UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CAGLIARIFACOLTA DI SCIENZE

CORSO DI LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA

ALCUNI PARADOSSI DERIVANTI DAL

FENOMENO DI CONTRAZIONE DELLE

LUNGHEZZE IN RELATIVITA

RISTRETTA

RELATORE:Dott. Francesco Demontis

CORRELATORE:Prof. Cornelis Van Der Mee

TESI DI LAUREA DI:Michela Piras

Anno Accademico 2015/2016

Indice

Introduzione 1

1 Le trasformazioni di Lorentz 31.1 I postulati della relativita ristretta . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Linearita delle trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . 51.2.2 Trasformazioni speciali di Lorentz . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Trasformazioni generali omogenee di Lorentz . . . . . . 14

2 Conseguenze delle trasformazioni di Lorentz 172.1 Contrazione delle lunghezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Dilatazione dei tempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Relativita dell’ordine temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Paradossi di contrazione delle lunghezze 213.1 Paradosso della sbarra attraverso la finestra nel caso generale:

vx, vy 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Paradosso della sbarra attraverso la finestra in un caso parti-

colare: vx 6= 0, vy = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Bibliografia 43

i

ii

Introduzione

Tra la fine dell’Ottocento e l’inizio del Novecento la fisica attraverso duemomenti di crisi.

Il primo di questi periodi critici ebbe origine con l’impossibilita di con-ciliare previsioni teoriche e risultati sperimentali relativi allo spettro di emis-sione del corpo nero. Per risolvere questa contraddizione Planck nel 1901propose la cosiddetta “teoria dei quanti” (vedi [4]). Secondo tale teoria, l’e-nergia scambiata fra materia e campo elettromagnetico puo variare solo pervalori discreti, detti “quanti” (contrariamente all’ipotesi classica degli scambienergetici per valori continui). Le idee di Planck condussero, successivamen-te, alla fondazione della meccanica quantistica che consentı di inquadrare espiegare il problema del corpo nero.

Il secondo momento di difficolta ebbe inizio in conseguenza delle seguentidue problematiche:

1. non si riusciva a interpretare correttamente alcune esperienze otticheideate e presentate per la prima volta da Michelson nel 1881 (suc-cessivamente ripetute da lui piu volte insieme a Morley negli anni1887-1891);

2. sembrava sussistere un’incompatibilita tra il fenomeno di propagazionedella luce e il principio di relativita galileiano.

Per superare queste due complicazioni fu necessario riformulare i concettidi spazio e tempo (che fino ad allora erano intesi in senso assoluto comeproposto da Newton). La rivoluzione di questi concetti e la riformulazionedei relativi assiomi fu portata a compimento da Albert Einstein nel 1905con la pubblicazione del suo celebre articolo “Sull’elettrodinamica dei corpiin movimento” (vedi [2]). In questo lavoro Einstein espose la teoria dellarelativita ristretta, mostrando come le difficolta sopra accennate1 si potesserosuperare introducendo un nuovo principio di relativita (in cui il tempo veniva

1Egli non si occupo direttamente dell’esperienza di Michelson-Morley, la cuispiegazione e, tuttavia, una diretta conseguenza dei nuovi assiomi da lui assunti.

1

privato del suo carattere assoluto) e postulando l’invarianza della velocitadella luce per cambiamenti di riferimento.

Inizialmente, la teoria della relativita ristretta fu accolta con scetticismodai matematici e dai fisici, in quanto da essa discendono alcuni fenomeni con-trari all’intuizione quotidiana, quali la dilatazione dei tempi e la contrazionedelle lunghezze, che danno a loro volta origine a situazioni “paradossali”.Il piu celebre e studiato di questi paradossi e il cosiddetto “paradosso deigemelli”, che ha origine come conseguenza della dilatazione dei tempi.

In questa tesi ho analizzato alcuni paradossi originati dal fenomeno dicontrazione delle lunghezze (anche detta contrazione di Lorentz-Fitzgerald).Tali paradossi possono essere spiegati solo se si abbandonano alcuni concettitipici della meccanica classica, quali, per esempio, la nozione di corpo rigido eil principio di azione e reazione, che, come vedremo, non possono avere alcunfondamento in relativita. Inoltre, la risoluzione di questi paradossi mostracome alcune proprieta, assolute in meccanica classica, risultino, in relativita,dipendenti dalla scelta del riferimento (tra tali concetti figurano l’inversionedell’ordine temporale tra due eventi e la nozione di parallelismo tra due ret-te).Al fine di analizzare i paradossi di contrazione delle lunghezze, richiameremodapprima alcuni fatti ben noti in relativita ristretta. In particolare, nel pa-ragrafo 1.2, seguendo la trattazione di [1, 3, 5], deriveremo le trasformazionidi Lorentz, che, in relativita, legano le coordinate di un evento rispetto aun dato riferimento inerziale alle coordinate dello stesso evento rispetto aun altro riferimento inerziale (in moto traslatorio rettilineo uniforme rispet-to al primo). Successivamente esamineremo i fenomeni di contrazione dellelunghezze, dilatazione dei tempi e relativita dell’ordine temporale. Infinenel capitolo 3, seguendo l’impostazione sviluppata in [3, 5], discuteremo ilparadosso della sbarra attraverso finestra e il paradosso dell’asta e del fienile.

2

Capitolo 1

Le trasformazioni di Lorentz

In relativita, la relazione tra le coordinate spazio-temporali di un eventorispetto a due differenti riferimenti inerziali (in moto traslatorio rettilineouniforme l’uno rispetto all’altro) e data dalle trasformazioni di Lorentz. Perpoter ottenere tali trasformazioni, e necessario enunciare i due postulati dellateoria della relativita ristretta. Seguiremo l’esposizione come sviluppata in[1].

1.1 I postulati della relativita ristretta

1◦ Postulato (Principio di relativita di Einstein):Esistono infiniti riferimenti privilegiati, che chiameremo inerziali1,ciascuno dotato di un proprio tempo e in moto traslatorio rettili-neo uniforme l’uno rispetto all’altro. Essi sono tra loro equivalentirispetto alla formulazione delle leggi fisiche. Nessuna esperienza fisi-ca, svolta all’interno di un laboratorio galileiano, puo permettere diriconoscere in quale di essi ci si trovi.

Oltre al principio di relativita, Einstein pose alla base della sua teoria ilprincipio di invarianza della velocita della luce, in conseguenza degli ultimisviluppi sull’elettromagnetismo2.

1La definizione di sistema di riferimento inerziale e la stessa che si adotta in meccanicaclassica, ad eccezione del fatto che ogni osservatore solidale a un dato riferimento misuraun “proprio” tempo. Viene quindi a cadere l’ipotesi che caratterizza la meccanica classicadell’esistenza del tempo universale (o assoluto).

2Ci riferiamo alla teoria dell’elettromagnetismo, dovuta a Maxwell e Lorentz, alleosservazioni di De Sitter sulle stelle doppie e alle esperienze Michelson e Morley sullavelocita di propagazione della luce.

3

2◦ Postulato (Principio di invarianza della velocita della lu-ce):In un sistema di riferimento inerziale i segnali luminosi nel vuotoviaggiano sempre rettilineamente alla velocita costante c, in tutte ledirezioni, indipendentemente dalla modalita di emissione del segnalee indipendentemente dallo stato di quiete o di moto della sorgenterispetto al riferimento considerato.

Dal principio di relativita (si veda, in particolare, la nota 1) discendeche i sistemi di riferimento inerziali sono caratterizzati dalle proprieta diomogeneita e isotropia spaziale e di omogeneita temporale – le qualiaffermano che, in un dato sistema di riferimento inerziale, ogni esperimentofisico puo essere effettuato in ogni luogo (omogeneita spaziale), in ogni dire-zione (isotropia spaziale) e in ogni istante (omogeneita temporale), e portasempre ai medesimi risultati. Un’altra conseguenza del primo postulato eil principio di reciprocita del moto. Questo principio asserisce che perogni coppia di sistemi di riferimento inerziali R e R′, in moto traslatoriorettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro, e equivalente, dal punto di vistacinematico, supporre R in quiete e R′ in moto con velocita v, oppure R′ inquiete e R in moto con velocita −v.

I due postulati della relativita ristretta equivalgono, dal punto di vistamatematico, ad assumere l’invarianza della forma quadratica3:

−→ds2 = c2dt2 − dl2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2. (1.1)

La forma quadratica (1.1) prende il nome di divario spazio-temporale tra dueeventi A e B infinitamente vicini, di coordinate (x, y, z, t) e (x+dx, y+dy, z+dz, t+ dt) nel riferimento R ≡ (O, xyz, t).In altre parole, se si considerano gli stessi eventi A e B in un altro riferimentoR′ ≡ (O′, x′y′z′, t′) in cui essi hanno coordinate (x′, y′, z′, t′) e (x′ + dx′, y′ +dy′, z′ + dz′, t′ + dt′), l’invarianza del divario spazio-temporale si esprime nelseguente modo:

−→ds2 =

−→ds′2,

dove−→ds′2 = c2dt′2 − dl′2 = c2dt′2 − dx′2 − dy′2 − dz′2.

3La dimostrazione dell’invarianza del−→ds2 puo essere trovata in [1], pp. 81-83.

4

1.2 Trasformazioni di Lorentz

Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali R ≡ (O, xyz, t) eR′ ≡ (O′, x′y′z′, t′). Supponiamo che R′ si muova rispetto a R di mototraslatorio rettilineo uniforme, alla velocita costante v = (vx, vy, vz). Ipotiz-ziamo, inoltre, che all’istante t = t′ = 0 le terne dei due riferimenti risultinosovrapposte ed equiorientate.Vogliamo ricavare le trasformazioni (che d’ora in avanti chiameremo trasfor-mazioni di Lorentz ) che legano le coordinate spazio-temporali (x, y, z, t) diun evento4 in R alle sue coordinate (x′, y′, z′, t′) in R′. Dividiamo la tratta-zione in tre parti (linearita, trasformazioni speciali e trasformazioni generali).

