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9.6 Torsione del prisma di Saint Venant La trattazione del problema di de Saint Venant svolta sinora ha escluso la presenza della tor- sione, cosa per la quale era necessario che la retta di azione del taglio passasse per il centro di taglio. Il prisma-trave sia ora soggetto da due coppie T uguali in modulo e di verso opposto agenti sulle basi, che danno momento rispetto a z, asse del prisma (Fig. 9.72). Fig. 9.72 - Prisma di Saint Venant soggetto a torsione Si mantengono le ipotesi generali di Saint Venant sul tensore di sforzo: 0 0 0 τ τ = τ = σ = σ zy zx xy y x (9.175) Essendo tutte nulle le caratteristiche interne che causano tensioni normali - cioè M x = M y = N = 0 -, possiamo aggiungere l'ipotesi: 0 = σ z (9.176) Le equazioni indefinite di equilibrio si riducono a: 0 0 = τ = τ z z zy zx 0 = τ + τ y x zy zx (9.177 a-c) il che equivale a scrivere 0 ) ( div = τ r (9.177 d) Come le Eqq. (9.13, 14), le Eqq. (9.177 a, b) significano che τ zx e τ zy non dipendono da z. Rimane valida l'analisi delle equazioni di congruenza fatta nel par. 9.2: sono significative solo le Eqq. (9.21, 22). Tuttavia, essendo σ z = 0, queste ultime divengono omogenee: 0 0 = ∂τ ∂τ = ∂τ ∂τ y x y y x x zx zy zx zy (9.178 a, b) Integrando la (9.178 a) rispetto ad x, la (9.178 b) rispetto ad y e sommando i risultati, si ha l’unica equazione: 1

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9.6 Torsione del prisma di Saint Venant

La trattazione del problema di de Saint Venant svolta sinora ha escluso la presenza della tor-sione, cosa per la quale era necessario che la retta di azione del taglio passasse per il centro di taglio. Il prisma-trave sia ora soggetto da due coppie T uguali in modulo e di verso opposto agenti sulle basi, che danno momento rispetto a z, asse del prisma (Fig. 9.72).

Fig. 9.72 - Prisma di Saint Venant soggetto a torsione

Si mantengono le ipotesi generali di Saint Venant sul tensore di sforzo:

000 ≠τ≠τ=τ=σ=σ zyzxxyyx (9.175) Essendo tutte nulle le caratteristiche interne che causano tensioni normali - cioè Mx = My = N = 0 -, possiamo aggiungere l'ipotesi:

0=σz (9.176) Le equazioni indefinite di equilibrio si riducono a:

00 =∂

τ∂=

∂τ∂

zzzyzx 0=

τ∂+

∂τ∂

yxzyzx (9.177 a-c)

i l che equivale a scrivere

0)(div =τr (9.177 d)

Come le Eqq. (9.13, 14), le Eqq. (9.177 a, b) significano che τzx e τzy non dipendono da z.

Rimane valida l'analisi delle equazioni di congruenza fatta nel par. 9.2: sono significative solo le Eqq. (9.21, 22). Tuttavia, essendo σz = 0, queste ultime divengono omogenee:

00 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂τ−

∂τ

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂τ−

∂τ

∂∂

yxyyxxzxzyzxzy (9.178 a, b)

Integrando la (9.178 a) rispetto ad x, la (9.178 b) rispetto ad y e sommando i risultati, si ha l’unica equazione:

1

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cyxzxzy =

∂∂τ

−∂

∂τ (9.179)

in cui c è una costante. Il problema, quindi, è retto dalle Eqq. (9.177 c, 179). La condizione al contorno è la (9.30), valida su Γ, che per comodità si ripete:

0=τ+τ yzyxzx nn (9.180) Deve essere inoltre soddisfatto l’equilibrio della sezione alla rotazione attorno all'asse z:

( ) AyxTA

zxzy d∫ τ−τ= (9.181)

Per risolvere il problema si impiegherà ancora l’approccio semi-inverso: sono possibili due vie, la prima delle quali formula ipotesi sugli spostamenti, la seconda sugli sforzi.

9.6.1 Approccio agli spostamenti Ipotizziamo che il campo di spostamenti riferito al baricentro G sia dato da

yzsx 'θ−= xzsy 'θ= ( )yxwsz ,'θ= (9.182 a - c)

Fig. 9.73 - Spostamento rigido dei punti della sezione di un prisma di Saint Venant soggetto a torsione S

ugli spostamenti (9.182) possiamo fare le seguenti osservazioni:

1. Le (9.182) configurano una rotazione rigida infinitesima della sezione nel suo piano (vedi ig. 9.73), con angolo di rotazione rispetto alla sezione z = 0 pari a 'θ z. F

2. La costante (detta torsione) ha quindi il significato di rotazione relativa tra due sezioni distanza unitaria ( ha dimensioni radianti/lunghezza).

'θa 'θ

3. Dovendo essere per le ipotesi fatte sul tensore di sforzo:

0=σ

=∂∂

=εEx

s xxx 0=

σ=

∂=ε

Eys yy

y 0=σ

=∂∂

=εEz

s zzz (9.182 a - c)

deve risultare costante. 'θ

4. La (9.182 c) definisce lo spostamento dei punti della sezione in direzione z, governato dalla funzione di ingobbamento w(x,y)

che si assume indipendente da z.

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5. La (9.182 c) esprime lo spostamento dei punti del prisma in direzione z: poiché il prisma l'unico spostamento in direzione z che può avere il prisma è un moto rigido, per eliminarlo si impone che sia nullo lo spostamento medio secondo z, cioè

( ) 0d, =∫AAyxw (9.184)

Vi è ancora da sottolineare che lo spostamento rotatorio rigido della sezione trasversale è uno spostamento infinitesimo: infatti [cfr. 1.1.2, Fig. 1.11 b], in uno rotatorio spostamento finito un punto P(x, y) si sposterebbe lungo l'arco di circonferenza di raggio ,22 yxr += invece si posta lungo la tangente alla circonferenza (Fig. 9.73) e le componenti di spostamento secondo x ed y sono date rispettivamente dalla (9.182 a) e dalla (9.182 b), valide ancora per sposta-menti piccoli. L'angolo di rotazione è 'θ z, cioè è proporzionale a z, il che significa che la base del prisma dove è posta l'origine delle coordinate non ruota: di fatto ci poniamo in un riferi-mento cartesiano relativo solidale con la base del prisma z = 0.

Scriviamo ora le espressioni delle deformazioni tangenziali εzx, εzy in funzione degli postamenti (9.182): s

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂θ′

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ′−

∂∂

θ′=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=ε yxwy

xw

zs

xs xz

zx 221

21 (9.185 a)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂θ′

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ′+

∂∂

θ′=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

=ε xywx

yw

zs

ys yz

zy 221

21 (9.185b)

Esprimiamo le tensioni tangenziali in funzione delle deformazioni ( ))2 ijijij Gε=τ=σ :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

θ′=ε=τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

θ′=ε=τ xywGGy

xwGG zyzyzxzx 22 (9.186 a, b)

Sviluppiamo la (9.179) utilizzando le relazioni appena trovate:

cyx

wyx

wGyxzxzy =

⎟⎟

⎜⎜

⎛+

∂∂∂

−+∂∂

∂θ′=

∂∂τ

−∂

∂τ11

22 (9.187 a)

Dalla (9.187 a) otteniamo la costante c, che abbiamo dimostrato in 9.3.2 governare il proble-

a della torsione: m θ′= Gc 2 (9.188)

Utilizzando le Eqq. (9.186) nell’equazione indefinita di equilibrio (9.177 c), si ottiene:

02

2

2

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂+

∂θ′=

∂τ∂

+∂τ∂

yw

xwG

yxzyzx (9.189 a)

Dividendo per le costanti, si ha l’equazione che regge il problema della torsione con l’approc-io agli spostamenti: c

022

2

2

2=∇=

∂+

∂ wyw

xw

(9.189 b)

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La (9.189 b) è un’equazione di Laplace come le (9.62, 70) per il problema delle tensioni tan-genziali, colla differenza che l'incognita w ha un significato fisico diretto.

Per risolvere la (9.189 b) bisogna unire la condizione al contorno (9.180), nella quale si ostituiscono le (9.186), ottenendosi: s

→=+−∂∂

+∂∂

=τ+τ 0yxyxyzyxzx xnynnywn

xwnn yx xnyn

nw

−=∂∂ (9.190)

valida sul contorno Γ della sezione. Se confrontiamo la (9.190 b) con la (9.63), vediamo che, per determinare la funzione di ingobbamento, bisogna risolvere un problema di Neumann-Dini, che, si ricorda, integrare la (9.189 b) sul dominio dato dalla sezione trasversale, conoscendo la derivata della funzione w incognita rispetto alla normale al contorno Γ. Sfortu- natamente, come per le tensioni tangenziali, anche in questo caso si hanno poche soluzioni analitiche, fra le quali si ricorda la formula integrale di Neumann-Dini per il cerchio. In as-senza di soluzioni analitiche si deve ricorrere all’integrazione numerica.

Ammesso di avere determinato la w(x, y), formalmente il problema è risolto, poiché l'unica incognita restante, θ , può essere determinata dall'equazione di equilibrio alla rotazione, in cui ora le tensioni sono note a meno di

′θ′ :

( ) ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

++θ=τ−τ=AA zxzy y

xwx

ywyxGAyxT 22'd dA (9.191 a)

Osservando che è il momento polare d’inerzia IP [Eq. (3.17)], si definisce il

momento torsionale d’inerzia come: ∫ +

AAyx d)( 22

Ayxwx

ywIAy

xwx

ywyxI

AP

AT dd22 ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

++= (9.192)

Si può dimostrare - si veda, ad esempio, Corradi, Vol. 1, Cap. 5- che l'integrale nella (9.192) è

egativo o nullo per cui IT ≤ IP. Abbiamo allora: n

TGIT

=θ' (9.191 b) o d alternativamente

( 1con' ≥χχ

=χ=θ TT

PT

PT

II

GIT ) (9.192 b)

In analogia con il fattore di taglio χ [Eqq. (9.167, 168)] Tχ è definito fattore di torsione. Co-munque espresso, il momento d'inerzia torsionale è una quantità geometrica della sezione poi-ché la funzione di ingobbamento w non dipende da T.

Ora che è noto anche dalle Eqq. (9.186) si calcolano i valori numerici delle tensioni. θ′

9.6.2 Approccio agli sforzi Seguiamo il secondo metodo di 9.3.2 definendo la funzione potenziale degli sforzi φ come:

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xy zyzx ∂φ∂

−=τ∂φ∂

=τ (9.193 a, b)

L’equazione indefinita di equilibrio (9.177 c) è identicamente soddisfatta: 022

=∂∂φ∂

−∂∂φ∂

yxyx.

Sostituendo le (9.193) nell’equazione di congruenza (9.179), si ottiene:

cyx

−=φ∇=∂

φ∂+

φ∂ 22

2

2

2 (9.194)

c on la condizione al contorno

0dd

dd

=φ=∂φ∂

+∂φ∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂φ∂

−∂φ∂

=∂φ∂

−∂φ∂

=τ+τ ddyy

dxxs

xxs

yy

nx

ny

nn yxyzyxzx (9.195 a) valida sul contorno Γ della sezione; nello sviluppare la (9.195 a) si sono utilizzate le relazioni geometriche di Fig. 9.73 con ds = 1. La (9.195 a) significa φ = costante su Γ, costante che può essere assunta nulla senza ledere le generalità. Quindi, alla (9.194) uniamo la condizione

Γ=φ su0 (9.195 b) Essendosi proceduto col 2° metodo di 9.3.2, abbiamo da risolvere un problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace, per il quale l’Analisi Matematica assicura l’esistenza di una ed una sola soluzione data dalla formula integrale di Dirichlet; purtroppo anche in questo caso vi sono soluzioni in forma chiusa per un numero limitato di forme del contorno Γ. Pertanto, in teoria nella maggior parte dei casi bisognerebbe ricorrere all’integrazione numerica.

La costante c nell’Eq. (9.179) nell'approccio agli sforzi è ancora incognita: sfruttiamo l’equilibrio (9.181), sostituendovi le (9.193), che ora sono da ritenere funzioni note. Si ha

( ) Axx

yy

AyxTAA

zxzy dd ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂φ∂

+∂φ∂

−=τ−τ= (9.196 a)

Si sviluppa l'integrale a secondo membro della relazione precedente sfruttando la regola di derivazione di un prodotto ed il teorema di Gauss:

( ) ( )=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ φ−

∂φ∂

+φ−∂φ∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂φ∂

+∂φ∂

−= ∫∫ AAdA

xx

yyAx

xy

yT d

( ) ( ) ( )∫∫∫∫ Γ

+φ−φ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂φ∂

+∂φ∂

−φ= synxnAAxx

yyA yx

AAA

dd2dd2 (9.196 b)

Il secondo integrale nell'ultimo termine della (9.196 b) è nullo per la condizione al contorno 9.195 b), per cui resta: (

∫ φ=A

AT d2 (9.196 c) Questa relazione permette di determinare il valore della costante c.

