1

7. Dipendenza ed indipendenza lineare.

7.1. Osservazione. In generale, (α∗u) ⊥ v ≠ α∗(u ⊥ v). Infatti

(α∗u) ⊥ v = α∗(u ⊥ v) ⇔ (α∗u) ⊥ v = (α∗u) ⊥ (α∗v) ⇔ v = α∗v ⇔ 1*v = α∗v ⇔ v = 0 vel α = 1

7.2. Esempio. Si ha che 2⊗[(1, 0,-2, 5) ⊕ (2,-1, 0, 12)] = 2⊗(3, -1,-2, 17) = (6, -2, -4, 34)

Mentre [2⊗(1, 0,-2, 5)] ⊕ (2,-1, 0, 12) = (2, 0, -4, 10) ⊕ (2,-1, 0, 12) = (4, -1, -4, 22)

Tenendo conto dell’osservazione 7.1 diamo la seguente

7.3. Definizione. Stabiliamo che, in mancanza di parentesi, l’operazione * sia prioritaria rispetto

all’operazione ⊥. Ovvero, stabiliamo che α∗u ⊥ v := (α∗u) ⊥ v.

7.4. Definizione. Indicato brevemente con VR uno spazio vettoriale reale (V, ⊥, ∗), chiameremo

espressione vettoriale in VR una qualunque scrittura, che abbia senso, nella quale possono apparire:

- elementi di V (che si dicono vettori) e numeri reali (che si dicono scalari);

- operazioni ⊥ tra vettori;

- operazioni ∗ tra scalari e vettori;

- operazioni di somma e prodotto tra numeri reali;

- parentesi e il segno di uguaglianza.

7.5. Osservazione. Le proprietà (G1), (G2), …, (G12) e (PS1), (PS2), …, (PS12) di uno spazio

vettoriale reale ci permettono di “manipolare” un’espressione vettoriale in modo “analogo” ad

un’espressione coi numeri reali, tenendo però conto che rispetto all’operazione ∗ non abbiamo il

concetto di simmetrico di un vettore.

7.6. Definizione. Da ora scriveremo:

• u + v invece di u ⊥ v e parleremo di somma di due vettori;

• 0 invece di h e diremo che 0 è il vettore nullo;

• −−−−v invece di v e diremo che −−−−v è l’opposto del vettore v;

• u −−−− v invece di u + (−−−−v) e parleremo di differenza di due vettori;

• αu invece di α∗u e parleremo di prodotto di uno scalare per un vettore.

• αu+v invece di α∗u ⊥ v ricordando che αu+v := (αu)+v

2

7.7. Osservazione. Alcune delle proprietà viste possono essere riscritte così:

• −−−−(−−−−u) = u

• (−−−−α)u = −−−−(αu)

• αu = 0 ⇔ α = 0 vel u = 0 (legge di annullamento del prodotto)

• u + w = v + w ⇔ u = v (cancellabilità rispetto alla somma di vettori)

• αu = αv et α ≠ 0 ⇒ u = v (cancellabilità, rispetto al prodotto, di uno scalare non nullo)

• αu = βu et u ≠ 0 ⇒ α = β (cancellabilità, rispetto al prodotto, di un vettore non nullo)

• v + w = u ⇔ w = u −−−− v ⇔ v = u −−−− w (spostabilità rispetto alla somma di vettori)

• αu = v et α ≠ 0 ⇒ u = α-1v (spostabilità di uno scalare rispetto al prodotto)

Si noti che, rispetto all’operazione di prodotto di uno scalare per un vettore, non è possibilenon è possibilenon è possibilenon è possibile

spostare un vettore attraverso il segno di uguaglianza (poiché non esiste il simmetrico del vettore).

7.8. Definizione. Siano u1, u2, u3, u4,…, un-1, un∈VR. Diremo combinazione lineare (brevemente

C.L.) dei vettori u1, u2, u3, u4,…, un-1, un a coefficienti rispettivamente α1, α2, α3, α4,…, αn-1, αn

l’espressione vettoriale seguente

α1u1 + α2u2 + α3u3 + α4u4 +… αn-1un-1 + αnun = n

1i=∑ αiui

Se indichiamo con v il vettore di VR risultato finale (UNICO ) di tutte le operazioni precedenti, cioè

v = α1u1 + α2u2 + α3u3 + α4u4 +… αn-1un-1 + αnun

diremo che il vettore v è una combinazione lineare dei vettori u1, u2, u3, u4,…, un-1, un .

Se n = 1, cioè v = αu diremo anche che v è multiplo di u o, anche, che v è proporzionale a u.

7.9. Esempio. L’espressione vettoriale in R4

2⊗(1, 0,-2, 5) ⊕ 0⊗(2,-1, 0, 12) ⊕ (-1)⊗(4,-3, 4, 2)

è una combinazione lineare delle quaterne ordinate (1, 0,-2, 5), (2,-1, 0, 12) e (4,-3, 4, 2). Poiché

2⊗(1, 0,-2, 5) ⊕ 0⊗(2,-1, 0, 12) ⊕ (-1)⊗(4,-3, 4, 2) = (-2, 3, -8, 8)

la quaterna (-2, 3, -8, 8) è combinazione lineare delle quaterne (1, 0,-2, 5), (2,-1, 0, 12) e (4,-3, 4, 2).

7.10 Osservazione. Per la legge di annullamento del prodotto (αu = 0 ⇔ α=0 vel u=0) si ha che:

- il vettore nullo è multiplo di qualunque altro vettore, infatti ∀u∈VR si ha che 0u = 0;

- l’unico multiplo del vettore nullo è il vettore nullo stesso, infatti ∀α∈R si ha che α0 = 0.

3

7.11. Osservazione. Se u1 = u2 = u3 = u4 = …= un-1 = un = 0, cioè gli n vettori sono tutti nulli,

allora ogniogniogniogni loro combinazione lineare ha come risultato sempresempresempresempre il vettore nullo.

7.12. Osservazione. Comunque si scelgano n vettori u1, u2, u3, u4,…, un-1, un∈VR si ha che

0u1 + 0u2 + 0u3 +… 0un-1 + 0un = 0

Ovvero, comunque si scelgano n vettori, è sempre possibile esprimere il vettore nullo come una loro

combinzione lineare in almeno un modo, infatti è sufficiente prendere i coefficienti tutti nulli.

La precedente condizione sufficiente non è, in generale, necessaria. Ovvero, esistono combinazioni

lineari a coefficienti non tutti nulli che hanno come risultato il vettore nullo.

7.13. Esempio.

u

v

1u + 2v = u + 2v = u + (-u) = 0

2vu

v

w u+v

1u + 1v + 1w = (u+v) + w = (-w) + w = 0

7.14. Esempio. Date le seguenti terne ordinate di numeri reali (1, 0,-2), (2,-1, 0) e (4,-3, 4) è facile

verificare che (-2)⊗(1, 0,-2) ⊕ 3⊗(2,-1, 0) ⊕ (-1)⊗(4,-3, 4) = (0, 0, 0).

Tenendo conto dell’osservazione 7.8 possiamo dare la seguente

7.15. Definizione. Diremo che n vettori u1, u2, u3, u4,…, un-1, un ∈VR sono linearmente dipendenti

(L. D.), se è possibile esprimere il vettore nullo 0 come una loro combinazione lineare a coefficienti

non tutti nulli. Altrimenti diremo che sono linearmente indipendenti (L. I.).

Tenendo conto dell’Osservazione 7.12 si ha subito che

7.16. Osservazione. n vettori sono linearmente indipendenti se e solo sesolo sesolo sesolo se l’unico modo per

esprimere il vettore nullo come loro combinazione lineare è quello a coefficienti tutti nulli.

7.17. Osservazione. Per la legge di annullamento del prodotto (αu = 0 ⇔ α=0 vel u=0) si ha che

- il vettore nullo è linearmente dipendente, infatti ∀α∈R si ha che α0 = 0

- ogni vettore non nullo è linearmente indipendente, infatti u ≠ 0 et αu = 0 se solo se α = 0.

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7.18. Teorema. Se i vettori u1, u2, u3, …, un-1, un di VR sono linearmente dipendenti, allora

comunque si scelgano altri p vettori v1, v2, v3, …, vp-1, vp di VR si ha che gli (n + p) vettori sono

ancora linearmente dipendenti.