1.2.1 Linearita delle trasformazioni di Lorentz

Iniziamo col mostrare che le trasformazioni di Lorentz sono lineari (siseguira la dimostrazione presentata in [5]).

Supponiamo di avere un orologio sul quale non agiscono forze. Allora,per il principio di inerzia, esso si muove di moto rettilineo uniforme in ogniriferimento inerziale. Consideriamo nel riferimento inerziale R ≡ (O, xyz, t)due punti infinitamente vicini lungo la traiettoria dell’orologio. Siano (x, y, z)e (x+dx, y+dy, z+dz) le loro coordinate (in R) e siano t e t+dt gli istanti,nel tempo di R, in cui l’orologio transita in essi. Allora il divario spazio-temporale tra i due eventi A e B di coordinate spazio-temporali (x, y, z, t) e(x+ dx, y + dy, z + dz, t+ dt) si scrive come:

−→ds2 = c2dt2 − dl2, (1.2)

dove dl denota la quantita√dx2 + dy2 + dz2.

Consideriamo ora il riferimento inerziale R∗ ≡ (O∗, x∗y∗z∗, τ) solidale all’o-rologio, essendo τ il tempo misurato dall’orologio, O∗ un punto dell’orologio ex∗, y∗ e z∗ paralleli ed equiversi agli assi diR (si noti che il moto diR∗ rispet-to a R e necessariamente traslatorio rettilineo uniforme, per quanto primadetto riguardo all’orologio). Quindi, gli eventi A e B precedentemente con-siderati in R avranno in R∗ coordinate (x∗, y∗, z∗, τ) e (x∗, y∗, z∗, τ + dτ) (inquanto le coordinate spaziali x∗, y∗ e z∗ di un qualunque punto dell’orologiorisultano costanti) e divario spazio-temporale dato da:

−→ds∗2 = c2dτ 2. (1.3)

4Si definisce evento un fenomeno avente un’esistenza oggettiva indipendente dall’os-servatore, e caratterizzato dal fatto di avere, in ogni riferimento, una ben determinataposizione nello spazio e una ben determinata data.

5

Per quanto detto alla fine del paragrafo precedente, si deve avere−→ds∗2 =

−→ds2,

cioe:c2dτ 2 = c2dt2 − dl2,

ovvero:dτ 2

dt2= 1− 1

c2dl2

dt2= 1− 1

c2

(dl

dt

)2

. (1.4)

Osserviamo che dldt

e la velocita dell’orologio rispetto a R. Poiche il motodell’orologio e rettilineo uniforme, tale velocita e costante. Si ha, quindi5:

dτ

dt= ±

√1− 1

c2

(dl

dt

)2

= cost., (1.5)

da cui segue immediatamente:

dt

dτ=

1√1− 1

c2

(dldt

)2 = cost. (1.6)

Notiamo che la quantita 1√1− 1

c2( dldt)

2 e il cosiddetto fattore di Lorentz (della

trasformazione da R a R∗), che avra un’importanza notevole in tutta la tesi.Indichiamo ora con (x1, x2, x3) le coordinate spaziali (x, y, z) dell’orologiorispetto a R. Allora:

dxidτ

=dxidt

dt

dτ, i = 1, 2, 3. (1.7)

Abbiamo quindi scritto dxidτ

, come prodotto di termini costanti: per ogni

i, infatti, il termine dxidt

e costante perche il moto dell’orologio e rettilineouniforme, mentre dt

dτe costante per la (1.6). Percio:

dxidτ

= cost., i = 1, 2, 3. (1.8)

Allora, ponendo x4 ≡ t, possiamo sintetizzare le (1.8) e (1.6) come segue:

dxαdτ

= cost., α = 1, 2, 3, 4. (1.9)

5Si puo dimostrare che il segno corretto nel secondo membro della (1.5) e quello posi-tivo. Ci limitiamo a dire che la ragione risiede nel fatto che il moto di una particella deveobbedire al principio di causa-effetto e, di conseguenza, la sua linea di universo (ovvero lasua “storia”) e orientata allo stesso modo (verso il futuro) in tutti i riferimenti inerziali.Gli incrementi temporali dτ e dt devono dunque essere concordi.

6

Derivando (1.9) rispetto a τ , otteniamo:

d2xαdτ 2

= 0, α = 1, 2, 3, 4. (1.10)

Procedendo allo stesso modo in R′ ≡ (O′, x′y′z′, t′), si ricava:

d2x′αdτ 2

= 0, α = 1, 2, 3, 4. (1.11)

Ricordando che dx′αdτ

=∑4

ν=1∂x′α∂xν

dxνdτ

, derivando rispetto a τ entrambi i membridi questa uguaglianza otteniamo:

d2x′αdτ 2

=4∑

ν=1

∂x′α∂xν

d2xνdτ 2

+4∑

ν,σ=1

∂2x′α∂xν∂xσ

dxνdτ

dxσdτ

, α = 1, 2, 3, 4. (1.12)

Per le (1.10), la prima sommatoria in (1.12) si annulla e quindi, tenendoconto della (1.11), otteniamo:

4∑ν,σ=1

∂2x′α∂xν∂xσ

dxνdτ

dxσdτ

= 0, α = 1, 2, 3, 4. (1.13)

Le equazioni (1.13) devono essere verificate per ogni moto di un orologioisolato. Di conseguenza, essendo dxν

dτe dxσ

dτarbitrari, si deve avere:

∂2x′α∂xν∂xσ

= 0, α, ν, σ = 1, 2, 3, 4. (1.14)

Le (1.14) esprimono la linearita delle trasformazioni di Lorentz cercate. Essepotranno dunque essere scritte nella forma:

x′ = a11x+ a12y + a13z + a14t+ a10y′ = a21x+ a22y + a23z + a24t+ a20z′ = a31x+ a32y + a33z + a34t+ a30t′ = a41x+ a42y + a43z + a44t+ a40

(1.15)

per opportuni coefficienti aij, con i = 1, 2, 3, 4 e j = 0, 1, 2, 3, 4.Osserviamo che, per il principio di relativita, i venti coefficienti delle (1.15)non potranno dipendere ne da R ne da R′, ma, al piu, dalle componenti div.

Sfruttiamo ora l’ipotesi che all’istante t = t′ = 0 i due riferimenti coin-cidano. Supponiamo che, in R, un evento abbia coordinate x = 0, y = 0,z = 0, t = 0. Allora, in R′, le coordinate di tale evento risulteranno x′ = 0,

7

y′ = 0, z′ = 0, t′ = 0. Di conseguenza, i termini a10, a20, a30, a40 devonoessere identicamente nulli. Si ottiene quindi che le (1.15) costituiscono unatrasformazione lineare omogenea:

x′ = a11x+ a12y + a13z + a14ty′ = a21x+ a22y + a23z + a24tz′ = a31x+ a32y + a33z + a34tt′ = a41x+ a42y + a43z + a44t

(1.16)

1.2.2 Trasformazioni speciali di Lorentz

Seguendo la trattazione svolta in [1], iniziamo con l’esaminare il casoin cui i due riferimenti siano in configurazione x-standard. Cio significa chela velocita di R′ rispetto a R e parallela all’asse x, e dunque v = (v, 0, 0).Inoltre, come nel precedente paragrafo, supponiamo che all’istante t = t′ = 0le terne di R e di R′ risultino sovrapposte.Di conseguenza, ad ogni istante l’asse x coincide con l’asse x′, e i piani xy exz coincidono, rispettivamente, con i piani x′y′ e x′z′.

Deduciamo quindi che, se per un evento in R si ha t = 0 e x = 0 , allorain R′ si avra t′ = 0 e x′ ≡ x = 0. La prima e la quarta riga delle (1.16)diventano dunque:

0 = a12y + a13z

0 = a42y + a43z.

Per l’arbitrarieta di y e z, si deve avere a12 = a13 = a42 = a43 = 0.Supponiamo ora che un evento avvenga sul piano y = 0 (piano xz) di

R. Allora, in R′, tale evento avra luogo sul piano y′ = 0. La seconda delle(1.16) diventa dunque:

0 = a21x+ a23z + a24t,

la quale deve essere verificata per ogni x, z e t, dunque a21 = a23 = a24 = 0.Se ora consideriamo un evento che avviene sul piano z = 0, con identico

ragionamento otteniamo che a31 = a33 = a34 = 0.Con i ragionamenti fatti finora, abbiamo ottenuto che le trasformazioni

per riferimenti in configurazione x-standard sono della forma:x′ = a11(v)x+ a14(v)t

y′ = a22(v)y

z′ = a33(v)z

t′ = a41(v)x+ a44(v)t

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dove ricordiamo che v e la componente di v rispetto all’asse x, definita dav = (v, 0, 0).

Per la proprieta di isotropia dello spazio, nessuno dei due assi y e z deveindividuare, in R′, una direzione privilegiata, dunque le funzioni a22 e a33devono coincidere. Poniamo a22(v) = a33(v) = λ(v), cosı da poter scrivere:

x′ = a11(v)x+ a14(v)t

y′ = λ(v)y

z′ = λ(v)z

t′ = a41(v)x+ a44(v)t

(1.17)

Osserviamo che, se R′ si muovesse rispetto a R con velocita −v = (−v, 0, 0)invece che con velocita v = (v, 0, 0), le righe seconda e terza delle (1.17)diverrebbero:

y′ = λ(−v)y

z′ = λ(−v)z.

