Accesso Economia e Management - Dispense Statistica

L.Bollani e L.Bottacin Appunti di statistica descrittiva

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Materiale ad uso didattico. E vietata la riproduzione e la vendita.

Luigi Bollani Luca Bottacin

Appunti di

statistica

descrittiva

ad uso del Corso di Statistica

Marzo 2013


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Contenuti

1. Primi elementi ...............................4

1. Introduzione ......................................... 4

1. Il metodo statistico ................................ 4 2. Aree di interesse della statistica .................. 4 3. Fasi dellindagine statistica ....................... 5 4. Fonti dei dati ...................................... 7 5. Serie e distribuzioni ............................... 8 6. Rapporti statistici ................................ 10 7. Cenni storici sulla statistica ..................... 17

2. Caratteri, modalit e frequenze ..................... 20

8. Tipologie di carattere ............................. 20 9. Frequenze semplici ................................. 22 10. Frequenze cumulate ................................ 24 11. Grafici di distribuzioni di frequenza ............. 27 12. Frequenze congiunte ............................... 33

2. Misure di un carattere statistico ...........39

3. Misure di posizione ................................. 39

13. Media aritmetica .................................. 39 14. Mediana e quantili ................................ 46 15. Moda (o norma) .................................... 55

4. Misure di variabilit ............................... 57

16. Misure di variabilit ............................. 58 17. Misure di dispersione ............................. 61 18. Misure di concentrazione .......................... 66

5. Misure di forma ..................................... 71

19. Asimmetria ........................................ 71 20. Disuguaglianza di Thcebyceff ...................... 73

3. Studio congiunto di due caratteri statistici 76

6. Metodi per la perequazione .......................... 76

21. Retta dei minimi quadrati ......................... 81 22. Covarianza e correlazione ......................... 87 23. Parabola dei minimi quadrati ...................... 97

7. Studio della connessione ...........................103

24. Tabelle di contingenza ...........................106 25. Tabelle di tipo misto ............................114 26. Tabelle di correlazione ..........................118

4. Analisi di una serie di tempo ............. 125

27. Movimenti di una serie di tempo ..................125 28. Tassi di incremento ..............................129


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29. Analisi delle componenti di una serie di tempo ...130


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1. Primi elementi

1. Introduzione

1. Il metodo statistico

La statistica studia i fenomeni collettivi, fenomeni che

possono essere osservati o posseduti da una pluralit di

individui presso i quali si manifestano con differenti

modalit o intensit. La finalit di studio di un fenomeno

collettivo raggiunta osservando con metodo scientifico i

singoli individui che costituiscono la popolazione di

riferimento in cui il fenomeno si manifesta. I metodi di

analisi, essenzialmente di tipo quantitativo, sono

impiegati per sintetizzare i dati rilevati, scoprire

regolarit statistiche e descrivere relazioni.

La statistica descrittiva quando si rilevano le

caratteristiche di un fenomeno collettivo desumendole

dallosservazione di tutte le unit della popolazione;

inferenziale quando si analizzano le caratteristiche di un

fenomeno collettivo osservando un campione di unit

selezionate allo scopo. Sulla base dei risultati di questa

analisi, mediante il calcolo delle probabilit si possono

formulare delle ipotesi sulle caratteristiche del fenomeno

nel suo complesso.

2. Aree di interesse della statistica

La statistica metodologica linsieme delle possibili

metodologie utilizzate nello studio dei fenomeni

collettivi. La statistica applicata linsieme delle

applicazioni delle metodologie di analisi allo studio dei

diversi fenomeni sociali, economici e demografici oggetto

di indagine. Nellambito della statistica applicata sono

presenti numerosi campi di indagine:

Statistica sociale: si occupa della formulazione di metodi

statistici per le scienze del sociale, affrontando le

problematiche che riguardano ad esempio la progettazione e

la gestione dei sondaggi di opinione, la programmazione e

la valutazione dei servizi sociali e sanitari e, pi in

generale, lanalisi dei comportamenti della collettivit.


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Statistica economica: si occupa di sviluppare analisi

quantitative legate a temi tipici della macroeconomia.

Sulla base dei dati forniti della contabilit nazionale e

dai maggiori istituti di ricerca pubblici privati, consente

di formulare previsioni sullandamento delleconomia,

verificando limpatto delle decisioni e, pi in generale,

delle scelte politiche del governo sul sistema economico.

Statistica aziendale: si occupa della realt aziendale,

fornendo analisi ottenute elaborando sia dati di fonte

interna contabile o gestionale, sia dati attinti

dallambiente sociale ed economico in cui lazienda opera.

I temi tipici di questa disciplina sono le ricerche di

mercato, il controllo statistico della qualit dei

prodotti, la statistica per il management, la statistica

per l'auditing1 e, in campo attuariale, la statistica per le

compagnie di assicurazione.

Statistica sanitaria: si occupa di formulare metodi

statistici legati alla sperimentazione clinica. L'ambiente

di riferimento naturalmente quello medico, ma le analisi

si estendono al contesto sociale e lavorativo per quanto

riguarda lo studio della prevenzione delle malattie, le

analisi sullo stato di salute della popolazione, la

verifica dei livelli di inquinamento e, pi in generale, la

tutela dell'ambiente.

Demografia: studia la popolazione umana al fine di metterne

in luce le caratteristiche strutturali e ne descrive la

distribuzione geografica e levoluzione nel corso del

tempo. La demografia impiega t specifiche per lo sviluppo

di statistiche sulla popolazione e questa peculiarit la

rende una disciplina fortemente autonoma e caratterizzata

da propri metodi di analisi.

3. Fasi dellindagine statistica

Lindagine statistica un processo che si articola nelle

fasi seguenti:

Definizione degli obiettivi della ricerca: si individuano i

soggetti dello studio, definendo quali informazioni si

intendono ottenere e con quali modalit tecniche. Le

indagini possono essere estese ad una collettivit di

individui, oppure concentrarsi su di un campione di dati.

Formulazione delle ipotesi: l'ipotesi una spiegazione

provvisoria su una certa caratteristica di un fenomeno

1 Funzioni interne allazienda preposte al controllo ispettivo.


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statistico. Lipotesi sar confermata oppure rigettata in

conseguenza degli esiti dellindagine che si intende

compiere.

Elaborazione del piano di ricerca: in questa fase si decide

come studiare le variabili che descrivono il fenomeno,

estendendo eventualmente lanalisi alle relazioni con altri

fenomeni collegati ed oggetto di interesse.

Raccolta dei dati: si procede operativamente alla

rilevazione dei dati. Si distingue tra rilevazione diretta

se il fenomeno osservato l dove nasce oppure indiretta

se sia desunto dallosservazione di altri fenomeni ad

esso collegati. La rilevazione diretta garantisce

certamente una migliore affidabilit rispetto a quella

indiretta, ma pu risultare pi difficile da realizzare. La

rilevazione pu inoltre essere occasionale se riferita a un

certo istante o a una certa data, oppure periodica se tende

a ricercare landamento del fenomeno nel corso del tempo.

Spoglio dei dati: in questa fase si procede alla

classificazione dei dati raccolti, che possono presentarsi

sotto forma di schede, questionari, moduli o altro

supporto. Il materiale raccolto va esaminati per mettere in

luce eventuali omissioni o incongruenze e in seguito

immesso in un file per le successive elaborazioni.

Elaborazione dei dati: il processo prosegue con la

trasformazione dei dati in altri pi espressivi del

fenomeno studiato. In questa fase si calcolano rapporti, si

tracciano grafici e si realizzano tabelle descrittive degli

aspetti pi significativi di quanto emerso nel corso delle

elaborazioni.

Analisi dei dati e verifica delle ipotesi: sulla base dei

risultati finali si traggono le considerazioni utili per

confermare oppure rigettare le ipotesi inizialmente

formulate.

Si riporta uno schema riassuntivo del processo descritto,

che si conclude con la conferma oppure con la rimozione

dellipotesi di partenza.


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Le fasi del processo di elaborazione dei dati

4. Fonti dei dati

La raccolta, lanalisi e la diffusione dei dati statistici

sono da tempo ritenuti un indice di democrazia per ogni

paese del mondo e il patrimonio informativo statistico

nazionale ovunque considerato un bene da regolamentare e

tutelare per legge. In Italia, la Costituzione riconosce il

valore dei dati statistici come patrimonio della

collettivit e riserva allo Stato il compito di

coordinamento dellinformazione statistica relativa ai dati

dellamministrazione statale, regionale e locale.

Sono da tempo fissati a livello internazionale i requisiti

necessari per raggiungere la necessaria qualit

dellinformazione statistica prodotta dagli Stati. I dati

statistici devono essere completi, affidabili e accurati.

Gli enti incaricati di elaborare dati statistici ufficiali

devono possedere il necessario rigore metodologico al fine

di fornire informazioni rilevanti, coerenti e tempestive

sui fenomeni di interesse sociale.

