y0) ∈ Ω edefiniamo una funzione U(x, y) nel seguente modo

U(x, y) =

∫γ

ω(x, y),

dove γ è una qualunque curva in Ω che parte da (x0, y0) e arri-va a (x, y). Tale funzione è ben definita poiché per ipotesi Ω èaperto connesso e quindi esiste almeno una curva che congiun-ge (x0, y0) e (x, y). Inoltre per la (2.12) il valore dell’integrale diω non dipende dalla particolare scelta della curva. In tal modosi ha

U(x, y) =

∫γ

ω(x, y), e U(x+ h, y) =

∫γ∪γh

ω(x, y) =

∫γ

ω(x, y) +

∫γh

ω(x, y),

dove γh è una curva contenuta in Ω da (x, y) a (x+h, y) ossia γh = (x+ t, y), t ∈ [0, h]. Si noti che h è sceltoin modo che il sostegno della curva γh, un segmento, sia completamente contenuto in Ω. Quindi si ha

U(x+ h, y)− U(x, y)

h=

1

h

∫γh

ω(x, y) =1

h

∫ h

t=0A(x+ t, y)dt

(∗)= A(x+ th, y), per qualche th ∈ [0, h],

dove in (∗) si è usato il teorema della media integrale. Passando al limite per h→ 0 abbiamo che th → 0,e così, per la continuità di A(x, y), si ottiene

∂U

∂x(x, y) = lim

h→0

U(x+ h, y)− U(x, y)

h= limh→0

A(x+ th, y) = A(x, y).

In modo del tutto simile si dimostra che ∂U/∂y = B(x, y), ossia ω(x, y) è esatta ed ha U(x, y) come funzione

potenziale associata.

Da quanto detto il teorema precedente si può riformulare nel modo seguente.

Condizione necessaria e sufficiente affinché ω sia esatta in un aperto connesso Ω ⊆ R2 èche sia nullo l’integrale di ω(x, y) lungo una qualunque curva chiusa regolare in Ω.

L’osservazione precedente è utile per determinare se una forma differenziale non è esatta.Consideriamo la forma

ω(x, y) = − y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2,

definita in Ω = (x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (0, 0) e verifichiamo che non è esatta. Infatti seγ è la curva chiusa data dalla circonferenza parametrizzata da γ(t) = (R cos t, R sin t) , cont ∈ [0, 2π], R > 0, si ha che

∮γ

ω =

∫ 2π

0

(−R sin t

R2· (R cos t)′ +

R cos t

R2· (R sin t)′

)dt = 2π 6= 0,

e ciò mostra che la forma ω(x, y) non può essere esatta in Ω, poiché l’integrale lungo la curvachiusa γ non è 0.


2.6 Forme differenziali chiuse. Il teorema di Gauss-Green.

Le osservazioni precedenti mettono in particolare rilievo l’importanza di sapere a priori l’e-sattezza della forma differenziale in esame, e la difficoltà nel riconoscerne l’esattezza sta nelladeterminazione della funzione potenziale U(x, y). Dunque è essenziale dare delle condizionisufficienti. Cominciamo con la seguente definizione.

Definizione 2.3. (Forma chiusa)

Sia Ω un aperto di R2 e ω(x, y) = A(x, y)dx + B(x, y)dy una forma differenziale con lecomponenti A,B ∈ C1 (Ω) . Diciamo che ω(x, y) è chiusa quando

∂A

∂y(x, y) =

∂B

∂x(x, y), ∀ (x, y) ∈ Ω. (2.14)

Vale la seguente condizione necessaria.

Teorema 2.4.

Siano Ω un aperto di R2 e ω(x, y) una forma differenziale di classe C1 (Ω) . Se ω è esattaallora ω(x, y) è chiusa.

Dimostrazione. Si tratta di dimostrare che vale l’uguaglianza (1.14). Per ipotesi poiché ω(x, y) è esatta,esisterà una funzione potenziale U(x, y) tale che

∂U

∂x(x, y) = A(x, y),

∂U

∂y(x, y) = B(x, y), ∀ (x, y) ∈ Ω.

Allora derivando A(x, y) rispetto ad y e B(x, y) rispetto ad x si ha

∂A

∂y(x, y) =

∂

∂y

(∂U

∂x(x, y)

)=

∂2U

∂y∂x(x, y),

∂B

∂x(x, y) =

∂

∂x

(∂U

∂y(x, y)

)=

∂2U

∂x∂y(x, y).

Siccome ω(x, y) è di classe C1 (Ω) avremo che U(x, y) è di classe C2 (Ω). Pertanto le derivate secondomiste sono continue in Ω e per il teorema di Schwarz,

∂2U

∂y∂x(x, y) =

∂2U

∂x∂y(x, y),

e ciò dimostra che vale l’uguaglianza (2.14).

A questo punto nasce spontaneamente la domanda: ogni forma chiusa è esatta? Purtroppola risposta in generale è negativa. Per dare una risposta completa alla nostra domanda,introduciamo una nuova definizione topologica e successivamente presentiamo il teorema diGauss-Green, che collega l’integrale curvilineo di una forma differenziale lungo una curvachiusa ad un integrale doppio sul dominio delimitato dalla stessa curva.

Definizione 2.4. (Insieme semplicemente connesso)

Un insieme aperto connesso Ω ⊆ R2 si dice semplicemente connesso se ogni curva regolare,semplice e chiusa contenuta in Ω è la frontiera di un insieme limitato D interamentecontenuto in Ω.


