Analisi Funzionale Politecnico Di Torino

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Politecnico di Torino, settembre 2004Dipartimento di Matematica

Elementi di Analisifunzionale e complessa

Luciano Pandolfi

otto editore

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ver. 1.0 20.09.04

ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE ECOMPLESSA

LUCIANO PANDOLFI

DIPARTIMENTO DI MATEMATICAPOLITECNICO DI TORINO

Luciano Pandolfi

Elementi di Analisi funzionale e complessa

Prima edizione settembre 2004

C2004, OTTO editore Torino

[email protected]

http://www.otto.to.it

vietata la riproduzione, anche parziale, con qualsiasi mezzo effettuato,

compresa la fotocopia, anche ad uso interno o didattico, non autorizzata.

INDICE

1. Le funzioni olomorfe 9

1.1. Richiami sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Radici nme di numeri complessi . . . . . . . . . . . 13

1.1.2 Esponenziale, logaritmo, formule di Eulero . . . . . . 14

1.2. Limiti e continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Derivata e integrale di funzioni da R in C . . . . . . . 18

1.3. Curve nel piano complesso . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Funzioni da R2 in R2 e funzioni da C in C . . . . . . . . 22

1.5. La derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.1 Esempi di funzioni olomorfe e formule di derivazione 29

1.5.2 Osservazione sui teoremi fondamentali . . . . . . .

del calcolo differenziale" . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.3 La matrice jacobiana e le funzioni olomorfe . . . . . 34

1.5.4 Serie di potenze e serie di Laurent . . . . . . . . . . . 37

1.6. Funzioni olomorfe e trasformazioni conformi . . . . . . 42

1.6.1 La rappresentazione delle funzioni olomorfe . . . . . 44

1.7. Integrale di curva di funzioni olomorfe . . . . . . . . . . 47

1.8. Il teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.9. Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.9.1 Curve equipotenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.9.2 Il caso della funzione z z . . . . . . . . . . . . . . 561.9.3 La funzione logaritmo e le potenze . . . . . . . . . . 57

1

1.10. Indice e omotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.11. Convergenza uniforme sui compatti . . . . . . . . . . . 67

1.12. La formula integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . 69

1.12.1 La propriet della media . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.12.2 Funzioni olomorfe rappresentate mediante integrali . 72

1.13. Analiticit delle funzioni olomorfe . . . . . . . . . . . . 74

1.13.1 Funzioni armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.13.2 Zeri e estensioni di funzioni olomorfe . . . . . . . . 77

1.14. Teorema di Morera e principio di riflessione . . . . . . . 81

1.15. Teoremi di Weierstrass e di Montel . . . . . . . . . . . . 84

1.16. Massimo modulo e teorema di Liouville . . . . . . . . . 87

1.17. Le singolarit isolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.18. Formula di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

1.19. Singolarit e zeri ad infinito . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.20. Il metodo dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

1.20.1 Calcolo di integrali impropri . . . . . . . . . . . . . 107

1.20.2 Il Principio dellargomento . . . . . . . . . . . . . . 112

1.20.3 I teoremi di Hurwitz e Rouch e della mappa aperta . 113

1.21. Trasformazioni conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1.21.1 Il teorema di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

1.22. Monodromia e polidromia . . . . . . . . . . . . . . . . 128

1.22.1 Punti di diramazione di funzioni olomorfe . . . . . . 128

1.22.2Funzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2. Funzioni armoniche 135

2.1. Funzioni armoniche e funzioni olomorfe . . . . . . . . . 135

2.2. Propriet della media e teorema di Gauss . . . . . . . . . 137

2.3. Il problema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2.3.1 La formula di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2

3. La trasformata di Laplace 145

3.1. Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.2. Propriet della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . 147

3.3. Trasformata di Laplace, derivata ed integrale . . . . . . . 150

3.4. Alcune trasformate fondamentali . . . . . . . . . . . . . 154

3.5. Il problema dellantitrasformata . . . . . . . . . . . . . 155

3.5.1 Antitrasformata di funzioni razionali . . . . . . . . . 155

4. Misura e integrazione secondo Lebesgue 157

4.1. Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.2. Anelli ed algebre di insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.3. Misure di insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.4. Insiemi misurabili secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . 167

4.4.1 Insiemi limitati e misurabili secondo Lebesgue . . . . 168

4.4.2 Insiemi illimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.5. Insiemi nulli e propriet che valgono quasi ovunque . . . 174

4.6. Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.7. Integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.7.1 Lintegrale delle funzioni semplici . . . . . . . . . . 181

4.7.2 Lintegrale delle funzioni positive . . . . . . . . . . . 183

4.7.3 Funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.7.4 Integrale ed insiemi nulli . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.8. Integrale di Lebesgue ed integrale di Riemann . . . . . . 188

4.9. Limiti di successioni di funzioni e integrale . . . . . . . 191

4.10. Disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.10.1Le relazioni tra spazi Lp() . . . . . . . . . . . . . . 2054.11. I teoremi di Fubini e Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.11.1 Convoluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

4.12. Estensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.13. La funzione integrale su R . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.13.1Estensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

3

5. Spazi di Banach 215

5.1. Introduzione allanalisi funzionale . . . . . . . . . . . . 215

5.1.1 Lequazione Ax = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

5.1.2 Lequazione xAx = y . . . . . . . . . . . . . . . 2205.1.3 Lequazione di Fredholm a nucleo degenere . . . . . 221

5.1.4 Lequazione di prima specie . . . . . . . . . . . . . . 223

5.1.5 Ricapitolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.2. Spazi lineari normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.2.1 Dimostrazioni posposte . . . . . . . . . . . . . . . . 231

5.3. Spazi prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.4. Gli esempi principali di spazi di Banach . . . . . . . . . 237

5.4.1 Gli esempi di spazi lineari normati . . . . . . . . . . 237

5.4.2 Le dimostrazioni della completezza . . . . . . . . . . 242

5.4.3 Teorema del doppio limite . . . . . . . . . . . . . . . 249

5.5. Sottospazi di spazi lineari normati . . . . . . . . . . . . 252

5.5.1 Identit approssimate e dimostrazione . . . . . . . .

del teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 254

5.6. La compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258


5.7. Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

5.7.1 Propriet geometriche degli operatori lineari . . . . . 266

5.7.2 La continuit degli operatori lineari . . . . . . . . . . 270

5.7.3 Funzionali lineari continui ed iperpiani . . . . . . . . 275

5.7.4 Lo spazio L(X,Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2785.7.5 Inversi di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

5.8. Il teorema di Baire e le sue conseguenze . . . . . . . . . 289

5.8.1 Proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

5.8.2 Appendice: Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . 298


5.9. Lo spazio duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

5.9.1 Applicazioni: Insiemi convessi . . . . . . . . . . . . 312

5.9.2 Applicazioni: Funzioni convesse . . . . . . . . . . . 316


4

5.10. Convergenza debole e debole stella . . . . . . . . . . . . 328

5.10.1Dimostrazioni posposte . . . . . . . . . . . . . . . . 339

5.11. Esempi di spazi duali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

5.11.1 Relazione tra le convergenze debole e debole stella . 352

5.12. Lo spettro di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

5.12.1 Proiezioni spettrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

5.13. Trasformazioni non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . 368

5.13.1 Teorema delle contrazioni e applicazioni . . . . . . . 368

5.13.2 I differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

6. Spazi di Hilbert 377

6.1. Prodotto interno e norma . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

6.1.1 Esempi di prodotti interni e di spazi di Hilbert . . . . 382

6.2. Teorema delle proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

6.3. Complementi ortogonali e proiezioni ortogonali . . . . . 389

6.3.1 Sistemi ortonormali e calcolo di proiezioni . . . . . . 393

6.3.2 Serie di Fourier astratte . . . . . . . . . . . . . . . . 397

6.4. Il duale di uno spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 399

6.5. Loperatore aggiunto di un operatore tra spazi di Hilbert . 401

6.5.1 Laggiunto di un operatore limitato . . . . . . . . . . 403

6.5.2 Operatori aggiunti ed operatori chiusi . . . . . . . . . 404

6.5.3 Operatori da H in s; operatori autoaggiunti . . . . . 407


6.6. Operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

6.6.1 Lo spettro degli operatori compatti . . . . . . . . . . 417

6.6.2 Operatori compatti tra spazi diversi. Valori singolari . 419

6.6.3 Propriet geometriche degli autovalori e valori singolari 422

6.6.4 Operatori compatti ed equazioni integrali di Fredholm 425


5

7. Distribuzioni e trasformata di Fourier 441

7.1. La trasformata di Fourier di funzioni . . . . . . . . . . . 441

7.2. Le propriet della trasformata di Fourier . . . . . . . . . 443

7.2.1 Il teorema di Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . 444

7.3. Lantitrasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 447

7.4. La trasformata di Fourier su L2(R ) . . . . . . . . . . . 451

7.5. Lo spazio S e il suo duale . . . . . . . . . . . . . . . . 4557.6. La trasformata di Fourier su S . . . . . . . . . . . . . . 459

7.6.1 Le operazioni sulle distribuzioni . . . . . . . . . . . . 464

7.6.2 Operazioni e trasformata di Fourier . . . . . . . . . . 467

7.6.3 Convoluzione di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . 468

7.7. Il caso delle funzioni di pi variabili . . . . . . . . . . . 474

6

LENS est lun des meilleurs estabilissements de Francepour les estudes littraires. On y entre pour apprendre penser et non pas pour apprendre communiquer.

Arthur Muller, primo classificato al concorso 2003 perlammissione allENS, Le Figaro, 23.07.03

1. LE FUNZIONI OLOMORFE

1.1. RICHIAMI SUI NUMERI COMPLESSI

E nota la definizione seguente del campo dei numeri complessi:

gli elementi del campo sono le coppie di numeri reali,

z = (x, y) =x2 + y2

(x

x2 + y2,

yx2 + y2

)

=x2 + y2(cos , sin ) .

Si sa che il numero

=x2 + y2

si chiama modulo del numero complesso z mentre si chiama argomento di z.

Il modulo del numero complesso z si indica col simbolo |z|.

Largomento di z identificato a meno di multipli di 2 se z = (0, 0). Ogni

si considera argomento di (0, 0).

Se z = (0, 0) e [, ), allora unico e si chiama argomento principale

di z.

Per indicare largomento principale di z si usa il simbolo Arg (con liniziale

maiuscola),

Arg z .

9


0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

y

a+ib

c+id

(a+c)+i(b+d)

1 0.5 0 0.5 1 1.5 21

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

r

r

+

Fig. 1.1. Le operazioni.

Loperazione di addizione tra numeri complessi si definisce per componenti:

se z = (x, y) e w = (a, b) allora si definisce

z + w = (x+ a, y + b) .