Tuttavia, essendo la direzione del moto rimasta invariata, ed essendo essaortogonale agli assi y e z, le trasformazioni appena scritte devono coinciderecon le trasformazioni di y e z date dalle (1.17). Si deve percio avere:

λ(v) = λ(−v). (1.18)

Utilizziamo ora il principio di reciprocita del moto per calcolare esplicita-mente λ: in base a tale principio, le trasformazioni da R′ a R possono essereottenute dalle (1.17) scrivendo −v al posto di v, e scambiando x, y, z e t ri-spettivamente con x′, y′, z′ e t′. Le righe seconda e terza delle trasformazioniinverse sono dunque date da:

y = λ(−v)y′

z = λ(−v)z′,

le quali, combinate con le (1.17) e con (1.18), permettono di ottenere:

λ2(v) = 1.

Quindi λ(v) = ±1. Poiche all’istante t = t′ = 0 si deve avere y ≡ y′ e z ≡ z′,il segno corretto e quello positivo e quindi λ(v) = 1.

Le trasformazioni possono dunque essere scritte come:x′ = a11(v)x+ a14(v)t

y′ = y

z′ = z

t′ = a41(v)x+ a44(v)t

(1.19)

9

Esiste una relazione tra i termini a11 e a14 delle (1.19). Osserviamo, infatti,che un generico punto solidale a R′ risulta in moto, rispetto a R, con velocitav = (v, 0, 0). La coordinata x del punto deve dunque essere della formax = vt + x0, con x0 costante. In particolare, se un tale punto si trova sulpiano x′ = 0, si ha x0 = 0 (per l’ipotesi che x ≡ x′ all’istante t = 0) e dunquex = vt. Per un tale moto, la prima riga delle (1.19) diventa:

0 = a11(v)vt+ a14(v)t,

Cioe a14(v) = −a11(v)v, e le trasformazioni assumono la forma:x′ = a11(v)(x− vt)y′ = y

z′ = z

t′ = a41(v)x+ a44(v)t

(1.20)

Possiamo ora ricavare a41 e a44 applicando nuovamente il principio di reci-procita del moto. L’inversa della trasformazione nella prima riga e:

x = a11(−v)(x′ + vt′),

dalla quale si puo ricavare

t′ =1

v

(x

a11(−v)− x′

). (1.21)

Sostituendo a x′ la sua espressione data dalla prima riga delle (1.20), l’equa-zione (1.21) diventa:

t′ =1

v

(1

a11(−v)− a11(v)

)x+ a11(v)t.

Confrontando tale equazione con la quarta delle (1.20), si ottengono:

a41(v) =1

v

(1

a11(−v)− a11(v)

)e a44(v) = a11(v). (1.22)

Come conseguenza delle (1.22) le trasformazioni (1.20) diventano:x′ = γ(v)(x− vt)y′ = y

z′ = z

t′ = α(v)x+ γ(v)t

(1.23)

10

con α(v) = a41(v) dato dalla prima delle (1.22), e γ(v) = a11(v) = a44(v).Applichiamo ora il secondo postulato della teoria della relativita, ovvero

il principio di invarianza della velocita della luce. Supponiamo che, all’istantet = t′ = 0, da O ≡ O′ sia emesso un segnale luminoso. Per un osservatoresolidale a R, il fronte d’onda luminoso all’istante t sara una sfera di raggioct avente centro nell’origine O, individuata da:

x2 + y2 + z2 − c2t2 = 0. (1.24)

Analogamente, in R′, il fronte d’onda sara ancora una sfera di centro nell’o-rigine O′, di equazione:

x′2 + y′2 + z′2 − c2t′2 = 0.

Inserendo le trasformazioni (1.23) nell’ultima equazione, otteniamo:

γ2(v)[x− vt]2 + y2 + z2 − c2[α(v)x+ γ(v)t]2 = 0,

ovvero:

x2[γ2 − c2α2] + y2 + z2 − γ2t2[c2 − v2]− 2γxt[γv + c2α] = 0. (1.25)

Poiche le equazioni (1.24) e (1.25) esprimono la posizione dello stesso fronted’onda nel medesimo riferimento R, esse devono essere equivalenti. I dueprimi membri, dunque, devono essere proporzionali, ovvero:

x2[γ2− c2α2]+y2 +z2−γ2t2[c2−v2]−2γxt[γv+ c2α] = µ(x2 +y2 +z2− c2t2)

per qualche µ 6= 0. Poiche i coefficienti di y2 e di z2 sono pari a 1, si deve avereµ = 1. Di conseguenza, uguagliando i coefficienti di x2, t2 e xt, otteniamo:

γ2 − c2α2 = 1, γ2(c2 − v2) = c2, γv + c2α = 0. (1.26)

Dalla seconda uguaglianza ricaviamo:

γ2(v) =c2

c2 − v2=

1

1− v2

c2

=1

1− β2, (1.27)

Dove abbiamo posto β = vc, detta velocita romeriana. Dalla (1.27) ricaviamo:

γ(v) = ± 1√1− v2

c2

= ± 1√1− β2

(1.28)

11

Nella (1.28) il segno corretto e quello positivo. Infatti, poiche gli assi x e x′

sono equiorientati, per v = 0 la prima riga delle (1.23) deve ridursi a x = x′.Si deve percio avere γ(0) = 1. Si ha dunque:

γ(v) =1√

1− v2

c2

=1√

1− β2(1.29)

Tale funzione si chiama fattore di Lorentz e, come vedremo nel capitolo 2,riveste un ruolo fondamentale nei fenomeni di contrazione delle lunghezzee di dilatazione dei tempi. Possiamo subito notare che γ(v) assume valorireali solo per v < c e che per tali valori esso e sempre maggiore o uguale a1 (l’uguaglianza si verifica solo se v = 0, ovvero in assenza di moto relativotra i due riferimenti). Osserviamo, inoltre, che γ e una funzione pari di v,ovvero γ(v) = γ(−v).

Tramite la (1.29) possiamo ricavare α(v) dalla terza delle (1.26):

α = −γ vc2

= −γβc.

Abbiamo quindi trovato le trasformazioni tra due riferimenti inerziali inconfigurazione x-standard:

x′ = γ(v)(x− vt) = γ(v)(x− βct)y′ = y

z′ = z

t′ = γ(v)(t− v

c2x)

= γ(v)

(t− β

cx

) (1.30)

dette trasformazioni speciali6.Possiamo scrivere le (1.30) in forma matriciale come:

ct′

x′

y′

z′

=

γ 0 0 −γβc0 1 0 00 0 1 0

−γ βc

0 0 γ

ctxyz

.

Essendo∣∣∣∣∣∣∣∣γ 0 0 −γβc0 1 0 00 0 1 0

−γ βc

0 0 γ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = γ2 − γβcγβc

= γ2 − γ2β2 = γ2(1− β2) = 1,

6Cosı chiamate perche ricavate relativamente a riferimenti in configurazionex-standard.

12

la trasformazione (1.2.2) e invertibile. Per calcolare l’inversa, potremmo cal-colare l’inversa della matrice dei coefficienti o risolvere il sistema (1.30) nellevariabili x′, y′, z′ e t′. Tuttavia, il modo piu semplice consiste nello scambia-re le coordinate di R con quelle di R′ e invertire il segno di v. Otteniamo,dunque, ricordando che γ e una funzione pari:

x = γ(v)(x′ + vt′) = γ(v)(x′ + βct′)

y = y′

z = z′

t = γ(v)(t′ +

v

c2x′)

= γ(v)

(t′ +

β

cx′) (1.31)

Possiamo scrivere la (1.30) in funzione di ct invece che di t. Troviamo:x′ = (x− βct)y′ = y

z′ = z

ct′ = γ(v) (ct− βx)

(1.32)

Le trasformazioni cosı ottenute hanno il vantaggio di essere simmetriche,oltre che nelle variabili y, z e y′, z′, anche in x, ct e x′, ct′.

Consideriamo ora due eventi A e B aventi rispettivamente, in R, coor-dinate (xA, yA, zA, tA) e (xB, yB, zB, tB). Poniamo:

∆x = xB − xA, ∆y = yB − yA, ∆z = zB − zA, ∆t = tB − tA,∆x′ = x′B − x′A, ∆y′ = y′B − y′A, ∆z′ = z′B − z′A, ∆t′ = t′B − t′A.

Allora, applicando le (1.30) ai due eventi e sottraendo membro a membro, ot-teniamo le trasformazioni speciali di Lorentz scritte sotto forma di differenzefinite:

∆x′ = γ(v)(∆x− v∆t) = γ(v)(∆x− βc∆t)∆y′ = ∆y

∆z′ = ∆z

∆t′ = γ(v)(

∆t− v

c2∆x)

= γ(v)

(∆t− β

c∆x

) (1.33)

Possiamo immediatamente ricavare le inverse delle (1.33)

∆x = γ(v)(∆x′ + v∆t′) = γ(v)(∆x′ + βc∆t′)

∆y = ∆y′

∆z = ∆z′

∆t = γ(v)(

∆t′ +v

c2∆x′

)= γ(v)

(∆t′ +

β

c∆x′

) (1.34)

13

1.2.3 Trasformazioni generali omogenee di Lorentz

In questo paragrafo deriveremo le trasformazioni di Lorentz nel caso piugenerale in cui la velocita di R′ ≡ (O′, x′y′z′, t′) rispetto a R ≡ (O, xyz, t)sia data da v = (vx, vy, vz). Seguiremo la trattazione di [1].Continueremo a mantenere l’ipotesi che le terne di R e di R′ siano sovrap-poste all’istante t = t′ = 0.

Consideriamo un evento avente coordinate (x, y, z, t) rispetto a R, e siar = (x, y, z) il suo vettore posizione. Scomponiamo r nella somma:

r = r‖ + r⊥,

dove i vettori r‖ e r⊥ sono rispettivamente, il componente parallelo e ilcomponente ortogonale a v del vettore posizione r. Tali vettori sono dati da:

r‖ =r · vv2v =

r · ββ2

β,

r⊥ = r − r‖ = r − r · ββ2

β,

dove abbiamo posto β = vc.

