Alcune nozioni di Statistica

La statistica è un insieme di metodi che servono a descrivere ed elaborare i dati relativi ad un determinato insieme di individui.

Tale insieme di individui è chiamato popolazione.

Per popolazione si intende quindi un gruppo di individui che è oggetto di osservazione e di studio.

Questi individui possono essere, per esempio, persone, animali, cellule, geni, batteri, ecc.

In particolare, uno degli obiettivi della statistica descrittiva èquello di descrivere una grande quantità di dati in maniera piùchiara e sintetica mediante

-Strumenti grafici

diagrammi, grafici, ecc.

- Strumenti matematici

numeri che forniscono una informazione sul comporta-mento della popolazione

Esempio

Supponiamo di voler effettuare una analisi statistica sui giudizi finali che gli studenti della Facoltà di Farmacia hanno assegnato al corso “Matematica e AbilitàInformatiche” …

In questo caso:

Popolazione = {studenti della Facoltà di Farmacia che anno seguito il corso di Matematica}

Quindi un insieme di 200 individui

Il numero di dati è piuttosto elevato …

… si pone quindi il problema di come descriverli

Un primo modo per schematizzare i dati èscriverli su una tabella:

5Studente n. 200

……

……

……

……

6Studente n. 2

4Studente n. 1

Giudizio (da 1 a 10)

È sufficiente tale tabella per descrivere con chiarezza il

giudizio degli studenti?

Quale è il giudizio dello “studente medio”?

Quanto vari sono stati i giudizi?

Innanzitutto riorganizziamo la nostra tabella per renderla piùleggibile …

Chiediamoci:

- quanti studenti hanno dato un giudizio di 1?- quanti studenti hanno dato un giudizio di 2?……- quanti studenti hanno dato un giudizio di 10?

Effettuiamo tale conteggio ed in tal modo costruiamo una nuova

tabella

210

39

208

257

256

405

254

303

202

101

FrequenzaVoto

Questa tabella si chiama tabella delle

frequenze

10 studenti hanno assegnato voto “1”

20 studenti hanno assegnato voto “2”

Questo modo di rappresentare i dati è già più chiaro e utile della tabella iniziale.

Per esempio, emerge chiaramente come i giudizi positivi siano abbastanza esigui.

C’è un modo ancor più chiaro per visualizzare tale tabella …

… rappresentarla mediante uno speciale grafico, chiamato istogramma

Si costruiscono 10 rettangoli – uno per ciascun voto – di altezza pari alla relativa frequenza

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Voto

Fre

qu

en

za

Tale rappresentazione grafica dà un “colpo d’occhio” del

fenomeno oggetto di studio.

Tuttavia non risolve alcune esigenze di tipo “quantitativo”.

Per esempio non riesce a dare una risposta convincente a queste domande:

- qual è stato il giudizio dello “studente medio”?- c’è stato un miglioramento o un peggioramento rispetto agli anni precedenti?

Per rispondere a queste domande, i grafici da soli non bastano.

Si introducono quindi alcuni numeri che forniscono una informazioni quantitative sul fenomeno analizzato.

Tali indicatori si dividono in due categorie:

- indicatori di posizione

(media, mediana)

- indicatori di dispersione

(varianza, deviazione standard)

Media aritmetica

Dati n numeri x1, x2, …, xn (osser-vazioni della grandezza in esame), la loro media aritmetica è il nume-ro

∑=

=+++

=n

i

in x

nn

xxxx

1

21 1⋯

Esempio

Un malato si misura la febbre ogni 4 ore a partire dalle 7 di mattina fino alle 23, registrando i seguenti dati:

37,9°Ore 23

38,5°Ore 19

38,8°Ore 15

38°Ore 11

37,5°Ore 7Calcola la temperatura media.

In questo caso abbiamo che

x1 = 37,5x2 = 38x3 = 38,8x4 = 38,5x5 = 37,9

Pertanto

14,385

7,1905

9,375,388,38385,37==

++++=x

Tornando all’esempio dei giudizi degli studenti …

… come calcolare il “giudizio medio”?

Quando i dati sono forniti mediante una tabella delle frequenze

fkxk

……

f2x2

f1x1

frequenzadato allora la media aritmetica si calcola considerando ciascun dato xi con la rispettiva frequenza fi

∑

∑

=

==+++

+++=

k

i

i

k

i

ii

k

kk

f

xf

fff

xfxfxfx

1

1

21

2211

......

Parliamo di media ponderata

Siamo quindi finalmente in grado di calcolare il “giudizio medio” degli studenti.

210

39

208

257

256

405

254

303

202

101

FrequenzaVoto

Tenendo conto che, nel nostro caso, la tabella delle frequenze è data dalla tabella a sinistra, la media è data da:

9,4200972

23202525402530201010293820725625540425330220110

==

+++++++++

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=x

La media aritmetica non èl’unico tipo di media.

Ci sono situazioni in cui la media aritmetica non è un

numero adatto per descrivere il comportamento medio di una

serie di dati.

Esempio

Una colonia di batteri consiste di 2,7·106 unità. Dopo un’ora vi è un aumento del 30% e dopo un’altra ora di un ulteriore 50%. Calcolare l’incremento medio.

Il numero iniziale di batteri èN0 = 2,7·106

Dopo un’ora èN1 = N0 + 30/100 N0 = 3,5·106

Dopo due ore èN2 = N1 + 50/100 N1 = 5,26·106

Ci aspettiamo che l’incremento medio è quella percentuale m%che, applicata successivamente

dopo un’ora e dopo due ore, porta allo stesso numero di batteri che abbiamo trovato

applicando prima un aumento del 30% e poi uno del 50%.