La soluzione completa del problema richiede la valutazione degli spostamenti, che possono essere calcolati integrando le deformazioni corrispondenti alle tensioni (9.193). Tuttavia, il

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calcolo è facilitato se si adotta un approccio “misto”, cioè si fa uso delle relazioni trovate nell’approccio agli spostamenti anche se non si è determinata la funzione di ingobbamento w(x,y). Le espressioni (9.186) delle tensioni tangenziali sono risolte in funzione delle derivate degli spostamenti:

xxG

xGy

wyyG

yGx

w zyzx −∂φ∂

θ′−=−

θ

τ=

∂∂

+∂φ∂

θ′=+

θτ

=∂∂ 1

'1

' (9.197 a, b)

Integrando le (9.197) con condizioni al contorno opportune e sostituendovi il valore di θ′ che si ottiene dalla (9.188), nota c dalla (9.196 c), si ricava la funzione di ingobbamento.

Per risolvere il problema è necessario trovare la soluzione dell’equazione di Laplace . Numericamente questo è sempre possibile e nemmeno troppo difficile con l’uso

del calcolatore; tuttavia, da un punto di vista pratico non è comodo e si ricorre spesso a soluzioni approssimate. Prima di presentare le soluzioni, esatte od approssimate per alcune forme comuni di sezione, dobbiamo analizzare in generale la soluzione trovata, introdurre il concetto centro di torsione e mettere questo in relazione con il centro di taglio.

c−=φ∇2

9.6.3 Centro di torsione e di taglio Abbiamo determinato la soluzione per il prisma soggetto a sollecitazione di torsione prenden-do l'asse elastico come asse di rotazione e dei momenti torcenti: ci si chiede ora se l’ipotesi di riferire le rotazioni al baricentro influisca sui risultati. Pertanto, riconsideriamo la soluzione del problema della torsione assumendo come centro di rotazione un punto C generico di coor-dinate (xC, yC) (Fig. 9.74). Le Eqq. (9.182) diventano

( )yxwszxxszyys CzCyCx ,')(')(' θ=−θ=−θ−= (9.198 a - c) A llora, le espressioni (9.186) delle tensioni tangenziali diventano:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

θ′=τ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∂∂

θ′=τ CcC

zyCCC

zx xxy

wGyy

xw

G (9.199 a, b)

in cui “C” indica che la grandezza è riferita al nuovo centro di rotazione.

Sostituendo le (9.199) nella (9.177 c), si perviene alla seguente l’equazione di Laplace valida sul dominio A della sezione trasversale:

022

|2

2

2=∇=

∂+

∂C

CC wy

w

x

w (9.200)

Operando nello stesso modo che ha portato alla (9.190), la condizione al contorno diventa:

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∂∂

=τ+τ yCC

xCC

yzyxzx nxxy

wnyy

xw

nn (9.201 a)

( ) yxCCC xnynyxxywn

−=−+∂∂ (9.201 b)

valida su sul contorno Γ.

Si ponga

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Fig. 9.74 - Polo C del momento tor-cente e delle rotazioni

yxxyyxwyxw CCC −+= ),(),( (9.202)

Poiché w e wC differiscono per termini lineari, ovviamente si ha:

022 =∇=∇ Cww (9.203) A llora, il problema da risolvere diventa:

02 =∇ w (9.204 a) n A con la condizione su Γ i

yx xnynnw

−=∂∂ (9.204 b)

Il problema differenziale che si è ottenuto è formalmente identico alle Eqq. (9.189 b, 190). Poiché la soluzione dell’equazione di Laplace è unica, w e w differiscono al massimo per una costante k inessenziale, che rappresenta la traslazione rigida lungo z. Allora, dall’Eq. (2.137) i ottiene: s

kyxxyyxwyxw CCC ++−= ),(),( (9.205) Sostituendo la (9.205) nelle espressioni (9.199) delle tensioni tangenziali, si ottiene:

zxCCCCC

zx yyyxwGyy

xw

G τ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

∂∂

θ′=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∂∂

θ′=τ

(9.206 a, b)

zyCCCcC

zy xxxywGxx

yw

G τ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

∂∂

θ′=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

θ′=τ

Le Eqq. (9.206) dimostrano che, per quanto riguarda le tensioni tangenziali, la soluzione del problema della torsione è indipendente dalla scelta del centro di rotazione. Questo risultato è del tutto analogo al fatto che le tensioni tangenziali dovute al taglio sono indipendenti dal punto di applicazione di questo, eccezione fatta per le sezioni cave. Ovviamente, gli sposta-menti dipendono dal centro di rotazione.

Quindi, la scelta del centro di rotazione relativa tra le sezioni non è univoca. Il baricentro è sicuramente una scelta comoda, ma da un punto di vista teorico bisognerebbe assumere come centro di rotazione il punto detto CENTRO DI TORSIONE, per il quale si annulla lo spostamento medio della sezione in direzione z, tale cioè che risultino nulli lo spostamento assiale medio e le rotazioni medie

0d),(10d),(10d),(1A

==ϕ==ϕ== ∫∫∫ AyyyAxx

xm AxyxwI

AyyxwI

AyxwA

wmm

(9.207 a - c)

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Si può dimostrare che le (9.207) sono soddisfatte se:

0d),(d),(d),( === ∫∫∫ A CA CA C AxyxwAyyxwAyxw (9.208 a - c)

Sostituendo nelle (9.208) la (9.205) e tenendo in conto che gli assi x ed y sono principali d'inerzia, si ricavano le coordinate del centro di torsione:

( ) ( )∫∫ =−=Ayy

CAxxC Ayxwx

IyAyxwy

Ix d,1d,1 (9.209 a, b)

Nel ricavare le (9.209) si è potuta eliminare la costante k perché per wC deve valere la condi-zione analoga alla (9.184) ∫ =A C Ayxw 0d),( . Talora le (9.209 a, b) sono scritte come:

yy

wxC

xx

wyC I

Iy

II

x −=−= (9.209 c)

avendo indicato gli integrali nelle (9.209 a, b) rispettivamente con Iwy ed Iwx, detti momenti centrifughi d'ingobbamento. Se la sezione ha un asse di simmetria, il centro di torsione è su esso; quindi esso coincide col baricentro per sezioni doppiamente simmetriche.

Nei paragrafi precedenti si è fatto spesso uso del CENTRO DI TAGLIO CT, definendolo come quel punto tale che, se le azioni taglianti sono applicate in esso, non vi è torsione della sezio-ne. Si erano poi ricavate in generale le coordinate di CT [Eqq. (9.68)] e per il caso particolare delle sezioni in parete sottile a profilo aperto [Eqq. (9.159, 160)]. Questa definizione del cen-tro di taglio è dovuta a Goodier (vedremo che ne esiste un'altra) ed ha come conseguenza la possibilità di separare il problema del taglio da quello della torsione: se la forza tagliante V è applicata in un punto P qualsiasi, può sempre essere trasportata da P al punto CT aggiungendo una coppia torcente T = V·a. In questo modo, data la validità del principio di sovrapposizione degli effetti, si risolvono separatamente due problemi: (1) il problema del taglio con V in CT; (2) il problema della torsione.

Fig. 9.75 - Forza e coppia sulla sezione per dimostra-re che il centro di taglio e il centro di torsione coin-cidono

Prima di procedere, è da enfatizzare che nella defizione di Goodier del centro di taglio si trascurano implicitamente le deformazioni della sezione nel suo piano dovute alla flessione, che hanno l'effetto di distorcere la sezione nel suo piano (9.4.2.3). Si fa in sostanza riferimen-to alla sezione indeformata.

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La coincidenza tra centro di taglio e centro di torsione può essere dimostrata semplicemen-te: nella situazione A di Fig. 9.75 V è applicato in CT, si hanno spostamenti ηV, mentre la rotazione unitaria è nulla. Nella situazione B gli spostamenti siano ηT e la rotazione unita-ria Per il teorema di Betti

Vθ′

).0(≠θ′T12 si ha

TV VT η⋅=θ′⋅ (9.210)

Ma è nulla per ipotesi, per cui ηT = 0: allora, il centro di taglio non subisce spostamento quando la sezione ruota per effetto della torsione;poiché nel moto rotatorio l'unico punto fisso è il centro di rotazione, necessariamente CT coincide col centro di torsione.

Vθ′

Tuttavia la definizione del centro di taglio non è unica: vi è una seconda definizione dovuta a Trefftz e Cicala e vedremo che la coincidenza sopra dimostrata sussiste per il centro

i ta-glio definito in questo secondo modo. Questa seconda definizione è la seguente: d centro di taglio secondo Trefftz e Cicala è il punto della sezione trasversale del

prisma-trave per il quale deve passare la forza tagliante

*TC

=Vs

(Vx, Vy) affinchè sia nullo il lavoro mutuo, cioè

( ) =γ⋅τ+γ⋅τ= ∫V

Tzyzy

TzxzxVT VL d)()( ∫ ∫ ⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

τθ′L

Azyzx zAy

ywy

xw

0dd 0=

(9.211)

in cui le tensioni tangenziali sono le soluzioni del problema del taglio e gli scorrimenti angolari da torsione sono dati dalle (9.185).

Omettendo lo sviluppo della (9.211), per il quale si rimanda a Viola, Vol. 3, Cap. 8, si otten-gono le coordinate di : *

TC

( ) ( )∫∫ =−=AyyCAxxC

AyxwxI

yAyxwyI

xTT

d,1d,1** (9.212 a, b)

Le relazioni ottenute coincidono con le (9.209), cioè il centro di taglio definito secondo Trefftz e Cicala coincide con il centro di torsione. Tuttavia, le (9.212) non coincidono con le Eqq. (9.68), cioè il centro di taglio secondo Goodier CT non coincide con il centro di taglio secondo Trefftz e Cicala e, quindi, è distinto dal centro di torsione C. Si può dimostrare che sussistono le relazioni

*TC

∫∫ φθ′ν

+=φθ′ν

+=AyyCCAxxCC dAyxy

IyydAyxx

Ixx

TTTT),(2),(2

** (9.213 a, b)

per la cui dimostrazione si rimanda a Viola, op. cit. Nel caso particolare ma importante delle sezioni in parete sottile a profilo aperto le 2 definizioni del centro di taglio vengono a coinci-dere a causa dell'assunzione di tensioni tangenziali da taglio uniformi sullo spessore: in 9.6.5 ne daremo una dimostrazione rigorosa. Per concludere notiamo che le coordinate del centro di taglio secondo Trefftz e Cicala non dipendono dal rapporto di Poisson del materiale. 12 Il teorema di Betti sancisce l'uguaglianza dei lavori mutui di 2 sistemi di forze: si vedano 7.2 ed il Cap. 12.

9

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9.6.4 Analogia idrodinamica Prima di esaminare alcune soluzioni del problema della torsione, vogliamo dare qualche cenno della cosiddetta analogia idrodinamica: in passato, non esistendo i calcolatori elettronici, le soluzioni numeriche delle Eqq. (9.189 b, 194) risultavano inaffrontabili, per cui si ricorreva ad esperimenti eseguiti su altri fenomeni fisici, retti però dalle stesse equazioni.

Un fenomeno fisico retto dalle stesse equazioni che reggono il problema della torsione è il moto di un fluido ideale privo di viscosità in regime irrotazionale all’interno di un tubo, la cui sezione trasversale ha area A e contorno dato dalla linea chiusa Γ. Tale moto è retto dalle equazioni seguenti.

Γ=+=∂∂

−∂

∂=

∂+

∂∂

su0,in0 yyxxxyyx nvnvAcyv

xv

yv

xv

(a - c) in cui vx e vy sono le componenti della velocità del fluido secondo 2 assi cartesiani ortogonali. È immediato notare l’uguaglianza formale tra, rispettivamente, la (a) e la (9.177 c), la (b) e la (9.179), la (c) e la (9.180). Se si fa muovere un fluido all'interno di un tubo avente la sezione trasversale con la stessa forma della sezione del prisma di cui si vuole studiare la torsione, l’osservazione delle linee di corrente del fluido permette di fare alcune considerazioni, almeno qualitative, sulle tensioni tangenziali. Misurando le componenti di velocità, utilizzando la teo-ria della similitudine, è possibile pervenire anche ai valori numerici di τzx e τzy, ma a noi inte-ressa solo fare alcune considerazioni qualitative.

Fig. 9.76 - Linee di corrente in tubi di sezioni notevoli

In Fig. 9.76 sono mostrate le linee di corrente formate dal fluido in moto in tubi di sezione notevole. Nel fare i commenti le componenti della velocità del fluido vanno direttamente i-

entificate con le tensioni tangenziali: d 1. nella sezione quadrata le linee di corrente sono circolari, essendovi zone di ristagno negli

spigoli; pertanto, il quadrato ha circa la stessa portanza torsionale del cerchio inscritto. 2. Nella sezione rettangolare le linee di corrente e, quindi, del vettore =τ

r (τzx, τzy) divengono ellittiche e si hanno i valori massimi lungo la mediana parallela al lato corto; negli spigoli,

10

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come nella sezione quadrata, dove il moto del fluido tende ad arrestarsi, le tensioni tangen-ziali sono trascurabili o nulle.

