Indice

Formazione della mente

logico-matematica

I° piano psicoaritmetica

Il numero nel tempo (storia della numerazione)

1° piano della psicoaritmetica (1-10)

o Conoscenza delle quantità:

Aste numeriche

Cifre smerigliate

Fuselli

Gettoni

o Giochi per la conoscenza delle quantità entro il 10:

bastoncini di perle colorate, gioco dello zero, gioco dei

cubetti

o Conoscenza dei simboli entro il 10

o Serpente positivo di primo livello

o Serpente dell’addizione di secondo livello

II° piano psicoaritmetica

2° piano della psicoaritmetica (1-1000)

o Prima presentazione del sistema decimale

o Quantità perle dorate

o I simboli → cartellini da 1 a 9000 (1-9 verde; 10-90

blu; 100-900 rossi; 1000-9000 verdi)

o Appaiamento simboli quantità

o Formazione dei grandi numeri del sistema decimale

o Esercizi paralleli al sistema decimale

o Prima tavola del Seguin: lavoro con l’alfabetario

o Seconda tavola del Seguin

o Catena del 100

o Catena del 1000

o Gioco del cambio

o La morte del mille

o Materiale per la numerazione (tavole asticine)

o Operazioni: addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni,

divisioni e relative tavole di confronto

o Operazioni statiche -senza cambio- (addizione,

moltiplicazione, sottrazione, divisione)

o Operazioni dinamiche (addizione, moltiplicazione,

sottrazione, divisione)

o Materiale delle frazioni-I livello

Il numero nel tempo

(storia della numerazione)

Il titolo di questa relazione è un invito a compiere un viaggio nel

passato, in un passato lontanissimo in cui gli uomini si unirono in

comunità, crearono villaggi…città.

Cominciarono a calcolare i loro beni e l’arte del contare sorse

come necessità della convivenza quotidiana.

Il Dottor Mario Montessori diceva in proposito che per molto

tempo gli uomini primitivi contarono e barattarono i loro oggetti

fino a 2 o a 3, indicando le maggiori quantità con l’aggettivo

“molti”. I simboli di queste numerazioni erano tacche fatte su

assicelle, nodi su corde, sassolini o conchiglie (sistema ancora

usato dai Boscimani), segni sulle rocce. Poi con il progredire

della società si passò al conteggio delle dita della mano (sistema

quinario e sistema decadico) e a contare per venti (dita delle mani

e dei piedi).

Passarono millenni prima che la numerazione parlata fosse

rappresentata con segni.

Ora dobbiamo avvicinarci ai vari tentativi compiuti dalle

generazioni passate per conquistare “lo spirito matematico”.

“Lo spirito matematico è essenziale – scrive Maria Montessori-

senza di esso non è possibile concepire il progresso, in cui tanta

parte ha l’intelligenza matematica”.

Ma innanzitutto dobbiamo domandarci perché la storia delle

numerazioni. Forse è necessario conoscerla. Perché?

E’ intanto preparazione tecnica, preparazione che ci rende

coscienti della delicatezza del nostro lavoro, che non è affidato

all’improvvisazione, ma alla cura giornaliera di ogni dettaglio.

E’ la preparazione che ci permette di vedere i bambini, di capire

ciò che li interessa, ciò di cui hanno bisogno.

Inoltre noi vogliamo sapere e godere del sapere.

Per questo dobbiamo sapere che il sistema, sul quale oggi ci

basiamo per ordinare le quantità numeriche, costituisce, è il punto

attuale di arrivo di un percorso laborioso e affascinante in cui

convergono le esperienze e le fatiche di tante generazioni passate e

una premessa per le possibili realizzazioni matematiche del futuro.

In tali considerazioni si trova rispetto per la dignità umana e ci si

prepara a dare nel senso più alto.

“La ricchezza dell’uomo è la sua intelligenza e l’equilibrio della

personalità. Ciò che occorre è quindi una educazione che orienti

la personalità verso la grandezza dell’uomo”.

(“Educazione e pace”, pag. 150)

D’altra parte, e qui mi rivolgo alle insegnanti della scuola

elementare in particolare, Maria Montessori ci ricorda che

dobbiamo offrire ai bambini le più grandi idee, allora essi si

animano, si entusiasmano e partecipano in prima persona,

dimostrando costanza e impegno crescenti in un lavoro privo di

stanchezza (perché vissuto e non mortificato).

Ogni antico sistema di numerazione va riferito, paragonato al

presente, ma va soprattutto inserito nel quadro della vita del

popolo che lo ha espresso.

L’ambiente geografico e storico, gli aspetti naturali dei luoghi, i

costumi, il lavoro quotidiano: tutto questo è capire e vivere con

l’aiuto dell’immaginazione un’esperienza matematica che in una

forma o nell’altra è giunta fino a noi.

E questa è scuola di apprendimento, dove in seguito alle

indicazioni iniziali, al racconto dell’insegnante, i bambini

muovono, da veri esploratori, alla scoperta di mondi ora

sconosciuti, ora dimenticati, ma che costituiscono il nostro ieri e a

cui dobbiamo il nostro essere di oggi.

I geroglifici egiziani

Il sistema usato dagli egiziani per contare si basa sul dieci.

Il simbolo di 1 è un dito- diverrà in seguito un segno (tacca).

Il simbolo di 10 è un pugno (o anche l’orma di un calcagno o di

ferro di cavallo- impronta lasciata sul terreno).

100 è un rotolo di corda (o un bioccolo di lana, un papiro

arrotolato...).

1000 sono i fiori del Nilo, le ninfee, sono le comete nel cielo.

10.000 i bastoni di pastori- scettri di re.

100.000 i girini che guizzano nelle acque limacciose del fiume.

1.000.000 meraviglia e stupore di fronte a un numero così

eccezionale in quei tempi.

E’ l’inizio di un lavoro: di matematica

di storia e geografia

di umanità (immaginazione e cultura

insieme), è schiudere la porta

dell’immaginazione su un mondo lontano

e suggestivo.

Scrivere e far di conto

La più antica scrittura rinvenuta è incisa su una lastra di pietra

calcarea rinvenuta tra i ruderi della città sumera Kish, in

Mesopotamia, oggi Iraq, terra tra due fiumi, si tratta forse di un

rendiconto fiscale, rappresenta il contorno di un piede, di una mano,

con altri segni che stanno a significare numeri.

Sembra proprio che costituisse, come altre tavolette, ugualmente

incise, il promemoria degli esattori dei tributi.

Risale a circa 5.500 anni fa, quando i sumeri vivevano nelle prime

città della storia.

I sumeri

Possiamo considerarli come i primi inventori di un sistema di

numerazione, che per la forma di cuneo dei simboli usati per

rappresentare i numeri è detto cuneiforme.

Un triangolo (cuneo) con l’apice in basso rappresentava 1; un cuneo

simile alla punta di una freccia rivolta a sinistra rappresentava 10.

Il sistema era additivo: fino al 9 una serie di triangoli, 10, 20,…

fino a 50 una serie di cunei e i simboli, posti l’uno accanto all’altro

si sommavano fino a 59.

Dal 60 in poi la rappresentazione dei numeri era di tipo

posizionale in base 60 e o stesso simbolo assumeva valore diverso

secondo la posizione occupata.

es: = (60 x 2)÷(10 x 2)+2 = 120+20+2 = 142

= (60 x 60)±(60 x 3)+ 11=

3600+180+11 = 3791

I cunei da 1 a 9 indicavano le dita della mano.

Per le due mani, poi, la freccia.

I Babilonesi e l’astronomia

Noi accettiamo per convenzione che l’ora si divida in 60 minuti e

il minuto in 60 secondi, senza chiedercene il perché. Né ci

domandiamo perché l’angolo giro sia di 360° e ogni grado si

divida in 60 primi.

La scelta del numero 60 spetta forse ad un antico sacerdote come

conseguenza di alcuni dati astronomici ricavati dall’osservazione

del cielo.

E’ forse invece nata in base al conteggio di due rivoluzioni lunari.

Anche oggi tale sistema sessagesimale viene usato come è evidente

dal paragone:

3600 60 1 1h

1’ 1”

I babilonesi non avevano segni per lo zero, se non in certi numeri,

ad esempio 600 = come per noi 1’ 1”in cui la posizione

indica il valore (sist. posiz.).

Dobbiamo ricordare che i Babilonesi si servivano, per eseguire i

loro calcoli, dell’abaco, ogni fila dell’abaco conteneva 9 palline

che avevano valore diverso secondo la fila occupata.

Il numero 1 2 era considerato sacro perché dividevano l’anno in

12 mesi di 30 giorni e il giorno in 12 ore.

Il numero 3 indicava la triade dei loro dei.

Il rinvenimento di tavolette di argilla dimostra che i loro

mercanti utilizzavano per i conti anche una tavola di

moltiplicazione che fa pensare alla tavola pitagorica.

Civiltà Maya

La civiltà Maya, sviluppatasi nell’America Centrale e nel

Messico, indicava con una linea retta una mano, con due linee

entrambe le mani, con tre linee le due mani ed un piede.

Erano utilizzate venti cifre diverse: 1, un punto; 2, due punti; 3,

tre punti; 4, quattro punti; 5, una linea (la mano); 6, una linea e

un punto, disegnato sopra la linea..; 9, una linea e quattro punti;

10, due linee (le due mani)... 13, due linee e tre punti; 15, tre

linee...; 19, tre linee e quattro punti. E fin qui giungevano le

unità del loro sistema di numerazione. L’ultima cifra - la loro

decina possiamo dire - era il 20 indicato dal simbolo divino del

Sole, dio supremo della civiltà Maya.

I Maya dunque usavano un sistema di numerazione vigesimale, e

uguale sistema usarono pure gli Aztechi, pur rappresentandolo con

simboli diversi.

Si trovano tracce délla numerazione vigesimale in Europa: il

numero ottanta è detto in francese Quatre-vingts; gli inglesi

vendono le uova in ventine.

Il sistema vigesimale Maya era posizionale così ad esempio,

premettendo tre linee a 1 linea con 2 punti indicavano il numero

307. Infatti:

3 linee = 15 x 20 (che costituiva la loro decina) =300

1 linea con 2 punti =5+2= 7

300+7=307

(5+5+5)x20+5+2=307

Nota: Maya popolo che abitava la parte sud-orientale del Messico

(Yucatan) dal 3° sec.A.C. si distinsero nella matematica e

nell’astronomia.

Iscrizioni greche

Nelle iscrizioni greche i numeri sono indicati o col sistema “do

decadico” o col sistema alfabetico.

Nel primo i simboli sono verticali (come quelli romani). Il

sistema ricorda in parte i segni cuneiformi: fino al 4 le linee che

indicavano le dita, cambia il 5, il 10 è un triangolo con l’apice in

alto. Il simbolo delle decine è uguale fino alla quarta.

Il 50 è rappresentato come il 5 e con un piccolo triangolo

all’interno. .

100 è simile a una “H”; 500 è H; 1000è X; 10.000 è M.

Il sistema alfabetico era di due tipi: il primo formato da 24

lettere derivate dall’alfabeto fenicio, il secondo, più perfetto, di 27

segni: 9 per le unità, 9 per le decine, 9 per le centinaia. Le

migliaia si indicavano con le prime lettere, 9 lettere dell’alfabeto

con l’apice in basso a sinistra Si tratta di numerazione o meglio di

scrittura su base quinaria (segni verticali) e decadica.

Numerazione romana

I Romani usavano una numerazione basata sulle dita della mano

come molti altri popoli.

Era detta”indigitatio” .

Dall’1 al 5 la mano si apriva: un dito, due dita, tre, quattro (IIII)

e la mano aperta. Il dieci erano due mani aperte staccate o

opposte: V V-X.

Col tempo questa scrittura cambiò, così da rispettare le seguenti

regole:

* due simboli uguali si sommano;

* i simboli uguali non si ripetono più di tre volte;

* un simbolo minore a sinistra di un simbolo maggiore si sottrae;

* a destra si somma;

* una lineetta sopra una lettera indica un valore numerico mille

volte superiore.

Il sistema è additivo e ancora oggi è usato su targhe e lapidi

commemorative.

Noi usiamo le cifri arabe ma le parole : uno, due, tre.

quattro… derivano dal latino il che suggerisce con i bambini più

grandi un lavoro di paragone fra le parole latine e le

corrispondenti italiane.

Entravano nel contare mani, piedi e nella lettura di numeri,

anche piccoli, sottrazioni e somme.

Sistema di numerazione Indiano

Gli Indiani conoscevano già nei VII secolo dopo Cristo il modo di

rappresentare i numeri, piccoli e grandi, con dieci segni e le regole

delle operazioni.

Non dobbiamo però pensare che lo “zero” fosse già presente fin

dagli inizi quando impiegavano segni particolari dall’1al 9. Per

indicare una fila vuota lasciavano un piccolo spazio fra due cifre.

Per scrivere ad esempio 306, scrivevano 3 6. Ciò generava

confusione e lo spazio fu riempito con un punto, che si trasformò

infine nello zero.

Essi furono dunque gli inventori dello zero. Trasmisero agli

Arabi il loro sistema posizionale e questi nelle guerre di conquista

dall’Africa, alla Spagna, all’Italia lo diffusero in Occidente.

L’ordine delle nostre cifre

Il grande storico della matematica Malè scrive:

“La nostra numerazione scritta ci sembra così evidente che è quasi

impossibile renderci conto della sua importanza.

Chiunque, tuttavia, riflettesse sulla gloria della scrittura dei

numeri non può non, restare colpito dalla sua ingegnosità, perché

il concetto dl zero e il valore posizionale di ogni cifra è da

ritenersi una «scoperta» scientifica che ha contribuito alla

evoluzione culturale dei popoli”.

Il principio posizionale e l’uso dello zero furono acquistati

dall’Occidente quando dotti e commercianti si resero conto dei

vantaggi che ne derivavano. Ma il passaggio dai sistemi usati fino

allora al sistema di numerazione indiano, richiese un tempo assai

lungo, in cui anche i metodi di calcolo e la grafia delle cifre

vennero adottati e adattati ai luoghi in cui si diffusero.

Agli Arabi spetta il merito di aver fuso il rigore scientifico dei

matematici greci, con l’aspetto pratico della scienza Indiana.

Cosi favorirono la rinascita delle scienze europee nel Medioevo.

Nel 1100 fu tradotto in latino il testo di un grande matenatico

arabo, fu un fatto decisivo.

Leonardo da Pisa, dettò il Fibonacci, giunto ad Algeri alla fine

del secolo si interessò ai metodi di calcolo usati dagli Arabi e ai

principi più elevati della loro matematica. Nel, suo “Liber

Abaci” chiamò zephirum lo zero, definendolo «la decima figura

che di per sé non vale nulla, ma occupando un ordine, fa valere

quelle che vengono dopo di lei.»

L’uso delle, così dette, cifre arabe si stabilisce definitivamente e se

ne generalizza l’uso fra il XIV e il XV secolo (in Italia nel XIII).

Gli Arabi aggiungono come elemento nuovo l’angolo.

I sistemi di numerazione oggi

La numerazione comunemente usata oggi è quella decimale. Il

10 non è però la sola possibile base per un sistema di numerazione.

Molti popoli antichi, ad esempio, numeravano per cinque

contando le dita di una mano.

Oggi invece, con l’impiego dei calcolatori elettronici, si è molto

diffusa la numerazione in base 2 o sistema binario. Tutti i numeri

di questo sistema vengono composti con le due sole cifre: 0 e 1.

La precedenza del sistema decimale è stata a volte discussa nelle

scuole e si è provato a presentare ai bambini contemporaneamente

al Sistema decimale, sistemi in altre basi o far precedere l’uso

della base 2.

Dobbiamo ricordare che l’uso della numerazione su base 10 si è

diffuso nell’antichità per una ragione biologica: abbiamo 10 dita e

che il Sistema Decimale è in uso nella vita pratica.

I bambini assorbono i nomi delle cifre, i numeri, nella vita

familiare, e molte altre ragioni troviamo per mantenere questa

priorità.

(vedi Il sistema decimale- Chiara Presciuttini -Vita dell’infanzia

n° 4 gennaio 1980)

Molte ragioni: praticità (l’uomo rivela un fondamentale bisogno

di ordine), dunque semplicità, importanza di questo sistema

che segna una tappa fondamentale della nostra civiltà.

“Questo sistema rappresenta l’ultimo progresso per noi; ce ne

potranno essere degli altri, è vero, ma noi dobbiamo trasmettere il

nostro sistema presente che è venuto dopo altre maniere di contare

più complicate, meno chiare, meno rapide, venute come premesse.”

Sulla linea montessoriana i sistemi di numerazione binaria, ecc.

vengono proposti nella scuola elementare ai bambini fra gli otto -

nove anni di età, come ha ricordato Guidi, come ha scritto

Grazzini (venuti alla coscienza).

Lo studio dei sistemi di numerazione è soprattutto una via per

sentire l’unità di questa nostra umanità attraverso il tempo e lo

spazio.

(Congresso di Sanremo)

Vogliamo ispirare nei bambini sentimenti di riconoscenza e di

amore per il lavoro compiuto nel passato e che ovunque si compie

oggi ancora, lavoro spesso umile e silenzioso che poi lascia una

traccia indelebile nella storia, ma anche nella vita. Ma prima dei

bambini noi dobbiamo provare questi sentimenti, saper cogliere la

bellezza e la grandezza dell’uomo per donarla.

Primo piano della numerazione

È come una cellula germinativa, sulla quale sono racchiuse tutte le

difficoltà che in seguito verranno svolgendosi.

Sviluppo

Aste della numerazione;

Fuselli;

Gettoni (Marchette).

Aste della

numerazione

Aste della numerazione

1 quantità;

2 simboli;

3 appaiamento.

Quantità

“I bambini di quest’età, nell’ambito della famiglia, hanno contato

o sentito numerare: dicono a caso grandi numeri, cento o mille che

sia, senza, però, che nella mente abbiano un’idea chiara delle

corrispondenti quantità. In cambio essi percepiscono chiaramente la

corrispondenza per i numeri piccoli, perché sanno di avere un naso,

due mani, cinque dita per ciascuna mano, ecc. molte volte avranno

chiesto tre caramelle invece di due, dando così prova di conoscere

perfettamente il valore dei due numeri.

Con le aste numeriche che raggiungono il limite massimo del dieci

non si pretende di rivelare qualcosa, ma soltanto di ordinare e

precisare concetti vaghi e acquisiti empiricamente. Basta introdurvi

il bambino, con semplicità, perché egli rapidamente si interessi al

nostro sistema di numerazione.”

(M. Montessori Psicoaritmetica p. 6)

A questo punto il bambino ancora non conosce il numero, che è una

convenzione sociale. È necessario procedere lentamente e per gradi

in tre passaggi:

- la conoscenza della quantità;

- la conoscenza dei simboli;

- l’appaiamento di simboli e quantità.

Descrizione : le aste numeriche differiscono da

quelle di lunghezza per il colore rosso

e blu alternati sulla lunghezza

dell’asta più corta. Il numero è

presentato come unità: un unico pezzo

per l’1, un unico pezzo per il due, un

unico pezzo per il tre, ecc. La forma è

quella di prismi retti con la sezione

quadrata di cm 2,5. Le dimensioni

sono le stesse e vanno dall’asta più

corta (1) da dm1, a quella successiva

(2) dm 2, fino a quella più lunga

(10) dm 10.

Lezione di presentazione :

Le aste della numerazione, nella classe hanno un posto fisso

nell’angolo dell’aritmetica vicino al materiale sensoriale. L’uno

deve stare sempre a sinistra.

