Universita degli Studi di Firenze

Facolta di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Fisica e Astrofisica

Aloni di Materia Oscuranelle Galassie Nane

Dark Matter Halos in Dwarf Galaxies

Candidato: Tommaso Favalli......................................

Relatore: Dott.ssa Edvige Corbelli............................

Correlatore: Prof. Alessandro Marconi......................

Anno Accademico 2011 - 2012

Ai miei genitorialle mie sorelle Marta e Maria

alle mie nonne Teresa e Gabriellaa Marco, Lorenzo, Bernardo, Matteo e Matilde

“Resto - appena sbucato all’aperto - sbalordito. Il carico gli cad-de dalle spalle. Sollevo un poco le braccia; aprı le mani nere inquella chiarita d’argento. Grande, placida, come in un frescoluminoso oceano di silenzio, gli stava di faccia la Luna.Sı, egli sapeva, sapeva che cos’era; ma come tante cose si sanno,a cui non si e dato mai importanza. E che poteva importare aCiaula, che in cielo ci fosse la Luna?Ora, ora soltanto, cosı sbucato, di notte, dal ventre della terra,egli la scopriva.Estatico, cadde a sedere sul suo carico, davanti alla buca. Ec-cola, eccola la, eccola la, la Luna... C’era la Luna! la Luna!E Ciaula si mise a piangere, senza saperlo, senza volerlo, dalgran conforto, dalla grande dolcezza che sentiva, nell’averla sco-perta, la, mentr’ella saliva pel cielo, la Luna, col suo ampio velodi luce, ignara dei monti, dei piani, delle valli che rischiarava,ignara di lui, che pure per lei non aveva piu paura, ne si sentivapiu stanco, nella notte ora piena del suo stupore.”

da Luigi Pirandello, Ciaula scopre la Luna

Indice

1 Introduzione 1

2 Dati 4

3 Kinemetry 83.1 Introduzione al metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 L’algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Coe�cienti e il loro significato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Curve di rotazione 134.1 Risultati della Kinemetry per le galassie

esaminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1.1 NGC 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1.2 Holmberg II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1.3 DDO 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Sommario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Modelli per la distribuzione di massa 195.1 Potenziale del disco barionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.1.1 Distribuzione di Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.1.2 Distribuzione di Stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Alone oscuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2.1 Modello di alone NFW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2.2 Modello di alone di Burkert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Risultati 26

7 Conclusioni 32Riferimenti Bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

i

Capitolo 1

Introduzione

Esistono numerose evidenze della presenza di materia oscura nel nostro universo: unadi queste proviene dallo studio delle curve di rotazione delle galassie a disco. In questegalassie, in buona approssimazione, le stelle e il gas presenti nel disco si muovono in orbitecircolari intorno al centro della galassia, ed e quindi possibile calcolare, attraverso le velocitaosservate, la quantita di massa presente entro il raggio di una determinata orbita. Perottenere una stima qualitativa di questa massa possiamo approssimare la distribuzione dimateria nella galassia ad una distribuzione sferica e ricavarci cosı la relazione

M(R) ' V 2(R)R

G

dove V (R) e la velocita di rotazione del disco al raggio R, G ' 6, 67 ⇥ 10�11Nm2Kg�2

e la costante di gravitazione universale, e dove M(R) e proprio la massa contenuta entrol’orbita di raggio R. Dalla relazione precedente si trova facilmente la curva di rotazionedella galassia:

V (R) 'r

GM(R)

R

ovvero la velocita di rotazione lungo un’orbita della galassia in funzione del raggio (semprenell’approssimazione di distribuzione sferica di materia). Se la distribuzione di massaseguisse la distribuzione di luce delle stelle e del gas ci aspetteremmo, oltre il raggio massimoR0 entro cui e confinata la maggior parte della materia barionica, una caduta della curvadi rotazione secondo la legge

V (R > R0) 'r

GM0

R

(con M0 = M(R0)) derivante dal fatto che oltre questo raggio la massa rimane costante,M ' M0. E possibile misurare le curve di rotazione delle galassie attraverso la misuradella velocita lungo la linea di vista nei vari punti del disco, che si ottiene sfruttando lospostamento Doppler delle righe di emissione o assorbimento di elementi chimici, fra cui

1

Figura 1.1: La figura mostra l’andamento delle curve di rotazione osservate per alcune galassiea disco. Si nota chiaramente come a grandi raggi le curve diventino piatte e non mostrino la caduta

“Kepleriana” con andamento ⇠ R� 12 .

la riga a 21 cm dell’idrogeno neutro (HI)1.Quello che si nota guardando le curve di rotazione osservate e che a grandi raggi lavelocita V (R) diventa costante. Dall’espressione ricavata precedentemente notiamo cheV (R) ' costante implica M ' R. Vediamo quindi che la massa racchiusa all’interno diun determinato raggio R cresce linearmente con il raggio stesso e siamo cosı costretti aipotizzare che esista una grande quantita di materia non luminosa situata in un alone che siestende ben oltre i confini della materia visibile, e che interagisce esclusivamente attraversola forza gravitazionale (vedi Figura 1.1).

Questa materia oscura e uno dei componenti fondamentali dell’universo secondo lacosmologia moderna. E stato infatti elaborato un modello che descrive le proprieta dell’u-niverso, il quale comprende una costante cosmologica ⇤, e un modello di materia oscurafatta di particelle massicce, non relativistiche, debolmente interagenti con i barioni (ColdDark Matter), e che risentono della attrazione gravitazionale. Questo modello e noto con ilnome di ⇤CDM . Le simulazioni ottenute con il paradigma ⇤CDM hanno molto successonel descrivere le strutture su larga scala nell’universo, mentre sono risultate meno accuratenel descrivere la distribuzione di materia oscura nelle parti interne delle galassie. I risultatidi queste simulazioni infatti mostrano che il profilo di densita di materia oscura dovrebbeessere indipendente dalla massa dell’alone, e dovrebbe avere un andamento caratteristiconelle parti interne che puo essere approssimato con una legge di potenza ⇢ ⇠ R↵, con↵ �1, descrivendo una cuspide a piccoli raggi. Tuttavia, alcune osservazioni sembranoindicare che la distribuzione di densita di massa degli aloni di materia oscura nelle partiinterne e meglio descritta da un nucleo di densita costante, delle dimensioni tipiche del

1Supponendo infatti di approssimare la galassia con un disco in moto circolare, possiamo legare lavelocita di un punto P del disco a distanza R dal centro osservata lungo la linea di vista, con la velocitadi rotazione del punto stesso solidale con il disco. La relazione sara descritta nel capitolo 3.

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kpc. La discrepanza tra questi due risultati e da tempo materia di dibattito, poiche la pre-senza di queste cuspidi nelle parti interne delle galassie e un risultato fondamentale dellesimulazioni cosmologiche. Un aspetto importante del dibattito riguarda la possibilita chenelle osservazioni siano presenti alcuni e↵etti sistematici, quali moti non circolari, scarsarisoluzione dei dati, non accuratezza nella determinazione della posizione del centro, chesarebbero in grado di nascondere la cuspide al centro delle galassie. Un’altra ipotesi re-cente e che, durante l’evoluzione galattica, interazioni mareali con galassie vicine o potentiventi dal centro delle galassie dovuti a esplosioni di supernovae possano aver modificato ladistribuzione di materia oscura.

In questa tesi abbiamo studiato la distribuzione di materia oscura in tre galassie nanea disco, NGC 2366, Ho II e DDO 154, usando le osservazioni della Survey THINGS (TheHI Nearby Galaxy Survey). La scelta di utilizzare galassie nane deriva dal fatto che questegalassie sono dominate dalla materia oscura e sono quindi oggetti ideali per studiare l’aloneoscuro, proprio sfruttando il fatto che la componente barionica fornisce un basso contributoalla materia totale. Inoltre queste galassie non presentano il bulge centrale, e questo rendepiu semplice osservare il contributo della materia oscura proprio al centro della galassia.Per prima cosa abbiamo ricavato le curve di rotazione di queste galassie, utilizzando unmetodo, chiamato Kinemetry, in grado di tenere conto della presenza di moti non circolari,che sara successivamente descritto. Abbiamo poi ricavato i profili della componente gassosae stellare per valutare i contributi barionici alla dinamica della galassia. Abbiamo infineutilizzato i risultati ottenuti per studiare la distribuzione della densita di massa dell’aloneoscuro. Per far questo abbiamo utilizzato il modello di alone Navarro-Frenk-White (dalnome dei tre autori che lo hanno proposto) derivato dalle simulazioni basate sul paradigma⇤CDM , e successivamente un modello di alone caratterizzato da un nucleo centrale didensita costante.

