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Modulo TLC:TRASMISSIONI Modulazione numerica in banda base 1 8. 8. Sistemi di Modulazione Numerica in banda-base

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

1

8. 8. Sistemi di Modulazione Numericain banda-base

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

2

modulatore numerico

demodulatorenumerico

mezzo trasmissivo

segnale analogico

sequenza numerica

sequenza numerica

segnale analogico

...0010111001...

...0010011001...

affetto da errori

affetto da distorsioni e rumore

Modulazione e Demodulazione numerica

x(t)

r(t)

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

3Modulazione numerica: banda base e banda traslata

banda base

utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier

contenutain un intervallo di frequenza

contiguo all’origine

Mezzi trasmissivi in banda base

(es.: linea bifilare)

banda traslata

utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier

contenutain un intervallo di frequenzanon contiguo all’origine

Mezzi trasmissiviin banda traslata

(es.: trasmissioni radio)

f

X(f)

f

X(f)

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

4Schema di modulazione numerica in banda traslata

modulatore numerico in

banda traslata

demodulatorenumerico

(banda traslata)

mezzo trasmissivo

sequenza numerica

segnale analogicoin banda traslata

segnale analogicoin banda traslata

sequenza numerica

x(t)

r(t)

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

5

Rappresentazionedelle sequenze numerichemediante segnali analogici:I principi della modulazione

numerica

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

6

Una sequenza numerica è rappresentata (dopo modulazione numerica) da un segnale fisico analogico:

Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE

t- 5 V

0 1 0 0 0 1 0 1 …

Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU

Potenza luminosa entrante in una fibra ottica

0 1 0 0 0 1 0 1 …

Rappresentazione delle sequenze numerichemediante segnali analogici (1/7)

P0

0

+ 5 V

t

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

7Rappresentazione delle sequenze numerichemediante segnali analogici (2/7)

... 0 1 0 0 0 1 0 1 …Sequenze numeriche b(n) →

(sequenza di simboli)sequenza di ampiezze a(n) →(valori associati ai simboli secondo una corrispondenza biunivoca: Es. +5 ⇔ 0 ; -5 ⇔ 1 )

...+5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 …

impulsi →di forma g(t) di ampiezza a(n) trasmessi negli istanti nT

asse dei tempi → 0 T 2T 5T

+5

-5

a(0)g(t)

a(1)g(t-T)a(2)g(t-2T)

a(3)g(t-3T)

( ) )nTt(g )n(atxn

−= ∑∞+

−∞=

t1

t

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8

Esempio:

0 t

simboli: 0 1

ampiezze: P0 0

forma di impulso:

segnale analogico modulato numericamente:

Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (3/7)

0 T

g(t)

t1

( ) )nTt(g )n(atxn

−= ∑∞+

−∞=

0 1 0 0 0 1 0 1 …

P0

x(t)

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9

Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerica avente alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili,

senza perdita di generalità, con i numeri naturali {0, 1, 2, ..., α –1}intervallo di tempo tra simboli consecutivi : Tvelocità di emissione dei simboli: fs=1/T

Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico

Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (4/7)

( ) )nTt(g )n(atxn

−= ∑∞+

−∞=

dove g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all’intervallo (-T/2 , +T/2),

detto impulso sagomatore i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze di impulso (numeri

reali arbitrari), biunivocamente associati agli α simboli dell’alfabetoa(n) ∈ { a0 , a1 , a2 , ... , aα-1 }

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10Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (5/7)

Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0.

a

+1

-1

a

+1

-1

0

[ ]1 - , ... 2, 1, 0,i 1

i21ai α=−α

−=

Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}.

a

+1

-1

+1/3

-1/3

simboli ampiezze di impulso0 a01 a1... ...

α -1 aα−1

Esempi:α = 2 α = 3 α = 4

Senza perdita di generalità,nel caso di α=2assumeremo a0 =1, a1=-1.

b(n) a(n)

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11Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (6/7)

onda PAM

( ) )nTt(g )n(atxn

−= ∑∞+

−∞=

PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso)

PROPRIETA’ DI BASE DELL’ONDA PAM

1. simboli b(n) diversi ⇔ differenti valori a(n) della ampiezza degli impulsi

2.

