webgardenmedia0.webgarden.com/files/media0:5f3f8eaf... · Cuprins I INTERPOLARE S˘I APLICAT˘II11...

ERNEST SCHEIBER

ANALIZA NUMERICA

Brasov

Cuprins

I INTERPOLARE SI APLICATII 11

1 Diferente finite 131.1 Diferente finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Ecuatia cu diferente liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1 Sistem fundamental de solutii . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Determinarea unui sistem fundamental de solutii . . . . . . 191.2.3 Solutia ecuatiei cu diferente neomogena . . . . . . . . . . . 23

1.3 Metoda seriilor formale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4 Transformarea z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Elemente din teoria interpolarii 432.1 Sisteme Cebısev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Interpolare Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3 Interpolarea Lagrange-Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4 Diferente divizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5 Polinomul de interpolare Lagrange-Hermite ın C . . . . . . . . . . 67

3 Convergenta procedeelor de interpolare 793.1 Spatii liniar ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2 Interpolare si aproximare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3 Convergenta ın medie a polinoamelor Lagrange . . . . . . . . . . 843.4 Fenomenul Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5 Divergenta interpolarii Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5.1 Sir de polinoame Lagrange neconvergent . . . . . . . . . . 863.5.2 Norma operatorului Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.5.3 Divergenta polinoamelor de interpolare Lagrange . . . . . 90

4 Formule de derivare numerica 994.1 Aproximarea derivatei prin diferente . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3

4 CUPRINS

4.1.1 Extrapolarea Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2 Derivare automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.2.1 Derivare automata prin structura de derivare . . . . . . . . 1044.2.2 Derivare automata prin numere duale . . . . . . . . . . . . 109

4.3 Aproximarea derivatei prin interpolare . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 Formule de integrare numerica 1135.1 Natura aproximarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.2 Formule de tip Newton - Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3 Evaluarea restului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.4 Formula trapezului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.5 Formula lui Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.6 Integrale de tip Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.7 Polinoame ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.8 Formule de tip Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.9 Formula dreptunghiului (n = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.10 Restul ca serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.11 Cazuri speciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.11.1 Formula de integrare numerica Lobatto . . . . . . . . . . . 1445.11.2 Formula de integrare numerica Radau . . . . . . . . . . . . 1475.11.3 Formula de cvadratura Gauss-Kronrod . . . . . . . . . . . 150

5.12 Formula Euler-MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.12.1 Polinoamele si numerele lui Bernoulli . . . . . . . . . . . . 1515.12.2 Formula Euler-MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.12.3 Formule de integrare Euler-MacLaurin . . . . . . . . . . . 158

6 Metoda celor mai mici patrate 1736.1 Determinarea unei functii de aproximare . . . . . . . . . . . . . . 1736.2 Aproximare ın spatii prehilbertiene . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.3 Polinom trigonometric de aproximare . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7 Transformarea Fourier discreta 1857.1 Transformata Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.2 Algoritmul transformarii Fourier discreta rapida . . . . . . . . . . 1897.3 Transformarea cosinus discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.4 Aplicatii ale transformatei Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . 194

7.4.1 Calculul coeficientilor Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.4.2 Calculul coeficientilor Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.4.3 Determinarea functiei analitice cunoscand partea reala . . 197

CUPRINS 5

7.4.4 Calculul integralei Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8 Polinoame trigonometrice 201

8.1 Interpolare trigonometrica pe noduri oarecare . . . . . . . . . . . 202

8.2 Interpolare trigonometrica pe noduri echidistante . . . . . . . . . 208

8.3 Convergenta polinoamelor de interpolare trigonometrica . . . . . . 214

9 Interpolare si aproximare cu functii rationale 225

9.1 Interpolare cu functie rationala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.2 Aproximarea Pade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

10 Aproximare si interpolare cu polinoame Cebısev 235

10.1 Polinoame Cebısev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

10.2 Dezvoltarea Cebısev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

10.3 Polinoame sub forma lui Cebısev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

10.3.1 Reprezentarea unui polinom ın forma lui Cebısev . . . . . 244

10.3.2 Calculul valorii unui polinom sub forma lui Cebısev . . . . 245

10.4 Interpolare Lagrange pe noduri Cebısev . . . . . . . . . . . . . . . 246

11 Functii spline polinomiale 257

11.1 Interpolare cu functii spline cubice . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11.2 Functia spline polinomiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

11.2.1 Functia spline polinomiala naturala . . . . . . . . . . . . . 267

11.2.2 Interpolare cu functii spline polinomiale . . . . . . . . . . 269

11.3 Functii B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

11.3.1 Functii B-spline pe noduri echidistante . . . . . . . . . . . 274

12 Interpolare cu sinus cardinal 279

12.1 Functia sinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

12.2 Interpolare pe noduri echidistante ın [0, π] . . . . . . . . . . . . . 281

12.3 Interpolare pe noduri echidistante ın R . . . . . . . . . . . . . . . 284

II ALGEBRA LINIARA NUMERICA 293

13 Elemente de analiza matriceala 295

13.1 Definitii, notatii, proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6 CUPRINS

14 Rezolvarea sistem. algebrice liniare 31514.1 Numarul de conditionare al unei matrice . . . . . . . . . . . . . . 31614.2 Metoda Gauss - Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31814.3 Inversarea unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32414.4 Factorizarea LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32614.5 Cazul matricelor simetrice - Factorizarea Cholesky . . . . . . . . . 33614.6 Rezolvarea sistemelor tridiagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33814.7 Metode iterative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34114.8 Solutie ın sensul celor mai mici patrate . . . . . . . . . . . . . . . 350

15 Transformarea Householder 35715.1 Transformata Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35715.2 Descompunerea QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35915.3 Cea mai buna aproximatie si factorizarea QR . . . . . . . . . . . 36415.4 Cele mai mici patrate si descompunerea QR . . . . . . . . . . . . 36615.5 Bidiagonalizarea unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36815.6 Reprezentare similara de tip Hessenberg a unei matrice . . . . . . 370

16 Valori si vectori proprii 37516.1 Forma normala Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37516.2 Diagonalizarea unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38016.3 Raza spectrala a unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38516.4 Metode numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

16.4.1 Metoda puterii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39016.4.2 Metoda puterii inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39116.4.3 Algoritmul QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

17 Descompunerea valorii singulare 39917.1 Descompunerea valorii singulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39917.2 Calculul DVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40117.3 Metoda celor mai mici patrate prin DVS . . . . . . . . . . . . . . 40317.4 Sistemelor algebrice de ecuatii liniare si DVS . . . . . . . . . . . . 40417.5 Pseudoinversa unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40517.6 Norma unei matrice si DVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40617.7 Numarul de conditionare si DVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

18 Spatii Krylov 40918.1 Definitia spatiului Krylov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40918.2 Descompunerea Arnoldi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40918.3 Rezolvarea sistemelor algebrice de ecuatii liniare . . . . . . . . . . 413

CUPRINS 7

18.3.1 Varianta Ritz-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

18.3.2 Varianta reziduului minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

18.4 Calculul valorilor si vectorilor propri . . . . . . . . . . . . . . . . 416

18.5 Calculul elementului de cea mai buna aproximatie . . . . . . . . . 416

III REZOLVAREA ECUATIILOR NELINIARE 417

19 Rezolvarea ecuatiilor neliniare 419

19.1 Metoda liniarizarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

19.2 Metoda liniarizarii modificata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

19.3 Rezolvarea sistemelor algebrice neliniare . . . . . . . . . . . . . . 426

19.4 Metoda lui Broyden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

19.5 Rezolvarea ecuatiilor algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

19.5.1 Metoda tangentei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

19.5.2 Metoda functiei inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

19.5.3 Metoda Ridder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

19.6 Rezolvarea ecuatiilor polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

20 Metode de homotopie 459

20.1 Rezolvarea unui sistem algebric de ecuatii neliniare . . . . . . . . 459

20.2 Rezolvarea ecuatiilor polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

IV PROBLEME DIFERENTIALE 463

21 Rezolvarea problemelor Cauchy 465

21.1 Metode de discretizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

21.2 Scheme de calcul de tip Runge - Kutta . . . . . . . . . . . . . . . 473

21.3 Scheme de calcul de tip Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

21.4 Schema diferentelor regresive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

21.5 Schema de calcul predictor - corector . . . . . . . . . . . . . . . . 489

21.6 A-stabilitatea schemelor de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

21.7 Schemele Bulirsch-Stoer si Bader-Deuflhard . . . . . . . . . . . . 499

21.8 Matricea exp (At) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

21.9 Metoda iteratiilor variationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

22 Rezolvarea problemelor bilocale 513

22.1 Metoda tirului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

8 CUPRINS

23 Rezolvarea numerica a ecuatiilor integrale 51723.1 Rezolvarea ecuatiilor Fredholm de speta a doua . . . . . . . . . . 51823.2 Rezolvarea ecuatiilor Volterra de speta a doua . . . . . . . . . . . 52023.3 Ecuatii integrale Volterra cu nucleu singular . . . . . . . . . . . . 52723.4 Rezolvarea ecuatiilor Volterra de speta ıntai . . . . . . . . . . . . 530

24 Ecuatii liniare cu derivate partiale 53524.1 Probleme nestationare prin metode de discretizare . . . . . . . . . 535

24.1.1 Conditia de convergenta Courant-Friedrichs-Lewy . . . . . 54724.1.2 Conditia de stabilitate a lui Neumann . . . . . . . . . . . . 54824.1.3 Stabilitate prin forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . 55324.1.4 Schema de calcul Lax - Wendroff . . . . . . . . . . . . . . 55624.1.5 Schema de calcul Du Fort - Frankel . . . . . . . . . . . . . 558

24.2 Probleme stationare prin metode de discretizare . . . . . . . . . . 56024.2.1 Construirea solutiei aproximative ın nodurile frontiera . . . 56124.2.2 O metoda cu diferente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56424.2.3 Rezolvarea schemei de calcul prin metode iterative . . . . . 56724.2.4 Rezolvarea schemei de calcul printr-o metoda finita . . . . 579

V REZOLVARE PRIN OPTIMIZARE 583

25 Elemente din teoria optimizarii 58525.1 Functionale diferentiabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58525.2 Functionale convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58725.3 Proprietati ale problemei de optimizare . . . . . . . . . . . . . . . 59125.4 Metode de descrestere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59325.5 Metoda gradientului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

26 Sisteme algebrice prin metode de optimizare 59726.1 Rezolvarea unui sistem liniar prin metoda celor mai mici patrate . 59726.2 Rezolvarea unui sistem neliniar prin cele mai mici patrate . . . . . 59826.3 Metoda gradientului conjugat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

27 Metode spectrale 60727.1 Metoda Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60927.2 Metoda Tau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61027.3 Metoda colocatiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

27.3.1 Varianta globala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61727.3.2 Varianta locala - de tip Runge-Kutta implicita . . . . . . . 619

CUPRINS 9

27.4 Metoda lui Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

28 Ecuatii liniare prin forme biliniare 62328.1 Forma biliniara generata de o ecuatie liniara . . . . . . . . . . . . 623

28.1.1 Teoreme de existenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63028.1.2 Rezolvarea numerica prin metoda Galerkin . . . . . . . . . 633

28.2 Perspectiva variationala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64528.2.1 Rezolvarea numerica prin metoda lui Ritz . . . . . . . . . 64728.2.2 Metoda elementului finit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

VI ANEXE 653

A Notiuni de teoria erorilor 655A.1 Eroare absoluta si eroare relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655A.2 Reprezentarea numerelor ın virgula mobila . . . . . . . . . . . . . 656A.3 Aritmetica numerelor ın virgula mobila . . . . . . . . . . . . . . . 657A.4 Standardul IEEE 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659A.5 Controlul erorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660

B Implementarea metodelor iterative 665

C Identitati trigonometrice 667

D Determinarea unor parametri numerici 671

E Imbunatatirea convergentei 675E.1 Ordinul de convergenta al unui sir . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675E.2 Imbunatatirea convergentei unui sir . . . . . . . . . . . . . . . . . 676E.3 Transformarea lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

F Determinarea ordinelor de convergenta 679

G Elemente de topologie 685G.1 Statiu topologic Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

H Elemente de analiza matematica 689

I Elemente de analiza functionala 697I.1 Teorema de punct fix a lui Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 697I.2 Inversarea operatorilor liniari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

10 CUPRINS

I.3 Principiul condensarii singularitatilor . . . . . . . . . . . . . . . . 699I.4 Norma operatorilor integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701I.5 Subspatiul ortogonal si proiectii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702I.6 Cea mai buna aproximatie ın Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705I.7 Cea mai buna aproximare ın spatiu prehilbertian . . . . . . . . . 708I.8 Descompunerea ortogonala a unui spatiu prehilbertian . . . . . . 709I.9 Reprezentarea unei functionale liniare si continue ıntr-un spatiu

Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709I.10 Compactitate ın spatii Hilbert separabile . . . . . . . . . . . . . . 710

J Transformata Fourier 713

K Polinoame ortogonale clasice 715K.1 O reprezentare a polinoamelor ortogonale . . . . . . . . . . . . . . 715K.2 Polinoame Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717K.3 Polinoame Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721K.4 Polinoamele lui Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724

L Scheme Runge-Kutta deduse prin calcul simbolic 729L.1 Schema de calcul explicita de tip Runge – Kutta ın 4 trepte . . . 730L.2 Schema de calcul implicita de tip Runge – Kutta ın 2 trepte . . . 735

M Reprezentarea multimii de A-stabilitate 739

N Produsul Kronecker 743

O Ecuatia matriceala Sylvester 747

P Curbe Bezier 749P.1 Reprezentarea Bezier a unui polinom . . . . . . . . . . . . . . . . 749P.2 Curbe Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

Q Cea mai buna aproximatie ın C[a, b] 757Q.1 Cea mai buna aproximatie ın C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . 757Q.2 Algoritmul lui Remez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762

Bibliografie 765

Partea I

INTERPOLARE SI APLICATII

11

Capitolul 1

Diferente finite

1.1 Diferente finite

Diferentele finite stau la baza multor metode de calcul numeric privind in-tegrarea si derivarea numerica, integrarea ecuatiilor diferentiale ordinare si cuderivate partiale. Functiile care intervin ın acest capitol sunt functii reale de ovariabila reala. Printr-o diferenta finita de ıntelege un operator de forma

Γhf(x) = Af(x+ ah)−Bf(x+ bh) (1.1)

unde A,B, a, b sunt constante reale. Se observa caracterul liniar al operatorului

Γh(λf + µg) = λΓhf + µΓhg.

Diferentele finite de ordin superior se introduc recursiv

Γ0hf = f

Γnhf = Γh(Γn−1h f), n > 1.

Diferentele finite uzuale sunt:

• diferenta finita progresiva

4hf(x) = f(x+ h)− f(x);

• diferenta finita regresiva

∇hf(x) = f(x)− f(x− h);

13

14 CAPITOLUL 1. DIFERENTE FINITE

• diferenta finita centrata

δhf(x) = f(x+h

2)− f(x− h

2).

In cele ce urmeaza vom studia doar diferentele finite uzuale.Formulele explicite de calcul ale unei diferente finite de ordin superior sunt

Teorema 1.1.1 Au loc egalitatile:

(i) 4nhf(x) =

∑nk=0

(nk

)(−1)n−kf(x+ kh);

(ii) ∇nhf(x) =

∑nk=0

(nk

)(−1)kf(x− kh);

(iii) f(x+ nh) =∑n

k=0

(nk

)4khf(x);

(iv) f(x− nh) =∑n

k=0

(nk

)(−1)k∇k

hf(x).

(1.2)

Demonstratie. 4nhf(x) se exprima ca o combinatie liniara a valorilor lui f ın

x, x+ h, . . . , x+ nh, adica are loc o formula de forma

4nhf(x) =

n∑k=0

Akf(x+ kh).

Pentru determinarea coeficientilor (Ak)0≤k≤n, alegem f(x) = ex si atunci

ex(eh − 1)n =n∑k=0

Akex+kh.

Dezvoltand binomul din membrul stang gasim

n∑k=0

(nk

)(−1)n−kex+kh =

n∑k=0

Akex+kh.

Identificand coeficientii lui ex+kh gasim Ak =

(nk

)(−1)n−k, adica relatia (i).

In mod asemanator se pot justifica si celelelte relatii.Stabilim o serie de proprietati ale diferentei finita progresiva. Rezultate ase-

manatoare se pot deduce si pentru celelalte diferente finite.

1.1. DIFERENTE FINITE 15

Teorema 1.1.2 (Teorema de medie) Daca functia f este derivabila de ordinn atunci exista c ∈ (x, x+ nh) astfel ıncat

4nhf(x) = hnf (n)(c). (1.3)

Demonstratie. Prin indutie matematica dupa n, pentru n = 1, utilizand teo-rema de medie a lui Lagrange avem succesiv

4hf(x) = f(x+ h)− f(x) = hf ′(c) x < c < x+ h.

Presupunem relatia (1.3) adevarata pentru diferentele de ordin n−1. Daca g(x) =4n−1n f(x)hn−1 atunci

4nhf(x)

hn=4h(4n−1

h f(x))

hn=

4n−1h f(x+h)

hn−1 − 4n−1h f(x)

hn−1

h=

=g(x+ h)− g(x)

h= g′(c) =

d

dx[4n−1h f(x)

hn−1]|x=c

unde x < c < x + h. Deoarece operatorul de derivare comuta cu operatorul dediferenta finita, rezulta ca

4nhf(x)

hn=

d

dx[4n−1h f(x)

hn−1]|x=c =

4n−1h f ′(x)

hn−1|x=c.

Utilizand ipoteza inductiei,

4nhf(x)

hn=4n−1h f ′(x)

hn−1|x=c = (f ′)(n−1)(c) = f (n)(c),

unde x < c < c < c+ (n− 1)h < x+ nh.

Observatia 1.1.1

Presupunand ca functia f are derivata de ordinul n continua, pentru h→ 0, din(1.3) rezulta

limh→0

4nhf(x)

hn= f (n)(x). (1.4)

Diferenta finita progresiva de ordin superior pentru produsul a doua functiigeneralizeaza formula lui Leibniz


Teorema 1.1.3 (Formula lui Leibniz) Are loc formula:

4nhf(x)g(x) =

n∑k=0

(nk

)4khf(x)4n−k

h g(x+ kh) (1.5)

Demonstratia teoremei se face prin inductie matematica dupa n.

Observatia 1.1.2

Sa presupunem ca functiile f, g au derivata de ordinul n continua. Impartind(1.5) la hn si utilizand Observatia 1.1.1, pentru h→ 0, obtinem

(f(x)g(x))(n) =n∑k=0

(nk

)f (k)(x)g(n−k)(x). (1.6)

1.2 Ecuatia cu diferente liniara si cu coeficienti

constanti

Consideram ecuatia cu diferente (h = 1)

αp4pu(n) + αp−14p−1u(n) + . . .+ α14u(n) + α0u(n) = fn+p ∀n ∈ N.

unde necunoscuta este functia u : N→ R, iar coeficientii α0, . . . , αp sunt constantereale. Explicitand diferentele finite progresive ın functie de valorile functiei (1.2)obtinem

apun+p + ap−1un+p−1 + . . .+ a1un+1 + a0un = fn+p n ∈ N, (1.7)

unde un = u(n).Presupunem ca a0 · ap 6= 0.

In cele ce urmeaza, numim (1.7) ecuatie cu diferente liniara si cu coeficienticonstanti, de ordin p si se cere solutia care verifica ın plus conditiile initiale

u0 = v0

u1 = v1

. . .up−1 = vp−1

(1.8)

Teorema 1.2.1 Exista cel mult o solutie a ecuatiei cu diferente (1.7) care verificaconditiile (1.8).

1.2. ECUATIA CU DIFERENTE LINIARA 17

In prealabil studiem ecuatia cu diferente omogena, liniara si cu coeficienticonstanti

apun+p + ap−1un+p−1 + . . .+ a1un+1 + a0un = 0 n ∈ N, (1.9)

Teorema 1.2.2 Multimea solutiilor ecuatiei cu diferente omogena, liniara si cucoeficienti constanti formeaza un spatiu liniar.

1.2.1 Sistem fundamental de solutii

Teoria ecuatiei cu diferente omogena, liniara si cu coeficienti constanti esteasemanatoare cu cea a ecuatiei diferentiale liniara, omogena si cu coeficienticonstanti.

Definitia 1.2.1 Sirurile (u1n)n∈N, . . . , (u

pn)n∈N sunt liniar independente daca rela-

tiileλ1u

1n + . . .+ λpu

pn = 0, ∀n ∈ N

implica λ1 = . . . = λp = 0.

Teorema 1.2.3 Sirurile (u1n)n∈N, . . . , (u

pn)n∈N, solutii ale ecuatiei (1.9) sunt liniar

independene daca si numai daca au loc relatiile

4n =

∣∣∣∣∣∣∣∣u1n . . . upn

u1n+1 . . . upn+1

. . . . . . . . .u1n+p−1 . . . upn+p−1

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0, ∀n ∈ N. (1.10)

Demonstratie. Presupunem prin absurd ca exista n ∈ N astfel ıncat 4n = 0.Atunci sistemul algebric de ecuatii liniare si omogene

λ1u1n + . . . + λpu

pn = 0

λ1u1n+1 + . . . + λpu

pn+1 = 0

. . . . . . . . . . . .λ1u

1n+p−1 + . . . + λpu

pn+p−1 = 0

(1.11)

ın necunoscutele λ1, . . . , λp, admite o solutie nebanala notata la fel.

Inmultind ecuatiile sistemului, respectiv cu−a0ap, . . . ,−ap−1

apsi sumand egalitatile

astfel obtinute, rezulta

λ1(− 1

ap

p−1∑i=0

aiu1n+i) + . . . λp(−

1

ap

p−1∑i=0

aiupn+i) = 0.


Deoarece potrivit ipotezei, sirurile (ujk)k∈N, j = 1, . . . , p sunt solutii ale ecuatieicu diferente (1.9), ultima egalitate devine

λ1u1n+p + . . .+ λpu

pn+p = 0.

Observam ca aceasta egalitate completeaza relatiile sistemului (1.11). Reluandınmultirea ultimelor p egalitati, respectiv prin −a0

ap, . . . ,−ap−1

apsi adunarea lor

deducemλ1u

1m + . . .+ λpu

pm = 0 ∀m ≥ n.

Procedand asemanator, ınmultim ecuatiile sistemului (1.11), respectiv cu−a1a0, . . . ,−ap

a0si sumand egalitatile astfel obtinute, gasim

λ1(− 1

a0

p∑i=1

aiu1n+i−1) + . . . λp(−

1

a0

p∑i=1

aiupn+i−1) = 0,

sauλ1u

1n−1 + . . .+ λpu

pn−1 = 0.

Repetand, deducem

λ1u1m + . . .+ λpu

pm = 0 ∀m ≤ n.

In felul acesta contrazicem liniar independenta sirurilor.Reciproc, presupunem prin absurd ca sirurile (ujk)k∈N, j = 1, . . . , p nu sunt

liniar independente, existand constantele λ1, . . . , λp, nu toate nule astfel ıncat

λ1u1n + . . .+ λpu

pn = 0, ∀n ∈ N.

Pentru orice n ∈ N, sistemul (1.11) are o solutie nebanala, deci 4n = 0, ceea cenu se poate.

Definitia 1.2.2 p siruri solutii ale ecuatiei (1.9) si liniar independente formeazaun sistem fundamental de solutii.

Importanta unui sistem fundamental este reliefata ın

Teorema 1.2.4 Daca (ujk)k∈N, j = 1, . . . , p formeaza un sistem fundamental desolutii pentru ecuatia cu diferente (1.9) atunci pentru orice alta solutie (uk)k∈N aei, exista constantele c1, . . . , cp astfel ıncat

un = c1u1n + . . .+ cpu

pn, ∀n ∈ N.


Demonstratie. Consideram sistemul algebric de ecuatii liniare ın necunoscutelec1, . . . , cp

c1u10 + . . .+ cpu

p0 = u0

c1u11 + . . .+ cpu

p1 = u1

. . . . . . . . . . . .c1u

1p−1 + . . .+ cpu

pp−1 = up−1

(1.12)

Determinantul sistemului fiind diferit de 0, sistemul (1.12) admite o solutie unicanotata tot c1, . . . , cp.

Inmultind ecuatiile sistemului (1.12) respectiv cu−a0ap,−a1

ap, . . . ,−ap−1

apsi sumand

egalitatile astfel obtinute deducem

c1(− 1

ap

p−1∑k=0

aku1k) + . . .+ cp(−

1

ap

p−1∑k=0

akupk) = − 1

ap

p−1∑k=0

akuk,

sauc1u

1p + . . .+ cpu

pp = up. (1.13)

Repetand rationamentul, din aproape ın aproape obtinem

un = c1u1n + . . .+ cpu

pn, ∀n ∈ N.

1.2.2 Determinarea unui sistem fundamental de solutii

Cautam solutii ale ecuatiei cu diferente omogene (1.9) sub forma unei progresiigeometrice uk = xk, k ∈ N. Rezulta ca x trebuie sa fie radacina polinomuluicaracteristic

f(x) = apxp + ap−1x

p−1 + . . .+ a1x+ a0.

Notam prin x1, . . . , xp radacinile acestui polinom.Cazul radacinilor distincte doua cate doua.

Teorema 1.2.5 Daca x1, . . . , xp sunt radacini distincte doua cate doua ale poli-nomului caracteristic atunci sirurile (xn1 )n∈N, . . . , (x

np )n∈N formeaza un sistem fun-

damental de solutii pentru ecuatia cu diferente omogema (1.9).

Demonstratie. Verificam conditia de liniar independenta, data ın Teorema1.2.3, a celor p siruri.

4n =

∣∣∣∣∣∣∣∣xn1 . . . xnpxn+1

1 . . . xn+1p

. . . . . . . . .

xn+p−11 . . . xn+p−1

p

∣∣∣∣∣∣∣∣ =


= (x1 · . . . · xp)nV (x1, . . . , xp) = (x1 · . . . · xp)n∏

1≤j<i≤p

(xi − xj) 6= 0.

Cazul radacinilor multiple. Stabilim un rezultat ajutator

Teorema 1.2.6 Daca f(x) este polinomul caracteristic si ϕ : N → R este ofunctie oarecare atunci

apxn+pϕ(n+ p) + ap−1x

n+p−1ϕ(n+ p− 1) + . . .+ a0xnϕ(n) =

= xn[f(x)ϕ(n) +1

1!xf ′(x)4ϕ(n) + . . .

1

p!xpf (p)4pϕ(n)].

Demonstratie. Utilizand relatia (iii) de la (1.2) au loc egalitatile

ϕ(n) = ϕ(n)

ϕ(n+ 1) =

(10

)ϕ(n) +

(11

)4ϕ(n)

ϕ(n+ 2) =

(20

)ϕ(n) +

(21

)4ϕ(n) +

(22

)42ϕ(n)

...

ϕ(n+ p) =

(p0

)ϕ(n) +

(p1

)4ϕ(n) +

(p2

)42ϕ(n) + . . .

. . .+

(pp

)4pϕ(n)

pe care le ınmultim respectiv cu a0xn, a1x

n+1, a2xn+2, . . . , apx

n+p si le ınsumam,obtinand

p∑k=0

akxn+kϕ(n+ k) = xn

p∑k=0

bk(x)4kϕ(n),

unde

bk(x) =

p∑j=k

(jk

)ajx

j =xk

k!

p∑j=k

j(j − 1) · . . . · (j − k + 1)xj−k =xk

k!f (k)(x).

In consecinta, daca x este o radacina a polinomului caracteristic, avand ordinulde multiplicitate r atunci sirul (xnϕ(n))n∈N, cu ϕ(n) polinom de grad cel multr − 1, este solutie a ecuatiei cu diferente (1.9).

Mai mult,


Teorema 1.2.7 Daca x1, x2, . . . , xk sunt radacinile polinomului caracteristic, avandrespectiv ordinele de multiplicitate r1, r2, . . . , rk, (r1 + r2 + . . . + rk = p), atuncisirurile

(xn1 )n∈N (nxn1 )n∈N . . . (nr1−1xn1 )n∈N(xn2 )n∈N (nxn2 )n∈N . . . (nr2−1xn2 )n∈N. . . . . . . . . . . .(xnk)n∈N (nxnk)n∈N . . . (nrk−1xnk)n∈N

formeaza un sistem fundamental de solutii pentru ecuatia cu diferente omogena(1.9).

Demonstratie. Presupunem prin absurd ca sirurile

(xni )n∈N, (nxni )n∈N, . . . , (n

ri−1xni )n∈N, 1 ≤ i ≤ k

sunt liniar dependente. Atunci exista constantele Ci,0, Ci,1, . . . , Ci,ri−1, 1 ≤ i ≤ knu toate nule, astfel ıncat

k∑i=1

(Ci,0xni + Ci,1nx

ni + . . .+ Ci,ri−1n

ri−1xni ) = 0, ∀n ∈ N,

sauk∑i=1

xni Pi(n) = 0, ∀n ∈ N, (1.14)

unde Pi(n) = Ci,0 + Ci,1n+ . . .+ Ci,ri−1nri−1.

Potrivit presupunerii facute, polinoamele Pi(n), i = 1, . . . , k nu sunt toateidentic nule. Putem presupune ca toate polinoamele care apar ın relatia (1.14)sunt neidentic nule.

Impartind (1.14) prin xn1 rezuta

P1(n) +(x2

x1

)nP2(n) + . . .+

(xkx1

)nPk(n) = 0, ∀n ∈ N. (1.15)

Aplicand relatiei (1.15) diferenta1 4n deducem(x2

x1

)nP2,1(n) + . . .+

(xkx1

)nPk,1(n) = 0, ∀n ∈ N,

unde polinoamele Pi,1 i = 2, . . . , k au gradele respectiv egale cu ale polinoamelorPi i = 2, . . . , k.

1Pentru a 6= 1 si ϕ polinom are loc 4anϕ(n) = an(aϕ(n+ 1)−ϕ(n)) unde aϕ(n+ 1)−ϕ(n)este un polinom de acelasi grad cu ϕ.


Repetand rationamentul de mai sus de k − 1 ori deducem egalitatea( xkxk−1

)nPk,k−1(n) = 0 ∀n ∈ N.

Pe de-o parte rezulta ca polinomul Pk,k−1 este identic nul, iar pe de alta parteeste neidentic nul. Contradictia aparuta justifica afirmatia teoremei.

Definitia 1.2.3 Daca un polinom are toate radacinile ın modul mai mici sauegale cu 1 iar cele de modul 1 au ordinul de multiplicitate 1 atunci polinimulındeplineste conditia radacinii.

In concluzie, daca polinomul caracteristic al ecuatiei cu diferente liniara siomogena (1.9) ındeplineste conditia radacinii atunci orice solutie a ecuatiei (1.9)este marginita.

Exemplul 1.2.1 Sirul lui Fibonacci este definit prin ecuatia cu diferente

un+2 − un+1 − un = 0, ∀n ∈ N. (1.16)

Polinomul caracteristic este f(x) = x2 − x − 1 si are radacinile 1±√

52. Formula

termenului general al sirului definit de (1.16) este

un = C1(1 +√

5

2)n + C2(

1−√

5

2)n.

Daca impunem conditiile initiale u0 = u1 = 1 atunci coeficientii C1, C2 rezultadin sistemul

u0 = C1 + C2 = 1

u1 = C11 +√

5

2+ C2

1−√

5

2= 1.

Rezolvand sistemul de mai sus, se obtine C1 = 1+√

52√

5, C2 = 1−

√5

2√

5. Prin urmare

un =1√5

[(1 +√

5

2)n+1 − (

1−√

5

2)n+1

]. (1.17)


1.2.3 Solutia ecuatiei cu diferente neomogena

Suntem ın masura sa solutionam problema determinata de ecuatia cu diferenteneomogena, liniara si cu coeficoenti constanti (1.7) cu conditiile initiale (1.8).

Teorema 1.2.8 Daca (ukn)n∈N, k = 0, 1, . . . , p−1 formeaza un sistem fundamen-tal de solutii pentru ecuatia cu diferente omogena care satisfac conditiile initialeukn = δk,n, k, n ∈ 0, 1, . . . , p− 1 atunci solutia problemei (1.7)-(1.8) este

un =

p−1∑i=0

viuin +

1

ap

n−p∑k=0

fk+pup−1n−k−1, ∀n ∈ N. (1.18)

Se presupune ca

fk = 0 pentru k < p;ukn = 0 pentru n < 0, k = 0, 1, . . . , p− 1.

(1.19)

Demonstratie. Sirul (zn)n∈N definit prin zn =∑p−1

i=0 viuin este o solutie a ecuatiei

cu diferente omogena care verifica conditiile initiale (1.8).Verificam ca sirul (wn)n∈N definit prin wn = 1

ap

∑n−pk=0 fk+pu

p−1n−k−1 este o solutie

a ecuatiei cu diferente neomogena (1.7) care satisface conditiile initiale omogenewn = 0, pentru n = 0, 1, . . . , p− 1.

Daca n ∈ 0, 1, . . . , p−1 atunci pentru k = −1,−2, . . . , n−p au loc egalitateafk+p = 0 si ın consecinta

wn =1

apfpu

p−1n−1 = 0,

datorita conditiilor initiale verificate de sirul (up−1n )n∈Z.

Utilizand (1.19), au loc egalitatile

wn =1

ap

n−p∑k=0

fk+pup−1n−k−1 =

1

ap

∞∑k=−∞

fk+pup−1n−k−1.

Atuncip∑j=0

ajwn+j =1

ap

p∑j=0

aj

∞∑k=−∞

fk+pup−1n+j−k−1 =

=1

ap

p∑j=0

aj

n∑k=0

fk+pup−1n+j−k−1 =

1

ap

n∑k=0

fk+p

p∑j=0

ajup−1n+j−k−1.


Pentru k = 0, 1, . . . , n − 1, deoarece sirul (up−1n )n∈Z este solutie a ecuatiei cu

diferente omogena (1.9), au loc egalitatile

p∑j=0

ajup−1n+j−k−1 = 0

iar pentru k = n, din conditiile initiale verificate de acelasi sir, are loc

p∑j=0

ajup−1j−1 = ap.

In consecinta∑p

j=0 ajwn+j = 1apfn+pap = fn+p.

Stabilim doua proprietati asimptotice ale solutiei ecuatiei cu diferente liniarasi neomogena

apun+p + ap−1un+p−1 + . . .+ a1un+1 + a0un = fn+p, n ∈ N,

Teorema 1.2.9 Daca

1. radacinile polinomului caracteristic sunt simple si ın modul subunitare;

2. limn→∞ fn = 0

atunci limn→∞ un = 0.

Demonstratie. Daca x0, x1, . . . , xp−1 sunt radacinile polinomului caracteristicatunci un sistem fundamental de solutii este uin = xni , i ∈ 0, 1, . . . , p − 1 siformula (1.18) devine

un =

p−1∑i=0

vixni +

1

ap

n−p∑k=0

fk+pxn−k−1p−1 , ∀n ∈ N. (1.20)

Sirul (fn)n≥p este marginit: |fn| ≤ F, ∀ n ≤ p.

Fie ε > 0. Prima ipoteza implica limn→∞ xni = 0, i ∈ 0, 1, . . . , p − 1. In

consecinta exista n1 ≥ p, n1 ∈ N, astfel ıncat

n > n1 ⇒ |xi|n <ε

|vi|p, ∀ i ∈ 0, 1, . . . , p− 1.


Atunci

|p−1∑i=0

vixni | < ε. (1.21)

Scriem a doua suma din (1.20) ca

n−p∑k=0

fk+pxn−k−1p−1 = fpx

n−1p−1 + fp+1x

n−2p−1 + . . .+ fp+n−n1−2x

n1+1p−1︸︷︷︸

S1

+

+ fp+n−n1−1xn1p−1 + . . .+ fnx

p−1p−1︸︷︷︸

S2

.

Au loc relatiile

|S1| ≤ F |xp−1|n1+1(1 + |xp−1|+ . . .+ |xp−1|n−n1−2) ≤

≤ F

1− |xp−1||xp−1|n1+1 <

F

|vp−1|p(1− |xp−1|)ε (1.22)

Numarul termenilor din S2 este n1 − p+ 2. Exista n2 ≥ n1 astfel ıncat

n > n2 ⇒ |fn| <ε

n1 − p+ 2.

Observand ca n > n2 ⇒ p+ n− n1 − 1 > n2 ⇔ n > n2 + n1 − p+ 1 > n2 areloc evaluarea

|S2| < ε. (1.23)

Utilizand (1.21), (1.22) si (1.23) din (1.20) rezulta

n > n2 ⇒ |un| <(

1 +1

|ap|

(F

|vp−1|p(1− |xp−1|)+ 1

))ε.

O consecinta a acestui rezultat este

Teorema 1.2.10 Daca

1. radacinile polinomului caracteristic sunt simple si ın modul subunitare;

2. limn→∞ fn = f ∗

atunci limn→∞ un = f∗∑pj=0 aj

.


Demonstratie. Introducem sirul (zn)n∈N prin

un = zn +f ∗∑pi=0 ai

, n ∈ N.

Au loc egalitatile

p∑i=0

aizi+n =

p∑i=0

aiui+n − f∗ = fn+p − f ∗.

Din teorema anterioara rezulta ca limn→∞ zn = 0, de unde concluzia teoremei.

1.3 Metoda seriilor formale

Fie sirurile a = (an)n∈N, b = (bn)n∈N si seriile formale

fa(x) =∞∑n=0

anxn, fb(x) =

∞∑n=0

bnxn.

Definitia 1.3.1 Sirul c = (cn)n∈N definit prin cn =∑n

k=0 akbn−k se numesteprodusul de convolutie ale sirurilor a si b. Se utilizeaza notatia c = a ∗ b.

Daca c = a ∗ b si fc(x) =∑∞

n=0 cnxn atunci fc(x) = fa(x)fb(x).

Reluam din nou ecuatia cu diferente omogena, liniara si cu coeficienti constantide ordin p (1.9)

apun+p + ap−1un+p−1 + . . .+ a1un+1 + a0un = 0 n ∈ N.

Atasam ecuatiei cu diferente

• polinomul caracteristic f(x) = apxp + ap−1x

p−1 + . . .+ a0,

• seria formala corespunzatoare sirului u = (un)n∈N, Φ(x) =∑∞

n=0 unxn.

Introducem polinomul g(x) = xpf( 1x) = ap + ap−1x + . . . + a0x

p si sirul α =(ap, ap−1, . . . , a0, 0, . . .). Astfel g(x) este seria formala atasata sirului α.

Datorita relatiilor (1.9), produsul de convolutie α ∗ u are cel mult p termeninenuli

(α ∗ u)n =n∑k=0

αkun−k = apun + ap−1un−1 + . . .+ a0un−p = 0, n ≥ p.

1.3. METODA SERIILOR FORMALE 27

In consecinta produsul ψ(x) = g(x)Φ(x) este polinom de grad cel mult p− 1.Astfel

Φ(x) =ψ(x)

g(x). (1.24)

Daca f(x) =∏k

j=1(x− xj)rj atunci g(x) =∏k

j=1(1− xjx)rj .

Se descompune ψ(x)g(x)

ın fractii simple care se dezvolta ın serie tayloriana ın jurul

originii. Solutia ecuatiei cu diferente se obtine identificand ın (1.24) coeficientiitermenii lui xn, n ∈ N.

In acest sens se utilizeaza relatiile deduse abstractie facand de convergenta:

(1− x)∑∞

n=0 xn = 1 ⇒ 1

1−x =∑∞

n=0 xn

(1− x)2∑∞

n=0(n+ 1)xn = 1 ⇒ 1(1−x)2

=∑∞

n=0(n+ 1)xn

Exemplul 1.3.1

a2un+2 + a1un+1 + a0un = 0, n ≥ 2.

Functia Φ se va deduce pe baza ecuatiei cu diferente. Inmultim ecuatia cudiferente cu xn+2 si sumand se obtine

a2

∞∑n=0

un+2xn+2 + xa1

∞∑n=0

un+1xn+1 + x2a0

∞∑n=0

unxn = 0,

saua2(Φ(x)− u0 − u1x) + xa1(Φ(x)− u0) + x2a0Φ(x) = 0,

de unde

Φ(x) =a2u0 + x(a2u1 + a1u0)

a2 + a1x+ a0x2. (1.25)

Daca x1, x2 sunt radacinile polinomului caracteristic a2x2 + a1x+ a0 = 0 atunci

a2 + a1x+ a0x2 = a2(1− xx1)(1− xx2).

Daca ∆ = a21 − 4a0a2 6= 0 ⇔ x1 6= x2 atunci din (1.25) rezulta

Φ(x) =A

1− xx1

+B

1− xx2

= A∞∑n=0

xn1xn +B

∞∑n=0

xn2xn =

∞∑n=0

(Axn1 +Bxn2 )xn,

de unde un = Axn1 +Bxn2 .


Daca ∆ = a21 − 4a0a2 = 0 ⇔ x1 = x2 atunci din (1.25) rezulta

Φ(x) =A

1− xx1

+B

(1− xx1)2= A

∞∑n=0

xn1xn+B

∞∑n=0

(n+1)xn1xn =

∞∑n=0

(A+B(n+1))xn1xn,

de unde un = (A+B(n+ 1))xn1 .

Exemplul 1.3.2 Sirul lui Fibonacci, se poate scrie

un+2 − un+1 − un = 0, ∀n ≥ 2; (1.26)

cu conditiile initiale u0 = u1 = 1.

Se obtine

Φ(x) =1

1− x− x2.

Radacinile polinomului caracteristic f(x) = x2−x−1 sunt x1 = 1+√

52, x2 = 1−

√5

2.

Descompunerea ın fractii simple a functiei Ψ(x) este

Φ(x) =1√5

(x1

1− x1x− x2

1− x2x

).

si ın consecinta un = 1√5(xn+1

1 − xn+12 ).

Exemplul 1.3.3 Sa se rezolve

un+2 − 2un+1 + un = 0, ∀n ≥ 2;

Procedand analog, se gaseste

Φ(x) =u0 + x(u1 − 2u0)

1− 2x+ x2.

Descompunerea ın fractii simple este

Φ(x) =2u0 − u1

1− x+u1 − u0

(1− x)2.

Prin urmare un = u0 + n(u1 − u0).

1.4. TRANSFORMAREA Z 29

1.4 Transformarea z

Fie S multimea sirurilor de numere complexe x = (xn)n∈Z. Daca xn = 0, ∀n <0 atunci sirul x se numeste cu suport pozitiv. Multimea acestor siruri se noteazacu S+.

Exemplul 1.4.1 u = (un)n∈Z, cu un =

0 n < 01 n ≥ 0

.

Exemplul 1.4.2 δk = (δk,n)n∈Z, cu δk,n =

0 n 6= k1 n = k

.

Definitia 1.4.1 Fie x, y ∈ S+ astfel ıncat, pentru orice n ∈ Z, seria∑

k∈Z xn−kykeste convergenta. Sirul z = (zn)n∈Z definit prin

zn =∑k∈Z

xn−kyk

se numeste produsul de convolutie al sirurilor x si y si se noteaza cu z = x ∗ y.

Evident x ∗ y = y ∗ x.

Exemplul 1.4.3 Daca x = (xn)n∈Z, atunci sirul z = x ∗ δk, z = (zn)n∈Z este

zn =∑s∈Z

xn−sδk,s = xn−k ∀n ∈ Z.

Definitia 1.4.2 Fie x = (xn)n∈Z si functia X(z) =∑

n∈Zxnzn, definita ın dome-

niul de convergenta al seriei Laurent. Operatorul ce ataseaza sirului x functiaX(z) se numeste transformata z a sirului x

Z(x) = X.

Exemplul 1.4.4 Transformata z a sirului u este

Z(u)(z) =∞∑n=0

1

zn=

z

z − 1,

definita ın coroana z ∈ C : |z| > 1.

Exemplul 1.4.5 Z(δk)(z) = 1zk.


Exemplul 1.4.6 Daca x = (xn)n∈Z si y = (yn)n∈Z cu yn = xn−k, ∀n ∈ Z atunci

Z(y)(z) =∑n∈Z

ynzn

=∑n∈Z

xn−kzn

= z−kZ(x)(z).

Transformarea z se bucura de urmatoarele proprietati:

Teorema 1.4.1 Operatorul Z este liniar.

Teorema 1.4.2 Daca x ∈ S atunci Z(x ∗ δk)(z) = 1zkZ(x)(z).

Demonstratie. Sirul x ∗ δk este (xn−k)n∈Z. In consecinta

Z(x ∗ δk)(z) =∑n∈Z

xn−kzn

=1

zk

∑n∈Z

xn−kzn−k

=1

zkZ(x)(z).

Teorema 1.4.3 Are loc egalitatea

Z(x ∗ y) = Z(x)Z(y) ∀x, y ∈ S.

Demonstratie. Daca u = x ∗ y = (∑

k∈Z xn−kyk)n∈Z atunci

Z(u)(z) =∑n∈Z

∑k∈Z xn−kyk

zn=∑k∈Z

ykzk

∑n∈Z

xn−kzn−k

= Z(y)(z)L(x)(z).

Teorema 1.4.4 Daca x = (xn)n∈Z si X(z) =∑

n∈Zxnzn

este convergenta ıncoroana z ∈ C : r < |z| < R atunci are loc egalitatea

xn =1

2πi

∫|z|=ρ

zn−1X(z)dz, (1.27)

unde discul delimitat de cercul |z| = ρ contine toate singularitatile functiei X(z).

Demonstratie. Calculam integrala din (1.27)∫|z|=ρ

zn−1X(z)dz =∑k∈Z

xk

∫|z|=ρ

zn−1−kdz = 2πixn.


O aplicatie a transformarii z este rezolvarea ecuatiilor cu diferente liniare si cucoeficienti constanti. Consideram ecuatia cu diferente (1.7) si extindem multimeaindicilor la Z, definind

un = 0, ∀n < 0

si

fn+p = apun+p + ap−1un+p−1 + . . .+ a1un+1 + a0un, ∀n < 0.

Atunci ecutia cu diferente (1.7) se poate scrie

apun + ap−1un−1 + . . .+ a1un−p+1 + a0un−p = fn, ∀n ∈ Z,

sau

ap(u ∗ δ0)n + ap−1(u ∗ δ1)n + . . .+ a1(u ∗ δp−1)n + a0(u ∗ δp)n = fn. (1.28)

Notam u = (un)n∈Z, U(z) = L(u)(z), f = (fn)n∈Z si F (z) = L(f)(z). Inurma aplicarii transformarii z asupra ecuatiei (1.28) si utilizand Teorema 1.4.2obtinem ecuatia

U(z)(ap +ap−1

z+ . . .+

a1

zp−1+a0

zp) = F (z).

Explicitand functia necunoscuta, gasim

U(z) =zpF (z)

apzp + ap−1zp−1 + . . .+ a1z + a0

.

Potrivit formulei (1.27), termenii sirului u se calculeaza cu

un =1

2πi

∫|z|=ρ

zn+p−1F (z)

apzp + ap−1zp−1 + . . .+ a1z + a0

dz.

Exemplul 1.4.7 Sirul lui Fibonacci, se poate scrie

un − un−1 − un−2 = 0, ∀n ≥ 2.

Extinzand multimea indicilor la Z, obtinem

un − un−1 − un−2 =

0 n ∈ Z\0, 1u1 − u0 n = 1u0 n = 0


Ecuatia transformatei z a sirului u = (un)n∈Z este

U(z)(1− 1

z− 1

z2) = u0 +

u1 − u0

z,

de unde

U(z) =u0z

2 + (u1 − u0)z

z2 − z − 1.

Daca ρ > 1+√

52

atunci

un =1

2πi

∫|z|=ρ

[u0z2 + (u1 − u0)z]zn−1

z2 − z − 1.

Calculand integrala prin reziduuri obtinem

un =1√5

[u0(

1 +√

5

2)n+1 + (u1 − u0)(

1 +√

5

2)n

]−

− 1√5

[u0(

1−√

5

2)n+1 + (u1 − u0)(

1−√

5

2)n

]=

=(√

5− 1)u0 + 2u1

2√

5(1 +√

5

2)n +

(√

5 + 1)u0 − 2u1

2√

5(1−√

5

2)n.

Daca u0 = u1 = 1 atunci se regaseste (1.17).

Probleme si teme de seminar

P 1.1 Sa se calculeze

1. 4nh

1x

2. 4nh

1x2−1

3. 4nh sin(ax+ b)

4. 4nh cos(ax+ b)

5. 4nhxe

x

P 1.2 Sa se arate ca daca 4F (x) = f(x) atunci∑n

k=1 f(k) = F (n+ 1)− F (1).


P 1.3 Sa se calculeze∑n

k=11

k(k+1)...(k+p).

P 1.4 Sa se demonstreze formula de ınsumare prin parti

n∑k=1

u(k)4v(k) = u(n+ 1)v(n+ 1)− u(1)v(1)−n∑k=1

v(k + 1)4u(k).

P 1.5 Sa se calculeze∑n

k=1 k2k.

R.

1. u(k) = k,4v(k) = 2k ⇒ 4u(k) = 1, v(k) = 2k si se aplica rezultatulproblemei anterioare.

2. Se deriveaza identitatea∑n

k=1 2kx = 2(n+1)x−2x

2x−1si se particularizeaza x = 1.

3. Notand cu S suma cautata, au loc egaliatile

S = 2 + 2 · 22 + . . . + n · 2n2n+1 − 2 = 2 + 22 + . . . + 2n

Inmultind prima egalitate cu 2 si adunand rezulta ecuatia ın S

2S + 2n+1 − 2 = S + n2n+1.

4. Au loc egalitatile

S =

2 + 22 + 23 + . . . + 2n−1 + 2n ++ 22 + 23 + . . . + 2n−1 + 2n +

+ 23 + . . . + 2n−1 + 2n +.. .

+ 2n−1 + 2n ++ 2n =

= 2(2n− 1) + 22(2n−1− 1) + 23(2n−2− 1) + . . .+ 2n−1(22− 1) + 2n(2− 1) =

= n2n+1 − (2 + 22 + . . .+ 2n) = . . . .


P 1.6 Sa se arate ca

(00

)0 0 . . . 0(

10

) (11

)0 . . . 0(

20

) (21

) (22

). . . 0

......

.... . .

...(n0

) (n1

) (n2

). . .

(nn

)

−1

=

=

(00

)0 0 . . . 0

−(

10

) (11

)0 . . . 0(

20

)−(

21

) (22

). . . 0

......

.... . .

...

(−1)n(

n0

)(−1)n−1

(n1

)(−1)n−2

(n2

). . .

(nn

)

.

R. Se scriu matriceal relatiile

xs = ((x− 1) + 1)s =s∑i=0

(si

)(x− 1)i, s = 0, 1, . . . , n,

si

(x− 1)s =s∑i=0

(−1)s−i(si

)xi, s = 0, 1, . . . , n.

P 1.7 Sa se rezolve si sa se discute ın functie de parametrul p ecuatia cu diferenteun+2 − 2pun+1 + un = 0.

P 1.8 Sa se rezolve ecuatia cu diferente un+2 − un+1 − 6un = 2n+2.

P 1.9 Sa se rezolve sistemul2x1 −x2 = 1

−xi−1 +2xi −xi+1 = i 2 ≤ i ≤ n− 1−xn−1 +2xn = n

R. 1. Sistemul are solutie unica. Determinantul sistemului este

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −1 0 0 . . . 0 0 0−1 2 −1 0 . . . 0 0 00 −1 2 −1 . . . 0 0 0...

. . ....

0 0 0 0 . . . −1 2 −10 0 0 0 . . . 0 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


care dezvoltat dupa prima linie conduce la formula de recurenta ∆n = 2∆n−1 −∆n−2. Solutia ecuatiei cu diferente este ∆n = C1 +C2n. Deoarece ∆2 = 3, ∆3 = 4se obtine ∆n = n+ 1.

2. Se rezolva ecuatia cu diferente xk+1 − 2xk + xk−1 = −k, k ∈ N. Deter-minam sistemul fundamental al ecuatiei cu diferente omogene corespunzatoare:(u0

k)k∈N, (u1k)k∈N care satisface conditiile initiale

u00 = 1 u0

1 = 0u1

0 = 0 u11 = 1

Se obtine

u0k = 1− k u1

k = k.

Utilizand formula (1.18) rezulta uk = v0(1− k) + v1k − k3−k6.

3. Impunand conditiile x0 = 0 si xn+1 = 0 gasim v0 = 0, v1 = n2+2n6

. In finalavem xk = k

6((n+ 1)2 − k2).

P 1.10 Sa se rezolve sistemula−1 −2a0 +a1 = 0ai−1 +4ai +ai+1 = 6yian−1 −2an +an+1 = 0

i ∈ 0, 1 . . . , n,

unde (yi)0≤i≤n sunt numere date.

R. 1. Din primele doua ecuatiia−1 −2a0 +a1 = 0a−1 +4a0 +a1 = 6y0

rezulta a0 = y0. Asemanator, din ultimele doua ecuatii rezulta an = yn.Astfel sistemul se rescrie sub forma

a0 = y0

ai+2 +4ai+1 +ai = 6yi+1 0 ≤ i ≤ n− 2an = yn

2. Solutia ecuatiei cu diferente ai+2 + 4ai+1 + ai = fi+2 = 6yi+1 este

ai = a0u0i + a1u

1i +

i−2∑k=0

fk+2u1i−k−1, i ≥ 2. (1.29)


(u0i )i∈N, (u

1i )i∈N sunt solutii ale ecuatei cu diferente omogene care verifica conditiile

initiale

u00 = 1 u1

0 = 0u0

1 = 0 u11 = 1

Prin calcul direct rezulta

u0i =

(−1)k−1

2√

3

((2 +

√3)k−1 − (2−

√3)k−1

)u1i = −u0

i+1

Valoarea pentru a1 din (1.29) se obtine din ecuatia

an = yn = a0u0i + a1u

1i +

n−2∑k=0

fk+2u1n−k−1.

Se obtin

a1 =y0u

0n − yn − 6

∑n−2k=0 yk+1u

0n−k

u0n+1

,

ai = y0u0i − a1u

0n+1 − 6

i−2∑k=0

yi+1u0i−k, i = 2, . . . , n− 1.

P 1.11 Puterea factoriala a lui x de ordin n cu pasul h este definita prin

x[n,h] = x(x− h) . . . (x− (n− 1)h), x[0,h] = 1.

Pentru h = 1 se utilizeaza notatia x[n] = x(x− 1) . . . (x− n+ 1).

Sa se arate ca

1. 4hx[n,h] = nhx[n−1,h].

2. 4khx

[n,h] = Aknhkx[n−k,h], k ∈ 0, 1, . . . , n.

P 1.12 Daca P ∈ Pn atunci are loc egalitatea

P (x) =n∑k=0

4khP (0)

hkk!x[k,h].


R.1 = x[0,h], x[1,h], . . . , x[n,h] sunt polinoame de grad respectiv0, 1, . . . , n. In consecinta are loc reprezentarea P (x) =

∑nk=0 ckx

[k,h]. Calculam

4jhP (x) =

n∑k=j

ck4jhx

[k,h] =n∑k=j

ckAjkh

jx[k−j,h].

Pentru x = 0 se obtine 4jhP (0) = cjj!h

j.

P 1.13 Numerele lui Stirling de speta ıntai Sin si de speta a doua ¯Si

n sunt intro-duse prin

x[n] =n∑i=1

Sinxi, xn =

n∑i=1

¯Si

nx[i].

Sa se demonstreze formulele de recurenta

Sin+1 = Si−1n − nSin, S0

n = δn,0,

¯Si

n = i ¯Si

n−1 + ¯Si−1

n−1,¯S

0

n = δn,0.

R. 1. Sin = 1i!

(x[n])(i) |x=0. Derivand de i ori egalitatea x[n+1] = x[n](x− n) se

obtine ((x[n+1]

)(i)=(x[n])(i)

(x− n) + i(x[n])(i−1)

.

Pentru x = 0 rezulta((x[n+1]

)(i) |x=0 = i(x[n])(i−1) |x=0 − n

(x[n])(i) |x=0 si se

ımparte la i!.

2. ¯Si

n = 1i!4ixn|x=0. Calculam 4i pentru produsul xn = xn−1x

4ixn = i4i−1xn−1 +4ixn−1(x+ i).

Pentru x = 0 rezulta 4ixn|x=0 = i4i−1xn−1|x=0 + i4ixn−1|x=0 si se ımparte la i!.

P 1.14 Sa se arate ca∫ n

0

q(q−1) . . . (q−i+1)(q−i−1) . . . (q−n)dq = (−1)n−ii∑

j=0

n−i∑k=0

Sji Skn−i

j!k!nj+k+1

(j + k + 1)!.

R.∫ n

0

q(q− 1) . . . (q− i+ 1)(q− i− 1) . . . (q−n)dq = (−1)n−i∫ n

0

q[i](n− q)[n−i]dq =

= (−1)n−ii∑

j=0

n−i∑k=0

Sji Skn−i

∫ n

0

qj(n− q)kdq.


P 1.15 Sa se arate caS0

0

S01 S1

1...

. . .

S0n S1

n . . . Snn

−1

=

¯S

0

0

¯S0

1¯S

1

1...

. . .¯S

0

n¯S

1

n . . . ¯Sn

n

.

P 1.16 Stiind ca sirul dat (un)n∈N este solutia unei ecuatii cu diferente liniara,omogena si cu coeficienti constanti de ordin p, sa se determine ecuatia cu diferente.

R. Daca ecuatia cu diferente are forma

un+p − ap−1un+p−1 − . . .− a1un+1 − aoun = 0, n ∈ N,

atunci ansamblul relatiilor pentru n ∈ 0, 1, . . . , p− 1 determina sistemulu0 . . . up−1

u1 . . . up...

. . ....

up−1 . . . u2p−2

a0

a1...

ap−1

=

upup+1

...u2p−1

.

P 1.17 Daca

1. A ∈Mp(R) are valorile proprii distincte doua cate doua;

2. x(t) este solutia problemei cu valori initiale x = Ax, x(t0) = x0;

3. y(t) = cTx(t), unde c ∈ Rp;

4. yk = y(tk), unde tk = t0 + kh, k ∈ N

atunci sirul (yk)k verifica o ecuatie cu diferente liniara, omogena si cu coeficienticonstanti de ordin p.

R. Fie r1, . . . , rp valorile proprii ale matriceiA.Din x(t) = eAtx0 =∑p

i=1 zierit, zi ∈

Cp se obtine

y(t) = cTp∑i=1

zierit =

p∑i=1

wierit, wi ∈ C.

si

yk =

p∑i=1

wieri(t0+kh) =

p∑i=1

wierit0(erih)k, k ∈ N.


Notam αi = erih, i ∈ 1, . . . , p si prin f(α) = αp − ap−1αp−1 − . . . − a1α − a0

polinomul cu radacinile α1, . . . , αp. Se verifica egalitatea

a0yn + a1yn+1 + . . .+ ap−1yn+p−1 = yn+p, ∀n ∈ N.

P 1.18 Sa se calculeze polinomul caracteristic si valorile proprii ale matricei

An =

2 −1 0 . . . 0−1 2 −1 00 −1 2 0...

. . . . . ....

0 −1 2 −10 . . . 0 −1 2

∈Mn(R).

R. Calculam determinantul

∆n = |λIn − An| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ− 2 1 0 . . . 01 λ− 2 1 00 1 λ− 2 0...

. . . . . ....

0 1 λ− 2 10 . . . 0 1 λ− 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Fie µ = λ− 2. Au loc egalitatile

∆n = (µ2 − 1)∆n−2 − µ∆n−3 (1.30)

si∆2 = µ2 − 1∆3 = µ3 − 2µ∆4 = µ4 − 3µ2 + 1

(1.31)

Polinomul caracteristic al ecuatiei cu diferente ∆n+3 − (µ2 − 1)∆n+1 + µ∆n = 0este x3 − (µ2 − 1)x+ µ si are radacinile

x1 = −µx2 = 1

2(µ+

√µ2 − 4)

x3 = 12(µ−

√µ2 − 4)

Problema (1.30)+(1.31) are solutia

∆n =1√µ2 − 4

(µ+√µ2 − 4

2

)n+1

+

(µ−

√µ2 − 4

2

)n+1


Ecuatia ∆n = 0 conduce la ecuatia

(µ−√µ2−4

µ+√µ2−4

)n+1

= 1, de unde

µ−√µ2 − 4

µ+√µ2 − 4

= cos tk + i sin tk = zk,

cu tk = 2πkn+1

, k ∈ 0, 1, . . . , n. Urmeaza

µ√µ2 − 4

= i cottk2⇒ µ = ±2 cos

tk2.

Daca µ(1)k = 2 cos tk

2si µ

(2)k = −2 cos tk

2atunci µ

(2)n−k = µ

(1)k+1, k ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

Tinand seama de expresia ∆n solutiile µ(1)0 = 2, µ

(2)0 = −2 nu convin.

Retinem µk = −2 cos kπn+1

si ın consecinta valorile proprii sunt λk = 4 sin2 kπ2(n+1)

,

k ∈ 1, 2, . . . , n.

P 1.19 Sa se arate egalitatea

∇h

h=δ2h

2h− h

2

δ2h

h2.

P 1.20 [19, p. 230] Fie sirul de numere reale (an)n∈N si4na0 =∑n

k=0

(nk

)(−1)n−kak.

Sa se arate egalitatea∞∑k=0

xk

k!4ka0 = e−x

∞∑k=0

xk

k!ak.

R. Sumand egalitatile urmatoare

40a0 =

(00

)a0

41a0 =

(11

)a1 −

(10

)a0

42a0 =

(22

)a2 −

(21

)a1 +

(20

)a0

...

42k0 =

(kk

)ak −

(k

k − 1

)ak−1 +

(k

k − 2

)ak−2 + . . .+ (−1)k

(k0

)a0

...


ınmultite ın prealabil cu 1, x1!, x

2

2!, . . . , x

k

k!, . . . rezulta

∞∑k=0

xk

k!4ka0 =

∞∑k=0

bk(x)ak,

unde

bk(x) =

(kk

)xk

k!−(k + 1k

)xk+1

(k + 1)!+ . . . =

∞∑j=k

(jk

)(−1)j−k

xj

j!=

=xk

k!

∞∑j=k

(−1)j−kxj−k

(j − k)!= e−x

xk

k!.

Capitolul 2

Elemente din teoria interpolarii

Fie X o multime si functia f : X → R cunoscuta numai prin valorile ei ıntr-unnumar finit de puncte x1, x2, . . . , xn din multimea X: yi = f(xi), i ∈ 1, 2, . . . , n.

O multime F de functii reale definite ın X este interpolatoare de ordin ndaca pentru orice sistem de n puncte distincte x1, x2, . . . , xn din X si oricare arfi numerele reale y1, y2, . . . , yn exista ın F o singura functie care ın punctele xi iarespectiv valorile yi, pentru orice i ∈ 1, 2, . . . , n.

In acest cadru problema de interpolare are urmatorul enunt: Dandu-se multimeainterpolatoare F de ordinul n ın X si perechile (xi, yi) ∈ X ×R, i ∈ 1, 2, . . . , n,cu proprietatea ca i 6= j ⇒ xi 6= xj, sa se determine aceea functie ϕ ∈ F care ınpunctele xi ia respectiv valorile yi: yi = ϕ(xi), i ∈ 1, 2, . . . , n.

Functia de interpolare ϕ si f au aceleasi valori ın punctele x1, x2, . . . , xn.Se considera ca ϕ este o aproximare a functiei f. Din punct de vedere teoretic seridica urmatoarele probleme:

• Precizarea unor multimi interpolatoare (problema existentei functiei de in-terpolare);

• Determinarea functiei de interpolare;

• Evaluarea diferentei dintre o functie si functia de interpolare corespunzatoare.

2.1 Sisteme Cebısev

Consideram functiile reale

f1, f2, . . . , fn (2.1)

definite ın intervalul compact [a, b].

43

44 CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII

Sistemul de functii (2.1) este liniar independent daca egalitatea

n∑i=1

λifi(x) = 0, ∀x ∈ [a, b]

are loc numai pentru λ1 = . . . = λn = 0.

Teorema 2.1.1 Sistemul de functii (2.1) este liniar independent daca exista unsistem de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . xn ≤ b astfel ıncat determinantul

V

(f1, f2, . . . , fnx1, x2, . . . , xn

)=

∣∣∣∣∣∣∣∣f1(x1) f2(x1) . . . fn(x1)f1(x2) f2(x2) . . . fn(x2). . . . . . . . . . . .f1(xn) f2(xn) . . . fn(xn)

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.

Demonstratie. Presupunem prin absurd, ca sistemul de functii (2.1) este liniarindependent si ca pentru orice sistem de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . xn ≤ b are loc

egalitatea V

(f1, f2, . . . , fnx1, x2, . . . , xn

)= 0.

Atunci maxrang(fi(xj))1≤i,j≤n : a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b = m ≤ n − 1.Exista punctele a ≤ x0

1 < x02 < . . . < x0

n ≤ b astfel ıncat rang(fi(x0j))1≤i,j≤n = m

si λ1, λ2, . . . , λn o solutie nebanala a sistemului algebric de ecuatii liniare

λ1f1(x01) + λ2f2(x0

1) + . . . + λnfn(x01) = 0

λ1f1(x02) + λ2f2(x0

2) + . . . + λnfn(x02) = 0

. . . . . . . . .λ1f1(x0

n) + λ2f2(x0n) + . . . + λnfn(x0

n) = 0

Deoarece rangul matricei (fi(x0j))1≤i,j≤n este m, ıntre vectorii

vi = (f1(x0i ), f2(x0

i ), . . . , fn(x0i )), i = 1, 2, . . . , n

exista m vectori liniari independenti. Putem presupune ca acestia sunt printrev1, . . . , vn−1.

Atunci pentru orice x ∈ [a, b] are loc egalitatea∑n

i=1 λifi(x) = 0. Intr-adevarmatricea

f1(x01) f2(x0

1) . . . fn(x01)

. . . . . . . . . . . .f1(x0

n−1) f2(x0n−1) . . . fn(x0

n−1)f1(x) f2(x) . . . fn(x)

2.1. SISTEME CEBISEV 45

are rangul cel mult egal cu m. Daca v = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) atunci existaconstantele µ1, µ2, . . . , µn−1 astfel ıncat v =

∑n−1i=1 µivi sau pe componente

fj(x) =n−1∑i=1

µifj(x0i ), j = 1, 2, . . . , n.

Inmultind relatiile de mai sus, respectiv cu λ1, . . . , λm si sumand obtinem

n∑j=1

λjf(xj) =n∑j=1

λj

n−1∑i=1

µifj(x0i ) =

n−1∑i=1

µi

n∑j=1

λjf(x0i ) = 0.

In acest fel se contrazice independenta familiei de functii (2.1).Reciproc, sa presupunem ca exista sistemul de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . xn ≤

b astfel ıncat V

(f1, f2, . . . , fnx1, x2, . . . , xn

)6= 0.

Daca familia de functii (2.1) nu ar fi liniar independenta atunci ar existaconstantele λ1, . . . , λn, nu toate nule astfel ıncat

∑ni=1 λifi(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

In particular, sistemul omogen

λ1f1(x1) + λ2f2(x1) + . . . + λnfn(x1) = 0λ1f1(x2) + λ2f2(x2) + . . . + λnfn(x2) = 0. . . . . . . . .λ1f1(xn) + λ2f2(xn) + . . . + λnfn(xn) = 0

ın necunoscutele λ1, . . . , λn admite o solutie nebanala, cea ce contrazice ipoteza

facuta asupra determinantului V

(f1, f2, . . . , fnx1, x2, . . . , xn

).

Definitia 2.1.1 Sistemul de functii (2.1) este un sistem Cebısev daca pentruorice sistem de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b determinantul

V

(f1, f2, . . . , fnx1, x2, . . . , xn

)este diferit de zero.

Observatia 2.1.1 Orice sistem Cebısev este alcatuit din functii liniar indepen-dente.

Observatia 2.1.2 In orice interval [a, b] functiile 1, x, x2, . . . , xn formeaza unsistem Cebısev.


Fie F = spanf1, f2, . . . , fn spatiul liniar generat de functiile (2.1).

Teorema 2.1.2 (Conditia lui Haar) Sistemul (2.1) formeaza un sistem Cebısevdaca si numai daca orice functie din F \0 se anuleaza cel mult ın n−1 punctedin [a, b].

Demonstratie. Sa presupunem ca familia de functii (2.1) formeaza un sistemCebısev si ca exista o functie f ∈ F \ 0 care se anuleaza cel putin ın n punctea ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b adica

f(xj) =n∑i=1

cifi(xj) = 0, j ∈ 1, 2, . . . , n. (2.2)

In acest caz relatiile (2.2) privite ca un sistem algebric de ecuatii liniare si omogene

ın necunoscutele c1, . . . , cn admit o solutie nebanala, deci V

(f1, f2, . . . , fnx1, x2, . . . , xn

)=

0, ceea ce contrazice definitia unui sistem Cebısev.Reciproc, presupunem ca orice functie din F \ 0 se anuleaza cel mult ın

n− 1 puncte din [a, b] si prin absurd, ca exista sistemul de puncte a ≤ x1 < x2 <

. . . < xn ≤ b astfel ıncat V

(f1, f2, . . . , fnx1, x2, . . . , xn

)= 0. Atunci sistemul algebric

de ecuatii liniare

λ1f1(x1) + λ2f2(x1) + . . . + λnfn(x1) = 0λ1f1(x2) + λ2f2(x2) + . . . + λnfn(x2) = 0. . . . . . . . .λ1f1(xn) + λ2f2(xn) + . . . + λnfn(xn) = 0

ın necunoscutele λ1, . . . , λn admite o solutie nebanala. Cu aceasta solutie nebanaladefinim f =

∑ni=1 λifi. f apartine multimii F \ 0 si se anuleaza ın punctele

x1, . . . , xn. Acest fapt contrazice ipoteza facuta, deci familia de functii (2.1)formeaza un sistem Cebısev.

Teorema 2.1.3 Daca familia de functii (2.1) formeaza un sistem Cebısev ın[a, b] atunci F formeaza o familie interpolatoare de ordin n ın [a, b].

Demonstratie. Fie a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b si numerele reale y1, y2, . . . , yn.Consideram sistemul algebric de ecuatii liniare

c1f1(x1) + c2f2(x1) + . . . + cnfn(x1) = y1

c1f1(x2) + c2f2(x2) + . . . + cnfn(x2) = y2

. . . . . . . . .c1f1(xn) + c2f2(xn) + . . . + cnfn(xn) = yn

(2.3)


ın necunoscutele c1, c2, . . . , cn. Determinantul sistemului V

(f1, f2, . . . , fnx1, x2, . . . , xn

)este diferit de 0, deci (2.3) admite o solutie unica c1, c2, . . . , cn. Functia f =∑n

i=1 cifi satisface conditiile de interpolare f(xi) = yi, i ∈ 1, 2, . . . , n.

Observatia 2.1.3 Conditia ca o familie de functii (2.1) sa formeze un sistemCebısev este echivalenta cu conditia lui Haar sau cu proprietatea de a fi interpo-latoare de ordin n pentru spatiul liniar F .

Pentru functia f ∈ F care satisface conditiile de interpolare

f(xi) = yi i ∈ 1, 2, . . . , n (2.4)

folosim notatia L(F ;x1, . . . , xn; y1, . . . , yn).Daca y1, . . . , yn sunt valorile unei functiiϕ, respectiv ın punctele x1, . . . , xn, atunci notatia folose L(F ;x1, . . . , xn;ϕ).

Teorema 2.1.4 Daca familia de functii (2.1) formeaza un sistem Cebısev ın[a, b] atunci solutia problemei de interpolare (2.4) este

L(F ;x1, . . . , xn; y1, . . . , yn)(x) =1

V

(f1, f2, . . . , fnx1, x2, . . . , xn

) · (2.5)

·n∑i=1

yi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

f1(x1) f2(x1) . . . fn(x1). . . . . . . . . . . .

f1(xi−1) f2(xi−1) . . . fn(xi−1)f1(x) f2(x) . . . fn(x)f1(xi+1) f2(xi+1) . . . fn(xi+1). . . . . . . . . . . .

f1(xn) f2(xn) . . . fn(xn)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣sau

L(F ;x1, . . . , xn; y1, . . . , yn)(x) =1

V

(f1, f2, . . . , fnx1, x2, . . . , xn

) · (2.6)

n∑i=1

fi(x)

∣∣∣∣∣∣f1(x1) . . . fi−1(x1) y1 fi+1(x1) . . . fn(x1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f1(xn) . . . fi−1(xn) yn fi+1(xn) . . . fn(xn)

∣∣∣∣∣∣ .


Demonstratie. Potrivit teoremei (2.1.3) problema de interpolare (2.4) are osolutie L(x) = L(F ;x1, . . . , xn; y1, . . . , yn)(x) care verifica egalitatea∣∣∣∣∣∣∣∣

L(x) f1(x) f2(x) . . . fn(x)y1 f1(x1) f2(x1) . . . fn(x1). . . . . . . . . . . . . . .yn f1(xn) f2(xn) . . . fn(xn)

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (2.7)

Intr-adevar, determinantul dezvoltat dupa prima linie este o functie din F . Acestafunctie se anuleaza ın x1, . . . , xn si atunci, potrivit teoremei (2.1.2), determinantuleste nul pentru orice x ∈ [a, b].

Descompunem (2.7) ıntr-o suma de doi determinanti∣∣∣∣∣∣∣∣L(x) f1(x) f2(x) . . . fn(x)

0 f1(x1) f2(x1) . . . fn(x1). . . . . . . . . . . . . . .0 f1(xn) f2(xn) . . . fn(xn)

∣∣∣∣∣∣∣∣+ (2.8)

+

∣∣∣∣∣∣∣∣0 f1(x) f2(x) . . . fn(x)y1 f1(x1) f2(x1) . . . fn(x1). . . . . . . . . . . . . . .yn f1(xn) f2(xn) . . . fn(xn)

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Dezvoltand al doilea determinant din (2.8) dupa prima coloana obtinem

L(x)V

(f1, f2, . . . , fnx1, x2, . . . , xn

)+

+n∑i=1

(−1)iyi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

f1(x) f2(x) . . . fn(x)f1(x1) f2(x1) . . . fn(x1). . . . . . . . . . . .

f1(xi−1) f2(xi−1) . . . fn(xi−1)f1(xi+1) f2(xi+1) . . . fn(xi+1). . . . . . . . . . . .

f1(xn) f2(xn) . . . fn(xn)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

de unde se obtine imediat (2.5).Relatia (2.6) se obtine analog, dezvoltand al doilea determinant din (2.8) dupa

prima linie.

Teorema 2.1.5 Daca V

(f1, f2, . . . fnx1, x2, . . . xn

)6= 0 si y1, y2, . . . , yn ∈ R atunci

exista o singura functie L ∈ F astfel ıncat L(xi) = yi,∀i ∈ 1, 2, . . . , n.


Demonstratie. Reprezentarea L =∑n

i=1 cifi si conditiile de interpolare conducla sistemul algebric de ecuatii liniare

n∑i=1

cifi(xj) = yj, j ∈ 1, 2, . . . , n, (2.9)

a carui determinant V

(f1, f2, . . . fnx1, x2, . . . xn

)este diferit de zero.

Teorema 2.1.6 Daca V

(f1, f2, . . . fnx1, x2, . . . xn

)6= 0, y1, y2, . . . , yn ∈ R iar L ∈ F

este functia de interpolare pentru care L(xi) = yi, i ∈ 1, 2, . . . , n atunci∣∣∣∣∣∣∣∣∣L(x) f1(x) . . . fn(x)y1 f1(x1) . . . fn(x1)...

. . ....

yn f1(xn) . . . fn(n)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (2.10)

Demonstratie. Din (2.9) se obtine

ci =

∣∣∣∣∣∣∣f1(x1) . . . fi−1(x1) y1 fi+1(x1) . . . fn(x1)

......

...f1(xn) . . . fi−1(xn) yn fi+1(xn) . . . fn(xn)

∣∣∣∣∣∣∣V

(f1, f2, . . . fnx1, x2, . . . xn

)care dezvoltat dupa coloana i conduce la

ci =1

V

(f1, f2, . . . fnx1, x2, . . . xn

) n∑j=1

(−1)i+jyjV

(f1, . . . fi−1, fi+1, . . . fnx1, . . . xj−1, xj+1, . . . xn

).

Prin urmare

L(x) =1

V

(f1, f2, . . . fnx1, x2, . . . xn

)××

n∑i=1

fi(x)n∑j=1

(−1)i+jyjV

(f1, . . . fi−1, fi+1, . . . fnx1, . . . xj−1, xj+1, . . . xn

)=


=1

V

(f1, f2, . . . fnx1, x2, . . . xn

) n∑j=1

yj

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

f1(x1) . . . fn(x1)...

...f1(xj−1) . . . fn(xj−1)f1(x) . . . fn(x)f1(xj+1) . . . fn(xj+1)

......

f1(xn) . . . fn(xn)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣egalitate echivalenta cu (2.10).

Cazul functiilor continue si periodice

Fie T > 0 si CT (R) multimea functiilor continue si periodice cu perioada T.

Definitia 2.1.2 O familie de functii f1, . . . , fn ∈ CT (R) genereaza un spatiuHaar periodic daca pentru orice x ∈ R familia formeaza un sistem Cebısev ınintervalul [x, x+ T ].

Teorema 2.1.7 Daca f1, . . . , fn ∈ CT (R) genereaza un spatiu Haar periodicatunci n este impar.

Demonstratie. Fie 0 < x1 < . . . < xn < T. Potrivit teoremei 2.1.3 existao functie f ∈ spanf1, . . . , fn astfel ıncat f(xi) = (−1)i, i ∈ 1, . . . , n. Inconsecinta functia f admite cate un zero ın fiecare din intervalele (x1, x2), (x2, x3),. . . , (xn−1, xn).

Daca y ∈ (0, x1) atunci f(y) < 0. Altfel, f ar mai avea un zero ın intervalul(y, x1), ceea ce ar contrazice conditia lui Haar, 2.1.2.

Presupunem prin absurd ca n este numar par. In intervalul [x1, x1 +T ] familiaf1, . . . , fn formeaza un sistem Cebısev. Dar f(xn)f(y + T ) = f(y) < 0, adica fva avea ınca un zero ın intervalul (xn, y+T ) ⊂ (xn, x1 +T ), cea ce contrazice dinnou proprietatea lui Haar.

2.2 Interpolare Lagrange

Particularizam rezultatele sectiunii anterioare pentru sistemul Cebısev alcatuitdin functiile 1, x, x2, . . . , xn. In acest caz F coincide cu multimea polinoamelorde grad cel mult n, Pn. Multimea Pn este interpolatoare de ordinul n + 1 peorice multime de puncte care contine cel putin n+ 1 puncte distincte. Problema

2.2. INTERPOLARE LAGRANGE 51

de interpolare corespunzatoare se numeste problema de interpolare Lagrange, iarsolutia ei polinomul de interpolare Lagrange.

Teorema 2.2.1 Expresia polinomului de interpolare Lagrange este

L(Pn;x1, . . . , xn; y1, . . . , yn)(x) = (2.11)

=n+1∑i=1

yi(x− x1) . . . (x− xi−1)(x− xi+1) . . . (x− xn+1)

(xi − x1) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn+1)

Demonstratie. Determinantul V

(1, x, . . . , xn

x1, x2, . . . , xn

)revine la determinan-

tul lui Vandermonde

V (x1, x2, . . . , xn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x1 . . . xn11 x2 . . . xn2. . . . . . . . . . . .1 xn+1 . . . xnn+1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∏

1≤j<i≤n+1

(xi − xj).

Utilizand (2.5) gasim∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 x1 . . . xn1. . . . . . . . . . . .1 xi−1 . . . xni−1

1 x . . . xn

1 xi+1 . . . xni+1

. . . . . . . . . . . .1 xn+1 . . . xnn+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣V

(1, x, . . . , xn

x1, x2, . . . , xn

) =V (x1, . . . , xi−1, x, xi+1, . . . , xn+1

V (x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn+1

=

=(x− x1) . . . (x− xi−1)(x− xi+1) . . . (x− xn+1)

(xi − x1) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn+1)i = 1, 2, . . . , n+ 1.

Polinoamele li(x) = (x−x1)...(x−xi−1)(x−xi+1)...(x−xn+1)(xi−x1)...(xi−xi−1)(xi−xi+1)...(xi−xn+1)

, i ∈ 1, 2, . . . , n + 1 se

numesc polinoamele fundamentale Lagrange si verifica relatiile li(xj) = δi,j, ∀i, j ∈1, 2, . . . , n+ 1.


2.3 Interpolarea Lagrange-Hermite

Date fiind nodurile de interpolare x1 < x2 < . . . < xn+1, numerele naturaler1, r2, . . . , rn+1 si numerele reale

f (k)(xi), k ∈ 0, 1, . . . , ri, i ∈ 1, 2, . . . , n+ 1,

ne propunem sa determinam un polinom H(x) care sa satisfaca conditiile:

H(k)(xi) = f (k)(xi),∀k ∈ 0, 1, . . . , ri,∀i ∈ 1, 2, . . . , n+ 1. (2.12)

Vom arata ca ın multimea polinoamelor de grad cel mult m, Pm, cu

m+ 1 =n+1∑i=1

(ri + 1) (2.13)

exista un singur polinom ce satisface conditiile de interpolare (2.12), ıi vom de-termina forma si vom evalua restul f(x) − H(x), ın ipoteza ın care datele deinterpolare corespund functiei f.

Teorema 2.3.1 Daca X si Y sunt spatii m−dimensionale iar A ∈ (X, Y )# esteun operator liniar si injectiv atunci A este bijectiv.

Demonstratia 1. Fie e1, e2, . . . , em o baza ın X. Atunci Ae1, Ae2, . . . , Aemeste o baza ın Y . Intr-adevar, daca

∑mi=1 λiAei = 0, atunci datorita liniaritatii

A(∑m

i=1 λiei) = 0 si a injectivitatii∑m

i=1 λiei = 0, deci λ1 = λ2 = . . . = λm = 0.Daca y ∈ Y, atunci exista constantele c1, c2, . . . , cm astfel ıncat

y =m∑i=1

ciAei = A(m∑i=1

ciei),

adica surjectivitatea operatorului A.

Demonstratia 2. Fie X = Y = Rn si A ∈ (Rn,Rn). Putem identifica A printr-o matrice din Mn(R). Deoarece operatorul A este injectiv Ker(A) = 0. Din13.1.34 rezulta ca dim(Im(A)) = n adica operatorul A este surjectiv.

Teorema 2.3.2 Problema de interpolare Lagrange - Hermite are solutie unicaın multimea polinoamelor de grad cel mult m, Pm, (2.13).

2.3. INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE 53

Demonstratie. Definim operatorul A : Pm → Rm+1 prin

A(p) = (p(x1), p′(x1), . . . , p(r1)(x1), . . . , p(xn+1), p′(xn+1), . . . , p(rn+1)(xn+1)).

(2.14)

A este liniar si injectiv. Intr-adevar, daca A(p) = 0, cu p ∈ Pm atunci polinomulu(x) =

∏n+1i=1 (x− xi)ri+1 divide polinomul p. Deoarece

grad(u) =n+1∑i=1

(ri + 1) = m+ 1 > grad(p),

rezulta ca p = 0.Din (2.3.1), rezulta ca operatorul A este bijectiv, deci exista un singur polinom

H ∈ Pm astfel ıncat

A(H) = (f (0)(x1), f (1)(x1), . . . , f (r1)(x1), . . .

. . . , f (0)(xn+1), f (1)(xn+1), . . . , f (rn+1)(xn+1))

sau

H(k)(xi) = f (k)(xi), ∀k ∈ 0, 1, . . . , ri, ∀i ∈ 1, 2, . . . , n+ 1.

Introducem notatiile:

u(x) =n+1∏i=1

(x− xi)ri+1 (2.15)

ui(x) =u(x)

(x− xi)ri+1(2.16)

Teorema 2.3.3 Expresia polinomului de interpolare Lagrange – Hermite, solutiaproblemei de interpolare Lagrange – Hermite este

H(x) =n+1∑i=1

ri∑j=0

f (j)(xi)hi,j(x), (2.17)

unde

hi,j(x) = ui(x)(x− xi)j

j!

ri−j∑k=0

(1

ui(x)

)(k)

x=xi

(x− xi)k

k!.


Demonstratie. Fie (ei,j)1≤i≤n+1, 0≤j≤ri baza canonica ın Rm+1. Pentru fiecarei ∈ 1, 2, . . . , n + 1, j ∈ 0, 1, . . . , ri exista polinomul hi,j ∈ Pm astfel ıncatA(hi,j) = ei,j, unde A este operatorul definit ın (2.14). Atunci

A(H) = (f (0)(x1), f (1)(x1), . . . , f (r1)(x1), . . .

. . . , f (0)(xn+1), f (1)(xn+1), . . . , f (rn+1)(xn+1)) =

n+1∑i=1

ri∑j=0

f (j)(xi)ei,j =n+1∑i=1

ri∑j=0

f (j)(xi)A(hi,j) =

= A(n+1∑i=1

ri∑j=0

f (j)(xi)hi,j).

Injectivitatea operatorului A implica (2.17).Din definitia polinomului hi,j, rezulta ca hi,j se divide prin ui(x)(x−xi)j. Prin

urmarehi,j(x) = ui(x)(x− xi)jgi,j(x), (2.18)

unde gi,j este un polinom a carui grad este

gradgi,j = gradhi,j − gradui − j = m− ((m+ 1)− (ri + 1))− j = ri − j.

Polinomul gi,j se poate scrie

gi,j(x) =

ri−j∑k=0

g(k)i,j (xi)

(x− xi)k

k!.

Din (2.18) gasim

(x− xi)jgi,j(x) = hi,j(x)1

ui(x)

si derivand de j + k, potrivit formulei lui Leibniz, obtinem

j+k∑s=0

(j + ks

)((x− xi)j)(s)g

(j+k−s)i,j (x) =

j+k∑s=0

(j + ks

)h

(j+k−s)i,j (x)

(1

ui(x)

)(s)

.

Pentru x = xi singurul termen diferit de 0 ın membrul stang se obtine pentrus = j iar ın membrul drept, datorita definitiei lui hi,j, singurul termen diferit de0 se obtine pentru s = k. Rezulta

j!g(k)i,j (xi) = h

(j)i,j

(1

ui(x)

)(k)

x=xi

2.3. INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE 55

de unde

g(k)i,j (xi) =

1

j!

(1

ui(x)

)(k)

x=xi

, k ∈ 0, 1, . . . , ri − j.

Teorema 2.3.4 Daca f este o functie de m+ 1 ori derivabila ın intervalul I =(minx, x1, . . . , xn+1,maxx, x1, . . . , xn+1) atunci exista ξ ∈ I astfel ıncat

f(x)−H(x) = u(x)f (m+1)(ξ)

(m+ 1)!. (2.19)

Demonstratie. Functia F : R→ R definita prin

F (z) =

∣∣∣∣ u(z) f(z)−H(z)u(x) f(x)−H(x)

∣∣∣∣admite zerourile x, x1, . . . , xn+1 cu ordinele de multiplicitate, respectiv 1, r1 +1, . . . , rn+1 + 1. Spunem ca F se anuleaza ın 1 +

∑n+1i=1 (ri + 1) = m + 2 puncte.

Din teorema lui Rolle rezulta ca exista ξ ∈ I astfel ıncat F (m+1)(ξ) = 0. Dar

F (m+1)(ξ) = (m+ 1)!(f(x)−H(x))− f (m+1)(ξ)u(x) = 0,

de unde se deduce (2.19).Cazuri particulare importante.

1. Polinomul Taylor. Fie n = 0 si notam x1 = a, r1 = r. In acest cazpolinomul de interpolare H(x) satisface conditiile

H(j)(a) = f (j)(a) j ∈ 0, 1, . . . , r

si are expresia

H(x) =r∑j=0

f (j)(a)(x− a)j

j!,

ceea ce corespunde polinomului lui Taylor atasat functiei f ın punctul a, degrad r.

2. Polinomul lui Lagrange. Daca ri = 0, i = 1, 2, . . . , n + 1 atunci regasimpolinomul de interpolare Lagrange

H(x) =n+1∑i=1

f(xi)ui(x)

ui(xi)=


=n+1∑i=1

f(xi)(x− x1) . . . (x− xi−1)(x− xi+1) . . . (x− xn+1)

(xi − x1) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn+1)=

= L(Pn, x1, . . . , xn+1, f)(x).

3. Polinomul lui Fejer. Fie ri = 1, i = 1, 2, . . . , n+ 1. Introducand notatiile

w(x) =∏n+1

i=1 (x− xi)w(x) = w(x)

x−xi i ∈ 1, 2, . . . , n+ 1li(x) = wi(x)

wi(xi)= w(x)

(x−xi)w′(xi) i ∈ 1, 2, . . . , n+ 1

gasim u(x) = w2(x) si ui(x) = w2i (x), i ∈ 1, 2, . . . , n+ 1. Atunci

hi,0(x) = w2i (x)

(1

w2i (xi)

+ (x− xi)(1

w2i (x)

)′x=xi

)=

= w2i (x)

(1

w2i (xi)

− (x− xi)2w′i(xi)

w3i (xi)

)=

=w2i (x)

w2i (xi)

(1− (x− xi)

w′′(xi)

w′(xi)

)= l2i (x)

(1− (x− xi)

w′′(xi)

w′(xi)

),

si

hi,1(x) = w2i (x)(x− xi)

1

w2i (xi)

= l2i (x)(x− xi).

Expresia polinomului de interpolare devine

H(x) =n+1∑i=1

f(xi)hi,0(x) +n+1∑i=1

f ′(xi)hi,1(x) = (2.20)

=n+1∑i=1

f(xi)l2i (x)

(1− (x− xi)

w′′(xi)

w′(xi)

)+

n+1∑i=1

f ′(xi)l2i (x)(x− xi).

Acest polinom este cunoscut sub numele de polinomul lui Fejer.

2.4 Polinomul de interpolarea Lagrange si

diferenta divizata

Scopul acestei sectiuni este reliefarea unor formule legate de polinomul deinterpolare Lagrange. Utilizam notatiile

u(x) =n+1∏i=1

(x− xi)ri+1

2.4. DIFERENTE DIVIZATE 57

ui(x) =u(x)

(x− xi)ri+1

li(x) =(x− x1) . . . (x− xi−1)(x− xi+1) . . . (x− xn+1)


=ui(x)

ui(xi)=

u(x)

(x− xi)u′(xi).

Din (2.2.1) avem

L(Pn;x1, . . . , xn + 1; f)(x) =n+1∑i=1

f(xi)ui(x)

ui(xi)= (2.21)

= u(x)n+1∑i=1

f(xi)1

(x− xi)u′(xi)=

n+1∑i=1

f(xi)li(x).

Din teorema (2.3.4) deducem

Teorema 2.4.1 Daca f este o functie de n + 1 ori derivabila ın intervalul I =(minx, x1, . . . , xn+1,maxx, x1, . . . , xn+1) atunci exista ξ ∈ I astfel ıncat

f(x) = L(Pn;x1, . . . , xn + 1; f)(x) + u(x)fn+1(ξ)

(n+ 1)!. (2.22)

In particular, pentru f = 1 rezulta

1 = L(Pn;x1, . . . , xn+1)(x) = u(x)n+1∑i=1

1

(x− xi)u′(xi). (2.23)

Impartind (2.21) la (2.23) deducem formula baricentrica a polinomului de inter-polare Lagrange

L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) =

∑n+1i=1

f(xi)(x−xi)u′(xi)∑n+1

i=11

(x−xi)u′(xi)

. (2.24)

Daca se noteaza λi = 1u′(xi)

atunci (2.24) se scrie

L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) =

∑n+1i=1 f(xi)

λix−xi∑n+1

i=1λi

x−xi

. (2.25)

Daca nodurile sunt ordonate, de exemplu x1 < x2 < . . . < xn+1, atunci semnelenumerelor λi alterneaza.

O metoda utila de calcul se bazeaza pe formula de recurenta a polinoamelorde interpolare Lagrange


Teorema 2.4.2 Are loc formula

L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) = (2.26)

(x− xn+1)L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x)− (x− x1)L(Pn−1;x2, . . . , xn+1; f)(x)

x1 − xn+1

Demonstratie. Functia din membrul drept al egalitatii (2.26) verifica conditiilede interpolare ce definesc polinonul L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x).

Definitia 2.4.1 Numim diferenta divizata de ordin n a functiei f ın nodurilex1, . . . , xn+1 coeficientul lui xn a polinomului de interpolare LagrangeL(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) si-l notam [x1, . . . , xn+1; f ].

Punand ın evidenta coeficientul lui xn ın (2.21), gasim urmatoarele formulede calcul pentru diferenta divizata

[x1, . . . , xn+1; f ] = (2.27)

=n+1∑i=1

fi(x)


n+1∑i=1

fi(x)

ui(xi)=

n+1∑i=1

f(xi)

u′(xi).


L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) = (2.28)

= L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x) + (x− x1) . . . (x− xn)[x1, . . . , xn+1; f ].

Demonstratie. Functia L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) − L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x) −(x− x1) . . . (x− xn)[x1, . . . , xn+1; f ] reprezinta un polinom de grad cel mult n− 1care se anuleaza ın n puncte distincte x1, . . . , xn; deci este polinomul identic nul.

Teorema 2.4.4 Diferentele divizate ale unei functii verifica formula de recurenta

[x1, . . . , xn+1; f ] =[x1, . . . , xn; f ]− [x2, . . . , xn+1; f ]

x1 − xn+1

, (2.29)

[x1; f ] = f(x1). (2.30)


Demonstratie. Potrivit (2.4.3) au loc dezvoltarile

L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) =

= L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x) + (x− x1) . . . (x− xn)[x1, . . . , xn+1; f ] =

= L(Pn−2;x2, . . . , xn; f)(x) + (x− x2) . . . (x− xn)[x1, . . . , xn; f ]+

+(x− x1) . . . (x− xn)[x1, . . . , xn+1; f ]

siL(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) =

= L(Pn−1;x2, . . . , xn+1; f)(x) + (x− x2) . . . (x− xn+1)[x1, . . . , xn+1; f ] =

= L(Pn−2;x2, . . . , xn; f)(x) + (x− x2) . . . (x− xn)[x2, . . . , xn+1; f ]+

+(x− x2) . . . (x− xn+1)[x1, . . . , xn+1; f ].

Egaland cele doua dezvoltari, dupa reducere si simplificare obtinem

[x1, . . . , xn; f ] + (x− x1)[x1, . . . , xn+1; f ] =

= [x2, . . . , xn+1; f ] + (x− xn+1)[x1, . . . , xn+1; f ]

de unde rezulta (2.29).Calculul diferentelor divizate bazat pe formula de recurenta este dat ın Algo-

ritmul 1.

Algorithm 1 Calculul diferentelor divizate

1: procedure dd =DiferentaDivizata((xi)1≤i≤n, (yi)1≤i≤n)2: dd1 ← y1

3: for k = 1 : n do4: for j = 1 : n− k do5: zj ← yj+1−yj

xj+k−xj6: end for7: y ← z8: ddk+1 ← y1

9: end for10: end procedure

Un rezultat asemanator celui din (2.4.1) este


f(x) = L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) + u(x)[x, x1, . . . , xn+1; f ] (2.31)


Demonstratie. Polinomul de interpolare Lagrange al functiei f ın nodurilex, x1, . . . , xn+1 verifica egalitatea (2.28)

L(Pn+1;x, x1, . . . , xn+1; f)(z) =

= L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(z) + (z − x1) . . . (z − xn+1)[x, x1, . . . , xn+1; f ].

Pentru z = x obtinem (2.31).In functie de diferente divizate, polinomul de interpolare Lagrange se scrie

Teorema 2.4.6 (Forma lui Newton a polinomului de interpolare) Are loc for-mula

L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) = (2.32)

= f(x1) +n∑i=1

(x− x1) . . . (x− xi)[x1, . . . , xi+1; f ]

Demonstratie. Potrivit (2.4.3) au loc succesiv egalitatile

L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) = L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x)

+(x− x1) . . . (x− xn)[x1, . . . , xn+1; f ]

L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x) = L(Pn−2;x1, . . . , xn−1; f)(x)

+(x− x1) . . . (x− xn−1)[x1, . . . , xn; f ]

. . . . . .

L(P1;x1, x;f)(x) = L(P0;x1; f)(x) + (x− x1)[x1, x2; f ]

care ınsumate dau (2.32).Daca notam coeficientii functiilor 1, x− x1, (x− x1)(x− x2), . . . , (x− x1)(x−

x2) . . . (x− xn) (adica diferentele divizate) cu a0, a1, a2, . . . , an atunci polinomul

a0 +n∑i=1

ai(x− x1) . . . (x− xi) =

(. . . (an(x− xn) + an−1)(x− xn−1) + . . .+ a1)(x− x1) + a0

se poate calcula cu o procedura de tip Horner (Algoritm 2).Exemplu. Calculul polinomului de interpolare Lagrange ın cazul datelorx -1 0 1 3 5y 6 2 0 2 12

Calculam tabloul diferentelor divizate


Algorithm 2 Calculul polinomului de interpolare Lagrange

1: procedure val =Lagrange((ai)0≤i≤n, (xi)1≤i≤n, x)2: val← an3: for i = n : (−1) : 1 do4: val← val ∗ (x− xi) + ai−1


x [x1; f ] [x1, x2; f ] [x1, x2, x3; f ] [x1, x2, x3, x4; f ] [x1, x2, x3, x4, x5; f ]-1 6 -4 1 0 00 2 -2 1 01 0 1 13 2 55 12

AtunciL(x) = 6− 4(x+ 1) + (x+ 1)x = x2 − 3x+ 2.

Teorema 2.4.7 (Formula de medie) Daca functia f admite derivate pana laordinul n ın intervalul I = (minx1, . . . , xn+1,maxx1, . . . , xn+1) atunci existaξ ∈ I astfel ıncat

[x1, . . . , xn+1; f ] =f (n)

n!(2.33)

Demonstratie. Fie x ∈ I. Tinand seama de (2.4.5) are loc egalitatea

f(x)− L(Pn−1, x1, . . . , xn; f)(x) = (x− x1) . . . (x− xn)[x, x1, . . . , xn; f ] (2.34)

si potrivit lui (2.4.1) exista ξ ∈ I astfel ıncat

f(x)− L(Pn−1, x1, . . . , xn; f)(x) = (x− x1) . . . (x− xn)f (n)(ξ)

n!. (2.35)

Egaland (2.34) si (2.35), pentru x = xn+1 obtinem (2.33).

Observatia 2.4.1 Daca f ∈ Cn(I) si x ∈ I atunci

limx1→x,...,xn→x

[x1, . . . , xn+1; f ] =f (n)(x)

n!.

Aceasta observatie justifica definitia


Definitia 2.4.2

[x, . . . , x︸︷︷︸n+1 ori

; f ] =f (n)(x)

n!(2.36)

Aceasta definitie permite definirea diferentei divizare pe noduri multiple. Inprealabil stabilim

Teorema 2.4.8 Fie nodurile

x11, x2

1, . . . xr1+11

x12, x2

2, . . . xr2+12

. . . . . . . . . . . .

x1n+1, x2

n+1, . . . xrn+1+1n+1

si notatiile

vi(x) =

ri+1∏j=1

(x− xji ),

u(x) =n+1∏i=1

vi(x),

ui(x) =u(x)

vi(x).

Are loc formula

[x11, . . . , x

r1+11 , x1

2, . . . , xr2+12 , . . . , x1

n+1, . . . , xrn+1+1n+1 ; f ] = (2.37)

=n+1∑i=1

[x1i , . . . , x

ri+1i ;

f

ui]

Demonstratie. Deoarece u′(xji ) = ui(xji )v′i(x

ji ), formula (2.27) ne da

[x11, . . . , x

r1+11 , x1

2, . . . , xr2+12 , . . . , x1

n+1, . . . , xrn+1+1n+1 ; f ] =

=n+1∑i=1

ri+1∑j=1

f(xji )

u′(xji )=

n+1∑i=1

ri+1∑j=1

f(xji )

ui(xji )

v′i(xji )

=n+1∑i=1

[x1i , . . . , x

ri+1i ;

f

ui].

Combinand (2.36) cu (2.37) definim


Definitia 2.4.3

[x1, . . . , x1︸︷︷︸r1+1 ori

, . . . , xn+1, . . . , xn+1︸︷︷︸rn+1+1 ori

; f ] = (2.38)

n+1∑i=1

1

ri!

(f(t)

(t− x1)r1+1 . . . (t− xi−1)ri−1+1(t− xi+1)ri+1+1 . . . (t− xn+1)rn+1+1

)(ri)

t=xi

.

Teorema 2.4.9 (Formula lui Leibniz) Are loc formula

[x1, . . . , xn+1, f · g] =n+1∑i=1

[x1, . . . , xi; f ] · [xi, . . . , xn+1; g] (2.39)

Demonstratie. Prin inductie dupa n, pentru n = 0

[x1, f · g] = f(x1)g(x1) = [x1, f ] · [x1, g].

Presupunem egalitatea (2.44) adevarata ın cazul diferentelor finite de ordin n sio demonstram ın cazul diferntelor finite de ordin n+ 1. Fie n+ 2 puncte distinctex1, x2, . . . , xn+2. Trebuie sa aratam ca

[x1, . . . , xn+2, f · g] =n+2∑i=1

[x1, . . . , xi; f ] · [xi, . . . , xn+2; g].

Aplicand formula de recurenta (2.30) si ipoteza inductiei deducem

[x1, . . . , xn+2; f · g] =[x1, . . . , xn+1; f · g]− [x2, . . . , xn+2; f · g]

x1 − xn+2

=

=1

x1 − xn+2

(n+1∑k=1

[x1, . . . , xk; f ] · [xk, . . . , xn+1; g]−

−n+2∑k=2

[x2, . . . , xk; f ] · [xk, . . . , xn+2; g]).

In membrul drept adunam si scadem expresia

n+2∑k=2

[x1, . . . , xk−1; f ] · [xk, . . . , xn+2; g].


Atunci egalitatea anterioara devine

[x1, . . . , xn+2; f · g] =1

x1 − xn+2

(n+1∑k=1

[x1, . . . , xk; f ] · [xk, . . . , xn+1; g]−

−n+2∑k=2

[x1, . . . , xk−1; f ] · [xk, . . . , xn+2; g]+

+n+2∑k=2

([x1, . . . , xk−1; f ]− [x2, . . . , xk; f ])[xk, . . . , xn+2; g]).

In prima suma vom scrie i ın loc de k, ın a doua suma efectuam schimbarea deindice k − 1 = i, iar ın ultima suma scriem de asemenea i ın locul lui k, dupa ceaplicam formula de recurenta (2.30). Astfel vom obtine

[x1, . . . , xn+2; f · g] =1

x1 − xn+2

(n+1∑i=1

[x1, . . . , xi; f ] · [xi, . . . , xn+1; g]−

−n+1∑i=1

[x1, . . . , xi; f ] · [xi+1, . . . , xn+2; g]+

+n+2∑i=2

(x1 − xi)[x1, . . . , xi; f ] · [xi, . . . , xn+2; g]) =

=1

x1 − xn+2

(n+1∑i=1

[x1, . . . , xi; f ]([xi, . . . , xn+1; g]− [xi+1, . . . , xn+2; g])+

+n+2∑i=2

(x1 − xi)[x1, . . . , xi; f ] · [xi, . . . , xn+2; g]) =

=1

x1 − xn+2

(n+1∑i=1

(xi − xn+2)[x1, . . . , xi; f ] · [xi, . . . , xn+2; g]+

+n+2∑i=2

(x1 − xi)[x1, . . . , xi; f ] · [xi, . . . , xn+2; g]).

Grupand termenii corespunzatori,

[x1, . . . , xn+2; f · g] =1

x1 − xn+2

((x1 − xn+2)[x1; f ] · [x1, . . . , xn+2; g]+


+n+1∑i=2

(x1 − xn+2)[x1, . . . , xi; f ] · [xi, . . . , xn+2; g]+

+(x1 − xn+2)[x1, . . . , xn+2; f ] · [xn+2; g]) =

=n+2∑i=1

[x1, . . . , xi; f ] · [xi, . . . , xn+2; g].

Legatura dintre diferenta finita progresiva / regresiva si diferenta divizata aunei functii este

Teorema 2.4.10 Au loc egalitatile

[a, a+ h, . . . , a+ nh; f ] =4nhf(a)

hnn!(2.40)

[a, a− h, . . . , a− nh; f ] =∇nhf(a)

hnn!(2.41)

Demonstratie. Pentru xi = a + (i − 1)h, i = 1, . . . , n + 1, formula (2.27)devine

[a, a+ h, . . . , a+ nh; f ] =n+1∑i=1

f(a+ (i− 1)h)

(−1)n−i+1(n− i+ 1)!(i− 1)!hn.

Prin schimbarea de indice j = i− 1 obtinem

[a, a+ h, . . . , a+ nh; f ] =n∑j=0

f(a+ jh)

(−1)n−j(n− j)!j!hn=

=1

n!hn

n∑j=0

(nj

)(−1)jf(a+ jh) =

4nhf(a)

hnn!.

Analog se demonstreaza si cealalta egalitate.

Observatia 2.4.2

Daca ın (2.39) se aleg nodurile echidistante a, a + h, . . . , a + nh atunci cu (2.40)se regaseste (1.5).

In cazul nodurilor echidistante, polinomul de interpolare Lagrange are expresia


Teorema 2.4.11 Au loc formulele

L(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f) = (2.42)

=n∑i=0

f(a+ih)(−1)n−i

hni!(n− i)!(x−a) . . . (x−a−(i−1)h)(x−a−(i+1)h) . . . (a−a−nh)

L(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f) = (2.43)

= f(a) +n∑i=1

4ihf(a)

hii!(x− a)(x− a− h) . . . (x− a− (i− 1)h)

L(Pn; a, a− h, . . . , a− nh; f) = (2.44)

= f(a) +n∑i=1

∇ihf(a)

hii!(x− a)(x− a+ h) . . . (x− a+ (i− 1)h)

Teorema 2.4.12 Are loc formula de derivare

dm

dxm[x1, . . . , xn, x; f ] = m![x1, . . . , xn, x, . . . , x︸︷︷︸

m+1 ori

; f ]. (2.45)

Demonstratie. Prin inductie matematica dupa m. Pentru m = 1 cu ajutorulformulei de recurenta a diferentelor divizate gasim

d

dx[x1, . . . , xn, x; f ] = lim

h→0

[x1, . . . , xn, x+ h; f ]− [x1, . . . , xn, x; f ]

h=

= limh→0

[x1, . . . , xn, x+ h, x; f ] = [x1, . . . , xn, x, x; f ].

In ipoteza ın care formula (2.45) este adevarata pentru derivatele de ordin m− 1vom avea

dm

dxm[x1, . . . , xn, x; f ] =

= (m− 1)! limh→0

[x1, . . . , xn,

m ori︷︸︸︷x+ h, . . . , x+ h; f ]− [x1, . . . , xn,

m ori︷︸︸︷x, . . . , x; f ]

h.

Adunam si scadem termeni convenabili la numaratorul fractiei, dupa care aplicamformula de recurenta a diferentelor divizate

dm

dxm[x1, . . . , xn, x; f ] =

2.5. POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE-HERMITE IN C 67

= (m−1)! limh→0

([x1, . . . , xn,

m ori︷︸︸︷x+ h, . . . , x+ h; f ]− [x1, . . . , xn,

m−1 ori︷︸︸︷x+ h, . . . , x+ h, x; f ]

h+

+[x1, . . . , xn,

m−1 ori︷︸︸︷x+ h, . . . , x+ h, x; f ]− [x1, . . . , xn,

m−2 ori︷︸︸︷x, . . . , x, x, x; f ]

h+ . . .

. . .+[x1, . . . , xn, x+ h,

m−1 ori︷︸︸︷x, . . . , x; f ]− [x1, . . . , xn,

m ori︷︸︸︷x, . . . , x; f ]

h) =

= (m− 1)! limh→0

([x1, . . . , xn,

m ori︷︸︸︷x+ h, . . . , x+ h, x; f ]+

+[x1, . . . , xn,

m−1 ori︷︸︸︷x+ h, . . . , x+ h, x, x; f ] + . . .+ [x1, . . . , xn, x+ h,

m ori︷︸︸︷x, . . . , x; f ]) =

= m![x1, . . . , xn, x, . . . , x︸︷︷︸m+1 ori

; f ].

2.5 Polinomul de interpolare Lagrange-Hermite

ın CFie D ⊂ C un domeniu, C = ∂D, frontiera domeniului, z1, . . . , zn+1 ∈ D

puncte distincte doua cate doua si r1, . . . , r+1n ∈ N. Definim

u(z) =n+1∏j=1

(z − zj)rj+1.

Notam prin H(D) multimea functiilor olomorfe ın D.Problema de interpolare Lagrange-Hermite consta ın determinarea polinomu-

lui H(z) care satisface conditiile de interpolare

H(j)(zk) = f (j)(zk), j ∈ 0, 1, . . . , rk, k ∈ 1, 2, . . . , n+ 1,

cu f ∈ H(D) dat.Pentru r1 = . . . = rn+1 = 0 se obtine problema de interpolare Lagrange.Formulele de reprezentare a polinoamelor Lagrange-Hermite (2.3.3) si La-

grange (2.2.1) sunt valabile si ın C.


Teorema 2.5.1 (Teorema Hermite) Are loc reprezentarea integrala a polinomu-lui de interpolare Lagrange-Hermite

H(z) =1

2πi

∫C

f(ζ)u(ζ)− u(z)

(ζ − z)u(ζ)dζ. (2.46)

Demonstratie. Integrala din membrul drept din (2.46) se calculeaza aplicandteorema reziduurilor. Se va obtine expresia polinomului de interpolare Lagrange-Hermite din 2.3.3.

Notam ϕ(ζ) = f(ζ)u(ζ)−u(z)(ζ−z)u(ζ)

si Φ(z) = 12πi

∫Cϕ(ζ)dζ. Singularitatile functiei ϕ

sunt z1, . . . , zn+1. Pentru orice j ∈ 1, 2, . . . , n+ 1, zj este pol de ordinul rj + 1.

In consecinta

Φ(z) =n+1∑j=1

Res(ϕ, zj).

Fie uj(z) = u(z)

(z−zj)rj+1 , j ∈ 1, . . . , n+ 1.In vederea calculului reziduurilor, utilizand formula lui Leibniz, calculam

derivatele:

• (u(ζ)− u(z))(p)|ζ=zj cu p ∈ 0, 1, . . . , rj.Au loc egalitatile

(u(ζ)− u(z))(p)|ζ=zj =((ζ − zj)rj+1uj(ζ)− u(z)

)(p) |ζ=zj =

=

p∑k=0

(pk

)((ζ − zj)rj+1)(k)(uj(ζ))(p−k)|ζ=zj − u(z)δp,0 =

=

p∑k=0

(pk

)Akrj+1(ζ − zj)rj+1−k(uj(ζ))(p−k)|ζ=zj − u(z)δp,0 = −u(z)δp,0.

•(u(ζ)−u(z)ζ−z)

)(q)

|ζ=zj cu q ∈ 0, 1, . . . , rj.

(u(ζ)− u(z)

ζ − z

)(q)

|ζ=zj =

q∑k=0

(qk

)(1

ζ − z

)(k)

(u(ζ)− u(z))(q−k)|ζ=zj =

=

q∑k=0

(qk

)(−1)kk!

(ζ − z)k+1(u(ζ)− u(z))(q−k)|ζ=zj =


= q!

q∑k=0

(−1)k+1

(zj − z)k+1u(z)δq−k,0 =

q!u(z)

(z − zj)q+1.

•(

1uj(ζ)· u(ζ)−u(z)

ζ−z

)(m)

|ζ=zj cu m ∈ 0, 1, . . . , rj.

(1

uj(ζ)· u(ζ)− u(z)

ζ − z

)(m)

|ζ=zj =

=m∑k=0

(mk

)(1

uj(ζ)

)(k)(u(ζ)− u(z)

ζ − z

)(m−k)

|ζ=zj =

=m∑k=0

(mk

)(1

uj(ζ)

)(k)

|ζ=zj(m− k)!u(z)

(z − zj)m−k+1=

= m!m∑k=0

1

k!

(1

uj(ζ)

)(k)

|ζ=zju(z)

(z − zj)m−k+1.

Calculul reziduului este

Res(ϕ, zj) =1

rj!

((ζ − zj)rk+1f(ζ)

u(ζ)− u(z)

(ζ − z)u(ζ)

)(rj)

|ζ=zj =

=1

rj!

(f(ζ)

1


(ζ − z)

)(rj)

|ζ=zj =

=1

rj!

ri∑s=0

(rjs

)f (s)(zj)

(1


ζ − z

)(rj−s)

ζ=zj

=

=

rj∑s=0

f (s)(zj)uj(z)(z − zj)s

s!

rj−s∑k=0

(z − zj)k

k!

(1

uj(ζ)

)(k)|ζ=zj =

rj∑s=0

f (s)(zj)hj,s(z).

Astfel Φ(z) =∑n+1

j=1

∑rjs=0 f

(s)(zj)hj,s(z) = H(z).

Pentru u(z) =∏n+1

j=1 (z − zj) formula (2.46) ne da polinomul de interpolare

Lagrange L(Pn; z1, . . . , zn+1; f)(z). In acest caz, Pn este notatia pentru multimeapolinoamelor cu coeficienti numere complexe de grad cel mult n.


Evaluarea restului.

Teorema 2.5.2 Daca f ∈ H(D) atunci

R(z) = f(z)−H(z) =u(z)

2πi

∫C

f(ζ)

(ζ − z)u(ζ)dζ.

Demonstratie. Utilizand formula lui Cauchy si (2.46) rezulta

R(z) =1

2πi

∫C

f(ζ)

ζ − zdζ− 1

2πi

∫C

f(ζ)u(ζ)− u(z)

(ζ − z)u(ζ)dζ =

u(z)

2πi

∫C

f(ζ)

(ζ − z)u(ζ)dζ.

Diferente divizate ın CFie vk(z) =

∏kj=1(z − zj), k ∈ 1, 2, . . . , n+ 1 unde z1, . . . , zn+1 sunt puncte

distincte doua cate doua din domeniul D.

Teorema 2.5.3 Pentru d ∈ H(D), are loc formula

[z1, z2, . . . , zn+1; f ] =1

2πi

∫C

f(ζ)

vn+1(ζ)dζ. (2.47)

Demonstratie. Calculam integrala din membrul drept utilizand teoremareziduurilor. Punctele singulare ale functiei f(ζ)

vn+1(ζ)sunt z1, . . . , zn+1, poluri de

ordinul 1.Deoarece

ζ−zjvn+1(ζ)

= 1∏n+1k=1k 6=j

(ζ−zk)= 1

uj(ζ)reziduul

Res(f

vn+1

, zj) = limζ→zj

(ζ − zj)f(ζ)

vn+1(ζ)=

f(zj)

uj(zj).

Astfel

1

2πi

∫C

f(ζ)

vn+1(ζ)dζ =

n+1∑j=1

Res(f

vn+1

, zj) =n+1∑j=1

f(zj)

uj(zj)= [z1, . . . , zn+1; f ].

Teorema 2.5.4 Daca

E1 =1

ζ − z1

=1

v1(ζ),

Ek =vk(ζ)− vk(z)

(ζ − z)vk(ζ), k ∈ 2, 3, . . . , n+ 1,


atunci

Ek+1 − Ek =vk(z)

vk+1(ζ), k ∈ 1, 2, . . . , n;

si ın consecinta

u(ζ)− u(z)

(ζ − z)u(ζ)= En+1 = E1 +

n∑k=1

(Ek+1 − Ek) =1

v1(ζ)+

n∑k=1

vk(z)

vk+1(ζ). (2.48)

Demonstratie. Pentru k = 1

v2(ζ)− v2(z) = (ζ − z)(ζ + z − z1 − z2)

de unde

E2 − E1 =ζ + z − z1 − z2

v2(ζ)− 1

v1(ζ)=v1(z)

v2(ζ).

Pentru k ≥ 2

Ek+1 − Ek =vk+1(ζ)− vk+1(z)− (ζ − zk+1)(vk(ζ)− vk(z))

(ζ − z)vk+1(ζ)=

vk(z)

vk+1(ζ).


L(Pn, z1, . . . , zn+1; f)(z) = f(z1) +n∑k=1

[z1, . . . , zk+1; f ](z − z1) . . . (z − zk).

Demonstratie. Datorita relatiilor (2.46) si (2.48) au loc egalitatile

L(Pn, z1, . . . , zn+1; f)(z) =1

2πi

∫C

f(ζ)u(ζ)− u(z)

(ζ − z)u(ζ)dζ =

=1

2πi

∫C

f(ζ)En+1dζ =1

2πi

∫C

f(ζ)

ζ − z1

dζ +n∑k=1

vk(z)

2πi

∫C

f(ζ)

vk+1(ζ)dζ.

Aplicand formula lui Cauchy pentru primul termen si formula (2.47) pentru ter-menii din suma, rezulta relatia ceruta.



P 2.1 Fie L(x) = L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x). Sa se arate ca∣∣∣∣∣∣∣∣∣L(x) 1 x . . . xn

f(x1) 1 x1 . . . xn1...

......

. . ....

f(xn+1) 1 xn+1 . . . xnn+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Dezvoltand determinantul dupa prima coloana sa se deduca reprezentarea (2.2.1)si dezvoltand dupa prima linie sa se arate ca

L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) =1

V (x1, . . . , xn+1)·

·n+1∑i=1

xi

∣∣∣∣∣∣∣1 x1 . . . xi−1

1 f(x1) xi+11 . . . xn1

.... . .

...1 xn+1 . . . xi−1

n+1 f(xn+1) xi+1n+1 . . . xnn+1

∣∣∣∣∣∣∣ .R. Functia care ataseaza lui x determinantul este un polinom de grad n care seanuleaza ın x1, . . . , xn+1.

Altfel, fie L(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn. Inmultind coloanele 2, 3, . . . , n+ 2 re-

spectiv cu −a0,−a1, . . . ,−an si adunandu-le la prima colana, elementele acesteiase anuleaza.

P 2.2 Sa se demonstreze formula

[x1, x2, . . . , xn+1; f ] =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x1 . . . xn−1

1 f(x1)1 x2 . . . xn−1

2 f(x2). . . . . . . . . . . . . . .1 xn+1 . . . xn−1

n+1 f(xn+1)

∣∣∣∣∣∣∣∣V (x1, x2, . . . , xn+1)

.


1. [x1, x2, . . . , xn+1;xm] =

0 daca m ∈ 0, 1, . . . , n− 11 daca m = n.

2. [x1, x2, . . . , xn+1; 1x] = (−1)n

x1x2...xn+1

3. [x1, x2, . . . , xn+1; 1x2

] = (−1)n

x1x2...xn+1

∑n+1i=1

1xi


P 2.4 Sa se calculeze determinantii:

1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x1 . . . xn−1

11x21

1 x2 . . . xn−12

1x22

. . . . . . . . . . . . . . .1 xn+1 . . . xn−1

n+11

x2n+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2. ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 x21 x3

1 . . . xn+11

1 x22 x3

2 . . . xn+12

. . . . . . . . . . . . . . .1 x2

n+1 x3n+1 . . . xn+1

n+1

∣∣∣∣∣∣∣∣3. ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 x1 . . . xn−11 xn+1

1

1 x2 . . . xn−12 xn+1

2

. . . . . . . . . . . . . . .1 xn+1 . . . xn−1

n+1 xn+1n+1

∣∣∣∣∣∣∣∣P 2.5 Daca a1, a2 . . . , an si b1, b2, . . . , bm sunt puncte distincte doua cate douadin domeniul de definitie a functiei f atunci

[a1, . . . , an, b1, . . . , bm; f ] = [a1, . . . , an;f

v] + [b1, . . . , bm;

f

u],

unde u(x) =∏n

i=1(x− ai) si v(x) =∏m

i=1(x− bi).

P 2.6 Sa se arate ca daca f ∈ Pn si a 6= xi, i ∈ 1, . . . , n+ 1 atunci

[x1, x2, . . . , xn+1;f(x)

x− a] =

(−1)nf(a)

(x1 − a) . . . (xn+1 − a)

Cazuri particulare:

1. Daca f = 1 atunci

[x1, x2, . . . , xn+1;1

x− a] =

(−1)n

(x1 − a) . . . (xn+1 − a);

2. Daca f = 1 si a = 0 atunci

[x1, x2, . . . , xn+1;1

x] =

(−1)n

x1x2 . . . xn+1

.


P 2.7 Sa se arate ca daca xj = j an, j ∈ −n,−n + 1, . . . ,−1, 1, 2, . . . , n si

f(z) = 11+x2

atunci

[x, x−n, . . . , x−1, x1, . . . , xn; f ] = (−1)nf(x)n∏j=1

f(xj).

R. Egalitatea f(x) = 12i

( 1x−i −

1x+i

) implica

[x, x−n, . . . , x−1, x1, . . . , xn; f ] =

=1

2i

([x, x−n, . . . , x−1, x1, . . . , xn;

1

x− i]− [x, x−n, . . . , x−1, x1, . . . , xn;

1

x+ i]

).

Utilizand (2.6) se obtin

[x, x−n, . . . , x−1, x1, . . . , xn;1

x− i] =

(−1)2n

(x− i)∏n

j=−nj 6=0

(xj − i)=

=(−1)n

(x− i)∏n

j=1(j2 a2

n2 + 1)=

(−1)n

(x− i)∏n

j=1(x2j + 1)

.

si analog

[x, x−n, . . . , x−1, x1, . . . , xn;1

x+ i] =

(−1)n

(x+ i)∏n

j=1(x2j + 1)

.

Astfel[x, x−n, . . . , x−1, x1, . . . , xn; f ] =

=1

2i

(−1)n∏nj=1(x2

j + 1)(

1

x− i− 1

x+ i) = (−1)nf(x)

n∏j=1

f(xj).

P 2.8 Fie I ⊆ R,F = f |f : I → R si x0 < x1 < . . . < xn elemente din I.Daca T : F →Mn+1(R) este operatorul liniar definit prin

T (f) =

[x0; f ] [x0, x1; f ] [x0, x1, x2; f ] . . . [x0, x1, . . . , xn; f ]

0 [x1; f ] [x1, x2; f ] . . . [x1, . . . , xn; f ]...

. . ....

0 0 0 . . . [xn; f ]

atunci identitatea lui Leibniz implica T (fg) = T (f)T (g).


P 2.9 Cu notatiile problemei anterioare, fie ξ ∈ I si functia

δξ(x) =

1 daca x = ξ0 daca x 6= ξ

.

Sa se arate ca

1. f(x)δξ(x) = f(ξ)δξ(x);

2. [x0, x1, . . . , xn; δxn ] = f(xn)(xn−x0)(xn−x1)...(xn−xn−1)

;

3. T (f) U = diag(f(x0), f(x1), . . . , f(xn)) U cu

U =

[x0; δx0 ] [x0, x1; δx1 ] [x0, x1, x2; δx2 ] . . . [x0, x1, . . . , xn; δxn ]

0 [x1; δx1 ] [x1, x2; δx2 ] . . . [x1, . . . , xn; δxn ]...

. . ....

0 0 0 . . . [xn; δxn ]

.

Coloanele matricei U reprezinta vectorii propri matricei T (f) corespunzandvalorilor propri f(x0), f(x1), . . . , f(xn).

P 2.10 Fie x, x1, x2, . . . , xn puncte distincte doua cate doua de pe axa reala siu(x) =

∏ni=1(x− xi). Sa se deduca relatiile

1.∑n

k=1f(xk)

(x−xk)u′(xk)= −[x, x1, . . . , xn; f ] + f(x)

u(x);

2.∑n

k=1

xn−xnk(x−xk)u′(xk)

= 1;

3. Daca ϕ(x) = 1 + x1!

+ x(x+1)2!

+ . . .+ x(x+1)...(x+n−1)n!

atunci

n∑k=1

1− (−k)n

(1 + k)ϕ′(−k)= n!.

P 2.11 Daca P ∈ Pn(X), (n ≥ 2), are toate radacinile simple x1, x2, . . . , xnatunci

n∑i=1

xmiP ′(xi)

=

0 daca m ∈ 0, 1, . . . , n− 21 daca m = n− 1.

R. Din P ′(xi) = (xi − x1) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn) rezulta

n∑i=1

xmiP ′(xi)

= [x1, . . . , xn;xm].


P 2.12 Sa se determine polinomul de interpolare Lagrange – Hermite care sat-isface conditiile de interpolare

H(j)(a) = f (j)(a) j ∈ 0, 1, . . . ,mH(j)(b) = f (j)(b) j ∈ 0, 1, . . . , n

R.

H(x) =

(x− ba− b

)n+1 m∑j=0

(x− a)j

j!

[m−j∑k=0

(x− ab− a

)k (n+ kk

)]f (j)(a)+

+

(x− ab− a

)m+1 n∑j=0

(x− b)j

j!

[n−j∑k=0

(x− ba− b

)k (m+ kk

)]f (j)(b).

P 2.13 Utilizand notatiile §2.3, daca r = maxr1, . . . , rn+1 si f este o functiede r ori derivabila, atunci expresia polinomului de interpolare Lagrange – Hermitese poate scrie

H(x) =n+1∑i=1

ui(x)

ri∑s=0

(x− xi)s

s!

[f(t)

ui(t)

](s)

t=xi

.

R. Formula (2.17) se scrie

H(x) =n+1∑i=1

ri∑j=0

f (j)(xi)(x− xi)j

j!ui(x)

ri−j∑k=0

(x− xi)k

k!

(1

ui(x)

)|x=xi =

=n+1∑i=1

ui(x)

ri∑j=0

ri−j∑k=0

(x− xi)j+k

j!k!f (j)(xi)

(1

ui(x)

)|x=xi .

Punand s = j + k se deduce ın continuare

H(x) =n+1∑i=1

ui(x)

ri∑s=0

(x− xi)s

s!

s∑j=0

(sj

)f (j)(xi)

(1

ui(x)

)|x=xi .

P 2.14 Sa se arate ca polinomul de interpolare care satisface conditiile

P (0) = n1 P (1) = n2

P ′(0) = s1 P ′(1) = s2

se poate reprezenta prin

P (t) = (t3 t2 t 1)

2 −2 1 1−3 3 −2 −10 0 1 01 0 0 0

n1

n2

s1

s2

.


P 2.15 1. Sa se determine polinomul de interpolare Q care satisface conditiile

Q(−1) = α, Q(1) = β, Q(0) = γ, Q′(0) = m.

2. Fie m ∈ R∗. Sa se determine polinomul de grad minim S care satisfaceconditiile

S(−1) = 0, S(1) = 0, S ′(0) = m

astfel ıncat volumul corpului obtinut prin rotatia graficului lui S ın jurulaxei Ox, x ∈ [−1, 1] sa fie minim.

P 2.16 1. Daca f : [0, 1]→ R atunci

f(x) = f(0)(1− x) + f(1)x+R1(x)f ′′(ξ), |R1(x)| ≤ 1

8.

2. Daca f : [−1, 1]→ R atunci

f(x) =1

2f(−1)(x2 − x) + f(0)(1− x2) +

1

2f(1)(x2 + x) +R2(x)f (3)(ξ)

|R2(x)| ≤ 1

9√

3.

P 2.17 Fie x0 < x1 < . . . < xn+1 apartinand unui interval I si functia f : I → R.Sa se rezolve sistemul algebric de ecuatii liniare

a0 + a1xi + . . .+ anxni + (−1)iE = f(xi) ı ∈ 0, 1, . . . , n+ 1

ın necunoscutele a0, a1, . . . , an, E.

R. Introducem

p1(x) = L(Pn;x0, x1, . . . , xn; f)(x)

p2(x) = L(Pn;x0, x1, . . . , xn;ϕ)(x), unde ϕ(xi) = (−1)i, ∀i = 0 : n

p(x) = p1(x)− Ep2(x).

Pentru i ∈ 0, 1, . . . , n au loc egalitatile

p(xi) = p1(xi)− Ep2(xi) = f(xi)− (−1)iE ⇔ p(xi) + (−1)iE = f(xi).

Coeficientii polinomului p dau necunoscutele a0, a1, . . . , an.


Din ultima ecuatie se deduce E. Polinomul p2 ia valori de semne contrare ıncapetele fiecarui interval [xi, xi+1], i = 0 : n − 1, avand astfel cate o radacina ınfiecare interval. In consecinta p2 nu se anuleaza ın intervalul [xn, xn+1] si unde vapastra acelasi semn. Rezulta p2(xn+1) + (−1)n 6= 0. Din equatia

p(xn+1)+(−1)n+1E = f(xn+1) ⇔ p1(xn+1)−Ep2(xn+1)+(−1)n+1E = f(xn+1)

se obtine

E =p1(xn+1)− f(xn+1)

p2(xn+1) + (−1)n.

P 2.18 Fie numerele reale x1 < x2 < . . . < xn. Sa se justifice afirmatiile:

1. Polinoamele fundamentale Lagrange l1, . . . , ln sunt liniar independente ınPn−1.

2. Pentru orice polinom P ∈ Pn−1 are loc egalitatea P (x) =∑n

i=1 P (xi)li(x).

3. Familia de functionale gi ∈ P∗n−1, gi(P ) = P (xi) formeaza o baza pentruP∗n−1.

4. Are loc formula L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x) =∑n

i=1 gi(f)li(x).

Capitolul 3

Convergenta procedeelor deinterpolare prin polinoame

Data fiind sirurile de noduri de interpolare

x(1)1

x(2)1 x

(2)2

x(3)1 x

(3)2 x

(3)3

. . . . . . . . . . . .

x(n)1 x

(n)2 x

(n)3 . . . x

(n)n

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3.1)

o functie f si sirul functiilor de interpolare Ln(x) a lui f ın nodurile x(n)1 , x

(n)2 ,

x(n)3 , . . . , x

(n)n , se ridica ıntrebarea daca sirul Lk converge sau nu catre f.

In cele ce urmeaza vom vedea ca raspunsul poate fi atat afirmativ cat sinegativ, ın functie de interpolarea folosita.

3.1 Spatii liniar ordonate

Definitia 3.1.1 Se numeste spatiu liniar ordonat real o multime X cu pro-prietatile

1. X este spatiu liniar peste corpul numerelor reale;

2. X este un spatiu ordonat (relatia de ordine fiind notata ≤);

3. pentru orice x, y, z ∈ X si orice a ∈ R, a > 0,

x ≤ y =⇒x+ z ≤ y + zax ≤ ay

79

80 CAPITOLUL 3. CONVERGENTA PROCEDEELOR DE INTERPOLARE

Fie E o multime oarecare si F (E) spatiul liniar al functiilor definite ın E cuvalori reale. Definind ın F (E) relatia de ordine

f ≤ g ⇐⇒ f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ E,

F (E) devine un spatiu liniar ordonat real.

Definitia 3.1.2 Fie X, Y spatii liniar ordonate reale. Un operator liniar U ∈(X, Y )# este pozitiv daca

∀x ≥ 0 =⇒ U(x) ≥ 0.

Teorema 3.1.1 Daca U : F (E)→ F (E) este un operator liniar si pozitiv atunci

(i) f ≤ g =⇒ U(f) ≤ U(g);

(ii) |U(f)| ≤ U(|f |), ∀f ∈ F (E).

Multimea functiilor reale si continue definite ın intervalul marginit si ınchis[a, b], notat uzual prin C[a, b], este un spactiu liniar ordonat real (E = [a, b]). To-todata C[a, b] este un spatiu normat, cu norma ‖f‖ = maxx∈[a,b] |f(x)|. Convergentaunui sir de functii, ın sensul acestei norme, ınseamna convergenta uniforma.

Teorema 3.1.2 Daca U : C[a, b] → C[a, b] este un operator liniar si pozitivatunci opertorul U este continu.

Demonstratie. Daca f ∈ C[a, b] atunci |f(x)| ≤ ‖f‖ = ‖f‖1, ∀ x ∈ [a, b]echivalent cu |f | ≤ ‖f‖1, unde 1 este functia constanta 1 ın [a, b]. Potrivit teore-mei anterioare |U(f)| ≤ U(|f |) ≤ U(‖f‖1) = ‖f‖U(1) si deci

‖U(f)‖ ≤ ‖f‖‖U(1)‖.

Daca f, g ∈ C[a, b] atunci au loc relatiile

‖U(f)− U(g)‖ = ‖U(f − g)‖ ≤ ‖f − g‖‖U(1‖.

Teorema 3.1.3 (Korovkin) Fie (Un)n∈N, Un : C[a, b] → C[a, b] un sir de op-eratori liniari si pozitivi si ei(x) = xi. Daca

limn→∞

Un(ei) = ei, i ∈ 0, 1, 2,

atunci, pentru orice f ∈ C[a, b] are loc

limn→∞

Un(f) = f.

3.1. SPATII LINIAR ORDONATE 81

Demonstratie. Fie f ∈ C[a, b]. Functia f este uniform continua, adica

∀ε > 0 ∃δ > 0 astfel ıncat ∀|t− x| < δ ⇒ |f(t)− f(x)| < ε

2.

Daca |t − x| ≥ δ atunci |f(t) − f(x)| ≤ ‖f‖ ≤ 2 (t−x)2

δ2‖f‖. Prin urmare, pentru

orice t, x ∈ [a, b] are loc inegalitatea

|f(t)− f(x)| ≤ ε

2+ 2

(t− x)2

δ2‖f‖. (3.2)

Notam prin un(x), vn(x), wn(x) functiile definite prin

un(x) = Un(e0)(x)− 1, vn(x) = Un(e1)(x)− x, wn(x) = Un(e2)(x)− x2.

Din ipoteza teoremei rezulta ca

limn→∞

un(x) = 0, limn→∞

vn(x) = 0, limn→∞

wn(x) = 0, (3.3)

uniform ın [a, b].Pentru operatorul Un, punem ın evidenta variabila functiei original si variabila

functiei imagine pentru un operator Un, respectiv prin t si x.Datorita liniaritatii lui Un, au loc egalitatile

Un(f)(x)− f(x) = Un(f(t))(x)− f(x) =

= Un(f(t))(x)− f(x)(Un(e0(t))(x)− un(x)) = Un(f(t)− f(x))(x) + f(x)un(x).

Fie ε > 0 si δ > 0, ce rezulta din uniform continuitatea functiei f. Dinegalitatea anterioara, datorita inegalitatii (3.2) si pozitivitatii operatorului Un,rezulta ca

|Un(f)(x)− f(x)| ≤ (3.4)

≤ |Un(f(t)− f(x))(x)|+ ‖f‖ |un(x)| ≤ Un(|f(t)− f(x)|)(x) + ‖f |‖un(x)| ≤

≤ Un(ε

2+ 2

(t− x)2

δ2‖f‖)(x) + ‖f‖ |un(x)|.

Dezvoltand membrul drept din (3.4), gasim ca acesta este egal cu

ε

2Un(e0(t))(x) +

2‖f‖δ2

Un((t− x)2)(x) + ‖f‖ |un(x)| =

=ε

2(1 + un(x)) +

2‖f‖δ2

Un((t− x)2)(x) + ‖f‖ |un(x)| =


=ε

2(1 + un(x)) +

2‖f‖δ2

(wn(x)− 2xvn(x) + x2un(x)) + ‖f‖ |un(x)|.

Asadar (3.4) devine

|Un(f)(x)− f(x)| ≤ ε

2+ (

ε

2+ ‖f‖)|un(x)|+ 2‖f‖

δ2(wn(x)− 2xvn(x) + x2un(x)).

Intervalul [a, b] fiind compact si (3.3) implica existenta unui n0 ∈ N, astfel ıncatpentru orice n > n0 sa fie adevarata inegalitatea

(ε

2+ ‖f‖)|un(x)|+ 2‖f‖

δ2|wn(x)− 2xvn(x) + x2un(x)| < ε

2.

Astfel |Un(f)(x) − f(x)| < ε, ∀n > n0, ∀x ∈ [a, b], adica are loc convergentasirului (Un(f))n∈N catre f.

Analiza demonstratiei de mai sus, permite enuntarea urmatoarei versiuni aTeoremei 3.1.3

Teorema 3.1.4 Fie (Un)n∈N, Un : C[a, b]→ C[a, b] un sir de operatori liniari sipozitivi. Daca

limn→∞

Un(1) = 1 si limn→∞

Un((t− x)2)(x) = 0

atunci, pentru orice f ∈ C[a, b] are loc

limn→∞

Un(f) = f.

3.2 Interpolare si aproximare

Pentru o functie continua indicam un sir de polinoame de interpolare a functieicare ın plus converge converge.

Teorema 3.2.1 (Fejer) Fie f ∈ C[−1, 1] si x(n)k = cos (2k−1)π

2n, k ∈ 1, 2, . . . , n

radacinile polinomului lui Cebısev Tn(x) = cosn arccosx. Daca F2n−1 este poli-nomul de interpolare Lagrange-Hermite care satisface conditiile de interpolare

F2n−1(x(n)k ) = f(x

(n)k )

F ′2n−1(x(n)k ) = 0

∀ k ∈ 1, 2, . . . , n,

atunci sirul (F2n−1)n∈N converge catre f (uniform ın [−1, 1]).

3.2. INTERPOLARE SI APROXIMARE 83

Demonstratie. Utilizand expresia polinomului lui Fejer (2.20), cu notatiile in-troduse la deducerea lui, gasim

F2n−1(x) =n∑k=1

f(x(n)k

[1− (x− x(n)

k )w′′(x

(n)k )

w′(x(n)k )

]l2k(x), (3.5)

unde w(x) =∏n

k=1(x− x(n)k ) = 1

2n−1Tn(x).

Tinand seama de expresia polinomului lui Cebısev, se deduc egalitatile

w′′(x(n)k )

w′(x(n)k )

=x(n)k )

1−(x(n)k ))2

l2k(x) = T 2n(x)n2 ·

1−(x(n)k )2

(x−x(n)k )2

Exprimarea (3.5) devine

F2n−1(x) =T 2n(x)

n2

n∑k=1

f(x(n)k )

1− xx(n)k

(x− x(n)k )2

.

Definim sirul de operatori Fn : C[−1, 1] → C[−1, 1] prin Fn(f)(x) = F2n−1(x).Fn este un operator liniar si pozitiv.

In continuare verificam conditiile Teoremei 3.1.4.

1. Din formula restului polinomului de interpolare Lagrange – Hermite (2.19)rezulta ca

Fn(1)(x) = 1.

2. Au loc egalitatile

Fn((t− x)2)(x) =T 2n(x)

n2

n∑k=1

(x(n)k − x)2 1− xx(n)

k

(x− x(n)k )2

=

=T 2n(x)

n2(n− x

n∑k=1

x(n)k ) =

T 2n(x)

n→ 0, n→∞,

si ın consecinta limn→∞Fn(f) = limn→∞ F2n−1 = f.


3.3 Convergenta ın medie a polinoamelor La-

grange

In cele ce urmeaza se presupune cunoasterea formulei de integrare numericaa lui Gauss.

Teorema 3.3.1 (Teorema Erdos - Turan) Fie (Qn)n∈N un sir de polinoame or-

togonale cu ponderea ρ ın intervalul marginit I = [a, b], x(n)1 , . . . , x

(n)n radacinile

polinomului Qn(x) si Ln(f) = L(Pn−1;x(n)1 , . . . , x

(n)n ; f). Daca f ∈ C[a, b] atunci

limn→∞

∫ b

a

ρ(x)(f(x)− Ln(f)(x))2dx = 0.

Demonstratie. Fie ε > 0. Potrivit Teoremei lui Weierstass (3.4) exista unpolinom P astfel ıncat

|f(x)− P (x)| < ε, ∀ x ∈ [a, b].

Fie n > grad(P ). Au loc relatiile∫ b

a

ρ(x)(f(x)− Ln(f)(x))2dx =

∫ b

a

ρ(x)(f(x)− P (x) + Ln(P − f)(x))2dx ≤

≤ 2

∫ b

a

ρ(x)(f(x)− P (x))2dx+ 2

∫ b

a

ρ(x)L2n(P − f)(x))dx.

S-a utilizat inegalitatea (a+ b)2 ≤ 2(a2 + b2).Pentru primul termen are loc inegalitatea∫ b

a

ρ(x)(f(x)− P (x))2dx ≤ ε2

∫ b

a

ρ(x)dx.

Al doilea termen se calculeaza utilizand formula de integrare numerica de tipGauss ∫ b

a

ρ(x)ϕ(x)dx =n∑i=0

Aiϕ(x(n)i ) +R(ϕ).

Deoarece gradul polinomului L2n(P − f) este 2n− 2 < 2n− 1, eroarea de metoda

R(·) = 0. Totodata

Ln(P − f)(x(n)i ) = P (x

(n)i )− Ln(f)(x

(n)i ) = P (x

(n)i )− f(x

(n)i ).

3.4. FENOMENUL GIBBS 85

Prin urmare ∫ b

a

ρ(x)L2n(P − f)(x))dx =

n∑i=1

AiL2n(P − f)(x

(n)i ) =

=n∑i=1

Ai(P (x(n)i )− f(x

(n)i ))2 < ε2

n∑i=1

Ai = ε2(b− a).

Astfel ∫ b

a

ρ(x)(f(x)− Ln(f)(x))2dx ≤ 2ε2(

∫ b

a

ρ(x)dx+ (b− a)).

3.4 Fenomenul Gibbs

Fenomenul Gibbs consta ın caracterul oscilatoriu al polinomului de interpolarecalculat pentru functii cu discontinuitati,

Exemplificam pentru:

Exemplul 3.4.1 f(x) = sign (x).

Graficele functiei si ale polinomului de interpolare construit pe 10 puncte echidis-tante din intervalul [−1, 1] sunt date ın Fig. 3.1.

Fig. 3.1: Fenomenul Gibbs pentru Exemplul 3.4.1.


Exemplul 3.4.2 f(x) =

−x− 1 daca x ∈ [−1, 0],x+ 1 daca x ∈ (0, 1]

.

Analog, graficele sunt date ın Fig. 3.2.

Fig. 3.2: Fenomenul Gibbs pentru Exemplul 3.4.2.

3.5 Divergenta interpolarii Lagrange

Deducerea rezultatului de divergenta necesita cunoasterea unei serii de prob-leme din topologie (Spatii topologice Baire) si analiza functionala (Principiul con-densarii singularitatilor) cat si o estimare a normei operatorului Fourier. Acesteprobleme sunt prezentate ın sectiunile urmatoare.

Pentru ınceput punem ın evidenta, printr-un exemplu, divergenta sirului poli-noamelor de interpolare Lagrange atasata unei functii indefinit derivabile.

3.5.1 Sir de polinoame Lagrange neconvergent

Exemplul lui Runge. Fie f(x) = 11+x2

, a > 0 si xj = j an, j ∈ −n,−n +

1, . . . ,−1, 1, 2, . . . , n cu n ∈ N∗. Vom pune ın evidenta un x ∈ (0, a) astfel ıncatsirul de numere

L(P2n−1;x−n, . . . , x−1, x1, . . . , xn; f)(x), n ∈ N∗,

sa nu convearga catre f(x).

3.5. DIVERGENTA INTERPOLARII LAGRANGE 87

Pentru ınceput evaluam restul polinomului de interpolare:

Rn(x) = f(x)− L(P2n−1;x−n, . . . , x−1, x1, . . . , xn; f)(x) =

= [x, x−n, . . . , x−1, x1, . . . , xn; f ]n∏j=1

(x− x−j)(x− xj).

Utilizand rezultatul Problemei 2.6, se obtine

Rn(x) = (−1)nf(x)n∏j=1

f(xj)n∏j=1

(x2 − x2j) = (−1)nf(x)

n∏j=1

x2 − x2j

1 + x2j

.

Se noteaza gn(x) =∏n

j=1

|x2−x2j |1+x2j

. Atunci

|Rn(x)| = f(x)gn(x) = f(x)eln gn(x) = f(x)en( 1n

∑nj=1 ln

|x2− j2

n2a2|

1+j2

n2a2

)

= f(x)enϕn(x),

unde

ϕn(x) =1

n

n∑j=1

ln|x2 − j2

n2a2|

1 + j2

n2a2.

Calculam

limn→∞

ϕn(x) =

∫ 1

0

ln|x2 − s2a2|1 + s2a2

dst=sa=

1

a

∫ a

0

ln|x2 − t2|1 + t2

dt =

=1

a

(∫ a

0

ln |x− t|dt+

∫ a

0

ln(x+ t)dt−∫ a

0

ln(1 + t2)dt

).

Cele trei integrale sunt:

• Prima integrala este improprie, cu singularitate ın t = x. Integrala se cal-culeaza ın sensul valorii principale:∫ a

0

ln |x− t|dt = limε0

(∫ x−ε

0

ln (x− t)dt+

∫ a

x+ε

ln (x− t)dt).

Se obtin:

– ∫ x−ε

0

ln (x− t)dt = (x− ε) ln ε− x+ ε− x ln ε+ x lnx;


– ∫ a

x+ε

ln (x− t)dt = (a− x) ln (a− x)− (x+ ε) ln ε− a+ x+ ε− x ln ε.

Prin urmare∫ a

0

ln |x− t|dt = limε0

((a− x) ln (a− x)− 2ε ln ε+ 2ε+ x lnx− a) =

= (a− x) ln (a− x) + x lnx− a.

• ∫ a

0

ln(x+ t)dt = (a+ x) ln (x+ a)− a− x lnx.

• ∫ a

0

ln(1 + t2)dt = a ln (1 + a2)− 2a+ a arctan a.

Astfel

limn→∞

ϕn(x) =1

a

((a+ x) ln (a+ x) + (a− x) ln (a− x)− a ln (1 + a2)− a arctan a

).

Functia ϕ(x) = (a + x) ln (a+ x) + (a − x) ln (a− x) − a ln (1 + a2) − a arctan aeste crescatoare (ϕ′(x) = ln (a+ x)− ln (a− x) > 0).

Pentru a = 5, x = 4 se obtine limn→∞ ϕn(4) ≈ 5.8397 > 0 si ın consecintalimn→∞ |Rn(4)| =∞.

3.5.2 Norma operatorului Fourier

Fie C2π spatiul functiilor reale, continue si periodice cu perioada 2π. Opera-torul lui Fourier Sn : C2π → C2π este definit prin

Sn(x)(t) =a0

2+

n∑k=1

(ak cos kt+ bk sin kt)

unde

ak =1

π

∫ π

−πx(t) cos ktdt, bk =

1

π

∫ π

−πx(t) sin ktdt, k ∈ 0, 1, . . . , n.

Prin calcul direct vom deduce



Sn(x)(t) =1

π

∫ π

−πx(t)

sin (n+ 12)(s− t)

2 sin s−t2

ds.

Demonstratie. In baza identitatii 3 din Anexa C rezulta

Sn(x)(t) =1

π

∫ π

−πx(s)[

1

2+

n∑k=1

cos k(s− t)]ds =

=1

π

∫ π

−πx(t)

sin (n+ 12)(s− t)

2 sin s−t2

ds.

Teorema 3.5.2 Norma operatorului Sn este

‖Sn‖ =1

π

∫ π

0

∣∣∣∣sin (n+ 12)τ

sin τ2

∣∣∣∣ dτDemonstratie. Potrivit Teoremei I.4.2, norma operatorului Sn este

‖Sn‖ = maxt∈I

1

π

∫ π

−π

∣∣∣∣sin (n+ 12)(s− t)

2 sin s−t2

∣∣∣∣ ds,unde I = [−π, π]. Prin schimbarea de variabila s − t = τ, integrala din expresianormei devine∫ π

−π

∣∣∣∣sin (n+ 12)(s− t)

2 sin s−t2

∣∣∣∣ ds =

∫ π−t

−π−t

∣∣∣∣sin (n+ 12)τ

2 sin τ2

∣∣∣∣ dτ.Datorita periodicitatii si paritatii functiei de sub integrala, rezulta

‖Sn‖ = maxt∈I

1

π

∫ π

0

∣∣∣∣sin (n+ 12)τ

sin τ2

∣∣∣∣ dτ =1

π

∫ π

0

∣∣∣∣sin (n+ 12)τ

sin τ2

∣∣∣∣ dτ.Teorema 3.5.3 Are loc inegalitatea

‖Sn‖ ≥4

π2ln (n+ 1).


Demonstratie. Prin schimbarea de variabila τ = 2πt2n+1

, din expresia normeioperatorului Sn, deducem

‖Sn‖ =2

2n+ 1

∫ n+ 12

0

∣∣∣∣∣ sin πt

sin πt2n+1

∣∣∣∣∣ dt = (3.6)

=2

2n+ 1

(n−1∑j=0

∫ j+1

j


sin πt2n+1

∣∣∣∣∣ dt+

∫ n+ 12

n

∣∣∣∣∣ sinπt

sin πt2n+1

∣∣∣∣∣ dt)≥

≥ 2

2n+ 1

n−1∑j=0

∫ j+1

j


sin πt2n+1

∣∣∣∣∣ dt.Daca t ∈ [j, j + 1] atunci πt

2n+1∈ [0, π

2] si ın consecinta

sinπj

2n+ 1≤ sin

πt

2n+ 1≤ sin

π(j + 1)

2n+ 1≤ π(j + 1)

2n+ 1,

de unde| sin πt|sin πt

2n+1

≥ | sin πt|π(j+1)2n+1

.

Deoarece∫ j+1

j| sinπt|dt = 2

π, inegalitatea (3.6) ne da

‖Sn‖ ≥4

π2

n∑j=1

1

j.

Din teorema de medie Lagrange, rezulta inegaliteatea

1

j> ln j + 1− ln j >

1

j + 1,

care conduce la ‖Sn‖ ≥ 4π2 ln (n+ 1).

3.5.3 Divergenta polinoamelor de interpolare Lagrange

Notam uk(x) = cos kx, vk(x) = sin kx, k ∈ N, prin C2π spatiul liniar alfunctiilor continue si periodice, cu perioada 2π, Ep multimea functiilor pare dinC2π si Wn = spanu0, u1, . . . , un.

Teorema 3.5.4 Daca P ∈ (Ep,Wn)∗ astfel ıncat


1. P2 = P ,

2. P(Ep) = Wn, (adica P este operator surjectiv),

atunci ‖I − P‖ ≥ 2π2 ln(n+ 1)− 1

2.

Demonstratie. Notam prin Ty : C2π → C2π operatorul definit prin

Ty(f)(x) = f(x+ y).

Urmatoarele proprietati ale lui Ty sunt imediate

1. TyT−y = T−yTy = I ⇔ T−1y = T−y, unde prin I s-a notat opera-

torul identic.

2. ‖Ty‖ = 1.

Definim operatorul liniar

P(f)(t) =1

2π

∫ π

−πTs(I − P)(T−s + Ts)(f)(t)ds.

Pentru orice t ∈ [−π, π] si orice f ∈ C2π din inegalitatea

|P(f)(t)| ≤ 2‖I − P‖ ‖f‖

deducem ca ‖P(f)‖ ≤ 2‖I − P‖ ‖f‖ si deci

‖P‖ ≤ 2‖I − P‖. (3.7)

Vom aratam ca

P = I − Sn, (3.8)

unde Sn este operatorul lui Fourier.Intrucat orice functie din Ep se poate scrie ca o serie de forma

∑∞i=0 aiui este

suficient sa aratam ca

P(ui) = (I − Sn)(ui), ∀i ∈ N.

Deoarece

Sn(ui) =

ui pentru 0 ≤ i ≤ n0 pentru i > n


ramane de aratat ca

P(ui) =

0 pentru 0 ≤ i ≤ nui pentru i > n.

Din surjectivitatea operatorului P rezulta ca

∀p ∈ Wn ∃f ∈ Ep astfel ıncat P(f) = p.

Atuncip = P(f) = P2(f) = P(p), ∀p ∈ Wn. (3.9)

Au loc egalitatile

(T−s + Ts)(ui)(t) = ui(t− s) + ui(t+ s) = 2ui(t)ui(s),

de undeP(T−s + Ts)(ui)(t) = 2ui(s)P(ui)(t). (3.10)

Pentru 0 ≤ i ≤ n, ui ∈ Wn, din (3.9) si (3.10) rezulta ca

(I − P)(T−s + Ts)(ui)(t) = 0,

deci P(ui) = 0.Daca i > n atunci P(ui) se reprezinta sub forma P(ui) =

∑nj=0 ajuj unde

aj ∈ R, ∀ 0 ≤ j ≤ n. Tinand seama de (3.10) gasim

Ts(I−P)((T−s+Ts)(ui)(t) = Ts(I−P)(2ui(s)ui(t)) = 2ui(s)Ts(ui−n∑j=0

ajuj)(t) =

= 2ui(s)[ui(s)ui(t)− vi(s)vi(t)−n∑j=0

aj(uj(s)uj(t)− vj(s)vj(t))].

Prin urmare

P(ui)(t) =1

2π

[ui(t)

∫ π

−πu2i (s)ds− vi(t)

∫ π

−πui(s)vi(s)ds−

−n∑j=0

aj

(uj(t)

∫ π

−πui(s)uj(s)ds− vj(t)

∫ π

−πui(s)vj(s)ds

)]= ui(t).

In final, din (3.7) si (3.8) rezulta

‖I − P‖ ≥ 1

2‖P‖ =

1

2‖I − Sn‖ ≥

1

2| ‖Sn‖ − 1 | ≥ 2

π2ln(n+ 1)− 1

2.


Teorema 3.5.5 Daca Q ∈ (C[a, b],Pn)∗ astfel ıncat

1. Q2 = Q,

2. Q(C[a, b]) = Pn,

atunci ‖I −Q‖ ≥ 2π2 ln(n+ 1)− 1

2.

Demonstratie. Functia ψ(t) = a+b2

+ b−a2

cos t transforma bijectiv intervalul[0, π] ın [a, b].

Definim operatorul liniar A : C[a, b]→ Ep prin

A(f)(t) =

f(ψ(t)) daca t ∈ [0, π],f(ψ(−t)) daca t ∈ [−π, 0).

Din egalitatea imediata ‖A(f)‖ = ‖f‖ rezulta ‖A‖ = 1. DacaA(f) = 0 atunci‖A(f)‖ = ‖f‖ = 0 si, ın consecinta f = 0. Astfel operatorul A este injectiv sideci inversabil.

Operatorul P = AQA−1 apartine spatiului (Ep,Wn)∗. Observam ca

P2 = AQA−1AQA−1 = AQ2A−1 = AQA−1 = P .

Deoarece Q = A−1PA, din relatiile

‖I −Q‖ = ‖A−1(I − P)A‖ ≤ ‖A−1‖ ‖I − P‖ ‖A‖ = ‖I − P‖.

si‖I − P‖ = ‖A(I − P)A−1‖ ≤ ‖A‖ ‖I −Q‖ ‖A−1‖ = ‖I −Q‖.

rezulta ‖I −Q‖ = ‖I − P‖. Potrivit teoremei anterioare

‖I −Q‖ = ‖I − P‖ ≥ 2

π2ln(n+ 1)− 1

2.

Teorema 3.5.6 Fie x1, x2, . . . , xn+1 puncte distincte doua cate doua ale unuiinterval [a, b]. Operatorul L(f) = L(Pn;x1, . . . , xn+1)(f) are urmatoarele pro-prietati:

(i) L2 = L;

(ii) L(C[a, b]) = Pn;

(iii) ‖L‖ = maxx∈[a,b]

∑n+1i=1 |li(x)|, adica L ∈ (C[a, b],Pn)∗. Prin li(x) s-au notat

polinoamele fundamentale ale lui Lagrange.


Demonstratie. Afirmatiile (i), (ii) rezulta din egalitatea

L(Pn;x1, . . . , xn+1; f) = f ∀f ∈ Pn.

(iii) Din inegalitatile

|L(f)(x)| ≤ ‖f‖n+1∑i=1

|li(x)| ≤ ‖f‖ maxx∈[a,b]

n+1∑i=1

|li(x)|

se deduce ca L ∈ (C[a, b],Pn)∗ si ‖L‖ ≤ maxx∈[a,b]

∑n+1i=1 |li(x)|.

Fie x0 ∈ [a, b] astfel ıncat∑n+1

i=1 |li(x0)| = maxx∈[a,b]

∑n+1i=1 |li(x)| si functia

f0(x) =

1 daca x ∈ a, bsgnli(x0) daca x = xi, i ∈ 1, 2, . . . , n+ 1afina ın rest

.

Atunci f0 ∈ C[a, b] si ‖f0‖ = 1. Deoarece

L(Pn;x1, . . . , xn+1; f0)(x) =n+1∑i=1

|li(x0)|

au loc relatiile

maxx∈[a,b]

n+1∑i=1

|li(x)| =n+1∑i=1

|li(x0)| = ‖L(f0)‖ ≤ ‖L‖ ≤ maxx∈[a,b]

n+1∑i=1

|li(x)|,

de unde rezulta expresia normei operatorului L.

In finalul acestei sectiuni stabilim urmatorul rezultat de divergenta:

Teorema 3.5.7 Fie o multime de siruri de noduri de interpolare (3.1) dintr-un interval [a, b]. Multimea functiilor continue f ∈ C[a, b] cu proprietatea ca

sirul polinoamelor de interpolare Lagrange L(Pn−1, x(1)1 , . . . , x

(n)n ; f) nu converge

(uniform) catre f este superdensa ın C[a, b].

Demonstratie. Fie sirul de operatori (Ln)n∈N∗ , Ln ∈ (C[a, b],Pn)∗ definiti prin

L(f)(x) = L(Pn−1;x(n)1 , . . . , x(n)

n ; f)(x) ∀n ∈ N∗.

Potrivit Teoremei 3.5.6 operatorul Ln satisface ipotezele Teoremei 3.5.5. Inconsecinta

‖I − Ln‖ ≥2

π2ln (n+ 1)− 1

2, ∀n ∈ N∗,


de unde supn∈N∗ ‖I − Ln‖ =∞.Familia de operatori liniari si continui

A = I − Ln : n ∈ N∗

satisface conditia principiului condensarii singularitatilor (Teorema I.3.1). Prinurmare multimea singularitatilor SA este superdensa ın C[a, b]. Astfel multimeafunctiilor f ∈ C[a, b] pentru care supn∈N∗ ‖(I − Ln)(f)‖ = ∞, deci si a acelorfunctii pentru care Ln(f) nu converge uniform catre f este superdensa ın C[a, b].


P 3.1 Fie f : [0, 1] → R si polinomul lui Bernstein de grad n atasat functiei f,

Bn(f)(x) =∑n

k=0

(nk

)f( k

n)xk(1− x)n−k. Sa se arate ca

1. Bn(1)(x) = 1;

2. Bn(t)(x) = x;

3. Bn(t2)(x) = x+(n−1)x2

n.

P 3.2 Fie (uk)k∈N un sir de numere si Bn(ui, ui+1, . . . , ui+n) polinomul

Bn(ui, ui+1, . . . , ui+n)(x) =n∑k=0

(nk

)ui+kx

k(1− x)n−k.

Sa se arate ca

Bn(u0, u1, . . . , un)(x) = B1(Bn−1(u0, . . . , un−1)(x), Bn−1(u1, . . . , un)(x)))(x).

Indicatie. Deoarece B1(ui, ui+1)(x) = (1− x)ui + xui+1 vom avea

B1(Bn−1(u0, . . . , un−1)(x), Bn−1(u1, . . . , un)(x)))(x) =

= (1− x)Bn−1(u0, . . . , un−1)(x) + xBn−1(u1, . . . , un)(x)))(x) =

=n−1∑k=0

(n− 1k

)ukx

k(1− x)n−k +n−1∑k=0

(n− 1k

)uk+1x

k+1(1− x)n−1+k = . . .


P 3.3 Sa se demonstreze egalitatea

Bn(f)(x) =n∑k=0

(nk

)4k

1nf(0)xk.

Indicatie. Dezvoltand (1− x)n−k se obtine

Bn(f)(x) =n∑k=0

(nk

)f(k

n)n−k∑j=0

(n− kj

)(−1)jxj+k =

=n∑k=0

(nk

)f(k

n)

n∑i=k

(n− ki− k

)(−1)i−kxi,

cu i = k + j.Schimband ordinea sumarilor rezulta

Bn(f)(x) =n∑i=0

xii∑

k=0

(−1)i−k(n− ki− k

)(nk

)f(k

n).

Deoarece

(n− ki− k

)(nk

)=

(ni

)(ik

)si folosind (1.2) vom avea

Bn(f)(x) =n∑i=0

(ni

)xi

i∑k=0

(ik

)(−1)i−kf(

k

n) =

n∑i=0

(ni

)xi4i

1nf(0).

P 3.4 Sa se arate ca limn→∞Bn(f)(x)u= f(x), ∀f ∈ C[0, 1], adica spatiul liniar

al polinoamelor este dens ın C[0, 1] (Weierstrass).

Indicatie. Se tine cont de Teorema 3.1.3.

P 3.5 Sa se demonstreze relatiile:

1. e−nx∞∑k=0

(nx)k

k!= 1;

2. e−nx∞∑k=0

k

n

(nx)k

k!= x;

3. e−nx∞∑k=0

k2

n2

(nx)k

k!=x+ nx2

n.


P 3.6 Operatorul Szasz-Mirakjan este definit prin

Sn(ϕ)(x) = e−nx∞∑k=0

ϕ

(k

n

)(nx)k

k!,

unde ϕ : [0,∞) → R. Daca ϕ(x) este o functie continua sa se arate ca ın oriceinterval compact I = [0, b], limn→∞ Sn(ϕ)(x) = ϕ(x), x ∈ I.

Indicatie. Se tine cont de Teorema 3.1.3.

P 3.7 [19, p. 231] In Problemele 1.20 si 3.6 se aleg x = nθ, h = 1n, ak =

ϕ(kh), k ∈ N si ϕ(x) = f(x0 + x). Sa se deduca relatiile:

1.∞∑k=0

θk

k!

4khf(x0)

hk= e−

θh

∞∑k=0

f(x0 + kh)

(θh

)kk!

;

2. limh0

∞∑k=0

θk

k!

4khf(x0)

hk= f(x0 + θ).

