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Modulo TLC:TRASMISSIONI Modulazione numerica in banda base

1

8. 8. Sistemi di Modulazione Numericain banda-base


2

modulatore numerico

demodulatorenumerico

mezzo trasmissivo

segnale analogico

sequenza numerica

sequenza numerica

segnale analogico

...0010111001...

...0010011001...

affetto da errori

affetto da distorsioni e rumore

Modulazione e Demodulazione numerica

x(t)

r(t)


3Modulazione numerica: banda base e banda traslata

banda base

utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier

contenutain un intervallo di frequenza

contiguo allorigine

Mezzi trasmissivi in banda base

(es.: linea bifilare)

banda traslata

utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier

contenutain un intervallo di frequenzanon contiguo allorigine

Mezzi trasmissiviin banda traslata

(es.: trasmissioni radio)

f

X(f)

f

X(f)


4Schema di modulazione numerica in banda traslata

modulatore numerico in

banda traslata

demodulatorenumerico

(banda traslata)

mezzo trasmissivo

sequenza numerica

segnale analogicoin banda traslata

segnale analogicoin banda traslata

sequenza numerica

x(t)

r(t)


5

Rappresentazionedelle sequenze numerichemediante segnali analogici:I principi della modulazione

numerica


6

Una sequenza numerica rappresentata (dopo modulazione numerica) da un segnale fisico analogico:

Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE

t- 5 V

0 1 0 0 0 1 0 1

Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU

Potenza luminosa entrante in una fibra ottica

0 1 0 0 0 1 0 1

Rappresentazione delle sequenze numerichemediante segnali analogici (1/7)

P0

0

+ 5 V

t


7Rappresentazione delle sequenze numerichemediante segnali analogici (2/7)

... 0 1 0 0 0 1 0 1 Sequenze numeriche b(n)

(sequenza di simboli)sequenza di ampiezze a(n) (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza biunivoca: Es. +5 0 ; -5 1 )

...+5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5

impulsi di forma g(t) di ampiezza a(n) trasmessi negli istanti nT

asse dei tempi 0 T 2T 5T

+5

-5

a(0)g(t)

a(1)g(t-T)a(2)g(t-2T)

a(3)g(t-3T)

( ) )nTt(g )n(atxn

= +

=

t1

t


8

Esempio:

0 t

simboli: 0 1

ampiezze: P0 0

forma di impulso:

segnale analogico modulato numericamente:

Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (3/7)

0 T

g(t)

t1

( ) )nTt(g )n(atxn

= +

=

0 1 0 0 0 1 0 1

P0

x(t)


9

Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerica avente alfabeto di ordine , cio costituito da simboli arbitrari rappresentabili,

senza perdita di generalit, con i numeri naturali {0, 1, 2, ..., 1}intervallo di tempo tra simboli consecutivi : Tvelocit di emissione dei simboli: fs=1/T

Esso rappresentabile mediante il segnale analogico

Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (4/7)

( ) )nTt(g )n(atxn

= +

=

dove g(t) un segnale impulsivo, in molti casi limitato allintervallo (-T/2 , +T/2),

detto impulso sagomatore i valori a(n) sono estratti da un insieme di ampiezze di impulso (numeri

reali arbitrari), biunivocamente associati agli simboli dellalfabetoa(n) { a0 , a1 , a2 , ... , a-1 }


10Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (5/7)

Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0.

a

+1

-1

a

+1

-1

0

[ ]1 - , ... 2, 1, 0,i 1

i21ai ==

Un segnale numerico {b(n)} univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}.

a

+1

-1

+1/3

-1/3

simboli ampiezze di impulso0 a01 a1... ...

-1 a1

Esempi: = 2 = 3 = 4

Senza perdita di generalit,nel caso di =2assumeremo a0 =1, a1=-1.

b(n) a(n)



onda PAM

( ) )nTt(g )n(atxn

= +

=

PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso)

PROPRIETA DI BASE DELLONDA PAM

1. simboli b(n) diversi differenti valori a(n) della ampiezza degli impulsi

2.