Le fonti dei dati statistici possono essere di tre tipi:

Dirette: i dati sono rilevati direttamente da chi conduce

lindagine;

Secondarie: si utilizzano dati provenienti da altre fonti

dirette oppure indirette;

Indirette: i dati provengono da raccolte e pubblicazioni di

enti ed istituzioni pubbliche e private che mettono a

disposizione dati ed altro materiale con finalit di

informazione statistica.

Gli enti e le istituzioni che si occupano di fornire

informazioni a carattere statistico si distinguono in:

Enti ufficiali: preposti a tale funzione dalla normativa

vigente;


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Enti privati: istituti di ricerca, aziende e fondazioni che

producono in modo organizzato dati e informazioni

statistiche di vario tipo.

Tra gli enti ufficiali lIstat e, pi di recente, il Sistan

sono tra le istituzioni italiane incaricate di elaborare,

conservare e divulgare i dati statistici sulla popolazione

e sul territorio. Il Sistema Statistico Nazionale (Sistan)

nasce con il decreto legislativo 322 del 6 settembre 1989,

ed costituito da una rete di soggetti pubblici e privati

incaricati di fornire linformazione statistica ufficiale

nel nostro Paese. Ne fanno parte lIstituto nazionale di

statistica (Istat), gli uffici di statistica delle

amministrazioni centrali dello Stato, gli uffici di

statistica di Regioni, Province, Comuni, Aziende Sanitarie

locali e Camere di Commercio e, infine, gli uffici di

statistica di soggetti privati che svolgono funzioni di

interesse pubblico.

Il Sistan coordina lattivit di rilevazione, elaborazione,

analisi, diffusione e archiviazione dei dati statistici

garantendo luso razionale delle risorse e dei flussi di

informazione statistica a livello sia locale sia centrale.

Controlla che linformazione statistica sia

qualitativamente e quantitativamente rispondente ai bisogni

del Paese e che sia in linea con gli standard

internazionali di settore.

LIstituto nazionale di statistica (Istat) un ente di

ricerca pubblico nato nel 1926. Ha il compito di produrre e

diffondere informazioni capaci di descrivere le condizioni

sociali, economiche e ambientali del Paese e i cambiamenti

che lo hanno riguardato nel corso del tempo. Un aspetto

particolarmente rilevante della sua attivit la

realizzazione dei censimenti decennali generali della

popolazione e abitazioni, industria e servizi e

agricoltura.

Allinterno del Sistan, lIstat si occupa di coordinare

lattivit di tutti gli enti incaricati della raccolta e

della pubblicazione di dati statistici a livello nazionale

e locale. Le pubblicazioni dellIstat riguardano oggi una

molteplicit di settori. Tra quelle a carattere generale si

citano in particolare le seguenti: Noi Italia, Italia in

Cifre, il Rapporto Annuale, lAnnuario Statistico Italiano

e il Compendio Statistico Italiano.

5. Serie e distribuzioni

Serie

Le informazioni raccolte in fase di rilevazione dei dati

sono sistemate in tabelle, che rappresentano la base di


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partenza per le successive analisi. Una tabella contiene la

serie statistica delle osservazioni compiute.

Serie statistica. Una serie statistica linsieme di

coppie iia, che rappresentano il risultato del processo

di osservazione di un fenomeno collettivo: il primo

elemento individua loggetto di esame, il secondo registra

il risultato dellosservazione compiuta.

Con riferimento alla tipologia di carattere osservato, le

serie si distinguono in serie (in senso stretto) se

riferite ad un carattere qualitativo, sconnesso oppure

ordinato; seriazioni se riferite ad un carattere

quantitativo, discreto o continuo. E una serie la tabella

che contiene le modalit di un carattere e il numero dei

casi (frequenza assoluta) osservati per ciascuna modalit.

E detta serie dei dati individuali la registrazione dei

risultati dellosservazione del collettivo statistico, in

cui la prima informazione rappresenta il soggetto

esaminato, la seconda la modalit del carattere rilevata

sul soggetto. E una seriazione la tabella in cui la prima

informazione lintensit del carattere osservato e la

seconda informazione un valore associato alle unit

statistiche raccolte per ciascuna modalit. Le serie si

distinguono in:

Serie di tempo: riportano le intensit osservate in

corrispondenza del tempo;

Serie di spazio: riportano le intensit osservate in

relazione ad una partizione di un territorio;

Serie di fatto: tutti gli altri casi.

Distribuzione

A seguito delle operazioni di spoglio si ottengono tabelle

in cui la prima informazione della serie costituita dalle

possibili modalit del carattere, la seconda dal numero

(frequenza) dei casi per ciascuna modalit. Rispetto al

tipo di fenomeno osservato, si distinguono le

Le seriazioni pi comuni riguardano tabelle in cui sono

riportate la frequenza oppure lammontare del carattere dei

casi riferiti a ciascuna intensit del carattere osservato.

Le seriazioni di frequenza o di quantit sono dette

distribuzioni:

Distribuzione. La distribuzione di frequenza del carattere

la serie iin, che rappresenta linsieme costituito dalle


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modalit del carattere i

e dalla frequenza oppure dalla

quantit di carattere.

Si distingue tra distribuzione di frequenza se riporta il

numero di casi in associati ad ogni modalit del carattere e

distribuzione di quantit se riporta la quantit di

carattere associata ad ogni rispettiva modalit.

La distinzione tra i diversi tipi di serie non sempre

facile. Ad esempio, una tabella che contiene un elenco di

capitali con il numero di abitanti di ciascuna capitale, da

un punto di vista formale pu essere classificata sia come

una serie di spazio, sia come una distribuzione di

frequenza. In casi come questi per risolvere lambiguit si

deve tenere presente lintento della ricerca. Nellesempio

proposto, la tabella contiene una serie di spazio se

interessa mettere in luce limportanza di ogni capitale

(unit statistica) rispetto alle altre. E invece una

distribuzione di frequenza se interessa sapere come gli

abitanti (unit statistiche) si distribuiscono rispetto

alla citt di residenza (modalit del carattere).

6. Rapporti statistici

I rapporti statistici pongono a confronto due fenomeni, uno

almeno dei quali di tipo statistico. Sono strumenti di

indagine di grande utilit per lindagine statistica, oltre

che di grande diffusione.

I rapporti statistici possono essere raggruppati in

tipologie. Si citano quelle principali:

Rapporti di composizione

Si confronta la numerosit di un sottoinsieme di soggetti

con la numerosit del collettivo a cui il sottoinsieme

appartiene. Se n un sottoinsieme di individui

appartenenti ad un collettivo di N elementi, il rapporto di

composizione vale Nn . Se moltiplicato per 100, il

rapporto indica il numero di soggetti del sottoinsieme per

100 soggetti del collettivo.

Sono esempi di rapporti di composizione la percentuale di

polveri sottili nellaria, lincidenza del numero di

dirigenti sul totale dei dipendenti di una grande industria

e la percentuale di anziani di una citt.

Rapporti di coesistenza

Si confronta la numerosit in di un primo insieme i con la

numerosit kn di un secondo insieme k , sapendo che


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entrambi sottoinsiemi appartengono allo stesso collettivo

di riferimento: kinn . Se moltiplicato per 100, il

rapporto esprime quanti soggetti dellinsieme i esistono

per 100 soggetti dellinsieme k .

Ad esempio lindice di mascolinit relativa, dato dal

rapporto tra il numero di maschi e il numero di femmine di

un collettivo ad una certa data un indice di coesistenza:

fmNN100 I .

Rapporti di derivazione

Si confronta la numerosit di un fenomeno con quella di un

altro fenomeno che la premessa logica al primo. Se n un

insieme di soggetti che deriva in qualche modo da un

collettivo composto da N soggetti, il rapporto di

derivazione vale Nn . La formula esattamente quella del

rapporto di composizione, ma la premessa in questo caso

diversa. I rapporti possono essere di derivazione generica

se il numeratore dipende in modo generico dal denominatore

oppure di derivazione specifica se il numeratore legato

in modo diretto al suo denominatore.

Ad esempio un indice di derivazione generica il quoziente

di fecondit, pari al rapporto tra il numero di nati e il

numero di donne della popolazione nella stessa classe di

et, moltiplicato in questo caso per 1.000.

Rapporti di frequenza

Si confronta la numerosit di un collettivo con una

dimensione del fenomeno che si intende analizzare.

Ne un esempio lindice di densit abitativa, pari al

rapporto tra la popolazione e la superficie del territorio.

Lindice esprime il numero di individui presenti per unit

di superficie.

Rapporto di durata

Il rapporto di durata pone a confronto lo stock (fondo)

medio di un fenomeno nel periodo di osservazione con il suo

flusso medio di rinnovamento:

periodo nel nesostituzio di Flusso

medio Fondodurata di R.