Con le aste della numerazione il bambino i avvicina al sistema

decimale. È abituato a distinguere a prima vista le differenti

lunghezze delle aste, poste una sotto l’altra. Concretamente conosce

le quantità, i numeri ordinali e quelli cardinali.

La maestra e il bambino stendono un tappeto in terra. La maestra

porta il bambino davanti alle aste della numerazione, dice il loro

nome al bambino e lo prega di portarle sul tappeto come faceva con

le aste della lunghezza.

Il bambino ne porta una alla volta seguendo tutti i movimenti che

faceva con le altre aste (messe parallele, in ordine sparso, mai due

sulla stessa riga, un po’ distanziate).

La maestra prega il bambino di riordinarle (l’uno a sinistra di chi

guarda).

Poi si inginocchiano sul tappeto.

Lezione dei tre tempi:

Associazione - la maestra tira avanti a sé e al bambino le prime tre

aste. Spinge le altre, senza scomporle in alto. Mette il tre da un

lato; prende in mano la prima asta tenendola agli estremi, la mostra

bene al bambino e dice:”uno”,” uno”, “uno”, per varie volte. La

poggia sul tappeto davanti al bambino e la tocca da sinistra a destra,

da un estremo all’altro, toccando i due bordi corti e quando la mano

si ferma dice:”uno”. Lo ripete alcune volte, poi passa l’asta al

bambino perché la tocchi. Guida con dolcezza e leggerezza la

manina facendo sentire i bordi corti, ossia leggermente salendo con

la mano a sinistra e discendendo a destra. Quando la manina è

ferma, dice insieme al bambino:”uno”. Questo per varie volte.

Prende in mano la 2 asta, tenendola agli estremi, la mostra bene al

bambino e dice:”due”, “due”, “due”, ecc. la poggia sul tappeto in

direzione del bambino e la tocca da sinistra a destra con l’indice e il

medio. Percorre tutto il primo tratto, si ferma sulla riga che divide i

due colori e dice:”uno”. Prosegue fino all’estremo dell’asta, si ferma

e dice:”due”. Questo per varie volte. Poi invita il bambino a

toccarlo guidando un po’ la mano, facendolo fermare con estrema

precisione dove i due colori si incontrano (bisogna insistere perché il

movimento sia fatto bene, tutto il segreto è lì). Quando la mano è

ferma dice:”uno”, poi prosegue fino in fondo e dice:”due”. Tutto

questo è il 1 tempo.

Riconoscimento - la maestra mescola i due oggetti, poi chiede, per

esempio:”qual è due?”. Il bambino lo prende.“Vediamo se è vero”,

dice la maestra. “Toccalo”. Poi “qual è l’uno?”,

“Toccalo”.Chiedigli se è vero, senti cosa dice, ecc, sono tutte frasi da

usare per allungare il permanere nel 2 tempo.

Memoria - il terzo tempo è rapido. “Come si chiama questo?”;

“due”, “toccalo”. “E questo?”, “uno”. Ripetere una o due volte.

Quando il bambino ha ben lavorato con le prime due aste, la

maestra può presentare l’asta del tre, chiedendo sempre al bambino

se è disposto a conoscere il numero successivo. Si procede con la

lezione dei tre tempi.

1° Tempo (Associazione) : la maestra mostra l’asta con solennità:

“tre”, “tre”, “tre”. La mette sul tappeto, la tocca da sinistra a destra

fermando la mano con precisione a ogni linea divisoria: “uno”,

“due”, “ tre”, per alcune volte. Poi la passa al bambino e sorveglia

che la tocchi bene e che si fermi nei punti giusti.

2° Tempo (Riconoscimento) : ora la maestra prende l’asta di “uno”,

lo tocca e dice:”uno” e la mette vicino al tre. Prende il due, lo tocca

e lo mette vicino alle altre due. Prende il tre di nuovo, lo tocca e

dice :”tre”. Poi cominciano le domande del 2 tempo: “qual è tre?”;

“qual è uno?”; “toccalo”; “qual è due?”. “Vediamo se è vero”; tutto

questo molte volte.

3° Tempo (Memoria) : “come si chiama questo?”; “e questo?”; “e

questo?”.

La maestra chiede al bambino:”ne vuoi conoscere un’altra?”. Il

bambino dice sì. Allora la maestra mette un po’ lontano le altre tre

e prende in mano il “quattro”. Fa il 1 tempo presentando e facendo

toccare a lungo il quattro. Poi, e questo vale per tutte le volte che

un’altra asta verrà presentata. La maestra esegue il 2 tempo e il 3

tempo con le aste già date al bambino, le tocca una per una

dicendone il nome tocca l’ultima; poi comincia le domande come ha

fatto quando ha presentato il tre. Questo vale anche se la maestra

riprende la presentazione in un altro giorno.

Il bambino alle volte non conosce ancora bene la successione e

salta senza volerlo un numero; per esempio il 7. Quando arriva al 7

la maestra non lo deve lasciar sbagliare e poi correggere ma deve

essere pronta a suggerirgli il numero.

Quando la maestra ha presentato tutte e dieci le aste, può

organizzare il 2 e il 3 tempo sotto forma di un gioco anche per un

piccolo gruppo di bambini.

Mescola tutte le aste e le dispone parallelamente, un po’ distanti fra

loro e dice al bambino: ”Vediamo se indovini l’asta 5?”.

Il bambino prende e verifica perché l’asta dice il suo nome. Se ha

sbagliato la rimette a posto e ne prende un’altra.

La maestra mescola di nuovo e chiede un’altra asta e così via per

vario tempo perché il gioco diverte molto il bambino.

Si può fare alla fine un terzo tempo.

Gioco:

La maestra prepara due tappeti. Mette su uno le aste in ordine

sparso. Prende un’asta qualunque e la porta sopra un altro tappeto.

Poi chiede al bambino un’asta subito più lunga di quella che è sul

tappeto. Si verifica. Poi ne chiede una subito più corta.

Si può dire al bambino: “Porta l’asta cinque”. Il bambino la porta

e la verifica. “qual è quella subito più lunga di cinque?” Forse il

bambino dirà sei. La porta e fa la verifica.

Se ha sbagliato cambia asta finché non trova quella giusta; così il

gioco può continuare a lungo e la maestra deve farlo molto spesso

con i bambini.

Prima di riportare le aste al loro posto il bambino deve riordinarle

sul tappeto.

Legge di Gauss applicata alle aste

numeriche

La legge di Gauss per conoscere la somma di una serie naturale di

numeri

(a + aⁿ) x 10

2

a indica la dimensione minore aⁿ

indica la dimensione maggiore 10

indica il numero dei componenti della

serie che viene diviso per due perché

deve essere fatta la media

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= 55

(10+1) x 10

2

= 11 x 10

2

=

55

Per le aste numeriche la legge di Gauss può sintetizzarsi anche con

la formula:

Semisomma del (quadrato della base + la base)

Ovvero

(base x base) x base

2

= (10 x 10) + 10

2

=

55

Simboli

Cifre smerigliate

“Per fissare bene questo quadro di fondamentale importanza,

dobbiamo unire al suo insegnamento la conoscenza dei simboli

numerici, C’è, per questo, un materiale analogo a quello usato per

insegnare le lettere dell’alfabeto: consiste di dieci piccoli cartelli

lisci su ciascuno dei quali c’è incollata una delle seguenti cifre:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 in carta smerigliata. Esse si fanno ripetutamente

toccare nel senso della scrittura, mentre se ne dice il nome: uno, due,

tre, ecc.”

(M.Montessori, Psicoarit metica, p.7)

Descrizione del materiale: sono 10 cartoncini o tavolette su cui

sono incollate 10 cifre, da 0 a 9 in

carta vetrata. Il materiale deve essere

bello; possibilmente la cifra deve

essere spostata a destra, per lasciare

alla mano sinistra il posto per tenere

ferma la tavoletta. Lo 0 viene dopo il

9.

Lezione di presentazione:

E’ una lezione individuale. Il lavoro si fa sul tavolino. Parallelo

ed indipendente dal precedente esercizio con le aste. La maestra si

siede alla destra del bambino. Porta con sé il contenitore delle cifre

smerigliate e le mette sul tavolo o su un banchettino alla sua destra,

lontano dal bambino.

Associazione - tira fuori le prime tre cifre- 1-2-3. Mette il 3 un po’

appartato alla sua destra. Mette 1 quasi davanti al bambino e dice

che quello è “uno”, lo tocca a lungo nel senso di scrittura, ripetendo

insistentemente e con una dizione chiara: “uno, uno, uno”, ecc. poi

lo da’ al bambino perché lo tocchi, fermandosi in tutti i punti in cui

le dita che toccano sentono il liscio. Lo stesso lavoro fa con il due.

Il tocco fatto bene ha un’importanza fondamentale.

Riconoscimento - (quello che ha più importanza per

l’apprendimento): la maestra chiede molte e molte volte al bambino

con vivacità, quasi facessero un bel gioco: “Qual è uno?”; “Qual è

due?”; “Tocca due”; “Dammi uno”; ecc, in modo che, in questo

secondo tempo, l’idea invada la coscienza del bambino.

Memoria - “Come si chiama questo?”; “E questo?”; e se il bambino

ha capito ripeterà: “Questo è uno”; “Questo è due”. Poi la maestra

presenta il tre. Scosta prima un po’ da una parte l’uno e il due.

Prende il tre, lo presenta al bambino, lo tocca con molto impegno

nel senso della scrittura e lo fa toccare lungamente al bambino. Poi

riprende uno, lo tocca e dice il nome. Riprende due, lo tocca e dice

il nome. Riprende tre, lo tocca e dice il nome. Poi fa il 2 e il 3

tempo della lezione, cominciando dal tre. Le altre cifre si

presentano via via una per volta ed ogni volta la maestra esegue il

secondo e il terzo tempo insieme a tutte le altre che già il bambino

conosce. Così si insegnano al bambino tutte le cifre ma non in un

giorno solo.

La conoscenza viene con la pratica.

Età : 3 anni – 3 anni e mezzo.

Appaiamento

“Unitamente alle cifre smerigliate, nello stesso schedarietto, ci sono

– a corredo delle aste numeriche – dieci cartelli coi numeri: 1; 2; 3;

4; 5; 6; 7; 8; 9; 10. Il fatto che a ciascuno di questi simboli

numerici si possa far corrispondere la quantità totale che esso

rappresenta sotto forma di un unico oggetto (come il numero ne è

l’unico segno), rende chiara e facile l’associazione fra simbolo

numerico e quantità.”

(M. Montessori, Psicoaritmetica, p.8)

Descrizione del materiale: aste della numerazione, due tappeti,

cartoncini numerati da 1 a 10. Essi

sono bianchi con i numeri rossi. Il

numero dieci è il doppio degli altri,

perché composto da due cifre.

Lezione di presentazione :

E’ individuale. Si esegue su due tappeti. La maestra porta su un

tappeto il vassoietto con i cartoncini dei numeri da uno a dieci. Il

cartoncino del 10 ha una lunghezza doppia degli altri. Lascia nel

vassoietto il cartello del 10 capovolto, affinché il bambino non

legga il numero prima che la maestra glielo presenti. La maestra

mette a uno a uno i numeri sul tappeto e il bambino ne dice il nome.

Li riprende, li mescola bene, li mette capovolti sul tappeto, ne

scopre uno alla volta. Ne chiede il nome (3 tempo). Fa ancora un 2

e un 3 tempo della lezione mentre i numeri sono in ordine sparso sul

tappeto e si rende conto che il bambino li conosce senza esitazione.

Se il bambino avesse qualche esitazione non farebbe l’appaiamento

dei numeri della quantità. Ricordiamo che prima di fare

l’appaiamento la maestra deve essere sicura che il bambino ormai

riconosca le aste sensorialmente solo guardandole. La maestra

raccoglie nuovamente i bigliettini. Li mescola bene, ne fa un

mazzetto e lo mette rivoltato sul tappeto. Il cartellino del 10 non si

tocca mai. Resta rivoltato o nel vassoietto. La maestra e il bambino

stendono un altro tappeto il più distante possibile dal primo. Su

questo tappeto si portano le aste in ordine sparso. Si torna al primo

tappeto. La maestra volta un biglietto: “Cinque” dice il bambino,

“Vai a prendere cinque” dice la maestra indicando l’altro tappeto.

Il bambino torna con l’asta cinque: “Che cosa dice il biglietto?”

chiede la maestra; “Cinque”, risponde il bambino. “Vediamo se è

vero?”. Il bambino conta (se per caso si è sbagliato asta la riporta

indietro e prende quella giusta. La maestra precisa che 5 è proprio

l’estremo limite dell’asta e lì si appoggia il biglietto 5.

Così si fa per tutte le altre aste che restano alla fine sul tappeto in

ordine sparso appaiate al biglietto che ne determina il numero. Sul

tappeto non ci sono altri biglietti da appaiare, ma sull’altro tappeto

è rimasta l’asta dieci. La maestra finge di essersene ricordata e con

grande solennità la presenta al bambino dicendo: “Questo è dieci”.

È la prima volta che il bambino vede il simbolo. Così anche l’asta

10 ha il suo simbolo e sta con le altre aste sul tappeto. La maestra

può, se vuole, togliere due o tre volte tutti i biglietti e farli appaiare

nuovamente alle aste che sono in ordine sparso. Infine si raccolgono

i biglietti e si fa ricostruire la scala. Ora la maestra prende tutto il

mazzetto dei biglietti, lo mescola e lo mette capovolto sul tappeto.

Ne prende uno alla volta. “È 4”. Il bambino parte da 1 e sale

contando le aste verticalmente dalla parte sinistra fino all’asta 4;

(numeri ordinativi) che è la quarta asta della serie. Poi conta

toccando come ha sempre fatto, le quattro unità dell’asta e al limite

estremo mette il biglietto. Così fa per tutte le altre aste. Alla fine

hanno tutte le aste in progressione e tutti i numeri in progressione.

La maestra e il bambino leggono la progressione a salire e a

scendere per varie volte. Con la giusta cantilena attira l’attenzione

degli altri bambini, che si uniscono al coro e spesso tutta la classe

partecipa con gioiosa allegria.

Combinazione delle aste – binomi di 10

“Dalla serie di aste, disposte in ordine, possono derivare attività di

composizione, scomposizione, confronto, ecc. È possibile effettuare

esercizi di spostamento e comparazione, sia con l’intera serie o

soltanto con una sua parte, sia con le aste lunghe sia con le aste

corte. Occorre però fare attenzione ad una sola cosa: che tutte le

combinazioni avvengano nel limite della decina, cioè di non

superare l’asta maggiore, poiché questo fatto porterebbe con sé

complicazioni anziché progresso… Tra questi primi esercizi che si

eseguono con l’intera serie, uno dei più chiari consiste nel formare

tutte le composizioni che danno dieci, collocando l’1 vicino al 9, il

2 vicino all’8, e così via,…”

(M. Montessori, Psicoaritmetica, p. 8)

Materiale : aste della numerazione e buste

colorate, dello stesso colore delle

perle, dei binomi del due, del tre, del

quattro, del cinque, del sei, del sette,

dell’otto, del nove e del dieci; tappeto,

lavagnetta, cancellino, gesso bianco,

gesso rosso, cartoncini usati per

l’appaiamento, scatolina con i

biglietti dei binomi del 10.

Lezione di presentazione :

Si portano le aste in ordine sparso sul tappeto e si riordinano. Tiro

verso di me tutte le aste. Faccio una piccola verifica per assicurarmi

che il bambino le conosce a vista. Distacco dalla serie il 10 e il 9 e

li metto vicini. Dico: “Guarda queste aste; che cosa potremmo

mettere vicino al 9 per farlo diventare come 10?”. “Mettiamo 1”.

“Ecco”, dico, “Ora sono uguali”. Il bambino unisce in modo

preciso le due aste. Allarga le braccia per rendersi conto che gli

estremi combaciano. Sovrappongono l’asta intera del 10 sull’altra.

Sono proprio uguali. Ora ho due 10. Uno è intero, l’altro 10 si può

chiamare anche 9 + 1. Spingo l’asta 9 + 1 in alto e porto il 10 in

modo da potere avvicinare l’asta di 8. Spingo 8 contro l’asta 10.

Ecco ora devo mettere 2; così avrò 3 dieci; ossia: 10 – 9+1 – 8+2.

Continuo con il sette seguendo tutti i movimenti fatti in precedenza e

lo stesso faccio con l’asta sei. Ora abbiamo cinque 10: 10 – 9+1 –

8+2 – 7+3 – 6+4 e anche se sono tutti uguali possiamo sempre

riconoscere quello di cui stiamo parlando. Rimane l’asta del 5. La

capovolgo; così abbiamo un inizio di moltiplicazione: 5 per due

volte ci da’ anche lui 10.

Ora si possono, volendo, appaiare i biglietti che ci sono serviti per le

aste della numerazione. Se il bambino sa già scrivere i numeri,

prendiamo una lavagnetta e un gesso bianco e scriviamo:

10

9 1 10

8 2 10

7 3 10

6 4 10

5 2 10

All’inizio scriviamo senza mettere i segni. Il bambino non li ha mai

adoperati, quindi la presentazione deve essere solenne e colpire la

sua attenzione. Infatti la maestra comincia a leggere quello che ha

scritto e dice: “9 più 1”, ma si ferma e dice: “Ma guarda, mi sono

dimenticata di scrivere +”. “Ora ti insegno come si fa”. E facendo la

crocetta dell’addizione fra il 9 e l’uno dice: “Questo si legge più”.

Ricomincia da capo la lettura e si accorge che questa volta non ha

scritto “uguale”. Allora la maestra fa le due linee e dice: “Uguale si

scrive così =”. Ora la maestra può leggere mettendo tutti i segni che

mancano e avrà:

10

9 + 1 = 10

8 + 2 = 10

7 + 3 = 10

6 + 4 = 10

5 X 2 = 10

Se il bambino vuole, può copiare tutto sul foglietto. 5 X 2=10, ha

scritto il 2 in rosso. Perché? Perché non indica la quantità ma le

volte che ho preso quella quantità. Allora è molto diverso all’altro

2 e allora lo scriviamo in rosso. Se vuole il bambino può copiare i

binomi di 10 sopra un foglietto.

Dimostrazione: il nome binomio si da’ al bambino

dopo che per la prima volta abbia

formato tutti i 10;

l’origine delle cifre viene dagli arabi,

si riferiscono agli angoli; lo 0 non ha

angoli;

il bambino, per molto tempo, nel

comporre il 10 deve mettere i biglietti

dell’appaiamento, ma non scriverli.

Poi la maestra scriverà sulla

lavagnetta e gli insegnerà i segni. Poi

potrà scrivere.

Binomi

1+1=

1+2= 2+1= 3+1= 1+3= 2+2=

4+1= 1+4= 3+2= 2+3= 3+3=

2+4= 4+2= 1+5= 5+1= 3+4=

4+3= 6+1= 1+6= 5+2= 2+5=

4+4= 7+1= 1+7= 6+2= 2+6=

3+5= 5+3= 5+4= 4+5= 6+3=

3+6= 8+1= 1+8= 7+2= 2+7=

5+5= 1+9= 9+1= 2+8= 8+2=

3+7= 7+3= 6+4= 4+6=

Binomio di 10

Binomio di 9

Binomio di 8

Binomio di 7

Binomio di 6

Binomio di 5

Binomio di 4

Binomio di 3

Sottrazione

Dopo un po’ di tempo, rimettendo a posto le aste, comincerà il

lavoro della sottrazione. Si fa oralmente nella “Casa dei Bambini”.

