5. Trasmissione digitale dell’informazione 5. 1...

Fondamenti di Telecomunicazioni 54

5. Trasmissione digitale dell’informazione

5. 1 Introduzione

Anche se a un livello molto elementare, la trasmissione telegrafica (1850) con le sole due ampiezze

assunte dal segnale trasmesso, può essere considerata il primo esempio di trasmissione digitale. In effet-

ti, dovrà trascorrere più di un secolo (grosso modo dalla metà degli anni ’60 in poi) per disporre di

una tecnologia che consentirà l’avvio di quella che può essere definita la rivoluzione digitale

nell’ambito delle telecomunicazioni.

Il servizio telefonico, che cominciò a diffondersi verso la fine dell’800 e che via via prese il soprav-

vento rispetto al servizio telegrafico, si basava su tecniche analogiche.

L’avvento dell’elettronica allo stato solido e la sua evoluzione verso l’integrazione circuitale fu deter-

minante perché negli anni ’60 si ponessero le basi della trasformazione delle tecniche trasmissive da

analogiche in digitali.

I vantaggi che spinsero gli operatori delle TLC ad avviare la migrazione della rete telefonica verso

le tecniche digitali possono essere riassunti nei seguenti punti :

L’uso in comune con il mondo dei calcolatori dello stesso tipo di circuiti integrati consentiva

di godere nella stessa misura della flessione dei costi dei componenti (dimezzamento ogni tre

anni negli ultimi venti anni).

Quando, oltre alla trasmissione anche la commutazione diventò digitale, la presenza di alcuni

dispositivi necessari nella rete analogica non fu più necessaria, introducendo, oltre a un altro

motivo di risparmio, un miglioramento in termini di prestazioni.

I segnali digitali sono facili da multiplare e i circuiti integrati da utilizzare sono dello stesso

tipo dei precedenti e a basso costo. I filtri necessari per separare i canali sono molto più sem-

plici di quelli utilizzati nella multiplazione analogica.

Come vedremo successivamente, le cifre binarie emesse da una sorgente numerica sono tra-

sformate in forme d’onda impulsive con sagome ben definite e risultano facili da ricostruire an-

che se corrotte da rumore. Questa caratteristica consente di non aver più bisogno di rapporti

S/N fra la potenza del segnale audio e la potenza del rumore alti come nelle reti analogiche

(40 ÷ 50 dB), necessari per avere una buona qualità in ricezione. Nella trasmissione digitale per

contrastare l’influenza negativa del rumore sono sufficienti rapporti S/N tra i 15 e i 25 dB.

Grazie all’introduzione lungo il mezzo trasmissivo di dispositivi chiamati rigeneratori, i segnali

digitali possono coprire anche lunghe distanze, senza che si verifichi l’effetto cumulativo del

rumore, caratteristico delle trasmissioni analogiche. Come suggerisce il loro nome, i rigeneratori,


alimentati in ingresso dal segnale deformato dal rumore, restituiscono in uscita il segnale “ripuli-

to”, proprio come il segnale originario.

Segnali prodotti da sorgenti analogiche assumono la stessa forma dei segnali generati dalle

sorgenti intrinsecamente digitali come i calcolatori.

Come accade nella maggior parte delle situazioni della vita reale, questi vantaggi presentano delle

controindicazioni.

Come si è osservato nella tecnica PCM, a causa del rumore di quantizzazione introdotto in trasmis-

sione, il ricevitore non riesce a recuperare perfettamente il segnale analogico originario. Pertanto, per

rendere tale rumore trascurabile è opportuno utilizzare un elevato numero di livelli di quantizzazione e

di conseguenza lunghe parole di codice. Ciò si traduce in una maggiore occupazione di banda del se-

gnale digitale rispetto a quella impegnata dalla sua versione analogica originaria. Per esempio, quando

il segnale vocale telefonico è trasformato in segnale digitale con la tecnica PCM, per garantire una

buona qualità del segnale ricostruito, si ricorre a 256 livelli di quantizzazione dei campioni, codificati

con parole ad 8 bit. Poiché l’intervallo tra due campioni adiacenti è uguale a 125 μs (frequenza di

campionamento Fs = 8 kHz), la durata del singolo bit al massimo può essere di 15,625 μs. Come sarà

chiarito successivamente, a tale durata del bit corrisponde un limite minimo teorico di banda impegnata

di 32 kHz a fronte dei 4 kHz occupati dal segnale telefonico analogico; in pratica, più di 8 volte su-

periore. Quindi i vantaggi sopra elencati, tra i quali l’infe-riore rapporto S/N, ovvero un risparmio della

potenza trasmessa, sono pagati con una maggiore occupazione di banda.

Altro aspetto molto delicato delle trasmissioni numeriche rispetto alle analogiche è la necessità del

sincronismo. In effetti, affinché si abbia una ricezione efficiente delle forme d’onda nelle quali sono

trasformate le cifre binarie è opportuno che esse siano osservate negli istanti nei quali esse assumono

il massimo valore e ciò richiede necessariamente che il ricevitore abbia un’informazione accurata dei

tempi.

Gli argomenti, sviluppati di seguito, hanno proprio l’obiettivo di illustrare le difficoltà che si presen-

tano con la trasmissione digitale e le soluzioni adottate per fronteggiarle.

Per motivi di natura didattica è opportuno affrontare lo studio delle trasmissioni digitali distinguendo-

le in base al comportamento passa basso e passa banda del mezzo trasmissivo. Una conoscenza delle

trasmissioni digitali in banda base oltre a fornire la comprensione di quei sistemi digitali che utilizzano

come mezzo trasmissivo i conduttori in rame è essenziale anche per affrontare lo studio dei sistemi

passa banda.


5. 2 Trasmissione digitale in banda base Le trasmissioni digitali in banda base riguardano sia i sistemi trasmissivi PCM-TDM, che cominciaro-

no ad essere introdotti nelle reti di giunzione della rete telefonica alla fine degli anni ’60, sia i colle-

gamenti fra calcolatori delle reti LAN (Local Area Network), di diffusione più recente. Si osservi che

mentre un calcolatore è intrinsecamente una sorgente discreta (in particolare binaria), la codifica PCM

di un segnale analogico permette di estendere il concetto di sorgente discreta anche alle sorgenti intrin-

secamente analogiche. In effetti, in entrambi i casi, l’informazione da trasmettere si presenta nella for-

ma di sequenze di cifre binarie.

Fig. 1

I vari tipi di elaborazioni e trasmissioni interne ad un calcolatore si basano su segnali (tensioni o

correnti) binari, ovvero a due livelli : per esempio nella famiglia TTL, per rappresentare la cifra binaria

0 si ricorre ad un livello di tensione compreso fra 0 e 0.8 V, e per rappresentare la cifra binaria 1 il

livello può risultare compreso tra 2 e 5 V. Lo stesso dicasi per la parola di codice binaria generata da

un codificatore PCM. Le potenze associate a tali segnali sono appena sufficienti per la memorizzazione

su un supporto magnetico, per le trasmissioni interne al calcolatore e soltanto per brevi distanze verso

l’esterno. Da ciò la necessità di ricorrere all’uso di una interfaccia (generatore di forme d’onda) che

consenta alle cifre binarie di assumere andamenti nel tempo (forme d’onda) e potenze necessarie per

una trasmissione a distanza. In altre parole, i due stati logici 0 e 1, prima di essere trasmessi a di-

stanza, devono essere trasformati in due forme d’onda di tipo impulsivo (ad energia finita).

5. 3 Scelta della forma d’onda

Di seguito, l’attenzione è rivolta a come scegliere queste forme d’onda, considerando i vari problemi

presenti nel sistema trasmissivo.

Coder PCM

Informazione digitale

Informazione analogica

Campionamento Quantizzazione Codifica

Generatore di forma d’onda

TX

Mezzo trasmissivo

RX

Filtro passa basso Decodifica

Rivelatore

Informazione digitale

Informazione analogica

Cifre binarie Forme d’onda

n(t) +


Fig. 2

Come indicato in Fig. 2, la scelta più istintiva è quella di associare al bit 1 una forma d’onda ret-

tangolare di ampiezza A e al bit 0 una forma d’onda rettangolare di ampiezza nulla, trasformando le

cifre binarie in un’onda PAM (Pulse Amplitude Modulation) binaria, comunemente chiamata on-off. In

generale, l’onda PAM può essere rappresentata matematicamente dall’espressione

∑∞

−∞=

−=k

bgk )kTt(pa )t(m

dove con pg(t) è indicata la forma d’onda impulsiva normalizzata, in modo che sia pg(0) = 1.