Dalla figura seguente si può osservare che ogni insieme semplicemente connesso è eviden-temente connesso, e ogni insieme con uno o più "buchi" non è semplicemente connesso.

Figura 2.7: Insieme connesso. Figura 2.8: Insieme semplicementeconnesso.

Teorema 2.5 (Gauss-Green nel piano)

Sia D ⊆ R2 un dominio semplice sia rispetto ad x sia rispetto ad y. Sia


una forma differenziale di classe C1 (Ω) con D ⊂ Ω aperto. Allora vale la formula diGauss-Green∮

∂D+

A(x, y)dx+B(x, y)dy =

∫∫D

(∂B

∂x(x, y)− ∂A

∂y(x, y)

)dxdy (2.15)

dove ∂D+ indica la curva chiusa che ha per sostegno la frontiera di D percorsa in sensoantiorario.

Dimostrazione. Consideriamo inizialmente un dominio D semplice rispetto all’asse x, ossia del tipo

D =

(x, y) ∈ R2 : y ∈ [c, d], x ∈ [ψ1(y), ψ2(y)],

con ψ1(y), ψ2(y) funzioni continue. Consideriamo la formadifferenziale B(x, y)dy e dimostriamo che∫∫

D

∂B

∂x(x, y) dxdy =

∮∂D+

B(x, y)dy. (A)

A tale scopo calcoliamo prima l’integrale doppio e l’integralecurvilineo separatamente e poi verifichiamo che siano uguali.

∫∫D

∂B

∂x(x, y) dxdy =

∫ d

y=c

(∫ ψ2(y)

x=ψ1(y)

∂B

∂x(x, y) dx

)dy =

∫ d

y=c[B(x, y)]

ψ2(y)x=ψ1(y)

dy =

∫ d

c[B (ψ2(y), y)−B (ψ1(y), y)] dy.

Per l’integrale curvilineo, parametrizziamo il bordo ponendo

(1) :

x(t) = ψ2(t)

y(t) = t, (2) :

x(t) = t

y(t) = d, (3) :

x(t) = ψ1(t)

y(t) = t, (4) :

x(t) = t

y(t) = c,

t ∈ [ψ1(c), ψ2(c)] t ∈ [c, d] t ∈ [ψ1(d), ψ2(d)] t ∈ [d, c]


e applicando la (1.10) otteniamo

∮∂D+

B(x, y)dy =

∫ ψ2(c)

ψ1(c)B (t, c) · (c)′ dt+

∫ d

cB (ψ2(c), t) · (t)′ dt+

∫ ψ1(d)

ψ2(d)B (t, d) · (d)′ dt+

∫ c

dB (ψ1(t), t) · (t)′ dt

= 0 +

∫ d

cB (ψ2(c), t) dt+ 0 +

∫ c

dB (ψ1(t), t) dt =

∫ d

cB (ψ2(c), t) dt−

∫ d

cB (ψ1(t), t) dt

=

∫ d

c[B (ψ2(c), t)−B (ψ1(t), t)] dt.

Pertanto confrontando i risultati si perviene alla (A). Conside-riamo ora un dominio D semplice rispetto all’asse y, ossia deltipo

D =

(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b], y ∈ [ϕ1(x), ϕ2(x)],

con ϕ1(x), ϕ2(x) funzioni continue e consideriamo la formadifferenziale con A(x, y)dx. e dimostriamo che

−∫∫D

∂A

∂y(x, y) dxdy =

∮∂D+

A(x, y)dx. (B)

Calcoliamo allora come prima l’integrale doppio e l’integralecurvilineo separatamente e poi verifichiamo l’uguaglianza.

−∫∫D

∂A

∂x(x, y) dxdy = −

∫ b

x=a

(∫ ϕ2(x)

y=ϕ1(x)

∂A

∂x(x, y) dy

)dx = −

∫ b

x=a[A(x, y)]

ϕ2(x)y=ϕ1(x)

dx

= −∫ b

a[A (x, ϕ2(x))−A (x, ϕ1(x))] dx =

∫ b

a[A (x, ϕ1(x))−A (x, ϕ2(x))] dx.

Per l’integrale curvilineo, parametrizziamo il bordo ponendo

(1) :

x(t) = t

y(t) = ϕ1(t), (2) :

x(t) = b

y(t) = t, (3) :

x(t) = t

y(t) = ϕ2(t), (4) :

x(t) = a

y(t) = t,

t ∈ [a, b] t ∈ [ϕ1(b), ϕ2(b)] t ∈ [b, a] t ∈ [ϕ2(a), ϕ1(a)]

e applicando la (1.10) otteniamo

∮∂D+

A(x, y)dx =

∫ b

aA (t, ϕ1(t)) · (t)′ dt+

∫ ϕ2(b)

ϕ1(b)A (b, t) · (b)′ dt+

∫ a

bA (t, ϕ2(t)) · (t)′ dt+

∫ ϕ1(a)

ϕ2(a)A (a, t) · (a)′ dt

=

∫ b

aA (t, ϕ1(t)) dt+ 0 +

∫ a

bA (t, ϕ2(t)) dt+ 0 =

∫ b

aA (t, ϕ1(t)) dt−

∫ b

aA (t, ϕ2(t)) dt

=

∫ b

a[A (t, ϕ1(t))−A (t, ϕ2(t))] dt.

Pertanto confrontando i risultati si ottiene la (B). Poiché il dominio D è normale rispetto ad entrambi

gli assi, valgono sia la (A) che la (B) e quindi sommandole membro a membro si ottiene la tesi.