Quando si conoscono solo la consistenza iniziale e finale e

i flussi di entrata ed uscita, il rapporto di durata pu

essere stimato in via approssimata dalla formula:


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UE

CC

UE

CC

10

10

2

2durata di R.

dove la consistenza a numeratore del rapporto data dalla

semisomma delle consistenze iniziale 0

C e finale 1C e il

flusso medio a denominatore dato dalla semisomma del

totale dei flussi in entrata E e del totale flussi in

uscita U .

Il rapporto di durata indica per quanto tempo ununit

statistica permane in media nel collettivo.

Esempio. Se in un tubo vi sono 10 palline e il flusso di

sostituzione medio di 2 palline ogni ora, 10/2=5 indica

che la pallina permane mediamente 5 ore nel tubo:

Si osserva che il rapporto di durata quindi espresso

nella stessa unit di misura del flusso.

Esempio. Una piccola pensione dispone di 3 camere. Nel

corso del mese di giugno vengono registrati i seguenti

movimenti:

Ingresso h 1

h 2

h 3

h 4

Uscita h 5

0C

1C

Ospite Dal Al GG Stanze

Movim. 1 2 3

A 15/05 04/06 5 5 U B 02/06 04/06 2 2 E/U C 03/06 10/06 7 7 E/U D 06/06 26/06 20 20 E/U E 10/06 15/06 5 5 E/U F 13/06 30/06 17 17 E/U G 16/06 04/07 14 14 E

Giorni medi 12,5 7 12


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Si osservi che il cliente A, arrivato il 15 maggio e

partito il 4 giugno, conta per soli 5 giorni in giugno.

Allo stesso modo, il cliente G arrivato il 16 giugno ma

ha lasciato la pensione il 4 luglio e quindi i giorni di

permanenza in giugno sono solo 14.

Mediamente in giugno le stanze sono state occupate per

10232

2123725,12

giorni

Per arrivare ad analogo risultato senza conoscere nel

dettaglio i movimenti in entrata e uscita della pensione,

si pu considerare che per 7 volte la pensione ha ospitato

qualcuno, facendo registrare 6 entrate e 6 uscite nel mese.

Di conseguenza, in prima approssimazione, gli ospiti si

sono fermati per

25,066

7

mesi

Considerando che in un mese ci sono 30 giorni, il risultato

equivale a 5,73025,0 giorni medi. Si osservi che vi differenza rispetto al risultato esatto (10 giorni) in

conseguenza dellapprossimazione adottata.

Numeri indice

I numeri indice sono utilizzati nellambito delle serie di

tempo e delle serie di spazio. Si distinguono in:

Numeri indice a base fissa: rapporto tra lintensit del

fenomeno tX al tempo t e lintensit del fenomeno

0X al

tempo 0 scelto come periodo base: 0

100X

XI

t

t . Lindice

esprime la variazione del fenomeno nel periodo t rispetto a

quello del periodo scelto come base. Assume valori sopra

100 se il fenomeno cresciuto, sotto 100 se si ridotto.

La differenza 100% tI tra lindice e 100 pari alla

variazione percentuale del fenomeno rispetto al periodo

scelto come base.

Numeri indice a base mobile: rapporto tra lintensit del

fenomeno tX al tempo t e lintensit del fenomeno nel

periodo precedente 1tX :

1

100

t

t

tX

XI . Lindice a base

mobile esprime la variazione del fenomeno nel periodo t

rispetto a quello del periodo 1t . Assume valori sopra 100 se il fenomeno cresciuto, sotto 100 se si ridotto. La


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differenza 100% tI tra lindice e 100 pari alla

variazione percentuale del fenomeno rispetto al periodo

precedente.

Cambiamento di base. Per passare dalla serie di indici a

base fissa con base 0

X alla serie di indici con base fissa

0XX

k si deve moltiplicare la prima serie di indici per

il rapporto tra le due basi

kX

X1 . Lo schema il seguente:

it iX

Base

1000X

Base

100k

X

0 0X 100100

0

0

0

X

XI

kX

XI

0

0100

1 1X 1000

1

1

X

XI

kkX

XI

X

XI

0

1

1

1

k kX 1000

X

XI

k

k 100kI

1k 1kX 1000

1

X

XI

k

k 1001

1

k

k

kX

XI

Per passare dalla serie degli indici a base fissa alla

corrispondente serie degli indici a base mobile, si devono

dividere tra loro i due indici a base fissa che precedono e

moltiplicare il risultato per 100. Lo schema il seguente:


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it iX

Base

1000X

Base

mobile

0 0X 1001000

0

0

X

XI n.d.

1 1X 1000

1

1

X

XI 1

0

1

1100 I

X

XI

2 2X 1000

2

2

X

XI

100

100

1

2

1

2

2

I

I

X

XI

k kX 1000

X

XI

k

k

100

100

1

1

k

k

k

k

k

I

I

X

XI

Per passare dalla serie degli indici a base mobile alla

corrispondente serie degli indici a base fissa 1000X , si

deve moltiplicare ciascun indice a base mobile che lo

precede, fino allindice a base mobile che ha a

denominatore lintensit 0

X del fenomeno osservato. Lo

schema il seguente:


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it iX

Base

mobile

Base

1000X

0 0X n.d. 1001000

0

0

X

XI

1 1X 1000

1

1

X

XI 1

0

1

1100 I

X

XI

3 3X 1002

3

3

X

XI

100100100100

100

321

0

3

3

III

X

XI

k kX 1001

k

k

kX

XI

100100

...100100

100

21

0

k

k

k

III

X

XI

Esempio. Si calcolano i numeri indice a base mobile e a

base fissa 1978 della seguente tabella di prezzi di un bene

di largo consumo:

Anno Prezzo

Numeri

indice

a base

mobile

Numeri

indice

a base

fissa

1978

1975 113,00 - 100,893

1976 151,00 133,628 134,821

1977 162,00 107,285 144,643

1978 112,00 69,136 100,000

1979 111,00 99,107 99,107

1980 200,00 180,180 178,571

1981 223,00 111,500 199,107

1982 234,00 104,933 208,929

1983 200,00 85,470 178,571

1984 291,00 145,500 259,821

1985 300,00 103,093 267,857

1986 330,00 110,000 294,643

1987 339,00 102,727 302,679

1988 390,00 115,044 348,214

1989 475,00 121,795 424,107

1990 580,00 122,105 517,857

Ad esempio, lindice a base mobile del 1982 pari al

rapporto tra il prezzo del 1982 ed il prezzo del 1981

moltiplicato 100. Lindice a base fissa del 1982 pari al


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rapporto tra il prezzo del 1982 e il prezzo del 1978, anno

scelto come base, moltiplicato 1002.

Esempio. Si calcola lindice a base mobile del 1984 sulla

base degli indici a base fissa 1978. Per calcolare lindice

a base mobile del 1984, si moltiplica lindice a base fissa

del 1978 per il rapporto

500,145571,178

821,259100

100100

1983

1984

19781983

19781984

P

P

PP

PP

Esempio. Si calcola lindice a base fissa 1978 per il 1986

sulla base degli indici a base mobile.

6,294100

107,99

100

180,180...

100

093,103

100

00,110100

...100

100

1978

1979

1979

1980

1984

1985

1985

1986

1978

1986

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

Esempio. Sulla base degli indici a base fissa e a base

mobile calcolati, quanto vale lincremento percentuale del

prezzo del 1990 rispetto al 1978 ? E rispetto al 1989?

Lindice a base fissa del 1990 con base 1978 (517,857)

indica che il prezzo del bene nel 1990 supera del 417,857%

il prezzo del bene nel 1978.

Lindice a base mobile del 1990 (122,105) indica che il

prezzo del bene nel 1990 supera del 22,105% il prezzo del

bene nel 1987.

7. Cenni storici sulla statistica

La nascita della statistica legata al bisogno, espresso

fin dalle prime organizzazioni sociali stanziali, di

conoscere il numero di uomini adatti alle armi, il numero

di capi di bestiame, quanti abitanti sono assoggettabili a

tributi ed altre notizie sul territorio e sulla

popolazione. Tracce primordiali di enumerazione a fini

statistici sono stati scoperti nei nuraghi della Sardegna e

nei papiri dellantico Egitto, riferiti principalmente ai

movimenti della popolazione e delle merci. Gli antichi

2 Lindice a base mobile del 1975 non calcolabile perch non si conosce il prezzo del bene nel 1974.


18

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Egizi veneravano la dea Sefchet, protettrice dei libri e

dei conti.

Anche nellantica Roma il bisogno di dati statistici

divenne una necessit sempre pi evidente a seguito dello

sviluppo demografico e territoriale. Furono indetti i primi

censimenti tra la popolazione, tra i quali quello ricordato

dalla Bibbia e voluto dal re Davide allepoca della nascita

di Ges.

Durante tutto il Medio Evo le comunit religiose e il clero

in genere si incaricarono di enumerare e catalogare i beni

della Chiesa, le nascite, i battesimi e le sepolture.

Questa importante attivit trova la sua definitiva

collocazione nel 1545 con lintroduzione dei registri

parrocchiali per volont del Concilio di Trento.