3. Nelle sezioni in parete sottile, la portanza torsionale è bassa: infatti, le linee di flusso con verso opposto sono molto vicine, per cui i contributi al momento torcente si elidono in gran parte, restando solo il momento torcente dato dalla differenza, molto piccola, tra il braccio della linea interna e quello della linea esterna.

4. Le sezioni chiuse hanno buona portanza torsionale anche se lo spessore è piccolo poichè le linee di flusso hanno lo stesso verso e braccio non trascurabile rispetto al polo del momen-to torcente.

9.6.5 Soluzioni del problema della torsione 9.6.5.1 Sezione circolare Per la sezione circolare (Fig. 9.77) l’equazione del contorno si scrive in un qualunque iferimento baricentrico come r

222 Ryx =+ (d) essendo R il raggio del cerchio. Assumiamo come funzione potenziale degli sforzi la funzione

( )⎟⎟

⎜⎜

⎛ +−=φ 2

221,

R

yxKyx (9.214)

che si annulla sul contorno in accordo con l'Eq. (9.165 b).

Fig. 9.77 - Sezione circolare soggetta a torsione

Sostituendo la (9.214) nella (9.194), abbiamo:

'242

2 θ−=−=φ∇ GKR

(e) d a cui

2'21 RGK θ= (9.215)

Per determinare θ′, sostituiamo φ nella (9.196 c) con K dato dalla (9.215):

=φ= ∫AAT d2 =

⎟⎟

⎜⎜

⎛ +−θ ∫A

AR

yxRG d1' 2

222

11

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( )2

'ddsincos1'42

0 02

2222 RG

RRG

θ=ϑρρ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ ϑ+ϑρ−θ= ∫ ∫

π

(9.216 a)

Essendo 24Rπ il momento polare d’inerzia IP della sezione circolare, si ottiene:

PGIT

=θ' (9.216 b)

Confrontando la (9.216 b) con le (9.191 b, 192 b) si deduce che il fattore di torsione χT della sezione circolare vale 1, per cui il momento d'inerzia torsionale della sezione circolare coinci-de con il momento polare d'inerzia.

Calcoliamo ora le tensioni tangenziali con le (9.193):

PPzx I

yT

R

yGI

TGRy

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂φ∂

=τ 22 2

21 (9.217 a)

PPzy I

xTR

xGI

TGRx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

∂φ∂

−=τ 22 2

21 (9.217 b)

La risultante delle tensioni tangenziali è data da:

PPzyzx I

TyxIT ρ

=+=τ+τ=τ 2222 (9.218)

in cui la coordinata ρ ha origine nel centro del cerchio ed è misurata positiva verso l'esterno lungo un raggio qualsivoglia. È evidente, come mostrato in Fig. 9.77, che la tensione tangen-ziale cresce linearmente lungo il raggio ed è massima sulla circonferenza, dove è diretta come la tangente in accordo con la condizione al contorno (9.30). Pertanto, il massimo momento torcente applicabile ad una sezione circolare vale

γα⋅= yP f

RI

Tmax (9.219)

in cui γ è il coefficiente di sicurezza ed 2,3=α rispettivamente con il criterio di snerva-mento di Von Mises e quello di Tresca. Quindi PIRT ⋅=τmax .

Resta da calcolare la funzione di ingobbamento mediante le (9.197):

costante),(

0

0

=⇒

⎪⎪

⎪⎪

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∂∂

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∂∂

yxw

xGI

TGITx

yw

yGI

TGITy

xw

PP

PP (9.220)

Questa costante esprime evidentemente la traslazione rigida del cilindro lungo l’asse z, per cui è inessenziale e può essere assunta nulla: ne segue che nella torsione del cilindro circolare retto la sezione trasversale si conserva piana.

12

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9.6.5.2 Sezione rettangolare Per la sezione rettangolare (Fig. 9.78) la soluzione analitica esiste sia per l'Eq. (9.189 b), ap-proccio agli spostamenti, che per l'Eq. (9.194), approccio agli sforzi, ma in entrambi i casi è data da una serie infinita. L'approccio classico, seguito da de Saint Venant nell'opera "Mémoire sur la torsion des prismes...", è il primo, mentre il secondo approccio fu seguito anni più tardi da Prandtl, tanto che la funzione φ nella (9.194) è detta spesso funzione di Prandtl. Daremo i fondamenti del primo approccio ed illustreremo nel dettaglio il secondo, che risulta di trattazione un poco più semplice.

Fig. 9.78 - Sezione rettangolare soggetta a momento torcente: andamento delle tensioni tangenziali, deformazione della sezione e del parallelepipedo

La sezione sia riferita agli assi di Fig. 9.78 e sia a ≥ b; le condizioni al contorno per l'Eq.

(9.189 b) diventano nel caso in esame:

2,

22per

22,

2per axbxbx

ywayabxy

xw

±=<<−−=∂∂

<<−±==∂∂

(9.221 a, b)

Se si pone

yxyxwyxw ⋅+= ),(),( (9.222) il problema da risolvere diventa:

2,

22per2

22,

2per0

in02

2

2

2

axbxbxyw

ayabxxw

Ayw

xw

±=<<−−=∂∂

<<−±==∂∂

=∂

∂+

(9.223 a - c)

Cercando una soluzione sotto forma di serie a variabili separate, si ottiene la funzione di in-

obbamento: g

bmkxkak

ykm

byxyxw mmm

mm

=⋅⋅+

−π

−⋅= ∑+∞

023

2sin)2(Ch

)(Sh)12(

)1(8),( (9.224)

Nel caso di sezioni rettangolari molto allungate - a >> b - la serie diventa trascurabile a fronte del primo termine, per cui la funzione di ingobbamento si semplifica in

yxyxw ⋅=),( (9.225)

13

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che è una superficie rigata. Le tensioni tangenziali si ottengono dalle (9.185) previa valutazio-ne dell’angolo unitario di torsione θ mediante la (9.191 b), il che a sua volta richiede la valu-tazione dell’integrale nella (9.192), detto integrale di Dirichlet. Questa serie di calcoli rende meno attrattivo l’approccio agli spostamenti: comunque, da questo come dall’approccio agli forzi si ottengono delle formule approssimate di uso pratico, che vedremo più sotto.

s Nell'approccio agli sforzi dobbiamo risolvere la (9.194) con la condizione (9.195 b): la co-

stante c a secondo membro della (9.194) è incognita; tuttavia, ammettiamo di conoscerne l'e-spressione (9.188), cioè c = 2G θ . Supponiamo che la soluzione sia una serie a variabili epa-rate:

′s

∑+∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+=λλ⋅=φ

1

12cos)(),(b

kxyYyx kkkk (9.226)

Notiamo che i termini della (9.226) soddisfano la condizione φ(±b/2, y) = 0: dobbiamo deter-minare Yk(y) in modo che soddisfi la condizione di nullo sugli altri 2 lati.

Lo sviluppo in serie di Fourier della costante 2 nell'intervallo −b/2, b/2 è (si veda qualsiasi testo di Analisi Matematica):

∑+∞

λ+

−π

=0

cos12

)1(82 xk k

k

k (f)

Sostituendo la (9.226) e la (f) nell'equazione di Poisson (9.194) e considerando per la linearità la generica armonica si ha:

θ′+

−π

−=λ−′′ Gk

yYyYk

kkk 12)1(8)()( 2 (g)

L'equazione precedente ha soluzione:

θ′+

πλ+λ+λ= G

kyByAyY

k

kkkkkk 12

)1(8)(Sh)(Ch)( 2 (h)

Per determinare le 2 costanti della (h), si impongono le condizioni di annullamento di φ sui 2 lati y = ± a/2, trovando:

02

sech12

)1(82 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ λθ′

+−

πλ−= kk

k

kk BaG

kA (i1, i2)

La funzione delle tensioni per una sezione rettangolare è, allora, espressa da:

∑+∞

λ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡λ

λ−

+

πθ′=φ

033

2cos

)2/(Ch)(Ch

1)12(

)1(8),( xa

y

kbGyx k

k

kk

k (9.227 a)

Alla (9.227) si può dare una forma alternativa, che è quella che si trova su gran parte dei testi,

sservando che o

∑+∞

λ+

π=−

033

22

2cos

)12()1(8

4x

kbxb

k

k

k (j) s i arriva a

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡λ

λλ

+

π−−θ′=φ ∑

∞+

033

22

2cos

)2/(Ch)(Ch

)12()1(8

4),( x

ay

kbxbGyx k

k

kk

k (9.227 b)

Le tensioni tangenziali si ricavano dalle Eqq. (9.193):

14

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∑+∞

λλλ

+

πθ′−=

∂φ∂

=τ0

22 cos)2/(Ch

)(Sh

)12()1(8 x

ay

kbG

y kk

kk

kzx (9.228)

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡λ

λλ

+−

π−θ′=

∂φ∂

−=τ ∑∞+

022 sen

)2/(Ch)(Ch

)12()1(42 x

ay

kbxG

x kk

kk

kzy (9.229)

Benché il problema non sia ancora risolto completamente dal momento che non è ancora

oto, le Eqq. (9.228, 229) permettono già di fare alcune importanti osservazioni: θ′

n 1. Le tensioni τzx sono date da una serie i cui termini hanno ]2/)12[(Ch)2/(Ch bakak π+=λ

a denominatore: al crescere del rapporto tra i lati a/b questa quantità cresce esponenzialmente, per cui tali tensioni divengono sempre più piccole al crescere di a/b. In Fig. 9.78 le tensioni tangenziali sono diagrammate per a/b ≈ 2.5: τzx raggiunge valori di una certa rilevanza solo agli estremi della mediana parallela al lato più lungo. Per rettangoli allungati, ingegneristicamente sono spesso trascurate.

2. Le tensioni τzy, oltre alla serie, che ha la stessa struttura, sono lineari in x, per cui sono di entità maggiore. Il valore massimo e quello minimo, che ha lo stesso modulo, si hanno sulla mediana parallela al lato corto per x = ±b/2, dove le funzioni seno e coseno iperbolico sono unitarie. Tenendo in conto solo il primo termine della serie si ha:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π−θ′≅τ=τ

babGbzyzy 2

sech81)0,2/(max 2 (9.230)

Come si è fatto nel diagramma di Fig. 9.78, l'approssimazione ingegneristica, valida par-ticolarmente per rettangoli allungati, dà a τzy sulla mediana un andamento lineare, nullo nel baricentro e massimo agli estremi, essendo il valore massimo calcolato con la formula approssimata (9.235 a), cioè

bxx zyzy

2)(max)0,( ⋅τ=τ (9.231)

Per risolvere completamente il problema della torsione del rettangolo, dobbiamo ancora calcolare θ , che otteniamo dalla (9.196 c) se è noto il torcente T applicato: ′

=φ= ∫AAyxT d),(2

∫∫−

−θ′=

2

2

2

2d2

a

a

b

bxG =

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡λ

λλ

+

π−− ∑

∞+yx

ay

kbxb

kk

kk

k dcos)2/(Ch

)(Ch

)12()1(8

40

33

22

2

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

++π

−θ′ ∑∞+

055

32

)12(Th)12(

1192131

bak

kabGab k (9.232)

La (9.232) permette di calcolare se è noto il momento torcente T applicato alla sezione. Fu de Saint Venant stesso ad osservare che per rettangoli allungati - a >> b - la (9.232) è appros-simabile con il primo termine della serie:

θ′

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Tabella 9.1 - Valori dei coefficienti α e β in funzione del rapporto a/b

a/b 1.0 1.1 1.2 1.25 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.75 α 4.804 4.67 4.57 4.52 4.48 4.40 4.33 4.27 4.21 4.18 β 7.114 6.49 6.02 5.82 5.65 5.35 5.11 4.91 4.74 4.67

a/b 2.0 2.25 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10 20 ∞ α 4.07 3.97 3.88 3.74 3.55 3.43 3.35 3.26 3.20 3.10 3

β 4.37 4.16 4.01 3.80 3.56 3.43 3.35 3.26 3.20 3.10 3

''630.0131 3 θ=θ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −θ′= TT KGI

abGabT (9.233)

Nella (9.233) si sono definiti il momento d'inerzia torsionale e la rigidezza torsionale del rettangolo rispettivamente come:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ababIT 630.01

31 3 TT IGK = (9.234 a, b)

Osserviamo che per (rettangolo di forma allungata) la parentesi tonda tende ad 1/3. Conservativamente nella pratica spesso si pone uguale a zero la frazione in parentesi quando b/a < 1/5.

∞+→a

Nella pratica ingegneristica si fa l'ulteriore approssimazione di impiegare la (9.233) anche quando il rapporto b/a non è piccolo. Alcuni autori (si vedano, ad esempio, Timoshenko e Goodier, op. cit.) hanno proposto di esprimere la tensione tangenziale massima agli estremi della mediana parallela al lato corto e l'angolo unitario di torsione rispettivamente come:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α=

α==τ τ

τ

32

1max abJab

TJ

bTzy ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

β=

β==θ 3

31' abI

GabT

IGT

TT

(9.235 a, b) ove i coefficienti α e β dipendono dal rapporto tra i lati a/b e sono desumibili dalla Tabella 9.1. Le relazioni precedenti, benché approssimate, sono di uso molto facile e sono quelle utilizzate nella pratica. 9.6.5.3 Sezione formata dall’unione di più rettangoli Negli esempi presentati precedentemente abbiamo esaminato più volte sezioni formate dall'u-nione di rettangoli (Fig. 9.79): ora ne studieremo il comportamento sotto sollecitazione di torsione, senza per altro cercare di determinare la funzione di ingobbamento o quella delle tensioni.