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Capitolo 2

Dati

Per le nostre analisi abbiamo utilizzato i dati di tre galassie nane della Survey THINGS1,ottenuta al Very Large Array (VLA) del National Radio Astronomy Observatory. THINGSe una Survey che ha raggiunto l’obbiettivo di ottenere osservazioni ad alta qualita delmezzo interstellare atomico di un campione di 34 galassie che copre un ampio intervallodi tipologie. Le galassie infatti sono state scelte in modo da coprire l’intero intervallo diproprieta fisiche, dalle galassie nane con piccola massa e povere di metalli fino alle massiccegalassie a spirale. I dati sono stati ottenuti osservando la riga di emissione dell’HI a 21cm,e dopo la riduzione sono costituiti da una matrice tridimensionale (“cubo di dati) in cuiil flusso di emissione della riga HI e funzione delle coordinate sul piano del cielo e dellavelocita lungo la linea di vista. Integrando il cubo lungo la velocita si ottiene l’immagine delflusso della riga HI in funzione delle coordinate spaziali sul piano del cielo. Analogamentesi possono ricavare, per ogni galassia, il campo di velocita e la mappa con la dispersione divelocita. Tutti i dati sono caratterizzati da un’alta risoluzione, sia spaziale (⇠ 6 arcsec)che spettrale ( 5, 2 kms�1).

Nome D Vsys P.A. i z0 Metal. MB

(Mpc) (kms�1) (�) (�) (kpc) (Zsun) (mag)(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

NGC 2366 3.4 104 39 62 0.34 0.10 -17.17

Holmberg II 3.4 156 175 53 0.28 0.17 -16.87

DDO 154 4.3 375 229 64 0.20 0.05 -14.23

Tabella 2.1: (1) Distanza della galassia come data da Oh et al. (2011). (2) Velocita sistemicadella galassia ricavata attraverso la Kinemetry nell’analisi che sara svolta nel Capitolo 4. (3) e (4)Valori medi rispettivamente del Position Angle e dell’inclinazione della galassia ricavati attraversola Kinemetry nell’analisi che sara svolta nel Capitolo 4. (5) Lunghezza scala verticale del discosecondo Oh et al. (2011). (6) Metallicita rispetto a quella solare. (7) Magnitudine assoluta comeda Walter et al. (2008).

1Per una descrizione dettagliata della Survey THINGS si veda Walter et al. (2008)

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Le galassie osservate in THINGS coprono un intervallo di distanze comprese tra 2 e15 Mpc: le tre galassie nane scelte in questo lavoro di tesi distano tutte D ⇠ 4 Mpc. Leproprieta fondamentali delle galassie che noi abbiamo studiato sono riportate nella Tabella2.1. Nelle figure che seguono2 sono riportate le mappe delle galassie del nostro campioneottenute dalla Survey.

Figura 2.1: NGC 2366. In alto a sinistra: Mappa integrata del flusso HI (momento 0). Il rangenella scala di grigi e 0�1020Jy km s�1. In alto a destra: Immagine ottica della galassia presa dallaDSS (Digitized Sky Survey). In basso a sinistra: Campo di velocita (momento 1). I contorni scuri(dove l’immagine e piu chiara) indicano gas in avvicinamento a causa della rotazione, i contornibianchi (dove l’immagine e piu scura) indicano gas in allontanamento a causa della rotazione. Lalinea nera piu scura indica la linea di iso-velocita dove il gas e in moto alla velocita di recessionedella galassia. In basso a destra: Mappa di dispersione di velocita (momento 2). I contorni diiso-velocita sono plottati a 5, 10, 20 km s�1.

2Le figure sono state prese da Walter et al. (2008).

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Figura 2.2: Ho II. In alto a sinistra: Mappa integrata del flusso HI (momento 0). Il range nellascala di grigi e 0 � 599Jy Km s�1. In alto a destra: Immagine ottica della galassia presa dallaDSS (Digitized Sky Survey). In basso a sinistra: Campo di velocita (momento 1). I contorni scuri(dove l’immagine e piu chiara) indicano gas in avvicinamento a causa della rotazione, i contornibianchi (dove l’immagine e piu scura) indicano gas in allontanamento a causa della rotazione. Lalinea nera piu scura indica la linea di iso-velocita dove il gas e in moto alla velocita di recessionedella galassia. In basso a destra: Mappa di dispersione di velocita (momento 2). I contorni diiso-velocita sono plottati a 5, 10, 20 km s�1.

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Figura 2.3: DDO 154. In alto a sinistra: Mappa integrata del flusso HI (momento 0). Il rangenella scala di grigi e 0�454Jy km s�1. In alto a destra: Immagine ottica della galassia presa dallaDSS (Digitized Sky Survey). In basso a sinistra: Campo di velocita (momento 1). I contorni scuri(dove l’immagine e piu chiara) indicano gas in avvicinamento a causa della rotazione, i contornibianchi (dove l’immagine e piu scura) indicano gas in allontanamento a causa della rotazione. Lalinea nera piu scura indica la linea di iso-velocita dove il gas e in moto alla velocita di recessionedella galassia. In basso a destra: Mappa di dispersione di velocita (momento 2). I contorni diiso-velocita sono plottati a 5, 10, 20 km s�1.

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Capitolo 3

Kinemetry

Il primo passo per poter studiare la distribuzione di materia oscura nelle galassie e ricavarele curve di rotazione dai campi di velocita. Questi forniscono una descrizione bidimensionaleaccurata della cinematica della galassia assegnando una velocita, lungo la linea di vista, adogni punto sul piano del cielo. Ci sono molti modi di ricavare il campo di velocita dal cubodi dati; noi abbiamo utilizzato il momento primo della LOSVD (Line-Of-Sight VelocityDistribution), che e la velocita media come riportata da THINGS. I campi di velocita perle galassie del nostro campione sono mostrati nelle figure al Capitolo 2 (Figure 2.1, 2.2 e2.3).Per l’analisi delle mappe di velocita delle galassie a disco e stato sviluppato un metodoche divide la galassia in una successione di anelli concentrici con orientazione variabile,assumendo che il gas che emette la radiazione sia confinato in un disco (il metodo e chiamatotilted-ring method). Il metodo che noi useremo e un metodo piu generale che non necessitadi alcuna assunzione riguardo la geometria della distribuzione di gas dell’oggetto osservato.Questo metodo si chiama Kinemetry1 ed e una generalizzazione dell’analisi fotometricausualmente fatta per le galassie. Nelle sezioni che seguono sara descritto il metodo piu neldettaglio.

3.1 Introduzione al metodo

Le informazioni che possiamo ottenere dalle osservazioni di un oggetto nel nostro universosono contenute nella brillanza superficiale, e nella LOSVD. Per vedere come queste duequantita siano momenti diversi della stessa distribuzione basta notare che, data la funzionedi distribuzione f = f(x,v, t) che descrive la dinamica di un sistema stellare, la brillanzasuperficiale e la LOSVD si possono esprimere rispettivamente come:

µ(x, y) =

Z

LOS

dz

ZZZf(x,v) dv (3.1)

1Per una descrizione approfondita del metodo si veda D. Krajnovic et al. (2005).

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e

L(v; x, y) =

Z

LOS

dz

ZZf(x,v) dvxdvy (3.2)

doveRLOS indica l’integrale lungo la linea di vista e dove (x, y, z) sono le tre coordinate

spaziali, orientate in modo che la LOS (Line-Of-Sight) coincida con l’asse z. Si nota facil-mente che la brillanza superficiale µ coincide con il momento 0 (hv0i) della distribuzione, eche i momenti primo e secondo (hv1i e hv2i) della distribuzione coincidono rispettivamentecon la velocita e con la dispersione di velocita. Per ricavarci le curve di rotazione siamointeressati al campo di velocita, e quindi al momento primo della distribuzione. Nell’ap-prossimazione in cui il gas di cui osserviamo l’emissione sia confinato in un disco sottile, lavelocita e approssimata con su�ciente precisione da un moto circolare. A causa dell’incli-nazione del disco, un’orbita circolare nel piano della galassia sara proiettata in un ellissesul piano del cielo. Il profilo di velocita estratto lungo questo ellisse potra essere espressoattraverso la semplice legge

V (R,�) = Vsys + VC(R) sin i cos� (3.3)

dove R e il raggio dell’orbita circolare, Vsys e la velocita sistemica di recessione dellagalassia, VC(R) la velocita circolare del disco al raggio R, i e l’angolo compreso tra la lineadi vista e la normale al disco (l’angolo di inclinazione del disco) e � e l’angolo azimutale(sul piano della galassia) misurato dall’asse maggiore del disco proiettato (Figura 3.1).L’ellitticita delle orbite sul piano del cielo e legata all’inclinazione del disco attraverso larelazione: ✏ = 1 � q, dove q = cos(i). Assumendo che i profili di velocita estratti dallemappe di velocita possano essere descritti dall’equazione 3.3, il primo passo nell’analisidelle mappe e quello di individuare quegli ellissi lungo i quali la velocita e meglio descrittadall’equazione 3.3. Il passo successivo sara quello di compiere un’espansione armonica delprofilo di velocita lungo l’ellisse.