Esempio 2.13. Calcolare l’integrale lungo la circonferenza di centro (1/2, 0) e raggio 1/2 percorsa in sensoantiorario della forma differenziale ω(x, y) = (x− y3)dx+ (y3 + x3)dy.

La forma differenziale assegnata è definita in tutto R2, che è uninsieme semplicemente connesso. Dato che

∂

∂x(y3 + x3) = 3x2 6= −3y2 =

∂

∂y(x− y3),

ω(x, y) non è chiusa e pertanto non può essere esatta. Per il calcolodell’integrale si deve quindi procedere per via esplicita, ossia ap-plicando la (2.10), oppure applicando il teorema di Gauss-Green,poiché la curva γ è chiusa ed è il bordo di un dominio normale delpiano. Procediamo in entrambi i modi, per evidenziare l’economiadei calcoli.


1. La circonferenza ha equazione cartesiana (x− 1/2)2 + y2 = 1/4, ed equazioni parametriche

γ(t) =

x(t) = 1/2 + 1/2 cos t

y(t) = 1/2 sin tt ∈ [0, 2π]

e applicando la (2.10) si ha∮γ

ω(x, y) =

∫ 2π

0

[(1

2+

1

2cos t− 1

8sin3 t

)·(−1

2sin t

)+

[(1

2sin t

)3

+

(1

2+

1

2cos t

)3]·(

1

2cos t

)]dt.

A questo punto si può già osservare che il calcolo dell’integrale risulta piuttosto laborioso. Volendo proseguireè opportuno ricordare le formule di bisezione del coseno, ossia:

cos t+ 1 = 2 cos2

(t

2

), ⇒

(1

2+

1

2cos t

)3

=1

8(1 + cos t)3 = cos6

(t

2

),

e quindi l’integrale diviene:∮γ

ω =

∫ 2π

0

[− sin t

4− sin t cos t

4+

sin4 t

16+

1

2cos6

(t

2

)cos t+

sin3 t cos t

16

]dt

= −1

4

∫ 2π

0

sin t dt− 1

4

∫ 2π

0

sin t cos t dt+1

16

∫ 2π

0

sin4 t dt+1

2

∫ 2π

0

cos6

(t

2

)cos t dt+

∫ 2π

0

sin3 t cos t

16dt

= −1

4[cos t]2π0 −

1

4

[sin2 t

2

]2π

0

+1

16

[sin4 t

4

]2π

0

+ 16

∫ 2π

0

sin4 t dt+1

2

∫ 2π

0

cos6

(t

2

)cos t dt

= 0 + 0 + 0 +1

16

∫ 2π

0

sin4 t dt+1

2

∫ 2π

0

cos6

(t

2

)cos t dt =

1

16· 3π

4+

1

2· 15π

32=

9π

32.

Infatti per il primo dei due integrali, integrando per parti si ottiene∫ 2π

0

sin4 t dt =

∫ 2π

0

sin t · sin3 t dt = −∫ 2π

0

sin3 t d(cos t)(P)= −

[cos t sin3 t

]2π0

+

∫ 2π

0

cos t d(sin3 t)

= 3

∫ 2π

0

cos2 t sin2 t dt = 3

∫ 2π

0

(1− sin2 t) sin2 t dt = 3

∫ 2π

0

sin2 t dt− 3

∫ 2π

0

sin4 t dt,

ricordando che∫

sin2 t dt =1

2(t− sin t cos t) ⇒ 3

[1

2(t− sin t cos t)

]2π

0

− 3

∫ 2π

0

sin4 t dt,∫ 2π

0

sin4 t dt = 3π − 3

∫ 2π

0

sin4 t dt ⇒∫ 2π

0

sin4 t dt =3π

4.

Per il secondo, ricordando ancora le formule di bisezione del coseno, abbiamo∫ 2π

0

cos6

(t

2

)cos t dt =

∫ 2π

0

(√1 + cos t

2

)6

cos t dt =

∫ 2π

0

(1 + cos t

2

)3

cos t dt

=1

8

∫ 2π

0

(1 + cos3 t+ 3 cos t+ 3 cos2 t

)cos t dt =

∫ 2π

0

cos t dt

8+

∫ 2π

0

cos4 t dt

8+

∫ 2π

0

3 cos2 t dt

8+

∫ 2π

0

3 cos3 t dt

8

=1

8· 0 +

1

8· 3π

4+

3

8· π +

3

8· 0 =

15π

32.

2. Applichiamo il teorema di Gauss-Green. Si tratta di calcolare l’integrale doppio∫∫D

(∂B

∂x(x, y)− ∂A

∂y(x, y)

)dxdy = 3

∫∫D

(x2 + y2) dxdy

dove D è il dominio definito da D = (x, y) ∈ R2 : (x−1/2)2 +y2 ≤ 1/4. Conviene effettuare un cambiamentodi variabili (una traslazione) ponendo x − 1/2 = u e y = v, con fattore jacobiano di trasformazione uguale a1, in modo tale che invece di integrare la funzione f(x, y) = x2 + y2 sull’insieme D, integreremo la funzionef(u, v) = (u+ 1/2)2 + v2 sull’insieme Φ−1(D) = (u, v) ∈ R2 : u2 + v2 ≤ 1/4. Passando allora in coordinatepolari, ponendo cioè

u = ρ cosϑ, v = ρ sinϑ con ρ ∈ [0, 1/2], ϑ ∈ [0, 2π]

e ricordando il fattore jacobiano di trasformazione ρ dρdϑ, si ha

3

∫∫D

(x2 + y2) dxdy = 3

∫∫Φ−1(D)

((u+ 1/2)2 + v2) dudv Φ(ρ,ϑ)

= 3

∫ 12

ρ=0

∫ 2π

ϑ=0

ρ((ρ cosϑ+ 1/2)2 + ρ2 sinϑ

)dρdϑ

= 3

∫ 12

ρ=0

∫ 2π

ϑ=0

((ρ3 + 2ρ2 cosϑ+ 1/4ρ)

)dρdϑ = 3

(2π

[ρ4

4

] 12

0

+ 2

[ρ3

4

] 12

0

[sinϑ]2π0 +π

4

[ρ2

2

] 12

0

)

= 3( π

32+

π

16

)=

9π

32.


