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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
1
8. 8. Sistemi di Modulazione Numericain banda-base
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
2
modulatore numerico
demodulatorenumerico
mezzo trasmissivo
segnale analogico
sequenza numerica
sequenza numerica
segnale analogico
...0010111001...
...0010011001...
affetto da errori
affetto da distorsioni e rumore
Modulazione e Demodulazione numerica
x(t)
r(t)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
3Modulazione numerica: banda base e banda traslata
banda base
utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier
contenutain un intervallo di frequenza
contiguo all’origine
Mezzi trasmissivi in banda base
(es.: linea bifilare)
banda traslata
utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier
contenutain un intervallo di frequenzanon contiguo all’origine
Mezzi trasmissiviin banda traslata
(es.: trasmissioni radio)
f
X(f)
f
X(f)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
4Schema di modulazione numerica in banda traslata
modulatore numerico in
banda traslata
demodulatorenumerico
(banda traslata)
mezzo trasmissivo
sequenza numerica
segnale analogicoin banda traslata
segnale analogicoin banda traslata
sequenza numerica
x(t)
r(t)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
5
Rappresentazionedelle sequenze numerichemediante segnali analogici:I principi della modulazione
numerica
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Una sequenza numerica è rappresentata (dopo modulazione numerica) da un segnale fisico analogico:
Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE
t- 5 V
0 1 0 0 0 1 0 1 …
Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU
Potenza luminosa entrante in una fibra ottica
0 1 0 0 0 1 0 1 …
Rappresentazione delle sequenze numerichemediante segnali analogici (1/7)
P0
0
+ 5 V
t
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
7Rappresentazione delle sequenze numerichemediante segnali analogici (2/7)
... 0 1 0 0 0 1 0 1 …Sequenze numeriche b(n) →
(sequenza di simboli)sequenza di ampiezze a(n) →(valori associati ai simboli secondo una corrispondenza biunivoca: Es. +5 ⇔ 0 ; -5 ⇔ 1 )
...+5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 …
impulsi →di forma g(t) di ampiezza a(n) trasmessi negli istanti nT
asse dei tempi → 0 T 2T 5T
+5
-5
a(0)g(t)
a(1)g(t-T)a(2)g(t-2T)
a(3)g(t-3T)
( ) )nTt(g )n(atxn
−= ∑∞+
−∞=
t1
t
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Esempio:
0 t
simboli: 0 1
ampiezze: P0 0
forma di impulso:
segnale analogico modulato numericamente:
Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (3/7)
0 T
g(t)
t1
( ) )nTt(g )n(atxn
−= ∑∞+
−∞=
0 1 0 0 0 1 0 1 …
P0
x(t)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerica avente alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili,
senza perdita di generalità, con i numeri naturali {0, 1, 2, ..., α –1}intervallo di tempo tra simboli consecutivi : Tvelocità di emissione dei simboli: fs=1/T
Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico
Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (4/7)
( ) )nTt(g )n(atxn
−= ∑∞+
−∞=
dove g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all’intervallo (-T/2 , +T/2),
detto impulso sagomatore i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze di impulso (numeri
reali arbitrari), biunivocamente associati agli α simboli dell’alfabetoa(n) ∈ { a0 , a1 , a2 , ... , aα-1 }
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
10Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (5/7)
Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0.
a
+1
-1
a
+1
-1
0
[ ]1 - , ... 2, 1, 0,i 1
i21ai α=−α
−=
Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}.
a
+1
-1
+1/3
-1/3
simboli ampiezze di impulso0 a01 a1... ...
α -1 aα−1
Esempi:α = 2 α = 3 α = 4
Senza perdita di generalità,nel caso di α=2assumeremo a0 =1, a1=-1.
b(n) a(n)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
11Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (6/7)
onda PAM
( ) )nTt(g )n(atxn
−= ∑∞+
−∞=
PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso)
PROPRIETA’ DI BASE DELL’ONDA PAM
1. simboli b(n) diversi ⇔ differenti valori a(n) della ampiezza degli impulsi
2.