L’ampiezza ak dipende dal bit associato alla forma d’onda. Nel caso specifico di Fig. 2 si ha

⎩⎨⎧

==

=0 inaria è cifra b se la0 1 inaria è cifra bA se la

a k

Sempre dalla Fig. 2, la durata nel tempo della forma d’onda pg(t) può essere minore dell’intervallo

di bit Tb (segnale con ritorno a zero RZ), in modo da facilitare il ricevitore nel distinguere le forme

d’onda associate a bit adiacenti.

Nel seguito mostreremo che, in ricezione, il modo migliore di rivelare la presenza di un impulso è

legato all’energia dell’impulso e, quindi, all’area sottesa dal quadrato della forma d’onda. Da ciò deriva

un primo vantaggio nell’utilizzare una durata dell’impulso uguale alla durata del bit (τ = Tb), come indi-

cato in Fig. 3. Inoltre, aumentando la durata τ si riduce la porzione significativa di banda impegnata

dal segnale. Lo svantaggio è che si perde la distinzione tra forme d’onda adiacenti e ciò comporta un

sincronismo più accurato in ricezione.

Fig. 3

Nell’ipotesi che gli 0 e gli 1, e di conseguenza le due forme d’onda a loro associate, siano equipro-

babili, risulta una potenza media Pm data da

Pm = (A)2 Pr{1} + (0)2 Pr{0} = (A)2 21 + (0)2

21 =

2A2

e un’energia media per bit Eb data da

Eb = 2

A2Tb.

Sequenza binaria

Tτ

A

• • • •

• • • Forma d’onda

1 0 0 1 1 1 0 0 1

f 1/Tb - 1/Tb 2/Tb - 2/Tb f = 04

A2

1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 A

Tb t


Comunque, anche la scelta illustrata in Fig. 3 risulta inopportuna perché è presente un valor medio

diverso da zero o, in altre parole, una componente continua di valore A/2.

Viceversa, se lo 0 binario è trasformato in una forma d’onda rettangolare di ampiezza - A/2 e la ci-

fra binaria 1 è trasformata in una forma d’onda rettangolare di ampiezza A/2, ferma restando la dina-

mica tra i due livelli uguale ad A, come evidenziato in Fig. 4, sempre nell’ipotesi di equiprobabilità

delle cifre binarie, il valor medio risulta nullo e la potenza media da trasmettere risulta

Pm = (A/2)2 Pr{1} + (-A/2)2 Pr{0} = (A/2)2 21 + (-A/2)2

21 =

4A2

.

Fig. 4

Rispetto al caso precedente, grazie all’assenza della componente continua, si ottiene un risparmio di

metà potenza (3dB). Tale scelta è rafforzata da un’ulteriore considerazione: nei lunghi collegamenti, per

contrastare l’attenuazione subita dal segnale, è necessario inserire dei rigeneratori che recuperino i livel-

li del segnale. La loro inserzione, realizzata con accoppiamento tramite trasformatori o condensatori,

come schematizzato in Fig. 5, blocca la componente continua.

Fig. 5

A questo punto vale la pena osservare che la forma d’onda di Fig. 4 è dello stesso tipo di quella

che era trasmessa a supporto dei messaggi telegrafici che, per comodità, è riportata in Fig. 6. Pertanto,

risulta piuttosto logico che nel progettare le forme d’onda delle trasmissioni digitali si sia fatto tesoro

dell’esperienza accumulata per anni nelle trasmissioni telegrafiche e in particolare del fenomeno chiama-

to distorsione telegrafica.

Fig. 6

In effetti, i cavi utilizzati nelle trasmissioni digitali presentano lo stesso comportamento passa basso

che manifestavano quelli sui quali viaggiava il segnale telegrafico, con la differenza che quelli attuali

offrono bande passanti maggiori e quindi consentono trasmissioni più veloci. A conferma di quanto det-

•t Condizione di riposo

Condizione di lavoro

i(t)

20 ms 60 ms

A

- A

2

b

b2 )fT

fTsin()

2A()f(P

ππ

=

f1/Tb - 1/Tb 2/Tb - 2/Tb f=0

Rigeneratore Rigeneratore

1 0 0 1 1 1 0 0 1

A/2

- A/2

t


to, è necessario rammentare che i mezzi trasmissivi disponibili sono caratterizzati da un’attenuazione

crescente con la frequenza con legge proporzionale alla MHzf , Fig. 7 a).

a) Fig. 7 b)

Pertanto, se il segnale originale impegna una larghezza di banda piuttosto ampia, le componenti a

frequenze più alte subiscono un’attenuazione diversa e maggiore di quella subita dalle componenti a

frequenze più basse, con la conseguenza che la forma d’onda in arrivo al ricevitore è deformata rispet-

to a quella trasmessa. In altre parole, il mezzo trasmissivo può essere considerato equivalente ad un

filtro passa basso con banda passante limitata.

Inoltre, diversamente da quanto accade nelle trasmissioni analogiche, in quelle digitali diventa altret-

tanto importante la caratteristica di fase del cavo, Fig. 7 b). Se l’andamento di tale caratteristica fosse

lineare (tratteggiata in Fig. 7 b), si avrebbe un ritardo costante td(f) = - (1/2π)dφ(f)/df per tutte le com-

ponenti spettrali, senza alterare la forma d’onda ma semplicemente ritardandola. Viceversa, una caratteri-

stica non lineare (continua in Fig. 7 b) provoca sfasamenti reciproci tra le componenti, creando un altro

motivo di scostamento fra la forma d’onda in ricezione e quella trasmessa. Nella pratica, si hanno an-

damenti lineari della caratteristica di fase soltanto per bande limitate.

Gli effetti di queste caratteristiche sono quelle deformazioni del segnale che prendono il nome di di-

storsioni lineari d’ampiezza, e rispettivamente, di fase.

Per recuperare l’attenuazione del segnale subita lungo il cavo, nei rigeneratori e nel ricevitore è pre-

sente un amplificatore con un guadagno tale da ripristinare il livello del segnale trasmesso. Anche la

limitazione in banda della funzione di trasferimento di tali amplificatori contribuisce a rendere il percor-

so del segnale (ovvero il canale trasmissivo) a banda limitata.

In Fig. 8 gli andamenti tratteggiati in uscita dal filtro HR(f) visualizzano l’azione deformante esercita-

ta sulle forme d’onda rettangolari. La deformazione è tanto più marcata quanto più piccola è la durata

Tb, ovvero quanto più elevata è la frequenza di bit (la bit rate) Rb = 1/Tb (il primo nullo di Fig. 3),

rispetto alla banda passante del filtro passa basso equivalente He(f), costituito dalla cascata del mezzo

trasmissivo e dell’amplificatore.

La considerazione più immediata suggerita dalla Fig. 8 è che mentre le forme d’onda affidate al

mezzo trasmissivo, presentano soltanto due livelli dell’ampiezza (segnale discreto nelle ampiezze) e sono

confinate nell’intervallo di bit Tb, la banda limitata del canale trasmissivo le deforma, facendole sconfi-

nare dal proprio intervallo. Questa dispersione nel tempo fa sì che forme d’onda adiacenti interferiscano

φ

f

α (f)

f


tra loro, provocando quel fenomeno che prende il nome di interferenza tra simboli o intersimbolica,

comunemente abbreviata nell’acronimo ISI (InterSymbol Interference).

Fig. 8

Anche se, in pratica, per il carattere evanescente della singola forma d’onda, la somma coinvolgerà

soltanto un numero limitato di forme d’onda contigue, il risultato si traduce in un’unica forma d’onda

analogica (andamento continuo in Fig. 8), che non presenta più i contorni netti delle forme rettangolari

originarie.