Loperazione di moltiplicazione definita come segue: se z = (cos , sin ),

w = r(cos , sin) allora

zw = r (cos( + ), sin( + )) .

E immediato verificare che il risultato non varia sommando multipli di 2 a

oppure a .

E noto, e facile da verificare, che in questo modo si definisce un campo, che si chiama

campo dei numeri complessi. Si sa inoltre che se z = (x, y) e w = (a, b) allora si ha

zw = (xa yb, xb+ ya) .

Invece, non esiste una rappresentazione semplice per la somma in coordinate polari.

Le operazione sono rappresentate nella figura 1.1.

Il campo dei numeri complessi si indica col simbolo C.

Ricordiamo che se z = (x, y), il numero (x,y) si indica col simbolo z e si chiama

il coniugato di z. Si vede facilmente che

10


|z|2 = zz .

Lelemento neutro rispetto alladdizione (0, 0) mentre quello rispetto alla molti-

plicazione (1, 0). Invece il numero complesso i = (0, 1), che si chiama unit

immaginaria, ha la seguente propriet:

i2 = ii = (1, 0) .

Osservazione 1.1. In molti testi, specialmente di ingegneria, si definisce i

mediante luguaglianza i2 = 1. Ci ambiguo, perch questequazione ha le due

soluzioni i e i.

Notiamo ora che

z = (x, y) = (x, 0)(1, 0) + (y, 0)(0, 1)

e che la trasformazione da R in C che ad x fa corrispondere il numero (x, 0) un

omomorfismo (i numeri complessi (x, 0) si chiamano anche numeri complessi reali ).

Ci suggerisce di rappresentare ogni numero complesso z = (x, y) come segue: se

y = 0 invece di scrivere (x, 0) si scrive semplicemente x e invece di scrivere (0, 1) si

scrive i. In questo modo,

z = (x, y) = (x, 0)(1, 0) + (y, 0)(0, 1) = 1x+ iy

e, sottintendendo 1, si trova la rappresentazione

z = x+ iy

che si chiama la rappresentazione algebrica dei numeri complessi. Si chiama invece

rappresentazione trigonometrica la rappresentazione

z =x2 + y2(cos + i sin )

cos = xx2+y2

sin = yx2+y2

.

Si calcola facilmente che lopposto di z = x + iy rispetto alla moltiplicazione, ossia

il numero che si indica col simbolo

11


1z=

1x+ iy

,

il numero

x iyx2 + y2

=z

|z|2 .

Con la notazione trigonometrica, lopposto di

z = r(cos + i sin )

1z=

1r(cos() + i sin()) = 1

r(cos i sin )

(si noti che lultima espressione scritta una rappresentazione algebrica ma non una

rappresentazione trigonometrica del numero 1/z).

Il numero reale x si chiama la parte reale di z = x + iy mente il numero reale y si

chiama la parte immaginaria di z = x+ iy. Essi si indicano con i simboli

e z , Imz .

Notiamo infine: un argomento di un prodotto la somma degli argomenti; un

argomento di un quoziente la differenza tra largomento del numeratore e

quello del denominatore.

Osservazione 1.2. Va notato esplicitamente che le affermazioni precedenti valgono

pur di scegliere un opportuno argomento. Non valgono per largomento principale.

Infatti, se z = w = i, Arg zw = mentre invece Arg z +Argw = +.

Interpretazione fisica delle operazioni

E utile vedere le relazioni tra le operazioni introdotte tra i numeri complessi e le leggi

della fisica. Per laddizione ci facile: essa corrisponde alladdizione di vettori,

fatta componente per componente. La moltiplicazione si incontra invece estendendo

la legge di Ohm alle correnti alternate.

12


Va inoltre notato che quando (x, y) ed (x , y) sono due vettori del piano, ad essi si

associano:

il prodotto scalare xx + yy;

il prodotto vettoriale, che un vettore di R3, uguale a (xy xy)k.

I due numeri (xx + yy) e xy xy si ritrovano calcolando il prodotto zw conz = x+ iy, w = x + iy:

zw = (xx + yy) + i(xy xy).

1.1.1 Radici nme di numeri complessi

Sia z un numero complesso. Si chiamano radici nme di z i numeriw tali chew n = z.

Se z = 0 si vede subito che c una sola radice nma, w = 0. Invece, ogni z = 0 han radici nme. Se

z = r(cos + i sin )

ciascuno dei numeri

nr

(cos

( + 2k

n

)+ i sin

( + 2k

n

))

verifica wn = z, qualunque sia il numero intero (positivo o meno) k. E facile vedere

per che soltanto i valori di k

k = 0 , 1 , . . . , n 1

danno valori distinti. Dunque z = 0 ha esattamente n radici nme le quali sono verticidi un poligono regolare di n lati e appartengono alla circonferenza di centro 0 e raggion

|z|.

Ciascuna delle funzioni

f(z) = |z|1/nei(Argz+2k/n)

si chiama una determinazione della radice nma.

13


1.1.2 Esponenziale, logaritmo, formule di Eulero

Si definisce

ez = ex+iy = exeiy

dove ex il valore noto dai corsi relativi alle funzioni di variabile reale mentre e iy

ancora da definire. Si definisce

eiy = cos y + i sin y .

In questo modo,

ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y) . 1.1

Dunque, la rappresentazione trigonometrica

r(cos + i sin )

si pu anche scrivere come

elog r+i .

Si vede immediatamente che, se y = 0, allora ez = ex+i0 = ex + i0, numero

complesso reale e, usando le formule di trigonometria, si vede subito che vale

ez+w = ezew .

Vale inoltre:

ex+iy = ex .In particolare, lequazione ez = 0 non ha soluzioni.

La funzione esponenziale ha sul piano complesso una propriet inattesa: la funzione

ez periodica di periodo 2i.

Dalla 1.1 seguono immediatamente le formule dEulero

cos y =eiy + eiy

2, sin y =

eiy eiy2i

.

14


Queste suggeriscono di estendere le funzioni trigonometriche al piano complesso,

definendo

cos z =eiz + eiz

2, sin z =

eiz eiz2i

.

Si suggerisce di risolvere le equazioni

cos z = w , sin z = w

rispetto a z notando che ambedue le funzioni cos z e sin z sono suriettive (e quindi

in particolare illimitate).

Conviene ora introdurre il logaritmo di numeri complessi. Sia z = 0. I logaritmi(in base e) di z sono quei numeri w tali che ew = z. Si rappresenti z in forma

trigonometrica,

z = r(cos + i sin )

e w in forma algebrica,

w = x+ iy .

Allora, w un logaritmo di z quando

ex(cos y + i sin y) = r(cos + i sin ) .

Questo avviene se

x = log r , y = + 2k

con k numero intero qualsiasi. Dunque, ogni numero complesso non nullo ha infiniti

logaritmi (e quindi, la funzione ew prende ogni valore non nullo):

log z = log |z|+ i arg z

ove arg z uno qualsiasi degli argomenti di z e log |z| il logaritmo del numero reale|z| definito nei corsi precedenti.

La non unicit del logaritmo dipende dal fatto che esso definito come inverso di una

funzione periodica.

15


Si chiama logaritmo principale di z il numero

Log z = log |z|+ iArg z

(si noti luso delliniziale maiuscola).

Dunque, ciascuna delle funzioni

log z = log |z|+ i(2k +Argz) 1.2

verifica

z = elog z=log |z|+i(2k+Argz) .

Per questa ragione, si dice che ciascuna delle funzioni in 1.2 una determinazione del

logaritmo.

Definito il logaritmo, facile definire le potenze z ad esponente qualsiasi, reale

o complesso. Se = 0 si pone z0 = 1 (salvo il caso z = 0. Al simbolo 00 non si

attribuisce significato). Altrimenti si definisce

z = elog z .

Si vede facilmente che se intero positivo, = n, si ritrova z n; se = 1/n si

ritrovano le radici nme. In generale per la potenza ha infiniti valori.

Si calcolino per esercizio le potenze ii, 1i, (1)i individuando la cardinalitdellinsieme dei loro valori.

Osservazione importante

Abbiamo notato che vale la formula

ez+w = ezew .

La formula corrispondente,

log zw = log z + logw

vale, ma va interpretata come uguaglianza di insiemi.

Se A e B sono insiemi di numeri complessi, definiamo

A+B = {a+ b , a A , b B} .

16


Notiamo ora che

log zw = log |zw|+ i (arg(zw) + 2k)

= log |z|+ log |w|+ i (arg z + argw + 2k)

= {log |z|+ i (arg z + 2n)}+ {log |w|+ i (argw + 2m)} = log z + logw .

La formula corrispondente NON vale se si intende di lavorare con i logaritmi

principali, come mostra lesempio seguente:

Esempio 1.3. Il logaritmo principale di i

Log i = i/2

e

2Log i = i .

Invece,

Log(1) = Log(i2) = i = 2Log i .

1.2. LIMITI E CONTINUIT

La funzione

z |z|

una norma su C (limmediata verifica si lascia per esercizio) e quindi possibile

definire una topologia su C, introducendo gli intorni . Lintorno di z 0 di raggio r

linsieme

{z | |z z0| < r} .

Geometricamente si tratta di un disco (privato della circonferenza) di centro z 0 e

raggio r.

Definiti gli intorni, e quindi la topologia, ovvia la definizione di limite di una

successione (zn): si dice che lim zn = z0 quando per ogni > 0 esiste N tale

che per ogni n > N vale

|zn z0| < .

17


Sia zn = xn + iyn, z0 = x0 + iy0. Si provi per esercizio che lim zn = z0 se e solo se

limxn = x0 e anche lim yn = y0.

Si lascia per esercizio di adattare la definizione di limite e di continuit nota dal corso

di topologia al caso delle funzioni da R in C, da C in R e da C in C.

Per esercizio, si mostri che sono continue le seguenti funzioni:

z z , z |z| , z e z , z Imz , z z . 1.3

Di conseguenza sono continui tutti i polinomi. Si studi invece la continuit della

funzione

z Arg z ,

mostrando che questa continua salvo che nei punti dellasse reale negativo.

Osservazione 1.4. Di conseguenza, anche le determinazioni del logaritmo sono

continue in tutti i punti, salvo quelli dellasse reale negativo. Asserto analogo vale

per le determinazioni della radice nma.

1.2.1 Derivata e integrale di funzioni da R in C

Sia t z(t) = x(t) + iy(t) una funzione definita su un intervallo (a, b) e sia t0 (a, b). Ovviamente, definiremo

z(t0) = limh0

z(t0 + k) z(t0)h

= x(t0) + iy(t0) . 1.4

Vediamo due esempi:

Esempio 1.5. Sia = a+ ib un numero complesso e sia

z(t) = x(t) + iy(t) = et = eat(cos bt+ i sin bt) .