Dato il comportamento elastico lineare, la situazione effettiva non sarà molto diversa da quella che vede il momento torcente T applicato alla sezione ripartito tra i diversi rettangoli in aliquote Ti. Per l’equilibrio la somma dei momenti torcenti Ti deve essere uguale a T:

∑= i iTT (9.236)

(a) (b)

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Fig. 9.79 - Sezioni formate da rettangoli: (a) generica; (b) sezione a T rovescia

dove la sommatoria sui Ti è estesa agli n rettangoli da cui è formata la sezione (5 in Fig. 9.79 a, 2 in Fig. 9.79 b). Siccome in realtà la sezione è unica, per la congruenza l'angolo unitario di torsione è il medesimo per tutti i rettangoli. Allora, dalla (9.235 b) si ha: 'θ

θ′=θ′= TiTii KIGTi

(9.237) Sostituendo la (9.237) nella (9.236), abbiamo:

∑∑ θ== i Tii i iIGTT ' (9.238 a)

Dalla (9.238 a) otteniamo l'angolo unitario di torsione:

∑=θ

i TiKT' (9.238 b)

Sostituendo infine la (9.238 b) nella (9.237), abbiamo il momento torcente sopportato dal j-simo rettangolo: e

TK

KT

i Ti

Tjj ∑

= (9.239 a)

Il momento torcente applicato T applicato alla sezione si ripartisce tra i singoli rettangoli in maniera direttamente proporzionale alle loro rigidezze torsionali. Per ogni singolo rettangolo la τ massima viene poi calcolata con la (9.235 a). Se, come si ha spesso, la sezione ha pro-prietà elastiche uniformi, cioè Gi = G per tutti i rettangoli, la (9.239 a) diviene:

TI

IT

i T

Tj

i

j

∑= (9.239 b)

Ai fini della verifica interessa il valore massimo della tensione tangenziale: a volte questo si ha nel rettangolo che sopporta l'aliquota maggiore di T, cioè quello con max Tj; tuttavia, la tensione tangenziale massima per il singolo rettangolo dipende anche dalla dimensione minore b, per cui può accadere che la tensione tangenziale massima tra tutte non sia nel rettangolo di massima inerzia torsionale.

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La soluzione trovata prescinde dalla determinazione delle funzioni w e φ e, quindi, non co-glie ciò che accade dove 2 rettangoli si uniscono, formando un angolo che il più delle volte è retto: l'analogia idrodinamica mostra che ove vi è un angolo acuto o retto le linee di corrente si addensano sino quasi a coincidere, il che in termini di tensioni tangenziali significa valori molto grandi di queste, al limite infiniti. Poiché nessuna tensione può superare la tensione di snervamento o quella di rottura, per sezioni di materiale duttile si ha la plasticizzazione degli angoli, mentre le sezioni di materiale duttile possono rompersi negli angoli; comunque, anche per le sezioni di materiale duttile si ha una disorganizzazione del profilo con deformazioni non trattabili come infinitesime, che cambiano la forma della sezione. Per ovviare a questo problema, è bene arrotondare gli spigoli come in Fig. 9.80 a; si ha, comunque, un incremento di tensione rispetto al valore più grande τmax delle parti collegate, incremento che

imoshenko e Goodier (op. cit.) quantificano in: T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+τ=τ

rtm4

1max*max (9.240)

in cui r è il raggio dell’arrotondamento dello spigolo e tm il maggiore tra gli spessori delle 2 parti collegate. (a) (b) (c)

Fig. 9.80 - (a) Arrotondamento dell’angolo formato da 2 parti rettangolari; (b) andamento delle tensioni tangenziali nella sezione di Fig. 9.79 b; (c) composizione delle tensioni τzx su una corda dell’anima della sezione

E SEMPIO 9.6-1: SEZIONE A T ROVESCIA (Fig. 9.79 b). Determinare la tensione tangenziale massima per la sezione a T ro-vescia di Fig. 9.79 b soggetta ad una forza tagliante F applicata nell’estremo destro superiore dell’ala. SOLUZIONE: osserviamo in primo luogo che la sezione non è in parete sottile; tuttavia, è sim-metrica rispetto all’asse x, su cui, quindi, si trova il centro di taglio. Pertanto, sulla sezione vi sono tensioni tangenziali τzx dovute al taglio Vx = F ed al momento torcente T = −F ⋅ (b/2). Le tensioni τzx dovute al taglio raggiungono valori importanti solo nell’anima, che ha larghezza minore, sono dirette come x e, in base alla formula di Jurawskij, sono costanti su ogni corda parallela ad y. Le tensioni tangenziali significative dovute al momento torcente sono, come si è visto, sulle corde parallele alla dimensione minore: quindi, sono τzx nell’anima e τzy nell’ala, coi versi di Fig. 9.80 b. Tenuto conto che nell’ala τzx è piccola e τzy = 0, la tensione tangen-

18

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ziale massima è τzx sul lato destro dell’anima, dove le tensioni dovute al taglio ed al momento torcente sono equiverse. Conservativamente per ottenere max τzx complessiva si tiene costante lungo tutta l’altezza dell’anima la tensione tangenziale massima da torsione, che a rigore è solo all’estremo di destra della corda parallela ad y passante per il baricentro della sola anima. Se si trascura l’effetto dell’angolo retto, la combinazione peggiore tra le 2 τzx è all’estremo di destra della corda passante per il baricentro dell’intera sezione, altrimenti è nel punto P, nel quale, per altro, bisogna ipotizzare un arrotondamento dell’angolo di raggio r noto.

Assumendo come asse per il calcolo del momento statico la retta contenente il lato inferio-re della sezione, la distanza del baricentro da questo è:

mmxG 24.16535012040010027535012050400100

=⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅=

Il momento d’inerzia rispetto all’asse y vale:

Iyy = ( )2323 24.65175350120350120121)24.115(40010010040012

1−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 4910499279.1 mm⋅=

In primo luogo valutiamo in funzione di F le tensioni tangenziali dovute al taglio, agenti

sulla corda baricentrica e sulla corda alla congiunzione di anima ed ala:

3610865296.4224.65350)24.65350(120)0( mmSy ⋅=

−⋅−⋅=

FISF

yy

yzx

41027042.0120)0(

)0( −⋅=⋅

⋅=τ

361060992.4)24.65175(350120)24.65()( mmSPS yy ⋅=−⋅⋅==

FIPSF

Pyy

yzx

410256230.0120)(

)( −⋅=⋅

⋅=τ

Utilizzando la (9.234 a), valutiamo ora i momenti d’inerzia torsionali dell’anima (apice

“1”) e dell’ala (apice “2”):

4931 10158044.0350120630.011203503

1 mmIT ⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅=

4932 103109.0350

100630.0110040031 mmIT ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅=

Supponendo che la sezione sia omogenea, quindi con G costante, il momento torcente 200 F, per comodità preso in valore assoluto, si ripartisce tra anima ed ala secondo la (9.239 b):

FTFFFII

IT

TT

T 779.81221.118200591106.0200 221

11 ==⋅=⋅

+=

È chiaro che la tensione tangenziale massima è nell’anima, che assorbe un’aliquota maggiore

i T ed ha spessore più grande. Dalla (9.235 a) con α = 3.74 13 abbiamo: d 13 Il rapporto tra i lati dell’anima non è esattamente 3, ma ne differisce di poco, per cui si è preso dalla Tab. 9.1 il valore α corrispondente ad a/b = 3.

19

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FFzx

42

1 10877276.0120350

221.11874.3 −⋅=⋅

⋅=τ

Se non si considera l’effetto dell’angolo retto in P, la tensione da torsione così determinata si combina con τzx da taglio sulla corda baricentrica:

Fzx444 10147696.110877276.01027042.0totale)0( −−− ⋅=⋅+⋅=τ

Se ipotizziamo r = 60 mm, la (9.240) dà:

Fzxzx44* 10315914.110877276.05.1604

1201maxmax

−− ⋅=⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+τ=τ

Anche se il raggio dell’arrotondamento non è propriamente piccolo, l’incremento della tensio-ne tangenziale da torsione è del 50 %: in questo modo la tensione tangenziale τzx massima complessiva è in P e vale 1.572144⋅10−4 F con un incremento del 37 %. E SEMPIO 9.6-2: DETERMINAZIONE DI max T PER LA SEZIONE DELL’ES. 9.4.2-4 (Fig. 9.27). Per la sezione citata, note le tensioni normali σz, si vuole deter-minare il massimo momento torcente T applicabile alla sezione insie-e con il momento flettente Mξ. m

SOLUZIONE: la sezione, già studiata per quanto riguarda la flessione (vedi Es. 9.4.2-a), è in pa-rete sottile con spessore costante t = 12 mm. Supponendo poi la sezione omogenea, la riparti-zione di T obbedisce all’Eq. (9.239 b). Calcoliamo in primo luogo i momenti d’inerzia torsio-nali, ponendo b/a = 0 nella (9.234 a), poiché i rettangoli da cui è formata la sezione sono

ote-volmente allungati: n

)anima(4320001275031)ali(172800123003

1 4343 mmImmIwa TT =⋅⋅==⋅⋅=

Evidentemente l’anima assorbe l’aliquota maggiore di T:

TTII

IT

aw

ww

TT

T 5.02

=⋅+

=

La tensione tangenziale massima nell’anima si ottiene dall’Eq. (9.235 a) con α = 1/3:

TTzs

52 1054321.1

127505.03max −⋅=

⋅⋅

=τ Come detto nella teoria, ipotizziamo questa tensione costante lungo tutta l’anima, anche se in realtà agli estremi del rettangolo risulta minore, ma, facendo così, possiamo pensare compen-sato l’effetto dello spigolo, che in questo esempio non consideriamo. Per l’anima max σz è nel punto B e nell’Es. 9.4.2-4 si era calcolato il valore σz(B) = 87.628 N/mm2. Scriviamo la verifi-ca nel punto B utilizzando il criterio di Tresca e =σ ±200 N/mm2:

200)1054321.1(4)268.87()(max4)( 25222 =⋅⋅+=τ+σ=σ − TB zszid

↓ T = 5.824915⋅106 newton⋅mm

20

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9.6.5.4 Sezione in parete sottile a profilo aperto Si abbia una generica sezione in parete sottile a profilo aperto soggetta a momento torcente T, come in Fig. 9.81, in cui si nota come la sezione sia riferita agli stessi sistemi di assi globali e locali usati per determinare le tensioni tangenziali da taglio (Fig. 9.56), compresa la coordina-ta curvilinea lungo la linea media. Non ricerchiamo una soluzione analitica del problema della torsione per questo tipo di sezione sia perché la determinazione risulterebbe molto complessa, sia perché in ogni caso non è possibile pervenire ad una soluzione generale valida per qualsia-si sezione aperta sottile.

Fig. 9.81 - Sezione in parete sottile a profilo aperto soggetta a torsione

Si assume una funzione degli sforzi φ approssimata, funzione della coordinata curvilinea s della normale locale n alla linea media: e

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−θ′=φ 2

2

4)(),( nsbGns (9.241)

Si noti la somiglianza della (9.241) con il primo termine in parentesi quadra della (9.227 b). Come già osservato in 9.5.2, sulla generica corda normale alla linea media, quindi diretta come n, agiscono le tensioni tangenziali τzs e τzn: tali tensioni sono legate a φ dalle (9.193), scritte nel riferimento locale. Si ha, quindi:

022 =∂φ∂

−=τ−=θ′−=∂φ∂

=τ tInTnGn zn

Tzs (9.242 a, b)

Nello sviluppare le (9.242) si è utilizzata la relazione generale TGIT=θ′ [Eq. (9.191 b)] ed il fatto che la coordinata t lungo la tangente alla linea media non figura nella (9.241). Benché il momento d’inerzia torsionale non sia ancora noto, dalla (9.242 a) possiamo già dedurre che le tensioni τzs hanno andamento lineare a farfalla lungo la generica corda normale alla linea me-dia coi valori massimo e minimo agli estremi e punto di nullo sulla linea media. Pertanto, il alore massimo è v

Tzs I

sbT )(max =τ (9.243)

Il valore minimo è l’opposto della (9.243). Evidentemente il massimo assoluto di τzs per la sezione si ha dove b(s) è massimo.

21

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Resta da determinare il momento d’inerzia torsionale, per il quale sfruttiamo la (9.196 c):

=φ= ∫AAT d2 ∫∫ ∫ θ′=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−θ′

+

ll

0

3

0

2

2

22

d)(31dd4

)(2 ssbGsnnsbGb

b (k)

Per confronto con la (9.191b) per il momento d’inerzia torsionale abbiamo:

30

331d)(3

1 bIssbI TT ll

== ∫ (9.244 a, b)

rispettivamente per sezione a spessore variabile e sezione a spessore costante.

