1

Distillazione multicomponenteRicordiamo che per una colonna di distillazione abbiamo 6 gradi dilibert e tale valore non dipende dal numero di composti e dal numerodi piatti; generalmente, questi 6 gradi di libert sono saturatiattraverso le seguenti scelte:

2 g.d.l. nellambito dellecomposizioni o delle portaterelative alle correntiesterne D e B di testa e difondo (le variabili dicomposizione sono assegnate osotto forma di purezza deiprodotti o di recupero di unodei componentidellalimentazione in unadelle correnti in uscita)

pressione

rapporto di riflusso R=L0/D

carico termico qC posizione alimentazione

Concentriamo, ora, la nostra attenzione sulle variabili esterne; se icomponenti sono due (C=2), le equazioni relative al bilancio di massapossono essere risolte separatamente dalle altre, il che semplificamolto la risoluzione del sistema: in altri termini, vi unasostanziale differenza tra la distillazione a 2 componenti e quella api componenti.

Distillazione a 2 componenti se fissiamo le 2 variabilirelative alle portate e/o allecomposizioni, riusciamo adeterminare subito le portate ele composizioni dei prodotti

Distillazione a pi componenti se fissiamo le 2 variabilirelative alle portate e/o allecomposizioni, NON riusciamo adeterminare le portate e lecomposizioni dei prodotti se noncontestualmente con le altreincognite

L0 Vcondensatore

settore L0 D I

F

settoreII

vapore

ribollitore B

liquido

2

Per chiarire la situazione supponiamo di avere C componenti; ingenerale, possiamo scrivere:

C+2 equazioni 1 equazione di bilancio totale di materia C-1 equazioni di bilancio parziale 2 relazioni per saturare i 2 g.d.l. a nostra

disposizione su portate e/o composizioni

2C incognite portata B portata D C-1 composizioni di B C-1 composizioni di D

Nel caso in cui abbiamo solo 2 componenti (C=2) disponiamo di4 equazioni (2 equazioni + 2 relazioni su portate e/o composizioni)in 4 incognite (D, B, xD, xB) dove le 2 relazioni su portate e/ocomposizioni sono proprio quelle da noi scelte per fissare i valoridi due tra le 4 variabili (D, B, xD, xB): in definitiva, quindi,abbiamo le seguenti 2 equazioni in 2 incognite

F = D + B

F xF = D xD + B xB

Concludendo, noti portata e composizione dellalimentazione F efissato 2 variabili tra portate e/o composizioni delle correnti inuscita (cio 2 tra i 4 parametri D, B, xD, xB), abbiamo 2 equazioniin 2 incognite risolvibili, quindi, indipendentemente dalle altreequazioni della colonna.Se, invece, abbiamo C componenti (C>2) disponiamo di C equazioni dibilancio di massa:

F = D + B

F xF1 = D xD1 + B xB1. . . . . . . . . .

F xFC-1 = D xDC-1 + B xBC-1

pi le 2 relazioni su portate e/o composizioni delle correnti inuscita con cui fissiamo due tra le 2C variabili D, B, xD1,, xDC-1,xB1,, xBC-1: in definitiva, abbiamo C+2 equazioni in 2C incognite.Concludendo, noti portata e composizione dellalimentazione F efissato 2 variabili tra portate e/o composizioni delle correnti inuscita (cio 2 tra le 2C variabili D, B, xD1,, xDC-1, xB1,, xBC-1)abbiamo C equazioni in 2C-2 incognite; e evidente, quindi, che ilnumero delle incognite superiore al numero di equazioni: ciimplica che tali equazioni devono essere risolte contestualmente aquelle necessarie alla risoluzione globale della colonna.

3

Si deve evitare nel modo pi assoluto di pensare che, essendo 2C-2>C, possibile assegnare arbitrariamente alcuni parametri: ci NON possibile in quanto tutti i gradi di libert sono gi stati assegnati

Abbiamo dimostrato, quindi, che mentre un sistema a 2 componenti puessere suddiviso in variabili interne ed esterne consentendo,inoltre, di calcolare in modo indipendente i loro valori, nel caso diun sistema a pi componenti (C>2) non possibile risolvereseparatamente variabili esterne e variabili interne per cui non sipu pervenire ad una soluzione diretta delle correnti esterne senzarisolvere contestualmente anche le altre incognite del problema.Non ci resta altro che ricorrere a metodi risolutivi in grado dipervenire ad una soluzione globale del sistema di equazioni senzacio pi distinguere tra variabili interne ed esterne: ne deriva,ovviamente, una maggiore complessit di calcolo.Vi sono due tipologie risolutive:

1) Metodi approssimati (basati su ipotesi semplificative)2) Metodi esatti (soluzione contestuale di tutte le incognite)

Metodi ApprossimatiAffrontiamo il progetto di una colonna di distillazione a picomponenti utilizzando dei procedimenti di calcolo approssimato;questi si fondano su alcune ipotesi semplificative che ci consentonodi seguire lo stesso approccio visto nel caso della distillazione a 2componenti: i metodi approssimati sono utilizzati essenzialmente peril trattamento di prodotti petroliferi.

Metodo di Lewis-MathesonSupponiamo di avere delle sostanze omologhe, in particolare, degliidrocarburi posti in ordine di volatilit decrescente:

C3 C4 / C5 C6 C7 C8

Vogliamo separare i componenti da utilizzare come benzine da quelliutilizzati come GPL (Gas di petrolio liquefatto); in altri termini,vogliamo effettuare la separazione al livello C4 C5 in modo tale daottenere in testa alla colonna tutti i componenti pi leggeri di C4ed in fondo alla colonna tutti componenti pi pesanti di C5: ilcomponente C4 detto chiave leggero mentre il componente C5 dettochiave pesante. In definitiva, stabilito il livello di separazione e,quindi, i due componenti chiave tra i quali situata la quota diseparazione, ipotizziamo che tutti i componenti pi leggeri delchiave leggero sono tutti contenuti nel prodotto di testa (non sonopresenti nel prodotto di fondo) mentre tutti i componenti pi pesantidel chiave pesante sono tutti contenuti nel prodotto di fondo (nonsono presenti nel prodotto di testa).

4

La strategia da seguire quella gi nota: dovendo effettuare laseparazione a livello dei due componenti chiave, si deve progettareuna colonna che ci consenta di recuperare in testa gran parte del C4e in coda gran parte del C5.Le ipotesi viste sono ancora pi ragionevoli se:

I componenti leggeri sono molto pi volatili rispetto alchiave leggero mentre i componenti pesanti sono molto menovolatili rispetto al chiave pesante

Le percentuali di C4 recuperata in testa e di C5 recuperata incoda sono alte; si noti, infatti, che se recuperiamo il 95%di C4 in testa, a maggior ragione recupereremo una percentualedi C3 pi alta (ricordiamo che C3 ha una volatilit pi altarispetto a C4) e, analogamente, se recuperiamo il 90% di C5 incoda, a maggior ragione recuperiamo percentuali pi alte diC6, C7, C8

Lalimentazione composta da piccole percentuali dicomponenti leggeri rispetto al chiave leggero e da piccolepercentuali di componenti pesanti rispetto al chiave pesante

Non ci resta che esprimere analiticamente le relazioni derivantidalle ipotesi stesse:

xC3,B = 0 xC6,D = 0 xC7,D = 0 xC8,D = 0

In generale, possiamo affermare che le ipotesi di Lewis-Matheson ciconsentono di scrivere, a partire da C componenti, C-2 relazioni conesclusione di una relazione sul chiave leggero e di una relazione sulchiave pesante che saranno presenti sia in testa che in coda.Riassumendo, nel caso della distillazione a pi componenti (conriferimento alle variabili esterne) partiamo con C+2 equazioni in 2Cincognite; introducendo le ipotesi di Lewis-Matheson riusciamo adesprimere ulteriori C-2 equazioni pareggiando, in questo modo, ilnumero di equazioni con il numero delle incognite: questo ci consentedi calcolare tutte le variabili esterne.A questo punto, per, occorre analizzare con pi attenzione qualiimplicazioni si celano dietro il rispetto delle ipotesi viste.Nella realt, la colonna di distillazione non riesce a separarecompletamente i composti pi pesanti del chiave pesante dai pileggeri del chiave leggero; inevitabilmente, quindi, sono presentinella corrente D delle molecole di C6, C7, C8: ovviamente, leconcentrazioni sono molto piccole (ad esempio, CC8 = 10-26 mentreCC7 = 10-23) per cui dal punto di vista del bilancio di massa talivalori possono essere effettivamente trascurati.Il problema sorge nella procedura di risoluzione piatto a piatto;infatti, se partiamo con tale procedura dalla testa della colonnautilizzando piatto per piatto relazioni di bilancio e di equilibrio,troviamo (per quanto piccoli siano i valori reali di concentrazionenella corrente D) valori crescenti delle concentrazioni di C6 C7 C8

5

fino a raggiungere la sezione di alimentazione: se, invece,procediamo alla risoluzione piatto a piatto avendo approssimato azero le concentrazioni dei composti pi pesanti del chiave pesante,troviamo che i valori di tali concentrazioni sono nulli su tutti ipiatti della sezione di arricchimento.Analogo ragionamento pu essere sviluppato nei confronti dei compostipi leggeri del chiave leggero: i valori delle concentrazioni di talicomposti sono nulli su tutti i piatti della sezione di esaurimento.La sezione di alimentazione rappresenta una discontinuit in quantocompaiono e proseguono verso il basso i composti pi pesanti delchiave pesante mentre compaiono e proseguono verso lalto i compostipi leggeri del chiave leggero.In definitiva, lapprossimazione vista comporta il calcolo di unnumero di piatti diverso da quello effettivo (le relazioni diequilibrio e di lavoro sono state applicate su liquidi e vapori chenon hanno la vera composizione); abbiamo, per, la possibilit divalutare lerrore commesso: se, partendo dallalimentazione, troviamonella sezione di arricchimento che dopo 2 piatti i valori dellecomposizioni dei componenti pi pesanti del chiave pesante sonoridotti praticamente a zero e, analogamente, accade la stessa cosanella sezione di esaurimento per i componenti pi leggeri del chiaveleggero, allora lerrore commesso trascurabile e riguarda solopochi piatti (ad esempio, 4 piatti sui 50 di tutta la colonna).

Vediamo, ora, come si procede per caratterizzare il prodotto di testae di coda; supponiamo che lalimentazione sia caratterizzata dalleseguenti frazioni molari:

xC3,F = 0.20 xC4,F = 0.25 xC5,F = 0.30

xC6,F = 0.03 xC7,F = 0.15 xC8,F = 0.07

Non ci resta che saturare i 2 g.d.l. con la purezza o recupero oportata di B e D.