Si verifica immediatamente che

x(t) = ax(t) by(t) , y(t) = ay(t) + bx(t)

18


e quindi

z(t) = ax(t) by(t) + i[ay(t) + bx(t)] = (a+ ib)(x(t) + iy(t)) = et .

Si ritrova quindi lusuale formula di derivazione dellesponenziale.

Esempio 1.6. La funzione z Arg z discontinua nei punti dellasse realenegativo. Inoltre, per ogni numero complesso ,

Argt =

Arg se t > 0(Arg) se t < 0 .

E quindi derivabile in ogni t = 0, con derivata nulla. Ne segue che ciascuna dellefunzioni

logt = log |t|+ i[Arg(t) + 2k] = log (|||t|) + i[Arg(t) + 2k]

derivabile per t = 0 e la derivata

ddtlogt =

1|t| ||sgn t =

1t.

Se z(t) = x(t) + iy(t), t [a, b], definiamo ba

z(t) dt = ba

x(t) dt+ i ba

y(t) dt .

E immediato dalla definizione che:

e ba

z(t) dt = ba

e z(t) dt ,

Im ba

z(t) dt = ba

Imz(t) dt , ba

z(t) dt = ba

z(t) dt .

Sia ora (zn(t)) una successione di funzioni continue su [a, b], convergente uniforme-

mente a z0(t). Applicando il teorema di scambio tra limiti ed integrali di Riemann

alla parte reale ed alla parte immaginaria, si vede che

lim ba

zn(t) dt = ba

z0(t) dt .

19


Sia ora z(t, s) una funzione di due variabili reali t ed s, con (t, s) [a, b] [c, d],a valori complessi. Applicando alla parte reale e alla parte immaginaria di z i

corrispondenti teoremi relativi alle funzioni a valori reali si trova che se z(t, s)

continua nelle due variabili,

s ba

z(t, s) dt 1.5

continua in s. Se z(t, s) di classe C1((a, b) (c, d)) allora la funzione derivabilee, dalla 1.4,

dds

ba

z(t, s) dt = ba

sz(t, s) dt .

1.3. CURVE NEL PIANO COMPLESSO

Chiameremo curva parametrica una funzione t z(t) continua da un intervallo

limitato e chiuso [a, b] in C. Diremo che la curva chiusa quando z(a) = z(b) e

diremo che semplice se z(t) = z(t) pu solo aversi per t = t oppure per t = a e

t = b (in questo caso la curva semplice e chiusa).

Diremo che la curva regolare quando

z(t) = x(t) + iy(t)

esiste per ogni t (a, b) con |z (t)| = 0 per ogni t.

Se la derivata non esiste, oppure nulla, solamente in un numero finito di punti e in

tali punti esistono finiti i limiti di z (t) da destra e da sinistra, diremo che la curva

regolare a tratti . Una curva regolare a tratti si dir un cammino.

Una curva regolare a tratti ottenuta giustapponendo segmenti si chiamer una

poligonale. Chiameremo poligono una poligonale chiusa.

Limmagine della funzione z(t) si chiama il sostegno della curva. La curva chiusa

quando z(a) = z(b), ed semplice se la condizione a < t < t < b implica che

z(t) = z(t).

20


Una curva semplice e chiusa si chiama anche curva di Jordan e divide il piano in due

regione, una limitata e una illimitata. La regione limitata si dice interna alla curva.

Questasserto, apparentemente semplice, invece di dimostrazione molto difficile.

Per in pratica, e anche per gli usi teorici, le curve che necessario usare sono molto

semplici (per esempio poligonali, circonferenze, ellissi o riunione di un numero finito

di archi di tali curve). In tal caso facile individuare la regione interna ed anche

facile vedere se la curva orientata positivamente. Ci avviene quando, al passare

del parametro t da a a b, il punto mobile sulla curva vede la regione interna alla sua

sinistra (regola dAmpre).

Se non esplicitamente detto il contrario, assumeremo sempre che le curve con cui

si lavora siano orientate positivamente.

La regione interna ad una curva di Jordan si chiama anche regione di Jordan.

Notiamo esplicitamente questa propriet: se una curva di Jordan il cui sostegno

conenuto nella regione di Jordan , e se indica la regione intera a , vale

.

Questa propriet generalmente non vale se non di Jordan.

Unulteriore propriet che bene conoscere la seguente: se due curve

z = z(t) , t [a, b] , = () [, ]

sono semplici ed hanno la medesima immagine allora esiste un cambiamento di

parametro

t = t()

tale che

() = z(t())

e inoltre la funzione t() crescente oppure decrescente da [, ] su [a, b] (e

quindi anche continua). Detto in altro modo, a meno di riparametrizzazioni, il

sostegno di una curva semplice sostegno solamente di una seconda curva, che si

ottiene dalla prima cambiando il verso di percorrenza. Questa propriet permette

21


di semplificare il nostro linguaggio come segue: dato per esempio un quadrato,

esiste ununica curva che lo ha per sostegno e che orientata positivamente. Allora

chiameremo curva il quadrato, intendendo con ci di considerare quella curva

semplice che orientata positivamente e che ha il quadrato assegnato come sostegno.

Potremo ricorrere a questa semplificazione di linguaggio solamente quando il sostegno

che consideriamo sostegno di una curva semplice e chiusa.

Una curva si indicher con una lettera greca minuscola, per esempio . Se la curva

semplice e chiusa, la sua regione interna si indica col simbolo .

Richiamiamo il teorema seguente:

Teorema 1.7 (Formula di Green). Siano u(x, y) e v(x, y) di classe C 1 in una

regione di Jordan e sia una curva semplice e chiusa in . Vale:

u dx+ v dy =

[vx(x, y) uy(x, y)] dx dy .

Si sa inoltre che questa formula si estende al caso in cui si abbiano due curve, nella

regione e nella regione . In questo caso la formula di Green assume la forma

u dx+ v dy

u dx+ v dy =

[vx(x, y) uy(x, y)] dx dy . 1.6

Da questa forma faremo discendere tutti i risultati relativi alle funzioni olomorfe che

vedremo.

1.4. FUNZIONI DA R2 IN R2 E FUNZIONI DA C IN C

Dato che i numeri complessi sono coppie di numeri reali, ogni funzione

(x, y) (u(x, y), v(x, y) ) 1.7

si pu intendere come funzione a valori complessi

(x, y) u(x, y) + iv(x, y)

22


e si pu anche voler rappresentare il suo dominio con le notazioni dei numeri

complessi,

(x, y) = x+ iy = z .

Essendo

x =z + z2

, y =z z2i

la funzione in 1.7 si pu anche rappresentare come

f(z) = u(z + z2

,z z2i

)+ iv

(z + z2

,z z2i

)1.8

Notiamo, infatti, che z funzione di z.

Notiamo subito una dissimmetria tra linsieme di partenza e linsieme darrivo: la

relazione di coniugio appare nella formula 1.8 soltanto applicata alla variabile z.

Anche la via opposta si pu seguire: se w = f(z) si pu scrivere

w = f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y)

con u e v le parti reale ed immaginaria di f e x, y le parti reale ed immaginaria di

z. Ci suggerisce che la teoria delle funzioni di variabile complessa sia un modo

diverso di formulare la teoria delle funzioni da R2 in s. In realt vedremo che le

cose non sono cos semplici. Per, almeno al livello della rappresentazione grafica

lidentificazione appena presentata utile. Una funzione da C in s si rappresenta:

rappresentando su R2 (insieme di arrivo) limmagine di una griglia tracciata

su R2 (insieme di partenza);

rappresentando in R3 il grafico della funzione

(x, y) |u(x, y) + iv(x, y)|

e tracciando su tale grafico le linee identificate da

arg f(z) = cost .

Di una terza rappresentazione diremo pi avanti.

Consideriamo alcuni esempi.

23


Esempio 1. Sia

u(x, y) = x , v(x, y) = y .

Con notazione complessa questa funzione si rappresenta come

z z .

Esempio 2. Sia

u(x, y) = x2 + y2 , v(x, y) = 0 .


z zz .

Esempio 3. Sia

u(x, y) = x2 + y2 , v(x, y) = 2xy .


z zz i2(z2 z2) .

Esempio 4. Sia

u(x, y) = x2 y2 , v(x, y) = 2xy .


z z2 .

Notiamo che ciascuna delle funzioni degli esempi precedenti, come funzione delle

due variabili reali x ed y, di classe C1. Cerchiamo per di calcolare il limite del

rapporto incrementale

limzz0

f(z) f(z0)z z0

.

Nel case dellesempio 4 questo si riduce a

24


limzz0

z2 z20z z0

= limzz0

(z z0)(z + z0)z z0

= 2z0 .

Dunque, il limite esiste in ciascun punto z0. Invece nel caso dellesempio 2 il limite

esiste solo per z0 = 0. Infatti, se z0 = 0 si ha

limz0

zz

z= lim

zz0z = 0 .

Se per z0 = 0 si trova

limzz0

zz z0z0z z0

= limzz0

{z z0z z0

z + z0z z0z z0

}.

Dato che

limzz0

z0z z0z z0

esiste, uguale a z0, rimane da capire se esiste anche il limite del primo addendo.

Scrivendo

z z0z z0

=x x0 + i(y0 y)x x0 + i(y y0)

si vede che il limite non esiste. Infatti, calcolando il limite lungo la retta y = y 0 si

trova +1 mentre calcolandolo lungo la retta x = x0 si trova 1.

Si ritrovi lesistenza del limite quando z0 = 0, per questa via.

In modo analogo si vede che il limite non esiste nemmeno nel caso delle funzioni degli

esempi 2 e 3.

Quando il limite del rapporto incrementale esiste, naturalmente lo chiameremo deri-

vata. Gli esempi precedenti mostrano che questo concetto di derivata apparentemente

non ha relazioni con le derivate nel campo reale. Una relazione in realt esiste, e la

vedremo ai paragrafi 1.5. e 1.5.3.

Possiamo ora spiegare quale loggetto della cos detta Teoria delle funzioni. Per

antonomasia si chiama in questo modo la teoria delle funzioni di variabile complessa,

che sono derivabili in ciascun punto di una regione. La derivata si intende nel senso

del limite del rapporto incrementale, il rapporto essendo calcolato per mezzo del

quoziente di numeri complessi.

25


1.5. LA DERIVATA

I numeri complessi costituiscono un campo e quindi lecito studiare i rapporti

incrementali

f(z0 + h) f(z0)h

.

Lesistenza di una norma su C permette di studiarne il limite per h 0. Se questo

esiste finito, si chiama la derivata di f(z) in z0.

In pratica, la derivabilit in un solo punto ha ben poco interesse nella teoria delle

funzioni di variabile complessa. Piuttosto, interessa studiare le funzioni che sono

derivabili in ciascun punto di una regione.