La maestra tira giù dal gruppo l’asta del 5. Stacca un poco l’asta

6+4. Ci mette sopra l’asta 10 e nuovamente si convince che è

uguale. Ora leva l’asta del 10 intera. Poi dice al bambino facendo

scorrere la mano lungo l’asta 6+4: “Questa è 10”. Poi porta via il

4 e dice: “10-4=?”. “Sei”, dice il bambino. La maestra rimette a

posto il 4 e toglie il 6 e dice: “10-6=?”, “4” dice il bambino. La

maestra mette il 4 sotto al 5 e il 6 sopra. Porta avanti l’asta 7+3.

Ci mette sopra l’asta 10 per convincersi che è uguale. Mette via

l’asta intera. Toglie 3 e dice: “10-3=?”, “7”. Rimette il 3 e toglie

il 7. Dice: “10-7=?”; “3”. Mette il 3 sotto il 4 e il 7 sopra il 6 e

così via.

Annotazioni : entro il 10 abbiamo visto le 10 quantità e i 9 segni

che precedono i primi 9 gruppi. Il segno che distingue il 10 inizia

da una nuova numerazione; abbiamo imparato i nomi, abbiamo

conosciuto lo zero, abbiamo fatto addizioni, sottrazioni e inizio

moltiplicazioni. Ora i bambini possono passare ai binomi del 9,

dell’8, del 7, del 6, del 5, del 4, del 3 e del 2 secondo le stesse

modalità viste finora. La maestra parte dal binomio del 9, togliendo

l’asta del dieci. Dopo averli formati tutti con le aste, la maestra

prende i biglietti corrispondenti e li appaia. Quando farà lo stesso

lavoro il bambino porterà i biglietti sul suo tavolo per copiarli.

Con la stessa metodologia la maestra presenterà gli altri binomi.

La maggior parte del materiale Montessori è polivalente, può essere

considerato a più livelli e a diverse età Con le aste della

numerazione per esempio un adulto, anche privo di conoscenze

metodologiche può arrivare a dedurre il principio di Gauss. Si può

osservare infatti che le aste uguali sono 5, cioè la metà del 10 e in

più c’è l’asta del 5. La forma che esprime quanto detto è la seguente:

10 5 + 5 = 55

Questo procedimento facilita il calcolo della somma delle unità

contenute nella serie. Basterà quindi moltiplicare il numero

maggiore per la sua metà e aggiungervi la stessa metà. Potremo così

chiamare n, un numero qualunque, la somma delle unità contenute

nei numeri compresi fra 1 e n sarà:

n X n

2

+ n

2

= n

2

2

+ n

2

= n

2

+ n

2

Possiamo dire che la somma della serie naturale dei numeri interi è

uguale alla semisomma fra il quadrato dell’ultimo numero e

l’ultimo numero. E la formula algebrica sarà:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + n =

n

2

(n+1)

In altre parole tale somma è uguale al prodotto della metà

dell’ultimo numero per l’ultimo numero aumentato di uno.

Quando abbiamo una serie di numeri in ordine crescente di uno in

uno, si possono comporre gruppi, la cui somma è uguale al

maggiore, sommando l’uno al penultimo, il due al terz’ultimo, il tre

al terz’ultimo, ecc.

Le aste contengono altri principi, che potranno servire in un altro

momento.

Scopo diretto : presentazione del sistema decimale.

Scopo indiretto : - educazione della mano, strumento

dell’intelligenza;

- sviluppo della capacità attentiva,

della volontà;

- sviluppo della memoria muscolare;

- aiuti alla formazione della mente

logico- matematica;

- intuizione del sistema metrico –

decimale;

- introduzione al concetto di

addizione, sottrazione e

moltiplicazione.

Controllo dell’errore : visivo con le aste a canna d’organo,

tramite l’asta del corto cioè dell’1.

Scatola delle addizioni

È una scatola dove ci sono i bigliettini di tutti i binomi entro il dieci

e tutti i rispettivi risultati. Il bambino si prepara il suo tavolino con

in cartellino, una penna ed un foglietto poi prende le aste e le porrà

sul tappeto. Le riordina.

Dalla scatola delle addizioni prende per prima cosa i risultati e sul

tappeto li mette tutti in ordine uno sull’altro quelli uguali, in modo

da averli pronti, un gruppo sotto l’altro.

Dopo aver riordinato le aste, sceglie un biglietto ad esempio :

5 + 3

prende l’asta del 5 e del 3 e le avvicina, conta toccando, poi prende

l’asta dell’8 e controlla che sia uguale.

Mette il bigliettino con il risultato. Va al posto e scrive l’operazione

sul foglietto. Poi prende un altro bigliettino e continua (li scriverà

sul foglietto uno sotto l’altro) un biglietto già scritto resta sul tavolo

in modo che non possa pescare ed eseguire sempre gli stessi

calcoli già fatti.

Teorema :

Per mezzo delle aste si può arrivare al teorema che permette di

calcolare la somma di una successione di numeri che parta da uno.

Es. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =

Se ordiniamo le aste secondo i binomi di dieci ci accorgiamo subito

che il risultato è 55

Algebricamente: 10 x 5 + 5 =

10 x 10

2 +

10

2

=

102

2 +

10

2 =

102

+ 10

2

Formula algebrica :

n2

+ n

2

I fuselli

I fuselli

Descrizione del materiale: due casellari di legno divisi ciascuno

in cinque scomparti, ecc.

In un cestino o in un contenitore 45

fuselli, ecc.. in ogni reparto,

all’infuori di quello dello 0, un

nastro abbastanza lungo di nylon.

Età : 4 anni.

Annotazioni: il lavoro consiste nel mettere dentro a

ciascun reparto tanti fuselli, quanti ne

richiede la cifra del reparto in

questione. I fuselli, prima di essere

messi nel reparto vengono contati uno

a uno lentamente e poi legati. Qui

l’esercizio consiste nel raggruppare le

quantità, mentre nelle aste della

numerazione erano già unite nella

struttura stessa del materiale.

Lezione di presentazione:

Tavolo sgombro. La maestra (o il bambino) portano sul tavolo

vuoto un casellario alla volta, poi portano i fuselli. La maestra si

siede alla destra del bambino. Sistema i casellari davanti al

bambino un po’ in alto, in modo che resti fra lui e il casellario lo

spazio per mettere il nastro. Si toccano col dito uno per volta i

numeri della successione (in successione) e si chiede ogni volta : “Lo

conosci?”. Poi si fa un secondo tempo della lezione dei tre tempi

chiedendo: “Qual è otto?”; “Qual è sei?”; “Qual è due?”; ecc ; ma a

salti. E soprattutto, per due o tre volte: “Qual è zero?”. Poi un

breve terzo tempo. Ora la maestra prende il nastro dalla casella

“uno”. Lo stende con molta cura e toccando “uno” chiede: “Quanti

ne vuole?”; “Uno” dice i bambino. Ne prende uno, lo mette dritto in

mezzo al nastrino.

“Sai fare il fiocco?” chiede la maestra. “No” dice il bambino.

Allora fai semplicemente un nodo e metti il fusello nella casella

“1”. L’uno è anch’esso legato, perché è un insieme a sé. Toccando il

“due”, la maestra domanda: “Che cosa ti chiede?”; “Due fuselli”

dice il bambino. Prende il nastrino dal reparto “due”, lo stende bene

davanti a sé, la maestra l’aiuta ad eseguire quest’azione con

precisione; il bambino mette due fuselli nel mezzo del nastrino e fa

il nodo. Poi dispone i due fuselli legati nel reparto “2”. Così si

prosegue fino a “9”. Se il bambino ha contato bene ogni gruppo di

fuselli, a distribuzione ultimata, non dovrebbe restare nessun fusello

nel cestino. Se avanza qualche fusello, o se manca, è segno che il

calcolo è sbagliato e il bambino serenamente si rimetterà a cercare

l’errore. Rimane vuota la casella dello zero. Qui non possiamo

mettere nessun fusello, perché “zero” significa “nulla” – è l’insieme

vuoto – il bambino non ha finora astratto il concetto. La lezione

dello zero si fa con i fuselli. A lavoro ultimato il bambino scioglie

ad uno ad uno i gruppi di fuselli. Mette i fuselli nel loro contenitore

e il nastro nel reparto da cui ha tolto il gruppo.

Scopo diretto : unire alla successione numerica

inamovibile, la quantità relativa

entro la serie del dieci.

Scopo indiretto : fissare bene e sotto tutti gli aspetti il

concetto di numero, per una più

profonda formazione della mente

matematica, che acquista una sempre

maggiore capacità di addentrarsi nel

mondo dei numeri.

Controllo dell’errore: è nel numero “45” dei fuselli. Se vi è

stato qualche errore il bambino avrà

maggiore o minore numero di fuselli

nella casella del nove.

I gettoni

I gettoni

(Le marchette)

Pari e dispari

Età : 4 anni

Descrizione del materiale: scatole contenenti 55 piccoli

oggetti separati (gettoni colorati,

marchette dello stesso colore,

macchinine, palline, ecc.) e una

serie di cartoncini bianchi con

sopra i numeri in rosso da 1 a

10.

Annotazioni: Questo materiale corrisponde al terzo

momento, cioè quello della memoria.

La maestra verifica se il bambino

riconosce i numeri nella loro

successione e le quantità da essi

rappresentate.

Presentazione:

Tavolo sgombro. Maestra seduta alla destra del bambino. Si

mettono sul tavolo i cartellini in ordine sparso. Come sempre si fa

precedere la presentazione dell’esercizio da una chiara visione del

materiale che sta adoperando. I cartellini sono nella parte bassa del

tavolo verso il bambino. La maestra prende “1” e lo mette

nell’angolo alto a sinistra, dopo averlo fatto leggere al bambino.

“Che cosa viene dopo 1?” chiede la maestra. Certo, ormai il

bambino lo conosce e dice “2”. Cerca il cartellino di 2 e lo mette

alla destra di 2. La maestra gli fa vedere che deve stare distacco

dall’altro (almeno cm 1). Poi mettendo il dito per indicare sotto

ogni cartellino dice “uno”, “due”, poi ferma il dito alla destra di

due, nello spazio vuoto dove dovrà venire 3 e chiede: “E qui?”. Il

bambino dice “tre”, lo cerca e lo mette al seguito dei primi due. La

maestra comincia da capo: “Uno, due, tre e qui?” indicando il posto

vuoto vicino a “tre”. “Quattro” dice il bambino. Cerca il cartellino

e lo mette a posto. Questa volta la maestra prende per un momento

la manina del bambino e lo invita a contare con lei. Piano piano,

dritti vanno al loro posto. (è bene ricominciare a contare ogni volta

i numeri già messi perché il bambino impara la successione

Messa la serie dei numeri si prendono le marchette. Insieme al

bambino, ne mettiamo una sotto a 1; 2 sotto al numero due, però

prima si preparano sul tavolo in basso, poi, mettendo i due indici,

uno per marchetta; si spinge la coppia in alto. Si parte, con il

movimento precedente la prima coppia. Ma la seconda non c’è

perché c’è invece una marchetta sola che aspetta di essere messa a

posto. La si colloca sotto la coppia nel centro. Per procedere si

ricomincia sempre a contare da 1 e si appaiano le relative coppie.

Questa disposizione ci permette di distinguere alcuni numeri da altri,

cioè quelli formati da coppie esatte; si distinguono benissimo da

quelli che non hanno le coppie complete. I primi si fanno notare al

bambino e si dice: “Sono numeri pari”; “Gli altri, che hanno nel

fondo una marchetta isolata, sono dispari”.

Si fa una lezione dei tre tempi. “Fammi vedere un numero pari”;

“Fammi vedere un numero dispari”; “Nomina un numero pari”;

“Nomina tutti i numeri pari”; “Nomina tutti i numeri dispari”;

“Copri tutti i numeri pari”; “Scopri i numeri pari e copri tutti i

dispari”.

Terzo tempo : “Com’è questo numero?”; “e 5?”; “e 3?”; “e 6?”; (il

bambino risponde pari o dispari). Poi si fa notare al bambino che il

dito indice passa senza trovare arresti, ne numeri pari, ma viene

arrestato dalla marchetta isolata nei numeri dispari.

L’insegnante può utilizzare questo materiale, purché sia stato

utilizzato per molto tempo dal bambino, per fargli vedere la metà di

ogni numero. Oppure, contando le coppie, quante ce ne vogliono per

formare per esempio l’8 o il 4 o il 10 o il 2 e dare all’inconscio del

bambino anche una prima visione della divisione.

Scopo diretto : rafforzare la conoscenza della

successione dei numeri appaiati alle

relative quantità (da 1 a 10) l’intima

costruzione di questi primi 10 numeri

che si da’ con l’esercizio del pari e

dispari.

Scopo indiretto : mettere basi sempre più solide per la

costruzione della mente matematica.

Aiutare il passaggio all’astrazione con

una profonda conoscenza dell’intima

struttura della decina.

Controllo dell’errore : è nella disposizione del materiale e

nel materiale stesso.

Annotazione :

Questi tre esercizi ,che svolgono tutto il primo piano della

numerazione, si susseguono, si potrebbe dire, quasi come una grande

lezione dei tre tempi. Nel primo tempo (la presentazione) il

bambino viene a conoscere le quantità e i relativi segni che le

rappresentano; aste della numerazione. Il secondo tempo è dato dai

fuselli, si legge il numero e il bambino riconosce le quantità

(riconoscimento). Il terzo tempo ha il ricordo esatto dell’argomento

e lo riproduce (riproduzione). Così generalmente procede il lavoro

mentale del bambino.

La lezione dello zero

«Occorre far sentire cosa è il nulla. Per questo usiamo degli esercizi

che divertono immensamente i bambini. Io mi metto in mezzo a

loro, che stanno seduti sulle loro seggioline, mi rivolgo ad uno che

ha già fatto l’esercizio dei numeri e gli dico: “Vieni, caro, vieni da

me zero volte”. Il bambino quasi sempre corre da me e poi torna al

posto. “Ma, figlio mio, tu sei venuto una volta e io ti avevo detto

zero volte”. Comincia la meraviglia: “Ma allora cosa dovevo

fare?”. “Nulla; zero è nulla”. “Ma come si fa a fare nulla?”.

“Nulla; nulla, non si fa. Tu dovevi star fermo; non dovevi

muoverti, non dovevi venire nessuna volta; zero volte, niente

volte…»

(M. Montessori, La scoperta del bambino, pag.293)

Per evidenziare che la quantità zero è nulla, niente, è necessario

proporre al bambino dei giochi del tipo: “Dammi due bacetti”,

“Dammi zero carezze”, “Mi dai tre matite?”, “Mi dai zero matite?”

Nota: per rendere meglio comprensibile che

lo zero è niente bisogna partire sempre

da esercizi con la quantità.

I giochi entro il dieci

Primo gioco: il gioco dello zero

Materiale: in un cestino sono riposti dieci

bigliettini piegati con cura dove, sulla

facciata interna, è scritta una cifra da

0 a 9.

In un altro cestino ci sono

quarantacinque piccoli oggetti tutti

uguali.

Presentazione:

La maestra invita a giocare 10 bambini, ognuno dei quali prende un

bigliettino piegato che andrà ad aprire ritornato al proprio posto.

Letto attentamente con il pensiero il numero che vi è scritto, senza

rivelarlo ai compagni, il bambino ripiega il biglietto e lo conserva.

Distribuiti tutti i bigliettini la maestra dice che qualcuno ha preso il

bigliettino dello zero, ma nessuno può parlare per confermare o

negare.

Allora, uno alla volta, i bambini sono invitati dall’insegnante a

prendere da un cestino un numero di oggetti pari al numero scritto

sul loro bigliettino, a tornare al proprio posto e a disporre sul tavolo

tutti gli oggetti che hanno prelevato, in maniera analoga a come

collocano i gettoni.

Alla fine se nessuno si è sbagliato nel prelevare gli oggetti, non ne

dovrebbero né mancare né avanzare.

A questo punto l’insegnante va da ogni bambino e verifica se la

quantità degli oggetti presi da ogni bambino corrisponde al numero

che è scritto su ciascun biglietto. Infatti il bambino con il biglietto

dello zero dovrebbe non aver prelevato nulla.

Scopo diretto: Verificare se il bambino ha compreso

il significato dello “zero” e se è capace

di appaiare la quantità al simbolo

entro il “dieci”.

Controllo dell’errore: è nel materiale.

“E’ interessantissimo studiare l’espressione del viso dei possessori

dello zero: le differenze individuali che ne risultano, sono quasi una

rivelazione del carattere di ciascuno. Alcuni restano impassibili, con

un fare orgoglioso…, altri manifestano con gesti momentanei

l’impressione del disappunto, alcuni non possono nascondere il

sorriso che nasce dal sentimento di una situazione singolare, la quale

desterà negli altri curiosità; alcuni poi seguono tutti i movimenti dei

compagni, fino alla fine dell’esercizio, con evidente espressione

mimica di desiderio, quasi d’invidia; altri infine manifestano una

subita rassegnazione. […]

Bisogna però dare delle lezioni sul contegno: “Badate, è difficile

tenere il segreto dello zero; lo zero sfugge dal naso: fate i disinvolti,

non lasciate capire che non avete nulla”. Infatti dopo qualche

tempo, l’orgoglio della dignità ha il sopravvento e i piccini si

abituano a ricevere lo zero e i numeri piccoli, con disinvoltura,

contenti di non manifestare più i piccoli sentimenti dei quali prima

erano schiavi”.

(M. Montessori, La scoperta del bambino, pag. 295)

Secondo gioco: il gioco dei cubetti

Materiale: una scatola contenente dieci bigliettini

piegati in due, contenenti ciascuno un

numero da 0 a 9;

Quarantacinque cubetti di legno;

Presentazione: per svolgere questa attività

l’insegnante invita dieci bambini a

lavorare con lei e dispone nel tavolo

avanti a sé sia i cubetti che la scatola

con i dieci biglietti.

Ogni bambino va a prendere un

biglietto piegato in due parti. Una

volta preso torna la suo posto e lo

legge in gran segreto e a bassa voce e

senza far vedere la cifra scritta agli

altri compagni.

Dato tempo a tutti di leggere i

bigliettini, l’insegnante invita un

bambino alla volta ad andare a

prendere la quantità di cubetti

corrispondenti alla cifra indicata nel

biglietto e di tornare al proprio posto

con i cubetti. Questi andranno disposti

dal bambino allineandoli al due a due

davanti al biglietto.

Quando tutti avranno preso i cubetti,

l’insegnante passerà a controllare se

hanno preso giusto e si scoprirà chi

avevo il biglietto con scritto 0.

Scopo diretto: sviluppo della memoria,

dell’attenzione e della volontà,

Corrispondenza fra simbolo e

quantità.

Scopo indiretto: sviluppo della socializzazione.

Terzo gioco: il gioco con i bastoncini delle

perle colorate

Materiale: nove aste di perle colorate: ogni

gruppo di perle ha un colore diverso

dagli altri gruppi,

Cartelline con le cifre che

corrispondono alle quantità da 1 a 9,

Un tappetino.

Presentazione: l’insegnate prepara l’attività mettendo

su un tavolo un tappeto, i bastoncini e

i cartellini con le cifre da 1 a 9.

Invita nove bambini a lavorare con

lei. Essi dovranno prendere un

cartoncino con indicate le cifre, e

andare a prendere nel tavolo

dell’insegnate i bastoncini di perle

corrispondenti al numero riportato

nel cartoncini.