Purezza sui componenti chiave Supponiamo di voler assegnare lapurezza della corrente di testa; ipotizzando che non contenga C5,possiamo fissare un qualsiasi valore espresso dalla relazione:

55.04525

202525

,3,4

,4,4 =+

=

+

FCFC

FCDC nn

nx

in altri termini, assurdo ipotizzare xC4,D = 0.90 dal momento stessoche, in base ai dati di alimentazione, il recupero massimoipotizzabile pari a 0.55; lecito, quindi, ipotizzare:

xC4,D = 0.50

6

Analoghe considerazioni valgono per la purezza della corrente difondo; ipotizzando che non contenga C4, il recupero massimoipotizzabile per C5 pari a

54.05530

71533030

,8,7,6,5

,5,5 =+++

=

+++

FCFCFCFC

FCBC nnnn

nx

lecito, quindi, ipotizzare una purezza pari a

xC5,B = 0.52

Purezza Globale Si noti, per, che la separazione ha un senso inquanto i componenti separati vengono impiegati per scopi differenti; utile, quindi, fornire la purezza complessiva per quella gamma diprodotti destinati ad un certo scopo: fissare la purezza suicomponenti chiave ha poco significato anche se, in qualche modo,questo influisce su tutti gli altri componenti.La purezza della corrente D pu essere, quindi, anche assegnata intermini di frazione leggera:

xC3,D + xC4,D = 0.98

Analogamente, ha senso assegnare la purezza della corrente B espressain termini di frazione pesante

xC5,B + xC6,B + xC7,B + xC8,B = 0.99

Recupero sui componenti chiave evidente che possiamo fissare i2 g.d.l. anche in termini di recupero; con riferimento ai componentichiave possiamo scrivere che:

Recupero di C4 in D al 95% D xC4,D = 0.95 F xC4,F

Recupero di C5 in B al 85% B xC5,B = 0.85 F xC5,F

Recupero Globale Anche in questo caso possibile riferirsi atutti i componenti leggeri e a tutti i componenti pesanti:

Recupero leggeri in D al 90%D (xC3,D + xC4,D) = 0.90 F (xC3,F + xC4,F)

Recupero pesanti in B al 99% B (xC5,B + xC6,B + xC7,B + xC8,B) = 0.99 F (xC5,F + xC6,F + xC7,F + xC8,F)

7

necessario sottolineare che le condizioni poste sui componentichiave sono perfettamente equivalenti a quelle poste globalmente(negli esempi riportati, per, abbiamo espresso essenzialmente dellecondizioni del tutto slegate tra loro); in altri termini, se vogliamosaturare i 2 g.d.l. in termini di recupero (per la purezza vi sonoconsiderazioni analoghe) possiamo utilizzare le relazioni viste peril recupero sui componenti chiave oppure quelle viste per il recuperoglobale, relazioni che sono state fissate in modo indipendente: evidente, per, che alle condizioni di recupero sui componenti chiavedevono corrispondere delle precise relazioni di recupero globale.Vediamo di capire meglio tale questione con un esempio numerico.Ricordiamo che lalimentazione F caratterizzata dalle seguentifrazioni molari:

xC3,F = 0.20 xC4,F = 0.25 xC5,F = 0.30

xC6,F = 0.03 xC7,F = 0.15 xC8,F = 0.07

poich risulta pi comodo esprimerci in termini di numero di moli,scegliamo come base di calcolo F = 100 per cui si ha:

nC3,F = 20 nC4,F = 25 nC5,F = 30 nC6,F = 3 nC7,F = 15 nC8,F = 7

Abbiamo detto che vogliamo effettuare un recupero del chiave leggeropari al 95%; questo si pu esprimere come:

D xC4,D = 0.95 F xC4,F = 0.95 * 25 = 23.75

In altri termini, nella corrente di testa vi devono essere 23.75 molidel chiave leggero C4: a questo punto, vogliamo esprimere unarelazione di recupero globale perfettamente in linea con tale sceltadi recupero di C4. Ricordiamo le ipotesi di Lewis-Matheson:

Tutto il C3 si deve trovare nella corrente di testa(per un totale di 20 moli, nel nostro caso)

Nella corrente di testa, quindi, si devono trovare 23.75 moli di C4pi 20 moli di C3 per un totale di 43.75 moli di composti leggeririspetto alle 45 moli introdotte con lalimentazione; tutto questoequivale ad un recupero globale pari a 43.75/45 = 0.972 .In definitiva, al recupero del 95% del componente chiave leggero C4espresso dalla relazione

D xC4,D = 0.95 F xC4,F

corrisponde, in perfetta analogia, un recupero globale sui componentileggeri del 97.2% espresso dalla relazione

D (xC3,D + xC4,D) = 0.972 F (xC3,F + xC4,F)

8

Possiamo procedere in modo analogo con riferimento al recupero delchiave pesante che abbiamo posto essere pari al 85%; questo si puesprimere come

B xC5,B = 0.85 F xC5,F = 0.85 * 30 = 25.5

Nella corrente in coda vi devono essere 25.5 moli del chiave pesanteC5: vogliamo trovare la relazione di recupero globale in linea contale scelta su C5. Rispettando le ipotesi di Lewis-Matheson possiamoconcludere che tutto il C6 C7 C8 si deve trovare nella corrente incoda per un totale di 25 moli; in B, quindi, si devono trovare 25.5moli di C5 pi 25 moli di C6 C7 C8 per un totale di 50.5 moli dicomposti pesanti: tutto questo, rispetto alle 55 moli introdotte conlalimentazione, equivale ad un recupero globale del 50.5/55 = 0.92 .In definitiva, al recupero del 85% del componente chiave pesante C5espresso dalla relazione

B xC5,B = 0.85 F xC5,F

corrisponde un recupero globale sui componenti pesanti del 92%espresso dalla relazione

B (xC5,B + xC6,B + xC7,B + xC8,B) = 0.92 F (xC5,F + xC6,F + xC7,F + xC8,F)

Analoghe considerazioni si possono effettuare per la purezza, nelsenso che ad una condizione di purezza sui componenti chiave necorrisponde una sulla purezza globale.Si noti, per, che generalmente sia le condizioni di purezza che direcupero sono sempre espresse in termini globali, proprio perch ilnostro maggior interesse rivolto ai gruppi di componenti daseparare in testa e in coda; inoltre evidente che i 2 g.d.l.possono essere anche saturati assegnando condizioni differenti daquelle viste come:

1 dato di purezza ed 1 di recupero 1 dato di purezza ed 1 portata 1 dato di recupero ed 1 portata

EsempiPer chiarire ulteriormente la situazione, procediamo al calcolo diportate e composizioni dei prodotti di testa e di fondo nellipotesiF = 100 quando i 2 g.d.l. siano saturati con dati di purezza, direcupero (entrambi sia sui componenti chiave sia in termini globali)oppure in situazioni miste assegnando, ad esempio, 1 dato di purezzaed 1 dato di recupero; sottolineiamo che per il calcolo dellecomposizioni dei prodotti pi conveniente riferirsi al numero dimoli: infatti, poich F = 100 moli, conoscendo il numero di moli diogni componente possibile risalire direttamente alle portate D e B.

9

1 EsempioSupponiamo che lalimentazione sia caratterizzata dai seguenti valori

nC3,F = 20 nC4,F = 20 nC5,F = 30 nC6,F = 5 nC7,F = 15 nC8,F = 5 nC9,F = 5

inoltre, saturiamo i 2 g.d.l. con i dati di Recupero Globale

Recupero leggeri in D al 95%D (xC3,D + xC4,D) = 0.95 F (xC3,F + xC4,F)

Recupero pesanti in B al 98% B (xC5,B + xC6,B + xC7,B + xC8,B + xC9,B) = 0.98 F(xC5,F + xC6,F + xC7,F + xC8,F + xC9,B)

Dalle ipotesi di Lewis-Matheson, possiamo subito dedurre che:

nC3,D = 20 nC3,B = 0

nC6,D = 0 nC6,B = 5

nC7,D = 0 nC7,B = 15

nC8,D = 0 nC8,B = 5

nC9,D = 0 nC9,B = 5

Attraverso i dati di recupero dobbiamo pervenire ai valori deicomponenti chiave; dalla relazione sul recupero dei leggeri si ha:

D (xC3,D + xC4,D) = 0.95 F (xC3,F + xC4,F) = 0.95 * 40 = 38

nC3,D + nC4,D = 38

nC4,D = 38 - nC3,D = 38 20 = 18

a questo punto, evidente che se alimentiamo 20 moli di C4 e nerecuperiamo dalla corrente D 18, nella corrente B in coda dobbiamoritrovare 2 moli di C4

nC4,B = 2

analogamente, dalla relazione sul recupero dei pesanti si ha:

B (xC5,B + xC6,B + xC7,B + xC8,B + xC9,B) = 0.98 F(xC5,F + xC6,F + xC7,F + xC8,F + xC9,B)= = 0.98 * 60 = 58.8

nC5,B + nC6,B + nC7,B + nC8,B + nC9,B = 58.8

nC5,B = 58.8 (nC6,B + nC7,B + nC8,B + nC9,B) = 58.8 30 = 28.8

F = 100 D B C3 20

C4 20

20 ---

C5 30

C6 5

C7 15

C8 5

C9 5

---

---

---

---

5

15

5

5

10

visto che alimentiamo 30 moli di C5 e ne recuperiamo 28.8 nellacorrente B, possiamo concludere che nella corrente D ritroviamo1.2 moli di C5

nC5,D = 1.2

I dati ottenuti ci consentono dicompletare la tabella e di calcolarele portate delle correnti D e B inuscita:

D = 39.2 B = 60.8

Concludendo, le ipotesi diLewis-Matheson ci consentono diconoscere subito 5 composizioniincognite (cio C-2 incognite)mentre le due relazioni di recuperoci hanno consentito la valutazionedelle concentrazioni dei componentichiave nelle correnti D e B.

2 EsempioSupponiamo che la corrente di alimentazione sia caratterizzata daiseguenti valori:

nC3,F = 20 nC4,F = 25 nC5,F = 30 nC6,F = 3 nC7,F = 15 nC8,F = 7

saturiamo i 2 g.d.l. con 1 dato di purezza globale sulla corrente Despressa in relazione alla frazione leggera e con 1 dato di recuperoglobale sulla frazione pesante:

Purezza leggeri in D al 98% xC3,D + xC4,D = 0.98

Recupero pesanti in B al 99% B (xC5,B + xC6,B + xC7,B + xC8,B) = 0.99 F (xC5,F + xC6,F + xC7,F + xC8,F)

Dalle ipotesi di Lewis-Matheson possiamo subito dedurre che:

nC3,D = 20 nC3,B = 0

nC6,D = 0 nC6,B = 3

nC7,D = 0 nC7,B = 15

nC8,D = 0 nC8,B = 7

F = 100 D B C3 20

C4 20

20

18

---

2 C5 30

C6 5

C7 15

C8 5

C9 5

1.2

---

---

---

---

28.8

5

15

5

5

F = 100 D B C3 20

C4 25

20 ---

C5 30

C6 3

C7 15

C8 7

----

----

----

3

15

7

11

attraverso i dati di recupero e di purezza siamo in grado dipervenire ai valori dei componenti chiave.Dalla relazione sul recupero dei pesanti si ha che:

B (xC5,B + xC6,B + xC7,B + xC8,B) = 0.99 F(xC5,F + xC6,F + xC7,F + xC8,F)= = 0.99 * 55 = 54.4

nC5,B + nC6,B + nC7,B + nC8,B = 54.4

nC5,B = 54.4 (nC6,B + nC7,B + nC8,B) = 54.4 25 = 29.4

visto che alimentiamo 30 moli di C5 e ne recuperiamo 29.4 nellacorrente B, possiamo concludere che nella corrente D ritroviamo 0.6moli di C5

nC5,D = 0.6

dalla relazione sulla purezza dei leggeri si ha che:

xC3,D + xC4,D = 0.98 xC5,D = nC5,D/D = 0.02

nC5,D = 0.02 D = 0.02 (nC3,D + nC4,D + nC5,D)

0.6 = 0.02 (20 + nC4,D + 0.6)

nC4,D = 0.6/0.02 20 0.6 = 30 20 0.6 = 9.4

visto che alimentiamo 25 moli di C4 e ne recuperiamo 9.4 nellacorrente D, possiamo concludere che nella corrente B ne ritroviamo15.6 moli

nC4,B = 15.6

I dati ottenuti ci consentono dicompletare la tabella e dicalcolare le portate delle correntiD e B in uscita:

D = 30 B = 70

necessario sottolineare cheabbiamo ottenuto nC4,B = 15.6 moli ecertamente non siamo contenti ditale risultato in quantonC4,D = 9.4 moli: tale circostanzaderiva da un recupero sui pesanti molto elevato, tale da influireanche sul componente C4.

