Analisi e gestione del rischio

Lezione 10

Rischio di Credito:

Modelli Strutturali

Rischio di default: misure• Premio per il rischio di default

– Expected loss: la diminuzione di valore di un titolo che è determinata dal rischio di default

EL = DP X Lgd – Credit spread: la differenza tra il rendimento a

scadenza di un titolo con rischio di deafult e quello di un titolo privo di rischio con le stesse caratteristiche finanziarie

Credit spread = – ln(1 – EL)/maturity

Modelli del rischio di default • Modelli strutturali

– Il rischio è determinato a partire da un modello della struttura finanziaria e industriale dell’emittente dell’obbligazione (la sua linea di business ed il suo stato patrimoniale)

– Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria delle opzioni

• Modelli in forma ridotta (intensity based)– Il rischio è modellato sulla base di ipotesi statistiche sulle

probabilità di default ed il tasso di recupero

– Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria della struttura a termine

Modelli strutturali L’approccio di Merton

• Nel modello di Merton (1974), il paper che ha inaugurato il filone dei modelli strutturali, il valore dell’attivo del debitore determina congiuntamente – La probabilità di default– Il recovery rate nell’evento di default– Il valore del debito e del capitale dell’impresa

• Il valore dei titoli corporate è determinato sulla base della teoria delle opzioni

Min(B,V(T))= B – max(B – V(T),0)

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Debito

Risk Free

Default Put

Min(B,V(T))= V(T) – max(V(T)–B,0)

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Debito

Valore azienda

Equity

Il modello di Merton

• Il debito è un titolo zero-coupon-bond, cioè interesse e capitale sono pagati in un’unica soluzione alla maturità.

• Il rischio di default è descritto dal pay-offValore del debito alla maturità = min (B,V(T))

…e può essere scomposto alternativamente come min (B,V(T)) = B - max(B - V(T), 0), cioè

Debito = Risk-free - put(V,t; B,T) min (B,V(T)) = V(T) - max(V(T) - B, 0), cioèDebito = Valore dell’attivo - call(V,t; B,T)

Modigliani-Miller• Dalla relazione di parità tra opzioni put e call

abbiamoV = B - put(V,t; B,T) + call(V,t; B,T)V = valore dell’attivo (valore dell’impresa)Call(V,t; B, T) = Valore del capitale

• La caratteristica dell’opzione del capitale deriva da i) leverage ii) limited liability

• Put (V,t; B, T) = Premio per il rischio di default

Un modello binomiale

Tempo T Stato No default Default

Valore dell’impresa V(H) V(L) Valore del capitale V(H)-B 0 Valore del debito B V(L)

Opzione default put 0 B - V(L)

Credit spread

• Dalla valutazione di derivati con alberi binomiali Debito = P(t,T)[B – (1 – Q )(B – V(L))]

con Q = (V(t)/P(t,T) - V(L))/(V(H) - V(L))

…e in termini di rendimento a scadenza… Debito defaultable = B exp(–r*(t,T)(T - t))

Debito risk-free = P(t,T) = B exp(–r(t,T)(T - t))

…otteniamo il credit spread r*(t,T) – r(t,T) = – ln[1 – (1 – Q)(1 – V(L)/B]/(T- t)

Determinanti dei credit spread

• Il credit spread è non-negativo

r*(t,T) - r(t,T) = - ln[1- (1 - Q )(1- V(L)/B]/(T- t)

• Il credit spread tende a zero se – La probabilità di default tende a zero– La perdita va a zero (recovery rate uguale a 1)

• Il credit spread raggiunge il suo valore massimo quando il tasso di recupero va a zero

r*(t,T) - r(t,T) = - ln[ Q ]/(T- t)

4040

Un esempio: finanziamento di un progetto

Valore attivo Debito

120

Valore di mercato dell’equity = 30

Prezzo del titolo risk-free = 1

Valore nominale del debito = 80

Equity

4080

0

Soluzione

• Dal prezzo di mercato del capitale, cioè 30, possiamo calcolare la probabilità di sopravvivenza da 30 = Q 40 + (1 - Q) 0, cosicché Q = 0.75 e la probabilità di default aggiustata per il rischio è 0.25

• Il debito è valutato come Q 80 + (1 – Q) 40 = 70 • Dal teorema di Modigliani-Miller calcoliamo il

valore del progetto come: V = 70 + 30 = 100• N.B. Il valore del sottostante, cioè il progetto, è

determinato a partire dal valore del derivato, cioè il capitale dell’azienda.