Si noti che gli intorni dei punti in C sono dischi: h tende a zero prendendo tutti i

valori in dischi centrati in 0. In particolare, se la derivata esiste, i limiti calcolati con

h = x + i0 ed x 0 e con h = 0 + iy ed y 0 esistono e sono uguali. Dunque, se

esiste f (z0) esistono anche ambedue le derivate parziali in (x0, y0) sia di u(x, y) che

di v(x, y). Queste non sono indipendenti, come ora vediamo.

Teorema 1.8. Se f (z) esiste per ogni z in , z = x + iy, allora valgono le

uguaglianze

ux(x, y) = vy(x, y) , uy(x, y) = vx(x, y) 1.9e inoltre

f (x+ iy) = ux(x, y) + ivx(x, y) = vy(x, y) iuy(x, y)

=12{ux(x, y) + vy(x, y) i[uy(x, y) vx(x, y)]} =

12

[f

x if

y

].

1.10

DIMOSTRAZIONE

Il calcolo immediato:

limh0 hR

u(x+ h, y) + iv(x+ h, y) u(x, y) iv(x, y)h

= ux(x, y) + ivx(x, y)

e questo limite deve essere uguale sia ad f (z) che a

limk0 kR

u(x, y + k) + iv(x, y + k) u(x, y) iv(x, y)ik

= iuy(x, y) + vy(x, y) .

26


Dunque valgono le uguaglianze 1.9 e le espressioni 1.10 per la derivata.

Le equazioni 1.9 sono importantissime e vanno sotto il nome di condizioni di

CauchyRiemann.

Vicevera:

Teorema 1.9. Siano u(x, y) e v(x, y) due funzioni di classe C 1 su una regione . Si

definisca

f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) .

Se le funzioni u(x, y) e v(x, y) soddisfano alle condizioni di CauchyRiemann su ,

allora la funzione f(z) derivabile ed f (z) continua.

DIMOSTRAZIONE

Sia h = + i. Scriviamo

f(z + h) f(z) = u(x+ , y + ) u(x, y) + i[v(x+ , y + ) v(x, y)] .

Essendo le due funzioni u e v di classe C 1, si pu applicare ad esse il teorema della

media

u(x+ , y + ) u(x, y) = ux(x1, y1)+ uy(x1, y1)

v(x+ , y + ) v(x, y) = vx(x2, y2)+ vy(x2, y2)

con (x1, y1) e (x2, y2) punti opportuni nel rettangolo di vertici (x, y), (x+, y), (x, y+),

(x+ , y + ).

Quando e tendono a zero sia (x1, y1) che (x2, y2) tendono ad (x, y).

Usando le condizioni di CauchyRiemann scriviamo

f(z + h) f(z) = [ux(x1, y1) + ivx(x2, y2)]+ [uy(x1, y1) + ivy(x2, y2)]

= [ux(x1, y1) + ivx(x2, y2)]+ [vx(x1, y1) + iux(x2, y2)]

= [ux(x1, y1) + ivx(x2, y2)]+ i[ux(x2, y2) + ivx(x1, y1)]

= [ux(x1, y1) + ivx(x2, y2)](+ i)

+i {[ux(x2, y2) ux(x1, y1)] + i[vx(x1, y1) vx(x2, y2)]} .

27


Essendo = Imh, vale |/h| < 1 e inoltre la parentesi graffa tende a zero per h 0

perch, per ipotesi, le funzioni u e v sono di classe C 1. La parentesi quadra tende a

[ux(x, y) + ivx(x, y)] cos che

f (z) = limh0

f(z + h) f(z)h

= [ux(x, y) + ivx(x, y)] .

Ci prova lesistenza della derivata in ciascun punto. Inoltre, da questa formula si vede

che f (z) continua perch sia ux(x, y) che vx(x, y) sono funzioni continue.

Le funzioni f(z) che sono derivabili con continuit su una regione si chiamano

funzioni olomorfe.

E bene dire che il requisito della continuit nella definizione precedente potrebbe

rimuoversi, grazie al seguente risultato, che non proviamo:

Teorema 1.10. se la funzione continua f(z) derivabile in ciascun punto della

regione allora la sua derivata f (z) continua.

Introduciamo infine due notazioni. Luguaglianza 1.10 suggerisce di introdurre la

notazione /z, definita da

zf(z) =

12

[

x i

y

]f(x+ iy) =

12

[f

x if

y

]= f (z)

mentre le condizioni di CauchyRiemann 1.9 suggeriscono lintroduzione della

notazione /z, definita da

zf(z) =

12

[

x+ i

y

]f(x+iy) =

12

[

xf + i

yf

]=

12[ux+ivx+iuyvy] .

E quindi le condizioni di CauchyRiemann si scrivono

zf(z) = 0 .

Notiamo due conseguenze immediate delle condizioni di CauchyRiemann:

Teorema 1.11. Sia f(z) una funzione olomorfa su una regione . Supponiamo

inoltre che essa prenda valori reali. Allora, essa costante.

28


DIMOSTRAZIONE

Se la funzione prende valori reali allora v(x, y) identicamente zero e quindi u x(x, y)

ed uy(x, y) sono identicamente nulle su per le condizioni di CauchyRiemann e

quindi anche u(x, y) costante.

Lemma 1.12. Sia f(z) olomorfa su un disco D su cui |f(z)| costante. Allora f(z)

stessa costante su D.

DIMOSTRAZIONE

Per ipotesi, su D vale

|f(x+ iy)|2 = |u(x, y) + iv(x, y)|2 = u2(x, y) + v2(x, y) = c .

Proviamo che f(z) stessa costante. Questo ovvio se c = 0. Sia quindi c > 0.

Derivando e usando le condizioni di CauchyRiemann si trova

0 = 2[uux + vvx] = 2[uux vuy] , 0 = 2[uuy + vvy ] = 2[uuy + vux] .

Moltiplicando la prima per u e la seconda per v e sommando si trova

0 = (u2 + v2)ux = cux

e quindi ux = 0, perch c > 0. In modo analogo si vede che uy = 0 e quindi u

costante. Dalle condizioni di CauchyRiemann segue che anche v costante.

1.5.1 Esempi di funzioni olomorfe e formule di derivazione

Dal teorema 1.11, le funzioni

z e z , z Imz , z |z| , z Argz

non sono olomorfe. Abbiamo gi notato che lultima non nemmeno continua

sullasse reale negativo; e, del tutto ovvio che una funzione olomorfa continua.

La dimostrazione la stessa come per le funzioni di variabile reale. Dunque in

particolare log z non olomorfa in una regione che interseca lasse reale negativo.

29


Inoltre, le usuali regole di derivazione della somma, del prodotto, del quoziente e

della funzione composta valgono anche per funzioni di variabile complessa, con

le medesime dimostrazioni come nel caso delle funzioni di una variabile reale. Di

conseguenza, dato che f(z) = z ovviamente derivabile, con derivata uguale ad 1, i

polinomi sono funzioni olomorfe e, al di fuori dei poli, sono anche funzioni olomorfe

le funzioni razionali.

Mostriamo:

Teorema 1.13. La funzione z ez olomorfa su C e coincide con la sua funzionederivata.

DIMOSTRAZIONE

Infatti,ez = ex+iy = [ex cos y] + i[ex sin y] .

Dunque, per questa funzione,

u(x, y) = [ex cos y] , v(x, y) = [ex sin y] .

E immediato verificare che queste funzioni sono di classe C 1 su C, e verificano le

condizioni di CauchyRiemann.

Dalla 1.10 si trova immediatamente che la derivata di e z

ux(x, y) + ivx(x, y) = ex cos y + iex sin y = ez .

Di conseguenza, grazie alle formule di Eulero, le funzioni trigonometriche sono

olomorfe e si vede facilmente che per esse valgono le usuali regole di derivazione,

come nel caso reale.

Si notato che la funzione Log z non continua e quindi nemmeno olomorfa su C, e

ci mostra che necessaria una certa cautela nel derivare funzioni inverse. Se per si

sa a priori che g(z) la funzione inversa della funzione olomorfa f(z) e che g(z)

stessa olomorfa, allora si pu applicare la regola della derivazione della funzione

composta alluguaglianza

f(g(z)) = 1

30


e trovare per g (z) lusuale formula,

g(z) = 1/f (g(z)) . 1.11

Torneremo su questo problema al paragrafo 1.5.3.

Studiamo ora le determinazioni di log z, usando direttamente le condizioni di Cauchy

Riemann. Pi avanti ritroveremo questi stessi risultati in modo meno diretto, ma pi veloce

e pi generale.

Il fatto che le funzioni logaritmo e radice non siano continue su C, non vieta che esse siano

olomorfe su regioni pi piccole. Per capire se ci accade, conviene scrivere le condizioni di

CauchyRiemann in coordinate polari. Notiamo prima di tutto che se

x = cos , y = sin ,

derivando la seconda rispetto ad x si trova

0 = x sin + (cos )x

e quindi

x = x

sin

cos = x

y

x= x

2y

x= y

2. 1.12

Infatti si calcola immediatamente, da =p

x2 + y2,

x =x

, y =

y

.

In modo analogo si vede che

y =x

2. 1.13

Osservazione 1.14. Per la validit di queste formule si richiede = 0. Noi le abbiamo

provate supponendo anche cos = 0, sin = 0 ma questa condizione immediatamente si

rimuove. Infatti, studiando lo jacobiano della trasformazione (, ) (x, y) si vede che

questo non si annulla per = 0 e quindi (x, y) e (x, y) sono di classe C1 sul piano (x, y)

privato dellorigine; e quindi ivi si estendono per continuit le formule che abbiamo trovato.

Sia ora

f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) .

Sia U(, ) la funzione che nel punto (, ) prende come valore u( cos , sin ). In modo

analogo definiamo V (, ). E immediato notare che U e V sono di classe C1, nelle variabili

e , se e solo se rispettivamente u e v sono di classe C1 nelle variabili x ed y. Inoltre,

31


U = ux cos + uy sin .

Se valgono le condizioni di CauchyRiemann,

U = vy cos vx sin .

Analogamente,

V = vx sin + vy cos .

Si intende che le funzioni u e v sono calcolate nel punto x = cos , y = sin .

Dunque, se le condizioni di CauchyRiemann valgono, si ha anche

U = V e analogamente V = U . 1.14

Viceversa, le 1.14 implicano le condizioni di CauchyRiemann. Infatti,

ux = Ux

U

y

2

vy = Vy

+ V

x

2= 1

U

y

+ U

x

2

da cui

ux = vy e analogamente uy = vx .

Introduciamo ora

F (, ) = U(, ) + iV (, ) .