3. La larghezza di banda dell’onda PAM è uguale a quella del segnale g(t)
2 2X(f) G(f)∝
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12Rappresentazione delle sequenze numeriche mediante segnali analogici (7/7)
Esempi di segnali PAM
segnale PAM x(t)Forma di impulso g(t)
Ampiezze di impulso ai(i=0,1,...,α-1)
Ordine dell’alfabeto α
[+1, +1/3, -1/3, -1]4
[+1, 0, -1]3
[+1 , -1]2
-T/2 0 +T/2
1
-T/2 0 +T/2
1
-T/2 0 +T/2
1
0 T 2T
0 0 1 0
0 T 2T
0 0 1 2
0 T 2T
0 1 0 3
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Transito dei segnali modulati numericamente (PAM) attraverso canali analogici di banda base
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Obiettivi: 1. trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale
avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm;
2. ottenere elevata efficienza di utilizzazione della banda del canale, definita come:
Modulazione numerica in banda base
velocità di simbolo [(simboli/sec)/Hz]larghezza di banda del segnale modulato
s
m
ff
=
Una alta efficienza si ottiene impiegando impulsi sagomatori g(t) con occupazione di banda la più piccola possibile
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Segnale dalla sorgente
(rappres. PAM ideale)
Filtroformatore di impulso
con risposta impulsiva g(t)
Segnale PAM ideale
( ) )nTt( )n(atun
−δ= ∑∞+
−∞=
( ) ( )tgtu)t(x ∗=
Segnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)
( ) )nTt(g )n(atxn
−= ∑∞+
−∞=
0 T 2T
0 0 1 0
0 t
0 0 1 0
Schema di principio di un modulatore PAM
t
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
16Modello di Canale lineare e permanente affetto da rumore additivo Gaussiano
Canalelineare e permanente
C(f) = FT [c(t)]passa-basso
C(f) = 0 per |f | > fm
+
rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di potenza
uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz)“rumore Gaussiano bianco”
z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita
dal canaleSegnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)
( ) )nTt(g )n(atxn
−= ∑∞+
−∞=
0 T 2T
0 0 1 0
y(t) = x(t) * c(t)
n(t)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
17Demodulatore PAM
z(t)segnale in
uscitadal canale
Filtro di ingressoal demodulatore
GR(f)
Campionatorenegli istanti
t = kT
Decisore
criterio di decisione
â(k) sequenza
stimata delle ampiezzetrasmesse
w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)
= r(t) + η(t)w(kT)
rumore filtrato
componenteutile
Il criterio qui applicato è il seguente: w(kT) ≥ 0 → a(k) = +1 ; w(kT) < 0 → a(k) = -1 Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata.
Esempio: w(kT) → +1,21 +0,66 -1,35 +1,17a(k) → +1 +1 -1 +1 b(k) → 0 0 1 0^^
( )* ( )Rn t g t
^^
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Segnaledalla sorgente
Filtro formatore di impulso G(f)
( ) )nTt( )n(atun
−δ= ∑∞+
−∞=
( ) ( )tgtu)t(x ∗=
Canalelineare e permanente
C(f)+ z(t) = y(t) + n(t) =
= x(t)*c(t) + n(t)
Filtro di ingresso al demodulatore GR(f)
Campionatorenegli istanti t = kT
Decisore
sequenza â(k)
w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)
w(kT)
n(t)
MODULATORE DEMODULATORE
CANALE
y(t)
Modulazione numerica in banda base
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ∑ −∗=
∗∗∗=∗∗=
∗=
∞+
−∞=n
R
R
R
nTtnath
tgtctgtutgtctx
tgtytr
)( )(
)(
δ
con
risposta impulsiva della cascata di tre filtri: formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore
Per le funzioni di trasferimento: H(f) = G(f) C(f) GR(f)
( ) ( ) ( ) ( )tgtctgth R∗∗=
( ) )nTt(h )n(atrn
−= ∑∞+
−∞=
Il segnale utile r(t) èancora un segnale
PAMcon forma di impulso
h(t)
w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + η(t)
segnale utile rumore(filtrato)
Componente di segnale utile all’ingresso del campionatore
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Demodulazione del segnale PAM
in assenza di rumore
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0⇒ η(t)=0
( ) ( ) ( ) ( ) )( )( nTthnatrttrtwn
−∑==+=∞+
−∞=η
( )
∑ −+=
−∑=
∞+
−∞=
∞+
−∞=
n
n
nTkThnahka
nTkThnakTw
)( )()0( )(
)( )(
, n ≠ k
Demodulazione in assenza di rumore
coincide con a(k) a meno della costante
(guadagno) h(0)
componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l’ampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)
Interferenza intersimbolica (ISI)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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1, k 0( )
0, k 0 per
h kTper
=⎧= ⎨ ≠⎩
Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist:
si ha sempre w(kT) = a(k)
Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).
