Per comprendere ilcomportamento della natura a livello atomico, è necessario

introdurre nella fisica alcuni concettinuovi e modificarne altri. In questocapitolo analizzeremo le ideefondamentali della fisica quantistica emostreremo come esse portino a unacomprensione più approfondita deisistemi microscopici, analogamente almodo in cui la relatività estende la fisicaal regno delle alte velocità. Preseinsieme, la relatività e la fisica dei quantiforniscono le basi di quella che oggichiamiamo fisica moderna.

Inizieremo il capitolo introducendoil concetto di quantizzazione, secondoil quale una grandezza fisica, come

l’energia, varia per quantità discrete e non con la continuità prevista dallafisica classica. Questo concetto portaall’idea di fotone, che può esserepensato come una “particella” di luce. In seguito vedremo che proprio come la luce può comportarsi come unaparticella, così le particelle – glielettroni, i protoni e i neutroni –possono comportarsi come onde.

Infine esamineremo l’incertezzafondamentale che la natura ondulatoriadella materia introduce nella nostraconoscenza delle grandezze fisiche,rendendo possibili comportamenticlassicamente “proibiti” come l’effetto tunnel quantistico.

Contenuti1. La radiazione di corpo nero

e l’ipotesi di Planck sullaquantizzazione dell’energia 1047

2. I fotoni e l’effetto fotoelettrico 1050

3. La massa e la quantità di moto del fotone 1056

4. La diffusione dei fotoni e l’effetto Compton 1057

5. L’ipotesi di de Broglie e il dualismo onda-particella 1060

6. Il principio di indeterminazione di Heisenberg 1064

7. L’effetto tunnel quantistico 1068

La maggior parte delle immagini che conosciamo sono fatte di luce visibile. Quelle che non lo sono, come

i termogrammi o le immagini radiografiche, impieganocomunque radiazioni elettromagnetiche, anche se

di un altro tipo. Fino a un’ottantina di anni fa,l’idea di comporre un’immagine

servendosi di particelleanziché di radiazioni sarebbesembrata assurda, come se si

fosse proposto di fare unritratto facendo rimbalzare palline di pittura

sul soggetto da ritrarre. Poco dopo il 1920, tuttavia, i fisici scoprirono che le onde luminose si comportano

spesso come particelle e che, viceversa, le particelle,come gli elettroni, spesso si comportano come onde.

In effetti le proprietà ondulatorie degli elettronipossono essere utilizzate per creare immagini

particolarmente dettagliate, come questa fotografiadi una cavalletta realizzata con un microscopio

a scansione elettronica. In questo capitoloesamineremo le leggi, talvolta apparentemente

bizzarre, che descrivono il comportamento dellanatura nel regno atomico e in quello subatomico,

e parleremo degli eventi che tra il 1890 e il 1940 le portarono alla luce, rivoluzionando tutta la fisica.

CAPITOLO

30 La fisica dei quanti

1. La radiazione di corpo nero e l’ipotesi di Plancksulla quantizzazione dell’energia

Se vi è mai capitato di guardare l’interno di una fornace calda da un’apertura di

piccole dimensioni, avrete notato il bagliore della luce tipica delle alte temperatu-

re. Per quanto possa sembrare inverosimile, questa luce ha avuto un ruolo centra-

le nella rivoluzione che sconvolse la fisica all’inizio del ’900. Fu lo studio di sistemi

di questo tipo a far introdurre nella fisica l’idea della quantizzazione dell’energia, cioè

che l’energia possa assumere soltanto valori discreti.

Per la precisione, alla fine dell’800 i fisici si erano messi a studiare attentamente la ra-

diazione elettromagnetica emessa da un sistema fisico noto come corpo nero. Un

esempio di corpo nero è illustrato nella figura 1. Si tratta di un corpo cavo con una

piccola apertura verso il mondo esterno, proprio come una fornace. La luce che en-

tra nella cavità attraverso l’apertura viene riflessa molte volte dalle pareti interne e fi-

nisce per essere assorbita completamente. È per questa ragione che il sistema è detto

“nero”, anche se non è necessario che il materiale di cui è fatto sia davvero nero.

Corpo neroUn corpo nero ideale assorbe tutta la luce che incide su di esso.