A rafforzare la trasformazione della forma d’onda ricevuta in forma d’onda analogica e ad allonta-

narla da quella trasmessa contribuisce anche la presenza inevitabile del rumore termico generato dal

mezzo trasmissivo e dal ricevitore. Per tenerne conto, la rappresentazione di Fig. 8 va modificata in

quella di Fig. 9, dove si suppone che n(t) rappresenti una realizzazione di un processo aleatorio stazio-

nario gaussiano, a valor medio nullo, con spettro unilatero di densità di potenza uguale a KTe e che si

sommi al segnale d’informazione. Questo tipo di ipotesi o di modello è molto diffuso nel descrivere i

canali di trasmissione sia perché è un’ipotesi attendibile, confermata dall’esperienza, sia perché rende i

calcoli trattabili. Quando ci si riferisce ad un canale lineare, dove il segnale è corrotto da un rumore

con le caratteristiche precedenti, si parla sinteticamente di canale AWGN (Additive White Gaussian Noi-

se).

Dato il carattere aleatorio del rumore, non è possibile descriverlo matematicamente con l’andamento

istantaneo ampiezza-tempo ma solo in termini di potenza media. Pertanto, nel modello di Fig. 9, anche

se originato fisicamente dal mezzo trasmissivo e dal ricevitore, il rumore è interpretato come un segnale

aleatorio, statisticamente indipendente dal segnale d’informazione al quale si somma all’ingresso del ri-

cevitore, cioè nel punto del sistema in cui il segnale d’informazione è nella condizione più debole, do-

ve la sua potenza media risulta più bassa a causa dell’attenuazione subita lungo il mezzo trasmissivo.

Fig. 9

Tb

t

Mezzo trasmissivo

Hc(f) ? RX

● ● ● ●

He(f) = Hc(f) HR(f)

HR(f)

Tb

Mezzo trasmissivo

Hc(f) ● ● ?

RX n(t) +Generatore di

forma d’onda

Amplificatore

He(f) = Hc(f) HR(f)


Dato che compito del ricevitore è quello di risalire dalla forma d’onda in ingresso al ricevitore ai bit

emessi dalla sorgente è necessario un passo intermedio che consiste nel recuperare dalle forme d’onda

in ingresso al ricevitore quelle emesse dal trasmettitore e quindi risalire ai bit emessi dalla sorgente

d’informazione. Quindi ha senso porsi la domanda: come recuperare la forma trasmessa da quella rice-

vuta.

Per affrontare tale obiettivo, il ricevitore deve prima ripristinare la discretizzazione nel tempo presente

in trasmissione e successivamente quella nelle ampiezze. A tale scopo è necessario che nel ricevitore

sia realizzato un campionamento della forma d’onda con periodo uguale a Tb e successivamente un

comparatore confronti i campioni osservati rispetto a un riferimento, cioè ad un valore di soglia T (va-

lor medio dei due livelli), come indicato di seguito. Se l’ampiezza del campione supera la soglia, è re-

cuperata la forma d’onda positiva. Viceversa, se la soglia non è superata, è recuperata la forma d’onda

negativa.

Purtroppo, a causa dell’ISI e del rumore termico, i campioni osservati negli istanti di campionamento

possono essere corrotti a tal punto che confrontati con la soglia possono causare un errore nel recupe-

rare la forma d’onda trasmessa e quindi il bit originario, abbassando la qualità del sistema.

Gli studi condotti da Nyquist (1924 ÷ 1928) sulla distorsione telegrafica ebbero il merito di indagare

il fenomeno dell’ISI e di individuare il modo, se non di eliminarla, di renderla minima. In effetti,

Nyquist accetta che, a causa della banda limitata del canale (mezzo trasmissivo, amplificatori e/o filtri),

le forme d’onda in ingresso al ricevitore sconfinino dal loro intervallo di bit sovrapponendosi con quel-

le contigue ma si pone l’obiettivo che, negli istanti di campionamento, il campione osservato sia dovu-

to ad una sola forma d’onda, imponendo che i contributi delle forme d’onda adiacenti siano nulli (ISI

= 0). In tal modo i campioni osservati risulterebbero corrotti soltanto dalla presenza del rumore.

Fig. 10

T = 0

yR(t)

Circuito di sincronizzazione Tb

t

Mezzo trasmissivo

Hc(f) ● ●

n(t)

+ Generatore di forma d’onda

RX

Amplificatore 1 0 1 ● ●

He(f) = Hc(f) HR(f)

x(t)

RX n(t)

+ Amplificatore

•

• •

•

•

•

• • •

T


5. 4 Criterio di Nyquist Solo per formarsi una prima idea, rispetto a quanto proposto da Nyquist, si può pensare che se il

comportamento passa basso di He(f) fosse di tipo ideale e le forme d’onda rettangolari generate in tra-

smissione fossero di durata talmente breve da poterle considerare, con buona approssimazione, degli im-

pulsi matematici indicati da

le varie forme d’onda a valle del filtro He(f) non sarebbero altro che le risposte impulsive del filtro

ideale con un andamento di tipo sinc(πt/Tb), come indicato in Fig. 11.

In tal caso, pur essendoci sovrapposizione fra forme d’onda adiacenti, ponendo molta cura nella scel-

ta degli istanti di campionamento e cioè campionando esattamente in corrispondenza a multipli di Tb, i

campioni osservati non risulterebbero influenzati dalle forme d’onda adiacenti, cioè sarebbero con ISI

nulla.

Fig. 11

Abbandonando le condizioni ideali precedenti e seguendo l’impostazione analitica di Nyquist, l’uscita

del generatore di forma d’onda di Fig. 10 è indicata con

∑∞

∞=

=- k

bgk )kT-(t p a x(t)

dove pg(t) è l’impulso rettangolare di ampiezza unitaria (normalizzato) di durata Tb e il coefficiente ak

assume in modo statisticamente indipendente ed equiprobabile i valori + A e - A, con spettro dato in

Fig. 41. Il segnale a valle della He(f), prima di essere campionato, può essere espresso analiticamente

come

∑∞

∞=

=- k

bdRkR )kT - t-(t p A ty )( + n(t)

1 Come già accennato e come sarà approfondito nel seguito, quando la durata dell’impulso utilizza tutto l’intervallo Tb, l’impulso è definito NRZ (Non Ritorno a Zero). Viceversa, quando è inferiore a Tb (in generale uguale a Tb/2) si parla di impulso RZ (con Ritorno a Zero).

∑∞

−∞=

−δ=k

bk kTta ti )()( ,

• • • 1 0 1 1 • • •

Tb

t

• 1 0 1 1 • He(f)

1/2Tb -1/2Tb Tb f

i(t) u(t)

∑∞

−∞=

−=k

bek kTtha tu )()(


dove pR(t) è la forma d’onda deformata dalla banda limitata del canale trasmissivo e ritardata di un

tempo td. L’ampiezza Ak può essere interpretata come l’ampiezza attenuata dal mezzo trasmissivo mol-

tiplicata per una costante di guadagno in modo che anche pR(t) risulti normalizzato, con pR(0) = 1.

Come già anticipato, nel ricevitore deve essere presente una circuiteria di sincronizzazione che forni-

sca la temporizzazione al campionatore in modo che gli istanti di campionamento corrispondano ad i-

stanti tc = mTb + td, con m intero da - ∞ a + ∞. In tal caso, i campioni osservati assumono

l’espressione

)n(t ]k)T - [(mpA )n(t )kT - t- t (mTpA ty c- k

bRkc- k

bddbRkcR +=++= ∑∑∞

∞=

∞

∞=

)( (1)

Nella (1) si può isolare il termine corrispondente a m = k e il campione osservato può essere inter-

pretato come la somma dei tre termini riportati di seguito

) n(mT ][(m-k)Tp A ) 0(p A) (ty b mk

bRkRkcR ++= ∑≠

(2)

dove pR(0), per ipotesi, è uguale ad 1 e Ak indica l’ampiezza ricevuta corrispondente al k-simo impul-

so trasmesso. L’informazione desiderata, data dal primo termine della (2), è alterata dal contributo de-

gli altri due termini. La sommatoria rappresenta quei contributi dovuti alla dispersione temporale degli

impulsi contigui a quello preso in considerazione e l’ultimo termine tiene conto del contributo del ru-

more. Gli ultimi due possono alterare il primo termine al punto tale da determinare una decisione errata

del comparatore rispetto al bit da ricostruire.