Proviamo ora a calcolare la media aritmetica dei due incrementi.

Il primo incremento è 1,3 (=1+30/100)

Il secondo è 1,5 (=1+50/100)

Quindi la media aritmetica degli incrementi sarà

(1,3 + 1,5) / 2 = 2,8 / 2 = 1,4

che corrisponde ad un aumento medio percentuale del 40%

Tuttavia, se proviamo ad applicare per due volte un

aumento del 40% al numero di batteri, otteniamo che …

Dopo un’ora i batteri sono:

N1 = N0 + 40/100 N0 = 1,4 N0 = 3,8·106

Dopo due ore

N2 = N1 + 40/100 N1 = 1,4 N1 = 5,29·106

I conti non tornano …

otteniamo più batteri applicando due volte un aumento del 40% rispetto ad applicare prima il

30% e poi il 50%

La media aritmetica non èadeguata per questa situazione.

Si utilizza un altro tipo di media, chiamata media geometrica.

Dati n numeri x1, x2, …, xn

positivi, la loro media geometrica è per definizione il

numero

nng xxxM ⋯21 ⋅=

Nell’esempio dei batteri avevamo trovato che- incremento dopo 1 ora = 1,3- incremento dopo 2 ore = 1,5La media geometrica degli incrementi èdunque

che corrisponde ad un aumento medio del 39,64%

3964,195,15,13,12 ==⋅=gM

Si può verificare che questo è il numero “giusto”.

Cioè, applicando due volte un aumento del 39,64% si ottiene

lo stesso numero di batteri finale.

La media geometrica si utilizza

- ogni qualvolta si vuole trovare la media degli incrementi- se i dati hanno una “progressione geometrica”

Una serie di numeri

x1, x2, …, xn

si dicono in progressione geometrica se il rapporto di due qualsiasi numeri consecutivi è

costante, cioè

costante1 =+

i

i

x

x

Per esempio

3, 6, 12, 24, 48

sono numeri in progressione geometrica, poiché il rapporto

tra due qualsiasi numeri consecutivi è sempre 2 (6/3,

12/6, 24/12, 48/24).

EsempioSi registrano i seguenti dati relativi alla concentrazione plasmatica di un farmaco assunto da un paziente

5160

6440

8020

1000

ConcentrazioneTempo (min.)

Si calcoli la media geometrica della concentrazione

Si ha che che

48,715164801004 =⋅⋅⋅=gM

Si noti che da

nng xxxM ⋯21=

segue

( ) ( )

( )

( ).logloglog1

log1

logloglog

21

21

1

2121

naaa

na

nna

nnaga

xxxn

xxxn

xxxxxxM

+++=

⋅=

⋅=⋅=

⋯

⋯

⋯⋯

Cioè il logaritmo della media geometria è la media aritmetica

dei logaritmi dei singoli dati.

Per ragioni dovute al fatto che la risposta ad uno stimolo non è

proporzionale allo stimolo stesso ma al suo logaritmo (legge di Weber), la media

geometrica trova applicazioni in farmacologia e in altri contesti.

Non deve allora stupire se nei foglietti illustrativi di alcuni farmaci si parla di “media

geometrica”…

Nel foglietto illustrativo della Ciprofloxacina è scritto …

«Concentrazioni plasmatiche massime di 1,42 mg/L (media

geometrica) vengono raggiunte da 1 a 4 ore dopo la somministrazione»

C’è infine un altro indicatore di centralità ….

… la mediana

La mediana è il valore Me che occupa la posizione centrale in

un insieme ordinato di dati.

Per calcolarla è necessario

1. Disporre i valori in ordine crescente numero totale n di dati.

2. Se il numero n di dati è dispari, la mediana corrisponde al valore numerico del dato centrale, quello che occupa la posizione (n+1)/2.

3.se il numero n di dati è pari, la mediana èla media aritmetica tra i dati che occupano la posizione n/2 e n/2+1.

Esempio

Viene testato un farmaco su un gruppo di 11 pazienti. La risposta del farmaco negli 11 pazienti è rappresentata dal tempo libero da malattia, espresso in mesi:

4 - 3,2 - 5 - 8 - 2 - 6 - 9 -4,3 - 6,6 - 7 - 8

Calcolare la mediana della risposta del farmaco.

4 - 3,2 - 5 - 8 - 2 - 6 - 9 -4,3 - 6,6 - 7 - 8.

Per prima cosa, mettiamo in ordine crescente i dati:

2 3,2 4 4,3 5 6 6,6 7 8 8 9

Me = 6, cioè è quel dato che divide esattamente a metà i dati (dopo che sono stati ordinati)

EsempioSupponiamo, nell’esempio precedente, di disporre dei dati relativi a 12 pazienti:4 - 3,2 - 5 - 8 - 2 - 6 - 9 -

4,3 - 6,6 - 7 - 8 - 7Si calcoli la mediana.

Disponiamo ancora una volta i dati in ordine crescente:

2 3,2 4 4,3 5 6 6,6 7 7 8 8 9

Poiché questa volta n = 12 = numero parisi ha

Me = (6 + 6,6) / 2 = 6,3

La caratteristica principale della mediana è che essa è poco o influenzata da dati anomali.

Si ricorre al suo uso quando si vuole attenuare l’effetto di valori

estremi.

EsempioSi calcoli la media aritmetica e la mediana della seguente serie di misure:2,5 - 1 - 3 - 14 - 4

media = (2,5 + 1 + 3 + 14 + 4) / 5 = 4,9 mediana = 3