Dimostrazione. Per ipotesi esistono n scalari αj non tutti nulli tali che

α1u1 + α2u2 + α3u3 + … αn-1un-1 + αnun = 0.

La combinazione lineare seguente:

α1u1 + α2u2 + α3u3 + … αn-1un-1 + αnun + 0v1 + 0v2 + 0v3 + … 0vp-1 + 0vp

è una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli (almeno uno degli αj è non nullo) il cui

risultato è sicuramente il vettore nullo 0. Quindi, gli (n + p) vettori sono linearmente dipendenti.

7.19. Corollario. Se A è un insieme di vettori linearmente indipendenti, allora ogni sottoinsieme B

di A è a sua volta un insieme di vettori linearmente indipendenti.

Dimostrazione (per assurdo). Se B fosse un insieme di vettori dipendenti, allora (per il Teorema

7.18) anche A sarebbe un insieme di vettori dipendenti, contro l’ipotesi.

7.20. TEOREMA (caratterizzazione della lineare dipendenza). I vettori u1, u2, u3, …, un-1, un sono

linearmente dipendenti se e solo se (almeno) uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti.

Dimostrazione.

⇒) Se u1, u2, u3, …, un-1, un sono L. Dip., allora esiste una loro combinazione lineare a coefficienti

non tutti nulli che è uguale al vettore nullo, cioè α1u1 + α2u2 + α3u3 + … αn-1un-1 + αnun = 0. Senza

perdere di generalità, possiamo supporre che sia α1 ≠ 0. Si ha u1 = β2u2 + β3u3 + … βn-1un-1 + βnun

con βi = (-αi / α1 ) ∀i∈[2, n]. Quindi, u1 è combinazione lineare dei vettori u2, u3, …, un-1, un.

⇐) Se uno dei vettori è combinazione lineare dei rimanenti allora supponiamo che questo sia u1 .

Da u1 = β2u2 + β3u3 + … βn-1un-1 + βnun si ha che (-1)u1 + β2u2 + β3u3 + … βn-1un-1 + βnun = 0.

Poichè, esiste una C.L. a coefficienti non tutti nulli (-1≠0) degli n vettori che ha come risultato il

vettore nullo si ha che essi sono L. Dip.

7.21. Corollario. Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno dei due si può

scrivere come multiplo dell’altro (ovvero almeno uno dei due è proporzionale all’altro).

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8. Dipendenza ed indipendenza lineare: il caso dei vettori liberi .

Dall’osservazione 7.17 si ha che:

• il vettore libero nullo è linearmente dipendente;

• ogni vettore libero diverso dal vettore libero nullo è linearmente indipendente.

8.1. Definizione. Diremo che due vettori liberi →u e

→v sono paralleli, e scriveremo

→u //

→v , se sono

paralleli tra loro un rappresentante di →u e un rappresentante di

→v .

8.2. Lemma. Se →u e

→v sono due vettori liberi non nulli e paralleli tra loro, allora ognuno dei due si

può scrivere come multiplo dell’altro.

Dimostrazione. Se →u ≠

→0 et

→v ≠

→0 allora ||

→u || ≠ 0 et ||

→v || ≠ 0. Sia α := ||

→u ||/||

→v || ≠ 0. Tenendo

conto di come è stata definita l’operazione di prodotto di uno scalare per un vettore libero si ha che:

→u = α*

→v et

→v = (α-1)*

→u se

→u e

→v hanno lo stesso verso;

→u =(−α)*

→v et

→v =(−α-1)*

→u se

→u e

→v hanno verso opposto.

8.3. Lemma. Due vettori liberi sono paralleli se e solo se almeno uno dei due si può scrivere come

multiplo dell’altro.

Dimostrazione. (⇐) Ovvia, tenendo conto di come è stata definita l’operazione di prodotto di uno

scalare per un vettore libero.

(⇒) Se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo allora la tesi è vera per l’osservazione 7.10. Se i

due vettori sono non nulli la tesi è conseguenza del lemma 8.2.

Dal Lemma 8.3 e dal Corollario 7.21 segue subito il seguente:

8.4. Teorema. Due vettori liberi sono linearmente dipendenti se e solo se sono paralleli .

8.5. Definizione. Diremo che tre vettori liberi sono complanari se sono complanari tre loro

rappresentanti applicati in uno stesso punto.

6

8.6. Lemma. Comunque scelti tre vettori liberi complanari a due a due non paralleli, ognuno di essi

si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti (e quindi i tre vettori sono L.Dip.).

Dimostrazione. (Indichiamo con rAB la retta passante per due punti distinti A e B). Si scelga, a

piacere, un punto O dello spazio. Siano (OA), (OB) e (OC) gli unici rappresentanti applicati in O

dei vettori liberi di →u ,

→v e

→w rispettivamente. Poichè, per ipotesi, i tre vettori liberi sono

complanari esiste un unico piano π contenente i quattro punti O, A, B e C. Inoltre, siccome i tre

vettori sono a due a due non paralleli, si ha che mai sono allineati tre dei quattro punti O, A, B e C.

OA

B

C

u

v

w

Sia t la retta di π per C parallela a (OB) e sia D = t ∩ rOA. Ovviamente, D ≠ O (se fosse D = O si

avrebbe t = rOB e, quindi, C∈rOB contro l’ipotesi “mai tre allineati). D∈rOA implica (OD)//(OA) e,

quindi, [(OD)]≈//[(OA)] ≈ . Essendo entrambi non nulli esiste α ≠ 0 tale che [(OD)]≈= α*[(OA)] ≈ .

Sia s la retta di π per C parallela a rOA e sia E = s ∩ rOB. Ovviamente, E ≠ O (se fosse E = O si

avrebbe s = rOA e, quindi, C∈rOA contro l’ipotesi “mai tre allineati). E∈rOB implica (OE)//(OB) e,

quindi, [(OE)]≈//[(OB)]≈ . Essendo entrambi non nulli esiste β ≠ 0 tale che [(OE)]≈= β*[(OB)] ≈ .

OA

B

C

u

v

w

t

D

sE

La figura ODCE è un parallelogrammo. Quindi, (OE)≈(DC) da cui [(OE)]≈.= [(DC)]≈. Si ha

(α*→u )[+](β*

→v )=(α*[(OA)] ≈)[+](β*[(OB)] ≈)=[(OD)]≈[+][(OE)]≈=[(OD)]≈[+][(DC)] ≈=[(OC)]≈=

→w

Poiché α ≠ 0 et β ≠ 0 è anche →u = ((α-1)*

→w )[+]((-βα-1)*

→v ) et

→v = ((β-1)*

→w )[+]((-αβ-1)*

→u ).

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8.7. Teorema. Tre vettori liberi sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari.

Dimostrazione. (Indichiamo con rAB la retta passante per due punti distinti A e B).

Se due dei tre vettori sono L.D., allora quei due vettori sono paralleli e, quindi, i tre vettori sono

complanari. Viceversa, se due dei tre vettori sono paralleli, allora quei due vettori sono L.D. e,

quindi, i tre vettori sono L.D..

Supponiamo, ora, che mai due di essi siano L.D., ovvero che mai due di essi siano paralleli.

⇐) è la dimostrazione del Lemma 8.6.

⇒) Si scelga, a piacere, un punto O dello spazio. Siano (OA), (OB) e (OC) gli unici rappresentanti

applicati in O dei vettori liberi di →u ,

→v e

→w rispettivamente. Poiché, per ipotesi, i tre vettori sono

L.D., almeno uno di essi si può scrivere come C.L. degli altri due. Se supponiamo che sia

→w = (α*

→u )[+](β*

→v ) allora chiamiamo π il piano individuato dai tre punti non allineati O, A e B.

Per avere la tesi dobbiamo provare che C∈π.

Nello spazio esiste ed è unico un punto D tale che il segmento (OD) sia il rappresentante di α*→u

applicato in O. Quindi, α*→u = [(OD)]≈. Poiché (α*

→u )//

→u si ha che D∈rOA e, quindi, D∈π.