E importante accennare brevemente alle simmetrie presenti nei momenti della distribu-zione, poiche le conseguenze di queste simmetrie ci saranno utili in seguito. Ad ogni ordinedella distribuzione infatti le mappe dei momenti pari sono caratterizzate da precise simme-trie, diverse da quelle presenti nelle mappe dei momenti dispari. In particolare le mappedei momenti pari sono simmetriche rispetto ad un punto, mentre le mappe dei momentidispari sono anti-simmetriche rispetto al medesimo punto. Inoltre se il sistema osservatopresenta una simmetria rispetto ad un asse, le mappe dei momenti pari sono simmetricherispetto all’asse, mentre quelle dei momenti dispari sono anti-simmetriche rispetto al me-desimo asse. La conseguenza interessante e che l’esistenza di queste simmetrie puo essereusata per semplificare l’analisi armonica delle mappe. Si nota cosı che negli sviluppi inserie lungo gli ellissi estratti da mappe con simmetria rispetto ad un punto compaiono solotermini pari, mentre nell’analisi delle mappe asimmetriche rispetto ad un punto compaionosolo termini dispari2.

2Per una discussione approfondita sull’influenza della parita dei momenti sui termini dell’espansionearmonica si veda D. Krajnovic et al. (2005).

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Figura 3.1: In questa figura e mostrato l’angolo esistente tra la linea di vista dell’osservatore e

la normale al piano della galassia. E ra�gurato inoltre l’angolo � e il vettore V (R).

3.2 L’algoritmo

Il metodo piu immediato per operare uno sviluppo in serie di un fenomeno periodico eusare lo sviluppo in serie di Fourier. Una mappa di velocita V (a,�) potra quindi esseredivisa in una sequenza di anelli ellittici, lungo i quali i profili di velocita potranno esseredescritti con un numero finito di termini armonici3:

K(a,�) = S0(a) +NX

n=1

Sn(a)sin(n�) + Cn(a)cos(n�) (3.4)

dove a e la lunghezza dell’asse maggiore dell’anello ellittico e �, nell’approssimazione dellagalassia ad un disco sottile, corrisponde all’angolo azimutale dell’equazione 3.3.I parametri che caratterizzano un ellisse sulla mappa, fissato a, sono la posizione del centro,il PA (Position Angle) e l’ellitticita. Il PA descrive l’orientazione della mappa, rappresentacioe la posizione dell’asse maggiore dell’ellisse sul piano del cielo rispetto al nord, misuratoin senso antiorario. Nel caso del campo di velocita il PA indica, sulla mappa, la posizionedel massimo (o minimo) della velocita. Il parametro q invece descrive lo “schiacciamento”degli ellissi ed e legato, come precedentemente sottolineato, all’inclinazione del disco galat-tico attraverso la relazione q = cos(i). Trattando campi di velocita e utile notare che q puoessere anche collegato con l’angolo di apertura tra i contorni di iso-velocita sulla mappa.Nel caso dei momenti pari della distribuzione, i parametri che individuano il “best-fittingellipse4” sono ottenuti minimizzando i coe�cienti S1,C1,S2 e C2 nell’espansione armonica.

3Si e usato K al posto di V per dare un’espressione piu generale; l’analisi armonica puo infatti esserefatta su un qualsiasi momento della distribuzione.

4Viene usato questo termine per identificare l’ellisse lungo il quale la velocita e meglio descrittadall’equazione 3.3.

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Nel caso, per esempio, dell’analisi della brillanza superficiale, vengono individuati quegliellissi per i quali si ottiene un buon fit con l’equazione:

µ(a,�) = S0(a). (3.5)

Nel caso di momenti dispari della LOSVD, come il campo di velocita, i parametri degli el-lissi vengono determinati richiedendo che il profilo di velocita sia descritto piu precisamentepossibile dall’equazione 3.3. Nell’analisi presentata da Krajnovic viene studiato nel detta-glio come i termini dello sviluppo incidono nella determinazione dei parametri dell’ellisse,e si trova che:

• un errore nella determinazione del centro cinematico produce termini S0, S2 e C2

diversi da zero,

• un errore nella stima dell’inclinazione produce un coe�ciente C3 diverso da zero,

• un errore nella stima del PA produce termini S1, S3 e C3 diversi da zero.

Tralasciando quindi il termine costante legato alla velocita di recessione della galassia, siscelgono quegli ellissi per i quali si ottiene un buon fit con l’equazione:

V (a,�) = C1(a)cos(�). (3.6)

E importante notare che per determinare il best-fitting ellipse sono necessari i termini dellosviluppo fino al terzo ordine. Nell’analisi del campo di velocita quindi l’equazione 3.4, perun determinato a, si riduce a:

K(�) = S0+S1sin(�)+C1cos(�)+S2sin(2�)+C2cos(2�)+S3sin(3�)+C3cos(3�) (3.7)

e i parametri del best-fitting ellipse sono ottenuti minimizzando

⇠2 = S21 + S2

2 + C22 + S2

3 + C23 . (3.8)

Per far questo viene creata una griglia contenente i valori di PA e q, e per ogni combinazio-ne di questi viene estratto un profilo cinematico: viene quindi eseguito un fit con il qualesono determinati i coe�cienti dello sviluppo di Fourier. A questo punto viene scelta lacombinazione di PA e q per i quali ⇠2 risulta minore. Non appena ottenuti i parametri del-l’ellisse, si estrae dal campo di velocita il profilo cinematico, il quale viene immediatamenteespanso in serie mediante l’equazione 3.4. A questo punto i coe�cienti dello sviluppo (Sn

e Cn) sono ricavati facendo un nuovo fit con il metodo dei minimi quadrati.Nell’analisi svolta in questo lavoro di tesi, per ricavare i coe�cienti dello sviluppo, e

quindi le curve di rotazione delle galassie del campione nella modalita sopra descritta, si eutilizzato il programma Kinemetry scritto da D. Krajnovic.

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3.3 Coe�cienti e il loro significato

Ottenuti i valori dei coe�cienti dello sviluppo, e interessante andare a scoprire piu neldettaglio il loro significato fisico, cioe le informazioni che essi ci danno sulla cinematica delgas all’interno del disco galattico.

Il termine S0, costante, rappresenta la velocita di recessione della galassia per ogniraggio a (nel caso di momento pari il significato di S0 e diverso: esso rappresenta il terminedominante che descrive l’ampiezza del momento). I termini del primo ordine (S1 e C1)sono legati al moto del gas sul piano della galassia. Confrontando lo sviluppo 3.4 conl’espressione 3.3, si vede facilmente che il termine C1 corrisponde, a meno di sin(i), con Vc,ovvero con la velocita di rotazione della galassia ad ogni raggio a fissato. Si puo nello stessomodo dimostrare che il coe�ciente S1 corrisponde invece a moti del gas radiali, sempre nelpiano della galassia5. I termini del secondo ordine (S2 e C2) sono sensibili soprattutto allaposizione del centro degli ellissi: in particolare piu questi termini si discostano da zero, piuil centro geometrico dell’ellisse di↵erisce da centro cinematico. I termini del terzo ordine(S3 e C3), come precedentemente accennato, sono particolarmente sensibili ai parametridell’ellisse, quali il PA e l’ellitticita. Nell’analisi del campo di velocita sono inoltre moltoimportanti i termini del quinto ordine (S5 e C5), i quali sono i primi termini non sensibiliai parametri dell’ellisse. Essi infatti ci danno un’indicazione circa le deviazioni dal motocircolare e sono quindi in grado di rivelare la presenza di componenti cinematiche separate.In generale si puo far vedere che la presenza di coe�cienti di un certo ordine nella LOSVDe legata a delle distorsioni nel potenziale gravitazionale galattico. Queste perturbazioninel potenziale possono essere sviluppate in serie, e si dimostra che una perturbazione diordine n induce variazioni nei coe�cienti armonici (n� 1) e (n+ 1) dello sviluppo in seriedel campo di velocita6.

5Per una dimostrazione rigorosa si veda Wong, Blitz and Bosma (2003).6Per una dimostrazione rigorosa si veda R. H. M. Schoenmakers, M. Franx and P. T. de Zeeuw (1997).

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Capitolo 4

Curve di rotazione

In questo capitolo sono mostrati e discussi i risultati ottenuti applicando la Kinemetry allegalassie del nostro campione. Per ogni galassia sono stati ricavati i termini dello sviluppodi ordine dispari fino al quinto ordine, allo scopo di individuare la presenza di moti noncircolari. I raggi ai quali sono stati determinati gli ellissi sono stati fissati a intervallidi 20 arcsec sulla mappa e per ogni ellisse sono riportati anche il Position Angle PA elo schiacciamento q. I nostri risultati sono inoltre confrontatati con quelli pubblicati inletteratura: in particolare con quelli presentati in Oh et al. (2011) e Walter et al. (2008).Alcune grandezze, quali Vsys ed i valori medi di PA e i, sono elencati, per ogni galassia,nella Tabella 2.1.E importante sottolineare che nella nostra analisi la posizione del centro e stata fissata, ede stata considerata come conosciuta correttamente. La simmetria presente nelle mappe dimomento dispari della distribuzione implica infatti che, in assenza di errori di misurazione,non siano presenti termini di ordine pari dello sviluppo 3.4. I coe�cienti S2 e C2 sono gliunici di ordine pari sensibili nella determinazione del best-fitting ellipse. Considerare ilcentro come conosciuto correttamente ci permette quindi di semplificare le espressioni 3.7e 3.8, e di non considerare cosı i termini del secondo ordine nel momento in cui dobbiamominimizzare ⇠2.Gli errori sui parametri ottenuti nell’analisi sono stati ricavati a partire dagli errori dimisura dei dati utilizzati. Sia per i parametri dell’ellisse che per tutti i termini armonici,determinati attraverso un fit eseguito con il metodo del minimo del �2, gli errori sono statistimati nel modo standard a partire dalla matrice di covarianza. Le incertezze ottenutesono mostrate per ogni galassia attraverso le barre di errore nelle figure in cui sono mostratii risultati dell’analisi.