Esempio 2.14. Data la forma differenziale ω(x, y) = 2(x2 +y2)dx+(x+y)2dy, calcolare l’integrale di ω(x, y)lungo γ, dove γ è il perimetro del triangolo di vertici (1, 1), (2, 2), (1, 3) percorso in senso antiorario.

La forma differenziale assegnata è definita in tutto R2, che è un in-sieme semplicemente connesso. Si verifica che ω(x, y) non è chiusa,dato che

∂

∂x(x+ y)2 = 2(x+ y) 6= 4y =

∂

∂y2(x2 + y2),

pertanto non può essere esatta. Per il calcolo dell’integrale si devequindi procedere per via esplicita, ossia applicando la (2.10), oppu-re applicando il teorema di Gauss-Green, poiché la curva γ è chiusaed è il bordo di un dominio normale del piano. Procediamo anchein questo caso in entrambi i modi per mettere ancora una voltain evidenza quanto a volte sia comodo l’utilizzo del teorema diGauss-Green invece del calcolo diretto con l’uso della definizione.1. Consideriamo la curva chiusa γ := γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 e calcoliamo∮

γ

ω(x, y) =

∫γ1

ω(x, y) +

∫γ2

ω(x, y) +

∫γ3

ω(x, y).

Parametrizziamo i lati che compongono il triangolo ponendo

γ1 :

x(t) = t

y(t) = t, γ2 :

x(t) = t

y(t) = 4− t, γ3 :

x(t) = 1

y(t) = t.

t ∈ [1, 2] t ∈ [2, 1] t ∈ [3, 1]

Applicando la (2.10) si ha:∫γ1

ω(x, y) =

∫ 2

1

(4t2 · 1 + 4t2 · 1

)dt = 8

∫ 2

1

t2 dt = 8

[t3

3

]2

1

= 8

(8

3− 1

3

)=

56

3,

∫γ2

ω(x, y) =

∫ 1

2

(2t2 + 2(4− t)2 · 1 + (t+ 4− t)2 · (−1)

)dt = 4

∫ 2

1

(t− 2)2 dt = −4

[(t− 2)3

3

]2

1

= −4

3,

∫γ3

ω(x, y) =

∫ 1

3

2(t2 + 1) · 0 + (1 + t)2 · 1

)dt = −

∫ 3

1

(1 + t)2 dt = −[

(1 + t)3

3

]3

1

= −4

(64

3− 8

3

)= −56

3.

Pertanto ∮γ

ω(x, y) =56

3− 4

3− 56

3= −4

3.

2. Applichiamo il teorema di Gauss-Green al triangolo che ha come perimetro la curva γ.∫∫D

(∂B

∂x(x, y)− ∂A

∂y(x, y)

)dxdy =

∫∫D

2 (x+ y)− 4y dxdy = 2

∫∫D

(x− y) dxdy

= 2

∫ 2

x=1

∫ 4−x

y=x

(x− y) dydx = 2

∫ 2

x=1

[xy − y2]4−x

y=xdx = −4

∫ 2

x=1

(x− 2)2 dx = −4

[(x− 2)3

3

]2

1

= −4

3.

Esempio 2.15. Data la forma differenziale ω(x, y) = −ydx + xdy, calcolare l’integrale di ω(x, y) lungo γ1 eγ2 che partono da (0, 1) e arrivano a (0,−1) parametrizzate come segue

γ1(t) =

x(t) = 1− ty(t) = −t

, γ2(t) =

x(t) = cos t

y(t) = sin t.

t ∈ [0, 1] t ∈ [0, 3π/2];

Abbiamo già visto tramite calcolo diretto nell’esempio 2.11 che ilvalore di tale integrale risulta∫γ

ω(x, y) =

∫γ2∪γ−1

ω(x, y) =

∫γ2

ω(x, y)−∫γ1

ω(x, y) =3π

2+ 1.

Allo stesso risultato si può arrivare attraverso il teorema di Gauss-Green.∫

γ

ω(x, y) =

∫∫D

(∂

∂x(x)− ∂

∂y(−y)

)dxdy = 2

∫∫D

dxdy = 2|D| = 2

(3π

4+

1

2

)=

3π

2+ 1.


L’esempio precedente suggerisce la possibilità di esprimere, attraverso il teorema di Gauss-Green, l’area di una regione piana tramite un integrale curvilineo. Infatti per definizione diarea abbiamo che

m(D) = |D| =∫∫D

dxdy =

∫∫D

(∂B

∂x(x, y)− ∂A

∂y(x, y)

)dxdy,

dove le funzioni A(x, y) e B(x, y) sono tali che

∂B

∂x(x, y)− ∂A

∂y(x, y) = 1;

ad esempio, prendendo A(x, y) = x/2 e B(x, y) = −y/2 si giunge alla formula

m(D) = |D| =∫∫D

dxdy =1

2

∮∂D+

−ydx+ xdy. (2.16)

Inoltre, se una curva chiusa è espressa in coordinate parametriche polari ρ(t), ϑ(t) cont ∈ [a, b], allora, per la (2.9), l’area della parte di piano delimitata dalla curva è data da

|D| = 1

2

∮∂D+

xdy − ydx =1

2

∫ b

a(ρ(t) cos t) (ρ(t) sin t)′ − (ρ(t) sin t) (ρ(t) cos t)′ dt

=1

2

∫ b

a(ρ(t) cos t)

(ρ′(t) sin t+ ρ(t) cos t

)− (ρ(t) sin t)

(ρ′(t) cos t− ρ(t) sin t

)dt

=1

2

∫ b

aρ2(t)

(cos2 t+ sin2 t

)dt =

1

2

∫ b

aρ2(t) dt.