F = 100 D B C3 20

C4 25

20

9.4

---

15.6 C5 30

C6 3

C7 15

C8 7

0.6

----

----

----

29.4

3

15

7

12

Calcolo della colonnaAbbiamo visto, quindi, che una volta saturati i 2 g.d.l. con dati dipurezza, recupero o portate, siamo in grado di separare e risolverele variabili esterne da quelle interne: in altri termini, conosciamoB, xBi, D, xDi e vogliamo determinare portate e composizioniallinterno della colonna.Cominciamo con losservare che, se assegnato il rapporto diriflusso R, siamo in grado di calcolare la portata L0 utilizzando ladefinizione stessa di riflusso e cio si ha che:

L0 = R D

(precisiamo che il metodo descritto non fornisce un procedimento perlassegnazione del rapporto di riflusso R; del resto, valgono glistessi criteri gi descritti nel caso di distillazione a 2componenti)Analogamente, sempre dalla conoscenza del rapporto di riflusso R,siamo in grado di valutare la portata della corrente di vapore V1 intesta alla colonna:

V1 = (R + 1) D

Se il condensatore totale, poich conosciamo le xDi, conosciamoanche le composizioni della corrente L0 e della corrente V1; abbiamocompletamente definito, quindi, le correnti di liquido e di vaporenella sezione di testa della colonna (cio sono noti L0, x0i, V1, y1i).Riteniamo, in questa fase, che si possano ritenere costanti i flussimolari in ciascuna delle 2 sezioni della colonna (variano inprossimit dellalimentazione); vedremo in seguito che taleapprossimazione non necessaria: in ogni caso, ci rende latrattazione pi semplice senza togliere generalit.

[Osserviamo che, in effetti, il problema sapere come si passa dalla sezione di testa (ciodalle portate e composizioni note delle 3 correnti subito al di sopra del 1 piatto) alla sezionecompresa tra il 1 e il 2 piatto (cio alla conoscenza delle portate e composizioni al di sottodel 1 piatto); in generale, quindi, se troviamo una procedura che ci consente di caratterizzarele correnti al di sotto del generico piatto n, note che siano le correnti al di sopra dello stessopiatto, iterando tale procedura siamo in grado di risolvere la nostra colonna. Ricordiamo che:

L = Ln-1 = Ln =

V = Vn = Vn+1 =

Possiamo scrivere un bilancio dimateria sul componente i-esimo:

L xn-1i + V yn+1i = L xni + V yni

dove L, V, yni, xn-1i sono noti.

Ln-1 xn-1 Vn yn

n

Vn+1 yn+1 Ln xn

13

A questo punto, poich vale sempre lipotesi di piatto ideale, le correnti in uscita di liquido evapore devono essere in equilibrio tra loro; la condizione di equilibrio pu essere espressaattraverso le seguenti relazioni:

Legge di Raoult yni n = xni pni

Coefficienti di attivit yni n = ni xni pni

dove pni tensione di vapore componente i-esimo alla temperatura del piatto nn pressione del piatto nni coefficiente di attivit componente i-esimo funzione della temperatura,

pressione e composizione del liquido nel piatto n

Se vale la legge di Raoult (e in ogni caso non si toglie generalit al problema) si ha che:

oni

nnini p

yx =

In definitiva, queste sono le equazioni da prendere in considerazione; non ci resta altro cheiniziare dalla testa della colonna e precisare bene ogni passo]

Ricordiamo che sono noti iseguenti valori:

L0 x0i V1 y1i D xDi

Sempre nellipotesi di piattoideale, la corrente V1 si trovain equilibrio con la correnteL1; possibile, quindi,applicare le relazioni diequilibrio (in particolare leesprimiamo tramite Raoult):

1 y1i = p1i x1i i = 1,,c

Ovviamente, possiamo scrivere C relazioni di questo tipo se c ilnumero di componenti presenti nella sezione di colonna considerata;tali relazioni possono essere riscritte come

oi

ii p

yx1

111

= i = 1,,c

Si osservi che come incognite abbiamo le C composizioni x1i e latemperatura del piatto che risulta annidata nei valori delle tensionidi vapore per un totale di C + 1 incognite (dovremmo tener conto

L0

V1 D

L1 V2

14

anche della pressione 1 del primo piatto, ma sappiamo che 1 dei6 g.d.l. viene saturato proprio con la scelta di un valore dipressione, per cui possiamo ritenerlo assegnato o comunque notoattraverso le perdite di carico); a questo punto abbiamo C relazionidi equilibrio in C + 1 incognite.Per rendere il problema determinato sufficiente ricordare che:

11

1 ==

C

iix

Il nostro sistema di C + 1 equazioni in C + 1 incognite deve essererisolto per tentativi secondo la seguente procedura:

1) si fissa la temperatura T1*

2) si calcolano le tensioni di vapore p1i

3) si calcolano le composizioni x1i

4) si verifica che la loro somma sia pari ad 1; seci non accade si sceglie un nuovo valore perla temperatura T1*

Come tutti i bravi calcoli per tentativi sar difficile verificareche =

iix 11 ; in questo caso, possibile forzare la convergenza con

la seguente procedura:

supponiamo di aver trovato che =i

ix 98.01 (valore prossimo a 1)

rendiamo congruenti i valori di composizione scegliendo al postodei valori ix 1 calcolati, i valori normalizzati x1i* cio deivalori corretti in modo tale da fornire una somma pari a 1 dove:

= ii

i xxx

1

1*1

essendo partiti da =i

ix 98.01 (valore prossimo allunit), ai

valori normalizzati *1 ix corrisponde proprio la temperatura esattadel piatto

15

Se il sistema non ideale, le relazioni di equilibrio devono essereespresse attraverso i coefficienti di attivit:

oii

ii p

yx11

111

= i = 1,,c

in questo caso la procedura di risoluzione per tentativi picomplessa:

1) inizialmente poniamo 1i = 1

2) si fissa la temperatura T1*

3) si calcolano le tensioni di vapore p1i

4) si calcolano le composizioni x1i

5) a questo punto, nota la pressione 1, lecomposizioni x1i e la temperatura T1*, sivalutano i 1i e con tali valori si ricalcolanole composizioni x1i

6) verifichiamo che =i

ix 11 ; se ci non accade si

ritorna al punto 1) con una nuova scelta per latemperatura

Con questo, abbiamo dimostrato che la presenza o meno deicoefficienti di attivit non condiziona la generalit del problemaconsiderato. Sono note, a questo punto, le seguenti composizioni(le portate le indichiamo con il pedice solo per chiarezza, ma siamosempre nelle ipotesi di flussi molari costanti)

D xDi V1 y1i L0 x0i L1 x1i

Per valutare le composizioni y2i basta effettuare un bilancio tra unasezione posta al di sotto del 1 piatto e la testa della colonna:

V y2i = D xDi + L x1i

VLxDxy iDii 12

+=

[Supponiamo di rimuovere lipotesi di flussi molari costanti; possiamo scrivere:

bilancio globale V2 = L1 + D C 1 bilanci sui componenti V2 y2i = L1 x1i + D xDi

16

nelle incognite L1, V2, y2i; in altri termini, abbiamo C equazioni in C + 1 incognite (le y2i sonoC 1 perch sono C 1 i bilanci sui componenti). Lequazione necessaria a chiudere ilproblema certamente fornita da un bilancio termico del tipo:

V2 H2 = L1 h1 + D hD + qC + q1

dove qC termine relativo al condensatoreq1 termine relativo al piatto 1

la relazione vista vera se il volume di controllo considerato viene attraversato dalle correntiV2 L1 e D. Se, per, consideriamo come volume di controllo quello relativo ad una sezioneposta al di sotto del piatto 1 e al di sopra della colonna (escludendo, cio, il condensatore) siha che:

V2 H2 + L0 h0 = V1 H1 +L1 h1 + q

Trascurando qualche termine, dovremmo essere in grado di chiudere il problema]

Una volta note le composizioni y2i, attraverso le relazioni diequilibrio siamo in grado di valutare la composizione del liquido inequilibrio con quel vapore:

oi

ii p

yx2

222

=

Ribadiamo che per tali calcoli dobbiamo conoscere la pressione 2oppure, in alternativa, di quanto 2 differisce da 1: taledifferenza rappresentata dalle perdite di carico p dovuteallattraversamento del piatto (funzioni del diametro della colonna).Si noti, inoltre, che piccole variazioni di pressione non influenzanomolto le condizioni di equilibrio: in particolare, le variazioni dipressione si risentono pi sulla temperatura ma, sostanzialmente, ivalori di composizione non variano in modo significativo.Concludendo, iterando il procedimento visto, cio con lalternanza direlazioni di bilancio e di equilibrio, riusciamo a risolvere lacolonna piatto a piatto fino al raggiungimento del piatto dialimentazione; possiamo realizzare la stessa cosa a partire, per,dal fondo della colonna: osserviamo, per, che in effetti nonconosciamo la posizione del piatto di alimentazione. importante osservare quanto segue: concentriamo la nostraattenzione sul piatto n della sezione di arricchimento e scriviamo ilbilancio tra una sezione al di sotto di tale piatto e la testa dellacolonna (incluso il condensatore)

L xni + D xDi = V yn+1i

esprimendo yn+1i attraverso la relazione di equilibrio si ha che

17

1

011

+

++

=+

n

ininDini

pxVDxLx

oin

Dininin Vp

DxLxx1

11

)(

+

++

+=

Dunque, noto xni siamo in grado di calcolare xn+1i; in altri termini,la composizione del liquido in un certo piatto n+1 della colonna puessere calcolata a patto di conoscere la composizione del liquido nelpiatto precedente n e le condizioni di testa: tale calcolo deveessere effettuato attraverso una procedura a tentativi in quanto presente la temperatura incognita Tn+1 implicitamente racchiusa nelletensioni di vapore pn+1i. Il nostro problema presenta come incognite

C composizioni xn+1i

1 temperatura Tn+1

mentre abbiamo come equazioni

C relazioni sui componenti oin

Dininin Vp

DxLxx1

11

)(

+

++

+=

1 relazione di congruenza =+i

inx 11

la procedura di risoluzione per tentativi la seguente:

1) si sceglie un valore di tentativo per latemperatura T*n+1

2) si calcolano le composizioni xn+1i

3) verifica della relazione di congruenza; serisulta +

iinx 11 si torna al punto 1): anche

in questo caso possibile eseguire lanormalizzazione dei valori di concentrazione

possibile procedere in modo analogo per la fase vapore; si ha che:

L xni + D xDi = V yn+1i

esprimendo xni attraverso la relazione di equilibrio si ha

18

inDini

nin VyDxpyL 10 +=+

Dioni

ninin xV

Dpy

VLy +=+1

la composizione del vapore generato da un certo piatto n+1 dellacolonna pu essere calcolata a patto di conoscere la composizione delvapore nel piatto precedente n e le condizioni di testa.Ragionamenti del tutto analoghi possono essere ripetuti per lasezione di esaurimento; a tale scopo basta riferirsi al genericopiatto m ed effettuare un bilancio tra una sezione appena al di sopra

di tale piatto e la sezione dicoda della colonna (includendoil ribollitore):

Bimiim BxyVxL +=1

al posto di ymi sostituiamo larelazione di equilibrio

m

mimimi

pxy

=

0

dove valgono le stesse considerazioni prima viste per i coefficientidi attivit ed otteniamo che:

Bim

mimiim Bx

pxVxL +

=

0

1

Bimim

miim xL

BxpLVx +

=

0

1

per cui siamo in grado di calcolare la composizione del liquido inuscita da un certo piatto m-1, nota che sia la composizione delliquido al piatto seguente m. In definitiva, partendo dal fondo dellacolonna dove conosciamo la composizione del liquido B, siamo in gradodi conoscere la composizione del liquido risalendo la colonna piattoa piatto; anche in questo caso abbiamo come incognite C composizionie la temperatura Tmi e come equazioni C relazioni pi quella dicongruenza: al solito, il metodo di risoluzione per tentativi.

L V

m

VN+1 LN

B

19

Non per essere noiosi o ripetitivi, opportuno ricordare che lostesso metodo pu essere applicato alla fase vapore; ricordiamo,infatti, che:

Bimiim BxyVxL +=1

esprimendo xm-1i attraverso la relazione di equilibrio, si ha:

Bimimim

m BxyVyp

L +=

101

1

+

=

Bimim

imim xL

ByLVpy

1

01

1

per cui la composizione del vapore generato da un certo piatto m-1della colonna pu essere calcolata a patto di conoscere lacomposizione del vapore nel piatto seguente m e le condizioni dicoda. In definitiva, con tali procedimenti, conosciamo i valori dicomposizione del liquido e del vapore sia nella sezione diarricchimento sia nella sezione di esaurimento.

Posizione dellalimentazioneRicordiamo che, per le ipotesi di Lewis-Matheson, nella sezione diarricchimento sono presenti come componenti:

chiave pesante chiave leggero componenti pi leggeri del chiave leggero

mentre nella sezione di esaurimento sono presenti:

chiave leggero chiave pesante componenti pi pesanti del chiave pesante

Per individuare la posizione dellalimentazione necessarioconfrontare due diagrammi, uno relativo alla sezione di arricchimentoed uno relativo alla sezione di esaurimento, costruiti riportando lecomposizioni di alcuni componenti in fase liquida o vapore infunzione del numero di piatti: tale confronto eseguibile solo sucomponenti presenti in entrambe le sezioni della colonna, pertanto lascelta cade necessariamente sui due componenti chiave.Consideriamo le composizioni in fase liquida dei componenti chiave,relative alla sezione di arricchimento, tracciate a partire dallatesta della colonna; possiamo effettuare le seguenti considerazioni:

20

si noti che la presenza di un massimo per il chiave leggero nondeve sorprendere in quanto, andando verso lalto della colonna,

pur vero che cresce lacomposizione dei componentileggeri, ma non detto checi si verifichi perchaumenta la percentuale delchiave leggero: sono presenti,infatti, anche i componentipi leggeri del chiave leggeroche, anzi, si devono ritrovaretutti nella corrente in uscita(nel caso di distillazionebicomponente, tale massimo nonsi pu avere perch vi 1solo componente leggero ed 1solo componente pesante)

le curve riportate non si intersecano necessariamente: il loroandamento dipende dal valore del rapporto di riflusso R(ricordiamo che i valori delle portate L e V dipendono dal valore

scelto per R). Lavorare convalori di riflusso pi elevatisignifica migliorare laseparazione cio aumentare lavariazione x diconcentrazione fra due piatticonsecutivi; in altri termini,a parit di numero di piatti econ valori di R pi elevati lecurve si spostano realizzandouna variazione pi ampia dicomposizione per ciascuno deicomponenti: in definitiva, alcrescere di R le due curvefiniscono con lincrociarsi

le due curve presentano, oltre un certo numero di piatti, unasintoto orizzontale (generalmente diverso per le due curve); cisignifica che le condizioni di lavoro e di equilibrio coincidono:un ulteriore aumento del numero di piatti non comporta variazionidi composizione (il processo di distillazione bloccato)

Consideriamo, ora, anche il diagramma relativo alla sezione diesaurimento; in questo diagramma si ha, in corrispondenza del piattozero, la composizione di fondo della colonna.Ricordiamo che la posizione ottimale per la sezione di alimentazionecoincide con quella che non determina una variazione dellecomposizioni delle correnti in colonna; cio la composizione della

x

xL chiave leggero

xP chiave pesante

n

R1 R1 > R2 x R2

xL

xP

n

21

corrente di alimentazione prossima alle composizioni delle correntiin colonna. Nel nostro caso, la sezione di alimentazione viene

individuata effettuando uno scorrimento dei due diagrammi lunosullaltro; quando si verifica che contemporaneamente:

xL(La) = xL(Le) xP(Pa) = xP(Pe)

allora abbiamo individuato la sezione (*) in cui conviene posizionarelalimentazione. Si noti che, in questo modo, riusciamo adindividuare anche il numero di piatti della colonna; infatti, seindichiamo con n*a il numero di piatti relativi alla posizione dellasezione (*) nella sezione di arricchimento e con n*e il numero dipiatti relativi alla posizione della sezione (*) nella sezione diesaurimento, il numero di piatti totali nt della colonna dato da:

nt = n*a +n*e

necessario sottolineare che tale sovrapposizione non si verificasempre: devono essere rispettate certe condizioni. Supponiamo, adesempio, di trovarci nel seguente caso (diverso rapporto di riflusso)

x x

xL * * xP

La Le

Pa Pe xL

xP

n*a na ne n*e sezione di arricchimento sezione di esaurimento

x x

xLa xPe

xLexPa

na ne sezione di arricchimento sezione di esaurimento

22

Come risulta evidente dai diagrammi, la curva xLa (composizioni delchiave leggero nella sezione di arricchimento) presenta un asintotoorizzontale pi alto di quello relativo alla curva xLe (composizionidel chiave leggero nella sezione di esaurimento); analogamente, lacurva xPa presenta un asintoto orizzontale pi basso di quellorelativo alla curva xPe: in queste condizioni sia le curve relativealle composizioni del chiave leggero che quelle relative allecomposizioni del chiave pesante non possono intersecarsi.Questo deriva dal valore del rapporto di riflusso scelto; inparticolare, possiamo affermare che abbiamo lavorato con un rapportodi riflusso inferiore al minimo: equivalente, nella distillazione a2 componenti, al caso in cui la retta di lavoro della sezione diarricchimento interseca la curva di equilibrio prima di incrociare laretta di alimentazione. evidente, a questo punto, che aumentando il valore del rapporto diriflusso riusciamo a spostare landamento delle curve; inparticolare, individuiamo il valore Rmin quando la curva xLa e lacurva xLe, come le curve xPa e xPe, presentano lo stesso asintotoorizzontale (1 per coppia per un totale di 2 asintoti orizzontali): equivalente, nella distillazione a 2 componenti, al caso in cui le2 rette di lavoro si intersecano sulla curva di equilibrio nellostesso punto in cui passa anche la retta di alimentazione.Troveremo, quindi, la soluzione al nostro problema (ciosovrapponendo i due diagrammi verifichiamo che xL(La) = xL(Le) exP(Pa) = xP(Pe) ) solo se il valore utilizzato per il rapporto diriflusso maggiore di Rmin.Ribadiamo che il valore Rmin rappresenta il valore pi basso di R percui la separazione possibile, ma con un numero infinito di piatti;in tal caso le coppie di curve relative ai componenti chiave non siincrociano in una sezione definita, ma hanno lo stesso asintoto ciola sovrapposizione avviene allinfinito. Si noti, inoltre, che lecurve rappresentanti le composizioni dei componenti chiave tendono adun asintoto in quanto, con riferimento alla stessa sezione dellacolonna, continuiamo ad operare senza modificare le condizioni dilavoro; nel caso della distillazione a 2 componenti, come seprocediamo nella costruzione a gradini senza cambiare condizioni dilavoro: in questo caso, otteniamo un punto in cui condizioni diequilibrio e di lavoro coincidono per cui, a prescindere dal numerodi stadi teorici inseriti, non riusciamo a modificare pi lacomposizione della fase liquida e di quella vapore.

Errore commessoRicordiamo che le ipotesi di Lewis-Matheson, anche se perfettamentelecite ai fini del bilancio di materia, non consentono di valutarepiatto a piatto, tramite le relazioni di bilancio e di equilibrio, lecomposizioni dei componenti pi pesanti del chiave pesante nellasezione di arricchimento e pi leggeri del chiave leggero nellasezione di esaurimento: questo si riflette in unerrata valutazionedel numero di piatti e della posizione dellalimentazione.

23

In altri termini, se recuperiamo il 98% del chiave leggero, affermareche i componenti pi leggeri del chiave leggero si trovano tuttinella corrente di testa non comporta un grosso errore (analogodiscorso per i componenti pi pesanti del chiave pesante nellacorrente di coda); quello che per pesa, ad esempio, affermare chei componenti pi pesanti del chiave pesante non sono proprio presentinella corrente di testa (analogamente ai componenti pi leggeri delchiave leggero nella corrente di coda): assimilare a zero un valorepiccolo ma finito determina comunque un errore in quanto scendendolungo la sezione di arricchimento, se partiamo da valori pur piccolima finiti, le composizioni dei componenti pi pesanti del chiavepesante andranno progressivamente aumentando mentre, se partiamo daun valore nullo, le composizioni restano nulle fino alla sezione dialimentazione.Osserviamo, a questo punto, che sul piatto di alimentazione lacomposizione coincide con quella della corrente di alimentazione; nederiva, quindi, che le composizioni dei componenti pi pesanti delchiave pesante nei piatti immediatamente superiori a quello dialimentazione, cos come le composizioni dei componenti pi leggeridel chiave leggero nei piatti immediatamente inferiori a quello dialimentazione, sono poco diverse dalle composizioni di alimentazione:per valutare lerrore, si deve verificare dopo quanti piatti icomponenti pi pesanti del chiave pesante scompaiono dalla sezione diarricchimento e i pi leggeri del chiave leggero scompaiono dallasezione di esaurimento.Supponiamo, ad esempio, che la sezione di arricchimento dotata di50 piatti:

se fino a 23 piatti al di sotto della sezione ditesta vi sono quantit consistenti dei componentipi pesanti del chiave pesante, allora si commessoun forte errore su tutta la sezione di arricchimento

se, invece, dopo 23 piatti al di sopradellalimentazione i componenti pi pesanti delchiave pesante si sono ridotti a frazioni esigue,allora le ipotesi sono rispettate e lerroreeventualmente commesso riguarda solo i pochi piattivicini allalimentazione