L’immagine di r tramite la trasformazione di Lorentz sara data, per lalinearita, dalla somma delle immagini dei suoi componenti:

r′ = r′‖ + r′⊥.

Poiche r‖ e un vettore parallelo alla direzione del moto, tutte e tre le suecomponenti subiranno una trasformazione analoga a quella della prima rigadelle (1.32), mentre r⊥, essendo perpendicolare a v, resta invariato, in ana-logia a quanto accade con le componenti y e z delle trasformazioni speciali.Si ha, dunque:

r′‖ = γ(r‖ − βct) = γ

(r · ββ2

β − βct)

r′⊥ = r⊥ = r − r · ββ2

β,

con il fattore di Lorentz dato da:

γ(v) =1√

1− β2=

1√1− (β2

x + β2y + β2

z ).

La quarta riga delle (1.32) ci permette di trovare l’espressione di t′: e suffi-ciente, infatti, sostituire a βx il prodotto scalare β · r.

14

Abbiamo dunque trovato l’espressione delle trasformazioni generali omo-genee di Lorentz :

ct′ = γ(ct− β · r)

r′ = r + (γ − 1)r · ββ2

β − γβct

E utile scrivere tali trasformazioni in forma matriciale:ct′

x′

y′

z′

=

γ −γβx −γβy −γβz−γβx 1 + (γ − 1)βx

2

β2 (γ − 1)βxβyβ2 (γ − 1)βxβz

β2

−γβy (γ − 1)βyβxβ2 1 + (γ − 1)βy

2

β2 (γ − 1)βyβzβ2

−γβz (γ − 1)βzβxβ2 (γ − 1)βzβy

β2 1 + (γ − 1)βz2

β2

ctxyz

.

(1.35)

15

16

Capitolo 2

Conseguenze delletrasformazioni di Lorentz

In relativita si origina un’ampia gamma di fenomeni estranei alla mec-canica classica, per questo detti effetti relativistici, tra i quali vi sono lacontrazione delle lunghezze, la dilatazione dei tempi e la relativita dell’ordi-ne temporale. Tali effetti sono conseguenze delle trasformazioni di Lorentz,e sono comunque trascurabili quando si considerano sistemi di riferimento inmoto l’uno rispetto all’altro con velocita (di trascinamento) piccola rispet-to alla velocita (finita) della luce. La trattazione degli argomenti svolti inquesto capitolo segue quella presentata in [1].

2.1 Contrazione delle lunghezze

Consideriamo una sbarra rigida in quiete nel riferimento inerziale R′ ≡(O′, x′y′z′, t′) e posta lungo l’asse x′ di questo. I suoi estremi A e B avrannodunque, rispettivamente, coordinate (x′A, 0, 0) e (x′B, 0, 0), dove supponiamox′B > x′A. La lunghezza della sbarra misurata in R′ (chiamata lunghezza diquiete o lunghezza propria) sara pari a:

l′ = x′B − x′A = ∆x′. (2.1)

Consideriamo ora un altro riferimento R ≡ (O, xyz, t), posto in configurazio-ne x-standard conR′. Allora inR gli estremi A e B della sbarra si troverannosull’asse x (essendo tale asse coincidente con l’asse x′) nei punti (xA, 0, 0) e(xB, 0, 0). La determinazione delle ascisse di tali punti dovra essere effettuatada due osservatori solidali a R nello stesso istante, ovvero:

∆t = 0.

17

La lunghezza della sbarra in R sara dunque data da:

l = xB − xA = ∆x. (2.2)

D’altra parte, dalla prima riga delle trasformazioni (1.33) otteniamo:

∆x′ = γ(∆x− v∆t) = γ∆x, (2.3)

dove si e tenuto conto del fatto che, per poter effettuare la misurazione, inR si deve avere ∆t = 0. Quindi, utilizzando (2.1) e (2.2), possiamo scrivere:

l =l′

γ= l′

√1− β2 < l′. (2.4)

Il risultato appena ottenuto esprime il fenomeno di contrazione delle lun-ghezze (anche detta contrazione di Lorentz-Fitzgerald), e si puo enunciarecome segue:

Una sbarra rigida in moto traslatorio rettilineo uniforme con velo-cita v rispetto a un dato riferimento inerziale, risulta contratta, nelladirezione del moto, per il fattore 1

γ, inverso del fattore di Lorentz.

Dalla (2.4) possiamo osservare che la lunghezza propria di una sbarra(ovvero la lunghezza misurata in un riferimento in cui essa risulta in quiete) emaggiore di ogni lunghezza misurata in un riferimento in cui la sbarra risultain moto.Osserviamo, inoltre, che se la sbarra fosse stata disposta perpendicolarmentealla direzione del moto, essa non avrebbe subito alcuna contrazione. Se inveceessa fosse stata disposta, rispetto alla direzione del moto, ne parallelamentene perpendicolarmente, essa avrebbe subito una contrazione per un fattorecompreso tra 1

γe 1.

Osserviamo, infine, che se si avesse γ ' 1 (ovvero β = vc' 0), la sbarra non

subirebbe alcuna contrazione, cosı come accade in meccanica classica.

2.2 Dilatazione dei tempi

Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali R ≡ (O, xyz, t) e R′ ≡(O′, x′y′z′, t′), in moto relativo con configurazione x-standard. Siano A e Bdue eventi che, in R′, risultano equilocati e non simultanei. Cio significache x′A = x′B, y′A = y′B, z′A = z′B (eventi equilocati) e t′A 6= t′B (eventi non

18

simultanei).Utilizzando le trasformazioni (1.34), dalla quarta riga otteniamo:

∆t = γ

(∆t′ +

β

c∆x′

)= γ∆t′ =

∆t′√1− β2

. (2.5)

Poiche γ > 1, si ha sempre ∆t > ∆t′. Questo fenomeno e noto comedilatazione dei tempi, e si puo cosı enunciare:

Se in un riferimento inerziale R′ due eventi sono equilocati e sonoseparati da un intervallo temporale ∆t′ 6= 0, essi in un altro riferi-mento inerziale R, in moto rispetto a R′, risulteranno separati daun intervallo temporale ∆t = γ∆t′, ovvero l’intervallo temporale trai due eventi in R risulta dilatato per il fattore di Lorentz rispettoall’intervallo in R′.

2.3 Relativita dell’ordine temporale

In relativita, l’ordine temporale e un concetto dipendente dal sistema diriferimento: cio significa che, se in un riferimento R un evento A precede unevento B, in un altro riferimento R′ si potrebbe verificare che B preceda A.Piu precisamente, vale il seguente teorema:

Teorema (CNS di inversione dell’ordine temporale).Condizione necessaria e sufficiente affinche per due eventi A e B non si-multanei ne equilocati nel riferimento inerziale R sia possibile l’inversionedell’ordine temporale in un opportuno riferimento inerziale R′ e che l’inter-vallo temporale ∆t = tB − tA che separa i due eventi in R sia minore deltempo τAB che la luce impiega per percorrere la distanza tra A e B, ovvero:

tB − tA < τAB. (2.6)

Dimostrazione. Per semplicita, supporremo che, in R, gli eventi A e Babbiano luogo sull’asse delle x, e che le loro coordinate x e t verifichino lecondizioni xB > xA e tB > tA (A precede B).

Iniziamo col mostrare che la condizione (2.6) e necessaria.Supponiamo che esista un riferimento inerziale R′ in moto rispetto a R convelocita parallela all’asse x, e tempo t′ tale che t′B < t′A (B precede A).Sfruttando le trasformazioni (1.30), tale condizione puo essere scritta come:

γ

(tB −

β

cxB

)< γ

(tA −

β

cxA

),

19

che possiamo riscrivere come:

tB − tA <β

c(xB − xA) = βτAB < τAB,

in quanto β = vc< 1.

La condizione (2.6) risulta dunque verificata.Mostriamo ora che (2.6) costituisce una condizione sufficiente.

Supponiamo che in R si abbia tB − tA < τAB. Essendo τAB > 0 (gli eventinon sono equilocati) e tB− tA > 0 (gli eventi non sono simultanei), possiamoriscrivere la condizione (2.6) come:

0 <tB − tAτAB

< 1.

Sia β un numero reale tale che:

tB − tAτAB

< β < 1.

Allora, essendo τAB = xB−xAc

, si ha:

tB − tA < βxB − xA

c,

cioe

tB −β

cxB < tA −

β

cxA.

Moltiplicando per γ = 1√1−β2

si ottiene, essendo γ > 1:

γ

(tB −

β

cxB

)< γ

(tA −

β

cxA

), (2.7)

Sia R′ un riferimento inerziale in moto rispetto a R in configurazione x-standard con questo, e velocita romeriana di modulo β. Allora, per le (1.30),gli eventi A e B accadono, in R′, rispettivamente nei seguenti istanti:

t′A = γ

(tA −

β

cxA

)e

t′B = γ

(tB −

β

cxB

)tali che, per la (2.7), t′B < t′A (B precede A). Abbiamo dunque trovato chein R′ risulta invertito l’ordine temporale tra A e B.

20

Capitolo 3

Paradossi di contrazione dellelunghezze

All’inizio di questo capitolo analizzeremo un famoso paradosso, notocome “paradosso della sbarra attraverso la finestra”, suddividendo la tratta-zione in due sezioni: nella prima esamineremo il caso piu generale, mettendoin luce la relativita del concetto di parallelismo e dell’ordine temporale; nellaseconda studieremo il problema in un caso particolare, mostrando che il con-cetto di rigidita non e “ben definito” in relativita (e cio avverra a causa dellanon validita del principio di azione e reazione, e in particolare del principioclassico di propagazione delle interazioni tra due corpi).Infine utilizzeremo il primo paradosso per studiarne un altro, noto come “pa-radosso dell’asta e del fienile”.Alla fine di ciascuna sezione inseriremo un breve paragrafo contenente leconclusioni evidenziate dall’analisi del corrispondente paradosso.