Interferenza intersimbolo e condizioni di Nyquist
( ) ∑ −+=∞+
−∞=nnTkThnahkakTw )( )()0( )(
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Esempio:
Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro.
Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo tra i valori ±T/2.
-T -T/2 +T/2 +T +2T
1
h(t)
-T -T/2 +T/2 +T +2T
1
w(t)
• Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita).• Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) GR(f) deve necessariamente essere limitata in frequenza ossia nulla per .
Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo
PROBLEMA
mf >f
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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1 0 ( )
0 per 0per k
h kTk
=⎧= ⎨ ≠⎩
Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo
la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza
Tm
mH fT
+∞
=−∞
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
Condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza
f
H(f)
-1/2T 0 +1/2Tf-2/T -1/T 0 +1/T +2/T
H(f) H(f-1/T) H(f-2/T)H(f+1/T)costante
Esempio:
T
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce chenon è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di
f-1/2T 0 +1/2T
H(f)La somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di fN non può mai dare luogo a una costante.
Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISI
Banda di Nyquist
2simbolo di velocità
2f
T21f s
N ===
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Una particolare forma di impulso h0(t) limitato in banda che soddisfa le condizioni di Nyquist
è quella la cui trasformata di Fourier H0(f) è la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T):
H0(f)
f
T
-1/2T 0 +1/2T
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤=
2T1fper 02T1fper
0T
fH
h0(t)
t0 T 2T 3T 4T 5T 6T
Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata - passa-basso di Nyquist
0
sin( )
tTh t t
T
⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠=π
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
27Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata
Esempio:Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t)
h0(t)
t
t
r(t)
T0
+1
+1
-1
0
f
H0(f)
T
-1/2T 0 +1/2T
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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0 fN 2fN
H(f)
Tγ = 0.3
γ = 0.6γ = 1
γ = 0
( ) ( )
( )
T, per 0 (1 )
T 1 sin( ( )) , per 1 1 ( )2
0 per 1
N
n N N
N
f f
T f f f f fH f
f f
≤ ≤ − γ
⎡ ⎤π− − − γ ≤ < + γ= ⎢ ⎥γ⎣ ⎦
> + γ
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
γ fattore di roll-off, 0 < γ ≤ 1
Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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γ = 0.3γ = 0.6γ = 1
γ =0
0 T 2T 3T 4T
h(t)
t
1
All’aumentare del fattore di roll-off γ da 0 (filtro passabasso ideale) a 1
Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato
Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano più rapidamente.
La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + γ)
Minore criticità nel campionamento in ricezione.
-4T -3T -2T -T
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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h(t)
T0
+1
t
h(t)
tT
0
+1
r(t)+1
-1
0 t
r(t)+1
-1
0 t
Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato
Esempio: Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato,( γ = 0 e γ = 1 )
γ = 0 γ = 1
Valori di γ di interesse operativo: 0,2 < γ < 0,6
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
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Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo (anche in assenza di rumori di canale).Esempio:Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli di h(kT), per k ≠ 0]
Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di ampiezza trasmessi ±1]
+1
-1
T
T
Ricezione in presenza di interferenza intersimbolo
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
32Segnale PAM multilivello
I simboli sono associati ad α ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad α livelli)
velocità di simbolo binario fb
velocità di simbolo
sorgente binaria
conversione di alfabeto
2 → α
modulatore PAM ad α
livelli
canale in banda base
(freq. max. fm)
≥ s sm
2
f ff =2 2log α
bs2
ff =log α
Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
33
Aumento dell’efficienza spettrale Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità di banda fmoccupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario fb.