Ricordiamo che, in generale, le ipotesi di Lewis-Matheson sono tantopi ragionevoli quanto

pi volatili sono i componenti leggeri rispetto al chiave leggero meno volatili sono i componenti pesanti rispetto al chiave pesante minore la percentuale dei componenti leggeri rispetto al chiave

leggero e dei componenti pesanti rispetto al chiave pesante

questo da un punto di vista qualitativo; volendo valutare realmentetali composizioni sufficiente seguire la procedura indicata:

24

sezione di arricchimento Partiamo da una sezione appena al di sopradel piatto di alimentazione ed effettuiamo un bilancio tra talesezione e la sezione di testa della colonna; possiamo scrivere:

L x2i + D xDi = V y1i

poich la fase vapore 1 hapraticamente la stessacomposizione dellalimentazionee conosciamo anche la corrente Dsiamo in grado di valutare lacomposizione della correnteliquida 2. A questo punto, vistoche il liquido 2 in equilibriocon il vapore 3, tramite lerelazioni di equilibrio siamo ingrado di determinare lecomposizioni y3i di tale vapore;

effettuando un bilancio tra la sezione di testa e la sezioneattraversata dal liquido 4 e dal vapore 3 (cio L x4i + D xDi = V y3i)siamo in grado di valutare le composizioni della corrente liquida 4:iterando tale procedimento, siamo in grado di valutare lecomposizioni delle correnti avendo fissato come valore di partenza lacomposizione della corrente di vapore 1. Se dopo 23 piatti (rispettoai 50 ipotizzati della sezione di arricchimento) le composizioni deicomponenti pi pesanti del chiave pesante si sono ridottepraticamente a zero, allora le ipotesi di Lewis-Matheson sonoaccettabili e lerrore commesso trascurabile.

sezione di esaurimento Un analogo discorso pu essere sviluppato perla sezione di esaurimento della colonna assumendo che la composizionedel liquido 1 sia proprio uguale alla composizione della corrente di

alimentazione; dal bilancio

L x1i = B xBi + V y2i

siamo in grado di valutare lacomposizione del vapore 2 che, asua volta, si trova inequilibrio con il liquido 3 dicui possiamo conoscere lacomposizione attraverso lerelazioni di equilibrio:iterando tali calcoli possiamovalutare dopo quanti piatti,a partire dallalimentazione,i componenti pi leggeri del

chiave leggero sono scomparsi. Se dopo 23 piatti le composizioni sisono ridotte a zero, le ipotesi di Lewis-Matheson sono verificate.

L0

V1

D

4 3

F 2 1

F

1 2

3

VN+1 LN

B

25

Metodi EsattiAbbiamo visto come nel caso della Distillazione a pi componenti non possibile risolvere separatamente le variabili interne ed esterne:per definire la colonna in tutte le sue parti necessaria unasoluzione contestuale di tutte le incognite.Una volta definito il problema mediante una diversa saturazione dei 6gradi di libert disponibili, i metodi esatti consentono dicalcolare, tramite un metodo di calcolo per tentativi tutte levariabili di processo (composizioni, portate, temperatura,) inogni punto della colonna di distillazione senza lintroduzione dinessuna ipotesi semplificativa sulle composizioni o sulle portate.Le variabili che intervengono nella definizione del problema possonoessere suddivise come segue:

variabili da specificare sono le variabili da fissareper rendere determinato il problema cio servono persaturare i 6 g.d.l. a disposizione, non sono modificatein tutto il calcolo di una colonna: definiscono in modounivoco la soluzione ottenuta

variabili di tentativo una volta saturati i 6 g.d.l.si perviene alla soluzione della nostra colonnaattraverso un procedimento di calcolo iterativo che puessere avviato solo a patto di assegnare in modoarbitrario dei valori a certe variabili dette, appunto,variabili di tentativo; ad ogni tornata successiva dicalcolo assumono generalmente i valori calcolatinelliterazione precedente

variabili da determinare anche queste variabili sonocalcolate ad ogni iterazione, ma differiscono da quelledi tentativo per il solo motivo di non aver scelto perloro nessun valore arbitrario iniziale

Le variabili di tentativo e le variabili da determinare sonounivocamente fissate una volta scelti i valori con cui saturare i 6g.d.l.; per giungere alla valutazione di tali variabili necessarioeffettuare un calcolo iterativo: in questo modo, otteniamo lasoluzione relativa alla scelta effettuata per i 6 g.d.l. .A questo punto, si deve analizzare con pi attenzione la situazione evedere quali scelte si adottano per i 6 g.d.l. a disposizione; inparticolare, i 6 g.d.l. sono saturati con le seguenti scelte:

portata D pressione riflusso R carico termico al condensatore qC posizione dellalimentazione numero di piatti N

26

Come si pu vedere, abbiamo abbandonato i valori di purezza o direcupero per fissare il numero di piatti della colonna didistillazione; tale ipotesi, in concomitanza alla posizionedellalimentazione, ci consente di conoscere il numero di piattinella sezione di arricchimento e nella sezione di esaurimento. Talevariazione nella saturazione dei g.d.l. deriva da unesigenza benprecisa e cio le variabili del nostro problema di progetto devonoessere valutate contestualmente attraverso la risoluzione di unsistema di equazioni costituito, essenzialmente, da equazioni diequilibrio e di bilancio: se non conosciamo il numero di piatti nellasezione di arricchimento e nella sezione di esaurimento non siamoneanche in grado di conoscere il numero di equazioni checostituiscono tale sistema.In ultima analisi, per poter materialmente scrivere il sistema diequazioni necessario alla risoluzione della colonna di distillazione,1 dei 6 g.d.l. a disposizione deve essere saturato con la scelta delnumero dei piatti della colonna; tale scelta sostituisce quella sullecomposizioni di una delle due correnti esterne: laltra scelta sullevariabili esterne viene saturata, generalmente, fissando in modoopportuno la portata D del distillato (si noti, infatti, che D deveessere scelta in modo congruente con i dati del problema; ad esempio,se dobbiamo recuperare il 98% dei prodotti leggeri e se talepercentuale rappresenta 75 moli di componenti, evidente che per Dnon si pu scegliere un valore inferiore a 75 moli). necessario sottolineare, per, che la scelta del numero di piattidella colonna al posto della composizione o della portata di unacorrente esterna (che erano dati del problema) non avviene in modoassolutamente indolore; tale procedimento di calcolo non ci conducenecessariamente ad una soluzione che rispetti i dati imposti sullacomposizione e/o portata delle correnti esterne: la scelta del numerodi piatti N non garantisce il rispetto dei dati progettuali. Ancorauna volta, la soluzione viene ricercata per tentativi nel senso che,fissato N e la posizione dellalimentazione (ed il riflusso R), sideve verificare se la soluzione cos ottenuta rispetti o meno il datodi purezza e/o recupero; se ci si verifica la soluzione trovata proprio quella relativa al nostro problema, altrimenti dobbiamoeffettuare una nuova scelta per N e ripetere il procedimento.Si evince, quindi, che vi sono vari tentativi da effettuare:

una volta saturati i 6 g.d.l. e scritto il sistema diequazioni, il problema univocamente determinato ma, perrendere pi semplice il processo risolutivo, conviene fissarearbitrariamente le variabili di tentativo, il cui valore saraggiornato ad ogni tornata di calcolo fino al raggiungimentodella soluzione del sistema

a questo punto, dobbiamo verificare che la soluzione ottenutarispetti i dati progettuali di purezza e/o recupero sullecorrenti esterne: se ci non accade, si deve effettuare unnuovo calcolo con un diverso valore per il numero di piatti N

27

Questo serve solo a focalizzare la nostra attenzione sui problemi acui andiamo incontro; in realt, la situazione leggermente picomplessa e pu essere schematizzata come segue:

1) Per poter scrivere il sistema di equazioni dobbiamo saturare 1g.d.l. dei 6 disponibili fissando il numero N dei piatti dellacolonna di distillazione

2) Saturati i 6 g.d.l. possibile scrivere il sistema di equazioni eil problema risulta essere univocamente determinato; al solo scopodi rendere pi accessibile il metodo di risoluzione, fissiamoarbitrariamente i valori iniziali delle variabili di tentativo(ripetiamo che non costituiscono dei gradi di libert) e chesaranno ricalcolati ad ogni iterazione: perveniamo, in questomodo, alla soluzione del sistema di equazioni

3) Bisogna verificare, ora, se la posizione dellalimentazione ottimizzata o meno; a tale scopo, necessario risolvere varievolte il sistema lasciando inalterato il valore di N e variando lasola posizione di alimentazione cercando di capire per qualeposizione si ha il massimo di separazione (cio si sfruttano almeglio i piatti presenti)

4) Una volta ottimizzata la posizione dellalimentazione, andiamo averificare se la soluzione trovata rispetta i dati di progetto intermini di purezza e/o recupero; si pu verificare che:

ci troviamo al di sotto dei dati di progetto per cui lacolonna insufficiente; il nuovo tentativo va effettuato conun numero di piatti maggiore e/o con un valore di riflussopi alto

vi un eccesso di separazione rispetto ai dati di progetto;in questo caso, potrebbe essere sufficiente un minor numerodi piatti (a parit di altre condizioni di lavoro e, inparticolare, del riflusso R) per ottenere i valori desiderati

5) evidente che unindagine pu essere effettuata anche sulriflusso R; il problema, quindi, viene risolto attraversounanalisi su almeno 3 variabili (R, N e posizionedellalimentazione): per ciascuna coppia R,N deve essereindividuata la posizione ottimizzata dellalimentazione, per cuivi un considerevole numero di tentativi da effettuare. Per evitare tentativi inutili basta tener presente che:

il riflusso ottimale dato dal riflusso minimo maggiorato inmodo opportuno

se la soluzione ottenuta a partire dai valori R*, N* siavvicina ai dati di progetto, comunque necessarioeffettuare un altro tentativo; se scegliamo valori di Rmaggiori di R* non vi bisogno di ricercare il valore di Nin tutto il suo campo di validit: sufficiente considerarevalori di N minori di N*

28

Per renderci ulteriormente conto di quanto possa essere onerosa larisoluzione di un metodo esatto si rifletta sui seguenti dati:

abbiamo scritto un sistema di equazioni(essenzialmente equazioni di bilancio e di equilibrio)che tiene conto di tutti gli N piatti presenti

una colonna di distillazione che si rispetti portaalmeno un centinaio di piatti con 78 componenti sucui effettuare la separazione

ci rendiamo conto, quindi, come si arrivi facilmentead un sistema di circa 1000 equazioni; senza contare,inoltre, che se viene a cadere lipotesi di flussimolari costanti dobbiamo prendere in considerazioneanche le equazioni di bilancio termico

Tali considerazioni ci spiegano anche il motivo per cui i metodiesatti sono stati sviluppati, in particolare, con lavvento deicalcolatori; sono stati messi a punto, infatti, numerosi programmi dicalcolo che si basano essenzialmente sui 3 metodi esatti cheanalizzeremo: questi si differenziano in funzione del numero e deltipo di variabili di tentativo prescelte.

possibile scegliere, tra le altre, le seguenti variabili ditentativo:

profilo di temperatura

profilo delle portate di liquido e vaporeallinterno della colonna

composizioni delle correnti esterne D e B

composizioni su tutti i piatti della colonna(rappresenta una condizione di transitorio peruna colonna che passa da una condizione di regimead unaltra condizione di regime)

Per quanto riguarda il profilo di temperatura ed il profilo delleportate di liquido e di vapore all'interno della colonna, buonanorma assegnare tali profili nei limiti di quello che si vuolerealizzare; ad esempio, vero che non conosciamo la temperatura alcondensatore oppure sul 1 piatto, per se assumiamo come ipotesi chela temperatura in testa uguale a quella del prodotto chedesideriamo ottenere, non commettiamo un grosso errore.