Nella medesima epoca Francesco Sansovino (1521 1586) e

Giovanni Botero (1540 1617) danno vita alle prime

sistematiche raccolte di dati statistici e sono oggi

considerati dei precursori della nuova disciplina. In

Germania, a met del XVII secolo, Hermann Conring (1606

1681) tiene il primo corso universitario finalizzato a

analizzare le cose notevoli degli Stati. Il suo

successore alla cattedra, Goffredo Achenwall (1719 1772),

chiama per primo statistik la nuova disciplina.

Il termine coniato dallAchenwall rimane tuttavia di

incerta etimologia per lungo tempo: secondo alcuni deriva

da status, stato in senso politico; altri gli attribuiscono

il significato di conditio rerum, stato delle cose,

situazione attuale. Questo duplice significato del termine

permea la statistica fino ad anni recenti: alle soglie del

XX secolo i suoi praticanti che oggi chiamiamo

statistici erano ancora definiti statisti.

NellInghilterra del XVII secolo John Graunt chiama

aritmetici politici gli studiosi delle leggi empiriche

che riguardano i fatti sociali. Sulla base delle prime

sistematiche rilevazioni censuarie, gli aritmetici politici

constatano leccedenza delle nascite maschili su quelle

femminili, la stagionalit dei delitti, la falsit di

alcune credenze popolari come quella che attribuiva

linsorgere di pestilenze al passaggio di meteoriti. La

loro opera mette in luce limportanza della statistica come

strumento di indagine, in cui taluni fatti sono posti in

relazione con altri dei quali possono essere causa oppure

conseguenza. Ne La peste di Londra, Daniel Defoe cita le

statistiche parrocchiali sul crescente numero di funerali

celebrati allinizio del 1665, come prova dal serpeggiare

del contagio nella popolazione londinese.


19

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Nel 1838 il belga Adophe Quetelet (1796 1874),

considerato da molti il fondatore della statistica moderna,

pubblica il suo Essai de physique sociale, dove giunge ad

interessanti conclusioni sui fenomeni sociali e dove

descrive luomo medio, i cui caratteri corrispondono alla

media aritmetica dei caratteri posseduti da tutti gli

individui della popolazione. Queste idee lo spingono

tuttavia a descrivere le dinamiche sociali secondo una

concezione meccanica che oggi ritenuta del tutto

superata.

La progressiva sistemazione ed organizzazione della nuova

disciplina in differenti aree di studio porta a separare la

statistica metodologica, che si occupa del metodo per la

raccolta e lelaborazione matematico-probabilistica dei

dati, dalla statistica applicata, che a sua volta si divide

in molteplici aree di interesse tra cui la demografia, la

psicometria, lantropometria, e leconometria.

La storia del 900 caratterizzata da una pluralit di

contributi dei quali si fa un rapido cenno3: Karl Pearson

(1857 1936), Francis Galton (1822 - 1911) e Ronald Fisher

(1890 1964) introducono nuovi metodi analitici di

indagine dei fenomeni sociali. In campo economico si

ricordano i contributi di F. Y. Edgeworth, A. L. Bowley e

Vilfredo Pareto. In Italia Roldolfo Benini (1862 1956) si

distingue per i suoi studi sulla popolazione. Importanti

figure della cosiddetta scuola italiana di statistica

sono Corrado Gini (1884 1965), M. Boldrini, L. Livi e A.

Niceforo.

3 Per approfondimenti consultare Theodore M. Porter, Le origini del moderno pensiero statistico (1820-1900) a cura di Giorgio Alleva e Enzo Lombardo, La Nuova Italia

Editrice, Firenze, 1993.


20

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2. Caratteri, modalit e frequenze

8. Tipologie di carattere

Un fenomeno statistico si manifesta sotto forma di

propriet o carattere che si articola secondo le rispettive

modalit. I caratteri qualitativi hanno modalit descritte

mediante qualit, attributi o modi di essere. Si

distinguono in sconnessi se le modalit sono prive di un

ordine naturale intrinseco, ordinati nei restanti casi. I

caratteri quantitativi hanno modalit (o per meglio dire

intensit) espresse da numeri. Si distinguono in discreti

se rappresentati da numeri interi, continui nei restanti

casi.

Sono caratteri qualitativi sconnessi il colore dei capelli,

il sesso (maschio o femmina) oppure la squadra di calcio

preferita. Sono caratteri qualitativi ordinati i gradi

dellesercito o il giudizio di preferenza (per nulla, poco,

abbastanza, molto, moltissimo) di un consumatore nei

confronti di un bene di largo consumo. Sono caratteri

quantitativi discreti il numero di esami sostenuti oppure

il numero di figli in famiglia. Infine, sono caratteri

quantitativi continui il numero di millimetri di pioggia

caduti in una certa giornata oppure la statura e il peso

degli individui.

Non si deve escludere la possibilit di considerare, a

seconda dei casi, un medesimo carattere come appartenente a

due diverse categorie. I colori sono certamente un naturale

esempio di carattere qualitativo sconnesso. Tuttavia

nellindustria i colori si ottengono sulla base dei c.d.

colori semplici, luci costituite da una sola radiazione

elettromagnetica con differente lunghezza donda.

Combinando opportunamente le differenti fonti

elettromagnetiche si generano le diverse tonalit di colore

che si ritrovano nei vestiti, nelle automobili e negli


21

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altri oggetti di uso comune. In questo specifico caso il

colore del tutto assimilabile ad un carattere

quantitativo continuo.

Talvolta i caratteri possono essere trasformati in

caratteri di altra categoria. I caratteri qualitativi

dicotomici, rappresentati da due sole modalit, possono

diventare caratteri quantitativi discreti attribuendo il

numero 1 ad una modalit e il numero 0 allaltra. Ad

esempio, se il carattere osservato il sesso di un

collettivo, si pu attribuire il numero 1 ai maschi e il

numero 0 alle femmine. Questa trasformazione conserva le

informazioni sulla distribuzione del carattere ed

particolarmente utile nel corso delle elaborazioni al

computer.

Definizione operativa del carattere

Per definire un carattere occorre innanzitutto stabilire in

che modo una determinata propriet dovr essere rilevata

nel soggetto esaminato. Ad esempio nel caso di caratteri

fisici (peso, altezza) la rilevazione del carattere

determinata dalla sua misurazione. In questo caso si deve

indicare quale strumento di misurazione adottare, con quale

unit di misura registrare le rilevazioni, a quale decimale

arrotondare i numeri ed altri aspetti analoghi. Se il

carattere da osservare invece lopinione di un collettivo

nei confronti di una iniziativa del Governo la rilevazione

pu avvenire mediante intervista o, nel caso di indagini

strutturate, mediante questionario. In entrambi i casi si

devono scegliere le domande da porre, il tipo di risposta

attesa (a risposta aperta oppure chiusa, da scegliere in

una lista di possibilit).

Per effettuare la registrazione del carattere osservato, il

ricercatore deve prevedere la lista degli stati possibili

(modalit) che rappresentano il carattere nel suo

complesso. Nel caso di caratteri qualitativi, ad esempio il

sesso degli individui, si tratta di stendere la lista delle

sue possibili manifestazioni. Nel caso di un carattere

quantitativo con infiniti stati possibili, ad esempio la

statura di un gruppo di individui, occorre prevedere delle

classi a cui attribuire le intensit osservate. Le modalit

sono scelte in funzione della conoscenza del fenomeno

studiato e degli interessi della ricerca; pu comunque

accadere che alcune di esse non siano presenti nel

collettivo osservato.

Infine, il ricercatore deve fissare le regole con cui

assegnare ogni unit statistica ad una e una sola modalit

o intensit. Ad esempio, nel caso della statura di un

gruppo di individui, occorre stabilire se un individuo con


22

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statura rilevata di 180 cm esatti appartiene alla classe

170 180 oppure alla 180 190 successiva. Nel caso di

caratteri qualitativi, si pone ad esempio il problema di

classificare correttamente la risposta aperta fornita da un

intervistato.

Variabile e mutabile statistica

Il processo che conduce losservazione compiuta nel

collettivo ad una determinata di modalit del carattere

osservato detta variabile statistica:

Variabile statistica: assegnazione di una intensit del

carattere ad ogni individuo osservato.

Una variabile statistica dunque una funzione in quanto

definita per lintero collettivo e funzionale, ovvero

nessun individuo pu possedere due diverse modalit del

carattere osservato. A stretto rigore la variabile

statistica attribuisce ad ogni unit statistica un numero.

Per analogia nel caso di caratteri qualitativi si definisce

la

Mutabile statistica: assegnazione di una modalit di un

carattere qualitativo ad ogni individuo osservato.

La variabile e la mutabile statistica identificano e

sintetizzano il processo in precedenza descritto. Le

elaborazioni statistiche conseguenti alla rilevazione del

carattere sono basate su queste due definizioni.