3.1 Paradosso della sbarra attraverso la fine-

stra nel caso generale: vx, vy 6= 0

Il primo paradosso che esamineremo e il paradosso della sbarra attra-verso la finestra, discusso, per esempio, in [3].

Ipotizziamo di avere una sbarra OP in quiete rispetto a un riferimentoR ≡ (O, xyz, t), con un estremo posto nell’origine e l’altro estremo nel se-miasse positivo delle x. Supponiamo che la sua lunghezza a riposo sia l e cheil suo spessore lungo gli assi y e z sia infinitesimo. Chiameremo O “estremosinistro” della sbarra e P “estremo destro” della stessa.

21

Consideriamo un altro riferimento R′ ≡ (O′, x′y′z′, t′), coincidente conR all’istante t = t′ = 0, solidale ad un oggetto che, a riposo, ha la formadi un quadrato A′B′C ′D′ di lato l (vedi figura), avente i lati A′B′ e C ′D′

(che saranno detti “longitudinali”) paralleli all’asse x′, i lati B′C ′ e A′D′

(che chiameremo “trasversali”) paralleli all’asse z′. Chiameremo tale oggetto“finestra” e diremo che in R′ tale oggetto ha ampiezza1 l. Ci riferiremoinoltre al lato A′D′ come al “lato sinistro”, e al lato B′C ′ come al “latodestro”. Ipotizziamo che la finestra abbia spessore infinitesimo lungo l’asseverticale y′ e che il punto medio del lato sinistro coincida con l’origine O′ diR′, come in figura.

Supponiamo, infine, che il riferimento R′ si muova rispetto a R di mototraslatorio rettilineo uniforme, con velocita v = (vx, vy, 0), con vx 6= 0 evy 6= 0 e tali che R′ si avvicini a R per t ≤ 0.

Se ci limitiamo a considerare velocita non relativistiche (γ ' 1), possia-mo trascurare la contrazione di Lorentz-Fitzgerald sui due oggetti. Dunque,sia in R che in R′, la lunghezza della sbarra e l’ampiezza della finestra so-no uguali. Possiamo quindi affermare che, in entrambi i riferimenti, i dueestremi della sbarra toccano i bordi trasversali della finestra, per poi passareattraverso quest’ultima.

1Con “ampiezza” ci riferiamo alla distanza tra i due lati trasversali.

22

Se la velocita v ha modulo confrontabile con c, tuttavia, la conclusionee meno immediata, in quanto, per quanto detto nel paragrafo 2.1:

• nel riferimento R′ (solidale alla finestra), la sbarra risulta contratta indirezione dell’asse x, diventando cosı piu corta dei lati della finestra,i quali restano di lunghezza l. La sbarra passera dunque attraversola finestra, e, sembrerebbe, senza che vi sia contatto con i bordi diquest’ultima;

• nel riferimento R (solidale alla sbarra), e la finestra a subire la con-trazione di Lorenz-Fitzgerald, in direzione degli assi x e z, mentre lasbarra resta di lunghezza l. Quindi, si potrebbe pensare che, fin tantoche la sbarra resta contratta, essa non possa in alcun modo oltrepassarela finestra.

In realta, come mostreremo, sia inR che inR′ la sbarra passa attraversola finestra, toccando, in entrambi i casi, i bordi di quest’ultima.

Riferimento R′ (solidale alla finestra)

Studiamo il problema nel riferimento R′, nel caso in cui la velocita vabbia modulo confrontabile con la velocita della luce. Essendo la sbarra postalungo l’asse x del riferimento R, e avendo lunghezza l in tale riferimento, lecoordinate spazio-temporali dei suoi estremi sinistro e destro rispetto a Rsono:

ctsxsyszs

=

cts000

(estremo sinistro rispetto a R),

ctdxdydzd

=

ctdl00

(estremo destro rispetto a R).

(3.1)

Ricordiamo le trasformazioni di Lorentz generali omogenee da un riferimentoR a un altro riferimento R′:ct′

x′

y′

z′

=

γ −γβx −γβy −γβz−γβx 1 + (γ − 1)βx

2

β2 (γ − 1)βxβyβ2 (γ − 1)βxβz

β2

−γβy (γ − 1)βyβxβ2 1 + (γ − 1)βy

2

β2 (γ − 1)βyβzβ2

−γβz (γ − 1)βzβxβ2 (γ − 1)βzβy

β2 1 + (γ − 1)βz2

β2

ctxyz

,

(1.35)

23

con β = (βx, βy, βz) = (vxc, vyc, vzc

), velocita romeriana di R′ rispetto a R, eβ =

√β2x + β2

y + β2z .

Poiche nel nostro caso vz = 0, si ha β = (βx, βy, 0), dunque le trasformazioni(1.35) si riducono a:

ct′

x′

y′

z′

=

γ −γβx −γβy 0

−γβx 1 + (γ − 1)βx2

β2 (γ − 1)βxβyβ2 0

−γβy (γ − 1)βyβxβ2 1 + (γ − 1)βy

2

β2 0

0 0 0 1

ctxyz

. (3.2)

Applicando tali trasformazioni alle (3.1) otteniamo le coordinate spazio-temporali degli estremi sinistro e destro della sbarra rispetto a R′, daterispettivamente da:

ct′sx′sy′sz′s

=

γ −γβx −γβy 0

−γβx 1 + (γ − 1)βx2

β2 (γ − 1)βxβyβ2 0

−γβy (γ − 1)βyβxβ2 1 + (γ − 1)βy

2

β2 0

0 0 0 1

cts000

=

γcts−γβxcts−γβycts

0

;

ct′dx′dy′dz′d

=

γ −γβx −γβy 0

−γβx 1 + (γ − 1)βx2

β2 (γ − 1)βxβyβ2 0

−γβy (γ − 1)βyβxβ2 1 + (γ − 1)βy

2

β2 0

0 0 0 1

ctdl00

=

γctd − γβxl

−γβxctd +[1 + (γ − 1)β

2x

β2

]l

−γβyctd + (γ − 1)βyβxβ2 l

0

.

24

Ovvero si ottiene:ct′sx′sy′sz′s

=

γcts−γβxcts−γβycts

0

(estremo sinistro rispetto a R′),

(3.3)ct′dx′dy′dz′d

=

γctd − γβxl

−γβxctd +[1 + (γ − 1)β

2x

β2

]l

−γβyctd + (γ − 1)βyβxβ2 l

0

(estremo destro rispetto a R′).

(3.4)

Dalla prima riga dell’equazione (3.3) si puo ricavare cts in funzione di ct′s:

cts =ct′sγ,

e sostituendo l’espressione di cts nella seconda e terza riga di (3.3), otteniamox′s e y′s in funzione di t′s: (

x′sy′s

)=

(−βxct′s−βyct′s

). (3.5)

Analogamente, utilizzando la prima riga di (3.4) si ottiene:

ctd =ct′dγ

+ βxl,

da cui si ricava:(x′dy′d

)=

(−βxct′d − γβ2

xl +[1 + (γ − 1)β

2x

β2

]l

−βyct′d − γβxβyl + (γ − 1)βyβxβ2 l

)

=

(−βxct′d +

[1 + (γ − 1− γβ2)β

2x

β2

]l

−βyct′d + (γ − 1− γβ2)βyβxβ2 l

)

=

(−βxct′d +

(1− γ

γ+1β2x

)l

−βyct′d −γγ+1

βyβxl

).

(3.6)

Nella (3.6), l’ultima uguaglianza e conseguenza delle seguenti identita:

γ − 1− γβ2

β2=γ(1− β2)− 1

β2=

1γ− 1

1− 1γ2

= −1− 1

γ

(1− 1γ)(1 + 1

γ)

= − γ

γ + 1.

25

Vogliamo ora determinare la posizione della sbarra in R′. Essendo essain moto in tale riferimento, le coordinate spaziali dei due estremi devonoessere calcolate in uno stesso istante t′, dunque t′s = t′d. Sotto tale condizionesi ha, utilizzando (3.5) e (3.6):

y′s − y′d =γ

γ + 1βyβxl 6= 0,

ovvero in R′ le quote dei due estremi della sbarra differiscono, in valoreassoluto, di γ

γ+1|βyβx|l. L’estremo sinistro si trovera sopra quello destro se

βyβx > 0 (ovvero se βx e βy sono concordi); se invece βyβx < 0 (quando βx eβy hanno segno opposto), l’estremo sinistro si trovera a una quota inferiorerispetto a quello destro. In ogni caso la sbarra risulta inclinata, rispetto alpiano x′z′, di un angolo θ dato dalla relazione:

tan θ =

∣∣∣∣ y′s − y′dx′s − x′d

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣γγ+1

βyβxl

γ+1−γβ2x

γ+1l

∣∣∣∣∣ =γ |βxβy|

1 + γ(1− β2x). (3.7)

Figura 3.1: In R′ la sbarra risulta inclinata dell’angolo θ rispetto al piano x′z′.Nel disegno si ha βx > 0, βy > 0, percio le componenti di β sono concordi. Diconseguenza, l’estremo sinistro si trova sopra quello destro.

Esaminiamo ora le lunghezze degli oggetti considerati. Essendo R′ so-lidale alla finestra, tutti e quattro i lati di essa restano di lunghezza l, e inparticolare la sua ampiezza rimane pari a l′finestra = l.

26

Per calcolarne la lunghezza della sbarra utilizziamo (3.5) e (3.6) con t′s = t′d.

l′sbarra =√

(x′d − x′s)2 + (y′d − y′s)2

=

√(1− γ

γ + 1β2x

)2

l2 +

(− γ

γ + 1βyβx

)2

l2

= l

√1− 2γ

γ + 1β2x +

(γ

γ + 1

)2

β2x(β

2x + β2

y).