In seguito sono mostrati i risultati ottenuti per ogni singola galassia.

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4.1 Risultati della Kinemetry per le galassieesaminate

4.1.1 NGC 2366

Nell’immagine del campo di velocita riportato in Figura 2.1, si nota che i contorni di iso-velocita subiscono delle distorsioni soprattutto nelle regioni esterne della galassia (> 5 kpc),il che ci suggerisce che proprio in queste regioni siano presenti moti non circolari. InFigura 4.2 sono riportati tutti i termini dello sviluppo in serie di Fourier operato con laKinemetry. L’analisi armonica da noi e↵ettuata conferma quanto atteso osservando lamappa di velocita: si nota infatti che i coe�cienti di terzo e quinto ordine, maggiormentesensibili alla presenza di moti non circolari, si discostano sensibilmente da zero proprio nelleparti esterne della galassia. In particolare il termine C5 raggiunge ampiezze di ⇠ 8 kms�1.Abbiamo confrontato questi risultati con quelli riportati in Oh et al. (2011). Si nota che lacurva di rotazione assume valori di poco inferiori a quelli pubblicati: la ragione va cercatanel fatto che nell’articolo sopra citato e stato utilizzato diverso metodo per l’ottenimentodel campo di velocita, con l’obbiettivo specifico di individuare e non considerare i moti noncircolari. L’inclinazione e la velocita di recessione della galassia sono invece confrontabilinei limiti dell’errore. Il valore che si discosta maggiormente e il PA, che dalla nostra analisirisulta essere di qualche grado maggiore.

4.1.2 Holmberg II

I risultati ottenuti per questa galassia sono quelli che maggiormente si discostano da quellipubblicati in Oh et al. (2011). E da sottolineare il fatto che i valori di dispersione divelocita nei dati utilizzati sono piuttosto grandi se comparati con la velocita di rotazione.Quest’ultima dalla nostra analisi risulta essere di ' 5 kms�1 piu bassa di quella pubblicata,per raggi > 2 kpc. La velocita di recessione e l’inclinazione media sono confrontabili entrogli errori, escludendo le zone piu interne. Anche il PA si discosta fortemente per raggi< 4 kpc; risulta essere invece in accordo a grandi raggi.

4.1.3 DDO 154

Questa galassia e una galassia nana ricca di gas, e per questa ragione la sua curva di ro-tazione e stata studiata approfonditamente. E stata inoltre una delle prime galassie la cuianalisi cinematica e stata utilizzata per mostrare i problemi delle simulazioni ⇤CDM nelpredire la distribuzione di materia oscura al centro delle galassie. Non ci sono grosse evi-denze della presenza di moti non circolari: dai risultati mostrati in Figura 4.6 si vede infattiche il valore dei coe�cienti armonici a tutti i raggi rimane 1.5 kms�1. Confrontando irisultati ottenuti con quelli pubblicati in Oh et al. (2011) si nota che la curva di rotazione,la velocita sistemica e l’inclinazione media della galassia sono in ottimo accordo, entro glierrori. Si riscontrano delle di↵erenze notevoli per quanto riguarda il PA, limitatamentealle zone piu interne (< 2 kpc).

14

4.2 Sommario

Riassumendo, abbiamo trovato in generale risultati in buon accordo con quelli pubblicatiin Oh et al. (2011) riguardo alle galassie del nostro campione. Le principali di↵erenzeriscontrate possono essere cosı sintetizzate:

• Le ampiezze delle curve di rotazione sono risultate essere in generale leggermente piubasse di quelle pubblicate, e abbiamo individuato la ragione nel fatto che in Oh etal. (2011) e stato utilizzato un diverso metodo per ottenere il campo di velocita. Ilmetodo da loro utilizzato rimuove i moti non circolari dalla mappa prima di estrarrela curva di rotazione.

• I risultati per la galassia Ho II si discostano spesso in modo significativo da quel-li pubblicati, probabilmente a causa della complessita della galassia i cui moti sidiscostano spesso significativamente dal moto circolare.

• Dalle figure si nota chiaramente una grande incertezza del metodo nel determinarePA e q a piccoli raggi (< 1 kpc). La ragione risiede nella di�colta della Kinemetrynell’identificare i best-fitting ellipse a piccoli raggi nelle mappe di velocita che ab-biamo utilizzato. Abbiamo avuto la necessita di ridurre la risoluzione spaziale dellemappe al fine di velocizzare l’analisi numerica da parte del programma.

15

NGC 2366: Curve di rotazione e analisi armonica

Figura 4.1: NGC 2366: In alto: Curva di rotazione (a sinistra) e velocita di recessione (adestra) della galassia. In basso: Position Angle (a sinistra) e schiacciamento q (a destra) dellagalassia.

Figura 4.2: NGC 2366: Sono mostrati tutti i termini dispari dello sviluppo utilizzato perl’analisi armonica del moto della galassia. In alto, i termini C1, C3 e C5, sono quelli che molti-plicano rispettivamente cos(�), cos(3�) e cos(5�). In basso, i termini S1, S3 e S5, sono quelli chemoltiplicano rispettivamente sin(�), sin(3�) e sin(5�).

16

Ho II: Curve di rotazione e analisi armonica

Figura 4.3: Ho II: In alto: Curva di rotazione (a sinistra) e velocita di recessione (a destra)della galassia. In basso: Position Angle (a sinistra) e schiacciamento q (a destra) della galassia.

Figura 4.4: Ho II: Sono mostrati tutti i termini dispari dello sviluppo utilizzato per l’analisiarmonica del moto della galassia. In alto, i termini C1, C3 e C5, sono quelli che moltiplicano rispet-tivamente cos(�), cos(3�) e cos(5�). In basso, i termini S1, S3 e S5, sono quelli che moltiplicanorispettivamente sin(�), sin(3�) e sin(5�).

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DDO 154: Curve di rotazione e analisi armonica

Figura 4.5: DDO 154: In alto: Curva di rotazione (a sinistra) e velocita di recessione (a destra)della galassia. In basso: Position Angle (a sinistra) e schiacciamento q (a destra) della galassia.

Figura 4.6: DDO 154: Sono mostrati tutti i termini dispari dello sviluppo utilizzato perl’analisi armonica del moto della galassia. In alto, i termini C1, C3 e C5, sono quelli che molti-plicano rispettivamente cos(�), cos(3�) e cos(5�). In basso, i termini S1, S3 e S5, sono quelli chemoltiplicano rispettivamente sin(�), sin(3�) e sin(5�).

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Capitolo 5

Modelli per la distribuzione di massa

Possiamo adesso usare le curve di rotazione ottenute, insieme alle informazioni che ab-biamo riguardo ai profili radiali di gas e stelle all’interno della galassia, per studiare ladistribuzione di materia oscura. La curva di rotazione descrive la dinamica di tutta la ma-teria contenuta in una galassia. Per determinare la componente dovuta all’alone oscuro,e necessario individuare e sottrarre il contributo dei barioni. Per far questo dobbiamo,per prima cosa, derivare le distribuzioni radiali di gas e stelle, e calcolare il contributo cheportano.La velocita di rotazione osservata (Vobs) puo essere cosı separata:

V 2obs = V 2

gas + V 2star + V 2

halo (5.1)

dove Vgas e il contributo alla curva di rotazione dovuto alla componente gassosa, Vstar ilcontributo della componente stellare e Vhalo e la curva di rotazione dovuta all’alone.Un importante parametro nella determinazione della distribuzione di massa stellare e ilrapporto M/L (dove M e L indicano rispettivamente massa e luminosita delle stelle nellagalassia), indicato con la lettera ⌥⇤, che e generalmente introdotto nel momento in cuisi e in grado di misurare esclusivamente la distribuzione di luce delle stelle nella galassia.Fissando il suo valore viene introdotta una grande incertezza nella procedura. L’importanzadi ⌥⇤ sara discussa piu approfonditamente in seguito.E importante considerare infine che le galassie del nostro campione non presentano il bulgecentrale: per questo e stato omesso il suo contributo nell’equazione 5.1.

Vediamo adesso nel dettaglio il contributo delle singole componenti.