Modello di Merton

• Merton sviluppa nel tempo continuo le stesse idee che abbiamo mostrato in un modello discreto. Il valore dell’azienda segue un processo geometrico browniano ed i valori di capitale e debito sono determinato utilizzando la formula di Black e Scholes. Le determinanti chiave dei credit spread sono

1) Il leverage: quasi-debt-to-firm-value-ratio

2) La volatilità del valore dell’attivo

Modello di Merton• Valore dell’impresa: processo geometrico browniano

dV = Vdt + VVdw(t) = (r+V)Vdt + VVdw(t)

• Valore del capitale: un’opzione call

tT

tTrBtVd

tT

tTrBtVd

dBNedNtVf

V

V

V

V

tTr

)2/(/ln

)2/(/ln

)(

2

2

2

1

21

Modello di Merton

• Il valore del debito:

…può essere scomposto come…

21

21)(

,

dBNedNtV

dBNedNtVtV

ftVTtF

tTr

tTr

Modello di Merton

…debito default-free meno una default put option

…e in termini moderni…

21

21

21

tV

tV

tV,

dBNedNBe

dBNedNBe

dBNedNTtF

tTrtTr

tTrtTr

tTr

Modello di Merton

…debito default-free per (1 – Dp x Lgd)

Dp = Default probabilityLgd = Loss given default = 1 – RRQuasi-debt to firm value (quasi-leverage)

d = Bexp(–r(T – t))/V(t)

11

tV11

tV,

2

12

21

RRDpBe

dN

dN

BedNBe

dBNedNTtF

tTr

tTrtTr

tTr

Copertura del rischio di credito

• Rischio di credito significa una posizione corta in un’opzione put, ed un’esposizione al rischio del progetto finanziato (delta = 1 – N(d1))

• Strategia 1: acquistare una default put/swap– Si tratta di un derivato di credito che consente di

acquistare “protezione” sull’esposizione al rischio di credito

• Strategia 2: vendere azioni dell’emittente– Poiché le azioni sono opzioni call rappresentano

un’esposizione positiva al rischio del progetto (delta = N(d1)) una posizione corta in titoli di capitale riduce l’esposizione netta al rischio del progetto finanziato

Modello KMV™

• Il modello KMV ricava le stime di V e V dai valori e dalla volatilità dei titoli azionari. Su questa base possiamo valutare la probabilità di default al tempo T

• Notiamo che è usato il drift oggettivo , per ricavare la stima della probabilità oggettiva

• Nel modello KMV la distribuzione empirica dei casi di default è utilizzata infine per tener conto della non-normalità della distribuzione

tT

tTBVNBV

V

V

2//ln

Pr2

Il modello di Merton e i dati:la maturità a 10 anni (USA)

Rating Leverage Volatility Predicted credit spread

Observed credit spread

% explained

Aaa 13.1% 27.8% 8.0 63 12.6% Aa 21.2% 23.4% 10.0 91 11.0% A 32.0% 19.7% 14.3 123 11.6%

Baa 43.3% 18.8% 32.0 194 16.5% Ba 53.5% 25.2% 137.9 299 46.1% B 65.7% 35.2% 363.3 408 89.0%

Source: Wang ang Wang (2000).

Covenants (Black e Cox, 1976)

• Una delle limitazioni del modello di Merton consiste nel fatto che il default avviene a scadenza. Nella realtà l’episodio di default può avvenire prima della scadenza, quando il valore dell’azienda raggiunge un livello inferiore minimo.

• Black & Cox (1976) estendono il modello di Merton per tener conto del fatto che il valore del debito può essere monitorato prima della scadenza attraverso l’osservazione di safety covenants: se il valore dell’azienda scende al di sotto di un certo livello, i creditori possono forzare la restituzione del debito.

• E’ evidente che in questo caso il valore del capitale è un’opzione call con barriera (down-and-out call).

0.0000

0.0010

0.0020

0.0030

0.0040

0.0050

0.0060

0.0070

0.0080

0.0090

0.0100

0 5 10 15 20 25 30 35Maturità

Cre

dit

Spre

ad

No-Covenant

Covenant

Debito senior e junior: l’approccio strutturale

Debito senior e junior: valutazione

• La valutazione è molto semplice• Valutiamo anzitutto il debito complessivo

Debito Complessivo = P(t,T)B – put(V,t;B,T)

• Valutiamo il debito senior,Debito senior = P(t,T)S – put(V,t;S,T)

• Valutiamo il debito junior per differenzaDebito junior = P(t,T)J – [put((V,t;B,T) – put(V,t;S,T)]

• N.B. Il rischio di credito del debito junior è rappresentato da uno spread put, che al limite approssima la probabilità risk-neutral di default