Osserviamo che(

γγ+1

)2β2x(β

2x + β2

y) =(

γγ+1

)2β2x

(1− 1

γ2

)= γ−1

γ+1β2x, per cui:

l′sbarra = l

√1− 2γ

γ + 1β2x +

γ − 1

γ + 1β2x = l

√1− β2

x < l = l′finestra.

Come ci aspettavamo (vedi paragrafo 2.1), inR′ la sbarra risulta contratta (inquanto essa risulta in moto) e quindi la sua lunghezza e inferiore all’ampiezzadella finestra.

Cio nonostante, mostreremo che entrambi gli estremi della sbarra ven-gono a contatto con i bordi trasversali della finestra. Dalla prima riga della(3.5) si puo ricavare ct′s in funzione di x′s:

ct′s = −x′s

βx,

e sostituendo nella seconda riga si ottiene:

y′s =βyβxx′s.

Percio l’estremo sinistro della sbarra passa per il punto O′, dunque viene acontatto con il lato sinistro della finestra, per poi passare attraverso que-st’ultima; dalla (3.5), si vede che questo avviene all’istante t′ = t′Cs = 0.Osserviamo che questo era deducibile dall’ipotesi, posta inizialmente, cheR ≡ R′ (e dunque O ≡ O′) all’istante t = t′ = 0.

Similmente, dalla prima riga della (3.6) si ottiene:

ct′d =1

βx

[−x′d +

(1− γ

γ + 1β2x

)l

],

e quindi la seconda riga puo essere riscritta come:

y′d =βyβx

[x′d −

(1− γ

γ + 1β2x

)l

]− γ

γ + 1βyβxl =

βyβxx′d −

βyβxl =

βyβx

(x′d − l).

27

Dall’ultima equazione si vede che l’estremo destro della sbarra giunge nelpunto (l, 0, 0), punto medio del lato destro della finestra; dalla (3.6), si vedeche il contatto avviene all’istante t′ = t′Cd = −1

cγγ+1

βxl 6= 0: i due estremipassano attraverso la finestra in due istanti differenti. Precisamente:

• se βx > 0 (ovvero vx > 0), si ha t′Cd < t′Cs : l’estremo destro transitaprima di quello sinistro;

• se βx < 0 (cioe vx < 0), allora t′Cd > t′Cs : l’estremo sinistro passaattraverso la finestra prima di quello destro.

Abbiamo dunque mostrato che in R′ la sbarra si inclina dell’angolo θ, inmodo da toccare (in istanti successivi) entrambi i bordi della finestra, perpoi passare attraverso quest’ultima.

Riferimento R (solidale alla sbarra)

Esaminiamo ora la situazione nel riferimento R. Tenendo conto che, inR′, il punto medio del lato trasversale sinistro della finestra coincide con O′,e dista l dal lato opposto, le coordinate spazio-temporali dei punti medi deilati sinistro e destro della finestra rispetto a R′ sono:

ct′sx′sy′sz′s

=

ct′s000

(punto medio del lato sinistro rispetto a R′),

ct′dx′dy′dz′d

=

ct′dl00

(punto medio del lato destro rispetto a R′).

(3.8)

Per ricavare le coordinate rispetto aR applichiamo alle (3.8) le trasformazionidi Lorentz inverse, le quali, per il principio di reciprocita del moto, possonoessere ottenute da (3.2) scambiando le coordinate accentate con quelle nonaccentate e invertendo i segni di βx e βy:

ctxyz

=

γ γβx γβy 0

γβx 1 + (γ − 1)βx2

β2 (γ − 1)βxβyβ2 0

γβy (γ − 1)βyβxβ2 1 + (γ − 1)βy

2

β2 0

0 0 0 1

ct′

x′

y′

z′

. (3.9)

28

Applicando le (3.9) alle (3.8) si trova quindi che i punti medi dei lati sinistroe destro della finestra rispetto a R sono dati da:

ctsxsyszs

=

γct′sγβxct

′s

γβyct′s

0

ctdxdydzd

=

γct′d + γβxl

γβxct′d +

[1 + (γ − 1)β

2x

β2

]l

γβyct′d + (γ − 1)βyβx

β2 l

0

(3.10)

Analogamente a quanto fatto nel riferimento R′, possiamo ricavare t′s e t′d infunzione di ts e di td, ottenendo:

ct′s =ctsγ, ct′d =

ctdγ− βxl. (3.11)

La sostituzione delle (3.11) nelle (3.10) ci permette di trovare le seguentiespressioni delle coordinate spaziali dei punti medi dei lati trasversali sinistroe destro rispetto a R:(xsys

)=

(βxctsβycts

)(3.12)(

xdyd

)=

(βxctd − γβ2

xl +[1 + (γ − 1)β

2x

β2

]l

βyctd − γβyβxl + (γ − 1)βyβxβ2 l

)=

(βxctd +

(1− γ

γ+1β2x

)l

βyctd − γγ+1

βyβxl

).

(3.13)

Poiche rispetto aR la finestra e in moto, per individuare la sua posizioneoccorre determinare le coordinate spaziali dei suoi punti nello stesso istantet. Con ts = td si ha, utilizzando (3.12) e (3.13):

ys − yd =γ

γ + 1βyβxl.

Analogamente a quanto accadeva con la sbarra nel riferimento R′, la finestrarisulta inclinata, rispetto al piano xz, dello stesso angolo θ dato da (3.7).Anche in questo caso, se βx e βy sono concordi, il lato sinistro della finestrasi trova sopra quello destro, con una variazione di quota pari a γ

γ+1βyβxl,

mentre se βx e βy sono discordi e il lato destro a trovarsi sopra quello sinistro,con la stessa differenza di altezza.

29

Figura 3.2: In R la finestra risulta inclinata, rispetto al piano xz, dell’angolo θ, lostesso angolo di inclinazione della sbarra inR′ rispetto al piano x′z′. Nell’immagineβx e βy sono entrambi positivi, pertanto il lato sinistro si trova sopra quello destro.

Studiamo ora le dimensioni dei due oggetti. La lunghezza della sbarrain R e pari a l, ovvero alla sua lunghezza a riposo: lsbarra = l.L’ampiezza della finestra in R e data da:

lfinestra =√

(xd − xs)2 + (yd − ys)2

=

√(1− γ

γ + 1β2x

)2

l2 +

(γ

γ + 1βxβy

)2

l2

= l√

1− β2x < l = lsbarra,

dove, analogamente a quanto fatto in R′, abbiamo posto ts = td nelle coordi-nate dei punti medi della finestra. Quindi, in R, la finestra risulta contratta,e la sua ampiezza risulta inferiore alla lunghezza della sbarra (coerentementecon la teoria sulla contrazione delle lunghezze).

Vogliamo ora mostrare che i due punti medi della finestra finora esami-nati toccano gli estremi della sbarra. Allo stesso modo di quanto fatto nelriferimento R′, da (3.12) e (3.13) ricaviamo:

ys =βyβxxs, yd =

βyβxxd −

βyβxl =

βyβx

(xd − l),

Dunque l’estremo sinistro raggiunge il punto O, e quello destro passa per(l, 0, 0), ovvero per l’estremo destro della sbarra. Pertanto, nonostante siabbia lfinestra < lsbarra, non vi e collisione tra i due oggetti: anche in questocaso la sbarra passa attraverso la finestra, e cio e dovuto all’angolo θ con cuiquest’ultima si inclina.

30

Analogamente a quanto accade in R, i punti medi della finestra oltre-passano la sbarra in istanti differenti: infatti, dalla (3.12) si vede che il puntomedio del lato trasversale sinistro giunge in O all’istante

t = tCs = 0,

e dalla (3.13), si ricava che il punto medio del lato destro entra in contattocon l’estremo destro della sbarra all’istante t = tCd = 1

cγγ+1

βxl. Percio:

• per βx > 0 si ha tCd > tCs : l’estremo sinistro della sbarra passa attraversola finestra per primo;

• per βx < 0 si ha tCd < tCs : l’estremo destro della sbarra entra nellafinestra prima dell’estremo sinistro.

Conclusioni

Abbiamo quindi mostrato che, sia a velocita relativistiche che non, eindipendentemente dal riferimento considerato, avviene lo stesso fenomeno:ovvero, a prescindere dal fatto che la contrazione sia trascurabile o meno edal fatto che essa possa operare su un oggetto o sull’altro, la sbarra passaattraverso la finestra, e i suoi estremi toccano i bordi di quest’ultima. Cioe in accordo con il fatto che la teoria della relativita contiene, come casolimite (v � c), la teoria classica della fisica. La spiegazione di questo fatto epero diversa a seconda che si cerchi di interpretare il fenomeno per velocitamolto minori di quella della luce o per velocita relativistiche: nel primo caso,il fenomeno e causato dalle uguali dimensioni della sbarra e della finestra;a velocita relativistiche, invece, uno degli oggetti (quello in moto rispettoal riferimento considerato) si inclina in modo da bilanciare l’effetto dellacontrazione che agisce sull’altro oggetto.

Cio mostra chiaramente che, in relativita, se un corpo si muove rispettoa un dato riferimento, anche i suoi angoli possono risultare alterati, cosıcome avviene con le sue lunghezze. Di conseguenza, il parallelismo non eun concetto assoluto: due rette che in un certo istante sono parallele in unriferimento possono non essere tali rispetto a un altro riferimento. Questofatto si vede infatti molto bene nell’esempio appena analizzato: infatti, i latilongitudinali della finestra sono paralleli alla sbarra sia in R che in R′ solose i due oggetti sono in quiete relativa o se uno di essi si muove con velocitav � c.

Possiamo notare una significativa differenza tra cio che accade in R e cioche si verifica inR′: come abbiamo visto nei rispettivi paragrafi, se βx > 0, inR′ l’estremo destro passa per primo attraverso la finestra (t′Cd < t′Cs ), mentre

31

in R e l’estremo sinistro a transitare per primo (tCd > tCs ); se invece βx < 0,sia in R che in R′ avviene il contrario.