Questi bastoncini dovranno essere

contati dal bambino contando una

perla alla volta con le dita e ad ogni

tocco dire la quantità corrispondente.

Questo gioco può essere svolto anche

individualmente e diventa un esercizio

di riconoscimento delle quantità,

mentre quando è di gruppo è un

esercizio di memoria.

Scopo diretto: - sviluppo della memoria,

dell’attenzione e della volontà,

- Corrispondenza fra simbolo e

quantità.

Scopo indiretto: sviluppo della socializzazione.

Serpenti

positivi

Il primo serpente positivo di primo

livello

Eta’: Quattro anni e mezzo, comunque

quando il bambino sa contare entro il

dieci e conosce il bastoncino delle

decine (le perle del sistema decimale)

e la scatola delle perle colorate

(esercizi paralleli al sistema decimale,

passaggio da dieci a diciannove).

Materiale: un tappeto,

una scatola di legno divisa in nove

scomparti in ognuna dai quali sono

raccolte delle perle colorate da uno a

nove,

una scatolina con dei bastoncini di

dieci.

Nella scatolina delle perle colorate si

trova un cartoncino a forma di ponte,

che servirà per contare le perle.

Presentazione:

Il bambino dovrebbe conoscere già le perle colorate e sapere a che

quantità corrispondono; per sicurezza l’insegnante potrebbe eseguire

il secondo e il terzo momento della lezione dei tre tempi: «Prendimi

quattro», «Come si chiama questo?».

Ora la maestra propone al bambino di costruire un serpente colorato

iniziando ad estrarre una perlina rossa (equivalente ad uno) e a

posizionarla in alto a sinistra sul tappeto. Acconto vi pone il

bastoncino del nove (in blu turchino). Prosegue aggiungendo il

bastoncino del due (verde), poi dell’otto (celeste), del tre (rosa), del

sette (bianco), del quattro (giallo), del sei (marrone) fino a porre

per ultimi due bastoncini del cinque (azzurro).

A questo punto la maestra propone di costruire un altro serpente con

i bastoncini di perle dorate che sia uguale in lunghezza al primo.

Apre la scatolina dei bastoncini di perle dorate, lasciando il

coperchio accanto alla scatola, prende il cartoncino a forma di

ponte e inizia a contare una ad una le perline del serpente colorato,

iniziando da sinistra verso destra. Quando arriva a dieci, ovvero

arriva a contare l’ultima perlina del bastoncino del nove, si ferma e

pone al di sotto del primo serpente un bastoncino dorato dicendo

appunto «Dieci», facendo in modo che il bambino veda

l’equivalenza tra il bastoncino dorato e i due bastoncini colorati

(quello dell’uno accanto a quello del nove).

Continua nello stesso modo contando le perline del bastoncino del

due e dell’otto, arrivata a dieci, prende un altro bastoncino dorato e

lo pone affianco al primo.

Prosegue contando la coppia di bastoncini del tre e del sette, del

quattro e del sei e dei due cinque, aggiungendo ogni volta che arriva

al numero dieci un bastoncino di perle dorate al secondo serpente.

Alla fine si otterranno due serpenti l’uno parallelo all’altro di

lunghezza equivalente: uno composto da cinque coppie di bastoncini,

l’altro da cinque bastoncini dorati.

Per verificare se la sostituzione è stata eseguita in modo esatto,

l’insegnante dispone il serpente dorato in senso verticale e accosta ad

ogni decina la coppia di bastoncini che compongono insieme il

numero dieci (uno e nove, due e otto, tre e sette, quattro e sei, due

cinque).

Per riordinare si parte dall’alto a sinistra.

Il serpente positivo di secondo livello

Presentazione: individuale.

Prima di iniziare la presentazione del “Serpente Positivo” la

maestra presenta al bambino i 5 bastoncini neri e i quattro neri e

bianchi e lo invita a disporli in successione partendo dall’1 nero

messo in alto:

- Si estrae un bastoncino alla volta dalla scatola dei resti e si

invita il bambino, dopo averli messi in ordine sparso, a

denominarli e a ordinarli in successione sul tappeto;

- Si prende e si apre la scatola grande dei bastoncini di perle

colorate e si estrae, a caso, una quantità più o meno grande di

bastoncini mettendoli in fila, in modo da formare un serpente

colorato.

Quando il bambino, su invito della maestra, ha composto il serpente,

si chiude la scatola delle unità ponendola poi sul tappeto che si

trova alla destra del bambino, per evitare che si mettano in essa i

bastoncini addizionali e anche per concentrare l’attenzione del

bambino sull’esercizio che eseguirà.

Aperta la scatola delle decine, si dispone il suo coperchio a lato di

questa, per raccogliere via via i bastoncini colorati del serpente che

vengono sostituiti dalle decine dorate.

Il bambino conta bene una perlina alla volta fino a 10, aiutato dal

ponticello, che viene lasciato dopo la decima perlina come segno e se

del bastoncino colorato che sta contando c’è una parte che resta dopo

aver formato il 10 (perle sostituite con una decina dorata), la indica

con un bastoncino nero o nero o bianco (il resto); tolti i bastoncini

colorati già contati, il bambino ricomincia il conteggio dal

bastoncino del resto (cioè dalla decina dorata in poi) e a 10 si ferma

di nuovo, conta al di là del ponticello quante unità mancano per

finir il bastoncino colorato, le indica e sostituisce con un equipotente

bastoncino nero o nero e bianco, sostituisce i bastoncini colorati con

un dieci e raccoglie via via i bastoncini di perle colorate

nell’apposito coperchio; il bambino prosegue nel suo esercizio

contando di 10 in 10 finché il serpente diventa dorato (ha cambiato

pelle).

Si invita il bambino a contare le decine e il resto rappresentato dai

bastoncini neri o neri e bianchi se c’è per valutare il serpente.

“Le decine che si accumulano si contano a parte con piacere perché

rappresentano il lavoro facile dopo quello difficile e la

soddisfazione di riscontrare le proprie ricchezze, dopo la fatica di

averle ammassate”.

(Da “Psicoaritmetica”, M. Montessori, pag. 44)

La verifica dell’operazione eseguita si effettua raccogliendo tutti i

bastoncini via via usciti dal gioco, disponendoli in gradazione

numerica, invita il bambino a mettere a fianco di ogni decina dorata

una formata dai bastoncini di perle colorate.

Nota: il lavoro risulta facile per il bambino

che ha lavorato con le aste numeriche

(i binomi di 10). Se c’è un bastoncino

dei resti, questo sarà posto a fianco

delle decine dorate a cui corrisponderà

un bastoncino di perle colorate.

Se tra il serpente dorato (con o senza

la codina nera o nera e bianca) e

quello colorato c’è perfetta

corrispondenza, il serpente positivo è

stato contato bene e il gioco è ben

riuscito.

Nota: si può operare il cambio per formare

il 10 con 2 bastoncini di perle

colorate.

“L’esercizio del serpente fissa l’attenzione del bambino sulla

difficoltà del contare attraverso il dieci. Tale difficoltà, ripetendosi

costantemente, abilita il bambino per procedere in modo esatto, dal

momento che non lo preoccupa la tranquilla e uniforme serie delle

decine, che via via si lascia indietro.

In tal modo viene messo in rilievo il meccanismo del conteggiare

gruppi di unità nel sistema decimale”.

“Gli esercizi con il serpente, ripetuti per lungo tempo, finiscono per

rendere meccanico il lavoro della mente intorno al dieci: a poco a

poco sparisce la lenta attività di ragionamento, sostituendosi con un

meccanismo mentale. Infatti, le leggi che regolano le attività

razionali portano queste ultime a mettere in serbo quel lavoro,

affidando al deposito della memoria le conoscenze acquisite, per

potersi così finalmente dedicare a lavori successivi.

Tale deposito rappresenta dunque un ammasso di ricchezze, un

autentico ammasso, un avanzamento”.

(Da “Psicoaritmetica”, M. Montessori, pag.43)

Il serpente positivo: sequenza….

Il serpente è stato costruito

In alto si osservano le decine dorate pronte per cambiare pelle al

serpente e i bastoncini bianchi e neri a “canne d’organo”.

Un serpente positivo per la

ricerca del 10

Un esercizio che si può intraprendere parallelamente ad altri già

descritti e che ha lo scopo di far eseguire quasi meccanicamente

piccole addizioni di unità, introducendo così i bambini al calcolo

mentale, si realizza mediante un materiale di perle che rappresenta i

gruppi numerici inferiori alle decine (i bastoncini di perle colorate).

Età: dai 4 anni e mezzo ai 5, quando il

bambino sa contare entro il 10 e

conosce il materiale di perle del

sistema decimale.

Descrizione: una scatola di legno divisa in 9

scomparti, contenenti ognuna 9

bastoncini diversamente colorati a

seconda della quantità che il colore

esprime in modo che il bambino operi

senza contare ogni singolo bastoncino

(dal colore del bastoncino si

riconoscono le quantità come si

riconoscerebbero le cifre).

Nota: ogni scomparto contiene 9 bastoncini

della stessa quantità: 9 “uno” rossi, 9

“due” verdi, 9 “tre” rosa….

Annessi alla prima, ci sono due

scatole più piccole, l’una con le

decine dorate, l’ altra con i bastoncini

per i “resti”, da 1 a 5 formati da

perline nere, dal 6 viene aggiunta

progressivamente una perlina bianca,

per ottenere i numeri successivi fino al

9. Ad esempio il bastoncino del 7 sarà

formato da 5 perline nere e 2 bianche.

Corredano il materiale un tappeto e

un ponticello (per contare le unità).

Materiale per il serpente positivo

Si contano 10 perle alla volta per la sostituzione

La verifica con i bastoncini dorati e neri

Gioco del serpente con numeri positivi e

negativi (risultato positivo)

Età: sei anni circa.

Materiale: lo stesso usato per il gioco del

serpente positivo ed in più una

scatola divisa in scomparti

contenenti: una serie di

bastoncini grigi da 1 a 9 (6,7,8,9

hanno dopo le prime cinque

perle un doppio anello che

permette il rapido

riconoscimento del numero).

Disposizione: si dispone come il gioco del

serpente positivo però si

introducono ogni tanto anche i

bastoncini grigi di valore

negativo, che dovranno essere

sottratti.

Esecuzione: quando si incontrano i bastoncini

positivi si procede nel modo noto

(addizionando) quando si

incontra un bastoncini si conta a

ritroso, ossia si sottrae. Se per

esempio dopo una decina

incontriamo un due positivo e

subito dopo un cinque negativo

non potendo sottrarre cinque da

due, si dovrà considerare anche

la precedente decina, ossia dodici

ed a questo numero si dovrà

sottrarre cinque.

Per il controllo si prendono i

bastoncini negativi che erano nel

serpente prima che questo fosse

tradotto in decine. Vengono

annullati ponendo accanto a

questi bastoncini positivi

equivalenti, sempre appartenenti

al serpente. Con i bastoncini

rimasti si esegue la prima prova

del serpente positivo (porre

accanto alle decine i bastoncini

colorati e vedere se questi si

equivalgono).

Scopo diretto: memorizzazione della

sottrazione.

Secondo piano

della numerazione

Secondo piano della numerazione

Il sistema decimale

Le unità si organizzano in base 10

Introduzione

La legge fondamentale del sistema decimale fa pensare che si tratti

di un sistema di nove anziché di dieci.

Il sistema decimale è, invece, un sistema che organizza le unità

secondo la base 10.

È questa la ragione per cui nel primo piano della numerazione non

abbiamo mai superato il 10; infatti rimanendo dentro quel limite,

stiamo dentro la chiave del sistema decimale, il quale altro non è

che un susseguirsi di decine: decina di unità semplice, decina di

decine, decina di centinaia, decina di unità di migliaia, decina di

milioni, ecc, all’infinito.

Il sistema decimale si basa su nove segni più lo zero. Ai nove segni

corrispondono nove gruppi di unità legate dal fatto che ogni gruppo

ha un’unità in più del gruppo precedente. Quindi fino al nove le

unità possono restare sciolte perché hanno un loro nome e un segno

che le rappresenta. Quando a nove unità se ne aggiunge un’altra e si

arriva a dieci che cosa succede? Abbiamo le 10 quantità e anche il

nome “dieci” di questo gruppo di quantità. Quello che manca è il

segno. Allora si arresta tutta la numerazione. Dobbiamo dare un

segno a questo gruppo di quantità di oggetti.

A questo punto arriva l’ingegnosa chiave che risolve tutto.

Le 10 unità si uniscono indissolubilmente in un gruppo unico. Nasce

un nuovo oggetto che si può chiamare “uno”. È un “uno” però che

ha dentro di sé 10 unità. A questo “uno” diverso da quell’uno che

indicava l’unità semplice, per distinguerlo, si aggiunge uno zero così:

10.

Dieci di queste nuove unità non hanno più segni che le

rappresentino, allora si uniscono in modo indissolubile e formano

una nuova unità, un nuovo “uno”; un nuovo oggetto diverso dagli

altri due, ma strettamente legato a loro per precisi rapporti

matematici. Questo sarà un “uno” con due zeri: così 100 e si

chiamerà cento. Così via all’infinito.

C’è dunque una rapida legge che governa questo sistema decimale,

questo popolo di unità che si è voluto organizzare secondo il sistema

decimale.

Ecco la legge: fino a “nove” le unità possono stare sciolte, ed hanno

un loro segno, un simbolo che le rappresenta. Quando arrivano a

“dieci” perdono la loro libertà e si trasformano in un’unità nuova,

diversa dalla prima, ma legata alla prima per rapporti matematici e

a quest’ultima superiore.

Il segno che le rappresenta è “1” seguito da uno, due, tre, ecc, così :

1 – 10 – 100 – 1000 – 10000 – ecc.

Per il 2 piano della numerazione il materiale è triplice in quanto

risulta costituito da: oggetti, numeri, parole.

Le perle dorate

del sistema

decimale

Le perle dorate del sistema decimale

Quantità

Età: dopo che il bambino si è esercitato con il

materiale del 1 livello; dai 4 anni in poi.

Materiale: consiste in scatole di diversa dimensione:

una contiene perline sciolte, le unità; una

più grande le decine; una più alta le

centinaia e una il mille. Altre più capienti

custodiscono il cosiddetto deposito ricco di

materiale numerico (unità, decine, ecc.).

Corredano il materiale alcuni vassoi da

prelevare per il trasporto dello stesso e un

tappetino su cui adagiare le perle quando si

lavora sul tavolo.

Presentazione:

Prelevato il vassoio che contiene 1 perla, 1 dieci, 1 cento, 1 mille, a

maestra lo trasporta sul tavolo dove stende un tappetino:

- Vi posa la perla e toccandola dice “1”;

- Il bambino tocca la perla e ripete “1”;

- La maestra mostra il bastoncino del 10 e dice “10”;

- Il bambino ripete;

- Toccando le perle con il pollice e l’indice la maestra le conta

ad una ad una: 1….2….3…..10;

- Il bambino toccandole denomina le quantità: 1…2…3…10;

- La maestra mostra 100 e dice cento;

- Il bambino ripete;

- La maestra conta in ordine progressivo;

- Verifica e fa verificare dal bambino.

Lezione dei 3 tempi:

Associazione: nella presentazione del materiale;

Riconoscimento: toccami 10….1….100 oppure qual è

100….1….10?

Memoria: questo come si chiama? Oppure: quanto è questo?

Nota: si può far ripetere il 3 tempo ad occhi

chiusi. Se il bambino è interessato gli si

può presentare anche il 1000 altrimenti si

rinvia la presentazione. Quando la maestra

mostra il mille dicendo al bambino:

“Mille, questo è mille” e glielo da’, lo

invita a toccarlo anche a soppesarlo e dice:

“Questo è mille, qui ci sono dieci cento”.

Il bambino tocca il mille con movimento

avvolgente e dice mille. La maestra passa a

mostrargli che il 1000 contiene 10 volte il

cento e sovrapponendo il quadrato del 100

ad ogni 100 contenuto nel 1000 dice:

1cento…2cento….9cento…mille.

Se necessario si ripete la lezione dei 3

tempi:

2 tempo: dammi mille…;

3 tempo: questo, quant’è?.

Esercizi: la maestra invita il bambino a prelevare

dal deposito, con un vassoio che ne

contiene uno più piccolo, una quantità ad

esempio 1cento, ma prima di lasciarlo

andare gli indica qual è il 100 (nel vassoio

della presentazione). Il bambino risponde

alla consegna e la maestra prima di

verificare il contenuto del vassoio chiede al

bambino qual era il materiale richiesto. Se

il bambino lo desidera, la maestra lo invita

a prendere altre quantità (una sola

gerarchia alla volta); per esempio: 9uno

oppure 5dieci, ecc.

Scopo diretto: conoscenza delle quantità da 1 a 1000

presentate nelle loro gerarchie;

Scopo indiretto: presentazione delle gerarchie in forma

geometrica.

Simboli

Età: dopo la presentazione delle perle dorate

del sistema decimale.

Materiale: consiste in una scatola contenente una serie

di cartelli le cui dimensioni sono

proporzionali alle gerarchie dei numeri e i

cui colori sono i seguenti: verde per la serie

da 1 a 9 e da 1000 a 9000; blu per la serie

da 10 a 90 ed infine rosso per la serie da

100 a 900.

I cartellini per le nove unità sono fra loro

uguali e simili a quelli usati per la prima

numerazione (relativa alle aste

numeriche); i cartellini per le nove decine

sono di grandezza doppia perché

necessitano di spazio per contenere lo zero;

quelli delle centinaia hanno una

lunghezza tripla di quelli delle unità per

lasciar spazio per due zeri ed, infine, quelli

delle migliaia, poiché abbisognano di uno

spazio per tre zeri; hanno una lunghezza

quadrupla di quelli delle unità.

1°presentazione: si presentano prima i cartellini di 1-10-

100-1000 sottolineando il numero degli

zeri: 10 (uno con uno zero); 100 (uno con

due zeri); 1000 (uno con tre zeri).

Parallelamente a quanto avvenuto per le

quantità, si presentano i simboli con la

lezione dei 3 tempi.

2°presentazione: steso il tappeto sul tavolo, la maestra

trasporta la scatola dei cartellini

gerarchici, da cui estrae quelli delle unità

che dispone in ordine sparso; una volta

sicura che i bambini conoscono i numeri da

1 a 9, estrae il 10 chiedendo al bambino se

sa denominarlo; ripete più volte che i dieci

hanno 1 zero e quindi in successione dice:

1-dieci, 2-dieci;…; 9-dieci, tutta la

famiglia della decina.

Se si crede necessaria si può effettuare la

lezione dei tre tempi.

Con la medesima procedura presenta il

cartello del 100 facendo notare che il 100

ha due zeri e che il 1000 ne ha 3. La

maestra fa prima la lezione dei 3 tempi con

1-10-100 poi la ripete con 1-10-100-

1000 richiamando alla memoria il numero

degli zeri propri di ciascun ordine e

numerando poi a voce da 1 a 9, da 10 a 90,

da 100 a 900, da 1000 a 9000.

Il bambino ripete 1-10/2-10/3-10…ecc.

Nota: al bambino piccolo si possono presentare

solo 1-10-100-1000 unendo subito i

simboli alle quantità reali; nella lezione

dei 3 tempi si parte dalla quantità e si

invita ad appaiarla al cartellino

corrispondente. I colori aiutano il

bambino (sensorialmente) a distinguere le

gerarchie.

Appaiamento dei simboli alle quantità

Materiale: perle e cartelli del sistema decimale.