Con questa notazione, le 1.14 valgono se e solo se

iF = F . 1.15Usiamo 1.15 per studiare la funzione

f(z) =[cos /2 + i sin /2]

nella regione

> 0 , < . 1.16

E ovvio che la funzione, come funzione delle due variabili reali e , equivalentemente x ed

y, di classe C1. Si vede che olomorfa notando che su questa regione vale la condizione 1.15.

Analogo discorso vale per ogni determinazione di z1/n.

In modo analogo si tratta la funzione

f(z) = log |z|+ iArg z + 2ki ,

32


con k fissato, ancora sulla regione 1.16. Applicando il teorema della funzione implicita alle

relazioni

x = cos , y = sin

valide per > 0 e < , si vede che la funzione (, ), come funzione di x e di y, di

classe C1 e quindi lo stesso vale per ciascuna funzione log |z|+iArg z+2ki, in < < .

Un calcolo immediato mostra che la condizione 1.15 soddisfatta e quindi mostra che ciascuna

delle funzioni log z olomorfa.

Usando la 1.11 si vede ora che ciascuna delle determinazioni della funzione log z, letta su su

< Argz < , ha per derivata 1/z, per ogni z nella regione 1.16. Infatti,

eLog z+2ki = z

e quindi

1 = eLog z+2kid

dz(Log z + 2ki) =

ddz

(Log z + 2ki) z ,

ddz

(Log z + 2ki) =1

z.

Osserviamo ora un fatto imbarazzante: = non ha una relazione intrinseca con le funzioni

logaritmo (e nemmeno con le radici), ma solo dipende dalla nostra scelta per largomento

principale. Avessimo scelto per esempio 0 < 2 avremmo trovato funzioni olomorfe

nel piano privato dellasse reale positivo; avessimo scelto /2 < 5/2 avremmo trovato

funzioni olomorfe ovunque, salvo che sullasse immaginario positivo.

Pi avanti diremo qualcosa di pi su questo problema. Per ora limitiamoci a notare ci.

1.5.2 Osservazione sui teoremi fondamentali del calcolo differenziale

Nella teoria delle funzioni di una variabile reale, si chiamano teoremi fondamentali

del calcolo differenziale varie formulazioni del teorema di Rolle: sia f(x) continua

per x [a, b], a valori in R e tale che f(a) = f(b) = 0. Sia inoltre f(x) derivabile inciascun punto di (a, b). Esiste un punto c (a, b) nel quale la derivata si annulla.

In particolare una funzione da R in s, derivabile e periodica, ha derivata nulla in

infiniti punti.

E importante notare che asserti analoghi non valgono per le funzioni olomorfe.

33


Esempio 1.15. La funzione f(z) = ez olomorfa e periodica. Si visto che la sua

derivata

f (z) = ez

mai nulla.

E importante discutere la ragione di ci. Ricordiamo che la dimostrazione del

teorema di Rolle si basa sul teorema di Fermat, che a sua volta dipende dalla regola

dei segni: il prodotto di numeri di segno concorde positivo. Noi non abbiamo

introdotto una relazione dordine tra i numeri complessi. E per possibile introdurne

infinite. Per esempio si pu introdurre lordinamento lessicografico: x + iy viene

prima di x + iy se x < x oppure se x = x ma y < y. In questo modo i numeri

positivi, ossia maggiori di 0, sono quelli di parte reale strettamente positiva oppure

quelli con la parte reale nulla e parte immaginaria positiva. Queste propriet non sono

conservate facendo il prodotto. Per esempio, i i = 1. In generale, la regola deisegni non vale tra i numeri complessi, qualsiasi sia la relazione dordine che si

voglia usare.

E appena il caso di notare che i problemi che si incontrano con la continuit e la

derivabilit della funzione inversa hanno unorigine analoga. Si ricordi infatti che

il teorema della funzione monotona interviene (in modo alquanto nascosto) nella

dimostrazione della derivabilit della funzione inversa di una funzione da R in s.

1.5.3 La matrice jacobiana e le funzioni olomorfe

Siano u(x, y) e v(x, y) rispettivamente la parte reale ed immaginaria di una funzione

olomorfa f(z). La funzione (x, y) (u(x, y), v(x, y)) una trasformazione da R 2

in s, la cui matrice jacobiana

J =

ux(x, y) uy(x, y)

vx(x, y) vy(x, y)

=

ux(x, y) uy(x, y)

uy(x, y) ux(x, y)

e quindi lo jacobiano

u2x(x, y) + u2y(x, y) .

34


Dunque:

Teorema 1.16. Sia f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) una funzione olomorfa. Lo

jacobiano non nullo in un punto (x, y) se e solo se f (x + iy) = 0. In tale punto lojacobiano positivo.

Si ricordi che lo jacobiano positivo quando la trasformazione a cui esso corrisponde

conserva lorientazione di R2; equivalentemente, quando larea orientata di un

triangolo ha il medesimo segno prima e dopo la trasformazione.

Possiamo ora esaminare nuovamente il problema della derivazione della funzione

inversa di una funzione olomorfa.

Teorema 1.17. Sia f(z) olomorfa su una regione , e con derivata non nulla. La

funzione localmente invertibile e la sua inversa olomorfa.

DIMOSTRAZIONE

Sia

f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) .

Si appena visto che lo jacobiano della trasformazione di classe C 1 su R2

(x, y) (u(x, y), v(x, y))

non si annulla e quindi la trasformazione localmente invertibile. Inoltre, la

trasformazione inversa, che indichiamo col simbolo

(u, v) (x(u, v), y(u, v)) ,

di classe C1.

Si visto che la matrice jacobiana della trasformazione

J =

24 ux(x, y) uy(x, y)

uy(x, y) ux(x, y)

35

e si vede immediatamente che

J J =

24 u2x + u2y 0

0 u2x + u2y

35

35


cos che

J1 =1

u2x + u2yJ =

1

u2x + u2y

24 ux(x, y) uy(x, y)

uy(x, y) ux(x, y)

35 .

Daltra parte, J1 calcolato nel punto (u, v) che proviene da (x, y) 24 xu(u, v) xv(u, v)

yu(u, v) yv(u, v)

35

cos che

xu = yv , yu = xv ,

ossia la trasformazione (u, v) (x(u, v), y(u, v)) di classe C 1 e verifica le condizioni

di CauchyRiemann. Per il teorema 1.9, la funzione

g(u+ iv) = x(u, v) + iy(u, v) ,

inversa della funzione f(x+ iy), olomorfa.

Esempio 1.18. La funzione f(z) = ez olomorfa e si visto che la sua derivata

ancora ez e quindi non si annulla. Fissiamo un punto z0 ed il valore ez0 . Il

teorema 1.17 afferma che esistono un intorno U di z0 ed un introno V di ez0 ed

ununica funzione g(z) definita su V a valori in U , tale che e g(z) = z. Dunque,

g(z) una delle determinazioni della funzione log z. Per esempio, se z0 = 0 e

quindi ez0 = 1 allora g(z) = Log z; se z0 = 2i e quindi ancora ez0 = 1,

g(z) = Log z + 2i. Inoltre, sempre dal teorema 1.17, la funzione inversa g(z)

olomorfa e, dalla formula 1.11, per ogni determinazione del logaritmo, ossia per

ogni k,

ddz

(Log z + 2ki) =1z.

Si ritrova quindi quanto gi visto al paragrafo 1.5.1: tutte le determinazioni della

funzione log z sono derivabili, con derivata 1/z.

Osservazione 1.19. Con riferimento allesempio 1.18, sia z0 = i. In questo

caso, ez0 = 1 e si visto che esiste una funzione olomorfa g(z) tale che

36


eg(z) = z, definita in un intorno di 1. Questa funzione quindi differisce da ciascunadelle funzioni Log z + 2ki, che sono discontinue sullasse reale negativo. Questa

stranezza verr chiarita al paragrafo 1.9.3 e allesempio 1.58.

1.5.4 Serie di potenze e serie di Laurent

Abbiamo visto fino ad ora degli esempi particolari di funzioni olomorfe. Una classe

di funzioni olomorfe offerta dalle serie di potenze

f(z) =+n=0

an(z z0)n . 1.17

Una funzione siffatta sempre definita in z0 e, pu essere, in nessun altro punto. In

tal caso ovviamente essa non una funzione olomorfa. Vale per:

Teorema 1.20 (di Abel). Se la serie 1.17 converge in un punto z1 = z0 allora essaconverge in ogni punto z tale che

|z z0| < |z1 z0|

DIMOSTRAZIONE

Per semplicit di notazioni, sia z0 = 0. Per provare la convergenza di una serie di

numeri complessi, sufficiente provare la convergenza della serie dei moduli. Sia

allora |z| < |z1| e studiamo la serie (di numeri positivi)+Xn=0

|anzn| =+Xn=0

|an| |z|n .

Dato che |z| < |z1| (disuguaglianza stretta) esiste r tale che

|z| < r < |z1| ossia|z||z1|

R la serie non converge in z.

Vedremo (al paragrafo 1.15.) che questo teorema implica:

Teorema 1.22. Il raggio di convergenza di una serie di potenze sia strettamente

positivo. La serie di potenze definisce una funzione olomorfa nel disco di convergenza.

Il raggio di convergenza di una serie di potenze si calcola facendo uso delle stesse

formule che sono note per le serie di potenze reali: se i coefficienti an non sono mai

nulli e se esiste

lim|an|

|an+1|

allora questo limite, finito o meno, uguale al raggio di convergenza.

In generale, il raggio di convergenza si pu calcolare con la seguente formula di

Hadamard:

1R

= lim sup n|an| ,

38


la cui dimostrazione posposta.

Si noti che nella formula di Hadamard si usano le regole 1/0 = +, 1/(+) = 0.

La formula di Hadamard ha una conseguenza importante. Dato che

lim nn = 1 ,

le due serie

+n=0

an(z z0)n ,+n=0

nan(z z0)n1

hanno il medesimo raggio di convergenza. Dunque, quando R > 0, si pone il

problema di sapere se la seconda serie rappresenti la derivata della prima. La risposta

affermativa, perch vale il teorema seguente, che verr provato al paragrafo 1.15.

Teorema 1.23. Sia f(z) =+

n=0 an(zz0)n e sia positivo il raggio di convergenzadella serie. Allora, in ogni punto del disco di convergenza, vale

f (z) =+n=0

nan(z z0)n1 .

La ragione per cui non proviamo ora i due teoremi 1.22 e 1.23 che, pi avanti,

proveremo un risultato molto pi generale, di cui essi possono considerarsi dei

corollari.