Nei due riferimenti, dunque, risulta invertito l’ordine temporale dei dueeventi rappresentati dal passaggio dei due estremi della sbarra attraverso lafinestra. Infatti, per ogni valore di βx e βy e verificata la condizione necessariae sufficiente di inversione dell’ordine temporale (vedi condizione 2.6), che, nelriferimento R, e:

|tCd − tCs | < τds, (3.14)

dove τds e il tempo che la luce impiega per propagarsi da un estremo dellasbarra all’altro.Mostriamo che la disuguaglianza (3.14) e verificata. Poiche in R la distanzatra i due estremi della sbarra e pari alla lunghezza a riposo di questa, si haτds = l

c. La (3.14) assume dunque la forma:∣∣∣∣1c γ

γ + 1βxl

∣∣∣∣ < l

c,

ovvero:γ

γ + 1|βx| < 1,

che risulta vera per ogni valore di γ e βx, in quanto γγ+1

e |βx| = |vxc| sono

entrambi inferiori a 1.Di conseguenza, per il teorema di inversione dell’ordine temporale, in ogniriferimento che si muove, rispetto a R, con velocita romeriana α di modulo

α >|td − ts|τds

, (3.15)

l’ordine temporale con cui gli estremi della sbarra attraversano la finestra einvertito rispetto all’ordine in R.Vogliamo ora mostrare che, scegliendo α = β =

√β2x + β2

y , la disuguaglianza(3.15) e verificata, ovvero che in R′ 2, in accordo con i calcoli fatti preceden-temente, si ha un’inversione dell’ordine temporale rispetto a R.Riscrivendo la condizione (3.15) come:

α >γ

γ + 1|βx| =

1√1− β2

√1− β2

1 +√

1− β2|βx|,

si ottiene:

α >|βx|

1 +√

1− β2.

2Ricordiamo che R′ si muove con velocita romeriana di modulo β.

32

Quindi, per α = β si ha:√β2x + β2

y

(1 +

√1− β2

x − β2y

)> βx

Poiche√β2x + β2

y > βx e 1 +√

1− β2x − β2

y > 1, la condizione (3.15) risultaverificata per ogni valore di βx e βy, come volevamo dimostrare.

3.2 Paradosso della sbarra attraverso la fine-

stra in un caso particolare: vx 6= 0, vy =

0

Ipotizziamo che R′ si muova, rispetto a R, di moto traslatorio rettilineouniforme con velocita v = (v, 0, 0)3, ovvero parallela all’asse x, e che la suaorigine O′ si muova sull’asse x. Possiamo, in aggiunta, supporre v < 0, ovveroche il moto di R′ rispetto a R avvenga in senso opposto all’asse x ≡ x′. Diconseguenza, la velocita romeriana di R′ rispetto a R e β = (β, 0, 0), conβ < 0. Ipotizziamo, infine, che intorno al punto medio O′ del lato sinistrodella finestra vi sia una piccola apertura, cosı da rendere possibile il passaggiodell’estremo destro della sbarra attraverso di essa.

Nel riferimento solidale alla finestra e facile immaginare che l’intera sbar-ra entrera in essa, in quanto in tale riferimento la sbarra, per la contrazionedelle lunghezze, risultera piu corta della finestra; nel riferimento solidale al-la sbarra, invece, l’ampiezza della finestra sara inferiore alla lunghezza dellasbarra, il che puo far apparire controintuitivo il fatto che l’intera sbarra possaentrare nella finestra.

Ricordiamo, tuttavia, che per il principio di relativita ogni esperienzafisica deve avere lo stesso esito in ogni riferimento inerziale: non e dun-

3In questa sezione indicheremo con v e β le velocita con segno rispettivamente di v edi β. Si noti quindi la differente notazione rispetto a quella utilizzata nel paragrafo 3.1.

33

que possibile che, in R′, la sbarra passi all’interno della finestra e che in Rl’estremo sinistro resti al di fuori di essa!

Riferimento R′ (solidale alla finestra)

Iniziamo con lo studio del problema in R′. Ricordiamo le espressionidelle coordinate degli estremi della sbarra in R:

ctsxsyszs

=

cts000

(estremo sinistro rispetto a R),

ctdxdydzd

=

ctdl00

(estremo destro rispetto a R),

(3.1)

In forma matriciale, le trasformazioni speciali di Lorentz daR aR′ assumonola forma:

ct′

x′

y′

z′

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

ctxyz

. (3.16)

Applicando tali trasformazioni alle (3.1) possiamo determinare le coordinatespazio-temporali degli estremi sinistro e destro della sbarra in R′:

ct′sx′sy′sz′s

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

cts000

=

γcts−γβcts

00

;

ct′dx′dy′dz′d

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

ctdl00

=

γctd − γβl−γβctd + γl

00

.

34

Ovvero le coordinate degli estremi della sbarra rispetto a R′ sono date da:ct′sx′sy′sz′s

=

γcts−γβcts

00

(estremo sinistro rispetto a R′); (3.17)

ct′dx′dy′dz′d

=

γctd − γβl−γβctd + γl

00

(estremo destro rispetto a R′). (3.18)

Vediamo dunque che, a differenza del caso generale, si ha y′s = y′d = 0, percioentrambi gli estremi si trovano sull’asse x′, e la sbarra non risulta quindiinclinata, cioe θ = 0.

Per calcolare la lunghezza della sbarra in R′, dobbiamo ricavare x′s e x′din funzione di t′. Utilizzando le prime righe di (3.17) e di (3.18) otteniamo:

cts =ct′sγ, ctd =

ct′dγ

+ βl.

Le quali, sostituite nelle espressioni di x′s e x′d, permettono di ottenere:

x′s = −βct′s (3.19)

x′d = −βct′d − γβ2l + γl = −βct′d + γ(1− β2)l = −βct′d +√

1− β2l, (3.20)

essendo γ = 1√1−β2

.

Poiche la sbarra e in moto rispetto a R′, per determinarne la posizioneoccorre porre t′s = t′d, ottenendo cosı:

l′sbarra =√

(x′d − x′s)2 = x′d − x′s =√

1− β2l < l.

Percio la sbarra, essendo in moto rispetto a R′, risulta contratta del fattore√1− β2 (risultato atteso da quanto detto nel paragrafo 2.1).

Da (3.20) troviamo che l’estremo destro della sbarra raggiunge il punto(l, 0, 0), ossia si trova a contatto con il bordo destro della finestra, all’istante

t′C = − l

βc(1−

√1− β2).

In tale istante l’estremo sinistro, per la (3.19), si trova nella posizione

x′C = l(

1−√

1− β2)> 0.

Dunque, come ci aspettavamo, la sbarra entra completamente all’internodella finestra.

35

Riferimento R (solidale alla sbarra)

Esaminiamo il problema in R. Le coordinate dei punti medi dei latitrasversali della finestra rispetto a R′ sono date da:

ct′sx′sy′sz′s

=

ct′s000

(punto medio del lato sinistro rispetto a R′),

ct′dx′dy′dz′d

=

ct′dl00

(punto medio del lato destro rispetto a R′).

(3.8)

Applicando ad esse le inverse delle (3.16) otteniamo le coordinate dei puntimedi dei lati sinistro e destro rispetto a R:

ctsxsyszs

=

γ γβ 0 0γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

ct′s000

=

γct′sγβct′s

00

,

ctdxdydzd

=

γ γβ 0 0γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

ct′dl00

=

γct′d + γβlγβct′d + γl

00

.

Da tali equazioni si vede che, analogamente a quanto accade in R′, i duepunti si trovano allineati sull’asse delle x, e la sbarra non risulta inclinata,ovvero θ = 0.Calcoliamo ora xs e xd in funzione di t:

ct′s =ctsγ, ct′d =

ctdγ− βl,

dalle quali otteniamo:

xs = βcts, (3.21)

xd = βctd − γβ2l + γl = βctd +√

1− β2l. (3.22)

Siamo ora in grado di ricavare l’ampiezza della finestra in R. Infatti,poiche in tale riferimento la finestra e in moto, per determinarne l’ampiezzaponiamo ts = td nelle (3.21), (3.22), e troviamo:

lfinestra =√

(xd − xs)2 = xd − xs =√

1− β2l < l = lsbarra.

36

Percio l’ampiezza della finestra risulta inferiore alla lunghezza della sbarra,la quale resta uguale alla sua lunghezza l di riposo.

Cio nonostante, come mostreremo, entrambi gli estremi della sbarra pas-sano attraverso la finestra.Il punto medio del lato trasversale destro della finestra, per la (3.22), rag-giunge l’estremo destro della sbarra, ossia il punto (l, 0, 0), all’istante

tC =l

βc

(1−

√1− β2

).

All’istante del contatto, per la (3.21), il punto O′ della finestra si trova nellaposizione

xC = l(

1−√

1− β2)> 0,

dunque l’estremo sinistro della sbarra si trova ancora al di fuori della finestra,come si poteva prevedere dalla contrazione di questa.

Tuttavia, ricordiamo che in relativita ogni interazione tra due corpi sipropaga con velocita finita. Di conseguenza, all’istante tC in cui l’estremodestro va a contatto con il bordo sinistro della finestra, il segnale di tale con-tatto non ha ancora raggiunto l’estremo sinistro, che di conseguenza continuaa muoversi verso destra fin quando non viene raggiunto dall’onda d’urto, sesupponiamo che il materiale con cui la finestra e realizzata sia resistente agliurti. Ricordiamo, inoltre, che la velocita di propagazione di un segnale nonpuo essere superiore a c. Percio, se il fronte d’onda si propagasse dall’estre-mo (l, 0, 0) all’estremo (0, 0, 0) con la massima velocita possibile, in R la suaequazione di moto lungo l’asse x sarebbe data da:

x = l − ct (per t ≥ tC ), (3.23)

essendo l la posizione del fronte d’onda all’istante t = 0.L’istante tR in cui l’estremo sinistro della sbarra riceve il segnale dell’urtocorrisponde all’istante in cui il fronte d’onda raggiunge la posizione x = 0,dunque tR = l

c.