9. Frequenze semplici

Si consideri un generico collettivo composto da n unit

statistiche, per ognuna delle quali stata rilevata la

corrispondente modalit ia del carattere A :

Individui Modalit

diA

1 1

~a

2 2

~a

n na

~

Se una modalit posseduta da pi individui, lelenco

delle modalit rilevate contiene delle ripetizioni. Inoltre

vi possono essere modalit non rilevate in quanto non

possedute da alcun individuo osservato.


23

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Al fine di ottenere la distribuzione di frequenza degli

individui del collettivo secondo il carattere esaminato si

riportano in una nuova tabella le singole modalit del

carattere con accanto la frequenza di individui per

ciascuna modalit:

Modalit

di A

frequenza

assoluta

1a 1n

2a 2n

3a 0

ka 3n

n

In questa nuova tabella le modalit sono riportate in modo

univoco. Non compaiono le modalit prive di individui ma,

nel caso di caratteri quantitativi, bene tenerne conto.

Per questo motivo stato aggiunta a titolo

esemplificativo la modalit 3a con frequenza pari a zero.

Nel nuovo schema proposto accanto alle modalit del

carattere compare la frequenza, ovvero il numero o la

percentuale di unit statistiche rispettivamente maschio e

femmina nel collettivo considerato.

Vale la definizione seguente:

La frequenza assoluta in il numero di unit statistiche

che possiedono la modalit ia del carattere.

La frequenza relativa if la proporzione di unit

statistiche che possiedono la modalit ia del carattere. Pu

essere espressa in percentuale (%).

Lo schema di riferimento per i due casi il seguente:


24

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Modalit Frequenza

assoluta Frequenza relativa

1a 1n nnf 11

2a 2n nnf 22

3a 0 03 f

ka kn nnf kk

n 1

Le frequenze non possono essere negative: 0in e 0if .

Il totale delle frequenze

k

i

inn

1

pari alla numerosit

del collettivo.

La somma delle frequenze relative vale 1:

11

111

n

nn

nn

nf

k

i

i

k

i

i

k

i

i

10. Frequenze cumulate

Caratteri quantitativi discreti. Dato un carattere

quantitativo discreto A con intensit 1x , 2x , , rx , si

pongono a confronto le intensit osservate con un valore

reale x liberamente scelto. Si indica con xxn i il numero di casi con intensit minore o uguale del valore

reale x.

La frequenza cumulata condizionata a x vale

iinnnxxn ...

21 .

La frequenza cumulata funzione del valore scelto x .

Infatti calcolabile per ogni x (relazione ovunque

definita). Inoltre, per ogni x si pu ottenere un solo

valore (relazione funzionale). In particolare quando x

inferiore alla minima intensit osservata xxn i pari a zero. Quando x superiore alla massima intensit

osservata, la frequenza cumulata pari alla numerosit del

collettivo stesso.

Per quanto evidenziato si pu scrivere semplicemente

innnxN ...

21

dove N indica la sommatoria dei valori della frequenza che

soddisfano la condizione xxi .


25

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La frequenza pu essere calcolata anche per frequenze

relative.

Funzione di ripartizione. La funzione di ripartizione la

somma

iifffxxF ...

21

Si osservi il disegno sottostante:

La funzione di ripartizione di un carattere quantitativo

discreto X indica la frequenza delle intensit del

carattere minori o uguali ad un qualunque valore in

ascissa.

Caratteri quantitativi continui. Nel caso di dati raccolti

in classi generalmente non si conosce lesatta

distribuzione dei dati allinterno di ciascuna classe. Si

ipotizza allora che le intensit osservate si dispongano in

modo uniforme al suo interno e la funzione di ripartizione

della classe assume laspetto di una spezzata crescente con

gradini regolari di altezza pari a in1 per una frequenza di

classe pari ad in (grafico a). Se la frequenza di classe

non esigua, la funzione di ripartizione della classe pu

essere correttamente approssimata con una retta che

congiunge i valori della funzione di ripartizione tra i due

limiti della classe (grafico b). La distanza tra la retta e

i gradini, ovvero lerrore di approssimazione compiuto, non

pu superare la quantit i

n21 .

F(X)

0 X

- F monotona non

decrescente (le frequenze non

possono essere negative);

- F ha dei punti di discontinuit in

corrispondenza con i valori di X.

La funzione pari a 1 per x > xMax

La funzione pari

a 0 per x < xmin1x 2x 3x 4x 5x

1xf

4xf

5xf

2xf 03 xf

32 xFxF 43214 xfxfxfxfxF

15 xF

11 xfxF

1min xx 5xx Max


26

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grafico (a)

grafico (b)

La funzione di ripartizione per dati raccolti in classi

assume la forma di una spezzata crescente. Si esamini il

grafico seguente:

Propriet della funzione di ripartizione. La funzione di

ripartizione xF definita sullintero asse reale: XF esiste per ogni x interno oppure esterno ai valori

Maxxxx

min del carattere X osservato. In particolare, se

minxx la funzione di ripartizione vale zero e se

Maxxx

la funzione di ripartizione vale 1. La funzione

crescente: se xx 1 allora xFxF 1 , dove luguaglianza vale nel caso particolare in cui 0xf . La funzione XF continua a destra in ixx : XF vale ixF , cos come in

0ixx si ha che ii xFxF 0 . E infine discontinua

nei soli punti nxxx ,...,, 21 : XF discontinua in corrispondenza delle intensit del carattere X osservato.

Nel punto di discontinuit x il limite da destra xx e

il limite da sinistra xx della funzione in quel punto

esistono ma non coincidono.

F(X)

Xx x

1 2

F(X)

Xx x

1 2

F(X)

0 X

- F monotona non

decrescente (le frequenze non

possono essere negative);

- F ha dei punti di discontinuit in

corrispondenza con i limiti di classe di X.

La funzione pari a 1 per x > xMax

La funzione pari

a 0 per x < xminampiezza della

classe x2 - x3

frequenza della

classe x2 - x3

1x 2x 3x 4x 5x

15 xF

1min xx 5xx Max


27

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11. Grafici di distribuzioni di frequenza

Un grafico utile a rappresentare le caratteristiche del

fenomeno studiato ed ha una notevole portata divulgativa.

Per questo deve essere sempre corredato da un titolo, da

indicazioni sul significato degli assi, dalle unit di

misura e dalle scale adottate.

Nel caso delle distribuzioni di frequenza, il grafico serve

a rappresentare le frequenze (assolute oppure relative)

legate alle modalit del carattere osservato.

Frequenze di caratteri qualitativi. Per rappresentare le

frequenze delle modalit di un carattere qualitativo

sconnesso si utilizza un diagramma a barre, indicando in

ascissa le modalit del carattere (ad esempio il sesso, M e

F) e in ordinata le frequenze assolute oppure relative

rilevate per le due modalit.

Quando si intende mettere in specifica evidenza la

ripartizione del collettivo rispetto alle modalit del

carattere osservato, si ricorre a un diagramma a settori

circolari (o a torta), in cui ciascun settore

proporzionale alle frequenze delle modalit rappresentate.

Nel caso di caratteri qualitativi ordinati si pu comunque

utilizzare il diagramma a barre.

Diagramma a barre

Diagramma a torta

60%

40%

M F

M; 60%

F; 40%


28

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Ortogramma

Frequenze di caratteri discreti. Nel caso di caratteri

quantitativi discreti si utilizza lortogramma, diagramma

caratterizzato da linee che partono dal valore della

modalit discreta posta in ascissa e che terminano con un

breve tratto orizzontale.

Frequenze per dati raccolti in classi. Si ricorre al

raccoglimento in classi allo scopo di ottenere delle

frequenze significative con cui descrivere il comportamento

complessivo di un fenomeno che, per sua natura, si

manifesta con intensit sempre differenti. Si pu ricorrere

al raccoglimento in classi delle intensit di un carattere

quantitativo discreto quando il numero di casi elevato.

E necessario effettuare il raccoglimento in classi nel

caso di caratteri quantitativi continui.

Nel raccoglimento in classi una intensit appartiene alla

classe se compresa tra i rispettivi limiti di classe. Se

una certa intensit esattamente pari ad uno dei due

limiti occorre stabilire in quale classe collocarla. Si

possono avere classi aperte a destra (simbolo 1 ii xx ) se

lintensit pari a ix appartiene alla classe e lintensit

pari a 1ix appartiene alla classe successiva; oppure classi

aperte a sinistra (simbolo 1 ii xx ) se lintensit pari a ix

appartiene alla classe che precede e lintensit pari a 1ix

appartiene alla classe stessa.

Esempio. Si considerano le seguenti stature (espresse in

metri) riferite ad un gruppo di 10 individui:

1,75 1,80 1,68 1,58 1,90

1,82 1,73 1,75 1,92 1,65

Il carattere rilevato, quantitativo continuo, richiede il

raccoglimento in classi. Infatti tutte le intensit hanno

20% 20%

30%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

0 1 2 3 4 5


29

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frequenza unitaria e sarebbe altrimenti impossibile

descrivere landamento complessivo delle frequenze.