Esempio 2.16. Calcolare il centro di massa della parte di piano omogeneo, cioè δ(x, y) = 1, delimitata dalcardioide definito dalla parametrizzazione γ(t) = (1 + cos t, t) , t ∈ [0, 2π]. Per il calcolo della massa, avremo

|D| = 1

2

∫ 2π

0

ρ2(t) dt =1

2

∫ 2π

0

(1 + cos t)2dt

=1

2

∫ 2π

0

(1 + cos2 t+ 2 cos t)dt =1

2(2π + 0 + π) =

3π

2.

Per il calcolo del centro di massa, per simmetria si ha y = 0,pertanto basta calcolare x.

x =1

|D|

∫∫D

xdxdy =2

3π

∫ 2π

ϑ=0

∫ 1+cosϑ

ρ=0

(ρ2 cosϑ

)dρdϑ

=2

3π

∫ 2π

ϑ=0

cosϑ dϑ

[ρ3

3

]1+cosϑ

ρ=0

=2

9π

∫ 2π

ϑ=0

(1 + cosϑ)3 cosϑ dϑ =2

3π

∫ 2π

ϑ=0

(cosϑ+ cos4 t+ 3 cos3 ϑ+ 3 cos2 ϑ) dϑ

=2

9π

(0 +

3π

4+ 0 + 3π

)=

5

6.

Possiamo ora dimostrare la condizione sufficiente per l’esattezza di una forma differenzialeω(x, y) :

Teorema 2.6.

Siano Ω un aperto semplicemente connesso di R2 e ω(x, y) una forma differenziale diclasse C1 (Ω). Se ω(x, y) è chiusa in Ω allora ω(x, y) è esatta in Ω.


Dimostrazione. In base alla ii) del teorema 2.3 è sufficiente dimostrare che l’integrale lungo una qua-lunque curva chiusa γ ∈ Ω della forma ω(x, y) = A(x, y)dx+B(x, y)dy è nullo. Infatti, poiché per ipotesi Ω èsemplicemente connesso, la curva γ è il bordo di un dominio D completamente contenuto in Ω. Pertantosi può applicare al dominio sul D il teorema di Gauss-Green e si ottiene∫∫

D

(∂B

∂x(x, y)−

∂A

∂y(x, y)

)dxdy =

∮∂D+

A(x, y)dx+B(x, y)dy. (2.17)

Poiché per ipotesi ω(x, y) è chiusa si ha l’uguaglianza ∂B/∂x = ∂A/∂y, pertanto l’integrale doppio al

primo membro della (2.17) è nullo e ciò prova il teorema.

Con i teoremi 2.4 e 2.6 abbiamo ottenuto una condizione necessaria e sufficiente perl’esattezza di una forma differenziale che possiamo riassumere così

Siano Ω un aperto connesso di R2 e ω(x, y) una forma differenziale di classe C1 (Ω) .

1. Se ω(x, y) è esatta in Ω allora ω(x, y) è chiusa in Ω.

2. Se ω(x, y) è chiusa in Ω e Ω è semplicemente connesso allora ω(x, y) è esatta in Ω.

A completamento del teorema 2.6, mostriamo con unesempio, che se Ω non è semplicemente connesso lachiusura della forma differenziale non è più sufficientea garantirne l’esattezza. Consideriamo infatti la formadifferenziale

ω(x, y) =y

x2 + y2dx− x

x2 + y2dy,

nell’insieme Ω = (x, y) ∈ R2 : R1 ≤ x2 + y2 ≤ R2,ossia i punti interni alla corona circolare con centro l’o-rigine del sistema di riferimento e raggi R1 < R2. Lefunzioni A(x, y) e B(x, y) sono di classe C1 (Ω) ed inoltresi verifica facilmente che la forma differenziale è chiusadato che

∂A

∂y(x, y) =

x2 − y2

(x2 + y2)2=∂B

∂x(x, y).

Ma l’insieme Ω non è semplicemente connesso, pertanto non possiamo usare la condizione suf-ficiente (Teorema 2.6) per determinare l’eventuale esattezza della forma. Tuttavia se γ è lacurva chiusa data dalla circonferenza di centro l’origine e raggio R, con R1 < R < R2, para-metrizzata da γ(t) = (R cos t, R sin t) con t ∈ [0, 2π], l’integrale di ω(x, y) lungo γ dovrebbeessere nullo:∮

γ

ω(x, y) =

∫ 2π

0

(R sin t

R2· (R cos t)′ − R cos t

R2· (R sin t)′

)dt = −2π 6= 0.

Dato che l’integrale non vale 0, la condizione necessaria (Teorema 2.4) non è soddisfatta,pertanto la forma non può essere esatta in Ω.