3. La larghezza di banda dellonda PAM uguale a quella del segnale g(t)

2 2X(f) G(f)



Esempi di segnali PAM

segnale PAM x(t)Forma di impulso g(t)

Ampiezze di impulso ai(i=0,1,...,-1)

Ordine dellalfabeto

[+1, +1/3, -1/3, -1]4

[+1, 0, -1]3

[+1 , -1]2

-T/2 0 +T/2

1

-T/2 0 +T/2

1

-T/2 0 +T/2

1

0 T 2T

0 0 1 0

0 T 2T

0 0 1 2

0 T 2T

0 1 0 3


13

Transito dei segnali modulati numericamente (PAM) attraverso canali analogici di banda base


14

Obiettivi: 1. trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale

avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm;

2. ottenere elevata efficienza di utilizzazione della banda del canale, definita come:

Modulazione numerica in banda base

velocit di simbolo [(simboli/sec)/Hz]larghezza di banda del segnale modulato

s

m

ff

=

Una alta efficienza si ottiene impiegando impulsi sagomatori g(t) con occupazione di banda la pi piccola possibile


15

Segnale dalla sorgente

(rappres. PAM ideale)

Filtroformatore di impulso

con risposta impulsiva g(t)

Segnale PAM ideale

( ) )nTt( )n(atun

= +

=

( ) ( )tgtu)t(x =

Segnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)

( ) )nTt(g )n(atxn

= +

=

0 T 2T

0 0 1 0

0 t

0 0 1 0

Schema di principio di un modulatore PAM

t


16Modello di Canale lineare e permanente affetto da rumore additivo Gaussiano

Canalelineare e permanente

C(f) = FT [c(t)]passa-basso

C(f) = 0 per |f | > fm

+

rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densit di potenza

uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz)rumore Gaussiano bianco

z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita

dal canaleSegnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)

( ) )nTt(g )n(atxn

= +

=

0 T 2T

0 0 1 0

y(t) = x(t) * c(t)

n(t)


17Demodulatore PAM

z(t)segnale in

uscitadal canale

Filtro di ingressoal demodulatore

GR(f)

Campionatorenegli istanti

t = kT

Decisore

criterio di decisione

(k) sequenza

stimata delle ampiezzetrasmesse

w(t) = y(t) * gR(t) + (t)

= r(t) + (t)w(kT)

rumore filtrato

componenteutile

Il criterio qui applicato il seguente: w(kT) 0 a(k) = +1 ; w(kT) < 0 a(k) = -1 Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata.

Esempio: w(kT) +1,21 +0,66 -1,35 +1,17a(k) +1 +1 -1 +1 b(k) 0 0 1 0^^

( )* ( )Rn t g t

^^


18

Segnaledalla sorgente

Filtro formatore di impulso G(f)

( ) )nTt( )n(atun

= +

=

( ) ( )tgtu)t(x =

Canalelineare e permanente

C(f)+ z(t) = y(t) + n(t) =

= x(t)*c(t) + n(t)

Filtro di ingresso al demodulatore GR(f)

Campionatorenegli istanti t = kT

Decisore

sequenza (k)

w(t) = y(t) * gR(t) + (t)

w(kT)

n(t)

MODULATORE DEMODULATORE

CANALE

y(t)

Modulazione numerica in banda base


19

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) =

==

=

+

=n

R

R

R

nTtnath

tgtctgtutgtctx

tgtytr

)( )(

)(

con

risposta impulsiva della cascata di tre filtri: formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore

Per le funzioni di trasferimento: H(f) = G(f) C(f) GR(f)

( ) ( ) ( ) ( )tgtctgth R=

( ) )nTt(h )n(atrn

= +

=

Il segnale utile r(t) ancora un segnale

PAMcon forma di impulso

h(t)

w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + (t)

segnale utile rumore(filtrato)