Come già affermato, obiettivo di Nyquist fu quello che negli istanti di campionamento il secondo

termine della (2) fosse nullo ovvero che gli attraversamenti dello zero fossero equidistanziati e che

quindi si verificasse nel tempo la condizione

= 1 per m = k pR[(m – k)Tb] condizione di Nyquist nel tempo (3) = 0 per m ≠ k

Ponendo m - k = n, la condizione (3) può riscriversi come

)(tδ (0)p )Tn -δ(t (t)p - n

RbR ∑∞

∞=

= . (4)

Come già anticipato in Fig. 11, un esempio di forma d’onda in grado di soddisfare la (4) è dato

dalla

tR

tR sin (t) pb

bR π

π= (5)

dove Rb = 1/Tb è la bit rate.

La soluzione proposta da Nyquist può essere compresa meglio se la condizione (4) è riportata nel

dominio della frequenza. In effetti, in tale dominio la (4) equivale alla convoluzione tra la trasformata

della forma d’onda ricevuta e la trasformata della sequenza degli impulsi matematici, come di seguito.


∑∞

∞=

=∗ - k bb

R 1 )Tk -δ(f

T1 (f)P .

Grazie alla linearità delle operazioni, l’ordine fra la convoluzione e la sommatoria può essere scam-

biato per ottenere

∑∞

∞=

=∗ - k b

Rb

1 )Tk -δ(f (f)P

T1

Per la proprietà dell’impulso matematico, la precedente relazione diventa

∑∞

∞=

== - k

bb

R cost T )Tk -(fP condizione di Nyquist nella frequenza (6)

Per avere campioni non influenzati dalla dispersione delle forme d’onda adiacenti, il vincolo impo-

sto nel dominio del tempo, si traduce nel dominio della frequenza nella condizione indicata dalla

(6).

Nel caso ideale, non realizzabile fisicamente, la (6) è rappresentata da repliche della PR(f) con pe-

riodo uguale alla frequenza di bit Rb con ampiezza costante al variare di f, come indicato in Fig. 12.

Fig. 12

La soluzione pratica proposta da Nyquist fu quella di ottenere un andamento di Pr(f) tale da soddi-

sfare la condizione (6) ma che fosse fisicamente realizzabile, con banda di transizione diversa da zero

e antisimmetrica rispetto ad f = ± k /2Tb = ± k Rb/2, con legge sinusoidale, come riportato in Fig. 13.

Fig. 13

Da qui il nome ad una famiglia di curve Pr(f), chiamate a coseno rialzato. L’espressione di questa

famiglia nel dominio di f è

β+≥

β+≤≤β−β+=

≤

2

R f 0

2

R f 2

R ) 2

R -f (β4πcos T(f) P

2R f T

b

bbb2bR

bb

(7)

f

Pr ( f )

Tb

b2T3

bb T

1R =b T 2

1

b T 21

−b2T

3−

b T1 −

Tb

2Rb

b2T3

Pr (f )

f β+

2Rb

2R b−

bR

bR−

β−−2

Rb


dove il parametro di roll-off β assume i valori 0 < β ≤ Rb/2.

PR(t), l’antitrasformata di Fourier di PR(f), è data da

))( 2b

bR t) (2 -1

t cos( tR

tR sin tpββπ

ππ

= . (8)

Nella Fig. 14 sono riportati i loro andamenti

a) Fig. 14 b)

Poiché la (7) e la (8) sono funzioni pari, in Fig. 14 sono riportati solo gli andamenti per valori po-

sitivi, rispettivamente, della frequenza e del tempo.

In Fig. 14 a) è riportata, per confronto, oltre agli andamenti a coseno rialzato anche la condizione

limite (β = 0) fisicamente non realizzabile. Se si osservano le Fig. 14 b) e 15, ci si rende conto che,

per β = 0, l’andamento della forma d’onda presenta la variazione d’ampiezza più rapida nei dintorni

degli istanti di campionamento. Ora, se si considera che la temporizzazione degli istanti di campiona-

mento può non essere perfetta (in genere il sincronismo è affetto da disallineamenti !), puntare ad ap-

prossimare il più possibile tale andamento diventa controproducente. In effetti, a causa di scorrimenti

aleatori degli istanti di campionamento potrebbero essere campionati contributi anche rilevanti di ISI.

Questi, insieme al rumore e ad altre interferenze, potrebbero contribuire a prendere decisioni erronee

rispetto al simbolo inviato dal trasmettitore. Al contrario, se si sceglie β > 0, la PR(f) diventa fisica-

mente realizzabile e in maniera sempre più facile al crescere di β con andamento a coseno rialzato.

Ad essa corrisponde una forma d’onda pR(t) con oscillazioni che decrescono più rapidamente (con leg-

ge proporzionale a 1/t3) e con variazioni meno rapide nei dintorni degli istanti campionamento,

come evidenziato in Fig. 15, dove sono riportati gli andamenti per tre valori di β, nell’intorno degli

istanti di campionamento Tb e 2Tb.

Fig. 15

Tb/2 1.5 Tb 2 Tb 2.5 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tb

t

β = 0

β = 0.5 Rb/2 β = Rb/2

pR(t)

β = 0.2 Rb/2 β = 0.5 Rb/2

β = Rb/2

f

PR(f)

Tb

2R

2T1 b

b

=b

b

RT1

=

β = 0

β−2

Rb β+2

Rb

Tb β = 0

β = Rb/2

2Tb1.5 Tb

0

β = 0.5 Rb/2

t


Come si può osservare, al crescere di β verso Rb/2 si riduce la possibile quantità di ISI causata da

una temporizzazione non perfetta degli istanti di campionamento. Purtroppo, questo vantaggio lo si paga

in termini di una maggiore occupazione di banda da parte di PR(f) . Infatti, come risulta dalla Fig. 14

a), da una banda minima, associata al caso ideale, larga Rb/2, si passa all’impegno di una banda ugua-

le a Rb.

Per esemplificare, il segnale vocale PCM con Rb = 64 Kbit/s e con sagomatura degli impulsi pre-

senta un’occupazione di banda che va dal minimo teorico di 32 kHz ad un massimo di 64 kHz, in

funzione del coefficiente di roll-off scelto.

5. 5 Considerazioni sul criterio di Nyquist

Prima di chiudere l’esame della famiglia a coseno rialzato, è opportuno evidenziare che la pR(t), con

β uguale a Rb/2, pur essendo quella che occupa più banda, presenta un raddoppio degli attraversamen-

ti dell’asse dei tempi e ciò facilita l’estrazione del segnale di sincronizzazione che, come avremo modo

di discutere nel seguito, è un altro aspetto delicato delle trasmissioni digitali.

Se normalizzato rispetto a Rb/2, il coefficiente di roll-off β assume valori compresi fra 0 e 1. In tal

caso, la relazione tra la banda BT necessaria per trasmettere con una bit rate Rb è data da

) 1 ( 2

R B bT β+= 0 < β ≤ 1, (9)

con estremo superiore uguale ad Rb e con estremo inferiore, non raggiungibile, uguale a Rb/2.

Gli elementi che, nel progetto di un sistema, possono incidere sulla scelta di β sono vari, tra i quali

vale la pena di porre in risalto, oltre ovviamente alla disponibilità di larghezza di banda, i livelli di

rumore, la bit rate Rb e la qualità della sincronizzazione. Vi sono sistemi nei quali β è uguale al 75 %

ed altri nei quali scende sotto il 30 %.

Dalla (9), nota la larghezza di banda consentita dal canale trasmissivo e il fattore di roll-off è pos-

sibile risalire alla massima bit rate Rb raggiungibile tramite l’espressione

β+=

12BR T

b .