Nello spazio esiste ed è unico un punto E tale che il segmento (OE) sia il rappresentante di β*→v

applicato in O. Quindi, β*→v = [(OE)]≈. Poiché (β*

→v )//

→v si ha che E∈rOB e, quindi, E∈π.

OA

B

F

u

v

wD

E

Sia F∈π tale che ODFE è un parallelogrammo. Ovviamente, (OE)≈(DF) per cui [(OE)]≈.= [(DF)]≈.

Da [(OC)]≈=→w = (α*

→u )[+](β*

→v ) = [(OD)]≈[+][(OE)]≈= [(OD)]≈[+][(DF)] ≈= [(OF)]≈ si ha che

[(OC)]≈= [(OF)]≈ da cui C = F. Quindi, C∈π.

8

8.8. Lemma. Comunque scelti quattro vettori liberi a tre a tre non complanari, ognuno di essi si può

scrivere come combinazione lineare dei rimanenti.

Dimostrazione. Si scelga, a piacere, un punto O dello spazio. Siano (OA), (OB), (OC) e (OD) gli

unici rappresentanti applicati in O dei vettori liberi di →u ,

→v ,

→w e

→z rispettivamente. Sia π1 il piano

individuato dai tre punti non allineati O, A e B. Sia π2 il piano individuato dai tre punti non allineati

O, C e D. I piani π1 e π2 hanno in comune il punto O ma sono distinti (se fossero lo stesso piano si

avrebbe che i cinque punti O, A, B, C e D sarebbero complanari e, quindi, anche i quattro vettori

liberi sarebbero complanari). Sia s la retta per O tale che s = π1∩π2 . Sulla retta s si scelga, a

piacere, un punto E diverso da O. Sia →t il vettore libero individuato da (OE), cioè

→t = [(OE)]≈ .

I tre vettori →w ,

→z e

→t sono complanari e a due a due non paralleli. Quindi, (per il Lemma 8.6)

esistono due scalari α e β non nulli tali che →z = (α*

→t )[+](β*

→w ). I tre vettori

→u ,

→v e

→t sono

complanari e a due a due non paralleli. Quindi, (per il Lemma 8.6) esistono due scalari γ e δ non

nulli tali che →t = (γ*

→u )[+](δ*

→v ). Si ha

→z = (α*

→t )[+](β*

→w ) = α*((γ*

→u )[+](δ*

→v ))[+](β*

→w ) = ((αγ)*

→u )[+]((αδ)*

→v )[+](β*

→w ).

9

Posto ε := αγ ≠ 0, ω := αδ ≠ 0 si ha che →z = (ε*

→u )[+](ω*

→v )[+](β*

→w ) o, più brevemente che

→z = ε

→u +ω

→v +β

→w

cioè che →z è combinazione lineare di

→u ,

→v e

→w

Poiché nell’ultima espressione i coefficienti sono tutti non nulli si può esprimere ognuno dei quattro

vettori come combinazione lineare dei rimanenti.

8.9. Teorema. Quattro, o più, vettori liberi sono sempre linearmente dipendenti.

Dimostrazione. Se tre dei quattro vettori sono L.D., allora i quattro vettori sono L.D.. Se i quattro

vettori sono a tre a tre linearmente indipendenti, allora i quattro vettori sono a tre a tre non

complanari. Per il lemma precedente ognuno di essi si può scrivere come combinazione lineare dei

rimanenti. Quindi, i quattro vettori sono linearmente dipendenti. Dati n ≥ 5 vettori liberi, allora

comunque se ne prendano quattro essi sono L.D.. Quindi, anche gli n vettori sono L.D..

8.10. Osservazione. Il teorema precedente è conseguenza, oltre che del fatto che (V, [+], *) è uno

spazio vettoriale reale, anche delle “peculiarità” geometriche dei vettori liberi. Per cui una proprietà

analoga non vale per ogni spazio vettoriale reale.

8.11. Esempio. Le quaterne (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) e (0,0,0,1) sono linearmente indipendenti.

Infatti, si ha che α*(1,0,0,0)[+]β*(0,1,0,0)[+]γ*(0,0,1,0)[+]δ*(0,0,0,1) = (0,0,0,0) se e solo se

(α,β,γ,δ) = (0,0,0,0) ovvero se e solo se α = β = γ = δ = 0.

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9. Sottospazi.

9.1. Definizione. Sia f : X → Y una funzione dall’insieme X all’insieme Y. Per ogni sottoinsieme S

di X la nuova funzione fS : S → Y dall’insieme S all’insieme Y definita nel modo seguente:

∀x∈S fS(x) := f(x)∈Y.

viene detta restrizione di f a S.

9.2. Osservazione. Sia ⊥ un’operazione binaria ovunque definita ed interna ad un insieme A, cioè

una funzione ⊥ : A×A → A. Sia I ⊆ A. Quindi, I×I ⊆ A×A. La restrizione di ⊥ a I×I

⊥I×I : I×I → A

è un’operazione ovunque definita in I a valori in A, cioè ⊥I×I(I×I) ⊆ A.

Tenendo conto dell’osservazione precedente diamo la seguente:

9.3. Definizione. Sia ⊥ un’operazione binaria ovunque definita ed interna ad un insieme A. Sia

I ⊆ A. Se la restrizione di ⊥ a I×I è a valori in I, cioè ⊥I×I(I×I) ⊆ I allora diremo che il sottoinsieme I

è chiuso rispetto all’operazione ⊥.

In altre parole, I è chiuso rispetto all’operazione ⊥ se e solo se comunque presi due elementi x e y in

I si ha che il risultato dell’operazione x⊥y è ancora un elemento di I.

9.4. Esempio. Sia N l’insieme dei numeri naturali e sia + l’operazione di somma di due numeri

naturali. Siano P e D rispettivamente il sottoinsieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari. Si

ha che P è chiuso rispetto a + mentre D non lo è. Infatti, la somma di due numeri pari è ancora un

numero pari, mentre la somma di due numeri dispari non è un numero dispari. Invece, sia P che D

sono chiusi rispetto all’operazione di prodotto di due numeri naturali.

9.5. Esempio. Sia I = [0, 1] = x∈R | 0 ≤ x ≤ 1. Comunque presi x1 e x2 in I si ha che 0 ≤ x1x2 ≤ 1

e, quindi, l’insieme I è chiuso rispetto al prodotto di due numeri reali. Invece, l’insieme I non è

chiuso rispetto alla somma di due numeri reali. Infatti, se x1 = 0,6 e x2 = 0,7 allora x1 + x2 = 1,3∉I.

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9.6. Osservazione. Sia * un’operazione ovunque definita nell’insieme B×A a valori in A, cioè una

funzione * : B×A → A. Sia I ⊆ A. Quindi, B×I ⊆ B×A. La restrizione dell’operazione * a B×I cioè

⊥B×I : B×I → A

è un’operazione ovunque definita in B×I a valori in A, cioè ⊥B×I(B×I) ⊆ A.

Tenendo conto dell’osservazione precedente diamo la seguente:

9.7. Definizione. Sia * un’operazione ovunque definita nell’insieme B×A a valori in A. Sia I ⊆ A.

Se la restrizione di * a B×I è a valori in I, cioè ⊥B×I(B×I) ⊆ I allora diremo che il sottoinsieme I è

chiuso rispetto all’operazione *.

In altre parole, I è chiuso rispetto all’operazione * se e solo se comunque presi un numero reale α e

un elemento x di I si ha che il risultato dell’operazione α*x è ancora un elemento di I.

9.8. Definizione. Sia (V, +, ∗) uno spazio vettoriale e U ⊆ V. Diremo che U è sottospazio di V, e

scriveremo U ≤ V, se la terna (U, +U×U , *R×U) è uno spazio vettoriale reale.

9.9. Teorema. (caratterizzazione di un sottospazio). Sia U un sottoinsieme di uno spazio vettoriale

reale VR . U è un sottospazio di V se e solo se valgono le tre condizioni:

(1) U è non vuoto;

(2) U è chiuso rispetto alla somma + tra due vettori (cioè ∀u,v∈U u+v∈U);

(3) U è chiuso rispetto al prodotto * di uno scalare per un vettore (cioè ∀α∈R , ∀u∈U αu∈U).