Trattando l’analogia idrodinamica si era già visto che la portanza torsionale dei profili a-perti è piccola se calcolata nel contesto della teoria della torsione di de Saint Venant. Ora pos-siamo quantificare questo fatto: con riferimento alla Fig. 9.81, il contributo al momento tor-cente di un tratto ds di profilo è

sbbssbbssbT Mzs

Mzs

Mzs d

121

232)(d

221

232)(d

221d 2τ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −ρ⋅τ−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +ρ⋅τ= (l)

in cui è il valore della tensione τzs agli estremi della corda. La relazione precedente mostra che il momento torcente sopportabile da una sezione aperta in parete sottile è proporzionale al quadrato dello spessore: è chiaro, quindi, che T non può che risultare piccolo dal momento che lo spessore è al più di qualche decina di millimetri. Tuttavia, la portanza torsionale reale di questi profili è notevolmente maggiore di quella prevista dalla teoria appena svolta: ciò è dovuto al comportamento complessivo della trave soggetta a torsione, come vedremo nel par. 9.8 .

Mzsτ

Per completare la soluzione, sia pure approssimata, della torsione del profilo sottile aperto, dobbiamo determinare la funzione di ingobbamento: in accordo con quanto fatto sinora, assu-miamo che w(x, y) è costante sullo spessore. Consegue che è una funzione w(s): per potere arrivare ad esprimere l'ingobbamento come funzione della sola s, consideriamone la

ariazione per un incremento ds. Si ha: v

syw

xwy

ywx

xwyxw xx dcossendd),(d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α

∂∂

+α∂∂

−=∂∂

+∂∂

= (m1) Nello sviluppare l'equazione precedente dx e dy sono stati espressi in funzione di ds in base alle relazioni geometriche deducibili dalla Fig. 9.7 . Le derivate di w sono ricavabili dalle Eqq. (9.185), ponendovi uguali a zero le tensioni tangenziali in quanto nulle sulla linea media.

llora, si ha: A ( ) sxyyxw xx dcossen),(d α−α−= (m2)

Se si esaminano le Figg. 9.81, 82 e si tiene conto αx è l'angolo formato dalla normale n alla linea media, si riconosce che per il raggio ρ tra la tangente alla linea media nel punto generico di questa ed il baricentro, assunto come polo dei momenti, sussiste la relazione:

xx yxs α+α=ρ sencos)( (n) Allora, l'Eq. (m2) diventa:

ssyxw d)(),(d ρ−= (m3)

22

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Tenendo in conto la definizione (9.160) di area settoria-le, si ha ss d)(ρ = dω. Pertanto, integrando la (m3) bbiamo:

a ω+ω−= )()( ssw (9.245)

Per determinare la costante ω , impieghiamo la (9.184), cioè imponiamo che l'ingobbamento medio sia nullo:

[ ] 0d)()()()(00

=ω−ω−= ∫∫ll

ssbsdssbsw (o) Fig. 9.82 - Relazioni geo-metriche per ρ

Dalla (o) otteniamo:

∫ ω=ωl

0d)()(1 ssbs

A (9.246)

In questo modo la funzione di ingobbamento riferita al baricentro è completamente definita: nel par. 9.8 vedremo che questa grandezza va più razionalmente riferita al centro di torsione, che per le sezioni a profilo sottile aperto coincide col centro di taglio. Una volta noto questo, si riferisce la funzione di ingobbamento a CT mediante la (9.205) con k = 0. ESEMPIO 9.6-3: DETERMINAZIONE DI max T PER LA SEZIONE SEMICIRCOLARE DELL’ES. 9.5-9. La sezione di Fig. 9.65 è ora soggetta a solo momento torcente T, di ui si vuole determinare il valore massimo applicabile. c

SOLUZIONE: essendo lo spessore costante, il momento d'inerzia torsionale è dato dall'Eq. (9.244 b), applicando la quale si ottiene:

433 21.5428671230033

1 mmRtIT =⋅π

=π= Quindi, risolvendo la (9.243) rispetto a T si ottiene:

( )mmnewton

fIT yT ⋅⋅=

⋅= 610701230.4

123

max in cui i dati sono gli stessi dell'Es. 9.5-9 e si è usato come là il criterio dì snervamento di Von Mises. La scarsa portanza torsionale dei profili aperti, almeno se calcolata nell'ambito della teoria di Saint Venant, si deduce dal fatto che nell'Es.9.5-9 si era determinata una forza mas-sima F applicata nel centro di taglio della sezione libera della mensola di 76340.7 newton, che con una luce di 4 m dà luogo a My(0) = 3.053628⋅109 newton⋅mm, cioè la portanza flessionale ha un ordine di grandezza 3 volte maggiore. ESEMPIO 9.6-5: CALCOLARE max τzsPER LA SEZIONE DELL’ES. 9.6-2 CON LA TEORIA DEI PROFILI

OTTILI (Fig. 9.27). S SOLUZIONE: la sezione in questione è riguardabile anche come un unico profilo sottile, avente la linea media con 2 punti angolosi. Essendo lo spessore costante, il momento d'inerzia torsio-ale è dato dall'Eq. (9.244 b): n

43 77760012)7503002(31 mmIT =⋅+⋅=

23

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La tensione tangenziale massima, raggiunta sui bordi esterni e costante lungo il profilo è data all'Eq. (9.243): d

25 /10543210.1777600

12max mmNTTI

bTT

zs−⋅=

⋅=

⋅=τ

Come era da attendersi, dato che con entrambi gli approcci lo spessore è stato considerato trascurabile rispetto alla lunghezza del profilo sviluppato, i risultati coincidono. 9.6.5.4 Sezioni in parete sottile a profilo chiuso: soluzione approssimata di Bredt Cominciamo a considerare il caso di una sezione chiusa monoconnessa in parete sottile soggetta a momento torcente T come in Fig. 9.83 a: la sezione sia riferita agli assi baricentrici principali d'inerzia e lungo la linea media si stabilisca una coordinata curvilinea di origine arbitraria, così come fatto in 9.5.3 per il taglio. L'impostazione analitica del problema della torsione per i cilindri cavi non è complessa, tuttavia rinunciamo a riportarla, rimandando ai testi più volte citati di Baldacci e di Viola, in quanto si ha una sola soluzione analtica e la soluzione numerica dell’equazione di Laplace si presenta onerosa, per cui si ricorre ad una soluzione approssimata dovuta a Bredt (1896). La soluzione analitica è per la sezione a corona circolare sottile e dice che IT = IP.

La condizione al contorno (9.30) ci dice che sul contorno sia esterno che interno la tensione tangenziale τ di modulo 22

zyzx τ+τ=τ è diretta secondo la tangente al contorno.

Pertanto, attesa la piccolezza dello spessore, nei punti interni la tensione manterrà una direzione poco discosta da quella che ha sul contorno. La si assume diretta come la tangente alla linea media, la quale a sua volta ha direzione poco diversa da quelle delle tangenti ai contorni. (a) (b)

Fig. 9.83 - (a) Sezione in parete sottile a profilo chiuso soggetta a T; (b) equilibrio di un tronco di lunghezza unitaria in dire-zione z tra s1 ed s2; (c) area Ω racchiusa dalla linea media

In accordo con le precedenti analisi di profili sottili assumiamo che la tensione tangenziale τzs è costante su ogni corda normale alla linea media, corda che ha per lunghezza lo spessore t, funzione di s. Tagliamo dal prisma cavo un tronco di lunghezza unitaria in direzione z, com-

24

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preso tra due sezioni longitudinali 1 e 2; non è necessario che una delle sezioni sia in s = 0. L’equilibrio in direzione z del tronco richiede che

21 21tt szsz τ=τ (9.247)

Per il principio di reciprocità delle tensioni tangenziali si ha τzs = τsz; inoltre le sezioni 1 e 2 sono arbitrarie, per cui per il flusso di tensioni tangenziali q(s) si ha:

( ) costante=⋅τ= )()( stssq (9.248) in cui per semplicità si sono omessi gli indici "zs" a τ. Si noti che la (9.248) può essere ricava-ta dall'analogia idrodinamica utilizzando il principio della costanza della portata del fluido. In sostanza risulta costante il prodotto della tensione tangenziale per lo spessore della sezione, per cui la prima aumenta dove questo diminuisce, così come in un canale od in un tubo la velocità del fluido che vi passa è maggiore dove la sezione del tubo o del canale è minore.

Per ricavare il valore del flusso, sfruttiamo l’equilibrio alla rotazione della sezione rispetto all’asse del prisma: il momento indotto dalle tensioni tangenziali rispetto ad un punto O del piano della sezione trasversale deve eguagliare il momento torcente T esterno. Come polo O assumiamo il baricentro della sezione, ma questa scelta non è obbligata: l’equilibrio stesso mostra che il risultato è indifferente al polo. Su un elemento ds agisce la forza τ t ds, il cui

omento rispetto ad O è τ t ds⋅ρ. Pertanto, si ha m

∫∫ ρ=ρτ= sqstT dd (9.249 a) essendosi potuto portare fuori dall’integrale τ⋅t = q per la costanza di quest’ultimo. Si è già notato che ρ⋅ ds è il doppio dell’area del triangolo elementare di base ds ed altezza ρ (Fig. 9.83 a): quindi, l’integrale a secondo membro della (9.249 a) è il doppio dell’area Ω racchiusa dalla linea media (Fig. 9.83 c). Si hanno in definitiva le relazioni seguenti, equivalenti tra loro:

τΩ=Ω=Ω

=τΩ

= tqTt

TTsq 2222

)( (9.249 b - d)

Le relazioni precedenti sono denominate prima formula di Bredt.

La prima formula di Bredt è in completo accordo con quanto trovato nello studio delle se-zioni chiuse monoconnesse in parete sottile soggette a taglio (9.5.3): infatti, se questo è nullo, sono nulli il secondo addendo a secondo membro sia della (9.162 c) che della (9.163 b); in quest’ultima Tz coincide col torcente esterno T, per cui la (9.163 b) si riduce alla (9.249 b).

La soluzione completa del problema della torsione richiede anche l’angolo di rotazione unitario e la funzione di ingobbamento. Per calcolare 'θ 'θ , utilizziamo al solito il teorema di Clapeyron, per il quale il lavoro esterno compiuto dal momento torcente T su un tratto unitario di cilindro è uguale al doppio dell’energia elastica di deformazione. Quest’ultima, agendo solo T, è data dalle tensioni tangenziali τzs = τsz per le corrispondenti deformazioni.

ertanto, si ha: P

∫∫τ

=γ⋅τ=⋅θ⋅V

zsV zszs V

GVT dd1'

2 (9.250 a)

Si è tenuto conto che Gzszs τ=γ ; essendo dV = ∫⋅ dsst )(1 , sostituendo la (9.249 c) nella (9.250 a) si ottiene

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∫∫ Ω=

Ω=θ

ts

Gq

ts

G

T d2

d4

' 2 (9.250 b)

che è detta seconda formula di Bredt. Nel caso di spessore costante l'integrale ∫ tsd diventa

uguale a tl e la (9.250 b) è riscritta come:

tGq

tG

T ll

Ω=

Ω=θ

24' 2 (9.250 c)

Si noti che le (9.250) sono riconducibili alla forma generale (9.191 b) pur di porre:

∫Ω

=ts

IT d4 2

(9.251)

Per concludere, affermiamo senza dimostrarlo che nel caso di flusso q non costante su s θ′ iventa: d

∫Ω=θ s

tsq

Gd)(

21' (9.250 d)

La (9.250 d) è la relazione da impiegarsi in presenza di taglio, che rende q non costante, come si deduce dall'Eq. (9.162 c).

In 9.5.3 avevamo lasciata irrisolta la questione della determinazione del centro di taglio dei profili chiusi sottili, questione che ora possiamo risolvere: infatti, se il taglio è applicato nel centro di taglio, θ′ = 0. Considerando un taglio Vx applicato in CT, il momento torcente rispet-to al baricentro, scelto come polo, è Vx⋅yC; sostituendo nella (9.250 d) i flussi di taglio dati dalle (9.162 c) e (9.163 b), abbiamo:

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+

Ω=

Ω=θ ∫∫∫ s

ItsSV

st

qG

stsq

G yy

yx d)(

d2

1d)(2

1' 0

0d)(dd)(

)(21d

221

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ρ

Ω−

Ω⋅

Ω= ∫∫ ∫∫ s

ItsSV

tsss

ItsSV

styV

G yy

yx

yy

yxCx (p)

Dalla (p) si ottiene la coordinata yC del centro di taglio:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

Ω−ρ=

∫∫∫ ts

sstsSsssS

Iy

yy

yyC

d

d)()(2d)()(1 (9.252)

La coordinata xC si ottiene ponendo un taglio Vy nel centro di taglio e procedendo analoga-mente. Se confrontiamo la (9.252) con la (9.159 a), notiamo che la coordinata yC del centro di taglio del profilo chiuso è uguale alla coordinata yC del profilo aperto meno una quantità di-pendente dalla forma della sezione, per cui CT nel profilo chiuso è meno discosto dal bari-centro che nel profilo aperto della stessa forma (si tenga presente, comunque, l'arbitrarietà del profilo aperto corrispondente: in 9.5.3 si era visto che il punto della linea media in cui si apri-va il profilo poteva essere scelto a piacere.