I risultati dell’indagine di Nyquist suggeriscono di porre la questione nei termini seguenti: preso atto

che i canali trasmissivi sono caratterizzati da larghezze di banda limitate, per evitare il fenomeno

dell’ISI, le forme d’onda offerte al canale trasmissivo non devono presentare durate finite nel tempo e

quindi spettri con estensione in frequenza, teoricamente, infinita. Al contrario, è opportuno che le forme

d’onda presentino uno spettro con una banda limitata anche se ciò comporta una forma d’onda con du-


rata nel tempo teoricamente infinita. Ciò provoca, inevitabilmente, una sovrapposizione nel tempo delle

forme d’onda contigue.

Come indicato in Fig. 16, Nyquist concluse che l’ISI poteva essere teoricamente eliminata introdu-

cendo in trasmissione un filtro con funzione di trasferimento HT(f) chiamato sagomatore che, congiun-

tamente alla Hc(f) del mezzo trasmissivo e alla HR(f) del filtro in ricezione, contribuisse a generare

una forma d’onda pR(t) = yR(t) con andamento nel tempo data dalla (8).

Fig. 16

5. 6 Prestazioni del sistema trasmissivo

Supponiamo per il momento che i filtri in trasmissione e in ricezione HT(f) e HR(f), che annullano

l’ISI, siano noti e presenti nel sistema. In tal caso, il campione dato dalla (2) si riduce a

)n(mT A )(mTy bkbR += (10)

Data l’ipotesi di canale AWGN, il carattere aleatorio e l’indipendenza statistica dei due termini a se-

condo membro della (10) fanno sì che l’ampiezza del campione yR(mTb) sia descritto da una densità di

probabilità py(y) data dalla convoluzione delle densità di probabilità che descrivono le due variabili ale-

atorie, come indicato in Fig. 17, con espressione data da

py(y) = 2

2

2

2

2A) (y -

2A) (y -

e 22

1 e 22

1 σ−

σ+

πσ+

πσ. (11)

Fig. 17

Generatore di forme d’onda

Filtro sagomatore HT(f)

Mezzo trasmissivo Hc(f)

Filtro di ricezione HR(f)

Circuiteria di sincronizzazione

TX RX

pg(t) yR (tc) +

n(t) T = 0

Sequenza Binaria

• 1 0 1 • •

• • • • t

yR (t)

He(f)

xT(t)

• • • • t

=n

pA(A) 2

1 21

A - A ∗pN(n)

σ

A

- A

PY(y)

A- Ay 0


Si è assunta l’ipotesi che il campione di rumore n(mTb) sia descritto statisticamente da una densità

di probabilità gaussiana a valor medio nullo e con varianza data da

σ2 = E{n2(t)} = K Te Bn = b

0 T21N ,

con N0 = kTe.

Considerando che il termine utile della (10) assume in modo equiprobabile i valori ± A, la soglia

del comparatore è posta uguale al valore intermedio di 0 Volt. Pertanto, la condizione d’errore si pre-

senta quando :

pur essendo stata trasmessa la forma d’onda che produce + A, il termine additivo di rumore n(mTb)

risulta < - A;

e

pur essendo stata trasmessa la forma d’onda che produce - A, il termine additivo di rumore n(mTb)

risulta > A.

Pertanto, la probabilità d’errore può essere espressa come la somma delle seguenti probabilità con-

giunte :

Pe = P {livello in ricezione = + A, yR(mTb) < 0} + P {livello in ricezione = - A, yR(mTb) > 0}

esprimibile tramite le probabilità condizionali anche nella forma

Pe = P{yR(mTb) < 0 / livello in ricezione = + A} P{livello in ricezione = + A} +

P{yR(mTb) > 0 / livello in ricezione = - A} P{livello in ricezione = - A}. (12)

Considerando l’equiprobabilità dei due possibili livelli in ricezione, si ha

Pe = 21 P{yR(mTb) < 0 / livello in ricezione = + A} +

21 P{yR(mTb) > 0 / livello in ricezione = - A}.

La Pe corrisponde alle due aree tratteggiate evidenziate in Fig. 17, con soluzione numerica data da

Pe = ∫∫∞ +

∞

−

+0

σ2 A)(y - 0

-

σ2 A)(y -

dye π2σ2

1dye π2σ2

1 2

2

2

2

(13)

Per le condizioni di simmetria, la (13) si riduce a

Pe = ∫∞ +

0

σ2 A)(y -

dye π2σ

1 2

2

(14)

e operando la sostituzione di variabile t = (y + A)/σ 2 , la (14) diventa

Pe = ∫∞

σ 2A

- t dte π

1 2 (15)


Poiché la primitiva della funzione di Gauss non è nota, il calcolo della (15) può essere ricavato sol-

tanto per via numerica, utilizzando le cosiddette funzioni d’errore. La prima di queste funzioni è la

erf(y), definita come

dxe π

2 erf(y) y

0

- x2

∫≡ . (16)

Si osservi che la funzione d’errore erf(y) rappresenta il doppio dell’area sottesa da una gaussiana

con valor medio nullo e varianza σ2 = ½, come indicato in Fig. 18.

Fig. 18

La sua utilità dipende dall’espansione in serie, di cui gode, data dalla (17) :

). . 9 ! 4

y 7 ! 3

y 5 ! 2

y 3 ! 1

y (y - π2

)1 n 2n ! ( y)1(-

π2 dx e

π2 erf(y)

9753

0n

1n 2ny

0

- x2−+−+=

+== ∑∫

∞

=

+

(17)

per cui al variare di y è possibile esprimere numericamente la (16). Dalla (17) è immediato verificare

che erf(0) = 0. Inoltre, grazie a semplici manipolazioni, è possibile verificare che erf(∞) = 1. Infatti,

operando la sostituzione di variabile t = x/σ 2 , l’uguaglianza

∫∞

∞−

σ−

=πσ

1dxe2

1 2

2

2x

può essere riscritta nella forma

∫ ∫∞

∞−

∞−− == 1dte

π2dte

π1

0

tt 22 ,

da cui risulta evidente quanto affermato.

Una funzione più comoda da utilizzare per il calcolo della (15), legata alla precedente, è la funzione

complementare d’errore, definita tale perché complemento a 1 dell’erf(y):

erfc(y) = 1 - erf(y) = ∫∞

−

y

t dteπ

2 2 , (18)

con gli estremi d’integrazione simili a quelli della (15).

Grazie alla (18), la probabilità d’errore diventa calcolabile tramite le seguenti uguaglianze

Pe = )2

A(erfc21

σ = )

2Aerf(

21 -

21

σ (19)

y x

21

=σ

1

erf(y)

y


Infine, un’altra funzione d’errore, sempre con gli estremi d’integrazione simili a quelli della (15), è

la funzione Q, definita come dze21 Q(y)

y

2z

2

∫∞ −

π= (20)

Fig. 19

Al variare dell’argomento, la (20) esprime l’area sottesa dalla coda di una gaussiana a valor medio

nullo e varianza σ2 unitaria*, come indicato in Fig. 19.

Le relazioni che legano la Q(y) alla erfc(y) e alla erf(y) possono essere ottenute dalla (20), grazie

alla sostituzione di variabile 2/zt = , per cui risulta

dte1 Q(y)

2y

t 2

∫∞

−

π= . (21)

e quindi valgono le seguenti relazioni

Q(y) = )2

y(erfc21 =

21 - )

2y(erf

21 .

Pertanto, è immediato constatare che la probabilità d’errore può essere espressa come

Pe = Q(σA ) = Q(

2

2Aσ

) (22)

Anche se quanto suggerisce la (22) risulta piuttosto intuitivo, vale la pena evidenziare il carattere

monotonicamente decrescente della funzione Q al crescere dell’argomento. Pertanto, per ottenere basse

probabilità d’errore, deve essere massimizzato il rapporto A/σ. Analoga considerazione vale se si utiliz-

zano le (19).

Per evitare l’uso dell’integrazione numerica, si può ricorrere alla (23) che, per valori dell’argomento

A/σ maggiori di 4, rappresenta un’ottima approssimazione della funzione Q( ).