Dimostrazione. E’ ovvio che le tre condizioni siano necessarie. Proviamo che sono sufficienti.

Supponiamo, quindi, che U sia un sottoinsieme di V per il quale valgano le proprietà (1), (2) e (3).

Se indichiamo brevemente con +U la restrizione a U dell’operazione della somma di due vettori in

V, allora per +U valgono ovviamente le proprietà associativa (G1) e commutativa (G4). Per la (1)

esiste almeno un vettore u∈U. Se prendiamo il numero reale zero, per la (3), abbiamo che 0u∈U.

Ma 0u = 0. Quindi, 0∈U. Per cui vale la proprietà dell’esistenza dell’elemento neutro (G2). Inoltre,

per ogni u∈U preso il numero reale (−1), per la (3), abbiamo che (−1)u∈U. Ma (−1)u = −u. Quindi,

−u∈U. Per cui vale anche la (G3). Quindi, la coppia (U, +U) è un gruppo abeliano.

Se indichiamo brevemente con *U la restrizione a U dell’operazione di prodotto di uno scalare per

un vettore di V, allora per *U valgono ovviamente le proprietà (PS1), (PS2), (PS3) e (PS4).

Abbiamo così che (U, +U , *U) è uno spazio vettoriale reale.

12

9.10. Esempio. Consideriamo lo spazio vettoriale (ℑR(R), , ) delle funzioni reali di variabile

reale definite in tutto R. Se con R[x] indichiamo l’insieme dei polinomi in x a coefficienti reali,

allora è ∅ ≠ R[x] ⊆ ℑR(R). Poiché la somma di due polinomi è ancora un polinomio e il prodotto

di un numero reale per un polinomio è ancora un polinomio, si ha che R[x] è chiuso rispetto alla

somma e rispetto al prodotto . Quindi, R[x] ≤ ℑR(R).

9.11. Esempio. Sia A l’insieme dei polinomi in x a coefficienti reali di grado esattamente uguale a

n ≥ 1. Si vede subito che A non è chiuso rispetto all’operazione di somma di due polinomi. Infatti,

presi i polinomi p(x) = (2xn + 1)∈A e q(x) = (-2xn + 2)∈A si ha che p(x)+q(x) = 3∉A.

9.12. Esempio. Con Rn[x] indichiamo l’insieme dei polinomi in x a coefficienti reali di grado ≤ n.

Si ha che ∅ ≠ Rn[x] ⊆ R[x]. Poiché sia la somma di due polinomi di grado ≤ n che il prodotto di

uno scalare per un polinomio di grado ≤ n sono ancora polinomi di grado ≤ n si ha che Rn[x] ≤ R[x].

9.13. Esempio. Consideriamo lo spazio vettoriale (R3, ⊕, ⊗) delle terne ordinate di numeri reali.

L’insieme non vuoto B = (x, y, z)∈R3 | z = 0 = (x, y, 0)∈R3 è chiuso sia rispetto a ⊕ che a ⊗.

Infatti, si ha che (a, b, 0) ⊕ (c, d, 0) = (a+c, b+d, 0) e che α⊗(a, b, 0) = (αa, αb, 0). Quindi, B ≤ R3.

9.14. Esempio. Consideriamo lo spazio vettoriale (R3, ⊕, ⊗) delle terne ordinate di numeri reali.

L’insieme non vuoto C = (x, y, z)∈R3 | z = 1 = (x, y, 1)∈R3 non è chiuso rispetto a ⊕. Infatti,

prese due terne (a, b, 1) e (c, d, 1) si ha che (a, b, 1) ⊕ (c, d, 1) = (a+c, b+d, 2)∉C.

9.15 Esempio. Consideriamo lo spazio vettoriale (R4, ⊕, ⊗) delle quaterne ordinate di numeri reali.

L’insieme non vuoto D = (w, x, y, z)∈R4 | w = 3x, z = x+y = (3x, x, y, x+y)∈R4 è chiuso sia

rispetto a ⊗ che a ⊕. Infatti, si ha che

(3a, a, b, a+b) ⊕ (3c, c, d, c+d) = (3a°+3c, a+c, b+d, a+b+c+d) = (3(a+c), a+c, b+d, (a+c)+(b+d))

e che α⊗(3a, a, b, a+b) = (α3a, αa, αb, α(a+b)) = (3(αa), αa, αb, (αa)+(αb)). Quindi, D ≤ R4.

9.16. Osservazioni. E’ facile verificare che:

9.16.1. 0 ≤ V (0 viene detto spazio nullo)

9.16.2. V ≤ V

9.16.3. U ≤ T et T ≤ V ⇒ U ≤ V

9.16.4. U ≤ V et T ≤ V et U ⊆ T ⇒ U ≤ T

13

9.17. Definizione. Dati n vettori u1, u2, u3, …, un-1, un di VR, col simbolo <u1, u2, u3, …, un-1, un>

indicheremo il sottoinsieme di VR contenente tutti e soli i vettori che si possono esprimere come una

combinazione lineare degli n vettori u1, u2, u3, …, un-1, un.

9.18. Osservazione. Se v∈<u1, u2, u3, …, un-1, un> allora v, u1, u2, u3, …, un-1, un sono L.Dip.

9.19. Teorema. Comunque presi n vettori u1, u2, u3, …, un-1, un di VR, l’insieme

<u1, u2, u3, …, un-1, un>

è un sottospazio di VR.

Dimostrazione.

(1) Ovviamente, U := <u1, u2, u3, …, un-1, un> ≠ ∅.

(2) Proviamo che U è chiuso rispetto a +, cioè che ∀v,w∈U si ha che (v+w)∈U.

v∈U ⇒ v = α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun

w∈U ⇒ w = β1u1+β2u2+β3u3+…+βn-1un-1+βnun

v + w = (α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun) + (β1u1+β2u2+β3u3+…+βn-1un-1+βnun)

v + w = (α1u1+β1u1) + (α2u2+β2u2) + (α3u3+β3u3) + … + (αn-1un-1+βn-1un-1) + (αnun+βnun)

v + w = γ1u1+γ2u2+γ3u3+…+γn-1un-1+γnun ⇒ (v+w)∈U.

(3) Proviamo che U è chiuso rispetto a *, cioè che ∀v∈U e ∀δ∈R si ha che (δv)∈U.

v∈U ⇒ v = α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun

δv = δ(α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun) = (δα1)u1+(δα2)u2+(δα3)u3+…+(δαn-1)un-1+(δαn)un

δv = ω1u1+ωγ2u2+ω3u3+…+ωn-1un-1+ωnun ⇒ (δv)∈U.

9.20. Definizione. Dati n vettori u1, u2, u3, …, un-1, un di VR, il sottospazio

U = <u1, u2, u3, …, un-1, un>

si dice (sotto) spazio generato dai vettori u1, u2, u3, …, un-1, un (che vengono detti generatori di U).

9.21. Definizione. Diremo che uno spazio vettoriale reale VR è finitamente generato se esiste un

insieme finito B = u1, u2, u3, …, un-1, un di vettori di VR tali che VR = <u1, u2, u3, …, un-1, un>.

In tal caso diremo anche che l’insieme B genera lo spazio VR e scriveremo VR = <B>.

14

9.22. Teorema. Se U = <u1, u2, u3, …, un-1, un> ≤ VR e T = <v, u1, u2, u3, …, un-1, un> ≤ VR, allora

(1) U ⊆ T e, quindi, U ≤ T (per l’Osservazione 9.16.4)

(2) U = T ⇔ v∈U

Dimostrazione.

(1) Preso w∈U si ha che w = α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun .

Ovviamente, è anche w = 0v+α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun . Quindi, w∈T.

(2⇒) v∈T et T = U ⇒ v∈U.

(2⇐) Per ipotesi v∈U, cioè v = α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun .

Poiché per la (1) è già U ⊆ T, resta da provare che T ⊆ U.

Sia w∈T. Quindi, w = ωv + β1u1+β2u2+β3u3+…+βn-1un-1+βnun .

w = ω(α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun) + β1u1+β2u2+β3u3+…+βn-1un-1+βnun .

w = (ωα1+β1)u1+(ωα2+β2)u2+(ωα3+β3)u3+ +(ωαn-1+βn-1)un-1+(ωαn+βn)un

w = δ1u1+δ2u2+δ3u3+ +δn-1un-1+δnun . Quindi, w∈U.