Aumento della probabilità di errore in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa
della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso.
Vantaggi e svantaggi del PAM multilivello
All’aumentare del numero di livelli α del segnale PAM utilizzato abbiamo che:
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
34
Demodulazione del segnale PAM
in presenza di rumore gaussiano
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
35Demodulazione PAM in presenza di rumore di canale
( ) ( ) ( ) ( )kTkakTkTrkTw ηη +=+= )(
( ) ( ) ( ) ( )t)nTt(h )n(attrtwn
η+−=η+= ∑∞+
−∞=
Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha
Variabile con a valori possibili Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza ση
2
( ) df fG N 2R
-
02 ∫
∞
∞+
η =σ
Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco
(Segnale all’ingresso del campionatore di ricezione)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
36Decisione in presenza di rumore Gaussiano.Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)
w(kT)=a(k)+η(kT)
Problema: Misurato w(kT) w* all’ uscita del campionatore di ricezione, di possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w* ? ≡
•Misurato w(kT) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze{a0 .. aα-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell’ampiezza aalla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilitàcondizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aα-1]}.•In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue:
a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]}
≡∧
∧
≡∧
0 1i≤ ≤ α −
Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
37
a(k)=argmin{(w*- ai) }
Decisione in presenza di rumore GaussianoDecisore a minima distanza Euclidea (2/3)
w(kT)=a(k)+η(kT),
• Poiché la componente di rumore η(kT) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α valori {a0… aα-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia,dista di meno)dal valore misurato w(kT) w*.
• Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà: ≡
2
0 i 1≤ ≤ α −
IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea
∧
∧
∧
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
38Decisione in presenza di rumore Gaussiano Caso del 2-PAM (3/3)
w(kT)=a(k)+η(kT)
•Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di
modulazione PAM binario)
•Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia,
è equivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando
w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)<0, in accordo alla relazione
±
≥+1, -1,
per w(kT) 0per w(kT) 0
⎫⎧ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎪⎭
≥≤
• Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo
come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità:
Pe P(a(k) a(k)).
∧
∧
≠
∧a(k)= (2-PAM)∧
∧
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
39Probabilità d’errore in presenza di rumore gaussiano Caso 2-PAM
p [w(kT) | a(k) = -1]=
+1
-1
0
w(kT)
p [w(kT) | a(k) = +1]=
w(k) > 0
a(k) = -1
η(kT) > +1
w(kT) = a(kT) + η(kT) > 0↓
â(kT) = +1 ≠ a(kT) “errore”
a(k)
( )| 1
0
| 1 eP p w a k dw+∞
− ⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦∫
( ) ee PPdp ==∫= +∞+
1|1
ηηη
Probabilità di errore(area tratteggiatain figura)Densità di probabilità gaussiana
pη [η=w(kT)-1]
pη [η=w(kT)+1]
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
40
w(kT)
valori di ampiezza possibili → -A -A/3 +A/3 +A
livelli di decisione → -2A/3 0 +2A/3(criterio MLD)
Esempio:
α = 4
Probabilità d’errore nel PAM multilivello Caso 4-PAM (1/2)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
41Probabilità d’errore nel PAM multilivello Caso 4-PAM (2/2)
( ) e
3/A
* P2d p2Pe
=ηη= η
∞+
∫ ( )[ ] eeee P12P2P2 21Pα−α
=+−αα
=
Probabilità d’errore:per le due ampiezze estreme →(area )
per un’ampiezza interna →(somma delle due aree )
Probabilità d’errore media(per simboli equiprobabili)
Formula generale( ) ηη= η
∞+
∫ d pP3/A
e