2y2 e

2y1 y) Q( / −

π≅ (23)

(*) Di seguito sono riportati i valori che la funzione Q assume quando l’argomento è minore di 4. Q(0.0) = 0.500000000 Q(0.1) = 0.460172163 Q(1.1) = 0.135666061 Q(2.1) = 0.017864421 Q(3.1) = 0.000967603 Q(0.2) = 0.420740291 Q(1.2) = 0.115069670 Q(2.2) = 0.013903448 Q(3.2) = 0.000687138 Q(0.3) = 0.382088578 Q(1.3) = 0.096800485 Q(2.3) = 0.010724110 Q(3.3) = 0.000483424 Q(0.4) = 0.344578258 Q(1.4) = 0.080756659 Q(2.4) = 0.008197536 Q(3.4) = 0.000336929 Q(0.5) = 0.308537539 Q(1.5) = 0.066807201 Q(2.5) = 0.006209665 Q(3.5) = 0.000232629 Q(0.6) = 0.274253118 Q(1.6) = 0.054799292 Q(2.6) = 0.004661188 Q(3.6) = 0.000159109 Q(0.7) = 0.241963652 Q(1.7) = 0.044565463 Q(2.7) = 0.003466974 Q(3.7) = 0.000107800 Q(0.8) = 0.211855399 Q(1.8) = 0.035930319 Q(2.8) = 0.002555130 Q(3.8) = 0.000072348 Q(0.9) = 0.184060125 Q(1.9) = 0.028716560 Q(2.9) = 0.001865813 Q(3.9) = 0.000048096 Q(1.0) = 0.158655254 Q(2.0) = 0.022750132 Q(3.0) = 0.001349898 Q(4.0) = 0.000031671

pz(z)

y

σ =1 z


5. 7 Dimensionamento dei filtri di Nyquist

Ricavata la Pe, si possono ricavare le funzioni di trasferimento dei filtri HT(f) e HR(f) che consento-

no di annullare l’ISI. Una prima relazione è ricavabile dalla Fig. 16, in quanto deve verificarsi

Pg(f) HT(f) Hc(f) HR(f) = )f(PR e τπ− f2j , (24)

dove Pg(f), Hc(f) e PR(f) sono funzioni note ed in particolare Hc(f) è anche costante nel tempo. Inoltre,

il ritardo τ è necessario per rendere fisicamente realizzabili i filtri.

Chiarito che per ridurre la probabilità d’errore deve essere massimizzato il rapporto A/σ o, equiva-

lentemente, il rapporto A2/σ2, interpretabile come rapporto tra la potenza del segnale e quella del ru-

more, cerchiamo di esprimere tale rapporto tramite HT(f) e HR(f) in modo da ricavare la seconda rela-

zione che, insieme alla (24), è necessaria per individuare le due incognite HT(f) e HR(f).

Se, come già accennato, il segnale aleatorio in uscita al generatore di forme d’onda è indicato con

∑∞

∞=

=- k

bgk )kT-(t p a x(t)

lo spettro di densità di potenza (spettro di un’onda PAM aleatoria), presente in ingresso al filtro in

trasmissione HT(f), è dato da

b

2

g222

b

2

g2k

b

2

gx T

(f)Pa ](-a)

21 a

21[

T(f)P

}E{a T(f)P

fG =+==)(

dove 2

g (f)P è la densità spettrale d’energia dell’impulso pg(t).

In uscita al filtro in trasmissione HT(f), lo spettro di densità di potenza del segnale trasmesso è dato

da 2T

b

2

g22Tx (f)H

T(f)P

a (f)H fG =)( ,

con potenza media trasmessa data da

df(f)H(f)PTa P 2

T

2

gb

2

T ∫∞

∞−

= .

Poiché l’ampiezza A del campione osservato in ricezione è legata a quella trasmessa tramite un fat-

tore di scala kc, si ha A = kca e sostituendo nell’espressione precedente si ha

df(f)H(f)P

TPk A2

T

2

g

bT2c2

∫∞

∞−

=

La potenza media 2Nσ dei campioni di rumore che si confrontano con A2 è data da


df(f)H2TK 2

Re2

N ∫∞

∞−

=σ

pertanto, il rapporto che deve essere massimizzato è dato da

df(f)Hdf(f)H(f)PN

TPk

σA

2R

2T

2g0

bT2c

2N

2

∫∫∞

∞−

∞

∞−

= , (25)

dove N0 = 2

KTe è lo spettro di densità di potenza bilatero del rumore bianco.

Il legame tra PR(f) e Pg(f), fornito dalla (24), consente di trasformare l’espressione precedente nel

seguente rapporto, in cui compare come ìncognita soltanto la HR(f)

df(f)Hdf(f)H(f)H

(f)PN

TPk σA

2R2

R2

c

2R

0

bT2c

2N

2

∫∫∞

∞−

∞

∞−

= . (26)

Dalla (26) si deduce che per massimizzare il rapporto A2/ 2Nσ va individuata la funzione di trasferi-

mento HR(f) del filtro in ricezione che minimizza il denominatore.

Tale minimizzazione può essere realizzata facendo ricorso alla disuguaglianza di Schwarz, che affer-

ma che, se V(f) e W(f) sono funzioni complesse della variabile reale f, è valida la relazione

df(f)W dfV(f) (f) df WV(f)-

2*

-

22

* ∫∫∫∞

∞

∞

∞

∞

∞−

≤ (27)

Il secondo membro della (27), che può essere interpretato come il denominatore della (26), è sempre

maggiore del primo termine e diventa minimo quando vale il segno di uguaglianza. Ciò si verifica

quando V(f) = c W(f), con c costante arbitraria. Pertanto, assumendo

(f) H V(f) R= e )f(H(f)H

(f)PW(f)

Rc

R=

la minimizzazione si ha quando

(f)H(f)H(f)P

c (f)HRc

RR =

ovvero quando

(f)H(f)P

c (f) Hc

R2R = (28)

con c costante arbitraria positiva.

Ricavato dalla (28) il filtro )f(H R che rende massimo il rapporto S/N in ricezione, dalla (24) si ri-

cava la funzione di trasferimento del filtro in trasmissione HT(f), data da


(f)H(f)P c

fPk (f)H

c

2

g

R2c2

T

)(= . (29)

È importante osservare che le due funzioni di trasferimento HT(f) e HR(f) sono state ricavate

nell’ipotesi di canale AWGN, cioè con lo spettro di densità di potenza di rumore costante con f.

Sostituendo la (28) nella (26) si ottiene il massimo rapporto da utilizzare nella (25), da cui si evince

che, per ridurre ulteriormente la probabilità d’errore, deve crescere l’energia media PTTb della forma

d’onda.

2

c

R0

bT

c

R

c

R0

bT2N

2

df(f)H(f)P

N

TP df

(f)H(f)P

df (f)H(f)P

N

TP σA

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

. (30)

Inoltre, osservando la (29), se pg(t) ha durata << di Tb, Pg(f) può essere assimilata ad una costante

nella banda d’interesse dei filtri, per cui, a meno di una costante, le funzioni di trasferimento HT(f) e

HR(f) hanno risposte in ampiezza uguali :

(f)H

fP c (f)H

c

R2R

)(= ,

(f)H fP

c (f)H c

R1

2T

)(= . (31)

Esempio 1 :

La larghezza di banda di un mezzo trasmissivo è BT = 7 kHz. Calcolare la bit rate Rb che può es-

sere trasmessa se si usa un fattore di roll-off normalizzato uguale a 0.25.

L’uso della (9) fornisce immediatamente una Rb = 11.2 kbit/s.

(Conviene osservare che Rb/2 = 5600 bit/s rientra nei 7kHz di banda disponibili !).

Esempio 2 :

Un canale, sul quale devono essere trasmessi dati binari con una bit rate Rb = 100 kbit/s, rende di-

sponibile una larghezza di banda BT = 75 kHz. Calcolare il coefficiente di roll-off β.

Sempre dalla (9) è possibile ricavare per β il valore 0.5. Anche in questo caso si osservi che Rb/2

risulta < BT.

Esempio 3 :

Un calcolatore emette dati binari con una bit rate Rb = 112 kbit/s. Il sistema binario in banda base

utilizzato per la trasmissione è progettato con comportamento a coseno rialzato.

Indicare la banda richiesta quando il coefficiente di roll-off b assume i valori 0.50 e 0.75.