2.7 Forme differenziali in insiemi non semplicemente connessi

Vediamo ora le proprietà generali nel caso in cui ω(x, y) sia chiusa, ma l’insieme Ω non siasemplicemente connesso. Osserviamo inizialmente che le ipotesi del teorema di Gauss-Green


relative al domino di integrazione sembrano piuttosto restrittive, nel senso che nella maggio-ranza dei casi si ha a che fare con domini che non sono semplici rispetto agli assi. In realtà ilteorema vale anche per domini qualsiasi che possono essere scomposti in un numero finito di

domini in cui valgano le ipotesi del teoremastesso. Ad esempio, il dominio rappresentatoin figura D = D1 ∪D2 ∪D3 ∪D4 è l’unione diquattro domini Di che sono semplici rispettoad entrambi gli assi coordinati. Quindi per ilteorema di Gauss-Green∫∫

D

(∂B

∂x(x, y)− ∂A

∂y(x, y)

)dxdy

=4∑i=1

∫∫Di

(∂B

∂x(x, y)− ∂A

∂y(x, y)

)dxdy

(GG)=

4∑i=1

∮∂D+

i

A(x, y)dx+B(x, y)dy =

∮γ1

A(x, y)dx+B(x, y)dy +

∮γ2

A(x, y)dx+B(x, y)dy,

dove l’ultima uguaglianza deriva dal fatto che i segmenti orizzontali e verticali vengono per-corsi prima in un verso e poi in quello opposto e dunque il loro contributo è nullo. Si notiinoltre che la frontiera ∂D è data da γ1 orientata in senso antiorario e da γ2 orientata in senso

orario. Consideriamo ora, per fissare le idee, ildominio Ω riportato in figura con tre buchi. Os-serviamo subito che se consideriamo una cur-va chiusa γ che non avvolge nessun buco, al-l’integrale di ω(x, y) lungo γ si può applicareil teorema di Gauss-Green ed essendo ω(x, y)chiusa, otteniamo che l’integrale è zero. Sup-poniamo ora che γ1 sia una curva chiusa cheavvolge uno di questi buchi, e non contiene glialtri. In questo caso il teorema di Gauss-Greennon può essere applicato e l’integrale lungo γ1

in generale non è zero. Dimostriamo ora che ilvalore di tale integrale non dipende dalla scel-ta particolare del contorno che delimita il buco.Siano allora γ1 e γ2 due di tali curve. Unendolecon un segmento ab otteniamo la curva chiusa

L := ab ∪ γ1 ∪ ba ∪ γ−2 ,dove il segno meno sulla curva γ2 sta ad indicare al solito che questa curva viene percorsanella direzione opposta. Questa nuova curva non contiene nessun buco e pertanto l’integraledi ω(x, y) lungo tale curva è zero. Ma lungo il segmento ab e ba gli integrali sono uguali edopposti, non contribuendo al valore dell’integrale, pertanto si ottiene

0 =

∮L

ω(x, y) =

∮γ1∪γ−2

ω(x, y) =

∮γ1

ω(x, y) +

∮γ−2

ω(x, y) =

∮γ1

ω(x, y)−∮γ2

ω(x, y)

⇒∮γ1

ω(x, y) =

∮γ2

ω(x, y).

Questo mostra che il valore dell’integrale curvilineo non dipende dalla scelta particolare delcontorno che delimita il buco.


Esempio 2.17. Sia

ω(x, y) :=−y dx+ x dy

x2 + y2,

e γ una curva chiusa semplice orientata positivamente che non passa per l’origine (0, 0) e sia D è l’insiemedelimitato da γ. Dimostrare che∮

γ

ω(x, y) =−y dx+ x dy

x2 + y2=

0 se (0, 0) 6∈ D2π se (0, 0) ∈ D

La forma differenziale assegnata, definita in R2 \ (0, 0), che non èsemplicemente connesso, è chiusa essendo

∂A

∂y(x, y) =

x2 − y2

x2 + y2=∂B

∂x(x, y).

Quindi se (0, 0) 6∈ D per il teorema di Gauss-Green avremo∮γ

−y dx+ x dy

x2 + y2=

∫∫D

(∂B

∂x(x, y)− ∂A

∂y(x, y)

)dxdy = 0.

Se invece (0, 0) ∈ D allora il teorema di Gauss-Green non può essere applicatodirettamente perché in (0, 0) la forma differenziale non è definita.Questo problema può essere evitato considerando il percorso chiuso γ ∪S− ∪γr ∪S, dove γr è una circonferenza di centro (0, 0) e raggio r sufficientementepiccolo in modo che γr ⊂ D, mentre S è un segmento che unisce γr a γ. Datoche questo percorso delimita un insieme che non contiene (0, 0), per quantodetto prima, si ha che

0 =

∮γ∪S−∪γr∪S

ω(x, y) =

∫γ

ω(x, y)−∫S

ω(x, y)−∫γr

ω(x, y) +

∫S

ω(x, y)

=

∫γ

ω(x, y)−∫γr

ω(x, y)

da cui ∫γ

ω(x, y) =

∫γr

ω(x, y).

Quindi il calcolo dell’integrale di ω(x, y) lungo γ è uguale al calcolo dell’inte-grale di ω(x, y) lungo γr ossia lungo la circonferenza parametrizzata ponendoγ(t) = (r cos t, r sin t) per t ∈ [0, 2π]. Pertanto∮

γ

ω(x, y) =

∫ 2π

0

(−r sin t

r2· (r cos t)′ +

r cos t

r2· (r sin t)′

)dt = 2π.