Considerando le seguenti classi di intensit:

1,50 1,60

1,60 1,70

1,70 1,80

1,80 1,90

1,90 2,00

Il raccoglimento in classi delle stature porta al seguente

risultato:

Classi frequenze

1,50 1,60 1

1,60 1,70 2

1,70 1,80 3

1,80 1,90 2

1,90 2,00 2

10

Dopo il raccoglimento in classi possibile rilevare una

certa omogeneit delle frequenze rispetto a ciascuna classe

di altezza.

Istogramma. Le frequenze di caratteri quantitativi continui

raccolti in classi sono rappresentate mediante istogramma4,

grafico areale nel quale in ascissa compaiono le classi e

in ordinata le altezze dei rettangoli che rappresentano con

la loro area la frequenza di classe.

Per rappresentare listogramma di frequenza si disegnano in

ascissa gli intervalli di classe scelti per il

raccoglimento in classi e, in corrispondenza a ciascun

intervallo, si traccia il perimetro di rettangolo la cui

area deve essere proporzionale alla frequenza

dellintervallo. Laltezza del rettangolo calcolata per

rapporto:

4 Il termine fu coniato nel XIX secolo dallo statistico scozzese William Playfair, che

not la somiglianza del nuovo grafico con la sagoma dei telai meccanici in uso allora. In

Excel non sono presenti n lortogramma, che viene normalmente disegnato mediante un

grafico a barre, n listogramma, che pu essere rappresentato mediante un diagramma a

dispersione.


30

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Esempio. Si disegna listogramma di frequenza per la

distribuzione seguente:

Le aree dei rettangoli disegnati corrispondono alle

frequenze if delle classi. Nellesempio, le aree valgono

rispettivamente 30, 25, 10 e 2.

Densit media di frequenza. La densit media di frequenza

di classe data dal rapporto

ii

i

ixx

fh

1

dove h la frequenza media di casi presenti in un

qualsiasi punto interno allintervallo di classe ed anche

laltezza dei rettangoli dellistogramma. Se la

densit media

di frequenza

intervalli

di classe

limite inferiore limite superiore

di classe di classe

frequenzaii

i

ixx

fh

1

Da A fr. h

0 40 30,0 0,750

40 60 25,0 1,250

60 80 10,0 0,500

80 100 2,0 0,100

0 8040 60 100100

0,750

1,25

0,5

0,10-

X

30

25

10

2


31

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distribuzione dellintensit del carattere fosse uniforme

allinterno di ogni classe, in ciascun punto

dellintervallo la frequenza dei casi sarebbe proprio pari

ad h.

La Regola di Sturges. La scelta del numero e dellampiezza

delle classi dipende dal numero e dalla natura del fenomeno

studiato. Negli anni 20 fu proposta una regola di natura

empirica, la c.d. regola di Sturges5, secondo cui per

calcolare il numero di classi in cui raccogliere un insieme

di n intensit di un carattere quantitativo continuo,

occorrono nk 2log1 classi. Riscrivendo la formula con

il logaritmo in base 10 si ottiene

nk10

log3

101

In anni recenti questa regola empirica stata oggetto di

severe critiche a causa della sua scarsa fondatezza

teorica. E tuttavia ancora oggi spesso utilizzata.

Esempio. Calcolare le frequenze assolute e relative del

carattere seguente, ottenuto rispondendo alla domanda con

chi ha rapporti pi frequenti?:

genitori amici insegnanti

estranei insegnanti genitori

genitori amici amici

amici estranei amici

genitori estranei genitori

amici estranei estranei

Per fare il calcolo occorre contare quanti casi si

ottengono per ciascuna modalit:

modalit fr.

assolute

fr.

relative

estranei 5 0,278

amici 6 0,333

genitori 5 0,278

insegnanti 2 0,111

18 1,000

Esempio. Data la seguente distribuzione di frequenza di X :

iX in if

0 1 0,1

5 Sturges, H. (1926), The choice of a class-interval, J.A.S.A., 21, 65-66.


32

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1 5 0,5

2 2 0,2

3 1 0,1

4 1 0,1

10 1,0

Si disegna il grafico della funzione di ripartizione:

Il grafico ha la forma di una scalinata con gradini

proporzionali alle frequenze di X . I tratti verticali della

funzione di ripartizione rappresentano le frequenze

unitarie ed i tratti orizzontali sono dovuti al fatto che

nulla la frequenza tra due modalit successive.

La funzione di ripartizione consente di individuare i

quantili di una distribuzione. Scelto ad esempio il valore

in ascissa 1,2X , la funzione di ripartizione indica che l80% delle unit statistiche possiede un carattere con

intensit minore o uguale al valore scelto.

Esempio. Si considera la distribuzione di frequenza della

statura degli iscritti alle liste di leva in Piemonte per

lanno di nascita 1979 (dati in centimetri). Alla tabella

stata aggiunta una colonna con le altezze dei rettangoli

che formano listogramma.

iX %if %iF ih

150 160 1,10 1,1 1,10/(160-150) = 0,11

160 170 22,10 23,2 2,21

170 175 27,90 51,1 5,58

175 180 26,70 77,8 5,34

180 190 18,87 96,7 1,89

190 195 2,22 98.9 0,44

195 220 1,11 100 0,04

100,00

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1 1 3 5 7

X

N

2,1


33

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Listogramma il seguente:

La funzione di ripartizione la seguente:

12. Frequenze congiunte

Si prende in esame il caso di due generici caratteri A e B

con modalit naaa ,...,, 21 e mbbb ,...,, 21 , presenti in un

collettivo di n individui. Si indica con ijn il numero di

individui che possiedono la coppia di modalit ia e jb .

Linsieme di queste informazioni costituisce la tabella a

doppia entrata seguente:

175140 150 160 170 180 190 200 210 220 230

X

1,10%

22,10%

27,9

0%

26,7

0%

18,87%

2,22%

1,11%

0%

25%

50%

75%

100%

140 150 160 170 180 190 200

X

F(X)


34

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Modalit di A

Frequenze

congiunte 1a 2a 3a Totali

Modalit

di B

1b 11n 12n 13n .1n

Frequenze

marginali

di B

2b 21n 22n 23n .2n

3b

31n

32n

33n

.3n

4b 41n 42n 43n .4n

Totali 1.

n 2.

n 3.

n n

Frequenze marginali di A

Totale

frequenze

Il corpo della tabella raccoglie le frequenze congiunte ijn

sopra descritte; lultima riga contiene la distribuzione

univariata (marginale) del carattere A ; la colonna a destra

contiene la distribuzione univariata (marginale) del

carattere B .

Sulla base della tabella delle frequenze congiunte ijn si

pu ottenere la tabella delle corrispondenti frequenze

relative dividendo per il totale delle frequenze n:

Modalit di A

Frequenze

congiunte 1a 2a 3a Totali

Modalit

di B

1b 11f 12f 13f .1f

Frequenze

marginali

di B

2b 21f 22f 23f .2f

3b

31f

32f

33f

.3f

4b 41f 42f 43f .4f

Totali 1.

f 2.

f 3.

f 1

Frequenze marginali di A

Totale

frequenze

Esempio. La seguente tabella riporta il numero di esercizi

ricettivi (alberghi, campeggi, villaggi turistici e altre

strutture ricettive) presenti nel 2001 nel Nord, Centro e

Sud Italia (fonte: Istat, LItalia in Cifre 2002):

Nord Centro Sud Italia

Alberghi 21.568 6.324 5.536 33.428

Campeggi e villaggi

turistici 992 494 885 2.371

Alloggi agro turistici 3.194 3.392 1.183 7.769

Altri esercizi e alloggi 57.978 3.334 1.415 62.727

Totale 83.732 13.544 9.019 106.295


35

[email protected]


La corrispondente tabella delle frequenze relative la

seguente:


Alberghi 20% 6% 5% 31%

Campeggi e villaggi

turistici 1% 0% 1% 2%

Alloggi agro turistici 3% 3% 1% 7%

Altri esercizi e alloggi 55% 3% 1% 59%

Totale 79% 13% 8% 100%

Si osserva che la voce Altri esercizi e alloggi

predominante rispetto al totale ed la soluzione ricettiva

preferita nel Nord Italia. La voce ricomprende gli ostelli

per la giovent, le case per ferie, i rifugi alpini, le

camere e gli appartamenti iscritti al Registro esercenti il

commercio.

Profili di riga e profili di colonna

I profili di riga si ottengono dividendo la frequenza

congiunta per la frequenza marginale di riga; i profili di

colonna si ottengono dividendo la frequenza congiunta per

la frequenza marginale di colonna:

profili riga:

... i

ij

i

ij

i

ij

f

f

n

n

n

n

n

n

profili colonna:

j

ij

j

ij

j

ij

f

f

n

n

n

n

n

n

...