9.23. Corollario. Sia VR uno spazio vettoriale reale finitamente generato. Se B è un suo insieme

minimale di generatori, allora i vettori di B sono linearmente indipendenti.

Dimostrazione. Sia B = u1, u2, u3, …, un-1, un un insieme minimale di generatori. Se i vettori di

B fossero linearmente dipendenti allora almeno uno di essi si potrebbe scrivere come combinazione

lineare dei rimanenti. Supponendo che sia u1 = α2u2 + α3u3 + … + αn-1un-1 + αnun si avrebbe che

u1∈<u2, u3, …, un-1, un>. Per il Teorema 9.22 si avrebbe che

<u2, u3, …, un-1, un> = <u1, u2, u3, …, un-1, un> = VR

Quindi, anche il sottoinsieme u2, u3, …, un-1, un di B sarebbe un insieme di generatori di VR

contro l’ipotesi che B fosse minimale.

15

9.24. Teorema. Siano v, u1, u2, u3, …, un-1, un∈VR e U := <u1, u2, u3, …, un-1, un>. Si ha che

u1, u2, u3, …, un-1, un sono L. Indip. et v∉U ⇔ v, u1, u2, u3, …, un-1, un sono L. Indip.

Dimostrazione.

(⇐) Ovvia tenendo conto del corollario 7.19 e dell’osservazione 9.18.

(⇒) Dobbiamo provare che l’unica combinazione lineare dei vettori v, u1, u2, u3, …, un-1, un che ha

come risultato il vettore nullo è quella a coefficienti tutti nulli. Cioè, dobbiamo provare che se si ha

ωv + β1u1+β2u2+β3u3+…+βn-1un-1+βnun = 0 (#)

allora necessariamente sono nulli sia il coefficiente ω che tutti i coefficienti βi .

Se fosse ω ≠ 0, allora v = (-ω-1β1)u1+(-ω-1β2)u2+(-ω-1β3)u3+ … +(-ω-1βn-1)un-1+(-ω-1βn)un e, quindi,

v∈U contro l’ipotesi v∉U. Per cui è ω = 0. Sostituendo ω = 0 in (#) si ottiene

β1u1+β2u2+β3u3+…+βn-1un-1+βnun = 0

Essendo, per ipotesi, u1, u2, u3, …, un-1, un L. Indip. si ha che tutti i coefficienti βi sono nulli.

9.25. Corollario. Siano v, u1, u2, u3, …, un-1, un∈VR e U := <u1, u2, u3, …, un-1, un>.

Se u1, u2, u3, …, un-1, un sono L. Indip. mentre v, u1, u2, u3, …, un-1, un sono L. Dip. allora v∈U.

9.26. Corollario. Sia VR uno spazio vettoriale reale finitamente generato. Se B è un suo insieme

massimale di vettori linearmente indipendenti, allora i vettori di B sono generatori dello spazio.

Dimostrazione. Sia B = u1, u2, u3, …, un-1, un un insieme massimale di vettori linearmente

indipendenti. Essendo B massimale, per ogni vettore v di VR si ha che v, u1, u2, u3, …, un-1, un sono

linearmente dipendenti. Per il Corollario 9.25 è v∈<u1, u2, u3, …, un-1, un> = <B>. Quindi, i vettori

di B sono generatori dello spazio.

16

9.27. Definizione. Sia U := <u1, u2, u3, …,uj, …, uk, …, un-1, un>.

Diremo operazioni elementari sui generatori di U le seguenti azioni:

(O.E.1) scambiare due generatori uj e uk tra loro;

(O.E.2) sostituire un generatore uj con il vettore γuj ∀γ∈R-0;

(O.E.3) sostituire un generatore uj con il vettore uj+βuk ∀β∈R et k≠j.

9.28. Osservazione. U è invariante rispetto all’operazione (O.E.1) di scambio di due generatori.

Infatti, per la commutatività della somma si ha che <u1, u2, u3, …,uk, …, uj, …, un-1, un> = U.

9.29. Lemma. Siano T = <t, u2, u3, …, un-1, un> e W = <w, u2, u3, …, un-1, un>

T = W ⇔ w∈T et t∈W

Dimostrazione. Sia Y = <t, w, u2, u3, …, un-1, un>.

(⇒) t∈T = W et w∈W = T ⇒ t∈W et w∈T;

(⇐) w∈T et t∈W ⇒ T = Y et W = Y ⇒ T = W.

9.30. Teorema. Lo spazio <u1, u2, u3, …, un-1, un> è invariante rispetto alle O.E. sui generatori.

Dimostrazione. Sia U = <u1, u2, u3, …, un-1, un>.

(O.E.1) Già visto nell’Osservazione 9.28.

Tenendo conto della proprietà (O.E.1), possiamo provare la (O.E.2) e la (O.E.3) con j = 1.

(O.E.2) Sia T = <γu1, u2, u3, …, un-1, un> con γ ≠ 0

(γu1)∈T ⇒ u1= (γ-1)(γu1)∈T u1∈U ⇒ (γu1)∈U

u1∈T et (γu1)∈U ⇒ T = U (per il Lemma 9.29)

(O.E.3) Sia T = <u1+βuk, u2, u3, …, un-1, un> con k≠1.

(u1+βuk), uk∈T ⇒ (u1+βuk), (-β)uk∈T ⇒ [(u1+βuk) + (-β)uk]∈T ⇒ u1∈T

u1 , uk∈U ⇒ u1 , βuk∈U ⇒ (u1+βuk)∈U

u1∈T et (u1+βuk)∈U ⇒ T = U (per il Lemma 9.29)

9.31. Corollario Se i vettori v1, v2, v3, …, vn-1, vn sono stati ottenuti effettuando un numero finito di

operazioni elementari sui generatori dello spazio <u1, u2, u3, …, un-1, un>, allora si ha che

<v1, v2, v3, …, vn-1, vn> = <u1, u2, u3, …, un-1, un>.

17

10. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale.

10.1. Lemma. Sia VR uno spazio vettoriale reale finitamente generato.

Se A = u1, u2, u3, …, un-1, un è un insieme di generatori di VR e B = v1, v2, v3, …, vp-1, vp è un

insieme di vettori di VR linearmente indipendenti, allora p ≤ n.

Ovvero, la cardinalità di un qualunque insieme di generatori è sempre maggiore o uguale della

cardinalità di un insieme di vettori linearmente indipendenti.

Dimostrazione. Passo 1) v1∈VR = <u1, u2, u3, …, un-1, un> ⇒ v1=n

1i=∑ α1iui

v1 ≠ 0 ⇒ ∃i∈[1, n] : α1i ≠ 0. Supponiamo che sia i = 1 (cioè α11 ≠ 0) e poniamo x1:=α11-1

u1= x1v1+n

2i=∑ (-x1α1i)ui ⇒ u1∈<v1, u2, u3, …, un-1, un>

u1∈<v1, u2, u3, …, un-1, un> et v1∈<u1, u2, u3, …, un-1, un> = VR ⇒ VR = <v1, u2, u3, …, un-1, un>

Passo 2) v2∈VR = <v1, u2, u3, …, un-1, un> ⇒ v2=β11v1+n

2i=∑ α2iui

v1 , v2 L.I. ⇒ ∃i∈[2, n] : α2i ≠ 0. Supponiamo che sia i = 2 (cioè α22 ≠ 0) e poniamo x2:=α22-1

u2= (-x2β11)v1+x2v2+n

3i=∑ (-x2α2i)ui ⇒ u2∈<v1, v2, u3, …, un-1, un>

u2∈<v1, v2, u3, …, un-1, un> et v2∈<v1, u2, u3, …, un-1, un> = VR ⇒ VR = <v1, v2, u3, …, un-1, un>