I corpi che assorbono la maggior parte della luce incidente, anche se non tutta, co-

stituiscono approssimazioni ragionevoli di un corpo nero, mentre i corpi altamen-

te riflettenti e brillanti non possono essere presi come approssimazione.

Come abbiamo visto nel capitolo 15, i corpi in grado di assorbire la radiazione so-

no anche in grado di emetterla. Perciò un corpo nero ideale è anche un radiatore

ideale. Il classico esperimento che si esegue con un corpo nero, infatti, è il seguen-

te: si scalda il corpo nero fino a una data temperatura T e si misura la quantità di ra-

diazione elettromagnetica che emette a una data frequenza f. Si ripete la misura per

varie frequenze e si riportano i risultati su un grafico. La figura 2 illustra i risultati

di un tipico esperimento sulla radiazione di corpo nero per differenti temperature.

Osserviamo l’andamento dell’intensità della radiazione emessa: di scarsa entità a

basse frequenze, la radiazione presenta un picco nella regione delle frequenze in-

termedie per attenuarsi man mano che ci si sposta verso le frequenze più alte.

Ciò che è veramente notevole nell’esperimento del corpo nero è il fatto seguente:

La distribuzione dell’energia della radiazione emessa da un corpo nero non dipendedal materiale con cui è costruito il corpo, ma solo dalla sua temperatura T.

Perciò un corpo nero di acciaio e uno di legno danno esattamente lo stesso risulta-

to quando sono portati alla stessa temperatura. Quando i fisici osservano qualcosa

che è indipendente dai dettagli del sistema è chiaro che stanno osservando un fe-

nomeno di importanza fondamentale. È proprio quello che accadde con la radia-

zione di corpo nero.

Due aspetti delle curve della radiazione di corpo nero mostrate nella figura 2 han-

no un’importanza particolare.

Anzitutto notiamo che all’aumentare della temperatura aumenta l’area sottesa dal-

la curva. Dal momento che quest’ultima è una misura dell’energia totale emessa

dal corpo nero, ciò significa che all’aumentare della temperatura del corpo aumen-

ta anche l’energia emessa da esso.

Il secondo aspetto degno di nota è che all’aumentare della temperatura assoluta Til picco della curva si sposta verso frequenze maggiori. Questo spostamento del

massimo con la temperatura è descritto dalla legge dello spostamento di Wien:

Legge dello spostamento di Wien

[1]

Nel SI si misura in hertz (1 Hz � 1 s�1).

C’è quindi un legame diretto fra la temperatura di un corpo e la frequenza della ra-

diazione emessa con maggiore intensità.

fpicco = 15,88 � 1010 s-1 � K-12T

1 . L a r a d i a z i o n e d i c o r p o n e r o e l ’ i p o t e s i d i P l a n c k s u l l a q u a n t i z z a z i o n e d e l l ’ e n e r g i a 1047

La luce che entra in un corpo neroè assorbita completamente.

▲ FIGURA 1 Un corpo nero idealeIn un corpo nero ideale la luce incidente è assorbita completamente. Nel caso quiraffigurato l’assorbimento è dovuto allemolteplici riflessioni all’interno dellacavità. Il corpo nero e la radiazioneelettromagnetica contenuta al suo internosono in equilibrio termico a una certatemperatura T.

Inte

nsit

à re

lati

va

a)

Inte

nsit

à re

lati

va

b)

0,20,40,60,8

11,2

5 10

Regione visibile

3000 K

Frequenza (1014 Hz)

15 20

2

4

6

8

10

5 10

Frequenza (1014 Hz)

15 20

12 000 K

6000 K

6000 K

▲ FIGURA 2 La radiazione di corpo neroLa radiazione di corpo nero in funzionedella frequenza a varie temperature: a) 3000 K e 6000 K; b) 6000 K e 12 000 K.Osserviamo che all’aumentare dellatemperatura il picco della radiazione emessasi sposta verso frequenze più elevate.

1 . V E R I F I C A D E I C O N C E T T I Confronta le temperature

Betelgeuse è una stella gigante rossa della costellazione di Orione; Rigel è una stellabianca azzurrognola della stessa costellazione. Rispetto a quella di Rigel, la tempera-tura superficiale di Betelgeuse è:

maggiore. minore. uguale.

