5d EAIEE APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI · 2017-10-30 · M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI...

of 20/20
M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 1 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI (ultima modifica 27/10/2017) Esempi di campi magnetici e calcolo di induttanze.
  • date post

    16-Jul-2020
  • Category

    Documents

  • view

    2
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of 5d EAIEE APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI · 2017-10-30 · M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI...

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 1

    5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI

    STATICI

    (ultima modifica 27/10/2017)

    Esempi di campi magnetici e calcolo

    di induttanze.

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 2

    Conduttore rettilineo indefinito

    Si consideri un conduttore omogeneo cilindrico rettilineo di grande

    lunghezza, percorso dalla corrente I. Con un flussometro é possibile

    calcolare in ogni punto della regione circostante il vettore .

    Se lo spazio circostante é omogeneo e isotropo il vettore induzione

    per r > ro (ro raggio del conduttore) ossia all’esterno del

    conduttore, risulta:

    • il modulo direttamente proporzionale ad I ed inversamente

    proporzionale alla distanza r del punto considerato dall’asse del

    conduttore e dipendente dalla natura del mezzo;

    • la direzione normale al piano determinato dal conduttore e dal

    punto considerato;

    • il verso definito dal senso di rotazione della vite destrogira,

    avanzante nel senso positivo della corrente.

    B

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 3

    Tali risultati sperimentali possono essere espressi analiticamente

    dalla seguente relazione:

    Nella formula l’influenza della natura del mezzo é indicata dalla

    grandezza , ossia dalla permeabilità magnetica del mezzo.

    Il fattore 1/2 é utilizzato per ottenere formule semplificate dette

    “razionalizzate”. Il campo magnetico in ogni punto sarà:

    in modulo

    πr2

    IμB

    BH

    P r B

    I

    r2

    IBH

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 4

    La relazione trovata: che esprime la legge di Biot e

    Savart, mostra che il campo magnetico non dipende dalla natura

    del mezzo quando questo é omogeneo ed isotropo in tutto lo spazio.

    Quindi nella regione dello spazio esterna al conduttore, per r > ro,

    H(r) ha l’andamento di una iperbole equilatera.

    All’interno del conduttore, nella ipotesi di densità di corrente

    uniforme (basse frequenze), in ogni sezione generica di raggio

    r < ro sarà:

    e il campo in un punto distante r sarà:

    r2

    IH

    r

    ro

    Ir

    rI

    r

    I

    S

    IJ

    r

    I

    S

    IJ

    o

    r

    oror

    r

    r

    rr o 2

    2

    22

    rr2

    I

    r2

    IH

    2

    o

    rr

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 5

    Quindi nella regione dello spazio interna al conduttore, per r < ro ,

    H(r) ha l’andamento di una retta.

    Nella regione interna al conduttore, per r < ro:

    nella regione esterna al conduttore, per r > ro: r2

    IH

    rr2

    IH

    2

    o

    r

    ro r

    H

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 6

    Convenzioni di segno: regola di Maxwell

    Il verso positivo della induzione sull’asse dell’induttore é quello

    in cui avanza una vite destrogira, che ruota nel verso positivo di

    percorrenza della filo:

    + B I I B

    +

    B

    I

    +

    B

    I

    B

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 7

    Autoinduttanza di un provino toroidale con N spire strettamente

    avvolte intorno con sezione rettangolare.

    Per la geometria é consigliabile usare un sistema di coordinate

    cilindriche:

    calcolando la circuitazione al vettore

    lungo un percorso circolare di raggio r con

    a < r < b:

    B a B dl a rd

    B

    r

    NIBNIrBrdB

    NIrdaaBldB

    NIldB

    ldH

    oo

    o

    cc

    co

    c

    2 2

    2

    0

    b

    a r dr

    h

    I r

    N

    a

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 8

    Il flusso sarà:

    il flusso concatenato e l’autoinduttanza saranno:

    Relazione costitutiva che lega il flusso alla corrente I

    L’autoinduttanza L non dipende dalla corrente I (per un mezzo a

    permeabilità costante) e neanche dalla intensità del flusso

    0

    0 0

    2

    ln2 2

    S S

    b

    a

    μ NIΦ B d s a a hdr

    πr

    μ NIh μ NIhdr b

    πr r πr a

    2 2

    ln ln2 2

    o o

    c

    μ N Ih μ N hb bN L

    πr a πr a

    c

    c

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 9

    Induttanza per unità di lunghezza di un solenoide molto lungo in aria

    Per determinare B in funzione della corrente I, si applica la legge della circuitazione lungo un percorso rettangolare C lungo l, che si sviluppa parzialmente all’interno e parzialmente all’esterno del conduttore. Lungo C si ha:

    H l =NI (B/o) l = NI B l = oNI che per l =1 B = oNI ,

    costante all’interno del solenoide, con N= n° delle spire concatenate con il percorso C

    é parallelo all’asse del solenoide con il verso positivo dato da una vite destrogira che ruota nel verso di percorrenza della corrente nella spira, secondo la regola di Maxwell.

    I I

    C

    l

    I

    B

    B

    B

    mm

    l

    fNIldH

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 10

    Il flusso sarà:

    dove S é sezione trasversale del solenoide.

    Il flusso concatenato per unità di lunghezza sarà:

    Relazione costitutiva che lega il flusso alla corrente I

    Quindi l’induttanza per unità di lunghezza é:

    L’autoinduttanza risulta proporzionale al quadrato del numero di spire N2.

    Il valore effettivo della induttanza é minore di quello ottenuto: Leffettivo < L’ , poiché sono state fatte le seguenti approssimazioni:

    •assumere il solenoide di lunghezza infinita e

    •trascurare l’effetto dei bordi alle due estremità del solenoide.

    NSIBS o

    2'c o

    N N SI

    m

    HS Nμ

    IL' o

    c 2'

    c

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 11

    Induttanza per unità di lunghezza di un linea di trasmissione

    coassiale avente un conduttore interno di raggio a e un conduttore

    esterno di spessore molto sottile di raggio b.

    Per la simmetria cilindrica, presenta la sola componente φ-esima

    All’interno del conduttore Tra i due conduttori

    per 0 r a, l’induzione per a r b, si ha:

    in un punto P distante r è: in un punto P distante r è:

    2o

    11

    a2

    rIaBaB

    r2

    IaBaB o22

    a

    b I

    I

    B

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 12

    Si assuma:

    •che la corrente I fluisca nel conduttore interno e ritorni attraverso

    il conduttore esterno e

    •che sia uniformemente distribuita sulla sezione del conduttore

    interno.

    Se si considera un anello anulare nel conduttore interno con raggio

    compreso tra r e r+dr. La corrente dI per unità di lunghezza di

    questo anello anulare è concatenata dal flusso che può essere

    ottenuto integrando le espressioni della induzione trovate, per r che

    varia da r a b:

    a

    b

    π

    Iμra

    πa

    r

    dr

    π

    Iμrdr

    πa

    drBdrBdrBdΦ

    oo

    b

    a

    oa

    r

    o

    b

    a Φ

    a

    r Φ

    b

    r Φ

    ln24

    22

    '

    22

    2

    2

    21

    braper

    ar0per

    :essendo

    2

    1

    B

    BB

    Φ

    Φ

    Φ

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 13

    Poichè la corrente dI nell’anello anulare è pari a una aliquota della

    corrente totale I, pari a : [ (r+dr)2- r2]/ a2 ≃2rdr/ a2 =

    = 2rdr/ a2, il flusso concatenato con questo anello anulare é:

    Il flusso concatenato totale, per unità di lunghezza sarà:

    0

    2 2

    2 20 0

    1ln

    2

    1ln

    2 4

    r a

    r

    a a

    o

    o

    ' d

    μ I ba r rdr rdr

    πa a a

    μ I b.