Passo 3) v3∈VR = <v1, v2, u3, …, un-1, un> ⇒ v3=β21v1+β22v2+n

3i=∑ α3iui

v1 , v2 , v3 L.I. ⇒ ∃i∈[3, n] : α3i ≠ 0. Supponiamo i = 3 (cioè α33 ≠ 0) e poniamo x3:=α33-1

u3= (-x3β21)v1+(-x3β22)v2+x3v3+n

4i=∑ (-x3α3i)ui ⇒ u3∈<v1, v2, v3, …, un-1, un>

u3∈<v1, v2, v3, …, un-1, un> et v3∈<v1, v2, u3, …, un-1, un> = VR ⇒ VR = <v1, v2, v3, …, un-1, un>

Passo j) vj∈VR = <v1, v2, v3, …, vj-1, uj, , un-1, un> ⇒ vj=n

1-ji=∑ β(j-1),ivi+

n

ji=∑ αjiui

v1 , v2 ,…, vj-1 L.I. ⇒ ∃i∈[j, n] : αji ≠ 0. Supponiamo i = j (cioè αjj ≠ 0) e poniamo xj:=αjj-1

uj= n

1-ji=∑ (-xjβ(j-1),i)vi+xjvj+

n

1ji +=∑ (-xjαji)ui ⇒ uj∈<v1, v2, v3, …, vj, uj+1, , un-1, un>

uj∈<v1, v2, v3, …, vj, uj+1, , un-1, un> et vj∈VR ⇒ VR = <v1, v2, v3, …, vj, uj+1, , un-1, un>

Se fosse n<p, cioè (n+1)≤p, allora al passo n si avrebbe

18

Passo n) vn∈VR = <v1, v2, v3, …, vn-1, un> ⇒ vn=n

1-ni=∑ β(n-1),ivi + αnnun

v1 , v2 ,…, vn-1 L.I. ⇒ αnn ≠ 0. Poniamo xn:=αnn-1

un= n

1-ni=∑ (-xnβ(n-1),i)vi+xnvn ⇒ un∈<v1, v2, v3, …, vn>

un∈<v1, v2, v3, …, vn> et vn∈<v1, v2, v3, …, vn-1, un> = VR ⇒ VR = <v1, v2, v3, …, vn>

vn+1∈VR = <v1, v2, v3, …, vn> ⇒ v1, v2, v3, …, vn, vn+1 L.D. ⇒ v1, v2, v3, …, vn+1, …, vp L.D.

Essendo giunti ad un ASSURDO, si ha che p ≤ n.

10.2. Definizione. Diremo base di uno spazio vettoriale reale finitamente generato un insieme

ordinato di generatori linearmente indipendenti, che vengono anche detti elementi della base.

10.3. Esempio. Nello spazio vettoriale Rn si considerino le seguenti n-uple: u1 = (1,0,0,0, … ,0,0,0),

u2 = (0,1,0,0, … ,0,0,0), u3 = 0,0,1,0, … ,0,0,0), ..., un-1 = 0,0,0,0, … ,0,1,0), un = 0,0,0,0, … ,0,0,1).

E’ facile convincersi che per ogni n-upla (α1 , α2 , α3 , … , αn-1 , αn ) di Rn si ha che

(α1 , α2 , α3 , … , αn-1 , αn ) = α1u1 + α2u2 + α3u3 + … + αn-1un-1 + αnun

Da quest’ultima relazione si vede subito che:

(1) ogni n-upla (α1 , α2 , α3 , … , αn-1 , αn ) di Rn si può scrivere come combinazione lineare dei

vettori u1, u2, u3, …, un-1, un ; quindi, i vettori u1, u2, u3, …, un-1, un sono dei generatori per Rn;

(2) α1u1 + α2u2 + α3u3 + … + αn-1un-1 + αnun = (0,0,0,0, … ,0,0,0) se e solo se

(α1 , α2 , α3 , … , αn-1 , αn ) = (0,0,0,0, … ,0,0,0).

Quindi, i vettori u1, u2, u3, …, un-1, un sono linearmente indipendenti.

Da (1) e (2) si ha che (u1, u2, u3, …, un-1, un) è una base (detta base canonica) di Rn.

Tenendo conto dei Corollari 9.23 e 9.26 abbiamo la seguente

10.4. Osservazione. Sia VR uno spazio vettoriale reale finitamente generato. Se B un insieme

ordinato di vettori di VR allora

10.4.1. B è una base di VR ⇔ B è un insieme minimale di generatori di VR

10.4.2. B è una base di VR ⇔ B è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti

19

10.5. Esempio. Ogni terna ordinata di vettori liberi non complanari è un insieme massimale di

vettori linearmente indipendenti e, quindi, una base dello lo spazio vettoriale dei vettori liberi.

10.6. Teorema. Ogni spazio vettoriale reale VR ≠ 0 finitamente generato ha almeno una base.

1a Dimostrazione (algoritmo di decrescita). Sia V = <u1, u2, u3, …, un-1, un>.

Passo 1) Se u1, u2, u3, …, un-1, un sono L.I. allora (u1, u2, u3, …, un-1, un) è una base di V. [STOP]

Altrimenti uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti. Se supponiamo che sia u1, allora si ha

u1∈<u2, u3, …, un-1, un> per cui è <u2, u3, …, un-1, un> = <u1, u2, u3, …, un-1, un> = V.

Passo 2) Se u2, u3, …, un-1, un sono L.I. allora (u2, u3, …, un-1, un) è una base di V. [STOP]

Altrimenti uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti. Se supponiamo che sia u2, allora si ha

u2∈<u3, …, un-1, un> per cui è <u3, …, un-1, un> = <u2, u3, …, un-1, un> = V.

……………………………………………………………………..

Passo j) Se uj, uj+1, …, un-1, un sono L.I. allora (uj, uj+1, …, un-1, un) è una base di V. [STOP]

Altrimenti uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti. Se supponiamo che sia uj, allora si ha

u2∈<u3, …, un-1, un> per cui è <u3, …, un-1, un> = <u2, u3, …, un-1, un> = V.

Se l’algoritmo non si fermasse prima (fornendo una base), dopo (n-1) passi si avrebbe <un> = V.

Essendo V ≠ 0, deve essere un≠ 0. Per cui un è L.Indip. e, quindi, (un) è una base di V.

2a Dimostrazione (algoritmo di crescita). Sia V = <u1, u2, u3, …, un-1, un>.

V ≠ 0 ⇒ ∃v1∈V : v1≠ 0 ⇒ v1 è L.I.

Passo 1) Se <v1> = V allora (v1) è una base di V. [STOP]

Se <v1> ≠ V allora ∃v2∈V : v2∉<v1> ⇒ v1,v2 sono L.I.

Passo 2) Se <v1,v2> = V allora (v1,v2) è una base di V. [STOP]

Se <v1,v2> ≠ V allora ∃v3∈V : v3∉<v1,v2> ⇒ v1,v2,v3 sono L.I.

…………………………………………………………………………

Passo j) Se <v1,v2,v3, …,vj> = V allora (v1,v2,v3, …,vj) è una base di V. [STOP]

Se <v1,v2,v3, …,vj> ≠ V allora ∃vj+1∈V : vj+1 vn+1∈<v1,v2,v3, …,vj> ⇒ v1,v2,v3, …,vj sono L.I.

Se l’algoritmo non si fermasse prima (fornendo una base), dopo n passi si avrebbe necessariamente

che <v1,v2,v3, …,vn> = V. Infatti, se esistesse vn+1∈V tale che vn+1∈<v1,v2,v3, …,vn> allora si

avrebbe che v1,v2,v3, …,vn,vn+1 sono linearmente indipendenti. Per cui in V esisterebbe un insieme

di vettori linearmente indipendenti v1,v2,v3, …,vn,vn+1 la cui cardinalità (n+1) è strettamente

maggiore della cardinalità n di un insieme u1, u2, u3, …, un-1, un di generatori. E ciò sarebbe

assurdo per il Lemma 10.1.

20

Tenendo conto dell’Osservazione 10.4.2. diamo la seguente

10.7. Definizione. Stabiliamo che lo spazio nullo 0 abbia come base l’insieme vuoto ∅.

10.8. Teorema. (di equicardinalità delle basi). Sia V uno spazio vettoriale reale finitamente

generato. Se (u1, u2, u3, …, un-1, un) e (v1, v2, v3, …, vp-1, vp) sono due basi di V, allora n = p.

Ovvero, tutte le basi di un fissato spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi.