5.1 Potenziale del disco barionico

I profili di brillanza superficiale dei dischi stellari galattici sono approssimativamenteesponenziali e possono quindi essere descritti mediante la relazione:

I(R) = I0e� R

R

d (5.2)

19

dove I(R) e proprio la brillanza superficiale in funzione del raggio R, e Rd e il raggio scaladella distribuzione. Dal profilo di brillanza si puo risalire alla densita superficiale di massa,ed ottenere la relazione:

⌃(R) = ⌃0e� R

R

d (5.3)

dove ⌃(R) rappresenta la densita superficiale di massa. Noi approssimeremo anche ladistribuzione di gas con un profilo esponenziale. E evidente quindi che, nel calcolare lecurve di rotazione per stelle e gas, non possiamo utilizzare la relazione V (R)2 = GM(R)

Rvalida esclusivamente per una distribuzione sferica di materia, ma che dobbiamo invecetenere di conto che la distribuzione di gas e stelle e confinata in un disco. E possibilecalcolare il potenziale che genera un disco galattico sottile quando la sua densita superficialedi massa segue la 5.3, e successivamente ricavarsi l’espressione per la velocita circolare deldisco stesso1. Introducendo y = 2R

Rd

, quello che si ottiene e:

�(y) = �2⇡⌃0GRdy[I0(y)K1(y)� I1(y)K0(y)] (5.4)

da cui

v2rot(y) = yd�

dy= 4⇡⌃0GRdy

2[I0(y)K0(y)� I1(y)K1(y)] (5.5)

dove In e Kn sono le funzioni di Bessel modificate definite come:

In(y) = i�n1X

k=0

(�1)k

k!(n+ k)!(1

2iy)n+2k (5.6)

e

Kn(y) =⇡

2

I�n(y)� In(y)

sin(n⇡). (5.7)

5.1.1 Distribuzione di Gas

I profili di densita superficiale per l’idrogeno neutro in unita di M�pc�2 sono stati ricavati

applicando la Kinemetry alle mappe di brillanza superficiale della Survey (vedi Figure 2.1,2.2 e 2.3) e cambiando opportunamente le unita di misura. Nella conversione abbiamotenuto di conto della frazione di He e di metalli presenti nella galassia moltiplicando ladistribuzione per il valore 1.4. Attraverso le distribuzioni ottenute e stato possibile ricavareil contributo del gas alle curve di rotazione: abbiamo fatto il fit del profilo del gas con unafunzione esponenziale, ed abbiamo utilizzato la 5.5 per calcolare la velocita.Le densita superficiali del gas, e le curve di rotazione ottenute sono mostrate in seguitonella Figura 5.1. I valori dei parametri riguardanti la distribuzione di gas nelle galassiesono mostrati in Tabella 5.1.

1Per la dimostrazione si veda J. Binney and S. Tremaine, Galactic Dynamics (2008) pp. 96-103.

20

Figura 5.1: In alto, a partire da sinistra, i profili di densita superficiale di massa del gasdelle galassie NGC 2366, Ho II e DDO 154. I punti sono stati ricavati applicando la Kinemetryalle mappe di brillanza superficiale delle galassie considerando gli stessi raggi ai quali sono statiestratti i profili di velocita nell’analisi cinematica descritta al capitolo precedente. Le righe rosserappresentano le funzioni esponenziali usate per fare il fit del profilo del gas. In basso, a partireda sinistra, le curve di rotazione della componente gassosa delle galassie NGC 2366, Ho II e DDO154.

5.1.2 Distribuzione di Stelle

Una delle incertezze piu grandi nel derivare la densita superficiale di massa delle stelleriguarda la conversione dalla luminosita stellare osservata alla massa stellare (attraversoM/L = ⌥⇤). Il valore di ⌥⇤ non e infatti rigidamente definito, ma puo assumere un deter-minato range di valori. Questa e la ragione per la quale sono spesso usati modelli di massanei quali si forza il rapporto M/L ad assumere valori estremi. Nel modello di “maximumdisk” si massimizza il contributo della materia barionica prendendo il massimo valore di⌥⇤ permesso dalla curva di rotazione totale. Nel modello di “minimum disk” si minimizzainvece il contributo stellare ponendo ⌥⇤ = 0. A queste due assunzioni estreme del valoredi ⌥⇤ corrispondono due modelli di alone oscuro dove e, rispettivamente, minimizzato omassimizzato il contributo della materia oscura. Sebbene non siano sempre fisicamenteplausibili, questi modelli permettono di calcolare il limite inferiore e superiore alla quan-tita di materia oscura. L’intervallo tipico per il rapporto M/L dei dischi delle nane perosservazioni in banda K e ⌥K

⇤ = 0.5± 0.2.Nella nostra analisi i raggi scala per i profili di densita superficiale e la massa delle stellenon sono stati ricavati, ma sono stati presi da Leroy et al. (2008) e Oh et al. (2008). Neldeterminare i valori delle masse per le varie galassie e stato usato ⌥k

⇤ = 0.5 per DDO154 eHoII, e ⌥k

⇤ = 0.41 per la galassia NGC 23662.Le distribuzioni di densita superficiale e le curve di rotazione ottenute considerando il solo

2Per approfondimenti si veda Leroy et al. (2008) e Oh et al. (2008).

21

contributo stellare sono mostrate nella Figura 5.2. I valori delle masse e dei raggi scala perle stelle sono elencati in Tabella 5.1.

Figura 5.2: In alto, a partire da sinistra, i profili di densita superficiale di massa delle stelledelle galassie NGC 2366, Ho II e DDO 154. In basso, a partire da sinistra, le curve di rotazionedella sola componente stellare delle galassie NGC 2366, Ho II e DDO 154.

Nome M⇤ ⌥k⇤ r⇤ Mgas rgas

(M�) (M�/L�) (kpc) (M�) (kpc)(1) (2) (3) (4) (5)

NGC 2366 2.57⇥ 108 0.41 1.7 9.72⇥ 108 2.62

Holmberg II 1.99⇥ 108 0.5 1.2 9.45⇥ 108 3.66

DDO 154 1.26⇥ 107 0.5 0.8 4.60⇥ 108 2.64

Tabella 5.1: (1) Massa delle stelle come data da Leroy et al. (2008) per DDO 154 e HoII,e come data da Oh et al. (2008) per NGC 2366. (2) Valore medio del rapporto M/L in bandaK. (3) Raggio scala della distribuzione di densita superficiale di massa per le stelle. (4) Massadel gas ricavata attraverso l’analisi sulle mappe HI. (5) Raggio scala della distribuzione di densitasuperficiale di massa per il gas.

5.2 Alone oscuro

Le proprieta della materia oscura sono solitamente studiate usando dei modelli di alone.Sottraendo, dalle curve di rotazione che abbiamo derivato, il contributo di gas e stelle,otteniamo il contributo alla rotazione della galassia che assumiamo dovuto all’alone oscuro.Sono descritti di seguito i due modelli di distribuzione di materia oscura utilizzati nella

22

nostra analisi. I primo modello e l’alone di Navarro-Frenk-White (NFW), che e statoderivato dalle simulazioni basate sul paradigma ⇤CDM, ed e caratterizzato da una cuspidenella distribuzione di densita al centro della galassia. Il secondo modello che sara discussoe il modello di alone studiato e proposto da A. Burkert3 costituito da un nucleo di densitacostante al centro dell’alone sferico di materia oscura.

5.2.1 Modello di alone NFW

Il profilo di densita NFW ha la forma:

⇢NFW (R) =⇢i

( RR

s

)(1 + RR

s

)2(5.8)

dove ⇢i e la densita iniziale dell’universo al momento del collasso dell’alone e Rs il raggiocaratteristico dell’alone stesso. Rs e definito come il raggio al quale la pendenza di log(⇢)in funzione di log(R) e uguale a �2. Definendo il raggio viriale R� come il raggio entrocui la densita media dell’alone e � volte la densita media dell’universo ad una determinataepoca, si puo scrivere:

Rs =R�

c(5.9)

dove c e la concentrazione. Nelle nostre analisi abbiamo considerato, a z = 04, �=360 comesuggerito dalle piu recenti simulazioni numeriche. Tutti i valori dei parametri cosmologiciutilizzati per la nostra analisi sono stati presi dalla Bolshoi simulation5.

Notiamo infine che la densita ⇢i puo essere legata alla densita critica dell’universo

⇢cr =38H2

0⇡G (con H0 costante di Hubble a z = 0), attraverso la relazione:

⇢i '�

3

c3

ln(1 + c)� c/(1 + c)⇢cr. (5.10)

Il profilo di densita NFW da luogo ad una curva di rotazione dell’alone data da:

VNFW (R) = V�

s1

x

ln(1 + cx)� cx/(1 + cx)

ln(1 + c)� c/(1 + c)(5.11)

dove x = R/R� e V� e la velocita al raggio R�. Per un dato z, la concentrazione c, ilraggio viriale R� e la velocita V� possono essere espressi in funzione di M� (ovvero lamassa dell’alone contenuta nel raggio R�) che, nella nostra analisi, e rimasto come unico

3Vedi Burkert (1995) e Salucci and Burkert (2000).4Con z indichiamo il red-shift cosmologico.5Per una discussione dettagliata sulla Bolshoi Simulation, e per un’analisi approfondita dei parametri

cosmologici e delle relazioni che intercorrono tra loro, si veda Klyplin, Trujillo-Gomez and Primack (2011).