    π a

    a

    b

    π

    μ

    π

    μI ln

    28' 00

    rdra

    b

    π

    Iμ ra

    πa

    ad

    a

    rdrd

    ln

    2)(

    4

    2'2' 022

    2

    0

    22

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 14

    L’induttanza per unità di lunghezza della linea di trasmissione

    coassiale é:

    Il primo termine della induttanza Li é dovuto al flusso concatenato

    internamente al conduttore detto induttanza interna Li per unità di

    lunghezza del conduttore interno.

    Il secondo termine della induttanza Le é dovuto al flusso

    concatenato che esiste tra il conduttore interno ed esterno detto

    induttanza esterna per unità di lunghezza della linea coassiale.

    .a

    b

    π

    μ

    π

    μLL

    IL ooei

    m

    H ln

    28

    ''

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 15

    Nelle applicazioni in alta frequenza la corrente in un buon

    conduttore tende a concentrarsi verso la superficie esterna del

    conduttore (effetto pelle), dando luogo a una corrente nulla nella

    sezione interna del conduttore interno e a una modifica del valore

    della induttanza interna.

    Al limite per frequenze elevate le linee di flusso della corrente si

    concentrano sul bordo della superficie della sezione del

    conduttore interno e l’induttanza interna diventa nulla.

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 16

    Induttanda interna ed esterna di una linea di trasmissione

    realizzata con due conduttori paralleli con sezione circolare di

    raggio a distanti d.

    Si ipotizza che:

    • il campo entro il conduttore sia trascurabile

    • d sia grande rispetto al raggio dei conduttori,

    ciò comporta la trascurabilità del campo dovuto al secondo

    conduttore quando si valuta l’induttanza interna del primo.

    y

    x z

    I

    I

    d a

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 17

    L’autoinduttanza interna per unità di lunghezza per i due fili sarà

    doppia rispetto a quella relativa a ciascun filo:

    Per determinare l’autoinduttanza esterna per unità di lunghezza,

    si determina il flusso concatenato magnetico per unità di lunghezza

    della linea di trasmissione per una corrente I.

    Sul piano x-z dove giacciono i due conduttori, il contributo

    all’induzione dovuto alle due correnti uguali e opposte nei due fili

    presentano una sola componente nella direzione y:

    48 2L oo

    '

    i

    .

    xd2

    IBe

    x2

    IB 02y

    01y

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 18

    Il flusso concatenato per unità di lunghezza é quindi:

    Quindi:

    e l’induttanza totale per unità di lunghezza della linea bifilare é:

    1 2

    0 0

    1 11

    2

    ln ln

    d a d ao

    c y ya a

    μ IΦ ' B B dx dx

    π x d x

    μ I μ Id a d Wb

    π a π a m

    ln' c oe

    Φ ' μ d HL

    I π a m

    m

    H

    a

    dln

    4

    1

    π

    μLLL' o

    '

    e

    '

    i

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 19

    Due bobine con N1 e N2 spire avvolte concentricamente intorno ad

    un supporto cilindrico di raggio a e permeabilità .

    Lo spazio tra le due bobine è in realtà nullo e la sezione delle bobine è trascurabile rispetto al raggio del supporto, per

    cui si può considerare per entrambe le bobine lo stesso raggio di supporto a

    Si assume che la corrente I1 fluisca nella bobina interna. Dalla

    relazione valida per un solenoide di lunghezza molto grande :

    quindi il flusso che si concatena con la spira esterna, nella ipotesi di

    flusso disperso trascurabile sarà uguale al flusso prodotto dalla

    bobina interna:

    l2

    l1

    N2 N1

    1NSIBS o

    12

    1

    112 Iπ a

    l

    NμΦ

    a

  • M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 20

    Il flusso concatenato con la bobina esterna é:

    Quindi la mutua induttanza é:

    2

    12 2 12 1 2 1

    1

    c

    μN Φ N N πa I .

    l

    21212 1 21 1

    L N N πa HI l