Esempio 2.18. La forma differenziale dell’esempio 1.12

ω(x, y) = − x

(x2 + y2)3/2dx− y

(x2 + y2)3/2dy,

definita in Ω := (x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (0, 0), è chiusa, essendo

∂A

∂y(x, y) = −3xy(x2 + y2)−5/2 =

∂B

∂x(x, y)

ma l’insieme Ω non è semplicemente connesso, pertanto non pos-siamo concludere che la forma è esatta. Tuttavia se consideriamol’insieme Ω1 come in figura otteniamo un insieme semplicementeconnesso, e quindi ω(x, y) risulta localmente esatta in Ω1. Pertan-to esiste una funzione potenziale U(x, y) tale che l’integrale lungola curva γ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 sia∫

γ

ω(x, y) =

∫γ1∪γ2∪γ3

ω(x, y)

= U(γ(b))− U(γ(a)) = U((0, 1))− U((2, 0)).


2.8 Costruzione della funzione potenziale

L’esempio precedente mette in evidenza la necessità di trovare la funzione potenziale U(x, y).Consideriamo una forma differenziale


definita ed esatta in una aperto connesso Ω e sia U(x, y) una sua funzione potenziale su Ω.Allora

∂U

∂x(x, y) = A(x, y),

∂U

∂y(x, y) = B(x, y), ∀ (x, y) ∈ Ω

e integrando ad esempio la prima delle relazioni precedenti rispetto ad x (se avessimo sceltola seconda l’integrazione andrebbe fatta rispetto ad y) otteniamo:∫

∂U

∂x(x, y) dx =

∫A(x, y) dx ⇒ U(x, y) =

∫A(x, y) dx+ C(y)

dove la funzione C(y) è da determinare. A tal fine deriviamo U(x, y) rispetto ad y,

∂U

∂y(x, y) =

∂

∂y

(∫A(x, y) dx+ C(y)

)=

∂

∂y

(∫A(x, y) dx

)+ C ′(y).

Dato che per ipotesi

∂U

∂y(x, y) = B(x, y),

dove essere

B(x, y) =∂

∂y

(∫A(x, y) dx

)+ C ′(y) ⇒ C ′(y) = B(x, y)− ∂

∂y

(∫A(x, y) dx

)⇒ C(y) =

∫ [B(x, y)− ∂

∂y

(∫A(x, y) dx

)]dy + c.

Per chiarire meglio, riprendiamo l’esempio 2.19 dove ω(x, y) è esatta e proviamo a determinarela funzione potenziale U(x, y). Dato che

∂U

∂x(x, y) = A(x, y) = − x

(x2 + y2)3/2,

∂U

∂y(x, y) = B(x, y) = − y

(x2 + y2)3/2,

integrando la prima rispetto ad x si ottiene∫∂U

∂x(x, y) dx =

∫− x

(x2 + y2)3/2dx ⇒ U(x, y) = −1

2

∫d(x2 + y2

)(x2 + y2)3/2

=1√

x2 + y2+ C(y).

Ora derivando l’espressione della U(x, y) trovata rispetto ad y si ha

∂U

∂y(x, y) =

∂

∂y

(1√

x2 + y2+ C(y)

)= − y

(x2 + y2)3/2+ C ′(y),

ma quest’ultima espressione per l’esattezza della forma ω(x, y), deve essere uguale a B(x, y).Pertanto

− y

(x2 + y2)3/2= − y

(x2 + y2)3/2+ C ′(y) ⇒ C ′(y) = 0 ⇒ C(y) = 0.

Possiamo concludere che l’insieme delle funzioni potenziali della forma ω(x, y) è

U(x, y) =1√

x2 + y2+ c.


Esempio 2.19. La forma differenziale

ω(x, y) =(y2 + cosx

)dx+

(2xy + y2) dy,

definita in tutto R2, che è un insieme semplicemente connesso, è chiusa, dato che

∂

∂y

(y2 + cosx

)= 2y =

∂

∂x

(2xy + y2)

e pertanto è anche esatta. Cerchiamo allora una funzione potenziale U(x, y). Si ha che

∂U

∂x(x, y) = A(x, y) =

(y2 + cosx

),

∂U

∂y(x, y) = B(x, y) =

(2xy + y2)

e integrando la prima rispetto ad x si ottiene∫∂U

∂x(x, y) dx =

∫ (y2 + cosx

)dx ⇒ U(x, y) dx = xy2 + sinx+ C(y).

Infine derivando la U(x, y) trovata rispetto ad y otteniamo

∂

∂y

(xy2 + sinx+ C(y)

)= 2xy + C′(y),

e questa espressione deve essere uguale, per l’esattezza della forma, all’espressione di B(x, y) cioè deve essere

2xy + C′(y) = 2xy + y2 ⇒ C′(y) = y2 ⇒ C(y) = y3/3 + c.

Allora le funzioni potenziale cercate sono

U(x, y) = xy2 + sinx+ y3/3 + c.

Esempio 2.20. Consideriamo la forma differenziale

ω(x, y) =

(x

x2 + y2

)dx+

(y

x2 + y2+ x2

)dy ∀(x, y) ∈ Ω = R2 \ (0, 0).

Calcolare l’integrale di ω(x, y) lungo la parabola y = 4− x2 per x ∈ [−2, 1] da (−2, 0) a (1, 3).

La forma differenziale assegnata non è chiusa, infatti

∂

∂x

(y

x2 + y2+ x2

)=

−2xy

(x2 + y2)2+ 2x

∂

∂x

(x

x2 + y2

)=

−2xy

(x2 + y2)2.

pertanto non può essere esatta. In questo caso si dovrebbe quindiprocedere con il calcolo esplicito dell’integrale attraverso la (2.10).Tuttavia, sfruttando la linearità, possiamo scrivere la forma ω(x, y)come somma delle forme ω1(x, y) e ω2(x, y) dove

ω1(x, y) =

(x

x2 + y2

)dx+

(y

x2 + y2

)dy, ω2(x, y) = x2 dy.