Si noti che il procedimento di calcolo si sviluppa attraverso iseguenti stadi:

29

1) Definizione del problema di calcolo attraverso lasaturazione dei 6 g.d.l. a disposizione

2) Scelta ed assegnazione delle variabili di tentativo;ribadiamo che tali valori non sono ulteriori g.d.l.a nostra disposizione in quanto il problema, unavolta soddisfatto il punto 1), univocamentedeterminato: tali assegnazioni servono solo peragevolare la risoluzione del problema

3) A questo punto, si parte con le varie iterazioni; adogni iterazione prima si calcolano le variabiliancora incognite e poi, utilizzando i valoriottenuti, si calcolano nuovamente le variabili ditentativo in modo da aggiornare i loro valori adogni tornata: questo necessario in quanto servonocome base di partenza per la tornata successiva

4) Durante le varie iterazioni possibile applicaredei procedimenti di convergenza in modo da forzareil calcolo verso la soluzione; tale esigenza particolarmente sentita in tutti quei casi in cui sievidenziano, tra un tentativo e l'altro, delle fortioscillazioni dei valori: in questi casi, allo scopodi smorzare tali oscillazioni e pervenire pirapidamente alla soluzione, opportuno sceglierecome valori delle variabili di tentativo per lanuova iterazione, quelli derivanti da una mediapesata tra i valori precedentemente utilizzati equelli appena ottenuti

5) Alla fine di ogni iterazione deve essere effettuatauna verifica sul raggiungimento della soluzionedesiderata; tale verifica dipende dal metodoutilizzato

Prima di iniziare la trattazione dei differenti metodi, necessariodefinire le seguenti quantit:

di = D xDi lin = Ln xin vin = Vn yinbi = B xBi lim = Lm xim vim = Vm yim

dove V L D B portate in moli delle correnti di vapore, di liquido,del distillato e del prodotto di fondo

x y frazioni molari in fase liquida ed in quella vapore;l'indice i si riferisce al componente generico mentregli indici n m si riferiscono al generico piatto postorispettivamente al di sopra e al di sotto della

sezione di alimentazione

30

evidente, quindi, che i termini vi li di bi rappresentano leportate molari del componente generico i nelle rispettive correnti.Si definiscono, inoltre, per le sezioni di arricchimento e diesaurimento i seguenti coefficienti:

Coefficienti di Ripartizionein

inin x

yK =im

imim x

yK =

Coefficienti di Assorbimento in

in

nin

nin v

lVKLA ==

im

im

mim

mim v

lVKLA ==

Coefficienti di Strippaggio in

in

n

ninin l

vLVKS ==

im

im

m

mimim l

vLVKS ==

Metodo di BonnerIn tale metodo sono assunte come variabili di tentativo:

Il profilo di temperatura

I profili delle portate del liquido e delvapore all'interno della colonna

Le composizioni dei prodotti finali (cio lacomposizione delle correnti D e B); queste,ovviamente, devono essere scelte nel rispettodei bilanci materiali

Supponiamo, ora, di riferirci al generico piatto n della sezione diarricchimento e di scegliere tra i c componenti coinvolti nelladistillazione un particolare componente r di riferimento; ad esempio,possiamo esprimere il coefficiente di ripartizione sul componente r:

rn

rnrn x

yK =

la volatilit relativa di un generico componente i rispetto alcomponente di riferimento r si pu esprimere come:

( )rnin

in

rn

rn

in

innri Kx

yyx

xy 1

==

da cui si ha

31

( ) rnnriin

in Kyx 1

=

necessario sottolineare che i valori xin non verificano larelazione di congruenza e cio si ha che

( ) 11

1

=

= i nri

inC

i rnin

yK

x

in quanto il coefficiente di ripartizione Krn e la volatilitrelativa (i-r)n sono stati calcolati ad una temperatura del piatto(scelta appunto come variabile di tentativo) che difficilmentecoincide con la temperatura di rugiada del vapore che abbandona lostadio considerato. Vi , quindi, la necessit di rendere congruentitali dati; a tale scopo effettuiamo la seguente normalizzazione:

1) ( )( )

( )( )

===

i nri

in

nri

in

i nri

in

nri

in

iin

inin v

v

y

y

xxx

'

importante osservare che tale relazione, in effetti, nonrappresenta altro che l'equilibrio al piatto n: per chiudere ilprocesso, abbiamo bisogno di scrivere una relazione di lavoro.

A tale scopo, possiamo scrivereun bilancio di materia per ilgenerico componente i tra latesta della colonna e la sezioneal di sotto del piatto n:

2) vin+1 = lin + di

In definitiva, tramitel'equazione di equilibrio 1) ela relazione di lavoro 2) siamoin grado di calcolare lecomposizioni del liquido e delvapore di piatto in piatto per

tutta la sezione di arricchimento; questo, per, a patto di conoscerela composizione del vapore in una sezione della colonna: ci siverifica proprio nella sezione di testa. Si noti, infatti, che unavolta noti la portata D ed il rapporto di riflusso R conosciamo leportate L0 e V1 dalle seguenti relazioni:

L0 = R D V1 = (R+1) D

V1

L0 D, xDi

n

Ln xni Vn+1, yn+1i

32

Se il condensatore totale, si verifica che

yi1 = xi0 = xDi

per cui, in ultima analisi, conosciamo i valori vi1 e li0:

li0 = L0 xi0 = R D xDi = R di

vi1 = V1 yi1 = (R+1) D xDi = (R+1) di

questo possibile in quanto la composizione xDi rappresenta unadelle variabili di tentativo prescelte: abbiamo individuato il puntodi partenza per poter proseguire nel calcolo piatto a piatto.Dalla conoscenza della vi1 e tramite l'applicazione della relazionedi equilibrio 1) (i vari termini della 1) sono noti in quanto sonoassegnati i profili di concentrazione) riusciamo a valutare iltermine li1 applicando la relazione di lavoro 2); riusciamo avalutare la colonna piatto a piatto fino alla determinazione dellecomposizioni del liquido in uscita dal piatto appena al di sopradell'immissione dell'alimentazione.Se il condensatore di equilibrio, pu essere considerato come unostadio teorico che precede il primo piatto (cio pu essere vistocome piatto zero) dove la portata D di distillato viene prelevata infase vapore e cio si ha che:

D = V0 xDi = yi0 di = vi0

Ovviamente, tale fase vapore in equilibrio con il liquido li0 chepossiamo considerare noto (ricordiamo che sussiste sempre larelazione L0 = R D); a questo punto, dalla relazione:

vi1 = li0 + di

siamo in grado di valutare vi1 e procedere in perfetta analogia conquanto prima detto.In definitiva, sia per condensatore totale che per condensatore diequilibrio siamo in grado di individuare il punto di partenza perpoter eseguire il calcolo piatto a piatto fino al raggiungimento delpiatto di alimentazione (la cui posizione stata fissata mediante lasaturazione di 1 g.d.l.).Analoghe considerazioni possono essere svolte per la sezione diesaurimento; la volatilit relativa i-r del componente i rispetto aquello di riferimento r per il generico piatto m si pu esprimerecome segue:

( )rmim

im

rm

rm

im

immri Kx

yyx

xy 1

==

33

da cui si ricava che

yim = (i-r)m xim Krm

ovviamente, sempre perch il valore di temperatura a cui calcolatala volatilit e il coefficiente di ripartizione un valore ditentativo, la relazione di congruenza non verificata e cio:

( ) 11

= = i

mriim

C

irmim xKy

per cui necessario effettuare la solita normalizzazione

( )( )

( )( )

===

imriim

mriim

imriim

mriim

iim

imim l

lxx

yyy

'

e questa non esprime altro che la relazione di equilibrio. Per quantoriguarda la relazione di lavoro,basta effettuare un bilancio trala sezione di coda e la sezioneal di sopra del piatto m:

lim-1 = vim + bi

Quindi, se conosciamo lacorrente di liquido in una certasezione, siamo in gradoattraverso la relazione diequilibrio, di conoscere lacomposizione del vapore e,poich stato assegnato il

profilo delle portate di vapore, siamo in grado di calcolare vim; aquesto punto, tramite la relazione di lavoro, siamo in grado dicalcolare la composizione del liquido che incrocia vim: riusciamo arisalire la colonna piatto a piatto fino all'alimentazione.Anche in questo caso abbiamo la necessit di individuare una sezionedi partenza; se il ribollitore uno stadio di equilibrio(piatto N+M+1) possiamo scrivere che

( )( )

( )( ) ++

++

++++

++++++ ==

iMNrii

MNrii

iMNriMiN

MNriMiNMiN b

bll

y1

1

11

111

in definitiva, alternando equazioni di equilibrio e di lavororiusciamo a procedere piatto a piatto fino a raggiungere la sezionedi alimentazione cio fino a calcolare liN+1 e viN+2.

Lm-1 Vmxim-1 yim

m

VN+1 B xBi LN

34

Vediamo, ora, come utilizzare i risultati della prima iterazione peraggiornare le variabili di tentativo che, per il metodo che stiamoanalizzando, sono i profili di temperatura, di portata e lecomposizioni delle correnti B e D.

Aggiornamento del profilo di temperaturaLe relazioni di equilibrio ci hanno permesso di valutare dellefrazioni molari normalizzate cio tali da verificare la relazione dicongruenza; possibile, quindi, esprimere i coefficienti diripartizione come segue:

( )( )

==

i nri

in

iin

i nri

in

rny

x

y

K

( ) ( )

==

imriim

imriim

iim

rm xx

yK

1

Il valore del coefficiente di ripartizione viene calcolato sulla basedelle composizioni del liquido e del vapore in equilibrio sul piattoconsiderato; per tale motivo K una funzione della temperatura(temperatura di equilibrio tra liquido e vapore): poich ilcoefficiente di ripartizione varia significativamente con latemperatura e ad ogni valore di K corrisponde un valore di T, lerelazioni viste definiscono il profilo di temperatura da utilizzareper la successiva iterazione.L'unico motivo di approssimazione per il valore di K dipende dalvalore della volatilit i-r: questo, infatti, stato calcolato inbase al profilo di temperatura del tentativo precedente.Tuttavia, sappiamo che le variazioni di con la temperatura sonorelativamente piccole per cui l'errore introdotto sui valori di K certamente accettabile e, inoltre, in prossimit della soluzione ladifferenza tra i profili di temperatura tra due iterazioni successivenon pu essere rilevante per cui i valori di K trovati sono proprio ivalori effettivi.