Presentazione:

Si appaia una sola gerarchia alla volta. La maestra estrae i cartelli

gerarchici dalla scatola e li dispone dall’alto in basso ricordando

che le unità vanno messe a destra.

Preleva un cartello e dopo aver chiesto al bambino di denominarlo,

lo invita a recarsi al “deposito” per prendere la quantità di perle

corrispondente a quella espressa nel numero;

Prima di procedere alla verifica, la maestra, al ritorno, fa ricordare

al bambino che cosa gli ha chiesto il numero (cioè il suo valore) e se

le risposte sono giuste (simbolo – quantità corrispondente), lo

incoraggia ad esercitarsi in altre attività di appaiamento di

gerarchie.

“Ordinare e riconoscere le quantità è altrettanto facile sia che si

tratti di perle sciolte, sia di bastoncini e quadrati. Così come quando

si sa contare da uno a nove, è altrettanto facile ordinare i cartelli e

riconoscere i numeri, sia che essi abbiano o non lo stesso numero di

zeri.”

(M. Montessori da Psicoaritemetica p. 19)

Formazione e lettura dei grandi numeri

Materiale: consiste in 4 scatole che contengono

rispettivamente 9 unità; 9 decine; 1 mille;

tutto di perle dorate più una scatola con i

cartelli delle gerarchie.

“Un secondo esercizio consiste nella composizione dei grandi numeri.

Base per l’attività sono quantità e simboli. Non si tratta di “contare”

utilizzando un sistema qualsiasi, ma si intende portare l’attenzione

sul concetto che, per ogni gerarchia, esistono unicamente nove cifre

(significative) le quali non possono essere rappresentate

semplicemente dai numeri 1-2-3-4-5-6-7-8-9; dal momento che

essi indicano soltanto le unità semplici.”

(M. Montessori da Psicoaritmetica p. 20)

Presentazione:

Avviene:

- su due tavoli posti vicini;

- su un unico tavolo grande;

- su un tappeto di stoffa.

Si preparano su un vassoio 9 unità, 9 decine, 9 centinaia e 1 mille:

- la maestra (può essere aiutata dal bambino) estrae una perla

alla volta e la dispone una sotto l’altra su un tappeto

collocandola prima in alto a destra (distanziata le une dalle

altre);

- estrae i nove dieci uno alla volta e li affianca alle unità e così

fa con i 9 cento che colloca rispettivamente a fianco dei dieci e

infine il mille a fianco del 1° cento;

- dopo aver aperto la scatola, estrae i cartelli e li dispone

distanziandoli parallelamente alle quantità come dallo schema

sull’altro tavolo;

- la maestra procede invitando il bambino ad associare simboli e

quantità (la maestra può invitare a lavorare più bambini).

La maestra quando il bambino ha familiarizzato con categorie

separate, gli può consegnare contemporaneamente due o più cartelli

di differenti gerarchie, per esempio 6000; 300; 90; 3, chiedendogli

di portare la quantità corrispondente a ciascun cartello.

Invita il bambino a prelevare un vassoio per disporvi le quantità. A

consegna eseguita la maestra fa ricordare il numero e contare le

quantità rispettivamente corrispondenti ai cartelli, verificandone

l’esattezza.

Nota: nella verifica è bene far corrispondere al

cubo il 1000 ai 3 quadrati 300, ai 2

bastoncini di perle 20 ed infine alle 4 perle

sciolte il 4.

Esercizi: in un unico “viaggio” si possono assumere

cartelli e rispettive quantità; gerarchie (il

tutto in un vassoio). Si prelevano le

gerarchie, la maestra verifica e si prendono

in seguito i cartelli corrispondenti o

viceversa. Il bambino prosegue gli esercizi

finché lo desidera.

Nota: la maestra invita il bambino a sovrapporre

i cartelli dopo avergli fatto ripetere i

numeri velocemente in modo che il 3 di

300 venga a trovarsi sopra l’uno; il 2 di 20

sul 3 di 300 e sul 2 di 20; il 4 delle perle

sciolte. Operando una piccola magia la

maestra fa scivolare verso destra i cartellini

del centinaio, delle decine e delle unità in

modo da leggere 1324 (un grande

numero); che si scompone:

1324 = 1000

300

20

4

“Via via che il bambino diventa più esperto la maestra chiederà

prove più complesse; ecco dunque come, in modo evidente si

riconoscono composizioni e scomposizioni di grandi numeri, tanto in

riferimento alle quantità effettive raggruppate secondo il sistema

decimale, quanto riguardo ai simboli numerici da esse rappresentati.

I numeri si scompongono, separando le migliaia, le centinaia, le

decine e le unità. Tra queste risulta il fatto che ogni grande numero

è una somma di gruppi, ciascuno dei quali è rappresentato dalle cifre

che stanno una accanto all’altra. Si può subito giungere ai grandi

numeri o meglio cominciare da essi, il che desta un grande interesse.

Il fatto di poter scomporre e analizzare muovendo oggetti, stimola

la ripetizione di questo esercizio tanto attraente”.

Nota per l’insegnante

Il materiale ha una triplice valenza:

Unità

Decina

a) Aritmetica

Centinaia

Migliaia

Punto

Linea

b) Geometrica

Quadrato (superficie)

Cubo (solido)

10⁰ = 1

10¹

= 10

c) Algebrica

10²

= 100

10³

= 1000

si muove nello spazio

punto

e forma………. linea a valore 10

Uno è un punto ( )

si muove nello spazio

e scorrendo forma

Linea superficie a valore 100

sale nello spazio

e arriva a formare solido a valore 1000

Se il “solido si proiettasse verso l’infinito tornerebbe ad essere il

punto dell’unità da cui inizierebbe di nuovo un altro gruppo.

Esercizi paralleli

al sistema

decimale

Esercizi paralleli al sistema decimale

Introduzione:

“Si chiamano esercizi paralleli quelli che, sviluppandosi

contemporaneamente, si riferiscono a dettagli di una stessa

conoscenza fondamentale o ai suoi differenti aspetti ai quali dettagli

stessi possono venir attribuiti.

L’esercizio deve avere in sé uno scopo determinato e interessante, in

quanto deve approfondire le conoscenze e soprattutto renderle più

chiare in modo che i dettagli appresi completino la visione

dell’insieme.”

(M. Montessori da Psicoaritmetica p. 24)

Prima tavola del

Seguin

Prima tavola del Seguin

(passaggio da una decina all’altra)

Età: dopo la presentazione globale del sistema

decimale, 4 anni e mezzo circa.

Descrizione: consiste in una scatola grigia contenente

due tavole rettangolari divise entrambe in

(due) 5 scomparti contrassegnate, la prima,

da 5 dieci e 4 l’altra più uno spazio vuoto.

Corredano questo materiale nove tavole

grigie di legno da inserire negli scomparti

contraddistinti da numeri da 1 a 9.

In una scatola ci sono nove bastoncini di

perle colorate, e nove decine dorate.

Annessi sono anche due tappetini.

Presentazione: la maestra presenta prima le quantità poi i

simboli, infine unisce le quantità al

simbolo.

Quantità: stende il tappetino su cui si dispongono in

ordine sparso i bastoncini e invita poi il

bambino a porli a canne d’organo.

Lezione dei tre tempi:

Associazione: la maestra dispone la prima decina al centro del

tappetino e accanto il bastoncino dell’1 (rosso) dicendo:”Undici,

dieci e uno…undici”.

Sotto la precedente decina adagia un altro bastoncino di perle

dorate e a fianco il bastoncino del 2 (rosso) (verde),

dicendo:”Dodici, dieci e due,…dodici”.

Dopo aver presentato tredici, dieci e tre, la maestra fa la lezione dei

tre tempi, presentando 11 – 12 – 13.

Riconoscimento: “Toccami dodici, qual è dodici? Ecc. …”. Il

bambino lo indica e la maestra lo invita a contare. Il bambino

ripete più volte. Dodici, dieci e due, dodici.

Memoria: “Questo quant’è?” Il bambino risponde.

Si procede con la lezione dei 3 tempi a presentare 14, 15 e così via

fino a 19.

Quando la maestra è sicura che il bambino conosce bene le quantità

fino a 19, passa a presentare la prima tavola del Seguin e le

tavolette con le cifre.

Simboli: estrae i cartellini uno alla volta,

pronuncia il nome ad alta voce. Fa

riconoscere al bambino i 10 sulla tavola,

prende poi la tavoletta dell’1, e,

infilandola nella guida del primo dieci in

alto sullo zero della decina, dice:”Undici”,

e sposta un poco l’uno perché sotto si veda

il dieci, e dice:”Dieci e uno, undici”.

Al 13 o 14 passa alla lezione dei tre tempi.

Chiede: come l’ho formato il 14?

Scostando il 4 dal 10 perché si veda bene.

Dieci e quattro risponde il bambino.

Dopo il 19 il bambino chiede il perché

dello scomparto vuoto e la maestra dice: si

forma un’altra decina.

Nota: le tavolette si raccolgono sovrapponendole

dal 9 in poi in regressione numerica.

Unione delle quantità al simbolo:

La maestra poggia sulla destra del tavolo le 2 tavole del Seguin,

prende dalla scatola delle decine due bastoncini (all’inizio uno) e lo

pone in orizzontale, a fianco del primo dieci della tavola, affianca a

questo il bastoncino dell’uno che preleva dalla disposizione dei

bastoncini a canne d’organo, precedentemente realizzata.

Invita il bambino a dire: undici, chiedendogli:”Questo è?”

“Undici”.

Infila la tavoletta dell’uno nel primo dieci e legge il numero

formato “Undici”.

Invita il bambino a dire la composizione:”Dieci e uno…undici” e si

prosegue così a completare le tavole.

Prima tavola del Seguin:

lavoro con l’alfabetario

Esercizio: il bambino ripete più volte l’esercizio

secondo la presentazione.

Può disegnare i bastoncini delle perle

dorate con l’aggiunta delle unità.

Può comporre la nomenclatura con

l’alfabetario mobile.

Nota: il materiale con cui si dà la nomenclatura

scritta consiste in due alfabetari (uno rosso

e uno azzurro), che hanno le lettere mobili

stampate in:

un dici

do dici

tre dici

quattor dici

quin dici

se dici

dici a s sette

dici otto

dici a n nove

Si compone con le lettere dello stesso

colore (rosse, blu) la parte fissa dici, della

nomenclatura data con le tavole del

Seguin e con quelle dell’altro colore la

parte varia.

Ultimato l’esercizio la maestra invita il

bambino a raccogliere le lettere utilizzate e

a sovrapporre quelle uguali prima di

metterle nel contenitore.

Se il bambino vuole, può scrivere su un

foglio a quadretti con due colori la

terminologia e nell’altra metà, in

corrispondenza, disegnare quantità e

simboli. (può avere una prima intuizione di

suffissi e prefissi).

Scopo diretto: conoscenza delle quantità e dei simboli

della seconda decina (da 11 a 19).

Scopo indiretto: numerazione progressiva da 11 a 99.

Seconda tavola

del Seguin

Seconda tavola del Seguin

Età: si presenta dopo la prima;

Descrizione: consiste in una scatola grigia

contenente due tavole rettangolari

divise in scomparti (5 ciascuna). Su

una tavola, negli scomparti, ci sono

scritti i numeri da 10 a 50, nell’altra

da 60 a 90, l’ultimo scomparto non

ha scritte.

Corredano il materiale 9 tavolette

contrassegnate dai simboli numerici

(da 1 a 9).

In una scatolina grigia ci sono 10

perline sciolte e in una scatola bassa

nove bastoncini delle decine. Annessi

ci sono due tappetini.

Presentazione:

Quantità:

La maestra posa sul tappeto la prima decina in verticale, prende poi

una perla sciolta alla volta e la mette a fianco di quelle del

bastoncino del 10 contando rispettivamente undici, dodici, ecc…fino

a 19, poi mette la decima unità sciolta e si ottengono due decine,

cioè 20. Dice: “Ma queste unità sciolte non possono stare”. Dicono:

“Legaci…legaci…” e la maestra, con mossa rapida sostituisce le

perle sciolte con un bastoncino del 10 e lascia le due decine

affiancate, 20; seguita contando “21 - -22” ecc…quando aggiunge

l’unità e si procede così fino a 90.

Simboli: si fanno conoscere sulle tavole del

Seguin. Nel caso che il bambino, nel

leggere il numero, ad esempio legga 3

anziché 30 e sbagli, la maestra lo

aiuta ribadendo: 3 dieci, trenta,

rinforzando la conoscenza.

Unione quantità – simboli: disposte a sinistra le perle dorate, al

centro la tavola e alla sua destra le

tavolette, la maestra comincia col

prendere il primo bastoncino del dieci,

che dispone a fianco del primo

scomparto della tavola; sotto, in

corrispondenza della prima perlina a

sinistra del bastoncino, colloca una

perla e dice: “Dieci e uno, undici!

Prende la tavoletta dell’uno, l’infila

nella guida del 10 e ripete: dieci e

uno…undici! All’undici aggiunge

una perla e dice: dieci e due…dodici.

Sfila la tavoletta dell’uno che pone a

fianco capovolta e prende quella

successiva; infila l due dicendo: 10 e

2…12. Prosegue così fino a 19.

Quando aggiunge le decima perlina

sciolta, e forma 20 la maestra

sostituisce le 10 perline sciolte con un

bastoncino e dice: 20 e sposta le due

decine a fianco della casella del 20 e

ripete: 20. Prosegue così fino a 99.

Giunti a 99 la maestra mostra che

aggiungendo una perlina si forma 100

e che non essendo più decine per

sostituire le perline sciolte e neppure

più tavolette non possiamo continuare

il lavoro, che l’indomani si farà un

gioco che gli piacerà: la catena del

100.

Si può far scrivere al bambino, dopo

aver ripetuto esercizi come la

presentazione, su fogli grandi:

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 12 22

3 13 23

4 14 24

5 15 25

6 16 26

7 17 27

8 18 28

9 19 29

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Il bambino ritroverà così tutte le

decine.

Scopo diretto: conoscenza delle quantità e numeri da

1 a 99.

Scopo indiretto: sviluppo dell’abilità numerica.

Scomposizione

lineare del

quadrato:

la catena del 100

Scomposizione lineare del quadrato:

la catena del 100

«Se invece di tenere le decine unite in forma di quadrato, le

leghiamo, mantenendole unite soltanto per le estremità,

otterremo una catena di cento perle raggruppate in decine,

ossia in bastoncini che si susseguono…. Essa rappresenta il

cammino delle unità che, attraverso le decine, vanno a

formare il centinaio.»

(M. Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 33-34)

Età: dopo la presentazione delle tavole del

Seguin; 5 anni circa.

Descrizione: è una decina formata da 10 decine di

perle dorate, unite con un anellino, in

modo che piegandole si possa formare

il quadrato, cioè il 100.

Corredano il materiale 4 bustine: una

verde contenente 9 freccette verdi

contrassegnate da numeri da 1 a 9;

una azzurra con 9 freccette azzurre un

po’ più grandi delle prime con scritte

le decine da 10 a 90; uno bustina

rossa contenente un’unica freccia

ancora più grandi delle precedenti,

contrassegnate dal numero 100; tutte

le buste sono inserite in una più

grande di colore rosso, con scritto:

“catena del 100”, compresa quella

bianca che contiene freccette bianche

dello stesso formato delle frecce delle

decine, che la maestra utilizzerà per

scrivere i numeri intermedi.

Annesso a questo materiale c’è un

tappeto, occorrono un quadrato di

perle, cioè il 100 e un bastoncino del

10.

Presentazione:

Preparato il tappeto vi si adagia raccolta la catena del 100, in modo

da formare il quadrato, cioè il 100.

La maestra porta sul tappeto un quadrato, il 100 e un bastoncino

del 10 (si potrebbe portare per la verifica anche 10 bastoncini del

10).

Sovrappone il quadrato 100 a quello raccolto e chiede al bambino

quanti sono i 10 nel quadrato e contrassegnandogli il bastoncino del

10, lo invita a verificare contando (un dieci, due dieci…dieci dieci,

100).

(Nel quadrato, cioè nel 100 si sono 10 bastoncini del 10 legati

ripete la maestra (ribadisce 100 – 1 e due zeri), e facendo

riferimento alla seconda tavola del Seguin può spiegare al bambino

il perché dello scomparso senza scritte.

Ora, aiutata dal bambino, snoda la catena, (raccolta a quadrato)

lentamente e fa notare che la lunga catena è sempre cento.

Verifica e fa verificare con il bastoncino di perle dorate che la

catena ora è lunga come 10 bastoncini del 10 messi in linea.

La maestra comincia a contare le perle ad una ad una e fa

proseguire il bambino. Alla fine di questo lavoro estrae tutte le

freccette dalle relative buste, invita il bambino a raggrupparle per

colore e, iniziando dalle verdi, a disporle a fianco di ogni perla: la

freccetta verde contraddistinta dal numero 1 è collocata a fianco

della prima perla (iniziando a contare da sinistra), le altre otto via

via il bambino le dispone in progressione e al 10 colloca la prima

freccetta azzurra del 10, al 20 quella corrispondente del 20 e così

seguita a contare mettendo a lato di ogni decina (tralasciando le

unità) la freccia azzurra relativa.

Conta 96…97…98…99 e al 100 colloca la freccetta rossa e

vicino il quadrato, cioè il 100.

Nota: la maestra deve essere presente e vigile

per evitare che il bambino sbagli.

Esercizi:

Il bambino ripete gli esercizi secondo la presentazione. Si può fare

l’esercizio che ripete la lezione dei 3 tempi.

Primo tempo: si sistemano tutte le freccette delle unità, delle decine

e quella del centinaio in corrispondenza delle relative quantità.

Secondo tempo: si raccolgono le frecce, si mescolano e la maestra

invita il bambino a mettere a passo a posto 2…26…ecc.

Terzo tempo: si indica una perla che completa una decina e il

bambino la deve denominare.

La maestra spiega prima al bambino o ad un piccolo gruppo che

ogni perla ha il suo nome perché tutte le perle assumono un nome,

anzi un nome proprio a seconda dell’ordine occupato da ciascuna

nella progressione ed invita ogni bambino a scegliere una perla, a

indicarla e a dire: “Mi chiamo 32… I miei vicini con cui sono

sempre a contatto sono…31…33.

Scrive su una freccetta bianca nella busta relativa un numero e

invita il bambino ad “andare a trovare” il 27 ecc….In una busta

bianca si mettono 100 freccette indicanti ciascuna uno dei numeri in

progressione, il bambino ne pensa una e la colloca a fianco della

perla corrispondente. Il bimbo può disegnare 10 bastoncini del 10.

Scopo diretto: rinforzo conoscenza dei numeri da 1 a

100.

Scopo indiretto: intuizione delle potenze dei numeri.

Nota: la catena si può contare anche

regressivamente (a decine).

La scomposizione

lineare del cubo :

la catena

del 1000

La scomposizione lineare del cubo

La catena del 1000

«La reazione sorprendente dei bambini di fronte a questo

materiale è la costanza del contare esattamente la catena del

1000, unità dopo unità. Poiché questa è un’operazione

troppo lunga per poter essere eseguita in una sola volta, i

bambini la interrompono, ma non l’abbandonano. Nel

medesimo giorno, o nel seguente, riprendono l’operazione là

dove l’avevano interrotta e proseguono nel conteggio fino a

concluderlo… Contano e contano senza stancarsi: uno, due,

tre, …quarantacinque, quarantasei, …trecentoquindici,

trecentosedici, … fino a novecentonovantanove e mille,

facendo scorrere fra le dita perla dopo perla, come si sgrana

un rosario.»