Capitolul 4

Formule de derivare numerica

Prezentam doua moduri de aproximare a derivatei unei functii ıntr-un punct:

• Calculul derivatei ın cazul ın care functia este cunoscuta. Urmatoareleposibilitati sunt la dispozitie:

– Calcul simbolic - subiect care nu face parte din tematica analizei nu-merice;

– Aproximarea derivatei prin diferente. Pe langa erorile de rotunjire vaexista si o eroare de metoda.

– Metoda derivarii automate: calculele se fac numeric pe o structura dedate specifica, fara eroare de metoda.

• Aproximarea derivatei ın cazul ın care sunt date doar valorile functiei peo multime de puncte. In acest caz derivata functiei se aproximeaza prinderivata unei functii de interpolare.

4.1 Aproximarea derivatei prin diferente

Urmatoarele formule de aproximare a derivatelor unei functii sunt uzuale:

f ′(x) ' 4hf(x)

h=f(x+ h)− f(x)

h(4.1)

f ′(x) ' δ2hf(x)

2h=f(x+ h)− f(x− h)

2h(4.2)

f ′′(x) ' δ2hf(x)

h2=f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)

h2(4.3)

99

100 CAPITOLUL 4. FORMULE DE DERIVARE NUMERICA

In ipoteza ca f este derivabila de un numar suficient de ori, pentru fiecare dincazurile de mai sus, eroarea aproximarii este evaluata ın:

Teorema 4.1.1 Fie h > 0. Au loc relatiile:

(i) 4hf(x)h

= f ′(x) + h2f ′′(c1), x < c1 < x+ h;

(ii) δ2hf(x)2h

= f ′(x) + h2

6f (3)(c2), x− h < c2 < x+ h;

(iii)δ2hf(x)

h2= f ′(x) + h2

12f (4)(c3), x− h < c3 < x+ h.

Demonstratie. Cele trei relatii sunt consecinte ale dezvoltarilor taylorieneatasate unei functii.

Prima egalitate rezulta din

f(x+ h) = f(x) + hf ′(x) +h2

2f ′′(c1) x < c1 < x+ h.

Utilizand dezvoltarile

f(x+ h) = f(x) + hf ′(x) + h2

2f ′′(x) + h3

6f (3)(c21) x < c21 < x+ h

f(x− h) = f(x)− hf ′(x) + h2

2f ′′(x)− h3

6f (3)(c22) x− h < c22 < x

obtinemf(x+ h)− f(x− h)

2h= f ′(x) +

h2

6

f (3)(c21) + f (3)(c22)

2.

Functia f (3) avand proprietatea lui Darboux ın (x−h, x+h), exista c2 ∈ (minx−h, x + h,minx− h, x + h) ⊂ (x− h, c + h) astfel ıncat f (3) = f (3)(c21)+f (3)(c22)

2.

Prin urmareδ2hf(x)

2h= f ′(x) +

h2

6f (3)(c2).

In mod asemanator, din dezvoltarile

f(x+ h) = f(x) + hf ′(x) + h2

2f ′′(x) + h3

6f (3)(x) + h4

24(c31) x < c31 < x+ h

f(x− h) = f(x)− hf ′(x) + h2

2f ′′(x)− h3

6f (3)(x) + h4

24(c32) x− h < c32 < x

obtinem

f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)

h2= f ′′(x) +

h2

12

f (4)(c31) + f (4)(c32)

2.

Repetand rationamentul de mai sus, exista c3 ∈ (x− h, x+ h) astfel ıncat

δ2hf(x)

h2= f ′(x) +

h2

12f (4)(c3).

4.1. APROXIMAREA DERIVATEI PRIN DIFERENTE 101

4.1.1 Extrapolarea Richardson

Un numar S se aproximeaza prin ϕ(h), S ≈ ϕ(h), mai precis avand loc oegalitate de forma

S = ϕ(h) + a2h2 + a4h

4 + a6h6 + . . . (4.4)

Daca a2 6= 0 atunci a2h2 reprezinta termenul dominant al erorii. Puterea lui

h din termenul dominant defineste ordinul aproximarii, 2 ın cazul de fata.In (4.4), daca se pune h

2ın loc de h, atunci rezulta

S = ϕ(h

2) +

1

4a2h

2 +1

16a4h

4 +1

64a6h

6 + . . . (4.5)

In vederea eliminarii termenului cu h2, ınmultim (4.4) cu −13

si (4.5) 43

siadunandu-le se obtine

S =4

3ϕ(h

2)− 1

3ϕ(h)− 1

4a4h

4 − 5

16a6h

6 + . . .

adica o relatie de forma

S = ψ(h) + b4h4 + b6h

6 + . . . , (4.6)

avand ordinul de aproximare 4.Repetand procedeul, adica eliminand termenul cu h4 din (4.6) se ajunge la o

formula de aproximatie a lui S de ordin 6.Urmatorul procedeu, denumit extrapolarea Richardson, realizeaza eliminarea

succesiva a termenilor de ordin h2, h4, . . . , h2M .Introducem

D(n, 0) = ϕ(h

2n), n = 0, 1, . . . ,M.

Extrapolarea Richardson consta ın completarea tabelului

D(0, 0)D(1, 0) D(1, 1)D(2, 0) D(2, 1) D(2, 2)

......

.... . .

D(M, 0) D(M, 1) D(M, 2) . . . D(M,M)

utilizand formula de recurenta

D(n, k) =4k

4k − 1D(n, k − 1)− 1

4k − 1D(n− 1, k − 1),

n=k,k+1,...,M

k = 1, 2, . . . ,M .

Tabelul se construieste completand succesiv coloanele acestuia.


Teorema 4.1.2 Au loc relatiile

D(n, k) = S +∞∑

j=k+1

Aj,k+1(h

2n)2j,

adica ordinul aproximarii lui S prin D(n, k) este 2k + 2.

Demonstratie. Inductie dupa k. Din (4.4) rezulta

S = ϕ(h

2n) +

∞∑j=1

a2j(h

2n)2j

sau

D(n, 0) = S −∞∑j=1

a2j(h

2n)2j = S +

∞∑j=1

Aj,1(h

2n)2j,

unde, s-au notat Aj,1 = −a2j, j ∈ N∗.Presupunem ca

D(n, k − 1) = S +∞∑j=k

Aj,k(h

2n)2j, n = k − 1, k, . . . ,M.

Potrivit formului de recurenta

D(n, k) =4k

4k − 1D(n, k − 1)− 1

4k − 1D(n− 1, k − 1) =

=4k

4k − 1

[S +

∞∑j=k

Aj,k(h

2n)2j

]− 1

4k − 1

[S +

∞∑j=k

Aj,k(h

2n−1)2j

]=

= S +∞∑j=k

Aj,k4k − 4j

4k − 1(h

2n)2j = S +

∞∑j=k+1

Aj,k4k − 4j

4k − 1(h

2n)2j.

Notand Aj,k+1 = Aj,k4k−4j

4k−1se obtine relatia din enuntul teoremei.

Aplicatie la formule de derivare numerica. In ipoteza relatiilor

f(x+ h) =∞∑j=0

f (j)(x)

j!hj

f(x− h) =∞∑j=0

(−1)jf (j)(x)

j!hj

4.1. APROXIMAREA DERIVATEI PRIN DIFERENTE 103

rezultaf(x+ h)− f(x− h)

2h= f ′(x) +

∞∑j=1

f (2j+1)(x)

(2j + 1)!h2j

sau

f ′(x) = ϕ(h)−∞∑j=1

f (2j+1)(x)

(2j + 1)!h2j,

unde ϕ(h) = f(x+h)−f(x−h)2h

.Extrapolarea Richardson conduce la formule de derivare numerica cu ordine

de aproximare superioara. De exemplu, eliminand termenul cu h2 se obtine

4

3ϕ(h

2)− 1

3ϕ(h) =

1

6h

[f(x− h)− 8f(x− h

2) + 8f(x+

h

2)− f(x+ h)

].

Extrapolarea Richardson cu pas neregulat

In constructia extrapolarii Richarson ınlocuim pasii

h >h

2>

h

22> . . . >

h

2M

cu

h = h0 > h1 > h2 > . . . > hM .

Presupunem ca are loc egalitatea (4.5). Vom alege

D(n, 0) = ϕ(hn), n ∈ 0, 1, . . . ,M

si formula de recurenta

D(n, k) =h2n−kD(n, k − 1)− h2

nD(n− 1, k − 1)

h2n−k − h2

n

,n∈k,k+1,...,M

k ∈ 1, 2, . . . ,M .


D(n, k) = S + h2n−kh

2n−k+1 . . . h

2n

∞∑j=k+1

Pj,k(h2n−k, . . . , h

2n),

unde Pj,k(x0, . . . , xk) este un polinom omogen (fiecare monom are acelasi grad)de grad j − k − 1.


Demonstratie. Din (4.5), pentru Aj,1 = −aj, se obtine

D(n, 0) = ϕ(hn) = S +∞∑j=1

Aj,1h2jn = S + h2

n

∞∑j=1

Aj,1h2j−2n ,

adica Pj,0(x0) = Aj,1xj−10 .

Din

D(n− 1, 0) = S + A1,1h2n−1 + A2,1h

4n−1 +

∞∑j=3

Aj,1h2jn−1,

D(n, 0) = S + A1,1h2n + A2,1h

4n +

∞∑j=3

Aj,1h2jn

se gaseste

D(n, 1) =h2n−1D(n, 0)− h2

nD(n− 1, 0)

h2n−1 − h2

=

= S + h2n−1h

2n

(A2,1 +

∞∑j=3

Aj,1(h2j−4n−1 + h2j−6

n−1 h2n + . . .+ h2j−4

n )

),

adica o expresie de forma S+h2n−1h

2n

∑∞j=2 Pj,2(h2

n−1, h2n), cu Pj,2 polinom omogen

de grad j − 2.

4.2 Derivare automata

Metoda derivarii automate a fost dezvoltat ın jurul anului 1990, ideea ımpreu-na cu o implementare fiind data de L. B. Rall (1986). Calculele se efectueazautilizand reprezentarea obisnuita a datelor - ın virgula mobila, astfel va exista oeroare de rotunjire dar nu va exista o eroare de metoda.

4.2.1 Derivare automata prin structura de derivare

In aceasta varianta1 se utilizeaza o structura algebrica dublata de o structurade date specifica, denumite structura de derivare (derivative structure).

Pentru ıntelegerea metodei vom analiza mai multe exemple extrem de simple.

1Prezentarea se bazeaza pe lucrarea Kalman D., 2002, Double Recursive Multivariate Au-tomatic Differentiation. Mathematics Magazine, 75, no. 3, 187-202. Lucrarea sta la bazaimplementarii metodei ın produsul informatc apache commons-math.

4.2. DERIVARE AUTOMATA 105

Functii de o singura variabila

Exemplul 4.2.1 Pentru f(x) = x2 + 3 sa se calculeze f ′(2).

Pentru acest exemplu structura de derivare va fi data de perechi

(a0, a1) ∈ R2.

Prima componenta este valoarea unei expresii ıntr-un punct x iar a doua compo-nenta este derivata expresiei calculata ın acelasi punct.

Astfel variabilei x ıi corespunde perechea (x, 1), pentru x = 2 se ia (2, 1).Constantei 3 din expresia functiei f ıi corespunde perechea (3, 0).

In multimea perechilor, R2 se introduc operatiile:

(a0, a1) + (b0, b1) = (a0 + b0, a1 + b1)

(a0, a1) · (b0, b1) = (a0b0, a0b1 + a1b0)

Tripletul (R2,+, ·) defineste un inel comutativ cu elementul unitate (1, 0). Dacaa0 6= 0 atunci (a0, a1) este inversabil, (a0, a1)−1 = ( 1

a0, −a1a20

).

La operatia de ınmultire, merita observat ca a doua componenta corespunderegulii de derivare a produsului.

Totodata produsul dintre o constanta c → (c, 0) si o pereche (a0, a1) are carezultat perechea (ca0, ca1).

Functia f se construieste prin

(x, 1) · (x, 1) + (3, 0) = (x2, 2x) + (3, 0) = (x2 + 3, 2x)

iar concret, calculele numerice sunt

(2, 1) · (2, 1) + (3, 0) = (4, 4) + (3, 0) = (7, 4).

Deci f(2) = 7 si f ′(2) = 4.

Exemplul 4.2.2 Pentru f(x) = x2

x+1sa se calculeze f ′(2).

Calculele sunt

(2, 1) · (2, 1)︸︷︷︸x2

· (3, 1)−1︸︷︷︸1x+1

= (4, 4) · (1

3,−1

9) = (

4

3,8

9).

O functie elementara ϕ are reprezentarea (ϕ, ϕ′). Regula de derivare a functiilorcompuse induce operatia de compunere

(ϕ, ϕ′) (a0, a1) = (ϕ(a0), ϕ′(a0)a1).


Exemplul 4.2.3 Daca f(x) = 3 sin√x sa se calculeze derivata ın π2

4.

Folosind simbolul → pentru a indica corespondenta dintre un obiect matematicsi reprezentarea sa ca structura de derivare, au loc asocierile

x → (x, 1)√x → (

√,

1

2√ ) (x, 1) = (

√x,

1

2√x

)

sin → (sin , cos )

Constructia functiei f revine la

(3, 0) · (sin, cos) (√x,

1

2√x

) = (3, 0) · (sin√x, cos

√x

1

2√x

) =

= (3 sin√x,

3 cos√x

2√x

).

Calculele concrete sunt

(3, 0) · (sin, cos) (

√π2

4,

1

2√

π2

4

) = (3, 0) · (sin π2,

1

πcos

π

2) = (3, 0).

Prin urmare f(π2

4) = 3 si f ′(π

2

4) = 0.

Daca este nevoie de derivata a doua atunci structura de derivare va fi data detripletul

(a0, a1, a2) ∈ R3,

unde a treia componenta se refera la derivata de ordinul doi. Operatiile consid-erate mai sus devin

(a0, a1, a2) + (b0, b1, b2) = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2)

(a0, a1, a2) · (b0, b1, b2) = (a0b0, a0b1 + a1b0, a2b0 + 2a1b1 + a2b0)

(ϕ, ϕ′, ϕ′′) (a0, a1, a2) = (ϕ(a0), ϕ′(a0)a1, ϕ′′(a0)a2

1 + ϕ′(a0)a2)

Exemplul 4.2.4 Sa se calculeze f ′′(1) pentru f(x) = x lnx.

Deoarece x′′ = 0 variabilei x ıi corespunde tripletul (x, 1, 0). In consecinta x = 1devine (1, 1, 0). Calculele sunt

(1, 1, 0) ·(

(ln,1

·,− 1

·2) (1, 1, 0)

)= (1, 1, 0) · (ln 1, 1,−1) = (0, 1, 1).

Rezulta f(1) = 0, f ′(1) = 1, f ′′(1) = 1.Procedura se extinde pentru cazul ın care este nevoie de calculul unei derivate

de ordin mai mare.


Functii de mai multe variabile

Pentru calculul derivatelor partiale de ordinul ıntai si doi ale unei functiif(x, y) structura de derivare va fi

fyyfy fyxf fx fxx

= (f, fx, fxx, fy, fyx, fyy) ∈ R6.

Notatiile cu indice corespund derivatelor partiale relative la variabilele indice.Operatiile se definesc prin

(f, fx, fxx, fy, fyx, fyy) + (g, gx, gxx, gy, gyx, gyy) =

= (f + g, fx + gx, fxx + gxx, fy + gy, fyx + gyx, fyy + gyy)

(f, fx, , fxx, fy, fyx, fyy) · (g, gx, gxx, gy, gyx, gyy) =

= (fg, fxg + fgx, fxxg + 2fxgx + fgxx, fyg + fgy , fyxg + fxgy + fygx + fgyx, fyyg + 2fygy + fgyy)

Daca ϕ este o functie reala de doua ori derivabila atunci compunerea este definitaprin

(ϕ, ϕ′, ϕ′′) (f, fx, fxx, fy, fyx, fyy) =

= (ϕ(f), ϕ′(f)fx, ϕ′′(f)f2x + ϕ′(f)fxx, ϕ

′(f)fy , ϕ′′(f)fyfx + ϕ′(f)fyx, ϕ

′′(f)f2y + ϕ′(f)fyy)

Exemplul 4.2.5 Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul ıntai si doi alefunctiei f(x, y) = ln (x2 + y) ın (2, 1).

Variabilelor x si y le corespund sistemele (x, 1, 0, 0, 0, 0) si respectiv (y, 0, 1, 0, 0, 0).Prin urmare

x = 2 → (2, 1, 0, 0, 0, 0)

y = 1 → (1, 0, 0, 1, 0, 0)

x2 → (2, 1, 0, 0, 0, 0) · (2, 1, 0, 0, 0, 0) = (4, 4, 2, 0, 0, 0)

x2 + y → (5, 4, 2, 1, 0, 0)

ln (x2 + y) → (ln,1

·,− 1

·2) (5, 4, 2, 1, 0, 0) = (ln 5,

4

5,− 6

25,1

5,− 4

25,− 1

25)

Rezultatele sunt

f(2, 1) = ln 5 fx(2, 1) = 45

fy(2, 1) = 15

fxx(2, 1) = − 625

fyx(2, 1) = − 425

fyy(2, 1) = − 125


Pentru o functie structura de derivare depinde de numarul de variabile n side ordinul m al derivatelor care se calculeaza.

Vom nota cu f [n.m] structura de derivare atasat functiei f si prin DS(n,m)multimea structurilor de derivare de parametrii n,m. f [n,m] fixeaza continutulunui element din DS(n,m).

Atat DS(n,m) cat si f [n,m] pot fi definite recursiv:

DS(n,m) =

R daca m = 0 sau n = 0DS(n− 1,m)×DS(n,m− 1) ın caz contrar

f [n,m](x) =

f(x) daca m = 0 sau n = 0(f [n−1,m](x), (∂nf)[n,m−1](x) ın caz contrar

unde prin ∂n s-a notat derivata partiala relativ la xn si x = (x1, . . . , xn).

Exemple.

1.DS(1, 1) = DS(0, 1)×DS(1, 0) = R× R = R2.

2.DS(1, 2) = DS(0, 2)×DS(1, 1) = R× R2 = R3.

3.DS(2, 2) = DS(1, 2)×DS(2, 1) =

= R3 ×DS(1, 1)×DS(2, 0) = R3 × R2 × R = R6.

4.f [1,1](x) = (f [0,1](x), (∂xf)[1,0](x) = (f(x), f ′(x)).

5.f [1,2](x) = (f [0,2](x), (∂1f)[1,1](x) = (f(x), f ′(x), f ′′(x)).

6. Fie x = (x, y).f [2,2](x) = (f [1,2](x), (∂2f)[2,1](x))

Recursiv

f [1,2](x) = (f(x)), fx(x), fxx(x))

(∂2f)[2,1](x) = f [2,1]y (x) = (f [1,1]

y (x), (∂2fy)[2,0](x)) =

= (fy(x), fxy(x), fyy(x))

Astfelf [2,2](x) = (f(x), fx(x), fxx(x), fy(x), fxy(x), fyy(x)).


Operatiile se definesc prin

f [n,m] + g[n,m] = (f + g)[n,m] (4.7)

f [n,m] · g[n,m] = (fg)[n,m] (4.8)

ϕ f [n,m] = (ϕ(f))[n,m] (4.9)


ϕ f [n,m] =(ϕ f [n−1,m], (ϕ′ f [n,m−1]), (∂nf)[n,m−1]

).

Demonstratie. Potrivit definitiei (4.9)

ϕ f [n,m] = (ϕ(f))[n,m] =(ϕ(f)[n−1,m], (∂nϕ(f))[n,m−1]

).

Evaluam separat cele doua componente. Din nou (4.9) implica

ϕ(f)[n−1,m] = ϕ f [n−1,m].

Din ∂nϕ(f) = ϕ′(f)∂nf si (4.8) rezulta

(∂nϕ(f))[n,m−1] = (ϕ′(f))[n,m−1] · (∂nf)[n,m−1] = ϕ′ f [n,m−1] · (∂nf)[n,m−1].

4.2.2 Derivare automata prin numere duale

Numerele duale au fost definite ınca din secolul XIX. Asemanator introduceriinumerelor complexe, fie ε o entitate cu proprietatea

ε2 = 0.

Multimea numerelor duale este definita prin

R = a+ bε : a, b ∈ R.

Cu operatiile

(a1 + b1ε) + (a2 + b2ε) = a1 + a2 + (b1 + b2)ε

(a1 + b1ε)(a2 + b2ε) = a1a2 + (a1b2 + a2b1)ε

multimea R a numerelor duale devine un inel comutativ cu elementul unitate1 + 0ε. Daca a 6= 0 atunci a+ bε este inversabil,

1

a+ bε=a− bεa2

=1

a− b

a2ε.


Daca f : D ⊆ R → R este o functie derivabila atunci i se asociaza functiaduala f = f + f ′ε : R→ R definita prin

f (a+ bε) = f(a) + f ′(a)bε.

Astfel duala functiei identice este 1(x) = x+ ε.

Exemplul 4.2.6 Pentru f(x) = x2 + 3 sa se calculeze f ′(2).

x2 + 3 = (x + ε)2 + 3 = x2 + 2 + 2xε. Pentru x = 2 coeficientul entitatii ε estef ′(2) = 4.

Exemplul 4.2.7 Daca f(x) = 3 sin√x sa se calculeze derivata ın π2

4.

Functiile duale functiilor sinx si√x sunt sinx+ cosxε si respectiv

√x+ 1

2√xε.

Atunci

3(sin ·+ cos ·ε) (√x+

1

2√xε) = 3 sin

√x+ 3 cos

√x

1

2√xε.

Din nou coeficientul lui ε da derivata functiei f.

4.3 Aproximarea derivatei prin derivata

unei functii de interpolare

Derivata unei functii f, cunoscuta prin valorile ei ın punctele a, a+h, . . . , a+nhse poate aproxima prin derivata polinomului de interpolare Lagrange

f ′(x) ' d

dxL(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f)(x). (4.10)

Prin substitutia x = a + qh expresia polinomului de interpolare Lagrangedevine

L(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f)(x) = L(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f)(a+ qh) =

=n∑i=0

f(a+ ih)(−1)n−i

i!(n− i)!

n∏j=0

j 6=i

(q − j) = Q(q).

In urma derivarii, aproximarea (4.10) devine

f ′(x) ' d

dxL(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f)(x) = Q′(q)

dq

dx=

4.3. APROXIMAREA DERIVATEI PRIN INTERPOLARE 111

=1

h

n∑i=0

f(a+ ih)(−1)n−i

i!(n− i)!

n∑k=0k 6=i

n∏j=0

j 6=i,k

(q − j).

In mod asemanator, derivata de ordinul doi a functiei f se poate aproximaprin

f ′′(x) ' d2

dx2L(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f)(x) = Q′′(q)(

dq

dx)2 +Q′(q)

d2q

dx2=

=1

h2

n∑i=0

f(a+ ih)(−1)n−i

i!(n− i)!

n∑k=0k 6=i

n∑l=0l 6=i,k

n∏j=0

j 6=i,k,l

(q − j).

Daca ın locul polinomului de interpolare Lagrange se utilizeaza alte functii deinterpolare atunci se deduc alte formule de derivare numerica.


P 4.1 Sa se construiarca structura de derivare pentru calculul derivatelor de or-dinul 3 ale unei functii de o singura variabila.

P 4.2 Sa se construiarca structura de derivare pentru calculul derivatelor de or-dinul 2 ale unei functii de doua variabile.

P 4.3 Sa se deduca formula de derivare numerica

f ′(x0) ≈n−1∑i=0

[x0, x1, . . . , xi; f ](x0 − x1) . . . (x0 − xi−1).

Indicatie. Se deriveaza

fx) ≈ L(P;x0, . . . , xn; f)(x) = f(x0)+n∑i=1

[x0, x1, . . . , xi; f ](x−x0)(x−x1) . . . (x−xi−1)

dupa care se particularizeaza x := x0.

P 4.4 Utilizand aproximarea unei functii cu polinomul de interpolare Lagrangepe noduri echidistante sa se deduca aproximatiile:

f ′(a) ≈ 1

h

[4hf(x)− 4

2hf(a)

2+43hf(a)

3+ . . .+ (−1)n−14n

hf(a)

n

](4.11)

f ′(a) ≈ 1

h

[∇hf(x) +

∇2hf(a)

2+∇3hf(a)

3+ . . .+

∇nhf(a)

n

](4.12)


Indicatie.

f ′(a) = f ′(x)|x=a ≈d

dxL(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f)(x)|x=a =

=d

dx[n∑k=0

4khf(a)

k!hk(x− a)(x− a− h) . . . (x− a− (k − 1)h)]|x=a =

=n∑k=1

4khf(a)

k!hkd

dx[(x− a)(x− a− h) . . . (x− a− (k − 1)h)]|x=a =

=n∑k=1

4khf(a)

k!hk(−h)(−2h) . . . (−(k − 1)h) =

1

h

n∑k=1

(−1)k−14khf(a)

k.

Alternativ, se particularizeaza formula de derivare numerica din problema ante-rioara cu noduri echidistante.

Capitolul 5

Formule de integrare numerica

Fie f : [a, b] → R o functie continua. Pentru a calcula integrala functiei ınintervalul [a, b] se considera formule de forma∫ b

a

f(x)dx =n∑i=0

Aif(xi) +R(f),

numite formule de integrare numerica sau formule de cvadratura. Punctele

x0, x1, . . . , xn

se numesc nodurile formulei de integrare numerica, iar

A0, A1, . . . , An

se numesc coeficientii formulei de integrare numerica. Practic, evaluarea integraleirevine la calculul sumei din membrul drept In =

∑ni=0Aif(xi). Expresia R(f)

este restul formulei de integrare numerica. R(f) ofera informatii privind clasafunctiilor pentru care formula de integrare numerica este eficienta, ın sensul capentru functia data si ε > 0, pentru n suficient de mare, are loc inegalitatea

|R(f)| = |∫ b

a

f(x)dx−n∑i=0

Aif(xi)| < ε. (5.1)

In aplicatii, acuratetea aproximarii se probeaza prin satistacerea unei inegalitatide forma |In′ − In| < ε, n′ > n.

O metoda de obtinere a unor formule de integrare numerica consta ın aprox-imarea functiei f cu o functie de interpolare. Astfel exista o mare varietate deformule de integrare numerica.

113

114 CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA

5.1 Natura aproximarii functionalei I(f ) =∫ ba f (x)dx

Notam prin C[a, b] spatiul Banach al functiilor reale si continue definite ınintervalul compact [a, b], ınzestrat cu norma ‖f‖ = max|f(x)| : x ∈ [a, b].

Consideram functionalele liniare

I(f) =

∫ b

a

f(x)dx,

δx(f) = f(x),

σ(f) =n∑i=0

Aiδxi(f).

Astfel se pune problema aproximarii ın spatiul dual C∗[a, b] a functionalei Icu functionala σ.


1. ‖I‖ = b− a (5.2)

2. ‖σ‖ =n∑i=0

|Ai| (5.3)

3. ‖I − σ‖ = b− a+n∑i=0

|Ai| (5.4)

Demonstratie.1. Din inegalitatle

|I(f)| = |∫ b

a

f(x)dx| ≤∫ b

a

|f(x)|dx ≤ (b− a)‖f‖

deducem ca ‖I‖ ≤ b− a. Inegalitatea contrara rezulta folosind functia f1(x) = 1,

b− a = I(f1) ≤ |I(f1)| ≤ ‖I‖‖f1‖ = ‖I‖ ≤ b− a.

2. Au loc inegalitatile

|σ(f)| = |n∑i=0

Aif(xi)| ≤ ‖f‖n∑i=0

|Ai|,

5.1. NATURA APROXIMARII 115

adica ‖σ‖ ≤∑n

i=0 |Ai|. Daca

f2(x) =

sign (Ai) x ∈ x0, . . . , xn, Ai 6= 0,1 x ∈ a, bafina ın rest

atunci ‖f2‖ = 1 si

n∑i=0

|Ai| ≥ ‖σ‖ = sup‖f‖≤1

|σ(f)| ≥ |σ(f2)| =n∑i=0

|Ai|.

3. ‖I − σ‖ ≤ ‖I‖ + ‖σ‖ ≤ b − a +∑n

i=0 |Ai|. Fie m ∈ N∗ astfel ıncat2m< min0≤i≤n−1 xi+1 − xi si functia

f3(x) =

−sign (Ai) x ∈ x0, . . . , xn1 x ∈ a, x0 ± 1

m, . . . , xn ± 1

m

afina ın rest

Din nou ‖f3‖ = 1 si au loc inegalitatile

b−a+n∑i=0

|Ai| ≥ ‖I−σ‖ = sup‖f‖≤1

|(I−σ)(f)| ≥ |(I−σ)(f3)| =∫ b

a

f3(x)dx+n∑i=0

|Ai| =

=

∫ x0− 1m

a

f3(x)dx+n∑i=0

∫ xi+1m

xi− 1m

f3(x)dx+n−1∑i=0

∫ xi+1− 1m

xi+1m

f3(x)dx+

∫ b

xn+ 1m

f3(x)dx+n∑i=0

|Ai| =

= b−a− 2

m(n+ 1) +

n∑i=0

|Ai|+n∑i=0

∫ xi+1m

xi− 1m

f3(x)dx ≥ b−a− 2

m(n+ 1) +

n∑i=0

|Ai|,

deoarece intergralele din ultima suma sunt nenegative. Pentru m → ∞ rezultaexpresia normei functionalei I − σ.

Consideram sirul de functionale

σk =

nk∑i=0

Aki δxki (5.5)

care genereaza formulele de integrare numerica∫ b

a

f(x)dx =

nk∑i=0

Aki f(xki ) +Rk(f)


Teorema 5.1.2 Nu exista un sir de functionale (5.5) astfel ıncat

limk→∞‖I − σk‖ = 0.

Demonstratie. Din (5.4) rezulta ‖I−σk‖ ≥ b−a, de unde concluzia teoremei.

Conditii care asigura convergenta slaba sunt date ın teorema

Teorema 5.1.3 Sirul de functionale (5.5) converge slab catre I daca si numaidaca

1.

∃M > 0,

nk∑i=0

|Aki | ≤M, ∀k ∈ N;

2.

limk→∞

nk∑i=0

Ai(xki )p =

∫ b

a

xpdx, ∀p ∈ N.

Demonstratie. Cele doua conditii traduc conditiile de convergenta slaba,adica

1. Marginirea sirului de functionale:

‖σk‖ =

nk∑i=0

|Aki | ≤M, ∀k ∈ N;

2. Convergenta sirului de functionale pe un subspatiu dens ın C[a, b]. In acestcaz, subspatiul este P, spatiul polinoamelor, convergenta fiind probata pen-tru xp, p ∈ N.

5.2 Formule de integrare numerica de tip

Newton - Cotes

Alegerea nodurilor echidistanta si integrarea polinomului de interpolare La-grange ın locul functiei constituie specificul unei formule de integrare numericade tip Newton - Cotes.

5.2. FORMULE DE TIP NEWTON - COTES 117

Fie n ∈ N∗ si nodurile echidistante a, a+h, a+2h, . . . , a+nh = b, (h = b−an

).

In acest caz, functia f se aproximeaza prin polinomul de interpolare LagrangeL(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f)(x). In consecinta∫ b

a

f(x)dx '∫ b

a

L(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f)(x)dx =

=n∑i=0

(−1)n−if(a+ ih)

i!(n− i)!hn·

·∫ b

a

(x− a)(x− a− h) . . . (x− a− (i− 1)h)(x− a− (i+ 1)h) . . . (x− a− nh)dx.

Prin schimbarea de variabila x = a+ qh rezulta∫ b

a

L(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f)(x)dx =

=n∑i=0

(−1)n−if(a+ ih)

i!(n− i)!h

∫ n

0

q(q − 1) . . . (q − i+ 1)(q − i− 1) . . . (q − n)dq =

= (b− a)n∑i=0

Cn,if(a+ ih)

unde coeficientii

Cn,i =(−1)n−i

i!(n− i)!n

∫ n

0

q(q − 1) . . . (q − i+ 1)(q − i− 1) . . . (q − n)dq

se numesc numerele lui Cotes.Integralele care apar ın expresia numerelor lui Cotes se calculeaza fara eroare

(Problema 1.14, orice pachet de calcul simbolic - Computer Algebra System -calculeaza aceste integrale). Astfel, se obtin:

C1,0 = −∫ 1

0

(q − 1)dq =1

2, C1,1 =

∫ 1

0

qdq =1

2

si

C2,0 =1

4

∫ 2

0

(q − 1)(q − 2)dq =1

6, C2,1 = −1

2

∫ 2

0

q(q − 2)dq =2

3,

C2,2 =1

4

∫ 2

0

q(q − 1)dq =1

6.


Pentru n = 1 rezulta aproximarea∫ b

a

f(x)dx ' 1

2(b− a)[f(a) + f(b)],

iar pentru n = 2 rezulta∫ b

a

f(x)dx ' 1

6(b− a)[f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)].

Restul sau eroarea formulei de integrare numerica se defineste prin

R(f) =

∫ b

a

f(x)dx− (b− a)n∑i=0

Cn,if(a+ ih), (5.6)

formula de integrare numerica de tip Newton-Cotes devine∫ b

a

f(x)dx = (b− a)n∑i=0

Cn,if(a+ ih) +R(f) (5.7)

5.3 Evaluarea restului

Stabilim ın prealabil o serie de proprietati simple.O functie f : [c− l, c+ l]→ R este simetrica fata de punctul (c, d) daca

f(c− x) + f(c+ x)

2= d, ∀ x ∈ [0, l].

De exemplu, egalitatea arccos(−x) + arccos x = π, ∀ x ∈ [0, 1], implicafaptul ca functia arccosx este simetrica fata de punctul (0, π

2).

Teorema 5.3.1 Daca functia f : [c− l, c+ l]→ R este simetrica fata de punctul(c, d) atunci ∫ c+l

c−lf(x)dx = 2ld. (5.8)

Demonstratie. Integrala (5.8) se descompune ın suma

I =

∫ c+l

c−lf(x)dx =

∫ c

c−lf(x)dx+

∫ c+l

c

f(x)dx.

5.3. EVALUAREA RESTULUI 119

In cele doua integrale, efectuam schimbarile de variabila x = c − t, respectivx = c+ t. Rezulta

I =

∫ l

0

[f(c− t) + f(c+ t)]dt = 2ld .

Fie a, h ∈ R, h > 0, n ∈ N, ai = a+ ih, i ∈ 0, 1, . . . , n. Notam

u(x) =∏n

i=0(x− ai), F (x) =∫ xau(t)dt,

Ii = [ai, ai+1], Fi =∫ ai+1

aiu(t)dt.

Teorema 5.3.2 Daca n = 2m atunci au loc afirmatiile

1.

u(x) ≥ 0, ∀ x ∈ Ii, i par,

u(x) ≤ 0, ∀ x ∈ Ii, i impar;

2. u(x) este simetrica fata de punctul (am, 0);

3. F (a) = F (a+ nh) = 0;

4. F (x) > 0, ∀x ∈ (a, a+ nh).

Demonstratie.

1. Fie x ∈ Ii. Pentru j ≤ i, x− aj ≥ 0; ın timp ce, pentru j > i, x− aj < 0.Numarul factorilor negativi este 2m− i.

2. Deoarece

u(am − t) = −t(t2 − h2)[t2 − (2h)2] . . . [t2 − (mh)2]

u(am + t) = t(t2 − h2)[t2 − (2h)2] . . . [t2 − (mh)2]

u(am − t) + u(am + t) = 0.

3. Deoarece u(x) este simetrica fata de punctul (am, 0), potrivit Teoremei 5.3.1avem

F (a+ nh) = F (a+ 2mh) =

∫ a+2mh

a

u(t)dt =

∫ am+mh

am−mhu(t)dt = 0.


4. Numerele Fi sunt nenule, si potrivit pct. 1 al teoremei sign Fi = (−1)i.

Stabilim formula de recurenta

Fi =ξ − a+ h

ξ − a+ 2mhFi−1, ξ ∈ [ai−1, ai] i = 1, . . . ,m− 1.

Intr-adevar, prin schimbarea de variabila t = s+ h expresia lui Fi devine

Fi =

∫ ai+1

ai

u(t)dt =

∫ ai

ai−1

(s− a+ h)(s− a) . . . (s− a− (2m− 1)h)ds =

=

∫ ai

ai−1

s− a+ h

s− a− 2mhu(s)ds.

Functia u(s) nu schimba semnul ın intervalul Ii, deci potrivit primei teoremede medie a calculului integral, exista ξ ∈ [ai−1, ai] astfel ıncat

Fi =ξ − a+ h

ξ − a− 2mh

∫ ai

ai−1

u(s)ds =ξ − a+ h

ξ − a− 2mhFi−1.

Fie q = ξ−ah. Din ξ ∈ Ii−1 rezulta q ∈ [i − 1, i] ⊆ [0,m − 1] ⊂ [0,m − 1

2].

Prin urmare ∣∣∣∣ ξ − a+ h

ξ − a− 2mh

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ q + 1

q − 2m

∣∣∣∣ =q + 1

2m− q< 1.

In consecinta,

|Fi| =∣∣∣∣ ξ − a+ h

ξ − a− 2mh

∣∣∣∣ |Fi−1| < |Fi−1|.

Astfel|F0| > |F1| > . . . > |Fm−1|,

sauF0 > −F1 > F2 > −F3 > . . . > (−1)m−1Fm−1.

Retinem inegalitatea F2j + F2j+1 > 0.

Daca x ∈ Ii, i ∈ 0, 1, . . . ,m− 1 atunci

F (x) = F0 + F1 + . . .+ Fi−1 +

∫ x

ai

u(t)dt.

Pentru i = 2i′

F (x) = (F0 + F1) + . . .+ (F2i′−2 + F2i′−1) +

∫ x

a2i′

u(t)dt > 0,

5.3. EVALUAREA RESTULUI 121

deoarece parantezele cat si ultimul termen sunt pozitive.

Pentru i = 2i′ + 1

F (x) = (F0 + F1) + . . .+ (F2i′−2 + F2i′−1) + F2i′ +

∫ x

a2i′+1

u(t)dt,

dar ∫ x

a2i′+1

u(t)dt ≥∫ a2i′+2

a2i′+1

u(t)dt = F2i′+1.

Prin urmare

F (x) ≥ (F0 + F1) + . . .+ (F2i′−2 + F2i′−1) + (F2i′ + F2i′+1) > 0.

Astfel, pentru x ∈ (a, am], F (x) > 0. Fie acum x ∈ [am, a2m), x = am +y, y ∈ [0,mh). Atunci

F (x) =

∫ x

a

u(t)dt =

∫ am−y

a0

u(t)dt+

∫ am+y

am−yu(t)dt =

∫ am−y

a0

u(t)dt > 0,

datorita proprietatii de simetrie a functiei u(x) fata de punctul (am, 0), adoua integrala este 0.

Evaluarea restului formulei de integrare numerica de tip Newton-Cotes estedata de teorema

Teorema 5.3.3 1. Daca n = 2m si f ∈ Cn+2[a, b] atunci

R(f) =f (n+2)(ξ)

(n+ 2)!

∫ b

a

xu(x)dx. (5.9)

2. Daca n = 2m+ 1 si f ∈ Cn+1[a, b] atunci

R(f) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!

∫ b

a

u(x)dx. (5.10)

(ξ ∈ [a, b]).

Demonstratie. Integrand ın [a, b] identitatea

f(x) = L(Pn; a, a+ h, . . . , a+ nh; f)(x) + u(x)[x, a, a+ h, . . . , a+ nh; f ]

deducem

R(f) =

∫ b

a

u(x)[x, a, a+ h, . . . , a+ nh; f ]dx (5.11)


1. Cazul n = 2m. Daca F (x) =∫ xau(t)dt, integrand prin parti (5.11) gasim

R(f) = F (x)[x, a, a+h, . . . , a+nh; f ]|ba−∫ b

a

F (x)[x, x, a, a+h, . . . , a+nh; f ]dx =

−∫ b

a

F (x)[x, x, a, a+ h, . . . , a+ nh; f ]dx.

Deoarece F (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], se poate aplica prima teorema de medie acalculului integral, existand η ∈ [a, b], astfel ıncat

R(f) = −[η, η, a, a+ h, . . . , a+ nh; f ]

∫ b

a

F (x)dx,

si aplicand teorema de medie a diferentelor divizate, exista ξ ∈ [a, b] astfelıncat

R(f) = −f(n+2)(ξ)

(n+ 2)!

∫ b

a

F (x)dx.

Efectuand ınca o integrare prin parti se obtine (5.9).

2. Cazul n = 2m+ 1. Descompunem integrala (5.11) ın

R(f) =

∫ b

a

u(x)[x, a, a+h, . . . , a+nh; f ]dx =

∫ a2m+1

a0

u(x)[x, a0, a1, . . . , a2m+1; f ]dx =

=

∫ a2m

a0

u(x)[x, a0, a1, . . . , a2m+1; f ]dx+

∫ a2m+1

a2m

u(x)[x, a0, a1, . . . , a2m+1; f ]dx.

Notam prin I1 si respectiv I2 cele doua integrale de mai sus. Fie v(x) =∏2mi=0(x−ai). Atunci u(x) = v(x)(x−a2m+1). Utilizand formula de recurenta

[x, a0, a1, . . . , a2m+1; f ] =[x, a0, . . . , a2m; f ]− [a0, . . . , a2m+1; f ]

x− a2m+1

prima integrala devine

I1 =

∫ a2m

a0

v(x)[x, a0, . . . , a2m; f ]dx− [a0, . . . , a2m+1; f ]

∫ a2m

a0

v(x)dx.

Aplicand rezultatul stabilit ın cazul anterior, exista ξ1 ∈ [a0, a2m] astfelıncat

I1 =f (2m+2)(ξ1)

(2m+ 1)!

∫ a2m

a0

xv(x)dx.

5.4. FORMULA TRAPEZULUI 123

Folosind din nou faptul ca∫ a2ma0

v(x)dx = 0, rezulta

I1 =f (n+1)(ξ1)

(n+ 1)!

∫ a2m

a0

u(x)dx.

Reluand calculele, daca ın integrala anterioara se efectueaza o integrare prinparti atunci se obtine∫ a2m

a0

u(x)dx =

∫ a2m

a0

xv(x)dx = −∫ a2m

a0

F (x)dx < 0,

unde F (x) =∫ xa0v(t)dt.

In intervalul [a2m, a2m+1] functia u(x) este nepozitiva. Aplicand succe-siv prima teorema de medie a calculului integral si teorema de medie adiferentelor divizate exista ξ2 ∈ [a0, a2m+1] astfel ıncat

I2 =f (n+1)(ξ2)

(n+ 1)!

∫ a2m+1

a2m

u(x)dx.

Prin urmare

R(f) =f (n+1)(ξ1)

(n+ 1)!

∫ a2m

a0

u(x)dx+f (n+1)(ξ2)

(n+ 1)!

∫ a2m+1

a2m

u(x)dx =

=1

(n+ 1)!

(λ1f

(n+1)(ξ1) + λ2f(n+1)(ξ2)

),

unde prin λ1, λ2 s-au notat cele doua integrale, numere nepozitive. Se ob-serva ca λ1 + λ2 =

∫ bau(x)dx. Potrivit proprietatii lui Darboux, exista

ξ ∈ [ξ1, ξ2] ⊂ [a, b] astfel ıncat

λ1f(n+1)(ξ1) + λ2f

(n+1)(ξ2)

λ1 + λ2

= f (n+1)(ξ).

In consecinta

R(f) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!

∫ b

a

u(x)dx.

5.4 Formula trapezului (n = 1)

Evalaurea restului. Potrivit formulei (5.10)

R(f) =f ′′(ξ)

2!

∫ b

a

u(x)dx


unde u(x) = (x− a)(x− b). Integrala este − (b−a)3

6. In consecinta, are loc formula

trapezului ∫ b

a

f(x)dx =1

2(b− a)[f(a) + f(b)]− f ′′(ξ)(b− a)3

12.

Denumirea formulei provine din faptul ca integrala∫ baf(x)dx, adica aria delimi-

tata de graficul dunctiei f , axa Ox si dreptele x = a si x = b se aproximeaza prinaria trapezului ABNM (Fig. 1).

Aplicarea practica a formulei trapezului. Fie m ∈ N∗. Impartimintervalul [a, b] ın m parti prin punctele ai = a+ ih, i = 0, 1, . . . ,m (h = b−a

m) si

utilizam formula trapezului pentru calculul integralei functiei ın fiecare interval[ai, ai+1], i = 0, 1, . . . ,m− 1. Astfel∫ b

a

f(x)dx =m−1∑i=0

∫ ai+1

ai

f(x)dx =

=m−1∑i=0

1

2(ai+1 − ai))[f(ai+1) + f(ai)]−

f ′′(ξi)(ai+1 − ai)3

12.

Separand expresiile, rezulta∫ b

a

f(x)dx =b− a2m

[f(a)+2m−1∑i=1

f(a+ih)+f(b)]− (b− a)3

12m2

f ′′(ξ0) + . . .+ f(ξm−1)

m

5.4. FORMULA TRAPEZULUI 125

si repetand rationamentul din demonstratia Teoremei 4.1.1 obtinem formula trape-zelor∫ b

a

f(x)dx =b− a2m

[f(a) + 2m−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)]− (b− a)3f ′′(ξ)

12m2. (5.12)

Prin urmare integrala functiei f ın intervalul [a, b] se aproximeaza prin

Im(f) =b− a2m

[f(a) + 2m−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)].

Aplicatie. Sa se calculeze π4

cu o precizie ε = 0.01 utilizand formula trapezelorpentru calculul integralei ∫ 1

0

dx

1 + x2=π

4.

Nu se tine seama de erorile de rotunjire.Daca f(x) = 1

1+x2atunci trebuie determinat m ∈ N∗ astfel ıncat

|π4− Im(

1

x2 + 1)| = |π

4− 1

2m[f(0) + 2

m−1∑i=1

f(ih) + f(1)]| < ε.

Tinand seama de expresia restului ın formula trapezelor, conditia de mai sus serealizeaza daca

|f ′′(ξ)|12m2

≤ sup|f ′′(x)| : x ∈ [0, 1]12m2

< ε.

f ′′(x) = 2 3x2−1(1+x2)3

reprezinta o functie crescatoare ın intervalul [0, 1] (deoarece

f (3)(x) = 24x(1−x2)(1+x2)4

≥ 0,∀x ∈ [0, 1]) si ın consecinta

sup|f ′′(x)| : x ∈ [0, 1] = max|f ′′(0)|, |f ′′(1)| = 2.

Cel mai mic volum de calcul se obtine pentru cel mai mic m care satisface ine-galitatea

sup|f ′′(x)| : x ∈ [0, 1]12m2

=1

6m2< ε.

Rezulta m = 5, ın care caz

π

4' I5(

1

x2 + 1) =

1

10f(0) + 2[f(0.2) + f(0.4) + f(0.6) + f(0.8)] + f(1) ' 0.787.

Pentru π gasim aproximarea 3.148.Formula trapezelor ın cazuri speciale


1. Cazul functiei periodice. Daca f(x) este o functie periodica cu perioada

T atunci calculul integralei I =∫ T

0f(x)dx cu formula trapezelor este

I ≈ In =T

m

m−1∑i=0

f

(T

mi

). (5.13)

5.5 Formula lui Simpson (n = 2)

Evalaurea restului. Potrivit formului (5.9)

R(f) =f (4)(ξ)

4!

∫ b

a

xu(x)dx.

unde u(x) = (x− a)(x− a+b2

)(x− b). Valoarea integralei este − (b−a)5

120.

Rezulta formula de integrare numerica a lui Simpson:∫ b

a

f(x)dx =1

6(b− a)[f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)]− (b− a)5

2880f (4)(ξ).

Aplicarea practica a formulei lui Simpson. Fie m ∈ N∗. Impartimintervalul [a, b] ın 2m parti prin punctele ai = a + ih, i = 0, 1, . . . , 2m (h =b−a2m

) si aplicam formula lui Simpson pentru calculul integralei functiei ın fiecareinterval [a2i, a2i+2], i = 0, 1, . . . ,m− 1.∫ b

a

f(x)dx =m−1∑i=0

∫ a2i+2

a2i

f(x)dx =

=m−1∑i=0

1

6(a2i+2 − a2i))[f(a2i) + 4f(a2i+1) + f(a2i+2)]− f (4)(ξi)(a2i+2 − a2i)

5

2880.

Regrupand termenii rezulta formula finala∫ b

a

f(x)dx =b− a6m

[f(a) + 2m−1∑i=1

f(a2i) + 4m−1∑i=0

f(a2i+1) + f(b)]− (b− a)5

2880m4f (4)(ξ).

Rezulta ca integrala functiei f ın intervalul [a, b] se aproximeaza prin

Jm(f) =b− a6m

[f(a) + 2m−1∑i=1

f(a2i) + 4m−1∑i=0

f(a2i+1) + f(b)].

5.6. INTEGRALE DE TIP CAUCHY 127

Legatura ıntre formula trapezelor si formula lui Simpson. Fie n ∈ N∗si notam prin In si Jn aproximatiile obtinute aplicand respectiv formula trapezelorsi formula lui Simpson

In = b−a2n

[f(a) + 2∑n−1

i=1 f(a+ i b−an

) + f(b)],

Jn = b−a6n

[f(a) + 2∑n−1

i=1 f(a+ 2i b−a2n

) + 4∑n−1

i=0 f(a+ (2i+ 1) b−a2n

) + f(b)].


Jn =4

3I2n −

1

3In. (5.14)

Demonstratie. Pentru simplificarea scrierii, notam h = b−a2n

si fi = f(a+ih), i ∈0, 1, . . . , 2n. Atunci

4

3I2n(f)− 1

3In(f) =

=4

3· b− a

2 · 2n[f0 + 2

2n−1∑i=1

fi + f2n]− 1

3· b− a

2n[f0 + 2

n−1∑i=1

f2i + f2n] =

=b− a6n

[f0 + 2n−1∑i=1

f2i + 4n−1∑i=0

f2i+1 + f2n] = Jn(f).

Formula (5.14) este legata de extrapolarea Richardson.

5.6 Integrale de tip Cauchy

Fie f ∈ C[−1, 1] si a ∈ [−1, 1]. Integrala∫ 1

−1

f(x)

x− adx

se numeste integrala de tip Cauchy. Formula de integrare numerica se va obtineınlocuind functia f printr-un polinom de interpolare ın nodurile x0, x1, . . . , xn.

Cazul a /∈ x0, x1, . . . , xn. In acest caz functia f se ınlocuieste cu

L(Pn; a, x0, . . . , xn; f)(x) =n∑k=0

f(xk)x− axk − a

lk(x) + f(a)u(x)

u(a),


unde

lk(x) =uk(x)

uk(xk), uk(x) =

u(x)

x− xk, u(x) =

n∏k=0

(x− xk).

Astfelf(x)

x− a≈

n∑k=0

f(xk)

xk − alk(x) +

f(a)

u(a)

u(x)

x− a,

de unde ∫ 1

−1

f(x)

x− adx ≈

n∑k=0

f(xk)

xk − a

∫ 1

−1

lk(x)dx+f(a)

u(a)

∫ 1

−1

u(x)

x− adx.

Daca q(x) este catul ımpartirii polinomului u(x) prin x− a atunci

u(x)

x− a= q(x) +

u(a)

x− a⇒∫ 1

−1

u(x)

x− adx =

∫ 1

−1

q(x)dx+ u(a) ln1− a1 + a

.

Observatia 5.6.1

Integrala singulara este∫ 1

−1

dx

x− a= lim

ε0

(∫ a−ε

−1

dx

x− a+

∫ 1

a+ε

dx

x− a

)= ln

1− a1 + a

.

In final rezulta∫ 1

−1

f(x)

x− adx ≈

n∑k=0

f(xk)

xk − a

∫ 1

−1

lk(x)dx+

∫ 1

−1

q(x)dx+ u(a) ln1− a1 + a

.

unde integralele din membrul drept sunt aplicate unor polinoame.Daca nodurile sunt echidistante xk = −1 + 2

nk, k ∈ 0, 1, . . . , n atunci∫ 1

−1lk(x)dx = 2Cn,k.

Cazul a ∈ x0, x1, . . . , xn. Presupunem ca a = xi. Functia f se ınlocuiestecu polinomul de interpolare Lagrange-Hermite corespunzatoare conditiilor de in-terpolare

H(xj) = f(xj), j ∈ 0, 1, . . . , n,H ′(xi) = f ′(xi).

5.7. POLINOAME ORTOGONALE 129

Au loc relatiile

H(x) =n∑k=0

f(xk)hk,0(x) + f ′(xi)hi,1(x),

iar

hk,0(x) =x− axk − a

lk(x), k 6= i

hi,0(x) = li(x)(1− (x− a)l′i(a))

hi,1(x) = (x− a)li(x)

unde

lk(x) =wk(x)

wk(xk), wk(x) =

w(x)

x− xk, w(x) =

n∏k=0

(x− xk).

Astfel

H(x) =n∑k=0k 6=i

f(xk)x− axk − a

lk(x) + f(a)li(x)(1− (x− a)l′i(a)) + f ′(a)(x− a)li(x).

Astfel ∫ 1

−1

f(x)

x− adx ≈

n∑k=0k 6=i

f(xk)

xk − a

∫ 1

−1

lk(x)dx+

+f(a)

∫ 1

−1

(1

x− a− l′i(a)

)li(x)dx+ f ′(a)

∫ 1

−1

li(x)dx.

Integralele din membrul drept se calculeaza fara nici o eroare de metoda.

5.7 Polinoame ortogonale

Fie I ⊆ R un interval si ρ : I → (0,∞) o functie continua. In multimeapolinoamelor P ⊂ R[X] introducel produsul scalar

< P,Q >=

∫I

ρ(x)P (x)Q(x)dx.

Un polinom P ∈ Pn este monic daca coeficientul lui xn este 1.Polinomul Qn ∈ Pn este al n-lea polinom ortogonal ın intervalul I, cu ponderea

ρ, daca< Qn, P >= 0, ∀P ∈ Pn−1.

Este folosita si terminologia: Qn(x) este ortogonal ın intervalul I, cu ponderea ρ,pe multimea polinoamelor de grad cel mult n− 1, Pn−1.


Teorema 5.7.1 Exista un unic polinom monic Pn de grad n ortogonal ın inter-valul I, cu ponderea ρ, pe multimea polinoamelor Pn−1.

Demonstratie. Fie P0(x) = 1. Presupunem ca s-au construit cele n polinoamemonice ortogonale ın I cu ponderea ρ, P1(x), P2(x), . . . , Pn(x). Pn+1(x) se con-struieste utilizand algoritmul Gram-Schmidt, pornind de la functia p(x) = xn+1.Atunci

Pn+1(x) = p(x)−n∑k=0

< p, Pk >

< Pk, Pk >Pk(x)

este polinom monic de grad n+ 1, ortogonal pe P0, P1, . . . , Pn. Intr-adevar,

< Pn+1, Pj >=< p, Pj > −n∑k=0

< p, Pk >

< Pk, Pk >< Pk, Pj >=< p, Pj > − < p, Pj >= 0,

unde j ∈ 0, 1, . . . , n. Deci Pn+1 este ortogonal ın intervalul I, cu ponderea ρ,pe Pn.

Pentru a justifica unicitatea lui Pn+1, presupunem ca mai exista un polinommonic Pn+1 de grad n + 1 ortogonal ın intervalul I, cu ponderea ρ pe multimeapolinoamelor Pn. Fie p = Pn+1 − Pn+1 ∈ Pn. Pentru k ∈ 0, 1, . . . , n au locegalitatile

< p, Pk >=< Pn+1, Pj > − < Pn+1, Pj >= 0,

de unde Pn+1 = Pn+1.Fie δ2

n =< Pn, Pn > si polinoamele ortogonale

Pn(x) = xn + γnxn−1 + . . .

Qn(x) = anxn + bnx

n−1 + . . . (5.15)

Atunci au loc egalitatile

Qn(x) = anPn(x), γn =bnan, d2

n =< Qn, Qn >= a2nδ

2n. (5.16)

Teorema 5.7.2 Daca P−1 = 0 si P0, P1, . . . , Pn, . . . sunt polinoame monice ortog-onale ın intervalul I, cu ponderea ρ, atunci are loc formula celor trei termeni

Pn+1(x) = (x− αn)Pn(x)− βnPn−1(x), (5.17)

cu

αn =< Pn, xPn >

< Pn, Pn >= γn − γn+1 βn =

< Pn, Pn >

< Pn−1, Pn−1 >=

δ2n

δ2n−1

. (5.18)


Demonstratie. Polinomul xPn ∈ Pn+1 este de forma xPn = xn+1 + γnxn + . . . .

Pe de alta parte are loc reprezentarea

xPn =n+1∑k=0

ckPk (5.19)

din care deducem

< xPn, Pk >= ckδ2k, k ∈ 0, 1, . . . , n+ 1. (5.20)

Pentru k ∈ 0, 1, . . . , n− 2

< xPn, Pk >=< Pn, xPk >= 0.

Din (5.20) rezulta ck = 0, k ∈ 0, 1, . . . , n− 2.Pentru k = n− 1, deoarece xPn−1 = Pn +

∑n−1k=0 τkPk, vom avea

< xPn, Pn−1 >=< Pn, xPn−1 >=< Pn, Pn >= δ2n.

(5.20) implica δ2n = cn−1δ

2n−1.

Pentru k = n, < xPn, Pn >= cnδ2n. Identificand ın (5.19) coeficientii lui xn+1

si xn rezulta cn+1 = 1, cn = γn − γn+1. Astfel

cn = αn = γn − γn+1 =< Pn, xPn >

< Pn, Pn >, cn−1 = βn =

δ2n

δ2n−1

.

In cazul unui sir oarecare de polinoame ortogonale (5.15), tinand seama de(5.16), relatia (5.17) a Teoremei 5.7.2 devine

xQn =anan+1

Qn+1 + (bnan− bn+1

an+1

)Qn +an−1

an

d2n

d2n−1

Qn−1, ∀n ∈ N∗. (5.21)

Referitor la radacinile unui polinom ortogonal pe Pn−1 are loc rezultatul:

Teorema 5.7.3 Daca polinomul u ∈ Pn este ortogonal, cu ponderea ρ(x), ın I,pe Pn−1 atunci radacinile lui u(x) sunt simple si apartin intervalului I.

Demonstratie. Sa presupunem ca u(x) are m ≤ n radacini reale si cu ordinulde multiplicitate impar ın I, notate x1, . . . , xm. Fie

q(x) =

1 daca m = 0∏m

i=1(x− xi) daca m > 0


Atunci u(x)q(x) nu schimba semnul ın I, astfel∫I

ρ(x)u(x)q(x)dx 6= 0.

Daca m < n atunci relatia de mai sus este contradictorie; prin urmare m = n.Determinarea radacinilor unui polinom ortogonal.Fie matricea

Tn =

α0

√β1√

β1 α1

√β2

. . .

αn−2

√βn−1√

βn−1 αn−1

Notam prin ϕn(x) polinomul caracteristic al matricei Tn, adica ϕn(x) = |xIn−Tn|.

Teorema 5.7.4 Utilizand notatiile teoremei 5.7.2, pentru orice n ∈ N∗, Pn(x) =ϕn(x).

Demonstratie. Inductie dupa n. Daca P1(x) = x− a1 atunci conditia de ortog-onalitate < P1, P0 >= 0 implica

< P1, P0 >=< x, P0 > −a1 < 1, P0 >=< xP0, P0 > −a1 < P0, P0 >= 0,

de unde

a1 =< xP0, P0 >

< P0, P0 >= α0.

Presupunand ca Pk(x) = ϕk(x), k ∈ 1, 2, . . . , n − 1 se dezvolta determinantulϕn(x) dupa ultima coloana si se obtine

ϕn(x) = (x− αn−1)ϕn−1(x)− βn−1ϕn−2(x) = (x− αn−1)Pn−1(x)− βn−1Pn−2(x).

Tinand seama de teorema 5.7.2, rezulta ca ϕn(x) = Pn(x).In concluzie, radacinile polinomului Pn(x) sunt valorile propri ale matricei Tn.Intr-o alta abordare, avem nevoie de

Teorema 5.7.5 (Formula Darboux-Christoffel) Are loc relatia

n∑k=0

Qk(x)Qk(y)

d2k

=anan+1

1

d2n

Qn+1(x)Qn(y)−Qn(x)Qn+1(y)

x− y. (5.22)


Demonstratie. Potrivit formulei (5.21), pentru orice k ∈ 1, 2, . . . n au locegalitatile

xQk(x) =akak+1

Qk+1(x) + (bkak− bk+1

ak+1

)Qk(x) +ak−1

ak

d2k

d2k−1

Qk−1(x),

xQk(y) =akak+1

Qk+1(y) + (bkak− bk+1

ak+1

)Qk(y) +ak−1

ak

d2k

d2k−1

Qk−1(y).

Scazand relatiile de mai sus, ınmultite ın prealabil cu Qk(y) si respectiv Qk(x),se obtine

(x− y)Qk(x)Qk(y) =akak+1

[Qk+1(x)Qk(y)−Qk(x)Qk+1(y)]+

+ak−1

ak

d2k

d2k−1

[Qk−1(x)Qk(y)−Qk(x)Qk−1(y)]

sau

(x− y)Qk(x)Qk(y)

d2k

=akak+1

1

d2k

[Qk+1(x)Qk(y)−Qk(x)Qk+1(y)]−

−ak−1

ak

1

d2k−1

[Qk(x)Qk−1(y)−Qk−1(x)Qk(y)].

Adunand, rezulta

(x− y)n∑k=1

Qk(x)Qk(y)

d2k

=anan+1

1

d2n

[Qn+1(x)Qn(y)−Qn(x)Qn+1(y)]−

−a0

a1

1

d20

[Q1(x)Q0(y)−Q0(x)Q1(y)].

Dar

a0

a1

1

d20

[Q1(x)Q0(y)−Q0(x)Q1(y)] =a0

a1

1

d20

[(a1x+ b1)a0 − a0((a1y + b1)] =

=a2

0

d20

(x− y) = (x− y)Q0(x)Q0(y)

d20

.

Trecand acest termen ın membrul stang, se obtine relatia din enuntul teoremei.

Formula lui Darboux-Christoffel are urmatoarea consecinta importanta:

Teorema 5.7.6 Radacinile polinoamului Qn separa radacinile polinomului Qn+1.


Demonstratie. Din (5.22), pentru y → x si utilizand regula lui l’Hospital seobtine

n∑k=0

Qk(x)2

d2k

=anan+1

1

d2n

[Q′n+1(x)Qn(x)−Q′n(x)Qn+1(x)]. (5.23)

Fie x1 < x2 < . . . < xn+1 radacinile polinomului Qn+1. Pentru x = xi din (5.23)rezulta

n∑k=0

Qk(xi)2

d2k

=anan+1

1

d2n

Q′n+1(xi)Qn(xi) > 0, ∀i ∈ 1, . . . , n+ 1,

adica semnul expresiei Q′n+1(xi)Qn(xi) nu depinde de i.Deoarece radacinile polinomului Qn+1 sunt simple, Q′n+1(xi) si Q′n+1(xi+1)

au semne contrare. Prin urmare Qn(xi) si Qn(xi+1) au semne contrare. Astfel,Qn are cel putin o radacina ın intervalul (xi, xi+1). Cum numarul intervalelor(xi, xi+1), i ∈ 1, . . . , n este n, fiecare asemenea interval contine exact o radacinaa lui Qn.

Practic, cunoscand radacinile polinomului ortogonal Qn, radacinile lui Qn+1

se pot calcula utiliza metoda empirica a ınjumatatirii.Mai multe elemente legate de formula de integrare numerica de tip Gauss se

pot exprima ın functie de expresiile care apar ın formula Darboux-Christoffel. Cunotatiile introduse se defineste

Kn(x, y) =n−1∑k=0

Qk(x)Qk(y)

d2k

. (5.24)

5.8 Formule de integrare numerica de tip Gauss

Fie −∞ ≤ a < b ≤ ∞. In cele ce urmeaza vom considera formule de integrarenumerica de forma ∫ b

a

ρ(x)f(x)dx =n∑i=1

Aif(xi) +R(f), (5.25)

unde ρ : (a, b)→ R este o functie continua, pozitiva numita pondere.Formula de integrare numerica (5.25) are gradul de exactitate m daca

R(1) = R(x) = R(x2) = . . . = R(xm) = 0 R(xm+1) 6= 0.

5.8. FORMULE DE TIP GAUSS 135

In consecinta, pentru orice polinom f ∈ Pm∫ b

a


Aif(xi).

Teorema 5.8.1 Gradul de exactitate al formulei de integrare numerica (5.25)este cel mult 2n− 1.

Demonstratie. Utilizand formula de integrare numerica pentru functia polino-miala f0(x) =

∏ni=1(x− xi)2 ∈ P2n gasim

0 <

∫ b

a

ρ(x)f0(x)dx = R(f0).

Formulele de integrare numerica de tip Gauss sunt formulele de forma (5.25)pentru care se atinge gradul maxim de exactitate.

Teorema 5.8.2 Daca u ∈ Pn este polinomul ortogonal, cu ponderea ρ(x), ın[a, b], pe Pn−1 cu radacinile x1, . . . , xn, atunci formula de integrare numerica∫ b

a

ρ(x)f(x)dx =

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)dx+R(f)

are gradul de exactitate 2n− 1.

Demonstratie. Daca f ∈ Pn−1 atunci f = L(Pn−1;x1, . . . , xn; f), de unde∫ b

a

ρ(x)f(x)dx =

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)dx.

Fie f ∈ P2n−1. Daca q, r sunt respectiv catul si restul ımpartirii lui f la u atuncif = qu+ r si q, r ∈ Pn−1. Au loc egalitatile

L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x) = L(Pn−1;x1, . . . , xn; qu+ r)(x) =

=n∑i=1

[q(xi)u(xi) + r(xi)]li(x) =n∑i=1

r(xi)li(x) = L(Pn−1;x1, . . . , xn; r)(x)

si ın consecinta∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x) =

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1;x1, . . . , xn; r)(x) =

∫ b

a

ρ(x)r(x).


Deoarece u ortogonal, cu ponderea ρ(x), ın [a, b], pe Pn−1, urmeaza ca∫ b

a

ρ(x)f(x)dx =

∫ b

a

ρ(x)[q(x)u(x) + r(x)]dx =

=

∫ b

a

ρ(x)q(x)u(x)dx+

∫ b

a

ρ(x)r(x)dx =

=

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1;x1, . . . , xn; r)(x) =

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x).

Daca tinem seama de expresia polinomului de interpolare Lagrange atunciformula de integrare numerica de tip Gauss devine∫ b

a


f(xi)

∫ b

a

ρ(x)li(x)dx+R(f).

Astfel coeficientii formulei de integrare numerica sunt

Ai =

∫ b

a

ρ(x)li(x)dx, i ∈ 1, 2, . . . , n. (5.26)

Aceasta expresie a coeficientilor este utila ın cazurile ın care integrala se calculeazaanalitic. Deoarece li = u(x)

(x−xi)u′(xi) ∈ Pn−1 ⇒ l2i ∈ P2n−2, pentru coeficientul Aigasim si exprimarea

0 <

∫ b

a

ρ(x)l2i (x)dx =n∑j=1

Ajl2i (xj) = Ai. (5.27)

Teorema 5.8.3 Daca f ∈ C2n[a, b] atunci exista ξ ∈ [a, b] astfel ıncat

R(f) =

∫ b

a

ρ(x)f(x)dx−∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)dx =

=f (2n)(ξ)

(2n)!

∫ b

a

ρ(x)u2(x)dx.

Demonstratie. Notam prin H(x) polinomul de interpolare Lagrange-Hermitecare satisface conditiile

H(xi) = f(xi) i ∈ 1, 2, . . . , n,H ′(xi) = f ′(xi) i ∈ 1, 2, . . . , n.


Atunci, tinand seama de restul polinomului de interpolare Lagrange-Hermite(2.3.4) exista ζ(x) ∈ [a, b] astfel ıncat

f(x) = H(x) +f (2n)(ζ(x))

(2n)!u2(x).

Inmultind cu ρ(x) si integrand gasim

R(f) =

∫ b

a

ρ(x)u2(x)f (2n)(ζ(x))

(2n)!dx. (5.28)

Intr-adevar, deoarece H(x) ∈ P2n−1, formula de integrare numerica a lui Gaussimplica∫ b

a

ρ(x)H(x)dx =n∑i=1

AiH(xi) =n∑i=1

Aif(xi) =

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x)dx.

Functia x 7→ f (2n)(ζ(x)) = (2n)!f(x)−H(x)u2(x)

fiind continua, putem aplica inte-

gralei din membrul drept din (5.28) teorema de medie a calculului integral. Astfel,exista ξ ∈ [a, b], astfel ıncat

R(f) =f (2n)(ξ)

(2n)!

∫ b

a

ρ(x)u2(x)dx.

In general, nodurile formulelor de integrare numerica de tip Gauss – adicaradacinile unor polinoame ortogonale – se calculeaza numeric.

Teorema 5.8.4 Pentru orice polinom p ∈ Pn−1 are loc egalitatea

p(x) =

∫I

ρ(t)p(t)Kn(x, t)dt.

Demonstratie. Daca p(x) =∑n−1

i=0 ciQi(x) atunci din egalitatea∫I

ρ(t)p(t)Qk(t)dt =n−1∑i=0

ci

∫I

ρ(t)Qi(t)Qk(t)dt =n−1∑i=0

ciδi,kd2k = ckd

2k

se obtine ck = 1d2k

∫Iρ(t)p(t)Qk(t)dt. Astfel

p(x) =n−1∑i=0

(1

d2i

∫I

ρ(t)p(t)Qi(t)dt

)Qi(x) =

∫I

ρ(t)p(t)Kn(x, t)dt.

Coeficientii unei formule de integrare numerica de tip Gauss se pot calculautilizand rezultatul teoremei:


Teorema 5.8.5 Daca (Qn)n∈N este un sir de polinoame ortogonale cu pondereaρ ın intervalul I, atunci coeficientii formulei de integrare numerica de tip Gausssunt

Ai =and

2n−1

an−1Q′n(xi)Qn−1(xi)=

1

Kn(xi, xi)i ∈ 1, 2, . . . , n, (5.29)

unde Qk(x) = akxk + . . . si d2

k =∫Iρ(x)Q2

k(x)dx.

Demonstratie. In acest caz u(x) = 1anQn(x). Din formula Darboux-Christoffel

Kn(x, y) =n−1∑k=0

Qk(x)Qk(y)

d2k

=an−1

an

1

d2n−1

Qn(x)Qn−1(y)−Qn−1(x)Qn(y)

x− y

pentru y = xi i ∈ 1, 2, . . . , n se obtine

Kn(x, xi) =n−1∑k=0

Qk(x)Qk(xi)

d2k

=an−1

an

1

d2n−1

Qn(x)Qn−1(xi)

x− xi. (5.30)

Inmultind egalitatea de mai sus cu ρ(x) si integrand, rezulta

n−1∑k=0

Qk(xi)

d2k

∫I

ρ(x)Qk(x)dx =an−1

an

Qn−1(xi)

d2n−1

∫I

ρ(x)Qn(x)

x− xidx. (5.31)

Datorita conditiilor de ortogonalitate∫I

ρ(x)Qk(x)dx = δk,0d2

0

a0

, k ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

DeoareceQn(x)

x− xi= an

n∏j=1

j 6=i

(x− xj) ∈ Pn−1,

integrala din membrul drept al lui (5.31) se calculeaza fara eroare prin aplicareaformulei de integrare numerica de tip Gauss:∫

I

ρ(x)Qn(x)

x− xidx =

n∑j=1

AjQn(x)

x− xi|x=xj = AiQ

′n(xi).


Formula (5.31) devine

Q0(xi)

d20

d20

a0

= 1 =an−1

an

Qn−1(xi)

d2n−1

AiQ′n(xi),

de unde

Ai =and

2n−1

an−1Q′n(xi)Qn−1(xi).

Pentru a doua egalitate, ın (5.30) se trece la limita cand x→ xi, rezultand

Kn(xi, xi) =an−1

an

1

d2k

Q′n(xi)Qn−1(xi).

Astfel Ai = 1Kn(xi,xi)

.

In acest cadru exista o legatura ıntre polinoamele fundamentale Lagrangeli(x), i ∈ 1, 2, . . . , n si elementele formulei de integrare numerica de tip Gauss.

Teorema 5.8.6 Daca x1, . . . , xn sunt radacinile polinomului Qn(x) ortogonal cuponderea ρ(x) ın intervalul I pe multimea polinoamelor de grad cel mult n − 1atunci

li(x) = AiKn(x, xi) =Kn(x, xi)

Kn(xi, xi).

Demonstratie. Potrivit Teoremei 5.8.4

li(x) =

∫I

ρ(t)li(t)Kn(x, t)dt.

Functia t 7→ li(i)Kn(x, t) este polinom de grad 2n− 2, deci∫I

ρ(t)li(t)Kn(x, t)dt =n∑j=1

Ajli(t)Kn(x, t)|t=xj =

=n∑j=1

Ajδi,jKn(x, tj) = AiKn(x, ti).

Cazul ρ(x) = 1.In acest caz, polinoamele ortogonale sunt polinoamele lui Legendre

u(x) = Ln(x) =n!

(2n)![(x− a)n(x− b)n](n).


Teorema 5.8.7 Pentru ρ(x) = 1 coeficientii formulei de integrare numericaGauss sunt

Ai =(n!)4

((2n)!)2

(b− a)2n+1

(xi − a)(b− xi)[u′(xi)]2i ∈ 1, 2, . . . , n. (5.32)

Demonstratie. Integram prin parti integrala din membrul stang al formulei(5.27)

Ai =

∫ b

a

l2i (x)dx =1

[u′(xi)]2

∫ b

a

[u(x)

x− xi]2dx = (5.33)

=1

[u′(xi)]2[u2(a)

a− xi− u2(b)

b− xi+ 2

∫ b

a

u(x)

x− xiu′(x)dx].

Functia u(x)x−xiu

′(x) este polinom de grad cel mult 2n − 2 si atunci formula deintegrare numerica Gauss calculeaza integrala ei fara eroare∫ b

a

u(x)

x− xiu′(x)dx =

n∑j=1

Aju(x)

x− xiu′(x)|x=xj = Ai[u

′(xi)]2.

Relatia (5.33) devine

Ai =1

[u′(xi)]2 u

2(a)

a− xi− u2(b)

b− xi+ 2Ai[u

′(xi)]2,

de unde

Ai =1

[u′(xi)]2[u2(b)

b− xi− u2(a)

a− xi].

Utilizand expresia polinomului u se deduce formula din enuntul teoremei.

Observatia 5.8.1

Relatia (5.29) pune ın legatura nodurile si coeficientii formulei de integrare nu-merica de tip Gauss (5.25) cu coeficientii λi care apar ın formula baricentrica decalcul a polinomului de interpolare Lagrange (2.25),

λ=1

u′(xi)=

anQ′n(xi)

=an−1AiQn−1(xi)

d2n−1

.

Substituind ın (2.25), factorii care nu depind de indicele de ınsumare se simplifica,rezultand

L(Pn;x1, . . . , xn+1; f)(x) =

∑n+1i=1 f(xi)

λix−xi∑n+1

i=1λi

x−xi

.

5.9. FORMULA DREPTUNGHIULUI (N = 1). 141

cu λ = AiQn−1(xi), i ∈ 1, 2, . . . , n.Analog, ın cazul ρ(x) = 1 si I = [a, b]], din (5.32) se obtine

λ2i =

1

[u′(xi)]2=

((2n)!)2Ai(xi − a)(b− xi)(n!)4(b− a)2n+1

.

Considerand nodurile ordonate, din nou ın urma simplificarilor va rezulta λi =(−1)i

√Ai(xi − a)(b− xi).

Daca a = −1, b = 1 atunci λi = (−1)i√Ai(1− x2

i ).

5.9 Formula dreptunghiului (n = 1).

Pentru n = 1 din Teorema K.2.1 obtinem

u(x) =1

2[(x− a)(x− b)]′ = x− a+ b

2,

iar din (5.26)A1 = b− a.

Formula de integrare numerica a lui Gauss va fi∫ b

a

f(x)dx = (b− a)f(a+ b

2) +R(f),

si este numita formula dreptunghiului.Evaluarea restului. Parcularizand rezultatul teoremei 5.8.3 au loc egalitatile

R(f) =f ′′(ξ)

2

∫ b

a

(x− a+ b

2)2dx =

(b− a)3f ′′(ξ)

24.

Formula dreptunghiului devine∫ b

a

f(x)dx = (b− a)f(a+ b

2) +

(b− a)3f ′′(ξ)

24. (5.34)

Aplicarea practica a formulei dreptunghiului. Fie m ∈ N∗. Impartimintervalul [a, b] ın m parti prin punctele ai = a + ih, i = 0, 1, . . . ,m (h = b−a

m)

si utilizam formula dreptunghiului pentru calculul integralei functiei ın fiecareinterval [ai, ai+1], i = 0, 1, . . . ,m− 1. Astfel∫ b

a

f(x)dx =m−1∑i=0

∫ ai+1

ai

f(x)dx =


=m−1∑i=0

[(ai+1 − ai))f(ai+1 + ai

2) +

f ′′(ξi)(ai+1 − ai)3

24].

Repetand rationamentul de la metoda trapezelor, deducem∫ b

a

f(x)dx =b− am

m−1∑i=0

f(a+ (i+1

2)h) +

(b− a)3f ′′(ξ)

24m2.

Astfel integrala se aproximeaza prin expresia

Km(f) =b− am

m−1∑i=0

f(a+ (i+1

2)h).

5.10 Restul unor formule de integrare numerica

ca serie

Pentru formulele de integrare numerica a trapezelor si dreptunghiurilor, restulse poate exprima ca serie.

Teorema 5.10.1 Are loc formulele

Rt(f) =

∫ b

a

f(x)dx− 1

2(b− a)[f(a) + f(b)] = (5.35)

= −∞∑j=1

j

22j−1(2j + 1)!(b− a)2j+1f (2j)(

a+ b

2).

Rd(f) =

∫ b

a

f(x)dx− (b− a)f(a+ b

2) = (5.36)

= 2∞∑j=1

1

22j(2j + 1)!(b− a)2j+1f (2j)(

a+ b

2).

Demonstratie. Cu notatiile c = a+b2, η = b−a

2, presupunem ca au loc dez-

voltarile tayloriene

f(a) =∞∑k=0

(−1)kf (k)(c)

k!ηk (5.37)

f(b) =∞∑k=0

fk)(c)

k!ηk (5.38)

5.10. RESTUL CA SERIE 143

f(x) =∞∑k=0

fk)(c)

k!(x− c)k (5.39)

Din (5.37) si (5.38) rezulta

1

2[f(a) + f(b)] = f(c) +

∞∑j=1

f (2j)(c)

(2j)!η2j,

iar din (5.39) gasim∫ b

a

f(x)dx = (b− a)f(c) + 2∞∑j=1

f (2j)(c)

(2j + 1)!η2j+1.

In consecinta

Rt(f) = −4∞∑j=1

j

(2j + 1)!η2j+1f (2j)(c) =

= −∞∑j=1

j

22j−1(2j + 1)!(b− a)2j+1f (2j)(

a+ b

2).

A doua relatie rezulta ın mod asemanator.Utilizand aceste relatii se obtin formulele de rest sub forma de serie ın cazulschemelor de aplicare practica.

Teorema 5.10.2 Are loc formulele

Rt(f) =

∫ b

a

f(x)dx− Im =∞∑j=1

Ajh2j, (5.40)

Rd(f) =

∫ b

a

f(x)dx−Km =∞∑j=1

Bjh2j, (5.41)

unde h = b−am.

Demonstratie. Utilizam notatiile si calculele de la deducerea schemei deaplicare practica a metodei trapezului. Daca ci = 1

2(ai + ai+1) atunci

Rtrapeze(f) =m−1∑i=0

(∫ ai+1

ai

f(x)dx− 1

2(ai+1 − ai)(f(ai) + f(ai+1))

)= (5.42)


= −m−1∑i=0

∞∑j=1

j

22j−1(2j + 1)!(ai+1 − ai)2j+1f (2j)(ci) =

= −∞∑j=1

j

22j−1(2j + 1)!h2j+1

(m−1∑i=1

f (2j)(ci)

).

Folosind proprietatea lui Darboux, pentru orice j ∈ N∗ exista ξj ∈ (a, b) astfelıncat

1

m

m−1∑i=1

f (2j)(ci) = f (2j)(ξj).

Formula (5.42) devine

Rtrapeze(f) = −∞∑j=1

mj

22j−1(2j + 1)!h2j+1f (2j)(ξj) = −(b−a)

∞∑j=1

j

22j−1(2j + 1)!h2jf (2j)(ξj).

Notand Aj = −(b− a) j22j−1(2j+1)!

f (2j)(ξj) se obtine relatia mentionata.

Utilizand (5.36) a doua formula se deduce analog cuBj = (b−a) 122j(2j+1)!

f (2j)(ξj).

Expresia (5.40) justifica afirmatia ca formula (5.14) corespunde extrapolariiRichardson.

5.11 Cazuri speciale

5.11.1 Formula de integrare numerica Lobatto

In locul formulei de integrare numerica (5.25) consideram formula∫ b

a

ρ(x)f(x)dx = Af(a) +n−2∑i=1

Aif(xi) +Bf(b) +R(f), (5.43)

diferenta constand ın aceea ca doua noduri – extremitatile intervalului de inte-grare – sunt fixate.

Formula pentru care se atinge gradul maxim de exactitate se numeste formulade integrare numerica Lobatto. Au loc urmatoarele rezultate.

Teorema 5.11.1 Gradul maxim de exactitate al formulei (5.43) este 2n− 3.

Demonstratie. In cazul functiei f0(x) = (x − a)(x − b)∏n−2

i=1 (x − xi)2 ∈ P2n−2

restul este nenul.

5.11. CAZURI SPECIALE 145

Teorema 5.11.2 Daca u ∈ Pn−2 este polinomul ortogonal, cu ponderea (x −a)(b − x)ρ(x), ın [a, b], pe Pn−3 cu radacinile x1, . . . , xn−2, atunci formula deintegrare numerica∫ b

a

ρ(x)f(x)dx =

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; f)dx+R(f)

are gradul de exactitate 2n− 3.

Demonstratie. Daca f ∈ Pn−1 atunci f = L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; f), de unde∫ b

a

ρ(x)f(x)dx =

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; f)dx.

Fie f ∈ P2n−3. Daca q, r sunt respectiv catul si restul ımpartirii lui f la (x −a)(x− b)u(x) atunci f = (x− a)(x− b)qu+ r si q ∈ Pn−3, r ∈ Pn−1. Atunci

L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; f)(x) = L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; (x−a)(x−b)qu+r)(x) =

= L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; r)(x)

si ın consecinta∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; f)(x)dx =

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; r)(x)dx =

=

∫ b

a

ρ(x)r(x)dx.

Deoarece u ortogonal, cu ponderea (x− a)(b− x)ρ(x), ın [a, b], pe Pn−3, urmeazaca ∫ b

a

ρ(x)f(x)dx =

∫ b

a

ρ(x)[(x− a)(x− b)q(x)u(x) + r(x)]dx =

=

∫ b

a

(x− a)(b− x)ρ(x)q(x)u(x)dx+

∫ b

a

ρ(x)r(x)dx =

=

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; r)(x)dx =

=

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; f)(x)dx.

Restul formulei de integrare numerica Lobatto se poate evalua prin:


Teorema 5.11.3 Daca f ∈ C2n−2[a, b] atunci exista ξ ∈ [a, b] astfel ıncat

R(f) =

∫ b

a

ρ(x)f(x)dx−∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; f)dx =

=f (2n−2)(ξ)

(2n− 2)!

∫ b

a

(x− a)(x− b)ρ(x)u2(x)dx,

unde u(x) =∏n−2

i=1 (x− xi).

Demonstratie. Procedand asemanator cu demonstratia teoremei (5.8.3), notamprin H(x) polinomul de interpolare Lagrange-Hermite care satisface conditiile

H(a) = f(a),

H(xi) = f(xi) i ∈ 1, 2, . . . , n− 2,H ′(xi) = f ′(xi) i ∈ 1, 2, . . . , n− 2,H(b) = f(b).

Atunci, tinand seama de restul polinomului de interpolare Lagrange-Hermite(2.3.4) exista ζ(x) ∈ [a, b] astfel ıncat

f(x) = H(x) +f (2n−2)(ζ(x))

(2n− 2)!(x− a)(x− b)u2(x). (5.44)

Deoarece H(x) ∈ P2n−3, formula de integrare numerica a lui Lobatto implica∫ b

a

ρ(x)H(x)dx = AH(a) +n−2∑i=1

AiH(xi) +BH(b) =

= Af(a) +n−1∑i=1

Aif(xi) +Bf(b) =

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−2, b; f)(x)dx.

Inmultind (5.44) cu ρ(x) si integrand gasim

R(f) =

∫ b

a

(x− a)(x− b)ρ(x)u2(x)f (2n−2)(ζ(x))

(2n− 2)!dx. (5.45)

Functia x 7→ f (2n)(ζ(x)) = (2n)!f(x)−H(x)u2(x)

fiind continua, putem aplica integralei

din membrul drept din (5.45) teorema de medie a calculului integral. Astfel,exista ξ ∈ [a, b], astfel ıncat

R(f) =f (2n−2)(ξ)

(2n− 2)!

∫ b

a

(x− a)(x− b)ρ(x)u2(x)dx.


5.11.2 Formula de integrare numerica Radau

Daca ın formula (5.25) se fixeaza doar un nod – unul din extremitatile inter-valului de integrare – atunci formula de integrare numerica are forma∫ b

a

ρ(x)f(x)dx = Af(a) +n−1∑i=1

Aif(xi) +R(f), (5.46)

sau ∫ b

a

ρ(x)f(x)dx =n−1∑i=1

Aif(xi) +Bf(b) +R(f). (5.47)

Gradul maxim de exactitate al formulei de integrare numerica (5.46) sau (5.47)este 2n− 2.

In cazul atingerii gradului maxim de exactitate, (5.46) si (5.47) se numescformulele de integrare numerica Radau.

Teorema 5.11.4 Daca u ∈ Pn−1 este polinomul ortogonal, cu ponderea (x −a)ρ(x), ın [a, b], pe Pn−2 cu radacinile x1, . . . , xn−1, atunci formula de integrarenumerica∫ b

a

ρ(x)f(x)dx =

∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−1; f)dx+R(f)

are gradul de exactitate 2n−2. Un rezultat analog are loc si pentru formula (5.47).

Teorema 5.11.5 Daca f ∈ C2n−1[a, b] atunci exista ξ ∈ [a, b] astfel ıncat

R(f) =

∫ b

a

ρ(x)f(x)dx−∫ b

a

ρ(x)L(Pn−1; a, x1, . . . , xn−1; f)dx =

=f (2n−1)(ξ)

(2n− 1)!

∫ b

a

ρ(x)(x− a)u2(x)dx,

unde u(x) =∏n−1

i=1 (x− xi).

Notand A0 = A, coeficientii formulei de integrare numerica (5.46) sunt

Ai =

∫ b

a

ρ(x)li(x)dx =

∫ b

a

ρ(x)l2i (x)dx, i ∈ 0, 1, . . . , n− 1, (5.48)

unde li(x) sunt polinoamele fundamentale Lagrange pentru nodurile a, x1, . . . , xn−1.


Cazul particular ρ(x) = 1, I = [−1, 1] (Legendre-Gauss-Radau)

Determinam polinomul monic u ∈ Pn−1 astfel ıncat∫ 1

−1

(x+ 1)u(x)q(x)dx = 0, ∀ q ∈ Pn−1.

Utilizand polinoamele Legendre scrise sub forma monica

Ln(x) =n!

(2n)!

dn

dxn(x2 − 1)n

cautam polinomul u sub forma

U(x) = (x+ 1)u(x) = Ln(x) + kLn−1(x) ⊥ Pn−2.

Conditia de ortogonalitate este ıdeplinita. Constanta k se determina din conditia

U(−1) = Ln(−1) + kLn−1(−1) = 0. (5.49)

Utilizand formula de derivare a lui Leibniz se deduce

Ln(x) =n!

(2n)!

n∑k=0

(nk

)AknA

n−kn (x− 1)n−k(x+ 1)k, (5.50)

de unde Ln(−1) = (n!)2

(2n)!(−2)n. Din ecuatia (5.49) se obtine k = n

2n−1. Astfel

U(x) = (x+ 1)u(x) = Ln(x) +n

2n− 1Ln−1(x). (5.51)

Vom avea nevoie de u(1) si u(−1). Din (5.50) se obtine Ln(1) = 2n(n!)2

(2n)!si din

(5.51) pentru x = 1 se obtine

2u(1) = Ln(1) +n

2n− 1Ln−1(1) =

2n(n!)2

n(2n− 1)!,

de unde

u(1) =2n−1(n!)2

n(2n− 1)!.

Din

L′n(x) =n!

(2n)!

dn+1

dxn+1(x2−1)n =

n!

(2n)!

n+1∑k=1

(n+ 1k

)AknA

n+1−kn (x−1)n−k(x+1)k−1


se obtine

L′n(−1) =(−2)n−1n(n+ 1)(n!)2

(2n)!.

Atunci

u(−1) = limx−1

Ln(x) + kLn−1(x)

x− 1= L′n(−1) + kL′n−1(−1)

si deci

u(−1) = L′n(−1) +n

2n− 1L′n−1(−1) =

(−2)n−1(n!)2

(2n− 1)!.

Calculul coeficientilor formulei de integrare numerica revine la

Ai =

∫ 1

−1

li(x)2dx =1

(U ′(xi))2

∫ 1

−1

U2(x)

(x− xi)2dx, i ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

Integrand prin parti rezulta

Ai =1

(U ′(xi))2

(−U

2(x)

x− xi|1−1 + 2

∫ 1

−1

U(x)

x− xiU ′(x)dx

).

Deoarece U(x)x−xiU

′(x) ∈ P2n−2 formula de integrare Radau calculeaza integrala demai sus fara rest∫ 1

−1

U(x)

x− xiU ′(x)dx =

n−1∑j=0

AjU(x)

x− xiU ′(x)|x=xj = Ai(U

′(xi))2.

Substituind ın relatia anterioara se gaseste

Ai = − U2(x)

(U ′(xi))2(x− xi)|1−1 + 2Ai,

de unde

Ai =U2(x)

(U ′(xi))2(x− xi)|1−1

Tinand seama de

U(x) = (x+ 1)u(x) ⇒ U ′(x) = u(x) + (x+ 1)u′(x)

rezulta


• i ∈ 1, 2, . . . , n− 1

Ai =U2(1)

(U ′(xi))2(1− xi)=

4u2(1)

(1− xi)(1 + xi)2(u′(xi))2=

=22n(n!)4

n2((2n− 1)!)2(1− xi)(1 + xi)2(u′(xi))2

• i = 0

A0 =U2(x)

(U ′(−1))2(x+ 1)|1−1 =

(x+ 1)u2(x)

u2(−1)|1−1 =

2u2(1)

u2(−1)=

2

n2.

In particular se obtin:

• n = 2

U(x) = L2(x) +2

3L1(x) = x2 +

2

3x− 1

3= (x+ 1)(x− 1

3).

Rezulta u(x) = x− 13, x1 = 1

3si A0 = 1

2, A1 = 3

2.

• n = 3

U(x) = L3(x) +3

5L2(x) = x3 +

3

5x2 − 3

5x− 1

5= (x+ 1)(x2 − 2

5x− 1

5).

Rezulta u(x) = x2 − 25x − 1

5, x1 = −1−

√6

5, x2 = −1+

√6

5si A0 = 2

9, A1 =

118

(16 +√

6), A2 = 118

(16−√

6).

5.11.3 Formula de cvadratura Gauss-Kronrod

O formula de cvadratura de tip Gauss (5.25) cu n noduri are gradul de exac-titate 2n− 1

I(f) = Gn(f) =n∑i=1

Aif(xi); ∀f ∈ P2n−1.

Pornind de la formula de cvadratura anterioara, o formula de cvadratura Gauss-Kronrod cu 2n+ 1 noduri se construieste introducand n+ 1 noduri noi

K2n+1(f) =2n+1∑i=1

Bif(yi),

5.12. FORMULA EULER-MACLAURIN 151

astfel ıncat

x1, . . . , xn ⊂ y1, . . . , y2n+1I(f) = K(f) ∀f ∈ P3n+1 (5.52)

Cazul n = 1. Punctul de plecare ıl reprezinta formula dreptunghiului, decix1 = a+b

2. Introducand nodurile p, q, formula de cvadratura Gauss-Kronrod are

forma

K3(f) = B1f(p) +B2f(a+ b

2) +B3f(q).

Parametrii formulei p, q, B1, B2, B3 se determina din cerinta I(f) = K3(f),∀f ∈P4 (5.52). Particularizand f = 1, x, x2, x3, x4 se obtine sistemul algebric de ecuatiineliniare

B1 + B2 + B3 = b− aB1p + B2

a+b2

+ B3q = b2−a22

B1p2 + B2(a+b

2)2 + B3q

2 = b3−a33

B1p3 + B2(a+b

2)3 + B3q

3 = b4−a44

B1p4 + B2(a+b

2)4 + B3q

4 = b5−a55

cu solutia

p = a+b2−√

1510

(b− a)

q = a+b2

+√

1510

(b− a)B1 = 5

18(b− a)

B2 = 49(b− a)

B3 = 518

(b− a)

Pentru a = −1, b = 1 vom avea

p = −√

15

5, q =

√15

5, B1 = B3 =

5

9, B2 =

8

9.

5.12 Formule de integrare numerica bazate

pe formula Euler-MacLaurin

5.12.1 Polinoamele si numerele lui Bernoulli

Polinoamele Bernoulli Bk(x) ∈ Pk, k ∈ N, sunt definite prin

n∑k=0

(n+ 1k

)Bk(x) = (n+ 1)xn, n ∈ N. (5.53)


Bn = Bn(0) se numesc numerele lui Bernoulli.Din(5.53), pentru n = 0 si n = 1 se obtin

B0(x) = 1 B1(x) = x− 1

2

Polinoamele Bernoulli se bucura de proprietatile

Teorema 5.12.1 Au loc relatiile:

(i)B′n(x) = nBn−1(x); (5.54)

(ii)Bn(x+ 1)−Bn(x) = nxn−1; (5.55)

(iii)

Bn(x) =n∑k=0

(nk

)Bkx

n−k; (5.56)

(iv)Bn(1− x) = (−1)nBn(x). (5.57)

Demonstratie. (i) Prin inductie dupa n, se demonstreaza propozitia

Pn : B′k(x) = kBk−1(x), ∀ k ∈ 1, 2, . . . , n

∀ n ∈ N∗. In ipoteza ca propozitia Pn−1 este adevarata, pentru a justifica Pn estesuficient de aratat B′n(x) = nBn−1(x).

Derivand (5.53) rezulta

n∑k=1

(n+ 1k

)B′k(x) = (n+ 1)nxn−1.

Tinand seama de ipoteza inductiei se obtine

n−1∑k=1

(n+ 1k

)kBk−1(x) +

(n+ 1n

)B′n(x) = (n+ 1)nxn−1. (5.58)

Deoarece

(n+ 1k

)k = (n+ 1)

(n

k − 1

), relatia (5.58) devine

(n+ 1)n−1∑k=1

(n

k − 1

)Bk−1(x) + (n+ 1)B′n(x) = (n+ 1)nxn−1


saun−2∑k=0

(nk

)Bk(x) +B′n(x) =

n−1∑k=0

(nk

)Bk(x),

de unde egalitatea dorita.(ii) Din (i) rezulta B

(k)n (x) = n!

(n−k)!Bn−k(x). Utilizand dezvoltarea tayloriana

rezulta egalitatile succesive

Bn(x+ 1) =n∑k=0

B(k)n (x)

k!=

n∑k=0

n!

k!(n− k)!Bn−k(x) =

=n∑k=0

(nk

)Bn−k(x) =

n∑k=0

(n

n− k

)Bk(x) =

n−1∑k=0

(nk

)Bk(x) +Bn(x).

Utilizand (5.53), egalitatea anterioara devine

Bn(x+ 1) = Bn(x) + nxn−1.

(iii) Din dezvoltarea tayloriana

Bn(y + h) =n∑k=0

B(k)n (y)

k!hk =

n∑k=0

(nk

)Bn−k(y)hk,

pentru y = 0 si h = x rezulta

Bn(x) =n∑k=0

(nk

)Bn−k(0)xk =

n∑k=0

(nk

)Bk(0)xn−k.

(iv) Din (5.55), pentru x := −x, rezulta

Bn(1− x) = Bn(−x) + n(−1)n−1xn−1.

Utilizand din nou (5.55), egalitatea anterioara se poate scrie

Bn(1− x)−Bn(−x) = (−1)n−1 [Bn(1 + x)−Bn(x)]

sau(−1)nBn(1 + x)−Bn(−x) = (−1)nBn(x)−Bn(1− x). (5.59)

Definind polinomul ϕ(x) = (−1)nBn(x) − Bn(1 − x), egalitatea (5.59) se rescrieϕ(x+ 1) = ϕ(x), adica ϕ este o functie periodica, cu perioada 1. Fiind polinom,ϕ este o functie constanta

(−1)nBn(x)−Bn(1− x) = cn.


Prin derivare se obtine

(−1)nB′n(x) +B′n(1− x) = 0

sau

(−1)nBn−1(x) +Bn−1(1− x) = 0.

Astfel Bn−1(1− x) = (−1)n−1Bn−1(x), relatie echivalenta cu (5.57).

In consecinta


(i) Bn = Bn(0) = Bn(1), n ≥ 2;

(ii) Daca n este un numar natural impar atunci Bn = Bn(0) = Bn(1) = Bn(12) =

0;

(iii)∫ 1

0Bn(x)dx = 0, n ∈ N∗.

Demonstratie. (i) In (5.55), se face x = 0.

(ii) Pentru x = 0 si n > 1, din (5.57), rezulta Bn(1) = −Bn(0) = Bn(0), deciBn(0) = 0.

(iii) Au loc egalitatile∫ 1

0

Bn(x)d(x) =1

n+ 1

∫ 1

0

B′n+1(x)d(x) =1

n+ 1[Bn+1(1)−Bn+1(0)] = 0.

Teorema 5.12.3 Au loc afirmatiile

(i) B4n+2(x), n ∈ N este descrescatoare ın intervalul [0, 12] si crescatoare ın in-

tervalul [12, 1];

(ii) Exista ξ ∈ (0, 12) astfel ıncat B4n+3 este crescatoare ın [0, ξ] ∪ [1 − ξ, 1] si

descrescatoare ın [ξ, 1− ξ];

(iii) B4n(x), n ∈ N∗ este crescatoare ın intervalul [0, 12] si descrescatoare ın

intervalul [12, 1];

(iv) Exista ξ ∈ (0, 12) astfel ıncat B4n+1 este descrescatoare ın [0, ξ]∪ [1− ξ, 1] si

crescatoare ın [ξ, 1− ξ].


Demonstratie. Inductiv, deoarece B′2(x) = 2B1(x) = 2x− 1 are loc tabelul devariatie

x | 0 12

1B′2(x) | − 0 +B2(x) |

Presupunand ca B4n+2(x) este descrescatoare ın [0, 12] si crescatoare ın [1

2, 1],

deoarece∫ 1

0B4n+2(x)dx = 0, ın mod necesar

B4n+2(0) = B4n+2(1) > 0 si B4n+2(1

2) < 0.

Prin urmare exista ξ ∈ (0, 12) astfel ıncat B4n+2(ξ) = 0 = B4n+2(1− ξ).

Deoarece B′4n+3(x) = (4n+ 3)B4n+2(x) are loc tabelul de variatie

x | 0 ξ 12

1− ξ 1B′4n+3(x) | + 0 − 0 +B4n+3(x) | 0 0 0

Din B′4n+4(x) = (4n+ 4)B4n+3(x) rezulta tabelul de variatie

x | 0 12

1B′4n+4(x) | + 0 −B4n+4(x) |

Conditia∫ 1

0B4(n+1)(x)dx = 0 implicaB4(n+1)(0) = B4(n+1)(1) < 0 siB4(n+1)(

12) >

0, adica exista, din nou ξ ∈ (0, 12) astfel ıncat B4(n+1)(ξ) = 0 = B4(n+1)(1− ξ).

Din B′4(n+1)+1(x) = (4n+ 5)B4(n+1)(x) rezulta tabelul de variatie

x | 0 ξ 12

1− ξ 1B′4(n+1)+1(x) | − 0 + 0 −B4(n+1)+1(x) | 0 0 0

Egalitatea B′4(n+1)+2(x) = (4n+ 6)B4(n+1)+1(x) implica

x | 0 12

1B′4(n+1)+2(x) | − 0 +

B4(n+1)+2(x) |

Tabelele de variatie ın cazul polinoamelor Bernoulli de indice par implica

Teorema 5.12.4 B2n(x)−B2n(0) pastreaza semn constant ın intervalul [0,1].


5.12.2 Formula Euler-MacLaurin

Fie f ∈ C2n[a, a+ h]. In urma a 2n integrari succesive prin parti se obtine∫ a+h

a

f(x)dx = h

∫ 1

0

f(a+ th)dt =

= h

(f(a+ th)B1(t)|10 − h

∫ 1

0

f ′(a+ th)B1(t)dt

)=

=h

2[f(a+ h) + f(a)]− h2

(f ′(a+ th)

B2(t)

2

∣∣∣∣10

− h∫ 1

0

f ′′(a+ th)B2(t)

2dt

)=

=h

2[f(a+ h) + f(a)]− h2B2(0)

2[f ′(a+ h)− f ′(a)]−

−h3

2

(f ′′(a+ th)

B3(t)

3

∣∣∣∣10

− h∫ 1

0

f (3)(a+ th)B3(t)

3dt

)= . . .

=h

2[f(a+ h) + f(a)]−

n−1∑k=1

h2kB2k

(2k)![f (2k−1)(a+ h)− f (2k−1)(a)]−

−h2nB2n

(2n)![f (2n−1)(a+ h)− f (2n−1)(a)] +

h2n+1

(2n)!

∫ 1

0

f (2n)(a+ th)B2n(t)dt.

Tinand seama de egalitatea

f (2n−1(a+ h)− f (2n−1(a) = h

∫ 1

0

f (2n)(a+ th)dt

egalitatea anterioara devine∫ a+h

a

f(x)dx =h

2[f(a+ h) + f(a)]− (5.60)

−n−1∑k=1

h2kB2k

(2k)![f (2k−1)(a+h)−f (2k−1)(a)]+

h2n+1

(2n)!

∫ 1

0

f (2n)(a+th)[B2n(t)−B2n(0)]dt.

Deoarece B2n(t) − B2n(0) pastreaza semn constant ın intervalul [0, 1] se poateaplica teorema de medie a calculului integral, ultimul termen din (5.60) trans-formandu-se ın ∫ 1

0

f (2n)(a+ th)[B2n(t)−B2n(0)]dt =


= f (2n)(ξ)

∫ 1

0

[B2n(t)−B2n(0)]dt = −B2nf(2n)(ξ).

cu ξ ∈ (a, a+ h).Formula (5.60) devine∫ a+h

a

f(x)dx =h

2[f(a+ h) + f(a)]− (5.61)

−n−1∑k=1

h2kB2k

(2k)![f (2k−1)(a+ h)− f (2k−1)(a)]− h2n+1B2n

(2n)!f (2n)(ξ).

Teorema 5.12.5 (Formula Euler-MacLaurin) Daca f ∈ C2n[a, a+mh], m ∈N∗ atunci ∫ a+mh

a

f(x)dx = hm∑j=0

f(a+ jh)− h

2[f(a+ h) + f(a)]− (5.62)

−n−1∑k=1

h2kB2k

(2k)![f (2k−1)(a+mh)− f (2k−1)(a)]− mh2n+1B2n

(2n)!f (2n)(ξ),

unde ξ ∈ (a, a+mh).

Demonstratie. Utilizand (5.61) avem∫ a+mh

a

f(x)dx =m−1∑j=0

∫ a+(j+1)h

a+jh

f(x)dx =

=m−1∑j=0

h

2[f(a+ jh) + f(a+ (j + 1)h)]−

−n−1∑k=1

h2kB2k

(2k)![f (2k−1)(a+ (j + 1)h)− f (2k−1)(a+ jh)]− h2n+1B2n

(2n)!f (2n)(ξj)

=

= h

(1

2f(a) +

m−1∑j=1

f(a+ jh) +1

2f(a+mh)

)−

−n−1∑k=1

h2kB2k

(2k)![f (2k−1)(a+mh)− f (2k−1)(a)]−mh2n+1B2n

(2n)!

∑m−1j=0 f (2n)(ξj)

m,

unde ξj ∈ (a+ jh, a+ (j + 1)h).Datorita proprietatii Darboux a functiei f (2n)(x), exista ξ ∈ (a, a+mh) astfel

ıncat 1m

∑m−1j=0 f (2n)(ξj) = f (2n)(ξ), de unde (5.62)


5.12.3 Formule de integrare Euler-MacLaurin

1. Daca f : [a, b]→ R este o functie care se anuleaza, ımpreuna cu derivatele saleın a si b atunci potrivit formulei Euler-MacLaurin∫ b

a

f(x)dx = hm∑j=0

f(a+ jh)− h

2[f(a+mh) + f(a)]−

−n−1∑k=1

h2kB2k

(2k)![f (2k−1)(a+mh)− f (2k−1)(a)]− mh2n+1B2n

(2n)!f (2n)(ξ) =

= hm−1∑j=1

f(a+ jh)− (b− a)h2nB2n

(2n)!f (2n)(ξ) ≈ h

m−1∑j=1

f(a+ jh), (5.63)

unde h = b−am,m ∈ N∗.

2. Fie f : (−1, 1)→ R o functie indefinit derivabila. Pentru calculul integralei∫ 1

−1

f(x)dx

acesta se transforma ıntr-o integrala pe (−∞,∞), printr-o schimbare de variabilax = g(t), unde g este o functie indefinit derivabila cu proprietatea ca g′ ımpreunacu derivatele ei de ordin superior tind repede catre 0, pentru t→∞.

Astfel ∫ 1

−1

f(x)dx =

∫ ∞−∞

f(g(t))g′(t)dt = h

∞∑j=−∞

wjf(xj) +R,

unde xj = g(jh) si wj = g′(jh).Practic, potrivit (5.63), calculul integralei revine la evaluarea sumei

h∑|j|<M

wjf(xj).

Variante uzuale pentru functia g sunt

• g(t) = 2√π

∫ t0e−s

2ds = erf(t);

• g(t) = tanh(sinh t), g′(t) = cosh tcosh2(sinh t)

.


3. Algoritmul lui Romberg. Rescriem formula Euler-MacLaurin (5.62) subforma ∫ b

a

f(x)dx = h

(1

2f(a) +

m−1∑j=1

f(a+ jh) +1

2f(b)

)−

−n−1∑k=1

h2kB2k

(2k)![f (2k−1)(b)− f (2k−1)(a)]− (b− a)

h2nB2n

(2n)!f (2n)(ξ),

unde h = b−am, ξ ∈ (a, b).

Definind ϕ(h) = h[12f(a) +

∑m−1j=1 f(a + jh) + 1

2f(b)] se obtine o formula de

tip (4.4). Aplicand extrapolarea Richardson se obtin aproximari de ordin supe-rior a integralei. Acesta aplicare a extrapolarii Richardson la metoda trapezelordefineste algorimul lui Romberg.


P 5.1 Sa se calculeze restul ın formula trapezului fara particularizarea rezultat-ului teoremei 5.3.3.

R. Pentru evaluarea restului

R(f) =

∫ b

a

f(x)dx− 1

2(b− a)[f(a) + f(b)]

introducem functia

ϕ(h) =

∫ a+h

a

f(x)dx− h

2[f(a) + f(a+ h)]

si observam ca ϕ(b− a) = R(f). Derivatele de ordinul ıntai si doi ale lui ϕ sunt

ϕ′(h) = 12[f(a+ h)− f(a)]− h

2f ′(a+ h)

ϕ′′(h) = −h2f ′′(a+ h)

si exprimand functia ϕ prin polinomul lui Taylor cu restul sub forma integrala 1

1Pentru o functie f formula de reprezentare prin polinomul lui Taylor cu restul sub formaintegrala este:

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) + . . . +

f (n)(a)

n!(x− a)n +

∫ x

a

(x− t)n

n!f (n+1)(t)dt.

Formula rezulta ın urma a n integrari prin parti a integralei din membrul drept.


obtinem

ϕ(h) = ϕ(0) +ϕ′(0)

1!h+

∫ h

0

(h− t)ϕ′′(t)dt = −1

2

∫ h

0

(h− t)f ′′(a+ t)dt.

Aplicand prima teorema de medie a calculului integral, gasim

ϕ(h) = −f′′(ξ)

2

∫ h

0

(h− t)dt = −f′′(ξ)h3

12,

unde ξ ∈ (a, a+ h).In particular, pentru h = b− a, obtinem

ϕ(b− a) = R(f) = −f′′(ξ)(b− a)3

12.

P 5.2 Sa se calculeze restul ın formula lui Simpson fara particularizarea rezul-tatului teoremei 5.3.3.

R. Expresia restului este

R(f) =

∫ b

a

f(x)dx− 1

6(b− a)[f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)].

Introducem functia

ϕ(h) =

∫ c+h

c−hf(x)dx− h

3[f(c− h) + 4f(c) + f(c+ h)],

unde c = a+b2

si observam ca ϕ( b−a2

) = R(f). Evaluarea restului se obtineasemanator cu metoda utilizata ın cazul formulei trapezului. Calculam derivatelefunctiei ϕ

ϕ′(h) = f(c+h)+f(c−h)− 1

3[f(c−h)+4f(c)+f(c+h)]−h

3[f ′(c+h)−f ′(c−h)] =

=2

3[f(c− h)− 2f(c) + f(c+ h)]− h

3[f ′(c+ h)− f ′(c− h)];

ϕ′′(h) = 13[f ′(c+ h)− f ′(c− h)]− h

3[f ′′(c+ h) + f ′′(c− h)];

ϕ(3)(h) = −h3[f (3)(c+ h)− f (3)(c− h)] = −2h2

3f (4)(η(h)) c− h < η < c+ h;

si prin urmare

ϕ(h) = ϕ(0)+ϕ′(0)

1!h+

ϕ′′(0)

2!h2 +

∫ h

0

(h− t)2

2ϕ(3)(t)dt =

1

2

∫ h

0

(h−t)2ϕ(3)(t)dt =


= −1

3

∫ h

0

(h− t)2t2f (4)(η(t))dt.

Din egalitatea f (4)(η(t)) = f (3)(c+t)−f (3)(c−t)2t

rezulta ca functia t 7→ f (4)(η(t)) estecontinua ın [0, h]. Aplicand teorema de medie a calculului integral gasim

ϕ(h) = −h5

90f (4)(ξ),

unde ξ ∈ (c− h, c+ h).In particular, pentru h = b−a

2, gasim

ϕ(h) = −(b− a)5

2880f (4)(ξ).

P 5.3 Sa se demonstreze formulele

1.∫ 1

0f(x)dx = 1

2[f(0) + f(1)]− 1

2

∫ 1

0f ′′(x)x(1− x)dx;

2.∫ 1

0f(x)dx =

= 16[f(0) + 4f(1

2) + f(1)]− 1

6

∫ 12

0(1

2− x)2x[f (3)(1

2+ x)− f (3)(1

2− x)]dx.

R. Se utilizeaza metoda din problemele anterioare, pentru

1. ϕ(x) =

∫ x

0

f(t)dt− x

2(f(0) + f(x)).

2. ϕ(x) =

∫ 12

+x

12−x

f(t)dt− x

3(f(

1

2− x) + 4f(

1

2) + f(

1

2+ x)).

P 5.4 Sa se arate ca aplicand formula trapezelor cu parametrul de discretizaren > m, integrala

∫ 2π

0(a0+

∑mk=1(ak cos kx+bk sin kx))dx se calculeaza fara eroare.

P 5.5 Daca f : [a, b]→ R este o functie convexa si derivabila sa se demonstrezeinegalitatile

• (b− a)f(a+b2

) ≤∫ baf(x)dx ≤ (b−a)(f(a)+f(b))

2;

• Km ≤∫ baf(x)dx ≤ Im.

R. Se utilizeaza relatiile x = b−xb−aa+ x−a

b−a b si f(x)− f(a+b2

) ≥ f ′(a+b2

)(x− a+b2

).


P 5.6 Daca (Qk)k∈N este un sir de polinoame ortogonale cu ponderea ρ ın inter-valul I si x1, . . . , xn sunt radacinile polinomului Qn(x) = an

∏ni=1(x− xi) atunci

are loc formula

L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x) =n−1∑k=0

ckQk(x), (5.64)

cu ck = 1d2k

∑ni=1Aif(xi)Qk(xi). Notatiile dk, Ai au semnificatiile din sectiunea

Formulei de integrare numerica de tip Gauss.

R. Deoarece Q0, Q1, . . . , Qn−1 formeaza o baza ın spatiul liniar al polinoamelorPn−1 are loc o relatie de forma (5.64).

In vederea determinarii coeficientilor ck se ınmulteste (5.64) cu ρ(x)Qj(x), j ∈0, 1, . . . , n− 1 si se integreaza ın I. Se obtine∫

I

ρ(x)L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x)Qj(x)dx =n−1∑k=0

ck

∫I

ρ(x)Qk(x)Qj(x)dx =

=n−1∑k=0

ckδk,jd2j = cjd

2j .

Pe de alta parte, integrala din membrul stang se calculeaza cu formula de inte-grare numerica Gauss. Deoarere L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x)Qj(x) ∈ Pn+j−1 ⊆ P2n−2

restul este 0.∫I

ρ(x)L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x)Qj(x)dx =n∑i=1

Aif(xi)Qj(xi).

Relatia ceruta rezulta din cele doua egalitati obtinute.

P 5.7 O formula de integrare numerica de forma

I(f) =

∫I

ρ(x)f(x)dx ≈

≈ In(f) =

∫I

ρ(x)L(Pn−1;x1, . . . , xn; f)(x)dx =n∑i=1

aif(xi)

are ordinul de exactitate n+ k daca si numai daca∫I

ρ(x)u(x)p(x)dx = 0, ∀ p ∈ Pk,

unde u(x) =∏n

i=1(x− xi).


R. Daca p ∈ Pn−1 atunci p(x) = L(Pn−1;x1, . . . , xn; p)(x) si deci I(p) = In(p).1. Presupunem ca ordinul de exactitate este n+ k si p ∈ Pk. Atunci up ∈ Pn+k siın consecinta

I(up) =

∫I

ρ(x)u(x)p(x)dx = In(up) =n∑i=0

aiu(xi)p(xi) = 0.

2. Reciproc, fie p ∈ Pn+k si p = qu + r, identitatea ımpartirii lui p la u. Atunciq ∈ Pk si r ∈ Pn−1. Are loc egalitatea∫

I

ρ(x)p(x)dx =

∫I

ρ(x)q(x)u(x)dx+

∫I

ρ(x)r(x)dx.

Potrivit ipotezei, primul termen este nul iar pentru ultimul au loc egalitatile∫I

ρ(x)p(x)dx = I(r) = In(r) =n∑i=1

air(xi) =n∑i=1

aip(xi) = In(p).

P 5.8 Sa se deduca formula de integrare numerica de tip Gauss∫ 1

−1

f(x)√1− x2

dx =π

n+ 1

n∑k=0

f(

cos(2k + 1)π

2(n+ 1)

)+R(f).

Daca f are derivata de ordinul 2n+ 2 continua atunci

R(f) =π

22n+1(2n+ 2)!f (2n+2)(ξ), −1 < ξ < 1.

R. Nodurile formulei de integrare numerica sunt radacinile polinomului lui CebısevTn+1(x). In consecinta u(x) = 1

2nTn+1(x). Daca tk = (2k+1)π

2(n+1), xk = cos tk atunci

u′(xk) = (−1)k(n+1)2n sin tk

si

Ak =

∫ 1

−1

u(x)

(x− xk)u′(xk)dx =

(−1)k sin tkn+ 1

∫ π

0

cos (n+ 1)t

cos t− cos tkdt.

Integralele de tipul celui de mai sus se calculeaza aplicand teorema semirezidu-urilor

Iν =

∫ π

0

cos νt

cos t− cosadt =

1

2

∫ π

−π

cos νt

cos t− cosadt =

1

2

∫ π

−π

(cos t+ i sin t)ν

cos t− cosadt =


1

i

∫|z|=1

zν

z2 − 2z cos a+ 1dz =

π sin νa

sin a.

Din Teorema 5.8.3

R(f) =f 2n+2(ξ)

(2n+ 2)!

∫ 1

−1

1√1− x2

(Tn+1(x)

2n

)2

dx.

P 5.9 Daca Cn,i = (−1)n−i

n i! (n−i)!

∫ n0t(t− 1) . . . (t− i+ 1)(i− i− 1) . . . (t− n)dt este

un numar Cotes atunci limn→∞Cn,2 =∞.

R. Notand hn,k = 12n(n−2)!

∫ k+1

kt(t− 1)(t− 3) . . . (t− n)dt au loc evaluarile:

•|hn,1| =

1

2n(n− 2)!

∣∣∣∣∫ 2

1

t(t− 1)(t− 3) . . . (t− n)dt

∣∣∣∣ =

=1

2n(n− 2)!

∫ 2

1

t(t− 1)(3− t) . . . (n− t)dt ≤ 2(n− 1)!

2n(n− 2)!=n− 1

n.

•|hn,n−1| =

1

2n(n− 2)!

∣∣∣∣∫ n

n−1

t(t− 1)(t− 3) . . . (t− n)dt

∣∣∣∣ =

=1

2n(n− 2)!

∫ n

n−1

t(t− 1)(t− 3) . . . (t− n+ 1)(n− t)dt ≤

≤ 1

2n(n− 2)!

n!

n− 2=

n− 1

2(n− 2).

• Pentru k ∈ 2, 3, . . . , n− 2

|hn,k| =1

2n(n− 2)!

∣∣∣∣∫ k+1

k

t(t− 1)(t− 3) . . . (t− n)dt

∣∣∣∣ =

=1

2n(n− 2)!

∫ n

n−1

t(t− 1)(t− 3) . . . (t− k)(k + 1− t) . . . (n− t)dt ≤

≤ 1

2n(n− 2)!

(k + 1)!(n− k)!

k − 1=k − 1

k + 1

k!(n− k)!

2(n− 2)!

1

n.

Deoarece

k + 1

k − 1≤ 3,

k!(n− k)!

2(n− 2)!=

(n2

)(nk

) ≤ 1

rezulta |hn,k| ≤ 3n.


•|hn,0| =

1

2n(n− 2)!

∣∣∣∣∫ 1

0

t(t− 1)(t− 3) . . . (t− n)dt

∣∣∣∣ =

=1

2n(n− 2)!

∫ 1

0

t(1− t)(3− t) . . . (n− t)dt ≥

≥ 1

2n(n− 2)!

∫ 23

13

t(1− t)(3− t) . . . (n− t)dt ≥

=1

2n(n− 2)!

1

3

1

3(3−2

3) . . . (n−1

3)1

3=

1

54n(n− 2)!(2+

1

3)(3+

1

3) . . . (n−1+

1

3).

Dar inegalitatea (x+ 2)(x+ 3) . . . (x+ n− 1) =

= xn−1 + . . .+ [2 · 3 . . . (n− 2) + . . .+ 3 · 4 . . . (n− 1)]x+ (n− 1)! ≥

≥ (n− 1)!

(1

n− 1+

1

n− 2+ . . .+

1

2

)x,

particularizata pentru x = 13

da

(2 +1

3)(3 +

1

3) . . . (n− 1 +

1

3) ≥ (n− 1)!

(1

n− 1+

1

n− 2+ . . .+

1

2

)1

3.

In consecinta |hn,0| ≥ n−1162n

(1

n−1+ 1

n−2+ . . .+ 1

2

)≥ n−1

162nln n

2.

Au loc inegalitatile

|Cn,2| =1

2n(n− 2)!

∣∣∣∣∫ n

0

t(t− 1)(t− 3) . . . (t− n)dt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣n−1∑k=0

hn,k

∣∣∣∣∣ ≥≥ |hn,0| −

n−1∑k=1

|hn,k| ≥n− 1

162nlnn

2− n− 1

n− (n− 3)

3

n− n− 1

2(n− 2)→∞, n→∞.

P 5.10 Fie h = b−an. Daca σn = (b − a)

∑ni=0Cn,iδa+ih este functionala din

C∗[a, b] corespunzatoare formulei de integrare numerica Newton-Cotes∫ b

a

f(x)dx = (b− a)n∑i=0

Cn,if(a+ ih) +Rn(f),

atunci sirul de functionale (σn)n∈N∗ nu converge ın topologia slaba din C∗[a, b]

catre functionala I(f) =∫ baf(x)dx.


P 5.11 Sa se arate ca sirul functionalelor (Im)m∈N∗ , (Jm)m∈N∗ , (Km)m∈N∗ def-inite prin schema de aplicare practica a formulei trapezului, Simpson, respectivdreptunghiului converge punctual catre functionala I.

P 5.12 Daca (pk)k∈N este un sir de polinoame ortogonale monice ın intervalulI cu ponderea ρ(x), pn(x) = xn +

∑n−1j=0 ajx

j atunci coeficientii a0, a1, . . . , an−1

satifac sistemul algebric de ecuatii liniareµ0 µ1 . . . µn−1

µ1 µ2 . . . µn...

.... . .

...µn−1 µn . . . µ2n−2

a0

a1...

an−1

= −

µnµn+1

...µ2n−1

,

unde µk =∫Iρ(x)xkdx.

R. Pentru k ∈ 0, 1, . . . , n− 1 au loc relatiile

0 =

∫I

pn(x)xkdx = µn+k +n−1∑j=0

ajµj+k.

P 5.13 Utilizand notatiile problemei anterioare (5.12), daca (Qn)n∈N este un sirde polinoame ortogonale cu ponderea ρ(x) ın intervalul I atunci

Qn(x) = an

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 . . . µnµ1 µ1 . . . µn+1...

. . ....

µn−1 µn . . . µ2n−1

1 x . . . xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,

unde an este o constanta.

R. Solutia 1. Notam prin D(x) determinantul din enuntul problemei. D(x) ∈ Pnsi ∫

I

ρ(x)xiD(x)dx = 0, i ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

Prin urmareD(x) este polinom ortogonal cu ponderea ρ ın intervalul I pe multimeapolinoamelor de grad n− 1, Pn−1.


Solutia 2. Daca Qn(x) = cnxn + cn−1x

n−1 + . . . + c1x + c0 atunci succesivpentru = 0, 1, . . . , n − 1, ınmultind Qn(x) cu xiρ(x) si integrand ın I se obtinesistemul algebric omogen de n ecuatii liniare cu n+ 1 necunoscute

µ0 µ1 . . . µn−1 µnµ1 µ1 . . . µn µ)n+ 1...

. . ....

µn−1 µn . . . µ2n−2 µ2n−1

c0

c1...

cn−1

cn

=

00...00

.

Rangul matricei sistemului este n, primele n coloane formeaza matricea HankelHn (K.3). Solutia se obtine rezolvand sistemul

µ0 µ1 . . . µn−1

µ1 µ1 . . . µn...

. . ....

µn−1 µn . . . µ2n−2

c0

c1...

cn−1

= −cn

µnµn+1

...µ2n−1

.

Rezulta

ci = − cn∆n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣µ0 . . . µi−1 µn µi+1 . . . µn−1

µ1 . . . µi µn+1 µi+2 . . . µn...

......

µn−1 . . . µn+i−2 µ2n−1 µn+i . . . µ2n−2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

=(−1)n−icn

∆n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣µ0 . . . µi−1 µi+1 . . . µn−1 µnµ1 . . . µi µi+2 . . . µn µn+1...

......

µn−1 . . . µn+i−2 µn+i . . . µ2n−2 µ2n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , (5.65)

unde ∆n = |Hn| si i = 0, 1, . . . , n − 1. Pentru simplificarea scrierii notam deter-minantul din (5.65) prin ∆i. Astfel

ci =(−1)n−icn

∆n

∆i.

Expresia polinomului Qn(x) devine

Qn(x) =cn∆n

((−1)n∆0 + (−1)n−1∆1x+ . . .+ (−1)∆n−1x

n−1 + ∆nxn).

Se observa ca expresia din paranteza de mai sus este dezvoltarea determinantuluidin enunt dupa ultima linie.


P 5.14 Sa se deduca formula de integrare numerica Gauss-Hermite∫ ∞−∞

e−x2

f(x)dx =n∑j=1

Ajf(xj) +R(f),

unde x1, . . . , xn sunt radacinile polinomului lui Hermite Hn(x) iar Ai = 2n−1n!√π

n2H2n−1(xi)

.

R. Polinoamele lui Hermite sunt ortogonale ın R cu ponderea e−x2, coeficientul

termenului dominant a lui Hk este ak = 2k iar d2k = 2kk!

√π.

Potrivit Teoremei 5.8.5

Ai =and

2n−1

an−1Q′n(xi)Qn−1(xi)=

2n2n−1(n− 1)!√π

2n−1H ′n(xi)Hn−1(xi)

si se tine seama de egalitatea H ′n(x) = 2nHn−1(x).

P 5.15 Sa se deduca formula de integrare numerica Gauss-Laguerre∫ ∞0

e−xf(x)dx =n∑j=1

Ajf(xj) +R(f),

unde x1, . . . , xn sunt radacinile polinomului lui Laguerre Ln(x) = L<0>n (x) iar

Ai = xi(n+1)2L2

n+1(xi).

R. Polinoamele lui Laguerre Ln(x) sunt ortogonale ın (0,∞) cu ponderea e−x.Din (K.19), Ln(x) = ex

n!dn

dxn(xnex), rezulta ca coeficientul termenului dominant

este an = (−1)n

n!.

Potrivit lui (K.25) d2n = 1.

Formula de recurenta (K.23) este

(n+ 1)Ln+1(x)− (2n+ 1− x)Ln(x) + nLn−1(x) = 0.

Pentru x := xn se obtine Ln−1(xi) = −n+1nLn+1(xi).

Din relatiile (K.22) si respectiv (K.21)

(n+ 1)L′n+1(x)− (n+ 1)Ln+1(x) + (2n+ 2− x)Ln(x) + (x− n− 1)L′n(x) = 0,

L′n+1(x)− L′n(x) + Ln(x) = 0


pentru x = xi se obtin L′n+1(xi) = L′n(xi) si

(n+1)(L′n+1(xi)−Ln+1(xi)−L′n(xi))+xiL′n(xi) = 0 ⇒ L′n(xi) =

(n+ 1)Ln+1(xi)

xi.

Potrivit Teoremei 5.8.5

Ai =and

2n−1

an−1L′n(xi)Ln−1(xi)=

xi(n+ 1)2L2

n+1(xi).

P 5.16 Sa se arate cax

ex − 1=∞∑k=0

Bk

k!xk,

unde Bk, k ∈ N sunt numerele lui Bernoulli.

R. Dinx

ex − 1=

1∑∞k=1

xk−1

k!

=∞∑j=0

cjj!xj

se obtine egalitatea∑∞

k=1xk−1

k!

∑∞j=0

cjj!xj = 1 si prin identificarea coeficientilor

puterilor lui x rezulta egalitatile

c0 = 1cnn!1!

+ cn−1

(n−1)!2!+ . . .+ c1

1!n!+ c0

(n+1)!= 0

sau(n+ 1n

)cn +

(n+ 1n− 1

)cn−1 + . . .+

(n+ 1

1

)c1 +

(n+ 1

0

)c0 = 0.

Tinand seama de (5.53), inductiv se arata ca cn = Bn, ∀n ∈ N.

P 5.17 Sa se deduca egalitatea

1

ex − 1− 1

x+

1

2=∞∑j=1

B2j

(2j)!x2j−1.

P 5.18 Sa se arate ca∫ 1

0

Bn(x)Bm(x)dx = (−1)n−1 m!n!

(m+ n)!Bm+n.


R. Se fac integrari prin parti si se tine seama de egalilasile Bn(1) = Bn(0), n ≥ 2si B1(1) = 1

2, B1(0) = −1

2.

P 5.19 Fie Pn polinomul monic de grad n ortogonal cu ponderea ρ(x) ın inter-valul I pe Pn−1. Sa se arate ca daca P este un polinom monic de grad n atunci∫

I

ρ(x)P 2(x)dx ≥∫I

ρ(x)P 2n(x)dx.

R. P (x) = Pn(x) + r(x), r ∈ Pn−1.

P 5.20 Fie ρ o functie pondere para si (Qn)n∈N un sir de polinoame ortogonalecu ponderea ρ ın intervalul [−1, 1]. Sa se arate ca daca n este par / inpar atunciQn este functie para / impara.

R. Fie Pn sirul corespunzator de polinoame ortogonale monice. Vom utilizanotatiile (5.15). Inductie dupa n.

1. Pentru n = 0, Q0(x) = a0 care este functie para. Pentru n = 1, Q1(x) =a1x+ b1. In

0 =< Q1, Q0 >= a0a1

∫ 1

−1

ρ(x)xdx+ a0b1

∫ 1

−1

ρ(x)dx

functia din prima integrala este impara iar functia din a doua integrala este para.Rezulta b1 = 0, adica Q1(x) = a1x, functie impara.

2. Presupunem proprietatea adevarata pentru polinoame de grad cel mult n.Prin schimbarea de variabila x = −t ın < xPn, Pn > se obtine

< xPn, Pn >=

∫ 1

−1

ρ(x)xP 2n(x)dx = −

∫ 1

−1

ρ(−t)tP 2n(−t)dt = −

∫ 1

−1

ρ(t)tP 2n(t)dt,

de unde rezulta ca < xPn, Pn >= 0. Formula celor trei termeni (5.21) devine

xQn =anan+1

Qn+1 +an−1

an

d2n

d2n−1

Qn−1.

P 5.21 Fie formula de integrare numerica de tip Gauss∫I


Aif(xi) +R(f)


si u(x) =∏n

i=1(x− xi) = xn− (an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0) ortogonala pe Pn−1 cu

ponderea ρ(x) ın I.Daca yk =

∫Iρ(x)xkdx =

∑ni=1 Aix

ki , k ∈ 0, 1, . . . , 2n − 1 atunci sirul

(yi)0≤i≤2n−1 verifica ecuatia cu diferente liniara, omogena, cu coeficienti constantide ordin n

yn+s = a0ys + a1ys+1 + . . .+ an−1yn+s−1, s ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

P 5.22 Daca u(x) =∏n

i=1(x − xi) este ortogonal cu ponderea ρ ın intervalul I

pe Pn−1 atunci polinoamele fundamentale Lagrange li(x) = u(x)(x−xi)u′(xi) sunt ortog-

onale.

P 5.23 Daca I = (−a, a), ρ(−x) = ρ(x) si (Pn)n∈N este sirul polinoamelor ortog-onale monice cu ponderea ρ ın intervalul I atunci Pn(−x) = (−1)nP (x), ∀n ∈ N.

R. Daca Pn(x) = (−1)nP (−x) atunci∫I

ρ(x)Pn(x)Pk(x)dx = (−1)k+n

∫I

ρ(x)Pn(x)Pk(x)dx,

adica (Pn)n∈N este sir de polinoame ortogonale monice cu ponderea ρ ın I. Pro-prietatea de unicitate implica Pn(x) = P (x).

P 5.24 In ipotezele Problemei 5.23 formula celor trei termeni este

Pn+1(x) = xPn(x)− βnPn−1(x),

cu βn = <Pn,Pn><Pn−1,Pn−1>

.

P 5.25 Daca (Pn)n∈N este un sir de polinoame monice, ortogonale ın intervalulI, cu ponderea ρ, atunci P ′n+1(x)Pn(x)− P ′n(x)Pn+1(x) > 0, x ∈ R.

R. In formula Darboux-Christoffel se calculeaza limita cand x→ y.

Capitolul 6

Metoda celor mai mici patrate

Problema aproximarii unei functii printr-o alta functie dintr-o clasa conven-abila prin metoda celor mai mici patrate este prezentata ın mai multe ipostaze.

6.1 Construirea unei functii de aproximare

prin metoda celor mai mici patrate

Cazul discret. Reluam problema aproximarii unei functii cunoscuta prinvalorile y1, y2, . . . , yn date respectiv ın punctele x1, x2, . . . , xn, distincte doua catedoua.

Pentru n mare, aproximatia data de o functie de interpolare este improprieutilizarii ın cazul ın care intereseaza expresia functiei obtinute. Un alt mod deaproximare este furnizat de metoda celor mai mici patrate.

Fie m ∈ N,m < n. O functie F (x, c1, . . . , cm), fixata de parametrii c1, . . . , cmreprezinta o aproximatie construita prin metoda celor mai mici patrate daca

n∑k=1

[F (xk, c1, . . . , cm)− yk]2 =

= infn∑k=1

[F (xk, λ1, . . . , λm)− yk]2 : λ1, . . . , λm ∈ R

Ansamblul format din parametrii (c1, . . . , cm) defineste un punct de minim alfunctiei

Φ(λ1, . . . , λm) =n∑k=1

[F (xk, λ1, . . . , λm)− yk]2, (6.1)

173

174 CAPITOLUL 6. METODA CELOR MAI MICI PATRATE

si este o solutie a sistemului algebric (conditia necesara de optimalitate)

∂Φ

∂λi= 0, i = 1, 2, . . . ,m. (6.2)

Studiem cazul liniar. Fie ϕ1(x), . . . , ϕm(x) functii liniar independente si

F (x, λ1, . . . , λm) = λ1ϕ1(x) + . . .+ λmϕm(x).

In acest caz, sistemul (6.2) devine un sistem algebric de m ecuatii liniare cu mnecunoscute

∂Φ

∂λi(c1, . . . , cm) = 2

n∑k=1

[c1ϕ1(xk) + . . .+ cmϕm(xk)− yk]ϕi(xk) = 0, (6.3)

i = 1, 2, . . . ,m.

Utilizand notatiile

ai,j =n∑k=1

ϕi(xk)ϕj(xk) bi =n∑k=1

ykϕi(xk) (6.4)

sistemul (6.3) se scrie

m∑j=1

ai,jcj = bi i = 1, 2, . . . ,m. (6.5)

Matricea (ai,j)1≤i,j≤m a coeficientilor dati de formula (6.4) se numeste matriceaGram asociata problemei de aproximare prin metoda celor mai mici patrate con-siderata.

Astfel pentru obtinerea aproximatiei dorite trebuie parcursi urmatorii pasi:

1. Se alege m ∈ N∗ si functiile liniar independente ϕ1(x), . . . , ϕm(x).

2. Se calculeaza, conform formulelor (6.4) coeficientii (ai,j)1≤i,j≤m si (bi)1≤i≤m.

3. Se rezolva sistemul algebric de ecuatii liniare (6.5), rezultand coeficientiic1, c2, . . . , cm.

4. Se formeaza functia de aproximare

F (x, c1, . . . , cm) = c1ϕ1(x) + . . .+ cmϕm(x).

6.1. DETERMINAREA UNEI FUNCTII DE APROXIMARE 175

Expresia functiei de aproximare poate fi pus sub o forma matriceala. Fie matriceleU si Y definite prin

U =

ϕ1(x1) ϕ1(x2) . . . ϕ1(xn)ϕ2(x1) ϕ2(x2) . . . ϕ2(xn). . . . . . . . . . . .

ϕm(x1) ϕm(x2) . . . ϕm(xn)

Y =

y1

y2

. . .yn

.

Prin calcul direct obtinem egalitatile matriceale

U · UT = (n∑k=1

ϕi(xk)ϕj(xk))1≤i,j≤m = (ai,j)1≤i,j≤m

si

U · Y = (n∑k=1

ϕi(xk)yk)1≤i≤m = (bi)1≤i≤m.

Sistemul (6.5) se poate scrie

U · UT ·

c1

. . .cm

= U · Y ;

de unde c1

. . .cm

= (U · UT )−1 · U · Y,

iar expresia functiei de aproximare este

F (x) =< (U · UT )−1 · U · Y,

ϕ1(x). . .

ϕm(x)

>,

unde prin < ·, · > s-a notat produsul scalar din Rn.Fie vectorii

ui =

ϕi(x1)ϕi(x2)

...ϕi(xn)

∈ Rn i ∈ 1, . . . ,m.


Teorema 6.1.1 Daca vectorii u1, . . . , um sunt liniar independenti atunci ma-tricea sistemului algebric de ecuatii liniare (6.5) este nesingulara.

Demonstratia 1. Aplicand vectorilor liniar independenti u1, . . . , um procedeulde ortogonalizare Gram - Schmidt obtinem vectorii

vi =m∑p=1

αi,pup = [u1 . . . um]

αi,1...

αi,m

, i ∈ 1, . . . ,m,

astfel ıncat vTi vj = δi,j,∀i, j ∈ 1, . . . ,m, unde δi,j reprezinta simbolul lui Kro-necker. Ansamblul acestor relatii se poate scrie matriceal

V = [v1 . . . vm] = [u1 . . . um]Φ = UTΦ unde Φ =

α1,1 . . . αm,1...

. . ....

α1,m . . . αm,m

.

Datorita conditiilor de ortogonalitate V TV = Im. Pe de alta parte V TV =ΦTUUTΦ. In consecinta |ΦTUUTΦ| = |Φ|2|UUT | = 1, deci |UUT | 6= 0.

Demonstratia 2. Matricea UUT este simetrica si pozitiva. Este suficient sa searate ca este strict pozitiva, caz ın care UUT c = 0 ⇒ c = 0.

Liniar independenta liniilor lui U , adica a coloanelor lui UT se exprima prin

m∑i=0

ciuTi = 0 ⇒ c = (c1 . . . cm)T = 0

sau (UT c = 0 ⇒ c = 0

)⇔

(c 6= 0 ⇒ UT c 6= 0

).

Prin urmare < UUT c, c >= ‖UT c‖22 > 0, ∀c ∈ Rm, c 6= 0.

Are loc si proprietatea reciproca, daca matricea UUT este nesingulara, decistrict pozitiva, atunci liniile lui U sunt liniar independente. Intr-adevar, dacaUT c = 0 atunci UUT c = 0 si ın consecinta c = 0.

Utilizand notatiile introduse, problema initiala se poate reformula prin

Φ(λ) = ‖y − UTλ‖22 → min (6.6)

Aceasta forma conduce la dezvoltarea rezolvarii sistemelor algebrice de ecuatiiliniare ın sensul celor mai mici patrate.

6.1. DETERMINAREA UNEI FUNCTII DE APROXIMARE 177

Cazul neliniar.Introducem notatiile rk(λ1, . . . , λm) = F (xk, λ1, . . . , λm)− yk, k = 1, 2, . . . , n.Rescriem functionala de minimizat (6.1) sub forma

f(λ) =1

2Φ(λ) =

1

2

n∑i=1

r2i (λ) =

1

2||r(λ)‖2

2,

unde

λ =

λ1...λm

r(λ) =

r1(λ)...

rn(λ)

.

Pentru ınceput sa calculam gradientul si hessianul functiei f(λ)

f ′(λ) =

∂f(λ)∂λ1...

∂f(λ)∂λm

, H(λ) =

∂2f(λ)

∂λ21. . . ∂2f(λ)

∂λm∂λ1...

. . ....

∂2f(λ)∂λ1∂λm

. . . ∂2f(λ)∂λ2m

.

In acest scop notam

J(λ) =

∂r1(λ)∂λ1

. . . ∂r1(λ)∂λm

.... . .

...∂rn(λ)∂λ1

. . . ∂rn(λ)∂λm

, r′′k(λ) =

∂2rk(λ)

∂λ21. . . ∂2rk(λ)

∂λm∂λ1...

. . ....

∂2rk(λ)∂λ1∂λm

. . . ∂2rk(λ)∂λ2m

,

k = 1, 2, . . . , n.Din ∂f(λ)

∂λk=∑n

i=1 ri(λ)∂ri(λ)∂λk

rezulta

f ′(λ) = JT (λ)r(λ),

iar din ∂f2(λ)∂λj∂λk

=∑n

i=1(∂ri(λ)∂λj

∂ri(λ)∂λk

+ ri(λ) ∂2ri(λ)∂λj∂λk

rezulta

H(λ) = JT (λ)J(λ) +n∑i=1

ri(λ)r′′i (λ).

Rezolvarea sistemului algebric de ecuatii neliniare f ′(λ) = 0, (6.2), prinmetoda Newton-Kantorovici conduce la sirul de aproximatii

λ(k+1) = λ(k) − [H(λ(k))]−1f ′(λ(k)), k ∈ N, (6.7)


si este cunoscuta sub numele de metoda Gauss-Newton.Utilizarea metodei gradientului pentru minimizarea functiei f(λ) conduce la

sirul de aproximatii

λ(k+1) = λ(k) − µkf ′(λ(k)), k ∈ N. (6.8)

Metoda Levenberg-Marquardt este o combinatie empirica a formulelor (6.7)si (6.8)

λ(k+1) = λ(k) − [H(λ(k)) + µkdiagH(λ(k))]−1f ′(λ(k)), k ∈ N. (6.9)

Cazul continuu. Fie I ⊆ R un interval, ρ ∈ C(I) o functie pondere, ρ(x) >0, ∀x ∈ I. In C(I) se defineste produsul scalar

< f, g >=

∫I

ρ(x)f(x)g(x)dx.

Dandu-se (pk)k∈N un sir de functii (polinoame) ortogonale ın intervalul I cu pon-derea ρ, numarul n ∈ N si f ∈ C(I), se pune problema determinarii functieiϕ(x) =

∑nk=0 ckpk(x) care minimizeaza functionala

ϕ 7→ ‖f − ϕ‖22 =< f − ϕ, f − ϕ > .

Calculam

Φ(c0, c1, . . . , cn) = ‖f − ϕ‖22 =< f −

n∑k=0

ckpk, f −n∑k=0

ckpk >=

=< f, f > −2n∑k=0

ck < f, pk > +n∑k=0

c2k < pk, pk > .

Conditiile de optimalitate sunt

1

2

∂Φ

∂ci= − < f, pi > +ci < pi, pi >= 0, i = 0, 1, . . . , n.

Astfel ci = <f,pi><pi,pi>

si ϕ(x) =∑n

k=0<f,pk><pk,pk>

pk. Utilizand acest rezultat, avem

‖f − ϕ‖22 =< f, f > −

n∑k=0

< f, pk >2

< pk, pk >=< f, f > − < ϕ,ϕ >= (6.10)

= ‖f‖22 − ‖ϕ‖2

2,

6.2. APROXIMARE IN SPATII PREHILBERTIENE 179

relatie ce aminteste de teorema lui Pitagora. Din (6.10) rezulta inegalitatea luiBessel

n∑k=0

< f, pk >2

< pk, pk >≤ ‖f‖2 =

∫I

ρ(x)f 2(x)dx, (6.11)

adica convergenta seriei∑∞

k=0<f,pk>

2

<pk,pk>.

Teorema 6.1.2 Daca I = [a, b] este un interval compact si (pk)k∈N este un sirde polinoame ortogonale atunci are loc egalitatea lui Parceval

∞∑k=0

< f, pk >2

< pk, pk >= ‖f‖2

2.

Demonstratie.Potrivit Teoremei Weierstass, pentru orice f ∈ C[a, b] si orice ε > 0 exista un

polinom P astfel ıncat |f(x)− P (x)| < ε, ∀x ∈ [a, b]. Atunci

‖f − P‖22 =

∫ b

a

ρ(x)(f(x)− P (x))2dx < Cε2,

unde C =∫ baρ(x)dx.

Daca n este gradul polinomului P, atunci din definitia elementului de aproxi-mare de gradul n, construit prin metoda celor mai mici patrate, rezulta

‖f − ϕ‖22 ≤ ‖f − P‖2

2 < Cε2

si tinand cont de (6.10),

0 ≤ ‖f‖22 −

n∑k=0

< f, pk >2

< pk, pk >< Cε2,

adica limn→∞∑n

k=0<f,pk>

2

<pk,pk>= ‖f‖2

2.

Teorema anterioara sugereaza ideea determinarii lui n. Pentru ε > 0 dat, n sedetermina astfel ıncat sa fie satisfacuta inegalitatea ‖f‖2

2 −∑n

k=0<f,pk>

2

<pk,pk>< ε.

6.2 Metoda celor mai mici patrate ın spatii pre-

hilbertiene

Fie X un spatiu prehilbertian peste corpul K = R∨C, (wj)1≤j≤n o familie deelemente ortogonale

< wj, wk >= d2jδj,k, ∀j, k ∈ 1, . . . , n.


si subspatiul W = spanw1, . . . , wn.Ne propunem sa calculam elementul de aproximatie y =

∑nj=1 cjwj a unui

element x ∈ X, determinat prin metoda celor mai mici patrate:

‖n∑j=1

cjwj − x‖2 = inf‖n∑j=1

λjwj − x‖2 : λj ∈ K, 1 ≤ j ≤ n.

Problema revine la minimizarea functionalei Φ(λ1, . . . , λn) = ‖∑n

j=1 λjwj − x‖2.

Pentru w0 =∑n

j=11d2j< x,wj > wj au loc egalitatile

< w0 − x,wk = 0, ∀k ∈ 1, . . . , n.

Intr-adevar

< w0 − x,wk >=n∑j=1

1

d2j

< x,wj >< wj, wk > − < x,wk >= 0.

Au loc egalitatile

Φ(λ1, . . . , λn) = ‖n∑j=1

λjwj−w0+w0−x‖2 = ‖n∑j=1

(λj−1

d2j

< x,wj >)wj+w0−x‖2 =

=<n∑j=1

(λj −1

d2j

< x,wj >)wj + w0 − x,n∑k=1

(λk −1

d2k

< x,wk >)wk + w0 − x >=

=n∑j=1

|λj −1

d2j

< x,wj > |2 + 2<

(n∑j=1

(λj −1

d2j

< x,wj >) < w0 − x,wj >

)+

+‖w0 − x‖2 =n∑j=1

|λj −1

d2j

< x,wj > |2 + ‖w0 − x‖2.

Pentru λj = 1d2j< x,wj >, j ∈ 1, . . . , n se obtine valoarea minima a functionalei

Φ. Astfel elementul de aproximare cautat este

y =n∑j=1

1

d2j

< x,wj > wj. (6.12)

y este elementul de cea mai buna aproximatie a lui x prin elementele subspatiuluiW.

6.3. POLINOM TRIGONOMETRIC DE APROXIMARE 181

6.3 Polinom trigonometric de aproximare

construit prin metoda celor mai mici patrate

Fie C2π spatiul liniar al functiilor continue, periodice, cu periada 2π si

Tm = T (x) =α0

2+

m∑j=1

(αj cos jx+ βj sin jx) : α0, α1, . . . , αn, β1 . . . , βm ∈ R

multimea polinoamelor trigonometrice de grad m.Pentru o functie f ∈ C2π determinam un polinom trigonometric de grad m,

T0(x) =a0

2+

m∑j=1

(aj cos jx+ bj sin jx)

astfel ıncat∫ 2π

0

[T0(x)− f(x)]2dx = inf∫ 2π

0

[T(x)− f(x)]2dx : T ∈ Tm.

Functiile

p0(x) = 1, p2j(x) = cos jx, p2j−1(x) = sin jx, j ∈ N∗

formeaza un sir de functii ortogonale ın C2π.Utilizand rezultatele sectiunii anterioare, se obtine

a02

= c0 = <f,p0><p0,p0>

= 12π

∫ 2π

0f(x)dx,

aj = c2j =<f,p2j>

<p2j ,p2j>= 1

π

∫ 2π

0f(x) cos jxdx,

bj = c2j−1 =<f,p2j−1>

<p2j−1,p2j−1>= 1

π

∫ 2π

0f(x) sin jxdx,

j ∈ N∗.Astfel polinomul trigonometric de aproximare construit prin metoda celor mai

mici patrate coincide cu polinomul trigonometric ce rezulta ın urma trunchieriiseriei Fourier atasat functiei f .


P 6.1 Fie yi = f(xi), i ∈ 1, . . . , n, n ≥ m. Sa se arate ca daca ϕ1, . . . , ϕmsunt functii care verifica conditiile Teoremei 6.1.1, W = spanϕ1, . . . , ϕm sif =

∑mj=1 αjϕj ∈ W atunci functia de aproximare construita prin metoda celor

mai mici patrate din W pentru (xi, yi)1≤i≤n coincide cu f.


R. Utilizand notatiile utilizate ın Teorema 6.1.1 are loc relatia y = UTα, α =(α1, . . . , αm)T . Ecuatia UUT c = Uy devine UUT c = UUTα, de unde c = α.

P 6.2 Dandu-se punctele Pi(xi, yi), i ∈ 1, 2, . . . , n, sa se determine dreapta 4care minimizeaza suma patratelor distantelor de la punctul Pi la 4.

R. Alegand parametrii:

• d distanta de la origine la dreapta 4;

• α unghiul format de perpendiculara din origine pe dreapta 4 cu semiaxapozitiva a axei Ox

ecuatia dreptei 4 estex cosα + y sinα− d = 0.

Problema de optimizare devine

minα,d

n∑i=1

(xi cosα + yi sinα− d)2.

Conditiile de optimalitate conduc la sistemul algebric neliniar(∑n

i=0 xiyi) cos 2α + 12

(∑n

i=0(y2i − x2

i )) sin 2α++d (

∑ni=0 xi) sinα− d (

∑ni=0 yi) cosα = 0

(∑n

i=0 xi) cosα + (∑n

i=0 yi) sinα− nd = 0.

P 6.3 Fie f ∈ C[0, 1]. Sa se puna ın evidenta matricea Gram corespunzatoaresistemului algebric de ecuatii liniare ce rezulta ın cazul ın care elementul de aprox-imare construit prin metoda celor mai mici patrate are forma ϕ(x) =

∑nk=0 ckx

k.

P 6.4 Fie f(x) = 2x − 1 si ε > 0. Utilizand metoda celor mai mici patrate sase determine functia de aproximare q(x) =

∑nk=0 ak cos kπx astfel ıncat sa fie

satisfacuta conditia∫ 1

0[f(x)− q(x)]2dx < ε.

R. Fie qk(x) = cos kπx, k ∈ 0, 1, . . . , n. Au loc egalitatile∫ 1

0

q0(x)2dx = 1,

∫ 1

0

q1(x)2dx =1

2, k ∈ 1, 2, . . . , n,

∫ 1

0

qk(x)qj(x)dx = 0.

6.3. POLINOM TRIGONOMETRIC DE APROXIMARE 183

Metoda celor mai mici patrate da

a0 =

∫ 1

0

f(x)q0(x)dx, ak = 2

∫ 1

0

f(x)qk(x)dx, k ∈ 1, 2, . . . , n.

Inegalitatea ∫ 1

0

[f(x)− q(x)]2dx =1

3− a2

0 −1

2

n∑k=1

a2k < ε

serveste la determinarea lui n.

P 6.5 Fie X un spatiu prehilbertian si Y = spanx1, . . . , xn, unde xi ∈ X, i =1, . . . , n, sunt elemente ortonormate. Sa se arate ca elementul de cea mai bunaaproximatie a lui x ∈ Y prin elementele multimii Y, este y0 =

∑ni=1 < x, xi > xi.

R. Fie y =∑n

i=1 cixi un element din Y. Atunci

‖y − x‖22 =

n∑i=1

c2i − 2

n∑i=1

ci < xi, x > +‖x‖22 =

= ‖x‖22 −

n∑i=1

< xi, x >2 +

n∑i=1

(ci− < xi, x >)2.

Pentru ci =< xi, x > expresia de mai sus este minima.

P 6.6 1. Fie X = Cn+1[a, b] si a ≤ x1 < x2 < . . . < xn+1 ≤ b. Sa se arate ca

< f, g >1=n+1∑i=1

f(xi)g(xi) +

∫ b

a

f (n+1)(x)g(n+1)(x)dx

este un produs scalar ın X.

2. Daca li(x) = (x−x1)...(x−xi−1)(x−xi+1)...(x−xn+1)(xi−x1)...(xi−xi−1)(xi−xi+1)...(xi−xn+1)

, i = 1, . . . , n + 1 si Y =

spanl1, . . . , ln+1 = Pn ⊂ Cn+1[a, b], sa se arate ca elementul de cea maibuna aproximare a unei functii f ∈ Cn+1[a, b] prin elementele multimii Y,ın sensul normei generate de produsul scalar < ·, · >1, este polinomul deinterpolare Lagrange L(Pn;x1, . . . , xn+1; f).

P 6.7 1. Fie X = Cn+1[a, b] si x0 ∈ [a, b] Sa se arate ca

< f, g >2=n∑i=0

f (i)(x0)g(i)(x0)

i!2+

∫ b

a

f (n+1)(x)g(n+1)(x)dx

este un produs scalar ın X.


2. Daca ei(x) = (x − x0)i, i = 0, . . . , n si Y = spane0, . . . , en = Pn ⊂Cn+1[a, b], sa se arate ca elementul de cea mai buna aproximare a uneifunctii f ∈ Cn+1[a, b] prin elementele multimii Y, ın sensul normei gener-ate de produsul scalar < ·, · >2, este polinomul lui Taylor Tn(f, x0)(x) =∑n

i=0f (i)(x0)

i!(x− x0)i.

P 6.8 Fie X un spatiu prehilbertian real. Elementele x1, x2, . . . , xn sunt liniarindependente daca si numai daca matricea G = (< xi, xj >)1≤i,j≤n este strictpozitiv definita.

R. Daca a = (a1, a2, . . . , an)T si x =∑n

i=1 aixi atunci ‖x‖2 =< x, x >= aTGa.

Capitolul 7

Transformarea Fourier discreta

Notam prin Cn multimea sirurilor de numere complexe, periodice cu perioadan :

Cn = x = (xk)k∈Z : xk ∈ C, xk = xk+n,∀k ∈ Z.

Un sir x ∈ Cn este determinat de elementele x0, x1, . . . , xn−1, restul elementelorse obtin prin periodicitate. Se va folosi notatia x = (xk)0≤k≤n−1 ∈ Cn.

7.1 Transformata Fourier discreta

Transformarea Fourier discreta (TFD) este un operator liniar F : Cn → Cn

definit priny = F (x), x = (xk)0≤k≤n−1 y = (yk)0≤k≤n−1

yk =n−1∑j=0

xjw−kj 0 ≤ k ≤ n− 1, (7.1)

unde w = ei2πn . Sirul y se numeste transformata Fourier discreta a sirului x.

Matriceal transformarea Fourier discreta se scriey0

y1

y2...

yn−1

=

1 1 1 . . . 11 w−1 w−2 . . . w−n+1

1 w−2 w−4 . . . w−2n+2

......

.... . .

...

1 w−n+1 w−2n+2 . . . w−(n−1)2

x0

x1

x2...

xn−1

.

Transforma Fourier discreta inversa. Presupunem ca ın relatiile (7.1)

185

186 CAPITOLUL 7. TRANSFORMAREA FOURIER DISCRETA

este cunoscuta transformata Fourier discreta (sirul imagine) y =(yk)0≤k≤n−1 si vom determina sirul original x = (xk)0≤k≤n−1.

Inmultind relatiile (7.1), respectiv cu wkp, k = 0, 1, . . . , n − 1 si adunandobtinem

n−1∑k=0

ykwkp =

n−1∑j=0

xj

n−1∑k=0

wk(p−j)

si folosind (8.11) rezulta

xp =1

n

n−1∑k=0

ykwkp.

Teorema 7.1.1 Daca n = 2m si x = (xj)j∈Z este un sir periodic, cu perioada n,de numere reale, atunci yn−k = yk, k ∈ 0, . . . , n− 1, unde y = Fn(x) = (yk)j∈Zsi yk este conjugatul lui yk.

Demonstratie. Fie k ∈ 0, 1, . . . , n2. Atunci

yn−k =n−1∑j=0

xjw−(n−k)j =

n−1∑j=0

xjwkj = yk.

Astfel TFD a unui sir de numere reale x = (xj)j∈Z cu periada n = 2m estedefinit de n

2+ 1 = 2m−1 + 1 numere complexe y0, y1, . . . , yn

2.

Teorema 7.1.2 Daca x = (xk)k∈Z si y = (yk)k∈Z sunt doua siruri din Cn avandtransformatele Fourier discrete sirurile X = (Xk)k∈Z = Fn(x) si respectiv Y =(Yk)k∈Z atunci au loc egalitatile∑n−1

k=0 xkyk = n∑n−1

k=0 XkY k,∑n−1k=0 |xk|2 = n

∑n−1k=0 |Xk|2.

Demonstratie. Prima relatie rezulta din

n−1∑k=0

XkY k =n−1∑k=0

Xk

n−1∑j=0

yjwjk = n

n−1∑j=0

yj1

n

n−1∑k=0

Xkwjk = n

n−1∑j=0

xjyj.

A doua relatie rezulta din prima pentru y = x.

7.1. TRANSFORMATA FOURIER DISCRETA 187

Produsul de convolutie.1 Daca x, y ∈ Cn atunci produsul lor de convolutiez = x ∗ y este sirul z = (zk)k∈Z definit prin

zk =n−1∑j=0

xjyk−j ∀k ∈ Z.

Legat de produsul de convolutie au loc urmatoarele proprietati ale trans-formarii Fourier discreta

Teorema 7.1.3 Au loc egalitatile:

1. F (x ∗ y) = F (x) · F (y);

2. F−1(x ∗ y) = nF−1(x) · F−1(y);

3. F (x) ∗ F (y) = nF (x · y).

Demonstratie. Fie x = (xk)k∈Z, y = (yk)k∈Z ∈ Cn.1. Daca

F (x) = X = (Xk)k∈Z F (y) = Y = (Yk)k∈Z,u = x ∗ y = (uk)k∈Z F (u) = U = (Uk)k∈Z.

atunci au loc egalitatile

Uk =n−1∑j=0

ujw−kj =

n−1∑j=0

(n−1∑s=0

xsyj−s)w−kj =

n−1∑s=0

xsw−sk

n−1∑j=0

yj−sw−k(j−s).

Prin schimbarea de indice l = j − s suma interioara devine

n−1∑j=0

yj−sw−k(j−s) =

n−1−s∑l=−s

ylw−kl =

−1∑l=−s

ylw−kl +

n−1−s∑l=0

ylw−kl.

Tinand seama de periodicitatea sirului y si de definitia lui w

−1∑l=−s

ylw−kl =

−1∑l=−s

yl+nw−k(l+n) =

n−1∑l=n−s

ylw−kl.

Asadar∑n−1

j=0 yj−sw−k(j−s) =

∑n−1l=0 ylw

−kl si ın consecinta

Uk =n−1∑s=0

xsw−sk

n−1∑l=0

ylw−kl = Xk · Yk.

1A nu se confunda cu notiunea omonima definita la transformarea z din Cap. 1.


2. Procedand asemanator, daca

F−1(x) = X = (Xk)k∈Z F−1(y) = Y = (Yk)k∈Z,u = x ∗ y = (uk)k∈Z F−1(u) = U = (Uk)k∈Z.


Uk =1

n

n−1∑j=0

ujwkj =

1

n

n−1∑j=0

(n−1∑s=0

xsyj−s)wkj =

1

n

n−1∑s=0

xswsk

n−1∑j=0

yj−swk(j−s) =

= n(1

n

n−1∑s=0

xswsk)(

1

n

n−1∑l=0

ylwkl) = nXk · Yk.

3. DacaF (x) = X = (Xk)k∈Z F (y) = Y = (Yk)k∈Z,u = xy = (xkyk)k∈Z F (u) = U = (Uk)k∈Z.


(X ∗ Y )k =n−1∑j=0

XjYk−j =n−1∑j=0

(n−1∑s=0

xsw−js)Yk−j =

n−1∑s=0

xsw−sk

n−1∑j=0

Yk−jws(k−j).

Prin schimbarea de indice l = k − j suma interioara devine

n−1∑j=0

Yk−jws(k−j) =

k∑l=k+1−n

Ylwsl =

−1∑l=k+1−n

Ylwsl +

k∑l=0

Ylwsl.

Tinand seama de periodicitatea sirului Y si de definitia lui w

−1∑l=k+1−n

Ylwsl =

−1∑l=k+1−n

Yl+nws(l+n) =

n−1∑l=k+1

Ylwsl.

Asadar∑n−1

j=0 Yk−jws(k−j) =

∑n−1l=0 Ylw

sl = nys si ın consecinta

(X ∗ Y )k = n

n−1∑s=0

xsyyw−sk = n

n−1∑s=0

usw−sk = nUk.

7.2. ALGORITMUL TRANSFORMARII FOURIER DISCRETA RAPIDA 189

7.2 Algoritmul transformarii Fourier discreta rapida

Fie n = 2m si pentru simplificarea expunerii alegem m = 3. Daca k, j ∈0, 1, . . . , 2m − 1 = 7 atunci au loc reprezentarile k = k222 + k12 + k0, j =j222 + j12 + j0 unde k0, k1, k2, j0, j1, j2 sunt cifre binare. Folosim notatiile yk =y(k2, k1, k0) si xj = x(j2, j1, j0).

Transformarea Fourier discreta a sirului x devine

yk = y(k2, k1, k0) =7∑j=0

xjw−kj =

1∑j0=0

1∑j1=0

1∑j2=0

w−k(j222+j12+j0)x(j2, j1, j0) =

=1∑

j0=0

w−kj01∑

j1=0

w−2kj1

1∑j2=0

xjw−22kj2x(j2, j1, j0).

Observand ca w−22kj2 = w−4k0j2 , w−2kj1 = w−2(2k1+k0)j1 , w−kj0 = w−(4k2+2k1+k0)j0

suma interioara este

1∑j2=0

x(j2, j1, j0)w−22kj2 =1∑

j2=0

x(j2, j1, j0)w−4k0j2 = x1(k0, j1, j0).

Rezulta

yk = y(k2, k1, k0) =1∑

j0=0

w−kj01∑

j1=0

w−2(2k1+k0)j1x1(k0, j1, j0).