Tabella dei profili riga

Modalit di A

1a 2a 3a Totali

Modalit

di B

1b .111 nn .112 nn .113 nn 1

2b .221 nn .222 nn .223 nn 1

3b

.331nn

.332nn

.333nn 1

4b .441 nn .442 nn .443 nn 1

Totali nn 1. nn 2. nn 3. 1

Tabella dei profili colonna


36

[email protected]


Modalit di A

1a 2a 3a Totali

Modalit

di B

1b 1.11 nn 2.12 nn 3.13 nn nn .1

2b 1.21 nn 2.22 nn 3.23 nn nn .2

3b

1.31nn

2.32nn

3.33nn nn

.3

4b 1.41 nn 2.42 nn 3.43 nn nn4

Totali 1 1 1 1

Media dei profili

I marginali di riga sono la media ponderata dei profili

riga ponderati con le frequenze marginali di colonna. I

marginali di colonna sono la media ponderata dei profili

colonna ponderati con le frequenze marginali di riga:

r

i

i

i

ijr

i

iijin

n

n

nfff

1

.

.1

..

p

j

j

j

ijc

j

jijjn

n

n

nfff

1

.

.1

..

Esempio. Con riferimento allesempio precedente, i profili

riga sono i seguenti:


Alberghi 65% 19% 17% 100%

Campeggi e villaggi

turistici 42% 21% 37% 100%



Totale 79% 13% 8% 100%

E i profili colonna i seguenti:


Alberghi 26% 47% 61% 31%

Campeggi e villaggi

turistici 1% 4% 10% 2%



Totale 100% 100% 100% 100%

Dallanalisi dei profili riga si osserva ad esempio che il

65% degli alberghi sono al Nord; consultando la tabella dei

profili colonna emerge invece ad esempio che gli alberghi


37

[email protected]


sono la struttura ricettiva pi presente al Centro e al Sud

rispetto alle restanti forme.

Si osserva infine che i profili marginali di riga sono

uguali alle frequenze marginali di riga nella tabella delle

frequenze congiunte; analogamente i profili marginali di

colonna sono uguali alle frequenze marginali di colonna

nella tabella delle frequenze congiunte.

Si verifica infine la propriet di media dei profili:

%59%92%7%41%2%42%31%65%791.

f

%59%5%7%44%2%21%31%19%132.

f

%59%2%7%15%2%37%31%17%83.

f

Tipi di tabelle a doppia entrata. A seconda dei caratteri

osservati le tabelle a doppia entrata si distinguono in:

tabelle di contingenza. I due caratteri sono entrambi

qualitativi.

tabelle miste. I due caratteri sono uno quantitativo

laltro qualitativo.

tabelle di correlazione. I due caratteri sono entrambi

quantitativi, discreti oppure continui.

Uno schema riassuntivo dei tre tipi di tabella a doppia

entrata il seguente:

Carattere

qualitativo

Carattere

quantitativo

Carattere

qualitativo

Tabelle di

contingenza

Tabelle

miste

Carattere

quantitativo

Tabelle

miste

Tabelle di

correlazione

Esempio. Numero di addetti delle imprese per settore di

attivit economica nel 1999 (fonte: Istat, LItalia in

cifre 2002):

1-19

addetti

20

addetti e

pi

Totale

Industria 1.961.847 3.006.293 4.968.140

Costruzioni 1.140.135 271.703 1.411.838

Servizi 5.488.238 2.439.421 7.927.659

Totale 8.590.220 5.717.417 14.307.637


38

[email protected]


La tabella precedente una tabella mista che indica il

numero di addetti per settore e per classe dimensionale

delle imprese ove lavorano. Si osserva che le imprese sotto

i 20 addetti sono soprattutto imprese di servizi, mentre

quelle sopra i 20 addetti caratterizzano soprattutto il

settore industriale in senso stretto.


39

[email protected]


2. Misure di un carattere statistico

3. Misure di posizione

Le misure di posizione o medie rappresentano la prima

sintesi di un fenomeno statistico.

La tradizione statistica italiana distingue le medie in

ferme, in cui il valore dipende da tutti i dati, e in

lasche per i restanti casi. La media aritmetica un

esempio di media ferma perch calcolata su tutti i dati

disponibili e lingresso di un nuovo dato modifica il

risultato precedentemente ottenuto. Altre misure di

tendenza centrale come la mediana e la moda sono lasche in

quanto pu accadere che lingresso di un nuovo dato non

modifichi affatto o modifichi in misura ridotta il loro

valore iniziale.

Media, mediana e moda esprimono la tendenza centrale del

fenomeno studiato. Sono misure di tendenza non centrale i

quantili, intensit che ripartiscono il collettivo in

ragione della frequenza cumulata.

13. Media aritmetica

Media aritmetica semplice. La media aritmetica semplice di

n termini nXXX ,..,, 21 vale:

n

i

i

n Xnn

XXXM

1

21

1

1...

La media aritmetica ponderata di n termini mXXX ,..,, 21 con

frequenze rnnn ,...,, 21 data dallespressione:

r

i

ii

rr nXnn

nXnXnXM

1

2211

1

1... nn

r

i

i

1

La media aritmetica ponderata di m termini mXXX ,..,, 21 con

frequenze relative6 rfff ,...,, 21 data dallespressione:

r

i

iirrfXfXfXfXM

1

22111... 1

1

r

i

if

6 O normalizzate.


40

[email protected]


Accanto alla media ponderata con frequenze si pu definire

la generica media ponderata con pesi rppp ,...,, 21 che

contempla come caso particolare la media con frequenza

sopra definita:

n

i

i

n

i

ii

p

pX

M

1

1

1

Nel caso di m pesi normalizzati

rppp ,...,,

21 si ottiene

lespressione

r

i

irrpXpXpXpXM

1

*

1

**

22

*

111... 1

1

r

i

ip

Esempio. Si calcola la media aritmetica della distribuzione

di X :

iX -1 0 1 2

in 5 6 3 5

421053,05365

523160514

1

4

1

i

i

i

ii

n

nX

X

La media calcolata un punto in ascissa nel grafico della

distribuzione di X :

Media di rapporti. Si considerano due caratteri

quantitativi X e Y riferiti alle medesime unit

statistiche i , per i quali sia utile calcolare il rapporto t tra le rispettive intensit, come evidenziato nella

tabella seguente:

Unit

statistiche X Y iii YXt

0,421053

5

3

6

5

-2 -1 0 1 2 3

X


41

[email protected]


1 1X 1Y 111 YXt

2 2X 2Y 222 YXt

n 2X nY nnn YXt

Lultima colonna contiene la serie dei rapporti it ottenuti

dividendo lintensit del carattere X per lintensit del

carattere Y .

Per calcolare il rapporto medio t riferito a tutte le unit

statistiche oggetto di indagine, appare naturale dividere

la somma delle intensit di X con la somma delle intensit

di Y :

n

i

i

n

i

i

Y

X

t

1

1

Con un passaggio algebrico t risulta anche pari alla media

aritmetica ponderata dei singoli rapporti it :

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

Y

tY

Y

X

t

1

1

1

1

Alternativamente si pu notare che il rapporto medio t

anche pari alla media armonica ponderata dei singoli

rapporti it :

n

i i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

t

X

X

Y

X

t

1

1

1

1

Esempio. Si calcola la media della seguente serie di

rapporti, riferiti allattivit settimanale di tre filiali

di un call-center:

Fil. A Fil. B Fil. C Media

N clienti contattati 104 253 77 434

N addetti 10 22 9 42

Rapporto 10,4 11,5 7,7 10,33

I 42 addetti delle tre filiali hanno contattato

complessivamente 434 clienti con un rapporto medio di 10,33

clienti pro capite contattati. Per arrivare a questo


42

[email protected]


risultato utilizzando i rapporti riferiti a ogni filiale si

scrive:

33,10

7,7

77

5,11

253

4,10

104

434

t

Media per dati raccolti in classi. Nel caso di dati

raccolti in classi la media si calcola moltiplicando i

centri di classe (c.d.c.) per le rispettive frequenze.

Indicando i centri di classe con iX , la media ponderata con

pesi assoluti data dallespressione:

r

i

iinX

nM

1

1

1

La media ponderata con pesi normalizzati la seguente:

r

i

iifXM

1

1

La media aritmetica calcolata utilizzando i valori centrali

di classe, implica lipotesi di uniforme distribuzione dei

dati individuali allinterno di ogni classe ed in

generale differente dalla media aritmetica calcolata sui

dati individuali. Questa differenza detta effetto di

raggruppamento.

Esempio. La media aritmetica semplice di 1,2 1,4 2,4 2,5

3,0 e 3,2 vale 2,283. Raggruppando i dati nelle classi 0

2 e 2 4 si ottiene:

iX c.d.c. in iinX

0 - 2 1 4 4

2 - 4 3 2 6

6 10

La media vale 10/6 = 1,667.

Propriet

Si riportano alcune propriet della media aritmetica, di

seguito indicata con il simbolo 1M .