Dimostrazione.

(v1, v2, v3, …, vp-1, vp) L.I. e (u1, u2, u3, …, un-1, un) generatori ⇒ p ≤ n

(u1, u2, u3, …, un-1, un) L.I. e (v1, v2, v3, …, vp-1, vp) generatori ⇒ n ≤ p

p ≤ n et n ≤ p ⇒ n = p.

Tenendo conto del teorema precedente è ben posta la seguente

10.9. Definizione. Diremo dimensione di uno spazio vettoriale reale VR ≠ 0 finitamente generato,

e la indicheremo con dim(VR), il numero di elementi di una (qualsiasi) sua base. In accordo con la

Definizione 10.7 stabiliamo che la dimensione dello spazio nullo 0 sia uguale a zero.

10.10. Esempio. Lo spazio delle n-uple ordinate di numeri reali ha dimensione n.

10.11. Esempio. Lo spazio dei vettori liberi ha dimensione 3.

Tenendo conto dell’osservazione 10.1 si ha subito la seguente:

10.12. Osservazione. Se VR è uno spazio vettoriale reale finitamente generato, allora si ha che

10.12.1 dim(VR) = numero massimo di vettori linearmente indipendenti in VR

10.12.2 dim(VR) = numero minimo di generatori di VR

10.13. Osservazione. Siano VR e UR due spazi vettoriali reali finitamente generati.

Se VR = UR allora, ovviamente, dim(VR) = dim(UR). La precedente condizione necessaria non è, in

generale, anche sufficiente. Ad esempio, lo spazio vettoriale V dei vettori liberi e lo spazio R3 delle

terne ordinate di numeri reali hanno la stessa dimensione 3 ma non sono lo stesso spazio.

10.14. Osservazione. Siano VR e UR due spazi vettoriali reali finitamente generati. Si prova che

10.14.1. VR ≤ UR ⇒ dim(VR) ≤ dim(UR)

10.14.2. VR ≤ UR et dim(VR) = dim(UR) ⇔ VR = UR

21

Tenendo conto delle Osservazioni 10.4 e 10.12 si ha la seguente

10.15. Osservazione. Sia VR è uno spazio vettoriale reale finitamente generato di dimensione n. Se

B un insieme ordinato di vettori di VR allora

10.15.1. B è una base di VR ⇔ B è un insieme di n generatori

10.15.2. B è una base di VR ⇔ B è un insieme di n di vettori linearmente indipendenti

10.16. Teorema. (caratterizzazione di una base) Sia VR è uno spazio vettoriale reale finitamente

generato. Un insieme ordinato B = (u1, u2, u3, …, un-1, un) è una base di VR se e solo se ogni vettore

di VR si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori u1, u2, u3, …, un-1, un .

Dimostrazione. Se l’insieme B è una base di VR allora (poiché i suoi elementi sono generatori di

VR) per ogni vettore v di VR si ha che v = α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun . Ci resta da provare

che tale scrittura è unica. Supponiamo che sia anche v = β1u1+β2u2+β3u3+…+βn-1un-1+βnun . Da

α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun = v = β1u1+β2u2+β3u3+…+βn-1un-1+βnun

si ottiene

(α1 – β1)u1 + (α2 – β2)u2 + (α3 – β3)u3 + … + (αn-1 – βn-1)un-1 + (αn – βn)un = 0

Poiché gli elementi di una base sono linearmente indipendenti, si ha che tutti i coefficienti (αi – βi)

sono nulli, da cui αi = βi. Quindi, le due scritture coincidono.

Viceversa, supponiamo che ogni vettore (anche quello nullo) di VR si possa scrivere in modo unico

come combinazione lineare degli elementi di B. Ovviamente, questo vuol dire che gli elementi di U

sono generatori dello spazio VR. Inoltre, 0 = 0u1+0u2+0u3+…+0un-1+0un è un modo di scrivere il

vettore nullo come combinazione lineare di u1, u2, u3, …, un-1, un . Poiché, per ipotesi, tale modo di

scrivere il vettore nullo è unico, abbiamo che i vettori di B sono linearmente indipendenti.

10.17. Osservazione. Sia VR è uno spazio vettoriale reale finitamente generato di dimensione n. Se

B = (u1, u2, u3, …, un-1, un) è una base di VR allora per ogni elemento v∈V esiste, ed è unica, una

n-upla ordinata (α1 , α2 , α3 , … , αn-1 , αn ) di Rn tale che v = α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun .

Si noti anche che la n-upla ordinata (α1 , α2 , α3 , … , αn-1 , αn ) dipende dalla base B.

22

10.18. Definizione. Sia Ω : V → U una funzione tra due spazi vettoriali reali V e U. Diremo che Ω

è lineare se valgono le seguenti proprietà:

(L1) ∀v, w∈V Ω(v + w) = Ω(v) + Ω(w)

(L2) ∀v∈V , ∀ω∈R Ω(ωv) = ωΩ(v)

10.19. Corollario. Sia Ω : V → U una funzione tra due spazi vettoriali reali V e U. Se f è lineare

allora valgono anche le seguenti proprietà:

(L3) Ω(0V) = 0U

(L4) ∀v∈VR Ω(−v) = −Ω(v)

Dimostrazione. Per ogni v∈VR si ha subito che:

- Ω(0V) = Ω(0v) = 0Ω(v) = 0U ;

- Ω(−v) = Ω((−1)v) = (−1)Ω(v) = −Ω(v).

10.20. Definizione. Sia Ω : V → U una funzione lineare tra due spazi vettoriali reali V e U. Se Ω è

biettiva allora diremo che Ω è un isomorfismo tra V e U. Diremo anche che V è isomorfo U.

Se Ω : V → U è un isomorfismo tra due spazi vettoriali reali, nei teoremi che seguono si prova che:

1) p vettori di V sono linearmente indipendenti se e solo se le loro immagini (che sono vettori di U)

sono linearmente indipendenti;

2) p vettori sono linearmente dipendenti se e solo se le loro immagini sono linearmente dipendenti;

3) p vettori di V sono dei generatori di V se e solo se le loro immagini sono dei generatori di U.

4) p vettori di V sono una base di V se e solo se le loro immagini sono una base di U.

10.21. Teorema. Sia Ω : V → U un isomorfismo tra due spazi vettoriali V e U. La funzione inversa

di Ω è un isomorfismo tra gli spazi vettoriali U e V.

Dimostrazione. La funzione inversa di Ω è una funzione Ω-1 : U → V biettiva. Proviamo che Ω-1 è

lineare. Siano a,b∈U e ω∈R. Se poniamo v := Ω-1(a), w := Ω-1(b) e t := Ω-1(ωa) allora si ha che

Ω(v) = a, Ω(w) = b e Ω(t) = ωa. Siccome Ω è un isomorfismo tra V e U si ha che

1) Ω(v + w) = Ω(v) ⊕ Ω(w) = a ⊕ b e, quindi, Ω-1(a ⊕ b) = v + w = Ω-1(a) + Ω-1(b);

2) Ω(ω*v) = ω×Ω(v) = ω×a e, quindi, Ω-1(ω×a) = ω*v = ω*Ω-1(a).

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10.22. Teorema. Sia Ω : V → U un isomorfismo tra due spazi vettoriali V e U.

I vettori v1, v2, v3, …, vp-1, vp sono dei generatori dello spazio V se e solo se le loro immagini Ω(v1),

Ω(v2), Ω(v3), …, Ω(vp-1), Ω(vp) sono dei generatori dello spazio U.

Dimostrazione. Siccome Ω è biettiva per ogni a∈U esiste un unico vettore v∈V tale che Ω(v) = a.