Daca notam x2(k0, k1, j0) =∑1

j1=0 w−2(2k1+k0)j1x1(k0, j1, j0) atunci, ın final, avem

yk = y(k2, k1, k0) =1∑

j0=0

w−kj0x2(k0, k1, j0) =

=1∑

j0=0

w−(4k2+2k1+k0)j0x2(k0, k1, j0) = x3(k0, k1, k2).

In consecinta, pentru calculul transformarii Fourier discreta, ın loc sa calculam


succesiv elementele sirului y = (yk)k, calculam coloanele tabelului

x0 = x(0, 0, 0) x1(0, 0, 0) x2(0, 0, 0) x3(0, 0, 0) = y(0, 0, 0) = y0

x1 = x(0, 0, 1) x1(0, 0, 1) x2(0, 0, 1) x3(0, 0, 1) = y(1, 0, 0) = y4

x2 = x(0, 1, 0) x1(0, 1, 0) x2(0, 1, 0) x3(0, 1, 0) = y(0, 1, 0) = y2

x3 = x(0, 1, 1) x1(0, 1, 1) x2(0, 1, 1) x3(0, 1, 1) = y(1, 1, 0) = y6

x4 = x(1, 0, 0) x1(1, 0, 0) x2(1, 0, 0) x3(1, 0, 0) = y(0, 0, 1) = y1

x5 = x(1, 0, 1) x1(1, 0, 1) x2(1, 0, 1) x3(1, 0, 1) = y(1, 0, 1) = y5

x6 = x(1, 1, 0) x1(1, 1, 0) x2(1, 1, 0) x3(1, 1, 0) = y(0, 1, 1) = y3

x7 = x(1, 1, 1) x1(1, 1, 1) x2(1, 1, 1) x3(1, 1, 1) = y(1, 1, 1) = y7

Astfel numarul adunarilor efectuate este 8 · 3 sau nm = n log2 n, ın cazul general,fata de 8·8, respectiv n2, adunari necesare calcularii succesive a elementelor siruluiy.

Varianta recursiva a algoritmului transformarii Fourier dis-crete rapide

Folosind notatia wn = ei2πn , transformata Fourier discreta a sirului x ∈ Cn

este

yk =n−1∑j=0

xjw−jkn , k ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

Presupunem ca n este o putere a lui 2. Sepaand termenii de indice par de ceiimpari rezulta

yk =

n2−1∑j=0

x2jw−(2j)kn +

n2−1∑j=0

x2j+1w−(2j+1)kn . (7.2)

Datoritta egalitatilor

w−(2j)kn = w−jkn

2

w−(2j+1)kn = w−kn w−jkn

2

(7.2) se scrie

yk =

n2−1∑j=0

x2jw−jkn2

+ w−kn

n2−1∑j=0

x2j+1w−jkn2. (7.3)

Pentru k := k + n2

relatia (7.3) este

yk+n2

=

n2−1∑j=0

x2jw−j(k+n

2)

n2

+ w−k−n

2n

n2−1∑j=0

x2j+1w−j(k+n

2)

n2

.

7.3. TRANSFORMAREA COSINUS DISCRETA 191

Au loc egalitatile

w−k−n

2n = −wkn

w−j(k+n

2)

n2

= w−jkn2

si astfel

yk+n2

=

n2−1∑j=0

x2jw−jkn2− w−kn

n2−1∑j=0

x2j+1w−jkn2. (7.4)

Pentru k ∈ 0, 1, . . . , n2− 1 formulele (7.3) si (7.4) definesc varianta recursiva a

algoritmului transformarii Fourier distcrete rapide.

Pseudocodul algoritmului este dat ın (3).

Algorithm 3

1: procedure y =fft(x)2: n← length(x)3: if n=1 then4: y ← x5: else6: xeven ← (x2j)j∈0,...,n

2−1

7: xodd ← (x2j+1)j∈0,...,n2−1

8: yeven ← FFT(xeven)9: yodd ← FFT(xodd)

10: for i = 0 : n2− 1 do

11: w ← exp(−i2πkn

)12: yk ← yevenk + w · yoddk13: yk+n

2← yevenk − w · yoddk

14: end for15: end if16: end procedure

7.3 Transformarea cosinus discreta

Definitia 7.3.1 Fie x = (xj)0≤j≤n−1 ∈ Cn. Sirul y ∈ Cn, transformata cosinusdiscreta – TCD – a lui x, este definit prin


y = F cn(x), y = (yk)0≤k≤n−1 yk =

n−1∑j=0

xj cos (j +1

2)kπ

n, k ∈ 0, 1, . . . , n−1.

(7.5)Astfel TCD se poate reprezenta prin produsul matriceal y0

...yn−1

=

a0,0 . . . a0,n−1...

. . ....

an−1,0 . . . an−1,n−1

x0

...xn−1

,

unde ak,j = cos (j + 12)kπn.


AAT =

n

n2

. . .n2

(7.6)

saun−1∑j=0

ap,jaq,j = δp,qcp, unde cp =

n daca p = 0n2

daca p > 0

Demonstratie. Egalitatile

cos a+ cos 2a+ . . .+ cosna =sin na

2

sin a2

cos(n+ 1)a

2

sin a+ sin 2a+ . . .+ sinna =sin na

2

sin a2

sin(n+ 1)a

2

implican−1∑j=0

cos (j +1

2)a =

sinna

2 sin a2

.

Atunci

Sp,q =n−1∑j=0

ap,jaq,j =n−1∑j=0

cos (j +1

2)pπ

ncos (j +

1

2)qπ

n=

=1

2

n−1∑j=0

[cos (j +

1

2)(p+ q)π

n+ cos (j +

1

2)(p− q)π

n

].

7.3. TRANSFORMAREA COSINUS DISCRETA 193

Daca p 6= q atunci suma de mai sus devine

Sp,q =1

2

[sin π(p+ q)

2 sin π(p+q)n

+sin π(p− q)2 sin π(p−q)

n

]= 0.

Daca p = q > 0 atunci

Sp,p =1

2

n−1∑j=0

cos (j +1

2)2pπ

n+n

2=

sin 2pπ

4 sin 2pπn

+n

2=n

2.

Daca p = q = 0 atunci S0,0 = n.Din teorema anterioara rezulta ca

A−1 = AT

1n

2n

. . .2n

.

Astfel transformarea cosinus discreta inversa (TCDI) este data de

xk = dk

n−1∑j=0

yj cos (k +1

2)jπ

n, k ∈ 0, 1, . . . , n− 1,

cu dk =

1n

daca k = 02n

daca k > 0.

O legatura ıntre TFD si TCD

Fie x = (xj)0≤j≤n−1 ∈ Cn si sirul z ∈ C4n definit prin

zk =

0 daca k = 0, 2, . . . , 2n, . . . , 4n− 2xs daca k = 2s+ 1, s = 0, 1, . . . , n− 1xs daca k = 4n− 1− 2s, s = 0, 1, . . . , n− 1

De exemplu, pentru n = 3, daca x =0 1 2x0 x1 x2

atunci

z =0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110 x0 0 x1 0 x2 0 x2 0 x1 0 x0


Teorema 7.3.2 Cu notatiile de mai sus, primele n componente ale transformariiFourier discrete a sirului z coincid cu dublul transformarii cosinus discrete asirului x.

Demonstratie. Fie Z = (Zk)0≤k≤4n−1 TFD a sirului z. Daca w = ei2π4n = ei

π2n

atunci

Zk =4n−1∑j=0

zjw−jk =

2n−1∑j=0

z2j+1w−(2j+1)k =

=n−1∑j=0

z2j+1w−(2j+1)k +

2n−1∑j=n

z2j+1w−(2j+1)k.

Schimband, ın a doua suma, indicele de sumare j = 2n − 1 − s si tinand seamade definitia sirului z, expresia de mai sus devine

Zk =n−1∑s=0

xsw−(2s+1)k +

n−1∑s=0

xsw−(4n−1−2s)k =

n−1∑s=0

xs(w−(2s+1)k + w(2s+1)k) =

= 2n−1∑s=0

xs cos (s+1

2)kπ

n= 2yk, k ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

7.4 Aplicatii ale transformatei Fourier discreta

7.4.1 Calculul coeficientilor Fourier

Fie f ∈ C2π, o functie continua si periodica de perioada 2π.. Daca are locdezvoltarea ın serie Fourier

f(x) =a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx) =∑k∈Z

ckeikx (7.7)

cu coeficientii

a0 =1

π

∫ 2π

0

f(x)dx, ak =1

π

∫ 2π

0

f(x) cos kxdx, bk =1

π

∫ 2π

0

f(x) sin kxdx

pentru k ∈ N∗, atunci

ck =ak − ibk

2=

1

2π

∫ 2π

0

f(x)e−ikxdx, c−k = ck, k ∈ N. (7.8)

7.4. APLICATII ALE TRANSFORMATEI FOURIER DISCRETA 195

Aproximam integrala din (7.8) prin formula trapezelor. Daca n ∈ N∗ esteparametrul de discretizare atunci se obtine

ck ≈1

2π

2π

2n[f(0) + 2

n−1∑j=1

f(2π

nj)e−ik( 2π

nj) + f(2π)e−ik2π].

Datorita periodicitatii functiilor f si ez, din relatia de mai sus deducem

ck ≈1

n

n−1∑j=0

f(2π

nj)e−ik( 2π

nj) =

1

n

n−1∑j=0

f(2π

nj)w−jk. (7.9)

Astfel, sirul c = (ck)0≤k≤n−1 este aproximat de 1nFn(y), unde y = (yj)0≤j≤n−1, yj =

f(2πnj).

Se observa ca membrul drept din (7.9) coincide cu formula coeficientilor poli-nomului trigonometric de interpolare a functiei f, (8.5) sau (8.12) dupa cum neste impar sau par.

Prin urmare, calculand primii n termeni a dezvoltarii Fourier (7.7) cu aju-torul formulei trapezelor – cu parametrul de discretizare n – obtinem totodata sicoeficientii polinomul trigonometric de interpolare a functiei, ın nodurile 2π

nj, 0 ≤

j ≤ n− 1.

Exista o alta legatura ıntre coeficientii Fourier ale unei functii si transformataFourier discreta a sirului valorilor ei pe o multime echidistanta de noduri.

Teorema 7.4.1 Fie n ∈ N∗. Daca

f(t) =a0

2+∞∑j=1

(aj cos jt+ bj sin jt) =∑j∈Z

cjeijt,

cu cj =aj−bj

2, cj = cj, j ∈ N si

y = Fn(x), unde x ∈ Cn, x = (xj)0≤j≤n−1, xj = f(j2π

n),

atunci

yk = n

(ck +

∞∑s=1

(ck+sn + ck−sn)

), k ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

Demonstratie. Din nou, notam tj = j 2πn, j ∈ 0, 1 . . . , n − 1 si w = ei

2πn .

Atuncixj = f(tj) =

∑µ∈Z

cµeiµtj =

∑µ∈Z

cµwµj


de unde se obtine

yk =n−1∑j=0

xjw−kj =

n−1∑j=0

(∞∑µ=0

cµwµj

)w−kj =

∞∑µ=0

cµ

n−1∑j=0

w(µ−k)j.

Daca µ− k este multiplu de n atunci suma interioara este n, iar ın caz contrar 0.Pentru µ− k = sn se gaseste

yk = n∑s∈Z

ck+sn = n

(ck +

∞∑s=1

(ck+sn + ck−sn)

).

7.4.2 Calculul coeficientilor Laurent

Daca f este o functie olomorfa ın discul unitate avand pe 0 ca punct singularizolat, atunci are loc dezvoltarea Laurent

f(z) =∑k∈Z

akzk

unde

ak =1

2πi

∫|ζ|=1

f(ζ)

ζk+1dζ =

1

2π

∫ 2π

0

f(eix)e−ikxdx.

Calculand integrala de mai sus cu formula trapezelor deducem

ak ≈1

2π

2π

2n[f(1) + 2

n−1∑j=1

f(ei2πnj)e−ik( 2π

nj) + f(ei2π)e−ik2π].

Periodicitatea functiei ez implica

ak ≈1

n

n−1∑j=0

f(ei2πnj)e−ik( 2π

nj) =

1

n

n−1∑j=0

f(ei2πnj)w−jk. (7.10)

Prin urmare, sirul a = (ak)0≤k≤n−1 este aproximat de 1nFn(y), unde y = (yj)0≤j≤n−1, yj =

f(ei2πnj).

Partea principala a dezvoltarii Laurent a functiei f(z) calculata este a−1 =an−1, a−2 = an−2, . . . , a−(n−1) = a1.


7.4.3 Determinarea functiei analitice cunoscand partea reala

Fie D ⊂ C un domeniu care contine discul unitate si u(x, y) partea realaa unei functii analitice f(z), z = x + iy. Se cere determinarea partii imaginarev(x, y) a lui f(z), cu v(0, 0) = 0.

Definim α(t) = u(cos t, sin t) = u(eit) si daca dezvoltarea Fourier a functieiα(t) este

α(t) =a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx) =

=a0

2+∞∑k=1

(akeikt + e−ikt

2+ bk

eikt − e−ikt

2i) =

a0

2+∞∑k=1

(ak − ibk

2eikt +

ak + ibk2

e−ikt) =∑k∈Z

ckeikt,

cu c0 = a02∈ R, ck = ak−ibk

2, c−k = ck, k ∈ N∗.

Atunci f(z) = c0 + 2∑∞

k=1 ckzk. Intr-adevar, din f(eit) = c0 + 2

∑∞k=1 cke

ikt

gasim

<f(eit) =f(eit) + f(eit)

2= c0 +

∞∑k=1

ckeikt +

∞∑k=1

cke−ikt =

= c0 +∞∑k=1

ckeikt +

∞∑k=1

c−ke−ikt = c0 +

∞∑k=1

ckeikt +

∞∑k=1

cke−ikt = α(t).

Restrictia partii imaginare la cercul unitate este

β(t) = v(eit) = =f(eit) =f(eit)− f(eit)

2i=

1

i(∞∑k=1

ckeikt −

∞∑k=1

cke−ikt) =

= −i

(∞∑k=1

ckeikt −

∞∑k=1

c−ke−ikt

)=∞∑k=1

(ak sin kt− bk cos kt).

Astfel coeficientii Fourier a functiei β(t) sunt

dk =

−ick daca k > 00 daca k = 0ick = ic−k daca k < 0

(7.11)


Operatorul α(t) → β(t) se numeste operatorul de conjugare. Expresia inte-grala a acestui operator este

β(t) = K(α)(t) =1

2π

∫ 2π

0

α(s) cott− s

2ds

Metoda numerica pentru calculul functiei β consta din

1. Se fixeaza un numar natural par n = 2m,m ∈ N∗.

2. Se calculeaza coeficientii Fourier c = (ck)0≤k≤n−1 a functiei α(t). Utilizandmetoda dezvoltata anterior,

c =1

nFn(α)

unde α = (α(2πkn

))0≤k≤n−1.

3. Utilizand relatiile (7.11) se construieste vectorul coeficientilor Fourier afunctiei β(t)

d = (0,−ic1, . . . ,−icm−1, icm−1, . . . , ic1)

4. Se calculeaza valorile functiei β(t) ın punctele 2πkn, k ∈ 0, 1, . . . , n− 1,

β = (β(2πk

n))0≤k≤n−1 = nF−1

n (d).

7.4.4 Calculul integralei Cauchy

Fie Γ = z ∈ C : |z| = 1 si functia h : Γ→ C. Notam prin f : C→ C functiadefinita prin

f(z) =1

2πi

∫Γ

h(ζ)

ζ − zdζ, (7.12)

numita integrala Cauchy. Prin schimbarea de variabila ζ = eit, integrala din(7.12) devine

f(z) =1

2π

∫ 2π

0

h(eit)

1− ze−itdt. (7.13)

Daca |z| < 1 atunci are loc dezvoltarea

1

1− ze−it=∞∑j=0

zje−ijt


si (7.13) devine

f(z) =1

2π

∞∑j=0

zj∫ 2π

0

h(eit)e−ijtdt =∞∑j=0

cjzj,

unde cj = 12π

∫ 2π

0h(eit)e−ijtdt.

Folosim formula trapezelor pentru calculul lui cj. Daca n ∈ N∗ este parametrulmetodei trapezelor, atunci gasim

cj ≈1

2π

2π

2n

[h(1) + 2

n−1∑k=1

h(ei2πnk)e−ij

2πnk + h(1)e−ij2π

]=

=1

n

n−1∑k=0

h(ei2πnk)w−jk,

adica secventa (c0, c1, . . . , cn−1) este aproximata de d = 1nFn(ϕ), cu ϕ = (ϕj)0≤j≤n−1, ϕj =

h(ei2πnj).

In final f(z) ≈∑n−1

j=0 djzj.


P 7.1 Corelatia a doua siruri x, y ∈ Cn se defineste prin

x∗y = z ∈ Cn cu zk =1

n

n−1∑j=0

xjyk+j, z = (zk)0≤k≤n−1.

Sa se demonstreze egalitatile

1. Fn(x∗y) = 1nFn(x)Fn(y);

2. F−1n (x∗y) = 1

nF−1n (x)Fn(y);

3. Fn(x)∗Fn(y) = Fn(xy);

P 7.2 Rezolvarea unei ecuatii integrale Fredholm de speta a doua cu nucleu con-volutiv.


Indicatie. Fie ecuatia integrala Fredholm de speta a doua

x(t) +

∫ b

a

N(t− s)x(s)ds = f(t), t ∈ [a, b], (7.14)

unde N(t), f(t) sunt functii continue, date iar x(t) este functia necunoscuta.Forma nucleului N(t− s) atribuie ecuatiei atributul de convolutiv.

Fie n ∈ N∗. Introducem notatiile: h = b−an, tk = a+kh, tk+1/2 = a+(k+ 1

2)h.

Ecuatia (7.14) se mai scrie

x(t) +n−1∑k=0

∫ tk+1

tk

N(t− s)x(s)ds = f(t), t ∈ [a, b],

si utilizand formula de integrare numerica a dreptunghiului cu neglijarea restului,gasim

u(t) + hn−1∑k=0

N(t− tk+1/2)u(tk+1/2) = f(t).

Neglijarea restului a impus renotarea functiei necunoscute prin u(t).Daca uk+1/2 =u(tk+1/2) atunci atribuind lui t, succesiv valorile tj+1/2 obtinem sistemul algebricde ecuatii liniare

uj+1/2 + hn−1∑k=0

N((j − k)h)uk+1/2 = f(tj+1/2), j ∈ 0, 1, . . . , n− 1. (7.15)

Rezolvarea sistemului algebric (7.15) se poate face cu ajutorul transformariiFourier discrete. In acest scop, definim sirurile

z = (zk)0≤k≤n−1 zk = uk+1/2,ϕ = (ϕk)0≤k≤n−1 ϕk = fk+1/2,ξ = (ξk)0≤k≤n−1 ξk = N(kh).

Sistemul (7.15) se rescrie prin

zj + h

n−1∑k=0

zkξj−k = ϕj, j ∈ 0, 1, . . . , n− 1,

sauz + h z ∗ ξ = ϕ.

Aplicand transformarea Fourier discreta Fn deducem

Fn(z) + hFn(z)Fn(ξ) = Fn(ϕ).

Rezulta ca

z = F−1n (w) unde w = (wk)0≤k≤n−1, wk =

Fn(ϕ)k1 + hFn(ξ)k

.

Capitolul 8

Interpolare prin polinoametrigonometrice

Se numeste polinom trigonometric de grad m o functie de forma

t(x) = a0 +m∑j=1

(aj cos jx+ bj sin jx).

Notam prin

Tm = T (x) = α0 +m∑j=1

(αj cos jx+ βj sin jx) : α0, α1, . . . , αn, β1 . . . , βm ∈ R

multimea polinoamelor trigonometrice de grad m.

Fie C2π spatiul liniar al functiilor continue, periodice, cu periada 2π. Incapitolul Metoda celor mai mici patrate s-au determinat coeficientii polinomuluitrigonometric de grad m care aproximeaza cel mai bine, ın sensul celor mai micipatrate, o functie f ∈ C2π. Coeficientii obtinuti coincid cu coeficientii dezvoltariiFourier atasata functiei f .

Fie f ∈ C2π. Dupa numarul nodurilor de interpolare n deosebim cazurile:

• n = 2m+ 1 numar impar de noduri 0 ≤ x0 < x1 < . . . < x2m < 2π.

Polinomul de interpolare va fi de forma

t(x) =a0

2+

m∑j=1

(aj cos jx+ bj sin jx).

201

202 CAPITOLUL 8. POLINOAME TRIGONOMETRICE

• n = 2m numar par de noduri 0 ≤ x0 < x1 < . . . < x2m−1 < 2π.

Polinomul de interpolare va fi de forma

t(x) =a0

2+

m−1∑j=1

(aj cos jx+ bj sin jx) +am2

cosmx.

In fiecare caz coeficientii se determina din conditiile de interpolare

t(xj) = yj ∀j ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

8.1 Interpolare trigonometrica pe noduri oare-

care

Cazul cu numar impar de noduri

Teorema 8.1.1 Functiile

1, cosx, cos 2x, . . . , cosmx, sinx, sin 2x, . . . , sinmx

formeaza un sistem Cebısev ın intervalul (π, π].

Demonstratie. Fie un sistem de 2m + 1 puncte 0 ≤ x0 < x1 < . . . < x2m < 2πsi determinantul

D = D(x0, x1, . . . , x2m) =

∣∣∣∣∣∣∣∣cosmx0 . . . cosx0 sinmx0 . . . sinx0 1cosmx1 . . . cosx1 sinmx1 . . . sinx1 1

. . . . . .cosmx2m . . . cosx2m sinmx2m . . . sinx2m 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Vom arata ca acest determinant este diferit de 0.

Pentru simplificarea notatiei vom utiliza reprezentarea simbolica

D =∣∣ cosmxj . . . cosxj sinmxj . . . sinxj 1

∣∣ ,punand ın evidenta coloanele determinantului D. Inmultind cu i coloanele cu sinsi adunandu-le la coloanele corespunzatoare cu cos se obtine

D =∣∣ eimxj . . . eixj sinmxj . . . sinxj 1

∣∣ .

8.1. INTERPOLARE TRIGONOMETRICA PE NODURI OARECARE 203

Utilizand formula sinx = 12i

(eix − e−ix) deducem succesiv

D =∣∣ eimxj . . . eixj 1

2i(eimxj − e−imxj) . . . 1

2i(eixj − e−ixj) 1

∣∣ =

=1

(−2i)n∣∣ eimxj . . . eixj e−imxj . . . e−ixj 1

∣∣ .Rearanjand ultimele m+ 1 coloane se obtine

D =(−1)

m(m+1)2

(−2i)m∣∣ eimxj . . . eixj 1 e−ixj . . . e−imxj

∣∣ .Daca din fiecare linie a lui D se scoate factor comun pe e−imxj rezulta

D =(−1)

m(m+1)2

(−2i)me−im(x0+...+x2m)

∣∣ e2imxj . . . ei(m+1)xj eimxj . . . 1∣∣ =

=(−1)

m(m+1)2

(−2i)me−im

∑2mk=0 xkV (eix0 , eix1 , . . . , eix2m).

Calculam determinantul lui Vandermonde

V (eix0 , eix1 , . . . , eix2m) =∏

0≤q<p≤2m

(eixp − eixq) =

=∏

0≤q<p≤2m

(cosxp − cosxq + i(sinxp − sinxq)) =∏

0≤q<p≤2m

2i sinxp − xq

2eixp+xq

2 =

= (2i)m(2m+1)eim∑2mk=0 xk

∏0≤q<p≤2m

sinxp − xq

2.

Determinantul devine

D = (−1)m(m+1)

2 22m2∏

0≤q<p≤2m

sinxp − xq

26= 0.

Din Teorema 2.1.4 rezulta

Teorema 8.1.2 (Polinomul de interpolare trigonometric Lagrange-Gauss) Dacaf ∈ C2π si −π < x0 < x1 < . . . < x2m ≤ π atunci exista un singur poli-nom trigonometric t(x) de grad m care satisface conditiile de interpolare t(xj) =f(xj), ∀j ∈ 0, 1, . . . , 2m, avand expresia

t(x) =2m∑j=0

f(xj)sin x−x0

2. . . sin

x−xj−1

2sin

x−xj+1

2. . . sin x−x2m

2

sinxj−x0

2. . . sin

xj−xj−1

2sin

xj−xj+1

2. . . sin

xj−x2m2

=


=1

2

2m∑j=0

f(xj)

u′(xj)

u(x)

sinx−xj

2

. (8.1)

unde u(x) =∏2m

j=0 sinx−xj

2.

Demonstratie. Folosind notatia si rezultatul teoremei anterioare, din (2.6) seobtine

t(x) = L(Tm;x0, . . . , x2m; f)(x) =2m∑j=0

f(xj)D(x0, . . . , xj−1, x, xj+1, . . . , x2m)

D(x0, . . . , x2m)=

=2m∑j=0

f(xj)sin x−x0

2. . . sin

x−xj−1

2sin

x−xj+1

2. . . sin x−x2m

2

sinxj−x0

2. . . sin

xj−xj−1

2sin

xj−xj+1

2. . . sin

xj−x2m2

.

In cazul unei functii pare sau impare problema de interpolare trigonometricase modifica.

Teorema 8.1.3 Fie f ∈ C2π o functie para si 0 ≤ x0 < x1 < . . . < xm < π.Polinomul trigonometric de grad m care satisface conditiile de interpolare t(xj) =f(xj), ∀j ∈ 0, 1, . . . ,m este

t(x) =m∑j=0

f(xj)·

· (cosx− cosx0) . . . (cosx− cosxj−1)(cosx− cosxj+1) . . . (cosx− cosxm)

(cosxj − cosx0) . . . (cosxj − cosxj−1)(cosxj − cosxj+1) . . . (cosxj − cosxm).

Demonstratie. Pentru nodurile −π < −xm < . . . < −x1 < x0 < x1 < . . . <xm < π, potrivit teoremei 8.1.2 exista un polinim trigonometric de interpolaret(x) astfel ıncat

t(xj) = f(xj) j ∈ 0, 1, . . . ,m,t(−xj) = f(xj) j ∈ 1, 2, . . . , .

Notamv(x) =

∏mj=1 sin

x+xj2, vj(x) v(x)

sinx+xj

2

,

w(x) =∏m

j=1 sinx−xj

2, wj(x) w(x)

sinx−xj

2

, j = 1, . . . ,m


Atunci u(x) = sin x−x02v(x)w(x), u0(x) = v(x)w(x) iar expresia polinomului

trigonometric de interpolare Lagrange-Gauss este

t(x) = f(x0)u0(x)

u0(x0)+

m∑j=1

f(−xj)sin x−x0

2vj(x)w(x)

sin−xj−x0

2vj(−xj)w(−xj)

+

+m∑j=1

f(xj)sin x−x0

2v(x)wj(x)

sinxj−x0

2v(xj)wj(xj)

.

Deoarece

v(xj) = vj(xj) sinxj

vj(−xj) = (−1)m−1wj(xj)

w(−xj) = (−1)mv(xj) = (−1)mvj(xj) sinxj)

expresia polinomului trigonometric de interpolare va fi

t(x) = f(x0)u0(x)

u0(x0)+

m∑j=1

f(xj)vj(x)wj(x) sin x−x0

2

vj(xj)wj(xj) sinxj

(sin x−x0

2

sinxj+x0

2

+sin x+x0

2

sinxj−x0

2

).

(8.2)Au loc egalitatile:

u0(x)

u0(x0)=

v(x)w(x)

v(x0)w(x0)=

m∏j=1

sinx+xj

2sin

x−xj2

sinx0+xj

2sin

x0−xj2

=m∏j=1

cosx− cosxjcosx0 − cosxj

;

sin x−x02

sinxj

(sin x−x0

2

sinxj+x0

2

+sin x+x0

2

sinxj−x0

2

)=

=sin x−x0

2

sinxj·

cos (x+x02− xj)− cos (x+x0

2+ xj)

cosxj − cosx0

=cosx− cosx0

cosxj − cosx0

.

(8.2) devine

t(x) = f(x0)m∏j=1

cosx− cosxjcosx0 − cosxj

+m∑j=1

f(xj)vj(x)wj(x)(cosx− cosx0)

vj(xj)wj(xj)(cosxj − cosx0)=

m∑j=0

f(xj)·(cosx− cosx0) . . . (cosx− cosxj−1)(cosx− cosxj+1) . . . (cosx− cosxm)

(cosxj − cosx0) . . . (cosxj − cosxj−1)(cosxj − cosxj+1) . . . (cosxj − cosxm).


Teorema 8.1.4 Fie f ∈ C2π o functie impara si 0 < x0 < x1 < . . . < xm < π.Polinomul trigonometric de grad m care satisface conditiile de interpolare t(xj) =f(xj), ∀j ∈ 1, . . . ,m este

t(x) =n∑j=1

f(xj)·

· (cosx− cosx0) . . . (cosx− cosxj−1)(cosx− cosxj+1) . . . (cosx− cosxm) sinx

(cosxj − cosx0) . . . (cosxj − cosxj−1)(cosxj − cosxj+1) . . . (cosxj − cosxm) sinxj.

Demonstratie. Procedand asemanator, pentru nodurile −π < −x−m < . . . <−x−1 < 0 < x1 < . . . < xm < π exista un polinom trigonometric de interpolareastfel ıncat

t(xj) = f(xj) j ∈ 1, . . . ,m,t(−xj) = f(−xj) j ∈ 1, 2, . . . , t(0) = f(0) = 0.

Utilizand notatiile introduse ın demonstratia teoremei anterioare avem

t(x) =m∑j=1

f(−xj)sin x

2vj(x)w(x)

sin−xj

2vj(−xj)w(−xj)

+m∑j=1

f(xj)sin x

2v(x)wj(x)

sinxj2v(xj)wj(xj)

=

m∑j=1

f(xj)vj(x)wj(x)

vj(xj)wj(xj)·

sin x2

sinxj2

sinxj·(

sinx+ xj

2− sin

x− xj2

).

Deoarecesin x

2

sinxj2

sinxj·(

sinx+ xj

2− sin

x− xj2

)=

sinx

sinxj

expresia polinomului trigonometric de interpolare t(x) devine

t(x) =n∑j=1

f(xj)·

· (cosx− cosx0) . . . (cosx− cosxj−1)(cosx− cosxj+1) . . . (cosx− cosxm) sinx

(cosxj − cosx0) . . . (cosxj − cosxj−1)(cosxj − cosxj+1) . . . (cosxj − cosxm) sinxj.


Cazul cu numar par de noduri

Urmand aceasi cale, pentru 0 ≤ x0 < x1 < . . . < x2m−1 < 2π calculamdeterminantul

D = D(x0, . . . , x2m−1) =

= V

(cosmx cos (m− 1)x . . . cosx sin (m− 1)x . . . sinx 1x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2m−1

)=

=∣∣ cosmxj cos (m− 1)xj . . . cosxj sin (m− 1)xj . . . sinxj 1

∣∣ .Adunand la coloanele cos coloanele corespunzatoare cu sin multiplicate ın preal-abil cu i rezulta

D =∣∣ cosmxj ei(m−1)xj . . . eixj sin (m− 1)xj . . . sinxj 1

∣∣ .Folosind definitiile complexe pentru sin si cos avem

D =∣∣∣ eimxj+e−imxj

2ei(m−1)xj . . . eixj ei(m−1)xj−e−i(m−1)xj

2i. . . eixj−e−ixj

2i1

∣∣∣ =

=(−1)m−1

2(2i)m−1

∣∣ eimxj + e−imxj ei(m−1)xj . . . eixj e−i(m−1)xj . . . e−ixj 1∣∣ =

=(−1)m−1

2(2i)m−1(D1 +D2),

unde

D1 =∣∣ eimxj ei(m−1)xj . . . eixj e−i(m−1)xj . . . e−ixj 1

∣∣ ;D2 =

∣∣ e−imxj ei(m−1)xj . . . eixj e−i(m−1)xj . . . e−ixj 1∣∣ .

Ordonand coloanele dupa puterile descescatoare ale lui eix obtinem

D1 = (−1)m(m−1)

2

∣∣ eimxj ei(m−1)xj . . . eixj 1 e−ixj . . . e−i(m−1)xj∣∣ =

= (−1)m(m−1)

2 e−i(m−1)∑2m−1j=0 xjV (eix0 , . . . , eix2m−1).

Analog gasim

D2 = −(−1)m(m−1)

2 e−im∑2m−1j=0 xjV (eix0 , . . . , eix2m−1).

Determinantul lui Vandermonde este

V (eix0 , . . . , eix2m−1) = (2i)m(2m−1)ei2

(2m−1)∑2m−1j=0 xj

∏0≤q<p≤2m−1

sinxp − xq

2.


Notam

X =2m−1∑j=0

xj, Π =∏

0≤q<p≤2m−1

sinxp − xq

2

si atunci

D = (−1)3m2−m

2 22m2−2m+1 sinX

2Π =

= (−1)3m2−m

2 22m2−2m+1 sin

∑2m−1j=0 xj

2

∏0≤q<p≤2m−1

sinxp − xq

2. (8.3)

Daca∑2m−1

j=0 xj = 2νπ, ν ∈ N atunci D = 0.

Daca X 6= 2νπ atunci polinomul trigonometric de interpolare t(x) se cal-culeaza din egalitatea

∣∣∣∣∣∣∣∣∣t(x) cosmx cos (m− 1)x . . . cosx sin (m− 1)x . . . sinx 1y0 cosmx0 cos (m− 1)x0 . . . cosx0 sin (m− 1)x0 . . . sinx0 1...

...y2m−1 cosmx2m−1 cos (m− 1)x2m−1 . . . cosx2m−1 sin (m− 1)x2m−1 . . . sinx2m−1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Rezulta

t(x) =2m−1∑j=0

yjD(x0, . . . , xj−1, x, xj+1, . . . , x2m−1)

D(x0, . . . , xj−1, xj, xj+1, . . . , x2m−1).

Utilizand (8.3) gasim

t(x) =2m−1∑j=0

yjsin

∑2m−1k=0k 6=j

xk+x

2

sin∑2m−1k=0 xk

2

2m−1∏k=0k 6=j

sin x−xk2

sinxj−xk

2

Din nou, daca X =∑2m−1

j=0 xj, atunci expresia corespunzatoare de la numaratoreste X + (x− xj). Polinomul trigonometric de interpolare devine

t(x) =2m−1∑j=0

yj

(cos

x− xj2

+ sinx− xj

2cot

∑2m−1k=0 xk

2

)2m−1∏k=0k 6=j

sin x−xk2

sinxj−xk

2

(8.4)

8.2 Interpolare trigonometrica pe noduri echidis-

tante

Vom da o rezolvare directa problemei de interpolare.

8.2. INTERPOLARE TRIGONOMETRICA PE NODURI ECHIDISTANTE 209

Cazul cu numar impar de noduri

Teorema 8.2.1 Daca xj = j 2π2m+1

, j ∈ 0, 1, . . . , 2m atunci expresia polinomu-lui trigonometric de interpolare Lagrange-Gauss este

t(x) =1

2m+ 1

2m∑j=0

yjsin (2m+ 1)

x−xj2

sinx−xj

2

=sin (2m+1)x

2

2m+ 1

2m∑j=0

(−1)jyj

sinx−xj

2

.

Demonstratie. Datorita formulelor

cosx =eix + e−ix

2sinx =

eix − e−ix

2i

polinomul trigonometric t(x) devine

t(x) =a0

2+

m∑k=1

(eikx + e−ikx

2ak +

eikx − e−ikx

2ibk) =

=a0

2+

m∑k=1

(ak − ibk

2eikx +

ak + ibk2

e−ikx) =m∑

k=−m

ckeikx,

unde ck = ak−ibk2

, c−k = ak+ibk2

, pentru k ∈ 0, 1, . . . ,m.Conditiile de interpolare se scriu

t(xj) =m∑

k=−m

ckeikxj = yj, ∀j ∈ 0, 1, . . . , 2m.

Inmultind egalitatea j cu e−ipxj si adunand, pentru j ∈ 0, 1, . . . , 2m obtinem

2m∑j=0

yje−ipxj =

m∑k=−m

ck

2n∑j=0

ei2π

2m+1j(k−p) = (2m+ 1)cp,

de unde gasim

cp =1

2m+ 1

2m∑j=0

yje−ipxj =

1

n

n−1∑j=0

yje−ipxj . (8.5)

Expresia polinomului trigonometric de interpolare devine

t(x) =1

2m+ 1

m∑k=−m

(2m∑j=0

yje−ikxj)eikx =

1

2m+ 1

2m∑j=0

yj

m∑k=−m

eik(x−xj).


Tinand seama de egalitatile

m∑k=−m

eika = 1 + 2m∑k=1

cos ka =sin (m+ 1

2)a

sin a2

(8.6)

se obtine rezultatul dorit.Utilizand demonstratiei teoremei anterioare stabilim o reprezentare a poli-

nomului de interpolare Lagrange pe nodurile cos 2π2m+1

j, j ∈ 0, 1, . . . ,m, prinpolinoame Cebısev:

Teorema 8.2.2 Daca ξj = cos 2π2m+1

j, j ∈ 0, 1, . . . ,m, atunci

L(Pm; ξ0, . . . , ξm; f)(ξ) =

=1

2m+ 1

m∑j=0

γjf(ξj) +4

2m+ 1

m∑k=1

(m∑j=0

γjf(ξj) cos2πkj

2m+ 1

)Tk(ξ),

unde γk =

12

daca k = 01 daca k ∈ 1, 2, . . . ,m− 1 .

Demonstratie. Daca yj = f(ξi) din (8.5) se obtine

ap =2

2m+ 1

2m∑j=0

f(ξj) cos2πpj

2m+ 1(8.7)

bp =2

2m+ 1

2m∑j=0

f(ξj) sin2πpj

2m+ 1. (8.8)

Daca up,j = f(ξj) cos 2πpj2m+1

si vp,j = f(ξj) sin 2πpj2m+1

atunci up,2m+1−j = up,j sivp,2m+1−j = −vp,j, pentru j ∈ 1, 2, . . . ,m. Relatiile (8.7)-(8.8) devin

ap =2

2m+ 1

2m∑j=0

up,k =2

2m+ 1(up,0 + 2

m∑j=1

up,j) =

=4

2m+ 1(1

2up,0 +

m∑j=1

up,j) =4

2m+ 1

m∑j=0

γjup,j

bp =2

2m+ 1

2m∑j=0

vp,j = 0


si

a0 = c0 =1

2m+ 1

2m∑j=0

f(ξj) =1

2m+ 1(f(ξ0) + 2

m∑j=1

f(ξj)) =2

2m+ 1

m∑j=0

γjf(ξj).

Polinomul trigonometric de interpolare cu nodurile 2π2m+1

j, j ∈ 0, 1, . . . , 2m,devine

t(x) =m∑k=0

γkak cos kx.

Daca x = arccos ξ atunci

t(arccos ξ) =m∑k=0

γkakTk(ξ) ∈ Pm.

Fiind ındeplinite conditiile de interpolare rezulta ca

L(Pm; ξ0, ξ1, . . . , ξm; f)(ξ) = t(arccos ξ) =m∑k=0

γkakTk(ξ) =

=1

2m+ 1

m∑j=0

γjf(ξj) +4

2m+ 1

m∑k=1

(m∑j=0

γjf(ξj) cos2πkj

2m+ 1

)Tk(ξ)

Cazul cu numar par de noduri

Teorema 8.2.3 Daca xj = j πm, j ∈ 0, 1, . . . , 2m − 1 atunci expresia polino-

mului trigonometric de interpolare este

t(x) =sinmx

2m

2m−1∑j=0

(−1)jyj cotx− xj

2.

Demonstratie. Polinomul trigonometric de interpolare se cauta de forma

t(x) =a0

2+

m−1∑j=1

(aj cos jx+ bj sin jx) +am2

cosmx.

Procedand analog cu demonstratia teoremei anterioare

t(x) =a0

2+

m−1∑j=1

(ajeijx + e−ijx

2+ bj

eijx − e−ijx

2i) +

1

2

am2

eimx + e−imx

2=


=am4e−imx +

m−1∑j=1

aj + ibj2

e−ijx +a0

2+

m−1∑j=1

aj − ibj2

eijx +am4eimx.

Notand c−m = cm = am2, cj =

aj−ibj2

, c−j =aj+ibj

2, j ∈ 1, 2, . . . ,m− 1, c0 = a0

2si

eix = z expresia polinomului trigonometric se transforma ın

t(x) = ϕ(z) =c−m

2z−m +

m−1∑j=−m+1

cjzj +

cm2zm,

iar conditiile de interpolare devin

t(k2π

n) = ϕ(eik

πm ) = yk, ∀k ∈ 0, 1, . . . , 2m− 1. (8.9)

Daca w = eiπm atunci eik

πm = wk. Deoarece w−mk = wmk = (−1)k si c−m = cm

conditiile de interpolare (8.9) devin

m∑j=−m+1

cjwjk = yk ∀k ∈ 0, 1, . . . , 2m− 1.

Inmultim fiecare ecuatie, respectiv cu w−kp, k = 0, 1, . . . , 2m − 1; p ∈ −m +1, . . . ,m si adunand egalitatile astfel obtinute, gasim

2m−1∑k=0

ykw−kp =

m∑j=−m+1

cj

2m−1∑k=0

wk(j−p). (8.10)

Intrucat2m−1∑k=0

wk(j−p) =

2m daca j = p0 daca j 6= p

(8.11)

din (8.10 rezulta

cp =1

2m

2m−1∑k=0

ykw−kp =

1

n

n−1∑k=0

ykw−kp, (8.12)

de unde, ın final obtinem

ap = 2<cp =1

m

2m−1∑k=0

yk coskpπ

m(8.13)

bp = −2=cp =1

m

2m−1∑k=0

yk sinkpπ

m(8.14)


pentru p = 0, 1, . . . ,m.Expresia functiei ϕ(z) devine

ϕ(z) =1

2(

1

2m

2m−1∑j=0

yjwjm)z−m+

m−1∑k=−m+1

(1

2m

2m−1∑j=0

yjw−jk)zk+

1

2(

1

2m

2m−1∑j=0

yjw−jm)zm =

=1

2m

2m−1∑j=0

yj

[1

2(wj

z)m +

m−1∑k=1

(wj

z)k + 1 +

m−1∑k=1

(z

wj)k +

1

2(z

wj)m

]. (8.15)

Tinand seama de identitatea

1

2am+

1

am−1+ . . .+

1

a+ 1 + a+ . . .+ am−1 +

1

2am =

(a2m − 1)(a+ 1)

2am(a− 1),

pentru a = zwj

= ei(x−xj), expresia parantezei patrate devine

ei(x−xj) + 1

ei(x−xj) − 1

ei2m(x−xj) − 1

2eim(x−xj)= cot

x− xj2

sinm(x− xj) = (−1)j sinmx cotx− xj

2.

(8.16)Astfel, polinomul trigonometric de interpolare este

t(x) =sinmx

2m

2m−1∑j=0

(−1)jyj cotx− xj

2.

Incheiem aceasta sectiune cu o proprietate de optimalitate legata de polinomultrigonometric de interpolare pe noduri echidistante.

Conditiile de interpolare s-au scris∑j∈I

cjeijxk = yk, k ∈ 0, 1, . . . , n− 1,

cuI = −m,−m+ 1, . . . ,m daca n = 2m+ 1I = −m+ 1, . . . ,m daca n = 2m

din care au rezultat

ck =1

n

n−1∑j=0

yje−ikxj , k ∈ I.

In Cn definim

y =

y0...

yn−1

, wj =

eijx0...

eijxn−1

, j ∈ I


si W = spanwj : j ∈ I. Atunci

< wp, wq >=n−1∑j=0

eipxjeiqxj =< wp, wq >=n−1∑j=0

ei(p−q)xj =

n daca p = q0 daca p 6= q

.

Din (6.12), elementul de aproximare construit prin metoda celor mai mici patratea lui y din W este

∑j∈I cjwj.

8.3 Convergenta polinoamelor de interpolare

trigonometrica

Prin inductie matematica se stabileste

Teorema 8.3.1 Daca f(x) = a02

+∑∞

k=1(ak cos kx+bk sin kx), x ∈ [0, 2π] si estede r ori continuu derivabila atunci

ak =1

πkr

∫ 2π

0

f (r)(x) cos (kx+ rπ

2)dx, bk =

1

πkr

∫ 2π

0

f (r)(x) sin (kx+ rπ

2)dx,

de unde

|ak|, |bk| ≤2Mr

kr,

unde Mr = max|f (r)(x)| : x ∈ [0, 2π].

Are loc teorema de convergenta

Teorema 8.3.2 Sirul polinoamelor de interpolare trigonometrica construite penoduri echidistante ale unei functii f de r ≥ 2 ori continuu derivabila convergeuniform catre f.

Demonstratie. Cazul numarului impar de noduri n = 2m+ 1.Fie

f(x) =a0

2+∞∑j=1

(aj cos jx+ bj sin jx) =∑j∈Z

cjeijx,

unde

cj =aj − ibj

2, c−j = cj, j ∈ N.

Notam

sn(x) =a0

2+

m∑j=1

(aj cos jx+ bj sin jx) =m∑

j=−m

cjeijx.

8.3. CONVERGENTA POLINOAMELOR DE INTERPOLARE TRIGONOMETRICA 215

Polinomul trigonometric de interpolare ın nodurile xj = j 2πn, j ∈ 0, 1, . . . , n−1

este

tn(x) =a0

2+

m∑j=1

(aj cos jx+ bj sin jx) =m∑

j=−m

cjeijx,

unde

cj =aj − ibj

2, c−j = cj, j ∈ 0, 1, . . . ,m.

Pe baza rezultatelor sectiunii anterioare, sirul c = (cj)j∈Z ∈ Cn se calculeaza printransformarea Fourier discreta

c =1

nFn(y), unde y = (yj)0≤j≤n−1, yj = f(xj).

Din Teorema 7.4.1, componentele transformarii Fourier discrete se exprima ınfunctie de coeficientii Fourier a functiei

[Fn(y)]k = n

(ck +

∞∑s=1

(ck+sn + ck−sn)

).

Astfel

ck = ck +∞∑s=1

(ck+sn + ck−sn), k ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

Observand ca pentru s ∈ N∗, k + sn > 0 si k − sn < 0 deducem

ak = ak +∞∑s=1

(ak+sn + asn−k), k ∈ 0, 1, . . . ,m, (8.17)

bk = bk +∞∑s=1

(bk+sn − bsn−k), k ∈ 1, . . . ,m. (8.18)

Evaluam diferenta

|tn(x)− f(x)| ≤ |tn(x)− sn(x)|+ |sn(x)− f(x)|. (8.19)

Pentru primul termen din (8.19) avem

|tn(x)− sn(x)| = |12

(a0 − a0) +m∑j=1

((aj − aj) cos jx+ (bj − bj) sin jx

).


Pentru al doilea termen din (8.19) avem

|sn(x)− f(x)| ≤∞∑

j=m+1

|aj cos jx+ bj sin jx|.

Aplicand succesiv inegalitatea Cauchy-Buniakovsky si rezultatul Teoremei 8.3.1,se deduce ın continuare

|sn(x)− f(x)| ≤√

2∞∑

j=m+1

max|ak|, |bj| ≤ 2√

2Mr

∞∑j=m+1

1

jr≤

≤ 2√

2Mr

∫ ∞m

dx

xr=

2√

2Mr

(r − 1)mr−1.

Astfel

|tn(x)− f(x)| ≤ 10Mr

mr−1+

2√

2Mr

(r − 1)mr−1= const

1

mr−1−→ 0, m→∞.

Cazul numarului par de noduri n = 2m se trateaza asemanator.


P 8.1 Regasiti expresia polinomului trigonometric de interpolare pe noduri echidis-tante din Teorema 8.2.1 utilizand (8.1).

Indicatie.

u(x) =2m∏j=0

sinx− xj

2=

2m∏j=0

sin

(x

2− jπ

2m+ 1

)=

2m∏k=0

sin

(x

2− 2mπ

2m+ 1+

kπ

2m+ 1

).

cu j = 2m− k. Utilizand identitatea 6 din Anexa C rezulta

u(x) =1

22msin (2m+ 1)(

x

2− 2mπ

2m+ 1) =

1

22msin

(2m+ 1)x

2=

=(−1)j

22msin (2m+ 1)

x− xj2

.

Prin urmare

u′(x) =(−1)j

22m

2m+ 1

2cos (2m+ 1)

x− xj2⇒ u′(xj) =

(−1)j

22m

2m+ 1

2.


8.1 implica

t(x) =1

2

2m∑j=0

yju′(xj)

u(x)

sinx−xj

2

=1

2m+ 1

2m∑j=0

yjsin (2m+ 1)

x−xj2

sinx−xj

2

.

P 8.2 Regasiti expresia polinomului trigonometric de interpolare pe noduri echidis-tante din Teorema 8.2.3 utilizand (8.4).

Indicatie. Daca xj = j πmj ∈ 0, 1, . . . , 2m − 1 atunci suma nodurilor X =∑2m−1

j=0 xj = (2m− 1)π, sin X2

= (−1)m+1 si astfel D 6= 0. Atunci

t2(x) =2m−1∑j=0

yj cosx− xj

2

∏k=0k 6=j

sin x−xk2

sinxj−xk

2

= u(x)2m−1∑j=0

yjcot

x−xj2

uj(xj), (8.21)

cu u(x) =∏2m−1

j=0 sinx−xj

2si uj(x) = u(x)

sinx−xj

2

. Se obtine uj(xj) = 2u′(xj) =

− (−1)jm22m−2 .Din identitatea 6 Anexa C, prin schimbarea de indice k = 2m− 1− j rezulta

u(x) =2m−1∏j=0

sinx− xj

2=

2m−1∏k=0

sin

(mx− (2m− 1)π

2+ k

π

2m

)= −sinmx

22m−1,

Substituind egalitatile obtinute ın (8.21) se obtine expresia dorita.

P 8.3 Daca f ∈ C2π atunci coeficientii polinomului de interpolare trigonometrica functiei f ın nodurile echidistante converg catre coeficientii Fourier ale functieif.

Indicatie. Cazul cu numar impar de noduri xj = 2π2n+1

j, j ∈ 0, 1, . . . , 2n.Pe baza identitatii 3 din Anexa C

t(x) =2

2n+ 1

2n∑j=0

[1

2+

n∑k=1

cos k(x− xj)

]f(xj).

Dezvoltand cos k(x− xj) si rearanjand sumele se obtine

t(x) =1

2n+ 1

2n∑j=0

f(xj)+


+n∑k=1

[2

2n+ 1(

2n∑j=0

f(xj) cos kxj) cos kx+2

2n+ 1(

2n∑j=0

f(xj) sin kxj) sin kx

].

Sumele 2π2n+1

∑2nj=0 f(xj),

2π2n+1

∑2nj=0 f(xj) cos kxj,

2π2n+1

∑2nj=0 f(xj) sin kxj reprezinta

sume Riemann, respectiv pentru integralele∫ 2π

0

f(x)dx,

∫ 2π

0

f(x) cos kxdx,

∫ 2π

0

f(x) sin kxdx.

In consecinta

limn→∞

1

2n+ 1

2n∑j=0

f(xj) =1

2π

∫ 2π

0

f(x)dx,

limn→∞

2

2n+ 1

2n∑j=0

f(xj) cos kxj =1

π

∫ 2π

0

f(x) cos kxdx,

limn→∞

2

2n+ 1

2n∑j=0

f(xj) sin kxj =1

π

∫ 2π

0

f(x) sin kxdx.

Cazul cu numar par de noduri xj = πnj, j ∈ 0, 1, . . . , 2n − 1. Utilizand

identitatea 4 din Anexa C

t(x) =1

2n

2n−1∑j=0

f(xj) cotx− xj

2sinn(x− xj) =

=1

2n

2n−1∑j=0

f(xj)

(1 + 2

n−1∑k=1

cos k(x− xj) + cosn(x− xj)

)si se continua analog ca ın cazul numarului impar de noduri.


1.

V

(cos x

2cos 3x

2. . . cos (2n−1)x

2sin x

2sin 3x

2. . . sin (2n−1)x

2

x1 x2 . . . . . . x2n

)=

= (−1)n(n−1)

2 22n2−2n∏

1≤j<k≤2n

sinxk − xj

2,

adica functiile sin (2j−1)x2

, cos (2j−1)x2

, j ∈ 1, . . . , n formeaza un sistemCebısev ın intervalul [0, 2π).


2. Functia de interpolare corespunzatoare are expresia

L(x1, . . . , x2n; y1, . . . , y2n) =n∑j=1

yj

n∏k=1k 6=j

sin x−xk2

sinxj−xk

2

.

P 8.5 In conditiile Teoremei 8.2.1 sa se arate ca

ψ(x)def=

sin (2m+1)x2

2m+ 1

2m∑j=0

(−1)j

sinx−xj

2

= 1.

si ca rezultatul teoremei se scrie sub forma baricentrica

t(x) =

∑2mj=0

(−1)jyj

sinx−xj

2∑2mj=0

(−1)j

sinx−xj

2

.

Indicatie. Utilizand (8.6) se obtine

ψ(x) =1

2m+ 1

2m∑j=0

sin (2m+ 1)x−xj

2

sinx−xj

2

=1

2m+ 1

2m∑j=0

m∑k=−m

eik(x−xj) =

=1

2m+ 1

m∑k=−m

eikx2m∑j=0

e−ikxj =1

2m+ 1

m∑k=−m

(2m+ 1)δk,0 = 1.

P 8.6 In conditiile Teoremei 8.2.3 sa se arate ca

ψ(x)def=

sinmx

2m

2m−1∑j=0

(−1)j cotx− xj

2= 1.

si ca rezultatul teoremei se scrie sub forma baricentrica

t(x) =

∑2m−1j=0 (−1)jyj cot

x−xj2∑2m−1

j=0 (−1)j cotx−xj

2

.

Indicatie. Reamintind ca w = eiπm si tinand seama de relatiile (8.15) si (8.16)

au loc egalitatile

ψ(x) =1

2m

2m−1∑j=0

[1

2(wj

z)m +

m−1∑k=1

(wj

z)k + 1 +

m−1∑k=1

(z

wj)k +

1

2(z

wj)m

]=


= 1 +1

2m

m∑k=−mk 6=0

γkzk

2m−1∑j=0

wjk = 1,

unde γk =

1 k ∈ −m+ 1, . . . ,−1, 1, . . . ,m− 112

k ∈ −m,m .

P 8.7 Dandu-se numerele reale 0 ≤ x1 < x2 < . . . xn ≤ 2π si y1, y2, . . . , yn;w1, wz, . . . , wn sa se arate ca exista un singur polinom de interpolare trigonomet-ric

T (x) =n∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx) (8.22)

cu proprietatile T (xk) = yk, T′(xk) = wk pentru orice k ∈ 1, 2, . . . , n. 1

Indicatie. Forma complexa a polinomului trigonometric de interpolare (8.22)este

T (x) =n∑

k=−n

ckzk def

= ϕ(z),

cu eix = z, ck = ak−ibk2

, c−k = ck, c0 = 0, k ∈ 1, 2, . . . , n.Deoarece T ′(x) = ϕ′(z) dz

dx= ϕ′(z)ieix = izϕ′(z) conditiile de interpolare devin

T (xk) = ϕ(zk) = yk,

T ′(xk) = izkϕ′(xk) = wk ⇔ ϕ′(zk) =

wkizk

,

unde zk = eixk , k ∈ 1, 2, . . . , n.Functia Φ(z) = znϕ(z) este polinom de grad 2n si au loc egalitatile

Φ(zk) = znk yk,

Φ′(zk) = zn−1k (nyk − iwk).

Prin urmare, daca yk = wk = 0, atunci Φ(zk) = Φ′(zk) = 0, k ∈ 1, . . . , n.Notam prin P0

2n spatiul liniar al polinoamelor de grad cel mult 2n, avandcoeficientul lui xn egal cu 0. Φ ∈ P0

2n.Definim operatorul A : P0

2n → R2n prin

A(p) = (p(z1), . . . , p(zn), p′(z1), . . . , p′(zn)).

1Newman D.J., Rubel L.A., 1979, On Osculatory Interpolation by Trigonometric Polynomi-als. Internat. J. Math. & Math. Sci., Vol. 2, No. 4, 717-720.


In vederea aplicarii Teoremei 2.3.1 trebuie aratat ca operatorul A este injectiv.Daca p ∈ P0

2n, p(z) =∑2n

j=0 bjzj si A(p) = 0 atunci p(zk) = p′(zk) = 0,∀ k ∈

1, . . . , n, de unde

p(z) = cn∏k=1

(z − zk)2 = c u2(z), (8.23)

iar u(z) =∏n

k=1(z − zk).Presupunem c 6= 0. Impartind (8.23) prin zn

∏nk=1(−zk) rezulta

p(z)

zn∏n

k=1(−zk)= c u(z)

n∏k=1

z − zkz(−zk)

= c u(z)n∏k=1

(1

z− zk).

Pentru z pe cercul unitate egalitatea de mai sus devine

p(z)

zn∏n

k=1(−zk)= c|u(z)|2

sau

c|u(z)|2 = kp(z)

zn,

unde k =∏n

k=1(−zk) =∏n

k=1(−eizk). Inmultim cu 12πız

si integrand pe cerculunitate rezulta

c

2πi

∫|z|=1

|u(z)|2 dz

z=

k

2πi

∫p(z)

zn+1dz

si

c

∫ 1

0

|u(ei2πt|2dt = kbn.

Prin urmare bn 6= 0, ın contradictie cu ipoteza p ∈ P02n.

P 8.8 Sa se arate ca valoarea polinomului trigonometric

T (x) = a0 +n∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx)

se poate obtine cu algoritmul de tip Horner

un = cn, uk−1 = uk sinx− vk cosx+ ck−1, k ∈ n, n− 1, . . . , 1vn = 0, vk−1 = uk sinx+ vk cosx, k ∈ n, n− 1, . . . , 1

prin T (x) = u(1)0 + v

(2)0 , unde


• u(1)0 se calculeaza pentru ck = ak, k ∈ 0, 1, . . . , n;

• v(2)0 se calculeaza pentru ck = bk, k ∈ 0, 1, . . . , n, (b0 = 0).

Indicatie. Pentru P (z) =∑n

k=0 ckzk, ck ∈ R, ∀ k si z = eix

P (z) =n∑k=0

ck cos kx+ in∑k=1

ck sin kx = u+ iv

schema lui Horner este

cn cn−1 . . . c1 c0

z = eix un = cn un−1 . . . u1 u0

vn = 0 vn−1 . . . v1 v0

cu formulele de recurenta

uk−1 + ivk−1 = (cosx+ i sinx)(uk + ivk) + ck−1.

P 8.9 1. Fie f ∈ C2π. Sa se arate ca pentru calculul integralei I =∫ 2π

0f(x)dx

formula trapezelor se reduce la

In = hn−1∑j=0

f(jh), unde h =2π

n.

2. Daca dezvoltarea Fourier a functiei f este f(x) =∑

k∈Z ckeikx atunci

(a) I = 2πc0

(b) In − I = 2π∑∞

k=1(ckn + c−kn).

Indicatie. (b)

In = hn−1∑j=0

f(jh) = hn−1∑j=0

∑k∈Z

ckeikhj = h

∑k∈Z

ck

n−1∑j=0

(eikh)j

= h∑k∈Z

k mod n=0

ck.

Capitolul 9

Interpolare si aproximare cufunctii rationale

9.1 Interpolare cu functie rationala

Date fiind datele de interpolare (xi, yi) ∈ R × R, i ∈ 0, 1, . . . , n se cere

determinarea unei functii rtionale R(x) = P (x)Q(x)

, unde P (x) si Q(x) sunt polinoame

de grad r si repectiv s, astfel ıncat R(xi) = yi, ∀ i ∈ 0, 1, . . . , n. PolinoameleP,Q au r+ s+ 2 coeficienti. Intotdeauna se poate efectua o simplificare ın urmacareia un coeficient ia o valoare fixata a priori (uzual 1) si ın consecinta suntesentiali r + s+ 1 coeficienti. Rezulta conditia n = r + s+ 1.

Fie f(x) o functie pentru care yi = f(xi), ∀ i ∈ 0, 1, . . . , n. Consideramsirul de functii vi(x), i ∈ 0, 1, . . . , n definit prin formula de recurenta

vi(x) = vi(xi) +x− xivi+1(x)

. (9.1)

Explicitand succesiv pentru i = 0, 1, . . . , n se obtine

Fn(x) = v0(x0) +x− x0

v1(x)= v0(x0) +

x− x0

v1(x1) + x−x1v2(x)

= . . . (9.2)

. . . = v0(x0) + x−x0v1(x1)

+ x−x1v2(x2)

. . .

+ x−xn−1

vn(xn)

+ x−xnvn+1(x)

.

225

226 CAPITOLUL 9. INTERPOLARE SI APROXIMARE CU FUNCTII RATIONALE

Observatia 9.1.1 Inainte de a continua prezentam ideea care va fi utilizata.

Daca ın locul relatiei (9.1) se utilizeaza recurenta

ui(x) = ui(xi) + (x− xi)ui+1(x)

atunci ın urma explicitarilor pentru i = 0, 1, . . . , n se obtine

Fn(x) = u0(x0)+(x−x0)u1(x1)+(x−x0)(x−x1)u2(x2)+. . .+(x−x0) . . . (x−xn−1)un(xn)+

+(x− x0) . . . (x− xn−1)(x− xn)un+1(x).

Daca se aleg ui(xi) = [x0, x1, . . . , xi; f ], i ∈ 0, 1, . . . , n, atunci primii n + 1termeni dau polinomul de interpolare Lagrange sub forma lui Newton

Fn(x) = L(Pn;x0, x1, . . . , xn; f)(x) + (x− x0) . . . (x− xn−1)(x− xn)un+1(x)

si au loc egalitatile

Fn(xi) = f(xi), ∀ i ∈ 0, 1, . . . , n.

Revenind la interpolarea cu functii rationale vi(xi) se vor defini ca diferentedivizate inverse.

Definitia 9.1.1 Diferenta divizara inversa a functiei f de ordin k ın nodurilex0, x1, . . . , xk este definita prin formula de recurenta

x0, x1, . . . .xk; f =xk − xk−1

x0, x1, . . . , xk−2, xk; f − x0, x1, . . . , xk−1; f; (9.3)

x0, f = f(x0).

Observatia 9.1.2 Diferenta divizata inversa depinde de ordinea nodurilor, spredeosebire de diferenta divizata.

Observatia 9.1.3 In cazul unei functii cu valori reale este posibil ca numitorulexpresiei (9.3) sa fie 0.

Teorema 9.1.1 Daca vi(xi) = x0, x1, . . . , xi; f, i ∈ 0, 1, . . . , n, atunci Fn(xi) =f(xi), ∀ i ∈ 0, 1, . . . , n.

9.1. INTERPOLARE CU FUNCTIE RATIONALA 227

Demonstratie. Din (9.2) rezulta F (xk) =

= v0(x0) + xk−x0v1(x1)

+ xk−x1v2(x2)

. . .

+ xk−xk−2

vk−1(xk−1)

+ xk−xk−1

vk(xk)

Dar

vk−1(xk−1) +xk − xk−1

vk(xk)= x0, x1, . . . , xk−1; f+

xk − xk−1

x0, x1, . . . , xk; f=

= x0, x1, . . . , xk−1; f+ xk − xk−1xk−xk−1

x0,x1,...,xk−2,xk;f−x0,x1,...,xk−1;f= x0, x1, . . . , xk−2, xk; f.

Efectuand repetat aceste calcule, ın final rezulta

F (xk) = v0(x0) +xk − x0

x0, xk; f= f(x0) +

xk − x0xk−x0

f(xk)−f(x0)

= f(xk).

Utilizand acest rezultat se obtine

Teorema 9.1.2 In cazul nodurilor x0, x1, . . . , xk−1, x are loc formula f(x) =

= f(x0) + x−x0v1(x1)

+ x−x1v2(x2)

. . .

+ x−xk−2

vk−1(xk−1)

+ x−xk−1

vk(x).

(9.4)

Exista un procedeu iterativ pentru a obtine reprezentarea functiei Fn(x) cafunctie rationala. In acest sens rescriem formula (9.4) sub forma

f(x) =vk(x)Gk(x) + (x− xk−1)Pk(x)

vk(x)Hk(x) + (x− xk−1)Qk(x). (9.5)

Pentru k + 1 relatia de mai sus este

f(x) =vk+1(x)Gk+1(x) + (x− xk)Pk+1(x)

vk+1(x)Hk+1(x) + (x− xk)Qk+1(x). (9.6)


Utilizand formula de recurenta (9.1) ın (9.5) se obtine

f(x) =vk+1(x) (vk(xk)Gk(x) + (x− xk−1)Pk(x)) + (x− xk)Gk(x)

vk+1(x) (vk(xk)Hk(x) + (x− xk−1)Qk(x)) + (x− xk)Hk(x). (9.7)

Comparand relatiile (9.6) cu (9.7) identificam

Pk+1(x) = Gk(x)

Qk+1(x) = Hk(x)

Gk+1(x) = vk(xk)Gk(x) + (x− xk−1)Pk(x)

Hk+1(x) = vk(xk)Hk(x) + (x− xk−1)Qk(x)

Rezulta formulele de recurenta

Gk+1(x) = vk(xk)Gk(x) + (x− xk−1)Gk−1(x) (9.8)

Hk+1(x) = vk(xk)Hk(x) + (x− xk−1)Gk−1(x) (9.9)

Din (9.4) pentru k = 1 relatia se scrie

f(x) = f(x0) +x− x0

v1(x)=v1(x)f(x0) + (x− x0)

v1(x).

Astfel valorile initiale sunt

G1(x) = f(x0) H1(x) = 1G0(x) = 1 H0(x) = 0

(9.10)

Potrivit Teoremei 9.1.1 functia rationala de interpolare este

Fn(x) =Gn+1(x)

Hn+1(x), (9.11)

cu Gk(x), Hk(x), k = 1, 2, . . . , n, generate cu formulele de recurenta (9.11) si(9.12), cu valorile initiale date de (9.13) si cu vi(xi) = x0, x1, . . . , xi; f, i =0, 1, . . . , n.

Din formulele de recurenta deducem cu

k = 1 ⇒ G2 ∈ P1 H2 ∈ P0

k = 2 ⇒ G3 ∈ P1 H3 ∈ P1

k = 3 ⇒ G4 ∈ P2 H4 ∈ P1

k = 4 ⇒ G5 ∈ P2 H5 ∈ P2...

9.1. INTERPOLARE CU FUNCTIE RATIONALA 229

Rezulta ca G2k+1, H2k+1 ∈ Pk si G2k ∈ Pk, H2k ∈ Pk−1.Daca n+ 1 este impar, n+ 1 = 2k + 1, atunci

grad(Gn+1) + grad(Hn+1) = 2k = n.

Daca n+ 1 este par, n+ 1 = 2k, atunci

grad(Gn+1) + grad(Hn+1) = 2k − 1 = n.

In ambele cazuri numarul coeficientlor care definesc functia rationala Fn(x) co-incide cu numarul conditiilor de interpolare.

Calculul diferentelor divizate inverse se face completand succesiv coloaneletabloului

x0 x0; fx1 x1; f x0, x1; fx2 x2; f x0, x2; f x0, x1, x2; f...

. . .

xn xn; f x0, xn; f x0, x1, xn; f . . . x0, x1, . . . , xn; f

Teorema 9.1.3 Restul aproximarii unei functii f : R→ R prin functia rationalaFn(x) data de (9.11) este

r(x) = f(x)− Fn(x) = (−1)n∏n

i=1(x− xi)(vn+1Hn+1(x) + (x− xn)Hn(x))Hn+1(x)

.

Demonstratie. Fie x ∈ R, x /∈ x0, x1, . . . , xn, fixat. Pentru nodurile x0, x1, . . . , xn−1, xpotrivit formulei 9.4 are loc egalitatea

f(x) =vn(x)Gn(x) + (x− xn−1)Gn−1(x)

vn(x)Hn(x) + (x− xn−1)Hn−1(x), (9.12)

ın timp ce

Fn(x) =Gn+1(x)

Hn+1(x)=vn(xn)Gn(x) + (x− xn−1)Gn−1(x)

vn(xn)Hn(x) + (x− xn−1)Hn−1(x). (9.13)

Trebuie remarcat ca ın procesul iterativ de calculul a relatiilor (9.12) si (9.13)functiile G0(x), G1(x), . . . , Gn(x), H0(x), H1(x), . . . , Hn(x) coincid, doar calcululiteratiei urmaroare difera deoarece difera ultimul nod.


Restul este dat de

r(x) = f(x)− Fn(x) =

=vn(x)Gn(x) + (x− xn−1)Gn−1(x)

vn(x)Hn(x) + (x− xn−1)Hn−1(x)− vn(xn)Gn(x) + (x− xn−1)Gn−1(x)

vn(xn)Hn(x) + (x− xn−1)Hn−1(x)=

=(x− xn−1)(vn(x)− vn(xn))(Gn−1(x)Hn(x)−Gn(x)Hn−1(x))

(vn(x)Hn(x) + (x− xn−1)Hn−1(x)) (vn(xn)Hn(x) + (x− xn−1)Hn−1(x)).

Deoarece vn(x) = vn(xn) + x−xnvn+1(x)

are loc egalitatea

vn(x)Hn(x) + (x− xn−1)Hn−1(x) = Hn+1(x) +x− xnvn+1(x)

Hn(x)

si expresia restului r(x), dupa substituirea lui vn(x), devine

r(x) =(x− xn)(x− xn−1)(Gn(x)Hn−1(x)−Gn−1(x)Hn(x))

(vn+1Hn+1(x) + (x− xn)Hn(x))Hn+1(x).

Au loc egalitatile

Gn(x)Hn−1(x)−Gn−1(x)Hn(x) =

= (vn−1(xn−1)Gn−1(x) + (x− xn−2)Gn−2(x))Hn−1(x)−

−Gn−1(x)(vn−1(xn−1)Hn−1(x) + (x− xn−2)Hn−2(x)) =

= −(x− xn−2)(Gn−1(x)Hn−2(x)−Gn−2(x)Hn−1(x)).

Utilizand repetat aceste transformari se obtine

Gn(x)Hn−1(x)−Gn−1(x)Hn(x) =

= (−1)n−2(x− xn−2)(x− xn−3) . . . (x− x1)(G2(x)H1(x)−G1(x)H2(x)).

Tinand seama de (9.13) se gaseste G2(x)H1(x)−G1(x)H2(x) = x− x0. Astfel ınfinal se obtine

Gn(x)Hn−1(x)−Gn−1(x)Hn(x) = (−1)nn−2∏i=0

(x− xi)

si deci

r(x) = (−1)n∏n

i=1(x− xi)(vn+1Hn+1(x) + (x− xn)Hn(x))Hn+1(x)

.

9.2. APROXIMAREA PADE 231

9.2 Aproximarea Pade

Pentru o functie f aproximatia Pade consta ın determinarea unei aproximatiirationale

Rm,n(x) =P (x)

Q(x)=a0 + a1x+ . . .+ amx

m

1 + b1x+ . . .+ bnxn.

In felul acesta necunoscutele sunt coeficientii polinoamelor, ın numar de m+n+1.

Presupunem ca functia f admite dezvoltarea tayloriana

f(x) =m+n∑k=0

fkxk +O(|x|m+n+1).

Notand T (x) =∑m+n

k=0 fkxk, aproximarea Pade se determina astfel ıncat

Rm,n(x)− T (x) =P (x)− T (x)Q(x)

Q(x)= O(|x|m+n+1).

In locul acestei cerinte se foloseste

P (x)− T (x)Q(x) = O(|x|m+n+1).

Detaliind polinomul P (x)− T (x)Q(x) =

= a0 + a1x+ . . .+ amxm − (f0 + f1x+ . . .+ fm+nx

m+n)(1 + b1x+ . . .+ bnxn)

cerinta este ca termenul liber si coeficientii lui x, . . . , xm+n sa fie egali cu 0.

Va rezulta un sistem algebric de m + n + 1 ecuatii liniare cu m + n + 1necunoscute, dar fara garantia existentei unei solutii.

Pentru

f = (f0, f1, . . . , fm+n)T

c = (a0, a1, . . . , am, b1, b2, . . . , bn)

vom scrie sistemul algebric ca Ac = f . Presupunem ca m,n > 0. Structuramatricei A depinde de relatia dintre m si n.


• Cazul m < n.

A =

1 0 . . .1 −f0 0 . . .

1 −f1 −f0 0 . . .

. . ....

. . .. . .

1 −fm−1 −fm−2 . . . −f0 0 . . .−fm −fm−1 . . . −f0 0 . . .

.... . .

−fn−1 −fn−2 . . . −f1 −f0−fn −fn−1 . . . −f2 −f1

...−fm+n−1 −fm+n−2 . . . −fm+1 −fm

=

=

Im+1 A1,2

0n−m,m+1 A2,2

0m,m+1 A3,2

,unde A1,2 ∈Mm+1,n(R), A2,2 ∈Mn−m,n(R), A3,2 ∈Mm,n(R).

• Cazul m = n.

A =

1 0 . . .1 −f0 0 . . .

1 −f1 −f0 0 . . .

. . ....

. . .

1 −fn−1 −fn−2 . . . −f0−fn −fn−1 . . . −f1

...−f2n−1 −f2n−2 . . . −fn

=

=

[In+1 A1,2

0n,n+1 A2,2

],

unde A1,2 ∈Mn+1,n(R), A2,2 ∈Mn,n(R).

• Cazul m > n.

A =

1 0 . . .1 −f0 0 . . .

1 −f1 −f0 0 . . .

. . ....

. . .

1 −fn−1 −fn−2 . . . −f01 . . . −fn −fn−1 . . . −f1

. . ....

1 −fm−1 −fm−2 . . . −fm−n−fm −fm−1 . . . −fm−n+1

...−fm+n−1 −fm+n−2 . . . −fm

=

9.2. APROXIMAREA PADE 233

=

In+1 0n+1,m−n A1,3

0m−n,n+1 Im−n A2,3

0n,n+1 0n,m−n A3,3

,unde A1,3 ∈Mn+1,n(R), A2,3 ∈Mm−n,n(R), A3,3 ∈Mn,n(R).

Capitolul 10

Aproximare si interpolare cupolinoame Cebısev

10.1 Polinoame Cebısev

Polinoamele lui Cebısev sunt polinoame ortogonale cu ponderea ρ(x) = 1√1−x2

ın intervalul I = [−1, 1].Polinomul lui Cebısev de gradul n, restrictionat la intervalul [−1, 1], este

definit prinTn(x) = cos (n arccosx).


(i) Polinoamele lui Cebısev satisfac formulele de recurenta:

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x);

T0(x) = 1;

T1(x) = x.

(ii) Coeficientul lui xn a lui Tn(x) este 2n−1 si coeficientul lui xn−1 este 0.

Teorema 10.1.2 Au loc relatiile de ortogonalitate∫ 1

−1

Tn(x)Tk(x)√1− x2

dx = 0, ∀n 6= k, n, k ∈ N,∫ 1

−1

T 2n(x)√

1− x2dx =

π2

n ≥ 1π n = 0

= αnπ.

235

236 CAPITOLUL 10. APROXIMARE SI INTERPOLARE CU POLINOAME CEBISEV

unde αn =

12

n ≥ 11 n = 0

.

Teorema 10.1.3 Fie Pn = P ∈ Pn : P (x) = xn+a1xn−1 + . . .+an−ax+an;P ∈

R[X]. Are loc egalitatea

infP∈Pn

supx∈[−1,1]

|P (x)| = supx∈[−1,1]

| 1

2n−1Tn(x)| = 1

2n−1.

Demonstratie. supx∈[−1,1] | 12n−1Tn(x)| = 1

2n−1 . Presupunand prin absurd ca

exista P ∈ Pn astfel ıncat supx∈[−1,1] |P (x)| < 12n−1 functia R(x) = P (x) −

12n−1Tn(x) ∈ Pn−1 va avea n radacini situate ın intervalele [xk, xk+1], k ∈ 0, . . . , n−1, unde xk = cos kx

n. R(xk) = P (xk)− (−1)k

2n−1 .

10.2 Dezvoltarea Cebısev, seria Laurent, dez-

voltarea Fourier

Fie f : [−1, 1]→ R o functie continua. Numerele

an =1

αnπ

∫ 1

−1

f(x)Tn(x)√1− x2

dx (10.1)

se numesc coeficientii dezvoltarii Cebısev atasat functiei f :

f(x) ∼∞∑n=0

anTn(x), x ∈ [−1, 1]. (10.2)

Are loc egalitatea

an =1

αnπ

∫ π

0

f(cos t) cosntdt =1

2αnπ

∫ π

−πf(cos t) cosntdt. (10.3)

Polinomul fn(x) =∑n

k=0 akTk(x) se obtine prin metoda celor mai mici patrateca solutie a problemei de optimizare∫ 1

−1

1√1− x2

(f(x)−

n∑k=0

λkTk(x)

)2

dx → min

cu minimizarea dupa coeficientii λ0, . . . , λn. Acest polinom se numeste polinomulde aproximare Cebısev a functiei f(x) ın intervalul [−1, 1].

10.2. DEZVOLTAREA CEBISEV 237

Cu notatiile din 6.1, ın spatiul Hilbert real L2[−1, 1] cu produsul scalar

< f, g >=

∫ 1

−1

f(x)g(x)√1− x2

dx,

si pn = Tn, ∀n ∈ N, au loc egalitatile

< f, pk > = < f, Tk >=

π2ak k ≥ 1πa0 k = 0

< pk, pk > = < Tk, Tk >=

π2

k ≥ 1π k = 0

∞∑k=0

< f, pk >2

< pk, pk >=

∞∑k=0

< f, Tk >2

< Tk, Tk >= π(a2

0 +1

2

∞∑k=1

a2k) =

=

∫ 1

−1

f 2(x)√1− x2

dx =

∫ π

0

f 2(cos t)dt. (10.4)

Teorema 10.2.1 Daca f ∈ C2[−1, 1] si M2 este o majoranta a derivatei deordinul doi a lui f atunci

|an| ≤2M2

(n− 1)2, ∀ n ≥ 2. (10.5)

Demonstratie. Pornind de la prima egalitate din (10.3), vom efectua douaintegrari prin parti. Dupa prima integrare prin parti se obtine

an =2

nπ

∫ π

0

f ′(cos t) sin t sinntdt =

=1

nπ

(∫ π

0

f ′(cos t) cos (n− 1)tdt−∫ π

0

f ′(cos t) cos (n+ 1)tdt

).

Se efectueaza a doua integrare prin parti ın cele doua integrele de mai sus:

an =1

nπ

(1

n+ 1

∫ π

0

f ′′(cos t) sin t sin (n+ 1)tdt−

− 1

n− 1

∫ π

0

f ′′(cos t) sin t sin (n− 1)tdt

).

Prin urmare

|an| ≤M2

n(

1

n+ 1+

1

n− 1) ≤ 2M2

(n− 1)2.


Unei functii f : [−1, 1]→ R i se asociaza o functie de variabila complexa prinsubstitutiile

x = cos t =1

2(eit + e−it), (10.6)

z = eit. (10.7)

Atunci

f(x) = f(cos t) = f(z + 1

z

2) = F (z).

Are loc egalitatea F (z) = F (1z).

Daca x variaza de la -1 la 1 atunci t variaza de la π la 0, iar z descrie semicerculunitate din semiplanul superior Γ+ ın sens invers trigonometric. Vom nota prinΓ− semicercul unitate din semiplanul inferior si Γ = Γ+∪Γ− cercul unitate. Candt variaza de la 0 la π atunci z = e−it parcurge Γ− ın sens invers trigonometric.

Teorema 10.2.2 Daca F (ζ) = F (1ζ), ζ ∈ Γ, atunci pentru orice n ∈ N au loc

egalitatile: ∫Γ+

F (ζ)

ζn+1dζ =

∫Γ−F (ζ)ζn−1dζ (10.8)∫

Γ+

F (ζ)ζn−1dζ =

∫Γ−

F (ζ)

ζn+1dζ (10.9)

Demonstratie. Ambele relatii rezulta prin schimbarea de variabila ζ = 1w. Daca

ζ ∈ Γ+ atunci w ∈ Γ−.Pentru n ∈ Z, notam prin cn coeficientul Laurent al unei functii complexe F

cu singularitate ın origine:

cn =1

2πi

∫Γ

F (ζ)

ζn+1dζ.

Are loc echivalenta F (ζ) = F (1ζ) ⇔ cn = c−n,∀n ∈ N∗. Intre coeficientii

dezvoltarii Cebısev si coeficientii seriei Laurent are loc legatura

Teorema 10.2.3 Au loc egalitatile an = 1αncn, ∀ n ∈ N.

Demonstratie. Aplicand schimbarile de variabila (10.6)-(10.7)

an =1

αnπ

∫ 1

−1

f(x)Tn(x)√1− x2

dx =1

αnπ

∫ π

0

f(cos t) cosntdt =


=1

αnπ

∫Γ+

F (ζ)ζn + ζ−n

2

dζ

iζ=

1

2αnπi

(∫Γ+

F (ζ)ζn−1dζ +

∫Γ+

F (ζ)

ζn+1dζ

).

Folosind (10.9), relatia de mai sus devine

an =1

2αnπi

∫Γ

F (ζ)

ζn+1dζ =

1

αncn.


∞∑n=0

anTn(x) =∑n∈Z

cnzn = F (z) = f(x).

Demonstratie. Tinand seama de definitia lui αn

∞∑n=0

anTn(x) =∞∑n=0

1

2αn(zn + z−n)cn =

∑n∈Z

cnzn.

Egalitatea dintre functia complexa F (z) si seria Laurent ın coroana U\0, undeU este discul unitate, implica egalitatea dintre functia f si dezvoltatea Cebısev.

Fie dezvoltarea Cebısev a functiei f(x) =∑∞

k=0 akTk(x) si sumele partiale /sirul polinoamelor Cebısev de aproximare a functiei f(x)

fn(x) =n∑k=0

akTk(x), ∀n ∈ N.

Teorema 10.2.5 Daca f ∈ C2[−1, 1] atunci sirul (fn(x))n∈N converge uniformın intervalul [−1, 1] catre f(x).

Demonstratie. Aplicand evaluarea (10.5), pentru x ∈ [−1, 1] au loc relatiile

|f(x)− fn(x)| = |∞∑

k=n+1

akTk(x)| ≤∞∑

k=n+1

|ak| ≤ 2M2

∞∑k=n

1

k2→ 0,

pentru n→∞.Pentru x = cos t din dezvoltarea Cebısev (10.2) rezulta dezvoltarea Fourier

f(cos t) =∑n∈N

an cosnt. t ∈ [−π, π].


Coeficientii Fourier rezulta din (10.3)

a0 =1

2π

∫ π

−πf(cos t)dt, an =

1

π

∫ π

−πf(cos t) cosntdt, n ∈ N∗.

Un subsir de aproximatii ale coeficientilor Fourier se poate calcula utilizandtransformarea Fourier discreta (7.4.1)

a =1

mFm(ϕ)

unde a = (aj)0≤j≤m−1 si ϕ = (f(cos 2πjm

))0≤j≤m−1. Prin Fm s-a notat transfor-marea Fourier discreta. Se poate lua m = 2n.

Algorithm 4 Calculul coeficientilor aproximatiei Cebısev

1: procedure c=chebfun(f,n)2: k = 0 : 2n− 13: x← cos kπ

n

4: y ← f(x)5: a← 1

nfft(y)

6: c← <a(1 : n+ 1)7: c(1)← 1

2c(1)

8: end procedure

Alternativ, se poate utiliza formula de integrare numerica Gauss. Daca ξk =cos (k + 1

2) πN, k ∈ 0, 1, . . . , N − 1 sunt radacinile polinomului Cebısev TN(x)

atunci

an =1

αnπ

∫ 1

−1

f(x)Tn(x)√1− x2

dx ≈ 1

αnπ

π

N

N−1∑k=0

f(ξk)Tn(ξk) =

=1

αnN

N−1∑k=0

f

(cos ((k +

1

2)π

N)

)cos

((k +

1

2)πn

N

)S-a pus ın evidenta transformarea cosinus discreta a sirului(f(cos ((k + 1

2) πN

)))k∈0,1,...,N−1.Relatia (10.4) ofera un indicator de verificare a acuratetii cu care fn apro-

ximeaza functia f

e(f, n) =

∫ π

0

f(cos(t))2dt− π(a20 +

1

2

n∑k=1

a2k).


Aplicata t 7→ x = a+ b−a2

(t+ 1) este o bijectie ıntre intervalele [−1, 1] si [a, b].Dacaf ∈ C[a, b] atunci dezvoltarea Cebısev se construieste pentru

f(a+b− a

2(t+ 1)) =

∞∑n=0

cnTn(t) ⇔ f(x) =∞∑n=0

cnTn

(2x− ab− a

− 1

). (10.10)

Dezvoltarea Cebısev a derivatei unei functii

Fie functia derivabila f(x) =∑

n∈N anTn(x). Ne propunem sa determinamdezvoltarea Cebısev a derivatei

f ′(x) =∞∑n=0

bnTn(x) =∞∑n=1

anT′n(x), (10.11)

mai precis a coeficientilor (bn)n∈N ın functie de coeficientii (an)n∈N.Calculam coeficientul bn conform formulei (10.1)

bn =1

αnπ

∫ 1

−1

f ′(x)Tn(x)√1− x2

dx =1

αnπ

∞∑k=0

ak

∫ 1

−1

T ′k(x)Tn(x)√1− x2

dx =

=1

αnπ

∞∑k=0

kak

∫ π

0

sin kt cosnt

sin tdt =

=1

2αnπ

∞∑k=0

kak

(∫ π

0

sin (k + n)t

sin tdt+

∫ π

0

sin (k − n)t

sin tdt

)=

=1

2αnπ

∞∑k=0

kak(Ik+n + ηk,nI|k−n|),

unde

In =

∫ π

0

sinnt

sin tdt, ηk,n =

1 daca k > n0 daca k = n−1 daca k < n

.

Integrala In se calculeaza cu teorema semirezidurilor

In =1

2

∫ π

−π

sinnt

sin tdt =

1

2=∫ π

−π

eint

sin tdt = =

∫|z|=1

zn

z2 − 1dz =

= =πi(

Res(zn

z2 − 1,−1) + Res(

zn

z2 − 1, 1)

)=π

2(1− (−1)n).


Utilizand acest rezultat

bn =1

2αnπ

∞∑k=0

kak

(π2

(1− (−1)k+n) + ηk,nπ

2(1− (−1)|k−n|)

).

Observand ca k+ n si |k− n| au aceasi paritate, termenii pentru k ≤ n sunt nulisi ın consecinta

bn =1

2αn

∞∑k=n+1

kak(1− (−1)k+n) =1

αn((n+ 1)an+1 + (n+ 3)an+3 + . . .). (10.12)

Matriceal aceste relatii se scriu

b0

b1

b2

b3

b4

b4

b5...

=

1 0 3 0 5 0 7 . . .0 4 0 8 0 12 00 0 6 0 10 0 140 0 0 8 0 12 00 0 0 0 10 0 140 0 0 0 0 12 00 0 0 0 0 0 14...

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a6...

(10.13)

Calculul unui polinom de aproximatie Cebısev de grad n a derivatei f ′(x) pe bazaformulei (10.13) va avea ordinul de complexitate O(n2).

O varianta de complexitate O(n) se bazeaza pe formula

1

2

(T ′n+1(x)

n+ 1−T ′n−1(x)

n− 1

)= Tn(x), n > 1.

Au loc formulele

f ′(x) =∞∑k=0

bkTk(x) = b0T′1(x) +

b1

2

T ′2(x)

2+∞∑k=2

bk2

(T ′k+1(x)

k + 1−T ′k−1(x)

k − 1

)=

= (b0 −b2

2)T ′1(x) +

∞∑k=2

1

2k(bk−1 − bk+1)T ′k(x) =

∞∑k=1

akT′k(x).

Identificand coeficientii lui T ′k(x) se obtine sistemul algebric de ecuatii liniareb0 − b2

2= a1

12k

(bk−1 − bk+1) = ak, k ≥ 2.


Practic, daca s-a calculat polinomul de aproximare Cebısev de grad n, fn(x) =∑nk=0 akTk(x), ın ipoteza ca ak ≈ 0 pentru k > n, atunci limitandu-ne la primele

n ecuatii rezulta sistemulb0 − b2

2= a1

12k

(bk−1 − bk+1) = ak, k ∈ 2, 3, . . . , n− 21

2(n−1)bn−2 = an−1

12nbn−1 = an

cu solutia

bn−1 = 2nanbn−2 = 2(n− 1)an−1

bk = 2(k + 1)ak+1 + bk+2, k ∈ n− 3, n− 4, . . . , 2, 1b0 = a1 + b2

2

O consecinta imediata a relatiei (10.12) este

Teorema 10.2.6 Pentru n > 1 au loc egalitatile bn−1 − bn+1 = 2nan.

Teorema 10.2.7 Daca f ∈ C1[−1, 1] atunci sirul (fn(x))n∈N converge uniformın intervalul [−1, 1] catre f(x).

Demonstratie. Fie f(x) =∑∞

n=0 anTn(x) si f ′(x) ∼∑∞

n=0 bnTn(x) seriileCebısev corespunzatoare. Potrivit inegalitatii Bessel (6.11) seria b2

0 + 12

∑∞k=1 b

2k

este convergenta.Utilizand relatia din Teorema 10.2.6 are loc egalitatea

|f(x)− fn(x)| = |∞∑

k=n+1

akTk(x)| ≤∞∑

k=n+1

|ak| =1

2

∞∑k=n+1

1

k|bk−1 − bk+1|.

Aplicand inegalitatea Cauchy rezulta

|f(x)− fn(x)| ≤ 1

2

(∞∑

k=n+1

1

k2

) 12(

∞∑k=n+1

|bk−1 − bk+1|2) 1

2

Utilizand |bk−1 − bk+1|2 ≤ 2((b2k−1 + b2

k+1), inegalitatea de mai sus devine

|f(x)− fn(x)| ≤

(∞∑

k=n+1

1

k2

) 12(∞∑k=n

b2k

) 12

→ 0, pentru n→∞.


10.3 Polinoame sub forma lui Cebısev

Un polinom de grad n reprezentat ın functie de polinoamele lui Cebısev, adicaca o combinatie liniara a polinoamelor T0, T1, . . . , Tn, se numeste polinom subforma lui Cebısev:

P (x) = c0 + c1T1(x) + . . .+ cnTn(x). (10.14)

10.3.1 Reprezentarea unui polinom ın forma lui Cebısev

Ne propunem sa obtinem reprezentarea Cebısev (10.14) a polinomului.

P (x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn. (10.15)

Introducem notatiile

a =

a0

a1...an

c =

c0

c1...cn

.

Relatiile (10.14) si (10.15) se rescriu ca

P (x) = aT

1x...xn

= cT

T0(x)T1(x)

...Tn(x)

. (10.16)

Reprezentarile

Tk(x) = tk0 + tk1x+ . . .+ tkkxk, k ∈ 0, 1, . . . , n,

se scriu matricealT0(x)T1(x)

...Tn(x)

=

t00t10 t11...

. . .

tn0 tn1 . . . tnn

1x...xn

.

Vom nota cu A ∈Mn(Z) matricea patrata din membrul drept.

10.3. POLINOAME SUB FORMA LUI CEBISEV 245

Pe baza formulei de recurenta Tk+1(x) = 2xTk(x) − Tk−1(x), matricea A secompleteaza linie cu linie cu relatiile

t00 = 1

t10 = 0t11 = 1

tk+10 = −tk−1

0

tk+1j = 2tkj−1 − tk−1

j , j ∈ 1, 2, . . . , ktk+1k+1 = tkk

si k ∈ 2, 3, . . . , n. Deoarece tkk = 2k−1, k ∈ 1, . . . , n are loc egalitatea |A| = 2k,adica matricea A este nesingulara.

Din (10.16) rezulta

P (x) = cTA

1x...xn

,

de unde rezulta sistemul algebric de ecuatii liniare a = AT c. Cum matricea sis-temului este superior triunghilara solutia rezulta usor

cn = antnn

ci =ai−

∑nj=i+1 t

ji cj

tii, i ∈ n− 1, n− 2, . . . , 0

.

10.3.2 Calculul valorii unui polinom sub forma lui Cebısev

Valoarea calculata ıntr-un punct x ∈ R a unui polinom dat sub forma luiCebısev (10.14) se calculeaza utilizand algoritmul lui Clenshaw.

Se defineste sirul (uk)0≤k≤n+1 prin formulele de recurenta

uk = −uk+2 + 2xuk+1 + ck, k = n− 1, n− 2, . . . , 0,

cu un+1 = 0, un = ck. Scriind aceste formule sub forma

un = cn−2xun +un−1 = cn−1

un −2xun−1 +un−2 = cn−2...

u4 −2xu3 +u2 = c2

u3 −2xu2 +u1 = c1

u2 −2xu1 +u0 = c0

si ınmultind respectiv cu Tn(x), Tn−1(x), . . . , T2(x), T1(x), T0(x), dupa adunarerezulta

u0 − xu1 =n∑j=0

cjTj(x) = P (x).


10.4 Interpolare Lagrange pe noduri Cebısev

Punctele de extrem ale polinomului Tn(x) sunt x(n)k = cos kπ

n, k ∈ 0, 1, . . . , n.1

Aceste puncte se numesc noduri Cebısev de speta a doua. Radacinile polinomuluiTn(x) se numesc noduri Cebısev de speta ıntai.

Fie f : [−1, 1]→ R o functie continua. Polinomul de interpolare Lagrange ınnodurile Cebısev de speta a doua

Ln(x) = L(Pn;x(n)0 , x

(n)1 , . . . , x(n)

n ; f)(x)

are proprietati remarcabile de aproximare a functiei f ın intervalul [−1, 1].

Pentru simplitate, vom numi punctele x(n)k , k = 0, 1, . . . , n noduri Cebısev.

Fara sa mai mentionam polinomul de interpolare este construit pe noduri Cebısev.O formula a polinomului de interpolare este dat ın Problema 10.2

L(Pn;x(n)0 , x

(n)1 , . . . , x(n)

n ; f)(x) =2

n

n∑i=0

γi

(n∑k=0

γkf(x(n)k )Ti(x

(n)k )

)Ti(x)

unde

γk =

12

daca k ∈ 0, n1 daca k ∈ 1, 2, . . . , n− 1 .

Teorema 10.4.1 Polinoamele Cebısev Tm, T2n±m, T4n±m, T6n±m, . . . iau aceleasi

valori ın nodurile x(n)k , k ∈ 0, 1, . . . , n.

Demonstratie. Concluzia rezulta din urmatorul calcul

T2jn±m(x(n)k ) = cos

((2jn±m) arccosx

(n)k

)= cos (2jn±m)

kπ

n= cos

mkπ

n,

pentru orice j ∈ N.Polinomul de interpolare Lagrange se va scrie sub forma lui Cebısev.

Teorema 10.4.2 Daca

f(x) =∞∑k=0

akTk(x)

1Tn este un polinom de grad n, derivata sa are doar n − 1 radacini, mai precis pentru

k ∈ 1, . . . , n− 1, puncte de extrem local. x(n)0 = 1 si x

(n)n = −1 sunt de asemenea puncte de

extrem local pentru Tn restrictionat la intervalul [−1, 1].

10.4. INTERPOLARE LAGRANGE PE NODURI CEBISEV 247

si

L(Pn;x(n)0 , x

(n)1 , . . . , x(n)

n ; f)(x) =n∑k=0

ckTk(x)


c0 = a0 + a2n + a4n + . . . , (10.17)

ck = ak + (ak+2n + ak+4n + ak+6n + . . .) + (10.18)

+(a−k+2n + a−k+4n + a−k+6n + . . .), k ∈ 1, . . . , n− 1,cn = an + a3n + a5n + . . . (10.19)

Demonstratie. Presupunem ca numerele c0, c1, . . . , cn sunt date de relatiile(10.17)-(10.19) si definim polinomul ϕ(x) =

∑nk=0 ckTk(x) ∈ Pn.

Pentru j ∈ 0, 1, . . . , n se calculeaza

ϕ(x(n)j ) =

n∑k=0

ckTk(x(n)j ) = (a0 + a2n + a4n + . . .)T0(x

(n)j )+ (10.20)

+n−1∑k=1

(ak + (ak+2n + ak+4n + ak+6n + . . .)+

+ (a−k+2n + a−k+4n + a−k+6n + . . .))Tk(x(n)j ) + (an + a3n + a5n + . . .)Tn(x

(n)j ).

Utilizand Teorema 10.4.1 rezulta ϕ(x(n)j ) =

∑∞k=0 akTk(x

(n)j ) = f(x

(n)j ).

Unicitatea polinomului de interpolare Lagrange ın multimea Pn implica ega-litatea ϕ = L(Pn;x

(n)0 , x

(n)1 , . . . , x

(n)n ; f).

Teorema 10.4.3 Daca f ∈ C2[−1, 1] atunci sirul polinoamelor de interpolareLagrange (Ln(x))n∈N converge uniform ın intervalul [−1, 1] catre f(x).

Demonstratie. Daca f(x) =∑∞

k=0 akTk(x) si fn(x) =∑n

k=0 akTk(x) atunci din(10.20) rezulta

Ln(x)− fn(x) = (a2n + a4n + . . .)T0(x)+

+n−1∑k=1

((ak+2n + ak+4n + ak+6n + . . .) + (a−k+2n + a−k+4n + a−k+6n + . . .))Tk(x)+

+(a3n + a5n + . . .)Tn(x).


Indicii coeficientilor a apar o singura data si sunt strict mai mari decat n. Relatiade mai sus se poate scrie ca

Ln(x)− fn(x) =∞∑

k=n+1

akTνk , νk ∈ 0, 1, . . . , n.

Prin urmare

f(x)− Ln(x) = f(x)− fn(x)− (Ln(x)− fn(x)) =∞∑

k=n+1

ak(Tk(x)− Tνk(x)).

Aplicand evaluarea (10.5), pentru x ∈ [−1, 1] au loc relatiile

|f(x)− Ln(x)| ≤∞∑

k=n+1

|ak||Tk(x)− Tνk(x)| ≤ 2∞∑

k=n+1

|ak| ≤ 4M2

∞∑k=n

1

k2→ 0,

pentru n→∞.In cele ce urmeaza vom deduce o expresie pentru calculul valorii polinomului

de interpolare Lagrange ın nodurile lui Cebısev de speta a doua, notate simpluxk = cos kπ

nıntr-un punct x.


1. u(x) =∏n

k=0(x− xk) = 12n

(Tn+1(x)− Tn−1(x)).

2. u′(xk) = (−1)kn2n−1γk

, k ∈ 0, 1, . . . , n,

unde γn =

1 daca k ∈ 1, 2, . . . , n− 112

daca k ∈ 0, n .

3. Expresia polinomului de interpolare Lagrange sub forma baricentrica penodurile lui Cebısev de speta a doua este

L(Pn;x0, . . . , xn; f)(x) =

∑nk=0

(−1)kγkf(xk)x−xk∑n

k=0(−1)kγkx−xk

.

Demonstratie. 1. Functia ϕ(x) = 12n

(Tn+1(x) − Tn−1(x)) este polinom monicde grad n+ 1. Calculam

ϕ(xk) =1

2n(cos (n+ 1)

kπ

n− cos (n− 1)

kπ

n) = − 1

2n−1sin kπ sin

kp

n= 0.


2.

u′(x) =1

2n(T ′n+1(x)− T ′n−1(x)) =

=1

2n√

1− x2((n+ 1) sin (n+ 1) arccosx− (n− 1) sin (n− 1) arccos x) .

Cu substitutia x = cos t, dupa transformarea sumelor ın produse rezulta

u′(x) =1

2n−1(n cosnt+

sinnt cos t

sin t).

Pentru k ∈ 1, . . . , n− 1 u′(xk) = n2n−1 cos kπ = (−1)kn

2n−1 .

Pentru k = 0 x0 = x = 1↔ t = 0 si

u′(1) = limx1

u′(x) = limt0

1

2n−1(n cosnt+

sinnt

sin tcos t) =

n

2n−2.

Pentru k = n xn = x = −1↔ t = π si

u′(−1) = limx−1

u′(x) = limtπ

1

2n−1(n cosnt+

sinnt

sin tcos t) =

(−1)nn

2n−2.


P 10.1 1. Daca xk = cos (2k + 1) π2n, k ∈ 0, 1, . . . , n − 1, sunt radacinile

polinomului Cebısev Tn(x) atunci pentru p, q < n au loc relatiile

n−1∑k=0

Tp(xk)Tq(xk) =

0 daca p 6= qn2

daca p = q > 0n daca p = q = 0

= αpδp,q,

unde αi =

12

daca i > 01 daca i = 0

2. Are loc formula

L(Pn−1;x0, . . . , xn−1; f)(x) =1

n

n−1∑i=0

1

αi

(n−1∑k=0

f(xk)Ti(xk)

)Ti(x).


R. 2. Polinomul de interpolare are expresia

L(Pn−1;x0, . . . , xn−1; f)(x) =n−1∑j=0

cjTj(x).

Conditiile de interpolare sunt

f(xk) =n−1∑j=0

cjTj(xk), k ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

Inmultind cu Ti(xk) si sumand dupa k rezulta

n−1∑k=0

f(xk)Ti(xk) =n−1∑j=0

cj

n−1∑k=0

Tj(xk)Ti(xk) =n−1∑j=0

cjαiδi,jn = ciαin

de unde ci = 1nαi

∑n−1k=0 f(xk)Ti(xk).

P 10.2 1. Daca xk = cos k πn, k ∈ 0, 1, . . . , n, sunt punctele de extrem ale

polinomului Cebısev Tn(x) atunci pentru p, q ≤ n au loc relatiile

n∑k=0

γkTp(xk)Tq(xk) =

0 daca p 6= qn2

daca p = q ∈ 1, 2, . . . , n− 1n daca p = q ∈ 0, n

= nαpδp,q,

unde γk =

12

daca k ∈ 0, n1 daca k ∈ 1, 2, . . . , n− 1

si αi =

1 daca i ∈ 0, n12

daca i ∈ 1, 2, . . . , n− 1

2. Are loc formula

L(Pn;x0, . . . , xn; f)(x) =2

n

n∑i=0

γi

(n∑k=0

γkf(xk)Ti(xk)

)Ti(x).

R. 2. Polinomul de interpolare are expresia

L(Pn;x0, . . . , xn; f)(x) =n∑j=0

cjTj(x).


Conditiile de interpolare sunt

f(xk) =n∑j=0

cjTj(xk), k ∈ 0, 1, . . . , n.

Inmultind cu γkTi(xk) si sumand dupa k rezulta

n∑k=0

γkf(xk)Ti(xk) =n∑j=0

cj

n∑k=0

γkTj(xk)Ti(xk) =n∑j=0

cjαiδi,jn = ciαin,

de unde ci = 1nαi

∑nk=0 γkf(xk)Ti(xk) = 2

nγi∑n−1

k=0 γkf(xk)Ti(xk).

P 10.3 Sa se arate ca∫ 1

−1

Tn(x)dx =

2

1−n2 pentru n par,

0 pentru n impar.

P 10.4 Formule de integrare numerica de tip Clenshaw-Curtis

1. Daca xk = cos (2k + 1)πn, k ∈ 0, 1, . . . , n − 1, sunt zerourile polinomului

Cebısev Tn(x), atunci∫ 1

−1

f(x)dx ≈∫ 1

−1

L(Pn−1;x0, . . . , xn−1; f)dx =n−1∑i=0i par

2Ai1− i2

,

unde Ai = 1nαi

∑n−1k=0 f(xk)Ti(xk) si αi =

12

daca i > 01 daca i = 0

.

2. Daca xk = cos kπn, k ∈ 0, 1, . . . , n, sunt punctele de extrem ale polinomului

Cebısev Tn(x), atunci∫ 1

−1

f(x)dx ≈∫ 1

−1

L(Pn;x0, . . . , xn; f)dx =n∑i=0i par

2Ai1− i2

,

unde Ai = 2nγi∑n

k=0 γkf(xk)Ti(xk) si γi =

12

daca i ∈ 0, n1 daca i ∈ 1, 2, . . . , n− 1 .

3. Daca f(x) ≈ fn(x) =∑n

i=0 ciTi(x), unde (ci)0≤i≤n sunt coeficientii dez-voltarii Cebısev atunci ∫ 1

−1

f(x)dx ≈n∑i=0i par

2ci1− i2

.


P 10.5 Sa se arate ca T ′n(1) = n2, ∀n ∈ N.

R. Inductie dupa n. T ′n+1(x) = 2xT ′n(x) + 2Tn(x)− T ′n−1(x).

P 10.6 Sa se arate ca polinoamul Tn(x), x ∈ [−1, 1] verifica ecuatia diferentiala

(1− x2)d2y

dx2− xdy

dx+ n2y = 0.

R. Pentru rezolvare se executa schimbarea de variabila x = cos t.

P 10.7 Daca f ∈ C[−1, 1] este o functie para atunci coeficientii dezvoltariiCebısev de ordin impar sunt nuli (a2n+1 = 0), iar daca functia este impara atuncicoefientii par sunt nuli (a2n = 0).

R. Utilizand (10.3) se face schimbarea de variabila t = π − s.

P 10.8 Fie t, z ∈ C astfel ıncat |t| < |z| < 1|t| , |t| < 1. Utilizand dezvoltarea

Laurent a functiei Φ(z) = 1z−t + z

1−tz si legatura x = 12(z + 1

z) sa se deduca

egalitatile1− t2

1− 2tx+ t2= 1 + 2

∞∑k=1

Tk(x)tk

si

Tn(x) =1

4πi

∫|t|=ρ

1− t2

1− 2tx+ t2dt

tn+1.

Daca |a| > 1 si a = 12(t+ 1

t) atunci

1

x− a=

2

t− 1t

(1 + 2∞∑k=1

Tk(x)tk).

R. Φ(z) =∑∞

k=1 tk−1(zk + 1

zk) si se tine seama de egalitatile Tk(x) = 1

2(zk + 1

zk),

ın particular x = 12(z + 1

z).

P 10.9 Dezvoltarea Cebıseb a functiei eax este

eax = I0(x) + 2∞∑n=0

In(a)Tn(x),

unde In(x) = e−inπ2 Jn(ix) este functie modificata Bessel.


R. 1. Expresia functiei Bessel este

Jν(x) =∞∑k=0

(−1)k

k!Γ(ν + k + 1)

(x2

)2k+ν

.

2. Functia modificata Bessel are expresia

In(x) = e−inπ2 Jn(ix) =

∞∑k=0

1

k!(k + n)!

(x2

)2k+n

.

3. Functia generatoare a functiilor Bessel este

ex2

(t− 1t) =

∑n∈Z

Jn(x)tn = J0(x) +∞∑n=1

(tn +(−1)n

tn)Jn(x).

4. Pentru x = eiτ rezulta

eix sin τ = J0(x) + 2i sin τJ1(x) + 2 cos 2τJ2(x) + 2i sin 3τJ3(x) + . . .

si pentru τ = π2− θ se obtine

eix cos θ = J0(x) + 2∞∑n=1

in cosnθJn(x).

5. Ortogonalitatea functiilor cosnθ, pentru n > 0, implica∫ π

0

eix cos θ cosnθdθ = inπJn(x).

Pentru ix = a rezulta expresia ceruta a coeficientului.

P 10.10 Pentru n > 1 sa se calculeze∫ 1

−1Tn(x)dx.

R. (−1)n+11−n2 .

P 10.11 Sa se arate egalitatile:∫ x

−1

T0(x)dt = 1 + T1(x),∫ x

−1

T1(x)dt = −1

4+

1

4T2(x),∫ x

−1

Tk(x)dt =(−1)k+1

k2 − 1− 1

2(k − 1)Tk−1(x) +

1

2(k + 1)Tk+1(x), k ≥ 2.


Matriceal, aceste relatii se scriu

∫ x−1T0(x)∫ x

−1T1(x)∫ x

−1T2(x)...∫ x

−1Tn−1(x)

=

1 0 1 0 . . . 0 0 0−1

40 0 1

4. . . 0 0 0

−13

−12

0 16

. . . 0 0 0...

. . .(−1)n−1

(n−1)2−10 0 0 . . . − 1

2(n−2)0 1

2n

︸︷︷︸

Mn,n+1(Q)

T0(x)T1(x)T2(x)

...Tn(x)

.

P 10.12 Fie f ∈ C[a, b]. Sa se demonstreze formula de integrare numerica∫ b

a

f(x)dx = (b− a)∑

n∈N,n par

cn1− n2

.

R. Se integreaza egalitatea (10.10).

P 10.13 Fie I ⊆ R un interval compact, punctele x0 < x1 < . . . < xn din I sifunctionala DI ∈ [C(I)]∗ definita prin DI(f) = [x0, . . . , xn; f ]. Sa se arate ca

1. ‖DI‖ =∑n

i=01

|u′(xi)|

unde u(x) =∏n

i=0(x− xi).

2. Daca xj = cos (n−j)πn

, j ∈ 0, 1, . . . , n, adica xj sunt punctele de extremale polinomului Cebıseb Tn(x) din intervalul [−1, 1], atunci ‖DI‖ = 2n−1,unde I = [−1, 1].

3. Daca I = [−1, 1] si −1 ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ 1 atunci ‖DI‖ ≥ 2n−1.

R. 1. Inegalitatea |D(f)| ≤ ‖f‖∞∑n

i=01

|u′(xi)| este imediata. Pentru

f(x) =

(−1)n daca x ∈ (∞, x0)1 daca x ∈ (xn,∞)(−1)n−j daca x = xjafina ın rest

au loc reletiile

n∑i=0

1

|u′(xi)|= |

n∑i=0

f(xi)

u′(xi)| = |D(f)| ≤ ‖D‖‖f‖∞ ≤ ‖D‖ ≤

n∑i=0

1

|u′(xi)|.


2.

2n−1 =T

(n)n (ξ)

n!= [x0, . . . , xn;Tn] =

n∑i=0

Tn(xi)

u′(xi)=

=n∑i=0

(−1)n−i

u′(xi)=

n∑i=0

1

|u′(xi)|= ‖D‖.

3. In cazul unor noduri oarecare din intervalul [−1, 1] au loc inegalitatile

2n−1 = [x0, . . . , xn;Tn] =n∑i=0

Tn(xi)

u′(xi)≤

n∑i=0

1

|u′(xi)|= ‖D‖.

P 10.14 Sa se arate ca au loc dezvoltarile Cebısev

sign(x) ∼ 2

π

∞∑k=1

(−1)k−1

kT2k−1(x)

|x| ∼ 2

π+

4

π

∞∑k=1

(−1)k

(1− 4k2T2k(x).

P 10.15 Sa se arate ca pentru |x| > 1

Tn(x) =1

2

((x+

√x2 − 1)n + (x−

√x2 − 1)n

).

R. Daca arccosx = t ⇔ x = cos t si z = cos t+ i sin t atunci

Tn(x) = cosnt =1

2(zn + zn) =

1

2

((x+

√x2 − 1)n + (x−

√x2 − 1)n

).

Capitolul 11

Functii spline polinomiale

O functie spline se poate defini ca o functie care este polinomiala pe fiecareinterval [xi, xi+1] al unei diviziuni

4 : x0 < x1 < . . . < xn (11.1)

si care, ın plus, are un anumit ordin de ”netezime” (adica este continua sauderivabila de un anumit ordin, cu derivata corespunzatoare continua.

11.1 Interpolare cu functii spline cubice

Pentru diviziunea 4 (11.1), multimea S3(4) a functiilor spline cubice estedefinita prin

S3(4) = s ∈ C2 : s |[xi−1,xi]∈ P3, 1 ≤ i ≤ n.

Fiind data diviziunea 4 (11.1) si numerele reale y0, y1, . . . , yn ne propunem sadeterminam functiile s ∈ S3(4) care ındeplinesc conditiile de interpolare s(xi) =yi, i ∈ 0, 1, . . . , n.

Functia spline cubica de interpolare se va determina ın functie de parametriimi = s′(xi), i ∈ 0, 1, . . . , n, ale caror valori se vor calcula ulterior.

Notam prin si restrictia functiei s la intervalul [xi, xi+1] si hi = xi+1 − xi, i ∈i ∈ 0, 1, . . . , n − 1. Deoarece si este polinom de gradul 3, pentru x ∈ [xi, xi+1]rezulta

si(x) = yi +mi(x− xi) + ai(x− xi)2 + bi(x− xi)3

Coeficientii ai, bi se determina din conditiile

si(xi+1) = yi +mihi + aih2i + bih

3i = yi+1,

257

258 CAPITOLUL 11. FUNCTII SPLINE POLINOMIALE

s′i(xi+1) = mi + 2aihi + 3bih3i = mi+1,

pentru i = 0, 1, . . . , n − 1. In felul acesta se asigura continuitatea functiilor s sis′. Rezolvand sistemul de mai sus, obtinem

ai = 3yi+1 − yi

h2i

− 2mi +mi+1

hi

bi =mi +mi+1

h2i

− 2yi+1 − yi

h3i

si astfel

si(x) = yi +mi(x− xi) + (3yi+1 − yi

h2i

− 2mi +mi+1

hi)(x− xi)2+

+(mi +mi+1

h2i

− 2yi+1 − yi

h3i

)(x− xi)3. (11.2)

Numerelem0,m1, . . . ,mn se determina astfel ıncat s′′ sa fie continua ın nodurileinterioare x1, . . . , xn−1. Se impun astfel conditiile s′′i−1(xi) = s′′i (xi), i = 1, 2, . . . , n−1. Utilizand (11.2), ın urma reducerilor rezulta ecuatiile

hihi−1 + hi

mi−1 + 2mi +hi−1

hi−1 + himi+1 =

=3

hi−1 + hi

[hi−1

hi(yi+1 − yi) +

hihi−1

(yi − yi−1)

], i = 1, . . . , n− 1. (11.3)

Aceste relatii reprezinta un sistem algebric de n − 1 ecuatii ın necunoscutelem0,m1, . . . ,mn.

Pentru ca numarul ecuatiilor sa coincida cu numarul necunoscutelor se intro-duc conditiile la ”limita”

m0 = αmn = β

(11.4)

sau s′′(x0) = s′′0(x0) = 0s′′(xn) = s′′n−1(xn) = 0

(11.5)

unde α, β sunt constate date. Tinand seama de expresiile functiilor s0 si sn−1,ecuatiile (11.5) devin

2m0 +m1 = 3y1−y0h0

mn−1 + 2mn = 3yn−yn−1

hn−1

(11.6)

Astfel determinarea unei functii spline cubice de interpolare revine la:

11.1. INTERPOLARE CU FUNCTII SPLINE CUBICE 259

1. Rezolvarea sistemului algebric (11.3)+(11.4) sau (11.3)+(11.6), sistem al-gebric de n+ 1 ecuatii liniare ın necunoscutele m0,m1, . . . ,mn.

2. In fiecare interval [xi, xi+1], functia spline cubica de interpolare are expresiadata de formula (11.2).

Sistemul algebric de ecuatii liniare a carei solutia estem0,m1, . . . ,mn, parametriifata de care se exprima functia spline cubica de interpolare, este un sistem tridi-agonal, rezolvabil utilizand metoda dublului parcurs.

Se observa ca matricea sistemului este cu diagonala dominanta

|ai,i| −n∑j=1

j 6=i

|ai,j| = 1 ∀i.

In consecinta sistemul este compatibil si

max0≤i≤n

|mi| ≤ max|α|, max1≤i≤n−1

3

hi−1 + hi|hi−1

hi(yi+1 − yi) +

hihi−1

(yi − yi−1)|, |β|

(11.7)sau

max0≤i≤n

|mi| ≤ (11.8)

≤ max3 |y1−y0|h0

,max1≤i≤n−13

hi−1+hi|hi−1

hi(yi+1 − yi) + hi

hi−1(yi − yi−1)|, 3 |yn−yn−1|

hn−1

dupa cum se utilizeaza (11.3)+(11.4) sau (11.3)+(11.6).Fie h = min0≤i≤n−1 hi, h = max0≤i≤n−1 hi si ω = max0≤i≤n−1 |yi+1 − yi|. Din

(11.7) si (11.8) deducem respectiv

max0≤i≤n

|mi| ≤ max|α|, 3hω

h2 , |β|; (11.9)

max0≤i≤n

|mi| ≤ max3ω

h,3hω

h2 . (11.10)

Aceste relatii vor fi utilizate la stabilirea convergentei unui sir de functii splinecubice de interpolare.

Presupunem ca numerele y0, y1, . . . , yn reprezinta valorile unei functii f ∈C2[a, b] ın punctele a = x0 < x1 < . . . < xn = b si ca conditiile ”la limita (11.4)si (11.5) se rescriu sub forma

s′′(a) = 0s′′(b) = 0

(11.11)


si respectiv, s′(a) = f ′(a)s′(b) = f ′(b).

(11.12)

Exemplul 11.1.1 Sa se determine functia spline cubica de interpolare core-spunzatoare functiei f(x) = |x|, avand nodurile −2,−1, 0, 1, 2.

Alegem conditiile la limita

s′(−2) = −1 s′(2) = 1.

Sistemul algebric al parametrilor m estem0 = −1

12m0 + 2m1 + 1

2m2 = −3

12m1 + 2m2 + 1

2m3 = 0

12m2 + 2m3 + 1

2m4 = 3

m4 = 1

a carei solutie este

m0 = −1 m1 =−5

4m2 = 0 m3 =

5

4m4 = 1.

Componentele functiei spline de interpolare devin

s0(x) = −x3+5x3+12x+44

x < −1

s1(x) = x2(3x+7)4

−1 ≤ x < 0

s2(x) = 7x2−3x3

40 ≤ x < 1

s3(x) = x3−5x2+12x−44

x ≥ 1

Graficele functiei |x| si ale functiei spline cubice de interpolare sunt redate in11.1.

Cazul periodic: y0 = yn. In locul conditiilor la limita se impun

mn = m0 (11.13)

sis′′n−1(xn) = s′′0(x0), (11.14)

conditii care asigura continuitatea primelor doua derivate. Conditia (11.14)devine

m1

h0

+2m0

h0

+2mn

hn−1

+mn−1

hn−1

= 3y1 − y0

h20

+ 3yn − yn−1

h2n−1


Fig. 11.1: Graficul functiei |x| si functiei spline de interpolare

si combinat cu (11.13) conduce la

hn−1

h0 + hn−1

mn−1+2m0+h0

h0 + hn−1

m1 =3

h0 + hn−1

[hn−1

h0

(y1 − y0) +h0

hn−1

(yn − yn−1)

].

(11.15)Ansamblul format din (11.15) si (11.3) formeaza un sistem algebric de forma

a0 c0 b0

b1 a1 c1

. . .

bn−2 an−2 cn−2

cn−1 bn−1 an−1

m0

m1...

mn−2

mn−1

=

d0

d1...

dn−2

dn−1

.

In vederea deducerii unor rezultate privind unicitatea functiei spline cubicede interpolare si a evaluarii erorii |s(x)− f(x)| avem nevoie de teorema:

Teorema 11.1.1 Daca functia spline cubica de interpolare satisface una dinconditiile la limita (11.11) sau (11.12) atunci are loc egalitatea∫ b

a

[f ′′(x)]2dx =

∫ b

a

[s′′(x)]2dx+

∫ b

a

[f ′′(x)− s′′(x)]2dx. (11.16)

Demonstratie. Are loc egalitatea f ′′(x) = s′′(x) + (f ′′(x)− s′′(x)),∀x ∈ [a, b].


Ridicand la patrat si integrand obtinem∫ b

a

[f ′′(x)]2dx =

∫ b

a

[s′′(x)]2dx+

∫ b

a

[f ′′(x)− s′′(x)]2dx+

+2

∫ b

a

s′′(x)[f ′′(x)− s′′(x)]dx.

Ramane de aratat ca ultima integrala este egala cu 0. Avem∫ b

a

s′′(x)[f ′′(x)− s′′(x)]dx =n∑i=1

∫ xi

xi−1

s′′(x)[f ′′(x)− s′′(x)]dx

si integrand prin parti rezulta∫ b

a

s′′(x)[f ′′(x)− s′′(x)]dx =

=n∑i=1

s′′(x)[f ′(x)− s′(x)]|xixi−1−∫ xi

xi−1

s(3)(x)[f ′(x)− s′(x)]dx.

Daca x ∈ (xi−1, xi) atunci s(3)(x) = Mi−Mi−1

hisi ın consecinta

∫ b

a

s′′(x)[f ′′(x)− s′′(x)]dx =n∑i=1

Mi[f′(xi)− s′(xi)]−Mi−1[f ′(xi−1)− s′(xi−1)]−

−Mi −Mi−1

hi

∫ xi

xi−1

[f ′(x)− s′(x)]dx =

= Mn[f ′(xn)− s′(xn)]−M0[f ′(x0)− s′(x0)]−n∑i=1

Mi −Mi−1

hi[f(x)− s(x)]|xixi−1

=

= s′′(b)[f ′(b)− s′(b)]− s′′(a)[f ′(a)− s′(a)] = 0.

Au loc urmatoarele rezultate referitoare la functia spline cubica de interpolare

Teorema 11.1.2 (Unicitatea functiei spline cubice de interpolare) Ex-ista o singura functie spline cubica de interpolare care satisface una din conditiilela limita (11.11) sau (11.12).


Demonstratie. Daca presupunem ca functiile s1, s2 sunt functii spline cubicecare interpoleaza functia f ın punctele x0, x1, . . . , xn si care ındeplinesc conditiilela limita (11.11) sau (11.12), atunci functia s = s1 − s2 satisface relatiile s(xi) =0, i = 0, 1, . . . , n si s′′(a) = s′′(b) = 0 sau s′(a) = s′(b) = 0, dupa cum seutilizeaza conditiile la limita (11.11) sau (11.12). Astfel s reprezinta functiaspline cubica de interpolare a functiei nule. Aplicand (11.16 obtinem

2

∫ b

a

[s′′(x)]2dx = 0,

de unde s′′(x) = 0,∀x ∈ [a, b]. Prin urmare s este un polinom de grad cel mult 1.Deoarece s(a) = s(b) = 0, ın mod necesar s = 0.

Teorema 11.1.1 se poate reformula sub forma

Teorema 11.1.3 (Proprietatea de optimalitate a functiei spline cubicede interpolare) Functia spline cubica de interpolare minimizeaza functionala

I(ϕ) =

∫ b

a

[ϕ′′(x)]2dx

ın

D1 = ϕ ∈ C2[a, b] : ϕ(xi) = yi, i = 0, 1, . . . , n;ϕ′′(a) = ϕ′′(b) = 0

sau

D2 = ϕ ∈ C2[a, b] : ϕ(xi) = yi, i = 0, 1, . . . , n;ϕ′(a) = α;ϕ′(b) = β,

dupa cum se utilizeaza conditiile la limita (11.4) sau (11.5).

Teorema 11.1.4 (Evaluarea erorii functiei spline cubice de interpo-lare) Daca f ∈ C2[a, b], atunci au loc relatiile

|f ′(x)− s′(x)| ≤√h‖f ′′‖2

|f(x)− s(x)| ≤ h32‖f ′′‖2,

unde h = maxh1, . . . , hn si ‖f ′′‖2 = (∫ ba[f ′′(x)]2dx)

12 .

Demonstratie. Functia f − s satisface ın fiecare interval [xi−1, xi] conditiileteoremei lui Rolle, deci exista ci ∈ (xi−1, xi) astfel ıncat (f ′ − s′)(ci) = 0. Fie


x ∈ [a, b]. Exista k ∈ 1, 2, . . . , n astfel ıncat x ∈ [xk−1, xk]. Atunci, utilizandinegalitatea Cauchy - Buniakovski - Schwarz au loc relatiile

|f ′(x)− s′(x)| = |∫ x

ck

[f ′′(t)− s′′(t)]dt| ≤

≤ (

∫ x

ck

[f ′′(t)− s′′(t)]2dt)12

√|x− ck| ≤

√h(

∫ b

a

[f ′′(t)− s′′(t)]2dt)12 .

Din (11.16), deducem∫ b

a

[f ′′(t)− s′′(t)]2dt ≤∫ b

a

[f ′′(t)]2dt = ‖f ′′‖22

si prin urmare|f ′(x)− s′(x)| ≤

√h‖f ′′‖2.

Totodata, din egalitatea

f(x)− s(x) =

∫ xk

xk−1

[f ′(t)− s′(t)]dt

gasim

|f(x)− s(x)| ≤∫ xk

xk−1

|f ′(t)− s′(t)|dt ≤

≤√h‖f ′′‖2

∫ xk

xk−1

dt ≤ h32‖f ′′‖2.

Teorema 11.1.5 (Convergenta unui sir de functii spline cubice de in-terpolare) Fie f ∈ C[a, b] si sirul de diviziuni

4k : a = xk0 < xk1 < . . . < xknk = b

astfel ıncat, daca

hk = min0≤i≤nk−1

(xki+1 − xki ) hk

= max0≤i≤nk−1

(xki+1 − xki ),

atunci

1. ∃δ > 0 cu proprietatea hk

hk≤ δ, ∀k ∈ N;

2. limk→∞ hk

= 0.


Daca sk este functia spline cubica de interpolare a functiei f ın diviziunea 4k sicare satisface una din conditiile la limita

sk(a) = αsk(b) = β

(11.17)

sau s′′k(a) = 0s′′k(b) = 0

(11.18)

atunci limk→∞ ‖f − sk‖∞ = 0.

Demonstratie. Notam prin ωf (h) modulul de continuitate al functiei f,

ωf (h) = sup|y−x|<h

|f(y)− f(x)|.

Conditia de continuitate a functiei f este echivalenta cu limh→0 ωf (h) = 0.Fie x ∈ [a, b]. Exista i ∈ 0, 1, . . . , nk − 1 astfel ıncat x ∈ [xki , x

ki+1]. Tinand

seama de reprezentarea (11.2) si folosind notatiile yki = f(xki ), i = 0, 1, . . . , nk, k ∈N avem

sk(x)− f(x) = yki − f(x) +mki (x− xki ) + (3

yki+1 − yki(hki )

2−

2mki +mk

i+1

hki)(x− xki )2+

+(mki +mk

i+1

(hki )2− 2

yki+1 − yki(hki )

3)(x− xki )3.

unde (mki )0≤i≤nk sunt parametrii functiei spline, solutiile unui sistem de forma

(11.3)+(11.4) sau (11.3)+(11.6), ın functie de conditia la limita folosita.In continuare

|sk(x)− f(x)| ≤ |yki − f(x)|+ |mki |(x− xki )+

+3|yki+1 − yki |(x− xkihki

)2 + (2|mki |+ |mk

i+1|)x− xkihki

(x− xki )+

+(|mki |+ |mk

i+1|)(x− xkihki

)2(x− xki ) + 2|yki+1 − yki |(x− xkihki

)3.

Notand Mk = max0≤i≤nk |mki | din inegalitatea de mai sus deducem

|sk(x)− f(x)| ≤ ωf (hk) +Mkh

k+ 3ωf (h

k) + 3Mkh

k+ 2Mkh

k+ 2ωf (h

k) =


= 6ωf (hk) + 6Mkh

k.

Deoarece membrul drept nu mai depinde de x rezulta ca

‖sk − f‖∞ ≤ 6ωf (hk) + 6Mkh

k.

Daca se utilizeaza conditiile la limita (11.17) atunci din (11.9) gasim

Mk ≤ max|α|, 3hkωf (h

k)

(hk)2, |β|,

si astfel

‖sk − f‖∞ ≤ 6ωf (hk) + 6 max|α|hk, 3(

hk

hk)2ωf (h

k), |β|hk ≤

≤ 6ωf (hk) + 6 max|α|hk, 3δ2ωf (h

k), |β|hk → 0, pentru k →∞.

Daca se utilizeaza conditiile la limita (11.18) atunci din (11.10) gasim

Mk ≤ max3ωf (hk)

hk,3h

kωf (h

k)

(hk)2

si astfel

‖sk − f‖∞ ≤ 6ωf (hk) + 6 max3h

k

hkωf (h

k), 3(

hk

hk)2ωf (h

k) ≤

≤ 6ωf (hk) + 6 max3δωf (h

k), 3δ2ωf (h

k), → 0, pentru k →∞.

11.2 Functia spline polinomiala

Fie m ∈ N∗ si diviziunea 4 (11.1). O functie s : R → R se numeste functiespline polinimiala de grad m cu nodurile diviziunii 4 daca

1. s|(−∞,x0) ∈ Pm; s|(xi,xi+1) ∈ Pm, i ∈ 0, 1, . . . , n− 1; s|(xn,∞) ∈ Pm;

2. s ∈ Cm−1.

11.2. FUNCTIA SPLINE POLINOMIALA 267

Multimea functiilor spline polinomiale de grad m cu nodurile diviziunii 4 senoteaza Sm(4).

Se introduce notatia

(x− a)k+ =

(x− a)k, x > a0 x ≤ a

, k > 0.

Teorema 11.2.1 Daca s ∈ Sm(4) atunci exista polinomul p ∈ Pm si numerelereale c1, . . . , cn−1 astfel ıncat

s(x) = p(x) +n−1∑i=1

ci(x− xi)m+ . (11.19)

Demonstratie. Fie p(x) = s|(x0,x1). Pentru x ≤ x0 definim s(x) = p(x). Notam

s|(xi,xi+1) = si ∈ Pm, i ∈ 1, 2, . . . , n − 1. In x1, p(k)(x1 − 0) = s

(k)1 (x1 +

0), k = 0, 1, . . . ,m − 1. Deoarece p, s1 ∈ Pm, rezulta ca (s1 − p)(k)(x1) = 0, k =0, 1, . . . ,m− 1, adica x1 este radacina multipla de ordin m a polinomului s1 − p.Astfel s1(x) − p(x) = c1(x − x)m sau s1(x) = p(x) + c1(x − x1)m+ . Repetandrationamentul de mai sus, fiecare nod xi, i ∈ 2, . . . , n − 1 contribuie cu untermen ci(x−xi)m+ la expresia functiei spline polinomiala. In final, pentru x > xndefinim s(x) = sn−1(x).

O functie spline polinomiala de grad m cu nodurile diviziunii 4 depinde dem+ n parametrii.

11.2.1 Functia spline polinomiala naturala

Fie q ∈ N∗, m = 2q − 1 un numar natural impar si diviziunea 4 (11.1). Ofunctie s : R→ R se numeste functie spline polinomiala naturala de grad 2q − 1cu nodurile diviziunii 4 daca

1. s ∈ S2q−1(4);

2. s|(−∞,x0), s|(xn,∞) ∈ Pq−1.

Multimea functiilor spline polinomiale naturale de grad 2q − 1 cu nodurilediviziunii 4 se va nota S2q−1(4).


Teorema 11.2.2 Daca s ∈ S2q−1(4) atunci exista polinomul p ∈ Pq−1 si nu-merele reale c0, c1, . . . , cn astfel ıncat

s(x) = p(x) +n∑i=0

ci(x− xi)2q−1+ (11.20)

si au loc egalitatile

n∑i=0

cixki = 0, ∀ k ∈ 0, 1, . . . , q − 1. (11.21)

Demonstratie. Pentru o functie spline polinomiala naturala s de grad 2q − 1cu nodurile diviziunii 4 au loc relatiile

s(k)(x0) = s(k)(xn) = 0, ∀ k ≥ q. (11.22)

Utilizand acelasi rationament ca ın Teorema 11.2.1 se deduce relatia (11.20)cu p = s|(−∞,x0) ∈ Pq−1. Relatiile (11.21) rezulta din cerinta

s|(xn,∞) ∈ Pq−1 ⇔ s(q)(x) = 0, ∀ x > xn.

Pentru x > xn, s(x) = p(x) +∑n

i=0 ci(x− xi)2q−1, de unde

s(q)(x) =n∑i=0

ci(2q − 1)!

(q − 1)!(x− xi)q−1 =

=(2q − 1)!

(q − 1)!

n∑i=0

ci

q−1∑k=0

(q − 1k

)(−1)kxq−1−kxki =

=(2q − 1)!

(q − 1)!

q−1∑k=0

(q − 1k

)(−1)k(

n∑i=0

cixki )x

q−1−k.

Derivata se anuleaza daca∑n

i=0 cixki = 0,∀ k ∈ 0, 1, . . . , q − 1.

Utilizand dezvoltarea tayloriana a unui polinom se deduce ca daca s ∈ S2q−1(4)si s(k)(x0) = s(k)(xn) = 0,∀ k ∈ q, q + 1, . . . , 2q − 1 atunci s ∈ S2q−1(4).

O functie spline polinomiala naturala s de grad 2q − 1 cu nodurile diviziunii4 depinde de n+ 1 parametri.

11.2. FUNCTIA SPLINE POLINOMIALA 269

11.2.2 Interpolare cu functii spline polinomiale

Fie q ∈ N∗, f ∈ Cq si m = 2q − 1.

1. Problema de interpolare cu functii spline polinomiale de grad 2q − 1 cunodurile diviziunii 4 cere determinarea functiei s ∈ S2q−1(4) astfel ıncat

s(xi) = f(xi), i ∈ 0, 1, . . . , n

si care satisface ın plus conditiile la limita

s(k)(x0) = f (k)(x0)s(k)(xn) = f (k)(xn)

∀ k ∈ 1, 2, . . . , q − 1.

Numarul conditiilor este 2q + n − 1, ce coincide cu numarul parametrilorm+ n = 2q − 1 + n.

Pentru q = 2 se regaseste problema de interpolare cu functii spline cubicecu una din conditiile la limita naturala.

2. Problema de interpolare cu functii spline polinomiale naturale de grad 2q−1cu nodurile diviziunii 4 cere determinarea functiei s ∈ S2q−1(4) astfel ıncat

s(xi) = f(xi), i ∈ 0, 1, . . . , n.

Numarul conditiilor este n + 1, ce coincide cu numarul parametrilor uneifunctii spline polinomiala naturala.

Pentru q = 2 se regaseste problema de interpolare cu functii spline cubicecu cealalta conditie la limita naturala.

Stabilim proprietati ale functiei spline polinomiale de interpolare.

Teorema 11.2.3 Fie g ∈ Cq[x0, xn] si s ∈ S2q−1(4). Daca

g(xi) = 0, ∀ i ∈ 0, 1, . . . , n

si are loc una din conditiile la limita

g(k)(x0) = g(k)(xn) = 0, ∀ k ∈ 1, . . . , q − 1

saus(k)(x0) = s(k)(xn) = 0, ∀ k ∈ q, q + 1, . . . , 2q − 2

atunci ∫ xn

x0

s(q)(x)g(q)(x)dx = 0. (11.23)


Demonstratie. Pe fiecare interval (xi, xi+1), s(2q−1)(x) este o constanta, pe careo notam γi, i ∈ 0, 1, . . . , n− 1. Integrand succesiv prin parti, se obtine∫ xn

x0

s(q)(x)g(q)(x)dx = s(q)(x)g(q−1)|xnx0 −∫ xn

x0

s(q)(x)g(q−1)(x)dx = . . .

= (−1)q−2

∫ xn

x0

s(2q−2)(x)g′′(x)dx.

In general functia s(2q−2) nu mai este derivabila ım punctele x1, x2, . . . , xn−1. De-scompunem ultima integrala ıntr-o suma de integrale pe intervale ın care s(2q−2)

este derivabila si integram prin parti∫ xn

x0

s(q)(x)g(q)(x)dx = (−1)q−2

∫ xn

x0

s(2q−2)(x)g′′(x)dx =

= (−1)q−2

n−1∑i=0

∫ xi+1

xi

s(2q−2)(x)g′′(x)dx =

= (−1)q−2

n−1∑i=0

[s(2q−2)(x)g′(x)|xi+1

xi−∫ xi+1

xi

s(2q−1)(x)g′(x)dx

]=

= (−1)q−2[s(2q−2)(xn)g′(xn)− s(2q−2)(x0)g′(x0)

]+

−1)q−1

n−1∑i=0

γi[g(xi+1 − g(xi)] = 0.

Teorema 11.2.4 Fie f ∈ Cq[x0, xn]. Daca s este o functie spline polinomiala degrad 2q − 1 cu nodurile diviziunii 4 care satisface conditiile de interpolare

s(xi) = f(xi), ∀ i ∈ 0, 1, . . . , n

si una din conditiile la limita

s(k)(x0) = f (k)(x0),s(k)(xn) = f (k)(xn)

∀ k ∈ 1, . . . , q − 1

saus(k)(x0) = s(k)(xn) = 0, ∀ k ∈ q, q + 1, . . . , 2q − 2

atunci∫ xn

x0

[f (q)(x)]2dx =

∫ xn

x0

[s(q)(x)]2dx+

∫ xn

x0

[f (q)(x)− s(q)(x)]2dx. (11.24)

11.3. FUNCTII B-SPLINE 271

Demonstratie. Intrucat [f (q)]2 = [s(q)]2 + [f (q) − s(q)]2 + 2s(q)[f (q) − s(q)] estesuficientde de atatat ca∫ xn

x0

s(q)(x)[f (q)(x)− s(q)(x)]dx = 0.

Pentru g = f−s conditiile Teoremei 11.2.3 sunt ındeplinite, deci are loc egalitateade mai sus.

Asemanator cazului functiilor spline cubice, relatia (11.24) implica

• unicitatea functiei spline polinomiala de interpolare cu conditiile la limitacorespunzatoare;

• o proprietate de optimalitate.

11.3 Functii B-spline

Corespunzator retelei de puncte

. . . < t−2 < t−1 < t0 < t1 < t2 < . . .

definim functiile B-spline Bki (x), i ∈ Z, k ∈ N prin

Bki (x) = (ti+k+1 − ti)[ti, ti+1, . . . , ti+k+1; (t− x)k+]. (11.25)

Teorema 11.3.1 Au loc formulele de recurenta

B0i (x) =

1 daca x ∈ [ti, ti+1),0 daca x ∈ (−∞, ti) ∪ [ti+1,∞)

, (11.26)

Bki (x) =

x− titi+k − ti

Bk−1i (x) +

ti+k+1 − xti+k+1 − ti+1

Bk−1i+1 (x), (11.27)

pentru k ≥ 1 si i ∈ Z.

Demonstratie. Pentru k = 0 din (11.25) rezulta

B0i (x) = (ti+1 − ti)[ti, ti+1; (t− x)0

+] = (ti+1 − x)0+ − (ti − x)0

+ =

=

1 daca x ∈ [ti, ti+1),0 daca x ∈ (−∞, ti) ∪ [ti+1,∞)

.


Pentru k ≥ 1, utilizand formula lui Leibniz pentru diferente divizate deducem

Bki (x) = (ti+k+1 − ti)[ti, ti+1, . . . , ti+k+1; (t− x)k−1

+ (t− x)] = (11.28)

= (ti+k+1 − ti)i+k+1∑j=i

[ti, ti+1, . . . , tj; (t− x)k−1+ ][tj, tj+1, . . . , ti+k+1; t− x] =

= (ti+k+1 − ti)([ti, ti+1, . . . , ti+k; (t− x)k−1

+ ][ti+k, ti+k+1; t− x]+

+[ti, ti+1, . . . , ti+k+1; (t− x)k−1+ ][ti+k+1; t− x]

),

restul termenilor din suma fiind nuli.Au loc egalitatile:

[ti+k, ti+k+1; t− x] =ti+k+1 − x− (ti+k − x)

ti+k+1 − ti+k= 1;

[ti+k+1; t− x] = ti+k+1 − x;

[ti, ti+1, . . . , ti+k; (t− x)k−1+ ] =

Bk−1i (x)

ti+k − ti;

[ti, ti+1, . . . , ti+k+1; (t− x)k−1+ ] =

=[ti+1, ti+2, . . . , ti+k+1; (t− x)k−1

+ ]− [ti, ti+1, . . . , ti+k; (t− x)k−1+ ]

ti+k+1 − ti=

=1

ti+k+1 − ti

(Bk−1i+1 (x)

ti+k+1 − ti+1

− Bk−1i (x)

ti+k − ti

).

Utilizand aceste rezultate, egalitatea (11.28) devine

Bki (x) = (ti+k+1 − ti)

[Bk−1i (x)

ti+k − ti+ti+k+1 − xti+k+1 − ti

(Bk−1i+1 (x)

ti+k+1 − ti+1

− Bk−1i (x)

ti+k − ti

)]=

= Bk−1i (x)

(ti+k+1 − titi+k − ti

− ti+k+1 − xti+k − ti

)+Bk−1

i+1 (x)ti+k+1 − xti+k+1 − ti+1

=

x− titi+k − ti

Bk−1i (x) +

ti+k+1 − xti+k+1 − ti+1

Bk−1i+1 (x).

Din (11.27) obtinem

B1i (x) =

x− titi+1 − ti

B0i (x) +

ti+2 − xti+2 − ti+1

B0i+1(x) =


=

x−titi+1−ti x ∈ [ti, ti+1)ti+2−xti+2−ti+1

x ∈ [ti+1, ti+2)

0 x ∈ (−∞, ti) ∪ [ti+2,∞)

Graficele functiilor B0i (x) si B1

i (x) sunt

bs sbti ti+1

@@

ti ti+1 ti+2

Au loc urmatoarele proprietati ale functiilor B-spline


(i) Bki (x) = 0, ∀ x ∈ (−∞, ti) ∪ [ti+k+1,∞) ⇔ supp Bk

i ⊆ [ti, ti+k+1);

(ii) Bki (x) ≥ 0, ∀x ∈ R;

(iii)∑

i∈ZBki (x) = 1.

Demonstratie. Fiecare relatie se demonstreaza prin inductie dupa k.

(iii) k = 0. Pentru x ∈ R exista i0 ∈ Z astfel ıncat x ∈ [ti0 , ti0+1) si ınconsecinta ∑

i∈Z

B0i (x) = B0

i0(x) = 1.

Presupunand∑

i∈ZBk−1i (x) = 1 si utilizand formula de recurenta (11.27), se

gaseste

∑i∈Z

Bki (x) =

∑i∈Z

(x− titi+k − ti

Bk−1i (x) +

ti+k+1 − xti+k+1 − ti+1

Bk−1i+1 (x)

)=

=∑i∈Z

x− titi+k − ti

Bk−1i (x) +

∑i∈Z

ti+k+1 − xti+k+1 − ti+1

Bk−1i+1 (x).

Efectuand ın a doua suma schimbarea de indice i := i+ 1 se obtine

∑i∈Z

Bki (x) =

∑i∈Z

Bk−1i (x)

(x− titi+k − ti

+ti+k − xti+k − ti

)=∑i∈Z

Bk−1i (x) = 1.


11.3.1 Functii B-spline pe noduri echidistante

Fie ti = t0 + ih, i ∈ Z. Utilizand (11.25) si (2.40)

Bki (x) = (ti+k+1 − ti)[ti, ti+1, . . . , ti+k+1; (t− x)k+] =

= (k + 1)h4k+1h (ti − x)k+

(k + 1)!hk+1=

1

k!hk

k+1∑j=0

(k + 1j

)(−1)k+1−j(ti + jh− x)k+ =

=1

k!hk

k+1∑j=0

(k + 1j

)(−1)k+1−j(ti+j − x)k+. (11.29)

Functii B-spline cubice pe noduri echidistante. Pentru k = 3 se obtinfunctiile B-spline cubice pe noduri echidistante

B3i (x) =

1

6 h3

4∑j=0

(4j

)(−1)4−j(ti+j − x)3

+.

Prin calcul direct rezulta tabloul de valori ale functiei B3i (x) si ale derivatelor

sale| ti ti+1 ti+2 ti+3 ti+4

B3i (x) | 0 1

623

16

0(B3

i (x))′ | 0 12h

0 − 12h

0(B3

i (x))′′ | 0 1h2− 2h2

1h2

0

(11.30)

Evident B3i ∈ S3.

Teorema 11.3.3 Functiile (B3i )−3≤i≤n−1 sunt liniar independente.

Demonstratie. Daca∑n−1

j=−3 λj+2B3j (x) = 0 atunci

∑n−1j=−3 λj+2(B3

j (x))′ = 0 si∑n−1j=−3 λj+2(B3

j (x))′′ = 0.

In particular, pentru x = ti, i ∈ −2,−1, . . . , n− 2 se obtine sistemul

λi−1B3i−3(ti) + λiB

3i−2(ti) + λi+1B

3i−1(ti) = 0

λi−1(B3i−3)′(ti) + λi(B

3i−2)′(ti) + λi+1(B3

i−1)′(ti) = 0λi−1(B3

i−3)′′(ti) + λi(B3i−2)′′(ti) + λi+1(B3

i−1)′′(ti) = 0⇔

⇔

λi−1 + 4λi + λi+1 = 0−λi−1 + λi+1 = 0λi−1 − 2λi + λi+1 = 0


care are numai solutia banala.Considerand cazul nodurilor echidistante, problema de interpolare cu functii

spline cubice se poate rezolva utilizand functiile B-spline (B3i )−3≤i≤n−1.

Solutia problemei de interpolare va fi de forma

s(x) =n−1∑i=−3

ai+2B3i (x).

Functia s se numeste functie spline cvasi-interpolatoare.Cei n+3 coeficienti a−1, a0, . . . , an+1 se determina astfel ıncat sa fie satisfacute

conditiile de interpolare

s(ti) = yi i ∈ 0, 1, . . . , n (11.31)

si conditiile la limita

s′(t0) = α, s′(tn) = β (11.32)

sau

s′′(t0) = 0, s′′(tn) = 0. (11.33)

Tinand seama de tabelul (11.30), relatiile (11.31) devin

s(ti) = ai−1B3i−3(ti) + aiB

3i−2(ti) + ai+1B

3i−1(ti) =

1

6ai−1 +

2

3ai +

1

6ai+1 = yi.

Conditiile la limita conduc la ecuatiile

s′(t0) = a−1(B3−3)′(t0) + a0(B3

−2)′(t0) + a1(B3−1)′(t0) =

−1

2ha−1 +

1

2ha1 = α,

s′(tn) = an−1(B3n−3)′(tn) + an(B3

n−2)′(tn) + an+1(B3n−1)′(tn) =

=−1

2han−1 +

1

2han+1 = β

si respectiv

s′′(t0) = a−1(B3−3)′′(t0) + a0(B3

−2)′′(t0) + a1(B3−1)′′(t0) =

=1

h2a−1 −

2

h2a0 +

1

h2a1 = 0

s′′(tn) = an−1(B3n−3)′′(tn) + an(B3

n−2)′′(tn) + an+1(B3n−1)′′(tn) =

=1

h2an−1 −

2

h2an +

1

h2an+1 = 0.


Astfel pentru rezolvarea problemei (11.31)+(11.32) suntem condusi la sistemulalgebric de ecuatii liniare

−a−1 +a1 = 2hαai−1 +4ai +ai+1 = 6yi−an−1 +an+1 = 2hβ

i ∈ 0, 1, . . . , n (11.34)

Sistemul (11.34) are solutie unica. Determinantul sistemului este∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 0 11 4 1

1 4 1. . . . . . . . .

1 4 11 4 1−1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Adunand prima coloana la a treia si ultima coloana la antipenultima se obtine∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 0 01 4 2

1 4 1. . . . . . . . .

1 4 12 4 10 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣avand diagonala dominanta, deci determinantul este diferit de zero.

Problema (11.31)+(11.33) conduce la sistemul algebric de ecuatii liniarea−1 −2a0 +a1 = 0ai−1 +4ai +ai+1 = 6yian−1 −2an +an+1 = 0

i ∈ 0, 1 . . . , n. (11.35)

Se arata, asemanator, ca sistemul (11.35) are solutie unica. Rezolvarea sistemuluiconstituie subiectul Problemei 1.10.


P 11.1 Date fiind diviziunea 4 : a = x0 < x1 < . . . < xn = b si numereley0, y1, . . . , yn sa se determine functia spline de interpolare s ∈ S1 pentru cares(xi) = yi, i ∈ 0, 1, . . . , n.


R. Daca s|[xi,xi+1] = si cu si(x) = yi +mi(x− xi) conditia de continuitate ın xi+1

implica

si(xi+1) = yi +mi(xi+1 − xi) = yi+1 = si+1(xi+1) ⇒ mi =yi+1 − yixi+1 − xi

.

P 11.2 Fie f ∈ C[a, b] si sirul de diviziuni

4k : a = xk0 < xk1 < . . . < xknk = b

astfel ıncat, daca

hk

= max0≤i≤nk−1

(xki+1 − xki ),

atunci

1. limk→∞ hk

= 0.

Daca sk ∈ S1 este functia spline de interpolare a functiei f ın diviziunea 4k

atunci limk→∞ ‖f − sk‖∞ = 0.

R. Functia f este uniform continua:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 astfel ıncat |x′ − x′′| < δ ⇒ |f(x′)− f(x′′)| < ε

2.

Exista k0 ∈ N astfel ıncat hk< δ, ∀k > k0.

Daca x ∈ [a, b] si x ∈ [xki , xki+1] atunci

ski (x) = f(xki ) +f(xki+1)− f(xki )

xki+1 − xki(x− xki )

si

|f(x)− sk(x)| ≤ |f(x)− f(xki )|+ |f(xki+1)− f(xki )|x− xkixki+1 − xki

< ε.

P 11.3 Sa se deduca expresia functiei spline cubice de interpolare pornind de lareprezentarea

s′′i (x) = Mixi+1 − x

hi+Mi+1

x− xihi

, x ∈ [xi, xi+1], i ∈ 0, 1, . . . , n− 1.


R. Integrand de doua ori se obtin egalitatile

s′i(x) = −Mi(xi+1 − x)2

2hi+Mi+1

(x− xi)2

2hi+ Ci

si(x) = Mi(xi+1 − x)3

6hi+Mi+1

(x− xi)3

6hi+ Cix+Di

Constantele Ci, Di se determina din conditiile de interpolare si(xi) = yi, si(xi+1) =yi+1 :

Ci =yi+1 − yi

hi− hi

6(Mi+1 −Mi)

Di = yi −h2i

6Mi −

(yi+1 − yi

hi− hi

6(Mi+1 −Mi)

)xi

Parametrii M0,M1, . . . ,Mn se determina din continuitatea derivatei s′(x) ın nodulxi : s′i−1(xi) = s′i(xi) pentru i ∈ 1, . . . , n− 1. Se va obtine ecuatiilela algebriceliniare

hi−1

hi−1 + hiMi−1 + 2Mi +

hihi−1 + hi

Mi+1 =6

hi−1 + hi

(yi+1 − yi

hi− yi − yi−1

hi−1

).

Conditiile la limita naturala vor fi

M0 = Mn = 0

sau

2M0 +M1 =6

h0

(y1 − y0

h0

− α)

Mn−1 + 2Mn =6

hn−1

(β − yn − yn−1

hn−1

)

Capitolul 12

Interpolare cu sinus cardinal

12.1 Functia sinc

Functia definita prin

sinc(x) =

sinxx

daca x 6= 01 daca x = 0

se numeste functia sinus cardinal1.Proprietati:

• Functia sinc este para.

• Tabelul de variatie. Pentru orice k ∈ Z ecuatia x = tanx are o singurasolutie x∗k ın intervalul (k − 1

2)π, (k + 1

2)π). Daca ϕ(x) = sinc(x) atunci

ϕ′(x) = x cosx−sinxx2

.

Pentru k ∈ N, par, tabloul de variatie este

x | (k − 12)π kπ x∗k (k + 1

2)π

ϕ′(x) | + + 0 −ϕ(x) | − 1

(k− 12

)π 0 1

(k+ 12

)π

Pentru k ∈ N, impar, tabloul de variatie este

x | (k − 12)π kπ x∗k (k + 1

2)π

ϕ′(x) | − − 0 +ϕ(x) | 1

(k− 12

)π 0 − 1

(k+ 12

)π

279

280 CAPITOLUL 12. INTERPOLARE CU SINUS CARDINAL

2 4 6 8 10

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 12.1: Graficul functiei sinc ın intervalul [0, 7π2

].

• Graficul functiei sinc.

• sinc ∈ L2(R). Au loc relatiile

‖sinc‖22 =

∫R

sinc2(x)dx = 2

∫ ∞0

sinc2xdx =

= 2

∫ 1

0

sinc2xdx+ 2

∫ ∞1

sinc2xdx ≤ 2

∫ 1

0

dx+ 2

∫ ∞1

1

x2dx ≤ 4.

• sinc 6∈ L1(R). Au loc relatiile

‖sinc‖1 =

∫R|sinc(x)|dx = 2

∫ ∞0

|sinc(x)|dx ≥

≥ 2

∫ ∞π

|sinc(x)|dx = 2∞∑k=1

∫ (k+1)π

kπ

|sinc(x)|dx.

Triunghiul definit de punctele Ak(kπ, 0), Bk((k + 12)π, |sinc((k + 1

2)π)|),

Ak+1((k + 1)π, 0) este cuprins ıntre graficul functiei |sinc| si axa Ox. Inconsecinta

‖sinc‖1 ≥ 2∞∑k=1

aria(4AkBkAk+1) = π

∞∑k=1

|sinc(k+1

2)π)| = 2

∞∑k=1

1

2k + 1=∞.

1In [29] este utilizata definitia sinc(x) =

sinπxπx daca x 6= 0

1 daca x = 0.

12.2. INTERPOLARE PE NODURI ECHIDISTANTE IN [0, π] 281

12.2 Interpolare pe noduri echidistante ın [0, π]

Pentru orice n ∈ N se definesc multimile En = xn,k = 2π2nk : k = 0, 1 . . . , 2n.

In particular

E0 = 0, 2πE1 = 0, π, 2π

E2 = 0, π2, π,

3π

2, 2π

Au loc proprietatile:

• E0 ⊂ E1 ⊂ . . . En ⊂ En+1 ⊂ . . .

• Multimea E = ∪∞n=0En este densa ın [0, 2π].

Introducem functiile

Ln,k(x) =

sin 2n−1(x−xn,k)

2n−1(x−xn,k)daca x 6= xn,k

1 daca x = xn,kn ∈ N, k = 0, 1, . . . , 2n. (12.1)

Stabilim cateva proprietati simple ale functiilor sinc Ln,k.

Teorema 12.2.1 Au loc proprietatile:

1. Ln,k(xn,j) = δk,j, ∀ k, j ∈ 0, 1, . . . , 2n;

2. L′n,k(xn,k) = 0;

3. L′n,k(xn,j) = 2n(−1)j−k

2π(j−k), j 6= k, j = 0, 1, . . . , 2n;

4. L′′n,k(xn,k) = −22n−2

3;

5. |Ln,k(x)| ≤ 1, ∀ x ∈ [0, 2π].

Demonstratie. 2.

L′n,k(xn,k) = limx→xn,k

Ln,k(x)− Ln,k(xn,k)x− xn,k

= limx→xn,k

sin 2n−1(x− xn,k)− 1

2n−1(x− xn,k)2.

Punand y = 2n−1(x− xn,k), limita de mai sus devine limy→0 2n−1 sin y−yy2

= 0.


3.

L′n,k(x) =cos 2n−1(x− xn,k)

x− xn,k− sin 2n−1(x− xn,k)

2n−1(x− xn,k)2.

Pentru x = xn,j se obtine L′n,k(xn,j) = 2n(−1)j−k

2π(j−k).

4.

L′′n,k(xn,k) = limx→xn,k

L′n,k(x)− L′n,k(xn,k)x− xn,k

=

= limx→xn,k

(cos 2n−1(x− xn,k)

(x− xn,k)2− sin 2n−1(x− xn,k)

2n−1(x− xn,k)3

).

Din nou, pentru y = 2n−1(x− xn,k), limita devine

limy→0

22n−2y cos y − sin y

y3= −22n−2

3.

5. Inegalitatea rezulta din

|x| < π2⇒ | sinx| ≤ |x|

|x| ≥ π2⇒ | sinx| ≤ 1 < π

2≤ |x|

Fie f : [0, 2π]→ R. Introducem operatorul liniar

f 7−→ Sn(f) definit prin Sn(f)(x) =2n∑k=0

f(xn,k)Ln,k(x).

Din teorema 12.2.1 rezulta ca functia Sn(f)(x) satisface conditiile de interpolare

Sn(f)(xn,k) = f(xn,k), k = 0, 1, . . . , 2n.

Aceasta functie se numeste functia de interpolare sinc a functiei f.

Teorema 12.2.2 Daca m > n atunci Sn(f)(xn,k) = Sm(f)(xn,k), k = 0, 1, . . . , 2n.

Demonstratie. En ⊂ Em, pentru xn,k = 2π2nk = 2π

2m2m−nk = xm,2m−nk = y

conditiile de interpolare implica Sn(f)(y) = f(y) = Sm(f)(y).


1. Sn(Ln,k) = Ln,k, k = 0, 1, . . . , 2n;

2. Sn(Sn(f)) = Sn(f),

12.2. INTERPOLARE PE NODURI ECHIDISTANTE IN [0, π] 283

adica functiile Ln,k, k = 0, 1, . . . , 2n si Sn(f) sunt puncte fixe ale operatorului Sn.

Demonstratie. Calculand, se obtin1.

Sn(Ln,k)(x) =2n∑j=0

Ln,k(xn,j)Ln,j(x) =2n∑j=0

δk,jLn,j(x) = Ln,k(x).

2.

Sn(Sn(f))(x) =2n∑j=0

Sn(f)(xn,j)Ln,j(x) =2n∑j=0

f(xn,j)Ln,j(x) = Sn(f)(x).

Pentru cazul functiilor continue ın intervalul compact [0, 2π], se alege norma‖f‖ = maxx∈[0,2π] |f(x)| si are loc

Teorema 12.2.4 Operatorul Sn este continuu, avand loc inegalitatea

‖Sn(f)‖ ≤ (2n + 1)‖f‖, ∀ f ∈ C[0, 2π].

Demonstratie.

|Sn(f)(x)| = |2n∑j=0

f(xn,j)Ln,j(x)| ≤ ‖f‖2n∑j=0

|Ln,j(x)| ≤ (2n + 1)‖f‖.

Liniaritatea operatorului Sn implica inegalitatea

‖Sn(f)− Sn(g)‖ ≤ (2n + 1)‖f − g‖.

Vom folosi transformarea Fourier. Rezultatele de care avem nevoie sunt dateın Anexa (J).


Ln,k(x) =1

2n

∫ 2n−1

−2n−1

e−i2πk2n

zeizxdz. (12.2)

Demonstratie. Calculand integrala din membrul drept, se obtin

1

2n

∫ 2n−1

−2n−1

eiz(x−2πk2n

)dz =1

2neiz(x−

2πk2n

)

i(x− 2πk2n

)

∣∣∣2n−1

−2n−1 =


=1

2nei2

n−1(x− 2πk2n

) − e−i2n−1(x− 2πk2n

)

i(x− 2πk2n

)=

1

2n−1

sin 2n−1(x− xn,k)x− xn,k

= Ln,k(x).

Interpretand egalitatea (12.2) drept o transformare Fourier inversa, deducemca functia

F (z) =

2π2ne−i

2πk2n

z daca |z| < 2n−1

0 daca |z| ≥ 2n−1

este transformata Fourier a functiei Ln,k(x).Utilizand egalitatea lui Parseval se obtine proprietatea de ortogonalitate a

functiilor Ln,k :

Teorema 12.2.6 Au loc egalitatile∫ ∞−∞

Ln,k(x)Ln,j(x)dx =2π

2nδk,j, ∀ k, j ∈ 0, 1, . . . , 2n.

Demonstratie. Notam prin Fn,k transformata Fourier a functiei Ln,k. Pentruk = j ∫ ∞

−∞L2n,kdx =

1

2π

∫ ∞−∞|Fn,k(z)|2d(z) =

2π

2n.

Pentru k 6= j∫ ∞−∞

Ln,k(x)Ln,j(x)dx =1

2π

∫ ∞−∞

Fn,k(z)Fn,j(z)dz =2π

22n

∫ 2n−1

−2n−1

e−iz2π2n

(k−j)dz =

=2π

22n

e−iz2π2n

(k−j)

−i2π2n

(k − j)

∣∣∣2n−1

−2n−1 =2π

2nsinπ(k − j)π(k − j)

= 0.

12.3 Interpolare pe noduri echidistante ın RRezultatul de baza al acestei sectiuni este dat de Teorema Whittaker-Kotelnikov-

Shannon (WKS). In functie de ipoteze, vom enunta doua variante ale teoremei,fiecare cu o demonstratie specifica. Totodata se va arata ca ipoteza celei de adoua variante implica ipoteza din prima varianta.

Teorema 12.3.1 (WKS - varianta 1) Fie f : C→ C pentru care exista M, τ > 0astfel ıncat

|f(x+ iy)| ≤Meτ |y|, ∀z = x+ iy ∈ C.Daca τ < l atunci

f(z) =∑k∈Z

f(kπ

l)sinc(lz − kπ) =

∑k∈Z

f(kπ

l)sin l(z − kπ

l)

l(z − kπl

). (12.3)


Teorema 12.3.3 Daca f este o functie continua atunci∫ 2π

0

f(| sinx|)dx = 4

∫ π2

0

f(sinx)dx.

Demonstratia Teoremei WKS.2 Fie rn = (n+ 12)πl

si γn = z ∈ C : |z| = rn.Dandu-se z ∈ C exista n ∈ N astfel ıncat 2|z| ≤ rn. Atunci (Fig. 12.2)

|z − ζ| ≥ rn2, ∀ζ ∈ γn. (12.4)

Fig. 12.2: Justificarea inegalitatii (12.4).

Demonstatia teoremei revine la evaluarea integralei

Fn(z) =1

2πi

∫γn

f(ζ)

sin lζ

dζ

ζ − z(12.5)

ın doua moduri.Punctele singulare ale functiei de integrat sunt z, 0,±π

l, . . . ,±nπ

l, poli de or-

dinul ıntai. Aplicand teorema reziduurilor se obtine

Fn(z) =f(z)

sin lz−

n∑k=−n

(−1)kf(k πl)

l(z − k πl)

=f(z)

sin lz−

n∑k=−n

(−1)kf(k πl)

lz − kπ. (12.6)

Pe de alta parte, pentru ζ ∈ γn, ζ = rneit, au loc inegalitatile

2Chabat B., Introduction a l’analyse complexe. T1, Ed. Mir, Moscou,1990.