3. La larghezza di banda dell’onda PAM è uguale a quella del segnale g(t)

2 2X(f) G(f)∝

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12Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (7/7)

Esempi di segnali PAM

segnale PAM x(t)Forma di impulso g(t)

Ampiezze di impulso ai(i=0,1,...,α-1)

Ordine dell’alfabeto α

[+1, +1/3, -1/3, -1]4

[+1, 0, -1]3

[+1 , -1]2

-T/2 0 +T/2

1

-T/2 0 +T/2

1

-T/2 0 +T/2

1

0 T 2T

0 0 1 0

0 T 2T

0 0 1 2

0 T 2T

0 1 0 3

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Transito dei segnali modulati numericamente (PAM) attraverso canali analogici di banda base

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

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Obiettivi: 1. trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale

avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm;

2. ottenere elevata efficienza di utilizzazione della banda del canale, definita come:

Modulazione numerica in banda base

velocità di simbolo [(simboli/sec)/Hz]larghezza di banda del segnale modulato

s

m

ff

=

Una alta efficienza si ottiene impiegando impulsi sagomatori g(t) con occupazione di banda la più piccola possibile

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Segnale dalla sorgente

(rappres. PAM ideale)

Filtroformatore di impulso

con risposta impulsiva g(t)

Segnale PAM ideale

( ) )nTt( )n(atun

−δ= ∑∞+

−∞=

( ) ( )tgtu)t(x ∗=

Segnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)

( ) )nTt(g )n(atxn

−= ∑∞+

−∞=

0 T 2T

0 0 1 0

0 t

0 0 1 0

Schema di principio di un modulatore PAM

t

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16Modello di Canale lineare e permanente affetto da rumore additivo Gaussiano

Canalelineare e permanente

C(f) = FT [c(t)]passa-basso

C(f) = 0 per |f | > fm

+

rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di potenza

uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz)“rumore Gaussiano bianco”

z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita

dal canaleSegnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)

( ) )nTt(g )n(atxn

−= ∑∞+

−∞=

0 T 2T

0 0 1 0

y(t) = x(t) * c(t)

n(t)

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17Demodulatore PAM

z(t)segnale in

uscitadal canale

Filtro di ingressoal demodulatore

GR(f)

Campionatorenegli istanti

t = kT

Decisore

criterio di decisione

â(k) sequenza

stimata delle ampiezzetrasmesse

w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)

= r(t) + η(t)w(kT)

rumore filtrato

componenteutile

Il criterio qui applicato è il seguente: w(kT) ≥ 0 → a(k) = +1 ; w(kT) < 0 → a(k) = -1 Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata.

Esempio: w(kT) → +1,21 +0,66 -1,35 +1,17a(k) → +1 +1 -1 +1 b(k) → 0 0 1 0^^

( )* ( )Rn t g t

^^

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18

Segnaledalla sorgente

Filtro formatore di impulso G(f)

( ) )nTt( )n(atun

−δ= ∑∞+

−∞=

( ) ( )tgtu)t(x ∗=

Canalelineare e permanente

C(f)+ z(t) = y(t) + n(t) =

= x(t)*c(t) + n(t)

Filtro di ingresso al demodulatore GR(f)

Campionatorenegli istanti t = kT

Decisore

sequenza â(k)

w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)

w(kT)

n(t)

MODULATORE DEMODULATORE

CANALE

y(t)

Modulazione numerica in banda base

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

19

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∑ −∗=

∗∗∗=∗∗=

∗=

∞+

−∞=n

R

R

R

nTtnath

tgtctgtutgtctx

tgtytr

)( )(

)(

δ

con

risposta impulsiva della cascata di tre filtri: formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore

Per le funzioni di trasferimento: H(f) = G(f) C(f) GR(f)