Componente di segnale utile allingresso del campionatore


20

Demodulazione del segnale PAM

in assenza di rumore


21

Obiettivo: ricavare una stima {(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, }Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0 (t)=0

( ) ( ) ( ) ( ) )( )( nTthnatrttrtwn

==+=+

=

( )

+=

=

+

=

+

=

n

n

nTkThnahka

nTkThnakTw

)( )()0( )(

)( )(

, n k

Demodulazione in assenza di rumore

coincide con a(k) a meno della costante

(guadagno) h(0)

componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo lampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)

Interferenza intersimbolica (ISI)


22

1, k 0( )

0, k 0 per

h kTper

==

Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist:

si ha sempre w(kT) = a(k)

Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).

Interferenza intersimbolo e condizioni di Nyquist

( ) +=+

=nnTkThnahkakTw )( )()0( )(


23

Esempio:

Il segnale ricevuto alluscita del filtro di ricezione costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro.

Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la forma di impulso in ricezione, h(t), limitata nel tempo tra i valori T/2.

-T -T/2 +T/2 +T +2T

1

h(t)

-T -T/2 +T/2 +T +2T

1

w(t)

Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita). Il canale ha banda limitata (C(f) limitata in frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) GR(f) deve necessariamente essere limitata in frequenza ossia nulla per .

Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo

PROBLEMA

mf >f


24

1 0 ( )

0 per 0per k

h kTk

==

Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo

la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza

Tm

mH fT

+

=

=

Condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza

f

H(f)

-1/2T 0 +1/2Tf-2/T -1/T 0 +1/T +2/T

H(f) H(f-1/T) H(f-2/T)H(f+1/T)costante

Esempio:

T


25

Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce chenon possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di

f-1/2T 0 +1/2T

H(f)La somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di fN non pu mai dare luogo a una costante.

Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISI

Banda di Nyquist

2simbolo di velocit

2f

T21f sN ===


26

Una particolare forma di impulso h0(t) limitato in banda che soddisfa le condizioni di Nyquist

quella la cui trasformata di Fourier H0(f) la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T):

H0(f)

f

T

-1/2T 0 +1/2T

( )

>

=

2T1fper 02T1fper

0T

fH

h0(t)

t0 T 2T 3T 4T 5T 6T

Forma dimpulso di Nyquist a banda limitata - passa-basso di Nyquist

0

sin( )

tTh t t

T

=


27Forma dimpulso di Nyquist a banda limitata

Esempio:Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t)

h0(t)

t

t

r(t)

T0

+1

+1

-1

0

f

H0(f)

T

-1/2T 0 +1/2T


28

0 fN 2fN

H(f)

T = 0.3

= 0.6 = 1

= 0

( ) ( )

( )

T, per 0 (1 )

T 1 sin( ( )) , per 1 1 ( )2

0 per 1

N

n N N

N

f f

T f f f f fH f

f f

< + =

> +

fattore di roll-off, 0 < 1

Forma dimpulso di Nyquist a coseno rialzato


29

= 0.3 = 0.6 = 1

=0

0 T 2T 3T 4T

h(t)

t

1

Allaumentare del fattore di roll-off da 0 (filtro passabasso ideale) a 1


Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dellimpulso si smorzano pi rapidamente.

La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + )

Minore criticit nel campionamento in ricezione.

-4T -3T -2T -T


30

h(t)

T0

+1

t

h(t)

tT

0

+1

r(t)+1

-1

0 t

r(t)+1

-1

0 t


Esempio: Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato,( = 0 e = 1 )

= 0 = 1

Valori di di interesse operativo: 0,2 < < 0,6


31

Se la forma dellimpulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo (anche in assenza di rumori di canale).Esempio:Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli di h(kT), per k 0]

Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di ampiezza trasmessi 1]

+1

-1

T

T

Ricezione in presenza di interferenza intersimbolo


32Segnale PAM multilivello

I simboli sono associati ad ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad livelli)

velocit di simbolo binario fb

velocit di simbolo

sorgente binaria

conversione di alfabeto

2

modulatore PAM ad

livelli

canale in banda base

(freq. max. fm)

s sm2

f ff =2 2log

bs2

ff =log

Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).