R A G I O N A M E N T O E D I S C U S S I O N ERicordiamo che la luce rossa ha una frequenza minore della luce blu. Per la legge del-lo spostamento di Wien, quindi, una stella rossa ha una temperatura minore di unastella blu. Perciò Beltegeuse ha una temperatura superficiale minore.

R I S P O STALa risposta corretta è la B: la temperatura superficiale di Beltegeuse è minore di quel-la di Rigel.

Per rendere più chiara la conclusione della precedente verifica dei concetti, analiz-ziamo più attentamente la figura 2. Alla temperatura più bassa tra quelle raffigura-te, 3000 K, la radiazione è più intensa all’estremo rosso dello spettro visibile che al-l’estremo blu. A questa temperatura, un corpo (ad esempio la resistenza di unastufa elettrica) ci apparirebbe di color rosso fuoco; la maggior parte della radiazio-ne, inoltre, è nell’infrarosso e perciò non è visibile. Un corpo nero a 6000 K, ad esempio la superficie del Sole, emette una radiazioneintensa nello spettro visibile, sebbene la radiazione all’estremo rosso sia ancorapiù intensa che all’estremo blu. È per questo motivo che la luce del Sole ci apparegiallognola. A 12 000 K, infine, un corpo nero appare bianco-bluastro e la maggior parte dellasua radiazione è nell’ultravioletto. Nel prossimo esercizio determineremo la tem-peratura della stella Rigel in base alla posizione del suo picco di emissione.

E S E R C I Z I O

1 Calcola la temperatura superficiale della stella Rigel, sapendo che il picco della suaradiazione si trova a una frequenza di 1,17 � 1015 Hz.

[ � .

Questa temperatura è un po’ più del triplo di quella del Sole. La radiazione

di corpo nero ci permette di determinare la temperatura di una stella

distante che non potremo mai visitare]

Planck e l’ipotesi dei quantiSebbene verso la fine dell’800 la radiazione di corpo nero fosse ben conosciuta dalpunto di vista sperimentale, c’era ancora un problema da risolvere. I tentativi ditrovare una spiegazione teorica alle curve della radiazione di corpo nero utilizzan-do la fisica classica fallivano, e fallivano miseramente. Per capire la natura del pro-blema analizziamo, le curve mostrate nella figura 3. La curva verde rappresenta ilrisultato sperimentale della radiazione di un corpo nero a una data temperatura.La curva blu, al contrario, mostra la previsione teorica della fisica classica. È chia-ro che il risultato classico non può essere valido, poiché la curva diverge all’infini-to alle alte frequenze e ciò implicherebbe che il corpo nero emetta sotto forma di ra-diazione una quantità infinita di energia. Questa situazione assurda di divergenzaalle alte frequenze viene chiamata catastrofe ultravioletta.Il fisico tedesco Max Planck (1858-1947) lavorò a lungo e duramente sul problemae alla fine riuscì a trovare una funzione matematica che si accordava con gli espe-rimenti per qualsiasi frequenza. Il problema successivo che lo scienziato tedesco dovette affrontare fu quello di riu-scire a ricondurre la funzione a un principio che la giustificasse. Scoprì che l’unicomodo era partire da un’ipotesi audace e rivoluzionaria: l’energia della radiazione

T =fpicco

5,88 � 1010 s-1 � K-1

1,17 � 1015 Hz

5,88 � 1010 s-1 � K-1= 19 900 K

CBA

1048 C A P I T O L O 3 0 L a f i s i c a d e i q u a n t i

▲ Tutti i corpi emettono radiazioneelettromagnetica in un intervallo difrequenze. La frequenza emessa conmaggiore intensità dipende dallatemperatura del corpo, come specificatodalla legge di Wien. Il bulloneincandescente in questa fotografia irraggiaprincipalmente nell’infrarosso ma èabbastanza caldo (qualche migliaio dikelvin) da far sì che una parte significativadella sua radiazione ricada nella regionerossa dello spettro visibile. Gli altri bullonisono troppo freddi per irraggiare unaquantità osservabile di luce visibile.