Il bordo sinistro della finestra si muove, in R, secondo la legge:

x = xC + vt = l(

1−√

1− β2)

+ vt (per tC ≤ t ≤ tR). (3.24)

Dunque, per t = tR = lc, O′ si trova in:

xR = l(

1−√

1− β2)

+ vl

c= l(

1−√

1− β2)

+ βl

= l(

1 + β −√

(1 + β)(1− β))

< l(

1 + β −√

(1 + β)2)

= l (1 + β − 1− β) = 0.

37

La disuguaglianza e verificata in quanto β < 0; pertanto si ha xR < 0: almomento della ricezione del segnale, l’estremo sinistro della sbarra si trovagia all’interno della finestra!

Abbiamo dunque dimostrato che anche in R l’intera sbarra entra nellafinestra.

Conclusioni

In entrambi i riferimenti, in accordo con il principio di relativita, la sbar-ra passa attraverso la finestra, sebbene questo accada per ragioni differenti:

• in R′, cio e dovuto alla contrazione di Lorentz-Fitzgerald, per effettodella quale la sbarra diventa piu corta della finestra;

• in R, la contrazione agisce sulla finestra invece che sulla sbarra, e sem-brerebbe dunque ostacolare quest’ultima nell’entrare completamentenella finestra; abbiamo tuttavia dimostrato che l’intera sbarra entra, acausa dell’intervallo temporale tra l’invio del segnale del contatto e laricezione di quest’ultimo da parte dell’estremo sinistro della sbarra.

Osserviamo che lo studio del problema nel riferimentoR ci porta a concludereche il concetto di rigidita deve essere abbandonato in meccanica relativistica,pur essendo fondamentale in meccanica classica. Se infatti la sbarra, la cuilunghezza a riposo e uguale a l, restasse rigida, non potrebbe entrare inuna regione di ampiezza inferiore a l; pertanto, essa deve necessariamentedeformarsi!

38

Applicazione del paradosso della sbarra attra-

verso la finestra

Sulla base di quanto esposto nella precedente sezione, possiamo fornireun’adeguata descrizione del seguente paradosso, trattato in [5]4.

Consideriamo un’asta avente lunghezza propria lA = 2 m, puntata indirezione della porta aperta di un ripostiglio il quale, in un suo riferimentodi quiete, ha la forma di un cubo il cui spigolo interno misura lR = 1 m.Supponiamo, in aggiunta, che la parete del ripostiglio opposta alla portad’ingresso sia realizzata con un materiale resistente agli urti.

Sia R ≡ (O, xyz, t) un riferimento, comobile con l’asta, avente originenell’estremo piu vicino al ripostiglio (estremo 2), l’asse x parallelo all’asta ediretto verso il ripostiglio, e gli assi y e z scelti in modo che la terna (x, y, z)sia trirettangola e levogira.

Sia R′ ≡ (O′, x′y′z′, t′) un riferimento, solidale al ripostiglio, aventeorigine in un punto O′ sulla parete posteriore del ripostiglio, all’altezza dellaporta di ingresso, e l’asse x′ parallelo ad equiverso all’asse x.

Supponiamo che un uomo solidale a R impugni l’estremo 1 dell’asta esi muova, rispetto a R′, verso il punto O′, alla velocita costante v = (v, 0, 0),con v = 0, 866c, tenendo la punta dell’asta (estremo 2) davanti a se. L’astarisulta dunque parallela alla direzione del moto. Ipotizziamo, infine, che iltempo t′ di R′ sia tale che per t = t′ = 0 si abbia R ≡ R′ (cioe all’istantet = t′ = 0 l’estremo 2 dell’asta si trova a contatto con la parete posterioredel ripostiglio).

Vogliamo studiare il problema nei due differenti riferimenti. Il fattore diLorentz della trasformazione da R a R′ e pari a:

γ(v) =1√

1− v2

c2

' 1√1− 0, 75

=1√

0, 25=

1

0, 5= 2.

Riferimento R′ (solidale al ripostiglio)

Essendo nella stessa situazione del caso della sbarra attraverso la finestra(o, piu semplicemente, ricordando la teoria sulla contrazione delle lunghezze),sappiamo che la lunghezza della sbarra in R′ e:

l′asta =lAγ

= 1 m,

4Tale paradosso e noto come “paradosso dell’asta e del fienile”. Le uniche differenzerispetto al paradosso descritto in questa tesi riguardano le unita di misura adottate.

39

in quanto, per quanto detto precedentemente, γ ' 2.Il ripostiglio, invece, e in quiete, quindi la sua ampiezza resta pari a quella ariposo:

l′ripostiglio = lR = 1 m,

coincidente con la lunghezza dell’asta.Dunque, all’istante t′ = 0 in cui l’estremo 2 urta la parete posteriore delripostiglio, l’estremo 1 si trova all’interno (ovvero l’intera asta e dentro ilripostiglio). Essendo la parete posteriore del ripostiglio resistente agli urti,essa non si rompe all’impatto con l’asta; dunque, l’asta si puo racchiuderenel ripostiglio.

Figura 3.3: Un osservatore solidale a R′ (ovvero al ripostiglio) vede l’asta contrat-ta muoversi con velocita v verso il ripostiglio, le cui dimensioni restano inalterateperche esso e in quiete rispetto a R′.

Riferimento R (comobile con l’asta)

Esaminiamo ora la situazione nel riferimento R comobile con l’asta. Lalunghezza di quest’ultima in R resta pari alla sua lunghezza a riposo:

lasta = lA = 2 m.

Il ripostiglio, invece, si muove verso l’asta con velocita −v; pertanto le paretiparallele all’asta (ovvero alla direzione del moto) subiscono la contrazione diLorentz-Fitzgerald, e misurano quindi

lripostiglio =lRγ

= 0, 5 m =lA4.

Quindi, all’istante t = 0 in cui la parete posteriore del ripostiglio urta l’e-stremo 2 dell’asta, solo 0, 5 m di asta si trovano all’interno del ripostiglio,mentre i restanti 1, 5 m si trovano all’esterno!

Per spiegare cosa accade in R, ribadiamo quanto detto nella sezioneprecedente: il principio della meccanica classica secondo il quale le interazionitra due corpi si propagano con velocita infinita non ha alcun significato inrelativita. Di conseguenza, all’istante t = 0 del contatto, il segnale dell’urto

40

Figura 3.4: Un osservatore solidale a R (ovvero all’asta), vede il ripostiglio con-tratto muoversi con velocita −v verso l’asta, che e ferma. Ricordiamo che le paretiperpendicolari alla direzione del moto (e dunque anche la porta di ingresso) nonvengono contratti, e la loro lunghezza resta quindi pari a quella a riposo.

non ha ancora raggiunto il primo estremo dell’asta. Cio significa che l’impattotra l’asta e la parete (che, ricordiamo, e resistente agli urti) non frena l’uomoche sorregge l’asta, il quale, in R′, continua a muoversi senza ostacolo versola parete (equivalentemente, in R, il ripostiglio continua a muoversi versol’estremo 1) fin quando l’onda d’urto non raggiunge il primo estremo dell’asta,e quindi l’uomo che la porta.

Supponiamo che il segnale si trasmetta con la massima velocita possibile,ovvero c. Allora esso si propaga, in R, secondo la seguente legge:

x = −ct (per t ≥ 0).

L’istante tR in cui l’uomo riceve il segnale corrisponde all’istante, nel tempodi R, in cui il fronte d’onda raggiunge la posizione x = −lA, dunque:

tR =lAc.

La posizione della parete frontale del ripostiglio e legata al tempo t dallarelazione seguente:

x = x0 − 0, 866ct (per 0 ≤ t ≤ tR),

dove x0 = − lA4

(posizione della parete frontale rispetto all’estremo 2 all’i-stante t = 0 dell’urto).All’istante t = tR, la parete frontale si trova dunque in:

x = − lA4− 0, 866c

l

c= −2, 232 m,

ovvero oltre l’estremo 1.

Conclusioni

Il fenomeno analizzato e simile a quello analizzato nella sezione 2, conl’importante differenza che la lunghezza dell’asta e nettamente maggiore del-l’ampiezza del ripostiglio. Cio nonostante, la considerevole velocita alla quale

41

avviene il moto relativo dei due oggetti (v = 0, 866c) compensa la differenzatra le due lunghezze, permettendo il fenomeno in entrambi i riferimenti: inR′, la velocita dell’asta e tale da dimezzare la sua lunghezza; in R, l’elevatavelocita del riferimento solidale al ripostiglio causa un notevole ritardo nellapropagazione dell’onda d’urto, con conseguente deformazione dell’asta, tan-to che quest’ultima puo essere fatta entrare in una stanza la cui ampiezzadiventa pari a 1

4della lunghezza dell’asta.

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Bibliografia

[1] Francesco Borghero, Appunti sulla teoria della Relativita Ristretta,Cagliari, 2013, inedito.

[2] Albert Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Korper (Sull’elettro-dinamica dei corpi in movimento), Annalen der Physik, vol. 322,1905.

[3] Jurgen Freund, Special Relativity for Beginners: A Textbook forUndergraduates, Singapore, World Scientific, 2008.

[4] Max Planck, Ueber die Elementarquanta der Materie und der Elektri-citat (Sui quanti elementari della materia e dell’elettricita), Annalender Physik, vol. 309, 1901.

[5] Wolfgang Rindler, Relativity: Special, General and Cosmological,second edition, New York, Oxford University Press, 2006.

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