Se supponiamo che i vettori v1, v2, v3, …, vp-1, vp siano generatori dello spazio V, allora esistono p

numeri reali α1, α2, α3, …, αp-1, αp tali che v = α1v1+α2v2+α3v3+…+αp-1vp-1+αpvp . Quindi,

a = Ω(v) = Ω(α1v1+α2v2+α3v3+…+αp-1vp-1+αpvp). Tenendo conto della linearità di Ω si ha che

a = α1Ω(v1)+α2Ω(v2)+α3Ω(v3)+…+αp-1Ω(vp-1)+αpΩ(vp). Per cui Ω(v1), Ω(v2), Ω(v3), …, Ω(vp-1),

Ω(vp) sono dei generatori dello spazio U. Siccome Ω è una funzione per ogni v∈V esiste un unico

vettore a∈U tale che Ω(v) = a. Se ora supponiamo che Ω(v1), Ω(v2), Ω(v3), …, Ω(vp-1), Ω(vp) siano

generatori dello spazio U, allora esistono p numeri reali α1, α2, α3, …, αp-1, αp tali che

a = α1Ω(v1)+α2Ω(v2)+α3Ω(v3)+…+αp-1Ω(vp-1)+αpΩ(vp). Tenendo conto della linearità di Ω si ha

che Ω(v) = a = Ω(α1v1+α2v2+α3v3+…+αp-1vp-1+αpvp). Poiché Ω è biettiva si ha che

v = α1v1+α2v2+α3v3+…+αp-1vp-1+αpvp . Quindi, i vettori v1, v2, v3, …, vp-1, vp sono dei generatori

dello spazio V.

Tenendo conto che Ω-1 è un isomorfismo tra gli spazi vettoriali U e V si ha anche il seguente: 10.23. Corollario. Sia Ω : V → U un isomorfismo tra due spazi vettoriali V e U.

I vettori a1, a2, a3, …, ap-1, ap sono dei generatori dello spazio U se e solo se le loro controimmagini

Ω-1(a1), Ω-1(a2), Ω-1(a3), …, Ω-1(ap-1), Ω-1(ap) sono dei generatori di V.

10.24. Teorema. Sia Ω : V → U un isomorfismo tra due spazi vettoriali V e U.

I vettori v1, v2, v3, …, vp-1, vp di V sono linearmente indipendenti se e solo se le loro immagini

Ω(v1), Ω(v2), Ω(v3), …, Ω(vp-1), Ω(vp) sono linearmente indipendenti.

Dimostrazione. Le seguenti proposizioni sono equivalenti tra loro:

1) i vettori v1, v2, v3, …, vp-1, vp sono linearmente indipendenti

2) α1v1+α2v2+α3v3+…+αp-1vp-1+αpvp = 0V ⇔ α1 = α2 = α3 = … = αp-1 = αp = 0

3) Ω(α1v1+α2v2+α3v3+…+αp-1vp-1+αpvp) = Ω(0V) ⇔ α1 = α2 = α3 = … = αp-1 = αp = 0

4) α1Ω(v1)+α2Ω(v2)+α3Ω(v3)+…+αp-1Ω(vp-1)+αpΩ(vp) = 0U ⇔α1 = α2 = α3 = … = αp-1 = αp = 0

5) i vettori ΩB(v1), ΩB(v2), ΩB(v3), …, ΩB(vp-1), ΩB(vp) sono linearmente indipendenti.

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10.25. Corollario. Sia Ω : V → U un isomorfismo tra i due spazi vettoriali V e U.

I vettori v1, v2, v3, …, vp-1, vp di V sono linearmente dipendenti se e solo se le loro immagini

Ω(v1), Ω(v2), Ω(v3), …, Ω(vp-1), Ω(vp) sono linearmente dipendenti.

Tenendo conto che Ω-1 è un isomorfismo tra gli spazi vettoriali U e V si ha anche il seguente: 10.26. Corollario. Sia Ω : V → U un isomorfismo tra due spazi vettoriali V e U.

I vettori a1, a2, a3, …, ap-1, ap di U sono linearmente indipendenti se e solo se le loro

controimmagini Ω-1(a1), Ω-1(a2), Ω-1(a3), …, Ω-1(ap-1), Ω-1(ap) sono linearmente indipendenti.

Immediata conseguenza del Teorema 10.22 e del Teorema 10.24 è il seguente:

10.27. Teorema. Sia Ω : V → U un isomorfismo tra due spazi vettoriali V e U.

L’insieme ordinato B = v1, v2, v3, …, vp-1, vp è una base dello spazio V se e solo se l’insieme

ordinato B’ = Ω(v1), Ω(v2), Ω(v3), …, Ω(vp-1), Ω(vp) è una base dello spazio U.

Tenendo conto dell’Osservazione 10.17 è ben posta la seguente

10.28. Definizione. Sia VR uno spazio vettoriale reale finitamente generato di dimensione n.

Se B = (u1, u2, u3, …, un-1, un) è una base di VR si consideri la funzione ΩB : VR → Rn così definita

∀v∈VR ΩB(v) := a∈Rn

dove a = (α1 , α2 , α3 , … , αn-1 , αn ) è l’unica n-upla ordinata di numeri reali tale

v = α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun

Tale funzione ΩB : VR → Rn viene detta coordinatizzazione di VR rispetto a B.

I numeri reali della n-upla (α1 , α2 , α3 , … , αn-1 , αn ) vengono detti componenti o coordinate del

vettore v rispetto alla base B.

10.29. Teorema. Sia VR uno spazio vettoriale reale finitamente generato di dimensione n e sia

B = (u1, u2, u3, …, un-1, un) una sua base. La funzione di coordinatizzazione ΩB : VR → Rn è un

isomorfismo tra lo spazio vettoriale VR e lo spazio vettoriale Rn.

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Dimostrazione. Siano v e w due generici vettori di VR. Poiché B è una base di VR esiste un’unica

n-upla (α1 , α2 , α3 , … , αn-1 , αn )∈Rn ed un’unica n-upla (β1 , β2 , β3 , … , βn-1 , βn )∈R

n tali che

v = α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun e w = β1u1+β2u2+β3u3+…+βn-1un-1+βnun. Quindi,

ΩB(v) = (α1 , α2 , α3 , … , αn-1 , αn ) e ΩB(w) = (β1 , β2 , β3 , … , βn-1 , βn ). ΩB è iniettiva. Infatti

ΩB(v) = ΩB(w) ⇒ (α1 , α2 , α3 , … , αn-1 , αn ) = (β1 , β2 , β3 , … , βn-1 , βn ) ⇒

⇒ α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun = β1u1+β2u2+β3u3+…+βn-1un-1+βnun ⇒ v = w.

ΩB è anche suriettiva. Infatti, per ogni n-upla c = (γ1 , γ2 , γ3 , … , γn-1 , γn )∈Rn esiste il vettore

w := (γ1u1+γ2u2+γ3u3+…+γn-1un-1+γnun)∈VR tale che ΩB(w) = (γ1 , γ2 , γ3 , … , γn-1 , γn ) = c.

Da v + w = (α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun) + (β1u1+β2u2+β3u3+…+βn-1un-1+βnun) si ha che

v + w = (α1 + β1)u1 + (α2 + β2)u2 + (α3 + β3)u3 + … + (αn-1 + βn-1)un-1 + (αn + βn)un

Quindi, ΩB(v + w) = (α1 + β1 , α2 + β2 , α3 + β3 , … , αn-1 + βn-1 , αn + βn). Osservando che

(α1+β1, α2+β2, α3+β3, …, αn-1+βn-1, αn+βn) = (α1, α2, α3, …, αn-1, αn) + (β1, β2, β3, …, βn-1, βn)

si è provata la proprietà (L1). Da ωv = ω(α1u1+α2u2+α3u3+…+αn-1un-1+αnun ) si ha che

ωv = (ωα1)u1+(ωα2)u2+(ωα3)u3+…+(ωαn-1)un-1+(ωαn)un

Quindi, ΩB(ωv) = (ωα1, ωα2, ωα3, …, ωαn-1, ωαn). La (L2) è provata osservando che

(ωα1, ωα2, ωα3, …, ωαn-1, ωαn) = ω(α1, α2, α3, …, αn-1, αn).

Tenendo conto del Teorema 10.29 si ha subito la seguente

10.30. Osservazione. Ogni spazio vettoriale reale finitamente generato di dimensione n è isomorfo

allo spazio vettoriale reale Rn delle n-uple ordinate di numeri reali.

Tenendo conto dell’Osservazione 10.30 diamo la seguente

10.31. Definizione. Diremo che lo spazio vettoriale reale R

n delle n-uple ordinate di numeri reali è

un modello universale di spazio vettoriale di dimensione finita n.