In conclusione, la valutazione dei coefficienti di ripartizione ciconsente di calcolare la temperatura di rugiada dei vapori e latemperatura di ebollizione dei liquidi a meno dell'errore commesso acausa della valutazione della volatilit relativa effettuata con ilprofilo di temperatura valido all'iterazione precedente.

35

Aggiornamento delle portateI bilanci di entalpia tra una sezione generica e le sezioni estremedella colonna ci consentono di aggiornare i profili delle portatenelle zone di arricchimento e di esaurimento; se riteniamo assenti icalori di miscelazione (ipotesi di soluzioni ideali per il liquido edil vapore), possibile definire le entalpie del liquido e del vaporeattraverso la media pesata delle entalpie dei componenti checostituiscono le singole fasi:

hn = i xin hin hm = i xim him

Hn = i yin Hin Hm = i yim Him

Effettuando un bilancio tra una sezione della colonna al di sotto delpiatto n (sezione di arricchimento) e la testa della colonna possiamoscrivere che:

1) Vn+1 = Ln + D

2) Vn+1 Hn+1 = Ln hn + D hD + qC

Si noti che con qC abbiamo indicato il carico termico al condensatoreche assegnato in quanto una delle 6 variabili da specificare perdefinire il progetto. necessario sottolineare che la 2) un'equazione di bilancioapprossimata in quanto trascuriamo le perdite di calore versol'esterno; volendo tenerne conto, necessario assegnare un flussotermico verso l'esterno proporzionale all'altezza di colonnacorrispondente a ciascun piatto: ricordiamo, comunque, che taliperdite di calore rappresentano al massimo qualche unit per centorispetto a ciascuno dei termini significativi del bilancio.Sostituendo nella relazione 2) l'espressione:

3) Ln = Vn+1 - D

Si ha che

Vn+1 Hn+1 = (Vn+1 - D) hn + D hD + qC

Vn+1 (Hn+1 - hn) = D (hD - hn) + qC

4) ( )

nn

CnDn hH

qhhDV

+=

++

11

pur vero che il valore delle entalpie dipende dalla temperatura, maci ha poca rilevanza in quanto, in prossimit della soluzione, latemperatura precedente e quella aggiornata variano di poco.

36

In definitiva, abbiamo trovato il modo per aggiornare la portata divapore al piatto n+1; utilizzando l'equazione di bilancio di materiasiamo in grado di aggiornare anche la portata di liquido che provienedal piatto n.Per la sezione di esaurimento possiamo scrivere che:

1') Lm-1 = Vm + B

2') Lm-1 hm-1 + qr = Vm Hm + B hB

da cui otteniamo, tramite sostituzioni analoghe a quelle viste

3') ( )

1

1

+=

mm

rBmm hH

qhhBV

Concludendo, il profilo aggiornato della portata di vapore valutatotramite le relazioni 4) e 3') mentre il profilo aggiornato dellaportata di liquido valutato tramite i bilanci di materia 3) e 1').

Aggiornamento delle composizioniAbbiamo visto che a partire dalla testa della colonna siamo in gradodi valutare piatto a piatto le composizioni x'in e, quindi, i valorilin; questo fino al piatto N in quanto subito dopo viene introdottala corrente di alimentazione: l'ultimo valore che siamo in grado divalutare lo possiamo indicare con liND dove il terzo indice D vuoleindicare che tale valore stato calcolato utilizzando le relazionicaratteristiche della sezione di arricchimento. Partendo dal fondo

della colonna e risalendo lasezione di esaurimento siamo ingrado di valutare le composizionix'im e, quindi, i valori lim finoalla corrente di liquido che arrivaal piatto N+1 in quanto subito dopoviene introdotta la corrente dialimentazione: l'ultimo valore chesiamo in grado di valutare lopossiamo indicare con liNB proprioper indicare che tale valore stato calcolato utilizzando lerelazioni caratteristiche dellasezione di esaurimento. Se siimpone che l'alimentazione si trovi

nella posizione ottimale (uguaglianza delle composizioni traalimentazioni e correnti interne della colonna) deve risultare che:

xiND = xiNB

liND = xiND Ln liNB = xiNB Ln

D

NF

N+1

B

37

Il confronto tra i valori di composizione valutati in corrispondenzadella sezione di alimentazione a partire dal condensatore (xiND) e dalribollitore (xiNB) fornisce indicazioni utili per la correzione dellecomposizioni assunte dai prodotti finali.Vediamo, ora, come si corregge la composizione di testa; ricordiamole seguenti definizioni:

Coefficiente di Assorbimento in

in

nin

nin v

lVK

LA ==

Coefficiente di Strippaggio in

in

n

ninin l

vLVKS ==

possibile esprimere in modo diverso la relazione di equilibrio

n

nin

n

n

in

in

n

n

n

n

in

inin V

LSVL

lv

LL

VV

xyK ===

lin = Ain vin

mentre il bilancio di materia per la sezione di arricchimento esprimibile come

vin+1 = lin + di

Se il condensatore totale si ha cheli0 = L0 xi0 = R divi1 = (R+1) di

e dalla relazione di equilibrioli1 =(R+1) di Ai1

Se il condensatore di equilibrio si ha cheli0 = Ai0 vi0 = Ai0 di

li0 = L0 xi0 = R D xi0 = R di Ai0 = R

e dalla relazione di equilibrioli1 = (R+1) di Ai1

dove Ain, Sin, Kin sono noti per ogni tentativo in quanto la loroconoscenza dipende dai profili di temperatura e portata fissati adogni tentativo. Dalla relazione di lavoro otteniamo che:

vi2 = li1 + di = (R+1) Ai1 di + di = di [(R+1) Ai1 + 1]

38

mentre dalla relazione di equilibrio

li2 = vi2 Ai2 = Ai2 [(R+1) Ai1 + 1] di

quindi, iterando l'applicazione della relazione di equilibrio e dellarelazione di lavoro riusciamo ad avanzare di piatto in piatto finoall'alimentazione ed otteniamo una relazione che si pu esprimeresinteticamente come segue:

liND = di * f(Ain) LN xiND = D xiD * f(Ain)

( )iniDN

iND AfxLDx =

1) xiND = xiD F(A)

Vediamo, ora, come si corregge la composizione di coda; ricordiamo leseguenti definizioni:

Coefficiente di Assorbimento im

im

mim

mim v

lVK

LA ==

Coefficiente di Strippaggio im

im

m

mimim l

vLVKS ==

La relazione di equilibrio pu essere espressa come

m

mim

m

m

im

im

m

m

m

m

im

imim V

LSVL

lv

LL

VV

xyK ===

vim = Sim lim

mentre il bilancio di materia per la sezione di esaurimento esprimibile come

lim-1 = vim + bi

Se il ribollitore di equilibrio (stadio teorico N+M+1) si ha che

liN+M+1 = bi

la relazione di equilibrio si scrive come

viN+M+1 = SiN+M+1 liN+M+1 = SiN+M+1 bi

39

mentre la relazione di lavoro si scrive come

liN+M+1 = bi + bi SiN+M+1 = bi [1 + SiN+M+1]

anche in questo caso, quindi, iterando l'applicazione della relazionedi equilibrio e della relazione di lavoro riusciamo a risalire dipiatto in piatto lungo la colonna fino all'alimentazione ed otteniamouna relazione che si pu esprimere sinteticamente come:

liNB = bi * g(Sim) LN xiNB = B xiB * g(Sim)

( )imiBN

iNB SgxLBx =

2) xiNB = xiB G(S)

La 1) e la 2) stabiliscono che le composizioni calcolate incorrispondenza della sezione di alimentazione dipendono dallecomposizioni dei prodotti di testa e di coda attraverso funzioni notedei coefficienti di assorbimento e di strippaggio che, perdefinizione, dipendono a loro volta dal profilo di temperatura e daiprofili di portata; in ogni iterazione di calcolo, sempre che taliprofili non vengano variati, le funzioni F(A) e G(S) sono note. necessario sottolineare che i fattori di assorbimento e distrippaggio sono anche loro delle grandezze di tentativo, proprioperch definite in funzione dei profili di portata e di temperatura.Riassumiamo, per chiarezza, la situazione attuale.Abbiamo scelto tra le variabili di tentativo le composizioni deiprodotti di testa e dei prodotti di coda; queste devono essereaggiornate ad ogni iterazione per trovare la soluzione del problema.Dal bilancio di materia globale sui singoli componenti otteniamo che:

F xiF = di + bi

cio, un certo componente introdotto in colonna con l'alimentazione,si deve ripartire nelle correnti di testa e di fondo; inoltre, sonostati scelti come variabili di tentativo anche i profili di portata edi temperatura da cui dipendono, per definizione, i fattori diassorbimento e di strippaggio: dalle relazioni 1) e 2) possibilecapire come i valori di composizione, in prossimit della sezione dialimentazione, risentono della scelta effettuata sia sullecomposizioni dei prodotti di testa e di coda sia sui fattori diassorbimento e di strippaggio (attraverso i profili di portata etemperatura). Il problema che dobbiamo risolvere riguarda il tipo diaggiornamento da effettuare sulle composizioni dei prodotti di testae di coda, tali che nel tentativo successivo si verifichi che:

xiND = xiNB

40

In altri termini, dobbiamo apportare alle composizioni dei prodottidi testa e di fondo delle correzioni tali da determinare, nellasezione di alimentazione, uguali composizioni sia partendo dallatesta della colonna sia partendo dal fondo; partendo dai valori

xiD + xiD xiB + xiB

tramite la 1) e la 2) otteniamo i valori (xiND + xiND) e (xiNB + xiNB)e le correzioni devono essere tali che

xiND + xiND = xiNB + xiNB

Vediamo, ora, come procedere per individuare l'entit di questecorrezioni tenuto conto che le grandezze note alla fine della 1aiterazione sono xiND xiD xiNB xiB ; per quanto prima detto, possiamoscrivere che:

3) (xiND + xiND) = (xiD + xiD) F(A)

4) (xiNB + xiNB) = (xiB + xiB) G(S)

dividendo la 3) per la 1) e la 4) per la 2) otteniamo:

iD

iDiD

iND

iNDiND

xxx

xxx +

=

+iB

iBiB

iNB

iNBiNB

xxx

xxx +

=

+

da cui si ha

iNDiD

iDiDiNDiND xx

xxxx +=+ iNBiB

iBiBiNBiNB xx

xxxx +=+

a questo punto, imporre l'uguaglianza xiND + xiND = xiNB + xiNBsignifica dire che

iNBiB

iBiBiND

iD

iDiD xxxxx

xxx +

=

+

dove le incognite sono rappresentate da xiD e xiB ; moltiplicando edividendo xiD per D e xiB per B otteniamo

iNBiB

iiB

iNDiD

iiD

xxBbx

xxDdx +

=

+

41

a partire dal bilancio di materia globale

F xiF = di + bi

se variano le correnti di testa e di coda si ha che

F xiF = (di + di) + (bi + bi)

e sottraendo membro a membro

bi = - di

tale risultato, del resto, evidente in quanto se aumentiamo di undi la portata di quel componente in testa, per il bilancio globaledeve diminuire della stessa quantit nella corrente di fondo.