Età: dopo aver lavorato con le tavole del

Seguin e la catena del 100.

Descrizione: il materiale consiste in una catena

formata da 1000 perle frazionate con

appositi legamenti in 100 decine, a

loro volta raggruppate in 10

centinaia. In pratica è la

scomposizione lineare del cubo in 10

quadrati e ciascuno di essi in 10

bastoncini, ognuno di 10 perle.

Corredano il materiale un cubo, cioè

il mille; un quadrato, cioè il 100; e

un bastoncino di perle dorate

utilizzati per le relative verifiche.

Ci sono 5 bustine inserite in una più

grande di colore verde: nella prima

bustina verde ci sono 9 freccette verdi

per le unità, in quella azzurra 9

freccette azzurre per contrassegnare le

decine, nella rossa le 9 freccette rosse

per le centinaia e nella seconda

bustina verde la freccia indicante

l’unità di migliaia.

Il lavoro si fa sul tappeto posto in

terra.

Presentazione: il rituale di presentazione è il

medesimo di quello relativo alla

catena del 100, come quello

concretamente svolto dai bambini

presenti al corso.

Note: ad ogni passaggio di un cento si

collocano a fianco delle perline la

rispettiva freccia rossa e un quadrato

(cioè il cento) prelevato dal deposito;

al mille, contrassegnato dalla freccia

verde, si chiude con un cubo.

Particolari e ulteriori sviluppi sono

stati esaminati nella presentazione. È

utile ricordare che i giochi proposti

per la catena del 100 possono essere

ripetuti per la catena del mille.

Dovendo interrompere l’attività, essa

sarà ripresa a partire dalla quantità

opportunamente ricordata in un

appunto scritto dallo steso bambino o

dalla maestra.

Scopo diretto: acquisto di sicurezza nella

numerazione da 1 a 1000.

Controllo dell’errore: è nel materiale: se i bambini pongono

le freccette in modo errato, queste

avanzano.

Cambio diretto:

gioco del cambio

Cambio diretto: gioco del cambio

Età: subito dopo l’addizione statica.

Descrizione del materiale: materiale del sistema decimale: una

buona quantità di perle dorate, serie

dei cartellini da 1 a 9000. Vassoi del

sistema decimale.

Presentazione:

- la maestra invita un bambino a portare tante unità, decine;

invita un altro bambino a portarle tante centinaia e migliaia

- La maestra dice, dopo che i bambini le hanno consegnato le

quantità:”Oggi sono ricca! Aiutatemi a contare, ma siccome

sono distratta ad ogni dieci dovete dirmi stop!”

- Si invita a contare dalle unità, si contano fino a 10, si danno

al bambino le perle sciolte chiedendo di cambiarle con una

decina del bastoncino.

- Il secondo conteggio delle unità, per esempio, arriva ad 8, in

quanto non ci sono più perle sciolte da aggiungere, allora si

pone sopra le unità il cartellino grande con la cifra 8.

- Si passa al conteggio delle decine. Arrivati a contare dieci

bastoncini, si chiede al bambino di cambiare le dieci decine con

un “100”;

- Si contano i bastoncini restanti e sopra di questi si pone il

cartellino del 9 – 10 cioè 90 (ad esempio).

- Si passa con lo stesso sistema del cambio a contare i cento, ad

esempio, se si hanno solo 5 – 100, non avviene il cambio e si

pone sopra la quantità solo il cartellino “500”.

- Si contano i mille, 4 – 1000, 4000 e si mette sul mucchio

ordinato il relativo cartello.

- Ora la maestra prende i cartellini di ogni quantità, li

sovrappone e poi compie la “magia” ottenendo così il totale

delle quantità portate.

- Si chiede ai bambini, indicando la quantità del materiale sul

tavolo: “Secondo voi è la stessa quantità di prima?”

- I bambini risponderanno probabilmente che la quantità è

minore, perché sensorialmente vedono un minor volume di

“perle”.

- Si dà in tal modo il concetto di equivalenza.

Gioco del cambio

inverso :

“La morte del

mille”

Gioco del cambio inverso

“La morte del mille”

Descrizione del materiale: tappetino, perle dorate del sistema

decimale, vassoi del sistema decimale,

cartellini grandi.

Presentazione:

- La maestra prepara sul tavolo del cassiere un tappeto rosso; vi

pone il “1000” delle perle dorate e il cartellino del 1000

grande;

- la maestra chiama un bambino, questo prende un vassoio;

- la maestra gli dice:”Io ti vorrei dare uno, ma non possa farlo,

come posso fare?”

- vogliamo cambiare? Con che cosa? Con 10 – 100 – e la

maestra aggiunge di seguito:”Facciamo morire il “1000”,

portami10 – 100;

- il bambino va alla cassa e cambia il “1000”;

- il piccolo ritorna con il vassoietto e le perle dorate dalla

maestra che dice:”Il “1000” è morto, ed ora contiamo!”

- si conta mettendo un “100” sopra l’altro riformando il cubo

1000;

- la maestra ora dice:”Il mille dice <sono vivo>, non sono

morto, ma io voglio darti “1”, come facciamo me lo vuoi

cambiare?

- il bambino prende un “100” e riporta 10 - “10”, un bastoncino

di perle dorate;

- la maestra conta 10 – “10”:”Ma allora il 1000 non è morto!

Ma io voglio darti “1”, cambiamo ancora?!

- il bambino prende un bastoncino da “10” e ritorna con dieci

perle sciolte (unità);

- la maestra conta 10 – 1:”Ma allora il 1000 è vivo! Io però

voglio darti “1”. Si dà l’unità al bambino e si aggiunge:

“Allora 1000 è veramente morto!”;

- si invita, a questo punto, il bambino a ricontare;

- si procede iniziando il conteggio dalle unità:

o 9 perline dorate (unità);

o 9 bastoncini dorati (decine);

o 9 quadrati dorati (centinaia);

- ora il “1000” è morto perché ha “999”;

- ad ogni conteggio, per gerarchia, si invita il bambino a

prendere un cartellino grande da sovrapporre alla quantità;

- approvato dal conteggio che il mille è morto si capovolge il

cartellino grande del mille;

- il cambio avviene sulla gerarchia significativa, gli zeri sono

posizionali nel cambio.

Nota: con i bambini più grandi non si parla

di “1000 che muore”ma di cambio (si

vuole cambiare “1”) per cui non si

racconta la storia.

Scopo diretto: preparazione alla sottrazione e

divisione dinamica.

Le tavole

dell’addizione

Tavola delle asticine dell’addizione

Età: dai cinque anni in poi, dopo aver

lavorato con le prime tavole del

Seguin e dopo il gioco del serpente.

Descrizione: una tavola con scritti in alto i numeri

da 1 a 18, ai quali corrispondono

sotto dieci file di diciotto quadretti

l’una.

I numeri da 1 a 10 sono scritti in

rosso, da 11 a 18 in nero. Una

marcata linea rossa verticale, situata

fra il 10 e l’11, divide in due parti la

tavola e rappresenta la ricerca della

decina.

Ne risulta una scacchiera rettangolare

di 18 quadretti vuoti di base e 10 di

altezza.

Nota: 18 sono i quadretti perché il bambino

deve memorizzare fino a 9+9=18,

cioè 18 è il risultato della relazione.

2(b-1) in cui b indica la base del

sistema preso in esame, il sistema

decimale nel nostro caso. È come dire

che le caselle orizzontali sono il

doppio della “base del sistema

diminuita di 1”. Il numero delle

caselle verticali è 10 in quanto, nel

sistema a base 10, tale è il numero

massimo delle combinazioni possibili.

La tavola è completata da due serie di

asticine di legno: nove azzurre e nove

rosa, entrambe della stessa altezza dei

quadretti e di lunghezza variabile da

1 a 9 quadretti. Le nove asticine rosa

si differenziano da quelle azzurre, che

hanno scritto il numero da 1 a 9 sul

lato destro, perché sono divise in tanti

quadretti corrispondenti alle unità che

rappresentano e sono queste che si

aggiungono, numerando, al primo

addendo. Anche questa serie porta

scritto a destra il simbolo relativo alla

quantità rappresentata.

Presentazione: individuale.

Si presenta al bambino il tavoliere, invitandolo a leggere i numeri

riportati in alto. Si prende la scatola rosa delle asticine, estratte

quelle azzurre e disposte in ordine sparso sul tappeto, si invita il

bambino a riordinarle a “canna d’organo” e a leggere i relativi

numeri in successione. Le asticine rosa vengono ordinate come le

precedenti e il bambino legge in progressione i numeri riportati.

Come prima somma si scelgono due asticine che superino il 10, per

esempio 7+5=12.

Si prende l’asticina azzurra del 7 e la si pone, partendo dall’1, sulla

prima fila orizzontale di quadretti; di seguito all’asticina azzurra

viene posta quella rosa del 5. Il bambino legge il risultato

dell’addizione, in alto del tavoliere, 12. Poi la maestra lo invita a

leggere il valore dell’asticina azzurra (es.7) e a proseguire a contare

7/8-9-10/11-12 sino quindi alla fine del secondo addendo. Il

bambino legge 7/8-9-10/1-2…10 e 2=12; il secondo addendo,

cioè 5 nel nostro caso, risulta scomposto in 3+2 per formare il 10,

cioè (7+3)+2.

Scopo di questa tavola è di mostrare chiaramente il passaggio

attraverso il 10.

Esercizi:

Formare tutte le combinazioni del 10. Con questo lavoro il

bambino intuitivamente assorbe la proprietà commutativa

dell’addizione. Con lo stesso procedimento si possono formare tutte

le combinazioni del 9, 8, 7, …fino a 1+1=2.

La maestra, per rendere interessante e più costruttivo l’esercizio,

invita il bambino, mettendolo in situazioni problematiche, a scoprire

da solo le possibili combinazioni, per esempio mette sul tavoliere

l’asticina dell’8 e lo invita a formare 15, quindi 8+7 rosa.

L’ambito numerico è ristretto per favorire la memorizzazione

necessaria e sufficiente nel calcolo di base.

Per facilitare il passaggio all’astrazione sono necessarie due

condizioni:

Conoscere le quantità concrete e saper operare con esse;

Avere l’aiuto valido della memoria.

La memoria è un processo di ordine psicologico molto complesso,

conseguenza di un apprendimento spontaneo e organizzato, che

permette di ricordare e utilizzare nel tempo le esperienze acquisite.

M. Montesori parla di “mneme”, o memoria inconscia. Attraverso la

ripetizione degli esercizi, le operazioni sono memorizzate e

diventano apprendimenti attraverso cui il bambino ricorrerà con la

memoria consapevole, rifacendosi a dati avuti con la memoria

operativa.

È necessario perciò operare per memorizzare. Manipolando il

materiale il bambino ha esercitato la memoria: 1- motoria; 2-

visiva; 3- uditiva; costruendo ed arricchendo il suo archivio dati e le

sue conoscenze.

Da questa ricchezza potrà attingere richiamando, per associazione e

collegamento, un’infinità di dati precisi e indispensabili per

apprendimenti sempre più complessi.

Per memorizzare l’addizione basta calcolare tutte le possibili

combinazioni entro il 18, che non è altro che il doppio delle unità

che possono rimanere sciolte nel sistema a base 10.

2 (b-1)= 2(10-1)=18

2X9=18

Materiale per i vari esercizi: - Serpente positivo;

- Tavola delle asticine – moduli;

- Combinazioni separate in un

cestino;

- Una tavola di confronto;

- Quattro tavole operative per

esercizi paralleli;

- Tombola con relativi tombolini;

- Bastoncini di perle colorate:

- Scatola con i segni +, =

Scopo indiretto: intuizione delle proprietà

dell’addizione; formazione della

mente logico matematica.

Controllo dell’errore: nella prima tavola di confronto.

8+6=14 6+9=15

7+5=12 8+8=16

9+9=18 4+7=11

9+8=17 5+8=13

Il bambino può scoprire il doppio dei numeri ponendo sulla tavola

le asticine dello stesso valore.

Il bambino può formare i binomi di 11, 12, 13, …fino a 18 che ha

una sola combinazione, cioè 9+9=18.

Quando il bambino mostra interesse a scrivere ciò che fa, la maestra

gli presenta un blocchetto con 9 moduli rosa: il modulo dell’1, del

2, del 3, ecc. In ciascun modulo ci sono 9 combinazioni. Il

bambino esegue l’esercizio, e per verificare se le operazioni sono

esatte, si serve della prima tavola di confronto dell’addizione.

Dopo gli esercizi con i moduli, la maestra prepara un cestino con 81

bigliettini corrispondenti a tutte le possibili combinazioni contenute

nei moduli e nella prima tavola di confronto. Il bambino pesca un

bigliettino e, servendosi delle asticine, compone sul tavolo

l’operazione suggerita. A lavoro finito, trascrive in un apposito

foglio sia l’operazione, sia il risultato. Naturalmente il lavoro si

protrarrà nel tempo e il bambino, per evitare di ripeterle, legherà

con un elastico le combinazioni estratte e, conteggiate.

Nota: questo materiale per gli esercizi scritti

conduce il bambino ad impadronirsi di

tutte le possibili combinazioni intorno

al 10, necessarie e sufficienti da

memorizzare.

Scopo diretto: memorizzazione di tutte le addizioni

entro il 18.

1+4= 2+3= 3+2= 3+3= 1+1=

1+2= 2+1= 4+2= 2+4= 1+3=

3+1= 2+2= 5+1= 1+5= 4+1=

6+1= 5+2= 2+5= 3+4= 1+6=

2+6= 5+3= 3+5= 4+4= 4+3=

5+5= 6+4= 1+7= 7+1= 6+2=

4+6= 8+1= 1+8= 2+7= 7+2=

6+3= 3+6= 5+4= 4+5= 1+9=

7+3= 3+7= 8+2= 2+8= 9+1=

5+6= 6+5= 7+4= 4+7= 8+3=

3+8= 9+2= 2+9= 6+6= 8+4=

4+8= 9+3= 3+9= 7+5= 5+7=

6+7= 7+6= 8+5= 5+8= 9+4=

4+9= 7+7= 8+6= 6+8= 9+5=

5+9= 8+7= 7+8= 9+6= 6+9=

8+8= 9+7= 7+9= 9+8= 8+9=

9+9=

ADDIZIONE

1

1+1= ……….

1+2= ……….

1+3= ……….

1+4= ……….

1+5= ……….

1+6= ……….

1+7= ……….

1+8= ……….

1+9= ……….

ADDIZIONE

3

3+1= ……….

3+2= ……….

3+3= ……….

3+4= ……….

3+5= ……….

3+6= ……….

3+7= ……….

3+8= ……….

3+9= ……….

ADDIZIONE

5

5+1= ……….

5+2= ……….

5+3= ……….

5+4= ……….

5+5= ……….

5+6= ……….

5+7= ……….

5+8= ……….

5+9= ……….

ADDIZIONE

7

7+1= ……….

7+2= ……….

7+3= ……….

7+4= ……….

7+5= ……….

7+6= ……….

7+7= ……….

7+8= ……….

7+9= ……….

ADDIZIONE

2

2+1= ……….

2+2= ……….

2+3= ……….

2+4= ……….

2+5= ……….

2+6= ……….

2+7= ……….

2+8= ……….

2+9= ……….

ADDIZIONE

4

4+1= ……….

4+2= ……….

4+3= ……….

4+4= ……….

4+5= ……….

4+6= ……….

4+7= ……….

4+8= ……….

4+9= ……….

ADDIZIONE

6

6+1= ……….

6+2= ……….

6+3= ……….

6+4= ……….

6+5= ……….

6+6= ……….

6+7= ……….

6+8= ……….

6+9= ……….

ADDIZIONE

8

8+1= ……….

8+2= ……….

8+3= ……….

8+4= ……….

8+5= ……….

8+6= ……….

8+7= ……….

8+8= ……….

8+9= ……….

ADDIZIONE

9

9+1= ……….

9+2= ……….

9+3= ……….

9+4= ……….

9+5= ……….

9+6= ……….

9+7= ……….

9+8= ……….

9+9= ……….

Seconda tavola di confronto

In questa tavola sono state tolte le combinazioni inverse dei binomi,

per l’applicazione della proprietà commutativa.

….”questo –duplicato inverso- può essere eliminato in una tavola

semplificata, nella quale siano presenti tutte le possibili

combinazioni, dove il necessario è ciò che è sufficiente”….

(“Psiaritmetica” pag. 49)

La prima colonna della tavola di confronto è completa, le

successive vanno diminuendo, per il principio sopra indicato (tutte le

doppie somme sono tolte).

Per far si che le combinazioni del 10 risultino sulla stessa linea

orizzontale , dalla prima in poi, tutte le colonne sono state spostate

in basso di un posto; di conseguenza in ogni linea orizzontale

vengono a trovarsi risultati uguali, ottenuti con combinazioni che

crescono di numero fino a quelle del 10, poi vanno decrescendo fino

a quella unica del 18.

La seconda tavola oltre a servire da confronto, invita il bambino

alla “riflessione”; lo guida a scoprire l’armonia dei numeri,

soprattutto quando può notare come sulla diagonale esterna i

risultati sono il “doppio dei numeri” da 1 a 9.

Terza tavola operativa o di confronto

E’ questa la tavola “montessoriana” dell’addizione, parallela alla

tavola Pitagorica.

In alto, orizzontalmente, porta scritti i numeri in successione da 0 a

9 su fondo azzurro; a sinistra , verticalmente su fondo rosa, i numeri

da 0 a 9. Lo zero viene a trovarsi sul quadrato dell’incrocio nel

quale i due colori sembrano sovrapporsi.

Negli 81 quadretti interni sono riportati solo i totali delle

combinazioni della prima tavola, perciò per controllare le

operazioni il bambino mette un dito sul numero su fondo azzurro,

per il primo addendo, su quello su fondo rosa per il secondo: li fa

scorrere e legge il risultato sul “quadretto di incrocio”.

Con questa “tavola operativa” il bambino può lavorare utilizzando

i biglietti con le combinazioni, senza il materiale con la tavola delle

asticine.

Pesca una combinazione; trascrive sul foglio l’indicazione; trova il

risultato sulla tavola e lo trascrive sul foglio.

In tal modo egli compie un primo passaggio all’astrazione, in

quanto opera solo con i simboli, non con il materiale concreto, e la

sua mente si affina ed acquista abilità nel calcolo.

La maestra guida il bambino ad osservare attentamente la tavola in

modo da scoprire le leggi matematiche che la rendono uno strumento

vivo: i numeri su fondo rosa si ripetono, ad uno ad uno in diagonale

verso l’alto; quelli su fondo azzurro, per “simmetria”, si ripetono in

diagonale verso il basso. Sulla diagonale massima da 0 a 18 si legge

il doppio dei numeri. Infine sempre per simmetria, i numeri delle

linee verticali corrispondono a quelli delle linee orizzontali, per la

proprietà commutativa.

Quarta tavola operativa o di confronto

Questa tavola è simile alla terza, ma sono stati eliminati i risultati

uguali, perciò sulla diagonale esterna si legge il doppio dei numeri e

i due addendi sono rappresentati da un’unica fila verticale, a sinistra

su fondo rosa.

Anche su questa tavola il bambino può eseguire operazioni senza

materiale.

La ricerca del risultato implica una complessa operazione mentale,

in un primo tempo basata sull’intuizione.

Cerca i due addendi sull’unica linea.