Pi in generale si chiamano serie di Laurent le serie di potenze con esponenti interi

sia positivi che negativi, ossia le serie della forma

+n=

an(z z0)n ,

ovviamente mai definite per z = z0. Per definizione, la somma della serie di Laurent

la somma delle due serie di potenze una in z e laltra in 1/z,

+n=

an(z z0)n =1

n=an(z z0)n +

+n=0

an(z z0)n

e quindi le propriet delle serie di Laurent discendono immediatamente da quelle delle

serie di potenze. La serie di potenze positive di 1/(zz0) converge per |1/(zz0)| 1/r = r, la serie di potenze positive di (z z0) converge per

39


|zz0| < R; e quindi la serie di Laurent converge se r R. Se r < R chiameremocorona di convergenza la corona circolare

r < |z z0| < R .

In tale corona la serie converge assolutamente, e converge uniformemente nei

compatti in essa contenuti.

Inoltre:

Teorema 1.24. La somma di una serie di Laurent olomorfa nella corona di

convergenza e

ddz

+n=

an(z z0)n =+

n=nan(z z0)n1 .

Dimostrazione della formula di Hadamard.

Per semplicit di notazioni sia z0 = 0 e sia

= lim sup n|an| .

Studiamo prima di tutto il caso = +. Mostriamo che in questo caso il raggio diconvergenza nullo. Sia z = 0 e scegliamo (0, |z|). Scegliamo un qualsiasi ktale che k > 1 e notiamo che, per infiniti n, vale

n|an| > k e quindi |anzn| > (k)n .

La serie di potenze quindi non converge.

Consideriamo ora il caso in cui

lim sup n

|an| = (0,+) .

Sia z un numero per cui

|z| > 1.

Vogliamo provare che la serie di potenze non converge in z. Ci implicher che il

raggio di convergenza non supera 1/.

Sia r un numero tale che

1

< r < |z| .

40


Da (1/r) < segue che per infiniti indici vale

1r< n

|an|

e quindi

|z|nrn

< |anzn| .

Essendo |z| > r si ha

lim sup |anzn| = +

e la serie non converge.

Dunque, R 1/.

Se = 0 ancora vero che R < 1/, pur di intendere 1/ = +.

Ricapitolando, a questo punto sappiamo che

R 1, intendendo

1 = 010 = .

Proviamo la disuguaglianza opposta.

Consideriamo ancora prima di tutto il caso > 0 e sia |z| < 1/. Proviamo che intal caso la serie converge. Se = + allora z = 0 e niente va provato. Sia quindi0 < < +.

Essendo |z| < 1/, avremo

|z| = c, |anzn| = |an|

cn

ncon 0 c < 1 .

Sia > 0. Esiste N tale che per n > N si ha

n|an| < + 1.18

e quindi

|anzn| =|an|n

cn 0. Essendo c (0, 1), si pu scegliere tale che

(1 +

)c < 1 .

41


In questo modo si vede che i termini della serie di potenze sono dominati da quelli di

una serie numerica convergente, e quindi la serie

+n=0

anzn

converge.

Consideriamo infine il caso = 0 e z qualsiasi. In questo caso la 1.18 vale con = 0.

Si sia scelto tale che |z| = c < 1. Si ha

|anzn| < cn

e ancora la convergenza della serie di potenze segue per confronto con la serie

geometrica.

In ambedue i casi R 1/ e quindi luguaglianza.

1.6. FUNZIONI OLOMORFE E TRASFORMAZIONI CONFORMI

Sia (x, y) (u(x, y), v(x, y)) una trasformazione di classe C 1. Conviene spesso

rappresentarla mediante la notazione complessa, associando alla coppia (x, y) il

numero complesso z = x+ iy e introducendow = u+ iv, cos che la trasformazione

si rappresenta anche come

w = f(z) .

Conviene vedere questa funzione come trasformazione dal piano della variabile z al

piano della variabile w.

Supponiamo che il dominio di f(z) sia una regione .

Siano e due curve in , parametrizzate da

z = z(t) , z = z(t) ,

con t [a, b] in ambedue i casi (si sa che questa condizione non restrittiva).

Supponiamo che le due curve si intersechino in un punto in cui le due

parametrizzazioni sono derivabili, ossia che per un valore t 0 (a, b) valga

z(t0) = z(t0) = z0 = x0 + iy0 .

42


Le due rette

z = z0 + z(t0)(t t0) , z = z0 + z(t0)(t t0)

sono, per definizione, le rette tangenti alle due curve nel punto di intersezione. Per

angolo tra le due curve si intende quello formato dalle loro tangenti nel punto

comune. Facendo uso della notazione dei numeri complessi, facile esprimere tale

angolo: questo langolo tra i vettori rappresentati da z (t0) e z(t0). Questo , per

definizione, largomento del quoziente dei numeri complessi corrispondenti,

Argz(t0)z(t0)

.

Indichiamo ora con f la curva immagine di mediante la trasformazione f , ossia la

curva

f : w = f(z(t)) t [a, b] .

Analoga notazione usiamo per la trasformata mediante f di . Supponendo che la

funzione f(z) sia olomorfa e che f (z0) sia diversa da zero, possibile calcolare

langolo tra f e f ,

Argf (z0)z(t0)f (z0)z(t0)

= Argz(t0)z(t0)

.

Abbiamo cos provato che

Teorema 1.25. Una funzione olomorfa conserva langolo tra le curve nei punti nei

quali la sua derivata non si annulla.

Una trasformazione da una regione di R2 che conserva gli angoli si dice conforme e

quindi

Teorema 1.26. Se f(z) olomorfa su , e se la sua derivata non si annulla, essa

definisce una trasformazione conforme su .

43


2

1

0

1

2

2

1

0

1

20

1

2

3

4

5

6

7

8

64

20

24

6

1

0.5

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Fig. 1.2. A sinistra |z2|, a destra | cos z|. Le linee sono le immagini di una griglia

x = cost, y = cost.

Abbiamo gi notato che se u(x, y), v(x, y) sono parti reali ed immaginarie di una

funzione olomorfa f(x + iy) allora lo jacobiano della trasformazione u 2x(x, y) +

u2y(x, y), strettamente positivo se f (z) non si annulla.

Dunque, una funzione olomorfa la cui derivata non si annulla su definisce

una trasformazione conforme che inoltre conserva lorientazione. Un esempio di

trasformazione conforme che non conserva lorientazione la trasformazione z z.

Le trasformazioni conformi che conservano lorientazione si chiamano anche

trasformazioni conformi dirette.

1.6.1 La rappresentazione delle funzioni olomorfe

Accenniamo ora a come rappresentare graficamente le funzioni olomorfe. Il grafico

naturalmente non serve, perch il grafico un insieme di R 4. E per possibile

rappresentare il grafico di z |f(z)|, che in R3 e spesso su tale grafico si disegnanole linee

Arg f(z) = cost

oppure limmagine di una famiglia di linee del piano della variabile z. Le figure che

seguono mostrano alcuni esempi.

Un altro metodo consiste nel tracciare una famiglia di linee sul piano z e le loro

immagini sul piano w, o viceversa una famiglia di linee sul piano w e le loro

44


1

0.5

0

0.5

1

1

0.5

0

0.5

1

0

1

2

3

4

5

1

0.5

0

0.5

1

10.5

00.5

10.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Fig. 1.3. A sinistra |Logz|, a destra | sin z|. Le linee sono le immagini di una griglia

r = cost, = cost.

controimmagini sul piano z. Il caso della funzione f(z) = z 2/10 mostrato nella

figura 1.4.

La figura 1.4 mostra una griglia di rette e semirette mutuamente ortogonali nel piano

Imz > 0. Queste si trasformano in due famiglie di parabole, mutuamente ortogonali,dato che f (z) = 2z = 0. Queste parabole riempiono tutto il piano w.

La circonferenza

ei , 0 2

sotto lazione di f(z) = z2 ancora una circonferenza,

ei , 0 4 ,

che per percorsa due volte, anche se ovviamente ci non pu vedersi dalla figura.

Se per si rappresenta limmagine di una circonferenza centrata nel punto (0, 1/5),

come in figura 1.5 si vede immediatamente che limmagine una curva non semplice,

che gira due volte intorno allorigine.

Pensiamo ora di disegnare limmagine di una famiglia di circonferenze di centro

(0, 0) mediante le funzioni f(z) = z e g(z) = 1/z. Si trova ancora una famiglia

di circonferenze col medesimo centro, e da questo punto di vista le due funzioni

sembrano indistinguibili. Per, f(z) = z trasforma la regione interna di una

circonferenza nella regione interna della circonferenza corrispondente mentre g(z)

la trasforma nella regione esterna.

45


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

14

16

Fig. 1.4. Immagine di rette, sotto lazione di f(z) = z 2/10.

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fig. 1.5.

46


1

0.5

0

0.5

1

1

0.5

0

0.5

10

0.5

1

1.5

2N

Fig. 1.6.

Analoga osservazione pu farsi, per esempio, per le funzioni e z ed ez e ci

suggerisce di considerare la regione esterna ad un disco come intorno di . Tec-nicamente, di sostituire il piano complesso con la corrispondente compattificazione

di Alexandrov. Un modo comodo di fare ci consiste nel considerare una sfera il cui

polo SUD tocca R2 (insieme di partenza della funzione) in (0, 0). Il polo NORD viene

ad avere il ruolo di . Il piano R2 si rappresenta sulla sfera, mediante la proiezionestereografica, dal polo NORD. La corrispondenza ottenuta bicontinua tra il piano e

la sfera privata del polo NORD e la sfera stessa, usata in questo modo, si chiama sfera

di Riemann, si veda la figura 1.6.

La funzioni da C in s possono quindi rappresentarsi anche come funzioni da C nella

sfera o dalla sfera in s.

1.7. INTEGRALE DI CURVA DI FUNZIONI OLOMORFE

Ricordiamo che col termine curva intenderemo sempre un arco regolare a tratti a valori

in R2, ossia una funzione continua t z(t) = x(t) + iy(t) definita per t [a, b],

ovunque derivabile salvo un numero finito di punti. In tali punti, e negli estremi a e

47


b, richiederemo lesistenza dei limiti direzionali della derivata. Richiederemo inoltre

che

|z(t)| = 0 ,

salvo al pi in un numero finito di punti.

Introduciamo la notazione

f dz. 1.19

Se f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y), e se parametrizzata da

z(t) = x(t) + iy(t) ,

definiamo

f dz = ba

f(z(t))z(t) dt = ba

[u(x(t), y(t))+ iv(x(t), y(t))][x(t)+ iv(t)] dt .

Sviluppando i calcoli si trova

f dz = ba

[u(x(t), y(t))x(t) v(x(t), y(t))y(t)] dt+

i

ba

[u(x(t), y(t))y(t) + v(x(t), y(t))x(t)] dt

=

u dx v dy + i

v dx+ u dy .

Si trova quindi

f dz =

u dx v dy + i

v dx+ u dy ,

la somma di due integrali di forme differenziali.

Osservazione 1.27. Alla stessa espressione si perviene definendo lintegrale come

limite delle somme di Riemann

ni=0

f(z(ti))z(ti)(ti+1 ti) .