Condizione di Cauchy. La media sempre compresa tra il

valore minimo e il valore massimo dei termini su cui

calcolata:

MaxxMx

1min.


43

[email protected]


La media dunque una misura interna ai dati.

Per dimostrarlo, si inizia con il constatare che ogni

valore di una variabile X compreso tra il suo minimo e il

suo massimo. Sommando questa doppia diseguaglianza per

tutti i valori di X si ottiene

Maxn

Maxn

MaxMax

nXXnX

XXX

XXXXXX

min

min

2min1min

...

Dividendo per n si ha Max

n

i

i

Xn

X

X 1

min ovvero

MaxxMx

1min.

Somma nulla. Lo scarto dalla media la differenza con

segno tra il valore iX e la media stessa. E nulla la somma

degli scarti

01

1

n

i

iMX

Si osserva che

n

i

n

i

i

n

i

iMXMX

1

1

11

1 . Poich la media

una costante si ha che 11

1nMM

n

i

da cui 011

nMX

n

i

i .

Luguaglianza 11

nMX

n

i

i

indica che lammontare complessivo

del carattere

n

i

iX

1

presente nel collettivo pari a n

volte la media aritmetica stessa.

Minimo. La quantit

n

i

iaX

naf

1

21 minima se il valore

di a la media aritmetica dei dati. Per dimostrarlo si

parte dalla considerazione che, se f ha un punto di minimo

in a, in a la derivata prima nulla e la derivata seconda

positiva:


44

[email protected]


1

1

1

1

0

02

Man

X

naX

aXna

f

n

i

in

i

i

n

i

i

02

2

a

f

Quindi per 1Ma 1Mf un minimo per f , da cui lasserto. La quantit 1Mf la varianza della variabile X .

Monotonia. Se Y e X sono due variabili per cui vale la

relazione YX , allora anche per le rispettive medie vale

lanaloga relazione YX MM .

Esempio. Date due variabili X e 2

XY si ha che:

n

XXXM

n

X

...21

n

XXXM

n

Y

22

2

2

1...

2XX implica quindi che 2

XXMM . Si osservi che per

3XY la propriet vera solo per valori positivi di X .

Linearit. La media di una combinazione lineare di

variabili pari alla combinazione lineare delle rispettive

medie XbXa

MbaM . Per dimostrarlo occorre procedere

per passi successivi. Si parte dalla considerazione che se

i dati sono tutti costanti cX , allora la media pari alla costante stessa:

cncn

cn

Xn

M

n

i

n

i

i

111

11

1

Inoltre la somma delle medie di due variabili pari alla

media della variabile somma, ovvero la media una misura

associativa dei dati:

YXYXMMM

Infine, la media di un insieme di dati tutti moltiplicati

per una costante pari a XaX

MaM , ovvero la media

una misura omogenea dei dati:


45

[email protected]


X

n

i

i

n

i

i

aXaM

n

X

an

aX

M 11

Sulla base delle propriet citate, si conclude che la

propriet seguente vera:

X

n

i

i

n

i

i

bXaMba

n

Xbna

n

bXa

M

11

Esempio. Date le variabili X con media 5XM e Y con

media 2YM , la media della variabile YX 2 vale

1452 YX

MM .

Loperatore media E[.]. Le differenti formule per il

calcolo della media aritmetica possono essere riassunte

introducendo il concetto di operatore media E . Loperatore serve a semplificare la simbologia quando non

importante riportare in modo esatto il calcolo effettuato.

Ad esempio la media di n dati individuali si scrive:

n

X

XE

n

i

i 1

Mediante loperatore E si possono riproporre le propriet della media gi incontrate: ccE ; XaEaXE ; XaEcaXcE . Va inoltre osservato che 22 XEXE .

Esempio. Si verifica che per la seguente distribuzione di X

nulla la somma dei dati:

iX -1 0 1 2

in 5 6 3 5

La media vale 0,421053 e la somma degli scarti nulla:

05421053,023421053,01

6421053,005421053,01

Si osservi che il valore 0X una modalit del carattere che non va trascurata nel calcolo della media. Possono

invece essere trascurati quei valori (teorici) di X che

hanno frequenza nulla, in quanto non presenti nei dati.

Esempio. Si calcola la media aritmetica di X :


46

[email protected]


iX 0 1 2 3 4 5 6

in 0,01 0,1 0,35 0,18 0,09 0,2 0,07

12,307,062,05...1,0101,00

7

1

i

i

ifXX

Esempio. Si calcola la media aritmetica della variabile X :

X in if

0 5 2 0,2

5 7 5 0,5

7 10 3 0,3

Quando le intensit della variabile X sono raccolte in

classi, per il calcolo della media aritmetica si utilizzano

i centri di classe, semisomma dei limiti di classe. I

centri di classe sono rispettivamente 5,2250 per la prima classe, 6 per la seconda e 8,5 per la terza.

La media aritmetica con le frequenze assolute in vale:

05,610

35,85625,23

1

3

1

i

i

i

ii

n

nX

X

Allo stesso risultato si giunge utilizzando le frequenze

relative if :

05,63,05,85,062,05,2

3

1

i

i

ifXX

14. Mediana e quantili

Nel linguaggio comune assumere una posizione o un

atteggiamento mediano significa stare nel mezzo,

posizionarsi al centro. Nel giuoco del calcio il mediano

il giocatore che sta a centro campo, a met strada tra i

difensori e gli attaccanti.

Mediana

La mediana Me di un carattere quellintensit che divide

i dati in due gruppi ugualmente numerosi: il primo gruppo

comprende quelle intensit che non superano la mediana; il


47

[email protected]


secondo gruppo formato da quelle intensit che superano

il valore mediano.

Propriet. Posizionando i dati lungo una retta orientata la

mediana si colloca nella posizione di ordine centrale,

minimizzando la distanza lineare tra ogni punto e la

mediana stessa7:

min1

n

i

iMeXMef

La dimostrazione di questa propriet laboriosa ed

quindi omessa. Si propone invece una interpretazione a

carattere intuitivo. Dati due punti di ascissa 1x e nx

posti lungo una retta orientata, la loro mediana minimizza

la somma delle rispettive distanze e si colloca pertanto al

centro del segmento di retta compreso tra i due punti:

Se si aggiungono due nuovi punti 2x e 3x sulla retta, la

mediana dei quattro dati n

xxxx ,,,321

deve soddisfare

nuovamente la propriet di minimo e si sposta quindi in

posizione centrale allinterno del nuovo intervallo

compreso tra 2x e 3x (figura B). Aggiungendo infine alla

retta altri due punti 4x e 5x , la mediana si sposta

nuovamente al centro dei nuovi punti (figura C) realizzando

nuovamente la condizione di minimo.

7 Si osservi la distinzione tra questa propriet e la propriet della media aritmetica di

rendere minima la somma del quadrato degli scarti dalla media stessa.

(A)

(B)

(C)

X1 XnMe

X1 XnMe

X1 XnMe

X2 X3

X5

X3X4 X2


48

[email protected]


La mediana pu essere calcolata su caratteri qualitativi

ordinabili, su caratteri quantitativi discreti e su

caratteri quantitativi raccolti in classi.

Caratteri qualitativi ordinabili. In un gruppo di

determinazioni di un carattere qualitativo ordinabile la

mediana quellintensit che occupa il posto centrale tra

le determinazioni ordinate in modo crescente. Nel caso in

cui il numero di determinazioni pari, la mediana

rappresentata dalle due determinazioni che si trovano in

posizione centrale.

Caratteri quantitativi discreti. Per calcolare il valore

della mediana di un carattere quantitativo discreto occorre

distinguere il caso in cui i dati sono in numero pari dal

caso in cui i dati sono in numero dispari: nel primo caso

la mediana cade tra le intensit dei dati di posizione 2

n e

di posizione 12

n

; nel secondo Me corrisponde

allintensit di posizione 2

1n.

Caratteri quantitativi raccolti in classi. In una

distribuzione di frequenza per dati raccolti in classi non

si conoscono le intensit effettive ma solo la loro

distribuzione nelle classi assegnate. Dopo aver individuato

la classe in cui cade la mediana, per stimare la posizione

della mediana Me si procede per interpolazione lineare:

12

12

1

1

2XX

NN

NNXMe

Nella formula, 1X e 2X sono i limiti della classe in cui

cade il valore mediano; 1N la somma delle frequenze delle

classi che precedono la classe mediana e 2N la somma

delle frequenze delle classi fino a quella in cui cade la

mediana; 2N la met delle frequenze complessive.

Esempio. Si calcola la mediana della variabile X con

distribuzione:

X in iN

0 - 2 5 5

2 3 10 15

3 5 6 21


49

[email protected]


La met delle frequenze totali vale 5,10221 e quindi la

mediana cade nella classe 2 3. Per interpolazione lineare

la mediana 2,55:

55,2223515

55,10

Me

Il grafico delle frequenze

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