FISICA INTORNO A NOI

Misurare la temperatura di una stella

di un corpo nero alla frequenza f deve essere un multiplo intero del prodotto diuna costante (h) per la frequenza; in altre parole, l’energia è quantizzata:

Quantizzazione dell’energia

[2]

La costante h dell’espressione è nota come costante di Planck e ha il valore seguente:

Costante di Planck, h

[3]

Nel SI si misura in joule per secondo (J � s).

Oggi riconosciamo h come una delle costanti fondamentali della natura, sullo stes-so piano di altre costanti come la velocità della luce nel vuoto e la massa a riposodell’elettrone.L’ipotesi della quantizzazione dell’energia costituisce un allontanamento dalla fisi-ca classica, nella quale l’energia può assumere qualsiasi valore. Nel calcolo diPlanck l’energia può avere solo i valori discreti hf, 2hf, 3hf, e così via. A causa diquesta quantizzazione, quando un sistema passa da uno stato a un altro la suaenergia può variare solo per salti quantizzati, mai inferiori ad hf. Come si può vede-re dal piccolo valore della costante di Planck, l’incremento fondamentale hf, ilquanto di energia, è incredibilmente piccolo. Nel prossimo esempio svolto analizzeremo la dimensione del quanto e il valoredel numero quantico n di un tipico sistema macroscopico.

h = 6,63 � 10-34 J � s

En = nhf n = 0, 1, 2, 3, Á

1 . L a r a d i a z i o n e d i c o r p o n e r o e l ’ i p o t e s i d i P l a n c k s u l l a q u a n t i z z a z i o n e d e l l ’ e n e r g i a 1049

Inte

nsit

à re

lati

va

Frequenza

Osservazione sperimentalee predizione di Planck

Predizione classica

▲ FIGURA 3 La catastrofe ultraviolettaLa fisica classica prevede per la radiazionedi corpo nero una distribuzione di intensitàche aumenta indefinitamente all’aumentaredella frequenza. Tale risultato è noto come“catastrofe ultravioletta”. Partendodall’ipotesi che l’energia fosse quantizzata,Planck riuscì a derivare una curva inaccordo con i risultati sperimentali.

1 . E S E M P I O S V O L T O I numeri quantici

Supponi che la massima velocità di una massa di 1,2 kg attaccata a una molla con una costante elastica di 35 N/m sia 0,95 m/s. a) Calcola la frequenza di oscillazione e l’energia totale del sistema massa-molla. b) Determina le dimensioni di un quanto di energia del sistema. c) Assumendo che l’energia di questo sistema soddisfi la relazione En � nhf, determina il numero quantico n.

D E S C R I Z I O N E D E L P R O B L E M ALa figura mostra la massa di 1,2 kg che oscilla attaccata a una molla con unacostante elastica di 35 N/m. Quando la massa passa per la sua posizione diequilibrio, la sua velocità è massima e vale vmax � 0,95 m/s. In quell’istantetutta l’energia del sistema è sotto forma di energia cinetica della massa.

ST R AT E G I Aa) Possiamo determinare la frequenza di oscillazione utilizzando le relazio-

ni e v � 2pf . L’energia totale è data semplicemente dall’e-nergia cinetica della massa quando passa per la posizione di equilibrio,

.b) L’energia di un quanto è hf, dove f è la frequenza calcolata in a).c) Il numero quantico n si ricava dalla relazione En � nhf.

S O L U Z I O N E

a) Calcoliamo la frequenza di oscillazione utilizzando la relazione

:

Per determinare l’energia totale E del sistema calcoliamo lamassima energia cinetica della massa ( ):

b) L’energia di un quanto è hf, dove f � 0,86 Hz:

c) Poniamo En � nhf uguale all’energia totale del sistema e rica-viamo n:

12mv

2max

v = 2k>m = 2pf

E = Kmax = 12mv

2max

v = 2k>my = 0

y

vmax = 0,95 m/s

k = 35 N/m

m = 1,2 kg

n =Enhf

=0,54 J

5,7 � 10-34 J= 9,5 � 1032

En = nhf

hf = 16,63 � 10-34 J � s210,86 Hz2 = 5,7 � 10-34 J

E = 12mvmax

2 = 1211,2 kg210,95 m/s22 = 0,54 J

f =1

2p Akm

=1

2p A35 N>m

1,2 kg= 0,86 Hz

v = Akm

= 2pf

1050 C A P I T O L O 3 0 L a f i s i c a d e i q u a n t i

È chiaro, quindi, che i numeri quantici di un sistema macroscopico sono incredibil-mente grandi e che la differenza tra due numeri successivi è talmente piccola danon essere rilevabile; analogamente, la variazione di energia da uno stato quanticoal successivo è così piccola da non poter essere misurata sperimentalmente. Di fat-to, quindi, l’energia di un sistema macroscopico sembra variare con continuità, an-che se in realtà varia per piccoli salti. In un sistema atomico, invece, i salti di ener-gia sono di grande importanza; lo vedremo meglio nel prossimo paragrafo.Tornando alla catastrofe ultravioletta, adesso siamo in grado di capire in che modol’ipotesi di Planck elimina la divergenza alle alte frequenze prevista dalla fisicaclassica. Nella teoria di Planck, più alta è la frequenza f e maggiore è il quanto dienergia hf. All’aumentare della frequenza, quindi, aumenta la quantità di energianecessaria anche per il più piccolo salto quantico. Un corpo nero, tuttavia, possie-de solo una quantità finita di energia e dunque non può fornire la grande quantitàdi energia necessaria per produrre un salto quantico corrispondente a una frequen-za estremamente elevata; ecco perché alle alte frequenze l’intensità della radiazio-ne emessa tende a zero.Nonostante la teoria sulla quantizzazione dell’energia permettesse di descrivereadeguatamente i risultati sperimentali per la radiazione di corpo nero, né Planckné gli altri fisici ne erano pienamente soddisfatti: l’idea, infatti, sembrava costrui-ta ad hoc e appariva più come un espediente matematico che come una vera rap-presentazione della natura. Con il lavoro di Einstein, che presenteremo nel prossi-mo paragrafo, i dubbi sulla teoria dei quanti, apparentemente fondati, iniziaronoa dissolversi.

2. I fotoni e l’effetto fotoelettricoPer Max Planck la quantizzazione dell’energia del corpo nero era probabilmentelegata alle vibrazioni quantizzate degli atomi delle pareti del corpo nero. Così co-me una corda vincolata ai due estremi può produrre onde stazionarie solo per fre-quenze discrete ben definite (capitolo 18), è possibile che anche gli atomi di un cor-po nero vibrino solo per determinati valori discreti dell’energia. Quel che è certo èche Planck non pensava che l’energia della luce di un corpo nero potesse esserequantizzata, poiché la maggior parte dei fisici pensava che la luce fosse un’onda eche in quanto tale potesse avere qualsiasi energia.Un fisico giovane e temerario di nome Albert Einstein, invece, prese seriamente inconsiderazione l’idea della quantizzazione dell’energia e la applicò alla radiazionedi corpo nero. Einstein fece l’ipotesi che anche la luce fosse formata da pacchetti dienergia, i fotoni, e che questi obbedissero all’ipotesi di Planck sulla quantizzazio-ne dell’energia; in altre parole, un fascio di luce di frequenza f è costituito da foto-ni la cui energia data dalla relazione seguente:

Energia di un fotone di frequenza f

E � hf [4]

Nel SI si misura in joule (J).

In un fascio di luce di frequenza f, quindi, l’energia può assumere solo i valori hf,2hf, 3hf, e così via.

O S S E R VA Z I O N II valori trovati in b) e c) hanno dimensioni incredibili. Il quanto, ad esempio, è dell’ordine di 10�34 J: a titolo di paragone, l’ener-gia necessaria per rompere un legame in una molecola di DNA è dell’ordine di 10�20 J. Perciò il quanto di un sistema macrosco-pico è circa 1014 volte più piccolo dell’energia necessaria per modificare una molecola. Analogamente, il numero di quanti presen-ti nel sistema, più o meno 1033, è paragonabile al numero di atomi contenuti in quattro piscine olimpiche.

P R O VA T USe il quanto di energia di una massa di 1,5 kg attaccata a una molla è 0,8 � 10�33 J, qual è la costante elastica della molla?

[k � 86 N/m]

Problemi simili: 10 e 79.