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L'ultima grandezza da determinare è la funzione di ingobbamento: la via per arrivare all'e-spressione di questa è la medesima seguita per i profili aperti, con la differenza che ora τzs non è nulla sulla linea media, per altro facilmente esprimibile con le Eqq. (9.250). Omettendo i passaggi, per i quali si rimanda a Corradi, Vol. 1, Cap. 5, si ha la formula finale:

wdssstI

sws

T+⎥

⎤⎢⎣

⎡ρ−

Ω= ∫0

)()(

2)( (9.253)

Al solito la costante w va determinata imponendo l'annullamento dell'ingobbamento medio. (a) (b)

Fig. 9.84 - Profilo chiuso biconnesso: (a) flussi nella sezione trasversale; (b) tronco di lunghezza unitaria in direzione z

Consideriamo ora il caso di un cilindro con SEZIONE MOLTEPLICEMENTE CONNESSA: in Fig. 9.84 a è rappresentata una sezione biconnessa, cioè con 2 cavità. In figura sono eviden-ziate le linee medie dei diversi tratti, 3 nel caso specifico, lungo ciascuno dei quali agisce il flusso di tensioni tangenziali essendosi posta una coordinata curvilinea si lungo ciascun tratto. L'analogia idrodinamica porta ancora a

),()( )(ii

izsii stsq ⋅τ=

costante=⋅τ= )()( )(

iii

zsii stsq (9.254) Inoltre, poiché gli spessori dei diversi tratti sono piccoli, le tensioni tangenziali sono ancora assunte costanti sullo spessore e dirette come la tangente alla linea media.

Se, analogamente al caso del cilindro a sezione monoconnessa, isoliamo un tratto di lunghezza unitaria in direzione z (Fig. 9.84 b), risultano 3 flussi incogniti a fronte di 2 sole equazioni di equilibrio, una di equilibrio alla traslazione lungo l'asse ed una di equilibrio alla rotazione rispetto ad un polo: il problema è, quindi, iperstatico, una volta nel caso di sezione biconnessa. In generale, è facile vedere che il grado di iperstaticità è pari al numero delle cavità interne meno 1. Il problema può essere risolto considerando sia l’equilibrio che la congruenza.

Possiamo vedere l'insieme delle linee medie che si connettono come una rete o grafo: nelle reti in cui non vi siano perdite, vale il principio di conservazione: in questo caso la somma dei flussi entranti in un nodo è uguale alla somma dei flussi che ne escono. Per il nodo A:

332211 ttt τ+τ=τ (9.255) in cui per semplicità si sono omessi gli indici "zs". L'equazione di equilibrio di momento ri-

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spetto ad un polo O si scrive come:

∫∫∫ ρτ+ρτ+ρτ=321

333332222211111 d)(d)(d)(lll

sstsstsstT (9.256 a)

in cui i flussi sono stati direttamente scritti fuori dal segno di integrale in quanto costanti;

ed sono rispettivamente le lunghezze delle linee medie su cui sono poste le coor-dinate s1, s2 ed s3. Ricavando τ3t3 dalla (9.255) e sostituendolo nella (9.256 a) si ottiene:

21, ll 3l

222111 22 Ωτ+Ωτ= ttT (9.256 b)

La congruenza richiede che le 2 celle abbiano lo stesso angolo unitario di torsione, che si va-uta con l'Eq. (9.250 b): l

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+τ

Ω=θ ∫∫∫

331 3

322

3

3

1

111

1

ddd2

1'lll t

st

ts

ts

tG

(9.257 a)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+τ

Ω=θ ∫∫∫

332 3

311

3

3

2

222

2

ddd2

1'lll t

st

ts

ts

tG

(9.257 b)

in cui si è già tenuta in conto la (9.255). Le Eqq. (9.256 b, 257) risolvono il problema fornen-do i flussi di tensioni tangenziali e l'angolo unitario di torsione.

Fig. 9.85 - Sezione multiconnessa (ad n celle) a profilo rettangolare

Consideriamo ora il caso di una sezione ad n celle, che, quindi, è n − 1 volte iperstatica; per comodità si fa riferimento ad una sezione a profilo esterno rettangolare (Fig. 9.85), ma la procedura mantiene la sua generalità. La conservazione dei flussi per il generico nodo i 14 si crive come: s

∑ = 0)(ikk q (9.258)

in cui in genere si assumono positivi i flussi entranti e negativi quelli uscenti.

La congruenza richiede che l'angolo unitario di torsione sia il medesimo per tutte le celle. Tenendo in conto gli equilibri dei flussi nei nodi superiori, si scrivono n equazioni di congruenza:

14 Si faccia attenzione che la conservazione dei flussi può essere scritta solo per metà dei nodi della sezione: gli altri nodi darebbero luogo ad equazioni che sarebbero una ripetizione delle prime. Nel caso in esame si scrivono le equazioni per i nodi superiori.

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CELLA 1: θ′Ω=−

+ ∫∫ Gst

qqs

tq

BCCDAB112

12

211

1

1 2dd (9.259 a)

CELLA 2:

θ′Ω=−

+−

+ ∫∫∫ ∪Gs

tqq

st

qqs

tq

EFCBFCBE223

23

3212

12

212

2

2 2d dd (9.259 b)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

C ELLA k:

θ′Ω=−

+−

+ ∫∫∫+−

++

+−

∪Gs

tqq

st

qqs

tq

kkkkk

kkkk

kk

kkk

k

k

kkkkis

2d dd1,,1

1,1,

1,1

,1

1

llll

(9.259 c)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ I flussi di tensioni tangenziali incogniti sono costanti, per cui si portano fuori dagli integrali, che sono facilmente valutabili. Fatto questo le n equazioni di congruenza sono scrivibili sim-bolicamente nella forma:

θ′Ω=++ ++−− kkkkkkkkkk Gqcqcqc 211,,11, (9.260) L'Eq. (9.260) ha la stessa struttura dell’equazione dei 3 momenti per la soluzione di una trave continua iperstatica, equazione che vedremo in 11.3.3.3: nell’equazione di congruenza per la cella k-esima appaiono solo le iperstatiche relative alla cella stessa, a quella precedente ed a quella seguente.

Per chiudere il bilancio tra incognite ed equazioni si scrive l’equazione di equilibrio lobale alla rotazione: g

∑ Ω=n

kkk qT1

2 (9.261)

Le n equazioni di congruenza (9.260) e l'equazione di equilibrio (9.261) forniscono i flussi incogniti e l'angolo unitario di torsione θ′ : per risolvere completamente il problema, occorre la funzione di ingobbamento; tuttavia, per brevità si rinuncia a riportare questo e si rimanda al trattato di Franciosi, Vol. 2 ed alla monografia di Cedolin.

Le sezioni chiuse sia mono che pluriconnesse hanno grande importanza nelle costruzioni ingegneristiche: sezioni di questo tipo sono le ali degli aerei e si usano nei ponti (Figg. 9.86, 87). ESEMPIO 9.6-5: max T PER 2 SEZIONI CIRCOLARI UNA CHIUSA ED UNA APERTA (Fig. 9.88). Le 2 sezioni a profilo sottile circolare di Fig. 9.88 riferite alla linea media hanno: spessore costante t = 12 mm, raggio R = 100 mm, momento flettente My = 6⋅107 newton⋅mm e coppia torcente T incognita. La sezione A è una corona circolare chiusa, mentre la sezione B è un profilo sottile aperto in quanto è stato fatto un taglio nel punto D, asportando una quantità infinitesima di materiale. Pertanto, le 2 sezioni hanno le stesse proprietà inerziali per quanto riguarda la flessione, ma hanno diverso comportamento per la torsione. Si chiede di determinare per entrambe le sezioni il valore massimo di T mediante il criterio di Tresca, essendo σ = 250 N/mm2 e tenendo in conto la tensione normale σz.

29

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Fig. 9.86 - Viadotto dell'autostrada Voltri-Gravellona Toce sul fiume Sesia (dall'alto al basso): sezione a cassone in calcestruzzo armato precompresso, modello della sezione, vista laterale del viadotto (da Industria Italiana del Cemento n° 5 1988)

SOLUZIONE: come detto sopra, la sezione aperta B è ottenuta da quella chiusa A asportando nel punto D una quantità infinitesima di materiale, per cui il baricentro di entrambe le sezioni è il baricentro del cerchio ed i momenti d'inerzia sono i medesimi. Quindi, per questi si ha:

( ) ( ) 474444 10783483.39410644

mmRRII ieyyxx ⋅=−π

=−π

== essendosi impiegata l'Eq. (3.33). La relazione approssimata (3.34) dà invece:

4733 10769911.310012 mmRtII yyxx ⋅=⋅⋅π=π≅= L'errore che si commette impiegando quest'ultima relazione è molto limitato; comunque, i cal-coli saranno proseguiti col valore esatto.

Per entrambe le sezioni la massima tensione normale di trazione si ha nel punto I, essendo la minima compressione in S con modulo uguale. Abbiamo:

MpaI

Iyy

zz 59.158100106)(max7

=⋅⋅

=σ=σ

30

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Fig. 9.87 - Ponte a Perth (Australia) costruito a conci prefabbricati con sezione pluricellulare

Fig. 9.88 - Sezioni sottili a corona circolare soggette ad My e T: A chiusa, B aperta in D

Essendo la sezione A un profilo chiuso, la tensione tangenziale τzs è data dalla formula di

redt (9.249 c): B

mmnewtonTTtR

Tt

Tzs ⋅⋅=

⋅⋅π⋅=

⋅⋅π⋅=

Ω=τ −6

22 10326291.112100222

Applicando il criterio di snervamento di Tresca, otteniamo il torcente T incognito:

250)10328291.1(4)59.158(4)( 226222 =⋅⋅+=τ+σ=σ − TI zszid

↓ mmnewtonT ⋅⋅= 7

)A( 102857202.7

Per la sezione in parete sottile B τzs è data dall'Eq. (9.243): per spessore costante il momen-to d'inerzia torsionale ha l'espressione (9.244 b) e τzs è costante lungo il profilo. Quindi:

mmnewtonTTtR

tTzs ⋅⋅=

⋅⋅π=

⋅π⋅

⋅=τ −4

23 10315728.3121002

3)2(31

Benché le 2 sezioni abbiano la stessa area e le stesse caratteristiche inerziali , la sezione aperta ha tensione tangenziale 25 volte maggiore. Applicando Tresca si ottiene:

mmnewtonT B ⋅⋅= 6)( 109142877.2

che è ovviamente 1/25 del massimo momento torcente applicabile alla sezione chiusa.

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ESEMPIO 9.6-6: DETERMINAZIONE DI max T PER LA SEZIONE DELL'ES. 9.5-12 (Fig. 9.69). Si vuole determinare il massimo momento torcente applicabile alla sezione a cassone in profilo sottile dell'Es. 9.5-12. Si usino i riteri di snervamento di Von Mises e Tresca con fy = 500 Mpa,γ = 2. c

SOLUZIONE: nei profili chiusi in parete sottile il flusso di tensioni tangenziali è costante, dal che consegue che τzs è maggiore dove lo spessore è minore. Il setto di destra B′AB ha lo spessore minore, t1 = 12 mm, per cui si calcola τzs su di esso e la si eguaglia alla tensione ammissibile secondo i 2 criteri. Dalla (9.249 c) abbiamo:

⎢⎢

⋅→

⎢⎢⎢⎢

=⋅

=⋅

=⋅=⋅⋅

=′τ −

9

98

1 104400.1

10662768775.1

00.12522

500

338.14432

500

105680.812)800600(22

)( TTt

TABBzs

I momenti torcenti così ricavati sono in newton⋅mm, essendo il valore ottenibile dall'applica-zione del criterio di Von Mises maggiore del 15.5 % di quello fornito dal criterio di Tresca.

9.6.6 Energia elastica di deformazione Nel prisma o cilindro-trave soggetto a sola torsione sono diverse da zero le sole componenti di tensione τzx e τ zy: l’energia elastica di deformazione di un tronco di lunghezza dz è allora:

( ) ( )∫∫ τ+τ=ετ+ετ=A

zyzxA

zyzyzxzxD AdzG

AzL d21d22d

21 22 (9.262)

Quindi, la valutazione dell'energia elastica di deformazione richiede l'integrazione sul domi-nio dato dalla sezione trasversale del prisma dei quadrati delle tensioni tangenziali: l'integrale può risultare complesso da valutare quando le tensioni tangenziali sono espresse da una serie; se poi queste non sono note in forma analitica, è necessario ricorrere all'integrazione numeri-ca. Questi problemi sono superabili se si fa ricorso al teorema di Clapeyron:

zGIzIG

TzTLL TT

eD d21d

21d

21d

21 2

2θ′==θ′== (9.263)

Nel ricavare la (9.263) si è tenuto conto che il lavoro compiuto dal momento torcente T su un tronco dz del prisma è il prodotto di questo per la rotazione relativa tra le 2 sezioni terminali del tronco, che è ; si è poi usata la (9.191 b). Nella torsione del prisma di de Saint Venant θ′ è costante, per cui l'energia elastica di deformazione del prisma trave è:

zdθ′

LGIIGLTLTdzL TT

LDD

22

0 21

21

21

θ′==θ′==Π ∫ (9.264)

L'impostazione rigorosa del problema di de Saint Venant richiede che il momento torcente

sia costante lungo l'asse del prisma, così come era stato il caso dell'azione assiale e del taglio. Tuttavia, nella pratica si incontrano frequentemente casi in cui T è funzione di z: le tensioni tangenziali si calcolano ancora con l'espressione appropriata tra quelle viste; l'energia elastica di deformazione totale si ottiene integrando lungo l'asse del prisma la (9.262), in cui le tensio-ni diventano funzione di z.