In definitiva, abbiamo la seguente relazione:

iNBiB

iiB

iNDiD

iiD

xxBdx

xxDdx

=

+

dove xiD xiB valori di tentativo delle composizioni delle correntiesterne relativi all'iterazione precedente(per cui sono noti)

D B D viene fissata per saturare 1 g.d.l.; effettuando unbilancio globale riusciamo a valutare B: tali valori,quindi, non variano durante il calcolo

xiND xiNB valori di composizioni calcolati nell'iterazioneprecedente (per cui sono noti)

l'unica incognita di che, in questo modo, pu essere valutata.

Abbiamo ottenuto, quindi, l'entit della correzione da apportare allacomposizione del distillato per ridurre a zero lo scarto tra lecomposizioni, in prossimit dell'alimentazione, valutate a partiredalla testa e dal fondo della colonna a patto, per, di lasciareinvariati i profili di temperatura e di portate; in altri termini, ilvalore di valutato con la relazione vista conduce alla soluzione neltentativo successivo solo se i profili di temperatura e di portaterestano invariati: poich tali profili devono essere necessariamenteaggiornati ad ogni iterazione, la correzione effettuata non portadirettamente alla soluzione ma rappresenta un modo efficace peravvicinarsi ad essa con il progredire delle iterazioni.

42

importante sottolineare che, pur aggiornando la composizione con lavariazione di calcolata, non otteniamo subito la condizione diuguaglianza voluta; questo si verifica perch scrivendo le duerelazioni 3) e 4) abbiamo ritenuto che i fattori di assorbimento e distrippaggio fossero essenzialmente quelli del tentativo precedente[cio quelli delle relazioni 1) e 2)]: solo in questa ipotesi si sonopotuti semplificare i termini F(A) e G(S) nei rapporti effettuati perpervenire alla relazione utilizzata per la valutazione del di. Taleapprossimazione, anche se non ci consente di ottenere la soluzione inun unico tentativo, certamente rappresenta una maniera logica perapportare una correzione che consenta di "convergere" sulla soluzionestessa: questo si verifica, in particolare, se nelle successiveiterazioni i coefficienti di assorbimento e di strippaggio nonrisultano essere tanto differenti da portarci fuori strada.La maggiore responsabilit di tali fenomeni da ricercarsi,iterazione dopo iterazione, nelle variazioni dei profili di portate edi temperatura; proprio per garantire la convergenza, sonoutilizzati, a volte, degli accorgimenti calcolativi che consentono unavvicinamento graduale alla soluzione.

Nel metodo di Bonner si preferisce non cambiare per un certo numerodi tentativi i profili di portata, rilassando principalmente ilprofilo di temperatura in quanto questo che influisce molto sullasoluzione; solo dopo che il profilo di temperatura raggiunto all'incirca quello vero, si effettuano le correzioni anche suiprofili delle portate.

A questo punto, necessario sottolineare che, in generale, si deveverificare che

D = di B = bi

Ora, quando passiamo alla successiva iterazione, aggiorniamo talivalori attraverso i vari di e bi; tali valori dovrebbero rispettarela condizione

(*) di = 0 bi = 0

in modo da consentire l'invariabilit delle portate D e B.In effetti, i valori di e bi sono calcolati attraverso unarelazione che utilizza i valori xiND e xiNB che, come abbiamo visto,risentono delle scelte di tentativo effettuate, per cui nessuno cigarantisce il rispetto delle (*): in definitiva, utilizzare i valoridi calcolati senza preoccuparci del rispetto delle relazioni (*)significa effettuare il tentativo successivo con un diverso valoredelle portate D e B il che, ovviamente, non deve assolutamenteaccadere in quanto la portata D viene fissata attraverso lasaturazione di 1 dei 6 g.d.l. disponibili.

43

necessario, una volta calcolati i di, scegliere su qualicomponenti intervenire e modificare i valori in modo che sianorispettate le relazioni (*); a tale scopo, conviene apportarerapidamente delle correzioni sui componenti pi leggeri e suicomponenti pi pesanti: questo perch un piccolo errore su talicomponenti pu determinare grosse variazioni sui valori xiND e xiNB.Ad esempio, se per un componente pi pesante poniamo, sbagliando, unvalore di composizione in testa pari a 10-25 (al posto di 10-27),l'errore commesso si amplificher di piatto in piatto finoall'alimentazione con conseguenze rilevanti (l'errore commesso cambiaordine di grandezza); se effettuiamo lo stesso errore su di uncomponente di volatilit intermedia, commettiamo comunque un errore,ma tale errore resta dello stesso ordine di grandezza.

Test di convergenzaIl criterio per poter affermare di aver raggiunto la convergenzaconsiste nel verificare l'uguaglianza delle composizioni calcolatenella sezione di alimentazione a partire dalla testa e dal fondodella colonna; la soluzione si ritiene raggiunta quando il massimoscarto tra le composizioni dei componenti contenuto entro un limiteprefissato (10-3, 10-4, ).

Metodo di Thiele-GeddesQuesto metodo di calcolo utilizza le stesse variabili viste nelmetodo di Bonner per saturare i 6 g.d.l. a disposizione, ma utilizzaun numero inferiore di variabili di tentativo; in particolare sceglie

Il profilo di temperatura

I profili di portata V, L

in altri termini, non effettua alcuna scelta di tentativo sullecomposizioni di testa e di coda.Con riferimento al generico piatto n, effettuiamo un bilancio dimateria tra la sezione appena al di sotto del piatto e la sezione ditesta della colonna:

vin+1 = lin + di

tale relazione, per, non ci consente il calcolo di vin+1 noto che sialin in quanto il valore di non assegnato. possibile riscrivere il bilancio di materia come segue:

11 +=+i

in

i

in

dl

dv

44

La condizione di equilibrio al piatto n si pu scrivere come:

vin = Sin lin lin = Ain vin

mentre per il piatto n+1

vin+1 = Sin+1 lin+1

sostituendo le due relazioni viste nel bilancio di materia otteniamole seguenti relazioni:

1)

+= ++ 111

i

inin

i

in

dlA

dl

2) 11 +=+

i

inin

i

in

dvA

dv

Le relazioni 1) e 2) mostrano come sia possibile calcolare i rapportivin+1/di e lin+1/di in corrispondenza di un qualsiasi piatto dellasezione di arricchimento, purch siano noti gli analoghi rapportirelativi al piatto precedente; ovviamente, poich sono presenti anchei fattori di assorbimento, si devono conoscere anche i profili ditemperatura e di portata: questo per certamente verificato inquanto variabili di tentativo.

Vediamo, ora, cosa accade a partire dalla sezione di testa:

se il condensatore totale

yi1 = xi0 = xiD L0 = R D V1 = (R+1) D

li0 = L0 xi0 = R D xi0 = R di

vi1 = V1 yi1 = (R+1) D xiD = (R+1) di

per cui risultano noti i rapporti

Rdl

i

i=

0 11 += Rdv

i

i

si noti, infatti, che il rapporto di riflusso R noto in quantocompreso nel gruppo delle variabili specificabili

45

se il condensatore di equilibrio, pu essere riguardato come unulteriore stadio teorico (di indice zero) posto a monte degli Npiatti della sezione di arricchimento

V0 = D L0 = R D yi0 = xiD vi0 = di

Vale, inoltre, la relazione di equilibrio li0 = Aio vi0 = Ai0 di

in definitiva, possiamo scrivere che

00

ii

i Adl

= 10 =i

i

dv

Pertanto, utilizzando le relazioni 1) e 2), siamo in grado di avviaree sviluppare il calcolo piatto a piatto fino al di sotto del piatto N(se N sono i piatti della sezione di arricchimento) dove riusciamo avalutare i rapporti

i

iND

dl

i

DiN

dv 1+

Al solito, le portate molari di vapore e di liquido al di sotto delpiatto N sono affette da un terzo indice per distinguerle dalleanaloghe portate al di sopra del piatto N+1 dalle quali differisconoper l'apporto dell'alimentazione. importante osservare che, contrariamente al metodo precedente, nonsiamo pi in grado di calcolare le portate dei singoli componentianche se siamo in grado di avviare il calcolo senza conoscere lacomposizione del prodotto di testa.

Vediamo, ora, come procedere a partire dal fondo della colonna;riferendoci al generico piatto m, se effettuiamo il bilancio dimateria tra il fondo della colonna ed una sezione immediatamente aldi sopra di tale piatto si ha:

lim-1 = vim + bi

11 +=i

im

i

im

bv

bl

la condizione di equilibrio al piatto m si pu esprimere come

vim = Sim lim

46

mentre per il piatto m-1 si ha

vim-1 = Sim-1 lim-1 lim-1 = Aim-1 vim-1

sostituendo le due relazioni viste nel bilancio di materia otteniamole seguenti relazioni

3) 11 +=

i

imim

i

im

blS

bl

4)

+=

111i

imim

i

im

bvS

bv

Le relazioni 3) e 4) consentono la valutazione dei rapporti molarilim-1/bi e vim-1/bi in corrispondenza di un generico piatto dellasezione di esaurimento, purch siano noti gli analoghi rapportirelativi al piatto seguente; ovviamente, poich sono presenti icoefficienti di strippaggio, si devono conoscere anche i profili ditemperatura e di portata: per questo non vi alcun problema inquanto tali profili sono stati assunti come variabili di tentativo.

se il ribollitore di equilibrio, pu essere riguardato come ilpiatto teorico N+M+1 della sezione di esaurimento e si ha che

liN+M+1 = bi

e la relazione di equilibrio si esprime come

viN+M+1 = SiN+M+1 liN+M+1 = SiN+M+1 bi

per cui si ha che

11 =++i

MiN

bl

11

++++

= MiNi

MiN Sb

v

Pertanto, utilizzando le relazioni 3) e 4) e partendo dalribollitore, siamo in grado di risalire la colonna piatto a piattoper tutta la sezione di esaurimento, fino alla sezione dialimentazione dove riusciamo a valutare i rapporti

i

iNB

bl

i

BiN

bv 1+

47

A questo punto, scriviamo il bilancio di materia globale tra la testadella colonna ed una sezione al di sotto del piatto N:

viN+1D = liND + di

5) 11 +=+

i

iND

i

DiN

dl

dv

mentre il bilancio di materia globale tra il fondo della colonna eduna sezione al di sopra del piatto N+1 si scrive come:

viN+1B + bi = liNB

6) 11

=+

i

iNB

i

BiN

bl

bv

dove i rapporti molari presenti nelle relazioni 5) e 6) sonocalcolabili con i metodi piatto a piatto ora visti. Osserviamo,inoltre, che nell'ipotesi (falsa) di viN+1D = viN+1B e liND = liNBse dividiamo la 5) per la 6) potremmo ricavare il rapporto bi/di;evidentemente ci non possibile sia perch abbiamo condotto icalcoli sfruttando delle approssimazioni, sia perch le correntidifferiscono per l'introduzione dell'alimentazione: vediamo, per,cosa accade effettuando delle ipotesi sullo stato fisicodell'alimentazione ed imponendo il rispetto della relazione dicongruenza sulle condizioni di alimentazione.

Liquido bollente in questo caso, l'alimentazionecontribuisce ad un incremento delle sole portate di liquidoper cui la condiz