• Din ipoteza teoremei rezulta

|f(ζ)| ≤Meτrn| sin t|; (12.7)

• Din Teorema 12.3.2 rezulta existenta unui m > 0 astfel ıncat

| sin lζ| ≥ mernl| sin t|, (12.8)

pentru n suficient de mare.

Utilizand inegalitatile (12.4), (12.7), (12.8), pentru Fn(z) se obtine evaluarea

|Fn(z)| ≤ M

mrnπ

∫γn

e−(l−τ)rn| sin t||dζ| = M

mπ

∫ 2π

0

e−(l−τ)rn| sin t|dt.

Aplicand Teorema 12.3.3 rezulta

|Fn(z)| ≤ 4M

mπ

∫ π2

0

e−(l−τ)rn sin tdt,

apoi functia sin este concava ın intervalul [0, π2], deci sin t ≥ 2t

π, ceea ce implica

evaluarea

|Fn(z)| ≤ 4M

mπ

∫ π2

0

e−(l−τ)rn2tπ dt =

2M

m· 1− e−(l−τ)rn

(l − τ)rn→ 0, pentru n→∞.

(12.9)Din (12.6) si (12.9), pentru n→∞, rezula egalitatea

0 =f(z)

sin lz−∑k∈Z

(−1)kf(k πl)

lz − kπ

sau

f(z) =∑k∈Z

f(kπ

l)sin (lz − kπ)

lx− kπ.

Suportul unei functii f : X → C este multimea

supp(f) = x ∈ X : f(x) 6= 0.

Teorema 12.3.4 (WKS - varianta 2) Fie f : R → C si f(ξ) = F(f(x))(ξ)transformata ei Fourier. Daca exista l > 0 astfel ıncat supp(f) ⊆ ξ : |ξ| ≤ latunci

f(x) =∑k∈Z

f(kπ

l)sinc(lx− kπ). (12.10)


Demonstratie. Dezvoltarea Fourier a functiei f este

f(ξ) =∑n∈Z

cneinπξl , ξ ∈ [−l, l],

cu

cn =1

2l

∫ l

−lf(ξ)e−i

nπξl dξ =

π

l

1

2π

∫ ∞−∞

f(ξ)e−inπlξdξ =

π

lf(−nπ

l).

Astfel

f(ξ) =π

l

∑n∈Z

f(−nπl

)einπξl .

Functia f va fi

f(x) = F−1(f(ξ))(x) =1

2π

∫ ∞−∞

f(ξ)eiξxdξ =1

2π

∫ l

−lf(ξ)eiξxdξ =

=1

2l

∑n∈Z

f(−nπl

)

∫ l

−leiξ(x+nπ

l)dξ =

∑n∈Z

f(−nπl

)sin (lx+ nπ)

lx+ nπ=

=∑k∈Z

f(kπ

l)sinc(lx− kπ).

Teorema 12.3.5 Daca f : C → C este o functie absolut integrabila cu propri-etatea ca exista τ > 0 astfel ıncat supp(f) ⊆ ξ : |ξ| ≤ τ atunci exista M > 0pentru care

|f(z)| = |F−1(f(ξ))(z)| ≤Meτ |y|, ∀z = x+ iy ∈ C.


f(z) =1

2π

∫ ∞−∞

f(ξ)eizξdξ =1

2π

∫ τ

−τf(ξ)eizξdξ.

Din ξ ∈ R, eizξ = e−yξ(cosxξ+ i sinxξ) rezulta |eizξ| = e−yξ ≤ eτ |y|. In consecinta

|f(z)| ≤ 1

2π

∫ τ

−τ|f(ξ)||eizξ|dξ ≤

(1

2π

∫ τ

−τ|f(ξ)|dξ

)eτ |y|.


Daca l = πh

atunci (12.3) devine

f(x) =∑k∈Z

f(kπ

l)sinc

(πh

(x− kh)). (12.11)

Utilizand formula (C.0.5),

sin(x) = x

∞∏j=1

(1− x2

π2j2

), (12.12)

regasim membrul drept din (12.3.2) pe o alta cale.Fie h > 0 si xk = a + kh, k ∈ Z. Polinomul de interpolare Lagrange pe cele

2n+ 1 noduri x−n, x−n+1, . . . , xn este

L(P2n;x−n, x−n+1, . . . , xn; f)(x) =n∑

k=−n

f(xk)ln,k(x), (12.13)

unde

ln,k(x) =(x− x−n) . . . (x− xk−1)(x− xk+1) . . . (x− xn)

(xk − x−n) . . . (xk − xk−1)(xk − xk+1) . . . (xk − xn)= (12.14)

=(x−a

h+ n)(x−a

h+ n− 1) . . . (x−a

h− k + 1)(x−a

h− k − 1) . . . (x−a

h− n)

(k + n)(k + n− 1) . . . 1(−1) . . . ((n− k)).

Pentru n→∞ se obtine

limn→∞

ln,k(x) =∞∏j=1

(x−ah− k)2 − j2

−j2=∞∏j=1

(1−

( x−ah− kj

)2).

Tinand seama de 12.12 vom avea

limn→∞

ln,k(x) =sin(x−a

h− k)π

(x−ah− k)π

= sinc((x− ah− k)π) = sinc

π(x− xk)h

.

iar formula 12.13 devine

L(x) =∑k∈Z

f(xk)sinc(x− xk)π

h. (12.15)

Pentru a = 0 se regaseste membrul drept din (12.3.2).


Notam

ϕ(t) = sinc(πt),

ϕk(x) = sincπ(x− xk)

h, k ∈ Z.

Au loc proprietatile:

Teorema 12.3.6 Transformata Fourier a functiei ϕ(t) este ϕ(z) = rect(z), unde

rect(t) =

1 daca |t| ≤ π0 daca |t| > π

.

Demonstratie. Calculam transformata Fourier inversa a functiei rect(z)

1

2π

∫ ∞−∞

rect(z)eiztdz =1

2π

∫ π

−πeiztdz =

1

2π

eizt

it

∣∣∣π−π

=1

πt

eiπt − e−iπt

2i=

sin πt

πt.

Astfel

F (sinc(πt)) (z) = rect(z) =

1 daca |t| ≤ π0 daca |t| > π

. (12.16)

Din (12.16) deducem

Teorema 12.3.7 Are loc egalitatea∫ ∞−∞

sinc(x)dx = π. (12.17)

Demonstratie. Pentru z = 0 egalitatea

F (sinc(πt)) (z) =

∫ ∞−∞

sinc(πt)e−itzdt = rect(z)

devine ∫ ∞−∞

sinc(πt)dt = rect(0) = 1.

Teorema 12.3.8 In ipoteza Teoremei 12.3.4 are loc egalitatea∫ ∞−∞

f(x)dx =π

l

∑k∈Z

f(kπ

l

). (12.18)


Formula (12.18) se interpreteaza ca formula trapezelor cu pasul h = πl

pentrucalcululul integralei

∫∞−∞ f(x)dx.

Demonstratie. Integrand (12.10) rezulta∫ ∞−∞

f(x)dx =∑k∈Z

f(kπ

l

)∫ ∞−∞

sinc(lx− kπ)dx =

=1

l

∑k∈Z

f(kπ

l

)∫ ∞−∞

sinc(t)dt =π

l

∑k∈Z

f(kπ

l

).

Teorema 12.3.9 Functiile ϕk(x) satisfac relatiile:

(i) ϕk(xj) = δk,j;

(ii)∫∞−∞ ϕk(x)ϕj(x)dx = hδk,j, adica ( 1√

hsincπ(x−kh)

h)k∈Z formeaza un sistem ortonor-

mat de functii.

Demonstratie. (ii) Calculam

Ik,j =

∫ ∞−∞

ϕk(x)ϕj(x)dx =

∫ ∞−∞

sinc(x− xk)π

hsinc

(x− xj)πh

dx.

Prin schimbarea de variabila x− xk = hq integrala de mai sus devine

h

∫ ∞−∞

sinc(qπ)sinc((q + k − j)π)dq = h

∫ ∞−∞

sinc(qπ)sinc((j − k − q)π)dq =

= h

∫ ∞−∞

ϕ(q)ϕ((j − k)− q)dq = h(ϕ ∗ ϕ)(j − k).

Deoarece transformata Fourier a produsului de convolutie ϕ ∗ ϕ este ϕ2 rezulta

Ik,j =h

2π

∫ π

−πϕ2(z)eiz(j−k)dz =

h

2π

∫ π

−πeiz(j−k)dz = hδk,j.


P 12.1 Fie f : R → C. Pornind de la dezvoltarea Fourier a functiei g(x) =∑n∈Z f(x+ nh), h > 0, deduceti formula de ınsumare Poisson∑

n∈Z

f(x+ nh) =1

h

∑n∈Z

f(2nπ

h)e

2nπxh . (12.19)


Pentru x = 0 si h = 1 se obtine∑n∈Z

f(n) =∑n∈Z

f(2nπ). (12.20)

R. Functia g este periodica cu perioada h = 2l. Prin urmare g(x) =∑

k∈Z ckei kπxl

cu

ck =1

2l

∫ l

−lg(x)e−i

kπxl dx =

1

2l

∑n∈Z

∫ l

−lf(x+ 2nl)e−i

kπxl dx.

Prin schimbarea de variabila x+ 2nl = t se obtine

ck =1

2l

∑n∈Z

∫ (2n+1)l

(2n−1)l

f(t)e−ikπtl dt =

1

2l

∫ ∞−∞

f(t)e−ikπtl dt =

1

2lf(kπ

l).

Revenind ın dezvoltarea Fourier se obtine relatia ceruta.

P 12.2 Sa se arate ca pentru f(x) = ϕ(hx)e−ixhξ din formula de ınsumare a luiPoisson (12.20) se obtine forma echivalenta∑

n∈Z

ϕ(nh)e−inhξ =1

h

∑n∈Z

ϕ(ξ − 2nπ

h).

R. f(z) = 1hϕ(ξ + z

h). Pentru ξ = 0, h = 1 se regaseste (12.20).

P 12.3 Sa se arate ca dezvoltarea Fourier a functiei f(t) = e−itx, t ∈ (−πh, πh),

estee−itx =

∑k∈Z

sinc(πh

(x+ kh))eikht.

R. Dezvoltarea Fourier a functiei f, cu perioada 2l, este∑k∈Z

ckeiπktl cu ck =

1

2l

∫ l

l

f(t)e−iπktl dt.

In acest caz l := πh,

ck =h

2π

∫ πh

−πh

e−itxe−ikhtdt = sinc(πh

(x+ kh)).

Partea II

METODE NUMERICE INALGEBRA LINIARA

293

Capitolul 13

Elemente de analiza matriceala

13.1 Definitii, notatii, proprietati

•

x =

x1...xn

∈ Rn x =

x1...xn

∈ Cn

xT = (x1, . . . , xn) xH = (x1, . . . , xn)

Un vector din C sau R se va identifica cu o matrice Mn,1(C), respectivMn,1(R).

•x, y ∈ Rn x, y ∈ Cn

< x, y >=∑n

k=1 xkyk < x, y >=∑n

k=1 xkyk‖x‖2 =

√< x, x > =

√xTx ‖x‖2 =

√< x, x > =

√xHx

•‖x‖∞ = max

1≤k≤n|xk|

• Doi vectori x, y ∈ C (sau R) sunt ortogonali daca < x, y >= 0.

• O familie de vectori (xi)1≤i≤k din x, y ∈ C (sau R) este ortonormata daca

< xi, xj >= δi,j =

1, daca i = j0, daca i 6= j

295

296 CAPITOLUL 13. ELEMENTE DE ANALIZA MATRICEALA

• O matrice A ∈Mn,k(C) se poate reprezenta prin

A = (ai,j)1≤i≤n,1≤j≤k = [a1a2 . . . ak], unde aj =

a1,j...an,j

.

•

In = (δi,j)1≤i,j≤n =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

este matricea unitate de ordinul n.

• Daca A ∈Mn(C), atunci tr(A) =∑n

k=1 ak,k este urma matricei A.

• Daca A ∈ Mn(R) = (ai,j)1≤i,j≤n atunci AT = (aj,i)1≤i,j≤n este matriceatranspusa.

• Daca A ∈Mn(C) atunci AH = AT. Bara superioara desemneaza operatorul

de conjugare aplicat fierarui element al matricei.

• O matrice patrata A ∈ Mn(C) este inversabila daca exista A−1 ∈ Mn(C)astfel ıncat A · A−1 = A−1 · A = In.

• A ∈Mn(R) este simetrica daca AT = A.

• A ∈Mn(C) este hermitiana daca AH = A.

• A ∈Mn,k(R) este ortogonala daca AT · A = Ik.

• A ∈Mn,k(C) este unitara daca AH · A = Ik.

• A ∈Mn(C) este normala daca AH · A = A · AH .

• O matrice A ∈ Mn(C), A = (ai,j)1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentrui > j se numeste matrice superior triunghiulara.

• O matrice A ∈ Mn(C), A = (ai,j)1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentrui < j se numeste matrice inferior triunghiulara.

• O matrice A ∈ Mn(C), A = (ai,j)1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentrui 6= j se numeste matrice diagonala.

13.1. DEFINITII, NOTATII, PROPRIETATI 297

• O matrice A ∈ Mn(C), A = (ai,j)1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentruj < i si i+ 1 < j se numeste matrice bidiagonala (superioara).

• O matrice A ∈ Mn(C), A = (ai,j)1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentrui > j + 1 se numeste matrice Hessenberg.

De exemplu, ın reprezentarea Wilkinson,× × × ×× × × ×0 × × ×0 0 × ×

este o matrice Hessenberg.

• O matrice A ∈Mn(R) este pozitiv definita daca

<Ax, x> ≥ 0, ∀x ∈ Rn.

Produsul a doua matrice pozitiv definite poate sa nu fie pozitiv definita.Daca

A =

(0 1−1 2

), B =

(1 00 0

), x =

(x1

x2

)atunci

< Ax, x > = 2x22

< Bx, x > = x21

< ABx, x > = −x1x2

• O matrice A ∈Mn(R) este strict pozitiv definita daca

<Ax, x> > 0, ∀x ∈ Rn\0.

Pentru matricea A ∈ Mn(R) strict pozitiva folosim notatia A > 0. Maimult, daca A,B ∈Mn(R) vom scrie A > B ⇔ A−B > 0.

• O matrice A ∈Mn(R) este tare pozitiv definita daca

∃m > 0 astfel ıncat <Ax, x> ≥ m‖x‖22, ∀x ∈ Rn.

Astfel A tare pozitiv definita ⇒ A strict pozitiv definita ⇒ A pozitiv definita.


• Fie A : Ck → Cn un operator liniar.

Daca e1, . . . , ek, f1, . . . , fn sunt baze ın Ck, respectiv Cn, x = (x1, . . . , xk)T , y =

(y1, . . . , yn)T si y = A(x) atunci exista o matrice A ∈Mn,k(C) astfel ıncat

A[e1, . . . , ek]not= [A(e1), . . . ,A(ek)] = [f1, . . . , fn]A ⇔ y = Ax.

• Ker(A) = x ∈ Ck : Ax = 0Im(A) = y ∈ Cn : ∃x ∈ Ck astfel ıncat y = AxSe mai utilizeaza notatiile Im(A) = R(A) si Ker(A) = N (A).

• Norma unei matrice A ∈Mn,k(C) este norma operatorului liniar generat de

matricea A, adica A : Ck → Cn, A(x) = Ax. In cele ce urmeaza operatorulA se va identifica cu matricea A.

• Un numar λ ∈ C este o valoare proprie a matricei A ∈ Mn(C) daca existaun vector nenul x ∈ Cn astfel ıncat Ax = λ x.

In acest caz x este un vector propriu corespunzator valorii proprii λ, iarperechea (λ, x) este o pereche proprie matricei A.

• Un vector y ∈ Cn, y 6= 0 este un vector propriu la stanga corespunzatoarelui λ daca yHA = λ yH ⇔ AHq = λq.

• Valoarea proprie λ are ordinul de multiplicitate algebric k daca λ esteradacina multipla de ordin k a polinomului caracteristic.

• Valoarea proprie λ are ordinul de multiplicitate geometric k daca dimensi-unea subspatiului liniar S(λ) = x ∈ Cn : Ax = λ x este k.

• Doua matrice A,B ∈Mn(C) sunt similare daca exista o matrice inversabilaX ∈Mn(C) astfel ıncat B = X−1AX.

• Doua matrice A,B ∈ Mn(C) sunt unitar echivalente daca exista o matriceunitara U ∈Mn(C) astfel ıncat B = UHAU.

• Raza spectrala a matricei A ∈Mm(C) este numarul

ρ(A) = max|λ| : λ valoare proprie a matricei A.

• Daca A,B ∈Mm,k(C) atunci produsul Hadamard este definit prin

A B = (Ai,jBi,j)1≤i≤m;1≤j≤k.


Proprietatea 13.1.1 Daca A ∈Mn(C) atunci

< Ax, y >=< x,AHy > ∀x, y ∈ Cn.

Proprietatea 13.1.2 Daca A ∈Mn(C) este o matrice hermitiana atunci

< Ax, y >=< x,Ay > ∀x, y ∈ Cn.

Proprietatea 13.1.3 Daca A ∈Mm,n(C), C ∈Mn,p(C) atunci (AB)H = BHAH .

Proprietatea 13.1.4 Daca A,B ∈Mn(C) sunt matrice hermitiene si AB = BAatunci AB este tot o matrice hermitiana.

Demonstatie.(AB)H = BHAH = BA = AB.

P 13.1 Daca e1, . . . , ek, e′1, . . . , e′k sunt baze ın Ck si A : Ck → Ck un oper-ator liniar pentru care

A[e1, . . . , ek] = [e1, . . . , ek]A, A ∈Mk(C),A[e′1, . . . , e

′k] = [e′1, . . . , e

′k]B, B ∈Mk(C),

atunci matricele A si B sunt similare.

Demonstatie. Exista o matrice inversabila X ∈Mk(C) astfel ıncat

[e′1, . . . , e′k] = [e1, . . . , ek]X ⇔ x = Xx′, ∀x ∈ Ck,

unde x =∑k

i=1 xiei =∑k

i=1 x′ie′i.

Daca y = Ax si y =∑k

i=1 yiei =∑k

i=1 y′ie′i atunci y = Ax si y′ = Bx′. In plus

y = Xy′ ⇒ AXx′ = XBx′ ⇒ AX = XB.

Proprietatea 13.1.5 Daca A,B ∈Mn(C) sunt matrice unitare atunci AB estetot o matrice unitara.

Proprietatea 13.1.6 Daca A ∈Mn(C) este o matrice unitara si x ∈ Cn atunci

‖Ax‖2 = ‖x‖2 si ‖AHx‖2 = ‖x‖2.

Demonstatie.

‖Ax‖22 = (Ax)H(Ax) = (xHAH)(Ax) = xH(AHA)x = xHx = ‖x‖2

2.


Proprietatea 13.1.7 Fie A ∈ Mn,k(C). Daca X ∈ Mn(C) si Y ∈ Mk(C) suntmatrice unitare atunci

‖A‖2 = ‖XHA‖2 = ‖AY ‖2.

Demonstatie. Utilizand propozitia precedenta, au loc egalitatile

‖XHA‖2 = sup‖z‖2≤1

‖XHAz‖2 = sup‖z‖2≤1

‖Az‖2 = ‖A‖2

si‖AY ‖2 = sup

‖z‖≤1

‖AY z‖2 = sup‖w‖≤1

‖Aw‖2 = ‖A‖2,

unde w = Y z.

Proprietatea 13.1.8 Daca A ∈ Mn,k(C), A = [a1a2 . . . ak] este o matrice uni-tara atunci (ai)1≤i≤k formeaza o familie ortonormata.

Demonstatie.

AHA =

aH1...aHk

· [a1 . . . ak] = (aHi aj)1≤i,j≤k = Ik.

Proprietatea 13.1.9 Daca A ∈ Mn(C) este o matrice unitara atunci A−1 =AH .

Proprietatea 13.1.10 Daca A ∈ Mn(R) strict pozitiv definita, atunci matriceaA este nesingulara.

Proprietatea 13.1.11 O matrice A ∈ Mn(R) strict pozitiv definita este tarepozitiv definita.

Demonstatie. Functia f : Rn\0 → R definita prin formula

f(x) =< Ax, x >

‖x‖22

este continua si ın multimea compacta S = x ∈ Rn : ‖x‖2 = 1 ısi atingeminimul, adica exista x0 ∈ S astfel ıncat

f(x) ≥ f(x0) = m > 0 ∀x ∈ S.

Daca x ∈ Rn\0 atunci x‖x‖2 ∈ S, de unde< A( x

‖x‖2 ), x‖x‖2 >≥ m sau< Ax, x >≥

m‖x‖22.


Proprietatea 13.1.12 Daca A ∈Mn(R) este o matrice simetrica si strict pozi-tiv definita atunci ‖x‖A =

√<Ax, x> este o norma ın Rn.

Indicatie. Inegalitatea triunghiului rezulta ın urma inegalitatii < Ax, y >2 ≤ <Ax, x >< Ay, y >, ∀x, y ∈ Rn.

Proprietatea 13.1.13 Fie A ∈Mm,n(C), B ∈Mk,m(C). Daca ‖·‖ este o normamatriceala atunci ‖BA‖ ≤ ‖B‖ ‖A‖.

Pentru A ∈Mm,n(C) si ϕ(A) = max1≤i≤m 1≤j≤n |ai,j| proprietatile normei suntındeplinite dar nu are loc proprietatea propozitiei 13.1.13. Daca

B =

(1 23 1

), A =

(2 11 1

)atunci BA =

(4 27 4

)si ϕ(BA) = 7 > 3 · 2 = ϕ(B)ϕ(A).

Proprietatea 13.1.14 Fie A ∈Mm,n(C), A = (ai,j)1≤i≤m, 1≤j≤n. Au loc egalitatile

‖A‖∞ = max1≤i≤m

n∑j=1

|ai,j|, A : (Cn, ‖ · ‖∞)→ (Cm, ‖ · ‖∞); (13.1)

‖A‖1 = max1≤j≤n

m∑i=1

|ai,j|, A : (Cn, ‖ · ‖1)→ (Cm, ‖ · ‖1). (13.2)

Proprietatea 13.1.15 Daca A ∈ Mm,n(C) si B ∈ Mn,m(C) atunci tr(AB) =tr(BA).

Proprietatea 13.1.16 Daca A ∈Mn(C) atunci

tr(AHA) =n∑

i,j=1

|ai.j|2.

Demonstatie. Elementul (i, j) a produsului AHA este∑n

k=1 ak,iak,j. Atunci

tr(AHA) =n∑i=1

n∑k=1

ak,iak,i =n∑

i,k=1

|ak,i|2.

Proprietatea 13.1.17 Daca A,B ∈ Mn(C) sunt matrice similare (X−1AX =B, X ∈Mn(C)) atunci

tr(B) = tr(A).


Demonstatie. Daca X = (xi,j)i,j∈1,...,n si X−1 = (yi,j)i,j∈1,...,n atunci au locegalitatile

∑ns=1 xi,sys,j = δi,j, ∀i, j ∈ 1, . . . , n.

Deoarece bi,j =∑n

s=1 yi,s (∑n

k=1 as,kxk,j) se obtine

tr(B) =n∑i=1

bi,i =n∑i=1

n∑s=1

yi,s

(n∑k=1

as,kxk,i

)=

=n∑s=1

n∑k=1

(n∑i=1

xk,iyi,s

)as,k =

n∑s=1

n∑k=1

δk,sas,k =n∑s=1

as,s = tr(A).

Proprietatea 13.1.18 Daca A,B ∈ Mn(C) sunt matrice unitar echivalente(UHAU = B, U ∈Mn(C), unitara) atunci

n∑i,j=1

|ai,j|2 =n∑

i,j=1

|bi,j|2.

Demonstatie. Din BHB = UHAHAU, potrivit propozitiei 13.1.17 are loc egali-tatea tr(BHB) = tr(AHA), iar relatia rezulta din 13.1.16.

Proprietatea 13.1.19 Fie A ∈Mm,n(C). Daca AHA = 0 atunci A = 0.

Demonstatia 1. AHA = 0 ⇒ tr(AHA) = 0. Elementul (i, j) a matricei AHAeste

∑mk=1 ak,iak,j. In consecinta

tr(AHA) =n∑i=1

m∑k=1

ak,iak,i =n∑j=1

m∑k=1

|ak,j|2 = 0,

deci ak,j = 0, ∀k ∈ 1, . . . ,m, ∀j ∈ 1, . . . , n,Demonstatia 2. Pentru orice x ∈ Cn ⇒ < AHAx, x >= ‖Ax‖2

2 = 0 ⇒ Ax =0. Pentru orice x, y ∈ Cn < Ax, y >= 0. In particular, pentru x = ek si y = ej(vectori din baza canonica) < Aek, ej >= ak,j = 0.

Proprietatea 13.1.20 Daca AHAB = 0 atunci AB = 0.

Proprietatea 13.1.21 Daca BAAH = 0 atunci BA = 0.

Proprietatea 13.1.22 Fie A ∈Mn(R). Daca |ai,i| >∑n

j=1

j 6=i|ai,j|, ∀ i ∈ 1, . . . , n

(matrice cu diagonala dominanta) atunci


1. matricea A este inversabila;

2. ‖A−1‖∞ ≤ max1≤i≤n1

|ai,i|−∑nj=1j 6=i|ai,j | .

Demonstatie. Fie x, y ∈ Rn astfel ıncat Ax = y. Aratam ca are loc inegalitatea

‖x‖∞ ≤ max1≤i≤n

1

|ai,i| −∑n

j=1

j 6=i|ai,j|‖y‖∞ (13.3)

Fie i acel indice pentru care

|xi| = max|x1|, . . . , |xn| = ‖x‖∞.

Ecuatia a i-a a sistemului Ax = y se scrie

ai,i · xi = yi −n∑j=1

j 6=i

ai,j · xj

de unde se deduc relatiile:

|ai,i|‖x‖∞ = |aii||xi| ≤ |yi|+n∑j=1

j 6=i

|ai,j||xj| ≤ ‖y‖∞ + ‖x‖∞n∑j=1

j 6=i

|ai,j|.

Ipoteza propozitiei implica

‖x‖∞ ≤1

|ai,i| −∑n

j=1

j 6=i|ai,j|‖y‖∞ ≤ max

1≤i≤n

1

|ai,i| −∑n

j=1

j 6=i|ai,j|‖y‖∞.

Pentru a arata ca matricea A este inversabila sau nesingulara este suficient saaratam ca sistemul algebric de ecuatii liniare si omogene Ax = 0 admite doarsolutia banala. Pentru y = 0, din (13.3) rezulta x = 0.

A doua concluzie rezulta de asemenea din inegalitatea (13.3).Demonstratie directa a inversabilitatii matricei A. Presupunem prin absurd caA este o matrice singulara. Sistemul Ax = 0 are o solutie nebanala. Daca i esteindicele pentru care |xi| = max1≤j≤n |xj|, atunci din ecuatia i se deduce

ai,ixi = −n∑j=1

j 6=i

ai,jxj ⇒ |ai,i| ≤n∑j=1

j 6=i

|ai,j||xj||xi|≤

n∑j=1

j 6=i

|ai,j|.


Proprietatea 13.1.23 Valorile proprii ale matricei A sunt radacinile polinomu-lui caracteristic f(λ) = |λ In − A|.

Proprietatea 13.1.24 Daca A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Mn(C) si f(λ) = |λ In − A| =λn+α1λ

n−1 +. . .+αn−1λ+αn, atunci α1 = tr(A) si αn = (−1)n|A|, adica suma siprodusul valorilor proprii sunt egale, respectiv cu urma si determinantul matricei.

Demonstatie. Din egalitatea f(λ) =∏n

i=1(λ − ai,i)+polinim de grad n − 2rezulta α1 = tr(A). Apoi, αn = f(0) = | − A| = (−1)n|A|.

Proprietatea 13.1.25 Multimea S(λ) = x ∈ Cn : Ax = λ x este subspatiuliniar ın Cn invariat de A, adica A(S(λ)) ⊆ S(λ).

Proprietatea 13.1.26 Pentru orice valoare propriu ordinul de multiplicitate ge-ometric este cel mult egal cu ordinul de multiplicitate algebric.

Demonstatie. Fie A operatorul liniar atasat matricei A ∈Mn(C), λ0 o valoareproprie avand ordinul de multiplicitate algebrica m0.

Presupunem ca ordinul de multiplicitate geometrica este p, dim(S(λ0)) = p,e1, . . . , ep formeaza o baza ın S(λ0) si care ımpreuna cu fp+1, . . . , fn formeaza obaza ın Cn.

Au loc relatiile:

A(ei) = λ0ei, i ∈ 1, . . . , p,

A(fi) =

p∑j=1

ai,jei +n∑

j=p+1

ai,jfj, i ∈ 1, . . . , p,

sauA[e1 . . . ep fp+1 . . . fn] = [e1 . . . ep fp+1 . . . fn]·

·

λ0 p. . .

...λ0 p

− . . . − · − . . . −ap+1,1 ap+1,p p ap+1,p+1 ap+1,n

. . ....

. . .

an,1 an,p p an,p+1 an,n

=

= [e1 . . . ep fp+1 . . . fn]

[λ0Ip On−pB1,2 B2,2

].


Notam prin B matricea din dreapta de mai sus si care este reprezentarea opera-torului A ın baza e1, . . . , ep, fp+1, . . . , fn. Potrivit Proprietatii 13.1 matricile A siB sunt similare, deci polinoamele lor caracteristice admit aceleasi radacini:

|λIn −B| = (λ− λ0)p|λIn−p −B2,2|.

Prin urmare p ≤ m0. Daca |λ0In−p −B2,2| 6= 0 atunci p = m0.Daca o matrice are o valoare proprie avand ordinul de multiplicitate geometric

este mai mic decat ordinul de multiplicitate algebric atunci matricea se numestedefectiva. In caz contrar matricea se numeste nedefectiva.

Exemplul 13.1.1 Matricea A =

(1 10 1

)are valoarea proprie λ = 1 avand

ordinul de multiplicitate algebric 2, dar S(1) = (x, 0) : x ∈ C, are dimensiunea1.

Proprietatea 13.1.27 Un vector propriu corespunde unei singure valori proprii.

Proprietatea 13.1.28 Daca λ1, . . . , λk sunt valori proprii ale unei matrice A,distincte doua cate doua si x1, . . . , xk sunt vectori proprii corespunzatori atuncix1, . . . , xk sunt liniar independenti.

Proprietatea 13.1.29 Valorile proprii ale unei matrice hermitiene (simetrice)sunt reale.

P 13.2 Valorile proprii ale unei matrice ortogonale/unitare au modulul egal cu1.

Proprietatea 13.1.30 Doua matrice similare au aceleasi valori proprii.

Demonstatie. Fie B = X−1AX. Daca Ax = λx si y = X−1x ⇔ x = Xyatunci

By = X−1AXy = X−1Ax = λX−1x = λy.

Invers, daca By = µy si x = Xy atunci

µy = By = X−1AXy = X−1Ax ⇒ Ax = µx.

Proprietatea 13.1.31 (Gerschgorin) Fie A ∈Mn(C) si σ(A) multimea valo-rilor proprii. Daca

rk =n∑j=1

j 6=k

|ak,j|

Dk = z ∈ C : |z − ak,k| ≤ rk, k = 1, 2, . . . , n,

atunci σ(A) ⊆ ∪nk=1Dk.


Demonstatie. Fie λ o valoare proprie si x = (x1, . . . , xn)T un vector pro-priu corespunzator, Ax = λx. Daca xk = max1≤i≤n |xi| atunci din egalitatea∑n

j=1 ak,jxj = λxk rezulta (ak,k − λ)xk = −∑n

j=1

j 6=kak,j. Din egalitatea modulelor

deducem

|ak,k − λ| ≤n∑j=1

j 6=k

|ak,j||xj||xk|≤

n∑j=1

j 6=k

|ak,j| = rk.

Proprietatea 13.1.32 Daca A ∈Mm,n(C) atunci (Im(A))⊥ = Ker(AH).

Demonstatie. Daca y ∈ (Im(A))⊥ atunci < y, z >= 0, ∀z ∈ Im(A), adica< y,Ax >= 0, ∀x ∈ Cn. Din

0 =< y,Ax >=< AHy, x >, ∀x ∈ Cn

rezulta y ∈ Ker(AH).

Proprietatea 13.1.33 Daca A ∈Mm,n(C) atunci Cm = Im(A)⊕Ker(AH).

Demonstratia utilizeaza Teorema I.8.2.

Proprietatea 13.1.34 Daca A ∈Mn(R) atunci

dim(Ker(A)) + dim(Im(A)) = n

Demonstatie. Fie k = din(Ker(A)). Extindem o baza e1, . . . , ek a lui Ker(A) cuvectorii liniar independenti ek+1, . . . , en. Astfel e1, . . . , en formeaza o baza ın Rn.

Daca y ∈ Im(A) atunci exista x =∑n

i=1 ciei astfel ıncat

y = A(x) =n∑i=1

ciA(ei) =n∑

i=k+1

ciA(ei).

Prin urmare orice vector din Im(A) se reprezinta ca o combinatie liniara a vecto-rilor A(ek+1), . . . , A(en).

A(ek+1), . . . , A(en) sunt liniar independenti.Intr-adevar, daca

∑ni=k+1 λiA(ei) = 0, atunci

∑ni=k+1 λiei ∈ Ker(A), deci ex-

ista constantele µ1, . . . , µk astfel ıncat∑n

i=k+1 λiei =∑k

j=1 µjej, sau∑k

j=1 µjej −∑ni=k+1 λiei = 0, de unde µ1 = . . . = µk = λk+1 = . . . = λn = 0.Rezulta ca A(ek+1), . . . , A(en) formeaza o baza a subspatiului liniar Im(A) si

ca dim(Im(A)) = n− k.



P 13.3 Daca x, y ∈ Cn atunci | < x, y > | ≤< x, x >< y, y > (inegalitatea luiCauchy).

R. Pentru y 6= 0, z = x− <x,y>‖y‖2 y are loc relatia < z, y >= 0. Atunci

x = z +< x, y >

‖y‖2y ⇒ ‖x‖2 = ‖z‖2 +

| < x, y > |2

‖y‖2≥ | < x, y > |2

‖y‖2.

P 13.4 Fie A ∈Mn(C). Demonstrati implicatia

Ax = x, ∀x ∈ Cn ⇒ A = In.

P 13.5 Se defineste produsul matriceal a doi vectori x, y ∈ Cn 7→ x >< y ∈Mn(C) prin

x >< y = xyH =

x1y1 . . . x1yn...

. . ....

xny1 . . . xnyn

.

Pentru orice x, y, z, t ∈ Cn, sa se arate ca

1. x >< y = (y >< x)H ;

2. (x+ y) >< z = x >< z + y >< z;

3. (x >< y)z =< z, y > x;

4. (x >< y)(z >< t) =< z, y > (x >< t);

5. Daca e1, . . . , en este o baza ortonormata ın Cn atunci

n∑i=1

ei >< ei = In.

R. 5. Pentru x =∑n

i=1 xiei au loc egalitatile

(ei >< ei)x = < x, ei > ei = xi;

(n∑i=1

ei >< ei)x =n∑i=1

(ei >< ei)x =n∑i=1

xiei = x;

Deoarece x a fost arbitrar, ın mod necesar∑n

i=1 ei >< ei = In.


P 13.6 Sa se arate ca daca A,B ∈Mn(R) astfel ıncat AB = I atunci BA = I.

P 13.7 Sa se arate ca daca A ∈ Mn(R) este o matrice ortogonala atunci |A| =±1.

P 13.8 Sa se arate ca daca A,B ∈Mn(R) sunt matrice ortogonale si |A| · |B| =−1 atunci A+B este o matrice singulara.

R. A+B = A(A+B)TB ⇒ |A+B|(1− |A||B|) = 0⇒ |A+B| = 0.

P 13.9 [11] Sa se arate ca daca A ∈ Mn(R) = (ai,j)1≤i,j≤n este o matrice strictsuperior triunghiulara - (ai,j = 0, i ≥ j) atunci An = 0.

P 13.10 [11] Sa se arate ca o matrice ortogonala si triunghiulara este o matricediagonala.

P 13.11 Daca A ∈Mn(C) si a ∈ C sa se determine valorile proprii ale matriceiaA ın functie de valorile proprii ale matricei A.

P 13.12 Daca A ∈Mn(C) satisface egalitatea AH = −A atunci

1. Valorile proprii ale matricei A sunt pur imaginare;

2. I − A este inversabila;

3. Q = (I − A)−1(I + A) este o matrice unitara.

R. 1. Fie λ o valoare proprie, Ax = λx. Din egalitatile

< Ax, x > = λ‖x‖22

< x,AHx > = < x,−Ax >= −λ‖x‖22

rezulta λ+ λ = 0 aduca <λ = 0.2. Presupunem prin absurd ca matricea I − A este singulara. Atunci exista

x ∈ Cn, x 6= 0 astfel ıncat (I − A)x = 0 sau Ax = x. Ar urma ca 1 este valoareproprie pentru A, ceea ce nu se poate.

3. Din egalitatea (I − A)(I + A) = (I + A)(I − A), ınmultind la stanga si ladreapta cu (I − A)−1 rezulta (I + A)(I − A)−1 = (I − A)−1(I + A) = Q.

Apoi QH = (I + AH)(I − AH)−1 = (I − A)(I + A)−1.Rezulta QHQ = (I − A)(I + A)−1(I + A)(I − A)−1 = I.


P 13.13 Fie u, v ∈ Cn si A = I + uvH .

1. Daca A este nesingulara aflati valoarea lui α astfel ıncat A−1 = I + αuvH .

2. In ce caz matricea A este singulara?

3. In cazul ın care matricea A este singulara calculati Ker(A).

R. 1. Au loc egalitatile

(I + uvH)(I + αuvH) = I + uvH + αuvH + αuvHuvH = I + (1 + α + αλ)uvH ,

unde λ = vHu. Pentru λ 6= −1 rezulta α = − 11+λ

= − 11+vHu

.

2. Pentru vHu = −1 matricea A este singulara: (I + uvH)uvH = 0.3. Ker(A) = λu : λ ∈ C.

P 13.14 Fie A ∈Mn(C), A = (ai,j)1≤i,j≤n. Sa se arate ca

‖A‖F =

√√√√ n∑i,j=1

|ai,j|2

este o norma matriceala (norma Frobenius).

P 13.15 Fie A ∈Mn(R), A = (ai,j)1≤i,j≤n. Sa se arate ca

‖A‖ = n max1≤i,j≤n

|ai,j|

este o norma matriceala.

P 13.16 Fie w = ei2πn si matricea

E =1√n

1 1 . . . 11 w . . . wn−1

.... . .

...

1 wn−1 . . . w(n−1)2

Sa se arate ca:

1. E−1 = E (E matrice unitara);


2. Daca ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)T (1 pe pozitia k), k ∈ 1, 2, . . . , n, estebaza canonica din Cn, atunci vectorii xk = Eek, k ∈ 1, 2, . . . , n formeazao alta baza pentru Cn.

P 13.17 Sa se demonstreze formula Sherman-Morrison

(A+ uvT )−1 = A−1 − A−1uvTA−1

1 + vTA−1u.

P 13.18 Fie

A =

(a uT

v B

)o matrice pozitiv definita.

Sa se arate ca matricea B este nesingulara.

Sa se calculeze matricea A−1.

R.

A−1 =

(α pT

q C

)cu

α = 1a−uTB−1v

q = − 1αB−1v

C = (B − vuT

a)−1 pT = − 1

auTC

P 13.19 Fie matricea [A BC D

]∈Mn(C),

cu A ∈ Mk(C). Daca matricele D si M = A − BD−1C sunt inversabile sa searate ca[

A BC D

]−1

=

[M−1 −M−1BD−1

−D−1CM−1 D−1 +D−1CM−1BD−1

].

P 13.20 [11] Daca A ∈Mn(R), s ∈ Rn, s 6= 0 atunci are loc egalitatea

‖A(In −ssT

sT s)‖2F = ‖A‖2

F −‖As‖2

2

‖s‖22

.


R. Daca u = s‖s‖2 atunci relatia de justificat devine

‖A(In − uuT )‖2F = ‖A‖2

F − ‖Au‖22, ‖u‖2 = 1.

Are loc egalitatea

‖A(In − uuT )‖2F =

n∑i,j=1

(n∑k=1

ai,k(δk,j − ukuj))2.

Expresia interioara este

((1− u2j)ai,j −

n∑k=1k 6=j

ai,kukuj)2 = (ai,j −

n∑k=1

ai,kukuj)2 =

= a2i,j − 2ai,juj

n∑k=1

ai,kuk + u2j(

n∑k=1

ai,kuk)2.

Astfel

‖A(In − uuT )‖2F =

n∑i,j=1

a2i,j − 2

n∑i=1

(n∑j=1

ai,juj)(n∑k=1

ai,kuk)+

+n∑i=1

(n∑j=1

u2j)(

n∑k=1

ai,kuk)2 =

=n∑

i,j=1

a2i,j −

n∑i=1

(n∑k=1

ai,kuk)2 = ‖A‖2

F − ‖Au‖22.

P 13.21 Daca X este un spatiu liniar real, n dimensional si f : X → R ofunctionala liniara (f ∈ X#), nenula, atunci dim(Ker(f))= n− 1.

R.dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = ndim(Im(f)) = 1

⇒ dim(Ker(f)) = n− 1

P 13.22 Fie X un spatiu liniar real. Daca f, g : X → R sunt functionale liniare(f, g ∈ X#) cu proprietatea ca Ker(f)=Ker(g) atunci exista λ ∈ R astfel ıncatf = λg.


R. Daca Ker(f)=Ker(g)= X atunci f = g = 0 si λ poate fi orice numar real.

Daca Ker(f)=Ker(g)⊂ X atunci pentru orice x ∈ X are loc reprezentarea x =x0 + az cu x0 ∈ Ker(f), a ∈ R si f(z) = 1. In consecinta f(x) = a si g(x) =g(x0) + ag(z) = g(z)f(x). Se alege λ = g(z).

P 13.23 Fie B,D ∈ Mn(R), D = diag(d1,1, . . . , dn,n) cu proprietatea di,i 6=dj,j ⇔ i 6= j. Daca BD = DB sa se arate ca si B este o matrice diagonala.

P 13.24 Daca B ∈ Mn(R) cu proprietatea ca AB = BA, ∀ A ∈ Mn(R), atunciB = cIn cu c ∈ R.

P 13.25 Daca P ∈ Mn(C) este o matrice hermitiana si strict pozitiv definitaatunci < x, y >= yHPx defineste un produs scalar ın Cn.

P 13.26 Fie matricea A ∈Mn(R) definita prin

A =

0 0 0 . . . 0 11 0 0 . . . 0 00 1 0 0 0...

. . . . . ....

0 0 0 1 0 00 0 0 . . . 1 0

.

1. Sa se arate ca |A− λIn| = λn − 1.

2. Sa se calculeze vectorii priprii si vectorii proprii la stanga ale matricei A.

R. Fie ε = ei2πn . Vectorul propriu x = (x1 . . . xn)T corespunzator valorii proprii

εk are componentele xj = ε−jk, j = 1 : n.

Vectorul propriu la stanga y = (y1 . . . yn)T corespunzatoare valorii proprii εk

are componentele yj = εjk, j = 1 : n.

P 13.27 Fie A ∈ Mn(R) o matrice simetrica si forma patratica xTAx. Dacav1, . . . , vn formeaza un sistem ortonormat de vectori proprii si V = [v1 . . . vn] ∈Mn(R) atunci prin transformarea x = V y forma patratica se reduce la formacanonica.


R. Fie λ1, . . . , λn valorile proprii corespunzatoare vectorilor proprii, Avi = λivi, i ∈1, . . . , n. Atunci xTAx = yTV TAV y.

V TAV =

vT1...vn

A[v1 . . . vn] =

vT1...vn

[λ1v1 . . . λnvn] =

λ1 . . . 0...

. . ....

0 . . . λn

,

si, daca y = (y1, . . . , yn)T atunci

xTAx = yTV TAV y =n∑i=1

λiy2i .

P 13.28 Daca A,B ∈ Mn(R) si una din matrice este strict pozitiv definita iarcealalta matrice este pozitiv definita atunci tr(AB) ≥ 0.

R. Urma unei matrice este egala cu suma valorilor proprii si ın consecinta estesuficient de aratat ca valorile proprii ale matricei AB sunt nenegative.

Fie λ o valoare proprie a matricei AB si x un vector propriu corespunzator,ABx = λx. Inmultind scalar cu Bx se obtine

< ABx,Bx >=< λx,Bx >= λ < Bx, x > . (13.4)

Distingem cazurile:

• A matrice strict pozitiva.

Daca Bx = 0 atunci ABx = 0 si ın consecinta λ = 0.

Daca Bx 6= 0 atunci din (13.4) rezulta ca λ 6= 0 si inegalitatile< ABx,Bx >> 0 si < Bx, x >≥ 0 implica λ > 0.

• B matrice strict pozitiva.

Din (13.4), inegalitatile < ABx,Bx >≥ 0 si < Bx, x >> 0 implica λ ≥ 0.

P 13.29 Daca A,X ∈Mn(C) atunci tr(X2A) = tr(XAX).

P 13.30 Daca A,B ∈Mn(R si x, yRn atunci

xT (A B)y = tr(ATdiag(x)Bdiag(y)).

Capitolul 14

Rezolvarea sistemelor algebriceliniare

Consideram sistemul algebric de m ecuatii liniare cu necunoscutelex1, x2, . . . , xn

a1,1 · x1 + a1,2 · x2 + . . . + a1,n · xn = b1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am,1 · x1 + am,2 · x2 + . . . + am,n · xn = bm

(14.1)

unde ai,j, bi ∈ C, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, · · · , n.Introducand notatiile matriceale

A =

a1,1 . . . a1,n

. . . . . . . . .am,1 . . . am,n

x =

x1...xn

b =

b1...bm

sistemul (14.1) se scrie

A · x = b

In cazul ın care m = n, adica numarul ecuatiilor coincide cu numarul ne-cunoscutelor si daca matricea sistemului A este nesingulara, atunci solutia estex = A−1 · b. Astfel problema inversabilitatii lui A este echivalenta cu rezolvareasistemului. Inversarea unei matrice este echivalenta cu rezolvarea a n sistemealgebrice de ecuatii liniare, AX = In, unde prin In s-a notat matricea unitate deordin n.

Metodele pentru rezolvarea sistemelor algebrice de ecuatii liniare se ımpart ındoua clase:

315

316 CAPITOLUL 14. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE

• metode finite, ın sensul ca necesita efectuarea unui numar finit de operatii;

• metode iterative.

In cele ce urmeaza vom prezenta metoda Gauss - Jordan si metada bazata pefactorizarea LU (Gauss) din clasa metodelor directe si metoda Gauss - Seidel dinclasa metodelor iterative.

In cazul unui sistem algebric de ecuatii liniare incompatibil se defineste solutiaın sensul metodei celor mai mici patrate.

Mentionam existenta unor metode (metoda gradientului conjugat, metodareziduului minimal (Generalized Minimum RESidual - GMRES) care se prezintaca metode iterative, dar ın esenta sunt metode finite si au conexiuni cu metodede optimizare.

14.1 Numarul de conditionare al unei matrice

Variatii mici ale datelor (adica ale termenilor vectorului liber sau ale ele-mentelor matricei) pot furniza variatii importante a solutiei sistemului. Acestfenomen pune ın evidenta caracterul instabil al rezolvarii unui sistem algebric deecuatii liniare.

Punem ın evidenta un indicator care influenteaza stabilitatea solutiei unuisistem algebric de ecuatii liniare.

Avem nevoie de urmatoarele rezultate

Teorema 14.1.1 Fie A ∈Mn(R). Daca ‖A‖ < 1 atunci

1. Matricea In − A este inversabila;

2. (In − A)−1 = limn→∞(In + A+ A2 + . . .+ An);

3. ‖(In − A)−1‖ ≤ 11−‖A‖ .

Teorema 14.1.2 Fie A,B ∈Mn(R). Daca ‖I −BA‖ < 1 atunci

1. matricele A si B sunt inversabile;

2. au loc evaluarile

‖A−1‖ ≤ ‖B‖1−‖I−BA‖ , ‖B−1‖ ≤ ‖A‖

1−‖I−BA‖

‖A−1 −B‖ ≤ ‖B‖‖I−BA‖1−‖I−BA‖ , ‖A−B

−1‖ ≤ ‖A‖‖I−BA‖1−‖I−BA‖ .

14.1. NUMARUL DE CONDITIONARE AL UNEI MATRICE 317

Demonstratie. Ipoteza implica inversabilitatea matricei I − (I −BA) = BA siinegalitatea ‖(BA)−1‖ ≤ 1

1−‖I−BA‖ .

Din |BA| = |B||A| 6= 0 deducem inversabilitatea matricelor A si B.Au loc egalitatile

A(BA)−1 = (A−1)−1(BA)−1 = B−1,(BA)−1A = (BA)−1(B−1)−1 = A−1

si ın consecinta

‖A−1‖ ≤ ‖(BA)−1‖‖B‖ ≤ ‖B‖1− ‖I −BA‖

.

Aceasta evaluare implica

‖B−1 − A‖ = ‖B−1(I −BA)‖ ≤ ‖B−1‖‖I −BA‖ ≤ ‖A‖‖I −BA‖1− ‖I −BA‖

.

Celelalte doua inegalitati se justifica asemanator.

Presupunem ca ın locul rezolvarii sistemului algebric de ecuatii liniare Ax = bse rezolva sistemul perturbat (A + δA)y = b + δb, unde δA ∈ Mn(R) si δb ∈ Rn.Daca y − x = δx atunci din

(A+ δA)(x+ δx) = b+ δb

deducem

(A+ δA)δx = δb− δAx. (14.2)

Teorema 14.1.3 Daca A este o matrice inversabila si ‖δA‖ < 1‖A−1‖ atunci

matricea A+ δA este inversabila si

‖δx‖‖x‖

≤ ‖A| ‖A−1‖1− ‖A−1‖ ‖δA‖

(‖δA‖‖A‖

+‖δb‖‖b‖

).

Demonstratie. Daca B = A+ δA atunci

‖I −BA−1‖ = ‖I − (A+ δA)A−1‖ = ‖δAA−1‖ ≤ ‖δA‖‖A−1‖ < 1

Potrivit Teoremei 14.1.2 matricea A + δA este inversabila si ‖(A + δA)−1‖ ≤‖A−1‖

1−‖A−1‖ ‖δA‖ .


Din (14.2) deducem ca δx = (A+ δA)−1(δb− δAx) de unde

‖δx‖ ≤ ‖(A+ δA)−1‖(‖δb‖+ ‖δA‖ ‖x‖) ≤ ‖A−1‖1− ‖A−1‖ ‖δA‖

(‖δb‖+ ‖δA‖ ‖x‖).

Impatind prin ‖x‖ si utilizand inegalitatea ‖b‖ = ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖ gasim

‖δx‖‖x‖

≤ ‖A| ‖A−1‖1− ‖A−1‖ ‖δA‖

(‖δA‖‖A‖

+‖δb‖‖A‖ ‖x‖

)≤

≤ ‖A| ‖A−1‖1− ‖A−1‖ ‖δA‖

(‖δA‖‖A‖

+‖δb‖‖b‖

).

Numarul

ℵ(A) = ||A|| · ||A−1||

influenteaza stabilitatea rezolvarii unui sistem algebric de ecuatii liniare A x = bın sensul ca cu cat ℵ(A) este mai apropiat de 1 cu atat efectul perturbarii solutieieste mai mic. Numarul ℵ(A) se numeste numar de conditionare a matricei A ınraport cu norma matriceala considerata.

14.2 Metoda Gauss - Jordan

Sistemului liniar

yi =n∑j=1

ai,j · xj i = 1, 2, . . . ,m (14.3)

ıl atasam tabloul

x1 . . . xj . . . xs . . . xn

y1 a1,1 . . . a1,j . . . a1,s . . . a1,n...

......

......

yi ai,1 . . . ai,j . . . ai,s . . . ai,n...

......

......

yr ar,1 . . . ar,j . . . ar,s . . . ar,n...

......

......

ym am,1 . . . am,j . . . am,s . . . am,n

(14.4)

14.2. METODA GAUSS - JORDAN 319

Sa presupunem ar,s 6= 0. Din ecuatia r a sistemului (14.3) explicitam xs

xs = −ar,1ar,s· x1− . . .−

ar,s−1

ar,s· xs−1 +

yrar,s− ar,s+1

ar,s· xs+1− . . .−

ar,nar,s· xn . (14.5)

Substituind xs ın celelalte ecuatii, pentru i 6= r, gasim

yi = (ai,1 −ai,s · ar,1ar,s

) · x1 + . . .+ (ai,s−1 −ai,s · ar,s−1

ar,s) · xs−1+ (14.6)

+ai,sar,s· yr + (ai,s+1 −

ai,s · ar,s+1

ar,s) · xs+1 + . . .+ (ai,n −

ai,s · ar,nar,s

) · xn.

Sistemului format din ecuatiile (14.5) si (14.6) ıi corespunde tabloul (14.7).

x1 . . . xj . . . yr . . . xny1 b1,1 . . . b1,j . . . a1,s

ar,s. . . b1,n

......

......

...yi bi,1 . . . bi,j . . .

ai,sar,s

. . . bi,n...

......

......

xs −ar,1ar,s

. . . −ar,jar,s

. . . 1ar,s

. . . −ar,nar,s

......

......

...ym bm,1 . . . bm,j . . . bm,r . . . bm,n

(14.7)

unde bij =(ai,j ·ar,s−ai,s·ar,j)

ar,s, pentru i 6= r si j 6= s.

Numim pas Jordan cu elementul pivot ar,s 6= 0 urmatorul ansamblu de operatiiprin care tabloul (14.4) se transforma ın tabloul (14.7)

1. Se intervertesc yr si xs;

2. Pe locul elementului pivot se pune 1;

3. Pe coloana elementului pivot elementele tabloului se lasa neschimbate;

4. Pe linia elementului pivot se schimba semnul elementelor din vechiul tablou;

5. Restul elementelor se calculeaza cu formula bi,j = ai,j · ar,s − ai,s · ar,j.Aceasta relatie este cunoscuta sub numele de regula dreptunghiului. Ele-mentul bi,j care se calculeaza are drept corespondent ın tabloul (14.4) peai,j care ımpreuna cu elementul pivot ar,s definesc, ca varfuri diagonal opuseun dreptunghi. bi,j este diferenta dintre produsele elementelor celor douadiagonale; ıntotdeauna elementul pivot este factor al descazutului.


6. Se ımpart toate elementele tabloului la elementul pivot.

Aplicam substitutiile generate de pasii Jordan la rezolvarea sistemului (14.1).Acestui sistem ıi atasam tabloul

[2] [4]x1 . . . xj . . . xn 1

0 a1,1 . . . a1,j . . . a1,n −b1

[1]... [3]

...... [5]

0 ai,1 . . . ai,j . . . ai,n −bi...

......

......

0 am,1 . . . am,j . . . am,n −bm

(14.8)

Numerele ıncadrate scot ın evidenta cinci zone ın tabloul (14.8). Un pasJordan efectuat cu un element pivot ales din zona [3] - de exemplu ar,s 6= 0 - areca urmare intervertirea unui xr din zona [2] cu un zero din zona [1] si corespundeexplicitarii lui xr din a s -a ecuatie a sistemului si substituirii lui ın celelalteecuatii. Astfel, tinand seama de interpretarea data tabloului (14.8), obiectivulurmarit este efectuarea a cat mai multi pasi Jordan.

Sa presupunem ca efectuand r pasi Jordan ajungem la urmatorul tablou (even-tual schimband indicii ecuatiilor si ai necunoscutelor)

[2] [4]

0 . . . 0... xr+1 . . . xn 1

x1 b1,1 . . . b1,r... b1,r+1 . . . br,n c1

[1]... [3I ]

......

... [3II ]... [5]

xr br,1 . . . br,r... br,r+1 . . . br,n cr

. . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . .

0 br+1,1 . . . br+1,r... 0 . . . 0 cr+1

...... [3III ]

......

... [3IV ]...

...

0 bm,1 . . . bm,r... 0 . . . 0 cm

(14.9)

In tabloul (14.9) nu putem alege nici un element pivot ın zona [3IV ]. Din punctulde vedere al rezolvarii sistemului, zona [3IV ] este singura ın care are sens cautareaunui element pivot.

Tinand seama de interpretarea data tabloului, daca

cr+1 = . . . = cm = 0,


atunci sistemul este compatibil cu solutia

xi = bir+1 · xr+1 + . . .+ bin · xn , i = 1, 2, . . . , r ;

iar ın caz contrar sistemul este incompatibil.

Exemplu. Pentru rezolvarea sistemului algebric liniarx1 + x2 + x3 + x4 = 2

2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = −1

2x1 + x2 + 4x3 + x4 = 73x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = −5

tablourile corespunzatoare pasilor Jordan sunt

x1 x2 x3 x4 10 1 1 1 1 −20 2 −1 2 −1 −10 1 2 −1 2 10 2 1 4 1 −70 3 2 −2 2 5

x2 x3 x4 1x1 −1 −1 −1 20 −3→ 1 0 −3→ 1 3→ −10 1 −2 1 30 −1 2 −1 −30 −1 −5 −1 11

x3 x4 1x1 −1 0 1x2 0 −1 10 −2→ 1 0 4→ −20 1 0 −20 −5→ 1 0 10→ −2

x4 1x1 0 −1x2 −1 10 0 0x3 0 20 0 0

Sistemul este compatibil, cu solutia x1 = −1, x2 = 1− x4, x3 = 2.

Observatie. Numerele subliniate sunt elementele pivot. Coloanele corespunza-toare zerourilor din zona [2] se pot omite si de aceea ele nu apar. Numerele ceapar ın dreptul sagetilor reprezinta rezultatul ınmultirii ecuatiei corespunzatoarecu un factor convenabil. Aceasta operatie simplifica calculele efectuate ”manual”.

Varianta de implementare

Se definesc:


• Matricea extinsa a sistemului Ax = b, A ∈ Mm,n(R), b ∈ Rm, prin a =[A,−b].

• Sirurile ie = (iei)1≤i≤m si in = (inj)1≤j≤n initializate prin iei = 0, inj = j.

In urma unui pas Jordan cu elementul pivot ar,s se fixeaza ier = s si ins = 0.

• Functia [l, c] = pivot(a, ie, in) pentru determinarea elementului pivot.

Functia returneaza linia l si coloana c a elementului pivot. Daca nu segaseste un pivot atunci l = c = 0.

Pseudocodul functiei este dat ın Algoritmul 5.

Algorithm 5

1: function [l, c]=pivot(a, ie, in)2: l← 03: c← 04: max← 05: for i = 1 : m do6: if iei = 0 then7: for j = 1 : n do8: if inj 6= 0 then9: if |ai,j| > max then

10: max← ai,j11: l← i12: c← j13: end if14: end if15: end for16: end if17: end for18: end function

• Functia [a, ie, in] = pasjordan(a, l, c, ie, in) calculeaza un pas Jordan cuelementl pivot al,c.


• Functia info = estecompatibil(a, ie).



Algorithm 6

1: function [a, ie, in]=pasjordan(a, l, c, ie, in)2: iel ← c3: inc ← 04: for i = 1 : m do5: if i 6= l then6: for j = 1 : n+ 1 do7: if j 6= c then8: ci,j ← ai,j − al,jai,c

al,c

9: else10: ci,j ← ai,j

al,c

11: end if12: end for13: else14: for j = 1 : n+ 1 do15: if j 6= c then16: ci,j ← −ai,j

al,c

17: else18: ci,j ← 1

al,c

19: end if20: end for21: end if22: end for23: a← c24: end function

Algorithm 7

1: function info=estecompatibil(a, ie)2: info← true3: for i = 1 : m do4: if iei = 0 & ai,n+1 6= 0 then5: info← false return6: end if7: end for8: end function


• Functia [x, k] = extragesolutia(a, ie, in). O solutie a sistemului este ın vec-torul x iar matricea k = Ker(A) contine o baza a nucleului matricei A.

Numarul necunoscutelor secundare va fi notat prin s iar indicele necunos-cutelor secundare va fi retinut ıntr-un sir sn. Acest indice coincide cunumarul coloanei corespunzatoare necunoscutei secundare.


Pseudocodul metodei Gauss - Jordan este dat ın Algoritmul 9.

14.3 Inversarea unei matrice

Fie matricea A ∈Mn(C); A = (ai,j)i,j=1,n. Atasam matricei A sistemul liniary = A · x caruia ıi corespunde tabloul:

x1 . . . xj . . . xny1 a1,1 . . . a1,j . . . a1,n...

......

...yi ai,1 . . . ai,j . . . ai,n...

......

...yn an,1 . . . an,j . . . an,n

(14.10)

Daca se pot efectua n pasi Jordan care sa transforme tabloul (14.10) ın tabloul:

y1 . . . ynx1 b1,1 . . . b1,n...

. . .

xn bn,1 . . . bn,n

(14.11)

atunci matricea A este nesingulara si B = (bi,j)i,j=1,n reprezinta inversa matriceiA.

Exemplu. Pentru inversarea matricei

A =

2 4 30 1 12 2 −1

14.3. INVERSAREA UNEI MATRICE 325

Algorithm 8

1: function [x, k]=extragesolutia(a, ie, in)2: Determinarea numarului necunoscutelor secundare3: s← 04: for j = 1 : n do5: if inj 6= 0 then6: s← s+ 17: sns ← inj8: end if9: end for

10: Extragerea necunoscutelor principale11: for i = 1 : m do12: if iei 6= 0 then13: xiei ← ai,n+1

14: if s > 0 then15: for j = 1 : s do16: kiei,j ← ai,snj17: end for18: end if19: end if20: end for21: Completarea matricei k cu necunoscutele secundare22: if s = 0 then23: k ← [ ]24: else25: t← 026: for j = 1 : n do27: if inj 6= 0 then28: t← t+ 129: kinj ,t ← 130: end if31: end for32: k ← k cu coloanele normalizate33: end if34: end function


Algorithm 9

1: function [x, k, info]=gaussjordan2: Fixeaza matricea extinsa a si sirurile ie, in.3: repeat4: [l, c] =pivot(a, ie, in)5: if l 6= 0 & c 6= 0 then6: [a, ie, in] =pasjordan(a, l, c, ie, in)7: end if8: until l = 0 & c = 09: if estecompatibil(a, ie) then

10: [x, k] =extragesolutia(a, ie, in)11: else12: x← [ ]13: k ← [ ]14: end if15: end function

efectuam pasii Jordan.

x1 x2 x3

y1 2 4 3y2 0 1 1y3 2 2 −1

x1 y2 x3

y1 2 4 −1x2 0 1 −1y3 2 2 −3

x1 y2 y1

x3 2 4 −1x2 −2 −3 1y3 −4 −10 3

y3 y2 y1

x3 −12−1 1

2

x212

2 −12

x1 −14−5

234

Rezulta

A−1 =

34−5

2−1

4

−12

2 12

12−1 −1

2

.

14.4 Factorizarea LU

Fie A ∈ Mn(R). Daca L este o matrice inferior triunghiulara si U o matricesuperior triunghiulara astfel ıncat A = LU, atunci aceasta relatie se numeste

14.4. FACTORIZAREA LU 327

factorizarea LU (Lower / Upper) a matricei A.

Aplicatii ale factorizarii LU.

• Calculul determinantului:

|A| = |L||U | =n∏i=1

Li,i

n∏i=1

Ui,i.

O matrice este nesingulara daca toate elementele de pe diagonala matricelorL,U sunt nenule.

• Rezolvarea sistemului Ax = b. Daca A = LU atunci rezolvarea sistemuluirevine la rezolvarea a doua sisteme triunghiulare

Ly = b,

Ux = y.

Algoritmul factorizarii LU

Notand prin l1, l2, . . . , ln coloanele matricei L si prin uT1 ,uT2 , . . . ,u

Tn liniile

matricei U factorizarea LU devine

A = LU = [l1 l2 . . . ln]

uT1uT2...

uTn

=n∑k=1

lkuTk . (14.12)

lk si uTk au primele k − 1 elemente egale cu 0, prin urmare

lkuTk =

0...0Lk,k

...Ln,k

(0 . . . 0 Uk,k . . . Uk,n) =

0 . . . 0 0 . . . 0... . . .

...... . . .

...0 . . . 0 0 . . . 00 . . . 0 Lk,kUk,k . . . Lk,kUk,n... . . .

...... . . .

...0 . . . 0 Ln,kUk,k . . . Ln,kUk,n

Astfel ın (14.12) adunarea celui de al k−lea termen nu modifica primele k − 1linii si coloane.


Egalitatea (14.12) se poate scrie recursiv

A(0) = A,

A(k) = A(k−1) − lkuTk , k ∈ 1, . . . , n. (14.13)

Prin urmare, la pasul k scopul va fi zerorizarea liniei si coloanei k.O matrice triunghiulara se numeste matrice triunghiulara unitate daca toate

elementele diagonalei principale sunt egale cu 1. Printre factorizarile LU se disting

• factorizarea Doolittle, cu matricea inferior tringhiulara unitate;

• factorizarea Crout, cu matricea superior triunghiulara unitate.

Egalitatea (14.12) nu se modifica daca ınlocuim lk → αklk si uTk → 1αk

uTk .Parametrii αk se aleg ın functie de factorizarea dorita.

In cele ce urmeaza se va considera cazul factorizarii LU de tip Doolittle.Fie A ∈Mn(R), A = (ai,j)1≤i,j≤n. Notam prin Ak, k ∈ 1, 2, . . . , n matricele

As = (ai,j)1≤i,j≤s =

a1,1 . . . a1,s

. . . . . . . . .as,1 . . . as,s

.

Definitia 14.4.1 Matricea A satisface ipoteza Jm daca |As| 6= 0, ∀s ∈ 1, 2, . . . ,m.

Fie X(k) ∈Mn(R) o matrice de forma

X(k) =

x1,1 x1,2 . . . x1,k . . . x1,n

x2,2 . . . x2,k . . . x2,n

. . ....

...xk,k . . . xk,nxk+1,k . . . xk+1,n

......

xn,k . . . xn,n

.

Definitia 14.4.2 Definim transformarea Gauss atasata matricei X(k) prin

M (k) =

1. . .

1−xk+1,k

xk,k1

.... . .

−xn,kxk,k

1


Elementele nescrise sunt 0.Atunci transformata Gauss va fi

X(k+1) = M (k)X(k) =

x1,1 x1,2 . . . x1,k x1,k+1 . . . x1,n

x2,2 . . . x2,k x2,k+1 . . . x2,n

. . ....

......

xk,k xk,k+1 . . . xk,n0 yk+1,k+1 . . . yk+1,n...

......

0 yn,k+1 . . . yn,n

cu

yi,j = xi,j −xi,kxk,jxk,k

i, j ∈ k + 1, . . . , n.

Altfel exprimat, X(k+1) se obtine din X(k) adunand la linia i ∈ k + 1, . . . , nlinia k ınmultita ın prealabil cu − xi,k

xk,k.

Prin urmare, pentru s ∈ 1, . . . , n, |M (k)s | = 1 si ın consecinta |X(k+1)

s | =

|X(k)s |.In particular, pentru s = k + 1

|X(k+1)k+1 | = x1,1 . . . xk,kyk+1,k+1,

de unde rezulta ca daca |X(k)k+1| 6= 0 atunci yk+1,k+1 6= 0.

Presupunem ca matricea A satisface ipoteza Jn−1.

Pentru k = 1, A(0) = A, a(0)1,1 = a1,1 = |A1| 6= 0. Alegem

uT1 = (a(0)1,1 . . . a

(0)1,n) si l1 =

1a(0)2,1

a(0)1,1

...a(0)n,1

a(0)1,1

Elementele matricei l1u

T1 situate pe prima linie si pe prima coloana coincid cu

cele ale matricei A. Prin urmare matricea A(1) are toate elementele de pe primalinie si de pe prima coloana egala cu 0. In plus

a(1)i,j = a

(0)i,j −

a(0)i,1

a(0)1,1

a(0)1,j , i = 2, . . . , n; j = 1, . . . , n.


Introducem matricele

A(1) = A, A(2) = M (1)A(1) =

a

(0)1,1 a

(0)1,2 . . . a

(0)1,n

0 a(1)2,2 . . . a

(1)2,n

......

. . ....

0 a(1)n,2 . . . a

(1)n,n

.

In consecinta a(1)2,2 6= 0.

Inductiv, presupunem ca s-au construit A(k−1) = (a(k−1)i,j )1≤i,j≤n cu a

(k−1)k,k 6= 0

si

A(k) = M (k−1) . . .M (1)A(1) =

a(0)1,1 a

(0)1,2 . . . a

(0)1,k−1 a

(0)1,k . . . a

(0)1,n

0 a(1)2,2 . . . a

(1)2,k−1 a

(1)2,k . . . a

(1)2,n

......

......

. . ....

0 0 . . . 0 a(k−1)k,k . . . a

(k−1)k,n

......

. . ....

.... . .

...

0 0 . . . 0 a(k−1)n,k . . . a

(k−1)n,n

,

Au loc egalitatile |A(k)s | = |As|, ∀s ∈ 1, 2, . . . , n.

Alegem

uTk = (0 . . . 0 a(k−1)k,k . . . a

(k−1)k,n ) si lk =

0...01

a(k−1)k+1,k

a(k−1)k,k

...a(k−1)n,k

a(k−1)k,k

.

In virtutea lui (14.13), construim A(k) = A(k−1) − lkuTk care va avea primele k

linii si k coloane cu toate elementele egale cu 0. Elementul a(k)i,j este dat de

a(k)i,j = a

(k−1)i,j −

a(k−1)i,k

a(k−1)k,k

a(k−1)k,j =

a(k−1)i,j a

(k−1)k,k − a(k−1)

i,k a(k−1)k,j

a(k−1)k,k

, (14.14)

adica numaratorul se calculeaza cu regula dreptunghiului avand elementul pivota

(k−1)k,k .


Matricea A(k+1) = M (k)A(k) va fi

A(k+1) =

a(0)1,1 a

(0)1,2 . . . a

(0)1,k−1 a

(0)1,k a

(0)1,k+1 . . . a

(0)1,n

0 a(1)2,2 . . . a

(1)2,k−1 a

(1)2,k a

(1)2,k+1 . . . a

(1)2,n

......

......

.... . .

...

0 0 . . . 0 a(k−1)k,k a

(k−1)k,k+1 . . . a

(k−1)k,n

0 0 . . . 0 0 a(k)k+1,k+1 . . . a

(k)k+1,n

......

. . ....

......

. . ....

0 0 . . . 0 0 a(k)n,k+1 . . . a

(k)n,n

,

de unde rezulta ca a(k)k+1,k+1 6= 0. Trebuie observat ca elementele situate ıntre

elementele de coordonate (k + 1, k + 1) si (n, n) ale matricelor A(k) si A(k+1)

coincid, fiind calculate ın acelasi mod.Astfel s-a demonstrat

Teorema 14.4.1 Daca matricea A ∈Mn(R) satisface ipoteza Jn−1 atunci existamatricea inferior triunghiulara L si o matrice superior triunghiulara U astfelıncat A = LU.

Se poate da si o demonstratie neconstructiva, bazata pe inductia matematica.Demonstratie. Se observa ca A = LU ⇔ Ak = LkUk, k ∈ 1, 2, . . . , n, unde

Ak, Lk, Uk sunt matricele de dimensiune k×k decupate respectiv din A,L, U, dincoltul N-V.

Inductie dupa k. Pentru k = 1 : a1,1 = 1 a1,1. Presupunem ca pentru k ∈1, . . . , n − 1 are loc descompunerea Ak = LkUk. Ipoteza Jn−1 implica |Ak| =|Uk| 6= 0. Atunci

Ak+1 =

(Ak bcT η

)cu b, c ∈ Rk, η ∈ R. Determinam r, s ∈ Rk, σ ∈ R astfel ıncat sa aiba loc descom-punerea

Ak+1 =

(Ak bcT η

)=

(Lk 0rT 1

)(Uk s0 σ

)= Lk+1Uk+1.

Se obtin

b = Lks ⇒ s = L−1k b,

cT = rTUk ⇒ r = (UTk )−1c,

η = rT s+ σ ⇒ σ = η − rT s.


Pentru k ∈ 1, . . . , n− 2 ipoteza Jn−1 implica |Ak+1| = |Uk|σ = |Uk+1| 6= 0. Laultimul pas, k = n−1, nu mai este necesar ca matricea Un=k+1 sa fie nesingulara.

Observatia 14.4.1

Pentru existenta factorizarii LU, cerinta ca matricea A sa satisfaca ipoteza Jn−1

este esentiala. De acest fapt, ne putem convinge prin urmatorul exemplu:

Presupunem, prin absurd, existenta unei factorizari LU pentru(0 11 1

)=

(l1,1 0l2,1 l2,2

)(u1,1 u1,2

0 u2,2

).

Atunci au loc egalitatile contradictorii l1,1u1,1 = 0, l1,1u1,2 = 1, l2,1u1,1 = 1.

Matrice de permutare. Notam prin Pi,j ∈Mn(R) matricea

Pi,j =

1 0. . .

10 1

. . .

1 01

. . .

0 1

← i

← j

↑i

↑j

pe care o numim matrice de permutare.

Urmatoarele proprietati se stabilesc prin verificare directa:

1. Daca A ∈ Mn(R) atunci Pi,jA este matricea care se obtine din A prininterschimbarea liniilor i si j.

2. Daca A ∈ Mn(R) atunci APi,j este matricea care se obtine din A prininterschimbarea coloanelor i si j.

3. P 2i,j = I ⇔ P−1

i,j = Pi,j.


In lipsa ipotezei Jn−1, la pasul k a constructiei din demonstrtia Teoremei

14.4.1, nu mai avem asigurata cerinta a(k−1)k,k 6= 0.

Daca a(k−1)k,k = 0 si exista pe coloana k, sub elementul de pe diagonala prin-

cipala un element nenul – fie acesta a(k−1)ik,k

– atunci interschimbam liniile k si ik.Relatia (14.130 devenind

A(k) = PkA(k−1) − lku

Tk , cu Pk = Pk,ik . (14.15)

Daca a(k−1)k,k = 0 si sub acest element, pe coloana k, toate elementele sunt nule

atunci alegem

lk = ek, uTk = (0 . . . 0 a(k−1)k,k . . . a

(k−1)k,n ) si Pk = In,

unde ek este vectorul din baza canonica.Daca a

(k−1)k,k 6= 0 atunci alegem Pk = In.

Din relatiile (14.15), prin eliminarea elementelor intermediare rezulta

0 = A(n) = (PnPn−1 . . . P1)A− lnuTn −

n−1∑k=1

(PnPn−1 . . . Pk+1)lkuTk =

= PA−n∑k=1

lkuTk ,

unde ln = ln si lk = (PnPn−1 . . . Pk+1)lk, k ∈ 1, 2, . . . , n − 1. Un vector lkare aceasi forma ca si vectorul lk, deoarece eventualele permutari au vizat doarelementele de pe pozitiile k, . . . , n.

Elementele matricelor L si U se pot pastra ın A, mai precis elementele nenuleale liniei k din U apar pe linia k a lui A deasupra diagonalei principale, iar coloanak din L -fara 1 - apare pe coloana k a lui A sub diagonala principala.

Rezulta urmatorul algoritm:

1. P = In;

2. Pentru k = 1, 2, . . . , n− 1 executa

(a) Daca ak,k = 0 atunci

• Daca pe coloana k sub diagonala principala exista un elementnenul atunci se schimba acea linie cu linia k si P := Pk,ikP (prinik s-a notat linia elementului nenul);


• Daca pe coloana k sub diagonala principala nu exista nici un ele-ment nenul atunci se continua cu urmatorul k;

(b) Elementele liniei k situate pe si deasupra diagonalei principale se lasanemodificate;

(c) Elementele corespunzatoare indicilor i, j ∈ k+1, . . . , n se calculeazafolosind regula dreptunghiului cu pivotul ak,k, (14.14).

(d) Elementele coloanei k situate sub diagonala principala se ımpart laak,k;

Astfel are loc

Teorema 14.4.2 Pentru orice matrica A ∈ Mn(R) exista o matrice inferiortriunghiulara L, o matrice superior triunghiulara U si o matrice P, produs dematrice de permutare astfel ıncat

PA = LU.

Exemplu. Sa se deduca factorizarea LU a matricei

A =

1 2 −1 3 22 4 −2 5 1−1 −2 1 −3 −43 6 2 10 71 2 4 0 4

.

Atasam matricei A tabloul

1 2 −1 3 22 4 −2 5 1−1 −2 1 −3 −43 6 2 10 71 2 4 0 4


Desfasurarea calculelor este

k = 1 P = I

1 2 −1 3 2

2 | 0 0 −1 −3−1 | 0 0 0 −23 | 0 5 1 11 | 0 5 −3 2

k = 2 P = I

k = 3 P = P3,4

1 2 −1 3 2

2 | 0 0 −1 −3

3 0 | 5 1 1−1 0 | 0 0 −21 0 | 5 −3 2

1 2 −1 3 2

2 | 0 0 −1 −3

3 0 | 5 1 1

−1 0 0 | 0 −21 0 1 | −4 1

k = 4 P = P4,5P3,4

1 2 −1 3 2

2 | 0 0 −1 −3

3 0 | 5 1 1

1 0 1 | −4 1

−1 0 0 0 | −2

Atunci

L =

1 0 0 0 02 1 0 0 03 0 1 0 01 0 1 1 0−1 0 0 0 1

U =

1 2 −1 3 20 0 0 −1 −30 0 5 1 10 0 0 −4 10 0 0 0 −2

P = P4,5P3,4 =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0


In cazul ipotezei Jn−1 pentru matricea A are loc factorizarea A = LU. Aceastafactorizare se poate deduce prin identificarea elementelor matricelor L si U

A =

1l2,1 1l3,1 l3,2 1...

. . .

ln,1 ln,2 . . . ln,n−1 1

︸︷︷︸

L

u1,1 u1,2 . . . u1,n−1 u1,n

u2,2 . . . u2,n−1 u2,n

. . ....

un−1,n−1 un−1,n

un,n

︸︷︷︸

U

.

Calculul consta din determinarea succesiva a liniei k a matricei U si a coloanei ka matricei L, pentru k = 1, 2, . . . , n.

1. k = 1 :u1,j = a1,j, j = 1, 2, . . . , nli,1u1,1 = ai,1 ⇒ li,1 =

ai,1u1,1

, i = 2, . . . , n

2. k = 2, . . . , n− 1 :∑k−1s=1 lk,sus,j + uk,j = ak,j ⇒ uk,j = ak,j −

∑k−1s=1 lk,sus,j, j = k, . . . , n∑k

s=1 li,sus,k = ai,k ⇒ li,k =ai,k−

∑k−1s=1 li,sus,kuk,k

, i = k + 1, . . . , n

3. k = n :∑n−1s=1 ln,sus,n + un,n = an,n ⇒ un,n = an,n −

∑n−1s=1 ln,sus,n, j = k, . . . , n

14.5 Cazul matricelor simetrice - Factorizarea

Cholesky

Fie A ∈ Mn(R) o matrice simetrica care satisface ipoteza Jn−1. Datoritasimetriei, descompunerea LU poate fi scrisa

A = LDLT = [l1 l2 . . . ln]

D1,1 0 . . . 0

0 D2,2 0...

. . ....

0 0 . . . Dn,n

lT1lT2...lTn

=n∑k=1

Dk,klklTk

14.5. CAZUL MATRICELOR SIMETRICE - FACTORIZAREA CHOLESKY 337

si sub forma recursiva

A(0) = A;

A(k) = A(k−1) −Dk,klklTk ,

unde Dk,k = a(k−1)k,k .

Cazul matricei simetrice si strict pozitiv definita

Are loc urmatoarea proprietate a matricelor strict pozitiv definite

Teorema 14.5.1 Daca matricea A ∈Mn(R) este strict pozitiv definita atunci easatisface ipoteza Jn.Demonstratie. Presupunem prin absurd ca exista k ∈ 1, 2, . . . , n astfel ıncat

|Ak| = 0. In acest caz exista x1 ∈ Rk, x1 6= 0 astfel ıncat Akx1 = 0. Considerand

partitionarea matricei A =

(Ak A1,2

A2,1 A2,2

)si x =

(x1

0

)∈ Rn deducem relatiile

contradictorii0 < < Ax, x >=< Akx1, x1 >= 0.

Teorema 14.5.2 Daca are loc factorizarea Doolittle A = LDLT , A ∈ Mn(R),atunci matricea A este strict pozitiv definita daca si numai daca elementele dia-gonalei matricei D sunt pozitive.

Demonstratie. Sa aratam ca elementele diagonalei matricei D sunt pozitive.

Potrivit factorizarii LU de tip Doolittle, matricea L este nesingulara, |L| = 1.Pentru orice i ∈ 1, . . . , n exista xi ∈ Rn astfel ıncat LTxi = ei. Daca D =diag(D1,1, . . . , Dn,n) atunci

0 < < Axi, xi >=< LDLTxi, xi >=< DLTxi, LTxi >=< Dei, ei >= Di,i.

Reciproc, presupunem ca A = LDLT si Di,i > 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , n. Fiex ∈ Rn, x 6= 0 si y = LTx = (yi)1≤i≤n. Atunci y 6= 0 si

< Ax, x >=< LDLTx, x >=< DLTx, LTx >=< Dy, y >=n∑i=1

Di,iy2i > 0.

Teorema 14.5.2 ofera un criteriu de verificare a strict pozitiv definirii unei ma-trice simetrice: se face descompunerea LDLT si se cerceteaza semnul elementelorde pe diagonala matricei D.

In cazul matricelor simetrice si strict pozitiv definita are loc factorizareaCholesky


Teorema 14.5.3 Daca A ∈ Mn(R) este o matrice simetrica si strict pozitivdefinita atunci exista o matrice inferior triunghiulara K ∈ Mn(R) astfel ıncatA = KKT .

Demonstratie. Definim F = diag(√D1,1, . . . ,

√Dn,n) si K = LF. Deoarece

F 2 = D avem

A = LDLT = LF 2LT = KKT .

Implementarea factorizarii Cholesky nu necesita nici o pivotare. Explicitandmatricea K, ın urma identificarii elementelor ın egalitatea A = KKT se obtinformulele explicite pentru componentele matricei K. Pseudocodul este dat inAlgoritmul 10.

Algorithm 10

1: procedure K=Cholesky(A)2: K1,1 ←

√A1,1

3: K2,1 ← A2,1

K1,1

4: K2,2 ←√A2,2 −K2

2,1

5: for i = 3 : n do6: Ki,1 ← Ai,1

K1,1

7: for j = 2 : i− 1 do

8: Ki,j ← Ai,j−∑j−1s=1Ki,sKj,sKj,j

9: end for

10: Ki,i ←√Ai,i −

∑i−1s=1K

2i,j


14.6 Rezolvarea sistemelor tridiagonale

Numeroase probleme conduc la sisteme algebrice de formaa1x1 + c1x2 = d1

bixi−1 + aixi + cixi+1 = di, 2 ≤ i ≤ n− 1,bnxn−1 + anxn = dn

(14.16)

14.6. REZOLVAREA SISTEMELOR TRIDIAGONALE 339

Matricea sistemuluia1 c1 0 0 . . . 0 0 0b2 a2 c2 0 . . . 0 0 00 b3 a3 c3 . . . 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . bn−1 an−1 cn−1

0 0 0 0 . . . 0 bn an

are elementele nunule situate ın imediata vecinatate a diagonalei principale. Oasemenea matrice se numeste matrice banda. In cazul de fata, latimea benziieste 3, matricea numindu-se tridiadonala. Indicam o metoda eficienta relativla mecesarul de memorie, pentru rezolvarea sistemului (14.16), numita metodadublului parcurs.

Primul parcurs. Din prima ecuatie a sistemului (14.16), explicitand pe x1

gasim x1 = − c1a1x2+ d1

a1, adica o relatie de forma x1 = R2x2+S2 cu R2 = − c1

a1, S2 =

d1a1. Presupunand xi−1 = Rixi + Si si substituind ın a i−a ecuatie a sistemului

gasim

bi(Rixi + Si) + aixi + cixi+1 = di

de unde rezulta

xi =−ci

ai + biRi

xi+1 +di − biSiai + biRi

= Ri+1xi+1 + Si+1.

Am dedus relatiile de recurenta

Ri+1 =−ci

ai + biRi

Si+1 =di − biSiai + biRi

i = 2, 3, . . . , n− 1.

Al doilea parcurs. Din relatiile

xn−1 = Rnxn + Snbnxn−1 + anxn = dn

deducem

xn =dn − bnSnan + bnRn

,

si utilizand egalitatile xi−1 = Rixi + Si calculam succesiv xn−1, xn−2, . . . , x1.


Alt sistem tridiagonal

Fie sistemula1 c1 b1

b2 a2 c2

. . . . . . . . .


cn bn an

x1

x2...

xn−1

xn

=

d1

d2...

dn−1

dn

sau

a1x1 + c1x2 + b1xn = d1

bixi−1 + aixi + cixi+1 = di i = 2, . . . , n− 1bnxn−1 + anxn + cnx1 = dn

Rescriem prima ecuatie sub forma

x1 =d1

a1

− c1

a1

x2 −b1

a1

xn = R2x2 + S2 +W2xn,

cu R2 = c1a1, S2 = d1

a1, W2 = b1

a1.

In generalxi−1 = Rixi + Si +Wixn. (14.17)

Introducand aceasta expresie ın a i-a ecuatie si explicitand xi se obtine

xi =−ci

ai + biRi

xi+1 +di − biSiai + biRi

− biWi

ai + biRi

xn = (14.18)

= Ri+1xi+1 + Si+1 +Wi+1xn,

adica Ri+1 = −ciai+biRi

, Si+1 = di−biSiai+biRi

, Wi+1 = − biWi

ai+biRi.

Se pot determina coeficientii Ui, Vi, i ∈ 1, 2, . . . , n astfel ıncat

xi = Uixn + Vi. (14.19)

Evident Un = 1, Vn = 0. Substituind (14.19) ın (14.17) gasim

xi−1 = (RiUi +Wi)xn +RiVi + Si = Ui−1xn + Vi−1,

cu Ui−1 = RiUi +Wi, Vi−1 = RiVi + Si. Din ultima ecuatie a sistemului se obtine

xn =dn − bnVn−1 − cnV1

an + bnUn−1 + cnU1

iar celelalte necunoscute se determina utilizand (14.19).

14.7. METODE ITERATIVE 341

14.7 Metode iterative

Fie A ∈ Mn(R), A = (ai,j)1≤i,j≤n si b ∈ Rn, b = (bi)1≤i≤n. Pentru rezolvareasistemului algebric de ecuatii liniare

Ax = b (14.20)

consideram clasa de metode iterative

Buk+1 − uk

τk+ Auk = b, (14.21)

unde B ∈Mn(R) si τk ∈ R sunt parametri care definesc metoda iterativa.Pornind de la un element arbitrar u0 se construieste un sir (uk)k∈N unde fiecare

element reprezinta o aproximatie a solutiei sistemului algebric (14.20) (bineıntelesdaca aceasta solutie exista). Astfel vorbim de metode iterative de rezolvare asistemului algebric (14.20).

Prezinta interes sa precizam conditiile ın care sirul de aproximatii(uk)k∈N converge catre solutia sistemului.

Pentru matricea A introducem notatiile

D =

a1,1 0

. . .

ai,i. . .

0 an,n

,

A− =

0 0a2,1 0

.... . .

... 0an,1 an,2 . . . an,n−1 0

, A+ =

0 a1,2 a1,3 . . . a1,n

0 a2,3 . . . a2,n...

. . ....

0 an−1,n

0 0

.

Cazuri particulare.

1. Metoda Jacobi. Daca ai,i 6= 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , n atunci explicitandnecunoscuta xi din ecuatia i obtinem

xi = −n∑j=1

j 6=i

ai,jai,i· xj +

biai,i

(14.22)


Construim sirul uk = (uk1, . . . , xkn) definit prin formulele de recurenta

uk+1i = −

n∑j=1

j 6=i

ai,jai,i· ukj +

biai,i

i ∈ 1, . . . , n, (14.23)

k ∈ N, iar prima aproximatie u0 = (u01, . . . , u

0n) este un element din Rn.

Relatiile (14.23) se poate scrie sub forma

ai,i(uk+1i − uki ) +

n∑j=1

ai,juki = bi i ∈ 1, . . . , n

sau sub forma matriceala

D(uk+1 − uk) + Auk = b. (14.24)

In acest caz B = D si τk = 1, ∀k ∈ N.

2. Metoda Gauss-Seidel. Relativ la (14.22), construim sirul uk = (uk1, . . . , xkn)

definit prin formulele de recurenta

uk+11 = −

n∑j=2

a1,j

a1,1

· ukj +b1

a1,1

(14.25)

uk+1i = −

i−1∑j=1

ai,jai,i· uk+1

j −n∑

j=i+1

ai,jai,i· ukj +

biai,i

2 ≤ i ≤ n− 1

uk+1n = −

n−1∑j=1

an,jan,n· uk+1

j +bnan,n

k ∈ N si u0 ∈ Rn. Formulele de recurenta se pot rescrie sub forma

i∑j=1

ai,juk+1j +

n∑j=i+1

ai,jukj = bi i ∈ 1, . . . , n


(A− +D)uk+1 + A+uk = b,

si(A− +D)(uk+1 − uk) + Auk = b. (14.26)

Astfel B = A− +D si τk = 1 ∀k ∈ N.


3. Metoda relaxarii (Succsessive Overrelaxation - SOR). Fie ω ∈ R∗.Metoda relaxarii este data de

(D + ωA−)uk+1 − uk

ω+ Auk = b, (14.27)

adica B = D+ωA−, τk = ω, ∀k ∈ N. Se observa ca pentru ω = 1 se obtinemetoda Gauss-Seidel.

Din punct de vedere practic, formula de recurenta (14.21), cu τk = τ , seutilizeaza sub forma

uk+1 = Tuk + d (14.28)

cu T ∈Mn(R) si d ∈ Rn.Presupunem ca daca x ∈ Rn este solutia sistemului Ax = b, (14.20), atunci

x = Tx+ d, adica x este punctul fix al aplicatiei f(x) = Tx+ d.

Definitia 14.7.1 Metoda (14.28) este convergenta daca pentru orice u0 ∈ Rn

sirul (uk)k∈N converge catre solutia sistemului Ax = b.

Teorema 14.7.1 Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(1) Metoda (14.28) este convergenta;(2) ρ(T ) < 1;(3) Exista o norma matriceala ‖ · ‖ astfel ıncat ‖T‖ < 1.

Demonstratie. (1) → (2). Fie u0 ∈ Rn si limk→∞ uk = x. Scazand x = Tx + d

din (14.28) rezultauk+1 − x = T (uk − x), k ∈ N.

Notand ek = uk−x, egalitatea anterioara se scrie ek+1 = Tek, de unde ek = T ke0.Deoarece limk→∞ e

k = 0 are loc egalitatea limk→∞ Tke0 = 0. Cum u0 este arbitrar,

din Teorema 16.3.10 rezulta ρ(T ) < 1.(2) → (3). Potrivit Teoremei 16.3.7, pentru 0 < ε < 1− ρ(A) exista o norma

matriceala astfel ıncat ‖T‖ < ρ(A) + ε < 1.(3) → (1). Concluzia rezulta din relatiile

‖ek‖ = ‖T ke0‖ ≤ ‖T k‖ ‖e0‖ ≤ ‖T‖k ‖e0‖ → 0, k →∞.

Observatia 14.7.1 Conditia ‖T‖ < 1 reprezinta conditia de contractie a functieif(x), definita mai sus.

Studiul convergentei acestor metode se va prezenta ın cazurile ın care matriceaA este

• cu diagonala dominanta,

• simetrica si pozitiv definita.


Matricea sistemului are diagonala dominanta

Teorema 14.7.2 Daca∑n

j=1

j 6=i|ai,j| < |ai,i|, i = 1, 2, . . . , n atunci sirul de apro-

ximatii (uk)k∈N construit potrivit metodei Jacobi sau metodei Gauss - Seidel con-verge catre solutia sistemului algebric (14.20).

Demonstratie. Potrivit Propozitiei 13.1.22 matricea A este nesingulara, decisistemul algebric de ecuatii liniare (14.21) are o solutie unica.

Cazul metodei Gauss-Seidel. Cazul metodei Jacobi se trateaza asemanator.Fie x = (x1, . . . , xn) solutia sistemului (14.20) si i acel indice pentru care

|uk+1i − xi| = max

1≤j≤n|uk+1j − xj| = ‖uk+1 − x‖∞.

Scazand relatia i din (14.25) din relatia corespunzatoare din(14.22) obtinem

uk+1i − xi = −

i−1∑j=1

ai,jai,i

(uk+1j − xj)−

n∑j=i+1

ai,jai,i

(ukj − xj). (14.29)

Notand

pi =i−1∑j=1

|ai,jai,i|, qi =

n∑j=i+1

|ai,jai,i|

din relatia (14.29) deducem

|uk+1i − xi| ≤

i−1∑j=1

|ai,jai,i| · |uk+1

j − xj|+n∑

j=i+1

|ai,jai,i| · |ukj − xj| ≤

≤ pi · |uk+1i − xi|+ qi · max

1≤j≤n|ukj − xj|.

Atunci‖uk+1 − x‖∞ = |uk+1

i − xi| ≤qi

1− pi‖uk − x‖∞ (14.30)

Fie µ = max qj1−pj : j = 1, 2, . . . , n. Atunci din ipoteza teoremei rezulta ca

0 < µ < 1 si utilizand succesiv relatiile de tip (14.30) obtinem:

‖uk − x‖∞ ≤ µ‖uk−1 − x‖∞ ≤ µ2‖uk−2 − x‖∞ ≤ . . . ≤ µn‖u0 − x‖∞.

Rezulta ca:limk→∞‖uk − x‖∞ = 0,


adica convergenta sirului (xk)k∈N catre solutia sistemului (14.20).

In demonstratia convergentei metodei lui Jacobi rolul lui µ din demonstratiaanterioara este luat de parametrul ν = max1≤i≤npi + qi.

Inegalitatea µ ≤ ν ( ⇔ qi1−pi ≤ pi + qi) justifica faptul ca metoda Gauss-

Seidel este mai rapid convergenta decat metoda Jacobi.

Alternativ, calculam norma matricei T pentru

• metoda Jacobi

T = −D−1(A− + A+) =

0 −a1,2

a1,1. . . −a1,n

a1,1

−a2,1a2,2

0 . . . −a2,na2,2

.... . .

...− an,1an,n

− an,2an,n

. . . 0

.

Rezulta

‖T‖∞ = max1≤i≤n

n∑j=1

j 6=0

|ai,j||ai,i|

< 1.

• metoda Gauss-Seidel

T = −(D + A−)−1A+.

Fie x ∈ Rn si y = Tx = −(D+A−)−1A+x. Pe componente, au loc egalitatile

ai,iyi = −i−1∑j=1

ai,jyj −n∑

j=i+1

ai,jxj, i ∈ 1, . . . , n.

Utilizand notatiile Teoremei 14.7.2, pentru indicele i pentru care |yi| =max1≤j≤n |yj| = ‖y‖∞ se gaseste

|yi| ≤ pi‖y‖∞ + qi‖x‖∞

de unde

‖y‖∞ ≤ µ‖x‖∞

In consecinta ‖T‖∞ ≤ µ < 1.


Matricea sistemului este simetrica si pozitiv definita

Matricea simetrica si pozitiv definita A ∈ Mn(R) genereaza norma ‖x‖2A =<

Ax, x > .Un calcul direct demonstreaza

Teorema 14.7.3 Fie τ ∈ R∗, B ∈ Mn(R) si A ∈ Mn(R) o matrice simetrica sistrict pozitiv definita. Daca B y−x

τ+Ax = 0 (x, y ∈ Rn), atunci are loc egalitatea

2τ < (B − τ

2A)y − xτ

,y − xτ

> +‖y‖2A = ‖x‖2

A.

Teorema 14.7.4 Fie A ∈ Mn(R) o matrice simetrica si strict pozitiv definita.Daca τk = τ > 0, ∀k ∈ N si B > τ

2A, atunci sirul de aproximatii (uk)k∈N

construit prin metoda iterativa (14.21) concerge catre solutia sistemului (14.20).

Demonstratie. Notam cu x solutia sistemului (14.20) si fie ek = uk−x. Sistemul(14.20) se poate scrie ca

Bx− xτ

+ Ax = b. (14.31)

Scazand (14.31) din (14.21) obtinem

Bek+1 − ek

τ+ Aek = 0 ∀k ∈ N. (14.32)

Din teorema 14.7.3 rezulta egalitatea

2τ <(B − τ

2A)ek+1 − ek

τ,ek+1 − ek

τ> +‖ek+1‖2

A = ‖ek‖2A. (14.33)

Matricea P = B − τ2A fiind strict pozitiv definita este tare pozitiv definita, deci

exista m > 0 astfel ıncat <Px, x> ≥ m‖x‖22, ∀x ∈ Rn. Din (14.33) deducem

‖ek‖2A − ‖ek+1‖2

A ≥ 2τm‖ek+1 − ek

τ‖2

2 = 2m

τ‖ek+1 − ek‖2

2,

si ın consecinta sirul (‖ek‖2A)k∈N este convergent (fiind descrescator si margint),

de undelimk→∞‖ek+1 − ek‖2 = 0.

Din (14.32) deducem ca

ek = −A−1Bek+1 − ek

τ


si apoi

‖ek‖2 ≤1

|τ |‖A−1‖2‖B‖2‖ek+1 − ek‖2.

Ultima relatie implica limk→∞ ek = 0.

Din nou, alternativ, ın ipoteza B > τ2A putem evalua norma matricei T =

B−1(B − τA). Fie x ∈ Rn\0 si y = Tx = B−1(B − τA)x. Alegerea x 6= 0implica y 6= 0.

Atunci B y−xτ

+ Ax = 0 si din Teorema 14.7.3 rezulta egalitatea

2τ < (B − τ

2A)y − xτ

,y − xτ

> +‖y‖2A = ‖x‖2

A.

si tinand seama de ipoteza

0 < 2τ < (B − τ

2A)y − xτ

,y − xτ

>= ‖x‖2A − ‖y‖2

A.

adica ‖Tx‖A = ‖y‖A < ‖x‖A. Prin urmare ‖T‖A < 1.

Verificam conditia din Teorema 14.7.4 ın cazul metodei lui Gauss – Seidel sia metodei relaxarii.

Teorema 14.7.5 Daca A este o matrice simetrica si strict pozitiv definita atuncisirul de aproximatii construit prin metoda Gauss – Seidel (14.25) converge catresolutia sistemului (14.20).

Demonstratie. Verificam conditia B − τ2A > 0.

B − τ

2A =

1

2D +

1

2(A− − A+).

si atunci

<(B − τ

2A)y, y>=

1

2<Dy, y> +

1

2(<A−y, y> − <A+y, y>).

Deoarece A este simetrica, A− = (A+)T , rezulta ca <A−y, y>=<A+y, y> .Totodata <Dy, y >=

∑ni=1 ai,iy

2i . Daca ei este vectorul canonic avand 1 pe

pozitia i si deoarece A > 0 avem

<Aei, ei>= ai,i > 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , n.

Astfel

<(B − τ

2A)y, y>=

n∑i=1

ai,iy2i > 0, ∀y ∈ Rn\0.


Teorema 14.7.6 Daca ω ∈ (0, 2) si A este o matrice simetrica si strict poz-itiv definita atunci sirul de aproximatii construit prin metoda relaxarii (14.27)converge catre solutia sistemului (14.20).

Demonstratie. Utilizand rezultatele din demonstratia Teoremei 14.7.5, gasim

B − τ

2A = (1− ω

2)D +

ω

2(A− − A+).

de unde

<(B− τ2A)y, y>= (1− ω

2) <Dy, y>= (1− ω

2)

n∑i=1

ai,iy2i > 0, ∀y ∈ Rn\0.

In cazul matricei A simetrice si strict pozitiv definite, pentru metoda iterativa(14.21) cu B = In = I si τk = τ, ∀k ∈ N, se poate gasi valoarea optima aparametrului τ.

Daca Ax = b, ek = uk − x atunci

ek+1 − ek

τ+ Aek = 0 ⇔ ek+1 = (I − τA)ek.

Utilizand Teorema 16.3.5, ‖I − τA‖2 = ρ(I − τA), deci

‖ek+1‖2 ≤ ρ(I − τA)‖ek‖2 ≤ ρk(I − τA)‖e0‖2.

Valoarea optima pentru τ este data de numarul care minimizeaza functia q(τ) =ρ(I − τA) ın multimea τ > 0.

Daca valorile proprii ale matricei A sunt cuprinse intre m si M, 0 < m =minλ, M = maxλ, atunci

1 ≥ 1− τm ≥ 1− τλ ≥ 1− τM.

Deoarece 1−τM ≥ −1 ⇔ τ ≤ 2M, pentru minimizarea functiei q(τ) este suficient

sa ne limitam la intervalul τ ∈ (0, 2M

].Au loc relatiile

q(τ) = ρ(I − τA) = maxλ|1− τλ| = max|1− τm|, |1− τM |.

Valoarea minima a ultimei expresii se obtine pentru τmin = 2M+m

si ın consecinta

minτ>0

q(τ) = q(τmin) =M −mM +m

.


Deducem o alta forma a acestei expresii. Deoarece

‖A‖ = ρ(A) = maxλ = M,‖A−1‖ = ρ(A−1) = maxλ−1 = 1

m,

numarul de conditionare al matricei A va fi k(A) = ‖A‖‖A−1‖ = Mm

si ınconsecinta

M −mM +m

=k(A)− 1

k(A) + 1.

Utilizand aceasta evaluare putem calcula numarul de iteratii necesare pentrureducerea erorii initiale de ε ori. Din inecuatia

‖I − τminA‖k2 = ρk(1− τminA) = (M −mM +m

)k < ε

se obtine k > ln εM−mM+m

.

Regula de oprire a unei metode iterative

Fie Ax = b si x0, xk, respectiv aproximatia initiala si cea curenta. Introducemnotatiile

ek = xk − xrk = b− Axk = A(x− xk) = −Aek.

Teorema 14.7.7 Are loc inegalitatea

‖ek‖‖e0‖

≤ k(A)‖rk‖‖r0‖

.

Demonstratie. Din relatiile

‖ek‖ = ‖A−1Aek‖ ≤ ‖A−1‖‖Aek‖ = ‖A−1‖‖rk‖,‖r0‖ = ‖Ae0‖ ≤ ‖A‖‖e0‖ ⇔ 1

‖e0‖ ≤‖A‖‖r0‖

prin inmultire rezulta inegalitatea dorita.

Pentru x0 = 0 o alegere practica a regulii de oprire este ‖rk‖‖b‖ < ε, unde ε este

toleranta folosita.


14.8 Solutie ın sensul celor mai mici patrate

Fie A ∈ Mm,n(R), b ∈ Rm si sistemul algebric de ecuatii liniare Ax = b. Dacab 6∈ Im(A) atunci sistemul este incompatibil.

O solutie ın sensul celor mai mici patrate este un element din Rn care mini-mizeaza functionala J : Rn → R definita prin

J(x) = ‖b− Ax‖22. (14.34)

Teorema 14.8.1 Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) x solutie ın sensul celor mai mici patrate;

(ii) rezidul r = b−Ax este ortogonal pe subspatiul Im(A), adica < r, y >= yT r =0, ∀y ∈ Im(A) ;

(iii) AT (b− Ax) = 0.

Demonstratie. Daca y = Az atunci echivalenta (ii)⇔(iii) rezulta din egalitatile

< y, r >=< Az, r >=< z,AT r > .

Pentru orice y ∈ Rn au loc egalitatile

b− Ay = b− Ax+ A(x− y)

siJ(y) = ‖b− Ax‖2

2 + 2 < b− Ax,A(x− y) > +‖A(x− y)‖22 = (14.35)

= J(x) + 2 < AT (b− Ax), x− y > +‖A(x− y)‖22.

(iii)⇒(i) Egalitatea AT (b− Ax) = 0 si (14.35) conduc la

J(y) = J(x) + ‖A(x− y)‖22 ⇒ J(y) ≥ J(x), ∀y ∈ Rn.

(i)⇒(iii) Presupunem prin absurd AT (b−Ax) = z 6= 0. Pentru y = x+ εz, ε > 0din (14.35) gasim

J(y) = J(x)− 2ε‖z‖22 + ε2‖Az‖2

2 = J(x)− ε(2‖z‖22 − ε‖Az‖2

2).

Pentru ε suficient de mic se obtine J(y) < J(x), ceea ce contrazice proprietateade optimalitate a lui x.

14.8. SOLUTIE IN SENSUL CELOR MAI MICI PATRATE 351

Din Teorema 14.8.1, (iii), solutia ın sensul celor mai mici patrate se obtinedin sistemul algebric de ecuatii liniare

ATAx = AT b.

Sistemul este compatibil deoarece AT b ∈ Im(AT ) = Im(ATA) iar matricea sis-temului este simetrica si pozitiv definita.

Din (6.1.1) rezulta

Teorema 14.8.2 Daca coloanele matricei A sunt liniar independente atunci ma-tricea ATA este strict pozitiv definita.

Din egalitatea (Im(A))⊥ = Ker(AT ) rezulta Rm = Im(A) + Ker(AT ). Pentruorice b ∈ Rm are loc descompunerea b = b1 + b2 cu b1 ∈ Im(A) si b2 ∈ Ker(AT ).Daca x∗ ∈ Rn este solutia ecuatiei Ax = b1 atunci

AT (Ax∗ − b) = AT (b1 − b) = −AT b2 = 0,

adica x∗ este solutia sistemului Ax = b ın sensul celor mai mici patrate.


P 14.1 Fie A ∈ Mm,n(R). Se noteaza prin ui si vjT vectorii corespunzatoricoloanelor si respectiv liniilor matricei A.

A = [u1, . . . , un] =

vT1...vTm

Sa se arate ca ıntr-un pas Jordan, ın afara liniei si coloanei elementului pivotar,s 6= 0 celelalte elemente se pot calcula matriceal prin A− 1

ar,susv

Tr .

P 14.2 Sa se determine factorizarea LU (Doolittle) a matricei

A =

10 6 −2 110 10 −5 0−2 2 −2 11 3 −2 3

.

Sa se rezolve sistemul Ax = b, bT = (−2, 0, 2, 1).


P 14.3 Sa se determine valorile lui λ pentru care matricea

A =

1 1 0 0 0 01 2 1 0 0 00 1 3 1 0 00 0 1 4 1 00 0 0 1 5 10 0 0 0 1 λ

.

este strict pozitiva si sa se calculeze factorizarea Cholesky. Sa se determine λpentru care matricea este singulara.

R. λ = 733.

P 14.4 Sa se rezolve sistemele utilizand factorizarea LU

(i) 5x+ 3y − 11z = 134x− 5y + 4z = 183x− 13y + 19z = 22

(ii) 2x− y + 3z + 4t = 54x− 2y + 5z + 6t = 76x− 3y + 7z + 8t = 9λx− 4y + 9z + 10t = 11

R.

(i)

L =

1 0 045

1 035

2 1

U =

5 3 −110 −37

5645

0 0 0

(ii) Pentru λ 6= 8

L =

1 0 0 0λ2

1 0 03 0 1 02 0 1

21

U =

2 −1 3 40 λ−8

218−3λ

210− 2λ

0 0 −2 −40 0 0 0

P = P2,4.


Pentru λ = 8

L =

1 0 0 02 1 0 03 0 1 04 0 3

21

U =

2 −1 3 40 0 −1 −20 0 −2 −40 0 0 0

.

P 14.5 Sa se rezolve sistemul1 a a . . . a0 1 a . . . a0 0 1 . . . a...

. . ....

0 0 0 . . . 1

x1

x2

x3

. . .xn

= en,

unde en = (0, 0, . . . , 0, 1)T .

R.

xk =

−a(1− a)n−k−1 k ∈ 1, 2, . . . n− 11 k = n

P 14.6 Fie Q ∈Mn(R, ‖Q‖ < 1 si q ∈ Rn. Sa se arate ca sirul (xk)k∈N construitprin formula de recurenta xk+1 = Qxk + q este convergent catre (I −Q)−1q.

P 14.7 Fie A = M −N, A,M,N ∈Mn(R), M inversabila. Daca ‖M−1N‖ < 1atunci sirul (xk)k∈N definit prin xk+1 = M−1Nxk + M−1b converge catre solutiasistemului Ax = b. Daca M = diag(tr(A)) este inversabila atunci metoda revinela metoda Jacobi.

P 14.8 Fie H =

(α γ0 β

)∈ M2(R), cu |α|, |β| < 1. Pentru rezolvarea sis-

temului algebric de ecuatii liniare x = Hx + b, b ∈ R2 se utilizeaza formula derecurenta xk+1 = Hxk + b.

Sa se arate ca sistemul admite o singura solutie x si ca limk→∞ xk = x.

R. Hk =

(αk γ α

k−βkα−β

0 βk

).


P 14.9 Fie ξ, η, ζ ∈ R, b ∈ R3 si matricele

A =

1 1 1ξ 1 1η ζ 1

Λ =

1 1 10 1 10 0 1

.

Pentru rezolvarea sistemului Ax = b se considera metoda iterativa

Λxk+1 + (A− Λ)xk = b, k ∈ N.

1. Sa se determine valorile constantelor ξ, η, ζ pentru care sirul (xk)k∈N con-verge catre solutia sistemului, pentru orice x0, b ∈ R3.

2. Pentru ξ = η = ζ = −1 sa se precizeze un exemplu de neconvergenta.

3. Sa se arate ca pentru ξ = ζ = 0 solutia se obtine ın cel mult doua iteratii.

R.

1. |A| = (ξ−1)(ζ−1). Formula de recurenta se poate scrie xk+1 = Hxk+Λ−1bunde

H =

ξ 0 0η − ξ ζ 0η −ζ 0

, Λ−1 =

1 −1 00 1 −10 0 1

.

limk→∞Hk = 0 ⇔ ρ(H) < 1 iar ρ(H) = max|ξ|, |ζ|.

2. Pentru ξ = η = ζ = −1, H = H =

−1 0 00 −1 01 1 0

. Se observa H2k =

−H si H2k+1 = H, de unde neconvergenta.

3. Pentru ξ = ζ = 0, x = A−1b si xk+1 = Hxk + Λ−1b. Atunci x2 = H2x0 +(H + I)Λ−1b. Se verifica faptul ca H2 = 0 si (H + I)Λ−1 = A−1.

P 14.10 Sa se arate ca factorizarea Doolitle A = LU a matricei tridiagonale

A =

a1 c1

b2 a2 c2

. . . . . . . . .


bn an


este

L =

1l2 1

. . . . . .

ln 1

U =

d1 u1

. . . . . .

dn−1 un−1

dn

cu

ui = ci i ∈ 1, . . . , n− 1

di =

a1 i = 1ai − liui−1 i ∈ 2, . . . , n

li =bidi−1

i ∈ 2, . . . , n

Sa se deduca formulele pentru rezolvarea sistemului Ax=y.

P 14.11 Fie

A =

(a1,1 bT

b A2,2

)o matrice simetrica cu a1,1 6= 0, b ∈ Rn−1, A2,2 ∈Mn−1(R).

1. Sa se arate ca ın urma unui pas Jordan cu elementul pivot a1,1 matriceaA2,2 se transforma ın A2,2 = A− 1

a1,1bbT .

2. Daca ın plus matricea A este strict pozitiv definita atunci si matricea A2,2

este strict pozitiv definita.

R. 2. Pentru y ∈ Rn−1 si x =

(− 1a1,1

bTy

y

)se calculeaza < x,Ax > .

P 14.12 Fie A ∈Mm,n(R), b ∈ Rm. Daca x = (x1x2 . . . xn)T si

J(x1, x2, . . . , xn) = J(x) = ‖Ax− b‖22 =

m∑i=1

(n∑j=1

ai,jxj − bi)2,

atunci, utilizand conditiile de optimalitate ∂J(x)∂xj

= 0, j ∈ 1, 2, . . . , n, sa se arate

ca minimul functionalei J se este dat de solutia sistemului ATAx = AT b.

P 14.13 Fie A ∈ Mm,n(R), b ∈ Rm si Q ∈ Mm(R) o matrice simetrica si strictpozitiva.


1. Considerand norma ‖x‖2Q =< Qx, x > sa se arate ca minimul functiei

J(x) = ‖b−Ax‖2Q, J : Rn → Rm, este solutia sistemului algebric de ecuatii

liniare ATQAx = ATQb.

2. Daca ın plus R ∈ Mm(R) este o matrice simetrica si pozitiv definita si‖x‖2

R =< Rx, x > atunci minimul functiei J(x) = ‖b−Ax‖2Q+‖x−x0‖2

R, J :Rn → Rm, este solutia sistemului algebric de ecuatii liniare (ATQA+R)x =ATQb+Rx0.

Capitolul 15

Transformarea Householder

Transformata Householder reprezinta instrumentul cu care se vor obtine rezul-tatele acestui capitol: descompunerea QR a unei matrice, reducerea unei matricela forma bidiagonala si la forma Hessenberg.

15.1 Transformata Householder

Fie u ∈ Rn, ‖u‖2 =√

2 si matricea H = In − uuT .

Teorema 15.1.1 Matricea H este simetrica si ortogonala.

Demonstatie. Au loc egalitatile

HT = In − (uuT )T = In − (uT )TuT = In − uuT = H

siHTH = H2 = In − 2uuT + (uuT )2 = In − 2uuT + u(uTu)uT = I,

deoarece uTu = ‖u‖22 = 2.

Teorema 15.1.2 Fie x = (xi)1≤i≤n ∈ Rn astfel ıncat ‖x‖2 = 1 si e1 =

10...0

∈Rn. Daca u = x±e1√

1±x1atunci ‖u‖2 =

√2 si Hx = ∓e1.

Demonstatie. Prima egalitate rezulta din

‖u‖22 = uTu =

(xT ± eT1 )(x± e1)√1± x1

=

357

358 CAPITOLUL 15. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER

=‖x‖2

2 ± (xT e1 + eT1 x) + ‖e1‖22√

1± x1

=2± 2x1√

1± x1

= 2.

Apoi

uTx =xT ± eT1√

1± x1

x =‖x‖2

2 ± eT1 x√1± x1

=1± x1√1± x1

=√

1± x1

si ın consecinta

Hx = (In − uuT )x = x− u(uTx) = x−√

1± x1u = ∓e1.

Pentru x ∈ Rn, ‖x‖2 = 1 si u = x±e1√1±x1

notam Hx = In − uuT . Matricea Hx

este numita matricea transformarii Householder asociata vectorului x.Din teorema anterioara deducem consecinta

Teorema 15.1.3 Daca x ∈ Rn, x 6= 0 atunci

H x‖x‖2

x = ∓‖x‖2e1. (15.1)

Demonstatie. Daca z = x‖x‖2 atunci ‖z‖2 = 1 si din Teorema 15.1.2 gasim

Hzz = ∓e1, de unde Hzx = ∓‖x‖2e1.

In Teorema 15.1.3 vectorul u ce defineste matricea Hz va fi u =x‖x‖2

+σe1√1+σ

x1‖x‖2

iar

σ =

1 , daca x1 ≥ 0−1 , daca x1 < 0

.


H x‖x‖2

x = −σ‖x‖2e1. (15.2)

Algoritmul este dat ın Fig. 11.

Observatia 15.1.1 Din (15.2) rezulta

xTH x‖x‖2

= −σ‖x‖2eT1 (15.3)

Observatia 15.1.2 Daca x ∈ Cn atunci definitia transformarii Householder este

H = In − uuH unde u =

x‖x‖2 + σe1√

1 + σ <x1‖x‖2

iar σ =

1 , daca <x1 ≥ 0−1 , daca <x1 < 0

.

Reamintim ca daca A ∈Mn,k(C) atunci AH = AT .

15.2. DESCOMPUNEREA QR 359

Implementarea transformarii Householder Fie H = In − uuT o matriceHouseholder si X = [x1 . . . xk] = (xi,j)1≤i≤n,1≤j≤k ∈ Mn,k(R). Evaluam numarulde adunari necesare calculului transformarii Householder HX.

Daca calculam ın prealabil matricea H = (hi,j)1≤i,j≤n si apoi produsul HXatunci sunt necesare n adunari pentru un element al matricei produs

n∑s=1

hi,sxs,j,

deci un total de n2k adunari.Mult mai eficient este urmatorul mod de efectuare a calculelor. Calculam ın

prealabiluTX = uT [x1 . . . xk] = [uTx1 . . . u

Txk] = vT ,

pentru care efectuam nk adumari, si apoi

HX = (In − uuT )X = X − u(uTX) = X − uvT =

=

x1,1 − u1v1 . . . x1,k − u1vk...

...xn,1 − u1vk . . . xn,k − unvk

pentru care se mai fac nk adunari. Astfel numarul total al adunarilor este 2nk.

15.2 Descompunerea QR

Stabilim urmatorul rezultat important

Teorema 15.2.1 Daca X ∈Mn,k(R), n ≥ k, atunci exista o matrice ortogonalaQ ∈Mn(R) si o matrice superior triunghiulara R ∈Mk(R) astfel ıncat

QTX =

(R0

)n− k linii.

(15.4)

Demonstatie. Inductie matematica dupa k, numarul coloanelor matricei X.Pentru k = 1, X = [x1], cu x1 ∈ Rn. Daca x1 6= 0, utilizand transformarea

Householder are loc egalitatea

H x1‖x1‖2

x1 = −σ‖x1‖2e1 =

−σ‖x1‖2

0...0

← n− 1 linii cu 0.


Algorithm 11

1: procedure H=householder(x, k)2: if ‖x‖2 = 0 then3: H ← In4: else5: if x(k) > 0 then6: σ ← 17: else8: σ ← −19: end if

10: if k > 1 then11: for i = 1 : k − 1 do12: x(i)← 013: end for14: end if15: u← ‖x‖2+σek√

1+σxk‖x‖2

16: H ← In − u · uT17: end if18: end procedure


Daca x1 = 0 atunci Q = In si R = 0.Sa presupunem ca proprietatea teoremei are loc ın cazul unei matrice cu k−1

coloane. Fie X ∈ Mn,k(R) si partitionarea ei X = [x1X2], unde x1 ∈ Rn siX2 ∈Mn,k−1(R). Daca x1 6= 0 si H1 = H x1

‖x1‖2atunci

H1X = [H1x1 H1X2] =

[ρ1,1 rT1,20 X2,2

]unde ρ1,1 = −σ‖x1‖2, r1,2 ∈ Rk−1, X2,2 ∈ Mn−1,k−1(R). Potrivit ipotezei inductieiexista o matrice ortogonala Q2 ∈ Mn−1(R) si o matrice superior triunghiulara

R2 ∈Mk−1(R) astfel ıncat QT2X2,2 =

[R2

0

]n− k linii.

Atunci[1 00 QT

2

]H1X =

[1 00 QT

2

] [ρ1,1 rT1,20 X2,2

]=

=

[ρ1,1 rT1,20 QT

2X2,2

]=

ρ1,1 rT1,20 R2

0 0

si ın consecinta QT =

[1 00 QT

2

]si R =

[ρ1,1 rT1,20 R2

].

Relatia (15.4) se numeste descompunerea QR a matricei X.

Observatia 15.2.1 Descompunerea QR este unica abstractie facand de semnelecoloanelor lui Q si ale liniiilor lui R.

Factorizarea QR. Fie X ∈Mn,k(R) si descompunerea QR

QTX =

[R0

]n− k linii.

(15.5)

unde Q ∈Mn(R) este o matrice ortogonala iar R ∈Mk(R) este o matrice superiortriunghilara. Partitionam matricea Q ın

Q = [ QX︸︷︷︸k coloane

Q⊥︸︷︷︸n−k coloane

]

cu QX ∈Mn,k(R), Q⊥ ∈Mn,n−k(R).Deoarece QTQ = In, ınmultind (15.5) la stanga cu matricea Q obtinem 1

X = Q

[R0

]= [QX Q⊥]

[R0

]= QXR.

Astfel am dedus1Daca A,B ∈Mn(C) astfel ıncat AB = In atunci BA = In.


Teorema 15.2.2 Daca X ∈ Mn,k(R) atunci exista o matrice ortogonala QX ∈Mn,k(R) si o matrice superior triunghiulara R ∈Mk(R) astfel ıncat

X = QXR. (15.6)

Relatia (15.6) se numeste factorizarea QR a matricei X.

Observatia 15.2.2

Fie X = [x1 . . . xk] ∈Mn,k(R) si factorizarea X = QXR cu

QX = [q1 . . . qk] R =

r1,1 r1,2 . . . r1,n

0 r2,2 . . . r2,n...

.... . .

...0 0 . . . rk,k

.

Egaland coloanele factorizarii deducem

x1 = r1,1q1

x2 = r1,2q1 + r2,2q2

...

xk = r1,kq1 + r2,kq2 + . . .+ rk,kqk

de unde spanx1, . . . , xk = spanq1, . . . , qk.

Exemplul 15.2.1 Sa se calculeze descompunerea QR a matricei

X =

6 6 13 6 12 1 1

Daca X = [x1 x2 x3] atunci

x1 → u1 =17x1 + e1√

1 + 67

=1√

7 · 13

1332

.

H1X = X − u1(uT1X) = X −

13 14 187

3 4213

547·13

2 2813

367·13

=

−7 −8 −117

0 3613

377·13

0 −1513

557·13

.


Matricea H1 = I − u1uT1 este −6

7−3

7−2

7

−37

827·13

− 67·13

−27− 6

7·1387

7·13

.

Pentru

x′2 =

03613

−1513

→ u2 =13x′2 + e2√1 + 36

13

=1√13

05−1

.

In final,

H2H1X = H1X−u2uT2H1X = H1X−

0 0 00 75

1350

7·13

0 −1513− 10

7·13

=

−7 −8 −117

0 −3 −17

0 0 57

,

iar

H2 = I − u2uT2 =

1 0 00 −12

13513

0 513

1213

,

Q = (H2H1)T = H1H2 =1

7

−6 2 −3−3 −6 2−2 3 6

.

Algoritmul descompunerii QR a matricei A ∈Mn(R) este dat ın Fig 12

Algorithm 12

1: procedure Q=qr(A)2: X ← A3: S ← In4: for k = 1 : n− 1 do5: x← X(:, k)6: H ← householder(x, k)7: X ← H ·X8: S ← H · S9: end for

10: Q← ST

11: end procedure


Construirea unei matrice ortogonala cu prima coloana fixata. Fieu1 ∈ R, ‖u1‖ = 1. Interpretand vectorul x1 ca o matrice n× 1, potrivit descom-punerii QR exista o matrice ortogonala Q = [q1 q2 . . . qn] ∈ Mn(R) si numarulreal R astfel ıncat

QTu1 =

R0...0

← n− 1 zerouri(15.7)

dar

QTu1 =

qT1qT2...qTn

u1

de unde deducem ca qTi u1 = 0, pentru i ∈ 2, . . . , n. Astfel [u1 q2 . . . qn] estematricea ortogonala dorita.

Intr-o matrice ortogonala / unitara permutand coloanele se va obtine tot omatrice ortogonala / unitara. Astfel matricea [q2 . . . qn u1] este o matrice ortog-onala cu ultima coloana fixata.

15.3 Cea mai buna aproximatie si factorizarea

QR

Fie x1, x2, . . . , xk ∈ Rn (k < n) elemente liniar independente. Definim

Y = spanx1, . . . , xk,X = [x1 . . . xk] ∈Mn,k(R).

Elementul de cea buna aproximare al unui element x ∈ Rn prin elementelesubspatiului Y exista si este unic. Notam prin PY (x) elementul de cea mai bunaaproximatie a lui x prin elementele submultimii Y (PY : X → Y ).

Fie X = QXR factorizarea QR a matricei X.Notam:

P = QXQTX ∈Mn(R),

P⊥ = In − P.

15.3. CEA MAI BUNA APROXIMATIE SI FACTORIZAREA QR 365


1. Px ∈ Y ∀x ∈ Rn;2. Px = x ⇔ x ∈ Y ;3. P 2x = Px ∀x ∈ Rn;4. Px = 0 ⇔ x ∈ Y ⊥;5. PY (x) = Px. ∀x ∈ Rn.

Demonstratie. Presupunem ca QX = [q1 . . . qk] si Y = spanq1, . . . , qk.1. Fie x ∈ Rn. Concluzia rezulta din

Px = QXQTXx = [q1 . . . qk]

qT1...qTk

x = [q1 . . . qk]

qT1 x...

qTk x

= (15.8)

=k∑j=1

(qTj x)qj ∈ Y.

2. Daca x ∈ Y atunci exista numerele reale c1, . . . , ck astfel ıncat

x =k∑j=1

cjxj ⇔ x = Xc, c =

c1...ck

.

AtunciPx = QXQ

TXXc = QX(QT

XQX)Rc = QXRc = Xc = x.

4. Daca x ∈ Y ⊥ atunci qTj x = 0, ∀j ∈ 1, . . . , k si din (15.8) rezulta caPx = 0.

Reciproc, din Px = 0 =∑k

j=1(qTj x)qj, deducem ca qTj x = 0, ∀j ∈ 1, . . . , ksau QT

Xx = 0, adica x ∈ Y ⊥.5. Pentru a arata ca Px este elementul de cea mai buna aproximatie a lui x

prin elementele subspatiului Y este suficient sa verificam conditia

x− Px ∈ Y ⊥ ⇔ P (x− Px) = 0.

Referitor la P⊥ din Teorema 15.3.1 rezulta


1. P⊥x ∈ Y ⊥ ∀x ∈ Rn;2. P⊥x = 0 ⇔ x ∈ Y ;3. P⊥x = x ⇔ x ∈ Y ⊥;


Demonstratie. 1. Observam ca P P⊥ = P (In − P ) = 0.

Observatia 15.3.1 Din egalitatea In = P + P⊥, pentru orice x ∈ Rn deducem

x = Px+ P⊥x;

‖x‖22 = ‖Px‖2

2 + ‖P⊥x‖22

Observatia 15.3.2 Daca QTX =

(R0

)este descompunerea QR a matricei X

si partitionam Q = [ QX︸︷︷︸k coloane

Q⊥︸︷︷︸n−k coloane

] atunci P⊥ = Q⊥QT⊥.

In = QQT = [QX Q⊥]

[QTX

QT⊥

]= QXQ

TX +Q⊥Q

T⊥ = P +Q⊥Q

T⊥.

Exemplul 15.3.1 Daca x1 = (6, 3, 2)T , x2 = (6, 6, 1)T atunci subspatiul generatde vectorii x1, x2 este planul π : 3x− 2y − 6z = 0. Sa se calculeze distanta de lapunctul A(1, 2, 1) la planul π si proiectia punctului A pe planul π.

Din egalitatea x1 × x2 = −3(3~ı − 2~ − 6~k) rezulta ca subspatiul generat dex1, x2 este planul π.

Fie X = [x1x2] =

6 63 62 1

. Matricea QX din factorizarea QR a matricei

X = QXR este (Exemplul 15.2.1) QX = 17

−6 2−3 −6−2 3

. Matricea de proiectie

este P = QXQTX = 1

49

40 6 186 45 −1218 −12 13

. Daca x = (1, 2, 1)T atunci

Px =1

7

10121

, ‖x− Px‖ = 1.

15.4 Cele mai mici patrate si descompunerea

QR

Dandu-se perechile de puncte (xi, yi) ∈ R2, i ∈ 1, 2, . . . , n se cere deter-minarea functiei F (x, c1, . . . , cm) =

∑mk=1 ckϕk(x), m < n, unde constantele

15.4. CELE MAI MICI PATRATE SI DESCOMPUNEREA QR 367

c1, . . . , cm sunt alese astfel ıncat sa minimizeze functionala

Φ(λ1, . . . , λm) =n∑i=1

[F (xi, λ1, . . . , λm)− yi]2. (15.9)

S-a aratat ın §7.1 ca daca

U =

ϕ1(x1) . . . ϕ1(xn)...

...ϕm(x1) . . . ϕm(xn)

y =

y1...yn

c =

c1...cm

atunci c este solutia sistemului algebric de ecuatii liniare

UUT c = Uy. (15.10)

In cele ce urmeaza vom regasi (15.10) pe o alta cale, vom calcula apriori valoareafunctionalei (15.9) si vom obtine o alta forma a sistemului (15.10), ın care matriceasistemului este superior triunghiulara.


vi =

ϕi(x1)...ϕi(xn)

∈ Rn, i ∈ 1, . . . ,m,

Y = spanv1, . . . , vm X = [v1 . . . vm] = UT .

Daca λ =

λ1...λm

atunci functionala (15.9) se scrie

Φ(λ) = ‖y −Xλ‖22, (15.11)

a carei minimizare revine la cea mai buna aproximare a lui y prin elementelesubspatiului Y.

Fie QTX =

[R0

]descompunerea QR a matricei X, partitionarea Q =

[ QX︸︷︷︸m coloane

Q⊥︸︷︷︸n−m coloane

] si operatorii liniari (matricele)

P = QXQTX

P⊥ = In − P = Q⊥QT⊥.


Are loc egalitatea X = QXR (15.6). Atunci, utilizand rezultatele Teoremelor15.3.1 si 15.3.2, gasim

‖y−Xλ‖22 = ‖P (y−Xλ)‖2

2 +‖P⊥(y−Xλ)‖22 = ‖Py−Xλ)‖2

2 +‖P⊥y‖22. (15.12)

Elementul de cea mai buna aproximatie y0 = Xλ a lui y prin elementele subspatiuluiY trebuie sa satisfaca ecuatia (pentru minimizarea functionalei (15.12)

Xλ = Py (15.13)

ın care caz, valoarea functionalei obiectiv va fi

‖P⊥y‖22 = ‖Q⊥QT

⊥y‖22 = ‖QT

⊥y‖22.

Inmultind (15.13) cu XT gasim

XTXλ = XTPy = (QXR)TQXQTXy = RTQT

Xy = XTy,

adica UUTλ = Uy. Altfel, ınmultind (15.13) cu QTX gasim

QTXQXRλ = QT

XQXQTXy,

de unde Rλ = QTXy.

Din egalitatile

UUT = XTX = (QXR)TQXR = RTR

rezulta ca matricele UUT si R sunt simultan nesingulare. Conditia are loc dacavectorii v1, . . . , vm sunt liniar independenti (6.1.1). In acest caz algoritmul deter-minarii lui c este

1. Se formeaza matricea X;

2. Se determina factorizarea QR a matricei X, X = QXR;

3. Se rezolva sistemul Rc = QTXy.

15.5 Bidiagonalizarea unei matrice

O alta aplicatie a transformarii Householder este posibilitatea bidiagonalizariiunei matrice ın sensul

15.5. BIDIAGONALIZAREA UNEI MATRICE 369

Teorema 15.5.1 Daca A ∈ Mn(R) atunci exista matricele ortogonale U, V ∈A ∈Mn(R) astfel ıncat UAV este o matrice bidiagonala.

Demonstratie. Indicam un algoritm prin care se construiesc matricele ortogo-nale U si V care reduc matricea A la o matrice bidiagonala.

Succesiv, pentru k = 1, 2, . . . , n − 1 ınmultim la stanga si apoi la dreapta cutransformarea Householder care anuleaza elementele situate sub elementul de pepozitia (k, k) si respectiv la dreapta elementului de pe pozitia (k, k + 1).

Pentru simplitate presupunem A ∈M4(R), ın reprezentarea lui Wilkinson

A =

× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×

.

Evolutia calculelor ın acest caz estek = 1

H(1)4 A =

× × × ×0 × × ×0 × × ×0 × × ×

, H(1)4 A

[I1

H(1)3

]=

× × 0 00 × × ×0 × × ×0 × × ×

.

Indicele superior corespunde pasului k iar indicele inferior indica dimensiuneamatricei.k = 2 [

I1

H(2)3

]H

(1)4 A =

× × 0 00 × × ×0 0 × ×0 0 × ×

,

[I1

H(2)3

]H

(1)4 A

[I1

H(1)3

] [I2

H(2)2

]=

× × 0 00 × × 00 0 × ×0 0 × ×

.

k = 3

[I2

H(3)2

] [I1

H(2)3

]H

(1)4 A

[I1

H(1)3

] [I2

H(2)2

]=

× × 0 00 × × 00 0 × ×0 0 0 ×

.


Astfel

U =

[I2

H(3)2

] [I1

H(2)3

]H

(1)4

si

V =

[I1

H(1)3

] [I2

H(2)2

].

Algoritmul bidiagonalizarii unei matrice A ∈Mn(R) este dat ın Fig. 13.

Algorithm 13

1: procedure [U,V]=bidiag(A)2: X ← A3: U ← In4: V ← In5: for k = 1 : n− 1 do6: x← X(:, k)7: H ← householder(x, k)8: U ← H · U9: X ← H ·X

10: if k < n− 1 then11: y ← X(k, :)12: H ← householder(yT , k + 1)13: V ← V ·HT

14: X ← X ·HT

15: end if16: end for17: end procedure

15.6 Reprezentare similara de tip Hessenberg a

unei matrice

In mod asemanator demonstram

Teorema 15.6.1 Daca A ∈Mn(R) atunci exista o matrice ortogonala Q ∈ A ∈Mn(R) astfel ıncat QTAQ este o matrice Hessenberg (13.1).

15.6. REPREZENTARE SIMILARA DE TIP HESSENBERG A UNEI MATRICE 371

Demonstratie. Utilizand transformata Householder indicam un algoritm princare se construieste matricea ortogonala Q si care reduce matricea A la o matriceHessenberg.

Succesiv, pentru k = 1, 2, . . . , n− 2 ınmultim la stanga si la dreapta cu trans-formarea Householder care anuleaza elementele coloanei k cuprinse ıntre liniilek + 2 si n.

Pentru simplitate presupunem A ∈M4(R), ın reprezentarea lui Wilkinson

A =

× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×

.

Evolutia calculelor ın acest caz estek = 1 [

I1

H(1)3

]A

[I1

H(1)3

]=

× × × ×× × × ×0 × × ×0 × × ×

.

k = 2

[I2

H(2)2

] [I1

H(1)3

]A

[I1

H(1)3

] [I2

H(2)2

]=

× × × ×× × × ×0 × × ×0 0 × ×

.

In consecinta QT =

[I2

H(2)2

] [I1

H(1)3

].

Algoritmul reducerii matricei A ∈ Mn(R) la o matrice Hessenberg similaraeste dat ın Fig. 14.


P 15.1 Sa se determine descompunerea / factorizarea QR a metricelor

(i)

4 5 23 0 30 4 6

(ii)

2 1 31 3 12 8 5

(iii)

3 4 7 −25 4 9 31 −1 0 31 −1 0 0


Algorithm 14

1: procedure [Q,B]=hessenberg(A)2: B ← A3: Q← In4: for k = 1 : n− 2 do5: x← B(:, k)6: H ← householder(x, k + 1)7: Q← H ·Q8: B ← H ·B ·H9: end for

10: Q← QT

11: end procedure

R. (i)

Q =

45

925−12

2535−12

251625

0 45

35

R =

5 4 175

0 5 10225

0 0 11425

(ii)

Q =

−23

1115

215

−13− 2

15−14

15

−23−2

313

R =

−3 −7 −173

0 −5 −1915

0 0 1715

(iii)

Q =

−1

2−5

6−1

6−1

612− 1

18−11

18−11

1812− 7

181318− 5

1812− 7

18− 5

181318

R =

−6 −5 −11 −2

0 3 3 −30 0 0 00 0 0 −3

P 15.2 Sa se arate ca o matrice Q ∈ Mn(C) triunghilara si unitara este diago-nala.

R. Daca matricea Q este inferior triunghilara Q = [q1 q2 . . . qn], cu qi =(0 . . . 0 qi,i . . . qn,i)

T atunci pentru i ∈ 1, . . . , n− 1, 0 = qHn qi = qn,nqn,i, de underezulta ca qn,i = 0, ∀i ∈ 1, . . . , n− 1.

La fel, din 0 = qHn−1qi = qn−1,n−1qn−1,i, i ∈ 1, . . . , n− 2, deci qn−1,i = 0,∀i ∈1, . . . , n− 2; etc.

P 15.3 Daca Y este un subspatiu liniar ın Rn atunci

Rn = Y ⊕ Y ⊥.

15.6. REPREZENTARE SIMILARA DE TIP HESSENBERG A UNEI MATRICE 373

R. Fie x ∈ Rn si y ∈ Y elemetul de cea mai buna aproximatie lui x prin elementelemultimii Y. Atunci z = x− y ∈ Y ⊥.

Proprietatea 15.6.1 Daca A ∈Mm,n(R) atunci

Rm = Im(A)⊕Ker(AT ). (15.14)

R. Se aplica 15.3 si 13.1.32.

Capitolul 16

Calculul numeric al valorilor sivectorilor proprii

16.1 Forma normala Schur

Rezultatul principal al capitolului este teorema lui Schur potrivit careia oricematrice A ∈ Mm(C) este similara cu o matrice superior triunghiulara. Obli-gatoriu, aceasta matrice are pe diagonala valorile proprii ale matricei initiale.Aceasta matrice superior triunghiulara este forma normala Schur a matricei A.Scopul algoritmului QR va fi tocmai reducerea unei matrice la forma sa normalaSchur.

Teorema 16.1.1 (Schur) Daca A ∈Mn(C) atunci exista o matrice unitara U ∈Mn(C) astfel ıncat UHAU = T, unde T este o matrice superior triunghiularaavand pe diagonala valorile proprii ale lui A, care pot aparea ın orice ordine.

Demonstratie. Inductie dupa n, dimensiunea matricei. Pentru n = 1, matriceaA = (a) are valoarea proprie a si pentru U = (1) are loc egalitatea UHAU =(a) = T.

Sa presupunem proprietatea adevarata ın cazul matricelor de ordin n− 1. FieA ∈Mn(C) avand perechea proprie (λ1, v1), cu ‖v1‖2 = 1.

Exista o matrice unitara Q avand v1 pe prima coloana. Daca Q = [v1 V2]atunci

QHAQ =

[vH1V H

2

]A [v1 V2] =

[vH1 Av1 vH1 AV2

V H2 Av1 V H

2 AV2

]=

=

[λ1 vH1 AV2

0 V H2 AV2

]=

[λ1 hH10 B

],

375

376 CAPITOLUL 16. VALORI SI VECTORI PROPRII

unde h1 ∈ Cn−1 si B ∈Mn−1(C).Potrivit iporezei inductiei exista o matrice unitara W ∈Mn−1(C) astfel ıncat

WHBW = S este o matrice superior triunghiulara avand pe diagonala valorileproprii ale lui B. Valorile proprii ale lui B sunt totodata si valorile proprii alematricei A. Intr-adevar, deoarece A si QHAQ sunt matrice similare, avem

|λIn − A| =∣∣∣∣ λ− λ1 −hH1

0 λIn−1 −B

∣∣∣∣ = (λ− λ1)|λIn−1 −B|.

Daca U = [v1 V2W ] atunci

UHAU =

[vH1

WHV H2

]A[v1 V2W ] =

[vH1 Av1 vH1 AV2W

WHV H2 Av1 WHV H

2 AV2W

]=

=

[λ1 hH1 W0 S

]= T.

Observatia 16.1.1

Prima coloana a matricei U este vectorul propriu v1 ce corespunde valorii propriiλ1 situata ın coltul nord-vest al matricei T. Reamintim ca aceasta pereche propriea fost aleasa ın mod arbitrar.

Pentru o matrice reala are loc urmatoarea versiune a teoremei 16.1.1.

Teorema 16.1.2 Daca A ∈ Mn(R) atunci exista o matrice ortogonala U ∈Mn(R) astfel ıncat

UTAU =

T1,1 T1,2 . . . T1,k

T2,2 . . . T2,k

. . ....

Tk,k

,

unde Ti,i este un bloc de dimensiune 1 continand o valoare proprie reala sauun bloc de dimensiune 2 corespunzand unei perechi de valori proprii complexconjugate.

Demonstratie. Procedam recursiv, deosebind cazul unei perechi propri reala deuna complexa.

Cazul unei perechi proprii reale (λ, x) ∈ R×Rn. Presupunem ‖x‖2 = 1. Existao matrice ortogonala V avand x drept prima coloana V = [x, V ], V ∈Mn,n−1(R).

16.1. FORMA NORMALA SCHUR 377

Au loc egalitatile

V TAV =

[xT

V T

]A[x V ] =

[λ xTAV

0 V AV

]def=

[λ mT

0 B

]. (16.1)

Cazul unei perechi proprii complexe (α+ iβ, x+ iy) ∈ C×Cn, α, β ∈ R, x, y ∈

Rn. Notand M =

(α β−β α

)egalitatea A(x+ iy) = (α + iβ)(x+ iy) se scrie

A[x y] = [x y]M. (16.2)

Fie

V T [x y] =

(R0

)(16.3)

descompunerea QR a matricei [x y] ∈Mn,2(R), R ∈M2(R).Partitionand matricea V = [ V1︸︷︷︸

2 col

V2︸︷︷︸n−2 col

], din (16.3) gasim

[x y] = V

(R0

)= [V1 V2]

(R0

)= V1R. (16.4)

Egalitatea (16.2) devineAV1R = V1RM. (16.5)

Vectorii x, y ∈ Rn sunt liniar independenti. Vectorii proprii udef= x+ iy, v

def=

x − iy corespunzand valorilor proprii distincte α + iβ si respectiv α − iβ suntliniar independenti. Egalitatea ax+ by = 0 implica

au+ v

2+ b

u− v2i

=a− ib

2u+

a+ ib

2v = 0,

de unde rezulta a± ib = 0, sau a = b = 0.Matricea R este inversabila. Notand pentru moment V1 = [v1 v2] si R =(p rq t

)din (16.4) gasim

x = pv1 + qv2

y = rv1 + tv2.

Presupunand prin absurd det(R) = 0 ⇔ pt − qr = 0, din egalitatile anterioarededucem

tx− qy = (tp− qr)v1 = 0.


Prin urmare t = q = 0. Analog, rz−py = 0 implica p = r = 0, de unde x = y = 0,cea ce este imposibil. Astfel relatia (16.5) devine AV1 = V1RMR−1 = V1S.Matricea S = RMR−1 are aceleasi valori proprii ca matricea M, adica α± iβ.

La fel ca si ın cazul real, calculam

V TAV =

[V T

1

V T2

]A[V1 V2] =

[V T

1

V T2

][AV1 AV2] = (16.6)

=

[V T

1

V T2

][V1S AV2] =

[S V T

1 AV2

0 V T2 AV2

]def=

[S C0 B

].

Pornind de la (16.1) sau (16.6) rationamentul se reia pentru matricea B.O consecinta este

Teorema 16.1.3 O matrice A ∈ Mn(R) simetrica este (strict) pozitiv definitadaca si numai daca valorile proprii sunt (strict) pozitive.

Demonstratie. Matricea A fiind simetrica are valorile proprii numere reale.Din teorema 16.1.2 rezulta existenta unei matrice ortogonale U ∈ Mn(R) astfelıncat UTAU = T, unde T este o matrice diagonala (A simetrica !) formata dinvectorii proprii lui A.

Pentru x ∈ Rn si y = UHx,

< UTAUy, y >=< AUUTx, UUTx >=< Ax, x >=< Ty, y >=n∑i=1

ti,iy2i ,

adica ti,i > 0 ⇒ < Ax, x >> 0.Reciproc, daca A este strict pozitiva, pentru y = ei, din baza canonica,

< UTAUei, ei >=< AUei, Uei >=< Tei, ei >= ti,i > 0.

Teorema 16.1.4 Daca ‖ · ‖ este o norma ın Rn si S ∈ Mn(R) este o matriceinversabila atunci x = ‖Sx‖ este de asemenea o norma.

Teorema 16.1.5 Fie S ∈ Mn(R) o matrice inversabila. Daca · este normaindusa de matricea S ın Rn atunci A = ‖SAS−1‖ este norma matriceala generatade norma · .

Demonstratie. Norma matricei A indusa de este data de

A = supx ≤1

Ax = sup‖Sx‖≤1

‖SAx‖.

16.1. FORMA NORMALA SCHUR 379

Notand Sx = y rezulta

A = sup‖y‖≤1

‖SAS−1y‖ = ‖SAS−1‖.

Teorema 16.1.6 Daca A ∈ Mn(R) si ε > 0 atunci exista o matrice inversabilaS ∈ Mn(C) astfel ıncat SAS−1 = Λ + Q unde Λ este o matrice diagonala cuvectorii proprii ale matricei A iar

Q =

0 q1,2 q1,3 . . . q1,n

0 q2,3 . . . q2,n

. . ....

0 qn−1,n

0

cu |qi,j| < ε, ∀ i < j.

Demonstratie. Potrivit teoremei Schur 16.1.1 exista o matrice unitara U ∈Mn(C) astfel ıncat

UHAU = T =

t1,1 t1,2 t1,3 . . . t1,n

t2,2 t2,3 . . . t2,n. . .

...tn−1,n−1 tn−1,n

tn,n

= Λ +R

unde

Λ =

t1,1

t2,2. . .

tn,n

, R =

0 t1,2 t1,3 . . . t1,n

0 t2,3 . . . t2,n. . .

...0 tn−1,n

0

.

iar elementele de pe diagonala matricei Λ sunt valorile proprii ale matricei A.Fie Dη = diag(η, η2, . . . , ηn).Are loc egalitatea D−1

η UHAUDη = Λ +D−1η RDη si

D−1η RDη =

0 ηt1,2 η2t1,3 . . . ηn−1t1,n0 0 ηt2,3 . . . ηn−2t2,n

. . ....

0 ηtn−1,n

0

= (ηj−iti,j)i<j.


Pentru η suficient de mic |qi,j| = |ηj−iti,j| ≤ η|ti,j| < ε, ∀ i < j.Matricea S va fi S = D−1

η UH = D−1η U−1.

16.2 Diagonalizarea unei matrice

Diagonalizarea unei matrice se refera la posibilitatea determinarii unei matricesimilare si diagonale pentru o matrice patrata data. Conditii de diagonalizare suntdate de teorema:

Teorema 16.2.1 Matricea A ∈ Mn(K), (K = R ∨ C) este diagonalizabila ın Kdaca si numai daca

• valorile proprii ale matricei A apartin corpului K;

• pentru fiecare valoare proprie ordinul de multiplicitate algebric este egal cuordinul de multiplicitate geometric.

Demonstratie. Notam prin A operatorul liniar atasat matricei A si presupunemca polinomul caracteristic este

∏ki=1(λ− λi)mi cu

∑ki=1mi = n.

Necesitatea. Daca matricea A este diaginalizabila exista o baza v1, . . . , vn ∈Kn si o matrice diagonala D = diag(d1, . . . , dn) astfel ıncat

A[v1 . . . vn] = [v1 . . . vn]D

sau A(vi) = divi, ∀i ∈ 1, . . . , n. Rezulta ca numerele di sunt valorile propriiale matricei A. Din egalitatea Avi = λivi rezulta ca λi ∈ K si vi ∈ S(λi),∀i ∈1, . . . , n.

In continuare presupunem ca v1, . . . , vm1 corespund valorii proprii λ1,vm1+1, . . . , vm1+m2 corespund valorii proprii λ2, etc.Elementele vm1+...+mi−1+1, . . . , vm1+...+mi−1+mi fiind liniar independente formeazao baza pentru S(λi), de unde dimS(λi) = mi.

Suficienta. Fie vi,1, . . . , vi,mi o baza pentru S(λi). Se demonstreaza asemanatorcu Propozitia 13.1.28 ca elementele vi,j, j ∈ 1, . . . ,mi, i ∈ 1, . . . , k formeazao baza ın Kn. Atunci

A[v1,1, . . . , vk,mk ] = [v1,1, . . . , vk,mk ]diag(λ1, . . . , λ1︸︷︷︸de m1ori

, . . . , λk, . . . , λk︸︷︷︸de mkori

).

Rezultatul urmatoar evidentiaza o clasa de matrice diagonalizabila. Din teo-rema 16.1.1 se deduce imediat urmatorul rezultat privind reducerea unei matricela o forma diagonala

16.2. DIAGONALIZAREA UNEI MATRICE 381

Teorema 16.2.2 (Teorema spectrala) Daca A ∈ Mm(C) este o matrice her-mitiana atunci exista o matrice unitara U ∈ Mm(C) astfel ıncat UHAU este omatrice diagonala, avand pe diagonala valorile proprii ale matricei A, ce aparıntr-o ordine neprecizata.

Demonstratie. Potrivit Teoremei 16.1.1 exista matricea unitara U ∈ Mm(C)astfel ıncat T = UHAU este o matrice superior triunghiulara avand pe diagonalavalorile proprii ale matricei A, ıntr-o ordine neprecizata. Deoarece TH = T,matricea T este o matrice diagonala.

Pe de alta parte,

Teorema 16.2.3 Daca A,X = [x1, . . . , xn] ∈Mn(C) ındeplinesc conditia

X−1AX = D = diag(λ1, . . . , λn),

atunci (λi, xi) sunt perechi propri pentru matricea A, i ∈ 1, . . . , n iar vectoriix1, . . . , xn formeaza o baza ın Cn.

Demonstratie. Egalitatea coloanelor ın AX = XD implica Axi = λixi, ∀i ∈1, . . . , n.

Relatia∑n

i=1 cixi = 0 se scrie matriceal Xc = 0, unde cT = (c1, . . . , cn). In-versabilitatea matricei X implica c = 0, adica vectorii propri sunt liniar indepen-denti.

O prima consecinta a teoremei 16.2.2 este

Teorema 16.2.4 Daca A ∈Mm(C) este o matrice hermitiana si UHAU = T cuT = diag(λ1, . . . , λm) si U = [u1 . . . um] este matrice unitara atunci:

1.

A =m∑j=1

λjujuHj ; (16.7)

2. (λi, ui) este o pereche proprie a matricei A.

Demonstratie.UHAU = T ⇔ A = UTUH =

= [u1 . . . um]

λ1

. . .

λm

uH1

...uHm

=m∑j=1

λjujuHj ,


de unde

Aui =m∑j=1

λjujuHj ui =

m∑j=1

λjδi,juj = λiui.

O alta consecinta a teoremei 16.2.2 este caracterizarea matricelor normale:

Teorema 16.2.5 Fie A ∈Mn(C) avand valorile proprii λ1, . . . , λn. Urmatoareleafirmatii sunt echivalente:

(i) A este matrice normala;

(ii) A este unitar diagonalizabila: exista matricea unitara U ∈ Mn(C) astfelıncat UHAU = T, cu T = diag(λ1, . . . , λn), ıntr-o ordine oarecare;

(iii)∑n

i,j=1 |ai,j|2 =∑n

i=1 |λi|2;

(iv) Exista o baza ortonormata alcatuita din vectori proprii ai matricei A.

Demonstratie. (i)⇔ (ii). Potrivit Teoremei 16.1.1 exista matricea unitara U ∈Mn(C) si matricea superior triunghiulara T ∈Mn(C), avand pe diagonala valorileproprii ale matricei A, astfel ıncat UHAU = T. Din

THT = UHAHAU = UHAAHU = TTH

rezulta ca T este matrice normala. Aratam ca T este matrice diagonala. Dinegalitatea elementelor de pe pozitia (1,1) din THT = TTH se obtine

|t1,1|2 = |t1,1|2 +n∑j=2

|t1,j|2,

de unde t1,j = 0, ∀j ∈ 2, . . . , n. In continuare se repeta rationamentul pentruelementele de pe pozitiile (2,2),. . . ,(n− 1, n− 1).(ii)⇔ (i). UHAU = T ⇔ A = UTUH . T fiind matrice diagonala este matricenormala si ın consecinta

AHA = UTHTU = UTTHUH = AAH .

(ii)⇔ (iii). Deoarece matricele A si T sunt unitar echivalente, potrivit Propozitiei13.1.18, are loc egalitatea

∑ni,j=1 |ai,j|2 =

∑ni=1 |λi|2.

(iii)⇔ (ii). Din nou, potrivit Teoremei 16.1.1 exista matricea unitara U ∈Mn(C)si matricea superior triunghiulara T ∈Mn(C), avand pe diagonala valorile proprii

16.2. DIAGONALIZAREA UNEI MATRICE 383

ale matricei A, astfel ıncat UHAU = T si aplicand Propozitia 13.1.18 are locegalitatea

n∑i,j=1

|ai,j|2 =n∑i=1

|λi|2 +∑i<j

|ti,j|2.

Prin urmare∑

i<j |ti,j|2 = 0, adica T este matrice diagonala.(ii)⇔ (iv). Implicatia rezulta din Teorema 16.2.3.(iv)⇔ (ii). Daca vectorii proprii x1, . . . , xn sunt ortonormati atunci matriceaU = [x1 . . . xn] este unitara si are loc egalitatea AU = Udiag(λ1 . . . λn).

O alta consecinta a teoremei 16.2.2 este

Teorema 16.2.6 Fie A ∈ Mn(R). Conditia necesara si suficienta ca ecuatiaA = X2, X ∈ Mn(R) sa aiba o solutie simetrica este ca matricea A sa fiesimetrica si pozitiv definita.

Demonstratie. Suficienta este imediata. Daca A este o matrice simetricaatunci, potrivit Teoremei 16.2.2, exista o matrice ortogonala U ∈ Mn(R) ast-fel ıncat UTAU = D iar matricea diagonala D contine valorile proprii ale ma-tricei A. Deoarece A este pozitiv definita, valorile proprii sunt nenegative. FieD = diag(d2

1, . . . , d2n). Daca F = diag(d1, . . . , dn) atunci

A = UDUT = UF 2UT = UFUTUFUT = X2,

cu X = UFUT .

Demonstratia rezultatului de diagonalizare a unei matrice oarecare face apella ecuatia matriceala Sylvester:

Dandu-se matricele B ∈ Mn−s(C), C ∈ Ms(C) si H ∈ Mn−s,s(C) sa se deter-mine matricea X ∈Mn−s,s(C) astfel ıncat

BX −XC +H = 0. (16.8)

In cazul unei matrice oarecare are loc urmatorul rezultat de diagonalizare

Teorema 16.2.7 Daca A ∈Mm(C) are valorile proprii distincte doua cate douaλ1, . . . , λk atunci exista o matrice nesingulara X ∈Mn(C) astfel ıncat

X−1AX =

T1,1

T2,2

. . .

Tk,k

,

unde Tj,j este o matrice superior triunghiulara avand λi pe diagonala, j ∈ 1, 2, . . . , k.


Demonstratie. Potrivit teoremei (16.1.1) exista o matrice unitara U ∈ Mn(C)astfel ıncat

UHAU = T =

T1,1 T1,2 . . . T1,k

T2,2 . . . T2,k

. . ....

Tk,k

, (16.9)

unde Tj,j este o matrice superior triunghiulara avand pe diagonala aceasi valoareproprie λj.

Matricea X se construieste recursiv. Rescriem matricea T sub forma

T =

[B H0 C

]si alegem la primul pas B = T1,1 si X0 = U. Presupunem B ∈ Mn−s(C), C ∈Ms(C) si H ∈ Mn−s,s(C). Matricea C este superior triunghiulara iar elementeleei de pe diagonala principala nu sunt valori proprii ale matricei B.

Exista o matrice P ∈Mn−s,s(C) astfel ıncat[I −P0 I

] [B H0 C

] [I P0 I

]=

[B 00 C

]. (16.10)

Intr-adevar, deoarece[I −P0 I

] [B H0 C

] [I P0 I

]=

[B BP − PC +H0 C

].

relatia (16.10) revine la ecuatia matriceala Sylvester BP−PC+H = 0. Totodata[I P0 I

]−1

=

[I −P0 I

]. Relatia (16.10) devine

[I P0 I

]−1

UHAU

[I P0 I

]=

[B 00 C

],

deci X1 := U

[I P0 I

]. In continuare se reia procedeul de mai sus pentru ma-

tricea C. In final X = Xk

Observatia 16.2.1 Prima coloana a matricei U este un vector propriu core-spunzator valorii proprii din coltul nord - vest al matricei T. Matricea X pastreazanealterata aceasta coloana.

16.3. RAZA SPECTRALA A UNEI MATRICE 385

16.3 Raza spectrala a unei matrice

Studiem proprietati legate de raza spectrala a unei matrice A ∈Mm(R).Pentru orice norma de matrice are loc

Teorema 16.3.1 Are loc inegalitatea ρ(A) ≤ ‖A‖, care poate fi si stricta.

Demonstratie. Fie (λ, x) o pereche proprie a matricei A. Din relatiile

|λ| ‖x‖ = ‖λx‖ = ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖

rezulta |λ| ≤ ‖A‖, de unde ρ(A) ≤ ‖A‖.

Matricea nenula

(0 10 0

)are singura valoare proprie λ = 0, deci ρ(A) = 0 <

‖A‖.


ρ(A) = inf‖·‖‖A‖,

unde inf se ia relativ la normele matriceale generate de o norma vectoriala.

Demonstratie. Potrivit teoremei 16.3.1 ρ(A) ≤ ‖A‖. Pentru a demonstrainegalitatea contrara, fie ε > 0. Potrivit teoremei 16.1.6 exista o matrice in-versabila S ∈Mn(C) astfel ıncat SAS−1 = Λ +Q cu proprietatile

1. Λ este o matrice diagonala avand pe diagonala valorile proprii ale matriceiA. Astfel ‖Λ‖∞ = max1≤i≤n |λi| = ρ(A).

2. Q este o matrice superior triunghilara, ‖Q‖∞ = max1≤i≤n−1

∑nj=i+1 |qi,j| ≤

ε.

Astfel‖SAS−1‖∞ ≤ ‖Λ‖∞ + ‖Q‖∞ ≤ ρ(A) + ε.

Conform teoremei 16.1.5 ‖SAS−1‖ = A , norma generata de o norma vectoriala.Asadar,

inf‖·‖‖A‖ ≤ A ≤ ρ(A) + ε.

Cum ε > 0 a fost arbitrar, inf‖·‖ ‖A‖ ≤ ρ(A).

Teorema 16.3.3 Daca A ∈Mm(C) atunci ‖A‖2 =√ρ(AHA).


Demonstratie. Matricea AHA este hermitiana si pozitiva. Daca (λ, x) este opereche proprie matricei AHA, atunci gasim

‖Ax‖22 =< Ax,Ax >=< AHAx, x >=< λx, x >= λ‖x‖2

2

si ın consecinta λ ≥ 0.Notam prin λ0 raza spectrala a matricei AHA. Potrivit Teoremei 16.2.2 ex-

ista o matrice unitara Q ∈ Mn(C) astfel ıncat QHAHAQ = D este o matricediagonala, avand pe diagonala valorile proprii ale matricei AHA. Daca

D =

λ1 0. . .

0 λn

, x ∈ Cn, QHx = y =

y1...yn


‖Ax‖22 =< Ax,Ax >=< x,AHAx >=< QQHx,AHAx >=

=< QHx,QHAHAx >=< y,QHAHAQy >=< y,Dy >=n∑j=1

λj|yi|2.

Potrivit definitiei lui λ0, din egalitatea de mai sus rezulta

‖Ax‖22 ≤ λ0

n∑j=1

|yi|2 = λ0‖y‖22 = λ0‖Qy‖2

2 = λ0‖x‖22,

sau ‖Ax‖2 ≤√λ0‖x‖2.

In consecinta‖A‖2 ≤

√λ0. (16.11)

Daca x0 este un vector propriu corespunzator valorii proprii λ0, AHAx0 =

λ0x0, atunci

‖Ax0‖22 =< Ax0, Ax0 >=< x0, A

HAx0 >=< x0, λ0x0 >= λ0‖x0‖22

sau ‖Ax0‖2 =√λ0‖x0‖2. Apoi

√λ0‖x0‖2 = ‖Ax0‖2 ≤ ‖A‖2‖x0‖2, de unde√λ0 ≤ ‖A‖2. (16.12)

Din (16.11) si (16.12) rezulta egalitatea ceruta.O consecinta este


Teorema 16.3.4 Daca A ∈Mm(C) atunci | < Ax, x > | ≤√ρ(AHA)‖x‖2

2.

Demonstratie.

| < Ax, x > | ≤ ‖Ax‖2‖x‖2 ≤ ‖A‖2‖x‖22 =

√ρ(AHA)‖x‖2

2.

In cazul unei matrice simetrice, din teorema 16.3.3 deducem

Teorema 16.3.5 Daca A ∈ Mm(R) este o matrice simetrica atunci ‖A‖2 =ρ(A).

Demonstratie. Intr-adevar, au loc relatiile

‖A‖2 =√ρ(ATA) =

√ρ(A2) =

√[ρ(A)]2 = ρ(A).

Teorema 16.3.6 Daca A ∈Mm(R) este o matrice simetrica atunci

| < Ax, x > | ≤ ρ(A)‖x‖22.

In vederea determinarii conditiei ın care, pentru o matrice A ∈ Mn(C), areloc limk→∞A

k = 0 stabilim

Teorema 16.3.7 Pentru orice matrice A ∈Mn(C) si orice ε > 0 exista o norma‖ · ‖A,ε astfel ıncat ‖A‖A,ε ≤ ρ(A) + ε.

Demonstratie. Potrivit Teoremei 16.1.1 exista o matrice unitara U ∈ Mn(C)astfel ıncat

UHAU = T =

t1,1 t1,2 . . . t1,n0 t2,2 . . . t2,n...

.... . .

...0 0 . . . tn,n

= Λ + S,

unde

Λ =

t1,1 0 . . . 00 t2,2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . tn,n

, S =

0 t1,2 . . . t1,n0 0 . . . t2,n...

.... . .

...0 0 . . . 0

.

Deoarece matricele A si T sunt similare, ele au aceleasi valori propri. In consecintaρ(A) = ρ(T ) = ρ(Λ).