Esempio 4 :


La sorgente consegna al sistema trasmissivo 3400 bit/s. Supponendo che il canale sia di tipo AWGN

e che, come riportato in Fig. 21, il mezzo trasmissivo presenti il modulo della funzione di trasferimen-

to Hc(f) dato da

Hz 3400 f

3400f1

1)f(H2c <

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

Fig. 21

con banda passante a 3 dB = 3400 Hz. Se si sceglie un coefficiente di roll off β normalizzato uguale a

1, individuare le funzioni di trasferimento HT(f) e HR(f) dei due filtri in trasmissione e in ricezione.

Dalla famiglia a coseno rialzato (7) si ha PR(f) = 6800

fcosT 2

b

π , pertanto in base alle (28) si ricavano

gli andamenti == (f)H (f)H RT 6800f

cosπ 4

12

6800f1

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ che risultano, insieme al ⎪Hc(f)⎪, graficati

in Fig. 21.

Esempio 5 :

Si dispone di un mezzo trasmissivo caratterizzato dalla Hc(f) indicata in figura

Fig. 22

Tenendo conto di un rumore AWGN con spettro di densità di potenza uguale a 10 –14 watt/Hz, si

progetti il sistema per trasmettere i dati con una bit rate Rb = 3600 bit/s e garantendo una Pe < 10 – 4.

Dato che Rb/2 = 1800 bit/s rientra nella banda disponibile, si può scegliere un coefficiente di roll-

off β = Rb/6 per cui, in base alla (7), si ha

3600

1 f < 1200

PR(f) = 3600

1 cos2

2400π ( f - 1200) 1200 ≤ f ≤ 2400

0 f > 2400

come indicato nella figura seguente.

0

0.91

0.7

0.3

0.5

0.1

⎪Hc(f)⎪

2000 3000500 1000 1500 2500 3400

⎪HT(f)⎪ = ⎪HR(f)⎪

1001

f 2400-2400

Hc(f)


Fig. 23

Se l’impulso rettangolare pg(t) di ampiezza unitaria è scelto con ritorno a zero (RZ) ed in particolare

con una durata τ, per esempio, ≤ Tb/10 la variazione di Pg(f) nella banda di 2400 Hz è trascurabile e i

filtri in trasmissione e in ricezione, grazie alle (28) sono dati da

)f(Pk)f(H R1T = e )f(Pk)f(H R2R =

dato che )f(H c è costante. Le costanti k1 e k2 sono definibili in base alla relazione

Pg(f) )f(HT )f(Hc )f(HR = PR(f).

Come si può dedurre dalla tabella della funzione Q(y), per garantire una

Pe = Q (σA

) = Q⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ2

2A < 10- 4

l’argomento della Q deve risultare maggiore di 3.70 e di conseguenza A2/σ2 > (3.70)2 = 13.7.

La potenza da trasmettere necessaria per soddisfare i vincoli imposti dal progetto può essere ricavata

grazie alla (30). Da essa si ottiene 2

c

R02

2

bT df

)f(H)f(P

NAT1P

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

σ= ∫

∞

∞−

= 3600 (13.7)4

14

1010

−

−2

R df)f(P ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫∞

∞−

Poiché l’ultimo integrale è uguale all’unità, come può essere verificato per ispezione della Fig. 23, si

ricava una PT ≈ 5 μW = - 23 dBm.

Riassumendo, ciò che emerge dal lavoro di Nyquist è che un sistema trasmissivo, in cui la sorgente

emetta bit con una bit rate uguale a Rb [bit/s], deve garantire una larghezza di banda BT > Rb/2. Per

esempio, se la sorgente emette un flusso binario con Rb = 64 kbit/s (segnale vocale codificato PCM), il

canale deve fornire una larghezza di banda BT > 32 kHz. Al segno di uguale corrisponde un’efficienza

spettrale di 2 bit/s per Hz (bit/s/Hz). Purtroppo, questo limite non è raggiungibile perché esso impliche-

rebbe una He(f) di tipo rettangolare, fisicamente non realizzabile (β = 0). Nella pratica, con i minimi

valori raggiungibili da β uguali a 0.15 ÷ 0.2, disponendo di una banda BT, la velocità di trasmissione

Rb può raggiungere al massimo un valore di 1.73 BT, ricavabile dalla

Rb = β1

2+

BT.

-1200 1200

36001

f 2400-2400

PR(f)


5. 8 Ulteriori considerazioni

Data l’importanza pratica di quanto esaminato, è opportuno sviluppare delle considerazioni di ordine

generale. Se al singolo bit o, come vedremo successivamente, al singolo simbolo è associata una forma

d’onda limitata nel tempo (non necessariamente rettangolare) con durata ≤ di Tb, la sua rappresentazio-

ne in frequenza si estende da - ∞ a +∞. Se tale forma d’onda modula l’ampiezza di una portante,

come è ben noto, lo spettro si trasferisce dai dintorni di f = 0 intorno alla frequenza della portante rad-

doppiando la banda e con un impegno di banda teoricamente infinito. Come indicato in Fig. 24, questa

estensione di banda produce l’inconveniente che spettri associati a portanti diverse possono sovrapporsi

in misura dipendente dalla distanza tra le portanti, interferendo tra loro.

Fig. 24

L’interferenza è tanto più significativa quanto più le portanti sono ravvicinate provocando quel feno-

meno che, nel linguaggio delle telecomunicazioni, prende il nome di interferenza tra canali adiacenti.

Per eliminare (o meglio per rendere trascurabile) questo effetto, un criterio è quello di delimitare in

frequenza lo spettro della forma d’onda che modula la portante. Come suggerito da Nyquist, tale limi-

tazione la si può ottenere inviando la forma d’onda in ingresso ad un filtro passa basso. Purtroppo

questo confinamento in frequenza della forma d’onda operata dal filtro ha come contropartita lo sconfi-

namento della forma d’onda dall’intervallo di bit all’uscita del filtro, producendo quel fenomeno, già

esaminato nelle pagine precedenti, dell’interferenza intersimbolo. In sintesi, si può affermare che nelle

trasmissioni numeriche è teoricamente impossibile raggiungere la limitazione della forma d’onda in en-

trambi i domini. Da qui l’importanza della sagomatura suggerita da Nyquist che, per limitare la banda

e al contempo contrastare l’ISI prodotta, esige in ricezione una temporizzazione molto precisa degli i-

stanti di campionamento trasformando, in tal modo, un’impossibilità teorica in una difficoltà solo tecno-

logica. Comunque, la difficoltà di ottenere una temporizzazione esatta e la conseguente presenza di re-

sidui di interferenza intersimbolo sconsigliano di realizzare una buona approssimazione del filtro ideale

con l’inconveniente di abbassare l’efficienza spettrale sotto i 2 bit/s per Hz (bit/s/Hz). Il che comporta

un impegno di banda maggiore di quella teorica Rb/2.

Per ottenere velocità trasmissive (bit rate) più elevate a parità di banda, ovvero efficienze spettrali

più elevate, la soluzione più intuitiva è quella di ricorrere a sistemi con un numero di livelli M > 2,

con forme d’onda sagomate secondo Nyquist in modo da limitarne la banda. In genere, M è una po-

fc2 fc1 f = 0


tenza del 2 (M = 2k, con k > 1). In tal caso non si parla più di trasmissioni di bit ma di simboli, ad

ognuno dei quali sono associati k bit. In Fig. 25 sono riportate le forme d’onda corrispondenti alla se-

quenza . . 1011110100 .. per un sistema con un numero di livelli M = 4.

Come sarà chiarito successivamente, purtroppo l’accresciuta velocità trasmissiva la si paga con una

maggiore complessità circuitale del ricevitore e, a parità di potenza trasmessa, con un peggioramento

delle prestazioni.

Fig. 25

5. 9 Trasmissione numerica in banda base ad m livelli

Dall’ottimizzazione secondo Nyquist si è ricavato che, per poter trasmettere con una bit rate Rb, il

canale trasmissivo deve garantire una larghezza di banda

)1(2

R B b T β+= (32)

con un coefficiente di roll off che, in pratica, presenta un limite inferiore > 0.