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9.7 Esempi conclusivi sul problema di de Saint Venant

In questo paragrafo saranno illustrati alcuni esempi in cui sulla sezione del prisma-trave agi-scono più caratteristiche di sollecitazione. Già in alcuni degli esempi presentati finora vi erano 2 caratteristiche attive - come flessione e taglio, flessione e torsione -. e, per la linearità del problema di de Saint Venant, gli effetti di ciascuna sollecitazione erano valutati da soli e poi erano stati combinati; si era più volte utilizzato il centro di taglio, facendovi agire l'azione ta-gliante, per separare lo studio del taglio da quello della torsione, che altrimenti dovrebbero essere studiati insieme. Negli esempi che seguono non vi sono concetti o procedure nuove: semplicemente si vogliono illustrare altri casi di sollecitazioni combinate. ESEMPIO 9.7-1: DETERMINAZIONE DELLE TENSIONI MASSIME E DI max T PER LA SEZIONE DI FIG. 9.89. Si vogliono calcolare i valori massimi di tensione normale σz e tangenziale τzs per la sezione a cassone chiusa in parete sottile di Fig. 9.89, riferita alla linea media, che è soggetta al momento flettente My = 6.0⋅108 N⋅mm, al taglio Vx = 1⋅105 N. Si determini poi col criterio di Tresca il massimo valore del momento torcente T che rispetta la tensione ammissibile Mpa250±=σ , agendo insieme con My e Vx. La sezione ha spessore costante t = 12 mm e dimensioni b = 800 mm ed h = 400 mm. SOLUZIONE: nei profili chiusi in parete sottile il flusso di tensioni tangenziali dovuto al taglio è in generale dato dalle Eqq. (9.162 c, 163 c); tuttavia, quando la sezione è simmetrica rispetto all'asse lungo cui agisce il taglio, il flusso di chiusura q0 dato dalla (9.163 c) è nullo e si può o-perare come se la sezione fosse aperta lungo l'asse di simmetria, dovendo τzs essere nulla su di questo. Il calcolo delle tensioni normali non presenta difficoltà.

Fig. 9.89 - Sezione a cassone sim-metrica soggetta a My, Vx e T

Le caratteristiche geometriche ed inerziali della sezione sono:

22 3200008004002880012)40028002( mmmmA =⋅=Ω=⋅⋅+⋅=

4932 1056.280012

1212400400122 mmIxx ⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

4823 1096.820080012240012

1212 mmI yy ⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

Osserviamo subito che ai fini della determinazione di max T la verifica va eseguita sul lato

ACB: infatti, mentre le tensioni tangenziali da taglio sono dirette nel verso positivo di x, cioè verso il basso, il momento torcente antiorario dà τzs pure antiorarie, che si sottraggono a quel-

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le da taglio sul lato di destra e si sommano su quello di sinistra. Le tensioni normali σz sono costanti sui lati orizzontali, dove hanno lo stesso modulo, massimo, ma segni opposti: è, quin-di, equivalente scrivere la verifica nel punto A o nel punto B.

Per le tensioni normali abbiamo:

MpaBAMpaI

B zzzyy

zz 929.133)()200()(929.133200106)200()(8

−=σ−=−σ=σ=⋅⋅

=σ=σ

Il grafico di σz lungo x è mostrato in Fig. 9.90.

Come detto, a causa della simmetria rispetto all'asse x il diagramma di τzs dovuta al taglio è antisimmetrico rispetto ad x, per cui può essere tracciato solo per metà sezione: in Fig. 9.90 il grafico è per la metà di sinistra, su cui opereremo la verifica. Notiamo che ciascuna metà co-stituisce una sezione a C, che abbiamo esaminato nell'Es. 9.5-7: pertanto, omettiamo i commenti e le espressioni analitiche di τzs sui diversi tratti, dando solo i valori notevoli. Con-sideriamo la sezione chiusa in esame ed una sezione aperta ottenuta dalla prima operando un taglio in corrispondenza dell'intersezione tra x ed il lato superiore, taglio che asporti una quan-tità infinitesima di materiale sì che il baricentro ed i momenti d'inerzia delle 2 sezioni siano gli stessi: le 2 sezioni hanno lo stesso diagramma di τzs. Infatti, τzs nella sezione chiusa è dato dalla somma di τzs nella sezione aperta e di τzs dovuta al flusso di chiusura q0 [Eqq. (9.162 c, 163 b)], ma per la (9.163 b) q0 è evidentemente nullo per essere nullo Tz se il polo cade su x e per l'annullarsi dell'integrale, cosa facile da constatare.

Fig. 9.90 - Grafici di τzs da taglio e di σz

)()(929.8)20040012(12

101)(5

ABMpaI

A zszsyy

zs τ=τ=⋅⋅⋅⋅

⋅=τ

MpaI

Cyy

zs 161.11)1002001220040012(12

101)(5

=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

Per quanto riguarda la torsione, essendo lo spessore costante, τzs è costante lungo il profilo e

ale: v MpaT

tTT

zs7)( 10330208.1

2−⋅=

Ω=τ

Per determinare T la verifica va imposta in B dove σz è massima - o equivalentemente in A - e τzs è poco minore del suo massimo:

[ ] 25010330208.1)(4)(272 =⋅+τ+σ=σ − TBB zszid

Sviluppando la relazione precedente, si ottiene un'equazione di secondo grado in T

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01056583576.61037142857.1 1782 =⋅−⋅+ TT d i cui si prende la radice positiva:

mmnewtonT ⋅⋅= 8104462327.7 È importante notare che la tensione tangenziale τ che entra nel criterio di Tresca è calcolata per somma di τzs da taglio e di τzs da torsione: ciò è dovuto al fatto che in questo specifico ca-so le 2 tensioni hanno la stessa direzione e lo stesso verso. In generale, avendo 2 tensioni τzu e τzv agenti secondo 2 direzioni u e v, la tensione τ del criterio di snervamento si ottiene come modulo del vettore .zvzu τ+τ=τ

rrr ESEMPIO 9.7-2 : DETERMINAZIONE DELLE TENSIONI MASSIME E DI max T PER LA SEZIONE TRIANGOLARE CAVA ALL'INCASTRO DELLA MENSOLA DI FIG. 9.91. La mensola di luce L = 4.5 m di Fig. 9.91 a ha come sezione trasversale il profilo sottile chiuso cavo a contorno triangolare equilatero di lato a = 600 mm, riferito in Fig. 9.91 b. alla linea media, avente spessore costante t = 15 mm. Nel vertice A dell'estremo libero agiscono l'azione assiale N = +600 kilonewton ed il momento torcente T incognito.

Per la sezione di incastro si calcoli il massimo ed il minimo del-la tensione normale σz tracciandone il grafico lungo x con indicazione della posizione dell'asse neutro (L = 4.5 m). Si vuole poi determinare il valore di T impiegando il criterio di Von Mises con σz e τzs ( =σ 200 Mpa). Noti N e T, per il vertice C si calcoli lo spostamento nel piano della sezione causato da N e lo spostamento causato da T (per la flessione si consideri la sezione indeformabile nel suo piano), note le costanti elastiche E = 200000 Mpa, ν = 0.30. (a) (b)

Fig. 9.91 - (a) mensola soggetta ad azione normale eccentrica di trazione; (b) se-zione trasversale della mensola

SOLUZIONE: preliminarmente bisogna stabilire le caratteristiche inerziali della sezione. Sappia-mo che in un triangolo il baricentro è posto ad 1/3 dell'altezza relativa ad un lato e che, se il triangolo è equilatero, come poligono regolare, il momento d'inerzia è costante al variare dello asse baricentrico. Tuttavia, la sezione di Fìg. 9.91 b è cava, per cui a priori non affermiamo che queste proprietà sussistono, ma verifichiamolo. Essendo A = 27000 mm2, altezza e bari-centro sono (Fig. 9.92 a):

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mmh 615.519)3(sen600 =π⋅= DG c.v.d.3

205.17727000

)2/(156002 hh==

⋅⋅⋅=

in cui l'asse per il calcolo del momento statico è la retta che contiene il lato BC.

Per calcolare i momenti d'inerzia Ixx ed Iyy, bisogna tenere in conto che vi sono 2 lati incli-nati, ciascuno dei quali dà uguale contributo ai momenti d'inerzia a causa della simmetria ri-spetto ad x ed, inoltre, è da considerare un rettangolo allungato con spessore trascurabile. Al-lora, si procede in questo modo: (1) si calcolano i momenti d'inerzia rispetto agli assi principa-li del singolo rettangolo; (2) si esegue la trasformazione agli assi principali del triangolo [Eqq. (3.41, 42), Fig. 9.91 b]; (3) si calcolano i momenti d'inerzia di questo tenendo n conto i con-tributi di trasporto. Si ha, quindi: i

01027.060015121 493 ==⋅=⋅⋅= ′′′′′′ yxxxyy IImmI

493229 1081.060015

121150600152)6/(sen1027.02 mmIxx ⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅+π⋅⋅⋅=

492229 1081.0)3/(60015)]3/()2/[(600152)6/(cos1027.02 mmhhhI yy ⋅=⋅⋅+−⋅⋅⋅+π⋅⋅⋅=

(a) (b) (c)

Fig. 9.91 - (a) Distanze del lato CA dagli assi x, y; (b) assi x′, y′ locali per il lato CA; (c) diagramma di σz lungo x

in cui per Ixx ed Iyy si sono rispettivamente usate l'Eq. (3.41) e l'Eq. (3.42). È facile constatare che Ixy = 0, dal che consegue la costanza di Inn al variare dell'asse n. L'ellisse centrale d'inerzia diventa un cerchio di raggio mmAI 205.173/ ==ρ . Il nócciolo centrale d'inerzia è un tri-angolo equilatero avente il vertice superiore nel punto S ed il lato inferiore perpendicolare ad x per il punto I. Dal momento che la sezione è soggetta a tensoflessione retta con piano di sol-lecitazione xz, ci limitiamo a determinare le posizioni su x dei punti citati:

GI mmh 603.86)3/2(2 =ρ= GS mmh 205.173)3/1(2 =ρ= Il centro di trazione è il vertice A, esterno al nócciolo centrale d'inerzia, per cui la sezione è parte tesa e parte compressa.

Trasportando la forza di trazione N nel baricentro, bisogna aggiungere la coppia di traspor-to My = −600000⋅(2/3)h = −2.0786⋅108 newton⋅mm; questa dà momento flettente costante lun-go l'asse della mensola, momento che tende le fibre superiori. L'espressione di σz è [Eq. (9.134) con My dato dalla (9.133 b)]:

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yyz I

xA

x8100786.2600000)( ⋅

−=σ

Dall'espressione di σz si trae che l'asse neutro taglia a metà il segmento GD , cioè dista di

6.61 mm da questi 2 punti. La tensione massima è in A e quella minima in D e valgono: 8

28 /12.111895.882.2241.346100786.22700060000)3/2()( mmN

IhA

yyzz =+=⋅⋅+=−σ=σ

28 /23.2245.442.22205.173100786.2

2700060000)3/()( mmN

IhD

yyzz −=−=⋅⋅−=σ=σ

Essendo la sezione in esame un profilo sottile chiuso, la tensione tangenziale dovuta alla

orsione è data dalla prima formula di Bredt [Eq. (9.249 c)]: t

27 /10138335.2615.519600)2/1(22

mmNTTt

Tzs

−⋅=⋅⋅⋅

=τ che è costante lungo il profilo poiché t è costante.

Per determinare T la verifica va imposta in A, dove σz ha il valore massimo assoluto:

mmnewtonTA zszid ⋅⋅=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⋅⋅

−=→=τ+σ=σ −

827

2222 1048982641.4

)10138335.2(3)12.111(2002003)(

(a) (b)

Fig. 9.92 - (a) Coppia e freccia all'estremo della mensola; (b) spostamenti del vertice C nel piano della sezione

Restano da calcolare gli spostamenti del vertice C: si è scelto un vertice per esemplificare come si calcolano gli spostamenti dei punti della sezione trasversale, che è assunta rigida nel suo piano. Da questa assunzione consegue che in direzione x tutti i punti della sezione hanno lo stesso spostamento causato dalla flessione, mentre sy è nullo ovunque; in realtà sappiamo che questo non è nullo e che sx varia, ma consideriamo del secondo ordine questi spostamenti. Comunque, in primo luogo calcoliamo lo spostamento assiale sz, uniforme sulla sezione, im-

iegando l'Eq. (9.85 b): p

mmEA

LNLsz 5.0270002000004500600000)( =

⋅⋅

=⋅

= essendosi posto z = L ed sz(0) = 0.