Fie 0 < η < 1 si Dη =

1 0 . . . 00 η . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . ηn−1

. Din egalitatea

D−1η SDη =

0 η t1,2 η2 t1,3 . . . ηn−1 t1,n0 0 η t2,3 . . . ηn−2 t2,n...

......

. . ....

0 0 0 . . . η tn−1,n

0 0 0 . . . 0

gasim

‖D−1η SDη‖∞ = max

1≤i≤n−1

n∑j=i+1

|ηj−iti,j| ≤ ηn∑

j=i+1

|ti,j| = η‖S‖∞

In continuare

‖D−1η TDη‖∞ = ‖D−1

η ΛDη +D−1η SDη‖∞ = ‖Λ +D−1

η SDη‖∞ ≤

≤ ‖Λ‖+ ‖D−1η SDη‖∞ ≤ ρ(A) + η‖S‖∞.

Presupunem ca η satisface ın plus conditia η‖S‖∞ < ε.Pentru orice matrice B ∈Mn(C) definim ‖B‖A,ε = ‖D−1

η UHBUDη‖∞.Atunci

‖A‖A,ε = ‖D−1η UHAUDη‖∞ = ‖D−1

η TDη‖∞ ≤ ρ(A) + η‖S‖∞ < ρ(A) + ε.

Teorema 16.3.8 Pentru orice norma matriceala ‖ · ‖, orice matrice A ∈Mn(C)si orice ε > 0 exista un numar τ > 0 astfel ıncat

ρk(A) ≤ ‖Ak‖ ≤ τ [ρ(A) + ε]k.

Demonstratie. Deoarece ın spatii liniare finit dimensionale, oricare doua normesunt echivalente, exista τ > 0 astfel ıncat

‖B‖ ≤ τ‖B‖A,ε, ∀B ∈Mn(C),

unde ‖ · ‖ este o norma de matrice iar ‖ · ‖A,ε este norma introdusa de Teorema16.3.7.

In concluzie

ρk(A) = ρ(Ak) ≤ ‖Ak‖ ≤ τ‖Ak‖A,ε ≤ τ‖A‖kA,ε < τ [ρ(A) + ε]k.


Teorema 16.3.9 Oricare ar fi norma matriceala ‖ · ‖ are loc relatia

ρ(A) = limk→∞‖Ak‖

1k . (16.13)

Demonstratie. Din ρk(A) = ρ(Ak) ≤ ‖Ak‖ rezulta ρ(A) ≤ ‖Ak‖ 1k . Fie ε > 0 si

matricea B = 1ρ(A)+ε

A. Daca Bx = λx atunci (ρ(A) + ε)λ este valoare proprie amatricei A. Astfel

ρ(A) = (ρ(A) + ε)ρ(B) ⇔ ρ(B) =ρ(A)

ρ(A) + ε< 1,

si deci limk→∞Bk = 0.

Exista k0 ∈ N astfel ıncat, pentru k > k0,

‖Bk‖ < 1 ⇔ ‖Ak‖ < (ρ(A) + ε)k.

Din inegalitatile ρ(A) ≤ ‖Ak‖ 1k < ρ(A) + ε, k > k0, rezulta limk→∞ ‖Ak‖

1k =

ρ(A)

Teorema 16.3.10 Fie A ∈Mn(C). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(1) limk→∞Ak = 0;

(2) limk→∞Akx = 0, ∀x ∈ Cn;

(3) ρ(A) < 1.

Demonstratie. (1) ⇒ (2). Pentru x ∈ Cn,

‖Akx‖ ≤ ‖Ak‖‖x‖ → 0, k →∞.

(2) ⇒ (3). Fie (λ, x) o pereche proprie, Ax = λx. Atunci

Akx = λkx→ 0, k →∞.

Prin urmare |λ| < 1.

(3)⇒ (1). Din ρ(A) = limk→∞ ‖Ak‖1k < 1 rezulta ın mod necesar limk→∞A

k =0.


16.4 Metode numerice

16.4.1 Metoda puterii

O matrice A ∈Mn(C) este cu valoare proprie dominanta daca valorile proprii– eventual renotate – satisfac inegalitatile

|λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn|.

In cazul unei matrice cu valoare proprie dominanta, metoda puterii determinavaloarea proprie dominanta ımpreuna cu un vector propriu corespunzator.

Fie u0 ∈ Cn. Metoda puterii consta ın construirea sirurilor (uk)k∈N si (λk1)k∈Ndefinite prin formulele

uk+1 = σkAuk, (16.14)

unde (σk)k∈N este un sir numeric fixat apriori, si respectiv

λk1 =< Auk, uk >

‖uk‖22.

(16.15)


uk = σk−1σk−2 . . . σ0Aku0, (16.16)

λk1 =< Ak+1u0, A

ku0 >

‖Aku0‖22

. (16.17)

Demonstratie. Formula (16.16) se demonstreaza prin inductie matematica, iar(16.17) rezulta din (16.15) si (16.16)

λk1 =< σk−1σk−2 . . . σ0A

k+1u0, σk−1σk−2 . . . σ0Aku0 >

‖σk−1σk−2 . . . σ0Aku0‖22

=< Ak+1u0, A

ku0 >

‖Aku0‖22

.

Uzual, se alege σk = 1‖Auk‖2,

ın care caz

uk =Aku0

‖Aku0‖2

⇔ ‖uk‖2 = 1. (16.18)

Rezultatul de convergenta al metodei puterii este

Teorema 16.4.2 Fie A ∈ Mn(C) o matrice nedefectiva si cu valoare propriedominanta avand valorile proprii |λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn| cu vectorii propriicorespunzatori x1, x2, . . . , xn, ce formeaza o baza ın Cn. Daca u0 =

∑ni=1 cixi, cu

c1 6= 0, atunci sirul (λk1)k∈N construit prin formula (16.15) converge catre λ1.

16.4. METODE NUMERICE 391


λk1 =<∑n

i=1 ciλk+1i xi,

∑ni=1 ciλ

ki xi >

‖∑n

i=1 ciλki xi‖2

2

=

=< λ1c1x1 +

∑ni=2 ciλi(

λiλ1

)kxi, c1x1 +∑n

i=2 ci(λiλ1

)kxi >

‖c1x1 +∑n

i=2 ci(λiλ1

)kxi‖22

→ λ1,

pentru k →∞.

16.4.2 Metoda puterii inverse

Daca A ∈ Mn(R) este o matrice avand valorile proprii numerele reale λ1 >λ2 > . . . > λn, cu vectorii proprii corespunzatori x1, . . . , xn, ce formeaza o baza ınRn, atunci urmatoarea varianta a metodei puterii permite calculul oricarei valoriproprii.

Pentru orice j ∈ 1, 2, . . . , n exista σj ∈ R astfel ıncat

λ1 − σj > . . . > λj − σj > 0 > λj+1 − σj > . . . > λn − σj

siλj − σj < |λj+1 − σj| = σj − λj+1.

Intr-adevar, este suficient de ales σj >λj+λj+1

2.

Rezulta inegalitatile

1

λ1 − σj< . . . <

1

λj − σj>

1

|λj+1 − σj|> . . . >

1

|λn − σj|.

Valorile proprii ale matricei (A − σjIn)−1 sunt 1λk−σj

, k ∈ 1, 2, . . . , n. Astfel

metoda puterii aplicata matricei (A− σjIn)−1 calculeaza valoarea proprie domi-nanta, adica 1

λj−σj .

Metoda puterii aplicata matricei (A − σjIn)−1 data de relatiile (16.18) si re-spectiv (16.17) devin:

uk =(A− σjIn)−ku0

‖(A− σjIn)−ku0‖2

, (16.19)

µkj =< (A− σjIn)−k−1u0, (A− σjIn)−ku0 >


. (16.20)

Potrivit Teoremei 16.4.2 limk→∞ µkj = 1

λj−σj .


Practic ın locul relatiei (16.20) se foloseste

ζkj =< Auk, uk >=< (A− σjIn)uk, uk > +σj =

=< (A− σjIn)−k+1u0, (A− σjIn)−ku0 >


+ σj.

Cu metoda utilizata ın demonstratia Teoremei 16.4.2 se deduce ca

limk→∞

ζkj = (λj − σj) + σj = λj.

Implementarea metoda puterii inverse utilizeaza relatiile:

ζkj = < Auk, uk >, (16.21)

uk+1 =(A− σjIn)−1uk‖(A− σjIn)−1uk‖2

. (16.22)

16.4.3 Algoritmul QR

Algoritmul QR serveste la calculul valorilor proprii, ale vectorilor proprii lastanga si a matricei unitare pentru obtinerea formei normale Schur.

Fie A ∈Mn(C). Ideea algoritmului este: daca λ ∈ C si q ∈ Cn sunt o valoareproprie, respectiv un vector propriu la stanga ale matricei A, ‖q‖2 = 1, qHA =λqH , atunci exista o matrice unitara Q, avand q pe ultima coloana, Q = [Q∗ q].Atunci au loc egalitatile

QHAQ =

[QH∗qH

]A[Q∗ q] =

[QH∗ AQ∗ Q∗AqqHAQ∗ qHAq

]=

[QH∗ AQ∗ Q∗Aq

0 λ

].

(16.23)In felul acesta s-a zerorizat ultima linie pana la elementul diagonal, pozitie pecare este valoarea proprie λ.

Problema legata de aceasta schema este aceea ca nu se cunoaste q.

Pentru determinarea lui q se va efectua o iteratie cu metoda puterii aplicatamatricei (A− kIn)−1, aproximatia initiala fiind (u0 :=)en. Se va obtine

qH =eTn (A− kIn)−1

‖eTn (A− kIn)−1‖2

. (16.24)

k ∈ C este un parametru ales astfel ıncat matricea A− kIn sa fie inversabila.


Matricea unitara Q, avand q pe ultima coloana, se determina din factorizareaQR a matricei A− kIn = QR. Pentru a justifica acest fapt, deducem egalitatile

eTnR = eTn

r1,1 r1,2 . . . r1,n

0 r2,2 . . . r2,n...

. . ....

0 0 . . . rn,n

= rn,neTn ,

QH = R(A− kIn)−1,

q = Qen.

Atunci, utilizand aceste relatii, avem

qH = eTnQH = eTnR(A− kIn)−1 = rn,ne

Tn (A− kIn)−1. (16.25)

Deorece ‖q‖2 = ‖qH‖2 = 1, din egalitatea anteriora deducem ca rn,n = 1‖eTn (A−kIn)−1‖2.

Substituind ın (16.25) se regaseste (16.24), adica Q este matricea dorita.Produsul QHAQ rezulta din

RQ = QH(A− kIn)Q = QHAQ− kIn ⇒ QHAQ = RQ+ kIn.

Includem aceste calcule ıntr-un sir de aproximatii Aj+1 = QHj AjQj cu A0 = A.

Algoritmul pentru calculul lui Aj+1 este:

P1 Se alege kj astfel ıncat matricea Aj − kjIn sa fie inversabila;

P2 Se calculeaza factorizarea QR: Aj − kjIn = QjRj;

P3 Aj+1 = RjQj + kjIn.

Denumim pasQR algorimul iterativ definit mai sus. Potrivit egalitatii (16.23),succesul este atins ın cazul ın care ultima linie a matricei QHAjQ = RQ + kjIneste [0 λ].

Pentru stabilirea unui rezultat de convergenta omitem pentru moment indicelej de iteratie. Sa presupunem

Aj = A =

(B hgH µ

)Aj+1 = A =

(B hgH µ

).

si

Aj − kjIn = A− kIn =

(B − kIn−1 h

gH µ− k

)= (16.26)


=

(P feH π

)(S r0 ρ

)= QR,

Aj+1 − kjIn = A− kIn = RQ =

(S r0 ρ

)(P feH π

). (16.27)

Deoarece Q este o matrice patrata ortogonala, din egalitatile

‖f‖22 + |π|2 = ‖eH‖2

2 + |π|2 = 1

deducem ‖f‖2 = ‖e‖2 si |π| ≤ 1.In ipoteza

∃S−1 si ‖S−1‖2 ≤ σ, (16.28)

din expresia blocului sud-vest a produsului QR (16.26) gH = eHS rezulta

‖eH‖2 = ‖gHS−1‖2 ≤ ‖gH‖2‖S−1‖2 ≤ σ‖gH‖2

sau

‖e‖2 ≤ σ‖g‖2. (16.29)

Egaland expresiile situate ın colturile sud-est ale egalitatii QH(A− kIn) = R,ce rezulta din (16.26), gasim

fHh+ π(µ− k) = ρ,

de unde

|ρ| ≤ ‖fH‖2‖h‖2 + |π||µ− k| ≤ σ‖g‖2‖h‖2 + |µ− k|. (16.30)

Egalam expresiile situate ın coltul sud-vest a egalitatii (16.27) si gasim gH =ρeH , din care rezulta

‖g‖2 = ‖gH‖2 = |ρ|‖eH‖2 ≤ (σ‖g‖2‖h‖2 + |µ− k|)σ‖g‖2 =

= σ2‖g‖22‖h‖+ σ‖g‖2|µ− k|,

dupa ce am utilizat pe rand (16.30) si (16.29).Revenind la indici de iteratie, inegalitatea anterioara se scrie

‖gj+1‖2 ≤ σ2j‖gj‖2

2‖hj‖+ σj‖gj‖2|µj − kj|. (16.31)

Intarind ipoteza (16.28) are loc urmatorul rezultat de convergenta


Teorema 16.4.3 Daca

kj = µj, ‖S−1j ‖2 ≤ σ, ‖hj‖2 ≤ η, ∀j ∈ N,

∃j0 ∈ N astfel ıncat σ2η‖gj0‖2 < 1

atunci limj→∞ gj = 0.

Demonstratie. In ipotezele teoremei, inegalitatea (16.31) devine

‖gj+1‖2 ≤ σ2η‖gj‖22. (16.32)

Prin inductie matematica aratam

‖gj0+k‖2 ≤ (σ2η‖gj0‖2)k‖gj0‖2, ∀k ∈ N∗.

Pentru k = 1, din (16.32) avem

‖gj0+1‖2 ≤ σ2η‖gj0‖22 = (σ2η‖gj0‖2)‖gj0‖.

Daca ‖gj0+k−1‖2 ≤ (σ2η‖gj0‖2)k−1‖gj0‖2 ≤ ‖gj0‖2 atunci

‖gj0+k‖2 ≤ σ2η‖gj0+k−1‖22 ≤ σ2η‖gj0‖2‖gj0+k−1‖2 ≤ (σ2η‖gj0‖2)k‖gj0‖2.

Din inegalitatea demonstrata urmeaza imediat limj→∞ gj = 0.

Daca λ este o valoare proprie a lui A atunci ultima coloana a matricei Q =[q1 . . . qn], dat de factorizare QR = A − λIn, este un vector propriu la stangapentru A. Intr-adevar, din

|A− λIn| = |Q||R| = ±|R| = 0

rezulta |R| =∏n

i=1 ri,i = 0.

In ipoteza (16.28), deoarece∏n−1

i=1 ri,i 6= 0 rezulta ca rn,n = 0 si atunci

qHn (A− λIn) = qHn QR = eTnR = rn,neTn = 0.

Pseudocodul algoritmului QR. Presupunem ca dispunem de

• Algoritmul pentru factorizarea QR, [Q,R]=qr(A);

• Algoritmul pentru un pasQR (Algoritmul 15).

Pseudocodul algoritmului QR este dat ın Algoritmul 16


Algorithm 15

1: procedure B=pasQR(A)2: n← dim(A)3: k ← 1 + i4: repeat5: repeat6: k ← k + 17: until |A− kIn| 6= 08: [Q,R]← qr(A− kIn)9: B ← RQ+ kIn

10: nrm← ‖B1:n−1,n‖11: until nrm < tol12: end procedure


P 16.1 Sa se arate ca polinomul caracteristic al unei matrice triunghiulare si-metrice

T =

a1 b1 0 . . . 0 0 0b1 a2 b2 . . . 0 0 00 b2 a3 . . . 0 0 0

.... . . . . . . . .

...

0 0 0 . . . bn−2 an−1 bn−1

0 0 0 . . . 0 bn−1 an

este f(λ) = fn(λ) unde (fk(λ))0≤k≤n este definit prin formula de recurenta

fk(λ) =

1 pentru k = 0λ− a1 pentru k = 1(λ− ak)fk−1(λ)− b2

k−1fk−2(λ) pentru k ∈ 2, . . . , n

Utilizand acest rezultat sa se dezvolte o metoda pentru calculul polinomuluicaracteristic al unei matrice simetrice.

Indicatie. Se aduce matricea simetrica la forma Hessenberg.

P 16.2 Daca x, y ∈ Cn, x, y 6= 0 sa se calculeze valorile proprii ale matriceiA = xyH .


Algorithm 16

1: procedure [v,Q, U ]=QRalgorithm(A)2: A← A3: for i = 1 : n− 1 do4: B ← pasQR(A)5: if i 6= n− 1 then6: vi ← Bn−i+1,n−i+1

7: else8: vn−1 = B2,2

9: vn = B1,1

10: end if11: A← B1:n−i+1,1:n−i+1

12: end for13: Calculul vectorilor proprii la stanga

14: for i = 1 : n do15: [Q,R]← qr(A− viIn)16: U1:n,i ← Q1:n,n

17: end for18: Calculul transformarii unitare pentru obtinerea formei Schur

19: U ← In20: B ← A21: for i = 1 : n− 1 do22: U ← In23: [U1:n−i+1,1:n−i+1, R]← qr(B1:n−i+1,1:n−i+1 − viIn−i+1)24: U ← U · U25: B ← UHAU26: end for27: end procedure


R. Din Ax = xyHx = (yHx)x rezulta ca x este vector propriu cu valoarea proprieyHx.

Sistemul algebric yHz = 0 ın necunoscuta z ∈ Cn avand rangul 1 are n − 1solutii liniar independente. Astfel 0 este valoare proprie cu ordinul de multiplici-tate algebric n− 1.

P 16.3 [11] Daca x, y ∈ Cn atunci

‖xyH‖F = ‖xyH‖2 = ‖x‖2‖y‖2.

R. Deoarece

xyH =

x1y1 x1y2 . . . x1yn...

. . ....

xny1 xny2 . . . xnyn

‖xyH‖2

F =∑n

i,j=1 |xi|2|yj|2 = (∑n

i=1 |xi|2)(∑n

j=1 |yj|2) = ‖x‖22‖y‖2

2.

Matricea (xyH)H(xyH) are perechea proprie (y, ‖x‖22‖y‖2

2). Intr-adevar

(xyH)H(xyH)y = y(xHx)(yHy) = ‖x‖22‖y‖2

2y.

Potrivit teoremei 16.3.3 ‖x‖2‖y‖2 ≤ ‖xyH‖2.Inegalitatea contrara rezulta din

‖(xyH)z‖22 =< (xyH)z, (xyH)z >= |yHz|2‖x‖2 ≤ ‖x‖2

2‖y‖22‖z‖2

2, ∀z ∈ Cn, z 6= 0

sau‖(xyH)z‖2

2

‖z‖22

≤ ‖x‖22‖y‖2

2 ⇒ ‖xyH‖2 ≤ ‖x‖2‖y‖2.

Altfel. FieA = xyH . Potrivit Teoremei 16.3.3, ‖A‖2 =√ρ(AHA) =

√ρ(‖x‖2

2yyH) =

‖x‖2

√ρ(yyH).

Aplicand rezultatul Problemei 16.2, valorile proprii ale matricei yyH sunt 0 si‖y‖2

2. Astfel ‖A‖2 = ‖x‖2‖y‖2.

Capitolul 17

Descompunerea valorii singulare(DVS)

17.1 Descompunerea valorii singulare

Teorema 17.1.1 Fie X ∈Mn,k(C) o matrice nenula. Exista bazele ortonormateu1, . . . , un pentru Cn si v1, . . . , vk pentru Ck si numerele pozitive σ1, . . . , σr, r ≤min n, k, astfel ıncat

1. u1, . . . , ur este baza ın Im(X);

2. vr+1, . . . , vk este baza ın Ker(X);

3. X =∑r

i=1 σiuivHi (17.1)

Demonstratie. XHX ∈ Mk(C) este o matrice hermitiana, pozitiv definita.Potrivit Teoremei spectrale 16.2.2 exista o baza ortonormata v1, . . . , vk pentruCk si numerele nenegative σ2

1, . . . , σ2k astfel ıncat

XHXvi = σ2i vi, ,∀ i ∈ 1, . . . , k.

Vom presupune ca σ21 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σ2

r > 0 = σ2r+1 = . . . = σ2

k.Vectorii Xv1, . . . , Xvk satisfac egalitatile

(Xvi)HXvj = vHi X

HXvj = σ2j v

Hi vj = σ2

j δi,j,

adica sunt vectori ortogonali. In plus

‖Xvi‖22 = σ2

i

> 0, i ∈ 1, . . . , r= 0, i ∈ r + 1, . . . , k

399

400 CAPITOLUL 17. DESCOMPUNEREA VALORII SINGULARE

Astfel vr+1, . . . , vk ∈ Ker(X).Pentru i ∈ 1, . . . , r definim vectorii ui = 1

σiXvi ∈ Im(X). Acesti vectori sunt

ortonormati ın Cn. Extindem aceasta familie la o baza ortonormata u1, . . . , ur,ur+1, . . . , un ın Cn.

Orice element x ∈ Ck se reprezinta prin

x =k∑i=1

(vHi x)vi. (17.2)

Atunci

Xx =k∑i=1

(vHi x)Xvi =r∑i=1

(vHi x)σiui =r∑i=1

σiui(vHi x) =

r∑i=1

σiuivHi x. (17.3)

Deoarece x a fost arbitrar rezulta ca X =∑r

i=1 σiuivHi .

Daca x ∈ Ker(X), atunci (17.3) si liniar independenta vectorilor u1, . . . , unimplica

vHi x = 0, i ∈ 1, . . . , r

si din (17.2) urmeaza ca

x =k∑

i=r+1

(vHi x)vi,

adica vr+1, . . . , vk formeaza o baza pentru Ker(X).Egalitatea dim Ker(X)+dim Im(X) = k implica faptul ca u1, . . . , ur formeaza

o baza ın Im(X).

Forma matriceala a relatiei (17.1). Introducem matricele

U = [u1, . . . , un], V = [v1, . . . , vk], Σ1 = diag(σ1, . . . , σr)

Σ =

[Σ1 Or,k−r

On−r,r On−r,k−r

],

unde indicii desemneaza dimensiunea blocurilor de zerouri. Relatia (17.1) devine

X = UΣV H ⇔ UHXV = Σ. (17.4)

Numerele σi se numesc valori singulare ale matricei X iar coloanele matricelor Usi V se numesc vectori singulari la stanga si respectiv la dreapta ale matricei X.

17.2. CALCULUL DVS 401

Legatura ıntre valori proprii si valori singulare

Teorema 17.1.2 Utilizand notatiile Teoremei 17.1.1 vectorii proprii ale ma-tricelor XXH si XHX sunt vi si respectiv ui cu valorile proprii σ2

i , i ∈ 1, 2, . . . , r :

XXHvi = σ2i vi, XHXui = σ2

i ui.

Demonstratie. Punem ın evidenta coloanele matricelor U si V :

U = [u1 . . . un] V = [v1 . . . vk].

Din 17.4 rezulta

XV = U

[Σ1 Or,k−r


], UHX =

[Σ1 Or,k−r


]V H .

de unde, pentru i ∈ 1, . . . , r

Xvi = σiui si XHui = σivi.

Combinand aceste egalitati rezulta

XHXvi = σiXHui = σ2

i vi,

siXXHui = σiXHvi = σ2

i ui.

17.2 Calculul DVS

Fie X ∈Mn,k(C). XHX ∈Mk(C) este o matrice hermitiana si pozitiv definita.Valorile proprii ale matricei XHX sunt numere nenegative. Exista o matriceunitara (Teorema 16.2.2) V ∈Mk(C) astfel ıncat

V HXHXV =

[D Or,k−r

Ok−r,r Ok−r,k−r

],

unde D ∈ Mr(R) este matrice diagonala, continand valorile proprii pozitive alematricei XHX.

Daca X ∈Mn,k(R) atunci si V ∈Mk(R).Daca valorile proprii sunt distincte doua cate doua atunci vectorii proprii

v1, . . . , vk sunt vectori ortonormati si V = [v1 . . . vk].


Daca V = [V1 V2] cu V1 ∈Mk,r(C), V2 ∈Mk,k−r(C), atunci

V HXHXV =

[V H

1

V H2

]XHX[V1 V2] =

=

[V H

1 XHXV1 V1XHXV2

V H2 XHXV1 V H

2 XHXV2

]=

[D Or,k−r


].

Din 13.1.19 rezulta XV2 = 0.Definim U1 = XV1D

− 12 ∈Mn,r(C). U1 este matrice unitara.

Fie

Σ =

[ [D

12 Or,k−r

]On−r,k

]∈Mn,k.

Extindem matricea U1 cu n−r coloane astfel ıncat sa rezulte o matrice unitaraU = [U1 U2] ∈Mn(C).

Au loc egalitatile

UΣV = [U1 U2]

[ D12 Or,k−r


]On−k,k

[ V H1

V H2

]=

= [U1 U2]

[D

12V H

1

On−r,k

]= U1D

12V H

1 = X.

Exemplul 17.2.1 Calculul DVS a matricei

X =

(1 1 00 1 1

).

In acest caz n = 2, k = 3. Se calculeaza

XHX =

1 1 01 2 10 1 1

.

Polinomul caracteristic al acestei matrice este∣∣∣∣∣∣λ− 1 −1 0−1 λ− 2 −10 −1 λ− 1

∣∣∣∣∣∣ =

= (λ− 1)(λ2 − 3λ+ 1) + (−1) · (λ− 1) + 0 · 1 = (λ− 1)(λ2 − 3λ).

17.3. METODA CELOR MAI MICI PATRATE PRIN DVS 403

Rezulta valorile proprii λ1 = 3, λ2 = 1, λ3 = 0.Vectorii proprii sunt dati de minorii primei linii a determinantului de mai sus,

calculati ın valorile proprii:

(λ2 − 3λ+ 1 λ− 1 1

λ1 = 3 1 2 1λ2 = 1 -1 0 1λ3 = 0 1 -1 1

Normand vectorii proprii, rezulta

V =

1√6−1√

21√3

2√6

0 1√3

1√6

1√2

1√3

.

Retinem r = 2 si

V1 =

1√6−1√

22√6

01√6

1√2

, D =

(3 00 1

), Σ =

( √3 0 0

0 1 0

).

Calculam

U1 = XV1D− 1

2 =

(1√2−1√

21√2

1√2

)Deoarece n = r nu mai este necesara extinderea matricei U1 si U = U1.

17.3 Metoda celor mai mici patrate prin DVS

Fie X ∈ Mn,k(C) si y ∈ Cn. Ne propunem sa determinam λ ∈ Ck, de normaeuclidiana minima care minimizeaza functionala (15.9)

Φ(λ) = ‖y −Xλ‖22.

Fie DVS

UHXV = Σ =

[Σ1 Or,k−r


],

unde Σ1 = diag(σ1, . . . , σr), σi 6= 0, i ∈ 1, . . . , r. Astfel X = UΣV H si

‖y −Xλ‖2 = ‖U(UHy − ΣV Hλ‖2 = ‖UHy − ΣV Hλ‖2.


Notand V Hλ = µ =

[µ1

µ2

], UHy = z =

[z1

z2

]cu µ1, z1 ∈ Cr si µ2 ∈ Ck−r, z2 ∈

Cn−r expresia functionalei obiectiv devine

Φ(λ) = ‖UHy − ΣV Hλ‖22 = ‖

[z1

z2

]− Σ

[µ1

µ2

]‖2

2 =

= ‖[z1

z2

]−[

Σ1µ1

0

]‖2

2 = ‖z1 − Σ1µ1‖22 + ‖z2‖2

2.

Aceasta expresie este minima pentru z1 − Σ1µ1 = 0 sau µ1 = Σ−11 z1.

Norma euclidiana a lui λ

‖λ‖2 = ‖V µ‖2 = ‖µ‖2 = (‖µ1‖22 + ‖µ2‖2

2)12 = (‖Σ−1

1 z1‖22 + ‖µ2‖2

2)12

este minima pentru µ2 = 0.Asadar

λ = V µ = V

[Σ−1

1 z1

0

]= V

[Σ−1

1 00 0

] [z1

z2

]= V

[Σ−1

1 Or,k−rOn−r,r On−r,k−r

]UHy.

Punand ın evidenta coloanele metricelor U = [u1 . . . un] si V = [v1 . . . vk],expresia solutiei de norma minima a elementului de aproximare construit prinmetoda celor mai mici patrate devine

λ =r∑j=1

uHj y

σjvj.

17.4 Sistemelor algebrice de ecuatii liniare si DVS

Fie A ∈Mm,n(C) avand DVS

UHAV = Σ =

[D Or,n−r

Om−r,r Om−r,n−r

]⇔ A = UΣV H

unde D = diag(σ1, . . . , σr), cu σi > 0, ∀i ∈ 1, . . . , r si b ∈ Cn.Daca

b ∈ Im(A) ⇔ b =r∑i=1

βiui = U

[β

On−r,1

]atunci sistemul algebric de ecuatii liniare Ax = b este compatibil. Prin β s-anotat vectorul (β1, . . . , βr)

T .

17.5. PSEUDOINVERSA UNEI MATRICE 405

Tinand seama de DVS sistemul algebric devine

U

[D Or,n−r

Om−r,r Om−r,n−r

]V Hx = U

[β

On−r,1

]. (17.5)

La fel ca ın sectiunea precedenta s-a notat V Hx = µ =

[µ1

µ2

]si (17.5) revine la

Dµ1 = β de unde µ1 = D−1β.

Atunci

x = V µ = V

[D−1βµ2

]= V

[D−1 Or,n−rOm−r,r Om−r,n−r

]UHb+ V

[Or,1

µ2

]. (17.6)

Primul termen din (17.6) este o solutie a sistemului Ax = b iar al doilea termeneste un element oarecare din Ker(A), µ2 nefiind precizat.

17.5 Pseudoinversa unei matrice

Fie X ∈Mn,k(C) si U ∈Mn(C) si V ∈Mk(C) astfel ıncat

UHXV = Σ =

[Σ1 Or,k−r


].

Matricea Σ1 = diag(σ1, . . . , σr) este inversabila si Σ−11 = diag( 1

σ1, . . . , 1

σr).

Atunci X = U

[Σ1 Or,k−r


]V H .

Matricea

X† = V

[Σ−1

1 Or,n−rOk−r,r Ok−r,n−r

]UH .

se numeste pseudoinversa matricei X -(Moore-Penrose).


1. XX†X = X

2. X†XX† = X†

3. (XX†)H = XX†

4. (X†X)H = X†X


Teorema 17.5.2 Daca X ∈ Mn,k(C) (n ≥ k) si r = k, adica descompunereavalorii singulare este

UHXV =

[Σ1

On−r,k

],

atunci X† = (XHX)−1XH .


X = U

[Σ1

On−r,k

]V H ,

XHX = V [Σ1 Ok,n−k]UHU

[Σ1

On−r,k

]V H = V Σ2

1VH ,

(XHX)−1XH = V Σ−21 V HV [Σ1 Ok,n−k]U

H = V [Σ−11 Ok,n−k]U

H = X†.

Conditia r = k are loc daca rangul matricei XHX ∈Mk(C) este k.

17.6 Norma unei matrice si DVS

Fie X ∈Mn,k(C) pentru care are loc DVS

UHXV = Σ =

[Σ1 Or,k−r


]⇔ X = U

[Σ1 Or,k−r


]V H .

Pentru x ∈ Ck are loc reprezentarea x =∑k

i=1(vHi x)vi, de unde

‖x‖22 =

k∑i=1

|vHi x|2.

Calculam Xx =∑r

i=1 σi(vHi x)ui si ın continuare

‖Xx‖22 =

r∑i=1

σ2i |vHi x|2 ≤ σ2

1

r∑i=1

|vHi x|2 ≤ σ21‖x‖2

2,

adica ‖Xx‖2 ≤ σ1‖x‖2. Deoarece x a fost arbitrar are loc inegalitatea ‖X‖2 ≤ σ1.Pe de alta parte Xv1 = σ1u1 ⇒ ‖Xv1‖2 = σ1.

Din relatiileσ1 = ‖Xv1‖ ≤ ‖X‖2‖v1‖2 = ‖X‖2 ≤ σ1

rezulta ca ‖X‖2 = σ1.

17.7. NUMARUL DE CONDITIONARE SI DVS 407

17.7 Numarul de conditionare si DVS

Fie A ∈ Mn(C) o matrice inversabila. Numarul de conditionare a matricei Aeste k(A) = ‖A‖ ‖A−1‖, unde ‖ · ‖ este o norma matriceala.

Presupunem ca DVS matricei A este

UHAV = Σ = diag(σ1, . . . , σn)

cu σ1 ≥ σ2 ≥ . . . σn > 0. (Ker(A) = 0 !). Atunci A = UΣV H de unde DVSmatricei A−1 este A−1 = V Σ−1UH .

Datorita egalitatilor ‖A‖2 = σ1 si ‖A−1‖2 = 1σn

rezulta ca k(A) = σ1σn.

Capitolul 18

Spatii Krylov

18.1 Definitia spatiului Krylov

Fie A ∈Mn(R) si x ∈ Rn.

Definitia 18.1.1 Se numeste spatiu Krylov de ordin k atasat matricei A si vec-torului x subspatiul liniar

Kk(A, x) = spanx,Ax, . . . , Ak−1x.

18.2 Descompunerea Arnoldi

Utilizand metoda Gram-Schmidt construim o baza ortonormata spatiului KrylovKk(A, x).

Fie u1 = x‖x‖2 . In continuare, definim

h2,1u2 = Au1 − h1,1u1 (18.1)

h3,2u3 = Au2 − h1,2u1 − h2,2u2

...

hj+1,juj+1 = Auj − h1,ju1 − h2,ju2 − . . .− hj,juj...

hk+1,kuk+1 = Auk − h1,ku1 − h2,ku2 − . . .− hj,kuj − . . .− hk,kuk

Din conditia de ortogonalitate uTi uj+1 = 0 deducem

hi,j = uTi Auj ∀j ∈ 1, 2, . . . , j

409

410 CAPITOLUL 18. SPATII KRYLOV

iar din conditia de normalitate ‖uj+1‖2 = 1 gasim

hj+1,j = ‖Auj −j∑i=1

hi,jui‖2.

Relatiile (18.1) se scriu

Au1 = h1,1u1 + h2,1u2 (18.2)

Au2 = h1,2u1 + h2,2u2 + h3,2u3

...

Auk = h1,ku1 + h2,ku2 + . . .+ hk,kuk + hk+1,kuk+1

Ansamblul relatiilor (18.2) se pot scrie sub forma

A[u1 u2 . . . uk] = [u1 u2 . . . uk]

h1,1 h1,2 . . . h1,k−1 h1,k

h2,1 h2,2 . . . h2,k−1 h2,k

0 h3,2 . . . h3,k−1 h3,k...

.... . .

......

0 0 . . . hk,k−1 hk,k

+ (18.3)

+hk+1,k[0, . . . , 0︸︷︷︸k−1

, uk+1]

sau

A[u1 u2 . . . uk] = [u1 u2 . . . uk+1]

h1,1 h1,2 . . . h1,k−1 h1,k

h2,1 h2,2 . . . h2,k−1 h2,k

0 h3,2 . . . h3,k−1 h3,k...

.... . .

......

0 0 . . . hk,k−1 hk,k0 0 . . . 0 hk+1,k

. (18.4)

Introducand matricele

Uk = [u1 . . . uk] Hk =

h1,1 h1,2 . . . h1,k−1 h1,k

h2,1 h2,2 . . . h2,k−1 h2,k

0 h3,2 . . . h3,k−1 h3,k...

.... . .

......

0 0 . . . hk,k−1 hk,k

∈Mk(R)

18.2. DESCOMPUNEREA ARNOLDI 411

Uk+1 = [u1 . . . uk uk+1] Hk+1,k =

h1,1 h1,2 . . . h1,k−1 h1,k

h2,1 h2,2 . . . h2,k−1 h2,k

0 h3,2 . . . h3,k−1 h3,k...

.... . .

......

0 0 . . . hk,k−1 hk,k0 0 . . . 0 hk+1,k

relatiile (18.3) si (18.4) se scriu respectiv

AUk = UkHk + hk+1,kuk+1e(k)T

k (18.5)

si respectivAUk = Uk+1Hk+1,k. (18.6)

e(k)k reprezinta vectorul din baza canonica a spatiului liniar Rk.

Relatiile (18.5) si (18.6) se numesc descompuneri Arnoldi a spatiului KrylovKk(A, x).

Matricele Uk si Uk+1 sunt ortogonale. Inmultind (18.5) si (18.6) la stanga cuUTk si respectiv UT

k+1 obtinem

UTk AUk = Hk, (18.7)

respectivUTk+1AUk = Hk+1,k. (18.8)

Observatia 18.2.1 Matricea Hk este o matrice Hessenberg.

Algoritmul pentru calculul matricelor Uk+1 si Hk+1,k este dat ın Fig. 17.

Cazul matricelor simetrice. Daca A ∈ Mn(R) este o matrice simetricaatunci, din (18.7) rezulta ca Hk este o matrice simetrica si din faptul ca este omatrice Hessenberg urmeaza ca este tridiagonala

Hk = Tk =

α1 β1 0 . . . 0β1 α2 β2

0 β2 α3...

. . .

αk−1 βk−1

0 βk−1 αk

.

Din egalitatea UTk AUk = Tk se deduc egalitatile

αi = uTi Aui,

βi = uTi Aui+1, i = 1, 2, . . . , k,


Algorithm 17

1: procedure [u, h]=Arnoldi(A, x, k)2: u1 ← x

‖x‖23: for i = 1 : k do4: v ← Aui5: for j = 1 : k do6: if j=i then7: w ← ui8: else9: w ← uj

10: end if11: hj,i ← uTi Aw12: v ← v − hj,iw13: end for14: hi+1,i ← ‖v‖2

15: ui+1 ← vhi+1,i


iar din AUk = UkTk + hk+1,kuk+1eTk rezulta

β1u2 = Au1 − α1u1

β2u3 = Au2 − α2u2 − β1u1

. . .

βiui+1 = Aui − αiui − βi−1ui−1

. . .

βk−1uk = Auk−1 − αk−1uk−1 − βk−2uk−2

hk+1,kui+1 = Auk − αkuk − βk−1uk−1.

De aici βi = ‖Aui − αiui − βi−1ui−1‖2.

Sunt astfel justificate relatiile din algoritmul lui Lanczos pentru construireabazei ortogonale a spatiului Krylov Kk(A, u) (Fig. 18).

Daca A ∈ Mn(R) este o matrice simetrica si k = n atunci algoritmul luiLanczos construieste o matrice tridiagonala similara matricei A.

18.3. REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE DE ECUATII LINIARE 413

Algorithm 18

1: procedure [u, α, β]=Lanczos(A, u0, k)2: u1 ← u0

‖u0‖23: for i = 1 : k do4: αi ← uTi Aui5: if i=1 then6: z ← Aui − αiui7: else8: z ← Aui − αiui − βi−1ui−1

9: end if10: βi ← ‖z‖2

11: ui+1 ← zβi


18.3 Rezolvarea sistemelor algebrice de ecuatii

liniare

Fie A ∈Mn(R), b ∈ Rn si sistemul algebric de ecuatii liniare

Ax = b. (18.9)

Vom determina o aproximatie xk ∈ Rn a solutiei sistemului (18.9) ın spatiulKrylov Kk(A, b). Metoda este eficienta ın cazul ın care dimensiunea n este mare.

In cazul matricei A nesingulare, solutia sistemului (18.9) apartine spatiuluiKrylov Km(A, b), unde m este gradul polinomului minimal asociat matricei A.Intr-adevar, daca

ϕ(x) = c0 + c1x+ . . .+ cmxm

este polinomul minimal asociat matricei A, adica polinomul de grad minim pentrucare

ϕ(A) = c0I + c1A+ . . .+ cmAm = 0

atunci

A−1 = − 1

c0

(c1I + c2A+ . . .+ cmAm−1)

si ın consecinta

x = A−1b = − 1

c0

(c1b+ c2Ab+ . . .+ cmAm−1b) ∈ Km(A, b).


Observatia 18.3.1 In cazul unei matrice A singulare, ın ipoteza compatibilitatiisistemului (18.9), solutia acesteia poate sa nu apartina nici unui spatiu KrylovKk(A, b).

Justificam observatia ın cazul unei matrice A ∈ Mn(R) nilpotente de ordinm > 1 : Ak = 0, ∀k ≥ m, dar Am−1 6= 0. In acest caz A este o matrice singularadeoarece |Am| = |A|m = 0.

Fie b ∈ RN , b 6= 0 astfel ıncat sistemul (18.9) sa fie compatibil si sa pre-supunem prin absurd ca x ∈ Km(A, b). Atunci x = c0b + c1Ab + . . . cm−1A

m−1bsi

Ax = c0Ab+ c1A2b+ . . .+ cm−2A

m−1b = b

sau(I − c0A− c1A

2 − . . .− cm−2Am−1)b = 0. (18.10)

Matricea D = I− c0A− c1A2− . . .− cm−2A

m−1 este nesingulara deoarece singuravaloare proprie este 1. Intr-adevar, fie (λ, z) o pereche proprie a matricei D,

Dz = λz. (18.11)

Deoarece matricea A este nilpotenta de ordin m, exista un cel mai mic indicei ∈ 1, . . . ,m − 1 astfel ıncat Aiz 6= 0 si Ajz = 0,∀j > i. Inmultind (18.11) lastanga cu Ai obtinem

(1− λ)Aiz = 0,

de unde λ = 1.Atunci, din (18.10) urmeaza ca b = 0, ın contradictie cu alegerea lui b.

18.3.1 Varianta Ritz-Galerkin

Aproximatia xk ∈ Kk(A, b) se determina din conditia de ortogonalitate

b− Axk⊥Kk(A, b) (18.12)

Daca (ui)1≤i≤k+1 este un sistem de vectori ortonormati pentru care are loc de-scompunerile Arnoldi (18.5) si (18.6) atunci conditia de ortogonalitate se poatescrie

UTk (b− Axk) = 0, (18.13)

unde Uk = [u1u2 . . . uk]. Tinand seama de faptul ca u1 = b‖b‖2 din (18.13) urmeaza

caUTk Axk = UT

k b = ‖b‖2UTk u1 = ‖b‖2e

(k)1 . (18.14)

18.3. REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE DE ECUATII LINIARE 415

Indicele superior precizeaza dimensiunea vectorului.

Deoarece xk se reprezinta sub forma xk = Ukξk cu relatia (18.14) devine

UTk AUkξk = ‖b‖2e

(k)1 ,

si ın virtutea lui (18.5)

Hkξk = ‖b‖2. (18.15)

Astfel rezolvarea sistemului (18.9), de dimensiune n s-a redus la rezolvarea unuisistem algebric de ecuatii liniare de dimensiune k.

18.3.2 Varianta reziduului minimal

Aproximatia xk se determina ca solutia problemei de optimizare

‖b− Axk‖2 = minx∈Kk(A,b)

‖b− Ax‖2 (18.16)

Din u1 = b‖b‖2 deducem

b = ‖b‖2u1 = ‖b‖2Uk+1e(k+1)1 , e

(k+1)1 ∈ Rk+1.

Un element x ∈ Kk(A, b) se reprezinta prin x = Uky, cu y ∈ Rk si utilizand (18.6)deducem

Ax = AUky = Uk+1Hk+1,ky.

Astfel functionala cost devine

‖b− Ax‖2 = ‖ ‖b‖2Uk+1e(k+1)1 − Uk+1Hk+1,ky‖2 =

= ‖Uk+1(‖b‖2e(k+1)1 −Hk+1,ky)‖2 = ‖(‖b‖2e

(k+1)1 −Hk+1,ky‖2.

Utilizand tehnica dezvoltata pentru determinarea elementului de aproximare prinmetoda celor mai mici patrate, determinam yk ∈ Rk+1 ce minimizeaza ‖(‖b‖2e

(k+1)1 −

Hk+1,ky‖2.

Daca factorizarea QR a matricei Hk+1,k este Hk+1,k = QR atunci yk va fi

solutia sistemului Ry = ‖b‖2QT e

(k+1)1 .

Acesta metoda de rezolvare a unui sistem algebric de ecuatii liniare este den-umita GMRES (Generalized Minimum RESidual).


18.4 Calculul valorilor si vectorilor propri

Fie A ∈ Mn(R). Vom gasi o aproximatie a unei perechi propri (λ, x) deter-minand o pereche proprie (λ, z) a matricei Hk, ce apare ın descompunerea Arnoldi(18.5)

Hk = λz

si definind x = Ukz.Atunci din (18.5) rezulta

AUkz = UkHkz + hk+1,kuk+1e(k)k

Tz,

de undeAx = λx+ hk+1,kuk+1zk.

Eroarea aproximarii (λ, x) este data de ‖Ax− λx‖2 = |hk+1,k| |zk|.

18.5 Calculul elementului de cea mai buna

aproximatie prin elementele unui spatiu Krylov

Ne propunem sa determinam elementul de cea mai buna aproximatie a unuielement z ∈ Rn prin elementele subspatiului Kk(A, x). Presupunem ca s-a con-struit descompunerea Arnoldi (18.5). Daca y = Ukc este elementul de cea maibuna aproximatie a lui x prin elementele multimii Kk(A, x) atunci din conditia

y − z ∈ Kk(A, x)⊥ ⇔ uTj (y − z) = 0, ∀j ∈ 1, . . . , k ⇔ UTk (y − z) = 0

deducem UTk (Ukc− z) = 0, de unde c = UT

k z si ın consecinta y = UkUTk z.

Partea III

REZOLVAREA ECUATIILORNELINIARE

417

Capitolul 19

Rezolvarea ecuatiilor neliniare

Rezolvarea numerica a unei ecuatii neliniare revine la utilizarea unei formulede recurenta. Formula de recurenta este

• fara memorie: xk+1 este functie de xk, xk+1 = ϕ(xk), ∀k ∈ N;

• cu memorie: xk+1 este functie de xk, xk−1, . . . ;

• stationara: functia de recurenta nu depinde de indicele de recurenta;

• nestationara: functia de recurenta depinde de indicele de recurenta, xk+1 =ϕk(xk) sau xk+1 = ϕk(xk, xk−1, . . .).

Un cadru pentru verificarea convergentei metodelor de rezolvare a ecuatiiloralgebrice este dat de Teorema H.0.8, potrivit careia convergenta are loc ın ipotezaalegerii convenabile a aproximatiei initiale.

In multe cazuri sunt cunoscute rezultate mai cuprinzatoare.

19.1 Metoda liniarizarii (Newton – Kantorovici)

Fie X un spatiu Banach si T : X → X un operator diferentiabil Frechet. Nepropunem sa rezolvam ecuatia

T (x) = 0. (19.1)

Sa presupunem ca ecuatia (19.1) are o solutie x∗. Daca x ∈ X este o aproximatiea lui x∗ atunci din diferentiabilitatea operatorului T rezulta

0 = T (x∗) = T (x) + T ′(x)(x∗ − x) + ‖x∗ − x‖w(x, x∗ − x). (19.2)

419

420 CAPITOLUL 19. REZOLVAREA ECUATIILOR NELINIARE

Liniarizand, adica neglijand ultimul termen, (19.2) se scrie

0 ≈ T (x) + T ′(x)(x∗ − x).

Vom nota cu y solutia ecuatiei

0 = T (x) + T ′(x)(y − x),

si cu ideea ca y este o aproximatie mai buna decat x, construim sirul de aproximatii

0 = T (xk) + T ′(xk)(xk+1 − xk), (19.3)

sau, ın cazul inversabilitatii operatorului T ′(xk)

xk+1 = xk − [T ′(xk)]−1T (xk). (19.4)

Metoda de rezolvare a ecuatiei (19.1) corespunzauare formulei (19.4) este cunos-cuta si sub numele de metoda Newton - Kantorovici.

Teorema urmatoare fixeaza conditii suficiente pentru existenta unei solutiiizolate x∗ a ecuatiei (19.1), dand regiunea ın care solutia este unica si eroareaaproximatiei xk.

Teorema 19.1.1 Fie X un spatiu Banach, T : X → X un operator diferentiabilFrechet si x0 ∈ X. Presupunem ca exista numerele pozitive B0, K, η0 astfel ıncatau loc conditiile

• ∃[T ′(x0)]−1 si ‖[T ′(x0)]−1‖ ≤ B0;

• x1 = x0 − [T ′(x0)]−1T (x0) si ‖x1 − x0‖ ≤ η0;

• ∃T ′′(x) ∀x ∈ B(x0, r) si ‖T ′′(x)‖ ≤ K, r0 < r.

Daca h0 = η0KB0 ≤ 12

atunci sirul (xk)k∈N construit prin formula de recurenta(19.4) converge catre o solutie x∗ a ecuatiei (19.1).

Aceasta solutie este unica ın bila B(x0, r0), unde r0 = 1−√

1−2h0h0

η0.

Eroarea aproximatiei xk este data de inegalitatea

‖xk − x∗‖ ≤ 1

2k−1(2h0)2k−1η0. (19.5)

Demonstratie. 1. Aratam la ınceput ca pentru orice k ∈ N exista xk+1, definitprin formula de recurenta (19.4). Aceasta problema se ridica deoarece trebuie

19.1. METODA LINIARIZARII 421

inversat operatorul T ′(xk). Justificarea o facem doar pentru k = 1, rationamentulfacandu-se ın continuare analog, pe baza inductiei matematice.

Existenta inversei se bazeaza pe Teorema I.2.2. Cu notatiile acestei teoreme,alegem

L = T ′(x1) K = [T ′(x0)]−1

si trebuie verificata conditia ‖I −KL‖ < 1. In cazul de fata

‖I − [T ′(x0)]−1T ′(x1)‖ = ‖[T ′(x0)]−1(T ′(x0)− T ′(x1))‖ ≤

≤ ‖[T ′(x0)]−1‖ ‖(T ′(x0)− T ′(x1))‖.

Aplicand Teorema H.0.5, inegalitatea anterioara devine

‖I − [T ′(x0)]−1T ′(x1)‖ ≤ B0K‖x1 − x0‖ ≤ η0KB0 = h0 ≤1

2< 1. (19.6)

Prin urmare, operatorul T ′(x1) este inversabil si potrivit Teoremei I.2.2, au locrelatiile

[T ′(x1)]−1 =∞∑k=0

(I − [T ′(x0)]−1T ′(x1))k[T ′(x0)]−1, (19.7)

‖[T ′(x1)]−1‖ ≤ ‖[T ′(x0)]−1‖1− ‖I − [T ′(x0)]−1T ′(x1)‖

≤ B0

1− h0

def= B1. (19.8)

2. Aratam ca ın x1 au loc conditii asemanatoare celor presupuse a avea loc ınx0.

Deoarece x2 = x1 − [T ′(x1)]−1T (x1),

x2 − x1 = −[T ′(x1)]−1T (x1) = −∞∑k=0

(I − [T ′(x0)]−1T ′(x1))k[T ′(x0)]−1T (x1).

Prin urmare

‖x2 − x1‖ ≤∞∑k=0

‖I − [T ′(x0)]−1T ′(x1)‖k ‖[T ′(x0)]−1T (x1)‖.

Folosind (19.6) obtinem

‖x2 − x1‖ ≤∞∑k=0

hk0‖[T ′(x0)]−1T (x1)‖ =1

1− h0

‖[T ′(x0)]−1T (x1)‖. (19.9)


Fie operatorul F0 : X → X definit prin F0(x) = x− [T ′(x0)]−1T (x). Atunci

F0(x0) = x1

F ′0(x) = I − [T ′(x0)]−1T ′(x) F ′0(x0) = 0F ′′0 (x) = −[T ′(x0)]−1T ′′(x) ‖F ′′0 (x)‖ ≤ B0K.

Din egalitatea F0(x1) = x1 − [T ′(x0)]−1T (x1) se deduce

T ′(x0)]−1T (x1) = x1 − F0(x1) = −(F (x1)− F (x0)− F ′0(x0)(x1 − x0)).

Aplicand din nou Teorema H.0.5 se obtine

‖T ′(x0)]−1T (x1)‖ = ‖F (x1)− F (x0)− F ′0(x0)(x1 − x0))‖ ≤

≤ 1

2sup

x∈B(x0,r)

‖F ′′0 (x)‖ ‖x1 − x0‖2 ≤ 1

2η2

0KB0 =1

2η0h0.

Revenind ın (19.9) avem

‖x2 − x1‖ ≤ 1

1− h0

‖[T ′(x0)]−1T (x1)‖ ≤ η0h0

2(1− h0)def= η1. (19.10)

Fie h1def= η1KB1. Din (19.8), (19.10) se obtine

h1 =h2

0

2(1− h0)2≤ 1

2. (19.11)

Fie r1def= 1−

√1−2h1h1

η1. Pe baza formulelor de recurenta pentru η1 si h0 se obtine

egalitatea r1 = r0 − η0, ce implica B(x1, r1) ⊆ B(x0, r0). Intr-adevar, daca x ∈B(x1, r1) atunci

‖x− x0‖ ≤ ‖x− x1‖+ ‖x1 − x0‖ ≤ r1 + η0 = r0.

3. In felul acesta, existenta sirului (xk)k∈N este dovedita, mai mult pentruorice k ∈ N au loc afirmatiile

• ∃[T ′(xk)]−1 si ‖[T ′(xk)]−1‖ ≤ Bk = Bk−1

1−hk−1;

• xk+1 = xk − [T ′(xk)]−1T (xk) si ‖xk+1 − xk‖ ≤ ηk = ηk−1hk−1

2(1−hk−1);

• hk = ηkKBk =h2k−1

2(1−hk−1)2≤ 1

2;

19.1. METODA LINIARIZARII 423

• rk =1−√

1−2hk−1

hk−1ηk−1 si B(xk, rk) ⊆ B(xk−1, rk−1).

4. Au loc inegalitatile

hk ≤ 2h2k−1 (19.12)

ηk ≤ ηk−1hk−1 (19.13)

rk ≤ 2ηk (19.14)

a caror demonstratie revine la reducerea la ipoteza teoremei hk ≤ 12.

Aplicata succesiv, inegalitatea (19.12) implica

hk ≤ 2h2k−1 ≤ 2(2h2

k−2)2 = 21+2h22

k−2 ≤ . . . (19.15)

≤ 21+2+...+2k−1

h2k

0 =1

2(2h0)2k .

Din (19.13) deducem succesiv

ηk ≤ ηk−1hk−1 ≤ ηk−2hk−2hk−1 ≤ . . . ≤ η0h0h1 . . . hk−1

si utilizand (19.15), se gaseste

ηk ≤ η01

2(2h0)

1

2(2h0)2 . . .

1

2(2h0)2k−1

=1

2k(2h0)1+2+...+2k−1

η0 =1

2k(2h0)2k−1η0.

Din xk+p ∈ B(xk+p, rk+p) ⊆ B(xk, rk) rezulta

‖xk+p − xk‖ ≤ rk ≤1

2k−1(2h0)2k−1η0, ∀k ∈ N, (19.16)

adica (xk)k∈N este un sir fundamental, deci convergent.5. Fie x∗ = limk→∞ x

k. Trecand la limita ın formula de recurenta (19.4) scrisasub forma T ′(xk)(xk+1 − xk) = −T (xk) se obtine T (x∗) = 0.

Pentru p→∞ din (19.16) rezulta evaluarea erorii (19.5).6. Pentru a demonstra unicitatea solutiei ecuatiei (19.1) ın bila B(x0, r0)

presupunem prin absurd ca exista ın plus y∗ ∈ B(x0, r0) astfel ıncat T (y∗) = 0.Fie operatori Fk : X → X definiti prin Fk(x) = x− [T ′(xk)]−1T (x). Atunci

Fk(xk) = xk+1

F ′k(x) = I − [T ′(xk)]−1T ′(x) F ′k(xk) = 0

F ′′k (x) = −[T ′(xk)]−1T ′′(x) ‖F ′′k (x)‖ ≤ BkK.

Prin inductie matematica aratam ca

xk ∈ B(y∗, rk) ⇔ ‖y∗ − xk‖ ≤ rk. (19.17)


Etapa de verificare, k = 0.

y∗ ∈ B(x0, r0) ⇔ ‖y∗ − x0‖ ≤ r0 ⇔ x0 ∈ B(y∗, r0).

Etapa de demonstratie. Presupunand ca

xk ∈ B(y∗, rk) ⇔ ‖y∗ − xk‖ ≤ rk

deducem succesiv

‖y∗ − xk+1‖ = ‖Fk(y∗)− Fk(xk)− F ′k(xk)(y∗ − xk)‖ ≤

≤ 1

2sup

z∈[xk,y∗]

‖F ′′k (z)‖ ‖y∗ − xk‖2 ≤ 1

2BkKr

2k = rk+1,

adica xk+1 ∈ B(y∗, rk+1).Pentru k →∞, din (19.17) rezulta x∗ = y∗.

19.2 Metoda liniarizarii modificata

In locul formulei de recurenta (19.4) se considera formula

x = x0

xk+1 = xk − [T ′(x0)]−1T (xk) k ∈ N. (19.18)

Astfel se elimina necesitatea inversarii, ın cadrul iteratiilor iteratii k > 0, a oper-atorului T ′(xk). Acest fapt are ca efect micsorarea vitezei de convergenta.

Metoda corespunzatoare formulei (19.18) este numita metoda liniarizarii (New-ton - Kantorovici) modificata.

Se observa ca x1 = x1. Convergenta procedeului este data de teorema

Teorema 19.2.1 Fie X un spatiu Banach, T : X → X un operator diferentiabilFrechet si x0 ∈ X. Presupunem ca exista numerele pozitive B0, K, η0 astfel ıncatau loc conditiile

• ∃[T ′(x0)]−1 si ‖[T ′(x0)]−1‖ ≤ B0;

• x1 = x0 − [T ′(x0)]−1T (x0) si ‖x1 − x0‖ ≤ η0;

• ∃T ′′(x) ∀x ∈ B(x0, r) si ‖T ′′(x)‖ ≤ K, η0 < r.

19.2. METODA LINIARIZARII MODIFICATA 425

Daca h0 = η0KB0 <12

atunci sirul (xk)k∈N construit prin formula de recurenta(19.18) converge catre solutia x∗ a ecuatiei (19.1).Eroarea aproximatiei xk este data de inegalitatea

‖xk − x∗‖ ≤ 2η0h0(1−√

1− 2h0)k−1. (19.19)

Demonstratie. Folosim din nou de operatorul F0 : X → X definit prin F0(x) =x− [T ′(x0)]−1T (x) si cu proprietatile

F0(xk) = xk+1 ∀k ∈ NF0(x∗) = x∗

F ′0(x) = I − [T ′(x0)]−1T ′(x) F ′0(x0) = 0F ′′0 (x) = −[T ′(x0)]−1T ′′(x) ‖F ′′0 (x)‖ ≤ B0K.

Daca M = B(x0, r0) ∩B(x∗, ‖x1 − x∗‖) atunci F (M) ⊆M.Intr-adevar, daca x ∈M atunci

•‖F0(x)− x0‖ ≤ ‖F0(x)− x1‖+ ‖x1 − x0‖ =

= ‖F0(x)− F0(x0)− F ′0(x0)(x− x0)‖+ ‖x1 − x0‖ ≤

≤ 1

2‖x− x0‖2 sup

z∈[x0,x]

‖F ′′0 (z)‖+ η0 ≤1

2r2

0B0K + η0 = r0,

adica F0(x) ∈ B(x0, r0).

•‖F0(x)− x∗‖ = ‖F0(x)− F0(x∗)‖ ≤ ‖x− x∗‖ sup

z∈[x,x∗]

‖F ′0(z)‖.

Dearece z = θx+ (1− θ)x∗, θ ∈ [0, 1], utilizand evaluarea

‖F ′0(z)‖ = ‖F ′0(z)− F ′0(x0)‖ ≤ ‖z − x0‖ supy∈[x0,z]

‖F ′′0 (y)‖ ≤

≤ B0K‖θx+ (1− θ)x∗ − x0‖ = B0K‖θ(x− x0) + (1− θ)(x∗ − x0)‖ ≤≤ B0K(θ‖x− x0‖+ (1− θ)‖x∗ − x0‖) ≤≤ B0K max‖x− x0‖, ‖x∗ − x0‖ ≤ B0Kr0,

inegalitatea anterioara devine

‖F0(x)− x∗‖ ≤ B0Kr0‖x− x∗‖ = (1−√

1− 2h0)‖x− x∗‖ ≤

≤ (1−√

1− 2h0)‖x1 − x∗‖,adica F0(x) ∈ B(x∗, ‖x1 − x∗‖).


Retinem inegalitatea

‖F0(x)− x∗‖ ≤ (1−√

1− 2h0)‖x− x∗‖, ∀x ∈M. (19.20)

Aplicand succesiv (19.20), rezulta

‖xk − x∗‖ = ‖F0(xk−1)− F0(x∗)‖ ≤ (19.21)

≤ (1−√

1− 2h0)‖xk−1 − x∗‖ ≤ . . . ≤ (1−√

1− 2h0)k−1‖x1 − x∗‖.Din (19.5), deducem ‖x1 − x∗‖ = ‖x1 − x∗‖ ≤ 2h0η0, cu care (19.21) devine(19.19). Din aceasta inegalitate rezulta convergenta sirului (xk)k∈N catre x∗.

19.3 Rezolvarea numerica a sistemelor

algebrice de ecuatii neliniare

Fie D un domeniu convex din Rn si T1, . . . , Tn : D → R n functii avandderivate partiale de ordinul ıntai si doi continue. Consideram sistemul algebic den ecuatii neliniare cu necunoscutele x1, . . . , xn :

T1(x1, . . . , xn) = 0. . .Tn(x1, . . . , xn) = 0

(19.22)

si dorim sa determinam o solutie a sistemului, adica un element x∗ = (x∗1, . . . , x∗n) ∈

D astfel ıncat Ti(x∗) = Ti(x

∗1, . . . , x

∗n) = 0, i = 1, . . . , n. In cazul n = 1 se

foloseste termenul de ecuatie ın locul celui de sistem.Definind operatorul T : D → Rn prin

T (x) =

T1(x). . .Tn(x)

, x = (x1, . . . , xn),

sistemul (19.22) se rescrie sub forma (19.1).In acest cadru se poate da o demonstratie mai simpla teoremei de convergenta

pentru metoda liniarizarii.

Teorema 19.3.1 Daca T ′ este lipschitziana, adica

∃L > 0 astfel ıncat ‖T (y)− T (x)‖ ≤ L‖x− y‖, ∀x, y ∈ D,

atunci

19.3. REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE NELINIARE 427

1.

T (y)− T (x) =

∫ 1

0

T ′(x+ t(y − x))(y − x)dt, ∀x, y ∈ D;

2.

‖T (y)− T (x)− T ′(x)(y − x)‖ ≤ L

2‖y − x‖2, ∀x, y ∈ D.

Demonstratie. 2. Din

T (y)− T (x)− T ′(x)(y − x) =

∫ 1

0

T ′(x+ t(y − x))(y − x)dt− T ′(x)(y − x) =

=

∫ 1

0

(T ′(x+ t(y − x))− T ′(x))(y − x)dt

se deduc succesiv inegalitatile

‖T (y)− T (x)− T ′(x)(y − x)‖ ≤ ‖∫ 1

0

(T ′(x+ t(y − x))− T ′(x))(y − x)dt‖ ≤

≤∫ 1

0

‖T ′(x+t(y−x))−T ′(x))(y−x)‖dt ≤∫ 1

0

‖T ′(x+t(y−x))−T ′(x))‖‖(y−x)‖dt ≤

≤ L‖y − x‖2

∫ 1

0

tdt =L

2‖y − x‖2.

Teorema 19.3.2 Fie D ∈ Rn un domeniu convex si

1. F : D → Rn o functie diferentiabila astfel ıncat exista L > 0 pentru care‖T (y)− T (x)‖ ≤ L‖x− y‖, ∀x, y ∈ D;

2. x∗ este o solutie a ecuatiei T (x) = 0 pentru care matricea T ′(x∗) este in-versabila si ‖[T ′(x∗)]−1‖ < α;

3. x0 ∈ D astfel ıcat ‖x0 − x∗‖ < δ.

Daca αδL < 12

atunci se poate construi sirul (xn)n∈N prin metoda liniarizarii,xn+1 = xn − [T ′(xn)]−1T (xn), n ∈ N. Sirul converge catre x∗.

Demonstratie. Pentru ‖x−x∗‖ ≤ δ, potrivit Teoremei 14.1.2, deoarece ‖[T ′(x∗)]−1‖ <α si ‖T (x)−T (x∗)‖ ≤ L‖x−x∗‖ ≤ Lδ rezulta ca operatorul T ′(x) este inversabilsi ‖[T ′(x)]−1‖ ≤ α

1−αδL .


Prin urmare, daca ‖xn − x∗‖ < δ atunci T ′(xn) este inversabil.Aratam ca xn+1 = xn− [T ′(xn)]−1T (xn) satisface inegalitatea ‖xn+1−x∗‖ < δ.

Au loc egalitatile

‖xn+1−x∗‖ = ‖xn−[T ′(xn)]−1T (xn)−x∗‖ = ‖xn−x∗−[T ′(xn)]−1(T (xn)−T (x∗))‖ =

= ‖[T ′(xn)]−1(T (xn)− T (x∗)− T ′(xn)(xn − x∗)‖ ≤

≤ ‖[T ′(xn)]−1‖‖(T (xn)− T (x∗)− T ′(xn)(xn − x∗)‖ ≤αL

2(1− αδL)‖xn − x∗‖2 ≤

≤ αδ2L

2(1− αδL)< δ.

Notand k = αL2(1−αδL)

, inegalitatea anterioara se poate scrie

‖xn+1 − x∗‖ ≤ k‖xn − x∗‖2.

Utilizand succesiv aceasta inegalitate, se obtine

‖xn − x∗‖ ≤ k1+2+...+2n−1‖x0 − x∗‖2n =1

k(k‖x0 − x∗‖)2n .

Deoarece k‖x0 − x∗‖ ≤ αδL2(1−αδL)

< 1 rezulta ca limn→∞ ‖xn − x∗‖ = 0.

Pentru rezolvarea sistemului (19.22) vom folosi metoda liniarizarii (Newton –Kantorovici) sau metoda liniarizarii modificata, tratate anterior.

Exemplul 19.3.1 Sa se verifice conditiile Teoremei 19.1.1 ın cazul sistemuluialgebric de ecuatii neliniare

10x1 + x21 − 2x2x3 − 0.1 = 0

10x2 − x22 + 3x1x3 + 0.2 = 0

10x3 + x23 + 2x1x2 − 0.3 = 0

si x0 =

x01

x01

x01

=

000

.

Operatorul T este definit prin T = (T1, T2, T3), unde

T1(x) = T1(x1, x2, x3) = 10x1 + x21 − 2x2x3 − 0.1

T2(x) = T2(x1, x2, x3) = 10x2 − x22 + 3x1x3 + 0.2

T3(x) = T3(x1, x2, x3) = 10x3 + x23 + 2x1x2 − 0.3

19.3. REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE NELINIARE 429

iar

T ′(x) =

∂T1∂x1

(x) ∂T1∂x2

(x) ∂T1∂x3

(x)∂T2∂x1

(x) ∂T2∂x2

(x) ∂T2∂x3

(x)∂T3∂x1

(x) ∂T3∂x2

(x) ∂T3∂x3

(x)

=

2x1 + 10 −2x3 −2x2

3x3 −2x2 + 10 3x1

2x2 2x1 2x3 + 10

.

In cele ce urmeaza se va utiliza norma ‖ · ‖∞.Atunci [T ′(x0)]−1 = (10I)−1 = 0.1I, deci

‖[T ′(x0)]−1‖ = ‖0.1I‖ = 0.1def= B0.

Formulele de recurenta (19.4) corespunzatoare metodei liniarizarii sunt xk+11

xk+11

xk+11

=

xk1xk1xk1

−

−

2xk1 + 10 −2xk3 −2xk23xk3 −2xk2 + 10 3xk12xk2 2xk1 2xk3 + 10

−1

·

10xk1 + (xk1)2 − 2xk2xk3 − 0.1

10xk2 − (xk2)2 + 3xk1xk3 + 0.2

10xk3 + (xk3)2 + 2xk1xk2 − 0.3

.

Pentru k = 0, gasim x1 =

x11

x11

x11

=

0.01−0.020.03

, astfel ıncat ‖x1 − x0‖ =

0.3def= η0.

Diferentiala de ordinul doi T ′′(x) ∈ (R3, (R3,R3)∗)∗ se poate reprezenta prin

T ′′(x) =

=

∂2T1

∂x21(x) ∂2T1

∂x2∂x1(x) ∂2T1

∂x3∂x1(x) ∂2T1

∂x1∂x2(x) ∂2T1

∂x22(x) ∂2T1

∂x3∂x2(x) ∂2T1

∂x1∂x3(x) ∂2T1

∂x2∂x3(x) ∂2T1

∂x23(x)

∂2T2

∂x21(x) ∂2T2

∂x2∂x1(x) ∂2T2

∂x3∂x1(x) ∂2T2

∂x1∂x2(x) ∂2T2

∂x22(x) ∂2T2

∂x3∂x2(x) ∂2T2

∂x1∂x3(x) ∂2T2

∂x2∂x3(x) ∂2T2

∂x23(x)

∂2T3

∂x21(x) ∂2T3

∂x2∂x1(x) ∂2T3

∂x3∂x1(x) ∂2T3

∂x1∂x2(x) ∂2T3

∂x22(x) ∂2T3

∂x3∂x2(x) ∂2T3

∂x1∂x3(x) ∂2T3

∂x2∂x3(x) ∂2T3

∂x23(x)

=

=

2 0 0 0 0 −2 0 −2 00 0 3 0 −2 −2 3 0 00 2 0 2 0 −2 0 0 2

,

interpretat ın sensul

T ′′(x)(h) =


∂2T1∂x2

1

(x)h1 +∂2T1

∂x2∂x1(x)h2 +

∂2T1∂x3∂x1

(x)h3∂2T1

∂x1∂x2(x)h1 +

∂2T1∂x2

2

(x)h2 +∂2T1

∂x3∂x2(x)h3

∂2T1∂x1∂x3

(x)h1 +∂2T1

∂x2∂x3(x)h2 +

∂2T1∂x2

3

(x)h3

∂2T2∂x2

1

(x)h1 +∂2T2

∂x2∂x1(x)h2 +

∂2T2∂x3∂x1

(x)h3∂2T2

∂x1∂x2(x)h1 +

∂2T2∂x2

2

(x)h2 +∂2T2

∂x3∂x2(x)h3

∂2T2∂x1∂x3

(x)h1 +∂2T2

∂x2∂x3(x)h2 +

∂2T2∂x2

3

(x)h3

∂2T3∂x2

1

(x)h1 +∂2T3

∂x2∂x1(x)h2 +

∂2T3∂x3∂x1

(x)h3∂2T3

∂x1∂x2(x)h1 +

∂2T3∂x2

2

(x)h2 +∂2T3

∂x3∂x2(x)h3

∂2T3∂x1∂x3

(x)h1 +∂2T3

∂x2∂x3(x)h2 +

∂2T3∂x2

3

(x)h3

.

Atunci

‖T ′′(x)‖ = sup‖h‖≤1

‖T ′′(x)(h)‖ = sup‖h‖≤1

‖

2h1 −2h3 −2h2

3h3 −2h2 3h1

2h2 2h1 2h3

‖ =

= sup‖h‖≤1

max2|h1|+2|h3|+2|h2|, 3|h3|+2|h2|+3|h1|, 2|h2|+2|h1|+2|h3| ≤ 8def= K.

Prin urmare h0 = η0KB0 = 0.024 < 12.

Observatia 19.3.1

In locul relatiei data de metoda Newton-Kantorovici este util de utilizat urmatoareamodificare: fie xk+1 = xk−[T ′(xk)]−1T (xk) (data de metoda Newton-Kantorovici),noua aproximatie se defineste prin, [42],

xk+1 = λxk+1 + (1− λ)xk = xk − λ[T ′(xk)]−1T (xk).

Se recomanda λ = 10−4.Relatia de mai sus aminteste de schema lui Euler aplicata problemei cu valori

initiale

x(t) = − [T ′(x(t))]−1T (x(t)) (19.23)

x(0) = x0

denumita metoda Newton continua.Din (19.23) rezulta

T ′(x(t))x(t) = −T (x(t)) ⇔ d

dtT (x(t)) = −T (x(t)),

de undeT (x(t)) = T (x0)e−t.

Are loc limita limt→∞ T (x(t)) = 0. Daca exista limt→∞ x(t) = x∞ atunci T (x∞) =0.

19.4. METODA LUI BROYDEN 431

19.4 Metoda lui Broyden

Consideram sistemul (19.22) scris sub forma simpla T (x) = 0. Metoda luiBroyden consta ın aplicarea formulei de recurenta

xk+1 = xk −B−1k T (xk), k ∈ N, (19.24)

unde alegerea matricelor Bk ∈Mn(R) va fi precizata mai jos.Se introduc notatiile

δk = xk − xk−1

∆k = T (xk)− T (xk−1).

Matricele Bk se calculeaza prin recurenta

Bk = Bk−1 +(∆k −Bk−1δ

k)(δk)T

(δk)T δk, k ∈ N∗. (19.25)

Matricea Bk se doreste a fi o aproximatie pentru T ′(xk). Pentru x0, ın lipsa altordate, se ia B0 = In.

Relatia xk = xk−1 − B−1k−1T (xk−1) este echivalenta cu T (xk−1) + Bk−1δ

k = 0.Astfel ∆k −Bk−1δ

k = T (xk)− T (xk−1)−Bk−1δk = T (xk) si (19.25) devine

Bk = Bk−1 +T (xk)(δk)T

(δk)T δk, k ∈ N∗. (19.26)

Se poate indica o justificare formala a formulei (19.25). Se considera problemade optimizare

minB∈ Mn(R)

‖B −Bk−1‖2F

supusa restrictiilor ∆k = Bδk. ‖ · ‖F reprezinta norma Frobenius (13.14).Utilizand metoda multiplicatorilor lui Lagrange se rezolva problema de opti-

mizaremin

B∈ Mn(R)J(B, λ) = ‖B −Bk−1‖2

F + λT (∆k −Bδk) =

=n∑

i,j=1

(Bi,j − (Bk−1)i,j)2 +

n∑i=1

λi(∆ki −

n∑j=1

Bi,jδkj ).


∂J(B, λ)

∂Bp,q

= 2(Bp,q − (Bk−1)p,q)− λpδkq = 0, ∀ p, q ∈ 1, 2, . . . , n,

∂J(B, λ)

λp= ∆k

p −n∑j=1

Bp,jδkj = 0, ∀ p ∈ 1, 2, . . . , n,



∂J(B, λ)

∂B= 2(B − (Bk−1))− λ(δk)T = 0,

∂J(B, λ)

λ= ∆k −Bδk = 0.

Din aceste relatii rezulta

B = Bk−1 +λ

2(δk)T (19.27)

si

∆k −(Bk−1 +

λ

2(δk)T

)δk = 0.

Prin urmareλ

2=

∆k −Bk−1δk

(δk)T δk

si substituind ın (19.27) se gaseste (19.25).

Pornind de la tripletul (xk−1, Bk−1, yk−1 = T (xk−1)), aplicarea metodei consta

din secventa

δk = −B−1k−1y

k−1

xk = xk−1 + δk

yk = T (xk)

Bk = Bk−1 +yk(δk)

T

(δk)T δk

In acest fel s-a calculat tripletul (xk, Bk, yk).

Mai mult, inversarea matricelor Bk se obtin prin recurenta

B−1k = B−1

k−1 +(δk −B−1

k−1∆k)(δk)TB−1k−1

(δk)TB−1k−1∆k

.

Intr-adevar ın vederea aplicarii formulei Sherman-Morrison (13.17)

(A+ uvT )−1 = A−1 − A−1uvTA−1

1 + vTA−1u

alegem

A := Bk−1, u :=∆k −Bk−1δ

k

(δk)T δk, v := δk.


Numitorul membrului drept va fi

1 + (δk)TB−1k−1

∆k −Bk−1δk

(δk)T δk=


(δk)T δk,

iar membrul drept devine

B−1k−1 −

B−1k−1(∆k −Bk−1δ

k)(δk)TB−1k−1


= B−1k−1 +

(δk −B−1k−1∆k)(δk)TB−1

k−1


.

Convergenta metodei Broyden

Pentru stabilirea rezultatului de convergenta1 stabilim cateva proprietati.

Teorema 19.4.1 Daca u, v ∈ Rn astfel ıncat < u, v >= 1 atunci

‖In − uvT‖2 = ‖u‖2‖v‖2.

Demonstratie.Daca A = In − uvT atunci ‖In − uvT‖2

2 = ρ(ATA) (Teorema 16.3.3). Deter-minam valorile proprii ale matricei ATA.

Are loc egalitatea Au = 0 de unde ATAu = 0 = 0u.Fie z ∈ Rn astfel ıncat uT z = vT z = 0. Atunci

Az = z − u(vT z) = z

siATAz = AT z = z − v(uT z) = z.

Matricea sistemului uT z = 0vT z = 0

are rangul cel mult 2, deci exista n − 2 solutii liniar independente. Prin urmare1 este valoare proprie avand ordinul de multiplicitate algebric n− 2.Notam prin λ cea de-a n-a valoare proprie. Potrivit Proprietatii 13.1.24

(n− 2)1 + 0 + λ = tr(ATA) = tr(In− uvT − vuT + ‖u‖22vv

T ) = n− 2 + ‖u‖22‖v‖2

2.

Prin urmare λ = ‖u‖22‖v‖2

2.Din 1 =< u, v >≤ ‖u‖2‖v‖2 se deduce ρ(ATA) = ‖u‖2

2‖v‖22.

1Dennis J.E. Jr., 1971, On the Convergence of Broyden’s Method for Nonlinear Systems ofEquations. Mathematics of Computation, 25, Number 115, July, 559-567.


Teorema 19.4.2 Fie domeniul D ⊆ Rn, T : D → Rn o functie diferentiabilaastfel ıncat

‖T (x)− T (x∗)‖2 ≤ L‖x− x∗‖2, ∀ x ∈ D,

B ∈Mn(Rn) o matrice inversabila. Daca

y = x−B−1T (x) (19.28)

B′ = B +T (y)(y − x)T

‖y − x‖22

(19.29)

atunci are loc inegalitatea

‖B′ − T ′(x∗)‖2 ≤ ‖B − T ′(x∗)‖2 +L

2‖y − x‖2

(‖y − x∗‖22 + ‖x− x ∗ ‖2

2).

Se observa ca (19.29) corespunde formului (19.26) din definitia metodei lui Broy-den.

Demonstratie. Din (19.28) rezulta T (x) +B(y − x) = 0. Au loc egalitatile

B′ − T ′(x∗) = B − T ′(x∗) + (T (y)− T (x)−B(y − x))(y − x)T

‖y − x‖22

=

= B − T ′(x∗) + ((T (y)− T (x∗)− T ′(x∗)(y − x∗))−

−(T (x)− T (x∗)− T ′(x∗)(x− x∗))− (B − T ′(x∗))(y − x))(y − x)T

‖y − x‖22

=

= (B − T ′(x∗))(I − (y − x)(y − x)T

‖y − x‖22

)+

+ ((T (y)− T (x∗)− T ′(x∗)(y − x∗)) (y − x)T

‖y − x‖22

−

− ((T (x)− T (x∗)− T ′(x∗)(x− x∗)) (y − x)T

‖y − x‖22

.

In norma vom avea

‖B′ − T ′(x∗)‖2 ≤ ‖B − T ′(x∗)‖2‖I −(y − x)(y − x)T

‖y − x‖22

‖2+ (19.30)

+‖ ((T (y)− T (x∗)− T ′(x∗)(y − x∗)) (y − x)T

‖y − x‖22

‖2+


+‖ ((T (x)− T (x∗)− T ′(x∗)(x− x∗)) (y − x)T

‖y − x‖22

‖2.

Pentru al doilea factor al primului termen se aplica Teorema 19.4.1 alegand u =y − x si v = y−x

‖y−x‖22. Evident < u, v >= 1 si ın consecinta

‖I − (y − x)(y − x)T

‖y − x‖22

‖2 = ‖y − x‖2‖(y − x)T‖2

‖y − x‖22

= 1.

Pentru al doilea si al treilea termen al inegalitatii (19.30) se utilizeaza succesivrezultatul Problemei 16.3 si Teorema 19.3.1

‖ ((T (y)− T (x∗)− T ′(x∗)(y − x∗)) (y − x)T

‖y − x‖22

‖2 ≤

≤ ‖(T (y)− T (x∗)− T ′(x∗)(y − x∗)‖‖(y − x)T‖2

‖y − x‖22

≤ L

2

‖y − x∗‖22

‖y − x‖2

;

si analog se obtine

‖ ((T (x)− T (x∗)− T ′(x∗)(x− x∗)) (y − x)T

‖y − x‖22

‖2 ≤L

2

‖x− x∗‖22

‖y − x‖2

.

Utilizand aceste majorari ın (19.30) rezulta inegalitatea din concluzia teoremei.

Rezultatul de convergenta este

Teorema 19.4.3 Fie domeniul D ⊆ Rn, T : D → Rn o functie diferentiabilaastfel ıncat

T (x∗) = 0;‖T (x)− T (x∗)‖2 ≤ L‖x− x∗‖2, ∀ x ∈ D;T ′(x∗) este inversabila, ‖[T ′(x∗)]−1‖2 = β.

Atunci exista δ, ε > 0 astfel ıncat daca

‖B0 − T ′(x∗)‖2 ≤ δ;

‖x0 − x∗‖2 ≤ ε

atunci sirul (xk)k∈N construit prin formulele (19.24) si (19.26) converge catre x∗.

In esenta ipoteza Teoremei 19.4.3 cere ca datele initiale x0 si B0 sa fie aleseconvenabil.


Demonstratie. Fie0 < δ < 1

6β

0 < ε < 2δ5L

si se noteaza ek = ‖xk − x∗‖2, ∀ k ∈ N.Matricea B0 este inversabila. Intr-adevar, potrivit Teoremei 14.1.2 se obtin

‖I − [T ′(x∗)]−1B0‖2 ≤ ‖[T ′(x∗)]−1‖2‖B0 − T ′(x∗)‖2 ≤ βδ <1

6< 1

si

‖B−10 ‖2 ≤

‖B0‖2

1− ‖I − [T ′(x∗)]−1B0‖2

≤ β

1− βδ.

Astfel exista x1 = x0 −B−10 T (x0) si au loc egalitatile

x1 − x∗ = x0 − x∗ −B−10 T (x0) = −B−1

0

(T (x0)−B0(x0 − x∗)

)=

= −B−10

(T (x0)− T (x∗)− T ′(x∗)(x0 − x∗)

)−B−1

0 (T ′(x∗)−B0) (x0 − x∗).

In norma se gasestee1 = ‖x1 − x∗‖2 ≤

≤ ‖B−10 ‖2

(‖T (x0)− T (x∗)− T ′(x∗)(x0 − x∗)‖2 + ‖T ′(x∗)−B0‖2‖x0 − x∗‖2

)≤

≤ β

1− βδ

(L

2e2

0 + δe0

)≤ β

1− βδ

(δ

5+ δ

)e0 =

6βδ

5(1− βδ)<

6

25e0 <

e0

2.

Utilizand acest rezultat se obtine

‖x1 − x0‖2 ≥ ‖x0 − x∗‖2 − ‖x1 − x∗‖2 = e0 − e1 ≥e0

2.

Potrivit metodei Broyden B1 = B0 − T (x1)(x1−x0)T

‖x1−x0‖22. Din Teorema 19.4.2 rezulta

inegalitatea

‖B1 − T ′(x∗)‖2 ≤ ‖B0 − T ′(x∗)‖2 +L

2‖x1 − x0‖2

(‖x1 − x∗‖22 + ‖x0 − x∗‖2

2) ≤

≤ δ +L

e0

(e21 + e2

0) ≤ δ +5Le0

4≤ 3δ

2< 2δ.

Aceasta inegalitate permite verificarea faptului ca B1 este inversabila

‖I − [T ′(x∗)]−1B1‖2 ≤ ‖[T ′(x∗)]−1‖2‖B1 − T ′(x∗)‖2 ≤ 2βδ <1

3< 1.


In plus

‖B−11 ‖2 ≤

‖B1‖2

1− ‖I − [T ′(x∗)]−1B1‖2

≤ β

1− 2βδ.

Prin inductie matematica dupa k se arata ca

ek ≤ 12ek−1 ⇒ ek ≤ 1

2ke0 ≤ 1

2kε;

‖Bk − T ′(xk)‖2 ≤(2− 1

2k

)δ.

Presupunem aceste inegalitati valabile si demonstram inegalitatile corespunzatoarepentru k + 1.

Din inegalitatile

‖I − [T ′(x∗)]−1Bk‖2 ≤ ‖[T ′(x∗)]−1‖2‖Bk − T ′(x∗)‖2 ≤(

2− 1

2k

)βδ < 2βδ < 1.

rezulta ca matricea Bk este inversabila si

‖B−1k ‖2 ≤

‖Bk‖2

1− ‖I − [T ′(x∗)]−1Bk‖2

≤ β

1− 2βδ.

Pentru xk+1 = xk −B−1k T (xk) au loc egalitatile

xk+1 − x∗ = xk − x∗ −B−1k T (xk) = −B−1

k

(T (xk)−Bk(x

k − x∗))

=

= −B−1k

(T (xk)− T (x∗)− T ′(x∗)(xk − x∗)

)−B−1

k (T ′(x∗)−Bk) (xk − x∗).

In norma se gasesteek+1 = ‖xk+1 − x∗‖2 ≤

≤ ‖B−1k ‖2

(‖T (xk)− T (x∗)− T ′(x∗)(xk − x∗)‖2 + ‖T ′(x∗)−Bk‖2‖xk − x∗‖2

)≤

≤ β

1− 2βδ

(L

2e2k + (2− 1

2k)δek

)≤ β

1− 2βδ

(Lε

2k+1+ (2− 1

2k)δ

)ek ≤

≤ 2βδ

1− 2βδ

(1− 1

5 · 2k

)ek ≤

2βδ

1− 2βδek <

ek2.

Totodata

‖xk+1 − xk‖2 ≥ ‖xk − x∗‖2 − ‖xk+1 − x∗‖2 = ek − ek+1 ≥ek2.

Daca Bk+1 = Bk − T (xk+1)(xk+1−xk)T

‖xk+1−xk‖22atunci potrivit Teoremei 19.4.2 se deduce

‖Bk+1−T ′(x∗)‖2 ≤ ‖Bk−T ′(x∗)‖2 +L

2‖xk+1 − xk‖2

(‖xk+1−x∗‖22 +‖xk−x∗‖2

2)) ≤

≤(

2− 1

2k

)δ +

L

ek(e2k+1 + e2

k) ≤(

2− 1

2k

)δ +

5Lε

4 · 2k≤(

2− 1

2k+1

)δ.

Din inegalitatea ek ≤ 12ke0 rezulta convergenta sirului (xk)k catre x∗


19.5 Rezolvarea ecuatiilor algebrice

Fie T : R→ R o functie derivabila.

19.5.1 Metoda tangentei

In cazul n = 1, metoda liniarizarii aplicata rezolvarii ecuatiei algebrice T (x) =0 conduce la formarea sirului

xk+1 = xk − T (xk)

T ′(xk)k ∈ N. (19.31)

Relatiile (19.31) au urmatoarea interpretare geometrica care justifica numelemetodei: xk+1 reprezinta intersectia tangentei ın xk la graficul functiei T (x) cuaxa 0x.

In cazul ecuatiei polinomiale

T (z) = a0zn + a1z

n−1 + . . .+ an−1z + an = 0

metoda tangentei considerata ın corpul numerelor complexe C permite deter-minarea atat a radacinilor reale cat si a celor complexe.

Daca x∗ este o solutie a ecuatiei T (x) = 0 si

N(x) = x− T (x)

T ′(x)

atunci

N(x∗) = x∗, N ′(x∗) = 0, N ′′(x∗) =T ′′(x∗)

T ′(x∗).

Potrivit Teoremei 19.5.3, daca aproximatia initiala este aleasa covenabil atuncisirul (xk)k∈N converge catre x∗. Ordinul de convergenta este 2.

Conditii suficiente de convergenta cu precizarea alegerii aproximatiei initialesunt date ın teorema lui Ostrowski:

Teorema 19.5.1 Fie T ∈ C2[a, b]. Daca

1. x0 ∈ [a, b] astfel ıncat T ′(x0) 6= 0;

2. h0 = − T (x0)T ′(x0)

. Presupunem totodata ca intervalul ınchis J0 determinat de x0

si x0 + 2h0 este inclus ın [a, b].

3. 2|h0|M2 ≤ |T ′(x0)|, unde M2 = maxx∈[a,b] |T ′′(x)|,

19.5. REZOLVAREA ECUATIILOR ALGEBRICE 439

atunci

1. In J0 ecuatia T (x) = 0 are o solutie unica x∗;

2. sirul dat de formula de recurenta (19.31) converge catre x∗;

3. |xn − x∗| ≤ 2M2

|T ′(xn−1)|(xn − xn−1)2.

Demonstratie. 1. Aratam prin inductie ca conditiile din x0 au loc ın orice xn,adica

1. T ′(xn) 6= 0;

2. hn = − T (xn)T ′(xn)

si intervalul ınchis Jn determinat de xn si x0 + 2hn este inclus

ın [a, b];

3. 2|hn|M2 ≤ |T ′(xn)|, .

Presupunem ca aceste conditii au loc ın xn. Trebuie aratat ca conditiile au locsi ın xn+1.

Rezulta ca exista xn+1 = xn + hn = xn − T (xn)T ′(xn)

.Din

|T ′(xn+1)− T ′(xn)| ≤M2|xn+1 − xn| = M2|hn| ≤|T ′(xn)|

2

rezulta|T ′(xn+1)| = |T ′(xn)− (T ′(xn)− T ′(xn+1))| ≥ (19.32)

≥ |T ′(xn)| − |T ′(xn)− T ′(xn+1)| ≥ |T′(xn)|2

.

Prin urmare T ′(xn+1) 6= 0.

Fie hn+1 = − T (xn+1)T ′(xn+1)

si Jn+1 intervalul inchis determinat de xn+1 si xn+1 +2hn+1.

Integrand prin parti, calculam

I =

∫ xn+1

xn(xn+1−x)T ′′(x)dx = (xn+1−x)T ′(x)

∣∣∣xn+1

xn +

∫ xn+1

xnT ′(x)dx = T (xn+1).

Pe de alta parte, daca x = xn + thn atunci

I = h2n

∫ 1

0

(1− t)T ′′(xn + thn)dt


si ın consecinta

|I| ≤ h2nM2

2⇔ |T (xn+1)| ≤ h2

nM2

2. (19.33)

Din (19.32) si (19.33) se deduc evaluarile

•

|hn+1| =∣∣∣∣ T (xn+1)

T ′(xn+1)

∣∣∣∣ ≤ 2

|T ′(xn)|h2nM2

2=

h2nM2

|T ′(xn)|(19.34)

de unde ∣∣∣∣hn+1

hn

∣∣∣∣ ≤ |hn|M2

|T ′(xn)|≤ 1

2⇔ 2|hn+1| ≤ |hn|. (19.35)

Rezulta ca Jn+1 ⊂ Jn.

•2|hn+1|M2

|T ′(xn+1)|≤ 2

2

|T ′(xn)||h2n|M2

|T ′(xn)|M2 =

(2hnM2

|T ′(xn)|

)2

≤ 1.

2. Inegalitatea (19.35) implica |hn| ≤ |h0|2n. Apoi

xn+p ∈ Jn+p ⊂ Jn+p−1 ⊂ . . . ⊂ Jn

si |xn+p − xn| ≤ 2|hn| ≤ |h0|2n−1 , adica sirul (xn)n∈N este fundamental.

Fie x∗ = limn→∞ xn.

3. Din definitia sirului (xn)n∈N se deduce

|T (xn)| = |xn+1 − xn| |T ′(xn)| = |hn||T ′(xn)| ≤ h0

2nM1,

unde M1 = maxx∈[a,b] |T ′(x)|. Prin urmare limn→∞ T (xn) = 0 = T (x∗).

4. Inegalitatea (19.34) aplicata pentru hn implica

|xn+p − xn| ≤ 2|hn| ≤ 2h2n−1M2

|T ′(xn−1)|=

2M2

|T ′(xn−1)|(xn − xn−1)2.

Pentru p→∞ rezulta evaluarea erorii.


19.5.2 Metoda functiei inverse

Presupunem ca functia T satisface urmatoarele ipoteze:

• Functia T este inversabila ın intervalul I=(a,b) si F = T−1 :

• Ecuatia T (x) = 0 are o solutie x∗ ın intervalul I;

• Functiile T si F au derivate continue pana la ordinul m+ 1.

Din aceste ipoteze rezulta ca solutia x∗ este unica si

x∗ = F (0).

Deoarece functia F nu este cunoscuta, o vom aproxima cu o functie ϕ

F (y) = ϕ(y) +R(y).

Atunci x∗ ≈ ϕ(0).Asupra functiei ϕ se impun cerintele ca sa aproximeze cat mai bine functia F

si sa poata fi usor calculabila. Astfel vom avea

• Metoda functiei inverse cu polinomul lui Taylor (sau metoda lui Cebısev)ın care ϕ este un polinom Taylor atasat functiei F. Acest caz generalizeazametoda tangentei.

• Metoda functiei inverse cu polinomul lui Lagrange ın care ϕ este un polinomde interpolare Lagrange.

Metoda functiei inverse cu polinomul lui Taylor. In dezvoltarea taylorianaa functiei F ın jurul punctului y0

F (y) = F (y0) +m∑i=1

F (i)(y0)

i!(y − y0)i +

F (m+1)(ξ)

(m+ 1!(y − y0)m+1

alegand y = 0 si y0 = T (x) cu x ∈ I, obtinem

x∗ = F (0) = x+m∑i=1

(−1)iF (i)(T (x))

i!T i(x) + (−1)m+1F

(m+1)(ξ)

(m+ 1)!Tm+1(x).

Rezulta ca expresia x+∑m

i=1(−1)i F(i)(T (x))i!

T i(x) furnizeaza o aproximatie a solutieix∗. Pe baza acestei observatii construim sirul de aproximatii succesive

xk+1 = xk +m∑i=1

(−1)iF (i)(T (xk))

i!T i(xk) k ∈ N, x0 ∈ I.


Astfel

ϕ(x) = x+m∑i=1

(−1)iF (i)(T (x))

i!T i(x).

Derivand succesiv identitatea F (T (x)) = x obtinem

F ′(T (x))T ′(x) = 1F ′′(T (x))[T ′(x)]2 + F ′(T (x))T ′′(x) = 0F (3)(T (x))[T ′(x)]3 + 3F ′′(T (x))T ′(x)T ′′(x) + F ′(x)T (3) = 0,

de unde

F ′(T (x)) =1

T ′(x), F ′′(T (x)) = − T ′′(x)

[T ′(x)]3,

F (3)(T (x)) =3[T ′′(x)]2

[T ′(x)]5− T (3)(x)

[T ′(x)]4, etc.

Pentru m = 1 gasim xk+1 = xk − T (xk)T ′(xk)

, adica se regaseste sirul construit prinmetoda tangentei, iar pentru m = 2 gasim

xk+1 = xk − T (xk)

T ′(xk)− T ′′(xk)[T (xk)]2

2[T ′(xk)]3. (19.36)

In continuare ne propunem sa studiem convergenta sirului (xk)k∈N , construitprin metoda functiei inverse.

Teorema 19.5.2 Fie I un interval deschis si ϕ : I → R o functie cu derivatacontinua ın I. Daca |ϕ′(x0)| < 1, x0 ∈ I atunci exista r > 0 astfel ıncat ϕ estecontractie ın multimea [x0 − r, x0 + r].

Demonstratie. Fie 0 < ε < 1 − |ϕ′(x0)|. Din continuitatea lui ϕ′ ın x0 rezultaca exista δ > 0 astfel ıncat

|x− x0| < δ ⇒ |ϕ′(x)− ϕ′(x0)| < ε.

Atunci, pentru orice x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ I

|ϕ′(x)| ≤ |ϕ′(x)− ϕ′(x0)|+ |ϕ′(x0)| < ε+ |ϕ′(x0)| = a < 1.

Exista r ∈ (0, δ) astfel ıncat [x0−r, x0+r] ⊂ I. Pentru orice x, y ∈ [x0−r, x0+r]utilizand teorema de medie a lui Lagrange, obtinem

|ϕ(x)− ϕ(x0)| = |ϕ′(c)||x− y| ≤ a|x− y|.


Teorema 19.5.3 In ipotezele teoremei anterioare, daca ϕ(x∗) = 0 si |ϕ′(x∗)| < 1atunci exista r > 0 astfel ıncat sirul (xk)k∈N definit prin formula de recurentaxk+1 = ϕ(xk), k ∈ N, converge catre x∗, oricare ar fi x0 ∈ [x∗ − r, x∗ + r].

Demonstratie. Din teorema 19.5.2 rezulta existenta lui r astfel ıncat ϕ estecontractie ın multimea [x∗ − r, x∗ + r]. Fie a constanta de contractie. Deoarece

|ϕ(x∗)− x∗| = 0 < (1− a)r,

tinand seama de teoremele I.1.1 si I.1.3 rezulta ca sirul (xk)k∈N converge catrex∗, unicul punct fix al lui ϕ.

Proprietatea de convergenta a sirului (xk)k∈N , construit prin metoda functieiinverse cu polinomul lui Taylor este formulata ın teorema

Teorema 19.5.4 Daca aproximatia initiala x0 este ”suficient de apropiata” dex∗, solutia ecuatiei T (x) = 0 din intervalul I, atunci sirul (xk)k∈N , construit prinmetoda functiei inverse cu polinomul lui Taylor converge catre x∗.

Demonstratie. Definim functia ϕm : I → R prin

ϕm(x) = x+m∑i=1

(−1)iF (i)(T (x))

i!T i(x)

Derivata acestei functii este

ϕ′(x) = 1 +m∑i=1

(−1)i[1

(i− 1)!F (i)(T (x))T i−1(x)T ′(x)+

1

i!F (i+1)(T (x))T i(x)T ′(x)] = 1− F ′(T (x)T ′(x)+

+m∑i=2

(−1)i

(i− 1)!F (i)(T (x))T i−1(x)T ′(x) +

m∑i=1

(−1)i

i!F (i+1)(T (x))T i(x)T ′(x)].

Prin schimbarea de indice ın a doua suma, expresia derivatei devine

ϕ′(x) =m∑j=2

(−1)j

(j − 1)!F (j)(T (x))T j−1(x)T ′(x)+

+m+1∑j=2

(−1)j−1

(j − 1)!F (j)(T (x))T j+1(x)T ′(x)] =


=(−1)m

m!F (m+1)(T (x))Tm(x)T ′(x).

Au loc egalitatile ϕm(x∗) = x∗ si ϕ′(x∗) = 0. Potrivit teoremei 19.5.3, daca x0

este ”suficient de aproape” de x∗, atunci sirul (xk)k∈N converge catre x∗.

Metoda functiei inverse cu polinomul lui Lagrange.2 Fie m ∈ N ,x1, x2, . . . , xm+1 puncte distincte ale intervalului I si yi = T (xi), i ∈ 1, 2, . . . ,m+1.

In egalitatea

F (y) = L(Pm; y1, . . . , ym+1;F )(y) +m+1∏i=1

(y − yi)F (m+1)(ξ)

(m+ 1)!,

alegand y = 0, obtinem

x∗ = F (0) = L(Pm; y1, . . . , ym+1;F )(0) +m+1∏i=1

(−yi)F (m+1)(ξ)

(m+ 1)!.

Expresia L(Pm; y1, . . . , ym+1;F )(0) furnizeaza o aproximatie a solutiei x∗ pe careo notam xm+2. In continuare se reia procedeul cu x2, x3, . . . , xm+2. In general,daca s-au determinat xk, xk+1, . . . , xm+k atunci

xk+m+1 = L(Pm; yk, yk+1, . . . , yk+m;F )(0) (yi = T (xi)).

Daca uk(y) =∏k+m

j=k (y − yj) atunci

xk+m+1 = −uk(0)k+m∑i=k

xiyiu′k(yi)

. (19.37)

Din egalitatea uk+1(y) = uk(y)y−yk+m+1

y−ykdeducem formulele de recurenta

uk+1(0) =yk+m+1

ykuk(0), u′k+1(yi) =

u′k(yi)

yi−yk+m+1

yi−yki ∈ k + 1, . . . , k +m

uk(yk+m+1)

yk+m+1−yki = k +m+ 1

Utilizand formula baricentrica a polinomului de interpolare Lagrange, formula(19.37) se scrie

xk+m+1 =

∑k+mi=k

xiyiu′k(yi)∑k+m

i=k1

yiu′k(yi)

2Pentru aceast paragraf este necesar cunoasterea polinomului de interpolare Lagrange.


Pentru m = 1 gasim

xk+2 =xkyk+1 − xk+1yk

yk+1 − yk,

cunoscuta sub numele de metoda coardei, deoarece xk+2 reprezinta intersectiadreptei ce uneste punctele de coordonate (xk, yk), (xk+1, yk+1) cu axa Ox.

Metoda functiei inverse cu polinomul lui Lagrange nu face apel la derivatelefunctiei T.

19.5.3 Metoda Ridder

Metoda Ridder apartine familiei de metode pentru rezolvarea unei ecuatiialgebrice care nu presupun proprietatea de derivabilitate.

Presupunem ca solutia x∗ a ecuatiei T (x) = 0 apartine intervalului (x1, x2),mai mult T (x1)T (x2) < 0.

Se noteaza x3 = x1+x22

, yj = f(xj), j = 1, 2, 3 si determinam functia eax astfelıncat punctele (x1, e

ax1y1), (x1, eax3y3), (x2, e

ax2y2) sa fie coliniare.Conditia de coliniaritate este∣∣∣∣∣∣

x1 eax1y1 1x3 eax3y3 1x2 eax2y2 1

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Impartind coloana a doua prin eax1 si cu notatia q = ax2−x12

se obtine∣∣∣∣∣∣x1 y1 1x3 eqy3 1x2 e2qy2 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣x1 y1 1

x3 − x1 eqy3 − y1 0x2 − x1 e2qy2 − y1 0

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Dezvoltand determinantul, ın urma calculelor rezulta ecuatia

e2qy2 − 2eqy3 + y1 = 0,

de unde

eq =y3 ±

√y2

3 − y1y2

y2

.

Deoarece y1y2 < 0 ⇔ y3 <√y2

3 − y1y2 si cum rezultatul trebuie sa fie pozitiv,semnul din fata radicalului va fi sign (y2) = ε. Astfel

eq =y3 + ε

√y2

3 − y1y2

y2

.


Fie d dreapta determinata de cele trei puncte:

y − eax3y3 =eax1y1 − eax3y3

x1 − x3

(x− x3).

Notam prin x4 punctul de intersectie al dreptei d cu axa Ox:

x4 = x3 − (x3 − x1)eax3y3

eax3y3 − eax1y1

= x3 − (x3 − x1)eqy3

eqy3 − y1

.

Utilizand expresia lui eq se obtine

x4 = x3 − (x3 − x1)εy3√

y23 − y1y2

. (19.38)

Daca ε = 1⇔ y2 > 0 atunci y1 − y2 < 0.Daca ε = −1⇔ y2 < 0 atunci y1 − y2 > 0.In consecinta −ε = sign (y1 − y2) si formula (19.38) devine

x4 = x3 + (x3 − x1)sign (y1 − y2)y3√

y23 − y1y2

. (19.39)

Din (19.39) rezulta inegalitatea

|x4 − x3| ≤x2 − x1

2,

din care se deduce ca x4 ∈ (x1, x2).

Putem defini acum formulele de recurenta. Fie k ∈ N si x(k)1 = x1, x

(k)2 = x2.

Daca f(x1)f(x4) < 0 atunci x(k+1)1 = x

(k)1 si x

(k+1)2 = x4 iar ın caz contrar x

(k+1)1 =

x4 si x(k+1)2 = x

(k)2 .

19.6 Rezolvarea ecuatiilor polinomiale

Fie polinomul P ∈ C[X], P (z) = zn + a1zn−1 + . . . + an−1z + an. Deoarece

polinomul P are n radacini reale sau complexe, specificul rezolvarii unei ecuatiipolinomiale

P (z) = 0 (19.40)

consta ın cerinta determinarii tuturor radacinilor sale.Metodele prezentate ın continuare permit determinarea simultana (paralela)

a celor n radacini.

19.6. REZOLVAREA ECUATIILOR POLINOMIALE 447

In cele ce urmeaza vom presupune ca radacinile polinomului P sunt simple.Intotdeauna putem elimina radacinile multiple considerand ın locul lui P,

polinomul P

cmmdc(P,P ′), ale carei radacini coincid cu cele ale lui P si sunt simple.

In acest caz exista o vecinatate a lui α astfel ıncat pentru orice z, cuprins ınacea vecinatate, are componentele distincte doua cate doua.

Vom utiliza notatiile

z =

z1...zn

si Qi(z) =n∏j=1

j 6=i

(zi − zj).

Astfel z va reprezenta un numar complex ın timp ce z reprezinta un vector avandca si componente numere complexe.

Daca z1, . . . , zn sunt numere complexe, notam

u(z) =n∏j=1

(z − zj)

ui(z) =u(z)

z − zi=

n∏j=1

j 6=i

(z − zj)

Metoda Durand-Kerner. Scriem egalitatea P (z) = (z − α1) . . . (z − αn)sub forma

z − αi =P (z)∏n

j=1

j 6=i(z − αj)

sau αi = z − P (z)∏nj=1

j 6=i(z − αj)

. (19.41)

Daca z(k) =

z(k)1...

z(k)n

este o aproximatie a lui α atunci, ınlocuind ın membrul

drept din (19.41) componentele lui α cu componentele corespunzatoare ale luiz(k), formula (19.41) sugereaza formulele de recurenta

z(k+1)i = z

(k)i −

P (z(k)i )∏n

j=1

j 6=i(z

(k)i − z

(k)j )

= z(k)i −

P (z(k)i )

Qi(z(k)), i ∈ 1, 2, . . . , n, k ∈ N.

In acest caz, expresia functiei Ti(z) este

Ti(z) = zi −P (zi)

Qi(z).


Evident Ti(α) = αi. Calculam derivatele partiale ale functiei Ti(z).

∂Ti(z)

∂zi= 1− P ′(zi)

Qi(z)+P (zi)

Q2i (z)

∂Qi(z)

∂zi.

Deoarece P ′(αi) =∏n

j=1

j 6=i(αi − αj) = Qi(α), rezulta ∂Ti(α)

∂zi= 0.

Pentru i 6= j∂Ti(z)

∂zj=P (zi)

Q2i (z)

∂Qi(z)

∂zj,

deci ∂Ti(α)∂zj

= 0.

In consecinta T ′(α) = 0, deci ordinul de convergenta al sirului (z(k))k∈N este2.

Daca αj din membrul drept al lui (19.41) se ınlocuieste cu z(k)j −

P (z(k)j )

Qj(z(k))atunci

se obtine metoda Durand-Kerner ımbunatatita, avand ordinul de convergenta 3,

z(k+1)i = z

(k)i −

P (z(k)i )∏n

j=1

j 6=i

(z

(k)i − z

(k)j +

P (z(k)j )

Qj(z(k))

) , i ∈ 1, 2, . . . , n, k ∈ N.

Metoda Ehrlich. Fie z1, . . . , zn numere complexe distincte doua cate doua.Pentru calcului radacinii αi utilizam metoda tangentei ın cazul ecuatiei

P (z)

ui(z)= 0.

In prealabil calculam(P (z)

ui(z)

)′=P ′(z)

ui(z)− P (z)

ui(z)

u′i(z)

ui(z)=P ′(z)

ui(z)− P (z)

ui(z)

n∑j=1

j 6=i

1

z − zj.

Pentru z = zi, presupunand P ′(zi) = ui(zi) – adevarata, daca zi = αi,∀i – vomavea (

P (z)

ui(z)

)′|z=zi ≈ 1− P (zi)

ui(zi)

n∑j=1

j 6=i

1

zi − zj= 1− P (zi)

Qi(z)

n∑j=1

j 6=i

1

zi − zj.

Metoda tangentei conduce la formulele de recurenta

z(k+1)i = z

(k)i −

P (z(k)i )

Qi(z(k))

1− P (z(k)i )

Qi(z(k))

∑nj=1

j 6=i1

z(k)i −z

(k)j

= z(k)i −

P (z(k)i )

Qi(z(k))− P (z(k)i )∑n

j=1

j 6=i1

z(k)i −z

(k)j

,


i ∈ 1, . . . , n, k ∈ N. Bineınteles z(k) =

z(k)1...

z(k)n

.

Alta deducere a metodei Ehrlich. Din egalitatea

P ′(z)

P (z)=

n∑j=1

1

z − αj=

1

z − αi+

n∑j=1

j 6=i

1

z − αj

rezulta

αi = z − P (z)

P ′(z)− P (z)∑n

j=1

j 6=i1

z−αj

.

Daca z(k) = (z(k)1 , . . . , z

(k)n este o aproximatie a radadacinilor atunci P ′(z

(k)i ≈

Qi(z(k)) si egalitatea de mai sus induce formula de recurenta a metodei Ehrlich.

Ordinul de convergenta al metodei Ehrlich este 2.

Metoda Nourein. Din nou fie z1, . . . , zn numere complexe distincte douacate doua. P (z)−u(z) este un polinom de grad n−1, deci coincide cu polinomulde interpolare L(Pn−1; z1, . . . , zn;P − u)(z) = L(Pn−1; z1, . . . , zn;P )(z)

P (z)− u(z) = L(Pn−1; z1, . . . , zn;P )(z) =n∑j=1

P (zj)u(z)

(z − zj)u′(zj).

Pentru z = αi obtinem

−1 =P (zi)

(αi − zi)u′(zi)+

n∑j=1

j 6=i

P (zj)

(αi − zj)u′(zj)

si explicitand αi − zi gasim

αi = zi −P (zi)ui(zi)

1 +∑n

j=1

j 6=i

P (zj)

(αi−zj)u′(zj)

. (19.42)

Reluand rationamentul facut la metoda Durand-Kerner obtinem formulele derecurenta

z(k+1)i = z

(k)i −

P (z(k)i )

Qi(z(k))

1 +∑n

j=1

j 6=i

P (zj)

(z(k)i −z

(k)j )Qj(z(k))

, i ∈ 1, . . . , n, k ∈ N.


Ordinul de convergenta al metodei Nourein este 3.

Daca αi din membrul drept al lui (19.42) se ınlocuieste cu z(k)i −

P (z(k)i )

Qi(z(k))atunci

se obtine metoda Nourein ımbunatatita, avand ordinul de convergenta 4,

z(k+1)i = z

(k)i −

P (z(k)i )

Qi(z(k))

1 +∑n

j=1

j 6=i

P (z(k)j )

(z(k)i −

P (z(k)i

)

Qi(z(k))−z(k)j )Qj(z(k))

, i ∈ 1, . . . , n, k ∈ N.

Metoda Wang-Zheng. Formulele de recurenta ale acestei metode sunt

z(k+1)i = z

(k)i −

1

P ′(z(k)i )

P (z(k)i )− P ′′(z

(k)i )

2P ′(z(k)i )− P (z

(k)i )

2P ′(z(k)i )

[(∑nj=1

j 6=i1

z(k)i −z

(k)j

)2

+∑n

j=1

j 6=i1

(z(k)i −z

(k)j )2

] ,

i ∈ 1, . . . , n, k ∈ N.Ordinul de convergenta al metodei Wang-Zheng este 4.

Programarea rezolvarii unei ecuatii polinomiale

Prezentam problematica legata de programarea rezolvarii ecuatiei polinomiale

P (z) = a0zn + a1z

n−1 + . . .+ an−1z + an = 0, P (z) =m∏k=1

(z − zk)rk ,

cu a0, . . . , an ∈ C utilizand una din metodele date mai sus.Aspectele vizate sunt:

1. Determinarea unui polinom P care are aceleasi radacini ca si polinomul P,dar care sunt simple:

P (z) =P (z)

(P (z), P ′(z))= b0z

m + b1zm−1 + . . .+ bm−1z + bm =

m∏k=1

(z − zk),

unde prin (P (z), P ′(z)) s-a notat cel mai mare divizor comun al polinoamelorP (z) si P ′(z).

Problema care o ridica acest calcul consta ın sensibilitatea fata de erorilede rotunjire care apar datorita reprezentarii numerelor ın virgula mobila.


O rezolvarea posibila este efectuarea calculelor ın corpul C[Q] = a + ib :a, b ∈ Q.In continuare toare calculele se vor face ın corpul C, cu partea reala si parteaimaginara numere reprezentate ın virgula mobila.

2. Determinarea unei aproximatii initiale pentru fiecare radacina a polinomuluiP .

Asa cum s-a vazut, convergenta metodei de rezolvare a unei ecuatii polino-miale depinde de alegerea adecvata a aproximatiilor initiale ale radacinilor.Recomandam o metoda de homotopie bazata pe continuitatea radacinilorrelativ la coeficientii polinomului.

Fie polinomul Q(z) = zm + zm−1 + . . .+ z+ 1 cu radacinile z0k = e

2πkm+1 , k ∈

1, 2, . . . ,m. Se vor calcula radacinile polinomului

tP (z) + (1− t)Q(z) =m∑j=0

(taj + 1− t)zm−j,

pentru un sir 0 < t1 < t2 < . . . < tM < 1. Pentru t = tk, k > 0 valorileinitiale ale radacinilor sunt tocmai radacinile obtinule pentru t = tk−1. Dacat = 1 atunci se rezolva chiar ecuatia polinomiala P (z) = 0.

3. Utilizarea unei metode iterative pentru calculul simultan al radacinilor poli-nomului P .

4. Determinarea ordinului de multiplicitate al fiecarei radacini.

Notam prin z1, . . . , zm aproximatiile radacinilor calculate. Ordinul de mul-tiplicitate se calculeaza cu

rk =1

2πi

∮C(zk,ρk)

P ′(ξ)

P (ξ)dξ,

unde C(zk, ρk) este cercul cu centrul ın zk, de raza ρk < minj 6=k |zj − zk|.Prin schimbarea de variabila ξ = zk + ρie

2πit integrala devine

rk = ρk

∫ 1

0

P ′(zk + ρke2πit)

P (zk + ρke2πit)e2πitdt.

Calculand integrala cu formula trapezelor, rezulta

rk ≈ρkN

N−1∑j=0

P ′(zk + ρke2πijN )

P (zk + ρke2πijN )

e2πijN .


Radacinile unui polinom ca valorile proprii

Putem determina radacinile polinomului P (x) = xn+a1xn−1 +. . .+an−1x+an

calculand valorile proprii ale matricei

A =

−a1 −a2 −a3 . . . −an−1 −an1 0 0 . . . 0 00 1 0 . . . 0 0...

. . ....

0 0 0 . . . 0 00 0 0 . . . 1 0

(19.43)

Polinomul caracteristic atasat matricei A este

f(λ) = |λIn − A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ+ a1 a2 a3 . . . an−1 an−1 λ 0 . . . 0 00 −1 λ . . . 0 0...

. . ....

0 0 0 . . . λ 00 0 0 . . . −1 λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Succesiv, ınmultim coloanele 1, 2, . . . , n−1 cu λ si ıl adunam la coloana alaturatadin dreapta. In final obtinem

f(λ) =

=

∣∣∣∣∣∣∣λ + a1 λ2 + a1λ + a2 λ3 + a1λ

2 + a2λ + a3 . . . λn−1 + a1λn−2 + . . . + an−2λ + an−1 P (λ)

−1 0 0 . . . 0 00 −1 0 . . . 0 0

.

.

....

.

.

.0 0 0 . . . 0 00 0 0 . . . −1 0

∣∣∣∣∣∣∣ .Dezvoltand acest determinant dupa ultima coloana gasim f(λ) = P (λ). Astfelrezolvarea ecuatiei polinomiale P (z) = 0 revine la calculul valorilor proprii alematricei A. Matricea A se numeste matricea companion atasata polinomului P.

Aceasi ideea este utilizata de metoda Spacht-Good. Fie polinomul P ∈ R[X]reprezentat sub forma lui Cebısev

P (x) = c0 + c1T1(x) + . . .+ cnTn(x)


si matricea companion

C =

0 112

0 12

12

0 12

. . .12

0 12

12

0

− 1

2cn

c0 c1 . . . cn−1

.

Elementele nescrise sunt egale cu 0.Fie x ∈ R si vectorul v = (T0(x), T1(x), . . . , Tn−1(x))T ∈ Rn.


Cv = xv − P (x)

2cnen.

Demonstratie. Utilizand formula de recurenta Tk+1(x) = 2xTk(x)− Tk−1(x), sicalculand se obtine

Cv =

x

xT1(x)...

xTn−2(x)12Tn−2(x)

−1

2cn

00...0

c0 + c1T1(x) + . . .+ cn−1Tn−1(x)

. (19.44)

Elementul de pe ultima pozitie va fi

1

2Tn−2(x)− 1

2cn(c0 + c1T1(x) + . . .+ cn−1Tn−1(x)) =

=1

2Tn−2(x)− 1

2cn(P (x)− cnTn(x)) = xTn−1(x)− 1

2cnP (x).


Cv = xv − P (x)

2cnen.

Din nou are loc echivalenta

P (x) = 0 ⇔ Cv = xv.



P 19.1 Fie P (x) = xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an un polinom cu radacinile

x1, . . . , xn.

1. Sa se calculeze polinomul Q(y) cu radacinile yi = kxi, i ∈ 1, 2, . . . , n.

2. Sa se arate ca daca k = (1+ b|a0|)

−1, b = max|a1|, . . . , |an|, a0 = 1, atunci

radacinile polinomului Q(y) apartin discului unitate.

P 19.2 Daca

1. T este o functie de doua ori continu derivabila;

2. x∗ este un zero simplu al lui T, (T (x∗) = 0, T ′(x∗) 6= 0);

3. (xn)n∈N este construit prin metoda tangentei si limn→∞ xn = x∗

atunci

limn→∞

xn+1 − x∗

(xn − x∗)2=

T ′′(x∗)

2T ′(x∗).

R. Se utilizeaza egalitatea

0 = T (x∗) = T (xn) + (x∗ − xn)T ′(xn) +1

2(xn − x∗)2T ′′(ξn)

cu ξn cuprins ıntre xn si x∗.

P 19.3 Metoda Halley. Fie f o functie de cel putin doua ori derivabila ıntr-uninterval I unde exista un singur zero, x∗. Pornind de la dezvoltarea

0 = f(x∗) = f(xk) + f ′(xk)(x∗ − xk) +

f ′′(xk)

2(x∗ − xk)2 + . . .

notam prin xk+1 numarul pentru care

0 = f(xk) + f ′(xk)(xk+1 − xk) +f ′′(xk)

2(xk+1 − xk)2.

Atunci xk+1 = xk − f(xk)

f ′(xk)+f ′′(xk)

2(xk+1−xk)

. Inlocuind xk+1 − xk din membrul drept

cu − f(xk)f ′(xk)

- sugerat de metoda tangentei - se obtine formula de recurenta pentrumetada Halley

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

(1− f(xk)f

′′(xk)

2f ′(xk)2

)−1

.


Sa se demonstreze ca daca aproximatia initiala este aleasa ıntr-o vecinatateconvenabila a lui x∗, atunci sirul (xk)k∈N converge catre x∗. Ordinul de convergentaeste 3.

R. Pentru ϕ(x) = x− f(x)f ′(x)

A(x), A(x) =(

1− f(x)f ′′(x)2f ′(x)2

)−1

se verifica proprietatile

ϕ(x∗) = x∗, ϕ′(x∗) = 0, ϕ′′(x∗) = 0 si ϕ(3)(x∗) = 3(f ′′(x∗))2−2f ′(x∗)f (3)(x∗)2(f ′(x∗))2

.

P 19.4 Pentru rezolvarea ecuatiei algebrice f(x) = 0 metoda Cebısev-Halley estedata formula de recurenta

xk+1 = xk −(

1 +1

2

Lf (xk)

1− αLf (xk)

)f(xk)

f ′(xk),

unde Lf (x) = f(x)f ′′(x)(f ′(x))2

.Sa se arate ca pentru

• α = 0 se regaseste metoda functiei inverse pentru m = 2. (19.36).

• α = 1 se regaseste metoda Halley.

• α→∞ se regaseste metoda tangentei.

P 19.5 Sa se rate ca urmatoarele metode modificate ale metodei tangentei auordinul de convergenta 3:

1.

xn+1 = xn −2F (xn)

F ′(xn) + F ′(xn − F (xn)

F ′(xn)

) .2.

xn+1 = xn −F (xn)

F ′(xn − F (xn)

2F ′(xn)

) .P 19.6 Metoda Laguerre. Fie polinomul P (x) =

∏mi=1(x− xi). Sa se arate ca

1.

G =P ′(x)

P (x)=

m∑i=1

1

x− xi

H = −(P ′(x)

P (x)

)′=

m∑i=1

1

(x− xi)2


2. Daca a = x− x1 si b = x− xj ∀ j ∈ 2, . . . ,m atunci

a =m

G+√

(m− 1)(mH −G2)=P (x)

P ′(x)· 1

1m

+ (1− 1m

)√

1− mm−1

P (x)P ′′(x)P ′2(x)

.

3. Sa se deduca metoda Laguerre

xn+1 = xn −P (xn)

P ′(xn)· 1

1m

+ (1− 1m

)√

1− mm−1

P (xn)P ′′(xn)P ′2(xn)

.

4. Notand

T (x) = x− P (x)

P ′(x)Φ(x), Φ(x) =

11m

+ (1− 1m

)S(x),

S(x) =

√1− m

m− 1

P (x)P ′′(x)

P ′2(x),

daca P (a) = 0 atunci au loc egalitatile T (a) = a, T ′(a) = T ′′(a) = 0.

R. 2. Se rezolva sistemul G = 1

a+ m−1

b

−H = 1a2

+ m−1b2

P 19.7 Trei puncte din plan Pi(xi, yi), i = 1, 2, 3, astfel ıncat x1 < x2 < x3, seafla pe graficul unei functii de forma y = a ln (bx+ c).

1. Ce relatie satisfac numerele y1, y2, y3 ?

2. Cunoscand coordonatele punctelor Pi sa se determine parametrii functieia, b, c.

3. Sa se studieze existenta si unicitatea solutiei.

4.


R. 1.

ey3−y1a − 1

ey2−y1a − 1

=x3 − x1

x2 − x1

(19.45)

3. Functia a 7→ eua−1

eva−1

, (0 < v < u) este descrescatoare ın (−∞, 0), (0,∞). Daca

ab > 0 si y3−y1y2−y1 6=

x3−x1x2−x1 atunci ecuatia (19.45) are solutie unica.

P 19.8 Sa se studieze rezolvabilitatea sistemului ın necunoscutele a, b, cae−bx1 + c = y1

ae−bx2 + c = y2

ae−bx2 + c = y3

unde x1 < x2 < x3 si y1, y2, y3 ∈ R.

R. Eliminand necunoscutele a si c se obtine ecuatia

e−b(x2−x1) − 1

e−b(x3−x1) − 1=y2 − y1

y3 − y1

(19.46)

care trebuie rezolvata numeric. Apoi

a =y2 − y1

e−bx2 − e−bx1, c = y1 − ae−bx1 .

Fie ϕ(x) = ae−bx + c. Atunci

ϕ′(x) = −abe−bx ⇐ Daca ab 6= 0 atunci ϕ este strict monotona.

Au loc posibilitatile

y1 = y2 = y3 (19.47)

y1 < y2 < y3 (19.48)

y1 > y2 > y3 (19.49)

Daca (19.47) atunci a = 0, c = y1 and b ∈ R.Daca (19.48) atunci ab < 0.Daca (19.49) atunci ab > 0.In alte cazuri sistemul nu are solutie.


Excluzand cazul (19.47), notam

p = x2 − x1 > 0

q = x3 − x1 > 0, p < q

k =y2 − y1

y3 − y1

∈ (0, 1)

f(x) =e−px − 1

e−qx − 1− k (b := x)

Prin urmarelimx→∞

f(x) = 1− k limx→−∞

f(x) = −k.

si ecuatia (19.46) poate fi rezolvata prin metoda bisectiei.

f ′(x) = e(q−p)x epx − 1

eqx − 1

(p

epx − 1− q

eqx − 1

)=

= e(q−p)x epx − 1

eqx − 1

(px

epx − 1− qx

eqx − 1

)1

x.

Datorita inegalitatii et(1− t)− 1 ≤ 0,∀t ∈ R, rezulta ca functia ψ(t) = tet−1

estedescrescatoare si atunci f va fi crescatoare, de unde unicitatea solutiei.

P 19.9 Se considera polinomul P (z) = zn + a1zn−1 + . . .+ an−1z+ an si Qt(z) =

1tnP (tz) cu t > 0.

1. Sa se deduca relatia dintre radacinile polinoamelor P si Qt.

2. Sa se calculeze norma ‖ · ‖∞ a matricei companion Mt atasata polinomuluiQt.

3. Sa se arate ca daca t este radacina pozitiva a ecuatiei ın necunoscuta r,rn − (|a1|rn−1 + . . .+ |an−1|r + |an|) = 0, atunci ‖Mr‖∞ = 1.

Capitolul 20

Metode de homotopie

Fie X un spatiu liniar topologic si f : X → X. Pentru rezolvarea ecuatiei

f(x) = 0 (20.1)

se considera functia de homotopie H(t, x), H : [0, 1]×X → X, cu proprietatile

• Ecuatia H(0, x) = 0 are o solutie x0, care se poate determina;

• Ecuatia H(1, x) = 0 revine la ecuatia (20.1), adica, daca f(x∗) = 0 atunciH(1, x∗) = 0.

Metoda de homotopie consta ın determinarea functiei t 7→ x(t) astfel ıncatH(t, x(t)) = 0. Solutia ecuatiei (20.1) va fi limt1 x(t). Deseori, din punct devedere practic, se construieste un sir xi = x(ti) cu 0 = t0 < t1 < . . . ≤ 1.

Exemple de functii de homotopie sunt

• H(t, x) = (1− t)(x− x0) + tf(x);

• H(t, x) = f(x)− (1− t)f(x0).

20.1 Rezolvarea unui sistem algebric de ecuatii

neliniare prin integrarea unei probleme Cauchy

Reducem rezolvarea unui sistem algebric de ecuatii neliniaref1(x1, . . . , xn) = 0...fn(x1, . . . , xn) = 0

(20.2)

459

460 CAPITOLUL 20. METODE DE HOMOTOPIE

la integrarea unei probleme Cauchy. Pentru simplificarea scrierii rescriem sistemul(20.2) sub forma concentrata f(x) = 0 cu

x =

x1...xn

f(x) =

f1(x1, . . . , xn)...

fn(x1, . . . , xn)

.

Transformam rezolvarea sistemului f(x) = 0 la integrarea unei probleme Cauchyde forma

x(t) = ϕ(t, x(t)),x(0) = x0;

prin intermediul unei functii de homotopie H(t, x).Fie x0 ∈ Rn. Daca H(t, x(t)) = 0 ∀t ∈ [0, 1] si H(0, x0) = 0 atunci problema

Cauchy rezulta din ecuatia

d

dxH(t, x(t)) = 0. (20.3)

Pentru H(t, x) = f(x)− (1− t)f(x0), din (20.3) gasim

d

dtH(t, x(t)) = f ′x(x(t))x(t) + f(x0) = 0,

de unde

x(t) = −[f ′x(x(t)]−1f(x0) = − 1

1− t[f ′x(x(t))]−1f(x(t)), t ∈ [0, 1).

In concluzie, rezolvarea sistemului algebric de ecuatii neliniare f(x) = 0 revine laintegrarea problemei Cauchy

x = − 11−t [f

′x(x)]−1f(x), t ∈ [0, 1);

x(0) = x0.

20.2 Rezolvarea ecuatiilor polinomiale

Suportul teoretic se bazeaza pe continuitatea radacinilor unui polinom relativla coeficientii polinomului.

Daca P (z) ∈ C[Z] este un polinom de grad m avand radacini simple si Q(z) =1 + z + . . .+ zm atunci se vor calcula radacinile polinomului

z 7→ H(z, t) = (1− t)Q(z) + tP (z)


pentru t variind de la 0 la 1. Pentru t = 0, radacinile polinomului H(z, 0) = Q(z)

sunt zk = ei2πkm , k ∈ 0, 1, . . . ,m − 1. Pentru t = 1, H(z, 1) = P (z) si astfel se

va rezolva ecuatia polinomiala ceruta.Avantajul abordarii rezolvarii prin metoda de homotopie consta ın eliminarea

alegerii aproximatiilor initiale pentru metoda / algoritmul de rezolvare a ecuatieipolinomiale.


P 20.1 Fie H(t, x) = f(x)− e−tf(x0), H : [0,∞)× Rn → Rn. Sa se arate ca

1. H(0, x0) = 0

2. Daca f(x∗) = 0 atunci limt→∞H(t, x∗) = 0.

3. Rezolvarea sistemului f(x) = 0 se reduce la integrarea problemei Cauchy

x = −[f ′x(x)]−1f(x), t > 0;x(0) = x0.

462 CAPITOLUL 20. METODE DE HOMOTOPIE

Partea IV

REZOLVAREAPROBLEMELORDIFERENTIALE

463

Capitolul 21

Rezolvarea numerica aproblemelor Cauchy

Ne ocupam de rezolvarea numerica a problemei Cauchy (sau problema cuconditie initiala)

x(t)− f(t, x(t) = 0, t ∈ [0, T ]x(0) = x0 (21.1)

unde f : [0, T ]× Rn → Rn este o functie cu proprietati care sa asigure existentasi unicitatea solutiei ın intervalul precizat.

Problema Cauchy se rescrie sub forma operationala

L(x) = ϕ, (21.2)

unde L : C1[0, T ]→ C[0, T ]× Rn este definit prin

L(x) =

x(t)− f(t, x(t), t ∈ [0, T ]x(0) = x0 ,

iar

ϕ =

0, t ∈ [0, T ]x0 .

Forma operationala (21.2) cuprinde o clasa mult mai larga de probleme siconstituie un cadru ın care se pot formula si studia metode de rezolvare aproxi-mativa.

Pentru simplitate, consideram forma operationala (21.2) ca o ecuatie avandnecunoscuta x, o functie reala (n = 1), definita ın intervalul fixat [0, T ].

465

466 CAPITOLUL 21. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY

21.1 Metode de discretizare

Rezolvarea prin discretizare a ecuatiei (21.2) consta ın construirea unei aproximatii

uh = (u0, u1, . . . , un)

a solutiei x(t) pe o retea de puncte 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T , unde ui esteo aproximatie pentru x(ti), i = 0, 1, . . . , n iar h reprezinta norma retelei depuncte h = max0≤i≤n−1 ti+1 − ti.

In acest scop ecuatia initiala se ınlocuieste cu o alta ecuatie

Lh(uh) = ϕh, (21.3)

numita schema de calcul.

Exemplu. Schema de calcul Euler. fie n ∈ N∗, h = Tn

si reteaua echidis-

tanta 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T cu ti = ih, i = 0, 1, . . . , n. In punctul ti,aproximam derivata functiei prin diferenta finita prograsiva

x(ti) 'x(ti + h)− x(ti)

h=x(ti+1)− x(ti)

h

si substituim ın ecuatia diferentiala (21.1). Membrul stang al equatiei (21.1)devine

x(ti+1)− x(ti)

h− f(ti, x(ti))

care ın general nu mai este 0. Notam prin u0, u1, . . . , un numerele care puse,respectiv ın locul necunoscutelor x(t0), x(t1), . . . , x(tn) satisfac egalitatile

ui+1−uih− f(ti, ui) = 0, i = 0, 1, . . . , n− 1

u0 = x0 . (21.4)

Relatiile (21.4) reprezinta schema de calcul Euler.In acest caz operatorul L este definit prin

Lh : Rn+1 → Rn+1

Lh(uh) =

ui+1−ui

h− f(ti, ui), i = 0, 1, . . . , n− 1

u0, uh = (u0, . . . , un),

iar

ϕh =

0, i = 0, 1, . . . , n− 1x0 .

21.1. METODE DE DISCRETIZARE 467

Relatiile (21.4) formeaza totodata un sistem algebric de n+ 1 ecuatii neliniare cun+ 1 necunoscute care ınsa se poate rezolva usor prin recurenta

u0 = x0

ui+1 = ui + hf(ti, ui) i = 0, 1, . . . , n− 1.

Problema care se ridica este de a vedea ın ce conditii ansamblul de numere uhreprezinta aproximatii ”rezonabile” pentru x(t0), x(t1), . . . , x(tn).

Sa presupunem ca L este definit ıntre spatiile normate (X, ‖ · ‖) si (Y, ‖ · ‖),iar Lh este definit ıntre (Xh, ‖ · ‖h) si (Yh, ‖ · ‖h).

Solutia uh a ecuatiei Lh(uh) = ϕh converge catre solutia x a ecuatiei L(x) = ϕdaca

limh↓0‖uh − [x]h‖h = 0,

unde [x]h = (x(t0), x(t1), . . . , x(tn)) reprezinta restrictia lui x la reteaua de puncte.Daca exista constantele pozitive C si α astfel ıncat ‖uh − [x]h‖h ≤ Chα atunciconvergenta este de ordin α.

Studiul convergentei solutiei aproximative este legat de proprietatile de consis-tenta si stabilitate ale schemei de calcul.

Schema de calcul Lh(uh) = ϕh este consistenta daca

limh↓0‖δϕh‖h = 0,

unde δϕh = Lh([x]h)− ϕh. Daca exista constantele C1 si α astfel ıncat ‖δϕh‖h ≤C1h

α atunci schema de calcul este consistenta de ordin α.Schema de calcul Lh(uh) = ϕh este stabila daca exista constantele pozitive

C2, h0 si δ astfel ıncat

∀h ∈ (0, h0),∀εh ∈ Yh, ‖εh‖h ≤ δ ⇒ ‖yh − zh‖h ≤ C2‖εh‖h,

unde yh si zh verifica relatiile Lh(zh) = Lh(yh) + εh.Legatura dintre cele trei notiuni introduse este formulata ın teorema urmatoare:

Teorema 21.1.1 Daca schema de calcul Lh(uh) = ϕh este stabila si consistentade ordin α atunci convergenta este de ordin α.

Demonstratie. Deoarece schema de calcul este consistenta de ordin α au locrelatiile Lh[x]h = ϕh + δϕh si ‖δϕh‖h ≤ C1h

α.Pentru h suficient de mic, daca Lhuh = ϕh, din stabilitatea schemei de calcul

urmeaza ca ‖[x]h − uh‖h ≤ C2‖δϕh‖h ≤ C1C2hα, de unde rezulta convergenta de

ordin α a schemei de calcul.In cazul schemelor de calcul liniare, (adica cu operatorul Lh liniar), stabilitatea

se poate caracteriza prin


Teorema 21.1.2 Daca operatorul Lh este liniar atunci schema de calcul Lhuh =ϕh este stabila daca si numai daca exista o constanta C ≥ 0 astfel ıncat

‖uh‖h ≤ C‖ϕh‖h, ∀ϕh ∈ Yh.

Demonstratie. In ipoteza stabilitatii, exista h0, δ, C > 0 astfel ıncat dacah ∈ (0, h0), εh ∈ Yh, ‖εh‖h ≤ δ,Lh(uh) = ϕh, Lh(zh) = ϕh+εh atunci ‖zh−uh‖h ≤C‖ε‖h. Din liniaritatea schemei de calcul rezulta Lh(zh − uh) = εh.

Rescriem aceasta implicatie prin: daca ϕh ∈ Yh, ‖ϕh‖h ≤ δ, Lh(uh) = ϕhatunci ‖uh‖h ≤ C‖ϕh‖h.

Fie ϕh ∈ Yh. Daca ‖ϕh‖h ≤ δ atunci inegalitatea teoremei este verificata. Daca‖ϕh‖h > δ atunci pentru ϕh = δ

2‖ϕ‖hϕh,Lh(uh) = ϕh au loc relatiile ‖ϕh‖h = δ

2

si ın consecinta ‖uh‖h ≤ C‖ϕh‖h de unde, pentru uh = 2δuh se deduc relatiile

Lh(uh) = ϕh si ‖uh‖h ≤ C‖ϕh‖h.Implicatia inversa este imediata.In cele ce urmeaza vom studia schema de calcul Euler. In Rn+1 folosim norma

lui Cebasev ‖x‖ = max|x1|, . . . , |xn+1|. Au loc urmatoarele rezultate:

Teorema 21.1.3 Daca functia f admite derivate partiale de ordinul ıntai marginite,atunci schema de calcul este consistenta de ordinul ıntai.

Demonstratie. Existenta derivatelor partiale ale functiei f asigura existentaderivatei de ordinul al doilea a solutiei problemei Cauchy (21.1), iar din marginireaderivatelor partiale rezulta existenta unei constante M2 > 0, astfel ıncat |x(t)| ≤M2, ∀t ∈ [0, T ].

Din egalitatile x(ti+1) = x(ti + h) = x(ti) + hx(ti) + h2

2x(ci), ci ∈ (ti, ti+1), i ∈

0, 1, . . . , n− 1, rezulta

x(ti+1)− x(ti)

h= x(ti) +

h

2x(ci), i ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

Atunci

L([x]h) =

x(ti+1)−x(ti)

h− f(ti, x(ti)), i ∈ 0, 1, . . . , n− 1

x(t0)=

=

h2x(ci), i ∈ 0, 1, . . . , n− 1

0=


=

0, i ∈ 0, 1, . . . , n− 1x0 +

h2x(ci), i ∈ 0, 1, . . . , n− 1

0.

Recunoastem ϕh ın primul termen si ın consecinta al doilea termen este δϕh. Prinurmare

‖δϕh‖h = max0≤i≤n−1

h

2|x(ci)| ≤

M2

2h.

Pentru demonstrarea stabilitatii schemei de calcul Euler vom avea nevoie deurmatorul rezultat:

Teorema 21.1.4 Daca termenii sirului de numere reale, nenegative (zn)n∈N sa-tisfac inegalitatile

zn+1 ≤ azn + b, n ∈ N,

cu a, b > 0, atunci

zn ≤ anz0 + ban − 1

a− 1. (21.5)

zn ≤ (az0 + b)(1 + a)n−1 ≤ (az0 + b)ean, (21.6)

Daca ın plus a > 1 atunci

zn ≤ anz0 + ban − 1

a− 1≤ an(z0 +

b

a− 1).

Demonstratie. Au loc inegalitatile

zn ≤ azn−1 + b ≤ a(azn−2 + b) + b = a2zn−2 + b(1 + a) ≤

≤ anz0 + b(1 + a+ . . .+ an−1) = anz0 + ban − 1

a− 1.

A doua inegalitate se demonstreaza prin inductie, tinand seama de

b ≤ az0 + b ≤ (az0 + b)(1 + a)n−1.

Teorema 21.1.5 Daca functia f este lipschitziana ın x, adica exista L > 0,astfel ıncat |f(t, x)− f(t, y)| ≤ L|x− y|,∀x, y ∈ R atunci schema de calcul Eulereste stabila.


Demonstratie. Fie εn =

εi i ∈ 0, 1, . . . , n− 1ε

si sistemele Lh(uh) =

ϕh,Lh(zh) = ϕh + εh :ui+1−ui

h− f(ti, ui) = 0, i = 0, 1, . . . , n− 1

u0 = x0 , (21.7)

zi+1−zi

h− f(ti, zi) = εi, i = 0, 1, . . . , n− 1

z0 = x0 + ε. (21.8)

Introducem vectorul wh = zh − uh = (wi)0≤i≤n si scazand ecuatiile lui (21.7) dinecuatiile corespunzatoare lui (21.8) gasim

wi+1−wih− [f(ti, zi)− f(ti, ui)] = εi, i = 0, 1, . . . , n− 1

w0 = ε. (21.9)

Atunci

wi+1 = wi + h[f(ti, zi)− f(ti, ui)] + hεi i ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

In norma, vom avea

|wi+1| ≤ |wi|+ h|f(ti, zi)− f(ti, ui)|+ h|εi| ≤ (1 + hL)|wi|+ h‖εh‖h,

unde ‖εh‖h = max|ε0|, . . . , |εn−1|, |ε|.Utilizand inegalitatea Teoremei 21.5 obtinem

|wi| ≤ (1 + hL)i(|w0|+h‖εh‖h

(1 + hL)− 1) ≤ eihL(1 +

1

L)‖εh‖h ≤

≤ eTL(1 +1

L)‖εh‖h, i ∈ 0, 1, . . . , n.

Din inegalitatea de mai sus deducem

‖zh − uh‖h = ‖wh‖h = max0≤i≤n

|wi| ≤ eTL(1 +1

L)‖εh‖h,

adica inegalitatea din definitia stabilitatii. Constanta C corespunzatoare esteeTL(1 + 1

L).

Din consistenta si stabilitatea schemei de calcul Euler deducem teorema deconvergenta:

Teorema 21.1.6 Daca


1. functia f este lipschitziana ın x, adica exista L > 0 astfel ıncat |f(t, x) −f(t, y)| ≤ L|x− y|, ∀x, y.

2. Solutia problemei Cauchy (21.1) este de doua ori derivabila, avand derivatade ordinul doi marginita, |x(t)| ≤M, ∀t ∈ [0, T ];

atunci solutia discreta construita cu ajutorul schemei de calcul Euler convergecatre solutia problemei lui Cauchy, ordinul de convergenta fiind 1.

Mai mult are loc urmatoarea formula de evaluare a priori a erorii

‖uh − [u]h‖ ≤M2

2eTL(1 +

1

L)h (21.10)

O demonstratie directa a teoremei de convergenta 21.1.6 este

Notam xi = x(ti) si ei = xi − ui, i = 0, 1, . . . , n. Observam ca e0 = 0. Auloc relatiile

xi+1 = x(ti+1) = x(ti + h) = x(ti) + hx(ti) +h2

2x(ξi) =

xi + hf(ti, xi) +h2

2x(ξi)

siui+1 = ui + hf(ti, ui)

din care, prin scadere, obtinem

ei+1 = ei + h[f(ti, xi)− f(ti, ui)] +h2

2x(ξi).

Aplicand valoarea absoluta, rezulta

|ei+1| ≤ |ei|+ h|f(ti, xi)− f(ti, ui)|+h2

2|x(ξi)| ≤

≤ |ei|+ hL|xi − ui|+h2

2M = (1 + hL)|ei|+

h2

2M.

Folosind Teorama 21.5 rezulta

|ei| ≤ (1 + hL)i[|e0|+h2

2M

(1 + hL)− 1] ≤ eihL

M

2Lh ≤ eTL

M

2Lh.


Prin urmare

‖[x]h − uh‖ = max|ei| : i = 0, 1, . . . , n ≤ eihLM

2Lh ≤ eTL

M

2Lh.

Aplicatie. Sa se calculeze utilizand schema de calcul Euler valoarea functiei x(t)ın punctul t = 1

75cu eroarea ε = 0.01, stiind ca x(t) este solutia problemei Caucly

x(t) = 12− 1

3tx2,

x(0) = x0.

Nu se tine seama de erorile de rotunjire.Sa presupunem ca f(t, x) = 1

2− 1

3tx2 este definita ın patratul D = [0, 1]×[0, 1].

Atunci sup|f(t, x)| : (t, x) ∈ D ≤ 56

si potrivit teoremei de existenta si unicitate,problema Cauchy are solutie unica ın intervalul |t| ≤ min1, 6

5 = 1.

Alegem T = 1. Determinam parametrii L si M care intervin ın Teorema21.1.6.

|f(t, x)− f(t, y)| = 1

3|t||x2 − y2| ≤ 2

3|x− y|.

Alegem L = 1.

x(t) =d

dtf(t, x(t)) =

d

dt[1

2− 1

3tx2(t)] =

= −1

3[x2(t) + 2tx(t)x(t)] = −1

3x2(t)− 1

3tx(t) +

2

9t2x3(t).

Urmeaza ca

sup|x(t)| : |t| ≤ 1 ≤ 8

9.

Alegem M = 89.

Trebuie sa determinam pasul h > 0 astfel ıncat sa existe p ∈ N care sasatisfaca relatiile

ph =1

75si

|up − x(tp)| ≤ ‖uh − [x]h‖ ≤ eTLM

2Lh ≤ 3TL

M

2Lh < ε.

Rezulta ca p este cel mai mic numar natural care satisface inegalitatea

h =1

75p≤ 2Lε

3LTM.

Substituind cu valori numerice, gasim p = 2 si deci h = 1150. In final

u0 = 0,u1 = u0 + hf(t0, u0) = 1

300,

u2 = u1 + hf(t1, u1) ' 0.0067.

21.2. SCHEME DE CALCUL DE TIP RUNGE - KUTTA 473

21.2 Scheme de calcul de tip Runge - Kutta

Pentru rezolvarea problemei Cauchy (21.1) consideram schema de calcului+1−ui

h− Fm(h, ti, ui; f) = 0 i = 0, 1, . . . , n− 1

u0 = x0 (21.11)

unde h = Tn, ti = ih, i = 0, 1, . . . , n iar functia Fm(h, t, x; f) va fi de forma

Fm(h, t, x; f) =m∑i=1

piki(h)

cu

ki(h) = f(t+ αih, x+ h

m∑j=1

βi,jkj(h)), i = 1, . . . ,m.

Numerele p1, . . . , pm, αi, βi,j, i, j = 1, . . . ,m se determina pentru fiecare m ınparte astfel ıncat, daca x(t) este solutia problemei Cauchy, atunci puterea s dinrelatia

x(t+ h)− x(t)

h− Fm(h, t, x(t); f) = hsΦ(t, h), ∀t, h, (21.12)

sa fie cat mai mare.In ipoteza ca x(t) este infinit derivabila, dezvoltand membtul stang ın serie

de puteri ale lui h se obtine

x(t+ h)− x(t)

h− Fm(h, t, x(t); f) =

∞∑j=1

hj−1

j!x(j)(t)−

m∑i=1

pi

(∞∑j=0

hj

j!k

(j)i (0)

)=

=∞∑j=0

(1

j + 1x(j+1)(t)−

m∑i=1

pik(j)i (0)

)hj

j!=

=∞∑j=0

(1

j + 1

djf(t, x(t))

dtj−

m∑i=1

pik(j)i (0)

)hj

j!.

Notam

gj =1

j + 1

djf(t, x(t))

dtj−

m∑i=1

pik(j)i (0). (21.13)

Daca gj = 0, j = 0, 1, . . . , s− 1, atunci ordinul de consistenta al schemei Runge-Kutta va fi s. Solutiile obtinute se prezinta sub forma tabelelor Butcher


α1 β1,1 . . . β1,m

α2 β2,1 . . . β2,m

. . . . . . . . . . . .αm βm,1 . . . βm,m

p1 . . . pm

Daca α1 = 0 si βi,j = 0, pentru i ≥ j atunci schema de calcul de tip Runge –

Kutta este explicita. In acest caz

k1(h) = f(t, x);k2(h) = f(t+ α2h, x+ β21hk1(h));k3(h) = f(t+ α3h, x+ β31hk1(h) + β32hk2(h));. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .km(h) = f(t+ αmh, x+ βm1hk1(h) + . . .+ βmm−1hkm−1(h));

In cele ce urmeaza consideram doar cazul explicit.Pentru m = 1 se regaseste schema lui Euler.Efectuam calculele ın cazul m = 2,

F2(h, t, x; f) = p1k1(h) + p2k2(h) = p1f(t, x) + p2f(t+ α2h, x+ β2,1hf(t, x)).

Calculamg0 = f(t, x(t))(1− p1 − p2) = 0;

g1 =1

2

df(t, x(t))

dt− p1k

′

1(0)− p2k′

2(0).

Iar

df(t, x(t))

dt=

∂f(t, x(t))

∂t+∂f(t, x(t))

∂xf(t, x(t));

k′

1(h) = 0;

k′

2(h) = α2∂f

∂t+ β2,1

∂f

∂xf 1

Astfel g1 devine

g1 = (1

2− α2p2)

∂f(t, x(t))

∂t+ (

1

2− β2,1p2)

∂f(t, x(t))

∂xf(t, x(t)).

g0 = g1 = 0 daca coeficientii termenilor care contin pe f si derivatele sale partialesunt nule. Obtinem sistemul algebric neliniar

1− p1 − p2 = 01− 2p2α2 = 01− 2p2β21 = 0

Doua solutii ale acestui sistem sunt:


1. p1 = 0, p2 = 1, α2 = β21 = 12. In acest caz schema de calcul este

ui+1−uih− f(ti + h

2, ui + h

2f(ti, ui)) = 0 i = 0, 1, . . . , n− 1

u0 = x0 (21.14)

si este cunoscuta sub numele de schema Euler ımbunatatita.

2. p1 = p2 = 12, α2 = β21 = 1. Schema de calcul este

ui+1−uih− 1

2f(ti, ui)− 1

2f(ti+1, ui + hf(ti, ui)) = 0 i = 0, 1, . . . , n− 1

u0 = x0

Tabelele Butcher corespunzatoare sunt

0 0 012

12

00 1

0 0 01 1 0

12

12

Cazul m = 3. F3(h, t, x; f) = p1k1(h) + p2k2(h) + p3k3(h) cu

k1(h) = f(t, x)

k2(h) = f(t+ α2h, x+ hβ2,1k1(h))

k3(h) = f(t+ α3h, x+ hβ3,1k1(h) + hβ3,2k2(h))

Fara sa mai scriem argumentele (t, x(t)), se obtin derivatele

k′2(0) = α2∂f

∂t+ β2,1f

∂f

∂x

k′′2(0) = α22

∂f

∂t+ 2α2β2,1f

∂2f

∂x∂t+ β2

2,1f2∂

2f

∂x2

k′3(0) = α3∂f

∂t+ (β3,1 + β3,2)f

∂f

∂x

k′′3(0) = α23

∂f

∂t+ 2α3(β3,1 + β3,2)f

∂2f

∂x∂t+ (β3,1 + β3,2)2f 2∂

2f

∂x2+

+2β3,2∂f

∂x(α2

∂f

∂t+ β2,1f

∂f

∂x)

Rezulta

g0 = f − p1k1(0)− p2k2(0) + p3k3(0) = (1− p1 − p2 − p3)f


g1 =1

2

df

dt− p1k

′1(0)− p2k

′2(0) + p3k

′3(0) =

= (1

2− p2α2 − p3α3)

∂f

∂t+ (

1

2− p2β2,1 − p3(β3,1 + β3,2))f

∂f

∂x

g2 =1

3

d2f

dt2− p1k

′′1(0)− p2k

′′2(0) + p3k

′′3(0) =

= (1

3− p2α

22 − p3α

23)∂2f

∂t2+

+2(1

3− p2α2β2,1 − p3α3(β3,1 + β3,2))f

∂f 2

∂x∂t+

+(1

3− p2β

22,1 − p3(β3,1 + β3,2)2)f 2∂f

2

∂x2+

+(1

3− 2p3α2β3,2)

∂f

∂t

∂f

∂x+ (

1

3− 2p3β2,1β3,2)(

∂f

∂x)2

Rezulta sistemul algebric de ecuatii neliniare

p1 + p2 + p3 = 1 (21.15)

p2α2 + p3α3 =1

2(21.16)

p2β2,1 + p3(β3,1 + β3,2) =1

2(21.17)

p2α22 + p3α

23 =

1

3(21.18)

p2α2β2,1 + p3α3(β3,1 + β3,2)) =1

3(21.19)

p2β22,1 + p3(β3,1 + β3,2)2 =

1

3(21.20)

p3α2β3,2 =1

6(21.21)

p3β2,1β3,2 =1

6(21.22)

Din (21.21) si (21.22 rezulta α2 = β2,1. Apoi din (21.19) si (21.20) rezulta α3 =β3,1 + β3,2.

Se alege p1 = p3 = 16. Urmeaza p2 = 2

3iar din (21.16) si (21.18) rezulta

α2 = β2,1 = 12, α3 = β3,1 + β3,2 = 1. Din (21.21) se gaseste β3,2 = 2, de unde

β3,1 = −1.

Astfel tabela Butcher va fi


0 0 0 012

12

0 01 −1 2 0

16

23

16

O alta solutie utilizata se obtine pentru p1 = p2 = 16. Procedand analog ca

mai sus se obtine tabela Butcher

0 0 0 01 1 0 012

14

14

016

16

23

In cazul unei ecuatii autonome, x = f(x), schema de calcul de tip Runge-Kuttase poate utiliza sub forma

u1 = ui + hf(ui),

u2 =3

4ui +

1

4u1 +

h

4f(u1),

ui+1 =1

3ui +

2

3u2 +

2h

3f(u2).

Pentru m = 4 se obtine schema de calcul Runge

ui+1−uih− 1

6[k1(h) + 2k2(h) + 2k3(h) + k4(h)] = 0, i = 0, 1, . . . , n− 1

k1(h) = f(ti, ui)k2(h) = f(ti + h

2, ui + h

2k1(h))

k3(h) = f(ti + h2, ui + h

2k2(h))

k4(h) = f(ti + h, ui + hk3(h))

u0 = x0

(21.23)cu tabela Butcher

0 0 0 0 012

12

0 0 012

0 12

0 01 1

20 1 0

16

23

23

16

Pentru a justifica stabilitatea schemei de calcul de tip Runge – Kutta stabilim


Teorema 21.2.1 Daca functia f(t, x) este lipschitziana ın x (∃L. > 0, astfelıncat |f(t, x) − f(t, y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ R) atunci functia Fm(h, t, x; f) estelipschitziana ın x.

Demonstratie. Pentru simplitate, consideram m = 2, adica

Fm(h, t, x; f) = F2(h, t, x; f) = p1f(t, x) + p2f(t+ α2h, x+ β2,1hf(t, x)).

In acest caz

|F2(h, t, y; f)− F2(h, t, x; f)| ≤

≤ |p1| |f(t, y)−f(t, x)|+|p2| |f(t+α2h, y+β2,1hf(t, y))−f(t+α2h, x+β2,1hf(t, x))|.

Datorita ipotezei facute rezulta succesiv

|F2(h, t, y; f)− F2(h, t, x; f)| ≤

≤ |p1| L|y − x|+ |p2| L|y + β2,1hf(t, y)− x− β2,1hf(t, x)| ≤

≤ L(|p1|+ |p2|+ |p2| |β2,1|hL)|y − x| ≤M |y − x|,

unde M = L(|p1|+ |p2|+ |β2,1|TL).Prin urmare are loc o teorema de stabilitate a carei demonstratie este identia

cu demonstratia Teoremei 21.1.5.

Teorema 21.2.2 Daca functia f este lipschitziana ın x, adica exista L > 0,astfel ıncat |f(t, x)− f(t, y)| ≤ L|x− y|,∀x, y ∈ R atunci o schema de calcul detip Runge – Kutta este stabila.

In consecinta

Teorema 21.2.3 Daca

• functia f(t, x) este lipschitziana ın x;

• schema de calcul de tip Runge – Kutta este consistenta de ordin s

atunci atunci solutia discreta construita cu ajutorul schemei de calcul de tip Runge– Kutta converge catre solutia problemei lui Cauchy, ordinul de convergenta fiinds.


Scheme de tip Runge-Kutta implicite

Determinam parametrii schemei de tip Runge-Kutta implicite pentru m=2:

ui+1 − uih

= p1k1(h) + p2k2(h) = 0, i = 0, 1, . . . , n− 1;

cu

k1(h) = f(ti + α1h, ui + hβ1,1k1(h) + hβ1,2k2(h))

k2(h) = f(ti + α2h, ui + hβ2,1k1(h) + hβ2,2k2(h))

Calculam derivatele

k′i(h) = αi∂f

∂t+ (βi,1k1(h) + βi,2k2(h) + hβi,1k

′1(h) + hβi,2k

′2(h))

∂f

∂x,

k′′i (h) = α2i

∂2f

∂t2+ 2αi(βi,1k1(h) + βi,2k2(h) + hβi,1k

′1(h) + hβi,2k

′2(h))

∂2f

∂x∂t+

+(βi,1k1(h) + βi,2k2(h) + hβi,1k′1(h) + hβi,2k

′2(h))2∂

2f

∂x2+

+(2βi,1k′1(h) + 2βi,2k

′2(h) + βi,1k

′′1(h) + βi,2k

′′2(h))

∂f

∂x.

Prin urmare

k′i(0) = αi∂f

∂t+ (βi,1 + βi,2)f

∂f

∂x,

k′′i (0) = α2i

∂2f

∂t2+ 2αi(βi,1 + βi,2)f

∂2f

∂x∂t+ (βi,1 + βi,2)2f 2∂

2f

∂x2+

+2(α1βi,1 + α2βi,2)∂f

∂t

∂f

∂x+ 2(βi,1(β1,1 + β1,2) + βi,2(β2,1 + β2,2))f(

∂f

∂x)2.

Pentru ordinul de consistenta s = 3, expresiile (21.13) devin

g0 = (1− p1 − p2)f,

g1 = (1

2− p1α1 − p2α2)

∂f

∂t+ (

1

2− p1(β1,1 + β1,2)− p2(β2,1 + β2,2))f

∂f

∂x,

g2 = (1

3− p1α

21 − p2α

22)∂2f

∂t2+

+2(1

3− p1α1(β1,1 + β1,2)− p2α2(β2,1 + β2,2))f

∂2f

∂x∂t+

+(1

3− p1(β1,1 + β1,2)2 − p2(β2,1 + β2,2)2)f

∂2f

∂x2+


+(1

3− 2p1(α1β1,1 + α2β1,2)− 2p2(α1β2,1 + α2β2,2))

∂f

∂t

∂f

∂x+

+(1

3− 2p1(β1,1(β1,1 + β1,2) + β1,2(β2,1 + β2,2)))−

−2p2(β2,1(β1,1 + β1,2) + β2,2(β2,1 + β2,2)))f(∂f

∂x)2.

Rezulta sistemul algebric de ecuatii neliniare:

p1 + p2 = 1 (21.24)

p1α1 + p2α2 =1

2(21.25)

p1(β1,1 + β1,2) + p2(β2,1 + β2,2) =1

2(21.26)

p1α21 + p2α

22 =

1

3(21.27)

p1α1(β1,1 + β1,2) + p2α2(β2,1 + β2,2) =1

3(21.28)

p1(β1,1 + β1,2)2 + p2(β2,1 + β2,2)2 =1

3(21.29)

p1(α1β1,1 + α2β1,2) + p2(α1β2,1 + α2β2,2) =1

6(21.30)

p1(β1,1(β1,1 + β1,2) + β1,2(β2,1 + β2,2))) + (21.31)

+p2(β2,1(β1,1 + β1,2) + β2,2(β2,1 + β2,2))) =1

6

Alegand α1 = β1,1 + β1,2, α2 = β2,1 + β1,2 sistemul ramas va fi format dinecuatiile (21.24), (21.26), (21.29), (21.31).

Pentru p1 = p2 = 12

se gaseste

αi = βi,1 + βi,2 =1

2± 1

2√

3.

Inlocuind β1,2 = α1 − β1,1, β2,1 = α2 − β2,2 ın (21.31) se obtine

(α1 − α2)β1,1 + 2α1α2 + (α2 − α1)β2,1 =1

3

sau

(α1 − α2)(β1,1 − β2,2) = 0,

de unde β1,1 = β2,2 = β.


Astfel

k1(h) = f(ti + (1

2∓ 1

2√

3)h, ui + hβk1(h) + h(

1

2∓ 1

2√

3)k2(h))

k2(h) = f(ti + (1

2± 1

2√

3)h, ui + h(

1

2± 1

2√

3)k1(h) + hβk2(h))

iar tabela Butcher este

12∓ 1

2√

3β 1

2∓ 1

2√

3− β

12± 1

2√

312± 1

2√

3− β β

12

12

La fiecare pas i trebuie determinate valorile k1(h), . . . , km(h) astfel ıncat

kj(h) = f(ti + αjh, ui + hm∑l=1

βj,lkl(h)), j ∈ 1, . . . ,m. (21.32)

Acest ansamblu formeaza un sistem algebric de ecuatii neliniare.Fie

Yj = hm∑l=1

βj,lkl(h) = hm∑l=1

βj,lf(ti + αlh, ui + Yl), j ∈ 1, . . . ,m. (21.33)

Daca Y = (Y1, . . . , Ym)T ∈ Rmn ansamblul relatiilor (21.33) se scriu matriceal

Y − h(In ⊗B)F (Y ) = 0, (21.34)

unde

F (Y ) =

f(ti + α1h, ui + Y1)...

f(ti + αmh, ui + Ym)

∈ Rmn, B =

β1,1 . . . β1,m...

. . ....

βm,1 . . . βm,m

∈Mm(R)

iar In ⊗B reprezinta produsul Kronecker

In ⊗B =

Inβ1,1 . . . Inβ1,m...

. . ....

Inβm,1 . . . Inβm,m

∈Mmn(R).


pT = (p1, . . . , pm) si wT = (w1, . . . , wm) = pTB−1.


Dupa rezolvarea sistemului (21.34)

ui+1 = ui + h

m∑j=1

pjkj(h)

dar

hm∑j=1

pjkj(h) = h(In ⊗ pT )F (Y ) = (In ⊗ pT )(In ⊗B)−1Y =

= (In ⊗ pT )(In ⊗B−1)Y = (In ⊗ pTB−1)Y = (In ⊗ wT )Y =m∑j=1

wjYj.

Prin urmare

ui+1 = ui + h

m∑j=1

wjYj.