23

parametro libero nel fit. In particolare per ricavarci V�(M�) abbiamo utilizzato il fattoche, considerando la distribuzione di materia dell’alone sferica, si ha

V� =GM�

R�(5.12)

e

R� =

✓M�43⇡⇢

◆ 13

(5.13)

dove ⇢ e la densita media dell’alone definita come ⇢ = � · ⌦M · ⇢cr, con ⌦M parametro didensita di massa6. Sostituendo la 5.13 nella 5.12 si ricava la relazione:

V�(M�) = [M�

h�1M�]232.07 · 10�4 (5.14)

dove le masse sono espresse in unita di M�h�1, con h = H/100km s�1 Mpc�1 costante di

Hubble ridotta. I valori di h nelle simulazioni cosmologiche variano tra 0.70 e 0.73; nellanostra analisi abbiamo utilizzato h = 0.71.La relazione per c(M�) e stata presa da Klyplin, Trujillo-Gomez and Primack (2011) erisulta essere:

c(M�) = 9.6(M�

1012h�1M�)�0.075. (5.15)

Questa relazione deriva dal fatto che le simulazioni numeriche mostrano una correlazionelineare fra log(M�) e log(c). In realta si nota che non tutti gli aloni stanno esattamentesu questa retta, e che esiste una certa dispersione intorno alla media. In particolare, perun dato valore di log(M�) si nota che il valore di log(c) e soggetto ad un incertezza del 15%.

5.2.2 Modello di alone di Burkert

Il modello di alone oscuro proposto da Burkert e descritto dal seguente profilo di densita:

⇢b(R) =⇢0R

30

(R +R0)(R2 +R20)

(5.16)

dove ⇢0 e R0 sono parametri liberi che rappresentano rispettivamente la densita di materiaoscura nel centro, e il raggio del nucleo. Si nota che questa distribuzione presenta un nucleodi densita costante a piccoli raggi, per poi cadere come R�3 per R � R0. Questo e unmodello che sembra riprodurre bene molte curve di rotazione, ma non e il risultato di una

6Il parametro ⌦M permette di esprimere la densita dell’universo in unita della densita critica ad unadeterminata epoca. Esso e infatti definito come: ⌦M = ⇢/⇢cr, dove ⇢ e la densita dell’universo ad un’epocastabilita e ⇢cr e la densita critica dell’universo alla stessa epoca. Nelle nostre analisi il valore di ⌦M e statopreso uguale a 0.27.

24

simulazione cosmologica. Adottando una simmetria sferica e definendo M0 = 1.6⇢0R30, si

ricava per la distribuzione di massa7:

Mb(R) = 4M0{ln✓1 +

R

R0

◆� arctan

✓R

R0

◆+

1

2ln[1 +

✓R

R0

◆2

]}. (5.17)

Il contributo dell’alone alla velocita di rotazione risulta quindi:

Vb(R) =

rGMb(R)

R. (5.18)

I parametri R0 e M0 che descrivono il nucleo dell’alone sono teoricamente indipendentil’uno dall’altro, ma dalle osservazioni si e trovata una chiara correlazione8 tra M0 e R0,data da:

M0

M�= 4.3 · 107

✓R0

kpc

◆ 73

(5.19)

dalla quale si deriva:

R0

kpc=

✓M0

4.3 · 107M�

◆ 37

(5.20)

Questa relazione ci permette di ricavarci la velocita di rotazione Vb(R) in funzione della solamassa del nucleo. Sostituendo infatti la 5.20 nella 5.17, ed esplicitando successivamentel’espressione di Mb(R) nella 5.18, si ottiene:

Vb(R)2 =G

R4M0{ln

1 +

R

( M04.3·107M�

)37kpc

!� arctan

R

( M04.3·107M�

)37kpc

!+

+1

2ln[1 +

R

( M04.3·107M�

)37kpc

!2

]}.

(5.21)

Anche nel caso del modello di alone di Burkert quindi possiamo studiare il profilo di materiaoscura lasciando libero un solo parametro nel fit, che in questo caso e la massa del nucleoM0.

7Le espressioni per il profilo di densita e per Mb(R), e la relazione per M0 sono state prese da Salucciand Burkert (2000).

8Si veda Burkert (1995).

25

Capitolo 6

Risultati

In questa sezione sono mostrati e discussi i risultati ottenuti dal fit delle curve di rotazionedelle galassie del nostro campione, considerando i contributi di stelle, gas e alone oscurosecondo i modelli precedentemente descritti. Abbiamo eseguito il fit facendo due assunzioniper il valore di ⌥k

⇤: abbiamo prima utilizzato i valori stimati da Leroy et al. (2008) e Ohet al. (2008), e successivamente abbiamo utilizzato l’assunzione di “maximum disk”, dovesi considera che la curva di rotazione osservata nelle regioni piu interne della galassia siaquasi interamente dovuta al contributo delle stelle. Le proprieta ricavate per la materiaoscura nel secondo caso determinano quindi un limite inferiore per la distribuzione di massadell’alone. Tutti i parametri che sono stati determinati sono elencati nelle Tabelle 6.1, 6.2,6.3 e 6.4. Nelle tabelle, nel caso del modello NFW, oltre alla massa viriale dell’alone M�

che rappresentava il parametro libero nel nostro fit, sono riportati anche i valori di V�, diR� e della concentrazione c, direttamente derivati dal valore di M�. Per quanto riguardainvece il modello di alone Burkert, oltre alla massa del nucleo M0, sono elencati anche ivalori di R0 e ⇢0, ovvero il raggio e la densita del nucleo, legati a M0 dalle relazioni descritteal capitolo precedente. I fit sono stati eseguiti determinando il minimo del �2. Gli errorisui parametri che abbiamo determinato attraverso i fit sono stati stimati a partire dallamatrice di covarianza e sono riportati nelle tabelle citate precedentemente. Tutti i fit dellecurve di rotazione sono mostrati nelle Figure 6.2 e 6.3. Osservando queste figure si notaimmediatamente come il fit migliori utilizzando il modello di alone di Burkert (soprattuttonel caso della galassia DDO 154), e quindi come questo modello sia preferibile nel descri-vere la distribuzione di materia oscura nelle nostre galassie. Nelle figure, oltre alla curvadi rotazione calcolata sommando tutti i contributi, sono riportati i contributi delle variecomponenti: cio che risulta evidente e che le curve di rotazione basate sulle simulazioni⇤CDM crescono troppo ripidamente per riuscire a riprodurre le curve osservate. La di↵e-renza e particolarmente visibile nelle regioni interne, a piccoli raggi. La cuspide presente alcentro della galassia nel profilo di densita di materia oscura del modello NFW infatti causa,proprio a piccoli raggi, un gradiente della curva di rotazione molto piu ripido di quantoosservato. Le curve hanno invece un gradiente di velocita meglio descritto dal modello dialone di Burkert, che prevede il nucleo di densita costante al centro delle galassie. Inoltree da sottolineare che questi risultati rimangono validi per qualsiasi assunzione sul valore

26

⌥k⇤ nell’intervallo considerato.

Alla fine della nostra analisi abbiamo eseguito i fit delle curve con il modello NFW variandoil valore della concentrazione dentro i limiti dettati dall’incertezza con cui si conosce il suovalore in funzione della massa viriale M�

1. Si e notato che il fit migliora per valori dellaconcentrazione minori di quello riportato nella 5.15, mentre peggiora considerando valorimaggiori. Tuttavia, in tutti i casi, valore del �2 rimane sempre superiore rispetto a quelloottenuto con il modello di Burkert.Puo essere utile infine esaminare il rapporto tra la massa di materia oscura e la massa totaledelle galassie del nostro campione. E noto, considerando galassie a disco, che la frazione dimateria oscura presente nelle galassie poco luminose (come ad esempio le galassie nane) epiu alta rispetto alle galassie piu luminose. L’andamento delle curve di rotazione ci mostrainoltre come la materia oscura diventi sempre piu dominante a grandi raggi. Possiamodare una stima quantitativa di quanto detto sopra attraverso la relazione:

Mbaryons

Mtot=

V 2gas + V 2

star

V 2obs

(6.1)

dove Mbaryons/Mtot ci da una chiara indicazione su quanto sia dominante il contributo dellamateria oscura in funzione del raggio. Vgas, Vstar e Vobs sono rispettivamente le velocitadi rotazione di gas e stelle, e la curva di rotazione osservata. In figura 6.1 e mostratol’andamento di Mbaryons/Mtot in funzione del raggio per le galassie del nostro campioneconsiderando ⌥⇤ fissato ai valori presi da Leroy et al. (2008) e Oh et al. (2008). Si notache la galassia DDO 154 e quella maggiormente dominata dalla materia oscura.