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Nei capitoli successivi studieremo i metodi generali per il calcolo degli spostamenti: co-munque, lo spostamento cercato è ottenibile dalla teoria della flessione. Se confrontiamo la Fig. 9.92 a con la Fig. 9.18 a, concludiamo che le 2 travi sono nella stessa situazione di vin-colo e di carico: incastro nella sezione z = 0 e coppia applicata nell'estremo z = L, differendo le 2 travi solo per il verso della coppia. Allora, lo spostamento cercato è dato dall'Eq. (9.100 ) con il segno positivo ( CC ′′ in Fig. 9.92 b): a

mmEI

LMLv

yy

y 991.122

)(2

==

Il punto C subisce anche uno spostamento dovuto alla torsione nel piano della sezione,

spo-stamento che sappiamo essere rigido [cfr. Eqq. (9.182)]: per calcolarlo dobbiamo conoscere l'angolo di rotazione θ tra la sezione libera e quella di incastro, angolo che è θ′⋅L, essendo θ′, angolo unitario di torsione, da valutare con l'Eq. (9.250 b), poiché la sezione è un profilo sot-tile chiuso. Con G = E/2(1+ν) = 76923.1 N/ mm2 otteniamo:

=⋅⋅⋅⋅=Ω

⋅=⋅θ′=θ −∫ 15

18001048982641.410018574.64

)( 8122 t

dsG

LTLL rad0324266.0 in cui, essendo lo spessore costante, l'integrale è uguale al rapporto tra la lunghezza della linea media, perimetro del rettangolo inscritto e lo spessore stesso. Il centro di rotazione è il bari-centro, che è anche centro di taglio per la simmetria della sezione. Nel campo dei piccoli spo-stamenti, come anche si deduce dalle Eqq. (9.182), ogni punto si sposta normalmente alla sua congiungente con il centro di rotazione. Pertanto, abbiamo:

CC ′ = GC mm233.11=θ⋅ *CC ( ) mmb 728.92 =θ⋅= essendo GC = 346.410 mm. Lo spostamento totale di C in direzione x è, quindi, 12.991 + 9.728 = 22.719 mm: lo spostamento ottenuto è il massimo che si ha nella sezione libera della mensola ed è pari a 0.0051L. Esula da un testo di Scienza delle Costruzioni trattare il proble-ma dei valori ammissibili per gli spostamenti delle strutture ingegneristiche, problema che è proprio della tecnica delle diverse costruzioni dell'Ingegneria: ci limitiamo ad affermare che l'ammissibilità di uno spostamento dipende soprattutto dal tipo di costruzione, secondo la funzione che questa dovrà espletare. Il valore trovato, 5 millesimi della luce, è in generale piccolo per una costruzione civile, salvo che debba reggere macchinari che tollerano, per fun-zionare, spostamenti dei punti di appoggio molto piccoli; per contro, potrebbe essere inaccet-tabile in costruzioni aeronautiche, meccaniche o navali. In sostanza, la verifica tensionale po-sitiva non sempre è sufficiente per accettare una progettazione. ESEMPIO 9.7-3 : DETERMINAZIONE DELLE TENSIONI MASSIME E DI max T PER LA SEZIONE TRIANGOLARE CAVA ALL'INCASTRO DELLA MENSOLA DI FIG. 9.91. La mensola di Fig. 9.93 a ha come sezione trasversale il profilo sottile aperto riferito alla linea media di Fig. 9.93 b avente spessore costante t = 12 mm ed è soggetta ad una forza P = 16000 newton. Si chiede di: (a) calcolare le coordinate del baricentro G, i momenti d’inerzia Ixx, Iyy, Ixy, i momenti principali d’inerzia ed il loro orientamento e la posizione del centro di taglio; (b) con riferimento alla sezione d’incastro (z = 0), scomporre la forza P secondo gli assi principali ed esprimere in funzione di P le azioni interne nel riferimento principale ( );,,,, TVVMM ηξηξ (c) determinare

l’asse neutro di flessione deviata, indicando i punti della sezione

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più lontani da tale asse, in cui calcolare in funzione di P la tensione σz; (d) tracciare il grafico di zxτ causata da Vξ sul tratto verticale e calcolarne il valore massimo; (e) calcolare il valore massimo della tensione tangenziale causata dal momento torcente T; f)calcolare lo spostamento del baricentro G. (

(a) (b) (c)

Fig. 9.93 - (a) Trave a mensola con carico concentrato P nell'estremo libero; (b) sezione trasversale della trave; (c) posizione del baricentro

SOLUZIONE: (a) caratteristiche inerziali della sezione: la sezione è simmetrica rispetto alla retta a 45° passante per il vertice della L, per cui il baricentro si trova su di essa. Essendo l'area del-la sezione A =2⋅12⋅500 = 12000 mm2, prendendo il momento statico rispetto alla etta orizzon-tale contenente il lato inferiore si ha (Fig. 9.93 c): r

GD =GS = mm12000

25050012=

⋅ ⋅ 125 momenti d'inerzia rispetto agli assi x ed y sono evidentemente uguali: I

48223 10125.3125500 ⋅

125−

121255001250012121 mmII yyxx ⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅==

I l momento centrifugo è dato da:

4810875.1)()125(5001212512550012 mmIxy ⋅=⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅= D all'Eq. (3.44) si ottengono le direzioni principali:

442

2tg π=α

π−=

25.1

α→−∞=−

−=α ηξyyxx

xyII

I

Le direzioni principali sono tracciate in Fig. 9.94 a, in cui agli assi ξ ed η è stato dato orien-tamento concorde con quello degli assi x ed y. Le Eqq. (3.48, 49) cadono in difetto in questo caso poiché Ixx − Iyy = 0; tuttavia, si perviene facilmente alla conclusione che il momento d'i-erzia massimo è Iξξ. L'Eq. (3.54) fornisce i momenti principali, che valgono: n

4848 10105 mmImmI ⋅=⋅= ηηξξ

Il centro di taglio è evidentemente il vertice della L: infatti, i flussi di tensioni tangenziali,

passando per questo punto, danno rispetto ad esso momento nullo. Questa proprietà è genera-le: se una sezione in parete sottile aperta è formata da più parti, che convergono tutte in un punto, questo è il centro di taglio della sezione.

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(a) (b) (c)

Fig. 9.94 - (a) Assi principali d'inerzia della sezione e scomposizione del taglio secondo questi; (b) scomposizione del vettore momento; (c) asse neutro e punto A di massima tensione normale

(b) Stabilita la posizione del centro di taglio, il momento torcente sulla sezione, costante ungo l'asse della trave è l

TT ⋅= 125 L e altre azioni interne sono:

zPzMPzV yx ⋅−== )()( Quindi, la sezione di incastro è soggetta al momento torcente ed al taglio, costanti lungo l'as-se ed al momento flettente My = −4000P.

Per calcolare le tensioni normali e le tensioni tangenziali dovute al taglio, è necessario scomporre secondo le direzioni principali sia la forza tagliante che il vettore momento yM

r:

tali semplici operazioni sono indicate graficamente rispettivamente nelle Figg. 9.94 a e b. Si ttiene: o

2224000

24000 PVPVPMPM =−==−= ηξηξ

Il momento Mξ è stato assunto negativo perché - si consideri il verso del vettore momento

ξMr

in Fig. 9.94 b e si applichi la regola dei vettori momento - tende le fibre nella zona di η

nega-tivo; invece, Mη tende le fibre nella zona di ξ positivo e, quindi, è assunto positivo. I agli (Fig. 9.94 a) sono assunti positivi se diretti nel verso positivo dell'asse corrispondente. t

(c) Per individuare il punto od i punti dove la tensione σz è massima o minima conviene deter-minare preliminarmente l'asse neutro: dall'Eq. (9.127) abbiamo

)100/9675(325818.143gcotarctg °−=−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−−=β

ηη

ξξ radII

L'asse neutro è tracciato in Fig. 9.94 c, da cui si trae chiaramente che il punto dove eseguire la verifica è il punto A, il più lontano dall'asse neutro. Le coordinate di A sono:

=ξ )(A AG ′ = AV ′ −VG ( ) −=η=−= )(212521252500 A AA′ 2500−= La tensione normale in A è data dall'Eq. (9.125) con x ≡ ξ, y ≡ η:

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(a) (b)

Fig. 9.95 - (a) Sezione ad L vista nel riferimento principale e grafico di τzs; (b) distanze per il calcolo del momento statico Sη

MpaII

PI

AMI

AMAz 9621251

25001

24000)()(

)( =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

−⋅−=

ξ⋅+

η⋅=σ

ηηξξηη

η

ξξ

ξ

(d) Ai fini del tracciamento del grafico di τzs dovuta al taglio Vξ osserviamo la sezione nel ri-ferimento principale (Fig. 9.95 a): il taglio agisce lungo l'asse di simmetria ξ, passando, quin-di, per il centro di taglio V, dove evidentemente τzs si annulla. Scegliamo l'origine della coor-dinata curvilinea s nel punto A, positiva nel verso indicato in Fig. 9.95 a. Poiché la distanza dall'asse η dei punti A ed A′ è ,212521252500 =−=ξs il momento statico rispetto a tale asse del tratto di profilo tra s = 0 ed s generica è (Fig. 9.95 b):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −ξ=η 4

125222)( stsstssS s

Pertanto, l'espressione di τzs lungo AV è:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅==τ

ηη

ξ

ηη

ηξ

41252

)()(

2ssIV

ItsSV

szs

La relazione dianzi scritta detta un andamento parabolico di τzs con massimo in s = 250, co-me si deduce facilmente dall'annullarsi di dτzs/ds per questo valore di s. Il valore massimo è:

MpaVzszs 828.210767767.1)0()250( 4 =⋅==ξτ=τ ξ−

Si noti che nelle espressioni precedenti il taglio Vξ è preso in valore assoluto. Il grafico di τzs lungo AV è tracciato in Fig. 9.95 a. Sul tratto A′V le tensioni tangenziali sono evidentemente ancora dirette verso V, quindi negative rispetto ad s, rispettando la proprietà di antisimmetria delle tensioni tangenziali in sezioni simmetriche simmetricamente caricate; in altri termini sul lato A′V τzs ha modulo uguale e segno opposto rispetto al lato AV. Evidentemente in V τzs = 0.

i lascia al lettore di determinare il grafico delle tensioni tangenziali dovute al taglio Vη. S (e) Per calcolare τzs da torsione la sezione è, come si è già visto, riguardabile sia come sezio-ne formata da più rettangoli che come sezione in parete sottile aperta. Con quest'ultimo ap-proccio le Eqq. (9.243, 244 b) danno:

MpaPPTzs 6.411066041.2

12)5002()31(12125 3

3)( =⋅=

⋅⋅⋅

⋅=τ −

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(a) (b) (c)

Fig. 9.96 - (a) Spostamento di G dovuto a Vξ (sezione libera); (b) spostamento di G dovuto a Vη; (c) spostamento di G dovuto a T

Si noti che le tensioni tangenziali da torsione sono costanti lungo il profilo perché è costante o spessore t. l

(f) Per calcolare lo spostamento del baricentro G nel piano della sezione libera, conviene utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti, calcolando separatamente gli sposta-menti dovuti a Vξ, Vη e T e poi sommandoli. Sia Vξ che Vη sono forze applicate nell'estremo libero di una mensola, agenti rispettivamente secondo un asse principale: lo spostamento dell'estremo libero di una mensola caricata da una forza nell'estremo stesso, diretta secondo un asse principale è dato dall'Eq. (10.30 a), che resta valida anche se l'origine delle coordinate posta nella sezione di incastro. Si ha, quindi: è

mmEILPLsmm

EILPLs 413.2

32),0,0(655.9

32),0,0(

33===−=

ξξη

ηηξ

valori calcolati con E = 200000 Mpa e ν = 0.30. Il segno negativo di sξ indica che lo sposta-mento avviene nel verso negativo di ξ; tuttavia, come si nota nei grafici di Fig. 9.95 a, b, sia sξ che sη hanno componente in direzione x positiva, mentre le componenti in direzione y hanno versi opposti. Si ha in definitiva:

( ) ( ) mmLsmmLv y 333.5413.2655.92

1),0,0(533.8413.2655.92

1)( −=+−==+=

Per quanto riguarda le componenti di spostamento causate dalla torsione, ci limitiamo a calcolare sx (Fig. 9.95 c): riferendo le rotazioni al centro di taglio, che è nel vertice V, lo spo-stamento è dato dall'Eq. (9.198 a), cioè ,)(' zyys Cx −θ−= essendo y − yC = 125 (mm). Neces-sita prima l'angolo unitario di torsione, che è:

( ) ( ) PE

PGIT

T

93 10821181.2

500100031)1(2125 −⋅−=

⋅⋅⋅

ν+⋅⋅⋅−==θ′

Si ha, allora, rispettivamente per sx dovuto alla torsione ed sx totale:

mmLs Tx 570.2240001251600010821181.2),0,0( 9)( =⋅⋅⋅⋅−= −

mmLs

totalex 103.31570.22533.8),0,0( =+= Supponendo che la trave in esame sia fatta di acciaio con 200≥σ Mpa, appare evidente da quanto trovato che la trave non è particolarmente sollecitata. Tuttavia, la freccia in direzione x è pari a 31.103/4000 = 0.0078, cioè è vicina a 1/100 della luce, valore notevole.

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