Pentru exemplul tratat anterior (m = 2)

wT =

(3 +√

3− 12β

2− 12β

3−√

3− 12β

2− 12β

)

Scheme de tip Rosenbrock

Schema de calcul de tip Rosenbrock este o modificare a schemei de calcul detip Runge-Kutta implicita care conduce la fiecare pas la rezolvarea unui sistemalgebric de ecuatii liniare. In cazul unui sistem autonom, x(t) = f(x(t)), schemade calcul este ui+1−ui

h−∑m

j=1 pjkj(h) = 0, i = 0, 1, . . . , n− 1u0 = x0

iar

k1(h) = f(ui) + hγf ′x(ui)k1(h) (21.35)

kj(h) = f(ui + h

j−1∑l=1

βj,lkl(h)) + hf ′x(ui)

j−1∑l=1

γj,lkl(h) + (21.36)

+hγf ′x(ui)kj(h), j = 2, . . . ,m.

Sistemul algebric de ecuatii liniare va fi(In − hγf ′x(ui))k1(h) = f(ui)

(In − hγf ′x(ui))kj(h) = f(ui + h∑j−1

l=1 βj,lkl(h)) + hf ′x(ui)∑j−1

l=1 γj,lkl(h),j = 2, . . . ,m.


Fie A = In − hγf ′x(x) ∈Mn(R). Pentru h suficient de mic

A−1 =∞∑k=0

(hγf ′x(x))k = In + hγf ′x(x) + h2γ2(f ′x(x))2 +O(h3).

Determinam parametrii metodei pentru m = 2 si ordinul de consistenta s = 2.Renuntand la scrierea indicelui i, formulele (21.35)-(21.36) devin

k1(h) = f(x) + hγf ′x(x)k1(h)

k2(h) = f(x+ hβ2,1k1(h)) + hγ2,1f′x(x)k1(h) + hγf ′x(x)k2(h)

sau

Ak1(h) = f(x)

Ak2(h) = f(x+ hβ2,1k1(h)) + hγ2,1f′x(x)k1(h) =

= f(x) + h(β2,1 + γ2,1)f ′x(x)k1(h) +h2

2β2

2,1f′′xx(x)k1(h)2 +O(h3).

Rezulta

k1(h) = f(x) + hγfx(x)f(x) + h2γ2(f ′x(x))2f(x) +O(h3),

k2(h) = f(x) + h(β2,1 + γ2,1 + γ)f ′x(x)f(x) +

+ h2

((2γ(β2,1 + γ2,1) + γ2)f ′x(x)f(x) +

1

2β2

2,1f′′xx(x)f 2(x)

)+O(h3)

Daca solutia problemei Cauchy este suficient de neteda, din dezvoltarea

x(t+ h) = x(t) + hx(t) +h2

2x(t) +

h3

6x(3)(t) + . . .

se obtinex(t+ h)− x(t)

h= f(x(t)) +

h

2f ′x(x(t))f(x(t))+

+h2

6

(f ′′xx(x(t))f 2(x(t)) + f ′2x (x(t))f 2(x(t))

)+O(h3).

Consistenta de ordinul 2 se obtine daca termenul liber si coeficientii lui h si h2

din dezvoltarea expresiei

x(t+ h)− x(t)

h− p1k1(h)− p2k2(h)


dupa puterile lui h sunt 0, independent de functia f . Rezulta sistemul algebricde ecuatii neliniare

p1 + p2 = 1 (21.37)

p1γ + p2(β2,1 + γ2,1 + γ) =1

2(21.38)

p2β22,1 =

1

3(21.39)

p1γ2 + p2(2γ(β2,1 + γ2,1) + γ2) =

1

6(21.40)

Tinand seama de (21.37) relatiile (21.38) si (21.40) devin

γ + p2(β2,1 + γ2,1) =1

2

γ2 + 2p2γ(β2,1 + γ2,1) =1

6

Reducand al doilea termen, rezulta ecuatia γ2−γ+ 16

= 0 cu radacinile γ = 12±√

36.

Cu notatia β2,1 = β, se gasesc succesiv

p2 =1

3β2(21.41)

p1 = 1− 1

3β2

γ2,1 = −β(1± β√

3

2).

21.3 Scheme de calcul de tip Adams

Ecuatia diferentiala (21.1)este echivalenta cu ecuatia integrala

x(t) = x(t) +

∫ t

t

f(s, x(s))ds 0 ≤ t < t ≤ T.

Ideea schemelor de calcul de tip Adams consta ın ınlocuirea functiei ϕ(s) =f(s, x(s)) printr-un polinom de interpolare

Nr(ϕ)(s) =r∑i=0

(t− a)(t− a+ h) . . . (t− a+ (i− 1)h)∇ihϕ(a)

i!hi.

21.3. SCHEME DE CALCUL DE TIP ADAMS 485

Solutia aproximativa u satisface ecuatia

u(t) = u(t) +

∫ t

t

Nr(ϕ)(s)ds. (21.42)

Fie h = Tn

si retraua de puncte echidistante ti = ih, i = 0, 1, . . . , n. Partic-ulariza relatia (21.42) luand t, t, a egale, respectiv cu tk+p, tk−q, tk si obtinem

uk+p = uk−q+r∑i=0

∇ihϕ(tk)

i!hi

∫ tk+p

tk−q

(s−tk)(s−tk+h)·. . .·(s−tk+(i−1)h)ds, (21.43)

unde ui = u(ti), i = 0, 1, . . . , n.Prin schimbarea de variabila s− tk = zh integrala din (21.43) devine∫ tk+p

tk−q

(s−tk)(s−tk+h) . . . (s−tk+(i−1)h)ds = hi+1

∫ p

−qz(z+1)·. . .·(z+i−1)dz.

Inlocuind ın (21.43) gasim

uk+p = uk−q +r∑i=0

hi+1∇ihϕ(tk)

i!hi

∫ p

−qz(z + 1) · . . . · (z + i− 1)dz.

sau

uk+p = uk−q +r∑i=0

αi∇ihϕ(tk),

undeα0 = p+ qαi = 1

i!

∫ p−q z(z + 1) · . . . · (z + i− 1)dz, i = 1, 2, . . . , r.

Utilizand formula de dezvoltare a diferentelor finite regresive obtinem

uk+p = uk−q + hr∑i=0

αi

i∑j=0

(ij

)(−1)jϕ(tk − j),

unde ϕ(tj) = f(tj, uj). Permutand ınsumarile gasim

uk+p = uk−q + h

r∑j=0

βjf(tk−j, uk−j), (21.44)

cu

βj = (−1)j[

(jj

)αj +

(j + 1j

)αj+1 + . . .+

(rj

)αr]. (21.45)


Cazuri particulare importante. 1. Schema Adams - Bashforth. Particu-larizam (21.44), alegand p = 1, q = 0. Se obtin relatiile

uk+1 = uk + hr∑j=0

βjf(tk−j, uk−j), k = r, . . . , n− 1; (21.46)

unde βj sunt dati de formulele (21.45) cu α0 = 1, αi = 1i!

∫ 1

0z(z+1)·. . .·(z+i−1)dz.

Tabelul coeficientilor βj.

Numarator Numitor

r|j 0 1 2 3 4 5

1 3 -1 22 23 -16 5 123 55 -59 37 -9 244 1901 -2774 2616 -1274 251 7205 4277 -7927 9982 -7298 2877 -475 1440

2. Schema Adams - Moulton. Alegand p = 0, q = 1 ın (21.44) se obtinformulele

uk = uk−1 + hr∑j=0

βjf(tk−j, uk−j), k = r − 1, . . . , n; (21.47)

unde βj sunt dati de formulele (21.45) cu α0 = 1, αi = 1i!

∫ 0

−1z(z + 1) · . . . · (z +

i− 1)dz.Tabelul coeficientilor βj.

Numarator Numitor

r|j 0 1 2 3 4 5

1 1 1 22 5 8 -1 123 9 19 -5 1 244 251 646 264 106 -19 7205 475 1427 -798 482 -173 27 1440

Schema de calcul Adams - Bashforth este explicita ın sensul ca ın formula(21.46), elementele membrului drept sunt cunoscute si uk+1 se calculeaza nemi-jlocit.

21.3. SCHEME DE CALCUL DE TIP ADAMS 487

Schema de calcul Adams - Moulton este implicita ın sensul ca ın formula(21.47), pentru j = 0 apare factorul f(tk, uk), iar uk este necunoscut. Astfel ukse obtine ca solutia unei ecuatii.

Schemele de tip Adams se numesc scheme de calcul cu mai multi pasi (multi-pas), ın timp ce schemele de calcul de tip Runge - Kutta sunt scheme cu un singurpas (unipas). Un avantaj din punct de vedere al calculelor pentru schemele de cal-cul de tip Adams este faptul ca folosesc valorile lui f doar ın nodurile anterioare,ın timp ce la schemele de calcul de tip Runge - Kutta este nevoie de valorile luif ın diverse puncte intermediare.

Pentru pornirea unei scheme de calcul de tip adams trebuie cunoscute ınprealabil u0, u1, . . . , ur, aproximatii care se determina pe o alta cale - de exempluutilizand o schema de calcul de tip Runge - Kutta. Determinarea acestor valorise numeste procedeu initial.

Pentru a studia consistenta unei scheme de calcul de tip Adams rescriemformula (21.44) sub forma

apuk+p + ap−1uk+p−1 + . . .+ a0uk− (21.48)

−h[bpf(tk+p, uk+p) + bp−1f(tk+p−1, uk+p−1) + . . .+ b0f(tk, uk)] = 0.

Fie x solutia problemei Cauchy si presupunand ca au loc dezvoltarile tayloriene

xk+s = xk + sh1!xk + (sh)2

2!xk + . . .

xk+s = xk + sh1!xk + (sh)2

2!x

(3)k + . . .

atunciapxk+p + ap−1xk+p−1 + . . .+ a0xk−

−h[bpf(tk+p, xk+p) + bp−1f(tk+p−1, xk+p−1) + . . .+ b0f(tk, xk)] =

apxk+p + ap−1xk+p−1 + . . .+ a0xk − h[bpxk+p + bp−1xk+p−1 + . . .+ b0xk] =

= C0xk + C1hxk + C2h2xk + . . .+ Cmh

mx(m)k + . . .

unde

C0 = a0 + a1 + . . .+ apC1 = C0 = a1 + 2a2 + . . .+ pap − (b0 + b1 + . . .+ bp)C2 = 1

2!(a1 + 22a2 + . . .+ p2ap)− (b1 + 2b2 + . . .+ pbp)

Cm = 1m!

(a1 + 2ma2 + . . .+ pmap)− 1(m−1)!

(b1 + 2m−1b2 + . . .+ pm−1bp).

Schema de calcul de tip Adams (21.48) este consistenta de ordin m dacaC0 = C1 = . . . = Cm = 0 si Cm+1 6= 0.


Exemplificam ın cazul schemei de calcul Adams - Bashforth cu r = 1

uk+1 = uk + h[3

2f(tk, uk)−

1

2f(tk−1, uk−1)].

Schema de calcul se rescrie sub forma

uk+2 − uk+1 − h[3

2f(tk+1, uk+1)− 1

2f(tk, uk)] = 0

deci p = 2 si a2 = 1, a1 = −1, a0 = 0, b2 = 0, b1 = 32, b0 = 1

2. Rezulta

C0 = a0 + a1 + a2 = 0C1 = a1 + 2a2 − (b0 + b1 + b2) = 0C2 = 1

2(a1 + 22a2)− (b1 + 2b2) = 0

C3 = 13!

(a1 + 23a2)− 12(b1 + 22b2) = 5

12.

Pentru f(t, x) = 0 schema de calcul de tip Adamns (21.44) devine

apuk+p + ap−1uk+p−1 + . . .+ a0uk = 0, k ≥ 0, (21.49)

care este o ecuatie cu diferente liniara si omogena de ordip p.Daca pentru h = T

n 0⇔ n→∞ orice solutie a ecuatiei cu diferente (21.49)

este marginita atunci schema de calcul de tip Adams se numeste zero stabila.Daca polinomul caracteristic al ecuatiei cu diferente (21.49), ϕ(z) = apz

p +ap−1z

p−1 + . . .+a0 ındeplineste conditia radacinii (1.2.3), atunci schema de calculeste zero stabila.

21.4 Schema diferentelor regresive

Schema de calcul de tipul diferentelor regresive (Backward difference formula- BDF) se construieste utilizand formula de derivare numerica (4.12)

f ′(a) ≈ 1

h

n∑k=1

∇khf(a)

k,

prin

f(t, x(t)) = x(t) ≈ 1

h

r∑k=1

∇khx(t)

k. (21.50)

21.5. SCHEMA DE CALCUL PREDICTOR - CORECTOR 489

Din ∇khx(t) =

∑kj=0

(kj

)(−1)jx(t− jh) rezulta

r∑k=1

∇khx(t)

k=

r∑j=0

αjx(t− jh),

cu

αj =

∑r

i=11i, j = 0

(−1)j∑r

i=j1i

(ij

), j ∈ 1, 2, . . . , r

Tabloul coeficientilor αj este

r α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6

1 1 -12 3

2-2 1

2

3 116

-3 32−1

3

4 2512

-4 3 −43

14

5 13760

-5 5 −103

54−1

5

6 4920

-6 152−20

3154−6

516

Folosind notatiile obisnuite ti = i ∗ h, ui ≈ x(ti), i = 0, 1, . . . , h > 0, pentrut = tk, din (21.50) se obtine schema de calcul implicita

r∑j=0

αjuk−j = hf(tk, uk) k ≥ r. (21.51)

Un procedeu initial va determina valorile u1, . . . , ur−1.

21.5 Schema de calcul predictor - corector

Schemele de tip predictor - corector se obtin prin combinarea dintre douascheme de tip Adams: una explicita

uk+1 = uk + h

p∑i=0

aif(tk−j, uk−j), k ≥ p

si una implicita

uk+1 = uk + h

q∑j=0

bjf(tk+1−j, uk+1−j), k ≥ q − 1.


Se valorifica astfel proprietatle schemei de calcul implicite ıntr-o procedura ex-plicita de calcul. Procedura P (EC)mE de combinarea celor doua scheme, pentruun pas k ≥ s = maxp, q − 1, este data ın algoritmul (19).

Algorithm 19 Pseudocodul schemei de calcul predictor-corector

1: procedure Schema predictor-corector2: P: u0

k+1 = uk + h∑p

i=0 aif(tk−j, uk−j);3: for s = 1 : m do4: E:f s−1

k+1 = f(tk+1, us−1k+1)

5: C:usk+1 = uk + hb0fs−1k+1 + h

∑qj=1 bjf(tk+1−j, uk+1−j)

6: end for7: E: uk+1 = umk+1; fk+1 = f(tk+1, uk+1)8: end procedure

Asadar, pentru pornirea schemei de tip predictor - corector este nevoie de deter-minarea aproximatiilor u0, u1, . . . , us (procedeul initial).

Pentru procedura PECE (m = 1) are loc urmatoarea teorema simpla deconvergenta:

Teorema 21.5.1 Daca

• functia f(t, x) este lipschitziana ın x; ∃L > 0 astfel ıncat |f(t, y)−f(t, x)| ≤L|y − x|, ∀x, y ∈ R;

• procedeul initial este convergent, adica limh→0 max0≤i≤s |xi − ui| = 0;

• schemele de calcul de Adams explicita si implicita utilizate sunt consistente

atunci solutia discreta construita cu ajutorul schemei de calcul de tip predictor–corector converge catre solutia problemei lui Cauchy.

Demonstratie. Procedura PECE a schema de calcul predictor– corector sepoate scrie prin

u∗k+1 = uk + h

p∑i=0

aif(tk−j, uk−j), (21.52)

uk+1 = uk + hb0f(tk+1, u∗k+1) + h

q∑j=1

bjf(tk+1−j, uk+1−j). (21.53)

21.5. SCHEMA DE CALCUL PREDICTOR - CORECTOR 491

pentru k ∈ s, . . . , n− 1. Consistenta celor doua scheme de calcul de tip Adamscu care s-a construit schema de calcul predictor corector se exprima prin existentanumerelor α, β ∈ N∗ si C1, C2 > 0 astfel ıncat

xk+1 = xk + h

p∑i=0

aif(tk−j, xk−j) + hα+1τ ∗k+1, (21.54)

xk+1 = xk + h

q∑j=0

bjf(tk+1−j, xk+1−j) + hβ+1τk+1 (21.55)

pentru k ∈ s, . . . , n− 1 si

maxj|τ ∗j | ≤ C1 max

j|τj| ≤ C2.

Daca x∗k+1

def= xk+1 − hα+1τ ∗k+1 atunci egalitatea (21.54) devine

x∗k+1 = xk + h

p∑i=0

aif(tk−j, xk−j). (21.56)


e∗j = x∗j − u∗j , ej = xj − uj,A =

∑pi=0 |ai|, B =

∑qj=0 |bj|,

wj = max|e0|, . . . , |ej|.

Scazand (21.52) din (21.56) si (21.53) din (21.55) obtinem respectiv

e∗k+1 = ek + h

p∑i=0

ai[f(tk−j, xk−j)− f(tk−i, uk−i)]

ek+1 = ek + hb0[f(tk+1, xk+1)− f(tk+1, u∗k+1)] +

+h

q∑j=1

bj[f(tk+1−j, xk+1−j)− f(tk+1−j, uk+1−j)] + hβ+1τk+1

In valoare absoluta, din egalitatile de mai sus rezulta

|e∗k+1| ≤ |ek|+ h

p∑i=0

|ai| |f(tk−j, xk−j)− f(tk−i, uk−i)| ≤

≤ |ek|+ hL

p∑i=0

|ai| |ek−i|, (21.57)


|ek+1| ≤ |ek|+ h|b0| |f(tk+1, xk+1)− f(tk+1, u∗k+1)|+

+h

q∑j=1

|bj| |f(tk+1−j, xk+1−j)− f(tk+1−j, uk+1−j)|+ hβ+1|τk+1| ≤

≤ |ek|+ h|b0|L|xk+1 − u∗k+1|+ hL

q∑j=1

|bj| |ek−j+1|+ C2hβ+1 (21.58)

Tinand seana de definitia lui x∗k+1 si de (21.57) deducem

|xk+1 − u∗k+1| ≤ |xk+1 − x∗k+1|+ |x∗k+1 − u∗k+1| = hα+1|τ ∗k+1|+ |e∗k+1| ≤

≤ C1hα+1 + |ek|+ hL

p∑i=0

|ai| |ek−i|.

Utilizam aceasta inegalitate ın (21.58) care devine

|ek+1| ≤ |ek|+ h|b0|L(C1hα+1 + |ek|+ hL

p∑i=0

|ai| |ek−i|)+

+hL

q∑j=1

|bj| |ek−j+1|+ C2hβ+1.

Folosind definitia lui wk si aranjand termenii deducem

|ek+1| ≤ (1 + hLB + h2L2|b0|A)wk + C1L|b0|hα+2 + C2hβ+1. (21.59)

Prin urmare

wk+1 ≤ (1 + hLB + h2L2|b0|A)wk + C1L|b0|hα+2 + C2hβ+1.

Potricit Teoremei 21.5, inegalitatile anterioare implica

wk ≤ (1 + hLB + h2L2|b0|A)k(w0 +C1L|b0|hα+2 + C2h

β+1

(1 + hLB + h2L2|b0|A)− 1) ≤

≤ ehk(LB+hL2|b0|A)(ws +C1h

α+1|b0|L+ C2hβ

LB) ≤

≤ eT (LB+TL2|b0|A)(ws +C1h

α+1|b0|L+ C2hβ

LB).

Din ultima inegalitate deducem

‖[x]h − uh‖h = max0≤i≤n

|xi − ui| = max0≤i≤n

|ei| = wn ≤

21.6. A-STABILITATEA SCHEMELOR DE CALCUL 493

≤ eT (LB+TL2|b0|A)(ws +C1h

α+1|b0|L+ C2hβ

LB)→ 0,

when h→ 0.Observatie. Daca consideram consideram schemele de calcul ca formule ma-

triceale atunci ele se pot utiliza la integrarea problemelor Cauchy corespunzatoaresistemelor de ecuatii diferentiale.

21.6 A-stabilitatea schemelor de calcul

A-stabilitatea permite evaluarea tariei unei scheme de calcul pentru rezolvareaunei probleme Cauchy. Pentru definirea acestei notiuni se considera problem detest

x = λx, λ ∈ C,x(0) = x0 (21.60)

a carei solutie este x(t) = eλtx0. Daca <λ < 0 atunci limt→∞ x(t) = 0.Aplicam schema de calcul Lhuh = fh pentru rezolvarea problemei (21.60).Se numeste domeniu de A-stabilitate multimea elementelor z = λh ∈ C, h >

0, λ ∈ C cu proprietatea ca solutia uh = (ui)0≤i≤nh a schemei de calcul estemarginita pentru orice h > 0.

Schema de calcul Lhuh = fh este A-stabila daca semiplanul z ∈ C : <z < 0este inclus ın domeniul de A-stabilitate a schemei de calcul.

Aplicand o schema de calcul de tip Runge-Kutta problemei (21.60) se obtineo relatie de forma

ui+1 = R(z)ui z = λh.

Functia R(z) se numeste functia de stabilitate.O schema de calcul de tip Runge-Kutta este tare A-stabila daca

1. este A-stabila;

2. limz→∞ |R(z)| < 1.

O schema de calcul de tip Runge-Kutta este L A-stabila daca

1. este A-stabila;

2. limz→∞ |R(z)| = 0.

Aplicatii. Analizam natura A-stabilitatii mai multor scheme de calcul.


Fig. 1. Multimea de A-stabilitate a schemelor Runge–Kutta.


1. Schema de calcul Euler (21.4). Daca substituim f(ti, ui) = λui ın (21.4)atunci deducem formula de recurenta ui+1 = (1 + λh)ui) = (1 + z)ui deunde rezulta ca ui = (1 + z)iu0. Prin urmare functia de stabilitate esteR(z) = 1 + z. Sirul (ui)i∈N este marginit doar daca |R(z)| = |1 + z| ≤ 1.Multimea de A-stabilitate este ın acest caz discul cu centrul ın -1 si raza 1(Fig. 1).

2. Schema de calcul Euler ımbunatatita. (21.14). Analog se obtine R(z) =1 + z + z2

2. Multimea de A-stabilitate este interiorul domeniului delimitat

de conturul punctiform din Fig. 1.

3. Schema de calcul Runge – Kutta (m=4), (21.23). In acest caz R(z) =1 + z + z2

2+ z3

6+ z4

24iar multimea de A-stabilitate este domeniul marginit

de linia ıntrerupta din Fig. 1.

Observam ca nici una din schemele de calcul de tip Runge – Kutta explicitanu este A-stabila.

4. In cazul schemei de calcul impliciteui−ui−1

h− f(ti, ui) = 0, i = 1, 1, . . . , n,

u0 = x0

pentru problema de test deducem

ui =1

1− λhui−1 =

1

1− zui−1 = (

1

1− z)iu0.

Din conditia de marginirea sirului (ui)i : | 11−z | ≤ 1, obtinem ca multimea

de A-stabilitate este |z − 1| ≥ 1, adica exteriorul discului cu centrul ın 1 side raza 1. Astfel aceasta schema de calcul este A-stabila.

5. Utilizand schema de calcul de tip Adams scrisa sub forma

apuk+p + ap−1uk+p−1 + . . .+ a0uk−


Pentru rezolvarea problemei test ajungem la ecuatia cu diferente

(ap−zbp)uk+p+(ap−1−zbp−1)uk+p−1 +. . .+(a1−zb1)uk+1 +(a0−zb0)uk = 0.

Ecuatia caracteristica corespunzatoare este

ρ(x)− zσ(x) = 0


unde

ρ(x) = apxp + ap−1x

p−1 + . . .+ a1x+ a0,

σ(x) = bpxp + bp−1x

p−1 + . . .+ b1x+ b0.

Solutia ecuatiei cu diferente este marginita daca are loc conditia radacinii:Radacinile polinomului caracteristic sunt ın modul subunitare, iar cele demodul 1 sunt radacini simple.

Fig. 2 si Fig. 3 prezinta frontierele multimilor de A-stabilitate pentruschemele de calcul Adams – Bashforth (r=1,2,3,4) si respectiv Adams –Moulton (r=2,3,4). In fiecare caz multimea de A-stabilitate este exterioruldomeniului marginit de curbele desenate.

Fig. 2. Multimea de A-stabilitate a schemelor Adams–Bashforth.

Din analiza graficelor se observa ca nici una din schemele de calcul de tipAdams tratate nu este A-stabila.


Fig. 3. Multimea de A-stabilitate a schemelor Adams–Moulton.


6. Schema Runge-Kutta implicita pentru m = 2 cu parametrii dati de (21.2).In acest caz, mai ıntai trebuie sa calculam k1(h) si k2(h) pentru f(t, x) = λx.Dink1 = λ(x+ hβ1,1k1 + hβ2,1k2)k2 = λ(x+ hβ2,1k1 + hβ2,2k2)

⇔

(1− zβ1,1)k1 − zβ1,2k2 = λx−zβ2,1k1 + (1− zβ2,2)k2 = λx

se obtine

k1 =λx

4(1 + z(

1

2− 2β ∓

√3

6))

k2 =λx

4(1 + z(

1

2− 2β ±

√3

6))

4 = 1− 2βz + (β − 1

6)z2.

Apoi din schema de calcul se obtine

ui+1 =1 + (1− 2β)z + (1

3− β)z2

1− 2βz + (β − 16)z2

ui = R(z)ui.

Cazuri particulare:

β = 14

R(z) =1+ z

2+ z2

12

1− z2

+ z2

12

β = 13

R(z) =1+ z

3

1− 2z3

+ z2

6

7. Schema Rosenbrock pentru m = 2 cu parametrii dati de (21.41). Procedandca ın cazul precedent, pentru f(x) = λx, se obtin

k1 =λx

1− γz

k2 =λx

1− γz+λ(β2,1 + γ2,1)zx

(1− γz)2

R(z) =1∓

√3

3z − 1±3

√3

6z2

(1− (12±√

36

)z)2.

Detalii privind construirea acestor grafice se gasesc ın Anexa C.

21.7. SCHEMELE BULIRSCH-STOER SI BADER-DEUFLHARD 499

21.7 Schemele de calcul

Bulirsch-Stoer si Bader-Deuflhard

Pentru rezolvarea problemei Cauchy (21.1) utilizam notatiile obisnuite: pentrun ∈ N∗ consideram h = T

n, ti = ih, ui ≈ x(ti), i ∈ 0, 1, . . . , n.

Schemele de calcul Bulirsch-Stoer si Bader-Deufldard se bazeaza pe extrapo-larea Richardson construita pentru h0 > h1 > . . . > hM , unde hj = T

nj. Uzual,

sirul nj se defineste prin n0 = 2, n1 = 3, nj = 2nj−2, j ∈ 2, 3, . . . ,M saunj = 2(j + 1), j ∈ 0, 1, . . . ,M.

Pentru ui dat, ui+1 = ϕ(h) se alege astfel ıncat

x(ti+1) = ϕ(h) +∞∑j=1

a2jh2j = ui+1 +

∞∑j=1

a2jh2j,

unde coeficientii ai nu depind de h.Formulele extrapolarii Richardson sunt (4.1.1):

D(n, 0) = ϕ(hn), n ∈ 0, 1, . . . ,M

D(n, k) =h2n−kD(n,k−1)−h2nD(n−1,k−1)

h2n−k−h2n,

n∈k,k+1,...,Mk ∈ 1, 2, . . . ,M .

Fie N ∈ N∗. Notam τ = hN, ti,j = ti + jτ pentru j ∈ 0, 1, . . . , N, ti,j+ 1

2=

ti + (j + 12)τ, pentru j ∈ 0, 1, . . . , N − 1.

Schema de calcul Bulirsch-StoerFunctia ϕ(h) corespunzatoare schemei de calcul Bulirsch-Stoer se calculeaza

prin

z0 = ui (21.61)

z1 = ui + τf(ti,0, z0) (21.62)

z2 = z0 + 2τf(ti,1, z1) (21.63)...

zN−1 = zN−3 + 2τf(ti,N−2, zN−2) (21.64)

zN = zN−2 + 2τf(ti,N−1, zN−1) (21.65)

ui+1 =1

2(zN−1 + zN + τf(ti,N , zN)) (21.66)

Daca se calculeazazN+1 = zN−1 + 2τf(ti,N , zn)


atunci (21.66) devine

ui+1 =1

4(zN−1 + 2zN + zN+1).

Se observa ca formulele (21.63)-(21.65) corespund metodei termenului median(21.2).

Adunand relatiile (21.61)-(21.65) se obtine

zN−1 + zN = 2ui + τ(f(ti,0, z0) + 2N−1∑j=1

(ti,j, zj)).

Substituind ın (21.66) rezulta

ui+1 = ui +τ

2(f(ti,0, z0) + 2

N−1∑j=1

(ti,j, zj) + f(ti,N , zN)). (21.67)

Daca x(t) este solutia problemei Cauchy (21.1) atunci utilizand formula trapezelorse gaseste

x(ti+1) = x(ti + h) = x(ti) +

∫ ti+1

ti

x(s)ds = x(ti) +

∫ ti+Nτ

ti

f(s, x(s))ds =

= x(ti) +τ

2(f(ti,0, x(ti,0)) + 2

N−1∑j=1

f(ti,j, x(ti,j)) + f(ti,N , x(ti,N)) +Rt(f). (21.68)

Potrivit formulei (5.40) expresia restului este de forma

Rt(f) =∞∑j=1

Ajτ2j =

∞∑j=1

a2jh2j,

unde a2j =AjN2j , ∀ j ∈ N∗.

Din comparatia formulelor (21.67) si (21.68), deoarece zj ≈ x(ti,j), j ∈ 0, 1, . . . , Navem

x(ti+1) ≈ ui+1 +∞∑j=1

a2jh2j. (21.69)

Notand

IN =τ

2(f(ti,0, z0) + 2

N−1∑j=1

(ti,j, zj) + f(ti,N , zN))

IN =τ

2(f(ti,0, x(ti,0)) + 2

N−1∑j=1

f(ti,j, x(ti,j)) + f(ti,N , x(ti,N))

21.7. SCHEMELE BULIRSCH-STOER SI BADER-DEUFLHARD 501

daca f este lipschitziana ın x, cu coeficientul L, atunci

|IN − IN | ≤ τLN∑j=0

|zj − x(ti,j)|.

Schema de calcul a termenului median are ordinul de convergenta 2, adica existaC > 0 astfel ıncat

|zj − x(ti,j| ≤ Cτ 2 ∀j ∈ 0, 1, . . . , N.

Prin urmare

|IN − IN | ≤ NτLCτ 2 =LC

N2h3.

Schema de calcul Bader-DeuflhardSchema de calcul Bader-Deuflhard va fi prezentata ıntr-o varianta putin mod-

ificata fata de [11, 42].Presupunem ca sistemul diferential al problemei cu valori initiale este au-

tonom:

x(t) = f(x(t)), t ∈ [0, T ], (21.70)

x(0) = x0.

Functia ϕ(h) corespunzatoare schemei de calcul Bader-Deuflhard se calculeazaprin

z0 = ui (21.71)

z1 = z0 + τf(z0 + z1

2) (21.72)

z2 = z1 + τf(z1 + z2

2) (21.73)

...

zN = zN−1 + τf(zN−1 + zN

2) (21.74)

ui+1 = zN (21.75)

Se observa ca formulele (21.72)-(21.74) corespund formulei dreptunghiuluiaplicata sistemului (21.70) pentru intervalul [ti,j, ti,j+1].

Fiecare din ecuatiile (21.72)-(21.74) reprezinta un sistem algebric ın necunos-cutele, respectiv, z1, z2, . . . , zN . Astfel schema de calcul Bader-Deuflhard este oschema implicita.


Adunand relatiile (21.71)-(21.75) se obtine

ui+1 = ui + τN−1∑j=0

f(zj + zj+1

2). (21.76)

Daca x(t) este solutia problemei Cauchy (21.1) atunci utilizand formula drep-tunghiurilor se gaseste

x(ti+1) = x(ti + h) = x(ti) +

∫ ti+1

ti

x(s)ds = x(ti) +

∫ ti+Nτ

ti

f(s, x(s))ds =

= x(ti) + τ

N−1∑j=0

f

(x(tj) + x(tj+1)

2

)+Rd(f). (21.77)

Potrivit formulei (5.41) expresia restului este de forma

R(f) =∞∑j=1

Bjτ2j =

∞∑j=1

b2jh2j,

unde b2j =BjN2j , ∀ j ∈ N∗.

Din comparatia formulelor (21.76) si (21.77), deoarece zj ≈ x(ti,j), j ∈ 0, 1, . . . , Navem

x(ti+1) ≈ ui+1 +∞∑j=1

b2jh2j. (21.78)

Relatiile (21.69) si (21.78) relatie care justifica extrapolarea Richardson.

21.8 Matricea exp (At)

Determinam o matrice fundamentala de solutii pentru sistemul diferential deecuatii liniare cu coeficienti constanti

x(t) = Ax(t), (21.79)

unde A ∈ Mn(R). Din (21.79) rezulta x(k)(t) = Akx(t), k ∈ N∗ si ın consecintaare loc dezvoltarea tayloriana

x(t) =∞∑k=0

x(k)(0)

k!tk =

(∞∑k=0

Aktk

k!

)x(0).

21.9. METODA ITERATIILOR VARIATIONALE 503

Matricea fundamentala de solutii este

exp(At) =∞∑k=0

Aktk

k!. (21.80)

In vederea obtinerii unei aproximari numerice, scazand egalitatile

x(t+ h) =∞∑k=0

x(k)(t)

k!hk =

(∞∑k=0

Akhk

k!

)x(t) =

=

(In +

Ah

1!+A2h2

2!+A3h3

3!+ . . .

)x(t)

x(t) =∞∑k=0

(−1)kx(k)(t+ h)

k!hk =

(∞∑k=0

(−1)kAkhk

k!

)x(t+ h) =

=

(In −

Ah

1!+A2h2

2!− A3h3

3!+ . . .

)x(t+ h)

gasim

x(t+ h)− x(t) = (x(t)− x(t+ h)) +Ah

1!(x(t) + x(t+ h))+

+A2h2

2!(x(t)− x(t+ h)) +

A3h3

3!(x(t) + x(t+ h)) + . . .

de undex(t+ h) =

=

(In −

Ah

2 · 1!+A2h2

2 · 2!− A3h3

2 · 3!+ . . .

)−1(In +

Ah

2 · 1!+A2h2

2 · 2!+A3h3

2 · 3!+ . . .

)x(t).

Astfel se obtine aproximatia

exp(Ah) ≈(In −

Ah

2 · 1!+A2h2

2 · 2!− A3h3

2 · 3!

)−1(In +

Ah

2 · 1!+A2h2

2 · 2!+A3h3

2 · 3!

).

21.9 Metoda iteratiilor variationale

Metoda iteratiilor variationale Variational Iteration Method (VIM), initiatade Ji-Huan He, a fost utilizata pentru rezolvarea unor probleme pentru ecuatiidiferentiale si ecuatii cu derivate partiale. Rolul principal revine multiplicatorilorLagrangre care ımbunatatesc ordinul de aproximare al unei aproximatii.


Rezultatul pe care ıl vom prezenta consta ın convergenta uniforma a siruluide aproximatii construite cu metoda VIM pentru o problema cu valori initialepentru un sistem de ecuatii diferentiale pe un interval compact.

Fie sistemul de ecuatii diferentiale ımpreuna cu conditiile initialex′1(t) = f1(t, x1(t), . . . , xm(t)) x1(t0) = x0

1...x′m(t) = fm(t, x1(t), . . . , xm(t)) xm(t0) = x0

m

(21.81)

unde t ∈ [t0, tf ] si t0 < tf <∞.Introducem notatiile:

x = (x1, . . . , xm)

‖x‖1 =m∑j=1

|xj|

‖x‖∞ = maxt‖x(t)‖1.

Atunci sistemul (21.81) se rescrie

x′i(t) = fi(t,x(t)), i ∈ 1, . . . ,m.

Presupunem ipotezele:

• Functiile f1, . . . , fm sunt continue ımpreuna cu derivatele lor partiale deordin unu si doi ın x1, . . . , xm.

• Exista L > 0 astfel ıncat pentru orice i ∈ 1, . . . ,m

|fi(t,x)− fi(t,y)| ≤ L

m∑j=1

|xj − yj| = L‖x− y‖1, ∀ x,y ∈ Rm.

In consecinta

|∂fi(t,x)

∂xj| = |fixj (t,x)| ≤ L, ∀(t,x) ∈ [t0, tf ]× Rm, ∀i, j ∈ 1, . . . ,m.

Metoda VIM considera sirul de aproximatii

un+1,i(t) = un,i(t) +

∫ t

t0

λi(s)(u′n,i(s)− fi(s,un(s)))ds, n ∈ N, (21.82)


i ∈ 1, . . . ,m si unde un = (un,1, . . . , un,m).Presupunem ca un,i(t0) = x0

i si ca un,i are derivata continua pentru orice anyi ∈ 1, . . . ,m.

In ecuatia i multiplicatorul Lagrange va actiona doar asupra lui xi.Daca x(t) = (x1(t), . . . , xm(t)) este solutia problemei cu valori initiale (21.81)

si un,i(t) = xi(t) + δun,i(t) and un+1,i(t) = xi(t) + δun+1,i(t) dar un,j(t) = xj(t),pentru j 6= i, atunci (21.82) implica

δun+1,i(t) = δun,i(t) +

∫ t

t0

λi(s)(x′i(s) + δu′n,i(s)−

−fi(s, x1(s), . . . , xi−1(s), xi(s) + δun,i(s), xi+1(s), . . . , xm(s))) ds =

= δun,i(t) +

∫ t

t0

λi(s)(x′i(s) + δu′n,i(s)− fi(s,x(s))− fixi (s,x(s))δun,i(s)

)ds+

+O((δun,i)2) =

= δun,i(t) +

∫ t

t0

λi(s)(δu′n,i(s)− fixi (s,x(s))δun,i(s)

)ds+O((δun,i)

2).

Dupa o integrare prin parti egalitatea de mai sus devine

δun+1,i(t) = (1 + λi(t))δun,i(t)−

−∫ t

t0

(λ′i(s) + fixi (s,x(s))λi(s)

)δun,i(s)ds+O((δun)2).

Pentru ca un+1,i sa fie o aproximatie mai buna decat un,i, este necesar ca λi sa fiesolutia problemei cu valori initiale

λ′(s) = −fixi (s,x(s))λ(s), s ∈ [t0, t], (21.83)

λ(t) = −1. (21.84)

Deoarece x(s) este functie necunoscuta, ın locul problemei (21.83)-(21.84) se ia

λ′(s) = −fx(s,un(s))λ(s), s ∈ [t0, t], (21.85)

λ(t) = −1 (21.86)

cu solutia notata λn,i(s, t). Solutia este

λn,i(s, t) = −e∫ ts fixi

(τ,un(τ))dτ


si|λn,i(s, t)| ≤ eL(t−s) ≤ eLT , ∀ t0 ≤ s ≤ t ≤ tf iar T = tf − t0.

Formula de recurenta (21.82) devine

un+1,i(t) = un,i(t) +

∫ t

t0

λn,i(s, t)(u′n,i(s)− fi(s,un(s)))ds, n ∈ N, (21.87)

pentru orice i ∈ 1, . . . ,m.Rezultatul de convergenta este:

Teorema 21.9.1 Daca au loc ipotezele introduse atunci sirul (un)n∈N definit prin(21.87) converge uniform catre x(t), solutia problemei cu valori initiale (21.81).

Demonstratie. Scazand egalitatea

xi(t) = xi(t) +

∫ t

0

λn,i(s, t) (x′i(s)− fi(s,x(s))) ds

din (21.87) rezulta

en+1,i(t) = en,i(t) +

∫ t

t0

λn,i(s, t)(e′n,i(s)− (fi(s,un(s))− fi(s,x(s)))

)ds,

unde en,i(t) = un,i(t) − xi(t), i ∈ 1, . . . ,m and en(t) = (en,1(t), . . . , en,m(t)) =un(t)− x(t), n ∈ N.

Din nou, dupa o integrare prin parti rezulta

en+1,i(t) =

∫ t

t0

λn,i(s, t)(fixi (s,un(s))en,i(s)− (fi(s,un(s))− fi(s,x(s)))

)ds.

Ipoteza asupra lui fi implica inegalitatea

|fixi (s,un(s))en,i(s)− (fi(s,un(s))− fi(s,x(s))| ≤ L|en,i(s)|+ L‖en(s)‖1

si ın consecinta

|en+1,i(t)| ≤ LeLT∫ t

t0

(|en,i(s)|+ ‖en(s)‖1)ds.

Adunand aceste inegalitati, pentru i = 1 : m, rezulta

‖en+1(t)‖1 ≤ (m+ 1)LeLT∫ t

t0

‖en(s)‖1ds. (21.88)


Fie M = (m+ 1)LeLT . Din (21.88) se obtin succesiv:Pentru n = 0

‖e1(t)‖1 ≤M

∫ t

t0

‖e0(s)‖1ds ≤M(t− t0)‖e0‖∞ ⇒ ‖e1‖∞ ≤MT‖e0‖∞.

Pentru n = 1

‖e2(t)‖1 ≤M

∫ t

t0

‖e1(s)‖1ds ≤ M2(t− t0)2

2‖e0‖∞ ⇒ ‖e2‖∞ ≤

M2T 2

2‖e0‖∞.

Inductiv rezulta

‖en(t)‖1 ≤M

∫ t

t0

‖en−1(s)‖1ds ≤ Mn(t− t0)n

n!‖e0‖∞ ⇒ ‖en‖∞ ≤

MnT n

n!‖e0‖∞.

si ın consecinta limn→∞ ‖en‖∞ = 0.In vederea implementarii ca metoda numerica relatia (21.87) se transforma ın

un+1,i(t) =

∫ t

t0

(fi(s,un(s))− fixi (s,un(s))un,i(s)

)e∫ ts fixi

(τ,un(τ))dτds+ (21.89)

+e∫ tt0fixi

(τ,un(τ))dτx0.

Fie (ti)0≤i≤I o retea echidistanta ın [t0, tf ] si ui o aproximatie pentru x(ti).Formula de recurenta (21.89) va fi folosita pentru calculul lui ui+1 pe baza lui uipe intervalul [ti, ti+1]. Integralele din (21.89) vor fi calculate cu metoda trapezelorpe o retea locala de puncte echidistante.

Se vor efectua un numar de iteratii pana cand distanta dintre doua aproximatiisuccesive ale lui ui+1 sunt sub o anumita toleranta.

Solutia finala aproximativa a problemei cu valori initiale este functie splinede ordinul ıntai definita de punctele (ti,ui)0≤i≤I .

Procedura necesita o singura parcurgere de la t0 la tf .

Rezolvarea sistemului algebric

zj+1 = zj + τf

(zj + zj+1

2

). (21.90)

In prima aproximatie prin dezvoltarea tayloriana, ınlocuim ecuatia (21.90) prin

zj+1 = zj + τ

(f(zj) +

1

2f ′(zi)(zj + zj+1)

)


sau(I − τ

2f ′(zj))zj+1 = (I +

τ

2f ′(zj))zj.

de undezj+1 = z

(0)j+1 = (I − τ

2f ′(zj))

−1(I +τ

2f ′(zj))zj.

Aceasta aproximatie se poate ımbunatatii cu metoda Newton-Kantorovici

z(k+1)j+1 = z

(k)j+1 −

(I − τf ′(

zj + z(k)j+1

2)

)−1(z

(k)j+1 − zj − τf(

zj + z(k)j+1

2)

)cu k = 0, 1, . . . .


P 21.1 Pentru rezolvarea problemei Cauchy

x(t) = f(t, x(t)) t ∈ [0, T ],

x(0) = x0

se considera schema de calcul implicitaui−ui−1

h− f(ti, ui) = 0 i = 1, 2, . . . , n, (h = T

n)

u0 = x0.

1. Sa se studieze consistenta schemei de calcul.

2. In ipoteza ın care functia f este lipcshitziana ın x, sa se demonstreze sta-bilitatea schemei de calcul.

Observatie. Fie schema de calcul, denumita metoda θ,ui+1−ui

h− (1− θ)f(ti, ui)− θf(ti+1, ui+1) = 0 i = 0, 1, . . . , n− 1, (h = T

n)

u0 = x0.

Pentru θ = 0 se regaseste schema de calcul a lui Euler iar pentru θ = 1 seregaseste schema de calcul implicita de mai sus.

R. 2. Fie h > 0, n =[Th

], εn =

εi i ∈ 1, . . . , nε

si sistemele Lh(uh) =

ϕh,Lh(zh) = ϕh + εh :ui−ui−1

h− f(ti, ui) = 0, i = 1, . . . , n

u0 = x0 , (21.91)


zi−zi−1

h− f(ti, zi) = εi, i = 1, . . . , n

z0 = x0 + ε. (21.92)

Introducem vectorul wh = zh−uh = (wi)0≤i≤n si scazand ecuatiile lui (21.91) dinecuatiile corespunzatoare lui (21.92) gasim

wi−wi−1

h− [f(ti, zi)− f(ti, ui)] = εi, i = 1, . . . , n

w0 = ε. (21.93)

Atunci

wi = wi−1 + h[f(ti, zi)− f(ti, ui)] + hεi i ∈ 1, . . . , n.

In norma, vom avea

|wi| ≤ |wi−1|+ h|f(ti, zi)− f(ti, ui)|+ h|εi| ≤ |wi−1|+ hL|wi|+ h‖εh‖h,

unde ‖εh‖h = max|ε1|, . . . , |εn|, |ε|. Pentru hL < 1 rezulta

|wi| ≤1

1− hL|wi−1|+

h‖ε‖h1− hL

de unde

|wi| ≤(

1

1− hL

)i(|w0|+

h‖εh‖h1− hL

11

1−hL − 1

)≤(

1

1− hL

)i(1 +

1

L)‖εh‖h.

Pentru h < 12L⇔ 1− hL > 1

2au loc inegalitatile

1

1− hL= 1 +

hL

1− hL⇒

(1

1− hL

)i≤ ei

hL1−hL ≤ e2TL

Prin urmare

|wi| ≤ e2TL(1 +1

L)‖εh‖h, i ∈ 0, 1, . . . , n.


‖zh − uh‖h = ‖wh‖h = max0≤i≤n

|wi| ≤ e2TL(1 +1

L)‖εh‖h,

adica stabilitatea schemei de calcul.



x(t) = ϕ(t, x(t)), t ∈ [0, T ],

x(0) = x0;

se considera schema de calcul a termenului medianui+1−ui−1

2h− ϕ(ti, ui) = 0, i = 1, 2, . . . , n− 1, (h = T

n)

u0 = x0,u1 se calculeaza printr-un procedeu initial.


2. In ipoteza ın care functia ϕ este lipschitziana ın x, sa se demonstreze sta-bilitatea schemei de calcul.


x(t) = ϕ(x(t)) t ∈ [0, T ],

x(0) = x0

se considera schema de calcul implicitaui+1−ui

h− ϕ(ui+ui+1

2) = 0 i = 0, 1, . . . , n− 1, (h = T

n)

u0 = x0.


2. Sa se studieze stabilitatea schemei de calcul.

R. 1. Utilizand egalitatile:

x(t) = ϕ′(x(t))ϕ(x(t)),

xi+1 = xi + hxi +h2

2x(θi),

xi+1 = xi + hxi +h2

2xi +

h3

6x(3)(ηi),

ϕ(xi + xi+1

2) = ϕ(xi) + ϕ′(xi)(

xi+1 − xi2

) +1

2ϕ′′(ξi)(

xi+1 − xi2

)2

se obtine

Lh[x]h =

xi+1−xi

2− ϕ(xi+xi+1

2) i = 0, 1, . . . , n− 1,

x0=


=

xi + h2xi + h2

6x(3)(ηi)− ϕ(xi))− 1

2ϕ′(xi)(hxi + h2

2x(θi))− 1

8ϕ′′(ξi)(hxi + h2

2x(θi))

2

i = 0, 1, . . . , n− 1,x0

=

= fh + h2

16x(3)(ηi)ϕ(xi)− 1

4ϕ′(xi)x(θi))− 1

8ϕ′′(ξi)(xi + h

2x(θi))

2

i = 0, 1, . . . , n− 1,0

.

Astfel ordinul de consistenta este 2.2. Daca

zi+1−zih− ϕ( zi+zi+1

2) = εi i = 0, 1, . . . , n− 1,

z0 = x0 + ε.

si ei = zi − ui, i = 0, 1, . . . , n atunci rezulta

ei+1 = ei + h

(ϕ(zi + zi+1

2)− ϕ(

ui + ui+1

2)

)+ hεi i = 0, 1, . . . , n− 1,

e0 = ε.

Daca ϕ este lipschitziana cu constanta L atunci din

|ei+1| ≤ |ei|+hL

2(|ei|+ |ei+1|) + h|εi|

si h < 2L

se obtine

|ei+1| ≤1 + hL

2

1− hL2

|ei|+h

1− hL2

|εi|.

Rezulta

|ei| ≤

(1 + hL

2

1− hL2

)i

(1 +1

L)‖εh‖h,

unde ‖εh‖h = maxε, ε0, . . . , εn−1.Daca h < 1

Latunci au loc inegalitatile

1− hL

2>

1

2⇔ 1

1− hL2

≤ 2.

Pe de alta parte(1 + hL

2

1− hL2

)i

=

(1 +

hL

1− hL2

)i

≤ ei hL

1−hL2 ≤ e2TL,

adica stabilitatea schemei de calcul.


P 21.4 Sa se arate ca au loc proprietatile:

1. ddtetA = AetA.

2. Daca AB = BA atunci eA+B = eAeB.

3. Daca B este o matrice inversabila atunci eB−1AB = B−1eAB.

4. Daca A este o matrice hermitiana atunci |eA| = etr(A).

R. 4. Din Teorema spectrala (16.2.2) rezulta existenta unei matrice unitare astfelıncat UHAU = T ⇔ A = UTUH , unde T este o matrice diagonala cu valorileproprii ale matricei A.

Are loc egalitateaeA = eUTU

H

= UeTUH

de unde|eA| = |U | |eT | |UH | = |U |2|eT | = |eT |.

Daca T = diag(λ1, . . . , λn) atunci eT = diag(eλ1 , . . . , eλn) si ın consecinta

|eT | = e∑ni=1 λi = etr(A).

Capitolul 22

Rezolvarea numerica aproblemelor bilocale

Problema de rezolvat consa ın determinarea functiei x : I = [0, T ]→ Rn caresatisface conditiile

x(t) = f(t, x(t)) (22.1)

g(x(0), x(T )) = 0 sau

g0(x(0)) = 0gT (x(T )) = 0

(22.2)

unde g : R2n → Rn, g0 : Rn → Rk, gT : Rn → Rn−k. Presupunem ca functiilef, g, g0, gT sunt continue si satisfac conditiile de netezime suplimentare cerute demetodele care vor fi prezentate.

Exemplul 22.0.1

x(t) = −f(t) t ∈ [0, T ],

x(0) = a

x(T ) = b

Integrand succesiv de 2 ori se obtine

x(t) = a+ bt−∫ t

0

(t− s)f(s)ds.

22.1 Metoda tirului

Metoda tirului (shooting method) consta ın determinarea conditiei initialex0 = x(0) pentru care solutia sistemului (22.1) verifica conditiile (22.2). Problemase reduce la rezolvarea unui sistem algebric ın x0.

513

514 CAPITOLUL 22. REZOLVAREA PROBLEMELOR BILOCALE

Cazuri particulare

1.x(t) = Q(t)x(t) + r(t) t ∈ [0, T ];Ax(0) +Bx(T ) = c,

(22.3)

unde Q(t), A,B ∈ Mn(Rn, r(t), c ∈ Rn. Elementele matricelor Q(t), r(t)sunt functii continue ın intervalul [0, T ].

Daca X(t) este o matrice fundamentala de solutii pentru sistemul diferentialliniar si omogen x(t) = Q(t)x(t) iar H(t, s) = X(t)X−1(s) atunci solutiasistemului diferential liniar din (22.3) este

x(t) = H(t, 0)x0 +

∫ t

0

H(t, s)r(s)ds,

cu x(0) = x0. Conditia bilocala conduce la sistemul algebric de ecuatiiliniare

Ax0 +B

(H(T, 0)x0 +

∫ T

0

H(T, s)r(s)ds

)= c.

Daca matricea A + BH(T, 0) este nesingulara atunci problema bilocala(22.3) are solutie unica, cu conditia initiala

x0 = (A+BH(T, 0))−1(c−B∫ T

0

H(T, s)r(s)ds).

Se introduce functia matriceala P (t) = BH(T, t) ∈Mn(R). Au loc succesivegalitatile

ddtX(t)X−1(t) = 0

X(t)X−1(t) +X(t)X−1(t) = Q(t)X(t)X−1(t) +X(t)X−1(t) = 0

X−1(t) = −X−1(t)Q(t)

de unde

P (t) = BX(T )X−1(t) = −BX(T )X−1(t)Q(t) = −P (t)Q(t).

Astfel determinarea conditiei initiale revine la integrarea sistemului de n2

ecuatii diferentiale liniare cu conditia initiala

P (t) = −P (t)Q(t),

P (T ) = B.

22.1. METODA TIRULUI 515

si la rezolvarea sistemului algebric de ecuatii liniare

(A+ P (0))x0 = c−∫ T

0

P (s)r(s)ds.

2.x(t) = Q(t)x(t) + r(t) t ∈ [0, T ];P0x(0) = y0,PTx(T ) = yt,

unde P0 ∈Mk,n(R), PT ∈Mn−k,n(R), y0 ∈ Rk, yT ∈ Rn−k.

Procedand ca mai sus, PT (t) = PTH(T, t) este solutia problemei Cauchy

PT (t) = −PT (t)Q(t),

PT (T ) = PT ,

iar x(0) este solutia sistemului algebric de ecuatii liniare(P0

PT (0)

)x(0) =

(y0

yT −∫ T

0PT (s)r(s)ds

).


P 22.1 Pentru rezolvarea problemei bilocale liniare

x(t)− p(t)x(t)− q(t)x(t) = r(t), t ∈ [a, b],x(a) = α,x(b) = β;

se considera schema de calcului+1−2ui+ui−1

h2− p(ti)ui+1−ui−1

2h− q(ti)ui = r(ti), i = 1, 2, . . . , n− 1,

(h = b−an

)u0 = α,un = β,

unde p, q, r ∈ C[a, b].


2. In ipoteza q(t) ≥ q∗ > 0, sa se demonstreze stabilitatea schemei de calcul.

516 CAPITOLUL 22. REZOLVAREA PROBLEMELOR BILOCALE

3. In ipoteza q(t) ≥ q∗ > 0, sa se demonstreze ca scheme de calcul are solutieunica.

P 22.2 Pentru rezolvarea problemei bilocale neliniare

x(t) = f(t, x(t)), t ∈ [0, T ],

x(a) = α,

x(b) = β;

se considera schema de calcului+1−2ui+ui−1

h2= f(ti, ui), i = 1, 2, . . . , n− 1, (h = T

n)

u0 = α,un = β.

1. Sa se arate ca daca sirul (wi)0≤i≤n satisface conditiile

w0 ≤ 0wi+1 − (2 + ai)wi + wi−1 = bi i = 1, 2, . . . , n− 1, ai, bi ≥ 0wn ≤ 0

atunci wi ≤ 0, ∀i ∈ 0, 1, . . . , n.

2. Sa se demonstreze ca daca supt∈[0,T ] |x(4)| ≤M4 < +∞ si ∂f(t,x)∂x≥ 0,∀(t, x) ∈

[0, T ]×R, atunci

|xi − ui| ≤M4h

2

24ti(T − ti) ≤

M4h2T 2

96∀i ∈ 0, 1, . . . , n.

P 22.3 Aproximand derivata de ordinul 2 prin diferenta centrata de ordinul doicu pasul h = 1

ndeduceti schema de calcul pentru rezolvarea problemei bilocale

−x(t) = f(t), t ∈ (0, 1),x(0) = x(1) = 0.

Sa se deduca solutia analitica a problemei bilocale.Pentru f(t) = π2t sin(πt) − 2π cos(πt) calculati solutia numerica (utilizand

calculatorul) si evaluati functia n 7→ ‖uh − [x]h‖h pentru diferite valori ale lui n.

R. x(t) = t∫ 1

0(1− s)f(s)ds−

∫ t0(t− s)f(s)ds. In cazul particular indicat x(t) =

t sin(πt).

Capitolul 23

Rezolvarea numerica a ecuatiilorintegrale

Ecuatiile integrale ale caror rezolvare numerica sunt analizate ın acest capitolsunt:

• Ecuatia integrala Fredholm de speta a doua

x(t) =

∫ b

a

k(t, s)x(s)ds+ f(t), t ∈ [a, b], (23.1)

• Ecuatia integrala Volterra de speta ıntai

– Cazul neliniar ∫ t

0

K(t, s, x(s))ds = f(t), t ∈ [0, T ]. (23.2)

– Cazul liniar ∫ t

0

k(t, s)x(s)ds = f(t), t ∈ [0, T ]. (23.3)

• Ecuatia integrala Volterra de speta a doua

– Cazul neliniar

x(t) +

∫ t

0

K(t, s, x(s))ds = f(t), t ∈ [0, T ]. (23.4)

517

518 CAPITOLUL 23. REZOLVAREA NUMERICA A ECUATIILOR INTEGRALE

– Cazul liniar

x(t) +

∫ t

0

k(t, s)x(s)ds = f(t), t ∈ [0, T ]. (23.5)

In fiecare caz x(t) ∈ R este functia necunoscuta iar K(t, s, x), k(t, s) si f(t) suntfunctii date care ındeplinesc conditiile de netezime ceruta de metodele prezentateın continuare.

23.1 Rezolvarea numerica a ecuatiilor integrale

Fredholm de speta a doua

Pentru rezolvarea numerica a ecuatiei (23.1) vom prezenta metoda Nystrom.

Metoda Nystrom

Vom aplica integralei din ecuatia (23.1) formula de integrare numerica∫ b

a

ϕ(s)ds =n∑j=1

Ajϕ(tj) +R(ϕ). (23.6)

astfel ıncat Aj ≥ 0,∀j ∈ 1, 2, . . . , n.Daca h = max1≤i≤n−1(ti+1 − ti) atunci presupunem ca restul satisface inegal-

itatea|R(ϕ)| ≤ hpC max

s∈[a,b]|ϕ(q)(s)|, (23.7)

unde C este o constanta care nu depinde de ϕ. De exemplu, pentru formulatrapezelor (5.12) avem p = 2, q = 2 si C = b−a

12.

Notam uh = (u1, . . . , un) aproximatia pentru [x]h = (x(t1), . . . , x(tn)) carerezulta ın urma aplicarii formulei de integrare numerica (23.6) integralei din (23.1)∫ b

a

k(t, s)x(s)ds ≈n∑j=1

Ajk(t, tj)uj

si prin u(t) functia definita prin

u(t) =n∑j=1

Ajk(t, tj)uj + f(t), t ∈ [a, b].

23.1. REZOLVAREA ECUATIILOR FREDHOLM DE SPETA A DOUA 519

Pentru fiecare i ∈ 1, . . . , n se impune conditia u(ti) = ui si particularizandt := ti rezulta sistemul algebric de ecuatii liniare

ui −n∑j=1

Ajk(ti, tj)uj = f(ti), i ∈ 1, . . . , n. (23.8)

Sistemul (23.8) reprezinta schema de calcul a metodei Nystrom iar uh este solutianumerica.

Cu notatiile capitolului 21, schema de calcul este Lh(uh) = fh, Lh : Rn → Rn

cu

Lh(uh) =

ui −

n∑j=1

Ajk(ti, tj)uj, i ∈ 1, . . . , n fh = f(ti), i ∈ 1, . . . , n

Teorema 23.1.1 Schema de calcul este consisenta de ordin p.


Lh([x]h) =

x(ti)−

n∑j=1

Ajk(ti, tj)x(tj), i ∈ 1, . . . , n =

= f(ti) +R(k(ti, ·)x(·), i ∈ 1, . . . , n = fh + R(k(ti, ·)x(·), i ∈ 1, . . . , n .

Asadar δfh = Lh([x]h)− fh = R(k(ti, ·)x(·), i ∈ 1, . . . , n .Tinand seama de (23.7) rezulta

‖δfh‖h = max1≤i≤n

|R(k(ti, ·)x(·)| ≤ hpC maxt,s∈[a,b]

|∂qk(t, s)

∂sq|.

Teorema 23.1.2 Daca |k(t, s)| ≤ ρ < 1b−a , ∀ t, s ∈ [a, b] atunci schema de calcul

este stabila.

Demonstratie. Fie uh solutia schemei de calcul (23.8) si i0 un indice pentrucare |ui0| = max1≤i≤n |ui|.Au loc inegalitatile

|n∑j=1

Ajk(ti0 , tj)uj| ≤ |ui0|n∑j=1

Aj|k(ti0 , tj| ≤ ρ|ui0|n∑j=0

Aj = (b− a)ρ|ui0 |,


|f(ti0)| = |ui0−n∑j=0

Ajk(ti0 , tj)uj| ≥ |ui0|−|n∑j=0

Ajk(ti0 , tj)uj| ≥ (1−(b−a)ρ)|ui0|.

Ipoteza teoremei implica |ui0| ≤ 11−(b−a)ρ

|f(ti0| sau

‖uh‖h = max1≤i≤n

|ui| = |ui0 | ≤1

1− (b− a)ρ|f(ti0| ≤

≤ 1

1− (b− a)ρmax1≤i≤n

|f(ti)| ≤1

1− (b− a)ρ‖fh‖h.

Concluzia teoremei rezulta din Teorema 21.1.2.Din teoremele demonstrate rezulta

Teorema 23.1.3 Daca |k(t, s)| ≤ ρ < 1b−1

, ∀ t, s ∈ [a, b] atunci schema de calculeste convergenta de ordin p, parametru specificat de formula de integrare numericautilizata.


Volterra de speta a doua

Vom deduce si studia o metoda numerica de rezolvare a ecuatiei integraleVolterra de speta a doua (23.5) scrisa sub forma

x(t) +

∫ t

0

k(t, s)x(s)ds = f(t), t ∈ [0, T ], (23.9)

bazata pe formula trapezelor (5.12).Stabilim ın prealabil o versiune a Teoremei lui Gronwall discrete. Adoptam

conventia de scriere potrivit careia o suma indexata pe o multime vida este 0 siun produs indexat pe o multime vida este 1:∑

i∈∅

xi = 0,∏i∈∅

xi = 1.

Teorema 23.2.1 Daca (xn)n∈N, (gn)n∈N sunt siruri de numere reale nenegativesi c > 0 astfel ıncat

xn ≤ c+n−1∑k=0

gkxk, ∀ n ∈ N, (23.10)

atunci

xn ≤ c

n−1∏k=0

(1 + gk) ≤ ce∑n−1k=0 gk , ∀ n ∈ N. (23.11)

23.2. REZOLVAREA ECUATIILOR VOLTERRA DE SPETA A DOUA 521

Demonstratie. Demonstram prin inductie propozitia: daca (23.10) are loc pen-tru orice k ∈ 0, 1, . . . , n atunci (23.11) are loc pentru orice k ∈ 0, 1, . . . , n.

1. Pentru n = 0 are loc inegalitatea x0 ≤ c. Pentru n = 1 au loc inegalitatile

x1 ≤ c+ g0x0 ≤ c+ g0c = c(1 + g0).

2. Presupunem ca au loc inegalitatile (23.10) pentru orice k ≤ n+ 1. Ramanede aratat inegalitatea xn+1 ≤ c

∏nk=0(1 + gk).

Utilizand ipoteza inductiei

xn+1 ≤ c+n∑k=0

gkxk ≤ c+n∑k=0

gkck−1∏j=0

(1 + gj) =

= c (1 + g0 + g1(1 + g0) + g2(1 + g0)(1 + g1) + . . .+ gn(1 + g0)(1 + g1) . . . (1 + gn−1)) =

= cn∏k=0

(1 + gk).

Fie ecuatia (23.4) ın conditiile

• Functia K(t, s, x) este lipschitziana ın x : exista L > 0 astfel ıncat

|K(t, s, x)−K(t, s, y)| ≤ L|x− y|. ∀ x, y ∈ R;

• Functia K(t, s, x) admite derivate partiale de ordinul al doilea continue.

• Daca x(s) este solutia ecuatiei integrale (23.4) atunci exista M > 0 astfelıncat

| d2

ds2K(t, s, x(s))| ≤M, ∀t, s ∈ [0, T ].

Fie n ∈ N∗, h = Tn

si retelele de puncte ti = ih, i ∈ 0, 1, . . . , n. Vom utilizanotatiile xi = x(ti) si ui o aproximatie pentru xi, i ∈ 0, 1, . . . , n.

Pentru t = t0 = 0 din (23.4) rezulta x0 = f(0) = u0.Pentru t = ti, i ∈ 1, 2, . . . , n din (23.4) rezulta

xi +

∫ ti

0

K(ti, s, x(s))ds = f(ti)

si utilizarea formulei trapezelor pentru calculul integralei conduce la

xi +ti2i

(K(ti, t0, x0) + 2

i−1∑j=1

K(ti, tj, xj) +K(ti, ti, xi)

)− (23.12)


− t3i12i2

d2

ds2K(ti, s, x(x))|s=ξi = f(ti).

Neglijand restul din metoda trapezelor rezulta schema de calculu0 = f(0)

ui + h2

(K(ti, t0, u0) + 2

∑i−1j=1K(ti, tj, uj) +K(ti, ti, ui)

)= f(ti),

i ∈ 1, 2, . . . , n.(23.13)

Daca u0, u1, . . . , ui−1 sunt determinate atunci (23.13) reprezinta o ecuatie al-gebrica ın necunoscuta ui, rezolvabila prin metoda aproximatiilor succesive

u(k+1)i +

h

2K(ti, ti, u

(k)i ) = f(ti)−

h

2K(ti, t0, u0)− h

i−1∑j=1

K(titj, uj), (23.14)

unde k ∈ N.Scazand doua relatii de tip (23.14) consecutive se obtine

u(k+1)i − u(k)

i = −h2

(K(ti, ti, u

(k)i )−K(ti, ti, u

(k−1)i ))

)de unde

|u(k+1)i − u(k)

i | ≤hL

2|u(k)i − u

(k−1)i |.

Pentru h < 2L

sirul (u(k)i )k∈N este fundamental, deci convergent. Din (23.14)

rezulta ca limita sirului este solutia ecuatiei (23.13).Referitor la convergenta schemei de calcul are loc urmatorul rezultat

Teorema 23.2.2 In ipotezele formulate, daca h < 1L

atunci schema de calculeste convergenda de ordin 2.

Demonstratie. Notam ei = xi − ui, i ∈ 0, 1, . . . , n.Aunci e0 = 0. Scazand (23.13) din (23.12) se gaseste

ei + hi−1∑j=1

(K(ti, tj, xj)−K(ti, tj, uj)) +h

2(K(ti, ti, xi)−K(ti, ti, ui)) =

=h3i

12

d2

ds2K(ti, s, x(x))|s=ξi , i ∈ 1, 2, . . . , n.


In continuare se deduce

|ei| ≤ hL

i−1∑j=1

|ej|+hL

2|ei|+

h2TM

12,

sau

|ei| ≤hL

1− hL2

i−1∑j=1

|ej|+h2TM

12(1− hL2

).

Aplicand Teorema 23.2.1 rezulta

|ei| ≤h2TM

12(1− hL2

)e

hLi

1−hL2 ≤ h2TM

12(1− hL2

)e

TL

1−hL2 .

Pentru h < 1L⇔ 1− hL

2> 1

2din inegalitatea de mai sus se deduce

|ei| ≤h2TM

6e2TL, i ∈ 0, 1, . . . , n.

Utilizand notatiile uzuale inegalitatea de mai sus implica

‖[x]h − uh‖h = max0≤i≤n

|xi − ui| = max0≤i≤n

|ei| ≤h2TM

6e2TL.

Daca ecuatia integrala Volterra de speta a doua este liniara, K(t, x, x) =k(t, s)x atunci solutia ecuatiei (23.13) este

ui =1

1 + h2k(ti, ti)

(f(ti)−

h

2k(ti, t0)u0 − h

i−1∑j=1

k(ti, tj)uj

).

Marirea gradului de exactitate

Formula trapezelor are gradul de exactitate 1. Indicam o schema de calculbazata pe metoda lui Simpson (n = 2), care are gradul de exacitate 3, si formulade integrare numerica de tip Newton-Cotes pentru n = 3∫ b

a

f(x)dx =b− a

8(f(a) + 3f(a+ h) + 3f(a+ 2h) + f(b))+, (23.15)

+f (4)(ξ)

24

∫ b

a

u(x)dx,


unde u(x) = (x− a)(x− a− h)(x− a− 2h)(x− b), h = b−a3. Aceasta formula de

integrare numerica are de asemenea gradul de exactitate 3.Pastram notatiile utilizate ın sectiunea anterioara.Pentru i = 2i′ par, integrala din (23.4) se va aproxima cu formula lui Simpson

ui +h

3(K(ti, t0, u0) + 4K(ti, t1, u1) + 2K(ti, t2, u2) + . . .

. . .+ 2K(ti, ti−2, ui−2) + 4K(ti, ti−1, ui−1) +K(ti, ti, ui)) = f(ti).

Pentru i = 2i′ + 1 impar, se va utiliza formula lui Simpson pentru calcululintegralei

∫ ti−3

t0K(ti, s, x(s))ds si formula de integrare numerica (23.15) pentru

integrala∫ tit2i−3

K(ti, s, x(s))ds. Trebuie observat ca i−3 = 2i′−2 este numar par.

Ecuatia corespunzatoare este

ui +h

3(K(ti, t0, u0) + 4K(ti, t1, u1) + 2K(ti, t2, u2) + . . .

. . .+ 2K(ti, ti−5, ui−5) + 4K(ti, ti−4, ui−4) +K(ti, ti−3, ui−3))+

+3h

8(K(ti, ti−3, ui−3)+3K(ti, ti−2, ui−2)+3K(ti, ti−1, ui−1)+K(ti, ti, ui))) = f(ti).

Pentru ca schema de calcul sa functioneze este necesar determinarea lui u0 siu1, adica este nevoie de un procedeu initial. Evident u0 = f(t0).

u1 se va determina pe ideea extrapolarii Richardson utilizand formula trapezu-lui. Vom utiliza notatiile t 1

2= t0 + h

2si u 1

2≈ x(t 1

2).

Au loc relatiile

x(t1) +h

2(K(t1, t0, x(t0)) +K(t1, t1, x(t1))) + Ah2 +O(h2) = f(ti)

x(t1) +h

4

(K(t1, t0, x(t0)) + 2K(t1, t 1

2, x(t 1

2)) +K(t1, t1, x(t1))

)+

+Ah2

4+O(h4) = f(ti).

Inmultind egalitatile respectiv cu −13, 4

3si adunand se obtine

x(t1) +h

6(K(t1, t0, x(t0)) + 4K(t1, t 1

2, x(t 1

2)) +K(t1, t1, x(t1)) +O(h4) = f(ti).

Se retine ecuatia ın necunoscuta u1.

u1 +h

6(K(t1, t0, u0) + 4K(t1, t 1

2, u 1

2) +K(t1, t1, u1)) = f(ti).


Aproximatia u 12

pentru x(t 12) se determina prin intermediul formulei trapezu-

lui, din

u 12

+h

4(K(t 1

2, t0, u0) +K(t 1

2, t 1

2, u 1

2)) = f(t 1

2).

In cazul liniar, K(t, s, x) = k(t, s)x, formulele explicite de calcul sunt:

u0 = f(t0)

u 12

=f(t 1

2)− h

4k(t 1

2, t0)u0

1 + h4k(t 1

2, t 1

2)

u1 =f(t1)− h

6(k(t1, t0)u0 + 4k(t1, t 1

2)u 1

2)

1 + h6k(t1, t1)

u2 =f(t2)− h

3(k(t2, t0)u0 + 4k(t2, t1)u1)

1 + h3k(t2, t2)

u3 =f(t3)− 3h

8(k(t3, t0)u0 + 3k(t3, t1)u1 + 3k(t3, t2)u2)

1 + 3h8k(t3, t3)

Pentru 2i ≤ nu2i =

1

1 + h3k(t2i, t2i)f(t2i)−

h

3

i−2∑j=0

(k(t2i, t2j)u2j + 4k(t2i, t2j+1)u2j+1 + k(t2i, t2j+2)u2j+2) + k(t2i, t2i−2)u2i−2 + 4k(t2i, t2i−1)u2i−1

Pentru 2i+ 1 ≤ n

u2i+1 =1

1 + 3h8k(t2i+1, t2i+1)f(t2i+1)−

h

3

i−2∑j=0

(k(t2i+1, t2j)u2j + 4k(t2i+1, t2j+1)u2j+1 + (k(t2i+1, t2j+2)u2j+2)−

−3h

8(k(t2i+1, t2i−2)u2i−2 + 3k(t2i+1, t2i−1)u2i−1 + 3k(t2i+1, t2i)u2i)

)

Metoda liniei poligonale

Introducem h = Tn, n ∈ N∗, ti = ih, ui ≈ x(ti), pentru i ∈ 0, 1, . . . , n si unde

x este solutia ecuatiei (23.20). Evident u0 = x(t0) = f(0).Pentru t ∈ (ti−1, ti] solutia aproximativa este definita prin

u(t) =ti − th

ui−1 +t− ti−1

hui =

ui − ui−1

ht+

tiui−1 − ti−1uih

si i ∈ 1, 2, . . . , n.


Substituind x prin u ın (23.9), daca t ∈ (ti−1, ti] rezulta ecuatia

u(t) +i−1∑j=1

(uj−1

∫ tj

tj−1

k(t, s)tj − sh

ds+ uj

∫ tj

tj−1

k(t, s)s− tj−1

hds

)+ (23.16)

+ui−1

∫ t

ti−1

k(t, s)ti − sh

ds+ ui

∫ t

tt−1

k(t, s)s− ti−1

hds = f(ti).

Pentru t = ti si calculand integralele cu formula trapezului rezulta

ui +h

2

i−1∑j=1

(k(ti, tj−1)uj−1 + k(ti, tj)uj) +h

2k(ti, ti)ui = f(ti),

de unde

ui =f(ti)− h

2

∑i−1j=1(k(ti, tj−1)uj−1 + k(ti, tj)uj)

1 + h2k(ti, ti)

.

Metoda colocatiilor

Din nou, fie h = Tn, n ∈ N∗, ti = ih, i ∈ 0, 1, . . . , n. In fiecare interval (ti−1, ti]

solutia ecuatiei integrale Volterra de speta a doua (23.9) se cauta sub forma

ui(t) =m∑k=1

ci,kϕk(t),

unde ϕ1, . . . , ϕm este o familie de functii liniar independente alese a priori.Presupunem ca s-au determinat solutiile aproximative avand forma precizata

mai sus, succesiv ın intervalele (t0, t1], . . . , (ti−2, ti−1].Pentru determinarea coeficientilor ci,1, . . . , ci,m se fixeaza nodurile

ti−1 ≤ ti,1 < . . . < ti,m−1 < ti,m = ti

si se impun conditiile de colocatie

u(ti,j) +

∫ ti,j

0

k(ti,j, s)u(s)ds = f(ti,j), j ∈ 1, 2, . . . ,m.

Explicitand ın intervalul (ti−1, ti] functia u, deducem

m∑k=1

ci,kϕk(ti,j) +i−1∑l=1

∫ tl

tl−1

k(ti,j, s)u(s)ds+

23.3. ECUATII INTEGRALE VOLTERRA CU NUCLEU SINGULAR 527

+m∑k=1

ci,k

∫ ti,j

ti−1

k(ti,j, s)ϕk(s)ds = f(ti,j), j ∈ 1, 2, . . . ,m

saum∑k=1

ci,k

(ϕk(ti,j) +

∫ ti,j

ti−1

k(ti,j, s)ϕk(s)ds

)=

= f(ti,j)−i−1∑l=1

∫ tl

tl−1

k(ti,j, s)u(s)ds, j ∈ 1, 2, . . . ,m

Aceste relatii formeaza un sistem algebric de m ecuatii liniare ın necunoscuteleci,1, . . . , ci,m.

23.3 Ecuatii integrale Volterra de speta a doua

cu nucleu singular

Fie 0 < α < 1 si notatiile I = [0, T ] ⊂ R; D = (t, s) : 0 ≤ s ≤ t, t ∈ I carevor fi utilizate ın continuare.

Amintim urmatoarele tipuri de ecuatii integrale Volterra de speta a doua cunucleu singular [7]:

• Ecuatii neliniare

–

x(t) = f(t) +

∫ t

0

F (t, s, x(s))

(t− s)αds, t ∈ I, (23.17)

unde F (t, s, x) este o functie continua definita ın D × R.

–

x(t) = f(t) +

∫ t

0

K(t, s)G(x(s))

(t− s)αds, t ∈ I, (23.18)

unde K : D → R si G : R→ R sunt functii continue.

• Ecuatii liniare

–

x(t) = f(t) +

∫ t

0

K(t, s)x(s)

(t− s)αds, t ∈ I, (23.19)

Din nou K : D → R este o functie continua.


– Daca K este o constanta, K(x, t) = λ atunci ecuatia anterioara devine

x(t) = f(t) + λ

∫ t

0

x(s)

(t− s)αds, t ∈ I. (23.20)

Demonstram existenta si unicitatea solutiei pe baza teoremei de punct fix alui Banach si a normei lui Bielecki: daca x ∈ C(I) atunci

‖x‖B = maxt∈I|x(t)|e−qt,

unde q este un numar pozitiv.

Teorema 23.3.1 Daca |F (t, s, y)− F (t, s, z)| ≤ L|y − z| atunci ecuatia (23.17)are o singura solutie pozitiva.

Demonstratie. Fie operatorul Φ : C(I)→ C(I) definit prin

Φ(x)(t) = f(t) +

∫ t

0

F (t, s, x(s))

(t− s)αds.

Atunci

|(Φ(y)− Φ(z))(x)| ≤∫ t

0

|K(t, s, y(s))− F (t, s, z(s))|(t− s)α

ds ≤

≤ L

∫ t

0

|y(s)− z(s))|(t− s)α

ds ≤

≤ L‖y − z‖B∫ t

0

eqs

(t− s)αds = L‖y − z‖Beqt

∫ t

0

e−q(t−s)

(t− s)αds.

Prin schimbarea de variabila q(t− s) = τ ultima inegalitate devine∫ t

0

e−q(t−s)

(t− s)αds =

1

q1−α

∫ qt

0

τ−αe−τdτ ≤ Γ(1− α)

q1−α .

Astfel

|(Φ(y)− Φ(z))(t)| ≤ LΓ(1− α)

q1−α eqt‖y − z‖B

sau

|(Φ(y)− Φ(z))(t)|e−qt ≤ LΓ(1− α)

q1−α ‖y − z‖B.

23.3. ECUATII INTEGRALE VOLTERRA CU NUCLEU SINGULAR 529

si ın consecinta

‖Φ(y)− Φ(z)‖B ≤LΓ(1− α)

q1−α ‖y − z‖B.

Pentru For q suficient de mare operatorul Φ este o contractie si ın consecintaecuatia (23.19) are o singura solutie continua.

Rezulta consecintele:

Teorema 23.3.2 Daca |G(y) − G(z)| ≤ L|y − z| atunci ecuatia (23.18) are osingura solutie continua.

Teorema 23.3.3 Oricare din ecuatiile (23.19) sau (23.20) admit o singura solutiecontinua.

Metoda aproximatiilor succesive se poate utiliza pentru demonstrarea ultimeiteoreme, [7].

Metoda liniei poligonale

Pastrand notatiile utilizate anterior solutia aproximativa este definita prin

u(t) =ti − th

ui−1 +t− ti−1

hui =

ui − ui−1

ht+


, t ∈ (ti−1, ti], .

si i ∈ 1, 2, . . . , n.Substituind x prin u ın (23.20), rezulta ecuatia

u(t) = f(t)+ (23.21)

+λi−1∑j=1

(uj − uj−1

h

∫ tj

tj−1

s

(t− s)αds+

tjuj−1 − tj−1ujh

∫ tj

tj−1

1

(t− s)αds

)+

+λ

(ui − ui−1

h

∫ t

ti−1

t

(t− s)αds+


∫ t

ti−1

1

(t− s)αds

).

Au loc egalitatile∫ b

a

1

(t− s)αds =

(t− a)1−α − (t− b)1−α

1− α,∫ b

a

s

(t− s)αds = t

(t− a)1−α − (t− b)1−α

1− α− (t− a)2−α − (t− b)2−α

2− α.


Pentru t := ti, substituind integralele si efectuand calculele rezulta ecuatia(1− λh1−α

(1− α)(2− α)

)ui = f(ti)+

+λh1−αi−1∑j=1

((i− j + 1)uj − (i− j)uj−1)

(i− j + 1)1−α − (i− j)1−α

1− α−

−(uj − uj−1)(i− j + 1)2−α − (i− j)2−α

2− α

)+λh1−α

2− αui−1.

Pentru h suficient de mic rezulta ui. Calculele se fac succesiv pentru i = 1, 2, . . . , n.


Volterra de speta ıntai liniare

Solutia numerica a ecuatiei integrala Volterra de speta ıntai liniara (23.5)∫ t

0

k(t, s)x(s)ds = f(t), t ∈ [0, T ],

se poate calcula utilizand o metoda bazata pe formula de integrare numerica adreptunghiului.

Metoda bazata pe formula dreptunghiului

Reamintim formula dreptunghiului de integrare numerica (5.34)∫ b

a

ϕ(s)ds = (b− a)ϕ(a+ b

2) +

(b− a)3ϕ′′(c)

24, a < c < b.

Fie n ∈ N∗, h = Tn

si retelele de puncte ti = ih, i ∈ 0, 1, . . . , n, ti+ 12

=

(i+ 12)h, i ∈ 1, 2, . . . , n− 1.

Introducem ipoteza: exista numarul γ > 0 astfel ıncat

γ ≤∣∣∣∣k(i

T

n, (i− 1

2)T

n)

∣∣∣∣ , ∀ i ∈ 1, 2, . . . , n, ∀ n ∈ N∗. (23.22)

Particularizand t = t1 si aplicand formula dreptunghiului rezulta

hk(t1, t 12)x(t 1

2) +

h3

24

∂2k(t1, s)x(s)

∂s2

∣∣∣∣s=η1

= f(t1). (23.23)

23.4. REZOLVAREA ECUATIILOR VOLTERRA DE SPETA INTAI 531

Notand u 12

aproximatia pentru x(t 12), retinem ecuatia

k(t1, t 12)u 1

2=

1

hf(t 1

2), de unde u 1

2=

f(t 12)

hk(t1, t 12). (23.24)

Pentru t = ti, i > 1 aplicarea repetata a formulei dreptunghiului conduce la

hi∑

j=1

k(ti, tj− 12)x(tj− 1

2) + i

h3

24

∂2k(ti, s)x(s)

∂s2

∣∣∣∣s=ηi

= f(ti).

de undei∑

j=1

k(ti, tj− 12)uj− 1

2=

1

hf(ti), (23.25)

cu uj− 12≈ x(tj− 1

2), j ∈ 1, 2, . . . , i.

Din (23.25) rezulta

ui− 12

=f(ti)− h

∑i−1j=1 k(ti, tj− 1

2)uj− 1

2

hk(ti, ti− 12)

(23.26)

Daca uh = (u 12, u 3

2, . . . , un− 1

2) este aproximatia solutiei ecuatiei integrale Volterra

de speta ıntai (23.5) atunci schema de calcul L(uh) = fh este definita prin

Lh(uh) =

k(t1, t 1

2)u 1

2, i = 1∑i

j=1 k(ti, tj− 12)uj− 1

2, i ∈ 2, 3, . . . , n

fh =

1

hf(ti), i ∈ 1, 2, . . . , n.

Teorema 23.4.1 Schema de calcul este consisenta de ordinul 1.

Demonstratie. Calculam

Lh([x]h) =

k(t1, t 1

2)x(t 1

2), i = 1∑i

j=1 k(ti, tj− 12)x(tj− 1

2), i ∈ 2, 3, . . . , n =

=

1h

(∫ t10k(t1, s)x(s)ds− h3

24∂2k(t1,s)x(s)

∂s2|s=η1

), i = 1

1h

(∫ ti0k(ti, s)x(s)ds− ih3

24∂2k(t1,s)x(s)

∂s2|s=ηi

), i ∈ 2, 3, . . . , n

=


=

1

hf(ti)− i

h2

24

∂2k(ti, s)x(s)

∂s2|s=ηi , i ∈ 1, 2, . . . , n =

= fh +

−ih

2

24

∂2k(ti, s)x(s)

∂s2|s=ηi , i ∈ 1, 2, . . . , n .

Al doilea termen este δfh si

‖δfh‖h = max1≤i≤n

∣∣∣∣ih2

24

∂2k(ti, s)x(s)

∂s2|s=ηi

∣∣∣∣ ≤ hT

24maxt,s∈[0,T ]

∣∣∣∣∂2k(t, s)x(s)

∂s2

∣∣∣∣ .Teorema 23.4.2 Daca functia k(t, s) este lipschitziana ın t, |k(t, s)− k(τ, s)| ≤L|t− τ |, atunci schema de calcul este stabila.

Demonstratie. Scazand egalitatile de tip (23.25) succesive

i−1∑j=1

k(ti−1, tj− 12)uj− 1

2=

1

hf(ti−1),

i∑j=1

k(ti, tj− 12)uj− 1

2=

1

hf(ti),

rezulta

i−1∑j=1

(k(ti, tj− 12)− k(ti−1, tj− 1

2)uj− 1

2+ k(ti, ti− 1

2)ui− 1

2=

1

h(f(ti)− f(ti−1))

sau

k(ti, ti− 12)ui− 1

2=

1

h(f(ti)− f(ti−1))−

i−1∑j=1

(k(ti, tj− 12)− k(ti−1, tj− 1

2)uj− 1

2.

Aplicand valoarea absoluta si ipoteza teoremei se deduce evaluarea

ρ|ui− 12| ≤ |k(ti, ti− 1

2)| |ui− 1

2| ≤ 2

hmax1≤i≤n

|f(ti)|+ hLi−1∑j=1

|uj− 12|.

Utilizand acum Teorema 21.6 pentru

zi := |ui− 12|, A :=

hL

ρ, B =

2

hρmax1≤i≤n

|f(ti)| =2

ρ‖fh‖h

23.4. REZOLVAREA ECUATIILOR VOLTERRA DE SPETA INTAI 533

rezulta

|ui− 12| ≤

(hL

ρ|u 1

2|+ 2

ρ‖fh‖h

)eihLρ .

Din (23.24) se gaseste |u 12| ≤ 1

hρ|f(t1)| ≤ 1

ρ‖fh‖h si ın consecinta

|ui− 12| ≤

(hL

ρ2+

2

ρ

)eihLρ ‖fh‖h ≤

(hL

ρ2+

2

ρ

)eTLρ ‖fh‖h.

In final

‖uh‖h = max1≤i≤n

|ui− 12| ≤

(hL

ρ2+

2

ρ

)eTLρ ‖fh‖h.

Teorema 23.4.3 In ipotezele Teoremei 23.4.1 si 21.6 schema de calcul bazata peformula dreptunghiului este convergenta de ordin 1.

Metoda reducerii la o ecuatie Volterra de speta a doua

Vom presune ca

• k(t, t) 6= 0, ∀ t ∈ [0, T ];

• Exista ∂k(t,s)∂t

continua ın s;

• Functia f(t) este derivabila.

Derivand (23.2) se obtine

k(t, t)x(t) +

∫ t

0

∂k(t, s)

∂tx(s)ds = f ′(t)

sau

x(t) +

∫ t

0

∂k(t,s)∂t

k(t, t)x(s)ds =

f ′(t)

k(t, t).

Ecuatia de mai sus se poate rezolva cu utilizand metoda dezvoltata ın sectiuneaanterioara bazata pe formula trapezelor.



P 23.1 Pentru rezolvarea ecuatiei integrale Volterra de speta doua singulara (23.20)sa se deduca o schema de calcul pentru obtinerea unei solutii aproximative cu pro-prietatea

u(t) = ui, ∀ t ∈ (ti−1, ti], i ∈ 1, 2, . . . , n.

Notatiile utilizate sunt cele utilizate pentru metoda liniei poligonale.

R. Formulele de calcul sunt

u0 = f(0),(1− λh1−α

1− α

)uk = f(tk) +

λh1−α

1− α

k−1∑j=1

((k − j + 1)1−α − (k − j)1−α)uj,

k ∈ 1, 2, . . . , n.

Capitolul 24

Rezolvarea numerica a ecuatiilorliniare cu derivate partiale

Vom studia doua tipuri de probleme:

• probleme nestationare - mai precis probleme evolutive. Numim ecuatie deevolutie o ecuatie de forma ∂u

∂t+ A(u) = ϕ, ın care derivata functiei ne-

cunoscute u ın raport cu timpul, t, apare explicita si derivate ale functieinecunoscute ın raport cu timpul nu apar ın expresia operatorului A.Functia necunoscuta este definita ın (D ∪ ∂D) × [0, T ] unde D si ∂Dreprezinta un domeniu si respectiv frontiera sa, iar [0, T ] este un interval detimp.Ne vom limita doar la cazul unei singure variabile spatiale.

• probleme stationare. In probleme stationare functia necunoscuta nu de-pinde de timp si este definita ın D ∪ ∂D, D si ∂D avand semnificatiile demai sus.

24.1 Rezolvarea problemelor nestationare prin

metode de discretizare

Notiuni generale

Notam problema nestationara prin ecuatia

L(u) = f, (24.1)

535

536 CAPITOLUL 24. ECUATII LINIARE CU DERIVATE PARTIALE

unde L este un operator liniar definit ıntr-un spatiu normat de functii (X, ‖ · ‖)cu valori ın spatiul normat (Y, · ) si f este un element din Y. Functiile din Xsunt definite ın (D ∪ ∂D)× [0, T ].

Se considera o multime discreta de puncte Dh, numita retea, apartinand lui(D ∪ ∂D)× [0, T ] si notam prin Xh multimea functiilor definite ın Dh.

Rezolvarea prin discretizare consta ın construirea unei aproximatii uh ∈ Xh asolutiei ecuatiei (24.1). uh se obtine ca solutie a unei ecuatii

Lhuh = fh, (24.2)

numita schema de calcul. In continuare presupunem ca Lh aplica spatiul normat(Xh, ‖ · ‖h) ın spatiul normat (Yh, · h).

Solutia uh a schemei de calcul (24.2) converge catre solutia u a ecuatiei (24.1)daca

limh→0‖uh − [u]h‖h = 0,

unde [u]h reprezinta restrictia lui u la reteaua de puncte Dh. Daca ‖uh− [u]h‖h ≤Chα atunci convergenta este de ordin α.

Daca u este solutia ecuatiei (24.1) atunci

Lh[u]h = fh + δfh.

Daca limh→0 δfh h = 0 atunci schema de calcul este consistenta. Daca δfh h ≤Chα atunci consistenta este de ordin α.

Schema de calcul (24.2) este stabila daca exista numerele reale pozitive h0, δsi C astfel ıncat pentru orice 0 < h < h0 si orice εh ∈ Yh, εh h < δ ecuatiaLhzh = fh+εh are solutie unica si este verificata inegalitatea ‖zh−uh‖h ≤ C εh h.

Au loc urmatoarele rezultate ale caror justificare este identica cu demonstratiateoremelor 21.1.2 si respectiv 21.1.1:

Teorema 24.1.1 Daca Lh este un operator liniar atunci schema de calcul (24.2)este stabila daca si numai daca exista C > 0 astfel ıncat pentru orice fh ∈ Yhexista un singur uh ∈ Xh pentru care Lhuh = fh si ‖uh‖h ≤ C fh h.

Teorema 24.1.2 Daca schema de calcul (24.2) atasta ecuatiei (24.1) este stabilasi convergenta de ordin α atunci schema de calcul este convergenta de ordin α.

Scheme de calcul pentru probleme evolutive

Consideram ecuatia de evolutie ∂u∂t

+A(u) = ϕ. Constructia schemei de calculse efectueaza ın doua etape:

24.1. PROBLEME NESTATIONARE PRIN METODE DE DISCRETIZARE 537

1. Se aproximeaza derivatele partiale ın raport cu variabilele spatiale prindiferente, obtinandu-se ecuatii de forma dv

dt+ Λ(v) = ψ.

2. Se aproximeaza derivatele ın raport cu t prin diferente. Se pot construi:

• Schema de calcul explicita. In nodurile retelei, pentru t = nτ, derivatadvdt

se aproximeaza printr-o diferenta finita prograsiva

vn+1 − vn

τ+ Λ(vn) = ψ(nτ);

• Schema de calcul implicita. In nodurile retelei, pentru t = nτ, derivatadvdt

se aproximeaza printr-o diferenta finita regresiva

vn − vn−1

τ+ Λ(vn) = ψ(nτ);

• Schema de calcul Crank-Nicholson

vn+1 − vn

τ+ Λ(

vn + vn+1

2) = ψ(nτ).

Pentru cateva probleme cu ecuatii cu derivate partiale dezvoltam si analizamscheme de calcul.

Exemplul 24.1.1

Pentru problema lui Cauchy∂u∂t− a∂u

∂x= ϕ(t, x) x ∈ R, t ∈ [0, T ], a ∈ R∗,

u(0, x) = ψ(x), x ∈ R (24.3)

se considera reteaua de puncte (mh, nτ), m ∈ Z, n = 0, 1, . . . , [Tτ

], (h, τ > 0).

• Schema de calcul explicita. Discretizand derivata partiala relativa la xprintr-o diferenta finita prograsiva cu pasul h obtinem

dudt

(t,mh)− au(t,(m+1)h)−u(t,mh)h

= ϕ(t,mh), m ∈ Z,u(0,mh) = ψ(mh).

Inlocuind derivata relativa la t printr-o diferenta finita prograsiva cu pasulτ ın t = nτ se obtine schema de calcul explicita

un+1m −unm

τ− au

nm+1−unm

h= ϕnm, m ∈ Z, n = 0, 1, . . . , [T

τ],

u0m = ψm, m ∈ Z,

(24.4)


unde unm este aproximatia pentru u(nτ,mh), ϕnm = ϕ(nτ,mh) si ψm =ψ(mh).

Daca r = τh, din (24.4) se obtine

un+1m = arunm+1 + (1− ar)unm + τϕnm, (24.5)

cea ce pune ın evidenta caracterul explicit al schemei de calcul.

• Schema de calcul implicita. Presupunem ca x ∈ [0, l] si alaturam langaconditia initiala din (24.3) conditiile la limita

u(t, 0) = ψ0(t), t ∈ [0, T ],u(t, l) = ψ1(t), t ∈ [0, T ].

(24.6)

Fie M ∈ N∗ si h = lM. Discretizam derivata partiala relativ la x printr-o

diferenta centrata cu pasul 2h :

dudt

(t,mh)− au(t,(m+1)h)−u(t,(m−1)h)2h

= ϕ(t,mh), m ∈ 1, 2, . . . ,M − 1,u(0,mh) = ψ(mh), m ∈ 0, 1, . . . ,M,u(t, 0) = ψ0(t),u(t, l) = ψ1(t)

si ın continuare ınlocuim ın t = nτ derivata relativa la t printr-o diferentafinita regresiva cu pasul τ :

unm−un−1m

τ− au

nm+1−unm−1

2h= ϕnm, m ∈ 1, 2, . . . ,M − 1,

n = 1, 2, . . . , [Tτ

],u0m = ψm, m ∈ 0, 1, . . . ,M,un0 = ψn0 , n ∈ 0, 1, . . . , [T

τ],

unM = ψn1 .

(24.7)

Notatiile sunt cele utilizate la schema explicita, ın plus ψn0 = ψ0(nτ) siψn1 = ψ1(nτ).

Din schema de calcul rezulta ca (unm)0≤m≤M sunt solutiile sistemului algebrictridiagonal de ecuatii liniare

bmunm−1 + amu

nm + cmu

nm = dm, m ∈ 1, 2, . . . ,M − 1,

un0 = ψn0 ,unM = ψn1 ,

cu bm = τa2h

= −cm, am = 1, dm = un−1m + τϕnm. Intreaga solutie numerica

se obtine rezolvand succesiv sistemul de mai sus pentru n = 1, 2, . . . , [Tτ

]. Inacest fel s-a pus ın evidenta caracterul implicit al schemei de calcul.


• Schema de calcul de tip Crank-Nicholson. Pentru problema (24.3) cu conditiilela limita (24.6), procedand asemanator ca la schema implicita se obtine

un+1m −unm

τ− a

2

(un+1m+1−u

n+1m−1

2h+

unm+1−unm−1

2h

)= ϕnm,

m ∈ 0, 1, . . . ,M,n = 1, 2, . . . , [T

τ],

u0m = ψm, m ∈ 0, 1, . . . ,M,un0 = ψn0 , n ∈ 0, 1, . . . , [T

τ],

unM = ψn1 .

(24.8)

Din schema de calcul rezulta ca (un+1m )0≤m≤M sunt solutiile sistemului alge-

bric tridiagonal de ecuatii liniarebmu

n+1m−1 + amu

n+1m + cmu

n+1m = dm, m ∈ 1, 2, . . . ,M − 1,

un+10 = ψn+1

0 ,un+1M = ψn+1

1 ,

cu bm = τa4h

= −cm, am = 1, dm = unm + τϕnm +ra(unm+1−unm−1)

4.

Referitor la convergenta schemei de calcul explicite are loc urmatorul rezultat:

Teorema 24.1.3 Daca raportul r = τh

ramane constant cand τ, h→ 0 atunci auloc afirmatiile:

1. Schema de calcul explicita este consistenta de ordinul ıntai;

2. Pentru a > 0 si ar ≤ 1 schema de calcul explicita este stabila, deci conver-genta;

3. Pentru a > 0 si ar > 1 schema de calcul explicita nu este convergenta.

4. Pentru a < 0 schema de calcul explicita nu este convergenta.

Demonstratie. 1. Fie u solutia problemei (24.3). Notam

tn = nτ, n ∈ 0, 1, . . . , [Tτ

],

xm = mh, m ∈ Z.

In ipoteza ca exista dezvoltarile tayloriene

u(tn+1, xm) = u(tn, xm) + τ∂u(tn, xm)

∂t+τ 2

2

∂2u(ξn,m, xm)

∂t2tn < ξn,m < tn+1

u(tn, xm+1) = u(tn, xm) + h∂u(tn, xm)

∂x+h2

2

∂2u(tn, ηn,m)

∂x2xm < ηn,m < xm+1


se gaseste

Lh[u]h =

u(tn+1,xm)−u(tn,xm)

τ− au(tn,xm+1)−u(tn,xm)

h, m ∈ Z,n ∈ 0, 1, . . . , [T

τ]− 1,

u(t0, xm), m ∈ Z=

=

∂u(tn,xm)

∂t− a∂u(tn,xm)

∂x+ τ

2

∂2u(ξn,m,xm)

∂t2− ah

2

∂2u(tn,ηn,m)

∂x2, m ∈ Z,n ∈ 0, 1, . . . , [T

τ]− 1,

u(t0, xm), m ∈ Z=

=

ϕ(tn, xm), m ∈ Z, n ∈ 0, 1, . . . , [Tτ

]− 1,

ψ(xm), m ∈ Z+ δfh

unde

δfh =

τ2

∂2u(ξn,m,xm)

∂t2− ah

2

∂2u(tn,ηn,m)

∂x2, m ∈ Z, n ∈ 0, 1, . . . , [T

τ]− 1,

0, m ∈ Z.

Daca

fh =

ϕnm, m ∈ Z, n ∈ 0, 1, . . . , [Tτ

]− 1,

ψm, m ∈ Z∈ Yh

atunci ın Yh se considera norma

fh h =∑n,m

|ϕnm|+∑m

|ψm|.

Presupunand ca derivatele partiale de ordinul 2 ale functiei u(t, x) sunt marginiteatunci se deduce estimarea

δfh h ≤ Ch cu C =1

2

(r sup

(t,x)

|∂2u(t, x)

∂t2|+ |a| sup

(t,x)

|∂2u(t, x)

∂x2|

).

2. Pentru 0 < ar ≤ 1 au loc inegalitatile

|(1− ar)unm + arunm+1| ≤ (1− ar)|unm|+ ar|unm+1| ≤

≤ (1− ar) supi|uni |+ ar sup

i|uni | = sup

i|uni |.

Din (24.5) rezulta|un+1m | ≤ sup

i|uni |+ τ sup

i,j|ϕji |.


Deoarece membrul drept nu depinde de m, din inegalitatea de mai sus obtinem

supi|un+1i | ≤ sup

i|uni |+ τ sup

i,j|ϕji |. (24.9)

Pentru ϕ = 0 din (24.9) rezulta ca functia n 7→ supi |uni | este descrescatoare.Aceasta proprietate se numeste principiul maximului.

Particularizand succesiv inegalitatea (24.9) se obtin

supi |uni | ≤ supi |un−1i | + τ supi,j |ϕ

ji |

supi |un−1i | ≤ supi |un−2

i | + τ supi,j |ϕji |

...

supi |u1i | ≤ supi |u0

i | + τ supi,j |ϕji |

care ınsumate dau

supi|uni | ≤ sup

i|u0i |+ nτ sup

i,j|ϕji | ≤ sup

i|ψi|+ T sup

i,j|ϕji | ≤ (1 + T ) fh h.

Cum membru drept nu depinde de n rezulta inegalitatea

supi,j|uji | ≤ (1 + T ) fh h. (24.10)

In Xh introducem norma

uh = (uji )i∈Z,j∈0,1,...,[Tτ

] ⇒ ‖uh‖h = supi,j|uji |.

Atunci (24.10) se scrie‖uh‖h ≤ (1 + T ) fh h

inegalitate care, potrivit Teoremei 24.1.1, implica stabilitatea schemei de calcul.3. Pentru a demonstra neconvergenta ın cazul r > 1 consideram problema

∂u∂t− a∂u

∂x= 0, x ∈ R, t ∈ [0, T ],

u(0, x) = ψ(x), x ∈ R (24.11)

care, ın ipoteza ca ψ este derivabila, are solutia u(t, x) = ψ(at+ x).Fie N ∈ N, T = 1

a, τ = T

N= 1

aNsi r = τ

h⇔ h = τ

r= 1

arN. Atunci punctul

(0, T ) apartine retelei (Fig. 24.1). Potrivit schemei de calcul

un+1m = arunm+1 + (1− ar)unm


Fig. 24.1:

solutia uN0 , din punctul (0, T ), se exprima ın functie de uN−10 si uN−1

1 si acesteala randul lor depind de uN−2

0 , uN−21 , uN−2

2 .Repetand rationamentul,ın final gasim ca uN0 depind de u0

0, u01, . . . , u

0N , adica

de valorile functiei ψ ın intervalul [0, Nh] = [0, 1ra

]. Solutia problemei (24.11) esteconstanta pe dreapta at + x = 1, care trece prin punctele (0, 1

a) si (1, 0). Daca

ar > 1 atunci segmentul [0, 1ra

] nu contine punctul (1, 0).Schema de calcul nu poate fi convergenta deoarece modificand functia ψ ıntr-o

vecinatate a lui 1 care nu contine pe 1ra

solutia u(t = 0, x = 1) = u(t = 1a, x =

0) = ψ(1) se modifica, dar solutia numerica uN0 ramane nemodificata.4. Solutia problemei (24.11) este constanta pe dreapta at + x = −1. Pentru

T = 1|a| , τ = T

N= 1|a|N si h = τ

r= 1|a|rN , N ∈ N, r > 0, solutia numerica uN0 din

punctul (0, T ) depinde de valorile lui ψ de pe intervalul [0, xN ] = [0, Nh] = [0, 1r|a| ],

(Fig. 24.2) si se repeta retionamentul din demonstratia punctului precedent.

Exemplul 24.1.2

Consideram problema parabolica∂u∂t− a2 ∂u

∂x2= ϕ(t, x) x ∈ [0, l], t ∈ [0, T ],

u(0, x) = ψ(x), x ∈ [0, l],u(0, t) = φ0(t), t ∈ [0, T ],u(l, t) = φ1(t), t ∈ [0, T ].

(24.12)

Daca M ∈ N si h = lM

atunci aproximand derivata relativa la variabila spatiala


Fig. 24.2:

x printr-o diferenta centrata cu pasul h se obtine

du

dt(t,mh)− a2u(t, (m+ 1)h)− 2u(t,mh) + u(t, (m− 1)h)

h2= ϕ(t,mh),

m = 1, 2, . . . ,M − 1.

Discretizand derivata relativa la variabila temporala t rezulta

• Schema de calcul explicitaun+1m −unm

τ− a2 u

nm+1−2unm+unm−1

h2= ϕnm, m = 1, 2 . . . ,M − 1,

n = 0, 1, . . . , [Tτ

]− 1,u0m = ψm, m = 0, 1 . . . ,M,un0 = ψn0 , n = 1, 2, . . . , , [T

τ],

unM = ψn1 , n = 1, 2, . . . , [Tτ

].

(24.13)

Daca r = τh2

atunci are loc formula de calcul

un+1m = a2runm−1 + (1− 2a2r)unm + a2runm+1 + τϕnm, (24.14)

de unde caracterul explicit al schemei de calcul.


• Schema de calcul implicita.unm−u

n−1m

τ− a2 u

nm+1−2unm+unm−1

h2= ϕnm, m = 1, 2 . . . ,M − 1,

n = 1, 2, . . . , [Tτ

],u0m = ψm, m = 0, 1 . . . ,M,un0 = ψn0 , n = 1, 2, . . . , , [T

τ],

unM = ψn1 , n = 1, 2, . . . , [Tτ

].

(24.15)

Pentru r = τh2

schema de calcul conduce la rezolvarea sistemelor algebricede ecuatii liniare tridiagonale

−a2runm−1 + (1 + 2a2r)unm − a2runm+1 = un−1m + τϕnm,

m = 1, 2, . . . ,M − 1un0 = ψn0unM = ψn1

(24.16)

pentru n = 1, 2, . . . , , [Tτ

].

• Schema de calcul de tip Crank-Nicholson.

un+1m −unm

τ− a2

2

(un+1m+1−2un+1

m +un+1m−1

h2+

unm+1−2unm+unm−1

h2

)= ϕnm,

m = 1, 2 . . . ,M − 1,n = 0, 1, . . . , [T

τ]− 1,

u0m = ψm, m = 0, 1 . . . ,M,un0 = ψn0 , n = 1, 2, . . . , [T

τ],

unM = ψn0 , n = 1, 2, . . . , [Tτ

].

(24.17)

Presupunem ca raportul r = τh2

ramane constant cand τ, h → 0. Definimnormele

uh = (unm)0≤m≤M,0≤n≤[Tτ

] ⇒ ‖u‖h = maxm,n|unm|

si

fh =

ϕnm, m = 1, 2 . . . ,M − 1, n = 0, 1, . . . , [T

τ],

ψm, m = 0, 1 . . . ,M,ψn0 , n = 1, 2, . . . , , [T

τ],

ψn0 , n = 1, 2, . . . , [Tτ

].

⇒ fh = maxmaxm,n|ϕnm|,max

m|ψm|,max

n|ψn0 |,max

n|ψn1 |

Stabilim stabilitatea schemelor de calcul explicita si implicita pe baza uneiinegalitati de tip principiu de maxim.

Cazul schemei de calcul explicite


Teorema 24.1.4 Daca r ≤ 12a2

si uh este calculat conform schemei de calculexplicite (24.13) atunci are loc ingalitatea (principiul de maxim).

maxi|un+1i | ≤ maxmax

i|uni |,max

j|ψj0|,max

j|ψj1|+ τ max

i,j|ϕji |.


|un+1m | ≤ a2r(|unm−1|+ |unm+1|) + (1− 2a2r)|unm|+ τ |ϕnm| ≤

≤ maxi|uni |+ τ max

i,j|ϕji |.

Deoarece un+10 = ψn+1

0 si un+1M = ψn+1

1 | rezulta ca

|un+1m | ≤ maxmax

i|uni |,max

j|ψj0|,max

j|ψj1|+ τ max

i,j|ϕji |.


atunci schema de calcul explicita (24.13) estestabila.

Demonstratie. Daca Lh este operatorul liniar definit de membrul stang alschemei de calcul explicite (24.13), notam prin vh si wh solutiile ecuatiilor

Lhvh =

0, m = 1, 2, . . . ,M − 1; n = 0, 1, . . . , [T

τ]− 1;

ψm, m = 0, 1, . . . ,M ;ψn0 , n = 1, 2, . . . , [T

τ];

ψn1 , n = 1, 2, . . . , [Tτ

].

Lhwh =

ϕnm, m = 1, 2, . . . ,M − 1; n = 0, 1, . . . , [T

τ]− 1;

0, m = 0, 1, . . . ,M ;0, n = 1, 2, . . . , [T

τ];

0, n = 1, 2, . . . , [Tτ

].

Atunci uh = vh + wh. Potrivit principiului de maxim au loc inegalitatile

maxi|vni | ≤ maxmax

i|vn−1i |,max

j|ψj0|,max

j|ψj1|

maxi|vn−1i | ≤ maxmax

i|vn−2i |,max

j|ψj0|,max

j|ψj1|

...

maxi|v1i | ≤ maxmax

iψi|,max

j|ψj0|,max

j|ψj1|


de undemaxi|vni | ≤ maxmax

i|ψi|,max

j|ψj0|,max

j|ψj1|.

Astfel

‖vh‖h = maxi,j|vji | ≤ maxmax

i|ψi|,max

j|ψj0|,max

j|ψj1| ≤ fh h.

La fel

maxi|wni | ≤ max

i|wn−1

i |+ τ maxi,j|ϕji |

maxi|wn−1

i | ≤ maxi|wn−2


...

maxi|w2

i | ≤ maxi|w1


maxi|w1

i | ≤ τ maxi,j|ϕji |

care adunate dau

maxi|vni | ≤ nτ max

i,j|ϕji | ≤ T max

i,j|ϕji |.

Rezulta ca‖wh‖h = max

i,j|wji | ≤ T max

i,j|ϕji | ≤ T fh h.

In final‖uh‖h ≤ ‖vh‖h + ‖wh‖h ≤ (1 + T ) fh h.

Cazul schemei de calcul implicite


si uh este calculat conform schemei de calculimplicite (24.15) atunci are loc ingalitatea (principiul de maxim).

maxi|un+1i | ≤ maxmax

i|uni |,max

j|ψj0|,max

j|ψj1|+ τ max

i,j|ϕji |.

Demonstratie. Fie indicelem0 ∈ 0, 1, . . . ,M astfel ıncat |unm0| = max0≤i≤M |uni |.

Daca m0 = 0 sau m0 = M atunci principiul de maxim este demonstrat.Daca m0 ∈ 1, 2, . . . ,M − 1 atunci vom distinge doua cazuri.


• unm0> 0. In acest caz

unm0≤ unm0

+ a2r(unm0− unm0+1) + a2r(unm0

− unm0−1) =

= −a2runm0−1 + (1 + 2a2r)unm0− a2runm0+1 = un−1

m0+ τϕnm0

.

Ultima egalitate a rezultat din (24.16). Prin urmare

maxi|uni | = |unm0

| = unm0≤ un−1

m0+ τϕnm0

≤ maxi|un−1i |+ τ max

i,j|ϕji | ≤

≤ maxmaxi|uni |,max

j|ψj0|,max

j|ψj1|+ τ max

i,j|ϕji |.

• unm0< 0. Atunci

−unm0≤ −unm0

+ a2r(unm0+1 − unm0) + a2r(unm0−1 − unm0

) =

= a2runm0−1 − (1 + 2a2r)unm0+ a2runm0+1 = −un−1

m0− τϕnm0

.

de unde

maxi|uni | = |unm0

| = −unm0≤ −un−1

m0− τϕnm0

≤ maxi|un−1i |+ τ max

i,j|ϕji | ≤

≤ maxmaxi|uni |,max

j|ψj0|,max

j|ψj1|+ τ max

i,j|ϕji |.

Se demonstreaza la fel ca Teorema 24.1.6

Teorema 24.1.7 Schema de calcul implicita (24.15) este stabila.

24.1.1 Conditia necesara de convergenta Courant-Friedrichs-Lewy

Presupunem ca ın formularea problemei diferentiale intervine o functie ψ si fieP un punct apartinand domeniului de definitie al solutiei u. Notam prin Gψ(P )multimea punctelor care influenteaza valoarea u(P ), adica modificand pe ψ ıntr-un punct Q ∈ Gψ(P ) se modifica u(P ).

Solutia aproximativa se calculeaza utilizand schema de calcul Lh(uh) = fh.Valoarea solutiei aproximative uh ın punctul cel mai apropiat de P depinde devalorile lui ψ ın multimea G

(h)ψ (P ).

In aceste conditii are loc urmatorul rezultat:


Teorema 24.1.8 Pentru convergenta limh→0 uh = u este necesar ca pentru oricepunct P al domeniului de definitie al lui u, pentru orice punct Q ∈ Gψ(P ) sipentru orice vecinatate V a lui Q sa existe h0 > 0 astfel ıncat pentru 0 < h <h0, V ∩G(h)

ψ 6= ∅.

Demonstratie. Presupunem ca conditia teoremei nu are loc. Exista P , existaQ ∈ Gψ(P ), exista o vecinatate V a lui Q si pentru orice h > 0 exista 0 < h′ < h

astfel ıncat V ∩ G(h′)ψ = ∅. Atunci modificand pe ψ ın V, u(P ) se modifica, dar

valoarea lui uh ın punctul din retea cel mai apropiat de P ramane nemodificata.

24.1.2 Conditia necesara de stabilitate a lui Neumann

Pentru rezolvarea unei probleme nestationare Lu = f, cu u functie de variabilatemporala t si de variabila spatiala x, se foloseste schema de calcul Lhuh = fh.Se presupune ca operatorul Lh este liniar, Lh ∈ (Xh, Yh)

∗.Solutia uh a schemei de calcul poate fi privita ca fiind alcatuita din valori

succesive pe nivele de timp. Un nivel este dat de multimea nodurilor retelei Dh

aflate pe dreapta / ın planul t = nτ, unde τ este pasul de discretizare pentruvariabila temporala. Vom nota multimea valorilor lui uh pe nivelul t = nτ prinun. Presupunem ca:

• un este un element al unui spatiu normat W ;

• u0 = (u0m)m, iar u0

m = u(0, xm) este cunoscuta ca data a problemei nestationare;

• uh = (un)0≤n≤nh , ‖uh‖h = max0≤n≤nh ‖un‖;

• Numarul nivelelor nh poate fi oricat de mare, practic se va considera t =nτ ≤ T cu T fixat a priori;

• fh h = ‖u0‖+ expresie depinzand de celelalte elemente ale problemeisaufh h = max‖u0‖, elemente depinzand de celelalte elemente ale problemei.

In aceste ipoteze, conditia de stabilitate este (24.1.1)

‖uh‖h ≤ C fh h,

unde C este o constanta care nu depinde de parametrii de discretizare.Conditia de mai sus trebuie ındeplinita pentru date arbitrare ale problemei,

ın particular si pentru fh cu proprietatea fh h = ‖u0‖. In acest caz, Lhuh = fheste numita schema de calcul omogena.


Conditia de stabilitate devine

‖un‖ ≤ C‖u0‖, n = 0, 1, . . . , nh. (24.18)

Daca au loc inegalitatile de mai sus atunci schema de calcul este stabila ınraport cu conditiile initiale.

Alegem u0m = eimα = cosmα + i sinmα si determinam, ın conditiile de mai

sus , o solutie a schemei de calcul de forma

unm = λ(α, h)neimα. (24.19)

Multimea numerelor λ = λ(α, h) pentru care schema de calcul omogena are solutiede forma (24.19) formeaza spectrul schemei de calcul.

Atunci ‖un‖ = |λ(α, h)|n‖u0‖ si conditia de stabilitate (24.18 devine

|λ(α, h)|n ≤ C n = 0, 1, . . . , nh

si utilizand Problema 24.1 rezulta

|λ(α, h)| ≤ 1 + C1τ.

Astfel s-a ajuns la conditia necesara de stabilitate a lui Neumann:

Teorema 24.1.9 O conditie necesara pentru stabilitatea schemei de calcul (ınparticular, pentru stabilitatea ın raport cu conditiile initiale) este ca pentru oriceε > 0 spectrul schemei de calcul, pentru h suficient de mic, sa fie cuprins ın discul|λ| ≤ 1 + ε.

Exemplul 24.1.3 Spectrul schemei de calcul explicita (24.4) pentru problema(24.3).

Schema de calcul explicita si omogena esteun+1m −unm

τ− au

nm+1−unm

h= 0, m ∈ Z, n = 0, 1, . . . , [T

τ],

u0m = ψm, m ∈ Z,

Pentru unm = λneimα, din

λn+1eimα − λneimα

τ− aλ

nei(m+1)α − λneimα

h= 0

si r = τh

rezultaλ = 1− ar + areiα.

In planul complex, spectrul este un cerc cu centrul ın punctul 1 − ar si de razar|a|.

Se observa ca se regasesc rezultatele Teoremei 24.1.3.


Fig. 24.3:

Exemplul 24.1.4 Spectrul schemei de calcul implicita (24.7) pentru problema(24.3+24.6).

Ecuatia cu diferente omogena corespunzand schemei de calcul omogena este

unm−un−1m

τ− au

nm+1−unm−1

2h= 0, m ∈ 1, 2, . . . ,M − 1,

n = 1, 2, . . . , [Tτ

].

Daca unm = λneimα atunci

λneimα − λn−1eimα

τ− aλ

nei(m+1)α − λnei(m−1)α

2h= 0

de unde se gasesteλ− 1

τ− aλ(eiα − e−iα)

2h= 0

Pentru r = τ2h

rezulta λ = 11−ira sinα

. Deoarece |λ| = 1√1+r2a2 sin2 α

≤ 1 conditia

necesara de stabilitate a lui Neumann este ındeplinita.

Exemplul 24.1.5 Spectrul schemei de calcul explicita (24.13) pentru problema(24.12).

Substudiind unm = λneimα ın ecuatia cu diferente omogena

un+1m − unm

τ− a2u

nm+1 − 2unm + unm−1

h2= 0


se gasesteλ− 1

τ− a2 e

iα − 2 + e−iα

h2= 0

Tinand seama de egalitatile eiα − 2 + e−iα = 2 cosα − 2 = −4 sin2 α2, rezulta

λ = 1 − 4a2r sin2 α2, unde r = τ

h2. Cand α variaza λ = λ(α, h) descrie segmentul

de dreapta [1 − 4a2r, 1]. Conditia necesara de stabilitate a lui Neumann esteındeplinita daca −1 ≤ 1− 4a2 ⇔ r ≤ 1

2a2.

Exemplul 24.1.6 Spectrul schemei de calcul implicita (24.15) pentru problema(24.12).

Procedand analog se obtine λ = 11+4a2r sin2 α

2

, conditia necesara de stabilitate fiind

ındeplinita pentru orice r.

Vom arata ca alegand convenabil normele spatiilor Xh si Yh conditia nece-sara de stabilitate a lui Neumann este suficienta pentru stabilitatea ın raport cuconditiile initiale.

Consideram schema de calculb−1u

n+1m−1 + b0u

n+1m + b1u

n+1m+1 − (a−1u

nm−1 + a0u

nm + a1u

nm+1) = ϕnm,

m ∈ Z, n = 0, 1, . . . , Tτ− 1,

u0m = ψm, m ∈ Z,

(24.20)

unde ecuatia cu diferente este cu coeficienti constanti. Presupunem ca b−1e−iα +

b0 + b1eiα 6= 0, ∀α. Aceasta forma cuprinde schemele de calcul tratate anterior

drept cazuri particulare (ın ipoteza ca raportul τh, respectiv τ

h2, este constant).

Spectrul schemei de calcul (24.20) este

λ = λ(α) =a−1e

−iα + a0 + a1eiα

b−1e−iα + b0 + b1eiα,

adica unm = λn(α)eimα este o solutie a ecuatiei cu diferente omogena

b−1un+1m−1 + b0u

n+1m + b1u

n+1m+1 − (a−1u

nm−1 + a0u

nm + a1u

nm+1) = 0. (24.21)

Solutia schemei de calculb−1u

n+1m−1 + b0u

n+1m + b1u

n+1m+1 − (a−1u

nm−1 + a0u

nm + a1u

nm+1) = 0,

m ∈ Z, n = 0, 1, . . . , Tτ− 1,

u0m = ψm, m ∈ Z,

(24.22)

are o reprezentare integrala, pentru determinarea careia consideram:


• U(α) o functie integrabila ın intervalul [0, 2π] a carei expresie se va deter-mina ulterior;

• diviziunea ∆ : 0 = α0 < α1 < . . . < αp = 2π;

• sistemul de puncte intermediare ξk ∈ [αk, αk+1], k = 0, 1, . . . , p− 1,

si

Snm =1√2π

p−1∑k=0

U(ξk)λn(ξk)e

imξk .

Deoarece multimea solutiilor ecuatiei cu diferente omogena (24.21) formeaza unspatiu liniar, Snm verifica aceasta ecuatie (fiind o combinatie liniara de solutii).Daca norma diviziunii ∆, max0≤k≤p−1(αk+1 − αk), tinde catre 0 atunci Snm tindecatre

unmdef=

1√2π

∫ 2π

0

U(α)λn(α)eimαdα, (24.23)

care este de asemenea solutie a eccuatiei (24.20). Acum se poate determinafunctia U(α) astfel ıncat sa fie ındeplinite conditiile initiale din (24.22), adica

u0m =

1√2π

∫ 2π

0

U(α)eimαdα = ψm, ∀ m ∈ Z.

Familia de functii(eimα√

2π

)m∈Z

formeaza un sistem complet ın L2[0, 2π]. In consecinta

are loc reprezentarea

U(α) =∑m∈Z

cme−imα√

2π,

unde

cm =< U(α),e−imα√

2π>=

1√2π

∫ 2π

0

U(α)eimαdα = ψm.

Prin urmare expresia functiei U(α) este

U(α) =∑m∈Z

ψme−imα√

2π.

Avand ın vedere relatiile (24.28) au loc egalitatile lui Parceval∫ 2π

0

|λ(α)|2n|U(α)|2dα =∑m∈Z

|unm|2, n = 0, 1, . . . .


Fie un = (unm)m∈Z, ϕn = (ϕnm)m∈Z. Definim normele

‖un‖ =(∑

m∈Z |unm|2) 1

2 , ‖uh‖h = maxn ‖un‖,

‖ϕn‖ =(∑

m∈Z |ϕnm|2) 1

2 , ‖ψ‖ =(∑

m∈Z |ψm|2) 1

2 ,

fh h = max‖ψ‖,maxn ‖ϕn‖.

Teorema 24.1.10 Conditia necesara si suficienta pentru stabilitatea ın raportcu conditiile initiale a schemei de calcul (24.22) este existenta unei constanteC1 > 0, nedepinzand de h si τ, astfel ıncat spectrul schemei de calcul sa satisfacainegalitatea

|λ(α)| ≤ 1 + C1τ, α ∈ [0, 2π].

Demonstratie.Suficienta. Pentru orice n ∈ 0, 1, . . . , [T

τ] are loc inegalitatea

|λ(α)|n ≤ (1 + C1τ)n ≤ eC1nτ ≤ eC1T .

Din egalitatile lui Parceval se deduce

‖un‖2 =

∫ 2π

0

|λ(α)|2n|U(α)|2dα ≤ e2C1T

∫ 2π

0

|U(α)|2dα = e2C1T‖u0‖2,

adica stabilitatea ın raport cu conditiile initiale.

24.1.3 Stabilitate prin forma canonica

In contextul introdus ın sectiunea precedenta, forma canonica a schemei decalcul liniare Lhuh = fh este

un+1 = Rhun + τρn n = 0, 1, . . . , nh − 1;

u0 dat(24.24)

unde un, ρn sunt elemente ale unui spatiu normat (W, ‖ · ‖W ) iar R ∈ (W,W )∗

este un operator liniar si continuu. In (24.24) un poate fi alcatuit din valorile luiuh pe unul sau mai multe nivele succesive.

Exemplul 24.1.7 Forma canonica a schemei de calcul explicita pentru problema(24.3+24.6).


Pentru schema de calculun+1m −unm

τ− au

nm+1−unm

h= ϕnm, m ∈ 1, 2, . . . ,M − 1, (Mh = l)

n = 0, 1, . . . , [Tτ

]− 1,u0m = ψm, m ∈ 0, 1, . . . ,M,un0 = ψn0 , n ∈ 1, . . . , [T

τ],

unM = ψn1 .

nivelul un va fi dat de vectorul un = (un0 , un1 , . . . , u

nM)T si n ∈ 0, 1, . . . , [T

τ] = nh.

Daca r = τh

atunci un+1m = (1−ra)unm+raunm+1 +τϕnm. Vectorial, nivelul n+1

se calculeaza prinun+1

0

un+11...

un+1M−1

un+1M

︸︷︷︸

un+1

=

1 0 0 . . . 0 00 1− ra ra . . . 0 0...

. . ....

0 0 0 . . . 1− ra ra0 0 0 . . . 0 1

︸︷︷︸

Rh

un0un1...

unM−1

unM

︸︷︷︸

un

+τ

ψn+10 −ψn0τ

ϕn1...

ϕnM−1ψn+11 −ψn1τ

︸︷︷︸

ρn

.

Exemplul 24.1.8 Forma canonica a schemei de calcul explicita (24.13) pentruproblema (24.12).

Utilizand (24.14), forma canonica a schemei de calcul este

un+10

un+11...

un+1M−1

un+1M

︸︷︷︸

un+1

=

1 0 0 . . . 0 0 0a2r 1− 2a2r a2r . . . 0 0 0

.... . .

...0 0 0 . . . a2r 1− 2a2r a2r0 0 0 . . . 0 0 1

︸︷︷︸

Rh

un0un1...

unM−1unM

︸︷︷︸

un

+τ

ψn+10 −ψn

0τϕn1...

ϕnM−1ψn+11 −ψn

1τ

︸︷︷︸

ρn

,

n = 0, 1, . . . , [Tτ

]− 1 iar nh = [Tτ

].Introducem ipotezele:

I1 : Daca u0 ∈ W, un+1 = Rhun, n ∈ 0, 1, . . . , nh − 1, uh = (un)0≤n≤nh si

fh = Lhuh atunci exista C1 > 0 astfel ıncat

fh h ≤ C1‖u0‖W .

I2 : Daca u0 ∈ W, un+1 = Rhun + τρn, n ∈ 0, 1, . . . , nh − 1, uh = (un)0≤i≤nh si

fh = Lhuh atunci exista C2 > 0 astfel ıncat

‖u0‖W ≤ C2 fh h‖ρn‖W ≤ C2 fh h, pentru n = 0, 1, . . . , nh − 1.


Pentru stabilitatea schemelor de calcul puse sub forma canonica are loc urmatorulrezultat:

Teorema 24.1.11 Fie schema de calcul liniara Lhuh = fh scrisa sub formacanonica (24.24). Daca este ındeplinita ipoteza I1 atunci pentru stabilitate estenecesar sa existe o constanta C > 0, independenta de τ si h, astfel ıncat

‖Rnh‖W ≤ C, ∀ n pentru care nτ ≤ T. (24.25)

Daca are loc ipoteza I2 atunci inegalitatile (24.25) sunt suficiente pentru stabili-tate.

Demonstratie. Necesitatea. Presupunem prin absurd ca desi schema de calculliniara este stabila totusi sirul operatorilor (Rn

h)n∈N nu este marginita:

∀ k ∈ N ∃ hk, τk > 0, nk ∈ N astfel ıncat ‖Rnkhk‖W > k.

Va exista u0k ∈ W astfel ıncat ‖Rnk

hku0k‖W > k‖u0

k‖W .Cu acest u0

k se construieste sirul un+1k = Rhku

nk , n = 0, 1, . . . . Daca uhk = (unk)n si

fhk = Lhkuhk atunci au loc inegalitatile

‖uhk‖hk = maxn‖unk‖W ≥ ‖u

nkk ‖W = ‖Rnk

hku0k‖W > k‖u0

k‖W

si‖fhk‖hk ≤ C1‖u0

k‖W ,de unde

‖uhk‖hk ≥k

C1

‖fhk‖hk .

Aceasta inegalitate contrazice stabilitatea schemei de calcul, (Teorema 24.1.1).Suficienta. Din forma canonica rezulta

un = Rnhu

0 + τ(Rn−1h ρ0 +Rn−2

h ρ1 + . . .+Rhρn−2 + ρn−1)

si aplicand inegalitatile din ipoteza I2 si (24.25) se obtine

‖un‖W ≤ ‖Rnh‖W‖u0‖W + τ

n−1∑i=0

‖Rih‖W‖ρn−1−i‖W ≤ (1 + nτ)CC2 fh h.

Atunci‖uh‖h = max

n‖un‖W ≤ (1 + T )CC2 fh h

Aplicam rezultatul anterior ın cazul exemplelor date la ınceputul sectiunii.


Exemplul 24.1.9 Stabilitatea schemei de calcul explicita pentru problema (24.3+24.6)utilizand forma canonica.

Pentru

uh = (unm)0≤m≤M,0≤n≤Tτ

si fh =

ϕnm, m = 1, 2. . . . ,M − 1,

n = 0, 1, . . . , Tτ− 1,

ψm, m = 0, 1, . . . ,M,ψn0 , n = 1, 2, . . . , T

τ

ψn1 , n = 1, 2, . . . , Tτ

se considera normele‖uh‖h = max

m,n|unm| (24.26)

si

fh h = maxm,n|ϕnm|+ max

m|ψm|+ max

n

|ψn+10 − ψn0 |

τ+ max

n

|ψn+11 − ψn1 |

τ. (24.27)

Spatiul W este RM+1 si au loc inegalitatile

‖u0‖W = maxm|ψm| ≤ fh h,

‖ρn‖W = max|ψn+10 − ψn0 |

τ, |ϕn1 |, . . . , |ϕnM−1|,

|ψn+11 − ψn1 |

τ ≤ fh h.

Pentru 0 < ra ≤ 1 se gaseste ‖Rh‖W = 1 si ‖Rnh‖W ≤ ‖Rh‖hW = 1.

Astfel sunt indeplinite conditia (24.25) si ipoteze I2. Rezulta stabilitatea schemeide calcul, regasind totodata rezultatul Teoremei 24.1.3.

Exemplul 24.1.10 Stabilitatea schemei de calcul explicita (24.13) pentru prob-lema (24.12) utilizand forma canonica.

In mod asemanator, pastrand normele definite prin (24.26), (24.27) si W =RM+1, pentru r ≤ 1

2a2se gaseste ‖Rh‖ = 1. Se regaseste rezultatul Teoremei

24.1.4.

24.1.4 Schema de calcul Lax - Wendroff

Fie problema ∂u∂t− a∂u

∂x= 0, t ∈ [0, T ], a ∈ R∗,

u(0, x) = ψ(x), x ∈ R (24.28)


Pentru τ > 0 din dezvoltarea tayloriana

u(t+ τ, x) = u(t, x) + τ∂u(t, x)

∂t+τ 2

2

∂2u(t, x)

∂t2+ . . .

si din ecuatia cu derivatele partiale

∂u

∂t= a

∂u

∂x,

∂2u

∂t2= a

∂2u

∂t∂x= a2∂

2u

∂x2(24.29)

rezulta

u(t+ τ, x) = u(t, x) + aτ∂u(t, x)

∂x+a2τ 2

2

∂2u(t, x)

∂x2+ . . .

Neglijam termenii de ordin mai mare decat 2 si discretizand, pentru t = tn,x = xm se obtine

un+1m − unm − aτ

unm+1 − unm−1

2h− a2τ 2

2

unm+1 − 2unm + unm−1

h2= 0.

Schema de calcul Lax - Wendroff esteun+1m −unm

τ− au

nm+1−unm−1

2h− a2τ

2

unm+1−2unm+unm−1

h2= 0,

m ∈ Z, n = 0, 1, . . . .[Tτ

]− 1,u0m = ψm, m ∈ Z.

(24.30)

Notam r = τh.

Teorema 24.1.12 Schema de calcul Lax - Wendroff este consistenta de ordinul2.

Demonstratie.

Lh[u]h =

u(tn+1,xm)−u(tn,xm)

τ− au(tn,xm+1)−u(tn,xm−1)

2h− a2τ

2

u(tn,xm+1)−2u(tn,xm)+u(tn,xm−1)

h2 ,

m ∈ Z, n = 0, 1, . . . .[Tτ

]− 1,u(0, xm), m ∈ Z

=

∂u(tn,xm)

∂t+ τ

2∂2u(tn,xm)

∂t2+ τ2

6

∂3u(ξm,n,xm)

∂t3− a

(∂u(tn,xm)

∂x+ h2

6

∂3u(tn,η1m,n)

∂x3

)−

−a2τ2

(∂2u(tn,xm)

∂x2+ h2

12

∂4u(tn,η2m,n)

∂x4

), m ∈ Z, n = 0, 1, . . . .[T

τ]− 1,

ψ(xm), m ∈ Z

Utilizand din nou (24.29) se gaseste

Lh[u]h =

0, m ∈ Z, n = 0, 1, . . . .[T

τ]− 1,

ψ(xm), m ∈ Z +


+

τ2

6

∂3u(ξm,n,xm)

∂t3− ah2

6

∂3u(tn,η1m,n)

∂x3− a2τh2

24

∂4u(tn,η2m,n)

∂x4, m ∈ Z, n = 0, 1, . . . .[T

τ]− 1,

0, m ∈ Z.

Astfel

δfh =h2

6

r2∂3u(ξm,n,xm)

∂t3− a

∂3u(tn,η1m,n)

∂x3− a2rh

4

∂4u(tn,η2m,n)

∂x4, m ∈ Z, n = 0, 1, . . . .[T

τ]− 1,

0, m ∈ Z.

Spectrul schemei de calcul este

λ = 1− 2r2a2 cos2 α

2+ i ra sinα.

Teorema 24.1.13 Schema de calcul Lax - Wendroff este stabila ın raport cuconditiile initiale daca si numai daca |a|r ≤ 1.

Demonstratie.

|λ| =(

1− 2r2a2 cos2 α

2

)2

+ r2a2 sin2 α = 1− 4r2a2(1− r2a2) cos4 α

2.

Daca |a|r ≤ 1 atunci |λ| ≤ 1.Daca |a|r > 1, pentru α = 0, |λ| > 1.

24.1.5 Schema de calcul Du Fort - Frankel

Pentru problema parabolica (24.12)∂u∂t− a2 ∂2u

∂x2= ϕ(t, x) x ∈ [0, l], t ∈ [0, T ],

u(0, x) = ψ(x), x ∈ [0, l],u(0, t) = φ0(t), t ∈ [0, T ],u(l, t) = φ1(t), t ∈ [0, T ].

se discretizeaza derivata dupa variabila temporala printr-o diferenta centrata cupasul 2τ

∂u(tn, xm)

∂t≈ un+1

m − un−1m

2τ

si derivata dupa variabila spatiala printr-o diferenta centrata cu pasul h

∂2u(tn, xm)

∂x2≈unm+1 − 2unm + unm−1

h2.

Apoi, termenul 2unm se ınlocuieste prin media aritmetica

2unm = un+1m + un−1

m .


Astfel discretizarea derivatei ın raport cu variabila spatiala devine

∂2u(tn, xm)

∂x2≈unm+1 + unm−1 − un+1

m − un−1m

h2.

Rezulta schema de calcul Du Fort - Frankelun+1m −un−1

m

2τ− a2 u

nm+1+unm−1−u

n+1m −un−1

m

h2= ϕnm, m = 1, 2 . . . ,M − 1,

n = 0, 1, . . . , [Tτ

]− 1,u0m = ψm, m = 0, 1 . . . ,M,un0 = ψn0 , n = 1, 2, . . . , , [T

τ],

unM = ψn1 , n = 1, 2, . . . , [Tτ

].

(24.31)

Daca r = τh2

atunci calculul numeric revine la

un+1m =

2a2r

1 + 2a2r(unm+1 + unm−1) +

1− 2a2r

1 + 2a2run−1m +

2τ

1 + 2a2rϕnm

pentru m = 1, 2, . . . ,M − 1.

Teorema 24.1.14 Daca r = τh2

ramane constant cand τ, h → 0 atunci schemade calcul (24.31) este consistenta de ordinul 2.

Demonstratie. Tinand seama de dezvoltarile tayloriene


∂t+τ2

2

∂2u(tn, xm)

∂t2+τ3

6

∂3u(ξ1m,n, xm)

∂t3,

tn < ξ1n,m < tn+1

u(tn−1, xm) = u(tn, xm)− τ∂u(tn, xm)

∂t+τ2

2

∂2u(tn, xm)

∂t2−τ3

6

∂3u(ξ2m,n, xm)

∂t3,

tn−1 < ξ2n,m < tn

u(tn, xm+1) = u(tn, xm) + h∂u(tn, xm)

∂x+h2

2

∂2u(tn, xm)

∂x2+h3

6

∂3u(tn, xm)

∂x3+

+h4

24

∂4u(tn, η1m,n)

∂x4, xm < η1n,m < xm+1

u(tn, xm−1) = u(tn, xm)− h∂u(tn, xm)

∂x+h2

2

∂2u(tn, xm)

∂x2−h3

6

∂3u(tn, xm)

∂x3+

+h4

24

∂4u(tn, η2m,n)

∂x4, xm−1 < η2n,m < xm


∂t+τ2

2

∂2u(tn, xm)

∂t2+τ3

6

∂3u(tn, xm)

∂t3,

+τ4

24

∂4u(ξ3m,n, xm)

∂t4, tn < ξ3n,m < tn+1

u(tn−1, xm) = u(tn, xm)− τ∂u(tn, xm)

∂t+τ2

2

∂2u(tn, xm)

∂t2−τ3

6

∂3u(tn, xm)

∂t3,

+τ4

24

∂4u(ξ4m,n, xm)

∂t4, tn−1 < ξ4n,m < tn


rezulta

u(tn+1, xm)− u(tn−1, xm)

2τ− a2

u(tn, xm+1) + u(tn, xm−1)− u(tn+1, xm)− u(tn−1, xm)

h2=

=∂u(tn, xm)

∂t− a2

∂2u(tn, xm)

∂x2+

+τ2

6

∂3u(ξ3m,n, xm)

∂t3− a2

h2

12

∂4u(tn, η3m,n)

∂x4+ a2

τ4

12h2

∂4u(ξ5m,n, xm)

∂t4=

= ϕnm + h2

(r2h2

6

∂3u(ξ3m,n, xm)

∂t3−a2

12

∂4u(tn, η3m,n)

∂x4+r4h4

12

∂4u(ξ5m,n, xm)

∂t4

).

Teorema 24.1.15 Daca r = τh2

ramane constant cand τ, h → 0 atunci schemade calcul (24.31) este stabila ın raport cu conditiile initiale.

Demonstratie. Spectrul schemei de calcul este dat de ecuatia

λ2 − 4a2r cosα

1 + 2a2rλ− 1− 2a2r

1 + 2a2r= 0

cu radacinile

λ =2a2r cosα±

√1− 4a4r2 sin2 α

1 + 2a2r.

Daca

• 1− 4a4r2 sin2 α ≥ 0 ⇒ |λ| ≤ 1;

• 1− 4a4r2 sin2 α ≤ 0 ⇒ |λ| =√

4a4r2−11+2a2r

≤ 1.

24.2 Rezolvarea problemelor stationare prin metode

de discretizare

Ne ocupam de rezolvarea numerica a problemei lui Dirichlet pentru ecuatialui Poisson

4w = ∂2w∂x2

+ ∂2w∂y2

= ϕ(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R,w|∂D = ψ

(24.32)

unde ∂D reprezinta frontiera domeniului D.Consideram ın plan o familiile de drepte de ecuatii x = ihx si y = jhy, i, j ∈ Z.

Punctele de intersectie le vom numi noduri. Pentru h = (hx, hy) notam prinDh multimea nodurilor care apartin multimii D. Un nod Pi,j = (xi, yj), xi =ihx, yj = jhy are patru noduri vecine Pi−1,j, Pi+1,j, Pi,j−1, Pi,j+1. Un nod Pi,j este

24.2. PROBLEME STATIONARE PRIN METODE DE DISCRETIZARE 561

Fig. 24.4:

nod interior daca cele patru noduri vecine apartin lui Dh. Multimea nodurilorinterioare se noteaza Dh. Nodurile apartinand multimii ∂Dh = Dh−Dh se numescnoduri frontiera. In Figura 24.4 sunt puse ın evidenta nodurile multimii Dh.

Rezolvarea numerica va consta ın construirea unei aproximatii uh = (ui,j)i,ja solutiei problemei (24.32), unde ui,j este o aproximatie pentru w(xi, yj), iar(xi, yj) parcurge multimea nodurilor Dh.

24.2.1 Construirea solutiei aproximative ın nodurile fron-tiera

Fie Pi,j un nod frontiera. Daca Pi,j ∈ ∂D atunci ui,j = ψ(Pi,j).Daca Pi,j /∈ ∂D atunci se pot adopta diverse metode, dintre care amintim:

• ui,j va fi valoarea lui ψ ın punctul de pe frontiera domeniului D cel maiapropiat de Pi,j.

Fie Q(xQ, yQ) ∈ ∂D punctul cel mai apropiat de Pi,j ∈ ∂Dh (Fig. 24.5) siui,j = ψ(Q). Evaluam consistenta metodei.

wi,j = w(xi, yj) = w(xQ + (xi − xQ), yQ + (yj − yQ)) =

= w(xQ, yQ) + (xi − xQ)∂w(ξ, η)

∂x+ (yj − yQ)

∂w(ξ, η)

∂y=

= ψ(Q) + (xi − xQ)∂w(ξ, η)

∂x+ (yj − yQ)

∂w(ξ, η)

∂y,


Fig. 24.5:

unde (ξ, η) este un punct de pe segmentul Pi,jQ.

Atunci are loc evaluarea

|wi,j − ui,j| ≤ maxhx, hy

(sup

(x,y)∈D

∣∣∣∣∂w(x, y)

∂x

∣∣∣∣+ sup(x,y)∈D

∣∣∣∣∂w(x, y)

∂y

∣∣∣∣),

adica procedeul are ordinul 1 de consistenta.

• ui,j va fi valoarea functiei ψ ın punctul cel mai apropiat de Pi,j aflat laintersectia dintre ∂D cu reteaua de drepte (Fig. 24.6). Si ın acest cazprocedeul are ordinul 1 de consistenta.

• Metoda lui Collatz. Sa presupunem ca Pi,j ∈ ∂Dh se afla pe segmentulPi−1,j, Q unde Pi−1,j este nod interior iar Q se afla la intersectia dintre ∂Dcu reteaua de drepte, Fig. 24.6.

Functie de pozitia lui Pi,j, ın locul punctului Pi−1,j poate fi oricare dintrenodurile Pi+1,j, Pi,j−1, Pi,j+1. Segmentul ın cauza trebuie sa se afle pe unadin dreptele retelei. Pentru hx si hy suficient de mici se pot realiza conditiilede mai sus pentru orice nod frontiera.

Se iaui,j = λui−1,j + µψ(Q),

iar constantele λ si µ se determina ın asa fel ıncat ordinul de consistenta safie 2. Daca w este solutia problemei lui Dirichlet atunci au loc dezvoltarile


Fig. 24.6:

tayloriene

wi−1,j = wi,j − hx∂w(xi, yj)

∂x+h2x

2

∂2w(ξ, yj)

∂x2, xi−1 < ξ < xi,

ψ(Q) = w(Q) = w(xi + δ, yj) =

= wi,j + δ∂w(xi, yj)

∂x+δ2

2

∂2w(η, yj)

∂x2, xi < η < xi + δ,

de unde

λwi−1,j + µψ(Q) = (λ+ µ)wi,j + (µδ − λhx)∂w(xi, yj)

∂x+

+λh2x

2

∂2w(ξ, yj)

∂x2+ µ

δ2

2

∂2w(η, yj)

∂x2.

Metoda este consistenta de ordinul 2 dacaλ+ µ = 1µδ − λhx = 0

.

Solutiile acestui sistem sunt λ = δhx+δ

, µ = hxhx+δ

si ın consecinta

ui,j =δ

hx + δui−1,j +

hxhx + δ

ψ(Q).


24.2.2 O metoda cu diferente

Aproximam ın fiecare nod interior derivatele partiale ∂2w∂x2

si ∂2w∂y2

prin diferentele

∂2w

∂x2(xi, yj) ≈

ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

h2x

= Λxxui,j,

∂2w

∂y2(xi, yj) ≈

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1,j

h2y

= Λyyui,j.

Definim operatorul Λh = Λxx + Λyy. Astfel pentru rezolvarea problemei (24.32)se obtine schema de calcul

Λhuh(Pi,j) = Λhui,j = ϕ(Pi,j), daca Pi,j ∈ Dh,

uh(Pi,j)evaluat printr-unadin metodele dinsectiunea precedenta

, daca Pi,j ∈ ∂Dh. (24.33)

Relatiile din schema de calcul (24.33) formeaza un sistem algebric de ecuatiiliniare avand numarul necunoscutelor egal cu numarul ecuatiilor, egal cu cardi-nalul multimii Dh.

Teorema 24.2.1 Consistenta schemei de calcul (24.33) pentru rezolvarea prob-lemei (24.32) are ordinul 2 daca aproximarea solutiei pe nodurile frontiera se facecu metoda lui Collatz si 1 ın celelalte cazuri.

Demonstratie. Utilizand dezvoltari tayloriene se obtine

Λwi,j =wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j

h2x

+wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1,j

h2y

=

=∂2w

∂x2(xi, yj) +

∂2w

∂y2(xi, yj) +

h2x

12

∂4w

∂x4(ξi,j, yj) +

h2y

12

∂4w

∂y4(xi, ηi,j).

Stabilitatea schemei de calcul va rezulta ın urma unei inegalutati de tipprincipiu de maxim. In vederea obtinerii acestei inegalitati stabilim rezultateleajutatoare:

Teorema 24.2.2 Daca functia vh = (vi,j)i,j defnita ın reteaua Dh ındeplineste

conditia Λhvi,j ≥ 0, ın orice punct interior Pi,j = (xi, yj) ∈ Dh, atunci cea maimare valoare a lui vh este atinsa cel putin ıntr-un nod frontiera.


Demonstratie. Presupunem prin absurd ca valoarea maxima se atinge doar ınnoduri interioare. Alegem dintre toate nodurile retelei ın care vh atinge cea maimare valoare, pe aceea care are cea mai mare abscisa. Fie Pm,n = (xm, yn) acestnod interior. Atunci vm,n = maxi,j vi,j, vm,n > vm+1,n si Λhvm,n =

=(vm+1,n − vm,n) + (vm−1,n − vm,n)

h2x

+(vm,n+1 − vm,n) + (vm,n−1 − vm,n)

h2y

< 0,

deoarece prima paranteza este negativa iar celelalte nepozitive. In acest fel secontrazice ipoteza teoremei Λhvh ≥ 0.

Analog se demonstreaza

Teorema 24.2.3 Daca functia vh = (vi,j)i,j defnita ın reteaua Dh ındeplineste

conditia Λhvi,j ≤ 0, ın orice punct interior Pi,j = (xi, yj) ∈ Dh, atunci cea maimica valoare a lui vh este atinsa cel putin ıntr-un nod frontiera.

Din Teoremele 24.2.2 si 24.2.3 rezulta principiul de maxim:

Teorema 24.2.4 Orice solutie a ecuatiei Λvh(Pi,j) = 0, Pi,j ∈ Dh ısi atinge ceamai mare si cea mai mica valoare cel putin ıntr-un nod frontiera.

Teorema 24.2.5 Fie D ⊆ [−a, a] × [−b, b]. Daca vh = (vi,j)i,j este o functiedefinita ın reteau Dh atunci are loc inegalitatea

maxPi,j∈Dh

|vh(Pi,j)| ≤ maxPi,j∈∂Dh

|vh(Pi,j)|+a2 + b2

4maxPi,j∈Dh

|Λhvh(Pi,j)|. (24.34)

Demonstratie. Fie λ = maxPi,j∈Dh |Λhvh(Pi,j)| si Φ(x, y) = 14(x2 + y2). Atunci

ΛhΦ = 1 si max(x,y)∈D |Φ(x, y)| ≤ 14(a2 + b2).

Definim functiile v1h, v

2h : Dh → R prin v1

h = vh + λΦ si respectiv v2h = −vh + λΦ.

Pentru orice nod interior Pi,j ∈ Dh au loc inegalitatile

Λhv1h(Pi,j) = Λhvh(Pi,j) + λ ≥ 0,

Λhv2h(Pi,j) = −Λhvh(Pi,j) + λ ≥ 0.

Potrivit principiului de maxim (Teorema 24.2.4)

maxPi,j∈Dh

vkh(Pi,j) ≤ maxPi,j∈∂Dh

vkh(Pi,j), k = 1, 2. (24.35)


Au loc inegalitatile

maxPi,j∈∂Dh

v1h(Pi,j) = max

Pi,j∈∂Dh(vh + λΦ)(Pi,j) ≤ (24.36)

≤ maxPi,j∈∂Dh

vh(Pi,j) + λa2 + b2

4≤ max

Pi,j∈∂Dh|vh(Pi,j)|+ λ

a2 + b2

4

si

maxPi,j∈∂Dh

v2h(Pi,j) = max

Pi,j∈∂Dh(−vh + λΦ)(Pi,j) ≤ (24.37)

≤ maxPi,j∈∂Dh

(−vh(Pi,j)) + λa2 + b2

4≤ max


a2 + b2

4.

Din vh = v1h − λΦ ≤ v1

h si −vh = v2h − λΦ ≤ v2

h rezulta

|vh(Pi,j)| = maxvh(Pi,j),−vh(Pi,j) ≤ maxv1h(Pi,j), v

2h(Pi,j). (24.38)

Utilizand succesiv inegalitatile (24.38), (24.35), (24.36) si (24.37) rezulta

maxPi,j∈Dh

|vh(Pi,j)| ≤ maxPi,j∈Dh

maxv1h(Pi,j), v

2h(Pi,j) ≤

≤ maxPi,j∈∂Dh

maxv1h(Pi,j), v

2h(Pi,j) ≤ max


a2 + b2

4.

In continuare presupunem ca domeniul D este patratul [0, 1]2. Daca Nx, Ny ∈N∗ si hx = 1

Nx, hy = 1

Nyatunci

Dh = (xi, yj) = (ihx, jhy) : i ∈ 0, 1, . . . , Nx, j ∈ 0, 1, . . . , NyDh = (xi, yj) = (ihx, jhy) : i ∈ 1, 2, . . . , Nx − 1, j ∈ 1, 2, . . . , Ny − 1

si ∂Dh ⊆ ∂D.In acest caz schema de calcul (24.33) devine

Λhuh(Pi,j) = ϕ(Pi,j), daca Pi,j ∈ Dh

uh(Pi,j) = ψ(Pi,j), daca Pi,j ∈ ∂Dh, (24.39)

care este consistenta de ordinul 2.

Teorema 24.2.6 Matricea sistemului algebric de ecuatii liniare corespunzatoareschemei de calcul (24.39 este nesingulara.


Demonstratie. Sistemul omogen esteΛhuh(Pi,j) = 0, daca Pi,j ∈ Dh

uh(Pi,j) = 0), daca Pi,j ∈ ∂Dh.

Potrivit principiului de maxim (24.2.4), cea mai mare si cea mai mica valoarea solutie uh sunt atinse ın noduri de pe frontiera ∂Dh si sunt egale cu 0. Prinurmare uh = 0, adica sistemul omogen admite numai solutia banala.

Introducem normele:

uh = (ui,j)0≤i≤Nx,0≤j≤Ny ⇒ ‖uh‖h = maxPi,j∈Dh

|uh(Pi,j)| = max0≤i≤Nx,0≤j≤Ny

|ui,j|

si

fh =

ϕ(Pi,j) daca Pi,j ∈ Dh,ψ(Pi,j) daca Pi,j ∈ ∂Dh

⇒ fh h = maxPi,j∈Dh

|ϕ(Pi,j)|+ maxPi,j∈∂Dh

|ψ(Pi,j)|.

Teorema 24.2.7 Schema de calcul (24.39) este stabila.

Demonstratie. Din (24.40) se obtine (a = b = 1)

maxPi,j∈Dh

|uh(Pi,j)| ≤ maxPi,j∈∂Dh

|uh(Pi,j)|+1

2maxPi,j∈Dh

|Λhuh(Pi,j)| ≤

≤ maxPi,j∈∂Dh

|ψ(Pi,j)|+ maxPi,j∈Dh

|ϕ(Pi,j)|

sau ‖uh‖h ≤ fh h. Din Teorema 24.1.1 rezulta stabilitatea schemei de calcul.

24.2.3 Rezolvarea schemei de calcul prin metode iterative

Consideram problema lui Dirichlet (24.32) ın cazul patratului D = [0, 1]2.Metoda cu diferente conduce la schema de calcul (24.39). Metodele iterative auca punct de plecare ideea ca solutia problemei (24.32) este starea de echilibru alprocesului nestationar

∂w∂t

= ∂2w∂x2

+ ∂2w∂y2− ϕ(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R,

w|[0,∞)×∂D = ψw(0, x, y) = ν(x, y), (x, y) ∈ D

(24.40)


cand t tinde la infinit.Fie Nx = Ny = n, h = hx = hy = 1

nsi

Dh = Pi,j = (xi, yj) = (ih, jh) : i, j ∈ 0, 1, . . . , n .

Notam prin D spatiul liniar al functiilor reale definite ın D si care se anuleaza pefrontiera ∂D. Dimensiunea acestui spatiu liniar este (n− 1)2.

Introducem ın D produsul scalar (C.0.4)

< uh, vh >=4

n2

∑Pi,j∈Dh

uh(Pi,j)vh(Pi,j) =4

n2

n−1∑i,j=1

uh(ih), jh)vh(ih, jh).

si functiile

up,q(x, y) = sin pπx sin qπy, p, q ∈ 1, 2, . . . , n− 1.

Spatiul liniar D cu produsul scalar definit mai sus devine un spatiu Hilbert.


1. Familia (up,q)1≤p,q≤n−1 este ortonormata ın D, formand o baza;

2. Λhup,q = −4n2

(sin2 pπ

2n+ sin2 qπ

2n

)up,q, adica numerele λp,q =

= −4n2(sin2 pπ

2n+ sin2 qπ

2n

)sunt valorile proprii ale operatorului Λh.

Demonstratie. Afirmatiile se verifica prin calcul.1.

< up1,q1 , vp2,q2 >=4

n2

∑(x,y)∈Dh

sin p1πx sin q1πy sin p2πx sin q2πy =

=4

n2

∑x

sin p1πx sin p2πx∑y

sin q1πy sin q2πy =

=

1 daca p1 = p2 si q1 = q2

0 daca p1 6= p2 sau q1 6= q2,

deoarece x, y sunt de forma in

cu i ∈ 1, 2, . . . , n− 1 si s-a folosit (C.0.4).2.

Λxxup,q = sin qπyΛxx sin pπx = sin qπy

sin pπ(x+ h)− 2 sin pπx+ sin pπ(x− h)

h2=


= sin qπy2 sin pπx cos pπh− 2 sin pπx

h2= 2

cos pπh− 1

h2up,q = −4n2 sin2 pπ

2nup,q.

La fel se gaseste Λyyup,q = −4n2 sin2 qπ

2nup,q.

Orice functie wh ∈ Dh admite reprezentarea wh =∑n−1

p,q=1 cp,qup,q si

‖wh‖2 =< wh, wh >=n−1∑p,q=1

c2p,q.

Fie uh solutia schemei de calcul (24.39). Pentru rezolvarea problemei (24.40)se considera schema de calcul explicita

um+1i,j −u

mi,j

τ= Λhu

mi,j − ϕi,j daca Pi,j ∈ Dh, m ∈ N

umi,j = ψi,j daca Pi,j ∈ ∂Dh,

u0i,j = νi,j daca Pi,j ∈ Dh,

, (24.41)

unde τ > 0 este pasul pe axa Ot si umi,j este o aproximatie pentru w(mτ, xi, yj).Vom arata ca ın anumite conditii limm→∞ u

mi,j = ui,j, adica relatiile (24.41) pot

fi interpretate ca formule de recurenta pentru solutia schemei de calcul (24.39).

Notam emi,j = umi,j − ui,j, Pi,j = (xi, yj) ∈ Dh, m ∈ N si scazand (24.39) din(24.41) se obtine

em+1i,j −e

mi,j

τ= Λhe

mi,j daca Pi,j ∈ Dh, m ∈ N

emi,j = 0 daca Pi,j ∈ ∂Dh,

e0i,j = νi,j − ui,j daca Pi,j ∈ Dh,

. (24.42)

Pentru orice m ∈ N, em = (emi,j)0≤i,j≤n apartine spatiului hilbertian D si ınconsecinta are loc reprezentarea

em =n−1∑p,q=1

cmp,qup,q.

Substituind ın (24.42) gasim

1

τ

(n−1∑p,q=1

cm+1p,q up,q −

n−1∑p,q=1

cmp,qup,q

)=

n−1∑p,q=1

cmp,qλp,qup,q.

Identificand coeficientii lui up,q rezulta

cm+1p,q − cmp,q

τ= λp,qcmp,q


sau cm+1p,q = (1 + τλp,q)cmp,q.

Atunci

‖em+1‖ =

(n−1∑p,q=1

(cm+1p,q )2

) 12

≤ max1≤p,q≤n−1

|1 + τλp,q|

(n−1∑p,q=1

(cmp,q)2

) 12

=

= max1≤p,q≤n−1

|1 + τλp,q|‖em‖.


‖em‖ ≤(

max1≤p,q≤n−1

|1 + τλp,q|)m‖e0‖. (24.43)

Metoda va fi convergenta daca max1≤p,q≤n−1 |1 + τλp,q| < 1.Ne propunem sa determinam pe τ astfel ıncat sa fie ındeplinita conditia de

convergenta.Daca τ ≤ 0 atunci

|1 + τλp,q| = 1− 4τn2(

sin2 pπ

2n+ sin2 qπ

2n

)≥ 1, (24.44)

inegalitate care nu satisface conditia de convergenta.Pentru τ > 0 au loc inegalitatile

sinπ

2n≤ sin

pπ

2n≤ sin

(n− 1)π

2n= sin

(π2− π

2n

)= cos

π

2n=

√1− sin2 π

2n

sausin2 π

2n≤ sin2 pπ

2n≤ 1− sin2 π

2n,

pentru p ∈ 1, 2, . . . , n− 1.. Tinand seama de (24.44) gasim

1−8τn2(1−sin2 π

2n) ≤ 1+τλp,q = 1−4τn2

(sin2 pπ

2n+ sin2 qπ

2n

)≤ 1−8τn2 sin2 π

2n

si prin urmare

max1≤p,q≤n−1

|1 + τλp,q| ≤ max|1− 8τn2 sin2 π

2n|, |1− 8τn2(1− sin2 π

2n)|.

Notand a = sin2 π2n, x = 8τn2 suntem condusi la studiul functiei

f(x) = max|1− ax|, |1− (1− a)x|.


Fig. 24.7:

Daca n ≥ 2 atunci 0 < a ≤ 12

si graficul functiei este dat ın Fig. 24.7. Punctulde minim al lui f se obtine din ecuatia

1− ax = (1− a)x− 1,

adica x = 2 si deci τ = 14n2 . In acest caz

max1≤p,q≤n−1

|1 + τλp,q| ≤ 1− 2 sin2 π

2n= cos

π

n< 1. (24.45)

Cu alegerea de mai sus a lui τ schema de calcul (24.41) devineum+1i,j = 1

4(umi+1,j + umi−1,j + umi,j+1 + umi,j−1)− 1

4n2ϕi,j daca Pi,j ∈ Dh, m ∈ Numi,j = ψi,j daca Pi,j ∈ ∂Dh,


.

Evaluam numarul de iteratii necesare pentru a reduce eroarea de e ori. Utilizand(24.43) si (24.45) se obtine

‖em‖ ≤(

max1≤p,q≤n−1

|1 + τλp,q|)m‖e0‖ ≤

(1− 2 sin2 π

2n

)m‖e0‖ ≤ ‖e

0‖e

sau(1− 2 sin2 π

2n

)m ≤ 1e. Rezulta m ≥ −1

ln (1−2 sin2 π2n

).

Din limx→0−x

ln (1−x)= 1 avem −1

ln (1−x)≈ 1

xde unde gasim m ≈ 1

2 sin2 π2n

≈ 2n2

π2 .


Iteratii cu pas variabil

Modificam schema de calcul (24.41) alegand pasul de discretizare al derivateireferitoare la variabila temporala functie de iteratie:

um+1i,j −u

mi,j

τm+1= Λhu

mi,j − ϕi,j daca Pi,j ∈ Dh, m ∈ N

umi,j = ψi,j daca Pi,j ∈ ∂Dh,


, (24.46)

Functiile em = (emi,j)0≤i,j≤n (emi,j = umi,j − ui,j) apartin spatiului Hilbert D si auloc reprezentarile

em =n−1∑p,q=1

cmp,qup,q, m ∈ N.

La fel ca ın sectiunea precedenta, termenii sirului (cmp,q)m∈N satisfac formula derecurenta cm+1

p,q = (1 + τm+1λp,q)cmp,q.

Daca µp,q = −λp,q = 4n2(sin2 pπ

2n+ sin2 qπ

2n

)atunci

a = 8n2 sin2 π

2n≤ µp,q ≤ 8n2 sin2 (n− 1)π

2n= 8n2 cos2 π

2n= b.

Fie Qm(µ) =∏m

j=1(1− τjµ). Observand ca, pe baza formulei de recurenta, cmp,q =

Qm(µp,q)c0p,q, au loc relatiile

‖em‖ =

(n−1∑p,q=1

(cmp,q)2

) 12

=

(n−1∑p,q=1

Q2m(µp,q)(c0

p,q)2

) 12

≤ (24.47)

≤ maxa≤µ≤b

|Qm(µ)|

(n−1∑p,q=1

(c0p.q)

2

) 12

= maxa≤µ≤b

|Qm(µ)|‖e0‖.