Parte da questi con le due dita e le sposta verso i relativi doppi

sulla diagonale, facendo in ogni caso precedere l’addendo più

piccolo.

Dal suo doppio si scende fino al punto d’incontro con l’altro

dito che si muove in senso orizzontale, come già spiegato.

Quinta tavola operativa o di confronto

E’ la semplificazione della quarta tavola; fu ideata da un bambino

olandese di sette anni, il quale volle eliminare tutti i numeri uguali

lasciandone solo una serie in successione da “2” a “18”, disposti in

due diagonali.

Da questa tavola, ridotta all’essenziale, risulta evidente il concetto

di limitarsi alla presentazione del necessario e sufficiente, anche al

di là del semplice caso aritmetico; concetto che rappresenta uno dei

cardini della psicodidattica montessoriana, secondo la quale il vero

protagonista è il bambino che apprende e si costruisce “facendo”.

Per eseguire una somma il bambino segna i due addendi, sulla

striscia colorata rosa, con le due dita, cerca il doppio di ciascuno

sulla diagonale, quindi le fa scorrere su questa fino ad incontrarsi.

Se il risultato è un numero pari, le dita si incontrano sulla

diagonale esterna, se è dispari su quella interna.

Il bambino, dopo aver lavorato a lungo con questa tavola

operativa, può arrivare a prendere coscienza che la somma di due

numeri pari è sempre pari; la somma di due numeri dispari è sempre

pari; la somma di un numero pari e uno dispari è sempre dispari.

Tombola dell’addizione

Questa tavola operativa rappresenta, possiamo dire, il 3° tempo

della lezione dei tre tempi: consiste in una vera e propria auto

“interrogazione” che permette al bambino di rendersi cosciente del

grado di memorizzazione raggiunto, senza l’intervento esterno

dell’insegnante che interroga.

Descrizione del materiale: e’ una tavola quadrata divisa in

cento quadretti, dei quali i primi

10 orizzontali portano scritte le

cifre da 0 a 9, su fondo azzurro, i

primi 10 quadretti verticali su

fondo rosa, le cifre da 0, in

comune con i soprannominati, a

9.

A completamento della tombola

c’è una scatola rosa con “81”

tombolini dello stesso colore; su

ognuno è scritto il numero, da un

lato, il segno di addizione

dall’altro.

La maestra prepara un sacchetto

rosa con i bigliettini delle 81

combinazioni, da unire al

materiale.

Presentazione:

- La maestra estrae dalla scatola i tombolini in ordine sparso.

Si invita il bambino a fare ordine mettendoli, prima, in senso

orizzontale secondo la successione numerica da 2 a 18, poi,

incolonnando sotto ciascuno quelli uguali, si forma così una

“piramide rovesciata”.

Il bambino prende dal sacchetto un bigliettino: legge

l’indicazione.

Il bambino calcola mentalmente la somma del binomio e

cerca il tombolino con il numero corrispondente.

A questo punto opera come nella tavola montessoriana:

muovendo contemporaneamente le dita in senso orizzontale e

verticale, dispone il tombolino sul quadratino d’incrocio dei

due addendi.

Si prosegue l’esercizio fino a riempire la tombola con tutti i

tombolini.

Si controlla il lavoro svolto con la terza tavola montessoriana.

Nota: quando viene letta la somma

proposta dal bigliettino, si deve

porre attenzione a cercare il

primo addendo sulla colonna

verticale rosa e il secondo

sull’azzurra. Un’errata ricerca

degli addendi sulla tavola, o uno

scambio tra il primo e il secondo

addendo nella lettura, porterà ad

un errato incrocio con la

disposizione di un tombolino su

di una casella che non è la

propria (anche se la somma è

giusta). Quando poi sarà estratto

il bigliettino con quella

combinazione, il bambino

troverà la casella occupata dal

tombolino posto per l’inversione

degli addendi.

Esercizi:

Quando il bambino ha lavorato a lungo, come nella presentazione,

può passare ad altri esercizi, alcuni suggeriti dalla maestra, altri

scoperti personalmente.

1. Il bambino può prendere un tombolino a caso, per esempio -

13-, pensare ai due addendi di cui può essere la somma e

metterlo sulla tombola, sul loro quadretto dell’incrocio: 13

può essere il risultato del binomio 6+7=

L’esercizio si conclude quando sono esauriti i tombolini.

2. Il bambino può prendere in considerazione una colonna di

tombolini alla volta, e scoprire così le possibili combinazioni di

ciascuna somma: con quanti binomi si ottiene -12-, oppure -8-

o -10-, fino alla sola combinazione per il -2- e per il -18-.

Con questo esercizio il bambino ritorna sulle operazioni mentali

compiute con altri materiali e rafforza la memorizzazione delle

combinazioni entro il 18, acquistando abilità nel calcolo rapido.

Nota: scopo della tombola è dare la

possibilità al bambino di auto-

correggersi.

Esercizi con i

bastoncini di perle

colorate

Esercizi con i bastoncini di perle colorate

Con i “bastoncini di perle colorate” si possono eseguire esercizi di

memorizzazione che si riferiscono all’analisi dell’addizione.

……..“L’avanzamento della conoscenza si realizza ora sui dettagli,

mediante l’analisi di quanto già acquisito e su cui occorre richiamare

l’attenzione.

Il dettaglio assume un’importanza in quanto ci permette di

penetrare nell’insieme, finora considerato nel suo aspetto esteriore e

generale.

Lo studio analitico assume frequentemente l’apparenza di un

procedere in direzione opposta rispetto al cammino già percorso, in

quanto si procede dal “tutto” alla “parte”, dal “generale al

particolare”, dal “composto al semplice”.

(“Psicoaritmetica” pag. 89)

Gli esercizi coni bastoncini di perle colorate suscitano l’attività del

bambino, riescono a fissare l’attenzione per lungo tempo e lo

mettono in situazione problematica, la soluzione della quale porta

all’intuizione di alcune fondamentali proprietà aritmetiche;

intuizioni che acquistano in lui il valore della “scoperta personale”

e gli danno la gioia di “autoeducarsi”.

Le proprietà

dell’addizione

Le proprietà dell’addizione

Età: 5 anni, 5 anni e mezzo,

parallelamente alla tavola delle

asticine.

Descrizione del materiale: a) una scatola di legno, divisa in

nove scomparti, contenente i

bastoncini da 1 a 9, in numero di

per colore;

b) una scatola di legno, dello

stesso colore della prima con

molte decine dorate;

c) un tappetino di panno;

d) una scatolina con vari divisori

per i segni necessari preparati

dalla maestra: + - ( );

e) tre bustine contenenti tre serie

di biglietti con le indicazioni dei

binomi, trinomi, quadrinomi e

polinomi, con scritto all’esterno:

-proprietà commutativa-

-proprietà associativa-

-proprietà dissociativa-

Presentazione: - La maestra presenta l’esercizio

individualmente;

- Si invita il bambino a mettere

sul tappetino, precedentemente

disteso, due bastoncini colorati e

ad indicare l’addizione con i

relativi segni, quindi a contare le

perline del secondo addendo,

aggiungendole al primo.

- Il risultato deve essere indicato

con decine ed unità, se supera il

10, per esempio:

8+5= 13 (10 e 3)

Esercizi: - Il bambino per un certo tempo

calcola le addizioni indicate dai

bigliettini delle combinazioni.

- Il bambino può scriverle sul suo

foglietto oppure le può

rappresentare disegnando i

bastoncini di perle colorate,

sempre rappresentando la somma

con i bastoncini dorati e quelli

colorati per le unità, quando sia

necessario.

Proprietà commutativa

a) Quando il bambino ha lavorato a lungo con i bastoncini

di perle colorate, la maestra con un movimento brillante

sposta gli addendi di un binomio già calcolato e gli

dimostra che il risultato resta invariato.

b) Invita il piccolo ad indicare prima, per esempio:

7+6= 13

poi a disporre accanto i bastoncini dello stesso binomio,

combinandone l’ordine e calcolando la loro somma in

modo da verificare che resta invariato, cioè:

7+6= 13 6+7= 13

c) Il bambino prende la busta con su scritto “proprietà

commutativa” e prosegue l’esercizio con i biglietti in essa

contenuti, tra i quali trova anche l’indicazione dei

trinomi.

d) Può scoprire così che con tre addendi si possono ottenere

più combinazioni, precisamente “sei”;

e) In seguito, con quattro addendi “ventiquattro”, con cinque

“centoventi” e così via secondo la formula algebrica:

n (n-1) (n-2) (n-3)……

n= numero addendi

1,2,3…= numero combinazioni

Proprietà associativa

a) Lavorando con i bastoncini colorati, il bambino può tornare

sulla formazione del -10- data con il serpente, ed ancor

prima con le aste, perché alla base dei calcoli c’è sempre il

sistema decimale.

b) La maestra invita il bambino a disporre sul tappeto i

bastoncini colorati corrispondenti ad un polinomio, da lei

scritto in precedenza, per esempio:

6+2+4+5+8=

c) Il piccolo conta ed indica il risultato

“25” con due decine e il bastoncino del cinque.

d) A questo punto la maestra suggerisce

di applicare la proprietà commutativa, già nota, per associare

i bastoncini che possono formare -10-, mettendoli tra

parentesi.

e) Il calcolo risulta più facile e rapido,

dopo la sostituzione dei binomi con le decine, cioè:

(6+4)+ (8+2)+5=

10 + 10 +5=25

f) Il bambino con questo esercizio,

scopre la proprietà associativa dell’addizione, impara in

modo chiaro l’uso delle parentesi, rinforza la

memorizzazione della formazione del dieci, con la

conseguente acquisizione di rapidità nel calcolo mentale.

Memorizzazione

Introduzione

Nel “primo livello” per la formazione della mente logico-

matematica, il bambino ha lavorato a lungo entro il 10 ed è entrato

nel mondo dei numeri; nel “secondo livello” ha avuto la visione

globale del sistema a base dieci ed un’intuizione abbastanza

completa dei concetti di:

addizione

processi che

portano ad

accumulo di quantità

moltiplicazione

sottrazione

processi che

portano a

diminuzione di quantità

divisione

Con il materiale delle perle dorate il bambino ha potuto spaziare in

un grande ambito nel mondo dei numeri: da “1” a “1000”; da “1” a

“9000”.

Per la memorizzazione si da un materiale esatto che ha lo scopo di

aiutare il bambino a passare dal concreto all’astrazione. L’ambito

numerico è ristretto per favorire la memorizzazione di base

“necessaria e sufficiente” costituita dai calcoli.

Dall’-1- al -18 per addizione e sottrazione

Dall’-1- al -100- per moltiplicazione e divisione

Per favorire il passaggio all’astrazione sono necessari due fattori:

a) Conoscere le quantità concrete e operare con esse

b) Avere l’aiuto della memoria.

Le tavole

della

moltiplicazione

Prima tavola della moltiplicazione

E’ una tavola di controllo.

Dopo che i bambini hanno riempito, per molte volte, intere serie di

moduli, aiutandosi con il materiale, si offre loro una tavola per il

controllo, affinché possano verificare se hanno commesso qualche

errore nel calcolo delle moltiplicazioni. Tabellina dopo tabellina,

numero dopo numero, essi verificano se ogni prodotto corrisponde a

quello presente in una delle dieci colonne della tavola. Eseguito con

la massima attenzione questo controllo, i bambini sono in possesso

di serie, sicuramente prive di errori. Su un foglio copiano poi dai

moduli le tabelline, una accanto all’altra e nella loro successione.

( Maria Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 104)

La tavola pitagorica

E’ una tavola quadrata divisa in cento quadretti, dei quali i primi 10

orizzontali portano scritte le cifre da 1 a 10, su fondo azzurro, i

primi 10 quadretti verticali su fondo rosa, le cifre da 1 a 9.

A completamento della tombola c’è una scatola gialla con “81”

tombolini dello stesso colore; su ognuno è scritto il numero.

Come risultato delle molte attività al riguardo, il bambino è oramai

padrone della Tavola Pitagorica; sarà perciò molto facile

insegnargli a leggerla nel suo aspetto di tavola dei prodotti, che già

conosce a memoria. Potrà allora riempire a mente con i prodotti gli

spazi vuoti. L’unica difficoltà che gli rimane da superare risiede nel

riconoscere in quale casella, corrispondente al medesimo tempo tanto

al moltiplicando quanto al moltiplicatore, dovrà inserire il

prodotto.

( Maria Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 105)

Seconda tavola della moltiplicazione

Stabilito che l’ordine dei fattori non altera il prodotto e che, ai fini

della memorizzazione, è il prodotto ciò che conta, si può

semplificare la tavola della moltiplicazione, escludendovi le

moltiplicazioni inverse. Le moltiplicazioni risultano in posizione tra

loro simmetrica: si trovano l’una al di sopra e l’altra al di sotto di

quelle altre (coi fattori uguali) che si allineano lungo la diagonale

che va dal prodotto 1 al 100. Sulla diagonale nominata troviamo i

prodotti di ciascun numero moltiplicato per se stesso, ossia i quadrati

perfetti di 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10. Eliminando le

moltiplicazioni ripetute e perciò in posizione simmetrica, ne risulta

una nuova tavola. In essa, per ogni numero, si hanno le successive

combinazioni con la serie naturale dei numeri, ma partendo dal

quadrato del numero considerato. Sulla medesima linea,

incontreremo orizzontalmente:

1X1=1

1X2= 2; 2X2= 4 e sotto

1X3= 3; 2X3= 6; 3X3= 9 e così via.

In altre parole: sono allineate tutte le moltiplicazioni con lo stesso

moltiplicatore; esse si interrompono dopo la moltiplicazione avente i

fattori uguali. Proseguendo nella compilazione, si sviluppano tutte

le possibili combinazioni necessarie al calcolo. Se si sorpassa,

infatti, il quadrato di un numero (quello di 3, per esempio) la

combinazione successiva 4X3 non è altro che l’ inverso della

combinazione che fa il 3 col moltiplicatore 4. Per tale ragione 4X3

risulta potenzialmente inclusa nella tabellina del 3 come simmetrica

della tavola dimezzata. Tale parte ha in se tutte le indicazioni

necessarie, per trovare le combinazioni di ogni numero, che

precedono verticalmente il suo quadrato perfetto. Le combinazioni

eliminate sono ugualmente reperibili se scorriamo la tavola in senso

inverso andando cioè da destra a sinistra e leggendo al posto di 3X4

e 3 X 5;ecc. 4 X 3 e 5 X 3; ecc.

Le combinazioni che occorre memorizzare sono 45.

( Maria Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 70)

Terza tavola della moltiplicazione

Questa tavola, in alto, orizzontalmente, porta scritti i numeri in

successione da 1 a 10 su fondo azzurro; a sinistra , verticalmente su

fondo rosa, i numeri da 1 a 10. L’uno viene a trovarsi sul quadrato

dell’incrocio nel quale i due colori sembrano sovrapporsi.

Negli 81 quadretti interni sono riportati i prodotti delle

combinazioni, perciò per controllare le operazioni il bambino mette

un dito sul numero su fondo azzurro, su quello su fondo rosa per il

secondo: li fa scorrere e legge il risultato sul “quadretto di incrocio”.

“ Nel materiale si hanno dieci moduli in bianco da completare, per

ottenere altrettante tavole pitagoriche. Non appena il bambino ha

l’abilità di dedicarsi a questi esercizi come e quando vuole, e li

esegue tutti, può dirsi che ha imparato la tavola della

moltiplicazione”.

( Maria Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 105)

Quarta tavola della moltiplicazione

Questa tavola della moltiplicazione è orientata alla memorizzazione

di tutti i prodotti delle moltiplicazioni. Si costituisce di una

colonna verticale rosa riportante i numeri da 1 a 10 e, a fianco di

questi, i prodotti fini al quadrato del numero.

Le tavole

della

divisione

Le tavole della divisione

Per permettere al bambino di lavorare a quelle divisioni, i cui

dividendi danno almeno una volta quozienti con lo zero, si dispone

di due tavole. Entrambe le tavole sono quadrettate e contengono 36

dividendi (da 81 a 1):8

risultano allineati lungo la parte superiore.

Gli ultimi cinque dividendi della serie (7; 5; 3; 2; 1) risultano

contrassegnanti diversamente, in quanto numeri primi. I divisori (da

1 a 9) risultano disposti sulla parte sinistra delle tavole. Mentre

nella quadrettatura interna della prima Tavola si riconoscono,

opportunamente collocati, gli 81 quoti, la seconda Tavola ne è

priva. I quoti, scritti su tasselli quadrati, risultano raccolti in una

scatola per l’esercizio. Per gli esercizi, correda il materiale un

cestino contenente le 81 divisioni “esatte o complete” (81:9; 72:9;

72:8; 64:8;…;2:2; 2:1; 1:1) scritte su striscioline di cartoncino.

Il bambino prende un’operazione dal cestino e, trascrittala sul

quaderno, individua sulla Tavola I i termini della divisione,

ricercandone il risultato. In un secondo tempo, potrà calcolare

mentalmente il risultato, che sceglierà tra gli 81 tombolini.

Individuati i termini della divisione sulla Tavola II, il bambino vi

colloca appropriatamente il tombolino-quoto, controllandone la

posizione con la Tavola I. Dobbiamo richiamare l’attenzione del

bambino su quei dividendi differentemente contrassegnati, con lo

scopo di dar loro una prima intuizione di numero primo. Si passa,

così, dal concetto di divisore di un numero, ai numeri primi,

preparando indirettamente la ricerca del massimo comun divisore e

minimo comune multiplo. Gli esercizi di entrambe le tavole,

proposte ai bambini intorno ai 6 anni di età, concludono il capitolo

sulla numerazione delle combinazioni fondamentali.

( M. Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 153)

Le quattro

operazioni con il

sistema decimale

Le quattro operazioni con il sistema

decimale

“ Il bambino ha il primo concetto di operazioni aritmetiche con le

aste numeriche.

Per dargli però il concetto di operazione reale, quella che avviene

quotidianamente nella vita, si usa il materiale delle perle dorate…

Ogni numero maggiore di uno rappresenta in se stesso una somma di

unità, e poiché esistono tanti raggruppamenti di unità, un numero

può essere considerato somma dei gruppi che lo compongono

(gerarchie).

Il raggruppamento di quantità è realmente un fatto semplice:

consiste nel riunire cose separate e questo lo possiamo realizzare con

oggetti qualsiasi. Se si raggruppano però quantità numeriche,

organizzate secondo il sistema decimale, allora esse obbediscono alla

proprietà della netta distinzione delle gerarchie e al fatto che

soltanto 9 unità, qualunque si l’ordine a cui appartengono, possono

venire in esso raggruppate.

Se un’altra viene aggiunta, interviene una sintesi grazie alla quale si

forma una nuova unità di ordine immediatamente superiore.

Le quantità numeriche hanno in sé una specie di fermento vitale,

una forza che le obbliga ad organizzarsi entrando così nelle forme

del sistema.

Le operazioni consistono nel raggruppare cose uguali o diseguali,

nel separare da un insieme una delle sue parti, nel distribuirlo in

parti uguali.

Ecco cosa sono le operazioni!

Quello che accede nell’intimità dei numeri riguarda il sistema

decimale non le operazioni.

Ma che cosa succede nel sistema decimale?

Semplicemente questo: essendo proibiti gli assembramenti superiori a

nove cittadini, quando sopraggiunge il decimo, sorge un nuovo

passaggio: è il passaggio dal nove al dieci.

(M. Montessori, da “Psicoaritmetica” pag. 57 – 58)

Concetto di

operazioni

statiche

Concetto di addizione

Addizione statica

Nome: perle dorate del sistema decimale.