33

Aumento dellefficienza spettrale Velocit di trasmissione dei simboli binari fb pi alta, a parit di banda fmoccupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parit di frequenza di simbolo binario fb.

Aumento della probabilit di errore in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa

della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso.

Vantaggi e svantaggi del PAM multilivello

Allaumentare del numero di livelli del segnale PAM utilizzato abbiamo che:


34

Demodulazione del segnale PAM

in presenza di rumore gaussiano


35Demodulazione PAM in presenza di rumore di canale

( ) ( ) ( ) ( )kTkakTkTrkTw +=+= )(

( ) ( ) ( ) ( )t)nTt(h )n(attrtwn

+=+= +

=

Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha

Variabile con a valori possibili Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza 2

( ) df fG N 2R-

02

+

=

Obiettivo: ricavare una stima {(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, }Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco

(Segnale allingresso del campionatore di ricezione)


36Decisione in presenza di rumore Gaussiano.Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)

w(kT)=a(k)+(kT)Problema: Misurato w(kT) w* all uscita del campionatore di ricezione, di possiamo calcolare una buona decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w* ?

Misurato w(kT) w*, si decide a favore della pi verosimile tra le ampiezze{a0 .. a-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quellampiezza aalla quale corrisponde la pi grande del seguente insieme di probabilitcondizionate {p[w* a(k)= a0 ],, p[w* a(k)= a-1]}.In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) quindi definita come segue:

a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]}

0 1i

Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD)


37

a(k)=argmin{(w*- ai) }

Decisione in presenza di rumore GaussianoDecisore a minima distanza Euclidea (2/3)

w(kT)=a(k)+(kT),

Poich la componente di rumore (kT) Gaussiana e a media nulla, si pu provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili valori {a0 a-1} assumibili da a(k) che pi vicino (ossia,dista di meno)dal valore misurato w(kT) w*.

Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente propriet:

2

0 i 1

IL Decisore MLD un decisore a minima distanza Euclidea


38Decisione in presenza di rumore Gaussiano Caso del 2-PAM (3/3)

w(kT)=a(k)+(kT)

Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di

modulazione PAM binario)

Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia,

equivalente) ad un decisore a soglia che decide a(k)=+1 quando

w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)


39Probabilit derrore in presenza di rumore gaussiano Caso 2-PAM

p [w(kT) | a(k) = -1]=

+1

-1

0

w(kT)

p [w(kT) | a(k) = +1]=

w(k) > 0

a(k) = -1

(kT) > +1

w(kT) = a(kT) + (kT) > 0

(kT) = +1 a(kT) errore

a(k)

( )| 10

| 1 eP p w a k dw+

= = =

( ) ee PPdp === ++

1|1

Probabilit di errore(area tratteggiatain figura)Densit di probabilit gaussiana

p [=w(kT)-1]

p [=w(kT)+1]


40

w(kT)

valori di ampiezza possibili -A -A/3 +A/3 +A

livelli di decisione -2A/3 0 +2A/3(criterio MLD)

Esempio:

= 4

Probabilit derrore nel PAM multilivello Caso 4-PAM (1/2)


41Probabilit derrore nel PAM multilivello Caso 4-PAM (2/2)

( ) e3/A

* P2d p2Pe

==

+

( )[ ] eeee P12P2P2 21P

=+

=

Probabilit derrore:per le due ampiezze estreme (area )

per unampiezza interna (somma delle due aree )

Probabilit derrore media(per simboli equiprobabili)

Formula generale( ) =

+

d pP3/A

e

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