S-a ajuns la urmatoarea problema: pentru m ∈ N∗ fixat sa se determine numerelepozitive τ1, τ2, . . . , τm astfel ıncat maxa≤µ≤b |Qm(µ)| = maxa≤µ≤b |

∏mj=1(1− τjµ)|

sa fie minim.

Daca τj = 1σj, j ∈ 1, 2, . . . ,m atunci

Qm(µ) =m∏j=1

µ− σj−σj

=Rm(µ)

Rm(0),


unde R(µ) =∏m

j=1(µ− σj).Transformam intervalul [a, b] ın [−1, 1] prin µ = µ(x) = a+b

2− b−a

2x, (µ(1) =

a, µ(−1) = b). Fie σj = µ(xj), j ∈ 1, 2, . . . ,m. Atunci

Rm(µ) = (−1)m(b− a

2

)m m∏j=1

(x− xj) = (−1)m(b− a

2

)mSm(x),

cu Sm(x) =∏m

j=1(x− xj). In felul acesta

Qm(µ) =Rm(µ)

Rm(0)=

Sm(x)

Sm(a+bb−a

)si

maxa≤µ≤b

|Qm(µ)| = 1

Sm(a+bb−a

) max−1≤x≤1

|Sm(x)|.

Din σj > 0 rezulta xj ≤ a+bb−a si ın consecinta Sm

(a+bb−a

)> 0.

Potrivit Teoremei 10.1.3 polinomul monic de gradm care minimizeaza functionala

P 7→ max−1≤x≤1

|P (x)|

este 12m−1Tm(x), unde Tm este polinomul lui Cebısev de grad m.

Vom lua xj = cos (2k−1)π2m

, radacinile polinomului Cebısev Tm, de unde τj =1

a+b2− b−a

2cos

(2k−1)π2m

, j ∈ 1, 2, . . . ,m.Pentru aceasta alegere, ne propunem sa evaluam numarul de iteratii necesare

pentru a reduce eroarea de e ori. Relatia (24.47) devine

‖em‖ ≤ 1

Tm(a+bb−a

)‖e0‖ ≤ ‖e0‖e. (24.48)

Trebuie determinat m pentru care

1

Tm(a+bb−a

) ≤ 1

e⇔ e ≤ Tm

(a+ b

b− a

).

Tinand seama de definitiile lui a si b, daca x0 = b+ab−a = 1

cos πn> 1 atunci

Tm(x0) =1

2

((x0 +

√x2

0 − 1)m + (x0 −√x2

0 − 1)m)

=(x0 −

√x2

0 − 1)2m + 1

2(x0 −√x2

0 − 1)m.


Notand γ = x0 −√x2

0 − 1 ∈ (0, 1), inegalitatea pentru m devine

e ≤ γ2m + 1

2γm⇒ γm ∈ (−∞, e−

√e2 − 1] ∪ [e+

√e2 − 1,∞).

Retinem γm ≤ e−√e2 − 1, de unde m ≥ ln(e−

√e2−1)

ln γ.

Au loc aproximarile

ln(e−√e2 − 1) = ln

1

e+√e2 − 1

≈ ln1

2e= −(1 + ln 2),

si

ln γ = ln1− sin π

n

cos πn

= ln

√1− sin π

n

1 + sin πn

≈

≈ ln

√1− 2 sin

π

n≈ ln

√1− 2π

n=

1

2ln(1− 2π

n) ≈ −π

n.

S-au aplicat succesiv evaluarile 1−x1+x

= 1 − 2x + O(x2), sinx = x + O(x3) si

ln(1− x) = −x+ O(x2). Astfel m ≈ 1+ln 2π

n.Daca s-ar efectua ν cicluri de cate m iteratii, din (24.48) rezulta

‖eνm‖ ≤ ‖e0‖eν

.

Deoarece eroarea prin aproximarea derivatelor variabilelor spatiale prin diferentacentrata este de ordinul h2 = 1

n2 , ordinul de aproximare ın urma iteratiilor se vapastra daca

1

eν=

1

n2⇔ ν = 2 lnn.

Numarul necesar de iteratii pentru obtinerea acestui ordin de aproximare esteνm = 2(1+ln 2)

πn lnn.

Metode iterative cu directii alternante

Consideram schema de calcul

um+ 1

2i,j − umi,j

τ=

1

2

(Λxxu

m+ 12

i,j + Λyyumi,j − ϕi,j

), Pi,j ∈ Dh, m ∈ N,

(24.49)

um+1i,j − u

m+ 12

i,j

τ=

1

2

(Λxxu

m+ 12

i,j + Λyyum+1i,j − ϕi,j

), Pi,j ∈ Dh, m ∈ N,


(24.50)

umi,j = ψi,j, Pi,j ∈ ∂Dh, m ∈ N, (24.51)

u0i,j = νi,j, Pi,j ∈ Dh. (24.52)

O iteratie consta ın rezolvarea sistemului (24.49)-(24.51) din care se obtine

(um+ 1

2i,j )0≤i,j≤n si apoi se rezolva sistemul (24.50)-(24.51) rezultand (umi,j)0≤i,j≤n.Studiem convergenta acestei scheme de calcul schemei de calcul. Fie emi,j =

umi,j − ui,j, em+ 1

2i,j = u

m+ 12

i,j − ui,j. Scazand (24.39) din (24.49)-(24.52) se obtine

em+1

2i,j −emi,j

τ= 1

2

(Λxxe

m+ 12

i,j + Λyyemi,j

), Pi,j ∈ Dh, m ∈ N,

em+1i,j −e

m+12

i,j

τ= 1

2

(Λxxe

m+ 12

i,j + Λyyem+1i,j

), Pi,j ∈ Dh, m ∈ N,

umi,j = ψi,j, Pi,j ∈ ∂Dh, m ∈ N,u0i,j = νi,j, Pi,j ∈ Dh.

.

Functiile em = (emi,j)0≤i,j≤n, em+ 1

2 = (em+ 1

2i,j )0≤i,j≤n apartin spatiului D. Daca

em =n−1∑p,q=1

cmp,qup,q si em+ 1

2 =n−1∑p,q=1

cm+ 1

2p,q up,q

atunci coeficientii verifica relatiile de recurenta

cm+ 1

2p,q − cmp,q

τ= −2n2c

m+ 12

p,q sin2 pπ

2n− 2n2cmp,q sin2 qπ

2n

si

cm+1p,q − c

m+ 12

p,q

τ= −2n2c

m+ 12

p,q sin2 pπ

2n− 2n2cm+1

p,q sin2 qπ

2n.

Eliminand cm+ 1

2p,q se obtine

cm+1p,q =

(1− 2τn2 sin2 pπ2n

)(1− 2τn2 sin2 qπ2n

)

(1 + 2τn2 sin2 pπ2n

)(1 + 2τn2 sin2 qπ2n

)cmp,q = λp,qcmp,q.

unde

λp,q =(1− 2τn2 sin2 pπ

2n)(1− 2τn2 sin2 qπ

2n)

(1 + 2τn2 sin2 pπ2n

)(1 + 2τn2 sin2 qπ2n

).


Atunci

‖em+1‖ =

(n−1∑p,q=1

(cm+1p,q )2

) 12

=

(n−1∑p,q=1

(λp,qcmp,q)2

) 12

≤ (24.53)

≤ max1≤p,q≤n−1

|λp,q|

(n−1∑p,q=1

(cmp,q)2

) 12

= max1≤p,q≤n−1

|λp,q|‖em‖.

Daca notam λp =1−2τn2 sin2 pπ

2n

1+2τn2 sin2 pπ2n

atunci λp,q = λpλq si din (24.53) obtinem

‖em‖ ≤(

max1≤p≤n−1

|λp|)2m

‖e0‖. (24.54)

Deoarece functia x 7→ 1−x1+x

este descrescatoare si sin2 π2n≤ sin2 pπ

2n≤ sin2 (n−1)π

2n=

cos2 π2n, rezulta inegalitatile

−1 <1− 2n2 cos2 pπ

2n

1 + 2n2 cos2 pπ2n

≤ λp ≤1− 2n2 sin2 pπ

2n

1 + 2n2 sin2 pπ2n

< 1, τ > 0,

si

|λp| ≤ max

∣∣∣∣1− 2n2 cos2 pπ2n

1 + 2n2 cos2 pπ2n

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣1− 2n2 sin2 pπ2n

1 + 2n2 sin2 pπ2n

∣∣∣∣ < 1.

Prin urmare metoda directiilor alternante este convergenta.Determinam τ pentru care expresia

max

∣∣∣∣1− 2n2 cos2 pπ2n

1 + 2n2 cos2 pπ2n

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣1− 2n2 sin2 pπ2n

1 + 2n2 sin2 pπ2n

∣∣∣∣este minima. Notand x = 2τn2, a = sin2 π

2ndeterminam punctul de minim al

functiei

f(x) = max

∣∣∣∣1− (1− a)x

1 + (1− a)x

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣1− ax1 + ax

∣∣∣∣ ,pentru x > 0. Daca n ≥ 2 atunci 0 < a ≤ 1

2, caz ın care graficul functiei f este

reprezentat ın Fig. 24.8.Punctul de minim al functiei se obtine din ecuatia

(1− a)x− 1

1 + (1− a)x=

1− ax1 + ax


Fig. 24.8:

si se obtine x = 1√a(1−a)

= 2sin π

n. Rezulta ca valoarea optima pentru τ este τ∗ =

1n2 sin π

n.

Din nou dorim sa estimam numarul de iteratii necesar pentru a reduce eroareainitiala de e ori.

Deoarece

|λp| ≤ max

∣∣∣∣1− 2τ∗n2 cos2 pπ

2n

1 + 2τ∗n2 cos2 pπ2n

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣1− 2τ∗n2 sin2 pπ

2n

1 + 2τ∗n2 sin2 pπ2n

∣∣∣∣ =1− tan π

2n

1− tan π2n

si tinand seama de dezvoltarea tayloriana ın jurul punctului 0 a functiei 1−x1+x

=1− 2x+ 2x2 + . . . obtinem evaluarea

max1≤p≤n−1

|λp| ≈ 1− 2 tanπ

2n+O(tan2 π

2n) ≈ 1− π

n+O(

1

n2).

Potrivit relatiei (24.54) vom avea

‖em‖ ≤(

max1≤p≤n−1

|λp|)2m

‖e0‖ ≈(

1− π

n

)2m

‖e0‖ ≤ ‖e0‖e

sau(1− π

n

)2m ≤ 1e. Se obtine m ≥ −1

2 ln (1−πn

)≈ n

2π. Astfel metoda iterativa cu

directii alternante este mai rapid convergenta decat metoda iterativa (24.41).

Metoda directiilor alternante cu pas variabil

In metoda directiilor alternante (24.49)-(24.52) presupunem pasul τ depen-dent de iteratie.

(24.55)


um+1

2i,j −umi,jτm+1

= 12

(Λxxu

m+ 12

i,j + Λyyumi,j − ϕi,j

), Pi,j ∈ Dh, m ∈ N,

um+1i,j −u

m+12

i,j

τm+1= 1

2

(Λxxu

m+ 12

i,j + Λyyum+1i,j − ϕi,j

), Pi,j ∈ Dh, m ∈ N,

umi,j = ψi,j, Pi,j ∈ ∂Dh, m ∈ N,u0i,j = νi,j, Pi,j ∈ Dh.

S-a obtinut astfel metoda Douglas-Rackford.Fie emi,j = umi,j, i, j ∈ 0, 1, . . . , n si em = (emi,j)0≤i,j≤n functia eroare. La fel ca

ın cazurile anterioare em ∈ D cu reprezentarea em =∑n−1

p,q=1 cmp,qu

p,q.Coeficientii verifica relatia de recurenta

cmp,q = λp(τm)λq(τm)cm−1p,q ,

unde

λpτm) =1− 2τmn

2 sin2 pπ2n

1 + 2τmn2 sin2 pπ2n

. (24.56)

Urmeaza

cmp,q = c0p,q

m∏j=1

λp(τj)λq(τj).

Aratam ca pentru orice M ∈ N∗ si orice 0 < ε < 1 se pot alege numerele realepozitive τ1, τ2, . . . , τM astfel ıncat∣∣∣∣∣

M∏j=1

λp(τj)λq(τj)

∣∣∣∣∣ ≤ ε, ∀ p, q ∈ 1, 2, . . . , n− 1. (24.57)

Deoarece |λp(τ)| < 1, pentru orice τ > 0 si orice p ∈ 1, 2, . . . , n−1 este suficientca pentru cel putin un τj sa fie ındeplinita inegalitatea

|λp(τj)| ≤ ε. (24.58)

Tinand seama de delimitarile

0 < a = 2n2 sin2 π

2n≤ 2n2 sin2 pπ

2n≤ 2n2 sin2 (n− 1)π

2n= 2n2 cos2 π

2n= b,

p ∈ 1, 2, . . . , n− 1 si de expresia lui λp(τj), (24.56), este suficienr sa alegem τjastfel ıncat

maxa≤x≤b

∣∣∣∣1− τjx1 + τjx

∣∣∣∣ ≤ ε,


sau

−ε ≤ 1− τjx1 + τjx

≤ ε, ∀ x ∈ [a, b].

Rezulta1− ε1 + ε

≤ τjx ≤1 + ε

1− ε, ∀ x ∈ [a, b].

Pentru ındeplinirea conditiei (24.58) τj trebuie ales astfel ıncat

1− ε1 + ε

· 1

a≤ τj ≤

1 + ε

1− ε· 1

b.

Presupunem ca s-au fixat:

• numarul natural nenul M ;

• numerele reale pozitive τ1, τ2, . . . , τM pentru care are loc (24.57).

Pentru j > M pasii de discretizare τj se aleg prin periodicitate τj ≡ τi(M), i ∈1, 2, . . . ,M. In acest fel, dupa m = rM iteratii cu metoda directiilor alter-nante cu pas variabil va avea loc inegalitatea ‖em‖ ≤ εr‖e0‖, punand ın evidentaconvergenta procedeului.

24.2.4 Rezolvarea schemei de calcul printr-o metoda finita

Daca intervalul [0, 1] se ımparte ın n ≥ 4 parti pe fiecare directie atuncinumarul nodurilor interioare pe o directie este N = n− 1.

Fie

vj =

ui,1ui,2

...ui,N

, A =

−4 1 0 . . . 0 01 −4 1 00 1 −4 0...

. . ....

0 −4 10 0 0 . . . 1 −4

. (24.59)

Daca ın schema de calcul (24.39) s-au substituit valorile nodurilor frontierasi ele au fost ıncorporate ın membrul drept atunci ıntre vectorii (vi)1≤i≤N au locrelatiile

Av1 + v2 = f1

vk−1 + Avk + vk+1 = fk, k ∈ 2, 3, . . . , N − 1vN−1 + Av2N = fN

(24.60)


Exemplul 24.2.1 n = 4

In acest caz sistemul algebric de ecuatii liniare este

(i) −4u1,1 + u1,2 + u2,1 = b1,1

(ii) u1,1 − 4u1,2 + u1,3 + u2,2 = b1,2

(iii) u1,2 − 4u1,3 + u2,3 = b1,3

(iv) u1,1 − 4u2,1 + u2,2 + u3,1 = b2,1

(v) u1,2 + u2,1 − 4u2,2 + u2,3 + u3,2 = b2,2

(vi) u2,2 − 4u2,3 + u3,3 = b2,3

(vii) u2,1 − 4u3,1 + u3,2 = b3,1

(viii) u2,2 + u3,1 − 4u3,2 + u3,3 = b3,2

(ix) u2,3 + u3,2 − 4u3,3 = b3,3

Daca

v1 =

u1,1

u1,2

u1,3

, v2 =

u2,1

u2,2

u2,3

, v3 =

u3,1

u3,2

u3,3

,

atunci sistemul se rescrie sub forma

(i)|

(iii)

−4 1 01 −4 10 1 −4

u1,1u1,2u1,3

+

u2,1u2,2u2,3

=

f1,1f1,2f1,3

Av1 + v2 = f1

(iv)|

(vi)

u1,1u1,2u1,3

+

−4 1 01 −4 10 1 −4

u2,1u2,2u2,3

+

u3,1u3,2u3,3

=

f2,1f2,2f2,3

v1 +Av2 + v3 = f2

(vii)|

(ix)

u2,1u2,2u2,3

+

−4 1 01 −4 10 1 −4

u3,1u3,2u3,3

=

f3,1f3,2f3,3

v2 +Av3 = f3

Sistemul algebric de ecuatii liniare scris sub forma (24.60) se rezolva prinmetoda dublului parcurs (14.6).

Primul parcurs. Din prima ecuatie se obtine

v1 = −A−1v2 + A−1f1 = R2v2 + s2,

unde R2 = −A−1 si s2 = A−1f1.Daca

vk−1 = Rkvk + sk (24.61)


atunci substituind ın ecuatia care leaga vk−1, vk, vk+1 vom avea

Rkvk + sk + Avk + vk+1 = fk,

de unde

vk = −(A+Rk)−1vk+1 + (A+Rk)

−1(fk − sk) = Rk+1vk+1 + sk+1.

Astfel se deduc formulele de recurenta

Rk+1 = −(A+Rk)−1,

sk+1 = (A+Rk)−1(fk − sk),

pentru k = 2, . . . , N − 1.Al doilea parcurs. Substituind vN−1 = RNvN + sN ın ultima ecuatie se

obtineRNvN + sN + AvN = fN

de unde vN = (A+RN)−1(f2N−sN). Utilizand (24.61), pentru k = N,N−1, . . . , 2se determina solutia schemei de calcul.

In acest fel trebuie inversate doar matrice de ordin cel mult N , desi matriceasistemului initial are dimensiunea 2N.


P 24.1 Daca (an)n ∈ N este un sir de numere reale nenegative astfel ıncatan ≤ C, pentru orice n ∈ N, C constanta, atunci exista o constanta C1 > 0cu proprietatea ca an ≤ 1 + C1

n.

R. Distingem doua cazuri.

1. C <= 1. Atunci an ≤ C1n ≤ 1 ≤ 1 + C1

npentru orice C1 > 0.

2. C > 1. Daca C1 = C − 1 atunci an ≤ C1n ≤ (1 + C1)

1n ≤ 1 + C1

n.

P 24.2 Calculati spectrul schemei de calcul Crank-Nicholson (24.8) pentru prob-lema (24.3+24.6).

R. λ =1+i ra

2sinα

1−i ra2

sinα, r = τ

h.

P 24.3 Calculati spectrul schemei de calcul Crank-Nicholson (24.20) pentru prob-lema (24.12).

R. λ =1−2a2r sin2 α

2

1+2a2r sin2 α2

.

Partea V

REZOLVAREA ECUATIILORPRIN METODE DE

OPTIMIZARE

583

Capitolul 25

Elemente din teoria optimizarii

Fie X un spatiu normat, domeniul D ⊆ X si F : D → R o functionaladiferentiabila Frechet, marginita inferior. Problema de optimizare (PO) constaın determinarea

1. f ∗ = infx∈D f(x);

2. x∗ ∈ D (daca exista) astfel ıncat f(x∗) = infx∈D f(x).

Daca a ∈ R, atunci notam prin Ma multimea Ma = x ∈ D : f(x) ≤ a.In cazul X = Rn exista mai multe metode eficiente de rezolvare a problemei

de mai sus.In continuare vom presupune ca D este un domeniu convex.Drept aplicatii, exista posibilitatea rezolvarii unei ecuatii liniare sau neliniare

prin intermediul unei probleme de optimizare adecvatate.

25.1 Functionale diferentiabile

In cazul functionalelor, diferentiabilitatea Frechet coincide cu G-derivabilitatea.Intr-adevar, pentru x, x+h ∈ D functionala f este G- derivabila ın x daca existaoperatorul liniar ∇f(x) ∈ (X,X)∗ astfel ıncat

limt→0

f(x+ th)− f(x)

t= ∇f(x)(h).

Pentru h ∈ X, notam h0 = h‖h‖ si t = ‖h‖ si gasim

limh→0

f(x+ h)− f(x)−∇f(x)(h)

‖h‖= lim

t→0

[f(x+ th0)− f(x)

t−∇f(x)(h0)

]= 0.

585

586 CAPITOLUL 25. ELEMENTE DIN TEORIA OPTIMIZARII

Pentru x, x + h ∈ D fixati introducem functia ϕ : [0, 1] → R definita prinϕ(t) = f(x+ th). Au loc proprietatile:

Teorema 25.1.1 1. Daca functionala f : D → R este diferentiabila Frechetatunci

ϕ′(t) = f ′(x+ th)(h); (25.1)

f(x+ h)− f(x) =∫ 1

0f ′(x+ th)(h)dt; (25.2)

2. Daca functionala f : D → R este de doua ori diferentiabila Frechet atunci

ϕ′′(t) = f ′′(x+ th)(h)(h); (25.3)

f(x+ h) = f(x) + f ′(x)(h) +∫ 1

0(1− t)f ′′(x+ th)(h)(h)dt. (25.4)


ϕ(t) = lims→0

ϕ(t+ s)− ϕ(t)

s= lim

s→0

f(x+ (t+ s)h)− f(x+ th)

s=

= ∇f(x+ th)(h) = f ′(x+ th)(h),

deoarece diferentiabilitatea Frechet implica G-derivabilitatea.

Cealalta relatie reprezinta transcrierea egalitatii

ϕ(1)− ϕ(0) =

∫ 1

0

ϕ′(t)dt.

Pct. 2 al teoremei se arata asemanator. (25.4) reprezinta transcrierea egalitatii

ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′(0) +

∫ 1

0

(1− t)ϕ′′(t)dt.

Exemplul 25.1.1 Fie X un spatiu prehilbertian real cu produsul scalar notatprin < ·, · > . Daca A ∈ (X,X)∗, b ∈ X atunci functionala

f(x) =1

2< A(x), x > − < b, x >, f : X → X,

este diferentiabila Frechet si f ′(x) = A(x)− b.

25.2. FUNCTIONALE CONVEXE 587

Teorema 25.1.2 Daca functionala f : D → R este diferentiabila Frechet cuderivata lipschitziana, adica exista L > 0 astfel ıncat

‖f ′(x)− f ′(y)‖ ≤ L‖x− y‖, ∀x, y ∈ D,

atunci pentru orice x, x+ h ∈ D are loc inegalitatea

f(x+ h) ≤ f(x) + f ′(x)(h) +L

2‖h‖2

Demonstratie. Utilizand (25.2) au loc relatiile

f(x+ h)− f(x) =

∫ 1

0

[f ′(x+ th)(h)− f ′(x)(h)]dt+

∫ 1

0

f ′(x)(h)dt ≤

≤ f ′(x)(h)+

∣∣∣∣∫ 1

0

[f ′(x+ th)− f ′(x)](h)dt

∣∣∣∣ ≤ f ′(x)(h)+

∫ 1

0

|[f ′(x+th)−f ′(x)] (h)|dt ≤

≤ f ′(x)(h) +

∫ 1

0

‖f ′(x+ th)− f ′(x)‖ ‖h‖ dt ≤ f ′(x)(h) +L

2‖h‖.

25.2 Functionale convexe

Fie D un domeniu convex a unui spatiu normat X.Functionala F : D → R este convexa este

• convexa daca

f(ax+ (1− a)y) ≤ af(x) + (1− a)f(y), ∀x, y ∈ D; ∀a ∈ (0, 1).

• strict convexa daca

f(ax+ (1− a)y) < af(x) + (1− a)f(y), ∀x, y ∈ D, x 6= y; ∀a ∈ (0, 1).

• tare convexa daca exista m > 0 astfel ıncat

ma(1− a)‖x− y‖2 + f(ax+ (1− a)y) ≤ af(x) + (1− a)f(y),

∀x, y ∈ D; ∀a ∈ (0, 1).In cazul unei functionale diferentiabila Frechet tare convexitatea se poate

caracteriza prin


Teorema 25.2.1 Fie f : D ⊂ X → R o functionala diferentiabila Frechet.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente

(i) f este tare convexa;

(ii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea

f(x)− f(x0) ≥ f ′(x0)(x− x0) +m‖x− x0‖2; (25.5)

(iii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea

(f ′(x)− f ′(x0)) (x− x0) ≥ 2m‖x− x0‖2; (25.6)

Daca f este de doua ori diferentiabil Frechet atunci afirmatiile anterioare suntechivalente cu

(iv) Pentru orice x ∈ D si orice h ∈ X are loc inegalitatea

f ′′(x)(h)(h) ≥ 2m‖h‖2. (25.7)

Demonstratie.

(i)⇒(ii) Din inegalitatea

f(tx+ (1− t)x0) +mt(1− t)‖x− x0‖2 ≤ tf(x) + (1− t)f(x0)

scazand f(x0) si ımpatind la t ∈ (t, 1] se obtine

f(tx+ (1− t)x0)− f(x0)

t+m(1− t)‖x− x0‖2 ≤ f(x)− f(x0).

Pentru t→ 0 rezulta

f ′(x0)(x− x0) +m‖x− x0‖2 ≤ f(x)− f(x0).

(ii)⇒(i) Au loc inegalitatile

f(x)− f(tx+ (1− t)y) ≥ (1− t)f ′(tx+ (1− t)y)(x− y) +m(1− t)2‖x− y‖2

f(y)− f(tx+ (1− t)y) ≥ (1− t)f ′(tx+ (1− t)y)(y − x) +mt2‖x− y‖2

Inmultind prima inegalitate cu t, pe a doua cu 1− t si adunand gasim

tf(x) + (1− t)f(y)− f(tx+ (1− t)y) ≥ mt(1− t)‖x− y‖2.

25.2. FUNCTIONALE CONVEXE 589

(ii)⇒(iii) Adunand inegalitatile

f(x)− f(x0) ≥ f ′(x0)(x− x0) +m‖x− x0‖2

f(x0)− f(x) ≥ f ′(x)(x0 − x) +m‖x− x0‖2

rezulta0 ≥ (f ′(x)− f ′(x0)) (x0 − x) + 2m‖x− x0‖2

sau(f ′(x)− f ′(x0)) (x− x0) ≥ 2m‖x− x0‖2.

(iii)⇒(ii) Folosind (25.1) deducem succesiv

f(x)− f(x0) =

∫ 1

0

f ′(x0 + t(x− x0))(x− x0)dt =

=

∫ 1

0

(f ′(x0 + t(x− x0))− f ′(x0)) (x− x0)dt+

∫ 1

0

f ′(x0)(x− x0)dt ≥

≥ 2m‖x− x0‖2

∫ 1

0

tdt+ f ′(x0)(x− x0) = m‖x− x0‖2 + f ′(x0)(x− x0).

(iii)⇒(iv) Impartind cu t2 inegalitatea

(f ′(x+ th)− f ′(x)) (th) ≥ 2mt2‖h‖2

obtinemf ′(x+ th)− f ′(x)

t(h) ≥ 2m‖h‖2.

Pentru t→ 0 rezulta

f ′′(x+ th)(h)(h) ≥ 2m‖h‖2.

(iv)⇒(iii) Utilizand (25.4) avem

f(x) = f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+

∫ 1

0

(1−t)f ′′(x0+t(x−x0))(x−x0)(x−x0)dt ≥

≥ f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +m‖x− x0‖2.

Pentru functionale convexe formularea teoremei anterioare este


Teorema 25.2.2 Fie f : D ⊂ X → R o functionala diferentiabila Frechet.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente

(i) f este convexa;

(ii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea

f(x)− f(x0) ≥ f ′(x0)(x− x0); (25.8)

(iii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea

(f ′(x)− f ′(x0)) (x− x0) ≥ 0; (25.9)

Daca f este de doua ori diferentiabil Frechet atunci afirmatiile anterioare suntechivalente cu

(iv) Pentru orice x ∈ D si orice h ∈ X are loc inegalitatea

f ′′(x)(h)(h) ≥ 0. (25.10)

Observatia 25.2.1 In cazul unei functionale tare convexe, ın locul inegalitatii(25.6) se poate arata

(f ′(x)− f ′(x0)) (x− x0) ≥ m‖x− x0‖2. (25.11)

Scriem tare convexitatea sub forma

a(1− a)m‖x− x0‖2 ≤ af(x) + (1− a)f(x0)− f(ax+ (1− a)x0) =

= a (f(x)− f(ax+ (1− a)x0)) + (1− a) (f(x0)− f(ax+ (1− a)x0)) .

Aplicand (25.8) au loc inegalitatile

f(ax+ (1− a)x0)− f(x) ≥ (1− a)f ′(x)(x0 − x),

f(ax+ (1− a)x0)− f(x0) ≥ af ′(x0)(x− x0).

Adunand si ınmultind cu -1, din relatia de mai sus se obtine

a(1− a)m‖x− x0‖ ≤ a(1− a) (f ′(x)− f ′(x0)) (x− x0),

de unde rezulta imediat (25.11).

25.3. PROPRIETATI ALE PROBLEMEI DE OPTIMIZARE 591

25.3 Proprietati ale problemei de optimizare

Marginirea inferioara a functionalei problemei de optimizare (PO) este garan-tata de

Teorema 25.3.1 Daca

1. functioanla f : D → R este diferentiabila Frechet cu derivata lipschitziana,

∃L > 0, astfel ıncat ‖f ′(x)− f ′(y)‖ ≤ L‖x− y‖, ∀x, y ∈ D;

2. exista a ∈ R astfel ıncat multimea Ma este marginita;

atunci f este marginita inferior.

Demonstratie. Marginirea multimii Ma ınseamna existenta unui numar r > 0cu proprietatea ca ‖x‖ ≤ r

2, pentru orice x ∈Ma.

Fie x, x0 ∈Ma si h = x−x0. Atunci ‖h‖ ≤ ‖x‖+‖x0‖ ≤ r. Procedand analogcalculului din demonstratia Teoremei 25.1.2, avem

|f(x)− f(x0)| = |f(x0 + h)− f(x0)| =

= |∫ 1

0

[f ′(x0 + th)− f ′(x0)]hdt+

∫ 1

0

f ′(x0)(h)dt| ≤

≤ L‖h‖2

2+ ‖f ′(x0)‖ ‖h‖ ≤ Lr2

2+ ‖f ′(x0)‖r,

sau

f(x) ≥ f(x0)− Lr2

2− ‖f ′(x0)‖r.

O caracterizare a solutiei (PO) este furnizata de urmatoarea teorema

Teorema 25.3.2 O conditie necesara ca x∗ sa fie solutie pentru (PO) este

f ′(x∗)(x− x∗) ≥ 0. (25.12)

Daca functionala f este convexa atunci conditia este si suficienta.

Demonstratie. Pentru x ∈ D si t > 0 suficient de mic x∗ + t(x− x∗) ∈ D si ınconsecinta

f(x∗ + t(x− x∗)) ≥ f(x∗),

sauf(x∗ + t(x− x∗))− f(x∗)

t≥ 0.


Pentru t→ 0 rezulta f ′(x∗)(x− x∗) ≥ 0.Reciproc, daca f este o functionala convexa atunci, din (25.8) avem

f(x)− f(x∗) ≥ f ′(x∗)(x− x∗) ≥ 0.

Referitor la unicitatea solutiei, pentru functionale strict convexe (PO) a celmult o solutie.

In cazul functionalelor tare convexe are loc urmatorul rezultat privind evalu-area erorii

Teorema 25.3.3 Daca x∗ este punctul de minim al functionalei tare convexe fatunci au loc inegalitatile

‖x− x∗‖2 ≤ 1

m(f(x)− f(x∗)) , (25.13)

f(x)− f(x∗) ≤1

m‖f ′(x)‖2. (25.14)

Demonstratie. 1. Proprietatea de minim a lui x∗ implica f(x∗) ≤ f(ax+ (1−a)x∗),∀x ∈ D si ∀a ∈ (0, 1) iar din tare convexitate deducem

f(x∗) ≤ f(ax+ (1− a)x∗) ≤ af(x) + (1− a)f(x∗)− a(1− a)m‖x− x∗‖2

saua(f(x)− f(x∗)− (1− a)m‖x− x0‖2

)≥ 0.

Deoarece a > 0, f(x)− f(x∗)− (1− a)m‖x− x∗‖2 ≥ 0. Pentru a 0 se obtine(25.13).2. Utilizand succesiv inegalitatile (25.11) si (25.12) se obtine

m‖x = x∗‖2 ≤ (f ′(x)− f(x∗)) (x− x∗) ≤ f ′(x)(x− x∗) ≤ ‖f ′(x)‖ ‖x− x∗‖,de unde se obtine estimarea

‖x− x∗‖ ≤1

m‖f ′(x‖. (25.15)

Apoi f(x∗)− f(x) ≥ f ′(x)(x∗ − x) de unde

0 ≤ f(x)−f(x∗) ≤ f ′(x)(x−x∗) ≤ |f ′(x)(x−x∗)| ≤ ‖f ′(x)‖‖x−x∗‖ ≤1

m‖f ′(x)‖2.

Teorema 25.3.4 O functionala strict convexa are cel mult un punct de minim.

Demonstratie. Presupunand ca x1, x2 ∈ D, x1 6= x2, sunt puncte de minim ale

functionalei f, f(x1) = f(x2) = minf(x) : x ∈ D = d si a ∈ (0, 1) atuncirezulta

d ≤ f(ax1 + (1− a)x2) < af(x1) + (1− a)f(x2) = d.

In mod necesar x1 = x2.

25.4. METODE DE DESCRESTERE 593

25.4 Metode de descrestere

Rezolvarea PO printr-o metoda de descrestere consta ın construirea sirului

xn+1 = xn + µnhn (25.16)

unde (xn)n∈N reprezinta aproximatii ale solutiei PO, hn ∈ X este directia dedescrestere si µn ∈ R este un coeficient.

Un criteriu de alegere a directiei de descrestere este

Teorema 25.4.1 Fie f : X → R o functie diferentiabila Frechet. Daca f ′(x)(h) <0 atunci exista µ0 > 0 astfel ıncat

f(x+ µh) < f(x) ∀µ ∈ (0, µ0).

Demonstratie. Limita

limµ→0

f(x+ µh)− f(x)

µ= f ′(x)(h)

implica∀ 0 < ε < −f ′(x)(h) ∃ µ0 > 0 astfel ıncat

f(x+ µh)− f(x)

µ− f ′(x)(h) < ε ∀ µ ∈ (0, µ0),

de undef(x+ µh)− f(x) < µ(f ′(x)(h) + ε) < 0.

Definitia 25.4.1 Un element h ∈ X, ‖h‖ = 1 este o directie de cea mai maredescrestere a functionalei f ın x daca

f ′(x)(h) = inf‖y‖=1

f ′(x)(y) (25.17)

Teorema 25.4.2 Daca h este o directie de cea mai mare descrestere a functionaleif ın x atunci f ′(x)(h) = −‖f ′(x)‖.

Demonstratie. Utilizand definitia normei unui operator liniar, gasim

f ′(x)(h) = inf‖y‖=1

f ′(x)(y) = − sup‖y‖=1

−f ′(x)(y) = −‖ − f ′(x)‖ = −‖f ′(x)‖.


Observatia 25.4.1 Fie X = Rn si f : Rn → R o functie diferentiabila. Daca

notam ∇f(x) =(∂f(x)∂xi

)1≤i≤n

- gradientul functiei f ın x - atunci

f ′(x)(h) =< ∇f(x), h >=n∑i=1

∂f(x)

∂xihi h = (hi)1≤i≤n ∈ Rn.

In acest caz h = − ∇f(x)‖∇f(x)‖ este o directie de cea mai mare descrestere a lui f ın

x.

Metoda de descrestere cu alegerea la fiecare pas a antigradientul ca directiede descretere poarta numele de metoda gradientului.

25.5 Metoda gradientului

Fie X un spatiu normat real. Pentru minimizarea functionalei diferentiabileFrechet f : X → R se considera sirul definit prin formula de recurenta

xn+1 = xn + µnhn,

cu

hn = −f ′(xn)

si µn solutia problemei de optimizare unidimensionala

f(xn+1) = f(xn + µnhn) = minµ>0

f(xn + µhn).

Rezultatele urmatoare prezinta proprietati de convergenta legate de sirul (xn)n∈N.

Teorema 25.5.1 Daca

1. derivata Frechet f ′(x) este lipschitziana, adica

∃L > 0 astfel ıncat ‖f ′(x)− f ′(y)‖ ≤ L‖x− y‖, ∀x, y ∈ X;

2. multimea Mf(x0) este marginita

atunci limn→∞ f′(xn) = 0.

25.5. METODA GRADIENTULUI 595

Demonstratie. Teoreme 25.3.1 implica marginirea inferioara a sirului (f(xn))n∈Niar din determinarea parametrului de descrestere µn rezulta ca acest sir este de-screscator. In consecinta exista limn→∞ f(xn).

Fie µ > 0. Potrivit Teoremei 25.1.2 avem

f(xn+1) ≤ f(xn + µhn) ≤ f(xn) + µf ′(xn)(hn) +Lµ2

2.

Deoarece hn este o directie de cea mai mare descrestere a functionalei f ın xn,din inegalitatea anterioara deducem

‖f ′(xn)‖ = −f ′(xn)(hn) ≤ f(xn)− f(xn+1)

µ+Lµ

2. (25.18)

Fie ε > 0 si µ > 0 astfel ıncat Lµ2< ε

2. Deoarece limn→∞

f(xn)−f(xn+1)µ

= 0 exista

n0 ∈ N astfel ıncat f(xn)−f(xn+1)µ

< ε2

pentru orice n > n0.

Din (25.18) rezulta ‖f ′(xn)‖ < ε pentru orice n > n0, adica limn→∞ f′(xn) =

0.

Teorema 25.5.2 Daca ın plus, functionala f este convexa atunci exista α > 0astfel ıncat

f(xn)− f ∗ ≤ α‖f ′(xn)‖, ∀n ∈ N,

unde f ∗ = infx∈Mf(x0)f(x).

Demonstratie. Din marginirea multimii Mf(x0) rezulta ca si multimea Mf(x0)−Mf(x0) este marginita, adica exista α > 0 astfel ıncat

Mf(x0) −Mf(x0) ⊆ B(0, α).

Daca y ∈ Mf(x0) atunci y − xn ∈ Mf(x0) − Mf(x0) ⊆ B(0, α) si din egalitateay = xn + (y − xn) deducem incluziunea

Mf(x0) ⊆ xn +B(0, α). (25.19)

Fie h ∈ X, cu ‖h‖ ≤ α. Deoarece xn+h ∈ xn+B(0, α), relatia (25.19) implica

inf‖h‖≤α

f(xn + h) ≤ infx∈Mf(x0)

f(x) = f ∗

sif ∗ − f(xn) ≥ inf

‖h‖≤αf(xn + h)− f(xn). (25.20)


Potrivit Teoremei 25.2.2, convexitatea functionalei f implica inegalitatea

f(xn + h)− f(xn) ≥ f ′(xn)(h).

Utilizand (25.20) deducem

f ∗ − f(xn) ≥ inf‖h‖≤α

f(xn + h)− f(xn) ≥ inf‖h‖≤α

f ′(xn)(h).

Deoarece

inf‖h‖≤α

f ′(xn)(h) = α inf‖h‖≤1

f ′(xn)(h) = −α sup‖h‖≤1

−f ′(xn)(h) = −α‖f ′(xn)‖

inegalitatea de mai sus devine f ∗ − f(xn) ≥ −α‖f ′(xn)‖.Din Teoremele 25.3.3 si 25.5.2 rezulta

Teorema 25.5.3 Daca ın plus, functionala f este tare convexa si x∗ este solutiaproblemei de optimizare atunci limn→∞ xn = x∗.


P 25.1 1. Intr-un spatiu normat (X, ‖ · ‖) functia J(x) = 12‖x − x0‖2 este

convexa.

2. Intr-un spatiu prehilbertian real cu norma generata de produsul scalar, functiaJ(x) = 1

2‖x− x0‖2 este strict convexa.

3. ın R2 cu norma ‖x‖ = |x1|+|x2|, x = (x1, x2)T , functia J(x) = 12‖x‖2, (x0 =

0), este convexa dar nu strict convexa.

R. 1. Pentru x, y ∈ X si λ ∈ (0, 1), J(λx+ (1− λ)y) ≤

≤ 1

2

(λ2‖x− x0‖+ 2λ(1− λ)‖x− x0‖‖y − x0‖+ (1− λ)2‖y − x0‖

),

apoi 2‖x− x0‖‖y − x0‖ ≤ ‖x− x0‖2 + ‖y − x0‖2, etc.2. J(y)− J(x) =< x− x0, y − x > +1

2‖y − x‖2 >< x− x0, y − x >, y 6= x.

3. Fie X(1) = (1, 2)T , X(2) = (2, 1)T ∈ R2. Atunci J(X(1)) = J(X(2)) =

J(X(1))+X(2))

2

)= 9

2si J

(X(1))+X(2))

2

)= 1

2

(J(X(1))

)+ 1

2

(J(X(2))

).

Capitolul 26

Rezolvarea sistemelor algebriceprin metode de optimizare

Capitolul prezinta metode iterative pentru rezolvarea sistemelor algebrice deecuatii bazate pe metode de minimizare a unei functionale. Formulele de calculse obtin aplicand metoda gradientului pentru minimizarea unei functii atasatasistemului algebric de ecuatii.

26.1 Rezolvarea unui sistem algebric liniar

prin metoda celor mai mici patrate

Un sistem algebric de ecuatii liniare

Ax = b (26.1)

cu A ∈Mm,n(R), b ∈ Rm si m > n, este ın general incompatibil.Se numeste solutie ın sensul metodei celor mai mici patrate, elementul x ∈ Rn

care minimizeaza functia f(x) = ‖Ax− b‖22.

Aspecte teoretice legate de solutia ın sensul metodei celor mai mici patrateau fost prezentate ın sectiunea 14.8

Determinarea solutiei ın sensul metodei celor mai mici patrate.

Deducem o metoda numerica pentru minimizarea functionalei

f : Rn → R, f(x) =1

2‖Ax− b‖2

2 =1

2(‖Ax‖2

2 − 2 < Ax, b > +‖b‖22).

utilizand metoda gradientului.

597

598 CAPITOLUL 26. SISTEME ALGEBRICE PRIN METODE DE OPTIMIZARE

Deoarece f ′(x) = AT (Ax− b), directia de descrestere va fi

hk = −AT (Axk − b). (26.2)

Minimul functiei ϕ(µ) = f(xk + µhk) = 12(‖Axk − b‖2

2 + 2µ < Axk − b, Ahk >

+µ2‖Ahk‖22) se obtine pentru µk := µ = − ‖hk‖22

‖Ahk‖22.

Rezulta formula de recurenta

xk+1 = xk −‖hk‖2

2

‖Ahk‖22

hk, (26.3)

iar hk este dat de (26.2).

26.2 Rezolvarea unui sistem algebric neliniar prin

metoda celor mai mici patrate

Fiind date functiile diferentiabile Ti : Rn → R, i ∈ 1, 2, . . . ,m, pentrurezolvarea sistemului algebric de ecuatii neliniare

T (x) = 0 ⇔

T1(x1, . . . , xn) = 0...Tm(x1, . . . , xn) = 0

(26.4)

se minimizeaza functionala f : Rn → R definita prin

f(x) =m∑i=1

T 2i (x) = ‖T (x)‖2

2. (26.5)

Daca f(x) = 0 atunci x este un punct de minim al functionalei f si solutie asistemului (26.4).

Pentru minimizarea functionalei f utilizam metode gradientului. Gradientullui f este

f ′(x) =

∂f(x)∂x1...

∂f(x)∂xn

= 2

∂T1(x)∂x1

. . . ∂Tm(x)∂x1

... . . ....

∂T1(x)∂xn

. . . ∂Tm(x)∂xn

T1(x)

...Tm(x)

= 2(T ′(x))TT (x).

Coeficientul de descrestere µ se obtine din minimizarea functiei

ϕ(µ) = f(x−µf ′(x)) =m∑i=1

T 2i (x−µf ′(x)) =

m∑i=1

(Ti(x)− µ(T ′i (x))Tf ′(x) + . . .

)2,

26.3. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT 599

a carei prima aproximatie este polinomul de gradul al doilea

ψ(µ) =m∑i=1

(Ti(x)− µ(T ′i (x))Tf ′(x)

)2=

= ‖T (x)‖22 − 2µ

m∑i=1

Ti(x)(T ′i (x))Tf ′(x) + µ2

m∑i=1

((T ′i (x))Tf ′(x)

)2.

Drept coeficient de descrestere se alege punctul de minim al functiei ψ(µ).Deoarece (T ′i (x))Tf ′(x) = 2(T ′i (x))T (T ′(x))TT (x) sunt componentele vectoru-

lui

2

(T ′1(x))T

...(T ′m(x))T

(T ′(x))TT (x) = 2T ′(x)(T ′(x))TT (x)

expresia functiei ψ(µ) devine

ψ(µ) = ‖T (x)‖22 − 4µ(T (x))TT ′(x)(T ′(x))TT (x) + 4µ2‖T ′(x)(T ′(x))TT (x)‖2

2 =

= ‖T (x)‖22 − 4µ‖T ′(x))TT (x)‖2

2 + 4µ2‖T ′(x)(T ′(x))TT (x)‖22.

Asadar

µ = argmin ψ(µ) =‖(T ′(x))TT (x)‖2

2

2‖T ′(x)(T ′(x))TT (x)‖22

.

Aproximarea unei solutii a sistemului (26.4) se gaseste cu sirul (x(k))k∈N definitprin formula de recurenta

x(k+1) = x(k) − ‖(T ′(x(k)))TT (x(k))‖22

‖T ′(x(k))(T ′(x(k)))TT (x(k))‖22

(T ′(x(k)))TT (x(k)). (26.6)

26.3 Metoda gradientului conjugat

Fie A ∈Mn(R) o matrice simetrica si strict pozitiv definita.

Definitia 26.3.1 Vectorii u1, u2, . . . , un ∈ Rn se numesc A-conjugati daca

< ui, Auj >= δi,j ∀ i, j ∈ 1, . . . , n ⇔ UTAU = In, U = [u1 u2 . . . un].

Daca vectorii u1, u2, . . . , un ∈ Rn suntA-conjugati atunci ei sunt liniar independenti.


Teorema 26.3.1 Fie u1, u2, . . . , un ∈ Rn vectori A-conjugati. Daca x0 ∈ Rn si

xi = xi−1+ < b− Axi−1, ui > ui, i = 1, 2, . . . , n, (26.7)

atunci Axn = b.

Demonstratie. Notand ti =< b − Axi−1, ui > formula de recurenta devinexi = xi−1 + tiu

i, de unde Axi = Axi−1 + tiAui si ın consecinta

Axi = Ax0 + t1Au1 + t2Au

2 + . . .+ tiAui, i = 1, 2, . . . , n. (26.8)

Din (26.8) se deduce egalitatea

< Axn − b, ui >=< Ax0 − b, ui > +ti.

Pe de alta parte, utilizand din nou (26.8), au loc egalitatile

ti =< b− Axi−1, ui >=< b− Ax0, ui > −i−1∑j=1

tj < Auj, ui >=< b− Ax0, ui >,

sau < Ax0 − b, ui > +ti = 0.Astfel < Axn − b, ui >= 0,∀i ∈ 1, 2, . . . , n, adica Axn = b.

Observatia 26.3.1 Daca v1, v2, . . . , vn ∈ Rn\0 astfel ıncat < vi, Avj >= 0,

pentru i 6= j, atunci vectorii ui = vi√<vi,Avi>

, i = 1, 2, . . . , n sunt A-congugati.

Formula de recurenta (26.7) devine

xi = xi−1 +< b− Axi−1, vi >

< vi, Avi >vi. (26.9)

Relatiile anterioare nu precizeaza modul de obtinere a vectorilor A-conjugati.Punctul de pornire pentru generarea vectorilorA-conjugati si pentru rezolvarea

sistemului algebric de ecuatii liniare Ax = b va fi minimizarea functionalei

J(x) =< Ax, x > −2 < b, x > .

Se verifica prin calcul direct formula

J ′(x)(h) = 2 < Ax− b, h >,


de unde rezulta conexiunea

J ′(x)(h) = 0, ∀ h ∈ Rn ⇔ Ax = b.

Fie aproximatia initiala x0 ∈ Rn, r0 = b− Ax0 si Kk = Kk(A, r0) =

spanr0, Ar0, . . . , Ak−1r0, k ∈ 1, 2, . . . , n.Se considera sirul (xk)k, unde xk ∈ Rn minimizeaza functionala J ın x0 +Kk.Acest sir se va obtine iterativ, cu formula

xk+1 = xk + tk+1vk+1, k ∈ 0, 1, . . .. (26.10)

Pentru vk+1 ∈ Kk+1 va rezulta ca xk+1 ∈ x0 +Kk+1.Se va arata ca sunt necesare cel mult n iteratii.1

Daca xk = x0 +∑k−1

j=0 γjAjr0 atunci

rk = b− Axk = (I −k−1∑j=0

γjAj+1)r0 ∈ Kk+1.

Din (26.10) rezulta formula de recurenta

rk+1 = rk − tk+1Avk+1. (26.11)

Presupunem ca s-a generat sirul x1, . . . , xk, deci implicit r0, r1, . . . , rk, v1, . . . , vk,astfel ıncat rj 6= 0,∀j ∈ 0, 1, . . . , k, adica fara obtinerea solutiei sistemuluialgebric de ecuatii liniare.

Teorema 26.3.2 Pentru orice v ∈ Kk, au loc relatiile

< rk, v > = 0, (26.12)

< vk+1, Av > = 0. (26.13)

Demonstratie. Din J(xk) ≤ J(xk + v), ∀v ∈ Kk, conditia de optimalitateimplica

< ∇J(xk), v >= 0, v ∈ Kk.

Deoarece ∇J(xk) = Axk − b = −rk rezulta < rk, v >= 0.Procedand analog, din J(xk+1) ≤ J(xk+1 + v), ∀ v ∈ Kk+1 si ın particular

pentru v ∈ Kk ⊆ Kk+1, conditia de optimalitate implica

< ∇J(xk+1), v >= 0, ∀v ∈ Kk.

1Abstractie de erorile de rotunjire, care sunt ınsa prezente ın orice implementare numerica.


Au loc egalitatile

∇J(xk+1) = Axk+1 − b = A(xk + tk+1vk+1)− b = −rk + tk+1Av

k+1.

Tinand seama de (26.12)

< ∇J(xk+1), v >=< −rk + tk+1Avk+1, v >= tk+1 < vk+1, Av >= 0.

Teorema anterioara implica


< rk, rj > = 0, ∀ j ∈ 0, 1, . . . , k − 1, (26.14)

< rk, vj > = 0, ∀ j ∈ 1, . . . , k, (26.15)

< vk+1, Avj > = 0, ∀ j ∈ 1, . . . , k. (26.16)

Astfel, ın Rn, vectorii (rj)0≤j≤k sunt ortogonali, iar vectorii (vj)1≤j≤k+1 sunt A-conjugati. Aceste relatii provin doar din conditiile de optimalitate, fara a fiprecizate formulele prin care se obtin vk+1 si tk+1.

Determinarea directiei de descrestere vk+1

Vectorul vk+1 se va determina sub forma

vk+1 = rk + sk+1vk ∈ Kk+1 (deoarece rk ∈ Kk+1),

iar sk+1 va fi un parametru care se va determina astfel ıncat sa fie ındeplinitaconditia (26.13).

Deoarece Kk = spanr0, Ar0, . . . , Ak−1r0 = spanr0, r1, . . . , rk−1 conditia(26.13) este ındeplinita daca < vk+1, rj >= 0, j ∈ 0, 1, . . . , k − 1.

Pentru j ∈ 0, 1, . . . , k − 2

< vk+1, Arj >=< rk + sk+1vk, Arj >=< rk, Arj > +sk+1 < vk, Arj > .

Deoarece rj ∈ Kj+1 ⇒ Arj ∈ Kj+2 ⊆ Kk, din (26.12) rezulta < rk, Arj >= 0.Pe de alta parte, din (26.13) rezulta < vk, Arj >= 0. Astfel

< vk+1, Arj >= 0, j ∈ 0, 1, . . . , k − 2.

In final ramane conditia

< vk+1, Ark−1 >=< rk+sk+1vk, Ark−1 >=< rk, Ark−1 > +sk+1 < vk, Ark−1 >= 0.

(26.17)


Din (26.11), rk = rk−1 − tkAvk, rezulta

< rk, rk−1 >= ‖rk−1‖22 − tk < vk, Ark−1 >= 0

sau tk < vk, Ark−1 >= ‖rk−1‖22 6= 0.

Din (26.17) rezulta

sk+1 = −< rk, Ark−1 >

< vk, Ark−1 >. (26.18)

Determinarea coeficientului de descrestere tk+1

Din minimizarea functiei

J(xk + tvk+1) = J(xk) + 2t < Axk − b, vk+1 > +t2 < Avk+1, vk+1 >

se obtine

tk+1 =< b− Axk, vk+1 >

< Avk+1, vk+1 >=

< rk, vk+1 >

< Avk+1, vk+1 >. (26.19)

Expresiile (26.18) si (26.19) pentru calculul parametrilor sk+1 si respectiv tk+1

pot fi simplificate


tk+1 =‖rk‖22

<Avk+1,vk+1>, k = 0, 1, . . . , (26.20)

sk+1 =‖rk‖22‖rk−1‖22

, k = 1, 2, . . . . (26.21)

Demonstratie. Utilizand (26.15)

< vk+1, rk >= ‖rk‖22 + sk+1 < vk, rk >= ‖rk‖2

2.

Formula (26.19) devine (26.20).Din (26.16)

< vk+1, Avk >=< rk, Avk > +sk+1 < vk, Avk >= 0

se obtine

sk+1 = −< rk, Avk >

< vk, Avk >. (26.22)

Din (26.20) se deduce < Avk, vk >=‖rk−1‖22

tk, (k ≥ 1), care utilizat ın (26.22) da

sk+1 = −tk < rk, Avk >

‖rk−1‖22

.


Din rk = rk−1 − tkAvk rezulta ‖rk‖22 = −tk < Avk, rk > si astfel

sk+1 =‖rk‖2

2

‖rk−1‖22

.

Algoritmul metodei gradientului conjugat

Algorithm 20 Metoda Gradientului Conjugat

1: procedure Gradient Conjugat(A, b, x0)2: k ← 03: r0 ← b− Ax0

4: while rk 6= 0 do

5: tk+1 ← ‖rk‖22<Avk+1,vk+1>

6: xk+1 ← xk + tk+1vk+1

7: rk+1 ← rk − tk+1Avk+1

8: sk+2 ← ‖rk+1‖22‖rk‖22

9: vk+2 ← rk+1 + sk+2vk+1

10: k ← k + 111: end while12: end procedure

Complemente

Din teorema 16.2.2, daca matricea A ∈ Mn(R) este simetrica atunci existao matrice ortogonala U ∈ Mn(R) astfel ıncat UTAU = D, astfel ıncat D estematrice diagonala cu valorile proprii ale matricei A.

Fie D = diag(λ1, . . . , λn). Daca ın plus matricea A este si pozitiv definitaatunci valorile proprii sunt nenegative. In acest caz se poate defini matricea

A12 = UD

12UT ,

cu D12 = diag(

√λ1, . . . ,

√λn) (16.2.6).

Matricea A12 este simetrica.

Potrivit teoremei 13.1.12, daca matricea A este strict pozitiv definita atunci‖x‖A =

√< Ax, x > este o norma.

Teorema 26.3.5 Daca A ∈ Mn(R) este o matrice simetrica si strict pozitivdefinita atunci

‖x‖A = ‖A12x‖2.



‖x‖2A =< Ax, x >=< (A

12 )2x, x >=< A

12x,A

12x >= ‖A

12x‖2

2.

Utilizand notatiile de mai sus si ipoteza ca matricea A ∈Mn(R) este simetricasi strict pozitiv definita au loc urmatoarele rezultate:

Teorema 26.3.6 Daca λm = min1≤i≤n λi si λM = max1≤i≤n λi atunci√λm‖x‖A ≤ ‖Ax‖2 ≤

√λM‖x‖A, ∀x ∈ Rn.

Demonstratie. Fie x ∈ Rn, x 6= 0 si U = [u1 . . . un]. Atunci

Ax = UDUTx = [u1 . . . un]

λ1

. . .

λn

uT1

...uTn

x =n∑i=1

λi(uTi x)ui.

Tinand seama de faptul ca vectorii (ui)1≤i≤n sunt ortonormati rezulta ca

‖Ax‖22 =

n∑i=1

λ2i (u

Ti x)2.

Pe de alta parte

‖x‖2A =< Ax, x >=< DUTx, UTx >=

n∑i=1

λi(uTi x)2.

Din ultimele doua relatii rezulta relatia din enunt.

Teorema 26.3.7 Daca Ax∗ = b atunci are loc egalitatea

‖x− x∗‖2A = J(x)+ < Ax∗, x∗ >, ∀x ∈ Rn. (26.23)

Demonstratie.

‖x− x∗‖2A =< A(x− x∗), x− x∗ >=< Ax, x > −2 < Ax∗, x > + < Ax∗, x∗ >=

=< Ax, x > −2 < b, x > + < Ax∗, x∗ >= J(x)+ < Ax∗, x∗ > .


Prin urmare, minimizarea functionalei J este echivalenta cu minimizarea functionaleiF (x) = ‖x− x∗‖2

A, ın orice submultime S ⊆ Rn,

argminx∈SJ(x) = argminx∈SF (x).

Aplicam acest rezultat metodei gradientului conjugat, alegand S = x0 + Kk sir0 = b− Ax0 = Ax∗ − Ax0 = A(x∗ − x0).

Daca y ∈ x0 +Kk atunci are loc reprezentarea

y = x0 +k−1∑i=0

γiAir0 = x0 +

k−1∑i=0

γiAi+1(x∗ − x0), γ0, . . . , γk−1 ∈ R.

RezultaF (y) = ‖x∗ − y‖2

A =

= ‖x∗ − x0 −k−1∑i=0

γiAi+1(x∗ − x0)‖2

A = ‖(I −k−1∑i=0

γiAi+1)(x∗ − x0)‖2

A.

Daca notam P (z) = 1−∑k−1

i=0 γizi+1 atunci relatia anterioara devine

F (y) = ‖P (A)(x∗ − x0)‖2A.

Daca σ(A) = λ1, . . . , λn este spectrul matriceiA, atunci observand caA12P (A) =

P (A)A12 si folosind 26.3.5 rezulta

‖P (A)x‖A = ‖A12P (A)x‖2 = ‖P (A)A

12x‖2 ≤ ‖P (A)‖2‖A

12x‖2 =

= maxλ∈σ(A)

|P (λ)|‖x‖A, ∀ x ∈ S ⊆ Rn.

Deoarece xk = argminx∈x0+KkJ(x) = argminx∈x0+Kk

F (x), din inegalitatea de maisus se obtine

F (xk) = ‖xk − x∗‖2A = min

P∈Pk,P (0)=1‖P (A)(x∗ − x0)‖2

A ≤

≤(

minP∈Pk,P (0)=1

maxλ∈σ(A)

|P (λ)|)2

‖x0 − x∗‖2A.

Regasim din nou

Teorema 26.3.8 Metoda gradientului conjugat determina solutia sistemului liniarde ecuatii liniare ın cel mult n iteratii.

Demonstratie. Alegem P (λ) =∏n

i=1(1 − λλi

), polinom de grad n cu P (0) = 1.Atunci

0 ≤ minP∈Pn,P (0)=1

maxλ∈σ(A)

|P (λ)| ≤ maxλ∈σ(A)

|P (λ)| = 0,

si ın consecinta F (xn) = ‖xn − x∗‖2A = 0.

Capitolul 27

Metode spectrale

Fie X, Y spatii liniare peste corpul R de functii suficient de netede, operatorulA : D(A) ⊆ X → Y si f ∈ Y.

Presupunem ca A este un operator cu o componenta diferentiala sau integrala.Componenta lui A cu operatiile infinitezimale o notam L,

A =

Lexpresii pentru conditii initiale si / sau la limita

.

Uzual, conditiile initiale sau la limita se definesc prin intermediul unor functionaleri : X → R sub forma ri(x) = 0.

Problema luata ın considerare consta ın rezolvarea ecuatiei

A(x) = f. (27.1)

Se presupune ca problema (27.1) admite o solutie care satisface toate cerinctelede netezime cerute de operatorul L sau care apar conditiile initiale sau la limita.

Fie n ∈ N∗ si x0, ϕ1, . . . , ϕn ∈ X functii fixate. Se cauta o aproximatie xn asolutiei ecuatiei (27.1) de forma

xn = x0 +n∑i=1

ciϕi (27.2)

cu c1, . . . , cn ∈ R constante ce urmeaza a fi determinate. De obicei functiilex0, ϕ1, . . . , ϕn se aleg astfel ıncat xn sa ındeplineasca conditiile initiale si / sauconditiile la limita.

Modul de determinare ale constantelor (ci)1≤i≤n determina metoda.

607

608 CAPITOLUL 27. METODE SPECTRALE

Primele exemplificari se vor referi la problema bilocala1:

x+ x+ 2t(1− t) = 0 t ∈ [0, 1] (27.3)

x(0) = x(1) = 0 (27.4)

Solutia generala a ecuatiei (27.3) este

x(t) = C1 cos t+ C2 sin t+ 2(−2− t+ t2),

iar solutia problemei bilocale este

x(t) = 4 cos t+ 4(csc 1− cot 1) sin t+ 2(−2− t+ t2).

In acest caz X = C2[0, 1], Y = C[0, 1]× R2,

A(x) =

x+ x+ 2t(1− t) (= L(x))x(0)x(1)

si f =

0 (= f)00

.

Ecuatia (27.3) reprezinta ecuatia Euler-Lagrange ın cadrul problemei variationale

J(x) =∫ 1

0

(−1

2x2 − txx+ (2

3t3 − t2)x

)dt− > max (27.5)

x(0) = x(1) = 0

Intr-adevar, daca F (t, x, x) = − 12x2 − txx+ ( 2

3t3 − t2)x atunci ecuatia Euler-Lagrange este

0 =∂F

∂x−

d

dt

∂F

∂x= x+ x+ 2t(1− t).

In plus J ′(x)(h) =∫ 10 (x+ x+ 2t(1− t))dt, cu h ∈ C2[0, 1], h(0) = h(1) = 0.

Observatie.

J ′′(x)(h)(h) =

∫ 1

0(h2(t)− h2(t))dt ≤ −

1

2

∫ 1

0h2(t)dt,

ın urma aplicarii inegalitatii lui Cauchy ın

h(t) =

∫ t

0h(s)ds⇒

∫ 1

0h2(t)dt ≤

∫ 1

0tdt

∫ 1

0h2(s)ds =

1

2

∫ 1

0h2(s)ds.

Astfel functia care satisface ecuatia Euler-Lagrange maximizeaza functionala J.

Are loc limn→∞ J(sinnπt) = −∞.

1Zhan Y., Ma N., Galerkin Method,http://www.sd.rub.de/downloads/Galerkin_method.pdf.

http://www.sd.rub.de/downloads/Galerkin_method.pdf

http://www.sd.rub.de/downloads/Galerkin_method.pdf

27.1. METODA GALERKIN 609

27.1 Metoda Galerkin

Fie I ⊂ R un interval iar X un subspatiu al lui C(I). Produsul scalar a douafunctii continue ın I este

< x, y >=

∫I

ρ(t)x(t)y(t)dt,

unde ρ(t) este o functie pondere.Potrivit metodei lui Gelerkin constantele (ci)1≤i≤n se determina din conditiile

< Lxn − f , ϕi >= 0, i ∈ 1, 2, . . . , n,

ceea ce revine la un sistem algebric de ecuatii. Prin f s-a notat componenta luif corespunzatoare lui L. Daca L este un operator liniar atunci sistemul algebricva fi liniar.

Exemplul 27.1.1

Pentru ρ(t) = 1 si n = 3 se aleg x0 = 0, ϕk(t) = tk(1− t)k, k ∈ 1, 2, 3. Atunci 2

x3 = c1t(1− t) + c2t2(1− t)2 + c3t

3(1− t)3,

siL(x3)− f = −2c1 + 2c2 + (2 + c1 − 12c2 + 6c3)t+

+(−2− c1 + 13c2 − 36c3)t2 + (−2c2 + 61c3)t3 + (c2 − 33c3)t4 + 3c3t5 − c3t

6.

Sistemul algebric de ecuatii liniare este

< Lx3 − f , ϕ1 > =1

15− 3

10c1 −

5

84c2 −

4

315c3 = 0

< Lx3 − f , ϕ2 > =1

70− 5

84c1 −

11

630c2 −

61

13860c3 = 0

< Lx3 − f , ϕ3 > =1

315− 4

315c1 −

61

13860c2 −

73

60060c3 = 0

cu solutia

c1 =1370

7397c2 =

50688

273689c3 =

132

21053.

Are loc evaluarea ∫ 1

0

(x(t)− x3(t))2dt ≈ 1.03477 · 10−17.

2Calculele se pot efectua utilizand un produs de calcul simbolic (Computer Algebra).


27.2 Metoda Tau

Consideram din nou problema (27.1) ın ipoteza ca operatorul L si functionaleleri sunt liniare. Fie ϕ0(t), ϕ1(t), . . . o baza ın spatiul polinoamelor cu coeficientireali P, cu ϕn ∈ Pn, ∀n ∈ N.

Solutia aproximativa a problemei (27.1) se va determina sub forma

u(t) =n∑i=0

uiϕi(t). (27.6)

Coeficientii ui vor rezulta prin rezolvarea unui sistem algebric de ecuatii liniare.

In cele ce urmeaza vom scrie vectori si matrice cu numar infinit de elemente,respectiv linii si coloane. Punand ui = 0 pentru i > n solutia aproximativa se vascrie

u(t) =∞∑i=0

uiϕi(t).

Calculele, ınmultiri de matrice, produs de matrice cu vector, vor presupune defiecare data sume finite de termeni. Notam

ϕ(t) =

ϕ0(t)ϕ1(t)ϕ2(t)

...

, I =

1 0 0 . . .0 1 00 0 1...

si introducem matricele µ si η astfel ıncat

tϕ(t) = µϕ(t), (27.7)

d

dxϕ(t) = ηϕ(t). (27.8)

Exemplul 27.2.1

Daca

ϕ(t) =

1tt2

...

(27.9)

27.2. METODA TAU 611

atunci

µ =

0 1 0 0 . . .0 0 1 00 0 0 1...

si η =

0 0 0 0 . . .1 0 0 00 2 0 00 0 3 0...

Egalitatile (27.7) si (27.8) se verifica imediat.

Exemplul 27.2.2

ϕ(t) =

T0(tT1(t)T2(t)

...

(27.10)

unde Ti(t) sunt polinoamele lui Cebısev.Relatiile (10.1.1)

tT0(t) = T1(t)

2tTi(t) = Ti+1(t) + Ti−1(t)

implica

µ =

0 1 0 0 . . .12

0 12

00 1

20 1

2...

.

Deoarece ddtTn(t) ∈ Pn−1 are loc o relatie de forma

d

dtTn(t) =

n−1∑k=0

ckTk(t)

si potrivit formulei (10.1)

ck =1

αkπ

∫ 1

−1

ddtTn(t)Tk(t)√

1− t2dt, k ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

Coeficientii αk sunt definiti ın Teorema 10.1.1.Efectuand calculele la fel cu cel dezvoltat ın 10.2 se obtine

ck =n

2αk(1− (−1)n−k), k ∈ 0, 1, . . . , n− 1.


Rezulta

η =

0 0 0 0 . . .1 0 0 00 4 0 03 0 6 0...

.

Exemplul 27.2.3

Extindem cazul exemplificat anterior. Pornind de la sirul de polinoame ortogonale

Q−1 = 0, Q0 = 1, Q1(t) = t, Q2(t), . . .

ın intervalul I ⊆ R cu ponderea ρ : I → (0,∞), alegem

ϕ(t) =

Q0(tQ1(t)Q2(t)

...

(27.11)

Are loc formula celor trei termeni (Teorema 5.7.2, (5.21))

tQk(t) = αkQk+1(t) + βkQk(t) + γkQk−1(t). k ≥ 1. (27.12)

Rezulta imediat

µ =

0 1 0 0 . . .γ1 β1 α1 00 γ2 β2 α2...

.

Ne propunem sa determinam matricea

η =

0 0 0 0 . . .η1,0 0 0 0η2,0 η2,1 0 0η3,0 η3,1 η3,2 0

...

.

pentru care are loc egalitatea (27.8), adica

Q′k(t) =k−1∑j=0

ηk,jQj(t), ∀ k ∈ N. (27.13)


Derivand (27.12) se obtine

tQ′k(t) +Qk(t) = αkQ′k+1(t) + βkQ

′k(t) + γkQ

′k−1(t)

si utilizand (27.13) rezulta

k−1∑j=0

ηk,j(tQj(t)) +Qk(t) =

= αk

k∑j=0

ηk+1,jQj(t) + βk

k−1∑j=0

ηk,jQj(t) + γk

k−2∑j=0

ηk−1,jQj(t)

In membrul drept aplicand formula celor trei termeni se obtine

k−1∑j=0

ηk,j(αjQj+1(t) + βjQj(t) + γjQj−1(t)) +Qk(t) =

= αk

k∑j=0

ηk+1,jQj(t) + βk

k−1∑j=0

ηk,jQj(t) + γk

k−2∑j=0

ηk−1,jQj(t)

Identificam coeficientii polinoamelor Qj(t)

• Coeficientul lui Q0(t)

β0ηk,0 + γ1ηk,1 = αkηk+1,0 + βkηk,0 + γkηk−1,0

de unde

ηk+1,0 =1

αk((β0 − βk)ηk,0 + γ1ηk,1 − γkηk−1,0) , k ∈ 1, . . . , n− 1.

Din formula celor trei termeni, pentru k = 0 avem t = tQ0(t) = α0Q1(t)+β0,si ın urma derivarii rezulta Q′1(t) = 1

α0, adica η1,0 = 1

α0.

• Coeficientul lui Qj(t)

Pentru j ∈ 1, . . . , k − 1 egalitatea coeficientilor este

αj−1ηk,j−1 + βjηk,j + γj+1ηk.j+1 = αkηk+1,j + βkηk,j + γkηk−1,j

de unde

ηk+1,j =1

αk((βj − βk)ηk,j + αj−1ηk,j−1 + γj+1ηk.j+1 − γkηk−1,j) .


Pentru j = k se gaseste

αk−1ηk,k−1 + 1 = αkηk+1,k

de unde

ηk+1,k =1

αk(αk−1ηk,k−1 + 1) .

Prin inductie rezulta ηk+1,k = k+1αk, k ∈ 0, 1, . . . , n− 1.


tnϕ(t) = µnϕ(t), (27.14)

dn

dtnϕ(t) = ηnϕ(t). (27.15)

Demonstratie. Inductie dupa n. Observand ca matricele µ si η sunt constante,ın ipoteza ca are loc (27.14) au loc egalitatile

tn+1ϕ(t) = t(tnϕ(t)) = t(µnϕ(t)) = µn(tϕ(t)) = µnµϕ(t) = µn+1ϕ(t).

Asemanator

dn+1

dtn+1ϕ(t) =

d

dt

(dn

dtnϕ(t)

)=

d

dtηnϕ(t) = ηn

d

dtϕ(t) = ηnηϕ(t) = ηn+1ϕ(t).

Fie

u =

u0

u1...un0...

si u(t) =

n∑i=0

uiϕi(t) =∞∑i=0

uiϕi(t) = uTϕ(t).


tu(t) = uTµϕ(t), (27.16)

du(t)

dt= uTηϕ(t). (27.17)


Demonstratie. Au loc identitatile

tu(t) = tuTϕ(t) = uT tϕ(t) = uTµϕ(t)

sidu(t)

dt=

duTϕ(t)

dt= uT

dϕ(t)

dt= uTηϕ(t).

O consecinta este


tnu(t) = uTµnϕ(t), (27.18)

dnu(t)

dtn= uTηnϕ(t). (27.19)

Demonstratie. Inductie dupa n.

Daca Q(t) =∑m

i=0 qiti este un polinim atunci Q(µ) este matricea Q(µ) =∑m

i=0 qiµi.

Teorema 27.2.4 Are loc formula Q(t)ϕ(t) = Q(µ)ϕ(t).

Demonstratie. Utilizand Teorema 27.2.3 au loc egalitatile

Q(t)ϕ(t) =

(m∑i=0

qiti

)ϕ(x) =

m∑i=0

qi(tiϕ(t)) =

m∑i=0

qiµiϕ(t) = Q(µ)ϕ(t).

Teorema 27.2.5 Daca sunt date

• polinomul Q(t) =∑m

i=0 qiϕi(t) = qTϕ(t), unde qT = (q0, q1, . . . , qm, 0, . . .);

• polinoamele pi(t) =∑ri

j=0 pi,jtj, i ∈ 1, 2, . . . , n;

• operatorul diferential

D =n∑i=1

pi(t)di

dti

atunci are loc egalitatea

DQ(t) = qT

(n∑i=1

ηipi(µ)

)ϕ(t).


Demonstratie. Vom tine seama de faptul ca q este constanta si ca pi(t) suntscalari. Aplicand Teorema 27.2.1 se obtine

DQ(t) =n∑i=1

pi(t)diQ(t)

dti=

n∑i=1

pi(t)diqTϕ(t)

dti=

n∑i=1

pi(t)qT diϕ(t)

dti=

= qTn∑i=1

pi(t)ηiϕ(t) = qT

n∑i=1

ηipi(t)ϕ(t).

Potrivit Teoremei 27.2.4, pi(t)ϕ = pi(µ)ϕ(t) si ın final

DQ(t) = qTn∑i=1

ηipi(µ)ϕ.

Detaliem deducerea sistemului algebric de ecuatii liniare pentru rezolvareaproblemei (27.3)-(27.4).

Vom utiliza baza canonica ın spatiul liniar al polinoamelor P, (27.9). Fievectorul cT = (0, 2,−2, 0, . . .). Atunci 2t(1− t) = cTϕ(t).

Daca aproximatia solutiei este u(t) = uTϕ(t), uT = (u0, u1, . . . , un−1, 0, . . .)atunci

u′′(t) + u(t) + 2t(1− t) =

=d2uTϕ(t)

dt2+ uTϕ(t) + cTϕ(t) =

(uT (η2 + I) + cT

)ϕ(t). (27.20)

Impunem cerintauT (η2 + I) + cT = 0. (27.21)

Conditiile la limita devin

u(0) = uTϕ(0) = u0 = 0 (27.22)

u(1) = uTϕ(1) =n−1∑i=0

ui = 0 (27.23)

Fixam parametrul n ∈ N. Solutia numerica u(t) este determinata de coeficientiiu0, u1, . . . , un−1, adica de n parametrii. Matricea η va fi restrictionata la primele nlinii si coloane, matrice pe care o notam ηn si definim matricea M = η2

n+In, M =(mi,j)0≤i,j≤n−1. La fel se restrictioneaza vectorul c la primele n elemente. Cerinta(27.21) se reduce la

n−1∑i=0

mi,jui + cj = 0, j ∈ 0, 1, . . . , n− 1. (27.24)

27.3. METODA COLOCATIILOR 617

Ansamblul format de ecuatiile algebrice liniare (27.24), (27.22), (27.23) formeazaun sistem algebric de n+ 2 ecuatii liniare cu n necunoscute. Eliminand ecuatiiledin (27.24) pentru j = n− 2, n− 1 se obtine sistemul care se va rezolva.

Alegand polinoamele Cebısev ca baza a spatiul polinoamelor punem ın evidentadoar modificarile fata de cazul tratat mai sus.

• Deoarece 2t(1− t) = −T0(t) + 2T1(t)− T2(t) se pune cT = (−1, 2, 1, 0, . . .)si atunci 2t(1− t) = cTϕ(t).

• Conditiile la limita devin

u(0) =n−1∑j=0

ujTj(0) =n−1∑j=0

uj cosjπ

2= 0;

u(1) =n−1∑j=0

ujTj(1) =n−1∑j=0

uj = 0

27.3 Metoda colocatiilor

27.3.1 Varianta globala

Cu notatiile introduse anterior, fie t1 < t2 < . . . < tn puncte din I. Constan-tele (ci)1≤i≤n se determina din conditiile

(L(xn)− f)(ti) = 0, i ∈ 1, 2, . . . , n,

ce determina de asemenea un sistem algebric de ecuatii.

Exemplul 27.3.1

Pentru n = 3, x0 = 0, ϕk(t) = tk(1− t)k, k ∈ 1, 2, 3, x3 = c1t(1− t) + c2t2(1−

t)2 + c3t3(1− t)3 si

t1 =1

5t2 =

1

2t3 =

7

10se obtine sistemul algebric de ecuatii liniare

(L(x3)− f)(t1) =8

25− 46

25c1 +

66

625c2 +

3064

15625c3 = 0

(L(x3)− f)(t2) =1

2− 7

4c1 −

15

16c2 −

23

64c3 = 0

(L(x3)− f)(t3) =21

50− 179

100c1 −

4759

10000c2 −

53739

1000000c3 = 0


cu solutia

c1 =587684

3173019c2 =

587600

3173019c3 =

20000

3173019.

Are loc evaluarea ∫ 1

0

(x(t)− x3(t))2dt ≈ 1.81048 · 10−14.

Teoria dezvoltata pentru metoda Tau se poate aplica la generarea sistemuluialgebric de ecuatii pentru metoda colocatiilor. Exemplificam ın cazul problemei(27.3)-(27.4).

Alegem din nou baza canonica ın spatiul liniar al polinoamelor P, (27.9). Fien ∈ N si reteaua de noduri 0 < t1 < . . . < tn−1 < 1. Pornind de la relatia (27.20)conditiile corespunzatoare metodei colocatiilor sunt

(uT (η2 + I) + cT )ϕ(ti) = 0, i ∈ 1, 2, . . . , n− 1. (27.25)

Reducand la dimensiunea n relatiile de mai sus devin

((u0 u1 . . . un−1)M + (c0 c1 . . . cn−1))

1ti...

tn−1i

= 0, i ∈ 1, 2, . . . , n− 1.

saun−1∑k=0

uk

(n−1∑j=0

mk,jtji

)+

n−1∑j=0

cjtji = 0, i ∈ 1, 2, . . . , n− 1.

Sistemul algebric de ecuatii liniare se formeaza din aceste ecuatii la care se adaugaconditiile la limita date de (27.22) si (27.23).

Exemplul 27.3.2 [29] Sa se rezolve problema bilocala

−x′′(t) + q(t)x(t) = f(t) t ∈ R,limt→±∞ x(t) = 0

Pentru satisfacerea conditiilor la limita alegem solutia aproximativa de forma

um(t) =M∑

k=−M

uksincπ(t− kh)

h,

27.3. METODA COLOCATIILOR 619

unde h > 0 si fie m = 2M + 1. In acest caz ukdef= um(kh) ≈ x(kh), ∀k ∈

−M,−M + 1, . . . ,M.Daca se noteaza tj = jh atunci conditiile de colocatie sunt

−u′′m(tj) + q(tj)um(tj) = f(tj), j ∈ −M,−M + 1, . . . ,M.

Daca ϕ(t) = sinc(t) atunci ϕ′′(t) = −t2 sin t−2t cos t+2 sin tt3

si ın consecinta

limt→0

ϕ′′(t) = −1

3

d2sincπ(t−kh)h

dt2=

(πh

)2

ϕ′′(t)|t=

π(t−kh)h

Pentru t = tj = jh se obtin

d2sincπ(t−kh)h

dt2|t=jh =

− π2

3h2daca j = k

−2(−1)j−k

(j−k)2h2daca j 6= k

.

Conditiile de colocatie devin(q(tj) +

π2

3h2

)uj +

M∑k=−M,k 6=j

2(−1)j−k

(j − k)2h2uk = f(tj), j ∈ −M,−M + 1, . . . ,M,

adica un sistem algebric de m ecuatii liniare cu m necunoscute.Caz particular: q(t) = 1 si f(t) = 2

cosh3 t.

Solutia generala a ecuatiei diferentiale este

x(t) = −2e−t(1 + e2t + e4t)

1 + e2t+ C1e

t + C2e−t =

(C2 − 2)e−t + (C1 + C2 − 2)et + (C1 − 2)e3t

1 + e2t.

Conditiile la limita au loc daca C1 = C2 = 2 si solutia problemei bilocale este x(t) = 2et

1+e2t.

27.3.2 Varianta locala - de tip Runge-Kutta implicita

Se considera problema cu valori initialex(t)− f(t, x(t)) = 0, t ∈ [0, T ]x(0) = x0 .

In acest caz, I = [0, T ], operatorul A : C1(I)→ C(I)× R este definit

A(x) =

x(t)− f(t, x(t)), t ∈ [0, T ]x(0)

si f =

0, t ∈ [0, T ]x0 .


Fie n ∈ N∗, h = Tn. Metoda numerica urmareste determinarea sirului uh =

(u0, u1, . . . , un), unde ui este o aproximatie pentru x(ti), ti = ih.Presupunem ca ui este calculat. Daca t = ti + sh, y(s) = x(ti + sh) = x(t)

atuncidy(s)

ds=

dx(t)

dt

dt

ds= hf(t, x(t)) = hf(ti + sh, y(s)).

Fie 0 < α1 < α2 < . . . < αm ≤ 1. Metoda colocatiilor impune conditiile

dy(αj)

ds=

dy(s)

ds

∣∣∣∣s=αj

= f(ti + αjh, y(αj), j ∈ 1, 2, . . . ,m. (27.26)

Se aproximeaza

dy(s)

ds≈ L(Pm−1;α1, . . . , αm;φ)(s) (27.27)

unde φ(s) = hf(ti + sh, y(s)). Are loc egalitatea

L(Pm−1;α1, . . . , αm;φ)(s) = hm∑j=1

f(ti + αjh, y(αj))lj(s),

unde lj(s), j ∈ 1, 2, . . . ,m sunt polinoamele Lagrange fundamentale.Din (27.27) rezulta

y(αk)− y(0) ≈ hm∑j=1

f(ti + αjh, y(αj))

∫ αk

0

lj(σ)dσ, (27.28)

y(1)− y(0) ≈ hm∑j=1


∫ 1

0

lj(σ)dσ. (27.29)

Deoarece ui+1 − ui ≈ x(ti+1)− x(ti) = x(ti + h)− x(ti) = y(1)− y(0) schema decalcul va fi

ui+1−uih−∑m

j=1 f(ti + αjh, y(αj))∫ 1

0lj(σ)dσ, i ∈ 0, 1, . . . ,m− 1

u0 = x0 .

Notand

pj =

∫ 1

0

lj(σ)dσ

βk,j =

∫ αk

0

lj(σ)dσ

kj(h) = f(ti + αjh, y(αj))

27.4. METODA LUI RITZ 621

din (27.29) si respectiv (27.28), rezulta relatiile specifice unei metode Runge-Kutta implicita

Fm(h, ti, ui; f) =m∑j=1

pjkj(h) =m∑j=1


∫ 1

0

lj(σ)dσ

kj(h) = f(ti + αjh, y(αj)) =

= f(ti + αjh, ui + h

m∑l=1

f(ti + αlh, y(αl))

∫ αj

0

ll(σ)dσ) =

= f(ti + αjh, ui + hm∑l=1

βj,lkl(h)). (27.30)

27.4 Metoda lui Ritz

Fie problema de optimizare

J(x)→ min (27.31)

unde J : D(J) ⊆ X → R este o functionala. Utilizand notatiile introduse ante-rior, metoda lui Ritz consta ın determinarea unei aproximatii a solutiei problemeide optimizare de forma (27.2)

xn = x0 +n∑i=1

ciϕi

care sa satisfaca restrictiile problemei de optimizare.

Exemplul 27.4.1

Se cauta o solutie a problemei variationale (27.5) de forma

x3 = c1t(1− t) + c2t2(1− t)2 + c3t

3(1− t)3.

Rezulta

J(x3) =1

15c1 −

3

20c2

1 +1

70c2 −

5

84c1c2 −

11

1260c2

2 +1

315c3−

− 4

315c1c3 −

61

13860c2c3 −

73

120120c2

3.

Sistemul ∂J∂c1

= 0, ∂J∂c2

= 0, ∂J∂c3

= 0 coincide cu sistemul din Exemplul 27.1.1.

Valoarea functionalei J pe solutia obtinuta este 21571728737345

≈ 0.0075065.

Capitolul 28

Ecuatii liniare prin formebiliniare

28.1 Forma biliniara generata de o ecuatie liniara

Fie

• H un spatiu Hilbert real;

• D(A) ⊆ V ⊆ H subspatii liniare al spatiului H.

• operatorul liniar A : D(A) → V ∗ (V ⊆ H ⇒ V ∗ ⊇ H∗). V ∗ desemneazaspatiul normat al functionalelor liniare si continue definite ın V ;

• f ∈ V ∗.Problema consta ın rezolvarea ecuatiei

A(u) = f (28.1)

Se introduce functionala biliniara prin

a(u, x) = A(u)(x), x ∈ V. (28.2)

In membrul drept se impune u ∈ D(A), dar ın urma unor calcule, de exempluo integrare prin parti, u care apare ın a poate apartine unei multimi mai largi.Presupunem ca a : V × V → R.

In locul ecuatiei (28.1) se va considera ecuatia

a(u, x) = f(x), ∀x ∈ V. (28.3)

Solutia ecuatiei (28.3) se numeste solutie slaba pentru ecuatia (28.1).Pentru functionala a se introduc proprietatile:

623

624 CAPITOLUL 28. ECUATII LINIARE PRIN FORME BILINIARE

•∃ M > 0 astfel ıncat |a(x, y)| ≤M‖x‖V ‖y‖V , ∀x, y ∈ V (28.4)

(proprietatea de marginire, continuitate);

•∃ m > 0 astfel ıncat |a(x, x)| ≥ m‖x‖2

V , ∀x ∈ V (28.5)

(proprietatea de coercitivitate).

Se observa inegalitatea m ≤M.

Spatii de functii

Fie I = (α, β) un interval deschis si marginit din R.1

Definitia 28.1.1 Supportul unei functii x : I → R este multimea

supp(x) = x ∈ I : x(t) 6= 0.

Exemplul 28.1.1

Fie α > 0. Suportul functiei

eα(t) =

e− α2

α2−t2 daca |t| < α0 daca |t| ≥ α

este multimea [−α, α].

Definitia 28.1.2 Multimea functiilor de proba C∞0 (I) este formata din functiiindefinit derivabile cu suportul inclus ın I.

• L2(I)2 este spatiu Hilbert cu

∀u, v ∈ L2(I) < u, v >L2(I)=

∫I

uvdt

∀u ∈ L2(I) ‖u‖2L2(I) =

∫I

u2dt

1Pentru simplitate ne limitam la cazul unidimensional.2un element din L2(I) este o clasa de echivalenta corespunzatoare relatiei de echivalenta

v = u a.p.t. ın I.

28.1. FORMA BILINIARA GENERATA DE O ECUATIE LINIARA 625

Definitia 28.1.3 Fie x ∈ L2(I). O functie y ∈ L2(I) este derivata generalizatade ordin n a lui x daca∫

I

x(t)ϕ(n)(t)dt = (−1)n∫I

y(t)ϕ(t)dt, ∀ ϕ ∈ C∞0 (I).

Exemplul 28.1.2

Deoarece ∫ 1

−1

|t|ϕ′(t)dt = −∫ 1

−1

sign (t)ϕ(t)dt, ∀ ϕ ∈ C∞0 (−1, 1)

derivata generalizata a functiei x(t) = |t| ın intervalul (0, 1) este functia y(t) =sign (t).

Se verifica usor ca daca u′′ este derivata generalizata de ordinul doi a lui u ınintervalul I atunci u′′ este derivata generalizata a lui u′ ın I. Au loc relatiile∫

I

uϕ′′ =

∫I

u′′ϕ si

∫I

uϕ′ = −∫I

u′ϕ, ∀ϕ ∈ C∞0 (I).

Daca ın a doua egalitate se ia ϕ := ψ′ atunci∫I

u′′ψ =

∫I

uψ′′ = −∫I

u′ψ′.

• H1(I) = u ∈ L2(I) : u′ ∈ L2(I),∫I(u2 + u′2)dt <∞

Derivata u′ este considerata ın sens generalizat.

∀u, v ∈ H1(I) < u, v >H1(I)=

∫I

(uv + u′v′)dt

∀u ∈ H1(I) ‖u‖2H1(I) =

∫I

(u2 + u′2)dt = ‖u‖2L2(I) + ‖u′‖2

L2(I).

H1(I) este spatiu Hilbert relativ la produsul scalar definit anterior.

• H10 (I) = C∞0 (I) = u ∈ H1(I) : u|∂I = 0,

unde ınchiderea este ın sensul normei dinH1(I), iar sensul egalitatii u|∂I = 0este t ∈ ∂I ⇒ limτ→t, τ∈I u(τ) = 0.

Teorema 28.1.1 (Inegalitatea Friedrichs-Poincare) Are loc inegalitatea

‖u‖L2(I) ≤ (β − α)‖u′‖L2(I), ∀ u ∈ H10 (I).


Demonstratie. Pentru o functie derivabila ϕ are loc egalitatea

ϕ(t) = ϕ(α) +

∫ t

α

ϕ′(s)ds

ın urma ridicarii la patrat au loc inegalitatile

ϕ2(t) ≤ 2

(ϕ2(α) +

(∫ t

α

ϕ′(s)ds

)2)≤

≤ 2

(ϕ2(α) +

(∫ t

α

12ds

)(∫ t

α

ϕ′2(s)ds

))≤

≤ 2

(ϕ2(α) + (t− α)

(∫ β

α

ϕ′2(s)ds

))Integrand pe I se obtine∫

I

v2(t)dt ≤ 2

((β − α)ϕ2(α) +

(β − α)2

2

∫I

ϕ′2(s)ds

).

Daca ϕ(α) = 0 atunci inegalitatea anterioara devine

‖ϕ‖L2(I) ≤ (β − α)‖ϕ′‖L2(I).

Daca u ∈ H1(I) atunci exista sirul (ϕk)k∈N astfel ıncat ϕk ∈ C∞0 (I) si

limk→∞‖ϕk − u‖H1(I) = 0 ⇔ lim

k→∞

√‖ϕk − u‖2

L2(I) + ‖ϕ′k − u′‖2L2(I) = 0.

Atunci limk→∞ ‖ϕk − u‖L2(I) = 0 si limk→∞ ‖ϕ′k − u′‖L2(I) = 0. Inegalitatea|‖a‖ − ‖b‖| ≤ ‖a− b‖ implica

limk→∞‖ϕk‖L2(I) = ‖u‖L2(I),

limk→∞‖ϕ′k‖L2(I) = ‖u′‖L2(I).

Pentru k → ∞ ın inegalitatea ‖ϕk‖L2(I) ≤ (β − α)‖ϕ′k‖L2(I) se obtine‖u‖L2(I) ≤ (β − α)‖u′‖L2(I).

Daca u ∈ H10 (I) atunci

‖u‖2H1(I) ≤

(1 + (β − α)2

)‖u′‖2

L2(I). (28.6)


In H10 (I) o norma este

‖u‖H10 (I) = ‖u′‖L2(I) =

(∫I

u′2dt

) 12

.

Aceasta norma este echivalenta cu norma din H1(I), pentru orice u ∈ H10 (I)

au loc relatiile

1√1 + (β − α)2

‖u‖H1(I) ≤ ‖u‖H10 (I) ≤ ‖u‖H1(I).

• Hk(I) = u ∈ L2(I) : u(j) ∈ L2(I), 1 ≤ j ≤ k,∫I(u2 +

∑kj=1(u(j))2dt <∞

Toate derivatele sunt considerate ın sens generalizat.

∀u, v ∈ Hk(I) < u, v >Hk(I)=

∫I

(uv +k∑j=1

u(j)v(j))dt

∀u ∈ Hk(I) ‖u‖2Hk(I) = ‖u‖2

L2(I) +k∑j=1

‖u(j)‖2L2(I).

• Hk0 (I) = u ∈ Hk(I) : u|∂I = u′|∂I = . . . = u(k−1)|∂I = 0.

H1(I), H10 (I), Hk(I), Hk

0 (I) sunt denumite spatii Sobolev.Mentionam urmatorul rezultat, [6]:

Teorema 28.1.2 Pentru orice u ∈ H1(I) exista o functie u ∈ C(I) astfel ıncat

u = u a.p.t. ın I

u(t1)− u(t2) =∫ t1t2u′(t)dt.

u este denumit reprezentantul continuu al lui u. Nu se face distinctie ıntre u si u.O consecinta a teoremei 28.1.2 este

Teorema 28.1.3 Pentru orice u ∈ H2(I) exista o functie u ∈ C1(I) astfel ıncat

u′ = u′ a.p.t. ın I

u(t) = u(t0) + u′(t0)(t− t0) +∫ tt0u′′(s)(t− s)ds.


Demonstratie. Deoarece u′′ este derivata generalizata a lui u′ exista o functiecontinua u astfel ıncat u = u′ a.p.t ın I si

u(t)− u(t0) =

∫ t

t0

u′′(s)ds. (28.7)

Fie u(t) = u(t0) +∫ tt0u(s)ds ⇔ u′ = u. Relatia (28.7) se scrie

u′(t)− u′(t0) =

∫ t

t0

u′′(s)ds.

Integrand se obtine

u(t)− u(t0)− u′(t0)(t− t0) =

∫ t

t0

(∫ τ

t0

u′′(s)ds

)dτ =

∫ t

t0

u′′(s)(t− s)ds.

Probleme unidimensionale

Fie I = (α, β), H = L2(I) si functiile

• p ∈ C1(I) astfel ıncat p(t) ≥ p0 > 0, ∀t ∈ I;

• r ∈ C1(I) astfel ıncat r(t) ≥ 0, ∀t ∈ I;

• f ∈ L2(I).

1. Problema Dirichlet− d

dt(p(t)u′) + r(t)u = f(t), t ∈ I,

u(α) = u(β) = 0(28.8)

Fie V = H10 (I) si operatorul A definit prin

A(u) = − d

dt(p(t)u′) + r(t)u, u ∈ D(A) = C2(I). (28.9)

Fie u o functie de doua ori derivabila care satisface conditiile la limita,u(α) = u(β) = 0. Atunci

A(u)(x) =

∫I

A(u)xdt =

∫I

(− d

dt(p(t)u′) + r(t)u

)xdt.


In urma unei integrari prin parti se obtine functionala a :

a(u, x) =

∫I

(p(t)u′x′ + r(t)ux)dt. (28.10)

In (28.10) este suficienta conditia de netezime u ∈ V. Astfel functionala aeste biliniara si simetrica, a(u, x) = a(x, u), ∀u, x ∈ V.Verificarea conditiei de

• marginire

|a(u, x)| ≤ max‖p‖C(I), ‖r‖C(I)∫I

(|u| |x|+ |u′| |x′|)dt ≤

≤M

∫I

√u2 + u′2

√x2 + x′2dt ≤

≤M

√∫I

(u2 + u′2)dt

√∫I

(x2 + x′2)dt = M‖u‖H1(I)‖x‖H1(I),

unde s-a notat M = max‖p‖C(I), ‖r‖C(I).• coercitivitate

Utilizand (28.6)

a(u, u) ≥ p0

∫I

u′2dt = p0‖u′‖2L2(I) ≥

p0

1 + (β − α)2‖u‖2

H1(I).

Solutia slaba a problemei (28.34) este data de formularea slaba:∫I

(p(t)u′x′ + r(t)ux)dt =

∫I

f(t)xdt, ∀ x ∈ H10 (I).

2. Problema Neumann− d

dt(p(t)u′) + r(t)u = f(t), t ∈ I,u′(α) = u′(β) = 0

Analog, fie V = H1(I) si operatorul A va fi dat de (28.9). Deoarece u′(α) =u′(β) = 0, analog cu cazul precedent, rezulta

a(u, x) =

∫I

A(u)xdt =

∫I

(p(t)u′x′ + r(t)ux)dt.


28.1.1 Teoreme de existenta

Problematica acestei sectiuni se refera la existenta unei solutii a ecuatiei (28.1)sau (28.3).

Se pun ın evidenta doua cazuri dupa cum functionala a este simetrica sau nu.

Cazul simetric

Teorema 28.1.4 Daca

• V spatiu liniar;

• a : V × V → R este o functionala biliniara, simetrica si coercitiva

atunci (u, v) 7→ a(u, v) defineste un produs scalar ın V.

Teorema 28.1.5 Daca

• V spatiu liniar;

• a : V × V → R este o functionala biliniara, simetrica si coercitiva;

• f ∈ V ∗

atunci exisa un singur u ∈ V astfel ıncat a(u, x) = f(x), ∀x ∈ V.

Demonstratie. Deoarece a(u, v) este produs scalar ın V , potrivit Teoremeilui Riesz, exista un sigur u ∈ V astfel ıncat functionala f are reprezentareaf(x) = a(u, x), ∀x ∈ V.

Cazul nesimetric

Teorema 28.1.6 (Lax-Milgram) Daca

• V spatiu Hilbert;

• a : V × V → R o forma biliniara, marginita (28.4) si coercitiva (28.5);

• f ∈ V ∗,

atunci exista un singur u ∈ V astfel ıncat a(u, x) = f(x), ∀ x ∈ V.


Demonstratie. Operatorul A : V → V ∗ definit prin A(u)(x) = a(u, x) esteliniar si continuu. A(u) ∈ V ∗ si potrivit Teoremei lui Riesz va exista un elementτ(A(u)) ∈ V astfel ıncat A(u)(x) =< x, τ(A(u)) > si ‖τ(A(u))‖ = ‖A(u)‖, undeτ ∈ (V ∗, V )∗ este bijectia indusa de Teorema lui Riesz.

Ecuatia a(u, x) = f(x), ∀x ∈ V este echivalenta cu ecuatiile

A(u)(x) = f(x), ∀x ∈ V< x, τ(A(u)) > = < x, τ(f) >, ∀x ∈ V

τ(A(u)) = τ(f). (28.11)

Existenta si unicitatea solutiei ecuatiei (28.11) va rezulta din Teorema de punctfix a lui Banach aplicata operatorului T : V → V, definit prin

T (u) = u− ρ (τ(A(u))− τ(f)) ,

unde ρ este un parametru real care se va preciza astfel ıncat T sa fie contractie.Fie u1, u2 ∈ V si u = u1 − u2. Au loc egalitatile

‖T (u1)− T (u2)‖2 = ‖u− ρτ(A(u))‖2 =< u− ρτ(A(u)), u− ρτ(A(u)) >=

= ‖u‖2 − ρ < τ(A(u)), u > −ρ < u, τ(A(u)) > +ρ2 < τ(A(u)), τ(A(u)) >=

= ‖u‖2 − 2ρa(u, u) + ρ2a(u, τ(A(u))).

Tinand seama de proprietatile de marginire si coercitivitatea ale functionalei arezulta

‖T (u1)−T (u2)‖2 ≤ ‖u‖2−2mρ‖u‖2+Mρ2‖u‖‖τ(A(u))‖ ≤ (1−2mρ+M2ρ2)‖u‖2.

Este suficient ca ρ sa fie ales astfel ıncat

0 ≤ 1− 2mρ+M2ρ2 < 1 ⇔ ρ ∈ (0,2m

M2).

Problema bilocala −u′′ = sign tu(−1) = u(1) = 0

nu are solutie obisnuita deoarece membrul drept nu are proprietatea lui Darbouxın intervalul (-1,1), dar problema∫ 1

−1

u′v′dt =

∫ 1

−1

sign tvdt, ∀ v ∈ H10 (−1, 1),


are solutia

u(t) =

12(t2 + t) daca t ∈ (−1, 0)

12(t2 − t) daca t ∈ [0, 1)

.

Teorema 28.1.7 Fie α = σ0 < σ1 < . . . < σm = β, Jk = [σk, σk+1] si ecuatia

− d

dt(p(t)u′) + r(t)u = f(t) (28.12)

Daca

1. uk ∈ C2(Jk), k ∈ 0, 1, . . . ,m− 1 sunt solutii ale ecuatiei (28.12);

2. functia u : I = (α, β) → R definita prin u(t) = uk(t), t ∈ [σk, σk+1) este declasa C1(I) si satisface conditiile u(α) = u(β) = 0

atunci u este solutie slaba a ecuatiei (28.12).

Demonstratie. Pentru ϕ ∈ C∞0 (I) calculam

a(u, ϕ) =

∫ β

α

(p(t)u′ϕ′ + r(t)uϕ)dt =m−1∑k=0

∫ σk+1

σk

(p(t)u′kϕ′ + r(t)ukϕ)dt.

Dupa o integrare prin parti se obtine

a(u, v) =m−1∑k=0

(∫ σk+1

σk

(− d

dt(p(t)u′k) + r(t)uk)ϕdt+ p(t)u′kϕ|σk+1

σk

)=

=m−1∑k=0

(∫ σk+1

σk

f(t)ϕdt+ p(t)u′ϕ|σk+1σk

)=

∫ β

α

f(t)ϕdt = f(ϕ),

deoarece∑m−1

k=0 p(t)u′ϕ|σk+1

σk = 0, ıntrucat ϕ(α) = ϕ(β) = 0, functiile p, ϕ si u′

sunt continue.

Definitia H10 (I) = C∞0 (I) implica a(u, v) = f(v), ∀ v ∈ H1

0 (I).


28.1.2 Rezolvarea numerica prin metoda Galerkin

Utilizam metoda Galerkin pentru rezolvarea ecuatiei (28.3). Fie Vn un subspatiufinit dimensional al lui V.. Aproximatie un ∈ Vn a lui u va satisface

a(un, xn) = f(xn), ∀xn ∈ Vn. (28.13)


a(u− un, xn) = 0; ∀xn ∈ Vn.

Demonstratie. Relatia rezulta ın urma diferentei dintre (28.3), pentru x = xnsi (28.13).

Are loc urmatoarea evaluare a priori a erorii

Teorema 28.1.9 (Lema lui Cea) In ipotezele Teoremei Lax-Milgram are locinegalitatea

‖u− un‖ ≤M

minf

xn∈Vn‖u− xn‖.

Demonstratie. Folosind teorema anterioara, au loc relatiile

m‖u− un‖2 ≤ a(u− un, u− un) = a(u− un, u− xn) + a(u− un, xn − un) =

= a(u− un, u− xn) ≤M‖u− un‖ ‖u− xn‖, ∀xn ∈ Vn,

de unde rezulta inegalitatea din enuntul teoremei.Daca (ei)1≤i≤n formeaza o baza pentru Vn si un =

∑nj=1 cjej atunci (28.13)

conduce la sistemul algebric de ecuatii liniare

n∑j=1

cja(ej, ei) = f(ei), i ∈ 1, 2, . . . , n. (28.14)

Daca functionala a este biliniara si coercitiva atunci matricea sistemului liniar(28.14) este nesingulara. Intr-adevar, daca

Λ =

a(e1, e1) a(e2, e1) . . . a(en, e1)a(e1, e2) a(e2, e2) . . . a(en, e2)

.... . .

...a(e1, en) a(e2, en) . . . a(en, en)

c =

c1

c2...cn

∈ Rn (28.15)


astfel ıncat Λc = 0 atunci∑n

j=1 cja(ej, ei) = 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , n. Inmultindrelatia i cu ci si sumand se obtine

a(n∑j=1

cjej,

n∑i=1

ciei) = 0.

Conditia de coercitivitate implica c = 0.

Presupunem ca V este spatiu Hilbert separabil, adica exista o familie de el-emente liniar independente (ei)i∈N∗ cu proprietatea ei : i ∈ N∗ = V. Se maifoloseste si terminologia familia (ei)i∈N∗ este ınchisa.

In metoda Galerkin se va alege

Vn = spane1, e2, . . . , en, n ∈ N∗. (28.16)

Rezulta ca ∪n∈N∗Vn = V.

Teorema 28.1.10 Daca

• V este spatiu Hilbert separabil;

• a : V ×V → R este o forma biliniara, marginita (28.4) si coercitiva (28.5);

• f ∈ V ∗,

• familia de subspatii finit dimensionale (Vn)n∈N∗ este definita de (28.16)

atunci sirul de aproximatii (un)n∈N∗ , un ∈ Vn, construit prin metoda Galerkinconverge catre solutia ecuatiei (28.3).

Demonstratie. Din

m‖un‖2 ≤ a(un, un) = f(un) ≤ ‖f‖‖un‖, ∀n ∈ N∗

rezulta ca ‖un‖ ≤ ‖f‖m, ∀n ∈ N∗, adica sirul (un)n∈N∗ este marginit. Potrivit

teoremei I.10.2 sirul contine subsirul (unk)k∈N∗ slab convergent catre un elementu∗ ∈ V.

Fie x ∈ V fixat pentru moment. Functionala u 7→ a(u, x) este liniara sicontinua. Potrivit teoremei lui Riesz exista un element ϕx ∈ V astfel ıncata(u, x) =< ϕx, u >, ∀u ∈ V.Atunci

limk→∞

a(unk , x) = limk→∞

< ϕx, unk >=< ϕx, u∗ >= a(u∗, x). (28.17)


Cum x a fost arbitrar, limita anterioara are loc pentru orice x ∈ V.Proprietatea de separabilitate implica: pentru orice x ∈ V va exista un sir

(xn)n∈N∗ astfel ıncat xn ∈ Vn si limn→∞ xn = x. Trecem la limita ın egalitatile

a(unk , xnk) = f(xnk), k ∈ N∗.

Pentru membrul drept limk→∞ f(xnk) = f(x). Membrul stang se scrie

a(unk , xnk) = a(unk , x) + a(unk , xnk − x).

Potrivit (28.17), primul termen tinde catre a(u∗, x). Pentru al doilea termen

|a(unk , xnk − x)| ≤M‖unk‖‖xnk − x‖ ≤M‖f‖m‖xnk − x‖ → 0, pentru k →∞.

Astfel limk→∞ a(unk , xnk) = a(u∗, x).Prin urmare a(u∗, x) = f(x), ∀x ∈ V, adica u∗ este solutie a ecuatiei (28.3).Orice subsir al sirului (un)n∈N∗ contine un subsir slab convergent catre o solutie

a ecuatie (28.3) si cum solutia este unica rezulta ca sirul (un)n∈N∗ converge slabcatre u∗.

Ramane de justificat convergenta ın sensul normei. Au loc relatiile

c‖un − u∗‖2 ≤ a(un − u∗, un − u∗) = a(un − u∗, un)− a(un, u∗) + a(u∗, u∗).

Din teorema 28.1.8 a(un − u∗, un) = 0.Din (28.17) limk→∞ a(un, u∗) = a(u∗, u∗) = f(u∗).u∗ ca solutie a ecuatiei (28.3) implica a(u∗, u∗) = f(u∗).Rezulta ca

limk→∞

(a(un − u∗, un)− a(un, u∗) + a(u∗, u∗)) = limk→∞

(f(u∗)− a(un, u∗)) = 0.

de unde convergenta ın norma.

Evaluarea erorii

Daca I∆(u) ∈ S1 este functia spline polinomiala de interpolare de ordinulıntai, (continua si afina pe portiuni) corespunzatoare unei diviziuni ∆ : α = t0 <t1 < . . . < tn = β a intervalului I a functiei u : I → R, atunci are loc urmatoareaevaluare a erorii

Teorema 28.1.11 Daca u ∈ H2(I), atunci exista o constanta C > 0 astfel ıncat

‖u− I∆(u)‖H1(I) ≤ Ch‖u′′‖L2(I),

unde h = max0≤i≤n−1 hi, hi = ti+1 − ti.


Vom da doua demonstatii ale acestei teoreme.

Demonstratia 1. [53] O functie continua f : [0, l] → R cu f(0) = f(l) = 0 sepoate prelungi la o functie impara definita ın [−l, l] si apoi prin periodicitate lao functie continua ın R. Pentru aceasta functie are loc dezvoltarea Fourier

f(t) =∞∑k=1

ak sinkπt

l

si egalitatea lui Parseval

∞∑k=1

a2k =

2

l

∫ l

0

f 2(t)dt = .

Particularizand pentru f = u− I∆(u) definita ın [ti, ti+1] rezulta egalitatile

u(t)− I∆(u)(t) =∞∑k=1

ak sinkπ(t− ti)

hit ∈ [ti, ti+1] (28.18)

∞∑k=1

a2k =

2

hi

∫ ti+1

ti

(u(t)− I∆(u)(t))2dt (28.19)

Derivand la rand de doua ori (28.18), rezulta

u′(t)− (I∆(u))′(t) =∞∑k=1

kπakhi

coskπ(t− ti)

hit ∈ [ti, ti+1]

∞∑k=1

(kπakhi

)2

=2

hi

∫ ti+1

ti

(u′(t)− (I∆(u))′(t))2dt (28.20)

u′′(t)− (I∆(u))′′(t) = −∞∑k=1

(kπakhi

)2

sinkπ(t− ti)

hit ∈ [ti, ti+1]

∞∑k=1

(kπakhi

)4

=2

hi

∫ ti+1

ti

(u′′(t)− (I∆(u)′′(t))2dt =

=2

hi

∫ ti+1

ti

(u′′(t))2dt (28.21)

deoarece I∆ este polinom de gradul ıntai ın [ti, ti+1].Din relatiile (28.19) si (28.21) rezulta∫ ti+1

ti

(u(t)− I∆(u)(t))2dt ≤(hiπ

)4 ∫ ti+1

ti

(u′′(t))2dt


iar din (28.20) si (28.21) rezulta∫ ti+1

ti

(u′(t)− (I∆(u))′(t))2dt ≤(hiπ

)2 ∫ ti+1

ti

(u′′(t))2dt

Sumand dupa i se obtin evaluarile∫ β

α

(u(t)− I∆(u)(t))2dt ≤(h

π

)4 ∫ β

α

(u′′(t))2dt

∫ β

α

(u′(t)− (I∆(u))′(t))2dt ≤(h

π

)2 ∫ β

α

(u′′(t))2dt

sau

‖u− I(u)‖2L2(I) ≤

(h

π

)4

‖u′′‖2L2(I) si ‖u′ − (I(u))′‖2

L2(I) ≤(h

π

)2

‖u′′‖2L2(I)

Astfel‖u− I(u)‖2

H1(I) = ‖u− I(u)‖2L2(I) + ‖u′ − (I(u))′‖2

L2(I) ≤

≤

((h

π

)2

+

(h

π

)4)‖u′′‖2

L2(I).

Demonstratia 2. Vom evalua

‖u− I(u)‖2L2(I) =

∫ β

α

(u− I(u))2 =n−1∑i=0

∫ ti+1

ti

(u(t)− I(u)(t))2dt (28.22)

si

‖u′−(I(u))′‖2L2(I) =

∫ β

α

(u′−(I(u))′)2 =n−1∑i=0

∫ ti+1

ti

(u′(t)−(I(u))′(t))2dt. (28.23)

Utilizand notatiile ui = u(ti), i ∈ 0, 1, . . . , n, ın intervalul (ti, ti+1), I(u)este

I(u)(t) =ti+1 − tti+1 − ti

ui +t− titi+1 − ti

ui+1 = ui +ui+1 − uiti+1 − ti

(t− ti).

si

(I(u))′(t) =ui+1 − uiti+1 − ti

.


Potrivit teoremei 28.1.3 exista un reprezentant de clasa C1(I) a lui u pentrucare au loc relatiile

u′(t) = u′(ti) +

∫ t

ti

u′′(s)ds (28.24)

u(t) = u(ti) + u′(ti)(t− ti) +

∫ t

ti

u′′(s)(t− s)ds (28.25)

In particular, din (28.25) rezulta

ui+1 = ui + u′(ti)(ti+1 − ti) +

∫ ti+1

ti

u′′(s)(ti+1 − s))ds

de undeui+1 − uiti+1 − ti

− u′(ti) =1

ti+1 − ti

∫ ti+1

ti

u′′(s)(ti+1 − s))ds.

Ridicand la patrat , ın urma aplicarii inegalitatii lui Cauchy rezulta(ui+1 − uiti+1 − ti

− u′(ti))2

≤ ti+1 − ti3

∫ ti+1

ti

(u′′(s))2ds ≤ h

3

∫ ti+1

ti

(u′′(s))2ds. (28.26)

Din (28.24) se deduce

(u′(t)− u′(ti))2 =

(∫ t

ti

u′′(s)ds

)2

≤ (t− ti)∫ t

ti

(u′′(s))2ds ≤ (28.27)

≤ h

∫ ti+1

ti

(u′′(s))2ds.

Din cele doua inegalitati (28.26) si (28.27) se obtine

(u′(t)− ui+1 − uiti+1 − ti

)2 ≤ 2

((u′(t)− u′(ti))2 + (u′(ti)−

ui+1 − uiti+1 − ti

)2

)≤

≤ 8h

3

∫ t

ti

(u′′(s))2ds.

In consecinta

‖u′ − (I(u))′‖2L2(I) ≤

8h2

3

∫ β

α

(u′′(s))2ds =8h2

3‖u′′‖2

L2(I).


Din nou pentru t ∈ (ti, ti+1) din (28.25) se gaseste

u(t)− I(u)(t) =

(u′(ti)−


)(t− ti) +

∫ t

ti

u′′(s)(t− s)ds.

Procedand asemanator, se obtine succesiv

(u(t)− I(u)(t))2 ≤ 2

((u′(ti)−


)2(t− ti)2 +

(∫ t

ti

u′′(s)(t− s)ds)2)≤

≤ 2

(h3

3

∫ ti+1

ti

(u′′(s))2ds+(t− ti)3

3

∫ t

ti

(u′′(s))2ds

)≤ 4h3

3

∫ ti+1

ti

(u′′(s))2ds.

Astfel

‖u− I(u)‖2L2(I) ≤

4h4

3

∫ β

α

(u′′(s))2ds =4h4

3‖u′′‖2

L2(I).

In final se obtine

‖u− I(u)‖2H1(I) ≤

(8h2

3+

4h4

3

)‖u′′‖2

L2(I).

Acest rezultat ımpreuna cu Teorema 28.1.9 conduce la

Teorema 28.1.12 Daca u ∈ H2(I) si un = I∆ atunci exista o constanta C > 0astfel ıncat

‖u− un‖H1(I) ≤ Ch‖u′′‖L2(I).

Dorim sa detaliem utilizarea metodei Galerkin ın cazul problemei lui Dirichletformulata mai sus.

Punem ın evidenta doua familii de functii (ei)i utile pentru aplicarea metodeiGalerkin.

1. Metoda Galerkin cu polinoame

Teorema 28.1.13 Familia de polinoame ei(t) = (β − t)(t − α)i, i ∈ N∗ esteınchisa ın H1

0 (I).

Demonstratie. Fie u ∈ H10 (I) si ε > 0. Aratam existenta unui polinoam P cu

proprietatile ‖u− P‖H1(I) < ε, P (α) = P (β) = 0.Din definitia spatiului H1

0 (I) rezulta exista unei functii ϕ ∈ C∞0 (I) astfel ıncat

‖u− ϕ‖H1(I) <ε

2. (28.28)


Din (28.28) si (28.29) se deduce

‖u− P‖H1(I) ≤ ‖u− ϕ‖H1(I) + ‖ϕ− P‖H1(I) < ε.

Detalii de implementare. Pentru problema bilocala (28.8), conform sistemului(28.14), se alege n ∈ N∗ si se calculeaza succesiv:

1.

Λi,j = a(ei, ej) =

∫I

(p(t)e′i(t)e

′j(t) + r(t)ei(t)ej(t)

)dt, i, j ∈ 1, 2, . . . , n;

unde ei(t) = (β − t)(t− α)i, e′i(t) = (iβ + α− (i+ 1)t) (t− α)i−1.

2.

Φi = f(ei) =< f, ei >=

∫I

f(t)ei(t)dt, i ∈ 1, 2, . . . , n;

3. c = Λ−1Φ

4. un =∑n

i=1 ciei(t).

2. Metoda Galerkin cu functii splineFie n ∈ N∗, h = β−α

nsi reteaua de noduri

α = t0 < t1 < . . . < tn = β,

unde ti = α + ih, i ∈ −, 1, . . . , n.Pentru i ∈ 1, 2, . . . , n− 1, fie

ei,n(t) =

t−ti−1

hdaca t ∈ [ti−1, ti]

ti+1−th

daca t ∈ [ti, ti+1]0 daca t ∈ [α, ti−1] ∪ [ti+1, β]

(28.30)

si Vn = spane1,n, . . . , en−1,n. Graficul functiei ei,n este reprezentat ın figuraurmatoare.

-

6

b @

@@

ti+1

bti

bti−1

b1


Functia s =∑n−1

i=1 uiei,n este o functie spline polinomiala de ordinul ıntai,s ∈ S1, care satisface conditiile de interpolare s(ti) = ui, i ∈ 1, . . . , n − 1 sis(t0) = s(tn) = 0. Intr-adevar, daca t ∈ [ti, ti+1] atunci

s(t) = uiei,n(t) + ui+1ei+1,n(t) = uiti+1 − tti+1 − ti

+ ui+1t− titi+1 − ti

=

= ui +ui+1 − uiti+1 − ti

(t− ti) = s|[ti,ti−1](t).

Teorema 28.1.14 Familia de functii (ei,n)1≤i≤n−1, n∈N este ınchisa ın H10 (I).

Demonstratie. Fie u ∈ H10 (I) si ε > 0. Aratam existenta unei functii spline

s ∈ S1 cu proprietatile ‖u− s‖H1(I) < ε, s(α) = s(β) = 0.Din definitia spatiului H1

0 (I) rezulta exista unei functii ϕ ∈ C∞0 (I) astfel ıncat

‖u− ϕ‖H1(I) <ε

2. (28.31)

Functia ϕ′ este uniform continua ın [α, β] : ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 astfel ıncat

|t′ − t′′| < δ ⇒ |ϕ′(t′)− ϕ′(t′′)| < ε

2√

2((β − α) + (β − α)2).

Fie n ∈ N astfel ıncat h = β−αn

< δ si s ∈ S1 functia spline polinomiala deinterpolare a lui ϕ ın nodurile ti = α + ih, i ∈ 0, 1, . . . , n.

Atunci

• s(α) = s(β) = 0

•

t ∈ [ti, ti+1] ⇒

s(t) = ϕ(ti) + ϕ(ti+1)−ϕ(ti)

ti+1−ti (t− ti)s′(t) = ϕ(ti+1)−ϕ(ti)

ti+1−ti

•t ∈ [ti, ti+1] ⇒ |ϕ′(t)− s′(t)| = |ϕ′(t)− ϕ(ti+1)− ϕ(ti)

ti+1 − ti| =

= |ϕ′(t)− ϕ′(ξ)| < ε

2√

2((β − α) + (β − α)2),

(ξ ∈ (ti, ti+1)) si

|ϕ(t)− s(t)| = |∫ t

ti

(ϕ′(τ)− s′(τ))dτ | ≤√t− ti

(∫ t

ti

(ϕ′(τ)− s′(τ))2dτ

) 12

≤

<ε

2√

2((β − α) + (β − α)2)h.


• ∫ β

α

(ϕ′(t)− s′(t))2dt =n−1∑i=0

∫ ti+1

ti

(ϕ′(t)− s′(t))2dt <

<ε2

8((β − α) + (β − α)2)nh =

ε2(β − α)

8((β − α) + (β − α)2)<ε2

8.

• ∫ β

α

(ϕ(t)− s(t))2dt =n−1∑i=0

∫ ti+1

ti

(ϕ(t)− s(t))2dt <

<ε2

8((β − α) + (β − α)2)nh2 <

ε2(β − α)2

8((β − α) + (β − α)2)<ε2

8.

Utilizand ultimele doua inegalitati se gaseste

‖ϕ− s‖2H1(I) =

∫ β

α

((ϕ(t)− s(t))2 + (ϕ′(t)− s′(t))2

)dt ≤ ε2

4. (28.32)

Din (28.31) si (28.32) se deduce

‖u− s‖H1(I) ≤ ‖u− ϕ‖H1(I) + ‖ϕ− s‖H1(I) < ε.

Pentru simplificarea scrierii vom folosi notatia ei = ei,n. Daca un =∑n−1

j=1 cjejatunci ecuatia a(un, ei) = f(ei) devine

a(un, ei) =

(∫ ti

ti−1

(r(t)(t− ti−1)(ti − t)− p(t))dt)ui−1

h2+ (28.33)

+

(∫ ti+1

ti−1

p(t)dt+

∫ ti

ti−1

r(t)(t− ti−1)2dt+

∫ ti+1

ti

r(t)(ti+1 − t)2dt

)uih2

+

+

(∫ ti+1

ti

(r(t)(t− ti)(ti+1 − t)− p(t))dt)ui+1

h2=

=1

h

(∫ ti

ti−1

f(t)(t− ti−1)dt+

∫ ti+1

ti

f(t)(ti+1 − t)dt).

Astfel determinarea aproximarii un revine la rezolvarea unui sistem algebric deecuatii liniare tridiagonal.Detalii de implementare. Pentru aceasi problema bilocala (28.8), potrivit

egalitatii (28.33), se alege n ∈ N∗ si se executa operatiile:


1. Pentru i ∈ 1, 2, . . . , n− 1 se calculeaza numerele

bi =1

h2

∫ ti

ti−1

(r(t)(t− ti−1)(ti − t)− p(t))dt

ai =1

h2

(∫ ti+1

ti

(r(t)(t− ti)(ti+1 − t)− p(t))dt)

ci =1

h2

∫ ti+1

ti

(r(t)(t− ti)(ti+1 − t)− p(t))dt

Φi =1

h

(∫ ti

ti−1

f(t)(t− ti−1)dt+

∫ ti+1

ti

f(t)(ti+1 − t)dt),

unde h = β−αn, tj = jh, j ∈ 0, 1, . . . , n;

2. Se rezolva sistemul algebric de ecuatii tridiagonal

biui−1 + aiui + ciui+1 = Φi, i ∈ 1, 2, . . . , n− 1u0 = un = 0

3. Solutia numerica este u(t) =∑n−1

i=1 uiei,n(t).

Reamintim ca functiile ei,n sunt definite ın (28.30).

Potrivit teoremei 28.1.10 sirul de aproximatii Galerkin pentru problema Dirich-let converge catre solutia problemei, ın norma H1(I). Mai mult, are loc chiarconvergenta uniforma.

Teorema 28.1.15 Sirul de aproximatii Galerkin pentru problema Dirichlet con-verge uniform catre solutia problemei.

Demonstratie. Notam prin (un)n∈N∗ sirul de aproximatii Galerkin. Acest sireste fundamental ın H1

0 (I). Pentru orice ε > 0 exista n0 ∈ N astfel ıncat pentrun,m > n0 are loc inegalitatea

‖un − um‖H1(I) < ε ⇔∫ β

α

(p(t)(u′n(t)− u′m(t))2 + r(t)(un(t)− um(t))2

)dt < ε2

de unde

p0

∫ β

α

(u′n(t)− u′m(t))2dt < ε2.

28.2. PERSPECTIVA VARIATIONALA 645

Aplicand inegalitatea lui Cauchy

|unt)− um(t)| = |∫ t

α

(u′n(s)− u′m(s))ds| ≤√t− α

(∫ t

α

(u′n(s)− u′m(s))2ds

)2

≤

≤√β − α

(∫ β

α

(u′n(s)− u′m(s))2ds

)2

≤ ε

√β − αp0

.

Sirul (un)n∈N∗ este fundamental ın spatiul Banach C(I), deci este uniform con-vergent.

28.2 Perspectiva variationala

Functionala biliniara a definita ın (28.2) este

• simetrica daca a(x, y) = a(y, x), ∀x, y ∈ V ;

• pozitiv definita daca a(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ V ;

• strict pozitiv definita daca a(x, x) > 0, ∀x ∈ V \0;

• tare pozitiv definita sau coercitiva, daca ∃m > 0 astfel ıncat a(x, x) ≥m‖x‖2, ∀x ∈ V.

Atasam functionalei a, si implicit operatorului A, functionala J : V → Rdefinita prin

J(x) = a(x, x)− 2f(x). (28.34)

Daca functionala a este strict pozitiv definita atunci ecuatia (28.3) are celmult o solutie.

Au loc urmatoarele proprietati simple ale functionalei J.

Teorema 28.2.1 Daca functionala biliniara a este simetrica si (strict, tare) poz-itiv definita atunci functionala J este (strict, tare) convexa.

Demonstratie. Pentru orice x, y ∈ V si λ ∈ (0, 1) au loc egalitatile

λJ(x) + (1− λ)J(y)− J(λx+ (1− λ)y) =

= λ(1− λ) (a(x, x)− 2a(x, y) + a(y, y)) =

= λ(1− λ)a(x− y, x− y).


Teorema 28.2.2 Daca functionala biliniara a este simetrica si tare pozitiv definitaatunci functionala J este marginita inferior si admite cel mult un punct de minim.

Demonstratie. Pentru orice x ∈ V au loc inegalitatile

J(x) = a(x, x)− 2f(x) ≥ m‖x‖2 − 2‖f‖‖x‖ ≥ −‖f‖2

m.

A doua afirmatie este consecinta a teoremei 25.3.4.

Legatura dintre ecuatia (28.1) si problema minimizarii functionalei J este dataın

Teorema 28.2.3 Fie H spatiu Hilbert real, D(A) un subspatiu liniar, dens ın H,functionala a, indusa de operatorul A : D(A)→ V ∗, simetrica si pozitiv definita,f ∈ V ∗.

Daca x0 ∈ D(A) este solutie a ecuatiei (28.1) atunci x0 minimizeaza functionalaJ. Reciproc, daca x0 ∈ D(A) minimizeaza functionala J atunci x0 este solutie aecuatiei (28.1).

Demonstratie. Pentru orice x0, h ∈ V si λ ∈ R are loc egalitatea

J(x0 + λh) = J(x0) + 2λ(a(x0, h)− f(h)) + λ2a(h, h). (28.35)

Daca Ax0 = f atunci x0 verifica ecuatia (28.3) si din (28.35) rezulta

J(x0 + λh) = J(x0) + λ2a(h, h) ≥ J(x0).

Daca J(x0) = minJ(x) : x ∈ V atunci utilizand din nou (28.35), obtinem

J(x0) ≤ J(x0 + λh) = J(x0) + 2λ(a(x0, h)− f(h)) + λ2a(h, h),

sau

λ2a(h, h) + 2λ(a(x0, h)− f(h)) ≥ 0, ∀h ∈ V, ∀λ ∈ R.

Nenegativitatea polinomului de gradul doi ın λ implica

(a(x0, h)− f(h))2 ≤ 0 ⇔ a(x0, h)− f(h) = 0, ∀h ∈ V.

Proprietatea de densitate a lui D(A) ın H implica Ax0 − f = 0.


28.2.1 Rezolvarea numerica prin metoda lui Ritz

Fie Vn un subspatiu finit dimensional al lui V cu baza ei, i ∈ 1, . . . , n.Calculam o aproximatie a functiei care minimizeaza functionala J de forma x(t) =∑n

i=1 ciei(t).Tinand seama de proprietatea de simetrie a lui a avem

J(x) = a(n∑i=1

ciei,

n∑j=1

cjej)− 2f(n∑i=1

ciei) =n∑

i,j=1

cicja(ei, ej)− 2n∑i=1

cif(ei).

Cu notatiile (28.15) si µ = (f(ei))1≤i≤n, expresia de mai sus se scrie

J(x) =< Λc, c > −2 < c, µ >= Φ(c).


1

2

∂Φ

∂c=

n∑j=1

cja(ei, ej)− f(ei) = 0, i ∈ 1, . . . , n.

Astfel, sirul de aproximatii pentru minimizarea functionalei J, construit prinmetoda lui Ritz coincide cu sirul de aproximatii pentru rezolvarea ecuatiei (28.3)construit cu metoda lui Galerkin.

28.2.2 Metoda elementului finit

Metoda elementului finit serveste la rezolvarea problemei (28.34) si implicit laproblemele (28.1) sau (28.3), ın principal ın cazul ecuatiilor cu derivate partiale.In cele ce urmeaza ne vom limita doar la ecuatii unidimensionale. Vom avea ınvedere problema bilocala (28.8): Sa se determine functia u care satisface

− ddt

(p(t)u′) + r(t)u = f(t), t ∈ I = [α, β],u(α) = u(β) = 0

sau ın formularea slaba∫I

(p(t)u′x′ + r(t)ux)dt =

∫I

f(t)xdt, ∀ x ∈ H10 (I)

sau ın formularea variationala care minimizeaza functionala

J(u) =

∫I

(p(t)u′2 + r(t)u2 − 2f(t)u)dt.

Printr-un element finit se ıntelege tripletul (K,P ,Π) unde


• K domeniul elementului este o multime deschisa, marginita si conexa;

• P este un spatiu liniar finit dimensional de functii definite ın K;

• Π : RK → P proiector (Π2 = Π), ın mod uzul un operator de interpolare.Nodurile utilizate ın conditiile de interpolare definesc nodurile domeniuluielementului finit.

Exemplul 28.2.1

• K = (0, 1)

• P = P1, multimea polinoamelor de grad cel mult 1;

• Π(u)(t) = L(P1; 0, 1;u)(t) = u(0)(1− t) + u(1)t.

Nodurile domeniului elementului finit sunt 0 si 1.

Metoda elementului finit consta ın:

1. Domeniul I se descompune ın I = ∪mi=1Ki, unde fiecare Ki este domeniulunui element finit;

2. Daca u : I → R atunci ın fiecare Ki restrictia u|Ki se aproximeaza prinΠ(u|Ki) ∈ P .Daca ti,1, . . . , ti,r sunt nodurile domeniului elementului Ki, presupunem ca

Π(u|Ki)(t) =r∑j=1

ui,jϕKi,j(t),

unde ui,j = u(ti,j) si ϕKi,j ∈ P .

3. Necunoscutele problemei de optimizare devin valorile functiei necunoscuteın multimea nodurilor elementelor finite. Notam acest vector prin uh. Uzual,h este maximul diametrelor multmilor Ki. Problema de optimizare se trans-forma ıntr-o problema de programare matematica care se rezolva.

In ipoteza ca functionale a si f sunt aditive fata de domeniu

J(u) = a(u, u)− 2f(u) =m∑i=1

(a(u|Ki , u|Ki)− 2f(u|Ki)) ≈

≈m∑i=1

(a(Π(u|Ki),Π(u|Ki))− 2f(Π(u|Ki))) =


=m∑i=1

(r∑

j,l=1

ui,juj,la(ϕKi,j, ϕKi,l)−r∑j=1

ui,jf(ϕKi,j)

). (28.36)

Expresia (28.36) reprezinta o functie patratica de forma

Jh(uh) = uThAuh − 2bTuh.

Solutia problemei de minimizare este data se solutia sistemului Auh = b.

Detalii de implementare. Pentru exemplul mentionat mai sus vom avea:

1. Fie diviziunea α = t0 < t1 < . . . < tm = β, care induce m elemente finite.Domeniul elementului i ∈ 0, 1, . . . ,m− 1 va fi intervalul [ti, ti+1].

2. P = P1 si Π(u)(t) = u(ti)ti+1−tti+1−ti + u(ti+1) t−ti

ti+1−ti . Referitor la notatiile intro-

duse mai sus

• r = 2

• ϕKi,1 = ti+1−tti+1−ti , ϕKi,2 = t−ti

ti+1−ti .

• ui,1 := ui = u(ti) ui,2 := ui+1 = u(ti+1).

3. Fie uh = (u0, u1, . . . , un)T . Functia de optimizare va fi

Jh(uh) =

∫I

(p(t)Π(u)′2 + r(t)Π(u)2 − 2f(t)Π(u))dt =

=m−1∑i=0

∫ ti+1

ti

(p(t)(


)2 + r(t)(uiti+1 − tti+1 − ti


)2−

−2f(t)(uiti+1 − tti+1 − ti


)

)dt =

=m−1∑i=0

(u2i

∫ ti+1

ti

(p(t)

(ti+1 − ti)2+ r(t)(

ti+1 − tti+1 − ti

)2)dt+

+2uiui+1

∫ ti+1

ti

r(t)(ti+1 − t)(t− ti)

(ti+1 − ti)2dt+

+u2i+1

∫ ti+1

ti

(p(t)

(ti+1 − ti)2+ r(t)(

t− titi+1 − ti

)2)dt+


−2ui

∫ ti+1

ti

f(t)ti+1 − tti+1 − ti

dt− 2ui+1

∫ ti+1

ti

f(t)t− titi+1 − ti

dt

)=

=m−1∑i=0

((ui ui+1)T

(xi yiyi zi

)(uiui+1

)− 2(vi wi)

(uiui+1

)).

unde

xi =

∫ ti+1

ti

(p(t)

(ti+1 − ti)2+ r(t)(

ti+1 − tti+1 − ti

)2)dt

yi =

∫ ti+1

ti

r(t)(ti+1 − t)(t− ti)

(ti+1 − ti)2dt

zi =

∫ ti+1

ti

r(t)(ti+1 − t)(t− ti)

(ti+1 − ti)2dt

vi =

∫ ti+1

ti

f(t)ti+1 − tti+1 − ti

dt

wi =

∫ ti+1

ti

f(t)t− titi+1 − ti

dt

4. In vederea generarii matricei A si a vectorului b se defineste matricea l ∈Mm,2(Z) avand pe linia i codurile nodurilor domeniului elementului i:

l =

0 11 2...i i+ 1...

m− 1 m

.

Pentru fiecare element finit se calculeaza numerele xi, yi, zi, vi, wi dupa carese actualizeaza elementele lui A si b

Ali,1,li,1 = Ali,1,li,1 + xiAli,1,li,2 = Ali,1,li,2 + yiAli,2,li,1 = Ali,2,li,1 + yiAli,2,li,2 = Ali,2,li,2 + zi

bli,1 = bli,1 + vibli,2 = bli,2 + wi

Deoarece u0 = um = 0, se vor elimina prima si ultima linie si coloana a luiA dar si primul si ultimul element al lui b.


5. Se rezolva sistemul algebric de ecuatii liniareAu = b, cu u = (u1, . . . , um−1)T .

6. Daca t ∈ [ti, ti+1], i ∈ 0, 1, . . . ,m − 1, atunci aproximatia numerica asolutiei este data de expresia ui

ti+1−tti+1−ti + ui+1

t−titi+1−ti .


P 28.1 Sa se arate ca problema bilocalaa(t)x′′ + b(t)x′ + c(t)x = g(t), t ∈ (α, β)x(α) = Ax(β) = B

se poate reduce la forma autoadjuncta (simetrica)− d

dt(p(t)u′) + r(t)u = f(t), t ∈ (α, β),

u(α) = u(β) = 0

R. 1. u = x−B t−αβ−α − A

β−tβ−α

2. Se ınmulteste ecuatia cu exp q(t) unde q′(t) = b(t)a(t)

.

P 28.2 Sa se rezolve problemele

1.

−x′′(t) + k2x(t) = 1 t ∈ [0, 1]x(0) = x(1) = 0

2.

(1− t2)x′′(t)− 2tx′(t) + 2x(t) = 1 t ∈ [0, 1

2]

x(0) = x(12) = 0

R : x(t) = C1t+ C2( t2

log∣∣1+t

1−t

∣∣− 1) + 12

3.

x′′(t)− tx(t) = 1 t ∈ [0, 1]x(0) = x(1) = 0

4.

x′′(t) + t2x(t) = 1 t ∈ [0, 1]x(0) = x(1) = 0

5.

x′′(t) = sign(1

2− |t|)

x(−1) = x(1) = 0

R : x(t) =

12t2 + t+ 1

2t ∈ (−1,−1

2)

−12t2 + 1

4t ∈ [−1

2, 1

2)

12t2 − t+ 1

2t ∈ [1

2, 1)

Partea VI

ANEXE

653

Anexa A

Notiuni de teoria erorilor

In cursul rezolvarii unei probleme numerice apar erori. Potrivit sursei, se potdistinge trei tipuri de erori:

1. Erori inerente, care provin din simplificarea modelului fizic ın procesulde modelare matematica, din masuratorile initiale, din calculele anterioareproblemei, etc.

2. Erori de metoda. In general metoda de calcul numeric construieste un sirde aproximatii convergent catre solutia problemei de calcul numeric, iar dinpunct de vedere practic se calculeaza un element al sirului de aproximatii.

3. Erori de rotunjire ın datele de intrare, ın calcule si ın datele de iesire caurmare a utilizarii unui sistem de calcul ce foloseste un mod specific dereprezentare a numerelor.

A.1 Eroare absoluta si eroare relativa

Fie x o aproximatie a valorii exacte a ∈ R.

Definitia 1 ∆x = a− x este eroarea aproximatiei x;|∆x| = |a− x| este eroarea absoluta a aproximatiei x;

δx = |∆x||a| este eroarea relativa a aproximatiei x , (a 6= 0).

Notiunile introduse se extind pentru elemente ale unui spatiu liniar normatprin

||∆x|| = ||a− x||, δx =||∆x||||a||

.

655

656 ANEXA A. NOTIUNI DE TEORIA ERORILOR

A.2 Reprezentarea numerelor ın virgula mobila

Fie t, r, b ∈ N∗, b > 1 si notam:b1 = b− 1 (cea mai mare cifra ın baza b);q = b1 . . . b1︸︷︷︸

r cifre

(cel mai mare numar ın baza b avand r cifre).

In cele ce urmeaza toate numerele naturale sunt scrise ın baza b.Orice numar a ∈ R+ se scrie succesiv

a = aebe + ae−1b

e−1 + . . .+ a1b+ a0 +a−1

b+a−2

b2+ . . . = (A.1)

=

(∞∑k=0

ae−kb−k

)be =

(t∑

k=0

ae−kb−k

)be +

(∞∑

k=t+1

ae−kbt−k

)be−t.

Notand f =∑t

k=0 ae−kb−k si g =

∑∞k=t+1 ae−kb

t−k relatia (A.1) devine

a = f be + g be−t (A.2)

Exemplul A.2.1 Fie t = 4, s = 2, b = 10 si a = 1492.631435.

Atunci a = 1.492631435 103 = 1.4926 103 + 0.31435 10−1.

Consideram multimea

Vt,r,b = x ∈ R : x = s f be ∪ 0

unde:

• f este un numar avand t cifre dupa punctul zecimal si cu partea ıntreagaformata dintr-o singura cifra nenula. f = f0.f−1 . . . f−tb, f0 6= 0. f senumeste mantisa si ın acelasi timp vom spune ca f este o forma normalizata.

• e este un numar ıntreg de cel mult r cifre.

• s corespunde semnului, s = 1 sau s = −1.

Astfel reprezentarea unui numar real a ın virgula mobila este caracterizata detripletul (s, e, f). Reprezentarea lui 0 = 0b−q este (±1,−q, 0).

Cel mai mic si cel mai mare numar pozitiv ale multimii Vt,r,b, suntm = 1.0 b−q si respectiv M = b1.b1 . . . b1︸︷︷︸

t cifre

bq.

A.3. ARITMETICA NUMERELOR IN VIRGULA MOBILA 657

Astfel Vt,r,b este o submultime de numere rationale a multimii

[−M,−m] ∪ 0 ∪ [m,M ].

Reprezentarea unui numar real a ∈ R∗ ın virgula mobila se obtine aproximanda printr-un element al multimii Vt,r,b.

Pornind de la reprezentarea (A.2) pentru |a| = f be + g be−t, cu f formanormalizata si e avand cel mult r cifre, exista mai multe procedee de construirea unei aproximatii a lui a prin elementele multimii Vt,s,b.

1. Aproximarea prin trunchiere: x = f be.

2. Aproximarea prin rotunjire: x =

f daca g < 1

2be−t

f + be−t daca g ≥ 12be−t

Aproximatia lui a ın Vt,r,b va fi fl(a) = sgn(a)x.

A.3 Aritmetica numerelor reale reprezentate ın

virgula mobila

Definim operatiile aritmetice ın Vt,s,b:Adunarea / Scaderea. Pentru a aduna/scadea numerele fl(a1), fl(a2) se efectueaza

urmatoarele operatii:

1. Se aduc numerele fl(a1) si fl(a2) la exponentul cel mai mare, pastrandu-senumarul de zecimale (t) ale mantiselor;

2. Se aduna/scad mantisele;

3. Se renormeaza rezultatul: daca mantisa este diferita de 0 atunci se modificaexponentul astfel ıncat mantisa sa fie o forma normalizata; daca mantisaeste 0, atunci exponentului i se atribuie valoarea −q.

Rezultatul astfel obtinut ıl notam fl(a1)⊕ fl(a2).

Exemplul A.3.1 Fie t = 4, r = 2, b = 10 si a1 = 99.01325, a2 = 0.98724. Sase calculeze fl(a1)⊕ fl(a2).

Atunci fl(a1) = 9.9013 101, fl(a2) = 9.8724 10−1 si

9.9013 101 + 0.0987 101 = 10.0000 101 → 1.0000 · 102 = fl(a1)⊕ fl(a2).


Observatia A.3.1 In general adunarea nu este asociativa, dupa cum rezulta dinexemplul (t=4, r=2, b=10).

Exemplul A.3.2 Fie a1 = 0.0123, a2 = 5678, a3 = −5678.

Tinand seama de egalitatile:

fl(a1) = 1.2300 10−2, fl(a2) = 5.6780 103, fl(a3) = −5.6780 103

obtinem

(fl(a1)⊕ fl(a2))⊕ fl(a3) = (0.0000 103 + 5.6780 103)⊕ fl(a3) =

= 5.6780 103 − 5.6780 103 = 0.0000 103 → 0.0000 10−99

si

fl(a1)⊕ (fl(a2)⊕ fl(a3)) = fl(a1)⊕ (5.6780 103 − 5.6780 103) =

= 1.2300 10−2 + 0.0000 10−99 = 1.2300 10−2 + 0.0000 10−2 = 1.2300 10−2.

Inmultirea/ımpartirea. Produsul/catul dintre fl(a1), fl(a2) se obtine efectuandoperatiile:

1. Se ınmultesc/ımpart mantisele si se aduna/scad exponentii;

2. Se renormeaza rezultatul ın sensul precizat la adunare/scadere.

Rezultatul se noteaza cu fl(a1) fl(a2).

Exemplul A.3.3 Fie t = 4, s = r, b = 10 si a1 = 40.1345, a2 = 0.06346. Sase calculeze fl(a1) fl(a2).

Atunci fl(a1) = 4.0134 101 si fl(a2) = 6.3460 10−2. Rezulta:

4.0134 101 · 6.3460 10−2 = 25.4690364 10−1 → 2.5469 100 = fl(a1) fl(a2).

Observatia A.3.2 In general, ınmultirea nu este asociativa.

A.4. STANDARDUL IEEE 754 659

A.4 Standardul IEEE 754

Standardul IEEE (Institute for Electrical and Electronics Engineers) 754 fix-eaza detaliile de implementare a reprezentarii numerelor reale ın virgula mobila.

Baza de numerotatie este b = 2.

Fie x = s f 2e ∈ Vt,r,2 reprezentarea ın virgula mobila a unui numar a. Inmemoria calculatorului se va retine tripletul (σ, ε, φ) unde:

• σ corespunde semnului:

0 pentru numere pozitive1 pentru numere negative

• φ corespunde mantisei f. Cifra unitatilor fiind diferita de 0 este neaparat1. Aceasta cifra nu este ınregistrata. Daca f = f0.f−1 . . . f−tb atunci φ estesirul de cifre binare φ = (f−1, . . . , f−t).

• Presupunem ca e ∈ emin, . . . , emax, emin, emax ∈ Z, cu cel mult r cifrebinare. La exponentul e se aduna o constanta E astfel ıncat pentru orice e ∈emin, . . . , emax, e ∈ Z, suma e+E sa fie un numar natural avand cel multr cifre binare. In felul acesta semnul exponentului nu mai trebuie precizatexplicit. ε este sirul cifrelor binare ale sumei e+ E, ε = (εr−1, . . . , ε1, ε0).

Standardul IEEE 754 permite si reprezentarea unor numere pentru care ınrelatia (A.2) corespunzatoare, are loc inegalitatea e < emin. In acest caz ε = 01 iarf este o forma nenormalizata, f = 0.f−1 . . . f−t2. Cel mai mic numar reprezentabilva fi 2−E−t, caruia ıi corespunde φ = (0, 0, . . . , 0, 1)︸︷︷︸

t elemente

.

Ultima cifra a mantisei φ se obtine prin rotunjire.

Numarului 0 ıi corespund ε = 0 si φ = 0.

Daca ε = (1, 1, . . . , 1, 1)︸︷︷︸r elemente

si φ = 0 atunci reprezentarea corespunde pentru s∞.

Daca ε = (1, 1, . . . , 1, 1)︸︷︷︸r elemente

si φ 6= 0 atunci semnificatia reprezentarii este NaN

(Not a Number).

Parametri utilizati pentru reprezentarea ın simpla si dubla precizie.

1Prin 0 s-a notat sirul cu toate elementele egale cu 0.


Reprezentarea pe4 octeti (simpla precizie) 8 octeti (dubla precizie)

emin -126 -1022emax 127 1023E 127 1023r 8 11t 23 52

Exemplu. Fie a = 0.1. Reprezentarea ın baza 2 a lui a este

a = 0.000(1100)2 = 1.(1001)2 2−4.

1. Reprezentarea ın simpla precizie. e + E = 123 = 11110112. Se obtinereprezentarea

3 2 110987654 32109876 54321098 76543210σε φ

00111101 11001100 11001100 11001101

Octetii reprezentarii contin valorile: 61,204,204,205.

2. Reprezentarea ın dubla precizie. e + E = 1019 = 11111110112. Se obtinereprezentarea

6 5 432109876 54321098 76543210 89765432σε φ

00111111 10111001 10011001 10011001

3 2 110987654 32109876 54321098 76543210

10011001 10011001 10011001 10011010

Octetii reprezentarii contin valorile: 63,185,153,153,153,153,153,154.

Mediul de programare Java utilizeaza standardul IEEE 754 pentru reprezentareanumerelor reale – tipurile predefinite float, double – ın virgula mobila.

A.5 Controlul erorii

Exemplificam aparitia si controlul erorii de metoda ın problema calcululuinumarului

√e astfel ıncat eroarea absoluta sa fie cel mult ε = 10−3.

A.5. CONTROLUL ERORII 661

Din egalitatea

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ . . .+

xn

n!+eθ·x · xn+1

(n+ 1)!(0 < θ < 1)

pentru x = 12

obtinem

√e = 1 +

1

1!· 1

2+

1

2!· 1

22+ . . .+

1

n!· 1

2n+

eθ2

(n+ 1)!· 1

2n+1.

Potrivit relatiei de mai sus, aproximatia lui√e va fi

x = 1 +1

1!· 1

2+

1

2!· 1

22+ . . .+

1

n!· 1

2n

termenul eθ2

(n+1)!· 1

2n+1 exprima eroarea metodei de calcul. Pentru a putea efectuacalculele trebuie sa determinam parametrul n, pe care ıl alegem drept cel maimic numar natural pentru care

eθ2

(n+ 1)!· 1

2n+1≤ ε.

Deoarece θ ∈ (0, 1), avem eθ2 ≤ e

12 ≤ e ≤ 3 si ın consecinta inegalitatile:

eθ2

(n+ 1)!· 1

2n+1≤ 3

2n+1 · (n+ 1)!≤ 10−3

au loc pentru n ≥ 4. Pentru n = 4 gasim

x = 1 +1

1!· 1

2+

1

2!· 1

22+

1

3!· 1

23+

1

4!· 1

24=

1265

768.

In general, suntem interesati ın scrierea rezultatului sub forma de fractie zec-imala. In cazul nostru rezultatul 1265

768apare ca o fractie periodica mixta, dar din

considerente practice rezultatul se va rotunji la un numar de zecimale. In felulacesta apare ınca o eroare de trunchiere.

Fie numerele pozitive ε1, ε2 astfel ıncat ε1 + ε2 = ε. Vom impune conditia caeroarea metodei sa fie mai mica decat ε1 iar rotunjirea se va face la un numar dezecimale astfel ıncat eroarea de trunchiere sa fie mai mica decat ε2.

Reamintim regulile de rotunjire ale unui numar

a = ap · 10p + ap−1 · 10p−1 + . . . =∞∑k=0

ap−k · 10p−k

scris ın baza 10 la m cifre:


• daca prima cifra omisa este mai mica decat 5, atunci ultima cifra pastratase lasa nemodificata;

• daca prima cifra omisa este mai mare decat 5, atunci ultima cifra pastratase mareste cu o unitate;

• daca prima cifra omisa este 5 si daca dupa 5 urmeaza cifre diferite de0, atunci ultima cifra pastrata se mareste cu o unitate, iar daca dupa 5urmeaza numai zerouri, atunci ultima cifra pastrata se mareste sau nu cuo unitate dupa cum este para sau impara.

Eroarea absoluta care se face ın urma rotunjirii la m cifre este

|∆x| ≤ 1

2· 10p−m+1

Reluam problema initiala, luand ε1 = ε2 = 12· 10−3. Inegalitatea

3

2n+1 · (n+ 1)!<

1

2· 10−3

are loc pentru orice n ≥ 5. Pentru n = 5 obtinem

x = 1 +1

1!· 1

2+

1

2!· 1

22+

1

3!· 1

23+

1

4!· 1

24+

1

5!· 1

25.

Determinam numarul cifrelor la care efectuam rotunjirea drept cel mai micnumar natural m pentru care

|∆y| = |x− y| ≤ 1

2· 10−m+1 <

1

2· 10−3.

Rezulta m = 4 si ın consecinta y = 1.6487.

O conexiune ıntre o aproximatie x a unui numar, rotunjirea lui x la m zecimalesi aproximatiile prin lipsa si adaus ale numarului este data de

Daca x este o aproximatie a numarului subunitar a astfel ıncat |∆x| < 12·

10−m, atunci rotunjirea lui x la m zecimale coincide sau cu aproximarea prinlipsa, sau cu aproximarea prin adaus a lui a la m zecimale.

Intr-adevar, daca a =∑∞

k=1a−k10k

, atunci aproximarea prin lipsa si prin adausa lui a la m zecimale sunt:σm =

∑mk=1

a−k10k

si respectiv τm = σm + 110m

.

A.5. CONTROLUL ERORII 663

Fie y rotunjirea lui x la m zecimale. Din inegalitatea |∆y| = |y−x| ≤ 12·10−m

deducem |a− y| ≤ |a− x|+ |x− y| < 10−m.Rezulta inegalitatile

σm − 10−m ≤ a− 10−m < y < a+ 10−m ≤ τm + 10−m = σm + 2 · 10−m.

Multiplicand cu 10m, gasim

10m · σm − 1 < 10m · y < 10m · σm + 2.

Deoarece 10m · σm, 10m · y ∈ N , urmeaza ca

10m · y = 10m · σm

sau10m · y = 10m · σm + 1,

adica y = σm sau y = σm + 10−m = τm.


P A.1 Sa se elaboreze un program Java care sa se verifice reprezentarea nu-merelor reale ın virgula mobila.

import java.io.*;

public class Reprez

public static void main(String args[])

byte b[]=new byte[10];

int x;

try

ByteArrayOutputStream bos=new ByteArrayOutputStream();

DataOutputStream dos=new DataOutputStream(bos);

double a=0.1;

System.out.println("a="+a);

dos.writeDouble(a);

b=bos.toByteArray();

dos.close();

bos.close();

for(int i=0;i<b.length;i++)

if(b[i]<0)

x=256+b[i];

else

x=b[i];

System.out.println(x);

catch(IOException e)

System.out.println(e.getMessage());


P A.2 Integrala In =∫ 1

0xn

x+5dx satisface relatia de recurenta In+5In−1 = 1

n, I0 =

ln 65. Sa se arate ca utilizand formula de recurenta, ıntr-un program de calculator

cu In reprezentat ın virgula mobila, se va obtine In < 0. Problema apare datoritaerorilor de rotunjire.

Anexa B

Implementarea metodeloriterative

Metodele numerice iterative conduc la construirea unui sir de aproximatiisuccesive (xk)k∈N ale unei solutii cautate. Sunt puse ın evidenta urmatoarelevariante de programare:

• secvential

• paralel

– sincron

– asincron

Programarea metodei iterative necesita o regula de opirire.Este utilizata frecvent urmatoarea regula de oprire:

Daca distanta ıntre doua aproximatii succesive xk = X si xk+1 = Y este maimica decat un numar pozitiv EPS (denumita toleranta), sau daca numarul deiteratii executate NI este egal cu numarul maxim admis de iteratii NMI atunciprogramul se opreste; iar ın caz contrar se trece la o noua iteratie.

In cazul opririi calculelor, se pozitioneaza un indicator de raspuns IND pe 0,daca distanta dintre aproximatiile succesive X si Y este mai mica decat EPS, iarın caz contrar pe 1.

Schema logica a regulii de oprire este ilustrata ın Fig. B.1.Pseudocodul algoritmului metodei iterative ın varianta secventiala si paralela

sincron este prezentat ın Algoritmul 21.

665

666 ANEXA B. IMPLEMENTAREA METODELOR ITERATIVE

?

HHHH

H

HHHH

H

||X − Y || ≤ EPSDA NU

? ?

IND = 0HHHH

HHH

H

NI = NMI

IND = 1?

DA -NU spre o

nouaiteratie

? STOP

Fig. B.1: Regula de oprire

Algorithm 21 Pseudocodul metodei iterative

1: procedure metoda iterativa2: generarea aproximatiei initiale Y3: ni← 04: do5: ni← ni+ 16: X ← Y7: generarea aproximatiei urmatoare Y8: d← ‖Y −X‖9: while (d ≥ eps) si (ni < nmi)

10: if d < eps then11: ind← 012: else13: ind← 114: end if15: return Y16: end procedure

Anexa C

Identitati trigonometrice

Proprietatea C.0.1 Au loc identitatile:

1.∑n

k=1 sin (a+ (k − 1)h) =sin nh

2

sin h2

sin (a+ n−12h).

2.∑n

k=1 cos (a+ (k − 1)h) =sin nh

2

sin h2

cos (a+ n−12h).

3. 12

+∑n

k=1 cos ka =sin (n+ 1

2)a

2 sin a2.

4. 1 + 2∑n−1

k=1 cos ka+ cosna = cot a2

sinna.

5. n+ 2∑n−1

k=1(n− k) cos ka =(

sin na2

sin a2

)2

.

6.∏n−1

k=0 sin (t+ k πn) = sinnt

2n−1 , 0 < t < πn.

7.∏n−1

k=1 sin (k πn) = n

2n−1 .

Demonstratie.4.

cota

2sinna =

sin (n+ 12)a

2 sin a2

+sin (n− 1

2)a

2 sin a2

si se aplica identitatea de la pct. 3.

6. Consideram descompunerea ın factori a polinomului zn − ei2nt :

zn − ei2nt =n−1∏k=0

(z − cos2nt+ 2kπ

n− i sin

2nt+ 2kπ

n).

Pentru z := 1 rezulta

−2i sinnt(cosnt+i sinnt) =n−1∏k=0

(−2i sin (t+

kπ

n)(cos (t+

kπ

n) + i sin (t+

kπ

n))

).

667

668 ANEXA C. IDENTITATI TRIGONOMETRICE

Din egalitatea modulelor rezulta identitatea ceruta.

7. In egalitatea

xn − 1

x− 1=

n−1∏k=1

(x− ei2πkn )

se ia x→ 0.

Proprietatea C.0.2 Au loc egalitatile

n−1∑k=0

cos k2πp

n=

n daca p

n∈ N

0 daca pn/∈ N, p ∈ N

1 daca pn/∈ N, p = 2ν+1

2, ν ∈ N

.

Demonstratie. Daca pn∈ N atunci cos k 2πp

n= 1 si deci

∑n−1k=0 cos k 2πp

n= n.

Daca pn/∈ N atunci

n−1∑k=0

cos k2πp

n= <

n−1∑k=0

eik2πpn = <e

i2πp − 1

ei2πpn − 1

.

Daca p ∈ N atunci ei2πp = 1 si deci∑n−1

k=0 cos k 2πpn

= 0.Daca p = 2ν+1

2, ν ∈ N atunci

ei2πp − 1

ei2πpn − 1

=−2

cos 2πpn

+ i sin 2πpn− 1

=−1

i sin πpn

(cos πp

n+ i sin πp

n

) =

= icos πp

n− i sin πp

n

sin πpn

= 1 + cotπp

n,

de unde∑n−1

k=0 cos k 2πpn

= 1.

Proprietatea C.0.3 Pentru λ, µ ∈ 1, 2, . . . , n− 1 au loc egalitatile

n−1∑k=0

cos kλ− µ

2

2π

n=

n daca λ = µ

0 daca λ−µ2∈ N, λ−µ

2n/∈ N

1 daca λ−µ2n

/∈ N, λ−µ2

= 2ν+12, ν ∈ N

,

n−1∑k=0

cos kλ+ µ

2

2π

n=

0 daca λ si µ au aceasi paritate1 daca λ si µ au paritati diferite

.

669

Demonstratie. Pentru p = λ−µ2

primele trei egalitati rezulta din ProprietateaC.0.2.Pentru p = λ+µ

2, daca λ si µ au aceasi paritate atunci p ∈ 1, 2, . . . , n − 1, iar

daca λ si µ au paritati diferite atunci pn/∈ N si p este de forma 2ν+1

2si se utilizeaza

din nou Proprietatea C.0.2.

Proprietatea C.0.4 Daca λ, µ ∈ 1, 2, . . . , n− 1 atunci

n−1∑k=1

sin kλπ

nsin k

µπ

n=

n2

daca λ = µ0 daca λ 6= µ

.

Demonstratie. Produsele se transforma ın sume

n−1∑k=1

sin kλπ

nsin k

µπ

n=

1

2

n−1∑k=0

(cos k

λ− µ2

2π

n− cos k

λ+ µ

2

2π

n

)si se utilizeaza Propozitia C.0.3.

Proprietatea C.0.5 Factorizarea sin x. Are loc formula

sinx = x∞∏n=1

(1− x2

n2π2

).

Demonstratie.

1. Dezvoltarea Fourier a functiei cos ax, x ∈ [0, 2π) este

cos ax =sin aπ

aπ+

2a sin aπ

π

∞∑n=1

(−1)n

a2 − n2cosnx.

2. Pentru x = π se obtine

πcos aπ

sin aπ=

1

a+ 2a

∞∑n=1

1

a2 − n2.

3. Pentru a = tπ

rezulta

cot t− 1

t= 2t

∞∑n=1

1

t2 − π2n2. (C.1)

670 ANEXA C. IDENTITATI TRIGONOMETRICE

4. Se integreaza egalitatea anterioara ıntre 0 si x, x ∈ (0, π).

Proprietatea C.0.6 Descompunerea ın fractii simple a functiei 1sin x

.Are loc formula

1

sinx=

1

x+∞∑n=1

(−1)n(

1

x− πn+

1

x+ πn

).

Demonstratie.

1. Formula (C.1) scrisa ca

cot t =1

t+ 2t

∞∑n=1

1

t2 − π2n2=

1

t+∞∑n=1

(1

t− πn+

1

t+ πn

)=

=∞∑n=0

1

t− πn+∞∑n=1

1

t+ πn

reprezinta descompunerea ın fractii simple a functiei cot .

2. Deoarece tan t = − cot(t− π2), dezvoltarea functiei tan ın fractii simple este

tan t = −

(∞∑n=0

1

t− (2n+1)π2

+∞∑n=1

1

t+ (2n−1)π2

)=

= −∞∑n=1

(1

t− (2n−1)π2

+1

t+ (2n−1)π2

).

3. Utilizand cele doua dezvoltari de mai sus, din 1sinx

= 12

(cot x

2+ tan x

2

)se

gaseste rezultatul enuntat.

Anexa D

Determinarea parametrilor unormetode numerice

Pentru a putea folosi o metoda numerica, parametrii care intervin trebuiedeterminate exact. In acest scop se pot utiliza produse program de calcul simbolic.Aplicatiile care urmeaza se bazeaza pe Mathematica. 1

1. Numerele lui Cotes sunt

Cn,i =(−1)n−i

ni!(n− i)!

∫ n

0

q(q − 1) . . . (q − i+ 1)(q − i− 1) . . . (q − n)dq.

Programarea ın Mathematica este

Cotes[n_, i_] := (-1)^(n - i)/(n i! (n - i)!)

Integrate[Product[If[j == i, 1, q - j], j, 0, n], q, 0, n]

t = MatrixForm[Table[Cotes[n, i], n, 1, 4, i, 0, n]]

cu rezultatele1

2,1

2

,

1

6,2

3,1

6

,

1

8,3

8,3

8,1

8

,

7

90,16

45,

2

15,16

45,

7

90

2. Calculul nodurilor si coeficientilor formulei de integrare numerica

de tip Gauss ρ(x) = 1. Polinoamele ortogonale cu ponderea ρ(x) = 1, ınintervalul [a, b] sunt polinoamele lui Legendre

Pn(x) =n!

(2n)![(x− a)n(x− b)n](n)

1Functie de versiunea Mathematica utilizata, codurile pot fi diferite.

671

672 ANEXA D. DETERMINAREA UNOR PARAMETRI NUMERICI

Leg[x_, n_, a_, b_] := Simplify[n!/(2 n)! D[(x - a)^n (x - b)^n, x, n]]

Pentru formula de integrare numerica Gauss cu n noduri, acestea suntradacinile polinomului Legendre Pn(x).

Nodurile formulelor de integrare numerica pentru n ∈ 1, 2, 3 sunt

t1 = Assuming[b > a, FullSimplify[Solve[Leg[x, 1, a, b] == 0, x]]]

x1 = Table[Last[Last[t1[[i]]]], i, 1, 1]a+ b

2

t2 = Assuming[b > a, FullSimplify[Solve[Leg[x, 2, a, b] == 0, x]]]

x2 = Table[Last[Last[t2[[i]]]], i, 1, 2]1

6

(√3(a− b) + 3a+ 3b

),1

6

(√3(b− a) + 3a+ 3b

)t3 = Assuming[b > a, FullSimplify[Solve[Leg[x, 3, a, b] == 0, x]]]

x3 = Table[Last[Last[t3[[i]]]], i, 1, 3]a+ b

2,

1

10

(√15(a− b) + 5a+ 5b

),

1

10

(√15(b− a) + 5a+ 5b

)

Coeficientii formulei de integrare numerica Gauss se obtin cu formula

Ai =(n!)4(b− a)2n+1

((2n)!)2(xi − a)(b− xi)[P ′n(xi)]2=

=(n!)4(b− a)2n+1

((2n)!)2(xi − a)(b− xi)∏n

j=1

j 6=i(xi − xj)2

.