In tal modo la forma ω1(x, y) è chiusa in Ω, ma l’insieme Ω non è semplicemente connesso, pertanto non possia-mo concludere nulla circa l’esattezza di ω1(x, y). Se invece consideriamo un qualsiasi insieme Ω1 ⊂ Ω che noncontenga l’origine, ma che invece contenga l’arco della parabola (come ad esempio in figura), allora la formaω1(x, y) è chiusa nell’insieme semplicemente connesso Ω1 ed è pertanto esatta. Quindi esiste una funzionepotenziale U(x, y) tale che

∂U

∂x(x, y) =

x

x2 + y2,

∂U

∂y(x, y) =

y

x2 + y2.

Integrando la prima rispetto ad x otteniamo∫∂U

∂x(x, y)dx =

∫ (x

x2 + y2

)dx ⇒ U(x, y) =

1

2

∫ (d(x2 + y2

)x2 + y2

)dx =

1

2ln(x2 + y2)+ C(y),

e derivando ora rispetto ad y l’espressione U(x, y) trovata, otteniamo

∂

∂x

(1

2ln(x2 + y2)+ C(y)

)=

y

x2 + y2+ C′(y).


Per l’esattezza deve esserey

x2 + y2=

y

x2 + y2+ C′(y) ⇒ C′(y) = 0 ⇒ C(y) = 0,

pertanto una funzione potenziale è

U(x, y) =1

2ln(x2 + y2) .

Così il calcolo dell’integrale della forma ω1(x, y) si riduce a∫γ

ω1(x, y) = U(1, 3)− U(−2, 0) =1

2ln 10− 1

2ln 4 =

1

2ln

5

2.

Ora consideriamo la forma ω2(x, y) che evidentemente non è chiusa, e dunque non può essere esatta. Per ilcalcolo dell’integrale si può procedere con il calcolo esplicito usando la (2.10) e parametrizzando la parabolaponendo γ(t) = (t, 4− t2) con t ∈ [−2, 1],∫

γ

ω2(x, y) =

∫ 1

−2

(0 · (t)′ + t2 · (4− t2)′

)dt =

∫ 1

−2

−2t3 dt = −[t4

2

]1

−2

=15

2.

In conclusione ∫γ

ω(x, y) =

∫γ

ω1(x, y) +

∫γ

ω2(x, y) =1

2ln

5

2+

15

2.

Esempio 2.21. Consideriamo la forma differenziale

ω(x, y) =

(1√

x− 2y+

1

x2 + 1

)dx+

(−2√x− 2y

+ 3x2

)dy.

Calcolare l’integrale di ω(x, y) lungo il percorso chiuso γ definito dall’arco di parabola y = x2 − 2 x ∈ [0, 1],dal segmento che unisce i punti (0,−1) e (−1, 1) e dal segmento che unisce i punti (0,−1) e (0,−2). La formadifferenziale assegnata è definita in

Ω =

(x, y) ∈ R2 : y <x

2

;

che è un insieme semplicemente connesso. In tale insieme ω(x, y)non è chiusa, infatti

∂

∂x

(−2√x− 2y

+ 3x2

)=

1

(x− 2y)3/2+ 6x

∂

∂y

(1√

x− 2y+

1

x2 + 1

)=

1

(x− 2y)3/2,

pertanto non può essere esatta. Tuttavia sfruttando la lineari-tà possiamo scrivere la forma ω(x, y) come somma delle formeω1(x, y) e ω2(x, y), dove

ω1 =

(1√

x− 2y+

1

x2 + 1

)dx+

(−2√x− 2y

)dy, ω2 = 3x2 dy.

In questo modo la forma ω1(x, y) è chiusa, quindi esatta in Ω. Dunque il suo integrale lungo la curva chiusaγ = γ1∪γ2∪γ3 assegnata è zero. E’ sufficiente allora calcolare l’integrale della sola forma ω2(x, y), che eviden-temente non è esatta. In questo caso possiamo applicare il teorema di Gauss-Green al dominio D delimitatodalla curva γ,∮γ

ω2(x, y) =

∫∫D

(∂B

∂x(x, y)− ∂A

∂x(x, y)

)dxdy =

∫∫D

(6x) dxdy =

∫ 1

x=0

x

∫ −1

y=x2−2

dy dx = 6

∫ 1

x=0

(x− x3)dx

= 6

[1

2− 1

4

]=

3

2.

Osserviamo che una funzione potenziale della ω1 si può cercare in questo modo. Per l’esattezza abbiamo che

∂U

∂x=

1√x− 2y

+1

x2 + 1,

∂U

∂y=

−2√x− 2y

.

Integrando la prima rispetto ad x otteniamo:∫∂U

∂x(x, y) dx =

∫1√

x− 2y+

1

x2 + 1dx ⇒ U(x, y) = 2

√x− 2y + arctanx+ C(y),


e derivando l’espressione trovata di U(x, y) rispetto ad y otteniamo

∂

∂y

(2√x− 2y + arctanx+ C(y)

)=

−2√x− 2y

+ C′(y).

Deve essere

−2√x− 2y

=−2√x− 2y

+ C′(y) ⇒ C′(y) = 0 ⇒ C(y) = 0,

pertanto una funzione potenziale è

U(x, y) = 2√x− 2y + arctanx.

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