Omettiamo i dettagli della dimostrazione.

48


E noto che gli integrali delle forme differenziali non mutano cambiando la

parametrizzazione di ; cambiano segno cambiando il verso di percorrenza su

. Dunque queste stesse propriet valgono per lintegrale 1.19.

Proviamo ora:

Lemma 1.28. Sia (t), t [a, b], una funzione continua a valori complessi. Vale: ba

(t) dt

ba

|(t)| dt .

DIMOSTRAZIONE

Indichiamo con z0 il numero

z0 =

Z ba

(t)dt .

Si sa che

|z0| =z0z0|z0|

e quindi

Z ba

(t)dt

= |z0| = z0|z0|z0 =

Z ba

z0|z0|

(t)dt .

La funzione t z0|z0|(t) ancora una funzione a valori complessi, ma luguaglianza

precedente mostra che il suo integrale reale. Dunque, lintegrale della sua parte

immaginaria nullo e quindiZ ba

(t)dt

=

Z ba

e

z0|z0|

(t)

ffdt

Z ba

z0|z0|(t)

dt =

Z ba

|(t)| dt .

Osservazione 1.29. La disuguaglianza precedente vale perch stiamo consideran-

do lintegrale su un segmento dellasse reale. Non ha invece alcun senso scrivere f(z) dz |f(z)| dz, con generica curva. Infatti in tal caso lintegrale

a destra prende valori complessi anche se lintegrando reale. La formula che

sostituisce la disuguaglianza sbagliata precedente data dal prossimo teorema.

49


Ricordiamo ora che

L = ba

|z(t)| dt

per definizione la lunghezza della curva regolare a tratti : z = z(t), t [a, b]. Dal

lemma precedente segue:

Teorema 1.30. Sia : z = z(t), t [a, b] una curva regolare a tratti e sia f(z) una

funzione da C in C, continua sul sostegno della curva . Sia M tale che

|f(z(t))| M , t [a, b] .

Vale:

f(z) dz ML .

DIMOSTRAZIONE

Si applichi il Lemma 1.28 alla funzione f(z(t))z (t). Si trovaZ

f(z(t))z(t)dt

Z ba

|f(z(t))| |z(t)|dt ML .

1.8. IL TEOREMA DI CAUCHY

Ricordiamo che se u(x, y) e v(x, y) sono funzioni di classe C 1, allora la funzione

f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y)

olomorfa quando valgono le condizioni di CauchyRiemann, ossia quando

ux = vy , uy = vx .

Si sa che queste sono le condizioni perch siano chiuse le forme differenziali

v dx+ u dy , u dx v dy

e ci suggerisce di applicare alle funzioni olomorfe la teoria, nota, delle forme

differenziali.

50


Sia una curva semplice e chiusa contenuta in una regione di Jordan . Usando la

formula di Green si trova:

Teorema 1.31 (di Cauchy). Sia f(z) olomorfa in una regione di Jordan e sia

una curva semplice e chiusa in . Vale

f(z) dz = 0 .

DIMOSTRAZIONE

Dalla formula di Green si vede cheZ

f dz = Z

[vx + uy] dx dy + iZ

[ux vy ] dx dy .

Le condizioni di CauchyRiemann mostrano che ambedue gli integrali su sono

nulli.

Osservazione 1.32. Notiamo:

Se due curve ed hanno le propriet che giustificano la formula 1.6, la

formula 1.6 implica che

f(z) dz =

f(z) dz . 1.20

il teorema 1.31 pu provarsi senza fare uso di risultati relativi alle forme

differenziali, e nella sola ipotesi che f(z) sia derivabile in ciascun punto di

; ossia, le ipotesi di continuit delle derivate possono rimuoversi.

Vediamo infine un esempio di calcolo di integrale.

Esempio 1.33. Sia f(z) = (z z0)n e sia la circonferenza

: z(t) = z0 + eit , t [0, 2k] .

Il numero k intero positivo. Si osservi che la circonferenza orientata positivamente

e che essa semplice solo quando k = 1.

51


Si ha:

(z z0)n dz = 2k0

eintieit dt = i 2k0

ei(n+1)t dt

= i 2k0

[cos(n+ 1)t+ i sin(n+ 1)t] dt .

Se n = 1 si vede che lintegrale vale 2. Altrimenti si vede che lintegrale vale 0,

sia per n 0 che per n < 1.

Se k = 1 luguaglianza a zero dellintegrale segue dal teorema di Cauchy 1.31 quando

n 0. Il fatto che lintegrale sia nullo anche per n 2 mostra che la condizione

del teorema 1.31 solo sufficiente.

Se n = 1, ossia quando si integra la funzione 1/(z z0), si trova

12i

1z z0

dz = k ,

numero dei giri che la circonferenza fa intorno allorigine. Si chiama questo lindice

della circonferenza rispetto al suo centro. Vedremo in seguito come generalizzare

questosservazione.

1.9. PRIMITIVE

Sia f(z) una funzione da C in C, definita su una regione . NON si richiede che la

regione sia di Jordan. Si chiama primitiva di f(z) una funzione F (z), anchessa

definita su , e tale che

F (z) = f(z) z .

Ovviamente

Teorema 1.34. Se la funzione continua f(z) ammette primitiva su e se una

curva chiusa, allora

f dz = 0 .

52


In generale, se non chiusa, lintegrale dipende dai soli estremi di .

DIMOSTRAZIONE

Basta notare cheZ

f dz =Z ba

f(z(t))z(t) dt =Z ba

F (z(t))z(t)dt

=

Z ba

ddt

F (z(t))dt = F (z(b)) F (z(a)) .

Se la curva chiusa si ha z(b) = z(a) e lintegrale nullo. In generale, si vede che

lintegrale dipende dai soli estremi della curva.

Vale anche il viceversa:

Teorema 1.35. Sia f(z) una funzione continua su . Se

f dz

nullo su tutte le curve chiuse in allora la funzione f(z) ammette una primitiva.

DIMOSTRAZIONE

Si fissi un punto z0 . Ogni z si connette a z0 mediante una poligonale (si ricordi

che un aperto connesso). Indichiamo con Pz una poligonale che connette z0 con

z e sia

F (z) =

ZPz

f dz .

La funzione F (z) univoca perch per ipotesi lintegrale non dipende dalla particolare

poligonale scelta per connettere z 0 con z, ma solo dai suoi estremi; e quindi solo da z,

dato che z0 si intende fissato.

Mostriamo che F (z) derivabile, con derivata f(z).

Per calcolare F (z + h) scegliamo una poligonale che congiunge z 0 con z e

estendiamola a z + h mediante il segmento

z + th , t [0, 1] .

53


Sia S tale segmento. Allora,

F (z + h) F (z)h

=1

h

ZS

f dz =1

h

Z 10

f(z + th)h dt =Z 10

f(z + th) dt .

Essendo f(z) continua, il limite dellultimo integrale per h 0

F (z) =

Z 10

f(z) dt = f(z) .

Osservazione 1.36. Si noti che il teorema precedente pu dimostrarsi anche

richiedendo che lintegrale di f(z) sia nullo sulle sole poligonali chiuse. E sufficiente

per questo che esso sia nullo quando un triangolo.

In particolare, dal teorema di Cauchy si vede che:

Teorema 1.37. Sia f(z) olomorfa su e sia una curva in la cui regione interna

contenuta in .

La funzione f(z) ammette primitiva in .

Naturalmente, se una primitiva esiste, ne esistono infinite. Vale per:

Teorema 1.38. Se F (z) e G(z) sono definite sulla medesima regione ed hanno

derivata uguale, la loro differenza costante su .

DIMOSTRAZIONE

Sia H(z) = F (z)G(z). Vale H (z) = 0 su .

Sia H(z) = U(z)+ iV (z). La condizione H (z) = 0 e lespressione 1.10 per la derivata

mostrano che

Ux = 0 , Vx = 0 .

Dalle condizioni di CauchyRiemann si trova anche che

Uy = 0 , Vy = 0

54


e quindi U e V ammettono ambedue le derivate parziali in ciascun punto di , e queste

sono nulle. E quindi le funzioni sono costanti.

Concludiamo con alcune osservazioni.

Osservazione 1.39. Sia f(z) olomorfa su una generica regione . Non vero che

f(z) debba ammettere primitive su , come mostra lesempio della funzione f(z) =

1/z. Sia = C {0}. Certamente f(z) ammette primitiva nella regione , se

non gira intorno allorigine. Ma, se gira intorno allorigine, la primitiva non esiste

perch lintegrale di f(z) su una circonferenza di centro lorigine non nullo, si veda

lEsempio 1.33.

Le condizioni del teorema 1.37 sono solamente sufficienti, come mostra il caso della

funzione

f(z) =1zn

, z C {0} ,

con n intero maggiore di 1 ed = C {0} (si veda ancora lEsempio 1.33). In

questo caso la primitiva esiste ed

F (z) =1

(1 n)zn1 .

Ricordiamo ora che la funzione Logz derivabile, con derivata uguale a 1/z. Si sa

che lintegrale di questultima funzione su una generica curva chiusa in C {0}

pu non essere nullo; ma ci non contraddice il teorema 1.37 perch la funzione Logz

non olomorfa su C {0}.

1.9.1 Curve equipotenziali

Sia F (z) una primitiva di f(z) e sia

F (x+ iy) = U(x, y) + iV (x, y) , f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) .

Supponiamo inoltre che f(z) non si annulli su .

55


Ricordiamo le formule

F (z) = Ux + iVx = iUy + Vy = u+ iv .

Uguagliando F (z) af f(z) si trova

U = (u,v) , V = (v, u) 1.21

ossia U e V sono i potenziali rispettivamente dei campi vettoriali

ui vj , vi + uj .

Consideriamo le curve equipotenziali 1 e 2 implicitamente definite da

U(x, y) = c , V (x, y) = d

(usando il teorema delle funzioni implicite si vede che queste equazioni definiscono

implicitamente due curve nellintorno dei punti (x, y) nei quali F (x + iy) = f(x +

iy) = 0).

Non necessariamente queste curve si intersecano. Supponiamo che esse si

intersechino per x = x0 ed y = y0.

Si sa che U(x0, y0) ortogonale alla 1 e che V (x0, y0) ortogonale alla 2.Usiamo 1.21 per calcolare il prodotto scalare di questi vettori:

U(x0, y0) V (x0, y0) = 0 ,

ossia, le curve equipotenziali rispettivamente del potenziale U e del potenziale V

sono mutuamente perpendicolari nei punti in cui si intersecano.

1.9.2 Il caso della funzione z z

Lesempio 1.33 mostra che la funzione f(z) = 1/z non ha primitiva su una regione

di Jordan che contiene 0, dove pero non definita. Questa funzione olomorfa e

quindi ammette primitiva, uguale a 1/z 2, in qualunque regione di Jordan che noncontiene 0.