La (32) può essere utilizzata al contrario, deducendo che la bit rate Rb è condizionata dalla banda

consentita BT e dal β, secondo la relazione

Tb B1

2Rβ+

= . (33)

Dalla (33) si ricava che la bit rate Rb ha un limite superiore teorico dato da 2BT e un limite infe-

riore reale uguale a BT. Per poter trasmettere con una bit rate uguale a 2BT o maggiore, invece di as-

sociare una forma d’onda al singolo bit, come visto nel caso delle trasmissioni binarie, si possono ag-

gregare più bit (le aggregazioni di più bit prendono il nome di simboli) e trasformare questi simboli in

forme d’onda. Pertanto, se il simbolo è costituito da due bit il generatore di forme d’onda deve fornire

le quattro forme d’onda diverse corrispondenti alle quattro combinazioni diverse dei due bit. In genera-

le, se aggreghiamo N bit in un simbolo, il generatore dovrà fornire M = 2N forme d’onda diverse.

Supponendo di aggregare coppie di bit (N = 2), il generatore d’impulsi deve produrre le seguenti

quattro forme d’onda, definite nell’intervallo 0 < t < Ts. Se Ts è scelto uguale al Tb precedente, la bit

rate Rb raddoppia. In termini generali se Rs è la frequenza di simbolo (la symbol rate), la frequenza di

bit è data da Rb = Rs log22N.

t

11

10

01

00


pg0(t) = -3a coppia di bit 00 0 < t < Ts

pg1(t) = - a coppia di bit 01 0 < t < Ts

pg2(t) = a coppia di bit 11 0 < t < Ts

pg3(t) = 3a coppia di bit 10 0 < t < Ts

Fig. 26

Si assume l’ipotesi che i bit emessi dalla sorgente siano equiprobabili e statisticamente indipendenti

tra loro e quindi anche i simboli e le forme d’onda. Il filtro in trasmissione HT(f) sagoma le forme

d’onda in modo da limitarne la banda come nel caso binario. La larghezza di banda minima teorica è

uguale a quella di Nyquist, cioè Rs/2 Hz e usando un coefficiente di roll-off uguale al 100 % la banda

massima impegnata risulta uguale ad Rs Hz.

Fig. 27

La trasmissione è soggetta ad interferenze e al rumore e per risalire al simbolo trasmesso, in rice-

zione, i campioni osservati negli istanti di campionamento sono confrontati non più con una sola so-

glia, come nel caso binario, ma con più soglie.

Il segnale emesso dal generatore di forme d’onda può essere espresso come

∑∞

∞=

= -k

sgk )kT -(t pa x(t)

dove con pg(t) è indicato l’impulso elementare e con ak uno dei possibili livelli. La spaziatura fra i

livelli è uniforme e per minimizzare la potenza in trasmissione il valor medio di x(t) è nullo.

Indicando con 2a la spaziatura tra due livelli contigui, come in Fig. 26, la potenza media in trasmis-

sione PT è facilmente ricavabile considerando l’equiprobabilità dei simboli. Infatti è data da

22222T a 5 (3a)

41 (a)

41 (-3a)

41 (-a)

41 P =+++= . (34)

a

3a

-a

-3a

Ts t

pg(t) 01 10 11 00 00 10 01 11 00 11 00 01 10 10 00 11 01 10 ………

01 10 11 00 . .

Sorgente binaria

Generatore forme d’onda

Filtro sagomatore HT(f)

Mezzo trasmissivo

Hc(f)

x(t) Filtro ricezione

HR(f) Circuiteria di sincronizzazione

RX

yR (t)

Decisore

+

n(t) TX


Se confrontiamo con il caso binario, la potenza media è cinque volte maggiore. Generalizzando, per

un qualsiasi numero pari di livelli ed equiprobabili si ottiene una potenza media in trasmissione data da

222

22M/

1k

22222T ) a1- (M

31

6)1- M(M (a)

M2 )1k -2( (a)

M2 ....} )5 ( )3 ( 1 { (a)

M2 P ===+++= ∑

=

. (35)

dove con M = 2N si è indicato il numero di livelli. In base a questa notazione, la bit rate può essere

espressa come

Rb = Rs log2M. (36)

Come nel caso binario, il segnale osservato negli istanti di campionamento può essere espresso come

)n(t ]k)T-[(mp k a kA )(ty mmk

sRck cmmR ++= ∑≠

(37)

indicando con la sommatoria l’interferenza generata dai simboli adiacenti. Anche in questo caso, per e-

liminare l’ISI, le forme d’onda prima di essere trasmesse sono sagomate secondo il criterio di Nyquist

in modo che a monte del campionatore si presenti un segnale con spettro a coseno rialzato.

Il canale deve mettere a disposizione per la trasmissione una banda BT che soddisfi la relazione

) 1 ( 2

R B sT β+= , (38)

dove 0 < β ≤ 1 indica il coefficiente di roll-off. Dalla (38) è possibile ricavare la symbol rate consen-

tita da un canale caratterizzato da una banda di trasmissione BT

) 1 (

2BR Ts β+

= . (39)

Se, grazie alla sagomatura, l’ISI è nulla, dalla (37) si ricava che il campione osservato

y(tm) = Amkc + n(tm)

è una variabile aleatoria descritta dalla densità di probabilità

3A}pP{A A}pP{A -A}pP{A -3A}pP{A (ypmmmmm Y/AmY/AmY/AmY/AmmY =+=+=+==)

Fig. 28

Considerando l’equiprobabilità dei quattro livelli, la precedente densità di probabilità può scriversi

}e e e e {2

1 41 )(yp 2

2

2

2

2

2

2

2

m

23A)(n

2A) (n

2A) (n

23A)(n

mYσ

−−

σ−

−σ

+−

σ+

−+++

πσ=

con σ2 = ∫∞

∞ -

20 dfH(f)2

N .

pYm(ym)

A 3A-A-3A ym


Per considerazioni di simmetria, le tre soglie necessarie per la decisione sono poste a -2A, 0, 2A e

la probabilità d’errore è rappresentata dalle aree annerite di Fig. 28. Quantitativamente essa è data da

)σ

=A( Q 6

41 Pe = )

σA( Q

23 , (40)

mentre l’espressione generale della probabilità d’errore, per una trasmissione M-aria, è data da

)A( Q M

1) 2(M Pe σ−

= . (41)

Per semplificare i confronti tra le prestazioni dei vari sistemi di trasmissione è comodo esprimere

l’argomento della funzione Q tramite l’energia media per bit Eb.

Per aumentare la velocità di trasmissione, l’intervallo di simbolo Ts è mantenuto uguale all’intervallo

di bit Tb della trasmissione binaria. Pertanto, considerando presente l’equalizzazione di Nyquist, la ban-

da equivalente di rumore Bn è data da Rb/2 o da 1/2Tb. Di conseguenza, σ2 = N0Bn = N0/2Tb e la (41)

tramite i seguenti passaggi

)A( Q M

1) 2(M P 2

2

e σ−

= )N

T2A( Q M

1) 2(M 0

b2−

= può essere riscritta come segue

)NE2( Q

M1) 2(M P

0

be

−= .

In Fig. 29 sono riportate le probabilità d’errore per M = 2, 4 e 8. Si osservi che per mantenere lo

stesso livello di Pe (la stessa prestazione !) nel passare da M = 2 a M = 4 (curva tratteggiata) ed infine

a M = 8 è necessario un incremento contenuto inferiore a 0.5 dB. L’incremento contenuto è giustifica-

to dall’aver mantenuto costante la distanza tra i livelli passando da M = 2 a M = 4.

Fig. 29

Come evidenziato dalla (34), la potenza media in trasmissione PT con quattro livelli (2 bit per sim-

bolo) è data da PT = 5a2, cioè cinque volte (≈ 7 dB) quella impegnata nella versione binaria. Generaliz-

zando la (34), diventa immediato dedurre che passando ad otto livelli (3 bit per simbolo) è necessaria

una potenza media in trasmissione PT = 21a2, cioè ventuno volte (≈ 13 dB) quella impegnata nella

versione binaria.

0 2 4 6 8 10 12-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Pe [dB]

Eb/N0 [dB]

M = 2 M = 8

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