Folosim functia Mathematica

Coef[n_, i_, a_, b_, x_] := (n!)^4 (b - a)^(2 n + 1)/(((2 n)!)^2 (x[[i]] - a) (b - x[[i]])

Product[If[j == i, 1, (x[[i]] - x[[j]])^2], j, 1, n])

Se obtin

673

Simplify[Coef[1, 1, a, b, x1]]

−a+ b

Table[Simplify[Coef[2, i, a, b, x2]], i, 1, 2]b− a

2,b− a

2

Table[Simplify[Coef[3, i, a, b, x3]], i, 1, 3

−4

9(a− b),− 5

18(a− b),− 5

18(a− b)

Pentru n = 4 fixam valorile lui a = −1 si b = 1 si calculele se efectueazanumeric. Analog se procedeaza si pentru alta valoare atribuita lui n.

Codurile pentru calculul nodurilor este

a = -1; b = 1; n = 4;

t4 = FullSimplify[NSolve[Leg[x, n, a, b] == 0, x]]

x4 = Table[Last[Last[t4[[i]]]], i, 1, n]

−0.861136,−0.339981, 0.339981, 0.861136iar pentru coeficienti

Table[Simplify[Coef[n, i, a, b, x4]], i, 1, n]

0.347855, 0.652145, 0.652145, 0.347855

3. Calculul coeficientilor schemei de calcul Adams sunt

βj = (−1)jr∑i=j

(ij

)αi j = 0, 1, . . . , r

undeα0 = p+ qαi = 1

i!

∫ p−q z(z + 1) . . . (z + i− 1)dz i = 1, 2, . . . , r.

Calculul acestor coeficienti se programeaza ın Mathematica prin

674 ANEXA D. DETERMINAREA UNOR PARAMETRI NUMERICI

A[i_, p_, q_] := If[i == 0, p + q,

1/i! Integrate[Product[z + j, j, 0, i - 1], z, -q, p]]

B[r_, j_, p_, q_] := (-1)^j Sum[Binomial[i, j] A[i, p, q], i, j, r]

Coeficientii schemei de calcul Adams - Bashforth (p = 1, q = 0) se obtindin

t_AdamsBashfort =

MatrixForm[Table[B[r, j, 1, 0], r, 1, 5, j, 0, r]]3

2,−1

2

,

23

12,−4

3,

5

12

,

55

24,−59

24,37

24,−3

8

,

1901

720,−1387

360,109

30,−637

360,251

720

,

4277

1440,−2641

480,4991

720,−3649

720,959

480,− 95

288

Coeficientii schemei de calcul Adams - Moulton (p = 0, q = 1) se obtin din

t_AdamsMoulton =

MatrixForm[Table[B[r, j, 0, 1], r, 1, 5, j, 0, r]]1

2,1

2

,

5

12,2

3,− 1

12

,

3

8,19

24,− 5

24,

1

24

,

251

720,323

360,−11

30,

53

360,− 19

720

,

95

288,1427

1440,−133

240,241

720,− 173

1440,

3

160

4. Calculul coeficientilor schemei cu diferente regresive

αj =

∑r

i=11i, j = 0

(−1)j∑r

i=j1i

(ij

), j ∈ 1, 2, . . . , r

se calculeaza cu codul Mathematica

A[r_, j_] := (-1)^j If[j == 0, Sum[1/i, i, 1, r],

Sum[Binomial[i, j]/i, i, j, r]]

t_bdf = MatrixForm[Table[A[r, j], r, 1, 6, j, 0, r]]

Se obtine1,−1,

3

2,−2,

1

2

,

11

6,−3,

3

2,−1

3

,

25

12,−4, 3,−4

3,1

4

,

137

60,−5, 5,−10

3,5

4,−1

5

,

49

20,−6,

15

2,−20

3,15

4,−6

5,1

6

Anexa E

Imbunatatirea convergentei

E.1 Ordinul de convergenta al unui sir

Definitia E.1.1 Fie (xn)n∈N un sir convergent ıntr-un spatiu normat, limn→∞ xn =x∗. Daca exista un numar r > 0 astfel ıncat

limn→∞

‖xn+1 − x∗‖‖xn − x∗‖r

= c, 0 < c <∞,

atunci sirul (xn)n∈N are ordinul de convergenta r.

In functie de r se utilizeaza terminologia:

convergenta liniara r = 1convergenta superliniara 1 < r < 2convergenta patratica r = 2

Observatia E.1.1 Daca exista M > 0 astfel ıncat

‖xn+1 − x∗‖ ≤M‖xn − x∗‖s, ∀n ≥ n0

atunci ordinul de convergenta r este cel putin s, r ≥ s.

Fie r ordinul de convergenta al sirului (xn)n∈N. Daca r < s atunci

‖xn+1 − x∗‖‖xn − x∗‖s

=‖xn+1 − x∗‖‖xn − x∗‖r

1

‖xn − x∗‖s−r→∞, n→∞,

ceea ce contrazice conditia din observatie.

Definitia E.1.2 Daca limn→∞ xn = x∗ si limn→∞yn−x∗xn−x∗ = 0 atunci sirul (yn)n

converge mai rapid decat sirul (xn)n.

675

676 ANEXA E. IMBUNATATIREA CONVERGENTEI

E.2 Imbunatatirea convergentei unui sir

Teorema E.2.1 Daca

• limn→∞ an = a

• limn→∞an+1−aan−a = k, k 6= 1

atunci sirul xn = an− (an+1−an)2

an+2−2an+1+anconverge mai repede catre a decat sirul (an)n.

Demonstatie. Notam en = an − a. Ipotezele teoremei se scriu limn→∞ en = 0 silimn→∞

en+1

en= k. Au loc egalitatile

xn − aan − a

=en − (en+1−en)2

en+2−2en+1+en

en=

en+2en − e2n+1

en(en+2 − 2en+1 + en)=

=

en+2

en+1

enen+1− 1

enen+1

( en+2

en+1− 2 + en

en+1).

In consecinta

limn→∞

xn − aan − a

=k 1k− 1

1k(k − 2 + 1

k)

= 0.

Teorema E.2.2 Fie sirul (xn)n∈N cu limn→∞ xn = x∗ si cu ordinul de convergentar. Daca pn = − log ‖xn − x∗‖ atunci

r = limn→∞

pn+1

pn= lim

n→∞

log ‖xn+1 − x∗‖log ‖xn − x∗‖

. (E.1)

Demonstatie. Definind

cn =‖xn+1 − x∗‖‖xn − x∗‖r

au loc egalitatile limn→∞ cn = c > 0 si

‖xn+1 − x∗‖ = cn‖xn − x∗‖r ⇔ log ‖xn+1 − x∗‖ = r log ‖xn − x∗‖+ log cn.

Putem presupune ca baza logaritmului este un numar subunitar. Atunci limn→∞ log ‖xn−x∗‖ =∞ si ın consecinta

log ‖xn+1 − x∗‖log ‖xn − x∗‖

= r +cn

log ‖xn − x∗‖→ r, n→∞.

E.3. TRANSFORMAREA LUI EULER 677

E.3 Transformarea lui Euler

Fie seria alternanta S(x) =∑∞

k=0(−1)kakxk caruia ıi asociem seria

S(x) =1

x+ 1

(a0 +

∞∑k=1

(−1)k4ak−1xk

),

unde 4ak−1 = ak − ak−1.Introducem sumele partiale

Sn(x) =n∑k=0

(−1)kakxk

Sn(x) =1

x+ 1

(a0 +

n∑k=1

(−1)k4ak−1xk

)

Au loc egalitatile

Sn(x) =1

x+ 1

(a0 +

n∑k=1

(−1)k(ak − ak−1)xk

)=

=1

x+ 1

(n∑k=0

(−1)kakxk −

n∑k=1

(−1)kak−1xk

)=

=1

x+ 1

(n∑k=0

(−1)kakxk −

n−1∑k=0

(−1)k+1akxk+1

)=

=1

x+ 1

(n∑k=0

(−1)kakxk +

n−1∑k=0

(−1)kakxk+1

)= Sn−1(x) +

(−1)n−1an−1xn

x+ 1.

Daca seria S(x) este convergenta si |x| < 1 atunci din egalitatea de mai susrezulta ca si seria S(x) este convergenta, avand aceasi suma

S(x) = S(x) =1

x+ 1

(a0 +

∞∑k=1

(−1)k4ak−1xk

). (E.2)

Aplicand repetat egalitatea (E.2) se obtin succesiv egalitatile

S(x) =1

x+ 1(a0 +

∞∑k=1

(−1)k4ak−1xk) =

a0

x+ 1− x

x+ 1

∞∑k=0

(−1)k4akxk =

678 ANEXA E. IMBUNATATIREA CONVERGENTEI

=a0

x+ 1− x

(x+ 1)2

(4a0 +

∞∑k=1

(−1)k42ak−1xk

)=

=a0

x+ 1− x4a0

(x+ 1)2+ (

x

x+ 1)2

∞∑k=0

(−1)k42akxk =

=a0

x+ 1− x4a0

(x+ 1)2+

x2

(x+ 1)3

(42a0 +

∞∑k=1

(−1)k43akxk

)=

. . . =1

x+ 1

∞∑k=0

(−1)k4ka0(x

x+ 1)k.

Definitia E.3.1 Transformata Euler a seriei S(x) =∑∞

k=0(−1)kakxk este seria

S(x) =1

x+ 1

∞∑k=0

(−1)k4ka0(x

x+ 1)k.

In particular, pentru x = 1 se obtine

∞∑k=0

(−1)kak =∞∑k=0

(−1)k1

2k+14ka0.


P E.1 Utilizand transformata Euler sa se arate egalitatile

ln 2 =∞∑k=0

(−1)k

k + 1=

∞∑k=0

1

(k + 1)2k+1

π

4=∞∑k=0

(−1)k

2k + 1=

1

2

∞∑k=0

k!

(2k + 1)!!

Anexa F

Determinarea ordinelor deconvergenta ale metodelor derezolvare paralela a ecuatiilorpolinomiale utilizand instrumentede calcul simbolic

Este suficient sa sa consideram polinomul P (z) = (z−a)(z−b)(z−c) si primacomponenta T1(z) a unei metode de calcul paralel a radacinilor unui polinomz(k+1) = T (z(k)).

Pentru a verifica conditiile Teoremei H.0.8, datorita proprietatilor de simetrieeste suficient sa calculam

∂T1(z)∂z1

∂T1(z)∂z2

∂2T1(z)

∂z21

∂2T1(z)∂z1∂z2

∂2T1(z)

∂z22

∂2T1(z)∂z2∂z3

∂3T1(z)

∂z31

∂3T1(z)

∂z21∂z2

∂3T1(z)

∂z1∂z22

∂3T1(z)

∂z32

∂3T1(z)

∂z22∂z3

∂4T1(z)

∂z41

∂4T1(z)

∂z31∂z2

∂4T1(z)

∂z21∂z22

∂4T1(z)

∂z1∂z32

∂4T1(z)

∂z42

∂4T1(z)

∂z32∂z3

∂4T1(z)

∂z22∂z23

...

Se vor calcula succesiv elementele liniilor de mai sus pana la aparitia primuluielement nenul.

Programul de calcul simbolic utilizat este Mathematica.

679

680 ANEXA F. DETERMINAREA ORDINELOR DE CONVERGENTA

• Metoda Durand-Kerner

T1(z1, z2, z3) = z1 −P (z1)

(z1 − z2)(z1 − z3)

Programul Mathematica este

In[1]:=

T1[z1,z2,z3]:=

z1-(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)/((z1-z2)*(z1-z3))

In[2]:=

D[T1[z1,z2,z3],z1]/.z1->a,z2->b,z3->c

Out[2]:= 0

In[3]:=

D[T1[z1,z2,z3],z2]/.z1->a,z2->b,z3->c

Out[3]:= 0

In[4]:=

Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,z2]/.z1->a,z2->b,z3->c]

Out[4]:= 1−a+b

• Metoda Erlich

T1(z1, z2, z3) = z1 −P (z1)

(z1 − z2)(z1 − z3)− P (z1)(

1z1−z2 + 1

z1−z3

)Programul Mathematica corespunzator este

In[1]:=

T1[z1,z2,z3]:=

z1-(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)/((z1-z2)*(z1-z3)-

(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)*

(1/(z1-z2)+1/(z1-z3)))

In[2]:=

D[T1[z1,z2,z3],z1]/.z1->a,z2->b,z3->c

Out[2]:= 0

In[3]:=

D[T1[z1,z2,z3],z2]/.z1->a,z2->b,z3->c

Out[3]:= 0

In[4]:=

Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,2]/.z1->a,z2->b,z3->c]

681

Out[4]:=2(−2a+b+c)(a−b)(a−c)

• Metoda Nourein

T1(z1, z2, z3) = z1−P (z1)

(z1 − z2)(z1 − z3)[1 + P (z2)

(z2−z1)(z2−z3)(z1−z2) + P (z3)(z3−z1)(z3−z2)(z1−z3)

] =

= z1 −P (z1)

(z1 − z2)(z1 − z3) + (z1−z3)P (z2)(z2−z1)(z2−z3)

+ (z1−z2)P (z3)(z3−z1)(z3−z2)

Programul Mathematica este

In[1]:=

T1[z1,z2,z3]:=

z1-(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)/((z1-z2)*(z1-z3)+

(z2-a)*(z2-b)*(z2-c)*(z1-z3)/((z2-z1)*(z2-z3))+

(z3-a)*(z3-b)*(z3-c)*(z1-z2)/((z3-z1)*(z3-z2)))

In[2]:=

D[T1[z1,z2,z3],z1]/.z1->a,z2->b,z3->c

Out[2]:= 0

In[3]:=

D[T1[z1,z2,z3],z2]/.z1->a,z2->b,z3->c

Out[3]:= 0

In[4]:=


Out[4]:= 0

In[5]:=


Out[5]:= 0

In[6]:=


Out[6]:= 0

In[7]:=


Out[7]:= 0

In[7]:=

Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,2,z2]/.z1->a,z2->b,z3->c]

Out[4]:=− 2(a−b)2


• Metoda Wang-Zheng

T1(z1, z2, z3) = z1−

− 2P (z1)P ′(z1)

2P ′2(z1)− P (z1)P ′′(z1)− 2P 2(z1)(

1(z1−z2)2

+ 1(z1−z2)(z1−z3)

+ 1(z1−z3)2

)Programul Mathematica este

In[1]:=

P[x_]:=x^3-(a+b+c)*x*x+(a*b+b*c+c*a)*x-a*b*c

D1P[x_]:=3*x*x-2*(a+b+c)*x+a*b+b*c+c*a

D2P[x_]:=6*x-2*(a+b+c)

In[2]:=

T1[z1,z2,z3]:=

z1-2*P[z1]*D1P[z1]/(2*D1P[z1]*D1P[z1]-P[z1]*D2P[z1]-

2*P[z1]*P[z1]*

(1/(z1-z2)^2+1/((z1-z2)*(z1-z3))+1/(z1-z3)^2))

In[3]:=

D[T1[z1,z2,z3],z1]/.z1->a,z2->b,z3->c

Out[3]:= 0

In[4]:=

D[T1[z1,z2,z3],z2]/.z1->a,z2->b,z3->c

Out[4]:= 0

In[5]:=


Out[5]:= 0

In[6]:=


Out[6]:= 0

In[7]:=


Out[7]:= 0

In[8]:=


Out[8]:= 0

In[9]:=


Out[9]:= 0

In[10]:=

683


Out[10]:= 0

In[11]:=

Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,z2,2]/.z1->a,z2->b,z3->c]

Out[11]:= 0

In[12]:=


Out[12]:= 0

In[13]:=


Out[13]:= 0

In[14]:=


Out[14]:=6(−3a+b+2c)(a−b)3(a−c)

Anexa G

Elemente de topologie

G.1 Statiu topologic Baire

Fie X un spatiu topologic.

Definitia G.1.1 O submultime nevida Y ⊂ X este rara daca int(Y ) = ∅.

Definitia G.1.2 O submultime nevida este de categoria I daca se poate reprezentaca o reuniune numarabila de multimi rare. In caz contrar submultimea este decategoria II.

Definitia G.1.3 O submultime nevida este reziduala daca este complementaraunei multimi de categoria I.

Definitia G.1.4 O submultime nevida este superdensa daca este densa ın spatiultopologic, reziduala si nenumarabila.

Definitia G.1.5 Un spatiu topologic se numeste spatiu topologic Baire daca oricesubmultime nevida si deschisa este de categoria II.

Au loc urmatoarele rezultate:

Teorema G.1.1 Fie X un spatiu topologic, Y o submultime nevida ın X siZ = X\Y. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) Y este deschisa si densa ın X;

(ii) Z este ınchisa si rara.

685

686 ANEXA G. ELEMENTE DE TOPOLOGIE

Demonstratie. Y deschisa ⇔ Z ınchisa.Fie Y, o submultime deschisa si densa ın X, Y = X. Presupunem prin absurd

ca Z nu e rara, adica exista x ∈ int(Z) = int(Z) ⊆ Z. Atunci Z este o vecinatatea lui x. Din Y ∩ Z = ∅ rezulta ca x /∈ Y , ceea ce contrazice ipoteza Y = X.

Invers, fie Z o submultime ınchisa si rara. Daca presupunem prin absurd caY nu este densa atunci exista x ∈ X\Y ⊆ X\Y = Z. Submultimea X\Y estedeschisa, deci ∅ 6= int(Z) ⊆ int(Z), ceea ce contrazice ipoteza int(Z) = ∅.

Teorema G.1.2 Orice submultime a unei multimei de categoria I este de cate-goria I.

Demonstratie. Fie Y o multime de categoria I, reprezentata prin

Y =⋃n∈N

Yn, Yn submultime rara, ∀n ∈ N.

Daca Z ⊂ Y atunci Z = Z ∩ Y =⋃n∈N(Z ∩ Yn), iar submultimile Z ∩ Yn sunt

rare, ∀n ∈ N.Un spatiu topologic Baire este caracterizat de urmatoarea proprietate

Teorema G.1.3 Un spatiu topologic este spatiu topologic Baire daca si numaidaca o intersectie numarabila de multimi deschise si dense ramane densa.

Demonstratie. Fie X un spatiu topologic Baire si familia (Xn)n∈N de multimideschise si dense ın X. Presupunem prin absurd ca multimea Z =

⋂n∈NXn nu e

densa ın X. Atunci multimea Y = X\Z este deschisa si nevida. Din relatiile

Y = X\Z ⊆ X\Z = X ∩ C(Z) =⋃n∈N

(X ∩ C(Xn)) =⋃

(X\Xn),

deducem utilizand Teoremele G.1.1 si G.1.2 ca Y este de categoria I, contrazicandproprietatea de spatiu topologic Baire a lui X.

Reciproc, presupunem prin absurd ca X nu e spatiu topologic Baire, adicaexista o multime nevida si deschisa Y astfel ıncat

Y =⋃n∈N

Yn Yn submultime rara, ∀n ∈ N.

Submultimile Xn = X\Y n = C(Y n) sunt deschise si dense ın X,

Xn = C(Y n) = C(int(Y n)) = X.

G.1. STATIU TOPOLOGIC BAIRE 687

Astfel ⋂n∈N

Xn = X. (G.1)

Pe de alta parte,

∅ 6= Y =⋃n∈N

Yn ⊆⋃n∈N

Y n =⋃n∈N

C(Xn) = C(⋂n∈N

Xn),

ceea ce contrazice (G.1).Recunoasterea unui spatiu topologic Baire este usurata de

Teorema G.1.4 Un spatiu metric complet este un spatiu topologic Baire.

Demonstratie. Presupunem prin absurd ca exista o multime deschisa si nevidaY de categoria I:

Y =⋃n∈N∗

Yn Yn submultime rara, ∀n ∈ N∗.

Fie B0 = Y. Multimea deschisa B0\Y 1 este nevida – ın caz contrar Y = B0 ⊆ Y 1,cea ce ar contrazice raritatea lui Y1.Prin urmare exista x1 ∈ B0\Y 1 si r′1 > 0 astfel ıncat B(x1, r

′1) ⊆ B0\Y 1.

1

Pentru r1 = min1, 12r′1 multimea B1 = B(x1, r1) satisface relatiile

B1 ∩ Y 1 = ∅,B1 ⊆ B0.

Inductiv, presupunem ca s-au construit multimileBi = B(xi, ri), i = 1, 2, . . . , n−1 astfel ıncat

Bi ∩ Y i = ∅,Bi ⊆ Bi−1.

Multimea deschisa Bn−1\Y n este nevida – ın caz contrar Bn−1 ⊆ Y n, cea ce arcontrazice raritatea lui Yn.Exista xn ∈ Bn−1\Y n si r′n > 0 astfel ıncat B(xn, r

′n) ⊆ Bn−1\Y n.

Pentru rn = min 1n, 1

2r′n multimea Bn = B(xn, rn) satisface relatiile

Bn ∩ Y n = ∅,Bn ⊆ Bn−1.

1B(x, r) = y ∈ X : d(x, y) < r, unde d(x, y) este distanta dintre x si y.

688 ANEXA G. ELEMENTE DE TOPOLOGIE

Sirul (xn)n∈N∗ este fundamental, deci convergent. Fie x = limn→∞ xn.Deoarece xn ∈ Bn ⊆ B1, ∀n ∈ N∗, rezulta ca

x ∈ Bn ⊆ B1 ⊆ B0 = Y. (G.2)

Pe de alta parte, pentru orice n ≥ m, xn ∈ Bm, de unde

x ∈ Bm ⇔ x /∈ Y m, ∀m ∈ N∗.

Urmeaza x /∈ Y, ın contradictie cu (G.2).

Anexa H

Elemente de analiza matematica

Diferentiabilitatea unui operator definit ıntr-un

spatiu normat

Fie X, Y spatii normate, domeniul D ⊆ X si operatorul T : D → Y. Ream-intim

Definitia H.0.1 Operatorul T este diferentiabil Frechet ın x ∈ D daca exista unoperator liniar si continuu L ∈ (X, Y )∗ astfel ıncat

limh→0

‖T (x+ h)− T (x)− L(h)‖‖h‖

= 0. (H.1)

Teorema H.0.1 Daca operatorul T este diferentiabil Frechet ın x atunci opera-torul L este unic.

Operatorul L din Definitia H.0.1 se noteaza L = T ′(x) = dT (x) si se numestediferentiala Frechet a lui T ın x.

Relatia (H.1) se poate rescrie sub forma

T (x+ h) = T (x) + T ′(x)(h) + ‖h‖w(x, h), (H.2)

unde functia w(x, h) ∈ Y are proprietatea limh→0w(x, h) = 0.Asemeni functiilor reale

Teorema H.0.2 Daca operatorul T este diferentiabil Frechet ın x atunci T estecontinuu ın x.

689

690 ANEXA H. ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA

Presupunand operatorul T diferentiabil ın fiecare punct x al domeniului D, seintroduce operatorul T ′ → (X, Y )∗ definit prin x 7→ T ′(x). Daca acest operatoreste diferentiabil Frechet ın x atunci diferentiala ei este diferentiala Frechet deordinul 2 a lui T ın x. Notam acest operator prin T ′′(x) ∈ (X, (X, Y )∗)∗. Recursiv,se defineste diferentiabilitatea Frechet de ordin superior. T (k)(x) este un elemental multimii

T (k)(x) ∈ (X, (X, . . . , (︸︷︷︸k paranteze

X, Y )∗)∗ . . .)∗︸︷︷︸k paranteze

.

Definitia H.0.2 Operatorul T este diferentiabil Gateaux ın x ∈ D dupa directiah ∈ X daca

∃ limt→0

T (x+ th)− T (x)

t= T ′(x, h).

Definitia H.0.3 Operatorul T este diferentiabil Gateaux ın x ∈ D daca estediferentiabil Gateaux ın x ∈ D dupa orice directie h ∈ X.

Definitia H.0.4 Operatorul T este G-derivabil ın x ∈ D daca

• este diferentiabil Gateaux ın x;

• operatorul ∇T (x) : X → Y, definit prin ∇T (x)(h) = T ′(x, h) este un oper-ator liniar si continuu.

Legatura dintre cele doua tipuri de diferentiabilitate este data ın urmatoareleteoreme.

Teorema H.0.3 Daca operatorul T este diferentiabil Frechet ın x atunci T esteG-derivabil ın x si T ′(x) = ∇T (x).

Demonstratie. Scriind th, h ∈ X, t ∈ R∗ ın loc de h, din (H.2) rezulta

T (x+ th) = T (x) + T ′(x)(th) + ‖th‖w(x, th),

de undeT (x+ th)− T (x)

t= T ′(x)(h) +

|t|tw(x, th).

Pentru t→ 0 se obtine ∇T (x)(h) = T ′(x)(h),∀h ∈ X, de unde concluziile teore-mei.

Reciproc, G derivabilitatea implica diferentiabilitatea Frechet ın conditiile

691

Teorema H.0.4 Daca T : D ⊆ X → Y este un operator G derivabil ıntr-

o vecinatate a lui x ∈ D si operatorul x∇7→ ∇T (x) este continuu ın topolo-

gia (X, (X, Y )∗)∗ atunci operatorul T este diferentiabil Frechet ın x si T ′(x) =∇T (x).

Demonstratie. Fie h ∈ X si u = T (x+h)−T (x)−∇T (x)(h). Potrivit TeoremeiHahn - Banach exista o functionala liniara si continua y∗ ∈ Y ∗ astfel ıncat ‖y∗‖ =1 si y∗(u) = ‖u‖.

Definim functia F : [0, 1]→ R prin F (t) = y∗(T (x+ th)). F (t) este derivabilaın t ∈ (0, 1) si F ′(t) = y∗(∇T (x+ th)(h)). Intr-adevar,

F ′(t) = limλ→0

F (t+ λ)− F (t)

λ=

= limλ→0

y∗(T (x+ (t+ λ)h)− T (x)

λ) = y∗(∇T (x+ th)(h)).

Potrivit teoremei de medie a lui Lagrange, exista θ ∈ (0, 1) astfel ıncat

F (1)− F (0) = F ′(θ) ⇔ y∗(T (x+ h)− T (x)) = y∗(∇T (x+ θh)(h)).

In sfarsit, utilizand aceasta egalitate si proprietatile normei operatorilor liniarideducem

‖T (x+ h)− T (x)−∇T (x)(h)‖ = ‖u‖ = y∗(u) =

= y∗(T (x+ h)− T (x)−∇T (x)(h)) = y∗((∇T (x+ θh)−∇T (x))(h)) ≤≤ |y∗((∇T (x+ θh)−∇T (x))(h))| ≤ ‖y∗‖ ‖(∇T (x+ θh)−∇T (x))(h))‖ ≤

≤ ‖∇T (x+ θh)−∇T (x)‖ ‖h‖.Rezulta inegalitatea

‖T (x+ h)− T (x)−∇T (x)(h)‖‖h‖

≤ ‖∇T (x+ θh)−∇T (x)‖ → 0

pentru h→ 0.In acest cadru general, o dezvoltare tayloriana are proprietatea:

Teorema H.0.5 Daca T : D ⊆ X → Y este un operator de n ∈ N ori diferentiabilFreachet ın D atunci pentru orice x, y ∈ D are loc inegalitatea

‖T (y)− T (x)−n−1∑k=1

1

k!T (k)(x) (y − x) . . . (y − x)︸︷︷︸

k ori

‖ ≤ 1

n!‖y − x‖n sup

z∈[x,y]

‖T (n)(z)‖,

unde [x, y] = z = tx+ (1− t)y : 0 ≤ t ≤ 1.


Vom prezenta doua demonstratii ale acestei teoreme, deosebit de importanta.

Demonstratia 1. In prealabil stabilim Teorema Bourbaki:

Teorema H.0.6 Fie X un spatiu normat real. Daca

1. f : [a, b]→ X este o functie continua, derivabila ın (a, b) :

∀ x ∈ (a, b) ∃ limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= f ′(x);

2. g : [a, b]→ R este o functie continua, derivabila ın (a, b);

3. ‖f ′(x)‖ ≤ g′(x), ∀ x ∈ (a, b)

atunci ‖f(b)− f(a)‖ ≤ g(b)− g(a).

Demonstratie. Fie ε > 0. Introducem multimea

U = x ∈ [a, b] : ‖f(x)− f(a)‖ > g(x)− g(a) + ε(x− a) + ε (H.3)

Dorim sa aratam ca U = ∅.Presupunem prin absurd ca U 6= ∅. Atunci

(i) U este o multime deschisa, deoarece U = ϕ−1(R+), unde ϕ(x) = ‖f(x) −f(a)‖ − [g(x)− g(a) + ε(x− a) + ε].

(ii) Exista c = inf U.

(iii) c > a. Daca c = a, din (H.3) rezulta relatia contradictorie 0 ≥ ε > 0.

(iv) c 6∈ U. Daca c ∈ U atunci exista o vecinatate a lui c, (c − η1, c + η2) ⊂ U,ceea ce contrazice faptul ca c = inf U.

(v) c < b. Daca c = b atunci U = b si U n-ar mai fi multime deschisa.

(vi) Exista η > 0 astfel ıncat pentru c < x < c+ η∣∣∣∣∥∥∥∥f(x)− f(c)

x− c

∥∥∥∥− ‖f ′(c)‖∣∣∣∣ ≤ ∥∥∥∥f(x)− f(c)

x− c− f ′(c)

∥∥∥∥ < ε

2(H.4)

si ∥∥∥∥g(x)− g(c)

x− c− g′(c)

∥∥∥∥ < ε

2(H.5)

693

Pentru x ∈ (c, c+ η), din (H.4) si (H.5) rezulta∥∥∥∥f(x)− f(c)

x− c

∥∥∥∥− ε

2≤ ‖f ′(c)‖ ≤ g′(c) <

g(x)− g(c)

x− c+ε

2

sau‖f(x)− f(c)‖ < g(x)− g(c) + ε(x− c). (H.6)

Deoarece c 6∈ U,

‖f(c)− f(a)‖ ≤ g(c)− g(a) + ε(c− a) + ε. (H.7)

Din (H.6) si (H.7), pentru x ∈ (c, c+ η) rezulta

‖f(x)− f(a)‖ ≤ ‖f(x)− f(c)‖+ ‖f(c)− f(a)‖ < g(x)− g(a) + ε(x− a) + ε.

Astfel (c, c+ η) ∩ U = ∅ si ın consecinta c nu poate fi inf U.Prin urmate U = ∅.Pentru orice x ∈ [a, b] are loc inegalitatea

‖f(x)− f(a)‖ ≤ g(x)− g(a) + ε(x− a) + ε.

Daca ε 0 atunci ‖f(x)− f(a)‖ ≤ g(x)− g(a).

Teorema H.0.7 Daca v : [0, 1] → X este o functie de n ori derivabila astfelıncat ‖v(n)(t)‖ ≤M, ∀ t ∈ (0, 1) atunci∥∥∥∥v(1)− v(0)− 1

1!v′(0)− 1

2!v′′(0)− . . . 1

(n− 1)!v(n−1)(0)

∥∥∥∥ ≤ M

n!.

Demonstratie. Introducem functiile f : [0, 1]→ X,

f(t) = v(t)− v(0) +1− t

1!v′(t) +

(1− t)2

2!v′′(t) + . . .+

(1− t)n−1

(n− 1)!v(n−1)(t),

g : [0, 1]→ R, g(t) = −M (1− t)n

n!

Atunci f ′(t) = (1−t)n−1

(n−1)!vn(t) si ın consecinta ‖f ′(t)‖ ≤ g′(t). Teorema Bourbaki

implica inegalitatea enuntata.

Reluam demonstratia Teoremei H.0.5. Fie x, y ∈ D, h = y − x si v(t) =T (x + th), t ∈ [0, 1]. Atunci v(k)(t) = T (k)(x + th) (h) . . . (h)︸︷︷︸

k−ori

. Pentru M =

supz∈[x,y] ‖T (n)(z)‖ ‖h‖n, inegalitatea dorita rezulta din Teorema H.0.7.


Demonstratia 2. Fie x, y ∈ D. Notand

u = T (y)− T (x)−n−1∑k=1

1

k!T (k)(x) (y − x) . . . (y − x)︸︷︷︸

k ori

,

potrivit Teoremei Hahn - Banach exista o functionala liniara si continua y∗ ∈ Y ∗astfel ıncat ‖y∗‖ = 1 si y∗(u) = ‖u‖.

Definim F : [0, 1]→ R prin F (t) = y∗(T (x+ t(y − x))). Atunci

F (k)(t) = y∗(T (k)(x+ t(y − x)) (y − x) . . . (y − x)︸︷︷︸k ori

), k ∈ 1, . . . , n. (H.8)

(H.8) se demonstreaza prin inductie matematica.Exista θ ∈ (0, 1) astfel ıncat

F (1)− F (0)−n−1∑k=1

1

k!F (k)(0) =

1

n!F (n)(θ)⇔

y∗(T (y)− T (x)−n−1∑k=1

1

k!T (k)(x) (y − x) . . . (y − x)︸︷︷︸

k ori

) =

=1

n!y∗(T (n)(x+ θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x)︸︷︷︸

n ori

).

Utilizand egalitatea anterioara si proprietatile normei operatorilor liniari obtinem

‖T (y)− T (x)−n−1∑k=1

1

k!T (k)(x) (y − x) . . . (y − x)︸︷︷︸

k ori

‖ = ‖u‖ =

= y∗(u) = y∗(T (y)− T (x)−n−1∑k=1

1

k!T (k)(x) (y − x) . . . (y − x)︸︷︷︸

k ori

) =

=1

n!y∗(T (n)(x+ θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x)︸︷︷︸

n ori

) ≤

≤ 1

n!|y∗(T (n)(x+ θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x)︸︷︷︸

n ori

)| ≤

695

≤ 1

n!‖y∗‖ ‖T (n)(x+ θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x)︸︷︷︸

n ori

)‖ ≤

≤ 1

n!‖T (n)(x+ θ(y − x))‖ ‖y − x‖n ≤ 1

n!‖y − x‖n sup

z∈[x,y]

‖T (n)(z)‖.

O consecinta a acestei teoreme usureaza justificarea convergentei unor siruridefinite prin recurenta.

Fie Ω ∈ Cn o multime deschisa, T : Ω→ Cn, T (z) =

T1(z)...

Tn(z)

un operator

de m (≥ 2) ori diferentiabil, avand diferentiala de ordin m continua ın Ω si sirul(z(k))k∈N construit prin formula de recurenta

z(k+1) = T (z(k)), z(k) =

z(k)1...

z(k)n

⇔ z(k+1)i = Ti(z

(k)), (H.9)

∀ i ∈ 1, 2, . . . , n, k ∈ N.In Cn se va utiliza norma ‖z‖ = max|z1|, |z2|, . . . , |zn|.

Notam prin α =

α1...αn

vectorul format de radacinile polinomului P.

Teorema H.0.8 Daca

1. T (α) = α,

2. T ′(α) = T ′′(α) = . . . = T (m−1)(α) = 0

atunci exista r > 0 astfel ıncat pentru orice z(0) ∈ Cn, ‖z(0) − α‖ < r, sirulconstruit prin formula de recurenta z(k+1) = T (z(k)), k ∈ N, (H.9) converge catreα.

Demonstratie. Fie r0 > 0 astfel ıncat V0 = z ∈ Cn : ‖z − α‖ ≤ r0 ⊂ Ω siC0 = maxz∈V0 ‖T (m)(z)‖.

Exista 0 < r ≤ r0 astfel ıncat

C0rm

m!< r ⇔

(C0

m!

) 1m−1

r < 1.


Notam V = z ∈ Cn : ‖z − α‖ ≤ r. Daca z ∈ V atunci Teorema H.0.5 siipotezele prezente implica

‖T (z)− α‖ = ‖T (z)− T (α)−m−1∑j=1

1

j!T (j)(α) (z − α) . . . (z − α)︸︷︷︸

j ori

‖ ≤

≤ 1

m!‖z − α‖m sup

ζ∈[α,z]

‖T (m)(ζ)‖ ≤ C0rm

m!< r,

adica T (z) ∈ V.In particular, pentru z = z(k) din relatiile anterioare deducem

‖z(k+1) − α‖ = ‖T (z(k))− α‖ ≤ C0

m!‖z(k) − α‖m. (H.10)

Utilizand repetat inegalitatea (H.10) gasim

‖z(k) − α‖ ≤ C0

m!‖z(k−1) − α‖m ≤ C0

m!

(C0

m!‖z(k−2) − α‖m

)m=

=

(C0

m!

)1+m

‖z(k−2) − α‖m2 ≤ . . . ≤(C0

m!

)1+m+...+mk−1

‖z(0) − α‖mk ≤

≤(C0

m!

)mk−1m−1

rmk

=

((C0

m!

) 1m−1

r

)mk−1

r → 0, k →∞.

Din inegalitatea (H.10) deducem totodata faptul ca ordinul de convergenta alsirului (z(k))k∈N este cel putin m (Anexa F).

Anexa I

Elemente de analiza functionala

I.1 Teorema de punct fix a lui Banach

Fie (X, ‖·‖) un spatiu normat. Un operator ϕ : X → X se numeste contractiedaca exista o constanta a ∈ (0, 1) astfel ıncat ‖ϕ(x)−ϕ(y)‖ ≤ a‖x−y‖, ∀a, y ∈X. Daca ϕ(x) = x atunci x se numeste element fix al operatorului ϕ.

Teorema I.1.1 (de punct fix a lui Stefan Banach) Daca X este un spatiuBanach (spatiu normat si complet) si ϕ : X → X este o contractie atunci ϕ areun singur punct fix.

Demonstratie. Fie x0 ∈ X si consideram sirul (xn)n∈N definit prin formula derecurenta xn+1 = ϕ(xn), n ∈ N. Utilizand proprietatea de contractie a operatoru-lui ϕ obtinem

‖xn+1 − xn‖ = ‖ϕ(xn)− ϕ(xn−1)‖ ≤ a‖xn − xn−1‖ =

= a‖ϕ(xn−1)− ϕ(xn−2)‖ ≤ a2‖xn−1 − xn−2‖ ≤ . . . ≤ an‖x1 − x0‖.Sirul (xn)n∈N este fundamental. Intr-adevar

‖xn+p − xn‖ ≤n+p−1∑k=n

‖xk+1 − xk‖ ≤n+p−1∑k=n

ak‖x1 − x0‖ ≤ an

1− a‖x1 − x0‖.

Din proprietatea de completitudine rezulta ca sirul (xn)n∈N este convergent. Fiex∗ = limn→∞ x

n. Trecand la limita ın formula de recurenta (ϕ fiind contractieeste continua) obtinem x∗ = ϕ(x∗), adica x∗ este punct fix al operatorului ϕ.

Daca x∗1 si x∗2 sunt puncte fixe ale operatorului ϕ atunci din relatiile

‖x∗1 − x∗2‖ = ‖ϕ(x∗1)− ϕ(x∗2)‖ ≤ a‖x∗1 − x∗2‖

697

698 ANEXA I. ELEMENTE DE ANALIZA FUNCTIONALA

deducem(1− a)‖x∗1 − x∗2‖ ≤ 0.

Cum 1− a > 0, ın mod necesar ‖x∗1 − x∗2‖ = 0, adica x∗1 = x∗2.

Teorema I.1.2 Daca X este un spatiu Banach si ϕ : X → X un operator astfelıncat ϕm = ϕ . . . ϕ︸︷︷︸

m ori

este o contractie atunci ϕ are un singur punct fix.

Demonstratie. Exista un singur element x ∈ X astfel ıncat ϕm(x) = x.Aplicand ϕ asupra egalitatii precedente rezulta

ϕ(ϕm(x)) = ϕm+1(x) = ϕm(ϕ(x)) = ϕ(x),

adica ϕ(x) este punct fix pentru ϕm. Unicitatea lui x implica x = ϕ(x).

Teorema I.1.3 Fie X este un spatiu Banach, B(x0, r) = x ∈ X : ‖x−x0‖ ≤ rsi ϕ : B(x0, r)→ X o contractie de parametru a. Daca ‖ϕ(x0)− x0‖ ≤ (1− a)ratunci varphi are un singur punct fix.

Demonstratie. Aratam la ınceput ca ϕ(B(x0, r)) ⊆ B(x0, r). Intr-adevar, dacax ∈ B(x0, r) atunci au loc relatiile

‖ϕ(x)− x0‖ ≤ ‖ϕ(x)− ϕ(x0)‖+ ‖ϕ(x0)− x0‖ ≤

≤ a‖x− x0‖+ (1− a)r ≤ ar + (1− a)r = r.

Reluand justificarea teoremei de punct fix a lui Banach rezulta concluzia teoremei.

I.2 Inversarea operatorilor liniari

Presupunem cunoscuta urmatoarea teorema (Carl Neumann)

Teorema I.2.1 Daca X este un spatiu Banach si A ∈ (X,X)∗, un operatorliniar si continuu astfel ıncat ‖A‖ < 1 atunci

1. Operatorul I − A este inversabil;

2. (I − A)−1 =∑∞

k=0 Ak, convergenta seriei fiind ceea a spatiului Banach

(X,X)∗.

O consecinta utila este

I.3. PRINCIPIUL CONDENSARII SINGULARITATILOR 699

Teorema I.2.2 Fie X un spatiu Banach si operatorul L ∈ (X,X)∗. Au locafirmatiile

1. Operatorul L este inversabil daca si numai daca exista un operator in-versabil K ∈ (X,X)∗ astfel ıncat ‖I −KL‖ < 1.

2. Daca L este inversabil atunci au loc relatiile:

L−1 =∞∑k=0

(I −KL)kK, (I.1)

‖L−1‖ ≤ ‖K‖1− ‖I −KL‖

. (I.2)

Demonstratie. Necesitatea rezulta din alegerea K = L−1. Pentru A = I −KLdin Teorema I.2.1 rezulta inversabilitatea operatorului [I − (I − KL)] = KL si(KL)−1 =

∑∞k=0(I −KL)k. In consecinta

(KL)−1K = (KL)−1(K−1)−1 = (K−1KL)−1 = L−1 =∞∑k=0

(I −KL)kK.

I.3 Principiul condensarii singularitatilor

Fie X, Y spatii normate si o submultime de operatori liniari si continui A ⊆(X, Y )∗. Multimea singularitatilor atasat submultimii de operatori liniari si poz-itivi A este

SA = x ∈ X : supA∈A‖A(x)‖ =∞.

Proprietati ale acestei multimi sunt precizate ın

Teorema I.3.1 (Principiul condensarii singularitatilor) Daca X este unspactiu Banach, Y un spatiu normat si A o submultime de operatori liniari sicontinui, astfel ıncat supA∈A ‖A‖ = ∞, atunci multimea singularitatilor atasatafamiliei A este superdensa ın X.

Demonstratie. Introducem multimile

Xn = x ∈ X : ∃A ∈ A astfel ıncat ‖A(x)‖ > n n ∈ N.

Atunci avem


(i)

SA =⋂n∈N

Xn. (I.3)

(ii)

Xn =⋃A∈A

x ∈ X : ‖A(x)‖ > n,

deci Xn este o submultime deschisa.

(iii)Xn = X.

Pentru justificarea acestei afirmatii, presupunem prin absurd, ca exista n ∈N si x0 ∈ X\Xn. Deoarece multimea X\Xn este deschisa, exista r > 0astfel ıncat B(x0, r) = x ∈ X : ‖x− x0‖ ≤ r ⊂ X\Xn. Din identitatea

A(x) =‖x‖r

[A(rx

‖x‖+ x0)− A(x0)]

se deduce

‖A(x)‖ ≤ 2n

r‖x‖, ∀x ∈ X, ∀A ∈ A, (I.4)

deoarece r x‖x‖ + x0, x0 ∈ B(x0, r) ⊂ X\Xn.

Inegalitatea (I.4) contrazice ipoteza supA∈A ‖A‖ =∞.Spatiul Banach X este un spatiu topologic Baire si din (I.3), potrivit Teo-remei G.1.3, multimea SA este densa ın X.

(iv) Din Teorema G.1.1 multimeaX\Xn este ınchisa si rara. Relatia (I.3) implica

SA =⋂n∈N

Xn = X\(X\⋂n∈N

Xn) = X\⋃n∈N

(X\Xn),

adica SA este o multime reziduala.

Daca x ∈ SA si λ > 0 atunci λx ∈ SA, deci SA este nenumarabila.

O consecinta importanta a Teoremei I.3.1 este

Teorema I.3.2 (Principiul marginirii uniforme) Daca X este un spatiuBanach, Y un spatiu normat, atunci orice submultime de operatori liniari sicontinui, A ⊆ (X, Y )∗ marginita punctual, ∀x ∈ X, supA∈A ‖A(x)‖ < ∞, esteuniform marginita, supA∈A ‖A‖ <∞.

I.4. NORMA OPERATORILOR INTEGRALI 701

I.4 Norma operatorilor integrali

Evaluarea normei unui operator integral se bazeaza pe

Teorema I.4.1 Fie I = [a, b] si C(I) spatiul Banach al functiilor continue def-inite ın I si cu valori complexe. Daca e ∈ C(I), atunci norma functionaleix∗ ∈ [C(I)]∗, definita prin

x∗(x) =

∫I

e(t)x(t)dt

este ‖x∗‖ =∫I|e(t)|dt.

Demonstratie. Norma unei functii x ∈ C(I) este ‖x‖ = maxt∈I |x(t)|. Dininegalitatea |x∗(x)| ≤ ‖x‖

∫I|e(t)|dt rezulta ‖x∗‖ ≤

∫I|e(t)|dt.

Apoi, pentru n ∈ N, au loc relatiile∫I

|e(t)|dt =

∫I

|e(t)|1 + n|e(t)|

dt+

∫I

n|e(t)|2

1 + n|e(t)|dt ≤

≤∫I

1

ndt+

∫I

e(t)ne(t)

1 + n|e(t)|dt ≤ b− a

n+ ‖x∗‖.

Pentru n→∞ se obtine inegalitatea∫I|e(t)|dt ≤ ‖x∗‖.

Fie k : I × I → C o functie continua si operatorul liniar A : C(I) → C(I)definit prin

A(x)(t) =

∫I

k(t, s)x(s)ds.

Atunci

Teorema I.4.2 Norma operatorului A este ‖A‖ = maxt∈I∫I|k(t, s)|ds.

Demonstratie. Din inegalitatile

|A(x)(t)| = |∫I

k(t, s)x(s)ds| ≤∫I

|k(t, s)| |x(s)|ds ≤

≤ ‖x‖∫I

|k(t, s)|ds ≤ ‖x‖maxt∈I

∫I

|k(t, s)|ds

rezulta

‖A(x)‖ ≤ ‖x‖maxt∈I

∫I

|k(t, s)|ds


si

‖A‖ ≤ maxt∈I

∫I

|k(t, s)|ds.

Fie t0 ∈ I astfel ıncat∫I|k(t0, s)|dt = maxt∈I

∫I|k(t, s)|ds, si functia e(t) =

k(t0, t).Functionala e∗ ∈ [C(I)]∗, definita prin e∗(x) =

∫Ie(s)x(s)ds =

∫Ik(t0, s)ds

are norma ‖e∗‖ =∫I|k(t0, s)|ds.

Din relatiile

‖A‖ = sup‖x‖≤1

‖A(x)‖ = sup‖x‖≤1

maxt∈I|A(x)(t)| ≥

≥ sup‖x‖≤1

|A(x)(t0)| = sup‖x‖≤1

|e∗(x)| = ‖e∗‖ =

∫I

|k(t0, s)|ds,

rezulta egalitatea enuntata.

I.5 Subspatiul ortogonal si proiectii

Fie X un spatiu liniar peste corpul K = R∨C ınzestrat cu produs scalar -

denumit si spatiu prehilbertian - si Y o submultime ın X. Definim submultimea

Y ⊥ = x ∈ X : < x, y >= 0, ∀ y ∈ Y .

Teorema I.5.1 Au loc afirmatiile:

1. Y ⊥ este subspatiu liniar ın X.

2. Y ⊆ Z ⇒ Z⊥ ⊆ Y ⊥.

Teorema I.5.2 Daca Y este un subspatiu liniar ın X atunci

1. Y ∩ Y ⊥ = 0.

2. Daca X este spatiu prehilbertian finit dimensional atuncidim(Y ) + dim(Y ⊥) = dim(X).

3. Daca X este spatiu prehilbertian finit dimensional atunci Y ⊥⊥ = Y.

I.5. SUBSPATIUL ORTOGONAL SI PROIECTII 703

Demonstratie. 2. Fie dim(X) = n. Daca dim(Y ) = k exista o baza ortonormatay1, . . . , yk (Procedeul Gram-Schmidt transforma o multime de elemente liniarindependente ın elemente ortogonale / ortonormate). Aceasta baza se extindela o baza ortonormata ın X prin elementele zk+1, . . . , zn.

Pentru fiecare j ∈ k + 1, . . . , n, < yi, zj >= 0, ∀i ∈ 1, . . . , k, adicazj ∈ Y ⊥. Prin urmare dim(Y ⊥) = n− k.

3. Y ⊆ Y ⊥⊥. Intr-adevar, daca y ∈ Y atunci < y, z >= 0, ∀z ∈ Y ⊥, adicay ∈ Y ⊥⊥. Au loc egalitatile

dim(Y ⊥⊥) = n− dim(Y ⊥) = n− (n− k) = k.

Teorema I.5.3 Daca Y este un subspatiu liniar ın X atunci pentru orice x ∈ Xexista cel mult un y ∈ Y astfel ıncat x− y ∈ Y ⊥.

Demonstratie. Daca ar exista y1, y2 ∈ Y astfel ıncat z1 = x − y1 ∈ Y ⊥ siz2 = x − y2 ∈ Y ⊥ atunci z1 − z2 ∈ Y ⊥. Pe de alta parte z1 − z2 = y2 − y1 ∈ Y.Prin urmare z1 − z2 ∈ Y ∩ Y ⊥ ⇒ y1 = y2.

Daca pentru x ∈ X exista y ∈ Y astfel ıncat x−y ∈ Y ⊥ atunci y este proiectialui x ın Y . Vom utiliza notatia y = PY (x).

Teorema I.5.4 Fie Y un subspatiu liniar finit dimensional ın X. Au loc afirmatiile

1. Daca y1, . . . , yk este o baza ortonormata ın Y atunci pentru orice x ∈ XPY (x) =

∑ki=1 < x, yi > yi.

2. X = Y ⊕ Y ⊥.

3. Daca y = PY (x) atunci ‖x‖2 = ‖y‖2 + ‖x− y‖2.

Demonstratie. 1. Se verifica x− PY (x) ∈ Y ⊥.3. Relatia rezulta din egalitatea x = y + (x− y).

Observatia I.5.1 Conditia ca subspatiul Y sa fie finit dimensional este esentiala.

Intr-adevar, fie


• X spatiul liniar al sirurilor convergente de numere complexe din

l2 = (xn)n∈N∗ : xn ∈ C,∞∑n=1

|xn||2 <∞,

ınzestrat cu produsul scalar < x, y >=∑∞

n=1 xnyn;

• Y subspatiul format de siruri din X cu cel mult un numar finit de termeninenuli.

Sirurile ei = (δi,n)n∈N∗ ∈ Y pentru orice i ∈ N∗. In mod necesar Y ⊥ = 0. Sirulx = ( 1

n)n∈N∗ ∈ X nu are proiectie ın Y.

Teorema I.5.5 Daca Y este un subspatiu liniar finit dimensional ın X, x ∈ Xsi y0 ∈ Y atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. x− y0 ∈ Y ⊥;

2. ‖x− y0‖ < ‖x− y‖, ∀y ∈ Y \ y0.

Demonstratie. (1 ⇒ 2) Daca y ∈ Y, y 6= y0 atunci are loc egalitatea

‖x−y‖2 = ‖x−y0+(y0−y)‖2 = ‖x−y0‖2+2< < x−y0, y0−y > +‖y0−y‖2. (I.5)

Daca x− y0 ∈ Y ⊥ atunci < x− y0, y0 − y > si ın consecinta ‖x− y‖ > ‖x− y0‖.(1 ⇐ 2) Varianta 1. In inegalitatea (I.5) se ia y = y0 +λz cu z ∈ Y si λ ∈ C.

Inegalitatea va deveni

−2<λ < x− y0, z > +|λ|2‖z‖2 ≥ 0, ∀ λ ∈ C, ∀ z ∈ Y.

Se noteaza < x − y0, z >= σ + iτ. Particularizand λ ∈ R si apoi λ = iµ, µ ∈ Rse deduce σ = τ = 0, adica x− y0 ∈ Y ⊥.

Varianta2. Fie y ∈ Y \ y0 si Y = spany0, y, subspatiul liniar generat dey0 si y. Y este inclus ın Y si are dimensiune finita ın X, deci exista z0 = PY (x).

Datorita implicatiei anterioare, ‖x−z0‖ < ‖x−z‖, ∀z ∈ Y \z0. Daca z0 6= y0

atunci pentru z = y0 are loc inegalitatea ‖x− z0‖ < ‖x− y0‖, ın contradictie cuinegalitatea din ipoteza. Astfel z0 = y0. Atunci x− y0 = x− z0 ∈ Y ⊥ ⊆ Y ⊥.

I.6. CEA MAI BUNA APROXIMATIE IN RN 705

I.6 Cea mai buna aproximatie ın Rn

Fie submultimea Y ⊂ Rn, x ∈ Rn si ‖ · ‖ o norma ın Rn. Problema celei maibune aproximatii a lui x prin elementele submultimii Y consta ın determinareaunui element y0 ∈ Y – bineınteles daca el exista astfel ıncat

‖y0 − x‖ = infy∈Y‖y − x‖.

In cadrul considerat urmeaza sa precizam:

• conditii ın care problema celei mai bune aproximatii are solutie;

• conditii ın care solutia este unica;

• caracterizare a solutiei.

Teorema I.6.1 Problema celei mai bune aproximatii prin elementele submultimiiY ⊂ R are cel putin o solutie pentru orice x ∈ R daca si numai daca Y esteınchisa.

Demonstratie. Necesitatea. Fie x ∈ Y . Exista y0 ∈ Y astfel ıncat

‖y0 − x‖ = infy∈Y‖y − x‖ = 0.

Prin urmare x = y0 ∈ Y, adica Y = Y .

Suficienta. Fie x ∈ Rn, r > 0 astfel ıncat Y ∩B(x, r) 6= 0, unde B(x, r) = y ∈Rn : ‖y − x‖ ≤ r si functia f : Rn → R definita prin formula f(y) = ‖y − x‖.Functia f fiind continua, potrivit teoremei lui Weierstass, ısi atinge minimulpe multimea compacta Y ∩ B(x, r), adica exista y0 ∈ Y ∩ B(x, r) astfel ıncatf(y0) ≤ f(y) sau ‖y0 − x‖ ≤ ‖y − x‖, ∀y ∈ Y ∩B(x, r).

Daca y ∈ Y si ‖y−x‖r atunci ‖y−x‖ > r ≥ ‖y0−x‖. Astfel y0 este elementulde cea mai buna aproximatie a lui x prin elementele multimii Y.

In cele ce urmeaza, norma spatiului liniar Rn va fi norma euclidiana ‖ · ‖2.

Teorema I.6.2 Daca Y ⊂ R este o submultime convexa atunci pentru oricex ∈ Rn exista cel mult un element de cea mai buna aproximatie prin elementelesubmultimii Y.


Demonstratie. Presupunem prin absurd ca exista x ∈ Rn pentru care existacel putin doua elemente diferite y1, y2 ∈ Y de cea mai buna aproximatie a lui xprin elementele multimii Y :

‖y1 − x‖ = ‖y2 − x‖ = miny∈Y‖y − x‖ = d.

Datorita convexitatii y = 12(y1 + y2) ∈ Y si utilizand egalitatea paralelogramului

deducem

d2 ≤ ‖y − x‖22 = ‖1

2(y1 − x) +

1

2(y2 − x)‖2

2 =

= 2

[‖1

2(y1 − x)‖2

2 + ‖1

2(y2 − x)‖2

2

]− ‖1

2(y1 − x)− 1

2(y2 − x)‖2

2 =

= d2 − 1

4‖y1 − y2‖2

2 < d2,

de unde concluzia teoremei.Au loc urmatoarele consecinte:

Teorema I.6.3 Daca Y ⊂ R este o submultime ınchisa si convexa atunci pen-tru orice x ∈ Rn exista un singur element de cea mai buna aproximatie prinelementele submultimii Y.

Teorema I.6.4 Daca Y este un subspatiu liniar a lui R atunci pentru oricex ∈ Rn exista un singur element de cea mai buna aproximatie prin elementelesubmultimii Y.

Elementul de cea mai buna aproximatie se poate caracteriza prin

Teorema I.6.5 Fie Y o submultime nevida, convexa ın Rn si x ∈ Rn. y0 ∈ Yeste elementul de cea mai buna aproximatie a lui x prin elementele multimii Ydaca si numai daca

< y0 − x, y0 − y >≤ 0 ∀y ∈ Y. (I.6)

Demonstratie. Necesitatea. Presupunem prin absurd ca exista y ∈ Y astfelıncat < y0 − x, y0 − y > > 0. Fie 0 < λ < min1, 2<y0−x,y0−y>

‖y0−y‖22 si z = λy + (1−

λ)y0 ∈ Y. Atunci deducem

‖z − x‖22 = ‖y0 − x+ λ(y − y0)‖2

2 =< y0 − x+ λ(y − y0), y0 − x+ λ(y − y0) >=

= ‖y0 − x‖22 + 2λ < y0 − x, y − y0 > +λ2‖y − y0‖2

2 =

I.6. CEA MAI BUNA APROXIMATIE IN RN 707

= ‖y0 − x‖22 − λ‖y − y0‖2

2(2 < y0 − x, y0 − y >

‖y0 − y‖22

− λ) < ‖y0 − x‖22,

ceea ce contrazice proprietatea de cea mai buna aproximatie a lui y0.Suficienta. Pentru orice y ∈ Y, folosind (I.6) gasim

‖y0 − x‖22 =< y0 − x, y0 − x >=< y0 − x, (y0 − y) + (y − x) >=

=< y0 − x, y0 − y > + < y0 − x, y − x >≤< y0 − x, y − x > .

Aplicand inegalitatea Cauchy-Buniakovsky-Schwartz inegalitetea anterioara devine

‖y0 − x‖22 ≤ ‖y0 − x‖2‖y − x‖2.

Daca ‖y0 − x‖2 6= 0 atunci simplificand obtinem ‖y0 − x‖2 ≤ ‖y − x‖2, iar daca‖y0 − x‖2 = 0 atunci proprietatea normei implica ‖y0 − x‖2 = 0 ≤ ‖y − x‖2.

Teorema I.6.6 Fie Y un subspatiu liniar ın Rn si x ∈ Rn. y0 ∈ Y este elementulde cea mai buna aproximatie a lui x prin elementele subspatiului Y daca si numaidaca

< y0 − x, y >= 0 ∀y ∈ Y. (I.7)

adica y0 − x ⊥ Y sau y0 − y ∈ Y ⊥.

Demonstratie. Conditia (I.6) se poate rescrie sub forma

< y0 − x, y0 >≤< y0 − x, y > ∀y ∈ Y.

Fixand y ∈ Y, pentru orice n ∈ N∗, ±ny ∈ Y si luand ın inegalitatea anterioaray = ±ny se obtin

1

n< y0 − x, y0 > ≤ < y0 − x, y >

− 1

n< y0 − x, y0 > ≥ < y0 − x, y > .

Pentru n tinzand la infinit, gasim < y0 − x, y >= 0.Fie Y ∈ Rn o submultime convexa si ınchisa. In acest caz PY este o functie

PY : Rn → Rn care asociaza oricarui element x ∈ Rn elementul de cea mai bunaaproximatie din Y

‖PY (x)− x‖ = miny∈Y‖y − x‖.

Potrivit Teoremei I.6.5 < PY (x)− x, PY (x)− y >≤ 0, ∀y ∈ Y.


Teorema I.6.7 Daca Y este o submultime convexa si ınchisa din Rn atuncifunctia PY este lipschitziana, mai precis

‖PY (x1)− PY (x2)‖ ≤ ‖x1 − x2‖.

Demonstratie. Au loc relatiile

< PY (x1)− x1, PY (x1)− PY (x2) > ≤ 0 (I.8)

< PY (x2)− x2, PY (x2)− PY (x1) > ≤ 0 (I.9)

Au loc egalitatile

‖PY (x1)− PY (x2)‖2 =< PY (x1)− PY (x2), PY (x1)− PY (x2) >=

=< PY (x1), PY (x1)− PY (x2) > + < PY (x2), PY (x2)− PY (x1) >=

=< PY (x1)− x1, PY (x1)− PY (x2) > + < x1, PY (x1)− PY (x2) > +

+ < PY (x2)− x2, PY (x2)− PY (x1) > + < x2, PY (x2)− PY (x1) > .

Tinand seama de (I.8) si (I.9) deducem

‖PY (x1)−PY (x2)‖2 ≤< x1−x2, PY (x1)−PY (x2) >≤ ‖x1−x2‖ ‖PY (x1)−PY (x2)‖.

Daca PY (x1) 6= PY (x2) atunci ‖PY (x1)− PY (x2)‖ ≤ ‖x1 − x2‖.

I.7 Cea mai buna aproximare ın spatiu prehilber-

tian

Teorema I.7.1 Daca X este un spatiu prehilbertian, Y ⊂ X o submultime con-vexa si completa si x ∈ X atunci exista un singur element de cea mai bunaaproximatie a lui x prin elementele multimii Y.

Demonstratie. Fie d = infy∈Y ‖x−y‖ si (yn)n∈N un sir minimizant, limn→∞ ‖yn−x‖ = d. Convexitatea lui Y implica 1

2yn + 1

2ym ∈ Y. In plus

d ≤ ‖1

2yn +

1

2ym − x‖ ≤

1

2‖yn − x‖+

1

2‖ym − x‖ → d, n,m→∞.

Pentru u = 12(yn − x) si v = 1

2(ym − x) egalitatea paralelogramului

‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2)

I.8. DESCOMPUNEREA ORTOGONALA A UNUI SPATIU PREHILBERTIAN 709

implica limn,m→∞ ‖yn − ym‖ = 0, adica sirul (yn)n∈N este fundamental. DeoareceY este sumbultime completa exista limn→∞ yn = y ∈ Y si limn→∞ ‖yn − x‖ =‖y − x‖ = d.

Daca y, z ∈ Y asfel ıncat ‖y − x‖ = ‖z − x‖ = d atunci y, z, y, z, . . . estesir minimizant. Potrivit celor demonstrate anterior, sirul este convergent, deciy = z.

I.8 Descompunerea ortogonala a unui spatiu pre-

hilbertian

Teorema I.8.1 Daca X este un spatiu prehilbertian, Y este un subspatiu liniarsi complet al lui X, x ∈ X si y este elementul de cea mai buna aproximatie a luix prin elementele multimii Y atunci x− y ∈ Y ⊥.

Demonstratie. Utilizam notatiile d = infξ∈Y ‖x − ξ‖ = ‖x − y‖. Prin reducerela absurd, presupunem ca z = x−y /∈ Y ⊥. Prin urmare exista y0 ∈ Y astfel ıncatλ =< z, y0 >6= 0. Atunci y1 = y + λ

‖y0‖2y0 ∈ Y si

d2 ≤ ‖x− y1‖2 = ‖z − λ

‖y0‖2y0‖2 =< z − λ

‖y0‖2y0, z −

λ

‖y0‖2y0 >=

= ‖z‖2 − λ

‖y0‖2< y0, z > −

λ

‖y0‖2< z, y0 > +

|λ|2

‖y0‖2= d2 − |λ|

2

‖y0‖2.

Teorema I.8.2 Daca X este un spatiu prehilbertian, Y este un subspatiu liniarsi complet al lui X si x ∈ X atunci exista o pereche unica (y, z) ∈ Y × Y ⊥ astfelıncat x = y + z.

Demonstratie. Daca y ∈ Y este elementul de cea mai buna aproximare a lui xprin elementele lui Y atunci z = x− y ∈ Y ⊥. Astfel x = y + z ∈ Y ⊕ Y ⊥.

Daca x = y1 + z1 = y2 + z2 cu y1, y2 ∈ Y si z1, z2 ∈ Y ⊥, atunci y1 − y2 =z2 − z1 ∈ Y ∩ Y ⊥ = 0, de unde unicitatea reprezentarii.

I.9 Reprezentarea unei functionale liniare si con-

tinue ıntr-un spatiu Hilbert

Teorema I.9.1 (Riesz Frigyes) Daca X este un spatiu Hilbert si x∗ ∈ X∗

atunci exista un singur element u ∈ X astfel ıncat x∗(x) =< x, u >, ∀x ∈ X si‖x∗‖ = ‖u‖.


Demonstratie. Daca x∗ = 0 atunci u = 0.Daca x∗ 6= 0 atunci exista x0 ∈ X astfel ıncat x∗(x0) 6= 0.Y = x ∈ X : x∗(x) = 0 este subspatiu liniar ınchis al lui X, deci si complet.

Atunci X = Y ⊕ Y ⊥. Daca x0 = y0 + z0 este descompunerea ortogonala a lui x0

atunci x∗(x0) = x∗(z0) 6= 0, deci z0 6= 0.Fie x ∈ X. Deoarece x∗(x)z0 − x∗(z0)x ∈ Y au loc egalitatile

0 =< x∗(x)z0 − x∗(z0)x, z0 >= x∗(x)‖z0‖2 − x∗(z0) < x, z0 >,

de unde

x∗(x) =x∗(z0)

‖z0‖2< x, z0 >=< x,

x∗(z0)

‖z0‖2z0 >,

adica u = x∗(z0)‖z0‖2 z0.

Daca x∗(x) =< x, u >=< x, v >, ∀x ∈ X atunci < x, u − v >= 0, ∀x ∈ X.In particular, pentru x = u− v, are loc egalitatea ‖u− v‖2 = 0, de unde u = v.

Din |x∗(x)| = | < x, u > | ≤ ‖x‖‖u‖, ∀x ∈ X rezulta ‖x∗‖ ≤ ‖u‖.Pe de alta parte, |x∗(u)| = | < u, u > | = ‖u‖2 ≤ ‖x∗‖‖u‖ implica ‖u‖ ≤ ‖x∗‖.

Astfel ‖x∗‖ = ‖u‖.

Operatorul τ : X∗ → X definit prin τ(x∗) = u astfel ıncat x∗(x) =< x, u >∀x ∈ X este liniar si bijectiv. Punand ın evidenta operatorul τ are loc egalitatea

x∗(x) =< x, τ(x∗) >, ∀x ∈ X.

I.10 Compactitate ın spatii Hilbert separabile

Definitia I.10.1 Un spatiu topologic este separabil daca exista o multime numarabilasi densa.

Teorema I.10.1 Intr-un spatiu Hilbert separabil bila unitate este slab secventialcompacta.

O consecinta a acestei teoreme este

Teorema I.10.2 Intr-un spatiu Hilbert separabil un sir marginit contine un subsirslab convergent.

I.10. COMPACTITATE IN SPATII HILBERT SEPARABILE 711


P I.1 Fie X un spatiu liniar n-dimensional si x∗1, . . . , xn ∗ n ∈ X∗. Sa se arateca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:1. x∗1, . . . , x

∗n este baza ın X∗;

2. x∗i (x) = 0, ∀i ∈ 1, . . . , n ⇒ x = 0.

Indicatie. Fie x1, . . . , xn baza ın X si

A =

x∗1(x1) . . . x∗1(xn)...

. . ....

x∗n(x1) . . . x∗n(xn)

.

Se arata ca ambele afirmatii sunt echivalente cu conditia |A| 6= 0.1. x∗1, . . . , x

∗n este baza ın X∗ daca pentru orice x∗ ∈ X∗ exista c1, . . . , cn astfel

ıncat x∗ =∑n

j=1 cjx∗j , conditie echivalenta cu

n∑j=1

cjx∗j(xi) = x∗(xi), ∀ i ∈ 1, . . . , n.

Astfel sistemul Ac = d trebuie sa admita o solutie. S-a notat c = (c1, . . . , cn)T , d =(x∗(x1), . . . , x∗(xn))T .

2. Daca x =∑n

j=1 γjxj atunci afirmatia

x∗i (x) = 0, ∀i ∈ 1, . . . , n ⇒ x = 0

devinen∑j=1

γjx∗i (xj) = 0 ∀i ∈ 1, . . . , n ⇒ γ1 = . . . = γn = 0,

sau ATγ = 0 cu γ = (γ1, . . . , γn)T , adica |A| 6= 0.

Anexa J

Transformata Fourier

Amintim cateva rezultate din teoria transformarii Fourier.Fie f : R→ R o functie din L1, adica

∫∞−∞ |f(t)|dt <∞.

• Transformarea Fourier a functiei f este

f(ω) = F(f(t))(ω) =

∫ ∞−∞

f(t)e−itωdt, ω ∈ R;

• Transformarea Fourier inversa este

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

f(ω)eitωdω;

•F (f(at)) (ω) =

1

aF (f(t))

(ωa

), a > 0;

•F (f(t− a)) (ω) = e−iaωF (f(t)) (ω);

• Egalitatea lui Parceval: daca f(ω), g(ω) sunt transformarile Fourier alefunctiilor f, g atunci∫ ∞

−∞f(t)g(t)dt =

1

2π

∫ ∞−∞

f(ω)g(ω)dω;

• In consecinta ∫ ∞−∞|f(t)|2dt =

1

2π

∫ ∞−∞|f(ω)|2dω;

713

714 ANEXA J. TRANSFORMATA FOURIER

• Produsul de convolutie a functiilor f si g este definit prin

(f ∗ g)(t) =

∫ ∞−∞

f(s)g(t− s)ds.

Daca F (ω), G(ω) sunt transformarile Fourier ale functiilor f si g atunci

F((f ∗ g)(t))(ω) = f(ω)g(ω).


P J.1 Sa se arate ca

F(πe−|t|)(ω) =2π

ω2 + 1.

P J.2 Sa se arate utilizand teorema reziduurilor egalitatea∫ ∞−∞

eitω

ω2 + 1dω = πe−|t|

care rezulta din transformarea Fourier inversa.

R. Pentru t > 0 se considera parcursul [−R,R] ∪ C−R , unde C−R este semicerculde raza R cu centrul ın O situat ın semiplanul inferior.Daca z = x+ iy ∈ C−R , y < 0 atunci∣∣∣∣z eitz

z2 + 1

∣∣∣∣ ≤ Re−ty

R2 − 1≤ R

R2 − 1→ 0, R→∞.

Prin urmare ∫ ∞−∞

eitz

z2 + 1dz = 2πiRes

(eitz

z2 + 1,−i)

= πe−t.

Anexa K

Polinoame ortogonale clasice

Anexa trateaza o formula de reprezentare a polinoamelor ortogonale si poli-noamele Legendre, Hermite, Laguerre.

K.1 O reprezentare a polinoamelor ortogonale

In multimea polinoamelor ıntr-o variabila P se considera produsul scalar

< P,Q >=

∫I

ρ(x)P (x)Q(x)dx, ∀ P,Q ∈ P , (K.1)

unde I ⊆ R este un interval iar ρ(x) este o functie pondere (continua si pozitivaın Int(I)).

Definim

sk =

∫I

ρ(x)xkdx, k ∈ N. (K.2)

In consecinta< xi, xk >= si+k, i, k ∈ N. (K.3)

Teorema K.1.1 Polinomul Pn ∈ Pn ortogonal pe Pn−1 ın intervalul I cu pon-derea ρ(x) este

Pn(x) = c

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

s0 s1 . . . sns1 s2 . . . sn+1...

...sn−1 sn . . . s2n−1

1 x . . . xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, c ∈ R.

715

716 ANEXA K. POLINOAME ORTOGONALE CLASICE

Daca se definesc

Hn+1 =

s0 s1 . . . sns1 s2 . . . sn+1...

...sn−1 sn . . . s2n−1

sn sn+1 . . . s2n

, dn+1 = |Hn+1|, n ∈ N,

atunci pentru c = 1dn−1

se obtine polinomul monic.

Matricele Hn, n ∈ N, sunt cunoscute ca matrice Hankel.

Demonstratia 1. Cautam polinomul Pn(x) = a0 + a1x + . . . + anxn ortogonal

pe Pn−1 ın intervalul I cu ponderea ρ(x). Au loc egalitatile

< Pn, 1 > = a0s0 + a1s1 + . . .+ ansn = 0< Pn, x > = a0s1 + a1s2 + . . .+ ansn+1 = 0...< Pn, x

n−1 > = a0sn−1 + a1sn + . . .+ ans2n−1 = 0

< Pn, xn > = a0sn + a1sn+1 + . . .+ ans2n = 1

an< Pn, Pn >

not= kn

care pot fi scrise ımpreuna cu expresia polinomului Pn(x) ca

a0

s0

s1...

sn−1

sn1

+ a1

s0

s1...

sn−1

snx

+ . . .+ an

snsn+1

...s2n−1

s2n

xn

=

00...0kn

Pn(x)

.

Rezulta egalitatea ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

s0 s1 . . . sn 0s1 s2 . . . sn+1 0...

...sn−1 sn . . . s2n−1 0sn sn+1 . . . s2n kn1 x . . . xn Pn(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0,

ultima coloana fiind o combinatie lineara a primelor n+ 1 coloane.

K.2. POLINOAME LEGENDRE 717

Dezvoltand determinantul dupa ultima coloana se obtine formula din enuntulteoremei.

Demonstratia 2. Aratam ca < Pn(x), Q(x) >= 0, ∀Q ∈ Pn−1.

Din (K.3) rezulta ca

< Pn, xm >= c

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

s0 s1 . . . sns1 s2 . . . sn+1...

...sn−1 sn . . . s2n−1

sm sm+1 . . . sn+m

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

In consecinta, pentru m ∈ 0, 1, . . . , n − 1, < Pn, xm >= 0 si < Pn, x

n >=cdn.

Polinoame ortogonale uzuale sunt:

Denumirea I ρ(x) sk

Legendre [a, b] 1 bk+1−ak+1

k+1

Laguerre (0,∞) e−x k!

Hermite R e−x2

0 k impar√π k = 0

(k−1)!!

2k2

√π k > 1 par

Cebısev (−1, 1) 1√1−x2

0 k imparπ k = 0(k−1)!!k!!

π k > 1 par

K.2 Polinoame Legendre

Polinoamele lui Legendre sunt polinoame ortogonale cu ponderea ρ(x) = 1 ınintervalul I = [a, b], a, b ∈ R.

Teorema K.2.1 Polinoamul

u(x) =n!

(2n)![(x− a)n(x− b)n](n)

este ortogonal, cu ponderea ρ(x) = 1, ın intervalul [a, b], pe Pn−1.


Demonstratie. Fie u(x) ∈ Pn polinomul ortogonal, cu ponderea ρ(x) = 1, ınintervalul [a, b], pe Pn−1 si L(x) solutia problemei Cauchy

L(n)(x) = u(x),L(a) = 0,L′(a) = 0,. . . . . . . . . . . . . . .L(n−1) = 0.

Observam ca L ∈ P2n. Daca q ∈ Pn−1 atunci ın urma a n− 1 integrari prin partigasim

0 =

∫ b

a

q(x)u(x)dx =

∫ b

a

q(x)L(n)(x)dx =

= qL(n−1)|ba − q′L(n−2)|ba + . . .+ (−1)n−1q(n−1)L|ba + (−1)n∫ b

a

q(n)(x)L(x)dx =

= q(b)L(n−1)(b)− q′(b)L(n−2)(b) + . . .+ (−1)n−1q(n−1)(b)L(b).

In particular, pentru q = 1, x, x2, . . . , xn−1, din egalitatea de mai sus, obtinemsuccesiv

L(n−1)(b) = L(n−2)(b) = . . . = L(b) = 0.

Astfel a si b sunt radacini multiple, de ordin n pentru L(x) si deoarece L estepolinom de grad cel mult 2n deducem L(x) = c(x− a)n(x− b)n si ın consecintau(x) = c[(x− a)n(x− b)n](n).

Daca c = n!(2n)!

atunci coeficientul lui xn este 1.

In cazul intervalului [−1, 1] se noteaza

Pn(x) =1

2nn![(x2 − 1)n](n).

Din paritatea functiei x 7→ (x2 − 1)n rezulta Pn(−x) = (−1)nPn(x).Stabilim o serie de proprietati ale polinoamelor Legendre Pn(x).Functia generatoare a polinoamelor Legendre este

Ψ(x, z) =1√

1− 2xz + z2=∞∑n=0

Pn(x)zn. (K.4)

Formula de recurenta. Derivand (K.4) dupa z se gaseste

x− z1− 2xz + z2

1√1− 2xz + z2

=∞∑n=0

(n+ 1)Pn+1(x)zn,

K.2. POLINOAME LEGENDRE 719

de unde

(x− z)∞∑n=0

Pn(x)zn = (1− 2xz + z2)∞∑n=0

(n+ 1)Pn+1(x)zn.

Din identificarea coeficientilor lui zn rezulta formula de recurenta

(n+ 1)Pn+1(x)− x(2n+ 1)Pn(x) + nPn−1(x) = 0, ∀n ∈ N∗. (K.5)

Daca Pn(x) = anxn + bnx

n−1 + . . . atunci (K.5 implica formula de recurentaan+1 = 2n+1

n+1an de unde

an =(2n− 1)!!

n!=

1

2nn!

(2n)!

n!. (K.6)

Totodata din (K.5 rezulta bn = 0, ∀n ≥ 1.Derivand (K.4) dupa x se obtine

z

1− 2xz + z2

1√1− 2xz + z2

=∞∑n=0

P ′n(x)zn

sau

z∞∑n=0

Pn(x)zn = (1− 2xz + z2)∞∑n=0

P ′n(x)zn.

Identificand din nou coeficientii lui zn rezulta

Pn−1(x) = P ′n(x)− 2xP ′n−1(x) + P ′n−2(x). (K.7)

Ecuatia diferentiala a polinoamelor Legendre. Din (K.4) si (K.7) se deducrelatiile

Pn−1(x) =1

n[(2n+ 1)xPn(x)− (n+ 1)Pn+1(x)] (K.8)

Pn(x) = P ′n+1(x)− 2xP ′n(x) + P ′n−1(x). (K.9)

Substituind (K.8) ın (K.9) rezulta

P ′n+1(x) = xP ′n(x) + (n+ 1)Pn(x), (K.10)

care introdus ın (K.9) da

P ′n−1(x) = xP ′n(x)− nPn(x). (K.11)


O consecinta a formulelor (K.10) si (K.11) este

Pn(x) =1

2n+ 1(P ′n+1(x)− P ′n−1(x)). (K.12)

Pentru n := n+ 1, relatia (K.11) devine

P ′n(x) = xP ′n+1(x)− (n+ 1)Pn+1(x).

Derivand aceasta relatie si substituind apoi P ′n+1, P′′n+1 dat de (K.10) rezulta

ecuatia diferentiala

d

dx

[(1− x2)P ′n(x)

]+ n(n+ 1)Pn(x) = 0, ∀n ∈ N∗. (K.13)

Teorema K.2.2 Au loc relatiile de ortogonalitate∫ 1

−1

Pn(x)Pk(x)dx =2

2n+ 1δn,k

Demonstratie. Fie n 6= k. Scazand egalitatile

ddx

[(1− x2)P ′n(x)] + n(n+ 1)Pn(x) = 0,d

dx[(1− x2)P ′k(x)] + k(k + 1)Pk(x) = 0

ınmultite ın prealabil cu Pk(x) si respectiv Pn(x), se obtine

d

dx

[(1− x2)(P ′n(x)Pk(x)− P ′k(x)Pn(x))

]+ [n(n+ 1)− k(k + 1)]Pn(x)Pk(x) = 0.

Prin integrare rezulta

(1−x2)[P ′n(x)Pk(x)−P ′k(x)Pn(x)]∣∣1−1 +[n(n+1)−k(k+1)]

∫ 1

−1

Pn(x)Pk(x)dx = 0,

de unde∫ 1

−1Pn(x)Pk(x)dx = 0.

Integrand relatiile (K.5)

(n+ 1)Pn+1(x)− x(2n+ 1)Pn(x) + nPn−1(x) = 0

nPn(x)− x(2n− 1)Pn−1(x) + (n− 1)Pn−2(x) = 0

ınmultite ın prealabil cu Pn−1(x) si respectiv cu Pn(x) se obtin egalitatile

−(2n+ 1)∫ 1

−1xPn(x)Pn−1(x)dx+ n

∫ 1

−1P 2n−1(x)dx = 0

n∫ 1

−1P 2n(x)dx− (2n− 1)

∫ 1

−1xPn(x)Pn−1(x)dx = 0,

K.3. POLINOAME HERMITE 721

de unde ∫ 1

−1

P 2n(x)dx =

2n− 1

2n+ 1

∫ 1

−1

P 2n−1(x)dx.

Recursiv, rezulta ∫ 1

−1

P 2n(x)dx =

2

2n+ 1.

Proprietatea de ortogonalitate, de unicitate si (K.6) justifica prezenta polinoamelorPn(x) ın definitia functiei generatoare.

K.3 Polinoame Hermite

Polinoamele lui Hermite sunt polinoame ortogonale cu ponderea ρ(x) = e−x2

ın I = R.Functia generatoare a polinoamelor Hermite este

Ψ(x, z) = e2xz−z2 =∞∑n=0

Hn(x)zn

n!, (K.14)

adica Hn(x) = ∂nΨ∂zn

(x, 0).

Scriind Ψ(x, z) = ex2e−(x−z)2 si u = x − z, din ∂nΨ

∂zn(x, z) = ex

2 dne−u2

dun(−1)n

rezulta

Hn(x) =∂nΨ

∂zn(x, 0) = ex

2

(−1)ndne−x

2

dxn.

In particuler, H0(x) = 1, H1(x) = 2x.Formula de recurenta. Derivand (K.14) dupa z se gaseste

2e2xz−z2(x− z) =∞∑n=1

Hn(x)zn−1

(n− 1)!,

de unde

2(x− z)∞∑n=0

Hn(x)zn

n!=∞∑n=1

Hn(x)zn−1

(n− 1)!.

Ordonand dupa puterile lui z, avem

∞∑n=0

zn

n!

(Hn+1(x)− 2xHn(x) + 2nHn−1(x)

)= 0,


adica au loc formulele de recurenta

Hn+1(x)− 2xHn(x) + 2nHn−1(x) = 0, ∀n ∈ N∗. (K.15)

Ecuatia diferentiala a polinoamelor Hermite. Derivand (K.14) dupa x seobtine

2ze2xz−z2 =∞∑n=0

H ′n(x)zn

n!

sau

2z∞∑n=0

zn

n!=∞∑n=0

H ′n(x)zn

n!.

In mod analog, ordonand dupa puterile lui z, se obtine

∞∑n=0

zn

n!

(H ′n(x)− 2nHn−1(x)

)= 0.

DeciH ′n(x) = 2nHn−1(x), ∀n ∈ N∗. (K.16)

Utilizand (K.16), rezulta ca coeficientul lui xn ın Hn(x) este 2n.Substituind (K.16) ın (K.15), acesta devine

Hn+1(x)− 2xHn(x) +H ′n(x) = 0,

care derivata da

H ′n+1(x)− 2Hn(x)− 2xH ′n(x) +H ′′n(x) = 0,

sauH ′′n(x)− 2xH ′n(x) + 2nHn(x) = 0, ∀n ∈ N∗. (K.17)

Teorema K.3.1 Au loc relatiile de ortogonalitate∫ ∞−∞

e−x2

Hn(x)Hk(x)dx = 2nn!√πδn,k


H ′′n(x)− 2xH ′n(x) + 2nHn(x) = 0,

H ′′k (x)− 2xH ′k(x) + 2kHk(x) = 0

K.3. POLINOAME HERMITE 723

ınmultite ın prealabil cu Hk(x) si respectiv Hn(x), se obtine[H ′′n(x)Hk(x)−H ′′k (x)Hn(x)

]− 2x

[H ′n(x)Hk(x)−H ′k(x)Hn(x)

]+

+2(n− k)Hn(x)Hk(x) = 0

sau

d

dx

[(H ′n(x)Hk(x)−H ′k(x)Hn(x))e−x

2]

+ 2(n− k)e−x2

Hn(x)Hk(x) = 0

Prin integrare rezulta ∫ ∞−∞

e−x2

Hn(x)Hk(x)dx = 0.

Integrand relatiile

Hn+1(x)− 2xHn(x) + 2nHn−1(x) = 0

Hn(x)− 2xHn−1(x) + 2(n− 1)Hn−2(x) = 0

ınmultite ın prealabil cu e−x2Hn−1(x) si respectiv cu e−x

2Hn(x) se obtin egalitatile

−2∫∞−∞ xe

−x2Hn(x)Hn−1(x)dx+ 2n∫∞−∞ e

−x2H2n−1(x)dx = 0∫∞

−∞ e−x2H2

n(x)dx− 2∫∞−∞ xe

−x2Hn(x)Hn−1(x)dx = 0,

de unde ∫ ∞−∞

e−x2

H2n(x)dx = 2n

∫ ∞−∞

e−x2

H2n−1(x)dx.

Recursiv, rezulta∫ ∞−∞

e−x2

H2n(x)dx = 2nn!

∫ ∞−∞

e−x2

dx = 2nn!√π.

Observatia K.3.1 Prezinta importanta scrierea functiei pondere ca

ρ(x) =1√2πe−

x2

2 .

Daca se ia Ψ(x, z) = exz−z2

2 =∑∞

n=0 Hn(x) zn

n!atunci se deduc analog egalitatile:

H0(x) = 1, H1(x) = x;

Hn+1(x)− xHn(x) + nHn−1(x) = 0;

H ′n+1(x) = (n+ 1)Hn(x);

H ′′n(x)− xH ′n(x) + (n+ 1)Hn(x) = 0;∫∞−∞

1√2πe−

x2

2 Hn(x)Hk(x)dx = n!δn,k.


K.4 Polinoamele lui Laguerre

Polinoamele lui Laguerre L<α>n (x), (α > −1), sunt polinoame ortogonale cuponderea ρ(x) = xαe−x ın intervalul I = (0,∞).

Functia generatoare a polinoamelor Laguerre este

Ψ(x, z) =1

(1− z)α+1e−

xz1−z =

∞∑n=0

L<α>n (x)zn. (K.18)

Dezvoltand functia exponentiala

e−xz1−z =

∞∑k=0

(−1)k

k!· xkzk

(1− z)k

si utilizand dezvoltarea binomiala

(1− z)−k−α−1 =∞∑j=0

(k + α + 1)(k + α + 2) . . . (k + α + j)

j!zj, |z| < 1,

din (K.18) rezulta dezvoltarea

Ψ(x, z) =∞∑k=0

∞∑j=0

(−1)k(k + α + 1)(k + α + 2) . . . (k + α + j)

k!j!xkzk+j.

Prin schimbarea de indice j + k = n, egalitatea anterioara devine

Ψ(x, z) =∞∑n=0

znn∑k=0

(−1)k(α + k + 1)(α + k + 2) . . . (α + n)

k!(n− k)!xk.

Prin urmare

L<α>n (x) =n∑k=0

(−1)k(α + k + 1)(α + k + 2) . . . (α + n)

k!(n− k)!xk = (K.19)

=x−αex

n!

dn

dxn(xn+αe−x).

Formula de recurenta. Derivand (K.18) dupa z rezulta

1

(1− z)α+1e−

xz1−z

[α + 1

1− z− x

(1− z)2

]=

K.4. POLINOAMELE LUI LAGUERRE 725

=∞∑n=1

L<α>n (x)nzn−1 =∞∑n=0

L<α>n+1 (x)(n+ 1)zn,

sau

∞∑n=0

L<α>n (x)zn ((1 + α)(1− z)− x) = (1− 2z + z2)∞∑n=0

L<α>n+1 (x)(1 + n)zn.

Din identificarea coeficientilor puterilor lui zn se obtine formula de recurenta

(n+ 1)L<α>n+1 (x)− (2n+ 1 + α− x)L<α>n (x) + (n+ α)L<α>n−1 (x) = 0. (K.20)

Ecuatia diferentiala a polinoamelor lui Laguerre. Derivand (K.18) dupa x seobtine

− z

1− z1

(1− z)α+1e−

xz1−z =

∞∑n=0

L<α>′

n (x)zn

sau

−∞∑n=0

L<α>n (x)zn+1 = (1− z)∞∑n=0

L<α>′

n (x)zn

Egaland coeficientii lui zn rezulta egalitatea

L<α>′

n (x) + L<α>n−1 (x)− L<α>′

n−1 (x) = 0. (K.21)

Ecuatia diferentiala a polinoamelor Laguerre se obtine eliminand L<α>n−1 si L<α>n+1

ıntre (K.20) si (K.21).In acest scop, explicitam L<α>n−1 din (K.20)

L<α>n−1 =1

n+ α

[(2n+ 1 + α− x)L<α>n − (n+ 1)L<α>n+1

],

care substituit ın (K.21) conduce la

(n+ 1)L<α>′

n+1 − (n+ 1)L<α>n+1 + (2n+ 2 + α− x)L<α>n + (K.22)

+(x− n− 1)L<α>′

n = 0.

Prin derivare, rezulta

(n+ 1)L<α> ”n+1 − (n+ 1)L<α>

′

n+1 + (2n+ 3 + α− x)L<α>′

n − (K.23)

−L<α>n + (x− n− 1)L<α> ”n = 0.


Pentru n := n+ 1, din (K.21) se gaseste

L<α>′

n+1 = L<α>′

n − L<α>n ,

care substituit ın (K.23) da

xL<α> ”n + (1 + α− x)L<α>

′

n + nL<α>n = 0,

adica L<α>n este o solutie a ecuatiei diferentiale

xy” + (1 + α− x)y′ + ny = 0. (K.24)

Teorema K.4.1 Au loc relatiile de ortogonalitate∫ ∞0

xαe−xL<α>n (x)L<α>k (x)dx =Γ(n+ α + 1)

n!δn,k.


xL<α> ”n + (1 + α− x)L<α>

′n + nL<α>n = 0,

xL<α> ”k + (1 + α− x)L<α>

′

k + kL<α>k = 0,

ınmultite ın prealabil cu xαe−xL<α>k si respectiv xαe−xL<α>n , se obtine

xα+1e−x(L<α> ”n L<α>k −L<α> ”

k L<α>n )+xαe−x(1+α−x)(L<α>′

n L<α>k −L<α> ′k L<α>n )+

+xαe−x(n− k)L<α>n L<α>k = 0

sau

d

dx

[xα+1e−x(L<α>

′

n L<α>k − L<α> ′k L<α>n )]

+ (n− k)xαe−xL<α>n L<α>k = 0.

Prin integrare rezulta ∫ ∞0

xαe−xL<α>n (x)L<α>k (x)dx = 0.

Integrand relatiile

(n+ 1)L<α>n+1 − (2n+ 1 + α− x)L<α>n + (n+ α)L<α>n−1 = 0

nL<α>n − (2n− 1 + α− x)L<α>n−1 + (n+ α− 1)L<α>n−2 = 0

K.4. POLINOAMELE LUI LAGUERRE 727

ınmultite ın prealabil cu xαe−xL<α>n−1 si respectiv cu xαe−xL<α>n se obtin egalitatile∫∞0xα+1e−xL<α>n (x)L<α>n−1 (x)dx+ (n+ α)

∫∞0xαe−x[L<α>n−1 (x)]2dx = 0

n∫∞

0xαe−x[L<α>n (x)]2dx+

∫∞0xα+1e−xL<α>n (x)L<α>n−1 (x)dx = 0,

de unde ∫ ∞0

xαe−x[L<α>n (x)]2dx =n+ α

n

∫ ∞0

xαe−x[L<α>n−1 (x)]2dx.

Recursiv, rezulta∫ ∞0

xαe−x[L<α>n (x)]2dx =(α + n)(α + n− 1) . . . (α + 1)

n!

∫ ∞0

xαe−xdx =

=(α + n)(α + n− 1) . . . (α + 1)Γ(α + 1)

n!=

Γ(α + n+ 1)

n!.

Pentru α = 0, cu notatia simplificata Ln(x) = L<0>n (x), proprietatea de or-

togonalitate devine ∫ ∞0

e−xLn(x)Lk(x)dx = δn,k. (K.25)


P K.1 Sa se arate ca sirul polinoamelor (Qn)n∈N definit prin formulele de recurenta

Q0(x) = 1

Q1(x) = 2x

Qn+1(x) = 2xQn(x)−Qn−1(x)

defineste un sir de polinoame ortogonale ın [−1, 1] cu ponderea ρ(x) =√

1− x2.(Polinoamele Cebısev de speta a doua)

R. Fie x ∈ [−1, 1] fixat. Interpretand formula de recurenta ca o ecuatie cudiferente, ecuatia caracteristica r2 − 2xr + 1 = 0 are solutiile r = x ± i

√1− x2.

Pentru x = cos t, se deduce Qn(x) = C1 cosnt + C2 sinnt. Conditiile initiale

conduc la C1 = 1 si C2 = cos tsin t

, de unde Qn(x) = sin (n+1)tsin t

. Pentru k 6= n rezulta∫ 1

−1

√1− x2Qn(x)Qk(x)dx =

∫ π

0

sin (n+ 1)t sin (k + 1)tdt = 0.


P K.2 Fie Pn = P ∈ Pn : P (x) = xn + a1xn−1 + . . . + an−ax + an;P ∈ R[X].

Sa se arate ca:

infP∈Pn

∫ 1

−1

P 2(x)dx =

∫ 1

−1

L2n(x)dx =

2

2n+ 1,

unde Ln(x) = n!(2n)!

[(x2 − 1)n](n).

R. Orice polinom P ∈ Pn se poate reprezenta sub forma P (x) =∑n−1

k=0 akLk(x) +Ln(x), a0, . . . , an−1 ∈ R. Tinand seama de ortogonalitatea polinoamelor lui Leg-endre, are loc egalitatea∫ 1

−1

P 2(x)dx =

∫ 1

−1

L2n(x)dx+

n−1∑k=0

a2k

∫ 1

−1

L2k(x)dx.

P K.3 Sa se arate ca o matrice Hankel este simetrica si strict pozitiv definita.

R. Fie p ∈ Pn−1, p 6= 0. Daca p = c0 + c1x+ . . .+ cn−1xn−1 atunci

0 <

∫I

ρ(x)p2(x)dx =n−1∑i,j=0

cicj

∫I

ρ(x)xi+jdx =n−1∑i,j=0

cicjsi+j = cTHnc,

unde c = (c0, c1, . . . , cn−1)T .

P K.4 Pentru polinoamele Hemite sa se arate egalitatea

Hn(x) = 2n2 Hn(x

√2).

P K.5 Pentru polinoamele Hermite sa se arate egalitatile

Hn(x+ y) =n∑k=0

(nk

)(2x)n−kHk(y)

Hn(x+ y) =n∑k=0

(nk

)xn−kHk(y)

R. Inductie dupa n. Egalitatea Hn+1(t + y) = 2(n + 1)Hn(t + y) se integreazadupa t ıntre 0 si x.

Anexa L

Deducerea schemelor de calculde tip Runge – Kuttacu ajutorul calculului simbolic

Deducerea tabelelor Butcher care definesc schemele de calcul de tip Runge –Kutta, ın cazul ordinelor de consistyenta mai mare decat 2 este foarte laborioasa.

Aceasta problema se poate rezolva eficient utilizand produse informatice decalcul simbolic (Mathematica sau Maple).

Fie problema Cauchy

x(t) = f(t, x(t) t ∈ [0, T ] = I (L.1)

x(0) = x0 (L.2)

unde f : I × Rd → Rd si presupunem ca problema (L.1) – (L.2) are o solutieunica x(t) definita ın I.

Fie m,n ∈ N∗, h = Tn. In I se considera nodurile ti = ih,∀i ∈ 0, 1, . . . , n

si se noteaza prin uh = ui 0 ≤ i ≤ n o solutie discreta (adica ui aproximeazax(ti)).

Schema de calcul de tip Runge – Kutta cu m trepte esteui+1−ui

h− Fm(h, ti, ui; f) = 0, 0 ≤ i ≤ n− 1

u0 = x0 (L.3)

unde Fm(h, t, x; f) =∑m

i=1 piki(h), cu

ki(h) = f(t+ aih, x+ h

m∑j=1

bi,jkj(h)) 1 ≤ i ≤ m.

729

730 ANEXA L. SCHEME RUNGE-KUTTA DEDUSE PRIN CALCUL SIMBOLIC

Parametrii necunoscuti (pi)i, (ai)i, (bi,j)i,j se determina astfel ıncat sa se maxi-mizeze ordinul de consistenta r: daca x(t) este solutia problemei Cauchy (L.1) –(L.2) atunci

x(t+ h)− x(t)

h− Fm(h, t, x(t); f) = hrΦ(t, h), Φ(t, 0) 6= 0. (L.4)

Conditia (L.4) se reformuleaza prin: h = 0 este un zero de multiplicitate r + 1pentru functia qm(h) = x(t+ h)− x(t)− hFm(h, t, x(t); f), sau

q(i)m (0) = 0 0 ≤ i ≤ r. (L.5)

Aceste conditii conduc la un sistem algebric de ecuatii neliniare.Solutia obtinuta se prezinta sub forma tabelei Butcher

a1 b1,1 . . . b1,m

a2 b2,1 . . . b2,m

. . . . . . . . . . . .am bm,1 . . . bm,m

p1 . . . pm

Daca a1 = 0 si bi,j = 0 pentru j ≥ i atunci schema de calcul de tip Runge –Kutta este explicita.

In cele ce urmeaza deducem schema de calcul explicita de tip Runge Kutta ın4 trepte cat si pe cea implicita ın doua trepte, utilizand Mathematica.

L.1 Schema de calcul explicita de tip Runge –

Kutta ın 4 trepte

Se utilizeaza derivarea globala Dt, substitutia /. si substitutia repetata //.La ınceput deducem expresia derivatelor lui x(t)

In[1]:= e1:=f[t,x[t]]

In[2]:= e2:=Dt[e1,t]/.x’[t]->f[t,x[t]]

e2

Out[3]= f [t, x[t]]f (0,1)[t, x[t]] + f (1,0)[t, x[t]]In[4]:= e3:=Simplify[Dt[e2,t]/. x’[t]->f[t,x[t]]

e3

Out[5]= f [t, x[t]]2f (0,2)[t, x[t]] + f (0,1)[t, x[t]]f (1,0)[t, x[t]]+

f [t, x[t]](f (0,1)[t, x[t]]2 + 2f (1,1)[t, x[t]]

)+ f (2,0)[t, x[t]]

L.1. SCHEMA DE CALCUL EXPLICITA DE TIP RUNGE – KUTTA IN 4 TREPTE 731

In[6]:= e4:=Simplify[Dt[e3,t]/. x’[t]->f[t,x[t]]

e4

Out[7]= f [t, x[t]]3f (0,3)[t, x[t]]+

f (0,1)[t, x[t]]2f (1,0)[t, x[t]] + 3f (1,0)[t, x[t]]f (1,1)[t, x[t]]+

f [t, x[t]]2(4f (0,1)[t, x[t]]f (0,2)[t, x[t]] + 3f (1,2)[t, x[t]]

)+

f (0,1)[t, x[t]]f (2,0)[t, x[t]]+

f [t, x[t]](f (0,1)[t, x[t]]3 + 5f (0,1)[t, x[t]]f (1,1)[t, x[t]] +

3(f (0,2)[t, x[t]]f (1,0)[t, x[t]] + f (2,1)[t, x[t]])) + f (3,0)[t, x[t]]

In continuare fixam datele schemei ce calcul explicita de tip Runge – Kutta

In[8]:=

k1[h_]:=f[t,x[t]]

k2[h_]:=f[t+a[2]*h,x[t]+h*b[2,1]*k1[h]]

k3[h_]:=f[t+a[3]*h,x[t]+h*b[3,1]*k1[h]+h*b[3,2]*k2[h]]

k4[h_]:=f[t+a[4]*h,x[t]+h*b[4,1]*k1[h]+

h*b[4,2]*k2[h]+h*b[4,3]*k3[h]]

q[h_]:=x[t+h]-x[t]-h*(p[1]*k1[h]+p[2]*k2[h]+

p[3]*k3[h]+p[4]*k4[h])

si calculam expresiile q(s)(0), s = 1, 2, 3, 4.

In[13]:= ex1:=Simplify[Dt[q[h],h]/.Dt[t,h]->0]

In[14]:= ex2:=Simplify[ex1//.h->0, x’[t]->e1]

ex2

Out[15]= −f [t, x[t]](−1 + p[1] + p[2] + p[3] + p[4])

De unde gasim ecuatiap1 + p2 + p3 + p4 = 1 (L.6)

In[16]:= q1[h_]:=ex1

In[17]:= ex3:=Simplify[Dt[q1[h],h]/.Dt[t,h]->0]

In[18]:= ex4:=Simplify[ex3//.h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2]

ex4

Out[20]= −f [t, x[t]](−1 + 2b[2, 1]p[2] + 2b[3, 1]p[3] + 2b[3, 2]p[3]+

2b[4, 1]p[4] + 2b[4, 2]p[4] + 2b[4, 3]p[4])f (0,1)[t, x[t]]−


(−1 + 2a[2]p[2] + 2a[3]p[3] + 2a[4]p[4])f (1,0)[t, x[t]]

Ecuatiile gasite sunt

b2,1p2 + (b3,1 + b3,2)p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3)p4 =1

2(L.7)

a2p2 + a3p3 + a4p4 =1

2(L.8)

In[21]:= q2[h_]:=ex3


In[23]:= ex6:=Simplify[ex5//.h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2,

D[x[t],t,3]=e3]

ex6

Out[24]= −f [t, x[t]]2

(−1 + 3b[2, 1]2p[2] + 3(b[3, 1] + b[3, 2])2p[3] + 3(b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])2p[4])

f (0,2)[t, x[t]]− (−1 + 6a[3]b[4, 3]p[4] + 6a[2](b[3, 2]p[3] + b[4, 2]p[4]))

f (0,1)[t, x[t]]f (1,0)[t, x[t]]− f [t, x[t]]

((−1 + 6(b[3, 1] + b[3, 2])b[4, 3]p[4] + 6b[2, 1](b[3, 2]p[3] + b[4, 2]p[4]))

f (0,1)[t, x[t]]2 + 2(−1 + 3a[2]b[2, 1]p[2] + 3a[3](b[3, 1] + b[3, 2])p[3]+

3a[4](b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])p[4])f (1,1)[t, x[t]])−

(−1 + 3a[2]2p[2] + 3a[3]2p[3] + 3a[4]2p[4])f (2,0)[t, x[t]]

Se obtin ecuatiile

b22,1p2 + (b3,1 + b3,2)2p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3)2p4 =

1

3(L.9)

a2b3,2p3 + (a2b4,2 + a3b4,3)p4 =1

6(L.10)

b2,1b3,2p3 + (b2,1b4,2 + (b3,1 + b3,2)b4,3)p4 =1

6(L.11)

a2b2,1p2 + a3(b3,1 + b3,2)p3 + a4(b4,1 + b4,2 + b4,3)p4 =1

3(L.12)

a22p2 + a2

3p3 + a24p4 =

1

3(L.13)

In[25]:= q3[h_]:=ex5


L.1. SCHEMA DE CALCUL EXPLICITA DE TIP RUNGE – KUTTA IN 4 TREPTE 733


D[x[t],t,3]=e3,D[x[t],t,4]=e4]

ex8

Out[28]= −f [t, x[t]]3

(−1 + 4b[2, 1]3p[2] + 4(b[3, 1] + b[3, 2])3p[3] + 4(b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])3p[4])

f (0,3)[t, x[t]]− (1 + 24a[2]b[3, 2]b[4, 3])f (0,1)[t, x[t]]2f (1,0)[t, x[t]]−

3(−1 + 8a[2]a[3]b[3, 2]p[3] + 8a[4](a[2]b[4, 2] + a[3]b[4, 3])p[4])

f (1,0)[t, x[t]]f (1,1)[t, x[t]] + f [t, x[t]]2

(−4(−1 + 3b[2, 1]b[3, 2](b[2, 1] + 2(b[3, 1] + b[3, 2]))p[3] + 3(b[2, 1]2b[4, 2]+

2b[2, 1]b[4, 2](b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3]) + (b[3, 1] + b[3, 2])b[4, 3]

(b[3, 1] + b[3, 2] + 2(b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])))p[4])f (0,1)[t, x[t]]

f (0,2)[t, x[t]]− 3(−1 + 4a[2]b[2, 1]2 + 4a[3](b[3, 1] + b[3, 2])2p[3]+

4a[4](b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])2p[4])f (1,2)[t, x[t]])−

(−1 + 12a[3]2b[4, 3]p[4] + 12a[2]2(b[3, 2p[3] + b[4, 2p[4]))

f (0,1)[t, x[t]]f (2,0)[t, x[t]] + f [t, x[t]]((1− 24b[2, 1]b[3, 2]b[4, 3]p[4])f (0,1)[t, x[t]]3−

3(−1 + 8(a[2]b[3, 2](b[3, 1] + b[3, 2])p[3]+

(b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])(a[2]b[4, 2] + a[3]b[4, 3])p[4]))

f (0,2)[t, x[t]]f (1,0)[t, x[t]]− (−5 + 24((a[2] + a[3])b[2, 1]b[3, 2]p[3]+

((a[2] + a[4])b[2, 1]b[4, 2] + (a[3] + a[4])(b[3, 1] + b[3, 2])b[4, 3])p[4]))

f (0,1)[t, x[t]]f (1,1)[t, x[t]]− 3(−1 + 4a[2]2b[2, 1]p[2] + 4a[3]2(b[3, 1] + b[3, 2])

p[3] + 4a[4]2(b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])p[4]f (2,1)[t, x[t]])−

(−1 + 4a[2]3p[2] + 4a[3]3p[3] + 4a[4]3p[4])f (3,0)[t, x[t]]

Ultimele ecuatii sunt

b32,1p2 + (b3,1 + b3,2)3p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3)3p4 =

1

4(L.14)

a2b3,2b4,3p4 =1

24(L.15)

a2a3b3,2p3 + a4(a2b4,2 + a3b4,3)p4 =1

8(L.16)

b2,1b3,2(b2,1 + 2(b3,1 + b3, 2))p3 + (b22,1b4,2 + 2b2,1b4,2(b4,1 + b4,2 + b4,3) +


(b3,1 + b3,2)b4,3(b3,1 + b3,2 + 2(b4,1 + b4,2 + b4,3)))p4 =1

3(L.17)

a2b22,1p2 + a3(b3,1 + b3,2)p3 + a4(b4,1 + b4,2 + b4,3)2p4 =

1

4(L.18)

a22b3,2p3 + (a2

2b4,2 + a23b4,3)p4 =

1

12(L.19)

b2,1b3,2b4,3p4 =1

24(L.20)

a2b3,2(b3,1 + b3,2)p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3)(a2b4,2 + a3b4,3)p4 =1

8(L.21)

(a2 + a3)b2,1b3,2p3 + ((a2 + a4)b2,1b4,2 + (a3 + a4)(b3,1 + b3,2)b4,3)p4 =5

24(L.22)

a22b2,1p2 + a2

3(b3,1 + b3,2)p3 + a24(b4,1 + b4,2 + b4,3)p4 =

1

4(L.23)

a32p2 + a3

3p3 + a34p4 =

1

4(L.24)

Din (L.15) si (L.20) rezulta ca a2 = b2,1; din (L.10) si (L.11) rezulta ca a3 =b3,1 + b3,2; din (L.7) si (L.8) rezulta ca a4 = b4,1 + b4,2 + b4,3.

Se observa ca ıntre ecuatiile (L.6)-(L.24) au loc echivalentele (L.7) ≡ (L.8);(L.13) ≡ (L.12) ≡ (L.9); (L.24) ≡ (L.23) ≡ (L.18) ≡ (L.14); (L.16) ≡ (L.21);(L.15) ≡ (L.22); (L.22) ≡ (L.16) + (L.19); (L.17) ≡ 2 (L.16) + (L.19).

Sistemul redus devine

In[29]:= eq1:=p[1]+p[2]+p[3]+p[4]==1

eq2:=b[2,1]*p[2]+(b[3,1]+b[3,2])*p[3]+

(b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])*p[4]==1/3

eq3:=b[2,1]^2*p[2]+(b[3,1]+b[3,2])^2*p[3]+

(b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])^2*p[4]==1/3

eq4:=b[2,1]^3*p[2]+(b[3,1]+b[3,2])^3*p[3]+

(b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])^3*p[4]==1/4

eq5:=b[2,1]*b[3,2]*p[3]+

(b[2,1]*b[4,2]+(b[3,1]+b[3,2])*b[4,3])*p[4]==1/6

eq6:=b[2,1]*(b[3,1]+b[3,2])b[3,2]*p[3]+(b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])*

(b[2,1]*b[4,2]+(b[3,1]+b[3,2])*b[4,3])*p[4]==1/8

eq7:=b[2,1]^2*b[3,2]*p[3]+

(b[2,1]^2*b[4,2]+(b[3,1]+b[3,2])^2*b[4,3])*p[4]==1/12

eq8:=b[2,1]*b[3,2]*b[4,3]*p[4]==1/24

Daca

L.2. SCHEMA DE CALCUL IMPLICITA DE TIP RUNGE – KUTTA IN 2 TREPTE 735

In[30]:= b[2,1]:=1/2

b[3,2]:=1/2

atunci

In[31]:= Solve[eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8,

p[1],p[2],p[3],p[4],b[3,1],b[4,1],b[4,2],b[4,3]]

Out[31]= p[1]→ 0, p[2]→ 23, p[3]→ 1

6, b[3, 1]→ −1

2, b[4, 1]→ −3

2,

b[4, 2]→ 3

2, b[4, 3]→ 1, p[4]→ 1

6, p[1]→ 1

6, p[2]→ 1

3, p[3]→ 1

3,

b[3, 1]→ 0, b[4, 1]→ 0, b[4, 2]→ 0, b[4, 3]→ 1, p[4]→ 1

6

Ultima solutie corespunde schemei de calcul clasice de tip Runge – Kutta ın 4trepte.

L.2 Schema de calcul implicita de tip Runge –

Kutta ın 2 trepte

Intr-o foaie noua de calcul calculam din nou derivatele pentru x(t) = f(t, x(t)).Datele schemei de calcul implicita de tip Runge – Kutta ın 2 trepte sunt

In[6]:=

r1[h_]:=f[t+a[1]*h,x[t]+h*b[1,1]*k1[h]+h*b[1,2]*k2[h]]

r2[h_]:=f[t+a[2]*h,x[t]+h*b[2,1]*k1[h]+h*b[2,2]*k2[h]]

q[h_]:=x[t+h]-x[t]-h*(p[1]*r1[h]+p[2]*r2[h]

si calculam expresiile q(s)(0), s = 1, 2, 3.

In[7]:= ex1:=Simplify[Dt[q[h],h]/.Dt[t,h]->0]

In[8]:= ex2:=Simplify[ex1//.h->0, x’[t]->e1]

ex2

Out[9]= −f [t, x[t]](−1 + p[1] + p[2])In[10]:= r11:=Simplify[Dt[r1[h],h]//.Dt[t,h]->0,h->0,

k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0]]

In[11]:= r21:=Simplify[Dt[r2[h],h]//.Dt[t,h]->0,h->0,

k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0]]

In[12]:= q1[h_]:=ex1




k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0]]

ex4

Out[15]= −f [t, x[t]](−1 + 2b[1, 1]p[1] + 2b[1, 2]p[1] + 2b[2, 1]p[2] + 2b[2, 2]p[2])

f (0,1)[t, x[t]] + (1− 2a[1]p[1]− 2a[2]p[2])f (1,0)[t, x[t]]

In[16]:= q2[h_]:=ex3



D[x[t],t,3]->e3,k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0],k1’[0]->r11,k2’[0]->r21]

ex6

Out[19]= −f [t, x[t]]2

(−1 + 3(b[1, 1] + b[1, 2])2p[1] + 3(b[2, 1] + b[2, 2])2p[2])f (0,2)[t, x[t]]−

(−1 + 6a[1](b[1, 1]p[1] + b[2, 1]p[2]) + 6a[2](b[1, 2]p[1] + b[2, 2]p[2]))

f (0,1)[t, x[t]]f (1,0)[t, x[t]]− f [t, x[t]]

((−1 + 6(b[1, 1]2 + b[1, 1]b[1, 2] + b[1, 2](b[2, 1] + b[2, 2]))p[1]+

6((b[1, 1] + b[1, 2])b[2, 1] + b[2, 1]b[2, 2] + b[2, 2]2)p[2])f (0,1)[t, x[t]]2+

2(−1 + 3a[1](b[1, 1] + b[1, 2])p[1] + 3a[2](b[2, 1] + b[2, 2])p[2])f (1,1)[t, x[t]])+

(1− 3a[1]2p[1]− 3a[2]2p[2])f (2,0)[t, x[t]]

Rezulta sistemul algebric neliniar

p1 + p2 = 1 (L.25)

a1p1 + a2p2 =1

2(L.26)

(b1,1 + b1,2)p1 + (b2,1 + b2,2)p2 =1

2(L.27)

a21p1 + a2

2p2 =1

3(L.28)

a1(b1,1 + b1,2)p1 + a2(b2,1 + b2,2)p2 =1

3(L.29)

(b1,1 + b1,2)2p1 + (b2,1 + b2,2)2p2 =1

3(L.30)

(a1b1,1 + a2b1,2)p1 + (a1b2,1 + a2b2,2)p1 =1

6(L.31)

(b1,1(b1,1 + b1,2) + b1,2(b2,1 + b2,2))p1 + (b2,1(b1,1 + b1,2) + b2,2(b2,1 + b2,2))p2 =1

6(L.32)

L.2. SCHEMA DE CALCUL IMPLICITA DE TIP RUNGE – KUTTA IN 2 TREPTE 737

Daca a1 = b1,1 + b1,2, a2 = b2,1 + b2,2, p1 = p2 = 12

atunci se deduce solutiauzuala

In[20]:= eq1:=b[1,1]+b[1,2]+b[2,1]+b[2,2]==1

eq2:=(b[1,1]+b[1,2])^2+(b[2,1]+b[2,2])^2==2/3

eq3:=(b[1,1]+b[2,1])(b[1,1]+b[1,2])+

(b[1,2]+b[2,2])*(b[2,1]+b[2,2])==1/3

b[1,1]:=βIn[24]:= Solve[eq1,eq2,eq3,b[1,2],b[2,1],b[2,2]]

Out[24]=

b[1, 2]→ 1

6(3−

√3− 6β), b[2, 1]→ 1

6(3 +

√3− 6β), b[2, 2]→ β,

b[1, 2]→ 1

6(3 +

√3− 6β), b[2, 1]→ 1

6(3−

√3− 6β), b[2, 2]→ β

Anexa M

Reprezentarea multimii deA-stabilitate

Cazul schemei de calcul de tip Runge – Kutta

Multimii de A-stabilitate a unei scheme de calcul de tip Runge–Kutta explicitaeste data de solutia inecuatie |R(z)| ≤ 1, unde R(z) este functia de stabilitate.

Pentru a obtine frontiera ei se rezolva ecuatia R(z) = eit, ın necunoscuta z,pentru o multime discreta de valori t ∈ [0, 2kπ], k ∈ N.

Utilizand Scilab, determinarea lui z pentru o multime de valori ale lui t seobtine cu functia

function z=astabrk(cale)

exec(cale+’\R.sci’,-1)

h=2*%pi/n;

x=zeros(1,2);

for i=0:N do

deff(’q=f(p)’,[’u=p(1)’,’v=p(2)’,

’q(1)=real(R(u+%i*v))-cos(i*h)’,

’q(2)=imag(R(u+%i*v))-sin(i*h)’])

if i==0 then

p0=[0,0];

else

p0=[y(1),y(2)];

end

[y,yy,info]=fsolve(p0,f,tol=1.e-3);

if info~=1 then

739

740 ANEXA M. REPREZENTAREA MULTIMII DE A-STABILITATE

disp(i)

end

x=[x;y];

end

[r,c]=size(x);

x2=x(2:r,:);

z=x2

clf()

plot(x2(:,1),x2(:,2),’b’)

endfunction

iar codul pentru expresia lui R(z) este dat ın functia

function w=R(z)

// m=2

w=1+z+0.5*z.^2;

endfunction

Matricea z contine coordonatele unor puncte de pe frontiera domeniului de A-stabilitate. Utilizarea acestui program ın cazul altor scheme de calcul de tipRunge – Kutta presupune modificarea expresia functiei de stabilitate R(z).

Cazul schemei de calcul de tip Adams

Pentru o schema de calcul de tip Adams scrisa sub forma

apuk+p + ap−1uk+p−1 + . . .+ a0uk−


ecuatia caracteristica corespunzatoare problemei de test este

ρ(x)− zσ(x) = 0

unde

ρ(x) = apxp + ap−1x

p−1 + . . .+ a1x+ a0

σ(x) = bpxp + bp−1x

p−1 + . . .+ b1x+ b0

Frontiera multimii de A-stabilitate este data de

z =ρ(eit)

σ(eit)t ∈ [0, 2π]

Programul Scilab (ın cazul schemei de calcul Adams-Bashforth, r=2) este

741

function [x,y]=astab(cale)

exec(cale+’\adamsbashfort.sci’,-1)

h=2*%pi/n;

s=0:h:4*%pi;

z=exp(%i*s);

[rho,sigma]=adamsbashfort(z);

x2=real(rho./sigma);

y2=imag(rho./sigma);

clf();

plot2d(x2’,y2’,strf=’181’,leg=’r=2’)

endfunction

ımpreuna cu

function [rho,sigma]=adamsbashfort(z)

rho=z.^3-z.^2;

sigma=(23*z.^2-16*z+5)/12;

endfunction

742 ANEXA M. REPREZENTAREA MULTIMII DE A-STABILITATE

Anexa N

Produsul Kronecker

Produsul Kronecker

Daca A ∈ Mm,n(C) si B ∈ Mr,s(C) = (bi,j) atunci produsul Kronecker almatricelor A,B este

A⊗B =

a1,1B . . . a1,nB...

. . ....

am,1B . . . am,nB

∈Mmr,ns(R).

Teorema N.0.1 Au loc proprietatile:

• (A⊗B)⊗ C = A⊗ (B ⊗ C);

• (A+B)⊗ C = A⊗ C +B ⊗ C;

• (A⊗B)T = AT ⊗BT .

Teorema N.0.2 Daca A ∈ Mm,n(C), C ∈ Mn,p(C), B ∈ Mr,s(C), D ∈ Ms,t(C)atunci

(A⊗B)(C ⊗D) = AC ⊗BD.

Teorema N.0.3 Daca A,B sunt matrice inversabile atunci (A⊗B)−1 = A−1⊗B−1.

Teorema N.0.4 Daca A,B sunt matrice ortogonale atunci A⊗ B este matriceortogonala.

743

744 ANEXA N. PRODUSUL KRONECKER

Teorema N.0.5 Fie A ∈ Mk(C) si B ∈ Mn(C). Daca λ1, . . . , λk si µ1, . . . , µnsunt valorile proprii ale matricelor A si respectiv B cu vectorii proprii core-spunzatori x1, . . . , xk, respectiv y1, . . . , yn atunci valorile proprii ale matricei A⊗B sunt λiµj cu vectorii proprii corespunzatori xi ⊗ yj, i ∈ 1, . . . , k si j ∈1, . . . , n.

Demonstratie. Din Axi = λixi si Byj = µjyj rezulta

(A⊗B)(xi ⊗ yj) = Axi ⊗Byj = λiµj(xi ⊗ yj).

Din acest rezultat rezulta

Teorema N.0.6 Daca matricele simetrice A ∈Mk(R), B ∈Mn(R) sunt (strict)pozitiv definite atunci matricea A⊗B este (strict) pozitiv definita.

Teorema N.0.7 Daca A ∈Mk(C) si B ∈Mn(C) atunci

|A⊗B| = |A|k|B|n.

Demonstratia 1. Potrivit teoremei Schur, exista matricele unitare U ∈Mk(C), V ∈Mn(C) astfel ıncat UHAU = TA si V HBV = TB iar TA, TB sunt matrice superiortriunghulare avand pe diagonala valorile proprii ale matricelor A, respectiv B.

Au loc egalitatile

• |A| = |TA| =∏k

i=1 λi, |B| = |TB| =∏n

j=1 µj (cu notatiile teoremei ante-rioare);

• (UH ⊗ V H)(U ⊗ V ) = Ik ⊗ In = Ikn → |UH ⊗ V H ||U ⊗ V )| = 1;

• (UH ⊗ V H)(A⊗B)(U ⊗ V ) = UHAU ⊗ V HBV = TA ⊗ TB.

TA⊗TB este o matrice superior triunghiulara avand pe diagonala vectorii propriiiale matricei A⊗B iar determinantul este cu (

∏ki=1 λi)

n(∏n

j=1 µj)k. Prin urmare

|(UH ⊗ V H)(A⊗B)(U ⊗ V )| = |A⊗B| = |TA ⊗ TB| = |A|n|B|k.

Demonstratia 2. Are loc egalitatea

|A⊗B| = |(A⊗ In)(Ik ⊗B)| = |A⊗ In||Ik ⊗B|.

745

Dar

|Ik ⊗B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣B 0 . . . 00 B 0...

. . ....

0 0 . . . B

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |B|k,

ın urma utilizarii regulii lui Laplace, iar ın determinantul

|A⊗ In| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1In a1,2In . . . a1,kIna2,1In a2,2In . . . a2,kIn

.... . .

...ak,1In ak,2In . . . ak,kIn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣prin interschimbarea de coloane si linii se ajunge la

|A⊗ In| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣A 0 . . . A0 A 0...

. . ....

0 0 . . . A

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |A|n.

Calculul expresiei (A⊗B)x, unde A ∈Mm(R), B ∈Mn(R) si x ∈ Rmn. Dacasunt definite functiile

V 2M : Rmn →Mn,m(R) V 2M(v) = aM2V = V 2M−1 : Mn,m(R)→ Rmn M2V (a) = v

prinai,j = vi+(j−1)n, i ∈ 1, . . . , n, j ∈ 1, . . . ,m,

atunci(A⊗B)x = M2V (B V 2M(x) AT ). (N.1)

Numarul ınmultirilor calcuand expresia (A⊗B)x este 2m2n2 ın timp ce utilizand(N.1) numarul ınmultirilor este mn(m+ n).

746 ANEXA N. PRODUSUL KRONECKER

Anexa O

Ecuatia matriceala Sylvester

Dandu-se matricele A ∈ Mn(R), B ∈ Mm(R), C ∈ Mn,m(R) sa se determinematricea X ∈Mn,m(R) astfel ıncat

AX +XB = C. (O.1)

Ecuatia (O.1) se reduce la un sistem algebric de mn ecuatii liniare cu mn ne-cunoscute, adica elementele matricei X.

Punand ın evidenta coloanele matricelor X = [x1 x2 . . . xm], xi ∈ Rn, B =[b1 b2 . . . bm], bi = (b1,i b2,i . . . bm,i)

T ∈ Rm si C = [c1 c2 . . . cm], ci ∈ Rn, ecuatiamatriceala (O.1) revine la sistemul

Axi +Xbi = ci, i ∈ 1, 2, . . . ,m (O.2)

sau

Axi +m∑j=1

bj,ixj = ci, i ∈ 1, 2, . . . ,m.

Ansamblul acestor ecuatii se scrie matricealA+ b1,1In b2,1In . . . bm,1Inb1,2In A+ b2,2In . . . bm,2In

.... . .

...b1,mIn b2,mIn . . . A+ bm,mIn

x1

x2...xm

=

c1

c2...cm

.Cu produsul Kronecker sistemul de mai sus se scrie

(Im ⊗ A+BT ⊗ In)vec(x) = vec(c), (O.3)

747

748 ANEXA O. ECUATIA MATRICEALA SYLVESTER

unde

vec(x) =

x1

x2...xm

, vec(c) =

c1

c2...cm

.Aplicand teorema Schur 16.1.1 exista matricele unitare U ∈ Mn(C) si V ∈

Mm(C) astfel ıcat

UHAU = TA ⇔ A = UTAUH ,

V HBTV = TB ⇔ BT = V TBVH

unde TA si TB sunt matrice superior triunghiulare avand pe diagonala valorileproprii ale matricelor A si respectiv B.

Au loc egalitatile

Im ⊗ A+BT ⊗ In = V ImVH ⊗ UTAUH + V TBV

H ⊗ UInUH =

= (V ⊗ U)(Im ⊗ TA + TB ⊗ In)(V H ⊗ UH).

Matricea Im ⊗ TA + TB ⊗ In este superior triunghiulara si are pe diagonala sumadintre o valoare proprie a matricei A cu o valoare proprie a matricei B. Rezulta

Teorema O.0.1 Daca λ1, . . . , λnsi µ1, . . . , µm sunt valorile proprii ale matricelorA si respectiv B, astfel ıncat λi + µj 6= 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , n si ∀j ∈ 1, 2, . . . ,matunci sistemul (O.3) are solutie unica.

Daca B este o matrice superior triunghiulara atunci rezolvarea sistemelor(O.2) se face iterativ. In acest caz ecuatia matriceala Sylvester este

A[x1 x2 . . . xm] + [x1 x2 . . . xm]

b1,1 b1,2 . . . b1,m

b2,2 . . . b2,m...

. . ....

bm,m

= [c1 c2 . . . cm],

de unde rezulta sistemele algebrice de ecuatii liniare

(A+ b1,1In)x1 = c1

(A+ b2,2In)x2 = c2 − b1,2x1...

(A+ bm,mIn)xm = cm − b1,mx1 − . . . bm−1,mxm−1

(O.4)

Valorile proprii ale matricei B sunt elementele de pe diagonala. Potrivit TeoremeiO.0.1 daca −bi,i nu este valoare proprie a matricei A, i ∈ 1, 2, . . . ,m atuncisistemele (O.4) au solutie unica.

Anexa P

Curbe Bezier

P.1 Reprezentarea Bezier a unui polinom

Fie bn,i(x) =

(ni

)xi(1 − x)n−i ∈ Pn i ∈ 0, 1, . . . , n, n ∈ N, polinomul ce

apare ın scrierea polinoamelor Bernstein.

Teorema P.1.1 Polinoamele bn,i, i ∈ 0, 1, . . . , n sunt liniar independente formando baza a spatiului liniar Pn ⊂ R[X] (baza Bernstein).

Demonstratie. Daca

λ0

(n0

)(1− x)n + λ1

(n1

)x(1− x)n−1 + . . .+ λn−1

(n

n− 1

)xn−1(1− x) + λn

(nn

)xn = 0, (P.1)

atunci pentru x = 0 se obtine λ0 = 0 iar pentru x = 1 se obtine λn = 0. Din(P.1), ın urma ımpartirii cu x(1− x) rezulta

λ1

(n1

)(1− x)n−2 + λ2

(n2

)x(1− x)n−3 + . . .+ λn−2

(n

n− 2

)xn−2(1− x)+

+λn−1

(n

n− 1

)xn−1 = 0,

Din nou, pentru x = 0 si x = 1 se obtine λ1 = λn−1 = 0. Repetand procedeul, sededuce λ0 = λ1 = . . . = λn = 0.

In consecinta, pentru orice polinom P ∈ Pn exista numerele reale c0, c1, . . . , cnastfel ıncat

P (x) =n∑i=0

cibn,i(x), (P.2)

numita reprezentarea Bezier a polinomului.Derivatele unui polinom ın reprezentarea Bezier sunt date de

749

750 ANEXA P. CURBE BEZIER

Teorema P.1.2 Daca P (x) =∑n

i=0 cibn,i(x) atunci

P (k)(x) = n(n− 1) . . . (n− k + 1)n−k∑i=0

4kcibn−k,i(x). (P.3)

Prin4kci s-a notat diferenta finita progresiva de ordin k cu pasul 1 ın ci a functieij 7→ cj, j ∈ 0, 1, . . . , n, 4ci = ci+1 − ci,42ci = ci+2 − 2ci+1 + ci, etc.

Demonstratie. Inductie dupa k. Pentru k = 1 au loc egalitatile

P ′(x) =n∑i=0

ci

(ni

)(ixi−1(1− x)n−i − (n− i)xi(1− x)n−i−1

)=

=n∑i=1

ci

(ni

)ixi−1(1− x)n−i −

n−1∑i=0

ci

(ni

)(n− i)xi(1− x)n−i−1.

Deoarece (ni

)i = n

(n− 1i− 1

),

(ni

)(n− i) = n

(n− 1i

)expresia lui P ′(x) devine

P ′(x) = n

(n∑i=1

ci

(n− 1i− 1

)xi−1(1− x)n−i −

n−1∑i=0

ci

(n− 1i

)xi(1− x)n−i−1

).

Schimband ın prima suma i− 1 := i se obtine

P ′(x) = n

(n−1∑i=0

ci+1

(n− 1i

)xi(1− x)n−i−1 −

n−1∑i=0

ci

(n− 1i

)xi(1− x)n−i−1

)=

= n

n−1∑i=0

(ci+1 − ci)(

n− 1i

)xi(1− x)n−i−i = n

n−1∑i=0

4ci(

n− 1i

)xi(1− x)n−i−i.

Daca

P (x) =n∑i=0

aixi =

n∑i=0

cibn,i(x). (P.4)

atunci dorim sa determinam coeficientii reprezentarii Bezier ın functie de coeficientiipolinomului si invers.

Cunoscand coeficientii reprezentarii Bezier a polinomului P coeficientii se de-termina potrivit teoremei urmatoare.

P.1. REPREZENTAREA BEZIER A UNUI POLINOM 751

Teorema P.1.3 Au loc formulele

ai =

(ni

)4ic0, i ∈ 0, 1, . . . , n, (P.5)

adica

P (x) =n∑i=0

(ni

)4ic0x

i.

Demonstratie. Egalitatea (P.3) implica

P (k)(0) = n(n− 1) . . . (n−k+ 1)n−k∑i=0

4kcibn−k,i(0) = n(n− 1) . . . (n−k+ 1)4kc0.

Apoi

P (x) =n∑k=0

P (k)(0)

k!xk =

n∑k=0

(nk

)4kc0x

k.

Invers, are loc teorema

Teorema P.1.4 Coeficientii reprezentarii Bezier a polinomului P ın functie decoeficienti se calculeaza cu formula

ci =i∑

j=0

aj

(ij

)(nj

) , (P.6)

deci

P (x) =n∑i=0

i∑j=0

aj

(ij

)(nj

) bn,i(x). (P.7)

Demonstratie. Dezvoltand diferentele 4ic0, interpretam relatiile (P.5)

4ic0 =i∑

j=0

(ij

)(−1)i−jcj =

ai(ni

) , i ∈ 0, 1, . . . , n,


ca un sistem algebric de ecuatii liniare ın necunoscutele c0, c1, . . . , cn. Potrivitproblemei (1.6), inversa matricei sistemului este

(00

)0 0 . . . 0

−(

10

) (11

)0 . . . 0(

20

)−(

21

) (22

). . . 0

......

.... . .

...

(−1)n(

n0

)(−1)n−1

(n1

)(−1)n−2

(n2

). . .

(nn

)

−1

=

=

(00

)0 0 . . . 0(

10

) (11

)0 . . . 0(

20

) (21

) (22

). . . 0

..

....

..

.. . .

...(n0

) (n1

) (n2

). . .

(nn

)

In consecinta

c0

c1...cn

=

(00

)0 . . . 0(

10

) (11

). . . 0

......

. . ....(

n0

) (n1

). . .

(nn

)

a0 n0

a1 n1

...an nn

,

de unde relatia (P.6).Algoritmul Casteljau serveste la calculul valorii polinomului (P.2), ın reprezentarea

Bezier, ıntr-un punct x.Au loc formulele de recurenta

bn,0(x) =

(n0

)(1− x)n = (1− x)

(n− 1

0

)(1− x)n−1 = (1− x)bn−1,0(x),

bn,n(x) =

(nn

)xn = x

(n− 1

0

)xn−1 = xbn−1,n−1(x).

Pentru i ∈ 1, 2, . . . , n− 1 se obtin relatiile

bn,i(x) =

(ni

)xi(1− x)n−i =

((n− 1i− 1

)+

(n− 1i

))xi(1− x)n−i =

P.1. REPREZENTAREA BEZIER A UNUI POLINOM 753

= xbn−1,i−1(x) + (1− x)bn−1,i(x).

Utilizand aceste relatii de recurenta, expresia polinomului P (x) devine

P (x) =n∑i=0

cibn,i(x) =

= (1− x)c0bn−1,0(x) +n−1∑i=1

ci (xbn−1,i−1(x) + (1− x)bn−1,i(x)) + cnxbn−1,n−1(x) =

= (1− x)n−1∑i=0

cibn−1,i(x) + x

n∑i=1

cibn−1,i−1(x) =

= (1− x)n−1∑i=0

cibn−1,i(x) + x

n−1∑i=0

ci+1bn−1,i(x) =

=n−1∑i=0

((1− x)ci + xci+1) bn−1,i(x).

Notand c1i (x) = (1− x)ci + xci+1, egalitatea de mai sus se scrie

P (x) =n−1∑i=0

c1i (x)bn−1,i(x).

Introducand

ck+1i (x) = (1− x)cki (x) + xcki+1(x), i ∈ 0, 1, . . . , n− k, k ∈ 0, 1, . . . , n− 1,

ın baza celor de mai sus, au loc egalitatile

P (x) =n−1∑i=0

c1i (x)bn−1,i(x) =

n−2∑i=0

c2i (x)bn−2,i(x) = . . . = cn0 (x)b0,0(x) = cn0 (x).

Desfasurarea calculelor se face completand succesiv coloanele tabelului

c0 c10(x) c2

0(x) . . . cn−10 (x) cn0 (x)

c1 c11(x) c2

1(x) . . . cn−11 (x)

......

...cn−2 c1

n−2(x) c2n−2(x)

cn−1 c1n−1(x)

cn


P.2 Curbe Bezier

Fie P0, P1, . . . , Pn, n+1 puncte distincte din Rm si ~ri =−→OP i, i ∈ 0, 1, . . . , n.

Definitia P.2.1 Curba t 7→ ~r(t), t ∈ [0, 1] definita prin

~r(t) =n∑i=0

~ribn,i(t) (P.8)

se numeste curba Bezier asociata punctelor P0, P1, . . . , Pn.

Componentele vectorului ~r(t) sunt polinoame de grad n ın reprezentareaBezier. Potrivit algoritmului lui Casteljau pentru determinarea unui punct alcurbei se completeaza tabelul

P0 P 10 P 2

0 . . . P n−10 P n

0

P1 P 11 P 2

1 . . . P n−11

......

...Pn−2 P 1

n−2 P 2n−2

Pn−1 P 1n−1

Pn

unde P k+1i = (1 − t)P k

i + tP ki+1, i ∈ 0, 1, . . . , n − k, k ∈ 0, 1, . . . , n − 1 si

P n0 = ~r(t).

Teorema P.2.1 Au loc egalitatile

~r(0) = n−−→P0P1

~r(1) = n−−−−→Pn−1Pn

adica tangentele la curba Bezier ın punctele P0 si Pn sunt dreptele P0P1 si re-spectiv Pn−1Pn.

Demonstratie. Potrivit teoremei P.1.2

~r(t) = n

n−1∑i=0

(~ri+1 − ~ri)bn−1,i(t).

In particular, pentru t = 0, ~r(0) = n(~r1 − ~r0) = n−−→P0P1

si pentru t = 1, ~r(1) = n(~rn − ~rn−1) = n−−−−→Pn−1Pn.

P.2. CURBE BEZIER 755


P P.1 Pentru n = 3 si punctele Pi date prin coordonatele (xi, yi), i ∈ 0, 1, 2, 3,sa se arate ca curba Bezier este data de

~r(t) =

(x0 x1 x2 x3

y0 y1 y2 y3

)1 −3 3 −10 3 −6 30 0 3 −30 0 0 1

1tt2

t3

.

P P.2 Fie punctele Pi(xi, yi) si ~ri vectorul de pozitie al punctului Pi i ∈ 1, 2, 3, 4cu x1 < x2 < x3 < x4. Sa se arate ca curba Bezier atasata acestor puncte coincidecu curba obtinuta prin interpolare Lagrange-Hermite pentru

~r(0) = ~r1

~r ′(0) = 3(~r2 − ~r1)

~r(1) = ~r4

~r ′(1) = 3(~r4 − ~r3)

Anexa Q

Cea mai buna aproximatie ınC[a, b]

In spatiul liniar C[a, b] al functiilor continue cu valori reale, definite ın inter-valul marginit si ınchis [a, b], se considera norma ‖f‖ = maxa≤x≤b |f(x)|. AstfelC[a, b] devine un spatiu normat. 1

Q.1 Cea mai buna aproximatie ın C[a, b]

Fie f ∈ C[a, b]. Problema studiata ın continuare este existenta si caracteri-zarea unui polinom p∗ ∈ Pn astfel ıncat

‖f − p∗‖ = infp∈Pn‖f − p‖ = En(f).

Daca exista un asemenea polinom p∗, acesta se va numi polinomul de cea maibuna aproximatie a lui f prin elementele multimii Pn.

Tinand seama de Teorema lui Weierstrass (3.4) limn→∞En(f) = 0.

Teorema Q.1.1 Pentru orice f ∈ C[a, b] exista cel putin un polinom de cea maibuna aproximatie a lui f prin elementele multimii Pn.

Demonstratie. Functia Φ : Pn → R, definita prin Φ(ϕ) = ‖f−ϕ‖ este continua.Deoarece 0 ∈ Pn, pentru orice ϕ ∈ Pn are loc inegalitatea ‖f − ϕ‖ ≤ ‖f‖.

1Redactarea prezentarii s-a facut dupa Shadrin A, 2005, Approximation Theory,www. damtp. cam. ac. uk/ user/ na/ PartIIIat/ at. html .

757

www.damtp.cam.ac.uk/user/na/PartIIIat/at.html

758 ANEXA Q. CEA MAI BUNA APROXIMATIE IN C[A,B]

Φ este indusa de functia Φ : Rn+1 → R definita prin Φ(c) = ‖f −∑n

i=0 cixi‖,

unde c = (c0, c1, . . . , cn).Rezulta ca multimea S = c ∈ Rn+1 : Φ(c) ≤ ‖f‖ este marginita si ınchisa.

Prin urmare minimul functiei Φ este atins.

Teorema Q.1.2 (A. Kolmogorov) Fie submultimea compacta K ⊂ Rd si V unsubspatiu liniar din C(K). Un element p∗ ∈ V este element de cea mai bunaaproximatie pentru f ∈ C(K) prin elementele multimii V daca si numai daca

maxx∈Z

(f(x)− p∗(x))) q(x) ≥ 0, ∀q ∈ V,

unde Z = x ∈ K : |f(x)− p∗(x)| = ‖f − p∗‖.

Demonstratie. Necesitatea. Presupunem prin absurd ca exista q ∈ V astfelıncat

maxx∈Z

((f(x)− p∗(x))) q(x) = −2ε

cu ε > 0. Din continuitate se deduce existenta unei multimi deschise G ⊂ Kastfel ıncat Z ⊂ G si

maxx∈Z

((f(x)− p∗(x))) q(x) < −ε, ∀x ∈ G.

Analizam modul ın care p = p∗− λq, cu λ > 0, aproximeaza pe f . Vom folosinotatiile m = ‖q‖, Ef = ‖f − p∗‖.

1. x ∈ G.Au loc relatiile

(f(x)− p(x))2 = (f(x)− p∗(x) + λq(x))2 =

= (f(x)− p∗(x))2 + 2λ (f(x)− p∗(x)) q(x) + λ2q2(x) < E2f − 2λε+ λ2m2.

Pentru λ < εm2 se obtine (f(x)− p(x))2 < E2

f − λε.

2. x ∈ K \G = F.

Multimea F este compacta si ın consecinta

maxx∈F|f(x)− p∗(x)| < Ef .

Atunci exista δ > 0 astfel ıncat

maxx∈F|f(x)− p∗(x)| ≤ Ef − 2δ, ∀x ∈ F.

Q.1. CEA MAI BUNA APROXIMATIE IN C[A,B] 759

Deducem

|f(x)− p(x)| ≤ |f(x)− p∗(x)|+ λ|q(x)| ≤ Ef − 2δ + λm.

Pentru λ < δm

se obtine maxx∈F |f(x)− p∗(x)| ≤ Ef − δ.

Rezulta ca functia p = p∗−λq este o aproximatie mai buna a lui f decat p∗, ceeace contrazice ipoteza.

Suficienta. Fie p ∈ V, q = p∗ − p si x0 ∈ Z astfel ıncat

(f(x0)− p∗(x0))) q(x0) ≥ 0.

Atunci(f(x0)− p(x0))2 = (f(x0)− p∗(x0) + q(x0))2 =

= (f(x0)− p∗(x0))2 + 2 (f(x0)− p∗(x0)) q(x0) + q2(x0) ≥≥ (f(x0)− p∗(x0))2 = ‖f − p∗‖2.

Rezulta ca functia p ∈ V nu poate aproxima mai bine pe f decat p∗.

Teorema Q.1.3 Daca p∗ ∈ Pn este un polinom de cea mai buna aproximatie afunctie f ∈ C[a, b] ın Pn atunci exista cel putin un punct x+ si cel putin un punctx− ın [a, b] astfel ıncat

(f − p∗)(x+) = En(f) si (f − p∗)(x−) = −En(f).

Demonstratie. Presupunem prin absurd ca nu exista nici un punct x− ∈ [a, b]astfel ıncat (f − p∗)(x−) = −En(f), adica

−En(f) < (f − p∗)(x) ≤ En(f), ∀x ∈ [a, b].

Va exista atunci h > 0 astfel ıncat

−En(f) + 2h ≤ (f − p∗)(x) ≤ En(f), ∀x ∈ [a, b].

Adunand −h se obtine

−En(f) + h ≤ f(x)− (p∗(x) + h) ≤ En(f)− h, ∀x ∈ [a, b]

sau|f(x)− (p∗(x) + h)| ≤ En(f)− h < En(f), ∀x ∈ [a, b].

ceea ce contrazice definitia lui p∗.Analog se demonstreaza existenta unui punct x+ astfel ıncat (f − p∗)(x+) =

En(f).


Teorema Q.1.4 (Cebısev) p∗f ∈ Pn este polinomul de cea mai buna aproximatiea lui f ∈ C[a, b] prin elementele multimii Pn daca si numai daca exista n + 2puncte a ≤ x1 < x2 < . . . < xn+2 ≤ b astfel ıncat

|f(xi)− p∗(xi)| = En(f), i ∈ 1, 2, . . . , n+ 2; (Q.1)

f(xi)− p∗(xi) = −(f(xi+1)− p∗(xi+1)), i ∈ 1, 2, . . . , n+ 1. (Q.2)

Relatiile (Q.1)-(Q.2) definesc proprietatea de alternanta. Punctele x1 < x2 <. . . < xn+2 se numesc puncte de alternanta.

Demonstratie. Necesitatea. Fie Z = x ∈ [a, b] : |f(x) − p∗(x)| = En(f) siZ± = f(x) − p∗(x) = ±En(f). Potrivit Teoremei Q.1.3 multimile Z+, Z− suntnevide.

Presupunem prin absurd ca numarul punctelor de alternanta este m < n+ 2.Pentru fiecare punct xi, i ∈ 1, 2, . . . ,m exista un interval Ki astfel ıncat

1. sign x∈Ki(f − p∗)(x) = sign (f − p∗)(xi), ∀x ∈ Ki;

2. Ki contine toate punctele din Z+ sau Z− din apropierea lui xi;

3. Intervalele (Ki)1≤i≤m sunt disjuncte.

Se fixeaza punctele zj ıntre doua intervale Kj si Kj+1, j ∈ 1, 2, . . . ,m− 1,

K1 < z1 < K2 < . . . < zm−1 < Km.

Polinomul q(x) =∏m−1

j=1 (x − zj) ∈ Pn, deorece m < n + 2 ⇔ m − 1 ≤ n. Cumsemnele functiilor f − p∗ si q alterneaza ın intervalele Ki, (eventual folosind −qın loc de q) au loc inegalitatile

(f(x)− p∗(x)) q(x) < 0. ∀x ∈ Z.

Potrivit Teoremei lui Kolmogorov, aceste inegalitati contrazic faptul ca p∗ estepolinomul de cea mai buna aproximatie a lui f prin elementele multimii Pn.

Suficienta. Presupunem ca p∗ satisface relatiile (Q.1)-(Q.2) si ca exista unpolinom q ∈ Pn astfel ıncat

(f(xi)− p∗(xi))q(xi) < 0, ,∀ i ∈ 1, 2, . . . , n+ 2.

Deoarece semnele lui f(xi) − p∗(xi) alterneaza rezulta ca si semnele lui q(xi)alterneaza. Urmeaza ca q are n + 1 radacini, ceea ce nu se poate. Pentru orice

Q.1. CEA MAI BUNA APROXIMATIE IN C[A,B] 761

q ∈ Pn va exista cel putin un punct xi astfel ıncat (f(xi) − p∗(xi))q(xi) ≥ 0, deunde

maxx∈Z

(f(x)− p∗(x))) q(x) ≥ 0.

Potrivit Teoremei lui Kolmogorov, p∗ este polinomul de cea mai buna aproximatiea lui f prin Pn.

Teorema Q.1.5 Pentru orice f ∈ C[a, b] exista un singur polinom de cea maibuna aproximatie ın Pn.

Demonstratie. Fie p∗1, p∗2 ∈ Pn astfel ıncat ‖f−p∗1‖ = ‖f−p∗2‖ = En(f). Atunci

din

‖f − 1

2(p∗1 + p∗2)‖ ≤ 1

2‖f − p∗1‖+

1

2‖f − p∗2‖ = En(f),

rezulta ca 12(p∗1 + p∗2) ∈ Pn este polinom de cea mai buna aproximatie pentru f.

Notam prin x1 < x2 < . . . < xn+2 punctele de alternanta pentru polinomul12(p∗1 + p∗2). Daca

En(f) = (f − 1

2(p∗1 + p∗2))(xi) =

1

2(f − p∗1)(xi) +

1

2(f − p∗2)(xi) ≤ En(f),

atunci ın mod necesar

(f − p∗1)(xi) = (f − p∗2)(xi) = En(f) ⇒ p∗1(xi) = p∗2(xi).

Analog se deduce

−En(f) = (f − 1

2(p∗1 + p∗2))(xi) ⇒ p∗1(xi) = p∗2(xi)

Astfel pentru orice i ∈ 1, 2, . . . , n+ 2, p∗1(xi) = p∗2(xi) de unde p∗1 = p∗2.O alta demonstatie a Teoremei 10.1.3 ca o aplicatie a rezultatelor de mai sus

este

Teorema Q.1.6 Polinomul de cea mai buna aproximatie a functiei xn ∈ C[−1, 1]prin elementele multimii Pn−1 este xn− 1

2n−1Tn(x) ∈ Pn−1, unde Tn(x) = cos (n arccosx)este polinomul lui Cebısev.

Demonstratie. Pentru x ∈ [−1, 1] au loc relatiile∣∣∣∣xn − (xn − 1

2n−1Tn(x)

)∣∣∣∣ =1

2n−1|Tn(x)| ≤ 1

2n−1.

Deoarece maximul este atins, En−1(xn) = 12n−1 . Punctele xk = cos kπ

n, k ∈

0, 1, . . . , n pentru care Tn(x) = ±1 sunt punctele de alternanta.


Q.2 Algoritmul lui Remez

Algoritmul lui Evgheni Remez (1934) calculeaza polinomul de cea mai bunaaproximatie al unei functii f ∈ C[a, b]. Algoritmul este iterativ, pornind de la o

aproximatie initiala a punctelor de alternanta x(0)1 < x

(0)2 < . . . < x

(0)n+2 genereaza

sirul (x(k)1 , x

(k)2 , . . . , x

(k)n+2)k∈N cu scopul sa ındeplineasca conditiile de alternanta.

Renuntand la indicele iteratiei (xj = x(k)j , j ∈ 1, . . . , n + 2), operatiile ın

cadrul unei iteratii sunt:

1. Se rezolva sistemul algebric de ecuatii liniare

c0 + c1xj + . . .+ cnxnj + (−1)jE = f(xj), j ∈ 1, 2, . . . , n+ 2, (Q.3)

ın necunoscutele c0, c1, . . . , cn, E.

2. Daca p(x) = c0 + c1x + . . . + cnxn atunci p(x) − f(x) ia valori de semne

contrare la capetele fiecarui interval [xj, xj+1], j ∈ 1, 2, . . . , n+ 1. Pentrufiecare j ∈ 1, 2, . . . , n+ 1 se calculeaza zj ∈ [xj, xj+1], solutie a ecuatiei

p(x)− f(x) = 0. (Q.4)

3. In fiecare din cele n + 2 intervale [a, z1], [z1, z2], . . . , [zn, zn+1], [zn+1, b] secalculeaza un punct de maxim al functiei

|p(x)− f(x)|. (Q.5)

Aceste puncte de maxim formeaza aproximatia urmatoare a punctelor dealternanta (x

(k+1)1 , x

(k+1)2 , . . . , x

(k+1)n+2 ).

Rezolvarea sistemului (Q.3) este analitica. Daca y = ((−1)k)1≤k≤n+1 si

L1(x) = L(P;x1, . . . , xn+1; f)(x)

L2(x) = L(P;x1, . . . , xn+1; y)(x)

E =L1(xn+2)− f(xn+2)

L2(xn+2)− (−1)n+2

p(x) = L1(x)− EL2(x)

atunci definitia lui E este echivalenta cu

L1(xn+2)− EL2(xn+2) + (−1)n+2E = f(xn+2) ⇔ p(xn+2) + (−1)n+2 = f(xn+2).

Q.2. ALGORITMUL LUI REMEZ 763

Algorithm 22

1: procedure [p, E] =remez(f ∈ C[a, b], n, x = (x(0)1 , . . . , x

(0)n+2))

2: for k = 0, 1, . . . do3: Se rezolva sistemul Q.34: for j = 1 : n+ 1 do5: Se calculeaza zj ∈ [x

(k)j , x

(k)j+1], solutie a ecuatiei Q.4

6: end for7: for j = 1 : n+ 2 do8: Se calculeaza x

(k+1)j punctul de maxim al functiei Q.5

9: din intervalul [zj−1, zj], (z0 = a, zn+2 = b).10: end for11: end for12: end procedure

Pentru j ∈ 1, 2, . . . , n+ 1 au loc egalitatile

p(xj)+(−1)jE = L1(xj)−EL2(xj)+(−1)jE = f(xj)−(−1)jE+(−1)jE = f(xj).

Prin urmare necunoscutele c0, c1, . . . , cn sunt coeficientii polinomului p.Rezolvarea ecuatiei (Q.4) se poate face utilizand metoda bisectiei sau metoda

coardei.Pentru determinarea unui punct de maxim al functiei (Q.5) ıntr-un interval

se poate utiliza urmatoarea procedura euristica: se calculeaza valorile functiei peo retea de puncte din interval si se selecteaza un punct ın care se atinge maximul.Un indiciu pentru selectarea punctelor de maxim drept urmatoarea aproximatiea punctelor de alternanta este data de teorema

Teorema Q.2.1 (Vallee Poussin) Daca f ∈ C[a, b], p ∈ Pn si a ≤ x1 < x2 <. . . < xn+2 ≤ b satisfac relatiile

1. (f − p)(xi+1) = −(f − p)(xi), i ∈ 1, 2, . . . , n+ 1, adica (f − p)(xi) iasemne alternante;

2. |(f − p)(xi)| ≥ ε > 0, i ∈ 1, 2, . . . , n+ 2,

atunci En(f) ≥ ε.

Demonstratie. Fie p∗ ∈ Pn polinomul de cea mai buna aproximatie a lui f prinelementele multimii Pn si presupunem prin absurd ca

‖f − p∗‖ = En(f) < ε ⇒ p 6= p∗.


Au loc relatiile

(p− p∗)(xi) = (f − p∗)(xi)− (f − p)(xi), i ∈ 1, 2, . . . , n+ 2. (Q.6)

Daca (f − p)(xi) ≥ ε atunci egalitatea de mai sus implica

(p− p∗)(xi) ≤ (f − p∗)(xi)− ε ≤ ‖f − p∗‖ − ε = En(f)− ε < 0.

Daca (f − p)(xi) ≤ −ε atunci egalitatea (Q.6) implica

(p− p∗)(xi) ≥ (f − p∗)(xi) + ε > 0.

Astfel p−p∗ ia valori de semne contrare pe fiecare interval [xi, xi+1], i ∈ 1, 2, . . . , n+1 si ın consecinta polinoamele p, p∗ coincid pe n+ 1 puncte.

Bibliografie

[1] ASCHER U.M., PETZOLD L.R., 1998, Computer Methods for OrdinaryDifferential Equations and Differential Algebraic Equations. SIAM.

[2] BAHI J.M., CONTASSOT-VIVIER S., COUTURIER R., 2007, ParallelIterative Algorithms. From Sequential to Grid Computing. Chapman &Hall/CRC, Boca Raton.

[3] BENTHIEN W. G., 2006, Notes on Numerical Linear Algebra. gbentien.net/NumLinAlg.pdf.

[4] BERBENTE C., MITRAN S., ZANCU S., 1997, Metode numerice. Ed.Tehnica, Bucuresti.

[5] BEU T., 1992, Calcul numeric ın Turbo Pascal. Ed. MicroInformatica, Cluj-Napoca.

[6] BREZIS H., 2011, Functional Analysis, Sobolev Spaces, and Partial Differ-ential Equations. Springer, New-York. 28.1

[7] BRUNNER H., 2010, Theory and numerical solution of Volterra func-tional integral equations. HIT Summer Seminar, www.math.hkbu.edu.hk>

~hbrunner. 23.3, 23.3

[8] BUCUR C. M., POPEEA C. A., SIMION G. G., 1983, Matematici speciale.Calcul numeric. E.D.P., Bucuresti.

[9] COMAN G., 1995, Analiza numerica. Ed. Libris, Cluj.

[10] CUCULESCU I., 1967,Analiza numerica. Ed. tehnica, Bucuresti.

[11] DEMMEL W.J., 1997, Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadel-phia. 13.9, 13.10, 13.20, 16.3, 21.7

765

gbentien.net/NumLinAlg.pdf

gbentien.net/NumLinAlg.pdf

www.math.hkbu.edu.hk > ~hbrunner

www.math.hkbu.edu.hk > ~hbrunner

766 BIBLIOGRAFIE

[12] DEMIDOVITCH B., MARON I., 1973, Elements de calcul numerique. Ed.Mir, Moscou.

[13] DUMITRESCU B., POPEEA C., JORA B., 1998, Metode de calcul numericmatriceal. Algoritmi fundamentali. Ed. All, Bucuresti.

[14] FELLER W., 1967, An Introduction to Probability Theory and Its Applica-tions. Vol. 1, John Wiley & Sons Inc., New York.

[15] FELLER W., 1970, An Introduction to Probability Theory and Its Applica-tions. Vol. 2, John Wiley & Sons Inc., New York. 1.20, 3.7

[16] GRIGORE G., 1984, Lectii de analiza numerica. Univ. Bucuresti,(litografiat)

[17] GODUNOV S.R., REABENKI V.S., 1977, Scheme de calcul cu diferente.Ed. Tehnica, Bucuresti.

[18] GOLUB H.G., VAN LOAN C.F., 1996, Matrix Computations. The JohnHopkins University Press.

[19] HORN R.A., JOHNSON C. R., 1985, Matrix Analysis. Cambridge Univ.Press. 1.20, 3.7

[20] IACOB C., HOMENTCOVSCHI D., MARCOV N., NICOLAU A., 1983,Matematici clasice si moderne. vol. IV, Ed. Tehnica, Bucuresti.

[21] ICHIM I., MARINESCU G., 1986, Metode de aproximare numerica. Ed.Acad. Romane, Bucuresti.

[22] IGNAT C., ILIOI C., JUCAN T., 1989, Elemente de informatica si calculnumeric. Univ. ”Al. I. Cuza” Iasi. (litografiat)

[23] ILIOI C., 1980, Probleme de optimizare si algoritmi de aproximare asolutiilor. Ed. Acad. R.S.R., Bucuresti.

[24] IORGA V., JORA B., 1996, Programare numerica. Ed. Teora, Bucuresti.

[25] ISERLES A., 2006, Numerical Analysis. Part 1B,http://www.damtp.cam.ac.uk/user/na/Part1B (handouts).

[26] KANTOROVITCH L.V., KRYLOV V.I., 1950, Metode aproximative aleanalizei superioare. Gosudarstvennoe izd., Moskva.

BIBLIOGRAFIE 767

[27] KELLEY C.T., 1995 , Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equa-tions. SIAM, Philadelphia.

[28] KINCAID D., CHENEY W., 1991, Numerical Analysis. Mathematics ofscientific computing. Brooks/Cole, Pacific Grove, California.

[29] LUND J., BOWERS L.K., 1992, SINC methods for Quadrature and Differ-ential Equations. SIAM, Philadelphia. 1, 27.3.2

[30] MARCIUK G.I., 1983, Metode de analiza numerica. Ed. Acad. R.S.R.,Bucuresti.

[31] MARINESCU G., 1974, Analiza numerica. Ed.Acad. R. S. R., Bucuresti.

[32] MARTIN O., 1998, Probleme de analiza numerica. Ed. MatrixRom, Bu-curesti.

[33] MARUSTER St., 1981, Metode numerice ın rezolvarea ecuatiilor neliniare.Ed. tehnica, Bucuresti.

[34] MICULA Gh., 1978, Functii spline si aplicatii. Ed. tehnica, Bucuresti.

[35] MOSZYNSKI K., 1978, Metode numerice de rezolvare a ecuatiilordiferentiale ordinare. Ed. tehnica, Bucuresti.

[36] MUNTEAN I., 1973, Curs si culegere de probleme de analiza functionala.Vol. 1, Univ. Babes-Bolyai, Cluj.

[37] MUNTEAN I., 1977, Curs si culegere de probleme de analiza functionala.Vol. 2, Univ. Babes-Bolyai, Cluj-Napoca.

[38] OLVER F.W.J., LOZIER D.W., BOISVERT R.F., CLARK C.W. (Edi-tors), 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge Uni-versity Press, dlmf.nist.gov.

[39] PAVALOIU I., 1976, Introducere ın teoria aproximarii solutiilor ecuatiilor.Ed. Dacia, Cluj-Napoca.

[40] PAVALOIU I., 1981, Rezolvarea ecuatiilor prin interpolare. Ed. Dacia,Cluj-Napoca.

[41] POSTOLACHE M., 1994, Metode numerice. Ed. Sirius, Bucuresti.

dlmf.nist.gov

768 BIBLIOGRAFIE

[42] PRESS, W. H., FLANNERY, B. P., TEUKOLSKY, S. A., VETTERLINGW. T., 2007, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd ed.,Cambridge, England: Cambridge University Press. 19.3, 21.7

[43] RASA I., VLADISLAV T., 1998, Analiza numerica. Ed. Tehnica, Bu-curesti.

[44] SABAC I. G., COCARLAN P., STANASILA O., TOPALA A., 1983,Matematici speciale. Vol II, E.D.P., Bucuresti.

[45] SCHEIBER E., LUPU M., 2003, Rezolvarea asistata de calculator a prob-lemelor de matematica. Ed. Matrix-Rom, Bucuresti.

[46] SCHIOP A., 1972, Metode aproximative ın analiza neliniara. Ed. Acad.R.S.R., Bucuresti.

[47] SCHIOP A., 1975, Metode numerice pentru rezolvarea ecuatiilordiferentiale. Ed. Acad. R.S.R., Bucuresti.

[48] SCHIOP A., 1978, Analiza unor metode de discretizare. Ed. Acad. R.S.R.,Bucuresti.

[49] STANCU D. D., COMAN G., (Ed), 2001, Analiza numerica si teoriaaproximarii, Vol. I, II, III, Ed. Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca.

[50] STEWART G.W., 1998, Afternotes goes to graduate school: lectures onadvanced numerical analysis. SIAM.

[51] STOER J., BULIRSCH R., 1993, Introduction to Numerical Analysis.Springer, New York.

[52] STOYAN G., TAKO G., 1995, Numerikus modszerek. Vol. I, II, III, Ed.ELTE - Typotex, Budapest.

[53] SULI E., 2012, Lectures Notes on Finite Element Methods for Partial Dif-ferential Equations. University of Oxford. 28.1.2

[54] TEMAM R., 1973, Metode numerice de rezolvare a ecuatiilor functionale.Ed. Tehnica, Bucuresti.

[55] TREFETHEN N.L., 2013, Approximation Theory and Approximation Prac-tice. Ed. SIAM, Oxford, UK.

BIBLIOGRAFIE 769

[56] UDRISTE C., IFTODE V., POSTOLACHE M., 1996, Metode numerice decalcul. Ed. Tehnica, Bucuresti.

[57] VLADISLAV T., RASA I., 1997, Analiza numerica. Ed. Tehnica, Bu-curesti.

[58] Zav~lov . S., Kvasov B. I., Miroxniqenko V. L., 1980, Metody spla$in-funkci$i. Nauka, Moskva.

[59] Samarski A.A., 1987, Vedenie v qislennye metody. Nauka, Moskva.

[60] * * *, Digital Library of Mathematical Functions, National Institute forStandards and Technologies, dlmf.nist.gov.

dlmf.nist.gov

webgardenmedia0.webgarden.com/files/media0:5f3f8eaf... · Cuprins I INTERPOLARE S˘I APLICAT˘II11...

Documents

Transcript of webgardenmedia0.webgarden.com/files/media0:5f3f8eaf... · Cuprins I INTERPOLARE S˘I APLICAT˘II11...