( ) ( ) ( ) ( )tgtctgth R∗∗=

( ) )nTt(h )n(atrn

−= ∑∞+

−∞=

Il segnale utile r(t) èancora un segnale

PAMcon forma di impulso

h(t)

w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + η(t)

segnale utile rumore(filtrato)

Componente di segnale utile all’ingresso del campionatore

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Demodulazione del segnale PAM

in assenza di rumore

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Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0⇒ η(t)=0

( ) ( ) ( ) ( ) )( )( nTthnatrttrtwn

−∑==+=∞+

−∞=η

( )

∑ −+=

−∑=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

n

n

nTkThnahka

nTkThnakTw

)( )()0( )(

)( )(

, n ≠ k

Demodulazione in assenza di rumore

coincide con a(k) a meno della costante

(guadagno) h(0)

componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l’ampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)

Interferenza intersimbolica (ISI)

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

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1, k 0( )

0, k 0 per

h kTper

=⎧= ⎨ ≠⎩

Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist:

si ha sempre w(kT) = a(k)

Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).

Interferenza intersimbolo e condizioni di Nyquist

( ) ∑ −+=∞+

−∞=nnTkThnahkakTw )( )()0( )(

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

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Esempio:

Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro.

Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo tra i valori ±T/2.

-T -T/2 +T/2 +T +2T

1

h(t)

-T -T/2 +T/2 +T +2T

1

w(t)

• Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita).• Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) GR(f) deve necessariamente essere limitata in frequenza ossia nulla per .

Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo

PROBLEMA

mf >f

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

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1 0 ( )

0 per 0per k

h kTk

=⎧= ⎨ ≠⎩

Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo

la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza

Tm

mH fT

+∞

=−∞

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

Condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza

f

H(f)

-1/2T 0 +1/2Tf-2/T -1/T 0 +1/T +2/T

H(f) H(f-1/T) H(f-2/T)H(f+1/T)costante

Esempio:

T

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

25

Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce chenon è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di

f-1/2T 0 +1/2T

H(f)La somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di fN non può mai dare luogo a una costante.

Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISI

Banda di Nyquist

2simbolo di velocità

2f

T21f s

N ===

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

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Una particolare forma di impulso h0(t) limitato in banda che soddisfa le condizioni di Nyquist

è quella la cui trasformata di Fourier H0(f) è la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T):

H0(f)

f

T

-1/2T 0 +1/2T

( )⎪⎩

⎪⎨

>

≤=

2T1fper 02T1fper

0T

fH

h0(t)

t0 T 2T 3T 4T 5T 6T

Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata - passa-basso di Nyquist

0

sin( )

tTh t t

T

⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠=π

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27Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata

Esempio:Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t)

h0(t)

t

t

r(t)

T0

+1

+1

-1

0

f

H0(f)

T

-1/2T 0 +1/2T

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

28

0 fN 2fN

H(f)

Tγ = 0.3

γ = 0.6γ = 1

γ = 0

( ) ( )

( )

T, per 0 (1 )

T 1 sin( ( )) , per 1 1 ( )2

0 per 1

N

n N N

N

f f

T f f f f fH f

f f

≤ ≤ − γ

⎡ ⎤π− − − γ ≤ < + γ= ⎢ ⎥γ⎣ ⎦

> + γ

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

γ fattore di roll-off, 0 < γ ≤ 1

Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

29

γ = 0.3γ = 0.6γ = 1

γ =0

0 T 2T 3T 4T

h(t)

t

1

All’aumentare del fattore di roll-off γ da 0 (filtro passabasso ideale) a 1

Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato

Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano più rapidamente.

La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + γ)

Minore criticità nel campionamento in ricezione.

-4T -3T -2T -T

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

30

h(t)

T0

+1

t

h(t)

tT

0

+1

r(t)+1

-1

0 t

r(t)+1

-1

0 t

Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato

Esempio: Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato,( γ = 0 e γ = 1 )

γ = 0 γ = 1

Valori di γ di interesse operativo: 0,2 < γ < 0,6

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

31

Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo (anche in assenza di rumori di canale).Esempio:Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli di h(kT), per k ≠ 0]

Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di ampiezza trasmessi ±1]

+1

-1

T

T

Ricezione in presenza di interferenza intersimbolo

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32Segnale PAM multilivello

I simboli sono associati ad α ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad α livelli)

velocità di simbolo binario fb

velocità di simbolo

sorgente binaria

conversione di alfabeto

2 → α

modulatore PAM ad α

livelli

canale in banda base

(freq. max. fm)

≥ s sm

2

f ff =2 2log α

bs2

ff =log α

Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

33

Aumento dell’efficienza spettrale Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità di banda fmoccupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario fb.