Età: dai quattro anni e mezzo, ai cinque in

poi. Dopo la presentazione globale

del sistema decimale e gli esercizi

paralleli.

Descrizione: il materiale consiste nelle quantità del

sistema decimale, biglietti dei numeri:

una serie grande da 1 a 9000 – 3 serie

piccola da 1 a 3000 – 3 vassoi con un

piccolo contenitore per le unità, 1

tappeto grande e morbido da mettere

sul tavolo.

Presentazione (addizione statica – senza riporti):

Si potrebbe fare con un qualunque numero di bambini. Noi ne

scegliamo tre perché il materiale disponibile ci limita. Infatti

abbiamo tre sole serie di piccoli numeri e di vassoi (potremmo

chiamare solo due bambini ma il lavoro risulterebbe meno

divertente). I tre bambini rappresenteranno i tre addendi. Un quarto

bambino si siede vicino la maestra per il cassiere.

La maestra e il bambino preparano un tavolo apposito con un

tappeto morbido e pieghevole che prenda tutto il tavolo.

Il bambino cassiere, o su un tavolo vuoto o su un tappeto in terra,

dispone i numeri grandi del sistema decimale (da 1 a 9000), facendo

bene attenzione a mettere le unità a destra. Ci sono altri tre tavolini

liberi, sarebbe bene che fossero vicini tra loro e anche vicini al

tavolo del cassiere, affinché i bambini si vedano tra loro lavorare e

l’attenzione non venga distolta da inutili passeggiate. La maestra da

a ognuno dei tre bambini una serie piccola di numeri e ognuno di

loro distende sul proprio tavolino.

Ognuno dei tre bambini prende un vassoio e viene al tavolo del

cassiere. (nell’addizione statica deve essere sempre la maestra quella

che dà i numeri ai bambini perché non deve esserci il riporto).

Siano i numeri 1243 – 1312 – 1423.

La maestra dice al primo bambino:”Portami mille-duecento-

quaranta-tre”. “Che cosa ti ha chiesto?”

Risposta della maestra:”Ti ricordi bene qual è mille?”; Risposta del

bambino. Il bambino va a prendere le quantità richieste.

Lo stesso dialogo fa con gli altri due bambini.

I tre bambini tornano uno alla volta al tavolo del cassiere ed

hanno sul vassoio le quantità richieste.

“Che cosa ti avevo chiesto?” dice sempre la maestra. Il bambino

ripete il numero. La maestra controlla poi manda il bambino a

prendere i relativi biglietti. La stessa cosa la maestra fa con gli altri

due bambini.

Quando su ogni vassoio c’è la quantità e il numero, la maestra, dopo

aver chiesto ancora una volta ad ogni bambino la quantità

corrispondente al proprio numero, mette ordinatamente la quantità

sul tappeto (le unità a destra, alla sinistra delle unità le decine, alla

sinistra delle decine le centinaia, alla sinistra delle centinaia le unità

di migliaia) e il biglietto col numero sul tavolino fuori dal tappeto,

prendendo tutto dal vassoio del proprio bambino. Lo stesso fa con le

quantità e il numero del secondo bambino sistemando tutto al disotto

del primo. Lo stesso fa col terzo bambino.

Ora i vassoi sono vuoti. Le quantità sono tutte ancora ben distinte

sul tappeto e i tre numeri uno sotto l’altro, ordinatamente sul

tavolino. I tre bambini hanno portato via il vassoio, stanno davanti

la maestra. Il momento è solenne.

La maestra dice:”Ora facciamo l’addizione”.

Ognuno di voi guardi bene la quantità che ha messo e la ricordi

bene. Tu la ricordi? Tu la ricordi? Tu la ricordi?.

Ogni bambino ripete la sua quantità.

Il bambino ricopia i numeri dal tavolino, dove sono i biglietti con

il numero di ogni addendo. Prima che i bambini vadano a scrivere

sulla lavagna, la maestra ha dato solennemente il segno

dell’addizione, più, e il segno dell’uguale.

Nota. gli addendi grandi vengono dati sotto

il “3000”, perché le tre serie arrivano

a tremila e perché altrimenti se si

superasse “9000” nel totale, non si

avrebbero cartellini grandi.

Prima di lasciar lavorare il bambino

da solo si deve presentare il “cambio

diretto”.

Concetto di moltiplicazione

Moltiplicazione statica

Descrizione: il materiale è lo stesso che è servito

per l’addizione (perle dorate,

cartellini grandi, 3 serie di cartellini

piccoli, vassoi del Sistema Decimale).

Di diverso abbiamo nella scatola dei

segni, il segno della moltiplicazione

X, per.

Presentazione:

Benché i bambini abbiano già avuto il gioco del “cambio”, la prima

volta per la presentazione, la maestra sceglie le quantità in modo

che la moltiplicazione risulti statica e questo, per isolare il concetto

nella sua essenza.

La moltiplicazione è l’addizione di “n” addendi uguali.

La presentazione si svolge con un gruppetto di tre bambini.

La maestra sceglie un numero uguale per tutti e tre i bambini,

ad esempio “1213”.

Si invita ogni bambino a portare la quantità “1213” e i

relativi simboli.

Si ordinano le quantità portate dai bambini.

Il materiale viene contato dalla maestra e sopra vi pone il

simbolo.

Si raccolgono i cartellini delle quantità di ciascuna famiglia e

si danno al bambino.

Si prosegue nello stesso modo con gli altri due bambini.

La disposizione delle quantità sul piano è per far notare

visivamente che tutti e tre i bambini hanno portato al cassiere

la stessa quantità.

Visione di quantità uguali. Unione al simbolo e

incolonnamento dei tre cartellini che riportano le stesse cifre,

come nell’addizione.

Si raggruppano le quantità, poi, secondo la gerarchia per

contare le quantità portate e il relativo risultato.

Si inizia il conteggio dalle unità.

Si prende il cartellino grande da portare sotto le quantità

contate.

Si prosegue così per ogni gerarchia.

Si raccolgono i cartellini grandi sovrapponendoli.

Si richiedono ai bambini le ricevute.

Si incolonnano le ricevute come per l’addizione, poi si dice:

“Ma sono tutti uguali!”

Si capovolgono due cartellini e si lascia scoperta solo una

ricevuta.

La maestra dice: “Prendiamo solo questo cartellino e poi ci

mettiamo questo segno “X” che significa che avete portato

questa quantità tre volte”.

Si scrive “3” su un cartoncino e lo si dispone sotto il segno del

“X”, si pone il segno dell’uguale e compiuta la “magia” si ha il

risultato, cioè il prodotto.

Nota: i bambini possono scrivere su di un

quaderno o sui fogli preparati dalla

maestra i passaggi dell’esercizio.

Scopo diretto: concetto dell’addizione.

Concetto di sottrazione

Sottrazione statica

Età: da cinque anni in poi, dopo

l’addizione e la moltiplicazione.

Descrizione del materiale: perle dorate del sistema decimale,

serie di cartellini grandi, due serie di

cartellini piccoli, vassoio del sistema

decimale, un tappeto grande.

Presentazione: la presentazione è di gruppo.

Chi opera è il cassiere e uno dei bambini, gli altri bambini assistono

alla presentazione; pur non essendo protagonisti nello svolgimento

dell’esercizio, in un secondo momento, possono partecipare alla

formulazione del problema.

Uno dei bambini, se l’angolo dell’aritmetica è vicino alla lavagna,

può scrivere l’operazione calcolata.

Si preparano su di un tavolo doppio, distesi in senso verticale due

serie di cartellini piccoli.

Il cassiere prepara una bella quantità e sopra ogni gerarchia

oppone il cartellino grande delle perle dorate prese (4867 ad

esempio)

Si fa leggere al bambino il totale della quantità sovrapponendo i

cartellini grandi.

Si fa leggere la quantità espressa in simboli anche agli altri

bambini. Si fa notare al bambino che nel suo vassoio non ha

niente, quindi la maestra dice che vuole dargli una parte della sua

ricchezza ( per esempio 3452”)

Si manda il bambino a prendere i cartellini piccoli relativi al

quantitativo che il cassiere vuole regalargli. Il piccolo ritorna. Il

bambino inizia dalle unità: prende il cartellino di questa gerarchia

lo isola sul vassoio e sopra vi pone il quantitativo di perle relativo.

Si procede in tal modo per le altre gerarchie.

A questo punto si girano i cartellini grandi che esprimevano la

somma totale, del tesoro iniziale, (si gira perché è poco felice), ci si

fa lasciare la ricevuta dal bambino, il quale poi con il vassoio

ripone la quantità “relativa” nella cassa.

Successivamente si chiama un altro bambino e gli si chiede di

contare quanto è rimasto al cassiere prendendo per ogni quantità –

gerarchia- rimasta, il relativo cartellino.

Alla fine del conteggio si dice, mostrando i cartellini rimasti sul

tavolo:

cassiere: io avevo 4867

il primo bambino mi ha portato via 3452

mi è rimasto 1415

Si prendono i simboli (-, =) della sottrazione, ritagliati con il

cartoncino, e si pongono vicino alle cifre dicendo: Questa è proprio

una sottrazione!!!

Come gioco:

se io rimettessi insieme quello che mi è rimasto con quello che ha

preso il primo bambino, avrò la quantità che possedevo all’inizio.

Si modifica l’operazione con i cartellini si lascia fermo il resto, si

spostano i cartellini grandi della somma iniziale ponendoli in basso

per ultimi e si mette sul segno “-“ , un altro segno uguale ma

disposto a formare la croce dell’addizione.

Si invita, infine, i bambini a raccontare quello che è avvenuto :

“impostazione del problema”.

Divisione statica

Età: dopo l’addizione, la moltiplicazione e

la sottrazione dinamica.

Descrizione del materiale: un tappeto grande rosso, materiale del

sistema decimale: perle dorate, la serie

dei cartellini grandi, le tre serie dei

cartellini piccoli, vassoi del sistema

decimale.

Presentazione: a gruppetti di bambini.

La maestra prepara, per la prima volta, una grande quantità di

perle, che sia divisibile per tre, perche tre sono le serie dei

bigliettini distesi sul tavolo doppio.

Si invitano tre bambini.

Su ogni quantità ordinata va posto il cartellino grande della

relativa gerarchia e quantità.

La maestra dice: “Voglio dare la stessa quantità a tutti e “3”.”

Questa volta si inizia la distribuzione dalla quantità maggiore

(unica operazione).

Si da un “1000” al primo bambino ponendolo sul suo vassoio,

il bambino si sposta girando attorno al tavolo e al suo posto si

presenta il secondo bambino e poi il terzo.

Il primo bambino dopo aver girato si ritrova in coda dopo il

terzo e così dopo di lui sarà pronto a ricevere un altro “1000”.

Il cassiere distribuisce le migliaia fino ad esaurimento di

queste.

Appena ultimata la distribuzione di una gerarchia la maestra

dà uno stop al bambino. Il bambino nota la pausa che divide i

giri al passaggio alla gerarchia successiva. (Nota: questo “stop”

tra una gerarchia e l’altra graficamente nell’operazione scritta

è indicato da questo simbolo 892)

Si passa poi alla distribuzione delle centinaia, seguendo il

sistema precedente, così pure per le decine e le unità.

Si invita, a totale quantità distribuita, a prendere ognuno dalla

propria serie di cartellini, quelli relativi ad ogni quantità per

famiglia e a porli su ognuna.

Il cassiere a questo punto chiede ad ogni bambino: “Quanto ti

ho dato” “2213”

La maestra si fa dare i cartellini e li pone in fila, sul tavolo,

uno sotto l’altro e al centro a sinistra pone quelli grandi.

A questo punto il cassiere effettua un piccolo riassunto della

situazione: “Io avevo 6639 e l’ho diviso in parti uguali tra voi

tre.

2213 rappresentazione

6639 2213 razionale

2213 della divisione

Si continua dicendo: “invece di fare così (riferito al

posizionamento dei cartellini grandi e piccoli come su foto)

possiamo voltare il primo e il secondo dei cartellini della

quantità distribuita.

La maestra continua prendendo i simboli (: =) per la

divisione, sempre ritagliati su cartoncino bianco, e ponendoli

come in una divisione in riga

(dividendo : divisore = quoziente)

Anche per la divisione l’operazione compiuta può essere scritta

alla lavagna con i colori gerarchici e il bambino può

riprodurla con le matite (colorate secondo la gerarchia e non)

quanto è avvenuto.

I bambini raccontano quanto avvenuto (impostazione del

problema)

Nota: la divisione è una serie di sottrazioni

con lo stesso sottraendo, si sottraggono

le stesse quantità.

Operazioni

dinamiche

Addizione dinamica

Età: dopo l’addizione statica e il gioco del

cambio.

Descrizione del materiale: materiale del sistema decimale: perle

dorate, cartellini grandi, 3 serie

cartellini piccoli, vassoi del sistema

decimale.

Presentazione:

il materiale è disposto come per la presentazione dell’addizione

statica, la cassa del tesoro dove si trovano le perle dorate è

molto ricca;

la maestra, per la presentazione, svolge il ruolo di cassiere;

il gioco si svolge con un gruppetto di 4 bambini;

il cassiere chiede ad un bambino:”Portami 2481 (ad esempio);

il bambino va a prendere la quantità e i relativi cartellini

(unione quantità – simbolo);

ogni bambino prende i cartellini da posare sul suo vassoio dalla

sua serie numerica, distesa sul tavolo in senso verticale;

il cassiere dice al secondo bambino: “Vai a prendere 1324.” E

al terzo: “Vai a prendere 3117”;

ogni bambino che ha eseguito il comando torna dal cassiere e

attende con ordine il suo turno per il conteggio;

la maestra conta la quantità di ogni bambino, la ordina e

appone sopra ogni quantità il relativo simbolo.

Sottrazione dinamica

Età: dopo la sottrazione statica.

Descrizione del materiale: materiale del sistema decimale:

perle dorate, la serie di cartellini

grandi, 2 serie di cartellini

piccoli, vassoi del sistema

decimale, un tappeto per il

tavolo.

Presentazione:

il “capitale” viene preparato dal cassiere.

La presentazione è di gruppo: 3/4 bambini.

I bambini possono richiedere una quantità a piacere che deve

essere minore del capitale.

Il cassiere mette in ordine la quantità richiesta, avvicina i

bambini al suo tavolo e dice: “Quanto abbiamo?”

Si prendono i cartellini grandi posti su ogni quantità e si

compone la cifra, per esempio “5635”.

Al bambino con il vassoio vuoto la maestra da l’indicazione di

prendere meno della quantità posseduta dal cassiere.

Il bambino va a prendere i cartellini piccoli da una serie stesa,

per esempio “3457”.

Porta la cifra al cassiere e questo inizia a dare le quantità, ma

si accorge che le unità non bastano, quindi , manda un bambino

al cambio a “sciogliere” una fila del bastoncino delle decine.

Il bambino torna con le perle sciolte -10 unità-.

Al primo cambio si gira la cifra composta dai cartellini grandi

perché questa già non esiste più.

Si cambia ora un “100” per dare la quantità successiva.

Il bambino con il vassoio dà la ricevuta della quantità presa.

Il cassiere conta quanto gli è rimasto iniziando dalle unità.

Il bambino del cambio ad ogni gerarchia contata porta i

cartellini piccoli, presi dalla seconda serie stesa, disporli sopra

le quantità rimaste.

Si compone il numero di quanto è rimasto.

il cassiere racconta quanto è successo:

Io avevo 5637

Il 1° bambino

ha preso 3457

Al cassiere

è rimasto 2178

La maestra invita i bambini alla formulazione del problema

sotto forma di racconto.

La maestra propone il problema inverso come gioco: “Se Luca

(bambino esempio) mi dà quanto ha preso e lo metto insieme a

quanto mi è rimasto, riavrò, allora, il capitale iniziale”.

Moltiplicazione dinamica

Quando la maestra ha dato chiaramente il concetto di

moltiplicazione, si può procedere anche alla moltiplicazione

dinamica per la quale i bambini sono liberi di scegliere il

moltiplicando

(moltiplicando x moltiplicatore = prodotto)

L’insegnante deve dare solo questa indicazione: “Prima di prendere

la quantità dovete mettervi d’accordo, di scegliere tutti la stessa.”

Presentazione:

I bambini si accordano, momento di partecipazione e di

autocorrezione.

Il cassiere conta e ordina le tre quantità uguali portate e

rilascia le ricevute.

Si mettono insieme tutte le quantità contate, si eseguono i

cambi necessari per ciascuna gerarchia e si pone i cartellini

grandi sotto ogni famiglia.

Si ritirano le ricevute, si incolonnano, se ne girano due, si pone

accanto a quella non rovesciata il segno della moltiplicazione,

si scrive su di un piccolo cartoncino il moltiplicatore, si appone

l’uguale ed infine con i cartoncino grandi, dopo la “magia”, il

prodotto.

Esercizi:

1. Il bambino ripete tante volte come la presentazione.

2. Il bambino può sempre raccontare oralmente ciò che è

avvenuto, preparandosi in tal modo per la formulazione del

problema.

3. Il bambino può ricopiare per la prima volta e poi svolgere da

solo l’operazione della moltiplicazione che ha fatto.

4. La maestra scrive alla lavagna con gessetti colorati relativi al

colore gerarchico dei componenti, la moltiplicazione,

l’operazione.

5. Il bambino quando ricopia mantiene il colore gerarchico per

il moltiplicando, con la matita scrive il moltiplicatore (gesso

bianco alla lavagna), perché non ha valore gerarchico, e con il

colore il prodotto, in seguito può scriverlo semplicemente a

matita.

Scopo diretto: dare il concetto di moltiplicazione

con il sistema decimale.

Divisione dinamica

La divisione dinamica è identica a quella statica, solo che la

quantità può essere scelta a caso e si effettuano i cambi dovuti.

Nella divisione dinamica c’è la possibilità per il cassiere di scegliere

una quantità a piacere. E’ il cassiere che agisce cioè che esegue

l’operazione, in quanto distribuisce.

Il concetto non è di contenenza, ma di ripartizione.

La divisione di contenenza è un calcolo astratto.

La divisione di contenenza non è una vera divisione, quante volte ho

potuto prendere dentro il “6639”? -2213-.

Ad esempio: ho 18 fiori ne voglio mettere 6 in ogni vasetto quanti

ne devo preparare? Compio un calcolo astratto 18:6 = 3 vasetti

(dovrò utilizzare 3 vasetti).

La vera divisione- distribuzione- l’attuerò in un secondo momento,

quando in ogni vasetto distribuirò sei fiori.

La vera divisione è un’azione reale nel dividere un intero secondo

quello che mi serve.

Avendo all’inizio 18 fiori e 3 vasetti avviene una ripartizione della

quantità, in quanto mi domando: quanti fiori devo distribuire per

ogni vasetto?

Scopo diretto: concetti di divisione statica e

dinamica.

Nota: annesso al materiale delle perle

dorate c’è una scatolina

preparata dalla maestra, divisa

in scomparti, contenente i segni

delle 4 operazioni, cartellini

scritti con 2 e 3, ed uno

scomparto lungo con 4 bustine

che contengono, cartellini con

scritta la nomenclatura dei

termini delle 4 operazioni.

All’esterno di ogni busta c’è

scritto il nome dell’operazione.

moltiplicazione moltiplicando moltiplicatore prodotto

addizione

addendo

addendo

addendo

totale

sottrazione minuendo sottraendo resto

divisione

dividendo

divisore

quoziente

resto

Materiale

delle

frazioni

Materiale delle frazioni