Modello NFW

Nome M� R� V� c �2

(M�) (kpc) (kms�1)(1) (2) (3) (4) (5)

NGC 2366 (6.41± 0.11)⇥ 108 22.64± 0.18 23.36± 0.13 17.09 ±0.02 84.8Ho II (1.16± 0.07)⇥ 108 12.81± 0.36 13.22± 0.26 19.44 ±0.09 4.4

DDO 154 (1.28± 0.06)⇥ 109 28.51± 0.62 29.43± 0.46 16.23 ±0.06 9.6

Tabella 6.1: (1) Massa dell’alone oscuro entro il raggio R�. (2) Raggio entro cui la densitamedia dell’alone e � volte la densita media dell’universo. Si ricorda che per le nostre analisi estato utilizzato � = 360. (3) Velocita di rotazione al raggio R�. (4) Concentrazione dell’alone.(5) Valori del �2 ridotto ottenuti dal fit.

1Come discusso nel capitolo 5 al paragrafo 2.1.

27

Modello di Burkert

Nome M0 R0 ⇢0 M� �2

(M�) (kpc) (M�kpc�3) (M�)(1) (2) (3) (4) (5)

NGC 2366 (3.59± 0.11)⇥ 108 2.48± 0.03 (1.47± 0.12)⇥ 10�4 (4.41± 0.15)⇥ 109 62.4Ho II (4.1± 0.4)⇥ 107 0.98± 0.04 (2.72± 0.61)⇥ 10�4 (6.11± 0.68)⇥ 108 4.2

DDO 154 (1.16± 0.12)⇥ 109 4.11± 0.18 (1.05± 0.24)⇥ 10�4 (1.21± 0.14)⇥ 1010 3.4

Tabella 6.2: (1) Massa del nucleo di densita costante al centro dell’alone di materia oscu-ra. (2) Raggio del nucleo. (3) Densita del nucleo. (4) Massa dell’alone all’interno del raggioR�riportatonellatabella6.1. (5) Valori del �2 ridotto ottenuti dal fit.

Modello NFW - Ipotesi di “Maximum Disk”

Nome M⇤ M� R� V� c �2

(M�) (M�) (kpc) (kms�1)(1) (2) (3) (4) (5) (6)

NGC 2366 8.99⇥ 108 (2.41± 0.07)⇥ 108 16.34± 0.22 16.86± 0.16 18.39 ±0.04 66.3Ho II 5.37⇥ 108 (0.25± 0.18)⇥ 107 3.59± 1.20 3.70± 0.88 25.8 ±1.3 4.7

DDO 154 1.19⇥ 108 (1.19± 0.06)⇥ 109 27.35± 0.65 28.23± 0.48 16.38 ±0.06 12.2

Tabella 6.3: (1) Massa stellare nell’assunzione di Maximum Disk. (2) Massa dell’alone oscuroentro il raggio R�. (3) Raggio entro cui la densita media dell’alone e � volte la densita mediadell’universo. Si ricorda che per le nostre analisi e stato utilizzato � = 360. (4) Velocita di rotazioneal raggio R�. (5) Concentrazione dell’alone. (6) Valori del �2 ridotto ottenuti dal fit.

Modello di Burkert - Ipotesi di “Maximum Disk”

Nome M⇤ M0 R0 ⇢0 M� �2

(M�) (M�) (kpc) (M�kpc�3) (M�)(1) (2) (3) (4) (5) (6)

NGC 2366 8.99⇥ 108 (1.32± 0.05)⇥ 108 1.62± 0.02 (1.95± 0.17)⇥ 10�4 (1.72± 0.08)⇥ 109 30.3Ho II 5.37⇥ 108 (0.5± 0.1)⇥ 106 0.15± 0.01 (9.6± 4.3)⇥ 10�4 (9.8± 3.2)⇥ 106 4.5

DDO 154 1.19⇥ 108 (1.10± 0.12)⇥ 109 4.01± 0.18 (1.06± 0.26)⇥ 10�4 (1.12± 0.14)⇥ 1010 1.9

Tabella 6.4: (1) Massa stellare nell’assunzione di Maximum Disk. (2) Massa del nucleo didensita costante al centro dell’alone di materia oscura. (3) Raggio del nucleo. (4) Densita delnucleo. (5) Massa dell’alone all’interno del raggio R� riportato nella tabella 6.3. (6) Valori del �2

ridotto ottenuti dal fit.

28

(a) NGC 2366

(b) Ho II

(c) DDO 154

Figura 6.1: In figura sono mostrati gli andamenti di log(Mbaryons

/Mtot

) in funzione del loga-ritmo del raggio. In questi grafici il valore di ⌥⇤ e fissato ai valori stimati da Leroy et al. (2008) eOh et al. (2008). Si nota come la galassia DDO 154 sia quella che presenta la piu alta frazione dimateria oscura.

(a) NGC 2366

(b) Ho II

(c) DDO 154

Figura 6.2: In figura sono mostrati i risultati dell’analisi. I contributi delle varie componentialla curva di rotazione sono evidenziati nel seguente modo: in blu la componente dovuta al gas, inverde la componente dovuta alle stelle, in nero la componente dovuta all’alone di materia oscura, ein rosso la curva ottenuta tramite la somma delle componenti. (a), (b) e (c) Risultato dei fit dellecurva di rotazione per le galassie NGC 2366, Ho II e DDO 154: a sinistra il risultato del fit con ilmodello di alone NFW, a destra il risultato del fit con il modello di alone di Burkert.

30

(a) NGC 2366 - Ipotesi di “Maximum Disk”

(b) Ho II - Ipotesi di “Maximum Disk”

(c) DDO 154 - Ipotesi di “Maximum Disk”

Figura 6.3: In figura sono mostrati i risultati dell’analisi nell’assunzione di Maximum Disk. Icontributi delle varie componenti alla curva di rotazione sono evidenziati nel seguente modo: inblu la componente dovuta al gas, in verde la componente dovuta alle stelle, in nero la componentedovuta all’alone di materia oscura, e in rosso la curva ottenuta tramite la somma delle componenti.Si nota come nel fronte di salita della curva il contributo delle stelle sa massimizzato. (a), (b) e (c)Risultato dei fit delle curva di rotazione per le galassie NGC 2366, Ho II e DDO 154: a sinistra ilrisultato del fit con il modello di alone NFW, a destra il risultato del fit con il modello di alone diBurkert.

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Capitolo 7

Conclusioni

In questo lavoro di tesi abbiamo ottenuto e analizzato le curve di rotazione delle tre galassienane NGC 2366, Ho II e DDO 154, utilizzando i dati della Survey THINGS, allo scopo distudiare la distribuzione di materia oscura all’interno delle galassie, ed in modo particolarenelle regioni centrali.Per prima cosa abbiamo ottenuto le curve di rotazione delle galassie del nostro campione,utilizzando un metodo chiamato Kinemetry, in grado di individuare e caratterizzare even-tuali moti non circolari presenti nelle galassie. Abbiamo poi derivato le distribuzioni digas e stelle all’interno delle galassie, potendo quindi calcolare il contributo della materiabarionica alle curve di rotazione. Abbiamo poi aggiunto il contributo dinamico dell’aloneoscuro per poter riprodurre le curve di rotazione osservate. Delle tre galassie abbiamoquindi esaminato la distribuzione di materia oscura usando due modelli di alone: il mo-dello di Navarro-Frenk-White derivato dalle simulazioni basate sul paradigma ⇤CDM , eil modello di Burkert, caratterizzato da un nucleo di densita costante al centro dell’alone.Abbiamo eseguito dei fit delle curve di rotazione con i modelli precedentemente citati, eabbiamo constatato che con il modello di alone di Burkert il fit migliora rispetto al model-lo NFW. La variazione del �2 e significativa per la galassia DDO 154. Usando il modelloNFW si nota infatti che la componente della curva di rotazione dovuta alla materia oscurapresenta un andamento troppo ripido sul fronte di salita se confrontato con le curve di ro-tazione osservate. Questa elevata pendenza si spiega considerando che la cuspide previstadal modello di alone NFW nella distribuzione di densita di massa al centro delle galassieinduce una velocita di rotazione che cresce subito molto rapidamente a piccoli raggi. Ladiscrepanza osservata ci permette quindi di dire che le curve di rotazione osservate hannoun gradiente di velocita con pendenza troppo bassa per essere consistente con l’ipotesi diuna cuspide nel profilo di materia oscura al centro della galassia. Le curve osservate sonomeglio giustificate dalla presenza del nucleo di densita costante al centro delle galassieprevisto dal Burkert Halo Model.Il fatto di maggior interesse e che il modello di alone NFW, e quello previsto dalle simu-lazioni cosmologiche. Come accennato brevemente nell’introduzione di questo lavoro, lesimulazioni ottenute con il paradigma ⇤CDM hanno molto successo nel riprodurre nu-merosi fenomeni che si osservano nell’universo. In particolare nello spiegare la radiazione

32

cosmica di fondo, la struttura su grande scala dell’universo e la formazione delle galassie.Nonostante questo, attraverso il nostro lavoro, abbiamo trovato conferma dell’esistenza diuna discrepanza tra il modello di alone NFW e le osservazioni, riguardo la distribuzionedi materia oscura nella zona centrale delle galassie. Sono in atto ricerche scientifiche perintrodurre nelle simulazioni numeriche alcuni e↵etti che possano giustificare l’esistenza diprofili di densita centrali piu piatti. In particolare si stanno esaminando le conseguenzedi e↵etti mareali dovuti all’interazione tra galassie e gli e↵etti della rimozione violenta dibarioni dal centro delle galassie nane a seguito di esplosioni di supernovae. Questi fenome-ni sembrano poter modificare il potenziale gravitazionale al centro delle galassie nane e diconseguenza la distribuzione radiale della materia oscura.