E naturale chiedersi se una funzione ovunque definita e continua debba avere

primitiva. Lesempio che ora studiamo mostra che ci non accade.

56


La funzione che a z associa il suo coniugato z continua su C. Si gi visto, al

paragrafo 1.4., che non olomorfa. Mostriamo che essa non ammette primitiva.

Se fosse F (z) = z, allora F (x + iy) = U(x, y) + iV (x, y) ed F (x + iy) = f(x+

iy) = x iy.

Si ricordi che F (x + iy) = Ux(x, y) + iVx(x, y) e quindi

Ux(x, y) = x , Vx(x, y) = y .

Dunque, U(x, y) = (x2/2) + (y). Essendo Uy = Vx = y si trova che (y) =(y2/2). Dunque,

U(x, y) =x2 + y2

2.

Invece, da Vx(x, y) = y, si trova

V (x, y) = xy + (y)

e quindi

Vy(x, y) = x+ (y) = Ux(x, y) = +x .

Questultima uguaglianza impossibile, e quindi la primitiva F (x + iy) di f(z) = z

non esiste. Vedremo al paragrafo 1.13. che avremmo potuto dedurre ci dal fatto che

la derivata di una funzione olomorfa ancora una funzione olomorfa.

1.9.3 La funzione logaritmo e le potenze

Abbiamo gi definito i logaritmi dei numeri complessi non nulli e quindi le funzioni

logaritmo,

log z = log |z|+ iArg z + 2ki , 1.22

una funzione per ciascun valore dellintero k. Abbiamo notato che queste sono

funzioni olomorfe, con derivata 1/z, a parte che nei punti dellasse reale negativo.

Per abbiamo notato che lasse reale negativo entra in queste questioni solo a causa

della particolare scelta dellargomento principale; e quindi le funzioni logaritmo, cos

definite, hanno propriet che non sono indipendenti dal modo scelto per rappresentare

la funzione. Vediamo ora un modo diverso di introdurre la funzione logaritmo, che

57


15 10 5 0 5 1010

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

Fig. 1.7.

mostra che in realt non si incontrano problemi se si decide di lavorare in una regione

di Jordan qualsiasi, ma che non contiene lorigine. Si noti che tale regione pu

spiraleggiare intorno allorigine, come nella figura 1.7.

Consideriamo la funzione 1/z su . Questa funzione olomorfa su e quindi

dotata di primitiva per il teorema 1.37. Si noti che per questo si usa lipotesi che

una regione di Jordan che non contiene 0.

Si fissi un punto z0 e sia w0 uno dei suoi logaritmi,

w0 = log |z0|+ iArg z0 + 2k0i

per un certo numero intero k0. Sia Pz una poligonale che connette il punto z0 fissato

col generico punto z , senza uscire da .

Consideriamo la funzione

L(z) = w0 +Pz

1

d .

Questa una funzione olomorfa su che in z0 prende il valore w0 ed primitiva di

1/z; ossia, la derivata di L(z) 1/z e quindi la sua differenza dalla funzione 1.22

log |z|+ iArg z + 2k0i

58


15 10 5 0 5 1010

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

Fig. 1.8.

costante sulla regione in cui ambedue sono definite e derivabili. Se interseca

lasse reale negativo, ci non avviene su tutta , si veda la figura 1.8. Le due funzioni

coincidono sulla sola parte tratteggiata di . Esse certamente non coincidono sulla

parte rimanente, perch L(z) traversa lasse reale negativo con continuit.

Ricapitolando queste considerazioni, chiameremo la funzione L(z) una funzione

logaritmo su , e la chiameremo il logaritmo principale se stata costruita

scegliendo k0 = 0. Essa si indicher col simbolo log z oppure, nel caso del

logaritmo principale, col simbolo Log z.

Dato che elog |z|+iArg z+2k0i = z, lo stesso vale per L(z) nella parte tratteggiata di

. Vedremo che ci vale anche nella parte rimanente di , si veda il paragrafo 1.13.2

e lesempio 1.58. Dunque, quando un punto mobile z traversa lasse realenegativo, la funzione L(z) passa dalluna allaltra determinazione della funzione

log z.

Ponendo

za = eaLogz

si trova che le potenze za sono definite e sono funzioni olomorfe in ogni regione di

Jordan che non contiene lorigine. Se la regione contiene lasse reale positivo, allora

za prende valori reali su tale asse.

59


Sia ora una regione di Jordan e sia f(z) una funzione olomorfa su , che non si

annulla. Fissiamo un punto z0 e la poligonale Pz congiunga z0 col genericopunto z . Si definisce

Log f(z) =Pz

f ()f()

d

e questa funzione olomorfa su . Ci fatto, si definisce, per ogni C,

f(z) = eLog f(z) :

su si possono definire tutte le potenze di f(z), e queste vengono ad essere funzioni

olomorfe di z; ricordiamo, purch f(z) non si annulli si , e purch sia una

regione di Jordan.

1.10. INDICE E OMOTOPIA

Passiamo ora a considerare unaltra funzione importantissima nello studio delle

funzioni olomorfe. Questa funzione associa un numero intero alla coppia costituita

da una curva e da un punto z0 che non gli appartiene. Questo numero rappresenta,

intuitivamente, il numero dei giri che la curva fa intorno a z 0, considerati positivi se

la curva ruota in senso antiorario, negativi altrimenti.

Si veda lesempio 1.33 per un caso particolare.

Sia una regione di Jordan e sia z0 un suo punto. Sia una curva chiusa, semplice

o meno, il cui sostegno in e non passa per il punto z0. Definiamo

I(, z0) =12i

1z z0

dz ,

si vedano le considerazioni dellEsempio 1.33.

Dato che la curva non incontra z0, lintegrale ben definito ed una funzione di

classe C di z0, almeno finch z0 non incontra il sostegno di . Mostriamo che

questa funzione prende valori interi e quindi costante se z0 si muove su una

curva senza toccare .

60


Teorema 1.40. La funzione I(, z0) prende valori interi.

DIMOSTRAZIONE

Sia z(t), t [a, b] una parametrizzazione della curva . Ricordiamo che implicitamente

supponiamo sempre che le parametrizzazioni (continue su [a, b]) siano derivabili con

continuit, salvo un numero finito di punti. Si ha:

I(, z0) =1

2i

Z

1

z z0dz =

1

2i

Z ba

z(t)

z(t) z0dt .

Si ha

(t) =

Z ta

z(t)

z(t) z0dt , t [a, b] .

La funzione a valori complessi di variabile reale t continua e continuamente

derivabile, perch z(t) = z0 per ogni t. Inoltre,

(t) =z(t)

z(t) z0, (a) = 0 , (b) = I(, z0) .

Si ha

ddt

e(t)(z(t) z0) = e(t)(t)(z(t) z0) + z(t)

= 0 .

Dunque, la funzione e(t)(z(t) z0) costante. Uguagliando i valori assunti per a e

per b si trova

e(a)(z(a) z0) = (z(a) z0) = e(b)(z(b) z0) .

Ricordando che la curva chiusa, ossia che z(a) = z(b), e che z(a) z0 = 0 si trova

e(b) = 1, ossia si trova che esiste un intero k per cui

(b) = 2ki

e quindi I(, z0) = k, con k intero, come si voleva.

Questo prova che I(, z0) sempre un numero intero. Esso si chiama lindice della

curva rispetto al numero z0 che non le appartiene.

61


1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.51

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z0

Fig. 1.9.

Giustifichiamo ora linterpretazione intuitiva dellindice come numero dei giri della

curva intorno a z0. Ci si gi visto nel caso in cui sia una circonferenza percorsa

k volte. Se una curva percorsa k volte, per ladditivit dellintegrale, lindice k

volte lindice che si ottiene percorrendo la curva una sola volta. Sia quindi semplice.

Scegliamo una piccola circonferenza C di centro z0, contenuta in . Il teorema di

Cauchy ci dice che I(, z0) = I(C, z0) = 1 e ci mostra linterpretazione dellindice

come numero dei giri, nel caso di una curva percorsa pi volte.

Nel caso della curva in figura 1.9, che gira pi volte intorno a z0, senza ripercorrere

se stessa, si arriva alla medesima interpretazione spezzando la curva in tante curve

semplici e chiuse.

Se la curva semplice e se z0 nella regione esterna alla curva allora il suo indice

0. Invece, se z0 nella regione interna allora il suo indice +1 oppure 1. Pi in

generale, il complementare del sostegno di una curva unione di un numero finito

di regioni semplicemente connesse. Si gi notato che lindice rimane costante se z 0

varia senza incontrare . Dunque, I(, z0) costante in ciascuna delle regioni nelle

quali divide C, si veda la figura 1.9

62


Per finire, consideriamo il caso seguente, che ci interesser in seguito. Sia una curva

semplice e chiusa orientata positivamente, il cui sostegno appartiene alla regione

di Jordan su cui una funzione f(z) olomorfa. Si gi introdotta la curva f ,

immagine di mediante la funzione f(z): se ha parametrizzazione z = z(t),

t [a, b], allora f ha parametrizzazione f(z(t)), t [a, b].

La curva f chiusa perch lo , ma pu essere che non sia semplice.

Supponiamo che f(z) non si annulli su e consideriamo

12i

ba

f (z(t))z(t)f(z(t))

dt .

Questintegrale uguale ad ambedue gli integrali seguenti:

12i

f

fdz ,

12i

f

1w

dw

e lultimo integrale I(f , 0). Si ha quindi che

I(f , 0) =12i

f

fdz .

Segue un semplice metodo grafico per il calcolo di (1/2i)(f

/f) dz (quando f(z)

non si annulla sul sostegno di ) che alla base di molti metodi grafici dellingegneria:

si disegna la curva f e se ne conta il numero dei giri intorno allorigine.

Naturalmente, i metodi grafici sono sempre approssimati. E notevole il fatto che,

in questo caso, il metodo grafico d in realt valori esatti. Infatti, intuitivamente

evidente, e si giustificher in seguito, che il valore dellintegrale varia di poco

quando varia di poco, purch la deformazione applicata a non conduca f ad

incontrare 0, ossia non conduca ad incontrare uno zero di f(z). Dato che lindice

prende valori interi, esso rimane costante sotto lazione di piccole perturbazioni su ,

quali quelle che si incontrano nella rappresentazione numerica di e di f .

La giustificazione rigorosa di questo argomento conduce alla teoria dellomotopia.

Siano 1 e 2 due curve diverse. Non restrittivo assumere che il parametro vari nel

medesimo intervallo [a, b]. Diciamo che esse sono omotope se esiste una funzione

63


3 2 1 0 1 2 31

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Analisi Funzionale Politecnico Di Torino

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