Aumento della probabilità di errore in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa

della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso.

Vantaggi e svantaggi del PAM multilivello

All’aumentare del numero di livelli α del segnale PAM utilizzato abbiamo che:

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

34

Demodulazione del segnale PAM

in presenza di rumore gaussiano

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

35Demodulazione PAM in presenza di rumore di canale

( ) ( ) ( ) ( )kTkakTkTrkTw ηη +=+= )(

( ) ( ) ( ) ( )t)nTt(h )n(attrtwn

η+−=η+= ∑∞+

−∞=

Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha

Variabile con a valori possibili Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza ση

2

( ) df fG N 2R

-

02 ∫

∞+

η =σ

Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco

(Segnale all’ingresso del campionatore di ricezione)

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36Decisione in presenza di rumore Gaussiano.Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)

w(kT)=a(k)+η(kT)

Problema: Misurato w(kT) w* all’ uscita del campionatore di ricezione, di possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w* ? ≡

•Misurato w(kT) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze{a0 .. aα-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell’ampiezza aalla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilitàcondizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aα-1]}.•In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue:

a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]}

≡∧

≡∧

0 1i≤ ≤ α −

Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD)

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

37

a(k)=argmin{(w*- ai) }

Decisione in presenza di rumore GaussianoDecisore a minima distanza Euclidea (2/3)

w(kT)=a(k)+η(kT),

• Poiché la componente di rumore η(kT) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α valori {a0… aα-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia,dista di meno)dal valore misurato w(kT) w*.

• Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà: ≡

2

0 i 1≤ ≤ α −

IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea

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38Decisione in presenza di rumore Gaussiano Caso del 2-PAM (3/3)

w(kT)=a(k)+η(kT)

•Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di

modulazione PAM binario)

•Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia,

è equivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando

w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)<0, in accordo alla relazione

±

≥+1, -1,

per w(kT) 0per w(kT) 0

⎫⎧ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎪⎭

≥≤

• Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo

come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità:

Pe P(a(k) a(k)).

∧a(k)= (2-PAM)∧

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

39Probabilità d’errore in presenza di rumore gaussiano Caso 2-PAM

p [w(kT) | a(k) = -1]=

+1

-1

0

w(kT)

p [w(kT) | a(k) = +1]=

w(k) > 0

a(k) = -1

η(kT) > +1

w(kT) = a(kT) + η(kT) > 0↓

â(kT) = +1 ≠ a(kT) “errore”

a(k)

( )| 1

0

| 1 eP p w a k dw+∞

− ⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦∫

( ) ee PPdp ==∫= +∞+

1|1

ηηη

Probabilità di errore(area tratteggiatain figura)Densità di probabilità gaussiana

pη [η=w(kT)-1]

pη [η=w(kT)+1]

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

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w(kT)

valori di ampiezza possibili → -A -A/3 +A/3 +A

livelli di decisione → -2A/3 0 +2A/3(criterio MLD)

Esempio:

α = 4

Probabilità d’errore nel PAM multilivello Caso 4-PAM (1/2)

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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base

41Probabilità d’errore nel PAM multilivello Caso 4-PAM (2/2)

( ) e

3/A

* P2d p2Pe

=ηη= η

∞+

∫ ( )[ ] eeee P12P2P2 21Pα−α

=+−αα

=

Probabilità d’errore:per le due ampiezze estreme →(area )

per un’ampiezza interna →(somma delle due aree )

Probabilità d’errore media(per simboli equiprobabili)

Formula generale( ) ηη= η

∞+

∫ d pP3/A

e