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Bibliografia

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34

[12] Oh, S-H., de Blok, W. J. G., Brinks, E., Walter, F., Brinks, E., and Kennicutt, R.C. Jr. 2008, High-resolution Dark Matter Density Profiles of THINGS Dwarf Galaxies:correcting for Noncircular Motions

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[15] Walter, F., Brinks, E., de Blok, W. J. G., Bigiel, F., Kennicutt, R. C. Jr., Thornley,M. D., and Leroy, A. 2008, THINGS: The HI Nearby Galaxy Survey

[16] Wong, T., Blitz, L. and Bosma, A. 2003, A Search for Kinematic evidence of RadialGas Flows in Spiral Galaxies

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Ringraziamenti

Desidero innanzitutto ringraziare il Prof. Marconi e la Dott.ssa Corbelli per aver reso pos-sibile la realizzazione di questo lavoro. Li ringrazio soprattutto per la disponibilita con cuimi hanno seguito ed aiutato, facendo sı che questa tesi non fosse ridotta ad un’ennesimaprova da superare, ma che fosse per me un’occasione grande per imparare cose nuove ebellissime, e soprattutto per iniziare a scoprire cosa vuol dire essere scienziati.

Ci tengo poi a ringraziare Lorenzo Spina che nell’ultimo periodo mi ha ospitato spessonel suo studio ad Arcetri, aiutandomi su tanti problemi pratici e non rifiutandosi di ri-spondere alle mille domande che gli ho fatto. Insieme a lui volevo ringraziare SimoneFrosali, perche nonostante nell’ultimo periodo l’abbia visto un po’ meno, posso dire consincerita che e guardando lui che ho iniziato a capire che e un privilegio essere un fisico.

Un ringraziamento speciale va al mio amico Paolo Nanni. Lo ringrazio perche mi hainsegnato che le domande che sorgono davanti allo studio non sono un ostacolo, ma anziuna strada privilegiata per capire di piu chi siamo. Senza il suo aiuto e il suo esempioquesto lavoro di tesi forse non sarebbe esistito, ma soprattutto non l’avrei vissuto come lapossibilita di scoperta di un qualcosa che c’entra con tutta la mia vita.

Infine, scrivendo questi ringraziamenti mi accorgo che sarebbe impossibile per me rin-graziare e citare tutti quegli amici, vicini o lontani, che con la loro presenza mi fannocompagnia nella vita, sostenendomi nel cammino di ogni giorno ed indicandomi costan-temente Chi guardare per vivere veramente da uomini. Per questo ringrazio il Signore,che dopo avermi dato la vita mi ha donato la possibilita di incontrarLo attraverso questiamici che sono per me il volto della Sua Chiesa, regalandomi una pienezza ed una letiziaprima tanto desiderate quanto insperate. Vi ringrazio, amici, alla fine di questo lavoroperche e soprattutto grazie alla vostra compagnia che ho vissuto e vivo anche l’universitada protagonista.

Errata Corrige

• Errore di stampa nell’equazione 5.12 a pag. 24. La versione corretta e:

V 2� =

GM�

R�

.

• Errore di stampa nell’equazione 5.14 a pag. 24. La versione corretta e:

V 2�(M�) = [

M�

h�1M�]23 · 2.07 · 10�4

• In seguito sono riportate le versioni corrette delle tabelle e dei grafici delCapitolo 6 (pagine 27� 31) dopo l’inserimento nell’analisi numerica di uncoe�ciente coerente con le referenze date nella tesi:

Modello NFW

Nome M� R� V� c �2

(M�) (kpc) (kms�1)(1) (2) (3) (4) (5)

NGC 2366 (7.34± 0.16)⇥ 109 51.03± 0.52 25.03± 0.38 14.24 ±0.02 55.8Ho II (1.06± 0.08)⇥ 109 26.78± 0.95 13.13± 0.70 16.46 ±0.09 5.3

DDO 154 (1.72± 0.11)⇥ 1010 67.8± 2.0 33.3± 1.5 13.35 ±0.06 3.9

Tabella 1: (1) Massa dell’alone oscuro entro il raggio R�. (2) Raggio entro cui la densita mediadell’alone e � volte la densita media dell’universo. Si ricorda che per le nostre analisi e statoutilizzato � = 360. (3) Velocita di rotazione al raggio R�. (4) Concentrazione dell’alone. (5)Valori del �2 ridotto ottenuti dal fit.

I

Modello di Burkert

Nome M0 R0 ⇢0 M� �2

(M�) (kpc) (M�kpc�3) (M�)(1) (2) (3) (4) (5)

NGC 2366 (3.59± 0.11)⇥ 108 2.48± 0.03 (1.47± 0.12)⇥ 107 (6.57± 0.23)⇥ 109 41.6Ho II (4.1± 0.4)⇥ 107 0.98± 0.04 (2.72± 0.61)⇥ 107 (8.39± 0.93)⇥ 108 4.2

DDO 154 (1.16± 0.12)⇥ 109 4.11± 0.18 (1.05± 0.24)⇥ 107 (1.93± 0.23)⇥ 1010 3.4

Tabella 2: (1) Massa del nucleo di densita costante al centro dell’alone di materia oscura. (2)Raggio del nucleo. (3) Densita del nucleo. (4) Massa dell’alone all’interno del raggio R� riportatonella tabella 6.1. (5) Valori del �2 ridotto ottenuti dal fit.

Modello NFW - Ipotesi di “Maximum Disk”

Nome M⇤ M� R� V� c �2

(M�) (M�) (kpc) (kms�1)(1) (2) (3) (4) (5) (6)

NGC 2366 8.99⇥ 108 (2.586± 0.093)⇥ 109 36.04± 0.61 17.68± 0.45 15.40 ±0.04 43.6Ho II 5.37⇥ 108 (1.2± 0.9)⇥ 107 6.11± 2.10 3.01± 1.52 23.0 ±1.3 4.6

DDO 154 1.19⇥ 108 (1.51± 0.10)⇥ 1010 64.9± 1.9 31.80± 1.50 13.49 ±0.06 4.5

Tabella 3: (1) Massa stellare nell’assunzione di Maximum Disk. (2) Massa dell’alone oscuroentro il raggio R�. (3) Raggio entro cui la densita media dell’alone e � volte la densita mediadell’universo. Si ricorda che per le nostre analisi e stato utilizzato � = 360. (4) Velocita di rotazioneal raggio R�. (5) Concentrazione dell’alone. (6) Valori del �2 ridotto ottenuti dal fit.

Modello di Burkert - Ipotesi di “Maximum Disk”

Nome M⇤ M0 R0 ⇢0 M� �2

(M�) (M�) (kpc) (M�kpc�3) (M�)(1) (2) (3) (4) (5) (6)

NGC 2366 8.99⇥ 108 (1.32± 0.05)⇥ 108 1.62± 0.02 (1.95± 0.17)⇥ 107 (2.49± 0.11)⇥ 109 30.3Ho II 5.37⇥ 108 (0.5± 0.1)⇥ 106 0.15± 0.01 (9.6± 4.3)⇥ 107 (1.18± 0.37)⇥ 107 4.5

DDO 154 1.19⇥ 108 (1.10± 0.12)⇥ 109 4.01± 0.18 (1.06± 0.26)⇥ 107 (1.81± 0.22)⇥ 1010 1.9

Tabella 4: (1) Massa stellare nell’assunzione di Maximum Disk. (2) Massa del nucleo di densitacostante al centro dell’alone di materia oscura. (3) Raggio del nucleo. (4) Densita del nucleo. (5)Massa dell’alone all’interno del raggio R� riportato nella tabella 6.3. (6) Valori del �2 ridottoottenuti dal fit.

II

(a) NGC 2366

(b) Ho II

(c) DDO 154

Figura 1: In figura sono mostrati i risultati dell’analisi. I contributi delle varie componenti allacurva di rotazione sono evidenziati nel seguente modo: in blu la componente dovuta al gas, in verdela componente dovuta alle stelle, in nero la componente dovuta all’alone di materia oscura, e inrosso la curva ottenuta tramite la somma delle componenti. (a), (b) e (c) Risultato dei fit dellecurva di rotazione per le galassie NGC 2366, Ho II e DDO 154: a sinistra il risultato del fit con ilmodello di alone NFW, a destra il risultato del fit con il modello di alone di Burkert.

(a) NGC 2366 - Ipotesi di “Maximum Disk”

(b) Ho II - Ipotesi di “Maximum Disk”

(c) DDO 154 - Ipotesi di “Maximum Disk”

Figura 2: In figura sono mostrati i risultati dell’analisi nell’assunzione di Maximum Disk. Icontributi delle varie componenti alle curve di rotazione delle galassie sono evidenziati come inFigura 1.

IV